Неклассические методы теории приближений в краевых задачах - Рвачёв В.Л., Рвачёв В.А.

Автор: Рвачёв В.Л. Рвачёв В.А.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математика математический анализ
Год: 1979
Похожие
Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона
Цифровая обработка сигналов и изображений
Избранные труды. Математика. Механика
Лекции по вычислительной математике
Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ
МАШИНОСТРОЕНИЯ
В. Л. РВАЧЕВ, В. А. РВАЧЕВ
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
ТЕОРИИ
ПРИБЛИЖЕНИЙ
В КРАЕВЫХ
ЗАДАЧАХ
КИЕВ
«НАУКОВА ДУМКА»
1 979
УДК 517.95+ 518.517
Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. РвачевВ. Л.,
Рвачев В. А. К., Наук, думка , 1979. 196 с.
В монографии рассмотрены новые методы конструктивной теории функций
и их приложения к задачам исследования и расчета физико-механических полей
различной природы (температурных, деформационных, гидродинамических,
электромагнитных ит. п.). В первых двух главах изложен алгебро-логический ме-
тод /^-функций, в третьей и четвертой главах описаны новые, атомарные, функции,
имеющие первостепенное значение не только для развития метода R-функций, но
и для теории приближений. С помощью атомарных функций можно строить поли-
номы, сочетающие достоинства классических степенных и тригонометрических
полиноме^ (бесконечную дифференцируемость и аппроксимационную универсаль-
ность) и сплайнов (существование локального базиса). На таких полиномах ба-
зируется метод конечных элементов.
Рассчитана на специалистов, интересующихся современными методами вы-
числительной математики и ее приложениями к решению краевых задач.
Ил. 6. Табл. 3. Список лит.: с. 190—193 (92 назв).
Рецензенты Ю. Г, СТОЯН, И. В. ГОНЧАРЮК
Редакция физико-математической литературы
р ---20204—15з_79 1703020000
М221(04)—79
© Издательство «Наукова думка», 1979
«Быть может, впоследствии, изучая функции,
удовлетворяющие определенным функцио-
нальным условиям, анализ естественным путем
придет к практически важным неаналитиче-
ским функциям, которые будут играть в теории
функций не меньшую роль, чем алгебраиче-
ские и простейшие трансцендентные (?, л)
числа в теории чисел».
С. Н. БЕРНШТЕЙН
Аналитическая природа решений дифференциальных
уравнений эллиптического типа.
ВВЕДЕНИЕ
Краевые задачи для уравнений с частными производными пред-
ставляют собой одно из наиболее важных направлений в современ-
ной прикладной математике. С ними связаны исследование и расчет
различных физико-механических полей (температурных, деформаци-
онных,,.электромагнитных, гидродинамических, фильтрационных и
т. п.), и в этом состоит главная причина того постоянного интереса,
который проявляют к ним специалисты, работающие в самых раз-
личных областях науки и техники. Особенно актуальной является
разработка таких методов решения краевых задач, которые имели бы
универсальный (насколько это возможно) характер и не требова-
ли от исследователя, (как правило, не математика) знания тонких
вопросов теории. Кроме того, универсальность обусловливает воз-
можность привлечения методов системного программирования, что
имеет существенное значение для автоматизации научных исследо-
ваний (точнее, их обширной нетворческой части) в области краевых
задач. Конечно, для каждого конкретного класса задач существуют
или могут быть созданы специальные методы, превосходящие по
эффективности любой «универсальный» метод, но их использование
требует, как правило, хорошей математической и специальной под-
готовки и значительных затрат времени, что при необходимости
быстро решать все новые и новые задачи, различные по специфике,
может оказаться неприемлемым.
- К широко известным универсальным методам относятся следую-
щие: сеток (разностных схем) [10, 19, 33, 681, различные вариа-
ционные и проекционные [7, 19, 38], конечных элементов [13], ло-
кальных вариаций [80] и др. Грань между названными методами
весьма условна: разностные методы и метод конечных элементов
можно трактовать как вариационные со специальным выбором коор-
динатных («пробных») функций, а один и тот же вычислительный
алгоритм во многих случаях получают как вариационным, так и
проекционным путем. Поэтому можно считать, что во всех таких
методах решение краевой задачи имеет вид
N
UN= S (х) + ф0 (х),	(1)
Л=1
где % (х) — некоторые заранее выбранные функции. (В сеточном
методе коэффициент Ck — значение неизвестного решения в k-м
узле сетки, поэтому % (х) — некоторая функция, равная 1 в k-м
узле и 0 — в остальных.) Решение краевой задачи тогда сводится к
решению некоторой системы (линейной для линейных краевых
задач)
ГДСх, ..., Сл,) = О, i = l....N,
относительно неизвестных Сх, ..., Сы-
Каким же условиям должны удовлетворять функции фЛ (х)?
Прежде всего, в большинстве случаев требуется (а в остальных же-
лательно), чтобы функция иц удовлетворяла краевым условиям рас-
сматриваемой задачи. Основная трудность в решении этого вопроса
связана с тем, что в формулы, представляющие функции (х),
должна некоторым образом включаться информация геометриче-
ского характера о форме границы рассматриваемой области (и форме
ее участков для краевых условий смешанного типа). Кроме того,
эти формулы должны быть конструктивно просты как с точки зре-
ния вычислений их значений, так и при выполнении некоторых ана-
литических действий, например нахождении их частных произ-
водных до требуемого порядка.
’ В течение длительного времени задача построения в явном виде
функций фЛ (х), удовлетворяющих произвольным краевым усло-
виям для областей сложной формы, казалась практически не-
разрешимой. Для .однородной задачи Дирихле Л. В. Канторович,
высказав ряд общих рекомендаций, предложил искать ф* (х) в виде
со (х) Ф (х), где о (х) равна 0 на границе и больше 0 внутри рассмат-
Г иваемой области, а Ф (х) выбирается в виде некоторого многочлена
19]. Однако построение функции <в (х) для произвольной области
по-прежнему оставалось проблематичным. Рассмотреть этот вопрос
с общих позиций удалось лишь после создания конструктивного
аппарата /^-функций [45], позволившего привлечь для его решения
методы алгебры логики.
Задача построения функции <в (х) — частный случай более об-
щей задачи построения уравнения со (х) = 0 заданного геометри-
ческого объекта («чертежа). Такую задачу принято называть обрат-
ной задачей аналитической геометрии, однако ранее она ставилась
и решалась в основном лишь для простых (классических) объектов,
рассматриваемых как геометрические места точек, расположенных
по определенному закону. Заметим, что постановка вопроса о по-
строении уравнения со (х) = 0 некоторого чертежа правомерна лишь
в том случае, если определены конструктивные средства (опера-
4'
ции), которыми разрешено пользоваться при построении функции-
со (х).
В аналитической геометрии обычно ограничиваются системой
Но = {*! + х2, хх х2, а = const	которая приводит
к множеству SR (Но) целых рациональных функций (полиномов).
Ему соответствует множество 91 (Яо) чертежей, описываемых урав-
нениями со (х) = 0, со (х) £ 9К (Но), и называемых алгебраически-
ми. Однако множество алгебраических чертежей является весьма
«бедным». Оно не содержит, например, таких чертежей, как прямо-
угольник, усеченный конус, двутавр и т. п. В то же время многие
сложные чертежи, в том числе и названные выше, также могут быть
описаны с помощью системы Но, но уже не одним уравнением, а си-
стемами систем уравнений и неравенств вида ft = 0, фу > О, где
ft, <р; £ SR (Но). Такие чертежи называются полуалгебраическими
[3]. Множество, составленное из полуалгебраических чертежей,
обозначим 9J i (Но). Из определения множества 1 (Но) следует,
Т	2
что 9t (Но) cz 9? 1 (Но), а существование полуалгебраических, но
Т
не алгебраических чертежей означает, что 91 (Но) Ф 9? i (Н^. Пра-
2
вомерен вопрос: нельзя ли так расширить систему Яо ДО некоторой
системы Н, чтобы в приведенных выше рассуждениях получить
строгое равенство 9? (Н) — 9t i (Я)? Располагая такой системой
Т
Н, можно было бы задавать сложные геометрические объекты не
упомянутыми выше системами систем уравнений и неравенств, а
одним уравнением, написанным в символах системы Н.
В § 6—9 гл. 1 показано, что такие системы (названные алгоритми-
мически полными) существуют и могут быть построены с использо-
ванием /^-функций. При этом «счастливым» обстоятельством оказа-
лось то, что существуют элементарные алгоритмически полные си-
стемы и в целом само множество основных элементарных функций
(в сочетании с арифметическими операциями) является алгоритми-
чески полным. Это означает, в частности, что всякий чертеж, состав-
ленный из кусков элементарных линий или поверхностей, может
быть описан элементарным уравнением со (х) — 0. С помощью R-
функций строить такие уравнения достаточно просто.
Приведенные выше результаты, полученные на уровне аналити-
ческой геометрии, нашли естественные приложения в различных
областях науки и техники (оптимальный раскрой [72, 73], распо-
знавание зрительных образов [69], устойчивость движения [34] и др.)
и, в частности, означали решение упоминавшейся выше задачи по-
строения координатных функций для однородной задачи Дирихле.
Формула и = <вФ, удовлетворяющая однородным краевым усло-
виям задачи Дирихле при изменении Ф в пределах некоторого до-
статочно общего множества (например, С (HV)), определяет мно-
жество (пучок) функций, равных нулю в точках заданного чертежа.
В гл. 2 рассмотрена более общая задача о построении формул вида
5
иВ (Ф), где В — оператор, для пучков функций, удовлетворяю-
щих в точках заданного чертежа краевым условиям самого общего
йида. (неоднородным, дифференциальным, нелинейным, смешанным
краевым, и др.). Использование формул вида и — В (Ф) легло в
основу ряда исследований [43—51] и привело к постановке новых
задач, в том числе относящихся к теории приближений. В частнос-
ти, при выборе функции Ф (неопределенной компоненты пучка)
в виде некоторого полинома формула и = В (Ф) превращается
в координатную функцию вида и — Bt (х, Сг, ..., Cn), а для линей-
ных- краевых условий принимает вид (1). Однако, хотя при этом
точно удовлетворяются заданные краевые условия, задачу построе-
ния . координатных функций можно считать успешно решенной
лишь при обеспечении определенных аппроксимационных свойств
функций ф4 (х): их линейные комбинации должны достаточно хо-
рошо приближать функции , того класса, которому принадлежит
решение рассматриваемой, краевой задачи.
Априорная информация об искомом решении, которой (в лучшем
елучаё) располагает.исследователь, сводится к знанию гладкости
решения (чирлу раз дифференцируемости) и константы, ограничи-
вающей его старшие производные.
.Исследователи, занимающиеся теорией приближений, давно пы-
таются выяснить вопрос о скорости приближения дифференцируе-
мых функций элементами линейных пространств как функции раз-
мерности этих пространств. Установлена зависимость этой скорости
дг гладкости [14, 26, 30, 39, 74].
(. Естественно потребовать, чтобы функции ф& (х) обладали наилуч-
шими аппроксимационными свойствами,-причем, поскольку инфор-
мации о. гладкости искомого решения мало, желательно, чтобы их
линейные комбинации приближали функции любой гладкости с
наибольшей возможной по теории приближений скоростью, т. е.
обладали свойством аппроксимационной универсальности [56]. Как
известно, алгебраические (тригонометрические) полиномы обладают
аппроксимационной универсальностью [14, 26, 74]. Однако их
применение имеет тот. недостаток (это отмечается, например, в пре-
дисловии Н. Н. Яненко к работе [13]), что матрицы соответствую-
щих линейных алгебраических систем являются, вообще говоря,
полностью заполненными, т. е. для хранения в памяти ЭВМ эле-
ментов матрицы требуется № ячеек. Кроме того, вычисление
коэффициентов в методах типа метода Ритца Галеркина требует
вычисления кратных интегралов по всей области, в которой реша-
ется .задача.. К тому же полученные матрицы часто плохо обуслов-
лены. Все это ограничивает возможности применения классиче-
ских-многочленов. Вместо них широко применяют финитные функ-
ции с. малым носителем — так называемые локальные функции, в
основном кусочно-полиномиальные — локальные сплайны [7, 88].
Например, разностные схемы можно получать методом коллокаций
с базисными функциями — финитными сплайнами [7]. При этом
матрицы оказываются разреженными (т. е. требуют только о (№)
»
ячеек памяти), а каждый элемент их — интеграл по малой области
и может быть вычислен быстрее. Это позволяет взять N гораздо
большим, чем для многочленов^, а следовательно, получить большую
точность. Однако сплайн-функции при всех их достоинствах не
обладают в силу конечной гладкости 'аппроксимационной универ-
сальностью. В гл. 3 и 4 описано построение новых локальных функ-
ций класса С°°, обладающих таковой. Конечно, они несколько «ме-
нее локальны», чем сплайны, и несколько «менее универсальны»
(это касается приближения аналитических функций), чем многочле-
ны, но зато обладают и тем и другим свойством одновременно.
Гл. 1 и 2 написаны В. Л. Рвачевым, а гл. 3 и 4 — В. А. Рваче-
вым. Результаты § 3 гл. 3 и § 11 гл. 4 получены авторами совместно.
Исследования, описанные в § 1, 2,4—8 гл. 3 и § 1—10 гл. 4, включая
и их постановку, принадлежат В. А. Рвачеву.
ГЛАВА 1
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
И /^-ФУНКЦИИ
§ 1. КОМПОЗИЦИЯ И СУПЕРПОЗИЦИЯ. //-РЕАЛИЗУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Для задания функций в виде формул чаще всего пользуются
Так называемыми элементарными функциями — суперпозициями ба-
зисной системы
Я8 = |х ± у, ху, -у , хп, ах (а > 0),
log,, х (а > 0), sin х, cos х, tg х, ctg х,	(1.1)
arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, a Va(E(—co, 4-oo)} ,
состоящей из арифметических операций, основных элементарных
функций и констант.
Во времена Ньютона и Лейбница понятие функции, по существу,
исчерпывалось элементарными функциями. Лишь позже, когда
было установлено, что некоторые интегралы от элементарных функ-
ций нельзя представить в элементарном виде, не все уравнения с
элементарными коэффициентами можно разрешить в элементарных
функциях, и т. д., возникла общая теоретико-множественная точка
зрения и элементарные функции стали рассматриваться как при-
меры функций вообще.
По мере развития математики число функций, для которых
вводилась стандартная символика, постепенно расширялось, при-
чем происходило это и в рамках элементарных функций (например,
гиперболические), и за счет так называемых специальных функций
(Бесселя, Матье и т. д.). Заметим, что это расширение символики
осуществлялось путем своего рода «естественного отбора» и опреде-
лялось прежде всего практической значимостью рассматривае-
мых функций.
Необходимость совершенствования конструктивных средств ма-
тематики, которые до недавнего времени почти исчерпывались ба-
зисной системой (1.1), особенно возросла в последние годы, когда
широкое распространение получили быстродействующие вычисли-
тельные машины и возникла проблема повышения эффективности
их использования. В частности, появились серьезные основания для
а
расширения системы (1.1) как в рамках самих элементарных функ-
ций, так и за их пределами.
Пусть Ж — некоторое множество, Жл — его n-я степень. Ото-
бражения вида у = f (х) : £п ж”, х = (хь ..., хп), у « (ух, ...
..., t/m) назовем правильными с алфавитом Ж- Множество всех правиль-
ных с алфавитом Ж отображений обозначим F (Ж)-
Если у =» f (х) 1 Ж" -> ЗГ и и = <р (у) : Ж"1 -* Жр, то отображе-
ние и = ф [f (х)] « ф о f ; ж” -> Жр принято называть композици-
ей / и ф.
Введем понятие суперпозиции, некоторым образом обобщающее
понятие композиции. Пусть И — некоторая система (не обязательно
конечная) правильных с алфавитом Ж отображений:
Я={«/ = Ф/(х):Жл'-*Жт'}-	(1-2)
Множество $0? (Я) суперпозиций Н включает:
а)	отображения, составляющие Н\
б)	тождественное отображение у = х : Ж,-* X;
в)	отображения вида f «= (ф, ф): ЖЛ-*Х”,^₽, где ф: Жл -*• Жт, Ф *
:ЖП->ЯР, (ф, Ф) = (Ф1, .... ф^, Фх. ФР), а ф, ФЕ®?(/7);
г)	композиции вида ф » ф, ф, ф £ SOJ (Н).
Для того чтобы подчеркнуть происхождение суперпозиций от
базисной системы Н, будем называть элементы множества Ш (Н)
Я-реализуемыми отображениями, а если Ж — числовое множест-
во, то — Я-реализуемыми функциями.
Заметим, что понятие Я-реализуемой функции является фор-
мализацией понятия функции, заданой аналитически (в виде еди-
ного аналитического выражения). Действительно, если для обозна-
чения функций, составляющих базисную систему (1.2), ввести неко-
торый набор символов, то для каждой Я-реализуемой функции можно
будет написать формулу, содержащую лишь указанные символы,
символы независимых переменных и, возможно, открывающие и
закрывающие скобки.
С понятием суперпозиции тесно связано понятие замкнутого
множества. Множество SR0 называется замкнутым (суперпозицион-
но), если для всякой системы Я с: WJ0 множество суперпозиций
9» (Я) cz Жо.
Если все возможные композиции функций из принадлежат ЯП,
но имеются суперпозиции функций из S0J, не принадлежащие SR,
то множество SDJ будем называть композиционно замкнутым. Оче-
видно, что всякое замкнутое множество является композиционно
замкнутым.
Примерами замкнутых множеств являются:
1) множество С* (IR4) (п = 1, 2, ...) k раз непрерывно дифферен-
цируемых везде функций (в том числе при k =» 0 и k = оо);
2) множество CR целых рациональных функций;
3)‘ множестве СА' везде -аналитических функций (т. е. разложи-
мых в ряд Тейлора в окрестности любой точки);	. .
,4) множество F (Ж) правильных отображенйй с алфавитом Ж-
Теорема 1. Пересечение замкнутых (композиционно замкнутых)
множеств есть замкнутое (композиционно замкнутое) множество.
(Пустое множество считается замкнутым по определению).
Доказательство очевидно.
В дальнейшем широко используется понятие полной системы
отображений, смысл которого заключается в следующем.
Система Н называется полной по отношению к множеству
если с: (Я), т. е. если всякая функция из является //-реа-
лизуемой.
Пример 1. Система Но = (хг + х2, х±х2, а У а С К] полна по
отношению к множеству CR целых рациональных функций.
- Пример 2. Пусть Н — множество правильных непрерывных
функций двух аргументов с алфавитом Ж = 10, 1], а С — множество
правильных непрерывных функций произвольного числа аргумен--
тов с тем же алфавитом. Из работ А. Н. Колмогорова [22] и
В. И. Арнольда [41 следует, что всякая непрерывна^ функция п
аргументов {п > 3) может быть представлена как суперпозиция
непрерывных функций двух аргументов. Следовательно, множество,
Н представляет собой полную систему по отношению к множеству С.'
_ Если для функций, составляющих полную систему Н, введена
некоторая символика, то всякую функцию из SR0 можно представить
в виде единого аналитического выражения, записанного с помощью
этой символики.
. Пусть Т :	-> 2ЗП°, 2ОТ° — множество всех подмножеств ®?0.
Элементы множества Тх, соответствующего элементу х £ ®0?о, бу-
дем^ называть похожими на х по признаку Т. Множество €0?! cz
называется замкнутым по признаку Т, если для всякой суперпозиции
/.отображений из SRj в имеется похожее на f (по признаку Т)
отображение. Пусть // с ®] — система отображений такая, что для
всех х £ ЭДх множество Тх П (П), где SR (И) — множество Я-реа-
лизуемых отображений, является непустым. В этом случае систему
Я будем называть полной по признаку Т или достаточно полной. Не-
трудно заметить, что если Т — каноническая инъекция в 2ТО,
то полнота по признаку Т есть полнота Я по отношению к SR в обыч-
ном смысле.
Пример 3. Будем говорить, что функция <р £ С* (й) «похожа»
по признаку Те на функцию f £ Ck (Й), если || f — q> ||C*(Q) < в.
Система Яо = {xr + х2, xLx2, а V а g IR) является полной по при-
знаку Те в С* (Й). Это следует из известной теоремы Вейерштрасса
[19] о возможности приближения функций из Ck (й) полиномами
(т-.- е.- элементами 50? (Яо)).
Пример 4. Пусть множество функций, определенных на отрез-
ке [0,1] и имеющих на нем конечное число нулей. Каждой функции
t -	.	. 
10?
f g W поставим в соответствие множество Т (f) с S0J функций»
нули которых совпадают с нулями/. Тогда достаточно полной явля;
ется? например, система Но = {хг + х2, xtx2, a Va £ Ж).	'
§ 2.	ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
1.	Функциями ft-значной логики будем называть правильные
функции вида F :	ВГ, где Bk = {0, 1, k—1} — алфа-
вит, состоящий, из k элементов. Функции двузначной логики
называются также булевыми, или переключательными. Множество
всех функций ft-значной логики обозначим F (Bk). (В качестве!эле-
ментов, составляющих алфавит, можно, вообще говоря,-исцолЦзо-
вать любые символы. Например, в исчислении высказывание ис-
пользуют слова «ложь» и «истина».)
Нетрудно подсчитать, что область определения функции,X =
= F (X) : Bnk -> ВТ состоит из 0 («, ft) = ft"точекХ{ = (Xj;...,^),
i == 1, ..., ft". Отсюда следует, что всякая, функция из F (Bk), опре-
деленная на множестве В", может быть задана таблицей, состоящей
из ft" строк. Так как каждой такой строке может, соответствовать»
любая из km точек Y = (У1( .„i Km) множества В*1,.ТО ъ-F (В$
имеется N (п, tn, ft) ₽=. kmkn различных функций вида В : В? -> В^.
На первый взгляд? может показаться,- что-изучение .функций
ft-значной логики можно свести к рассмотрению соответствующих
им таблиц. Однако такой путь нереален из-за'того, что количество
функций ft-значной логики быстро возрастает с ростом л и уже при
относительно небольших значениях п, .даже.,если..ft = 2, т = 1,
достигает астрономических величин. Так, например,- -
N (5, 1,2) т=22^<= 4294967296. .
Множество F (Bk), как и всякое множество правильных функций
с фиксированным .алфавитом, является замкнутым;.'Это открывает
возможность аналитического изучения функций ft-значной логики
путем построений полных'сиСтем'й введения для Них некоторой сим-
волики.	\ ""
2.	Приведем некоторые сведения о булевых-функциях^	'
Имеется 224 различных булевых функций4, вида. F : Е% -> Вг.
При п — 1 получаем 4 функции:
X	Л	Ft	F3.,	Ft ...	; ;	.	.	J
•	.	-о	0	.0	1	I . . ..	.	- -	-
1	0	1	iO - 	1.:-' - -		:Л	•	; 1
Две из этих функций являются тождественными констЯйтамиГ Ft аа
@ 0, Ft = 1, a X. И лишь функция^а^д- представляетсобой
1.41
нечто новое: она равна I, если X = 0, и равна 0, если X = 1. с)ту
функцию принято называть отрицанием и обозначать X. /
Введем следующие обозначения и наименования для некоторых
булевых функций двух переменных:
конъюнкция (Х1 Л X»)		дизъюнкция (Xi V Ха)		импликация (Х,->Х2)		равнознач- ность (Хг~Х2)			операция Шеффера (X, | Х2)		
	х2		х2	V	х2	V	х2		V	Х2	
Лх		А ।		Л]		Л1			Л1		
	0 1	• л	0 1		0 1		0	1		0	1
0	0 0	0	0 1	0	1 1	1 0	1 1	0	0	1	1
1	0 1	1	1 1	1	0 1	1	0	1	1	1	0
Для булевых функций имеются конечные полные системы [9].
Наиболее употребительной полной системой булевых функций явля-
ется Н — {X, Xi Д Х2, Xt V Х2]. Ниже, в п. 3, полнота этой си-
стемы доказана. Показано также, что она сохраняется и после
исключения одной из функций Хх Д Х2 или Хх V Х2. Однако для
большей выразительности языка булевых функций обычно пользу-
ются системой Н = {X, Хх Д Х2, Хх \/ Х2), иногда добавляя к
ней импликацию Хх -> Х2, равнозначность Хх ~ Х2 и операцию
Шеффера Хх/Х2.
Для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания выполняются следую-
щие тождества:
Г. Xj Д ХавХ2 Д Хх, |
оо V , , V _ v К / V (— коммутативность;
Z . Aj V == ^2 У ^*1 J
3°. (Xi л Ха) Л Х8 s Хх Д (Ха Д Х3), i
4°. (хх v х2) v х8 =s хх v (х2 v хз) )-ассоциативность;
•	5°. XiA(X2 VX3)s(XiAX2) У(Х1ДХ3), 1
. • 6°. Xi V (Ха Л Хз) (Xi V Ха) Л (Хх V Х3) J ДистРибУтив'
НОСть;
7°. X Д Х = Х, )
8° XvXsX J — идемпотентность;
9°. X mb X — закон двойного отрицания;
10°. XMX^XiVXa, )
-------	_	_ | — правила де Моргана;
11 • Хг V Х2в /\ <Х2 J
12°. X Д ХяО — закон логического противоречия;
;А13А X V Xs 1 — закон исключенного третьего;
! .11
у®.
15®.
16®.
1 /\Х=х,
1 v Xs 1,
О л Х = О,
— операции с константами 0 и 1.
17?. OVXs X,
18’. Os 1,
19°. TsO
Нетрудно заметить, что если в формулах Г—19® произвести фор-
мальную замену символов Д на V, V на Д, 0 на 1 и 1 на 0, то
получим ту же систему равенств. Отсюда следует принцип двойст-
венности, который состоит в следующем.
Пусть F, Ф : В" -*• В2 — суперпозиции Н = {X Хх Д Х2,
Xi V Ха} и F s Ф. Тогда, если Fx и Фх получены из F и Ф ука-
занной заменой символов, то Fx же Фх.	_	_
3.	Конъюнкции вида Хх Д Х2 Д У8, Хх Д Х2 Д Х3 Д Х4,
Хх Д X, и т. п., составленные из аргументов или их отрицаний,
называются элементарными конъюнкциями, а формулы вида Хх V
V Ха V Х8, Хх V Х8, ... —элементарными дизъюнкциями. Аргу-
менты и их отрицания считаются элементарными дизъюнкциями и
конъюнкциями одновременно.
Определение. Дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа эле-
ментарных конъюнкций (дизъюнкций) называется дизъюнктивной
(конъюнктивной) нормальной формой.
Согласно принципу двойственности достаточно ограничиться
рассмотрением дизъюнктивных нормальных форм. Пусть
„ f X, если а — 1,
X = v	А	(1.3)
( X, если и = 0.	'
Используя это обозначение, можно, например, написать
(Xi Л XJ V (Хх А Ха Д Х8)«е(X? л Xj) v (X! Л х°2 Л XJ).
Теорема 1. Каждую булеву функцию Y — F (X), X = (Хх, ...
..., Х„), можно представить в виде
Г //л	/л
F» V Д X/ Д F (<#......Xk+1........Х„) , (1.4)
Lx/**!	/
где q =“ 2*, причем различным индексам I соответствуют различные
наборы а!0, ...,
Формула (1.4) называется формулой разложения функции F
по аргументам Хх, .... Xk.
Доказательство. Из свойств 3® и 16° и формулы (1.3)
следует, что конъюнкция Х?‘ Д ... Д X** равна единице тогда и
только тогда, когда Xt = а( (t = 1, ..., k). Следовательно, выраже-
ние в квадратных скобках в (1.4) равняется нулю на всех наборах
1>
J
I	i'
/
ajZ), о*,0, за исключением набора a<0 — X15 ..., о? == Xk. Для i
этого набора	I
/j=k a(o\	/
(d°, .... ol°, Xft+I, x„)s /	,
s (д ^F{X1..........Xn) = 1 Л F (X1* • * •’Xn} = F (X1* •y' ”Xn}-
Итак, формула (1.4) принимает вид
' F(X,.....Xj = O V ... VOV F{X„ X„) vov V 0	?
и, согласно 17°, является тождеством.	(
Следствие. Каждая булева функция может быть представлена )
в дизъюнктивной нормальной форме.
Действительно, если в (1.4) положить k — п,_ получим	t
Z=2« о» -	а(1'>
F(Xlt .... X„)s V t(Xi‘ А ... AX„n)AF(a« .... <«)].
Так как F (о<0, ..., о^) равняется либо единице, либо нулю, то
согласно 14°, 15Q	|
a(0	</о	;
F(Xlt .... XJ- V (X/ Л ... ДХп"), (1.5)
....................<г«)=1
где дизъюнкция применяется к тем элементарным конъюнкциям, '
для которых F (о!0, ..., а„’) = 1.	*
Из (1.5) следует простое правило перехода от табличного за-
дания булевых функций к аналитическому (в виде дизъюнктивных
нормальных форм): надо отметить те наборы, на которых булева
функция равна единице, и взять дизъюнкцию соответствующих им
элементарных конъюнкций, в которых единицам соответствуют ’
аргументы, а нулям — их отрицания.
Из формулы (1.5) следует также упоминавшаяся ранее полнота
системы Н = {X, Хх Д Х2}. В частности, через конъюнкцию и
отрицание можно выразить дизъюнкцию, импликацию, равнознач-
ность и операцию Шеффера: 
Х1ух8-Х1ДХа;
•	’-Xi/X^XMX^	(1.6)
; - 	. X1->X2sX1V Х2;
x1-x2s(X1vx2)A(x1vX).
С другой стороны, непосредственной проверкой (с помощью таблиц
соответствующих функций) убеждаемся, что -.
.. ..		XsX/X;	’ ..	|
«	X1AX2S(X1/X2)/(X1/X2);	,(1.7) j
-Хх V X2s(X1/X1)/(X2/X2). 
14
Рис. 1
Отсюда следует полнота системы Н{X/X}., состоящей из един-
ственной операции Шеффера.
Для булевых функций развита теория приведения описывающих
их формул к наиболее простому («минимальному») виду (методы
Квайна, Мак-Класки, Блейка и др. [9, 811).
4.	Булевы функции допускают простую геометрическую интер-
претацию.
Функцию й : Ж" В2, принимающую значение 1 в некоторой
областей и значение 0 в остальных точках пространства Ж”, назовем
двузначным предикатом, определяющим область й (иногда упот-
ребляется термин характеристическая функция области й). Тогда
отрицание Й : Ж"-> определяет дополнение й области й.
(Для простоты предикат и соответствующую ему область обозна-
чаем одной и той же буквой й.)
Если йх и й2 есть предикаты для соответствующих областей
Й1 и й2, то предикат йх Д й2 определяет пересечение йх Q й2,
а предикат йг V й2 — объединение йх (J й2. Согласно формулам
(1.6) операции Шеффера йх/й2 соответствует область Йх П й2,
импликации йг -> й2 — область йх (J а равнозначности
йх ~ Й2 — область (йх U й2) f) (Йх (J й2). На рис. 1 приведены
is
Таблица 1
X	Фо	Ф1	Фя	X	X
0	2	0	0	2	1
1	0	2	0	1	2
2	0	0	2	0	0
некоторые
диаграммы Эйлера— Венна, иаг-
лядно изображающие названные
выше области [45]. j
Используя диаграммы Эйле-
ра — Венна, можно строить/ пре-
дикаты, соответствующие произ-
вольным булевым функциям.
Более подробно об этом /будет
рассказано в § 7.	'
наиболее употребительные функции k-
k — Г}. Функции fi S3
5^ Опишем
значной логики с алфавитом Bk — {б, 1,..., k — Г}. Функции из
k — 1), называются константами fe-значной ло-
отметим характёрястиче-
= I, (I = 0, 1
гики. Среди функций одной переменной
ские функции
( k — 1 при
Ф.(Х) = { 0
«отрицание» («инверсию»)
k — 1
k — 2
при
(1.8)
при X = 0,
при X = 1,
(1-9)
Х =
«циклическое отрицание»
L
0 при X = k — 1;
(«цикл»)
1	при X = 0,
2	при X = 1;
(1.Ю)
j k — 1 при X — k — 2,
( 0 при X = k — 1.
Нетрудно убедиться, что при k = 2, т. е. при переходе к дву-
значной логике, характеристическая функция <p0 (X) (1.8), отрица-
ние X (1.9) и цикл X (1.10) превращаются в отрицание X булевой
алгебры. Характеристическая функция (х) при k — 2 есть X.
Из функций двух переменных отметим fe-значные дизъюнкцию
Xi V Xz и конъюнкцию Хх Д Х2:
XxV Х2 Зв max (Хь Х2),
Хх Д X2ssmin(X1( Х2).	(1.11)
Весьма интересна fe-значная функция Вебба [81, 82]
W (Х1( Х2) =Хх V Х2,
образующая полную систему в /г-значной логике.
Среди других полных систем отметим систему Россера и Тиккета
Н = {0, 1, .... k — 1, <Pi ( X) (i = 0, 1, k - 1), Xt V X2, XjA
A X2} и систему Поста H = {Хх Д Х2, X}.
16
Таблица 2
Xi		Х1Л ЛХд	XiV vx2	W (Хр Ха)	Xi	Х2	Х,А АХ,	X1V VX2	UZ 1 (ХР Х2)	Х1	х2	Xi л ах2	XiV vx2	uz (Xi, X2)
0	о\	0	0	1	1	0	0	1	2	2	0	1	2	0
0	1	0	1	2	1	1	1	1	2	2	1	1	2	0
0	2 '|	0	2	0	1	2	1	2	°	2	2	2	2	0
6. Рассмотрим более подробно случай трехзначной логики с ал-
фавитом Ва — {0, 1, 2}.
При k — 3 функция Y == F (X) : Вз -> Bs, X = (Хх, Х„),
может быть задана таблицей с числом строк Зп. В табл. 1 и 2 при-
ведены значения основных функций трехзначной логики. Исполь-
зуя эти значения, нетрудно проверить справедливость следующих
формул:
1°. Х = Х‘,
2°. X Д OsO;
3°. X ДХ=эХ;
4°. X Д2 = Х;
5°. XVOsX;
6°. XV 2 = 2;
7°. Х\/ Х = Х;
8°. XsX;
9°. Х1ДХ1вХ, VXa;
10°. Х17Х2«Х1ДХа;
11°.	(Хх	Д Х2)	Д Х8^ Хх Д (Х2 Л Х3);
12°-	(Хх	V х2)	V хх V (Х2 V х8);
13°.	(Хх	Л Х2)	V X8s= (Хх V Хз) Д (Х2	V	Х3);
14°.	(Хх	V х2)	Л Х8е= (Хх Л Х3) V (Хз	Л	Хз);
15°. 1 ДХ ДХ^ХД J;
16°. (1 УПДХДХ^ХДХ;
17°. (X Д Г) V Х = Х;
18°. (X V Y) ДХь-лХ.
Эти формулы можно использовать для преобразования функций
трехзначной логики и построения аналогов дизъюнктивных и
конъюнктивных нормальных форм [47, 481.
17
7. Рассмотрим некоторые замкнутые множества в трехзначной
логике, которые будут использованы при изучении 7?-функций. / —
Пусть q (Х°) есть множество индексов тех координат точки X/ =
= (Xj, Х°п), X°i£ В3 = {0, 1,2), которые равны единице. (Мно-.
жество q (Х°) может быть и пустым.) Будем говорить, что точка X
принадлежит частичной 1-окрестности Mi (Х°) точки Х°, если вы-
полняется условие	/.
max |XZ —XZ|<1.	Ь-12)
ze<7<^°)
Введем в рассмотрение множество Q1 функций трехзначной логики,
включая в него функции вида F (X) : Вз -» В3, которые обладают
следующим свойством: если в некоторой точке Х° F (Х°) =	1,
то F (X) = s во всех точках окрестности (1.12). К множеству Q3 бу-
дем относить также функции (вектор-функции) вида F ( X) : Вз -*
-> Вз, F (X) = {Fi (X), ..., Fm (X)}, если каждая из функций
F( (X) принадлежит Q3.
Теорема 2. Множество Q3 является функционально замкнутым.
Докажем вначале, что если F: Вз -> Вз, Ф : Вз -> В3 и F, Ф£
€ фз, то Ф ° F £ Q3. Пусть Х° — некоторая точка Вз, Y° = F (Х°),
Z° = ф о F (Х°) =# 1. Из F ( X) az Q3 следует, что те из коорди-
нат точки Y°, которые не равны единице, не изменятся при пере-
ходе к другим точкам частичной 1-окрестности (1.12) точки Х°.
Изменяться могут лишь те координаты точки К0, которые равны
единице. Но тогда из Ф с Qj следует, что композиция Ф о F имеет
во всех этих точках постоянное значение, равное Ф ° F (Х°).
Из доказанного и из определения множества Q3 следует, что к
множеству Q3 принадлежит также композиция Ф » F, если F : В"
Вз, Ф : Вз -> Вз, Ф, F £ (?з. Замкнутость следует из при-
надлежности к этому множеству функции Y = X, а также функций
вида Ф = (Фц ..., Фв), если Ф(- £ <2з> i = 1> •••, <?•
Теорема 3. Если F : Вз -> В3, F £ Q3, то
F(X) = F (Xi...Х„) = [В (Хь ..., Х(_1( 1, Хж, ..., Х„) Л
Л Xt Л V [F (X!.......Х(_ь О, Хж, ..., Х„) Л V
v [F(Хх, ..., X,--!, 2, Хж....Х„) Л X,] V (1-13)
v [F (Х1, ..., Хж, О, Хж, ..., Х„) Л Р (X...Х-Ь 1,
Хж......Хп)ДВ(Хх........Хж, 2, Хж, ..., Х„)],
где Xi Д Х2, Хх у Х2, X — рассмотренные выше функции трех-
значной логики (см. табл. 1,2).
Доказательство. Достаточно показать, что значения ле-
вой и правой частей формулы (1.13) совпадают в точках
X1 = (Хх....Хж, /, Xz+i, ..XJ (М, 1, 2).
48
А. Подставим в правую часть формулы (1.13) координаты точки
X4, Тогда, пользуясь приведенными в п. 6. настоящего параграфа
свойствами операций Хх Д Х2, Хх \/ Х2 и X, получаем
[F(Xx.....Х‘-ь Х‘+1........Х„) Д О Д 2] V lF(Xx, ..Х,_ь
• 0, хж.....Х„) Д 2] V [F (Хх, • • •> ^-1. 2, Хж...Х„) д .
Л 0] V [F (Хх....Xz-ь О, Х(+1, .... X„)AF(X1.......Х{_ь 1,
xz+1...Xn) Д F(Xx.......Xz-ь 2, Хж........Х„)] =
= F(Xx, ..Х,_ь 0, Xz+b ..Х„) Д {2 V ^(Хх...........Xz_b 1,
Xz+b • •Х„) Д F(Xx, ..Xz_b 2, Xz+b • • Х„)} =
= F(Xx......Xz-i, 0, Xz+i....X„) Д 2 =
= F(Xx......Xz-ь 0, Xz+b .... X„) = F(X°).
Б. Для точки X2 аналогично получаем
[F(Xx, ..Xz-ь 1, Xz+ь .... Xn) Д 2 Д 0] V [F(Xx....Xz-b
0, Xz+ь • •Xn) Л О) V [F (Xx, .. .. Xz-ь 2, Xl+l.X„) A
A 2] V [F(Xx, ..Xz_i, 0, Xz+i.....Xn) f\ F (Xlt ..Xz-j, 1>
. Xz+!..X„) Д F(Xx, ..Xz-i, 2, Xz+i........X„)J =
= F(Xx, ..Xz-ь 2, Xz+ь • •X„) A {2 V [F(Xx, ...X(,i, 0,
Xz+i...Xn)AF(Xx, .... Xz-ь 1, Xz+ь .... X„)]} =
= F(Xx......Xz-ь 2,.Xz+1.....X„) Д 2 =
= F(Xx, .... Xz-i, 2, Xz+ь .... X„) = F(X2).
В. Пусть теперь в (1.13) X = X1. Предположим вначале, что
F (X1) = 0. Так как F (X) £ то F (Х°) = F (X2) = 0. Поэтому
правая часть формулы (1.13) при X = X1 имеет вид
(О д 1 д 1) v (О Д 1) V (о Л 1) V (О Л о Л 0) = F (X2).
Пусть теперь F (X1) = 2. Тогда F (Х°) = F (X2) = 2, и для правой
части формулы (1.13) получаем
(2 Л 1 А 1) V (2 Д 1) v (2 Л 1) V (2 Л 2 Л 2) = 2 = F (X1).
Пусть, наконец, F (X1) = 1. Тогда
(1 Д 1 Д 1) v [F (Хх, ..., Xz-b о, Xz+b • • х„) Л 1] V
v [F (Хх, .. ., Xz-b 2, Xz+1..х;) Л 1] V [F(Xx, ...
.. „ Xz-b о, Xz+i...xn) Л 1 Л F(Xx, .... Xz-b 2, Х,+ь •..
.... Xn)]^l =F(X1).
Теорема доказана.
Теорема 4. Система // = (Д s 0; У2э 1; ДэХ; Yt а Хх А
А Х2} полна в <?з.	- 
Проведем доказательство методом математической индукции.
«9
1. Покажем вначале, что все одноместные функции множества
Сз представимы в виде суперпозиции функций ч- ¥9. Существует
З3 = 27 различных одноместных функций трехзначной логики.
Значения этих функций приведены в табл. 3.	/
Таблица 3
X	Ft	Р»	F,	f4	F,	F<	F,		F9	F10	Fn	Fu	Fu	Fu
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	2	2	2	0	0	0	1	1
2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1
X	F„	Г"	F„	Fie	F„	F"		F„	Fti	F„	F„	F„	F^	
0	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	
1	1	2	2	2	0	0	0	1	1	1	2	2	2	
2	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	
Непосредственной проверкой можно убедиться, что множеству
Сз принадлежат функции Flt Рл, Ft, Ft, F1S, Fu, Flf>, FMt F2S, Fu,
F21. Легко проверить также справедливость следующих формул:
1. f1S0;	6. РцЯ|1;
2.	F^X Д X;
3.	F|eXAl;
4.	/>Х==Х;
5.	F1S^X Д1;
7.	FIssA^Ai;
8.	F^F^X-,
9.
10.	Fu^Xf\X.
(1-14)
Таким образом, одноместные функции из Q3 являются суперпо-
зициями функций Yt -г К4.
2. Предположим, что (п — 1)-местные функции вида F : Вз-1 ->
-> В9 из Q3 есть суперпозиции функций 0, 1, X, Хх /\ Х9. Пока-
жем, что всякая n-местная функция F : Bl В9 есть суперпози-
ция этих же функций.
Разложим функцию F (X) G <2з, X = (Хх, ..., Х„), по одной
из координат согласно формуле (1.13). Очевидно, что в этом разло-
жении используются лишь операции Хх А -^а» V X, констан-
ты 0, 1 и 2, а также (п — 1)-местные функции, принадлежащие мно-
жеству Q3. Эти функции, согласно допущению, есть суперпозиции
функций 0, 1, X, Хх А Х2. Кроме того, 2 =* 0, Хх V Х2 m Хг А Xs.
Следовательно, функция F также является суперпозицией указан-
ных функций. Легко видеть, что и всякая функция F : Bl ->• Вз,
принадлежащая Q3, есть суперпозиция функций 0, 1, X, Хх Д Ха.
Теорема доказана.
Теорема 5. Если функцию F (X) g Q3 последовательно разло-
жить по всем Х{ (i — 1,..., п), пользуясь формулой (1.13), а затем
в разложении вычеркнуть конъюнктивные члены, содержащие Х( Д
Д Х{, то полученная таким образом функция F' (X) обладает свой-
ством
F'(X) = F (X),	(1.15)
если F (X) Ф 1.
Доказательство теоремы следует из того, что F (Х°) =
=F (X2) = 0 (или 2), когда F (Х0= 0 (или 2), X0 = (Хх.Х,_ь о,
Xz-i-i,..., Х„), и поэтому, если в разложении (1.13) отбросить член
F (X1) Д Х{ Д ~Xt, то полученная таким образом функция будет
принимать значение 0 (или 2), если F (X) = 0 (или 2). Подобные
действия можно последовательно произвести по каждому из аргу-
ментов Xz.
Введем теперь множество /3 функций вида F : Вз В8, кото-
рые обладают свойством: F (X)	1, если все Х( Ф 1 (/ = 1,..., п).
В множество /3 будем включать также функции вида F : Вз -> В7,
у которых F/ (X) g 11з, j — 1, .... т.
Теорема 6. Множество /3 функционально замкнуто.
Доказательство. Пусть F : Вз -> Вз*; Ф : В” -> Вз,
F, Ф Q I3. Тогда если среди координат точки X нет единиц, то их
нет и среди координат точки Y = F (X), а следовательно,— и среди
координат точки Z = Ф (Y). Таким образом, Ф о F £ I3. Принад-
лежность к 1з любой суперпозиции функций из 1з следует из при-
надлежности к I3 функции Y а X и функций вида Ф =* (Фх, ...
.... ф„) : Вз -> Вз*, Ф< € II, Фр В? -> В8.
Заметим, что среди функций полной в Q3 системы Н = (0, 1,
X, Xj Д Х2} лишь одна функция в 1 не принадлежит множе-
ству I3. Отсюда следует, что система	‘
Ях = {0, X, Хх Д Х2}	(1.16)
является полной в множестве Рз = Q3 П I3.
Замечание. Множества <?з и 1з являются частными случаями бо-
лее общих множеств Q* и /*, рассмотренных в работе [47]. Эти же
множества с других точек зрения рассматривались в работах [6, 82].
ft 3. Я-ФУНКЦИИ
Пусть Ж — множество, содержащее не менее k элементов. За-
дание сюръекции вида S : Ж Bft, В* ~ {0, 1, ..., k — 1}, приводит
к разбиению множества Ж на k подмножеств Ж (О = В-1 (0, i С ВЛ,
которые назовем качественными градациями на Ж> соответствующими
21
сюръекции S’. Будем говорить, что х £ X обладает качест-
вом I, если х g X (0- Введем также отображение 8" : Хп -> Bk,
где S" (х) = (S (Xi)..S (х„)), х = (Xj....хп).
Определение. Отображение f : Хп -* Хт называется Я-отобра-
жением, если существует такая функция fe-значной логики F : В* ->
-> В”, которая вместе с f образует коммутативную диаграмму
f -
%п_______________________________>.^т
-'S'1! !sm	U-17)
или, другими словами, если
S"Io/ = FoS".	(1.18)
Множество всех Я-отображений обозначим 31 (X, S).
Функция ^значной логики F : В* -> В*, удовлетворяющая
.(1.18), называется сопровождающей для /^-отображения /. Если
X — числовое множество, то Я-отображения будем называть R-
функциями (соответствующими сюръекции S).
Легко убедиться в том, что тождественное отображение / (x)=s х,
х G Ж”, является ^-отображением при любом выборе сюръекции S.
Сопровождающей для него является функция F (X) sb X.
Пример 1. Среди функций обычных действительных аргументов
имеются такие, знак которых вполне определяется заданием знаков
аргументов.. Так, для функций
Hi = Х1Х2х3Ф (*1, *2, *з), Ф>0;
u2 = Х1 4” Xg + V X? + Хг + XjXj",
U3==(2^ + 0,5)[xf+ (х2-1)2];	(1.19)
«4 = X? + 2%2 + 2хз + 2х2Х3 + 2 (х2 + Х3) 1^X2 Ч" +
4* 1/ %2 +, хз 4“ #1 + + ха
нетрудно получить таблицу
'	хг х3	и2 «3 и4	.	"
Если в этой таблице вместо — и + написать 0 и 1 ,-тололу.чимтаблицы
четырех булевых функций сопровождающих для; R-функций . .т^,
И
и2, и3 и ы4 из множества Э? (Ж, S), где Ж = {(—оо, 0) д: (0, + .оЬ))Г
S-1 (0) = Ж (0) = (— оо, 0), S-1 (1) = Ж(1) (0, + оо). В отличие от
функций (1.19) знак функций
Vi = ххх2х3 — 1,	__________
v2 = Xi 4- х2 + х3 + 1^x1 + xl + XiXa,
v3 = 2x,+Xl — 0,5 sin ххх2, ...
зависит, вообще говоря, и от абсолютных значений их аргументов.
Пример 2. Если в примере 1 принять Ж = 1R = (— оо, оо), а
сюръекцию S : R Вя определить формулой
$ — 53 (х) =
О, VxC(— оо, 0),
1, х = О,
2, tfx£(0, 4-оо),
(1-20)
то среди функций (1.19) /^-функциями будут ult и2 и ц4. Напри-
мер, функции и2 соответствует функция трехзначной логики, опре-
деляемая таблицей
Sq(Xj)	0	0	0	1	1	1	2	2	2
S3(xa)	0	1	2	0	1	2	0	1	2
S3(u2)	012112222
Функция и3 в этом случае не является /^-функцией, так как если
S3 (хх) = 1, S3 (х2) = 2, то S3 (ug) = 2 при х2 Ф 1 и S3 (u3) = 1
при х2 = 1.
Пример 3. Пусть S с С1 (1R) — множество, строго монотонных
дифференцируемых функций, Ж (0), Ж (1) с: Ж — подмножества
убывающих и возрастающих функций. Легко убедиться в том, что
оператор А : Ж" -> Ж вида
*1 /	л , \
Ах = \ | 1 — ехр П xt (/) di,
0 \	1=2	/
xt (0 g Ж, i = 1, .... п, х = (хх, ..., хп), является ^-отображением
(/^-оператором) и ему соответствует булева функция Хх ~ (Х2 ~ ...
...~ХП).
Теорема 1. Множество (Ж, S) замкнуто.
Доказательство. Пусть <р : Ж” -> Ж™, Ф : Ж™ ЖР —
/^-отображения из 3J (Ж, S). Составим для этих отображений ком-
мутативные диаграммы (1.17) и соединим их в одну:
Жп—-*	> Ж₽
IS ISm |S₽,
ВЛ	pm	рр
k--->•	-iTf
ф .	*
(1-21)
где Ф : В* . и ' Т;: В™ -> В*.—сопровождающие функции
fe-значной логики для <р и ф ‘ соответственно. Из (1.21) вытекает.
23
коммутативность диаграммы
| S” I s’
(1.22)
Отсюда следует, что ip о <р есть /^-отображение, для которого функция
Т о ф £ F (Вк) является сопровождающей.
Учитывая, что (<р, ф) £ 81 (Ж, S), если <р, ф £ 81 (X, S), а тож-
дественное отображение у э х всегда является /^-отображением,
приходим к выводу, что 81 (Ж, S) замкнуто и относительно образо-
вания суперпозиций.
