Автор: Бугров Я.С. Никольский С.М.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ высшая математика
ISBN: 5-222-00215-2
Год: 1998
Похожие
Текст
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ВУ303
Высшая математика
Я. С. Бугров
С. М. Никольский
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
РЯДЫ
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
УЛУЧШЕННОЕ
Рекомендовано Министерством общего
и профессионального образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов инженерно-технических
специальностей высших учебных заведений
Серия учебников по высшей математике авторов
Я. С. Бугрова, С. М. Никольского, в которую вошли
1. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного
2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
3. Дифференциальное и интегральное исчисление
4. Сборник задач по высшей математике
получила высокое признание в нашей стране и за рубежом,
была удостоена государственной премии в 1987 году. Все
книги серии переведены на английский, французский, испан-
ский и португальский языки.
За короткий срок эти книги выдержали четыре издания
и сегодня пользуются огромным спросом и популярностью у
студентов вузов России.
Ростов-на-Дону
«Феникс»
1997
ББК 22.161.1
Б 90
УДК 511'
Бугров Я. С., Никольский С. М.
Б90 Высшая математика. Дифференциальные уравне-
ния. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплекс-
ного переменного: Учебник для вузов. - 4-е изд. -
Ростов н/Д: изд-во «Феникс», 1998. — 512 с.
Учебник вместе с тремя книгами тех же авторов «Эле-
менты линейной алгебры и аналитической геометрии», «Диф-
ференциальное н интегральное исчисление» и задачник к
ним соответствует новой программе по высшей математике
для инженерно-технических специальностей вузов.
Книга содержит следующие разделы: Обыкновенные
дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Вектор-
ный анализ. Ряды и интеграл Фурье. Простейшие задачи из
теории уравнений математической физики. Функции ком-
плексного переменного. Элементы операционного исчисле-
ния.
Для студентов инженерно-технических специальностей
вузов.
р 160207Q1Q0 без объявл.
4МО(03)-97
ББК 22.161.1
ISBN 5-222-00215-2
© Бугров Я. С., Никольский С. М., 1997
© Оформление, изд-во «Феникс», 1997
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию......................8
Предисловие к первому изданию.......................9
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные урав-
нения..........................................11
§ 1.1. Задача, приводящая к дифференциально-
му уравнению................................11
§ 1.2. Общие понятия............................12
§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения
первого порядка............................24
§ 1.4. Теорема существования решения диффе-
ренциального уравнения первого порядка......36
§1.5. Метрическое пространство.................40
§ 1.6. Доказательство теоремы существования
решения дифференциального уравнения
первого порядка.............................47
§ 1.7. Метод Эйлера приближенного решения
дифференциального уравнения первого
порядка.....................................51
§ 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно
производной.................................52
§ 1.9. Особые решения...........................56
§ 1.10. Огибающая семейства кривых...............57
§ 1.11. Дифференциальное уравнение второго по-
рядка.......................................60
§ 1.12. Система из двух дифференциальных урав-
нений первого порядка.......................63
§ 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка.65
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 1.14. Понижение порядка дифференциального
уравнения....................................69
§ 1.15. Линейные уравнения высшего порядка...73
§ 1.16. Линейные однородные уравнения л-го
порядка с постоянными коэффициентами.........81
§ 1.17. Метод вариации постоянных...........87
§ 1.18. Частное решение неоднородного уравнения
с постоянными коэффициентами. Прило-
жения.......................................90
§ 1.19. Системы дифференциальных уравнений.
Фазовое пространство.........................103
§ 1.20. Линейная однородная система дифферен-
циальных уравнений...........................107
§ 1.21. Общее решение линейной однородной си-
стемы дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами.....................112
§ 1.22. Сведение системы уравнений к одному
уравнению....................................121
§ 1.23. Неоднородная система линейных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.............................124
§ 1.24. Интегрирование дифференциальных урав-
нений при помощи степенных рядов...........128
§ 1.25. Элементы теории устойчивости.......134
§ 1.26. Классификация точек покоя..........142
Глава 2. Кратные интегралы....................154
§ 2.1. Введение............................154
§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана.....161
§ 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы
существования..............................168
§ 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным....173
§ 2.5. Доказательство существования интеграла
от непрерывной функции.....................185
§ 2.6. Замена переменных. Простейший случай..187
§ 2.7. Замена переменных. Общий случай.....189
§ 2.8. Полярная система координат в плоскости.... 193
§ 2.9. Полярная система координат в простран-
стве.......................................196
§ 2.10. Цилиндрические координаты...........198
§ 2.11. Площадь поверхности.................200
§ 2.12. Координаты центра масс..............208
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 2.13. Несобственные интегралы.............213
§ 2.14. Несобственный интеграл с особенностями
вдоль линии.................................218
§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от
параметра...................................219
Глава 3. Векторный анализ.....................230
§ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая....230
§ 3.2. Криволинейный интеграл первого рода...233
§ 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой.....235
§ 3.4. Поле потенциала......................241
§ 3.5. Дифференциальное уравнение в полных
дифференциалах..............................250
§ 3.6. Ориентация плоской области...........252
§ 3.7. Формула Грина........................254
§ 3.8. Интеграл по поверхности первого рода..259
§ 3.9. Ориентация поверхности...............261
§ 3.10. Система координат и ориентация поверх-
ности.......................................264
§ 3.11. Интеграл по ориентированной плоской
области.....................................268
§3.12. Поток вектора через ориентированную
поверхность.................................271
§ 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроград-
ского.......................................276
§ 3.14. Свленоидальное поле.................284
§ 3.15. Формула Стокса......................285
Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье...........291
§4.1. Тригонометрические ряды............ 291
§ 4.2. Сходимость тригонометрических рядов..297
§ 4.3. Ряд Фурье............................299
§ 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье......302
§ 4.5. Ортогональные свойства тригонометричес-
ких функций.................................306
§ 4.6. Коэффициенты Фурье..................308
§ 4.7. Оценка коэффициентов Фурье..........309
§ 4.8. Пространство функций со скалярным про-
изведением..................................310
§ 4.9. Ортогональная система функций.......314
§ 4.10. Полнота тригонометрических функций.318
§ 4.11. Комплексная форма ряда Фурье........322
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный
интеграл Фурье..............................323
§ 4.13. Косинус- и синус-преобразования Фурье.331
§ 4.14. Примеры............................332
§ 4.15. Приближение интеграла Фурье........336
§ 4.16. Сумма Фейера.......................337
§ 4.17. Полнота систем функций в С и £2'...343
§ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье....346
Глава 5. Уравнения математической физики......361
§5.1. Температура тела....................361
§ 5.2. Задача Дирихле......................363
§ 5.3. Задача Дирихле для круга............364
§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости....366
§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне...369
§ 5.6. Теплопроводность для бесконечного стер-
жня.........................................374
§ 5.7. Малые колебания струны..............376
§ 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула
Даламбера...................................381
§ 5.9. Колебание круглой мембраны..........382
§ 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля.......387
§ 5.11. Интеграл энергии (Дирихле).........390
§ 5.12. Применение преобразований Фурье....395
Глава 6. Теория функций комплексного перемен-
ного..........................................401
§ 6.1. Понятие функции комплексного перемен-
ного........................................401
§ 6.2. Производная функция комплексного пе-
ременного...................................404
§ 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Рима-
на).........................................411
§ 6.4. Гармонические функции...............415
§ 6.5. Обратная функция....................419
§ 6.6. Интегрирование функций комплексного
переменного.................................425
§ 6.7. Формула Коши........................431
§ 6.8. Интеграл типа Коши..................434
§ 6.9. Степенной ряд.......................435
§ 6.10. Ряд Лорана.........................438
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 6.11. Классификация изолированных особых
точек. Вычеты..............................444
§ 6.12. Классификация особых точек на бесконеч-
ности......................................451
§ 6.13. Теорема о вычетах..................454
§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи вы-
четов......................................455
§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная
функция....................................462
Глава 7. Операционное исчисление.............468
§7.1. Изображение Лапласа.................468
§ 7.2. Изображение простейших функций и свой-
ства изображений...........................470
§ 7.3. Приложения операционного исчисления.487
Глава 8. Обобщенные функции..................495
§ 8.1. Понятие обобщенной функции..........495
§ 8.2. Операции над обобщенными функциями..501
§ 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функ-
ций........................................503
Предметный указатель.........................506
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание отличается от первого рядом измене-
ний и дополнений.
Добавлены задачи физического содержания. Перерабо-
таны некоторые разделы главы «Векторный анализ». В
главе «Ряды Фурье. Интеграл Фурье» добавлен материал
по теории кратных рядов Фурье и теории суммируемости.
В главе «Уравнения математической физики» введен па-
раграф о применении преобразований Фурье.
Выражаем благодарность секции технических вузов
Научно-методического Совета по математике при Минвузе
СССР под руководством профессора Л. Д. Кудрявцева за
обсуждение наших учебников и ценные замечания и пред-
ложения, которые, несомненно, способствовали улучше-
нию содержания учебников.
Мы также выражает благодарность Ю. И. Волкову,
М. Ш. Коссу, Н. М. Матвееву, А. М. Полосуеву, Я. М. То-
больцеву и ряду других читателей за ценные конструк-
тивные предложения, которые мы старались учесть при
работе над вторым изданием.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Данная книга охватывает 190 часов программы курса
«Высшая математика» для инженерно-технических спе-
циальностей высших учебных заведений.
Можно считать, что эта книга и две предыдущие наши
книги, изданные под названием «Высшая математика»,
исчерпывают всю указанную программу, за исключением
раздела «Теория вероятностей» — 50 часов и примерно
двух третей раздела «Численные методы» — 52 часа.
Изложение вопросов в каждой главе производится
таким образом, чтобы дать сразу основные понятия. Фор-
мальные же доказательства теорем, как правило, даются
в конце главы или параграфа. Это дает возможность при
чтении курса в случае необходимости ограничиться нача-
лами глав или параграфов.
В главах «Уравнения математической физики» и «Ряды
Фурье» мы в ряде случаев при выводе формул ограничи-
вались лишь физическими соображениями.
Отметим, что главы 6 и 7, посвященные теории функ-
ций комплексного переменного и операционному исчис-
лению, можно читать и до главы «Ряды и интегралы
Фурье». Последняя никаких сведений из теории функций
комплексного переменного, кроме элементарных знаний
о комплексных числах, не требует. В частности, там пока-
зано, как можно вычислять конкретные интегралы Фурье
без привлечения операционного исчисления.
Авторы выражают свою признательность коллективу
кафедры математики Московского института стали и спла-
вов, заведующему кафедрой профессору В. А. Треногину за
доброжелательное рецензирование наших книг и ценные
советы, которыми мы воспользовались.
Мы также выражаем благодарность нашему официаль-
ному рецензенту, члену-корреспонденту АН СССР А. Ф. Ле-
онтьеву за полезные замечания и благожелательное отно-
шение к нашим книгам.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Мы очень благодарны за ценные советы профессору
Е. А. Волкову, тщательно прочитавшему главу по теории
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Мы выражаем также благодарность редактору серии
наших книг А. Ф. Лапко, который, имея высокую ква-
лификацию как математик и как редактор, тщательно про-
читал тексты рукописей и проверил их во всех деталях. Его
советы мы учли и устранили замеченные им недостатки.
В заключение отметим два учебника: В. Гренвиль и
Н. Н. Лузин «Дифференциальное и интегральное исчис-
ление», И. И. Привалов «Аналитическая геометрия».
По этим учебникам мы учились в свое время учить мате-
матике будущих инженеров и педагогов. Краткость и
доступность изложения в них совмещается с должной ма-
тематической культурой.
Отметим еще книги, которые мы рекомендуем тем на-
шим читателям, которые хотят изучать математику более
полно:
В. А. ИльиниЭ. Г. Позняк «Основы математичес-
кого анализа» под редакцией А. Н. Тихонова.
Л. Д. Кудрявцев «Математический анализ».
С. М. Никольский «Курс математического анали-
за».
Наконец отметим, что при написании разделов диффе-
ренциальные уравнения и функции комплексного пере-
менного нам были полезны книги Л. С. Понтрягина
«Обыкновенные дифференциальные уравнения» и
М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата «Методы теории
функций комплексного переменного», которые мы тоже
рекомендуем для более полного изучения математики.
ГЛАВА 1
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1.1. Задача, приводящая
к дифференциальному уравнению
Пусть тело, имеющее температуру 0О в момент времени
t = 0, помещено в среду температуры а (60 > а). Требуется
найти закон, по которому изменяется температура тела в
зависимости от времени. Искомая температура есть функ-
ция от времени, которую обозначим через 6(t).
Из физики известно, что скорость охлаждения тела
пропорциональна разности температур тела и окружаю-
щей среды. Учитывая, что функция 6(t) убывающая, в
силу механического смысла производной получаем
dO(t)
—= -Л[6(0 - а],
at
где k — коэффициент пропорциональности.
Соотношение (1) является математической моделью
данного физического процесса. Оно называется дифферен-
циальным уравнением, потому что в него наряду с неиз-
вестной функцией 6(t) входит и ее производная. Диффе-
ренциальное уравнение (1) может описывать и другие
физические процессы. Например, радиоактивный распад
также описывается уравнением (1) при а = 0.
Решение уравнения (1) легко угадать: 0(t) = Се-*' + а,
где С - произвольная постоянная. Значение этой постоян-
(1)
12 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ной можно найти из условия 6(0) = 60> из которого следу-
ет, что 60 = С + а.
Таким образом, искомое решение имеет вид
G(t) = (60 - а)е~ы + а.
§ 1.2. Общие понятия
1.2.1. Понятие обыкновенного дифферен-
циального уравнения. При изучении физических
явлений часто не удается непосредственно найти закон,
связывающий независимые переменные и искомую функ-
цию, но можно установить связь между этой функцией и
ее производными, выражаемую дифференциальным урав-
нением.
Если искомая функция зависит от одного переменно-
го, то дифференциальное уравнение называется обыкно-
венным. Произвольное обыкновенное дифференциальное
уравнение порядка п имеет следующий вид:
F (*, у, /...у™) = 0. (1)
Здесь F есть заданная (известная) функция от п + 2
переменных, обычно удовлетворяющая определенным ус-
ловиям непрерывности и дифференцируемости, на кото-
рых мы сейчас останавливаться не будем, а у = у(х) -
функция от х - решение дифференциального уравнения,
которую надо найти.
Решением дифференциального уравнения порядка п
называется функция у{х), имеющая на некотором интер-
вале (а, Ь) производные у'(х), у"(х), ..., t/n)(x) до порядка
п включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Это
значит, что выполняется тождество по х:
F(x, у(х), у'(х).у(п)(х)) = 0 (хс (а, Ь)).
Каждому решению, вообще говоря, соответствует свой
интервал. Конечно, если функция у(х), заданная на интер-
вале (а, Ь), есть решение дифференциального уравнения (1),
то эта функция, рассматриваемая на интервале (с, d), при-
надлежащем к (а, Ь), тоже есть решение уравнения (1).
В ближайших параграфах мы будем рассматривать
дифференциальные уравнения, определяемые действитель-
ными функциями F, и искать их действительные решения
у(х). Термин «действительный» будем опускать, считая его
§ 1.2. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
13
само собой разумеющимся. Впоследствии, когда мы будем
изучать линейные дифференциальные уравнения, нам
понадобятся также и их комплексные решения. Но об
этом речь будет впереди.
Итак, мы будем называть действительные решения у(х),
х&(а, Ь), обыкновенного дифференциального уравнения
просто решениями этого уравнения.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения
n-го порядка по самому его определению есть функция
у(х), непрерывная на некотором интервале (а, Ъ) вместе со
своими производными до порядка и — 1 включительно и
имеющая, кроме того, на (а, Ь) производную t/n\x) поряд-
ка п. Мы будем считать, что эта последняя производная
тоже непрерывна на (а, Ь), не оговаривая это всякий раз
особо.
График решения обыкновенного дифференциального
уравнения n-го порядка будем называть интегральной
кривой этого уравнения (см. далее замечание в § 1.3).
Впрочем, мы будем позволять себе решение дифферен-
циального уравнения называть интегральной кривой, а
интегральную кривую решением.
Так как эта глава посвящена только обыкновенным
дифференциальным уравнениям, то не будет путаницы,
если слово «обыкновенный» будет иногда опускаться.
Уравнения
i/" + 2i/ + у = sinx, (у")г +1 = 0,
у" + (У')2 = 0, у' + ky = cosx
могут служить примерами обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Первое из них - третьего порядка, второе
и третье - второго порядка, а четвертое - первого порядка.
Кстати заметим, что непосредственно видно, что второе
уравнение не имеет вовсе действительных решений.
Существует термин - проинтегрировать дифференци-
альное уравнение. Это значит, что надо найти те или иные
решения данного дифференциального уравнения. Нахож-
дение решения дифференциального уравнения всегда свя-
зано с необходимостью интегрировать входящие в это
уравнение функции.
1.2.2. Дифференциальное уравнение перво-
го порядка. Мы начнем с изучения дифференциально-
го уравнения первого порядка
14 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
F (х, у, у') = 0. (2)
Как правило, мы будем предполагать, что функция
F(x, у, г) задана на некоторой области трехмерного про-
странства £2 и непрерывна на £2 вместе со своими частны-
dF 3F
ми производными э и . В частности, £2 может быть
оу ог
всем трехмерным пространством точек (х, у, z).
Напомним, что решением или частным решением диф-
ференциального уравнения (2) мы называем любую дей-
ствительную непрерывно дифференцируемую функцию
у — у(х), заданную на некотором интервале (а, Ь), которая
удовлетворяет этому уравнению:
F(x, у(х), у'(х)) = 0 (х е(а, b), (х, у(х), j/(x)) е £2).
При этом каждое решение имеет, вообще говоря, свой
интервал, где оно задано.
Два алгебраических уравнения
F^x, у, z) = 0, F2(x, у, 2) = 0 (3)
называются эквивалентными на области £2 точек (х, у, г),
если из того, что точка (х, у, г) е £2 удовлетворяет одному из
этих уравнений, следует, что она удовлетворяет и другому.
Соответственно два дифференциальных уравнения
FJx, у. у') = 0, F2(x, у, у') = 0
называются эквивалентными на области £2, если эквива-
лентны на £2 алгебраические уравнения (3).
Таким образом, в этом случае решение у(х), х е(а, Ь),
(х, у(х), у'(х)) е £2, одного из дифференциальных уравне-
ний автоматически есть решение другого.
Впрочем, эквивалентные на области £2 дифференциаль-
ные уравнения считаются за одно и то же уравнение.
При преобразовании дифференциального уравнения
надо следить, чтобы получаемое после преобразования
новое дифференциальное уравнение было эквивалентным
(на £2!) прежнему. Или уж, во всяком случае, надо заме-
чать, какие из решений могут исчезнуть или прибавиться
после преобразования.
1.2.3. Задача Коши. Отметим задачу, называемую
задачей Коши1 для дифференциального уравнения перво-
го порядка. Она гласит: требуется найти решение у = у(х)
1 О. Л. Коши (1789—1857) - выдающийся французский матема-
тик.
§1.2. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
15
данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию
У(х0) = у0,
где (х0, у0) - заданная точка плоскости (х, у).
Конечно, в каждом данном случае задача Коши может
иметь и не иметь решение. .
Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить,
единственно ли оно. Уже сейчас мы отметим важный факт,
который будет доказан в § 1.6: для дифференциального
уравнения первого порядка в разрешенной относительно
у' форме
— = / (х, у) ((х, у) е G)
задача Коши имеет решение и притом единственное для
любой точки (х0, у0) области G плоскости (х, у), если
заданная на этой области функция /(х, у) непрерывна
Э/
вместе со своей частной производной .
Конечно, единственность решения задачи Коши надо
понимать в том смысле, что если у(х) и J/j(x) суть ее реше-
ния, удовлетворяющие одному и тому же начальному
условию (у (х0) = у^Хо) = Уо), заданные соответственно на
интервалах (а, Ь) и (с, d), то у(х) = У^х) на пересечении
этих интервалов.
1.2.4. Примеры дифференциальных уравне-
ний первого порядка.
Пример 1. Простейшее дифференциальное уравнение
первого порядка имеет вид
У' = f(x) (а < х < Ь), (4)
где f (х) - непрерывная на некотором интервале (а, Ь)
функция.
Из теории неопределенного интеграла следует, что любое
решение этого дифференциального уравнения может быть
записано следующим образом:
У = J f(x)dx + С,
где справа в качестве первого слагаемого стоит неопреде-
ленный интеграл от /(х), т. е. некоторая первообразная
функция от /(х) на (а, Ь):
16 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
V(x) = J f(x)dx,
а в качестве второго слагаемого — произвольная постоян-
ная С (—оо < С < оо).
Итак, любое решение дифференциального уравнения
(4) определяется равенством
у = у(х) + С (а < х < Ь), (5)
где у(х) - некоторая первообразная от f(x) на (a, b), а С
произвольная постоянная — параметр семейства решений.
Каждому значению параметра С соответствует отдель-
ное (частное) решение дифференциального уравнения (4),
и при этом любое решение этого уравнения может быть
получено как частное решение семейства (5) при соответ-
ствующем значении С.
Если равенство (5) продифференцировать по х, то по-
лучим исходное дифференциальное уравнение (4). Благо-
даря этому свойству равенство (5), содержащее в себе про-
извольную постоянную С, называют общим интегралом
дифференциального уравнения (4).
Задача Коши для дифференци-
ального уравнения (4) решается и
притом единственным образом при
начальном условии y(xQ) = у0, где
(х0, у0) — любая точка из полосы
{а < х < Ь, -оо < у < оо} плоскости
(х, у). Чтобы решить ее, подставля-
ем в общий интеграл (5) точку
(х0, у0) и находим постоянную С:
Уо = У(х0) + С, С = у0 - у(х0).
Отсюда получаем
У - Уо = W) “ Шо)-
Это и есть решение (интегральная кривая) нашего диф-
ференциального уравнения (4), проходящее через точку
(х0, у0) (рис. 1).
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
У' = ky (-00 < X, у < ~), (6)
где k - заданная постоянная.
Легко проверить, что функция
§1.2. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
17
у = Cekx = Сехр(Лх) (-<«> < х < “) (7)
при любом значении параметра С есть решение дифферен-
циального уравнения (6). Мы не будем сейчас объяснять,
как к этому семейству решений, зависящему от произ-
вольной постоянной С, можно логически прийти (см. да-
лее § 1.3).
Продифференцируем равенство (7) по х:
у' = Ckexp(kx) (-<*> < х < оо). (8)
Теперь исключим параметр С из обоих равенств (7) и
(8), т. е. найдем С из одного из них и подставим в другое.
Получим, очевидно, опять исходное дифференциальное
уравнение (6).
В силу этого свойства равенство (7) называют общим
интегралом дифференциального уравнения (6).
1.2.5. Общий интеграл дифференциально-
го уравнения первого порядка. Дадим опреде-
ление общего интеграла дифференциального уравнения
первого порядка.
Пусть задано дифференциальное уравнение первого
порядка
F(x, у, у') = 0, (2)
dF 3F
где функция F(x, у, г) и ее частные производные и
непрерывны на области £1 точек (х, у, г) трехмерного
пространства.
Общим интегралом дифференциального уравнения (2)
называется равенство
Ф(х, у, С) = 0, (9)
где функция Ф(х, у, z) непрерывно дифференцируема на
некоторой области точек (х, у, z) и обладает следующим
свойством: если продифференцировать равенство (9) по х,
считая формально, что у = у(х\.
ЭФ ЭФ
э7 + 1у у' = °’ (10)
и исключить С из уравнений (9) и (10), то получим диф-
ференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (2).
Называют еще уравнение (2) дифференциальным урав-
нением семейства функций (9), зависящих от параметра С.
18 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 3. Рассмотрим семейство функций
У = (X - С)3 (-оо < X < ~), (11)
зависящих от произвольного параметра С.
Продифференцируем (11) по х:
у' = 3(х - С)2 (-оо < х < оо) (12)
и возведем полученное равенство в куб:
(jZ)3 = 27(х - С)6. (13)
Легко видеть, что мы получили дифференциальное урав-
нение, эквивалентное уравнению (12). Но тогда из (11) и
(13) следует дифференциальное уравнение
jZ3 _ 27у2 = 0 (14)
Легко проверить, что любая функция (11) удовлетворя-
ет этому уравнению. Впрочем, этот факт уже следует из
того, что дифференциальное уравнение (14) есть результат
исключения параметра С из равенств (11) и (13).
Мы доказали, что равенство (11), содержащее произ-
вольный параметр С, есть общий интеграл дифференци-
ального уравнения (14).
В дальнейшем мы будем изучать некоторые типы диф-
ференциальных уравнений первого порядка и будем ука-
зывать методы их решения, которые приведут к семей-
ствам решений, зависящих от одного параметра С. Обычно
эти семейства и будут общими интегралами соответствую-
щих дифференциальных уравнений.
Возникает вопрос, содержит ли общий интеграл данно-
го дифференциального уравнения первого порядка при
любых значениях параметра С все решения этого уравне-
ния. Вообще говоря, это не так. Но это заведомо имеет
место, если общий интеграл дифференциального уравне-
ния первого порядка можно записать в разрешенном от-
носительно С виде
Ч'(х, у) = С, (15)
и при этом левая часть уравнения (15) есть непрерывно
дифференцируемая функция. Именно, справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть задано дифференциальное уравне-
ние
F(x, у, j/) = 0 ((х, у, у')е £2), (2')
где функция F(x, у, г) вместе с ее частными производны-
§ 1.2. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
19
dF dF
ми ~~ , непрерывна на области £2 пространства
(х, у, г), и пусть равенство (15) есть его общий интеграл,
где ^(х, у) — непрерывно дифференцируемая на некоторой
области плоскости (х, у) функция.
Тогда, если
У = У(х) ((*, у(х), у'(х))е £2),
есть непрерывно дифференцируемое на (а, Ь) решение урав-
нения (15) при некотором значении С, то оно обязательно
есть решение дифференциального уравнения (2'), и обрат-
но, всякое решение дифференциального уравнения (2') удов-
летворяет уравнению (15) на интервале, где оно задано,
при некоторой постоянной С.
Доказательство. Пусть у = у(х). х е (а, Ь), есть
непрерывно дифференцируемое решение уравнения (15) при
постоянной Со:
Т(х, у(х)) = Со, (х е (а, Ь)).
Продифференцируем это тождество по х:
— (х, у(х)) + (х, у(х))у'(х) = 0 (хе (а, Ь)). (16)
Это показывает, что функция у(х) есть решение диффе-
ренциального уравнения
Э'р ат
Эх (х’ + Ну у^у' = °’ (17)
а следовательно, и решение дифференциального уравне-
ния (2'), которое эквивалентно на £2 уравнению (17) (со-
гласно определению общего интеграла).
Обратно, пусть </(х), а < х < Ь, есть решение дифферен-
циального уравнения (2'), следовательно, и уравнения (17),
т. е. пусть выполняется тождество (16), которое можно
записать так:
d
— 'V (х, у(х)) = 0 (хе (а, Ь)).
Интегрируя его от х0 до х, где х0, х е (а, Ь), получим
20 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
0 = (х, y(x))dx = Т(х, j/(x)) - Т(х0> j/(x0)) =
J ах
х0
= Т(х, у(х)) - Со
(Со = Т(х0, j/(x0))),
т. е. функция у(х) удовлетворяет на (а, Ь) уравнению
Т(х, у) = Со.
Замечание к примеру 2. Общий интеграл диф-
ференциального уравнения
У' = ky (-00 < у < оо) (6')
в разрешенной относительно С форме (см. (7)) имеет вид
ye~hx = С (-~ < х, у < оо). (18)
Так как левая часть этого уравнения имеет непрерыв-
ные частные производные на всей плоскости (х, у), то на
основании теоремы 1 общий интеграл (18) содержит при
различных постоянных С все решения дифференциально-
го уравнения (6')-
Чтобы решить задачу Коши для дифференциального
уравнения (6') при начальном условии j/(x0) = у0, подстав-
ляем (х0, j/0) в (18) и находим С = Со:
-kxn .
Уое = с0-
Решение задачи Коши имеет вид
ye hx = у0 e~kx°
ИЛИ
У = Усе~к(х~Хо} (-~ < х < оо).
Замечание к примеру 3. Дифференциальное
уравнение в этом примере можно записать в виде
F(x, у, у') = 0, (19)
где функция
F(x, у, if) = if3- 27 у2
непрерывно дифференцируемая на всем пространстве
(х, у, г), которое обозначим через Q.
Мы знаем уже, что общий интеграл этого уравнения
имеет вид
§1.2. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
21
У = (X - С)3 (—ОО < х < оо). (11)
Если решить уравнение (11) относительно С, то полу-
чим
Т(х, у) = С, Ч(х, у) = х- J/V3 . (И')
Частная производная по у от функции 4х не существует
на оси у = 0, поэтому условие теоремы 1 не выполняется.
Но тогда нельзя гарантировать, что любое решение диффе-
ренциального уравнения (19) входит в его общий интег-
рал при некотором С.
На рис. 2 изображено семейство кубических парабол
(11) для различных значений С. Каждая из этих парабол
есть интегральная кривая дифференциального уравнения
(19). Но имеются еще и другие интегральные кривые,
например кривая, изображенная на рис. 2 жирной лини-
ей:
У (*) =
(х - а)3,
- О,
(х-P)3,
х < а,
а < х < р,
р < х.
Итак, дифференциальное уравнение (19) имеет опреде-
ленный на всей плоскости (х, у) общий интеграл (11), но
он не содержит в себе при различных значениях С все
решения этого уравнения. Имеется бесконечное множе-
ство решений, соответствующих парам чисел (а, р), где
а < Р, которые не получаются из семейства (11) при неко-
тором значении С.
Рис. 2
22 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Однако если дифференциальное уравнение (19) рассмат-
ривать для положительных у (у > 0), т. е. считать, что
функция F(x, у, г) задана на полупространстве у > 0,
которое мы обозначим Q,, то общий интеграл
^(х, у) = х - y1/:i = С
( ОО < С < <=°, —ОО < X < оо, 0 < У < °°)
определяется функцией Ч'(х, у), непрерывно дифференци-
руемой на Q+. Поэтому в данном случае применима тео-
рема 1, и общий интеграл содержит в себе при различных
С все решения дифференциального уравнения, принадле-
жащие к верхней полуплоскости
{—оо < х < °°, 0 < у < <=°}.
Подобный факт имеет место и для области Q точек
(х, у, z), где у < 0.
1.2.6. Поле направлений. Отметим, что диффе-
ренциальное уравнение в разрешенном относительно про-
изводной виде
du
= /(х, У) (20)
устанавливает явную связь между координатами точки
dy
М = (х, у) и угловым коэффициентом касательной — к
ах
интегральной кривой в этой точке (рис. 3):
Рис. 3
Рис. 4
§ 1.2. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
23
tgcc = — = f(x, у).
Если функция f(x, у) определена на некоторой области
Q плоскости, то каждой точке М е Q соответствует неко-
торое направление, угловой коэффициент которого равен
/(х, у). Указывая это направление единичным вектором,
проходящим через точку М, мы получим на Q поле на-
правлений (рис. 4).
Интегральные кривые уравнения (20) суть кривые, для
которых упомянутые направления являются направлени-
ями касательных. Решить дифференциальное уравнение
означает найти кривые, направления касательных к ко-
торым в каждой точке совпадают с направлением поля.
Конечно, в данном случае интегральные кривые принад-
лежат области Q.
Пример 4. у' = у/х.
Правая часть этого уравнения определена на множе-
стве Q всех точек плоскости (х, у), кроме точек оси у.
Если точки М = (х, у) е Q лежат на прямой у = kx, то для
них
kx
tga = f(x, у) = /(х, kx) =~ = k (х * 0),
т. е. поле направлений имеет вид, изображенный на рис. 5.
В данном случае направление прямой у = kx совпадает
с направлением поля в каждой точке этой прямой, следо-
вательно, интегральными кривыми являются не парал-
лельные оси у, выходящие из нулевой точки, лучи без
точки (0, 0).
Для построения поля направлений, удобно рассматри-
вать геометрические места точек, в которых касательные
к интегральным кривым сохраняют постоянное направле-
ние. Такие геометрические места точек называются изо-
клинами.
Пример 5. у' = ^х2 + у2 ; д/х2 + у2 = k - уравнение
изоклины, соответствующей определенному значению k
(у' - k), т. е. это окружность радиуса k (рис. 6).
24 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Зная изоклины дифференциального уравнения, легко
нарисовать эскиз интегральных кривых.
§ 1.3. Простейшие дифференциальные
уравнения первого порядка
1.3.1. У равнение, записанное через диффе-
ренциалы. Пусть М(х, у) и N(x, у) - функции, непре-
рывные на некоторой области Q плоскости (х, у).
Выражение
М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0 ((х, у) е Q) (1)
называют дифференциальным уравнением первого порядка.
На самом деле выражение (1) объединяет в себе два
дифференциальных уравнения первого порядка - относи-
тельно функции t/(x) и относительно функции х(у).
В первом случае под решением уравнения (1) понима-
ется функция у = у(х), определенная на некотором (зави-
сящем от нее) интервале (а, Ь), имеющая непрерывную
производную и удовлетворяющая уравнению (1):
М(х, y(x))dx + N(x, y(x))y'(x)dx = О
(х е (а, й), (х, у(х)) е Q).
§ 1.3. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 25
Так как дифференциал dx от независимой переменной
х не равен нулю, то в этом уравнении можно на dx сокра-
тить и получить, что у(х) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению первого порядка, записанному в обыч-
ной форме:
dy
М(х, у) + N(x, y)-j~ = 0 ((х, у) е Q). (2)
dx
Относительно решений вида у = у(х) дифференциаль-
ные уравнения (1) и (2) эквивалентны.
Аналогично рассуждая, мы получим, что относительно
решений вида х = х(у) дифференциальное уравнение (1)
эквивалентно следующему:
dx
М(х, y}~dy + N{x’ у) = 0 ((Х’ у) е (3)
Изучим подробнее дифференциальное уравнение (2)
(относительно у).
Пусть функция N(x, у) отлична от нуля всюду на Q
(А(х, у) 0 V(x, у) е Q). Тогда она в силу ее непрерыв-
ности на связном множестве Q либо всюду на Q положи-
тельна, либо всюду на Q отрицательна. В этом случае
уравнение (2) можно записать в форме разрешенной отно-
dy
сительно ——:
dx
dy М(х, у)
\ ((х, У) е ЭД, (2')
dx N(x,y) " ’ ” ' ’
т. е. уравнения (2) и (2') эквивалентны на Q. Если же
функция А(х, у) равна нулю в некоторых точках Q, то
уравнения (2) и (2') будут эквивалентными только на ча-
сти со области Q, где функция N(x, у) отлична от нуля.
Пусть в точке (х0, у0) е £1 функция N обращается в
нуль (А(х0, у0) = 0). Если при этом М(х0, у0) Ф 0, то урав-
нение (2), очевидно, не имеет решения, проходящего через
эту точку, - ведь второе слагаемое в левой части (2) при
х = х0, у = у0 равно нулю, а первое по условию не равно
нулю.
Если же наряду с равенством А(х0, у0) = 0 выполняет-
ся также равенство М(х0, у0) = 0, то через точку (х0, j/0)
может проходить решение — одно или несколько или даже
26 ГЛ, 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
бесконечное число решений. Мы увидим это далее из
примеров.
Подобное замечание можно сделать и в отношении
дифференциального уравнения (3). Надо только в этих
рассуждениях поменять местами х и у, а также М и N.
Разберем еще случай, когда обе функции М и N отлич-
ны от нуля всюду на Q. В этом случае правая часть урав-
нения (2') тоже отлична от нуля всюду на Q и имеет один
и тот же знак. Но тогда решение у(х) дифференциального
уравнения (2') имеет производную у' (х) того же знака. Это
показывает, что решение у = у(х) строго монотонно на том
интервале (а, &), где оно задано. Но тогда оно имеет обрат-
ную непрерывно дифференцируемую функцию х = х(у) на
некотором интервале (с, d). При этом
dx _ 1 _ 1 _ N
dy dy М М >
hx ~N
что показывает, что обратная функция удовлетворяет
дифференциальному уравнению (3).
Итак, мы получили, что если обе функции М(х, у) и
N(x, у) отличны от нуля всюду на Q, то всякое решение
уравнения (1) вида у = у(х) имеет обратную функцию х =
= х(у), являющуюся тоже решением этого уравнения, но
вида х = х(у).
1.3.2. У равнения с разделенными перемен-
ными. Уравнение (1) называется дифференциальным
уравнением первого порядка с разделенными переменны-
ми, если
М(х, у) = <р(х) (х 6 (а, Ъ)),
N{x, у) = у(г/) (у е (с, d)).
Оно имеет вид
<p(x)dx + \y(y)dy = 0. (4)
Далее будем считать, что <р(х) и у(у) - непрерывные
функции. Пусть у = у(х) есть решение дифференциального
уравнения (4) в прямоугольнике
(а < х < &)
Д =1 .Л,
[е < у < d]
§ 1.3. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 27
определенное на некотором интервале (а, р) c (а, Ь).
Тогда имеет место тождество
tp(x)dx = - y[y(x)]dy(x) (х е (а, Р)),
откуда, интегрируя, получим
J <p(x)dx = - J y[i/(x)]dj/(x) + Сг = - J + С.
Здесь интегралы J ф(х)с/х и J y(y)dy суть некоторые
выбранные нами первообразные от ср (х) и у (j/):
J <p(x)dx = ф(х) (а < х < &),
J w(y)dy = T(j/) (с < у < d);
во втором равенстве произведена замена переменной
у(х) = у в неопределенном интеграле (см. нашу книгу «Выс-
шая математика. Дифференциальное и интегральное ис-
числение», § 5.2); константа С зависит от решения у(х).
