АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ
Н. Н. БОГОЛЮБОВ (мл.)
A. К. ПРИКАРПАТСКИЙ
B. Г. САМОЙАЕНКО
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ДИНАМИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ:
СПЕКТРАЛЬНЫЕ
и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
АСПЕКТЫ
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1987

УДК 517.9
Интегрируемые динамические системы: спектральные и
дифференциально-геометрические аспекты / Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н. (мл.),
Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г.— Киев : Наук, думка, 1987.— 296 с.
Монография посвящена разработке методов построения и качественного
исследования точных решений нелинейных эволюционных уравнений математической
физики. Подробно исследуется большое число динамических систем, заданных
нелинейными дифференциальными уравнениями с частными производными, широко
используемых при решении как теоретических, так и практических вопросов
современной физики и техники. Описываются условия интегрируемости динамических
систем, обладающих представлением типа Лакса. На основе метода усреднения
Боголюбова —. Уизема проводится анализ уравнений эргодических деформаций для
ряда интегрируемых нелинейных динамических систем. С помощью методов
вторичного квантования и интегрируемых квантовых динамических систем исследуются
физические многочастичные модели типа Шредингера и Неймана.
Для специалистов в различных областях математической и теоретической
физики. Может быть полезна преподавателям, аспирантам и студентам механико-
математических и физических факультетов вузов.
Библногр.:с. 267—291 (631 назв.).
Ответственный редактор О. С. Парасюк
Рецензенты В. Г. Барьяхтар, Б. И. Садовников
Редакция физико-математической литературы
Юрий Алексеевич Митропольский
Николай Николаевич Боголюбов (мл.)
Анатолий Каролевич Прикарпатский
Валерий Григорьевич Самойленко
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ:
СПЕКТРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
АСПЕКТЫ
Утверждено к печати ученым советом Института математики АН УССР
Редактор Д. И. Попович. Художественный редактор И. П. Антонюк. Технический редактор
В. А. Краснова. Корректоры Д. Я. Кашпер, Т. В. Пантелеймонов а
И Б 8309
Сдано в набор 16.05.86. Подп. в печ. 27.10.86. БФ 00294. Формат 60Х90/16. Бум. тип. J\|b 1.
Лит. гарн. Вые. печ. Усл. печ. л. 18,5. Усл. кр.-отт. 18,5. Уч.-изд. л. 19,81. Тираж 1220 экз.
Заказ 6—1669. Цена 3 р. 30 к.
Издательство «Наукова думка». 252601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского производственного объеди-
52ЯЯЯ «Полиграфкнига». 252057, Киев, ул. Довженко, 3 в Нестеровской городской типографии.
292310, Нестеров, Львовской обл., ул. Горького, 8. Зак. go
..1702050000-007 f __ 0_ ~ „ u 1П07
И М221(04)-87 ' 175"87 © Издательство «Наукова думка», 1987

ПРЕДИСЛОВИЕ
Монография посвящена ряду важных аспектов теории интегрируемых динамических
систем, основанной как на фундаментальных исследованиях прошлого столетия, так
и на исследованиях последних десятилетий нынешнего века, результат которых —
создание нового метода исследования многих нелинейных эволюционных задач
математической физики — метода обратной задачи [194]. Использование этого метода в
современных исследованиях по теории динамических систем (как конечномерных,
так и бесконечномерных) способствовало возникновению глубокой взаимосвязи ряда
математических структур, выступавших ранее обособленно. Так, гамильтоновость
и изоспектральность по Лаксу стали основными методологическими принципами,
позволяющими провести исследование с весьма большой степенью полноты.
Изучению именно этих структур, анализу их дифференциально-геометрических свойств,
а также применению их к ряду конкретных практически важных задач современной
математической физики посвящена большая часть книги.
В первой главе приведены некоторые сведения из общей теории динамических
систем на конечномерных и бесконечномерных многообразиях [1, 32, 61, 73, 76, 104,
106, 107, 141, 142, 145, 148, 209, 280, 301, 319, 414, 565], включая понятия
эргодичности и гамильтоновости, введено понятие рекурсионного [46, 87, 176, 229,
230, 238, 240, 241, 278, 342, 344, 345, 352, 354, 472, 523, 579] оператора, а также
изучены его основные свойства в случае бесконечномерных динамических систем.
Вторая глава посвящена исследованию критериев интегрируемости
динамических систем, обладающих так называемым представлением Лакса. Здесь развивается
метод построения рекурсионных операторов для динамических систем на основе
методов малого параметра [13], создан так называемый градиентный алгоритм,
позволяющий получить полное описание условий интегрируемости бесконечномерных
динамических систем в терминах специальных дифференциальных операторов.
Практическое применение рассмотренных методов для доказательства
интегрируемости по Лиувиллю [1, 319] и получения явных конечнозонных по С. П. Новикову
[68, 70, 147, 194] решений нелинейных дифференциальных уравнений математической
физики дается в третьей главе. Здесь подробно рассмотрены многие типы нелинейных
динамических систем, заданных нелинейными уравнениями в частных производных
с помощью методов второй главы, а также спектральных и алгебро-геометрических
подходов, появившихся в последнее время в связи с исследованиями динамических
систем типа Кортевега — де Фриза [65—72, 75—84, 90—95, 102, 103, 110—117, 128—
130, 132, 187, 192—194, 198]. Эти подходы обобщены на случай нелинейных
дискретных динамических систем в работах [257—260, 291—295, 309, 420, 433, 461, 462, 485,
518, 519, 564, 585, 599]. Там же получено общее описание интегрируемых
динамических систем на основе рекурсионных операторов.
3

В большинстве случаев для решений рассмотренных в третьей главе уравнений
в терминах римановых тэта-функций [67—69, 94, 103, ПО, 114, 147, 164, 168, 284,
327, 349, 482, 485—487, 489], заданных на якобиевых многообразиях, получены
явные формулы. Изучен также класс конечномерных динамических систем типа
Неймана [26, 36, 67, 142, 232, 432, 485, 517], полное интегрирование по Лиувиллю
которых выполнено методом Гамильтона — Якоби.
Методу усреднения Боголюбова — Уизема и выводу уравнений эргодических
деформаций для ряда нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными посвящена четвертая глава. Здесь применяется классический вариант метода
усреднения Крылова — Боголюбова [12, 13, 135, 136, 295] в сочетании с методом,
предложенным Уиземом [196, 610], в котором использованы гамильтонов и лагран-
жев формализмы. Рассмотрены уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное
уравнение Шредингера и уравнение sin-Гордона.
В пятой главе изложены некоторые результаты приложения теории
интегрируемых динамических систем к задачам квантовой и статистической механики. В
частности, исследуется спектр квантовых возбуждений одной квантовой многочастичной
задачи типа Шредингера в рамках квантового метода обратной задачи, развитого в
работах Л. Д. Фаддееваидр.[27, 88, 179—184, 193, 248, 297, 390, 398, 399, 418,439,
447, 470, 583].
Следует отметить, что к исследованиям, проведенным в настоящей книге,
примыкает огромное количество исследований, раскрывающих самые неожиданные связи
различных свойств интегрируемых динамических систем. Так, важные задачи
динамических систем со связями специального типа изучены в работах [86, 105], задачи
симметрийной классификации интегрируемых нелинейных уравнений — в работах
[87, 134, 150, 154, 208, 209, 237, 252, 277, 336, 475, 521—533, 559, 577, 578, 586—
588, 590]. Важным свойствам интегрируемых динамических систем с точки зрения
анализа Пенлеве посвящены работы [219, 218, 254, 257, 273, 274, 283, 305, 317, 368, 423,
497—499, 537, 554, 608, 609]. В статьях [211—213, 263, 279, 285, 287, 358, 365,
356, 476, 477, 496, 534, 535, 575, 598] исследовались свойства динамических
систем, обладающих законами сохранения. Вопросы, связанные с приложением метода
изоспектральных деформаций к различным задачам математической физики,
исследовались как у нас в стране, так и за рубежом. Так, в работах [4—9, 16, 23, 24, 29—31,
33—35, 43, 45—48, 50, 57—60, 64—66, 74, 77—84, 90, 93, 97, 99, 102, 103, 108, 109,
115, 116, 118, 120—123, 128—130, 132, 144] исследованы прямые и обратные
спектральные задачи для различных дифференциальных и линейных дифференциальных
операторов типа Штурма — Лиувилля и Дирака, связанных с исследуемыми
интегрируемыми динамическими системами. Теоретико-групповые аспекты полной
интегрируемости нелинейных динамических систем в рамках метода изоспектральных
деформаций типа Лакса рассмотрены в работах [140, 149, 151, 157—165, 187, 192,
200—206, 210, 215, 228, 233—235, 250, 253, 256 —260, 270, 282, 284, 286, 293,
302—307, 311, 315, 318, 322, 324, 337, 341, 347, 363, 369, 376, 378, 383, 391—395,
401, 403, 408—413, 416—429, 435, 436, 444, 461, 463, 471, 482, 488—495, 501, 505, 507,
516, 518—520, 536, 544, 546, 549, 560, 561, 564, 592, 601— 604, 6181, важные для
приложений методы построения так называемых преобразований Зэклунда — в работах
[161, 162, 275, 276, 296, 321, 329, 382, 459, 468]. Применению метода
изоспектральных деформаций к нелинейным многомерным уравнениям в частных производных
посвящены работы [126, 146, 288, 340, 341, 438, 474].
В цикле работ [3, 44, 172, 251, 264—269, 271, 303, 305, 332, 506] исследованы
различные свойства дискретных спектральных задач, ассоциированных с нелиней-
4

ными дифференциально-разностными уравнениями. В работах [91, 95, 177,245, 2811
291, 292, 333, 334. 350, 404—407, 415, 430, 503, 504, 515, 518, 524, 552. 553, 593,'
^94, 606] изучен новый подход к исследованию интегрируемости динамических систем ч
основанный на методе изомонодромных деформаций линейных уравнений на
комплексной плоскости. Особенно интересным открытием здесь стала возможность вывода
на основе этого подхода всех уравнений метода изоспектральных деформаций типа
Лакса, а также построения прямого алгоритма для нахождения явных решений
интегрируемых динамических систем на основе решения задачи Римана — Гильберта.
Изучению различных аспектов дифференциально-геометрических и
алгебраических структур, ассоциированных с интегрируемыми динамическими системами,
посвящены работы [49, 54—66, 125, 170, 191, 227, 235, 242—244, 272, 300, 312—314,
318, 328, 335, 348, 364, 370, 372, 379, 389, 400, 414, 440, 442, 456, 464, 478—481,
514, 525, 539, 541, 542, 548, 550, 551, 556, 557, 574, 584]. Одна из наиболее сложных
проблем современной математической физики — процедура квантования
классических динамических систем, а также многие задачи современной квантовой физики,
связанные с интегрируемыми динамическими системами, рассматривались с
различных позиций в работах [7, 10, 15, 17—20, 51, 88, 89, 119, 152, 153, 183, 186, 197—
199, 220, 239, 246, 247, 261, 289, 290, 298, 355, 360, 396, 397, 445, 416, 448—451,
465-467, 509, 526, 563, 566—571, 582, 583, 595, 616].
Когда работа над рукописью была завершена, авторы получили весьма
важный и несколько неожиданный результат: алгебры Ли симметрии уравнения Кор-
тевега—де Фриза и уравнения Кадомцева—Петвиашвили изоморфны
универсальной квантовой алгебре Ли токов на окружности. Проведенные вычисления
показывают, что этот результат справедлив и для всех известных в настоящее время
вполне интегрируемых динамических систем, включающих нелинейные уравнения
типа Шредингера, sin-Гордона, Бенджамина—Оно, Дэви—Стюардсона и др.
Причем факт наличия для динамической системы алгебры Ли симметрии, изоморфной
алгебре Ли токов на окружности, может быть весьма эффективно использован
для установления полной интегрируемости рассматриваемой динамической
системы. Этот материал изложен в § 4 гл. 5 [619—631].

ГЛАВА 1
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
1.1. Инвариантная мера. Пусть М — конечномерное
дифференцируемое многообразие размерности п = dim М, 91 — некоторая а-ал-
гебра подмножеств многообразия М, на которой задана мера |ы,
являющаяся нормированной и полной, т. е. |ы (М) = 1, и все
подмножества множеств меры нуль принадлежат 51. Определим на многообразии М
отображение ф : М ->- М со свойствами: 1) ф — взаимно однозначное
отображение; 2) если Л £ 91, то множества фЛ, ф-1Л £ 91 и |ы (фЛ) =
= |ы (ф_1Л) = |ы (Л). В этом случае отображение ф называется
автоморфизмом многообразия М с мерой |ы, а мера |li — инвариантной.
Пусть (ф'}, /£[R\—однопараметрическая группа автоморфизмов
многообразия М с мерой |ы, т. е. ф' о ф* = ф'+ч для всех /, s £ fR1. Тогда
{ф'К ^ £ fR1» называют конечномерной динамической системой на
многообразии М, или потоком, если для любой измеримой функции
/ : М -> [R измерима также функция / ° Ф' : М -> [R1, заданная на
прямом произведении М х fR1. Само многообразие М с мерой |ы
называют фазовым пространством динамической системы.
1.2. Условие Лиувилля. Рассмотрим следующий пример.
Обозначим V (М) модуль гладких векторных полей [1] на многообразии М.
Тогда векторное поле X £ V (М)у определяющее в локальных
координатах (х1у x2t ..., хп) на М систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
dxj
-^- = Х,(х19 x2t ..., хп), /=1,2,..., л, (1.1)
порождает автоморфизм ф' : М -> М, t £ fR1, при помощи отображения
ф'* = х (/), где х (t) £ М — решение уравнений (1.1) сданными Коши
х (0) = х £ М. Очевидно, что {ср'}, / £ fR1,— однопараметрическая
группа, если многообразие М компактно, ориентировано и замкнуто.
Инвариантная мера |ы на М задается (локально) следующим
выражением: |ы (dx) = р (х) д,ххйхг..Лхп, где весовая функция р : М-+ [R+
удовлетворяет условию Лиувилля [105]
1-щ(РХ,) = 0. (1.2)
Действительно, для инвариантности меры |ы необходимо и
достаточно, чтобы для всех / £ ,2) (М), где 0 (М) = С(оо) (УИ; [R1), имело место
6

равенство
J/(*)n(dx)= \f(^x)ii(dx) (1.3)
м м
для всех t £ [R1.
Считая, что функция / имеет носитель supp /, сосредоточенный в
некоторой координатной окрестности U точки х> диффгоморфной
окрестности V cz [R", из (1.3) прямым дифференцированием по / при | /1 ^
^ б, где б — достаточно малое число, получаем
п
°=4rU w*) p wdx i«>=$ S 5-Л/ (Л:) ^w d'v =
п
= ~lIi4r(P^f(x)dx, (1.4)
где х = fo, #2» ..., #rc) £ [R"» dx = dx1dx2...dxn. Отсюда, учитывая
произвольность функции f (х)у получаем условие Лиувилля (1.2). >
Вопросам общей теории инвариантных мер на метрических
пространствах для исходных динамических систем посвящены
фундаментальные труды Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 444].
Рассмотрим частный случай системы (1.1), когда многообразие
М = Тп — n-мерный тор, а Ху (я) = со, £ [R1, /=1,2, ..., я,—
постоянные величины. Инвариантная мера \i (dx) = dx. Движение
системы (1.1) на торе Тп в этом случае будет условно периодическим,
а числа соу, / = 1, 2, ..., я, являются частотами этого движения.
1.3. Теорема Пуанкаре. Среди множества разных свойств
динамических систем отметим свойство рекуррентности, открытое А.
Пуанкаре. Точка х £ A cz M называется рекуррентной (в множестве Л)
для динамической системы {ср'}, если для любого т £ [R+ существует
такое t > т, что ф'л; £ А.
Теорема Пуанкаре [105]. Для любой динамической системы (ср'}
заданной на М, и любого А £ ЭД почти все (по мере \х) точки х £ А
рекуррентные.
Доказательство. Обозначим через N подмножество Л,
состоящее из всех нерекуррентных точек в Л. Тогда N = Л П ( П ф~~' X
t>X0
X (Л1\Л)). Очевидно, для любого x£N и для всех />т0 ц>—*х£Ы.
Таким образом, N () ц>—* (N) для всех />т0. Отсюда следует, что
q>-'» (N) П ф~'2 (N) = 0 для всех t2 > /х + т0 > 2т, так как ср-'« (W) f]
П Ф~'2 (N) = ф-^1 (Л/" П qr-Vr-tJ (N)) = ф—'» (0) = 0. Поэтому, выбирая
последовательность чисел {/7-£IR/, /=1,2,...} такую, что //-f i >
> */ + т0> получаем
1 = ii (M) > ii ( U ф"'/ (Л0) = 2 (г (ф"'<' (N)) = £ (г (ЛО.
Последнее неравенство может выполняться лишь при \i (N) = 0.
1.4. Теорема Биркгофа—Хинчина. Среди дополнительных свойств,
которыми может обладать исходная динамическая система, опишем
7

свойство эргодичности. Прежде чем дать определение, сформулируем
общую теорему, являющуюся одной из самых важных в теории
динамических систем [105].
Теорема Биркгофа — Хинчина. Пусть функция f^Lx(M, \i) и
{ф'} — динамическая система на М. Тогда для почти всех х £ М су-
ществуют и равны пределы
i t
lim — \ / (фтл:) di = lim —- \ / (ф~тл;) dx =
t
= lim^- lf(<px)dx = ](x), (1.5)
/-ЮО
—t
причем f (ф'х) = / (л:), если f (x) существует, f^L1(Mf \i) и
\~f{x)yi{dx)=\f{x)\i{dx).
M M
Предельная функция / (х) имеет название временного среднего вдоль
траектории динамической системы. Функцию f (измеримую
относительно меры \i), удовлетворяющую условию f (х) = f (ф'л;) для всех х £ М9
называют инвариантной относительно динамической системы {ф'}.
Таким образом, предельная функция / (л:) будет инвариантной.
В терминах инвариантных функций свойство эргодичности можно
сформулировать следующим образом: динамическая система (ф'}
называется эргодической, если всякая инвариантная функция равна
постоянной на множестве полной меры.
Эквивалентное определение формулируется в терминах
инвариантных множеств. Множество А £ 91 называют инвариантным, если его
характеристическая функция Ха является инвариантной. Тогда,
очевидно, динамическая система (ф'} эргодическая, если \i (A) = 0 или
\i (А) = 1. В силу постоянности инвариантной функции в случае
эргодичности из теоремы Биркгофа — Хинчина следует, что ] (х) =
= j / (х) \1 (dx), т. е. временное среднее функции / (л:) £ Lx (УМ, \i) равно
м
пространственному среднему. Последнее утверждение имеет наиболее
широкое применение в разнообразных физических задачах,
использующих эргодичность.
Еще одно эквивалентное утверждение об эргодичности
динамической системы следует из теоремы Биркгофа — Хинчина, если в
качестве функции / (л:) £ Lx (M, \i) взять характеристическую функцию ХА
множества А £ 91. Тогда очевидно, что динамическая система |ф'}
эргодическая тогда и только тогда, когда относительная доля времени
пребывания точек орбиты (ф'л; : t £ [0, 71} в множестве А
асимптотически равна мере \i (А) множества А для почти всех начальных точек
х £ М. Это можно записать в следующей форме:
lim Т(7У' х) =р(А)9 (1.6)
Т-+оо
где т(Г; А, х) = mes {t:t£[0, Т], <р'х£А}.
8

Пример. Рассмотрим распределение первых цифр чисел 2", п £ N. Первая цифра
числа 2п, очевидно, равна &, если
k • 10Г<2"<(£ + 1) 10г, (1.7)
где г £ N. Обозначив {s} дробную часть числа s £ IR1, из (1.7) имеем
log £< {лес} <\og(k + 1), (1.8>
где со = log 2. Рассмотрим теперь динамическую систему {q/} на одномерном торе
Т1 ш §>*-, где ф' действует на {х} £ Г1, х £ IR1, следующим образом: ф* {х} = {х+ Ш}.
В силу иррациональности числа о орбита {ф х : t £ IR1} для любой точки х £ Т1
плотна на торе Г1, что эквивалентно эргодичности динамической системы {ф*} на Г1. По
теореме Биркгофа — Хинчина для множества Л = [log &, log (k + 1)] из (1,6) находим
t (Т; Л, 0) , , / 1 \
lim ' =ii(A) = \og 1+— , (1.9)
7-voo / \ k J
где |л — мера Лебега на IR1. Формула (1.9), как легко показать, определяет среднюю
частоту тех элементов последовательности {2", п £ 2_i_), первая цифра которых
равна k. Из (1.9), например, следует, что доля единиц как первых цифр
последовательности {2"} намного больше доли девяток.
1.5. Теорема Биркгофа — Хинчит для дискретных динамически*
систем. Выше мы встретились с примером дискретной динамической
системы, т. е. динамической системы на М, действующей итерациями
упх = ф (фп-1л:), х £ Mt п £ %> причем ф : М -> М — автоморфизм М>
сохраняющий меру любого множества А £ ЭД. Для дискретных
динамических систем также справедлива теорема типа Биркгофа —
Хинчина, причем среднее / (х) для любого х £ М, / £ Lx (М, \i) имеет вид
Щ = Нт -L "2 / (Ф'*) = lim -i- "2 / (ф"'*) =
= lim жтт ^ /fo'*)- (i.io)
П-+оо *" Г » }=—П
Функция J (х) ^ L1(Mt \i) и удовлетворяет равенству \] (х) \idx =
м
— j / (*) М- (dx)9 ведущему в случае эргодичности динамической системы
м
{уп} к совпадению временного среднего / (х) с пространственным
средним для почти всех х £ М.
Другое эквивалентное утверждение об эргодичности дискретной
динамической системы (ф"} таково: средняя частота попадания точек
орбиты \ц)пх : п С- Z) (с произвольной начальной точкой х £ М) в
фиксированное множество А £ ЭД при п ->■ оо равна мере множества
Л, т. е.
1 "~^
Нт — £ Хл(ф>*) = (г(Л).
я-юо " /=0
Применяя последнее утверждение к динамической системе,
рассмотренной в п. 1.5, где ф" {л:} = {х + аш}, x £ [R1, n £ W, приходим
к тому же результату.

1.6. Скобка Пуассона. При наложении на динамическую систему
дополнительных естественных ограничений можно получить
динамическую систему со многими дополнительными свойствами, важными
для приложений. Одним из таких ограничений является гамилыпо-
новость динамической системы.
Пусть М — гладкое многообразие четной размерности 2п =
= dim М < оо, Л (М) = © Л<р) (М) — алгебра Грассмана диффе-
ренциальных форм на М [1, 73]. Симплектической структурой на М
называется замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма
о £ А(2) (М). Пара (М, со) называется симплектическим
многообразием, а сама 2-форма со £ Л<2> (М) — симплектической. Пусть
векторное поле X £ Т (М) на многообразии М таково, что 1-форма ix со £
£ Л<и (УМ) (/х — внутреннее дифференцирование алгебры Л (М))
замкнута на М. Тогда векторное поле X называют квазигамильтоно-
вым. Если же 1-форма /*со £ Л<1> (М) точна и функция Я £ jZ) (M)
такова, что /*со = —я?Я, то векторное поле Хн = X называется га-
мильтоновым, а функция Я — гамильтонианом.
Пусть функции F, G(i 0 (М), а векторные поля XF, X<? £ gT (M)
определяются формулами /л>со = dF> /xGco = dG. Скобка Пуассона
{F9 G}(o функций F, G определяется так:
{F, GU = — (o(XF, XQ). (1.11)
Рассмотрим на многообразии М поток {ф'}, порожденный
векторным полем Хн- Так как
-тг со (ф'л:) = d(ix со) (ф'л:) = 0 для любой точки х£ М,
то \i (dx) = со" (л:) — инвариантная мера. Если F £ 0 (М), то
изменение функции F вдоль траектории динамической системы {ф*} в силу
(1.11) можно записать в виде
■%- = {H,FU. (1.12)
Если {Я, F}i0 = О, то функция F называется первым интегралом, или
инвариантом гамильтоновой динамической системы Хн- Очевидно,
Н £ 0 (М) — инвариант.
Важным свойством введенной выше скобки Пуассона (1.11)
является ее замкнутость относительно операции {•, . }ш. А именно: для
любых трех функций F> G, Н £ 0 (М) справедливо тождество Якоби
{Л {G, #Wa> + {G, {Я, /Ча>}со + {Я, [F, G}fflU = 0, (1.13)
причем {F, G}© = — {G, Т7}©. Это означает, что множество jZ) (M) над
полем [R1 образует алгебру Ли относительно операции {•, -}й).
1.7. Теорема Лиувилля. Метод Гамильтона — Якоби. Рассмотрим
более детально гамильтонову динамическую систему Хн на симплек-
тическом многообразии (М, со), допускающую первые интегралы.
Будем говорить, что функции F, G £ 0 (М) находятся в инволюции,
если {/\ G}© = 0 на М. Лиувиллем доказана теорема, гарантирующая
эргодичность гамильтоновой системы Хн-
10

Теорема Лиувилля. Пусть на симплектическом 2п-мерном
многообразии М задана система п функций Р = {Pj £ 0 (М), j = 1, 2, ...
..., п), находящихся в инволюции, т. е. {Р), Рк}а = О, /, /г = 1,2, ...
..., п. Рассмотрим множество уровня системы функций из Р Мр =
= {х £ М : Pj (х) = pjy j = 1, 2, ..., п). Предположим, что на Мр
функции Pj, j = 1, 2, ..., п, являются независимыми, т. е. \-формы
dPjt / = 1,2, ..., п, линейно независимы в каждой точке х £ Мр.
Тогда:
1) Мр — гладкое многообразие, инвариантное относительно потока
Xtf с функцией Гамильтона Н = Рг\
2) если многообразие Мр компактно и связно, то оно диффеоморфно
п-мерному тору Тп\
3) фазовый поток Хн с функцией Гамильтона Н определяет на Мр
условно периодическое движение;
4) канонические уравнения поля Хн с функцией Гамильтона Н
интегрируются в квадратурах.
На доказательстве этой теоремы останавливаться не будем,
поскольку оно является классическим и приведено во многих работах [1, 73,
145, 319]. Нас далее в основном будет интересовать только
практический вывод теоремы об интегрируемости исходной динамической
системы в квадратурах.
Инволютивная система Q = {Qf £ 0 (М), j = 1, 2, ..., п)
функционально независимых функций на М называется канонически
сопряженной к исходной инволютивной системе Р = {Pj £ 0 (М),
/ = 1, 2, ..., /г}, если [Pj, Qk\(0 = bjk, j, /г = 1,2, ..., /г. В терминах
канонически сопряженных инволютивных систем функций на М
теорема Лиувилля утверждает, что система Q = {Qf £ 0 (М), / = 1, 2, ...
..., п\, канонически сопряженная к системе Р, строится с помощью
квадратур. Действительно, рассмотрим произвольную точку х £
£ Мр и ее координатное представление через систему функций [P/t
Sj £ 0 (М), /=1,2, ..., /г}, где выбор функций Р}, S}, j = 1, 2, ...
..., п, не имеет существенного значения. Пусть 1-форма а £ Л(1) (М)
такова, что da = со, где форма со £ Л(2' (М) симплектическая. Форма
а £ Л(1) (М) всегда существует в силу замкнутости 2-формы со и теоремы
Пуанкаре [76]. Локально в координатах [Pjt Sjy j = 1,2, ..., п) форму
а можно записать в виде
п п
а = X afdPj + 2 bjdSj,
i=\ ,-=\
где af, bj £ 0 (M), /=1,2,..., n,— некоторые функции. В силу ин-
волютивности функций Р} £ 0 (М), /=1,2,..., п, находим, что на
подмногообразии Мр cz M 2-форма со \м = 0. Тогда ограничение
1-формы а £ Л(1) (М) на подмногообразие Мр локально будет полным
дифференциалом от некоторой функции Q £ 0 (М), т. е. а \м =
= dQ. Последнее равенство ведет к следующему соотношению:
а = dQ + J I а, - Ш dP,. (1.14)
11

дО
Если ввести величины Q, =—а} + dj: g iZ) (Af), /= 1, 2, ..., я, то
форма а примет согласно (1.14) вид
а = — £ QfdP.+dQ. (1.15)
Таким образом, для формы со = da из (1.15) получаем
п
со- £ dPi /\dQh (1.16)
/--i
Вследствие невырожденности симплектической формы со £ Л(2) (М)
из (1.16) находим, что все функции Ph Q} £ jZ) (УИ), /=1,2, ..., я,
функционально независимы в совокупности, причем, очевидно, {Р/,
Qk)co = 6/л, (Q/, Qat}co = 0, /, й = 1, 2, ..., я. Последнее соотношение
означает, что система функций {Qy £ jZ) (УИ), / = 1,2, ..., я}
канонически сопряженная к системе {Р,- £ 0 (М), / = 1,2, ..., я}. Так как
исходная динамическая система |ср'} порождается гамильтонианом
Н = Р19 то в силу уравнений (1.12) имеем
dQj _ дН dPj _ дН .
Л ~ д/>/ ' Л "" dQj ' ^~lj ^' •••» Я' 11л/'
откуда Qy = 6/i/ + Q/o, Яу = р-п j = 1,2, ..., я. Таким образом, в
переменных Я/, Qy £ 0 (М), /=1,2, .... я, исходная динамическая
система полностью проинтегрирована. [>
Рассмотрим теперь более детально инвариантное многообразие Мр
в случае, когда Мр компактно. Тогда в силу теоремы Лиувилля Мр ^
^ Vх. Пусть of £ Н1 (Мр, Z)> j = U 2, ..., я,— набор циклов,
образующих базис одномерной группы гомологии Н1 (Мр, %)
многообразия Мр. Рассмотрим интегралы вида
/'==15Г^а' /= !» 2 я'
где da = со £ Л<2> (М) — исходная симплектическая структура на М.
Так как интегралы /у, / = 1, 2, ..., я, функционально независимы, то,
разрешая уравнения /у = /у (Р1У Р2, ..., Рп), /=1,2,..., я,
относительно величин Pj £ 0 (М)у /=1,2,..., я, находим, что тор Мр при
отображении Р; = Pi (Ily /2, ..., /„), / = 1, 2, ..., я, перейдет в тор
М/, соответствующий набору /у £ $ (М), / = 1,2, ..., я.
Введем следующее многозначное отображение:
Ф(/, Q) = з a, (1.18)
o(Q.Q°)
где / = (/lf /2, ..., /n); Q = (Ql9 Q2, ..., Q„); a (Q, Q°) — некоторый
лежащий на торе Mi гладкий путь с началом в точке Q° и концом в
точке Q. С помощью отображения Ф (/, Q) построим каноническое
преобразование Ф: (/, ср)-*(Р, Q), гДе Ф = (Фь Фг> •••> Ф^)> ^= (^1э Л*, •••
12

ной динамической системы (ф'}
примут согласно (1.12) вид
dt w'
откуда находим Ii = Ii(Ply P2i
..., л, где
„ дНх (/)
в переменных {/у, ф7-, /
.-., Лг)> ф/ = Ю/* + Ф°,
7=1,2 л.
.... р„),
г» дФ дФ • 1 о /1 1п\
р<- = W ф/= а77' '=1' 2> •••• "' (119)
при котором симплектическая структура со £ Л(2) (М) остается
инвариантной, т. е. Ф*со = со. Вычислим, используя соотношения (1.18)
и (1.19), вариацию функций Ф/6 $ (М), у = 1,2 /г, при изменении
точки Q £ Mi вдоль циклов оп £ Н1 ( М/, ^), /г = 1, 2, ..., /г. Имеем
(J) dcp, = -J- § d® = 2л -A. (J) а = 2л -g*- = 2л6*Л (1.20)
k4 / = 1, 2, ..., л,
т. е. величины {ф;, у = 1,2, ..., я} являются «угловыми» переменными
на торе Mi. В силу каноничности преобразования Ф уравнения исход-
" " = 1, 2, ..., п)
(1.21)
/= 1, 2, ...
Принимая во внимание формулу (1.20), из (1.21) получаем, что Q; =
= Qj (0> /=1,2, ..., л,— условно периодические функции по
переменной t £ ("R1 с набором частот (coy, / = 1,2,..., п). Построенные выше
канонические переменные //, ф,-, /= 1, 2, ..., л, называются
переменными действие — угол. В этих переменных исходная динамическая
система {ф'}, порождаемая векторным полем Хн £ ^ (М) с функцией
Гамильтона Н = Pl9 также проинтегрирована явно.
Описанная выше процедура интегрирования гамильтоновых
динамических систем при помощи канонических преобразований имеет
название метода Гамильтона — Якоби.
1.8. Симплектическая структура на подмногообразии. Рассмотрим
теперь некоторые свойства гамильтоновых динамических систем на
многообразиях с ограничениями фазового пространства на
подмногообразия. Пусть (/И, со) — симплектическое пространство с
динамической системой Хн на нем, порожденной функцией Гамильтона Н £
£ 0 (М). Пусть также на М заданы 2т < 2л = dim M функций Fj £
£ 3b (УИ), j = 1,2, ..., 2/?г, функционально независимых на
подмногообразии Mf = [х £ М : Fj (х) = 0, / = 1, 2, ..., я}, гладко
вложенном в М. Этот набор функций {Fs £ 0 (М), / = 1,2, ..., п) называют
ограничениями, или связями. Представляет интерес построение
регулярного гамильтонового формализма по подмногообразию Мр. С этой
целью рассмотрим ограничение 2-формы со £ Л(2) (М) на
подмногообразие Mf и ее свойства. Справедлива следующая лемма [61, 62, 301].
Лемма 1.1. Ограничение со/? £ Л (Mf) симплектической формы о>
на подмногообразие Mf есть невырожденная 2-форма тогда и только
13

тогда, когда матрица \ [Fh Fk}i01| в каждой точке х £ Mf
невырождена.
Доказательство. Если / = || {Fj, Fk}co || — матрица,
сингулярная в точке х £ MF> то существуют числа а;, / = 1, 2, ..., 2т,
не все равные нулю, такие, что
у 2т ч 2т
(gradFh & X4grad/0= £ ak{Fh Fk}=0 для всех (1.22)
у=1, 2, ..., 2m,
где (•, •>—скалярное произведение в [R2rt, а ££— невырожденная
кососимметрическая матрица размера 2м, задающая по формуле Хн =
= —(£ grad Я исходную гамильтонову систему. Равенство (1.22)
означает, что
2т
v = i£ £ а} grad Ff £ Гх (MF),
/=i
где 7^ (MF) — касательное к Mf пространство в точке х £ Mf.
Отсюда получаем, что для всех векторов и£ Тх (MF) величина
у 2m v
со (и, у) = <и, ^-1у> =\Uy Yiaf grad^/у = О,
т. е. форма со/? g Л(2) (М/?), вырождена на MF. Обратно, пусть для
некоторого ненулевого v£Tx(MF) со (и, v) = <u, (£~~lv> = 0 для всех и£
£TX(MF). Тогда
2т
где не все aj9 / = 1,2, ..., 2m, равны нулю. Но тогда
( 2т \ у 2т v
{F/f jg аЛ)ш = \grad F/f й JJ a, grad /^ = <grad Fh v> = 0, (1.23)
так как v£Tx(MF). Отсюда немедленно следует, что матрица /=f
= \\{Fj> ^}co|| необходимо сингулярна, если со вырождена на MF.
Форма со/? на Mf является также замкнутой, так как dcof = (d(u)F =
= 0. >
Итак, если матрица / = || {Fh Fk}a || несингулярна, то 2-форма
со/? £ Л(2) (Mf) определяет на Mf симплектическую структуру. Пусть
Хн £ Г (MF) — векторное поле на MF, порождаемое функцией
Гамильтона Н £ 0 (Mf) cz 0 (М) относительно симплектической
структуры со/? на MF. Очевидно, что в общем случае Хн Ф Хн \mf.
Справедлива лемма [142, 301, 351].
Лемма 1.2. Хн = Хн \mf тогда и только тогда, когда {//, F^ = 0
на Mf для всех / = 1,2, ..., 2т. Более того, если Н0£ 0 (М) и
2т
«/= Е (Г'Ы#о. F-kU, /= 1, 2, .... 2т,
2т
то ХЯв = Хн \мР, где Н = Я0 + S я//-
14

Доказательство. Если {#, F^ = <grad#, ^grad/7,^ = О
на Mf для всех / = 1, 2, ..., 2т, то Хн = —1£ grad H £ Г* (М/г) для
всех х^М/г, так что Хн = Хн\Мр. Обратно, если 6ХgradН = Х# =
= X//|Ai/re7,x(MF)> *£МЛ тогда {Я, F,}a= <grad//, ^grad/7,^ -
= 0, /= 1, 2, ..., 2m, для всех x£MF. Последнее утверждение
леммы следует из равенств ХНо = Хн = Хн \mf. >
Скобки Пуассона на MF для функций Ф, G £ 0 (MF) относительно
симплектической структуры cof на Mf можно вычислить, пользуясь
следующим правилом [61, 62].
Лемма 1.3. Пусть {Ф, G\uF — скобка Пуассона функций Ф, G £,
£ iZ) (Mf) относительно симплектической структуры (Of яа Mf.
Тогда
2т
{Ф, G}W/7= {Ф, G}w- X (Ф, /^(Г'Ы*7* G}w (1.24)
k,j=\
для всех точек х £ Mf, причем правая часть в формуле (1.24)
вычисляется для произвольного гладкого расширения функций Ф, G £ ^й (Mf)
до функций Ф, G £ 0 (Mf) cz jZ) (Mf), где Mf — открытая
окрестность подмногообразия Mf в М.
Доказательство. Предположим, что (Ф, Fj}u = {G, Z7^ = 0,
/= 1, 2, ..., 2m. Тогда по лемме 1.2 (Ф, G}^ = — со^Хф, XG) =
= — со(Хф, Х0)={Фу G}u). В общем случае
| '2т
{Ф, G}WF = Ф + £ (Г1)/* {Ф, ^}» /=■/, G +
I /,Л=1
2т ^ ( 2т
2m 2m
+ 2 (Г'ЫС, ^}Ш^}»={Ф. С}оз+ 2 (Г')/*{Ф. ЪЫ*7/. GU +
2m
+ 2 (Г')п{Ф, /7fU{G,-F/U +
«,/=1
2m
+ 2 (Г1)/* (Г1« {<d, ^U {о, ^}т //(=
2m
= {Л G}m- £ {Ф, F,)(rl),k{F,, GU. > (1.25)
Формула (1.25) после ограничения на подмногообразие Mf дает
(1.24) при помощи вычисления скобок Пуассона для продолженных
функций F, G £ 0 (MF) относительно исходной и, как бывает на
практике, более простой симплектической структуры cog Л(2) (М) на
полном фазовом пространстве.
Рассмотренные выше связи в динамических системах относятся к
так называемым интегрируемым, или голономным* Имеется другой,
15

широкий класс так называемых неинтегрируемых связей. Мы будем
использовать только голономные связи. По поводу теории
неинтегрируемых связей и их приложений можно обратиться к работе [105].
Важные вопросы изучения топологической структуры интегральных
многообразий конечномерных гамильтоновых систем в общем случае
рассмотрены в работах [76, 86, 148, 414, 496].
§ 2. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
2.1. Предварительные замечания. Пусть М — бесконечномерное
многообразие, которое можно во многих случаях реализовать с
помощью пространства гладких вектор-функций С(0°' ((У; (Rn) на
замкнутом множестве U cz fRm, где /г, т — некоторые натуральные числа.
Как и в конечномерном случае, динамической системой на М будем
называть однопараметрическую группу {<pr}, t £ [R1, автоморфизмов
пространства М с инвариантной мерой (х на а-алгебре ЭД измеримых
подмножеств многообразия М.
Часть общих результатов § 1 этой главы, относящихся к
динамическим системам на конечномерных фазовых пространствах,
справедлива также в бесконечномерном случае, включая теорему Пуанкаре
о рекуррентности. Но теория эргодичности бесконечномерных
динамических систем в настоящее время еще не завершена, как и теория
вполне интегрируемых гамильтоновых систем на бесконечномерном
фазовом пространстве.
Локально бесконечномерную динамическую систему будем
записывать в виде уравнений в частных производных
1гг = *[и]. (2.1)
где и £ М, К [и] — локальный функционал на УИ, гладкий по Фреше
[4] и принимающий свои значения в касательном пространстве Т (М).
В достаточно общем виде функционал К [и] можно представить в виде
k(u„ н(1), ..., и{р))> где k — гладкое отображение пространства джетов
V№)(£/;|R«)[2,32]b(R».
2.2. Имплектические операторы динамические системы.
Построение гамильтонова формализма для бесконечномерных динамических
систем существенно затруднено при определении симплектической
структуры со на кокасательном к М расслоении 71* (М), а также при
введении векторных полей, задающих поток (2.1). Сложен также
вопрос построения соответствующей потоку (2.1) инвариантной меры \л.
В дальнейшем при построении бесконечномерных гамильтоновых
динамических систем будем пользоваться двойственным к симплектиче-
«скому, но аналитически более удобным языком скобок Пуассона.
Рассмотрим билинейную форму
(а, Ь) = j <а, by dx, (2.2)
еде а, Ъ € С(00) {U\ [R"). Оператор <£ : С(00) (U\ fRn) -* См (U; ("R")
называется кососимметрическим относительно билинейной формы (2.2),
16

если для всех а, Ъ £ С(оо) ((/; [R") выполнено равенство
(а, <£Ь) = — ((£а, Ъ). (2.3)
Пусть jZ) (M) — пространство гладких по Фреше функционалов на
М. Определим для любого F £ 0 (М) оператор grad : j?) (М) -> С(00) (U;
fRn), действующий по формуле grad F = -у-э где ЫЬи —
вариационная производная Эйлера. Если Ft G £ 0 (М)9 то их скобкой Пуассона
называется функционал {F9 G)g £ 0 (М)9 определяемый по формула
[F9 G}<? = (gradF9 ^gradG). (2.4)
Очевидно, что в силу (2.3) справедливы тождества для всех F9 G, Н £
£0(М)
{Л G)<? = - [G, F}<?9 [F9 GH\S = G {F9 H)? + H [F, G}^ (2.5)
Если введенный выше оператор с£ дополнительно удовлетворяет
тождеству Якоби
[F9 {G, //}*}*+{G, [Н9 F)^+[H. [F9 G]<?}<? = О (2.6)
для всех Ft G, Н £ 0 (М), то он называется имплектическим, или
обратно симплектическим. Если к тому же существует обратный
оператор (£-~19 то оператор {£ называют косимплектическим, а (£-{ —
симплектическим. Ряд важных алгебраических свойств скобок Пуассона
и их приложений рассматривается в работах [246, 356, 465]. Отметим,
что условие (2.6) необходимо в каждом конкретном случае проверять
отдельно, так как оператор {£ в общем виде является операторнознач-
ным функционалом на многообразии М. Очевидно, если оператор ££
как функционал на М постоянен, то он необходимо имплектичен.
Построим теперь уравнения эволюции произвольного функционала
F £ 0 (М) в силу исходной динамической системы (2.1). Имеем
^=\H,F\2, (2.7)
где Н £ 0 (М) — функция Гамильтона, задающая систему (2.1) по
формуле
-^=_^grad//, (2.8)
т. е. К [и] = — И grad Я.
Пусть имплектический оператор ££ порождает по формуле (2.8)
динамическую систему (2.1). Назовем оператор £ нетеровым, если он
кососимметричен и удовлетворяет равенству
<£ • К — СХ - /С* — К' - (£ = 0, (2.9)
где звездочка обозначает обычное сопряжение. Здесь для любого
локального функционала Ф [и] на М со значениями в линейном
пространстве Е выражение Ф' обозначает производную Фреше и вычисляется
так [204]:
Ф''у = -^Ф[^1е=о> (2Л0)
= v£Tu(M); eglR1.
где ие£М; -^
е=0
2 6-1669 J7

В случае линейного пространства М из (2.10) получаем
где v £ Ти (М), и £ М. В силу (2.10) производная Фреше Ф' [и] — это
линейный оператор на касательном пространстве Ти (М) со
значениями в линейном пространстве Е. Используя введенные выше
обозначения, сформулируем следующую лемму [356, 472].
Лемма 2.1. Пусть <£ : С(0°> (U\ fRn) -> Q°°> (U; [Rn) —кососим-
метрический оператор.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) И является имплектическим;
2) (£ является нетеровым для системы (2.8);
3) для любых F, G £ 0 (М) справедливо тождество
({£ grad FY • ({£ grad G) — (<£ grad G)' (<£ grad F) =
= ^(gradF, ^gradG)'*.l. (2.12)
Доказательство. Пусть a, b £ C(00) ((/; (Rn). Тогда прямым
вычислением находим, что в силу (2.8) справедливо тождество
(Ь, ({£' - К — (£ • К'* — К'£)а) = (Ь, {<£' . й grad Яа) +
+ (grad Я, ({£' - #а) fr) + (а, (£' - Щ grad Я) —
— (&, <£ (grad' Я — grad'* Я) £а), (2.13)
следующее из кососимметричности оператора ££ и определения
сопряженного оператора /С'*:
(а, К'Ь) = {К'*а, Ь). (2.14)
Так как (grad Я)' = (grad Я)'*, то из (2.13) следует, что оператор ££
нетеров, поскольку условие (2.9) необходимо и достаточно для
существования закона сохранения Я £ jZ) (М), порождающего уравнение (2.8).
Так как Я £ j# (7W) — закон сохранения для (2.8), то grad Я
удовлетворяет уравнению
J- grad H +K'* grad Я = 0, (2.15)
или в силу (2.1) уравнению
(grad НУ -К + К'* • grad Я = 0. (2.16)
Используя (2.16), замечаем, что (2.9) превращается в тождество, т. е.
оператор ££ нетеров. Обратное утверждение, т. е. импликацию 2 => 1,
получим из условий (2.9), (2.6) и (2.13), полагая а = grad F, b =
= grad G, F\ G £ iZ) (M). Эквивалентность условий 1 и 3 получим
после выполнения дифференцирования по Фреше в формуле (2.12). >
Из тождества (2.13) также получаем как простое следствие, что
локальный функционал а на М имеет представление а = —grad F,
где F £ 0 (М) — закон сохранения динамической системы (2.1), тогда
и только тогда, когда оператор £6 нетеров и а удовлетворяет уравне-
18

нию
at
Пусть оператор JUL : С(0°> (U; fRn) ->- C(0°> ((/; fRn) имплектичен и
нетеров. Динамическую систему (2.1) будем называть бигамильтоно-
вой, если существует такая функция Н £ jZ) (M), что справедливы
равенства
,|L = #[„] = — ^grad// = — /«gradtf. (2.17)
Ла/?# операторов ((£, М) называют согласованной, если сумма & + М
будет также имплектическим оператором.
Пусть a, b,c£ C(00) (£/; [R"). Вводя скобку
| а, &, с | = (&, (#' - Ла) с) + (Ь9 (М* - <£а) с), (2.18)
устанавливаем следующее простое утверждение [472].
Лемма 2.2. Пара имплектических операторов (££, М) согласована
тогда и только тогда, когда скобка (2.18) удовлетворяет тождеству
Якоб и.
Немедленным следствием леммы 2.2 является имплектичность
оператора ££ + hM для всех % £ [R1.
Пусть оператор Л = {£~ХМ, который существует, если ££ — ко-
симплектичен, порождает следующую иерархию динамических систем
на М:
-f- = Кп М = -(£ (A») grad Я, (2.19)
где п = О, 1,2, ... Так как согласно (2.17) функционал Н £ jS (M)
является законом сохранения динамической системы (2.1), то из (2.15)
и (2.17) следует, что оператор Л удовлетворяет уравнению
-§£-=Л'./(=[Л, К'\ (2.20)
где[-, •]—обычный операторный коммутатор.
Оператор А, удовлетворяющий для заданной динамической
системы (2.1) условию (2.20), называется рекурсионным. Если оператор Л
является рекурсионным и для законов сохранения иерархии
динамических систем (2.19), то оператор Л называют наследственно
рекурсионным.
Следующая теорема устанавливает условия наследственной рекур-
сионности оператора Л [356].
Теорема 2.1. Пусть оператор А = С£~ХМ наследственно рекурсион-
ный. Тогда следующие два условия эквивалентны:
1) пара операторов (t£t M) является согласованной и существует
оператор с£~х\
2) билинейный оператор [Л', Л], где Л = М(£~\ действующий по
формуле
[Л', Л] (а, Ь) = (А' -Аа)Ь — А(А'-а)Ь9 (2.21)
а, b £ С(00) (U; [R"), является симметричным.

Доказательство. Рассмотрим следующее выражение:
А = ф9 (М' • Ал) £~хс) — (Ь, (AV . Ас) И~ха) —
— (Ь9 A {JUL' • а) УГхс) + (Ь, А (М' • с) UTxa) —
— (Ь9 Л ((£' • Аа) £~хс) + (Ь9 А {{£' . ~Ас) {£~ха) +
+ (&, Л - Л ((£' • а) <£-1с) — ф9 Л • Л ({£' . с) ^_1а), (2.22)
где а, Ь, с £ С(со) (£/; [R"). Легко проверить, что
Л = (&, [Л', Л] (а, с))-ф9 [А'9А](с, а)). (2.23)
Сравнивая выражение (2.22) с (2.18), можно заметить, что
А = \а9 Ь9 с\ + \Ь> с9 а\ + \с9 а9 Ъ\9 (2.24)
где а = <£-la, c = <£~lc, b = A*b. Учитывая (2.23), (2.24) и
согласованность пары операторов (££, М)9 из леммы 2.2 заключаем, что
условия 1 и 2 эквивалентны. >
Прямым следствием теоремы 2.1 является теорема.
Теорема 2.2. Пусть пара косимплектических операторов (££, М)
согласована. Тогда все операторы СХ (££~1М)п = с£Ап9 п = 0, 1, 2, ...,
косимплектические.
Доказательство. Так как оператор Хс£ + М снова имплек-
тический, то оператор QJ£ + М)~х при X ->- 0 будет симплектическим.
Разлагая (££А, + yW)-1 в ряд по X при X ->- 0, получаем, что все
операторы^-1 (££Л^-1)'\ /г = 0, 1, 2, ..., симплектические, а их обратные
косимплектические. t>
Таким образом, динамическая бигамильтонова система (2.1),
допускающая наследственно рекурсионный оператор Л, факторизующийся
двумя имплектическими операторами i£ и Л19 обладает заведомо
бесконечной серией нетривиальных законов сохранения Я/ £ 0 (М),
/ € Z+> вычислить которые можно, применяя такое рекурсионное
свойство:
grad Яж = Л grad Hh (2.25)
начиная с Я0 £ 0 (М), согласно (2.17).
2.3. Свойства симметрии и рекурсионные операторы. Рассмотрим
теперь двойственное (2.1) свойство симметрии. Будем говорить, что
локальный функционал а на М со значениями в пространстве Т (М)
образует симметрию динамической системы (2.1), если он
удовлетворяет соотношению
а' -К — К' • сх = 0. (2.26)
Если система (2.1) бигамильтонова, то в силу (2.17) легко заметить,
что оператор Л, введенный в теореме 2.1, имеет свойство симметрии-
ной рекурсионности
Ла = р, (2.27)
где функционал (3 тоже образует симметрию динамической системы
(2.1). Из (2.26) легко получаем, что оператор Л удовлетворяет уравне-
20

нию
Ал = Л'./С = [К', Л]. (2.28)
Из (2.25) также немедленно следует, что в случае существования
наследственно рекурсионного оператора А каждой симметрии ajt j £ ^+,
динамической системы (2.1) соответствует закон сохранения Я;- £ 0 (М),
для которого справедливо равенство <х;- = —^ grad Hh j £ Z+. Тем
самым согласно (2.19) все симметрии а,-, / £ ^+, имеют для
рассмотренного случая каноническое представление: ау = —^ (Л') grad Я0, / £ Z+-
Заметим только, что динамическая система (2.1) может иметь в общем
случае несколько бесконечных упорядоченных иерархий симметрии
af\ / G Z+, k = 1, 2, ..., Af, 2?+ Э Af < оо, никак не связанных
между собой, но имеющих общий рекурсионныи оператор Л, действующий
по правилу
Л-<*<*> = а$р k=l9 2, ..., Af, /eZ+-
Некоторые свойства теории симметрийно рекурсионных
операторов, а также вопросы исследования групп симметрии динамических
систем на М рассмотрены в работах [87, 134, 150, 154, 356]. Ряд
применений их к прикладным задачам имеется в работах [344, 345, 352,
354, 523, 579].
Введенные выше рекурсионные операторы Л и Л могут допускать
для некоторых динамических систем строение, существенно отличное
от рассмотренного. Рассмотрим предварительно условие нетеровости
(2.9) для имплектического оператора ££ в следующей обобщенной
форме:
t£/ .T_T'.^_^T'* = 0, (2.29)
где т 6 Т (М х IR"), М = if (ПГ; R"), /л, п £ £+, — бесконечномерное
многообразие Шварца. Предположим, что выражения
(grad Hf\ т) = Hf\ j 6 Z+, k = 1, 2, ... , N, (2.30)
являются законами сохранения для динамической системы (2.1) при
условии, что
Hf^0(M)f /6Z+, k=\, 2, .... N9
тоже законы сохранения для (2.1). Тогда легко проверить, что
выражения
[af\ х] = (af)' • т — т' • af = af (2.31)
для всех /£ 2+» k = 1, 2, ..., Af, симметричны для динамической
системы (2.1) и выполнены равенства
af) = -^gradHf\ (2.32)
Пусть ts, s £ ^,— решения уравнения (2.29) со следующим
свойством:
[а<*>, tj= qfafls для всех qf 6 IR1, / £ Z+> * = 1, 2, ..., N. (2.33)
21

Тогда в силу (2.29) множество {ts:s£Z} обРазУет алгебру Ли токов
[*» *р] = 2 <&п, (2.34)
где с" £IR\ 5, р, п ££. в СИЛУ (2.32) и (2.33) для законов сохра-
sp
нения Н{Р£0(М), /6 2+» 6=1, 2, ..., #, имеем аналогичные
соотношения
(gradHt\xs) = qfHfls. (2.35)
Будем считать для удобства, что q(}] = 1, qf} = / + 1 для всех /£
£ ^+. Определим теперь следующие рекурсионные операторы:
Л • grad Hf = grad H% = grad (grad Hf\ хг), {2 щ
Л • af = [a<*\ tj = а^ для всех / £ Z-ь * = 1, 2, . . ., ЛЛ
Из свойств (2.33) и (2.34) следует, что все законы сохранения fjf* 6
£ iS (7W), / 6 Z+> & = 1, 2, ..., W, находятся в инволюции
относительно скобки Пуассона {-, -}^, т. е. {//<*>, Я^}^ = 0 для всех /, п £
£ z£+, & = 1, 2, ..., п. Если в силу (2.36) определить оператор М =
= ^ • Л, то он будет имплектическим и нетеровым. Тем самым на
многообразии М определена вторая симплектическая структура {•, • }^,
относительно которой динамическая система (2.1) является также га-
мильтоновой, причем скобка {.,.}^ нерегулярна.
Пример. Рассмотрим динамическую систему Кадомцева — Петвиашвили [523]
щ = К [и] = 6иих — иххх — За2д-1иуу, (2.37)
где и £ М = 3 (IR2; IR1), a £ К1. Билинейная форма (•, •) на М имеет вид
(/, g) = £ j f (*. У) g (*, У) dxdy для /, g£T(M). (2.38)
R2
Пусть 2 = д — имплектический и нетеров оператор для динамической системы
(2.37). В силу (2.29) и равенств (2.35) находим следующие выражения для функций
S£T (M X К2), s= —2, 1, 0, 1:
т_2 = 1, т_! = уих, т0 = 2уиу + .ш* + 2".
Tl = г//С [и] — 2а2л^ — 4a2<r~1w1/, (2.39)
для которых справедливы соотношения
[Tlf *_2] = 6т_р [xlf т_!] = — 2а2т0, [т_р т_2] = О,
[Tj;, т0] = Tif [т0, т_х] = т_1, [т0, т_2] = 2т_2.
(2.40)
Следствием соотношений (2.40) являются формулы для симметрии
a.j£Tu(M), /£Z + , [ay, T0] = (/+l)a/f
[а/. т_1]=-а2/(/+1)а/_1, (2.41)
[a/, *_21 = - 2a2 (/ ~ О / (/ + *) a/-2>
[a/, xj = a/+1.
22

Аналогичные соотношения справедливы для законов сохранения Hj £ & (М), / £ Z .
причем
Я° = "4о2" J J "2 (*' ^ dxdy' a° = ~" ~2^~ "*' (2,42)
К2
В силу определения (2.36) для grad Hj и а/ £ Tw (М), / £ Z_i_, имеем формулы
а/ = (Лу'а0, grad ЯУ = (ЛУ grad Я0. (2.43)
Законы сохранения Я/ £ ^ (М), / £ Z,, согласно выражениям (2.43) и формулам
1
Я/ = ^ (grad Я/ [иА,], w) <& (2.44)
о
вычисляются в явном виде алгоритмическим путем. Для всех законов сохранения Я/ £
£ ^ (М), / £ 2^., и симметрии а/ £ Г (М), / £ Z4-' справедливы соотношения
а,- = — 5" grad Я/, (2.45)
где в силу (2.44) и (2.35) для Я/ £ ^ (М), / £ Z+, имеем
1 j ^ grad Я/+2^л:^1/. (2.46)
Hj ' 2а« (/+!)(/+ 2) (/ + 3)"
Все законы сохранения (2.46) находятся в инволюции, т. е. {Я/, Нь)д? = О
для всех/, k£ Z_i_, и тем самым динамическая система (2.37) вполне интегрируема
по Лиувиллю. Последнее обстоятельство известно в силу существования
представления типа Лакса [194].
2.4. Преобразование Бэклунда. Рассмотрим теперь важное
свойство эквивалентности двух заданных динамических систем с точки зрения
их инвариантно симметрийных свойств, рассмотренных выше. Пусть
заданы две бесконечномерные динамические системы на Мх и М2
соответственно:
-§- = *[«!. ^ = GM, (2.47)
где и £ Ми v £ М2. Функцию В : Мг х М2 -> Q, где Q — некоторое
бесконечномерное линейное пространство, будем называть
допустимой, если для пар (и, v) £ Мг х М2, удовлетворяющих уравнению
В (и, v) = О, линейные отображения Ви : Ти (Мг) -> Q и Bv :
: Гу (М2) ->- Q являются обратимыми. В этом случае допустимая
функция В : М1 х М2 ->- Q называется преобразованием Бэклунда для
двух уравнений (2.47), если для всех / £ [R1 соотношение В (и (/),
у (0) = 0 следует из начального условия В (и (0), v (0)) = 0.
С целью изучения свойств преобразования Бэклунда двух систем
(2.47) введем оператор .# : Ти (Мг) ->- Tv (M2) по следующей формуле:
Л = В~х • В'и, В (и, v) = 0. (2.48)
Пусть оператор ^:Cioo)(U; R")-> Cioo)(U; IRn) снова имплектичен.
Отождествляя касательные пространства Ти (Мг) и Т0 (М2), (и, v) £
£ Мх х М2, с пространством функций С(00) (£/; IR"), с помощью опера-
23

тора (2.48) построим следующее выражение:
i = Я • {£ • Я*. (2.49)
Справедлива теорема [356].
Теорема 2.3. Оператор (£, определенный формулой (2.49), имплекти-
чен тогда и только тогда, когда имплектичен оператор (£.
Доказательство. Свойство кососимметричности оператора
& следует из кососимметричности оператора с£, поскольку отображение
(2.49) эго свойство, очевидно, сохраняет.
Проверим выполнение тождества Якоби для оператора Й. Имеем
{a, ^grad (Ь, (£с)) + (цикл) = (a, (&v . &с) Ь) + (цикл) =
= (а, Я'0.(£'с)(£ЯЬ) + (а% Я<£ {Я\ • <2с) Ъ) + '
+ (а, Я (i£'0 . Uc) Я*Ь) + (цикл) = (а, (£'и . <&) Ь) + (цикл) =
= (а, й grad (t, £с)) + (цикл) = 0, (2.50)
где а, Ь% c£Cioo)(U; R"), а = Я*а, Ь = Я*ЬУ с= Я*с.
При получении соотношений (2.50) мы воспользовались следующими
несложно доказываемыми тождествами:
(Я'0 • а) Ь = (Я'0 • ЯЬ) Я'ха, ((Я" . а) Ь% с) = ((Я" . йс) 6, ^~1а) =
= (Ъ% (Я* • Лс) . Я~1а) = (Ь, (Я'„ • а) с), (2.51)
#;. а = —й;.Л"1а,
справедливыми для всех а, Ь% с £ С(оо) (£/; fRn). >
Имеет место следующая теорема [342, 343].
Теорема 2.4. Если заданы две динамические системы (2.47) и
допустимое преобразование Бэклунда В (и, v), (и, v) £ Мх х М2, то формула
(2.49) определяет нетеров оператор СЛ тогда и только тогда, когда
оператор {£ нетеров.
А.
Доказательство. Покажем, что ££ нетеров. С этой целью
вычислим следующие величины:
G [ы] = — Я • К [и], Kv = —K'u- £~l- (2.52)
Из (2.52) находим, что
(Gv •a) = — (3}u.a)K + &(K'a- &~1а) (2.53)
для всех а € С*00' (U; [R"). Используя (2.53) и (2.51), проверим
выполнение следующего тождества:
(k'v -G)a — Щ}'*а — G'Jta =
= (.ft . G)^*a + Л(^; . G)3Z*a+J}£(ft» -G)a +
24

+ к [(#;. а) кг - к (Лкил~]г а +
+ (Ж • ка) Ка - MjT'ka = Л [{(£'и . К) - (£Ки - К'Л\ Ла (2.54)
для всех а £ С(00) ((У; [R"). Так как оператор ^ : С<во) ((У; [R") -+~
-> С(00) (£У; [R") нетеров, из (2.14) получаем, что выражение (2.54)
тождественно равно нулю. Это эквивалентно нетеровости оператора
к (2.49). >
Теоремы 2.3 и 2.4 имеют важное значение для решения сложной
задачи описания всех эквивалентных между собой бесконечномерных
динамических систем. В силу равенства
Л = к~хМ = #*"1Л#*, (2.55)
где Л — рекурсионный оператор для второй динамической системы в
(2.47), преобразованной по формуле В (и, v) = О, (и, v) £ Мх х М2~
Считая по определению формулу (2.55) законом преобразования рекур-
сионных операторов пары динамических систем (2.47), не являющихся
обязательно гамильтоновыми, с помощью оператора Л можно описать
всю иерархию законов сохранения Я7- £ 0 (М2), j £ Z+,
преобразованной динамической системы. Аналогично, вводя симметрийно
рекурсионный оператор
А = МЛ~\ (2.56)
получаем, что оператор Л порождает всю иерархию симметрии
преобразованной по Бэклунду второй динамической системы в (2.55).
2.5. Свойства множества решений одной бесконечной
последовательности динамических систем. Перейдем к исследованию понятия
интегрируемости бесконечномерной динамической системы Гамильтона,
обладающей бесконечной иерархией нетривиальных функционально
независимых законов сохранения. Так как критерии интегрируемости
по Лиувиллю для конечномерных динамических систем не подходят
для бесконечномерного случая, вопрос о полной интегрируемости по
Лиувиллю для общей бесконечномерной гамильтоновой системы в
настоящее время остается открытым. Можно лишь утверждать
необходимость условий конечномерной теоремы Ли у вилл я об
интегрируемости в бесконечномерном случае. Проблема их полноты, а также
достаточности условий интегрируемости решена только для ряда конкретных
примеров.
Рассмотрим динамическую систему (2.1), которая допускает га-
мил ьтонову форму (2.8) с имплектическим оператором (£ : С(°°> ((У;
(ря) _> С(00) ((У; fR1) и функцией Гамильтона Н £ 0 (М).
Предположим, что динамическая система (2.8) также обладает бесконечной
иерархией гладких законов сохранения Hf £ 0 (7W), / £ 2+>
функционально независимых и находящихся в инволюции, т. е.
[Hh Hk}<?=0 (2.5/)
25

для всех /, k £ 2+> причем Я2 = Н. Учитывая (2.57), определяем
следующую бесконечную последовательность динамических систем:
utf = —t£gradHh /У€0?\ /GZ+, (2.58)
для которых все функционалы Hj £ jZ) (М), j £ ^+, очевидно, также
являются законами сохранения.
Пусть S, (t) : М -> М — оператор решения задачи Коши для
динамических систем (2.58) на М, т. е. для любого и0 £ М
Sj(tj)u0 = u(tj) (2.50
есть решение (2.58) с начальным значением и (0) = и0 для всех / £ Z+-
Будем считать, что задача Коши для всех уравнений (2.58) на М
является корректно поставленной, т. е. операторы S;- (tj), /GZ+» являются
непрерывными на М для всех значений параметров tj £ [R1, / £ ^_|_.
В силу (2.57) справедливо тождество
S/(//)-S*(^) = S^(^).S/(//) (2.60)
для всех /, й £ S+, т. е. все операторы S; (tj), j £ Z+» коммутируют
между собой.
Пусть функционал HN+\ £ <t> (M) принимает значение Я^-и =
= h,N+\ £ fR1 такое, что оно минимально при условии фиксированнос-
ти значений функционалов Н} = hj £ fR1, / = 0, 1, ..., N. Тогда, •
очевидно, в силу минимальности справедливо равенство
grad#*+i = £ ckgradHk, (2.61)
где ck £ [R1, k = 0, 1, ..., Af,— некоторые константы.
Предположим, что и0 £ M — решение уравнения (2.61). Тогда
справедлива лемма [462].
Лемма 2.3. Выражение
П S, (/у) и0 = w (f0> tl9 ..., fo-i) (2.62)
/=о
для всех параметров tf £ fR1, / = 0, 1, ..., N — 1, также является ре-
шением уравнения (2.61).
Доказательство. Рассмотрим функционал F = ^ ckHk —
£=0
— Hn+\, являющийся, очевидно, законом сохранения для всех
потоков (2.58). Так как критические точки законов сохранения образуют
[462] инвариантное множество, то операторы Sy (tj), j = 0, 1, ..., N —
— 1, отображают решение (2.61) в себя. >
Будем считать, что все функционалы Hj £ 0 (М), j £ Z+, имеют
следующее каноническое представление:
#/=$#/Mdvf (2.63)
и
где Jff : ^(/_l) (U\ fR1) ->- [R\ / £ 2?+,— гладкие отображения; v —
мера Лебега на множестве (У; и £ М. Таким образом, уравнение (2.61)
26

является обыкновенным дифференциальным уравнением порядка 2N,
решение которого единственным образом определяется данными Коши
{и (л:0), и{1) (х0), ..., ui2N~l) (x0)}t где u(k) (х0) — производная в точке
*о € U функции и (х) порядка k.
Для удобства обозначим Af-параметрическое множество функций
(2.62) через S. Его удобно рассматривать как множество, погруженное
посредством данных Коши в пространство [R2yv. Будем дополнительно
считать, что функционалы Hf £ 0 (M), j £ 2+> таковы, что множество
S ограничено в [R2yv, т. е. что операторы Sf (t0), j = О, 1, ..., N — 1,
ограничены на М.
Если значения Hf = hf £ [R1, / = 0, 1, ..., N, таковы, что величины
grad-Яу, / = 0, 1, ..., N, линейно независимы, то справедлива теорема
[462].
Теорема 2.5. Множество S является N-мерным иммерсированным
многообразием [52, 191] в [R2yv.
Доказательство. Пусть и = и (t0, tlt ..., £v-i) —
произвольная точка из S. Как показано в лемме 2.3, //у [и] = Hf [и0] = hj
для всех / £ Z+. Это значит, что все векторные поля — ££ grad Hjt
= 0, 1, ..., N, линейно независимы на М (] S. В силу (2.60) имеем
N-1
и (t0 + e0, tL + e1% ..., tN-x + en-\) = П S/ (e/) a, (2.64)
/=о
где еу £ [R1, / = 0, 1, ..., Af — 1,— достаточно малые действительные
числа. Вследствие линейной независимости векторных полей
— ££grad Яу, / = 0, 1, ..., Л^, на М П S множество точек вида (2.64)
образует открытое подмножество гладко погруженного в fR2/V TV-мер-
ного многообразия.
Заметим, что касательное пространство Ти (S) в точке и £ S
порождается векторными полями —£6 grad Hh j = 0, 1, ..., N. В силу
непрерывности функционалов //у £ jS (М), / £ 2-ь выполняется
равенство_#у [и] = Н} [и0] не только для всех точек и £ S, но и для
точек и £ S, где S — замыкание множества S. Таким образом, в силу
теоремы 2.5 для всех точек и £ S множество точек вида (2.64) образует
открытое Af-мерное многообразие, гладко погруженное в [R2A/.
Изучим теперь соотношения (2.47) в случае функционалов Н} £
£ 0 (М), / £ Z+, определенных на многообразии М, состоящем из
гладких периодических функций и : [R1 ->- [R1 периода / <С оо. Тогда
легко показать, что из условия (2.57) следует соотношение
(grad Hh <£ grad Hk) = -|- Г/Л (2.65)
для всех/,й £ ^_j_, где^д —некоторое гладкое периодическое
отображение пространства #>{пг) ((У; [R1) в [R\ V = [R\ га — некоторое
целое положительное число, зависящее от /, k £ Z+- Предположим, что
и £ М является решением уравнения (2.61). Домножая это уравнение
на (£ grad Hki k g Z% находим, что величины
&k = S <Л—^+1.л, л е z+. (2.66)
27

не зависят от переменной л: G FR1- Если функция и£ М зависит от
параметра t £ [R1 посредством динамической системы (2.58), то
^A_=|]C/^iL-^±bL = -(am*.V).a,-Y(a;.aft), (2.67)
Uim ^J otm ULm
/=0 m
где у = — Ytf+i + £ C/Y/, Y/ = grad Hh ak = —i£ grad Hk% m, /, й g Z+.
/=o
Так как в силу леммы 2.3 величина y равна 0 для всех tm G (R1, /n £ 2+»
из (2.67) находим, что величины cFk9 k = 0, 1, ..., N, являются
инвариантами динамических систем (2.58) на подмногообразии S cz M. В
силу функциональной независимости и явной формы (2.63) законов
сохранения Hj £ jZ) (М), / £ 2+> заключаем, что законы сохранения
^€iZ}(fR2A/), й= 1, 2, ,., TV, являются функционально независимыми
на ^2Л/.
Пусть fk £ [R1, й = 1, 2, ..., TV,— значения законов сохранения
&k [и] £ iZ) ([R2A0, й = 1, 2, ..., TV, в точке и0 £ S. Обозначим через
V cz [R2yv множество, удовлетворяющее условию х £ У, если
^ Ы (л:)] = fk9 k = 1, 2, ..., У\Л В силу функциональной независимости
функций ^ £ 0 (fR2A/)i Л = 1,2, ..., N, множество V будет УУ-мерным
гладким подмногообразием в [R2A/. Имеет место лемма [462].
Лемма 2.4. Замыкание S cz У, S инвариантно относительно
действия потоков (2.58) и компактно.
Доказательство. В силу непрерывности операторов (2.59)
S/ (tj), j G Z+, tj £ [R1, заключаем, что S инвариантно относительно
потоков (2.58). Включение S cz V следует из непрерывности законов
сохранения 3\ £ jZ) (fR2A/), k = 1, 2, ..., У\Л В силу предположенной
ранее ограниченности множества S заключаем, что S — компакт. >
Рассмотрим множество точек S (и, е), определенное формулой
S(utE) = NnSi((j)ut (2.68)
_ '=°
где и £ S; | tf \ <С е, / == 0, 1, ..., УУ — 1, е — достаточно малое
положительное число. Множество S (и, е) (2.68) является открытым
подмножеством гладко вложенного jV-мерного многообразия в [R2A/.
Справедлива лемма [462].
Лемма 2.5. Множество S (и, е) (2.68) содержит в себе окрестность
u£S.
Доказательство. Предположим противное. Тогда
найдется последовательность элементов ип £ S, n£ Z+, таких, что ип -+■ и,
ип i S (и, г). Согласно лемме 2.4 множество S (unt г) cz S. Тогда
множества S (иП9 -у е| и S |и, ~y е) не пересекаются, п £ Z+-
Действительно, если бы у них была общая точка пересечения, то из (2.68) следовало
бы, что
Nfisj(tj-t))u = un (2.69)
28

для некоторых th t), j = 0, 1, ..., N — 1, таких, что | //1 < у е,
|/-|<:-7j-e. Но равенство (2.69) эквивалентно принадлежности
элемента ап> п £ Z+f множеству S (иу е), что в силу предположения не имеет
места. Построим теперь подпоследовательность ипцъ /£ ^+, такую,
что Ип(\л-\) не принадлежит ни одному из множеств S (иП(к)> е)>
k = 0, 1, ..., /. Так как каждое множество S (ипц)9 е), / £ Z+, имеет
положительное расстояние от точки и £ S, то точки ^(/), / £ 2+»
лежат достаточно близко от точки w g S. Как и ранее, убеждаемся, что
множества S (ипи), -у е), /6 2?+> попарно не пересекаются. По
лемме 2.4 множества S [ипц)У -у е) cz S cz К, / £ z£-f- Но гладкое
многообразие V не может иметь такую сложную структуру с бесконечным
числом слоев. Таким образом, S (иу г) должно содержать в себе
окрестность элемента и £ S в S. >
По определению S каждая окрестность элемента и £ S содержит
точки из S. Таким образом, некоторые точки из S (и, е) принадлежат
N—1
S, т. е. они имеют форму П S/ (tj) u0t u0 £ S. Но вследствие коммута-
/=о
тивности операторов Sj (/,), / = 0, 1, ..., N — 1, элемент и £ S имеет
такую же форму, как и элементы из S. Это показывает, что S = S.
Таким образом справедлива теорема.
Теорема 2.6. Множество S компактно, связно, открыто-замкнутое
подмножество многообразия V; каждая тонка из S является
регулярной.
Покажем теперь, что многообразие S является jV-мерным тором TN.
С этой целью установим существование такого числа t0 £ (R+, что
многообразие S cz S (u0, t0). Действительно, так как S — компактно,
существуют такие точки и}- £ S, / = 1, 2, ..., га, что система (S (ujt e),
/ = 1,2,..., т) покрывает все многообразие S. Любая пара точек
в одной окрестности S (uJt e), / = 1,2, ..., га, может быть соединена
с помощью отображения
*П Sf(tf), |*,|<2е, / = 0, 1, .... АГ-1.
Так как каждая точка может быть соединена с базисной точкой и0£ S
с помощью цепочки из не более чем га звеньев, то получаем, что S cz
cz S (и0, t0)t где t0 = 2rae. Как следствие имеем, что должны
существовать нетривиальные числа tj £ [R1, / = 0, 1, ..., JV — 1, такие, что
NnSf(t,)=l. (2.70)
М>
Пусть набор чисел (t0t tu t2f ..., tN-\), tt £ [R1, / = 0, 1, ..., N — 1,
таков, что (2.70) имеет место. Множество всех таких наборов образует
29

модуль t в W\N над кольцом целых чисел. Так как теорема 2.5
исключает возможность выполнения соотношения (2.70) для величин \t} | <
< б при достаточно малых значениях г >> 0, если tj Ф 0, / = 0, 1, ...
..., N — 1, то немедленно получаем, что модуль / является дискретным,
т. е. представляется в виде
]= £ /г,*),.: /г,.£ 2. / = Ь 2, ..., ml,
где m^N— его размерность; со,-£ [R1, /= 1, 2, ..., га,— базис.
Согласно лемме 2.4 S можно представить в виде S zz \RN/t. Вследствие
компактности S находим, что га = N, т. е. \RN /t « TN —
TV-мерный тор. Тем самым доказана теорема.
Теорема 2.7 1462]. Отображение
Nf[ Sjitj)i (D?V)^Scz \R2N (2.71)
/=o
есть взаимно однозначное отображение тора TN « \RN/t на S. В
частности, S .^ TN—N-мерный тор, а поток, порождаемый (2.58) на \{\Nliy —
квазипериодический.
Теорема 2.7 является бесконечномерным вариантом теоремы Лиу-
вилля об интегрируемости динамических гамильтоновых систем,
обладающих бесконечной инволютивной системой функционально
независимых законов сохранения. Для ряда частных случаев построение
инвариантного тора TN удается провести достаточно эффективно в явном
виде с помощью других математических методов.

ГЛАВА 2
КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ:
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА ЛАКСА
И РЕКУРСИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА ЛАКСА
1.1. Обобщенная задача на собственные значения. Пусть задана
бесконечномерная динамическая система
ut = K\u]t (1.1)
где и £ М = С/(оо) ([R1 ; (Rn) — пространство гладких периодических
функций на (R1 с периодом (R1 Э / < <*>, Z+ Э п < оо; К : %>т ([R1;
IR") -*■ ГЯП» ^+Э^<°°»—локальный функционал на М, гладко
дифференцируемый по Фреше и принимающий свои значения в
касательном пространстве Т (М) многообразия М [187].
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L [и, X],
действующий в пространстве С{00) ([R1; (СА), являющийся локальным
функционалом на многообразии М и параметрически зависящий от числа
^£(С]. Определим следующую обобщенную задачу на собственные
значения для оператора L [и, Х\: число X принадлежит спектру о (L)
оператора L [и\ X], если решение у (х, X) £ С{00) ([R1; (С/г) уравнения
ЦиЛ1у(хЛ) = 0, *Ш\ (1.2)
ограничено, т. е. sup || у (х, X) II < оо, где || • || — норма в (С*
Предположим далее, что определенный выше спектр a (L)
подвергается в силу динамической системы (1.1) изоспекпгральной деформации,
т. е. -гт- a (L) = 0 для всех / £ [R1. Так как в общем виде спектр
a (L) — некоторый функционал на М, то в рассматриваемом случае
о (L) — инвариантный функционал на многообразии М.
Достаточным условием существования рассмотренной выше
ситуации для динамической системы (1.1) есть наличие другого зависящего
от параметра X £ V оператора А [и, X]: С(<эо) ([R1; (С*) ->■ G°°> ((R1;
являющегося тоже локальным функционалом на М при условии,
что тождественно для всех X £ (С1 выполнено следующее равенство:
-«[Л, L], (1-3)
где [•, •] — обычный операторный коммутатор. Условием
выполнения соотношения (1.3) для всех X £ (С1 является динамическая система
(1.1). Представление динамической системы (1.1) в виде (1.3)
называют [194] представлением типа Лакса.
31

1.2. Свойства спектра задачи. Изучим подробнее спектральные
свойства задачи (1.2) для динамической системы (1.1). С этой целью
считаем, что оператор L [и, X] представим в следующей канонической
форме:
ЦиЛ]=Ц-Ц7-<А[иЛ],
где Л [х, X] — матричный локальный функционал на многообразии
М. Тогда уравнение (1.2) можно переписать в виде линейного
матричного дифференциального уравнения в пространстве С(00) ([R1; (С*)
-f-^i/. (1.4)
Пусть Y (х, х0; X)— фундаментальное решение уравнения (1.4),
нормированное на единичную матрицу в точке х = х0 £ [R1, т. е. Y (х0,
*о; ^) = fl Для всех х0 £ [R1, X £ (С1. Любое решение (1.4) можно
представить, очевидно, в виде
y = Y(x, x0; Х)у0, (1.5)
где у0 £ (С* — начальное значение в точке х0 £ [R1. Рассмотрим
значение у (х, х0; X) при х = х0 ± Af/, где / — период функции и (х),
N £ 2?+. В силу периодичности матрицы jl [и, X] по переменной х
имеем
У (*о ± NU V, X) = S±A' (*0; Я) г/0, (1.6}
где S (х0; X) = Y (х0 + /, х0\ X) — так называемая матрица монодро-
мии дифференциального оператора L [и, X].
Пусть % (X) — собственное значение матрицы S (х0, X). Тогда из
<1.6) немедленно следует [68, 94, 147, 349, 486, 487, 4891, что решение
у (х, х0\ X) £ С{°°; ([R1; (С*) ограничено тогда и только тогда, когда все
собственные значения £ (X) матрицы S (*0; X) по модулю равны
единице, т. е. | £ (А,) | = 1. Покажем, что собственные значения £ (А,) не
зависят от точки х0 £ [R1. С этой целью рассмотрим дифференциальное
уравнение для матрицы S (x0i X)
-Иг-и, я о-7*
где [•, •]—обычный матричный коммутатор. Из уравнения (1.7)
получаем, что величины tr Sm (x0, X), т £ j£+, не зависят от точки х0 £
£ [R1. Это эквивалентно тому, что собственное число £ (^) матрицы
5 (*о, А,) не зависит от точки x0t т. е. -г— £ (х0) = 0.
сл:0
Пусть у (х, х0; X)—собственная функция задачи (1.4),
удовлетворяющая условию Блоха [68, 147]
*/(* + /, *0; X) = £ (А,) £ (л:, *0; А,), (1.8)
т. е. у (х, х0\ X) — собственная функция оператора монодромии S (#,
X) : S (х, X) у (х, х0; X) = £ (А,) у (х, х0; X). В предположении
аналитической зависимости матрицы Л [и, Х\ по параметру А, £ (С матричная
32

функция Y (л:, х0; X) также аналитична по X. Так как функция £ (X)
алгебраична на римановой поверхности Г бесконечного рода, то такой
же будет и функция у (х, х0\ X) по параметру X £ Г \ (оо(, где через
{оо} обозначены ее существенно особые точки на поверхности Г.
Так как спектру о (L) принадлежат те значения X £ (С1, для которых
| I (X) | = 1, то в общем виде спектр о (L) имеет зонную структуру в
комплексной плоскости (С1. Более детальные свойства спектра о (L)
требуют конкретизации вида оператора L [и, X] и определения
зависимости его от параметра X £ (С2.
1.3. Свойства производящей функции законов сохранения.
Предположим, что соотношение (1.3) — представление типа Лакса для
динамической системы (1.1). Покажем, что £ (X) как функционал на
многообразии М, зависящий от параметра X £ (С1, не зависит в силу
динамической системы (1.1) от переменной t £ [R1. Равенство (1.3)
эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:
4г~У = А~У> 4г~У = ЗГУ> О-9*
где у £ С(00) ([R1; (С*) — введенная выше блоховская собственная
функция оператора L [и, Х\. Отсюда, учитывая свойство (1.8), находим
-f-£(*) +У-^-= £(*)% (1.10)
откуда в силу (1.9) получаем
4-£(*) = °. (1.Ц)
т. е. функционал £ (X) £ 0 (M) — производящая функция законов
сохранения динамической системы (1.1). Для вычисления законов
сохранения удобно воспользоваться уравнением (1.4). С этой целью
введем функцию о (ху X) = -^- \пу1 (х, х0; X), где ух (х, х0; X) — первая
компонента вектор-функции у (х, х0; X), нормированная на^ единицу,
т. е. ух (х0, х0; X) = 1. Подставляя в таком виде функцию у (х, х0\ X)
в уравнение (1.4), после несложных вычислений убеждаемся, что
функция а (х, X) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
-^Гсг = Ма]. (1.12)
где г : Я*-2* ([R1; fRm) -> [R1 — полиномиальное отображение,
зависящее параметрически от точки и £ М и параметра X £ (С1. При k = 2
уравнение (1.12) превращается в известное уравнение Риккати.
Считая, что при X-> {оо} функция а (х, X) допускает
асимптотическое разложение вида
о(х,Х)~&т(Х) Е ^/МГ^А) (1.13)
по параметру б (X) £ Г, где б : (С1 -► (С1 — некоторое аналитическое
отображение; т — целое число, после подстановки выражения (1ЛЗ)
3 6-1669
33

в уравнение (1.12) находим рекуррентные соотношения для функций
<*/ t^h / £ Ж+> ведущие к явным формулам для ау [u]t j £ Z+, как
локальных функционалов на многообразии М. В частности, все
функционалы Oj [u\, j £ 2Z+, периодичны по переменной х £ [R1. Поскольку
£ (А,) = ехр
функционалы
J а (*, A,) dx
, из (1.13) и (1.11) получаем, что все
xQ+l
Hj= J о,[и](1х9 j£Z+, (1.14)
Хо
являются законами сохранения для динамической системы (1.1). Для
изучения свойств законов сохранения (1.14) воспользуемся методом
рекурсионных операторов, развитом в § 2 гл. 1.
§ 2. РЕКУРСИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
2.1. Свойства градиента производящего функционала А (к)
законов сохранения. Рассмотрим уравнение (1.4) для фундаментального
решения Y (ху х0; к)
~-^У, (2.1)
где Y (х0, х0; к) = fl. Так как фундаментальное решение Y (х, х0\
к) — функционал на многообразии М, то из (2.1) можно получить
уравнение для вариации бY фундаментального решения при изменении
значения и £ М на значение (и + 8и) £ М. Имеем
-— 6Г = A8Y + ЬЛ • Г, (2.2)
где bY (x0l х0; к) = 0. Решение уравнения (2.2)
8Y = Y J Y~l8A • Ydx. (2.3)
Хо
Учитывая, что S (*0; к) = Y (х0 + /, х0; к), из (2.3) находим [174]
Хо+1
6S = S J У1ЫА • Ydx. (2.4)
Хо
Рассмотрим функционал А (к) = -т- tr S (*0; к), где, как и раньше,
k X k — размер матрицы S (x0t к). В силу (1.11) А (к) —
производящий функционал законов сохранения динамической системы (1.1).
Из (2.4), вычислив след tr 6S, получим
6Д (к) = -i- tr S f Vх ЬА • Ydx. (2.5)
Xo
34

Используя формулу (2.5), находим
gradA(^)=-^tr(s^r^) (2.6)
при условии, что матрица А не зависит явным образом от производных
функции и £ М. Если матрица А зависит от производных их, ихх, ...,
то формула (2.5) приведет к более сложному, чем (2.6), выражению
для grad А (к), которое необходимо вычислять, используя уравнение
(2.1), каждый раз отдельно. Например, если <Д = Л (и, их\ к), из (2.5)
находим
grad А (X) = -I" tr (S [A, AUJ -sJLAUx + SA^ , (2.7)
где Аи — обычная частная производная функции jl (и, их\ к) по
переменной их £ М; Аи — частная производная по переменной и £ М.
Очевидно, что в общем случае существует такая матрица а =
= II cm Ш I!» *\ / = U 2, ..., /г, являющаяся локальным
функционалом на М, что
grad А (к) = 2 St flu = tr (Sa), (2.8)
где US,-/1| = S(л:0, Л,), /, /=1, 2, ..., k.
Предположим, что матрица а в (2.8) нетривиальна. Тогда,
используя систему дифференциальных уравнений (1.7) для функционалов Sijt
i, j = 1,2, ..., k, и соотношение (2.8), можно получить следующее
выражение для величины grad А (к):
А[и\ к] grad A (к) = 0, (2.9)
где в общем случае Л [и\ к] — интегро-дифференциальный оператор,
параметрически зависящий от к £ (С1, и £ М. Рассмотрим важный
случай, когда оператор Л [и\ к] представим в виде
Л [и- к] = Л [и]— 6* МЦ, (2.10)
где б (•) — рациональная функция; fl — единичная п X я-матрица;
k
q — некоторое рациональное число. Обозначим А (к) = £ехр [i фу (к)],
где фу (к) £ # (М), / = 1, 2, ..., fe, таковы, что lj (к) = exp [npy (А,)],
/ = 1, 2, ..., /г,— собственные значения матрицы монодромии S (x0i
к). Устремляя параметр б (к) к особенности {оо} £ Г определенным
путем и разлагая выражение grad А (к) в асимптотический ряд по
степеням параметра б (к) £ (С,1 получаем
Л Mgradtf,-grad///+,, (2.11)
где функционалы Н{ £ 0 (М), j £ %+, являются законами сохранения
для динамической системы (1.1), вычисляемыми по формулам (1.14).
Выражение (2.11) аналогично выражению (2.25) гл. 1 для действия
рекурсионного оператора Л на упорядоченную систему законов
сохранения {Hj 6 # (М), / £ %+} динамической системы (1.1).
3*
35

2.2. Инволютивность законов сохранения. В силу теоремы 2.3
гл. 1 оператор Л = Л Ы, действующий согласно правилу (2.11),
будет наследственно рекурсионным, если существуют два имплектических
оператора (£, М i C<°°> ((R1; [R*) -+ 0~> flR1; |R*), являющихся
согласованными и осуществляющих факторизацию оператора Л,
А = (е~1М. (2.12)
При этом операторы (£ и М нетеровы, а динамическая система (1.1) —
бигамильтонова, т. е.
и, = —#grad// = — M grad^, (2.13)
где законы сохранения Я и Я в общем виде являются линейными
комбинациями конечного числа законов сохранения Я/ £ 0 (М),
~ т т ~
Н = Yi ciHi+«> Н = S ¥W (2-14)
с,-, £,£[Ri, / = —9» —Q+U ...i w, —некоторые константы.
Таким образом, в силу уравнений (2.13) на множестве
функционалов 0 (М) определены две скобки Пуассона {-, • \% и {-, - )Jti
относительно которых находятся в инволюции две производящие
функции законов сохранения А (к) и A (\i)> к, \х £ (С — произвольные
параметры. Действительно,
{А (к), A (ц)^ = (grad А (к), & grad А (ц) =
-= (grad A(k)tM grad A (\x) 8~q (\x) =—(M grad А (Я,), grad А (\х)) б-"7 (ц) =
= - (£ grad А (*,), grad А (ц)) [б (к) б"1 (ц)]' =
= (grad А (к), {£ grad А (ц)] [б (*,) б"1 ([г)]-7 =
= {Д(Ь), AdiJJ^ie^e-1^. (2.15)
Отсюда находим, что
{ДМ, Д(|1)Ы1-6*(Ь)6-*(,1)] = 0. (2.16)
т. е. в силу произвольности параметров к, \i £ (С имеем
(А(ДА(ц))г=0. (2.17)
Из (2.17) следует, что иерархия законов сохранения (1.14)
находится в инволюции относительно обеих скобок Пуассона, введенных выше,
т. е.
{Я/, Hk)g = (Я/, Hk\Jt = 0 для всех /, k£ %+. (2.18)
Соотношения (2.18) можно получить несколько более формальным
образом, используя соотношение (2.11). Для этого определим
продолженную иерархию законов сохранения {Hj £ $ (М) i / £ Z+]
grad Я, = Л"1 grad Я/-Н,, /€ Z-, (2.19)
36

где Л-1—обратный оператор, равный согласно (2.12) оператору
Mr1 (£ при условии, что существует оператор Mr~] i C(00) ([R1; (R*) ->-
-* С{оо) (IR1; [R*)- Выполнив вычисления, сходные с (2.15), получим
{ЯЛ Ял}^ [1 — б'7 (А,) 6""* ((г)] = 0 для всех /\ ft £ £. (2.20)
В силу произвольности параметров к, \х £ (С из (2.20) находим
{я/,яЛ}^={я/,яйи = о, /,*ez. (2.21)
Таким образом, согласно теореме 2.7 гл. 1 динамическая система
(1.1) на многообразии S cz M, определяемом равенством вида (2.64)
гл. 1, является вполне интегрируемой по Лиувиллю, а движение на S —
квазипериодично по переменной t £ [R1.
С целью получения эффективных формул для движения
динамической системы (1.1) на торе S ж TN будем искать условия
существования представления типа Лакса (1.3), эквивалентные уравнению (1.1).
Наличие этого представления с помощью математического аппарата
метода обратной задачи [194] дает возможность регулярным путем
выполнять процедуру интегрирования в «квадратурах» по Лиувиллю, что
особенно важно с точки зрения приложений.
§ 3. КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ТИПА ЛАКСА
3.1. Матрица монодромии и представление типа Лакса. Рассмотрим
снова динамическую систему (1.1). Сделаем единственное
предположение, что для нее существует представление типа Лакса (1.3), но с
неизвестными операторами L [и, к] и А [и\ к]. Опишем процедуру
градиентного метода [176] решения задачи определения оператора L [щ к] в
(1.3) исходя из вида динамической системы (1.1).
Пусть Н £ j3 (М) — произвольный закон сохранения для
динамической системы (1.1). Тогда grad H удовлетворяет уравнению (2.15)
гл. 1. Рассмотрим существующую для динамической системы (1.1)
согласно сделанному выше предположению производящую функцию
законов сохранения А (к), удовлетворяющую уравнению (2.9) с
неизвестным рекурсионным оператором Л. Тогда, очевидно, grad Д (к)
удовлетворяет уравнению вида (2.15) гл. 1
-^- grad А (к) = /С'* grad А (к) для всех значений параметра к £ (С1. (3.1)
С другой стороны, если S (х0, к) = | St,-1|, i, / = 1, 2, ..., ft,—
матрица монодромии для оператора L [и, к], то согласно (2.8) уравнение
(3.1) примет вид
-Ъг( 2 S'fiti) = -K*' S Si/fl/i, (3.2)
W=i / i,i=\
где матрица а = || a if ||, it /=1,2, ..., ft, определяется по явному
виду матрицы А [и, к], входящей в оператор L [и, к] согласно (2.14).
Ряд явных формул для матрицы а можно получить из выражений (2.6)
37

и (2.7) Например,
*=±-Аш (3.3)
если матрица Л [и> к] зависит только от функции и £ М и не зависит
от ее производных по х £ [R1, и
а = 4" Р« - 4" ^", + [А> A»S\ ' <3-4>
если </£ [и, к] = А (и, их, к), т. е. если матрица^ [и, к] зависит только
от функции и £ М и ее производной по л: £ [R1.
Как правило, если оператор производной Фреше К' векторного
поля К [и] £ Ти (М) не является интегро-дифференциальным, то
матрица Л [и, к] в операторе L [и, к] может быть выбрана не зависящей
От производных функции и £ М.
3.2. Метод нахождения законов сохранения. Пусть Y (х, х0; к) —
матрица блоховских решений уравнения (2.1), удовлетворяющая
условиям
4" У = c/ZF, Y{x + U Ч> Ц = F(х, *0; *,) Q (*,), (3.5)
где матрица Q (к) = | lf (к) 6„ ||, *, / = 1, 2 ft; g, (*,) g 0 (M), / =
= 1,2, ...9 ft,— собственные значения матрицы S (х0, к). Тогда
матрица S = FCF~"\ где С = || С//1, if j = 1, 2, ..., ft,— произвольная
постоянная матрица| удовлетворяет дифференциальному уравнению
вида (1.7)
dS =H,S] (3.6)
dx
с той же самой матрицей А = А [и, к]. Это означает, что с помощью
выбора матрицы С = || С//1|, *\ / = 1,2, ..., ft, можно отождествить
матрицу S (х, к) с матрицей S (х, к), т. е.
S(x, к) =УС?-\ (3.7)
Так как при к -»■ {оо} столбецуп, п = 1,2, ..., ft, матрицы К = || t/„ |,
/г =5 1, 2, ..., ft, имеет асимптотическое разложение вида
Уп(х9х0'Л)^Ъ™(х,к)е*Р
U<Jin)(x9k)dx\9 (3.8)
L*o J
где
bin)(x9k)~ S ЬГМв-'^), aw(*,X)^ Е аРмвГ/+т(Х), (3.9)
/€Z-f /€Z-f-
/г = 1, 2, ..., ft, Z+3m<oo,
то согласно (3.2) и (3.7) уравнение
-£■--*'•* (зло)
38

где ф £ С{00) ([R1; (Сп), допускает следующее асимптотическое при X
->- {оо} решение:
Ф = b (л:, X) ехр
[g(x, l)dx + <d(K t)\ . (3.11)
L*o J
Здесь вектор-функция b (л:, X) £ C(00) ([R1; (С") нормирована своей
первой компонентой на единицу, а £ С(оо) ([R1; (С1) и справедливы
следующие асимптотические разложения:
Ь(х,Х)^ Е Ь, [и] б"'" (Ь), а(*Д)~ S */М 6~'(*•)• (3.12)
Функция со (к, t) учитывает часть асимптотики (3.11), зависящую
явным образом от динамической переменной t £ [R1.
Разложение (3.11) является основным для определения законов
сохранения Г/ £ j5 (УИ), / £ ^.l, в силу инвариантности выражения
Т(Х) = Г or(*f tyd* (3.13)
относительно динамической системы (1.1), следующей как из
выражения (3.8), ведущего к
Хо+1
J Gn{x,X)dx = tn{X\ (3.14)
х0
где £„ (X), п = 1,2, ..., ft,— собственные значения матрицы монодро-
мии, так и прямо из уравнения (3.10) с учетом периодичности функций
b (х, X), а (х, X) по переменной х £ [R1. Разлагая правую часть (3.13)
в асимптотический ряд согласно (3.12), находим, что
Т(Х)~ £ Tfi'l+m(X)9 (3.15)
/€Z+
где Гу = f Gj[u]dxt jdZ+, —законы сохранения динамической си-
х0
стемы (1.1). Для их явного вычисления, как обычно, подставляем
решение (3.11) в уравнение (3.10). Возникающие после подстановки
рекуррентные соотношения для функций Gf [и] и bj М, j £ Z+, всегда
разрешаются в явном виде и таким образом решаем задачу отыскания
законов сохранения для динамической системы (1.1).
3.3. Нахождение имплектических операторов ££ и Л1. Пусть для
динамической системы (1.1) существует рекурсионный оператор Л,
действующий на иерархию законов сохранения (3.15) согласно правилу
(2.11)
Agradr^gradr,^, /££+, д£%. (3.16)
Для вычисления Л предварительно представим динамическую систему
(1.1) в гамильтоновом виде
ut=—<£ grad T = К [и], (3.17)
39

где Т= >] CjTj+q\ Cj£\Rl, j = —qt — q-\-\, ..., га, —некоторые
константы. Представление (3.17) дает возможность определить
неизвестный косимплектический оператор (£ i C(00)(fR1; [R") ->- С(00) (fR1;
[R") по известному набору законов сохранения Т} £ 0 (М), / £ Z+-
Пусть найденный оператор с£ удовлетворяет равенству (2.9) гл. 1,
т. е. к — нетеров. Учитывая, что согласно (2.12) и (3.16) справедливо
равенство
^ grad Г/+ q = M grad Tf (3.18)
для всех /£ ^+, из (2.8) путем прямого вычисления находим
косимплектический оператор М. При этом оператор М ищем в общем случае в
классе интегро-дифференциальных операторов, априори выбранных
кососимметрическими. Как следствие (3.17) и (3.18) получаем, что
динамическая система (1.1) будет бигамильтоновой, т. е.
Ut==_{£ grad T = — Л1 grad 7\ (3.19)
гдеГ= £ ciTi^'
i=-Q
Описанная методика получения факторизующих оператор Л им-
плектических операторов ££ и М является достаточно эффективной
для практических применений. Методика вычисления оператора Л =
= £Н М, основанная на методе малого параметра [13] и
преобразовании Фурье, рассмотрена на частных примерах в работах [240, 278].
3.4 Определение оператора L в представлении типа Лакса. Пусть
найденные выше операторы ££ и М имплектичны и нетеровы. В силу
теоремы 2.3 гл. 1 оператор Л = t£~x JUL наследственно рекурсионный,
если оператор [Л', Л], где Л = М(£—1, симметричный. Тогда все
динамические системы щ. = —££ grad Th ассоциированные с
динамической системой (3.17), имеют общую систему законов сохранения
(Г/ £ 0 (М), / £ Z+), находящихся в инволюции, т. е.
{Th Tk}# = {Th Tk)M = 0, /, к € Z+- (3.20)
Выражения (3.20) верны при условии, что существует функция Т (X),
для которой имеет место общее соотношение вида (3.18)
6д (X) (£ grad Т (X) = М grad T (X). (3.21)
В силу соотношений (3.13), (3.15) и (3.18) такая функция
существует и равна интегралу (3.13). Сравнив соотношение (3.21) с
аналогичными соотношениями (2.9), (2.10), можно идентифицировать функцию
Т (X) 6 Ф (М) с функцией Д (X) = -i- tr S (х0, к), где S (x0i X) — матрица
монодромии оператора L \и, Х\, существование которого
предполагается.
Таким образом, согласно (2.8) и (3.21) имеем
6' (X) & tr (Sa) = М tr (5a). (3.22)
40

*-'(•)=i
В соотношении (3.22) особенно важно то обстоятельство, что оно
содержит только операции дифференцирования и интегрирования по
переменной х 6 IR1. Операция дифференцирования д = д/дх
определяется обычным образом. Операция интегрирования (неопределенного)
определяется в нашем случае периодического многообразия М так:
" х хоЛ-1 1
U-)dx— [ (-)dx . (3.23)
-*0 X J
Очевидно, что в классе периодических функций операция (3.23)
обладает свойством д • д~{ = 1.
Таким образом, последовательно заменяя в (3.22) операции
дифференцирования и интегрирования функций St/, i, / = 1, 2, ..., kr
с помощью соотношения (1.7), записанного в покомпонентной форме,
преобразуем (3.22) к следующему виду!
tr(Sb) = 0, (3.24)
где матрица b = || Ь-ц \и, X] ||, /, / = 1,2,..., fe, однозначно
вычисляется по компонентам матрицы Л [и, X]. В силу произвольности матрицы
монодромии как решения дифференциального уравнения (1.7)
заключаем, что соотношение (3.24) справедливо тогда и только тогда, когда
матрица b равна нулю, т. е.
Ьц[и9Х] = 0 (3.25)
для всех /,/=1,2,..., fe. При этом размер матрицы Л [и, X], т. е.
число fe £ Z+, однозначно определяется порядками интегро-дифферен-
циальных частей операторов^ и JUL и размерами матриц, их
представляющих, т. е. числом п £ Z+. А именно, пусть согласно (3.22) первая
компонента вектора tr (Sa) после преобразований удовлетворяет
линейному дифференциальному уравнению минимального порядка v £
£ Z+. Тогда порядок fe £ Z+ матрицы Л [и, X] удовлетворяет
равенству v = fe2 — 1, где мы приняли во внимание, что tr S (х0, X) —
линейный инвариант уравнения (1.7).
Учитывая, что функции bij Ы, X], /, / = 1, 2, ..., fe, явным образом
зависят от элементов матрицы Л [и, X], можно разрешить систему
уравнений (3.25) и тем самым определить компоненты матрицы Л l^> X]
как локальные функционалы от и £ М в явном виде. Тем самым
задача поиска явного вида представления типа Лакса для исходной
динамической системы (1.1) по ее внешнему виду при условии его
существования решена с помощью градиентного метода [176]. Эффективность
его применения к конкретным системам будет продемонстрирована
далее. Другой подход к поиску представления типа Лакса для
динамической системы, основанный на методах дифференциальной геометрии
[176], рассмотрен в гл. 5.