Из сказанного выше видно, что сопровождающая функция
Л-значной логики может быть получена путем формальной замены в
рассматриваемой суперпозиции всех входящих в нее /?-отображе-
ний соответствующими им сопровождающими функциями. Отсюда
следует справедливость следующей теоремы.
Теорема 2. Если множество <= 8? (Ж, S) замкнуто, то замк-
нуто и множество SRX cz F (Bk) соответствующих сопровождаю-
щих функций.
Нетрудно заметить, что одна и та же функция А-значной логики
может оказаться сопровождающей для различных /^-отображений.
(Например, знак первой из функций (1.19) не зависит от выбора
множителя <р > 0.) Бинарное отношение «иметь общую сопровож-
дающую» является отношением эквивалентности, что приводит к
разбиению множества 81 (Ж, 5) на классы, которые будем называть
ветвями 81 (Ж, S). Учитывая, что ветвь вполне определяется задани-
ем какого-либо своего /^-отображения f или его сопровождающей
функции F, будем обозначать ее 81 (/) или 81 (F). Следуя определе-
нию, данному в § 1, множество 9ЙХ с 81 (Ж, 5) назовем замкнутым
по признаку разбиения 81 (Ж, S) на ветви, если для всякой суперпо-
зиции f /^-отображений из Жх в SRX имеется /^-отображение, принад-
лежащее той же ветви, что и f.
Для подмножеств 81 (Ж> •$), замкнутых по признаку разбиения
на ветви, справедлива теорема, более сильная, чем теорема 2.
Теорема 3. Для того чтобы множество SR0 с: 81 (Ж, S) было
замкнуто по признаку разбиения 81 (Ж, •$) на ветви, необходимо
и достаточно, чтобы было замкнуто множество SRX cz F (Bh) со-
ответствующих сопровождающих функций.
Доказательство. Необходимость. Пусть Ht — произ-
вольная система функций из ©Jx, а Н cz 5R0 — система /?-отображе-
ний из соответствующих ветвей. Пусть F — какая-либо суперпози-
ция системы Hlt a f — соответствующая суперпозиция системы Н
(f может и не принадлежать SR0). Так как SR0 предполагается замкну-
тым по признаку разбиения 81 (Ж» 5) на ветви, то в SR0 есть
/^-отображение /х, принадлежащее ветви 81 (/). Сопровождающей
для /х является F и, следовательно, F £ SRX и (0?х — замкнутое мно-
жество.
24
Достаточность. Пусть Н с SR0 — произвольная система
F-отображений, a f — суперпозиция системы Н. Если F — супер-
позиция соответствующей системы Нг сопровождающих функций,
то в силу замкнутости SRj F £ $0\. Тогда по условию теоремы F
является сопровождающей для некоторого F-отображения f Q 50?о.
Так как f, £ 3t (F), то 50?o замкнуто по признаку разбиения
91 (Ж, S) на ветви. Теорема доказана.
Определение. Система Н называется достаточно полной (полной
по признаку разбиения 31 (X. 5) на ветви) в 3? (Ж, 5), если мно-
жество SR (Н) всех //-реализуемых отображений имеет непустое
пересечение с каждой ветвью 91 (F) о: 91 (Ж, S).
Другими словами, достаточная полнота Н означает, что в каждой
ветви 3? (F) имеется по крайней мере одно /^-отображение, которое
может быть задано в виде единого аналитического выражения, за-
писанного с помощью символов, введенных для системы Н.
Следствием теоремы 3 является
Теорема 4. Для того чтобы система Н с: 3? (Ж, 5) была доста-
точно полной в множестве 50? с 91 (Ж, S), необходимо и доста-
точно, чтобы соответствующая система HL сопровождающих
функций была полной в множестве cz F (Bk) сопровожда-
ющих 50?.
Так как для замкнутых множеств функций /г-значной логики
существуют конечные полные системы (см. § 2), то согласно теореме
4 для соответствующих множеств ^-отображений существуют конеч-
ные достаточно полные системы.
Замечание 1. В работе [44] рассмотрена более общая ситуация,
когда допускается взаимное пересечение множеств Ж (0 (т. е.
Ж (i), i — 0, 1, ..., k — 1, есть покрытие Ж)- Доказанные теоремы
сохраняются в силе и в этом случае. Однако для более углубленного
изучения соответствующих /^-отображений требуется привлечение
теории многозначных отображений.
Замечание 2. Все сказанное верно и для случая, когда k = оо,
т. е. на Ж вводится бесконечно много качественных градаций.
§ 4. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА Я-ФУНКЦИИ.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДОСТАТОЧНО ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ Я-ФУНКЦИЙ
В дальнейшем основное внимание уделяется следующим мно-
жествам /?-функций.
1. Э12 = 9Ш = (—оо, 0) (J (0, +оо); SJ, где «Г1 (0) = Ж (0) =
= (—оо, 0), ST1 (1) — Ж (1) = (0, +оо). (В ранних работах по
/^-функциям [43] рассматривалась вся числовая ось IR = (—оо, оо),
но 0 считался положительным и отрицательным числом одновре-
менно.)
2. 91g = ЗМЖ = R = (—оо, оо); S3], где ST1 (0) = Ж (0) =
= (-00, 0), S3-1 (1) = Ж (1) = о, ST1 (2) = Ж (2) = (0, оо).
25
Названные множества /?-функцйй используются ниже при по-
строении уравнений сложных геометрических объектов и так назы-
ваемых структур решений краевых задач. При этом применение
множества К2, построенного без выделения числа 0 в отдельную
качественную градацию, может оказаться недостаточным.
Дело в том, что к уравнению <в — 0 границы Зй области Й обыч-
но предъявляется требование,•чтобы функция со £ С (Щ”) была
строго' положительной внутри области Й и строго отрицательной
вне ее. Между тем одного факта, что область й определяется нера-
венством со > 0, а со — везде непрерывная функция, вообще гово-
ря, недостаточно для того, чтобы уравнение со = 0 было уравнением
границы дЙ. Более того, если замкнутая область й J дй опре-
деляется неравенством со > 0, со £ С (1R"), то это не означает, что
дЙ = (со = 0). Аналогичное явление имеет место при рассмотре-
нии областей со < 0 и со < 0. Это вынуждает выделять 0 в отдель-
ное множество и рассматривать /^-функции, соответствующие функ-
циям трехзначной логики.
Однако, как будет показано ниже, булева алгебра может быть
все же в значительной степени сохранена в качестве рабочего аппа-
рата. Это можно объяснить тем, что для‘приложений нужны не все
/^-функции, а лишь некоторое их подмножество, которому соответ-
ствуют функции трехзначной логики, близкие по свойствам к функ-
циямбулевой алгебры.
Изложим теперь соображения, приводящие к сужению множе-
ства 9t3.
1.	Для приложений естественным является требование непре-
рывности ^-функций. Между тем не каждая ветвь множества Э?3
содержит непрерывные /^-функции. Действительно, пусть f (х) :
: IR -> R есть /^-функция, для которой сопровождающей является
характеристическая функция <рх (X) (§ 2, п. 5), равная 0 при X == 0
и X — 2 и равная 2 при X = 1. Тогда S3 If (x)I = <рх [S3 (х)1. Сле-
довательно, функция f (х) отрицательна на интервалах (—оо, 0)
и (0, Н-оо) и положительна при х = 0, что исключает ее непрерыв-
ность при х = 0.
Так как множество С (1R") везде непрерывных функций замкну-
то, то по теореме 1 § 1 замкнутым является множество Q = С П 9?3.
Теорема 1. Множество функций трехзначной логики, сопровож-
дающих для множества Q, есть множество рассмотренное в
§2.
Доказательство. Пусть функция Y = F (X) £
Q F (В3) — сбпровождающая для /^-функции у — f (х) :	-> R,
f g.Q, ах1 — точка пространства R", среди координат которой
есть нули. Не нарушая общности рассуждений, примем равными
нулю первые s координат х1 = (0, .... 0, xj_|_i, ..., х1п). Тогда в
е-окрестности В (х\, _ е) = (Ц х — x1j<e} точки х1. при е<
< шах ( | х]+11	| xk|} координаты от (s + 1)-й до п-R будут
сохранять знаки, в то время как каждая из координат хп ..., xs
может равняться нулю, быть положительной или отрицательной.
Очевидно, что если точка х — (х1( хп) пробегает окрестность
В (х1, е), то соответствующая точка X = (Х1г Х„),Хг = S3 (xt),
имеет в качестве первых s координат всевозможные наборы ну-'
лей, единиц и двоек. Если 7?-функция у = f (х) принимает в точ-
ке х1 отличное от нуля значение, то она в силу своей непрерыв-
ности сохраняет знак и в некоторой окрестности точки х1. На
тогда во всех упоминавшихся выше точках X = (Xlt Хп),
соответствующих точкам окрестности В (х1, е), сопровождающая
функции F (X) будет принимать то же значение (0 или 2), кото-
рое она принимает в точке X1. Следовательно, F ( X) £ Q3.
Покажем теперь, что если F (X) g Q3, то в соответствующей вет-
ви 91 (F) множества ЭЧ3 есть непрерывные функции.
В п. 7 § 2 было показано, что система Н = {0; 1; X; Xt Д Х2}
является полной в множестве (?з- Нетрудно заметить, что функции
У! = —1, у2 = 0, у3 & —х, yt sa min (Xi, х2) являются ^-функци-
ями, для которых функции 0,1, X, Хз Д Х2 являются сопровождаю-
щими. Представив функцию F (X) £ (?з в виде суперпозиции Н
и произведя формальную замену символов Х{ на х(, а, символов
функций системы Н на соответствующие символы 7?-функций —1,
О, —х, min (хъ х2), получим непрерывную ft-функцию, для которой
F (X) является сопровождающей.
Применив приведенное доказательство к каждой из функций
Ft (X) : В3 В3, покажем, что сопровождающей, для .А’-функции
/ (х) : ИГ -> IT, f £ Q, f = (/ь ..., fm), является функция F (X) =
— {Ft (X), ..., Fm (X)}, ft £ 5R (Ft), которая также принадлежит Q3.
2.	Перейдем к рассмотрению второго ограничения на множе-
ство Э?3. Потребуем, чтобы.задание знаков аргументов R-функции
вполне определяло знак этой функции. Это означает, что точке
х g ПГ среди координат которой нет нулей, /^-функция у — f (х):
: ИГ -> IR должна ставить, в соответствие отличное от нуля число.
В общем случае для векторных R-функцйй вида у = f (х) : ВТ
-> ПГ это требование означает, что точке х = (хъ ..., х„) £ ИГ,
xt =£ 0, i — 1, .... п, должна соответствовать точка у = {у2, -.., ут) £
£ ПГ, yt ^0, / = 1, ..., т. Множество /^-функций, обладающих
таким свойством, обозначим I.
Нетрудно заметить, что для сопровождающих функций трех-
значной логики это требование равносильно требованию, чтобы
каждой точке X = (Х1( .... Х„) g В3, Xt Ф 1, i = 1, .... п,
соответствовала точка Y = (Уг.....Ym) £ В™, Yt =# 1, j = 1. •••
.... т. Отсюда следует
Теорема 2. Множество функций трехзначной логики, сопровож-
дающих для множества I, есть множество 1$ с: F (В3).
27
3.	Объединяя требования, сформулированные в п. 1 и 2, прихо-
дим к множеству Р = Q Г1 Р для которого сопровождающим являе-
тся множество Рз =* Оз ("] /з, рассмотренное в п. 7 § 2. Напомним,
что полной в множестве Рз является система
Я1= {О, X, ХхЛХ2},	(1.23)
где X и Xi Д Х2 — соответственно отрицание и конъюнкция трех-
значной логики. Введем для удобства следующие функции:
XiVX2^OX;
Xi ~ х2 (Xi V х2) Л (Хх V Х2);	(1.24)
X^X^Xi \/Х2;
Xi/Xt^Xi/\Xt.
Эти функции назовем соответственно дизъюнкцией, равнозначнос-
тью, импликацией и операцией Шеффера трехзначной логики. Со-
хранение для функций (1.24) символов и наименований соответствую-
щих булевых функций связано не только с идентичностью формул
(1.6) и (1.24), но и со следующим свойством функций (1.24): если
из таблиц этих функций вычеркнуть наборы аргументов, содержа-
щие единицы, а в оставшихся строках заменить двойки единицами,
то получим таблицы соответствующих булевых функций.
Так как функции (1.24) являются суперпозициями функций
(1.23), принадлежащих множеству Рз, то в силу замкнутости Рз
они также принадлежат Рз. Это позволяет рассмотреть более широ-
кую, чем (1.23), полную систему функций в Рз:
Ht = (О, X, Хх Л Х2, Хх V Хх ~ х2,
Хх->Х2, Хх/Х2).	(1.25)
Укажем еще одно ограничение, которое будем в ряде случаев
накладывать на P-функции вида f : 1R" -> 1R. В пространстве К"
имеется 2" областей, в каждой из которых все координаты точек
отличны от нуля и сохраняют постоянные знаки. На плоскости IR2
это четверти, в пространстве IR3 — октанты. В общем случае эти
области будем называть координатными долями пространства IR".
Точки, среди координат которых есть нули, назовем вырожденны-
ми. Очевидно, если вырожденная точка х° имеет s координат, рав-
ных 0, то она является граничной для 2s координатных долей. Эти
координатные доли назовем соседними с точкой х°.
Если некоторая P-функция f (х) : : IR" —1R принадлежит мно-
жеству Р и в вырожденной точке х° отлична от 0, то она в силу усло-
вия Р с. О во всех соседних с х° координатных долях имеет тот же
знак, что в точке х°. Однако обратное утверждение неверно: функ-
28
ция f : IR" 1R может принадлежать множеству Р, иметь один и
тот же знак во всех соседних с точкой х° координатных долях, а в
точке х" — равняться 0. Примером является функция у = шах (х,
—х), которая положительна при х =/= 0 и равна 0 при х = 0.
В дальнейшем особый интерес будут представлять R-функции,
принадлежащие множеству Р, для которых указанное условие не
выполняется. Множество всех таких функций, отображающих 1R”
в IR при любом целом n > 1, обозначим Р°, а множество соответ-
ствующих сопровождающих функций трехзначной логики — Р$.
Так как Р^с. Рз, то всякая функция Рз является суперпозицией
функций (1.23) или (1 ;25), однако среди суперпозиций этих функций
есть и такие, которые Р° не принадлежат. Примером является функ-
ция X V X, сопровождающая для P-функции max (х, —х), упоми-
навшейся выше.
Из сказанного следует, что Р-функция / (х) : IR" -> IR, f g Р°,
может равняться 0 лишь в точках, среди координат которых есть
нули (т. е. в вырожденных точках), и при этом в соседних к ним ко-
ординатных долях принимает значения разных знаков. Отсюда сле-
дует, что если F (X) : В3 -+ Ва — сопровождающая для f (х) £ Р°
и F (X) = 1, то среди координат точки X есть единицы, а при все-
возможной замене этих единиц нулями и двойками получатся точ-
ки, на которых F (X) принимает значения как 0, так и 2.
Укажем критерий, гарантирующий принадлежность суперпози-
ций систем (1.23) или (1.25) множеству Рз.
Теорема 3. Если F ( X) : В” -> В3, X «= (Хх, ..., Хп), есть су-
перпозиция функций (1.23) или (1.25), имеющая единственное вхож-
дение каждой из координат X[t то F £ Рз.
(Примерами формул с единственным вхождением каждой коор-
динаты являются Fx = (Хх_Д (Х2 V *з)), ^2 — (Хх->Х2) ~ (Хэ V
V Х4). Формула Fs = (Хх Д Х2)->Хх имеет двойное вхождение
координаты Хх.)
Доказательство. Пусть Z = F (X) = Ф [Тх (X1), ...
..., (Xm)] = 1, Х‘ = (Xf,..., Xl9), i = 1,..., m, X = (Xi Xm) =
= (X}...X9l, xt ..., X2,.. ХГ....X^), Ф, € Рз, а среди
координат точек X1 нет одинаковых.
Обозначим Yt —	(Х‘), i = 1, .... т, Y = (Yt, .... Ym). Так
как по условию Ф (У) = 1 и Ф £ Рз, то существует такое множе-
ство индексов А, что Yt — 1, если i £ А. Тогда из Yt =	(Х‘) £
£ Р® следует, что среди координат X/ точек Х‘, i Q А, также есть
единицы.
Пусть В — множество индексов /, для которых X/ = 1. Из
Ч^ (Х!) £ Рз также следует существование таких точек Х°‘ и Xй,
получающихся заменой единичных координат точки Х‘ наборами ну-
29
лей и двоек, что Yf (X01) = 0 и Yf (X21) = 2. Но тогда в силу неза-
висимости координат точек X1 существуют точки, получающиеся в
результате замены единичных координат точки X наборами нулей и
двоек, которым соответствуют всевозможные точки Xs, получаю-
щиеся заменой единичных координат точки Y нулями и двойками.
А так как Ф £ Рз, то имеются точки, на которых функция Z =
= F (X) — Ф (К) принимает значение как 0, так и 2. Следователь-
но, F (X) £ Рз. Выбирая в качестве функций Ф и функции
(1.23) или (1.25), приходим к утверждению теоремы 3.
Вернемся к рассмотрению /^-функций, принадлежащих мно-
жеству Р°, для которых Рз является множеством сопровождающих
функций трехзначной логики. Из теоремы 4 предыдущего парагра-
фа следует, что система, состоящая из ^-функций, будет достаточно
полной в множестве Р°, если сопровождающей для нее будет система
(1.23), (1.25) или любая другая полная в Рз система функций трех-
значной логики.
Приведем примеры некоторых достаточно полных в Р° систем
/^-функций, для которых сопровождающей является система (1.25).
А. Система Э4а:
у2==х= — х;
Узs xi	1 _j_ а (^i	х% ~~	xi + *2	2ах1х2), gg)
Уз = хг V	ss "i^.- (Xi + х2 + ]/~ х2 + х2 — 2axxx2);
Уз =	'**'’&Х2 = 2XjX2 Х1 4* Хз 4“ (1 4“ GC^) Х]Х2 4”
-}- У %i + xf — 2ax1x2j~1;
Уз = xt -^aXg e TTcT	— х1 + Ух1+х2+ 2ax1x2);
У7 a Х1/аХ2 a —_p-"	+ Хз — 3aXjX2 — Xj. — x2),
где а = a (xlt x2) — произвольная функция, удовлетворяющая
условиям
-1<а(х1,х2)<1,	(1.37)
а (хь х2) а а (х2, xj а а (xlt х2) а а (х1( х2).
В приложениях чаще всего полагают а а 0. Иногда бывает удоб-
ным считать а величиной, существенно зависящей от х15 х2 [47, 491.
. При а а 1 система fRa становится особенно простой; напри-
30
мер, для /^-конъюнкции и /^-дизъюнкции получаем
Х1 Л1*2s 4“ (X1 + х2 — I *1 — х21) = min (х1( х2),
1	(1.28)
Xi V 1*2 -y (*i + *2 + I *1 — *21)	шах (хъ х2).
Б. Система 81™:
У1 = — I;
z/2 = xss —х;
y3=sXi /\о x2 = (Xi +х2~Уxl + %2)(*i 4-4) 2;
У1 = *1 V 0**2 = (*1 4" *2 4" ]/"*! 4" *2) (4 + *2) 2 »	(1.29)
m	-------- ™
Ув= -^1 ^es (^2	4~* *и "4" ”Ь ^2) ,
о
т	г~ ——
t/7 = X]/ х2 === ("|/ "F «^2“““ ^2) (*^1 *4” ^2) •
о
В. Система Э?:
р '
У1 = — 1;
у2 = х = —х;
1
г/з = Х1 Дх2^Х1 + х2 —[|Х1|^ + |х2ИР;
р
1
у^хг v ^s^1 + x2 + [|x1p + |x2|HP;	(1.30)
р
— 1
//5^*1~*2^*1*2[|*11Р + |*2Н ₽;
р
1
У» =	-+Х2 Я1 Xi — х2 4- [ | Х1 |р 4-1 х21₽]₽;
1
//7 = x1/x2s[|x1|p + |x2|p]p — Xi — х2
р
при р > 1.
Пользуясь одной из приведенных выше достаточно полных си-
стем, легко строить /^-функции, принадлежащие заданным ветвям
множеств Р или Р°. Для этого достаточно в формуле Y = F (X) =
*= F (Xlt ...» Хп) для функции трёхзначной логики, определяющей
Я
ветвь и представленной в виде суперпозиции функций (1.25),
произвести формальную замену символов Х[ £ В3 символами
Xt G R, а символов операций X, Хх Д Х2, Хх V -Х2, ••• — символа-
ми соответствующих ^-функций. При этом необходимо иметь в ви-
ду, что выбор системы ^-функций влияет на их дифференциальные
свойства. Например, при использовании системы Э?” обеспечивается
принадлежность функций к множеству (IR"). Однако при этом
теряются некоторые качества (см. § 5, 12), которые присущи 7?-функ-
циям, построенным с помощью систем (1.26) и (1.30).
Таким образом, в каждой ветви Я-функций, принадлежащих
множеству Р, есть 7?-функции, дифференцируемые произвольно
заданное число раз. Легко показать, что в каждой ветви множества
Р есть бесконечно дифференцируемые функции. Для построения
таких /^-функций достаточно, например, воспользоваться следую-
щей достаточно полной в Р системой:
У1 = — 1;
у2==хв—х;
у3 = хх Д х2 в ф (хх) ф (х2) — ф (xj — ф (х2),
(1.31)
где
Ф (t) = S up (х — k).
fe==l
(Определение и свойства функции up (х)
Приведем также систему St:
в гл. 3.)
приведены
у2 = х в — х;
о
у»33 *1 А х2 =
п
ХхХ2 (х? + Xj) "
Xi
х2
хг > 0;
Xj 0;
*1>0,
(1-32)
о	С _
У4. S=2 Х± \/ Х2 s
п
l)n+1 (х? + хп2)п ,
9 - \
_ . , -пр
П /
где п > 2 — целое, и систему 91, полиномиальных сплайнов
i/i=—1;
у2вхв—х;
Уз s xi Д хг s f -t *) sign (Х1 + x2)m+l —
(у v \т
l2 J sign(X!— x2)m;
(1.33)
32
у^ = хг\/ х2 = ^ -*4*^"* sign (%i + х2)т+1-J-
+ ("Г*2')"* s’S11 (*i ~ х^т'
т	т
Функции Х1 Л Х2 И Xi V х2 являются однородными полиномиаль-
с	с
ными сплайнами степени т с единственной линией стыковки (линией
разрыва производных порядка tri) хг + (—1)т х2 = 0.
4. Пусть f (х) : Ж" -> Ж™ и существует такая функция й-знач-
ной логики F : В? В™, что диаграмма (1.17) коммутативна при
условии х g G с: Жл, а вне G условие Sm о f = F о Sn может и не
выполняться. В этом случае f будем называть условным Я-отобра-
жением, а функцию F — сопровождающей для f в G. Одно и то же
отображение f может быть условным ^-отображением по отношению
к системе {GJ непересекающихся подмножеств Ж” с системой сопро-
вождающих {Fz}, если в каждом из подмножеств Gz выполняется
условие Sm о f = F{ о Sn.
Пример 1. Функции
хх П = ]/xi+xi + 4,
U %2 “ 4" ^2 +	*1 4" ^2 4“ 4
*8
являются /^-функциями на плоскости х3 = 0. Эти функции были
использованы при решении пространственных контактных задач
теории упругости 149].
Пример 2. Функция <р (хх, х2, x3)=sxx + х2 —XsV + х| является
R-конъюнкцией на плоскости х3 = 1 и 7?-дизъюнкцией на плоскос-
ти х3 = —1.
Операции хх Д х2, хх V х2 являются аналитическими функция-
п	п
ми в точках (хъ х2) при хх Ф 0 и х2 =£ 0. Если равна 0 только одна
из координат хх или х2, то хх Д х2, хх V х2 £ С" (IR2). В точке’(0, 0)
п	п
о
эти функции непрерывны. Система 91 обладает рядом достоинств, о
которых говорится в дальнейшем.
Замечание, Для введенных 7?-операций будут применяться фор-
мулы сокращенной записи, например
i=n
Ао^Ч = (. . . ((#! Л(А) Ло^з) Ло • • •) Ло^п-
1=1
Скобки могут быть опущены лишь для ассоциативных /^-операций
(например, Д1 и Д).
п
2 9-23
33
$ 5. ЛОГИЧЕСКИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
R -ФУНКЦИЙ
1. /^-функции, входящие в достаточно полные системы (1.26) —
(1.32), обладают рядом свойств, сходных со свойствами сопровож-
дающих их функций трехзначной логики.
Предположим, что а = а (хх, х2) = а (х2, хг), а (—хх, х2) кв
а а (хх, х2). Тогда справедливы следующие формулы:
1.	х = х;
2.	хх Дах2 = х2 A<x^i>
3.	Хх V а^2 = х2 \/ а^1>
4.	Хх Д аХ2 а Хх аХ2!
5.	Xi аХ2 S Хх ДаХ2‘,
6.	(Хх V аХ2) + (Хх ДаХ2) a j (Хх + Х2);
7.	(Хх \/ аХ2) (xi /\ аХ2) a J а ^1^2»
8.	хх Дах2 = О тогда и только тогда, когда хх = 0, х2 > 0 или
х2 = 0, хх>0;
9.	хх \] ах2 = 0 тогда и только тогда, когда хх = 0, х2 <0 или
х2 == 0, хх 0.
Нетрудно убедиться в том, что свойствами 1—5 и 8, 9 облада-
ют также функции хх Д?х2, хх Vo'x.j, хх Д х2, хх V х2, хх Д х2,
,	Р	р	п
* о	т	т	о
V х2» *iA х2> xi V х2> принадлежащие системам 91о > 91, 91 и
п	с	с	р
Же. Функции хх Дхх2 и хх VA> в дополнение к свойствам 1—9,
обладают также свойствами
10.	х Дххзх;
11.	х V Хх а х;
12.	х Д1Хэ — |х|;
13.	x\/i*sl*|;
14.	хх Дх(х2 Дхх3) = (хх Дхх2) Дхх3;
15.	Xj V 1 (Х2 \/ 1Хз) S (Х1 У 1Х2) \/ 1Х3'
16.	хх Д х (х2 \/ Хх3) = (хх Дхх2) х (хх Д1^з)!
17.	Хх Vi(*2.Ai*s) s (*1 V хг) A1(*1 Vi^a);
18.	(Хх Дхх2) Vi-Vx = xx;
19.	(хх ViX2) Дххх = хх.
34
В § 2 приведены формулы для импликации, операции Шеффера
и равнозначности. Аналогичные формулы верны и для соответству-
ющих ^-функций из приведенных выше достаточно полных систем
(1.26) — (1.32). Например,
Xj —>-0 Х% s Хх \/ 0 Х2; Хх /**/оХ2 (Хх \/ оХ2) Л о (Хх qX2)
и т. п.
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что свойст-
вами коммутативности 2, 3 и ассоциативности 14, 15 обладают так-
О	о
же /?-операции xt Д х2 и хх V xz (1.32). Формулы эти можно
п
использовать в качестве определяющих для введения других 7?-опе-
О
раций системы 91:
Xi ~ х2 s хх V *а) Л (-«1 V *а);
%2 — (V %2) >	(1’34)
\	п	/
°	/	°	\
хх/ Л х2).
П	\	п	/
2. /^-функции, получающиеся при образовании суперпозиций
достаточно полных систем (1.26), (1.30) и (1.32), кроме свойств,
отмеченных выше, обладают рядом свойств дифференциального
характера, которые будут использованы в § 11—13 данной главы и
в гл. 2.
• Пусть <р : IR" -> IR, <р £ 913, а ф : IR"1 -> IR" — произвольное
достаточное число раз -дифференцируемое отображение. Компози-
ция <р о ф не является, вообще говоря, R-функцией. Однако, как
будет показано ниже, на композицию ф о ф переносятся некоторые
дифференциальные свойства отображения ф.
Теорема 1. Если ф — (фх, ф2) С С1 (IR"), ф : IR" 1R2 и
Фх (х°) = 0, Ф2 (х°) > 0,	(1.35)
то
Р?(Л«°Ф)1^ = (О?Ф1)|х=х» при |т| = 1,	(1.36)
где Da — оператор дифференцирования, у = (yn ..., yj — обоб-
щенный индекс, | у| = yi + ... + уп.
Доказательство. Воспользовавшись формулой
Ла о Ф = фх доф2 = (фх + ф2 — |/ф1 + фг — 2афхф2),
непосредственным дифференцированием находим
1	( Л а « Ф) = — 0 (Фх + Фа — K’I’l + — 2аФ111’2) DV(X +
2'
35
+ ТТ7" + ^Фг “	— ФхФа^а —
1 *“р (Л
— аф2Р7фх — atpjDvi|)2) (ф? + $ — 2афхф2) 2 ].
В силу условий (1.35) получаем при х = х°
Dy (Ла 0 Ф) = 1-^.д [£>Ч1 + ^Фа — (ФаО?Ф1 “ аФаО?Ф1) I Фа Г'] =
= |+а (^7Ф1 + aDvipJ = D^.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если функция ф = (ipx, ф2) £ С1 (IR") удовлетворяет
условиям
фх(х°) = 0, ф2(х°)<0,	(1.37)
то при |?| = 1 справедливо равенство
[Dv (Va ° Ф)1^ = (£>?Ф1) |ж-ж«.	(1.38)
Теорема 3. Если функция ф = (ф1( ф2) £ С1 (ПС1) удовлетворяет
условиям
фх(х°) = 0, ф2(х°)#=0,	(1.39)
то при | Y | = 1 имеет место равенство
Я?(~а»Ф)|х=хс = (sign ф2 о £>7Фх) 1Х—Х°»	(1-40)
Теоремы 2 и 3 доказываются аналогично теореме 1.
Отметим очевидную формулу, справедливую для /^-отрицания
—х:
О7ф== —DApsiD7^	(1.41)
Пусть <р = <р (Хц ..., хт) £ Р° есть суперпозиция функций х,
*1 Аа*а. *iVa*a с единственным вхождением каждого из аргументов
х(. Число операций отрицания над хг и содержащими xt частями
формулы ф назовем инверсной степенью хг. Так, например, в формуле
Ф = хх Да (х2 V аХ8) xi имеет инверсную степень 1, х2, х3 — ин-
версную степень 2.
Теорема 4. Пусть ф = ф (хх, ..., xm) £ Р° есть суперпозиция
функций — 1, х, Хх Да х2, Хх \/ах2, имеющая единственное вхожде-
ние xt с инверсной степенью в, ф = (фх, •••> фт) : К" -> IRm —
непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая в точке
х° условиям
фх(хо) = 0, фДх°)#=0, i = 2, 3......т. (1-42)
Тогда если
Ф о ф |*=*< — 0,	(1.43/
36
то при | у | == 1 справедливо равенство
[Dv (ф о ф)]	= (- 1Г (D41)	(1-44)
Доказательство. Применим запись — (—\)kf. Так
как ^-отрицание определяется формулой х = —х, то можно
рассматривать как результат 6-кратного применения этой опера-
ции к f.
Воспользовавшись формулой хх \/ах2 = хх /\ах2, исключим из
формулы ф о -ф операцию \/а. Тогда ввиду того, что фх имеет единст-
венное вхождение в формулу ф о ф = ф (фх, ipm), ее можно
представить в виде
Ф оф = ((фР«1 Дар)№] Аа<7)[4
где р = р (ф2,фт), q — q (ф2, фт) — некоторые выраже-
ния, не включающие фх. Нетрудно видеть, что s = 6Х + 62 4- 63.
Согласно (1.43)
[(Orf*d ЛаР)[А,] Ла<7)СМ ]|х=х. = о.	(1.45)
Так как р н q получены путем применения операций /^-конъюнкции
xi Л<А и /^-отрицания х к функциям фг (i = 2, ..., т) и, возможно,
к функции z/x s —1, то в силу условий (1.42) р (х°) =/= 0, q (х°) =/= 0.
С другой стороны, из (1.45) и свойства 8 п. 1 следует
(Ф^ЛаР)к=х» = 0,	(1.46)
q 0.
Отсюда в силу того же свойства 8
р|х=х»>0.	(1.47)
На основании теоремы 1 в силу условий (1.46), (1,47) и формулы
(1.41) получаем
[DV (Ф о ф)1 |х=х- = Dv [(ф|м Д ар)[М Л art™ Ux. ~
- (- l)ft’DW] AaP)Cft‘] Aa<7] k-r =
= (- 1)*’+*’	M**1 Aap)]|x^ - (- l)*‘+*s [OV*1] k=^ =
= (- 1)*1+М-*’О?Ф1|^ = (- 1)"W
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Пусть ф = ф (хх..... хт) £ Р° есть суперпозиция
R-фуНКЦии — 1, X, ХхДа^2» Х1 V а^2» Х1 ^"<х^2’ Х1 /^/ос^2» Xj/ncX2,
имеющая единственное вхождение xlt аф = (фх.фт): IR" -> R'" —
непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая в
точке х = х° условиям
фх(х°) = 0, ф{ (х°) #= 0, i = 2, ...» т.	(1-48)
Тогда если ф о ф |х=х< = 0, то при | у | = 1 справедливо равенство (1.43),
где т — некоторое целое число.
3?
Доказательство. Воспользовавшись формулами
V аХ2 =	Л аЛ,
Xj—s Va-^2»	(1.49)
%1/а^2 “	Л а«^2»
исключим из суперпозиции ф о ф = ф (фо фт) операции Xj Va*2»
Xi->ax2, *i/o№- Тогда функцию ф о ф можно представить в виде
Ф ° Ф = ((91 ~a92)tft>] Лa9s)(ft’]>	(1 -5°)
где лишь одна из функций qlt q2 или q3 зависит от фх.
Так как <р о ф = 0 в точке х°, то равна нулю в этой точке лишь
та из функций qv q2 или q3, которая зависит от фг Остальные функ-
ции отличны от нуля в силу того, что суперпозиции /^-функций из
множества Р° отображают знакоопределенные точки в знакоопре-
деленные.
Пусть от ф! зависит функция <//, где / —одно из чисел 1, 2 или 3.
Тогда из теорем 1 и 3 следует
DT (ф ° ф) |х=х°  ±Dvq,l х—х9*	(1-51)
Если функция qj не содержит операции ~а, то к ней применима
теорема 4 и тогда из (1.51) следует (1.44). В противном случае к q^
можно применить те же рассуждения, которые были применены к
Ф о ф, и тем самым исключить из рассмотрения очередную опера-
цию ~а. В конечном итоге также приходим к формуле (1.44).
Теорема доказана.
Для достаточно полной системы Ж (1.30) справедливы теоремы,
р
более общие, чем теоремы 1—5 для системы $Ra.
Теорема 6. Пусть ф = ф (хи ..., хт) £ Р° есть суперпозиция
R-функций — 1, х, Xi Л х2, Xi V х2, Xi -> х2, хг ~ х2, х,/х2, имею-
р	р	р	р	р
щая единственное вхождение аргумента х1г а гр — (фь .... фт) Q
£ (7s (IR") удовлетворяет условиям (1.42), тогда при р>в для
| у | < s выполняются условия
Dy (ф ‘ Ф) = (- l)mD41^.	(1.52)
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 5,
исключим операции хх V х2, хг -> х2, x-Jpx2 и представим функцию
р	р
Ф о ф в виде
Ф • Ф = ((91 ~ 9^’] Л 93)t<!il-	(1.53)
р	р
Так как по условию ф о ф=0 в точке х°, то в этой точке либо ?s=0,
(91 ~ 9г)[М > 0> либо <71 9г — 0, <7з > 0. В первом случае
р	ь	р	„
(- О ' (9i - 9а)] Л 9з = К- 1) ’ (91 ~ 9з)1 + 9з -
р	р	р
38
1
— [|<7i~<72|P + l<73lV ==|'71~<72|+<7з —
-|<71~<72|[1+О(^)] = ?з + ОН).	(1.54)
Во втором случае (если, например, qx зависит от
<71~<72 = <71<72[|<71|р+|<72|р] р = ± <?i + О (qP).	(1.55)
Пусть qWi есть та из компонент формулы (1.53), которая зависит
от фр Тогда из (1.54) и (1.55) следует
Ф о ф = ± q& +0 [(<7(i))s].	(1 -56)
А так как в точке х° qm = 0, то
Dv (<р о ф) 1^ = (- If-D^b	(1 -57)
где /Их — некоторое целое число. Представляя д(1) в форме (1.53) и
повторяя предыдущие рассуждения, получаем
Dv (ф о ф) l^o = (- lf*DV2)t	(1.58)
где д<2> — суперпозиция, содержащая фъ с меньшим числом опера-
ций, чем Повторяя этот процесс, через некоторое число шагов
приходим к функции <7(г> = ± Ф1, а следовательно, и к формуле
(1.52). Теорема доказана.
Теорема 7. Теорема 6 справедлива для всякой системы R-функций
Н = {— 1; х; хх Д*х2; хг у%;
удовлетворяющей условиям
а)	хг Д*х2 = х( + о (xf)
б)	xt V*x2 = Х1 + 0(Х()
в)	х1->*х2 = х1+ o(xf)
г)	Xi/*x2 = — xt + о (х?)
Х!~*х2; Xi-^%; хх/*х2}, (1.59)
при Х/>0, (i=#/);
при х/<0, (/=5^/);
при ха>0;	(1.60)
при х/>0, (IФ j)‘,
д) хх ~*х2 = Xt sign X/ + о (х?) при X/ Ф 0, (i #= j).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 6.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что условиям
о	о
последней теоремы удовлетворяют также функции xt Д х2, хх \/ х2,
п	п
ООО
xi -> х2, xJXi, хх ~ х2, определяемые формулами (1.32) и (1.34), при
п	п	п
1 > S.
Теоремы 1—7 используются в дальнейшем при построении нор-
мализованных уравнений сложных геометрических объектов и
структур решений краевых задач.
Приведем некоторые результаты, касающиеся вторых произ-
водных от /^-конъюнкций и R-дизъюнкций.
39
Лемма. Если f (хх, х2) = xi A *xz € С2 (х* + х2 =/= 0) удовлетво-
ряет условиям
$з if (,xi> xz)\s Sg (Xj) A S3 (x2),	(1-61)
f (txt, tx2) ss tf (xt, x2),	(1.62)
<L63)
dxj
где S3 (Z)=l+ signt, mo
Доказательство. Из (1.62) по известной теореме Эйлера
получаем
X1-$- + x2^L- = f.	0-65)
1 дхг '	2 дх3 '	'	'
Продифференцируем тождество (1.65) по хх и х2:
а2/ _	хх а2/ _ х3 d2f
dxjdxj	хг	хх
Отсюда
(1.66)
(1.67)
Xl gx? ~ 2 dxf •
। следует, что
0 при Xi > 0,
В силу условия (1.63) -^-^0. Из условия (1.61)
f = 0 на положительных полуосях Oxlt Ох2 и / >
х2 >0, а в остальных точках плоскости f < 0.
Из (1.65) следует
д/ дх3	= 0. х,=0,	(1.68)
	Xg^-0	
Согласно (1.66) при хх>0, :	г,>0 -=--+ 2	дх±дх2	->0. Поэтому 1	0Х2
является возрастающей функцией хх и в		силу (1.68)	>0
л	df
0, поэтому
d2f
dx-idx2
в первой четверти. Во второй четверти
убывает с ростом хх и в силу того же условия (1.68) -^->0
во второй четверти. Так как по доказанному < 0, то
убывает с ростом х2. А тогда > 0 и при х2 < 0. Аналогично
находим, что 0.
43
Теорема 8. Если функция f (хх, х2) s хх Д *х2 удовлетворяет
условиям леммы, а <р : К" -> 1R.2 С С2 (1R”), <р = (фх, <р2), и
^_<0, 1 = 1,2,	(1.69)
где I — произвольное направление, то
др f (фх» Фа)
(1.70)
Доказательство. Дифференцируя f (<рь <р2) дважды по I,
получаем
_Lf/ro го ) — _JL 4. df .
dl 1 (Фь Фа) — дХх di + дх2 — .
— Нф, ф)= d2f / а* У I 2 d2f	аФ1 дф8 ,
дР /(Ф1> Фа)--— I дХ1дха dl Т +
।	( д<Ра \*  df d2q>t , df д2ф2
Э«2 I dl I Т	др -Г дХа др •	Ц./1)
Так как -^-<0 ^-<0 -^-<0 -^->0 Л_ > о ич
1ак как <,и, Л,	g[i =^v,	>и,	>и, из
последней формулы следует неравенство (1.70).
Пример. Покажем, что условиям теоремы 8 удовлетворяют
рассмотренные выше /^-конъюнкции ХхДах2 (а = const), хх Д х2
р
(р > 2), хх Л ха. Действительно,
. А - ,	^(1—а) ^,Л
, 2 (•*! Ла^г) =--1yr-A 'д-	0;
дх1	(К х 1 + xj — 2аххх2)з
2|лГ1Г2|х2|’ СО;(1.72)
-Ег(ХхДх2)^-(р-1)[|х1|Р+|х2|₽]₽
OXi р
д2 (	?	\
,2 I Л Ха )
dxj \ п )
-(/г + ПхГ'хГЧ^+х") 2 п
0
-2---2
Л । . п\ п . п—2. п
при Хх>0, х2>0;
при Хх < 0, х2 > О
и Хх > 0, х2 < 0;
при хх<0, х2<0
„	а2 / »
и, следовательно, —1 хх Д
d*i \ п
условий теоремы 8 очевидна.
0.
Справедливость остальных
4*
Следствие. Если <р € С2 (IR"), <р : R" -> IRm и < 0, то
^/2 К* • • ((Ф1 Ла/Рг) Ла2фз) Да3 • • •) Aam_^m] О, (1-73)
где |aj< 1. Неравенство сохраняется при замене символов Да/
о
символами Д (р > 2) или Д. При этом в силу коммутативности
Р	п
/^-конъюнкции Xi Д х2 при ее использовании не имеет значения
п
порядок расположения открывающих и закрывающих скобок. По-
этому неравенство (1.73) можно записать в виде
Л ЛфЛ<0 (1-74)
(1 < i < tn).
Следующая теорема является двойственной теореме 8.
Теорема 9. Если функция f (х1( х2) = хх V *х2> f € С2 (IR2),
удовлетворяет условиям
S3 (х1> -^а)! = 53 (^1) V S3 С^а) ।
f (txlt ix2) = if (x1( x2),	(1.75)
а функция <p : IR" -> IR2, ф С C2 (IR"), такова, что
>>°, 1=1, 2,	(1.76)
где I — произвольное направление, то
Л2
4г-Ж» Фа) >0.	(1.77)
Легко убедиться в том, что условиям теоремы 9 удовлетворяют
/^-ДИЗЪЮНКЦИИ Хх V aXa (« = COHSt), Хх \j Х2 (р > 2), Хх V х2 (« > 2).
Р	п
t § 6. ЧЕРТЕЖ И ЕГО УРАВНЕНИЕ
; 1. В дальнейшем вместо часто употребляемых терминов «линия»,
«фигура», «поверхность», «тело», «гиперповерхность» и более общих,
но длинных терминов «геометрический объект», «точечное множест-
во» будем использовать термин «чертеж». На интуитивном уровне
этот термин будем понимать, как «нечто в IRn, имеющее форму».
Точка является простейшим чертежом, и поэтому его можно бы-
ло бы рассматривать как элемент множества 2^п всех подмножеств
IR". Однако при таком общем подходе пришлось бы рассматривать
41
в качестве'«чертежей», например, множество точек плоскости, коор-
динаты которых удовлетворяют уравнению sin (——(- — = 0;
\ Х1 Х2 /
множество точек куба, расстояния которых от его вершин иррацио-
нальны, и т. д, О форме таких чертежей можно говорить лишь весь-
ма условно. В дальнейшем произведена формализация понятия чер-
тежа, исключающая подобного рода геометрические объекты из их
числа. Но до тех пор никакие ограничения на это понятие не накла-
дываются.
В аналитической геометрии обычно говорят о множествах точек
в JR", координаты которых удовлетворяют уравнениям вида / (х) =
= 0, х = (х1; .... х„), где / — функция, принадлежащая некоторо-
му достаточно общему множеству. В качестве такого множества
часто рассматривают множество целых рациональных функций.
Это приводит к так называемым алгебраическим чертежам (кривым,
поверхностям и т. д.), к числу которых относятся прямые, окруж-
ности, эллипсы и т. д. в IR2, плоскости, сферы, эллипсоиды, гипер-
болоиды и т. д. в 1R3.
В традиционных курсах аналитической геометрии, как правило,
рассматриваются алгебраические кривые и поверхности второго’по-
рядка. Уравнениям высших степеней посвящена специальная ли-
тература 167].
В дальнейшем для простоты будем называть уравнение f = 0
непрерывным, т раз дифференцируемым, аналитическим и т. д.
в зависимости от того, является ли функция f непрерывной, т раз
дифференцируемой, аналитической и т. д. Аналогично будем гово-
рить о непрерывных, аналитических и других подобных неравен-
ствах.
Нетрудно заметить, что упомянутое множество алгебраических
чертежей является довольно бедным. Оно не содержит, например,
квадрата, ломаной линии, усеченного конуса, не говоря уже о та-
ком объекте, как, скажем, головка цилиндра двигателя внутреннего
сгорания.
Если, допустить, что уравнение f (х) = 0 является непрерывным
в IR”, и не накладывать на него больше никаких ограничений, то
получим излишне широкое множество геометрических объектов.
Легко понять, что в этом случае уравнению f (х) = 0 соответствует
некоторое замкнутое множество точек в IR". Верно и обратное утвер-
ждение: для всякого замкнутого множества L может быть постро-
ено непрерывное уравнение. Его простейшим вариантом является
уравнение
f(x)^inf||x-y||=0,	(1.78)
которое назовем нормальным уравнением L (45].
Приведем цитату из известного курса лекций по аналитической
геометрии П. С. Алаксандрова: «Каждый раз, когда определен ка-
кой-нибудь класс функций F (х, у) или F (х, у, г) соответственно от
41
двух или трех переменных, можно определить посредством уравне-
ний вида F (х, у) — 0 или F (х, у, г) = 0 и соответствующий класс
линий на плоскости и поверхностей в пространстве. Так, например,
можно рассматривать функции F (х, у) и F (х, у, г), имеющие част-
ные производные по всем своим аргументам, вплоть до данного
порядка k, можно рассматривать бесконечно дифференцируемые
функции и т. д. Наиболее широким представляется класс линий и
поверхностей, который получается, если от функций F (х, у) и
F (х, у, г) не требовать ничего, кроме их непрерывности; однако
этот класс оказывается слишком обширным...» [2, с. 393—394].
Но если для некоторого геометрического объекта можно напи-
сать непрерывное уравнение f = 0, то для него можно написать и
бесконечно дифференцируемое уравнение <р = 0. Этот замечатель-
ный результат получен еще в 1932 г. известным математиком X. Уит-
ни [92]. Теорема Уитни в теории дифференцируемых многообразий
рассматривается как хорошо известный факт [58,91]. Однако несмо-
тря на принципиальное значение этих результатов, они до самого
последнего времени не были восприняты многими математиками,
работающими в других областях. Об этом, в частности, свидетельст-
вует приведенная выше цитата. Укажем также известного амери-
канского математика М. X. Шульца [89], который при формулиров-
ке ряда своих теорем вводит излишнее предположение о том, что для
рассматриваемых им замкнутых точечных множеств существуют
бесконечно дифференцируемые уравнения. Между тем, из теоремы
Уитни следует, что для всякого замкнутого множества существует
бесконечно дифференцируемое уравнение и, таким образом, упомя-
нутые теоремы Шульца следует считать более сильными, чем об этом
предполагает сам автор.
На первый взгляд теорема Уитни может показаться противоре-
чащей здравому смыслу, так как представления о бесконечно диф-
ференцируемых уравнениях и таких чертежах, как квадрат, ло-
маная линия, куб и т. п., трудно ассоциируются. Чтобы обрисовать
возникающую здесь ситуацию более наглядно, рассмотрим беско-
нечно дифференцируемое уравнение / (х1; х2) = 0 на плоскости
ххОх2. Функции z = f (хх, х2) £ С00 (IR2) в пространстве xxx2Oz соот-
ветствует некоторая бесконечно гладкая поверхность S. Чертеж
L, описываемый уравнением f (хх, х2) = 0, есть результат пересе-
чения этой поверхности с плоскостью z — 0. Конечно, приходится
преодолеть определенный психологический барьер, чтобы предста-
вить себе, как в результате пересечения бесконечно гладкой поверх-
ности с плоскостью может получиться такая фигура, как, напри-
мер, квадрат. А ведь по теореме Уитни в результате такого пересе-
ления может получиться вообще любое замкнутое множество на
плоскости.
2.	Приведем простое доказательство теоремы Уитни, воспользо-
вавшись функцией up (х) (см. гл. 3).
.р : Теорема 1. Для любого замкнутого множества S cz IR" сущест-
твует функция о (х) : IR."IR, со (х)£.С” (1R") такая, что .
44
1
a)	® (Д== 0 при x£S;
б)	® (х) >» О при х С 1КП\5;
в)	| D“® (х) | < С (а) для всех а, х € IR";
г)	Daa (х) = 0 для всех а при x£S.
Доказательство. Пусть $8 — е-окрестность замкнутого
множества S:
Se= {х: р (х, S) < е).
Учтем, что
§ up (2mx( —- &t) = 1.
---00
Отсюда следует тождество
S ri up (2mxt -^l,
...kn '='
где суммирование производится по всем целым k(.
Оставим в этой сумме только те слагаемые, носители которых
не пересекаются с Se при е = 2~т, и назовем полученную функцию
а>т (х), х = (хх, .... х„). Тогда функция
ю (х) = S 2~т'®т (х)
т=1
обладает всеми требуемыми свойствами, причем
С (а) = С22|а|2, |а| =ах+ ••• + а„.
3.	Естественное сужение множества бесконечно дифференцируе-
мых функций — множество аналитических функций. Нетрудно,
однако, показать, что соответствующее аналитическим уравнениям
множество чертежей является излишне узким. Покажем, например,
что этому множеству не принадлежит квадрат.
Рассмотрим квадрат с вершинами в точках (0, 0), (а, 0), (а, а),
(О, а). Пусть 1) f — 0 — аналитическое уравнение этого квадрата,
2) р — радиус сходимости ряда Тейлора функции /, построенного
для точки (0, 0). Тогда при х2 + х| < ра
/(х) s/(xb ^)я/(0, 0) + -^-х, + Я^-х, +
I Гд»/(0,0) 2 g d*f(0,0)	57(0,0) 21
+ Х2]+ •••
Полагая х2 — 0, получаем
+	1*11<р- о-79)
45
Так как функция f (х) равна 0 в точках квадрата, то f(xlt 0) = О
при 0 < хх <Z р. Поэтому	!