Итак, любое решение у(х) нашего дифференциального
уравнения в указанном прямоугольнике удовлетворяет
уравнению
J <p(x)dx + J y(y)dy = С
при некоторой постоянной С или уравнению
Ф(х) + T(j/) = С. (5)
Левая часть равенства (5) есть функция F(x, у), непре-
рывно дифференцируемая на прямоугольнике
Д = {а < х < Ь, с < у < d},
со свойствами
dF dF
Если продифференцировать формально (5) по х, счи-
тая, что у = t/(x), то получим
dy
<р(х) + V(j/) — = 0.
т. е. исходное дифференциальное уравнение (4).
Таким образом, равенство (5) есть общий интеграл
дифференциального уравнения (4) для его решений вида
28 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
у = у(х). Согласно теореме 1 §1-2 все непрерывно диффе-
ренцируемые на (а, Р) решения у = у(х) уравнения (5) при
любых постоянных С являются решениями дифференци-
ального уравнения (4) вида у = j/(x) и обратно. Впрочем,
обратное утверждение мы доказали непосредственно.
Рассуждая аналогично, меняя местами роль х и у, мы
снова получим равенство (5), но только теперь это будет
общий интеграл, содержащий всевозможные решения вида
х = х(у), у е (у, 5) с (с, d), нашего дифференциального
уравнения (4).
Таким образом, равенство (5) будет общим интегралом
дифференциального уравнения (4) как для решений вида
У = У(х), так и для решений вида х = х(у).
Пример 1. x2dx = ydy, А = {а < х < b, с < у < d}.
J x2dx -J ydy = С; —-
— = С - общий интеграл.
Пример 2. ех2'dx = еу2dyf ex‘'dx- jеу2dy = С.
Эти интегралы нельзя выразить в элементарных фун-
кциях. Все же мы считаем задачу, с точки зрения теории
дифференциальных уравнений, решенной.
1.3.3. Уравнения с разделяющимися пере-
менными. Если М(х, у) = <р!(х)\|/1(.1/)> Мх, у) = <р2(х)ф2(у),
то уравнение (1) называется уравнением с разделяющими-
ся переменными".
Ф1(*)Ф1(.1/)<*х + ф2(х)ф2(г/)^ = °- (6)
Для тех (х, у) для которых <р2(х) фДу) * 0, разделим на
это произведение левую и правую части (6). Тогда полу-
чим уравнение с разделенными переменными
0.
ф2(х) у2(у)
Общий интеграл этого уравнения находится, как в 1.3.2.
Но могут быть еще решения, проходящие через точки
(х0, у0), удовлетворяющие уравнению <р2(х)\|/1(у) = 0.
§ 1.3. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 29
1.3.4. Однородные уравнения. Функция М(х, у)
называется однородной степени т, если для любых х, у
и t > 0 выполняется равенство
M(tx, ty) = tmM(x, у).
Если функции М(х, у) и N(x, у) однородные одной и
той же степени т, то дифференциальное уравнение
Mdx + Ndy = 0 (7)
называется однородным.
Его можно преобразовать следующим образом:
dy _ М(х, у)
dx N(x, у)
_ _ /о
м"4±1,±й
т. е.
где f некоторая функция от одного переменного.
Введем вместо у новую функцию z (от х) при помощи
подстановки
Тогда
dy
У= x z, -y-
dx
dz
х—— + г
dx
dz
Х---+ Z .
dx
= /(?)
или
Следовательно.
dz
f(z) — Z X
dx
In- = Г
с J
dz
f(z) -z <C * °)
30 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ИЛИ
r- I f dz I
x = Cexp I-------
U f(z)-z)’
где C * 0 - произвольная постоянная.
Отметим более общее уравнение, чем (8):
аУ =
dx
Его можно решить подстановкой
dn
у = x“z, —г~
dx
О)
dz
dx ’
тогда
dz
oxa^z + х°— = xalf(z).
dx
dz
f(z) - az
dz
— = Xa l[/(2) - «2],
dx
dz
f(z)-az (c*°)’
,, f dz
x = C exp I--------
J f(z) - az ’
где С Ф 0 - произвольная постоянная.
(Ю)
Пример 3. (х2 + y2)dx + xydy = 0.
Данное уравнение является однородным, так как функ-
ции
М(х, у) = х2 + у2, N(x, у) = ху
однородные степени т = 2. Сделаем замену у = zx, dy =
= zdx + xdz. Тогда уравнение перепишется так:
(х2 + z2x2)dx + x2z(zdx + xdz) = 0
или
(1 + 2z2)dx + zxdz - 0.
Разделяя переменные, получаем
dx _ zdz
x ~ l + 2z2 ’
C
Vl + 2z2 ‘
in- = —— ln(l + 2z2) x =
C 4
§ 1.3. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
31
Так как у нас z = у/х, то
С4х2 С4
х‘ - 2у2 + х‘ ‘ ?'s'"
С4 -2
2х2
2
Пример 4.
у’ = Ax'1 + Ву\
у' ~ ху А + В — = х7 А + В
\
У
Это уравнение есть частный случай (9), если
У
у + 1 = -.
v
Уравнение (11) при у = -2 и v = 2 (условие (12)
нено) имеет вид
(И)
(12)
выпол-
du
— = Ах 2 + By2,
dx
и его решение записывается по формуле (10), где
f(z) = А + Bz2, а = у + 1 = -1.
Полученное уравнение есть частный случай уравнения
Риккати
г/ = Ву2 + Я(х),
которое интегрируется в квадратурах только в исключи-
тельных случаях. Мы доказали, что при R(x) = Ахг2 урав-
нение Риккати решается в квадратурах. Отметим, что при
J?(x) = const уравнение Риккати является уравнением с
разделяющимися переменными.
Если 7?(х) = Аха и а = а,
4п
—------ (п - целое), то
2п — 1
подстановка
1 2 , ч х
^ = XJ/(X) + -^ =ха„+3 (п>1)
приводит уравнение Риккати к виду
32 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
г 2 г ос
т] =--------Tf--------
<хл + 3 <хп +3
Последовательно применяя эту подстановку, можно
исходное уравнение свести к случаю а0 = 0 (R(xj = const).
Если же п < — 1, то подстановка
У(х) A s
приводит уравнение к виду
Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы
сведем уравнение Риккати к случаю а0 = 0.
Во всех других случаях уравнение Риккати не решает-
ся в квадратурах.
Пример 5. xydy - (х4 + y2)dx = 0.
Имеем
4 2
dy _х* + у*
dx ~ ху
Это уравнение есть частный случай уравнения (9) при
а = 2, f(z) = (1 + z2)/z.
1.3.5. Линейное уравнение. Уравнение
dy
~j~ + Р(х)у = fix) (а< х < Ь), (13)
где р(х), f(x) — непрерывные функции от х на интервале
(а, Ь), называется линейным дифференциальным уравне-
нием первого порядка. Неизвестная функция у(х) и ее
производная входят в это уравнение в первой степени -
линейно.
Если f(x) = 0, то уравнение
du
— + р(х)у = 0 (14)
§1.3. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 33
называется линейным однородным, а в связи с этим урав-
нение (13) называют линейным неоднородным.
Однородное линейное уравнение имеет решение у(х) = 0.
Оно является уравнением с разделяющимися переменны-
ми:
dy
~ ~ p(x)dx (у Ф 0),
= -J p(x)dx (С Ф 0),
С
у = Сехр^- J p(x)dxj. (15)
Если в (15) разрешить постоянной С принимать нуле-
вое значение, то формула (15) дает и решение у(х) = 0.
Формула (15) показывает, что график решения линей-
ного однородного уравнения лежит выше оси Ох, если
С > 0, или ниже оси Ох, если С < 0.
Мы пришли к формуле (15) по следующей схеме. Мы
предположили, что функция у = у(х) есть решение диффе-
ренциального уравнения (14), отличное от нуля всюду на
(а, Ь), и пришли к тому, что оно определяется формулой
(15) при некотором С. Надо иметь в виду, что инте-
грал J p(x)dx обозначает некоторую первообразную функ-
цию от р(х) на интервале (а, Ь), поэтому и решение, дава-
емое формулой (15), определено на (а, Ь). Легко проверить,
что функции (15) при любом С, в том числе и при С = 0,
суть решения дифференциального уравнения (14).
Остается выяснить вопрос о существовании решений наше-
го дифференциального уравнения, пересекающих ось х. Для
этого можно воспользоваться теоремой 1 § 1.2. Разрешая (15)
относительно С, получим
С = у expQ p(x)dx
Легко проверяется, что правая часть этого равенства есть
функция от (х, у), имеющая непрерывные частные производ-
ные на полосе {-<*= < у < <*>, а < х < Ь), и тот факт, что если
продифференцировать это равенство по х, считая, что у = у(х),
то получим дифференциальное уравнение (14). Тогда по теоре-
ме 1 § 1.2 формула (15) содержит все решения уравнения (14).
Таким образом, линейное уравнение (14) не имеет решений,
пересекающих ось х.
2. Бугров Я. С.
34 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение (13) обычно решают методом Бернулли,
который заключается в следующем. Будем искать реше-
ние в виде произведения двух функций
у(х) = и(х) v(x).
Имеем i/ = uv' + u'v. Подставляя значения у и у' в (13),
получим uv' + u'v + p(x)uv = f(x) или u(v' + p(x)o) + u'v=
= f(x).
Подберем функцию v так, чтобы v' + p(x) v = 0. Отно-
сительно v(x) имеем линейное однородное уравнение, сле-
довательно, по формуле (15) можем положить v =
= exp |^- J p(x)dx^|. При такой функции v получаем u'v =
= f(x), откуда
du = —— dx
v{x)
и = f dx+C = [ f(x) expf f p(x)t/xlt/x + C
J v(x) J J
Следовательно, общее, т. e. какое угодно, решение урав-
нения (13) запишется в виде
у = uv = СехрГ- Гp(x)dx] +
+ exp ( - J pdxj J f(x) exp^J pdxjdx, (16)
где С — произвольная постоянная.
Входящие в формулу (16) интегралы обозначают про-
извольные, но выбранные определенно первообразные от
подынтегральных функций. Удобно эти первообразные
взять в виде определенных интегралов с переменным вер-
хним пределом х и нижним фиксированным пределом х0,
принадлежащим (а, Ь).
Тогда формула (16) примет вид
у = Сехр - J p{t)dt +
§1.3. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
35
+ ехр
J p(t)dt J /(u) exp j p(t)dt du . (16')
к *0 7
Если потребовать, чтобы при х = х0 решение обрати-
лось в у0(у(х0) = у0), то, очевидно, получим у0 = С.
Следовательно, решение задачи Коши (у(х0) = у0) для
дифференциального уравнения (13) дается формулой
У = Уоех₽ ~ J +
к X
+ exp
- J p(i)dt J /(u) exp - J p(t)dt du . (16")
к *o 7
к *<> 7
‘ Формула (16) показывает, что общее решение линейно-
го неоднородного уравнения равно сумме решения соответ-
ствующего однородного уравнения и частного решения не-
однородного уравнения (получающегося из (16) при С = 0).
Мы рекомендуем не применять формально формулу
(16), а в каждом примере повторять все выкладки.
Пример 6. Решить уравнение у' - у = sin х.
Здесь р(х) = -1, f (х) = sinx. Положим у = и V,
у' = u'v + uv', uv' + u'v - uv = sinx,
u(v' - v) + u'v = sinx, v' - v = 0, v - exp J dx = ex,
u'ex = sinx, u' — e“xsinx, и = J e x sin xdx + C;
у = ex J e~x sin xdx + C ex.
Интегрируя по частям, находим, что
Замечание. Уравнение (13) можно решать также ме-
тодом вариации произвольной постоянной. Если С - по-
стоянная, то формула (15) дает решение однородного урав-
нения. Будем считать С — функцией от х и подберем ее
36 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
так, чтобы выражение у = С(х)ехр J p(x)dxj было реше-
нием (13). Но это тот же метод Бернулли при и = С(х),
v = ехр [ - Г p(x)dx
1.3.6. Уравнение Бернулли1:
у' + Р(*) У = УаКх\ (17)
где а - любое вещественное число.
Если а равно нулю или единице, то мы получим ли-
нейное дифференциальное уравнение. Если же а Ф 0, 1, то
замена z = у1а приводит нас к линейному уравнению
относительно функции г(х).
Уравнение Бернулли можно сразу решать методом
Бернулли, полагая у = и(х) • и(х). Отметим, что при а > О
функция у(х) = 0 является решением уравнения Бернул-
ли.
§ 1.4. Теорема существования решения
дифференциального уравнения первого
порядка
Класс дифференциальных уравнений, которые мы мо-
жем эффективно решить, весьма узок. Например, решение
простого на первый взгляд дифференциального уравне-
ния
оказывается, не может быть сведено даже к квадратурам
(интегралам). Поэтому в большинстве случаев приходится
решать дифференциальные уравнения приближенно.
Но прежде чем применять какой-либо приближенный
метод, надо знать, существует ли на самом деле решение
дифференциального уравнения. Очень важно также знать
заранее, единственно ли оно.
Ниже формулируются условия, которые гарантируют
существование и единственность решения дифференциаль-
ного уравнения первого порядка
1 Я. Бернулли (1654-1705) - выдающийся швейцарский мате-
матик.
§ 1.4. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
37
dy
to ”
при начальном условии
Л/О0) = Уо-
Имеет место следующая теорема.
(1)
(2)
Теорема 1. Пусть функция f(x, у) непрерывна на
прямоугольнике
D = {х0 - а < х < х0 + а, у0 - b < у < у0 + Ь}
df
и имеет на нем ограниченную производную , удовлет-
воряющую неравенству
df
il5 N- <3)
Тогда на отрезке с = [х0 - 8, х0 + 8], где
8 < min К, —, —I, М = max |/(х, j/)|, (4)
( № м\ (*.№>' 1
существует и притом единственное решение уравнения
(1), удовлетворяющее начальному условию (2).
При этом выполняется неравенство
|у(х) - j/J < Ь (Х/х е и).
Решение у(х) непрерывно дифференцируемо на с. А если
f(x, у) на самом деле имеет непрерывные частные произ-
водные по х и у порядка р, то у(х) имеет на О непрерыв-
ные производные до порядка р + 1 включительно.
Рис. 7
38 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
На рис. 7 в плоскости (х, у) изображен прямоугольник
D и принадлежащий к нему прямоугольник
Di = {*о “ 8 5 х хо + 8> Уо ~ ь У - Уо + Ь)-
Теорема утверждает, что если на прямоугольнике D
функция /(х, у) непрерывна и имеет ограниченную част-
а/
ную производную , удовлетворяющую неравенству (3),
то через точку (х0, j/0) проходит единственная интеграль-
ная кривая у = j/(x), определенная для всех значений
х е [х0 - 8, х0 + 8]. Она полностью принадлежит к пря-
моугольнику Dv Число 8 удовлетворяет соотношениям (4).
Подчеркнем, что теорема 1 гарантирует существование
определенного отрезка
о = [х0 - 8, х0 + 8],
на котором заведомо существует решение
У = У(х)
уравнения (1), проходящее через точку (х0, г/0).
Если бы нам понадобилось найти это решение прибли-
женно, то при наличии указанной информации мы орга-
низовали бы нахождение приближенного решения имен-
но на этом отрезке и, потому что нельзя ручаться, что
указанное решение определено вне и.
Теорема 1 будет доказана в § 1.6, а сейчас мы рассмот-
рим
Пример. Уравнение
dy 2
-Г" = -У2 (5)
ах
есть частный случай дифференциального уравнения (1).
Правая его часть не зависит от х. В данном случае
функция f(x, у) равна —у2 при любом х.
Так как функция — у2 при любом у непрерывна вместе
со своей производной по у, то определяемая ею функция
а/
fix, у) непрерывна вместе со своей частной производной^
на всей плоскости (х, у). Поэтому, не решая уравнение (5),
можно заключить на основании теоремы существования,
§1.4. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
39
что через любую точку (х0, i/0) проходит и притом един-
ственная интегральная кривая уравнения (5).
Пусть х0 = 3, у0 = 1. Зададим произвольный прямо-
угольник
D = {3 - а < х < 3 + а, I - b < у < 1 + Ь} (0 <а, Ь).
Для него
М = max |f(x, z/)| = max |-j/2| = max y2 = (1 + b)2;
(ж,!/)еВ j/efl-6, l+b| l-b^yil+b
df
N = max —
(x,y)eD dy
- 2(1 + "»•
Следов ательно,
c . 1 b
о < nun( a,-------,-------- •
2(1 + fe) (1 + b)2
1
< 2 '
(6)
Уравнение (5) легко решается. Общий его интеграл в
верхней полуплоскости (у > 0) и в нижней полуплоскости
(у < 0) определяется равенством
1
<7)
Имеется еще одно решение у = 0, но оно нас не будет
интересовать.
Среди решений (7) выберем то, которое проходит через
точку (3, 1). Очевидно, это есть решение
1
У = 7^2'
Его график изображен на
рис. 8. Мы видим, что интег-
ральная кривая уравнения
(5), проходящая через точку
-А = (3, 1), уходит в бесконеч-
ность при х —> 2.
Наибольший интервал с
центром в точке х = 3, на
котором определена наша
интегральная кривая, есть
интервал (2, 4). Соотношение
(6), полученное из общей тео-
40 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ремы существования, дает несколько меньший интервал.
Теорема существования решения дифференциального
уравнения будет доказана из общих соображений, относя-
щихся к теории метрических пространств. Следующий
параграф посвящен этой теории.
§ 1.5. Метрическое пространство
1.5.1. Понятие метрического пространства.
Пусть М — множество элементов х, у, г, ... произвольной
природы.
Множество М называется метрическим пространст-
вом, если любой паре его элементов поставлено в соответ-
ствие неотрицательное число р(х, у), называемое рассто-
янием между элементами хи у, удовлетворяющее
следующим свойствам (аксиомам расстояния}'.
1) Р(*> у) = о тогда и только тогда, когда х — у;
2) р(х, у) = р(у, х);
3) р(х, у) < р(х, г) + p(z, у) (Х/х, у, г е М).
Аксиома 3) обычно называется неравенством треуголь-
ника. Функцию р(х, у) от двух аргументов х, у будем
называть еще метрикой пространства М.
Легко видеть, что n-мерное пространство Rn с метрикой
Jn
X ~у^2,
1=1
где х = (хг ..., хп), у = (yv ..., уп), является метрическим
пространством.
Множество С[а, 6] всех непрерывных функций, задан-
ных на [а, 6], будет метрическим пространством, если
метрику ввести по формуле
Р(А g) = - s(0|. (1)
Аксиомы расстояния легко проверяются.
В дальнейшем выражение {х"} будет обозначать неко-
торую последовательность элементов х"е М (п = 1, 2, ...).
Таким образом, х" обозначает элемент, имеющий номер п,
а не степень элемента х.
Элемент х° е М есть предел {х"}, если
р(хл, х°) —> 0 (п —> <=о).
§1.5. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
41
Последовательность {х"} в этом случае называется схо-
дящейся.
Последовательность {хп} называется фундаментальной,
если Х/е > 0 3 N такое, что
р(хт, х") < £
при т, п > N.
Если последовательность {хп} сходится к х° е М, то
она фундаментальная. В самом деле, из сходимости {хп} к
х° следует, что для любого £ > 0 найдется N такое, что
р(х", х°) < £, X/n > N. Поэтому на основании неравенства
треугольника
р(х", хт) < р(х", х°) + р(х°, хт) < £ + £ = 2е
при т, п > N.
Обратное утверждение не всегда верно. Например, если
М = (0, 1) есть интервал 0 < х < 1 и р(х, у) = |х - г/|, то
{1/п} - фундаментальная последовательность. Но она не
сходится к элементу пространства М (она сходится к нулю,
который не принадлежит Л/).
1.5.2. Полное метрическое пространство.
Метрическое пространство М называется полным, если в
нем всякая фундаментальная последовательность сходит-
ся к элементу этого же пространства.
Мы знаем, что одномерное пространство (чисел) полно
(критерий Коши!). Можно доказать, что и пространство Rn
полно при Х/п > 1.
Теорема 1. Пространство С[а, 6] полное.
Доказательство. Пусть элементы этого простран-
ства {fn(t)} образуют фундаментальную последовательность
в смысле метрики (1): для всякого Е > 0 3 N такое, что
Р(/Д и = SI/ДО - < Е (2)
при т, п > N.
Из (2) следует, что при фиксированном t е [а, Ь]
1/ДО - /Д01 < £ (n, т > N). (3)
Последнее означает, что числовая последовательность
{fn (0} фундаментальна, поэтому на основании критерия
Коши она сходится к некоторому действительному числу,
которое мы обозначаем f(t):
42 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
= f(t) (Vf е [a, fe]). (4)
п—
Переходя к пределу в неравенстве (3) при т оо, по-
лучаем
1/„(#) - Л*)| < Е (П > N, Vf е [а, 6]). (5)
Отсюда
su₽ - f(t$ < £ (n > N). (6)
a<.t<.b
Это показывает, что последовательность {fn{t)} сходит-
ся равномерно к f(t) на [а, 6], и так как функции fn(f)
непрерывны на [а, &], то и предельная функция f(t) непре-
рывна на [а, &]1, т. е. f(f) е [а, 6]. Теорема доказана.
Замечание. В неравенстве (6) теперь символ sup мож-
но заменить на max.
1.5.3. Принцип сжатых отображений. Пусть
в полном метрическом пространстве М задан оператор (фун-
кция), отображающий М в себя,
z = Fx (х е М, z е М).
Оператор F будем называть сжимающим, если
p(Fx, Fy) < otp(x, у), Xfx, у е М, 0 < а < 1,
где число а не зависит от х, у.
Элементы х метрического пространства М будем также
называть точками этого пространства.
Точка х е М называется неподвижной точкой операто-
ра F, если Fx = х.
Оператор F будем называть непрерывным в точке х°,
если
lim Fxn = Fx°
х" —
(т. е. p(Fxn, Fx°) —> 0 , п —> Х/х" —> х°).
Легко видеть, что сжимающий оператор всегда непре-
рывен в любой точке х° е М. Ведь, если р(х", х°) —> 0, то
p(Fx", Гх°) < ар(х", х°) —> 0 (п —> <*>).
Теорема 2. Если сжимающий оператор F отображает
полное метрическое пространство М в себя, то существу-
ет единственная неподвижная точка этого оператора.
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление», § 9.8, теорема 2.
§1.5. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
43
Эту теорему называют принципом сжатых отображе-
ний.
Доказательство. Докажем, что двух неподвижных
точек быть не может. Пусть х1, х2 — неподвижные точки:
Fx1 = х1, Fx2 = х2. Тогда
р(хх, х2) = р(Ех*, Fx2) < ар(хх, х2) (а < 1). (7)
Если предположить, что р(хг, х2) > 0, то из (7) получаем
а > 1, чего быть не может. Значит, р(х\ х2) = 0 и х1 = х2.
Переходим к доказательству существования неподвиж-
ной точки.
Пусть х° — любая точка пространства М. Составим
последовательность элементов:
х°, х1 = Fx°, х2 = Fx1, хп = Ex'1"1, ...
Эту последовательность будем называть итерационной,
порожденной оператором F. Покажем, что эта последова-
тельность фундаментальна. Имеем
р(х”, х"-1) = р(Ех"-1, Fxn~2) < ар(х”-1, хп~2) <
< а2р(х” 2, х”-3) < ... < «"-^(х1, х°) (n = 1, 2, ...). (8)
Далее на основании неравенства треугольника и (8)
получаем (п > т)
р(х", хт) < р(х", х"’1) + р(хп-1, хп~2) + ... + р(хт+1> хт) <
< [а"-1 + а"~2+ ... + ат] р(х*, х°).
Так как 0 < а < 1, то при любом п и т > N
ат
р(х", хт) < [ат+ ат+1+ ... Jptx1, х°) = -р(жх, х°) < е,
1 — а
если N достаточно велико.
Итак, последовательность {хп} фундаментальна, а так
как пространство М полное, то она сходится к некоторо-
му элементу х этого пространства
lim х" - х е М .
Докажем, что х — неподвижная точка:
р(Ех, х) < p(Fx, х") + р(х", х) = р(Ех, Ех"-1) + р(х", х) <
< ар(х, х"-1) + р(х", х) < £
при п > N = N (е).
Таким образом, р(Ех, х) = 0, и по первой аксиоме
расстояния заключаем, что Ех = х, т. е. х — неподвижная
точка. Теорема доказана.
44 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание. Используя тот факт, что х - неподвиж-
ная точка, получаем
р(х, х") = p(Fx, Fxnl) < ар(х, хп~l) = ap(Fx, Fxn~2) <
< tx2p(x, хп 2) < ... < апр(х, х°). (9)
Далее
р(х", x)<p(xn, x"+1) + p(x"+1, х) < ap(xnl, хп) + ар(х", х),
откуда
а
р(х", х) < ----р(хп х, х") (0 < а < 1). (10)
1 - а
Формулы (9) и (10) показывают, что х" является при-
ближенным значением неподвижной точки с погрешнос-
тью, не превышающей а"р(х, х°) и
а
-----р(х"-1, х").
1-а
Обратим внимание на формулу (10), которая дает оцен-
ку расстояния между х" и х через расстояние между дву-
мя соседними точками х" и х"-1 итерационной последова-
тельности. Взяв х" за приближенное значение х, мы
гарантируем, что погрешность приближения меньше пра-
вой части (Ю).
1.5.4. Приближенное значение корня
функции. Пусть функция /(х) имеет корень (нуль) на
[а, Ь]. Будем предполагать, что f имеет производные пер-
вого и второго порядков и f(x) Ф 0 на [а, Ь], т. е. /(х)
монотонна на этом сегменте. Это говорит о том, что на
[а, Ь] имеется один корень функции f.
Составим вспомогательную функцию
F(x) = х + fe(x) • /(х),
где fe(x) - некоторая непрерывно дифференцируемая фун-
кция, не равная нулю. Ясно, что неподвижная точка х
функции F является нулем f и обратно.
Поэтому, если функция F отображает [а, 6] в [а, Ь] и
является сжимающей на [а, Ь], то итерационная последо-
вательность хп = F(xn l) сходится к неподвижной точке F
(т. е. к корню /), а хп можно взять за приближенное зна-
чение корня. При различных k(x) мы получим различные
приближенные методы вычисления корня функции /(х).
§ 1.5. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
45
Рассмотрим конкретную функцию fix) = х3 + х - 1 и
поставим задачу о приближенном вычислении корня этой
функции с погрешностью 0,01. Имеем f (0) = —1, /(1) = 1,
fix) = Зх2 + 1 > 0. Следовательно, на [0, 1] имеется только
один корень /(х). Положим k(x) = —l/f'(x) < 0.
Тогда
fix) 2х3+1
Fix) = х - . - т-о 7 •
fix) Зх2 +1
Выясним, будет ли эта функция сжимающей. По тео-
реме Лагранжа получаем
p(F(x), Fiy)) = |F(x) - F(y)| = |Г£)1 |x - y| < ap(x, у),
где
fi*)f"ix)
(Г(*))2
Для отрезка [1/2, 3/4] с [0, 1]
а = max |F'(x)| =|f'(1/2)I| = т!
1/2SXS3/4 1 1 49
и значения функции F не выходят за пределы [1/2, 3/4]:
а =max|F'(x)| = max
X X
max
(х3 + х — 1)6х
(Зх2 +1)2
1
1<2^<3 [хеГ^ДТ
2 Зх2+1 4 V L2 4JJ
Таким образом, на [1/2, 3/4], функция F(x) сжимаю-
щая. Пусть х0 = 11/16 е [1/2, 3/4], тогда хх = F(x0) =
=3379/4952 и
а
-----р(хг,х0)
1 — а
а । ,
= ~ I ^1 — ^о1 —
1 - а
18 3379 11 18-51 1
- 31 4952 16 = 31 2 4952 С300 <0,01'
На основании (10) хг можно взять за приближенное
значение корня функции fix) с погрешностью 0,01 (на
самом деле с погрешностью 0,003).
1.5.5. Метод Ньютона. Приближенный метод вы-
числения корня функции fix) ixn = х) при /г(х) = -l/f(x)
46 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
носит название метода Ньютона или метода касатель-
ных. Элементы итерационной последовательности {хп}
можно получить из геометрических соображений.
Если xn_Y g [а, Ь] уже определено, то для получения хп
в точке (хп_х, графика функции f проводим каса-
тельную. Точку пересечения этой касательной с осью х
берем за хп (рис. 9). Уравнение касательной имеет вид
Полагая в этом равенстве У = 0, найдем решение х —
= х„, где
~ f\xn_1) {п ~ Ъ 2’ -)-
Таким образом, числа хп являются элементами итераци-
онной последовательности для функции F(x) = х- (f(x)/f(x)).
Задача 1. Функция F(x) = х2 отображает в себя и
имеет две неподвижные точки х = 0 и х = 1. Почему?
Задача 2. Оператор зеркального отображения плос-
кости xLOx2 относительно оси Охг имеет вид Fx = (хр -х2),
х = (хр х2). Какие точки плоскости являются неподвиж-
ными для этого оператора?
§ 1.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
47
§ 1.6. Доказательство теоремы существования
решения дифференциального уравнения
первого порядка
Пусть задано уравнение
dy
Тх =
где функция /(х, у) непрерывна на прямоугольнике
D ={х0 - а <х < х0+ а, у0 - Ъ < у < у0 + 6}
(1)
и имеет ограниченную частную производную
удовлетво-
ряющую неравенству
ду
< N.
Нам надо доказать, что на отрезке о = [х0 - 8, х0 + 8]
существует и притом единственное решение у = у(х) диффе-
ренциального уравнения (1), удовлетворяющее условию
У(х0) = Уо’ (2)
где
5 < min< а, —, — > м = тах |/(х,«/)|. (з)
[ N М J (х,у)еП' 1
При этом у(х) непрерывно дифференцируема на G. Диффе-
ренциальное уравнение (1) с условием (2) эквивалентно следу-
ющему интегральному уравнению:
y(^) = У0 + J f (*, y(t))dt. (4)
«о
В самом деле, пусть непрерывная функция у(х) является
решением (4), тогда, дифференцируя тождество (4), получим
dy
— = f(x, у(х)) и, очевидно, у (х0) = у0.
Таким образом, функция у(х) удовлетворяет уравнению (1)
с условием (2).
Обратно, пусть у(х) является решением (1):
48 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
dy(t)
= Kt, y{t)) (x0<t< х); г/(х0) = у0.
Тогда, интегрируя это тождество в пределах от х0 до х,
получим
Г dy(t) Г
I ~~Z~dt = / МО)*
J at J
хо х0
или
X
у(х) - у0= J f (*’ МО)*.
*о
т. е. у(х) является решением (4).
В дальнейшем мы будем исследовать уравнение (4).
Обозначим через 9L множество непрерывных функций
у = у(х), заданных на отрезке о = [х0 - 8, х0 + 8] и удовлетво-
ряющих на нем неравенству |у(х) _ Уц\ - Ъ.
В ЭК введем расстояние
р(у, z) = max |г/(х) - z(x)j (у, z е ЭД.
хес
Таким образом, 9IL есть метрическое пространство. Это
полное пространство. В самом деле, если последовательность
функций уп g 9К удовлетворяет в смысле введенной метрики
условию Коши (является фундаментальной последовательнос-
тью), то, как мы знаем, эта последовательность сходится рав-
номерно на отрезке о к некоторой непрерывной на этом отрез-
ке функции у = у(х) (см. § 1.5).
Для функций уп = |/п(х) выполняется неравенство
k/„(^) - i/J < ь (X е о, и = 1, 2, ...),
которое после перехода к пределу при п сохраняется:
ly (х) - !/01 Ь.
Но тогда у = у(х) g 9R, что показывает, что 9IL - полное
пространство.
Равенство
X
z(x) = у0 + J f (t, y{t))dt, у(х0) = у0 , (5)
х«
приводит в соответствие каждой функции у = у(х) g 9К неко-
торую функцию z = z(x) 6 ЭК. В самом деле, есть у е 0R, то
У = y(t) есть непрерывная функция, график которой принадле-
жит к прямоугольнику
§1.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
49
Л = {х0 - 8 < х < х0 + 5, у0 - Ь < у < у0 + Ь},
поэтому в силу непрерывности f(x, у) на Dx правая часть ра-
венства (5) есть непрерывная функция от х, т. е. z = z(x) есть
непрерывная функция на о. Далее
|г(х) - А/о1 =
X
J f(t, y{t»dt
x0
M\x - x0| < M8 < M — = b,
что показывает, что z c SIL
Итак, мы можем считать, что равенство (5) определяет
оператор
z = Fy {у g 9R, z G 911),
отображающий полное пространство 9IL в полное пространство
9IL Этот оператор сжимающий, потому что, если
z, = Fyv z2 = Fyz г(|/р |/2g 911),
TO
- z2(x)| =
J [/(*> //1(0) - IV, y2(t))}dt
x«
= J[J/1(O -y2(tWy(t, Ut))dt < jр(У1, y2)Ndt
5 P(.Vi> %)8N =
= «P(f/p f/2)> (6)
где число a = 8N удовлетворяет неравенству 0 < a < 1, потому
что по условию 8 < 1/N. Из (6) следует, что
p(Zp z2) = maxlz/x) - z2(x)| < ap(</p у J.
XGG
Но тогда, как мы знаем, в 911 (см. § 1.5) существует един-
ственная функция (неподвижная точка) у = у(х) g 9К, для
которой
У = Fy,
иначе говоря, которая удовлетворяет уравнению (4), а следо-
вательно, уравнению (1) и условию (2).
Применяя метод итераций, можно получить приближенное
решение уравнения (1):
50 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1/„(х) = = у0 + J (п - 1, 2, ...), (7)
х0
где г/0(х) з у0 е 9R.
На основании формулы (10) § 1.5 оценка приближения имеет
вид
. N8 1,4 / XI
I </(х) - У„(х)| < -——max|i/n(x)-i/„_1(x)|.
1 — rJo *еа
Существуют и другие приближенные методы решения за-
дачи Коши.
Весьма простым является метод Эйлера (см. § 1.7).
Остается еще доказать, что если /(х, у) имеет непрерывные
производные по хи у до р-го порядка на D, то указанное
решение у(х) уравнения (1) имеет непрерывные производные
по х до (р +1)-го порядка на а.
В самом деле, имеет место тождество
i/(x) = /(х, */(х)) (х е о). (8)
Так как функция у(х) удовлетворяет дифференциальному
уравнению (1), то она всюду на о имеет производную по х и
потому непрерывна. Далее по условию f(x, у) непрерывна по х
и у на D, поэтому правая часть (8) непрерывна по х на о.
Значит, г/'(х) также непрерывна на о.
Если р > 1, то правая часть (8) имеет непрерывную произ-
водную по переменной х, значит, и левая часть тождества
имеет непрерывную производную по х. Следовательно, функ-
ция у(х) имеет непрерывную производную второго порядка.
Из тождества (8) находим
!/"(х) = fx(x, */(х)) + Г/х, </(х))г/'(х). (9)
Применяя к тождеству (9) те же рассуждения, что и выше,
найдем, что при р > 2 функция у(х) имеет непрерывную про-
изводную третьего порядка на о и т. д.
§ 1.7. МЕТОД ЭЙЛЕРА
51
§ 1.7. Метод Эйлера приближенного решения
дифференциального уравнения первого
порядка
Пусть задано дифференциальное уравнение
dy
Тх ~ (1)
Будем предполагать, что функция f(x, у) в окрестности
точки (х0, у0) удовлетворяет условиям теоремы существо-
вания. По теореме существования имеются отрезок [х0 - S,
х0 + 8] и определенное на нем единственное решение у = у(х)
уравнение (1), удовлетворяющее условию у(х0) = у0
Для числа 8 теорема дает оценку сверху
8 < (a, 1/N, Ъ/М).
Метод Эйлера1 дает возможность приближенно выра-
зить указанную функцию теоретически с любой наперед
заданной точностью.
Пусть требуется вычислить приближенно y(d), где для
определенности х0 < d < х0 + 8. Разделим [х0, d] на п
равных частей точками х0, х}, хп = d. Длину отрезка
{хр xj+1}, h = xj+1 - хр будем называть шагом вычисления.
Приближенные значения решения в точках х, обозначим
через yt.
На [х0, xj вместо уравнения (1) будем рассматривать
уравнение с начальным условием (задача Коши)
Y'n(x) = /(х0, у0) (х0 < х <Xj), Yn(x0) = у0.
Решение этого уравнения имеет вид
Y„(x) = Уо + f(xo> Уо)(х - хо>- (2)
Эту функцию (линейную) мы и примем за приближен-
ное решение уравнения (1) на отрезке [х0, xj. С геометри-
ческой точки зрения это значит, что мы искомую интег-
ральную кривую заменили отрезком касательной к
интегральной кривой в точке (х0, у0).
Из формулы (2) получаем
У1 = yn<xi) = Уо + %).
Дальше рассуждаем по индукции. Если приближен-
ные значения решения ух, у2, ..., yh известны, то на [хА, хА+1]
рассматриваем вместо уравнения (1) уравнение
1 Л. Эйлер (1707-1783) - великий математик, академик Россий-
ской академии наук.
52 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Y'n(x) = f(xk, yk) (Xk < x <хл+1), Уп(хА) = yk.
Решение этого уравнения
У>№ (* = 0, 1, .... п-1) (3)
принимаем за приближенное решение уравнения (1) на
Iх*’ ХЛ+1Ь
Полагая в (3) х = xft+1, получим
Vk+i = уп<хл+1) = Ук + Ук) (k = 0, 1, .... п-1). (4)
Формула (4) и определяет метод Эйлера.
Функция Уп(х), определяемая на [х0, d] с помощью
равенства (3), называется ^ломаной Эйлера» (рис. 10).
Можно доказать, что при условиях теоремы существова-
ния последовательность ломаных Эйлера {Уп(х)} равно-
мерно сходится на [х0, d] к истинному решению задачи
при п —> <=о.