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ
РЕКУРСИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Пусть задана динамическая система
ut = K[u]9 (4.1)
где и £ М = С(Г) ([R1; [Rn), я £ 2£_ь ' — периодическая функция
переменной х. Если динамическая система (4.1) допускает бесконечную
иерархию [Tj £ & (УМ), / £ %+} законов сохранения, то согласно
формуле (2.15) производящая функция Т (X) ~ ]£ ГА—' удовлетворяет
/GZ+
уравнению
-|- grad Г (I) = - К'* grad Г (К) (4.2)
для всех А, £ (С1-Обозначая <р (л:, /; h) = grad Г (h), перепишем
уравнение (4.2) в виде
-£ = -*'V (4-3>
Замечая, что уравнение (4.3) допускает при X -> {оо} асимптотическое
решение вида
1
<р(*. <; *) = ( fei(^/; ^
ехр
со (л:, /; h) + f а (л:, /; к) dx
, (4.4)
vfon-i (х, t\ Х)у
где д:0 £ [R1; со (л:, /; ^) — дисперсионная функция линеаризованной
динамической системы (4.2) в окрестности и = 0 £ УМ; а (#, /; ^), Ьд, (#,
/; h), ft = 1,2, ..., /г,— локальные функционалы на М, имеющие
представление вида
o{x,t\ k)c~ S ог/М^, М*.'; ^)^ X Ь)к)[и]Х~'. (4.5)
/€Z+ /€Z+
Из выражения (4.4) и уравнения (4.3) находим, что функционал Г (h) =
= \ а (л:, /; к) dx, x0£ fR1, является производящей функцией зако-
нов сохранения Гу = j a;- Ы dx, / б Z+, для исходной динамической
системы (4.1).
Пусть для законов сохранения Г;- £ 0 (М), / £ 2£-ь, выполнены
соотношения вида (3.16)
Agradr, = gradT,+„ (4.6)
где q — некоторое целое число, однозначно определяемое из условий
grad Г/о = 0 = grad Т jo+g\ j0 £ Z+ — фиксировано. Из (4.6) следует,
что рекурсионный оператор Л удовлетворяет уравнению (2.20)
-^- = [Л,К'*]=Л'./С. (4.7)
42

С целью поиска оператора Л, т. е. решения уравнения (4.7),
воспользуемся методами малого параметра [583]. Пусть функция и = ev{{) £
£ М, где в — малый параметр Тогда с точностью до первого порядка
по б динамическую систему (4.1) можно записать в виде уравнения
v\[) = K'[0]vil\ (4.8)
решение которого представимо с помощью суммы Фурье!
vil)= X i^/expco^*,/; /), (4.9)
где vV.j £ (С1, k = 1, 2, ..., п — 1, / £ ^,— постоянные числа
(коэффициенты Фурье); со* (*, /; /), k = 1, 2, ..., л— 1, /£ 2,—
дисперсионные функции элементарных решений Фурье уравнения (4.9).
Кроме того, в нулевом порядке по е из (4.3) получаем уравнение
-|-ф(0) = _К'*[0]ф(0). (4.10)
Решение уравнения (4.10) как линейного уравнения с постоянными
коэффициентами имеет в представлении Фурье вид
фР = £ф*(0)ехР %(*,'; /), (4.П)
/€'Z
гдеф!г0)/6(С1^= 1. 2> ...,л— 1,/ег;ю* (л:, ft /), * = 1, 2, ...,/г —
— 1» / € Z»— дисперсионные функции элементарных решений Фурье
/V
уравнения (4.10). Пусть Л = $] Л(т)ет, ^+ Э N <С оо,— асимптоти-
ческое разложение рекурсионного оператора Л в ряд по параметру
е. Аналогичное разложение имеет место и для оператора /C'*i
К'* = £ K(V, Z+ЭЯ < оо, где /С(0) = /С* [0].
Вид оператора Л(0) легко определяется из соотношений (4.6). Для
определения Л(т), т = 1, 2, ..., Af, воспользуемся уравнением (4.7)
в следующей форме!
-^ф = [Л, К'*]ф. (4.12)
Отсюда находим следующие уравнения!
а/
.^^^(О)^^
ЭЛ<» ф(0) + ^ ф(1) = [Д(1)) £(0)] ф(0) + [A(0)> ^(Dj ф(0) +
dt * ^ dt
i (0) £(0), (1)
+ [Л"\Щф"\ ... (4.13)
Решая последовательно уравнения (4.13), получаем операторы Л(т
т =; 1, 2, ..., N, и тем самым находим рекурсионный оператор Л
43

Примеры. Ниже апробируем описанную процедуру для ряда важных нелинейных
динамических систем и найдем для них рекурсионные операторы.
1. Уравнение Кортевега — де Фриза
Щ = — иххх — 6иих = К [и], (4Л 4)
где и £ М = С~ (IR1; IR1), t £ IR1. Так как оператор /С'* [и] = д3 + бмд, то
уравнение (4.3) имеет следующее выражение:
Ф/ = — бмф* — ф***. (4.15>
Уравнение (4.15) допускает решение ф (*, t\ к) следующего вида:
ф (*, t\ К) = ехр
где А,£ с1; XoSlR1;
\ а (*, /; X) dx I ,
*0 J
Хх—№ + \ а (х, t\ k)dx\ 9 (4.16)
а(*, t; X) ы £ °iM^~J (4.17)
/€Z+
есть асимптотическое при Я -> сю £ (С1 разложение локального функционала а (*, /; X)
на М. Из (4.15), (4.16) и (4.17) находим рекуррентные соотношения для локальных
функционалов а/[и], /£ Z,
Я Г , , .
д Г
— ^ ау [и] d* = — 6иб;.§_, — 6иоу — ау>_
-3 S °/-Л.х-За/+2-3 £ a/+l-^- ££ °Ь^¥Я. (4Л8)
*ez+ *ez+ ^.nez-f-
Учитывая, что Г/= I а/ [и] dxt j£Z,t —законы сохранения для динамической
системы (4.14), из (4.18) получаем
Хо+1
Ть = 0, Г, = — 2 С «d*, T2 = 0,
Г3 = —2 f w2rfA:t Г4 = 0,
Г5 = —12 С uuxxdx — \0 С i£d* —4 С и3^, ... (4,19)
Выражения для grad Г/, / = 0, 1, .... 5, имеют согласно (4.19) вид
grad Г0 = grad Т2 = grad Г4 = О,
giad7\ = —2, gradr3 = — 4и,
grad^» —4[и„ + 3и«].
Так как A grad Г0 = grad Г2 = grad T0+q, то q = 2, Таким образом, оператор Л
удовлетворяет условиям
Agradr2/+1 = gradr2/+3 (4.21)
для всех /£ Zj.. Из выражений (4.20) и (4.21) находим, что оператор Л при ы =
= еи(1) £ М имеет разложение
Л = Л(0) + Л(1)е, (4.22)
44
(4.20)

где Л(0) = д2. Аналогично для оператора /(' справедливо разложение
*"-Я*+ *«... (4.23)
где К(0) = д3, /0!) = 6u(1)d. При этом функции у(1) и ф(0) представимы с помощью
суммы Фурье:
vil) = £ tf exp (jx — j4), (4.24)
/€2m'z
ф(0)= ^ q^ exp (/*-/**), i=/=7.
Подставляя выражения (4.22) — (4.24) в (4.13), находим результат действия оператора
Л(1) на функцию ф(0):
Л(1у0)= 2 [2 + -^^)^)n?W + k)x-(P + *)t]*m
i,k£2MZ\ 1 + Ь ) '
= 2с;(1)ф(0) + 2dr-lv%®K (4.25)
Таким образом, согласно (4.25) рекурсионный оператор Л (4.22) имеет вид
Л = д2 + 2и + 2д~1ид, (4.26)
где учтено, что и = ei/l) £ М. Прямыми вычислениями можно убедиться, что
оператор Л (4.26) удовлетворяет характеристическому уравнению (4.7). Учитывая, что
динамическая система (4.14) имеет гамильтонову форму
и/ = — 3>grad#, (4.27)
где Н — — Тъ\ 3? = д — имплектический и нетеров оператор для (4.27), из (4.26)
находим следующую факторизацию для оператора Л : Л = ЗГ~ХМ,
Jt = 3rA = d3-\-2(ud + ди). (4.28)
Оператор Jty очевидно, также имплектичен и нетеров, а пара3?% ^согласована, по*
скольку оператор [Л', Л], где Л = Jt9?~x, симметричен. Таким образом, оператор Л
также наследственно рекурсионный.
2. Модифицированное нелинейное уравнение Кортевега — де Фриза
щ = - 6и2их - иххх = К\и\. (4.29)
Оператор К — д3 + 6 и2д приводит к следующему уравнению типа (4.3):
% = — 4>ххх — 6игфЛ, (4.30)
решение ф (*, t\ X) которого представимо формулой
Г х 1
Ф (*, t; К) = exp \lx — № + f о (х9 t; %)dx\t (4.31)
L *«. J
где X £ (С1; х0 £ К1. При А, ->- oo £ (С1 для локального функционала а (*, t\ К)
существует следующее асимптотическое разложение:
a(x9t; X) at £ ^МЛ"1, (4.32)
/€Z+
где локальные функционалы ау [и], / £ 2 л.» удовлетворяют рекуррентным
соотношениям вида
X
-jL J а, [„] Л - - 6и*6,_, - 6н*а . - а,,„ - За/+и -
-3 S °/-^°*.*-3о/+з-3 £ а/+1-*а*- S а,-„-*°№- (4-33)
*€Z+ *€Z-(- M€Z-(.
45

Соотношения (4.33) позволяют определить всю иерархию локальных функционалов
о/ [и], / G Z_1_. первые из которых имеют следующий явный вид:
Oq^O, ог = —2«2, о2 = 4иих, о3 = — 2w^—4ииЛ — 2ы4,
а4 = \ииххх + 4^** + 16^*. (4.34
Локальным функционалам (4.34) соответствуют законы сохранения Т\ =
= [ Oj [и] dx, / £ Zl, первые из которых имеют вид
^0 = 0» Г1 = -2 J и«Лс, Г2 = 0,
*©+' Х©+/ *o"W
Г3 = — 2 f м^* — 4 С ii«jrdx — 2 С w4d*,
*u+/
(4.35)
(4.36)
T4 = £ [4««xxx + 4м^хх + 16и3их] d*.
Используя (4.35), находим выражения для grad Г/, / = 0, 1, ,.., 4:
grad T0 = grad T2 = grad Г4 = О,
grad Тх = — 4м, grad Г3 = — 4wxx — 8w3.
В силу выражений (4.36) при и = ее/1* £ М для операторов Л и К* получаем
асимптотические выражения
Л = Л<°> + е2Л<2\ Г* = £(0) + е2/<(2), (4.37)
где Л(0) = д2, К(0) = (53, К{{) = 0, £(2) = 6 [а(1)]2 д. При получении формул (4.37)
мы учли, что в силу (4.36) рекурсионный оператор Л удовлетворяет соотношениям
Л grad Г2у+1 = grad Г2/+3 (4.38)
для всех /£ Zj.» т. е. q = 2. Используя формулы (4.13) и разложения в суммы
Фурье для va) и ф(0)
/€2m'Z
^ /m (4-39)
ф(0)== ^ qfexp(/*-/»0,
/€2m"Z
для результата действия оператора Л<2> на функцию ф^ находим следующее явное
выражение;
Л«ф«» = 2 J . (^i— + -jJLJ 9<МУ<» exp [(ft + / + m) * -
— (£3 +" /3 + ™3) Ч = 4у(1)<5~ V^q)^. (4,40)
Следовательно, оператор Л имеет вид
Л= д2 + 4идг*ид, (4.41)
где мы учли, что и = еи(1) £ М. Прямыми вычислениями убеждаемся, что
рекурсионный оператор Л (4.41) удовлетворяют уравнению (4.7).
46

С помощью явных формул для законов сохранения (4.35) убеждаемся, что
динамическая система (4.29) имеет гамильтонову форму
м* = — 3>grad#, (4.42)
где Н = -j- 7Y, 9? = д — имплектический оператор. Рассматривая факторизацию
оператора Л в виде Л = 2Г~ХЛ, находим, что
Л = ЗГА = д» -\ (и2д + ди2) —ихд~1их. (4.43)
Легко видеть, что оператор Л имплектичен, а также вместе с оператором^ нетеров,
причем пара ^, ^является согласованной, т. е. оператор Л наследственно рекурси-
онный.
3. Нелинейная модель типа Шредингера
% = i^xx — 2г|)г|)*г|)х, ^ = — 1^\х — 2iN>*i|£, (4.44)
где г|? £ М = Cj00) (IR1; С1). Оператор К Для динамической системы (4.44)
представим в виде
,• II id2 + 2г|?дг|)* — 2г|5*гЬ* II
/(' = * . (4.45)
|| — 2г|?г|)х — /<52 + 2г|)*дг|?* ||
Соответствующее решение <р (*, Г; Л) £ С(оо) (IR2; С2) уравнения (4.3) имеет согласно
(4.4) вид
Ф (*, t\ к) = ( Л ) ехр Хх — ik2t +[ о (х, U X) dx
\b(x, t; I)J J
(4.46)
где при к -> {оо} £ (С1 локальные функционалы о (х, t\ X) и b (xt t; X) имеют
следующие асимптотические разложения:
а (д, t; к) « £ ау [г|), г|)*] Г">,
/€Z+
^ , (4-47)
6 (*, *;*,)« ^ */ t*« **1 Л"У-
/€Z+
Подставляя выражения (4.7) в (4.3) с оператором К вида (4.45), находим для
локальных функционалов а/ [г|?, г|?*], bj [я|% г|?*], / £ Z4-» следующие рекуррентные
соотношения:
X
-|"Jo/[*.**]d»--/|2a/+1+ S **»/_*+°/J-
- 2*О/.0 - 2**1>>/ - 2W (вж>0 + о,),
-2'6/+2+ S ( "I" J °*Л )*/-* +»W-
L *€2+ *.n€Z+ *€Z-f
+ 2*/+l.« + 2 2 ***/-*,*+ */.«! ~
*€Z+ J
-2f^,-2fW6/+1+ ^ <rft6,ft+6, Л .
47

Выражения (4.48) ведут к определению локальных функционалов а. 1г[\ д|г?:], / £ Z_p
в явном виде:
о0 = п|п|>*, °i = / (г|)> - г|)*г|)^), 4
Учитывая, что функционалы Tj = \ о, [г|?, г|э*] d*, / £ Z,, являются законами
сохранения, из (4.49) находим выражения для градиентов grad Tjf / = 0, 1, 2,
grad Т0 = ("И , grad 7\ = ( Щ-
*/ (4-5°)
gradr3 = f **"+*»Ч,
Используя формулы (4.50) для градиентов законов сохранения, заключаем, что ре-
курсионный оператор Л, если он существует, должен удовлетворять соотношениям
Л grad Г/«grad Г.+1 (4.51)
для всех /£ Z+, т. е. q = 1. Полагая теперь 1|з = е<7(1\ г|?* = zqa\ из (4.50) и (4.45)
находим разложения для операторов Л и /('*
Л = Л<°> + е*Л<2\ К" = к{0) + г*К{2>, (4.52)
где операторы Л(Л, /О2', j = 0,1, 2, имеют вид
Л(0)=Р 011 £(0) = р2 0 II
И 0 —д\\' 1 0 —id2 f
Л(1) = 0, £(1) = 0, (4.53)
Разлагая функции ?(1\ ?(1) и ф^, k = 1, 2, в ряды Фурье
Ф(1°)= S Фруехр[/д: —tM. Ф^0)= £ 4?/«Р [/*-'/*']. (4.54)
j&mz i&mz
из соотношений (4.13) и (4.52) — (4.54) находим следующие выражения для действия
оператора Л(2) на функцию ф(0) £ С(оо) (IR1; С2):
Af >Ф<°> = - J ^±1 ^>5Й>Фрл ехр [(/ + m + *) * + i (/» _ Л» - m») /J,
j,m,k€2niZ
AS# — < £ (2 + T^f + -^r) «№& ехр Ш + « + *) x +
/,m,ft€2niZ
+ '(/ + «•-*•)/].
;\ft,me2nfZ
48

+ f(/» + m»-A»)/], (4.55)
Л<|ср<°> = - / J] ^±i- ВД^ ехр [(/ + m + k) x + «(/■ _ m* + **) <].
j,k,m€2niZ
Выражения (4.55) с учетом (4.54) можно представить в следующей компактной форме:
л?М0> -' tfW Ч-Й»*-1 (ё(Ч0>) - 9<"^1 й»1»^)].
л£М» =«[?%< V,0' + fl?'*"1 O/V,0') - *,1)*-' (</'V,%)1.
' л<|Ф(°) = - i [,«>*-' tfV) + ,">*-> (?\<°> >]. (4-56)
Учитывая, что в*/1* = г|), &j(1) = г|?*, отсюда и из (4.52) находим рекурсионный
оператор Л в явном виде:
л = \д - i »>-Ч + фд~1Щ i (Г2 + %д~1у\>* - $*дГ1фд) |
III (V + Цхд~ Ч — Ц>д~ 1Щ — д — i Сф*<Г~ V + фд~~ Ч*д) Г
Прямыми вычислениями можно убедиться, что рекурсионный оператор Л
удовлетворяет характеристическому уравнению (4.7) с оператором К (4.45). Заметим также, что
динамическая система (4.44) имеет гамильтонову структуру:
( !) = -<? grad Я, (4.58)
где Н = -jr T2, а имплектический оператор L представим в виде
£> =
О 111
- 1 О
(4.59)
В силу (4.59) и (4.57) рекурсионный оператор Л допускает факторизацию Л = 2Г~ХЛ,
где
м II ' (V + *М~ Ч - фГ V) - д - I (гМ~ V + W V<?) II ,. cm
sM = * 1 1 9*1 1 (4.bU)
I — д + i (tyxd~l\p + ^*д~1Щ — i (ф*2 + \|y3~V — ф^""1^^
есть имплектический оператор. Кроме того, прямыми вычислениями можно убедиться,
что операторы 3? и Л нетеровы и согласованы.
Важным следствием изученных структур всех рассмотренных выше динамических
систем является их бигамильтоновость, т. е. для и £ М
ut = — & grad H = —Jl grad Я, (4.61)
где И — закон сохранения, удовлетворяющий рекурсионному условию grad H =
= Л grad H. При этом в силу рекурсионного свойства (4.6) законов сохранения Т\ £
€ Ш (М), /6 Z I, получаем их инволютивность относительно обеих симплектических
структур {•, -)^и {•, •} ~, что приводит к полной интегрируемости по Лиувиллю
динамической системы (4.61). Более детально эти вопросы рассматриваются в гл. 3.
В частности, рассмотрена отличающаяся от предложенной выше другая процедура
поиска рекурсионного оператора Л сразу в факторизованной форме Л = S?~XM<
4 6—1669

ГЛАВА 3
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
И ИХ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
§ 1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА - де ФРИЗА
И КОНЕЧНОЗОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ХИЛ Л А
1.1. Законы сохранения. Пусть на бесконечномерном периодическом
многообразии М = С/00) (К1; О?1), где [R+ Э-/ < °° — период, задана
динамическая система Кортевега — де Фриза
ut = 6иих + иххх = К [и]. (1.1)
Вычисляя согласно градиентному методу (см. гл. 2) оператор
/С'*= — бид — а3, (1.2)
записываем уравнение (3.10) гл. 2 для определения иерархий {Tf£
£ D (М), j £ Z+\ законов сохранения динамической системы (1.1)
так!
Ф, = 6шр, + ср^. (1.3)
Решение уравнения (1.3) ищем в виде (3.11) гл. 2
Ф = ехр
где
Хх + %Ч + f о (*, I) dx
(1.4)
а (*, X) ~ £ of [и] K~j. (1.5)
Подставляя (1.4) и (1.5) в (1.3), находим следующие рекуррентные
соотношения для функций с, [и], j = 0, 1, ...I
х
f Oiitdx = 6a6y,_i + 6U0f + 3Q/+1.JC + OitXX + 3Q/+2 + (1.6)
i i Ж
*=0 t,/?=0 £=0
Рассматривая выражение (1.6) при / = 0, 1, ..., последовательно
находим
а0 = 0, ах = — 2и, а2 = 2а,, а3 = —2и2 — 2иХХУ
а4 = 2их + 8uuxt а5 = — 2а(4> — 12ш/^ — 10и2х — 4и3,
дпи
где и(п) обозначает —— , п (- Z+-
дхп
50

Вычислим последовательно grad Г/, / = 0, 1, ..., 5, где Tj =
Xo+l
= f в] [и] dx:
grad T0 = grad T2 = grad Г4 = 0, grad T1 = - 2,
gradr3 = — 4м, gradr5 = — 12м3 — 8ихх.
1.2. Имплектические операторы (£ и М. Пусть рекурсионный
оператор Л действует следующим образом!
Л grad Т (К) = V grad T (к), (1.8)
где q£Z\ Т (к) = [ а (х, %) dx — производящая функция законов
сохранения динамической системы (1.1). Используя явный вид величин
grad Th j = 0, 1, ..., 5, задаваемых выражениями (1.7), заключаем,
что q = 2, так как необходимо, чтобы
AgradT2/ = 0, /££+.
Рассмотрим теперь законы сохранения Tj£ 0 (М), j =? 0, 1, ..., 5,
с точки зрения гамильтонова формализма. Пусть
т = s ^
есть функция Гамильтона динамической системы (1.1)
ut = K[u} = — #grad7\ (1.9)
где (£ — имплектический оператор. В силу кососимметричности
оператор & в классе дифференциальных операторов первого порядка
имеет следующее общее представление:
<£ = д + ад + да + рдр,
где а, р — некоторые пока неизвестные локальные функционалы М.
Используя выражение (1.7), после несложных вычислений находим, чго
T = -\-Tb = j {-tf + ^uiUx, а = р = 0, <£ = д. (1.10)
х»
Легко убеждаемся, что оператор & = д имплектический и нетеров,
т. е. соотношение (2.9) гл. 1 выполняется тождественно.
Таким образом, если существует рекурсионный оператор Л,
действующий по формуле (1.8), то необходимо существует имплектический
операторе i C(oo; (R1; [R1) -> С(00) (К1; К1) (возможно, интегро-диф-
ференциальный) такой, что Л = f£rxM и выполнено равенство
Kgrad7,/+2 = -«grad7,/ (1.11)
для всех / = 0, 1, ... В силу соотношений (1.9) и (1.10) оператор М
удовлетворяет равенству
4K[u] = —MgradT3 = 4Mu. (1.12)
«• 51

Из (1.10) находим, что имплектический оператор М как
дифференциальный имеет порядок 3 и может быть представлен в виде
M = d3 + ydy + vd + dv, (1.13)
где у, v — некоторые пока неизвестные локальные функционалы на М.
Подставляя (1.13) в (1.12), находим у = 0, v = 2и и, таким образом,
М = д3 + 2ид + 2ди.
В силу теоремы 2.1 гл. 1 рекурсионный оператор Л = £~ХМ
наследственно рекурсионный для всей иерархии законов сохранения (Г/ £
£ 0 (M),j = 0,1,...}, если оператор [Л', Л], где Л = АШг1,
симметричный. Прямой проверкой можно убедиться, что оператор Л = (£г1М
наследственно рекурсионный. Таким образом, соотношения (1.11)
необходимо выполняются для всех / = 0, 1, ...
1.3. Представление типа Лакса и оператор Хилла. Перепишем
соотношения (1.11) в виде
&k*gxz&T(k) = MgradT(k), (1.14)
где Т (к) £ 0 (М) — производящая функция законов сохранения
fj G 0 (М), / = 0, 1, ..., динамической системы (1.1). В
предположении существования представления типа Лакса для (1.1) с L [и, к]-
оператором вида -г А [и, к] заключаем согласно результатам
§ 3 гл. 2, что размер матрицы А [и, к] равен k = У~3 + 1=2, причем
tr А [и, к] = 0. Таким образом, матрица А [и, к] имеет следующий
общий вид!
/7 г Л1 \\а Ь\\
А [и, к] =
\\с — а\\
(1.15)
где а, 6, с — некоторые пока неизвестные локальные функционалы
на М, зависящие от параметра к £ (Q1. В силу явного вида
динамической системы (1.1) находим, что матрица А [и, к] не зависит от высших
производных функции и £ М, т. е. А [и, к] = А (и, к).
Пусть А (к) = ~y tr S (*0, к), где S (*0, к) — матрица монодромии
оператора L [и, ^],— производящая функция законов сохранения
динамической системы (1.1), удовлетворяющая уравнению вида (2.9)
гл. 2. Отождествляя функцию Д (к) с функцией Т (к),
удовлетворяющей уравнению (1.14), находим в силу уравнения (3.22) гл. 2
соотношение
k2dtr (5а) = (д3 + 2ид + 2ди) tr (Sa), (1.16)
где матрица а задается выражением (3.3) гл. 2. Разрешая выражение
(1.16) с помощью уравнения (1.7) гл. 2, получаем соотношения вида
(3.25) гл. 2 для компонент матрицы (1.15)
^-с/Г = 0, -Цг[А',А] = 0, [[[А', А], А], А] +
+ 4г [[А'> ^Ь А\ + 2ихА' = (к* - Щ\А\ А], (1.17)
52

где [ •, •] обозначает, как обычно, матричный коммутатор. Уравне-
X2
ния (1.17) имеют нетривиальное решение вида а = О, & = 1, с = -^
— и.
Таким образом, матрица Л [и, к] имеет вид
О 1
А [и, к] = а,2
— — « О
(1.18)
где к £ (Q1 — произвольный параметр. Из записи оператора L [и, к]
в виде
L[iiA] = u-^-<4[u,k] (1.19)
получаем, что оператор (1.19) эквивалентен в пространстве С(00) (К1;
С1) оператору Хилла
L[a,M = —^ " + -J-. (1.20)
Спектральная задача для оператора L [и, к] записывается следующим
образом:
L[и, к] у (х, к) = 0, sup \у(х,к)\< оо, (1.21)
где считается, что и £ С?*0 (К1; [R1) = М.
1.4. Свойства спектра. Рассмотрим теперь более детально
спектральные свойства оператора (1.20). Как отмечалось в гл. 2, спектр a (L)
оператора L [и, к] имеет в общем случае зонную структуру. Изучим
ее, используя свойства матрицы монодромии S (х0; к) оператора (1.19).
к2
Пусть 5" = Р G (С1 — спектральный параметр оператора (1.19),
действующего по формуле
-Ц-у-А[и, р] t/ = 0, у£С°°(№-Л2). (1.22)
Значение р принадлежит спектру a (L) оператора L, если собственные
значения £ (р) матрицы S (х0, р) по модулю равны единице, т. е.
|Е(Р)1=1. Ш = Д(р) + КД2(р)-1, (1.23)
где, как обычно, А(р) —— iv S (х09 р). Из (1.23) следует, что в этом
случае
А2(р)<1, 1тД(р) = 0. (1.24)
Обозначая А (р) = cos ф (р), из (1.23) получаем
£(р) = ехр[ир(р)], ; = К~, (1.25)
причем при р £ о (L) функция ф (р) действительна, т. е. Im <р (р) = 0.
53

Пусть у (х, х0\ р) £ С(оо) (К1; (£2) — блоховская собственная
функция, нормированная первой компонентой на единицу в точке х =
= *о £ К1- Для фиксированных значений р, \i £ о (L) рассмотрим
следующее тождество:
-§г f^i (*> *о; р) </2 (*» *0; и) — ^i (*» *о; и) у2 (*. *0; р)] =
= (р — и) #i (*» *0; р) ^i (*» *о; i^)> О -26)
где г/ (х, х0; р) = (^ (х9х0\ р), f/2 (*• *о; Р))т (т обозначает
транспонирование). Положив в (1.26) р, = р* £ С1 и заметив, что уг (х> х0\р*) =
= у\ (х, х0\ р), после интегрирования на отрезке [х0, х0 + /] найдем
следующее соотношение:
(9-9*) J lifi(^ V. P)N* = 0. (1.27)
*0 _
Из (1.27) в силу нетривиальности функции уг (*, х0\ р) получаем, что
Im р = 0. Это значит, что спектр a (L) действителен. В силу (1.24)
заключаем, что спектр a (L) имеет зонную структуру, причем границы
зон определяются уравнением А2 (р) = 1. Так как согласно (1.22)
фундаментальная матрица Y (*, х0; р) — целая по параметру р £ (С1
функция, то А (р) = у tr Y (х0 + /, х0; р) — целая функция параметра
Р £ (С1 с действительными коэффициентами.
В общем случае уравнение А2 (р) = 1 имеет бесконечное (счетное)
число решений ру £ [R1, / £ Z+» определяющих границы зон спектра
о (L), называемых зонами устойчивости. При изменении параметра
Р £ К1 в пределах одной зоны устойчивости функция ф (р) £ [R1
непрерывно изменяется в пределах отрезка [0, л]. Это легко видеть из
следующей формулы, получаемой из (1.24):
ф(р) f /Д(Р> , (1.28)
Ро
где Ро £ К1 — наименьший корень уравнения А2 (р) = 1. В силу
асимптотических при | р | -> оо формул для матрицы Y (х> х0\ р) легко
найти, что А (р0) = 1, т. е. функция ф (р) нормирована в точке р = р0
нулем: ф (р0) = 0. Так как А (рг) = —1, где Pi £ К1 — следующий по
величине за р0 £ К1 корень уравнения А2 (р) = 1, и функция ф (р)
непрерывна, из (1.26) получаем, что
я = -Г /Д(р) , (1.29)
Ро
где учтено, что —;*~>0 на отрезке [р0, р] и выражение 1 —А2(р)
неотрицательно. Из (1.28) также следует, что при p2/_i^P2/
Р2/
Г dMp) -0 (1.30)
J /1-Д2(Р)
Р2/-1
54

для всех / = О, 1, ..., где [р2/-ь P2/1 — лакуна в спектре о (L)
оператора L [и, р], т. е. зона неустойчивости.
Обозначим через а0 (L) множество (ру £ К1; А2 (р,) = 1,/ = 0, 1, ...},
где р/ — границы зон спектра о (L) оператора L [и, р], и назовем
а0 (L) основным спектром. Основной спектр характеризует следующая
лемма [195].
Лемма 1.1. Спектр o0(L) вырожден не более чем двукратно,
причем если | А (р,-) | = 1,
1р=р/
= 0» P/GML)> mo
<*2А (Р)
dp2
|р=Р/
>0 и матрица монодромии |S(*0, P/)| = fl.
Доказательство. Предположим сначала, что Д(р/) = 1 и
= 0, P/^a0(L). Поскольку корни уравнения Д2(р)= 1 как
*А(Р)
dp
Р=Ру
функционалы от функции и £ М являются гладкими, то можно записать
следующее вариационное равенство:
*о+р
0 =
tfA(P)
dp
I §p/+ ? f-тМ H^
Ip=pi J L °" |p=p7 J
*0
(1.31)
где P[£o0(L); 6р/, 6«— соответствующие вариации. Поскольку в
= 0, Pi£o0(L), то из (1.31) в силу
вырожденных точках
<*А(р)
dp
произвольности вариаций бы
р/
вД(Р)
6«
= 0.
|р=р/
Используя выражение (2.6) гл. 2, находим, что
6и(х) ~ 2 ^kUC PJ
или, учитывая (1.32),
Si2 (*, р7) = 0
(1.32)
(1.33)
(1.34)
для всех вырожденных значений р,- £ aft (L). Из условий det S (х0у
ру) = 1 и (1.34) получаем, что матрица S (х0, р,) = Ц. Из (1.22)
находим дифференциальное уравнение для матрицы монодромии по
параметру р G (С1
Хо+1
*S(*b,p) = S(^p) J y-»(XiVf p)
ж„
о oi
_ j qJY{x, xn; p)dx, (1.35)
где Y (x, x0; p) — как обычно, фундаментальное решение уравнения
(1.22), нормированное в точке х0 £ [R1 на единичную матрицу.
Учитывая равенство S (х0, р,-) = Ц, Р/ £ a0 (L), получаем
2 ф2
tr S (лгр, р)
_ <РА(Р)
|р=Р/ dP
>=Р/
= 1 trPUp,P/), (1.36)
55

где матрица F to, р) имеет вид
Y' _, II О О
f to, р) = ) Y to *0; р)
Хо
— 1 О
Y(x9x0; p)dx. (1.37)
Отсюда прямым вычислением матричных произведений находим, что
Хо+1 Х0+1
^JP) I _ = — 4" J J ^11 (*• *o> P/) У12 (T* *o> P/) —
— уn to *0; p/) У12 to v> P/)]2 ^dT> (i -38)
где Y to xQ\ pj) = I tjik to x0, p/-)||, i, ft = 1,2. Учитывая
действительность матрицы Y to jc0; p,-) для p;- £ a (L) и строгую положительность
подынтегрального выражения в (1.38), получаем, что
d2& (р)
tip2
<о.
(1.39)
1р=р/
Аналогично в случае, когда Д(ру.) =— 1, py£a0(L), находим, что
если — А (Р) 1р=р/ = °> то
*
^> (*о> Р/7 = 11» —ф5—
>о.
(1.40)
Таким образом, спектр a0 (L) вырожден не более чем двукратно,
причем в вырожденных точках матрица монодромии S to, p) с точностью
до знака совпадает с единичной.t>
Лемма 1.2 [349]. Еслир£о(Ц\о0(Ц, /п. е. А2(р)< 1, то dAJ9) ф
ф0.
Доказательство. Из формулы (1.35) для всех р б С1 имеем
хо+1
^рР) = -у $ [Sn to» р) Ун to xo> р) Уи to хо> р) —
— s12 to, р) ^ 11 to *о> р) — S22 to» р) ^н to *0; р) уi2 to *o> р) +
+ S21 (x09 p) y\2 to xQ\ P)]dx. (1.41)
Так как подынтегральное выражение в (1.41) можно представить в виде
- s12 to, р) [у и to х0; р) + 5t2(*0:^ у it to *0; р)]2 -
4 — r<S1T (д^о, р) + S22 (*0, р)]2 2 ,
4s12 <*0, p) yi2to^o. р).
то в силу неравенства 4 — [Su to, p) + S22 to» P)l2 > 0 Для P €
£ о (L) \ a0 (L) из (1.41) следует, что знак величины dA (p)/dp
совпадает со знаком действительной функции S12 to, p), не равной нулю,
так как А2 (р) Ф 1. Этим установлена монотонность изменения
функции А (р) в пределах зоны спектра a (L).\>
Таким образом, в общем случае спектр a (L) имеет зонную
структуру, является непрерывным и не более чем двукратно вырожденным.
56

В точках вырождения спектра происходит стягивание зон (или лакун)
неустойчивости к этим точкам. Невырожденные точки спектра о0 (L)
являются границами нетривиальных лакун в спектре a (L), которые
образуют все зоны неустойчивости для блоховских собственных
функций оператора Хилла (1.20).
1.5. Дивизор оператора Хилла. Введем понятие дивизора 51 и
дополнительного спектра at (L) оператора Хилла (1.20). Пусть
Г0 — гиперэллиптическая риманова поверхность функции w =
= КД2 (р) — 1, Р £ (С1- Если точка (р, w) £ Г0, то проекция р : Г0 ->
-> (С1 определяется следующим образом: р : Г0 Э (р, w) -> Р £ (С1-
Символ 21 = П (л,-, где ц, £ Г0, Л — некоторое подмножество целых
чисел, П — свободное произведение точек, называют дивизором
оператора Хилла L [и, р], если числа р ([if) £ (С1, / 6 Л, являются
собственными значениями оператора L [и, р] на отрезке [*0, х0 + I] с
граничными условиями
01 (*о» Р) = Уг (хо + 1> Р) = 0. L iu> Pi 0 = 0» # = (01» 02)х.
Спектр этой граничной задачи для оператора Хилла (1.22) называется
дополнительным и обозначается через a, (L).
Легко видеть, что число р (\i (х0)) £ о^ (L) тогда и только тогда *
когда |я (*0) £ Г0 является нулем функции S12 (*0; Р)> т. е. S12 (*о*
М- (*о)) — 0- Согласно лемме 1.1 все вырожденные точки спектра а0 (L)
являются нулями функции S12 (*0; р) и, следовательно, они
принадлежат дополнительному спектру at (L).
Перейдем к рассмотрению важного для дальнейшего случая, когда
в спектре о (L) оператора Хилла (1.22) имеется только конечное числа
нетривиальных лакун с границами {Ef £ [R1, / = 0, 1, ..., N)y где
Z+ Ъ N <С оо — число лакун. Изучим вопрос о количестве
собственных значений р (\i (х0)) £ ot (L) \ a0 (L), где посредством а0 (L)
обозначена вырожденная часть спектра о0 (L).
Пусть PN (р) = П (р — £у) — полином степени 2N + 1, построен-
/=° _
ный по спектру o0(L)\o0(L). Тогда, очевидно, функция S12(x0> p>
как целая функция параметра р £ (С представима в виде
S12 (*о, Р) = Sia (*0, р) i/~ Ду(~ ' , (1.42)
где S12 (*0, р) — целая функция, нули которой в точности совпадают
с точками |я (*0) £ Г0, р (\i (x0)) £ a, (I) \a0 (L). В формуле (1.42)
учтено, что вырождение в спектре а0 (L) cz а0 (Z) двукратное. Таким
образом, исходная задача сведена к задаче о подсчете числа нулей
57

функции S12 (x0t p). Отметим, что в силу симметричности выражения
(1.22) все числа р (\i (x0)) действительны.
1.6. Свойства блоховской собственной функции. Пусть [R1 Э Р -*-
-> оо. Тогда, очевидно, р £ о (L). Для первой компоненты уг (х, х0;
р) блоховской собственной функции у (х, xQ\ p) из условия у (х + /,
*о*> Р) = I (Р) У (х, х0\ р) = у (х, х0\ р) S (*0, р) находим
представление
У! (х, х0; р) = уп (х, х0; р) + у2 (х0, р) */12 (л:, *0; р), (1.43)
где у2 (х0; р) = #2 (*0, х0] р) задается следующим выражением:
U (Y • М — ^Д2 (Р) — * I 522 (У> Р) — ^11 (У> Р) /1 ЛЛ\
Ы*0' Р,~ S12(V> P) + 2512 <*0; р) • (144>
Учитывая соотношение (1.42), из (1.44) получаем
у,ц. р) = _J^L + ^faj»-y:P) . (1.45,
Sl2 (x0; р) J6»2 («о. Р)
Пусть функция а (х, р) определяется с помощью соотношения
о(х, р)#, (х, х0; р) = -^-г/, (л:, *0; р).
Из уравнения (1.22) для о (х, р) находим уравнение типа Риккати
д° (Хдх Р) + <т2(*. р) + и (х, t) + р = 0, (1.46)
которое при [R1 Э Р -*• °° имеет асимптотическое решение вида
a(x,p)calVJ + 0 (-pL-j • (1.47)
Учитывая, что а (д;0, р) = у2 (х0, р), из (1.47) и асимптотических
соотношений
Su (*о. Р) = cos Pl + ° (-у) ' S22 (*о. Р) = cos Pl + ° (-р-) '
(1.48)
Sit (х0, Р) = -р~ s'n Р* + О (-pV) . S21 (х0> р) = —psinp/ + 0(1)
o(x,p)~iVp+0(-±=-)= /ppJV +0(1). (1.49)
V V р / st, гл., р)
находим
_ /рр"
5i2(^0» Р)
Отсюда следует, что функция S12 (*0> р) имеет при р ->■ + оо
асимптотику вида —lpN [1+0 (p-1)L В силу целости функции S12 (x0f p) по
параметру р 6 (С1 получаем, что S (х0, р) — полином степени N,
имеющий представление
Si.(^o. р)- —/П Гр —pdxy)], (1.50)
58

где \ij £ Г, /= 1, 2, ..., N,— точки дивизора 2t, причем все числа
р (\ij) £ a, (L), / = 1, 2, ..., N, действительны и различны. В самом
деле, пусть точка \i £ Г0 такая, что
р(II)6ML) и ^"ff" р)
= 0.
1р=р(м.)
Тогда из (1.35) находим
_ dSf2(*0, Р)
Q__ ^12 (*0» Р)
dp
xo+l
= Sn(x09 p([i)) J y2i2(x9 x0; p(\i))dx, (1.51)
откуда получаем равенство Sn (x0t p (\i)) = 0, что невозможно в силу
соотношения det S (*0, p) = 1. Пусть снова \i £ Г0, р (ku) £ at (L).
Тогда из равенств
S12 (x09 p (\i)) = 0, Sn (x09 p (\i)) S22 (x09 p (\i)) = 1
заключаем, что значение р (\i) лежит в лакуне спектра a (L), причем
в этом случае, очевидно, А2 (р (\i)) > 1. Из (1.51) также следует, что
J у\2{х, *0; p(|i))d* = ^12 (*0, P)
,о
S2i(x09 p([i)). (1.52)
Р=Р(М.)
Поскольку значение интеграла в (1.52) положительно, то при
фиксированном основном спектре а0 (L) из (1.52) можно однозначно
определить знак корня VА2 — 1 в выражении для S22 (х0, р (|я)) =
= А Р (\i)) ± |/*Д2 (/? (\i)) — 1. Произвольный выбор этого знака
приводит к тому, что в одной лакуне может находиться не более чем
одно значение р (|я) £ ot (L). Таким образом все числа р (|Яу) £ oL (L),
\ij £ Г, / = 1, 2, ..., Af, могут быть упорядочены так, что E2j-[ ^
< р (|i,) < £2/, / = 1,2, ..., ЛЛ
Рассмотрим более детально выражение для у2(х0, р) (формула (1.45))
как функцию параметра р £ (С1- Так как согласно (1.7) гл. 2
pi
-g^-S12(x0, Р) = 5п(л0, р) —S22(*0, р), из (1.45) для у2(х0, р) полу-
*0
чаем
Уг (*о> Р) = NtV?N(p) + ± -J-L П (р -,, (ц,))1 , (1.53)
П (p-p(|i,)) ' '
/=i
гдер1у = и>/ (*0) g Г, / = 1,2,..., N; Г — риманова поверхность
функции w = У Pn (р), р, w £ (С . (В дальнейшем для удобства записи
вместо р (\х() будем писать \if, что не приведет к недоразумению.) Таким
59

образом, согласно формулам (1.43) и (1.53) и вследствие целости
функций уи (х, xQ\ p), yl2 (х, xQ\ p) относительно параметра р^С1 функция
У\ (х, хп\ р) мероморфным образом продолжается на риманову
поверхность Г \ {оо} с выколотой существенно особой бесконечной
точкой оо g Г. Полюсы функции ух (х, х0\ р) на Г, очевидно, совпадают
с точками ixf (х0) £ Г, / = 1,2, ..., N. Аналогичным образом
получаем, что функция у2 (х, х0, р) продолжается мероморфным образом на
поверхность Г, причем полюсы ее также совпадают с точками \ij £
£ Г, / = 1, 2, ..., N. Используя соотношение
S(xt p)y(x, *0; p) = t(p)y(x, х0\ р), (1.54)
находим, что
- , i VPN (P) Уг (*> х0; р)
У2 (*. Х0\ р) = й Ь
П (р —ixy W)
+ У|(<,;,:р) 4т1пД(р-*ix))- (1 -55)
Из (1.55) следует, что некоторые нули функции ух (х, х0; р) должны
совпадать с точками jn/, (х) £ Г, / = 1, 2, ..., N. То, что больше нулей у
функции ух (х, xQ\ p) на Г не имеется, следует из того факта, что число
нулей и число полюсов мероморфной на Г0 функции (с учетом их
кратности) совпадают.
N
Пусть % (х) = П jli,- (х) — свободное произведение точек поверх-
ности Г. Тогда 9( (х) • Ж~] (х) — дивизор [202] мероморфной на
поверхности Г \ {оо} функции у (х, xQ\ p). Используя соотношение у2 (х,
р) = а (х, р) = Ух (*' *"' р) уТ{ (х, xQ\ p), из (1.53) находим, что
Ух (*> х0; р) =
L /=1 J
где р G Г (как условлено ранее, точки р £ Г и их проекции р (р) £ (С1
там, где это не вызывает недоразумений, отождествлены).
Замечание. Выше показано, что уравнение (1.46) допускает
асимптотическое решение
_ j_
а(*, 9)^iVp +a1[u]p 2 +(j2Mp-1+ .... (1.57)
где локальные функционалы Oj [и], j £ 2?+, определяются с помощью
рекуррентных формул, получаемых после подстановки (1.57) в
уравнение (1.46) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях
60
п
Р — \Ч (х)
P — (А/ (*о)
ехр
* Vpn (р) <*т
л/
П (Р — Ц/(Т))
»(1.56)

параметра р £ (С1. В частности,
а]["]=4-^ (1-58)
Таким образом, если предположить возможность вычисления блохов-
ской собственной функции ух (ху х0\ р), р £ Г, в явном виде, то задача
определения коэффициента и £ М в операторе Хилла(1.20) становится
тривиальной и сводится к явному вычислению предела
lim p2 -^- In уг (х, х0; р) — ф 2 = -j. а (х, /). (1.59)
Формулу (1.59) можно переписать в несколько другой форме, если
воспользоваться для функции ух (а:, х0\ р) выражением (1.56):
N 2N
и (х, /) = 2 £ Щ (х) — S £/• (1 -60)
,=1 /=0
Формула (1.58) относится к так называемым нелинейным формулам
следов, детально изученных в работах [176, 352, 390, 4271.
1.7. Определение коэффициента в операторе Хилла (1.20) и
проблема Якоби обращения абелевых интегралов. Покажем, что задача
вычисления в явном виде блоховской собственной функции ух (ху х0; р)
как функции мероморфной по параметру р £ Г\ {оо} действительно
решается в явном виде. Будем полагать, что на поверхности Г заданы
начальные точки \ij0 = \ij (x0) £ Г, / = 1,2,..., ДО, такие, что
N 2N
и(*о) = 2 £ iij(x0)— £ Eh (1.61)
а также границы нетривиальных лакун в спектре о (L) оператора
Хилла (1.20), т. е. числа Ej £ [R1, / = 0, 1, ..., 2ДО. Начальные данные
fxyo 6 Г, / = 1, 2, ..., ДО, в силу соотношений det S (х0, р) = 1, Sl2 (х0у
(lx/o) = 0 должны также удовлетворять следующим алгебраическим
соотношениям:
ММ = /ММ*, /=1,2 ДО, (1.62)
где h (р) — некоторый полином степени N — 1с действительными
коэффициентами. Соотношения (1.62) однозначно определяют
расположение точек \ijo £ Г, / = 1, 2, ..., ДО, поскольку значение левой части
в (1.62) вычисляется однозначно.
Для дальнейшего считаем, что риманова поверхность Г функции
w = V Pn (р), р, w £ (С , реализована в виде двухлистной поверхности
наложения комплексной плоскости (С с разрезами вдоль спектра о (L)
оператора Хилла (1.20), при этом верхний лист поверхности
определяется точками (р, + VPn (р)), а нижний — точками (р, —VPn (р)),
р £ С . На поверхности Г0 можно провести 2ДО гладких
ориентированных замкнутых кривых ah bh j = 1, 2, ..., ДО, с индексами
пересечения а7 о bj = 6f;-f ау о а, = fey о Ьс = 0, /, / = 1,2, ..., ДО. Выбранные
61

таким образом кривые образуют на поверхности Г канонический
базис одномерной группы гомологии многообразия Г, обозначаемой
Нх (Г; Z). Число N называется алгебраическим родом римановой
поверхности Г.
Рассмотрим на поверхности Г абелев дифференциал
dQ(x, р)= ар d9'
Этот дифференциал является абелевым дифференциалом третьего рода,
имеет простые полюсы в точках piy (х0) £ Г и (ху (a:) £ Г, / = 1, 2, ..., N,
с вычетами —1 и +1 соответственно, а также полюс второго порядка
в точке оо £ Г с вычетом —i (х —а:0) относительно локального
параметра т £ (С1, определяемого по формуле р = т~2. Введем следующие
нормированные абелевы дифференциалы третьего рода на Г : day (^ (л:),
\ij (х0))у j = 1,2, ..., N, каждый из которых имеет в качестве
единственных особенностей полюсы в точках \if (х), \ij (x0), /=1,2, ..., N, с
вычетами +1 и —1 соответственно, и нормированный абелев дифференциал
второго рода day (р), имеющий полюс второго порядка в точке оо g Г
и представимый в локальном параметрет£ (С1 в виде day (р) ~ —ix—2dx.
В силу теорем Римана — Роха и Коши на римановых поверхностях
рода N [168, 250] справедливо следующее равенство:
dQ (х, р) = day (р) (х — х0) +
N N
+ S day ftx, (x)9 \i, (x0)) + 2 л, (х) dayj (р), (l .63)
где do)y (p), / = 1, 2, ..., jV,— нормированный базис абелевых
дифференциалов первого рода на поверхности Г; rtj (х) £ (С1, / = 1, 2, ...
..., Л/,— некоторые функции х £ [R1. Нормированность введенных
абелевых дифференциалов означает, что
(j) do,- (p) = 6l7, (j) dco, (p) = bi},
°] *' (1.64)
(J) d© (p) = 0, <j) d© fox, (*), ^ (x0)) = 0
aj a.
для всех iy j = 1, 2, ..., ЛЛ Учитывая мероморфность и однозначность
функции^ (а:, х0у р) по параметру р £ Г \ (оо), находим, что
Ср dQ (х, р) = 2яту, ^) dQ (х, р) = 2ш'ту, (1.65)
°/ */
где/ = V— 1, Я/, /Я/ £ Z, J = 1,2, ..., jV. Используя равенства (1.64),
(1.65), из соотношения (1.63) находим
nj(x) = ni£Z9 /= 1, 2, .... jV,
X С dc°y (P) = а1 (х — *о) + тУ + S V1* (1.66)
62

Здесь af = -^- (j) dco (p), / = 1,2, ..., Ny и интегрирование в (1.66)
ведется по некоторым непересекающимся гладким кривым Sj cz Г,
/ = 1, 2, ..., N, соединяющим точки \ij (х0) и \ij (х) £ Г, / = 1, 2, ...
..., N, соответственно. При выводе формулы (1.66) также
воспользовались тождествами || Ьк\ II = II &/л ||> /, й = 1, 2, ..., Л/', и равенствами
<j) dco (щ (л:), ^ (%0)) = 2ш" £ dco, (p), (1.67)
верными для всех /, k = 1,2, ..., N.
Пусть \х — некоторая точка на поверхности Г. Рассмотрим
отображение
v:SN (Г)-+<£", (1.68)
где SN (Г) — симметричная степень поверхности Г, определяемое
следующими соотношениями:
V/=S Л*/(Р), /=U 2, ..., N, (1.69)
*-» i
причем интегрирование в (1.69) ведется по гладким кривым sk cz Г,
к = 1,2, ..., N, которые нигде, кроме точки jli £ Г, не пересекаются.
Отображение (1.69) называется отображением Абеля. Учитывая (1.66),
отображение (1.69) можно записать в виде
\\SN (Т)-+$(Т\ (1.70)
где # (Г) = tNiV, V = || 8ijy Ьц ||, i, j = 1,2, ..., N,— так
называемое многообразие Якоби, порожденное матрицей периодов ИГ базиса
абелевых дифференциалов первого рода на поверхности Г. Известно [189,
203, 205], что отображение (1.70) — бирациональный изоморфизм,
а задача определения точек \if (х) £ Г, / = 1, 2, ..., N', эквивалентна
стандартной проблеме Якоби обращения абелевых интегралов первого
рода на компактной римановой поверхности Г [90, 205]. Для ее
решения введем многомерную ^-функцию Римана [90, 205]
#(v)= £ ехр{2ш (v, m> +ш (fom, m>}, (1.71)
mez^
где v £ (С^; (• , •> — обычная билинейная форма в (С^. С помощью
^-функции (1.71) и отображения Абеля (1.70) определяется 0-функция
Римана на поверхности Г:
6U, p) = v(&{p) — a(x — x0) — y)9 (1.72)
где для всех / = 1, 2, ..., Af
со,- (р) = \ d(x)f (р), V/ = £ ©/ (и* (*о)) + -о- £ */* — -о- /• 0 -73)
Легко проверить, что в-функция (1.70) аналитична на поверхности Г,
рассеченной по а-циклам группы Нх (Г; ^), а ее нули совпадают
63

с точками \ij (х) £ Г, / = 1,2, ..., N. Это следует из свойств ^-функции
Римана
#■ (у + т) = г? (v), tf (v + Ь,) = ехр (— 2т\, — шЪ/7) г? (v),
где v £ (С^, т £ 2^, 6,- = || bjk |, /, ft = 1, 2, ..., W. Заметим также,
что необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости
проблемы Якоби (1.70) является нетривиальность 9-функции на
поверхности Г, что гарантировано в случае, если среди точек \ij (х0) £
€ Г, / = 1, 2, ..., N, нет сопряженных, т. е. для всех /, ft = 1, 2, ...
..., N при / Ф k р fox/ (х0)) ф р (\ih (х0)).
Свойства G-функции Римана ведут к однозначному представлению
блоховской собственной функции уг (х, х0; р), р £ Г, в виде
ух (х, х0; р) = ехр [<* - х0) ш (р)] g^ffi; g • (1.74)
Таким образом, из (1.74) и формулы (1.59) прямым вычислением предела
получаем
и(ху t) = 2-£г 1пв(х, оо)- J Ej + 2 £ (брЛо/ (Р). (1.75)
/=0 ^1 а.
Формулу (1.74) можно также получить, используя (1.57) и теорему Ко-
ши на поверхности Г
V iij (х) = V (fi pd©, (p) - res [pd In в (х, р)]. (1.76)
/=i /=i if. p=ooer0
Формула (1.75) дает решение обратной задачи определения
функции и (xt 0 £ М в операторе Хилла (1.20) по его спектральным данным.
В силу сделанных предположений о спектре оператора Хилла
оператор Хилла конечнозонный, причем в спектре ровно %+ Э N < оо лакун,
образующих зоны неустойчивости блоховских собственных функций.
1.8. Нахождение формул для точных решений уравнения Кортеве-
га — де Фриза. Пусть Д (р) £ 0 (М), р £ (С1,— производящая
функция законов сохранения для динамической системы Кортевега — де
Фриза (1.1). Рассмотрим следующий производящий поток на М:
ut = —(£gradA(p). (1.77)
Очевидно, беря вычеты, из (1.77) легко получить всю иерархию
динамических систем на М> порождаемых законами сохранения Tf £
£ 0 (М), / £ %+. Выберем в качестве данных Коши на М для потока
(1.77) функцию (1.76), имеющую заведомо известную спектральную
структуру, и вычислим эволюцию функции (1.76) в силу потока (1.77).
Для этого в силу инвариантности всех параметров римановой
поверхности Г относительно потока (1.77) достаточно вычислить динамику по
t £ fR1 только параметров Y/ <Е (С1, / = 1,2,..., N, зависящих от точек
дивизора 21 (х0) функции Блоха уг (х, х0\ р), р £ Г. Из (1.73) находим
-J-у, = {А(р), Т/}* = J '"/у»» (А(р), Mft(Xo))e, (1.78)
64

где / = 1, 2, ..., N. Для вычисления скобки Пуассона в (1.78)
достаточно найти скобку Пуассона для Д (р) и функции Sn (х0, а), а £ Г,
нули которой содержат точки дивизора ЭД (х0), х0 £ [R1. Вычислим
коммутатор {Л (р), S12 (x0, а)}^:
{Л (р). S12 (*... a))ar = (grad A (p), £ grad S12 (x0, а)) =
= ~~ШГ (§rad Л (р)» Л grad Si2 (*«» а» =
= -fc {M grad А (р), grad S12 (х0, а)) — -Jj- =
= 9- (2 grad А (р), grad S12 <дс0, а» _-|L- =
e—"Tc« — -ta" + "T (Srad A (P)» ^ §rad Si2 (xo. «)) =
= ■£- {А (р), S12 (ль, а)} ^ _ 4- - -*£- • (1 -79)
(1.80)
Здесь мы воспользовались соотношениями
М grad Д (р) = — 4р££ grad Д (р),
Л1 grad S12 (x0t а) = — 4а£б grad S12 (а;0, a),
а также ввели обозначения
Ci = {аххЬ + аЬхх — ахЪх + 4аЬи] Г0+/,
а = — — S12 (л:, р), ах = — [Sn (х, р) — S22 (а;, р)],
ахх = S21 (*, р) + S12 (х, р) (и (х, t) + р),
Ь = Sn (х0У а) у\2 (х, х0; а) — S12 (х0, а) уи (х, х0\ а) у12 (х, х0\ а),
bx = 2Sn (а;0, а) у12 (х, х0; а) у22 (х, х0; а) —
— S12 (а;0, а) [*/21 (х, х0; а) у12 (х, х0; а) + уп (х, х0; а) у22 (х, х0; а)],
(1.81)
bxx = 2Sn (х09 а) [у222 (х, х0; а) — (и + а) у\2 (х, х0; а)] —
— 2S12 (а;0, а) [*/21 (х, х0\ а) */22 (а;, х0; а) —
— (*г + а) */п (х9 х0; а) */12 (а;, х0; а)],
с2 = а&Г'+/.
2 к
Учитывая, что Y (х, х0; а) |х=Хо = |6t/||, i9 j = 1, 2, У (х0 + /, x0t p) =
= S(x0, p), из (1.81) находим
сг = — S12 (*0, p) [S22 (a:0, a) — Sn (a:0, а)] +
+ S12 (*0f a) [S22 (*0f р) — Sn (х0, р)], с2 = 0. (1.82)
5 6-1669 g5

Таким образом, из (1.79) и (1.82) окончательно получаем
(Д(Р). Si2(*o> «)}<? =
4(а —р) *
Так как в силу потока (1.77)
-37- S12 (*0, <*) = (Д (Р). S12 (*0> а)}^
для всех / = 1, 2, ..., N,
fy/(*o) _ ^12 (*<и Р) У^лг (И-/)
2(^-р) П (Jiy-Jij
а/
(1.83)
(1.84)
(1.85)
/г=0
пф]'
где ветвь квадратного корня выбирается в соответствии с условием
(1.62).
Уравнения (1.85) естественно рассматривать как уравнения на
римановой поверхности Г. Подставив (1.85) в соотношения (1.78),
получаем
__ Л iSl* (*0> Р> VPN (^/) dfl>/ (^ W) _
а/
= — — S12 (*0, p) res
/1=1
пф]
d(Df (г) У"Р^)
dz Л'
(2 —(У) П (Z — [!„)
n=l
+
+ 4-slt(x0ip)^^J^^
^р
Л'
(1.86)
П (p — fi„)
/i=i
Так как вычет в (1.86) равен нулю и функция 512(л:0, р) =
. Г Д2 (р) _ 1 *
= — * i / —р //чЧ— П (Р — р* (*о))> то отсюда окончательно находим
|/ ^ (Р) Лвя1
fo/ _ 1 d(of (p)
(5/
dp
Кла(р)-1
(1.87)
Поскольку базис абелевых дифференциалов dco/ (p), p £ Г, / = 1,
2, ..., iV, на поверхности Г инвариантен относительно потока (1.77),
то из (1.87) получаем
у, (0 = V/ Со) + 4" -^г^^ Л2 (р) - И' - 'о). /=1.2, .... лг.
(1.88)
Это означает, что эволюция вектора у (t) £ f (Г) по многообразию
Якоби 2 (Г) является линейной. Учитывая (1.13), из (1.77) и (1.88)
66

для динамической системы Кортевега — де Фриза (1.1) находим
Y/ (0 = Т/ Со) + 4i (/ —10) reg lim
р-юо+ег
Т dco/(p) I • i о
dp
..., N,
(1.89)
законов
(1.90)
oo+gr.
где принято во внимание, что для производящих функций
сохранения Т (р) и А (р), р £ (С1, справедливо равенство
grad Т (к) = , * grad Д (р),
& w V д2 (р) - 1 6 u'
а через reg lim обозначена регулярная часть предела при р->
р-юо+ег
Подставив значение вектора у (t) в формулы (1.72), (1.73), из (1.75)
найдем явное выражение для решения и (х, t) динамической системы
(1.1) в терминах римановых ^-функций на поверхности Г. При этом,
очевидно, для всех значений параметра t £ [R1 спектр оператора Хил-
ла L [и, р] (1.20) будет оставаться конечнозонным с неизменными
границами Ej £ [R1, / = 0, 1, ..., 2N, лакун.
1.9. Квазипериодичность функции и (х, t). Рассмотрим более
подробно уравнения (1.85) на поверхности Г. Так как при всех х0 £ [R1,
t 6 ("R1 значения р (jiiy (л:, /))> /=1,2,..., N, действительны, то при
изменении параметра t£ [R1 точка \if (x0, t) £ [R1, / = 1, 2, ..., Nt
двигается в /-й лакуне:
[E2l-uE2j]cz\R\ / = 1. 2, .... N.
Это значит, что она описывает на поверхности Г замкнутую
траекторию, двигаясь сначала по верхнему, а затем по нижнему листу
поверхности Г, обязательно проходя через границу лакуны. Если
зафиксировать переменную t = t0 £ [R1 и изменять переменную х £ [R1, то из
(1.7) гл. 2 находим, что точки jiy (х, /0) £ Г, / = 1,2, ..., Af,
удовлетворяют следующим уравнениям:
-j-*— л. ' . /=1.2 ЛГ. (1.91)
П ftiy — ^)
Очевидно, что при изменении переменной л: € FR1 на отрезке [х0,
х0 + /1, х0 £ [R1, точка |Иу (х0, t0) £ Г, / = 1,2, ..., N, описывает
замкнутую траекторию на поверхности Г. Воспользовавшись известным
фактом [101] о том, что блоховская собственная функция у1(х9 х0\
E2j), /=1,2,..., N, имеет ровно / нулей по переменной х £ [R1, где
/ — номер лакуны, получим, что в силу представления (1.56) точка
^/ (х> to)* 1 — 1» 2, ..., Ny при изменении параметра х £ [R1 в пределах
одного периода [л:0, х0 + Л, х0 G IR1, описывает ровно / £ Z+ циклов
вокруг лакуны [£2/-i. Е2}] а Г, / = 1, 2, ..., N. Таким образом, в
силу формул (1.75) и (1.89) функция и (х, t) как траектория
динамической системы (1.1) является в общем случае квазипериодической как
по переменной х £ [R1, так и по переменной t £ [R1 с группами
5*
67

периодов lj £ [R\ / = 1, 2, ..., W, иту £ [R1, / = 1,2, .... N,
соответственно, вычисляемых по формулам
Т' = S (Г1)/* «*. т, = J (&"1)/* рь (1.92)
где Р*. = reg lim Щ р 2 ^( ) , & = 1, 2, ..., N. Для определения
р-*°оег L dp J
чисел ау, Р/^С1, /=1, 2, ..., N, через параметры римановой
поверхности Г удобно воспользоваться следующими формулами для
нормированного базиса абелевых дифференциалов dco/ (р), /=1,2,..., N,
первого рода на поверхности Г:
N _±
dcoy (р) = Ц cik p"-* [PN (p)] ^ dp, (1.93)
где числа с,* £ (С1, /, & = 1, 2, ..., W, вычисляются однозначно [58,
205] из условий (1.64).
Рассмотрим теперь условия, которым удовлетворяют в конечно-
зонном случае законы сохранения Т] £ 0 (М), / £ %+. Пусть Т (р) £
£ 0 (М) — производящая функция законов сохранения динамической
системы (1.1). Согласно (1.90) и (2.6) гл. 2
gradr(p) = -4-n(P-^[P^(P)]"T- (L94>
Отсюда следует (при р->оо+£Г), что все величины grad Ггу-н, /]>
^Af+l, линейно выражаются через gradT^-H, / = 0, 1, ..., N
(gradr2/ = 0, /GZ+). Т- е-
grad Г2/+1 = £ С>* 2rad Г2*+ь 0 -95>
где С/Л€П?\ 6 = 0, 1, .... W, />ЛГ + 1.
Таким образом, в силу теоремы 2.7 гл. 1 динамическая система
(1.1) в конечнозонном случае сохраняет инвариантным
подмногообразие S cz УИ, определяемое условиями (1.95), которое в
случае его компактности диффеоморфно тору tTPN. В силу
результатов, полученных выше, этот тор вкладывается гладким образом
в многообразие Якоби f (Г), являющееся комплексным ЛЛмер-
ным тором. Линейность движения динамической системы (1.1) на торе
ТГ^ следует из формул (1.89) и (1.66). Таким образом, соотношение
(1.95) определяет классы Af-зонных потенциалов уравнения Хилла
(1.20), явный вид которых дается формулой (1.75).

§ 2. УРАВНЕНИЕ SIN- ГОРДОНА
И ЕГО ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
2.1. Законы сохранения. Имплектические операторы ££ и М.
Рассмотрим на периодическом гладком многообразии динамическую
систему sin-Гордона uxi = sin и в форме
щ = д~*$\пи = К[и\, ху t£ К1, и£М. (2.1)
Покажем сначала, что динамическая система (2.1) обладает
бесконечной иерархией нетривиальных законов сохранения. Для этого
получим решение уравнения (3.10) гл. 2 для случая динамической системы
sin-Гордона (2.1) в виде (3.11) гл. 2. Имеем
X
Ф* = cos ид ф, ф = ехр
Хх + X~lt + Г а (*, X) dx
(2.2)
где для функции а (х, X) имеем следующее асимптотическое при X ->•
-*• оо £ (С разложение:
а(*Д)~ £ а/МГ'. (2.3)
/=о
Для вычисления локальных функционалов Oj [и], / = 0, 1, ...,
рассмотрим локальный функционал b (x, X), определяемый
уравнением
Ь (х, Х)у = <Э~У (2.4)
При X -+ оо £ (С1 функционал b (x, X) имеет асимптотическое
разложение
Ь(х, Х)~% bi[u]X~f. (2.5)
/=о
Из уравнений (2.2) и (2.4) получаем рекуррентные соотношения,
которым удовлетворяют величины bf [и], Oj М, j = 0, 1, ...,
6/1 + -Qf \ (У/ [и] dx = bf cos и,
д
х9
bfx + bj+i + £ Ь,-&к = ву.о. (2.6)
Отсюда, в частности, находим
Ьо М = 0, Ьг [и] = 1, Ь2 [и] = 0, Ь3 [и] = -&£- , (2.7)
<*з М = -у (М2 — х(w*)4' а4 М = °'
аб [и] = — х ("***)2 + -j- (uxx)2 {uxf — -jg- (*g6, ав [«] = 0,
69

+ -^(^)2(^)4 + -т1г^>8-
Таким образом, функционалы Tf = f of[u]dx9 j£Z+> являются
законами сохранения для динамической системы (2.1), причем Тгу-нё
£jS(Af), /£2f+, —нетривиальны и функционально независимы.
Используя формулы (2.7), вычисляем следующие величины:
grad Т0 = 0, grad Г, = ихх, grad Г2 = 0, (2 g)
grad Г3 = ихххх + -J- (и*)2"«, grad Г4 = О,
grad Г5 = н<6> — — (цхи\х)х + -§- [««(их)2]хх + ~ {ихУ ихх.
Так как оператор д~х имплектический, то динамическая система
sin-Гордона (2.1) имеет гамильтонову запись в виде
щ = К [и] = — £ grad Я, (2.9)
где (£ = д~х\ Н £ jZ) (Л4) — функция Гамильтона, представимая в виде
#= f (cos*/ — l)dx. (2.10)
Очевидно, что функционал (2.10) является законом сохранения для
динамической системы (2.1). Таким образом, если иерархия законов
сохранения Tj £ 0 (М), / £ 2?+, динамической системы (2.1)
допускает рекурсионный оператор Л = {£—{М, то согласно соотношениям (2.8)
пара имплектических операторов (££, М) удовлетворяет равенству
£Х2 grad T(k) = M grad Г (к). (2.11)
Из явного вида выражений (2.8) находим, что оператор М интегро-
дифференциальный, причем он должен иметь вид
М = д + ад~ха + $д~1 + ff~% (2.12)
где а, Р — некоторые пока неизвестные локальные функционалы на
М. Из (2.11), разложив Т (X) в ряд по X и приравняв коэффициенты
при одинаковых степенях X (пользуясь произвольностью параметра X),
находим
a"1 grad7\-+2 = M grad Th j£Z+, (2.13)
откуда после ряда несложных преобразований получаем а = их,
р = о.
Итак, оператор М имеет вид
М = д + ихд~хих. (2.14)
Несложно показать, что операторы ^ и М нетеровы и
наследственно рекурсионные, т. е. оператор {£ + М имплектичен. В качестве след-
70

ствия получаем, что иерархия законов сохранения для динамической
системы (2.1) бесконечна, нетривиальна и функционально независима
в силу вида операторов ££ и М. Учитывая имплектичность операторов
££ и Ми соотношение (2.11), находим также, что все законы сохранения
Tj £ 0 (М), / £ Z+, находятся в инволюции относительно обеих
скобок Пуассона {•, -}^, {•, -]м на 0 (М), т. е. для всех /, k£ Z+
выполнены равенства
{Т„Тк)^=[Т„Тк}^ = 0. (2.15)
Кроме того, поскольку Ti £ jZ) (M), / g ^_l,— законы сохранения
динамической системы (2.1), записанной в виде (2.9), получаем равенства
{Я, Tj}g> = {Я, Tj)j( = О, которые выполняются для всех / £ 2?+.
Таким образом, на подмногообразии ScM, определяемом
соотношением вида (2.64) гл. 1, динамическая система (2.1) в силу теоремы
2.7 гл. 1 вполне интегрируема по Лиувиллю.
2.2. Представление типа Лакса. Используя явный вид имплектиче-
ской пары (££, Л1) и применяя градиентный метод гл. 2, докажем
существование для динамической системы (2.1) представления типа Лакса
(1.3) гл. 2 с оператором L [и, X]. Так как функция grad T (X) ~
~ grad Д (X) удовлетворяет в силу (2.11) линейному
дифференциальному уравнению минимального третьего порядка, то оператор L L/,
X] представим в виде
L [и, X]
»т
— а
= й-£--Л[и.ьь
дх
(2.16)
где а, Ь, с — некоторые пока неопределенные локальные
функционалы на М.
В силу явного вида законов сохранения и динамической системы
(2.1) приходим к выводу, что Аи [и, X] = 0. Тогда согласно (2.7) гл. 2
имеем
grad Д (X) = - -L tr (SAUx) + ± tr (S И, Аф (2.17)
Подставляя соотношение (2.17) в равенство вида (2.11), имеем
Х2д~х grad Д (X) = (3 + ихд~1их) grad Д (А,). (2.18)
Используя уравнение (1.7) гл. 2, отсюда получаем
JJ-.AUx = 0t b = c, aUx = 0. (2.19)
Учитывая равенства (2.18), из соотношений вида (3.24) и (3.25) гл. 2
находим
— Л*.
2 2
c/Z [", А,] =
(2.20)
71

Таким образом, динамическая система (2.1) обладает
представлением типа Лакса (2.3) гл. 2 с L [и, М-оператором, определяемым
выражениями (2.15) и (2.20).
Применение методов спектральной теории для оператора (2.20)
позволяет аналогично методике § 1 этой главы построить класс конеч-
нозонных операторов L [и, X], для которых функция и (х, t) £ 0 (М)
удовлетворяет соотношению вида (2.64) гл. 1 и имеет представление
в терминах римановых ^-функций.
§ 3. НЕЛИНЕЙНОЕ МОДИФИЦИРОВАННОЕ
УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — де ФРИЗА
И ЕГО ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
3.1. Гамильтонова форма записи. Нелинейное уравнение,
обобщающее уравнение Кортевега —де Фриза (1.1), имеет вид
ut = К [и] = — &и2их — иххх (3.1)
и называется нелинейным модифицированным уравнением
Кортевега—де Фриза (МКдФ). Уравнение (3.10) гл. 2 для определения
иерархии законов сохранения Ti £ 0 (М), / £ 2-ь записывается в виде
Ф/ = — 6*/2ф, — <рххх. (3.2)
Пусть ф имеет следующее представление:
Хх — X3t + J а (х, X) dx
(3.3)
Ф = ехр
где
а[*Д]~ £ а, [«]*-' (3.4)
/=о
есть соответствующий асимптотический при X ->- оо, X £ (С1, ряд
функции а [х, X]. Подставляя (3.3) и (3.4) в (3.2), получаем рекуррентные
соотношения
-^- С <Jj [и] dx = — 6a26/t_i — 6u2Oj — oifXX —
/ /+1 /
— Заж,* — 3 X <*j-k<*k,x — За/+я — 3 £ a/+i-*<x* — J] а^к-п<Укоп.
k=0 А=0 k,n=0
(3.5)
Отсюда находим первые локальные функционалы а, М, /£ ^+, в
явном виде
а0 [и] = 0, ог [и] = — 2и2, а2 [и] = 4ииХ9 (3.6)
а3 [и] = — 2 (их)2 — \иих — 2и4,
а4 [и] = \ииххх + \ихихк + \Ыъих%
72

Выражениям (3.6) соответствуют законы сохранения
Т,= j ojMdx, j£Z+, (3.7)
где x0£\R\ /£ К1 —периоды функции и(х)£М = СПИ?1; К1).
Вычислим градиенты функционалов (3.7), используя формулы (3.6):
grad T0 = 0, grad 7\ = — 4и,
grad Т2 = 0, grad Т3 = — \ихх — 8и\ grad Т4 = 0. (3.8)
Используя выражения (3.8), покажем, что уравнение МКдФ (3.1)
имеет гамильтонов вид
ut = —{£gTadHt (3.9)
где (£ = <Э, Я G J0 (M) и
я=-4гз = j [4-(^)2+-
dx. (3.10)
Таким образом, наследственно рекурсионный оператор Л = {£~{М
существует, если существует имплектический оператор М, для которо-
го выполнены тождества
(6 grad Г/+2 = М grad Г/ (3.11)
для всех / £ %+- Учитывая явную зависимость выражений (3.8) от
точки и £ М, приходим к заключению, что имплектический оператор
.Я в общем виде является интегро-дифференциальным оператором
следующей канонической формы:
М = д3 + ад + да + ра_1р. (3.12)
Используя соотношения (3.11) при / = 0, 1, ..., 4, последовательна
найдем, что а = 2и2, |3 = 2шх. Тогда
М = д3 — \ихд~хих + 2и2д + 2ди2. (3.13)
Несложно проверить, что операторы (£ и М имплектичны, нетеровы
и согласованы, т. е. оператор Л = ^~1М действительно наследственно
рекурсионный. В качестве следствия получаем, что иерархия законов
сохранения (3.7) является нетривиальной, бесконечной и
функционально независимой.
В силу тождеств (3.11) имеем
I? ^ grad Г (к) = М grad T (к), (3.14)
где Т (К) = [ а (х, X) dx — производящая функция законов
сохранено
ния (3.7). Отсюда легко получаем, что для всех /, k£Z+
[ThTk)Sr={ThTk)Jt = 0, (3.15)
т. е. законы сохранения (3.7) находятся в инволюции относительно
обеих скобок Пуассона на многообразии М.
73

Из теоремы 2.7 гл. 1 следует, что динамическая система (3.1) на
подмногообразии S cz УИ, определяемом соотношениями вида
grad#2*+i = X ckgvadH2k-u W£ £+, (3.16)
является вполне интегрируемой, а движение на S квазипериодично по
переменной t £ [R1.
3.2. Представление типа Лакса. Перейдем к задаче построения
представления типа Лакса (1.3) гл. 2 для динамической системы (3.1).
Уравнения (3.14) можно переписать в эквивалентном виде
Х2£ grad А(Х) = М grad А (А,), (3.17)
где А (к) = -г tr S (x0, X)t S (х0, X) — матрица монодромии для
оператора Лакса L [и, X], спектр б (L) которого, по определению,
инвариантен относительно потока (3.1). Используя явный вид операторов
t£ и Му из (3.17) находим
X2gradA(X)=£-lMgTadb(X) = (д2 + 4ud~lud)grad A (X). (3.18)
Как следует из результатов гл. 2, порядок матричного
дифференциального уравнения для величины grad А (X) v = 3, что для порядка
матрицы Л [и, X] в операторе Лакса L [и Д] = j- fl — А [и, X] дает значение
k = 2, поскольку k2 = v + 1. Представляя оператор L [и, X] в виде
(2.15) и используя в (2.18) формулы (2.8), (3.3) и (3.25) гл. 2, находим,
что оператор L [и, X] имеет вид
X
Цил\ = й^г
X
(3.19)
Что касается матрицы А [и, X] в матричном представлении типа Лакса
(1.3) гл. 2, то ее легко вычислить, заметив, что матрица монодромии
5 (х0у h) оператора (3.19) в силу формулы (1.2) гл. 2 удовлетворяет
уравнению
-ЗГ S = [Л, S]. (3.20)
Учитывая, что в силу уравнения Гамильтона (3.9) матрица 5 (x0t f)
удовлетворяет также уравнению эволюции
-^-S={//,S}^, (3.21)
можно, вычисляя (3.21) в явном виде и учитывая (2.4) гл. 2 и (3.10),
получить матрицу А [и, X] в явном виде
А [и, X] = lAl1 Al2L (3.22)
1^21 ^22 II
где
74
/1ц — ^22 — о~~ '

Al2 = — 4K2 — Xax — 2иъ — uxx, (3.23)
A21 = 4k2 — kux + 2u3 + uxx.
Прямым вычислением, используя выражения (3.19), (3.22), (3.23),
убеждаемся, что на траекториях динамической системы МКдФ (3.1)
выполняется равенство (1.2) гл. 2. Это означает, что поток (3,1) на
многообразии М обладает представлением типа Лакса. Использование
спектральных свойств оператора (3.19) позволяет построить функцию
и (х, t) в явном виде через ^-функции Римана.
§ 4. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА:
ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
И КОНЕЧИОЗОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДИРАКА
4.1. Законы сохранения. Имплектические операторы i£ и М.
Нелинейное уравнение Шредингера на периодическом бесконечномерном
многообразии М = С/00) ([R1; (С2), где [R+ Э ' < °° — период, имеет
вид
tyt = l^xx — ЩЩ, 'Ф/ = — Н\х + 2гфя|зг|э, (4.1)
где г|\ г|э £ М, I = V—•• После редукции я|> = ± яр* уравнение (4.1)
превращается в обычное нелинейное уравнение для функции \р £ /W,
имеющее широкое применение в физических задачах [378].
С помощью градиентного метода (см. гл. 2) покажем, что
динамическая система (4.1) допускает стандартное представление типа Лакса
(1.2) гл. 2 и является вполне интегрируемой динамической системой
на М.
Покажем сначала, что система (4.1). обладает бесконечной
иерархией законов сохранения Tf £ 0 (М), j = О, 1,2, ... Для ее определения
получим решение уравнения (3.10) гл. 2, принимающее в случае
системы (4.1) следующий вид:
«р, = -К'*<р, К' =
&-4iW 2ир ||
- 2гг|г* — id2 + 4п|л|э ||
Функция ф £ С<0<" (fR2; (С2) при А -*■ {оо}, А, £ (С1, асимптотически пред-
(4.3)
ставима в виде
Ф = [ 1 ехр Хх — ikH + [ о (х, К) dx
\Ь(хЛ)) Р[ I
где
Ъ (х, Ь) ^ £ 6, [ф, у\ AT7, о (х, k)~Vof [я|), ф] Х-'. (4.4)
,'=0 ,=0
В силу (4.2) для локальных функционалов bf [\р, я|>1, а; [ф, г|э1, / =
= 0, 1,2, ..., получаем следующие рекуррентные соотношения:
г) / — —
1~дГ [ G>dx = 2oi+l + X al-iPk + <*/.* — 4я|тфбу,о + 2q2bh
A=0
75