И0,0)=^М-_	... _/
dxf	]
Следовательно, согласно (1.79) f (хх, 0) =з 0 вдоль интервала
(—р, р) оси абсцисс и, таким образом, чертеж, описываемый урав-
нением f (х) = 0, кроме точек квадрата включает в себя еще и точки
интервала (—р, 0) оси абсцисс. Поэтому уравнение f (х) — 0 не яв-
ляется уравнением квадрата. Приходим к противоречию.
4.	Есть еще одно важное обстоятельство, которое влияет на вы-
бор множества допустимых функций: необходимо, чтобы имелась
возможность фактического построения уравнений рассматривае-
мых геометрических объектов.
Со времен Декарта такая задача самостоятельно ставилась и ре-
шалась лишь для небольшого числа наиболее простых геометриче-
ских форм — прямой, плоскости, окружности, конических сече-
ний, сферы и .некоторых других объектов. Между тем в математи-
ке и ее приложениях существует много различных задач, в которых
требуется строить уравнения для геометрических объектов весьма
сложного вида, например, расчет физических полей разной природы
в сложных областях, оптимальный раскрой, геометрическая миниа-
тюризация аппаратуры [72, 73], распознавание зрительных об-
разов [69], нелинейное программирование и методы оптимизации
и др.
Чтобы можно было фактически написать уравнение f (х) = 0
для данного геометрического объекта, необходимо точно определить,
что означают слова «написать уравнение» и «данный геометриче-
ский объект». Для написания какого-нибудь конкретного уравнения
вида / (х) = 0 надо, очевидно, располагать некоторой системой кон-
структивных средств для записи функции f (х). Введенное в § 1 поня-
тие //-реализуемой функции является достаточно хорошей для этой
цели формализацией, и впредь, когда речь будет идти о построении
какой-либо функции, будем подразумевать, что имеется некоторая
базисная система Н функций («операций»), для обозначения кото-
рых введена определенная символика, а рассматриваемые функции
являются их суперпозициями.
Заметим, что среди упоминавшихся в настоящем параграфе
функциональных множеств требованию //-реализуемости удовле-
творяет лишь множество SK (//0) целых рациоанальных функций:
каждая такая функция может быть представлена в виде суперпози-
ции Но = {хх 4- х2, XiX2, a \fa£ IR}. Соответствующее множеству
SR (Но) множество ЧЛ (//0) алгебраических чертежей вполне опре-
деляется заданием базисной системы //0 и, в конечном счете, все
свойства алгебраических чертежей определяются свойствами си-
стемы Но.
В ряде работ (см., например, [3]) используется понятие полу-
алгебраического множества (будем говорить «полуалгебраического
46
чертежа»)\ К числу полуалгебраических относятся чертежи, точки
которых удовлетворяют конечным системам алгебраических урав-
нений и неравенств, а также объединения конечного числа таких
чертежей. Множество полуалегебраических чертежей обозначим
ЭЬ (Я»).	\
2	\
Множество \полуалгебраических чертежей 9? i (Но) является
2
существенно более широким, чем множество алгебраических. На-
пример квадрат, ломаная линия, усеченный конус и т. п. уже при-
надлежат множеству полуалгебраических чертежей. Однако то,
что при таком подходе полуалгебраические чертежи задаются не
единым уравнением вида f (х) = 0, а «системами систем» уравнений
и неравенств, является серьезным конструктивным недостатком,
проявляющимся во многих ситуациях, где требуется учет геомет-
рической информации на аналитическом уровне. Такая тради-
ционная фраза, применяемая при задании геометрических объектов,
как, например, «фигура, ограниченная линиями <рх = 0 , ..., <рт =
= 0», не является, вообще говоря, достаточно удачной. Так, если
сказать: «пятиугольник задан уравнениями сторон хг = 0, х2 = 0;
xi + х2 = 4; Xi — х2 = 2; х2 = 2, то совершенно неясно, какой из
пятиугольников, изображенных на рис. 2, имеется в виду. Такое
задание нуждается в некоторых дополнительных комментариях
(например, в указании о том, что многоугольник выпуклый, и т. п.),
к которым трудно применить формальный математический аппарат.
Возникает вопрос: нельзя ли и такие чертежи, как полуалгебра-
ические, задавать одним уравнением, подобно тому, как это можно
делать для прямых, окружностей, эллипсоидов и других линий и
поверхностей? Ясно, что решение этого вопроса можно искать лишь
на^пути расширения базисной системы Но = {хх + х2, ххх2, а\/а£
На первый взгляд, этот путь кажется мало перспективным. Ведь
если даже при Т1спользовании операций сложения, умножения и
констант задача изучения соответствующих чертежей — алгебра-
ических линий и поверхностей — оказалась весьма сложной, то
47
насколько сложнее она станет, если добавить к сложению умноже-
нию еще какие-нибудь операции! Однако, как увидит в дальнейшем
читатель, дело совсем не безнадежно. Необходимо иметь в виду,
что в рассматриваемой задаче речь идет не о предложении каких-
либо новых средств для изучения чертежей, описываемых заданны-
ми уравнениями, а о том, чтобы строить уравнения для уже задан-
ных чертежей.	/
Более широким конструктивно заданным множеством, чем мно-
жество SR (Яо) целых рациональных функций, является множество
8 = SR (Я8) элементарных функций — суперпозиций системы
(1.1). Чертеж L с: IR", определяемый элементарным уравнением
f ( х) = 0, f g С (IR") f| будем называть элементарным черте-
жом. Множество элементарных чертежей обозначим 9? (Не).
По аналогии с множеством полуалгебраических чертежей вве-
дем множество полуэлементарных чертежей Э? i (Я8), включающее
точечные множества, удовлетворяющие системам элементарных
уравнений и неравенств, и конечные объединения таких множеств.
На плоскости, например, к числу полуэлементарных принадлежат
не только чертежи, составленные из кусков алгебраических кри-
вых, но и из кусков синусоид, тангенсоид, логарифмических и любых
других элементарных кривых.
Может показаться, что по аналогии со множеством алгебраиче-
ских чертежей 9? (Но), для которого множество полуалгебраических
чертежей 9? i (Яо) оказалось существенно более широким, множест-
Т
во полуэлементарных чертежей 9? i (Я8) также шире множества
элементарных чертежей 9? (Я8). Ниже показано, что это не так:
всякий полуэлементарный чертеж оказывается элементарным. Таким
образом, 911 (Не) = 9? (Я8). В частности, это означает, что симво-
2
лов основных элементарных функций, арифметических операций и
констант достаточно для того, чтобы написать, например, уравнение
поверхности письменного стола или искусственного спутника Зем-
ли, если считать, что они ограничены кусками плоскостей, сфер,
конусов, цилиндров и других известных элементарных поверхнос-
тей. (В крайнем случае можно аппроксимировать неизвестные по-
. верхности известными.)
Рассуждения, проведенные для базисных систем Но и Не, мож-
но провести для любой другой базисной системы Н. В итоге получим
множества 9? (Я) //-реализуемых чертежей и 9£j_(Н) полу-Я-реализу-
2
емых чертежей. При этом возможны две ситуации: а) 9? (Я) cz 9? i (Н)
и, кроме того, имеются полу-//-реализуемые чертежи» не являющиеся
//-реализуемыми; б) 9? (Я) •= 9i(Я) — всякий полу-Я-реализуемый
т
чертеж является и Я-реализуемым. Если имеет место случай «б»,
48
то базисную систему Н будем называть алгоритмически полной.
(Более точное формальное определение дано ниже.) Это название
отражает тот факт, что с помощью символов, составляющих алгорит-
мически полную систему Н, можно написать уравнение всякого
чертежа, входящего в порождаемое системой Н множество полу-Я-
реализуемых чертежей.
Примером алгоритмически неполной системы является Но =
— {хх + х2, хгхг, a Va g IR) . Полноту системы Не еще предстоит
доказать.
Расширим несколько понятие алгоритмической полноты. Пусть,
как и прежде, ЭД (Я) — множество Я-реализуемых чертежей. Гео-
метрический объект S, определяемый неравенством f > 0, f £
£ ЭД (Я), назовем Я-реализуемой областью. Множество всех Я-реа-
лизуемых областей обозначим @ (Я). Чертеж Lqf = L f) S,
L = (/ = 0), S = (<p >• 0), f, <p g ЭД (Я), назовем Я-элементом чер-
тежа L, выделяемым областью S. Нетрудно заметить, что упомяну-
тые выше полу-Я-реализуемые чертежи, составляющие множество
Э?1 (Я), состоят из конечных объединений Я-элементов.
Т
Пусть ф (Я, Т) — множество, состоящее из конечных объеди-
нений Я-элементов или чертежей, получающихся из Я-элементов с
использованием некоторого множества преобразований Т. В част-
ности, если Т = Е — тождественное преобразование 1R" в IR", то
ф (Я, Т) = Ж i (Я). Множество ф (Я, Т) назовем множеством
Т
Я-чертежей. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будем
считать, что Т — множество преобразований переноса и поворота
(конгруэнций), а соответствующее множество Я-чертежей бу-
дем обозначать Ф (Я). Очевидно, что если базисная система Я
является расширением системы Яо = {хх + х2, х^, aVn£lR}.
то конгруэнтные между собой чертежи принадлежат или не принад-
лежат множеству ф (Я) одновременно. Таким образом, в этом слу-
чае ф (Я) =	1 (Я). В дальнейшем будем иметь в виду именно та-
Т
кие базисные системы. Это объясняется, в первую очередь, жела-
нием сохранить в множестве Я-чертежей широко встречающиеся в
приложениях полуалгебраические чертежи.
Определение. Базисная система Я, для которой выполняется
условие
ф (Я, Т) == 5? (Я),	(1.80)
называется алгоритмически полной (по отношению к множеству
преобразований Т).
Ниже показано, что понятие алгоритмической полноты тесно
связано с рассмотренным в предыдущих параграфах понятием до-
статочно полной системы Я-функций.
5.	Необходимо иметь в виду, что для одного и того же чертежа
существует бесконечно много различных уравнений. Так, если
<о (х) = о, и (х) g С (IR"), есть уравнение чертежа L, а Ф (х) g
49
€ C (IR.”) — произвольная непрерывная функция, не равная нулю
вне L, то уравнение <р (х) = 0, где <р (х) = со (х) Ф (х), также будет
уравнением L. Уравнение со (х) Ф (х) = 0 может рассматриваться
как пучок уравнений чертежа L, из которого можно получить кон-
кретные уравнения, выбирая некоторым образом функцию Ф —
неопределенную компоненту пучка. Аналогично формула и — со (х) х
X Ф (х) может рассматриваться как формула для пучка функций,
равных нулю на чертеже L. Если принять, что неопределенная ком-
понента Ф (х) этого пучка является непрерывной функцией, то мно-
жество U, к которому принадлежит функция и, будет вполне опре-
деляться заданием функции со (х). Широта этого множества зависит
от свойств функции <в (х). Рассмотрим, например, чертеж L, пред-
ставляющий собой окружность радиуса R с центром в начале коор-
динат плоскости R2. Возьмем два варианта функции со (х):сох (х)==
w R2— х? — Хг; со2 (х) s (R2 — х{ — х|)2. Тогда можно показать
[77], что пучок Ui, определяемый формулой щ = со^, Ф1С
€ С (R2),- содержит множество Со (К2) непрерывно-дифференци-
руемых в R2 и равных нулю на L функций, а пучок П2, определяе-
мый формулой и2 = со2Ф2, Ф2 £ С (R2), — не содержит. Например,
в пучке U2 не содержится функция и = R2 — х% — xt
Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда
L = дй есть кусочно-гладкая граница области й. При этом жела-
тельно построить такое уравнение со (х) = 0 границы дй, которое
удовлетворяет условиям
со (х) > О, V х G й;
co(x)<0, vxeaudQ;
да>
dv
(1.81)
(1-82)
(1.83)
где v — направление внутренней нормали к дй. Предполагаем,
что условие (1.83) выполняется во всех точках дй, в которых на-
правление нормали определено.
При выполнении условий (1.81) — (1.83) уравнение со (х) = О
будем называть нормализованным (до первого порядка) уравнением
дй. Если дополнительно выполняются условия
то уравнение со (х) = 0 назовем нормализованным до n-го порядка*
Существование бесконечно дифференцируемого нормализован-
ного уравнения дй = (со = 0) устанавливается следующей теоре-
мой.
Теорема 2е Пусть й — область в 1R”, дй — кусочно-гладкая
граница й. Тогда существует функция со (х) £ С* (й (J дй)
такая, что со (х) = 0 есть нормализованное до бесконечного порядка
S9
уравнение 3Q в каждой точке. х° £ dQ, в окрестности которой dQ
принадлежит классу С1.
Доказательство. Пусть d (х) = min || х — у || — нор-
мальная функция границы dQ, а со (х) = 0 — функция, удовлетво-
ряющая условиям теоремы 1. Тогда функция
(х) =
Р(х)\d(y) up[n, р (х) (х — y)]dy при х£Й;
о	(1.85)
О	при х G дй,
где
[1 *1
♦ UP («> Х) = Д UP 0 -86)
удовлетворяет условиям теоремы 2.
§ 7. ТРЕХЗНАЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОБЛАСТЕЙ
1. Диаграммы Эйлера — Венна (см. рис. 1), построенные для бу-
левых функций X, Xi /\ Х2, Xi у Х2, Xi ~ Х2, Xi -> Х2
и Xi/X2, могут служить также и для наглядного представления
одноименных функций трехзначной логики. Различие состоит лишь
в том, что внутренним точкам рассматриваемых областей ставится
в соответствие число 2, внешним — 0, а граничным— 1.
Пусть 2 — некоторая область в IR". Обозначим той же буквой
2 функцию («трехзначный предикат»)
2 = 2(х) =
2,
1,
О,
Vx£2,
VxGdS,
Vx £ 2 (J д2,
(1-87)
которую назовем трехзначной характеристической функцией об-
ласти 2.
Применив к 2 операцию трехзначного отрицания, получим пре-
дикат 2, которому будет соответствовать внешность области 2 (без
ее граничных точек). Очевидно, что д2 = д2. Если 2Х = 2Х (х)
и 22 = 22 (х) — трехзначные характеристические функции неко-
торых областей, то трехзначные предикаты
2Х л 22, V 22,	s'", 22, 21 —> 2а, 2х/22	(1.88)
также являются характеристическими функциями некоторых облас-
тей, а именно тех, которые отмечены штриховой линией на соответ-
ствующих диаграммах Эйлера — Венна (см. рис. 1). Заметим, что
такое явление имеет место не для всякой функции F (Хх, Х2) трех-
значной логики. Так, например, функции F (Хх, Х2), определяемой
и
таблицей
X,	О	О	О	1	1	1	2	2	2
Ха 0120	12012
F	0	1	0	1	1	0	2	0	0
соответствует трехзначный предикат й = F (2lt S2), который
принимает значение 2 в точках области й и значение 1 на дугах
АВС и ADC (рис. 3). Таким образом, условие F (Хх, Ха) = 1
не будет определять границу dQ. Характеристической функцией
области Й является функция й = 2Х -> 2а. То, что трехзначные
предикаты (1.88) являются трехзначными характеристическими функ-
циями соответствующих областей, изображенных на диаграммах
Ф Эйлера — Венна (см. рис. 1), следует из
приведенной ниже теоремы.
0 Теорема. EcauZ^I — 1, ..., т, —трех-
значные характеристические функции не-
которых областей, a F (X) £ Рз, F : В$ ->•
-> В3, то трехзначный предикат
Рис. 3	Й = Г(2), 2 = (ЕХ..2J, (1.89)
является трехзначной характеристической функцией области й,
определяемой предикатным уравнением
Й = Р(2) = 2.	(1.90)
Доказательство. Пусть х° — граничная точка области й.
Тогда, очевидно, х° является граничной точкой по крайней мере
одной из областей 2;. Следовательно, в этой точке соответствую-
щая характеристическая функция 2, равна 1. С другой стороны,
в окрестности точки х° есть точки, в которых функция F принимает
значения 2 и 0, причем этим точкам соответствуют значения аргу-
ментов 2Z, получающиеся при замене аргументов, равных единице,
нулями и двойками. Из принадлежности функции F множеству
Рз следует, что в точке 2° = (2?, ..., 2„) G Дз*> соответствующей
точке х° £ функция F равна 1. Следовательно, граничные точ-
ки области й удовлетворяют предикатному уравнению F (2Ь ...
..., 2m) = 1. Если х° — внешняя по отношению к й точка, то во
всех невырожденных точках некоторой ее окрестности F (2Ь ...
..., Sm) = 0. А тогда и в точке х° F (2Ь ..., 2т) = 0. Теорема
доказана.
Пусть {2г} — некоторая не обязательно конечная система об-
ластей, которые условно будем считать «простыми». Систе-
му {£/} назовем опорной или базисной. Областям 2,- соответствуют
трехзначные характеристические функции 2f : IRn -> В3, В3 =
= {0; 1; 2}. Тогда 2 = (2Х, ..., 2т) может рассматриваться как
отображение 2 : IR" В™.
Для функции трехзначной логики F (X) : В? -> Вя, F (X) £
g Рз, составим композицию
Й = Ро2 = Г(2).	(1.91)
52
Из доказанной выше теоремы следует, что й — трехзначная харак-
теристическая функция области, определяемой предикатным урав-
нением F (2) = 2. Область й будем называть сложной областью,
построенной с помощью простых областей 2Х, ..., 2т по правилу,
определяемому логической формулой F (2) = F (2Х2т).
Пример. Пусть 2Х, 22 — круги радиусов R и г, г < R, с цент-
ром в начале координат плоскости IR2, 23 — вертикальная полоса,
ограниченная прямыми х = ±а, г <z а < R, 2Х — область, распо-
ложенная выше биссектрисы первого и третьего координатных уг-
лов (рис. 4), a F — (Хх ~ Х2) Д (Х3/Х4). Тогда в соответствии с
диаграммами Эйлера — Венна фор-
мула	|Л2
Й = (2Х~22) Л(23/(24) (1-92)
определяет трехзначную характерис-
тическую функцию сложной области
й (на рис. 4. заштрихована).
Трехзначные характеристические
функции вида (1.92) используются
впоследствии как некоторая началь-
ная формализация при задании слож-
ных областей, играющая роль проме-
жуточного этапа при построении их
уравнений в обычном смысле. С этой
точки зрения особый интерес пред-
ставляет задача, обратная рассмотрен-
ной выше: дана сложная область й и требуется так выбрать опор-
ные области 2Х, ..., 2т и функцию трехзначной логики F (2Х, ...
...,2т), чтобы формула й = F (2Х ..., 2т) была трехзначной харак-
теристической функцией области й.
Используя диаграммы Эйлера — Веннь, эту задачу обычно уда-
ется решать без больших затруднений. Заметные трудности возни-
кают лишь при создании формальных алгоритмов и программ для
автоматизации процесса построения трехзначных характеристиче-
ских функций сложных областей, принадлежащих тем или иным до-
статочно широким классам. Например, для многоугольных областей
эта задача решена полностью. Существуют алгоритмы, по которым
построение предикатов для многоугольных областей может быть
выполнено автоматически по заданным последовательностям коор-
динат их вершин, выписанных в порядке их левого (или правого)
обхода [47]. Ряд достаточно общих алгоритмов предложен для по-
строения трехзначных характеристических функций областей, огра-
ниченных дугами окружностей и отрезками прямых [79], и много-
гранников [75].
Заметим, что в силу формул (1.24) при построении трехзначных
характеристических функций можно не пользоваться операциями
-> Х2, Хх ~ Х2, Xi/Xz- Так, например, вместо формулы (1.92)
53
согласно (1.24) получаем
Q = [(Si Л 22) V (^i Л ^2) Л (23 Л
Эту формулу можно упростить. Из рис. 4 видно, что 2Х Л 2г = О-
Тогда, с учетом тождества О V F = Р,
Q = (2, Л 22) Л (2T7\2j.	(1.93)
Обратим внимание на то, что если область й задать с помощью
обычных операций пересечения и дополнения над множествами, по-
лучим формулу, идентичную формуле (1.93):
Q = (2, П 2г) U (23 П	(1-94)
Однако, если принять, что области 2Х 24 замкнутые, то область
Й не будет содержать участка ABCDEFG своей границы, а если
области 2j 4- 24 открытые, то область й не будет содержать участка
AHG. Близость формул вида (1.93) и (1.94) позволяет использовать
простые операции Л , (J > ~ наД множествами для получения трех-
значных характеристических функций. Однако в определенных си-
туациях отмеченное выше незначительное расхождение в интерпре-
тации формул (1.93) и-(1.94) может привести к неточностям при
переходе к уравнению границы дй в обычном смысле [45].
2. Примем в качестве канонического задание опорных замкну-
тых областей {2,} с помощью неравенств вида ст(- > 0, где о, — за-
данные //-реализуемые функции. В качестве базисной системы Н
будет выбираться система Не (1.1). Заметим, что из неравенства
2 = (ст > 0) или (о > 0), вообще говоря, не следует д2 = (ст = 0).
Так, например, если о = (а2—х?— х|) (д2— х?—Х2)2, то при
b < а (Ь> а) неравенство ст > 0 (о >• 0) определяет замкнутый
(открытый) круг, а уравнение ст = 0 есть уравнение двух концент-
рических окружностей. В общем случае могут встретиться и более
сложные ситуации. Например, если а = [(а2 — Xi — xl) (х? + xi —
— ь2) — | (а2 — Xi — х|) (xt +xl — 62)|] (Xi +х% — Ь2), Ь<
< а, то 2 = (ст >> 0) — круг радиуса а с центром в начале координат,
а 2Х = (ст = 0) — кольцеобразная область, ограниченная окруж-
ностями радиусов а и Ь.
Будем говорить, что о — простая непрерывная функция, если
а = 0 — уравнение границы областей а > 0 и ст > 0. В дальней-
шем опорные области задаются с помощью простых непрерывных
неравенств вида ст, > 0. Трехзначную характеристическую функ-
цию, соответствующую области 2 = (ст >• 0), обозначим тем же
символом 2.
Если Y = F (Хх, .... Хт) g Рз, то из приведенной выше теоре-
мы следует, что трехзначный предикат
й = [(^>0), .... (стот>0)]	(1.95)
«4
для всяких простых непрерывных функций ..., ат может рас-
сматриваться как трехзначная характеристическая функция неко-
торой (замкнутой) области й. Отсюда следует, что существует про-
стая непрерывная функция со, для которой й = (со > 0).
§ 8. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.
ПЕРЕХОД ОТ ПРЕДИКАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕРТЕЖЕЙ К ОБЫЧНЫМ
1. Пусть — система опорных областей в IR", заданных трех-
значными характеристическими функциями
| 0, Ух€(ст;<0),
2<=j 1, Vx€(ffi==0),	О-96)
{ 2, VxG(<Jc>0),
где <Т/ € С (IR") П €0? (Н). (Имеется в виду, что система Н с:
с: С (IR") базисных операций задана.)
Согласно теореме в § 7 из F £ Рз следует, что
Q = F(S) = F(S1, ...» Sm)	(1.97)
может рассматриваться как трехзначная характеристическая функ-
ция некоторой области й, определяемой условием й = 2. Это
означает, что граница дй этой области определяется условием й =
= 1, а внешность й — условием Й = 0. Уравнение
F(S1, .... Sm) = 4	(1.98)
назовем предикатным уравнением области й (при А = 2), границы
дй (при Л — 1) и внешности Й (при А = 1).
Задача состоит в том, чтобы найти такую базисную систему
=> Н, которая позволила бы переходить от предикатных уравнений
чертежей к уравнениям вида f= 0, где f — известные /^-реализуе-
мые функции.
Введем обозначение
S3(t) = Ц-signf, /£IR.	(1.99)
Тогда, если / (х) : IR"* -> IR1 есть /^-функция, соответствующая раз-
биению Г3 числовой оси на множества Ж (i) = [S3 (t) — i], i g B3,
то согласно (1.18) для нее существует сопровождающая функ-
ция трехзначной логики F : В? -> В3 такая, что
So/(x) = FoS3(x),	(1.100)
где S3 (х) = [S, (Xj), ..., S3 (x„)].
Теорема 1. Если функция трехзначной логики F : ВТ -> В3
принадлежит множеству Q3 функций, сопровождающих для мно-
жества Q = С (IRm) П 9? (IR1, S3) непрерывных R-функций, а
: IR т -> [R1 — R-функция из Q, для которой F является сопровож-
дающей, то предикатное уравнение
F [S, (о)] = F [S3 (аО, .... $3 (стт)] = 1	(1.101)
описывает тот же чертеж, что и уравнение
f (а) = f ..., от) = Q.	(1.102)
Доказательство. Из формул (1.100) и (1.101) получаем
5з1/(о)1 = Р[53(о)] = 1.	(1.103)
Тогда в силу (1.99) 1 + sign/ (ст) = 1. Отсюда sign / (ст) = 0, а
следовательно, и f (ст) = 0. Теорема доказана.
Заметим, что при выполнении условий теоремы 1 уравнение
f (ст) = 0 необязательно является уравнением границы дй области
Q = If (ст) > 0]. Так, например, если = (стх =s | хг | — хх > 0),
S2 = (ст2 > 1 — xj > 0) — области на плоскости R2, a Q = f] S2,
то при использовании /^-конъюнкции Xi Д0х2 = хх + х2 —
— ' Xi + х! предикатному уравнению 2Х Л 2г = 1 соответствует
уравнение
стх Ао°а + ст2 — |/ст? + ст! =
s | хх | — хх + 1 — хх — /(| хх | — хг)2 + (1 — хО2 = 0,
которому удовлетворяют точки бесконечной полосы, заключенной
между прямыми хх = 0 и хх = 1, хотя границей области Q = Sx П
П 22 является прямая хх = 1.
В то же время, из доказательства теоремы 1 следует, что область
Q, определяемая предикатным неравенством
Q=F(SX, .... 2т)>1,	(1.104)
определяется также неравенством
® = /(стх, .... стт)>0.	(1.105)
Приведенные рассуждения показывают, что выполнения усло-
вий теоремы 1, вообще говоря, недостаточно для решения задачи
построения уравнений границ сложных областей. В то же время,
именно эти уравнения будут в дальнейшем представлять наиболь-
ший интерес. При их построении основную роль играет следующая
теорема.
Теорема 2. Пусть f (х): IR'" -> IR1 — R-функция, для которой
функция F (X): В™ -+ В3, F (X) £ Рз, является сопровождающей.
Тогда, каковы бы. ни были простые непрерывные функции (х):
R1, i = 1, ..., т, уравнению
в) (Х)^?(р)	.... СТт)=0	(1.106)
соответствует чертеж, не содержащий внутренних точек. (Мно-
жество Рз рассмотрено в § 2, 7.)
56
Доказательство. Пусть со (х°) = 0, х° g IR'1. Тогда
согласно (1.100)
F {S3 [ох (х°)].S3 [om (х0)]} = S3 {f [ax (x°), ...
.. ., om(x°]} =S3[co(x°)] = 1.	(1.Ю7)
Так как F g P3, то из (1.107) следует, что среди чисел S3 [ох (х°)], ...
..., S3 [стт (Xе)) есть единицы и согласно (1.99) соответствующие им
числа <з{ (х°) равны нулю. Так как функции ot по условию теоремы
являются простыми непрерывными, то в любой окрестности точки
х° они принимают отличные от нуля значения. Из F £ Рз следует,
что f Е Р (см. § 7). Поэтому, если все аргументы функции f отличны
от нуля, то и f Ф 0. Таким образом, в любой окрестности точки х°
есть точки, в которых функция со (х) отлична от нуля. Теорема до-
казана.
2. Предположим, что функция F С Р3 (или Q3), участвующая
в формировании предикатного уравнения сложной области Q (или
ее границы д£2), задана аналитически с помощью некоторой полной
в Р3 (или Q3) системы функций. Это предположение не нарушает
общности рассуждений, так как из теоремы 3 § 2 следует возмож-
ность представления всякой функции из ф' (а следовательно, и из
Р\ фз) в виде разложения по трехзначным функциям Гх = 0,
У2 s 1, У3 = X, У4 в Хх Д Х2, Г5 в Хх V Х2.
Располагая функцией F £ Рз (или Q1), легко построить Р-функ-
цию из соответствующей ей ветви. Для этого можно воспользоваться
любой из достаточно полных систем Р-функций (1.26), (1.28) — (1.32).
Сам процесс построения P-функций выглядит следующим образом:
в аналитическом представлении функций F (Хх, ..., Хт) произво-
дится формальная замена символов функций трехзначной логики
X, Хг /\ Х2, Хх V Х2, Хх-> Х2, ... соответствующими символами
P-функций из выбранной достаточно полной системы и одновремен-
но заменяются символы троичных аргументов X; символами xz не-
прерывных аргументов. (Вместо 0 и 1 из В3 можно ставить — а2 и 0,
где а Ф 0.) То, что полученная таким путем функция / (х) в
s f (хх, ..., хт) является P-функцией с сопровождающей F (X) в
s F (Хх....Х_), легко проверяется в соответствии с формулой
(1.100).
Так как Рз с Qa> то выводы теоремы 1 верны для всех функций
из р|. Кроме того, если F az Р|, то применение формул (1.101),
(1.102) приводит к чертежам, не содержащим внутренних точек 1R”.
В обычных ситуациях такие чертежи являются границами некото-
рых областей. Исключение составляют различные случаи вырожде-
ния, о которых подробно сказано в работе [45].
Таким образом, формулы (1.101) и (1.102) определяют простое
правило построения уравнений границ сложных областей: если
сложная область Q строится с помощью простых опорных областей
S7
Рис. 5
Sf = (a£ > 0), i = 1, ...» т, в соответствии с логической форму-
лой й = Р (Sx, .... Sm), F £ Рз, и при этом дЯ; = (о£ = 0), то
для получения уравнения со = 0 границы дй достаточно в формуле
F (Sx... Ет) произвести формальную
замену символов логических операций
соответствующими символами /?-опера-
ций (из какой-нибудь достаточно полной
системы), символов 2£ — формулами о£,
а затем полученную функцию со (х) г
s f (x), •••> (x)l приравнять нулю.
Приведенные ниже примеры иллюс-
трируют эту методику.
Пример 1. Пусть требуется написать
уравнение со = 0 границы прямоуголь-
ника й с вершинами в точках (± а,
± Ь). Этот прямоугольник может рас-
сматриваться как пересечение вертикальной полосы лх = (а* —
— xf > 0) и горизонтальной полосы S2 = (b2 — х2 > 0).
Для построения уравнения дй воспользуемся простейшей из R-
конъюнкций: хх До х2 в хх + х2 — Ух2 4- х2. Тогда в соответ-
ствии с описанным выше правилом получим
дЙ = {со (хх, х2)	(a2 -xl)/\o (b2 - 4) = 0).	(1.108)
Отсюда
со == а2 — xi + Ь2 — х2 — ]/ (а2 — х2)2 + (Ь2 — х2)2= 0.	(1.109)
Нетрудно показать, что семейство линий со (хх, х2) = С, включа-
ющее при С = 0 прямоугольник, состоит из выпуклых кривых.
Действительно, если I — произвольное направление, то
(а2 — х?) = — 2 cos2 (I, Охх) < 0;
^(Ь2 — х2) = — 2 cos2 (/, OxJ < 0.
Тогда в силу теоремы 8 § 5 и первой из формул (1.72) получаем
= -5- - $ Ло (Ь2 - 4)] < 0.
Отсюда следует выпуклость поверхности х3 = со (хь х2), а значит,
и выпуклость ее линий уровня со (хь х2) = const. К аналогичному
результату придем и в случае, если рассматриваемая область —
пересечение нескольких областей S£ = (о£ >• 0) и при этом о£ < 0.
Пример 2. Пусть требуется написать уравнение границы об-
ласти й, изображенной на рис. 5, где ABOCD — дуга синусоиды,
амплитуда которой равна 6; OD = R; DM и QA — дуги окруж-
ности радиуса R, точка N имеет координаты (a, h), а точка Р сим-
58
метрична ей относительно оси Ох2. В качестве опорных областей
выберем следующие:
Sx = ^х2 — b sin -^L. > oj — часть плоскости, расположенная выше
синусоиды;
S2 = (R2— х?— х1>0) —круг радиуса R с центром в начале
координат;
S3 = (а2 — xi > 0)	— вертикальная полоса, ограниченная
прямыми хг = ± а;
S4 = (х2 — h >. 0)	— часть плоскости, расположенная выше
горизонтальной прямой х2 = h.
Используя диаграммы Эйлера — Венна, легко находим, что
область й может быть определена формулой
Q = Si Л 22 Д (23 Д SJ.
Соответствующее уравнение дй имеет вид
дй =	= (х2 — b sin	До (R2 — xi — х%)j До
Ло 1(а2-хЬЛо^2-й)] = о).	(1.110)
Как и в предыдущем примере, от символов 7?-операций хг До х2
и х в этом уравнении можно избавиться, и в результате получим
уравнение ® = 0, где ® будет иметь привычный вид элементарной
функции. Однако на практике исключать символы /^-операций нет
необходимости, гораздо проще «привыкнуть» к ним и включить их
в математический обиход, подобно тому, как это происходило со
всеми другими символами операций в процессе развития математики.
Замечание. В работе [45] рассмотрены различные особые ситуа-
ции, которые могут возникнуть при построении уравнений границ
областей сложной формы (появление точек недифференцируемости
внутри или вне области, образование «оврагов» и т. п.). Учет таких
особенностей имеет важное значение при построении приближенных
решений краевых задач.
§ 9. УРАВНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧЕРТЕЖА.
АЛГОРИТМИЧЕСКИ ПОЛНЫЕ БАЗИСНЫЕ СИСТЕМЫ
Пусть Но = {хх + х2, Х1Х2,	(Н = {Но, <pit i£l},
I — некоторое множество индексов) — расширение системы Но,
ЭД (И) — множество //-реализуемых функций, а 3? (Я) = {L Q 2*п :
: L = ker /, f £ ЭД (Н)} — множество //-реализуемых в IR" черте-
жей. Будем предполагать, что множество ЭД (Я) содержит одну из
достаточно полных систем Я-функций из 84 (R1, S3). В § 6 полу-
59
//-реализуемые чертежи были определены как объединения
L=UA	(1.111)
i=l
Le = (х £ Я": <*ki (x) > 0, TSi (x) = 0, V (k, s) g li x Z2}, (1.112)
где Gkt, G a Z2, Z2 — конечные (возможно, и пустые)
множества индексов. Множество всех полу-Я-реализуемых черте-
жей обозначается 9?i (Я). Чертежи L(, определяемые конечными
системами уравнений и неравенств (1.112), назовем элементами
чертежа L.
Пусть
А	(1.113)
*ел
где = [сты (х) >• 0] — трехзначные характеристические функ-
ции соответствующих областей. Тогда согласно формулам (1.104),
(1.105) систему неравенств [aw (х) >• 0], k £ Zlt можно заменить
одним неравенством
Ъ (*) == А,%/ W М(- • • (о*,« (*) A’1®*.; W) A’’ • • •) A?m%,0 > °’
k£r	m
(1-114)
(m \
A = I) 1»
/=i /
где A?/ — символ какой-либо из /^-конъюнкций (например, А^ =
«= Ао> Ао , ...) из (Я). Систему уравнений xsi (х) = 0, s £ Z2,
также можно заменить одним неравенством
тг (х) s - 1/S 4(х) >0,	(1.115)
' s£/,
которое, очевидно, удовлетворяется тогда и только тогда, когда
х G 0 Tsl, s G А> где Tsi = [xsi (х) = 0]. Таким образом, элемент
Ц определяется двумя неравенствами, <Ji (х) > 0 и тг (х) >• 0, ко-
торые с помощью какой-либо из /^-конъюнкций А * можно свернуть
в одно:
4(х) = ог(х) A*Ti(x)>0.	(1.116)
Согласно (1.115) строгое неравенство tz (х) >0 не выполняется
ни в одной точке IR". Учитывая, что а. А* > 0 тогда и только
тогда, когда о,- > 0 и > 0, приходим к выводу, что в (1.116) можно
заменить знак >• знаком — . В результате получим уравнение эле-
мента L,
/г(х)^о,-(х) А*тг(х)=0.	(1.117)
При этом li <Z 0 вне Lt. Применяя к (1.117) операцию /^-отрицания
и формулу Xi А *х2 s V *х2 (см. § 5), а затем, извлекая из не-
бо
отрицательной величины — /, квадратный корень, с учетом (1.115)
приходим к уравнению _____________________
(S *sl (*)) 2 V * ст, (х) = 0,	(1 • 118)
где V * — символ какой-либо R-дизъюнкции из SR (Н). Уравнение
элемента Lt в форме (1.118) обладает некоторыми свойствами диффе-
ренциального характера, о которых будет сказано в § 10.
Располагая уравнениями о, (х) = 0, со, £	(Н), элементов
Lt полу-Я-реализуемого чертежа L, уравнение L представим в виде
со(х)== Д*ю,(х) = 0.	(1.119)
<=i
Можно также воспользоваться формулой
со (х) яв П со, (х) = 0.	(1.120)
(В некоторых случаях (см. § 10) формула (1.119) оказывается более
предпочтительной.)
Таким образом, если базисная система Н = {Но, <p,, i £ 1} со-
держит одну из достаточно полных систем P-функций из 9J3 (IR1, S3),
то всякий полу-Я-реализуемый чертеж является //-реализуемым.
Пусть у = f (х) : IR" -> IR" — некоторая биекция, такая, что
х = f~l (у) € SR (Н). Тогда уравнение
®i(x)s соНГ1 (£/)]== 0
является, очевидно, уравнением образа — f (L) чертежа L при
преобразовании f и при этом сох £ 5D? (Н). Таким образом, если Т —
группа биекций указанного вида, а Р {9i i (Я), Т} — множество
образов полу-Я-реализуемых чертежей, соответствующих преобра-
зованиям из Т, то для всякого Li G Р {3? 1 (Я), Г) можно написать
уравнение сох(х) = 0, со, (Я). Следовательно, Р (Я), Т} =
2
= У1 (Я). Тогда в соответствии с определением алгоритмической
полноты Я (см. § 6) приходим к следующей теореме.
Теорема 1. Если система Я = {Яо, ср,, i g I] такова, что мно-
жество 59J (Я) Я-реализуемых функций содержит какую-либо из
достаточно полных систем P-функций из Э1 (IR, S3), то она алгорит-
мически полная.
Следствие. Базисная система Я8 (1.1), состоящая из арифмети-
ческих операций, основных элементарных функций и констант,
является алгоритмически полной. Это обусловлено существованием
элементарных достаточно полных систем.
Нетрудно заметить, что элементы L, £ 9? i (Я) могут иметь лю-
Т
бую размерность от 0 до п. Так, если /2 = 0, а ст, s о, то т, ss 0
61
и из формулы (1.117) получаем уравнение области S = [ст (х) = 01
Ц(х) = 0 Д*ст(х) =0.	(1.121)
В частности, если Д* = Д^1, уравнение (1.121) имеет вид
/, (х) = [ст(х) — |ст(х)]|ст(х)|'п =0,	(1.122)
при этом /, £ С” (1R").
Уравнение элемента гиперповерхности f — 0, выделяемого об-
ластью <р > 0, согласно (1.118) можем представить в виде
со = V/2 \/*ф = 0.	(1.123)
Формула (1.123) неоднократно используется в гл. II при построении
структур решений краевых задач.
Замечание 1. Описанная выше методика построения уравнений
сложных чертежей позволяет в ряде случаев автоматизировать про-
цесс составления уравнений. Нетрудно видеть, что автоматизировать
необходимо лишь процесс построения предикатов, а переход к соот-
ветствующим уравнениям выполняется формально заменой символов
функций алгебры логики соответствующими символами /^-операций.
Вопросам автоматизации построения уравнений и связанным с ними
исследованиям по й-значной логике посвящены работы [47, 79].
Замечание 2. Если о«, ts, £ SK (77О), т. е. если L — полуалгеб-
раический чертеж, то, воспользовавшись /^-операциями Xi /\™ х2
х, V? х2 (1.33), получим кусочно-полиномиальное класса С”1 (IR")
уравнение со (х) = 0 чертежа L. При этом граница раздела областей,
в которых со (х) есть полином, будет формироваться автоматически
в процессе построения функции со (х). С прикладной точки зрения
представляет интерес создание алгоритмов, по которым можно было
бы находить «зоны полиномиальности» функции со (х).
Замечание 3. Пусть G — группа линейных изометрических пре-
образований координат в IR". Говорят, что чертеж L cz IR" обладает
симметрией, если существует такая система преобразований {/, =
= А(х + b(} с: G, не сводящаяся к тождественному преобразованию
I, что fi (L) = L, V i € Д> W К — непустое множество индексов.
Если со (х) = 0 — уравнение чертежа L, то очевидно, что со, (х) э
в со [ДГ1 (х — 6)] = 0 есть уравнение его образа /, (Z.) при преоб-
разовании ft. Однако из условия ft (L) = L еще не следует, что
со (х) а со, (х). Представляет интерес разработать такие методы
построения уравнений сложных чертежей, которые обеспечивали бы
также выполнение последнего условия при всех для которых
f( (L) = L. Частичное решение этого вопроса дано в работе [45].
§ 10. НОРМАЛЬНЫЕ И НОРМАЛИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ
Пусть L с IR" — произвольное замкнутое множество. Уравнение
f(x) = inf||x —	= 0	(1.124)
62
в § 6 было названо нормальным уравнением L. Функция f (х), кото-
рую будем называть нормальной функцией L, непрерывна в К",
но может иметь разрывы производных не только в точках L, но и
вне L. Так, например, в IR2 нормальная функция окружности имеет
разрывы производных в центре, а нормальная функция квадрата —
в точках диагоналей. На продолжениях сторон квадрата терпят
разрывы вторые производные нормальной функции.
Построение нормальных функций с использованием некоторой
базисной системы Н является, вообще говоря, довольно сложной
задачей. Исключение составляют чертежи, состоящие из дуг окруж-
ностей, отрезков прямых и некоторых других элементов [45]. Одна-
ко, если даже нормальная функция / (х) построена, она не может
быть непосредственно использована в ситуациях, где требуется ее
дифференцируемость.
Пусть х £ IR" — произвольная точка, x^L и {х‘} — множество
точек L, ближайших к х (т. е. || х — х‘|| = inf || х — у ||). Единич-
ные векторы vz = (х — х1) || х — xz J-1, отнесенные к точкам х1',
назовем нормалями к L, соответствующими х. Нормали, соответст-
вующие всем точкам Q с: IR”, составляют множество нормалей к L
по отношению к Q. Прямые, принадлежащие нормали к L, будем
называть нормальными прямыми. Точка L, которой соответствует
единственная нормальная прямая, называется регулярной точ-
кой L.
Введенное понятие нормали к L совпадает с обычным понятием
нормали, если L состоит из регулярных точек (т. е. является гладкой
линией в IR2, поверхностью в IR3 и т. д.). Для нормальной функции
f (х) чертежа L выполняются условия
ZWk-O,	=	... =0.	(1.125)
Первые п условий (1.125) есть условия нормализованности (1.83),
(1.84) уравнения со (х) = 0 до n-го порядка (см. § 6). Эти условия
означают, что вдоль нормали к L функция со ведет себя примерно
как расстояние р точек этой нормали от чертежа L. Действительно,
раскладывая функцию со в окрестности точки х° G L по направлению
нормали V, получаем
°W = P+-(4i)!
где 0< 0 < 1, v = (vx.......v„), р = ||х° — хИ.
Методика построения уравнений чертежей, описанная в § 8, 9,
позволяет обеспечить выполнение условия
да)
~dv

(1.127)
63
Действительно, если St- = [а,- (х) > 0] и -^-^0 на д2,{, гдеу,—
нормаль к д£г, то при использовании систем 7?-функций 3ta, 31 и
р
некоторых других, удовлетворяющих условиям теорем 4, 5 § 5 в тех
точках Ь, где одновременно со = 0 и стг = 0, согласно формуле
(1.44) получим
^_| ==±_^L ^=0.	(1.128)
dv |l dvi l'	v '
Если принять, что нормаль v направлена в область, где со > 0,
то условие (1.127) можно уточнить:	0-
Располагая уравнением сох = 0,	> 0, нетрудно построить
уравнение со (х) = 0 чертежа L, нормализованное до первого по-
рядка.
Теорема 1. Если сох (х) G Cm (IR") удовлетворяет условиям |t = 0
и £ > 0, то функция
_ 1
со ев сох [со? + I grad сох |2] 2 £ Cm~l (IR")	(1.129)
удовлетворяет условиям
®t = o,	(ызо)
во всех регулярных точках L.
Доказательство. Из условия cox/L = 0 следует, что на
L функция сохраняет постоянное значение, и тогда в силу условия
|д > 0 нормаль v имеет направление вектора grad сох. Следо-
вательно, v = gradcox -| gradcox I-1,	= | grad сох|. Дифферен-
цируя (1.129), получаем
0(0	__
0V L
_ 1 _ £
^-[ю? + |gradcox|2] 2 + сох[со2-|-|gradсохf2] 2
= -^rlgradcox|-1|L= 1.
Из доказательства теоремы 1 следует, что выражение в квадратных
скобках в (1.129) можно заменить любым другим, не обращающимся
в 0 выражением, совпадающим на L с | grad сох I-1. Это позволяет
применять следующую формулу:
со к | grad сох |-1 |г, сох.	(1.131)
64
Пример 1. Используя (1.131), получаем нормализованные урав-
нения границ для полупространства а0 4- £ а{Х( > 0 в 1R":
п
ао ___alxl _________Л
И Й ЧаИ ~ ’
(1.132)
где || а || = уа2 4--\-а2п. Это уравнение является нормализован-
п
ным до бесконечного порядка; для шара R2—	— «z)2>0 в
Г
(1.133)
(п	\ /	п	\
—Оо — S atx‘ 11 b0 4- J apt? ) > 0 между параллель-
i=i	/ \	i=i	/
ными гиперплоскостями в IR"
1	/ п \ /	п \
2\a0-b0\laS \а<> + g^Д6» + g= °’	'134)
где ||а|| = У а? 4- • • • + а2.
Пример 2. Для области S = (х2 — sin Xj > 0), ограниченной
синусоидой, нормализованное уравнение границы представим в
виде
52 = f ^-sinxx _ \ .
\У 1 4- COS2 хг	/
Заметим, что для функций со (х) сложного вида непосредственное
применение формул (1.129) или (1.131) сопряжено с трудностями
вычислительного характера. Поэтому рассмотрим другой, более
экономный, метод, опирающийся на теоремы 1—7 §5 и, в частности,
на их следствие — формулу (1.52).
Приведенные примеры показывают, что для таких простых облас-
тей, как полуплоскость, полоса, круг, слой и многих других, нор-
мализованные уравнения границ получаются путем введения прос-
тых нормировочных множителей.
Пусть имеется некоторая система областей {Sz = (oz > 0)},
уравнения о, = 0 границ которых нормализованы до первого по-
рядка:	= 1 на д?ч. Тогда при использовании систем /^-функций
Э1а, 3? и других, удовлетворяющих условиям теорем 4, 5 § 5, соглас-
р
но формуле (1.52) получим = 1 на 5Q, где v — нормаль к dQ,
направленная в область со >* 0. Таким образом, если уравнения
(х) = 0 опорных областей нормализованы до первого порядка,
3 9-23
6S
а уравнение co (x) = О сложной области О строится с помощью до-
статочно полных систем 7?-функций (1.26), (1.30) или (1.32), то оно
автоматически оказывается нормализованным (в регулярных точках
д£2) до первого порядка. Более того, если пользоваться системой
(1.30) при р > т + 1, то из нормализованности опорных неравенств
ст( (*) > Одо порядка т следуете силу теоремы 6 § 5 нормализован -
ность до порядка т и уравнения со (х) = 0. В частности, используя
нормальные уравнения сторон многоугольника и систему ^-функций
Xi Л х2, Xj V х2 (р > т + 1), по описанным в работах [45, 47] ал-
р	р
горитмам можем получить его уравнение, нормализованное до по-
рядка т. Аналогичным образом можно получать нормализованные
до заданного порядка уравнения многогранников.
Пример 3. Нормализованное уравнение границы области й
(см. рис. 5) получаем из (1.110) путем введения соответствующих
нормировочных множителей:
Ао ["2а”	*0 А о (*2 ^)] — 0.
Рассмотрим теперь вопрос о построении нормализованных до
первого порядка уравнений элементов границ.
Теорема 2. Если дй = (со = 0) — нормализованное до первого
порядка уравнение границы дй, a S = (ст >• 0) — некоторая об-
ласть, то
сог = ]A2V*a = 0,	(1.135)
о
где V* есть \/а (| а | < 1» а s const), \j (р ^-2) или V (т> 1),
р	т
является нормализованным до первого порядка уравнением элемента
дй, = дй П S.
Доказательство. Согласно (1.118) уравнение (1.135)
есть уравнение дй. Пусть для определенности V* = \/а. Тогда
при о > 0
со2 V а о s t	(®2 — ст + 'Кео4 + ст2 + 2асо2ст) sa
1
__	1 IKa „ I „ (1 t 2аш2а + о>4 \ 2
“а + ст^ +------
33 ГТа" а + ° [1 + ^7-------------------------h о (со2)]} s= со2 4- о (со2).
66
Следовательно, cOj е= ]/со2	о (со2) ss | со | + о (со). Поэтому
дю,	дв>	. Л/ .
-57-= sign СО + О (со).
Таким образом, учитывая, что со > 0 в области Q, получаем
Z dcoj \ I ___ дсо ____I дш ___।
\ dv / |ш=+о dv I dv *
что и требовалось доказать.
Если чертеж L есть объединение элементов L{ — (a>i (х) = 0),
а уравнения со< (х) = 0 нормализованы и со, (х) > 0 вне Lh то нор-
мализованное уравнение L может быть получено по формуле (1.119).
При использовании формулы (1.120) нормализованность будет,
вообще говоря, нарушена.
ГЛАВА 2
ПУЧКИ ФУНКЦИЙ
И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ПУЧКИ ФУНКЦИЙ С ФИКСИРОВАННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ
НА ЗАДАННЫХ ЧЕРТЕЖАХ
Заданный чертеж L можно описать бесчисленным множеством
различных уравнений. Если L = (со = 0), а Ф — знакопостоянная
ограниченная функция, то L = (®Ф = 0). Формулу
ы = (1)ф,	(2.1)
где Ф : IR" -> lRm—элемент некоторого множества 3R, например
множества непрерывных ограниченных функций, можно рассматри-
вать как формулу пучка функций, равных нулю на L. Обозначим
такой пучок L (со, 3R). Функцию Ф £ 3)1 назовем неопределенной
компонентой пучка. Чем шире множество 3R, тем шире пучок и =
«= <вФ. В дальнейшем предполагается, что 3R — некоторое линейное
пространство (Cfe, 77s, ЗК (77О),...). Тогда пучок (2.1) также являет-
ся линейным пространством.