§ 1.8. Уравнения, не разрешенные
относительно производной
Чтобы решить дифференциальное уравнение
F(x, у, у') = 0, (1)
можно попытаться сначала решить его относительно у’.
Если это удается, то мы получим одно или много диффе-
ренциальных уравнений вида
йУ М 4 /04
-у- = f(x, у)- (2)
Рис. 10
§ 1.8. НЕЯВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
53
Любое решение каждого из уравнений (2) будет реше-
нием уравнения (1). Все же следует попытаться выяснить,
исчерпывают ли они все решения (1).
Например, чтобы решить уравнение
(г/)2 - (2х + г/)г/ + 2ху = 0, (3)
тождественными преобразованиями его левой части при-
ведем его к виду
(/ - 2х)(/ - у) = 0. (3')
Рассмотрим два дифференциальных уравнения перво-
го порядка
у' = 2х, = у.
Общие их интегралы имеют соответственно вид
у = х2 + С,, у = С2ех, (4)
где Cj и С2 — произвольные постоянные. Для частных
значений CL и С2 функции (4) суть частные решения урав-
нения (3).
Но из указанных частных решений последних двух
уравнений можно строить и другие частные решения урав-
нения (3). Например,
|х2 +1,
является решением уравнения
(3). Эта интегральная кривая
составлена из двух интеграль-
ных кривых, принадлежащих
разным семействам (4) (рис. 11).
Ниже рассматриваются два
частных вида дифференциаль-
ного уравнения (1), для кото-
рых можно указать иные пути
их решения.
1°. Левая часть уравнения
(1) не содержит х и у:
F(i/) = 0. (5)
Будем считать, что функция
F непрерывна и имеет конеч-
ное число нулей.
х < 1,
54 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть у = у(х) есть решение уравнения, имеющее не-
прерывную производную. Тогда i/(x) равняется одному из
корней уравнения (5), которое обозначим через k. Итак,
у' = k, откуда у = kx + С, где С - постоянная и
J = °- <6)
Обратно, из того, что для непрерывно дифференцируе-
мой функции у(х) при некоторой постоянной С выполня-
ется равенство (6), следует, что
----- = k (Vx * 0),
х
где k - некоторый корень функции F. Но тогда у = kx + С,
Vx, г/ = fe и F(y') = 0.
Мы доказали, что общее (любое) решение дифференци-
ального уравнения (5) определяется равенством (6), где С
— произвольная постоянная.
2°. Левая часть уравнения (1) не содержит х:
F(y, у') = 0. (7)
Если уравнение (7) можно разрешить относительно у',
то г/ = <p(z/) - уравнение с разделяющимися переменными,
которое решать мы умеем.
Допустим, что уравнение (7) нельзя или трудно решить
относительно г/, но легко можно решить относительно у:
У = <?(/)•
Введем в рассмотрение параметр р =
dy
-г-, тогда
ах
dy <p'(p)dp
у = ф(р), dy = <p'(p)dp, dx =— = ~ ,
откуда
J р
или
х = v(p) + с.
Теперь, исключая из системы
х = у(р) + С, у = ф(р) (8)
§ 1.8. НЕЯВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
55
параметр р, мы и получим общий интеграл Ф(х, у, С) = О
дифференциального уравнения (7).
Систему (8) можно также рассматривать как парамет-
рическое задание решения уравнения (7). Параметр р можно
вводить и произвольным образом у' = со(р), но так, чтобы
уравнение (7) проще решалось относительно у, у = и
чтобы проще находился соответствующий интеграл для
определения функции
х = ГФЧ£МР+С
•> w(p)
Пример. Решить уравнение Ху]1 + у'2 = 2у'.
Если ввести параметр р = у', то получаются довольно
сложные интегралы. Здесь лучше положить у* = tg р
(-я/2 < р < л/2). Тогда
2tgp
х = + ^g2p = 2 sinp, dx = 2cospdp,
dy = tgpdx = 2sinpdp, у = -cosp + C.
Из системы
x = 2sinp, у = - 2cosp + C
получаем
x2 + (у - С)2 = 4, (4)
т. е. любое решение нашего диффе-
ренциального уравнения есть решение
уравнения (4) при некоторой посто-
янной С. Это семейство окружностей
радиуса 2 с центром в точках (О, С)
(рис. 12). Можно доказать, что ра-
венство (4) есть общий интеграл для
решений вида у(х) и вида х(у).
В данном случае можно также па-
раметр ввести по формуле
у' = shp.
Замечание. Аналогичным образом рассматривается
дифференциальное уравнение вида F(x, i/) = 0.
56 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1.9. Особые решения
Пусть дано дифференциальное уравнение
~fX ’ (1)
Если в окрестности точки (х0, у0) плоскости хОу вы-
полняются условия теоремы существования и единствен-
ности, то через нее проходит и притом только одна интег-
ральная кривая.
Если условия теоремы существования не соблюдаются,
то тут могут быть различные случаи. Через точку (х0, z/0)
все же может проходить одна интегральная кривая или
несколько или бесконечное множество, или же нет интег-
ральной кривой, которая проходила бы через точку (х0, z/0).
Интересен тот случай, когда дифференциальное уравнение
(1) имеет особое решение.
Решение дифференциального уравнения первого поряд-
ка называется особым, если соответствующая интеграль-
ная кривая обладает тем свойством, что через любую ее
точку проходит, кроме нее, еще и другая касающаяся ее
интегральная кривая данного уравнения.
Нередко приходится иметь дело с дифференциальными
уравнениями вида (1), где функция Дх, у) непрерывна на
а/
некоторой области Q, а ее частная производная конеч-
на и непрерывна не всюду на П. Имеются на Q такие
а/
точки, где = <=о.
В каждой такой точке, вообще говоря,
нарушаются условия существования и единственности
решения дифференциального уравнения (1), а если такие
точки образуют гладкие линии, то последние могут пред-
ставлять особые решения дифференциального уравнения.
Пример 1. Рассмотрим простейшее уравнение Бернул-
ли z/' = у“, а > 0, у > 0. Здесь /(х, у) = у" - непрерывная
а/
функция на верхней полуплоскости. Функция = а уа 1
§1.10. ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
57
при 0 < а < 1 не ограничена в
окрестности у = 0. Функция у = 0
является решением уравнения. Для
начального условия у(х0) = 0 есть
еще одно решение
У = [(х - х0) (1 - а)]1/(1"-),
удовлетворяющее этому уравнению
и проходящее через точку (х0, 0).
Рис. 13
х
Касательная к этой кривой в точке
(х0, 0), очевидно, есть ось х (у = 0).
Поэтому у = 0 есть особое решение.
Пример 2. у’ = уп + 1, у > 0.
df
Здесь = ау“ 1
и при 0 <
а < 1 эта функция не
ограничена в окрестности у = 0. Однако у = 0 не является
решением уравнения. Решение уравнения, например при
а = 1/2, определяется неявно равенством х + С =
= 2{4у ~ln(Jy +1))
(у > 0), т. е. через каждую точку (х0, 0)
проходит единственная интегральная кривая х — х0 =
-in(7F + 1)).
Пример 3. Функции у = С(х — С)2 при любом С
(рис. 13) являются решениями уравнения F(x, у,у') = 4,хуу —
— у"2 — 8 г/2 = 0. Функция у = 0 является особым решением
данного уравнения.
§ 1.10. Огибающая семейства кривых
Пусть дано семейство гладких кривых Га, определяемых
уравнением
Ф(х, у, а) = 0, (1)
где а - произвольная постоянная (параметр) и функция
Ф(х, у, а), непрерывно дифференцируемая на некоторой обла-
сти точек (х, у, а).
Кривая Е называется огибающей семейства кривых (1), если
58 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
она касается каждой кривой Га семейства и при этом вся
состоит из этих точек касания.
Точнее, огибающей Е семейства Га, зависящих от парамет-
ра а, где а < а < Ь, называется гладкая кривая
касающаяся при любом
уь.
Рис. 14
х = х(а),
У = !/(а),
значении параметра а, соответствую-
щей кривой Га.
Кривые Га будем называть оги-
баемыми (рис. 14).
Найдем уравнение огибающей.
Зададим значение а. Ему соответ-
ствует на Га точка х = х(а), у —
=i/(a), принадлежащая одновремен-
но Га и Е, в которой Е и Га имеют
общую касательную.
Очевидно, имеет место тождество
Ф(х(а), у(а), а) = 0 (а < а < ft).
Продифференцируем его по а:
Ф'хх'(а) + Ф'уу'(а) + Ф'к = О
(а < а < 6),
(2)
(а < а < Ь).
Вектор (х'(а), 1/'(ы)) направлен по касательной к Е, которая
совпадает с касательной к Га в точке (х(а), у(а)). Но тогда (см.
нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и ин-
тегральное исчисление», § 8.16)
Ф'хх'(а) + Ф'у у'(а) = 0.
Следовательно,
Ф'к(х(а), </(«), а) = 0,
т. е.
ф'а(х, у, а) = 0, (3)
в точке (х, у) касания Е с Га. Для этой точки выполняется
также равенство
Ф(х, у, а) = 0.
Таким образом, уравнение огибающей семейства (1) опре-
деляется двумя уравнениями
Ф(х, у, а) = 0,
ЭФ(х,г/,О!)
Эа
(5)
Равенства (5) дают необходимое условие существования
§1.10. ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
59
огибающей, т. е. если семейство (1) имеет огибающую, то ее
уравнение задается системой (5).
Если же мы составим систему (5) и решим ее, то решение
системы не обязательно дает огибающую семейства (1).
Пусть теперь дано дифференциальное уравнение F(x, у, у')=
= 0 и Ф(х, у, С) = 0 - его общий интеграл.
Если семейство интегральных кривых Ф(х, у, С) = 0 имеет
огибающую, то ясно, что она также является интегральной
кривой и, следовательно, особым решением.
Если же формально исключить С из системы
Ф(х, у, 0 = 0,
ЗФ(х, у, С) =
ЭС
(6)
то в некоторых случаях получим особое решение.
Если общий интеграл дифференциального уравнения имеет
вид
ЧХх, у) = С,
где Ч^х, у) - непрерывно дифференцируемая функция, то оп-
ределяемое им семейство (всех решений дифференциального
уравнения) на соответствующей области не имеет огибающей
(см. теорему 1 § 1.2).
Если же функция Ч^х, у) не является непрерывно диффе-
ренцируемой в некоторых точках (х, у), то совокупность этих
точек может дать огибающую семейства.
Пример. р'= j/2/s.
Это уравнение Бернулли. Разделяя переменные, получим
y~2/3dy = dx (у * 0), Зг/1/3 = х - С, 27у = (х - С)3, Ф(х, у, С) =
= 27 у - (х - С)3 = 0 - общий интеграл, где функция Ф(х, у, С)
непрерывно дифференцируема.
Составим систему (6):
27у - (х - С)3 = 0,
3(х - С)2 = 0.
Исключая С, получаем у = 0. Проверкой убеждаемся, что
у = 0 - решение исходного уравнения. Это особое решение
(см. пример 1 § 1.9 и замечание к примеру 3 § 1.2) и огиба-
ющая семейства кривых 27у - (х - С)3 = 0.
Если рассматривать общий интеграл в разрешенной относи-
тельно С форме: С = х - 3(/1/3, то функция Ч'(х, у)= = х - 3(/1/3 не
является непрерывно дифференцируемой в точках оси у = 0,
которая, как мы убедились, является огибающей семейства
кубических парабол.
60 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1.11. Дифференциальное уравнение
второго порядка
Уравнение
F(x, у, у, у") = 0 (1)
называется дифференциальным уравнением второго поряд-
ка.
Предполагается, что F( и, и, w, g) - заданная непрерыв-
но дифференцируемая функция от точек (и, и, w, g) неко-
торой области £2 четырехмерного пространства.
Любая функция у = у(х), имеющая на некотором ин-
тервале непрерывную производную второго порядка и
удовлетворяющая уравнению (1), называется решением
этого уравнения или его интегральной кривой.
Каждое из них у = у(х) определено, вообще говоря, на
некотором своем интервале а < х < Ъ. Конечно, для лю-
бого х из этого интервала точка
(х, у(х), у'(х), у"(х)) е Q.
Нередко на решение, которое ищут, накладывают до-
полнительные условия. Особый интерес представляют та-
кие условия, которые гарантируют единственное решение
уравнения. Обычно эти условия имеют вид
J/(xo) = Уо’ У'(хо) = У'о (2)
и называются начальными условиями. Задача нахожде-
ния решения уравнения (1), удовлетворяющего началь-
ным условиям (2), называется задачей Коши. С геометри-
ческой точки зрения условия (2) означают, что из семейства
интегральных кривых, проходящих через точку (х0, у0),
мы выделяем определенную интегральную кривую, имею-
щую заданный угол наклона (tga = у'(х0) = у'о, рис. 15).
В уравнение (1) могут не входить явно все переменные
х, у, у', но у" должно входить, иначе это уравнение не
будет дифференциальным уравнением второго порядка,
например, х2 + у’ + у" = 0, у у" +1=0.
Разрешим уравнение (1) относительно у". Будем пред-
полагать это возможным. Из теории неявных функций
известно, что если функция F(u, v, w, g) равна нулю в
некоторой точке (и0, v0, w0, g0), имеет непрерывные част-
§1.11. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
61
ные производные в окрестности этой
3F
точки и частная производная 0 в
этой точке, то уравнение F(u, и, w, g) = О
имеет в некоторой окрестности указан-
ной точки решение g = f(u, v, w) и
притом единственное.
Тогда уравнение (1) примет вид
У" = f(x, у, у’), (3)
где функция f(u, v, w) задана на некоторой области со
трехмерного пространства точек (и, v, w), непрерывна на
ней и имеет непрерывные частные производные. Функция
f может и не зависеть явно от некоторых из переменных
х, у, у'. Например, это имеет место для уравнений у" =
= ф(х), у" = у + у, у" = у, у" = у.
Пусть некоторая интегральная кривая у = j/(x) прохо-
дит через точку (х0, j/0) и имеет в этой точке угловой ко-
эффициент касательной, равный заданному числу г/'о (т. е.
= %’ У^х<) = Уд-
Этим однозначно определяется вторая производная от
г/(х) в точке х0, равная
J/"o = Лхо’ У& Уо) (у'о = f/"(xo))-
Однако возникает вопрос, если мы зададим х = х0 и
произвольные числа у0, у'о, то существует ли на самом
деле интегральная кривая у = у(х) уравнения (3), для
которой у(х0) = уоп у'(х0) = у'о, и как много таких интег-
ральных кривых. Следующая теорема показывает, что если
функция f в окрестности точки (х0, у0, у'о) достаточно
гладкая, то такая интегральная кривая существует и
притом одна.
Доказательство этой теоремы, так же как и теоремы 1
§ 1.12 и теоремы 1 § 1.13, мы не приводим. Оно может
быть проведено на основании принципа сжатых отобра-
жений.
Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (3), рас-
сматриваемая как функция трех переменных (х, у, у),
заданная на трехмерной области со, непрерывна и имеет
62 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
на этой области непрерывные частные производные
ду ’
аг
ду"
Тогда, какова бы ни была точка (х0, у0, у'о) е со, суще-
ствует интервал (а, Ь) и определенная на нем дважды
непрерывно дифференцируемая функция у = у(х), удовлет-
воряющая дифференциальному уравнению (3) и начальным
условиям у(х0) = у0, у'(х0) = у'о.
Функция, обладающая указанными свойствами, един-
ственная.
Про функцию у(х) говорят, что она есть решение (ин-
тегральная кривая) дифференциального уравнения (3),
удовлетворяющее начальным условиям (2). Или еще гово-
рят, что она решает задачу Коши для указанных началь-
ных условий.
Каждое такое решение удобно записывать в виде
У(х) = у(х0, у0, у'о),
где у0, у'о - параметры решения. Они независимы - их
можно взять какими угодно, лишь бы точка (х0, у0, у'о) е со.
Если зафиксировать х0, то каждой системе чисел С1 = у0,
С2 = у'о, (х0, Ср С2) е со, соответствует решение дифферен-
циального уравнения (3), которое можно записать (при
фиксированном х0) в виде
У ~ у(х0, Ср С2),
где Ср С2 - произвольные постоянные - параметры.
Пример. Найти интегральную кривую уравнения
у" + у = 0, проходящую через точку (0, 1) и имеющую в
ней угловой коэффициент касательной 1/(0) = 0.
Легко проверить, что функция у = CjCosx + С2 sinx
является решением данного уравнения при любых посто-
янных Cj и С2. Далее {/(0) = Сх, у'(0) = С2. Чтобы выпол-
нялись начальные условия, необходимо положить С1 = 1,
С2 = 0. Итак, искомая интегральная кривая имеет вид:
у = cosx.
§ 1.12. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
63
§ 1.12. Система из двух дифференциальных
уравнений первого порядка
В уравнении
dy
-~2 = f&, У, У) (1)
dx
наряду с его решением у = у(х), х е (а, Ь), введем функцию
z = z(x), полагая у' = г. Тогда оно будет эквивалентно
следующей системе из двух дифференциальных уравне-
ний первого порядка:
/ = z,
z’ = /(*» У. 2)
(2)
относительно двух неизвестных функций у и г.
В самом деле, пусть у(х), х е (а, Ь), есть решение диф-
ференциального уравнения (1). Оно имеет вторую непре-
рывную производную на (а, Ь). Тогда z(x) = у'(х) имеет
первую непрерывную производную на (а, Ь).Таким обра-
зом, функции у(х) и z(x) имеют непрерывную производ-
ную и удовлетворяют системе дифференциальных уравне-
ний (2).
Обратно, если две функции у(х), г(х), х е (а, Ь), имеют
непрерывные производные на (а, Ь) и удовлетворяют сис-
теме (2), то из первого уравнения системы (2) следует, что
у(х) имеет вторую непрерывную производную на (а, Ь), а
подставляя z из первого уравнения во второе, получим,
что у(х) есть решение дифференциального уравнения (1).
Система (2) есть частный случай системы
= q(x,y,z),
dz (3)
— = v(x,y,z),
dx
относительно известных функций у и z.
Эта последняя, очевидно, есть частный случай системы
F(x, у, г, у', г') = 0,1
Ф(х, у, г, у', zj = 0,J
64 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где мы будем предполагать, что функции F и Ф непрерыв-
ны и имеют непрерывные частные производные по у, у', г,
z' в некоторой области точек х, у, z, у' г".
Пара функций у(х), z(x) называется решением систе-
мы дифференциальных уравнений (4), если эти функции
определены на некотором интервале (а, Ь), зависящем от
этих функций, имеют непрерывные производные и удов-
летворяют на (а, Ъ) системе (4).
Если решить уравнения (4) относительно у' и г', то
получим систему вида (3) (конечно, предполагаем, что
решение системы (4) относительно у' и z' возможно, что,
как известно, обычно связано с неравенством нулю яко-
D(/-’, Ф)
биана г,. , тг).
D{y , z ) ’
Уравнения (3) (или (4)) образуют систему двух диффе-
ренциальных уравнений первого порядка относительно
двух неизвестных функций у и г.
dy dz
Система (3), разрешенная относительно —— , , назы-
dx dx
вается нормальной.
Для нормальной системы (3) справедлива
Теорема 1 (существования). Пусть функции
ср(х, у, z) и у(х, у, г) непрерывны и имеют непрерывные
частные производные по у и г на области со точек (х, у, г),
и пусть задана произвольная точка (х0, у0, z0) е со.
Тогда существует интервал (а, Ь) и определенные на
нем непрерывно дифференцируемые функции у = у(х), z = z(x),
удовлетворяющие системе (3) и начальным условиям
У(х0) = у0, z(x0) = z0. (5)
Указанные функции у = у(х), z = z(x) единственны.
При этом, если функции ср и имеют непрерывные
частные производные порядка р, то решения у(х) и z(x)
непрерывно дифференцируемы р + 1 раз на указанном
интервале (а, Ь).
Выше было показано, что решение уравнения (1) вто-
рого порядка относительно одной функции может быть
сведено к решению двух уравнений первого порядка отно-
сительно двух неизвестных функций (система (2)).
§1.13. УРАВНЕНИЕ л-го ПОРЯДКА 65
Но общая система дифференциальных уравнений пер-
вого порядка вида (3) тоже сводится к решению одного
дифференциального уравнения второго порядка. В самом
деле, подставив в систему (3) вместо у п г некоторые ее
решения у = у(х), z = z(x) и продифференцировав по х
первое уравнение, получим
d2y Эф Эф Эф
^?=эГэГ<|> + <б)
Наряду с (6) будем рассматривать также первое уравне-
ние (3)
dy
— = ф(х, у, z), (7)
в котором подставлены у = у(х), z = z(x).
Найдем z из (7) (z = %(х, у, у*)) и подставим в (6), тогда
получим дифференциальное уравнение второго порядка
d2y
Та = Ф(х, у, х(х, у, у')) = Л(х, у, у') (8)
dx
относительно рассматриваемой функции у = у(х).
Мы получили, что если у(х), г(х) - решения системы
(3), то у(х) - решение уравнения второго порядка.
Конечно, для того чтобы было возможным проделать
эти выкладки, потребовались новые свойства от функций
ф и у: непрерывная дифференцируемость ф по х, у, z и
возможность разрешить первое уравнение (3) относитель-
но z.
§ 1.13. Дифференциальное уравнение
п.-го порядка •
Уравнение
W.X, у, if, ..., {/<")) = 0 (1)
называется дифференциальным уравнением п-го порядка.
Здесь F(u, vQ, Oj, ..., i>n) — функция, непрерывная вместе
Э-F dF
со своими частными производными на неко-
торой области Q точек (и, v0, иг, ..., vn) (п + 2)-мерного
пространства.
3. Бугров Я. С.
66 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Разрешая уравнение (1) относительно j/(n\ получаем
Ум = f (х, у, у’, .... (2)
Справедлива
Теорема 1 (существования). Пусть правая часть
f (х, у, у\ .... i/(n 1J) уравнения (2), рассматриваемая как
функция и+1 переменных, непрерывна и имеет в некото-
рой окрестности Q точки (х0, у0, у'о, у0^1}) непрерыв-
df df df
ные частные производные , ^7, •
Тогда существует интервал (а, Ь) и определенная на
нем п раз непрерывно дифференцируемая функция у =
=у(х), удовлетворяющая уравнению (2) и начальным усло-
виям
У(х0) = у0, i/(x0) = у'о, i/" ”(х0) = у0^\ (3)
Функция у = у(х), обладающая указанными свойства-
ми, единственна.
Таким образом, у(х) есть решение уравнения (2),
удовлетворяющее начальным условиям (3).
Если зафиксировать х0, то каждой системе чисел
^1 = Уы ^2 = У о’ •••’ = Уо{п 1,>
обладающих свойством
(х0, Ср С„) е Q,
будет соответствовать решение нашего дифференциально-
го уравнения, которое (при фиксированном х0!) можно
записать в виде
у = у(х, Cv Сп). (4)
В результате получаем семейство решений нашего диф-
ференциального уравнения, зависящих от п параметров
Ср .... Сп. Каждой определенной системе (Ср Сп) пара-
метров ((х0 Cj.. Сп) е Q) соответствует свое решение
дифференциального уравнения (со своим интервалом опре-
деления).
Можно в уравнении (2) ввести новые функции
У^х) = у, у2(х) = у’, уп(х) =
Все они во всяком случае имеют непрерывную первую
производную. Тогда уравнение (2) окажется эквивалент-
ным следующей системе из п дифференциальных уравне-
ний первого порядка:
§1.13. УРАВНЕНИЕ л-го ПОРЯДКА
67
^1 _ „
----
dx
^2_ = и
dx Уз’
(5)
^ = уп,
j Г? ’
ах
= fix, У1, у2,..., Уп).
Система (5) есть частный случай системы
<7у.
—— = ф!(х, г/п...,уп),
-Г~ = (?п(х, Уг, ..-,уп),
ах
((х, уг, уп) eQ),
(6)
из п дифференциальных уравнений первого порядка от-
носительно п неизвестных функций уг, уп.
Это нормальная система (разрешенная относительно
tty;
производных—— (/ = 1,
п)). Она есть частный случай
системы
F/x, У1, .... уп) = 0 (/ = 1, п). (7)
Справедлива
Теорема 2 (существования). Пусть функции
<р;.(х, у1г уп) (J = 1, п) непрерывны, имеют непрерыв-
ные частные производные первого порядка по всем пере-
менным, начиная со второй, в некоторой области Q то-
чек (х, у1г ..., уп), и пусть задана определенная точка
(х0, yw, ..., уп0) этой области.
Тогда существует интервал (а, Ь) и определенные на
нем непрерывно дифференцируемые {единственные) функ-
ции ух{х), ..., уп(х), удовлетворяющие системе (6) и на
чалъным условиям
68 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
S/1(*O) = S'lO’ •••’ УМ = Упо- (8)
Если функции фу(х, уг, уп) на £1 непрерывно диффе-
ренцируемы р раз, то соответственно и решения систе-
мы У'(х) (j = 1, и) обладают лучшими свойствами -
они имеют непрерывную производную порядка р+1.
Если зафиксировать х0, то каждой системе чисел
^1 = У1о> •••’ Сп = Упо ((хо’ Ср •••’ Сп) 6 £2),
соответствует решение системы (6), которое можно запи-
сать (при фиксированном х0!) в виде
у= у(х, Ср ..., Сп ), (9)
где Сх, Сп - произвольные постоянные - параметры.
Выше было отмечено, что решение уравнения n-го по-
рядка может быть сведено к решению системы из п диф-
ференциальных уравнений первого порядка с п неизвес-
тными функциями. Но верно и обратное утверждение:
решение системы (6) при определенных условиях может
быть сведено к решению некоторого дифференциального
уравнения п -го порядка с одной неизвестной функцией.
Доказательство этого обратного утверждения представ-
ляет собой развитие соответствующего утверждения в слу-
чае п = 2 (см. § 1.12).
Пример. Свести систему
dy,
= У1+ У2+
<%2 _ о
dt У2 2у-
к дифференциальному уравнению третьего порядка.
Будем сводить нашу систему к дифференциальному
уравнению относительно функции y^t). Дифференцируя
первое уравнение системы, с учетом двух других, имеем
d2Vi _ аУг аУг аУз _ аУ1 ,
dt2 dt dt dt dt У1 Уг Уй'
Дифференцируя еще раз, получаем
§1.14. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
69
<^У\ 1 dVi н dV2 аУз _d2yi , dVi _
dt3 dt2 dt dt dt dt2 dt
~ У1 + У2~ Зуг. (10)
Из системы уравнений
dy,
~ У1+У2 + Уз>
d2y, dy,
^ = -^ + У1+У2~Уз
выражаем у2 и у3 через уг и у\, у^':
У2 ~ ~Х<У1~2У1)>
Ci
Уз ~ ~^(~У1~ 2у£ )•
Ci
(П)
(12)
Подставляя эти значения у2 и уг в (10), получим иско-
мое уравнение третьего порядка относительно функции
1/1(0=
У"' ~ ^У1" + 21// + 2уг = 0.
Решая это уравнение, найдем функцию уг, затем мы
находим функции у2 и уй по формулам (12).
§ 1.14. Понижение порядка
дифференциального уравнения
Во многих случаях удается свести дифференциал! ное
уравнение n-го порядка
F{x, у, у, .... у(п)) = 0 (1)
к дифференциальному уравнению более низкого порядка,
путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим
некоторые типы уравнений, допускающих понижение
порядка.
I. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно
искомую функцию у, т. е. уравнение имеет вид
F{x, у’, ..., i/W) = 0. (2)
70 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введем новую функцию z(x) = i/(x), тогда z' = у", z*n 1)=
= у(п) и уравнение (2) перепишется так:
F(x, z, z', z<n l>) = 0, (3)
т. е. относительно функции z(x) оно представляет собой
уравнение (n-l)-ro порядка.
Любое решение z(x), а < х < Ь, этого уравнения мы
должны подставить в дифференциальное уравнение у' =
=z(x) и решить последнее относительно у:
у = J z(x)dx + С.
Появилась произвольная постоянная. Часто некоторые
решения дифференциального уравнения (3), не обязатель-
но все, образуют семейство функций
z = <р(х, Cj, .... Cn_j) (а < X < b),
зависящих от п—1 параметров Сх, ..., Сп_г Ему соответ-
ствует семейство решений у дифференциального уравне-
ния (2)
У = J <Р (х. Ср > Cn-Jdx + Сп,
зависящих от п параметров Сх, .... Сп (Сп = С).
П р и м е р 1. у" = + у'2 .
Здесь функция у(х) явно не входит в уравнение. Пола-
гая z = у, находим г' = if и наше уравнение принимает
вид z' — 71 + z2 . Разделяя переменные, имеем
. dZ = dx, х + Q = [ . dz = ln(z + 71 + z2),
TiT? J TiTF
t. e.
z + 71 + z2 = ex+C1 , 1 + z2 =e2(x+C1) - 2zex+C1 + z2,
z = |(eX+Cl - e-(x+C1)) = sh(x + CJ.
Ho z = if, значит, dy = sh(x+Ct)dx, у = ch(x + CJ + C2.
II. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно
независимую переменную х:
§ 1.14. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 71
F(y, У...= О. (4)
Будем считать в этом уравнении у независимым пере-
менным, a if — искомой функцией. Обозначим у' = z(y).
Тогда
dy‘ _ dz(y) dz dy
У dx dx dy dx zy'z’
dy'1 У ' dizz'y d(z z'y) dy - dx dy dx
Vм = co(z, z'^, .... z& »).
Подставляя эти значения в (4), получим дифференци-
альное уравнение (п — 1)-го порядка относительно z. Пусть
z = z(y), а < у < Р, есть решение этого дифференциального
dy
уравнения, отличное от нуля на (а, Р). Так как г(у) = ,
то
dx = _^,x = J-^- + C (a<j/<p).
z(y) J z(j/)
Мы получили решение y(x) исходного уравнения (4) в
неявной форме. При этом оно зависит от произвольной
постоянной С.
Но часто функции z = z(y) получаются в виде семейств
функций
Z = 2 {у, Ср ..., Cn_x) (a < у < Р),
зависящих от п - 1 параметров Сх, .... Сп_, . Им соответ-
ствующие решения у(х) в свою очередь образуют семей-
ство
у = у(х, Ср ..., Сп)
функций, зависящих от п параметров Сх, ..., Сп (Сп = С).
Пример 2. if2 + 2yif’ = О.
Здесь х явно не присутствует, поэтому полагаем у'х =
„ dy' dz(y)
=z(y), у = —-— =—-— = z • z „ . Подставляя эти значения
dx dx v
в уравнение, имеем z2 + 2yzz'y = 0 или z(z + 2yz' = 0.
72 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Отсюда z = 0 и г + tyz'g = 0.
dy
Если z = 0, то-— = 0, у = const.
dx v
Если z + 2yz у = 0, то, разделяя переменные, получаем
In— = ln-L z = -^.
z 2y ’ cr Jy ’ Jy ’
4т = yfedy - Cjdx , |j/3/2 = C1x+C2.
ax jy 6
III. Левая часть уравнения (1) - однородная функция сте-
пени т относительно переменных у, у', ..., j/n), т. е.
F(x, ty, tif, ..., tj/n)) = tmF(x, у, if, ifnr) (t > 0).
Для понижения порядка вводим новую функцию z(x) по
формуле
if = Уг (У * 0).
Тогда
у" = (yz)' = if z + yz' = yz2 + yz = y(z2 + 2'),
г/л) = y(o{ -z, z', ..., z1"”1)).
Подставляя эти значения в уравнение (1), получим
F(x, у, yz, y(z2 + z'), ..., yaf. 2, z', ..., z,n-1))) = 0
или в силу однородности функции
ymF(x, 1, z, z2 + z', ..., сй( z, z', ..., г*"”1*)) — 0.
Так как у * 0, то отсюда получаем дифференциальное
уравнение (n-l)-ro порядка
F(x, 1, 2, ..., (й( z, z', ..., z*"-1))) = 0.
Пусть z = z(x) есть решение этого уравнения. Так как
z(x)=//y, то
dy у f
— = z(x)dx, ln^ = I z(x)dx, у =
У c
где С - произвольная постоянная. И если оказалось, что
z = <р(х, С1( ..., C„_j),
то
§ 1.15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
73
у = CnexplJ <р(х, Cv ..., Cnl)dx
где Cj, ..., Сп - произвольные постоянные.
Пример 3. Решим этим методом уравнение предыдущего
примера.
Функция F(x, у, у', у") = у'2 + 2уу" - однородная функция
второй степени по отношению у, у’, у". Функция у(х) = 0 -
решение уравнения. Будем считать, что у Ф 0. Полагая у' =
= гу, имеем у” = у(г’ + г2). Подставляя эти значения в урав-
нение, получаем
(yz)z + 2y2(z’ + г2) = 0 (у * 0).
Отсюда Зг2 + 2г' = 0. Функция 2 = 0- решение данного
уравнения (тогда у' = 0, у = С - решение исходного уравне-
ния). Пусть 2 * 0, тогда
2dz , 2 j 2 1
----V = dx, ~z~l=x + CL, z = -(х + С1)-1,
3z2 3 11 3 1 ’
dy J 2
— = zdx - —
У 3
dx
х + Сг
In —
о
= -ln|x + C1|>
О
у = C2(x + Cj)2/3 — общее решение. Отметим, что решение
у = 0 получается из общего при С2 = 0.
§ 1.15. Линейные уравнения высшего порядка
1.15.1. Понятие линейного уравнения выс-
шего порядка. Линейным дифференциальным уравне-
нием п-го порядка называется уравнение вида
{/n) + + ... + рДх)/ + р0(х)у = fix) (1)
(а < х < Ь),
где f(x), р0(х), ..., рп1(х) - заданные непрерывные на ин-
тервале (а, Ь) функции. Левую часть уравнения (1) обозна-
чим через Ln[i/] s L[y]. Ее называют линейным дифферен-
циальным оператором п-го порядка.
Оператор L(y) обладает свойствами:
1) ЦСу] = CL[y] - однородность оператора;
2) Ц_У, + у2] - LfyJ + L[p2] — аддитивность оператора.
Отметим, что однородный и аддитивный оператор на-
зывается линейным.
На основании этих свойств легко получаем, что
74 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
т
CkVk
л=1
т
= У, CkL[yk] ,
к=1
(2)
где Ck - произвольные постоянные.
Пример 1. Пусть £[у] = у" + у.
Легко видеть, что L[sin х] = - sinx + sinx = О,
£[х2] = 2 + х2.
Уравнение (1) можно записать в форме
Ц-УА = Ln[yA = f(x) (а < х < b). (Г)
Если f(x) = 0, то уравнение
ЬПЬ/] = 0 (а < х < Ь), (3)
называется линейным однородным дифференциальным
уравнением п-го порядка. В связи с этим уравнение (1)
называется неоднородным.
Мы считаем, что функции /(х), р0(х), ..., рп_г{х) непре-
рывны на интервале (а, Ь). Можно доказать, что для та-
ких функций дифференциальное уравнение (1) имеет един-
ственное определенное на том же (!) интервале (а, Ъ)
решение, удовлетворяющее начальным условиям
У(х0) = Уо, у'(х0) = у’о.г/п1)(х0) = у0("-П.
При этом, если функции р^х) и f(x) имеют на (а, Ь)
непрерывные производные порядка q, то указанное реше-
ние у(х) имеет на {а, Ь) непрерывные производные до
порядка п + q включительно.
Теорема 1. Если уг, ..., ут являются решениями од-
нородного уравнения (3), то их линейная комбина-
т
ция?,Ckyk также является решением уравнения (3).
*=1
Это вытекает из равенства (2).
1.15.2. Фундаментальная система решений
уравнения. Введем понятие линейной зависимости фун-
кций, по аналогии с соответствующим понятием для си-
стемы векторов.
Функции j/j(x), ..., ут(х) называются линейно зависи-
мыми на (а, Ь), если одна из них является линейной
§1.15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
75
комбинацией других Vxe(a, b). Другими словами, функ-
ции yt(x), рш(х) называются линейно зависимыми на
(а, Ъ), если существуют числа ar ат, из которых хотя
бы одно не равно нулю, такие, что
ail/i(x) + •• + = 0 (а < х < Ъ). (4)
Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда
все а; = 0, то функции уг, ут называются линейно
независимыми на (а, Ъ).
Система из п линейно независимых на интервале (а, Ь)
решений
j/Дх), р2(х).уп(х)
однородного дифференциального уравнения n-го порядка
(3) с непрерывными на (а, Ь) коэффициентами р^х) назы-
вается фундаментальной системой решений этого уравне-
ния.
Чтобы решить линейное однородное дифференциаль-
ное уравнение n-го порядка (3) с непрерывными коэффи-
циентами /г(х), надо найти его фундаментальную систему
решений.
Согласно теореме 1 произвольная линейная комбина-
ция из решений у, (х), т. е. сумма
п
У =^Ckyk(x), (5)
t=i
где Ck — произвольные числа, есть в свою очередь решение
уравнения (3) на (а, Ь). Но оказывается, что и обратно,
всякое решение дифференциального уравнения (3) на
интервале (а, Ь) есть некоторая линейная комбинация из
указанных (независимых между собой) его частных реше-
ний у fix) (см. ниже теорему 4), образующих фундамен-
тальную систему решений.
Таким образом, общее решение однородного дифферен-
циального уравнения (3) имеет вид (5), где Ck - произ-
вольные постоянные, a у fix) — частные решения (3), обра-
зующие фундаментальную систему решений однородного
уравнения.
Отметим, что общее решение неоднородного уравнения
(1) есть сумма какого-либо его частного решения р0(х) и
общего решения однородного уравнения
76 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
У<х) = у0(х) + У Сд/Дх). (6)
/=1
В самом деле,
п
Ln[y] = Ln[y0] +У = Лх) + 0 = Лх).