- i -^ bj - i £ Ь,-к [ okttdx = 26/+2 + 2f»6/i0 + Ьихх +
/ ж
+ 2&>+u + 2 J] (Jy-kbk,x + 2 J] (т/+1_Л +
/ / —
+ V] bHk-nokon + j &/_лал^ — 4г|д|Л> (4.5)
£,n=0 Л=0
для всех / = О, 1, 2, ... Используя уравнения (4.1) и рекуррентные
соотношения (4.5), можно получить следующие формулы:
<?о = 0> *1 = 2^, а, = %я() — ад — (ДО)*.
*з=4<*«*+****) - **** -w + 4- < w* +
+ (ад-^"М^ &0 = ^1 = 0, 62 = -г|;2, 63= (^)2, ... (4.6)
Таким образом, функционалы
7,/= J °i№,Wdx, /=0, 1, 2, ..., (4.7)
являются законами сохранения для динамической системы (4.1).
Используя выражения (4.6), построим имплектический оператор ££,
относительно которого динамическая система (4.1) гамильтонова,
т. е. с помощью которого представима следующим образом:
*j = —£grad//, (4.8)
где Н £ j5 (М) — функция Гамильтона.
Вычислим согласно (4.6) и (4.7) градиенты для функционалов Т.- £
€#(Л1), /GZ+:
(4.9)
gradr.= Q. gradr,= (|
gradT2 = f 2+Л, gradr3 = f2^-4!^,...
V-2W \2*«-4гЖ>/
Из (4.9) заключаем, что функция Гамильтона Н имеет вид
х0+/ _ __
Я = ^-Г3 = J N^-tfYld*. (4.10)
а имплектический оператор (£ задается матрицей
2 = 1 ° Ч. (4.11)
I-/ о|
76

Пусть Т (к) £ j5 (М), к £ С1,— производящая функция законов
сохранения (4.7),
Т(к) = [ о(х9 k)dx.
(4.12)
Тогда (4.12) удовлетворяет следующему соотношению:
сХк grad Т(к) = М grad Г (к)
(4.13)
при условии, что существует наследственно рекурсионныи оператор
Л = с1гхЛ1 со свойством (3.16) гл. 2, причем М — имплектический
оператор, согласованный с ££.
Запишем имплектический оператор М в следующей форме:
М =
ад
а
— id + bff~xa
— id + ad~[b
(4.14)
где a, b, a, P — некоторые пока не определенные функционалы.
Оператор (4.14) кососимметричен и интегро-дифференциальный.
Подставляя выражение (4.14) в (4.13), получаем
М = \
— 2hpd~~^
id + 2дрд-1яр
— id + 2/ярд-1яр — 2прд-1яр
(4.15)
Прямыми вычислениями легко убедиться, что оператор Л1 имплек-
тичен, нетеров и согласован с оператором ££.
Таким образом, бесконечная последовательность законов
сохранения (4.7) нетривиальна, функционально независима и в силу
тождества (4.13) для всех к £ (С1 инволютивна относительно обеих скобок
Пуассона, т. е. для всех /, k £ %.+ имеем
|J'/J»)i?=(r„nU = 0. (4.16)
4.2. Представление типа Лакса. Пусть для уравнения (4.1)
существует представление типа Лакса (1.2) гл. 2. Если S (x0i к)> к £ (С1,—
матрица монодромии оператора L [яр, яр; AJ, то в силу (4.13) функционал
А (к) = -г- tr S (х0, А,), где £ — размер матричного представления
оператора L [яр, яр; А,], удовлетворяет уравнению вида (4.13), т. е.
ИХ grad Д (Я,) = М grad Д (Я,). (4.17)
Согласно результатам гл. 2 оператор Z. [\р, яр; к), если он существует,
имеет матричный размер k = Kv +1=2, так как в силу (4.17) v =
= 3. Выбирая матрицу Л [яр, яр; к], входящую в оператор L [яр, яр; к],
в виде (1.15), после несложных вычислений, используя формулы (3.3)
и (3.25) гл. 2, находим
А,
Л [♦, *; М =
-тг *
* —ЗГ
(4.18)
77

Рассматривая оператор L [\f>, i|r, X] в виде
замечаем, что он эквивалентен обычному одномерному оператору
Дирака квантовой физики [14].
4.3. Свойства спектра оператора Дирака. Изучим более детально
спектральные свойства оператора (4.19). Если, как обычно, Y (jc, jc0;
X) — фундаментальное решение уравнения
L[ty,& Х]у = 0, (4.20)
где */£ С(0о) (К1; К2), то матрица монодромии S(xot X) = Y (х0 + U х0;
^)» *0£К\ Я^С1, вместе с матрицей Y (х, х0; X) будет целой функцией
параметра X £ (С1. Пусть у = (уъ у2)х — собственная функция Блоха
уравнения (4.20), при этом
supd^l + I^IXoo, (4.21)
где у = у (х, х09 X). Значения X £ (С1, удовлетворяющие (4.2), образуют
спектр a (L) оператора Дирака (4.19). Пусть £ (Я) £ (С1 — собственное
значение матрицы монодромии S (x0t X). Тогда справедлива лемма
[168].
Лемма 4.1. Значение X£o(L) тогда и только тогда, когда
| 1(Х) | = 1, причем 1(Х) = Д (X) + КА2М-1, Д (*) = 4 tr S (*0, Я,),
и в этом случае Д2 (А,) ^ 1, Im Д (X) = 0.
Будем в дальнейшем предполагать, что выполнена редукция ty =
= if* G C(cc) ([R1; J)1), которая, очевидно, совместна с уравнением
(4.1). Покажем, что в этом случае спектр сг (L) оператора (4.19)
действителен, т. е. о (L) a IR1.
Из явного вида оператора (4.19) следует, что фундаментальная
матрица Y (х, х0\ X) представима в виде
IIУ Л (*, *о1 Л») У 2 (Х> Х0> ^*) II
У(^;^Г ' ., ' . (4.22)
\у2{х, х0; X) ух (*, х0; А*)||
где уг(х0, x0i X)=\, у2(х0У х0; А,) = 0 для всех x0£\R\ X^fc1. Для
функции Д (X) = ~y \ух (х0 + /, х0; X) + у* (х0 + Z, х0; X*)] справедливо
тождество Д* (X) = Д (А,*), т. е. Д (К) — целая функция параметра X £ (С1 с
действительными коэффициентами. Для всех A,£R\ очевидно, Д(А,)£
Пусть у (х, х0\ А,) и г (jt, x0, |я) — две собственные функции Блоха,
Л, ft £ сг (L). В силу уравнения (4.20) справедливо тождество
-57" t</i (*»• *<>; *<) ~z2 (х, х0; \х) — уг (х, х0\ \i) z2 (x, x0; [i)] =
= iiX — MUJiix, x0\ X)z2{xy x0; \i) + у2(х, х0; Х)г1(х9 х0; |я)]. (4.23)
78

Так как собственная функция Блоха у (х, х0\ К) является также
собственной и для матрицы монодромии S (х0; А,), легко получить,
что при \х = А* £ [R1 функция z (х, х0, \х) = (у*2 (*, *о'> *<*)> К (*. *о;
А,*)) также блоховская. Учитывая этот факт, путем интегрирования
тождества (4.23) на отрезке [х0, x0 + l],x0 £ [R1, легко находим, что
Im Л, J [j#i (*, *0; Л,) |2 + | у2 (*, х0; К) |2] dx = 0. (4.24)
В силу нетривиальности функции у (х, х0, К) из (4.24) следует,
что Im А, = ОД £ a (L), т. е. спектр а (L) действителен. Тем самым
доказана теорема [168].
Теорема 4.1. Спектр о (L) оператора (4.19) действителен, т. е.
о (L) cz [R1, имеет зонную структуру, которая полностью
определяется нулями уравнения А2 (А,) = 1Д £ IR1.
Пусть а0 (L) = {X/ £ О?1 •* А2 (А./) = 1, / € £+} — основной спектр
оператора (4.19), упорядоченный на оси [R1 естественным образом.
Области параметра А, £ [R1, где А2 (к) ^ 1, являются областями
устойчивости, а области, где А2 (к) > 1,— областями неустойчивости. В
силу леммы 4.1 собственные функции Блоха для значений А, £ сг0 (L)
являются периодическими или антипериодическими по переменной
х £ [R1. Основной спектр характеризует следующая теорема [168,
471].
Теорема 4.2. Основной спектр o0(L) вырожден не более чем
двукратно, т.е. A(Kj) = ± 1, A,;£a0(L), /£j£, и если для-
п __ d2A(A)
= 0, то + -^
S(*0. X,) = ±fl.
dA,
\=%;
l=Xj
<0, причем в этом случае соответственно
Доказательство. Пусть сначала Д(А,0)=1 и
= 0, X0£o0(L). Из вариационного равенства
rfA(A)
dX
л—Ло
0 =
dA(k)
x0+l
dX
\,=Aq iJ
6A(A)
б*
X=Ko
6l|> +
6Л(А)
6ф*
&ip*ld* (4.25)
следует, что grad А (Л,)|л,=а,0 = 0, т. е.
6Д(А)
6ф
6А(А)
Л—л0
6ф*
grad А (Х)|х.=х0 =
Л—Л»о
= 0.
В силу (2.6) гл. 2 из (4.26) находим
j/S21 (x0, Х0)
~\312(х0, Л,).
= 0.
(4.26)
(4.27)
Прямым следствием соотношения (4.27) и равенства det S (х0, X) = 1
для всех X £ (С1, л:0 £ [R1 является равенство S (х0, Х0) = £. Из (2.5)
79

гл. 2 дифференцированием по X £ (С1 получаем
J^^ = S(x0tk)^lY-l(x9 x0;k)l~l %(x,x0;X)dx, (4.28)
д?5(л:0, 7t) _ (95 (*0, К)
Хо+1
I — / он
0Ь
а 'Vй „-1
J Y~l(xt х0; ХЦ Q . К(х, *0; Jt)d* +
» он
+ S (х0, К) -^ J Y~{ (х, х0; к) Q .Г (х, х0; Я.) dx.
Полагая К = \, £ о0 (L), из (4.28) находим
<*2Д (А.)
Ж к=Х, 2
= -^-1гЯ(х0, А,0),
(4.29)
где матрица F (х0, %0) имеет вид
х,+1
— i 01
(*„. Л) = J Г"1 (х, х0;Х0) Q . У(*,*0; X0)d*. (4.30)
Используя явный вид матрицы (4.30), легко находим
*»+' _, . | — i 0|
^ (*в, ^о) \ Y (*. хо> К) о i\Y (*' Х°' ^ dx
trF*(x0, XJ = tr
tr
a -p _, II — i Of
J dx J dt/Г (y, x0;^0) 0 f J У (у, x0; X0) x
Xq Xq
-1 II— * Oil
X Y (x, x0; k0)i Q . К (л:, х0-До)
Xo+l Xo+l
= f dx С dy ir
Xq Xq
Xo+l *o+'
У (x, у, К)
— i 0|
\ — i 0
0 iY(y>X;l°>\\ 0 i
J d* J dy[|yu(*. </; X0)|2 + |y12(x, </; ^0)|2]<0, (4.31)
где мы воспользовались групповым свойством фундаментальной
матрицы
Y (х, х0; К) Y (x0t y\X) = Y (*, у; X) (4.32)
для всех *, x0i y£\Rl и Х££1. Таким образом, согласно (4.29) и
<0. Аналогично, прово-
А,=Л<о
<4.31) выполняется неравенство ^
дя вычисления в случае Д (Х0) = — 1, находим, что S (л;0; Х0) = — 1
Л2Д (Я,)
и
<а*
К=К9
>0. >
S0

Основываясь на формулах (4.28), покажем, что для всех X £ a (L) \
\ о0 (L) выполнено неравенство ^ ' Ф 0. Действительно, из (4.28)
находим, что
dX
d\ (I)
dX
= -Ftr
S(x0, X) J Y l(x, x0; X)l 0 AY(x, x0; X)dx
*o+l
= L j dx[(S2,(x0; b) — Su(x0;X))<\yil(x,x0; b)|2 +
+ IУ12 (*. xo> h) I2) + 2 (5i2 (*o> ^) У и (*» x0; X) y\2 (x, x0\ X) —
— S*{2 (x0, X) yii (x, xQ\ X) y12 (x, x0\ A,)]. (4.33)
Предположим, что выражение (4.33) в точке к £ о (L) \ o0 (L)
превращается в нуль. Тогда из (4.33) получаем последовательность
неравенств
1 x°tl
~2~I 522(*о; *,) — 5П(х0\ Х)\ J [\уп(х, х0; Х)\2 + \у12(х9 х0\ I) |21 dx<
Хо
ХоЛ-1
< 2 | S12 (х0\ *<) I £ | У и (х, х0; X) 11 у12 (х, х0; X)\dx<
ХоЛ-1
<|512(a:0; Х)\ j [\уп(х, х0\ X) |2 + | y12 (x9 x0; X)\2]dx,
откуда
В силу неравенства | А (Х)\ < 1
|ReSu(*0, ^)|2<1.
Складывая последние неравенства, получаем
|5и(дс0; ^)|2-|512(V, Ь)|2<1. (4.34)
Неравенство (4.34) в силу условия det S (*0; X) = 1 при A^R1
приводит к противоречию, так как всегда в этом случае | Sn (х0; X) |2 —
— I ^12 (V» к) I2 = 1 • Тем самым наше предложение о существовании
точки X £ о (L)\o0 (L), для которой dA(X)/dX = 0, неверно. Итак, для
всех X £ a (L)\o0 (L) dA {X)/dX Ф 0, что и требовалось доказать.
Имеется другое доказательство отмеченного выше факта.
Рассмотрим соотношение (4.32), преобразованное следующим образом:
XoV -1 II —i о II 1
S (х0; X) Y (дс, х0\ X) :\\Y(X> xv k)dx
dA (I) __ J_ .
' ~~ 2
dX
-4-tr
*o+'
J r(*0 + /f *0; *)П*о. *; *)
L *o
— i 0
Y (x, x0; X)dx
6 6-1669
81

'!' Г*^' II—1' °1
= — trl j Y(x0 + t,x + l;l)Y(x + l;x0;X)Y(x0,x;X)l Q .
I. *o
X Y (x, x0\ X) dx
-4-*
*<>+'
j У(*0, *; А,) У (* + *,*; ty x
X ~ . К (л:, x0; X)dx
5
1 *•+' II — * Oil
= -o-tr K(*-H, *'Д) .\\dx =
= — J [S2aU, X) — Sn(x, X)]dx = [ lmSn(x,k)dx. (4.35)
Предположив, что (4.35) обращается в точке X £ о (L) \ o0 (L) в нуль,
получим
Хо+1
[ lmSn(x9 X)dx = 0. (4.36)
В силу действительности функции Im Su (х, X) интеграл в (4.36) может
обращаться в нуль только тогда, когда функция Im Su (x9 X) знакопе-
ременна по переменной х £ [R1. В силу ее непрерывности в этом
случае существует такая точка х £ (x0t х0 + /)» что Im S12 (х, X) = 0.
Так как Д (X) = i- [Sn (x, X) + S22 (х\ Х)\ = Re Sn (x\ X) < 1, то для
модуля | Su (л:, Х)\ справедливо неравенство
|Su&b)|a<l. (4.37)
С другой стороны, равенство det S (х\ X) = 1 эквивалентно при X £ [R1
такому:
|Sn(*; Я)|2= 1 +\Si2Cx; Х)\*.
Последнее равенство противоречит неравенству (4.37). Тем самым
установлено, что при X £ о (L) \ o0 (L) dA(X)/dX Ф 0.
4.4. Дивизор и дополнительный спектр оператора Дирака. Как
и в § 1, введем понятие дивизора 31 оператора Дирака (4.19), а также
дополнительного спектра gx (L). Пусть Г0 — риманова поверхность
функции w = V&2 (X) — 1, X, w £ (С1; р i Г0 -> (С1 — естественная
проекция поверхности Г0 на плоскость (Q1. Символ 21 = П М-/» где
П — знак свободного произведения точек Ц/ £ Г, / £ Л; 2 => Л —
некоторое подмножество, называется дивизором оператора L (4.19),
если точки р (\if) £ (С1, / £ Л, ц,/ £ Г0, являются собственными
значениями оператора L (4.19) на отрезке 1х0у х0 + /], х0 £ [R1, со
следующими граничными условиями:
уг (х\ Х)\х=Хо = у, (х\ X)\x=Xo+i = 0,
где
у(*. *) = Ci/i (^; *)#«(*; ^ГбС^Чп?1; С2).
82

L Гф, ф ; А] у (л:, А) = 0. Спектр ot (L) указанной выше граничной
задачи называется дополнительным.
В силу соотношений (4.27) \i (x0) £ ot(L) тогда и только тогда,
когда S12 (*0> И* (*о)) = 0- Согласно теореме 4.2 все вырожденные
корни уравнения Д2 (А) = 1, А, £ (С1, являются простыми нулями функции
S12 (л:0; А,) и тем самым составляют часть спектра a, (L).
Рассмотрим важный случай, когда в спектре о (L) оператора L
(4.19) имеется только конечное число лакун. Отметим лакуны с
помощью их границ Ef £ fR1, / = 1, 2, ..., 2N + 2, 2+ Э N — число
нетривиальных зон устойчивости в спектре о (L). Изучим для этого
случая вопрос о количестве собственных значений [i (х0), £ ot (L) \
\ сг0 (L), где через а0 (L), как обычно, мы обозначили вырожденную
часть спектра а0 (L).
2/V+2
Пусть PN (А) = П (А — £,), £, < £/+ь /=1,2, ..., 2N + 1,-
полином, построенный по границам лакун спектра о (L). Тогда,
очевидно, для функции S12 (x0; А) справедливо представление
512(*0; Л) = S12(*0; A) i/ A'ff (Ц ' , (4.38)
где функция S12 (лу, А) является целой и ее нули в точности совпадают
со спектром at (L) \ a0 (L). Легко заметить, что все нули \ь (х0)
функции S12 (*0; А) в общем положении имеют нетривиальную мнимую часть,
т. е. являются существенно комплексными.
Пусть А £ [R1 достаточно большое по абсолютной величине, т. е.
| А | -> оо. Тогда, очевидно, А £ сг (L), т. е. А принадлежит области
устойчивости спектра оператора L (4.19). Рассмотрим
соответствующую этому случаю блоховскую собственную функцию у (х, х0; А) =
= (#i U, x0; A), у2 (jc, x0\ А))т, как обычно, нормированную первой
компонентой на единицу, т. е. уг (х0, х0\ А) = 1, х0 £ [R1, А £ (С1. В силу
того что функция у (ху х0\ X) является собственной и для матрицы мо-
нодромии, для величины у2 {х0; А) = у2 (х0, х0\ А) имеем следующее
выражение:
Tj (г • и - ^'W-1 4- S«(*o:*)-Sfl(*o: *) /4 qq\
У2 { °' } Sl2 (x0; *.) ' 2S12 (*0; Я,) ' (*^У'
Из (4.38) и (4.39) получаем эквивалентное выражение
к<*.; х)=i^- + s^-s"i;°;X) • <4-40>
S12 (*0; А) ^12 (*°' Л)
Вычислим теперь асимптотические выражения при (А,) -> оо, А £
С [R\ для матрицы монодромии S (х0; А) и блоховской собственной
функции у (х, дс0; А).
1 Асимптотическое выражение для матрицы монодромии S (х0; А)
получим исходя из дифференциального выражения для фундаменталь-
б* 83

ной матрицы У (х, х0\ X):
dY (xy х(), X)
дх
— iX г|) |
Я|)*
iX\
Y(x, x0; X), Y(x0, x0; Х) = Ц. (4.41)
Положив в (4.41) Y(x, х0; X) = ехр[— iXf(х — x0)]R(x, x0; А,), где
^ = , находим интегральное уравнение
II0 —l||
X
R (х, х0; X) = fl + J ехр [2iXf (у — х0)] Q (у) R (у, х0; X) dy, (4.42)
где Q(x)
О яр (jc)
Интегрируя это уравнение методом после-
J \|)* (X) 0 ||
довательных приближений при R (х0, х0\ X) = 1, находим R (х, х0\ X) =
оо
= J] #/(*» х0; X), где #,(*, *0; X), / = 0, 1, ...,
—последовательно
ность матриц, удовлетворяющая уравнению
х
/?,+iU, х0; X) = ^ exp[2iXf (у — x0)]Q(y) Rf(yt х0; X)dy. (4.43)
Последовательное вычисление итераций в (4.43) приводит к
следующему асимптотическому при | X | -> оо выражению для S (х0; X) =
= ехр [—iXl] R (xQ + /, jt0; X) с точностью О (тз-)".
Sn (х0\ X) = ехр (- iXl) 1 - -^- J | ф (х) |2 dx + О (-1-) , (4.44)
L о J
S22(*0; X) = ехр (ft/) 1 + -±. J 11>(д) |2dx -f О (-1-) ,
L о J
S1,(*0:^ = *Uo)Jir- + o(^r).
S„ (x,; *) = ^* (*0) -^ + О (4-).
2. Из дифференциального уравнения (4.20) для функции а (х, К) =
= -^- In yt (х, х0\ К) получаем дифференциальное уравнение Риккати
-^ а + а* + Я* = (а + Л)-£-In г|> + | г|> |2.
(4.45)
Учитывая, что при | К | -> оо, X £ [ft1, функция а (*, К) допускает
асимптотическое разложение вида
а {х, К) ~ — /Л, + £ о, [г|>, ip] Я,"',
/=о
(4.46)
84

где локальные функционалы of [\р, \|)*], /==0,1,2, ..., вычисляются
в силу уравнения (4.45) с помощью рекуррентных формул. Для
первых членов ряда (4.46) имеем выражения
°о 1Ь Г] = 0, о, №, Г] = - |*|2, аа[ф, Г\ = 4r°i-
-а^М, ^№,f] = -5- + ^-^. (4.47)
Заметим, что в силу уравнения (4.20) выполнено соотношение у2 (х0;
к) = [о (х0; к) + Щ /яр (х). Тогда из равенств (4.40) и (4.46) находим
/=° Slf (*„; X)
—ЖГ J Ж*)|2<** + 0(1). (4.48)
Отсюда следует, что при | к | -> оо
^Р"(К) я|) (х0) ~-ik + 0 (1). (4.49)
Sl2 (x0; X)
Поскольку при | к | -> оо имеем VPn(X) ~ kN+\ то формула
(4.49) определяет асимптотическое при | к | -> оо поведение функции
5i2 (*0; к): S12 (x0; к) ~ Up (x0) kN. Так как S12 (x0\ к) — целая
функция, то S12 (*0; к) является полиномом N-й степени:
512 (*0; к) = n|> (x0) Yl(k-p fti,)), (4.50)
м
где |я,- g Г, / = 1, 2, .. ., N, и все нули р (|я,) £ (С1, / = 1,2,..., ЛГ,
различны. Действительно, функция Sl2(x0\ к) имеет вырожденный
нуль рО^оЖС1 Т0ГДа» когда -^- S12 (x0\ к)\ =0. Равенство
1А,=0(ц(хо))
(2.4) гл. 2 в этом случае приводит к условию, что С ух (х, х09 |я*) у
X у2 (ху х0\ |я*) dx = 0, (я = (я (jc0). Так как при вариации я|> (х) -> г|) (х) +
+ 6я|)(л;) из уравнения (2.4) гл.2 следует равенство
i х°+1
2*% (*о)) УГ (*» *<>; у*) у2* (*» *<>; и*)d* = j [^2 (*» хо> Iя*)]2 б^ (*) d* —
- J 1у1(х,х0\ ii*)]6y*(x)dx9 (4.51)
то условие ^ ^ (х, х0; |я*) г/2 (х, *0; |я*) dx = 0 эквивалентно равеи-
ствам у, (х, х0; |я*) = у2 (х, х0\ (я*) = 0, что неюзможно. Тем самым
получена теорема 190, 168J.
85

Теорема 4.3. Дивизор 21 конечнозонного оператора Дирака (4.19)
состоит в точности из вырожденного спектра о0 (L) и точек \if £ Г,
/=1,2, ..., N, таких, что р (\if) ф р (\ik), j Ф К /, k = 1, 2, ...
..., N9 причем 2+ Э Л/" — ^^сло нетривиальных зон устойчивости в
спектре о (L) оператора L Г\|), \J;*; X] (4.19).
4.5. Аналитические свойства блоховской собственной функции.
Покажем, что полученной информации достаточно для определения
исходного оператора (4.19) в терминах спектральных данных. В связи
с этой задачей рассмотрим дополнительно выражения (4.40) и (4.50).
Справедлива теорема [90, 168].
Теорема 4.4. Функция ух (х, х0; X) естественным образом продол-
жима до мероморфной на римановой поверхности Г \ {оо*}
функции w = УР (г), Х9 w £ (С1, причем ее полюсы лежат в точках дивизо-
N
ра 21 (х0) = П |я/ (*„). 1^/ (*о) € Г, /=1,2, ..., N, где р {\х,- (х0)) б
/=i
6 (С1* / — 1» 2, ..., N9— точки дополнительного спектра ol (L), а
нули — в точках дивизора 21 (х).
Доказательство. Рассмотрим функцию
z(xy х0\ X) = у2(х9 х0\ Х)уг(х9 х0; Х)—уг(х9 х0; Х)у2(х9 х0; X). (4.52)
Из выражения вида (4.23) следует, что функция, определяемая
формулой (4.52), постоянная, т. е. г (х9 х0\ X) = z (x0i x0; X) для всех х,
х0 £ L. При х = х0 + I из (4.52) находим, что
^^iffife- (4-53)
Из формулы (4.40) следует, что функция у2 (х0; X) может иметь полюсы
в точках дивизора 2( {х0). В то же время формула (4.53) утверждает,
что функция у2 (х0; X) имеет полюсы только в точках \if (x0) £ Г, / =
= 1, 2, ..., N. Действительно, из условия S12 {х0> X) = 0, Х£ [R1,
следует также, что S21 (х0; X) = 0 и £ (X) Sn (x0; X) = 1. Тем самым по.
люсы функции у2 (х0\ Х)у у £ (С1, образуют дивизор 21 (д:0).
Рассмотрим теперь выражение для блоховской собственной функ.
ции у (х, х0; Х))Х£о (L), в следующей форме:
у (х, х,\ X) = Y(xt x0; Х)у(х0; Х)9 (4.54)
где у (х0; X) = (1, у2 (х0\ Х))х, х, х0 £ [R1. Так как фундаментальная
матрица Y (х, х0; X) продолжима по параметру X £ (С1 до целой ана.
литической функции, то из формул (4.54) и (4.40) следует продолжи,
мость функции у (х, х0\ X) по параметру X £ (Q1 до однозначной
мероморфной функции параметра Х^ГЧ^оо*}, где оо+, оо~ (= Г—
ее существенно особые точки.
Рассмотрим компоненту ух (х, х0; X), X £ Г. Ее полюсы лежат в
точках дивизора 21 (лг0) в силу (4.54). Информацию о нулях функции уг (х9
xQ\ X) по параметру X £ Г получим из равенства
I (X) у (х9 х0; X) = S (х\ X)у (х9 х0; X), (4.55)
86

справедливого при всех х £ (R1. Из (4.55), учитывая (4.50), находим
У2 \х> хо> М Jj г
ФМ П ft —M*))
+ 2512 (*; X) У^Х* Х» ** (4'5Ь)
где вместо р (|Я/ (л:)) записано \х} (х)9 / = 1,2, ..., N. Формула (4.56)
показывает, что нули функции ух (х9 х0\ X) должны совпасть с нулями
функции S12 (х'у X) при X g сг0 (L).
Из равенства (4.55) и условия S12 (x> \if (х)) = 0, / = 1,2, ..., Af,
заключаем, что функция ух (х9 х0\ X) имеет в точках дивизора 21 (х0)
полюсы, в точках дивизора 9( (л;) — нули. \>
В окрестности существенно особых точек оо+, оо- £ Г имеем
следующие асимптотические разложения:
Ух (*. Ч\ М^оо+ет ^ г-***-**, у± (*, х0; Ь)к-~-€г ^ -|j^**Me>-
(4.57)
Этих данных достаточно для определения явного вида функции у± (х,
Хо\ X), ^ 6 Г, с помощью методов алгебраической геометрии на компакт-
ных римановых поверхностях. Прежде чем провести это построение,
уточним формулу (4.40) для у2 (х0\ X). С этой целью используем
уравнение (2.17) для определения величины —8а og T г\\ ——в(4.40).
Находим
а(*; К) = ~'Ур»Ы + _L JLL {х) П(X _ ^ (г))] . (4.58)
П (Х-м*)) L '"'
Из равенства а(х\ X) = -j—^ny1(xt x0\ X) и формулы (4.57) прямым
интегрированием получаем
Ъ (х х • X) - Г ♦ (»> п f Uw(i) )Г х
1 \ N
I П(Ь-|1/№>
X ехр
(4.59)
где параметр X, £ Г \ {оо+,оо-}. Поверхность Г, как обычно,
реализуем в виде двулистного наложения комплексной плоскости (С1 с
разрезами по отрезкам [£2/, E2l+\\ cz (R1, / = 1, 2, ..., N, (оо, £\],
[E2N+2* оо) с: [R1. На верхнем листе берется значение (X,, + VPn (X)),
на нижнем — (X, — V Ры {X)).
87

Из формул (4.58) и (4.46) находим «нелинейные тождества следов»
Л/ • д , 2Л/+2
/=1
+4-
Т2 t 2Л/+2
in^wj +4- .2 £<- (4-60>
■ - /-.
Формулы (4.60) означают, что конечнозонный оператор (4.19)
восстанавливается полностью по спектральным данным а0 (L) и дивизору
91 (х0), заданному на римановой поверхности Г.
Построим в явном виде собственную блоховскую функцию ух (xf
#<ъ М» ^ € Г, х, х0 £ [R1. По аналогии с конструкцией § 1 рассмотрим
на поверхности Г абелев дифференциал dQ {х\ К) = —п Уг **' *°'— dX.
Этот дифференциал является абелевым дифференциалом третьего
рода и имеет полюсы в точках |я; (х0) и \ij (х) £ Г, / = 1,2, ..., N, с
вычетами —1 и +1 соответственно, а также полюсы в точках оо+ и оо- £
£ Г второго порядка с вычетами —i (х — х0) и i(x — х0)
соответственно. Кроме того, в силу однозначности функции уг (х, х0\ X) на
поверхности Г интегралы ф d£l (х; К) и ф dQ (х\ К), где ah bh /=1,2, ...
..., N,— базис одномерной группы гомологии Нх (Г; 2) многообразия
Г, являются целыми кратными числа 2ш, I = V—1.
Пусть dco (\ij (x), \ij (x0))y / = 1,2, ..., N,— нормированные абелевы
дифференциалы третьего рода на Г с единственными особенностями —
полюсами в точках \ij (х) и |я, (х0) g Г, /=1,2, ..., N, и вычетами
+ 1 и —1 соответственно; da> (К) — нормированный абелев
дифференциал второго рода на Г с полюсами второго порядка в точках оо+ и
оо- £ Г, в окрестности которых имеющий асимптотики
d(0 (Ь)1х-оо±сг « =F ir-2dx% тг = AT1.
Нормированность этих абелезых дифференциалов, как обычно,
означает, что
<f>Ao(M*), М*о)) == $ <ММ = 0, /, fe = l, 2, ..., N. (4.61)
а/ а/
Индексы пересечений для ориентированных базисных циклов а/,
bf £ #j (Г; 2D» / — 1» 2, ..., Af, являются каноническими, т. е.
удовлетворяют условиям (1.60). В силу проведенных выше построений для
iQ (x\ к) справедливо стандартное равенство
N
dQ (x\k) = —d<o (X) (х — х0)+ £ d® (Рч (*). И/ (х0)) +
+ %n,(x)d<o,(k)9 (4.62)
7=1
88

где d(£>f (к), j = 1,2, ..., N,— нормированный базис абелевых
дифференциалов первого рода на поверхности Г; nf (х) £ (С1, / = 1, 2, ...
..., N,— некоторые комплекснозначные функции, непрерывные по
переменной jc g fR1. Из свойств абелевого дифференциала dQ (х, к)
и равенства (4.61) находим, что nt {x) == M/G2» У = 1» 2, ..., N, и
V/ (х) = V/ (х0) + (х — х0) af (mod of), (4.63>
где v,- (x) = V f d(o7- (х), / = 1, 2,..., N, — стандартное отображе-
ние Абеля с фиксированной точкой \х £ Г; ау = -^- ф dco (к), j =
= 1, 2, ..., N. Равенство (4.62) понимается с точностью до решетки
периодов S = || бл/, &*/1, где bkj = (j) dco/ (h), j) do, (h) = 6/fe, k, j =
= 1, 2,..., tf.
В силу бирационального изоморфизма S^ (Г) на многообразие
Якоби f (Г) = (С^ДГ задача определения нулей функции ух (х, х0\ к)
эквивалентна стандартной проблеме Якоби (4.63) для абелевых
дифференциалов первого рода на компактной поверхности Г,
алгебраический род которой равен числу N. В частности, симметричная сумма
2 Iх! (х), определяющая по формуле (4.60) функцию г|) £ М, задается
/=1
следующей формулой;
s I*/ w=-f -It ,п !Г'°°-! + s <f> Мо)/ &>• (4-64>
а °* в (х, сю ) rj./
где
Э (а;, к) = # (со (Л,) — а (я — х0) — 7),
1 N i
/е=1 *=1
есть стандартная 0-функция Римана (1.69), построенная по римановой
N
поверхности Г. В общем виде выражения вида £ |л/? (х), п £ 2» вычис-
ляются по формуле
2 ^ (*) = J <£ Vd©, (Я) — ^ res {2"d In в (*, к)}. (4.65)
Проведем вычисление по формуле (4.65) при п = 1,2. Для этого
запишем канонические формы абелевых дифференциалов dcoy (X), / = 1,
2, ..., Af, на поверхности Г:
N _J_
dcoy (к) = %] CikkN~kdk [PN (к)) 2 , (4.66)
/е—1
8»
V/ = 4" S6/*--F+ £ю/(М*о)). / = 1,2,..., N, 0(v), veC"»

где числа С,-* £ (С1, /, k = 1,2, ..., N, однозначно определяются
условиями нормировки.
Вычислим предварительно вычеты в правой части формулы (4.65).
С этой целью рассмотрим разложения по степеням параметра т = Х~1,
х -> 00+ е г,
d In в (л;, К)
д\ Ш
= -WJLln@(x,'k) = -'b2Y —Ш±
(К) daf
•]пв(хЛ),
v^-Mc'-+^^c"lE-+-)
(4.67)
Стсюда для гп -тг-1пв(л:, X), п= 1, 2, получаем выражения
г-^-1пв(х,Х)^-|(4-С/.1+...)
5 In О (*, к)
до)/
/=iL \ a=i /
2Л/+2
X
do)/
1пв(;к, X),
X
(4.68)
из которых в силу регулярности функций —р— In 0 (ху X), / = 1,2,..., N
dw-
на Г получаем согласно (4.65) формулу (4.64), а также соотношение
V tf (х) = -L "5" 1п 10 <*• °°+) в <*• °°~М -
+ £(6 ***©,(&), (4.69)
4 # в (*, t\ 00-)
где в(х, /; Ь) = #(©(&) — а(х — х0) — р (/— g — 7), Р/ = 4t X
Г 1 2Л/+2 1
X -о"С/,1 Yi ^i + ^/.2 ь / = 1» 2,..., N. Сравнивая формулы (4.64)
и (4.60), находим выражение для г|)£М
1пГв^оо+)1
L е (*, оо ) J
__in,,,w = ___
(4.70)
90

X
В силу аналитических свойств функции Римана 0 (х, X), К £ Г,
согласно формуле (4.62) справедливо равенство
У±(х, х0; X) = exp[—i(x — x0)(»(l)\ ^ ^ X
е (х0, со+) е (x0f сю~) у(х) 12
О (xt оо+) О (х, оо~) «ф (х0) J
Аналогичное представление можно получить также и для функции
У* (*, х0\ Ч,НГ (см. [482]).
Выражение (4.71) можно использовать для вычисления значений
локальных функционалов а/ [я|?, я|?*], / £ Z+» ведущих к явным
формулам в терминах римановых 0-функций
<*/ [ф, *Ф*| = reg lim V -^- In */2 (*, *0; К)] для всех / g #+. (4.72)
Замечание. Рассмотрим движение точек |Я/ (я) £ Г, / = 1,2,...
..., N, по поверхности Г при изменении параметра л: g fR1 в пределах
периода [х0, х0 + Л, х0 £ [R1. В силу периодичности матрицы моно-
дромии S (х; X), х 6 (R1, заключаем, что все |я,- (я) £ Г, /=1,2, ...
..., N, периодичны по переменной х £ [R1. Используя уравнение (1.7)
гл. 2, для функций [ij (х) £ Г, / = 1, 2, ..., N, находим
d\ij _ 2* Vpn № ^ (4.73)
** ~ П (|А/ |*Л) "
Эти уравнения следует рассматривать на гиперэллиптической римано-
вой поверхности Г с начальными данными в точках дивизора 2( (х0)
с начальными условиями р (\xi (х0)) Ф р (\ik (x0))> j Ф ky /, k = 1,
2, ..., N.
,v Начальные данные (Я/о = м^ (х0) 6 Г при / = 1, 2, ..., JV должны
удовлетворять следующему условию: h (|я/>0) = VPn (Мч\о), / = 1,
2, ..., Af, где h (X) — полином степени N + \ с действительными
коэффициентами, удовлетворяющий для всех К £ (Q1 алгебраическому
соотношению
N
h2 (I) = PN(X) + \q (х0) |2 П (К - ^,о) (К - ^о). (4-74)
Пусть при изменении переменной х £ U0, х0 + /], л:0 £ (R1 точка
\ij (х) £ Г, / = 1,2, ..., N, описывает на Г гладкую замкнутую
кривую Т/, / = 1,2, ..., N. В силу уравнений (4.73) и выбранных
начальных условий кривые т,, / = 1,2, ..., N, не пересекаются, причем при
своем движении они могут переходить с верхнего листа на нижний, и
наоборот, только через границы Eh j = 1,2, ..., 2N + 2, лакун
спектра a (L). Таким образом, в общем случае для кривых Т/,/ = 1, 2, ...
..., N, можно записать гомологические равенства
Л'
91

где mjtky n-uk 6 Z» U k = 1,2, ..., N. Отсюда интегрированием по
кривым т;, / = 1,2, ..., N9 получаем
i Д (4.75)
N
nk.i = >] Im ф dco, (Л,) (Im 6)"1, /, к = 1, 2 ЛГ.
Целые числа т*,, я*/, /, к = 1,2, ..., N, являются, очевидно,
неизменными при конечных малых деформациях функции if^M. Учитывая
это свойство, заметим, что числа (4.75) могут быть найдены для
некоторой специальной функции я|?0 € М, в которую можно продеформиро-
вать функцию я|? £ М> не изменяя существенно гомологических свойств
спектра crz (L) оператора L.
4.6. Инволютивные свойства основного спектра. Перейдем к
исследованию динамических систем, порождаемых конечнозонными
потенциалами оператора Дирака (4.19) на многообразии М. Зададим на
М симплектическую структуру с помощью симплектической 2-формы
xo+l
со = -у Im I 6г|)* Д 8трс1х9 х0 6 [R1, где Д — знак внешнего
умножено
ния векторов в кокасательном расслоении Т* (М) над М. Эта симплек-
тическая структура порождает на <2) (М) скобку Пуассона
{/. g}^ = (grad/, ^gradg) =
*o+l
=' 1 [&~w—w-&]**' f> 8^m- (4-76)
Пусть ст0 (L) — основной спектр оператора (4.19). Очевидно, что все
X/ 6 ст0 (L) а 0 (М), / £ 2- Тогда справедлива теорема [168].
Теорема 4.5. Спектр о0 (L) образует инволютивную относительно
скобки (4.76) систему функционалов на М, т. е. для всех /, k £ 2 вь/-
полнено равенство
ft/. W = 0. (4.77)
ел
Доказательство. Вычислим вариационные производные -т-^,
"Хф*~ > /€2- С этой целью рассмотрим две блоховские собственные
функции у (я, #0; К) и у (х, х0; X), которые отвечают собственным
значениям Xf и Xt + S^ соответственно. Используя (4.20),
записываем тождество
-^- U/ift — УгУ*] — tih (УгУ% + У1У2) = УгУг&Ф* ~ УъУъЧ- (4.78)
Интегрируя (4.78) на отрезке lx0f х0 + Л, х £ [R1, находим
~х0+1
6Xj i -2
Гх0+1 "1—1 , . _ Гх0+1 -1—1
$ y^dx > "бг"= "т у2]\ $ yiyad* • (4,79)
L x0 j L x0 J
92

xn+l
В равенствах (4.79), очевидно, С y^2dx Ф 0> так как в противном слу-
_ ха
чае мы имели бы равенства уг = у2 = 0, что невозможно.
Пользуясь формулами (4.79) и (4.76), находим
*о-Н Г*о-И Х0+1 -1—1
Xo+l
</l</2d* \ 010^*
-1 x0+l
f (y^ — yMiy^+y^d*
1
r^o+/
a(**-A,y)
ДГ0+/
f 01</^* j
T-1 *o+'
УгУ^х
*0
1 -з^
\У2—У1У2]^=^
(4.80)
где через у и у обозначены собственные функции Блоха с собственными
значениями %f и Xk соответственно, / Ф fe, /, k £ 2- Теорема доказана. [>
Учитывая тот факт, что целая функция Д (К) Д £ (С1, полностью
определяется основным спектром а0 (L), из теоремы 4.5 и равенства (4.59)
получаем следствие.
Следствие 4.1, Выражение
*о-Н г Л/
y(X) = -i ) \VPn(D/U (i-^ixmdx (4,81)
определяет производящую функцию для инволютивной системы
функционалов на М, т. е, для всех A,, \i £ (С1 справедливы равенства
{ф (^), Ф (\*))<г = (А (М, А №& = 0, (4.82)
Учитывая равенство о (х, К) = -у- In */2 (л:, х0; А,), из (4,59) также
находим, что
Ф(А,) = \ о(х, X)dx~ — ill+ £ Г,Г~;, (4.83)
где Tj £ jZ5 (M), / = 0, 1, ,..,— законы сохранения динамической
системы (4.1), заданные формулами (4.7).
Рассмотрим выражение для вариационной производной
6ф(Я,)
Щ (х)
П(1-\Х;(Х))9
(4,84)
2Vpn(K) ,=1
полученной из равенства
ехр Ф (К) = А (X) + VA*(X) — 1 . (4.85)
Из формул (4,84) и (4,83) следует, что при / > N + 1 все вариационные
производные бТ/бф* выражаются линейно через значения вариаци-
93

онных производных 67,/бф*, / = 0, 1, ,.., N, с постоянными
коэффициентами, т. е,
^=bi»-W> (4-86)
гдес/лбС1, fe = 0, 1 N,j^N + \.
4.7. Эволюция данных Коши. Зададим на М с помощью
функционала ф (X) £ $ (М) (4,83) и скобки Пуассона (4.76) поток вида
г|), = — {£ grad ср (X) ~ J ЛГ'# grad Th (4.87)
/=о
Поток (4.87) содержит как частный случай динамическую систему
(4.1), получаемую из (4.87) согласно правилу
\pt = 4^ reg li m [X* grad ф (X)] = ti|^ — 2гф*я|гф. (4.88)
Вычислим эволюцию по переменной £ £ [R1 дивизора 91 (л:0) на
поверхности Г. Из соотношения (2.24) и формул (4.17), (4.79) при всех Х$
!■* € (С1 получаем равенство
С /у „Ч ^12(^0. И С /у „ч ^22 К, ^) __
Xo+l 2
__ Su (х0У A) \S\2 (х0У ц) ~ 1] - S2{2 (x09 |it) 58l (у, A) _
~ 2(|i —A) 1^ Д* (A) — 1
f^22 (*0* X) ^11 (XU> X)] ^12 (*0* И1) ^22 (*<h M>) /A OQ\
4 (fX — A) ^A* (A) — 1 " ^
При выводе формулы (4.89) мы воспользовались тем, что grad S12 (x0,
X) удовлетворяет уравнению ££ A,grad S12 = M grad S12, X £ (С1.
Учитывая равенства S12 (x0t \if (x0)) = 0, / = 1,2, ..., N, находим
Ф/ W = -1Ур*№1*& А Г *-щ(*0) 1 (4e9o)
# 2 |/"Рд, (Л) * \ L Iх/ (*o) — П (*o) J *
Уравнения (4.90) следует рассматривать на римановой поверхности
Г с начальными данными \if (х0) = |я/0 6 Г, / = 1, 2, ..., N, в точке
t0 £ [R1, удовлетворяющими условию (4.74). В частности, для потока
(4.88) из (4.90) следует, что
^ Л\" 1 2^%1 У^Ш
для всех / = 1,2, ..., N, причем начальные условия те же, что и для
уравнений (4.90).
94

Таким образом, в силу (4.86) и динамической системы (4.87)
функция if^M при всех t £ [R1 задает конечнозонный оператор L [%
я|)*; AJ, причем вследствие явной формулы (4.71) для блоховской
собственной функции уг (х9 х0; А,), X £ Г, явная зависимость от переменной
t £ [R1 содержится только в выражениях для V/ (*о) £ ^ (П» / = U
2, ..., N. Для вычисления этой зависимости вычислим производные
ду;(х0)Ш, j = 1,2 N:
*=1
^
_ L V rf(°/ 0*fe) ! П / К—Р1 \ — L df°f ^ (A Q9\
Выражение (4.92) показывает, что эволюция динамической системы
(4.87) на многообразии Якоби ? (Г) является линейной, т. е. для всех
j = 1, 2, ..., N верно равенство
т/ (*» о = v/ (*» 'о) —г « - « ^г1 • <4-93>
Тем самым в силу формул (4.70) и (4,93) описаны в явном виде все N-
зонные операторы Дирака (4,19), удовлетворяющие динамической
системе (4,87). В частности, вычисляя значение reg Mm № ш' \ вслед-
ствие (4.88) получаем в явном виде эволюцию УУ-зонных «потенциалов»
•ф £ М в силу динамической системы (4.1).
Справедлива теорема [168],
Теорема 4.6. Динамическая система (4.87) вполне интегрируема
по Лиувиллю на инвариантном подмногообразии S а М,
определяющем конечнозонные операторы Дирака (4.19) по формуле (4.86), причем
в этом случае интегральное многообразие S диффеоморфно
многообразию Якоби $ (Г) = (£,N/Wy являющемуся комплексным N + 1-мерным
тором, где Z+Э N <С оо —число зон оператора Дирака (4.19).
§ 5, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА ЛАКСА
И ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ТИПА ШРЕДИНГЕРА
5.1. Законы сохранения. В квантовой механике систем многих
частиц в квазиклассическом случае возникают следующие обобщенные
нелинейные уравнения типа Шредингера [630):
*/ = *Ф« — 2g,W* + 1Ё2^% (5.1)
Ь = — "Рхх — 2g,W, — fee***»
гДе £i> ёГг € fR1 — некоторые константы; г|>, ~ф £ М = С/00* ((R1; (С1),
[R+ Э / < °°,— период функций многообразия М. При \р = \|^*, g-x =
= 0, g2 = —2 из (5.1) получаем в точности динамическую систему
(4.1), изученную в § 4.
95

Ниже покажем, что динамическая система (5Л) обладает
стандартным представлением типа Лакса (1.2) гл. 2, допускает бесконечную
иерархию законов сохранения Tj £ 0 (М), j £ ^+, и является вполне
интегрируемой гамильтоновой системой.
Для удобства в дальнейшем, не умаляя общности, положим^ = 1,
g2 = 1. Запишем динамическую систему (5.1) в функциональном виде
£)-*№•+Ь
(5.2)
где К ty, ^1 — локальный вектор-функционал на М, задаваемый
правой частью уравнений (5Л). Согласно градиентному методу гл. 2
построим сначала бесконечную иерархию законов сохранения
динамической системы (5.2). Для этого получим асимптотическое решение
следующего дифференциального уравнения?
ф/ = —/С'*ф,
(5.3)
где
К =
I id2 + 2я|хЭф + 2*я|д|) — 2^х — гф2
I — 2я|^, + гф2 — id2 + 2^дЦ — 21Щ
Решение уравнения (5.3) запишем в виде
где
4> = \b(x pJexP Р* —Ф2/ + 1 а(*> P)d*
Ъ (х, р) ^ Ц 6/ [я|>, гИ р ', от (а:, р) ~ 2 а[я|>, я|>] р"
(5.4)
/=о
причем р — комплексный параметр, р -> оо £ (р1. Подставляя (5.4)
в (5.3), находим рекуррентные формулы для определения of, bf, j £ ^+
\ a^d* = — м aM + 2a/+i + 1! а/-*ал — 2 (г|7ф, + /i|nj)) 6,f0 —
*0 L *=o J
- 2^ (б,- о + Of) + (2W>, + fft) bh (5.5)
6,v = 2i&,-+2 — 2 bi-n \ Okjdx + 2* (Щ + ii|n|>x) bf +
*=° i
+ (2WX - n|>2) 6/f0 + *(&,,„ + 2bi+Ux + 2 S (7,-A,, +
i Ж ц /^ \
+ 2 Gk,xbj-k +2Ц 0ф]+1-к + 22 VkOnbj-k-n —
Л=0 /г=0 /г=0л=0 /
-2W^ + 6/+i +
2 <**&/-*)•
96

Последовательно разрешая рекуррентные соотношения (5.5) с учетом
уравнений (5.1), получаем
о0 !яр, яр] = *гряр, ах [яр, яр] = / (яряр, — ярхяр) — яряр,
tf21"*» ^1 = ^«"Ф — *№х + № + W (Щх — WJ — VV> (5.6)
^з( *,*]= — n|W* + 2яря^2 ярЛ, + и|>,Ж — яр^ — 4*яр^2яр^ —
— пр2я~р2 {Щ>х — яр,^) — 2яДОяМ>, + 2 (ярЛ)2 я]52 + я|Ар8 ^- яр2я]Д...
Следствием соотношений (5.5) и (5.6) является наличие иерархии
законов сохранения Ту £ 0 (М), / £ 2+» Аля динамической системы
(5.1):
Хо+1
7-,= J а, [яр, яр] d*. (5.7)
В силу конструкции локальных функционалов <j/ [яр, яр], / £ %+,
заключаем, что законы сохранения Ту g $ (М), у £ J£+, являются
функционально независимыми.
5.2. Имплектические операторы ^ и М. Представим динамическую
систему (5.1) в гамильтоновой форме:
*'Y=—£grad//, (5.8)
где Н £ 0 (М) — функция Гамильтона. Вычисляя величины grad Th
j £ Z+, в силу (5.6) и (5.7) находим
Я = 1Т2 + 4-7,1-4-Г«> ^=\-i oj- (5-9)
Отметим, что метод поиска имплектического оператора {£
аналогичен методу § 4. Легко проверить, что оператор ££ в (5.9) является
также и нетеровым, т. е. выполняется тождественно условие (2.9) гл. 1,
' С целью построения наследственно рекурсионного оператора Л
представим его в виде Л = ££~1М} где операторы ££и-А1
удовлетворяют тождеству
^pgradT(p) = ^gradr(p), p € (С1, (5.10)
Т (р) £ 0 {М) — производящая функция законов сохранения (5.7).
Представляя имплектический оператор М в общем случае в виде
матричного интегро-дифференциального оператора
II а<Э-1а + р5"17 + уЗГх$
I — д + ид v + гд g + рд q — s
— д + vd~lu + gd~lr + qd-xp + s [
^Ь + $д-1у + -уагЪ Г (5Л1)
после подстановки выражения (5.11) в тождество (5.10) находим, что
а = яр, р = пр„ у = яр, и = яр, v = — яр, г = — hp, g = яр„ р = Йр„
7 6-1669 пу

q=yp, s= — *\Jn|5, a = \|?, P = — n|?x,
тор ,Л задается формулой
у = яр. Таким образом, опера-
М
ярсГ^яр + *яряр — i (ярд~~Ч* — ^~Ч)
— (9 — я[?д-1яр + i (ярд-1^ — яр^яр — яр-ф)
7д-1;
■*(*^Ч + *5"Ч,)
(5.12)
грд"1^
С помощью вычислений убеждаемся, что оператор М нетеров, а
оператор [Л', Л], где Л = М{£гхп симметричен.
Таким образом, оператор Л = {£гхМ является наследственно
рекурсионным, а динамическая система (5,1) обладает бесконечной
иерархией функционально независимых законов сохранения Tj £
£ 0 (УИ), / = 0, 1, 2, ..., которые в силу (5.10) находятся в инволюции
относительно скобок Пуассона {•, *}^, {•, *}^, т. е. для всех у, k £
{nTk)e = {ThTk)M = Q.
(5.13)
Из теоремы 2.7 гл. 1 следует, что динамическая система (5.1) на
подмногообразии S а М, определенном соотношением
N
grad#A4-i= ^CbgradHk, (5,14)
rmck , k = 0, N,—комплексные числа, является вполне интегрируемой,
причем подмногообразие S в компактном случае диффеоморфно тору,
движение на котором линейно по параметру эволюции t £ [R1.
5.3. Представление типа Лакса. С помощью найденных выше имп-
лектических операторов ^ и JUL по схеме гл. 2 получаем следующий
оператор:
*-аг-
где р = i№ —
L [ф, г|>; Я] =
м> —§-(*■+4-+**)
Я £ (С1, — новый спектральный параметр.
(5.15)
Легко проверить, что спектр о (L) оператора (5.15) в силу
динамической системы (5.1) инвариантен, т. е. формула (5.15) определяет
L — оператор стандартного представления типа Лакса (1.2) гл. 2.
В другом крайне интересном случае, когда_ в уравнениях (5.1)
Si = 1> §2 = 0, из (5.15) находим оператор L [яр, яр; А,] системы
% = i^xx — 2яИп|ъ, яр, = — 1'г|)« — 2яряряр„
(5.16)
98

который имеет вид
L№,V, Х] = Ъ-^Г-
(5.17)
где X £ (С1 — спектральный параметр.
С помощью градиентного метода и равенства
<£Х2 grad A(X) = M grad А (Л,),
(5,18)
1
где Л (X) = ~y tr S (л:0; А,), х0 £ [R1, получаем, что оператор ££ для
динамической системы (5Л 6) совпадает с оператором (5,9), а оператор ./И
имеет вид
М =
я|)2 _|_ хрхд- ^ _ яра Ч|га — 0 — (1|уЭ я|> + урд урд)
id + (%(Э"Ч + № Щ — я|)2 — (\рхд 1Ц — \рд 1\рд)
. (5,19)
Как и в случае динамической системы (5Л), имплектические операторы
££ и М для системы (5,16) нетеровы и согласованы. Это значит, что
рекурсионный оператор Л является наследственным.
Таким образом, динамическая система (5.16) также обладает
бесконечной иерархией Т} £ 0 {М)у j £ Z+, функционально
независимых законов сохранения, находящихся в инволюции относительно
скобок Пуассона {•, -}^и{«, *\м.
В силу теоремы 2.7 гл. 1 на специально сконструированном
многообразии S с: М динамическая система (5Л6) вполне интегрируема
по Лиувиллю.
5.4. Свойства спектра. Изучим спектральные свойства оператора
(5Л7) с периодическими коэффициентами. Многие общие положения
о спектре о (L), развитые в § 4, применимы и для настоящего случая.
В частности, параметр Х£ о (L) тогда и только тогда, когда А (X) =
= -у tr S (х0; X) действительная величина и выполнено неравенство
Да(Ь)< 1.
Пусть Y (#, х0\ X) — как обычно, фундаментальное решение
уравнения
£№,*; Ь]у = 0,
(5.20)
где у £ С(оо) ([R1; (С2). Для дальнейшего будем предполагать, что
выполнена редукция ij) = \|)* £ М, которая, очевидно, совместна с
уравнениями (5.16). В этом случае легко показать, что фундаментальное
решение Y (х, х0\ X), Y (х0, х0\ X) = fl, x0 £ [R1, имеет следующее
представление:
Y (х9 х0; X) =
Ух (х, *о> *>) У\ (х, *0; X*)
У2 (*> х0; X) у* {х, х0; X*)
(5.21)
99

Кроме того, можно показать, что функции ух (х, х0\ X) и у2 (х, х0; А,),
^ £ (С1* удовлетворяют соотношениям
у2 (*, х0; Х) = — у2 (х, х0; —А,), ух (х, х0; X) = ух {х, х0; — А,), (5,22)
Следствием формул (5.21) и (5.22) являются соотношения для
элементов матрицы монодромии S(x0; X) = \\Sij(x0; А,)||, i, j= 1, 2,
Smu (jc0; X) = S22 (x0; X% S[2 {x0; X) = S21 (*0; X%
Sxx {x0\ X) = Sxx (x0; -X), S2X (*0; X) = -S2X (x0; -X), (5.23)
*^12 (*0» ^) = ^12 \X0> **)* *^22 V*0» X) = S22 (X0] X),
справедливые для всех значений параметра X £ (С1 и для всех х0 £ (R1.
Кроме того, матрица монодромии S (х0; X) является целой
аналитической функцией параметра Л, G (D1 Для всех точек х0 £ [R1, так как такой
является фундаментальная матрица Y (л:, х0\ X) в силу явного вида
оператора (5.17).
Таким образом, функция А (А,), ^ £ (С1»—целая аналитическая
функция параметра А,, удовлетворяющая для всех А, £ (С1 согласно (5.23)
соотношениям
А (А*) = А* (А,), А (— X) = А (А,).
(5.24)
Пусть у (ху х0; X), z (л:, х0\ \i) — блоховские собственные функции
оператора (5.17). Изучим структуру спектра a (L), используя
следующее тождество:
-^-(УА—U£i) =
= -£-(*2 — ^ ^2 + ^ + ^ ~ $ (У&*$* ~ У А*)- (5-25)
Полагая |я = X* и используя (5.21), после интегрирования на отрезке
[х0, х0 + I] тождества (5.25) находим
Хо+1
2Reb J (\yx(x,x0yX)\* + \y2(x,x0;X)\*)dx +
L xo
xo+i _ _ "j
+ i \ (Уг (*. x0; X) ~y*2 (x, x0\ X)ty — y* (x, x0; X) y2 (x, x0; X)) г|>* dx = 0.
(5.26)
Для действительных А, соотношение (5.26) выполняется автоматически.
Если же Im X Ф 0, то из формулы (5.26) следует, что
TY'- - 1
Re X = Im j уг (ху х0; X) у\ (х, х0\ X) ^dx х
L х0 J
-x0+l
Im A,
X
Гх0+1 _ _ 1-1
$ (\Уг (х, х0; Х)\* + \ у2 (х, х0; X) |2) dx . (5.27)
L *o J
100

Аналогично из тождества.
-57- (#1*2) = ~^У^2 (^2 — М*2) + H*</2z2 + М/А*
(5.28)
при \i = X* получаем
Re A, Im A, = Re A, . Re
*0+'
J ^ (а:, *0; X) yl (*, *0; A,) i|>d*
L *о
+
+ Im X • Im
Re
J Ух (*• x0; X) y*2 (xf x0\ X) tydx |
L x0
В частности, условие Im X = 0 согласно формуле (5.29) ведет к
соотношению
I Ух (Ху х0\ Х)^2 (х, х0\ X) ypdx ]
= 0.
(5.29)
(5.30)
Если же Im Хф 0, то из соотношений (5.27) и (5.29) можно получить
формулу для Im A,.
Обозначим через а0 (L) = {+ Х} £ (С1: / € 2П основной спектр,
а через ЭД дивизор оператора (5.17). Как и в случае оператора (4.19),
находим, что все вырожденные корни функции Д (А,) являются
точками дивизора ЭД.
Изучим кратность вырождения в спектре сг0 (L). Для вырожденной
точки X £о0 (L) справедливы равенства
6А(А,)
6А(А,)
= 0,
Х=Я
дк(Х)
дХ
0,
(5.31)
к=\
откуда в силу (2.4) гл. 2
^12 + 4^*(Sn-S22) = 0, ^21 + ^*(Sn-S22) = 0, (5.32)
где S (х0\ X) = [| Skj II» ^> / = 1, 2,— матрица монодромии для
оператора (5.17).
Так как det S (*0; X) = 1 для всех X £ (Q1, из (5.32) находим
[1 - Sn (х0; X) S22 (*0; X)] (4 -|- -^) = 0. (5.33)
Из соотношения (5.33) следует, что S12 (х0; X) S21 (х0\ X) = 0 или, в силу
(5.32), Sl2 (х0; X) = S2l (*0; X) = 0.
Стандартными методами § 4 можно показать, что все нули
функции S12 (х0\ X), X £ (С2, простые, а вырождение точек основного спектра
сг0 (L) не более чем двукратно. Отсюда следует, что функция S12 (x0;
^)» ^ € (С1» представима в виде
^12 (Х0'у ^) = ^12 (Х0> ty Л/ р ^2)
(5.34)
101

Здесь PN(X*) = П (W-E;), ±Ef ££\ /= U 2, ..., 2ЛГ + 2, -не-
вырожденные точки спектра а0 (L). В дальнейшем считаем, что в
спектре a0 (L) имеется только конечное число нетривиальных зон
устойчивости, определяемых числами Е} 6 (С1» У = 1» 2, ..., 2N + 2, и
условием | Д (h) | <; 1, Im Д (X) = 0, для всех X £ (С1, образующих зону
устойчивости.
Так как блоховскую собственную функцию ух {х, х0\ X), X £ (С1,
для оператора (5.17) можно представить в виде
уг (xt х0; X) = ух (х, х0; X) + у2 (х0; X) у2 (х, х0; к*), (5.35)
где у2(х0; X) = */2(х0, х0; X), x0£\R\ Х££\ а для у2(х0; X) справед-
ливо стандартное выражение типа (4.39)
У2 (хо> ^) =
^12 (Х01 X)
S22 (х0; X) — Sn (х0; X)
25l2 (xQ\ X)
(5.36)
из формул (5.35) и (5.36) получаем, что функция^ (х, х0; X), X £ (Q1,
продолжается в конечнозонном случае оператора (5.17) до функции,
мероморфной на римановой поверхности Г функции w = V Pn (p)»
w> р £ (С1, Р = ^2- Используя формулу (1.7) гл. 2, из (5.36) также
находим, что
у2 (*0; *<)
VPnW)
^12 (-V» X)
1
2ХЦ* д*
AnS12(x0;X) —
2ХЦ
^r(^2 + K|2).
(5.37)
С другой стороны, из уравнения (5.20) легко найти, что функция о (xf
X) = -^ In yx (x, х0; X) удовлетворяет уравнению
<т (*0: ^) = -у (^2 + I ^ I2) + У2 (*о5 *) ^*.
Следствием (5.37) и (5.38) является формула
ух (х, х0; X) =
Sj2 (X, X)
S12 {х0; X)
1
I 2
ехр
"oi f Kpyv(^)^*Wdx|
4* Л/ 1 ■ ^
£ 5й(т;Я.) J
(5.38)
(5.39)
Кроме того, для функции а (х, X), К £ (О1, можно записать в силу
уравнения (5.20) следующее уравнение Риккатш
-[0-4(^ + Ы2)]^1п^*-ь2Ж2 = о.
(5.40)
102

Функция а {х, X), X £ (С1, как решение уравнения (5.40) допускает
асимптотическое при X2 = р -> оо £ (£* решение вида
а (л:, X)
№
/=о
где локальные функционалы а/ [я|?, я|?*], / = 0, 1,
рекуррентным способом. Например,
<?о №. **]
■|Ф|а.
ах [я|>, гр*
~-4Ч + 1'--5- + 4-*'
(5.41)
определяются
(5.42)
Из асимптотической формулы (5.41) и соотношения (5.37) при р->
oo+g Г находим, что функция S12 (х, X), X £ (Q1, является
полиномом по ^ и имеет вид
S12 (л:, Я) = — 2а|?*Я П (А,2 — |яу (*)),
(5.43)
где точки (х;. (х) £ Г, / = 1, 2, ..., N, образуют дивизор 91 (я). При
проектировании точек \if (х) £ Г, /=1,2, ..., Л/, на комплексную
плоскость (С1 точки /? (|Ху (х)) £ (С1, / = 1, 2, ..., N, образуют часть
дополнительного спектра a, (L) на отрезке_[л;, х + /1, х £ [R1.
В силу аналитических свойств функции ^ (я, х0\ X) на поверхности
Г можно найти, что дивизор (у^ функции уг {ху х0; X) равен дивизору
Ж (х) • Ж~{ (х0), х, х0 £ [R1. При изменении точки л: £ [R1 на отрезке
[л:0, х0 + I] точки н-у (л:) дивизора 91 для всех /=1,2,..., N
удовлетворяют следующим уравнениям:
П (и-/ — И-л)
k+t
(5.44)
Уравнения (5.44) необходимо рассматривать на римановой
поверхности Г с начальными данными juty (*0) = fi/,o 6 Г, / = 1,2, ..., Af,
удовлетворяющими для всех /=1,2, ..., N соотношениям
Л (fX/.o) = УГ^Л/((А/.0;,
(5.45)
где /i (р) — некоторый полином по р ^ (С1 степени N + 1 с
действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
5.5. Явные формулы для решений. Рассмотрим выражение (5.39)
с учетом представления (5.43):
У\ \Х> %о
; к) =
v2
exp
. С У?ь ф) dx 1
'J ~
*о П (р — fl, (X)) J
/=1
(5.46)
103

где К2 = р £ Г. При р -> оо± £ Г из (5.41) находим следующие
асимптотики функции (5.46):
Ух (*. *<>; *) Uoo+ег ^ ехР ( 4" J [p -1 * I2]dx) [1+0 (т)]•
l (*. *<>; х) |Р_-€Г ^ |^5ехр (т $(I +I1 - р) dx) [l + ° (т)] •
(5.47)
Формулы (5.47) в силу мероморфности функции ух (ху х0\ X) на
поверхности Г по параметру А,2 = р £ (С1 дают возможность найти в явном
виде выражение для ух (х, х0; К) алгебро-геометрическими методами на
поверхности Г.
Введем на поверхности Г следующие нормированные стандартные
абелевы дифференциалы: 1) dco (jli; (х)у \xf (x0)), j = 1,2, ..., N,—
дифференциал третьего рода с вычетами +1 и —1 в точках \xf (x) и \Xj (x0) £
£ Г соответственно; 2) dec (p) — дифференциал второго рода с
полюсами в точках оо-г и оо- £ Г, имеющий в локальном параметре т =
= 9~[ 6 (С1 представление вида dec (р) ~ й= -у х-2 dx; 3) dec, (p), / =
= 1,2,..., N,— базис абелевых дифференциалов первого рода.
Нормируемость абелевых дифференциалов понимается по отношению к
каноническому базису ajy bfy j = 1,2, ..., N, ориентированных
гладких кривых на Г, образующих базис одномерной группы гомологии
Hi (Г; Z) многообразия Г.
В силу введенных определений для абелевого дифференциала
имеем представление
N
dQ (х, р) = Ц dec (jLiy (x)f Ц/ (x0)) + do) (p) (x — x0) +
N
+ 2 rrifd^i (p), mf £ #, / = 1, 2, ..., N. (5.48)
/=i
Введем также стандартную 0-функцию Римана
0 (Ху р) = & (а) (р) — а (х — х0) — у), (5.49)
где # (v), v £ С^,— обычная многомерная ^-функция;
«/ = — "27Г J dco (p)> Y/ = — X 6*/ — X ^у (И* (*о)) — ~y >
Р
со, (р) = J dco,- (p), / = 1, 2, ... , N, (5.50)
ц
|я £ Г — отмеченная точка на поверхности Г. Так как нули
аналитической на поверхности Г \ {ah /=1,2,..., N\ функции 0 (л:, р)
104

совпадают с точками \if (х) £ Г, / = 1,2, ..., ДО, из (5.48) прямым
интегрированием с учетом (5.47) находим выражение для блоховской
функции ~ух (*, х0] К), X = р2 £ £г:
Ух (х, х0; К) =
= ехр[со(р)(х-х0)]щ^-Ь-
г|;* (дт) в (у„, со+) в (х„, оо~) 1
i|>*(х0) в (х, оо+) в (*, с»") J
(5.51)
а также получаем следующие формулы:
д
дх
i In г|5* (х) = reg lim -^- In ^ (а:, х0; I)
Р^оо+£Г
+ reg lim -^- \пух(х, х0; X),
Р-*оо-£Г
— -£-1 *ф (*) I2 = reg lim -57ln 0i (*• *<>; ^),
р-*оо+ег
(5.52)
ведущие к явным выражениям для функций я|э* (я) и | я|э (л:) |2, л: £ [R1,
в терминах римановых tf-функций. Из формул (5.37) и (5.38) при р ->-
->■ оо+ £ Г находим также «нелинейные формулы следов»
N 2/V+2
-Ж' + *'-1г1п1>*= S l*/W--r 2 £/• (5-53)
Как и в § 4, применяя формулу (4.64) с 0-функцией Римана (5.49),
можно получить выражение для левой части соотношения (5.53),
ведущее к явным формулам для функций я|э* (я), |я|э (х) |2, х £ [R1, через
римановы ^-функции, аналогичные формулам, полученным из (5.52).
Тем самым класс конечнозонных данных Коши для динамической
системы типа Шредингера (5.16) формулами (5.52) описан в явном виде.
Изучим в силу (5.16) эволюцию этих начальных условий на
многообразии М. Заметим предварительно, что согласно формулам
Ф (р) = In [А (р) + /А2 (р) - 1 ], Ф (р) - £ 7>-/+1,
(5.54)
где /i (р), р £ (С1,— введенный ранее полином степени ДО + 1 с
действительными коэффициентами, для законов сохранения Tf £ 0 (М)г
j £ Z+> динамической системы (5.17) в конечнозонном случае
справедлива формула
^-=£с,,^. (5-55)
где С,* £ (С1, / > ДО + 2, А: = 0, 1, ..., ДО + 1. В общем случае
уравнение (5.55) задает конечнозонные потенциалы г|? (*), х £ [R1, для
оператора (5.17).
105

Рассмотрим теперь «производящую» динамическую систему для
функции гр £ М
я|>,= {Д(р), я|>}^. (5.56)
Динамическая система (5.56) порождает соответствующее движение
величин V/ (*о) £ (С1» / = I.'2. •••> N, на многообразии Якоби ^ (Г)
поверхности Г. Имеем
-4— = {Д (р), v/ Uo))i? = 2j —^Б 5Г" ' <557)
dp
Для вычисления величин ^*° , /= 1, 2, ..., N, предварительно
вычислим динамику функции S12 (x0\ X) в силу потока (5.56).
Используя формулы (2.4) гл. 2, равенства (5.19) и тождество
^р grad S12 (*0; X) = М grad S12 (х0; k), (5.58)
где /А,2 = р, после ряда преобразований получаем
Х0
1
2 (|Li2 — X2)
[h[5* (c& + ей) + ity (ca + ш) — X2cc — \&cc +
~ Ijc^Xo-f/
+ 2|i|?|2a: —a& —a&]|*=*0
(5.59)
Здесь мы обозначили а = а(х; X) = A,S12(*; A,) + ii|?*(x)с{x; X), b =
= b (x\ X) = XS2l (x\ X) + гф (х) с (x\ X), c = c (x\ X) = — [Sn (x\ X) —
— S22(x; X)], a = a(x, \i) = — \iy2i2(xy x0\ \x) + iy*{x)c(x; \i), b =
=-- b (x\ y) = \1y\2 (x, x0; \x) + ity (x) с (x\ \i), c = с (xy \i) = y12 (x, x0; ц.) x
X y22{x, xo> Iя) Для всех *> ^o^K1, X, цСС1. Вычисляя левую часть
(5.59) при |я2 = \if (x0), j= l, 2, ..., N, находим
Фу (*о)
di
iXS12 (х0; Я.) /P/V (ц, (*„))
Ф* U0) (I11, (*о) — Pi П (lij (х0) — Цк (*о))
Подставляя (5.60) в (5.57), получаем
(5.60)
л/
iXSV2 (х0: X) }/~P/V (.u* Un))
fy (*o) _ _ у **<*>/ (М/г (*o))
^ "" * П>* W 0*Л (*0> ~ P) П (\ik (XQ) - Mn (X0))
пфк
—, 1 \ res
V (*o) (z=p)
cfcoy (2)
J/Л («)
d2
(г —р) П (2 —^ (x0)j
а512 (x0; X) ypN (p) dm, (р)
Л dp
(5.61)
106

для всех /=1,2,..., N. Так как для S12 (х0; К) имеет место
представление (5.34), (5.43), из (5.61) получаем
—^— = — 2ф ]/ Д2 (р) — 1 Jp (5.62)
или, интегрируя, для чисел Y/ (*о> /), / = 1, 2, ..., N> x0y t0y /£ [R1,
имеем
dw- (о) ,
Т/(*о> 0 = V/(*о. U) - 2«Р—^- КД2 (Р) - 1 • (5.63)
Так как динамическая система (5.16) имеет в силу (5.56)
представление в виде
р2{А(р), $}#
tyt = reg lim
р-»-оо+ег
ЧА(р), $}# I
А2 (р) — 1 J'
(5.64)
из (5.63) и (5.64) находим эволюцию чисел у,- {х0\ /), / = 1, 2, ..., N,
в силу потока (5.16):
Г d(uf(p) "I
7/(*0. О = V/(*о> U — геё lim 2ф3 —^Г~ ' (565)
Р-*оо+£Г L ' J
Таким образом, согласно формулам (5.50) — (5.52) и (5.65) решена
задача вычисления эволюции конечнозонных данных Коши для
динамической системы (5.16). Аналогичным методом можно получить
соответствующие результаты и для динамической системы типа Шрединге-
ра (5.1).
§ 6. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ МОДИФИЦИРОВАННОГО
НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
6.1. Представление типа Лакса. При изучении распространения
нелинейных волн Альфвена в плазме, а также некоторых других
физических явлений [391, 505, 424—427] возникает следующее
нелинейное уравнение в частных производных:
'Ф, = -4-*« у-(|Ф|аФ)*-РЖЧ. (6Л)
где х> t £ [R1; if> £ С(00) ((R1; (С1); а, |3 — некоторые действительные
числа. Рассмотрим уравнение (6.1) и комплексно-сопряженное
дифференциальное уравнение как динамическую систему на
бесконечномерном многообразии М = C/^flR1; (С1) гладких периодических
функций периода [R+ Э / < °°- Отметим, что, пользуясь произвольностью
числового значения периода /, можно выполнить корректный
предельный переход при / -> оо в конечных выражениях. Этот вопрос в работе
[482] детально рассмотрен для класса конечнозонных решений на
примере динамической системы Кортевега — де Фриза (1.1).
Для динамической системы (6.1) с а = 1 существует
представление типа Лакса (1.3) гл. 2 с операторами L [г|?, г|?*; К] и А [я|>, я|>*; X]
107

следующего вида [426, 164]:
МЧ>, Ч>*; М = »fl 4-—
дх
А №, г|>*; Я] = i (W - р)
• X II
Я,» — р JU, |
^* р —я,аг
X2 — р Ад>
и* р — А.»
о — «ч>* -ь IФ Г Ч»
2
О
о
-1*1"
2 I t^ + l^p**
о
(6.2)
(6.3)
где параметр X £ (С1. Представление Лакса с операторами, заданными
формулами (6.2), (6.3), можно получить в явном виде также с помощью
градиентного метода гл. 2. Не останавливаясь на этой возможности,
изучим вопросы полной интегрируемости динамической системы (6.1)
с помощью прямого метода, использующего явную конструкцию
оператора L [я)), г))*; X] (6.2).
6.2. Имплектические операторы ££ и М. Используя формулы (1.6)
и (2.7) гл. 2, находим систему дифференциальных уравнений для функ-
ций а = -^L и Ь = Щ&- , где Д (X) = ±tvS (x0; X); S (х0; X) -
матрица монодромии оператора (6.2),
2ХЦ*с — 2 (X2 — р) а,
. да
i^L = 2(X2 — Р)6 — 2Щс;
iJ£- = 2(W-rb),
где с = -у (Sn (х, X) — S22 (x, X)). Отсюда следует соотношение
(£ grad Д (X) = 2 (X2 — р) М grad Д (X),
где i/t ц М — интегро-дифференциальные операторы вида
(6.4)
<£ =
— 2рг|хГ>
д + 2рг|>*<Э_1г|>
д
дх
2рг|хЭ_1г|)*
дх
М =
— г|)<Э_1г|>
2Рг|)*а_1г|)*
(6.5)
(6.6)
Э—1
— 1
i + г|)*5" г|? — $*д $
Непосредственными вычислениями убеждаемся, что операторы ££ и М
имплектичны, нетеровы и согласованы (в смысле определений гл. 2).
Как следствие получаем, что соотношение (6.5) порождает бесконечную
иерархию законов сохранения Ti £ 0 (М), / = 0, 1, ..., связанных для
всех / = 0, 1, ... рекурсионным соотношением
{£ grad Tt=2M grad Tj+[.
(6.7)
108

В частности, легко найти, что динамическая система (6.1) имеет гамиль-
тоново представление
(Ji) = -£grad//, (6.8)
где Н = —2Т1 — функция Гамильтона, причем
Хо
Хо+1
7^1 = 4" S [—*^* + *2ф + *а|ф|4 —«P|t|)|a]djf. (6.9)
Полную иерархию законов сохранения Г,, / = 0, 1, ..., для
динамической системы (6.1) можно получить из уравнения типа Риккати для
функции
а = а (х\ Х) = -^-\п ух (х, х0\ X),
где Ух (х, х0\ К) — первая компонента функции Блоха для оператора
(6.2);
-jLo-io + /2)-|rln^ + z2 + a2 + z|^|2 + PhM2 = 0. (6.10)
Здесь А,2 — р = z £ (Г,1, а функция а (л:, X,) допускает асимптотическое
при z -> оо разложение:
оо
а (г, ty~ £ М^*]г->, (6.11)
которое после подстановки в уравнение (6.10) приводит к
рекуррентным соотношениям для локальных функционалов о, [г|э, гр*1, / = 0, 1,...
Последовательно разрешая эти соотношения, получаем
функционалы
хо+1
Tf= J а,[г|>, l)*]d*f / = 0, 1, ... , (6.12)
которые в силу результатов гл. 2 являются законами сохранения
для динамической системы (6.1). Так как производящая функция
Т М = С <* (*; М d# законов сохранения (6.12) также удовлетворяет
х0
соотношению вида (6.5), т. е. выполняется равенство
£ grad Т (к) = 2zM grad T (X), (6.13)
то в силу имплектичности операторов ^ и М в качестве следствия
получаем инволютивность законов сохранения (6.12) относительно
скобок Пуассона {•, • }^ и {•, -}^ на Л1, т. е. для всех /, fe = 0, 1, ...
имеют место равенства
{тр тк\<г = iTj> Tk]jt = 0. (6.14)
109

Таким образом, по теореме 2.2 гл. 1 можно выделить
подмногообразие S cz УИ, на котором динамическая система (6.1) вполне
интегрируема.
6.3. Аппроксимационная теорема. Для интегрирования
динамической системы (6.1) воспользуемся прямым так называемым аппроксима-
ционным методом, развитым в работах [128—130]. Этот метод в ряде
случаев ведет к эффективному алгоритму для получения в явном виде
конечнозонных начальных условий для динамических систем в терминах
0-функций Римана. Для реализации этого подхода в случае
динамической системы (6.1) дополним систему уравнений (6.4) аналогичными
(эволюционными) уравнениями по переменной t £ [R1, следующими из
существования оператора А [г|), я|?*; К] в виде (6.3) [164].
;^ = я[-2(^-Р)2 + ^12] +
+ ск* [2 (к2 - Р) Г - (п|>; + | г|> |2г|)*)],
,-_!_ = й[2(Ь»-Р)а-Ь»|я|>|»]-
- сХ> [2 {%? - р) ф + Л|>, - | ф |2 ф], (6.15)
i^ = a[(^-p)t + 4-W,-m2*)]-
- 6 [(р - р) г|>* - 4- («*г + ж2 ч>*)] •
Системы уравнений (6.4) и (6.15) совместны в силу уравнения (6.1).
Изучим структуру решений этих уравнений как функций параметра
К £ (С1- Справедлива следующая аппроксимационная теорема [128,
129, 164].
Теорема 6.1. Полиномиальные по параметру 'К £ (Q1 функции
N+l N
с (х, 0 = Е сА (х, f) X2k, ■ а (х, t) = 2 «ft (*. t) K2k+\
k=° к=° /A1AY
N (6-16)
*(*.0 = ИМ*,')*2*4"2,
где JV — некоторое натуральное число, являются решением систем
дифференциальных уравнений (6.4) и (6.15) тогда и только тогда,
когда функции ak (x> t)t bk (xt t)t ck (#, t)t k = 0, 1, ..., N, Cn+i (x, f)
удовлетворяют некоторым совместным системам автономных
обыкновенных дифференциальных уравнений, причем
Если к тому же выполнены условия
ci (хо> ^о) = ci (хо> ^о)> ak (#o> ^о) = bk (*o> ^о)
для всех / = 0, 1, ..., N + 1, k = 0, 1, ..., N при некоторых
фиксированных значениях х0, t0 £ [R1, то эти нелинейные автономные системы
ПО
№Q ",,■".,; , ■ ^(^0 = 7^7(ЙГ- (6Л7)

уравнений имеют единственное решение при всех х, t £ [R1, причем
полученная по формулам (6.17) функция г|? (х, t) £ М является гладким
решением уравнения (6.1).
Доказательство теоремы проводится прямой подстановкой
выражений (6.16), (6.17) в системы (6.4) и (6.15) с учетом произвольности
комплексного параметра X. >
Отметим, что величина с2 + ab является инвариантом по
переменным ху t 6 fR1 для динамической системы, т. е. в силу уравнения (6.1)
справедливо равенство -j~ (°2 + °Ь) = ~~ж (^2 + °Ь) = О- Эт°
следует из инвариантности величины det S (х\ X), х £ (R1, X £ (С1, так как
матрица монодромии кроме уравнения (1.7) гл. 2 удовлетворяет также
и уравнению
i -S- = \А, Я
где матрица А = А [я|), г|?*; X] имеет вид (6.3).
Таким образом, в силу соотношений (6.16) и (6.17) существует
полином Р (К2) с действительными коэффициентами такой, что
2Л/+2
Р(К) = с* + аЬ = S АЛ2*.
для удобства нормированный условием /?2лч-2 = 1 или cn+\ = ±1.
Изучим поведение нулей полинома b (x> t\ X) — так называемых
условных собственных чисел для оператора L [г|?, ij)*; X].
Представим полином b (xt t\ X) следующим образом:
N
b (x, t\ X) = bN (x, t) П (X2 — щ (х, t)). (6.18)
/=i
Подставляя разложение (6.18) в уравнения (6.4) и (6.16), получаем
следующие дифференциальные уравнения для функций [ь (х, t)t j =
= 1,2, ..., Ni
d\it 2il/>(^,)
-^- ' (6.19)
dt
dx a/
П ([if — \ik)
.«,!2<Ь!_(£Л + ,
p2N+x . (6.20)
i±k
Из систем уравнений (6.4) и (6.15) с учетом разложений (6.16) также
находим следующие дифференциальные соотношения для функции
bN (x, t):
i -^ In bN (х, t) = -2 g И/ (x, t) - 2P + | bN (x, t) I2 - pw+u
n (6.21)
i -w \nbN(x9 t) = —4P £ ц,(х, t) + 2P2 +
111

N 1
+ 2 $] Ц/ (x, t) \lk (X, t) + Р/72ЛЧ-1 — P2N + -Г p\n+\ —
i.ti=\ ч
i<k
-1 bN (x, t) |2 f P + 2 Re | fi7 (x, 0 + 4 ^+i) + 4"'&л'(*' ° '*•
Уравнения (6.21) с помощью подстановки
bN (x, t) = \bN (x, t) | exp (— ia (x, t)), a (x0, t0) = я + arg -ф (x0f f0)
приводятся к интегрируемому виду
д ^
-^-ln\bN (х, 01 = —2 Im ]£ (i,- (*. 0.
(6-22)
-тг- In | &л (a;, 01 = — 4p Im 2 (i/ (*, 0 + 2 Im £ И/ (*, О Н* (*. 0.
ifei.»R.S,,hO + »-l».U.or + ftW.
^ /=1
doc (jc, 0
(6.23)
= 4PRe2fA/Uf0-2pa-2Re 2 Ц, (xt /) jx* (-«. 0 —
/<*
— PP2/V+1 — — | bN (X, t) |2 + p2N j- pL+1 "Г
+ | bN (x, t) |2 (p + 2 Re g H/ (*, 0 + 4" ^v+1) •
Действительно, сначала из уравнений (6.22) прямым интегрированием
(заведомо совместных уравнений) находим значение | bN (x9 t) |,
а затем из уравнений (6.23) — аргумент а (х, t), что при условии явной
интегрируемости уравнений (6.19) и (6.20) дает по формуле г|? (ху t) =
= — \Ьм (х, t) | exp (ia (xt t)) точное решение уравнения (6.1) с
помощью квадратур. Последнее условие, как покажем далее,
действительно выполняется.
6.4. Проблема Якоби обращения абелевых интегралов и формулы
для точных решений системы уравнений (6.1). Уравнения (6.19) и (6.20)
принадлежат к типу уравнений, интегрируемых с помощью
отображения Абеля на гиперэллиптической римановой поверхности Г
функции w = V? (2)» 2» м> € (С1. Для этого рассмотрим системы (6.19),
(6.20) как системы уравнений, заданных на гиперэллиптической
римановой поверхности Г функции w = УР (z), wt г £ (С1. Начальные
данные [ij (x0, t0) = цдо 6 Г, /=1,2, .,,, N, определяются как точки на
поверхности Г той ветвью функции w = VP (г), которая при z = fx/f0
принимает значение
/V-fl
VP^io) = ^^(^о^о)^.об(С1.
/г=0
\\2

Пусть Ef £ (С1, /=1,2,..., 27V + 2,— нули полинома Р (z).
Рассмотрим реализацию поверхности Г в виде двулистной поверхности
наложения комплексной плоскости (С1 с непересекающимися
разрезами по отрезкам (оо, £j], [£2, £3Ь •••» ^2/, f^+ib •••» ^2Л/, ^2/v-i-i],
[Я2Л4-2, 00), / = 1» 2, ..,, N. Эта поверхность имеет две бесконечно
удаленные точки оо+ и сю~, расположенные соответственно на верхнем
и нижнем листах поверхности. Как обычно, верхний лист поверхности
определяется той ветвью функции w = \ Р (z), w9 2 £ (С1, которая
берется со знаком «+», причем точки верхнего листа обозначаются
(2, + У Р (z)) g Г. Алгебраический род поверхности Г равен числу N.
Пусть dj, bj, j = 1,2, .,., N9— канонические циклы на поверхности
Г, образующие базис одномерной группы гомологии Нг (Г9%)
многообразия Г с индексами пересечения af ° ak = bi ° bk = 0, а} о bk =
= 6/ь /> & = 1» 2, ..,, N\ du>j (2), г б Г,— базис абелевых
дифференциалов первого рода на римановой поверхности Г, причем
i_
dco, (г) = </,(*) [/>(*)] 2 dz,
?/(2)= Ее,**-*
(6.24)
и выполнены, как обычно, условия нормировки, т. е.
ф йщ (z) = 6/л, j) duk (z) = bjk, k, j = 1, 2, .., , N. (6.25)
aj bj
Матрица b = || bjk || , /, fe = 1, 2, ..., N9 является симметричной, а
ее мнимая часть положительно определена. Матрица b называется
матрицей Римана.
Пусть §Г — решетка в £N, построенная по N X 2М-матрице || fl, b ||
периодов базиса абелевых дифференциалов (6.24) на поверхности Г.
По комплексному тору $ (Г) = (C^/S", называемому многообразием
Якоби, определим отображение Абеля v : SN (Г) -* 9 (Г)
следующим образом:
n
vf(x,t)= %(*,(\ik(x9 0). (6.26)
/г=1
2
где (о,(2)= ] do)/(г), / = 1, 2, ,.., JV. Поскольку точки [!,(*, О,
я2А/+2
/ = 1,2, ..., N9 принадлежащие поверхности Г, удовлетворяют
уравнениям (6.19) и (6.20), то из формулы (6.26) можно найти уравнения
для эволюции чисел vk {x, t) £ (С1, к = 1, 2 N, по переменным
сЧ (*, t) __ у 2f'^ (И7) 1 £ ^ (?) d?
Ox ~ Zj n — If J ~
'-1 П (^-HrJ ci«» П (2-^
/¥•« /1=1
8 6-1669
113

e _l_ ф ?fe(T-')^-^T = _!_ J ^ v * '* ^ 2й;^ (627)
C(oo, П (1 - ТЦ„) S=I C(~) П (1 - ТЦ„)
n=l ft=l
dVk£ ° = S П (|i, - ^Г' 2ty* (и,) 2p + P2*+1 + J и»
<fe W dz
^ (z) 20 + р2Л/+1 + J] pn
±&—ц,—=^*-^-ф^
C(oo. П(г-ц„) сУ^, П(г-ц„)
ft=l n=l
= 2«C*., 20 + />2/v+1 + £ ft, -4- ф "4^ =
V n=1 У Д. П(1-тИп)
= 2i [CkA (2p + pav+i) — C,,2]. (6.28)
Здесь через С (оо) и С (0) обозначены в комплексной плоскости (С1
окружности бесконечно большого и бесконечно малого радиусов с
центром в нуле. Из уравнений (6.27) и (6.28) находим, что точки
\ij {x, t) £ Г, j = 1, 2, ..., N, при произвольных фиксированных
действительных значениях х и t решают следующую проблему Якоби
обращения абелевых интегралов на гиперэллиптической римановои
поверхности Г:
N ( N
£ <°/ (И* (х* 0) = 2iC/,i (х — *0) + Ц <°/ (И*.о) +
+ 2i(t —t0)[CiA (2$+ P2N+1)-С fAmodV-), /=1, 2, ,,,, N. (6.29)
Для решения проблемы обращения (6.29) используется аппарат ри-
мановых ^-функций. Пусть v £ (С^ и
# (v) = £ ехр {я/ (ftm, m) + 2ш (m, v)} (6.30)
есть стандартная многомерная ^-функция, построенная по N X 2N-
матрице периодов || fl, b ||. Отметим, что ряд в (6.30) сходится
абсолютно при всех v £ £N в силу положительной определенности мнимой
части матрицы Ъ. ^-функция (6.30) обладает свойствами (1.72).
В частности, она симметрична, т. е. для всех v имеет место
tf(v) = 0(—v). (6.31)
По ^--функции (6.30) построим 0-функцию Римана, заданную на
поверхности Г:
0(2) = 0(е —©(*)), (6.32)
114