Пусть ЗЙ0 — некоторое множество функций, равных нулю на L.
Важным является вопрос: какой должна быть функция со, чтобы
условие L (со, ЗЯ) о 3R0 выполнялось для возможно более узкого
множества 3R? То, что широта пучка L (со, 3J?) существенно зависит
от выбора функции и, можно показать на примере. Пусть L — ок-
ружность в 1R2, которой соответствуют два различных уравнения:
э R2 — х? — xl = 0 и (02 sa (У?2 — ж? — х!)2 = 0.
Предположим, что Зй = 3R (77О) — множество целых рациональ-
ных функций, 3)?! = ЗК0 П 3R (77О) — множество целых рациональ-
ных функций, равных нулю на L. Тогда L (®1( 3R) id 33?1( но
L (со2, Ф Действительно, (7?2 — х\ — xl) £ Зйь но не су-
ществует полинома Ф такого, что (R2 — х? — xl)2 Ф ss R2 — xf —xf.
В общем случае сформулированный выше вопрос является весьма
сложным, так как его решение существенно зависит также от геомет-
рии чертежа L. В дальнейшем он рассматривается с более общих
позиций, в связи с задачей об аппроксимационных возможностях
использования пучков. Такие задачи довольно часто возникают в
математической физике. Например, в задаче о чистом кручении
стержня с поперечным сечением Q необходимо найти решение урав-
68
нения Д« + 2 = 0в£2с краевым условием и = 0 на Эй. В задаче
о защемленной по контуру д£2 тонкой пластинке, подверженной по-
перечному давлению q, необходимо найти решение уравнения Софи
Жермен D&&u=q в Q(D — цилиндрическая жесткость пластинки)
при краевых условиях на д£2 и — 0 и = 0. Таким образом, ре-
шения этих двух задач принадлежат некоторым пучкам функций,
равных нулю на дй. Здесь возникают следующие вопросы: а) каковы
должны быть эти пучки, чтобы в них содержались решения назван-
ных задач или, по крайней мере, достаточно хорошие их приближе-
ния? б) как конструктивно задать эти пучки? в) как выбирать неопре-
деленные компоненты пучков, чтобы получать или аппроксимиро-
вать искомые решения?
В работе И. Ю. Харрик [77], например, рассматривается задача
об оценке порядка приближения в области £2 с: lRn функции и (х),
обращающейся на ее границе в нуль вместе со своими частными про-
изводными до (г — 1)-го порядка включительно, функциями вида
©г (х) Р) (х), где Pj (х), / = 1,	— последовательность поли-
номов степени не выше N относительно каждого из аргументов X/.
При этом предполагается, чтод£2 есть С°°-многообразие; © (х) С
G Ck (IRn) и, кроме того, © > 0 при х £ £2, о =0 на д£2, со (х) < 0
вне £2; grad со =£ 0 на д£2, а производные от © порядка k удовлетво-
ряют условию Липшица (Lip^l). Для оценки получена формула
I 1 'l
р = 0, 1, .... k, (2.2)
где © (и, е)с*(й), 8 > 0,— модуль непрерывности функции и в
пространстве Ск (£2) [78]. В работе [89] показано, как можно исполь-
зовать функции вида ©г Ф в качестве координатных, полагая Ф
многомерным полиномом или сплайном, и приведены оценки прибли-
женного решения краевой задачи при использовании вариационных
методов Ритца — Галеркина.
Аналогичные задачи возникают и в других ситуациях, когда
условие «равняться нулю на чертеже L» заменяется другими усло-
виями более сложного вида. В частности, в настоящем параграфе
рассмотрена задача о построении пучка функций, принимающих
в точках данного чертежа значения, определяемые некоторой функ-
цией <р0: IR" -> nV". При этом функция <р0 может, вообще говоря,
и не быть определенной везде вне L. Пучок же функций, совпадаю-
щих на L с функцией <р0» должен быть определен везде в IR" или в не-
которой интересующей нас области £2 с: IR".
Вопросы продолжения функций через границу области с раз-
личной степенью гладкости рассматривались в работах [5, 15, 41,
87, 92 и др.]. В данной работе речь идет об эффективной конструк-
тивной реализации такого продолжения в рамках множества SR (Н)
69
//-реализуемых функций, где Н — алгоритмически полная система,
включающая все арифметические операции (см. § 6).
Предположим вначале, что чертеж L можно разбить на элементы
Llt ..., Lm, на каждом из которых функция <р0 может быть задана
формулой
Фо к, = ф; к,, i = 1> • • • , гп,	(2.3)
где ф£ — //-реализуемые функции, определенные везде в й. Неко-
торые точки элемента L, могут одновременно быть точками и неко-
торых других элементов L. Эти точки будем называть концевыми
точками Пусть L° = (J Llt i = 1, ..., k — 1, k 4- 1......tn, a
о® (x) = 0 — уравнение L* и <в° (x) > 0 вне L°- Уравнения co” (x) =
= 0, co° (x) £ 50? (//), могут быть построены с помощью /^-функций
методами, описанными в предыдущих параграфах. Тогда функция
(2.4)
_ <Р1<0?+ ••• + фХ,
<»?+•••+ »„
имеет смысл везде в Q, за исключением, быть может, концевых точек
элементов Lt, i — 1, ..., т, и удовлетворяет условию ф/£ = ф0.
Очевидно, что все другие функции, принимающие на L значения
Фо, отличаются от ф на функцию, равную нулю на L. Поэтому для
пучка функций, удовлетворяющих условиям (2.3), получаем формулу
* = <₽,.;+ ... +Фх +юф, (25)
W] + ... + (От
где оз = 0 — уравнение L, а Ф — неопределенная компонента пуч-
ка из множества ограниченных функций.
Иногда «склеивающую» функцию ф удобно строить в виде
= Ф1Т1+ ••• +фтТт	(2.6)
где тг = ©г1, Lt = («>, = 0), <в£ > 0 вне L,. В этом случае при
приближении к элементу L, функция т, ->- оо и предельные значе-
ния ф совпадают со значениями фг. Если дополнительно обеспечить
нормализованность функций <в£ (см. § 10 гл. 1) на L; и, кроме того,
выполнение условия <о£, фг С CN (й), где N — достаточно большое
число, то можно воспользоваться формулой
Ф,Т?‘ +	+ фт4'п	7.
Ф = —7------------k---.	(2.7)
*1’+ ••• +Tmm
дополнительно обеспечивающей выполнение условий
Л'ф|£< = Э'фг|£(,	/=1,	(2.8)
для регулярных точек Ц, в которых определено направление нор-
мали V. Из этих формул, в частности, следует, что если на^ функ-
70
ция ф£ удовлетворяет некоторому условию вида
Ft (х, <р(, D^i, , Dkm_t<p{) |L/ = 0,	(2.9)
где F — непрерывная функция, то этому же условию на L£ удовле-
творяет и функция ф (2.7).
Описанный метод построения функции ф, принимающей на эле-
ментах Ц чертежа L заданные значения ф£ Ё (П), назовем склеи-
ванием граничных значений.
Пример 1. Пусть L = (fla — х? — х2 = 0) — окружность в IR2;
Llt Lz — соответственно левая и правая полуокружности; ф1 =
= е*л, ф2 = хх 4- х2. Согласно (1.117) уравнения Lx и Ь2 можем
представить в виде
= (R2 — xf — х2) Vo •*! = 0»
®2. (7?а- xf -xf) Vo(- хг) = 0.
Тогда, воспользовавшись формулой (2.4), для пучка функций,
принимающих значения и = ф£ на Llt i = 1, 2, получаем выра-
жение
_ (*i + xt) [(R2 — xf—xf) VqxJ + е*<*« [(R2 — xf — xf) у0 (— *i)l ,
(Я2 — xf — x|) Vo*i + (Я2 — *f — Vo (—*i)
4-(fla-xf-xf)C>.
Выше предполагалось, что заданные функции ф£ g SR (И) опре-
делены везде в рассматриваемой области Q. Определенные трудности
при построении склеивающей функции ф могут возникнуть в том
случае, когда среди функций ф£ есть такие, которые в Q имеют раз-
рывы или не везде определены. В этом случае можно воспользовать-
ся следующей методикой.
Если формула <р£ имеет вид ф£ = ф£ (1£, х), где Х£ — некоторая
положительная на Lt функция, но в тех точках вне L£, где Х£ < 0,
функция ф( не определена, то при построении склеивающей функции ф
ее можно заменить функцией ф£ = ф£ (Ио? 4- ^f, х). Если Х£ — не-
отрицательная функция, то можно также взять ф* = ф£ (со + Х£, х),
где L = (о) = 0), со > 0.
Пример 2. Пусть в предыдущем примере фх = (xf 4- х2)—*, ф2 =
= Ихх. Таким образом, функция фх не определена в точке (0, 0)>
а Ф2 — в полуплоскости хх < 0. Положим фГ = [(xf 4~ xf) 4- R2 —
— xf — xf] = R2, ф2 = /xf 4- fl2 — xf — xl — y/'R2 — xf. Тогда для
пучка функций, принимающих на Lx значения (xf 4- х2)-1, а на
L2 — значения Иxlt получим формулу
fl2 [(Я2 — xf — xf) Voxil 4- |/fl2 — xf [(fl2 — xf — xf) Vo (— *i)l
(fl2 — xf — xf) Vo xi 4- (fl2 — xf — xf) Vo (— *i)
4-(fl2 — xf — х2)Ф.
71
Оператор склеивания значений <рг, определяемый какой-либо из
приведенных выше формул, будем в дальнейшем обозначать ЕС :
: ЕСф, = ф.
Условия вида «|аа = ф часто встречаются в краевых задачах
математической физики и известны как условия первого рода или
условия Дирихле.
$ 2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ВНУТРЬ ОБЛАСТИ
1. Пусть граница дй области й с: IR" есть кусочно-дифференци-
руемое многообразие (чертеж) размерности п — 1; v = v (х°) —
внутренняя нормаль к дй в регулярной точке х° С дй: Тх° — каса-
тельное к дй в точке х° пространство с базисом {т‘}, i = 1, ..., п— 1.
Преположим, что® (х) = О — нормализованное до первого порядка
уравнение дй, причем ® (х) G W (Н). В предыдущей главе было
показано, что такая функция может быть построена для практиче-
ски произвольных областей в классе //-реализуемых (в частности,
элементарных) функций при весьма общих предположениях относи-
тельно базисной системы Н, достаточно лишь, чтобы она была алго-
ритмически полной (см. § 10 гл. 1).
Из нормализованности уравнения to (х) = 0 следует, что
<2|о)
где V — D1 =	. • • • . "gT-) • Кроме того, для каждого из
касательных векторов т‘ выполняется условие
(V®, х1) = (v, т‘) = 0, Z = 1, .... п — 1.	(2.11)
Пусть Г = (/], ..., /„)—заданный в точках дй вектор, где
Z/ = /,(х) £&?(//). Обозначим. l'o = ECZ' = (EC/J, ..., ECZ„), где ЕС —
введенный в предыдущем параграфе оператор продолжения гранич-
ных значений, определяемый одной из формул (2.6) или (2.7). Тогда
вектор Z = Zo [ Ц Z' Р + ®21 2 коллинеарен вектору Zo во всех
точках области й, а на дй является единичным. Слагаемое ®2 вне-
сено в квадратные скобки [ Ц Г Р + ®2], чтобы устранить особен-
ность, которая может возникнуть в точках, где || Zo || = 0. Если
II Zo || #= 0 в й, то можно положить Z = Zo || Г ||~1  Заметим, что век-
тора v и т£ могут рассматриваться как частный случай вектора Z,
единичного на дй и имеющего соответствующее направление. Учи-
тывая, что т-я производная по направлению Z' в точках дй опреде-
ляется формулой
XJ\mf  [ ]' д ।	। j д \ х
(д1')т ~	~ \ 1 dxt + п п дхп ) ?'
72
приходим к выводу, что функция
+ ... +1п-^тг,ПСт, (2.12)
определенная везде в Q (J 3Q, на 3Q превращается в производную
по направлению Г:
Dlmf\da =	(2.13)
Введя обозначение Dm — Dm, для вектора I — v = \7со получим
Dmf = (Wff = (	+ ... + -j”.-/—Г/ =
™	'	' '	\ охх дхх	1 дхп дхп / 1
где суммирование распространяется на все возможные наборы а ==
•= (ах....а„) неотрицательных целых чисел, для которых | а | =
« а, + ... 4- ап = т, а! = ах! ... а„!.
Выражение, стоящее в правой части формулы (2.12), можно по-
лучить формально из выражения для m-го дифференциала
dmf (х) = dm [/ (хх...хп), dxlt .... dx„] =
I i д .	, i д \т£
“ Г*1 “ЭхГ +	+ dXn ~дх^ I f
путем замены в последнем dxi на lit i «= 1, ..., п, т. е.
Pm/ = dmlf(x),/x, ... , и.	(2.15)
Как известно, для дифференциала произведения uv справедлива
формула Лейбница
dm (uv) = S Clmdm~,ud’v.
Произведя в этой формуле замену dxt на /z, получим формулу
Dm (UV) ~ S C’mD^-fUD'iV,	(2.16)
I	/=0
где Dof =s / по определению.
Замечание 1. Следует иметь в виду, что в общем случае
D, (Dzf)^(Wf ~Dl+lf.
В дальнейшем используются также формулы
d!F(«, v)=^.d\u + ^-D\v-,
D‘2F (и, v) = ^r (D[uy + 2-^-D\uD\v +	(2.17)
. d2F /nz 42 । r\l । dF n/
+	+ ~diF D*U + ~diF Di°‘
Перечислим некоторые свойства оператора
D1Xi = -g-, DkXl sO, k > 2;	(2.18)
(D^j) = 2£>2<о;	(2.19)
-Ji-Dl«,-20,(4;-);	<2-21)
Dk ( ss Dka> — k У. Dft_i (;	(2.22)
* \ dxi / dxt k	dXidxj R 1 \ dxj / ' v '
D^D^Db+if + 2
|a|«*
dkf
dxf' ., . dx&n
/=1
Л	\ in
хП -Щ-ГШ 	(2-23)
J=1
Для / = V введем обозначение = 7^, i = 1, ...» n — 1. Для
касательных векторов tz = (ti, .... т1п) имеем следующие 2 (n — 1)
условия:
/	do f .	, do i .
<v’T)=-^rT1+ •••	=
(T{)2 + ... + (<)2 = j.
В частности, при n = 2
да I . да I Л 2 , 2	,
~дГ~ L Т1 + ~дГ L т2 ’°’ т> + Т2 = L
uXj |oQ	иХ% |oQ
(2.24)
Решая эту систему, получаем
Нетрудно убедиться, что левому обходу области Q в этих формулах
соответствует верхний знак. Таким образом, вектор
да . , да .
т------dxTtl+ dxt /2’
определенный везде в lRa, на границе области превращается в
касательный вектор т «= (тх, т2). Обозначив Т^л =» Т^, в этом слу-
чае получим
у f ____ vi /___ 1)'П~*С*
(2.25)
74
Заметим, что согласно (2.13)
(2.26)
Отметим также, что = 0.
Используя операторы Dm и Тт, можно продолжать внутрь об-
ласти и смешанные производные, например:
=	— Г। дм д	, д<о	д ) .,
dvdx ~ Wl'vI |№— дХ1 дХг + дХг дХа J X
да д8/
dxf +
 17 дю \2	. / да \21	д2/ да	да	д2/ ) I
[\ dxi / дхг / J	дхгдха	*" dxj	дха
до д(д d2f
9xi ^х» dx2,
d2f	да
dxjdx2	dxj
да
дхг
daf )
дх| ]
до
Легко заметить, что если к равным частям формул (2.12), (2.14)
и (2.25) прибавить <оФ, где Ф £ С (й), то граничные свойства опера-
торов Dm, Dm, Тт сохранятся. Произвол в выборе Ф иногда можно
использовать для учета особенностей решений краевых задач. Это
обстоятельство было применено, например, при решении одного
класса смешанных (контактных) задач теории упругости [49].
Замечание 2. Иногда в краевые условия входят производные
по дуге s граничной кривой дй. От этих производных также можно
перейти к производным по касательной и нормали. В частности,
df ... df
d s	dr ’
d2/	d2/	1	df
ds2	di2	p dv ’
где p — радиус кривизны дй.
Замечание 3. В пространстве IR.”, п > 3, 2 (п — 1), условия
(2.24) связывают п2 — п величин т/, / = 1, ..., n, i — 1,..., п — 1,
и в 7¥ имеется бесчисленное множество систем линейно незави-
симых векторов
где Як > 0. Тогда
да . . ,
~Clk~dxT’
п
r=l
rsfrk
('• - <*»• ’*> - -< i тй- i - °
/=1	r=l
7S
и, следовательно, вектор т* ортогонален v. Потребуем, чтобы Ц xk || = 1
на dQ:
Замечание 4. С помощью операторов Dm можно осуществлять
нормализацию до заданного порядка уравнения ©х = 0, нормализо-
ванного до первого порядка. Алгортм этой нормализации, приведен-
ный в работе [50], представлен рекуррентными соотношениями
© = ©ft_i---k =2, ... , п. (2.28)
Пример. Уравнение э (1 — х2 — х2) = 0 является нор-
мализованным до первого порядка. Так как s — х2 — х2, то
©2 = 4-(1-*i-x2) + -2Т4-(1 -x?-x22)2(x? + x22) =
- Г4 (1 ~ xi - xb [4 + (1 - x? - xl) (x? + x22)] = 0
— нормализованное до второго порядка уравнение окружности.
2. Вместо введенных выше операторов Dlm (в частности, Dm и
Тт) можно применять операторы разностного вида, превращающие-
ся на dQ в производные по соответствующим направлениям. При
численной реализации такой подход может оказаться более устой-
чивым по отношению к неизбежным погрешностям вычислений или
возмущениям функции f внутри области Q.
Пусть Д © £ С”4-1 (Q U дй) и, как и ранее, © = 0 — нормали-
зованное до первого порядка уравнение дй. Введем обозначения:
Х+ = (хь ...» Х{_1, х; +	® (*)> Хг+Ь • • • ’ Хл) :
х1- = (хъ ..., Xi-i, xt — -i-©(х), Xi-I-1, ...» Хл);
= - ю (х'н.) + © (х£_); h = (hlt ... , hn)-, I = (lt.ZJ; (2.29)
Qif(x) = /(x + /Z);
(x) = f (x+i/1+jpy, m = Q*.
76
Пользуясь формулой конечных разностей, получаем
(Qz - l)ft/ (х) = (V, l)k f (х) + (V,	(х, /),	(2.30)
где ¥ (х, I) £ С (й U дй) — некоторая функция (остаточный член).
Пусть I = © (х)Г, F — (ft.............In) и || Г || = 1 на дй. Тогда
из (2.30) находим
(Qz - 1)7 (х) = (Qwz» - 1)7 (х) = (X) (V, r?f(x) + О [®‘+1 (х)],
или согласно (2.12)
(Q«r - 1)* f (х) = &k (х) Dlkf (x) + О [©*+' (x)].	(2.31)
®	dkf
Тогда, учитывая, что Dlkf(x) |ao =	. получаем
lira [®-* (x) (QaZ« - l)ft f (x)] |aQ =	.
цх-i/iM	dlR
Полагая, в частности, ®/° = h = (Ях, ..., hn) и учитывая, что
h = — ©v® 4- О (®2), II V® II = 1 на дй, из формулы (2.31) на-
ходим
(Qft - Vff (х) = (- 1/ о* (х) Dkf (x) + О [©»+• (х)].	(2.32)
Например, если f (х) £ С2 (IR2), то
(Oft — 1) / (х) = f (х + h) — f (х) = f [Xi — ® (xx 4- 4~ ® (xx, x2), x2) +
+ ® (xx--------------------------Y (xx, x2), x2);
— f (Xi, x2) = — ® (xx, x2) Dif (xx, x2) + О [®2 (xx, x2)J;	(2.33)
(Qft - 1 )2 f (x) = f (x 4- 2h) -2f(x + h)+f (x) ~
•= f [xx — 2® (xx 4- -~-® (xx, x2), x2) 4- 2® (xx —i- ® (xx, x2), x2
x2 — 2® (xx, x2 4- -y ® (xi> XJ) + 2(0 (X1> X2----g- <° (xi. ха))] —
— 2/ [xi — ® (xx 4- 4" ® (Xl> xa)> xa) 4- ® (xx —® (xx, X2), X2) J
x2 — ® (xj, x2 4- 4" ® (Xx, Xa)) 4- ® (xx, x2----® (xx, Xa))] 4-
4- f (xx, x2) = ®2 (xX) x2) Da f (xx, x2) 4- О [®3 (xx, x2)J.
Аналогичные формулы можно получить и для операторов Tk.
В случае, если f (х): IR2 ->• IR, достаточно вместо h взять I — (1Ъ /2),
где /х = — ® (Х1, х2 4- 4- о (хх, х2)) 4- ® (хх, х2 —® (хХ) х2)); Z2 =
77
= <0 [х± Ч g- ® (Хх, Х2), Х21	® уХх 2 (Хх» Х2), X2j • Например;
(Q/ — 1) f (х) = f (х + О —• f (х) = f — ® ^х1> х2 + 4~ ® (Хх, хг)) +
+ со (хх, х2--со (х1( х2) ;
Х2 4* <0 ^Хх 4—j" ® (Хх> xi)< X2j —
— со (xi------g- со (хх, х2), х2) j — f (хх, х2) = со (хх, х2) ТJ (хъ х2) +
+ О [со2 (хх, х2)];	(2.34)
«2/ - I)2 f (х) = f (х + 21) - 2f (x +1) + f (x) =
= f [xx — 2co (xx, x2 4- -^-co (xx, x2)j + 2co ^xx, x2--------co (xx, x2)J;
x2 4- 2co (xx 4- -j- co (xx, x2), x2j — 2co {xt------co (xx, x2), x2jj —
+ f (xx, x2) = co2 (x1( x2) T2f (Xi, x2) 4- 0 [co2 (x1( x2)].
При построении соответствующих формул для операторов (DkTm)
следует руководствоваться формулой
[((?/. - 1)* (Qi - l)ml f (X) = (- 1 )feco*+- (X) (DkTm) f (x) 4-
4-	0 [(o^+M-i (x)].	(2.35)
$ 3. МЕТОД НОРМАЛИЗАНТ И РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОГО ЧЕРТЕЖА
1. Ниже описана процедура, которая всякой функции f £ Cm (R")
ставит в соответствие такую функцию f* £ С* (IR"), которая на гра-
нице Зй совпадает с f и имеет нулевые нормальные производные до
порядка т. В этой процедуре будет участвовать функция со, входя-
щая в аналитическое описание границы ЗЙ = (со = 0). При этом,
если f, со £	(Я), где Н « {хх 4- х2, XiX2, a Va£ К1, Фх, фг, •••},
и множество 9R (Я) является инвариантным относительно операции
дифференцирования, то также и /* g (Я).
Определение. Функция /* (х) к f (х — covco) называется нор-
мализантой функции f (х) по функции со (х).
78
Теорема 1. Если f, ю g С1 (Q U dQ), 3Q — С1-многообразие и
и (х) удовлетворяет условиям
_ 1 дг°>
I Л.
® pa = °> -57-
dO
d3(i)
&V3
дй
т =0.
37" дй
(2.36)
л
то нормализанта f*(x) функции f(x)no функции © (х) удовлетворяет
условиям
Akf*
/*(х)|дй = /(х)|дя; ^гда = о.
£ = 1,2, .... т. (2.37)
Доказательство. Так как Т>2® |ди =, то в силу ус-
ловий (2.36)
D2a |до “ 0.
Воспользовавшись формулой (2.19), получаем
ZW = ^-(D.©) •	+ • • • +	(D&) •	- 0.
(2.38)
Пусть xk, k — 1, ..., п — 1,— базис в касательном к dQ прост-
ранстве Т©. В этом случае выполняется условие
Так как Dj© |дя —
да)	да)	да)
дхг	дх2	дхп
т!	•V2	1 • •
Tl"-1	Тг’* .	т”-1
2
(2.39)
п 
2(_cto|
dxj
поверхностью уровня функции
довательно,
=	= 1, то dQ является гипер-
dQ
д
Тогда —f Dito [ао = 0, а сле-
дх
.Di Dx© |dQ = 0,
или, что то же,
i = 1, п — 1,
п
2 Фх®) т/ |ав = 0,	(- 1.........п - 1.	(2.40)
Присоединив к (2.40) уравнение (2.38), получим систему п ал-
гебраических уравнений относительно	1,л,решение
С/Ху
79
которой согласно условию (2.39) является нулевым, т.
-^-£>1®|дя = 0,	/=1,
Согласно (2.21) и (2.41) получаем
Из условий (2.36) следует, что
|^q = 0, k — 2, 3, . • • , ft “j— 1.
е.
(2.41)
(2.42)
(2.44)
п
dk<i>
(2.43)
Следовательно, дй является гиперповерхностью уровня для функ-
ций Dka, k = 2,3, .... п + 1. Поэтому
С другой стороны, если подставить в (2.23) вместо f функцию <о, то
получим
D^Pk® = £>*+ici) + V	а
№ дх^ ... дхпп
n t	,
X
е
На дй с учетом (2.42) и (2.43) получаем
п
Ърк<л = 2 4- (ВД • -тЧ =0.
1	дх;х R ' дх • дй ’
/=1 ' / ‘
Из условия (2.39) следует, что система (2.44), (2.45) имеет нулевое
решение:
k = 2, 3, ... , п. (2.45)
(Dk<s>) |ая = 0.
(2-46)
Воспользовавшись формулами (2.22), с учетом (2.42) и (2.46) после-
довательно находим
=°> = 1.................п- <2-47>
\ uxi / |дй
у—г	(9(0 гр
Пусть щ = Xi — со-^- • Тогда
п n I д® \	да) г, п / дсо \
DiU; = £Л Xi — СО -ч— = -Ч-------Ч— DiCO — COL/j -3— .
1 \ 1 dXi ) dxt dXi 1	1 \ dXi /
Так как на dQ co = 0, DjG> — 1, to
|йя — 0.	(2.48)
Учитывая, что Dkxt s 0 при k > 2, получаем
D^ = -P4((o-g-)=	(2.49)
80
На основании формул (2.43), (2.47) и (2.48)
Р*(««)1ао = 0, й = 1........га.	(2.50)
Применим операторы Dlt Dz, ... к нормализанте /* (х) = f (и),
и = («1....ия) и учтем формулы (2.48), тогда
Dkf* (х) ba = 0, k = 1, .... n.	(2.51)
Отсюда следует выполнение условий (2.37), что и требовалось до-
казать.
Таким образом, нормализанта /* (х) функции f (х) по функции
® (х) достаточно малой окрестности д£1 ведет себя вдоль нормали
почти как константа, а вдоль дй совпадает с/(х). В одномерном слу-
чае, если написать уравнение точки х0 в виде со (х) и х — х0 = 0,
для нормализанты /*(х) получаем f*(x) = fix — (х — х0)] = f (х0).
2. Рассмотрим задачу о разложении функции f (х) £ Cm+1 (й)
в окрестности границы дй, предполагая, что последняя описывается
нормализованным до (т + 1)-го порядка уравнением со — 0, со £
$ SR (Я), где, как и в начале параграфа, Н — алгоритмически пол-
ная и инвариантная относительно операции дифференцирования
система.
Предположим, что па дй известны значения функции f (х) и ее
нормальных производных до /n-го порядка:
f(x)\da=foi(x),
-7Т"	= Д' k=\, ... , tn,
<hr да
где fn (x) — известные на дй функции. Применяя к fa (х) оператор
продолжения ЕС, описанный в § 1, и обозначая ЕС/ц (х) = ft (х),
I = 0, 1, ..., т, ft (х) С ЯЛ (Я), формулы (2.52) можем заменить
формулами
=	(2.53)
где ~d^=fпри k = Q-
Теорема 2. Если f{ (х), со (х) £ Cm+i (й (J дй) и со (х) удовлетво-
ряет условиям (2,36) до (т + 1)-го порядка, то функция
tn
Рт (х) = f*0 (х) + 2 4- fl (X) (х),	(2.54)
где f* (х) — нормализанты fj (х) по функции со (х), удовлетворяет
условиям
Pm(x)\da = fc(x)\da,	(2.55)
= ft Щ |до, k = 1, ... , т, (2.56)
dkPmW
81
Доказательство. Справедливость формулы (2.55) оче-
видна. Покажем, что выполняются условия (2.56). Применим к
Рт (х) оператор Dk:
DkPm (х) = Dkf0 (х) + 2 Т D* & W <*' Ml- <2-57)
Согласно формуле Лейбница (2.16)
Dk (fX) - S Cfak-i (f*,) Dt (o').	(2.58)
i=0
В силу (2.51)
, f 0 при k — i.=£ j,
°-<и = и„рИ*-.'Д	(259)
( 0 при i =£ j,
<2-6°>
Следовательно,
, ,	(0 При k =f= i
Dk (fjd,’) |№ =	5	/	.	(2.61)
BU' ,|U“	( k\ fk При k —	’
Поэтому
DkPm (x) |за = fk |aa = fk|aa.	(2.62)
Учитывая формулу (2.13), приходим к условиям (2.56). Теорема до-
казана.
Формула (2.54) является аналогом полинома Тейлора, совпадаю-
щего в заданной точке с функцией f и ее производными до некоторого
порядка. Однако здесь Рт (х), вообще говоря, не является поли-
номом, а имеет вид некоторой //-реализуемой функции (например,
элементарной). Обычный полином Тейлора для одномерного случая
получается из (2.54), если положить ю (х) = х — х0.
Теорема 3. При выполнении условий теоремы 1 имеет место фор-
мула
f (х) = Рт(х) + О (ат+{).	(2.63)
Доказательство. Рассмотрим поведение некоторой функ-
ции F (х) G Ст+‘ (Q J 3Q) вдоль нормали к дй в точке х° £ <90.
Учитывая, что -^-|№ = 1, и вводя обозначение qt (х°) ==	>
легко получить формулу
х = х° + р (х) q (х°), р (х) = || х — х° |,
где q (х°) = V® (х°) = (qx (х°), ... , qn (х0)). Тогда
F (х) = F [х° + р (х) q (х0)] = F (х°) + 2 4" Р* (*) +
+ (т4~1)" dm+lF (Х° +	0 < 6 < b <2 64>
82
в частности, если F (х) =	(х), то с учетом формул (2.51) полу-
чаем
f'k (х) -= f (х°) + О (рт+'),	6 = 0, 1, ... , т. (2.65)
Тогда
т
Ш = /(х°) + 2^(*°)Р* + 0(Р'п+1).	(2.66)
*=1
Отсюда согласно (2.65) находим
т
f (х)=/* (х) + 2 w+0 (pm+1)] i® w+0	+°(p'n+1)’
или
m
f (x)=/* (x)+2 4 & w w +0 <pm+1)=w+0 (pm+1)-
k=l R
(2.67)
Формулу (2.67) будем называть обобщенной формулой Тейлора
[31]. При выводе этой формулы предполагалось, что дй является
^-дифференцируемым многообразием. Разложению функций в
окрестности дифференцируемых многообразий посвящены работы
[36, 85, 86], в которых конструктивная реализация имеет иной
характер: значения функций на дй получаются в результате раскры-
тия неопределенностей вида р* (х) Ik (х) при р -> 0, где р (х) — крат-
чайшее расстояние от точки х до дй, а Ц (х) — некоторые расходя-
щиеся при х -> ха G дй интегралы. Такое решение вопроса не явля-
ется конструктивным в смысле, определенном в § 1 гл. 1, так как
не содержит ответа на вопросы, с помощью какой базисной системы
операций Н и каким образом можно получить формулы для р (х)
и для коэффициентов разложения.
§ 4. ПУЧКИ ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
И СМЕШАННЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЯМ
В прикладной математике часто встречаются задачи, в которых
необходимо рассматривать функции (вектор-функции, тензоры
ит. п.), удовлетворяющие в точках некоторого чертежа условиям,
имеющим дифференциальный характер. Так, например, в задачах
теплопроводности краевое условие = q%~1 возникает тогда,
когда на границе дй тела задан тепловой поток q (х) (здесь 1 —
коэффициент теплопроводности среды). Это условие носит название
условия второго рода или условия Неймана. В частности, когда
9 э 0, краевое условие 37^ = 0 принято называть условием
теплоизоляции. Волее общее условие третьего рода или условие
83
конвективного теплообмена с окружающей средой имеет вид
-37-	+ м |ап = ф,	(2.68)
где h — — аХ-1, ф = — аЛ-1и0> « — коэффициент теплоотдачи,
и0 — температура окружающей среды. Встречаются и нелинейные
краевые условия дифференциального вида. Таким условием, напри-
мер, является условие Стефана — Больцмана
’тг » =	<2-69>
где о — постоянная Стефана — Больцмана, е — степень черноты
граничной поверхности, характеризующая ее излучательную спо-
собность, ы0 — абсолютная температура окружающей среды [46].
В некоторых условиях функция и удовлетворяет двум или большему
числу краевых условий на одной и той же границе dQ. Так, напри-
мер, в задаче о поперечном изгибе пластины встречаются следующие
типы краевых условий [37]:
а)	условия жесткого защемления по границе
(27о)
б)	условия свободного опирания
»1~-о, (-^ + v.-??-)|sa = 0;	(2.71)
в)	условия на свободном крае
/ д2ю ,	д2оу 1 | а	/п
\ dv2 + V° dx* j U “ °’	(2>72)
( д *	. zt \Г д3а> д ( 1 dw \1]| n
( dv 1 '	0/ [ dvdx* dx \ p dv jJJ pa
где p — радиус кривизны dQ, a v0 — коэффициент Пуассона.
При расчете оболочек встречаются краевые условия более высо-
ких порядков.
Весьма широкий класс задач составляют так называемые сме-
шанные краевые задачи, в которых на различных участках границы
заданы различные типы краевых условий. Имеется и ряд других,
более сложных, типов краевых условий (например, для систем урав-
нений, в задачах с неизвестной границей, интегро-дифференциальные
условия и т. д.).
Краевые задачи для уравнений с частными производными, свя-
занные с расчетом различного рода физико-механических полей,
являются не единственным, хотя, пожалуй, и наиболее обширным
классом задач, в которых необходимо учитывать информацию функ-
ционального или дифференциального характера на некоторых чер-
тежах. Такого же рода задачи встречаются, например, при построе-
нии интерполяционных формул, аналогичных известной формуле
«4
Эрмита, в которых информация о функции и ее производных задает-
ся не в отдельных точках, а на некоторых линиях или поверхностях
[76]. Такая информация может явиться следствием обработки экс-
периментальных данных в задачах, связанных с совместной перера-
боткой сложной аналитической и геометрической информации.
1. Рассмотрим вначале случай, когда на 32 выполняется крае-
вое условие
dku । V1	_________।
dvk	... (dxn—1)Vn—1
(alvin	\
x, -------------Tv~Г)= °’	(2.73)
где v = (v2, .... vn) — внутренняя нормаль к 32; т/ е= (?,...
♦••> т„), i = 1, •••> п— 1.— базис в касательном к 32 в точке х
пространстве Тх a: IR", а® = а° (х) £ С1 (32), F& С1. Учитывая, что
/ д .	. д
—r«(v,V)*u^V1—...	u;
—---- ...^	= (v, V)v. (т\ V)v« ...	V)v«->« =
5vv«(дт1)71 . . . (dx"-1/ 1
= Ь’А' + " +',"‘эУ (T'"sr+  +т’*гН
••• k’^-+•••<2-74>
условие (2.73) приводим к виду
S b°aDau + Л (х, и, Dau) |3Q = 0,	(2.75)
(tf а, | а | < k)
где а = (аь .... a„), Dau =-———, ba =	(х) £ С (32).
дх^‘ • .. дхпп
Покажем, что при этом выполняется равенство
S fe°v«= 1, v“=v“* ... v“n.
|a|=fe
(2.76)
Действительно, формулу (2.75) можно получить, подставляя (2.74)
в (2.73) и группируя члены, содержащие одинаковые производные
Dau. Замена в выражении Zb°Dau производных Dau величинами
va = v?1 ... v“«, в результате которой получается левая часть фор-
мулы (2.76), равносильна замене вектора V =	... векто-
ром v = (vx, ..., v„). Но из (2.74) следует, что при такой замене
д^и
вследствие того, что (v,v) = 1, (v, V);= 0, i = 1, п— 1, —-
dvR
35
заменится единицей, а -------------------г-------нулем.Врезуль-
(дт1)*... (дт”—‘)v«—<	J н }
тате получаем формулу (2.76).
Пусть ba = ECda, F (х, и, Dau) = ЕС Fr (х, и, Dau), где ЕС —
оператор продолжения граничных значений в й (см. § 1). Тогда
выражение
s baDau+F(x,u, Dau)	(2.77)
|a|=fe	(|a|<fc)
имеет смысл везде в й, а на дй согласно (2.75) равняется нулю.
Поэтому его можно считать элементом некоторого пучка соТ функ-
ций, равных нулю на дй, т. е.
S baDau 4- F (х, и, Dau) = соТ.	(2.78)
|a|=fc	(|a|<fc)	v '
Формулу (2.78) можно рассматривать как продолжение граничного
условия (2.75) внутрь Q.
Для построения пучка функций, удовлетворяющих условию
(2.75), положим
м = ф1+«)^1,	(2.79)
где ® = 0, (о g C*+1 (й (J дй) — нормализованное уравнение дй,
Ф1, ЧГ1 £ С*+1 (й (J дй). Учитывая, что
Da (<оЧ) =	+ О (©),	(2.80)
F [х, Фх + (ofeTb Da61 + £)“ (fi/Ti)] =
= F [x, Фх + 0 (coft), Da<J\ + 0 (©ft-l«l)] = F (x, Фь ОаФ1) + 0 (co),
(|a|<A)
и включая слагаемые порядка О (со) в правую часть формулы (2.78),
преобразуем ее к виду
“п
+ F (X, Ф1( ПХ) = юТ2,	(2.81)
где Ч’г — новая неопределенная функция. Так как (-^Ц| = vt,
\ axt 1 |ая
вторая сумма в формуле (2.81) согласно (2.76) равна 1 на дй. Поэтому
2	(-Й-Г • •  (>-)“" -1+0(“)•	(2-82)
Включая слагаемое О (со) в соТ’г, формулу (2.81) перепишем в виде
V даГ»“Ф1 +	+ F (х, Фь П“ФХ) = соФа, (2.83)
lab*	'
М
где ф2 — новая неопределенная функция. Найдя отсюда и под-
ставив в (2.79), получим
“=^+4
®Фа — £ baD^x — F (х, Ф1( ОаФх) . (2.84)
|a|=fc	J
Формула (2.84) определяет пучок функций, удовлетворяющих
на д£1 условию (2.75). Неопределенной компонентой пучка является
ф = (Фь Ф2).
Пример 1. Для краевых условий (2.68) и (2.69) из (2.84) полу-
чаем
U = Фх — й)Й1Ф1 — й)£>1Ф1 + <02Фа +<0ф,	gg)
. соест ^тА со г» /г, 1	0)2 /г. ш8а
«=Фх+—Ф1 —+—ф2 ——щ-
Первая из этих формул является линейной относительно каждой
из неопределенных компонент.
2. Пусть теперь на 3Q задана система условий вида (2.75)
В°и = £ ^Dau+Fl((x,«,D“u)|№ = 0,.	(2.86)
lal^ 1	(|ai<fez)	'
де kx <_ k2 < ... < km, и для каждого kt выполняется условие
(2.76). (Такую нормировку краевых условий всегда можно произ-
вести.) Как и ранее, обозначим bai = ECbai, F{ = ECFu, Bt =
= ЕСВ°. Для пучка функций, удовлетворяющих t-му условию,
согласно (2.84) получаем
и = Фи + Фи - В( (Фп) = W( [Фи, Фм, Вг(Фн)]. (2.87)
Kfl	п>1\
Построение пучка, удовлетворяющего всем условиям, в принципе
можно выполнить следующим образом. Вначале строим пучок и —
= Wm [Ф1т, $2т, Вт (Ф1т)1, соответствующий краевому условию
наивысшего порядка km. При подстановке этой формулы в (т — 1)-е
условие слагаемые, содержащие множитель обратятся на dQ
в нуль. Поэтому достаточно выбрать первое слагаемое Ф,т так,
чтобы оно удовлетворяло рассматриваемому условию. Для этого его
можно взять в виде пучка Ф17!= W [Ф1,т-ь Фг.т-2, Bm_i (Ф1,т_1)].
Таким образом, условия порядка km и km—\ будут выполняться, если
положить
U —	(Wm—1 [Ф|.т—1, Фг.т—I» Вт—1 (Ф1,т—1)]»
Фгт> Вт [Ц7ГП_1 (Ф1.т—1> Фг,т—1> Вт—1 (Ф1,т—1))]).	(2.88)
Действуя аналогично, можем удовлетворить следующему крае-
вому условию, если подставим в (2.88) вместо компоненты Ф1,т—i
выражение И7т_2 [Ф1,т-2, Фг.т-2, Вт-2 (Ф1 т-г)], и т. д.
Описанный путь построения пучка, удовлетворяющего услови-
ям (2.86), обусловливает для этого случая равенство наибольшего
87
порядка дифференцирования неопределенных компонент сумме по-
рядков операторов Bt. Это в конечном итоге приводит к плохим
аппроксимационным свойствам пучка [23—25]. Однако фактически
порядок можно понизить. Для этого нужно учесть, что в формулах
(2.87) возле членов В(, содержащих наивысшие производные, стоят
множители ak‘ и при (/-кратном дифференцировании произведения
вида okP все производные от Р с порядком выше q — k имеют мно-
житель вида <ор, где р >• 1, и соответствующие им слагаемые на гра-
нице XI равны нулю. Если в формуле, полученной по описанной
выше методике, опустить все такие слагаемые, то получим формулу
для пучка с более низким наибольшим порядком дифференцирова-
ния. Подробно эта процедура проделана в работе [24].
Пример 2. Построим пучок функций, удовлетворяющих усло-
виям (2.71). При удовлетворении первому условию получаем пучок
функций, равных нулю на dQ:
w — <оФи.	(2.89)
Выражение для пучка, удовлетворяющего второму условию, в соот-
ветствии с (2.87) имеет вид
® = Ф21 +	ф22 - 4-	+ VWsib (2-90)
где D2, Т2— операторы, введенные в § 2.
Чтобы удовлетворить двум условиям (2.71), необходимо, следуя
описанной методике, подставить (2.89) вместо Ф21 в (2.90). Тогда
w = ффи 4-	Ф22 -	[D2 (й>1фи) 4- VoT2 ((Офц)].	(2.91)
Формула (2.91) может рассматриваться как пучок функций,
удовлетворяющих условиям (2.71). Эту формулу можно преобразо-
вать так, что в ней не будут содержаться вторые производные от не-
определенной компоненты Фц. Применяя формулу Лейбница (2.16),
получаем
Da ((аФц)== ФцР2® "Н 2£?х©1^хф11 4~ о)7)2Фх1»
Т'2 (®Фц) = ФцТа© 4" 27'х<й7,1Фц 4* <йТ2Фц-
Так как Dxci) = 1 + wX = 1 О (и) и Тхо> = 0, то
D2 (®Фц) = ФцТ^г® 2РхФи 4* ®Хх,
Т2(®Фи) = Ф11Т2(о4-®Х2,	(	}
где Хх, Х2 — некоторые ограниченные функции. Подставив (2.92)
в (2.91), объединив слагаемые, содержащие множитель со3 и обозна-
чив Фи = Фх, Ф22 — Хх — v0X2 ф2, формулу (2.91) преобразуем
к виду
w = ©Фх —у- [Фх (П2® + v07>) + 2РхФ11 4- -4" ф2- (2 93)
Как и в примере 1, неопределенной компонентой здесь является пара
функций Ф = (Фх, Фг).
88
Пример 3. Рассмотрим краевые условия (2.72) на свободном
крае пластинки. Пучок, удовлетворяющий первому условию, в
соответствии с (2.84) имеет вид
= Фн + -у- Ф2х----у- (^2Фц + Vo^Ou). (2.94)
Для второго краевого условия аналогично получаем
W = Ф12 + 4" Ф22 —ТГ {О3Ф12 +	Ф12 +
+ (1 - Vo) [(DA) Ф12 - l\k • РХФ12 - k (I\DJ Ф12]},	(2.95)
где k = ЕС (4)’ Подставив в эту формулу вместо Ф12 выражение
(2.90) (с одновременной заменой Ф21 = Фп, Ф22 = Ф21), получим
формулу для пучка функций, удовлетворяющих обоим условиям
(2.72),
W = Фи + 4- Ф2Х “ 4 (°2фн + ^2Ф11) + 4~ф22 “
----4 {я8Фи + 4 D3 (®8Ф21)---i- D2 (шЭД - 4 Ds^TW +
+ (2 - v0) [(ОД) Фи + ± (D17’2) <®8Ф21) - 4 (ВД) (®2О2Фп) -
-----------------------------4 АЛ) (®27’2Ф11)] - (1 - v0) 7\k  [Р1Ф11 + 4 (®3фа1) -
- 4 Dx (®2£)2Фп) - 4- Di (®гТ2Фи)] - Ml - vo) [(ТА) Фи +
+ 4--------------------------<ю8ф21) “ 4	(®2£>2фи) - 4"	(®27,2фи)]} •
(2.96)
Используем свойства операторов Dk и Tk, а также учтем нормализо-
ванность функции и на dQ, тогда
D3(®3T) = 6Т4-О(®);
D3(®2T) = 6VD2® +	+ О (®);
(01T2)(®3V) = 0(®); (D1T1)(®^) = О (ф), (*>2); (2.97)
(DJJ (®2Y) = 4^ (DA) (®2) + О (®);
Dx (®feT) = 0(w) (fe>l).
Учитывая (2.97), формулу (2.96) приводим к виду
w=фх +4 ф2 -4(°2ф1 + v«w+4ф3 -
— {DзФl + ЗФ2 — ЗР2Фх • D2® — 3 (DxD2) Фх — 3v0TA • D2® —
89
- 3v0 (DXT2) Фх + (2 - v0) [(ОД Ф,-1- Р2Ф, • (DXT2) (co2) -
---Т2Фг • (DXT2) (со2)]ч-(1- v0) Txk  Dx®, - k (1 - v0) (TXDX) Фх};
(2.98)
здесь обозначено Фх = ФХ1, Ф2 = Ф21, соФ3 = соФ22 + О (со) (т. е.
функция соФз включает все слагаемые порядка О (со)).
3. В § 2 было показано, что вместо операторов Dk и Tk можно
воспользоваться их разностными аналогами (2.32), (2.34) и (2.35).
Например, применив первую из формул (2.33), выражения для пуч-
ков (2.85), рассмотренные в примере 1, можем представить в виде
м (х) = Фх (х) — со (х) hx (х) Фх (х) + Фх [х + h (х)] — Фх (х) +
+ со2 (х) Ф2 (х) + со (х) ф (х),
«w=да,«+w+4- ф1 (*+ft) - -J- ф> w+
^®!W_£W2L„a,
(2.99)
где h определяется формулой (2.29). Аналогично можно преобразо-
вать и формулу (2.91) для пучка функций, удовлетворяющих усло-
виям (2.71) свободного опирания пластины. С учетом того, что этот
пучок задан в IR2, получаем
w (Хх, х2) = со (хХ) х2) Фх (х., х2) Ч-	со3 (хп Х2) Ф2 (Хх, х2) —
—	Ф1 (%1> Хг) + Ю (*1. х2> {фх X, —
— ® (хх + -у-СО (хх, х2), х2 j Ч- со (хх------со (хх, х2), х2);
х2 — со (хх, х2 Ч- -у-® (хъ х^) + ® [хъ хг---------g- ® (хи *2))] —
-Фх(хх,х2)},	(2.100)
где q (хх, х2) = Рг® Ч- УоТгСО. Заметим, что при написании формул
(2.99) и (2.100) слагаемые порядка О (со) включались в соф2.
t==s S
. 4. Пусть теперь dQ = (J д&(, где dQz не имеют общих внутрен-
t=l
них точек: int f| int Xlj = 0,i=^=j, и на каждом из
задана своя система граничных условий вида (2.87).
Предположим, что и= Qt (Ф'), Ф( = (Ф5, ..., Ф^.), — пучок,
удовлетворяющий всем условиям на dQh старшая степень которых
равна k(. Тогда согласно (2.7) и (2.8), если воспользоваться форму-
лой
_ <МФ')г?’+1Ч- ••• 4-Qs(®s)^+1
и	ь 11	k 4-1	»	(Л. 1U1/
т?1+1Ч- ••• Ч-т?+
90
при любом выборе Ф1, ...» Ф5 (в соответствующих допустимых
для каждой неопределенной компоненты множествах) все краевые
условия будут удовлетворены.
Описанный подход построения пучка функций, удовлетворяющих
смешанным граничным условиям, естественно, не является единст-
венно возможным. Его неудобство состоит в том, что с ростом числа
участков увеличивается количество неопределенных компонент, а
это создает определенные неудобства при использовании пучков на
практике. В некоторых частных ситуациях возможны другие, более
экономичные, решения [45, 46]. Покажем, например, как можно
построить пучок функций, удовлетворяющих следующей системе
краевых условий:
и |<ю, = <р,	4- hu |дв, = ф.	(2.102)
Такие краевые условия часто встречаются, например, при исследо-
вании температурных полей [46]. Пучок функций, удовлетворяю-
щих первому из условий, очевидно, имеет вид
и = ©ХФ + <р,	(2.103)
где Ф — неопределенная компонента, а «ь = 0 — уравнение dQv
Представим функцию Ф в виде
(2.104)
и выберем так, чтобы удовлетворялось и второе условие (2.102).