7=1
С другой стороны, если у есть произвольное решение
уравнения (1), то
Ln[y - У0] = £ПМ - Ui/q] = Ях) - Лх) = о,
и, следовательно, у — у0 есть решение однородного урав-
нения; но тогда существуют такие числа С-, что
п
у(х) - у0 (х) = УсЛ.(х),
7=1
т. е. для этих чисел выполняется равенство (6).
1.15.3. Определитель Вронского.
Теорема 2. Если функции уг(х), .... J/m(x) линейно
зависимы на (а, Ь) и имеют производные до (т—1)-го поряд-
ка, то определитель
У1(х)...........Ут{х)
У'г(х).........у‘т(х}
у^Чх). . .у£-1Чх)
= 0 (Vxe(a, Ь)). (7)
Определитель (7) называется определителем Вронско-
го1 или вронскианом и обозначается символом W(x) =
= W[ylt.... у J.
Доказательство. Так как функции г/х(х), ..., ут(х) ли-
нейно зависимы на (а, Ь), то существуют такие не все
равные нулю числа ах...ат, при которых выполняется
тождество (4) на (а, Ь). Дифференцируя его т-1 раз, полу-
чим систему уравнений
1 Ю. Гёне-Вронский (1778-1853) - польский математик.
§1.15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
77
а1У1(х), атУт(х) = О,
а1У\М, .... ату'т(х) а О,
.... = О.
Эта однородная система по условию имеет нетривиаль-
ное решение аг, ..., ат (т. е, хотя бы одно о^ * 0) при
Vxe (а, Ь). Последнее возможно, когда определитель си-
стемы, который является определителем Вронского W(x),
тождественно равен нулю. Теорема доказана.
Замечание. Из теоремы 2 вытекает, что если W(x) * 0
хотя бы в одной точке (а, Ъ), то функции 1/1, ..., ут линей-
но независимы на (а, Ъ).
Пример 2. Функции 1, х, ..., хт 1 линейно независи-
мы на любом (а, Ь), так как
W[l» х> —> *т-11 =
1! 2х . . . (rn-l)xm~2
о
0 0 0 . . . (т-1)!
= 1- 1! 2! ... (т-1)! # 0.
ПримерЗ. Функции ek'x, ...,ekmX линейно независи-
мы на любом (а, Ь), если klt ..., km — различные числа
(действительные или комплексные).
В самом деле,
W[eklX, .... ek"x] -
= eklX 3 ,»• * H и = е(Л1+...+*„ )x 1 . . . 1 • • km *0,
^eklX. . з*3 : 1 • —* Sr 3 • C’1
78 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
так как последний определитель есть определитель Ван-
дермонда1, который при различных kv km не равен
нулю.
Пример 4. Функции е*1, xehx, хтЛекх линейно не-
зависимы на любом (а, Ь).
Так как екх ф 0 и
а]екх+а2хекх+...+атхт1екх=екх[а1 + а2х + ... -г amxm-1],
то линейная независимость указанных функций вытекает
из второго примера.
Теорема 3. Для того чтобы решения уг(х), ..., уп(х)
линейного дифференциального однородного уравнения
£n[j/] = 0 с непрерывными коэффициентами были линейно
независимыми на (а, Ъ), необходимо и достаточно, чтобы
WIj/j, ..., j/n] Ф 0 для всех х 6 (а, Ь).
Доказательство. 1) Если VT(x) * 0 на (а, Ь), то
функции j/x(x), ..., j/n(x) линейно независимы независимо
от того, являются они решениями уравнения Гп[у] = О
или нет (см. замечание).
2) Пусть yv ..., уп являются линейно независимыми
функциями на (а, Ь) и являются решениями уравнения
ад = 0.
Докажем, что W(x) * 0 всюду на (а, Ь). Допустим про-
тивное, что существует точка х = х0 е [а, 6], в которой
ТУ(х0) = 0. Выберем числа ах, ..., ап, одновременно не
равные нулю, так, чтобы они были решениями системы
«11/1 (хо) + • • • +апуп(х0) = 0,
«1!/Кхо) + • • • +а-пу'п(х0) = 0,
(8)
«11/1" Х)(хо) + --• + апУп Ч) = 0.
Это можно сделать, так как определитель системы (8)
есть W(x0) = 0. Тогда в силу теоремы 1 функция
п
у = a^j/Дх) будет решением уравнения ГДг/] = 0 с нуле-
i=i
выми начальными условиями (по (8))
= °> J/'i(xq) = °> — ’ 1/п(п1)(хо) = °-
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии», §2.
§ 1.15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
79
Но таким же условиям удовлетворяет и тривиальное
решение у = 0. В силу теоремы существования и един-
ственности решение, удовлетворяющее этим п начальным
условиям, может быть только одно, следователь-
но, у1 агуг(х)=0 на (а, Ъ), т. е. функции уг, уп линейно
i=i
зависимы на (а, Ь), что не предполагалось. Теорема дока-
зана.
Если р,(х) - разрывные функции в интервале, где мы ищем
решение, то уравнение L„[y] = 0 может иметь не одно реше-
ние, удовлетворяющее начальным условиям у(х0)= у'(х0) = ...=
= = 0, и тогда возможно, что W(x) = 0 на (а, Ь).
Пример 5. Легко проверить, что функции
У1(х) = <
(х-1)“,
0,
0 < х < 1,
1 < х < 2,
0, 0 < х < 1,
Уг(Х)- [(х-1)“, 1<х<2 (а > 2)
линейно независимы на (0, 2), и для них W(x) = 0 на (0, 2).
Это связано с тем, что функция у = Ctyt + С2у2 является
общим решением уравнения
^„ = 0.
(х-1)2
а(а -1)
где р0(х) = .л разрывна в точке х = 1. Для этого
(х — 1J
уравнения теорема существования и единственности не имеет
места (в окрестности точки х = 1). Не только функция у = 0,
но и функция j/j(x) является решением дифференциального
уравнения, удовлетворяющим условиям у—0 и г/=0 при х=1.
1.15.4. Структура общего решения.
Теорема 4. Если уг, ..., уп - линейно независимые на
(а, Ь) решения линейного однородного дифференциального
уравнения п-го порядка Ln [z/] = 0 с непрерывными коэффи-
циентами р,(х), а < х < Ъ, то функция
80 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
п
У = ^_,Скук(х) (а < х < Ь), (9)
*=1
где Ск - произвольные постоянные, является общим реше-
нием уравнения Ln[y] = 0, т. е. сумма (9) при любых Ск
есть решение этого уравнения и, обратно, всякое решение
этого уравнения представимо в виде суммы (9) при соот-
ветствующих значениях Ск.
Доказательство. Мы уже знаем, что сумма (9) при
любых Ск есть решение уравнения Ln [у] = 0. Пусть, обрат-
но, г = z(x) есть произвольное решение этого уравнения.
Положим
2(х0) = z0, z'(x0) = z'o, .... zul>(x0) = (10)
Для полученных чисел z0, z'o, ..., z0(n l) составим линей-
ную систему уравнений относительно неизвестных чисел Ск:
= 20>
*=1
(И)
Хс^Г1>(х0) = иГ1)-
*=i
Определитель системы (11) W(x0) не равен нулю, так
как функции yv уп - линейно независимые на (а, Ь)
решения уравнения Ln[y] = 0. Поэтому существует един-
ственная система чисел Cj0, ..., Сп°, удовлетворяющих урав-
нениям (11). Подставляя их в (9), получим решение наше-
го уравнения в виде
ХФм*),
*=1
удовлетворяющее тем же начальным условиям (10), кото-
рым удовлетворяет z(x). Но тогда на основании теоремы
существования и единственности имеет место равенство
z(x) = у(х), х е (а, Ь). Теорема доказана.
Таким образом, чтобы найти общее решение однород-
ного уравнения Ln[y] = 0, достаточно найти какие-нибудь
п линейно независимых решений этого уравнения, и то-
§ 1.16. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 81
гда общее решение будет их линейной комбинацией (9).
Напомним, что любую совокупность из п линейно незави-
симых частных решений уравнения Ln [у] = 0 мы услови-
лись называть фундаментальной системой решений это-
го уравнения.
Возникает вопрос, всегда ли существует фундаментальная
система (3) с непрерывными коэффициентами? Покажем, что
существует.
Зададим п векторов
а»1» = (1, 0....0),
а(2) = (0, 1, 0, ..., 0),
а<"> = (0, 0..0, 1).
Каждому из этих векторов приведем в соответствие реше-
ние ук(х) уравнения (3). Именно, пусть yt(x) есть решение,
удовлетворяющее следующим начальным условиям:
У*(хо) = °’ %'(хо) = °’ —’ = °> = г’
У^(х0) = 0, ..., у/л-1>(х0) = 0 (k = 1, 2, ..., п).
Определитель Вронского И'Хх) для этой системы решений
при х = х0 (а < х < Ь), очевидно, есть определитель матрицы,
составленной из векторов а(1). я(л) . Он равен 1:
W(x0) = 1 эб 0.
Но тогда система решений ух, ..., уп линейно независима,
потому что для зависимой системы определитель Вронского
был бы тождественно равен нулю.
§ 1.16. Линейные однородные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами
1.16.1. Методы решения. Уравнение
Ь„[?/] = г/п) + Рп 1Р(п1) + — + Р1У + РоУ = 0 t1)
(-оо < х < °°),
где р. (i = 0, 1, ..., п—1) — постоянные числа, называется
линейным однородным дифференциальным уравнением п-го
порядка с постоянными коэффициентами.
Чтобы решить уравнение (1), надо найти какую-либо
его фундаментальную систему решений, т. е. найти какие-
82 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
либо его п частных решений уг(х), уп(х), образующих
линейно независимую систему на всей оси, и тогда (см.
§ 1.15) общее решение уравнения (1) будет иметь вид
у = Cji/Jx) + ... + Спуп(х),
где С5, ..., Сп — произвольные постоянные числа.
Будем искать частные решения уравнения (1) в виде
у = ekx, где k — постоянное число. Тогда
у' = kekx, у" = k2ekx, ..., z/"> = knekx.
Подставляя эти значения производных в (1), получаем
Ьп[е**] = ekx[kn + + ... + pxk + р0] = 0.
Так как екх Ф 0, то
Я„(/г) = kn + р„_1*(п’1) + — + Pik + р0 = 0. (2)
Таким образом, если k есть корень алгебраического
уравнения (2), то функция у = есть решение уравнения
(1) и обратно. Уравнение (2) называется характеристичес-
ким для уравнения (1). Это уравнение можно получить из
(1), если производные у® заменить соответственно числа-
ми W (j = 0, 1, ..., п). Обратно по уравнению (2) легко
восстановить уравнение (1). Уравнение (2), как известно,
имеет п корней с учетом кратности.
1°. Пусть корни уравнения (2) kn различны. Тогда
п функций
е^х, екгХ, ...,ек"х (3)
являются решениями уравнения (1) и притом линейно
независимыми на (-<», <=.) (см. пример 3 § 1.15), т. е. они
образуют фундаментальную систему решений уравнения
(1). Поэтому в этом случае (см. теорему 4 § 1.15) общее
решение уравнения (1) запишется в виде
п
у(х) = У С,ек‘х , (4)
7=1
где С. — произвольные постоянные.
Пример 1. Уравнение у" - 5у' + бу - 0 имеет харак-
теристическое уравнение ft2 - 5А + 6 = 0 с простыми дей-
ствительными корнями = 2, k2 = 3. Общее решение
у = С,е2х + С9е3х.
§ 1.16. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
83
Пример 2. Уравнение у"' - 2у" - г/ + 2у = О имеет
характеристическое уравнение Л3 - 2k2 - k + 2 = 0 или
(A- 2)(k2 - 1) = 0. Корни простые: kA = 2, k2 = 1, k3 = -1.
Им соответствует общее решение уравнения у = CjC2* +
+ С2ех + С3е х.
Если числа pt действительные и если какой-либо ко-
рень k. комплексный (йу. = а + ф, р А 0), то среди осталь-
ных корней должен быть ему сопряженный (ks = а - ip,
s j). Так как комплексные функции е<а+Ф)*, £<«-»₽)* суть
решения уравнения (1), то (см. теорему 1 §1.15) функция
[efcl+ g(«-ip)x] = caxcospXj
так же как функция
J- [е(<х+;р)х _ е(а-ф)х] = ec«sinpx>
(5)
(6)
в свою очередь есть решение уравнения (1). Здесь мы ис-
пользовали формулу Эйлера ё**х = соях ± isinx.
Решения (5) и (6) - действительные функции, и в этом
они имеют преимущество перед функциями ехр(А^х),
exp(Asx), поэтому ими часто заменяют в системе (3) эти
последние функции.
Можно доказать, что таким образом видоизмененная
система (3) линейно независима на (-<*>, оо).
Пример 3. Уравнению г/' + у = 0 соответствует харак-
теристическое уравнение A2 + 1 = 0 и комплексные корни
k± = i, А2 = -i, сопряженные друг другу. В показательной
форме решение имеет вид
у = Cxeix + С2е1х.
Используя формулы Эйлера, общее решение можно за-
писать:
у = C^cosx + isinx) + C2(cosx - isinx) =
= (Cx + C2)cosx + /(Cj - C2)sinx = Acosx + Bsinx.
Здесь А и В - произвольные постоянные, потому что
уравнения А = Сг + С2, В = i(Ct - С2) могут быть решены
относительно С1г С2, при любых А, В.
Пример 4. Уравнению у" + у' + у = 0 соответствует
характеристическое уравнение fe2+fe+l=0c корнями
84 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
*1,2
Общее решение уравнения запишется так:
2°. Если kv — корень кратности т, то в системе (3)
возникает т равных функций
ек'х, е^х, ...,ектХ (*! = k2 = ... = km) (7)
и система (3) перестает быть линейно независимой. Ока-
зывается (см. ниже лемму 1) в этом случае (когда kr -
кратный корень) функции
eklX, xeklX, .... (8)
тоже будут решениями уравнения (1), образующими ли-
нейно независимую на любом интервале (а, &) систему (см.
ниже лемму 1). Ими обычно заменяют функции (7) в си-
стеме (3).
Если произвести такую замену для всех кратных кор-
ней, то полученная новая система будет, как это можно
доказать, линейно независима.
Пример 5. Уравнению У' — 2у + у = 0 соответствует
характеристическое уравнение k2 - 2k + 1 = 0, имеющее
один двукратный корень k = 1. Поэтому общее решение
этого уравнения записывается в виде у = (\ех + С2хех.
Пример 6. Уравнение У" + Зу" + ЗУ + у = 0 имеет
характеристическое уравнение k3 + 3/г2 + 3k + 1 = 0 или
(й + I)3 = 0, откуда k = -1 - корень третьей кратности и,
следовательно, общее решение имеет вид у = + С2х+
+ С3х2).
Для действительных pt, если k± = а + ip - комплекс-
ный корень кратности т, то и kx = а — ip - корень крат-
ности т, которому соответствуют решения
хек,х, ..., Xй1?11, (8')
возникающие в ряду (3). Запишем подробнее решения (8)
и (8')
g(ccHp)x ^(а+ф)х д-zn-l ^(а+ф)*
^(а-ф)х %т 1^(а-ф)х
§ 1.16. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
85
Складывая их соответственно и деля на 2 или вычитая
и деля на 21, получим две системы действительных реше-
ний уравнения (1)
е^ cos (Зх, хеш cos (Зх,..., x"l-1ef“ cos Рх,
еш sin рх, хе°“ sin Рх, ..., х"*-1е“х sin Рх,
которыми заменяют комплексные функции (8) и (83 в ряду (3).
Остается заметить, что можно доказать, что если по-
добную замену совершить для всех кратных корней ха-
рактеристического уравнения, то функции новой системы
образуют линейно независимую систему решений уравне-
ния (1) на любом интервале (а, А).
Пример 7. Дифференциальное уравнение i/(4) + 2 у" +
+ у = 0 имеет характеристическое уравнение А4 + 2 А2 + 1=
= 0 или (А2 + I)2 = 0, откуда At = I и А2 = — i — корни
второй кратности. Поэтому общее решение дифференци-
ального уравнения имеет вид
ц = C.cosx + CLxcosx + С,sinx + C.xsinx.
1 2 «5 4
Лемма 1. Если kx есть корень характеристического
уравнения Rn(k) = 0 кратности т, то функции
eklX, xeklX, ..., х"1’1^1*
суть линейно независимые на любом интервале {а, Ь)
решения дифференциального уравнения (1).
Доказательство. Линейная независимость указан-
ных функций установлена в примере 4 § 1.15.
Так как kx - корень кратности т многочлена ЯП(А), то
JRn(A) = (А - Aj)"* <р(А), где ф(А) - такой многочлен, что
<p(At) Ф 0. Отсюда
Bn(Ax) = 0, «'„(Aj) = 0, ..., = 0. (10)
Имеем
д1 kx
Ln[^]
= — Ln[ekx] =-^-r
dk' n dk'
А c)isekx dsRn(k)
“ s dk'-s ' dks
86 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где Cs - некоторые постоянные числа. Отсюда, если j <
< т - 1, a k = kx, в силу (10) получаем
L„Jx7eM] = 0
и лемма доказана.
Замечание. Из изложенного выше вытекает, что
если k. - корень характеристического уравнения кратно-
т
сти lj(j = 1, ..., zn; Z, = п), то фундаментальная система
7=1
решений уравнения (1) состоит из функций
kjX k х I -1 Ы z,- _ ч
е' , хе 1 , ...х‘ е' О = 1, , гп).
Если некоторый корень kj является комплексным (А, =
= «у+УРу, ру Ф 0), то этому корню, совместно с корнем
соответствует группа действительных функций
а.ж п С-1 сих п
е ’ cos РуХ, ..., х' е ' cos Рух,
а.х . г, П-1 а.х . о
е ' sin РуХ, ..., х ' е ’ sin р?х.
1.16.2. Уравнение Эйлера. Уравнение с перемен-
ными коэффициентами вида
х"г/") + рп_1хп~1уп 1 + ... + pxxif + роу = 0,
где р0, рх, ..., pn_j — постоянные числа, называется уравне
нием Эйлера. С помощью замены х = е‘ это уравнение
сводится к уравнению с постоянными коэффициентами. В
самом деле, имеем
у(х) = у(е‘) = v(t).
Отсюда
dt
у'(х) = v'(t) — = v(t) е‘; ху(х) = v'(t);
dx
у"(х) = v"(t)e~Zt - v'(t)e 2t ; x2y"(x) = v"(t) - v'(t); ... .
Подставляя эти значения, получим уравнение с посто-
янными коэффициентами относительно функции v(t). Ча-
стными решениями этого уравнения, как мы показали
выше, являются функции вида еы = хк или Vekt = хЧп'х,
§ 1.17. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ 87
где k — корень (простой и кратный) соответствующего ха-
рактеристического уравнения. Таким образом, частные
решения уравнения Эйлера сразу можно искать в форме
хк, х*1п'х.
Пример 8. Решим конкретное уравнение Эйлера
х2у" + 3xz/' + у = 0. Будем искать частные решения в виде
у = хк, тогда
г/' = Ах*-1, у" = k(k - 1)х'г~2.
Подставляя эти значения производных, получаем
x2k[k - 1)х*-2 + ЗАх хк~г + х* = xh[k(k - 1) + ЗА + 1] =
0.
Отсюда, если х * 0, то А(А - 1) + ЗА + 1 = 0. Последнее
уравнение имеет корень А = -1 второй кратности. Значит,
у = 1/х - решение уравнения Эйлера. Другое решение -
у = (1пх)/х, в чем можно убедиться непосредственно. Так
как 1/х и (1пх)/х линейно независимы (их определитель
Вронского равен 1/х2 Ф 0), то
- общее решение данного уравнения Эйлера.
§ 1.17. Метод вариации постоянных
Рассмотрим неоднородное уравнение n-го порядка
= У™ + + — + Р0У = f(x)> (!)
где коэффициенты pt = р.(х) и правая часть /(х) - задан-
ные непрерывные функции на интервале (а, Ь).
Допустим, что нам известна фундаментальная система
решений i/j(x), ..., уп(х) соответствующего однородного
уравнения
Ln[yJ = 0 (2)
Как мы показали в § 1.15 (формула (6)), общее решение
уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (2)
и какого-либо решения уравнения (1).
Решение неоднородного уравнения (1) можно получить
методом вариации постоянных, если известно общее ре-
шение однородного уравнения (2). Разъясним этот метод
88 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
на примере уравнения третьего порядка.
Итак, пусть задано линейное уравнение третьего по-
рядка
У'" + Р2У" + PiV + РоУ = fM- <3)
Пусть общее решение соответствующего однородного
уравнения есть
У = + С2уг(х) + Csy3(x), (4)
где уг, у2, у3 - линейно независимые решения уравнения (2)
(ад = 0, i = 1, 2, 3).
Будем искать решение неоднородного уравнения (3) в
виде суммы (4), где СДх), С2(х), С3(х) - некоторые непре-
рывно дифференцируемые функции, которые надо найти.
Наложим на искомые функции С/х) два условия
з
^СЦхуу^х) = О,
Т <5>
X^W'/W = °’
i=l
Тогда будет
ззз
+ХС& = Zc-<
«=1 £=1 £=1
3 3 3
+^С’У[ = ^у",
i=l 1=1 1=1
3 3
i=l i=l
Подставив эти производные и саму функцию у в (3),
получим
3 3 3 3 3
X с‘^" + X С‘У" +р2 У, С,у" + Pi X ClV'1 + ^0 X Ciy‘
<=1 »=1 1=1 1=1 i=l
или
§ 1.17. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ
89
Р2У1 + Р1У1 + РоУ1) ^2^2 Р2У2 + Р\У2 +
3
+ РоУ2> + Сз<Уз"' + Р2У3" + Р1Уз + Р<&3> + С'1У" = Лх)-
1=1
Но выражения в скобках в левой части этого равен-
ства равны нулю, поэтому
з
"^С'у" = Дх). (6)
i=l
Мы получили уравнение (6) и два уравнения (5) с ко-
эффициентами yt, у\, у\ и правой частью f(x), которые
непрерывны на (а, &). Эти три уравнения образуют линей-
ную алгебраическую систему относительно неизвестных
С\, С'2, С'3 с определителем, не равным нулю, потому что
это есть определитель Вронского для фундаментальной
системы решений у1г у2, у3 . Поэтому данная система имеет
единственное решение
С';(Х) = <Р;(Х) (i = 1’ 2, 3),
где (ру - непрерывные на (а, А) функции. Отсюда
С,(х) = J фДх)<2х . (7)
При этом функции С;(х) имеют на (а, Ь) непрерывную
производную. Следовательно, частное решение неоднород-
ного уравнения (1) имеет вид
у(х) = + С2(х)у2(х) + С3(х)у3(х),
где функции Cfx) определяются равенствами (7).
Пример. I/"- Зу' + 2у = е3х, R2(k) = А2 - ЗА + 2 = О,
Aj = 1, А2 = 2 - корни характеристического уравнения;
общее решение однородного уравнения у = + С2е2*.
Найдем частное решение неоднородного уравнения
методом вариации постоянных Сг и С2. Составим систему
(5), (6):
С[(х)ех + С2(х)е2х = О,
С'(х)е' +С'2(х)2-е2х = е3х,
(ИЪ/р У2] = е3х * 0).
90 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решая систему, имеем С'1(х) = - е2*, С'2(х) = ех . Отсюда
Cj(x) = —е2х/2, С2(х) = е* и частное решение
у = — — е2хех + ехе2х = — е3х .
£ л
Таким образом, общее решение исходного уравнения
у = <\ех + С2е2х + ~е3х .
Л
§ 1.18. Частное решение неоднородного
уравнения с постоянными коэффициентами.
Приложения
1.18.1. Методы нахождения частных реше-
ний. Рассмотрим неоднородное уравнение п-го порядка с
постоянными коэффициентами
У{п} + Pn-i^n~V> + — + РоУ = Л*) (-°° < х < оо), (1)
k X
где правая часть имеет специальный вид /(х) = е 0 или
более общий вид
/(х) = х'-1 или еще xl ip^cospx
или x'^e'^sinpx (I = 1, 2, ...).
Нас будут интересовать способы нахождения частного
решения уравнения (1). Это имеет значение, потому что,
для того чтобы получить общее решение уравнения (1),
надо найти какое-либо его частное решение и прибавить
к нему общее решение соответствующего однородного урав-
нения. Последнее мы умеем находить (см. § 1.16).
Рассмотрим сначала самый простой случай /(х) = а .
Характеристический многочлен уравнения (1) имеет вид
ЯП(А) = kn + рп_^п-й + ... + р0.
Если k0 не является корнем характеристического урав-
нения
ЯП(А) = 0, (2)
то частное решение уравнения
§ 1.18. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 91
ЬПМ = у*"* + Рл1У(п п + ••• + Р0У = аек°х (3)
можно найти в виде функции
у=Ле'!"х, (4)
где А - постоянная. Подставив эту функцию в уравнение
(3), получим ARn(k0) ek°x , откуда после сокращения на (не
Z? х
равный нулю!) множитель е 0 получаем ARn(k0) = а или
А = a/Rn{k0), (5)
и число А найдено.
Пример 1. Уравнение
У" + У = ех (6)
имеет характеристическое уравнение
Я2(/г) = k2 + 1 = 0.
Число k0 = 1 не является корнем характеристического
уравнения (7?2(&О) = /?2(1) = 2 Ф 0), поэтому частное реше-
ние (6) можно искать в виде у = Аех. Согласно (5) А =
= (7^(1))1 = 1/2. Общее решение уравнения (6) имеет вид
1
у = — е* + Cjcosx + C2sinx,
Ci
где Cj, С2 — произвольные постоянные.
Пример 2. Найдем частное решение уравнения
I у" + у = cos2x. (7)
Рассматриваем два уравнения
+ У1 = cos2x, (7')
/'2 + Уг = sin2x- (7")
Умножаем второе уравнение на i и полученное уравне-
ние складываем с первым уравнением. При этом полагаем
у = уг + iy2 и учитываем равенство ei2x = cos2x + isin2x.
В результате получим
у" + У = ei2x. (8)
92 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Характеристическое уравнение этого дифференциального
уравнения имеет корни ±i. Оба они отличны от числа 21.
Поэтому, как было доказано выше, частное решение урав-
нения (8) можно найти в виде функции А е12х, где А -
постоянная.
Подставляя эту функцию в (8) и рассуждая, как выше,
получим
А 1_____________1 _ £
(2i)2 +1 -4 + 1 3 '
Итак, функции
у = -~е12х
у 3
есть частное решение дифференциального уравнения (8).
Ее действительная часть
1
У1 = —г cos2x
О
есть решение дифференциального уравнения (7')> или, что
все равно, решение данного уравнения (7).
Попутно мы получили частное решение уравнения (7"),
или, что все равно, уравнения
у" + у = sin2x.
Общее решение уравнения (7) записывается по формуле
1
у = Acosx + Bsinx - — cos2x,
3
где А, В - произвольные постоянные.
Если Ао есть корень характеристического уравнения (2),
то уравнение (3), очевидно, не имеет решения вида (4). В
этом случае нам поможет следующая лемма.
Лемма 1. Если k0 - действительный или комплекс-
ный корень кратности т характеристического уравне-
ния (2), то частное решение дифференциального уравне-
ния (3) можно найти в виде
у = Ахт ek°x ,
где А — некоторая постоянная.
§ 1.18. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 93
Приведем сначала пример.
ПримерЗ.
У” - + у = е*. (9)
Характеристическое уравнение есть Л2 - 2k + 1 =0, или
(k - I)2 = 0. Число k0 = 1 есть его корень кратности 2.
Поэтому, согласно лемме 1, решение надо искать в виде
у = Ах2ех.
Имеем
у' = А-2хех + Ах2ех, у" = 2Аех + ААхех + Ах2ех.
Подставляя в (9), получим
2Аех = 6х.
Следовательно, А = 1/2 и общее решение есть
у = —- х2ех + (С\ + С2х)ех.
Л
Доказательство леммы 1. Применим к левой и пра-
вой частям дифференциального уравнения (3) операцию (опе-
d (Yd А du ь ]
ратор)-----&о----kf, и = кои . Тогда в правой час-
dx (\dx J ах j
ти будем иметь
^(ae^-koae^ = 0.
ydx J dx
Поэтому
( d А
----ко = 0. (10)
{dx J
Мы получили дифференциальное уравнение (п + 1)-го по-
рядка с постоянными коэффициентами. Его характеристичес-
кое уравнение имеет вид
(Л - k0)Rn(k) = 0. (11)
Уравнение R„(k) = 0 и уравнение (11) имеют одни и те же
корни, но корень k0 в уравнении (11) кратности т + 1 (на 1
больше). Общее решение однородного уравнения
94 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
= о (12)
запишем так:
v = (С, 4 С2х + ... Cmxm~l)ek°x + ^Сд/Дх),
/=/п+1
где Уп ~ решения, соответствующие корням характе-
ристического уравнения, не равным k0, если таковые есть.
Общее же решение уравнения (10) можно записать в виде
. т h(.x
z = Ахт е 0 4 и.
Всякое решение у уравнения (3) есть решение уравнения
(10), и потому
у = Ахт ek°x + V (13)
для некоторого набора постоянных
СР С2.... Сл, А. (14)
Мы показали, что если у есть решение уравнения (3) LJy] =
= ае ° , то можно подобрать постоянные (14) так, что у =
=Ахт ek(,x + V. Теперь для указанных постоянных (14) будем
иметь
£„[Лх- ек"х ] = Ln[y - v] = Ln[y] - L„[v] =a ek°x - 0 = a ek°x .
Этим доказано, что есть такое число А, для которого функ-
ция
у — Ахтек°х
есть решение неоднородного дифференциального уравнения (3).
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь два дифференциальных уравнения
У1п} + РП-1У1("_1> +••••+ Р0У! = axf-1eaxcospx, (15)
У2п) + РП1У2{П~1} + + Р0У2 = ax'-^sinpx, (16)
где а, р, р. - действительные числа, а I — натуральное.
Умножим второе из них на i и сложив с первым, получим
уравнение
z<"> + рп_^п~1) + ... + poz = axllek°x (17)
(z= уг + iy2, k0 = а + ip).
§ 1.18. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 95
Вместо двух уравнений (15) и (16) с неизвестными фун-
кциями у^х), у2(х) мы получили одно уравнение (17) с
неизвестной комплексной функцией z(x) = Уг(х) 4- iy2(x).
Если решение z = yr + iy2 уравнения (17) найдено, то
действительная его часть уг будет решением уравнения
(15), а мнимая у2 - уравнения (16).
При I = 1 уравнение (17) было уже исследовано.
Пример 4. Дано уравнение
у" + у = sinx. (18)
Наряду с ним рассмотрим уравнение
у" + у = cosx. (19)
Имеем
у" + j/j = cosx, у” + у2 = sinx.
Умножив второе уравнение на i и сложив с первым,
получим
z" + z = е,х, z = уг + iy2. (20)
Число Ло = i есть корень кратности 1 характеристичес-
кого уравнения, поэтому частное решение надо искать в
виде z = Ахёх . Имеем
z' = Аёх + Aixeix, z" = 2А1ёх - Ахёх.
Подставляя z, z‘, z" в уравнение (20), получим
2Aieix = е“, А = l/(2i) = - i/2.
Частное решение уравнения (20) имеет вид
ix ix ix . . . ч х . х
z =----е --------(cosх +1sinх) = — sinx - t— cosx.
2 2 2 2
Мнимая часть
x
у ----COSX
* 2
есть частное решение данного уравнения (18). Действи-
тельная же часть есть частное решение уравнения (19).
Случай I > 1 (для уравнения (17)) предусматривается в
следующей лемме.
96 ГЛ. 1, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Лемма 2. Частное решение уравнения (17) можно найти
среди функций вида
(Стх”‘ + ... + Cm+/_1xm+(“1) , (21)
где т — кратность корня k0 характеристического уравнения
Л„(Л) = 0, . а Ст, Ст+1.. Сш+(-1 _ постоянные.
Если k0 не есть корень уравнения R„(k) = 0, то все же
формально можно считать, что Ао есть корень только кратно-
сти 0. В этом случае надо в формуле (21) считать т = 0 и
частное решение надо искать в виде
(Со + С,х + ... + .
Доказательство ведется аналогично доказательству леммы 1.
Общее решение однородного уравнения LJz] = 0 записыва-
ем так:
v = (Со + Ctx + ... + Cm_,x«-i) ek°x + ^CjZjix), (22)
/=т+1
где zm_v zn - решения, соответствующие корням, не рав-
ним kg, если таковые имеются.
С d Y
Подвергнем уравнение (17) операции I ~ • Так как
(l-Aax'V1) =^~(axllek«x) -koaxllek°x =
dx J ax
= a(l-l)xl 2ek°x,
TO
(axllek°x) “ - *7) j (a(l -1)! xl~2ek°x) = 0.
Поэтому мы получаем однородное дифференциальное урав-
нение с постоянными коэффициентами
( . \1
— -ko Ь„[2] = 0. (23)
\dx )
Его характеристическое уравнение имеет те же корни, что
и уравнение Rn{k) = 0, но кратность fe0 больше на число I.
Поэтому общее решение уравнения (23) можно записать в виде
§ 1.18. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 97
2 = (со + С,х + ... + + ^Ckzk =
k=m+l
= v + (Cmxm + ... + Cm+I_1xm+I~1) е*°х. (24)
Всякое решение z уравнения (17) есть решение уравнения
(23), и потому оно может быть записано в виде (24). Но тогда
+ ... + С^х^е*»*] = Ln\z - п] =
= L„[z] - Ln[v] = ах1-1^,
что показывает, что функция (21) при подходящем выборе
постоянных Ст, ..., Ст+1_г есть частное решение уравнения
(17).
Пример 5. у" - у = хех (kQ = 1, I = 2).
Характеристическое уравнение k2 - 1 = 0 имеет корни
k12 = ±1. Число k0 = 1 является корнем характеристичес-
кого уравнения кратности 1. Поэтому, согласно лемме 2,
частное решение ищем в виде
у = (ах + Вх2)ех.
Имеем
г/ = [А + (А + 2В)х + Вх2]ех,
у" = [2(А + В) + (А + 4В)х + Вх2]ех.
Подставляя эти значения в уравнение, получим
ех(2А + 2В + 4Вх) = хех,
откуда
2А + 2В = О, 4В = 1,
т. е.
А = -1/4, В = 1/4.
Значит, частное решение нашего уравнения будет
у = (-х + х2)ех/4,
и общее решение
4. Бугров Я. С-
98 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замена н-и е. Если функция является решением урав-
нения
£„[</]= /Xх) и = <?)>
то функция у = Уш является решением уравнения
q д ч
Ln[yl =Ln -zXfc] = 2^<х).
Отсюда и из сказанного выше ясно, что форма частно-
го решения неоднородного уравнения Ln[y] = f(x) с правой
частью вида
f (х) = Pm_1(x)eaisinpx + Qm_1(x)eaicos[3x,
где - некоторые алгебраические многочле-
ны степени не выше (т-1), совпадает с видом правой части,
если а ± ip не являются корнями характеристического
уравнения Rn(k) = 0.
Если же числа а ± ф являются корнями характеристи-
ческого уравнения с кратностью I, то частное решение
нужно искать также в виде правой части, но степени
алгебраических многочленов надо повысить на I единиц.
Отметим, что если в первой части присутствует, напри-
мер, слагаемое Qml(x) «““cos^x, то частное решение необ-
ходимо искать в виде суммы
J?1(x)eavcosPx + .R2(x)eoj;cospx,
где RJx), R2(x) - многочлены соответствующих степеней.
Пример 6. Написать форму частного решения урав-
нения
у" + у = х sinx.
Характеристическое уравнение k2 + 1 = 0 имеет корни
± I. Правой части х sinx соответствует число k0 = а + i(3 =
= 0±il = ±i. Эти числа являются корнями кратности 1
§ 1.18. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 99
характеристического уравнения, поэтому частное решение
надо искать в форме
у(х) = (Ах + Bx2)sinx + (Сх + .Dx2)cosx.
Пример 7. у(4> - 4у"' + бу" - 4у' + у = х2ех ; харак-
теристическое уравнение Л4 - 4Л3 + 6/г2 — 4k +1 = (k - I)4 =
=0. Правой части х2ех соответствует число k0 — а = 1,
являющееся корнем четвертой кратности характеристичес-
кого уравнения, значит, частное решение надо искать в
форме
у(х) = (Аг4 + Вхъ + Сх6)е*.
1.18.2. Дифференциальное уравнение коле-
бания пружины. На рис. 16 изображена подвешен-
ная вертикально пружина. К нижнему ее концу прикреп-
лен шарик, имеющий массу т. Изображена также
координатная ось у, направленная вертикально вниз.
Считаем, что начало О оси координат совпадает с центром
шарика, когда пружина находится в ненапряженном со-
стоянии. Однако в момент времени t = t0 она выведена из
состояния покоя мгновенным ее сжатием или растяжени-
ем, сопровождаемым, быть может, еще приданием шарику
импульса (мгновенной скорости) в вертикальном направ-
лении; Благодаря этому при t > t0 пружина совершает
вертикальные колебания.
Координата центра шарика есть функция от времени
t(y = У (О)- Поставим задачу найти эту функцию.
Ускорение движения центра шарика есть
производная второго порядка у" = y"(t) от '//„///////ль
y(t). По закону Ньютона произведение ту" А
массы шарика на ускорение его центра рав- <
но действующей на него силе. Если прене- <
бречь весом шарика и сопротивлением воз- S
духа, то придется учесть только силу ------дТЦ/—
напряжения в пружине. По закону Гука эта g_I.
сила равна — р.у, где ц — положительный ко- |
эффициент, характеризующий упругие свой- уу
ства пружины. Если у > 0, то пружина ра- рис jg
стянута и сила напряжения направлена
100 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
вверх, т. е. в наших обозначениях отрицательна, а если
у<0, то пружина сжата и указанная сила направлена вниз,
т. е. положительна. В обоих случаях сила равна —Цу.