где
ej = af (x — x0) + p,- (/ — /0) + yh af = 2iCitU
P/ = 2t[C/ii(2p + ^+i)-C/i2]f
N 1 N 1
?/=£ w/W + yJ 6/* 2"/, /= 1, 2, ..., ЛГ.
Числа 7/f / = 1, 2, ,.,, Af, называют константами Римана,
соответствующими проблеме обращения (6.29), Функция 0 (г), г £ Г,
обладает следующими свойствами:
1) функция 0 (г) аналитична на поверхности Г = Г\{а/, / = 1,2, ...
..., N);
2) если функция 0 (z) не равна тождественно нулю, то она имеет
ровно N нулей, образующих решение проблемы обращения Яко-
би (6.29);
3) если Z+ Э s < оо—наименьший порядок нетривиальной,
частной производной 0-функции по со,- (г), /=1,2, ..., N, то каждое
решение проблемы обращения Якоби (6.29) содержит s пар
сопряженных точек, т. е. точек (г', z") £ Г X Г, проектирующихся в одну
и ту же точку на плоскости (С1, причем эти пары сопряженных точек
можно выбрать произвольно, а остальные Af — 2s точек не
содержат пары сопряженных точек и определяются однозначно системой
соотношений (6.29).
В рассматриваемом случае для 0-функции (6.32) априори известно,
что среди точек \if (x> t) £ Г, / = 1, 2, ..., N, нет сопряженных
точек, поскольку начальные данные \i!t0 £ Г, / = 1, 2, ..., N, для
систем уравнений (6.19) и (6.20) выбираются таким образом, чтобы
никакие два числа \iito и \ikto при / Фк, /', k = 1, 2, ..., N, не
проектировались на плоскость (С1 в одну и ту же точку. Поэтому число s = 0
и, следовательно, |Я/ (я, t) £ Г, / = 1,2, ..., Af,— простые нули
функции 0 (г), г 6 Г, не равной тождественно нулю. Используя
аналитичность функции 0 (г) на поверхности Г, применяя формулу Коши
на компактных римановых поверхностях и интегрируя функцию
d In 0 (z)/dz по границе поверхности Г, получаем для симметричных
N
выражений £ м7(х, 0» входящих в уравнения (6.22) и (6.23) при
л = 1, 2, следующие общие формулы:
у tf (jc, t) = V (j) г"сЦ (г) — V res {znd In 0 (г)}. (6.33)
Используя методику вычисления вычетов в правой части формулы
(6.33), развитую в § 4 гл. 3, легко находим
Vu.fvft- ' д In e^ + ft + V + e) i у I л ,,
7 1 /—1 а;

I tf (x, Q = ±JL-\n[0(ax+W + y + 6) <? («* + P' + V- 6)1 +
_l _LE_ _£_1n ^ («* + P< + У + 6) , J_ _d_ , ft («t + P< -f V 4- »' ,
+ 2 d* 0(eu + p/ + v —6) "T 2 d< 0 (a* -+- p/ + V — 6)
+ £ cp2*rf<0/(2),
где числа бу = со. (оо+), / = 1, 2, ..., N. Чтобы получить в явном
N
виде выражение 2 Н7 (*» О М-/? (*» 0» входящее в уравнения (6.22)
]<k,j,k=\
и (6.23), можно воспользоваться соотношением
N / N \2 N _
2 £ ^ = £ W - Е Л, (6.35)
/<*
что вместе с явными формулами (6.34) дает основание считать задачу
интегрирования с помощью римановых tf-функций
модифицированного нелинейного уравнения Шредингера (6.1) завершенной.
Получаемые при этом функции я|) (х, t) £ М в силу свойств ^-функций
Римана будут квазипериодическими по переменным х, t £ [R1
функциями с группой квазипериодов {/,-, т;-, / = 1, 2, ..., N),
вычисляемых по формулам
/Г1 = J (ft"1)/* аЛ, г"1 = 2 (ft"1),* р„ / = 1, 2, ..., N, (6.36)
причем обратная матрица ft-1 существует всегда в силу
положительной определенности ее мнимой части. Таким образом, справедлива
теорема [164].
Теорема 6.2. Пусть заданы произвольные попарно разные
комплексные числа Е; £ (С1, / = 1, 2, ..., 27V + 2, и jx/,o 6 (С1, / = 1, 2, ...
..., Af, такие, что тождественно для всех z £ (С1 выполнено
алгебраическое соотношение
2N-\-2 N „,
П (2 - £,) - | ф (х0> /0) |2 г П (г - М (г - jx/.o) = Л2 (г),
/=1 /=--1
где /i (г) — некоторый полином степени N + 1 с действительными
коэффициентами. Тогда динамическая система (6.1) обладает
бесконечной иерархией точных квазипериодических по переменным х%
t 6 [R1 решений, которые можно получить с помощью изложенного
выше алгоритма в терминах многомерных римановых ^-функций.
Полученные в этом параграфе формулы для решений -ф (х, t)
динамической системы (6.1) из-за отсутствия соответствующей
спектральной интерпретации носят менее эффективный с точки зрения
применений вид, чем формулы для решений, вычисляемые с помощью
алгебро-геометрического метода, использованного нами ранее. Как
отмечалось выше, полученные формулы для решений содержат в ка-
116

честве вырожденных случаев все многосолитонные и
алгебраические решения. На их вычислении останавливаться здесь не будем
(см. [132, 482]).
§ 7. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ,
АССОЦИИРОВАННЫХ С ЗАДАЧЕЙ О НЕЛИНЕЙНЫХ
КОЛЕБАНИЯХ ПРОДОЛЬНО СЖАТОЙ УПРУГОЙ БАЛКИ
7.1. Гамильтонова форма записи. Механические колебания
однородной упругой балки (или гибкого стержня) описываются
нелинейным дифференциальным уравнением вида [138, 392]
2-- 1
Uxt + [ихх (1 + их) 2 }xx = — eutit (7.1)
где и 6 С(00) (|R2; (R1) — функция формы колеблющейся балки;
х* t € [R1 — характеристические координатные переменные; е =
= EII2PS — параметр, характеризующий упругую реакцию балки
на изгиб при продольном сж^ии, причем Е — модуль Юнга
материала, / — момент инерцит., Р — сжимающая сила, S— площадь
поперечного сечения балки. При достаточно гибкой балке и сильном
сжатии е ^ 1. Поскольку значение utt (x, t) ограничено при всех
х, t ^[R1 [318] и параметр е мал, уравнение (7.1) с точностью до
слагаемых первого порядка по е примет вид
__з_
uxt + [uxx(l+u2x) 2]xx = 0. (7.2)
В переменных угла наклона ф £ [0, 2я) балки к оси Ол: и длины
балки s £ [0, s0] уравнение (7.2) представимо следующим образом:
Ф, cos Ф - ф5 + cos2 ф ( Sln^ss ) = 0f (7.3)
где их = tg ф. Для стационарной задачи выполнено равенство
Ф, cos ф = ф5 [435], учитывая которое, из уравнения (7.3) можно
получить уравнение Эйлера — Бернулли [157, 286, 369] ф55 + sin ф =
= 0, которое, как известно, интегрируется в эллиптических
функциях [175]. Покажем, что при условии периодичности функции
их (xf t) по переменной х £ [R1 уравнение (7.2) порождает на
периодическом многообразии М = С{Г} ([R1; [R1), где / — период,
вполне интегрируемую гамильтонову динамическую систему.
Использование схемы симплектического анализа при
рассмотрении нелинейного уравнения (7.2) на многообразии М основано на
следующем утверждении.
Лемма 7.1. Спектр о (L) обобщенной спектральной задачи L [и;
М У = О, У € С<°°> ([R1; (С2), sup \y(x,X)\<oo, с оператором
*€IRl
Llu.X] = 4J--\ ° <' + «->Ч (7.4)
117

где X £ (С1 —спектральный параметр; 1= У — 1, в силу
уравнения (7.2) подвергается изоспектральной деформации типа Лакса по
переменной t £ [R1.
Доказательство леммы 7.1 проводится обычным образом и
использует факт существования для уравнения (7.2) стандартного
представления типа Лакса (1.3) гл. 2, который установлен в работе [560].
Зададим на множестве гладких по Фреше функционалов 0 (М)
следующую скобку Пуассона: {. , .}^= (grad (•), ^ grad (•)), где
^ = д — имплектический оператор. Легко проверить, что для
динамической системы (7.2), записанной в виде
__з_
"/=-["«(!+«£) Ч = *[и], (7.5)
оператор ££ является также нетеровым (см. (2.9) гл. 2).
Лемма 7.2. Динамическая система (7.5) на многообразии М
является гамильтоновой и представима в виде
Щ = {//, и}^ (7.6)
x0+l J_
где Н = j (1 + их)2 dx, x0£ [R1, —функция Гамильтона.
х°
Замечание. Функция Н имеет смысл длины колеблющейся
балки и является естественным инвариантом для уравнений (7.2),
т. е. # = s0e[R+.
Доказательство леммы 7.2 проводится путем прямого
вычисления операции скобки Пуассона в (7.6). >
Лемма 7.2 устанавливает гамильтоновость динамической системы
(7.5) на бесконечномерном многообразии М. Для поиска бесконечной
иерархии законов сохранения для динамической системы (7.5) воспользу-
емся тем фактом, что функция а (х, л) = д , где
Уг (х* V> ^)» *у Xq £ [R1» ^ £ (С1,— первая компонента блоховской
собственной функции оператора (7.4), удовлетворяет следующему
нелинейному уравнению Риккати:
^а + а»+Х»|ф|»-а^(1пф) = 0, ф = и, +/. (7.7)
Для функции а (х, X), существует асимптотическое при | К |-> оо пред-
оо
ставление о (х, К) ~ £ а; [а] Х~'+1, причем функционалы 71, =
Хо+1
= f a2/ lu] dx, j = 0, 1, ..., являются законами сохранения для
динамической системы (7.5). В частности, Т0 = Н £ jZ) (УИ) —
функция Гамильтона для уравнения (7.6).
7.2. Явный вид первой компоненты собственной функции Блоха.
Пусть Д (Я) = JL tr S (х0; Я,), где S (*0; X), х0 £ fR1, X £ (С1,— как
118

обычно, матрица монодромии для оператора (7.4). Легко проверить
непосредственным вычислением, что функция А (К) удовлетворяет
тождеству
i£ grad Д (К) = Х2М, grad Д (X), (7.8)
где М = —4 (д~[ + ихд-{их) — имплектический и нетеров
оператор для динамической системы (7.5). Оператор JUL задает
стандартным образом на 0 (М) новую скобку Пуассона (., .)м, относительно
которой все законы сохранения Tt £ jZ) (М), / = 0, 1, ...,
находятся в инволюции, т. е. для всех /, k = 0, 1, ... справедливы
равенства
{T„Tk}e=[ThTk)jt = 0. (7.9)
Пусть в спектре a (L), состоящем в общем случае из
бесконечного числа зон устойчивости, содержится лишь конечное число 2N + 1,
Z+Э N <+оо, нетривиальных зон устойчивости. В этом
случае для законов сохранения Т,- £ jZ) (М), / = 0, 1, ..., выполнено
следующее соотношение:
gradtf^Y'/Agradtf* (7.Ю)
где c-Uk € IR1» ]^ N, k = О, 1, ..., N — 1,— некоторые постоянные
числа. По теореме 2.7 гл. 1 на подмногообразии S а М,
определяемом соотношением (7.10), динамическая система (7.5) вполне
интегрируема по Лиувиллю. Для описания подмногообразия S в
явном виде воспользуемся алгебро-геометрическими соображениями,
позволяющими охарактеризовать в явном виде класс конечнозонных
данных Коши для динамической системы (7.5). Справедлива
следующая лемма.
Лемма 7.3. Первая компонента уг (х, х0; г), х> х0 £ [R1, z = К2 £
£ (С1, собственной функции Блоха оператора (7.4) имеет
следующее представление:
j_
и (х х • z)-exn Гт (?) i (х\\ в (s> z) ° (0, °°] Гф W ' ф (*о) П 2 Г7 1П
X J_
где s (л:) — С (1 + *4)2 dx\ 6 (s, г) — стандартная Q-функция Римана,
определенная на гиперэллиптической римановой поверхности Г
2JV+2 _1
функции V Р (г), Р (г) = — г П (г — £/), /г/ш^л ± £у2, / = 1, 2,...
...» 2N + 2,—края зон устойчивости спектра o(L); со
(г)—нормированный абелев интеграл второго рода на поверхности Г с
асимптотикой при z -> оо £ Г вида со (г) ~ i V~z .
Функция ух (х, х0\ г) является мероморфной и однозначной по
параметру z £ Г, причем дивизор (^ представим в виде (yj =
119

= 21 (x) 9I"1 (x0), где 91 (л;) — «движущаяся» часть дивизора 9t
оператора L [и\ X] (7,4). Используя асимптотическое разложение
для функции о (х\ X) при X -> оо, легко получаем следующие важные
для вычислений формулы:
lim г 2 -^ Inyx(х, х0; z)\= i(1 + и*)2,
(7.12)
7.3. Эволюция конечнозонных данных Коши. Для вычисления
динамики по переменной / £[R г в силу потока (7.5) рассмотрим
выражение для 0-функции Римана
0(s, z) = # (g)(z)— as — v), (7.13)
где ©у (г), /=1,2, .,., ЛЛ— канонический базис абелевых
интегралов первого рода на поверхности Г;
*t = ±§fa{z)\ (7.14)
причем величины Цу (*0) б Г, / = 1, 2, ,,,, N, образуют дивизор
$ (*о)> *o£fRx- Из формул (7.11) и (7.13) видно, что для
вычисления эволюции конечнозонных данных Коши (7.12) по t £ [R1 в силу
динамической системы (7.5) достаточно вычислить эволюцию
чисел 7/ (*о> 0 € (С1, / = 1, 2, ..., N, по многообразию Якоби f (Г)
поверхности Г. С этой целью предварительно изучим эволюцию
чисел 7/ (*о> 0 £ (С1, / = 1, 2, ..., N, в силу «производящего» потока
ut = {b{K),u}#. (7.15)
Согласно формулам (7.14) и (7.15) для всех / = 1, 2, ..., Л/" имеем
дУ/ (*о» 0 _ у tf(p/ (ffe W) ajiife (*0) (7 , fiv
Для нахождения величин J^JpL $ ft = 1, 2, ..., N, вычислим
предварительно эволюцию функции Sl2(x0'} р), р2 = (ы^ (С1, *0€IR\ по /£К*
в силу потока (7.15):
с /„ . „ч dS12(x0; р) ^ /у . n\ dS22(*0; Р) __
^22^0» 9) g/ ^i2v*o> ?) -=ft —
= 8Х2р2 J <М* — 2р^2 -^- [S?2 (*0; Р) + S222 (х0; р)— 1]. (7.17)
х0 °
где£ = с(х, *)= 2-[Sn(*fA,)—Saa(*; *<)]; с = с(*, *0; А,) = у12(х, х0\ р)х
X у22(х, х0; р), причем Ц^Ц = К(*> х0; р), /, ft = 1, 2, — фундамен-
120

тальное решение уравнения L[u, р]*/ = 0, */£ С(<50) ([R1; (С2). Так как
согласно уравнению (1.7) гл. 2 для подынтегрального выражения в
правой части соотношения (7.17) можно записать тождество
\ ccjix = 2(^р12) |S12 (г, Я,) [Sl2 (*0; p) - 1] - S21 (*0; X) S2i2 (х0; К) -f
+ -^-с(х0\ X)Sl2(x0; p)S22(x0\ p)J , (7.18)
то для точек |Я/ (*0; t) £ Г, /=1,2, ..., N, находим следующие
уравнения:
ф/
л
8|л/г» |/"Р (ц,) П (z-[ik)
Щ'г\ГРЩ) 9С{Хд1Ц
N
Л=1
(7.19)
Уравнения (7.19), как обычно, следует рассматривать как уравнения
на гиперэллиптической риманрвой поверхности Г функции w —
= YP (z), z> w € (С1, с начальными данными в точках \ij (x0l t0) =
= l-Чо € Г, / = 1,2, ..., N, удовлетворяющими соотношению h (\ijto) =
= Vp (И7.0). / = 1, 2, ..., Af, где /г (г), г£ (С1,— некоторый
полином степени N £ Z+ с действительными коэффициентами. Этот
полином для всех % £ (С1 удовлетворяет алгебраическому соотношению
вида
Л2 (г) - г П (г - М (г - |i/.o) = Р (г). (7.20)
/=i
Следствием формул (7.16) и (7.19) являются уравнения для величин
Y/(*o, 0 € С1, /=1,2, ..., ЛГ,
(7.21)
где Су,л £ (С1, /, fe == 1, 2, ..., N,— числа, задающие по формулам
d©, (г) = £ С ,***-* [Р (г)] 2 dz (7.22)
базис dcoy (2), / = 1, 2, ..., Af, нормированных абелевых интегралов
первого рода на поверхности Г. Так как динамическая система (7.6)
может быть записана в виде
{Д(Ь),и}
щ = reg lim л^-~-х , (7.23)
121

то из соотношений (7.21) и (7.23) находим эволюцию чисел у/ (я0, f) €
(j (С1, / = 1, 2,,..., N, в силу потока (7.6)
—' = ireg hm 8г2 —-j— . (7.24)
dt -—s *«» — dz
Таким образом, 6-функцию (7.13) можно записать в виде
G (s, *; г) = tf (со (г) - as (*, g - 0 (* - g - у (х0, t0)), (7.25
где
ау = С/,ь ру = i reg lim 8г2 —^— , / = 1, 2, ... , N,
2-voo +
s (я, *о) — начальное (периодическое) распределение длины балки.
Формулы (7.11), (7.12) и (7.25) ведут к явным решениям нелинейных
уравнений (7.2) в терминах многомерных ^-функций Римана.
Процедура вырождения римановой поверхности Г, задающей решение,
до рациональной позволяет получить солитонные и кинковые
решения, описанные в статьях [392, 436].
§ 8. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ МОДЕЛИ
ФЕРРОМАГНЕТИКА ГЕЙЗЕНБЕРГА
8.1. Предварительные сведения. Нелинейная изотропная модель
ферромагнетика Гейзенберга описывается нелинейными
дифференциальными уравнениями вида
S^SxSn, S-S = S? + S| + S§=1, (8.1)
где S = (Slf S2, S3) £ [R3 — вектор намагниченности; x, t £ [R1.
Система уравнений (8.1) обладает стандартным представлением
типа Лакса с L [S; AJ-оператором вида
MS; M = fl4--«/nS; ц=а-Ц-—а\ч Ч, (8.2)
ОХ ОХ ,ф* ф ||
где А, £ (£* — спектральный параметр; i|; = Sx -f iS2; я|?* = Sx — iS2,
i=V~'< Ф = (1-|Ф12)Т.
8.2. Имплектические операторы ££ и М и симплектические
структуры. Для доказательства полной интегрируемости динамической
системы Гейзенберга (8.1) рассмотрим вариационные свойства
матрицы монодромии S (х0, t\ К) дифференциального оператора (8.2) с
периодическими гладкими коэффициентами if> £ С}°°) (fR1; (С), где
число / — период. Тогда согласно результатам гл. 2
*о+/
«S (*0, t; l) = S (x0i t; I) J Ф~1 (*, x0\ I) bjl [S; Ц Ф (*, x0; I) dxy (8.3)
где Ф = Ф(л;, х0\ X) —фундаментальная матрица для оператора (8.2),
причем Ф (х0, х0; X) = £. Учитывая явный вид оператора L [S; А,],
из формулы (8.3) находим значение для grad 2Д (к)> где А (К) =
122

-^-tr S (x0, t; I):
grad2A(?i)=( \ = tl
a
12'
~2qT
2ф
(Sn-S22)N
(^ii — ^22);
(8.4)
где
S(x0,t; X) = [St,l i, / = 1, 2, a =
26A (X.)
6i|>
, P
26A (k)
Поскольку матрица монодромии S (*0, f; X) удовлетворяет
дифференциальному уравнению Sx = [A, S], то
Sa.x = 2iX [<pS„ - Ц> S"7S*2 ],
S2l., = 2Л |V S"7S» q>S81],
(8.5)
(Su - S22)x = 20. &Sn - y*Slt).
Используя формулы (8.4), из уравнений (8.5) находим
(8.6)
где
6 = ai|»-pv*, а-'(-) =
*0+'
\(-)dy- $ (-)d«/
•^o^fR1—произвольная начальная точка. Систему уравнений (8.6) в
силу очевидной формулы
йД-х1 = — Л.дг1 (уда + г|;*ар)
можно записать в компактной форме следующим образом:
Ш grad Д (X) = М grad Д (к),
где
а =
О 2щ\
— 2йр О 1'
М =
(8.7)
(8.8)
(8.9)
2 "т " т" 2
Прямыми вычислениями убеждаемся, что операторы {£ и М
являются имплектическими и нетеровыми, т. е. эти операторы однозначным
123

образом задают две симплектические структуры {-, -}#> и {-, -)л на
множестве гладких по Фреше функционалов 0 (М), определенных
на периодическом фазовом пространстве М = С}°°) (fR1; [R2)
динамической системы (8.1). Отсюда легко заметить, что динамическая
система (8.1) бигамильтонова и, в частности, справедлива запись
+/ = {Я.+Ьг. +;={Я.Ф*Ьг. (8-Ю)
где Н= J [SiSz., —Si§rS2](l +S3rl£te, 1? = S2 + fSa,
1
^ = 5,-^2, Sa = (l—|гр|2)"2".
Следствием формул (8.8) и (8.10) является наличие бесконечной
функционально независимой иерархии законов сохранения Г/£
£ 0 (М), j = 0, 1, ..., для динамической системы (8.1), причем
законы сохранения Т,, / = 0, 1, ..., находятся в инволюции
относительно обеих скобок Пуассона на М. Таким образом, по теореме
Лакса на каждом подмногообразии вида
/V— I
gradTN= X c,,vgrad Th (8.11)
/=i
где CjtN, j = 1, 2, ..., N— 1,— действительные числа; N—
некоторое натуральное число, справедлива следующая теорема.
Теорема 8.1. Динамическая система Гейзенберга (8.1) на
подмногообразии, заданном соотношениями вида (8.11), является вполнь
интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системой, задакщ°й
квазипериодические конечнозонные решения для оператора L [S; А,],
определенного формулой (8.2).
Несложно осуществить также переход от скобки Пуассона {•, •}#
к более привычной скобке Пуассона {-, • )&в пространстве
функционалов, заданных на функциях Sb S2 и S3 в случае, когда эти функции
ограничены на единичную сферу S • S = 1 в [R3. Действительно,
в силу линейной зависимости переменных (г|), я|)*) от функций Slt S2
для скобки Пуассона {•, •} ~ получаем
{SiW. S2(y))^ = S3(x)Hx-y)t
[S2(x), S3(y))^ = S1(x)6(x-y), (8.12)
[S3(x), Sl(y))^ = S2(x)S(x-y).
В стационарном случае скобка Пуассона (8.12), очевидно,
эквивалентна коммутационным соотношениям для элементов алгебры Ли
§(D) (3) « §(U (2), характеризующей вращение евклидова
пространства [R3. В этой связи отметим, что соотношения (8.12)
автоматически учитывают ограничение S • S = 1, поскольку сфера Sz в
пространстве [R3 является инвариантным многообразием (орбитой)
124

группы §(0 (3). Аналогично можно получить выражение для скобки
Пуассона
л
для переменных Sb S2, S3 £ УИ, соответствующей
скобке Пуассона {-, -}j{. Из-за громоздкости эти выражения здесь
не выписываем. В заключение также отметим, что более общая
нелинейная динамическая система типа Гейзенберга — модель Ландау —
Лифшица
St = SxSxx + SxAS, S-S = l, (8.13)
где А = diag (аг, а2, а8); av a2, a:i — действительные числа, как
показано в работах [30, 564], также обладает представлением типа Лак-
са со спектральным параметром на эллиптической кривой. При
ах = а2Фа3 в силу общей методики градиентного метода гл. 2 для
системы уравнений (8.13) также существует имплектическая пара
££, М вида (8.9), причем в этом случае оператор ££ в точности такой
же, как и оператор {£ в формулах (8.9), и пара ££, М
удовлетворяет градиентному соотношению вида (8.8). Отсюда также следует
полная интегрируемость по Лиувиллю нелинейной модели
Ландау — Лифшица (8.13).
§ 9. АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НА ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ.
МОДЕЛЬ ТИПА ГЕЙЗЕНБЕРГА
9.1. Модель Ландау — Лифшица. В ряде физических приложений
возникает обобщенное нелинейное уравнение типа Гейзенберга
\it = \i X рхх + yM-jc + Р(М- X n)(fi • n) — an(\ix • п), (9.1)
где а, р, у— действительные числа; вектор |ш £ С(00) ([R2; Е3)\ Е3—
трехмерное действительное евклидово пространство со скалярным
(•) и векторным (х) произведением; п £ Е3 —единичный орт в
направлении оси 03 пространства £3. Кроме того, вектор jui = (jlix,
!ы21 Из) Для всех х, t £ [R1 удовлетворяет по определению
нормировочному условию |ш • [ш = 1, совместному с системой уравнений
(9.1). В частном случае при а = у = 0 уравнение (9.1) называют
(xxz)-моделью Ландау — Лифшица, которая имеет приложения [122]
в теории ферромагнетизма. В работе [24] установлено
существование представления типа Лакса вида (1.3) гл. 2, операторы L [\л\ К] и
А [|ы; М для которого записываются следующим образом:
\{Х- 4-а)Из ^+х)
L [ц; Ц = й -Ь +
дх
"'Kf) (« + "М
М-з
А[ц; M = -«rU +
Из
0
Из
-я-
+
я-4-
а) Х +
о
— а
-\ v.
(9.2)
+
(9.3)
125

где К £ (£х \ {0} — спектральный параметр; 46 = J3 — а2;
v = М^ X \ix + viw — а (\i п) п; 11 = 11! + /|я2; |я* = \хх — i\i2;
v = vx + *v2; v* = vx — tv2.
Прямым вычислением можно убедиться, что в силу произвольности
параметра Я £ Сх\{0} уравнение (1.3) гл. 2 эквивалентно уравнению
типа Гейзенберга (9.1).
9.2. Свойства матрицы монодромии. Для изучения точных
решений уравнения (9.1) с помощью аппроксимационного метода [1281
в классе функций |ш £ С}°°) ([R1; £3), периодических по переменной
х £ [R1 с периодом [R1 Э /, запишем уравнения (1.7) гл. 2 и
уравнение для матрицы монодромии S (х0] К) оператора (9.2)
dS(x0; X) ^
dt ~
[A,S(x0\ X)]
(9.4)
в явном виде:
*тг-
+
+
дЬ
»'-!-=(«+4-*•)*>*»+«**(*+ 4Ь
1-т--)(н4)^(н|Ц^
(*+4) из+(ь-4-«Ыа +
4-# + 4)и + (*+4ЬЬ
(9.5)
. да
(9.6)
1~дГ =
._5)(х+|.)и. + (х + 4)^]с.
где с = -у- [Sn (х0, I) — S22 (х0; Я)]; а = — S12 (*0; X); 6 = S21 (*0; Я).
В силу инвариантности величины detS(#0; X) по переменным х, t£ [R1
находим, что выражение
Я (Л)
•аб,
(9.7)
где Р (к) — некоторая мероморфная по параметру X £ (С1 функция,
является инвариантом динамической системы (9.1). Нетрудно
показать, что системы уравнений (9.5) и (9.6) допускают полиномиальные
126

по параметру К решения вида
N N N
а = 2 ak(x, t) %\ Ъ = S М*. 0 *\ с = S **(*, /) ^ (9.8)
fc=0 Л=0 Лг=0
тогда и только тогда, когда коэффициенты ak (х, t), bk (x, t)y
ck(x, t) 6 C/(00) ((R2; (C1), ft = 0, 1, ..., ЛГ, полиномов (9.8)
удовлетворяют некоторым специальным совместным системам автономных
нелинейных дифференциальных уравнений и справедливы
равенства
\х = — aN (х, /), у* = bN (x9 t)9 |я3 = cN (*, t). (9.9)
Если к тому же в точке х = 0, t = 0 выполнены соотношения
С(0, 0; X*) = с*(0, 0; X), а(0, 0; А*) = — 6*(0, 0; X), (9.10)
то эти автономные системы уравнений имеют решение при всех
достаточно малых значениях переменных х> t £ [R1 и формулы (9.9)
определяют вектор-функцию |ш (х, tf) £ £3, являющуюся решением
векторного уравнения (9.1). Для получения эффективных формул
для решений системы уравнений (9.1) представим полином а (х, t\ X)
следующим образом;
а (х, t\ %) = aN (*, /) П (Я — If (x, 0),
где£/(х, 0»/ = l,2,...,Af,— его нули. Из систем уравнений (9.5) и (9.6)
для функций lf (xt t), j = 1, 2, ..., N, находим уравнения
ill
(ё/ +в) }/>(£/)
/V
if Yldf-U)
ЬФ1
Б,- П (6,-Ы
£?*+ -^-#w-i — 7 — а||я|2 + 6g/
(9.12)
2Л/
где Р(к) = S р^Л причем в силу (9.10) числа рЛG fR1, ft = 0, 1, ..., 2Ny
не зависят от переменных ху t£ [R1. Из уравнений (9.5), (9.6)
получаем также уравнения для функции \i3 (xy t):
д
дх
dt
(arcth (я3) = Im
(arcth jx3) = Im f !S S/j .
% % /- - i V
— . S ?/4 + £ ?/ (7 — а|яз y Р™-1]
(9.13)
Аналогичные, но более громоздкие соотношения можно записать
также и для функций \х и (я*. Эти формулы здесь не приводим. Нас
127

<5удут интересовать здесь только системы уравнений (9.11) и (9.12),
поскольку от их разрешимости зависит разрешимость в явном виде
уравнений (9.13) и, следовательно, уравнений (9.1).
9.3. Метод квазирегуляризации. Рассмотрим уравнения (9.11) —
<(9.13) как уравнения, заданные на гиперэллиптической римановои
поверхности Г функции ы)=УР(г), X, w £ (С1, с начальными
данными в точках |я,\о £ Г, / = 1, 2, ..., N, таких, что при \фк
р (i^) ф р (|^), /, k = 1, 2, ..., Ny где р — стандартная проекция
поверхности Г на плоскость (Q1. Будем также предполагать, что
полином Р (к), X G (С1, удовлетворяет следующим условиям:
р (± i yi) фОу lim %2Np (I"1) = 1. (9.14)
Алгебраический род поверхности Г равен числу N — 1 £ %+> не
совпадающему, как обычно, с числом неизвестных функций £/ £
£ Г, / = 1, 2, ..., N. С целью сведения задачи интегрирования
системы (9.11) воспользуемся методом квазирегуляризации [108, 167].
Рассмотрим наряду с системой (9.11) также следующую квазире-
гуляризованную систему уравнений:
d\i, (И/ - i УЪ) V\(\ij + i VW + в| P ft*,-)
|A,- П (|i, — fi*)
где e £ (C1\{0} — некоторое достаточно малое число. Уравнения
(9.15) будем рассматривать на гиперэллиптической римановои
поверхности Г8 функции w = у [(к + i УЪ)2 + в2] Р (X), X, w £ (С1,
с описанными выше начальными данными для системы (9.11).
Алгебраический род поверхности Г8 равен числу N и уже совпадает с
числом неизвестных функций \if (х, е) £ Г8, / = 1, 2, ..., N.
Предварительно установим следующую теорему [108, 167].
Теорема 9.1. Пусть начальные данные Коти для систем (9.11) и
ф.ХЬ) для всех / = 1, 2, ..., N удовлетворяют условиям
max \lf(0)\<Mv min I E/(0) — Ел (0) | > ma >0f
<*k (9.16)
^ (0) = ^ (0, e), min 11, (0) | > mx > 0,
.где mx, ra2, Mx £ [R+ — некоторые числа. Тогда существует такая
последовательность чисел {е7 £ (С1, / = 1, 2, ...}, lim 8/j = 0, что
fc-юо
-я достаточно малой окрестности нуля V (0) cz [R1 равномерно по
х £ [R1 справедливо соотношние
lim цу (х, 8*) = £/(*), i = 1, 2, ... , ЛЛ
fc-voo
Доказательство. При достаточно малых значениях х £
£ [R1 из уравнений (9.15) и условий (9.16) следует, что существует
действительная постоянная М2 такая, что для всех / = 1, 2, ..., N
J 28

при достаточно малых е £ (С1 равномерно по ,v и е выполняются
неравенства
djA/ (X, 8)
d*
<М2. (9.17)
Отсюда получаем, что семейство функций (|я, (я, е), / = 1, 2, ..., Af}
компактно в равномерной метрике. Следовательно, существует
последовательность чисел {ek £ (С1, k = 1, 2,...}, lim e^ = 0, такая, что
при каждом / = 1, 2, ..., N последовательность функций {\xf (x, sk)},
k = 1, 2, ..., равномерно по л: £ 1/ (0) сходится к функции Е/ (л:),
удовлетворяющей уравнению (9.11). Так как условия (9.16) гарантируют
единственность решения уравнений (9.11) и (9.15), то для любой
последовательности {ek £ (С1, k = 1, 2, ...}, lim еЛ = 0, пределы сущест-
fr-»-oo
вуют и совпадают между собой. [>
Перейдем к интегрированию уравнений (9.15) на Г8 с помощью
алгебро-геометрических методов. Пусть dco/8 (X), / = 1, 2, ..., Nt—
абелевы дифференциалы третьего рода на 1\,
A.w-gc8 ,л,?^,. (9-18,
нормированные условиями
/1>d(o^(X)= 6,*, (9.19)
^^8(Я):
а/
7
где P8a)=f(A + i6)2 + e2]P(?L), a^H^T^Zh /=1.2, .... tf, — а-базис
одномерной группы гомологии //х (Г8; ^7) многообразия Г8. Условия
(9.19) однозначно определяют коэффициенты Cfi £ (Q1, /, /г = 1, 2, ...
...,лл
Построим дополнительно еще один абелев дифференциал третьего
рода на поверхности Ге
нормированный условиями
(Х-Й)уре(Я)
<(> dw8 (X) = 0, ^ dw8 (Я,) = 1, (9.21)
а0
где а0 — гладкий контур на Г8, лежащий на верхнем листе и
охватывающий точку К = (i V~E)+ £ Г^. Поверхность Ге, как обычно,
реализуем в виде двулистной поверхности наложения комплексной
плоскости (С1 с разрезами вдоль отрезков [£2/_ь£2/], / = 1, 2, ..., N,
[£_е,£е], где Ef £ (£\ / = 1, 2, ..., 2N,— попарно различные корни
полинома Р (к), I £ (С1, (Е±е + i V~&)2 + е2 = 0. Кривые без
самопересечений с заданной ориентацией, расположенные на верхнем листе
поверхности Ге и охватывающие эти разрезы но правилу [Е^^и
9 6-1669 J29

E2/] «-> af € #! (Ге; Z). /=1, 2, ..., N— 1, [£_e, £el<->fliv6
£ #x (Г8; 20 порождают а-базис группы гомологии Нх (Ге; ^7).
Легко заметить, что
d©/8 (А,) = d©/8 (A,) — kied^e (А,), (9.22)
где d©/e (к), ) = 1,2, ..., N,— базис нормированных абелевых
дифференциалов первого рода на поверхности Ге, а числа &/е, /=1,2,...
..., Nt определяются из условий (9.21):
k,-e = <$ dco/e (А,). (9.23)
9.4. Проблема Якоби для основной и квазирегуляризованной
систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим отображение Абеля
v8 : SN (Ге) ->■ £N, действующее согласно правилу
v/e (*) = И ®/е (Цл (*. с)), ©, (Я,) = J d«/e (A,), /=1,2, ... , W, (9.24)
причем функции \ij (x, е), / = 1, 2, ..., N> на поверхности Г8
удовлетворяют уравнениям (9.15). Из соотношения (9.22) находим
vie (х) = tC(,? - */eCie)] x + V/ (0), /=1,2 JV. (9.25)
Выражение (9.25) означает, что функции \ij (х, е) £ Ге, / = 1, 2, ...
..., N, решают при каждом х £ [R1 классическую проблему Якоби
обращения абелевых интегралов первого рода на римановой поверхности
Ге. Решение ее, как известно [85], дается с помощью аппарата
^-функций Римана.
Рассмотрим следующие пределы при е -> 0 для абелевых
интегралов ©/Е (к) и ©8 (к), / = 1,2, ..., N:
©у (А,) = lim ю/е (А,), © (А,) = lim ©e (А,),
е->0 ^ е->0 (926)
©, (А,) = lim [©/e {к) — /г/е©е (к)].
Абелевы интегралы в левых частях соотношений (9.26) заданы уже
на римановой поверхности Г функции w= \^P (A,), w, к £ (С1, и
имеют вид
m-Vr С 6W+|-*^
(9.27)
о). (X) = со, (ty — &,co (k), &y = lim kje,
г-»0
130

где при каждом k, j = 1, 2, ..., N выполнены условия нормировки
(j> с1щ(X) = б,*, ф da (X) = О, <J) d© (Я) = 1. (9.28)
Oj Uf Па
Циклы ay £ Я2 (Г; Z)> 1 = 1» 2» •••» N — 1, по которым производит-
ся интегрирование в формулах (9.28), образуют а-базис одномерной
группы гомологии многообразия Г, а цикл ам лежит на верхнем листе
поверхности Г и охватывает точку к = (—i 1^6)+ £ Г. Так как абеле-
вы интегралы ю, (X), / = JI, 2, ..., N — 1, могут иметь особенности
только в точках к = (—i ]/"$)* £ Г, то из условий (9.28) следует, что
они образуют базис нормированных абелевых интегралов первого
рода на поверхности Г. Интеграл сод/ (к) является абелевым
интегралом третьего рода на поверхности Г, он нормирован и, кроме того,
имеет особенности в точках к = (—/ ]/!$)* £ Г с полярными
периодами ±-к-г соответственно. Выполнив для абелевых интегралов со у (к),
/ = 1, 2, ..., N, отображение типа Абеля v0 : SN (Г) -> (£N:
N
vo/W= IN/'Ы*)) (9.29)
k=\
с учетом уравнений (9.11), находим, что
v0/ (х) = (Сп — к}Сг) х + vo/ (0). (9.30)
Другими словами, функции £у (х) £ Г, / = 1, 2, ..., N, решают
обобщенную проблему типа Якоби (9.30).
Покажем, что при е -> 0 классическая проблема обращения
Якоби (9.25) на поверхности Ге переходит в проблему типа Якоби (9.30).
Пусть Ге — риманова поверхность Ге с разрезами по а- и ^-циклам,
образующим базис одномерной группы гомологии Нг (Ге; Z). В
полученной области Ге любая ветвь абелевого интеграла со/е (к) (9.22)
при каждом / = 1, 2, ..., N аналитична и, очевидно, сходится
поточечно при е ->- 0 за исключением точек (—г 1/6)* £ ГР к
соответствующей ветви интеграла со у (к)у / = 1, 2, ..., N, определенного в
области Г, которая получается после аналогичного рассечения
поверхности Г. Следовательно, на любом компакте К (Ге), отстоящем на
положительном расстоянии от точек к = (—i Кб)* £ Ге, семейство
аналитических функций {со/е (к), j == 1, 2, ..., N) равностепенно
непрерывно и равномерно по е £ (Q1 ограничено. Отсюда следует, что
абелевы интегралы со/е (к), j = 1,2, ..., Af, при е ->- 0 сходятся
равномерно на К (Г) к соу(Х), / = 1, 2, ..., N. Таким образом, если
начальные данные lj (0) £ Г, / = 1, 2, ..., N, не лежат в окрестности точек
/—i Vfy* € Г, то lim ve (x) = v0 (x), x £ [R1, что и требовалось доказать.
v e-»-0
9.5. Решение обобщенной проблемы Якоби. Пусть для начальных
данных 1} (0) £ Ге, / = 1, 2, ..., N, системы уравнений (9.15)
выполнены условия (9.16). По теореме Римана [205] существует нетривиаль-
9* 131

ная 0-функция Римана 0е (X) = #К (щ (X) — г\ь)у где
*e(u)= £ ехр{ш(&(е,т, т) + 2ш(и, т)}, u££N; (9.31)
m£ZN
Ь{е) = \\Ь{$1 kt / = 1, 2, ..., N,— матрица ^-периодов канонического
базиса абелевых дифференциалов первого рода dco;e(X), /= 1,2, ..., N,
на поверхности Ге; r\ie = v/e (х) + qje, qje^-x-Yi bfk j-. Функция
ве (Я) на поверхности Ге, рассеченной по а-циклам, является
аналитической и имеет ровно N нулей \Hj(xy е)£Ге, / = 1, 2, ..., N,
которые и решают проблему обращения (9.25).
Вычислим предел функции 0е (X) при е -> О, который обозначим
через Т (X):
Т (X) = lim 0е (X) = ^_! (со (X) — т]+) +
8-0
+ ехр [2л/ (сод, (Ь) — V)l ^-i (со (X) — if), (9.32)
где при / = 1, 2, ..., N использованы обозначения
т)/ = v/o (х) + </у ± — &iV/, л* = vN0(х) + 9л/, Qi= —Yi bk'i Г ^
a tf,v_i (u) — ^-функция Римана (9.31) для поверхности Г. Далее
при /=1,2,..., N — 1 выполняются соотношения
bNi = lim b% = Нш ф dcoA'e (X) = ф daN (X),
e-0 *-<>&• 6y
т. е. числа Ьм.у j = 1, 2, ..., Af— 1, образуют ^-периоды абелевого
интеграла со^ (X) на поверхности Г. Рассмотрим следующую т-функ-
цию на £N:
Т (U) = Т (Ult U2t ... 9 UN) = #л-1 ^i у1, . . . , MiV-l ^" W-l) +
+ ехр (2niaN) ^л/-1 № + -у &ли> • • • , Ил-i + — V/v-i) , (9.33)
где и £ (С^. Очевидно, что
T(X) = x((o(X)-v0-q), (9.34)
Функция т (и), и £ (С^, является целой функцией N комплексных
переменных со следующими свойствами [108, 167]:
1) x(ult ..., и7_ь иу + 1, ui+u ... , и^) =
— T(M]f ... , иi—и ар ai+u . ■. , ^yv);
2) т(и2 + &!,Л, ... , uN + bNtk) = (9.35)
= ехр (— nibkk — 2niuk -f шЬыи) т (их, .. . , г/дг);
3) т(—и{, ..., —a;V)=exp(—2muN)x(uL, ..., ^v).
Из свойств т-функции (9.35) следует, что функция Т (X) (9.32)
аналитическая на поверхности Г \ {(—i Кб)-}» в точке (—i V$)~ € Г имеет
простой полюс и терпит скачки на а-циклах в силу свойства 2:
Т+ (X) = ехр [ш (Ьи + 2 (соу (X) - v/0 — J) — &*/)] Г" (X), (9.36)
132

где к £ aj9 j = 1,2, ..., N — 1. По принципу аргумента [38, 39, 143]
разность числа нулей и полюсов функции Т (к) равна N— 1, т. е.
N~l=-^r $dlnT(\) = -^%2m§d<*J{X), (9.37)
дг /=1 а1
и функция Т (к) имеет на Г ровно N нулей. Обозначим нули функции
Т (к) через Zj (х) £ Г, /=1,2, ..., N, и докажем равенство £;- (х) =
= Е. (х) £ Г// = 1, 2, ..., JV, где Е, (х) = lim |я; (х, е), / = 1, 2, ...
e-vO
..., .V, т. е. докажем, что нули функции Т (к) решают обобщенную
проблему обращения Якоби (9.30).
Так как семейство аналитических функций (6е(А,)} поточечно
сходится при е ->• 0 к аналитической функции и на любом компакте
К (Г), отстоящем на положительном расстоянии отточки к = (—1/6)-£
£ Г, оно равномерно по е £ (С1 и X £ /С (Г) ограничено, то,
следовательно, нули функции ве (к) сходятся к нулям функции Т (к) (9.34).
При этом предполагается, что функции Е;- (х) £ Г, / = 1, 2, ..., Л/\
лежат вне некоторой окрестности точки (—i Кб)- £ Г, что может
быть обеспечено выбором начальных данных (9.10). Равномерная
ограниченность семейства функций {0е (к)} на компакте К (Г) следует из
поточечной сходимости функции 6е (к) к аналитической функции
Т (к) и из ограниченности Т (к) как непрерывной функции на
компакте К (Г).
Согласно алгоритму работы [85] для решения проблемы Якоби
для абелевых интегралов необходимо вычислить некоторые
симметричные функции от нулей соответствующей функций Т (к), построенной
выше с помощью т-функции (9.33). Эти же симметричные функции
от нулей функции Т (к) согласно (9.13) используются при построении
точных решений нелинейного уравнения типа Гейзенберга (9.1).
9.6. Вычисление симметричных функций от решений системы (9.11).
Вычислим сначала величину 2 In h (x). Для этого рассмотрим абелев
интеграл третьего рода In к, который, очевидно, является на Г
нормированным абелевым интегралом с особыми точками 0± £ Г и оо*^ Г
и вычетами (+1) и (—1) соответственно. Проведем дополнительно
на Г разрезы (£f, / = 1, 2, 3, 4, из точки к0 £ Г в точки 0± и оо± £
£ Г таким образом, чтобы кривые cXh j = 1, 2, 3, 4, не пересекали
канонические а- и 6-циклы. Рассмотрим интеграл
9 = -Ы-1ьЫЪТ(\)+ %-+;- J 1пЫ1пТ(Х) =
N
= £ In Е,- (x) - In (— iVb). (9.38)
133

Учитывая непрерывность абелевых интегралов In X, In T (X) на 6-
циклах, получаем для интеграла в (9.38)
# =
1
N—1
2ш 2j
/=1
J ln+ U In Т+ (К) — J UT Ы In Г" (к)
1
+
4 Г
+ -^ J] J 1п+Ы1пГ+(^) — J 1гГШпЗГ(Х)
/=i Li
W-1
-Е
2ш
/=1
Г+(>,)
^._d/^dlnr"(X) -J {<ЛпГ(Ь) =
U a/ J /=1 ЯГ I
Т (оо+) Г (сю-)
<£ In Ы In
Л/—1 Г
= V сБ In Ысоу (X) — djtij
/=1 La/
+ lniloo\!MO° ; , (9.39)
Г (0+) Г (О"")
d7 = ^dlnX, /г,= ^ din Г" (Я), /= 1, 2, ..., N — 1. Из соотно-
Где
шений (9.38) и (9.39) следует, что
n6/ = (-fVr8)7,(oot?7,(ol)
/=i
Г (0+) Г ((Г)
-zr~ ехР
ЛГ—1
^] ( <§ In Ы(о;. (Я) — d/zz/
L/=i \a/
, (9.40)
где величины Г (оо±) и Г (0*) согласно формулам (9.31), (9.32)
выражаются в явном виде через (N — 1)-мерные ^-функции Римана.
Л/ N
Аналогично вычисляем симметрические функции ]►] £/ и £ w '•
" - 5 ,_ Г(оо+) Л'-1
' / * ay
" 1 / Л'-1 Г 1
(9.41)
/=i <■/
N
д2
/=1
а ln,ru(-+)
а/
Та (со-)
f 1 ^ ' 3_,п
2j е? (_i/6)? а/
+ ^ $ *'<Ч W.
W—1
|(=0 '=1 a
Tv(0+)
Л/—1
/й I) (~'Кв)» * "" rv(0~)
где использованы обозначения
Гг (Л) = 0#_i (ш (Я) - т|+ + /г) +
134
+ 2 $1Г<Ч^).
|/=0 /=1 а,'

'+exp[2m((oN(\) — r\N + trN)]^N^i(^{X) — rr + tr), r = u, v£(£Nt (9.42)
Щ = (C/2 — *,-С2) y P2N~l (cfl ~ */ci)»
fly = C,w — ft/Сл/ при каждом / = 1, 2, ..., N.
В заключение сформулируем теорему о разрешимости задачи Коши
для исходной системы уравнений (9.11) на поверхности Г.
Теорема 9.2. Пусть на римановой поверхности Г функции w =
= У Р (К), A,, w £ (С1, заданы произвольные комплексные числа £/0 6
^ /С (Г), / = 1, 2, ..., Af, удовлетворяющие условиям (9.16) а
равенствам
с(1ю) = УРЫ (9.43)
для всех / = 1, 2, ..., N, где с (X), X £ С1,— полином степени N. Тогда
задача Коши для системы уравнений (9.11) на Г имеет единственное
гладкое решение в окрестности нуля V (0) cz (С1, определяемое в явном
виде с помощью изложенного выше алгоритма в терминах многомерных
^-функций Римана.
Отметим также, что несколько отличная процедура интегрирования
уравнений типа Гейзенберга (9.1) с помощью алгебро-геометрических
соображений, основанная на эффективном исследовании
соответствующей проблемы Римана — Гильберта для собственной функции Бей-
кера — Ахиезера для оператора (9.2), развита в работах [9, 250].
§ 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЛН ЛЕНГМЮРА
В ПЛАЗМЕ: ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
10.1. Вспомогательная система. Законы сохранения. Имплектиче-
ские операторы ££ и М. Система нелинейных уравнений для волн Ленг-
мюра в плазме была выведена в работах [75, 299]. Она имеет вид
iEt -f- ~y Exx — nE = 0,
(10.1)
пи — пхх — 2(\Е\*)хх = 0,
где Е £ С(00) (fp2; (£*) — нормированное значение электрического
поля для колебаний Ленгмюра; п £ С(00) ([R2; (С1) — нормированная
плотность возмущений в плазме.
Взаимодействие волновых импульсов Ленгмюра с плазменными ос-
цилляциями можно эффективно исследовать [615], предварительно
упростив уравнения (10.1). А именно: если предположить, что
плазменные осцилляции распространяются в положительном направлении
оси Ох, то можно считать, что
nt&nx, (10.2)
где скорость осцилляции нормирована на единицу. Используя (10.2),
находим
(л л \
~дГ + ~дГ)(П*~ Пх)~ — 2(П1 + П*)х- (10-3>
135

Таким образом, в силу предположения (10.2) с учетом соотношений
(10.3) систему уравнений (10.1) можно представить следующим
образом:
iEt + — Ехх — пЕ = 0,
(10.4)
nt + nx + (\E\*)x = 0.
Введем новую функцию ф = Е ехр / (-у- t — х J , в терминах которой
система (10.4) запишется в виде
(10.5)
Ф/ = — 4>хх — inq> — Фх,
nt = — nx — (\q>\2 )x.
Систему нелинейных уравнений (10.5) будем рассматривать как
динамическую систему на гладком бесконечномерном периодическом
многообразии М = С{Г] ([R1; (С2 X [R1), где I — период. С помощью
градиентного метода гл. 2 несложно показать, что динамическая система
(10.5) обладает бесконечной иерархией функционально независимых
законов сохранения Tj £ jZ) (M)> j = 1, 2, ..., причем первые из них
имеют вид
. х0+1 х0+1
Ti = ~T \ ndx> Т2= j IФ I2 dx>
Хо+1
Хо+1
Т3 = 4- J ln*—i(4>*<Px — <Wx)]dx9 T,= J |ф,|2+2л|Ф|2]^, (10.6)
Xq Xq
ть= \ It"3-61ф14——ю2 + бш(ф*фл—фф*)—
Xq
— 2* (ф*Ф*** — фф***)] dx.
Кроме того, динамическая система (10.5) на многообразии М гамиль-
тонова и записывается в следующем виде:
(10.7)
где гамильтониан Ht = -4- Tt + Tz, а имплектический оператор 1£
имеет вид
£ = | 0 д 01. (10.8)
\ — i 0 о|
Прямыми вычислениями легко убедиться, что оператор (10.8)
является нетеровым для динамической системы (10.5). Исследуя свойства
136

законов сохранения Т} £ 0 (М), j = 1, 2, ..., можно найти, что они
удовлетворяют следующим рекурсионным соотношениям:
AgradTj = 16gradr/+2, (Ю.9)
где Л = (£-lM, j = 1, 2, ...,
Л =
— 12ц>дГ1<р 4(9ф + 2срд ^d~~V — 4/д2 + Ып
4ф(9 + 2(3ф — д3 + And + \дп 4ф*д + 2дф*
12ф*(9-1ф + Ш2 — Ып 4(9ф* + 2ф*д — ^*d~~V
(10.10)
Убеждаемся, что оператор (10.10) является имплектическим и нете~
ровым. Вводя производящую функцию Т (К) £ ф (М) для законов
сохранения (10.6), равенства (10.9) можно переписать в виде
AgradT(X) = 16^2gradT(^). (10.11)
Учитывая связь соотношения (10.11) с уравнением для следа А (к)
матрицы монодромии S (х; X) оператора Лакса L [ф, ф*, п\ К] для
уравнения (10.5) по градиентному методу гл. 2, после некоторых
вычислений находим
£[ф, ф*, п; h] = 1L-fa- —
in
2ЛГ
Ф
2\
in
W
•fc
— ф*
0
ф*
in
2Х
Ф
21
in c
~~2Х~1
2iX
(10.12)
где спектральный параметр X £ (k1 \ {0}. Спектр cr (L) оператора
(10.12) в силу динамической системы (10.5) инвариантен, т. е. он
подвергается изоспектральной деформации типа Лакса. Соответствующее
представление типа Лакса задается оператором (10.12) и оператором
вида
+
А [ф, ф*. п; К]
i
~2Ъ
Я.2 — 2Я.
0
0
0
4/
X2
о
о
(-|-А2 + 2Х
л+4-М2 -2а(-Лф* + 4ф* + Ф*)0
— i(k<P+-j4>x — ф)
я + -5- IФ |!
2i%
(*Ф*
I l !
Ф*)
+
137

+-r
2Л
О О
о о
о о
п+ 4-1ф12
— i (—кЦ)
+
+
ф* —
|ф|
V
(10.13)
Из соотношения (10.11) следует инволютивность законов
сохранения Tj £ 0 (УИ), / = 1, 2, ..., относительно скобок Пуассона {•, • \%
и {•. -Ы т-е- {Th Tk)2> = {Т/9 Тк\м = 0 для всех /, к = 1, 2, ...,
а из соотношения (10.9) — бигамильтоновость динамической системы
(10.5), поскольку
^gradH1 = MgradH2l (10.14)
где Н2 = -j-77 7\ п- "32" ^2 — гамильтониан другой гамильтоновой
структуры для потока (10.5). Таким образом, в силу результатов гл. 1
динамическая система (10.5) на подмногообразии S а Му определяемом
соотношением
N-1
grad TN = £ cm grad Tk,
Л=1
(10.15)
где k = 1, 2, ..., N; c/Vfe — некоторые комплексные числа; N —
фиксированное целое число, вполне интегрируема по Лиувиллю, причем
движение на S является квазипериодическим по переменной t £ [Rl.
Отметим также, что в силу градиентного метода рекурсионный
оператор Л = с!гхМ, порождающий представление типа Лакса,
является также наследственно рекурсионным, т. е. имплектические
операторы ££ и М согласованные.
10.2. Спектральные свойства оператора L в представлении типа
Лакса. Для получения решений системы уравнений (10.5) в явном
виде изучим спектральные свойства оператора (10.12) с периодическими
коэффициентами. В силу того что порядок оператора (10.12) как
матрицы равен трем, спектральные свойства L [ср, ср*, п\ К] будем изучать,
используя методику [487], разработанную для исследования
нелинейной динамической системы Буссинеска.
Пусть Y (х, х0, К) — фундаментальное решение уравнения
L [ф, ср*, п\ Ц у = 0,
(10.16)
где у £ С<°°> ([R1; (С3); Я 6 (С1 \ {0} — спектральный параметр;
Y (x0, x0'f К) = А, х0 € IR1- Матрица монодромии S (х0; К) для
уравнения (10.16) определяется, как обычно, равенством S (х0\ К) = Y (х0 +
+ I, х0, ^.Собственные значения Еу (к), / = 1, 2, 3, матрицы
монодромии S(x0; к), очевидно, не зависят от точки х0 £ [R1 и являются
множителями Флоке для блоховских собственных функций оператора (10.12).
Рассмотрим алгебраическое уравнение третьей степени
p-AlP + Aag-l=0i (10.17)
138

где
3 3
At (X) = tr S (*0; Л) = S S/ (*). A2 (*) = tr S"1 (*0; X) = £ g-1 W.
/=i /=i
Числа £y (X)y j = 1, 2, 3, в силу равенства det S (x0; X) = 1
удовлетворяют для всех X g (С1 \ {0} тождеству ^ (Л) £2 (Л) l3 (X) = 1. Так
как в силу уравнения (10.16) фундаментальная матрица является
целой функцией экспоненциального типа в области (Q1 \ {0}, то
таким же свойством обладает и матрица монодромии S (х0\ X).
Рассмотрим дискриминант уравнения (10.1), т. е. выражение
А (X) = & - Lf (g, - У2 (5, - У2, (Ю.18)
которое также можно представить в виде
Д (X) = — 4 (Д? + Аз) + А?А2 + 18ДА — 27. (10.19)
Видим, что функция А (X) в области £l \ {0} является целой
аналитической функцией экспоненциального типа. С помощью формулы Кар-
дано имеем
\ 3/1 \ 3
11{Ц = ±-А1 + (-±-Ь + УсУ +(--±-b-V~t
_1_ J_
|2(X) = 4-A1 + x^(-4-6+Kc)J +x(—i-fr-Kc)3 ,
13(Х) = ±А1 + х(-±-Ь+УсУ +x2(-i-6-]/c)" , (10.20)
а = А2 j" Ai, b =
c=4ra3++* = -
-1+4-лл—|-А
Д(Ь) / 2я«
--Щ-- * = ехр( —
Таким образом, в силу того что блоховская собственная функция
У (хУ х0\ X) уравнения (10.16) является собственной функцией и для
матрицы монодромии 5 (х0; X) с собственными значениями (9.20),
заключаем, что блоховская собственная функция (или функция Бэй-
кера — Ахиезера) у (х, х0\ X) является однозначной и аналитической
функцией экспоненциального типа на алгебраической кривой Г,
определяемой уравнением (10.17). Для более детального описания
кривой Г рассмотрим свойства фундаментального решения Y (х, х0, X).
Пусть у (х, х0; X) и у (ху х0; X) £ С(00> ([R1; (£3) — решения уравнения
(10.16) с начальными условиями в х0 £ [R1, равными (1, 0, 0)т и (0,
1, 0)т соответственно при всех X £ £1\ {0}. Тогда матрицу Y (х, х0>
X) можно представить в следующем виде:
Y (Ху х0\ X) =
Ух (*. х0; X)
У2 (Х> *0> ^)
Уг (х> *о> ^)
Ух (х, х0; X)
У 2 (Ху Х0* М
— У\ (х> V» — *)
Уз (х* хо> — ^)
У2 (Х> Х0* ^)
Уг(х>х0\ —X)
(К
.
121)
139

Следствием представления (10.21) являются равенства
Д;.(Ь) = Ду(-Я), Д(Ь) = Д(-Ь), Д(А*)=.Д*(Л), (10.22)
справедливые при всех А, £ (Q1 \ (0). Для удобства дальнейших
вычислений преобразуем уравнение (10.16) с помощью замены их =
= У\ + Уз> ti2 = К (уг — ys), и3 = Ху2. Функции и] = Uj (х, х0\ X) £
£ С(00) ([R1; С1), /=1,2,3, удовлетворяют уравнениям
^ (10.23)
дц2
= / (2К2 — п)^ — 2ц*и3.
По фундаментальному решению U (х, х0: X) для системы линейных
уравнений (10.23) строится соответствующая ей матрица монодромии
Ф (х0\ к) = U (х0 + /, *«,, А,), *0 GfR1, ^ 6 С1- в силу (10.23) матрица
монодромии Ф (*0; А,) ->• Ф (л:0; 2), z = Ji2 £ (£\— целая
аналитическая функция экспоненциального типа по параметру г £ (С1. Заметим
также, что спектр о (L), соответствующий спектральной задаче для
уравнений (10.23), в силу динамической системы (10.5) является
инвариантным, причем уравнения (10.23) эквивалентны одному
линейному дифференциальному уравнению третьего порядка
— (42 — 2/i) -^- (In ф*) и2 + 2/1 ф |2 и, = 0. (10.24)
Исследование спектральных свойств задачи для уравнений (10.23)
или (10.24) может быть проведено так, как и при изучении
динамической системы Буссинеска в работе [498], причем в случае системы (10.23)
отсутствуют особенности при значении спектрального параметра
2 = 0. Изучим поведение блоховской собственной функции и (х> х0,
г) £ С(00) ([R1; (С3) при z -+ оо £ Г, где алгебраическая кривая Г
задана уравнением (10.17), в котором функции Af (K)t j = 1, 2,
заменены функциями Ду (2), / = 1,2, где Aj (2) = tr Ф (х0\ z), Д2 (z) =
= tr Ф"1 (х0\ 2), 2 £ (С1. Вводя новую переменную а (л:, z) = -^- In и2 (л:,
х0; 2), получаем нелинейное дифференциальное уравнение типа Рикка*
ти
ахх + о* + Заах - (а, + а2) -JL In Ф* + (42 - 2п) (а - ^- In Ф*) +
(10.25)
+ 2(*|q>|»-/g = 0.
Учитывая наличие на алгебраической кривой Г двух бесконечно
удаленных точек оо+ и оо-, из дифференциального уравнения (10.25)
после некоторых вычислений находим асимптотические при z -»- оо± £
140

£ Г формулы
а (х; г) |г_+€Г ~ 2»7, + V <т}+) [Ф> ф*. п] к'1,
'™° (10.26)
а (^ *) Uoo-er - "аГ 1п ф* + S */"* [ф' ф*' n] ^"7»
/=о
где локальные функционалы а(/±) [ф, ф*, п], j = 0, 1, ...,
вычисляются с использованием уравнения (10.25) с помощью некоторых
рекуррентных соотношений. Из формул (10.26) получаем следующие
асимптотические выражения для функции Бэйкера — Ахиезера
их (х, х0\ z) при z -> оо± £ Г:
йх (*, х0; z) U^+.r ^ ехр [2Л (х — х0)] (1+0 (Х-1)),
_2 (Ю-27)
"i (*, V» 2)1 г-оо-ег ^ Ф* f 1 + О (К )].
Для первых членов асимптотик, заданных формулами (10.26), при
z -> оо* £ Г находим
(т!)+) [Ф, Ф*, п] = 0, ai+) [Ф, Ф*, я] = 1тп. (10.28)
Заметим также, что все функционалы Tj = f (^[ф, ф*, я] dx, / = 0,
1,..., являются в силу свойств матрицы монодромии законами
сохранения для динамической системы (10.5), причем производящая функция
Т (К) = fa (x\ z) dx удовлетворяет соотношению (10.11).
10.3. Свойства дивизора спектральной задачи [10.23]. Введем
понятие дивизора для спектральной задачи (10.23). Говорят, что точка
|ы (х0) £ Г принадлежит дивизору 2(, если число р (\i (x0)) £ (С1, где
Р • Г ->■ (С1 — обычная проекция, является собственным значением
спектральной задачи (10.24) на отрезках [х0 — /, х0] и [х0, х0 + Л
с граничными условиями их (х0, \х (х0)) = иг (х0 + /, |ы (х0)) =
= их (х0 — /, \х (х0)) = 0 для всех х0 g fR1. Отсюда следует, что точка
I1 (хо) 6 Г принадлежит дивизору 21 тогда и только тогда, когда
справедливо равенство
g(xo> и) = >*12(х0; |я)Ф13(х0; ц) — /Чз (v» ^)ф12^о; i^) = o» (ю.29)
где ||г*/(х0; |ы) || = Ф-1 (х0, |я), /, k = 1, 2, 3, (я £ Г. Понятие
дивизора 21 для спектральной задачи типа (10.24), аналогичное
приведенному выше, было впервые введено Л. Ниренбергом (см. 1487, с. 6331).
Множество az (L) = {р (21) £ (С1} в дальнейшем будем называть
дополнительным спектром. Легко доказывается, что функция Бэйкера —
Ахиезера иг (х, х0; z), z £ (С1, имеет полюсы, принадлежащие дивизору
21 (х0) с: 21, и нули, принадлежащие дивизору 2( (х). Условия,
характеризующие полюсы функции их (xt x0; z), x £ Г, имеют следующий
141

детерминантный вид:
J Ф» Ф»|_1Ф» ф-з 1_|Ф»«-Б ф*3 1 = п ппчт
К.-& ф»1~1ф,« Фзз-dl 1 ф32 ф«,-£| '
где £ £ Г — введенный ранее характеристический множитель Флоке
решения их (х, х0\ К) задачи (10.23). Функция g (х\ |я), ji £ Г (10.29),
аннулируется на множестве, определяемом условиями (10.30), в силу
выполнения равенств
>Чз(*о; И) = — £S18 (х0; Iя)» ri2(*o; И) = — £Si2(*oi |i), (10.31)
причем ее нули в точках дивизора 21 (х0) с 21 являются простыми.
Это значит, что полюсы и нули функции Бэйкера — Ахиезера иг (х9
х0\ 2), z £ Г, также являются простыми. Кроме того, множество нулей
функции g (x0t |я), [i 6 Г, содержит, как легко показать, вырожденные
точки спектра a (L) периодической задачи Флоке. Действительно,
условие вырожденности точки \i0 £ a (L) записывается в виде Д (|ы0) =
= 0, А' (|ы0) = 0, откуда находим
dx.
(10.32)
В силу произвольности вариаций бф (х), бф* (х) и Ьп (х), х £ fRl,
имеем
«Afif.jfMW = -^f = 0. (10.33)
Поскольку функция А (|ы0) как функция законов сохранения Дх (ji0)
и А2 (|ы0) симметричная, то
А Ы = Д?Д22 + 18ДА — 4 (Д? + Al) — 27. (10.34)
Из соотношений (10.33) и (10.34) получаем равенство g (х0, \х0) = 0,
т. е. |ы0 £ а/ (L). Так как кратность спектра a (L) не более чем два, то
отсюда делаем важное заключение: алгебраическая кривая Г как ри-
манова поверхность, заданная уравнением (10.17), реализуется в виде
трехлистной поверхности наложения комплексной плоскости (С1 с
точками ветвления, которые совпадают сточками, составляющими
вырожденную часть спектра a (L). При этом, если законы сохранения Т] £
£ <0 (М), j £ Z+, ограничены достаточно малыми по модулю числами
[498], то поверхность Г имеет квазигиперэллиптический характер
с лакунами на двух листах, причем число лакун N £ %+ задает ее
алгебраический род.
10.4. Эволюция полюса функции Бэйкера — Ахиезера.
Рассмотрим «производящую» динамическую систему на М
= — ^gradA^z), (10.35)
142

где параметр z £ (С1, и вычислим эволюцию нуля \х (х0) £ Г функции
g (х0, ji) в силу этой динамической системы или, что то же, эволюцию
полюса \i (х0) 6 Г функции Бэйкера — Ахиезера их (х, х0; г), z £ Г.
Для этой цели вычислим эволюцию функции g (х0, \х)
-дГ 5 Uo. V) = (д1 (г), г (-^0- И)}*- (10.36)
Для нахождения выражений в формуле (10.36) воспользуемся
равенством
[ф-1(х0,11)-^Ф(х0,11)}.к =
= $ {grad Ax (г) <£ [U~x (x, х0, \х) Л' [Ф. Ф*. п\ \i] X
*о+'
xU(x, х0\ \i)]ik}dx; г, |я£(С\ /. *= 1. 2, 3,
где матрица А [ср, ф*, я; \х] имеет вид
0 2i 0
е/Иф, Ф*. л; N
i(2z — n) 0 — 2ф*
1
0
о
(10.37)
(10.38)
Используя рекурсионное соотношение (10.11), из формул (10.29),
(10.36) и (10.37) получаем
дФ
Ф-1
16*С#-С#
^ //* 16(2 — Ц)
где при всех /, k = 1, 2, 3 использованы обозначения
(10.39)
C^ = YY/*E". (Ю-40)
Cfk = [— 12Ф33Ф/* — бфта,* + 6фу/Ла — WJxik + 4фам +
+ 8nyyjk + 6ф*тт/л + 6ф*тР/* + 4te jj/jfe — 4tefo*]|* ,
а
6Aifr)
Р
бФ
/ft
бф
_ 6At (z)
бф* '
6А| (г)
бл
(10.41)
6Ф
бф*
Y/ft:
/ft
бдг
Ф33 = аф — рф*,
•Ф/л = а/Лф —
Вычисляя функции (10.40) и (10.41), из соотношений (10.29) и (10.39)
находим
^м_ = [фм(х0,2)ф18(*0,ц)_
д*
(10.42)
143

где (Е, Е2, £3) — собственные значения матрицы монодромии Ф (х0,
2), вычисленные при z = \i {x0) £ Г. Аналогично находим эволюцию
точки \i (х0) б Г в силу динамической системы
= _^gradA2(z). (10.43)
Имеем
dt
{А2(г),ц(х0)}^
= [Ф»(*о. Р)'цК. г) - Ф13 (*„ V)rx% (x0,z)] (l 1г)^ " ^ .. (10.44)
8(fi-2)~ii-
В частности, используя уравнение (10.42), находим эволюцию точек
[я (х0) б Г по переменной х0 £ [R1
ф(дс0) = 2Ф1я(^о, ц) (Е — £2) (Е — Ез) ПО 45)
^о , ч dg(x0t \i) ' v • /
(.ч — г) -'—^
ajLt
Этот результат легко получить также прямым вычислением, используя
уравнение для матрицы монодромии Ф (х0, \х)
-^-Ф(*0, р) = Шъ Ф*. я: |*],Ф(*0. И- (Ю-46)
10.5. Свойства функции Бэйкера — Ахиезера. Исследуем теперь
алгебро-геометрические свойства функции Бэйкера — Ахиезера иг (л:,
х0; г), г 6 Г, с помощью отображения Абеля v : SN (Г) -> ^ (Г), где
-N 6 i^-ь— алгебраический род поверхности Г и, как обычно,
V/(*o)= S J *»/(*>■ (Ю.47)
R l Ц
Здесь d(Of (z), / = 1,2, ..., Ny — нормированный базис абелевых
дифференциалов первого рода на поверхности Г; [I £ Г — фиксированная
точка. Абелев дифференциал dec, (г), / = 1,2, ..., /V, для
алгебраической кривой, определяемой уравнением (10.17), в общем виде
записывается следующим образом:
^-(e-SttV (l0-48)
где Cj (г), /=1,2, ..., N,— целая трансцендентная функция
параметра z £ Г. Вычислим эволюцию чисел vy (*0) £ ^ (Г), / = 1, 2, ..., А/,
в силу динамической системы (10.35):
dv/ (*о) у dco/ (|nfe) dpfe (s0) __
^ ^ dz dt
V 1 ~ , , [Ф12 fe г) Ф13 (*0; \ik) - Ф13 (*0; г) Ф12 (*0; ц*)1 ,, п 4Qx
(^-z)
144

Для вычисления суммы в правой части формулы (10.49)
воспользуемся следующей леммой.
Лемма 10.1. Пусть функция f (z), z £ Г,— целая, конечного типа,
порядка V2, и удовлетворяет условию на рост при | z | = г1 -* оо
вида
оо
$lf(z)|2exp(— 2r)r6dr<oo.
о
Тогда справедливо тождество типа Коти
f&=Zf^ *%%а.м - <10'50)
*=i (z - мл)
д[1
Доказательство леммы не приводим, поскольку оно полностью
аналогично приведенному в [487].
Используя лемму 10.1, получаем следующие тождества:
V Q Ы [ф12 fa; ?) ф1з fa; и*) — ф1з fa; г) ф12 (*0, М _ г<-), .
(г-Ы
(10.51)
V с/ (И*) 1ф12 fa; Ы r13 fa; г) — г12 (дс0; г) Ф13 fa; \ik)] _ w+> /^
(z-M
где С, (г) = C{^(z) + l (z)C{~\z)t /=1, 2 iVt причем функции
С/** (г), /= 1, 2, ..., iV, являются целыми функциями конечных
порядка и типа, удовлетворяющими в силу равенств (10.22) условию
С(,±) (г*) = [С^±) (г)]* для всех / = 1, 2, ..., W. Соотношения (10.51)
следуют из очевидных тождеств, имеющих место в силу условий
(10.30) для всех /, k = 1, 2, ..., N,
С/ЫФц^; й) = с1+,ЫФ12^; hl-^w^fe ^), (Ю.52)
С/ЫФ^^о; hk) = С}+) (У*) Фи (*«,; |хЛ> — СР(^)г13(л:0; |хл).
Таким образом, учитывая соотношения (10.50) — (10.52), решения
уравнения (10.49) при каждом j = 1, 2, ..., N и tt t0 £ fR1 можно
записать следующим образом:
v/ (*0. 0 = - 4" С/_) (2) С - 'о) + v/ (*o, g. (Ю.53)
Отсюда следует, что динамика потока (10.43) по переменной / £ IR1 и,
в частности, потока (10.7) на многообразии Якоби $ (Г) римановой
поверхности Г является линейной. Тем самым проведено полное
интегрирование динамической системы (10.7) в терминах угловых
переменных многообразия Якоби как комплексного тора.
Для эффективного интегрирования динамической системы (10.7)
на исходном многообразии М изучим более детально свойства функции
10 6-16R9 145

Бэйкера — Ахиезера щ (х, х0; z)> z £ Г\ В силу ее однозначности
на поверхности Г, учитывая ее асимптотики (10.27) в окрестности
бесконечно удаленных точек оо± £ Г, для абелевого дифференциала
d In иг (х, х0\ z) третьего рода на Г справедливо соотношение
N
d In щ (xf x0\ z) = —. (х — х0) dco (z) + £ dto [\xf (x), \if (x0)] +
N
+ S mjdUjiz), (10.54)
где do (z) — нормированный абелев дифференциал второго рода с
особенностью в точке z = 00+ £ Г вида dco (z) \г^00+ ^ 2ix-2dxy
т~? = z £ Г, и регулярный в окрестности точки z = 00 - £ Г;
day [\ij (x), \ij (x0)] — нормированные абелевы дифференциалы
третьего рода с единственными особенностями в точках \if (х) и jli; (лг0) £ Г,
/ = 1, 2, ».., W, с вычетами +1 и —1 соответственно; mjt / = 1,
2, ..., N,— некоторые целые числа. Пусть 6 (г, х0) — в-функция
Римана, решающая проблему обращения Якоби (10,53) на
поверхности Г. Из свойств 0-функции и формулы (10,54) можно получить
явную формулу для функции иг (л:, х0\ z) в терминах римановых
О-функций поверхности Г:
М*. х0\ г)= ' \ \ ' ° exp [(©(z) — а)(х — х0)Ь (10.55)
в (Z, XQ) в (ОО^, JC)
Здесь для всех &, /' = 1, 2, ..», W использованы обозначения
в (г, *) = ^(сс(х —л:0) + Р(* — g + y(*o> *0) — ю (*)),
V/ (*о. 'о) = v/ (*о. '0) + — — £ 9 <»* > (2) do>/ (2) + 6//,
*#/fl/
а/ = "2ЙГ Ф dc* (z)' <° (z)Uoo+ ~ 2Л + а + 0 (АГ1), Я2 = г,
Ч
Z^Qi—) (^
Р/ = -g-reg lim (2_gJ(2_y , а = lim (со(z)-2V>*),
#(u) = Yt exp{2m(u, m) + m'(m, 6m)},
mez^
(f) dcok (z) = 8kh (j) dcok (z) = bfk9
af bf
где ajt bj £ H±(T\ Z)> i = •» 2, ..., W, — базис одномерной группы
гомологии Нх (Г; Z) многообразия Г. Формула (10.55) особенно
эффективна в конечнозонном случае Z+Э N <.оо9 когда выполнены
следующие вариационные соотношения:
grad Т{ = Е cjk grad Г*, (10.56)
146

где / > 2N + 1, Cjk £ (С1, fe = 1,2, ..., ЛЛ В частности, из
соотношений (10.27) и (10.28) при всех х> t £ IR1 получаем
,. -7г d In Wt (л:, л:0; г) * , ,ч
re£ hm z2 J d; ° ; =— — п{х9 t),
Z
:ч»оо+еГ
reg lim d]nUli^ X°; Z) =lncp*(*, Q. (10.57)
2-*» оо—€Г
Формулы (10.57) ведут к явным выражениям через римановы &~
функции для решений динамической системы (10.5) как в конечнозон-
ном, так и в солитонном секторах. Получаемые при этом решения в ко-
нечнозонном секторе в общем случае являются почти периодическими
функциями переменных ху t £ [R1, а в солитонном секторе — быстро-
убывающими по переменной х £ [R1 на всей оси [R1.
§ И. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА АБЛОВИЦА:
ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ И КОНЕЧНОЗОННЫЕ РЕШЕНИЯ
11.1. Предварительные замечания. В работах [378, 421] для
изучения нелинейных волн в плазме была предложена система
нелинейных дифференциальных уравнений
Ь = — tyxx — 4i|A|£ — 8i 11|> |4 i\
Vt =tfe—4^X + 8t|^|4**» (П.1)
где ty £ M = С? ([R1; (C1), [R+ Э I < °°- С помощью пэнлеве-анали-
за [218, 608, 609] была установлена связь автомодельных решений
системы уравнений (11.1) с нелинейным уравнением Пэнлеве-V, что
привело к предположению об ее полной интегрируемости. Ниже
изучим систему уравнений (11.1) с помощью градиентного метода гл. 2
и докажем ее полную интегрируемость. В частности, с помощью
периодического варианта метода обратной задачи опишем широкий класс
ее точных (конечнозонных) решений в терминах многомерных
•О-функций Римана.
11.2. Законы сохранения. Имплектические операторы.
Представление типа Лакса. Пользуясь алгоритмом гл. 2, покажем сначала, что
динамическая система (11.1), записанная в виде
(J0=/C№f гь (п'2)
допускает бесконечную иерархию законов сохранения Т] £ 0 (УИ),
/ = 0, 1, ... Для этой цели рассмотрим линейное уравнение
Ф/ = —/С'>, (11.3)
где оператор К* имеет вид
1 _ 02 _ 8ядо* _ 24i 1 яд* 4дя()*2 + 16i\ гЬ I2яЬ*2 II
К =1 П1 4)
4(5-ф2— 16*'|я()|21|)2 id2 — 8яр*ф, + 24i |ф|4 '
10*
147

Используя явный вид оператора (11.4), находим, что уравнение (11.3)
допускает решение вида
1
*{х'<''1) = \ь(Х,,л)]ехр
ехр А, (* — х0) + i№t + j о (ху t\ X) dx
/ L *о
,(11.5)
где локальные функционалы а (х, t\ X) и b (х, t\ А,) на М имеют
следующие асимптотические при К -> оо разложения:
/=о
00
(11.6)
Подставляя выражения (11.6) в уравнение (11.3), находим
рекуррентные соотношения для локальных функционалов а, [я|), я|)*] и bj [я|),
y^*]t j = о, 1, ..., заданных на многоообразии М,
dt
<j,-d* = 2шж + * 2 <*/-*<** + [8\|д|)* + 24* [ я|? |4] 6/|0 —
— 16 |г); |2 4>*й, — SW&t — W2b,,x — 4f6/+, — 4-ф* Ц &,_*ga, (11.7)
j x
д b( + 2ibi+2 + £ bHk -4- J okdx = (16i | ф |2 я|>2 - 8 я|д|д 6,-0 -
a/
. 02
— 4я|?26ж,о— 4я()2(7/- — i -gjs- &y — 2i -^ &/+i — 2i S a,-_* -^- 6Л —
fc=0
— * £ bi-*-§T a" ~ 2i 2 &,-*-« <W, + (8-ф*орж - 24» 11|> |4) fy.
(. Л С/Л. L ., Л '
k, /2=0
Отсюда получаем
a0 = 0, ax = 4n|n|£ — 81 я|> |4, a2 = 2h|n|4 — 2йм£ + 81. ф |4 г|?*^.
(11.8)
Учитывая, что функционалы Г,- = \ а, [i|?, г|;*1 dx> j = 1, 2, ...,
являются законами сохранения для динамической системы (11.1),
и используя формулы (11.8), находим законы сохранения
*о+/
X0fl
Т2 = 2i J Ж4 ~ *Ж — 4i | ф |4 ф*я|д d*f ... (11.9)
148

Кроме того, легко заметить, что закон сохранения Т0 £ jZ5 (M) для
динамической системы (11.1) имеет вид
T0 = i J \ty\2dx. (11.10)
Используя законы сохранения, заданные формулами (11.9) и (11.10),
убеждаемся, что динамическая система (11.1) допускает гамильтонову
структуру
(*l\ = -(£gradH9 (11.11)
где Н = -г- Т2 — гамильтониан, а ££ — имплектический оператор вида
£ =
4г|хГ1г|> i — 4я|хГ V
(11.12)
М =
£_4-ф*5~1г|? 4г|?*д г|>*
Прямыми вычислениями убеждаемся, что оператор ^ также нетеров,
т. е.
<£'.% —<£К'*—К'£ = 0. (11.13)
Используя законы сохранения (11.9) и (11.10), с помощью прямых
вычислений получаем, что справедливы следующие равенства:
<£. grad Гж = М grad Г,, / 6 Z+, (11.14)
где .Л — имплектический и нетеров оператор вида
-4(г|),а-Ч + ^"Ч/)
— » + 4 | ф |2 + 4 (ф Д~Ч* — Ч>д~Ч**)
— й— 4 | if |2 + 4 (г|)*а_1г|^ - г^сГ1^)
4 (ф^У + V*d~Wx)
(11.15)
С помощью операторов (£ и М, определенных матрицами (11.12) и
(11.15), строим рекурсионный оператор К = Я!гхМ, действующий при
каждом j £ %+ по правилу
Л grad Г, = grad Гж. (11.16)
Из вида асимптотических выражений (11.6) заключаем, что произ-
водящая функция Т (X) = J a (#, t; X) dx удовлетворяет
следующего
му рекурсионному соотношению, вытекающему из (11.16):
Л grad Т (I) = К grad T (X) (П.17)
для всех К £ (С1. Соотношение (11.17) согласно алгоритму
градиентного метода гл. 2 ведет к следующей структуре оператора L 1г|), \|)*;
149

Я,] для представления Лакса динамической системы (11.1):
L N>, i|>*; Х] = Ц
д
дх
i\-2i\^
I — 2Ад|)
-ф*
2/|г|)|2-
(11.18)
Таким образом, динамическая система (11.1) является в силу
соотношения (11.14) бигамильтоновой, обладающей стандартным
представлением типа Лакса с оператором L [\|), г|>*; X], заданным
формулой (11.18). В силу имплектичности операторов i£ и М из соотношения
(11.14) следует инволютивность относительно обеих симплектических
структур {•, -)# и {•, -)л бесконечной функционально независимой
иерархии законов сохранения Т} £ 0 (M), j £ %+:
[Т-п Tk)e={Th Tk}^ = 0 (П.19)
для всех fe, / £ %+. Отсюда в силу теоремы Лиувилля и теоремы
2.7 гл. 1 динамическая система (11.1) на подмногообразии SaM,
определяемом условием
N—1
grad TN = 2 <*.* grad Tk, (11.20)
/г=0
где CN,k £ (С1, fe = 0, 1, ..., N— 1, является вполне интегрируемой,
а движение на S — квазипериодическим по переменной t £ IR1.
11.3. Спектральные свойства оператора L в представлении типа
Лакса. Для более эффективного описания подмногообразия S,
определяемого соотношением (11.20), перейдем к исследованию
спектральных свойств периодического оператора (11.18). Пусть Y (х, х0\ X) —
фундаментальное решение уравнения
МФ, ^*; Ь)у = о, у$с<-'(IR1; (С2)- (П.21)
Точка X £ (С1 принадлежит спектру оператора L [\|э, г|?*; А,], если
собственные значения £ (X) £ (С1 матрицы монодромии S (х0; X) =
= Y (х0 + /, а:0; X), х0 £ fR1, A, £ (С1, удовлетворяют условию | g (A,) | =
= 1. Для изучения свойств спектра о (L) полезно отметить, что
фундаментальное решение Y (х, х0\ X) имеет следующую структуру:
Y(x, xQ\X) =
ух(х, А'0; X)
УЛХ> хо> ^)
— ~2ХУ2 (*'
vo>
X*)
(11.22)
tj\ (x, x0\ X*)
где (ух (х, х0; X), у2 (х, х0\ X)) \х=Хо = (1, 0) и A, £ (С1 \ {0}, причем
существует конечный предел lim А,-1^ (х, х0\ X*). Используя явный
вид оператора (11.18), стандартными методами сведения задачи (11.21)
к интегральному уравнению находим, что фундаментальное решение
Y (х, х0; X) по спектральному параметру X £ (D1 является целой
функцией экспоненциального типа и конечного порядка.
Рассмотрим след оператора монодромии S (х0\ X) . 2А (X) =
= tr S (х0; X), который не зависит, очевидно, от переменной х0 £ IR1.
150

Функция Д (к) целая по к и удовлетворяет условию
Д (Л*) = Д* (Л,), (11.23)
которое следует из представления (11.22). Поскольку | (к)
удовлетворяет уравнению £2 — 2Д (к) I + 1 = 0, то число X £ о (L) при
условии, что | Д (к) | ^ 1 и Д (к) — действительная величина, т. е.
Im Д (к) = 0. Точки Ej £ (С1, / £ Z> Для которых выполнено равенство
|Д (£/) | = 1, / £ Ж, являются границами зон устойчивости спектра
о (L) оператора L [г|), г|>*; А,] (11.8) и образуют основной спектр
а0 (L). Точка £ спектра а0 (L) называется вырожденной, если Д2 (£) =
= 1 и Д' (Е) = 0. В конечнозонном случае, который будем здесь
рассматривать, число вырожденных точек конечно и четно. Число
вырожденных точек обозначим 2N + 2, где N — некоторое натуральное
число.
Стандартными рассуждениями показывается, что функция
5i2 (*о» М» ^ 6 (С1' имеет только простые нули, включающие в себя
вырожденную часть а0 (L) спектра а0 (L). Таким образом, для S12(*0;
X) справедливо представление
S12 (х0; X) = S12 (*0; Я) j/ ^ ~ ' , (11.24)
2ЛЧ-2
где PN (к) = — П (А,— £,-), A, £ (С1. Учитывая представление (11.24)
и тот факт, что блоховская собственная функция у {ху х0; к) £
£ С(0О) (IR1; (С2) оператора L [г|з, \|)*; X] является собственной и для
матрицы монодромии S (х0\ к), получаем свойство аналитической
продолжимости первой компоненты ух {ху х0\ к) решения у (х, х0;
к) (= О00) ([R1; (С2) на риманову поверхность Г функции w = V? (к),
11.4. Свойства функции Бэйкера — Ахиезера. Эволюция данных
Коши. Пусть 31 — дивизор оператора L [яр, г|>*; к], построенный по
его дополнительному спектру az (L). Из представления (11.24)
следует, что (у1 (х, х0; к)) = % (х) 31-1 (х0), где 31 (х0) — дивизор нулей
функции S12 (x0\ к) на римановой поверхности Г. Из асимптотического
выражения для функции о (х, к) =-^- In уг (х, х0; к) при к->оо+ £ Г
получаем соотношение
N
S12(х0; К) = 2л|* П (X _ ц (*„)), (11.25)
причем точки jx, (х0) £ Г, / = 1, 2, ..., N, таковы, что р (ju,, (х0)) £
£ a/ (L), где р : Г -> (С1 — стандартная проекция. Используя
представления (11.24), (11.25), для функции уг (х, х0; к) находим следую-
151

щее выражение:
уг (х, х0; X) =
VPN W Л
*°2 П (А,-|1/(т))
/=1
(11.26)
Функция Бэйкера — Ахиезера уг (х, х0\ X) при Х->- оо± £ Г имеет
следующие асимптотики:
у1(х9 х0; X)
уг(х, х0; X)
Л->оо+€Г
е*р[4-<*-*.)] (1+00,-')).
^g.„p[_4(«-*j](l+0tt-».
(11.27)
Для определения функции ух (х, х0\ X) в явном виде рассмотрим
аналитические свойства абелевого дифференциала —" Ух £ *0'—-dX
на римановой поверхности Г. В силу однозначности и аналитичности
функции уг (х, х0; X) на поверхности Г, используя соотношения
(11.26) и (11.27), находим
~У1 (х, х0; X) - ехр [(* - *0) * (Я.)] 4f4 [ е Г" ^е?" -?ь! ? fr
(11.28)
Здесь в (х; X) — обычная в-функция Римана на поверхности Г,
в (х; Х) = #(в>(Х) — у — а(х — х0)), (11.29)
где
V/ = £ *>Дц* (*„)) + 4- £ Ь,„ - 4- /. $ da, (X) = 6,к, (11.30)
k—1 k—1 а
ak% bk £ Ях (Г; Z)* /♦ fe = 1, 2, ... N,— базис одномерной группы
гомологии Я! (Г; Z)\ d(uf (X), j= 1, 2, ..., N,— нормированный базис
абелевых дифференциалов первого рода на Г; dco (X) —
нормированный абелев дифференциал второго рода с единственными
особенностями в точках оо±£ Г и асимптотикой при X -> оо± £ Г вида dco (X) ~
Заметим теперь, что для функции уг (х, х0; X), X £ Г, справедлива
асимптотическая формула, следующая из (11.27),
reg lim -^-ln^(xf x0; Х) = \пЦ*(х). (11.31)
я-»«х,-ег
152