Последнее условие заменим следующим:
+ hu = ф + <o2T2,	(2.105)
где Ф'г — некоторая ограниченная функция, О<2> = (V<o2, V), а
®2 = 0 — нормализованное уравнение dQ2- Подставим (2.104) в
(2.103):
и = со1Ф1 + <о1со2чР‘1 ф.	(2.106)
Подставляя (2.106) в (2.105) и учитывая свойства оператора D®
(см. § 2), получаем
О)2' («^ФО + О(12)«2 •	+ o)2DP (w^) + Э^ф +
4- /мо1Ф14- /wjjWjYi 4- Лф = Ф + о>2^2.	- (2- Ю7)
Учитывая, что 7>{2)ю2 = 1 4- О(®2) = 1 4-®2^ и вводя обозначение
Ф2=	—	О<2) (<0^) —/<0,^4-Yj, условие (2.107) за-
пишем в виде
7^1 (<В|Ф|) 4" (®i 4- ®г)	“I” Di ^Ф И- h&]Q)i 4* h(p = ф 4* ®2Фа- (2.108)
Из этого условия найдем и подставим его в (2.106):
и = <о1Ф] 4- ф 4- [ф + ®2^з — 7)(2’ ((ОхФх) —
— О(2,ф — ha^ — йф].	(2.109)
91
Множитель ®х + ®2 во втором слагаемом формулы (2.108) введен
для того, чтобы избежать деления на нуль. Формула (2.109) опреде-
ляет пучок функций, удовлетворяющих условиям (2.102). Неопре-
деленной компонентой пучка является Ф = (Фх, Ф2).
Замечание. Выше, при выводе формул для пучков, удовлетво-
ряющих различным типам краевых условий, из соображений прос-
тоты изложения не оговаривались классы, которым должны принад-
лежать функции, в том числе и неопределенные компоненты, участ-
вующие в построении пучков. Этот пробел восполнен в гл. 4 при
рассмотрении полноты пучков, фигурирующих там в качестве струк-
турных формул для решений краевых задач.
5. Для построения пучков, удовлетворяющих дифференциальным
краевым условиям, можно привлечь обобщенную формулу Тейлора
(2.63). Основная трудность, возникающая при практическом исполь-
зовании этой формулы, связана с необходимостью построения урав-
нений ш = 0 (или а>( = 0), нормализованных до заданного порядка
т> 1. Однако построение таких функций для каждой области до-
статочно выполнить один раз, а затем их можно многократно исполь-
зовать при решении различных типов краевых задач.
Применим обобщенную формулу Тейлора к построению пучков
для некоторых типов краевых условий.
А. Рассмотрим вначале краевое условие (2.68). Воспользуемся
обобщенной формулой Тейлора при m = 1
и = и0 +	-|- Ф2(02.	(2.110)
Пусть и0 = Фх — некоторая неопределенная функция, с которой
на границе dQ совпадают функции пучка. Тогда, в силу краевого
условия (2.68), можем положить мх = ф — /гФх и переписать форму-
лу (2.110) в виде
и = ф, 4-(ф — ЛФ^* со + Ф2со2,	(2.111)
или
и(х) = Ф£ (х— ®Vco) + [ф (х — ®V(o) — h (х — ®Vco) х
X Фх (х — соVco)] со (х) + Ф2 (х) со2 (х).	(2.112)
Б. Рассмотрим краевое условие более общего вида
-^-+ам = Ф,	(2.113)
где /х — некоторое направление, такое, что (/х, v) > 0. Воспользуем-
ся оператором Di (2.12). Из (Zx, v) > 0 следует D{' со > 0 на 5Q.
Пусть I = ЕС/Х — продолжение /х в Q (см. § 1), такое, что D\ со > 0
в Q (J 6Q. Тогда <7 = Di(o + «>>-0bQ |J 5Q. Перепишем условие
(2.113) в виде
(D\u + аи — ф) |аа = 0.
(2.114)
92
Воспользуемся разложением (2.110). Подставляя его в (2.114),
получаем
4* (Z^iUi) © 4" иА 4- ®27?1Ф2	2 (©jZ?!©) Ф2 4*
4-а«о 4-ow’co 4-0®2©2 — ф]|ая = 0.	(2.115)
Учтем, что на 3Q и* = и, и опустим некоторые слагаемые, имеющие
множитель ®, тогда
[Dfuo 4*	4- ®) ых 4- ««о — ф] |ая = 0.
Отсюда
«1 = -rj-Ц— (ф — аи0 — D{u0) Ьо.	(2.116)
D;<1) 4- ®
Подставив (2.116) в (2.111) и обозначив ы0 я Фх, получим
и = О? 4- ~т^-----[ф* — а*Ф1 — Р'ф1)*1 4- Ф2<о2.	(2.117)
DjCO 4- ©
Заметим, что в силу неравенства Did 4- ® > 0 знаменатель
(2.117) не обращается в нуль.
В. Рассмотрим смешанные краевые условия (2.102). Пусть
= (®f = 0), i = 1,2, причем ®2 = 0 нормализовано до второго
порядка. Разложим и (х) в окрестности каждого из участков dQ(-
при т = Г.
U = «о! 4- «П®1 4- Ф21®?»	о о
*2	*2	_	2	' ‘ 1	'
W = UQ2 + W12®2 “1“ ®22W2,
где и*1 — нормализанта по®,-, i = 1,2. Поскольку это разложение
одной и той же функции, то
По! 4" «И®1 4* Ф21®1 = «02 4" «12®а 4“ Фаа®2- (2.119)
Из первого краевого условия (2.102) следует, что можно положить
ы01 = <р. Чтобы удовлетворить второму краевому условию, восполь-
зуемся пучком
и = Ног 4” (Ф*2 — Л*2«ог) ®а И” Ф22®2-	(2.120)
Следовательно, тождество (2.119) принимает вид
Ф*1 4- Ыц®! 4- Ф21®1 = Mol 4- (Ф*2 — Л*2»®) ®а 4- Фаа®2- (2-121)
В этой формуле четыре неопределенные функции: иХ1, ы02, Ф21 и Ф22.
Положим Иц = Ф’11 — ®1Фг1, «о2 = Фг» Ф21 — — Фгг- Тогда из
(2.121) найдем
Ф22 = ...2 ' — [<Р” +	- ф22 - (Г2 - Л’2ф*’2)
cof 4- (О2
93
Подставим Ф2г в (2.120):
2
и = Фг2 + (Г2 — Л’2Ф2‘2) ®2 + ~2~ 2~ [<РИ + Ф> Ч — ф22 —
<of+®2
— (Г2—й^ф;2)^].	(2.122)
Заметим, что в отличие от формул, полученных обычным мето-
дом, в формулах (2.117) и (2.122) отсутствуют производные от неопре-
деленных компонент пучков. Поэтому эти формулы более устойчивы
к погрешностям вычислений неопределенных компонент, чем преж-
ние.
§ 5. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И СТРУКТУРА ЕЕ РЕШЕНИЯ
Создание эффективных методов исследования и расчета физико-
механических полей (температурных, силовых, деформационных,
электродинамических, гидродинамических и др.) является одной из
важнейших и в то же время наиболее трудных задач прикладной
математики. С математической точки зрения задача расчета поля от-
носится к числу краевых задач для уравнений с частными произ-
водными и обычно сводится к отысканию в некоторой области Q с IR"
решения уравнения
Au = f,	(2.123)
где А — оператор, действующий из функционального пространства
X (Q) в функциональное пространство Y (Q) с краевыми условиями
Ltu = ср, на dQh i = l, .... tn,	(2.124)
(dQj, ...,dQm— покрытие границы 5Q). При этом участки dQ{
не обязательно все разные и могут совпадать с dQ. Такая постановка
краевой задачи называется классической. Возможны и другие обоб-
щенные постановки краевых задач, в которых вместо решения урав-
нения (2.123) минимизируется некоторый функционал I (и) [38].
К числу краевых задач относятся и так называемые задачи на собст-
венные значения, в которых следует искать отличные от нуля реше-
ния уравнения вида
Ли+ХВм = 0,	(2.125)
удовлетворяющие однородным краевым условиям
Ци = 0 на 3Qt-,	1=1, ... , т. (2.125)
В некоторых случаях параметр X может входить в краевые усло-
вия [35].
В зависимости от характера рассматриваемого поля при решении
краевой задачи отыскивается функция, вектор-функция, тензор
и т. д. Однако для простоты в дальнейшем будем употреблять тер-
мин «функция». Все введенные понятия без труда распространяются
и на другие случаи.
94
Приведенные в постановке краевой задачи функции и, f, <р, и
операторы А, Ц назовем аналитическими компонентами краевой
задачи; область Q, ее границу 3Q, участки dQz — геометрическими
компонентами.
Наличие в постановке краевых задач двух разнородных видов
входной информации — аналитической и геометрической — серьез-
ное препятствие при создании методов и алгоритмов их решения.
Всякий метод неизбежно должен предусматривать совместную пе-
реработку этих двух видов информации, а это требует преобразова-
ния геометрической информации к соответствующему аналитиче-
скому виду. В таких классических методах, как, например, методы
разделения переменных и интегральных преобразований, геометрия
учитывается удачным выбором систем координат, в методе конформ-
ных отображений — построением отображающих функций, в вариа-
ционных методах — построением координатных («пробных») функ-
ций, в методах сеточного типа — составлением уравнений для узлов,
близких к границе, и т. д. Метод конечных элементов, получивший
развитие в последние годы, возник именно в связи со стремлением
возможно точнее учитывать геометрию областей.
Метод /^-функций (называемый часто структурным), который
излагается в данной работе, указывает пути учета геометрической
информации на аналитическом уровне, без какой-либо ее аппрокси-
мации. Для этой цели предполагается использовать конструктивный
аппарат (см. гл. 1), с помощью которого строятся пучки, рассмотрен-
ные в предыдущих параграфах.
Пусть Da — область определения оператора А, входящего в
уравнение (2.123), а
Lku = ерь, k — 1, .. . , q,	(2.127)
— некоторые из равенств (2.123), (2.124) (т. е. в (2.127) может вхо-
дить и уравнение А и = f).
Определение 1. Формула и = В (Ф), где Ф — элемент не-
которого множества 50J, а В : 501 X (Q), называется структурой
решения, учитывающей условия (2.127) и определенной на ж, если
L'kB(u) = ^'k,	k=\, ... , q, УФ^Я». (2.128)
Структура, учитывающая все краевые условия (2.124), называется
общей. Остальные структуры называются частичными.
Из этого определения видно, что структура, учитывающая все
условия (2.123), (2.124), является решением краевой задачи. Не-
трудно также заметить, что структура решения, учитывающая те
или иные краевые условия, определяет пучок функций, удовлетворяю-
щих этим же условиям. Таким образом, для построения структур
решения можно воспользоваться методами, изложенными в пре-
дыдущих параграфах.
Структура и — В (Ф), Ф g S0J, определяет некоторое множество
Db с: X (Q). Однако может оказаться, что решение ы0 краевой за-
дачи не содержится в Db. В этом случае структуру и= В (Ф) будем
9S
называть неполной. Если ий £ DB, то структура В (Ф) называется
полной (в классическом смысле). В большинстве случаев класси-
ческого решения краевой задачи нет, а если оно и существует, то
не известны или трудно реализуемы методы его получения. Поэтому
чаще говорят о приближенных методах решения (в том или ином
смысле). В соответствии с этим будем считать, что структура и =
= В (Ф), Ф £ Ф?, есть полная в смысле метрики р (и, и) (или по норме
II и ||А), если
Ve > 0 3 ФЁ £ Ф?, р [и0, В (Ф8)] < 8 (или || и0 — В (Фе) ||л < е), (2.129)
где и0 — классическое или обобщенное решение задачи.
Пусть и = Bi (Фг), Ф, € ^i, i = 1,2, — полные (или полные в
определенном смысле) структуры, учитывающие некоторую систему
условий. Тогда если Ф?х cz Ф?2>	=# ^2> структуру и = Вг (Фх)
будем называть структурой лучшего качества, чем и = В2 (Ф2).
Чем лучше качество структуры, тем уже множество Ф?, в котором
следует искать неопределенную компоненту Ф, соответствующую
точному решению задачи или достаточно хорошему его прибли-
жению. '
При создании методов решения краевых задач необходимо знать
ответ на вопрос: в каких пространствах можно выбирать аналити-
ческие и геометрические компоненты краевой задачи, чтобы она до-
пускала единственное решение (в подходящем смысле)? На этот
счет имеются весьма общие фундаментальные теоремы, обычно
формулируемые в терминах соболевских пространств Hs (Й) [29],
поэтому в дальнейшем будем считать, что функциональное прост-
ранство D, которому принадлежит решение и0> известно. Это позво-
ляет ставить задачу о построении полных структур следующим об-
разом: найти такую структуру и = В (Ф), Ф £ SR, чтобы множество
Db = {и : и = В (Ф), УФ С SR) было всюду плотно в D (в смысле
некоторой метрики р (ы, и)). При этом практические соображения
подсказывают, что необходимо стремиться к тому, чтобы множество
SR было возможно более узким. Естественным является требование,
чтобы это множество было задано конструктивно, например пред-
ставляло собой множество полиномов (степенных, тригонометри-
ческих, сплайнов и т. д.).
Пусть Ф = (Фх, ..., Фй). Положим
«»
Ф, = £с4	s=1,	(2.130)
1=1
где {ф?} — выбранная последовательность полиномов, a N =
= гт^ + ... + mk. Подставив это выражение в формулу и = В (Ф), по-
лучим У-параметрическое семейство функций, удовлетворяющих
заданным краевым условиям независимо от выбора постоянных
Сц. Такие функции принято называть координатными или базис-
ными [33, 38]. Методы построения пучков функций, описанные в
предыдущих параграфах, позволяют получать координатные после-
96
довательности в случае областей практически произвольной формы
для различных типов краевых условий. Тем самым удается преодо-
леть главное препятствие, которое стояло на пути практического
использования вариационных методов, в особенности типа Бубно-
ва — Галеркина, требующих удовлетворения всех граничных усло-
вий. Данный подход многократно использован различными автора-
ми. Обширная библиография по этому вопросу приведена в работах
[45, 46, 49].
Значительный интерес представляет получение оценок вида (2.2),
относящихся к структурам ®ЬФ, для структурных формул общего
вида и — В (Ф). Этот вопрос для некоторых типов структур рас-
смотрен в гл. 4.
§ 6. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОМПОНЕНТ.
ПРОБЛЕМА ВЫБОРА АППРОКСИМИРУЮЩИХ ПОЛИНОМОВ
1. Пусть
и — В1(х, С1( ... , СдО	(2.131)
— результат подстановки формул (2.130) в структуру и = В (Ф),
учитывающую условия (2.127). Задача состоит в таком выборе
постоянных Cit чтобы возможно лучше удовлетворялись остальные
условия, имеющиеся в постановке краевой задачи. Заметим, что
в случае линейных краевых условий структура В (Ф) = В (Ф1( ...
..., Фк) линейна относительно функций Ф, и формула (2.131) имеет
вид
N
и = Хо (х) + Cfa.	(2.132)
Приведем краткие сведения о некоторых известных методах
нахождения С/.
Методы минимизации невязки. Пусть функция (2.131) удовлетво-
ряет всем краевым условиям задачи. Подставив ее в уравнение
А и— f = 0, найдем невязку
6 (х, Ci...CN) = АВг (х, Съ ... , CN) — f (х), х £ Й. (2.133)
Необходимо выбрать Clt ..., Cn так, чтобы получить невязку,
наименее уклоняющуюся от нуля.
Метод коллокаций. Выберем в области Й N точек
{х7}, / = 1..N, и потребуем, чтобы в этих точках невязка была
равна нулю:
б(х/, С1( ... , Сд,) = 0,	/=1, ...,М.	(2.134)
Приходим к системе N уравнений с N неизвестными. Если краевые
условия (2.124) линейны, то линейной является и соответствующая
структура (2.132). Если при этом линейно и уравнение Au — f,
то (2.134) есть система линейных алгебраических уравнений.
Правомерность метода коллокаций многими исследователями
ставится под сомнение. Прежде всего, из равенства нулю невязки в
4 9-23
97
N точках не следует, что невязка мала в остальных точках Q. Более
того, если невязка достаточно велика лишь в сколь угодно малой
подобласти cz Q, приближенное решение может сколь угодно
сильно отличаться от точного. Например, краевая задача для урав-
нения уп — 0 в [— 1, 1] с краевыми условиями у (± 1) = 0 имеет
точное решение yQ s 0. Если в качестве приближенного решения
принять функцию
/	у 2 \3
С 1 — V , |х| <е,
Н \	(2.135)
0	, |%|>8,
у £ С2 [— 1, 1], то невязка будет отлична от нуля только на интер-
вале (— 8, 8). В то же время max | yQ — ух | = С,
Кроме того, в методе коллокаций неясен вопрос о том, как следует
выбирать точки
Однако, несмотря на эти замечания, метод коллокаций привле-
кателен простотой вычислений, а также тем, что на практике после
вычисления постоянных Су обычно нетрудно проследить характер
невязки вне точек х1 и сделать заключение о погрешности решения.
Метод коллокаций допускает различные модификации. Одна из
них состоит в том, что выбирается > W точек коллокации х}\
а постоянные Су находятся по методу наименьших квадратов, т. е.
из условия минимума функции
<7(СЬ ...» CW)=S 62(х/, С,....CN). (2.136)
/=1
Если краевая задача линейна, то соответствующая система уравне-
ний
X-2^W,C,.....................................(2.137)
OL,k	У--1	UL,k
6=1......N,
также является линейной. Другой вариант метода коллокаций по-
лучим, если потребуем, чтобы в точках х1 были равны нулю невязка
и ее производные до некоторого порядка.
Метод наименьших квадратов. Потребуем,
чтобы квадрат нормы невязки
/(Сх.....CN) = || 6 (х, Сх, .... Cw)lt =
= Уба(х, (?i, ..., CN)dx	(2.138)
Q
был минимален в пространстве Lz (Q). Соответствующая система
уравнений для отыскания С/ имеет вид
2 J б(х, Сх, ... , См) д&(Х' С1’ ' “,Cn) dx = 0,	(2.139)
k = 1, ... , N.
98
Если, как это обычно необходимо делать на практике, для вычисле-
ния интегралов прибегнуть к квадратурной формуле
с	л\
j f (х) dx « £ а,/ (х'),
Q	/=1
то придем к системе
S а/6 (xi, Съ .... CN) "	С*’'	Q, k = l,.,.,N,
;=1
(2.140J
совпадающей с точностью до весовых коэффициентов at с системой
(2.137) обобщенного метода коллокаций.
Метод Бубнова — Галеркина определяется усло-
вием об ортогональности невязки системе функций Xfc (х) из (2.132):
(б (х, Сь .... CN), Xft) = J б (х, Си .... CN) Xfe (х) dx = 0, (2.141)
fc = 0, 1, .... N— 1.
Если уравнение Au = f линейное, то (2.141) является системой
линейных алгебраических уравнений. Модификация метода Бубно-
ва — Галеркина (метод Петрова) состоит в замене системы {Xft}
некоторой другой полной в L2 (Q) системой функций {%}.В частности,
в качестве функций {фй} удобно взять характеристические функции
областей J Qk = Q (или финитные функции ak (х)> 0 с носи-
k=\
телями Qa). В этом случае система уравнений принимает вид
J aft6(x, С1г ... , CN)dx = 0, k = \,...,N,	(2.142)
и после применения теоремы о среднем оказывается эквивалентной
системе (2.134) метода коллокаций.
Применение описанных методов обеспечивает сходимость в сред-
нем, а в некоторых случаях — равномерную сходимость к решению
краевой задачи. Для улучшения типа сходимости можно вместо
скалярного произведения (и соответствующей нормы) в L2 (Q) вос-
пользоваться скалярным произведением пространства Соболева
Hs (Q) = Ws2 (Q):
(«. ”)hs(Q> = S (Dau, D*v)LiW, s>2.	(2.143)
|al—s
(Естественно, что это существенно усложняет вычислительную сто-
рону дела.)
Энергетические методы. Часто краевую задачу сводят к вариа-
ционной задаче о минимуме функционала I (и), руководствуясь
тем или иным энергетическим принципом, характеризующим
данное физическое поле.
4’	99
Если краевые условия (2.124) линейны и однородны, то множест-
во функций, удовлетворяющих им, образуют линейное пространство
X (Q). Предположим, что оператор А положителен на X (Q):
(Аи, и) > О, Vu G X (Q), и 0. Величина (Аи, и) в этом случае
часто оказывается пропорциональной энергии, необходимой для
возбуждения поля и (х). Поле, соответствующее уравнению А и = f,
сообщает минимум функционалу [38]
/(м) = (Ли, «) —2(и,/) = ||ы||д —2(«,/).	(2-144)
Подставим (2.132) в (2.144) и учтем, что в этом случае в силу однород-
ности краевых условий Хо (х) в 0, тогда
Приравняв нулю частные производные получим систему алгеб-
раических уравнений
N
S (А^^С) = (Хъ /),	k=l,...,N,	(2.146)
/=1
называемую системой Ритца. Определитель этой системы — опреде-
литель Грама — отличается от нуля, если система {X/} линейно не-
зависима [38]. Если к тому же система {ХД полна в X (Q) по нор-
ме || • ||а и выполняется условие коэрцитивности (Аи, и) > у || и ||2,
у = const > 0 (т. е. оператор А является положительно определен-
ным на X (Q)), то существует единственное решение и0 краевой
задачи и
II N	II
£ Сш-и0 ->0	(2.147)
II /=1	1И
при п-> оо [29, 38]. Нетрудно заметить, что система Ритца (2.146)
эквивалентна системе, используемой в методе Бубнова — Галерки-
на. Преимущество системы Ритца состоит в том, что в этом случае
из условия симметричности (Аи, и) = (и, Av) оператора А следует
возможность преобразовать коэффициенты (ЛХ,, Xft) к симметрично-
му виду [X/, Xft] с понижением порядка дифференцирования функций
X/ [38].
Метод Ритца, определяемый формулой (2.144), можно рассмат-
ривать как частный случай метода Куранта, который позволяет
получать более сильную сходимость, чем (2.144). В этом случае ми-
нимизируется функционал
Ф (и) = (Аи, и) — 2 (и, f)+lAu-ffHSW s>0,	(2.148)
где
HU>= S (Dau,Dau)L^.	(2.149)
Если краевая задача линейна, то метод Куранта также приводит
к линейной системе алгебраических уравнений.
100
При рассмотрении конкретных физико-механических полей к
аналогичным, а иногда и более сильным результатам приводит ис-
пользование вариационных принципов, таких, как, например,
принципы Лагранжа и Клапейрона в механике, смешанный принцип
стационарности Е. Рейснера и др. [321.
Разностно-аналитический метод. Возьмем некоторую систему
Ah и = Л, / = 1, .... Mf, Ni > М, конечно-разностных уравнений,
аппроксимирующих уравнение А и = f. Подставим в эту систему
структуру (2.131) и получим систему Nj, уравнений относительно
N постоянных С/
AIb^x.Cl .... CN)=f>,	/=1.......Nlt (2.150)
которую решим методом наименьших квадратов [381.
г Перечисленные методы могут сочетаться с различными итера-
ционными методами, методами оптимизации (градиентного типа, слу-
чайного поиска), сводиться к задачам линейного или нелинейного
программирования и т. п. [8]. Для некоторых классов задач весьма
эффективным является метод Л. В. Канторовича [19], с помощью
которого краевая задача приводится к решению систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.
Метод Трефтца. Предположим, что и = В (Ф) — полная струк-
тура, учитывающая лишь основное уравнение Аи = /. (Формулу
такого вида принято называть общим решением краевой задачи.)
В этом случае (2.132) при любом выборе постоянных С/ удовлетво-.
ряет уравнению Au = f и, следовательно, остается так выбрать эти
постоянные, чтобы наилучшим образом удовлетворить граничным
условиям. Для этой цели можно применить целый ряд методов
из числа приведенных выше. На практике чаще всего применяют
тот или иной вариант метода коллокаций, требуя, чтобы граничные
условия удовлетворялись на некоторой системе точек границы рас-
сматриваемой области.
2. Эффективность использования структурных формул в соче-
тании с приведенными методами существенно зависит от выбора ап-
проксимирующих полиномов ф/ (2.130). Оператор В структуры,
воздействуя на эти полиномы, «деформирует» их в последователь-
ность {X,-) (2.132), и поэтому от аппроксимативных свойств функций
{X,} существенно зависит характер приближения к решению краевой
задачи. От последовательности {X,} зависит также обусловленность
и некоторые другие характеристики матрицы {а(1} системы алгеб-
раических уравнений для определения постоянных С/. В частности,
если число N постоянных Cj велико, то объем вычислений может
оказаться неприемлемым из-за того, что оперативная память исполь-
зуемой ЭВМ не вместит всех элементов матрицы {atf}. Многие из
упоминавшихся методов таковы, что коэффициенты a{j являются
интегралами (или суммами с большим числом слагаемых) по области
Й. Эти трудности можно в значительной мере уменьшить, есии в ка-
честве функций фу выбирать финитные функции с носителями малого
диаметра. Тогда число ненулевых элементов матрицы {а#} доставит
lot
не №, как в общем случае, a aN, а = const. Их доля в общем числе
элементов будет равна -у- и, следовательно, уменьшается с ростом W.
Кроме того, вычисление каждого коэффициента матрицы {а17} со-
стоит в вычислении интеграла не по всей области Q, а только по пе-
ресечениям носителей функции ф(-. Правда, при этом выигрыш будет
лишь в том случае, если с уменьшением области интегрирования не
придется уменьшать его шаг. Это предъявляет дополнительные тре-
бования к функциям ф,-, а именно: под знак интегралов, через кото-
рые выражены коэффициенты ац, функции ф, входят сомножителя-
ми вида фф/, 7?ф/, где Q и R — известные линейные дифференциаль-
ные операторы, порядок которых зависит от порядка уравнения
А и = f и выбранного метода. Поэтому, чтобы конструктивный ап-
парат не зависел от порядка краевой задачи, желательно иметь воз-
можность легко вычислять значения не только функций фр но и
их производных до любого порядка. Кроме того, поскольку квадра-
турные формулы обычно ориентируются на аппроксимацию подын-
тегральных функций (не считая весовых) полиномами, то желатель-
но, чтобы легко вычислялись и интегралы от произведений этих
функций на полиномы (т. е. их моменты).
Среди финитных функций хорошими аппроксимационными
свойствами обладают финитные сплайны Шенберга — кусочные
полиномы порядка s из класса О-1 [1, 7]. Они просты в вычисли-
тельном отношении и удовлетворяют ряду других упомянутых выше
требований. Однако порядок сплайнов, выбираемых для решения
задачи, зависит от порядка производных операторов Q и R. Серьез-
ным недостатком сплайнов является также то, что множество сплай-
нов порядка п 4- 1 не включает множества сплайнов меньших по-
рядков. Это препятствует применению итерационных методов, в ко-
торых переход к последующим итерациям сопряжен с повышением
порядка сплайнов.
Оказывается, что все эти трудности удается преодолеть с помощью
атомарных функций (см. гл. 3).
§ 7. УЧЕТ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ СТРУКТУР РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Во многих случаях важную информацию о решении краевой за-
дачи можно получить еще до организации его поиска. Это, например,
может быть информация о симметрии решения, если постановка
краевой задачи инвариантна относительно некоторых типов преобра-
зований симметрии; о зонах больших или малых градиентов и
кривизн решения; о характере поведения решения в окрестности уг-
ловых и других «особых» точек границы — разрыва граничных усло-
вий, коэффициентов основного уравнения, расположения сосредо-
точенных возбудителей поля и т. д. Такие сведения о решении могут
быть получены из качественных теорий, из решений близких по по-
становке задач, на основе экспериментальных данных или инженер-
102
ной интуиции. Естественно, что правильный учет подобной инфор-
мации может существенным образом сократить затраты на получе-
ние приближенного решения и улучшить его качество. Кроме того,
в ряде случаев решение краевой задачи таково, что имеется возмож-
ность осуществить его некоторый этап с помощью того или иного
классического метода (интегральных преобразований, разложения
по малому параметру, разделения переменных, функций Грина
и др.) и тем самым существенно упростить поиск приближенного
решения.
Стремление учесть априорную информацию характерно для ис-
следований по самым различным приближенным методам. Так, на-
пример, в сеточных методах и методе
конечных элементов густота сетки вы-
бирается большей или меньшей в раз-
личных зонах в зависимости от пред-
полагаемого характера поведения ре-
шения или особенностей основного
уравнения и краевых условий; при
использовании итерационных методов
начальное приближение выбирается
из соображений наибольшего правдоподобия; в ряде случаев из
решения выделяется «функция особенностей» и задача сводится к
поиску его регулярной части и т. д.
Метод /^-функций, являясь аналитическим, содержит в себе бо-
гатые конструктивные возможности для того, чтобы уже на уровне
структурных формул полнее учесть информацию об искомом ре-
шении.
Пусть Q — область, в которой будем искать решение краевой за-
дачи. Во многих случаях в ней можно выделить такие подобласти
(регионы) Qz, в которых решение в основном определяется геомет-
рией ближайших участков границы и заданными на них краевыми
условиями или местными значениями коэффициентов и правых частей
основного уравнения. Такая ситуация возникает, например, при ре-
шении задачи об изгибе тонкой пластинки (рис. 6), которая свобод-
но оперта вдоль участка дйг = ЛхЛгЛз^Иа границы и защемлена
на остальной части границы dQa= A^AgA^
Из физических соображений ясно, что изменение интенсивности
поперечной нагрузки в каждой из подобластей в основном влияет
на прогиб в этой подобласти и в значительно меньшей степени —
на прогиб в другой. Для учета подобных явлений может быть исполь-
зован регионально-структурный метод [46], позволяющий строить
такие структурные формулы, в которых каждой из неопределенных
компонент Ф; (или их системе) соответствует свой регион где
эта компонента или система проявляет наибольшее влияние на фор-
мирование приближенного решения. Этот метод представляет такое
же логическое продолжение структурного метода, как метод конеч-
ных элементов в развитии методов конечно-разностного типа. Как
и в методе конечных элементов, в регионально-структурном методе
103
допускается возможность учета априорной информации о поведении
искомых функций' в различных регионах й£, вызываемом разными
физическими или геометрическими факторами. Так же, как и для
метода конечных элементов, для регионально-структурного метода
большое значение приобретают точные решения, которые удается
получать для задач, близких по тем или иным признакам к рассмат-
риваемой задаче. Кроме того, здесь могут учитываться и результаты,
полученные экспериментальным путем или из различного рода ин-
женерных соображений. Опишем два основных подхода, на которых
базируется регионально-структурный метод.
1. Пусть и = В (Ф) — некоторая структура решения, а {й£},
i = 1, .... s,— некоторое покрытие области О, где Qs — подобласти
(регионы), выбираемые из априорных соображений. Предположим,
что каждая точка области й является внутренней по крайней мере
для одного из регионов Й£. Пусть	(х)	0], <oz g SR (Я),
Н с: С” (IR"|. Тогда функции
а, (х) = 4 [| (х) | + (х)] < (х)	(2.151)
являются финитными из Сп (Ж”) с носителями й;, а функции
Г s I-1
тг (х) = G, (х) S (х)	,
1
кроме того, дают в области Й разложение единицы:
У тг (х) э 1, V х £ й.
(2.152)
Нетрудно заметить, что в подобласти й? cz й£, не пересекающейся
с другими регионами, т£(х)=1. Назовем й° главной частью й£.
Неопределенную компоненту Ф, входящую в структуру и = В (Ф),
представим в виде
Ф = S т£Ф£ или Ф = У, о£Ф£,	(2.153)
;=i	i=i
где Ф£ — новые неопределенные функции. Нетрудно заметить, что
каждая из неопределенных компонент Ф£ не оказывает влияния на
структуру вне пределов региона й£. (Вместо рассмотренных финит-
ных функций можно выбрать также функции, быстро убывающие за
пределами соответствующих регионов. Формула (2.7) является од-
ним из удобных вариантов такого подхода.)
Если структура Q£ (Ф‘) учитывает краевое условие на дй£ и
дй£ = дй f) й?, где Й£ — главная часть региона й£ = [т£ (х) > 0],
т£ (х) = 1 в й£, то вместо формулы (2.153) можно воспользоваться
формулой
<21 (Ф1) Ti + • • • + Qs (Ф5) ts 4- Ф^'тр	(2 154)
Ъ + ••• 4-ъ + ъ	’	' '	'
104
где т — высший порядок краевых условий, а т0 (х) — финитная
функция с носителем й0, состоящим из внутренних точек й и таким,
что всякая точка й является внутренней по крайней мере для одной
из областей й0, йъ ..., Qs. Очевидно, что в каждой из главных час-
тей й? регионов Q, u=Qz (Ф'), i = 1, ..., s. Это позволяет в облас-
тях Й9 производить вычисления не по громоздкой формуле (2.154),
а по формулам и = Q( (Ф').
2. Описанный подход можно использовать для разделения «сфер
влияния» неопределенных компонент на пограничную и внутреннюю
подобласти области й.
Пусть й = I® (х) > 0], со G Ст (й) и со (х) = 0, — нормализо-
ванное уравнение дй. Функция
те (х) = — [| в — со (х) | + 8 — со (х)] [в — со (х)]т	(2.155)
является финитной из класса (7" (й) с носителем 2е, почти совпадаю-
щим с 8-окрестностью границы дй. Легко убедиться в том, что функ-
ция
СОе (х) = Те (х) СО (х) [Те (х) + 0J,n+1 (х)]-1	(2.156)
также является финитной из класса О'" (й) с тем же носителем и,
кроме того, удовлетворяет условиям
СОе (х) |<Ю = 0;
Dacoe (X) Ida = o’co (х) |<?Q, I a |< tn.
Другими словами, функция coe (x) на дй ведет себя, с точностью до
величин порядка со’п+1 (х), как и функция со (х).
В § 4 показано, что формулы для структур решений (или пучков)
имеют вид разложений по степеням со. При этом во всех случаях
при старшей степени со, на единицу большей наивысшего порядка
краевых условий на дй, стоит неопределенная компонента, не вхо-
дящая в другие члены рассматриваемой формулы. Это означает,
что структурную формулу можно представить в виде
и = 5(Ф1, .. .,Ф5_1) +сот(х)Фг	(2.158)
Если в выражении В (Фь .... Ф5—i) заменить со (х) на сое (х), то в;
соответствии с (2.157) формула (2.158) будет удовлетворять преж-
ним краевым условиям. При этом в области Й (] 2Е все слагаемые,
содержащие неопределенные компоненты .......Ф3-1, тождественно
равны нулю. Однако полнота структуры не нарушается, поскольку,
каковы бы ни были значения функции и в области й f) Sg, можно
Ф, выбрать таким, что в этой области формула (2.158) превратится:
10*
в тождество. Следовательно, для слагаемого В (Фх..Os-i) зоной
влияния является пограничная зона Se, а для слагаемого Ф5 —
в основном внутренняя подобласть й f| Se.
Другие модификации регионально-структурного метода, учиты-
вающие специфику некоторых типов краевых задач, рассмотрены в
работе [46].
Замечание 1. Важное значение имеет учет характера поведения
точного решения в окрестности угловых и других особых точек
границы дй. Исследованию особенностей решения вблизи таких
точек посвящены работы [12, 49]. Построение структур решений
с заданным характером поведения в окрестности особых точек не-
зависимо от выбора неопределенных компонент в общем случае яв-
ляется сложной задачей. Этот вопрос должен решаться с учетом
постановки и специфики каждой конкретной задачи или, по крайней
мере, достаточно узкого класса задач. Такие частные рекомендации
для задач чистого кручения стержней приведены в работе.[12], для
контактных задач теории упругости — в.работе [49]. Вопросы полноты
и качества структур, в которые привнесены особенности, характер-
ные для точного решения, мало исследованы.
Замечание 2. Во многих случаях решение краевой задачи зави-
сит от ряда конструктивных, физических или других параметров
аь ..., ak. Представляет интерес разработка таких приближенных
методов, которые позволили бы получать приближенные решения
в виде формул, содержащих эти параметры в буквенном виде. В не-
которых частных случаях это удается сделать [46, 70]. Кроме того,
если для отдельных значений а( решение известно, то целесообразно
использовать его при построении структурных формул. Рекомендации
по этому вопросу содержатся в работе [42].
Замечание 3. Как известно, гладкость решения краевой задачи
существенно зависит от гладкости правой части основного уравне-
ния Au — f. Функция f характеризует распределение возбудителей
поля, которые часто имеют вид сосредоточенных источников, терпят
разрывы или имеют другие особенности. Необходимость учитывать
такого рода информацию при применении приближенных методов
создает значительные трудности. Например, в методах сеток или ко-
нечных элементов в окрестности особых точек приходится дробить
шаги, в вариационных методах — увеличивать число координатных
функций. Поэтому представляют интерес методы, направленные на
увеличение гладкости /.
Как показано в работе [42], располагая нормализованным урав-
нением со = 0 границы области, для широкого класса краевых задач
можно «смягчить» поведение возбудителей поля, заменив рассмат-
риваемую краевую задачу задачей с теми же краевыми условиями,
но с измененной правой частью основного уравнения. Ю. А. Тимо-
феев указал возможность использования для этой же цели струк-
турного метода. Идею этого метода изложим на примере. Пусть
/«А в QjCQ, AG С"1 (Qi), f = в Й f| A G С"1 (Й f] SA),
co = 0 — уравнение дй, a coj = 0 — нормализованное уравнение
dQi. Чтобы устранить разрыв, который имеет функция f на <3Q1(
представим решение и в виде и = v + со*+1Т, где А — максимальный
порядок краевых условий в данной задаче на dQ. Тогда функция
v удовлетворяет тем же краевым условиям, что и функция и, но для
v получаем уравнение Av = f — A (®*+14f) = f0. Применив струк-
турный метод, можем выбрать Т так, чтобы выполнялись условия
Ds [Д - A (g?+”F)] |W1=_o = Ds [А - А (<№ ¥)] |Ш1=+0,
s = 0, 1, .. , т.
В результате получим уравнение Av = f0, foQ.C" (й), с требуемой
степенью гладкости т.
ГЛАВА 3
АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Важную роль в теории приближений и численных методах игра-
ют алгебраические и тригонометрические (экспоненциальные) поли-
номы. Однако этот универсальный аппарат приближения имеет сле-
дующий (существенный для практики) недостаток — «нефинит-
ность» классических полиномов. В численных же методах часто
желательно применять «локальные» (т. е. финитные) функции с носи-
телями малого диаметра, так как (см. § 6 гл. 2) в этом случае в соот-
ветствующих матрицах большинство элементов равны нулю,
матрица — «редкая» или даже «ленточная» и при том же объеме опе-
ративной памяти ЭВМ можно использовать аппроксимирующие под-
пространства более высоких размерностей, а следовательно, полу-
чить более точные приближения. Известные и широко применяемые
{7, 17, 18, 71, 83, 88, 90] локальные функции-сплайны (например,
В-сплайны Шенберга) не универсальны в том смысле, что для полу-
чения оптимального приближения функций большей гладкости нуж-
ны сплайны более высокой степени. Таким образом, классические
алгебраические и тригонометрические полиномы универсальны, но
не локальны, сплайны же локальны, но не универсальны. Естест-
венно, возникает вопрос о построении пространств функций, которые
были бы одновременно локальны и универсальны. Желательно к
тому же, чтобы их можно было легко вычислять. Функции, о которых
речь идет ниже, на наш взгляд, настолько просты и удобны в работе,
что ими целесообразно пополнить класс «элементарных» функций.
Как же построены эти функции? Так как неуниверсальность
сплайнов обусловлена уже их недостаточной гладкостью, то необ-
ходимо рассмотреть бесконечно дифференцируемые финитные функ-
ции. Финитные сплайны степени п, как хорошо известно,— это п-
кратные свертки характеристических функций интервалов; эти фи-
нитные функции — бесконечнократные свертки характеристических
функций интервалов. Для получения финитных функций длины
интервалов должны достаточно быстро стремиться к нулю (сумма
длин должна быть конечной). Если <р (х) — искомая функция и
108
Ф (/) — ее фурье-образ, то
i(()=nji£2i.
со
здесь ak монотонно стремятся к нулю, ak > 0, ^ak < °°. Теперь
fe=i
из всех монотонно стремящихся к нулю последовательностей а =
= {аА} выберем те, для которых ф (х) «= фа (х) обладает достаточно
хорошими аппроксимационными свойствами. По-видимому, наиболее
простой и удобной будет функция ф (х), соответствующая геометри-
ческой прогрессии ak — 2~к. Такой выбор ak по крайней мере естест-
вен. Обозначим эту функцию up (х). Таким образом,
„„	1	f П	sin ^~k
up (х) —	2я.	J	в 11 k	dt.
—екз	&=1
Первоначально функция up (х) появилась при следующих об-
стоятельствах. В 1967 г. В. Л. Рвачев поставил такую задачу.
Если ф (х) — финитная дифференцируемая функция, имеющая
один участок возрастания и один участок убывания («горб»), то ее
производная ф' (х) состоит из «горба» и «ямы». Существует ли функ-
ция Ф (х), у которой «горб» и «яма» производной подобны «горбу»
самой функции? На языке уравнений это означает: существует ли
финитное решение уравнения у' (х) = а [у (2х 4- 1) — у (2х — 1)],
в котором для определенности считаем, что носитель ф (х) — отре-
зок I— 1, 11?
В работе [52] доказаны существование и единственность такого
финитного решения с интегралом, равным 1, — это и есть функция
up (х). Таким образом, в то время как классические алгебраические
и тригонометрические полиномы удовлетворяют однородным ли-
нейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициен-
тами, функция up (х) (и другие аналогичные функции) удовлетво-
ряет уравнениям вида
м
Ly{x) = S cky(ax — bk),
k—i
где L — линейный дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами. Эти уравнения близки к линейным дифференциаль-
ным уравнениям с постоянными коэффициентами в том смысле, что
преобразование Фурье для них «работает» так же эффективно. На-
блюдавшееся до сих пор некоторое невнимание к этим уравнениям и
их решениям обусловлено, по-видимому, отсутствием их непосредст-
венной физической интерпретации. В данной главе рассматриваются
финитные решения (названные атомарными функциями) указанных
выше уравнений с точки зрения их возможной применимости в конст-
руктивной теории функций и численном анализе.
109
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ	/
Атомарные функции — это финитные решения дифференциально-
функциональных уравнений вида	/
м	)
Ly (х) = X S cky (ах — bk),	(3. |)
fe—1
где а > 1, L — линейный обыкновенный дифференциальный опе-
ратор с постоянными коэффициентами.
Обозначим оператор
у (%)->-£ cky(ax — bk)
через R. Первый вопрос, который необходимо выяснить: какие ус-
ловия нужно наложить на L и R, чтобы уравнение (3.1) для не-
которых X О имело ненулевое финитное решение?
Пусть L = Р (£>), где D = — i а
Р (X) = S dkKk.
k~0
Применим к обеим частям (3.1) преобразование Фурье
ОО	М	оо
f eitxLy (х) dx = X £ ck f eitxy (ax — bk) dx.
-oo	*=1 -oo
После очевидных выкладок получим
м
P(/)F(0=x2ve‘ “	’ м
fe=l	'
где
F (0 = J eitxy (х) dx.
Положим
М	tbk
s<')=3^e 
Рассмотрим сначала случай
со
F (0) = У у (х) dx 0.
—оо
Без ограничения общности можно считать, что
F(0)=l.	(3.3)
Тогда из (3.2) следует Р (0) F (0) — XS (0), т. е.
do = XS(O).	(3.4)
по

Пусть Р (%) = df7J 4* • • • >+ (!„№, где df =/=0 (d0 — • • • = d/_i =
t= 0). Тогда, последовательно дифференцируя (3.2) и полагая t =
0, получаем f\df = Х8(Л (0), № (0) — 0, 0 < / < f — 1. Отсюда
1 f'df
'	-	— tff) (0) ’	(3-5)
Пусть А = {а1( .... а„}—множество нулей многочлена Р (t)
(с учетом кратности), В = {01, ..., pft, ...}—множество нулей
функции Л (0 (также с учетом кратности). Из Р (0 F (t) =
= Z.8 (0 F (to.-1) следует
Р (0 F (t) P(ta~l) = Х28 (0 8 (to-1) F (ta~2).	(3.6)
Так как (см. (3.2)) Р (to-1) F (ta~l) = Л.8 (ta~l) F (ta~2), то, умно-
жив (3.2) на Р (tar1), получим (3.6)). Таким же образом получаем
F (0 П Р (ta~k) = V+1 П 8 (to-ft) F (ta-n~l).	(3.7)
/г—0	/г=0
Поскольку a > 1 и F (0) =И= 0, то начиная с некоторого п имеем
F (tarn-~x) 0 (для данного /)• Отсюда каждый нуль функции
Р должен содержаться среди нулей функции &	для
некоторого k (tn).
Теорема 1. Необходимым и достаточным условием существова-
ния финитного ненулевого решения уравнения (3,1) у(х) такого,
что
оо
j y(x)dx=* 1,
—оо
является следующее условие (И): существует инъекция i: А ->В
такая, что для всякого а, £ А существует натуральное т, для ко-
торого i (а;) = a~ma,j С В. Коэффициент % получается при этом
из (3.5), а решение имеет вид
оо
—оо
где
Г(0==П	(3-8)
k=O r	.
Доказательство. Достаточность. Нужно показать,
что F (0 — целая функция экспоненциального типа первого порядка
роста: | F (0 | < Се*1И и (0 G £х (— оо, оо), ] F (0 | < Ст t~m,
t g IR, m G N. Тогда у (x) по теореме Винера — Пэли — финитная
функция, и выполнение уравнения (3.1) проверяется непосредствен-
но.

Пусть 111 < R. Тогда начиная с некоторого N многочлен/
Р (ta~N) в круге 111 < R нулей, отличных от t = 0, не имеет.'
Xl(ta~k) , lr	, ,, J
Следовательно, _k'^ при k > N — аналитическая в круге 111
< R функция и	!
«=П‘^
k=N Г Va f
— также целая функция [21, с. 11, теорема 2]. Это следует из того;
ЧТО ряд
V / Ле (ta~k) _ . )
^N\P(ta-k) J
равномерно сходится в | 11 < 7?, поскольку
Ср
ak
ХЕ (td~k)
Р (ta~k)
В силу условия (И) каждому нулю знаменателя в (3.8) соответствует
свой нуль числителя, так что функция
F(t) = П 'Х£(<а~? Ф(0
Ц P{ta >
также аналитическая в | 11 < R и, следовательно, целая, так
как R — любое.
Пусть р = max IF(01, где R = max|aJ. Тогда
|F(OJ
А ХЕ (tg-i)
и;
Пусть v = min IP (t) I > 0. Тогда при 111 > aR
W>aR
, M
max |»fc|g
е <Се^.
Рассмотрим поведение F (t) на действительной оси. Пусть рд =
= шах | F (/) |, / g /?, Л > Г; Т выбирается из соотношения ! Р (0 >
|/|<л
при \t\>T и /=х=|Л|2ДМ-. Тогда из
Л=1
р а) =. р (_L\
Р (0	\ а I
112
4\.
следует
I/ЧОК
2/
dn №л
Нл
при А < | /1 < аА, t g R. Если
то | F (0 |< ррл, где О < р < 1. Следовательно, рЛл = щ »
I 17 /-А I
для А < t < а2А. Таким образом,
IF (01 < —У— рл
для всех | 11 >» A, t £ IR. Несложной модификацией этих рассужде-
ний можно показать, что F (/) на действительной оси убывает быст-
рей любой степени t~n. В самом деле, как уже показано ранее, на
действительной оси | F (01 ограничена, а
F (0 = П --7- F
,=о Р(/а)
Таким образом, у (х) — действительно финитная функция класса
С°°. Достаточность доказана.
Необходимость. Из того, что у (х) финитна, следует, что F (0 —
целая. Поэтому должна существовать инъекция
у: U акА -* (J акВ
к=0	k=O
(здесь ак А = {акаи ..., акап}, аналогично понимается акВ, объеди-
нение здесь и далее считается дизъюнктивным). Действительно,
каждое р =/= 0, р £ (Е, в множествах (J акА и U акВ может ветре-
но k=0
чаться только конечное число раз, т. е.
Л\	ОО
pg U акА и р^ (J акА,
k=0	&=Л\+1
Л72	оо
pg и акВ и р£ U ак&-
k="!	Ь=Л/,4-1
(Случай р = 0 не вызывает затруднений, так как выше показано,
что для $ (/) р = 0 — нуль того же порядка, что и для Р (/)).
Тогда из (3.7) при п > max (Л\, Nz) следует, что р встречается в
°о	оо
U akA не чаще, чем в U акВ (так как F (р,а“п“1) =/= 0 для достаточно
больших п), и, следовательно, инъекция у существует.
113
Положим
So = {а,-: aza-s A, k = 1, 2, ...
S1= {а,еЛ\50:а^^ 4\S0, k = 1, 2, ...},
S2 = {a, G4\S0 U Sx: afl~kG A \ So U Sx, k = 1, 2, ...};
Sz — последнее непустое S,. Необходимо по инъекции
у: U аМ-> (J акВ
fe=0	k=0
построить инъекцию i. Начнем с at G So. Каждому из них инъек-
тивно ставим в соответствие i {CLj) 6 В, а именно: у (a,) = amps.
Положим i (а,-) = ps. Инъективность очевидна.
Теперь перестроим у в ух следующим образом. Пусть alr G So,
г = 1....г*. Расположим jr в некотором порядке. Рассмотрим
afaj, k = 1,2, .... Положим для р G U akA, где yi.o = у,
r	k=0
Ъ.г (И) =
Т1.Г-1 (И).
a‘i (air),
yi,r-i (alair),
если
если
если
li^=akair и Ti,r_i (p)^=azt (a/r);
Ц = a‘air;
yi.r-1 (p) = ali (air)-
Пусть. yt — yi,r.. Легко видеть, что для всех a;- G So yt (alaj) ~
= aly (a,).
Переходим к Sx. Полагаем i (a) для a G Sx следующим образом.
Пусть yt (a) — amps. Тогда i (a) = (Js. Перестроим инъекцию ух
в инъекцию у2 аналогично тому, как у перестраивалась в ух. В кон-
це концов получим требуемую инъекцию I. Теорема доказана.
В теореме 1 рассматривался случай, когда F (0) = 1. Пусть те-
перь F (0) = 0. Тогда F (/) = tr G(t), где G (0)	0. Без ограниче-
ния общности можно считать, что G (0) = 1. Имеем
(0trG(t) =	-^tgI—\,
\ a /
t. e.
^(0G(0=-^-8(0G(v)
и, следовательно, приходим к условиям теоремы 1 с заменой А на
1ка~г. Поэтому
1.= ^-,
8(/'(°)	,=0
И
(PW = 4r J e“toG(0dt	(3.10)
—оо
114
является решением уравнения
Lq> (х) = Ъа~г Ф (ах — Ьк).	(3.11)
fe=i
Поскольку F (0 = tr G (t) — искомое решение уравнения (3..1),
и (х) имеет вид
#(х) = Сф(*>(х).	(3.12)
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Необходимым и достаточным условием существова-
ния ненулевых финитных решений уравнения (3.1) является усло-
вие (И). При выполнении этого условия для
>	Jdff>
.1 а(0 (0)
существуют финитные решения С <pz (х), 16 N, где
ФоW = “ST J П dt> Ф/W = Фо’ (*)•
Замечание. <рг (х) линейно независимы.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Исследуем подробно случай, когда L = Р (D), где
Р (/) = __« + а,	(3.13)
Р : у (х) -> cry (ах — bt) + с2у (ах — Ь2).	(3.14)
Тогда
, btt	bj
8(/) = -^-е ° +-^-е ° .