Итак справедливо равенство
ту" = -цу (25)
или
у” + k2y = 0 *2 = — • (26)
Мы видим, что искомая функция удовлетворяет линей-
ному дифференциальному уравнению второго порядка (26).
Общее его решение, как мы знаем, имеет вид
у = Acoskt + Bsinkt, (27)
где А и В - произвольные постоянные.
При функцию вида (27) говорят, что она описывает
гармоническое колебание с частотой k.
Задача Коши для уравнения (26): у(0) = у0, у'(0) = у'о
выражает, что мы хотим найти частное движение, соот-
ветствующее тому случаю, когда в момент t = 0 центр
шарика перемещен в точку у = у0 и ему в этот момент
придан импульс у' = у'о.
Легко подсчитать, что в этом случае
4
и, следовательно, движение центра шарика описывается
функцией
у = y0coskt + sin At.
г?
Если учитывать вес шарика, то к правой части уравне-
ния (25) надо еще добавить величину mg , где g — ускоре-
ние земного притяжения. И тогда дифференциальное урав-
нение движения центра шарика запишется так:
у" + k2y = g. (28)
Общее решение этого уравнения имеет вид
g
у = Acoskt + BsinAt + —, (29)
k
§ 1.18. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 101
где А, В - произвольные постоянные. Ведь решение есть
сумма общего решения (Acoskt + Bsinkt) соответствующего
однородного уравнения и частного решения неоднородно-
го уравнения.
Этот случай нахождения частного решения предусмот-
рен формулами (2)-(4) (ft0 = 0 ft).
Из формулы (29) следует, что при t = 0
g
j/(0) = А +~2 = Уо, у'(0) = Bk = у 0.
К
Следовательно, задача Коши (j/(0) = у0, z/(0) = у'о) при-
водит к решению
g
У =
- и' g
У0 ~ ~2 I cosftt + — sinftt +
kJ ft k
ft
Мы видим, что центр шарика описывает гармоничес-
кие колебания возле точки, имеющей ординату у = g/ft2.
Но наши рассмотрения будут еще ближе к действи-
тельности, если мы учтем силу сопротивления среды (воз-
духа) и трения, возникающего в пружине. Опыт показы-
вает, что эта сила равна — vy', где v — положительный
коэффициент, характеризующий среду и пружину.
Теперь уже дифференциальное уравнение движения
(центра шарика) будет иметь вид
ту" = - \iy ~ \у + mg
или
у" + ’ky’ + kzy = g I ft2 = —, A = — |. (30)
m mJ
Из физических соображений мы должны ожидать, что
это движение совершает затухающие колебания. Так оно
И есть.
Характеристическое уравнение для дифференциально-
го уравнения (30) имеет вид
s2 + As + ft2 = 0,
откуда
- А ± Va2 - 4ft2
si,2 - 2
102 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если А2 < 4/г2, что на практике обычно имеет место, то
получим два комплексных корня
Sl,2
= -а ± ip
а = - > 0, р = -^4А2 - А2
2 н 2
Частное решение уравнения (30) можно найти в виде
постоянной с. Очевидно k2c — g, и, следовательно, общее
решение уравнения (30) имеет вид
g
у = e raf(AcosPi + Bsinpt) + (а >0!). (31)
k
Как мы и ожидали, центр шарика совершает затухаю-
щие колебания. Эти колебания совершаются на оси у
вокруг точки у = g/k2. (Напомним, что начало координат
О помещено в точку, в которой находится центр шарика,
когда пружина не напряжена.)
Очевидно,
lim y(t) = Д-
Рассмотрим еще движение (центра шарика), описывае-
мое дифференциальным уравнением
у" + у = sin t. (32)
Мы, таким образом, решили пренебречь сопротивлени-
ем среды (т. е. считаем А = 0). Предполагаем также, что
k2 = 1 и что к центру шарика приложена внешняя сила,
равная msint.
Общее решение уравнения (32) имеет вид (см. выше
пример 3)
t
у = Acost + Bsint - — cost.
* 2
Функция Acost + Bsint есть решение однородного урав-
нения, соответствующего уравнению (32). На языке меха-
ники эта функция описывает собственные колебания си-
стемы (пружина, шарик). Эта функция ограниченная
периодическая.
t
Функция - — cost есть частное решение уравнения (32).
На языке механики она описывает вынужденное колеба-
§ 1.19. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 103
ние. системы, т. е. колебание, вызванное внешней силой.
В данном случае амплитуда вынужденного колебания с
увеличением времени t растет к .
Решение уравнения (32) есть сумма соответствующего
ему решения однородного уравнения и некоторого частно-
го его решения. На языке механики в этом случае гово-
рят, что колебание системы есть сумма собственного и
вынужденного колебаний этой системы.
С математической точки зрения тот факт, что частное
решение уравнения (32) имеет вид ct cost, где с — постоян-
ная, объясняется тем, что число k0 = i (см. пример 3) есть
корень кратности 1 характеристического уравнения.
Механик этот факт выразил бы другими словами. Он
сказал бы, что в данном случае частота собственного ко-
лебания системы равна частоте колебания внешней силы.
Равенство этих частот, приводит к резонансу — система
колеблется с той же частотой, но с неограниченно возра-
стающей при t —> +о° амплитудой.
Другое дело, если указанные частоты различны, тогда
резонанса нет. Например, в примере 2 указанные частоты
различны и любое движение системы имеет ограниченную
амплитуду.
§ 1.19. Системы дифференциальных
уравнений. Фазовое пространство
При изучении закона движения материальной точки с
массой т удобно пользоваться векторной формой записи
уравнений. Итак, пусть г = r(t) - закон движения матери-
альной точки в пространстве J?3, где t - время. Это значит,
что в момент времени t точка имеет радиус-вектор r(t),
или, что все равно, координаты {x(t), j/(t), z(t)}.Ecnn точка
массы т движется под действием заданной силы (вектора)
F(t, г, г), то по закону Ньютона и механическому смыслу
второй производной функция r(t) должна удовлетворять
уравнению движения
mr = F(t, г, г). (1)
Векторное уравнение (1) эквивалентно системе трех
скалярных уравнений
104 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
d2x •
т—j- = X(t, х, у, z, х, у, z), dr d2y , ... m—- = Y(t, x, y, z, x, y, z), dt d2z m—- = Z(t, x, y, z, x, y, z), dr (2)
где X, Y, Z - проекции вектора F на оси координат х, у, г.
Если считать неизвестными не только координаты точ-
ки х, у, г, но и проекции скорости
dr f • ч
то мы получим систему из шести уравнений первого по-
рядка
du
x = u, m— = A(t, x, y, z, u, v, u>), dt
dv ,
y=v, ~ x> У’ 2> u’ v’ ' (3)
z = w, m = Z(t, x, y, z, u, v, w).
dt
Векторное уравнение (1) можно также записать в виде
dr
системы двух векторных уравнений, если скорость V =—
dt
считать неизвестной векторной функцией:
dr dV
— = V, т— = F(t, г, V), (Г)
dt dt
где V — вектор с проекциями и, V, и>.
Если ввести в рассмотрение вектор
JR(t) = {x(t), y(t), z(t), x(t), y(t), z(t)},
то уравнение (1) или система (3) эквивалентны одному
векторному уравнению первого порядка
dR
—— = Ф(Ц х, у, г, и, v, w) (4)
§1.19. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 105
в шестимерном пространстве, причем вектор
ф < и, v, w, — X, — У, — Z }.
[ т т т J
Шестимерное пространство точек
(х, у, г, х, у, z) = (гх, гд, гг, Vx, Vz)
в физике называют фазовым, а кривую R(t) в шестимер-
ном пространстве, являющуюся решением (4), называют
фазовой траекторией.
Фазовое пространство - это пространство состояний
движения точки по кривой.
Первые три координаты fl(t) характеризуют положение
точки в трехмерном пространстве (r(t))> а остальные три
координаты R(t) характеризуют ее скорость г(£).
Приведенная терминология дает так называемую кине-
матическую интерпретацию системы, уравнений.
Систему (3), или, что то же самое, (4) называют дина-
мической системой.
Для выделения одной траектории необходимо задать
начальные условия: ft(f0) = Ro = (х0, у0, z0, Xg, у0, z0), т. е.
начальное положение точки и ее начальную скорость.
Другими словами, интегральная кривая R(t) должна про-
ходить через точку JR0 шестимерного пространства.
Таким образом, физические задачи приводят нас к
необходимости рассмотрения систем дифференциальных
уравнений.
Рассмотрим произвольную систему дифференциальных
уравнений первого порядка вида
= fk{t, У1, ..., j/n) (ft = 1, ..., и), (5)
где yk(t) — искомые функции, a fh(t, уг, ..., уп) — известные
функции, заданные на некотором множестве точек (t, ур...,
уп) (л + 1)-мерного пространства.
Нас будут интересовать решения y^t)..системы
(5), удовлетворяющие начальным условиям
Уг^о) ~ Ую’ > УПЧ0) ~ Упог (6)
где j/10, ..., уп0 — заданная точка n-мерного пространства.
Систему (5) (решенную относительно производных ис-
комых функций!) называют нормальной (см. § 1.12, 1.13).
106 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если функции fh не зависят явно от независимого
переменного t, то система (5) называется автономной нор-
мальной системой
Ук = А&р Уп) <k = г> —’ п)- (7)
Если ввести векторы в n-мерном пространстве
у = {у А*), •> Уо = к10’ А/л0}’
F(t, У) = У1> —. {/„). •••. fn(t, yt, yn)},
то систему (5) можно записать в виде
У = F(t, у), (5')
а начальные условия (6) - в форме
»(*0) = Уо- <6')
Автономную систему можно записать так:
У = F(y) , F ={ Цу)...fn(y)}. (7')
Автономную систему можно интерпретировать следую-
щим образом. В каждой точке (ур уп) некоторого мно-
жества n-мерного пространства определен вектор
F(y) = { Л(г/р » !/„)> —• •••> у,)}-
Этим определено на указанном множестве поле векто-
ров.
Решение y(t) описывает определенную траекторию дви-
жения точки в n-мерном пространстве, причем вектор
скорости y(t) в момент ее прохождения через (j/j, уп)
совпадает с вектором F(y).
Пространство размерности п точек уп), в кото-
ром интерпретируются решения автономной системы (7') в
виде траекторий, называется фазовым пространством
системы.
Траектории y(t) называются фазовыми траекториями,
векторы F(y)- фазовыми скоростями.
Вопрос существования решения нормальной системы
был рассмотрен в § 1.12.
§ 1.20. ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА
107
§ 1.20. Линейная однородная система
дифференциальных уравнений
Система
t/z/i
—J- = an(Oj/i + ... + aln(t)yn,
~ + - • • + ann(t)yn,
где коэффициенты akl(t) — заданные непрерывные на ин-
тервале (а, Ь) функции (или постоянные числа), называет-
ся линейно однородной системой дифференциальных урав-
нений первого порядка.
J\nsi сокращения записи систем удобно пользоваться
векторно-матричными обозначениями. Введем матрицу
коэффициентов системы (1)
'au(t) ... ^„(tp
A(t) =
и искомую систему функций запишем в виде одностолбцо-
вой матрицы
ИО =
= colon[yp ..., рп].
Введем некоторые общие понятия, касающиеся матриц.
Пусть пока A(t) - произвольная матрица.
Если функции аы(1) непрерывно дифференцируемы, то мож-
но ввести понятие производной от матрицы, а именно, это
есть матрица, состоящая из производных элементов исходной
матрицы. Таким образом,
А'(0 =
••• Olnitf
dA(t)
dt
= A(t)
(dnl(t) ... dnn(t)?
108 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Легко проверить следующие свойства:
dC
1) Если С - постоянная матрица, то“^“ = 0, где 0 - ну-
левая матрица, все ее элементы нули.
2) Если матрицы A(t) и B(t) одного размера, то
d
— [А(1) + В(1)] = А(<) + B(t).
3) Если для матриц A(i) и B(t) выполнимо умножение, то
d
— [A(t)B(t)] = A(t)B(t) + A(t)B(t).
4) Пусть A-1(l) - обратная матрица для A(t), т. е.
A~4t)A(f) = A(t)A-i(t) = Е,
где Е - единичная матрица. Дифференцируя это равенство,
получаем
d
A(t)A-\t) + A(t)—A-\t) = 0,
dt
d
A(t) — A~\t) = -A{t}A-\t).
dt
d
— A~\t) = -A-^t)A(t)A-l(t).
dt
Аналогично можно ввести понятие интеграла от матри-
цы, а именно, это есть матрица, элементы которой суть интег-
ралы от элементов исходной матрицы:
J A(r)dT =
/ akl(.t)dT
(tQ,te[a, ft]).
Данное понятие обладает свойствами, сходными с обычны-
ми свойствами интегралов от функций. Мы отметим лишь одно
свойство - аналог формулы Ньютона-Лейбница1: если F(t) и
Ф(1) матрицы и F(t) = Ф'(1), то
t
j F(x)dT = Ф(1) - Ф(1о).
f0
1 И. Ньютон (1642-1727) - великий английский физик, меха-
ник, астроном и математик. Г. В. Лейбниц (1646-1716) — вели-
кий немецкий математик и философ.
§1.20. ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА
109
Согласно правилу умножения матриц систему (1) мож-
но записать так:
dy
= A(t)»- (Г)
at
Напомним, что под равенством матриц понимается ра-
венство их соответствующих элементов.
Отметим очевидные свойства.
Если вектор-функции у и г удовлетворяют системе (1'),
т. е.
du dz
1 Tt = А^г-
то их сумма тоже удовлетворяет системе (1'):
d(u + z) du dz
,, = +-77 = A(t)y + A(t)z - A(t)(y + г). (2)
UI U I U L
Кроме того, если с - число, то вектор-функция су удов-
летворяет системе (1'):
d( су ) du
= с-^ = cA(t)Sf = A(f)(cjf). (3)
U t ILL
Из этих свойств по индукции следует, что если
УЧ*) = colon[j/u(f). —> yni(*)L
...................................... (4)
yn(t) = colon[j/i„(0, г/пп(0]
— решения системы (1') и Ср ..., Сп — произвольные числа,
то
y(t) = С1УЧО + - Спуп (t) (5)
есть решение (1')-
Важно отметить, что если система (4) решений линей-
но независима, то формула (5) выражает общее решение
системы (1'), иначе говоря, в формуле (5) при различных
постоянных С\, ..., Сп содержатся всевозможные решения
системы (1')-
Доказательство этого утверждения можно провести как
в случае линейного уравнения п-го порядка.
Система (4) вектор-функций называется линейно неза-
висимой на (а. Ъ), если из равенства
C^it) + ... 4- Спуп (t) = 0 (а < t < b) (6)
110 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
следует, что Сх = ... = Сп = 0.
Так как векторное уравнение (6) эквивалентно п ска-
лярным равенствам
С1Уп(0+ + Cnyln(t) = O, (6')
С1Уп1(^+ + Cnynn(t) = o,
то из того, что определитель
W(t) = \yk[(t)\ (7)
не равен нулю хотя бы для некоторого значения t, уже
следует, очевидно, линейная независимость системы (4)
вектор-функций.
Определитель W(£) называется определителем Вронско-
го системы (4) вектор-функций.
Если система векторов (4) линейно независима на (а, Ъ)
и эти векторы являются решениями системы (!') с непре-
рывными коэффициентами, то можно доказать, что W(t) Ф 0
для всех t е (а, Ь).
Таким образом, условие VF(£) Ф 0 для всех t е (а, й),
является необходимым и достаточным условием линей-
ной независимости на (а, Ь) решений (4) системы (1) с
непрерывными коэффициентами.
Итак, для того чтобы получить общее решение однород-
ной системы (1), надо найти п линейно независимых
решений (4) системы (1). Сумма (5), где С1г ..., С„ - произ-
вольные постоянные, есть общее решение системы (1).
Отметим, что решения yx(t), .., y^t) системы (1) суще-
ствуют на том же интервале (а, Ь), где определены и не-
прерывны коэффициенты akl(t) системы (1).
Систему из п линейно независимых на (а, Ь) решений
системы (1) принято называть фундаментальной систе-
мой решений системы (1).
Эту систему можно характеризовать квадратной матри-
цей
'yxl(t)...yln(ty
Y(t) =
\УпЛ^--Упп^,
которая называется фундаментальной матрицей систе-
мы (1).
§1.20. ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА
111
Таким образом, в фундаментальной матрице решения
(4) располагаются по столбцам. Обратим внимание, что в
записи yjh(t) первый индекс j обозначает номер координа-
ты, а второй k — номер решения.
Покажем, что фундаментальная матрица У(£) удовлет-
воряет матричному уравнению
Y(t) = A(t)Y(t). (8)
Так как функции ysk(t) (s = 1, .., п) удовлетворяют /-му
уравнению системы (1), то
dt s=i
Следовательно, согласно правилу умножения матриц
(в данном случае квадратных), имеем
п '
= А(*)У(0-
<8=1 ,
что и требовалось доказать.
Обратно, если матрица y(t) — (.yjk{t)) удовлетворяет мат-
ричному уравнению (8), то ее столбцы
yk(t) = colon[i/lft(t), .., (k = 1...n)
представляют решения линейной однородной системы (1).
Если при этом
|У(0| = W(t) * 0,
то матрица У(£) является фундаментальной.
В самом деле
y*(f) = У(0е„
где eh = colon[0, ..., 0, 1, 0, .., 0]. Умножая справа на ek
уравнение (8), получаем
dY(t} d
ек=— [Y(t)ek] = A(i)[y(#)eJ,
т. e.
d
~v:yh(t) = A{t)yh(t) (k = 1, ...,n).
at
f dyjk(t)
112 ГЛ. 1- ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если Y(t) — фундаментальная матрица системы (1), то
общее решение (5) системы (1) можно коротко записать в
виде
y(t) = У(е)С, (9)
где С = colon[Cp ..., Сп] — постоянная матрица-столбец с
произвольными элементами.
Полагая в тождестве (9) t = t0, будем иметь
y(t0) = Y(t0)C.
Отсюда
С = Y^t0)y(t0).
Следовательно,
y(t) = У(*)У
Матрица
Y(t)Y \t0) = K(t, t0)
носит название матрицы Коши.
С помощью этой матрицы решение системы (1) можно
записать так:
y(t) = K(t, t0)y(t0). (10)
В частности, если фундаментальная матрица Y(t) нор-
мирована при t = t0, т. е. У(#о) = У l(f0) = Е, где Е -
единичная матрица, то формула (10) принимает вид
»(0 = Y(t)y(t0). (И)
Существование такой нормированной матрицы вытека-
ет из теоремы 2 § 1. 13.
§ 1.21. Общее решение линейной однородной
системы дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Будем искать решение линейной однородной системы с
постоянными коэффициентами аы
§ 1.21. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ 113
dy,
-7Г = ац!/1+ + а1пУп,
dyn , 1 '
-7Г=«П1!/1+ ••• +аппУп
at
(—ОО < t < оо),
ИЛИ
du
(1)
где А = ||аы|| - заданная числовая матрица, в следующем
виде:
j/j = 04^, у2 = а2еи, уп= апеи, (2)
или
у = {а^, апеи}. (2')
Числа «j....ап, X подлежат определению.
Конечно, числа
а, = 0, а„ = 0, ..., а = О
1 Л ’ ’ П
дают тривиальное решение системы (1):
y^t) = 0, ..., yn(t) = 0.
Но нас интересуют нетривиальные решения, соответ-
ствующие не равным нулю векторам
а = (ар ..., а„).
Имеем
<1У;
—— = а.Хех‘ (i = 1, ..., п).
dt 1
Подставляя функции yt (t) и их производные в (1), после
сокращения на е*4 (еи & 0) и переноса членов в одну сто-
рону, получим
114 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(an - Х)а, + а12а2 + ••• +ai««n = О,
«21 «2 + (°22 - ^)«2 + • • • + = О,
flnl«l + аП2«2 + • • + (апп - Ма„ = О,
или в матричной форме
(А - кЕ)а = 0, (3')
или
Аа = Ха, (4)
где а = (ар ап), a
fl 0 ... (Г|
<0 0 ... 1J
— единичная матрица.
Для того чтобы система (3) имела нетривиальное реше-
ние, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был
равен нулю:
— X 0^2 «1з • • • а1п
а21 а22 ~ а23 • а2п _ Q (5)
ап1 ап2 апЗ • • апп ~
Уравнение (5) называется характеристическим урав-
нением система (1). Из уравнения (5) мы и находим те
значения X, при которых система (4) имеет нетривиаль-
ные решения а.
Левая часть (5) есть многочлен степени п по перемен-
ной X. С учетом кратности этот многочлен имеет п корней:
Xt, Х2, .... Х„. (6)
Если все п нулей различны, то, подставляя каждый из
них Ху в систему (4) и решая ее, мы получим некоторый
удовлетворяющий ей нетривиальный вектор
§1.21. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ 115
а(Л = ( апЫ). (7)
Этот вектор определяется не однозначно - с точностью
до скалярного множителя.
Из (4) видно, что являются собственными значения-
ми матрицы (линейного преобразования) А, а векторы ос,;)
- собственными векторами А.
Векторы (J = 1, п) линейно независимы, если все
собственные значения различны. Доказательство можно
провести по индукции.
Докажем, что любые k векторов этой системы линейно
независимы между собой.
Для k = 1 это очевидно, потому что каждый из векторов
аЫ не тривиален. Пусть наше утверждение верно для k - 1
векторов. Докажем его для k векторов.
Предположим противное. Пусть, например, первые k век-
торов нашей системы линейно зависимы. Тогда
k
- О, (8)
/-1
где хотя бы один из коэффициентов Су отличен от нуля. Для
определенности будем считать, что Сх Ф О. Применим линейное
преобразование, порожденное матрицей А, к обеим частям (8):
' k
А С,а(/)
J=i
k
ХСуХу^’ _ о.
(9)
Умножая (8) на Хл и вычитая из (9), получаем
С^-Х^а*!) + С2(Х2 - Хл)а<2) + ... + С^Х^ - Х^ч = О,
где Х( - X, / О при всех i Ф k.
Значит, CjtX] - Xt) Ф О, и мы получили, что векторы
а(1), ..., линейно зависимы, что противоречит предполо-
жению.
Итак, собственные векторы aV> (/ = 1, ..., п), отвечаю-
щие различным собственным числам Ху, линейно незави-
симы и определитель, составленный из координат этих
векторов, не равен нулю:
| Ф О1.
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной ал-
гебры и аналитической геометрии», § 14, теорема 1.
116 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание 1. Так как в n-мерном пространстве не
может быть больше чем п линейно независимых векто-
ров, то каждому собственному значению X. ( если все они
различны!) соответствует только один собственный вектор
с точностью до постоянного множителя.
В результате получаем п вектор-функций - решений
системы (1)
v4t) =
уп(О = {а<п)Л‘,а<п)Л‘,...,а^Л‘} ( '
(—оо < t < оо)
Вектор-функции (10) образуют линейно независимую
систему на интервале (-<», оо), так как их определитель
Вронского
W(i) = expfk^t + ... + Хп£) • |atw| * 0.
Поэтому общее решение системы (1) имеет вид
п
У = (И)
7=1
где Су - произвольные постоянные. В развернутом виде
общее решение можно записать:
k
!/i(i) = XC/aiG) exP<V)’
7=1
(1Г)
k
yn(f) = ХС7ап° еХР(^/).
7=1
Замечание 2. На практике, вместо того чтобы нахо-
дить векторы oV* = (ajW, ..., anw) из линейных систем (4),
ищут общее решение системы (1) в виде
§ 1.21. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ 117
У 1(0 = У<а1°) exp(X;t),
/=1
п
^п(о = Ха"(/) ехР<М>>
7=1
где Хг ‘кп — корни характеристического уравнения (раз-
личные!), а — числа, которые надо найти. Из изло-
женной теории следует, что такие числа существуют.
Чтобы найти числа подставляем функции y^t) в
систему (1) и сравниваем коэффициенты при одинаковых
exp(Ayf). Числа получаются при этом неоднозначно,
они зависят от п произвольных постоянных.
Пример 1. Решить систему
dx
dt
= х + 2у,
dy
~ = У + 2х.
at
Характеристическое уравнение
1-Х
2
1-Х
= О, (X - I)2 —4 = О,
2
имеет корни Хх = 3, Х2 = —1. Исходя из структуры общего
решения, будем искать решения в виде
x(t) = С^е3' + С2г‘, y(t) = а^е31 + а2е~*
(т. е. мы опускаем процесс нахождения числа aklfr).
Коэффициенты аг, а2 выразим через Ср С2. Подставляя
функции x(t) и y(t) в одно из уравнений системы, получаем
ЗС^е3' - С2е~‘ = С^е3' + С2е~‘ + За^31 + 2а2е‘,
откуда 2Cj - 2hj = О, ~2С2 - 2а2 = 0, т. е.
°1 ~ С'!» а2 = —^2‘
Таким образом, общее решение имеет вид
x(t) = Cje3' + С2е
y(t) = - С2е ‘.
118 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть теперь характеристическое уравнение (5) систе-
мы (1) имеет корень кратности г. Сведем систему (1) к
одному уравнению n-го порядка относительно функции
y^t). Это уравнение и система (1) имеют одно и то же
характеристическое уравнение (доказательство ниже). Но
тогда, как мы знаем, корню Хх кратности г соответствует
решение уравнения n-го порядка вида
1/1(0 = (Ьо + \t + ... + ,
где 60, ..., bz. j — произвольные постоянные. Таким об-
разом,
!/1(0 = ^1,1(0^1г.
где Р^ j(£) есть многочлен степени г - 1.
Рассуждая аналогично, мы и другие функции y^t)
можем выразить в форме
У/0 = ^1,/ПрХ1' (У = 1> .... п). (12)
где J(t) многочлены степени г - 1.
Каждая из функций y^t) удовлетворяет указанному
дифференциальному уравнению n-го порядка, каковы бы
ни были коэффициенты многочлена Р^ Д£).
Остаются среди многочленов Р^г р ..., Р^1п отобрать
такие, чтобы соответствующие им функции y^t), ..., yn(t)
совместно удовлетворяли системе (1). Для этого надо под-
ставить i/y в систему (1), сократить на и сравнить ко-
эффициенты при одинаковых степенях t. Искомые коэф-
фициенты будут зависеть от г произвольных постоянных.
Можно иногда порекомендовать взять многочлен P^-j Ji)
произвольным, и тогда коэффициенты остальных много-
членов РГ_1ДО 0 = 2, ..., п) уже определятся однозначно
через коэффициенты Р^1Л-
Однако возможно, что на этом пути мы придем к про-
тиворечию, показывающему, что на самом деле в данном
случае некоторые коэффициенты многочлена Р^ х равны
нулю и их считать произвольными нельзя.
Подобным образом рассуждаем и в отношении других
кратных корней характеристического уравнения, если
таковые у данного уравнения имеются. Решения, соответ-
ствующие простым корням, ищем в виде (8), как объясня-
лось выше.
Чтобы получить общее решение системы (1), надо взять
сумму указанных решений (вектор-функций).
§ 1,21. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ 119
В простых случаях можно искать решение сразу в виде
суммы подобных решений. Это лучше всего выяснить на
примерах.
Пример 2. Решить систему
dyi
dt
= У1~ У-v
= У1 + Зг/2
dt 1 2
Характеристическое уравнение
1-Х
1
-1
3-Х
= 0 или
X2 - 4Х + 4= 0 имеет кратный корень X, = 2.
Дифференциальное уравнение, соответствующее нашей
системе для функции У1, имеет вид У1 — 4У1 + 4У1 = 0. Оно
имеет то же характеристическое уравнение.
Решение системы надо искать в виде
y^t) = (Сг + C2t)e2t, i/2(t) = (аг + a2t)e2t.
Подставляя эти функции в систему, получаем
С, + 2С, + 2C9t = С, + C9t - а, - a9t,
а9 + 2а, + 2а, t = С, + C9t + 3(а, + a,t).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t
(в первом равенстве), получаем аг = -Сг — С2, а2 = ~С2.
Второе равенство дает те же самые решения. Итак, общее
решение системы имеет вид
У1<П = (С, + C2t)e2t, y2(t) = - (Cj + С2+ C2t)e2t.
Пример 3. Решить систему
У 1 = 2У1 + Уг + Уз’
У 2 = У1 +2 У2 + Уз>
У з= У1 + Уг + 2Уз-
Характеристическое уравнение имеет вид
2-Х 1 1
1 2-Х 1
1 12-Х
= 0
или
120 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(1 - Х)2(Х - 4) = 0.
Таким образом, \ = 1 - корень второй кратности, а
Х3 = 4 — простой корень характеристического уравнения.
Система (3) при = 1 имеет вид
oq + а2 + сс3 = О,
«1 + «2 + Од = О,
«1 + «2 + а3 = 0.
Поэтому Oj, а2, а3 должны быть такими, чтобы eq +
+ а2 + а3 = 0, т. е. у нас две свободные переменные, ска-
жем otg и а3.
Поэтому, например, а(1) = (-1, 1, 0), а(2) = (-1, 0, 1) —
линейно независимые собственные векторы матрицы А
нашей системы (матрица А симметрическая). Для Х3 = 4
находим af3J = (1, 1, 1). Поэтому
У = С#1 + С2у2 + С^у3
— общее решение нашей системы.
В развернутом виде общее решение можно записать:
</i(0 = -(<?! + С2)е‘ + С3е4*,
y2(t) = С.е1 + С3е4',
y3(t) = С2е' + С3е4'.
Замечание 3. Если матрица А симметрическая
(аы = alk), то соответствующий линейный оператор А бу-
дет самосопряженным и, как мы знаем, в этом случае,
какие бы корни уравнение (5) ни имело (в том числе и
кратные), существует система из п собственных линейно
независимых векторов а и, следовательно, для системы
(1) с симметрической матрицей А можно написать общее
решение, зная векторы а^1’, ..., a(n)1.
1 См. нашу книгу «Высшая' математика. Элементы линейной ал-
гебры и аналитической геометрии», § 15, 22, 25.
§ 1.22. СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К ОДНОМУ УРАВНЕНИЮ 121
§ 1.22. Сведение системы уравнений к одному
уравнению
Лемма. Пусть задана линейная система дифференциаль-
ных уравнений первого порядка с постоянными коэффициен-
тами
—f- = OllJ/l+ ... + - А(0,
(1)
где ft(t) — заданные на (а,Ь) функции, имеющие нужное число
производных.
Если функции yt(t), .... уп(t) удовлетворяют этой системе,
то функция у.(t) удовлетворяет следующему дифференциаль-
ному уравнению n-го порядка:
0=1....п)’
I at 1
где
а11 — °12 ‘ ‘ *
(2)
ап1 ап2 • • • апп
- характеристический многочлен системы (1), а функции Ф;(1)
определяются через аы и fs(s = 1, п) (см. ниже (4)).
Доказательство. Систему (1) запишем в следующем
виде:
а11
d
dt
Ь/i + O12J/2 + • • • + а1пуп =
'п = fnW-
аП1У1 + ап2у2 + ... + а„„
d
dt
Элемент определителя (2), расположенный в k-й строке и
Z-м столбце, обозначим через Ьы(к), а соответствующее алгеб-
раическое дополнение через МА1(Х) (например, Ь^к) = аЛ1 - к,
122 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
d
&12(Х) = а12). Если заменить в этих выражениях X на — . то
|А| (А|
получим дифференциальные операторы Ъы I & I, Mkl I I. К
ним можно применять рассуждения как при выводе теоремы
Кронекера1.
Имеем
yfesi(Ws/(X) = 8i; D(X) 5 Л1’ 1 Л
s=i ’ 1.0, I*]
(т. е. сумма произведений элементов какого-либо столбца оп-
ределителя D(k) на адъюнкты элементов этого же столбца
(другого столбца) равна определителю О(Х) (равна нулю)).
Поэтому
у, —]м[= 80 • d(—1. (3)
“I dt I s'l dt) l' \dt)
S=1 X Z X Z х z
Применим теперь к первому уравнению (1') (точнее к левой
и правой его частям) оператор M1;l I (т. е. произведем ряд
дифференцирований, умножений на число и сложений), ко
ГсИ
второму - оператор М2 I & I и так далее и сложим их. Тогда
на основании (3) получим
Улс.[А\> fAL = i/AL = y,Af fAV(t)
A Adt) 4 dty’ \dtr s\dtr '
S-l \ / \ / v / S=1 x Z
t. e.
ф'(,) 0 1...
где
V’ (d\
S=1 '
(4)
’ См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгеб-
ры и аналитической геометрии», § 4.
§ 1.22. СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К ОДНОМУ УРАВНЕНИЮ 123
Замечание. Если все fs(t)= О (s = 1, ..., п), то Фу(/)з О
и дифференциальное уравнение будет одно и то же для всех
функций
V = о.
Пример. Свести к одному уравнению систему
= У2’
У2 = Уг-
Запишем эту систему в виде
( d)
( d А
0+ 1-— \у2 = 0.
k dt)
d d
Здесь Ьг1 — 1 - & , b12 — 1, 621 =0, Ь22 — 1 - & , —
d d
= 1 - . Ml2 = 0, M2l = -1, Мгг = 1 - Применяя к
первому уравнению (5) оператор Мп, ко второму - оператор
М21 и складывая, получаем
d
1-----
dt
2
I У1 +
т. е.
1-^-1 = 0, - 2уг + уг = 0,
dt)
Совершенно аналогично применяя к первому уравнению (5)
d
оператор М12 = 0, ко второму - оператор М22 = 1 - — и
складывая, получаем
2
I У2 = °-
1--
k dt
Это дифференциальное уравнение мы можем получить и
другим способом. Например, дифференцируя второе уравне-
ние, имеем
124 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
У 2 = У?.-
Вычитая из этого уравнения второе уравнение системы,
получим
У2 - 2Уг + У г = °-
§ 1.23. Неоднородная система линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Система уравнений
Ju,
“тг = аыУ1 + • • + о^пУп + Л(0>
(1)
-7Г = «п1//1+ ••• +аппуп + fn(t),
ИЛИ
=Ау+ f(t), (Г)
где f(t) = (/,(!)• /„(0) _ заданная непрерывная на (а, &)
вектор-функция, ак1 - заданные постоянные числа и
A = ||aJ|, называется неоднородной системой дифференци
алъных уравнений первого порядка с постоянными коэф-
фициентами.
Общее решение системы (1) равно сумме
п
y(t)^Ckyk(t)+y\t) (2)
k=i
какого-либо ее частного решения y°(t) и общего решения
п
^^Ckyk(t) соответствующей однородной системы
*=1
“ - Ау = 0. (3)
В самом деле, сумма (2) при любых постоянных Ск
есть, очевидно, решение системы (1):
§ 1.23. НЕОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 125
= Цу°1 = Л
п
L ЦСкУк+У0
_А=1
А с другой стороны, если у есть решение системы (1), то
Цу - У0} = Ду] - Ду°] = f - f = О,
но тогда для некоторых постоянных Ск
У - У0 = У, CkVk •
k=l
Если известно общее решение однородной системы (3),
то частное решение неоднородной системы (1) можно на-
ходить методом вариации произвольных постоянных (ме-
тод Лагранжа1.
Пусть
п
y(t) = ^,Ckyk(t}
k=l
— общее решение системы (3), т. е. yk(t) — линейно незави-
симые частные решения (3):
Ду*] = 0 (Л = 1, п).
Будем считать Ck = Ck(t) функциями от t и подберем их
так, чтобы функция
п
U(t) = YCk(f)yk(t) (4)
*=i
была частным решением неоднородной системы (1). Диф-
ференцируя, имеем
^ = lk(t)-^+caoy*(o .
R~ 1 L
dU
Подставляя значения U и —— в (1'), получаем
1 Ж. Л. Лагранж (1736-1813) - выдающийся французский физик
и математик.
126 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ^ УРАВНЕНИЯ
п Г » k 1 п
X Ck(t)^- + C'k(t)yk{t) _ ^Ck(t)Ayk = /(0
л=1 L J л=1
или
п п
+ ХсИОул(О = /(/)
Л=1 k=l
Так, как Цул] = 0, то для определения C'k(t) мы получаем
систему
п
^C'k(f)yk(t) = /(/) (5)
k=i
с непрерывными на (а, 6) вектор-функциями /(/) и yk(t).
Система (5) является линейной относительно С'Д/) с опре-
делителем, равным определителю Вронского системы векторов
у1, j/,n|. Так как этот определитель не равен нулю, то си-
стема (5) имеет единственное решение: С'Д/)= фД/) (k = 1,..., п).
Функции фД/) непрерывны, потому что непрерывны вектор-
функции f(t) и yk(.f).
Интегрируя, находим
СД»)- (А=1, ... п).
Подставляя эти значения в (4), получаем частное решение
системы (1).
Пример 1. Решить систему
J/i = i/j + 2j/2 + е‘,
У2 = 2г/, + у2.
Легко проверить, что
г/, = С,е3' + С2е~‘, у2 = - С2е ‘
является общим решением однородной системы. Найдем
частное решение неоднородной системы методом Лагран-
жа. Будем считать С, = СД/), С2 = СД/) функциями от t.
Тогда
у, = ЗСДПе3’ - C2(t)e ‘ + С',(/)е3( + C'2(t)e ‘,
у2 = 3C,(t)e3' + C2(t)e+ СДОе3' - C'2(t)e~‘.
Подставляя эти значения производных и сами функ-
ции в нашу систему, получаем
§ 1,23. НЕОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 127
C'/f)?3' + C\(t)e = е‘,
C\(t)eSt - C'.2(t)e-‘ = 0.
Определитель данной системы есть определитель Врон-
ского
= -2е21 * 0.
Поэтому система разрешима:
С',(0 = 2', C'2(t) =
Интегрируя, получаем
СДО = C2(t) = je2'.
Таким образом, частное решение имеет вид
1
= 0, z/2(Z) = --е1 .
Общее решение можно записать в форме
г/ДО = С,г3' + Сге y2(t) = С^‘ - С2е ' - ±е'.