В силу представления (11.28) формула (11.31) ведет к построению
явных формул для функции i|)^Mb терминах римановых ^-функций.
Для наших целей необходимо вычислить динамику по эволюционной
переменной t£ [R1 функции \|)(x) (11.31), взятой в качестве данных
Коши для исходной динамической системы (11.1). С этой целью
рассмотрим производящую динамическую систему на М вида
№) = -2gradA(*)f I eC1. (П.32)
Вычислим теперь в силу динамической системы (11.32) эволюцию
параметров Y/ € £\ / = 1, 2, ..., N, содержащих основную
информацию о зависимости решения ф £ М динамической системы (11.1) от
переменной / £ (R1. С этой целью при каждом /=1,2 N найдем
производные
А Ж я7 • (П.об)
dt £{ d\ dt
Предварительно вычислим выражения для ^ » Л = 1, 2, ..., N:
d\Lk(xQ) _ гд m „ ,„ u /^i2 (*0; Ц ]/P^fe (*0))
^ — 1^ (А),|АЛ {Хо))з?= J} .
V (*о) №л (*о) — к) П (и* (*0) — Iя" (*о))
(11.34)
Учитывая формулы (11.33) и (11.34), окончательно получаем
дУ/(*о» 0 _ aSi2 (*0; Я,) ]/P^ (Я,) dip/ (X) _ 9.. ^дгттч г *°/ (Ц
—т я щ— -шу * (ч — а м~ -
Ф* (*0) П (Я - 1хл (*0))
/г=1
(11.35)
Формула (11.35) означает, что эволюция вектора у (x0f t) £ f (Г)
по многообразию Якоби ^ (Г) поверхности Г является линейной,
причем
V/ (х0, t) = 2iX KA2W-1 -^*- (t - t0) + у j (x0, t0) (11.36)
для всех / = 1,2, ..., N. Учитывая, что динамическая система (11.1)
с учетом (11.32) имеет представление вида
(*'.) = *№, ^*] = _reg lim ,*' , ^gradA(^), (11.37)
из равенства (11.36) при каждом / = 1,2 N находим
Ту (*о. О = reg lim -£- J[^W. (/ - д + т (*0, д. (11.38)
153

11.5. Формула для первой компоненты функции Бэйкера— Ахи-
езера и конечнозонные решения динамических систем. Рассмотрим
абелев дифференциал —" dl' *°' ^» ^ € Г, который с учетом
выражения (11.28) можно записать следующим образом:
а1пМ*'*°; Х) -dk = (х - х0) ско (к) + d In -J^4r + (t - g ^i (*) +
dA,
в (*„, A,)
+ J] /П/dco/ (Я),
(11.39)
где dd)l (к) — нормированный абелев дифференциал второго рода на
поверхности Г с единственными особенностями в точках оо± (= Г
X2
вида do}± (к) ~ =F i -у- dk\ mjy j = 1,2, ..., N,— некоторые целые
числа. Функция у1 (х, х0) к), к £ Г, удовлетворяет уравнению (11.21) и
при х = х0 — условию yt (х0, х0; к) = ух exp [(t — t0) о)! (к)]. С другой
стороны, из формулы (11.39) для t G (R1 легко получаем, что
У г (х, х0; к) = ехр \(х - х0) и (к) + (t - t0) ^ (к)] -|^ЛГ С (*' °'
(11.40)
где С (х, /) — пока неизвестная функция действительных переменных
х, Л Так как функция у (х, х0; Я) удовлетворяет также уравнению
д ~
dt
у = 35 [г|), ф*; Я] г/,
(П.41)
где
Я [г|), ф*; Я] =
(-
а2
5- + 2tt | г|)|2 — 2г|)*г|)х + 2г|л|* + М | -ф |4у
2й/фх + 2к2Ц
{-Ц 2ik | ф |2 + 2г|гЧ|), - 2я|^; - 4i |ф |4 )
(11.42)
следующему из факта существования для динамической системы (11.1)
представления типа Лакса, то при к -> оо+ £ Г функция у± (х, х0, к),
к £ Г, имеет асимптотику вида
Ух (х> хо> Ь)
, ~ ехр
а
U2
Используя формулы (11.40) и (11.43) при к
ющее выражение для функции С (х, /)•
2 (* — х0) + (t0 — t) 2
оо+ £ Г, находим следу-
(l+O^-1)).
(11.43)
С(х, 0 = ехр [а (х -x0) + b(t-10)] * (*°' °°^ , (11.44)
154

где числа а, Ь £ (С1 определяются равенствами
а = — reg lim co(X), b = — reg lim o^ (A,). (11.45)
Таким образом, функция у± (х, х0\ К) с учетом соотношений (11.40),
(11.44) и равенства ух= ух exp \{t — /0) wi (^)l Для всех ^ € (С1
принимает следующий вид:
у1 (х, х0; %) = ехр [(х — х0) со (%)] Q '^ ^ ехр [а (х — х0) +
+ b(t-t0)] 1{(Хо'^- (11.46)
Подставляя выражение (11.46) в соотношение (11.31), приходим
к эффективным формулам при всех N £ Z+ для конечнозонных
решений динамической системы (П.1). При этом соотношение (11.20)
является условием конечнозонности для оператора L [я|), \p*\ X]
(11.18). С помощью стандартной процедуры вырождения римановой
поверхности Г к рациональной из формул (11.31) и (11.46) получаются
многосолитонные и алгебраические решения динамической системы
(11 Л). Условия выбора римановой поверхности Г, задающей решения
г|) £ М динамической системы (11.1), характеризует теорема.
Теорема 11.1. Пусть заданы попарно разные комплексные числа
Е} g (С1, / = 1, 2 2N + 2, и |л/0 £ (С1, / = 1, 2 N,
удовлетворяющие алгебраическому соотношению
2N+2 N
П (г - Е,) + 4 | г|> |2 П (г _ Иу0) (г - ц*0) = /i2 (г), (11.47)
где h (г), eg (С1,— некоторый полином степени N -\- \ с
действительными коэффициентами. Тогда динамическая система (11.1) обладает
квазипериодическим гладким решением г|) £ УИ, получаемым в явном виде
в терминах римановых ^-функций с помощью изложенного выше
алгоритма.
Свойства полной интегрируемости системы уравнений (11 Л)
характеризует теорема.
Теорема 11.2. Динамическая система (11.1) на подмногообразии
S с М, определенном условием конечнозонности (11.20) оператора
(11.18), является вполне интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой
динамической системой, интегральное многообразие которой диффео-
морфно „многообразию Якоби" If (Г) xg1 гиперэллиптической римановой
поверхности Г рода N, причем движение на if (Г) xg1 линейно по
переменным х, t £ [R1.
Для квазипериодов {/, gfR\/ =1,2, ..., N] и {т, £ [R1, / = 1, 2, ...
..., N) решений системы дифференциальных уравнений
динамической системы (11.1) на многообразии Якоби ^ (Г) получаем из равенств
(11.34) формулы
N N
Т* = S 0-1)/*»* тГ* = I («г-Ш, (И.48)
Л=1 &=1
155

где для всех / = 1, 2, ..., N использованы обозначения
1
2л
«/ = —sr"Tdco^)» Р/=геё lim "у—
dA,
Замечание. Исследование, аналогичное проведенному выше,
может быть выполнено и в случае более общего, чем (11.1), нелинейного
дифференциального уравнения с частными производными вида
*Ф/ + *~ + 4|(|Ф|а1>), — 4||^|2г|?, + Р|ф|2ф — 4|г|>|*г|> = 0, (11.49)
которое называется уравнением типа Шредингера — Абловица.
Несложно показать, что динамическая система (11.49) обладает
бесконечной иерархией функционально независимых законов сохранения
Tj 6 jZ> (M), j £ £+, Af = С/(оо) (fR1; (С1), причем первые четыре
закона сохранения имеют вид
*о+/ *„+/ *0+/
*.+'
-2i|4>|V*. Я3 = -Р J
*о L
Ф*Ф«+ «1*14*^ +"2-1 *|*-
— 4 | ф |«1 dx.
(11.50)
lv=r'(wL = r2,G
(11.51)
На многообразии М система (11.49) бигамильтонова и записывается
в следующем виде:
где операторы ££, М — имплектические и нетеровы,
! | 4г|>д-1г|> _|_4\|^-»i|3*
Р" I * — 4г|)*(9-1г|) 4г|г*д-1г|>*
2 Му5~Ч + ^а"1^) + *Р^З""Ч
— й — 2 Оф*д~ V — ^"Ч* + IФ I2) — * Р ^д"V
— » + 2 (г|£д~Ч — **д~Ч* + IФI2) — W0~4
— 2 (г|>*д-V + ^*<3~Ч*) + ФЧ>*д~-V
Вычисляя ^-^./И, можно получить рекурсионный оператор Л в явном
виде.
Для уравнения (11.49) справедливо представление типа Лакса
(1.3) гл. 2 с операторами L [г|?, -ф*; К] и А [ф, г|>*; А,] вида
МФ, ^*; ^] = И-аГ
м = 4-
а
а*
-T + 'l + l"
Р «и*
2А *
156

ЛМ>, **; Ц = й-%г-
дх
Ф
^И»* — Ч»*Фх — 4* | Ч'14 —^-1 *
а2
*7и|>* — Л2г]) — 2Я | г|> |2ф
2
(11.52)
Изучая спектральные свойства оператора L [г|), г|)*; А,1 (11.52),
можно получить формулы для решений уравнения (11.49) в явном виде.
Более подробно на этом здесь останавливаться не будем.
§ 12. МОДЕЛЬ ДИККЕ
12.1. Предварительные замечания. Распространение волнового
импульса в двухуровневой среде без учета эффекта диссипации
описывается дифференциальными уравнениями [75]
дх ^
дЕ
dt
= 2ф,
дп
= /(£р* —£*р), -^-= — 2ш£, (12.1)
где Е
комплексная амплитуда волны; р, п — элементы матрицы
(п р\
плотности р =
\Р* — п)
Уравнения (12.1) составляют так назыгаемую модель Дикке. Они
анализировались в солитонном секторе решений [75] методом обратной
задачи теории рассеяния. Здесь изучается периодическая задача для
уравнений (12.1) [251 в рамках работ [128, 129, 68], где
рассматривалось нелинейное уравнение Кортевега — де Фриза, а также работ
[93, 94, 97, 102, 103, 105, 106, 160, 163, 166, 169], посвященных
нелинейным уравнениям Шредингера, sin-Гордона и Риккати.
12.2. Вывод уравнений для матрицы монодромии. Свойства
матрицы монодромии. Рассмотрим следующие линейные операторы ХА
и 7\, заданные в пространстве комплексных дифференцируемых
вектор-функций:
Ю £11
**=-*- + *
п = -^-и
1 0
0 —1
1 0
0 —1
+ /
£* 0
0
£*
— i
+—р.
Е
0
(12.2)
пе ^ — произвольный комплексный параметр. Тогда уравнения (12.1)
можно записать [75] с помощью коммутационного представления типа
Лакса на матричных дифференциальных операторах Х% и 7\:
ХЛ-ТЛ = 0. (12.3)
Предположим, что матрица плотности р и амплитуда волны Е
являются /-периодическими функциями пространственной перемен-
157

ной х и, следуя [169], найдем дифференциальные уравнения для
матрицы монодромии оператора Хк. Рассмотрим задачу Коши
XxgK {х, х0\ 0 = 0, g (x0t x0, t) = gl (0, (12.4)
где gK (x, x0, t)y gl (t) — 2 X 2-матрицы, причем матрица g% (t) при
некотором t = t0 невырождена, т. е. det gx (t0) Ф 0. Используя
/-периодичность оператора Хк по переменной х, определяем матрицу
монодромии для уравнения (12.4) по формуле
gK (х + /, х0У t) = gK (xy х0У t)T(x0, t). (12.5)
Так как матрица gx (x, x0, t) в некоторой окрестности точки t0
является фундаментальным решением уравнения (12.4), то матрица Т (х0, t)
не зависит от переменной х. Продифференцируем равенство (12.5)
по переменной х0:
-Щ^ gX (X + U X0, t) = gj- Т (Х0, t) + gK (X, Х0, t) ^-^ .
Отсюда, переходя к пределу х -> x0t получаем
iVim-jr—gbix + l, x0, t) =
х-»х9 ихо
. ,. dgK(x,x0,t) . 0 dT(x0,t) /1ос\
= i hm т Т(х0, t) + igx(t) я*-2-. (12.6)
х-+х0 охо охо
Чтобы найти предельные значения в (12.6), рассмотрим уравнение
(12.4) для gx (x, х0, /), продифференцированное по переменной ху:
Х* [-У'°] = 0. TST х№ <*. *о> *) = 0- (12.7)
Используя коммутативность операторов -~— и 7\, из (12.4) и (12.7)
ох0
находим
dgi (ху *0, t)
1 дх0 — = 8* (х> х«< 0В {х<» '>• (12-8>
где В (х0, f) — некоторая 2 X 2-матрица, не зависящая от переменной
х. С другой стороны, известно, что
. Ит <^(*,*„,0 = Q (Xo> 0 go (0( (12
где матрица Q (xQy f) тождественно равна недифференциальной части
оператора Хх при х = х0. При х->■ х0 из соотношения (12.8)
получаем
В (х0, 0 = (й (0Г1 Q (x0f t) gl (t). (12.10)
Рассмотрим формулу (12.8) в точке (х + I, x0, t). Тогда
д&\ (х + /, xn, t)
1 дха = & {Х> Х«> *> Г <*<>. 0 В (*0, 0,
158

откуда при х -> х0 находим
dgy (х 4- /, хп, t) n
. lim *м -г = go (/) у,^ 0 в (^ 0_ (]2 , {)
Х-»ХП ОХ0
Подставляя соотношения (12.9) — (12.11) в формулу (12.6), получаем
уравнение для матрицы S {х0, f) = go (t) Т (x0,t)(gl (t))~l
* dS =[5, Q]. (12.12)
дх0
Получим уравнение для матрицы S (х0, t) по переменной /.
Воспользуемся тем, что на решениях уравнений (12.1) коммутатор (12.3)
равен нулю. Пусть gb(xy х0, t) — решение уравнения (12.4). Тогда
Tigx (x, х0, t) также решение этого уравнения и, значит,
ngx (х, х0У t) = gx (х, х0У t) С (х0, 0, (12.13)
где С (х0, t) — некоторая 2 X 2-матрица, не зависящая от переменной
х. Подставив в формулу (12.13) вместо х значение х + I, получим
П (gK (*, х0, t) Т (х0, t)) = gk (*, х0, t) Т (х0У t) С (х0, t). (12.14)
Используя (12.2), из формул (12.13) и (12.14) при х -> х0 находим
д& (О
+ A(x0,t)gUt) = gHt)C(x0,t),
dt
i dT(Syt) = T(x0, t)C(x0, t)-C(x0, t)T(x0, 0, (12.15)
где матрица Л (x0, t) — недифференциальная часть оператора 7\
при х = х0.
С помощью несложных вычислений из соотношений (12.15)
получаем уравнения для матрицы S (x0, t) по переменной t
/-§-=[S,A]. (12.16)
Нетрудно показать, что из условия det g\ (t) Ф 0 при t = t0 следует
соотношение det g% (t) Ф 0 при каждом t £ [R1.
Уравнения (12.12) и (12.16) имеют важное значение в дальнейшем
исследовании, поэтому выпишем их явно, вводя обозначения S =
= l_Sn ||, i, /=1,2, Su + S22 = 2/i, S„ - S22 = 2/, Ф = -S12>
(^ + -г)(р + (£ + -г)ф (12л7>
ax ■=-'
4^ = -2i
дх
дХ
дх
-2,-[(l+i)x-(£. + -f),]
159

-§- = <(Я + £«Ф). -§- = 2i(-XX+ £♦/>, (12.18)
1 = 2,44 + Efl, -|.-^-0.
Для них справедлива следующая «аппроксимационная» теорема.
Теорема 12.1. Системы уравнений (12.17), (12.18) допускают
полиномиальные по параметру X £ (С1 решения
ЛН-1 Л/
/ (х, f; Л) = 2 h (*. t) l\ Ф (х, t\ Л) = S Ф* (*. 0 *\
/г=0 /г=0
/V
X (*.'.*) = Ех* (*.')** (12.19)
fc=0
тогда и только тогда, когда функции fk {xy t)y q>k {xy f)y %k(x> 0»
k = 0, 1, ..., Af + 1, удовлетворяют некоторым совместным
нелинейным автономным системам дифференциальных уравнений и выполнены
соотношения
E(x,t) = — ™ £* = , , (12.20)
Если, кроме того, в точке х = 0, / = 0 выполнены начальные условия
/(0,0; a*) = /*(0f0; *). Ф(0, 0; 7t*) = —Х*(0, 0; Л), (12.21)
/по з/гш нелинейные автономные системы дифференциальных
уравнений имеют решение при всех х, t, причем функция Е (х, t)y определяемая
формулами (12.20), является точным бесконечно дифференцируемым
решением уравнений (12.1).
Доказательство. Подставим решение в виде (12.19) в систему
уравнений (12.17), (12.18) и, используя произвольность параметра X,
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра К.
При этом мы получим систему дифференциальных и алгебраических
уравнений. Используя эти алгебраические уравнения, получаем
систему автономных нелинейных дифференциальных уравнений вида
dift dyt
-^- = &и (*/0. yv • • • > #зл+з), — = &и (Уо> Уи ...» Ум+з), (12.22)
где ус = fh i = 0, 1, ..., N + 1, f/w+2+* = <рл, y>N+z+k = %ь
А = 0, 1, ..., N, а функции &ki, k = 1, 2, i = 0, 1, ..., 3N + 3,—
полиномы от #/. Система уравнений (12.22) совместна, поскольку
выполняются соотношения
,-=о \ yi у с '
которые проверяются непосредственными вычислениями. Условия
(12.20) являются условиями совместности алгебраических уравнений,
полученных из (12.17), (12.18) после подстановки (12.19) и
приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях %. Справедливо и об-
160

ратное: если имеют место условия (12.20) и функции fk (х, /), ф* (х,
t), Ik (x, t) удовлетворяют системе автономных нелинейных
дифференциальных уравнений (12.22), то очевидно, что по построению
дифференциальных уравнений (12.22) полиномиальные функции (12.19)
удовлетворяют системам уравнений (12.17), (12.18). Теорема доказана. >
12.3. Алгоритм построения точных решений. Для эффективной
реконструкции решений уравнений (12.1) рассмотрим
дифференциальные уравнения для нулей |л/ (л:, /), / = 1,2, ..., /V, функции ф (л:, /, I)
да, 2/1/"РЮ
-^ —^ '-1 ° ...,#, (12.23)
dt ~
дх
/л/4-1
=
л/
П 0L,
кф}
— 21 У?
л/
»
чЁу
/ —
к-
1»
р
Е
N "I
П цГ1 , (12.24)
k=\ J
/л/+1 П (|Х7 — \ik)
Л=1
кф]
2N+2 2N+2
где Р (X) = f2 — ХФ == П (А* — ek) = V] pkXk — полином с постоянны-
ми коэффициентами.
Уравнения (12.23), (12.24) проанализируем с помощью методов
алгебраической геометрии. Пусть Г — гиперэллиптическая риманова
поверхность функции w = VР (z), w, z £ (С1, реализуемая двулистной
поверхностью наложения комплексной плоскости (С1 с
непересекающимися разрезами (оо, ег], ..., [^2/, £2/4-1!» •••» [£глч-2, °°)«
Алгебраический род поверхности Г равен N. Возьмем, как обычно, за циклы
Я/ гладкие ориентированные кривые, лежащие на верхнем листе и
обходящие по часовой стрелке разрез \е<ц, £2/4-1!, а за циклы bf
гладкие ориентированные кривые, которые начинаются в точке £2/4-1,
проходят по часовой стрелке по верхнему листу в точке еглч-з и по нижнему
листу возвращаются в исходные точки. С помощью нормированного
базиса абелевых интегралов первого рода [195, 211], определенных на
поверхности Г,
л/-1 * _ _L
со7. = 2 С)к) \к*[Р(Ъ)] 2 dK (12.25)
*=о о
ф d(x>j (z) = bih ф d(x>i (2) = bih
ai *i
строим отображение Абеля для уравнений (12.23), (12.24)
N
V/ (*, 0=S«/ (И-л (*. *))•
fe=l
Легко показать, что точки \ik (x, t) £ Г решают следующую
проблему обращения Якоби абелевых интегралов на поверхности Г:
v, (х, t) = 2/ [С^-!) (<-*)- CfViv+iv <*>! + v/ (°- °)» (12-26)
П 6-1669
161

де функция у (х) удовлетворяет дифференциальным уравнениям
-ё—Sfe* £<*"<*■ * "Й-0' V(»)-0. (12.27,
Пусть # (и) — стандартная многомерная v-функция! Римана,
построенная по матрице Ъ периодов базиса абелевых интегралов
(12.25). Решая проблему обращения Якоби (12.26), находим [88]
V in.. (V f\ in ft(«H-P* + vy(*) + n)ft(«< + P* + vy(*)-S) ,
^шСИ^и-ш *(otf + |U+vv(x)-i|)#(a< + |ix + wW + B "*"
+ 2 ф In zd«>A (2) + 2ш'т, (12.28)
*-ч
где
a, = - p, = 2^"°, V/ = - 2/СГ/»+ь
v/ = 2 w/ (и* (о, о)) + -2- 2 **/ —я-, л/ = ©/ (°°+). I/ = ®/ (o+),
m — произвольное целое число. Здесь мы учли, что точкам z = оо,
2 = 0 б (С1 соответствуют z = {оо+, оо-}, z = {0+, 0~} 6 Г.
Пусть задано р (л:, 0) / Е (х, 0) = g (х), где g (x) — почти
периодическая функция по х. Тем самым для уравнений (12.1) задан аналог
почти периодической задачи Коши, причем начальные данные для
функции Е (х, t) определяются параметрами поверхности Г. Так как
N
функция А (ху t) = П |лл (х, t) согласно формулам (12.28) определена
явно, то из (12.27) находим дифференциальное уравнение для функции
тМ
dy(x) _ g(x) /iooq^
dx — A(x, 0) ' U^.zy;
Отметим, что задаваясь почти периодической функцией у (л:),
по формуле (12.29) можно описать класс данных Коши g (x) для
уравнений (12.1), для которых решения можно получить в квадратурах.
По известной функции у (х) из (12.27) находим
-Sfe$---j£fr««- <12-30»
Чтобы определить значение Е (х, t) в явном виде, воспользуемся
дифференциальными уравнениями
д In Е
dt
= - 2i Гgi \ik (x, t) + M/yv+ij, (12.31)
Д^т = 2i (|! цА (х, t) + 4££ * W + /"//*+)
162

которые следуют из соотношений (12.17), (12.18). Поскольку согласно
N
(12.28) выражение Л И* (х> 0 известно, то, интегрируя уравнения
/г=1
(12.31), находим функцию Е (х, t) явно. Подставляя полученное значение
Е (л, t) в формулы (12.30), определяем функцию р (х, t). Из третьего
уравнения системы (12.1) легко найти неизвестную функцию п (х, t):
» <*• 0 = -2£(ЬГ 4 (-^Г £ {Х' () 8 <*>) • (12'32)
Используя соотношения (12.30) и (12.32) и уравнения (12.31),
получаем ограничения на выбор начальных данных — функций g (x):
+4г[пгЬ)^[Ш)Е{х>^{х)]\> (12-33>
где величины А (х} t), Е (х, () согласно формулам (12.28) и (12.31)
известны. Подставив соотношение (12.30) в уравнение (12.33),
получим дифференциальное уравнение для функции g (x). Таким образом,
справедлива следующая конструктивная теорема.
Теорема 12.2. Пусть заданы произвольные попарно разные
комплексные числа £/, / = 1,2, ..., 2N + 2, и |Л/,0 = \xj (0, 0), / = 1, 2, ..., N,
которые удовлетворяют следующему алгебраическому соотношению:
•2JV+2 N
U (Х- в/) - |Е(0. 0) |2 П (К- ц*о) (А,- ц,,о) = f (k),
где / (>.) — полином степени N + 1 с действительными
коэффициентами. Тогда система нелинейных дифференциальных уравнений (12.1)
имеет точные почти периодические решения, сводимые к квадратурам,
которые находятся по изложенному выше алгоритму.
Отметим, что солитонные решения можно получить стандартной
процедурой вырождения римановой поверхности Г до рациональной,
аналогично тому, как указано в работах [132, 482—484]. В качестве
4
примера рассмотрим случай N = 1. Тогда Р (А,) = £ Pk№. Пусть
*=о
нули этого полинома имеют вид ех = е2 = е = R ехр (/а), ея =
= е4 = е* = R ехр (—/а), где R, а £ (R1. Тогда р0 = #4, рх =
= — 4R3 cos а, р2 = 2R2 (2 + cos 2а), р3 = —4R cos а, р4 = 1.
Уравнения для функции \х (х, t) приобретут вид
ЩЛ- = 21{»-е)(»-е*„
Jb&JLe_2i0i-e)(,*-^)(l + 4?1). (12-34)
где функция у (х) — решение задачи Коши -£- = g (x)/\i (x, 0), у (0) = 0,
однозначно определяемая по известной функции \х (л:, 0) и заданному
И* 163

значению g (x). Из системы уравнений (12.34) находим
sh (— ia. -f (x — t + у (л:)) sin a + с)
^i (а:, /) = /?
sh ((* — / -|- У М) sin а + с)
ИЛИ
|л (л:, t) = R (cos а — / sin а cth [(л: — / + у (х)) sin а + с]9
где с — произвольная постоянная. Далее определим функцию Е (х, f).
Принимая во внимание равенство /W / /W+i — -у Рм+\/Р2ы+2, из
(12.31) находим уравнения для определения функции Е (ху f)
д\пЕ(ху t)
dt
= — Tt (]x (xf t) — 2R cos a),
(12.35)
^H/(p(x,Hg(rifM-2R«)sa)
dx
\x (*, 0)
Тогда p(xt t) = ** , ' £ (x, t)g(x), а функция /г(х, t) определяется
по формуле
§ 13. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТИПА ШРЕДИНГЕРА
13.1. Предварительные сведения. Рассмотрим дифференциальную
операцию Дирака с быстро убывающими коэффициентами qy г из
класса Шварца » ([R1)
д
-дх~У
||0 <?|
к о
у + Ив3у, а3 =
(13.1)
где у £ С°° ([R1; (С1); А, £ (С1 — спектральный параметр. Опишем класс
динамических систем на й\ удовлетворяющих следующему условию:
обратная задача рассеяния для них является разрешимой в явном виде
с помощью алгебраического алгоритма Гельфанда—Левитана —
Марченко. Таким образом, будем считать, что в силу динамической
системы для функций q, г £ $ (fR1) спектр а (А,) дифференциальной
операции (13.1) на оси [R1 зависит параметрическим образом от
переменной эволюции t 6 [R1- Установим предварительно вид этой эволюции.
С этой целью построим фундаментальные решения ?и Ф для задачи
(13.1) с асимптотическим поведением на бесконечностях ±оо
следующего вида:
Mvw о
Y|*->--oC*
0 е-^х)
Ф|*-+оо^
II e'"v(*)
0
0 — e--iy(x)
V-
= Ф+.
(13.2)
164

где у (х) = Хх, х — действительная переменная. Тогда, очевидно,
справедливо соотношение
W = Q)S. (13.3)
Здесь S = S (X) — матрица «рассеяния»,
\а b II
S(X) =
b all
(13.4)
функции a, a, b и b называются «данными рассеяния». Очевидно,
дх
13.2. Эволюция матрицы рассеяния. Исследуем теперь эволюцию
по параметру t gfR1 матрицы рассеяния 5 (X). С этой целью
рассмотрим следующее тождество:
+°° +°° II Q д II
Y"1T/|±«= i { dy(x)VlaaV + j ЧГ1! J Ydx, (13.5)
— oo —oo I' * Jl
справедливое для произвольной эволюции функций q, r £ $ по
параметру f 6 fR1. Из тождества (13.5) и определения матрицы S (X)
находим
S~lSt + Srl<b+lO+fiS — VZlV-ft = iytS-l<B+o3<b+ —
-iytVZloBV-+ J ЧгТ ^Wdx+i J yt(x)(4TloBV)xdx. (13.6)
—oo II t H —oo
Выражения для S~~l, Ф~~1 и ^F-1 в (13.6), очевидно, существуют, так
как в силу соотношений (13.2) и (13.3) матрицы S, Ф и ¥
невырождены, т. е. det S = det Y = det Ф = 1. Учитывая равенство [а3, Ф+1 =
= [а3, ¥_] = 0, из соотношения (13.6) находим
+Г ill0 яЛ +r° J 11° я\
S~lSt= J ЧГ1 or**"1"'" J Y/WY"1 or8, I q
—oo H * II —oo L II I,
Рассмотрим следующие билинейные формы:
+оо
^ (Ф. Ф) = i (?*Ф2Ф2 —'ЖФО d*> Ф = Wl» ^2)»
Tdx. (13.7)
—00
+00
(13.8)
У> СФ. Ф) = j (9Ф2Ф2 + 'Ф1Ф1) <**, Ф = (Фх. Фг).
Тогда для данных рассеяния Ыа и 6/а из формулы (13.7) получаем
выражения
х Jt x J (13.9)
ab
165

где К (t|>, ф) = г7 (ф, Ф) + 2ф (ф, гр),
Ч' =
ф2 ф2
Ф =
<Pi Ф1
1Ф2 Ф2
(13.10)
Из уравнений (13.9) получаем условия для эволюции функций q и
г € & (fR1) по переменной J £ [R1
/С (г|), яр> = — со (A,, t) ab, К (^ ф) = — со (А,, 0 ай, (13.11)
где со (A,, tf) — задаваемая произвольным образом мероморфная
функция параметра X £ (С1. Тогда для данных рассеяния Ыа и 6/д
справедливы формулы
(т)^в(т)(0)йр}й^т)АЬ
(4-) (f) = f^Vj (O)exp - { (о(К х) dx ,
(13.12)
где необходимо учитывать, что величина X = X (t) определенным
образом зависит от переменной t £ fR1. Выражения (13.11) можно
преобразовать, заметив, что
ab = £ d (г^) = ]" (уф! + ntf) dx,
+оо
+«
(13.13)
аЪ= \ d (ф^) = J (<7ф2 + л$ dx.
—оо —оо
Следовательно, справедливо тождество
-f-oo
V (ф, я|>) + 2t> (гр, г|>) = — со (Ь, 0 J (q$ + ntf) <&.
(13.14)
(13.15)
Вводя оператор Л*, действующий по правилу
-й)-'й-
где % удовлетворяет уравнению —зт- = / (А,, rf) с некоторой мероморфной
функцией / (к, t) переменной К £ С1, тождество (13.14) представим в
эквивалентном виде [376]
'хг
(13.17)
,|/-»<л.оу + 2,7(Л.О^
(13.16)
Для оператора Л из (13.1) находим следующее явное выражение:
, ld + 2rd~lq 2qd~xq |
"Й"| — 2rd~lr —d — 2qd-xr\'
Л =
166

где d"1 (•)=-§-
+«
J (-)dx-J (-)dx
, (5 = -y- , xffR1. Тем самым
установлена теорема.
Теорема 13.1. Нелинейные неоднородные динамические системы
на ^(fR1) вида (13.16), где со (2, t) и f (2, 0—заданные мероморфные
функции по z, являются интегрируемыми с помощью метода обратной
задачи теории рассеяния, причем точки спектра о (А,) оператора
Дирака (13.1) удовлетворяет следующему соотношению:
-§- = /(*, О, МО) = Л0, Леа(Ь), (13.18)
где ^о 6 а М 1'=о — спектральное значение оператора (13.1) пр^
* = 0.
13.3. Гамильтонова интерпретация динамических систем (13.16).
Пусть сначала / = 0. Тогда уравнения (13.16) можно представить в
виде динамической системы Гамильтона
9/l = -^<»(A,/)grad//0, (13-19)
где Н0 = j qrdx, а имплектический оператор ^ имеет вид
—оо
Ц 0 —111
£=|j 0|. (13.20)
Так как оператор Л рекурсионный, то
со (Л, t) grad H0 = grad Я,
где Н £ 0 (&) — некоторый закон сохранения для уравнений (13.19)
при условии, что Н0 £ 0 (&) — тоже закон сохранения. Из
соотношения Л = (£—{М находим, что оператор М — тоже имплектический и
задает на $ ([R1) вторую симплектическую структуру. Из результатов
гл. 1 следует полная интегрируемость по Лиувиллю динамических
систем (13.19).
Пусть теперь / Ф 0. Если на $ (R1) существует функционал $ £
£ Г* ($) такой, что
-# = 2//(Л, 0(*grad#0), (13.21)
то уравнения (13.16) принимают гамильтонов вид
W = -£(grad// + #). (13.22)
Рассмотрим более детально свойства функции А (A,, t) = In a (ky t).
Из формулы (13.7) следует, что для всех t £ [R1 справедливо равенство
\ А (й, (0,0=0. (13.23)
Таким образом, Л (А, (0, 0 = Л (^о. 0) — производящая функция
законов сохранения динамической системы (13.22). Используя произ-
167

вольность начального значения %0 £ (С1 для задачи Коши (13.18)»
получаем, что
A(k(t),t)~ £ #;V (13.24)
/ez+
есть асимптотическое разложение с коэффициентами Н} £ jZ) (#),
/ € Z-ь являющимися законами сохранения для (13.22). Из
очевидного соотношения
Л grad А (К (0, t) = X (t) grad A (X (t), t) (13.25)
следует, что все законы сохранения Hf £ JZ) ($), / £ ^+, находятся
в инволюции относительно обеих симплектических структур на$ ([R1).
Тем самым динамические системы
"' = (''■) = ~ й gmdЯ" '6 ^+' (13,26)
являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю. В частности, для
рекурсионного оператора (13.17) справедливо равенство
Л' •а, = [Л, а',.*], (13.27)
причем согласно уравнениям (13.22) эволюция закона сохранения
Hj £ jZ) (#), / £ ^+, по параметру / £ [R1 имеет вид
V- = V- + (Я> #/}*-(#. «/)• (13-28)
Следовательно, справедлива теорема.
Теорема 13.2. Динамическая система (13.16) со спектральной
зависимостью (13.18) задает на & ([R1) вполне интегрируемый по Лиувиллю
поток, порождающий стандартную гамильтонову систему (13.22)
с бесконечной иерархией законов сохранения в инволюции относительно
обеих скобок Пуассона на $ (R1). При этом временная эволюция законов
сохранения Н}- £ 0 (&), j £ Z+> задается выражениями (13.28).
Примером динамической системы с описанными выше свойствами
является динамическая система, задаваемая нелинейным
дифференциальным уравнением
qt=iqxx — 2i\q\2q + ixq. (13.29)
Уравнение (13.29), получаемое при q* = г, есть уравнение типа Шре-
дингера (13.29), описывающее распространение огибающей
волнового пакета при наличии градиентов плотности среды.
По теореме 13.1 решения динамической системы (13.29) могут быть
вычислены с помощью метода обратной задачи теории рассеяния в
явном виде.
Следует отметить также, что аналогичные результаты могут быть
получены и для другого класса спектральных задач типа Дирака (13.1).
168

§ 14. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТР1ПА КАУПА И НЕЙМАНА:
ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ II ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
14.1. Предварительные замечания. Динамические системы Каупа
изучались методом обратной задачи в работах [416, 484], где отмечена
их применимость в задачах гидродинамики. В работе [484] указана
на важность исследования этих динамических систем методами симплек-
тического анализа и доказательства их полной интегрируемости па
Лиувиллю. В классе быстроубывающих функций эта задача решена
в работах [233—235, 402], где изучается периодическая згдача для
динамических систем типа Каупа. Покажем, что в изучаемом случае
бесконечномерные динамические системы Каупа расслаиваются на
счетное число конечномерных систем Гамильтона, вполне
интегрируемых по Лиувиллю, причем для каждой из них получены явные
формулы в терминах ^-функций Римана. Следствием общей конструкции,,
связанной с анализом спектральных свойств оператора типа Шредин-
гера, является прямое применение полученных результатов к
доказательству полной интегрируемости по Лиувиллю для систем
гармонических осцилляторов на сфере §^, N £ Z+, обобщающих системы
Неймана [485, 517], проинтегрированные в работах [142, 306, 485] методом
Гамильтона — Якоби.
14.2. Спектральная задача. Пусть функции и (х)у v (х) £ С(ос) ([R1;
[R1) — периодические с периодом I. Рассмотрим следующую
спектральную задачу:
Ly = -у"(ху X) + (и(х) + Xv(x)-X*)y(xt X) = 0, (14.1)
sup \y(xtX)\< oo,
где X 6 (С1 — параметр; у (х, X) £ С™ ([R1; (С1).
Пусть а (ху х0; Х)у р (х, х0; X): [R2 х (С1 -> (С1 — фундаментальные
решения уравнения (14.1) с начальными условиями
а (х, х0; X) \х=Хо = pi (ху х0\ X) \х=Хо = 1,
ах (х, х0; X) \х=Хо = р (х, х0; X) \х=Хо = 0, х0 £ [R1.
Функции а (ху х0; X) и р (ху х0; А,) в силу уравнения (14.1) будут
гладкими функциями переменных (ху х0) б fR2 и целыми функциями
экспоненциального типа с действительными коэффициентами по параметру
X £ (£*. В силу периодичности оператора L по переменной х по
фундаментальным решениям а (х, х0\ X), р (х, х0; X) определена матрица
монодромии S = | Sij (x0, X)\l i, j = 1,2,
а (х + U х0; X) = Sn (х0; X) а (х, х0\ X) + S21 (х0; X) р (х, х0; X),
$(х + 1ух0; X) = S12(x0; Х)а(х,х0; X) + S22(x0\ Х)$(ху х0; Х)у (14,3)
где Sn (х0; X) = а (х0 + /, x0; X)y S21 (х0; X) = а'х (х0 + /, х0; X),
S12 (х0; X) = р (х0 + /, х0'> ^). S22 (*<>: ^) = Р* (х0 + /, х0; X). Так как
любое решение уравнения (14.1) может быть представлено в
виде у (х, X) = аа (х, х0; X) + 6р (х, х0, X), где а, Ъ — некоторые
константы, то легко получаем, что число X принадлежит спектру
169

оператора L (14.1) тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
| I (Х)\ = 1, det | S — I (к) fl.|| = 0. Расписывая это условие, находим,
что число £ (А,) удовлетворяет следующему уравнению: £2 — 2Д (А,)£ +
+ 1 = 0, где Д (А) = -у tr S (х0; А,). Если £± (А,) — корни указанного
квадратного уравнения, то, очевидно, £+£_ =1, £+ + £_ = 2Д (А,)
и Б±(Л) = Д (Л) ±Vb*(K) — 1.
Пусть А, 6 a (L). Тогда £± (А) = ехр [±/<р (А,)], ф (А,) б [0, я]
и Д (А,) = cos ф (А,). Отсюда следует, что А, £ a (L) тогда и только
тогда, когда Im Д (А,) = 0 и Д2 (А,) < 1. __
14.3. Свойства спектра. Пусть A,, \i £ a (L) и у (х, Х)} у (jc, jx) £
€ С(ос) ([R1; (С1) — соответствующие собственные функции Блоха,
т. е. у (х + U к) = I (X) ~у (х, X), у (х + U \>) = I (У) ~У (х, V)'.
Тогда для этих собственных значений А, и |х справедливо тождество
У (*, Ь)-гг-у (xt \i) — y (х9 V)-^ry (х, к)
|*0+'
*0
*о+/
= ([г —Я) £ (v (х) — \i — X) у (х, X) у (х, \х) dx. (14.4)
Учитывая действительность коэффициентов целой функции Д (А,),
поскольку Д (А,*) = Д* (А,), из (14.4) при jli = X* находим a (L) =
= U <?ф (L), где аф (L) = {£, (Ф): Im Е, (<р) = 0, / £ Z+} U
Ф€[0,я]
U {*/ (ф), Я*, (ф): Im Л, (Ф) ^ 0, / € Z+Ь Д (Л/ (Ф)) = Д (Я, (Ф)) = cos Ф,
а действительные и мнимые части величин А/ (ф), / £ ^+, Im^y (ф) =^=
=^= 0, удовлетворяют соотношениям
х0+1 дг0-г/
ReA,,(<P) J |£(*,Я/(ф)) I* <** = -§" j t» (jc) | у (jc, Л,(ф))|«Лс,
*o+/ *o-W *o+'
— (1тЯ,(ф))2 J |у(хД,.(<р))|2^ = J \y'x(x, k,(q>))\*dx+ j a(*) X
Xq Xq Xq
X|*/(*,b/fo))N* + —
J »(*)|0(*Д/(<Р))|*<**
L *o
X
[Ti
X \ \y(x,%i(<p))\2dx
—l
(14.5)
Из формул (14.5) находим достаточное условие действительности
спектра a(L)
ДГ0+/ *о+'
J
dt/ (*, A)
dx
dx+ j ы(лг)|г/(л:, A,)|2dx>0. (14.6)
*0
Из представления a (L) = |J сгф (L) и аналитической зависимости
Ф€[0,л]
чисел Ej (ф) и Xj (ф), / £ 2?_{-> от параметра ф £ [0, п] следует, что
170

спектр a (L) в общем случае состоит из бесконечного числа зон
[£/ (0), Ej (л)], / (= Z+y принадлежащих действительной оси
(R1, и бесконечного числа аналитических дуг {X,- (ср) : ер £ [0,л]},
/ € 2?-ь> лежащих существенно в комплексной плоскости (£* и
образующих блоховские зоны устойчивости для собственных функций
оператора L.
14.4. Свойства собственных функций Блоха. Изучим аналитические
£войства собственной функции Блоха (функции Бэйкера — Ахиезера)
у (ху х0\ X) как функции спектрального параметра X £ £г. Так как
функции а, (3 £ С(оо) ([R1; (С1) образуют фундаментальную систему, то
для г/ (х, х0\ X) имеем представление
У (х, х0\ Х) = а (х, х0\ X) + а (х0; X) р (х, х0; X), (14.7)
где ~у(х0, х0\ Х) = 1, лг0 е fR1» ^(С1;
a(Y. У \ - S22 (*«,: X) - Su (*0; X) /А2 (А.) - 1 (ы R.
Пусть Г0 — риманова поверхность функции w = VА2 (^) — 1,
^» ^ € (С1- Точка |л (х0) (= Г0 принадлежит, по определению, дивизору
(L) оператора L, если при естественной проекции р : Г0 —►- (£* точка
Р (^ (*о)) 6 С1 является собственным значением оператора L на отрезке
[*о> хо + /1 с нулевыми граничными условиями. Отсюда следует, что
числа р (\ij (х0)) £ (£х являются нулями функции S12 (xQ\ X).
Так как S12 (х0; X) = S21 (х0; X) = 0 в точках вырождения спектра
сг0 (L), то все вырожденные точки спектра cr0 (L) принадлежат
дивизору (L). Легко также устанавливается, что все нули функции
Si2 (*о» ^) являются невырожденными, т. е. —12^0' Ф 0 при X £ (L).
Таким образом, целой функции S12 (#0; ^) соответствуют такие
целые функции R (X) и S12 (x0; ^), что справедливо представление
512 (*0; X) = S12 (х0; X) Y^IB^L , (14.9)
где R (X) = П (А, — EJ), Ef £ С1» / € Z+>— невырожденные точки
спектра cr0 (L); S12 (#0; ^) — целая функция, не равная нулю в точках
вырождения спектра cr0 (L).
Вследствие целости функций Sjk (x0f X), /, k = 1, 2, по
параметру ^ 6 (С1 из (14.8) следует, что функция (14.8) мероморфным образом
продолжается до однозначной функции на римановой поверхности
Г0. Из соотношения
*(V. Ъ)=-£гУ(х, х0; Х)а(х,х0- к)-у(х,х0; X) да(х^ Ц (14.10)
следует, что ^ *^*0>—- = а (х, X) у (х, х0\ X). Подставляя последнее
соотношение в (14.1), находим дифференциальное уравнение Рикка-
171

ти для функции о (х, X)
do
dx
-£- + о2 + X2 — и — Xv = 0. (14.11)
При | X |—►- оо уравнение (14.11) допускает асимптотическое решение
вида
а(х\ X)~iX + V] о,1и,и](21кГ!, (14.12)
/G2+
где первые пять членов ряда (14.12) имеют вид
i , ч , ч . / dv (х) , v2 (х)
а2 = 57 o'i — 2or0alf or3 = — -&г<у2 — a\ — 2a0a2, (14.13)
dp3
a4 = -^- — 2a0a3 — 2axa2.
Используя формулу (14.10) для мультипликатора g (Я) блоховской
собственной функции у (л;, л:0; А,), находим выражение
Б(Ь) = ехр
Хо+1
j a (л:; Я) dx
= Д (А,) + КЛа (Л) — 1- (14.14)
Из (14.14) следует, что для числа X, принадлежащего a (L),
\ а (х, X) dx = iq> (k),
Хо
где гр : (С1 -> [R1 — некоторая действительная функция.
Предположим, что спектр a (L) оператора L (14.1) является ко-
нечнозонным с границами зон устойчивости в точках Ef £ (С1, / = 1,
2, ..., 2N + 2, N £ Z+. Тогда, пользуясь представлениями (14.8) и
(14.9), находим
х stt(^)-y;x) + j£E£L, (14.15)
2ЛЧ-2
где Р(Л,) = П (X — Е:). Функция а (х; X) в силу (14.15) продолжается
мероморфным образом до однозначной функции на римановой
поверхности Г функции w = У Р (X), Ху w £ ([J1. Заметим также, что четность
полинома Р (X) обусловлена наличием на поверхности Г двух
бесконечно удаленных точек оо± £ Г0, что следует из асимптотических
выражений (14.12) при | X | -> оо. Отсюда следует наличие двух
бесконечно удаленных точек оо± на поверхности Г.
Рассмотрим более детально выражение (14.15) при X ->- оо+ (= Г.
Предварительно выпишем асимптотические при | X \ ->- оо формулы
172

для фундаментальной системы уравнения (14.1):
а (х, х0; X) ~-г- cos
X
Х(х — х0) ^ J v (T)dT
+
+ -у- j а (т) dx sin Х(х — х0) + v^ cos Х(х — х0)
х0
v(xQ)
4%
COS
х
к(х — х0) i- ju(T)dx
+
+ (1 — Г-1) cos Я, (х — ;g + 0 (X~2),
Р(дг, х0; Х)~-^
sin
X(X — X0) y)V (T) dT
(14.16)
+
v(x)
+ (k~x — ЯГ2) sin Я. (x — x0) + -Щ- sin A, (x — x0) —
»W oJ
4Я*
sin
Я. (x — x0) 2" j y (T) ^T
+ 0(Я-~3).
Из (14.16) и (14.12) при A, -*■ oo+ g Г находим
Л + а0 + О (Я--1) ~ —
/[
2Л^+2
1+^-1( g £,) + 0(rt (14.17)
5i2 (*0; ^)
т. е. при A, ->- оо+ £ Г целая функция S12 (лу, Я) пропорциональна
iXN. Последнее означает, что S12 (ху X) — полином по параметру
^ 6 (С1 степени N,
S]2 (х, Х) = — i П (Я — 1хf (a:)),
л/
п
/=1
(14.18)
причем точки (Ху (л:) £ Г, /=1,2, ..., Af, образуют часть дивизора
(L), зависящую от точки х £ [R1. Вычисляя значение правой части
в (14.17) с точностью О (Х-1), находим
N 2N+2
v (х) = — 2 2 ц, (а:) + Ё Яу.
/=1 /—1
(14.19)
Из формулы (14.19) следует, что значения функции v (x) в (14.1)
однозначно определяются по дивизору (L) и точкам ветвления римано-
вой поверхности Г. Из (14.16) также находим с точностью О (Х~2)
выражение для А (X):
Д (X) ~ cos XI + X
—1
COS
/ x0+l V
Ш — -i- J y(T)dTl— cosM +
173

*o-W
4_i_sinW J u(%)dr + -^LcosU —
—V^cos
M j- j у (т) dr I
\— 2'
f O(^), (14.20)
из которого следует, что при X -> оо £ Г нули уравнения А2 (X) = 1
асимптотически стремятся к действительным числам ля//, я £ 2?,—
нулям функции sin X I.
14.5. Формула для первой компоненты блоховской собственной
функции. В силу аналитических свойств функции (14.15), из (14.7)
находим, что блоховская функция у (х, х0; X) является мероморфной
на поверхности Г\ {оо*}, имеет там полюсы в точках М-/ (^о) € Г
и нули в точках \ij (х) £ Г, / = 1, 2, ..., N, при X ->■ оо* £ Г для
*/ (а:, х0; X) справедливо асимптотическое представление
У (х9 х0; X):
exp\=F-^lv(T)dxj+0(X-{)
ехр[± Л (л: — х0)].
(14.21)
Полученных данных достаточно, чтобы с помощью алгебро-геомет-
рических методов на римановых поверхностях построить в явном виде
блоховскую собственную функцию у (х, х0; X). Пусть dcoy (X), j =
= 1, 2, ..., jV,— базис голоморфных дифференциалов на Г,
нормированный условиями
§ ащ (X) = 6kf9 ф d(ok (X) = bfk9 (l4.22)
где ajy bf, /=1,2, ..., N,— базис одномерной группы гомологии
#i (Г; Z) многообразия Г; dco (ц, (х); \if (x0))y j = 1, 2, ..., N,—
абелевы дифференциалы третьего рода с вычетами +1 в полюсах
\if (х) £ Г и —1 в полюсах \if (х0) (= Г, / = 1, 2, ..., N; dco (X) — абе-
лев дифференциал второго рода на Г с единственными особенностями
в точках оо* £ Г, имеющий при X ->■ оо± £ Г асимптотики rfco (Я) ~
~ ^-iz~2dz, z = Я""1. В силу свойств блоховской собственной функции
у (х, х0; X) абелев дифференциал " у '^ х°*—dX имеет каноническое
представление в виде
д1пУ^х«Х) dX = (х - х0) <й (X) + g da (ц, (х), ц, (х0)) +
+ J] 2nimid(oi (X), (14.23)
где т,-, /=1, 2, ... , N, —целые числа, определяемые из условий
ф d In ~у (х, а:0; Я) = 2nimI. Из аналогичных условий вида (р d In r/ (a:,
в/ */ '
174

x0; k) = 2mnjy ti^Z* находим, что
N Ч[*>
2 \ d&f (к) = (х — х0) а- + п/ — Ц bikmk, (14.24)
Uk(x0)
где а;. = -^— ф dec (к)у /=1, 2, ... , N. Таким образом, согласно
hf
(14.24) точки дивизора ЭД нулей функции у (ху х0\ к) составляют
решение проблемы Якоби обращения абелевых интегралов на
поверхности Г.
Введем многомерную ^-функцию Римана
#(и) = 2 ехР {2ju(u, m) + ш (т, 6т)}, (14.25)
m£ZN
где u £ £Ny b = || b/k ||, /, k = 1, 2, ..., jV. С помощью ^-функции
(14.25) построим 0-функцию
6(х; к) = #(<д(к) — е(х)), (14.26)
где для всех /=1,2, ..., N и к0 (= Г
со,- (X) = J dco,- (^)f (14.27)
<?,. (х) = а,- (а: — х0) + 2 \ dw, (Я) + 2 й/л — -^ /.
Используя асимптотические выражения (14.21), для функции у (х>
х0; к) в силу (14.23) находим
у (ху х0; к) =
в (х\ X)
в^; к)
в (х0: со+) в (*0; op-)
со )
exp [i(x — х0) со (к)].
(14.28)
В силу свойств ^-функции Римана блоховская собственная
функция у (ху х0; X) в общем случае будет квазипериодической функцией
переменной х £ (R1 с группой периодов, определяемой параметрами
римановой поверхности Г. Из выражения (14.15) можно также найти
следующее представление для функции у (ху х0; к):
к — М; (*)
у (ху х0; к) =
N
п
/=1
ц,- W
ехр
ы
V? (к) &i
(14.29)
*■ П(Х —|1^(т))
L /=1
Используя представление (14.29), для угловой функции ф (к) =
= arccos А (А,) находим выражение
<р(Ь) = —f j a(jc,X)dx= j ^/P (*)<**—. (14.30)
*o *o П (Я — ^ (*))
/=1
175

В дополнение к формуле (14.19) из (14.29) находим формулу «следов»
для функции и (х) в операторе L (14.1)
v1 (х)
и(х)= 4
N 2JV+2 Л/ 2JV+2
X Vi(*) +т 2 Ei S М*) — -о- S EiEk
(14.31)
а дополнительно к формулам (14.19) и (14.31) из уравнения для
матрицы монодромии S (х0; X) получаем уравнения для нулей функции
у (л:, х0\ X), составляющих дивизор 91 (#),
\^_ д v w,> (1432)
дх п№ ^'
где точки (А/ (л:) £ Г, / = 1, 2, ..., ЛЛ Начальные данные \if (x0) =
= \ij0 £ Г, / = 1,2, ..., JV, удовлетворяют условию h ((ы/0) = КР (|li/o),
/ = 1,2, ..., N, где h (X), X g^1, — полином степени JV + 1 с
действительными коэффициентами, необходимо существующий в силу
равенства det S (#0, X) = 1 для всех x0 £ [R\ ^ £ (С1- Из
периодичности функции S12 (л:, X) по переменной л: G fR1 следует, что точки
\ij (x) £ Г, / = 1, 2, ..., N, описывают при изменении переменной х
на отрезке [x0f х0 + /) cz [R1 замкнутые циклы, в общем случае без
взаимопересечений на поверхности Г. Полное исследование локуса
дивизора 91 (х) на поверхности Г можно дать с помощью
гомологического метода и асимптотического анализа [101], на чем здесь не
останавливаемся
Заметим также, что функцию Бэйкера—Ахиезера (14.28) можно
использовать для вычисления функций и (х)у v (x) в операторе L
{14.1) в явном виде через римановы ^-функции по формулам
v (х) = Пгп (-^г + Х2у)/Ху,
и (х) = lim (-^- + Х2у — Xyv)/y
x-oe+егv бх '
или с помощью асимптотического представления (14.12)
iX + S o,[u,v](2ar!~-^y-\ (14.34)
где X -> оо+ £ Г.
14.6. Динамические системы Каупа, ассоциированные с оператором
(14.1), и их полная интегрируемость. Рассмотрим бесконечномерное
периодическое многообразие М = С/00) ([R1; fR2), снабженное
невырожденной симплектической структурой со скобкой Пуассона
Хо+1 Хо+1
[F, G\2 = \ dx j dy^{u (х), и (у)у ^ +
Х0 Xq
176
(14.33)

*o+' *o-W
Xq Xq
x0+ *o-H'
+ I dx J ^W{yW'y(*6^k' (14-35)
где F,G£0 (M),
{v {x), и (y)}<? = -^- б (x — у), {v (x), v (у)} с? = О,
{u{x),u(y))z = -^b(x-y)v(y)-^^.b{x-y). (14.36)
Здесь б (х — у), ху у £ [R1,— обычная б-функция Дирака, причем
все равенства (14.36) необходимо понимать в смысле обобщенных
функций.
Рассмотрим на многообразии М динамические системы вида
щ = {//,, и)#у vt = \Hh v)?, (14.37)
где H} £ 0 (М), j £ Z+, —функционалы на /И, определяемые с
помощью асимптотического разложения (14.12), (14.13):
fif = { о, [и, v]dx. (14.38)
х0
В силу (14.36) уравнения (14.37) при каждом целом / можно записать
в виде
и*~~ V дх \ 6и )+ 2 dx 6и + дх \ 6v J ' л 4 39)
__ д (ЬНЛ
Важным частным случаем уравнений (14.39) при / = 4 является
динамическая система Каупа [416, 4841
vt == — 3tw, — 2иХ9 щ = -2- £>*** — 2ш>, — ш*. (14.40)
В силу свойств оператора L спектр a (L) не зависит от эволюционной
переменной / £ [R1 при условии, что функции и (х), у (л*)
удовлетворяют уравнениям (14.40). При этом все функционалы Н} £ 0 (М),
/£ Z-ь являются, очевидно, законами сохранения для динамической
системы Каупа (14.40).
Покажем теперь, что все законы сохранения Hf £ 0 (М)у j £ %+у
являющиеся функционально независимыми на УИ, находятся в
инволюции относительно введенной ныше скобки Пуассона. Для этой цели,
очевидно, достаточно показать, что {Д (Я), Д ([i)\^ = 0 для всех
К И € (С1- Введем предварительно следующие два имплектические
12 6-1669 ,77

операторы:
о п
II — / (п\ д И II !_лз _i_ ; d,\ n II
(14,41)
й-!-^ Jl. л-
-ia3 + /(«) о
о а
Я 1 Л/7
где /(а) = а-^ Ь -у-т— , а = и, v£M. Учитывая
антисимметричность операторов (£ и М и равенство
XUX grad А (X) = М grad А (Я), (14.42)
получаем, что (А (Х)у A {\i)\^ = 0 для всех X, \i £ ([J1. Равенство
(14.42) означает также, что динамическая система Каупа (14.40) бн-
гамильтонова со второй симплектическои структурой, определяемой
имплектическим оператором JUL (14.41).
Чтобы изучить эволюцию введенного ранее дивизора 21 (х) на
поверхности Г по переменной / £ [R\ рассмотрим «производящую»
динамическую систему типа Каупа на М
ut= \А(Х)У u)c?y vt= {A(A,), v}<?y (14.43)
где и> v £ М таковы, что оператор (14Л) имеет конечнозонный спектр.
Чтобы найти в явном виде решение уравнений (14.43) при всех t£
£ [R1, достаточно вычислить эволюцию величин £/£ $ (Г), / = 1,
2, ..., N. С этой целью вычислим предварительно эволюцию элемента
Si2 (х0> ^)> Iх £ Г, матрицы монодромии S (х0, ц):
dS12(x:,) ={Д(Я)>512(Хо. 1х)у =
_ £
2(|х — Ц ^12(*°; ^[S22(^0; Ц) — Su(x0; ц)] — S12(x0; |u) х
X [S22(x0; *)-Sn(*0; Щ, (14.44)
где учтено при выводе формулы, что функции S12 (х0\ X) и Р (х0 +
+ /, я; Я) р (я, х0; Я.) удовлетворяют одному и тому же
дифференциальному уравнению
Х*Щ^- = [- ^а3 + / (и) + Xj (v)]g(x, X). (14.45)
Так как S12 (х0; ц, (х0)) = 0 для всех / = 1, 2, ..., N, из (14.44)
получаем следующий результат:
d\ij (х) _ - i\Lf (х) S12 (x; X) У? {щ (х))
dt n_(lij(x)^iik(x))(iii(x)-X) '
(14.46)
*£i
где использована произвольность нормирующей точки х0 £ fR1. Из
(14.28) и (14.46) легко находим, что
JfLifL = -я-М- /Д»(Я)-1. (14.47)
178

Отсюда
*,<*, t) = а,(х-х0) + I -^Л]/А2(М-1 (*- g + е,(х09 t0) (14.48)
для всех / = 1, 2, ..,, Nt ху t £ [R1. Так как все динамические системы
(14.39) при каждом / можно представить следующим образом:
ut = reg lim ,. =- (A (A,), ы}^,
^ = reg lim — , (14.49)
то из соотношения (14.48) получаем формулы для эволюции величин
£/ (*> 0» / = 1» 2, ..., Af, в силу потоков (14.37)
ej (х, t) = а, (х — х0) + reg lim f2iV+1 ^%p-l. (14.50)
Таким образом, все динамические системы Каупа (14.37) являются
вполне интегрируемыми по Лиувиллю на подмногообразии S с: Mt
определяемом соотношениями
N
grad HN+{ = 2 cNt} grad Hh (14.51)
/=о
глеем,}, j = 0,1, ..., N9— некоторые действительные числа.
Интегральным многообразием этих динамических систем является
действительная часть комплексного тора — многообразия Якоби f (Г) римано-
вой поверхности Г.
14.7. Динамические системы Неймана и их полная интегрируемость.
Рассмотрим теперь другой аспект спектральных свойств динамических
систем Каупа, впервые замеченный Ю. Мозером [1421 для случая
оператора Штурма — Лиувилля и динамической системы Кортевега —
де Фриза. Пусть параметр Е £ а0 (L), Тогда легко найти, что
^г-Пт^Ьуи,)-2мП(£-„м,л
Из соотношений (14.52) следует справедливое для всех £, £ а0 (L),
/ = 1, 2, ..., 2N + 2, тождество
TV-f-l /V
П (Е, - ук) г) (х) су2 =П(Е}- ц, (х)), (14.53)
^ JL
где zf (х) = # (х9 х0; £у) П (£, — рк (xQ)) 2,
/г=1
12*
179

x»+l
icT2= j z,(x)[v(x)-2l]dx; yk££\ k=\, 2, .... 2ЛГ+1,—
Xo
нули
д(р(К)
функции д1 , ф(А,) = arccos А (Я,). Построив по методу Лагранжа
л/
[44] полином П (X—^(х)), по его значениям в точках X = £2/, / =
= 1, 2, ,.., jV + 1, получаем
W+1
26; М
=1 *?(*-*2/) L/=l
П(ь-м*))
#+1
/П (Ь-£2/), (14.54)
/=i
лн-i
где £,- = — П (E2f — E2k), / = 1,2, ..., N + 1. Разложив выраже-
ние (14.54) в ряд при |А,|->оо, найдем следующие тождества:
лн-1 лч-i
2 £ *Г% (х) £2/ = о(х)+ S (£2/ - E2!-i), (14.55)
,=i /=i
лч-i 0 , лч-i
2 t efzl (х) El = »(x) + 4" с2 (x) + -\- v (x) £ (£2/ - £2/_i) +
Л/+1 ЛЧ-l 2Л/+2
+ X4+t^ (£2/-£2/_t)2-4- S £?.
r=l * /=1 z /=1
Обозначим
x = т, z2/ (x) ejl = Xj (т), £2/ = со/, (14.56)
лч-i лч-i
p(t) = 2 j] со,*- + £ (£2/-i — E2j),
/=i /=i
лн-i yv+i
q (т) = 2 E xfc* - -f p2 (т) + -f p (т) I (E2I - E2,-i) +
/=i * L/=i J z i=\
где E2f £ a0 (L), / = 1,2, .,,, УУ + 1,— точки спектра (т0 (L)
оператора L, отвечающие периодическим собственным функциям Блоха.
Тогда в силу дифференциальных уравнений (14.1) для гц (х, К),
/:= 1, 2, ..., N + 1, с учетом обозначений (14.56) находим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений для функций х} (т),
/= 1, 2, ..., N +U
-^ф- + щх, = qxj + pajX,:
(14.57)
180

Уравнения (14.57) описывают движение системы ангармонических
осцилляторов типа Неймана
-g- + со?*, = p<o;Xf, / = 1, 2, .. . , N + 1, (14.58)
ограниченных на единичную сферу §^. Действительно, уравнения
N
Эйлера — Лагранжа для этой системы осцилляторов со связью X А —
= 1 имеют вид
-g_ + со^. = (о^р + qxh /=1,2 N + 1, (14.59)
где
9 = 2 \]cd?^--f P8W--5-P(t) 1(£2/-^-1)-2Я,
/ = 1 / = 1
есть закон сохранения энергии для системы осцилляторов (14.58).
Сравнивая выражение для функции q (т) с выражением для функции
q (т) из (14.56), находим, что q (т) = q (т). Перепишем выражение
(14.54) в переменных(14.56):
N
N+l х2(т) П(Х-Ц/(х))
V _V!L = izii = Р(^ (Ибо)
/=* П (X-©/) +
/=i
Соотношение (14.60) является особенно полезным при гамильтоновой
интерпретации динамической системы (14.50) на сфере §^.
Пусть у j = —р- , /=1,2, ..., N + I,— сопряженные переменные
к переменным xfy /= 1, 2, ..., N +\у относительно симплектической
к+\
структуры со = £ dy.- Д dx: на IR2A4"2. Тогда динамическая система
(14.58) имеет гамильтонов вид
^-={Я,х/и -*2-={Я,У/}в, (14.61)
где
Я1 \i 2 . 1 VI 2 2 1 о / \
= -у 1 У,- + -о- L <»,*,• — -з- Р2 (т),
W+l N+1
р(х) = 2 £ «>/*/ — £ (E2j — E2i-x), /=1,2, ... , tf + 1.
181

Симплектическую структуру со запишем в переменных т|у, |iy, / =
N
= 1, 2, ..., N, причем таким образом, чтобы со-> £ ^ть Д dji,-.
В силу соотношения (14.60) для переменных т]у-, /=1,2, ..., N,
имеем следующие выражения:
Л/ = -4Р' (M-lR-Q+to)' (14-62)
где Р'(^(.) = —-jP- \ , /' = 1,2, ..., N. В переменных ч\,, ц.-, / =
= 1,2, ..., N, гамильтониан Я имеет вид
JV N ЛЦ-1 N N+\
н=—2 2 Р+(ил л/ + 2 ^ 2 Е2,-\ — 2 и* — 2 «Wk +
/=1 u /; - /=i /=i /=1 /<*
+ 2 С0/2 К —^/-О т- 2 (ю, —£2/-i)(<d* —£2*-i). (14.63)
Динамическая система (14.58) на сфере g^ в переменных г]/, |xy>
/ = 1,2,..., N, имеет стандартный гамильтонов вид
-ft- = {Я, Ц/}щ, -^L = {Я, п,.}ш. (14.64)
С целью интегрирования уравнений (14.64) представим закон
сохранения (14.63), т. е. гамильтониан Я, в следующем факторизованном
виде:
H = -2£lQ+™$-Q-W] +R. 04.65)
/=i
Здесь Я £ [R1 — числовое значение энергии Я системы на
фиксированной орбите динамической системы (14.64), а полиномы Q_ (|xy),
/ = 1, 2, ..., N, задаются выражениями
Q_(|x/) = -T- Uf j £2*-i — (i"+1 + Ц vfe|i/}, (14.66)
где v^, k = 0, 1, ... , Af — 2, — произвольные действительные числа»
v/v = S Ягу-ь va/-i = — Я^К1. Из соотношения (14.65) имеем
^-]/^-« / = 1,2 *• (14-67)
По методу Гамильтона — Якоби для интегрирования потока (14.64)
необходимо выполнить еще одно каноническое преобразование симп-
N N—1
лектической структуры вида со = $] ^Л/ Л ^Н7 "*" S ^v/ Л ^i/»
/=1 /=0
где S/с fR1, / = 0, 1, ..., N— 1,— «угловые» переменные. Пусть
G (|x, v) — производящая функция этого канонического преобразова-
182

ния, задаваемая выражением
л/ ^/<т)
0(1*. v)= J J ]/жшак (14-68)
где Q_ (X) = - 4"^+1 + -4- S v^*, X€ IR1. Для переменных gye |R\
Л=0
/ = 0, 1, ... , N— 1, согласно формуле (14.68) находим
i/ = #-=4"S \ -7^-. 04.69)
где Q (?i) = Q+ (?i) Q_ (?i), Я, £ fR1. В силу уравнений Гамильтона
4-Е/—^. -t- = —f' / = 0.1.....^_1. (14.70)
Из равенства Я = — v#_i для всех / = 0, 1, ..., N — 1, т,т0 £ fR1,
находим
v/ (т) = v,- (т0), Ъ, (т) = £, (т0) - (т - т0) 6,^-ь (14.71)
Тем самым в переменных v,,£y, j = О, 1, ..., TV — 1, динамическая
система (14.58) на сфере §iV полностью интегрируется в явном виде.
Покажем, что она также обладает полным набором законов сохранения
в инволюции Fj 6 0 (fR2yv+2), / = 1, 2, ..., N + 1, которые
удовлетворяют условию
где
Э/ — 5] (0*4 + X ^ — £2*-l)
В силу равенств {v7, v*}© = 0, /', & = 0, 1, ..., N — 1, и каноничности
отображений к переменным v,-, |/, / = 0, 1, ..., N — 1, легко находим,
что \Fh Fb\M = 0, /, ft = 1, 2, ..., jV + 1, т. е. динамическая система
(14.58) вполне интегрируема по Лиувиллю на сфере §^. Заметим
также, что из (14.72) следует тождество на законы сохранения Fh
yv+i л'-ы
/ = 1,2, ..., N + 1, вида Yi Fj = S (юу — ^/-O- Из формулы
/=i /=i
(14.69) следует, что функции lj £ fR1, / = 0, 1, ..., N — 1, линейные
по переменной т £ fR1, выражаются с помощью
гиперэллиптических интегралов на поверхности Г функции 2 = V Q (к)
алгебраического рода N £ 2£+. Тем самым решения дифференциальных
уравнений (14.58), заданных на сфере §^ , будут в общем виде
квазипериодическими функциями, что и следует из теоремы Лиувилля. Изученная
выше динамическая система типа Неймана обобщает рассмотренную
183
Fi = А
лч-1
+ V №-х№)\ (14.73)

ранее [142] динамическую систему Неймана для свободных
осцилляторов, заданных на сфере §^. Отличительной особенностью
рассматриваемого случая является следующее свойство: исходная динамическая
система (14.58) в [ft2;V+2 гамильтонова, но, вообще говоря, не
интегрируема по Лиувиллю. После ее ограничения на сферу §^ она
становится вполне интегрируемой, как и в классическом случае Неймана. При
ограничении на сферу §^ динамическая система (14.58) в переменных
хь У} £ IR1» / = 1> 2, ..., N + 1, записывается следующим образом:
-^ = {Я,*,}., -^ = {//fyyU (14.74)
где
H = H(xty) = Н0(х, у) + 4" S 1У*-<**** + Р(*) VfXf] • (*/- D.
1 yv+1 1
я0 (*, у) = -f Е (<// + 4*/) - x />2 (*).
Уравнения (14.74) следуют из уравнений
^ST = {Н°> хЛ«м> -Цг = {Н°> У}}(*м' (14'75>
где /=1,2, ... , N + I; (л)М — симплектическая форма со на IR2iV+2f
ограниченная на подмногообразие М = \(х, у)£ [R2iV+2: q>i = X */—
— 1=0, ф2 = 2 х]у1 = 0}. Так как матрица ||{ф,, фЛ}«||, /, fe = 1, 2,
невырождена на уИ, то симплектическая форма сод* на М тоже
невырождена и замкнута.
Наличие на многообразии М системы законов сохранения (14.73)
и их явное вычисление легко усмотреть из свойств системы уравнений
Sx{ (т)
—т1
Л — (О/ »
^ € fR1» удовлетворяет нелинейному уравнению
— 2u2(Xp + q — l2)= , (14.76)
dx2 2 V dx / v ^ ' v ' Q, (k)
где
лч-i yv+i
Q_ (Ь) = — _- П (Ь - £2/_,)f Q+ (X) = П (К - со,).
z М м
Вычисляя вычеты в точке X = со;-, / = 1,2, ..., N + I, выражений
в правой и левой частях (14.76) и учитывая при этом условие (14.72),
немедленно приходим к формулам (14.73) для законов сохранения
Fj9 j = 1,2, ..., N + 1. Указанный подход к вычислению законов
сохранения для динамической системы типа Неймана (14.58) на сфере
184

§^ является общим и применим к другим аналогичным системам,
обобщающим рассмотренную выше динамическую систему
ангармонических осцилляторов.
14.8. Динамическая система типа Неймана — Росохатиуса и ее
полная интегрируемость. Рассмотрим гамильтонову динамическую
систему типа Неймана — Росохатиуса на сфере §^ вида
N 1-2
4?г + <*>#/ + 2o4W 1
N 1-2
Е у^Т1 = о,
/=о J
(14.77)
N
, 2
где со,-, / = 0, 1, ..., N,— квадраты частот свободных колебаний
осцилляторов на оси [R1 с координатами у} £ fR1, / = 0, 1, ..., ДО;
a £ fPl — произвольный числовой параметр. Система (14.77) имеет
гамильтониан Я0 вида
N N Г N -1-1
Яо=4"^ Р>- + -Т% ©/У?-а 2 У/со-1 , (14.78)
^ /=о ^ /=о L/=o J
где /?=—1£-, / = 0, 1, ..., ДО, причем уравнения (14.77) гамильтоно-
вы относительно стандартной симплектической структуры со =]
= Yi dPj A dyf на [R2iV+2, ограниченной на подмногообразие М =
/=о
г N N \
= (</, P) € [R2iV+2: S <// - 1 = 0, 2 yjPi = 0 . Легко проверить,
I /=0 /=0 J
что соответствующая симплектическая структура сом замкнута и
невырождена на М. Таким образом, динамическую систему (14.77) на
§^ для всех / = 0, 1, ..., N можно компактно записать в виде
-$- = Wo, У,)*м, -% = {Я0. PiUM- (14-79>
Для доказательства полной интегрируемости динамической системы
типа Неймана — Росохатиуса (14.77) рассмотрим дифференциальное
уравнение с оператором типа Штурма — Лиувилля с периодическими
коэффициентами вида
-if + q(t)y +)Tlr(t)y = ky, (14.80)
где у £ С(00) (R1; (С1); q (t + I) = q (t); r(t + l) = r (t), t£ IRl; l- период;
A,^1— спектральный параметр. Пусть fy^IR1, / = 0, 1, ..., 2ДО,—
невырожденные собственные значения периодической и
антипериодической задач для дифференциального уравнения (14.80) с условием
sup \y(t, К) | < оо. Пусть также yl (t) = .у (t, £2/), E2j = со,-, / =
/€IR»
= 0,1, .. . , ДО, —периодические собственные функции оператора
типа Штурма — Лиувилля, задающего уравнение (14.80). Тогда легко
N 2(t)
проверить, что выражение u(t, I) = Л ~г~ » ^£ (С1» удовлетво-
185

ряет следующему нелинейному дифференциальному уравнению:
"-ж--(^г]-2"(я ' + ?-*) =-кщхг- (14-81)
л/ /V—1 л/
где Q+ (Я) = П(к- со,-), Q_ (Л) = к U (К — £2/+1) + а П (— со.) _
,-=о /=о /=о
•функции параметра ^£(С\ не зависящие от переменной ^GfR1- Обоз-
начая -^—-т-- = >_. —т—^ , из соотношении (14.81) для законов со-
хранения Fy, / = 0, 1, ..., Af, находим следующие явные выражения:
F, = со^ - 2а,* (2 ^"'Г + J ^--^ • <14'82>
\/=0 / Л=1 ' Й
откуда для гамильтониана Н0 получаем представление
H0 = i-YFi. (14.83)
Можно также убедиться, что все законы сохранения Fj9 j = 0, 1, ..., Af,
находятся в инволюции относительно симплектическои формы со на
(R2A/+2, ПрИЧем любые N из них являются функционально независимы-
*\ F-
ми, а У — = 1 — 2а.
,w> с°/
По аналогии с рассмотренной ранее динамической системой типа
Неймана проведем явное интегрирование системы (14.77) методом
Гамильтона— Якоби. С этой целью выполним следующие канонические
преобразования симплектическои формы со^:
N N N
X dP/ Л dyj IaT* S *1/ Л d(*y -> Ц dv/ Д dlh
где
/=о /=i /=1
Q_ (Я) = А,Л'+1 + X £ v,-^-'' + а П (— ©,), (14.84)
,=i /=o
N 2 * 4T>
v y/ _.. pw p -_LV С
^ft *-«>/- q, (X) • e/- 2 Zj j
\N~ux
/=0
'+w * * 2 fi^/Q+WQ-w
186

В новых канонических переменных динамическая система
Гамильтона (14.79) принимает вид
dvj _ дИ0 dlf _
/=1, 2, ..., N, (14.85)
dt dlf ' dt ~ d\j
л
где Н0 = v1 — ]V] со.-. Учитывая равенство для гамильтониана #0, из
/=о
(14.85) находим
v/ (0 = v;. (g, it (о = ^ (t0) + (t- д б,м (14.86)
для всех /, t0 £ fR1, /=1,2,..., N. Таким образом, в переменных
V/, Ну, / = 1,2,..., iV, динамическая система (14.77) типа Неймана —
Росохатиуса полностью проинтегрирована. Заметим также, что в
спектральной интерпретации динамической системы (14.77) для функции
г (t) в операции (14.80) справедливо представление через собственные
функции уj (0, / = 0, 1. ..., N,
г(/) = 2а[§о^со71] '. (14.87)
Аналогичное, но более громоздкое, выражение существует также
и для функции q (t), которое находится из уравнений (14. 76) методом
редукции.
С динамической системой (14.77) согласно (14.82) ассоциирована
N
иерархия законов сохранения Нк = £ to*/7.-, ££2f, каждому из
которых соответствует динамическая система вида
dtk dpj dtk dyf J i i \ /
где 4 £ fR1, k £ Z,— эволюционные параметры. В силу
коммутативности законов сохранения Hjf j £ Z, относительно симплектической
структуры со уравнения (14.88) задают иерархию вполне
интегрируемых динамических систем, коммутирующих между собой и, в
частности, с системой (14.79). Если рассмотреть эволюционные уравнения
типа Лакса вида
-щ-=*к1я,П X]y + bk[q,r,k\-%-, (14.89)
где k £ Z+'> <*k> bk — локальные функционалы от переменных qf г,
легко заметить, что уравнения для функций у; (tf tk) = у (t, tk\ со,),
/ = 0, 1, ..., N, совпадают с уравнениями (14.88). Таким образом,
учитывая, что совместность уравнений типа Лакса эквивалентна
некоторым нелинейным дифференциальным уравнениям для функций
q (t, tk) и г (ty g, k £ Z+* получаем как следствие полную
интегрируемость этих уравнений. Учитывая, что собственная функция у (t,
4; A,), JtgtC1, имеет в конечнозонном случае явное представление
в терминах гиперэллиптических ^-функций Римана, получаем как для
собственных функций yl (t, g, / = 0, 1, ..., N, так и для функций
187

Я (t> 4)> r (U 4)> k £ 2?+, их явное представление в терминах #-
функций Римана.
Следует заметить, что в более общем случае спектральной задачи
-у' +
2 ?;(0Н^ = Г+^
=—т J
(14.90)
L/=-m
где
J^C-'flR1; (С1), Ь€(С\ Z+9/i,m<oo,
можно предъявить широкий класс динамических систем типа Неймана,
вполне интегрируемых на сфере §^ с помощью алгоритма
Гамильтона — Якоби.
14.9. Динамическая система типа Неймана — Дирака и ее полная
интегрируемость. Рассмотрим на оси (R1 дифференциальную
операцию Дирака
dx
di
ikx = t|)#,
dx
+ iky = г|)*л:,
(14.91)
где у, x£(?~]№\£1)\^£(F)(\Rl; (С1)» /-период функции г|)(т),
T^fR1» i=V—\\ Л £ (С1 — спектральный параметр. В силу
результатов § 4 для оператора (14.91) в конечнозонном случае собственная
функция Блоха х (т; К) имеет следующее представление:
х (т; К) =
ЛШ п (v-wW)l2 exD (_ t f _
КР (A.)rfx
П (А. — |г/ (т))
1.(14.92)
Здесь параметр X принадлежит римановой поверхности Г функции
2N+2
w = VTlX); Р(Х)=П (%-Е,), К, w£Cl Mi), /=1> 2—
..., N,— условные собственные числа для спектральной задачи (14.91)
на отрезке [т0, т0 + Л, т^о € fR1 — произвольная точка отсчета; Ei £
6 fR1» /=1,2, ..., N + \,— невырожденные точки спектра а0 (L)
оператора (14.91). Аналогичное представление существует и для
собственной функции у (т, А,), А,£Г. Из (14.91) и (14.92) при К = E2j £
6 а0 (L), / = 1, 2, ..., Af + If находим следующие уравнения:
dxf
d%
mpi = г|)(/у, -^- + ico/^y = ф**у.
(14.93)
Если числа £2/ € сг0 (L), / = 1,2, ..., N + I, соответствуют
периодическим собственным функциям оператора Дирака (14.91), то систему
(14.93) называют динамической системой типа Неймана — Дирака.
После нормировки собственных функций #, (т) = х (т, £?/) и yf (т) =
= у (т, £2/), / = 1,2, ..., N + 1, из (14.92) находим следующие ал-
188

гебраические соотношения:
Л/+1 .,
^■J X — со/
w
*П (>.-и/(т))
/--=1
Л'-Н
П (X — со/)
/—I
N
-ф* П (А. — |i/ (х))
/=1
(14.94)
^j я, — ©/ "+1
/=1 П(А,-©/)
/=1
Из уравнений (14.93) и соотношений (14.94) прямым вычислением
убеждаемся, что величины
Л/+1 Л/+1
Н0 = I X (0,*^, = — £ №/ — Е2/_l),
,=l ,=1 (14.95)
Фо = Ё *,</, = —«. Ф1 = S ^/ = о, ф2 = S у) = о,
,=0 /=0 /=0
где #0, #0 — решение уравнений (14.93) при К = 0 = со0, являются
законами сохранения для динамической системы типа Неймана —
Дирака (14.93). Кроме того, для функций -ф (т) и -ф* (т) из (14.94)
находим выражения
/V-|-l JV+1
ф(т) = X */<*>/■ Ф*(т) = — £ У/СОу,
(14.96)
J i / х Г ^ 1 2;V+2
Учитывая (14.96), для динамической системы типа
Неймана—Дирака получаем каноническое представление
—L. — KO/Xj = yj Ь */<*>/.
"У /=l (14'97)
-Ж + io)/f// = —Xf S f/2co7, /=1,2, ... , ЛГ + 1.
Так как для уравнений (14.97) выполнены соотношения (14.95),
легко заметить, что динамическая система (14.97) на фазовом
пространстве (C2yv+2 будет гамильтоновой с гамильтонианом
Н = Н0 + -L £ Ш/*? у£ *?) - 4- £ *tf ( go^j (14.98)
и симплектической структурой со = X dy, Д ***/• Таким образом,
динамическая система (14.97) является ограничением свободной
189

системы Дирака
Jj!L-mjXl = 09 А +/со^,-= О, / = 0, 1 ЛГ+1, (14.99)
на подмногообразие Мф = \уг = ф2 = 0} cz (C2iV+2. Так как на
многообразии М функция ф0 является также законом сохранения, то
динамическая система (14.97) является согласованным ограничением
свободной системы Дирака (14.99) на подмногообразие Мг = Мф П
Г) {х, у £ М : ф0 (х9 у) = —i). Таким образом, уравнения (14.97)
для всех / = — i9 1, ..., jV + 1 записываются в форме
-^ = {H,xtU, -^ = {Н,у1.}<л (14.100)
или
J?±_== {#0, х,)0м, J|L= {#0, у,)тм. (14.101)
Для доказательства полной интегрируемости динамической
системы (14.97) покажем, что на Мг существует полная система законов
сохранения в инволюции. Действительно, рассмотрим следующее
алгебраическое выражение:
лч-1 лч-1
£ iSr = П [(Л - £2/-,) (Я - со/)"1], (14.102)
/=1 7 /=1
где в силу инвариантности чисел Z?2/—i и cof, / = 1, 2, ..., N + I,
числа Т7,, /=1,2,..., N + 1, будут законами сохранения
динамической системы (14.97). Для их вычисления в явном виде заметим, что
в силу уравнений (14.93) справедливо тождество
Л/+1 о Л/+1 9
X — (О/ ^J Л — (О/
/=1 /=1
(14.103)
Учитывая равенство (14.102), из (14.103) находим следующие
выражения для законов сохранения F]t / = 1, 2, ..., N + 1:
F, = 2**/Л + $ ^— (y/x, -i/^/)2. (14.104)
Прямыми вычислениями убеждаемся, что все законы сохранения Fh
/=1,2,..., N + 1, находятся в инволюции, т. е. для всех /, k =
= 1,2, ..., N + 1 справедливо равенство
{Fi,FkU = 09 (14.105)
причем любые N из них функционально независимые. Кроме того,
для гамильтониана Н0 из (14.104) находим соотношение Учитывая
Н, = £ F,©,. (14.106)
190
Г w+i
L /=-1
X —со/
* лч-1
= п Vr1

также формулы (14.95) для законов сохранения Fh / = 1, 2, ...,
N + I, из (14.104) получаем эквивалентное представление
лч-1
(xjyk-xkyj)* (14.107)
f.-i
Выражение (14.107) продолжается по индексу /£ {1, 2, ..., N + 1}
на индекс / = 0, причем все Fh / = 0, 1, ..., N + I, удовлетворяют
очевидному условию V F} = 0. Таким образом, в силу теоремы Лиу-
вилля, динамическая система Неймана — Дирака (14.99) на
подмногообразии М а (£2Л/+2 является вполне интегрируемой. Интегрирование
ее методом Гамильтона — Якоби проводится аналогично выполненному
выше, поэтому на нем подробно не останавливаемся.
§ 15. АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ОБЩИХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
ОБРАЗУЮЩИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА ЛАКСА
15.1. Существование решений систем линейных дифференциальных
уравнений, образующих представление типа Лакса, и проблема Якоби
обращения абелевых интегралов. Построение решений. Пусть исход-
ная динамическая система на многообразии М эквивалентна условию
совместности линейных дифференциальных уравнений
%-=%ЩУ, -£-=2*%У, (15.1)
где У, Л^ !Bk — матричнозначные функции х> t, j = 0, 1, ..., m,
k = 0, 1, ..., л; 2+ ^ т9 п\ к £ (£,* — «спектральный» параметр.
Уравнения (15.1) в силу их совместности для всех ху t £ [Rl, очевидно,
эквивалентны стандартной записи представления типа Лакса. В
дальнейшем ограничимся случаем, когда размер матриц в (15.1) равен
двум [293].
Пусть Y (ху t\ к) — решение системы (15.1), причем известно, что
параметр к £ Г, где Г — гиперэллиптическая риманова поверх-
2JV+V
ность алгебраической кривой w2 = П (к — £,), к, w £ (Q1, El £
ы
G С1, / = 1, 2, ..., 2N + 2,— точки ветвления Г, N —
алгебраический род. Обозначим через оо<'> £ Г, / = 1,2, точки на поверхности Г,
проектирующиеся в точку оо на сфере Римана (СПЧ1. Локальные
параметры в окрестности точек оо</) £ Г, / = 1, 2, будут функциями от
% = А,-1.
лч-i
Пусть б = П (х/0, |хло6 Г, / = 1,2,..., N + 1, — эффективный дивн-
/=1
гор на Г такой, что dim {£ (б • (оо{к))~~1) = 1, Л = 1,2, где {£ (б) —
векторное пространство мероморфных функций на Г таких, что для любой / £
191

£<2(Г) дивизор (/) • б эффективен; Q (Г) — пространство мероморфных
т
функций на Г. Пусть также /,.(*, А,) = £ fik(x)Kkt gAt, А,) =
л
= S gfk(t)kkt /= 1, 2,— гладкие функции переменных xt ^(EfR1, при-
ft=0
чем для всех А,^1 //(О, А,) = gy(0, А,) = 0, / = 1, 2. Справедлива
теорема.
Теорема 15.1. Для заданных б, /у w g/, / = 1, 2, существуют
единственные функции Y, (х, t\ А,), / = 1, 2, на поверхности Г со
следующими условиями для всех ху t £ 0, где U c= [R2 — некоторая достаточно
малая окрестность точки 0 £ [R2:
/) К/, / = 1, 2,— мероморфные функции на Г\{оо(1>, <х><2>}
£ дивизором полюсов, равным б;
2) в окрестности точек оо(Л) £ Г, ft = 1, 2, функции Фу ехр (—fk)
и Ф, ехр (—gk) являются голоморфными, причем Фу- ехр (—fk) \k==OQ(k) =
= 6,ь /, ft = 1, 2.
Доказательство. Пусть циклы ajy bh / = 1, 2, ..., Nt
на поверхности Г образуют канонический базис группы гомологии
Н\ (П Ж)\ dcoy (A,), /=1,2,..., jV,— нормированный базис абеле-
вых дифференциалов первого рода на Г
§d®k(k) = 6ik9 §didk(k) = biki /, ft =1,2, ..., N. (15.2)
Для различных точек |л, v £ Г выражение dco (A,; \x9 v) обозначает
абелев дифференциал третьего рода с единственными полюсами в
точках (л, и v с вычетами +1 и —1 соответственно. Пусть также
do) (h; fj) и da)(V, gj), /= 1, 2,— нормированные абелевы
дифференциалы второго рода на Г с единственными полюсами в точках оо<±)^
(Г и асимптотиками вида
-^ fj (x\ A,) dx ~ do (А,, //), «5J- г, (f; A,) dx с- do (A,; g,),
где /=1,2, т = А,"~1. Предположим сначала, что функции Ф,, / =
= 1,2, удовлетворяющие условиям 1 и 2, существуют. Тогда
-^- In Yk (x, t; A,)dA,, ft =: 1, 2,— абелевы дифференциалы на
поверхности Г. Они имеют простые полюсы в точках \isk и Ц7о€Г, / = 1,2, ...
..., N+ 1, s = 1, 2, ..., iV, ft = 1, 2, с вычетами +1 и —1
соответственно, а также полюсы в точках оо<±>£Г, причем -о=- /л (*> т) +
+ (1—e^T-MdT^dlnr^A:, /; А,), /, ft=i, 2, А, = т-1. Для
din Yk(xy t\ A,), ft= 1, 2, справедливо представление
2 _
dlnF*(*, ft ^) =: S W<o(A,; /л) + dco(b; g*)] +
192

+ Yi [da (к; \i,'k, и-/о) + 6/2^0) (A,; oo+, \iN+U0) + 6лЛо(А,; oo~, |xiV+i,0)] +
+ 2с/лЛол(^), (15.3)
где Cjk, j = 1,2, ..., N, k = 1, 2,— некоторые комплексные числа.
В силу однозначности функций Yk (х, t\ A,), k = 1, 2, из (15.3)
получаем следующую проблему Якоби обращения абелевых интегралов
первого рода на Г:
N N+\
£ C0S (\lJk) = j] C0S (|A/0) — 6fe20)s (oo+) —
/=1 /=1
2
- 6felcos(oo+) + ±- t§ [d®(k\ W + d©(b; £„)], (15.4)
где cos = j dcos (A,), s = 1,2, ..., TV; \i0 —некоторая фиксированная
До
точка на поверхности Г, k = 1,2. Равенство (15.4) понимается по
модулю решетки периодов (fl, b) поверхности Г, где Ъ = \\ bjk ||, /,
* = 1,2, ..., N. \>
Перейдем к построению функций Yk (х, t\ к)у k= 1, 2, учитывая
согласно условиям 1 и 2 (локальную) единственность разрешимости
проблемы Якоби (15.4). В окрестности U a [R2 определяем дивизор
П \ijk(x, t) нулей функций Yk(x, t\ к). Тогда ехр
X ехр
{dQ(/)(^; х, t)
X
До
{ dQU) (A,; xy t)
LooU)
, где dQU) (A,; xj) = d In Yf (*, t\ A,), j = 1,2, —
абелевы дифференциалы на Г, заданные равенствами (15.3),
обладают требуемыми свойствами.
Для записи функций Yk (x, t\ A,), k = 1, 2, в явном виде
рассмотрим ^-функцию Римана
#(u) = ^j ехР {2ш (u, m) + ш(т, 6т)},
(15.5)
m€Zy>
где и£(С . Тогда для эффективных дивизоров степени /V вида бх =
Л/ /V
= П qi и б2 == П rf справедливо очевидное равенство
где v = (Yi. V2» - • > Ytf),
l * r
V/ = — *// — «>/ ''/) — £ <P «>/ (A.) dcofe (b),
w(6x) = S ©(?/). w(62) = S ©(О). /=1.2, ... , ЛЛ
/=i /=i
13 6-1669
193