Пусть а 0. Тогда X (-у- +	= а и
%=-^—, Л={кх).	(3.15)
С1 + С2 ’	1	1	v ’
Исследуем нули 8 (t). Пусть 8 (/) = 0. Тогда
с	V
е а - — , р = —А- \\...............
СХ г i(bi— i>2)
Условие (И) означает, что существует т£ N такое, что ta
т. е.
Ln (_-SL'am+1
а = —ч—к--------•
Ь2 Ь1
Без ограничения общности можно считать q = 1. Тогда
(3.16)
(3-17)
с2 = — exp [(&а — bj) аа-т~Ч.	(3.18)
11$
Таким образом, для данных &х, Ь2 и а 0 существует счетное
число коэффициентов с2.т, для которых (3.1), (3.13), (3.14) имеют
ненулевые финитные решения.
Пусть а = 0. Тогда
сх + с2 = 0,
%	4-А2М = t.	(3.19)
\ а а а а )	'	7
Положим для определенности сх = 1. При этом
<3-2°)
Условие (И) означает, что существует 0=0. Нули функции
& (/) даются формулой 0 = -.-zLAn 1 *	, среди них 0 действительно
I (#1 — и2)
 содержится,
оо
Для а = 0 получаем единственное решение с J у (х) dx = 1,
имеющее вид

^ьГ---------------7^=г---------dt <3-21)
Сделав замену хх = х—, уравнение (3.1) с условиями (3.13)
и (3.14) всегда можно привести к виду
У' (х) + ау (х) = 1 (сгу (ах — dx) + с2у (ах + 6J).
Подставив х2 = рх, получим
у' (х) 4- ay (х) = 1 (у (ах — 1) + су (ах + 1)).	(3.22)
Для а = 0 уравнение (3.22) имеет вид
у' (х) =к(у(ах — 1) — у(ах+ 1)).	(3.23)
При этом
. ОО	ОО	,	_3
W--S	^ = -4--	(з.24)
—ОО	/=1
При а — 2 получаем у (х) = up (х). Обозначим функцию, опреде-
ляемую формулой (3.24), ha (х). Выяснить вид носителя функции
ha (х) можно, например, следующим образом. Как известно, функция
является характеристической функцией случайной величины,
равномерно распределенной (р. р.) на отрезке [— 1, 1]. Тогда функ-
ция	ч -
^(0=0-^
/=»
(3.25)
116
— характеристическая функция случайной величины
g(a) =	(3.26)
i=i
где {?/} — последовательность независимых р. р. на [— 1, 1] слу-
чайных величин. Функция ha (х) — плотность случайной величины
g (а). Теперь очевидно, что
supp ha (х) = [— b, 6],	(3.27)
со	I
где b = £ а~1 = у . Тогда
Fa®~-^^F(tar').	(3.28)
/г==0
Пусть Fa (/) = yj ck (a) tk. Из (3.25) следует, что
так что
= c2k(a)t*
k=0
£2*4-1 («) = О»
(3.29)
Поскольку
sin ta
td~x
“	. t2kn—2k
2	(2й + 1)1 ’
/г=0
(3.30)
то (см. (3.28))
г	V C2fe—2/(~^	2/
(3.31)
откуда

и, наконец,
„	_	1 VI* С2/ («) (- О*-'
С2*(а) a2fe_j 2^ (2k — 2/4-1)! •
Нетрудно заметить, что с0 (а) = 1. Из (3.32) следует
1 *-1 1
| c2k (а) | < д2А_ 1 2 (2Л —2/4-1)1	। С2> Ь
(3.32)
Поскольку
ft-1	1	00
2 (2Л-2/ + 1)! < 2 (2/ + 1)Г
/—о	/—о
117
то начиная с некоторого k (>& (а) < max | с2/ (а) |, откуда | C2k (а) | <
i-r	i<k
<ZC для всех k. Поэтому
(k	\
П a2j _ | J 2
и, следовательно, | Czk (а) | -> О при k -> оо. Отсюда и из (3.32)
следует
|^(а)|<С3П (а2/Ьр~ >	<3-33>
так как
при k оо, и начиная с некоторого k vk < 1. Из (3.33) нетрудно
получить
k
-S2/
I C2k (а) | < cta '=* = С4а~(/!+1)/г.	(3.34)
Оценку (3.34) можно еще улучшить. Скорость убывания ст (а)
в дальнейшем понадобится, например, для оценки остаточного члена
при разложении функции up (х) в ряд специального вйда.
Уточним поведение vk при k -> оо. Из (3.34) получаем
/ -
/ 1 -1
= Сл 2	(2Г+1)! Ь
\ м
(2/+1)1
(2/+DI
1
< С41 Съа 4 + Ce + 1)( ) < С7 +	.
Поскольку (см. (3.32)) | c2fe («) | <	—-vft, то
pk	/ k \ — I
I c2k (О) I < П -----------------< С8а-^+1) П /I . (3.35)
'•=* ^-1 П (/+1)1	^=* '
/=1
118
Так как
/0\
С“(а) = ->)Г--	(3.36)
а
F<2ft>(0) = (- l)fe J xikha (x) dx,	(3.37)
—oo
TO
oo	/ k	\— 1
J x2*/ia (x) dx < C8a-w+» (2Jfe)l П /!	< C9a~^k+l>. (3.38)
--OO	\j—l /
Рассмотрим ha(x) при a >2. Из (3.23) и (3.27) следует h'a(x)=s
= 0 на [— b„ Z>J, где b,= b--------= b /1----------4 > 0, и, значит,
ha (x) == const на [ —b,, 6J. Аналогично получим, что на двух ин-
тервалах общей длины 2 х 2д1а-1 функция ha (х) — многочлен
первой степени, на четырех интервалах общей длины 4 х 2/>1а-2
Яа (х) — многочлен второй степени и т. д. Мера множества Ро1а тех
х £ supp ha (х), у которых есть окрестность, где ha (х) — многочлен,
составляет:
р (Pola) = 2b, + 2b, 4 + 2b, 4 + • • • = 2b,------Ц- = 2b,
(3.39)
t. e. p (Pola) = p (supp ha (x)).
Таким образом, ha (x) при a > 2 на множестве полной меры —
многочлен, а на оставшемся множестве singa (нигде не плотном, типа
известного канторова множества) меры 0 — неаналитическая функ-
ция (действительно, ряд Тейлора функции ha (х) в точках множества
singa либо состоит из конечного числа членов и не сходится, следо-
вательно, к /га*(х), либо имеет нулевой радиус сходимости). Итак,
в полученном примере функций класса С°° (IR) почти в каждой точке
ряд Тейлора — многочлен, но функции тем не менее не являются
многочленами и не аналитичны.
Поскольку кусочно-полиномиальные функции называются сплай-
нами, то функции ha (х) при a > 2 естественно причислить к сплай-
нам класса С°°.
Вычислим значения ha (х) при а > 2. Пусть Singi — мно-
жество тех точек из Singa, в кбторых ряд Тейлора — многочлен.
Поскольку ha (х) — четная функция, рассмотрим только интервал
I—Ь, 0]. Из (3.22) получаем
^1
h (— 6Х) = С h'a (х) dx = — X j ha (ах + 1) dx =
—b	—b
= -4 peWdx = -4-
—b
119
Таким образом, на [— blt ha(x) =------------Г ’ а так как
л	Я2
X =	2~ > т0
(см. (3.20))
ha(x) = ±-.	(3.40)
Поэтому
Ь1
j ha(x)dx=ab1 = ^-	(3.41)
—bt
и, следовательно,
bt
(3.42)
—b
Тогда
_t + __ ,	-*+ —
ha — b + -b~abl j = J h'a (x) dx = — X j ha (ax + 1) dx =
(4— 4-^1) 	<3-43>
Далее,
h’a (— b +	) = j h"a (x) dx =
-i+(6—bt)a~1	b
= X2a J ha (a2x + a + 1) dx = — j /ia (x) dx = — . (3.44)
—b	-—b
Поэтому на [— b 4-	, — br----b~abl j
<3'45>
Продолжая таким же образом, можно вычислить коэффициенты всех
многочленов, из которых «составлена» функция ha (х), причем эти
коэффициенты будут рациональньГм образом выражаться через а.
ь
Между моментами функции ha (х) j x2n/ia (x)dx (а следовательно,
-ь
и коэффициентами Сг* (а)) и значениями функции ha (х) в некоторых
точках существует следующая связь. По формуле Тейлора
л А<*> (_ м
Ла № = 2	-----(% + + R“ (Х)‘
А:=0
120
где
Rn (х) = 4г $ h°+" W (х-^ dT- (3.46)
—ь
Но ha} (— Ь) = 0, k £ N. Поэтому
h0 (х) = Rn (х).	(3.47)
Из (3.46) и (3.23) видно, что значения ha (х) в точках х £ Singa есть
линейные комбинации моментов функции ha (х).
Найдем выражения для h(an} (х) и опишем точки х £ Singa. Из
(3.23) следует
1га(х) = 12а (ha (ах + а + I) — ha (а2х + а — 1)) —
— ha (а2х — а + 1) + ha (агх — а — 1)).	(3.48)
В итоге, продолжая дифференцировать ha (х) с использованием
(3.23), получаем
№ (х) = |1|" сГ^~ f &kha (апх + £ а/-’ (- l)^”), (3.49)
fc=i	/=i
где pj (k) — число, состоящее в /-м разряде двоичного разложения
числа k (т. е. числа k, записанного в двоичной системе счисления).
Числа 6* определяются следующим рекуррентным соотношением:
62^—1 = 6к,	= 1.
Теперь опишем точки множества SingL Точка х0 g SingJ в том
и только в том случае, если существует натуральное п и набор зна-
ков + или — такой, что
п—\
а"Х0 + S (± а*) = ± Ь,
fe=0
т. е.
/	п~1	\
х0 = I ± 6 + £ (± ак) I а~п.	(3.50)
\	*=о	/
Пусть х0 £ SingJ. Величины h{a (х0) согласно (3.49) выражаются
через значения ha (х) в точках вида
Xt = alx0 + S (± а1)-
Подставим вместо х0 его значение из (3.50):
/	п—1	\	1—1
хх = al~n(± b 4- VJ (± ak)] + £ (± d) =
\	ft=0	/	/=о
(п—1	л—-1	\
±6 + £ (±а*)+ S (±а*) •
/г=0	k=^n—l	/
121
Достаточно считать, что'О < /<п, поскольку при п < I ha} (х0) =
п—1
= 0. Покажем, что для тех наборов знаков в сумме	(± ak\
k=Q
для которых при п — I < k < П — 1 хотя бы один из знаков при
той же степени а в сумме
/2—1
S„- S
k=n—l
не противоположен, выполняется неравенство | хх | > b и, следо-
вательно, ha (Xj) = 0. Действительно, пусть kt, &х > п — Z,—
наибольшее из тех k, для которых у данных наборов знаков в Si и
2ц знаки при ak одинаковы. Тогда
ISi + Sii|>2<?.-2 f
k=n-l	fe=0
(так как a > 2). Поэтому
|az-n(±Z> + Si + 2п)1>7ТГТ= b-
Для того (единственного) набора знаков в 2ц, у которого знаки при
k > п — I противоположны знакам Si,
/	л-1-1
х1 = а'-"(±&+ £ (±а)
\	*=о
и в силу (3.50) Хх £ Singi. Следовательно, и производные функции
ha (х) в точках Singi рациональным образом выражаются через а
и c2k (а) (т. е. в конце концов через а).
Пусть 1 < т < 2П, а хЙ’ € Singa имеет вид
= (b—n^ ak (—	а~п.	(3.51)
\ fc=0	/
Тогда согласно (3.47) и (3.49)
хт
h.	- т'"~' dT =
\п 1/1 V
—ь
«(«—!) («)
. л	9 т т	/	п	\
-!Л f 2(л+VО/-’(-1)’/*-") X
—b	\	/=1	J
. |rt	2	т	т	/
x(x^-T)n~1dT = !% Д .-Уб, Лв^т +
V	1 /1	лШЛ	J	I
k=\	—b	\
п	\
+ £ а/-1 (-	_ T)"-1 dT.	(3.52)
м	/
122
Сделаем в k-м интеграле в (3.52) замену
t = ап% + £ а/-1 (— 1)р/(*~1>.
1=1
Получим
п(п—\)	ъ
h“	s б * * * *Л h° <о № -(* +
К '	/?=1	— ь	\	\
+ 5 а' (— 1)₽'+1(*~1,'| а-”)	dt.	(3.53)
/==О	/	/
л(л— 1)
2/z	2	т L 2 J	/?
h“= а< а-"а-'1(л-1)S 6ft 2 C^Zk.nil Jha (t) Ait =
{П — 1}! z	fe==l ;=O
_ п(л~3 * s) L 2 J	m
a 2	2 С^Н)Ш,(д)ШаЛ (3.54)
Z=0	k=l
где
^m.k,n = b+% ai ((- l)p/+*(^—4 - (-
W
Например, для т = 1, т. е. x(irt) = — b + 2ba~n,
n(n—3)	П
-----2-- L 2 J
М*(1Я)) = ° п,-9П S C2Z_1(-l)z(2Z)!c2Z(a)6n-1-2Z. (3.55)
(n — 1)1 2" fc=o
Выведем формулу для /iaZ) (Xm). Из (3.49) следует
/а-i)	/ i-i	\
Ла’ (ХЙ>) = IX |z a 2 6Л alx^ + % al (- l)p/+>(s-1) , (3.56)
\ ?=° /
где s определяется из формулы pt (s — 1) = р^п~1 (m — 1):
s = [m2l~"l. Таким образом,
/(Z—1)	/	/	n—1
№ (4?) = IM'« 2 6Л al~n \b - S ak(— 1)р*+1И-1> +
\	\ fe=o
Z(Z+3)
w	—~
+ ^ai(- l/l+K*-1» = -«-j- 8sha (хГ0),	(3.57)
/==0	] ]	z
123
где г = т — [m21 "] 2" 1 + 1. Окончательно получаем

_ (n—Z)(n—Z4-3)	Z(Z+3)
_	2'2
-----------------6S
2n(n — I— 1)!
X
Гл-z-i 1
L 2 J	r
X X C^Lz-i (- 1)' (2/)! c2i (a) S W'rtr-r2’.
k=\
(3.58)
Итак, на интервале Й’, х{т + 2Ь1а~п+1] функция ha (х) — мно-
гочлен степени п — 1 вида
л—1 /,(0 /г(л)\
<3.59)
/=0
где h(a (х(т) вычисляются по формуле (3.58).
§ 3. ФУНКЦИЯ ир(х)
Рассмотрим ha (х) при а = 2. По определению Л2 (х) = пр (х).
Функция up (х), введенная в работе [52], исследовалась в работах
[53—57, 59, 60, 66]. Из (3.24) следует	
«	оо	ОО	,	h upw=4r j ^п^-dt	(3.60)
—оо	Л=1	
Функция up (х) — решение уравнения	
у' (х) = 2у (2х + 1) — 2у (2х — 1),	(3.61)
причем	
supp up (х) = [— 1, 1].	(3.62)
Производная n-го порядка функции up (х) вычисляется по фор-
муле
ир<"’ (х) =» 2С«+* £ 6ft up (2"x + 2" + 1 — 2k).	(3.63)
Легко заметить, что
II up™ (х) ||с[—i,i] = || up<«) (х) ||l1{_ 1,1] = 2Cn+l .	(3.64)
В точках вида k2rn (т. е. двоично-рациональных) ряд Тейлора функ-
ции up (х) — многочлен степени п. Нетрудно убедиться, что в ос-
тальных точках носителя up (х) — отрезка [— 1,1] — ряд Тейлора
этой функции имеет нулевой радиус сходимости. Таким образом,
в то время как функции ha (х) при а > 2 аналитичны на множестве
полной меры, функция up (х) неаналитична ни в одной точке носи-
теля. Повторяя рассуждения § 2, можно вычислить значения функ-
ции up (х) в двоично-рациональных точках, выразив их через момен-
124
ты функции up (х). Приведем формулы для этих моментов:
1
2b2k = a2k = J x2k up (x) dx = (— l)fe c2k (2) (2k)\\	(3.65)
—i
&2H-1 = \ x2k+2 up (*) dx = — )	+ 2 up' (x) dx =
о	0
= TFT J x“+2 UP (2x - 1) dx = -2^2- J ^£±iyft+2 up («) du =
л,-]-*
~ ^‘t + 2, ,g.C^'-	<3'66>
Теперь по формуле Тейлора получаем
—14-fe2—л
up (— 1 + 62“л) = 4~ J up<n+*> (т) (— 1 + k2~n — т)л dr =
—-1
Лн k -1+rA2-n
= —S6' J up (2л+1т + 2rt+l 4-1 — 2/) (—1 + fe2-n — T)ndr =
/=1 -i
оСл+2-(л+и k «
= —-I---------£6/ Jt up (0 (- 1 + k2~n - (i - 2л+1 - 1 + 2/) X
i	oCn4-2—n~1—л* fe<!	/	j f Xn
x 2-n-i)n dt=-2—— s 6, j up (o (k - j+4 - 4) dt=
2-n’-/!-I+Cn+2 * W „, /	i	Xn-il ,,
= --------j------S 6j 2 C2l(k-j + 4	a2l2~21. (3.67)
m j=l i=o x	2	'
Для точек вида — 1 + 2~л поступим следующим образом [59]:
-1+2-л
ир(-1+2-л)=-7-4п- С ир(л) (т) (—1 4* 2-л — т)л“ dr =
V1,
Сп+1 “’+2~Л
= -^П)Г J up (2ЛТ 4- 2Л 4- 1 - 2) (- 1 + 2~” - т)л-’ dr =
^С2.,-п 1
= V»rf“P ('>'"'« •2"”"
о
По формуле (3.63) найдем
т
ир«> (_ 1 + 2-л) = 2 СЖ up (— 1 4- 2,-л) =
_ bn—l
<?
2 л (п — 1)!
^.2
2Cl+i~cn—l
(я-/— 1)1 Ьп~1~1’
(3.68)
(3.69)
12$
Получим .теперь формулу для вычисления функции up (х) при лю-
бом х. Достаточно рассмотреть случай — 1 < х < О, так как
функция up (х) четная. Для функции <pn (х) = up (х) + up (х — 2~п)
на интервале [—1 + 2~п, — 1 + 2-п+1] получаем <р"+1 (х) @ 0, так
как 62 = — бх. Следовательно, на этом интервале
п (— 1 4- V~n\
w=2 ~л—~	+1 - 2“")г *	(3-7°)
/=0
причем ф(п!) (— 1 + 2“") = up(Z> (— 1 + 2~”), так как up(Z) (— 1) = 0.
Таким образом, для х £ [— 1 + 2~п, — 1 + 2-п+1]
ир (х) = 2 U.P<O(T ‘+2~П) (х + 1 - 2-я) - up (х - 2“"), (3.71)
/=о
т. е. для того чтобы вычислить функцию up (х) на [— 1 + 2~п,
—1 + 2~П+Ч, нужно знать ее значения на [— 1, —1 + 2~"]. Раз-
бивая интервал [— 1, — 1 + 2~"1 на интервалы [—1, —1 + 2_',~1]
и [—1 4- 2-п—*, — 1 + 2~п] и повторяя те же выкладки, можем свес-
ти вычисление функции up (х) на интервале [— 1 + 2-п~1, — 1 +
+ 2~п+1] к вычислению ее на [— 1, —1 + 2~п~11. Тем самым полу-
чаем возможность записать некоторый ряд для вычисления значений
функции up (х), причем ряд быстро сходится. Действительно, на
I— 1, — 1 + 2-«]
0 < up (х) < up (— 1 + 2~п),
ир(-1 + 2-")=-^=1—.
2 ” (п — 1)1
Следовательно, использовав оценку (3.38) для сг* (а), получим
Выпишем этот ряд для 0 < х < 1:
.	г2
°°	* OJ I 1 h
up (X - 1) = 2 (— l)Sft+4 2 —72--------k-^-----(X — о, Pi ... prf;
2 k~i (k — j— 1)! /1
(3.73)
k
&_!==!, 01 = (-1)1 = 1, sft=£pz.
/=i
Здесь величины bh />0, вычисляются по формулам (3.65), (3.66),
а х = 0,	... pk... — запись числа х в двоичной системе счисления.
126
Таким образом, х — 0, рг ... рк = х — [х2к] 2~к. Остаточный член
». г2
л	k С .1 *
R,м - up(X-1)- 2(- if+' 2	
fc=l	/=0
2 к~1 (k — j— 1)1 /I
(3-74)
не превосходит up (— 1 + 2~п), т. е.
(3.75)
(п—1)1
§ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ В ВИДЕ
ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ СДВИГОВ ФУНКЦИИ ир(х)
Из формулы (3.63) следует, что для того чтобы линейная комби-
нация сдвигов функции up (х)
ф(х)= £ ckup(x-k2~n)	(3.76)
была многочленом степени п, необходимо и достаточно выполнение
системы равенств
2п+1
ck+i8j = 0,	(3.77)
/=1
т. е. коэффициенты ck должны быть решением разностной однородной
системы с постоянными коэффициентами (3.77). Поэтому должно
выполняться условие
N Р/—1
% =	(3.78)
i=\ Z=0
где со*"’ — корни уравнения (степени 2"+* — 1)
2«+1
Q„(*) = S 6A2"+ -ft = 0,	(3.79)
a pi — кратность корня со*"’. Вычислим корни уравнения (3.79).
Очевидно,
Q0(X) = X— 1, toj0’ = 1.	(3.80)
Кроме того, легко видеть, что многочлены Qn (X) удовлетворяют ре-
куррентному соотношению
Q„(A) = Q„_I(X)(A2"-1).	(3.81)
Поэтому корни характеристического уравнения (3.79) равны:
со}"’ = exp (2л1/2-г),	(3.82)
11/
где 0 < / < 2Z, I = О, 1, ...» п. Окончательно получаем
2Л	V2(j)	ч v2(j) “I
ck = у cos (2л/&2—”) 2 Cjik1 + sin (2njk2~n) J djik1 , (3.83)
i=i L	i=o	1=0 J
где v2 (/) — 2-адический показатель числа /, т. е. наибольшее
целое число v2 (/) такое, что 2В!</) делит /. В частности, если ck — мно-
гочлен степени п от индекса k, то функция £ ck up (х — k2~n) =
k
= Рп (х) — многочлен степени п. Действительно, корень 1 имеет
кратность п + 1 (/ — 2"). В работе [53] приведены формулы для
представления хп в виде линейной комбинации сдвигов функции
up (х).
Докажем следующую теорему о единственности представляющей
функции (т. е. функции, линейные комбинации сдвигов которой мо-
гут представлять собой многочлен сколь угодно высоких степеней).
Эта теорема является усилением теорем, приведенных в работах
[53, 66].
Теорема. Пусть <р (х) — финитная функция с носителем [— 1, 1]
класса С°°, удовлетворяющая следующим условиям:
1
1)	J <р (х) dx = 1;
—1
/Woo 2^n-j-2
3)	для каждого натурального п существуют коэффициенты с;-л)
такие, что
S сГ<р(х-/2-л)=хл.
;=-оо
Тогда ф (х) == up (х).
Доказате ль с т в о. Из условия 1 теоремы следует
£ С/0)ф(Х — /)ss 1,
/=—со
где коэффициенты С/0) обязательно равны 1. Отсюда ф' (х) =
= 2ф! (2х +1) — 2ф1 (2х — 1), где фх (х) — финитная функция
с носителем [— 1, 1] класса С~, удовлетворяющая всем условиям
теоремы. Аналогично находим
ф! (х) = 2ф2 (2х + 1) — 2ф2 (2х — 1),
где ф2 (х) удовлетворяет тем же условиям, и т. д. Получаем последо-
вательность функций {фп (х)}, удовлетворяющих условиям теоремы
и таких, что
<	р'п (х) = 2ф„+1 (2х + 1) — 2ф„+] (2х — 1).	(3.84)
128
Проинтегрируем (3.84):
<	р„ (х) = 2 j (<pn+i (2t + 1) -<pn+1	(8.85)
Из определения функции up (х) имеем
up (х) = 2 j (up (2/ + 1) — up (2t — 1)) dt. (8.86)
Из условия 2 теоремы следует
11т1^_||га2^Ч^«1£. = 0.	(3.87)
___ 0Л	__,	pH	\	'
П-+ОО	n-*QQ	z
Кроме того, <рп (0) = 1, фп (х — 1) 4- Фп (х) = 1 при х £ [0, 11. То же
верно и для функции up (х). Положим
у„ (х) = up (х) — <р„ (х).	(3.88)
Согласно (3.87)
lim	= 0	(3.89)
/2->ОО
Функция у„ (х) обращается в 0 в точках — 1,0, 1 и, кроме того,
для х G [0, 1]
Тл (х) = — у„ (х — 1).	(3.90)
Из (3.84) и (3.88) находим
Y	«(x) = 2 J .(y„+i (2/4-1) — y„+i (2/— 1)) dt. (3.91)
—1
При х £ £— 1,---из (3.91) следует
|Тл(х)|<||т«+1Ь	(8.92)
Согласно (3.90) неравенство (3.92) выполняется и на [-0] и,
следовательно, на [—1, 1]. Кроме того, в силу (3.90) на I—1,0)
I Уп (х) | < j Ул+1 Це01 (2х + 1),	(3.93)
где Ох (х) « 1 — | х |. Поэтому
b-itolc^hn+ilc	(3.94)
И
| Ул—1 (х) I < -у I ?*+» вс «ч (2* + Н»	(3.95)
‘/* 5 9-23
129
где
о„(х) = 2	+	(3.96)
Продолжая эти рассуждения, получаем
II То ||с = И up (х) — <р (х) ||с < (4")” И ?л+11|с-	(3-97)
О
Здесь использованы условия 0 < ап (х) < 1; J оп (х) dx =
Поэтому из условия 3 теоремы и (3.89) следует || у0 ||с = 0, т. е.
Ф (х) = up (х). Теорема доказана.
Замечание. Ограничение на рост производных в условии 3 теоре-
мы нельзя ослабить. Например, функция ф (х) = up (х) + а ир'(х),
а =f= 0, удовлетворяет условиям 1 и 3 теоремы, но
.. II <P(n) W Ис . ,
Ьт------------= |а|
2 ЛЧ-2
и, конечно, теорема для нее не верна: up (х) Ф up (х) + a up' (х).
Функции а„ (х), используемые при доказательстве теоремы,— фи-
нитные сплайны — подробно изучались в работах 162, 63].
$ 5. ФУНКЦИИ Fup„(«)
Рассмотрим преобразование Фурье функции
F(t) = F2(t) = П
/=1
о *	•	*
2 COS -г- Sin -5- ОО
sin/2 1 ___________4	4 гл sin/2 *
12~>	~ t	t2~'
2	1
sin/2 I
(3.98)
Положим
Ftl](0 =
/=3
sin <2 I .
t2~i ’
(3.99)
Fupjx) J (0 dt.
—oo
Тогда из (3.98) следует
up (x) = (F upx (x--J-) + F uPi (x + 4")) 2-1*
(3.100)
130
Поскольку
	sin t t	= n cos/2"*, /г=1	(3.101)
TO	oo		
t. e.	F[1l(0= П /=1'	sin	70—/—2 1 	т-i— COS t2 1	, Й-'-1	J	(3.102)
F[I] (/) = sing--i cos /2-3F[1] (4-),	(3.103)
i2	\ 2 /
ИЛИ
r 11	r 11 / t \ {eltr~2 — e-1^ \ leit2~Z 4- г~й2-3 \
itF1" (0 = 4F[1] 4 ------------------ --------V-------- =
(. \	3	1	1	з
4)	(/ -S’ + e	- e~U - e~U T).
Это значит, что функция Fupx (х) также атомарная и удовлетворяет
уравнению
у' (*) = 2 (у(2х + 4)+ «/(2х + 4) — #(2х —~г)“
	/о	3 \\ — 1/(2х ——.	(3.104)
Легко видеть,	ЧТО	
	supp F upj (х) = [— 4.4"] •	(3.105)
Положим	^2](0 = te-) \	/ /в4	(3.106)
и		
	Fup2(x) =4г J е-(0 dt.	(3.107)
Поскольку		
	F[1] (/) = F121 (/) cos2 4 »	(3.108)
то
Р upx (х) = [f up2 /х----g-j + 2F up2 (х) + F up2 fx + 4)) 2 2 •
(3.109)
*/4 +5 9-23
131
Функция ЛЯ (t) удовлетворяет функциональному уравнению
F[2] (0 =	(cos /2-4)3 F121	.	(3.110)
Поэтому
FupHx) = 2£ (^-C|-2)Fup2(2x-4 + 4-Y (3.111)
k=Q	\	/
Вообще положим [60]	
^(о=(^^У+‘ п \	J 1=п+2	(3.112)
И	
F ирл (х) = J [Л1 ® dt-	(3.113)
—со Тогда л-|-1 F ир„ (х) = 2-"-* S Ckn+1F up„+I (х - k2-^ + (n + 1) 2~n~2)	
	(3.114)
fw (0 = -sln^„222 (cos й-”-2)04-1 (4);	(3.115)
л+2 F up; (x) = 2 S (C*+i - О F up„ (2x - Z52-"-1 + (n + 2) 2‘ Ь—Л	-Л-2);
	(3.116)
supp F uPn (x) = [-(« + 2) 2-”-1, (n + 2) 2-л-*].	(3.117)
Из (3.114) получаем	
	z>2 1	2	л	, , up(x) = 2 C” 2 S ••• S C>*C2 ••• fc1==o fc2=o	kn^0	
k	I	n ; n	♦ A ... Cnn F up; x - £ k(2‘+ £ i2-‘-’ . \	1=1	t=l	/	(3.118)
Нетрудно заметить также, что поскольку	
ГТ	/ ein /9—п—1	. rW (/} __ I sln	1	р (fQ—л—h.	(3.119)
Г	“ \ /2“л-1	/ /	•	-1 \Л"4-1 /?[л] / А — [ Sin*2	 ) р (1<У~П\	
	(3.120)
	
ТО	
F ир„ (х) = Вл (2л+1х) X иР (2л+1х);	(3.121)
F ир„ (х) = Вл_] (2"+'х) X up (2"х),	(3.122)
132
где В-сплайн Шенберга
W = 4- J e“xdt. (3.123)
Аналогично тому, как это делалось выше, получим формулу для
разложения функции Л"] (/) в степенной ряд (а тем самым и для мо-
ментов функции F uprt (х)):
/*”(0=2
d»(n)=2fl2/2 Ж 2	(2k, + 1)1 . . . (2kn + 1)1 ;
I =0	Ri“r • • ~rRn—R—/
(3.124)
(л+2)2—«—1
J x2*F ир„ (х) dx = (— l)ft d2k (n) (2k)l	(3.125)
—(л+2)2—n~1
Из (3.112) видно, что
FupJr+^x) = 2<,л+1,п5'(- l)*C*+i up (2”+1x—-2£ + (n + 1)). (3.126)
fc=0
Поэтому на интервале [—(n + 2) 2-n-1, 2~л — (п + 2)2~п~Ч
F upn (x) = 2^+> up (x — 1 + (n + 2) 2“лЧ),	(3.127)
Вычислить функцию F up„ (x) на интервале [— (n + 2) 2~”~1 +
+ /2—”, (/ + 1) 2~" — (n + 2) 2~/!~1] можно по формуле
F up„ (x) = 2^+> (- I)1 Cn+i up (x - 1 - /2-” + (n + 2) 2-”-1) +
+ 2 (x — /2~n + (n + 2) 2-/,-1)\	(3.128)
k=Q
где коэффициенты полинома ci") вычисляются следующим образом
(из формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме):
(n> _ F up<„fe' (j2-n - (п 4- 2) 2-"-1)
С/!,/--------------,
F цРГ (/2-я - (п + 2) 2-л-*) =	X
X S (- 1/ Скп+1 С up (Ц) (« + (/ - k) 2 - D^du =
*=о	Д
9—(/z+l)(/n+D /—1	n—m
=	2	c*+' 2 (2 O’ - k) - i)s
V ’	k=0	s=0
(3.129)
(3.130)
1/«+5*
133
Выясним, в каком случае линейная комбинация сдвигов функции
F ир„ (х) вида
<р(х)= f сйГир„(х-Л2-л)	(3.131)
k=—оо
представляет собой многочлен степени п. Из (3.126) для этого необ-
ходимо и достаточно выполнение условий
«4-1	. .
2 ck+i (- 1)' Ci+> = 0, k G z-	(3.132)
f=0
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
«4-1	. .
£ (-1)'с'+д' = о,	(3.133)
/=о
где X = 1 — корень кратности п + 1 и, следовательно,
c^^Ajkl,	(3.134)
/=о
т. е. <р (х) — многочлен степени п в том и только в том случае, когда
ck — многочлен степени п от индекса. Функция F цр„ (х) есть линей-
ная комбинация сдвигов функции up (х), а именно:
гпо Fup„(x) = S c*up(x-l+(п + 2)2-"-, + ^2-'!), (3.135)
Г ДС	fe— 0
2	2
с0 = 2с«+>, cs = (- l)s 2с«+>С’+1 - S сД-/-
/= max (0;s—2Я+Ц
В дальнейшем рассматриваются последовательности конечномер-
ных пространств, порожденных сдвигами функции up (х). В этих
пространствах важно наличие так называемого локального базиса,
состоящего из сдвигов функций F upn (х). Таким образом, функция
up (х) является линейной комбинацией сдвигов финитной функции
со сколь угодно малым диаметром носителя. Таковы и другие ато-
марные функции.
§ 6. БЕЗГРАНИЧНО ДРОБИМЫЕ ФУНКЦИИ
Определение 1. Финитная функция <р (х) называется безгранично
дробимой, если для любого 8 > 0 существует финитная функция
<р8 (х) такая, что
Ne
ф(х) =	4e)q>e(x-4E)J.	(3.136)
fe=l
Функция <ре (х) при этом называется дробной компонентой (или для
краткости просто компонентой) функции <р (х).
Определение 2. Финитная функция <р (х) называется сильно
безгранично дробимой, если она безгранично дробима на безгранично
дробимые компоненты.
134
Определение 3. Финитная функция ф (х) > О называется дис-
кретно аппроксимируемой, если она безгранично дробима и коэф-
фициенты из (3.136) для каждого е > 0 можно выбрать такими,
что
Ne
<Г>0, Sde)=l,	(3.137)
*=1
причем
§ <ре (х) dx = 1; фе (х) >0.	(3.138)
Замечание 1. Безграничную дробимость не следует смешивать
с безграничной делимостью законов распределения случайных ве-
личин.
Замечание 2. Функция ф (х) в определениях 1—3 не обязательно
должна быть обычной функцией точки — она может быть обобщен-
ной функцией, мерой — лишь бы были определены сдвиги, линейт
ные комбинации, финитность (понятие носителя), неотрицательность.
Замечание 3. Финитная функция дискретно аппроксимируема
тогда и только тогда, когда она является «плотностью» (см. замеча-
ние 2) случайной величины, обладающей следующим свойством:
для любого в > 0
где Й8) — дискретная случайная величина, принимающая конеч-
ное число значений, а 11 < е.
Теорема 1. Функция up (х) сильно безгранично дробима на ато-
марные сильно безгранично дробимые компоненты; она является
также дискретно аппроксимируемой.
Доказательство теоремы 1 содержится в § 5.
Легко видеть, что класс безгранично дробимых финитных функ-
ций шире класса атомарных функций — к безгранично дробимым
относятся также В-сплайны Шенберга Вп (х), а именно:
вп (X) = S Ckn+lBk (2х - k2 + п + 1).	(3.139)
*=о
Теорема 2. Каждая сильно дискретно аппроксимируемая функ-
ция имеет вид
где
Ф W = J е“'7'Ф (О dt.
—ОО
(3.140)
ф(0== п (s № ‘ );
fex=l \Z=1	/
J^ = l; с(?’>0.
z—t
(3.141)
434
Если S max |	| < oo, то ф (x) — финитная функция. Одна-
Zs=l
ко ответ на вопрос, какие условия нужно наложить на и а}**
для того, чтобы <р (х) обладала той или иной гладкостью, по-видимо-
му, непрост.
Рассмотрим следующие важные для дальнейшего частные случаи
сильно дискретно аппроксимируемых функций
$(/) = Псовей-6, lk>lk-u 4>1.	(3.142)
fe=i
Положим L = {/*}, ф (х) = ф£ (х).
1. lm = L+i = ••• = lm+k ~ ••• для некоторого т. Тогда
Фь (х) С С^-2 (IR) и ф(г«—1) (X) — кусочно-постоянная функция, т. е.
Ф1(х) — обыкновенный полиномиальный сплайн степени т—1.
2. 4->оо. Тогда фх. (х) £ С°° (К). Действительно,
ф(0 =
(3.143)
и, следовательно, ф (/) убывает быстрее любой степени tm на IR.
Отсюда ф (/) С С”. Несложно показать, что
(/	ОО 1   1	\	\
4+2—~2**~1 и • (ЗЛ44)
\	fe=2	/	/
Поэтому при ° = + ~ \-----------k---<°°
fe=2 2
Ф (х)— финитная функция
с носителем [— о, о] (по теореме Винера — Пэли). В частности,
Up (X) = ф£ (х)	для	1к — k-,
Вп (х) = ф£ (х)	для	lk = п + 1;	(3.145)
Fupn (X) == ф£ (х)	для	lk = п + 1 + k.
Пусть NDS — полугруппа неубывающих последовательностей
натуральных чисел. Тогда, если a, 0 С соответствуют фа (х),
ФР (х), то, очевидно, а + 0 соответствует фа # фр (х). Каждой ф£
соответствует последовательность Ф£>от 2т+* -мерных подпространств
С [— 1, 1], состоящих из функций вида
Ф (X) = S (X - k2~m)	(3.146)
k
с условиями ф(,!) (— 1) — ф<*> (1), k G N.
Аппроксимационные свойства последовательностей пространств
Фь.т рассмотрены в гл. 4. Однако для произвольного L функция
136
Фь вычисляется более сложно, чем для рассмотренных частных слу-
чаев,— это может затруднить применение Фд,т для произвольного
L С NDS в численных методах.
§ 7. ФУНКЦИИ yk(x)
Вернемся к рассмотрению финитных решений уравнения (3.22)
у' (х) + ay (х) = X (у (ах — 1) + сту (ах + 1)),	(3.147)
где
ст — — ехр (— 2aa-m~1), т £ N.	(3.148)
Пусть /т,а (х) — решение (3.147) с условием £ fm (x)dx =* 0. Тогда
— ОО
1	Л
= У ^7(0dt,
где
Л “Н а ^Ст а
Ш-Гр-----------
оо
(=0
а(й-«д-/-'”-1 +Стеи^!-^-^
(1 + ст) (— На"1 + а)
(3.149)
так как
Хо = -Нпг-.	(3.150).
1 к ст
Таким образом, при т > 0 функция fm (х) — линейная комбина-
ция сдвигов атомарной функции с более узким носителем, удовлетво-
ряющей уравнению
У' (х) + ay (х) = X (у (ах + ат) + ст«/ (ах — а'")).	(3.151)
Поэтому достаточно рассмотреть решения уравнения
у’ (X) + <ху (х) = y(ax+D-	у (ах - 1), (3.152)
I и	1 —р и
1 00 Л
имеющие вид уа (х) =	§ e~ltxya (t) dt, где
—оо
Л Ла	4- сеиа~!\
У-ОТ-П-ГТ? (-«X*  с = ~*ехР (—2а). (3.153)
137
Они были приведены в работе [61] для а — 2. Для а = 2 уравнение
{3.152) имеет вид
_ k_	k_
Ук (х) - kyk (x) = yk (2x + 1)--------yk (2x - 1). (3.154)
sb—	sh^-
1
Положим, как обычно, J ук (x) dx = 1. Тогда
—i
1 У» W = -ST J	e«4(0dt,	(3.155)
—оо где ^(0=П—Ц- Л=1 2sh-y	. 1 k , it \ Sh ( 2 + 2.)	(3.156)
	•** OJ •fti СЧ	
и supp yk (x) = [— 1,1]. Пусть
<P(X)= S c,yk(x-i).	(3.157)
/=—00
Тогда из (3.154) следует
(__fe	k_ ,
Cj-----c,_, ) yk (2x — /). (3.158)
sh g sh g /
Поэтому <p' (x) — k <p(x) = 0 тогда и только тогда, когда
Cj — ekCj-\ — 0,	(3.159)
т. е. Cj — c^i. Итак,
Ф (х) = S ек'Ук <.х~ Г) *= с^кх‘	(3.160)
Вычислим значения функции ук (х). Из (3.160) для х£ [О, 1]
получаем ук (х) + (х — 1) = с2екх, т. е.
Ук (х) = с2екх — екук (х — 1).	(3.161)
Таким образом, достаточно знать ук (х) при х £ [— 1, 0] и константу
с2, чтобы вычислить ук (х) при х£ [О, 1]. Положив в (3.161) х = О,
получим
с2 = ук(0).	(3.162)
Кроме того, из (3.154) при х £ [— 1,0] следует
к
>	ke 2
Ук (X) — kyk (х) =---ук (2х 4-1)
shT
138
Отсюда
X	X ~
(0 - kyk (t))	di =	С -*Ц-
-i	4 sh т
yk(2l+ l)e-«dt. (3.163)
Но
X	X
j* yk (/) dt = yk (О	|1! + j kyk (t) е~» dt,
-1	о	-1
откуда
л
С ke 2
+	(3.164)
-1 sh T
Положим к = 0, тогда
fe	k
°	b~ 1	k (ц~1?
yk (0) = e fe. ( yk (2t + 1) e~« dt = ——T- \yk(u)e 2 du =
sh-y 4	2sh-T-i
следовательно,
Пусть
£'п = п(-^-2/4-	(3J66>
1=0X	7
Тогда
LmyAx) = 2^+^\l^yk(2m+ix-2j + 2m+l +1),	(3.167)
l=i
где коэффициенты c(/m) вычисляются следующим образом:
1»
здесь n (/) — число единиц в записи числа / в двоичной системе
счисления. В справедливости формулы (3.168) можно убедиться,
применив метод индукции. Из (3.167) следует
т	х	2	1
Ук (х) = £	( е-2г«2С">+‘ V 6//% (2т+‘/ - 2/ 4- 2zn+l + 1) dt,
i=o J,	/=1
(3.169)
где
1 П (2Z —2')
UrtU
Отсюда
ук (— 1 + S2-"1) = £ a^-i+sz-n^m+i х
2m+l —l+s2“rn
X Mm> j e-^yk(2m+4-2j + 2m+t + l)dt=*
tn ,	A 2^4-1
= £ a^'M-l+sr-W) 2^+1 £	x
Z=0	j~l
s -l+r2-m
X £ f e~2lktyk (2m+1z — 2/ + 2m+1 + 1) dt =
r—1	V
—!+(/•—1)2—m
= У a^M-l+s2-»”) 2^+1 2 V 6/C/m) £ 2~m C g—2zfe((«—14-2r)2—m—1) X
Z=0	1=1	£1 J]
X yk(u — 2(j — r))du.	(3.171)
Здесь и = 2m+lt 4-1 — 2r 4- 2m+1 для r-го интеграла, i = (u — 14-
4- 2r) 2~m~1 — 1. Поскольку supp yk (x) — [— 1, 1], получаем
yk (— 1 4- s2~m) = £ a^ki-i+sr-") 2^+1 x
£=x0
s	1
X У 2~m8rC^} ( e-2Zft««-l+2r)2-^-l-l)^ („) du =
J|
= 2 a^’ki-l+sSr-m) 2C"»+l-m	§^c<'n)g-2zfe((2r--l)2-n’-1-l) x
Z«=0	r=l
Xyk(i2t~m~lk).	(3.172)
При s = 1
y, (- 1 + 2-) - 2 <v='-"-'4 (<2-‘—,S) 2<-i	. (3.173)
й	\ sh T /
140
§ 8.	ФУНКЦИИ Вп(х) и gkh(x)
Функции Sn (х) — это непосредственное и естественное обобще-
ние функции up (х). По определению S„ (х) — финитное с носителем
[— 1, 1] решение уравнения
У(п) (х) = a £ Ckn (- l)fe у ((п + 1) х + п - 2k),	(3.174)
fe=0
1
где а = (n + 1)”+12-л, нормированное условием j Sn (х) dx = 1.
Легко видеть, что
S„(x)	1 ( е-^П s,nZ(ra + 1)fe • ) dt;
пК ' 2л J 1*1	<(n + l)-ft 1
—оо k=l \
31 (х) = up (х);
(3.175)
E;w = hn+i (х) X • • • X hn+1 (X).
(3.176)
п раз
Все результаты, полученные в настоящей работе для функции
up (х), без труда переносятся и на функции Sn (х), п > 1, однако
формулировки результатов и их доказательства становятся более
громоздкими.
Рассмотрим функции gk,h (х) — решения уравнения
g"k,h (х) + k2gk,h (х) = agk,h (Зх + 2h) — bgk,h (Зх) + agk,n (Зх — 2h)
(3.177)
h
с условиями f gk,h (х) dx = 1, suppgfe,ft = [—h, h]. Видим, что
—л
(о = П |—тг [cos (2ZZl3-/> -cos т kh\ № ~ I >
1=1 U — cos—L	J
(3.178)
3	. o 2kh
a~ 2	2kh ’ ^-2acos-g—.
1“cos —
Для того чтобы выполнялось равенство
2 Cmgh.h (х---= A COS kx + В Sin kx,
т	\	/
необходимо и достаточно, чтобы аст — bcm+i + аст^2 = 0, т. е.
ст —	+ С^2, где — корни уравнения X2 — 2 cos х
X X + 1 = 0. Отсюда
л 2khm . л . 2khm
ст “ bi cos—J-------------------f- С2 sin —-— .
Функции S„(x), goW были введены в работах [61,64].
ГЛАВА 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ
АТОМАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
$ 1. НЕРАВЕНСТВА ТИПА МАРКОВА — БЕРНШТЕЙНА
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ СДВИГОВ ФУНКЦИИ ир(£)
1.	Хорошо известны неравенство Маркова [27]
max | Рп (х) | < max | Рп (х) |,	(4.1)
<6[а.6]	° й
где Рп (х) — алгебраический многочлен степени п, и неравенство
Бернштейна [40]
max | Т’п (х) | < п. max | Тп (х) |,	(4.2)
где Тп (х) — тригонометрический многочлен степени п. Эти не-
равенства играют важную роль в теории приближений многочлена-
ми. В дальнейшем используются их аналоги для линейных комбина-
ций сдвигов сжатий функции up (х).
Рассмотрим функции вида
ф (х) = S Ck UP (х — k2~n).	(4.3)
k
В работах [65, 66] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Если b — а> 8~п, то
I. ф' (х) ||с[а,6] < 4 • 8" II ф (х) ||с[а,6],	(4.4)
где ф (х)—функции вида (4.3).
Доказательство. 1. Пусть п = 0. Тогда max | ф' (х) |
достигается в точках вида k + и равен 2 | ф (k + 1) — ф (k) |.
Следовательно,
II ф' (х) Цс < 21 ф (k + 1) — ф (6) | < 4 max | ф (х) |,
что и требовалось доказать.
2. Пусть для п < и0 неравенство (4.4) доказано, ф (х) имеет
Рид (4.3) для п = п0+1 и | ф'(хтах) | = max | ф'(*) |. По формуле
Ньютона — Лейбница
ф (х) — ф (Хщах) =
X	X
J ф- (0 dt _ J
*max	*max
ф'(Хтах) + J ф’М dt.,(4.5)
xmax
142
Но
ф' (х) = 2 dk up
k
х —
I
2
поэтому согласно индукции | ф" (х) | < 4 • 8”° • 2 max | ф' (х) |. Из
(4.5) следует
| ф' (ХшаХ) 11 X — Хтах | < | ф (X) — ф (Хтах) | +
X t
+ У У ф" (|) dg < 2 max | ф (х) | + 8м’1 max | ф' (х) | х
хтах *тах
X j j dZdt = 2 max | <р (х) | + 4 • 8"° (х — xmax)2 max | <р' (х) |,
*тах *max
откуда
/г(х) = 4 • 8"° max | <р'(х) | (х — Xmax)2 — max | <р'(х) 11 х — Хтах | +
Но минимум h (х) достигается, когда
2 • 4 • 8"° max | ф' (х) 11 х — xmax | = max | ф' (х) |,
т. е. х = хтах ± в-"»-1. В этом случае при хотя бы одном выборе
знака х С (й, 6]. При этом должно выполняться неравенство
max | ф' (х) 18-"0-1 • -max | ф' (х) 18-"’-1 + 2 max | ф (х) | > О,
следовательно,
_1_ g-п<,-1 тах । ф'	।	2 max | ф (х) |,
что и требовалось доказать.
Замечание. При п = 0 неравенство (4.4) точное, так как
maxlup(x) — up(x—1)1 = 1, a maxlup'(x) — up'(х—1)| = 4.
[0.1]	[0,1]
Для п > 1 неравенство (4.4) неточное. Для п = 1 можно без труда
получить и точное неравенство.
Теорема 2. Пусть
ф (х) = 2 ck up (х—4
k	\
2а, 26 £ й =# 6.
(4-6)
Тогда
max I <p' (x) I < 22 max I <p (x) I
x£[a,b}	16 x£[a,6]
— неравенство точное (m. e. существует функция ф (x) вида (4.6),
для которой неравенство (4.7) обращается в равенство).
(4-7)
143
Доказательство. Пусть max I ф'(х) I = I ф'(xmax) |. Тогда
*6[а.ы
tn r -т,
Хтах = ~2- , tn е z, причем
(Здесь принято для определенности, что —у— € Га, в противном
случае можно принять 1 .) На [-m~1 , -у] имеем
ф' (х) + ф' (-у j up (2х — т) + a up (2х — т + 1)»
где |а| <ф'(у) . Тогда
ф (х) = ф (у) + У ф' (0 dt = ф (у) + ф' fyj у up (2t — m) dt 4-
m	'	'	' m
2	2
X
+ a у up (2t — tn + 1) dt.
m
2
Поэтому
j (up (2/ — m) — up (2/ — m +
m
2
, i w ла I ( m \ I I t I m \ 11 1	5\	I m\
+ 1)) dt |(P\2/|“p\2/|\8	144/	\ 2 /
откуда
2тах|ф(х)|> ф(-------И"?') *
max | ф' (x) | < -yy max | ф (x) | = 22 max | ф (x) |.