В векторной (матричной) форме это выглядит так:
Ниже на примерах будет показано, как можно найти
частное решение системы (1), когда ft(t) = feexp(Z.;f) (i =
= 1, ..., п), где bt, X,-заданные постоянные числа.
Частное решение линейной неоднородной системы урав-
нений с постоянными коэффициентами в случае, когда
правые части fJ^t) имеют специальный вид (ехр(Л£) или
£техр(/г£)), можно находить по аналогии с решением не-
однородного дифференциального уравнения.
128 ГЛ. 1. ।ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 2. Решить систему
dx
— = х + 2у + е',
dt *
dy
— = 2х + у + г3'.
dt у
Сначала решаем однородную систему. Характеристичес-
кое уравнение
1-Х 2
2 1-Х
= О
имеет корни Xj = 3, Х2 = - 1. Значит, общее решение
однородной системы запишется в виде
х - С1е3' + С2е у = С,е3' - С2е
Свободным членам системы f^t) = е‘, f2(t) = е3' соответ-
ствуют числа 1 и 3. Число 1 не есть корень характеристи-
ческого уравнения, а 3 есть его корень первой кратности.
По аналогии, как для одного уравнения, полагаем
х = Ьге‘ + (fe2 + b3t)e3t,
у = ахе‘ + (а2 + a3t)e3t.
Подставляя эти функции в нашу систему, находим
Ь, = О, Ь2 = О, Ь3 = 1/2;
at = - 1/2, аг = 1/4, а3 = 1/2.
Общее решение неоднородной системы запишется:
t
х = С,е3' + С.,е ‘ + — е3‘,
1 z 2
1
у = С^3' - С2е— — е* +
Л
1 t
---1--
4 2
е3’.
§ 1.24. Интегрирование дифференциальных
уравнений при помощи степенных рядов
В этом параграфе рассматривается два примера реше-
ния линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с помощью степенных рядов. Коэффициентами
их являются некоторые многочлены.
§ 1.24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ 129
Второй пример посвящен важному в математике и ее
приложениях дифференциальному уравнению Бесселя.
Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундамен-
тальную систему функций, не являются элементарными
функциями. Но они, как мы увидим, разлагаются в сте-
пенные ряды, коэффициенты которых вычисляются до-
вольно просто.
Пример 1. у" - ху = 0, 1/(0) = 0, j/'(0) = 1.
В данном случае р0(х) = — х, , т. е. является многочле-
ном первой степени относительно х. Будем искать реше-
ние в виде ряда
(1)
h=0
В силу начального условия t/(0) = 0 получаем, что а0 = 0.
Из условия у'(0) = 1, получаем ах = 1. Дифференцируя
формально данный ряд почленно два раза и подставляя
в уравнение, получаем
'£k(k-l)akxk~2 = x^akxk. (2)
А=0 k=0
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х
в левой и правой частях (2), получим:
а2 = 0’ 3 2а3 = а0, CCq откуда а3 = = 0;
4 Зо4 — а1, откуда а4 = ;
5 4as = о2, откуда а5 = 0;
6 5а6 = а3, откуда а6 = = 0;
п(п - 1)ап = а„_3, откуда ап = п[п _ ц ;
Так как у нас а0 = а2 = 0, , то все коэффициенты
a3k ~ 0’ Д3*+2 — О*
5. Бугров Я. С.
130 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Далее
_ Q3(fe-1)+1 _________1_________
°3ft+1 ~ (ЗЛ + 1)ЗА ='"=3 4 -6 7.. .3A(3fe +1) = Х’ 2’ -)’
Итак,
х4 х7
у(х) = х + — + 3 4 6 7 + ••• +
Х3*+1
+ 3-4-6-7...3А(ЗА + 1) + (3)
По признаку Даламбера радиус сходимости этого ряда
равен бесконечности. Следовательно, все наши операции
были законными и сумма ряда при всех значениях х
является решением уравнения.
Пример 2. Уравнение Бесселя1:
х2у" + ху' + (х2 - v2)y = 0. (4)
К этому уравнению сводятся многие задачи математи-
ческой физики.
Будем искать частное решение (4) в виде обобщенного
степенного ряда
J/=x₽Xa*x*- (5)
ft=0
Дифференцируя (5) два раза почленно и подставляя в
(4), получим
У gfe(^ + P) X Р ^х2 _ v2j У п^х ₽ — Q,
*=о л=о
У а*хА+р[(й + р)2 + х2 - V2] = 0
л=о
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
получаем
1 Ф. В. Бессель (1784-1846) - немецкий астроном.
§ 1.24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ
131
р «о(р2 - V2) = 0,
р+1 ai[(p + l)2-v2] = 0,
р+2 a2KP + 2)2 -vz] + a0 = о,
р+3 «3КР + З)2 ~ v2] + си = о,
Р+Р ap[(P + Р)2 - V2] + ар_ -2=0,
(6)
Коэффициент а0 при низшей степени х будем считать
отличным от нуля, тогда первое уравнение в (6) дает
р = ±v.
Пусть пока р = v > 0. Тогда из второго уравнения (6)
получаем a,[(v + I)2 - vz] = 0, т. е. аг = 0, а следовательно,
и все коэффициенты с нечетными номерами равны нулю
(%+i = °)- Далее
_____°0____ ____а0
(v + 2)2-v2 22(v + 1)’
_____а2____ _ ______a0_______
(v + 4)2-v2 24(v + l)(v +2) 1 2 ’
(7)
a ^>Pao
2p 22₽p!(v + l)(v + 2)...(v + p)’
При p = -v (v - не целое) таким же образом получаем
= п _______________________(—1)ра0
а2₽+1 > «2р 22₽p!(-V + l)(-V + 2)...(-V + p)‘
Таким образом, при р = v решение уравнения (4) запи-
шется так:
132 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
V (-l)px2p+v
У a°^22pp!(v + l)...(v + p)- (8)
Введем функцию (см. ниже § 2.15, пример 3)
г (р) = !е ХхР 'dx (р > 0),
о
называемую гамма-функцией Эйлера. Легко проверить, что
Г(р + 1) = рГ(р) и что для целых р > 0, Г(р + 1) = р!.
Для отрицательных р, Г(р) определяется по-другому,
но свойство Г(р + 1) = рГ(р) сохраняется. Если выбрать
произвольное постоянное а0 = l/(2vF(v + 1)), то (8) запи-
шется
(9)
(Ю)
^jr(p + l)r(p + v + i)
При р = — v ( v - не целое), выбирая постоянное
а0 = l/(2-vF(-v + 1)), аналогично получим
—„np+urfp-v+D
Функции Jv(x) и J_v(x) называются функциями Бессе
ля первого рода порядка vu-v соответственно.
Ряд (9) сходится для всех х, а ряд (10) Х/х * 0 и оба
они допускают двукратное почленное дифференцирование,
следовательно, Jv(x) и J_v(x) - решения уравнения Бессе-
ля (4).
Если v - не целое число, то функции Jv(x) и <J_v(x)
линейно независимы, так как их ряды начинаются с раз-
личных степеней х и линейная комбинация
ttj J ,(х) + a2J_v(x) = 0
только при а, = а2 = 0. Поэтому общее решение (4) в этом
случае имеет вид
У = ctJv(x) + C2J_v(x).
Интересно отметить, что при v = п + — (п - целое)
£1
§ 1.24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ 133
функция J j (х) выражается через элементарные функ-
1
ции. Например, при v = — имеем
(-1)рх2р+1
/ „X 1
. I О | 2р+„
р!г1р + - 2 2
X /
Но
г
(2р + 1)(2р-1)..,3 1 /Л ]
2P+1 12 J ’
(см. пример 3 § 2.13).
Таким образом,
1 (-Врх2р+1
Л (*) = X--------------~-----------------Т
2 Х Р=ор!1 З...(2р-1)(2р’+1)7л2₽ 2
2 у (-1)рх2р+12 4...2р Г2~у (~1)рх2р+1
пх~"0 р!(2р + 1)!2р ~ Wx~0 (2Р + 1)!
Если v = п - целое число, то можно показать, что
J п(х) = (~l)"J„(x),
т. е. эти функции оказываются линейно зависимыми Г(р)
при отрицательных целых р и р = 0 обращается в беско-
134 гл. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
вечность). Поэтому за вто-
рое линейно независимое ре-
шение надо брать какую-то
другую функцию. Обычно
берут функцию Бесселя вто-
рого рода Ул(х). Эта функ-
ция является некоторой
комбинацией функций Jm(x)
и J (х)-.
—тк '
Рис. 17
,. J Ах) cos v л - v (х)
У (х) = Пт —
" v->n sin vn
(v - не целое и стремится к п).
Замечание 1. Таким образом, общее решение урав-
нения (4) при v = п натуральном имеет вид
у = CjJ(х) + С2У (х),
где Cj, С2 - произвольные постоянные. Заметим, что фун-
кция Ул(х) не ограничена в окрестности х = 0. Например,
nr.(x)-^)[ln-+C
где С - постоянная Эйлера (С ~ 0, 577).
Поэтому любое решение уравнения (4), ограниченное в
окрестности х = 0, имеет вид у = С, Jv(x), т. е. для него С2 = 0.
Приведем графики функций Бесселя (рис. 17) J0(x) (чет-
ной) и Jj(x) (нечетной).
§ 1.25. Элементы теории устойчивости
Во многих задачах важно знать не одно конкретное
решение задачи, отвечающей данным начальным услови-
ям, а характер поведения решения при изменении началь-
ных условий и при изменении аргумента. Этими вопроса-
ми занимается качественная теория дифференциальных
уравнений, одним из основных разделов которой являет-
ся теория устойчивости решения, или теория устойчиво-
сти движения.
§ 1.25. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 135
Пусть некоторое явление описывается системой диффе-
ренциальных уравнений
= 4(i, у.,..., Уп) (i = 1, .... п) (1)
с начальными условиями
y/U = Ую & = п)- (2)
Условия (2) обычно являются результатом измерения
и, следовательно, получены с некоторой точностью.
Если сколь угодно малые изменения начальных дан-
ных способны сильно изменить решение, то решение си-
стемы (1), определяемое выбранными нами не точными
начальными данными, не имеет никакого значения и даже
приближенно не может описывать явление.
Поэтому важно знать условия, при которых малое
изменение условий (2) влечет малое изменение решения
системы (1).
Если t меняется в достаточно малом конечном проме-
жутке |10 — t| < Т, то ответ на этот вопрос можно получить
на основании теоремы существования и единственности.
Теорема1(о непрерывной зависимости ре-
шения от начальных условий). Если правая
часть дифференциального уравнения
dy
(3)
непрерывна и по переменному у имеет ограниченную ча-
стную производную (|/J < N) на прямоугольнике D =
={#0 - а < t < t0 + а, у0 - b < у < у0 + Ь}, то решение
уравнения (3) y(t) = y(t, t0, у0), удовлетворяющее начально-
му условию у (?0) = у0, непрерывно зависит от начальных
данных. Точнее, для всякого е > 0 найдется такое число
5 > 0, что если |j/0 - у0|< 5, то
1у (*> Уб) - У (*» *о> Уо^< е
при
|/0 - il < т, т < т0, т0 =
136 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
М = max | f(t, у)|.
(t.y)eD
Доказательство. При доказательстве теоремы су-
ществования (§ 1.6) мы получили, что
t
y[t) = y(t, t0 y0) = y0 + J f(t, y(t))dt,
y(t) ~ y(t, t0, Уо) ~ Уо + J f(t, y(t))dt
*0
Отсюда, применяя теорему Лагранжа (пояснения ниже),
получим
t
|y(t) - y(i)| < 1г/о - У01 + J|/(M/(O) - f(t, y(t))\dt <
to
- У J + Mt~ *0| max |г/(1) - у (1)1 <
I Уо - yj + WTmaxl!/(0 - У(0|.
t
Так как TN < 1, то
(1 - 7W)|^1) - y(i)| < |j/0 - yj,
ИЛИ
| y{t) - y(i)| < |y0 - y0|/(l - TN).
Если теперь мы возьмем
l!/o - У01 < 5’ г«е S = Е(1 — TN),
ТО
к/(0 - y(t)\ < £.
Сделаем некоторые пояснения. Имеет место неравен-
ство
\y(t, t0 А/о) - yj <
t ;
J f(t,y(t))dt
to
<\t- t^M < TM,
§ 1.25. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 137
где ТМ < Т^М < b или b - ТМ = 80 > О, показывающее,
что интегральная кривая у (t, t0 у0) для |t - t0| < Т
принадлежит к прямоугольнику, находящемуся строго
внутри прямоугольника D. Отсюда видно, что кривая
У(*> *0. Уо)’ I* - *ol <
тоже не выходит за пределы прямоугольника D, если
только
1^0 - Уо 1< 5о-
Это показывает, что теорема Лагранжа была примене-
на выше обоснованно, во всяком случае при б < 50, - ведь
функция f (t, у) по условию имеет непрерывную произвол-
Э/
ную на D.
Подобная теорема верна и для системы (1).
При выполнении всех условий теоремы говорят, что
задача поставлена корректно.
Мы изучали устойчивость решения на достаточно ма-
лом отрезке значений t.
Если же аргумент t е [ t0, оо) может принимать какие
угодно значения, то вопросом зависимости решения от
начальных данных занимается теория устойчивости.
Определение. Пусть <p(f) = {<p,(t). ф„(0) ~ реше-
ние системы (1). Решение ф(0 системы (1) называется ус-
тойчивым по Ляпунову1, если для всякого е > 0 существу-
ет б> 0 такое, что для любого решения y(t) = {y^t),
yn(t)} той же системы, начальные значения которого удов-
летворяют неравенствам
|y((Q “ ФХ*о)1 < 5 (i = 1, ..., п), (4)
справедливы неравенства
li/XO ~ Фг(*)1 < £ (i = 1, .... п, Vl e[t0, оо)). (5)
Таким образом, решение ф(£) устойчиво по Ляпунову,
если близкие к нему по начальным условиям решения
остаются близкими и для всех t > t0 (рис. 18).
1 А. М. Ляпунов (1857-1918) - выдающийся русский математик и
механик.
138 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если решение <р (t) устойчиво по Ляпунову и, кроме
того,
1йп|у;(0-ф>(01= 0 (1-1, .... л), (6)
то оно называется асимптотически устойчивым.
Отметим, что из (6) не следует устойчивость по Ляпунову.
dy
Пример 1. — = -у, у(х0) = у0.
Общее решение этого уравнения у = Сехр(-х). Решение,
удовлетворяющее начальному условию, имеет вид
у = уоехр(хо - х).
Если теперь мы зададим другое начальное условие
У(хо) = Уо- то решение будет
У = УоехР<хо " *)
Отсюда
1«/ ~ $ = I Уо - j70|exp(x0 - х) < | у0 - yj,
при х > х0 . Поэтому, если | у0 - j/J < 5 = е, то |г/ - у| <
< £, т. е. решение у = уоехр(хо - х) устойчиво по Ляпунову
при х > х0 . Это решение также и асимптотически устой-
чиво, так как
lim | у - = lim |i/0 - yjexp(xo - х) = О.
§ 1.25. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 139
Пример 2. Для уравнения j/ = у аналогично можно
показать, что
1У - FI = 1</о “ У01ехР(х “ хо)>
для X > х0 при любом Хо.
Очевидно, каково бы ни было х0 при х > х0, решение
у неустойчиво, так как сомножитель ехр(х - х0) —> при
X —> +оо.
Исследование на устойчивость по Ляпунову произволь-
ного решения <р(£) = {ф1(0, ..., Ф„(0) системы (1) можно
свести к исследованию на устойчивость тривиального (тож-
дественно равного нулю) решения некоторой другой сис-
темы. Для этого надо перейти к новым неизвестным фун-
кциям
= У, (О - <Р, (О (i = 1. .... ")• (7)
Отсюда
dy, _ dx, dtp,
dt dt dt
Поэтому система (1) перейдет в систему
dx,
+ Ф1(0, —,х„ + Ф„(0] - f£t, ..., фл(01 (8)
(i = 1...п).
Система (8) имеет тривиальное решение
х, (О = О (i = 1, ..., п). (9)
Из сказанного следует теорема.
Теорема 2. Решение ф(£) = {ф/f), ф„(0} системы (1)
устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво)
тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову (асим-
птотически устойчиво) тривиальное решение (точка
покоя) системы (8).
Это решение обладает тем свойством, что точка
(x,(t), ..., xn(t)) в действительности не движется при изме-
нении t, а стоит на месте. Само решение (9) и точка (0,...,0)
в этом случае называется положением равновесия систе-
мы (1) или точкой покоя.
140 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Условия устойчивости применительно к точке покоя
х| = О (i = 1, ..., и) можно сформулировать так: точка
покоя х. = 0 (i = 1, п) системы (8) устойчива по Ля-
пунову, если Ve > 0 38(e) > 0 такое, что из неравенства
|х;(*0)1 < 6(е) ( г = 1, ..•> п)
следует
|х.(£)| < е (1 = 1, ..., n, Vt > t0),
т. е. траектория, начальная точка которой находится в
некоторой 8-окрестности начала координат, при t > towe
выходит за пределы произвольной е-окрестности начала
координат. Здесь мы говорим об окрестностях прямо-
угольных, но можно перейти и к сферическим окрестно-
стям, что удобно особенно при векторной форме записи
решения x(t) = {хД£)......xn(t)}:
11«(*о)11 < 8(E) => МОП < Е. Ы =
i=l
Замечание 1. Произвольное частное решение y0(t)
линейной неоднородной системы дифференциальных урав-
нений
=Ау+ f(t) (10)
at
(см. (1') § 1.23) устойчиво по Ляпунову (асимптотически
устойчиво) тогда и только тогда, когда устойчива по Ля-
пунову (асимптотически устойчива) точка покоя соответ-
ствующей однородной системы (см. теорему 2)
dx
- = Ах. (И)
В самом деле, система (10) является частным случаем
системы (1), а система (11) есть частный случай системы
(8). Здесь свободные члены исчезли, так как функция f(t)
зависит только от t и не зависит от искомых функций.
Теорема 3 (Ляпунова). Пусть дана система
= /,(#> yv .... у„) (i = 1, .... И), (1)
§ 1.25. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
141
имеющая тривиальное решение y^t) = 0 (г = 1, ...» и).
Пусть существует дифференцируемая функция о
(г/,, уп), удовлетворяющая, условиям:
1) ..., уп) > 0 и о = 0 только при уА = ... = уп = О,
т. е. функция о имеет строгий минимум в начале коорди-
нат.
2) Полная производная функции о вдоль фазовой тра-
ектории (т. е. вдоль решения yt(t) системы (1))
do до dyt до
IT^d^ = LdyW’ y^Onput^t..
Тогда точка покоя yt = 0 (i=l, ...,п) устойчива по Ля-
пунову.
Если дополнительно потребовать, чтобы вне сколь
угодно малой окрестности начала координат (у2} + ... +
+ У2. * 8)
do
*-Р<0
где Р - постоянная величина, то точка покоя y.[t) = О
(i = 1, ..., и) асимптотически устойчива.
Функция о называется функцией Ляпунова.
Пример 3.
dyi
dt
= “«А " Уг>
dy2 ,
= " У >-
Легко видеть, что точка покоя уг = у2 = 0 является
решением данной системы. Выясним, будет ли она устой-
чива.
Рассмотрим функцию о(ух у2) = у\ + у22 . Она удовлет-
воряет всем условиям теоремы:
1) о(у1 у2) > 0 и о = 0 только при yt = у2 = 0.
2) Вдоль фазовой траектории
do
dt
do_dy^
Эу1 dt
до dy2
ду2 dt
= Zy^y5! + Z/2) + 2(Z/i + z/%) =
= -2(y\ + y*2) < 0.
142 ГЛ. 1, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Кроме того, вне окрестности начала координат (у21 +
+ у\ > 6 > 0)
(где р - минимум функции 2(ifl + ^2) вне круга (y2t +
+ Л = б)-
Значит, решение уА = у2 = 0 асимптотически устойчиво.
Замечание 2. Функцию Ляпунова рекомендуется ис-
кать в виде квадратичной формы от аргументов ух ..., уп, т. е.
V = У aij УгУ1 .
i.i
Первое требование говорит о том, что v должна быть
положительно определенной квадратичной формой. Ка-
ким образом подбирать коэффициенты atj, чтобы форма v
была положительно определенной, указывается в теореме
Сильвестра1
°11 ••• “1я
ап1 • • • апп
§ 1.26. Классификация точек покоя
Исследование на устойчивость системы двух линейных
уравнений первого порядка с постоянными коэффициен-
тами
dx
- - а±1х + а12у,
dt
dy
— = а21х + а22у
dt
можно провести на основании теоремы Ляпунова. Однако
систему (1) можно исследовать на устойчивость и непос-
редственно, так как мы можем ее решить.
(1)
' См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгеб-
ры и аналитической геометрии», § 22, Дж. Д. Сильвестр (1814-1897)
- английский математик.
§ 1.26. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОЛЯ
143
Будем предполагать, что определитель
Д =
а11 а12
а21 а22
*0.
(2)
Легко видеть, что y(t) = x(t) = 0 является решением
системы (1) с нулевыми начальными условиями.
Для нахождения общего решения мы должны найти
корни характеристического уравнения
а11 а12
°21 а22 ~
= X2 - (ап + а22)Х + Д = 0. (3)
Из условия Д Ф 0 следует, что X = 0 не является корнем
характеристического уравнения (3).
1. Пусть корни характеристического уравнения Xt и Х2
действительны и различны. Далее, пусть а = (а,, а2), Р =
= (рр Р2) - собственные векторы матрицы А, отвечающие
корням Xj и Х2 соответственно, т. е.
(а11 ~^“1)а1 +а12а2 ~ 0’1 (а11 - Х2)Р1 + 01202 = 0,
a2iai+(a22 _^1)а2 = 0, J а21Р1+(а22 -Х2)Р2 =0. ( )
Тогда, как мы знаем, общее решение системы (1) имеет
вид
х = +С2р1е>’2',
у = С1а2Л'+С2р2е’1г',
(5)
где Cv С2 — произвольные постоянные.
Если Хх <0, Х2 < 0, то из (5) видно, что точка покоя
х = у = 0 асимптотически устойчива.
В самом деле, будем считать, например, что t0 = 0,
тогда решение (5), проходящее через точку (х0, у0) в мо-
мент времени t0, определяется постоянными Сг и С2, кото-
рые вычисляются из уравнений
хо = СА + С201’
Уо — ^1а2 "* ^202’
где аД - a2Pj Ф 0 . Но тогда
Ci = Ах0 + Ву0, С2 = Dx0 + Еу0,
144 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где А, В, С, D, Е - некоторые константы. Следовательно,
|х(1)| < |Ах0 + Bj/JIaJ + |Рх0 + EyJ IPJ,
|«/(t)l < Их0 + Ву0||а2| + |Ох0 + Е«/о| |р2|,
потому что р ’J - 1 > р 2 J - 1 при А., < О, Х2 < 0 .
Отсюда следует, что для любого е > О найдется 6 > О
такое, что как только |х0|, |у0| < б, выполняются неравен-
ства
1</(01 < е (« > 0),
т. е. точка (0, 0) устойчива по Ляпунову. Кроме того, в
силу того, что
exp(A.t) —>()(/—» Ч-00),
из (5), очевидно, следует, что точка (0, 0) асимптотически
устойчива.
Если мы исключим аргумент t из системы (5), то полу-
ченная функция у = <р(х) дает траекторию движения в
системе хОу.
Математическая точка, находящаяся в начальный мо-
мент времени t = t0 в б-окрестности начала координат,
при достаточно большом t переходит в точку, лежащую в
Е-окрестности начала координат и при t —» +«» стремится
к началу координат.
Такая точка покоя называется устойчивым узлом
(рис. 19).
На рис. 19 изображено рас-
положение траекторий, соот-
ветствующих данному случаю.
Стрелками мы указываем на-
правление движения точки по
траектории при t -» +°° . Все
траектории, кроме одной, в
точке (0, 0) имеют общую ка-
сательную. Если считать, что
М < I* 21, то угловой коэффи-
циент касательной равен а2/аг
В самом деле, из (1) и (5)
имеем (С, * 0)
Рис. 19
§ 1.26. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОЛЯ
145
(фа/' + C2p/H + a22(cia2e^ + С2р2/Н
------------—-—---------————--------——----——-———
dx = anfqa^1' + С2р1еХг')+а12(с1а2е’-' + С2р2<?Хг')
a2i^iai +С2р1е( 2 *'1) j + а22^С1а2 + С2$2е
f' р. ^2“ЦМ f
anl + ^гР!6 I + ai2 C-ia2 + СгРг6
? й21^-Та1 + а22^Ч.а2 а21а1 + а22а2 ^-la2 а2
t—)+« ацС1а1 + fltl2Cjtt2 а11^1 4" а12^2 ^1®1 9
если сс * 0, так как в силу (4)
®21®1 + ®22®2 ^1®2’ ®Ц®1 +®^2®2
Если же at = 0, то, рассуждая так же, получим —>
dy
a,
-* — = О (X, * О!).
ос2
Если Cj = 0, то из (5) получаем одну траекторию
у = ~х.
₽1
Касательная к этой траектории (прямой) имеет угло-
вой коэффициент Р2/ pj .
Таким образом, касательная к траекториям, у которых
С1 Ф 0, параллельна собственному вектору a = (oCpCQ,
отвечающему наименьшему по абсолютной величине соб-
ственному числу \ (при 0^=0 вектор направлен по оси у).
Кроме того, имеется одна траектория (при С, = 0), а
₽2
именно, прямая у = —х, которая параллельна второму
Pi
собственному вектору Р = (ррр2 ), отвечающему большему
по модулю собственному числу Х2.
Если теперь Xj > 0 и Х2 > 0, то из (5) видно, что точка
покоя х = у = 0 неустойчива, так как ехр(А./) +<=о при
146 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рис. 20
Рис. 21
t —> +оо. Такую точку покоя называют неустойчивым уз-
лом. Данный случай получается из предыдущего заменой
t на (-()• Поэтому траектории будут иметь прежний вид,
но движение точки по траектории будет происходить в
противоположном направлении (рис. 20).
Наконец, если число X, < О, а > 0 (или, наоборот,
Х, > О, Х2 < 0 ), то точка покоя тоже неустойчива, так как
ехр(Х2£) —> 4-оо при t -» 4-оо . Точки, находящиеся в 8-
окрестности начала координат, по траектории
X = . у = С2^*
уходят в бесконечность. Отметим, что в данном случае
имеется траектория, по которой движение точки происхо-
дит в направлении начала координат при 1 —> 4-
х = , у = Cxa2eXlt
Это прямая аху — сс2х = 0. Точка покоя данного вида
называется седлом (рис. 21).
2. Пусть корни и Х2 комплексные ( ам действитель-
ны!)
\ = р 4- iq, Х2 = р - iq (q Ф 0).
Общее решение системы (1) можно записать в виде (5),
где векторы а и Р = a =(ap a2) будут уже с комплексны-
ми координатами.
Действительная и мнимая части этого решения также
являются решением системы. Поэтому общее решение
§ 1.26. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОЛЯ 147
системы (1) можно записать в виде линейной комбинации
этих решений:
х = ept (Ct cos qt + C2 sin qt),
* ffi'l
у = ept (a cos qt + b sin qt),
где Cj и C2 — произвольные постоянные и a, b - некоторые
линейные комбинации этих постоянных
(а = ACj + 1С2, b = тС1 + пС2).
Проиллюстрируем этот факт на конкретном примере.
Пример 1. Найти общее решение системы
f х = х-у,
\у = 2х- у.
Характеристическое уравнение
1-Х -1
„ , = О, или X2 + 1 = О
zi J. А»
имеет корни = г, А,2 = - г . Координаты векторов аир
находим из равенств
(1 - I) а, - а2 = 0, (1 + 0 р1 - р2 = О,
т. е. можно положить а,=1, а2=1 — Pi = Рг = 1 + *•
Тогда
х = ах е“ = cos/ + sin/,
у — а2 е“ = (1 - i)(cos/ + isin/) = (cos/ + sin/) +
+ /( sin/ - cos/)
— решение системы.
Действительная и мнимая части этого решения также
являются решениями системы, причем линейно независи-
мыми. Поэтому их линейная комбинация дает общее ре-
шение нашей системы:
х = Cj cos/ + С2 sin/,
у = Cj (cos/ + sin/) + C2 (sin/ - cos/) =
=(Cj - C2 )cos/ + (C, + C2 )sin/.
148 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, в данном случае
а = Cj — С2, b = Cj + С2.
При р = 0 траектории (6) для различ-
ных Cj, С2 в силу периодичности множи-
телей в скобках являются замкнутыми
кривыми - эллипсами с центром в точке
(О, 0) (рис. 22). Эти точки называются цен-
тром. При р= 0 нет асимптотической ус-
тойчивости — точка (х (t), у (#)) движется
по одному из эллипсов указанного се-
мейства, обходя его бесконечное число раз.
Она, очевидно, не стремится ни к какому
пределу при t —> +°° . С другой стороны, при р = 0 точка
покоя (0, 0) является устойчивой по Ляпунову. Проверим
это утверждение на разобранном выше примере 1. Найдем
решение рассмотренной в примере 1 системы, проходящее
в момент времени t0 = 0 через точку х0, у0. Очевидно,
Х0 ^1’ Уо ^"2’
следовательно,
С} ~ Хд, С2 — Хо — Уд
и решение имеет вид
x(t) = x0cost + (х0 - y0)sin t,
y(t) = y0cost + (2x0 - y0)sin t.
Имеем далее
|x(f)l < |x0 |+ |x0 | + |у0| = 2 |x0 | + |j/J,
|y(t)| < |y0 |+ 2|x0 | + |у0| = 2 |x0 | + 2\y0\.
Зададим e > 0, и пусть б = E /4. Тогда, очевидно, если
Ы, Ы < 8, то для всех t
| x(t )| < 2 • — + — < £
4 4
|у(0|<24 + 2-| = Е.
4 4
Мы доказали устойчивость по Ляпунову точки покоя.
Из (6) видно, что при р < 0 точка (х, у) при t —> + °°
стремится к нулевой точке х = 0, у = 0, называемой устой-
§1.26. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОЛЯ
149
Рис. 24
чивым фокусом. Наличие множителя exp(pf) —> О (Z —> +о°)
превращает замкнутые кривые в спирали, приближающи-
еся асимптотически при <—>+<» к началу координат
(рис. 23).
Точки, находящиеся при t = t0, в произвольной б-окре-
стности начала координат, при достаточно большом t
попадают в заданную Е-окрестность точки (О, О).
Траектории, стремящиеся к фокусу, обладают тем свой-
ством, что касательные к ним при t —> + ~ не стремятся
ни к какому пределу. Этим фокус отличается от узла.
В случае р < 0 точка х = у = 0 асимптотически устой-
чива.
Если действительная часть р корней 'к1 и Л,2 положи-
тельна, то этот случай переходит в предыдущий при заме-
не t на (-<)• Следовательно, траектории сохраняют форму
как на рис. 23, только движение точки будет происходить
в противоположном направлении. Так как exp(pt) —> +
при t —> + оо, то точки, находящиеся в начальный момент
времени в окрестности начала координат, затем уходят в
бесконечность. Такая точка покоя носит название неу-
стойчивого фокуса (рис. 24).
150 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3. Пусть корни Х2 равны между собой (Xt = Х2, аы
действительна!). Тогда они действительны и общее реше-
ние системы (1) имеет вид
x = (A + Bt)eKl*,
ы (7)
у = (С + ПНЛ‘,]
где А, В, С, D - константы, связанные между собой двумя
линейными уравнениями, которые можно получить, если
подставить функции х и у в систему и сократить на мно-
житель exp(Xjt)-
Если \ < 0, то exp(Xtf) —> 0, t exp(\f) -» 0 при t +«>,
и, следовательно, точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически
устойчива. Ее называют устойчивым узлом (как в п. 1).
Если же > 0, то точка х = 0, у = 0 неустойчива и
называется она неустойчивым узлом.
Замечание!. Если А = 0, то характеристическое урав-
нение (3) имеет корень = 0 и = ап + а22.
Пусть Х2 Ф 0. Тогда общее решение системы (1) запи-
шется так:
х = Qcij + ,
у = CjCi2 + С2Р2е 2 ,
где Ср С2 — произвольные постоянные и апа, + а12а2 =
_ + а12р2 “
Исключая параметр t, получим семейство параллель-
ных прямых
У ^1«2 Pi ^1^1).
Если Х2 < 0, то при t —> +°°
на каждой траектории (на
одном из параллельных лу-
чей) точки приближаются к
лежащей на этой траектории
точке покоя х = С.а., у =
= у - —х (рис. 25).
k ai J
Точка (0, 0), так же как
любая точка прямой
§ 1.26. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОЛЯ
151
«2
у ~ ~ х, при Х2 < О
устойчива по Ляпунову, но не яв-
ляется асимптотически устойчивой.
Если Х2 > 0, то точка покоя неустойчива.
Если же X, = Х2 = 0, то может быть два случая:
а) Общее решение системы (1) имеет вид х = Сг, у = С2.
В этом случае точка покоя х = у = 0 устойчива по Ляпу-
нову, но не является асимптотически устойчивой. Отме-
тим, что данная ситуация имеет место, когда матрица А
нулевая ап = а22 = а12 = а21 =0. В данном случае все
точки плоскости (х, у) являются точками покоя, устойчи-
выми по Ляпунову.
б) Общее решение системы (1) имеет вид
х = Cj + C2f, у = а + bt.
Точка покоя х = у = 0 неустойчива.
В этом случае а„, = - а,,, а.9а9, < 0.
* && XX Х^ £iL
Пример 2. Выяснить характер точки покоя системы
х = —х + ау,
У = -2у.
Составим характеристическое уравнение
— 1 — X а
0 -2-Х
= 0.
Его корни Xj = — 1, Х2 = -2. Значит, точка покоя х =
= у - 0 является устойчивым узлом.
Пример 3. Какого типа точку покоя имеет система
X = X - у,
У = 2х + Зу.
Характеристическое уравнение
1-Х -1
2 3-Х
= 0
имеет комплексные корни X, = 2 + i, Х2 = 2 — i. Действи-
тельная часть этих сопряженных корней положительна,
152 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
поэтому точка покоя х = у = 0 является неустойчивым
фокусом.
Замечание 2. Если матрица А симметрична, то, как
мы знаем, характеристическое уравнение имеет только дей-
ствительные корни1. Кроме того, мы знаем, что
апа2г flZi2 ~ \^2'
Так как симметричная матрица порождает квадратич-
ную форму эллиптического, гиперболического или пара-
болического типа, то мы систему дифференциальных урав-
нений (1) в этом случае будем называть
эллиптической, если а,,ач„ - а2 = > О,
гиперболической, если а., а,, - а2,, = < О,
11 АЛ LA 1 А
параболической, если апа22 - а?12 = W = 0.
Из изложенного выше ясно, что если система (1) эл-
липтическая, то точка покоя будет устойчивым узлом, если
\ <0, \ < 0. Это возможно, когда аи < 0, а22 < 0.
Если же \ > 0, Х2 > 0, то точка покоя будет неустой-
чивым узлом (ап > 0, а22 > 0).
Отметим, что в эллиптическом случае числа ап и а22
одного знака.
Если система (1) гиперболическая (аиа22 - а212 < 0), то
точка покоя всегда неустойчива (седло).
Если система (1) параболическая, то точка покоя ус-
тойчива, когда Х2 = ап + а22 < 0, и неустойчива, когда
^2 — аи а22 > 0*
Пример 4. Выяснить характер точки покоя у систем:
а) х = - Зх + 2у,
у = 2х - бу;
б) х = х + 2у,
У = 2х + Зу;
в) х = х + 43у ,
у = 43х + Зу.
Во всех примерах матрица А симметрична.
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгеб-
ры и аналитической геометрии», § 24.
§ 1.26. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОЛЯ
153
Система а) эллиптическая, потому что atta22 — а\2 =
= 11 > 0. Так как ап = -3 < 0, а22 = - 5 < 0, то точка
покоя — устойчивый узел.
Система б) гиперболическая, так как апа22 - 0,212 ~
=- 1 < 0 . Точка покоя - седло.
Система в) параболическая, потому что апа22 - а212 = 0.
Так как ап + а22 = 4> 0, то точка покоя неустойчива.
Замечание 3. Можно доказать (так же как это сде-
лано при п = 2), что точка покоя заведомо устойчива по
Ляпунову (асимптотически устойчива) для линейной од-
нородной системы из п > 1 уравнений с постоянными ко-
эффициентами
^-лв,
dt я
если все корни характеристического уравнения системы
имеют отрицательные действительные части.
ГЛАВА 2
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2.1. Введение
Пусть в трехмерном пространстве, в котором определе-
на прямоугольная система координат (х, у, г), задана
непрерывная поверхность
z = f(Q) = /(х, у) (Q = (х, у) е £2),
где £2 есть ограниченное (двумерное) множество, для кото-
рого возможно определить понятие его площади (двумер-
ной меры, см. ниже § 2.2). В качестве £2 может быть взят
круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Будем считать, что
функция /(х, у) положительная, и поставим задачу: тре-
буется определить объем тела, ограниченного сверху на-
шей поверхностью, снизу плоскостью z = 0 и с боков
цилиндрической поверхностью, проходящей через грани-
цу у плоского множества £2, с образующей параллельной
оси z.
Искомый объем естественно определить следующим
образом. Разделим £2 на конечное число частей
Ц, .... Ц,, (1)
перекрывающихся между собой разве что по своим грани-
цам. Однако эти части должны быть такими, чтобы мож-
но было определить их площади (двумерные меры), кото-
рые мы обозначим соответственно через т £2Р ..., т £2W.
§ 2.1. ВВЕДЕНИЕ
155
Введем понятие диаметра множества А — это есть точ-
ная верхняя грань d(A) = sup | Р’ — Р"\.