В силу условий на исходный дивизор полюсов S существуют
единственные функции f/ft(EQ(r), k= 1,2, такие, что yx£i£ (6/оо<2>), у2£
£с£ (б/ооО)) и yk(ooW) = 1, fe = 1, 2. Пусть дивизоры 6Л, Л = 1,2,
таковы, что (уг) = бх оо(2)6-1, (у2) = б2 оо(1)6~1, причем 6fe, fe = 1,2,
эффективные на Г. Тогда для функций Yk(xy t\ X), А,£Г, k = 1,2,
учитывая (15.3) и (15.6), находим
Yk (*, *; А.) = ехр ( S [© (А.; /Л) —аЛ] + £ [о (A,; &) - w) X
(^ 0 («W-d-w (6fc) - y) 0 (0) (oo(ft)) - w (6fe) - у) 15 ?
^ О (w (X) — w (6k) — v) Ф (ю (oo(fe)) — d — w (6k) — v) '
где d = (dlf d2, ..., d#)f
s 2л
V (p [dco (A.; fk) + d(o(k; gk)\, s=l,2, ..., tf,
ak= lim £ [dco(A,; fk) — fkdr]y bk = lim ^[dco(^; gd — gkdx],
fc-oo<*> |Llo X->oo(fe) ц0
ft= 1,2.
15.2. Вывод линейных дифференциальных уравнений, образующих
представление типа Лакса. Перейдем к выводу дифференциальных
уравнений вида (15.1), которым удовлетворяет вектор-столбец (Yu
Y2Y = Y (x, t\ I).
Рассмотрим разложение функций Yh (xt t\ X), k = 1, 2, в
окрестности особых точек оо</> £ Г, / = 1,2:
Yk(x,t; X)~exp[f,(x; %) + g,(t\ К)) £ «i? (*, 9 ^Л (15.8)
где a{kj = б/л, /г, / = 1, 2. Тогда для производных -^-^/(*> *; ^)» / =
= 1,2, получаем
-^L = exp(M*; *) + **№ *)l{(2-|rXi)(jS «^_П) +
exp[/ft(^; М + Ы'; *■)] x
x| 2 S(4/«)«^",+
I s=—m l=—s x
oo Г т
+ 2 2(4-/-)«Г +4-«»
+ 2 4-«^-
/=l I s=0
A,-'
(15.9)
194

Пусть функции т(Д(х, /), },k= 1,2, / = О, 1, ..., т, таковы, что
т 2
разложения -r-Y: — £ S ^1т%(х, t)Yk в окрестности точек оо<*>£
£Г, fe= 1, 2, имеют вид
exp [fk (*; к) + gk (/; Ц] [ £ h% (х, О ЛГ'].
Последнее условие на функции Yf (х, t\ X), /=1,2, ведет к тому,
что для неизвестных rri\\ (х, t), /, k = 1, 2, / = 0, 1, ..., m, справед-
лива система линейных уравнений
%
2 2 m^txSr0 = 2 №) а^1. (15.10)
s=/ n=l s=/ V
где / = 0, 1, ..., т, /, fe = 1, 2, или в матричном виде
т т
2 Aas-/ = 2ocs-/ ~5Г' (i5.il)
где Ms = \\m%\\; as = ||a$||; /s = || 6/fe//s [[; /, s = 0, 1 т. Матрицы
Msy s = 0, 1, ..., m, из системы (15.11) определяются однозначно
рекуррентным способом в силу равенства а$? = 6#, /, k = 1, 2.
Рассматривая функции
-^L- S S^XX^^2/^^ *). У = U2, (15.12)
дх k=
( П (An/)f
заключаем, что Z, £ (£ ( 11 (ал/ , причем Z, (оо</>) = 0. В силу
\п=\ I
единственности получаем, что Z, = 0, /=1,2. Аналогичные вычис-
я
ления справедливы и для производных -^- Ку- (л:, t; X)y /=1,2.
Таким образом, из формул (15.12) вытекает, что матричнозначные
функции Aj (ху t)y j = 0, 1,..., m, в (15.1) имеют следующие
представления:
Aj(Xt t) = M((x, t), (15.13)
которые, очевидно, ведут к явным формулам для коэффициентов матриц
«^/ (ху 0» / = 0, 1, 2, ..., т, в терминах римановых ^-функций (15.5).
Тем самым приходим и к явным формулам для решений исходной
динамической системы, допускающей представление типа Лакса (15.1).
15.3. Свойства симметрии римановой поверхности, задающей
решения динамических систем, ассоциированных с уравнениями (15.1).
Риманова поверхность Г, задающая решения динамической системы
по изложенному выше общему алгоритму, имеет очень часто богатую
группу симметрии, включая инволюции без неподвижных точек, а
также антиголоморфные инволюции.
Пусть Г —. компактная риманова поверхность рода N с
инволюцией Т : Г -> Г без неподвижных точек. Если Г = Г/Г, то по формуле
13* 195

Римана—Гурвица N = 2N — 1, где TV — алгебраический род
поверхности Г. Справедлива следующая лемма [293, 607].
Лемма 15.1. На поверхности Г существует канонический базис
циклов ajy bj £ Н1 (Г, Z)> У = 1» 2, ..., N, удовлетворяющий условиям
Таг = а1У ТЬ} = bv Taj = aJ+N-u Tb} = bj+N-u (15.14)
гае / = 2, 3, ..., лГ.
Пусть dco, (A,), /= 1, 2, ..., jV, А,£Г,— нормированный базис
абелевых дифференциалов на Г первого рода:
<$d(oi(X)=6kh (J) dco,- (A,) = bjk9 /,ft=l,2 iV. (15.15)
Утверждение 15.1. Имеют место формулы
T^d©! = do)lf T*d(x)f- = dcoy-fw-b У = 2, 3, ..., Af, (15.16)
где
7*dco* (A,) - dco* (7A,), /5=1,2, ... , /7.
Согласно утверждению 15.1 для матрицы | 6Srt ||, s, л = 1,2, ..., N,
получаем
bj-\-N—\tk = bjtk+N—U &/4-Л/—Ufe+Л/—1 = bjtk,
(15.17)
b1>/+yv-i = bi,/, /, * = 1, 2, ... , N.
В аналитическом виде инволюция 7 : Г -> Г, действующая на
многообразии Якоби ? (Г), записывается следующим образом:
Т (Uv U2y . . , Ujv, МЛ'+Ь • • • » u2N—\) =
= (Ир ##+1» • • • , U-2N—U U2> . . . , И#), (15.18)
где и/ £ (С1, У = 1, 2, ..., ЛЛ Определяя ^-функцию Римана
поверхности Г аналогично формуле (15.5), из (15.18) получаем
0(u) = ^(Tu), ибС". (15.19)
Рассмотрим случай, когда Г — риманова поверхность алгебраиче-
2ЛЧ-2
ской кривой w2 + П (А,2 — £5) = О, К w££\ Е9фЕь \фк< ),k =
= 1,2, ... , 2jV + 2, N = 2N — 1 — род поверхности Г. Эта кривая
допускает инволюции Т : Г -> Г вида Т (А,, ш) = (— К — w). Пусть
также канонический базис гомологии Нг (Г; 2) удовлетворяет условиям
(15.14). Обозначим через daf* (К), у, Л =1,2, нормированные абелевы
196

дифференциалы второго рода на Г с единственными полюсами в
точках оо</> (= Г соответственно, причем при i = А,-1 -> 0 rfco/1) (А,) ~ 2т_3йт,
dcof * (А,) ~ 4т_5йт, / = 1,2. Рассматривая частный случай введенных ранее
абелевых дифференциалов dco(A; fk) и dco(A,; g^), fe= 1,2, где
/\ = /A,2*, f2 = — il?xy gx = /A,4/, g2 = — a4/, (15.20)
для всех jc, / £ [R1, A, 6 Г получаем
do (A,; /x) - — ixdu^ (A,), do (A,; /2) = ixd<$ (A,),
do (A,; g±) = — itd3? (A,), do (A,; g2) = tfdc^P (Л).
В силу инволюции 7 : Г -> Г легко получить, что
dw(b; /х) = ТЧй{Х\ /2), dw(b; ^) = T*dw(b; g2)9 (15.22)
поскольку при инволюции Т : оо<!> ->- оо<2>, 7 : оо<2> -> оо 0).
Пусть ау* =-^§ da? (А,), р/л = -^- (J> <tof> (А,), / = 1, 2, ft =
- 1, 2, ..., N, а,- - (а/ь а/2> ..., а,,й)€(1Л Р/= (Р/ь Р/2, .... Р/Ж
£(0^. Для вектора dQC^ в (15.7) согласно равенствам (15.21)
справедлива формула
d=ix(a1 — *2) + it($1 — $2), (15.23)
где Taf = ос/, Тр, = р,, /=1,2. Аналогичное соотношение имеет
место и для вектора 7ш0 £ (С^*-
^. = Тгц.. (15.24)
Переходя к проекции Г -> Г с помощью отображения Г Э (^, w) ->
-> (2, |) = (A,2, Kw) £ Г и учитывая (15.7), заключаем, что функция
У\ (л:, /; А,) является инвариантной и однозначной при инволюции
7, а функция F2 (л:, /; А,) — антиинвариантной и двузначной при
условии, что дивизор б удовлетворяет условию б = 76.
15.4. Свойства симметричных римановых поверхностей. С целью
нахождения условий «вещественности» для коэффициентов матриц
*df (x, t), j = 0, 1, ..., /л, в формуле (15.1), представимых формулами
(15.13), изучим свойства симметричных римановых поверхностей
(Г, а), где а : Г -> Г— антиголоморфная инволюция на Г. Пусть
Г0 с= Г — неподвижные точки антиинволюции а. Имеет место
следующий результат [293].
Утверждение 15.2. Или множество Г \ Г0 связной Г/а
является неориентируемым множеством, или это множество состоит из двух
компонент связности и Г/а ориентируемо.
Пусть е характеризуется знаком «+», если Г/а ориентируемо,
и знаком «—», если Т/а неориентировано. Обозначим через г число
связных компонент в Г0. Тогда каждой римановой поверхности Г
сопоставляется тройка (/V, г, е), где N — род поверхности Г, которая
197

называется типом симметричной поверхности (Г, а). Число г
характеризует следующее утверждение [607].
Утверждение 15.3. Если задана симметричная риманова
поверхность (Г, а), то
1) для типа (ДО, г, +) число g — г + 1 £ 2+ и число г (= (1, 2,...
..., ДО + 1};
2) для типа (ДО, г,—) число г £ {1, 2, ..., ДО}.
Действие антиинволюции а на группу гомологии Яг (Г; 2)
дается утверждением [607].
Утверждение 15.4. Существует канонический базис
циклов ah bf 6 #i (Г, Z)> / = 1> 2, ..., ДО, со следующими условиями:
1) для типа (ДО, г, +)
аа} = — ah abk = — bkt obr+2s = br+i% + <zr+2s+b cr6r+2/-i =
= &г+2/-1 + «Г+2/-2, (15.25)
где /=1, 2,..., ДО, ft= 1, 2...,r-l,s = 0, 1, ..., ^"~2г+1-1, / =
= 1,2, ..., ~"o , причем bk, k = 1, 2, ..., r— 1,— связные
компоненты Г0;
2) для типа (ДО, г, —), г > 0,
оа/ = — ah abk = &ь cr&r+s-i = 6r+s-i + Яг+s-i, (15.26)
где /=1,2,..., ДО, fe=l,2, ..., r— 1, s = 1, 2, ..., ДО — r+ 1;
bk, k = 1, 2, ..., r — 1,— связные компоненты Г0;
3) для типа (ДО, 0,—)
n
oaf = ah abk = —bk+ £ as, (15.27)
s=l
s=£k
где fe, / = 1, 2, ..., ДО, причем a,, / = 1, 2, ..., ДО, не имеют
действительных точек, т. е. точек вида ак = X, Я £ Г.
Если rfcoy (Я), /==1,2,..., ДО,— нормированный базис абелевых
дифференциалов первого рода на Г , то справедливо утверждение [607].
Утверждение 15.5. Для типов (ДО, г, +), г > 0, и (ДО , 0,—)
соответственно
(a*d(D/)* = — dco/f (а*сЦ)* = dah (15.28)
где e*d(i>j(X) = d(x)f(eX), /= 1, 2, ..., ДО, Х£Т.
Для матрицы 6-периодов || bfk ||, /, fe = 1, 2, ..., ДО, имеет место
утверждение [607].
Утверждение 15.6. Для типа (ДО, г, +)
2 Re Ь!к =
1, (ft, /), (/. Л) = (г—2 + 2/, г —1 +2/), /=1,2 Л/^2Г+1>
[О, (k,j), Ц,к)Ф(г-2 + 21, г-1 + 2/), / = lf2, ...f *~^+1;
198

для типа (N, г, —), г > О,
(1, (/, k) = (U /), / = г, г+ 1, ..., W,
2Re&,* = L . ' , ;; , ^1 л/. (15-29)
для типа (Af, 0, —)
1, (/, к)Ф{1, /), / = 1, 2, ..., AT,
П. (/, *)¥=(/, /), / = 1, 2,
jV.
Согласно утверждению 15.6 для ^-функции Римана,
ассоциированной с поверхностью Г, при каждом u £ (£N справедливо равенство
**(u) = *(u*)f (15.30)
причем риманова поверхность Г имеет тип (N, г, +) или (N, 0, —).
Для симметричной римановой поверхности (Г, а) типа (N, 0, —)
справедлива теорема [293].
Теорема 15.2. На симметричной римановой поверхности (Г, а)
типа (N, 0, —) существует мероморфная функция /£ Q (Г) со свойством
ff = -L (15.31)
adef°(X) = Г (ok), А, 6 Г.
При доказательстве теоремы воспользуемся утверждением
[607, 293].
Утверждение 15.7. Для симметричной римановой
поверхности (Г, а) типа (N, 0, —) существует канонический базис ajy bj £
€ Нх (Г; 2)» /=1,2,..., Af, со следующими свойствами:
1) при четном N
oaf = ajy оЬы = b2k — a2k-\t cr62/?—i = b2k-\ — a2k,
/=1, 2, ..., N, * = 1, 2, ..., -£-;
2) при нечетном N
ocij = ah ab1 = 61э a&2* = b2k — a2k+\,
a62/e+i = &2*+i — «to, / = 1, 2, ..., TV, k = 1, 2, ..., ^=1. (15.32)
Доказательство. Свойства (15.32) следуют из того факта,
что матричные представления действия о : Нх (Г; 2) -* #i (Г; Z)
в утверждениях 15.4 и 15.7 эквивалентны с точностью до подобия с
элементами из симплектической группы Sp (2N; 2)- t>
Пусть do/ (Я), / = 1,2, ..., jV, — базис абелевых дифференциалов
на поверхности Г, нормированный по отношению к базису циклов
для #! (Г; 2) из утверждения 15.7. Тогда при каждом / = 1,2, ..., N
o*da>f(k) = d(o,(X), (15.33)
т. е. все d(x)f (А,), / = 1,2, ..., N, являются действительными
дифференциалами. Положив bjk = ф d(x)k (А,), /, k = 1, 2, ..., N, находим
199

при четном N
[1, (/,*), (*, /) = (2/—1, 2/), /=1, 2, ..., -£,
2 Re 6/*= д/
[О, (/, k), (k, /)#(2J-lf 2Z)f /=1, 2, ..., ^-;
при нечетном N
Л'— 1
1, (/, Л), (Л, /) = (2/, 2/+1), /=1,2,
2
2Re^ =
О, (/, k), (k9 1)Ф(21, 2/ + 1), /=1,2,..., Л_1
причем столбцы матрицы периодов || б/Л, b]k ||, /, £ = 1, 2, ..., N,
имеют вид
{elf е2, .. ., eN],
gi. g2» • • •» g*. g*+i + — еИ-ь • • •, gyy + — еЛ . (15.34)
Здесь k = 0, если TV четно, и k = 1, если TV нечетно, векторы е,- £
6 IR^, g/€ K=TrR^, /= 1,2,..., N.
Установим следующее утверждение [293].
Утверждение 15.8. Если ff° = а> 0, то тогда существует
функция g 6 Q (Г), удовлетворяющая условию
(Л = (£)-*(£). (15.35)
Доказательство. Если / = const, то тогда g = 1. В про-
тивном случае положим g = f -\- а2. Тогда f (f° + а2) = a2 (f +
j_
+ я2), откуда следует условие (15.35).
Пусть 9 £ Г — произвольная точка. Тогда для дивизора (aq) q~l
имеем
w ((oq) q~l) = А + iB, (15.36)
где
oq q
w, ((a<7) c?-1) = J d<o,- (b) - \ d<o, (X), / = 1,2 N, А, В 6 fR*.
Ho Ho
Учитывая действительность абелевых дифференциалов do, (>.), / =
= 1, 2, ..., JV, из (15.36) получаем
w(^(a^)-1)=A — /В, (15.37)
т. е. вектор 2А £ [R-v является вектором-периодом.
Предположим сначала, что число N четное. Соогласно разложению
(15.34) вектор А конгруэнтен чисто мнимому вектору. Таким образом,
v(q(oq)-l)=ic, (15.38)
200

где с £ [R^. Определим теперь эффективный дивизор б нечетной степе-
ни, большей чем N, решая следующую проблему обращения Якоби;
w(6 • <rdefi'6) = 4"deg6w (Q(aQ)~l) = — 4" (deg б) с. (15.39)
Из (15.39) находим
w (б (абГ1) = w (б - <Tdee6) + w ((^^)deg6 • ИГ*) + deg 6w (q (aq)-1) =
- 4" (deg 6) c - 4" (de^ 6) c + * (de^ б)с = °- (15.40>
По теореме Абеля существует мероморфная функция / £ Q (Г) со
свойством
(0 = 6- (об)'1.
Отсюда немедленно следует, что
//a = const = a. (15.41)
Предположив существование функции g £ Q (Г) со свойством
б (аб)-1 = (g) (a (g))_1, получаем
б = б'• (аб') (g), (15.42)
где б' — некоторый дивизор. Вычислив степень deg б дивизора (15.42),
прийдем к противоречию, т. е. функции g £ Q (Г) со свойством (15.42)
не существует. Отсюда немедленно следует, что число а отрицательно.
Пусть теперь число N нечетное. Определим дивизор б четной
степени, deg б > N, как решение следующей проблемы обращения
Якоби:
w(6 • <rde*e) = 4 gi-4" (deg б) В, (15.43)
где вектор gt £ V—1 [Rv принадлежит множеству (15.34). Так как
deg б — четное число, из (15.43) получаем
w (б (аб)-1) = w (б - <Tdeg6) + w ((a<7)deg6 (аб)"1) +
+ (deg б) w (q (aq)~l) = ± g] + ±. (deg б) В -
— Г i-gx + 4"(deg6) BJ + (deg 6) А + /(degб) В = 0. (15.44)
Согласно теореме Абеля формула (15.44) определяет функцию / £
£ Q (Г) со свойством
б(аб)"1-(/), (15.45)
т.е. ffG = а = const. Предположив существование мероморфной
функции g £ Q (Г) со свойством б • (аб)-1 = (g) • (a (g))_1, получим
следующее равенство:
6 = 6' -(аб')- (g), (15.46)
201

где 6' — некоторый дивизор. По теореме Абеля имеем
^•gi + ^(deg6)B = w(6-<rdeee) = w(6'.<7 2 ) +
+ w ((06') . (ад) 2 " ) + -f (deg б) w ((с?) <Г') -
2-deg 6^ ^ j
= 2Rew(6'.? 2 eg ) +^-(deg0)A—-^-(deg6)B. (15.47)
Равенство (15.47) утверждает, что вектор gx £ V"—1 [R^ конгруэнтен
чисто действительному вектору, что приводит к противоречию. Таким
образом, функции g £ Q (Г) со свойством (15.46) не существует, что
эквивалентно неравенству а < 0. В частности, для дивизора б можно
положить deg б = N- + 1, а = —1, что и доказывает теорему. £>
Пусть риманова поверхность Г является гиперэллиптической кри-
ЛЧ-1
вой, заданной уравнением вида £2 + П (z — Ef) (г — Ej) = 0, г, I (=
^(С1, Е,фЕ*к, Е{фЕк, }фк,1~ЕвфЪ, /, й, s=l,2,..., N.
Поверхность Г допускает антиголоморфную инволюцию а : (г; £) -*•
-*■ (г*; £*), (г, Е) £ Г. Тип поверхности (N, 0,—). Канонический базис
циклов af, bj £ #i (Г; 2?), / = 1,2, ..., N, выбираем со свойствами
(15.25) — (15.27). Тогда^для введенных раньше абелевых
дифференциалов второго рода d(D{k)j (к), /, k = 1,2, справедливы равенства
d^k){z) = (a*d^(2))*. (15.48)
Отсюда следуют формулы для векторов ait Р/ £ £N9 /=1,2, в (15.23)
«, = <, Р, = р;, (15.49)
так как т (ooW) = оо<2>. Аналогично находим, что
y;=y«tv (j5-5°)
где 20 = [го G Г — произвольная фиксированная точка на
поверхности Г.
Пусть б — дивизор полюсов функции / £ Q (Г) со свойствами из
теоремы 15.2, причем deg б = N + 1, dim ££ (б/оо(/> ) = 1, /=1,2.
Тогда для функций Yk (х, t\ г), z £ Г, /г = 1,2, удовлетворяющих
уравнениям (15.1), согласно (15.7) получаем
Y1 (x, t\ х) = ехр {/л: [ю}1' (z) — (а*©!0 (г))* — а + а*] +
"J2)/^\ /rr*^(2)/-»\\* U I МП) / (?) — / (°°(2))
f(oo<»)-f(ooto)
+ it [coi2) (г) - (а*42) (г))* - 5 + Ь*]} £ ок ~ к X
О (0) (г) - ix (at - «,*) - ft (pt - р,*) - w (б,) - уго)
X ' " rz" (15 5П
{►(«(ooWj-wfaj-a^-ftfk-p^-wtej-Tj '
202

Y2 (.v, t\ z) = exp ix
*0
J (Л?,11 (г) - (<J*du[l) (2))*) - aa + a;
L oz,,
+
it
J (duf > (г) - (e*dw? (г))*) -ba + b'a
[_OZo
f(z)-f^)
/(oo«)-/(oo<»)
ft (a>a (г) - ix (a, - a,) - tt (fo - |^) - w„ (a6t) - уаг<>)
X * (ee (rc(2>) - ix (a, - a*) - it ф1 - Pl) - w0 (aej - YaZj)
г 6
где ©0 (г) = j dfi) (г), wa (6) = S j d<o (г),
X
ого
ог0
a = a(z0)= lim f [dco^ (z) — zdz], & = &(z0) = lim f [dcof (z) — z2dz],
г-ood)
г-* ooU)2()
a0 = a (0zo), b0 = b (tfz0). Функция / £ Q (Г) удовлетворяет
условиям (15.31), (15.45). С помощью функций У^ (а:, /; z), z £ Г, & =
= 1, 2, в силу принятых ранее предположений можно получить явные
решения динамических систем типа Шредингера, L-оператор Лакса
для которых имеет вид
L [ф, ф*; Л] =
ад:
И
2
(^2 + 1 Ч? I2)
. (15.52)
Гиперэллиптическая поверхность Г, задающая конечнозонные
решения этих динамических систем, соответствует алгебраической кри-
2/V+2
вой w* - П (Ь2 - £/) (Ь2 - Я/2) = О, Л, w £ (С1, £■ ^ £/,
Е] Ф Ek > j ф k, jt k = 1, 2, ..., ЛЛ Эта поверхность допускает
инволюцию Т : Г Э (^, до) -> (—А,, —до) £ Г без неподвижных точек, а
также антиголоморфную инволюцию a : Г Э (z, I) ->- (z*, £*) (= Г,
где z = X1, 1 = ±w £ (С1, Г = Г/7. В силу коммутативности
инволюций а и Г формулы (15.7) и (15.51) являются справедливыми в общем
случае рассмотренной поверхности Г, задающей решения
динамических систем типа Шредингера с L-оператором Лакса (15.52).

ГЛАВА 4
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ БОГОЛЮБОВА-УИЗЕМА
§ 1. УРАВНЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА — де ФРИЗА
1.1. Предварительные замечания. Построение квазипериодических
решений нелинейных эволюционных уравнений с помощью методов
симплектического анализа и алгебраической геометрии приводит к
глубокому пониманию сущности как математических структур, лежащих
в основе этих методов (рекурсионных операторов, предсталения типа
Лакса, абелевых многообразий и др.), так и физических явлений,
приводящих к этим уравнениям, в частности эргодичности потоков, сто-
хастизации и др. Основным математическим аппаратом при получении
этих результатов является анализ на компактных римановых
поверхностях, позволяющий построить в явном виде конечнозонные
(квазипериодические по х, t) решения вполне интегрируемых нелинейных
динамических систем. При этом квазипериодическая волна полностью
определяется параметрами Е = (Е19 £2, ..., E2N+2) некоторой
(гиперэллиптической) римановой поверхности Г. Следует отметить, что
в практических приложениях этих результатов редко возникают
ситуации, требующие их абсолютно точных выражений. Другими
словами, очень часто изучаемые нелинейные волны локально (в
пространстве переменных х, t £ [R1) являются точными
квазипериодическими функциями, которые, распространяясь на большие расстояния,
допускают медленное изменение своих параметров частот со = (o)lf
со2, ..., (o,v), амплитуды U, волновых чисел k = (kl9k,..., км). Такая
модуляция нелинейных волн, естественно, происходит также при
достижении асимптотических состояний точными решениями, которые
возникают из разного типа начальных данных для исходной задачи.
Чтобы описать эту ситуацию, вводят два масштаба — локальный х, t £
£ [R1 и медленный \ = гх, т] = е/ £ [R1, где г — достаточно малый
по абсолютной величине действительный параметр. При этом
предполагается, что все числовые физические параметры U, со, к
нелинейной квазипериодической волны и (х, t) как функции величин Е =
= Е (£, ц) зависят от медленных переменных £, т] и не зависят от
локальных, т. е. быстрых переменных х, t. Так как квазипериодическая
волна вполне интегрируемой динамической системы полностью
определяется параметрами исходной компактной римановой поверхности
204

Г, то задача описания модуляции нелинейной волны приводит к
изучению деформаций римановых поверхностей, параметры которых
зависят от медленных переменных £, т]. В частности, важной является
математическая задача деформаций гиперэллиптических римановых
поверхностей конечного рода. Эту задачу можно сформулировать
также следующим образом: каким условиям должны удовлетворять
величины Ej (£, г|), /=1,2, ..., 2N + 2, как функции переменных
§, т], чтобы функции и (х, t, Е (£, г])) по-прежнему задавали
(«локально» или в некотором приближении) «точные» волновые решения
изучаемой вполне интегрируемой нелинейной динамической системы.
К изучению проблемы деформаций римановых поверхностей
относительно медленных переменных £, т] имеется несколько подходов:
метод Вентцеля — Крамерса— Бриллюэна [63, 502], метод усреднения,
основанный на лагранжевом и гамильтоновом формализмах [196],
метод усредненных законов сохранения [610, 611] и др. Эти подходы
следуют из общего метода усреднения Крылова — Боголюбова [12, 13,
135, 136]. Вариант метода усреднения, существенно использующий
иерархию законов сохранения изучаемой динамической системы, был
предложен Уиземом [196] и изучался в работах [72, 166, 331, 350].
В дальнейшем предлагается некоторое развитие этого подхода,
именуемого здесь методом усреднения Боголюбова — Уизема, что приводит
к прозрачной алгебро-геометрической интерпретации уравнений для
эргодических возмущений интегрируемых динамических систем, т. е.
таких, при которых инвариантный квазипериодический тор
интегрального многообразия деформируется непрерывно в инвариантный и
квазипериодический тор интегрального многообразия возмущенной
динамической системы.
1.2. Уравнения эргодических деформаций в общем случае. Пусть
вполне интегрируемая динамическая система, подвергаясь слабым
эргодическим возмущениям, имеет вид
Щ = К[и], (1.1)
где К М, и £ My— гладкий по Фреше некоторый локальный
функционал на квазипериодическом многообразии М. В силу результатов
гл. 1 функция и £ М при квазипериодических данных Коши для
уравнения (1.1) также будет квазипериодической функцией переменной
/ £ [R1. Невозмущенная динамическая система (1.1) обладает
бесконечной иерархией локальных функционалов на М af [и], т; [и], j £ %,
удовлетворяющих для всех j £ Z дифференциальным соотношениям
причем функционалы
х
Tj = «т7> = lim JL j а, [и] dx (1.3)
*-юо _х
в силу (1.2), очевидно, являются законами сохранения [408—413]
для динамической системы (1.1).
205

Согласно методу усреднения Боголюбова — Уизема при медленной
зависимости решения иЕ£ М возмущенной динамической системы
(1.1) как от быстрых переменных х, t, так и от медленных Е, /,
выражения Т] £ jZ) (М), j £ 2+, уже не будут законами сохранения для
уравнений (1.1). В первом порядке точности относительно малого
параметра г величины Tf удовлетворяют для всех / £ Z+
дифференциальным уравнениям вида
где
X
Fj = <т,-> = lim-gj- I Tf[u]dx.
X—*-oo v
Уравнения (1.4) являются основными при выводе уравнений эрго-
дических деформаций для интегрального многообразия исходной
динамической системы. Для их получения рассмотрим следующие
равенства:
w 07 [ие] — -j£- т/ [ие] = ф7 [иг], (1.5)
где фу [ие], j € Z+,— некоторые локальные функционалы на
многообразии М, построенные с помощью решения иЕ £ М возмущенной
динамической системы (1.1). Очевидно, фу [иЕ] = 0 при е = 0, / £ Z+.
Условие эргодичности деформаций динамической системы (1.1)
записывается в виде
х
«Р/ [Ме]> = lim -JL { фу [Ие] dx = О, /С Z+. (1 -6)
х-+°° —х
Уравнения (1.4) следуют из (1.5) и (1.6).
В силу квазипериодичности решения иг (х9 t9 |, т]) £ М по
переменным х, t существуют линейные действительные функции 0/ (x,t) =*
= kjX + vft + в/о, fe/, v/t в/о £ [R1, / = 1, 2, ..., N, такие, что
функция иЕ = tie (©l, в2, ..., @N) £ M, где Af £ ^+ — число ква-
зиопериодов, периодична по каждой из переменных в/ £ [R1,
/ = 1,2, ..., N, с периодом 2л. Предполагая рациональную
независимость частот kj £ [R1, / = 1, 2, ..., /if, из уравнений (1.4) заключаем,
что средние значения Th Ff £ jZ) (M), / £ ^+, можно вычислить по
формулам
Т, = (4гТ И • • • $ °7 ["«1 d0id02 • • • d@N> 0 -7)
v ' о о о
2я 2я 2я
. 2я 2я 2я
0 0
следующим из эргодической теоремы Виркгофа — Хинчина.
206

Таким образом, при наличии явных формул для решения ие £ М
в терминах переменных 0у- £ [R1, /=1,2,..., Af, задача получения
и анализа уравнений эргодических деформаций для динамической
системы (1.1) становится в силу формул (1.7) эффективно разрешимой.
Дальнейшее уточнение вида уравнений (1.4) связано с
дополнительными свойствами системы законов сохранения для невозмущенной
динамической системы (1.1).
1.3. Производящая функция законов сохранения и уравнения
эргодических деформаций. Рассмотрим динамическую систему Кор-
тевега — де Фриза на бесконечномерном периодическом многообразии
м = сГ (IR1; Ю
Щ = иххх — 6ш*, и£М, х, /glR1. (1.8)
С помощью методов гл. 3 находим следующее эволюционное
уравнение для элемента S12 (х9 |х), |х £ (С1, матрицы монодромии S (х, jx):
dS12(x, \i) _ \i [о (У i\ dSl2(x, ц) dSl2 (х, Я) с ]
—Ш -2(il-\J[S"(X> К) дх Тх &1а(*. WJ 0-9)
в силу «производящей» динамической системы
щ = {А (Я), и}#. (1.10)
Из соотношения (1.9) с помощью несложных преобразований
получаем дифференциальное равенство вида
д Г 1 1 м- д \Sl2 (*, Я,) ] п 1П
Л L 5i2(^. И«) J 2 (р. — А.) ад: [S12(*f И-) J " '
Формула (1.11) очевидным образом определяет производящую
функцию для законов сохранения динамической системы (1.8) в виде
потока (1.2).
Таким образом, согласно уравнениям (1.4) необходимо вычислить
средние значения для локальных функционалов S^1 (х, |х) и S12 (xt X)l
Si2 (x, l1) на /И, удовлетворяющих равенству
д / 1 \ = м_ d_ /Sl2 (x, X) \
dr] \Sl2 (x, v) / 2 Oi - Я) ag \512 (л:, ц) / '
Так как S12 (*, ц) записывается в виде
Sia(*. ii) = iU(li-lii(xf /))|/ ^^y1 , (1.13)
где [г,-(л:, /) 6 Г, / = 1, 2, ..., N, —точки дивизора нулей блоховской
собственной функции для оператора Штурма — Лиувилля (см. (1.91)
гл. 3), то из (1.12) получаем
д / P(\l) \
Yl([i-lif(xyt)y
N
= гоГ^Г ~к <Д ^ £1 v p «*>(Д2 ^ - D/P (*)> • (1.14)
207
(1.12)

Для вычисления средних в формуле (1.14) рассмотрим следующие
тождества для произвольного локального функционала F на М:
<F[«]> = lim J- j F[u(x, t)]dx =
X-oo _x
2Я2Я 2rt
= (4r) $ $ • • • I f [ы(в)] de^Q2 • • • d0" =
0 0 0
rfl rf2
Здесь d/ £ Г, / = 1, 2, ..., jV,— гладкие непересекающиеся циклы
на поверхности Г, которые при изменении переменной х £ [р1 на
отрезке длины периода функции и (ху t) no x обходят соответственно
точки |Х/ £ Г, / = 1, 2, ..., N. Якобиан перехода -т—
по явным формулам гл. 3 и имеет вид
(2*)" П Ох.-II*)
/>fe
вычисляется
ае
Ф
П /Pfti^det/C
/=1
(i.i6)
где матрица К представима в виде
к==
Щ VP(a)
, /, k=\, 2,
N.
Таким образом находим
<ут п (i* -1*/ (х, or1)=^р- к^
/pi l — iif (x, t) \ _ det/C(n, M
0*).
(1.17)
где матрицы К (ц), К (|л, Я) имеют вид
'dec
/ (a-HI
КР(а)
(I — а) а*-1 da
(ц-о)КЯ(а)
, /, Л=1, 2, ..
, У, ft = 1,2,
... TV.
(1.18)
Уравнения эргодических деформаций для динамической системы
^1.10) окончательно записываются следующим образом:
д Г det AT (|х) л/-р1-:]_ д Г у VР(у) (А« (X) - 1) det AT Qi.X) ] ,]]Q.
ал [ det/c K^wJ~<?e[ 2((x-;i)K/WdetK J' u y'
208

Для получения уравнений эргодических деформаций для динамической
системы Кортевега — де Фриза (1,8) из формулы (1.18) следует
принять во внимание, что
gradtf = — reg lim r v ,
где H £ j5 (M) — гамильтониан для уравнения (1,8), Тогда из общего
уравнения (1.19) получаем
д Г det/C(M) т/тгт-Л 1- —иХ3
х JL\ Y-p-m- detK№>х>
Ж" йП^-J- °-20)
Для представления формулы (1.20) в более эффективном виде
рассмотрим тождество
i<S N VP(li) ^>= <о(х, ц)>. 0.21)
где а (х, |х), jx £ Г,— производящая функция локальных плотностей
0/ М, j £ Z+, законов сохранения Г, £ JZ5 (УИ), / £ ^+, Так как
локальный функционал а (х, |х) в силу равенства а (х, \i) = -у у (х,
*<ь Iх) представим в виде
a(*,^ = MH + ^ln^^ (1.22)
где a = — reg lim со (A,), \i £ Г, то из представления (1.11) находим
Я-юо£Г
<a(jf, \х)> = <о((х) + а. (1,23)
Таким образом, согласно формулам (1.17), (1.20) и (1.23)
окончательно получаем
где |x £ Г, Если определить абелев дифференциал dco3 (ku) по формуле
d©,0i) = -/-reg Hm ■J^(^(rt±f)dety(|i>X)d , g
ЗХГ/ ^ з^во€Г ^-^ VP W det/С (ц) ^ V '
то равенство (1,24) можно записать в компактной форме
J-da(li) = ^da3(li). (1.26)
Вычисляя в явном виде абелевы дифференциалы dco (jx), dco3 (|л),
(.1 С Г, и разлагая обе части соотношения (1.26) в окрестности
бесконечно удаленной точки \i = оо £ Г, можно получить уравнения эрго-
14 6-1669 209

дических деформаций для динамической системы Кортевега — де
Фриза (1.8) в явной форме, В конечном итоге уравнения медленных
деформаций гиперэллиптической римановой поверхности Г
принимают вид
dEj dEj
—^- = sj (£i> Е2У ..., £2лч-2) -^|—, (1.27)
где £/ £ Г, / = 1, 2, ,.., 2N + 2,— точки ветвления поверхности Г;
Sj (Е), / = 1,2, ,.., 2N + 2,— соответствующие значения скоростей
деформации.
Аналогичные формулы для эргодических деформаций имеют место
и в случае динамической системы Каупа (14,40), рассмотренной
детально в гл. 3.
§ 2. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
ЭРГОДИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
2.1. Предварительные замечания. Динамическая система Шредин-
гера
"1>< = -ф«+2|ф|аФ, (2.1)
заданная на периодическом многообразии М = С/00* ((R1; (С1),
ассоциируется с изоспектральной деформацией линейной операции
Дирака
-^- Уг = &Уг + я|Ч/а> -йГУг = УУг — Л#2> (2.2)
где ук 6 С(00) (fR1; (С1), k = 1, 2, X £ (С1,— спектральный параметр.
Как и ранее, будем изучать уравнения эргодических деформаций для
динамической системы (2,1) в конечнозонном случае оператора
Дирака (2,2).
Как показывают вычисления (см., например, [166]), метод § 1 для
получения сохраняющихся потоков на М вида (1.2) не подходит.
Поэтому предлагается в некотором роде универсальный метод,
основанный на эффективном использовании свойств блоховской
собственной функции у (х, х0; К) £ С(оо) ([R1; (С2) оператора (2.2) и
эволюционного уравнения для нее вида
■%-=(- 2Л» — *|Ч> I2) Уг + №, ~ 2#) У»
(2.3)
&*■ = (2&« + i | ф |2) у2 + (- М* - 2ф*Я) ух.
Так как для первой компоненты собственной функции ух = ух (х,
х0'> Ц € С'00» ((R1; (С1) справедливо представление -g^- ^ = yta (х, X),
где а (х, Я) — производящая функция локальных плотностей законов
сохранения для (2.1), то из (2.3), подставляя вместо у2 (х, х0; X)
210

выражение
находим
yt = (o — iX)$ l'yl = o^ Vi. (2.4)
Таким образом, с целью получения уравнений эргодических
деформаций в виде
необходимо вычислить соответствующие средние значения в
уравнении (2.6).
2.2. Вывод уравнений эргодических деформаций. В гл. 3
получены следующие равенства:
Л'
iVPfr)+—-jL-T\(b-iJLf(x,())
_ £=i = а + о- 4--^ in*f
П(Я-|1,(*,0)
. N 2ЛГ+2
-5-аг1п*=§1*/-- 2^л (2>7)
Л I Л2 1 / Я V 1 2N+2
i*p—^^+4-^rin++i(-^in*)+4- S4
где [bi/бГ, /= 1, 2, ..., jV,— точки дивизора нулей функции Блоха
#i(*, х0; I), А,£Г; Г — риманова поверхность функции w = У Р (к),
2Л/+2
А,, а>е(С\ Я(А,) = П (l — Ef). В силу (2.7) находим
/=i
1 / N \ ,• 2Д4"2
<а> = -f <Q_Е|л,(х, 0/ + т S £/-а +
+ / кртц <^ п (х - ^ (х, t))~iy + 4-^-^ in п (х - jiy (x, /)))>.
(2.8)
Для вычисления средних в (2.8) воспользуемся легко
устанавливаемыми равенствами
N N
-и«-к-{/*.-^-П-^а.по1.-«
Ui </д/ /=i ' ^ UV о/
е=0
И* 211

1
det AT
д
де
1
det К де
<j) djxj ... (j) d\iN det
d, dN
(1 + гцЦ \xl
k—\
Vp Oiy)
e=0
det
(1 -f е|л) \ik d\i
VP(\i)
e=0
det/CT
det/( '
(2.9)
П (|Xfc— |Xy)
'~~1 w w., FT i/"i
(=1
I*-1
= detff(*)/det/C,
/ /V \2 Л/
<(( £ и/ (*, оj )> = w \0,(1 + цч) (1 + Vfi'v
I £ £ + 8|i) (1+ vji) H^'dn
(2.10)
e=v=0
det К дгд\
VP(\i)
e=v=0
det /C2 — det /С, + 2detA~3
~~ det /C
где матрицы К,, / = 1, 2, 3, К (Я) имеют вид
*1 =
V[i
Vp in)
*-1+6/;.Л'_|+2б<,. л/
, К2 =
Ф
fe-l+26fe д/ .
\i R'"d\i
d\i
f
l^lH)
. /c =
§
Vpw
i, VPW J'
(2.11)
(A, — |i) * P yi)
, /, fe = 1,2, .... ЛГ.
Таким образом, для (2.8) имеем
. 2/V+2
<u=-'-Sf£- + 4- S £/-а+/КР(Я)
/=i
det/С (А,)
det К
(2.12)
С целью нахождения средней величины в правой части формулы
(2.6) вычислим следующие средние:
Л' N
"/=i
/=i
212

2ЛЧ-2 / N \2 2ЛЦ-2 /V
+4 2 ^-\ 2 м*. о )У + 2 £/\2м*. <v-
/2Л/+2 \ 2 2/V+2
1 (V p I - det ** ~det *» _i_ 1 V f2
~~\ Zj ci - det/C -r 2 ^ Cj~
2/V+2 \ 2 2N+2
1 { V P 1 _L V P det ^ — det К2 — det /^ + 2 det AT3
4" I ^J 4 + ^J ^/ det/C det/C
/ N 2N+? \
<(fo -£- In г|Л> = <Ъ 2 ц, (x, 0 ~ |j £/J ^> =
/ N 2+W2 у
=-2' <д 2 w (*. 0-4- 2 Eij У -
/V 2Л/+2
7=i /=i
JV , 2Л/+2
+ 2i KP (*) \-^4 — У +
П (Я, — tu. (д:, 0)
/ N 2Л/+2 \ Л/
+\( 2 \ч (*> 0-4-2 £rj 4-ln О,(Л ~Ц/ (*'0)/=
_ 0 . det K2 — det Kj + 2 det A-,, .
~ ^ det/C +
2N+2 2/V+2 /2JV+2 \2
2ЛГ+2
/=i
i 9a rfet/Ct , o; det К2 — det /^+ 2 det ff8
^^"deTTT "^ diu?
2/V+2
где матрица /Сх (А,) имеет вид
^Hf ^F^ 1' /.*=»• 2...., AT. (2.14)
213

Таким образом, в силу (2.13) получаем
2ЛЧ-2 /2ЛЧ-2 \ 2
/=1 \ /=1 /
2/ /Р (А,)
det/C
[2ЛГ+2 I
Л det/C (Л)+ -1- 2 E,detK(ty\ +
+ ЛЛ~^ПГ + ^ diFTc * (ZAb)
При выводе формулы (2.15) мы неявным образом воспользовались
известными уравнениями движения для точек \1} (xt t) £ Г, /= 1,
2 N
ф^= »vwprb / = 1>2>...>л, (2.16)
* П 0iy(*f t)-H(x,t)) '
Рассмотрим равенство (2.6), предварительно вычислив от левой и
правой частей дифференциалы по параметру К £ Г+
-^(^■^-^(-^^ж1»*-2^»- <2-,7>
Для вычисления выражения -тт- <a> dX воспользуемся очевидным
равенством
Учитывая выражение (1.74) гл. 3 для блоховской функции у (х, х0\
^)^ Л £ Г+, оператора Дирака (2.2), легко находим, что
<
do
ж dx\ = dw (А,) — id%. (2.19)
Таким образом, равенство (2.17) с учетом соотношения (2.19) можно
записать в виде
-|-dco (X) = ~- Г-^j- /На -^ In i|)\ dk — 2dl <a> — 2Ыо (А,)1. (2.20)
Так как абелев дифференциал dco (A,), А, £ Г, однозначно
определяется точками ветвления римановой поверхности Г, то из (2.20)
заключаем, что уравнения эргодических деформаций для динамической
системы (2.1) имеют алгебро-геометрический характер, как и в случае
ранее рассмотренной динамической системы Кортевега — де Фриза.
Учитывая произвольность параметра А, £ Г, разлагаем по А, обе части
соотношения (2.20) в окрестности особых точек дифференциала
214

dco (A,), X £ Г, и таким способом находим уравнения эргодических
деформаций как уравнения деформаций поверхности в виде (1.27).
Как отмечалось выше, предложенная методика получения
уравнений эргодических деформаций является достаточно общей и
применима практически ко всем вполне интегрируемым динамическим
системам, обладающим представлением Лакса. Далее будет рассмотрен еще
один метод получения уравнений эргодических деформаций на примере
динамической системы sin-Гордона, допускающей более глубокий ал-
гебро-геометрический анализ получаемых уравнений, включая и их
гамильтонову интерпретацию.
§ 3. УРАВНЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ SIN-ГОРДОНА
И ИХ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
3.1. Замечание об интегрируемости динамической системы sin-
Гордона. Согласно [192, 350] динамическая система sin-Гордона
Щг — ихх + sin и = 0, (3.1)
где и £ Му интегрируется с помощью линейных систем типа Лакса
вида
10 —1
1 0
дх.
iw
10 111 ! |ехр(ш) 0
|l Of —7б7Г|| 0 ехр(
0 II гА
(3.2)
где y£Cioo)(\R2; (С2); i = V—Vy иу w£M; X £ £' \ {0} —спектральный
параметр; х+ = ху x_ = /£[R1. Условие совместности системы (3.2)
эквивалентно в силу произвольности параметра ^6(С1\{0}
уравнениям
{-ъг + 4г)и = ^ {i!r—dr)w = s[nu>
(3.3)
т. е. уравнению (3.1).
Пусть Y (ху x0'y X) — фундаментальное решение уравнения (3.2)
в случае знака «+» в системе (3.2), Y (х0у х0\ X) == fl, xt x0 £ [R1,
имеющее представление
У(х,х0; Ь)=\У" У"\. (3.4)
II #21 £/22 11
Обозначив вектор F = (fygy ft,)\ где f = — у (у12у21 + УпУ^), § = УиУт
h = —У21У22* прямыми вычислениями находим уравнения
о iiyizp^sm i\yiг-ехр(-'u)1
дх ,
■F =
у^ ехр(-ш)
16 V I
16 У X
16
iw
»№ 1
VI J
16]/ А,
0
да
F.
(3.5)
215

Легко убедиться, что условие совместности системы (3.5)
эквивалентно уравнению sin-Гордона (3.1). Решение системы (3.5) обладает
важными свойствами:
1) R (к) = /2 — gh — первый интеграл для уравнения (3.1), т. е.
д
дх.
■ R = 0 для всех х, t £ [R1;
2) функция / удовлетворяет линейному дифференциальному
уравнению ftt — fxx + (cos и) f = 0;
3) выполняется дифференциальное равенство
д
dt
[0+^)*+
iff
2^1
д
дх
7 ехр(ш) ^ ifx I /q fi.
(l--mr)e+Tyi\- (3-6>
задающее сохраняющийся поток на М вида (1.2).
3.2. Схема изучения структуры конечнозонных решений системы
(3.1). Свойства 1—3 решения F уравнений (3.5) с помощью «аппрок-
симационного» метода Марченко позволяют изучить структуру
конечнозонных решений уравнения (3.1), а также их эргодические
возмущения. Предположим, что F — полином степени 2N, N (j Z+, по
переменной У к £ (С1. Тогда R (К) — тоже полином степени 2N по
УК £ (С1, имеющий вид
2JV
(3.7)
#(А) = П (*-£/),
/=i
где Е} £ (С1 \ {оо, 0), / = 1,2, ..., 2W. Для функции g (*, t; К) €
6 С400' (fR2; С1) справедливо также представление вида
N
g = П (^ — \if (X, t)),
ведущее в силу системы (3.5) к равенству [102, 103]
(3.8)
/ N \ Г 2N
ехр (— ш) = П jx/ (х, 01/1/ П Et, (3.9)
откуда можно выразить решение и £ М уравнения (3.1) через нули
функции g (x, /; А,).
Переменные \ij (xt t)t j = 1,2, ..., Af, в силу (3.5) удовлетворяют
уравнениям
Фу (*, 0
= — 2i
1=F
л/
П ц* (*, о
JW
w
16 П я/-
/-1
К PQj,-(*,/))
л/
П ((г, (*, 0 — М*> 0)
, (3.10)
где Я (А,) = XR (A,), A, £ (С1. Уравнения (3.10) как уравнения,
заданные на гиперэллиптической римановой поверхности Г функции ш =
= УР (К), X, w £ (С1, интегрируются в явном виде с помощью подста-
216

новки Абеля для точек [ij (xy t) £ Г, / = 1,2,..., N:
vk
Vj(xtt)= — V dco,^), и-io € Tt /=1,2 N.
(3.11)
*=i
»ko
Здесь dtoj (k)y j = 1,2, ..., Ny— базис нормированных абелевых
дифференциалов первого рода на Г,
N
й<*!(Х)=%С>^-куфщ, (3.12)
$<(1щ(к) = 61к, §d^i(k) = biky
где ajy bj £ Hx (Г, %), / = 1, 2, ..., Af,— канонический базис
одномерной группы гомологии многообразия Г с индексами пересечения
а, о ak = bj о bk = О, ajobk = 6jky /, k = 1, 2, ..., ЛЛ
В силу уравнений (3.10) из соотношения (3.11) получаем
dv..
dt
дх
= — 2i
с,i-
^;i т v— i/
16 П Ef
/=i
/= 1, 2, .... N.
(3.13)
Таким образом, для величин v,- £ ^ (Г), /=1,2, ..., N, где $ (Г) —
многообразие Якоби, из уравнений (3.13) находим следующие
значения:
V,- (х, t) = — 2i
C,-i(* + Q + ( Ц Cj_v (x-t)
16 П Ef
/=1
+ V/.0. (3.14)
Равенства (3.11) и (3.14) означают, что точки \if (xy t) £ Г, / =
= 1,2, ..., Ny являются решениями проблемы обращения Якоби для
абелевых дифференциалов первого рода на поверхности Г.
3.3. Случай чисто мнимых решений. Рассмотрим сначала чиста
мнимые решения уравнения (3.1), т. е. случай, когда и = ivy где
функция v £ М удовлетворяет уравнению
vtt — vxx + sh v = 0. (3.15)
С помощью анализа решений уравнений (3.2) можно убедиться
в том, что точки ветвления римановои поверхности Г действительные
и положительные, т. е. Е1 > 0, /= 1, 2, ..., 2ЛЛ Точки \л, 6 Г,
/ = 1, 2, ..., JV, также действительные и лежат в лакунах [^/-и
E2j]y /=1,2,..., Ny соответственно. В силу свойств поверхности Г
числа Cjk, /, k = 1, 2, ...., Ny являются действительными и
отрицательными, а матрица периодов b = \\ bik ||, /, fe = 1, 2, ..., Af,
антисимметрична и чисто мнимая.
217

Записывая стандартную многомерную t^-функцию Римана
ft{u)--=> Ц ехр (2ш (и, т) + ш (btn, m)},
(3.16)
mez;>
где t/ £ £N, и решая проблему обращения (3.14), для решения v
уравнения (3.15) находим явное выражение
v (х, t) = 2 In
*(v+t'
0(v)
vec".
(3.17)
причем константы v/0 £ (С1 \ [R1, / = 1,2, ..., N, чисто мнимые. Так
как для функции (3.16) справедливо тождество
#(v+ S т/й(/)| = ехр {— 2Ы(т, v) — ni (m, 6m)}#(v), (3.18)
где m£ZN; bU) = (b\h b2f, ..., 6,v,/)T, /=1, 2, ..., ЛГ, для функции
v (x, t) получаем эквивалентное представление
Г ь(— ье + —) 1
| \2я 2/ I ^319)
у (X, t) = 2 In
/1 \ *
где вектор 0 = 2nb~xv £ \\\N. В силу формул (3.18) и (3.19) решение
v (ху t) уравнения (3.15) — действительная функция, периодическая
по каждой из переменных 0, £ ("R1, /=1,2,..., Л/", с периодом 2я.
В силу представления (3.19) решение уравнения (3.15) можно
записать в виде
v (х, f) = vN (в19 в2, ... , в*; {£}), (3:20)
где {£} = {Еъ Е2, ...,E2n], а «угловые» функции 0/£ [R1, /= 1,
2, ..., N, удовлетворяют уравнениям
дв;
1 _
b-'Jbi
ае
1 avfe
-^ - 2л J bj Jg- ~ %„ -^ = 2я J] ^ -^- = у/. (3-21)
где, очевидно, Xjy V/ € IRS /=1,2,..., N,— константы.
Предположим теперь, что точки ветвления £,-, / = 1, 2, ..., N,
римановой поверхности Г слабым образом зависят от «медленных»
переменных £ = ex, r\ = et £ [R1, где е > 0 — малый параметр,
т. е.
£/ = Е,- (I, т|) для всех / = 1, 2, ... , 2ЛЛ (3.22)
Так как числа £,, /=1,2,..., 2N, уже не постоянны, то формула
(3.19), очевидно, уже не задает решение уравнения (3.15).
Предположим также, что функции (3.22) выбраны специальным образом так, что
выполнено условие эргодичности для возмущений решения (3.20).
Рассмотрим соотношение (3.6) в виде
-дГ°М =
дх
■т[о].
(3.23)
218

где локальные функционалы a [v] и т lv] на М имеют вид
V ' U (3.24)
г i / 1 ехР (— v) \ , ' с
Подставляя вместо решения v (xy t) в соотношение (3.23)
возмущенное решение Vn 6 М вида (3.20), находим
|//^ + е^г)а[Ы-(|/>а17+8Ж-)т[Ул'1 = ф[ил/]-(3-25)
В силу эргодичности деформаций поверхности Г и ее точек ветвления
из соотношения (3.25) получаем равенство
(Ф Ы> = Нт -^- Г ф [^] dx = 0. (3.26)
ДГ-*оо «■-
—X
Отсюда и из (3.25), используя периодичность функционалов a lv^]
и т ЬлЛ по переменным ву £ [R1, /=1,2, ..., N, находим [610, 6111
-|р^Ы> = -|-(т[Ы). (3.27)
Уравнения (3.27) вместе с формулами (3.24) и (3.8) являются
основными при выводе уравнений эргодических деформаций для
динамической системы (3.15). В силу представления (3.20), предполагаемой
рациональной независимости чисел X, £ [R1, / = 1,2, ..., N, и
теоремы Бирхгофа—Хинчина для средних (a [v^]) и (т [v^])
справедливы формулы вида (1.7), т. е.
(о [vN]) = \^г) J d©i - • • J d@^ Ы,
0 ° (3.28)
(т М> = (-gj-J { dS, ... { dQNx [vN].
^ ' о о
Учитывая явный вид локальных функционалов, заданных
соотношениями (3.24), для величин (3.28) получаем формулы [350]
(.M_<(, + j»^aL),>.
Для вычисления средних значений по формулам (3.29)
воспользуемся следующим эквивалентным представлением среднего значения для
локального функционала Q [v^h
di dN
dS
d[i
Q [vn].
(3.30)
219

Интегрирование в (3.30) ведется по замкнутым непересекающимся
циклам dj (= Г, /=1,2, ..., N, которые при изменении переменной
л: G ГЯ1 описывают точки \if £ Г, / = 1,2, ..., N\ функционал Q lv,\]
выражен через переменные \х}■, £ Г, / = 1, 2, ..., jV, а якобиан перехо-
имеет вид
да
d\i
_1_ \А/
2л
dS
dix
det
^
N—k
где матрица /С задана выражением
VP&,)
1
det/С »
/с =
$
/, k= 1, 2, .... ЛГ.
(3.31)
(3.32)
Учитывая формулы (3.29) и (3.30), получаем
N L
TIE?
(о ы> = <п <* - и/ <* 0)> + тг-<П (-^Ьг ~ ')> =
/=1
л/ _L
П £ 2 det K7 (К)
det/С "^ 16Л. det /С
, г .. det /С, (К)
П E 2 det /СГ (Ь)
(3.33)
где матрица K\ (k) имеет вид
*Г(Ь) =
У V> (1*)
16Л. det /С
/, *= 1, 2,
ЛГ.
(3.34)
Из (3.33) легко заметить, что справедливы разложения
N JL
л/ (-П^П Е? / л/
<с [м) = *л - 2 4+v-! + —^— i-2 ifw
<T[M) = ^_£c<+v-'
2/V L
(- 1)" П Ef
(3.35)
16Х
Г^ i-S4-v
;=1 \ /=•
Здесь векторы с{±) = (с!*', 4*', •••, ci^V определены как решения
линейных систем
Ксш = d(±), (3.36)
где d[±) — N-мерные векторы с компонентами
(3.37)
220

Определим два абелевых дифференциала dQ\±]X второго рода на Г,
обладающие свойствами:
1) дифференциалы d£l\+) (X) и dQ\~] (X) голоморфны для всех точек
X поверхности Г за исключением соответственно точек X = оо и X =
= 0, принадлежащих Г;
2) в окрестности особых точек X = оо, X = 0 абелевы
дифференциалы dQi+) (X)y dQ(i-) (X) имеют соответственно асимптотику:
d&{±)(X) ~-J- + 0(l)f X = z*\ (3.38)
3) § dQ\±] (X) = О, / = 1, 2, ... , N. (3.39)
Учитывая формулы (3.35), для дифференциалов dQ\±] (X) находим
следующие представления:
dQ{
dQi-' (Я) => 4- (— 1)" П £,2 ^=— dA,.
(3.40)
Таким образом, справедлива теорема Г3501.
Теорема 3.1. Уравнения эргодических деформаций (3.27) в случае
динамической системы (3.15) эквивалентны следующему уравнению
для абелевых дифференциалов на поверхности Г:
-|-dQ(+,(^)=^rdQ,-,M( (3.41)
гае
dQ{±) {X) = dQ\+) ± -i- dQ(1-). (3.42)
Теорема 3.1 устанавливает, что абелев дифференциал
dQ {X) = -|- dQ(_) (Я,) — -£- dQ(+) (X) (3.43)
равен тождественно нулю на Г в случае эргодичности деформаций
точек ветвления Ef £ Г, /=1,2, ..., 2JV.
Учитывая явный вид абелевых дифференциалов dQ(±) (^), А, £ Г,
находим
, 2N Л*-> (X)—-£ ,-**+> (Л) — Е
dQ(X)«4-2 *4bn ^ +
дц dl
221

где введены обозначения
^^[^ /=1.2 N.
2>о = ± —32— ^ ti » &N+\ = 9~
(3.45)
/=1
Разлагая выражение (3.44) в окрестности особой точки X = Ек £ Г,
получаем
где
(X)~[Qjr»-^-Qi»-^.]^- + 0(l). (3.46)
ЯГ=Ч^ . k=l, 2, ...,2N, z* = X-Ek. (3.47)
fl (E„-Et)
Так как dQ (X) = 0 на Г, то из (3.46) находим
J^ = Sk(E)-^, (3.48)
где для всех k = 1,2, ..., 2N характеристические скорости деформаций
Sk (E) имеют вид [350]
Q(+, £ •№
5* (£) = -фг = -тВ ' <3-49>
* П aff%~'
1=0
Уравнения (3.48) представляют собой уравнения эргодических
деформаций поверхности Г, записанные в инвариантной форме Римана.
3.4. Гамильтонова запись уравнений эргодических деформаций.,
Представляет интерес записать уравнения эргодических деформаций
(3.48) в гамильтоновой форме. В силу уравнений (3.21) и (3.13) для
волновых чисел %j, Y/ 6 IR\ / = 1» 2, ..., N, справедливы равенства
Wj
L .сП с2 J
(by),- ixi\cn ^Ц-1
16 П Ef
(3.50)
16 П Ef
/=1
Согласно соотношениям (3.40) и (3.41) волновые числа %/( / = 1, 2,...
..., N, и частоты у,, /=1,2,..., N, можно представить через абеле-
222

вы дифференциалы dQ(±) (I), K£Ti
X, = — (j> dQ(_) (X), Y/ = — (j) dQ(+) (%). (3.51)
ay a,-
Рассмотрим билинейное тождество Римана на поверхности Г вида
<j) dco* (X) (J) dQ(±) (X) — $ dQw (k) § с1щ (X)]= J щ (I) dQ{±) (X),
ay fc; ay by J dT
(3.52)
справедливое для всех fe = 1, 2, ..., N9 где дГ — граница
поверхности Г, рассеченной по а- и 6-циклам. Так как 6-циклы для
дифференциалов dQ>(±)(k) равны нулю, то из тождества Римана (3.52), применяя
теорему о вычетах, получаем равенства (3.50), если числа х/» Y/£ fR1,
/ = 1, 2, ..., N, вычисляются по формулам (3.51).
Покажем, что уравнения эргодических деформаций (3.48)
допускают гамильтоново представление. С этой целью введем «угловые»
переменные JkJ k = 1, 2, ..., N, по формулам
Jk = -lL ф In X dQ{~} (%). (3.53)
bk
Имеет место теорема [350].
Теорема 3.2. Если уравнения эргодических деформаций
удовлетворяются в виде dQ (X) = 0, т. е. для всех к £ Г
-|rdQ(-,a) = -^-aQ(+)(^ (3.54)
то переменные х/, //, /=1,2, ..., N, удовлетворяют уравнениям
^ = — -|- (j) dQ(+) (X), (3.55)
а/,
дц
дц л dl
bi
Чтобы установить формулы (3.55), достаточно проинтегрировать
выражение dli (К), К (= Г, по циклу af £ Нх (Г; 20, / = 1, 2, ..., N,
а затем равенство In XdQ (К) проинтегрировать таким же образом по
циклу б/^Я^Г; %), /=l,2,..., N, и учесть формулы (3.51)
и (3.53).
Следствие 3.1. Уравнения для эргодических деформаций
записываются в следующей компактной форме:
^j-^ = -|-v/. /=1, 2, ...,N. (3.56)
Заметим теперь, что исходная динамическая система (3.15) имеет
гамильтоново представление
др _ бя до _ ЬН ,„ __.
~дГ~ &Г > ~дГ~~Ьр~* ^'0/)
223

где гамильтониан Н задается выражением
„2
Н =/±(pZ + v2x) + chvy, p = vt£M, t£\R\ (3.58)
Рассматривая выражение (3.58) как функцию «медленных»
переменных £, т] £ [R1 для уравнений (3.55) при всех / = 1, 2, ..., N,
получаем
ъ = ^7 - ,.
-^-^1пЫЙ<+)(^) =•
ах,
(3.59)
Формулы (3.59) немедленно следуют из билинейного тождества вида
/=1
\j) dQ{-} ф In UQ (к) + j) dQ(+) (К) § In Ый{"} (К) =
= f In MQ(+) (K) Q("} (X) — dQM (к) J In WQM (X)
dr [_ о
2ш
H, (3.60)
где точка над буквой означает дифференцирование по переменной Х/
или Jjt j = 1,2, ..., N, и абелев интеграл Q(_; (к) Д £ Г, нормирован
условием Q(_) (0) s= 0 (по модулю решетки периодов поверхности Г).
Теорем» 3.3 [350]. Уравнения эргодических деформаций dQ (X) =
= 0, К £ Г, в терминах переменных %,-, у{1 j = 1, 2, ..., N,
определенных формулами (3.51), имеют гамильтоново представление вида
— Г.—
дц Ji-
дН
dJf
дН
(3.61)
д\ dli
где гамильтониан Н задается выражением (3.58).
Теорема 3.3 позволяет ввести понятие «полной» интегрируемости
уравнений эргодических деформаций (3.48), допускающих согласно
(3.27) бесконечную иерархию законов сохранения.
3.5. Случай действительных двухзонных решений. Следует
отметить, что в случае динамической системы sin-Гордона (3.1) алгоритм,
использованный при получении уравнений эргодических деформаций
для системы (3.15), требует модификации в связи с необходимостью
выбора «фазовых» переменных в;- (%, /), / = 1,2, ..., N, на торе Яко-
би f (Г) в вещественной форме. Задача выбора вещественных
переменных в/ (Ху 0, / = 1, 2, ..., N, на торе &(Г) эквивалентна задаче
выбора из множества всех функций вида
и (х, t) = 21 In
вещественных решений уравнения
224
fl(v + -
О (V)
(ЗЛ).
(3.62)

Рассмотрим частный случай, т. е. случай, когда N = 2. Тогда для
v (x, t) £ ^ (Г) имеем согласно (3.14)
v,(*, /) = -2/|С/1 + Z2L_^_2t/C/i £/Ц_^ +
16П Я2
+ v/0, /= 1, 2. (3.63)
Пусть риманова поверхность Г имеет следующие точки ветвления:
2
О, El9 £*i, £2, £2. Тогда у полинома Р (к) = к И (к — Ef)(k — £*)
/=1
коэффициенты действительные. В силу свойств симметрии римановой
поверхности Г, равенств (3.63) и формулы (3.18) приходим к теореме.
Теорема 3.4 [69, 350]. Если константы V/o, / = 1,2,
удовлетворяют равенствам
vio = — (bu + bl2), v20 = — -g- (b22 + ft12), (3.64)
то решение и (xt t), заданное формулой вида (3.62), является
действительным для всех х, t £ [R1.
Следствие 3.2. Пусть фазы 0/ (х, /), / = 1,2, определены
линейными равенствами
Л'Л = _L 1j — fti 1 + fti2 ьп — ь12 II /ел + /v10
+ 10 . (3.65)
где числа v10, v20 заданы формулами (3.64). Тогда: 1) фазы в,- (х, t)>
j = 1,2, действительны для всех х, t £ [R1;
2) функция и (ху t) как функция переменных в;-, / = 1,2, является
периодической с периодом 2я по каждой переменной 6;-, / = 1,2,
причем фазовые функции в у (х, t), j = 1,2, линейны по переменным х,
Доказательство. Пусть dco, (Я), / = 1, 2,—
нормированный базис абелевых дифференциалов первого рода на поверхности Г.
Из условий (3.12) находим
г _ Q2(a3) г Qi (ga)
ц ц (3.66)
r _ Q2 (Qi) r _ Qi(Qi)
21 — Q ' °22~~ Q »
где интегралы Qj (ak), j, k = 1, 2, и величина Q имеют вид
Q = Ql(a1)Q2(a2)-Q2(al)Ql(a2)
VPfr) (3.67)
Пусть Г — риманова поверхность, получаемая при действии
инволюции {Ег-+Е\, Е\ -> Е19 £2-> £2, £2 -> £И на поверхности
Г. При инволюции циклы а, £ Нх (Г; 20, / = 1, 2, переходят в циклы
15 6-1669 225

a, £ Hx (Г, ^), / = 1,2, где ах = —а2. Отсюда следует, что Q; (ах) =
= -[Qy(fl2)]*, /= 1,2, т. е.
Сп = — Си, С12 = — С22.
(3.68)
Следствием формулы (3.68) является согласно равенствам (3.64)
соотношение
v8-v80=(v1 —v10)* (3.69)
Так как при рассмотренной выше инволюции Г-^Г для цикла
bx 6 НА (Г; 20 справедливо равенство Ьх = ах + Ь2, то согласно
формулам (3.12) находим
dX
+с,
dX
12 УР(Х)
Ъгг = <j) dco2 (>„) = (£ da>2 (Я) = (j) dco2 (X) =
= #fc21*
i
СГ,
XdX
L
b,-at
dX
УЩ)
dX
bi
dX ~\
"r^22 .atttt-:
У Я (Л)
+ cr2—^=- =
Ур(\) \
$d<a1{k)J = -biu (3.70)
bn = ft12
4- (*»+м = 4- [<f> dwi w+$dw* wl
* j.
|Г^ dco! (X)l — Г(^ dco! (Л,)
Отсюда сразу получаем
b22 = — Ь\и Re 612 = Re b21 = =-
(3.71)
Из формул (3.70) и (3.71) в силу действительности решения
и (х, t), заданного формулой вида (3.62), находим соотношения (3.64)
и (3.69), а также равенство # (v + -^) = [# (v)]* для всех х, t £ [R1.
Кроме того, в силу свойства (3.18) отображение
1\ /0\ /ftn\ /б,
v-> v + nx
0
+ М j +«iL +«.lft
(3.72)
где пу, my g2» /=1,2, обеспечивает по переменным Qjy j = 1,2,
периодичность решения и £ M динамической системы (3.1) только
в случае, когда т^ + т2 = 0. В силу равенств (3.70) и (3.71) на числа
mL, nly m2, п2 накладываются дополнительные ограничения
т.
п1 + п21 т2=п1 — п2
(3.73)
226

Из формул (3.63), (3.72) и (3.73) следует равенство (3.65),
определяющее действительные фазы ®1У 02. £>
Пусть матрица b имеет вид
Г ||1~&11+*12 6ц — *» 1
b = и , i. I . t i. • (3.74)
II — ol2 + b22 1 + o12 — b22 ||
В силу равенств (3.65) формулами
2 2
X, = 2n £ (б)"*1-^ , 7/=2д^№1^-, (3.75)
где / = 1, 2, для квазипериодических волновых решений уравнения
(3.1) определены волновые числа %}, j = 1, 2, и частоты Y/f / = 1, 2.
На римановой поверхности Г определим с помощью следующих
условий единственным образом два абелевых дифференциала dil\±] (X)f
X £ Г, второго рода:
1) дифференциалы dQ\+) (Я) и dQi""} (Я) аналитичны для всех точек
X поверхности Г за исключением соответственно точек К = оо и К =■
= О, принадлежащих Г;
2) в окрестности особых точек к = оо, К = О абелевы
дифференциалы dQ(i+) (Я), dQ{~] (к) имеют соответственно асимптотику dQ\±] (X) ~
с^ z-4z + 0(1), А, = г2;
3) (j) dQ(i±) (Я) = 0 для контуров т = 62 — &х + ах и т = Ьг — Ь2 +
х
+ а2€#1(Г; Z).
Имеет место теорема [350].
Теорема 3.5. Если dQ(±) (Я) — абелевы дифференциалы,
определяемые формулами
dQ{±) (К) = dQ\+) (К) ± -1- dQ(r) (Я), (3.76)
то волновые числа и частоты (3.75) задаются выражениями
X/ = d) dQ(_H (Я), у/ = $ ^(_> Ф). /=1. 2. (3.77)
Доказательство справедливости формул (3.77) основывается на
билинейных тождествах Римана
I
(j> do* (Я) <j> dQ'*' (Я) — (j> dQ(±) (Я) <j> dcoft (X)j =.
Qj bj a i bj J
(3.78)
и свойствах 1—3 абелевых дифференциалов dQ\ (к), к £ Г.
15* 227

Для «угловых» переменных Jу, / = 1,2, определенных
формулами
Jj = — -|- ф In ЫЙ(±) (Я), (3.79)
Ту
где %г = «! — &х + 62, т2 = а2 + &! — 62> справедливы соотношения
/ / Ту
/ 1 2 2 ^
Здесь Н = С -к- (ut + их) + cos и > — усредненный гамильтониан га
мильтоновой динамической системы (3.1), записанной в виде
ТГ~£' 4f—ТГ- "'-"««• <3'81>
Рассмотрим уравнения эргодических деформаций, следующие из
(3.6), в виде
-*- {а [UN]) = -|- <т [и*]>, (3.82)
где a [wyvl, т [uN] — локальные функционалы на М, построенные
по эргодически возмущенным решениям, и
и(х, t) = uN(S19 02, . .. , в*, {£}). (3.83)
В силу уравнений (3.82) для абелевых дифференциалов имеем
выражения [350]
dQj+) (Я) = - -1 <( П (X - р., (*, /))У уфщ- ,
(3.84)
dor <*) = 4" \Ц (^Г1 <*. 0 -1))> -у=- •
В терминах абелевых дифференциалов dQS±] (к), X £ Г, уравнения
(3.82) с учетом формулы (3.76) принимают вид
-jLd£t+,(b)=JLdSt-J>(k). (3.85)
Кроме того, в силу теоремы 3.5 уравнения эргодических деформаций
(3.85) имеют гамильтоново представление:
д у _ д дН _ д
дц >"" dg dJ, ~~ dl Y''
a a эн (386)
ал J' ~ ag d%f ' J — l> *-
Следует отметить, что согласно результатам работ [104—106]
аналогичные утверждения для динамической системы Гордона (3.1)
могут быть установлены и для случая произвольных (конечных) N £

ГЛАВА 5
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
В КВАНТОВОЙ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 1. МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
И СПЕКТР КВАНТОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ
ТИПА ШРЕДИНГЕРА
1.1. Предварительные сведения. Как известно [63], квантовая
динамическая система в реальном физическом пространстве полностью
характеризуется вектором состояния | а) из гильбертового пространства
Ф, который удовлетворяет уравнению Шредингера
где Н — самосопряженный линейный оператор Гамильтона,
действующий в комплексном пространстве Ф; / £ [R1 — эволюционная
переменная; i = У — 1; h— константа Планка. В случае стационарной
задачи уравнение (1.1) приводит к задаче о собственных значениях
оператора Гамильтона Н
Я|а> = £|а>, (1.2)
где Е £ [R1 — энергетическая характеристика физической квантовой
системы.
Все многочастичные физические системы одинаковой структуры
согласно принципу Паули — Ферми описываются симметричными
(бозе-случай) или антисимметричными (ферми-случай) векторами
состояний | а) £ Ф.
Рассмотрим физическую систему свободных неразличимых N £ Z+
частиц бозе- или ферми-типа. Тогда в силу квантовомеханического
принципа суперпозиции [11, 15, 61, 62] состояние | аъ а2, ..., aN) £ Ф
этой системы имеет представление в виде
|alf a2,..., aN) = —==- Ц e(a) |aa(1)> ® • •• ®|аа(Л0>> (1.3)
V N 1 a
где | a,j) fO, / = 1, 2, ..., N,— состояния каждой из частиц системы;
® — обычное тензорное произведение векторов из гильбертового
пространства Ф; е (а) = ±1 — четность подстановки а набора
чисел (1, 2, ..., N) в случае ферми-частиц, е (а) = 1 для всех подстановок
а в случае бозе-частиц. Множитель 1/]/"ЛП в (1,3) служит для
нормировки полученного состояния. Очевидно, в случае бозе-системы
вектор (1.3) — полностью симметричная функция, а в случае ферми-систе-
мы — антисимметричная.
229

Пусть | plf p2, ..., p;V> £ Ф. Тогда скалярное произведение этого
вектора и вектора (1.3) вычисляется по правилу
<Pi» Р2> • • •. М ар а2, . ., aN) = | <р,-1 ak) |а, (1.4)
где <р/|аЛ>, /, k=l, 2,..., N,—скалярное произведение в Ф
векторов |аЛ> и |Р/>£Ф; |<Р/|аЛ>|0 = £ е (а) |< рх | аа(1)> ... <Р* | aa(7V)> —
о
величина, равная в случае ферми-системы детерминанту det || <р, | ak) ||,
а в случае бозе-системы — перманенту матрицы || (Р, | а*) ||.
Векторы вида j a) £ Ф называют, следуя Дираку [62], кет-векторами,
а векторы вида <р | £ Ф — бра-векторами. Очевидно, <р | = | р>* (=Ф,
где звездочка обозначает комплексное сопряжение векторов в
пространстве Ф.
Физическое состояние | 0) £ Ф, описывающее бесчастичное
состояние системы, называют вакуумом. В силу конструкции векторов
■| а) £ Ф очевидно, что любое состояние | Р> £ Ф физической системы
имеет следующее каноническое разложение:
IP>=Po|o>©iPi,,>©lP(f), pf>e ••• е|Р(Л Pf,...,p^>©...,
(1.5)
где Ро £ (С1; I Pi1*) б Ф — одночастичный вектор состояния, | $[N\ Р^,...
•••» PSv°>— jV-частичный вектор состояния, N£Z_^> и т.д.; знак «ф»
означает взятие прямой суммы векторов из Ф. Таким образом,
пространство Ф имеет следующее разложение в прямую сумму;
Ф=еФ,, (1.6)
/=0
где Ф0 — (С1 | 0), Ф/, / £ Z+>—гильбертовы пространства
симметричных (бозе-случай) или антисимметричных (ферми-случай) функций /
комплексов переменных, каждая из которых описывает состояние /
фиксированных частиц. Оно носит название пространства Фока.
1.2. Представление вторичного квантования. Рассмотрим теперь
произвольное одночастичное состояние | р> и определим линейный
оператор a+ (P), который действует следующим образом:
a+ (P) |<*i. a2,. . ., aN) = | Р, alf a2, .. . > aN) (1.7)
для любого N £ Z+. В случае N = 0 оператор a+ (P) действует по
правилу л+ (Р) |0) = | р>. Оператор а+ ф) естественно называть
оператором рождения состояния | Р> £ Ф, а сопряженный к нему
оператор а (Р) — оператором уничтожения.
Для действия оператора а (Р) имеем [11, 15, 199] следующее
выражение:
N
а (р) | av a2 aN) = £ е'-1 <Р | a,-) | av а2, . .. > а,, ..., aN), (1.8)
где а/, /=1,2,..., N, означает отсутствие состояния | aj) в
состоянии | аъ а2, ..., aN) £ Ф; е = +1 для бозе-системы, е = — 1 для
ферми-системы.
230

Из уравнений (1.7) и (1.8) находим следующие канонические
соотношения:
[я+ (Р/), я+ (РЛ)]-е = [а (Р/), ^ (р,)]_е = 0, (1 9)
[а(Р/),а+(РЛ)]-в = <Р,|РЛ>
для всех | Р,-> € Ф, /, fe ^ ^, где [., .]_е — обычный коммутатор или
антикоммутатор операторов в Ф.
Используем теперь развитые выше представления для описания
операторов А :Ф->Фв терминах операторов рождения и
уничтожения. Рассмотрим оператор А : Ф->- Ф, действующий только на одно-
частичные состояния в пространстве Ф, т. е.
N
А | ах> X | а2> X • • • X | а*) = £ I <*i> X
••• X Л(1)|ау> X ••• X |a*>f (1.10)
где по определению мы положили, что | ах> X | а2) Х...Х | ocN) =
= | а1э а2, ..., адг> в силу (1.3); Л(1) = А |ф, — сужение оператора А
на пространство одночастичных состояний Ф1ш Чтобы найти явный
вид оператора А в терминах операторов рождения и уничтожения,
рассмотрим частный случай оператора Л(1) = | р> (у |, где | р>, | у) £
£ Фх с= Фх — полная система состояний вФх. Тогда
Л | alf a2> ..,, a^> = (Р | ax> (у, a2> . .., ayv | +
+ (P|a2> (alf Y, a3, ..., ayv| + ••• + (P|a^> <a„ a2, . .. , v|. (1.11)
Легко заметить, что выражение (1.11) можно записать согласно
(1.8) в виде
i4Pv|alf a2, ..., aN) = a+(P)a (у) \ at, a2, ..., aN) (1.12)
для всех |p>, |y>€<Di. Таким образом, 4Pv = a+(P)a(Y), |р>, |7>^Ф1.
Но так как любой одночастичный оператор Л(1) имеет разложение
A(l)= £ 1Р)(РИ(1)|7)(Т|= £ 4*IPXYl. то из (1.12) на-
1Р>.|Г>€Ф1 |3>,|Г>€Ф,
ХОДИМ
А= S 4#a+(P)a(Y), (1.13)
13>.|7>€Ф,
где Л(^ = (Р|Л(1)|7>, |Р>, |y>6®i. При выводе формулы (1.13) мы
воспользовались тем, что система состояний {|P)(^i} является
полной в Ф1Э т. е. ^ I PHP I = fl — единичный оператор в Ф1#
|3>€Ф,
Представление (1.13) оператора А : Ф -> Ф называется
представлением вторичного квантования. Выбирая в роли оператора Л(1> = -Ц,
из (1.13) находим, что
А | alf a2> ... , aN) = £_ a+ (Р) a (P) I «i. a2>. .., aN> =
1РХЕФ,
= Ar|alf a2, . . ., aN), (1.14)
231

где N £ %+ — число частиц в состоянии | аь а2, ..., а#). Таким
образом, оператор
N = У а+ф)аф) (1.15)
13>€Ф,
представляет собой оператор числа частиц. Если оператор А : Ф -^ Ф
действует только на двухчастичные состояния в Ф, то для А
получаем выражение
А = 2 A%yva+ (а) а+ (Р) а (у) a (v), (1.16)
la>,ie>.lv>.|v>€<D,
где А{2) = А\ф2, A{Xv = (oc\($\A(2)\y)\v)1 |a>, |р>, |Y_>, | v) £ Ф,. Здесь
мы предположили, что набор {| а) | Р) £ Ф2: | а) | Р) £ Ф^ является
полным в Ф2, что в практически важных случаях является справедливым.
1.3. Нелинейные уравнения типа Шредингера. Рассмотрим кванто-
вомеханическую систему N тождественных бозе-частиц на оси [R1
с гамильтонианом
*--i;^+Jf,si(^r+^-)«(„-,j+
/=1 oxf k^i=\\ * * I
+ Р J S(*/-**). (1.17)
где X} £ [R1, / = 1, 2, ..., N\ S (•) — обобщенная функция Дирака;
а» Р £ IR1 — произвольные константы связи. Переходя к
представлению вторичного квантования, выражение (1.17) представим в
следующем виде:
Я = J dx U+^x + p^+W + -у- W^W — Ф+^*Ф)| • (1-18)
Здесь оператор И : Ф ->- Ф действует в гильбертовом пространстве
Фока Ф, состоящем из векторов /£Ф вида
-|-oo -f-°°
/ = £ у— \dxx .. . \ dxNfN (xlf х2,..., xN) ^ (хх) г|;+ (х2)...
"т* —оо —оо
...^+(^)|0>, (1.19)
где ip+ (х), я|э (х) : Ф -> Ф— операторы рождения и уничтожения
состояний в точке х £ [R1. Операторы я|э+ (х) и я|э (*/), х, у £ [R1,
удовлетворяют в силу (1.9) следующим коммутационным соотношениям:
[* (х), * (</)] = №+ (х), г|;+ (у)] = 0, [я|> (х), г|;+ (у)] - Й в (х - у). (1.20)
Используя (1.20), получаем динамические уравнения Гейзенберга
[14, 62] для оператора яр (х), х £ [R1,
Ф* = х 1#. 1>] = *1>« + 2фг|Л|д|> + 2аг|?+г|^. (1.21)
232

Соответствующий оператор числа частиц N имеет вид
+°°
N = £ dx^+ty.
Оператор импульса Р [14, 15] дается следующим выражением:
p = -i- J dxwty—y+%).
(1.22)
(1.23)
Легко убедиться, что операторы N и Р сохраняются с течением
времени t £ [R1, т. е.
-gL = ->.*] = о.
дР
dt
= -{-[Н, fl = 0.
(1.24)
Нашей дальнейшей задачей будет вычисление спектра
гамильтониана (1.18).Сэтой целью заметим, что, положив в (1.21) г|гЬ = я|э* ^ С<оо) (fR1;
(С1)» ^ £ С(00) ([R1; (С1), получим нелинейное уравнение типа Шре-
дингера (5.1) гл. 3
я|>, = п|>„ + 2ф | я|> |2 я|> + 2ос | г|> |2 цх. (1.25)
В частности, в гл. 3 показано, что динамическая система (1.25)
допускает представление типа Лакса с оператором L [я|), я|э*; М вида (5.15)
гл. 3. В дальнейшем ограничимся случаем (3 = 0, а = —1. По
аналогии с классическим случаем предположим, что оператор L [я|э, \|)+;
X] вида
Lh|), ^;
^flue
"4(Я2 + гр+г|;)
?4
-4-(^2 + ^)
(1.26)
где h £ (С1! образует квантовое представление типа Лакса для
динамической системы
Ф/ = *Ф« —2яГ"яМ>
(1.27)
С помощью несложной модификации А [гр, г|?*; М-оператора для
классической динамической системы (1.27) убеждаемся, что квантовая
динамическая система (1.27) допускает стандартное операторное
представление типа Лакса.
Для удобства в дальнейшем оператор L [гр, гр+; X] (1.26)
перепишем в следующей форме:
L [% г|>+; X] = Ц JL — -L (Ь2 + г|?+г|>) а3 - ?^+а+ - Х^о_, (1.28)
где матрицы а± и сг3 имеют вид
а+ =
О II
о о
о о
1 О
Оо =
1 О
О —1
1.4. Изучение квантовой динамической системы Шредингера с
помощью квантового метода обратной задачи. В дальнейшем с учетом
233

доказанных выше предложений об лаксовости динамической системы
(1.27) для ее исследования будем применять квантовый метод обратной
задачи [89, 183, 184, 198, 449]. Главным объектом исследования
согласно квантовому методу обратной задачи является фундаментальное
решение ТГ (*, у\X) уравнения
:L[i|>, г|>+; \]Т(х, у\К): = 0. (1.29)
Здесь : : — символ виковского упорядочения операторов рождения
и уничтожения, т. е. расстановки всех операторов г|г*~, \|?J, ... слева,
а всех я)), \рХ1 ... справа; Т (%, у \ X) — символ оператора ТГ (х, у \X) =*
= :Т (х, у\Ц'., удовлетворяющего при х = у £ [R1 условию
\й 0||
Т(У,У\Ь) =
О й
(1.30)
где Ц : Ф -+■ Ф — единичный оператор в пространстве Фока Ф.
Для удобства дальнейших вычислений и более компактной записи
дифференциального уравнения (1.29) введем операцию.;:—
нормальной расстановки операторных множителей: если Л, В : Ф» ->■ Ф —
два оператора, то на выражение Лг|4>+В операция ; ; действует
следующим образом: • Лг[л|)+£ : = г|э+ЛВ1|?, т. е., не меняя порядка
операторов А и В, расставляет операторы г|э и я|э+ нормальным
образом согласно квантованию Вика [14, 181]. Таким образом,
уравнение (1.29) можно записать в виде
-5ГТ(*. у\Ь) = I с^(х; к)Т(х, у\У) I, (1.31)
где Л (х\ X) = 4" (^2 + 4>+W <*з + Н+<?+ +
Неквантовая матрица перехода ТГ (*, #|^), *, у £ [R1, действует на
функции из Ф/усФ, N £ Z+ как интегральный оператор. На
теории этих операторов не останавливаемся, а исследуем только
их алгебраические свойства. В частности, докажем следующую
теорему [27].
Теорема 1.1. Квантовая матрица перехода ТР (х, у \ X) удовлетворяет
алгебраическому соотношению Я ига — Баксте ра — Фаддеева
Я(К V)T(x,y\b)®T(x, У)|И) =
= (1 ®Т(*. У\Р))(Т(Х, У\Ь)® l)Jl(k |i), (1.32)
pt ^ (С1; Л (k, \i) — числовая
2i[ikh
где <g> — m
матрица 4
Л (К V) =
{
ензорное произве
X 4,
[10 0 0
0 р+ а+ 0
0 а_ р_ 0
0 0 0 1
дение; К,
, а+ = а_
. 2(Х*—ц»)
- ~ 2 (А.2 — ц2) -
Ь /Л (X2 + ft2)
р+=
fc2 \
1 + 4-
Р-
(1.33)
234

Для доказательства теоремы 1.1 предварительно установим
справедливость следующей леммы.
Лемма 1.1. Произведения ТР(*. У | ^) Т (*. У | М-) " Т(*. У\^) X
ХТ(*. У\Ч где Т(х, у\Х) = Т(*. </|Ь) ® й, Т(*. */|ц) =
= :fl <8> ТГ (х, УI М-)> удовлетворяют дифференциальным уравнениям
-йГ(Т(х, у\1)Т(х, у\р)) = J ^(х;*, ц)Т(*, у|Ь)Т(*. 0||*) :,
(l.i.4
■4-(Т(«, 0ЫТ(*. у|*) = : £г(*;Ь, и)Т(*. 0ЫТ(*. И*)!.
где матрицы (£j (х; к, ц), /=1,2, имеют вид
{£х (х; X, ц) = с4 (ж; X) + <Л (ж, ц) — ih (-^- cr3t+ (*) + ^-) х
X (4-стзФз(х) + |*а ) ,
w +/ (1.35)
^2(х; X, ц) = Л (х; Х)+<А (х, ц) — ih (-^i|>+ (х)<т3 + ц<*_] X
X (-J- а8ф (*) + Х(т+
Доказательство. Для доказательства справедливости
формул (1.34) и (1.35) продифференцируем сначала выражение
Т (х + г, у\Ц Т (х, у\ \i) по переменной х £ [R1, где е £ (R+:
-^-(Т(дс + е, </|Ь)Т(*. У|ц) = -|-Т(* + е, у|Я)Т(*. #Ы +
+ Т(х + е, у|Я,)-^-Т(х, iMl*) = ;^(^ + е; %)Т(х + г, у\Ц \ X
X Т(*. #Ы + Т(* + е. iM&) :. %(х, р)Т(х, y\v) I =
= Л(* + е; Л)Т(х + е, у|Ь)Т(*. г/|ц) \ +
+ ; Л (х; ц) Т (* + е. УI *) Т (*. У I и) : +
+ а3-^-[Т(х + г, у\\), Ц+(х)]Т(х, у| иЖ*)+
+ о+11[Т(х + г, у\\), У+(х)]Т(х, y\v). (1-36)
Для вычисления коммутаторов в (1.36) воспользуемся соотношением
[Т(х + г, у\Х), у+(х)] = :±- $ dTT(x + e,x\b)x
у
235