(Из (4.4) получилось бы max | ф' (х) | < 32 max | Ф (х) | .) Знак
равенства в (4.7) достигается при
Ф'(х) = S (—l)ftup (2х—й); [а, 6] = Г-у» Ф
/г	[ Z
ф (х) =	у ф'	(/) dt —	у ф' (0 dt.
1	1
2	2
<44
1. Для того чтобы улучшить неравенство (4.4), для периодиче-
ского; случая произведем следующие преобразования. Из (4.5) по-
лучаем
Ф W *= ф (Хтах) = фГ (Хтах) (X — Хтах) 4" ф* (Хтах)-g—  Ь
' х	t
+ f J q/"01W£dt	(4.8)
хтах хтах
Пусть для <р (х) вида (4.3) справедливы неравенства
II ф' (х) lie < C„,1 II ф (х) ||с; || ф" (X) ||с < сл.2 II ф (х) Ь
2
Известно (см. замечание к теореме 1 и теорему 2), что Си = 22 — ;
2
£1,2 = 8 • 22 — . Попытаемся получить соотношение для величин
Сп,ъ сп,ч. Очевидно, что
£/1,2	2Сл,1Сп—1'1.	(4.9)
В (4.8) ф"(хтах) — 0, так как в точке хтах | ф' (х) | имеет максимум.
Поэтому из (4.8) получаем
I ф (х) — ф (Хтах) |	| ф (Хтах) 11 X Хтах | ~-
х	t	8
У	у	у oiw
жтах *тах хтах
| ф^ (Ятах) | | X Хтах |	^я0,2 * 4 | ф (Хтах) I g •
Здесь использовано неравенство | ф'" (х) | < 4 • сп,2 |ф' (хтах) |.
Исследуем функцию ft(z) = z— az3 для a>0, z>0. Произ-
водная этой функции h' (z) = 1 — 3az2. При z — ^/.1_ функция h (z)
достигает максимума. Тогда
| ф (Xmax) I
2 max | qp (х) |
J___________1
^n,2	3
= ЗК 2сл,2 | ф (х) |о.
Учитывая (4.9), получаем
| ф' (Xmax) I < 6 К Сп,1Сп-1,1 || ф (х) ||е.	(4.10)
Следовательно, c„+i,i < 6 cn,icn_i,i. Нетрудно проверить, что кон-
станты в соотношениях (4.9) и (4.10) более точны, чем указанные
в теореме 1. Например, при п= 2 из (4.10) следует r2.i < "j/*4-22<
< 60, а из теоремы 1 —< 256.
Приведем еще один точный результат.
14S
Теорема 3. Из всех периодических на [а, 6], аф С 2» функций
<р (х) вида (4.3) (периодичность означает, что ф<О(а) = ^(0 (6)
для i £ N) и таких, что || ф”+1 (x)||c[a,»j = 1 > минимум Ц <р 0 |с[а,ь]
достигается при ф (х) = ф „(х), где
ф« (х) = S (- О* 2-С"+2 F uPn (х ~	<4-10
k
Доказательство. Пусть <рг(х) имеет вид (4.3), |<pi”+1> (х)Це =
= 1 И II ф! (х) Цо <Ц фп (х) Цо. Тогда функции h± (х) = ± ф^ (х) + ф! (х)
имеют не менее 2" (Ь — а) чередований знака на [а, Ь] (поскольку
Ф„ (х) принимает наибольшие и наименьшие значения в (Ь — а) 2п
точках, причем наибольшее значение по модулю равно наименьше-
му и точки минимума и максимума чередуются). Но из двух функций
h± (х) хотя бы одна имеет меньше чередований знаков на [а, Ы.
Действительно,
Л±+1) (х) = 2 dk up (2”х — k),
k
причем хотя бы один из d* равен нулю. Это противоречит теореме
Ролля.
' Рассмотрим теперь вопрос о неравенствах типа Маркова —
Бернштейна для периодического случая по норме L3 I— 1,1]. (Для
тригонометрических функций такое неравенство по норме L3 три-
виально.) Линейные комбинации вида
Ф (х) = S ck up (2,‘х — k2l~n)	(4.12)
k
являются периодическими на [—1, 1], т. е. ф<£> (—1) = ф(/) (1)» i g N.
Всякая функция ф (х) вида (4.12) может быть однозначно пред-
ставлена как
T(x) = XdftFupn(2,x-2'-%
k
где dk=dk+2n+i. Пусть ||ф (xJJzj-i.u = 1. Требуется найти
шах ||ф' (x)||£j_i,i]. В 2л+1-мерном пространстве UP/,n функций
вида (4.12) имеется естественный ортогональный базис. Пусть
F ир„ (2'х) = § ckeinkx.
Тогда
Fup„(2'x —2,-л/)= 2 с^/2-v^.
/г=—о®
Положим
2^+1
<PS (х) = 2-”-1 2 F ир„ (2гх - 21~п
/=1 /) =
, с>о	\
х=2”л	£ М S einki2-n^injs2-^\ei^xt	(4.13)
ео \ /=1	/
146
Но \
2 у gZn/(*—S)2—л = I	ПРИ 5 4~ v2n+* ,
£1	I2n+1 при ^ = s + v2n+1, (vGZ).
Поэтому
4>s(x)= X С Л+1/^+2Я+'^.
/г=—oo
(4.14)
Очевидно, функции i]?s (x) ортогональны. Это и есть естественный ба-
зис в UPZ,„. Пусть
2«+1
ф= S Ms, ll<Pk, = 1-
S=1
Это значит, что
2Л+' ео
2^«S 2cs+2"+1fe=1-	(4.15)
t=l	k^-co
Тогда
£ Ms =2 2 *2 2 c2s+2n+ik(s + 2n+iky. (4.16)
S=1 ;Lj	S=1	—co
Отсюда
max |<jp’’||L,=
MLt=1
S <2«+i^s + 2"+’^
Здесь
cn = 4- J F uPn (2^)	= VFT
где
„ 1 V+1
sin tTn-1 |
й-”-1	)
ТП sin Z2“*
1 1
k=n+2 l£
(4-17)
(4.18)
(4-19)
's-|-2«+l*
§ 2. ПРИМЕР НАИЛУЧШЕГО ЧЕБЫШЕВСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Функции ф„ (х) (4.11) являются аналогом известных многочленов
Чебышева, наименее уклоняющихся от нуля. Они появляются при
решении следующей задачи наилучшего приближения в равномерной
метрике.
Пусть UPn — 2П+*-мерное пространство периодических на
[— 1, 1] функций вида
2^иря(х-^2-л)	(4.20)
k
147
(оно введено в § 1), а пространство UP^ — (2П+1 — 1)-мерное прост-
ранство функций вида
S ckF up„_ i (х — k2~n)	(4.21)
k
с периодическими коэффициентами (<^+2n4-i = ck). Нетрудно заме-
тить, что UPn с: UP„.
Рассмотрим такую задачу. Пусть <р С UP„. Требуется найти наи-
лучшее приближение ф элементами UP„, т. е. такое фх С UP„, что
11<Р —Ф10о[-1.1]= min || ф — ф||с[_i,i].
<|>6UP„
Функция ф Е UP„ однозначно представима в виде ф = афп + фх;
Ф„ описывается формулой (4.11), фх С UP^. Это следует из ф* £
gUP„, что будет доказано ниже. Тогда фх — искомое наилучшее
приближение, а
11ф —Ф1Цс = |а|||фп||о = min ||ф —ф||с.
Фбир^,
Действительно, если ф2 С UP„, а
IIФ — Ф2||с<||ф — Ф1||с,	(4.22)
то функция
Фз = Фа — Ф1 = Ф2 — Ф + (Ф — Ф1) = афп + (фа — Ф)
имеет на [— 1, 11 не менее 2п+1 перемен знака.
Лемма. Если ф С UPn, то число перемен знака у ф меньше 2га+1.
Доказательство. Если ф £ UP„ и имеет 2"+* или более
перемен знака, то (п + 1)-я производная ф<п-Н> имеет 2Л+* или более
перемен знака. Пусть
Ф (х) = S ckF up„_i (х — k2 л) = S dkF up„ (x — k2 ”).
k	k
Тогда вектор D = [dftl получается из вектора с = [cft] по формуле
D = АС, где
~С°_1
с?_,
-CLi
г1	г2П "1
'-'/7—1 • • • Си—1
z^o	^2"—1
1 . . . Сп—1
z>2	z>0
1 . . . Ь/2—1
Тогда
Ф<”+1»(х)= S/ftup(2'!x-Z/),
k
148
где вектор F = [/*] равен BD, причем
Если ф<га-Ы) (х) имеет 2П+' или более перемен знака, то либо (—l)kfk>
> 0, либо (— 1)7* < 0.	(4.23)
Пусть V — вектор на интервале [—1, —1,	Из (4.23) следует
VF Ф 0 (VF g IR). Но VF = VBAC и, как несложно проверить,
VBA = 0. Приходим к противоречию.
Следствие 1. <р„ £ UP„, так как имеет 2П+1 перемен знака.
Следствие 2. Неравенство (4.22) невозможно, так как <р3 G UP^.
$ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ СДВИГОВ
СЖАТИЙ ФУНКЦИИ ир(х)
Рассмотрим результат, полученный в работах [54, 65, 66].
Теорема 1. Пусть f(x)£Cm[a, 61. Тогда \/h>Q 3chj такие,
что
fix)- £ up (f - j2~m ) ||	< cmhm-^m {f, h), (4.24)
/	\ n	I ||Cz[a,6]
гдеат (ft h) — модуль непрерывности функции f(zn) (x), ст не зависит
от h (но зависит от т).
Доказательство. Пусть
т	k
TSf (*) = 2 -^ТГ-	(4-25>
/г=Э
Тогда
|/(х)-77/(х)|<Ь24^-Фт(/, |х —а|).	(4.26)
Лемма [66]. Пусть х^г^уи
Tfff (z) = Д ak (г - z0)*, T?f (z) - Д bk (z - z0)k.
Тогда | ak — bk | < Ctom (f, | x—у |) | x — у |m-A.
Ранее было показано, что
хп= S 4n)up(x — k2~n).	(4.27)
k=—00
Поэтому
x"= S hnc^up (*-k2~n'\.	(4.28)
fe=—oo	\ h	/
14»
Представим 7м/ (х), где I — целое, в виде
Tihf (х) = S 4° up - k2~m\
k	\n	/
(здесь использовано выражение (4.28)). Тогда из леммы и (4.28)
следует
laV^-aV’KC/i^a. А).
Положим
Trf (х) - £ «1° up (/ - 42-“) up (i - И-"),
rhf w = nt« - 2c' “p (1 - 2“”' )
/
Покажем, что
|(/(х)-Т7(х))<0|<Сйт-%т(/, ft), i = 0, 1, .... tn.
Если х £ [lh, (I 4* 1) h], то
f (X) -T*f (X) = f (x) -	(X) - T?hf (X) -
-frl+l)hf(x)-rS+2)hf(x),
так как supp ТТл/ (x) = [(« — 2) h, (k 4- 2) ft]. Пусть
/х = {k: k2~mh£[(l — l)h, lh)};
I2=[k: k2~mhG[(/ — 1)h, (I 4- 1)ft]};
/3= {k: k2~mh G [lh, (/4-2)ft]};
It = {k: k2~mh G ((/ 4- 1) ft. (/ + 2) ft]};
/ = /j U /3.
+ 2а*>ир(т
k$i
up (4 - k2~m
Тогда
| f (x) - T hf (x) I = f (x) - ]? 4Z’ up (- Й2 4-
- 2 a*-l’up (/ — 1 — k2~m) x
ket,
up (/ - k2~m) up (-%- — k2~m} -
— У aV+1) up (I 4-1 - k2~m) up (4 — k2~m
k£I, 	\n
— 2 a*+2) up (/ 4-2 - ft2~m) up (4- — k2~m I
&6Л '	\n	I
(4.29)
150
При lh < х < (I + 1) h из того, что up (-у — k2~m) = 0 на
[lh, (Z 4- 1) ft] при k £ I, следует равенство
Поэтому
2 up - k2~m\ = Tlf (x).
*e/ V	/
<Cft'n-i4n(f, ft).
Теперь покажем, что остальные слагаемые в правой части (4.29)
малы. Их можно сгруппировать так:
2 4’ up - k2~m] - 2 up (Z - 1 - k2~m) х
2(Z)	/ х — k2~mh
4’up------д—
2 ®fe ’ up (Z — ft2~m) x
• feG/вП/з
X up M- - ft2-m') - 2 alZ+2) up (Z + 2 - k2~m) up (— - ft2-"!'j.
\ / *6/4 \ /
(4.30)
Оценим выражение в третьих квадратных скобках:
2 а* «Р (4 - *2~'"') - 2 a*+1> up (/ + 1 - k2~m) X
fee/.  '	' fee/.
X up M— k2~m\ — 2 <4'+2) up (Z + 2 — k2~m) up (4 —	•=
2 (1) 11П I x hc)~m\	nn I X	JL
Up |“T	j	(Z/f Up I «	/22 I +
+ 2 (a*+1> - a*+2>) up (/ + 2 - k2~m) up (4 - ft2-'") (4.31)
*е/.	v	'
(так как up (Z + 1 — k2~m) + up (14- 2 — k2~m) •— 1 при ft Z4).
Поскольку
|4г,-4ж,|<с/1т®т(А ft),
I a£+1,-4'+2) I <Cftm<om (A ft),
151
то правая часть выражения (4.31) не превосходит по модулю
Cftm а>т (/, h). Оценим выражение в первой квадратной скобке фор-
мулы (4.30):
2 4’ up - kZ-"1} = 2 4’ (up (/ - 1 - k2~m) +
+ up (/ — k2~m)) up - k2-m} .
Отсюда
S (af> - 4z-°) up (/ - 1 - k2~m) up (-£- - k2~m} ;
это выражение также не превосходит по модулю Qhm&m (/, h). Ана-
логично для выражения во второй квадратной скобке формулы (4.30)
получаем
S (4Z) - aiz-*’) up (I + 1 - k2~m) up - k2-m) ,
что по модулю менее Chm<f) (f, h). Таким образом, при th < x <
< (/ + 1) h
\f(x) — Thf(x)\ = \f (x) -	(x) - ъ (x) I,
где (x) = 2 UP (x — k2 и IV/ W I < Chm(i)m (f> h).
Из доказанных в § 1 неравенств типа Маркова — Бернштейна
следует
|^(x)|<C/rtOTtf, ft)-	(4.32)
Теорема доказана. Рассуждая так же, как при доказательстве
теоремы 1, можно доказать следующую, более сильную, теорему.
Теорема 2« Пусть f (х) £ Ст [a, ft]. Тогда Yh> 0 Вс) такие,
что
(/(x)-2c/uP(-r-/2“m))W <Chm~^m(x, 2ft, ft),
где
<&m(x, a, b) = max \f(m) (xx) — f(m} (x2)|.
ki—
x—
|x—x2|^a
’ Оценить величину константы С в теореме 1 из данного доказа-
тельства затруднительно. Приведем результат, в котором величина
константы получается очень легко, но, естественно, она завышена.
Теорема 3 [60]. Пусть f (х) £ Ст [а, Ь]. Тогда \/h> 0 такие,
что
/й-2с?ир(т-/2-т)
-А_).
152
Доказательство (индукцией по т). 1. т — 0. Положим
с* = f (jh). Тогда для х £ {jh, (j + 4) ftj
Г (х) - 2 с/ up (4 - /) = I / (х) - f (jh) + (f ((/ + 1) h) - f (jh)) x
X up (-f -j -1) | < I/ (x) - f (jh) I . 4 I f ((j + i)ft) -
-/(/ft)| <2(0/(4),
что и требовалось доказать.
 2. Пусть для т < /п0 теорема доказана. Если / (х) С Cm«+1 [a, ft],
то /' (х) g Ст‘ [a, ft] и, следовательно, существуют с^2-1 такие, что
< 2-с"!« (АГ со (.
I 2 j у	’	2/по“г2 j
Пусть
Ф (X) = f (X) - f 2 up (4- - i^0} dt.
a i
Тогда
II Ф' (X) ||c[a,J] < 2~(^°+'n°)hm°(i> (/(m»+1), ft2-m°~2)
и, следовательно,
(О (ф (x), ft2-1) < 4 2_(^»+mo)ftmWm°+I\ h2~m‘~2).
Поэтому
Ф (x) — 2 Ф (Jh) up(4- /) < h2~^+rn>)hm‘+i(i> (f{m‘+l\ h2~m‘~2) =
== 2-c"1»+1ftm<,+1<o (/(m»+1), h2~m,~2).
Но функция ф (x) — 2 Ф (Jh) up 4-----/) имеет вид / (x) —
2 с/ up -------j2 m° , так что существуют с/ такие, что
| f (х) - 2 с/ иР (4 “	|	< ft'n»+12-^»+I X
X co(/(m»+1>, ft2-m°_2).
153
Размерность N пространства UP* (а, b) линейных комбинаций
вида с1) 2 UP ----приблизительно равна	Та-
, (Ь — а} 2"
ким образом, h т —-—----------- и
inf II/ (х) - <р (х) ho.4 < (1+ а„) 0 - a)mN-m2c-Jfm\ ,
<peUP*(a,b)
2
где o,n ->• 0. Константа 2Cm, конечно, слишком велика и обусловлена
методом доказательства.
Для того, чтобы уменьшить константу в теореме 3, изучим
приближение функций из класса Lipcl линейными комбинациями
вида
<р (х) = 2 W ("Г “ Й2"Л) •	(4-33)
k	'	'
Напомним, что Lipc 1 — класс функций f (х) таких, что I / (хх) —
— / (х2) | < С | Xj — х2 ] . Каждая функция <р (х) вида (4.33) од-
нозначно представима в виде
Ф (X) = 2 d*F up„ (-у - k2~^ .	(4.34)
Положим
Ф/ W = S «п/ (k2~nh) F up„ -----k2~ j ,	(4.35)
где
а„ = —-----!------.	(4.36)
2j F upn (/2 ")
I
Замечание. Покажем, что
h (х) = F up„ (х + /2~") = const = 2п.
Действительно, h (х) имеет период 2~п и h(n+r> (х) а 0, следова-
тельно, й (х) = const = Си
N	N
Jfc(x)dx = (?!# = £ j'Fupn(x + /2~',)dx = 2'W + А,
о	I о
где А не зависит от N, и поэтому
Сх = 2п,	(4.37 J
1S4
Оценим Ц f (х) — ф/ (х) | С[а.ь]- Пусть к G [k2 nh, (k + 1) 2~nh],
Ввиду сделанного замечания
И*) = f (х) 2~п 2 F ирп (f ~ k2~n ) ‘
k	'	•
Поэтому
I f (X) - ф/ (х) I = 12~п S (f (х) f (k2~nh)) F up„ (-£- - k2~n ) | <
< 2~nC Six — k2~nh |F up„ — k2~n j <
< 2~nCh 2 (p | + 4) 2~"f uPn <k2~n - 2~""1 s‘Sn k> =
= 2~2nCh If upn (0) + 2 2 (k + 4) P uPn ((k - 4)2”^ • (4-38>
Оценим
₽n = Fup„ (0) + 22 (k + 4) FuPn ((k-4)2“П) * <4-39>
*>o \	/	\\	/	/
Грубую оценку (3„ произведем следующим образом:
/7upjo)+2 2H4W>-4M<
fe>0 \	/	\\	/	/
<2 (Hr +!) 2F ирД(А - 4)2-п) < <п+2>2"’
так как F up„ ^2~" [k--= 0 при k >	. Поэтому
рп<(п + 2)2п	(4.40)
| f (х) — ф/(х) К С/г2~" (п 4-2).	(4.41)
Пусть теперь f (х) G Сп [a, ft], n > 1. Оценим inf || f — ф Цс>
где ф имеет вид (4.33). Ранее показано, что существует] функция ф
вида (4.33), для которой
UW (X) - фГ’ (X) Иа.4 < 2-"й . 2® (h2~n-').
Поскольку /<п-1) (х) — ф(1Л—1) (х) g Lipcl при С = 2~nh • 2и (Н2~п~1),
существует функция <р2 вида (4.33) такая, что
«Г"1’ (X) - фГ1’ (X) - фГ ° (X) Ьл) <
< 2~nha (h2~n~l) h2~"+'  2-1 • 3 • 2 = 2-2n/i23!® (h2~n~l).
155
Так
как
f ,n-2) (х) - фГ2) (х) - фГ2) (X) G Lipci
при С = 2-2n/i23!«> (Л2-п~1), то найдется функция ф3 вида (4.33),
для которой
|1/(л+2) (X) - Ф(г2) (X) - фГ2> (X) - Ф?-2) (X) Ьл <
< 2“2n31/iato (h2~n~') h2~n+2 • 2~2 • 4 = 2-3" • 4lh3a> (h2~n~l).
Продолжая это рассуждение, найдем функцию ф вида (4.33)
(ф = Ф1 + — + Фп) такую, что
||/ - Ф ||с[а.б] < 2-л!/гЧ (/12-"-1) (п + 2) I. (4.42)
Теорема 4. Пусть f (х) £ Сп [а, й]. Тогда для всякого h>0 най-
дется функция ф вида (4.33) такая, что справедливо неравенство
(4.42).
Так как dimt/Рп» -	—, то в (4.42)
!/-+ 2) 1<»(-Цйг) 
Величина («4-2)! меньше, чем 2 п, но все еще слишком велика.
Более точные оценки константы сп можно получить, пользуясь ме-
тодами, изложенными в § 8 гл. 4.
§ 4.	О ПРИБЛИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА
.Пусть
up (п; х) = П up (х(), х = (хь .... -х„) G (4.43)
i=i
Теорема 1. Если f (х) £ Нт (1R”), /по для каждого /г > 0 сущест-
вуют коэффициенты с1} такие, что
I/ (X) - 2^/ up («•’ *~F/Z4l ,	(4.44)
Доказательство. Пусть функция <в (х) £ Со° (Кп) та-
кая, что
a)	J®(x)dx=l;
Кп
б)	supp to (х) с [— 1, 1]”;
1S6
в)	J ха® (х) dx = 0 для 0 < I а ] < т (а = (ар ... , а„), х* =
о?”
= х?‘ ... х“п, ,|«| = а1+ ... 4-ап) и
uh (х) = h~n § u(t)a> ("'д * j dt.
(R«
Тогда, как известно
llw—	СЛ IIиОК”);	(4.45)
2	(4-46)
где •— шар с центром в точке х и радиусом 2]/" nh (в силу финит-
ности о (х)). Поэтому существуют коэффициенты С/ такие, что при
| х — k2~mh | < h
'л( , . V л I x — 2~mjh
D \ик (х) — 2d с/ up (я;----^—1-
<СГ-|а|/1"^||Ы||//т(й,2_„пЛ).
(4.47)
(Здесь использована теорема о приближении сдвигами сжатий функ-
ции up (п; х) функций из С"1 [Г], которая формулируется и доказы-
вается совершенно так же, как теоремы 1—4 § 3 для одномерного
случая 166]). Поэтому
«Л - 2 ci UP («• -Г - 2~т1} |	< С^~' II«К»)> (4.48)
I	'		' F'(IRn»
откуда, учитывая (4.45), приходим к утверждению теоремы.
$ 5. ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ (ТИПА ТЕОРЕМ БЕРНШТЕЙНА)
О ПРИБЛИЖЕНИИ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ СДВИГОВ
СЖАТИЙ ФУНКЦИИ ир(а?)
Теорема 1. Если для всякого h> 0 существуют коэффициенты
d} такие, что
fW-2c?uP(-r-2-n'71) <Cfin+a (4-49)
при x£[a, &], 0<a< 1, ng|\|, mo f(x)^Cn[a, Ь], и для а<1
f(п) (х) g Lipc а, а ля а = 1	(x)^Z, (f(x)£Z, если У h f(x+h)->r
+ /(х-Л)-2/(х)|>С/1).
1S7
Доказательство. Пусть <рА — линейная комбинация
сдвигов сжатий функции up (х) такая, что | f (х) — <pft (х) | < СК'+а.
Тогда
f (X) = фх (X) + (ф_1_ (х) — фх (х)) 4- • • • + (ф2-« (х)—
2
— ф2_т+1 (х)) 4- • • •	(4.50)
Из теоремы 1 § 1 следует, что этот ряд можно п раз дифференцировать
и, кроме того,
| ф<^ (х) - ф^*+1 (х) I < С2т(р-п}+п~та. (4.51)
Пусть а < 1. Тогда
[10g , Л]
1/^(^ + Л)-/(п)М1 = | Д {Ф^(х + Л)~
— Фг-'Ж (х “Ь — Ф2—т (*) Фг^Ж (*)} + *
+ S	{фг—т (х + h) — ф^1m+i (х + h) —
m=[log j 6J4-1
~2
- ф<1п (x) 4- Ф^п+1 (X)} .	(4.52)
Из (4.51) получаем
[10g j Л]
S {ф£1п (X 4- h) - ф'"2т+1 (X 4- h) - Ф'2т (X) 4- фГ-zn+i (X))
m=0
[log j ft]
= f (ф^+})(х4-е/1)-ф'"_+,;1(х+0/1)л ai__
m=0	1
X	{Ф2—m	— Ф2—m-H (x + h) — Ф2~т (#) +
m=[Iog j ft]+l
T
4-ф'"2т+1 (x)} <2C	§	2"+““ < 2n+1+naC —
m=(log , ЛЦ-1	1 — 2~“
1
= Cx/i“.
Поэтому | /(n’ (x 4- h) — f(n} (x) I < Cha и fw G Lip?.
158
Пусть а = 1. Тогда
[log j ft]
~2
S {ф^-™ (Х + ------------
/71=0
| (х + h) + fw (x-h)- 2fw (X) | =
— <p£Lm+l (X + h) + <P2-m (x — h)— <p2^m+l (X — Л) — 2ф‘1от (x) +
+ 2ф2(21т_|-1 (x)} + S {ф2~м (X Н" — Фг-m+l (* + Л) +
/71= [log j ft]
T
+ q>2—m (x — h) — (p2“W+1	— 2^2—m M + 2<p2!2)n-|-l (*)} .
Из (4.51) получаем
[log J ft]
f {<№m (X + h) - ф^т+1 (x 4- h) + <p^m (x-h)-
m=Q
-<р^т+1(х-Л)-2ф^п(х)4-2ф<1т+1(х)} =
[log j ft]
= f (^(x + eh)-^+l(x + eh))h2 <
/71=0
[1°g 1 h]
-L	[log . ft]
2	1
< C £ h222m~m < ch22 2 < Ch-,
m—Q
1 S {ф^-rn (X + h) — Ф2-ГП+1 (x + h) + Фз-т (X — h) —
I m=[log ft]4-l
T
(х) + 2q>^m+I (х)} =
-^lm+l(x-h)-2^m
X (ф‘пЛ2) (x 4- eh) _ ф<1+2>_1 (x + e/i)) h2 < 2C
[log J h)
Т
• S
m=[Iog 1 АДЧ-1
~2
s 2-m < CJi.
m=[log j Л]-{-1
T
т=*0
4.2п+п~т
Поэтому (х) £ Z.
159
§ 6. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
Теорема 1. Пусть финитная функция (х] с С? удовлетворяет
условиям 1, 2 теоремы §4 гл. 3 и выражения вида 2 Ф (т- — 2Tnk\
ь У11	/
плотны в Сп [а, Ь] для некоторого [а, &] и всех п$ N. Тогда ф (х) а
a up (х).
Доказательство. Для любого е > 0 существует и
dk такие, что при h
i — 2 ад (v—k
<8
на [а, &]. Поэтому на ~
1 — Еад(х—
k
<8.
В силу произвольности е существуют такие коэффициенты ck, что
(х — fc)sa 1. То же справедливо и для производных функции
Ф (х). Следовательно, функция ф (х) представляет собой многочлены
(выполнено условие 3 теоремы § 4 гл. 3 и по этой теореме ф (х) а
a Up (х)).
Теорема 2. Пусть ф (х) g С“, supp ф = [— 1, 11, удовлетворя-
ются условия 1, 2 теоремы § 4 гл. 3 и для любого п £ N и для лю-
бой функции f (х) £ Сп 1а, Ы V/i> 0 Эс/ (для некоторого [а, й])
такие, что

I <С/Ло(/(П), h).
|С[а,6]
Тогда ф (х) = up (х).
Доказательство. Из неравенства
^-2с/ф(т_^2”") <a"+‘
следует
|хп —£с//Гпф(х —&2-л)|<С/1->0,
откуда
(х— fe2“rt),
k
и по теореме единственности из § 4 гл. 3 ср (х) = up (х). (Здесь и в
предыдущей теореме использован тот факт, что на фиксированном
интервале [а, 6] и при фиксированном п функции У ck ф (х— fe2“j
образуют конечномерное подпространство пространства С [а, й].)
160
§ 7. О ПРИБЛИЖЕНИИ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ
СДВИГОВ ФУНКЦИИ ир(ж)
Теорема 1. Для каждого конечного [а, Ь] существует последова-
тельность п-мерных подпространств L ир„ [а, ЯсС [а, 6], таких,
что
1) L\xpn [а, 6] есть линейная оболочка п сдвигов функции up (х);
' 2) L ир„ [а, b] czL up„+i [а, b]-,
3) для любого натурального г и любой функции f (х) £ С [а, 6J
начиная с некоторого п — п (г, а, Ь)
inf и — ф„ ||с[а,б] < Сг (Ь — a)rn~r II /(и
<Pn€«up„[a,fc]
где сг зависит только от г.
Доказательство. 1. Построим Lup„[a, 6] для [а, 6] вида
[k2~l, (£4-1) 2~l], k, / e Z- Пусть Qs = {k2~s; s £ Z?> UPS (— oo,
4- oo) — пространство, порожденное функциями up (x — a), a g Qs;
*UPS(£, /) — ограничение UPS(—oo, oo) на отрезок [k2~l, (k 4-
4- 1) 2-z]; s (л) — наибольшее из s таких, что dim UPS (k, I) < n.
Нетрудно показать, что
dim UPS (k, I) = 2s~l + s + 1, s> /.
Действительно, оператор Ds+2 (s 4- 2)-кратного дифференцирования
переводит UPS (k, l) в 2s-'-мерное пространство функций вида
up (2s+2 х — 2 4- 4/), а ядро Ds+2 (s 4- 1)-мерно.
Фиксируем у : N -> Z — биекцию натуральных чисел на целые.
Далее поступаем следующим образом. За Lup^ принимаем
UPs(n) (k, I). Если dim L{n <. n, то положим
L up<,'+,) = {L up!/1 (J up (x - (2y (/) 4- 1) 2-s(z,)-’)},
где фигурные скобки означают линейное пространство, порожденное
заключенным в них множеством. Так как начиная с некоторого /
Lup!/* = UPs(n)+i (k, I), a dim UPs(ra)+i (k, l)> n по самому опре-
делению s (n), то существует /0 такое, что dim L мрп^ — n.
Положим Lup„[k2~l, (k 4- 1) 2-z] = Lup(/o). Из построения
пространств L ирл [k2~l, (k 4- 1) 2~‘] очевидно, что
L up„ [k2~l, (k+I) 2~‘] cz L up„+i [k2~l, (k 4- 1) 2-'].
Рассмотрим теперь произвольный конечный отрезок fa, 6].
Пусть/0 = max/, где L = {/: Qt П [а, Ь1^0}; /г0 таково, что
zeL _
la, b]s[k02~l\ (Аг0 4- 1) 2—z°]; Rn [a,	— ограничение на отрезок
[a, b] пространства L up„ [^02~'<’, (kn 4- 1) 2_ZoJ- Очевидно, что
dim Rn fa, b] < n, Rn [a, b] s Rn+l [a, b] и для каждого n сущест-
вует такое т (л) > л, что d m Pm(n) [а, b] = л.
1б«
Положим L up„ fa, b] ~ Rm(n} [а, Ь]. Заметим, что если будет
доказана теорема для отрезков вида fk2~l, (&4-l)2~z], то она
будет верна и для всех [а, Ь). Действительно, /(x)gC' fa, Ь] про-
должается на [Ло2—z°, (ka 4- 1) 2~z“] так, что
И/ Hcr[fe02—z«,(fe0+l)2—zo]	С И llcr[a,&]»
а по построению /0, k0 длина отрезка fkfi~l>, (k0 -f- 1) 2-z’] не
более чем в 4 раза превышает длину отрезка [а, Ь].
2. Докажем теорему для отрезка [k2~*, (k + I) 2~1] и r= 1.
Пусть для краткости Н = С lk2Tl, (k + 1) 2~1], Достаточно дока-
зать теорему для f (х) £ С1 fk2~l, (k + 1) 2~z], где С1 [а, Ь] — под-
пространство С1 [а, Ь], состоящее из функций f (х) таких, что f (а) —
= f (b), т. е. для периодического случая. Действительно, если
f (х) — непериодична, то функция А (х) = f (х) + Pi(x), где
Pi (х) — некоторый многочлен первой степени, уже периодична и
А'||н<С||Л'||н, а
Pi (х) € UP, fk2~l, (k + 1) 2~l] £= L up„ [k2~l, (k + 1) 2-z]
при достаточно больших n.
Сделаем замену переменных. Положим «/ = 2/+1л(х—(2^ +
4-1)2-/_|). Тогда отрезок fk2~l, (& + 1)2~z] преобразуется в
[—л, л]. Пусть f(x)£Clfk2~l, (k + l)2-z] и
fi(Z/) = /(-?^ + (2^ + l)2-z-j.
Тогда
\\fi (У) ||с[-л,я] = л-12~/-11| /' (X) ll/у. Приблизим fl (у) тригономет-
рическим многочленом Тм(у) степени М = 2s(n,_z_1 так, чтобы вы-
полнялось неравенство
НА (У) - тм (у) ||с[—л,л] < 4и/>	(4-53)
что, как известно, возможно. Таким образом,
А (У) - Тм (у)	< С2-5(п)-1л-11|/ (х) ||н < 4- 2~‘ ||/' (х) ||н. (4.54)
(В приведенных выкладках константа С в различных местах имеет
неодинаковые значения). Тогда
|| Тм (у) ||с[—л.л] < С || ft (у) ||с[—л,л]-	(4.55)
Действительно, если а — шах | Т'м (у) | = | Т'м (у0) |, то согласно
(4.53)
I Тм [у0 +	) — Тм (у0) j <	1| /! (у) ||с[—л,я].	(4.56)
162
Но
Тм {уо Н Д4-Тм (Уо) — Тм (у0) ~м-J -7\[ (/) dt.
Уа
По неравенству Бернштейна | Тм (0 | < Ма. Поэтому
Тм\Уо + -д-) — Т'м(Уо) >	----
t]TM (0dt
-^dt = ^r-
Из (4.56) получаем а < С || А'(у)||с[-Я, я]. Из (4.55) согласно нера-
венству Бернштейна
|ТГ+,)(0)И-л.я] <™ад|1Л (У) к-л.я].	(4.57)
Приблизим Тм (у) обыкновенным* полиномиальным сплайном Spl (у)
степени s (п) на равномерной сетке с шагом так, чтобы выполня-
лось неравенство
II тм (у) - Spl (у) цС[_„,я] < см-*"’-1 II г(Г+1) (у) С[_я.я];
здесь С — абсолютная константа, что возможно в силу результатов
В. М. Тихомирова [1, 74]. Таким образом, из (4.57) следует
II Тм (у) — Spl (у) ||с[—я.я] <	1| /1 (У) ||с[-л.я].	(4.58)
Из (4.54) и (4.58) получаем
|| f (х) - Spk (х) ||„ <	2-11| Г (х) ||н < 4 2-'|| f’ (х) [и, (4.59)
где
Splx (х) = Spl(2'+1n (х — (2k + 1) 2-г-1)).
(Так как М =	2*п)~1+1 + s (/г) + 1 > п, то М > ап,
где а > 0 и не зависит от п.)
Свернем теперь Splx (х) —• сплайн степени s (п) на равномерной
сетке с шагом 2~s(n> и функцию <р (х) = 2s(n,+I up (x2-s(n)“*) («сгла-
живающее ядро»). Тогда
II Spl, (х) - <р (х) * Splx (х) ||w < С2~1М~11|/' (х) |я.	(4.60)
Таким образом, из (4.59) и (4.60) получаем
И (х) - ф (х) * Sph (х) ||н < C2-zn-‘ ||Г (х) ||н.	(4.61)
Остается заметить, что
Ф (х) * Splx (х) € UPs(n) [й, Z] = L up„ [k2~l, (k + 1) 2-г].
из
Лемма. Пусть S (х) — сплайн (обыкновенный, полиномиальный
дефекта 1) степени j на сетке с шагом 2~1. Тогда
up (2-'-1х) * S (х) G UP/ (— оо, оо).
Лемма доказывается интегрированием / 4- 1 раз по частям в
свертке. Сплайн степени / при (/ + 1)-кратном дифференцировании
превращается в линейную комбинацию сдвигов 6-функции по той же
сетке, а (/ + 1)-кратный интеграл от up (2~,_* х) в силу функцио-
нально-дифференциального уравнения для функции up (х) переходит
в линейную комбинацию сдвигов функции up (х).
Замечание. Свертки сплайнов (не обязательно с дефектом 1)
и линейных комбинаций сдвигов сжатий функции up (х) представ-
ляют собой линейные комбинации сдвигов сжатий функции up (х),
т. е. пространство линейных комбинаций сдвигов сжатий функции
up (х) является модулем над кольцом сплайнов со сверткой в качест-
ве умножения.
Таким образом, для г — 1 теорема доказана. Далее доказательст-
во проводится индукцией по г.
Пусть для г = r0 + 1 доказано, что для любого отрезка вида
[k2~l, (k + 1) 2~ll f G Crt-\k2Tl, '(k + 1) 2~‘],
inf ||f - Ф ||h < C2~s(n)lr‘-i) ||f»"1’ ||h
и f G (/• [k2~l, (k + 1) 2“']. Тогда g (x) = f' G Cr‘~l [k2~^, (k +
4-l)2-z+1]. Следовательно, существует функция <p (x)G^-Ps<n)-i X
X (k, I — 1) такая, что
llf> (*)	Ф (*) Ис[Л2—*+,,(*+l)2—;+l]	C2 1,1 ) X
X ||g( ° ’Неде—*+>,«4.1)2—H-ij-
Пусть h (x) = f (x) — j <p (2x) dx;
U' (X) ||h = If' (x) - <p (2x) < C2-(!(">-I)(r»-1)||f(r-)||H.
Из справедливости теоремы для г = 1 следует, что существует функ-
ция Л1 (х) G UPs(n) [6, Л такая, что
| h (х) - (х) |н < Сп-12~’ (h' (х) < Cn~r'2~ltfw jH.
Заметим, что j <р (2х) dx G UPS(n) (k, I), так как <р (х) G UPs(n)_i (k, I —
— 1). Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы следует, что величина
s (п) — I — 1 неотрицательна. Поэтому-то неравенство в третьем
условии формулировки теоремы начинает выполняться только с
некоторых п, а именно:
[log, и] + 1 >1 + 1.	(4.62)
164
С использованием классической теории приближений для перио-
дического случая получены значительно более точные результаты
чем теорема 1.
$ 8. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СКОРОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ СДВИГОВ ФУНКЦИИ ир(ж)
i = О,
' Для удобства сравнения с результатами классической теории
приближений тригонометрическими полиномами и полиномиальны-
ми сплайнами рассмотрим функции f (х) £ С [— л, л], т. е. такие,
для которых f (х) С I— л, л], /(0 (л) = f(0 (— л),
г— 1. Как известно [26, 74],
sup inf II / — <р ||С[_Я>Я] =  Кт  ,
llf('')llc[_n>Jt]<l, ФбГ2П+1	(Я + 1)
^С'Т-Л.Л]
где Кг =	2	• а — (2п + U-мерное
V=0	(2V -f- 1)'
(4.63)
простран-
ство тригонометрических полиномов степени, не превосходящей п.
Кроме того [74],
d2n+i (1Г) = d2n+2 (Fr) = -A— ,	(4.64)
(n + l)r
где dn (Л) — n-поперечник по A. H. Колмогорову в метрике
С [— л, л] компакта А, т. е.
dn(A) = inf sup inf || ф — <р llcf-л,я];	(4.65)
здесь t/n — совокупность всех n-мерных подпространств С[—л, л],
alM^irbuKl)-
Таким образом, никакие линейные пространства не могут при-
ближать функции из Wr лучше, чем, согласно (4.63), тригонометри-
ческие полиномы. Как показал В. М. Тихомиров [74], обыкновенные
полиномиальные сплайны степени г — 1 на равномерной сетке при-
ближают функции из Wr так же хорошо. Покажем, что пространства
линейных комбинаций сдвигов функции up приближают функ-
ции из Wr почти так же хорошо, а именно:
sup inf ||/-ф||С[_я.я]<	,	(4.66)
1&г <fQUPn
где размерность пространства UP„ сдвигов функции up равна
2"+’, а «г (п)	0 При п ОО.
6 9-23
165
Определение 1. Последовательность {£*.}, Lk ст С [—н.п],
dim Lk = Nk-+ оо, назовем экстремальной для А ст С [— п, я),
если
sup inf В <р — -ф Нет—л,л] = dNk (А).
ч>ел №Lk
Определение 2. Последовательность {Lk}, Lk cz С [—я, л],
dim Lk = Nk -> оо, назовем асимптотически экстремальной для
А ст С I— я, л], если
sup inf Ц ф — ф 11с[-л,я] = (1 + «(k)) dN ,
где а (k)	0 при k -> оо.
Таким образом, требуется доказать, что последовательность
{UPm} асимптотически экстремальна для Wr при всех г £ N. (Воз-
можно, что а, (т) в (4.66) начиная с некоторого т равно 0 и прост-
ранства UPm являются экстремальными.) Для практических
применений асимптотически экстремальные последовательности под-
пространств так же хороши, как и экстремальные, поскольку раз-
личие в погрешности приближения является бесконечно малой более
высокого порядка, чем эта погрешность, а на практике, как правило,
важен порядок и первая значащая цифра погрешности.
Идея доказательства неравенства (4.66) состоит в следующем.
В пространствах UPn для каждого п можно выбрать базис, «близкий»
к функциям coskx, sin kx (чем больше п, тем больше эта близость).
Оценка (4.63) для приближения тригонометрическими полиномами
производится с помощью линейного способа приближения, предло-
женного Фаваром (см. работу [26]), о чем подробнее сказано ниже.
Оператор Фавара F„+iir каждой функции f(x) из Wr ставит в срот-
ветствие тригонометрический полином степени т
ф = F2n+iirf = S' {ak cos kx 4- bk sin kx) + a0 (4.67)
k=\
так, что
I/ — vik <--77-	<4-68>
(m + 1)
Положив m — 2n(l — 6„), где соответствующим образом выбра-
но ©„(©-»• О при п->оо), заменим функции sin&x, coskx в (4.68)
на ’’близкие” им элементы базиса UP„ и получим <p*gUPn. Оста-
ется показать^ что	— <р*||сО—» где ат О ПРИ
т -> оо. Для этого достаточно, чтобы || ф — ф* ||с[-л,л]
< -----, где а„->0 при т->оо.
(т + l)r ’	т г
166
Пусть иРя [— л, л] (в дальнейшем для краткости просто
UP„) — пространство функций <р (х) вида <р (х) = 2 ck up (—-----
k	\я
— &2~я) таких, что <р<1) (л) = <р(,) (— л), i G N, т. е. периодических. Не-
трудно заметить, что dim UP„ = 2"+*. В пространстве UP„ есть базис,
состоящий из сдвигов функции F иря	(см. гл. 3):
оо
F ир„ (х) = J e~itXpW (0	(4-69)
—оо
где
(\ я-4-1 00
) П	.	(4.70)
W	/	/=«+2	“
. Пусть л : IR -> S1, лх = у — естественная проекция действи-
тельной оси IR на окружность единичного радиуса S1 как универ-
сального накрытия этой окружности. В дальнейшем у — коорди-
ната точки из S1 (полярный угол). Можно считать, что UP„—
пространство функций на S1 (причем функций класса Сте). Для чет-
ного п в UP„ имеем базис, состоящий из функций вида
<)(y) = Fup„(-£--A2-'! +2“")	(6 = 1.....2я-1).	(4.71)
Например, для п. — 0 ф10> (у) = up (— 'j; ф20) (у) = up (—-Й .
Замечание. Если рассматривать UPn как пространство функций
на [—л, л] cz IR, то тогда
Ф2О) (у) = up — 1 j + up + 1).
Для п нечетного
^n,(y) = Fup„(-|- —£2-я4-2-я-1), k = 1, ... , 2я+1. (4.72)
Разложим функцию ГирД-=0 в ряд Фурье. Из (4.69), ввиду то-
го что supp F up„ s [—л, л], следует
Л	1
4- f up. -г.) dy = 4 f up. (г) dz -
—л	—1
= ±FVn4-kn) = ±FW(kn)
&
167
(в силу четности функции (/)). Поэтому
fuP» (-£-) = 4 S ^1п](МЛ	(4.73)
\ 31 ' Z fe=—00
Таким образом, для п четного
я|,<п> (У) = Л S Fw(kn)e-ik^2~nnelk!'. (4.74)
2 k——co
Действительно,
4- J е~^ (у) dy = -±] e~ikyF up„ (- 12~п + 2~n) dy =
—л	— л
Л
= 4- f	F ир„ (—]dz=~ Fln} (kn) e-a~n^l-^k.
V	\ Tt /
—Л
Функции ф/я) (у) неортогональны. Однако их матрица Грама яв-
ляется циркулянтом и ортогонализация проводится очень просто.
(Подробнее об этом сказано в § 10.) Положим для п четного
(У) = 2-я S (У) e*-W~n* =
2^4-1 оо
= 2-«-1 £ V рЫ е-й(г_1)2-«я+цг-1)/2-'1л =
1=Л. k=^(X)--------
оо /2Л-Н	\
= 2-я~’ S I S
k—OQ  \ /=1	J
(4.75)
Ho
2«+<
1	_ e-i{k-i)2n
2	___________—. = о
|____ g(/ fe)2rti
2я+1
при / — k=^=s2n+i,
при k = /4- s2"+I.
Поэтому
pf (У) = S F[n} ((! + s2n+1) л) )«/,
/= 1,	, 2”+I.
(4.76)
В частности, при /= 2"+1 P2«+j (у) = 1, так как F^ (s2"+1 л) = О
при s =И= 0. Положим
V/ (У) = (рГ (у) + ^+1_/ (УУ) 2-1,	/ = 1, .... 2я; (4.77)
Vi (у) = (tfl2n (у) - 4"+>+2П_/ (У)) (2»Г‘.	/ = 2я +
+ 1........2я+1	—1;	(4.78)
168
наконец,
v2»+i (у) = H2«+i (у) = I-	(4.79)
Таким образом, из (4.76) следует
М(/) = S FM((j + s2n+l)n)cos(j + s2n+1)y, j =
s=—оо
= 1, ...,2".	(4.80)
Для / = 1.....2я — 1
V/ (у) = cos jy • Fw (/л) + S F1”1 ((/ + s2”+1) л) cos ((/ + s2”+I) y).
s^O
Положим
V/ (у) = Vi (yVF1^ (/л) =
= cos jy + 2 ~Л~^(Ы+1)Л) C0S ((/ + s2n+I) y)’	(4-81)
s=£0 я Vя)
Для малых j коэффициенты
((/ + 52"+') л)	, Л
------^л](.я) при s^O очень ма-
лы, так как в точках л&2"+1, k 0, у функции F1”1 (/) нули не менее
(п + 1)-го порядка. Поэтому функции vjn) (у) для малых / близки
к cos jy. Для любого фиксированного / v|n) (у) -> cos jy при п ->• оо
по любой обычно используемой норме. Для / = 2"
v2„ (у) = 2Flnl (2ял) cos 2пу + £ Fw ((2я + s2n+1) л) х
S——оо
s^O;—1
X cos (2я + s2”+1) у.
Положим
v2n{y) = v2n(y)!2F^(2nn).	(4.82)
Следовательно, для этого случая
V/"’ (к) = £ /?["1 ((/ — 2" + s2n+I) л) sin (/ — 2” 4- 52я+1) у. (4.83)
Таким образом, для j = 2” + 1, ...
v<n) (у) = sin (/ - 2я) у • /^я] ((/ - 2я) л) +
+ X F[я] ((/ — 2я + s2”+1) л) sin (/ — 2я + s2”+’) у.
s^feO
Положим для / = 1, .... 2я — 1
^n)(y) = v.+2n(y)/^(jn).	(4.84)
169
Тогда
H/n) = sin jy + 2 f' ‘ «уЙ J.) sin (/ + s2n+1) у. (4.85)
s^AO r \Jn)
Для малых / функция p/n> (у) близка к sin jy. Для любого фиксиро-
ванного /
, •	limp,’"'(#),= sin/у.	(4.86)
Аналогичные построения можно провести и для нечетного п.
Перейдем к построению линейного способа приближения функ-
ций из Wr. Как известно [26, 74], имеет место представление
f(x)=-^ + -t	(4.87)
—Я
где
оо COS (Л/-ф-)
= 2 —•	<4-88)
.	fe=i
Оператор Фавара имеет вид
1 ?	cosGrf—
Jf’(x-o2X)—-у-	dt==
где коэффициенты вычисляются для г четного по формуле [26]
л (т)
К (—4-г) = 1 — kr 2 (— 1)V+* {--:---5------7
Г\/и+1/ 	I [2v(m+l)-fe]r
+ [2v (т + 1) + k]r } ’	(4,9°)
При этом, как известно, ||/—	. Из (4.89) по-
лучаем	. - .
1	%(т)	А	/	\
PJ W = -> + V 2 -7-cos kx ) /<г) (Оcos \kt + -Т-)dt +
]---2 sin 1 fr} (0 s*n 4- “5~) dt.
J/',/	\	2 /
VO
Положим	.........’ 	'	' ' Г
™ X(m)- Г '	/	\
<Pn(/>«=4 + -t24r-^w f’w.cos& + -ф- dt.+ .
2	51 Я * X, '	1 >
1 w.	- г	/	\
+ 4-2Чг-Йй W ) /(r)(0si.n(^ + -y-)dt-	(4.91)
k=l	. . -n ' ’
Оценим Ит (x) — фш (x) llci-^n]. Имеем
x (cos (k + s2"+1) x ’• cos (kt + -y-j + sin (k 4- s2"+1) x x
x sin («+^))dt = ± J П02 -^2»^ *
X cos ((k -H s2n+1) X — kt — dt. '	.. (4.92)
Таким образом,
Фп (x, — Fm (x) |
1 С -у 4m> у f*”1 ((fe + S2”+') л)
n Д s * JTo
X cos (ku + s2n+1x----y-j
du
(так как | f(r) (() | < I). Далее,
л
—л
2-Т 2 ^’«^^‘’"’ cos (ku + s2"+\ - -2.)