Р',Р”еА
В каждой части £2у выберем по произвольной точке
Q;= (^., Т|.) (j = 1, ..., N) и составим сумму
N
vN = Yf(Qj)^j, (2)
j=l
которую естественно считать приближенным выражением
искомого объема V. Надо думать, что приближение V ~ VN
будет тем более точным, чем меньшими будут диаметры
d(£2y) частей £2^ . Поэтому естественно объем нашего тела
определить как предел суммы (2)
N
V= lim У /(QArntlj, (3)
max d(£2;)—>0
когда максимальный диаметр частичных множеств разби-
ения (1) стремится к нулю, если, конечно, этот предел
существует и равен одному и тому же числу независимо
от способа последовательного разбиения £2.
Можно отвлечься от задачи о нахождении объема тела
и смотреть на выражение (3) как на некоторую операцию,
которая производится над функцией /, определенной на
£2. Эта операция называется операцией двойного интегри-
рования по Риману1 функции f на множестве £2, а ее ре-
зультат — определенным двойным интегралом (Римана)
от f на £2, обозначаемым так’.
N ..
V — lim У = iif(x,y)dxdy =
1 J=1 Cl
= = J/dH.
n ci
Пусть теперь в трехмерном пространстве, где определе-
на прямоугольная система координат х, у, z, задано тело
£2 (множество) с неравномерно распределенной в нем мас-
сой с плотностью распределения ц(х, у, z) = p.(Q) (Q =
1 Б. Риман (1826-1866) - крупнейший немецкий математик.
156
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
= (х, у, z) е £2). Требуется определить общую массу тела £2.
Чтобы решить эту задачу, естественно произвести разбие-
ние £2 на части £2р £2W, объемы (трехмерные меры)
которых (в предположении, что они существуют) пусть
будут т£11г mO.N, выбрать произвольным образом в
каждой части по точке (Q; = (ху, yJt z]) е £2Д и считать, что
искомая масса равна
М = lim У ц(О )т£2, .
(4)
Снова на выражение (4) можно смотреть как на опре-
деленную операцию над функцией ц, заданной теперь на
трехмерном множестве £2. Эта операция на этот раз назы-
вается операцией тройного интегрирования (по Риману),
а результат ее - определенным тройным интегралом (Ри-
мана), обозначаемым так:
М = lim У|1(О.)т£2; = f p(Q)dQ =
max >0
ц(х, у, z)dxdydz.
В этом же духе определяется понятие п-кратного ин-
теграла Римана.
Мы увидим, что часть теории кратного интегрирова-
ния, содержащая теоремы существования и теоремы об
аддитивных свойствах интеграла, может быть изложена
совершенно аналогично как в одномерном, так и в п-мер-
ном случае. Однако в теории кратных интегралов возни-
кают трудности, которых не было у нас при изложении
теории однократных интегралов.
Рис. 26
Рис. 27
§ 2.1. ВВЕДЕНИЕ
157
Дело в том, что однократный интеграл Римана мы
определили для очень простого множества - отрезка [a, ft],
который дробился снова на отрезки. Никаких трудностей
в определении длины (одномерной меры) отрезков не воз-
никало. Между тем в случае двойных и вообще п-крат-
ных интегралов область интегрирования £2 приходится
делить на части с криволинейными границами, и возни-
кает вопрос об общем определении понятия площади или
вообще п-мерной меры этих частей.
В двумерном случае мы будем иметь дело с ограничен-
ными областями, имеющими гладкую границу (рис. 26)
или кусочно-гладкую границу (рис. 27), т. е. состоящую из
конечного числа гладких кусков (линий).
Эти области в свою очередь приходится делить на ча-
сти, имеющие кусочно-гладкую границу.
Каждой такой области со и некоторым другим множе-
ствам можно привести в соответствие положительное чис-
ло тпсо, называемое площадью или двумерной мерой Жор-
дана1 (общее определение двумерной меры Жордана дано
в §2.2).
При этом выполняются свойства:
1) Если Л — прямоугольник с основанием а и высотой ft,
то тД = |Д| = ab .
2) Если со1 с С)2 и со,, а)2 имеют меры то),, то2, то
то)] < тсо2.
3) Если область о) разрезана при помощи кусочно-глад-
кой кривой на две части о)] и со2 (о) = О] + о)2), то
mo = mo)] + то)2.
Существуют множества двумерной меры нуль такие, как
точка, отрезок, гладкая или кусочно-гладкая кривая.
В трехмерном случае нас будут интересовать области,
имеющие в качестве своей границы кусочно-гладкие по-
верхности. Про такие области будем говорить, что они
имеют кусочно-гладкую границу. Шар, эллипсоид, куб
могут служить примерами таких областей.
Поверхность называется гладкой, если в любой ее точ-
ке к ней можно провести касательную плоскость, непре-
рывно изменяющуюся вместе с этой точкой. Поверхность
называется кусочно-гладкой, если ее можно разрезать на
' К. Жордан (1838-1922) - французский математик.
158 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
конечное число гладких кусков. По линиям разрезов
касательные плоскости к поверхности могут и не суще-
ствовать.
Для трехмерных ограниченных областей со с кусочно-
гладкими границами можно определить их объем (трех-
мерную меру), т. е. положительное число та), удовлетво-
ряющее свойствам:
1) Если А - прямоугольный параллелепипед с ребрами
а, Ь, с, то тД = |8| = аЬс .
2) Если со, g (О, и со,, со, имеют меры та),, т(0„ то
mo)j < та)2.
3) Если область а) разрезана при помощи кусочно-глад-
кой поверхности на части a)t и (02 (со = a)t + оз2), то
ma) = mo)t + ma)2.
Есть множества трехмерной меры нуль. Такими явля-
ются точка, отрезок, прямоугольник (плоский), гладкая
или кусочно-гладкая поверхность.
По аналогии можно рассматривать n-мерные области (о
(со g Rn) с кусочно-гладкой границей и для них определить п-
мерную меру - тсо > О, обладающую свойствами, подобными
свойствам 1), 2), 3).
Прямоугольник А в Rn определяется как множество точек
х = (Xj, ..., хп), координаты которых удовлетворяют неравен-
ствам
а. < х; < Ь} (j = 1, .., п; а} < bj ).
Мера (п-мерная) А определяется как произведение:
mA = |Д| = (5, - at) (fe2 - a2) ... (bn - a).
Примером гладкой поверхности S с Rn может быть множе-
ство точек х = (хр ..., хп), удовлетворяющих уравнению
х, = .... ХЖ’ -> х«)> (*i....... xj-i’ хм.. *„) е S,
где j может иметь одно из значений j = 1, 2. п. При этом f
есть непрерывно дифференцируемая функция на замыкании неко-
торой (п - 1)-мерной ограниченной области g точек (хр ..., х/Л,
xi+i> -• XJ-
Кусочно-гладкая поверхность в Rn по определению состоит
из конечного числа гладких кусков (поверхностей), пересека-
ющихся между собой разве что по их краям.
§2.1. ВВЕДЕНИЕ
159
Повторим определение кратного интеграла, не прибе-
гая к задачам геометрического или физического содержа-
ния.
Пусть в п-мерном пространстве Rn задана ограничен-
ная область £2 с кусочно-гладкой границей Г(£2 = £2 + Г)
и на £2 (или £2) задана функция
Я*) = f (xv .... xn).
Разрежем £2 на части £2;, пересекающиеся разве что по
своим границам, которые будем считать кусочно-гладки-
ми. Для краткости будем говорить, что мы произвели
разбиение р множества £2.
Выберем в каждой части £2,. по произвольной точке
= (Е/р ..., £/n) (Е/ е £2;) и составим сумму
N
-Sp(f) = £№7)тп£2. ,
/=1
которую будем называть интегральной суммой Римана
функции /, отвечающей разбиению р.
Предел суммы
N
lim S (f) = lim У/(^7)тп£2у = f f(x)dx =
max d(£lj )—»0 max<f(f2 = )~>0 “* f J
/=1 Q
= J" J f(xl,...txn)dxx...dxn , (5)
Q.
когда максимальный диаметр частичных множеств £2;
стремится к нулю, называется кратным интегралом от
функции f на £2 (или по £2).
Подчеркнем, что предел (5) называется кратным интег-
ралом функции f, если он не зависит от выбора точек
в £2. и не зависит от способов разбиения р области £2.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Будем ли мы вычислять предел (5)
для области £2 или для ее замыкания £2, не имеет значе-
ния. Это связано с тем, что £2 = £2 + Г, где Г - граница
£2, предположенная кусочно-гладкой. А кусочно-гладкая
граница имеет n-мерную меру нуль (mF = 0, см. ниже
§2.2).
160
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Замечание 2. Если предел
(5), т. е. кратный интеграл
J fd£l существует, то функция
€1
f(x) ограничена на < М).
Это доказывается так же, как в
случае одномерного определен-
ного интеграла.
Замечание 3. Если
maxd(£ip —> 0, то сумма мер тех
частиц £2у, которые непосред-
ственно прилегают к кусочно-
гладкой границе Г, тоже стремится к нулю
у1 m£lj —> 0 -
Здесь двойной штрих при /1 обозначает, что сумма
распространена на те части £!, которые прилегают к Г .
Например, если область £1 разрезать на части при по-
мощи квадратной сетки, как на рис. 28, то соответствую-
щее разбиение можно записать в виде
__f
где сумма распространена на полные квадратики
(попавшие в £1), а сумма - на неполные квадратики.
Важно, что мера второй суммы стремится к нулю при
неограниченном стремлении диаметра диагонали квадра-
тиков сетки к нулю:
У1 mQj-----» 0 .
maxd(Qj)—>0
Замечание! Из предыдущих замечаний следует, что
У /(£7)/n£l, < У М т£1, = м\ milj ----------------> 0.
7тахДЩ,)-»0
Это показывает, что интеграл (5) можно определить так
же, как предел суммы
§ 2.2. МЕРА ЖОРДАНА
161
lim У = f f(x)dx ,
max d(£2.)—>0 J
Q
распространенной только на такие части £1 разбиения,
которые не прилегают к Г.
Замечания 1, 2, 3, 4 мы формально не обосновываем.
Впрочем, они легко вытекают из приводимого ниже § 2.2.
§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана
Ограничимся рассмотрением двумерных множеств. В плос-
кости зададим прямоугольную систему координат х, у.
Зададим натуральное число N и две системы прямых
х = kh, у = lh (k, 1 = 0, +1, ±2, ...), h = 2Л
определяющих в плоскости прямоугольную сетку, состоящую
из квадратов со стороной h. Такую сетку мы будем называть
Л-сеткой (рис. 29). Ясно, что при переходе от N к N + 1
каждый квадрат Л-сетки (Л = 2 N) разрезается на четыре рав-
ных квадратика. Последние образуют уже h = 2-Л,_,-сетку.
В плоскости зададим произвольное ограниченное множе-
ство £2 и для данного N введем два множества и £2^.. Первое
из них £2Л есть сумма (теоретико-множественная) квадратиков
Л-сетки (h = 2~N), каждый из которых полностью принадлежит
к £2 (на рис. 29 заштрихованнаячасть). Будем называть £2W
внутренней фигурой множества £2 (определяемой данной Л-сет-
кой). Может случиться, что QN есть пустое множество, т. е.
нет ни одного квадратика, который бы полностью принадле-
жал к £2. Это имеет место, например, если £2 есть множество,
6. Бугров Я. С.
состоящее из конечного числа то-
чек, или если это есть кусок глад-
кой кривой.
Второе множество £2Л. мы называ-
ем внешней фигурой множества £2
(определяемой данной Л-сеткой). Оно
есть сумма квадратиков Л-сетки,
каждый из которых содержит в себе
хотя бы одну точку £2.
Очевидно,
£2n а £2 с £2^.,
и площади фигур £2Л„ £2^, которые
мы будем обозначать через |£2^|, |£^|,
удовлетворяют неравенству
162
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
| < |ЦЛ (N = 1, 2,...).
Если Qn — пустое множество, то считают |£2j = 0.
Нетрудно видеть, что
£2, g £22 g £23g ... cflc ... g ЦсЦсЦ,
откуда
< |n2|< |q3| < ... < |qj< 1Ц,|< |ц|.
Таким образом,
fej s I
каковы бы ни были натуральные числа N и М.
Если зафиксировать М, то получится, что числа | £2, | при
неограниченном возрастании N не убывают, оставаясь не боль-
шими числа | Qj . Это показывает, что существует предел
lim | Qx| <| £2^1.
N—
Его называют внутренней мерой множества £2 и обознача-
ют так:
lim | £2n| < тр
N —>«>
Это вполне определенное число, не зависящее от N. Мы
получили неравенство
тр < | £2М| (М = 1, 2, ...),
где числа | £2М | монотонно не возрастают при неограниченном
возрастании М. Но тогда существует предел
lim | Q»J>m,£2
который называют внешней мерой Жордана множества £2 и
обозначают через тр.
Итак, произвольное ограниченное множество £2 плоскости
имеет внутреннюю и внешнюю меры тр и тр. Это неотри-
цательные числа, удовлетворяющие неравенству тр < тр.
Если на самом деле имеет место равенство, то £2 называют
измеримым по Жордану в двумерном смысле и число
тп£2 = тр = тр
называют двумерной мерой £2 по Жордану.
Меру Жордана мы будем называть также и просто мерой1.
Итак, множество £2 измеримо (по Жордану), если для него
1 В современной математике важное значение имеет еще другая мера
- мера Лебега. А. Лебег (1875-1941) - французский математик.
§ 2.2. МЕРА ЖОРДАНА
163
lim|QN|= lim|QN|. (1)
N —
Обозначим через Г границу множества 12 (Г = 312). Чтобы
получить совокупность квадратиков сетки, покрывающих Г или,
как мы будем говорить, чтобы получить фигуру, покрываю-
щую Г (см. рис. 29), надо из фигуры 12Л, вычесть в теоретико-
множественном смысле фигуру QN и замкнуть полученное
множество
Гм = \ Qn •
Очевидно, площадь (двумерная мера) ГЛ равна
|Г„| = |Ц,|-| О„|.
Из (1) следует:
limjrj = limlQjJ - lim|QN| = 0. (2)
N—N—TV—>©o
Обратно, из равенства
lim|rN| = 0, (3)
учитывая, что пределы и I—лЛ существуют,
следует равенство (1), т. е. измеримость 12.
Заметим, что предел (3) есть внешняя мера Г, т. е.
лгеГ = 0.
Но 0 < тГ < ту, поэтому и
ту = тГ = 0.
Мы доказали важное утверждение: для того, чтобы мно-
жество 12 плоскости было измеримым по Жордану, необходи-
мо и достаточно, чтобы мера его границы равнялась нулю
(тГ = 0).
Ниже будет показано, что кусочно-гладкая кривая имеет
двумерную меру нуль. Но тогда область 12, имеющая кусочно-
гладкую границу, измерима в двумерном смысле по Жордану.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Множество 12, состоящее из одной точки, имеет
двумерную меру нуль (zzi!2 = 0). Точка может принадлежать
самое большее к четырем квадратикам Л-сетки, их общая
площадь стремится к нулю при ДГ —> <*> и, следовательно,
те£2 = 0, но 0 < тп(12 < те£2, поэтому m.yi = mrQ. = zn!2 = 0.
164
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 2. Непрерывная
кривая Г (рис. 30) у = f(x)
(а < х < 6) имеет двумерную
меру нуль (mV = 0).
В самом деле, вследствие
равномерной непрерывности f на
[а, 6] для любого е > 0 найдется
8 > 0 такое, что |f(x") - /(х')| < е
для всех х', х" е [а, &], удовлет-
воряющих неравенству |х'-х"[< 8.
Найденное 8 > 0 можно умень-
шить, как мы хотим. Будем
считать, что 8 < Е . Зададим
Л-сетку с
h = 2 N < 8
и рассмотрим какой-либо столбик из квадратов сетки, содер-
жащих в себе точки Г. Его высота не превышает е + 2Л (на
рис. 30 при е = 2Л выделенный столбик включает четыре
квадратика Л-сетки, содержащих точки Г и е + 2Л = 4Л), а
площадь не превышает
(е + 2h)h — = (е + 2h)K < ЗгК ,
h
где К - длина некоторого отрезка, содержащего в себе отре-
зок [а, Л].
Это показывает, что общая площадь IF^J квадратиков, по-
крывающих кривую Г, при достаточно большом N может быть
сделана меньшей наперед заданного как угодно малого поло-
жительного числа, и, следовательно, внешняя мера Г, тем
более внутренняя, равна нулю. Но тогда
тГ = 0
Так как сумма конечного числа множеств, имеющих меру
нуль, очевидно, имеет меру нуль, то из примера 1 следует,
что двумерная мера множества, состоящего из конечного чис-
ла точек, равна нулю.
А из примера 2 следует, что гладкая кривая
х = Ф (0. У = V (0, (а < t < Ь) (4)
имеет двумерную меру нуль (рис. 31).
Дело в том, что если Г — гладкая кривая, то отрезок [а, Л]
можно разделить на конечное число отрезков точками
а = t„ < t, < ... < tn = b
§ 2.2. МЕРА ЖОРДАНА
165
Рис. 31
Рис. 32
так, что на каждом частичном отрезке [t;, t;11] одно из двух
уравнений (4) можно разрешить относительно t и подставить
во второе. В результате получим, что соответствующий кусок
Tj кривой Г описывается либо уравнением вида
У = fix) (х е [с, d]),
либо уравнением вида
х = giy) (у е [р, <7]),
где функции fug непрерывны на соответствующих отрезках.
Но тогда, как мы знаем из примера 2,
шГ = О (J = 1, .... г).
Поэтому, так как Г есть сумма конечного числа кусков Гг
Г-ХГ>.
7=1
каждый из которых имеет меру нуль, то тГ = 0.
Отметим, что если два множества О, и О2 измеримы то
измеримы также их сумма + £22, разность £1,\О2 и пере-
сечение О, П2 = О, п П2.
В самом деле, обозначим через Г(е) границу множества е.
На рис. 32 изображены два множества £2, и П2. Очевидно,
Г(Ог + Q2) с r(QJ + Г(£22),
С HQJ + HQg),
F(QjQ2) с F(Qj) + F(Q2).
(5)
Если О, и П2 измеримы, то тГ (OJ = 0, тГ (£12) = 0, но
тогда и меры левых частей (5) равны нулю, что показывает,
что множества Q, и £22, £2,£22 измеримы.
166
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Здесь мы воспользовались очевидным свойством меры. Если
множество (0 имеет меру нуль, то и любое его подмножество
имеет меру нуль.
Наконец, если 121 и 122 - измеримые множества, пересека-
ющиеся разве что по своим границам, то
т (121 + 122) = mil1 + mil2. (6)
В самом деле, очевидно (рис. 33)
+ QZn с (ЯХ4-Я% с (Q^Q2^ с
и так как
limlQ^I = lim|Q^| = mSii
N —N—
limlQjyl = lim|Q^| = mil2,
n —7V->~
то, очевидно,
lim|(Q + 12 ) | = lim |(QX + £22)лг| = + mH2,
что доказывает (6).
Отметим, что если область 12 измерима, то ее мера Жорда-
на равна мере ее замыкания:
mil = mil.
В самом деле, 12 = 12 + Г, где Г - граница 12 и mil = mil+
+ тГ, где тГ = 0.
Пример 3. Множество со, состоящее из всех рациональ-
ных чисел отрезка [0, 1], не измеримо по Жордану: mfl) = 0,
теы = 1.
В трехмерном случае теория меры Жордана аналогична.
Теперь вводится прямоугольная система координат z, у, z и
три семейства параллельных плоскостей
§ 2.2. МЕРА ЖОРДАНА
167
х = kh (k = О, ±1, +2, ...),
у = lh (I = О, ±1, ±2, ...),
z = mh (m = О, ± 1, ±2, ...),
делящих пространство на кубики с ребром Л = 2~N (N = 1, 2, ...).
Такое разбиение пространства мы снова называем Л-сеткой
(трехмерной).
Пусть 12 есть ограниченное множество точек, принадлежа-
щих пространству. Обозначим через £2W внутреннюю фигуру
множества £2 — совокупность кубиков сетки, полностью при-
надлежащих £2, и через £1^- внешнюю фигуру множества £2 -
совокупность кубиков сетки, каждый из которых содержит
хотя бы одну точку £2.
Снова заключаем, что
£2j с £22 с £23 с ... с £2,
£2г £22 £23 £2,
откуда следует:
|£2J < |£22| < |£23| < ...,
И
1Ш £2M|,
каковы бы ни были натуральные TV и М. Отсюда вытекает
существование пределов
lim|£2N| <
Nn—too
Первый предел в этом неравенстве называется внутренней
(трехмерной) мерой £2:
mfl = limlQjJ,
а второй - внешней мерой £2:
тпе£2 - lim | £2Л, |.
Таким образом,
т,£2 < т £2.
I е
Если
тп(£2 = 7п,£2 = mil,
то множество £2 называют измеримым в трехмерном смысле
по Жордану и число т£2 называют его трехмерной мерой.
168
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассуждениями, подобными тем, которые велись в связи с
равенствами (1), (2), (3), доказывается, что множество измери-
мо в трехмерном смысле тогда и только тогда, когда его гра-
ница имеет трехмерную меру нуль.
Мы не будем формулировать дальнейшие свойства измери-
мых в трехмерном смысле множеств. Они аналогичны отме-
ченным выше свойствам множеств, измеримых в двумерном
смысле.
Остановимся только на объяснении того, что кусочно-глад-
кая поверхность имеет трехмерную меру нуль. Такая поверх-
ность состоит из конечного числа кусков S, пересекающихся
разве что по своим краям, каждый из которых при соответству-
ющем переобозначении координат определяется уравнением
z = f(x, у) ((х, у) е g),
где g - замыкание некоторой ограниченной в плоскости х, у
области.
Зададим е > 0 и подберем 8 > 0 так, чтобы
|/(х', у) - /(х", ;/')| < Е
для всех точек (*', у'), (х"> у”) е g, находящихся на рассто-
янии друг от друга
1« у') - (х", у")\ < 5.
Считаем 8 < Е и берем Л-сетку с h = 2~N < 8. Рассматриваем
какой-либо столбик из кубиков сетки, содержащих в себе точки
S. Его высота не превышает Е -I- 2Л, а объем не превышает
(е + 2h)h2. Общий объем всех таких столбиков, покрывающих
S, не превышает
(Е + 2й)/г2Д- = (Е + 2ЛИ<ЗеХ. (7)
/Г
Здесь К есть площадь квадрата А, покрывающего множе-
ство g. Правая часть (7) может быть взята как угодно малой,
что доказывает, что трехмерная мера mS — О.
Можно ввести по аналогии понятие n-мерной меры для
множеств пространства Rn и показать, что гладкая поверх-
ность в Rn имеет n-мерную меру нуль.
§ 2.3. Свойства кратных интегралов.
Теоремы существования
В дальнейшем £2, £2,, £22 будут области с кусочно-
гладкой границей (хотя их можно считать и произволь-
ными измеримыми по Жордану множествами).
§ 2.3, СВОЙСТВА КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 169
Справедливо равенство
j dx = jldx = mil. (1)
О £1
Это равенство очевидно. Чтобы вычислить интеграл (1),
надо разрезать кусочно-гладкими поверхностями область
£2 на части
N
Q = t
*=i
пересекающиеся разве что по своим границам (рис. 34), и
учесть, что
N N
У 1 - т£1ь = У = пг£2.
k=l Л=1
Но тогда
N
lim / т^ь = .
maxd(Qt)->0~
По формуле (1) в двумерном случае вычисляется пло-
щадь £2, в трехмерном - объем £2. В n-мерном же случае
формула (1) дает n-мерную меру £2.
Мы увидим в дальнейшем, что
вычисление интеграла (1) и более
yd общего интеграла J fdx может
k у/' 1 п
q быть сведено к последовательному
I вычислению некоторых одномер-
ных интегралов (см. § 2.4).
Ниже мы предполагаем, что для
Рис. 34 функций f(x), ip(x), |/(х)|, о которых
будет идти речь, рассматриваемые
интегралы существуют. Мы не будем оговаривать это об-
стоятельство особо.
Справедливо равенство
J [А/(х) + B<p(x)]dx = aJ f(x)dx + В J <p(x)dx , (2)
где А и В - константы.
170 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если область £2 с кусочно-гладкой границей разрезана
на измеримые части £2V £22 (£2 =£21 + Q,) , то
Если J fdx = J fdx + J fdx. Q ^1 (3)
f(x) < <p(x) (x e £2), (4)
Но тогда, J f(x)dx < J ty(x)dx . £2 £2 учитывая, что (5)
-|/(х)| < /(х) < |ftx)|,
получим в силу (2) (при А = -1, В = 0), что
-J|/(x)|dx < Jf(x)dx < J|/(x)|cZx.
Q £2 £2
T. e.
Jf(x)dx < J|/(x)|rfx. (6)
£2 £2
В частности, из (6) следует, что если
|/(х)| < м (х 6 £2), (7)
где М - константа, то
jf(x)dx < JMdx = M^dx = M-mQ.. (8)
Я £2 £2
Справедлива теорема существования (доказательство см.
§ 2.5).
Теорема 1. Если функция Дх) непрерывна на замы-
кании £2 ограниченной области £2 с кусочно-гладкой грани-
цей, то она интегрируема на £2 так же, как на и
J f(x)dx = j f(x)dx. (9)
£2 £2
§ 2.3. СВОЙСТВА КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 171
Отметим, что
J fdx = J fdx + J fdx = j fdx+o = J fdx,
£2 n Г Q £2
где Г - граница fl. По условию Г - кусочно-гладкая гра-
ница. Ее мера (n-мерная) равна нулю (mV = 0), следова-
тельно,
j fdx = 0.
г
Сформулируем более общую теорему существования.
Теорема 2. Если функция f(x) ограничена и непре-
рывна на замыкании £1 ограниченной области £1 с кусоч-
но-гладкой границей, за исключением отдельных точек и
гладких кривых в конечном числе, где она может иметь
разрывы, то f интегрируема на £1 так же, как на £1, и
выполняется равенство (9).
Отметим еще теорему.
Те орем а 3 (о средне м). Пусть функция f(x) непре-
рывна на замыкании £1 области £1, которое мы будем
предполагать связным1. Тогда существует точка х° та-
кая (х° е fl), что выполняется равенство
J f(x)dx = f(xP)m£l. (10)
£2
Доказательство. По условию функция f непрерыв-
на на замкнутом ограниченном множестве Q, поэтому на
£1 существуют точки х1 и х2 (х1, х2 е fl), в которых f
достигает соответственно своего минимума и максимума
на П:
Я*1) < flx) < f(x2) (Vx е Q),
Интегрируя эти неравенства по £1, получим
' Множество Е называется связным, если любые его две точки мож-
но соединить непрерывной кривой, принадлежащей Е.
172
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
J /(x'XZx < J f(x)dx < J f(x2)dx
Q £2 П
ИЛИ
/(x1)/^! < J f(x)dx < f(x2)m£l.
(ID
Из неравенства (11) следует, что число
С = — [ fdx (т£1 * 0)
/п£1 J
О
находится между наименьшим значением функции Дх1) и
наибольшим /(х2). В силу связности £1 существует принад-
лежащая к £1 непрерывная кривая
r(t) = ( <Pi(t), <р2(0. —. Ф„(0) («1 S t < t2),
соединяющая точки х1 и х2, т. е. такая, что
r(ij) = х1, г(12) = х2.
Функция
F(t) S flr(l)] = ДФ1(1), Фн(0)
непрерывна на отрезке [tp tj (как суперпозиция непре-
рывных функций) и принимает на его концах значения
F{Q = Дх»), F(tJ = /(х2).
Но тогда по теореме о промежуточном значении для
функции F(t) от одного переменного, существует такое
10 е [fj, t2], что в точке х° = r(t0) имеет место равенство
ли = flr(Q] = f(x°) = С,
и мы доказали (10).
Замечание. Число /(х°), фигурирующее в (10), назы-
вается средним значением непрерывной функции f на об-
ласти £1.
§ 2.4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНЫМ 173
§ 2.4. Сведение кратного интеграла
к повторным
Рассмотрим интеграл
d
= J f(x, y)dy, (1)
c
где функция f(x, у) задана на прямоугольнике
Д = [а, 6] х [с, d], (2)
т. е. на множестве точек (х, у), где
а < х < Ь, с < у < d (а < b, с < d).
Здесь интегрирование производится по переменной у.
Но подынтегральная функция зависит не только от у, но
и от х, поэтому интеграл (1) есть функция F от х.
Говорят, что интеграл (1) есть функция от параметра х.
Теорема1. Если функция f(x, у) непрерывна на пря-
моугольнике А, то функция F(x) непрерывна на отрезке
[а, 6].
Доказательство. Имеем
d
F(x + h)-F(x) = \[f(x + h,y)-f(x,y)]dy
С
(х, х + h е [а, 8]).
Так как функция f непрерывна на замкнутом ограни-
ченном множестве А, то она равномерно непрерывна на Д.
Следовательно, для любого £ > 0 найдется 8 > 0 такое,
что
|f(x + h, у) - f(x, у)| <
для всех (г, у), (х + Л, у) е Л, лишь бы |й| < 8. Но тогда
d
\F(x + h)-F(x)\< (d-c) = е,
и теорема доказана.
174 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 2. При условиях теоремы. 1 существует по-
вторный интеграл
Ь Ь d
J F(x)dx = J dx j f(x, y)dy . (3)
a a c
В самом деле, непрерывная на отрезке [a, 5] функция
F(x) интегрируема на нем.
Теорема 3. При условиях теоремы 1 справедливы
равенства
b d d Ъ
JJ f{x,y)dxdy = j dxj f(x,y)dy = J dyj f(x, y)dx. (4)
A a с c a
Первый член цепи (4) есть кратный интеграл от непре-
рывной функции на замкнутом множестве Д с кусочно-
гладкой границей. Он существует (см. ниже § 2.5). По-
вторные интегралы, представляющие собой второй и третий
члены цепи равенства (4), тоже существуют по теореме 2.
Данная теорема утверждает равенство этих трех интег-
ралов. Тем самым вычисление кратного интеграла сводит-
ся к вычислению одномерных интегралов по каждой пе-
ременной х, у в отдельности.
Доказательство. Разделим стороны Д на 7V равных ча-
стей:
а = х0 < Xj < ... < xN = Ъ,
С = Уо< У1 < - < Ун = d,
и через точки деления проведем прямые, параллельные
соответственно оси у и оси х. Этим Д разделится на равные
прямоугольники Ды:
Л = X ХЛ« - Дн = - х ж*«> У1 - У “
*=0 (=0
и
Ь d d
jdxjf(x,y)dy = У J dxj f(x, y)dy =
a c xk c
§ 2.4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНЫМ 175
TV-l^yi N-lVi+1 S'z+i
= X JdxX )Кх>у№у = XX j dxjf(x,y)dy =
*=0 Xt 1=0 yt k=0 1=0 Xh yi
JV-lJV-iyi-t1 N-lN-l
=XX jf^ywytek = XX^,7i,)Ai*A'
k=o 1=0 Vl k=o 1=0
(** xk+i’ Vi $ П,
(5)
Мы применили сначала к интегралу
по х от функции
У1+1
Jf(x9y)dy теорему о среднем, а затем к интегралу
У1
У1+1
\ffi>k>y)dy ту же теорему.
Vi
Мы доказали, что повторный интеграл в левой части (5)
можно рассматривать как интегральную сумму кратного ин-
теграла JJ fdxdy , соответствующую разбиению Д на части ДА(
А
при некоторых точках (^А, т];) g ДА(.
Перейдем теперь к пределу в равенстве (5) при N —>
Левая часть (5) при этом есть определенное (не зависящее от
N) число, а правая часть стремится при N —> <*> к кратному
интегралу от f по Д (если кратный интеграл существует, то
любая интегральная сумма стремится к этому интегралу).
Поэтому
b d
J dxj f(x,y)dy = JJ fdxdy t
a c A
и мы доказали первое равенство (4). Равенство второго повторно-
го интеграла с кратным интегралом доказывается аналогично.
Рассмотрим в плоскости х, у область £2, ограниченную
гладкими кривыми (рис. 35)
176
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 35
у = <р(х), у = у(х) (а< х < Ь),
где
<р(х) < у(х) (а < х < Ь).
Пусть на замыкании Q области
£2 задана произвольная непрерыв-
ная функция f(x, у). Чтобы вычис-
лить кратный интеграл от f(x, у) по
области Q (или, что все равно, по Q),
применяют следующий метод: сна-
чала интегрируют функцию f(x, у)
по переменной у от у = <р(х) до у = у(х), считая х посто-
янным, а затем результат интегрируют по х на отрезке
[а, Ь]:
.. Ь V(x)
JJ f(x,y)dxdy = jdx j f(x,y)dy . (6)
a <p(x)
В случае, когда Q есть прямоугольник со сторонами,
параллельными осям координат, равенство (6) было выше
обосновано (см. теорему 3). Теми же рассуждениями мож-
но было бы обосновать (6) и в общем случае.
Пример 1. Вычислить площадь эллипса
ТТ + ТГ-1 (а, b > °)-
CL О
Мы называем эллипсом множество точек (х, у), для
2 2
х У 1
которых -у + —2~ S 1, так же как множество точек (х, у),
а Ь
2 2
X у
для которых —= 1. Подобную вольность мы будем
а Ь
позволять себе, называя эллипсоидом как множество то-
2 2 2
z , Х У 2 Л
чек (х, у, z), для которых + -г- + — < 1, так и множе-
ство точек (х, у, z), удовлетворяющих уравнению
2 2 2
X У Z
— + —ч-----= 1
„2 .2 2
а Ь с
§ 2.4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНЫМ 177
Решение. Область О, о которой идет речь, ограниче-
на снизу кривой
у = -~у1а2-х2 (-а<х<а)
а
и сверху кривой
у = -X2 (-а < х < а).
Искомая площадь равна
Ь Г~2 2
-уа-х
a a “г _____
т£1 = JJ dxdy = J dx J dy = — J -J a2 — x2dx =
n -»
dx = (x = asin6, dx = acosf)d&) =
л/2 _____________ л/2
= 4b j Va2 — a2 sin2 0 cos0d6 = 4ab J cos2 0d0 =
о о
л/2
rl + cos20
= 4ab-------:----dB
J 2
о
= 2ab 6 +
„-1 л/2
sm201
~2
я
= 2ab • — = nab.
о
Пример 2. Вычислить площадь фигуры £1, ограни-
ченной параболой у = х2 и прямой у = а2 (рис. 36).
Имеем
а2
mQ. = JJ dxdy = 2 J dy J dx =
n oo
a2 4
= 2^Jydy = -a3.
0
Метод вычисления кратных интег-
ралов сведением их к одномерным при-
меняется в пространствах любых изме-
рений. Покажем это на примерах.
178
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 3. Требуется вычислить объем Q эллипсоида
2 2 2
X У Z ' <
Решим относительно z уравнение
2 2 2
а b с
Получим две непрерывные функции
J 2 2
, 1 х У
2 = ±cdl
V а2 Ь2
Они определены на множестве со точек (х, у), удовлет-
воряющих неравенству
2 2
х У 1
----1-2—- < 1
„2 .2 ’
а b
Объем или трехмерная мера О равен кратному интегралу
V - т£1 = JJJ1 • dxdydz.
п
Чтобы его вычислить, надо для любой точки (х, у) е <о
проинтегрировать единичную функцию (равную 1) по z от
у2
- Результат, зави-
а“ Ь2
к У2 к
2 = -с11-_2 “7ГД° 2 = с\]1~~2
V аг b V а
сящий от (х, у), затем надо проинтегрировать по всем
точкам (х, у) е со :
v = jJJ dxdvdz = Л dxdy J dz
£2 “
:2 у2
? Ъ*
§2.4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНЫМ 179
Последнее равенство в этой цепи следует из формулы
(6). Дальнейшие вычисления требуют владения техникой
интегрирования:
|----------------
а о, | п
т. Г j Г 1^/2 2\ 2 I
v = —\dx y\-^(a2-x2)-y2dy^
b J J V ar
о 0
z _______ \ a п/t n
| b I 2 2~ . I 8e Г Г Ь . 9 2 \ 2
у = —Va -x sint =—\ dx — (a - x )cos tdt =
I a ) b J J a2
oo
a
8bc It f 2 2\ >
= —5—7 (a -x )dx.
a 4Jo
л/2
Г 2
cos tdt = —
J 4
0
Далее
2тгЬс
3
= —nabc.
3
Пример 4. Найти объем части
ния Q: х2 + у2 < z < а2 (рис. 37).
Так же как в примере 3, имеем
параболоида враще-
,2
mH = JJJ dxdydz = JJ dxdy J d.
CO X2+J/Z
где co - множество точек (x, у), удовлетворяющих неравен-
ству х2 + у2 < а2, т. е. это круг радиуса а. Далее имеем
180
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
а т1а2-х2
,nQ = Jj(a2 -х2 -y2)dxdy = J dx J (a2 - x2 - y2)dy =
“ -« -Va2-z2
a 4 a2-x2 a
= 4 fdx J (a2 - x2 - y2)dy = j (a2 - x2)s/2dx =
-a 0 0
л л/2 л л/2, 42
8a4 f 4.. 8a4 rfl + cos2i^ ,
=(x = asinf) = — cos tdt = —- --------- dt =
О J О J V Z J
0 0 z
„ 4 <, 4 Ч2 4 4
=-^- + —— [cos2 2tdt = ^— + — f(l + cos4i)df =
3 3 J 3 3 j
о о
4 4 4
TZd TtCl Ttd
Пример 5. Найти объем тела Q, ограниченного повер-
хностями параболоидов вращения х2 + у2 = г, 2 = 2 (х2 + У2)
и цилиндрическими поверхностями у = -Jx , у = х2
(рис. 38).