X \Л (г, Я), г|>+ (х)) Т(%,у\Ь): = -^-Т(х + г, у\%) х
X (4~ М>+ М + Ч_) Т (х, УI Я), (1-37)
вытекающим из уравнения вида (1.31)
-ЗГТ(*. </|^) = |Й(х; MfU 0|b)i. (1-38)
Таким образом, вычисляя предел при е -^ 0, из (1.36) и (1.37)
получаем
■^Г(Т(*. </|МТ(*, У\М) = \[Л(х-Л)+Л(х\ v) —
— ih (^-а3гр+ (х) + ha_j (-^-a3i|> (х) + [ie^
'+
X
xT(x>y,\b)T(x,y\v) \ = i ^(*; Ь. ц)Т(^у|Ь)Т(*,уЫ:.
(1.39)
Отсюда получаем формулу (1.35) для (£r (x; h, (г). Выполнив
аналогичные вычисления с выражением Tf (х, у \ [i) Tf (* + е» УI ^)» 8 £ fR+i
убеждаемся в справедливости и второго выражения в (1.35) для
^2 (х\ К V).>
Перейдем к доказательству теоремы 1.1. Прежде всего прямыми
вычислениями несложно убедиться, что матрицы (£х (x; X, \х) и
i£2 (x\ Ху \i) с помощью матрицы Л (к, \i) (1.33) связаны следующим
образом:
Л (К (1) {£г (х\ К V) = ^2 (х\ К (1) # (X, ц). (1.40)
Воспользовавшись леммой 1.1 гл. 5 и единственностью решения
задачи Коши для линейных уравнений (1.34), заключаем, что матрицы
Т (х, у | X) Т (х, У | \*) и ТГ (хУ y\\i)T (x> У у ty связаны
соотношением (1.32). t>
1.5. Оператор рассеяния. Будем далее считать, что оператор-
функция г|) (х) ->- 0 при | х | ->■ оо в слабом смысле [397, 418, 425].
Тогда в силу уравнения (1.31) определен оператор «рассеяния»
Т(Ь) = Hm V1 (х\ Х)Т{х, y\X)V (у, X), (1.41)
Х-*- — оо
где функция V (х, X) = ехр (СК3а3Цх) — решение уравнения (1.31)
при я|) = 0, сг3
рассеяния ТГ М (
1 0
0 —1
. Получим теперь уравнение для оператора
.41). С этой целью рассмотрим уравнения (1.34)
при г|? = 0. Они имеют решения вида
Qx(x\ К [i) = exp[<£1(0)x], (1.42)
Q2(x; X, ^) = ехр[^2(0)х],
236

где
Qi(*; я,, |i) =Т(*. у\ЦТ(х, y\v)^
Q2 (х; X, ц) = Т (*, УI И) T (х, у | Я. !„_„, (1.42)
(£г (0) = £, (х; X, |*) |*_о, ^2 (О = ^2 (*; Л, V) |*-о-
Тогда при г/ -> —оо можно получить следующие выражения для
произведений Т (*, У I Я,) Т (х, у | ц) и Т (*, У I И) Т (*, У | Я):
lira (Т(*, У\ЦТ(х, у\|i))Qx(лг; Я, ц) =
У-*—оо
= Т_ (*; я,) Т„ (*, i*>^l — ^_^J,o ) •
lim (T(*, y\v>)T(x,y\X))Q2(x; X, ц) =
(1.43)
. «Чт,ЛА,иа_
= Т_(*; i*)T_(jf, я,)^1 + ц,Д, + ,-о
где Х- (*> Я.) удовлетворяет уравнению
-£- Т_ (*; Ц=\Л (х; X) т_ (*, X);. (1.44)
Из (1.32) и (1.43) находим следующее соотношение для операторов
Т- (х\ X) и Т- (*, И):
„ - « / (ист а, А.ц \
Т_ (х; v) T_ (*; D \j[ + /^^7о ) Л<*• ^ (1 *45>
Аналогичное выражение можно получить для оператора ТР+ (*, Я),
удовлетворяющего уравнению
4г Т+(*; К) = —:Т+ (х; X) <Л (г, *) ': • (1.46)
А именно: в силу формулы (1.32) справедливо тождество
# (*.1*) [й + -jf^^+VJ T+ (*; я,) т+ (*, |х) =
= 1^ - ц1-у-,-о J Т+(Л:; I*)Т+ <х; Я> Л (*. Ю- (1 -47)
237

Замечая, что оператор рассеяния ТР (к) = Х+ (х> ^) Т_ (*". ty, из
соотношений (1.45) и (1.46) получаем
i я ihки,а_а, \ ~ л » / tfi^LioL.a, i
л <*• I*) U + ,*-Wto т м т о*) U -„Л*-я ) -
- U
/АХ^ха, а_
Ю
TMTWU+
/ОДца , о_
jx2 _ х2 + Ю
Ж*. I*).
(1.48)
Для удобства в дальнейшем полагаем, что к Ф \х £ (С1. Тогда выражение
(1.48) существенно упрощается и принимает следующий вид:
К {К V) Т (Я) Т (и) = Т (V) Т Мо ft. I*).
где
Яо(*. H) = U
*й?^оц_о_
жк ц) U +
ц2 — А,»
Матрица .%„ (А,, ц) является диагональной, т. е
1 О
ц2 — А,2
(1.49)
(1.50)
где числа |3+ и [5_ имеют вид
о р+
о о
о о
0
0
р_
0
01
0
0
ll
(1.51)
Ш[1
Р+ =Р+ (Л, ц) =Р++ 1Г^Г (о+ + a J
ц2 —А2 Р-'
р_=р_а,и)=
2 (А2 — ц2)
(1.52)
2 (А2 — ц2) + ih (A2 + ц2) *
Рассмотрим матричное представление оператора ТГ (А,):
ппт = I £>(Л) В+(К)\\
Д() |С{Я) Л (Я) I' (1-53)
где Л (Я), £+ (к), С (к) к D (к) — оператор-функции параметра к £
£ (С1. Используя соотношение (1.49), находим следующие
коммутационные соотношения:
[А (к), Л(|1)]=[В+(Я), S+0i)] = 0,
Л (fi) Я+ (к) = р+ (Я, fi) Я+ (X) Л (fi). (1 54)
1.6. Описание собственных состояний модели типа Шредингера
(1.27). Пусть |0) — основное состояние нашей квантовой модели, т. е.
вакуум, удовлетворяющий для всех х £ [R1. равенствам
ф (х) 10) = 0, (01 г|>+ (х) = 0. (1.55)
238

Из формул (1.31) и (1.54) находим следующие соотношения:
С (Л.) 10> = О, Л(Х)|0>=|0>. (1.56)
Построим теперь собственное состояние | ц) оператора А (к),
действуя на вакуум | 0} оператором В+ (к):
|Ю = б+(ц)|0>. (1.57)
Используя коммутационные соотношения (1.54), находим
A(K)\li) = 5^5 |fi>. (1.58)
N
Если | |ilf [x2, .. ., \iN) = П В+ (|i7) | 0>, то
/=i
n _
A (^) | |ilt \i2> • • •. Pn) = П P+ (Н-л ^) I И-,, |я2, ..., М- (1 -59)
/=i
Таким образом, операторы £+ (|яу), / = 1,2, ..., W, являются
операторами рождения одночастичных состояний нашей модели.
Для операторного ряда In А (К) при | Я | -> оо справедливо
следующее разложение в асимптотический ряд:
1пЛ(Ь)~ £ с Л-2'', (1.60)
где c/f / £ Z+,— функционалы от операторов поля я|э и г|гК
Рассмотрим более детально выражение (1.59), выполнив
предварительно преобразование |я2 -> pi2 (1 +-g-J. Для операторов
импульса (1.23) и энергии (1.18) получаем следующие выражения:
Р | |ilf |Я2, . . , \iN) = ( |] |i2J | ^ ^ . . . , |Я^),
Я | |Ai, Н<2, . . . , М = J |А) | 1*1, 1*2» • • • . Н^>,
«Л \ Л . /ft \~!
(1.61)
Со =
где учтено, что с0 = ЛПп (1 + -^-), с, = (1 + -^-) /U'P,
= hH (\ + Л-) .Так как в силу (1.54) все функционалы с]у
\ £ 2?+, коммутируют между собой и с2 пропорционален оператору
Гамильтона, то отсюда следует, что все функционалы ch j £ i?+,
являются законами сохранения в инволюции, т. е. для всех /, k £ Z+
имеем
J4-=-L[H,c,\ = 0, [c/>Cd = 0. (1.62)
Рассмотрим вопрос о связанных состояниях модели (1.27). Будем
считать, что на связанном jV-частичном состоянии | N, р) с импульсом
р £ [R оператор-функция А (к) имеет по параметру X2 £ (С1 один
239

полюс и один нуль. Эту ситуацию легко реализовать, если положить
р < 0 и
$ = РТЕ§Г*1~1> /=1. 2.....ЛГ, (1.63)
в = (\ — -|-) h + -|-)_1. Тогда получим
2 /- «Л
Л(^)|^V)p>= '-|tf,p>, (1.64)
откуда согласно формуле (1.59) имеем
/=1
Лр«/ (1 + б")
2(1— е") '
Выражения (1.65) показывают, что Af-частичное связанное
состояние | N, р) при своем образовании сопровождается дефектом энергии
АЕ = р>_ у И-еЧ = _£_[tg{yN)_h/2]j (L66)
где 9 = ехр(—2iy\ igy = —ft, у£[0,2я). Отсюда следует, что при
всех N £ 2?+ дефект энергии Д£ > 0, т. е. при р £ [Rl_ в модели
могут образовываться связанные состояния —«квантовые солитоны».
Если же р £ [R+, реализовать в модели связанные состояния
невозможно, так как при этом необходимо, чтобы выражение А (К)\ ци
jli2, ..., \iN) имело по параметру h2 £ (С1 один нуль в верхней
полуплоскости, где функция А (К) аналитична. Последнее условие при р £
£[R+ не реализуется.
Таким образом, если система имеет положительный импульс /?,
то имеет смысл рассматривать бозе-газ из этих частиц с определенным
химическим потенциалом и новым физическим вакуумом и изучать
уже спектр квантовых возбуждений этой модели.
1.7. Квантовые возбуждения модели бозе-газа с положительным
импульсом. Вычислим сначала спектр модели с гамильтонианом И =
= И — aN', где а £ (R1 — химический потенциал. Энергия системы
при этом представима в виде Е = Е0 + Еех, где Е0 — энергия
основного состояния, а ЕРХ —энергия квантовых возбуждений. В
рассматриваемом случае вакуум | 0) нефизичен, ибо не учитывает частиц
основного состояния с энергией Е0. Требуется построить физический
вакуум Й^Фс энергией Е0
HQ = £0Й, (1.67)
задающий химический потенциал а = EJN. Так как в силу (1.67)
при | х | -»■ оо г|) (х) -н> 0, мы не можем воспользоваться выведенными
240

выше формулами для оператора рассеяния (1.53). Поэтому
воспользуемся выражением (1.32) для матрицы Т (•*> У |^) ПРИ периодических
условиях для оператора (1.28) с периодом [RV Э I <. °°> который в
дальнейшем устремим к бесконечности. Из алгебраического
соотношения (1.32) следуют равенства
D(l\ Ь)В+(/|ц) = и(ц, X)B+(l\v)D(l\X) + i?^X
XB+(1\ K)D(l\ ц),
A(l\l)B+(l\ ц) = ы(Л, ц)б+(/| ц)Л(/| ц)-
^VB+(/' *)Л('М. (1-68)
[B+(l\ X),B+(l\ (1)1 = 0, lF(/|b), F(' I l*)l = 0,
где f (l\X) = Л (l\K) + D (l\K),T(x + 1,х\Х) = Т(Ц *)• Если по-
N
строить вектор состояния | \ilt |i2, ..., \iN\ I > = П £+ (/| ji,) | 0),
то из (1.68) получим
F (I | Я) | H-i. 1-4» •••» H^; /> = FN(k) | jIjl, |i2, ..., \iN\ />, (1.69)
где
FN(l)=e2 YIu(\l,9 l) + e 2 Uu(Xt ji/). 070)
причем в силу периодичности числа цу £ (С1, / = 1,2,..., N,
удовлетворяют уравнениям
/ fi J— yi
е 2 Л=1и((гЛ ц*) = £ 2 *=im(h*> И-/). (1-71)
которые удобнее рассматривать в следующем виде:
ехР(-^/Н П l&A e П »(и|-^-^(м? + и&
KV Г' *= 1 « (ИЛ, |ху) *= 1 2 (ц - ^) + <Ji (u2, + $ '
для всех / = 1, 2, ..., N. Энергия состояния | \ilt \i2y ..., \iN) имеет вид
/v
£лОч> 1^2» •••» М= 5] ((*) — я)» aN = Е09 (1.73)
где все jti/ £ (С1, / = 1, 2, ..., #, различны, так как | \ilt jli2, ..., \iN;
I) = 0, если для некоторых \ii9 [ii выполнено равенство [it = [il,
s Ф к =• 1,2, .„, Л/. Физический вакуум й построим в следующем виде
[198,5831:
Q= П fl+(^)|o>, (1.74)
где числа q < Q £ [R1 необходимо определить из условия, что
квантовые возбуждения нашей модели будут иметь положительную энергию.
16 6-1669 241

При стремлении периода /->- оо все уровни \х) £ [R1, / = 1,2, ..., /V,
сгущаются и заполняют весь интервал [qy Q] c= [R1. Можно показать,
что при / -> оо определена асимптотическая плотность
где Л^ £ ^+, / = 1,2,.,.., N,— число частиц в состоянии Q с
импульсами, не большими \i2h j = 1,2, ♦.♦, N, причем при N, /->• оо
Q Q
\ р (х) dx = —у— = const, \ p (x) xdx = р > 0. (1.76)
Используя уравнения (1.72) и (1.75) при N, /-^ оо, получаем
Q
2яр (х) = 1 + J К (х, у) р (у) dy. (1.77)
Ядро интегрального уравнения (1.77) имеет вид
К(х> у) = 4(*-</)2 + W2 + </2) ' (1 J8)
где *, у f [<7, Q1 с: (R1. Для элементарных квантовых возбуждений
| (£)> физического вакуума Q можно записать выражения
|(£)p> = fi+(&)0. рдаМ?, Q], (1.79)
|Ш = П В+(^)|0>, |2£[<?, Q],
где индекс /? относится к «частичным» возбуждениям, а Л — к
«дырочным». В силу выбора параметров q> Q £ [R1 энергии гр (£), еЛ (£)
«частичных» и «дырочных» возбуждений должны быть
положительными, т. е.
ер(|) = ЗД-£о>0, 4(t)=Eb(t)-E0>0, (1.80)
где
И |(ЙР> = ^р (6) I (Е)р>. Я |<Ш = Еь (В IШ- (1 -81)
Для вычисления энергий ер (£) и еА (5) введем [467, 616] функции
ZP (А, | g) и Zh (К 11), удовлетворяющие интегральным уравнениям
Q
2nZpаЦ)=^К(К V)Zp(ii\l)dix + K(К t), (l.82)
Q
Q
2jiZ„(4£)= l К (К vtzMftdp-KiKl).
Q
Тогда из (1.80) можно получить
Q
а = J Я2р (Я,) d>t,
242

% (l) = I2 - a + J (\2 - a) Zp (X11) dX, (1.83)
Q
eh(t) = a-? + I (W- a) Zh(X\t)dX>
Q
причем [467, 616] границы интегрирования q, Q £ [R1 можно
определить из уравнений гр (Q) = еЛ (Q) = 0, задающих также химический
потенциал а £ [R1 исследуемой модели. Полученные выше результаты
дают возможность полностью описать (при температуре абсолютного
нуля) свойства бозе-газа конечной плотности нелинейной модели типа
Шредингера (1.27) с гамильтонианом (1.18) или (1.17) при (3=0.
При этом главная трудность состоит в решении линейных
интегральных уравнений (1.77) и (1.82), которые можно решать по аналогии с
методами, предложенными в работах [10, 183], методом Фурье или
численно.
§ 2. ЭВОЛЮЦИЯ ХАОСА И НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
2.Ь Уравнение типа Бюргерса. Рассмотрим оператор Гамильтона
HN вида (1.17) при а -* — iaN~\ Р ~> Р^_1> N £ Z+:
+ 4г 2 в (*/-**), (2.1)
где Я/^fR1, /= 1, 2, ..., iV; a, P^fR1— произвольные константы [281.
Оператор (2.1) определен на пространстве М = С(оо) ((R^\A; [R1), где
Д={(а:1, х2, ..., xN), X/GIR1; я, = xk при 1 </<£<#} cz [RN со
следующими условиями на А:
(_Ё М/
\ a*,- dxk 1 *
для всех ]% k = 1, 2, ..., N, f£ M.
Рассмотрим уравнение
dfN
—$[- = #л/м (2.3)
где /л/ g Л1, / £ [R1 удовлетворяет при t = 0 начальному условию
М*; хг, х2, ..., дсл)|/=о = Ф (-«i) Ф (дс2) -<P(*n). (2.4)
функция ф £ С(00) ([R1) П ^2 (fR1) П ^i (fR1) и удовлетворяет условию
нормировки
j ФМ1
» rfjc = 1. (2.5)
16* 243

Положим
/5v('; хъ х2> .... хд = ) dxi+\ ] dxw • • ) dxNfN(ty xl9 x29 ..., xN),
IR1 IR1 IR1
(2.6)
ДО С *) = <Pjv(*. x) (2.7)
для всех x, Xj £ IR1, / = 1, 2, ..., TV, / £ |Rl. Тогда из (2.3) легко
получаем, что для всех / = 1, 2, ..., N — 1
т *=» ^ Jyv '.*=' \ ajc, ^ dxk ),N ^
a(N — J) Ь a f(/+i) (t. Y Y v ,
i Jy Zj "dxb"'N \ * lf 2f "м *' '•'• xhxk)r
+ 4r t 6 (**-*,)$+ P(V7) S/n+1>(/; *lfJC, ** a:,, **).
(2.8)
Предположим теперь, что существует поточечный предел Пт/лР .=
= /('> для всех /" = 1,2, ..., N. Тогда из (2.8) получаем систему
уравнений
-тг- = £ ^г + а £ ^г/(Ж) (/; *■ *■■ -х*> -х" ^ +
+ Р £ /(Ж)С; *i. *2. -. **..., */, **), / е Z+, (2.9)
с начальными условиями
Р (t; *„ х29 ..., х,) |/=о = П ф (Хк); (2.10)
Из (2.9) и (2.10) получаем символическое решение
t
/</>(*; *lf ..., *,) = е<д//(/) (0, хг, ..., х,.) + a J ^~Т)Д/ X
о
1 д г
х S "а5Г ^(Ж) (т> х*> -•**• — xi> х^ dx + Р 1 * '' х
/
X S/</+1)(t. ^i..... **.-. хь xk)dTy (2.11)
/ ^
где Д.== 2j "ZF, J£Z+- Итерируя решения (2.11), можно получить
их явный вид в виде бесконечных сходящихся рядов по параметрам а,
Р £ [R1. Это означает, что система уравнений (2.9) имеет единственное
решение, удовлетворяющее условию (2.10).
244

Рассмотрим теперь решение ф (/, х) уравнения типа Бюргерса
^ = ^ + 2*Ф-£ + № (2.12)
с начальным условием
Ф(/, х)\м = <р(х) (2.13)
для всех л: ^ (R1- Пусть / — целое неотрицательное число и
/У> (*; xv х2,..., х,) = П ф (t; xk). (2.14)
Прямыми вычислениями убеждаемся, что функции /W £ М (2.14)
удовлетворяют для всех / £ J£+ уравнениям (2.9), причем
/(/)(/; х19 х29 ..., ^/=0= П <p(xk). (2.15)
В силу единственности решения уравнений (2.9) из (2.14) и (2.15)
заключаем, что для всех / £ %+ справедливо соотношение
/(Л = /(/)= П ф(/; Xk). (2.16)
Формула (2.16), как это впервые установлено Маккином [488],
означает «эволюцию хаоса», причем уравнение (2.3) описывает
движение N £ Z+ броуновских частиц на оси с фиксированным
сингулярным взаимодействием. Начальное условие (2.4) означает, что при
/ = 0 все частицы являются независимо распределенными с одной
и той же плотностью вероятностей ф (#), х £ [R1. Таким образом, при
всех t £ [R1 в силу (2.16) независимость распределения частиц на оси
сохраняется, т. е. происходит эволюция начального хаоса в силу
нелинейного уравнения (2.12) [341, 377, 488] без какого-либо
упорядочения в системе частиц на оси.
Уравнение (2.12) является обобщенным уравнением Бюргерса,
являющимся, как известно, интегрируемым при |3 = 0. Вопрос об его
интегрируемости в общем виде остается открытым. В случае (3 = 0
в работе [3771 предложен следующий механизм интегрирования
уравнения (2.12).
2.2. Интегрирование уравнения (2J2). Установим
предварительно соотношение между оператором Лапласа Д# и оператором
Н» = А» + -^Л Ь(х'-Хк) Ur + isr)- (2Л7)
xi CfR1» / = 1» 2, ..., N. Ограничим действие операторов Д# и HN на
пространство симметрических функций SC{00) ([R^; [R1), и пусть
(F$ с: [R^ — подмножество точек с неспадающими координатами,
\Ro = {(*!, х2, ....x^elR":*!^*^---^**}. (2.18)
245

Для упорядоченной пары индексов /, k = 1, 2, ..., N определим
операторы Q/a формулой
(Qjkf) (xl9 х2, ..., xN) = (-J- + -^-) J dx/ (*lf ..., ^/ +
+ (-f._l)Tf ...,** + (-£ + l)x, ...,**)■ (2.19)
С помощью операторов (2.19) зададим оператор
Q = 5 П U+JLQ,k)t (2.20)
i,k=\
где fl — единичный оператор; S : С«~> ([R^; fR1) -> SO"» (fR"; fR1) —
оператор симметризации. Тогда справедлива теорема.
Теорема 2.1. Оператор Q сохраняет симметрию функций и
удовлетворяет соотношению
HNQ = QAN. (2.21)
Доказательство. Операторы Q#, /, k = 1, 2, ..., jV,
коммутируют между собой и, кроме того, каждый из них коммутирует
с операцией дифференцирования dldxh j = 1, 2, ..., N.
Следовательно, оператор
П (fl+-f-Q/A) (2.22)
коммутирует с оператором AN. Пусть теперь / £ SC{00) (fR"; fR1)*
Тогда ф = Qf £ SC(00> ([R"; (R1) и удовлетворяет при всех /', k =■
= 1,2, ..., N на гиперплоскости Xj = xk условиям (2.2):
Так как q> £ SC(oo) (|R"; (R1), то достаточно ограничить функцию ср до
функции ФбС^Й; fR1), где в силу (2.22)
ф= П (i+ « QM)/f (2.24)
и показать, что
на гиперплоскости jc; = jc,+i, /' = 1, 2, ..., N. Пусть
* = (l+ -t-Qi.!+i)~\, (2.26)
где /= 1, 2, .... N. Тогда
246

9 = (l+-%-Qu+i)* (2-27)
и, таким образом,
(dxi+i ШГ1(р=\дх1+1 ШГ/^ + ~\дх1+1 W/ Х
х (а£т + -щ) } dx*>{х» -' х' + {-Т~1)т' (2'28)
*/+! + ("f- + 1) т, .... **) = -J- (^ + -^-)J dx [-А_ _
для всех j = 1,2, ..., ЛЛ При получении равенств (2.28) использован
тот факт, что для функции ф (= SC(00> ([RN; [R1) на гиперповерхности
^ = л/+ь / = 1,2, ..., W, справедливо соотношение
(t^T-tIt)*-0- (229>
Таким образом, в силу (2.28) и (2.29) соотношения (2.23)
выполнены для всех /, k = 1, 2, ..., N. Как следствие получаем, что функция
Ф (= SC(00) ([RN; [R1) удовлетворяет уравнению #л/ф = 0, если функция
/ £ SC(00) ([RN; (R1) удовлетворяет уравнению А^/ = 0. Тем самым
для операторов HN и Д^ установлена справедливость
соотношения (2.21). >
Рассмотрим теперь решение уравнения
с оператором (2.17), в котором сделана замена а -> a'/N и данные Коши
которого имеют вид
fN (tt xu ..., xN) \t=o = ф (хх) ф (х2)... ф (xN). (2.31)
Тогда в силу вычислений § 1 для решения уравнения Бюргерса имеем
следующую формулу:
Ф(/, х) = lim J dxN j dxN-i... ) dx2fN(t\ x, x2, ..., xN). (2.
N-+OO |R1 |R1 |R1
32)
При условии существования обратного оператора Q""1 из (2.21)
находим равенство
QrlHN = bNQ-\ (2.33)
из которого при всех / £ [R1 следует, что
Q-y"* = ^q-i. (2.34)
247

Применяя равенство (2.34) к соотношению (2.31), находим
] dx2 ] dx3 ... j dxNQfiletHN ф (x) q> (*2)... ф (*л/) =
IR1 IR1 IR1
= J d*2 { d*3... J dxNe^NQ-\(x) <p (*a)... Ф (**). (2.35)
IR1 IR1 IR1
Обозначив правую часть равенства (2.35) через ф# (/, х), получаем
уравнение для фл/ (/; х)
dt дх*
(2.36)
т. е. уравнение теплопроводности.
Предположим, что существует предел ф (/; х) = lim фд? (t\ x).
Тогда в силу (2.36) q> (t\ x) удовлетворяет уравнению
теплопроводности
4—.-S- <237>
Рассмотрим теперь ряды для операторов Q и Q-1:
Q=1+2^S £ Qik+--; (2.38)
К*
/<*
где в операторах Q,>, /, k = 1,2, ..., N, также проведена замена
a-^alN. Так как справедлива формула
N N
S SQ/*= Е #(*/ — **) Q/a. (2.39)
/<*
где # (а:), л: £ [R1, — функция Хевисайда, из (2.38) для левой части
в (2.35) находим
J dx2 j d*3-j dxNfN{t\xy x2> ...yxN)— 2^- V J d*2 J d*3...
IR1 IR1 IR1 j,M IR1 IR1
•.. ] dxN$ (xk — xf) QkifN {t\ x, x2, ...,xN) + o (a). (2.40)
IR1
Так как для любой функции / (= С(00) ([R2; [R1) справедливо равенство
$ dx J dy* (x - у) (JL- + -A-\ / (*, 0 = 0, (2.41)
IR1 IR1 \ У )
248

то в выражении (2.40) все члены, для которых /, k Ф 1, аннулируются.
Отсюда при N -> оо получаем
й dx2 $ dxz... J dxNQTxetH^ {x) Ф (x2)... Ф (xN) =
IR1 IR1 IR1
{oo oo
^=-L J dt/tf (f/ - x) (-iL + -A-) J dx$> (f; * +
x
xjdx/fttf; л:+(-^-+1)т, */ + (-^-_l)T) + 0(a) = <p(f;*)_
0
oo oo X
XX * ' 0 ~ oo Ч
oo oo oo
x 0
X Ф (/; x — x) ф (f; у + т) ^- \ dy\ dxy (f; * + x) ф (f; у — т) -f-
—oo 0
+ о (a) = ф (/; x) s- ф (f; *)
J ф№В«-$ф№ E)d6
+ o(a).
(2.42)
Вычисляя аналогичным образом члены при всех степенях a', / (= £+
в ряде (2,42), находим
где
ф('; *) = S -тггФДф (';*)].
/GZ+ 2'/!
Ф0 = ф(/; *),
(2.43)
Ф2 = — Ф (Ь х)
Г X оо
Фх = ф(*;*) $ Ф№ 5)rfg— {ф(/; l)d\
X \2 X oo
_J ф№ l)dU +6 J Ф(/; |)4 J Ф(/; l)dl +
(2.44)
Формула (2.43) является выражением типа Хопфа — Коула, но
в нестандартной форме. Как известно, если ф (t\ х) .£ QK) (fR1; IR1) —
249

решение уравнения Бюргерса (2.12) при (3 = 0, то функция ф (/;
х) = exp J J ф (/; I) d\\—решение уравнения теплопроводности (2.37).
Тем самым, обращая преобразование Хопфа — Коула или
преобразование (2.43), можно проинтегрировать в явном виде уравнение
Бюргерса (2.12) при р = 0. Существует ли аналогичное преобразование для
полного уравнения (2.12) при р Ф 0, неизвестно. Это пока
нерешенный вопрос.
§ 3. КВАНТОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НЕЙМАНА
И МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
3.1. Предварительные замечания. В работе [142] доказано, что
динамическая система Неймана на сфере §^
йЧ +о)х = 0, х .x = jV + 1, (3.1)
dt*
где х £ С(2) (IR1; Ц*+\ со = || соубм ||, /, k = 1, 2, ..., N + 1, является
вполне интегрируемым гамильтоновым потоком относительно симплекти-
dx
ческой структуры Q = dy Д dx, у= —г--, /£IR1, ограниченной на
сферу §^, и гамильтонианом Н0 = -у- (У • У + х • сох). В случае
свободной системы осцилляторов (3.1) задача точного квантования и
вычисления спектра решается обычным правилом Дирака
h д ~ лг 7
У-У = r-gj-. Х-Х, t = V-l,
где у и х — операторы импульса и координаты, действующие в
комплексном гильбертовом пространстве L2 ([RN+1; (С1).
Соответствующий этой конструкции квантования оператор Гамильтона Н0 : L2
(fR^* С1) -^ ^2 (\RN'y С1) в силу уравнения Шредингера
Щ,= Н0у, tKMIR"; (С1)' (3.2)
где ft — постоянная Планка, определяет все свойства осциллятор-
ной системы (3.1). В случае динамической системы (3.1) на сфере
§^ указанный выше путь квантования функции Гамильтона Н0 £
€ С(00) ([R2/v+2; (R1) не пригоден вследствие неканоничности симплек-
тической структуры QU^. Эту трудность можно преодолеть, переходя
к эффективной гамильтоновой системе на f]^?iV+2 с гамильтонианом
# = #0 + -о- [у • у — х- (oxlfx -х — N — 1] и стандартной сим-
плектической структурой Q = dy Д dx. Но в силу того, что в
гамильтониан Н £ С(оо) ([R2yv+2; fR1) канонические переменные х, у £
£ \RN+l входят неаддитивным способом, возникает проблема
правильного выбора упорядочения операторов у, х : L2 (fR^4-1; (С1) ->
-> L2 ([R^1; (С1) в выражении для гамильтониана. Чтобы обойти эту
250

трудность, воспользуемся адекватным методом квантования с
помощью континуального интеграла Фейнмана — Каца [51].
3.2. Формула для ядра полугруппы. Сделаем в (3.2) замену
независимой переменной t ->■ —/йр. Тогда уравнение (3.2) примет вид
уравнения теплопроводности
-Ц-=.я0+. *6La(S ; R1).
(3.3)
Уравнение (3.3) определяет в L2(§ ; IR1) полугруппу ехр(—р#0) с
(3.4)
ядром Ку (х0, z0), х0, z0£§ , действующую по правилу
(/С(Э°Ч)(Хо)= $ K(p0)(x0,z0)iKz0)d0z,
где мера d0z = ( П dzyjL^. Чтобы вычислить ядро /Ср0) (х, z)
полугруппы ехр (— РЯ0)> представим это ядро в виде /Ср0) (х0, z0) = /Ср (х, z),
xfz£R^+1f с помощью формулы Фейнмана — Каца
/(р (х, z) = J d|ix (в) ехр
— J dr(0.(ов) П6(6-6 — N—l), (3.5)
где 6 £ С N 1"» 2 • ^Л'+1) s ® — броуновские траектории с
условиями 6 (— -§-) = х £ Цы+\ 0 (-|-) = г £ JRW+1; <*ц* (0) — соответствующая
мера Винера. Выражение (3.5) можно переписать в следующей более
удобной для вычислений форме;
/Ср(х, z) = J^(0)expS3n6(6.0 — N — 1),
(3.6)
где «действие» 5р имеет вид
с 1 С . d» ёв . а „.
(3.7)
0х (0). 0 € в. — стандартная бесконечнократная мера Лебега.
Представляя далее величину Пб(0-0 — ./V — 1) в виде
Пб(0 .0 —W—1)= j 0(a) ехр \i J dxa(x)[Q .Q — N—l]
Л
-де afc([— -§-. -1-1;^) = ^, из (3.6) —(3.8) получаем
,(3.8)
251

К$ (х, z) = j 0 (а) ехр
— i(N + l) j" dxa(x)
X
X J 05(0)ехр Ц- J dT[9^ — 9.0)9 + 2/9-9а] . (3.9)
Здесь, не теряя общности, для удобства вычислений положили Й= 1.
Воспользовавшись формальным тождеством In det К = tr In Kt где
£ : L2 ([— -|-, -|-J ; (C1) -> L2 ([— -§-» 4"] ; С1) — ядерный оператор,
из (3.9) получаем
/Ср (х; z) = j 0 (а) ехр
/ J dxa(x)(N + 1) — i- У] trln/Cy(a)
N-fl
(3.10)
a2
где /Су. (а) = 7^2- + coy. — 2/a, / = 1, 2, ..., N + l9— операторы
Штурма — Лиувилля в гильбертовом пространстве L2(\ |-, -|- ; £4
траекторий 9£вс, 0е — комплексифицированное пространство
броуновских траекторий в.
Преобразуем выражение (3.10), следуя работам [145, 319, 414].
Сначала найдем стационарную точку функционала Sp (a) = — i (N + 1) x
X \ dxa(x) tr- X tr In К *(a), т. е. такую точку a0G^, что
2
65o |a0]
—^ = 0. Справедливо равенство
w+i
n+\ = S dl^'Wh).
/=i
(3.11)
где через (x\A x | т>, т £ 1-1 \ > обозначена диагональ ядра
оператора A~l : L2 ^ 1-, -i
; (C1) -^ L2 ([ 1-, -f-J ; (С1) »
являющегося интегральным оператором Гильберта — Шмидта. Поскольку вид опе-
раторов К/ , /= 1, 2, ..., N, существенно зависит от точек х, z£
€fRN+1f вычисление стационарной точки a0£</Z довольно
затруднительно. Поэтому вычислим здесь след оператора ехр (— р//0) по фор-
252

муле
trexp (— рЯ0) = S exp (—рЯ,)= С dxtfp (x, x), (3.12)
' ram-i
где {£/:/£Z+}—спектр оператора Н0. Согласно (3.10) и (3.11),
выполняя сдвиг а -> <х0 + -у- £ o4i получаем для (3.12) выражение
tr exp (— р7/0) = j 0 (a) exp
Л
J dx(N+ 1)а(т) —
- — 2j In det —Ц. . L
2 K,(tf)
где
Z(p)=exp
/=i
Z(P).
(3.13)
- / { dx (N + 1) а0 (т) - 4- J In det K, (i$
N+l
gjg [ft1, / = 1,2, ..., iV + 1, — некоторые числовые параметры. Для
вычисления регуляризованного детерминанта det АГ/(а0 + -^- ос)//Су (/£/) I
перейдем к данным рассеяния оператора L : L2 ([R1; (C^-^^dR1* (С1)»
1 = g^-+<*W. ™е тепеРь Функция aiCdR1; (Ri)^C(IR1; IR1)
удовлетворяет нулевым граничным условиям а( jp) = ос (—§-) = 0
при (З-^оо. Пусть функция /^C^flR1; (С1)— решение Йоста
уравнения Шредингера
--^г + «/ = *2Д
где k £ (С1, т. е.
/■
ат2
ptkX
+ 00,
f-+b(k) exp [— /Ах] + a (A) exp (/Ax), x -v — оо
в случае непрерывного спектра и
/->ехр(— Щ% х->+ оо,
/ -> Cj exp (А/г), х -> — оо
в случае дискретного спектра оператора L, /=1,2, ..., п, п £ Z-\-
В силу аналитических свойств функций Йоста при некоторых
ограничения) на скорость убывания на бесконечности потенциала
(3.14)
(3.15)
(3.16)
253

a : С (fR1; fR1) -> С (fR1; fR), потенциал полностью восстанавливается
[324] по данным рассеяния {г (£), я, fe/f cf : fe (= (С1, п £ ^+, / = 1,2,...
..., л}, причем r (k) = b (k)la (k), \ a (k) |2 — | 6 (fe) |2 = 1 для всех
Л £ (С1. Кроме того, справедлива формула [194]
гДе k £ [R1. Учитывая также, что
det[K/(o.+ 4-aW/(fg)]» JL sh(^P) a(f^), (3.18)
L v г ' ' J Vy/ sh(g/P)
где 1/ = со/ + |/, Y/ = — 2/a0 + 0),, /=1,2 N + 1, для (3.13)
получаем
J.
tr exp (— рЯ0) = J 0(a) exp Nf* [ dxa (x) —
лч-i
£
/=1
4-Sb,
= J 0 (a) exp
g"sh(KT/P)
/v7«h (I/P)
3
w+i
■4-2 infl(iKY/) -
/=i
yv+ i
j a (t) dx
лн-i
П
H/sh(/y/P)
X
лн-i _j_
xfla 2 (/VT/2(P)).
/=i
Так как в силу нелинейных формул следов [194, 82]
оо оо п
J dTO(T)==_JL J ln(l— |r(fe)|2)dfe — 4jft/f
—oo —oo i==t^
oo oo „
j dra2(т) = -4- f In(1 — \r(k)|2fe2dfe + -^- % k%
(3.19)
(3.20)
/-i
то (3.19) можно переписать в виде
1гехр(-рЯ„)=.$0(а)ехр --Ш- { in (1 -\r (k)\*)dk-
A L
-2 (ЛГ+ !)$>,
a 2(iVy,)Z$). (3.21)
W+l[ ,- - 12
P[ Ky/sh(gp)
/=i J/=i L l/sh(/^P)
Для вычисления интеграла в (3.21) необходимо пересчитать меру
$ (а) в терминах данных рассеяния, введенных раньше. В силу кано-
254

ничности [82, 1941 этого преобразования якобиан его равен единице.
При этом каноническими переменными на множестве данных
рассеяния будут следующие [194]:
{pf = V^9q,^2ln^icj^a(iki)j:j= 1,2, ..., л},
(3.22)
{p{k) = -±-\n{\-\r{k)\\ q(k) = argb(k):k£W}.
Таким образом, согласно (3.19) и (3.22) получаем
& <а) = X 4г П dpjdq,0 (Р) 0 (q), tr exp (—ря0) =
-*<Р)2-тИ Пижамам П М^Ш х
ХП|4^1 «P|-14-P(*)(-S^r-2]|. (3.23)
^Vt/'-p,2
4/г ^ v ' \ i£ + у/
где интегрирование по аналогии с работами [145, 319, 414] выполня-
ется в следующих пределах: qf £ [—$pj , $р] ], q (k) £ [0, 2я], /?,,
р (k) £ [R+» У = 1,2, , я, fe £ [R1. С целью явного выполнения
интегрирования в (3.23) перейдем к следующей его дискретной
аппроксимации: отрезок 2 ' 2 Разобьем на т -*" °°» m £ ^+» точек с
равномерным шагом Д = рт-1 -> 0. При этом переменным р (k)t q (k)y
k £ [R\ соответствуют канонические переменные ps = (—g^)2 P(&s)>
(7s = f-^-j2 q(ks), ks = 2nsp^, s== 1, 2, ..., m. При таком подходе
к дискретизации интеграла в (3.23) различие между точками
дискретного и непрерывного спектров элиминируется, что приводит к
следующей мере интегрирования в (3.23) [595—597]:
п т—п „ „ п
П dpjdq.0 (p) 0(q)-+ П d~psdqs П dpjdqi9 (3.24)
где учтено, что число независимых переменных интегрирования
сохраняется. Преобразование (3.24) является неканоническим, поэтому
из (3.23) и (3.24) получаем
/т—п \
tr еХр (- РЯ0) = lim Z (Р)£ П П dpsdqs x
т*°° (п) \ s=l У
N+1
255

X
Vyi sh (У)
"7Г H fl dp jdq,) exp (- 2pf ) X
W=i
г- I
1=1
Y,2 + P,
ъ2 -p? J
(3.25)
где Л, (fes), Д, (p/), s = 1, 2 m — n, /=1,2 n,—
поправочные множители к якобиану преобразования (3.24), учитывающие его
квантовые флуктуации. Для упрощения выражения (3.25)
воспользуемся следующим формальным тождеством:
П /-'(fe^exp \-4г $ dk\nf(k)[]+0(r1)}
s—1 I тт.
л
д
(3.26)
где
-> оо при т->-оо, |3-^оо. Интегрируя в (3.25) попеременным
4/£[—Р/>/. Р/>/1. <75£[0»2:гс], / = 1.2, ..., п, s = 1, 2, ..., т —я, и
используя (3.26), получаем
1гехр(-ря0) = 2ф)П , _ г_
/у/ sh (6/Р)
X
1
1 v Т
1
X exp
2 2
\ + 5± 1 exp[-2s2(yV + l)]A,(s)}x
W+l
P
x ПехР\—тг J dfeln
I
2(ife — Y/" > — !
T
4fe(tt + Y/2> -
bt(k)
(3.27)
Теперь необходимо вычислить следующие величины: 1) aQ£ <A как
решение уравнения (3.11); 2) функции A, (s) и Д/ (£), /=1,2,...
..., N + 1; 3) значение Z (Р) при р -^ оо. В силу уравнения (3.11)
находим, что константа а0 £ Л — решение, если выполнено алгебраическое
соотношение
/v-н L
2 (N + 1) = 2 (со, — 2«а0) 2. (3.28)
/=i
Для вычисления Z (Р), р -> оо, с учетом (3.13) получаем
Z ф) ~ Z0 exp |^- faoP (Л^ + 1) i- S EyPj. (3.29)
256

где Z0 £ [R1 — некоторая не зависящая от р -^ оо нормировочная
константа.
Чтобы вычислить функции A (k)y A (s), рассмотрим величину Е0
энергии основного состояния оператора Н0, Для этой цели заметим,
что
э—1
Е0 = — lim P" In tr exp (— ряо).
(3.30)
Учитывая формулы (3.27), (3.29) и (3.30), получаем
ЛЦ-1
£0 = ioc0 (W + 1) + -^- £ S dfcA, (k)
In
/=i
2(tfe + V/2)- 1
T~~
L 4A (iA + V/2 ) J
-1 - \~
—ИЛвП
"+'/T,2+s2
1 I
A, (s) exp (— 2s 2 (N +[)) +
'- \T/-SJ
Л'+l
+4-S (?/-i+Ky/)-
(3.31)
3.3. Оценка величины энергии основного состояния оператора
И0. Перейдем теперь к оценке выражения (3.31), исходя из (3.13):
tr exp (- РЯ0) ^ Z (P) exp -0L±L £ j dxaJfr (x) —
'2
ЛЧ-1 tfe Г л / • _ \ л
--г .§ йln det[^/(ao + -T*ok)/K,ati)
i
X ] 0 (a) exp
ЛЧ-1 W0 2
- v v С dTayn<;
<*>«
(3.32)
Здесь <хок£<Д, k= 1, 2, ..., Л/„, — решения интегрального уравнения
вида (3.11)
N + 1
= V /т
^' ' (ao + -g- а
V'
17 6-1669
(3.33)
257

MT : <А -v Л\ / = 1, 2, ...,Af + 1,— интегральные операторы, ядра
которых даются выражением
ЛГ(т, v) = -i- <^т | КГ1 (а0 + -^oc0fe) | v^><^v | ^~1 (а0 + -^a0fe | т\ ,
(3.34)
где т, v£ 1"'-|" > £=1»2» •••• No- Выражение (3.32) можно
переписать в виде
No ( 2
1гехр(-ря0)-г(Р)г^Р)ПехРиШ- С draoHr)-
2
— -L J In det [tf, («о + -f *о*)/Я, ($)] X
Л/+1
/=1
хП exp \-±\ndei[Mf/Mf] ,
(3.35)
где операторы MfitA-^A* /=1,2, ..., W+l, имеют ядра
следующего вида:
1
ЛС (т, v) = -gi- exp (- 2Y/2 | т - v |)
для всех т, v £
жением
2 ' 2
(3.36)
, (З-^оо, а величина ZX(P) дается выра-
ЛЛ-Н N0 _L
Zx (P) = П П [det Mf >] 2 .
(3.37)
Для описания множества решений {а^ £ о4 : ft = 1, 2, ..., Af0}
уравнения (3.33) перейдем к задаче его описания в переменных данных
рассеяния. Из (3.23) несложно получить, что данные рассеяния
rt (ft), / = 1, 2, ..., jV0, и собственные значения — х'7 £ [R1, / = 1,
2, ..., W + 1, для потенциалов a0k £ t/Z, ft = 1, 2, ..., iV0,
удовлетворяют уравнениям
г, (ft) = 0, ft £ IR1,
2 T'
Ci v,-*j
= 2<tf+l).
(3.38)
Второе уравнение в (3.38) имеет ровно N + 1 решение в случае,
когда yt ф 7*ПРИ I Ф К l> k = 1, 2 N + 1. Таким образом, мно-
258

жество (a0fc ^A,k= 1,2, ..., N0) содержит следующие потенциалы
оператора Штурма — Лиувилля L : (N + 1) потенциалов с одним
собственным значением в точках — X/, / = 1, 2, ..., N + I; N (N + 1)/2
потенциалов с двумя собственными значениями из множества {—х/,
/=1,2, ..., N + 1}, ..., CJ+i потенциалов с nf (1,2, ..., N + 1}
собственными значениями. Для числа N0 £ %+ отсюда получаем
равенство
ЛГ0 = 2"+1-1. (3.39)
Так как в силу (3.38) все потенциалы а^ £<А, k = 1, 2, ..., N0,
являются безотражательными, для них согласно методу обратной
задачи теории рассеяния [194] существуют явные формулы в терминах
элементарных функций
Оо/г = — 2
д2
lndet
-exp
— т(хЛ| + хЛр
(3.40)
где множество индексов {kit kj) принадлежит множеству индексов {1,
2, ..., Af-f- 1}. В частности, для односолитонного решения а0 £ Л
из (3.40) получаем
"o~-2ch,(^_6), (3.41)
где х£ {ку: / = 1, 2, ..., N + 1}; б = — In (c/2x) — фазовый член,
ютенциал
учитывающий трансляционную инвариантность потенциала а0 £ ^4.
Таким образом, учитывая равенство
det[£/(ae+-j-«o*)/£/(»£/)
_ E,sh(/V/p) *L
, (3.42)
где ft = 1, 2, .... tf0; щ$ €{*/ = / = 1, 2, ..., tf + 1}; s = 1, 2,...
..., nk\ пк = 1, 2, .... Af + 1, формула (3.35) принимает вид
tr exp (- рЯ0) ~ Z (p) Zx ф) П П ехр Ц- J «о* (т) dr -
->
|; sh ГКухР) j^
*=1 /=1
i-In det [М^/МП • (3.43)
Применяя формулу (3.30) к выражению (3.43), получаем
/V+l ЛЦ-1 Л/,
17*
259

+ 4-S 2(K7/-f/)—г2 ЕНш -i-lndet[A«r/<I-
— lim -i- In Zx (P). (3.44)
Учитывая выражения (3.31) и (3.44), замечаем, что
2 (ik + yt)-\
N-
4£ (//г + Y/)
А (Л) dfe = 0.
Пусть теперь число N -+ оо. Тогда легко заметить, что
критическими точками подынтегрального выражения в интеграле
(Л0 = jsfl (-^Д^-)2ехр[-2|/"5(УУ + 1)]А/(5)^ (3.45)
будут решения уравнения (3.38), т. е. точки sf = X/ £ |R+, / = 1,
2, ..., jV + 1. Таким образом, по этим критическим точкам можно
оценить асимптотику выражения (3.31) с точностью О (N~tn)y
где Z+ Э т -> со. Аналогичную оценку можно получить для
выражения (3.44). Для этой цели достаточно вычислить величины
In det [M^/Mf], j = 1, 2, ..., N + 1; /г = 1,2, ..., #0. Это можно
эффективно сделать в случае со = со, = со,-, г, /=1,2,..., jV + 1.
Тогда JV0= 1 и для выражения det [M^/Mf*] получаем [319,
320]
det [MflMf] = lim det(g^48"]) . —^SEA , (з.4б)
e-o det (B) det (B0 — 4/a0e-1)
где BQj В : A -+ A — линейные дифференциальные операторы,
удовлетворяющие условиям
BMf = 4, B0Mf = — 4ia0,
В- д ( l M и , ^алх^-з^
причем х^Ов силу уравнения (3.38). Таким образом, выражения
(3.44) и (3.31) дают возможность вычислить асимптотическое
разложение для энергии основного состояния EQ = EQ (N) при N -+ <х>
в виде
E0(N)~ f ЛтЛГт, (3.48)
т=—1
260

где
При этом сравнение этих двух асимптотических выражений при
больших т ->- оо позволяет получить явное выражение для множителя
Д/ (s), s £ [pY> в точном значении (3.31) для энергии основного
состояния £ft системы (3.1).
§ 4. Квантовая алгебра Ли токов — универсальная
алгебраическая структура симметрии вполне интегрируемых
динамических систем
4.1. Квантовая алгебра Ли токов. Пусть р (/) = J dnxf (x) p (х),
J (g) — J dnx g (x) J (x)— операторы в гильбертовом пространстве
Фока Ф, где по определению р (х) = я|э+ (х) я|э (х)— оператор
плотности числа частиц; J (х) = -^- [я|э+ (х) уг|э (х) — уф+ (х) • i|) (х)] —
оператор плотности потока частиц в представлении вторичного
квантования (см. § 1 гл. 5); я|э+ (х) и я|) (х)— вторично квантованные
операторы рождения и уничтожения одночастичных квантовых состояний
в точках х и у £ Тп соответственно, удовлетворяющие каноническим
коммутационным соотношениям [я|э (х), г|э (у)] = 0, [\\> (х), г[з+ (у)]-& =
= б (х — у)\ /£ # (Тп\ Цп), g£$ (Tn; Цп)— гладкие 2я-периоди-
ческие функции на торе Тп, Z+ £п < оо. Легко убедиться
непосредственными вычислениями, что операторы р (/) и J (g) образуют
бесконечномерную алгебру Ли #, которая называется квантовой алгеброй
Ли токов [620, 622], при этом
[p(i), р(/2)1 = 0, [р(/), J(g)] = ip(Vf-g), [J(gi)9 J(g2)] =
= iJ(B2-Vgi-gi-VgJ. (4.1)
Алгебра Ли токов (4.1) является фундаментальным алгебраическим
объектом в нерелятивистской квантовой физике и статистической
механике. Своей структурой она отображает инвариантные свойства
изучаемых физических явлений. На математическом языке эта
структура формулируется особенно явно, если построить банаховую группу
Ли G, алгебра Ли которой совпадает с алгеброй Ли токов (4.1).
Справедлива теорема [622].
Теорема 4.1. Алгебра Ли токов $ {4.1) — алгебра Ли банаховой
группы Ли G = <& <я Diff (Tn), m. е. полупрямого произведения абе-
левой мультипликативной группы Шварца $ = $ {Тп\ IR1) и группы
диффеоморфизмов тора Тп.
4.2. Функциональные представления алгебры Ли токов. В
физических приложениях, как показано в работах [622], важную роль
играют различные представления алгебры Ли токов (4.1) в специальных
функциональных пространствах. В частности, в этой работе изучались
261

самосопряженные операторные представления в гильбертовых
пространствах с мерой. Ниже рассмотрим функциональные представления
алгебры Ли токов (4.1) на одномерном торе Т1 « §\ реализуемые
бесконечномерными векторными полями. Будем считать, что оператор
плотности р (х) = р (х) • ехр (iex)y х, г £ §х « IR1 / (2я %}у где
оператор р (х) — периодический по переменной х £ IR1. Тогда,
выбирая в качестве множества базисных /-функций в (4.1) множество
{ехр (—ijx — iex : j £ Z}> а в качестве g-функций множество
{ехр (—ikx) : k £ %}, из (4.1) находим
[Р/. Р*] = °» IP/. Jk] = (/ + е) р/^, [J„ Jk] = (/ — k) /ж, (4.2)
2я 2л
где р; = j dx ехр (—ijx) р (х), Ул = j dx ехр (—ikx) J (х), /, fe £ Z»
о о
— фурье-токи исходных операторов алгебры Ли токов.
Алгебра Ли (4.2) обладает очевидным представлением в кольце
d N
операторов (С ft, ^"~l] т/Г» ^ £ С^: если положить р/ = £ ^4, «^ =
_а_
г = 0 автоматически выполнены. При этом
N
р (х) = £ б (х - 8,), Кт = ехр (- /em), m = 1, ЛГ, (4.3)
/=1
dl
N
= — £ ^m+1 -зг-» /. fe б £, Z+ Э N < оо, то соотношения (4.2) при
m=i слт
N Г
2 -б'(х-
/=iL
J(*)= 4-2 -e'(*-e/> + 2e<*-e/>-d
/=i L
суть Af-частичные представления в L2 (IR^, (С1) алгебры Ли токов
(4.1) на окружности §г.
Для получения других нетривиальных представлений алгебры Ли
токов (4.2) рассмотрим алгебры Ли симметрии произвольных вполне
интегрируемых бесконечномерных динамических систем.
1. Уравнение Кортевега — де Фриза. Пусть и £ М « & (IR1; IR1)
удовлетворяет уравнению Кортевега — де Фриза
ut = иххх + иих = К [и], (4.4)
где t£ IR1 — эволюционная переменная. Образуем подмножества
Q{a} = {ay=A*/a0:/eZ}, Q {Ф} = {Ф, = Л*(Ж>Ф0: /6 ZK
где а0 = их\ Ф0 = 1 + Ых\ Л* = ./Ш^-1 — симметрийно-рекурси-
онный оператор динамической системы (4.4); (££, М) — имплектичес-
кая пара нетеровых [621, 625, 627] операторов на /W, (£ s= д = -g- ,
Л( = d3 + у wd + тг дм. Тогда полупрямая сумма подалгебр Q {а} и
Q {Ф} множество Q = Q {a} © Q {Ф} — алгебра Ли симметрии
динамической системы (4.4), причем она изоморфна алгебре Ли токов (4.2).
262

При этом для всех /, к £ %, справедливы формулы
1«/. Ф*1 = /«/+*. [«/. «*] = О, [Ф,, Ф*] = (/ — k) Ф/+». (4.5)
Обозначим теперь через Lk. производную Ли в направлении векторного
поля К : М -»- Т (М). Если {£ : Т* (М) -* Г (М), в : Г (М) -»-
-*- Т* (М), А : Т* (М) -»- Г* (М), Л* : Т {М)-+Т (М), то
L^ = £' . /С — ^^'* —К'-{£, LKA = A' -К — [Л, /С"], (4.6)
Z.Ke = в' • /С + в/С' + /С" • в, L/сЛ* = Л*' • К — [К\ Л*].
Вычисляя далее производные Ли вида (4.6) вдоль алгебры Ли
симметрии Q динамической системы (4.4), находим
La.<£ = LaM = La A = U.A* = О, U 2 = (s + 1) &Л«,
1111 s
1ф5Л = вЛЛ», LosA = As+i, UA* = A*s+\ /, seZ- (4.7)
Для законов сохранения yf £ j3 (М), где ££ grad Y/ = <*/»
справедливы формулы (/ + s) 7/+s = (grad yJt Ф5), /, s£ Z,
являющиеся следствием соотношений L/<a = a' • К — /С' • a, Lk4> = ф' • /( -г
+ /С* • ф, где a £ Г (М), <р £ Г* (М). При этом, если а,-, Ф5 £ Т (М)
однородные и, соответственно, неоднородные симметрии динамической
системы (4.4), то
Lkolj = 0, -|-Ф5 + U<DS = 0, /, s е Z.
2. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили. Пусть w £ M « # (IR2;
IR1) удовлетворяет уравнению Кадомцева — Петвиашвили
ut = — иххх — 6иих + d-luyyt (4.8)
X
где х, у £ IR1; f £ IR1 — эволюционный параметр; д~1 (•) = -g- j (•) X
—оо
оо
X dx —-j \ (•) dx. Для уравнения (4.8) алгебра Ли симметрии Q =
= Q {a} © Q {Ф} порождается базисными элементами {Ф_ь Ф0, Ф^ U
U {Ф_2, Ф2} U {<*—ь at} и удовлетворяет соотношениям алгебры
Ли токов (4.2) при е = 0, причем
Ф! = Зха2 + Зуа3 + З'а4 + id~~xuyt Ф0 = 3#а, + 3*/а2 + 3/а3 + 2и,
ф2 = Зшз + 3*/а4 + 3/а5 — 24и2 — 12ихх — 6ихд~~1и + 6д"2иУУ9 (4.9)
Ф_, = 3*/а, + 3/а2, Ф_2 = 3ta, , ах = — wx, a2 = -j- и^
а3 = д-[иуу — 6иих — uXXXt a_i == а0 = 0,
т. е. изоморфна самосопряженной алгебре Ли токов (4.2) при е = 0.
Проведенные нами непосредственные вычисления показывают, что
для всех известных в настоящее время вполне интегрируемых
бесконечномерных динамических систем, включающих нелинейные
уравнения типа Шредингера, sin-Гордона, Дэви—Стюардсона,
Бенджамина—Оно и др., их алгебра Ли симметрии Q = Q {a) © Q {Ф} —
263

полупрямое произведение, изоморфна универсальной квантовой
алгебре Ли токов $ (4.2) на окружности §1. Тем самым наличие для
динамической системы щ = К Ы, и £ М « # (IR1; IRm) алгебры Ли
симметрии Q, изоморфной алгебре Ли токов (4.2) на §1, служит
эффективным критерием полной интегрируемости рассматриваемой
динамической системы и реализует нетривиальное функциональное
представление (векторными полями) квантовой алгебры Ли токов # (4.2) на
окружности §1. Естественно предположить, что в случае существенно
«многомеризованных» однородных [628] динамических систем на
бесконечномерном многообразии М « <& (IRa; IRm), Z+ Эя, m< oo, в
«интегрируемом» случае алгебра Ли симметрии Q = Q {a} ® Q {Ф}
(как полупрямая сумма) должна быть изоморфной исходной квантовой
алгебре Ли токов (4.1) на торе Тр, где Z+ Ър ^ п— число
«существенных» пространственных переменных динамической системы щ = К [и]
на М. Отметим, что в случае ряда «двумеризованных» динамических
систем типа Кадомцева — Петвиашвили (4.8), Дэви—Стюардсона, Яд-
жимы — Мельникова [624] и др., заданных на М « # (IR2; IRm), число
существенных переменных /7=1, так как алгебра Ли их симметрии
Q изоморфна алгебре Ли токов $ (4.2) на §1. Это, по-видимому,
связано со специальной структурой представлений типа Лакса для этих
систем [624], в которые вторая пространственная переменная входит
тривиально-аддитивным образом.
Важным свойством функциональных представлений алгебр Ли
токов $ (4.2) является свойство гамильтоновости и би-гамильтоновости
исходной динамической системы. А именно, если для рассматриваемой
динамической системы ut = К [и] на М « # (IR1; IRm) существует
нетривиальное имплектическое решение уравнения нетеровости
L& = 0, то, вычисляя в силу общих формул (4.7) «дефект» нетеровости
La>i£, / £ 2?, находим или Ьф.££ = 0 для всех / £ Z и тогда другого
имплектического и нетерового оператора JUL : Г* (М) -> Т (М), как
и регулярного рекурсионного оператора Л : Г* (УМ) -> Г* (УМ), не
существует, или ЬФСХ = (/ + 1) ££Л'\ /£ 2?, где Л = У!г*М% М:
: Г* (М) -*- Т (М) — другое решение уравнения нетеровости. Во
втором случае исходная динамическая система би-гамильтонова, а им-
плектическая (££, M)-napa согласована [472, 473]. В обоих случаях
динамическая система в силу инволютивности на М иерархии законов
сохранения у. £ $ (М)у где {£ grad yf = ajy j £ %t является вполне
интегрируемой [619, 628].
Рассмотрим случай, когда для гамильтоновой динамической
системы ut = К [и] на М « # (1R\ IR71), n = 1, 2, «дефект» нетеровости
£ф.££ = 0 для всех j £ %. Это значит, что для каждого j £ Z
существует такой неоднородный функционал у( £ jZ) (УМ), что необходимо
выполнены равенства yf = Ф;, / £ %• В силу того, что элементы Ф, £
£ Q {Ф}, j€Z,— неоднородные симметрии рассматриваемой
динамической системы, заключаем, что функционал у £ 0 (УМ), j £ Z,—
ее неоднородные законы сохранения, т. е. -^ -у/ + {Н, у^ = 0f
264

i € Z* гяе К = — (£ grad Я; Н £ 0 (М) — функция Гамильтона.
При этом законы сохранения yk и у,- ^ 0 (М)у fe, /£ %, образуют
алгебру Ли $, изоморфную исходной алгебре Ли токов *& на окруж-
ности. Такая ситуация реализуется, например, в случае динамических
систем Бенджамина — Оно и Гильберта — Гордон на многообразии
М « » (IRl; IR1) :
ut = ^uxx-6uuu = K[u)t (4.10)
ut = fflsinu = K[u]. (4.11)
Здесь Jf : # (IR1; IR1) -> # (IR1; IR1) — оператор преобразсвания
Гильберта, действующий согласно правилу для любой функции / £
€ » (IR1; R1)
—оо
где интеграл в (4.12) следует понимать в смысле главного значения Ко-
ши. Оператор (4.12) имеет такие свойства: J£* = — ffi, ffi = 1.
Для динамической системы (4.10) нетеров ^-оператор {£=д= у,
для системы (4.11) ^ = $£. В обоих случаях справедливы формулы
L& = La(£ = Lo^ = 0 для всех /, k £ #• Тем самым
динамические системы (4.10) и (4.11) гамильтоновы, вполне интегрируемы, но не
би-гамильтоновы. В частности, для (4.10) и (4.11) имеем явные
гамильтоновы представления
ut = ffluxx — 6иих = g— grad j dx I u3 — uHux
— oo \
ut = ffismu = — Jfgrad j dxcosu.
—oo
При этом иерархия законов сохранения yjy yk £ 0 (M), /, k £ 2?"
для систем (4.13) является нелокальной в силу формы оператора
Гильберта (4.12). Тем не менее для них существует нелокальный аналог
представления типа Лакса, эквивалентный некоторой обобщенной
краевой задаче типа Римана — Гильберта в теории аналитических функций.
Предоставляется естественным искать аналог этого принципа
линеаризации для случая общих многомеризованных вполне
интегрируемых гамильтоновых динамических систем, алгебра Ли симметрии
которых изоморфна универсальной алгебраической структуре квантовой
алгебры Ли токов на торе Тпу Z+ Эп< °°- Для эффективного
продвижения в этом направлении необходимы примеры новых, в частности
двумеризованных, вполне интегрируемых гамильтоновых
динамических систем, алгебры Ли симметрии которых изоморфны квантовой
алгебре Ли токов на торе ? = §l x §!.
Как отмечалось выше, универсальная квантовая алгебра Ли токов
$ (4.1) обладает многими различными представлениями, в частности
* (4.13)
265

операторными представлениями в специальных гильбертовых
пространствах [622]. Операторная алгебра симметрии вполне интегрируемой
динамической системы типа Шредингера (см. (1.21) гл. 5), изученной в
§ 1 гл. 5, в гильбертовом пространстве Фока Ф реализует новое
операторное нетривиальное представление алгебры Ли токов $ (4.2) на
S1. Операторные представления квантовой алгебры Ли токов $ (4.2)
на §т играют фундаментальную роль при решении важнейших
проблем статистической механики [620, 622]. В частности, важная для
приложений проблема описания многочастичных функций распределения
Н. Н. Боголюбова в большом каноническом ансамбле Гиббса
статистической механики сводится к решению так называемых квантовых
функциональных уравнений, реализующих производящий функционал
для унитарных неприводимых (циклических) представлений банаховой
группы Ли токов G = & ® Diff (Т3) на торе Т3. В случае квантовой
динамической системы типа Шредингера (1.21) (см. § 1 гл. 5) решения
этих функциональных уравнений Боголюбова для неприводимых
унитарных представлений банаховой группы Ли токов $ ® Diff (g1)
дают возможность вычислить в явном виде корреляционные функции
бозе-газа типа Шредингера конечной плотности. Этот алгоритм
изучения корреляционных функций, очевидно, применим для любых
квантовых вполне интегрируемых динамических систем произвольной
размерности, если их операторная алгебра Ли симметрии изоморфна
квантовой алгебре Ли токов (4.1) на торе Тпу что является преимуществом
данного подхода перед квантовым методом обратной задачи,
применимым только в одномерном случае.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М. -.Наука,
1979.—431 с.
2. Арнольд В. И., Варченко А. Я., Гусейн-Заде С. М. Особенности
дифференцируемых отображений.— М. : Наука, 1982.— 302 с.
3. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи.— М. : Мир, 1968.—
749 с.
4. Ахиезер Я. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе
интервалов// Докл. АН СССР.— 1961.— 141, № 2.—С. 263—266.
5. Бакай А. С, Степановский Ю. П. Адиабатические инварианты.— Киев :
Наук, думка, 1981.— 283 с.
6. Белоколос Е. Д. Квантовяя частица в одномерной деформированной решетке,
зависимость энергии от квазиимпульса // Теорет. и мат. физика.— 1976.— 26,
№ 1.—С. 35—41.
7. Белоколос Е. Д., Петрина Д. #. О связи методов аппроксимирующего
гамильтониана и конечнозонного интегрирования//Там же.— 1984.— 58, № 1.—
С. 61—71.
8. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера.— М. : Изд-во Моск.
ун-та, 1983.— 392 с.
9. Бикбаев Р. Ф., Бобенко А. И., Итс А. Р. Уравнение Ландау — Лифшица,
теория точных решений.— Донецк, 1984.— Ч. 1.— (Препринт / АН УССР.
Донецк, физико-техн. ин-т; № 84-6-84-7).
10. Боголюбов Я. М. О физическом спектре решеточной модели синус-Гордон //
Теорет. и мат. физика.— 1982.— 51, № 3.— С. 344—354.
11. Боголюбов Я. Я. Избранные труды : В 3v-x т.— Киев : Наук, думка, 1969.—
Т. 1. 647 с.
12. Боголюбов Я. Я., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод
ускоренной сходимости в нелинейной механике.— Киев : Наук, думка. 1971.— 244 с.
13. Боголюбов Я. Я., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний.— М. : Наука, 1974.— 504 с.
14. Боголюбов Я. Я., Ширков Д. В. Введение в квантовую теорию поля.— М. :
Наука, 1976.— 479 с.
15. Боголюбов Я. Я., Боголюбов Я. Я. (мл.). Введение в квантовую статистическую
механику : В 2-х ч.— Дубна : Объедин. ин-т ядер, исслед., 1980.— Ч. 2.— 120 с.
16. Боголюбов Я. Я. (мл.), Садовников Б. И. О периодических решениях
дифференциального уравнения /г-го порядка с малым параметром // Тр. между нар. симпоз.
по нелинейн. колебаниям. Киев, Изд-во АН УССР, 1963, т. 1, с. 155—165.
17. Боголюбов Я. Я. (мл.). Метод исследования модельных гамильтонианов.— М. :
Наука, 1974.— 176 с.
18. Боголюбов Я. Я. (мл.), Садовников Б. И. Некоторые вопросы статистической
механики.— М. : Высш. шк., 1975.— 352 с.
19 Боголюбов Я. Я. (мл.), Бранков Й. Г., Загребное В. А. и др. II Метод
аппроксимирующего гамильтониана в статистической физике.— София : Б АН, 1981.—
245 с.
267

20. Боголюбов Я. Я. (мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Дискретная
периодическая задача для модифицированного нелинейного уравнения Кортеве-
га — де Фриза // Докл. АН СССР.— 1981 — 258, № 3. С. 575—580; Теорет. и
мат. физика.— 1982.—50, № 1.—С. 118—126.
21. Боголюбов Н. Я. (мл.), Прикарпатский А. К. Обратная периодическая задача
для дискретного приближения нелинейного уравнения Шредингера // Докл.
АН СССР.— 1982.— 262, № 5.—С. 1103—1108.
22. Боголюбов Я. Я. (мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Точные
почти периодические и солитонные решения нелинейных уравнений
распространения волнового импульса в двухуровневой среде без диссипации // Докл.
АН УССР. Сер. А.— 1982.— № 4.— С. 5—9.
23. Боголюбов Я. Я. (мл.), Прикарпатский А. К. Применение методов
алгебраической геометрии к описанию вполне интегрируемых обыкновенных
дифференциальных уравнений Риккати//Мат. методы и физ.-мех. поля.— 1983.—
Вып. 17.—С. 3—10.
24. Боголюбов Я. Я. (мл.), Прикарпатский А. К. О конечнозонных решениях
уравнения типа Гейзенберга // Там же.— 1984.— Вып. 19.— С. 7—13.
25. Боголюбов Я. Я. (мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Периодическая
задача для нелинейных уравнений распространения волнового импульса в
двухуровневой среде без диссипации.— Киев, 1983.— 16 с.— (Препринт / АН УССР.
Ин-т математики; № 83.22).
26. Боголюбов Я. Я. (мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Полная
интегрируемость динамических систем типа Неймана // Докл. АН УССР. Сер. А.—
1984.— № 10.— С. 54—57.
27. Боголюбов Я. Я. (мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Классическая
и квантовая вполне интегрируемая динамическая система типа Шредингера.—
Киев, 1984.— 32 с— (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; № 84.53).
28. Боголюбов Я. Я. (мл.), Курбатов А. М., Прикарпатский А. К. Квантовые
возбуждения нелинейной модели типа Шредингера // Термодинамика
необратимых процессов и ее применение (Черновцы, 18—20 сент. 1984 г.) : Тез. докл.—
Черновцы, 1984.—Ч. 2.—С. 220—221.
29. Богоявленский О. И., Новиков С. П. О связи гамнльтоновых формализмов
стационарных и нестационарных задач // Фуикц. анализ и его прилож.— 1976.—
10, № 1.—С. 9—13.
30. Боровик А. Е. Многосолитонные решения нелинейного уравнения Ландау —
Лифшица // Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1978.— 28, № 10.—
С. 629—632.
31. Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред.— М. :
Наука, 1982.— 335 с.
32. Бурбаки Я. Дифференцируемые многообразия.— М. : Мир, 1975.— 220 с.
33. Буслаев В. С, Фаддеев Л. Д. О формулах следов для дифференциального
сингулярного оператора Штурма — Лиувилля // Докл. АН СССР.— 1960.— 132,
№ 1.—С. 13—16.
34. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах.— М. :
Мир, 1983.— 136 с.
35. Векуа Я. П. Системы сингулярных интегральных уравнений.— М. : Наука,
1970.—379 с.
36. Веселое А. П. Конечнозонные потенциалы и интегрируемые системы на сфере
с квадратичным потенциалом // Функцион. анализ и его прилож.— 1980.— 14,
№ 1.—С. 48—50.
37. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М. : Наука, 1978.— 540 с.
38. Гахов Ф. Д., Зверович Э. И., Самко С. Г. Приращение аргумента,
логарифмический вычет и обобщенный принцип аргумента // Докл. АН СССР.— 1973.—
213, № 6.— С. 1233—1236.
39. Гахов Ф. Д., Зверович Э. И., Самко С. Г. Обобщенный принцип аргумента II
Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.— 1975.—№ 1.—С. 5—16.
40. Гахов Ф. Д., Черский Ю. Я. Уравнения типа свертки.— М. : Наука, 1978.—
295 с.
41. Гельфанд И. М., Дикий Л. А. Интегрируемые нелинейные уравнения и
теорема Лиувилля//Функцион. анализ и его прилож.— 1979,— 13, № 1.— С.
8—20.
268

42. Гельфанд\ И. М., Дорфман И. Я- Гамильтоновы операторы и связанные с ними
алгебраические структуры//Там же.— 1980.— 14, № 3.—С. 71—74.
43. Гельфанд И. М., Чередник И. В. Абстрактный гамильтонов формализм для
классических пучков Янга — Бакстера // Успехи мат. наук.— 1983.— 38, № 3.—
С. 3—21.
44. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей.— М. : Наука, 1967.— 375 с.
45. Герджиков В. С, Иванов М. И. Квадратичный пучок общего вида и
нелинейные эволюционные уравнения // Болг. физ. журн.— 1983.— 10, № 2.— С. 130—
143.
46. Герджиков В. С,- Иванов М. И., Кулиш П. П. Квадратичный пучок и
нелинейные уравнения//Теорет. и мат. физика.— 1980.— 44, №3 .— С. 342—
317
47. Герджиков В. С, Кулиш П. Я. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы,
связанные с несамосопряженным оператором Дирака // Болг. физ. журн.—
1978.—5, № 4.—С. 337—349.
48. Герджиков В. С, Кулиш П. П. Вывод преобразования Бэклунда в формализме
обратной задачи теории рассеяния // Теорет. и мат. физика.— 1979.— 39, № 1.—
С. 69—74.
49. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики.— М. : Мир, 1981.—
500 с.
50. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф : В 2-х т.— М. : Мир, 1984.— Т. 1.—
350 с.
51. Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики.— М. : Мир,
1984.— 445 с.
52. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика.— М. :
Мир, 1973.— 188 с.
53. Голод П. И. Псевдопотенциалы и преобразование Бэклунда для уравнения Тир-
ринга.— Киев, 1978.— 14 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т теорет. физики;
Ко 78—100Р).
54. Голод П. И. Интегрируемые гамильтоновы системы на орбитах афинных алгебр
Ли.— Киев, 1982.— 21 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т теорет. физики;
№ 82-14Р).
55. Голсд П. И. Канонические координаты и лагранжианы на орбитах афинных
групп Ли.— Киев, 1983.— 24 с.— (Препринт/ АН УССР. Ин-т теорет. физики;
№ 83—40Р).
56. Голод П. И. Гамильтоновы системы, связанные с анизотропными алгебрами Ли
и высшие уравнения Ландау — Лифшица // Докл. АН УССР. Сер.А.— 1984.—
№ 3.—С. 5—8.
57. Голод П. И. Прикарпатский А. К. Классические решения двумерной модели
Тирринга с периодическими начальными условиями.— Киев, 1978.— 28 с.—
(Препринт/ АН УССР. Ин-т теорет. физики; № 78—18Р).
58. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций.— М. : Наука, 1978.— 618 с.
59. Дикий Л. А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма —
Лиувилля// Успехи мат. наук.— 1958.— 13, № 3.—С. 111 — 143.
60. Динабург Е. И., Синай Я- Г. Об одномерном уравнении Шредингера с
квазипериодическим потенциалом // Функциоп. анализ и его прил.— 1975.— 9, №4.—
С. 8—21.
61. Дирак П. Лекции по квантовой механике.— М. : Мир, 1968.— 83 с.
62. Дирак П. Принципы квантовой механики.— М. : Наука, 1979.— 480 с.
63. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Конечнозонные почти периодические
решения в ВКБ-приближениях // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Сер. Соврем,
пробл. математики, 1980.—15.—С. 3—94.—Библиогр.: с. 91—94 (61 назв.).
64. Дрюма В. С. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега — де
Фриза // Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1974,— 19, № 12.—
С. 753-755.
65. Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега — де Фриза
в классе конечиозонных потенциалов // Функцион. анализ и его прилож.—
1975.—9, № 3.—С. 41—51.
66. Дубровин Б. А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с
матричными операторами, и абеле! ы л.ноюобразия// Там же.— 1977.— 11. № 4.—
С. 28—41.
269

67. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения 7/Успехи мат. наук.—
1981.—36, № 2.—С. 11—80.
68. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа
Кортевега — де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы
многообразия // Там же.— 1976.— 31, № 1.— С. 55—136.
69. Дубровин Б. А., Натанзон С. М. Вещественные двухзонные решения
уравнения синус-Гордон // Функцион. анализ и его прилож.— 1982.— 16, № 1.—
С. 27—43.
70. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодический и условно-периодический
аналоги многосолитонных решений уравнений Кортевега — де Фриза // Журн. экс-
перим. и теорет. физики.— 1974.—67, № 12.—С. 2131—2143.
71. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Алгебр о-геометрические скобки Пуассона для
вещественных конечнозоиных решений уравнения синус-Гордон и нелинейного
уравнения Шредингера // Докл. АН СССР.— 1982.— 267, № 6.— С. 1296—
1300.
72. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Гамильтонов формализм одномерных систем
гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова — Уизема // Там же.—
1983.— 270, № 4,— С. 781—785.
73. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.— М. :
Наука, 1979.— 759 с.
74. Жермен П. Курс механики сплошных сред.— М. : Высш. школа, 1983.— 399 с.
75. Захаров В. Е. О распространении усиливающегося импульса в двухуровневой
среде//Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1972.— 95, № 4.— С. 908—917.
76. Захаров В. Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с
дисперсией// Изв. вузов. Радиофизика.— 1974.— 17, № 4.— С. 431—453.
77. Захаров В. Е. Уравнение Бенни и квазиклассическое приближение в методе
обратной задачи // Функцион. анализ и его прил.— 1980,— 14, № 2.— С. 15—
24.
78. Захаров В. Е., Манаков С. В. Полная интегрируемость нелинейного
уравнения Шредингера // Теорет. и мат. физика.— 1974.— 19, № 3.— С. 332—343.
79. Захаров В. Е., Манаков С. В. Об обобщении метода обратной задачи
рассеяния // Там же.— 1976.— 27, № 3.— С. 283—286.
80. Захаров В. Е., Манаков С. В. Асимптотическое поведение нелинейных
волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния // Журн.
эксперим. и теорет. физики.— 1976.--71, № 1.—С. 203—215.
81. Захаров В. Е., Михайлов А. В. Метод обратной задачи рассеяния со
спектральным параметром на алгебраической кривой// Функцион. анализ и его прилож.—
1983.— 17, № 4.—С. 1—6.
82. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега — де Фриза — вполне
интегрируемая гамильтонова система // Там же.— 1971.— 5, № 4.— С. 18—27.
83. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений
математической физики методом обратной задачи рассеяния // Там же.— 1974.—^
8, № 3.— С. 43—53.
84. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений
математической физики методом обратной задачи рассеяния // Там же.— 1979.— 13,
№ 3.— С. 13—22.
85. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровых
классах на римановых поверхностях// Успехи мат. наук.— 1971.— 26, № 1.—
С. 113—176.
86. Зиглин С. Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование
интеграла в динамике твердого тела//Тр. Моск. мат. о-ва.— 1980.— 41.—
С. 287—303.
87. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.— М. :
Наука, 1983.— 280 с.
88. Иэергин А. Г., Корепин В. Е. Решеточная модель, связанная с нелинейным
уравнением Шредингера // Докл. АН СССР.— 1981.— 259, № 1.— С. 76—79.
89. Изергин А. Г., Корепин В. Е. Квантовый метод обратной задачи рассеяния//
Физика элемент, частиц и атом. ядра.— 1982.— 13, № 3.— С. 501—504.
90. И тс А. Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование
нелинейных дифференциальных уравнений // Вестн, Ленингр, ун-та,— 1976,—
№ 7.— С. 39—46.
270

91. Итс А. Р. Асимптотика решений нелинейного уравнения Шредингера и изомо-
нодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений // Докл.
АН СССР.— 1981.— 261, № 1.— С. 14—18.
92. Итс А. Р. О связи между солитонными и конечнозонными решениями
нелинейного уравнения Шредингера // Спектральная теория. Волновые процессы.— Л. :
Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.—С. 118—137.—(Пробл. мат. физики; Вып. 10).
93. Итс А. Р. Котляров В. /7. Явные формулы для решений нелинейного
уравнения Шредингера // Докл. АН УССР. Сер. А.— 1976, № П.— С. 965—968.
94. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечиозонным спектром
и N-солитонные решения уравнения Кортевега — де Фриза // Теорет. и мат.
физика.— 1975.—23, № 1.—С. 51—68.
95. Итс Л. Р., Петров В. Э. Изомонодромные решения уравнения
синус-Гордон и временная асимптотика его быстроубывающих решений // Докл. АН
СССР.— 1982.— 265, № 6.— С. 1302—1306.
96. Ициксон К., Зюбер Ж. Б. Квантовая теория поля : В 2-х т.— М. : Мир, 1984.—
Т. 1.
97. Карпман В. #.. Мослов Е. М. Теория возмущения для солитонов // Журн. экс-
перим. и теорет. физики.— 1977.— 73, № 2.— С. 537—559.
98. Картам, Э. Внешние дифференциальные формы и их геометрическое
приложение.— М. : Гостехиздат, 1962.— 236 с.
99. Каток А. Б. Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамиль-
тоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1973.— 37, № 3.— С. 539—576.
100. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии : В 2-х т.—
М. : Мир, 1981.— Т. 1.—344 с.
101. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений.— М. : Изд-во иностр. лит., 1958.— 474 с.
102. Козел В. А., Котляров В. П. Явные формулы для решений нелинейного
уравнения синус-Гордон // Докл. АН УССР. С-р. А.— 1976.— № П.— С. 878—880.
103. Козел В. А., Котляров В. П. Почти-периодические решения уравнения utt —
— ихх ~Ь sin a = 0. Дифференциальные уртвнения и некоторые методы
функционального анализа.— Киев, 1978.— С. 89—103.
104 Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела.— М. :
Изд-во Моск. ун-та, 1980.— 340 с.
105. Козлов В. В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями // Вестн. Моск.
ун-та.— 1982.— № 3.—С. 92—100; №4.—С. 70—76; 1983, №3.—С. 102—111.
106. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой
механике//Успехи мат. наук.— 1983.—38, № 1.—С. 4—67.
107. Корнфельд И. Я., Синай Я- Г., Фомин С. В. Эргодическая теория.— М. :
Наука, 1980.—383 с.
108. Котляров В. Я. Конечнозонные решения уравнения Гейзенберга // Теория
операторов в функциональных пространствах и ее применения.— Киев : Наук,
думка, 1981.—С. 50—67.
109. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений // Мат. сб.— 1953.— 33,
М> 3.— С. 597—626.
ПО. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами
алгебраической геометрии//Функцион. анализ и его прилож.— 1977.— 11, № 1.—
С. 15—31.
111. Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных
уравнений // Успехи мат. наук.— 1977.— 32, № 6.— С. 183—208.
112. Кричевер И. М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные
уравнения // Там же.— 1978.— 33, №> 4.— С. 215—216.
113. Кричевер И. М. Эллиптические решения уравнения Кадомцева — Петвиашви-
ли и интегрируемые системы частиц// Функцион. анализ и его прил.— 1980.—
14, № 4.— С. 45—54.
114. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над римановыми
поверхностями и уравнение Кадомцева — Петвиашвили // Там же.— 1978.—
12, № 4.—С. 41—52.
115. Кричевер И. М. Новиков С. П. Голоморфные расслоения над
алгебраическими кривыми и нелинейными уравнениями // Успехи мат. наук.— 1980.— 35,
№ 6.— С. 47—68.
116. Круглое В. Е. Аналоги ядра Коши и краевая задача Римана на трехлистной
271

поверхности второго рода // Укр. мат. журн.— 1972.— 24, № 3.— С. 352—
364.
117. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику.— Киев:
Изд-во АН УССР, 1937.— 366 с.
118. Кулиш П. П., Рейман А. Г. Иерархия симплектических форм для уравнений
Шредингера и Дирака на прямой // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР.—
1978.— 77.— С. 134—147.
119. Кулиш П. П., Решетихин Н. Ю. Обобщенный ферромагнетик Гейзенберга и
модель Гросса — Невью//Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1981.—80,
№ 1.—С. 214—228.
120. Кулиш П. П., Склянин Е. К. О решениях уравнения Я ига — Бакстера.—
Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР.— 1980.—95.—С. 129—160.
121. Лазуткин В. Ф., Панкратова Т. Ф. Нормальные формы и версальные
деформации уравнения Хилла // Функцион. анализ и его прилож.— 1975.— 9,
№ 4.—С. 41—48.
122. Ландау Л. Д. Избранные труды : В 3-х т.— М. : Наука, 1965.— Т. 3.— 340 с.
123. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма — Лиувилля.— М. : Наука, 1984.—
240 с.
124. Лет С. Алгебра.— М. : Мир, 1968.— 564 с.
125. Манаков С. В. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных
динамических системах // Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1974.— 67, № 2.—
С. 543—555.
126. Манаков С. В. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные
уравнения // Успехи мат. наук.— 1976.— 31, № 5.— С. 245—246.
127. Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций.— М. :
Наука, 1979.— 239 с.
128. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега — де Фриза//Мат. сб.—
1974.— 95, № 3.— С. 331—356.
129. Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.— Киев :
Наук, думка, 1977.— 331 с.
130. Марченко В. А., Островский И. В. Аппроксимация периодических
потенциалов конечнозонными // Вестн. Харьков, ун-та.— 1980.— № 205.— С. 4—40.
131. Маслов В П. Комплексный метод В КБ в нелинейных уравнениях.— М. :
Наука, 1974.—384 с.
132. Матвеев В. Б., Итс А. Р. Алгебро-геометрическое интегрирование
уравнения МНШ, конечнозонные решения и их вырождения.— Зап. науч. семинаров
ЛОМИ АН СССР.— 1981.— 101.—С. 64—76.
133. Микитюк И. В. Однородные пространства с интегрируемыми G-инвариантпы-
ми гамильтоновыми потоками // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1983.— 47, № 6.—
С. 1248—1262.
134. Миллер У. Симметрия и разделение переменных.— М. : Мир, 1981.— 342 с.
135. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.— Киев :
Наук, думка, 1964.— 440 с.
136. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. К вопросу об асимптотических
разложениях нелинейной механики//Укр. мат. журн.— 1979.— 31, № 1.—
С. 42—53.
137. Митропольский Ю. А., Прикарпатский А. К.. Самойленко В. Г.
Интегрируемость идеалов в алгебрах Грассмана и некоторые их приложения // Там же.—
1984.— 36, № 4.— С. 451—456.
138. Митропольский Ю. А., Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Полная
интегрируемость дифференциальных уравнений, связанных с задачей о
нелинейных колебаниях однородной продольно сжатой балки // Там же.— 1985.— 37,
№ 6.—С. 723—729.
439. Мисюра Т. В. Характеристика спектров периодической и антипериодической
краевых задач, порождаемых операцией Дирака // Теория функций,
функциональный анализ и их приложения.— Харьков : Вищ. шк., 1978.— 30.— С. 90—
101, 1979.—31.—С. 102—109.
140. Мищенко А. С, Фоменко А. Т. Обобщенный метод Лиувилля
интегрирования гамильтоновых систем // Функцион. анализ и его прил.— 1978.— 12.^
С. 46—56.
141. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах.— М. : Мир, 1973.— 215 с.
272

142. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем //
Успехи мат. наук.— 1981,—36, № 5.—С 109—151.
143. Мусхелишвили И. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М. : Наука,
1962.— 599. с.
144. Найфэ А. Методы возмущений.— М. : Мир, 1976.— 455 с.
145. Нехорошее Н. Н. Переменные действие — угол и их обобщения // Тр. Моск.
мат. о-ва.— 1972.—26.—С. 181—198.
146. Нижник Л. П., Починайко М. Д. Интегрирование про1транственно-двумер-
иого нелинейного уравнения Шредингера методом обратной задачи // Фупкцион.
анализ и его прил.— 1982.— 16, № 1.—С. 80—82.
147. Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега — де Фриза //
Там же.— 1974.— 8, № 3.— С. 54—66.
148. Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса//
Успехи мат. наук.— 1982.—37, № 5.—С. 3—49.
149. Новиков С. П., Гриневич П. Г. О спектральной теории коммутирующих
операторов ранга 2 с периодическими коэффициентами // Функцион. анализ и его
прил.— 1982.— 16, № 1.—С. 23—26.
150. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.— М. :
Наука, 1978.—399 с.
151. Парасюк И. О. О зонах неустойчивости уравнения Шредингера с гладким
квазипериодическим потенциалом// Укр. мат. журн.— 1978.— 30, № 1.— С. 70—
78.
152. Переломов А. М. Точные результаты для одномерных многочастичных систем//
Физика элемент, частиц и атом. ядра.— 1979.— 10, № 4.— С. 850—883.
153. Пидкуйко С. И. Полная интегрируемость квантовой системы и частиц на
прямой // Математические методы и физико-механические поля.— 1983.— № 17.—
С. 98—101.
154. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы
Ли.— М. : Мир. 1983.— 398 с.
155. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М. : Наука, 1984.— 520 с.
156. Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и
статистической физике.— М. : Атомиздат, 1976.— 256 с.
157. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней.— Л. : Гостех-
издат, 1948.— 175 с.
158. Постон Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения.— М. : Мир,
1980.—604 с.
159. Прикарпатский А. К. Об одной точно решаемой системе нелинейных
дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн.— 1979.— 31, № 5.— С. 576—582.
160. Прикарпатский А. К. Об уравнениях Риккати, интегрируемых в
квадратурах//Докл. АН СССР.— 1980.— 251, № 5.—С. 1072—1076.
161. Прикарпатский А. К. Об аналоге преобразования Бэклунда для
обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати,// Там же.— 253, № 2.— С. 298—
301.
162. Прикарпатский А. К. Геометрическая' структура и Бэклунд-преобразование
одной системы нелинейных эволюционных уравнений//Укр. мат. журн —
1980.—32, № 1.—С. 124—127.
163. Прикарпатский А. /С. Почти-периодические решения модифицированного
нелинейного уравнения Шредингера // Теорет. и мат. физика.— 1981.— 47, №3.—
С. 323—332.
164. Прикарпатский А. К. Алгебро-геометрическое интегрирование нелинейных
дифференциальных уравнений математической физики типа Шредингера // Мат.
методы и физ.-механ. поля.— 1984.— № 19.— С. 3—10.
165. Прикарпатский А. /С., Голод П. Я. Периодическая задача для классической
двумерной модели Тирринга//Укр. мат. журн.— 1979.— 31, № 4.—С. 454—
459.
166. Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Метод усреднения и уравнения эр-
годических деформаций для нелинейных эволюционных уравнений.— Киев,
1981.— 31 с— (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; № 81.44).
167. Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Алгебро-геометрическое
интегрирование некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на рима-
13 6-1669
273