S sTo	v	2 7
<S 4.
s=£0
где
Л
—л
ЛГ Г^ч^+Ьл) Л , 2«+i_____rn.'
~	cos\ku + s^ x 2 j
171
Из (4.70) для s =£ 0; —1 получаем
f[ft] ((fe + $2Л+') л)
XnJ (to)
sin”-*-1 (to2 n 1 4- sn) ГТ sin (to 4- s2"4'1w) 2 1
(to2—n~1 + sn)/!+1 /=„4-2 (to + 82л+*л) 2~1
sinn+1 (to2~”—1) ГТ sin to2~z
(to2~n~ I)n+1 /=Д+2 to?"'
-------„_гггт<- для s>0;
(k + s2n+1)4+1
bn~H
<C---------JTZi----ГТТ- для s< —1.
(| s 12Л+* — k)n+i
Поэтому
•ГС ffl
’• < j 2	| e<4“ + °2"+'« - I d” <
1
(«2Л+'Г
1
k + s2”+1
du =
m
== c “tV 2	(-----^+гГ+1-Г • N = 2”+' •
« АГ M \ fe+s2n+‘ )
Но при s > 1, 1 < k < tn
k	1	J_
k -j- s24~i"i	14* 2s	з
Действительно, j = (x + a)a ‘ СлеД°вательно> ~
возрастает и принимает наибольшее значение при k = т:
k ._________т	2я__________1
fe4- 42л+1 т 4- s2"+1 "" 2Л 4- s2n+1 “ 1 + «2 ’
Поэтому
/ Ь \n+l-r / I V+l—г I 1 XlogjSfn+l-r) С.,
кпЫ «Ш -Ы <кйг-
Значит,
V / k \n+l-r сгЯ
k ( *4-йл+* / С №°г»3-1 •
Отсюда
2	"Nr+log^-l 2 7“ = yyr+10g>3-l — 0	93)
172
и т. д. Та-
Совершенно аналогично рассматривается случай, когда s < —1.
Действительно, при этом (I s I > 2) ---4=--- < -4
(Is|2”+ — fe) 3
ким образом,
S Ц = о
s=—2
Осталось оценить /_г.
л
(4.94)
—л
mJku_2^x
fer	fl"! (fen)	\
Л1
T
(4.95)
Здесь заменять модуль суммы на сумму модулей нельзя, так как
<о (fe) « 1 при k « 2П, где
о (b\ - ^"]((^-2"+1)n) _	fe"+1
(fen)	(2л+‘ — fe
sin (fen — 2n+1n)
/Jn+2	(fa-2n+'n)2-/
OO
П
sin (fen2 J)
(4-96)
Обозначим далее для краткости
П sin (fen — 2га+'п) 2~>
(п)	/=п+2
а* =----------
(fen _	2_/
PJ s^n (&гс2~;)
f==rt+2	i
Для 1
2"
(4-97)
где С1г С2 не зависят
от п. Более того,
„(«) — ЛУ / kn \
— a (>
(4-98)
где
f-| sin (x — n) 2
, ,	/=1	(x—n)2~i
Г1 sinx2
(x — n)
^0] (X)
(4.99)
т
17>
Имеем
(ft)	X
—n---------n- a* cos (ku — a)
(2"+! — £)"+!	* V	'
du; (4.100)
рбозначим для краткости a =	----у-, следовательно,
—Л
Поэтому
m
2 (2n+l — k)r a* ' ( 2"+* —ft ) C0S ~a) dU'
k \H-1-
2"+* — k )
cos (ku — a) du =
где
m	.
2	( ЬГ cos ('ku ~~ a)
fe=i	' 2	—« /
В свою очередь,
cosku
| sin a | du <
(4.101)
du. (4.102)
|cos a | du +
л
— f
A
m
где
(4.104)
/cos = j 2	( ,' 2«+f_'fe~ y+1~Z C0S kU
—Л fe=1
Лемма 1.
r k
f S sin jx
-Л M
'	-j _ *A-
V-	* * I X COS /X
V -я1 ?='
где С, C2 не зависят от k.
(4.105)
dx < Ci In k + C2;
dx < Ct In k + C2,
If4
Применим к сумме (4.104), (4.105) преобразование Абеля:
1 f "v'f i(m) /	+ *	\n+1-z ,
cos = д |“ a*+1X*+1 (	+
6	_L_1 T k
+ cflW ( 2n+i_£~)	] Д cos iu +
m
+ ( 2„+r_n )cos/и du; (4.106)
Я
—JT
Ш 1 r	<	II
£ - «ЙЛ» +‘ , ')	+ “W X
/?=! L	\ 2 * — к — 1 /
/	\rt-M—r k	[	\«4-i—r	m
X \ 2n+1 — k ) ,S('2"+* — m) ^m>am sin ju
du.
(4.107)
Отсюда
I (may / fe+'	\«+l—' (n) .(m) / k \"+1—r v
/cos < (max (———-j	ай+1лЛ+1 —-j X
fn^—1	j	ч Г
X X S (Cx In k + Q + c —----------------------------------)
k=i	\ 2 —ml
(6?i In tn *4*
(1.108)
(4.109)
7<
m^lnm + Qmax
^p'^W’l+Wnm
Выберем теперь tn так, чтобы
tn	\n+i—r
2n+l — m /
max
k

(4.110)
1	/ k Xn+i-r
1 Un+1-*/
Y
2n+‘_	1 /
X J m (Cl hi m + C2) ’
где у -> 0 при tn -> 00. Положим т=2п— s,  , ?-
2"'r‘ —т
Выберем tn так, чтобы
/ т \п4-1—л_______ j
I 2л+1 _т1	п.3 '
«Г’х
(4.111)'
2s
2rt+s ’
(4.112)
и

Тогда
(„ + l-r)|n(l---S—)=,_31n«, 1п(1--^_-) =
\	& ~Г 5 /	\	* "T" S1 /
__	3 In n
«4-1 —r *
Найдя отсюда s1( положим m = 2" — [sj. Тогда
---r+1-r = -^ + 0 Ш .	(4.113)
( 2n+* _ m j	n3 \n3)	v
Так как 	"—>0 при n-»-oo, то —--------►Ои, следователь-
n+1 K	2* + s
но, 0„ = —->• 0. Поэтому
J______L=0(_L\
Np mp \ Np j
Проверим выполнение (4.110). Из (4.112) следует
С (Сх In т + С2)	= С (Сх In m + С2)	+ о
и, так как In m<Z п, то (4.110) выполнено.
Проверим выполнение (4.111). Заметим, что
А‘ - Ь+ггЬгГ”' ““ л" - ЫЫ“+'~ «” =
- ф.,	° (^) * m - шх
Х“(^?гН7ГТг)-	<4J14>
где
<ря.,(х) = (~Г~7-)П+1_Г»	(4.115)
функция а(х) взята из (4.99), а Х(х) — из (4.90). Положим
(2«4-l	\
j- X) и, наконец, 0 (х) = <pn,r (х) ах х
X (х) А,х (х). Необходимо оценить величину
д   R ( 4" 1 \ О /	\
ak — Р I 2п+1 I — Р I 2П+1 J •
По теореме Лагранжа
|Дй|<-^н max |р'(х)|.	(4.П6)
*€[о.4]
Остается проверить, что
max | ₽' (х) | <	.	(4.117)
xg[0,l]	ш т
176
Тогда
max | Дй | m (C In п + С2) -> 0, что и требовалось доказать.
Проверим (4.117). Поскольку | а( (х) | < С и |	(х) | < С
при 0 < х < то остается проверить, что
| фп.г (х) I <	; |фп,г(х)|<-^<-7^- •
Таким образом, для четных п., г доказана
Теорема. V/ С Сг [— л, л]
inf ||/-ф||с<-^-^(^И(иЬ
ф£ЦРп
где п = log2 N, аг (п)	0 при п-+ оо.
Для п нечетного рассуждения проводятся аналогично, с соот-
ветствующими изменениями в построении функции v; (х); вместо
(4.90) для нечетного г нужно использовать
оо
хг = 1—*r5i—5—г-------------------!—Д- (4-118)
l[2v(n+l)-*r	[2v(«+l) + A]d	’
Доказательство леммы. Так как
V -hr eix—^n+^x	/*—1—еЯ'’+0* + (/'*
Й “ I — eix	2(1—cosx)
TO
n	/ n	\
2 cos kx = Re I 2 elkx I =
k=i	\a=i	/
. n n + 1
1	/ , П	Sin -77- X COS о x
_ cos x — 1 — cos (n + 1) x -|- cos nx	2	2	, f4 11 Q\
2 (1 — cos x)	~_. x_> v •	/
smT
S Sin^x = Imfs = sinx-sin(n+l)x-sinnx =
fe—i	\fe—i )	4Sin2_£_
x n . x I , 1 \	, n .n+1
2 sin cos —--2 sin -jr- cos n + -и- x sin x sin —— x
4 • » X	X
4sina—	sm-2-
Отсюда
л. ~ nc
j S cos kx dx = 2 )
—л	—	I
(4.120)
n
У, coskx
fe=4
dx =
177
л
n n 4-1 .
Sin у X COS --------X
. . tl n + 1
Sin у X COS-------i---- X
x
sln“T
£
x
smy
<  Cj 4 J I C0S 1' X | dx + ^2
0 1	"	1
.	n
что и требовалось доказать. Здесь
при х>0; sin -у- >4 ПРИ *€№»
dx
x
С3 4- Ct In n,
(4.121)
n П
учтено, что sin у % < у x
эх]. Совершенно аналогично
= 2
п
о
п
п
оценивается равенство
п . П + 1
Sin -у X sin-±-X
" X
s,nT
dx.
Отметим, что метод доказательства этой теоремы позволяет оце-
нить величину аг (п) сверху.
$ 9. ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ СДВИГОВ ФУНКЦИИ up (.г)
Оценим погрешности интерполяции функций из С I—л, л] эле-
ментами UP„ в точках равномерной сетки. Приведем некоторые
вспомогательные сведения.
1. Пусть А = [aw] — квадратная матрица порядка IV. Она назы-
вается циркулянтом порядка N, если для всех i, /С Z/^Z a»+i. ж =
— ащ. Как известно [1], собственные числа матрицы А имеют вид
N
X/= S П1Л+1 ехр (гл^АГ1),	(4.122)
k=0
а собственные векторы —
со/ = [1, exp(2лг/ЛГ'1), .ехр(2ш’/^№1), exp [znij -j ,
причем
Л/-1	[0	/ =# Z
(®/, (О/) = exp (2л» (/ - /) kN-1) =	= 'L (4.123)
Лемма 1. Пусть е = £ а/®/; е = [еь ... , ем]; а = [а1( ...
/=1
..., ам]. Тогда
1 N
где * означает комплексное сопряжение.
178
Доказательство. Из второго равенства следует
n
а/ = -jy- S е/ ехР (— Зт'/ЛГ-1).
Подставим в первое равенство полученное выражение с учетом
(4.123), тогда
N N
ет — "дГ S S ez ехР (— 2niljN~l + 2nijmN~x)'=
w f—1 l—l
! N ft
= T S e; S exp (2aij (m — l) N~l) = гт.
Справедливость леммы следует из линейной независимости векто-
ров 0\.
Следствие. | а;-1 < max | ez |. Действительно,
N
I«/1 = 4" Д ехР 2niliN *)
2. Пусть f (х) £ С2 [—л, л], а
Vn (/) = (5лЧ-1 + • • • + S2n)M =
=	2	—|g|n~")elkx
|fe|	|S|=n4-l	'	'
есть сумма Валле — Пуссена для / (х) [30], где
л
—п
Тогда
и (х) - vn (х) ь-л.л] < 4- и" h-^j.
Пусть теперь UP„ — пространство функций <р (х) на окружности
51 = {w = е‘х}, порожденных сдвигами функции F upn j, введен-
ное в § 8 этой главы. Исследуем интерполяцию / (х) £ С (S1) элемен-
тами UP„ в точках вида xz — 12~пл или xz = (21 + 1) 2~',~1л в за-
висимости от четности п. Другими словами, найдем функцию <р (х) £
g UP„ такую, что <р (12~п п) = f (12~пл), или
Ф ((21 + 1) 2~n-’n) = / ((21 -J- 1) 2-п-1л)	(4.124)
179
для всех Z G Z и оценим Ц <р (х) — f (х) ||с. В пространстве UP„
есть следующий базис (4.71), (4.72):
ф<п> (х) = Eupn —i2~n 4~ 1) для п четного, i — 1.........2”+1;
фг"’ Fupn(—-----12~" 4-2-”-1 + 1) для п нечетного.
Пусть функция ф(х), интерполирующая /(х), имеет вид
2«4-1
<р(х)= 2 С/фГ(х).
/=1
Тогда должно выполняться равенство
2И-Н
=	(4.125)
для tn = 1, ..., 2”+1. Нетрудно заметить, что матрица системы
(4.125) — циркулянт порядка 2"+1. Ее собственные числа для
хт = (т — 1) 2~п л и четного п имеют вид
2П-Н
й,<л) = S F upn (1 — k2~n) exp (йл/И"*1"1).
k—1
Для xt = (/ — 1) 2~n л при n нечетном X2« = 0, так как при этом
2«Ч-1
s (— 1)*F up„ (1 — k2~n + 2-"-1) = 0.
k—1
Поэтому для п = 2s + 1 интерполяцию следует проводить в точках
(2/—1) 2”л-1. Тогда собственные числа матрицы системы (4.125)
имеют вид
2«+1
X!"’ = S Р upn (1 — k2~n) exp (2ш7/г2“л~').
/2^-1
Рассмотрим теперь случай, когда п четное. Обозначим
— f sin/2~n~‘ \n+1 П sin ПГп~к
—й_„_1 у *2, й-”-* *
Тогда
F up„ (1 — k2~n) = JL I exp (it (1 — 62“”)) Г[я1 (t) dt.
JI V
------------------------CO
Таким образом,
2«+> °®
ajn) = -^- S f exp(it(l—k2~n))Fln](t)dt. (4.127)
b—1
180
Заметим, что exp (it (1 — k2 ")) имеет период 2л2л. Положим
G„(0 = S FC"J(i —&2л+'л).	(4.128>
/г=—оо
Легко видеть, что функция G„ (t) четная и имеет период 2п+1л.
Лемма 2. 6п (0 € С00 (IR).
Следствие.
ео	2пЛ
$ ехр (й (1 —-/г2-”))	(0 dt = j G„(0 exp (й (1 — Л2~")) dt.
-®°	-2ЛЛ
Ввиду того, что supp F upn (х) с [— 1, 1] и F ир„ (х) — четная!
функция, можно считать, что
^{,n) =	? UP” exP ” Ь exP (я,7)«
Следовательно,
А/л) = 2лехр (л//) 2
Но
fe=—оо
2лл
j G„ (0 exp (— itk2~n) dt exp (nijk2~n)„
—2«Я
1
2л2”
2ЯЛ
J Gn (t) exp (— itk2~n) dt exp(ix/j2~n) = C„ (x).
—2лл
Поэтому А(л) = 2лехр (ni/) Сп (nj), / = 1, ..., 2”+1.
—	/о
Лемма 3. G„ х (0 > С1—1	> 0.
—)	>0. Следовательно, интерполи-
рующая функция ф(х) для любой /(х) существует и единственна.
’ Теорема 1. Если | / (£2~п) | < е, тоЦ ф (х)с J < (Сх In п + С2) 8,
где С( не зависят от п.
Доказательство. Достаточно доказать, что
| <р (k2~n + h) |< (Ci In п + С2) е •
для 0 < h < 2~п и всех k. При х = k2~n -}- h
2^+1
Ф (£2~n + h) = S (k2~n + h).	(4.129}
i=i
Пусть Ah — матрица системы (4.129). Легко видеть, что она цир-
кулянт. Аналогично предыдущему получаем следующее выражение
для . ее собственных чисел А,*:
= 2я exp (ni/} G^ (- л/),	/ == 1, ... , 2л+1,
1ST
где
оо
й(о= £ Fw(t — 2nk2n)exp(i(t — 2n+'xk)h). (4.130)
fe=—оо
Пусть8=[е1( .... e2n+il> где ^ = /((£ — 1)2 л; 8 =
2Л~Н
= S где &т — собственные векторы циркулянта порядка
2”+‘; c=[q, .... c2„+i] (см. (4.125)) и <pft = [<р(Л), .... ф(2 —
— 2~п + h)] = [фь .... <р2„+1]. Тогда
2л+1	2п+1
С ““ jZi \<п) Ф	л(п) bnflm’
т—1 лт	т—1 л/п
поскольку матрицы Ап и Ah имеют как циркулянты общие собствен-
ные векторы. Таким образом,
Ч>/ = 2 bmexP (nimi2 я).	(4.131)
m=l
С другой стороны,
2»+1
е* = S bnexp(nimk2~n).
'.	т=1
Удобно считать, что индексы k, т, I, j ит. д. принадлежат 2/2”+1Z-
Тогда
8ft = es+,- = V 6,„ехр (nimj2~n) exp (nims2~n),
т—\
где s = k — j\ Рассмотрим
2м	2/г+1	/ 2Л	\
о = U <2se/_|_s = J] bm Jj as ехР ^ms2~n) X
s=—2^+1	m=1	\s=“ 2n+l	/
X exp	(4.132)
Найдем as такце, что
S I as I Ci ln n +
s=—2rt-J-l
-T(S---------- asexp(tsn/n2-n)
s=-2«+l
для всех m. Тогда
| ff | < (Cl In П + c2) 8-, I ф/ — a I < max | bin |	2”+’ < Ce
182
(в силу леммы 1) и, следовательно, | <р/1 < (Сх In. п + С2) е, что
и требовалось доказать.
• Лемма 4., Функция (0 £ С00 — периодическая с периодом
2"+* л.
Положим
Фь(х) = °"(	, ф(X) = фй(2"х),
GnW
*	Xй
где функция Ф (х) — 2л-периодическая и Ф (х) С С00. Тогда —
Мп
= Ф (Лт2 "). Задача состоит в том, чтобы приблизить
т
т
вы-
ражением
Положим
2Л
S as exp (isnm2~n).
s=—2л+1
2n
a (x) = S aseisx.
s=-2«
Это — тригонометрический полином степени 2". Аппроксимируем
Ф (х) тригонометрическим полиномом ст (х) в равномерной метрике.
Лемма 5. J Ф' (х) ||с < Сп, || Ф* (х) |[с < Сп2.
71
Лемма 6. Ф (х) = eixh2n + ф (х), где J | ф (х) | dx < -у.
Лемма 7. || Ф" (х) ||£1(_л,л) < Сп.
Пусть ст (х) —сумма Валле — Пуссена V^-i^ для Ф(х). Тогда
согласно лемме 5
||Ф(х)-ст(х)||с<-^-<-^т
с с
Из леммы 6 следует |аА | < -у + — ,
леммы 7 — | ак | < -у-. Поэтому
^#=0, |а0| <С, а из-
2«
S |«5|= Е |а»|+ S |as|<
s=—“2n+l	|sl<rt
п	2п
+Crt4 +C^i^<_C1\nn + Ci.
/?—1	k—n
. ‘ Таким образом, теорема 1 доказана. Из теоремы § 8 и теоремы 1
следует
183
Теорема 2. Пусть функция <р (х) £ UP„, N = 2n+1 = dim UP„,
интерполирует функцию f (х) £ Wr в точках X/, Тогда
Ilf (X) - Ф (X) к < Сг	(4.133)
при N 4.
Заметим, что при интерполяции тригонометрическими полино-
мами t (х) степени N оценка хуже 130]:
||/(х)-/(х)||<-^-.
Доказательства лемм 2—7. Леммы 2 и 4 следуют из
того, что |	(t) | < -^2- для любого натурального р. Поскольку
Gn (t) — четная функция, рассмотрим 0 t < п2п. При этом F[”] (t)
(2 \л4-1	г ,
, а |FL”J(< — 2л2")| не превосходит
/ 2 \Л-Н
С 4- и
F[nl (t + 2л2”) > 0, I Р[л] (/ - 2kn2n) I < ( (2fe_!1)Jt У+‘. RI > 2.
Отсюда
/2 \л-М	/	9	\«4"1	/ 9 V+1
gho>c(4) -2cZ(-&^) -c(4) >
/ 9 \Л"Н
>СШ •
Таким образом, лемма 3 доказана.
Лемма 5 доказывается непосредственным дифференцированием
F(t).
Для доказательства леммы 6 рассмотрим равенство
р (х) = Ф (х) e~lxfan — 1 = ф (х) e~lxh2n.
Нетрудно заметить, что
InWKC.I-i-l +^г,
откуда
л
J lH(x)|dx<T^-r.
—л	1
Доказательство леммы 7 проводится непосредственным вычис-
лением Ф" (х). Соответствующие выкладки, однако, слишком гро-
моздки, поэтому они здесь не приводятся.
Представляет интерес вопрос о том, точен ли порядок оценки
теоремы 1. Положительный ответ на этот вопрос можно получить
из доказательства теоремы.
184
$ 10. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ
ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ СДВИГОВ ФУНКЦИИ ир(л-)
Пусть UP„ — пространство функций вида
Ф (х) = £ ck up (х — k2~n),	(4.134)
k
таких, что ф<0(1) = ф(0 (—1), i £ |\|. Легко установить, что
dim UP: = 2"+1 и UP^c UP;+1.
В пространстве UP^ есть базис, состоящий из сдвигов функции
Fup„ (х) (см. (3.112), (3.113)). Поскольку матрица Грама этого ба-
зиса — циркулянт, его легко ортогонализировать, как это сделано
в § 8 для пространства UP„ (см. (4.76)), а именно: функции
оо
{у) =	(- 1ГГ:л) ((/ + $2л+1) л) exp (I (/ + з2л+‘) пу),
/ = 1, ... , 2л+1,	(4.135)
образуют ортогональный базис в иР^. Элементы этого базиса
инвариантны относительно сдвигов на k2~n. Однако его недостаток
заключается в том, что (х) =/=	(х) при п =£ т, 2"+‘,
/2=/= 2m+1, т. е. при изменении п всеа><л) изменяются (кроме с^п-н ss
= 1).
Задача состоит в построении такого ортогонального базиса в
La [— 1, 11, чтобы функции гр!...'Ф2/г+1 составляли базис прост-
ранства up: для всех п £ N. Заметим, что функция <Вт+ъ (х) ор-
тогональна функции <о(л> (х), если j =£ т и j + 2"+1 =И= т. Для каж-
дого / = 1, ...» 2л+* существует единственная с точностью до по-
стоянного множителя функция ф/л) такая, что
tr мw. й"’.	 - о.
Действительно,
Й"1.
где
= _S FW ((/ + 2”+2s) л) Г[”+1] ((/ + 2л+2з) л);
оо	(4.136,
S ^Л1 ((/ + 2n+1 (2s + 1) л) Г[л+П ((/ + (2s + 1) 2Л+’) л).
S=--OQ
Хотя бы одна из величин R$\, не должна равняться 0, так
как иначе пространство UP:+i будет иметь размерность больше
*4*2
Положим
% = /</,2С0/	—К/,1<О/+2Л4-1.	(4.10/)
185
Пусть для 2n+1 < k < 2"+2, п е У,
Фа W = w>	(4-138)
ф1(х) = 1, ф2(х) = up(х)— up(x—1)—up(x+1). (4.139)
Тогда {фА} — требуемый ортогональный базис в Ь2 [— 1, 1]. Легко
видеть, что при k > 2"+* функция ф* инвариантна относительно сдви-
гов на s2-n.
Введем обозначение
ф* (х) = , .У-------.	(4.140)
Последовательность^} —ортонормированный базис в L21— 1, Н.
Пусть
Ln (х) = j, Фа (ОФа W dt
(4.141)
— функция Лебега системы (4.140). Большой интерес представляет
поведение || Ln (х) || q-i.ij при п->оо. Однако рассмотреть этот
вопрос в настоящей работе не представляется возможным.
$ 11. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СТРУКТУР
И АТОМАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Остановимся кратко на вопросе об аппроксимационных свойст-
вах структур, введенных в гл. 2. Рассмотрим однородную эллипти-
ческую краевую задачу
Au = f в й cz DV, Btu = 0 в дй, i = 1, ..., tn, (4.142)
где А — эллиптический линейный дифференциальный оператор по-
рядка 2/и, граница дй ограниченной области Й для простоты рас-
суждений пусть будет класса С°°. Тогда при выполнении некоторых
условий [84], накладываемых на граничные операторы и из того,
что f С С1 (С1Й), следует, что и g Cz+2m (Cl й) и при этом
I: u IlgZ^mfCl й> < С || / fcZ(ClQ).	(4.143)
Приближенное решение и в структурном методе ищем в виде
(см. гл. 2)
м = 1Р(Ф,	..., Tm),	(4.144)
где Ф Q Lo cz С (С1 й), Т* Q Lk а: С (С1 й), k=l......tn, и
dimLft=/b k = Q, 1, ..., tn.
Для однородных граничных условий функции вида (4.144) обра-
зуют линейное пространство L (№) с С (С1 й), причем
АГ = dim L (W) < £ lk.
А=0
При этом любая функция v Q L (W) удовлетворяет краевым условиям
задачи (4.142).
Замечание. С помощью /^-функций неоднородные краевые
условия легко сводятся к однородным, так что при рассмотрении за-
186
дачи (4.142) общность не теряется. Впрочем, аналогично можно бы-
ло бы рассмотреть и неоднородные краевые условия. Тогда множество
L (W) было бы линейным многообразием. Из теории приближений
известно, что для любого линейного подпространства LN размер-
ности N
С1 А
sup inf II и — ф||с(С10)> -AjT >
ugw^cia) 4>£Ln	n
где WlA (Cl Q) = {« £Cl (Cl Q), ||и j^ci я» < Л}, и существуют такие
Ln, что
с2а
sup inf ||w — ф||с(с1 Я) < —Jir ;
wG^Z4(C1Q)	™
здесь константы С}, Cf зависят от Q.
Поскольку неравенство (4.143) дает для неизвестного решения
и лишь оценку
II и Ucz+2w(C1Q)	~ С II f llcz(CIQ)»
можно считать, что структура (4.144) оптимальна (по порядку) с
точки зрения теории приближений, если
СА
sup inf II и — <Р ||c(C1Q) <----------ZT •
tt€^Z+2^(ClQ)	jyU-HW
Для структур общего вида оценки аппроксимационных свойств
получены в работах [23—25 и др.]. В то же время, оптимальность
(в указанном выше смысле) для структур общего вида до сих пор не
доказана. Однако, используя рассуждения, аналогичные рассужде-
ниям, приведенным в работах [23, 24], и результаты И. Ю. Харрик
[77, 78], можно показать, что структуры специального вида (которые
могут быть построены для любых краевых условий) «с пограничной
зоной» (см. § 7 гл. 2) и структуры разностного типа (см. § 3 гл. 3)
оптимальны с точки зрения теории приближений. Поясним, что зна.
чит «структура с пограничной зоной» для случая, когда т = 1.
Пусть h (х) g С/+2 (Cl Q) и при этом h (х) = 1 на dQ; 0 < h <
_J_	_ _L
1 при р (х, dQ) < CN z, h (x) = 0 при p (x, dQ) > CN *;
s
||,/i (x) || ездя- < CAP , 0 < s < I + 2. Пусть порядок краевого
условия Вги = 0 равен alt тогда структура вида
W = Ф +	(х) (- ВГФ + <oY)
оптимальна при условии, что Lo и Lx оптимальны, т. е. если
sup inf II и — ф ||С(С1Я> < ттдатг ;
WeU7z+24(ClQ)	Vo)
СА
sup inf II и - Ф ||С(С!Я) <	(;+2_а1)/Л
upU7/-|-2—<х1/4(СИ^ фРЬ,
и /0 = где Р > 0 от N не зависит.
187
Отметим, что методика, изложенная в гл. 1 и 2, позволяет легко
построить h (х) с требуемыми свойствами. В качестве пространств
Lk можно брать пространства алгебраических полиномов, сплайнов
и атомарных функций. На практике часто используют (без теорети-
ческого обоснования) структуры, у которых l0 = N, lk = 0 при
k > 0. Используя в качестве Lk при k > 0 специально выбранные
(граничные) пространства сплайнов или атомарных функций, можно
доказать аппроксимационную оптимальность структур, у которых
lim-^-=l, lim 4г = 0 Для &>0
W-*oo N	N
t—l
(точнее lk — 0 (N * для k >. 0).
Выясним, что дает использование в качестве Lk пространств ли-
нейных комбинаций сдвигов атомарных функций, например функ-
ции
up (i, х) — up (х,) ... up (xt).
Пусть f QCl (Cl Q), где l достаточно велико или неизвестно (на-
пример, в случае, когда краевая часть задана в отдельных точках),
но есть основания полагать, что оно велико.
Как правило, априорная информация о том, каким должно быть
М для получения заданной погрешности, отсутствует или дает слиш-
ком завышенное значение N. В большинстве случаев поступают
следующим образом: решают задачу для небольшого N и по найден-
ному первому приближению оценивают погрешность. Обычно эта
оценка с достаточной степенью достоверности дает истинный поря-
док погрешности, а ее грубую оценку можно получить с помощью
выражения (4.143). Если погрешность слишком велика, N увеличи-
вают.
Использовать в качестве аппарата приближения сплайны степени
I при больших I для нахождения первого приближения (т. е. при
малых N) нецелесообразно — матрица системы будет иметь слиш-
ком много ненулевых элементов.
Использование же последовательностей пространств, построен-
ных на основе атомарных функций, позволяет получать при малых
и больших N относительно разреженную матрицу в сочетании с ап-
проксимационной оптимальностью полученных структур. Конечно,
можно поступать так: для малых N брать сплайны малой степени,
для больших N — большой. Однако тогда появятся дополнительные
трудности при использовании начального приближения для на-
хождения следующего, поскольку пространства сплайнов более
высокой степени не содержат сплайнов меньшей степени. А при ис-
пользовании итерационных методов решения больших линейных
алгебраических систем с разреженной матрицей (для таких систем
итерационные методы получили широкое распространение 133])
наличие хорошего начального приближения весьма полезно 110].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Алберг Джч Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.,
«Мир», 1972. 316 с.
2.	Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., «Наука», 1968,
912 с.
3.	Арнольд В. И. Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости по
Ляпунову и проблемы топологической классификации особых точек аналити-
ческой системы дифференциальных уравнений.— Функцион. анализ, 1970,
4, № 3, с. 1—9.
4.	Арнольд В. И, О представлении функций нескольких переменных в виде су-
перпозиции функций меньшего числа переменных.— Мат. просвещение, 1958,
№ 3, с. 41—61.
5.	Бабич В. М. К вопросу о распространении функций.— Успехи мат. наук.,
1953, 8, вып. 2(54), с. 111—113.
6.	Байрамов Р. А. Об одной серии предполных классов в й-значной логике.—
Кибернетика, 1967, № 1, с. 7—9.
7.	Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном ана-
лизе. М., «Мир», 1974. 126 с.
8.	Ганжела Н. Ф., Рвачев В. Л. Об одном методе сведения краевых задач матема-
тической физики к задаче математического программирования.— Дифференц.
уравнения, 1973, № 12, с. 2202—2206.
9.	Глушков В. М. Введение в кибернетику. К., «Наук, думка», 1964. 324 с.
10.	Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М., «Наука», 1973. 440 с.
И. Гончарюк И. В., Рвачев В. Л. Жесткость кручения стержней полигонального
профиля.— Прикл. механика, 1967, № 4, с. 77—84.
12.	Гончарюк И. В., Рвачев В. Л., ШкляровЛ. И. Кручение стержней многоуголь-
ного профиля с учетом особенностей функции напряжения.— Прикл. механи-
ка, 1968, № 8, с. 101—108.
13.	Деклу Ж. Метод конечных элементов. М., «Мир», 1976. 95 с.
14.	Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций поли-
номами. М., «Наука», 1977. 453 с.
15.	Дзядык В. К. О продолжении функций, удовлетворяющих условию Липшица
в метрике Zp.— Мат. сборник, 1956, 40 (82), № 2, с. 239—242.
16.	Дорохов В. А., Дикий Л. И., ШкляровЛ. И. Алгоритм и стандартная програм-
ма построения уравнения поверхностей для многогранных областей.— Респ.
фонд алгоритмов и программ, мат. обеспечение автоматизир. систем проек-
тирования электро- и радиотехн. устройств, 1972, вып. 5, с. 220—229.
17.	Завьялов Ю. С. О явном представлении интерполяционных сплайн-функций с
равноотстоящими узлами.— Вычислит, системы, 1973, № 56, с. 3—17.
18.	Завьялов Ю. С. Интерполирование кубическими многозвенниками.— Вычис-
лит. системы, 1970, № 38, с. 23—73.
19.	Канторович Л- &-> Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.
М., Физматгиз, 1972. 708 с.
189
20.	Канторович Л. В. Некоторые замечания о методе Ритца.— Труды Высшего
инж.-технич. училища ВМФ, 1941, вып. 3, с. 3—16.
21.	Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М., «Наука», 1975. 183 с.
22.	Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций нескольких перемен-
ных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных.—
ДАН СССР, 1956, 108, № 2, с. 179—182.
23.	Колодяжный В, М., Рвачев В. А. О приближении в равномерной метрике функ-
ций, удовлетворяющих граничному условию, функциями специального вида.—
ДАН СССР, 1975, 222, № 6, с. 1276—1278.
24.	Колодяжный В. М., Рвачев В. А. Структурное построение полных последова-
тельностей координатных функций вариационного метода решения краевых
задач. Препринт № 10 ИПМ АН УССР. Харьков, 1975. 75 с.
25.	Колодяжный В. М., Рвачев В. А. О приближении функций, удовлетворяющих
краевым условиям.— В кн.: Теоретические и прикладные вопросы алгебры
и дифференциальных уравнений. К., 1976, с. 49—53.
26.	Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М., «Наука»,
1976. 320 с.
27.	Коровкин П. П, Математический анализ. Ч. 1, М., «Просвещение», 1972. 448 с.
28.	Кукуджанов В. И. Численное решение неодномерных задач распространения
волн напряжений в твердых телах. М., Вычислит, центр АН СССР, 1976.
Сообщ. по прикл. математике, 1976, в. 6, 67 с.
29.	Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.
М., «Мир», 1971. 371 с.
30.	Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М., «Мир», 1975. 496 с.
31.	Литвин О. М., Рвачов В. Л, Класична формула Тейлора, ii узагальнення та
застосування. К., «Наук, думка», 1973. 123 с.
32.	Лурье А. И. Теория упругости. М., «Наука», 1970. 939 с.
33.	Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск, «Наука»,
1973. 352 с.
34.	Мартынюк А. А. Техническая устойчивость в динамике. К., «Техшка», 19?3.
188 с. .
35.	Микишев Г, Н., Рабинович Б. И, Динамика твердого тела с полостями, час-
тично заполненными жидкостью. М., «Машиностроение», 1968. 532 с. .
36.	Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.,
Изд-во иностр, лит., 1957 . 255 с.
37.	Михлин С. Г. Некоторые вопросы сеточной аппроксимации и их приложения
к вариационно-сеточному методу.— В кн.: Вариационно-разностные методы
в математической физике. Новосибирск, 1974, с. 5—14.
38.	Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., Гостех-
издат, 1957. 476 с.
39.	Никольский С. М. Некоторые вопросы приближения функций полиномами.—
В кн.: Международный математический конгресс в Амстердаме. М., Физмат-
гиз, 1961, с. 259—281.
40.	Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вло-
жения. М., «Наука», 1969. 480 с.
41.	Никольский С. М. О продолжении функций многих переменных с сохранением
дифференциальных свойств.— Мат. сборник, 1956, 40 (82), № 2, с. 243—
268.
42.	Подгорный А. Н. Математические проблемы в машиностроении.— В кн.:
Математизация знаний и научно-технический прогресс. К., 1975, с. 214—228.
43.	Рвачев В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. К., «Техшка», 1967.
212 с.
44.	Рвачев В. Л. Об одном расширении понятия ^-функций.— Кибернетика, 1971,
№ 4, с. 86—92.
45.	Рвачев В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. К.# «Наук,
думка», 1974. 259 с.
46.	Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебра логики и интегральные преобразова-
ния в краевых задачах. К., «Наук, думка», 1976. 287 с.
47.	Рвачев В. Л. Элементы дискретного анализа и теории /^-функций. Харьков,
Изд-во Харьк. политехи, ин-та, 1972. 169 с.
190
48.	Рвачев В. Jl.t Тоница В. С., Шкляров Л. И. О замыкающих функциях трех-
значной логики.— ДАН УССР. Сер. А, 1976, № 6, с. 498—501.
49.	Рвачев В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклас-
сических областей. К., «Наук, думка», 1977. 235 с.
50.	Рвачев В. Л. К вопросу о построении координатных последовательностей.—
Дифференц. уравнения, 1970, № 6, с. 1034—1047.
51.	Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Атомарные функции в математической физике.—
В кн.: Математизация знаний и научно-технический прогресс. К., 1975,
с. 188—199.
52.	Рвачов В. Л., Рвачов В. О. Про одну фшггну функцпо.— ДАН УРСР. Сер. А.,
1971, с. 705—707.
53.	Рвачев В. Л., Рвачев В. А. О представлении многочленов, финитными функци-
ями.— Мат. физика, 1972. № 11, с. 126—129.
54.	Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Функция up (х) в методе конечных элементов.—
Мат. физика, 1975, № 17, с. 170—175.’
55.	Рвачев В, Л,, Рвачев В. А. О приближении функцией up (х).— ДАН УССР.
Сер. А, 1973, с. 507—508.
56.	Рвачев В. А. О приближении с помощью функции up (х).— ДАН СССР, 1977,
233, № 2, с. 295—296.
57.	Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Применение функции up (х) для решения краевых
задач в полупространстве.— Вести. Харьк. политехи, ин-та, 1975, вып.
№ 105, с. 3—5.	1
58.	Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Бесконечно дифференцируемые уравнения замк-
нутых множеств.— Вести. Харьк. политехи, ин-та, 1976, вып. 3, № 113, с. 3—5.
59.	Рвачев В. Л., Базилевич О. В. О построении вариационно-разностных схем с
помощью одной финитной функции.— ДАН УССР. Сер. А, 1973, № 5, с. 419—
422.	1
60.	Рвачев В. А. Применение функции up (х) в вариационно-разностных методах.
Вып. 16, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1975, 18 с.
61.	Рвачев В. А. Представление экспоненциальных функций финитными.— ДАН
УССР. Сер. А, 1973, № 9, с. 821—824.
62.	Рвачев В. А. Представление сплайнов финитными функциями.— ДАН УССР.
Сер. А, 1973, № 2, с. 123—126.
63.	Рвачев В. А. Некоторые финитные функции и их применения.— Мат. физика;
1973, № 13, с. 139—149.
64.	Рвачов В. О. Про функцп Sn.(x).— В кн.: Крайов! задач! для областей склад-
но! форми. К., 1973, с. 42—44.
65.	Рвачев В. А. Функция up (х) в конструктивной теории функций.— В кн.: Кра-
евые задачи для областей сложной формы. К., 1972, с. 72—83.
66.	Рвачев В. А. Один класс финитных функций и некоторые их применения. Канд.
Гдисс. К., 1973. 132 с.,
67.	Савелов А. А. Плоские кривые. М., Физматгиз, 1960. 293 с.
68.	Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1971.
552 с.
69.	Сироджа И. Б. Алгоритмы распознавания геометрических образов.— Изв.
АН СССР. Техн, кибернетика, 1967, № 5, с. 136—144.
70.	Слесаренко А. /7. Дослщження температурних пол!в у конструктивних еле-
ментах складно! форми залежно в!д теплоф!зичних параметр!в.— BicH. АН
УРСР, 1976, № 12, с. 23—26.
71.	Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.,
«Наука», 1976. 248 с.
72.	Стоян Ю. Г, Размещение геометрических объектов. К., «Наук, думка», 1975.
239 с.
73.	Стоян Ю. Г,, Гиль Н. И, Методы и алгоритмы размещения плоских геометри-
ческих объектов. К., «Наук, думка», 1976. 247 с.
74.	Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М., Изд-во при
Моск, ун-те, 1976. 304 с.
75.	Тоница В. С., Шкляров Л. И, Об одном алгоритме автоматического построения
аналитических образов сложных геометрических объектов.— В кн.: Вычисли-
тельная техника в машиностроении. Минск, 1974, с. 3—14.
191
76.	Федъко В. В. Обобщенная кусочно-непрерывная интерполяция Эрмита и реше-
ние краевых задач. Препринт № 10 ИПМ АН УССР. Харьков, 1976. 25 с.
77.	Харрик И. Ю. О приближении функций, обращающихся на границе области
в нуль вместе с частными производными, функциями особого вида.— Сиб. мат.
журн., 1963, 4, № 2, с. 408—425.
78.	Харрик И. Ю. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе
области, функциями особого вида.— Мат. сборник, 1955, 37 (79), №2, с. 353—
384.
79.	Шкляров Л. И., Тоница В. С, Алгоритм аналитического описания областей,
ограниченных конечным числом дуг окружностей и отрезков прямых.— В кн.:
Комбинаторная геометрия и оптимальные размещения. К., 1972, с. 15—24.
80.	Черноусъко Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управле-
ния. М., «Наука», 1973. 238 с.
81.	Яблонский С. В., Гаврилов Г, П., Кудрявцев В. Г. Функции алгебры логики и
классы Поста. М., «Наука», 1966. 119 с.
82.	Яблонский С. В/Функциональные построения в fc-значной логике.— Труды
мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 1958, № 51, с. 5—142.
83.	Яненко Н. Н., Квасов Б. И. Итерационный метод построения полукубических
сплайн-функций.— ДАН СССР, 1970, 195, № 5, с. 1055—1057.
84.	Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions
of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions.
I, IL—Com. Pure Appl. Math., 1959, 12, № 4, p. 623—727; Math., 1964,
17, N 1, p. 35—92.
85.	Gevrey M. Les quasi fonctions de Green et les systemes d’equations aux derivees
partielles du type elliptique.— Annales de 1’Ecole Normale Superieure, 1935,
N 52, p. 39—108.
86.	Giraud G. Sur certains problemes non lineaires de Neumann et sur certains prob-
lemes non lineaires mixte.— Annales de 1’Ecole Normale Superiecure, 1932, N 49,
p. 1—Ю4, 245—308.
87.	HestenesM. R. Extension of the range of differentiable function.— Duke Math.
J., 1941, 8, N 1, p. 183—192.
88.	Lyche T., Schumaker L. L. Local spline approximation methods.— J. Approxim.
Theory, 1975, N 15, p. 29—325.
89.	Schultz M. H. Rayleigh — Ritz — Galerkin methods for multidimensional prob-
lems.— SIAM J. Numer. Anal., 1969, 6, N 4, p. 523 — 538.
90.	Strang G.t Fix G. An analysis of the finite element method. N. Y., Prentice Hall,
1973. 306 p.
91.	Thom R. Local topological properties of differentiable mappings.— In: Diffe-
rential Analysis (Bombey Colloquium). Bombey, 1964, p. 191—202.
92.	Whitney //. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed
sets.— Trans. Amer. Math. Soc., 1936, 36, p. 63—89.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
V — квантор общности (для всех)
2 — квантор существования (существует)
0 — пустое множество
А \ В — разность множеств А и В
А — дополнение множества А или операция отрицания в алгеб-
ре логики (в зависимости от контекста)
С1 А — замыкание множества А
dim А — размерность множества А
2а — совокупность всех подмножеств множества А
А X В — прямое произведение множеств А и В
Ап — п-я степень множества А
{х : Рх} — совокупность элементов, обладающих свойством Рх
f : А -> В — отображение множества А на множество В
f (А) — образ множества А при отображении f
f1 (А) — прообраз множества А при отображении f
f / А — сужение (ограничение) отображения f на множество А
inf (sup)A — нижняя (верхняя) грань множества A CZ IR
N — множество неотрицательных целых чисел
2 — множество произвольных целых чисел
— множество рациональных чисел
IR — множество действительных чисел
С — множество комплексных чисел
—n-мерное вещественное евклидово пространство
Ст (Q) — множество tn раз непрерывно дифференцируемых в области
Q функций
П / 11л — Н0Рма f в линейном нормированном пространстве А
С^а, b] = {/ (х) G Cr [a, b]: fw (а) = f (b),	4 = 0, 1, ...» г-1}
Wr = [f (х): f (х G Cr [- л, л], ||f ’ (x) ||c < 1}
Lp(Q)={f(x):(f:Q->IR), Jin^x<oo}
Z= {f(x):V/i>0, \f(x + h) + f(x-h)-2f(x)\<Ch}
L’pca = {/(x): V Л > 0,	|/(x + h)-f(x)\Cha}
193
dn (Л) — п-й поперечник (по Колмогорову) в метрике С компакта Л
Нт (ПС) — пространство С. Л. Соболева, Нт (ЕС) “
= (X) G L, (Г):	(Г) v а, | а | < m}
supp f (х) — носитель функции f (х), supp f (х) = Cl {х : f (х)	0}
f X Ф — свертка функций f и ф
X Д Y — конъюнкция в алгебре логики (X, Y f Bk)
X V К — дизъюнкция в алгебре логики (X, Y £ Bk)
X — отрицание (если X £ Bk) в алгебре логики
X — циклическое отрицание (если X £ В^) в алгебре логики
X -> Y — импликация в алгебре логики (X, Y £ В^)
X ~ Y — равнозначность в алгебре логики (X, У £ Bk)
X I Y — операция Шеффера в алгебре логики (X, Y £ Bk) или
фактор-группа группы X по нормальному делителю Y (в
зависимости от контекста)
Ао, Аа, Л*о» А, ... — символы /^-конъюнкций
р
Vo, Va, Vo1’ V , ... — символы /^-дизъюнкций
х — R -отрицание
->0, -*а, "^(Г’ ••• — символы /^-импликаций
~0, —а,	... — символы /^-равнозначностей
I о, I a, I о1, •• • — символы /^-операций Шеффера
(/, Ф) — скалярное произведение или вектор ..., fnt фр ..., фш)
(если /= (/1? ..., fn)f ф= (фп ..., фт)) в зависимости от контекста
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ,.......................................................... '	.
3
Глава 1. Алгебра логики и R-функции...............................   8
§ 1.	Композиция и суперпозиция. Я-реализуемые функции ...	8
§ 2.	Функция алгебры логики.................................  11
§ 3.	R-функции ............................................   21
§ 4.	Основная система R-функций. Элементарные достаточно пол-
' 1	ные системы • R-функций .... ...............  .	. . . . .	25
§ 5.	Логические и дифференциальные свойства R-функций ....	34
§ 6.	Чертеж и его уравнение.................................. 42
§ 7.	Трехзначные характеристические функции областей........	51
§ 8.	Основные теоремы. Переход от предикатных уравнений черте-
жей к обычным .............................................. 55
§ '9	. Уравнение произвольного чертежа. Алгоритмически полные ба-
зисные системы............................................   59
§ 10.	Нормальные и нормализованные уравнения чертежей ....	62
Глава 2. Пучки функций и краевые задачи...........................,	68
§ 1.	Пучки функций с фиксированными значениями на заданных чер-
тежах ..................................................... 68
§ 2.	Продолжение граничных дифференциальных операторов внутрь
области ................................................... 72
§ 3.	Метод нормализант и разложение функции в окрестности данного
чертежа ................................................... 78
§ 4.	Пучки функций, удовлетворяющих дифференциальным и сме-
шанным граничным условиям.................................. 83
§ 5.	Краевая задача и структура ее решения................. 94
§ 6.	Методы нахождения неопределенных компонент. Проблема вы-
бора аппроксимирующих полиномов..........................j	97
§ 7.	Учет априорной информации при построении структур решений
краевых задач .............................................102
Глава 3. Атомарные функции ..................................... 108
§ 1.	Определение атомарных функций ......................
§ 2.	Уравнения первого порядка ..........................
§ 3.	Функция up (х)................................г	* ‘ *
§ 4.	Представление многочленов в виде линейных комбинаций сдви-
гов функции up (х).......................................
§ 5.	Функции F uprt (х)..................................
§ 6.	Безгранично дробимые функции........................
§ 7.	Функции yk (х)	.....................................
§ 8.	Функции Sn (х) и gk h (х)...........................
НО
115
124.
127
130
134
137
141
Глава 4. Приближение атомарными функциями..........................142
§ 1.	Неравенства типа Маркова — Бернштейна для линейных ком-
бинаций сдвигов функции up (х) .............................142
§ 2.	Пример наилучшего чебышевского приближения.............147
§ 3.	Приближение линейными комбинациями сдвигов сжатий функ-
ции up (х)	...........................................149
§ 4.	О приближении в пространствах Соболева.................156
§ 5.	Обратные теоремы (типа теорем Бернштейна) о приближении ли-
нейными комбинациями сдвигов сжатий функции up (х) .... 157
§ 6.	Теоремы единственности ................................160
§ 7.	О приближении линейными комбинациями сдвигов функ-
ции up (х)..................................................161
§ 8.	Количественная оценка скорости приближения дифференцируе-
мых периодических функций линейными комбинациями сдвигов
функции up (х)	.....................................165
§ 9.	Об интерполяции периодических функций линейными комбина-
циями сдвигов функции up (х)................................178
§ 10.	Естественный ортогональный базис в пространстве линейных
комбинаций сдвигов функции up (х)...........................185
§ 11.	Аппроксимационные свойства структур и атомарные функции 186
Ли тература .......................................................189
Списокобозначений.......................193
ВЛАДИМИР ЛОГВИНОВИЧ РВАЧЕВ
ВЛАДИМИР АЛЕКСЕЕВИЧ РВАЧЕВ
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ПРИБЛИЖЕНИЙ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
Печатается по постановлению ученого совета
Института проблем машиностроения АН УССР
Редактор С. Д. К о ш и с
Оформление художника В. Г. Самсонова
Художественный редактор И. П. Антонюк
Технический редактор И. А. Ратнер
Корректор Р. С. Коган
Информ, бланк № 2235
Сдано в набор 03.07.78. Подп. в печ. 29.11.78. БФ 00379. Формат 60X90 /1а. Бумага типогр. № 1.
Лит. гарн. Выс. печ. Усл. печ. л. 12,25. Уч.-изд. л. 11,16. Тираж 2450 экз. Заказ № 9-23. Не-
на 1 руб..90 коп.
Издательство <Наукова думка», 252601, Киев, ГСП, Репина, 3.
Книжная фабрика «Коммунист» РПО «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, 310012,
Харьков-12, Энгельса, 11.