новых поверхностях.— Киев, 1983.— 15 с— (Препринт / АН УССР. Ин-т
математики; № 83.21).
168. Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Динамические системы,
ассоциированные с оператором Дирака, и их полная интегрируемость.— Киев, 1983.—
31 с— (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; № 83.44).
169. Рамон П. Теория поля. Соврем, ввод. курс.— М. : Мир, 1984.— 332 с.
170. Решетихин Н. Ю., Фаддеев Л. Д. Гамильтоновы структуры для
интегрируемых моделей теории поля//— Теорет. и мат. физика.— 1983.— 56, №3.— С.
323—343.
171. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики : В 4-х т.—
М. :Мир, 1977.—Т. 1.—357 с.
172. Самойленко В. Г. Обратная периодическая задача для нелинейных уравнений
ленгмюровской цепочки // Укр. мат. журн.— 1982.— 34, № 3.— С. 322—327.
173. Самойленко В. Г., Прикарпатский А. К. Периодическая задача для цепочки
Тода // Там же.— № 4.— С. 469—475.
174. Сам йленко В. Г., Прикарпатский А. К. Геометрическая структура и
преобразования Бэклунда вполне интегрируемых динамических систем // Докл. АН
УССР. Сер. А.— 1984.— № 3.— С. 22—24.
175. Самойленко В. Г., Скрипник А. И., Прикарпатский А. /С. Группы голоно-
мий, представление Лакса и обыкновенные дифференциальные уравнения Рик-
кати//Дифференциально-геометрические и алгебраические методы в теории
динамических систем.— Киев, 1983.— С. 3—15.— (Препринт / АН УССР. Ин-т
математики; № 83.59).
176. Самойленко В. Г., Скрипник А. И., Прикарпатский А. К. Прямые методы
поиска представления типа Лакса для динамических систем // Докл. АН УССР.
Сер. А.— 1985.—№ 5.—С. 21—26.
177. Сато М., Дзимбо М., Мива Т. Голономные квантовые поля : Сб. ст. //Пер.
с англ.—М. :Мир, 1983.—304 с.
178. Седов Л. И. Механика сплошной среды : В 2-х т.— М. : Наука, 1984.— Т. 2.—
558 с.
179. Семенов-Тян-Шанский М. А. Что такое классическая г-матрица // Функцион.
^анализ и его прилож.— 1983.— 17, № 4.— С. 17—33.
180. Склянин Е. К. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное
уравнение Шредингера//Докл. АН СССР.— 1979.—244, № 6.—С. 1337—1341.
181. Склянин Е. К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния// —
Зап. науч. семинаров. ЛОМИ АН СССР.— 1980.— 95.— С. 55—128.
132. Склянин Е. К. О некоторых алгебраических структурах, связанных с
уравнением Янга — Бакстера. Представления квантовой алгебры // Функцион.
анализ и его прил.— 1983.— 17, № 4.— С. 34—48.
183. Склянин Е. К., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод
обратной задачи // — Теорет. и мат. физика.— 1979.— 40, № 2.— С. 194—220.
184. Склянин Е. К., Фаддеев Л. Д. Квантовомеханический подход к вполне
интегрируемым моделям теории поля // Докл. АН СССР.— 1978.— 243, № 6.—
С. 1430—1432.
185. Скрипник А. И., Филь Б. Н. Идеалы в алгебрах Грассмана, группы голоно-
мий и представление Лакса для динамических систем //
Дифференциально-геометрические и алгебраические методы в теории динамических систем.— Киев,
1983.—С. 16—31.— (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; № 83—59).
186. Смирнов Ф. А. Уравнения Гельфанда — Левитана для квантового
нелинейного уравнения Шредингера с притяжением // Докл. АН СССР.— 1982.— 262,
№ 1.—С. 78—83.
187. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри.— М. : Мир, 1983.— 408 с.
188. Солитоныв действии I Под ред. Лонгрена, А. Скотта.— М. : Мир, 1981.— 312 с.
189. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.- М. : Изд-во
иностр. лит., I960.— 240 с.
190. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— М. : Гостехиздат,
1958.—468 с.
191. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.— М. : Мир, 1961.— 412 с.
192. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонова система, связанная с
уравнением синус-Гордон // Тр. мат. ин-та им. В, А. Стеклова АН СССР.— 1976.—
142.—С. 254—265.
274

193. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи и XYZ
модель Гейзенберга // Успехи мат. наук.— 1979.— 34, № 5.— С. 13—63.
194. Теория солитонов : метод обратной задачи / Под ред. С. П. Новикова.— М. :
Наука, 1980.— 324 с.
195. Титчмарш Э. Разложение дифференциальных операторов второго порядка по
собственным функциям : В 2-х т.— М. : Изд-во иностр. лит., 1961.— Т. 1.—
555 с.
196. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.— М. : Мир, 1977.— 622 с.
197. Фаддеев Л. Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов // Теорет.
и мат. физика.— 1969.— 1, № 1.—С. 3—18.
198. Фаддеев Л. Д. Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля.— Л.,
1979.— 57 с— (Препринт / АН СССР. ЛОМИ ; № Р-2-79).
199. Фейнман Р. Статистическая механика.— М. : Мир, 1975.— 407 с.
200. Фирсова Н. Е. Обратная задача рассеяния для возмущенного оператора Хил-
ла//Мат. заметки.— 1975.— 18, № 9.—С. 831—842.
201. Фирсова Н. Е. О некоторых спектральных тождествах для одномерного
оператора Хилла // Теорет. и мат. физика.— 1978.— 37, № 1.— С. 281—288.
202. Форстер О. Римановы поверхности.— М. : Мир, 1980.— 248 с.
203. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М. : Мир,
1970.—720 с.
204. Хатсот В., Пим Дж. Приложения функционального анализа в теории
операторов.— М : Мир, 1981.— 431 с.
205. Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций.— М. : Гостехиздат.—
1947.—320 с.
205. Чередник И. В. Об условиях вещественности в «конечнозонном»
интегрировании //Докл. АН СССР.— 1980.— 252, № 2.—С. 1104—1107.
207. Чжень-Шен-Шень. Комплексные многообразия.— М. : Изд-во иностр. лит.,
1961.—239 с.
208. Шефтель М. Б. О бесконечномерной некоммутативной алгебре Ли — Бэк-
лунда, связанной с уравнениями одномерной газовой динамики //Теорет. и мат.
физика.— 1983.— 56, № 3.— С. 368—386.
209. Шмутцер Э. Симметрия и законы сохранения в физике.— М. : Мир, 1974.—
159 с.
210. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения
с периодическими коэффициентами и их применения.— М. : Наука, 1972.—
720 с.
211. Abellanas L., Galindo A. Conserved densities for nonlinear evolution equations//
J. Math. Phys.— 1979.— 20, N 6.— P. 1239—1243; 1981.— 22, N 3.— P. 445—
448.
212. Abellanas L., Galindo A. On the structure of exceptional evolution polynomials //
Lett. Math. Phys.— 1982.— 6, N 4.— P. 391—394.
213. Abellanas L., Galindo A. Evolution equations with high order conservations
laws//J. Math. Phys.— 1983.—24, N 3.—P. 504—509.
214. Ablowitz M., Beney D. The evolution of multiphase modes for nonlinear
dispersive waves // Stud. Appl. Math. 1970.— 49, N 3.— P. 225—238.
215. Ablowitz M., Каир D. G., Newell A. G., Segur H. The inverse scattering
transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Ibid.— 1974.— 53, N 4.—
P. 249—315.
216. Ablowitz M. Lectures on the inverse scattering transform// Ibid.— 1978.— 58,
N 1.—P. 17—94.
217. Ablowitz M., Ladik J. Nonlinear differential — difference equations//J. Math.
Phys.— 1975.— 16, N 3.— P. 598—603.
218. Ablowitz M., Ramani A., Segur M. A connection between nonlinear evolution
equations and ordinary differential equations of P-type.— New. York, 1979.—
41 p.— (Preprint / Clarkson College).
219. Ablowitz M., Fokas A. S. Comments on the inverse scattering transform and
related nonlinear equations// Lect. Notes Phys.— 1983.— N 189.— P. 3—24.
220. Adler M. Some finite dimensional integrable systems and their scattering
behaviour // Communs Math. Phys.— 1977.— 55, N 2.— P. 195—230.
221. Adler M. Completely integrable systems and sympletic actions // J. Math. Phys.—
1979.— 20, N 1.— P. 60—67.
275

222. Adler M. On a trace functional for formal pseudo-differential operators and the
symplectic structures of the Korteweg — de Vries equations // Invent, math.—
1979.— 50, N 2.—P. 219—248.
223. Adler M. On a trace functional for formal pseudo-differential operators and the
hamiltonian structures of Korteweg — de Vries equations // Lect. Notes Math.—
1980.— N 755.— P. 1—16.
224. Adler M., Moerbeke P. van. Completely integrable systems, Euclidean Lie
algebras and curves/ Adv. Math.— 1980.—38, N 3.— P. 267—317.
225. Adler M., Moerbeke P. van. Linearization of Hamiltonian systems, Jacoby
varieties and representation theory//Ibid.— p. 318—379.
226. Adler M., Moerbeke P. van. Kowalewski's asymptotic method, Kac — Moody
Lie algebras and regularization // Communs Math. Phys.— 1982.— 83, N 3.—
P. 83—106.
227. Adler M., Moerbeke P. van. The algebraic integrability of geodesic flow on
SO (4) / Invent, math.— 1982.— 67, N 3.— P. 297—331.
228. Ahlfors L. V., Sario L. Riemann surfaces.— New York : Princeton univ. press,
I960.- 340 c.
229. Aiyer R. N. Complete set of infinitesimal transformation about /г-solitons
solution of the Korteweg — de Vries equation / J. Phys. Soc. A.— 1982.— 15, N 3.—
P. 397—403.
230. Aiyer R. N. Recursion operators for infinitesimal transformation and their
inverses for certain nonlinear evolution equations / J. Phys. A.— 1983.— 16, N 2.—
P. 255-262, N 5.— P. 913—918.
231. Aiyer R. N Hamiltonian and recursion operator for the reduced Maxwell — Bloch
equations // Ibid.— N 11.— P. 1809—1811.
232. Alber S. I. On stationary problems for equations of Korteweg — de Vries type//
Communs. Pure and Appl. Math.— 1981.— 34, N 2.— P. 259—272.
233. Alonso L. M. Schrodinger spectral problems with energy — dependent
potentials as sources of nonlinear Hamiltonian evolution equations//J. Math. Phys.—
1980.— 21, N 9.— P. 2342—2349.
234. Alonso L. M. Gelfand-Dikij method and nonlinear equations associated to
Schrodinger operators with energy-dependent potentials // Lett. Math. Phys.— 1980.—
4, N 3.— P. 215—222.
235. Alonso L. M. A new infinite-dimensional Kirillov's structure, related with
nonlinear evolution equations// Ibid.— 1981.—5, N 2.— P. 99—103.
236. Anderson R. L., Fokas A. S. Comments on the symmetry structure of bi-Hamil-
tonian systems//Czech. J. Phys. В.— 1982.—32, N 2.—P. 365—369.
237. Anderson R. L., Taflin E. Explicit nonsoliton solutions of the Benjamin — Ono
equation / Lett. Math. Phys.— 1983.— 7, N 3.— P. 243—248.
238. Arthur M. D., Kase К. М. Gradient theorem for completely integrable
Hamiltonian systems//J. Math. Phys.— 1982.—23, N 11.—P. 1771—1777.
239. Arveson W. Quantization and the Uniqueness of invariant structures // Communs
Math. Phys.— 1983.—89, N 2.— P. 77—102.
240. Asano N. Semi-commutive operators for nonlinear evolution equations // J. Phys.
Soc. Jap.— 1983.— 52, N 7.— P. 2320—2324.
241. Asano N., Kato Y. Spectrum method for a general evolution equation//Progr.
Theor. Phys.— 1977.—58, N 1.— P. 161—174.
242. Atiyah M. F. Convexity and commuting Hamiltonians//Bull. London Math.
Soc.— 1982.— 14, N 1.— P. 1—15.
243. Atiyah M. F. Angular momentum, convex rpolynedra and algebraic geometry//
Proc. Edinburg Math. Soc— 1983.— 26, N 2.— P. 121—133.
244. Atiyah M. F., Bott R. The moment map and equivalent cohomology//
Topology.— 1984.— 23, N 1.— P. 1—28.
245. Balser W., Jurkat W. В., Lutz D. A. A general theory of invariants for mero-
morphic differential equations//Funkc. ekvacioj.— 1979.—22, N 2.—P. 197—
283.
246. Bayen F., Flato M., Fronsdal C. et. al. Deformation theory and quantization//
Ann. Phys.— 1978.— Ill, N 1.— P. 61—151.
247. Bayen F., Mai I lard J. M. Star exponentials of the elements of the inhomoge-
neous symplectic Lie algebra Ц Lett. Math. Phys.— 1982.— 6, N 5.— P. 491—497.
276

248. Belavin A. A. Exact solution of the two dimensional model with asymptotic
freedom//Phys. lett. В.— 1979.—87, N 1, 2.— P. 117—121.
249. Beresin F. A., Perelomov A. M. Group-theoretical interpretation of the Korte-
weg — de Vries type equations // Communs Math. Phys.— 1980.— 74, N 2.—
P. 129—140.
250. Bikbaev R. P., Bobenko A. I. On finite-gap integration of the Landau — Lif-
shitz equation, XYZ-case.— Leningrad, 1983.— 27 p.— (Preprint / LOMI AN
SSSR; NE—8—83).
251. Bogoyavlensky 0. I. On perturbations of the periodic Toda lattice//Communs
Math. Phys.— 1976.— 51, N 2.— P. 201—209.
252. Boiti M., Laddomada C, Pempinelli F., Tu G. Z. On a new hierachy of Hamil-
tonian soliton equations//J. Math. Phys.— 1983.-24, N 8.—P. 2035—2041.
253. Boiti M., Pempinelli F., Tu G. Z. The nonlinear evolution equations related
to the Wadati — Konno — Ichikawa spectral problem / Progr. Theor. Phys.—
1983.— 69, N 1.— P. 48—64.
254. Bountis Т., Segur //., Vivaldy F. Integrable Hamiltonian systems and the Pain-
leve property // Phys. Rev. Lett.— 1982.— 25, N 3.— P. 1257—1264.
255. Braden H. W. A completely integrable — mechanical system // Lett. Math. Phys.—
1982.— 6, N 5.— P. 449—452.
256. Calogero F. Generalized Wronskian relations, one dimensional Schrodinger
equation and nonlinear partial differential equations solvable by the inverse scattering
method // Nuovo cim. В.— 1976.— 31, N 2.— P. 229—249.
257: Calogero F. Integrable dynamical systems and related mathematical results //
Lect. Notes Math.— 1983.— N 189.— P. 46—109.
258. Calogero F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse
spectral transform//Nuovo cim. В.— 1976.—31, N 2.—P. 201—241; 1977.—
32, N 1.— P. 1—54.
259. Calogero F., Degasperis A. Extension of the spectral transform method for solving
nonlinear evolution equations // Lett, nuovo cim.— 1978.— 22, N 4.— P. 131—
137; 1978.— 22, N 7.— P. 263—273.
260. Calogero F., Degasperis A. Exact solution via the spectral transform of a
nonlinear evolution equation with linearly ^-dependent coefficients//Ibid.— 1978.—
22, N 4.— P. 138—141.
261. Campbell P. A review of recent developments in the theory and applications of
geometric quantization // Hadronic J.— 1983.—6, N 2.—P. 212—250.
262. Cant R. J. Instantons in the 1/N expension.— Inverse spectrum transform
approach in one dimension // Phys. lett. В.— 1980,— 93, N 3/4,— P. 380—386.
263. Caratu G., Marmo G., Simoni A. et al. Lagrangian and Hamiltonian formalisms:
an analysis of classical mechanics on tangent and cotangent bundles // Nuovo cim.
В.— 1976.—31, N 1.—P. 152—172.
264. Case К. М. On discrete inverse scattering problems//J. Math. Phys.— 1973.—
14, N 7.— P. 916—920.
265. Case К. M. The discrete inverse scattering problem in one dimension // Ibid.
1974.— 15, N 2.— P. 143—146.
266. Case /С. М. Orthogonal polynomials from the viewpoint of scattering theory//
Ibid.—N 12.—P. 2166—2174.
267. Case К. M. Orthogonal polynomials//Ibid. 1975.—16, N 7.—P. 1435—1440.
268. Case /С. М. Fredholm determinants and multiple solitons // Ibid.— 1976.— 17,
N 9.— P. 1703-1706.
269. Case K. M., Chiu S. C. The discrete version of the Marchenko equations in the
inverse scattering problem//Ibid. 1973.—14, N 11.—P. 1643—1647.
270. Case K. M., Chiu S. C. Some remarks on the Wronsvian technique and inverse
scattering transform // Ibid.— 1977.— 18, N 10.— P. 2044—2052.
271. Case K. M., Kac M. A discrete version of the inverse scattering problem // Ibid.—
1973.— 14, N 5.— P. 594—603.
272. Cavalcante J., Mc Kean H. P. The classical shallow water equations : Symplec-
tic geometry // Physica D.— 1982.— 4, N 2.— P. 253—260.
273. Chang Y. F., Tabor M.f Weiss J. On the analytic structure of the Henon —
Heiles system//Phys. lett. A.— 1981.—83, N 4.— P. 211—213.
274. Chang Y. F., Tabor M., Weiss J. Analytical structure of the Henon — Heiles
277

Hamiltonian in integrable and nonintegrable regimes//J. Math. Phys.— 1982.—
24, N 4.— P. 531—538.
275. Chen H. H. General derivation of Backlund transformation from inverse
scattering problem // Phys. Rev. Lett.— 1974.— 33, N 15.— P. 925—928.
276. Chen H. H. Backlund transformation in two dimensions // J. Math. Phys.—
1957.— 16, N 12.— P. 2382—2384.
277. Chen H. H., Lee Y. C. On a new hierarchy of symmetries for the Kadomtsev —
Petviashvili equation // Physica D.— 1983.— 11, N 3.— P. 439—445.
278. Chen H. H., Lee Y. C, Liu С S. Integrability of nonlinear Hamiltonian
systems by inverse scattering transform // Phys. scr.— 1979.— 20, N 3.— P. 490—
492.
279. Cherchia L., Gallovoti G. Smooth prime integrals for quasiintegrable
Hamiltonian systems // Nuovo cim.— 1982.—67, N 2.—P. 277—295.
280. Chernoff P. R., Marsden J. Properties of infinite dimensional hamiltonian
systems // Lect. Notes Math.— 1974.— N 425.— P. 1—160.
281. Choodnovsky D. V., Choodnovsky G. V. Hamiltonian structure of isospectral
deformation equation and semi — classical approximation to factorised s-matrices //
Lett. Math. Phys.— 1980.— 4, N 5.— P. 485—493.
282. Choodnovsky D. V., Choodnovsky G. V. Completely integrable class of
mechanical systems connected with Korteweg — de Vries equation and multicomponent
Shrodinger equations//Lett, nuovo cim.— 1978.—22, N 2.—P. 47—51.
283. Choodnovsky D. V., Choodnovsky G. V. Painleve property and multicomponent
isospectral deformation equations // Phys. Lett. A.— 1983.— 97, N 7.— P. 268—
274.
284. Choudhury J. Inverse scattering method for a new integrable nonlinear evolution
equation under nonvanishing boundary conditions//J. Phys. Soc. Jap.— 1982.—
51, N 7.— p. 2312—2317.
285. Choudhury A. R., Choudhury R. R., Mahato G. Lie— Backlund
transformation and ordinary differential equations associated with some nonlinear equations //
Lett. Math. Phys., 1982.—6, N 5.—P. 423—428.
286. Chows N., Hale J. K. Methods of bifurcation theory.— New York : Springer.—
1982.— 283 p.
287. Churchill R. C. On proving the nonintegrability of a Hamiltonian system // Lect.
Notes Math.— 1982.— N 925.— P. 103—122.
288. Cornille H. Multidimensional inversion formalism as a compatibility condition
between different linear differential systems//J. Phys. A : Math, and Gen.—
1979.— 12, N 9.— p. 1375—1398.
289. Creamer D. В., Thacher H. В., Wielkinson D. Gelfang — Levitan method for
operator fields//Phys. Rev. D.— 1980.—21, N 6.— P. 1523—1528.
290. Czyz J. On geometric quantization and its connections with the Maslov theory //
Repts Math. Phys.— 1979.— 15, N 1.— P. 57—97.
291. Date E. On a direct method of constructing multisoliton solutions// Proc. Jap.
Acad. A.— 1979.— 55, N 1.— P. 27—30.
292. Date E. On a construction of multi — soliton solutions of the Pohemeyer —
Lund — Regge system and the classical massive Thirring model // Ibid.— N 8.—
P. 278—281.
293. Date E. Multisoliton solutions and quasi — periodic solutions of nonlinear
equations of sine — Gordon type // Osaka J. Math.— 1982.— 19, N 2.— P. 125—158.
294. Date E., Jitnbo E., Kashiwara M., Miwa T. Landay — Lifshitz equation: so-
litons, quasiperiodic solutions and infinite-dimensional Lie algebra // J. Phys. A :
Math, and Gen.— 1983.— 16, N 2.— P. 221—236.
295. Date E., Tanaka S. Analog of inverse scattering for discrete Hill's equation and
exact solutions for the periodic Toda lattice // Progr. Theor. Phys.— 1976.— 55,
N 2.— P. 217—222.
296. Daniel M., Viallet С M. Geometric setting of Yang — Mills gauge theories//
Rev. Modern Phys.— 1980.—52, N 1.—P. 175—197.
297. Davies B. Second quantization of the nonlinear Schrodinger equation//J. Phys.
A : Math, and Gen.— 1981.— 14, N 13.— P. 2631—2644.
298. Davies В., Truman A., Williams D. Classical periodic solutions of the equal-
mass 2n-body problems, 2n-ion problem and the л-electron atom problem // Phys,
lett. A.— 1983.-99, N 1.—P. 15-18.
278

299. Davydov A. S. Solitons in biology// Phys. scr.— 1979 — 20, N 2.— P. 307—315.
300. De Filippo S., Marmo G., Vilasi G. A geometric setting for the Lax
representation// Phys. lett. В.— 1982.— 117, N 6.— P. 418—422.
301. Deift P., Lund F., Trubowitz E. Nonlinear wave equations and constrained
harmonic motion // Communs. Math. Phys.— 1980.—74, N 2.—P. 141 — 188.
302. Deift P., Simon B. Almost periodic Schrodinger operators// Ibid.,— 1983.—
90, N 4.—P. 389—411.
303. Deift P., Tomei C, Trubowitz E. Inverse scattering and the Boussinesque
equation // Communs Pure and Appl. Math.— 1982.— 35, N 5.— P. 567—628.
304. Deift P., Trubowitz E. Inverse scattering on the line// Ibid.— 1979.— 32, N 2.—
P. 121—154.
305. Deift P., Trubowitz E. A continuum limit of matrix inverse problems//SI AM
J. Math. Anal.- 1981.— 12, N 6.— P. 799—818.
306. Deift P., TrubowitzE. An identity among squares of eigenfunctions//Communs
Pure and Appl. Math.— 1981.—34, N 8.— P. 713—717.
307. Delyon F., Souillard B. The rotation number for finite difference operators and
its properties//Communs Math. Phys.— 1983.—89, N 4.— P. 415—426.
308. Dickey L. A. Short proof of a Kupershmidt — Wilson theorem // Ibid.— 1982.—
87, N 2.— P. 121 — 129.
309. Dickey L. A. Integrable nonlinear equations and Liuvilles theorem//Ibid.—
N 3.— P. 345—376.
310. Dickey L. A. Hamiltonian structures and Lax equations generated by matrix
differential operators with polynomial dependence on a parameter // Ibid.— 1983.—
88, N 1.— P. 27—42.
311. Dodd R. K., Bui lough R. K. Backlund transformations for the AKNS inverse
method//Phys. Lett. A.— 1975.—62, N 2.—P. 70—74.
312. Dodd R. K-, Fordy A. On the integrability of a system of coupled KdV —
equations//Ibid.— 1982.—89, N 4.—P. 168-170.
313. Dodd R. K., Fordy A. The prolongation structures cf quasipolynomial flows//
Proc. Roy Soc. London A.— 1983.— 385, N 4.— P. 389—429.
314. Dodd R: K., Jibbon J. D. The prolongation structures of a class of nonlinear
evolution equations // Ibid.— 1978.— 359, N 3.— P. 411—433.
315. Dodd R. K., Morris H. C, Eaglton J. Perturbation theory for the nearly
integrable nonlinear equations associated with a modified Zakharov — Shabat
Scattering problem // J. Phys. A : Math, and Gen.— 1980.— 13, N 8.— P. 1455—1465.
316. Doctorov E. V. Prolongation structure without prolongation // Ibid.— N 17.—
P. 3599-3604.
317. Dorizzi B. Integrability in dynamical systems and the Painleve property // Lect.
Notes Phys,— 1983.— N 189.— P. 358—364.
318. Duchon J., Robert R. Sur une equation devolution non lineare de la chimie des
surface// J. Math. Pur Appl.— 1983.—62, N 3.— P. 305—325.
319. Duistertnaat J. J. On global action — angle coordinates//Communs. Pure and
Appl. Math.— 1980.— 33, N 6.— P. 687-706.
320. Duistertnaat J. J., Heckmann G. J. On the variation in cohomology of the sym-
plectic form of the reduced phase space// Invent, math.— 1982.— 69, N 2.—
P. 259—268.
321. Ehlers F., Knorrer H. Algebro-geometric interpretation of the Backlund-transtor-
mation for the Korteweg— de Vries equation // Comment, math. helv.— 1982.—
57, N 1.— P. 1—10.
322. Erdos P., Herndon R. C. Theories of electrons in one dimensional disordered
systems// Adv. Phys.— 1982.— 31, N 2.— P. 65—163.
323. Estabrook F. B. Some and new techniques for the practical use of exterior
differential forms// Lect. Notes Math.- 1976.— N 515.— P. 136-161.
324. Faddeev L. D. The inverse problem in the quantum theory of scattering // J. Math.
Phys.- 1963.—4, N 1.—P. 72—103.
325. Faddeev L. D. Quantum completely integrable models in fields theory // Sov.
Sci. Rev. С : Math. Phys.— 1980.— 1, N 10.— P. 107—155.
326. Faddeev L. D. Integrable models in 1 -f- 1 — dimensional quantum field theory //
Proc. of Les. Houches summer school.— 1982.— P. 50—87.
327. Fay J. D. Theta functions on Riemann surfaces.— Lect. Notes Math.— 1973.—
N 352.—P. 1—135.
279

328. Ferrario С, Lo Vecctdo G., Marmo G., Morandi G. A geometrical setting for the
KAM-theorem//Lett. nuovo cim.— 1983.—38, N 4.—P. 97—102.
329. Flashka H. On the Toda lattice // Progr. Theor. Phys.— 1974.— 51, N 5.—
P. 703—716.
330. Flashka H. Construction of conservation laws for Lax equations : comments on a
paper by G. Wilson//Quart. J. Math.— 1983.—34, N 2.—P. 61—65.
331. Flashka H., Forest M. G., Mc Laughlin D. W. Multiphase averaging and the
inverse spectral method of the Korteweg — de Vries equations // Communs Pure
and Appl. Math.— 1980.— 33, N 6.— P. 739—784.
332. Flashka H., McLaughlin D. W. Canonically conjugate variables for the
Korteweg — de Vries equation and Toda lattice with periodic boundary conditions //
Progr. Theor. Phys.— 1976.— 55, N 2.— P. 438—456.
333. Flashka H., Newell A. C. Monodromy and spectrum preserving deformations//
Communs Math. Phys.— 1980.—76, N 1.—P. 65—116.
334. Flashka H., Newell A. C. The inverse monodromy transform is a canonical
transformation // Nonlinear Probl : Present and Future.— 1982.— P. 65—89.
335. Flashka H., Newell A. C, Ratiu T. Kac-Moody Lie algebras and soliton
equations // Physica D.— 1983.— 9, N 3.— P. 300—332.
336. Flato M., Simon J. On a linearization programm of nonlinear field equations//
Phys. Lett. В.— 1980.— 94, N 4.— P. 518—522.
337. Fink A. Almost periodic differential equations//Lect Notes Math.— 1974.—
N 377.—P. 5—120.
338. Fokas A. S. A symmetry approach to exactly solvable evolution equations//
J. Math. Phys.— 1980.—21, N 6.— P. 1318—1325.
339. Fokas A. S., Ablowitz M. J. The inverse scattering transform (for the Benjamin—
Ono equation: a pivot to multidimensional problems // Stud. Appl. Math.— 1983.—
68, N 1.—P. 1 — 19.
340. Fokas A. S., Ablowitz M. J. On the inverse scattering of the time-dependent Schro:
dinger equations and the associatted Kadomtzev — Petviashvili equation Ц
Ibid.— 1983.—69, N3.—P. 211—228.
341. Fokas A. S., Ablowitz M. J. The inverse scattering transform for multidimen-
tional (2 -f l)-problems // Lect. Notes Phys.— 1983.— N 189.— P. 137—
183.
342. Fokas A. S., Anderson R. L. On the use of isospectral eigenvalue problems for
obtaining hereditary symmetries for Hamiltonian systems//J. Math. Phys.—
1982.—23, N 6.—-P. 1066—1073.
343. Fokas A. S., Fuchssteiner B. On the structure of symplectic operators and
Hereditary symmetries// Lett, nuovo cim.— 1980.— 28, N 8.— P. 299—303.
344. Fokas A. S., Fuchssteiner B. Backlund transformations for Hereditary
symmetries // Nonlinear Analysis : TMA.— 1981.— 5, N 4.— P. 423—432.
345. Fokas A. S., Fuchssteiner B. The hierarchy of the Benjamin — Ono equation//
Phys. Lett. A.— 1981.—86, N 6, 7.— P. 341—345.
346. Fokas A. St, Yortsov Y. C. On the exactly solvable equation occuring in two-
phase flow in poroup media // SI AM J. Appl. Math.— 1982,— 42, N 2.— P. 318—
:-32.
347. Fordy A. P., Gibbons J. Factorization of operators//J. Math. Phys.— 1981.—
22, N 6.— P. 1170—1175.
348. Fordy A. P., Gibbons J. Nonlinear Klein — Gordon equations and simple Lie
algebras// Proc. Roy. Irish Acad. A.— 1983.—83, N 1.— P. 33—34.
349. Forest M. G., McLaughlin D. W. Spectral theory for the periodic sine-Gordon
equation: a concrete view — point //J. Math. Phys.— 1982.— 23, N7.—
P. 1248—1277.
350. Forest M. G., McLaughlin D. W. Modulations of sinh-Gordon and sine-Gordon
wavetrains//Stud. Appl. Math.— 1983.—68, N 1.—P. 11—59.
351. Fradkin E. S., Vilkovisky G. A. Quantization of relativistic systems with
constraints.— Geneva, 1977.— 53 p.— (Preprint / CERN ; N TH 2332).
352. Fuchssteiner B. Application of Hereditary symmetries to nonlinear evolution
equations//Nonlinear Analysis : TMA.— 1979.—3, N 6.—P. 849—862.
353. Fuchssteiner B. Comparison of the two-soliton collision for several nonlinear
evolution equations//Lett. Math Phys.— 1980.— 4, N 2.—P. 177—183.
280

354. Fuchssteiner B. The Lie algebra structure of Nonlinear evolution equations
admitting infinite dimensional abelian symmetry groups // Progr. Theor. Phys.— 1981.—
65, N 3.— P. 861—876.
355. Fuchssteiner B. The Lie algebra structure of degenerate Harciltonian and bi-Ha-
miltonian systems//Progr. Theor. Phys.— 1982.—68, N 4.—P. 1082—1104.
356. Fuchssteiner В., Fokas A. S. Symplectic structures, their Backlung
transformations and Hereditary symmetries // Physica D.— 1981.— 4, N 1.— P. 47—66.
357. Fuchssteiner В., Oevel W. The bi-Hamiltonian structure of some nonlinear fifth-
and seventh-order differential equations and recursion formulas for their
symmetries and concerved covariants //J. Math. Phys.— 1982.— 23, N 3.— P. 358—363.
358. Galindo A. An algorithm to construct evolution equations with a given set of
conserved densities// Ibid.— 1979.— 20, N 6.— P. 1256—1259.
359. Gamboa-Saravi R. E., Muschietti M. A., Solomin J. E. On perturbation theory
for regularized determinants of differential operators // Communs. Math. Phys.—
1983.— 89, N 3.— P. 363—373.
360. Garbaczewski P. On quantum solitons and their classical relatives: Bethe ansatz
states in soliton sectors of the sine-Gordon system// Ann. Phys.— 1982.— 139,
N 2.— P. 293—313.
361. Gallavotti G., Marchioro C. On the calculation of integral//J. Math. Anal, and
AppL— 1973.— 44, N 6.— P. 661—675.
362. Gelfand I. M., Yaglom A. M. Integration in functional spaces and its
application in quantum physics // J. Math. Phys.— I960.— 1, N 1.— P. 48—57.
363. Gibbons J. Collisionless Boltzmann equations and integrable moment equations //
Physica D.— 1981.—3, N 5.—P. 503—511.
364. Gibbons J., Holm D. H., Kupershmidt B. Gauge invariant Poisson brackets for
chromodynamics // Phys. lett. A.— 1982.—90, N 6.—P. 281—283.
365. Gonzalez-Cascon F., Moreno-Insert is F. Symmetries, first integrals and split tabi-
lity of dynamical systems// Lett, nuovo cim.— 1978.— 21, N 7.— P. 253—257.
366. Goday M. J., N ester J. M. Generalized constraints algorithm and special pre-
symplectic manifolds//Lect. Notes Math.— 1980.—N 775.—P. 38—104.
367. Grammaticos B. The weak Painleve property and integrability of two dimensional
Hamiltonian systems// Lect. Notes Phys.— 1983.— N 189.— P. 376—380.
368. Grammaticos В., Dorizzi В., Ramani A. Integrability of Hamiltonians with third-
and fourth-degree polynomial potentials//J. Math. Phys.— 1983.— 24, N 9.—
P. 2289—2295.
369. ^Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and
bifurcations of vector fields// Appl. Math. Sci.— 1983.— 42, N 1.— P. 28—63.
370. Guillemin V. W., Quillen D., Sternberg S. The integrability of characteristics//
Communs Pure and Appl. Math.— 1970.— 23, N 1.— P. 39—77.
371. Guillemin V., Sternberg 5. The moment map and collective motion//Ann.
Phys.— 1980.— 127, N 2.— P. 220—253.
372. Guillemin V., Sternberg S. Convexity properties of the moment mapping//
Invent, math.— 1982.— 67, N 4.— P. 491—513.
373. Guillemin V., Sternberg S. Geometric quantization and multiplicities of group
representations // Ibid.— N 6.— P. 515—538.
374. Guillemin V., Sternberg S. Moments and reductions//Lect. Notes Math.—
1982.— N 905.— P. 52—65.
375. Guillemin V., Sternberg 5. The method of Symes for integrating systems of Toda
type//Lett. Math. Phys.— 1983.—7, N 2.—P. 113—115.
376. Gupta M. R., Ray J. Extension of inverse scattering method to nonlinear
evolution equation in nonuniform medium //J. Math. Phys.— 1981.— 22, N 10.—
P. 2180—2183.
377. Gutkin E. Integrable systems with delta — function potential // Duke Math. J.—
1982.—49, N 1.—P. 1—21.
378. Haar ter D. Solitons// Phys. scr.— 1979.— 20, N 3.— P. 291—295.
379. Haine L. Geodesic flow on SO (4) and abelian surfaces // Math. Annl.— 1983.—
263.— P. 435—472.
380. Harnard J., Wintermitz P. Pseudopotentials and Lie symmetries for the
generalized nonlinear Schrodinger equation //J. Math. Phys.— 1982.—23, N 4.—
P. 517—525.
19 6-1669
281

381. Harrison В. К., Estabrook F. В. Geometric approach to invariance groups and
solutions of partial differential systems// Ibid.— 1971, 12, N 4.— P. 653—666.
382. Hirota R. A new form of Backlund transformation and its relation to the inverse
scattering problem // Progr. Theor. Phys.— 1974.—52, N 5.—P. 1498—1512.
383. Herera J. E. On the Zakharov equations in one dimensions // Lect. Notes Phys.—
1983.— N 189.— P. 381—393.
384. Hermann R. E. Cartan's geometric theory of partial differential equations // Adv.
Math.— 1965.— 1, N 2.— P. 265—317.
385. Hermann R. The geometry of nonlinear differential equations, Backlund
transformations and solitons.— Brookline : Math. sci. press, 1976.— 320 p.
386. Hermann R. What do we know about the geometric nature of equations which can
be solved using the inverse scattering technique? // Lect. Notes. Phys.— 1980.—
N. 130.— P. 233—239.
387. Hess H. On a geometric quantization scheme generalizing those of Kostant — Sou-
riau and Czyz// Ibid.— 1981.— N 159.—P. 1—35.
388. Hirota R. Exact N-soliton of nonlinear lumped self — dual network equations //
J. Phys. Soc. Jap.— 1973.— 35, N 1.— P. 289—294.
389. Holmes P. J., Marsden J. E. Horseshoes and Arnold diffusion for Hamiltonian
systems on Lie groups // Indiana Univ. Math. J.— 1983.— 32, N 2.— P. 273—
309.
390. Honerkamp J., Weber P., Wiesler A. On the connection between the inverse
scattering method and the exact quantum eigenstates // Nucl. Phys. B.— 1979.—
152,—N 3.—P. 266—272.
391. Ichikawa Y. H., Konno K., Wadati M., Sanuki H. Spikij Solitons in Circular
polarized Alfven wave// J. Phys. Soc. Jap.— 1980.— 48, N 1.— P. 279—286.
392. Ichikawa Y. H., Konno K., Wadati M. Nonlinear transverse oscillations of
elastic beams under torsion// Ibid.— 1981.— 50, N 5.— P. 1799—1802.
393. Ichimori Y. On the modified Korteweg — de Vries Soliton and the Loop Soliton //
Ibid.— 1981.— N 8.— P. 2471—2472.
394. lino K. H., Ichikawa Y. #. Alternative representations of the inverse scattering
transformations for the KdV — equation and the modified KdV equation // Ibid.—
1982.— 51, N 8.- P. 2389—2390.
395. lino /(. H., Ichikawa Y. H. Lax-pair operators for squared eigenfunctions in
inverse scattering transformation.— Ibid.— N 12.— P. 4091—4094.
396. Isergin Л. G., Korepin V. E. The inverse scattering method approach to the
quantum Shabat — Mikhailov model//Communs Math. Phys.— 1981.— 79,
N2.—P. 303—316.
397. Isergin A. G., Korepin V. £. The lattice guantum sine-Gordon model//Lett.
Math. Phys.— 1981.—5, N 3.—P. 199—205.
398. Isergin A. G., Korepin V. E. Lattice versions of quantum field theory models
in two dimensions// Nucl. Phys. В.— 1982.— 205, N 5.— P. 401—413.
399. Isergin A. G., Kulish P. P. On the inverse scattering method for the classical
massive Thirring model with anticommuting variables // Lett. Math. Phys.— 1978.—
2, N 3.— P. 297—302.
400. Jacob A., Sternberg S. Coadjoint structures, solitons and integrability//Lect.
Notes Phys.- 1980.— N 120.- P. 52—84.
401. Jaulent Af. Etude interdisciplinaire de problemes inverses de la diffusion : These
Univ. sci. et techn. du Languedos.— Paris, 1982.—208 p.
402. Jaulent M., Jean С Solution of Schrodinger inverse scattering problem with a
polynomial spectral dependence in the potential. // J. Math. Phys.— 1982.— 23,
N 2.- P. 258—266.
403. Jean С A completness theorem relative to one-dimensional Schrodinger equations
with energy-dependent potentials//Ann. Instit. H. Poincare. sec. A.— 1983.—
38, N 1.—P. 15-35.
404. Jimbo M. Theory of т-functions in integrable systems // Lect. Notes Phys.—1982.—
N 153.— P. 232—237.
405. Jimbo M., Miwa Т., Ueno K. Monodromy preserving deformation of linear
ordinary differential equations with rational coefficients//Physica D.— 1981.—
2, N 3.— P. 306-352; N 4.— P. 407—448; 4, N 1.- P. 26-46.
406. Jimbo M.t Miwa Т., Mori Y., Sato Y. Density matrix of an impenetrable bose
gas and the fifth Painleve transcendent // Ibid. 1980.— 1, N 2.— P. 80—158.
282

407. Jimbo M., Miwa Т., Sato M. Holonomic quantum fields//Lect. Notes Phys.-—
1980.— N 116.—P. 119-142.
408. Jonhson R. A. Analyticity of spectral subbundless//J. Different Equat.—
1980.—35, N3.—P. 317—387.
409. Jonhson R. A. On a Floquet theory for almost periodic two-dimensional linear
systems// Ibid.- 1980.- 37, N 2.— P. 184—205.
410. Jonhson R. A. Two dimensional almost periodic linear systems with proximal and
recurrent behavior//Proc. Amer. Math. Soc— 1981.—82, N 3.—P. 417—422.
411. Jonhson R. A. The recurrent Hill's equation//J. Different Equat.— 1982.—
46, N 2.—P. 165—193.
412. Jonhson R. A. On almost periodic linear systems of Millionscikov and Vinograd //
J. Math. Anal, and Appl.— 1982.-85, N 4.—P. 452—460.
413. Jonhson R., Moser J. The rotation number for almost periodic potentials// Com-
muns Math. Phys.— 1982.—84, N 3.—P. 403—438.
414. Jost[Res. Poisson brackets //Rev. Modern Phys.— 1964.— 36, N 5.—P. 572—579.
415. Kadanoff L. P., Kohmoto M. SMJ's analysis of Ising model correlation functions//
Ann. Phys.— 1980.— 126, N 3.— P. 371—398.
416. Каир D. /. Finding eigenvalue problems for solving nonlinear evolution equation
// Progr. Theor. Phys.— 1975.— 54, N 1. — P. 72—78.
417. Каир D. J. A higher-order water-wave equation and the method for solving it //
Ibid.— N 2.— P. 396—408.
418. Каир D. J. Exact quantization of the nonlinear Schrodinger equation // J. Math.
Phys.— 1975.— 16, N 10.— P. 2036—2041.
419. Каир D. J. A perturbation expansion for the Zakharov — Shabat inverse
scattering transform // SI AM J. Appl. Math.— 1976.— 31, N 1.— P. 121—133.
420. Каир D. J. On the inverse scattering problems for cubic eigenvalue problems of
the class tyxxx + 6СЖ. + 6#ib = tab // Stud. Appl. Math.— 1980.— 62, N 3.—
P. 189—216.
421. Каир D. /., Newell A. C. An exact solution for a derivative nonlinear
Schrodinger equation// —J. Math. Phys.—1978.—19, N 4.—P. 798—801.
422. Каир D. J., Newell A. C. Evolution equations, singular dispersion relations and
the moving eigenvalues//Adv. Math.—1979.—31, N 1.—P. 67—100.
423. Kawamoto S. The nonlinear Schrodinger-type equations reducible to the second
Painleve equations//J. Phys. Soc. Jap.— 1983.—52, N 8.—P. 2613—2616.
424. Kawata Т., Inoue H. Exact solutions of the derivative nonlinear Schredinger
equation under nonvanishing conditions// Ibid.,— 1978.—44, N 6.— P. 1968—
1978.
425. Kawata Т., Kobayashi N., Inoue H. Soliton solutions of the derivative
nonlinear Schrodinger equations//Ibid.— 1979.—46, N 3.—P. 1003—1115.
426. Kawata Т., Sakai J. Linear problems associated with the derivative
nonlinear Schrodinger equation// Ibid.— 1981.—49, N 6.—P. 2407—2414.
427. Kawata T.t Sakai J., Kobayashi N. Inverse method for the mixed nonlinear
Schrodinger equation and soliton solutions// Ibid.— 1980.—48, N 4.—P. 1371—
1379.
428. Kazhdan D., Kostant В., Sternberg S. Hamiltonian group actions and
dynamical systems of Calogero type // Communs Pure and Appl. Math.— 1978.— 31,
N 4.— P. 481—507.
429. Keener J. P., McLaughlin D. W. Green's function for a linear equation
associated with solitons// J. Math. Phys.— 1977.— 18, N 10.— P. 2008—2013.
430. Kimura T. On the isomonodromic deformation for linear ordinary differential
equations of second order // Proc. Jap. Acad. A.— 1982.— 58, N 6.—
P. 294—297.
431. Kiyotaka Ii. Geometric quantization for the mechanics on spheres // Tohoku Math.
J.__ 1981.—33, N 2.—P. 289—295.
432. Knorrer //. Geodesic on ellipsoid // Invent, math.— 1980.— 59, N 2.— P. 119—
143.
433. KodamaY. Complete integrability of nonlinear evolution equations//Progr.
Theor. Phys.— 1975.— 54, N 3.— P. 669—686.
434. Kodama Y., Wadati M. Theory of canonical transformations for nonlinear evo*
lution equations// Ibid.— 1976.— 56, N 6.—P. 1740—1755; 1977.—57, N 6.—
P. 1900—1916.
283

435. Коппо К., Ichikawa Y. И., WadatiM. A loop soliton propagating along a
stretched rope//J. Phys. Soc. Jap.— 1981.— 50, N 1.— P. 1025—1026.
436. Коппо К., Jeffrey A. Some remarkable properties of two loop soliton solutions //
Ibid.— 1983.—52, N 1.—P. 1 — 13.
437. Konopelchenko B. G., Mokhnachev V. G. On the Hamiltonian structure of
integrable equations under the group and matrix reductions // J. Phys. A : Math, and
Gen.— 1981.— 14, N 8.— P. 1849—1861.
438. Konopelchenko B. G. On the integrable equations and degenerate dispersion laws
in multidimensional spaces// Ibid.— 1983.— 16, N 2.— P. L311—L316.
439. Korepin V. E. Calculation of norms of Bethe wave functions // Communs. Math.
Phys.— 1982.—86, N 4.— P. 391—418.
440. Kosmann-Schwazzbach Y'. Hamiltonian systems on fibered manifolds // Lett. Math.
Phys.— 1981.—5, N 3.—P. 229—237.
441. Kostant B. Quantization and unitary representations//Lect. Notes Math.—
1970.— N 170.— P. 87—208.
442. Kostant B. The solution to a generalized Toda lattice and representation theory //
Adv. Math.— 1979.— 34, N 3.— P. 195—338.
443. Kostant B. Quantization and representation // London Math. Soc. Lect. Notes
Scr. A.— 1979.— N 34.— P. 287—316.
444. Krylov N., Bogoliubov N. La theorie generale de la measure et sont appli ation
a 1'etude des systems dynamiques de la mechanique non lineaire // Ann. Math.—
1937.— 38, N 1.—P. 65—113.
445. Kulish P. P. Quantum difference nonlinear Schrodinger equation // Lett. Math.
Phys.— 1981.—5, N2.-P. 191 — 197.
446. Kulish P. P. Classical and quantum inverse problem method and generalized
Bethe ansats// Physica D.— 1981.— 3, N 1/2.— P. 246—257.
447. Kulish P. P., Sklyanin E. K. Quantum inverse scattering method and the Hei-
senberg ferromagnet // Phys. Lett. A.— 1979.— 70, N 5/6.— P. 461—463.
448. Kulish P. P., Sklyanin E. K. 0(N)-invariant nonlinear Schrodinger equation —
a new completely integrable system//Ibid.— 1981.— 84, N 7.— P. 349—
352.
449. Kulish P. P., Sklyanin E. K. Quantum spectral transform method: recent
developments//Lect. Notes Phys.— 1981.— N 151,— P. 61—119.
450. Kulish P. P., Smirnov F. A, Quantum inverse problem and the Green functions
for the Heisenberg ferromagnet // Phys, Lett. A.— 1982.— 90, N 1/2,— P. 74—78.
451. Kubo S., Natniki M., Ohba I. Soliton solution of coupled field equations and
suggestion of the soliton bag in dynamical particle model // Progr. Theor. Phys.—
1976.— 55, N 3.— P. 860—875.
452. Kupershmidt B. A, Geometry of jet bundles and the structure of Lagrangian and
Hamiltonian formalism // Lect. Notes Math.— 1980.— N 775.— P. 162—218.
453. Kupershmidt B, A. On the nature of the Gardner transformation//J. Math.
Phys.— 1981.— 22, N 3.— P. 449—451.
454. Kupershmidt B. A. Algebraic models of dynamical systems // Ibid., 1982.—6,
N 1.—P. 85—89,
455. Kupershmidt В'. Л, Singular symmetries of integrable curves and surfaces//Ibid,—
1982.— 23, N 3.— P. 364—366.
456. Kupershmidt B. A., Ratiu T. Canonical maps between semidirect products with
applications to elasticity and superfluids//Communs Math, Phys.— 1983.— 90,
N 2.— P. 235—250.
457. Kupershmidt Br A., Wilson G. Conservation laws and symmetries of generalized
sine-Gordon equations// Ibid.— 1981.—81, N 2.— P. 189—202.
458. Kupershmidt B. A., Wilson G. Modifying Lax equations and the second
Hamiltonian structure// Invent, math.— 1981.— 62, N 2.— P. 403—436.
459. Laddomada C, Tu G. Z. Backlund transformations for the Jaulent — Miodec
equations//Lett. Math. Phys.— 1982.—6, N 5.—P. 453—462.
460. Lamb G. L. Jr Backlund transformations for certain nonlinear evolution
equation //J. Math. Phys.— 1974.—15, N 12.—P. 2157—2165.
461. Lax P. D. Integrals for nonlinear equations and solitory waves// Communs Pure
and Appl. Math.— 1968.—21, N 2.- P. 467—490.
462. Lax P. D. Periodic solutions ol the Korteweg — de Vries equation // Ibid.—
1975.—28, N2.-P 141—188.
284

463. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg — de
Vries equations// Ibid.— 1983.—36, N 3.—P. 253—290.
464. Leo M., Leo R. A., Soliani G., Solombrino L. Nonlinear evolution equations
and nonabelian prolongations//J. Math. Phys.— 1982.—24, N 7.—P. 1720—
1730.
465. Lichnerowicz A. Les varietes de Poisson et leeirs algebres de Lie associees/ J.
Different. Geometry.— 1977.— 12, N 2.— P. 252—300.
466. Lichnerowicz A. Deformations and quantization//Lect. Notes Math.— 1980.—
N 775,— P. 105-121.
467. Lieb E. H, Integrable quantum system//Phys. Rev.— 1963.—130, N 8.—
P. 1616—1621.
468. Loos H, G. Internal holonomy groups of Yang — Mills fields//J. Math, Phys.—
1967.— 8, N 10.—P. 2114—2124.
469. Luke J. A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems // Proc.
Roy. Soc. Ser. A.— 1966.— 292, N 1430.— P. 403—412.
470. Lusher N. Dynamical charges in the quantized renormalized massive Thirring
model // Nucl. Phys. В.— 1976. 117, N 4,—P. 475—492.
471. Ma Y. C, Ablowitz M. J. The periodic cubic Schrodinger equation // Stud. Appl.
Math.— 1981.—65, N 2.—P. 113—158.
472. Magri F. A simple model of the integrable Hamiltonian equations//J. Math.
Phys.— 1978.— 19, N 3.- P. 1156—1162.
473. Magri F. A geometrical approach to the nonlinear solvable equations // Lect.
Notes Phys.— 1980.— N 120.— P. 233—263.
474. Manakov S. V. The inverse scattering transform for the time-dependent
Schrodinger equation and Kadomtsev — Petviashvili equation//Physica D.— 1981.— 3,
N 1, 2,— P. 420—427.
475. Marmo G., Mukunda N., Samuel J. Dynamic and symmetry for constrained
systems: a geometrical analysis// Rev. nuovo cim.— 1983.— 6, N 2.— P, 1—62.
476. Marmo G., Saletan E, J., Simori Л. Reduction of symplectic manifolds
through constants of the motion // Nuovo cim. В.— 1979.— 50, N 1.— P. 21—36.
477. Marmo Gr, Simoni A. Q-dynamical systems and constants of motion/7 Lett,
nuovo cim,— 1976,— 15, N 6.— P. 179—184.
478. Marsden J. A group theoretic approach to the equations of plasma physics // Ca-
nad. Math. Bull,—1982.—25, N 2.—P. 129—142.
479. Marsden J. Four applications of nonlinear analysis to physics and engineering//
New direc. Appl. Math.— 1982.— N 10.— P. 85—107.
480. Marsden J., Weinstein A. Reduction of symplectic manifolds with symmetry//
Repts Math. Phys.— 1974.— 5, N 1.—P. 121—130,
481. Marsden J., Weinstein Л. The Hamiltonian structure of the Maxwell — Vlasov
equations//Physica D.— 1982.—4, N 3.—P. 394—406.
482. Matveev V. B. Abelian functions and solitons.— Wroclaw, 1676.— 97 p,—
(Preprint / Wroclaw, univ. ; N 373).
483. Matveev V. В., Salle M. A. Differential-difference evolution equations. Dar-
boux transformations for the Toda lattice // Lett. Math. Phys,— 1979.— 3, N 5.—
P, 425—429.
484. Matveev V. В., Yavor M, I. Solutions presque periodique et a N-soliton
solutions de l'equations hydrodynamique nonlinear de Каир // Ann. Inst. H. Poincare
A.— 1979.- 31, N 1.— P. 25—41.
485. Mc Kean H. P. Integrable systems and algebraic curves // Lect. Notes Math.—
1980,- N 755.- P. 83-200.
486. Mc Kean H. P. The sine-Gordon and sinh-Gordon equations on the circle // Com-
muns. Pure and Appl. Math,— 1981.—34, N 2.—P. 197—257.
487. Mc Kean H. P. Boussinesque's equation on the circle // Ibid.— N 5.— P. 599—
691.
488. Mc Kean H. P. Propagation of chaos for a class of nonlinear parabolic
equations // Math. Stud,— 1982.—19, N 2.—P. 117—194.
489. Mc Kean H. P., Moerbehe P. The spectrum of Hill's equation// Invent, math.—
1975.—30, N 2.—P, 217—274.
490. Mc Kean H. P., Moerbeke P. Hill and Toda curves//Communs Pure and Appl.
Math.— 1980.— 33, N 1.— P. 23—42.
285

491. Mc Kean H. P., Trubowitz E. Hill's surfaces and their theta functions//Bull.
Amer. Math. Soc— 1978.—84, N 6.— P. 1042—1085.
492. Mc Kean H. P., Trubowitz E. The spectral class of quantum-mechanical
harmonic oscillator //Communs Math. Phys,— 1982.—82, N 4.—P. 471—495.
493. Mc Laughlin D. W. Four examples of the inverse method as a canonical
transformation//J, Math. Phys.— 1975.—16, N 1.— P. 96—99.
494. Mc Laughlin D. W. Modulations of Korteweg — de Vries wavetrains // Physica
D.— 1981.— 3, N 1/2,— P. 235—243.
495. Meiman N'. N. The theory of a one — dimensional Schrodinger operators with a
periodic potentials// J, Math. Phys.— 1977.— 18, N 4.— P. 834—848.
496. Melrose R. B. Equivalence of glaucing hyper-surfaces// Invent, math.— 1976,—
37.—P. 165—191; Math. Annl.— 1981.—255, N 2 — P. 159—198.
497. Menyuk С R., Chen H. #,, Lee Y. C. Integrable Hamiltonian systems and
the Lax pair formalism// Phys, Rev. A.— 1982.— 26, N 6.— P. 3731—3733.
498. Menyuk С R., Chen H. H., Lee Y. C. Restricted multiple threewave
interactions: Painleve analysis// Ibid.— 1983.—27, N 3.—P. 1597—1611.
499. Menyuk C. R., Chen H. H., Lee Y. С Restricted multiple three-waye
interactions: integrable cases of this systems and other related systems // J. Math. Phys.—
1983.— 24, N 5.— P. 1073—1079.
500. Mikhailov A. V. The Landau — Lifschitz equation and the Riemann boundary
problem on a torus // Phys. Lett. A.— 1982.— 92, N 2.— P. 51—55.
501. Miodek I. IST-solvable nonlinear evolution equations and existence. An
extension of Lax's method // J. Math. Phys.— 1978.— 19, N 1.— P. 19—31.
502. Miura R., Kruskal M. Application of nonlinear WKB-method to the Korteweg —
de Vries equation // SIAM J. Appl. Math.— 1974.— 26, N 3.— P. 376—395.
503. Miwa T. Clifford operators and Riemann's monodromy problem//Publ. RIMS
Kyoto Univ.— 1981.— 17, N 3.— P. 665—686.
504. Miwa T. Painleve property of monodromy preserving deformation equ; tons and
analycity of т-functions//Ibid.—N 4.—P. 701—721.
505. Mjolhus E. The propagations of circular poralized Alfen waves in plasmas //
J. Plasma Phys.— 1976.— 16, N 2.— P. 321—328.
506. Moerbeke P. van. The spectrum of Jacobi matrices // Invent, math.— 1976.— 37,
N 1.—P. 45—81.
507. Moerbeke P. van. About isospectral deformations of discrete Laplacians / Lect.
Notes Math.— 1980.— N 755.— P. 313—370.
508. Moerbeke P. van.» Mumford D. The spectrum of difference operators and
algebraic curves// Acta math.— 1979.— 143, N 1, 2, P. 93—154.
509. Moreno C, Ortega-Navarro P. Deformations of the algebra of functions on her-
mitian symmetric spaces resulting from quantization//Ann. Inst. H. Poincare.
A.— 1983.—38, N3.—P. 215—241.
510. Morris H. C. Prolongation structures and a generalized inverse scattering
problem//J. Math. Phys.— 1976.—17, N 10.—P. 1867—1872.
511. Morris H. С Prolongation structures and nonlinear evolutions in two spatial
dimensions // Ibid.— 1977.— 18, N 2— P. 265—288.
512. Morris H. C. Soliton solutions and the higher order Korteweg — de Vries
equations // Ibid.— 18, N 3.— P. 530—536.
513. Morris D., Dodd R. K. Infinite-dimensional Lie algebras and the direct
determination of deformat;on problems for equations of Painleve type // Proc. Roy.
Irish. Acad. A.— 1983.— 83, N 1.— P. 127—143.
514. Morriso P. /., Green J. M. Noncanonical Hamiltonian density formulation of
hydrodynamics and ideal magnetohydrodynamics // Phys. Rev. Lett.— 1980.—
45, N 10.— P. 790—794.
515. Mulase M. Algebraic geometry of soliton equations // Proc. J Acad. A.— 1983.—•
59, N 6.— P. 285—288.
516. Nakamura A., Chen H. H. Multisoliton solutions of a derivative nonlinear
Schrodinger equation//J. Phys. Soc. Jap.— 1980. 49, N 2.—P. 813—816.
517. Neumann C. De problemate quodam mechanica, quod ad primam integralium ult-
ra-ellipticorum classem revocatur//J. Reine und Angew. Math.—1859.—56, N 1.—
P. 54—66.
518. Newell A. C. The general structure of integrable evolution equations // Proc. Roy.
Soc. London. A.— 1979.—365, N 2.—P. 283—311.
286

519. Newell A. C. Multiphase similarity solutions of integrable evolution equations//
Physica D.— 1981.—3, N 1, 2.—P. 203—211.
520. Nogami Y., Warke С S. Soliton solutions of multicomponent nonlinear Schro-
dinger equation// Phys. Lett. A.— 1976.—59, N 4.—P. 251—253.
521. Oevel W. On the integrability of the Hirota — Satsuma system // Ibid.— 1983.—
94, N 9, P. 404—407.
522. Oevel W., Fokas A. S. Infinitely many commuting symmetries and constants of
motion in involution for explicitly time dependent evolution equations // J. Math.
Phys.— 1984.—25, N 4.—P. 918—922.
523. Oevel W., Fuchssteiner B. Explicit formulas for symmetries and conservation laws
of the Kadomtsev — Petviashvili equation // Phys. Lett. A.— 1982.— 85, N 7.—
P. 323—327.
524. Okamoto K. Sur les feulletages associe aux equation du second ordere a points
critiques fixe de P. Painleve// Jap. J. Math.— 1979.— 5, N 1.— P. 1—79.
Б25. Olshanetsky M. A., Perelomov A. M. Classical integrable finite-dimensional
systems related to Lie algebras// Phys. Repts. A.— 1981.— 71, N 5.— P. 313—
400.
526. Olshanetsky M. A., Perelomov A. M. Quantum integrable systems related to Lie
algebras//Phys. Repts.— 1983.—94, N 6.—P. 313—404.
527. Olver P. J. Evolution equations possesing infinitely many symmetries// J. Math.
Phys.— 1977.— 18, N 6.— P. 1212—1215.
528. Olver P. J. How to find the symmetry group of a differential equation // Lect.
Notes Math.— 1979.— N 762.— P. 201—239.
529. Olver P. J. On the Hamiltonian structure of evolution equations//Math. Proc.
Cambridge Phil. Soc— 1980.—88, N 1.—P. 71—88.
530. Olver P. J. A nonlinear Hamiltonian structure for the Euler equations // J. Math.
Anal. Appl.— 1982.— 89, N 2.— P. 233—250.
531. Olver P. J. Conservation laws of three boundary problems and the classification
of conservation laws for water wave // Trans. Amer. Math. Soc.— 1983.— 277,
N 1.— P. 353—380.
532. Olver P. J. Conservation laws and null divergences // Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc— 1983.— 94, N 5.— P. 529—540.
533. Olver P. J. Conservation laws in elasticity // Arch. Ration Mech. and Anal.—
1984.—85, N2.—P. 111—160.
534. Prelle M. J., Singer M. F. Elementary first integrals of differential equations//
Trans. Amer. Math. Soc— 1983.—279, N 1.—P. 215—229.
535. Poschel J. Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets // Communs Pure
and Appl. Math.— 1982.— 35, N 7.— P. 653—695.
536. Pohlmeyer K- Integrable Hamiltonian systems and interactions through quadric
constraints//Communs Math. Phys.— 1976.—46, N 2.—P. 207—221.
537. Ramani A., Dorizzi В., Grammaticos B. Painleve conjecture revisted // Phys.
Rev. Lett.— 1982.—49, N 21.—P. 1539—1541.
538. Ratiu T. On the smoothness of the time t-map of the Korteweg — de Vries
equation and the bifurcation of the eigenvalues of Hill's operator // Lect. Notes Math.—
1979.— N 755.— P. 248—294.
539. Ratiu T. The motion of the free n-dimensional rigid body // Indiana Univ. Math.
J. — 1980.— 29, N 4. —P. 609—629.
540. Ratiu T. Involution theorems//Lect. Notes Math.— 1980.—N 775.—P. 219—
257.
541. Ratiu T. Euler-Poisson equations on Lie algebras and the dimensional heavy
rigid body// Proc. Nat. Acad. Sci. USA.— 1981.—78, N 3.—P. 1327—1328.
542. Ratiu Т., Moerbeke P. van. The Lagrange rigid body motion//An. Inst.
Fourier.— 1982.—32, N 1.—P. 211—234.
543. Ratiu Т., Schmid R. The differentiable structure of three remarkable diffeomor-
phism groups// Math. Z.— 1981.— 177, N 1.— P. 81—100.
544. Reiman А., Каир D. Multi-shock solutions of random phase three-wave
interactions//Phys. Fluids.— 1981.—24, N 2.—P. 228—232.
545. Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. Reduction of Hamiltonian systems,
affine Lie algebras and Lax equations // Invent, math.— 1979.— 54, N 2.—
P. 81—100; 1981.— 63, N 4.— P. 423—432.
287

546. Rodin G. L. The Riemann boundary problem for the Landau — Lifshitz
equation// Lett. Math. Phys.— 1983.— 7, N 1.— P. 3—8.
547. Roy C. A., Roy T. Prolongation structures for Langmuire soli tons// J. Math.
Phys.— 1979.—20, N7.—P. 1559—1561.
548. Rund H. Evolution equations and curvature forms // Util. math.— 1979.— 15,
N 2.— P. 217—243.
549. Sacker R. J., Sell G. R. A spectral theory for linear differential systems//
J. Different. Equat.— 1978.— 27, N 2.— P. 320—358.
550. Sasaki R. Geometric approach to soliton equations // Proc. Roy. Soc. London A,
1980.— 373, N 4.— P. 373—384.
551. Sasaki R., Bullough R. K. Geometric theory of local and nonlocal conservation
laws for the sine-Gordon eqautions // Ibid.— 1981.—376, N 5.—P. 401—433.
552. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Holonomic quantum fields. 2 : The Riemann —
Gilbert problem// Publ. RIMS : Kyoto Univ.— 1979.— 15, N 2.—P. 201—278.
563. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Aspects of holonomic quantum fields // Lect.
Notes Phys.— 1980.—N 126.—P. 429—491.
554. Segur H., Ablowitz M. Asymptotic solutions of nonlinear equations and a Pain-
leve transcendent//Physica D.— 1981.—3, N 1, 2.—P. 165—184.
555. Semenov-Tian-Shansky M. A. Group theoretical aspects of completely integrable
systems//Lect. Notes. Math.— 1982.—N 970.—P. 173—185.
556. Shadwick W. F. Noether's theorem and Steudel's conserved currents for the sine-
Gordon equation//Lett. Math. Phys.— 1980.— 4, N 4.—P. 241—248.
557. Shadwick W. F. The Hamilton — Cartan formalism for г-th order Lagrangians
and the integrability of the Korteweg — de Vries and modified Korteweg — de
Vries equations//Ibid.— 1981.—5, N 2.—P. 137—141.
558. Shadwick W. F. Case's conjecture on Backlund transformations and conservation
laws// Ibid.— 1983.—7, N 3.—P. 201—204.
559. Shakiban C. A resolution of the Euler operator // Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc—1981.—89, N5.—P. 501—510.
560. Shimuzu Т., Sawada K., Wadati M. Determination of the one-kink curve of an
elastic wire through the inverse method // J. Phys. Soc. Jap.— 1983.— 52, N 1.—
P. 36—43.
561. Shimuzu Т., Wadati M. A new integrable nonlinear evolution equation // Progr.
Theor. Phys.— 1980.— 63, N 3.— P. 808—820.
562. Simms D, J. Geometric aspects of the Feimann integral//Lect. Notes Math.—
1980.— N 836.— P. 167—170.
563. Simms D. J., Woodhouse N. M. Geometric quantization//Lect. Notes Phys.—
1976.— N 53.— P. 5—70.
564. Sktianin E. K. On complete integrability of the Landau — Lifshitz equation.—
Leningrad, 1979.— 32 p.— (Preprint / LOMI ; N E 3-79).
565. Smate S. Topology and mechanics// Invent. Math.— 1970.— 10, N 3.— P. 305—
331.
566. Sniatycki J., Weinstein A. Reduction and quantization for singular momentum
mapping//Lett. Math. Phys.— 1983.—7, N 3.—P. 155—161.
567. Sogo K-, Akutsu Y., Abe T. New factorized S-matrix and its application to exactly
solvable estate model // Progr. Theor. Phys.— 1983.— 70, N 3.— P. 730—746.
568. Sogo K., Uchinami M., Akutsu Y'., Wadati M. Classification of exactly solvable
two-dimensional models // Ibid.— 1982.— 68, N 2.— P. 508—526.
569. Sogo K., Uchinami M., Nakamura A., Wadati M. Nonrelat vistic theory of
factorized S-matrix // Ibid.— 1981.— 66, N 4.—P. 1284—1300.
570. Sogo K., Wadati M. Quantum inverse scattering method and Yang—Baxter
relations for integrable spin systems // Ibid. 1982.— 68, N 1.— P. 85—97.
571. Sogo K., Wadati M. Boost operator and its application to quantum Gelfand —
Levitan equation for Heisenberg — Ising chain with one-harf // Ibid.— 1983.— 69,
N 2.— P. 431—450.
572. Sotitons in Physics //Ed. by H. Wilhelmsson // Phys. scr.— 1979.—20, N 3,
p. 291—356.
573. Sternberg S. Some preliminary remarks on the formal variational calculus of
Gelfand and Dikey// Lect. Notes Math.— 1978.— N 676.— P. 399—407.
574. Symes W. W. Systems of Toda type, inverse spectral problems, representation
theory//Invent, math.— 1980.— 59, N 1.—P. 13—51.
288

575. Taborda Duarte J., Vieta Mendes R. Deformation of Hamiltonian dynamics and
constant of motion in dissipative systems//J. Math. Phys.— 1983.— 24, N7.—
P. 1772—1778.
576. Tabarrok B. The Hamilton — Jacoby equation and its complementary form //
J.Appl. Math. Phys.— 1983.—34, N 3.—P. 398—405.
577. Taftin E. Analytic linearization, Hamiltonian formalism and infinite sequences
of constant of motion for the Burgers equation // Phys. Rev. Lett.— 1981.— 47r
N 20.— P. 1425—1428.
578. Taflin E. Analytic linearization of the Korteweg — de Vries equation // Pacif.
J. Math.— 1983.— 108, N 1 — P. 203—220.
579. Tamishmani К. М., Lakshmanan M. Infinitely many Lie-Backlund symmetries
for a quasi-linear evolution equation // Phys. Lett. A. - 1982.— 90, N 4.—
P. 159—161.
580. Tamishmani К. М., Lakshmanan M. The existence of infinitely many
Lie-Backlund symmetries for a new derivative nonlinear Schrodinger equation // Ibid.—
1983.—99, N 1.- P. 10—14.
581. Thacker H. B. Exact integrability in quantum field theory and statistical
systems// Rev. Modern Phys.— 1981.— 53, N 2.— P. 253—285.
582. Thacker H. B. The quantum inverse method and Green's functions for completely
integrable field theories//Lect. Notes Phys.— 1982.—N 151.—P. 1—60.
583. Thacker H. В., Wilkinson D. Inverse scattering transform as an operator method
in quantum field theory // Phys. Rev. D.— 1979.— 19, N 2.— P. 3660—3665.
584. Thimm A. Integrable Geodesic flows on homogeneous spaces // Bonn. math. schr.—
1978.— N 103.— P. 1—35.
585. Toda M. Waves in nonlinear lattice//Suppl. Progr. Theor. Phys.— 1970.—
N 45.— P. 174—200.
586. Trostel R. Geometric treatment of nonpotential interactions//Hadronic J.—
1982.—5, N 8.—P. 1023—1119.
587. Trostel R. Geometric formulation of the indirect analytic representation of
dynamical systems // Ibid.— 1983.— 6, N 3.— P. 305—405.
588. Trostel R. A class of integrating operators for some isotropic degrees of freedom of
nonlinear evolution equations//Ibid.—1983.—6, N 5.—P. 650—698.
589. Trubowitz E. The inverse problem for periodic potentials // Communs. Pure and
Appl. Math.— 1977.—30, N 3.—P. 321—337.
590. Tu G. Z. A commutativity theorem of partial differential operators // Communs.
Math. Phys.— 1980.— 77, N 2.— P. 289—297.
591. Tu G. Z. On the permutability of Backlund transformations//Lett. Math. Phys.—
1982.— 6, N 1.— P. 63—71.
592. Tu G. Z. A simple approach to Hamiltonian structures of soliton equations // Nuo-
vo cim. В.—1983.—73, N 1.—P. 15—26.
593. Ueno K. Monodromy preserving deformation of linear differential equations with
irregular singular points // Proc. Jap. Acad.vA.— 1980.— 56, N 3.— P. 97—102.
594. Ueno K. Monodromy preserving deformation and its application to soliton theory //
Ibid.—N 6.—P. 210—215.
595. Vega H. J., de. Large orders in the 1/N-perturbation theory by inverse scattering:
in one dimension // Communs. Math. Phys.— 1979.— 70, N 1.— P. 29—42.
596. Vega H. J., de. Functional integration through the 1ST variables//Phys. Rev,
D._ 1980.— 21, N 2.— P. 395—405; 22, N 10, P. 2400—2406.
597. Vega H. J., de. The nonlinear sigma-model in the 1/N-expansion and the 1ST in
the angular momentum//Phys. Lett. В.— 1981.—98, N 4.—P. 280—284.
598. Vieta Mendes R., Taborada Duarte J. Decomposition of vector fields and mixed
dynamics//J. Math. Phys.— 1981.—22, N 7.—P. 1420—1422.
599. Wadati M. The modified Korteweg — de Vries equation//J. Phys. Soc. Jap.—
1973.—34, N 6.—P. 1289—1296.
600. Wadati M. Transformation theories for nonlinear discrete systems//SuppL
Progr. Theor. Phys.— 1976.— N 59.— P. 36—63.
601. Wadati M., Konno K., Ichikawa Y. H. New integrable nonlinear evolutions
equations // J. Phys. Soc. Jap.— 1979.— 47, N 5.— P. 1698—1700.
602. Wadati M., Ichikawa Y. H., Shimuzu T. Cusp soliton of a new integrable
nonlinear evolution equation // Progr. Theor. Phys.— 1980.— 64, N 6.— P. 1959—
1967.
289

603. Wahlquist H. D., Estabrook F. B. Prolongation structures of nonlinear
evolution equations// J. Math. Phys.— 1975.— 16, N 1.— P. 1—7; 1976.— 17, N 7.—
P. 1293—1297.
604. Walters P. Introduction to ergodic theory.— New York : Springer, 1982.— 247 p.
605. Watanabe Y. Variation principle in field theory // Sci. Repts.— 1981.— 30, N 1.—
P. 59—89.
606. Watanabe Y. Hamiltonian structure of Sato's hierarchy of KP-equations and a
coadjoint orbit of a certain formal Lie group // Lett. Math. Phys.— 1983.— 7,
N 2.— P. 99—106.
607. Weichold G. Uber symmetriche Riemann'sche Flachen und die perioditats-moduin
der zugehorigen Abel schen normalintegrable erster Gattung//Z. Math. Phys.—
1883.—28, N 3.—S. 325—351.
608. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential
equations//J. Math. Phys.— 1983.—24, N 3.—P. 522—526.
609. Weiss J. The Painleve property for the partial differential equations, Lax pairs
and the Schwarzian derivative// Ibid.—N 6.—P. 1403—1413.
610. Whithorn G. Nonlinear dispersive waves//Proc. Roy. Soc. A.— 1965.— 283,
N 1393.—P. 238—261.
611. Whitham G. Variational methods and applications to water waves // Ibid.— 1967.—
299, N 1456.—P. 6—25.
612. Wilson G. Commuting flows and conservation laws for Lax equations // Math. Proc.
Cambridge Phil. Soc— 1979.—86, N 2.—P. 131 — 143.
613. Wilson G. Hamiltonian and algebro-geometric integrals of stationary equations
of Korteweg — de Vries type // Ibid.— 1980.— 87, N 2.— P. 295—305.
614. Wilson G. On two constructions of conservation laws for Lax equations// Quart.
J. Math.— 1981.—32, N 2.—P. 491—512.
615. Yajima Y., Oikawa M. Formation and interaction of Sonic — Langmuir soli-
tons//Progr. Theor. Phys.— 1976.—56, N 6.—P. 1719—1739.
616. Yang C. N., Yang С. Р. Exact states of many particles system//J. Math.
Phys.— 1969.—10, N7.—P. 1115—1119.
617. Zakharov V. E. Integrable systems in multidimensional spaces//Lect. Notes
Phys.— 1982.— N 153.— P. 190—216.
618. Zakharov V. E., Kuznetsov E. A., Rubenchik A. M. Soliton stability.—
Novosibirsk, 1983.— 67 p.— (Preprint / Inst. Automat, and Electrometry; N 3).
619. Боголюбов Н. H. (мл.), Прикарпатский А. К., Курбатов А. M., Самойлен-
ко В. Г. Нелинейная модель типа Шредингера: законы сохранения, гамильто-
нова структура и полная интегрируемость//Теорет. и мат. физика.— 1985.—
65, № 2.—С. 271—284.
620. Боголюбов Н. Н. (мл.), Прикарпатский А. К. Метод производящих
функционалов Н. Н. Боголюбова в статистической физике и аналог преобразования
к коллективным переменным // Там же.— 1986.— 66, № 3.— С. 463—480.
621. Боголюбов Н. Н. (мл.), Прикарпатский А. К. Полная интегрируемость
нелинейных систем Ито и Бенни — Каупа: градиентный алгоритм и представление
Лакса//Там же.—67, № 3.—С. 410—425.
622. Боголюбов Н. Н. (мл.), Прикарпатский А. К. Квантовый метод
производящих функционалов Н. Н. Боголюбова в статистической физике: алгебра Ли
токов, ее представления и функциональные уравнения // Укр. мат. журн.—
1986.—38, № 3.—С. 284—289; ЭЧАЯ.— 1986.— 17, № 4.—С. 869—892.
623. Васюнык 3. И., Прикарпатский А. К. О параметрическом гамильтоновом
формализме для динамических систем, ассоциированных с оператором Дирака //
Мат. методы и физ.-мех. поля.— 1986.— Вып. 23 —С. 15—19.
624. Мельников В. /С. Некоторые новые нелинейные эволюционные уравнения,
интегрируемые методом обратной задачи//Мат. сб.— 1983.— 121, № 4.—
С. 469—498.
625. Митропольский Ю. А., Прикарпатский А . К., Самойленко В. Г.
Асимптотический метод построения имплектических и рекурсионных операторов вполне
интегрируемых динамических систем // Докл. АН СССР. — 1986. — 287,
№ 6.—С. 1312—1317.
626. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем двух урав-
290

нений вида щ = А (и) ихх + F {и, их) II Теорет. и мат. физика.— 1985.— 62,
№ 2.—С. 163—185; 1986.—66, № 1.—С. 47—65.
627. Прикарпатский А. К. Градиентный алгоритм построения критериев
интегрируемости нелинейных динамических систем//Докл. АН СССР.— 1986.— 287,
№ 4.—С. 827—832.
628. Самойленко В. Г., Прикарпатский А. К. Алгебраическая структура
градиентного метода построения критериев интегрируемости нелинейных динамических
систем // Функциональные уравнения в статистической механике и нелинейные
динамические системы.— Киев, 1986.— С. 19—56.— (Препринт/АН УССР. Ин-т
математики; № 86. 53).
629. Сидоренко Ю. Я. Гамильтоновость уравнения Боголюбова//Докл. АН УССР.
Сер. А.— 1986.—№ 3.—С. 24—27.
630. Сидоренко Ю. Я. Представление Лакса и полная интегрируемость обобщенной
нелинейной модели типа Шредингера//Там же.— 1985.— № 12.— С. 17—20.
631. Golding A., Menicoff R., Sharp D. Я. Current algebras and their
representations Ц J. Math. Phys.— 1980.— 21, N 4,— P. 650—664.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Ли токов квантовая 262
Абеля отображение 63
Бозе-случай 229
Бра-вектор 230
Бэклунда преобразование 23
Вакуум 230
Векторное поле гамильтоново 10
квазигамильтоново 10
Гамильтониан 16
Гамильтона — Якоби метод 10, 13
Дефект нетеровости 26
Деформация изоспектральная 31
Дивизор оператора 57
Дирака 82
Хилла 97
— спектральной задачи 141
Динамическая система Бенджамина —
Оно 26
бигамильтонова 19
гамильтонова инвариант 10
первый интеграл 10
Гильберта — Гордон 26
дискретная 9
конечномерная 6
Неймана 250
Неймана — Дирака 188
Неймана — Росохатиуса 185
свойство бигамильтоновости 265
— гамильтон овости 10
— рекуррентности 7
— симметрии 20
— симметрийной рекурсион-
ности 20
— эргодичности 8
симметрия 20
типа Каупа 177
Неймана 181
фазовое пространство 6
Кет-вектор 230
Константы Римана 115
Матрица монодромии 32
— Римана 113
Мера инвариантная 6
Многообразие симплектическое 10
— Якоби 63
Модель Дикке 157
— Ландау — Лифшица 125
Нелинейные формулы следов 61, 105
Ограничения 13
Оператор Гильберта 265
— Дирака 78
— имплектический 17
— косимплектический 17
— кососимметрический 16
— наследственно рекурсионный 19
— нетеровый 17
— обратно симплектический 17
— рассеяния 236
— рекурсионный 19
— рождения состояния 230
— симплектический 17
— уничтожения состояния 230
— Хилла 53
конечнозонный 64
Пара операторов согласованная 19
Переменные действие — угол 13
Поверхность риманова 61
род алгебраический 62
Продолженная иерархия законов
сохранения 36
Связи 13
— голономные 15
— интегрируемые 15
Система уравнений Абловица 147
— — модели ферромагнетика Гейзен-
берга 122
типа Гейзенберга 125
— Шредингера неоднородных
164
Скобка Пуассона 10, 17
Спектр дополнительный 57, 83
292

— основной 55
Среднее временное вдоль
траектории 8
— пространственное 8
Структура симплскгическая 10
— — на подмногообразии 13
Теорема Биркгофа — Хинчина 8, 9
— Лиувилля 10
— Пуанкаре 7
Тождество Якоби 10
Уравнение для воли Ленгмюра в
плазме 135
— Кадомцева — Петвиашвили 22, 26
— Кортевега — де Фри а 44, 50, 26
нелинейное
модифицированное 45, 72
— типа Бюргерса 243
Шредингера нелинейное 47, 232,
233
— — модифицированное 107
— — обобщенное 95
Шредингера — Абловица 156
— Шредингера линейное 75
нелинейное 210
— sin-Гордона 69
Условие Лиувилля 6
Условно периодическое дви>; е-
ние 7
Ферми-случай 229
Функции в инволюции 10
Функция Гамильтона 17
— допустимая 23
— инвариантная относительно дина-.,
мической системы 8
Частоты движения 7

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие : : : : 3
Глава 1. Общие свойства динамических систем 6
§ 1. Конечномерные динамические системы 6
1.1. Инвариантная мера (6). 1.2. Условие Лиувилля (6). 1.3. Теорема Пуанкаре
(7). 1.4. Теорема Биркгофа — Хинчина (7). 1.5. Теорема Биркгофа — Хинчина
для дискретных динамических систем (9). 1.6. Скобка Пуассона (10). 1.7.
Теорема Лиувилля. Метод Гамильтона — Якоби (10). 1.8. Симплектическая
структура на подмногообразии (13).
§ 2. Бесконечномерные динамические системы . 16
2.1. Предварительные замечания (16). 2.2. Имплектические операторы и
динамические системы (16). 2.3. Свойства симметрии и рекурсионные операторы (20).
2.4. Преобразование Бэклунда (23). 2.5. Свойства множества решений одной
бесконечной последовательности динамических систем (25).
Глава 2. Критерии интегрируемости динамических систем:
представление типа Лакса и рекурсионные операторы • « • 31
§ 1. Представление типа Лакса 31
1.1. Обобщенная задача на собственные значения (31). 1.2. Свойства спектра
задачи (32). 1.3. Свойства производящей функции законов сохранения (33).
§ 2. Рекурсионные операторы и законы сохранения . 34
2.1. Свойства градиента производящего функционала Д (А,) законов сохранения
(34). 2.2. Инволютивность законов сохранения (36).
§ 3. Критерий существования представления типа Лакса 37
3.1. Матрица монодромии и представление типа Лакса (37). 3.2. Метод
нахождения законов сохранения (38). 3.3. Нахождение имплектических операторов
2? и *М (39). 3.4. Определение оператора L в представлении типа Лакса (40).
§ 4. Асимптотический метод построения рекурсионных операторов для
динамических систем 42
Глава 3. Вполне интегрируемые динамические системы
и их спектральные свойства .....* 50
§ 1. Уравнение Кортевега — де Фриза и конечнозонные операторы Хилла 50
1.1. Законы сохранения (50). 1.2. Имплектические операторы .2* И*Ж (50- 1.3.
Представление типа Лакса и оператор Хилла (52). 1.4. Свойства спектра (53). 1.5.
Дивизор оператора Хилла (57). 1.6. Свойства блоховской собственной функции (58).
1.7. Определение коэффициента в операторе Хилла (1.20) и проблема Якоби
обращения абелевых интегралов (61). 1.8. Нахождение формул для точных
решений уравнения Кортевега — де Фриза (64). 1.9. Квазипериодичность
функции и(х, t) (67).
§ 2. Уравнение sin-Гордона и его полная интегрируемость ....... 69
2.1. Законы сохранения. Имплектические операторы^ и ^ (69). 2.2.
Представление типа Лакса (71).
§ 3. Нелинейное модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза и его
полная интегрируемость . • 72
3.1. Гамильтонова форма записи (72). 3.2. Представление типа Лакса (74),
294

§ 4. Периодическое линейное уравнение Шредингера: полная
интегрируемость и конечнозонные операторы Дирака 75
4.1. Законы сохранения. Имплектические операторы SZ и Ж (75). 4.2.
Представление типа Лакса (77). 4.3. Свойства спектра оператора Дирака (78). 4.4. Дивизор
и дополнительный спектр оператора Дирака (82). 4.5. Аналитические свойства
блоховской собственной функции (86). 4.6. Инволютивные свойства основного
спектра (92). 4.7. Эволюция данных Коши (94).
§ 5. Представление типа Лакса и полная интегрируемость обобщенной
нелинейной модели типа Шредингера 95
5.1. Законы сохранения (95). 5.2. Имплектические операторы^ и Л (97). 5.3.
Представление типа Лакса (98). 5.4. Свойства спектра (99). 5.5. Явные формулы для
решений (103).
§ 6. Полная интегрируемость модифицированного нелинейного уравнения
Шредингера , 107
6.1. Представление типа Лакса (107). 6.2. Имплектические операторы g и ^ (108).
6.3. Аппроксимационная теорема (ПО). 6.4. Проблема Якоби обращения абеле-
вых интегралов и формулы для точных решений системы уравнений (6.1) (112).
§ 7. Полная интегрируемость динамических систем, ассоциированных с
задачей о нелинейных колебаниях продольно сжатой упругой балки . . 117
7.1. Гамильтонова форма записи (117). 7.2. Явный вид первой компоненты
собственной функции Блоха (118). 7.3. Эволюция конечнозонных данных Коши (120).
§ 8. Полная интегрируемость модели ферромагнетика Гейзенберга .... 122
8.1. Предварительные сведения (122). 8.2. Имплектические операторы & и jf( и
симплектические структуры (122).
§ 9. Алгебро-геометрическое интегрирование некоторых систем
обыкновенных дифференциальных уравнений на гиперэллиптических римановых
поверхностях. Модель типа Гейзенберга 125
9.1. Модель Ландау — Лифшица (125). 9.2. Свойства матрицы монодромии (126).
9.3. Метод квазирегуляризации (128). 9.4. Проблема Якоби для основной и ква-
зирегулярнзованной систем дифференциальных уравнений (130). 9.5. Решение
обобщенной проблемы Якоби (131). 9.6. Вычисление симметричных функций от
решений системы (9.11) (133).
§ 10. Нелинейные уравнения для волн Ленгмюра в плазме: полная
интегрируемость и точные решения 135
10.1. Вспомогательная система. Законы сохранения. Имплектические операторы
3? и *М (135). 10.2. Спектральные свойства оператора L в представлении типа
Лакса (138). 10.3. Свойства дивизора спектральной задачи (10.23) (141). 10.4.
Эволюция полюса функции Бэйкера — Ахиезера (142). 10.5. Свойства функции Бэй-
кера — Ахиезера (144).
§ 11. Динамическая система Абловица: полная интегрируемость и
конечнозонные решения 147
11.1. Предварительные замечания (147). 11.2. Законы сохранения.
Имплектические операторы. Представление типа Лакса (147). 11.3. Спектральные свойства
оператора L в представлении типа Лакса (150). 11.4. Свойства функции
Бэйкера— Ахиезера. Эволюция данных Коши (151). 11.5. Формула для первой
компоненты функции Бэйкера — Ахиезера и конечнозонные решения
динамических систем (154).
§ 12. Модель Дикке 157
12.1. Предварительные замечания (157). 12.2. Вывод уравнений для матрицы
монодромии. Свойства матрицы монодромии (157). 12.3. Алгоритм построения
точных решений (161).
§ 13. Нелинейные интегрируемые неоднородные динамические системы
типа Шредингера 164
13.1. Предварительные сведения (164). 13.2. Эволюция матрицы рассеяния (165).
13.3. Гамильтонова интерпретация динамических систем (13.16) (167).
§ 14. Динамические системы типа Каупа и Неймана: полная
интегрируемость и точные решения 169
14.1. Предварительные замечания (169). 14.2. Спектральная задача (169).
14.3. Свойства спектра (170). 14.4. Свойства собственных функций Блоха (171).
14.5. Формула для первой компоненты блоховской собственной функции (174).
14.6. Динамические системы Каупа, ассоциированные с оператором (14.1), и их
полная интегрируемость (176). 14.7. Динамические системы Неймана и их
полная интегрируемость (179). 14.8. Динамическая система типа Неймана — Ро-
сохатиуса и ее полная интегрируемость (185). 14.9. Динамическая система типа
Неймана — Дирака и ее полная интегрируемость (188).
295

§ 15. Алгебро-геометрическое интегрирование общих систем линейных
дифференциальных уравнений, образующих представление типа Лакса 191
15.1. Существование решений систем линейных дифференциальных уравнений,
образующих представление типа Лакса, и проблема Якоби обращения абелевых
интегралов. Построение решений (191). 15.2. Вывод линейных
дифференциальных уравнений, образующих представление типа Лакса (194). 15.3 Свойства
симметрии римановой поверхности, задающей решения динамических систем,
ассоциированных с уравнениями (15.1) (195). 15.4. Свойства симметричных римановых
поверхностей (197).
Глава 4. Эргодические деформации вполне интегрируемых динамических
систем и метод усреднения Боголюбова—Уизема 204
§ 1. Уравнения эргодических деформаций для нелинейного уравнения
Корветега — де Фриза 204
1.1. Предварительные замечания (204). 1.2. Уравнения эргодических
деформаций в общем случае (205). 1.3. Производящая функция законов сохранения и
уравнения эргодических деформаций (207).
§ 2. Метод усреднения и уравнения эргодических деформаций для
нелинейного уравнения Шредингера 210
2.1. Предварительные замечания (210). 2.2. Вывод уравнений эргодических
деформаций (211).
§ 3. Уравнения эргодических деформаций для динамической системы sin-
Гордона и их алгебро-геометрическая интерпретация 215
3.1. Замечание об интегрируемости динамической системы sin-Гордона (215).
3.2. Схема изучения структуры конечнозонных решений системы (3.1) (216).
3.3. Случай чисто мнимых решений (217). 3.4. Гамильтонова запись уравнений
эргодических деформаций (222). 3.5. Случай действительных двухзонных
решений (224).
Глава 5. Вполне интегрируемые динамические системы и их приложения
в квантовой и статистической физике 229
§ 1. Метод вторичного квантования и спектр квантовых возбуждений
нелинейной модели типа Шредингера 229
1.1. Предварительные сведения (229). 1.2. Представление вторичного
квантования (230). 1.3. Нелинейные уравнения типа Шредингера (232). 1.4. Изучение
квантовой динамической системы Шредингера с помощью квантового метода
обратной задачи (233). 1.5. Оператор рассеяния (236). 1.6. Описание собственных
состояний модели типа Шредингера (1.27) (238). 1.7. Квантовые возбуждения
модели бозе-газа с положительным импульсом (240);
§ 2. Эволюция хаоса и нелинейные динамические системы 243
2.1. Уравнение типа Бюргерса (243). 2.2. Интегрирование уравнения (2.12) (245).
§ 3. Квантование динамической системы Неймана и метод
функционального интегрирования 250
3.1. Предварительные замечания (250). 3.2. Формула для ядра полугруппы (251).
3.3. Оценка воличины энергии основного состояния оператора Н0 (257).
§ 4. Квантовая алгебра Ли токов — универсальная алгебраическая
структура симметрии вполне интегрируемых динамических систем .... 261
4.1. Квантовая алгебра Ли токов (261). 4.2. Функциональные представления
алгебры Ли токов (261).
Список литературы 267
Предметный указатель 292