Наше тело представляет собой «параболический баш-
мачок», который вырезают цилиндрические поверхности
§ 2.4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНЫМ 181
у = -Jx и у = х2 между пара-
болоидами вращения. Снизу
башмачок ограничен куском
поверхности z = х2 + у2, а
сверху куском поверхности
параболоида вращения z =
= 2(х2 + j/2). Проекция этого
тела Q на плоскость (х, у) дает
множество (О, состоящее из
точек (х, у), координаты кото-
рых удовлетворяют неравен-
ствам: 0 < х < 1, х2 < у < .
Поэтому
m£l = JJJ dxdydz =
о
Рис. 38
2(х2+у2)
U dxdy J dz =
ю х2+у2
j] (хг + у2)dxdy =
О)
1
= JdxJ(x2
о X2
+ y2)dxdy = [ х2(Jx - х2) + (х3/2 - х6) dx
J 3
О u
1 2,___1_
5+ 15 21
6
35 ’
Вернемся снова к интегралу (1), зависящему от пара-
метра.
Теорема 4. Если функция fix, у) непрерывна и имеет
непрерывную производную f'x на прямоугольнике
А = [а, Ь] х [с, d],
то функция
d
F(x) = J f(x, y)dy
c
182
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
имеет производную на отрезке [а, Л], причем
d
F'{x) = J £(х, y)dy . (7)
С
Доказательство. Мы должны доказать, что
d
lim = J £ (X; y)dy .
h->0 n J
c
Имеем, применяя теорему Лагранжа
(8)
AF(x) f f(x + h,y)-f(x,y) , v>
—-— = ------------------~dy = fx(x + Qh,y)dy, 0<6<l
h J n J
c c
Поэтому
AF(x)
h
d d
~ J fx (x> y)dy = j \f’x (x + ел, у) - f' (x, y)]dy
e e
d d
J \fx (x + ел, у) - fx (x, y)\dy < J Edy = E(d - c)
c c
при |Л| < 5, где 5 зависящее от е достаточно мало. Дело в
том, что функция f Х(х, у) непрерывная на А, равномерно-
непрерывная на А, т. е. для Х7т| 35:
| Гх(х+6Л, у) - f/х, у) | < Е
для любых (х, у), (x+h, у) е А.
Таким образом, равенство (8), а с ним и (7) доказано.
Рассмотрим теперь более общий, чем (1) интеграл
V(x)
F(x)= jf(x,y)dy,
<р(х)
(9)
где <р(х) и \|/(х) - непрерывные на отрезке [а, £>] функции,
удовлетворяющие неравенствам
<р(х) < ф(х) (а < х < Ь),
§ 2.4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНЫМ 183
a f(x, у) непрерывна для всех точек (х, у), удовлетворяю-
щих неравенствам
а < х < Ь, ф(х) < у < ф(х).
Покажем, что при указанных условиях функция F(x)
непрерывна на [а, Ь].
В самом деле, заменим в интеграле (9) переменную
интегрирования у на другую переменную и при помощи
равенства
у = ф(х) + и[\|/(х) - ф(х)] (а < х < Ь). (10)
При и = 0 у = ф(х), при и = 1 у = у(х), dy = [у(х) -
— ф(х)]«/и (х фиксировано, и его мы считаем постоянным
при замене переменной). Следовательно,
1
F(x) = [ф(х) - ф(х)]' J f(x, ф(х) + и[у(х) - ф(х)])ф. (11)
о
Здесь множитель \|/(х) — ф(х) есть непрерывная функ-
ция от х е [а, &], а под знаком интеграла стоит непрерыв-
ная функция от точки (х, и), принадлежащей прямоуголь-
нику [а, Ь] х [0, 1]. Поэтому сам интеграл - непрерывная
функция на [а, Ь] согласно теореме 1. Функция F(x) будет
непрерывной на [а, Ь], как произведение двух непрерыв-
ных функций.
Теорема 5. Если функция f(x, у) непрерывна вместе
со своей частной производной f'x на
Q = {a<x<b, ф(х) < у < у(х)},
а функции ф, \|/, ф', непрерывны на [а, Ь], то функция
(9) имеет производную, вычисляемую по формуле
у(х)
F'(x) - J f'(x, y)dy + х/(х)Дх, ф(х)) - ф'(х)/(х, ф'(х)). (12)
<р(х)
Доказательство. Введем вспомогательную функ-
цию
V
I(x,u,v) = J f(x,y)dy ,
и
184 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
заданную на множестве {а < х < Ь, <р(х) < и < v < \g(x) }.
Согласно теореме 4
V
[f*(x>y)dy •
дх J
и
Используя правило дифференцирования интеграла с
переменным пределом интегрирования, имеем
Э1 « х Э/ „ х
— = f{x, v) , — = -fix, и).
ov ои
Далее Fix) — Дх, <p(x), v(x)J, поэтому по правилу диф-
ференцирования сложной функции получаем
dF _ ЭДх,<р(х), \|/(х)] ЭД.. .]<2<р ЭД...]</у
dx Эх Эи dx dv dx
VP)
= J £(*> У№у - fix, <р(х))<р'(х) +fi*, у(х)Х(х),
<₽(*)
что и требовалось доказать.
Пример 6. Найти производную от функции
Fix) = j sin(x2 + y2)dy .
X2
Согласно (12) получаем
F'ix) J cos(x2 + у2) 2xdy +1 • sin(x2 + x2) - 2xsin(x2 + x4).
X‘
§ 2.5. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 185
§ 2.5. Доказательство существования
интеграла от непрерывной функции
Зададим на замкнутом ограниченном множестве Q простран-
ства Rn непрерывную функцию fix), х = (xt, ..., хп). Считаем,
что mil > 0. Произведем два разбиения р и р' области П на
измеримые части, пересекающиеся в каждом случае разве что
по своим границам:
N м
q = |Jqa q =
*=i i=i
и определим соответствующие им интегральные суммы
N
«Р = ХЛ^>тП* = ^1’• • ”& е ’
Л=1
м
SP' = = 01'1...п'л) е QJ)
1=1
Пересечение и П'( обозначим через
«и = Ъ
Очевидно,
N М N М
sP = X/(V)X = ХХ^*х>ы,
Л=1 Z=1 /=1
М N N М
sP- = = XX^')mQ-«.
i=i *=1 k=i 1=1
Поэтому
N M
|Sp - sj < X XIXl - Ая')1 ,
*=11=1
г
где сумма распространена на не пустые множества -
ведь мера пустого множества все равно равна нулю.
Так как функция /(х) непрерывна на замкнутом ограничен-
ном множестве О, то она равномерно непрерывна на нем, по-
этому для любого £ > 0 можно указать такое 8 > О, что
186
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Е
|/(х') - Дх")| < ——-
zmiz
для любых х', х" е Q, удовлетворяющих неравенствам
|х' - х"| < 8.
Будем считать, что разбиение р и р' таковы, что диаметры
их частичных множеств меньше 8:
d(12t) < 8, d(£2'; ) < 8. (1)
Но тогда на не пустом множестве £1Ы
I /(£*)- /Сл')1 = IM*) - ЛИ + ЛИ - яп')1 * №*) - ЛИ +
Е £ Е
+ 1»”> - < ^ +
где
X*' = (Х«, .... X “)
есть некоторая точка, принадлежащая к £2W . Но тогда при
выполнении условия (1)
/ ___ г
Ир - 5р'|<X ^mQkl = X •тП = £- (2)
что, как можно доказать, влечет существование интеграла от
f по £1.
В самом деле, зададим последовательность разбиений
N,
рг: =Q (l = 1, 2, ...)
j=i
таких, что
maxd(Q;) —> 0 . (3)
j
На основании свойств (1) и (2) для любого Е > О найдется
N такое, что
|Sp/-Sp„|<E (X т> N).
Но тогда, согласно критерию Коши, существует предел
lim S , = I.
I—Р
§ 2.6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ 187
Этот предел не зависит от взятой нами последовательности
р', удовлетворяющей условию (3), потому что, если допустить,
что для некоторой последовательности р'' имеет место
lim Si- = L*I
i'^ P 1
то последовательность разбиений
p', p'', p2> P2'. P3.
удовлетворяла бы условию (3), а ей соответствующая последо-
вательность интегральных сумм
Si Sv S 2 Si- Sa ...
p > p ’ p > p p •
не стремилась бы к пределу, что противоречит уже доказан-
ному неравенству (2).
Если mil = 0, то интеграл от f на 12, очевидно, существует
и равен нулю.
§ 2.6. Замена переменных.
Простейший случай
Покажем, как видоизменяется интеграл
JJ x^dx^dx^ .
П'
если в нем произвести замену переменных
x'i = ах, + Ьх2, ( а
. D =
х2 = cxt + dx2 с
(1)
(2)
Будем считать, что Q' — область с непрерывной кусоч-
но-гладкой границей Г7 (рис. 39).
Рис. 39
Рис. 40
188 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Преобразование, обратное к (2), отображает Q' на неко-
торую область Q плоскости хр х2с кусочно-гладкой гра-
ницей Г (рис. 40). При этом на Q определена функция
F(xp х2) = f(axl + bx2, cXj + dx2) ((хр х2) е Q).
Введем в плоскости хр х2 прямоугольную сетку со
сторонами квадратов А длины h. Она отображается при
помощи уравнений (2), вообще говоря, в косоугольную
сетку, делящую плоскость х',, х'2 на равные параллело-
граммы Д' (образы А), имеющие площадь (пояснения ниже)
|Д'| = |Л| |д| = йЗД- (3)
Тем самым определены разбиения р, р' соответственно
областей Q, Q'.
Поясним равенства (3) подробнее. Произвольный квад-
рат А определяется двумя векторами (й, 0), (0, й), которые
будем считать выходящими из левой нижней вершины А.
Первый вектор (направленный отрезок) совпадает с осно-
ванием А, а второй — с вертикальной стороной А. Преоб-
разование (2) отражает эти векторы соответственно в век-
торы (ай, ей), (Ьй, dh) — стороны параллелограмма А'.
Площадь Д', как мы знаем1, равна
> ah ch о. ।
А '= = й2Л
bh dh '
Имеем
Sp-(/) = X/(^’X2)|A'l=XF(xi’x2)|£>|-|A| = (4)
((xvx2) e A, (x'„ x'2) e Д').
Мы считаем, что вторая сумма в этой цепи распростра-
нена только на полные квадраты А с Q, соответственно -
первая — на соответствующие им полные параллелограм-
мы Д' (см. замечание 4 § 2.1). Переходя к пределу в (4)
при й —» 0, получим формулу
JJ f{x{, x'2)dx{dx2 = JjF(x1,x2)|Z>|dx1dx2 =
n' si
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной ал-
гебры и аналитической геометрии», § 12.
§ 2.7. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
189
= |Л| jfF(xl,x2)dx1dx2. (5)
£1
В этом рассуждении можно считать, что функция f
непрерывна на £2' и тогда функция F будет непрерывной
на £1. Но этот результат остается верным и в случае, когда
f ограничена на £2' и непрерывна всюду на £2', исключая
отдельные точки или кусочно-гладкие линии.
В следующем параграфе дается общая формула замены
переменных в кратных интегралах.
§ 2.7. Замена переменных. Общий случай
Ограничимся сначала двумерным случаем. Зададим две
функции
((rq, х2) е £2) ,
= ф(х1,х2),
А = v(ai, х2)
имеющие непрерывные производные на замыкании £1 ог-
раниченной области с кусочно-гладкой границей. Будем
считать, что преобразование (1) отображает £2 на некото-
рую область £2' с кусочно-гладкой границей взаимно од-
нозначно.
Зададим функцию /(х')> непрерывную на £Y либо огра-
ниченную на £2' и непрерывную всюду, исключая отдель-
ные точки и кусочно-гладкие линии.
При этих условиях формула (5) § 2.6 замены перемен-
ных в кратном интеграле сохраняется, но роль определи-
теля D теперь уже играет определитель Якоби1
(1)
„ Х>(х{,х2)
Л(х) = 1 1 27
D(X1,x2)
Dtp Эф
3xj Эх2
Эф Эу
Эхх Эх2
JJf(x{, x'2)dx[dx2 = JJЯф(хр х2), ф(хр х2)]|D(x)\dx1dx2. (2)
£У Q
1 К. Г. Я. Якоби (1804-1851) — крупный немецкий математик
и механик.
190
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
а
с
b
d
Определитель
, о котором шла речь в § 2.6, тоже
можно рассматривать как якобиан линейной системы
х', = ах, + Ьх,, х\ = сх, + dx„.
В трехмерном случае формула замены переменных в
кратном интеграле выглядит следующим образом:
JJJ Х'2’ х'з)^х'1^х2^х'з =
О'
= JJJA<P(^1,^2’X3)>V(^1»^2’X3)»X(X1>X2’X3)] *
п
х | D(x) | dxrdx2dx3,
(3)
где
x'l = ф(Х1,Х2,Х3),
x'2 = v(xp x2, x3),
х'з = х(*1> x2, Xg)
((xp x2, x3) 6 Q),
(4)
- непрерывно дифференцируемые функции на замыкании
£2 области 12 с кусочно-гладкой границей и
Э<р Эф Эф
Эх2 Эх2 Эх3
Л(х) = Эф Эу Эф
Эхх Эх2 Эх3
Эх Эх Эх
Эхт Эх2 Эх3
При этом предполагается, что область £2 отображается
на £2' при помощи (4) взаимно однозначно. По-прежнему
предполагается, что /(»') непрерывна на ГУ или ограниче-
на на £2' и непрерывна на £2', исключая конечное число
точек, кусочно-гладких линий и кусочно-гладких поверх-
ностей.
На рис. 41, 42 изображены области 12 и 12' в плоскостях,
соответственно хг, х2 и x'v х'2. Прямоугольная сетка, делящая
§ 2.7. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
191
Рис. 43
плоскость Xj, х2 на квадраты Д со стороной длины h, перехо-
дит в криволинейную сетку, делящую £2' на криволинейные
параллелограммы Д'.
Рассмотрим произвольный квадрат Д G £2 (рис. 43). Он
отображается при помощи преобразований (1) на криволиней-
ный параллелограмм Д' (рис. 44). Из вершины Д', имеющей
координаты (х'д, х'2), выпущены векторы, касательные к «сто-
ронам» Д':
дх1
j
( угловой коэффициент касательной к кривой
х{ = <p(Xj, х2 ),
х'2 = v(X!,X2)
при фиксированном х2 равен ). Эти векторы заменя-
192
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ют соответствующие «стороны» с точностью до бесконечно
малых высшего порядка (при h -> 0!). Параллелограмм Д",
построенный на этих векторах, имеет точно вычисляемую
площадь
|Д"| = h2
dtp
dxx
dtp
dx2
dtp
dxx
dtp
dx2
D(x[,x'2)
D(xltx2)
= Мад1-
Можно аккуратно показать, что площадь (двумерная мера)
криволинейного параллелограмма Д' имеет вид
|Д'| = (|В(х)| + £Д)Й2,
где величина ед стремится к нулю при Л -> 0 и притом равно-
мерно для всех квадратиков Д. Для каждого квадрата Д вели-
чина £д зависит от Д и стремится к нулю при h -> 0. Равно-
мерность стремления проявляется в том, что для любого £ >
0 можно указать такое 8 > 0, что
|ед| < V Д с h < 8.
Рассмотрим интегральную сумму функций f(x'), соответ-
ствующую разбиению О', как на рис. 42. При этом мы берем
сумму по «полным» Д', т. е. таким, которые соответствуют
квадратам Д, полностью принадлежащим к £1 (Д g О). Тогда
£г(х')|д'| - £ fltp(x),v(x)][|P(x)| + ед]Л2 =
= У /19(х), v(x)]| Л(х)| h2 + г Л^о J я<р(х), V(x)]| D(x)\ dx.
п
Здесь х' - произвольная точка, принадлежащая к Д' (х' е Д'),
а х — соответствующая ей при помощи (1) точка, очевидно,
/
принадлежащая к Д (х е Д). Знак У обозначает, что сумма
распространена на полные квадраты Д (Д с £2). Далее
|г„| = У, Яф(х), у(х)]£дЛ2
< h2 < М emQ
(М>|/[Ф(х),у(х)]|),
откуда видно, что
Г„ -4 0.
п->0
Итак, формула (2) доказана.
§ 2.8. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПЛОСКОСТИ 193
§ 2.8. Полярная система координат
в плоскости
Луч, выходящий из заданной точки 0, называют по-
лярной осью, а точку 0 полюсом полярной системы коор-
динат (рис. 45). Произвольная точка А плоскости имеет
полярные координаты (р, 0), где р - расстояние от А до О,
а 0 - угол между векторами (направленным отрезком) ОА
и полярной осью, отсчитываемый от последней против
часовой стрелки.
Введем прямоугольную систему координат х, у, у которой
положительная ось х совпадает с полярной осью (рис. 46).
Система уравнений
х = pcos0, у = psin0 (1)
осуществляет преобразование полярных координат в де-
картовые (прямоугольные). Правые части в равенствах (1)
- непрерывно дифференцируемые функции с якобианом
П(х, у) cos 0 - р sin 0
АУ m н =р>0. (2)
D(P> 6) sin 0 р cos 0
Уравнение
р = у(0) (0, < 0 < 02),
где \|/(0) ~ непрерывная на отрезке [0П 02] функция, опре-
деляет в полярных координатах кривую Г - геометричес-
кое место точек, полярные координаты которых удовлет-
воряют этому уравнению.
Будем считать, что О < 02 — 6, < 2л . Тогда кривая Г
такова, что любой луч, выходящий из полюса О под уг-
7. Бугров Я. С.
Рис. 47
194 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
лом 0 к оси х, где 0j < 0 < 02, пере-
секает Г в одной точке (рис. 47).
Зададим в плоскости х, у область
Q, ограниченную лучами 0 = 0,, 0 = 02
и кривой Г . При высказанных ус-
ловиях любая точка (х, у) е Q соот-
ветствует при помощи уравнений (1)
только одной паре (р, 0), где 0j<0<02.
Пусть теперь на замыкании П кашей
области Q задана непрерывная фун-
кция f(x, у) от (х, у) или она может
быть ограниченной на Q и непрерывной всюду, исключая
отдельные точки и гладкие линии. Тогда имеет место ра-
венство
е2 у(е)
Д f(x, y)dxdy = J d0 j /(р cos 0, p sin 0)pdp . (3)
n 0
Согласно формуле (2) § 2.7 мы заменили х, у через р,
0 посредством равенства (1) и ввели в качестве множителя
абсолютную величину якобиана |р| — р - Для области Q'
пар (р, 0), соответствующей исходной области Q, сразу же
расставлены пределы — сначала интегрируем по р от 0 до
у(0), а затем по 0 от 01 до 02 .
Пример 1.
2я я
Д ехр(х2 + y2)dxdy = Jс?б| ехрр2 • pdp =
x2+y2<R2 О О
Я Я2
= njexpp2d(p2) = (и = р2) njeudu = n[eR - 1].
о о
Мы следовали формуле (3). Надо учесть, что область,
определяемая в декартовых координатах неравенством
х2 + у2 < R2, в полярных координатах определяется нера-
венством р < R .
Формулу (3) можно получить из естественных сообра-
жений, не прибегая к общей формуле (2) § 2.7.
Плоскость х, у разбиваем на элементарные фигуры
близкими концентрическими окружностями и выходящи-
§ 2.8. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПЛОСКОСТИ 195
ми из полюса полярной системы лучами (рис. 48). Пло-
щадь произвольной элементарной фигуры (возле точки
(р, 6) ) или, как говорят, элемент площади в полярных
координатах, равна с точностью до бесконечно малых выс-
шего порядка As ~ pdpdQ (заштрихованная фигура на
рис. 48 может быть приближенно принята за прямоуголь-
ник со сторонами dp и pd0). Поэтому, если просуммиро-
вать по этим элементам, то получим
lim V Кр,Ар;Д0; = Г[F(p,0)pdpd0 ,
др,лв->о^ 1 ’ 1 ' JJ
П'
где
F (р, 0) = f (pcos 0, psin 0).
Пример 2. Вычислить интеграл
I = JJ sinд/х2 + у2 dxdy
п2<х2+у2<4п2
Переходя к полярным координатам (рис. 49), получаем
2тг2л 2л
I = J J sin р • pdpd0 = 2л J р sinpdp = (р = Uj sinpdp = dv) =
9 |2К
= - 67Щ + 2л sinp = -6л2.
Ук
Рис. 48
Рис. 49
196
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2.9. Полярная система координат
в пространстве
Система уравнений
х = р cosG costp, у = р cosGsincp, z = psinG (1)
осуществляет переход от полярных (сферических) коорди-
нат в пространстве к декартовым (рис. 50). Здесь р - рассто-
яние точки Р (х, у, z) до начала координат (полюса поляр-
ной системы), 0 - угол между радиус-вектором р точки Р и
его проекции на плоскость х, у, <р - угол между указанной
проекцией и положительным направлением оси х. Его
отсчитывают в том направлении, в котором надо вращать
вокруг оси z ось х, чтобы прийти к оси у кратчайшим
путем. Можно считать, что 0 < <р < 2л и -л/2 < 0 < л/2.
Функции справа в (1) непрерывно дифференцируемы с
якобианом
-Р(х, у, z)
D~ _D(p,<p,G) -
cos G cos — p cos 0 sin <p - p sin G cos <p
cosGsintp pcosGcostp -psinGsintp
= p2cosG. (2)
sin GO p cos G
Рис. 50
Рис. 51
§ 2.9. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ 197
Пусть а есть поверхность, описываемая в полярных
координатах функцией р = у(0, <р) ((0, <р) е со), непрерыв-
ной на замыкании области со и пусть Q - трехмерная
область пространства (х, у, z), ограниченная поверхнос-
тью и и конической поверхностью, лучи которой выходят
из нулевой точки и опираются на край о (рис. 51). Тогда
для непрерывной на П функции f(x, у, г) имеет место
равенство
v(e.<p)
JJJ fix,у, z)dxdydz = JJ dOdcp J F(p, 0,<p)p2 cos0dp , (3)
Q <0 0
где Др, 0, ср) = f(pcos0cos<p, pcos0sin<p, psin0).
Мы воспользовались общей формулой (3) § 2.7, учиты-
вая равенство (1) и (2). В данном случае -л/2 < 0 < тг/2,
поэтому p2cos0 > 0.
Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных
координатах, рассечем пространство на малые части кон-
центрическими шаровыми поверхностями с центром в
полярном полюсе (точке р = 0), плоскостями, проходящи-
ми через ось г, и коническими поверхностями, определя-
емыми углами 0 и 0 + dQ (рис. 52), имеющими своей осью
ось z. Легко видеть, что полученные при этом малые ячей-
Рис. 52
198
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ки можно считать приближенно прямоугольными парал-
лелепипедами с ребрами pd6, dp, pcos0 dtp, поэтому их
объем, с точностью до бесконечно малых высшего порядка,
Др = p2cos0 dp d0 dtp,
где (p, 0, tp) - одна из точек ячейки.
Пример. Вычислить тройной интеграл
I = JJJ xyzdxdydz;
п
где Q - область точек с положительными координатами,
ограниченная поверхностями х = 0, у = 0, z = 0, х2 + у2 +
+ z2 = 1.
Введем полярные (сферические) координаты по форму-
лам (1), тогда для области Q: 0 < р < 1, 0 < 0 < тг/2,
О < tp < л/2. Согласно формуле (3) имеем
тс/2 л/2 1
I = J с/ф J d0J р5 cos3 0 sin 6 cos ф sin фdp =
ООО
л/2 л/2 1
J - cos фd cos ф j - cos3 0 sin 0 J p5dp =
0 0 0
о
COS ф
rt/2
4 fi
cos4 0 p6
4 , T
7 0
1 1 1 _ JL
2'4*6 “ 48 ‘
§ 2.10. Цилиндрические координаты
Зададим в трехмерном пространстве прямоугольную
систему координат х, у, z. Произвольная точка А = (х, у, г)
пространства определяется также тройкой чисел (р, 0, г),
где z — по-прежнему ее аппликата, а (р, 0) - полярные
координаты точки (х, у) плоскости хОу в предположении,
что полярная ось совпадает с положительным направле-
нием оси х (рис. 53).
§ 2.10. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
199
Очевидно,
X = PCOS0,
у — р sin 0, •
Z-Z.
Якобиан этого преобразования
Р(х, У, 2}
D ~ Z»(p,0,z)
COS0 — pCOS0
sin0
О
pCOS0
О
0
О
1
= р > 0 . (2)
Формула
ется так:
JJJ f(.x, у, z)dxdydz = JJ| /[р cos 0, р sin 0, z]pdpdQdz.
о О'
Чтобы наглядно получить элемент объема в цилиндри-
ческих координатах, рассечем пространство концентричес-
кими цилиндрическими круговыми поверхностями, име-
ющими осью ось z, плоскостями, проходящими через ось
г, и плоскостями, параллельными плоскости хОу (рис. 54).
Элемент пространства, ограниченный этими поверхностя-
замены
переменных в этом случае записыва-
Рис. 54
Рис. 55
200 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ми, с точностью до малых высшего порядка, представляет
собой прямоугольный параллелепипед с ребрами dp, dz,
pdG. Его объем равен pdpdQdz.
Пример. Найти объем тела Q, ограниченного повер-
хностями
( 2 . 2 А2
х +у
. а2
+ — = 1, г = 0 (а, с > 0) (рис. 55).
Как нам известно,
V - mQ. = JJJ dxdydz .
я
Вводя цилиндрические координаты (1) получаем
а 2л
v = JJJ pdpdQdz =
J J pdpdO J
dz
oo о
Г гл
= 2лс[р 1-^ dp =
о I a )
2 2
-лас.
3
§ 2.11. Площадь поверхности
Зададим в трехмерном пространстве R = R3, где опре-
делена прямоугольная система координат х, у, г, поверх-
ность S, описываемую уравнением
2 = f(x, у) ((х, у) е G). (1)
Мы предполагаем, что G есть открытая ограниченная
область плоскости х, у с кусочно-гладкой границей, а
функция f имеет непрерывные частные производные
_ э/ э/
Р дх ’ ду
на G. Разрежем G на части, пересекающиеся попарно разве
что по своим (кусочно-гладким) границам
(2)
§2.11. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
201
N
G=£G<-
j=l
Пусть (х;, j/;) - произвольная точка G. (j = 1, N). Ей
соответствует точка Р.е S с координатами xjf у}, где
fj = f(xj> У)- В точке А проведем плоскость Zy, касатель-
ную к S. Построим на границе как на направляющей
цилиндрическую поверхность Г. с образующей, параллель-
ной оси г. Она вырежет в касательной плоскости L. кусок
I.. Площадь его обозначим через .
По определению площадью поверхности S называется
предел
N
|s|= lim У|л|
1 1 * maxd(G,.)-»0^ 7 •
Косинус острого угла нормали nj к S в точке с осью
z равен
COS(n;, 2) = 1/^1 + Р? + 9? ,
где квадратный корень взят со знаком +, a pjt qf обозна-
чают результаты подстановки в р, q значений х., у? Ведь
уравнение касательной плоскости имеет вид1
(Z - 2,) - Pj (X - х.) - q. (У - j/.) = 0
и, следовательно, нормаль к ней определяется вектором
(-р;, -q? 1). Очевидно, что G. есть проекция Zy на плоскость
х, у и, следовательно, площадь (двумерная мера) равна
|Gj = | /; | cos(n., 2),
I М - !<# + ₽! + ??
и
N N
|s|= lim V|Z;| = lim + =
' 1 maxd(G 7 maxd(G)->0 V 7 7 7
y=l 1~L
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление», §8.7, 8.8.
202
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
= JJ ^1 + р2 + q2dxdy ,
G
так как функция -Jl + р2 +q2 непрерывна на G, а следо-
вательно, интегрируема.
Мы доказали, что площадь поверхности S, описывае-
мой уравнением (1), выражается по формуле
181 = JJ у/1 + (%)2 + (fy)2 dxdy . (3)
G
Конечно, если поверхность S задана при помощи фун-
кции
х = F(y, z) ((у, z) е Н), (1')
явно выражающей зависимость х от у, г, то
181 = JJ Jl+Utf +(F;)2dydz, (3')
н
а если S задана функцией
у = Ф(х, z) ((х, z) е Л), (1")
то
181 = JJ ^ + {Ф'Х)2 +(<b,y)2dxdz. (3")
А
Пример 1. Вычислить площадь части сферы х2 +
+ у2 + z2 = а2, заключенной внутри кругового цилиндра
х2 + у2 = Ь2, (Ь < а).
В данном случае z = + ^а2 _ х2 - j/z . Пусть Gb есть
четверть круга радиуса Ъ с центром в начале координат
(рис. 56). Согласно (3), учитывая симметрию, находим
§ 2.11. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
203
Ь п/2
8И , _8J [_£«_
ft J«2-x2-»2 { i 7“2-p2
= 2ita[-2(a2 - pZ)^2|0 = 4rta(a --ja2 - b2 ).
При b = а интегралы в этой
цепи надо понимать в несоб-
ственном смысле (см. далее
§2.13).
Преобразуем интеграл (3),
сделав в нем подстановку
X = ф (и, и), у =
= ф (и, v) ((u, v) е fi), (4)
приводящую во взаимно одно- /у
значное соответствие области Q Рис. 56
и G, в предположении, что <р и ф
непрерывно дифференцируемы
на П и якобиан
«^>,о
Р(и, о)
на Q.
(5)
Подставляя в формулу (1) выражения х и у из (4),
получим
Z = f [ф(щ V), ф(и, о)] = X {U, и).
Тогда
_ Э/ Э<р Э/ Эф
Эи Эх Эи Эу Эи ’
Эх = Э/ Эф ! Э/ Эу
Эи Эх Эи Эг/ Эи '
Решая
Э/ Э/
эти уравнения относительно р = — , q = и
учитывая (5), получим
D(y,z) /Д(х, у) _ D{z, х) !Р{х, у)
Р(и, и) / Р(и, и) ’ Р(и, и) / Р(и, и) '
204
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Поэтому, применив к интегралу (3) формулу о замене
переменных (2) § 2.7., получим
G
X П(х, у) dudv • (6)
D(u, v)
Таким образом, площадь поверхности S выражается
также формулой
Jz \2 z \2 z \2
Г0См/>-| (7)
D(u, v) J D(u, v) J D(u, v) J
Гладкую поверхность S можно задать параметрически -
при помощи трех уравнений
х = х(и, о), у = у(и, v), z = г(и, v) ((и, v) e Q), (8)
где функции х, у, z имеют непрерывные частные произ-
водные на замыкании П области Q значений (и, v), назы-
ваемых параметрами S. При этом предполагается, что ранг
матрицы
II Хи У и
I х» У У
равен 2 для всех точек (и, о) е
имеет место неравенство
zu
2у
£1 . Это показывает, что
D(u, v) J
D(u,v) J Г)(и, v) J
0 (V(u, v) g Q). (10)
В самом деле, это неравенство выражает тот факт, что
для любого (и, и) е й по крайней мере один из членов
суммы в левой части (10) не равен нулю. Таким образом,
один из определителей второго порядка, порождаемых
матрицей (9), не равен нулю.
§ 2.11. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
205
Отметим, что три уравнения (8) поверхности ^ можно
записать в векторной форме
r(u, v) = х(и, v)i + у(и, v)j + z(u, v)k, (11)
где, таким образом, вектор г — г(и, о) (радиус-вектор точки
поверхности S) зависит от двух скалярных параметров и
и V.
Дифференцируя равенство (11) по и и по v, получаем
dx. dy . dz
du du du
dx . dy . dz
do dv dv
(12)
Векторное произведение этих двух векторов есть
i j k dx dy dz
Ги X rv = du du du dx dy dz dv dv dv
dy dz dy
du dv dv du J +
dz dx dz 3xY
du dv dv du /
Jdxdy_dxjy)fe .D(y,z) t .D(z,x) t ^D(x,y)
Idudu dv du J D(u,v) 1 D(u,v) D(u,v) ( ’
Квадрат длины вектора ru x rv оказывается равен левой
части (10):
у) У +
D(u, v))
Р(У>2)}2 + (D{Z, x)Y
D(u, v) J \^.D(iz,u) J
Уравнения
x = cos 6 cos <p, у = cos 6 sintp, z = sin 6
определяют сферу радиуса 1 с центром в нулевой точке
(х2 + у2 + z2 = 1). Мы видим, что всю сферу можно задать
206
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
в параметрическом виде едиными уравнениями. В явном
виде, т. е. в одном из видов (1), (1'), (1"). сферу в целом,
очевидно, задать нельзя. Только отдельные куски сферы,
если они проектируются однозначно на ту или иную ко-
ординатную плоскость, возможно описать в явном виде.
С другой стороны, поверхность S, заданную параметри-
чески при помощи уравнений (8), всегда можно выразить
явно, но только локально. В самом деле, зададим какую-
либо точку А е S, соответствующую параметрам (и0, и0). В
силу условия (10) в этой точке одно из слагаемых левой
части (10) больше нуля, пусть первое. Но тогда в окрест-
ности (п0, и0) можно решить первые два уравнения (8)
относительно иной получить
и = Цх, у}, v= ц (х, у).
Подставив эти функции в третье уравнение (8), полу-
чим, что некоторый кусок о поверхности S, содержащий
в себе точку А, описывается явно уравнением вида
z = f(x, у).
Мы видим, что параметрическое задание поверхности
является, вообще говоря, более общим, чем явное.
Если поверхность S задана параметрически уравнени-
ями (8), то по определению ее площадью называется чис-
ло, равное
IS ।= JJ кх • (14)
п
Заметим, что всякой области со, принадлежащей к Q,
соответствует при помощи уравнений (8) некоторая повер-
хность о с S. Это кусок поверхности S . Согласно опреде-
лению (14) площадь о равна
|о|= > xrvjdudv. (15)
(0
Ясно, что если о разрезать на два куска ор о2, соответ-
ствующие областям <0j, со2 (со =£5, + б52 ), то
Ы = > xrv\iudv = JJ |ru х rv\iudv + JJ|r„ х rv^udv =
Ы О)! <1>2
= N + |o2|.
§2.11. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
207
Это показывает, что определение (14) обладает естествен-
ным свойством - площадь куска о поверхности S равна
сумме площадей кусков о, и о2 на которые он разрезан.
Подчеркнем также, что если определение (14) пощади
|о| применить к куску о, проектируемому однозначно на ту
или иную координатную плоскость, то оно эквивалентно
исходному определению площади такого куска ((3), (3')
или (3"))- Это было доказано выше (см. (6)).
Пример 2. Найти площадь поверхности, заданной па-
раметрически:
х = rcoscp, у = rsin ср, z = tup (0 < г < а, 0 < ф < 2л).
Данную поверхность называют геликоидом. Вычислим
якобианы:
Р(х,у) _ Р(х, Z) COS ф
D(r, ф) ’ D(r, ф) 0
- г sin ф
Ь
= бСОБф,
D(y, Z) 8Шф
Р(г, ф) 0
Г COS ф
ь
= бэШф.
Далее,
£>(г,ф)
Р(У,г)
Р(г,ф).
D(x,z)
1>(г,ф)
= г2 + Ь2.
Поэтому на основании формулы (14) имеем
______ 2 л с
I S| = JJ Vr2 + b2 drdtp = J J Jr2 +b2drd<p =
« 0 0
a _________
= 2л [Vr2 +fc2dr = 2л -Vr2 +b2
2
ln(r + -Jr2 + b2)
0
208
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2.12. Координаты центра масс
В пространстве, где введена прямоугольная система
координат, пусть задана материальная точка Р = (хр х2, ха,)
с массой Мр. Статическим моментом этой точки относи-
тельно плоскости х; =0 называется произведение Мр х. и
обозначается символом
Кх = Мр х..
Статический момент относительно плоскости xt = 0
конечной системы материальных точек Р. =( х^1, x2w, x3w,)
с массами АГ определяется равенством
.
i
Наконец, если масса распределена по некоторому мно-
жеству G, то статический, момент тела G относительно
плоскости xf = 0 определяется как интеграл
KXi = | p(F)xfdG = J p(P)xldx1dx2dx3 г
G G
где p (F) — плотность распределения массы.
Центр тяжести Рс тела G имеет координаты (х^, х2с,
х3с,), определяемые равенствами
xi = J *iP(P)dG / Г p(P)dG (i = 1, 2, 3).
G I G
В частности, если n =2 и G есть криволинейная трапе-
ция в плоскости хр х2, ограниченная сверху графиком
функции х2 = /(х,) и снизу осью хр равномерно заполнен-
ная массами с плотностью р = 1, то (рис. 57)
Ъ /(Х])
J x2dxYdx2 J dx} J x2dx2
x': — G_________ __ a_______0______
J dxrdx2
G
b
-^-\f{x^dx}
ZfTlCr J
§ 2.12. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС
209
/(xf)
2
f X2
Ведь jx2dx2= —
о о
Отсюда
2kx2 mG =
ь
nJ /2(x1)dx1 • (1)
а
В правой части (1) стоит объем тела, полученного от
вращения криволинейной трапеции G около оси xv
Таким образом, мы получили известную теорему
Гюльдина1: объем тела вращения криволинейной тра
пеции G равен ее площади, умноженной на длину окруж-
ности, описываемой центром масс (тяжести) этой тра-
пеции около оси хг.
Если G есть однородная (р = 1) кривая х2 = ftxj),
а < х, < b, то
J x2dl J ffx^jdl
„е _ G____ _ G________
•X-Q “ —
mG mG
П. Гюльдин (1557-1643) - швейцарский математик.
210
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где mG - длина кривой в пределах [а, 6], dl — элемент
длины дуги. Так как dl = -Jl + f'(xl)2dx1, то
ь
Х2 = Г + dx,
mb J
a
ИЛИ
b ___________
2nx2mG = 2лj /(xj-jl + fXxrfdx^ . (2)
a
В правой части (2) стоит площадь поверхности враще-
ния кривой G (х2 = /(Xj), а < х, < b) около оси xv Таким
образом, равенство (2) дает другую
Рис. 58
теорему Гюльдина: площадь по-
верхности вращения кривой G
(х2 = f(xx), а < х, < Ь), равна длине ее
дуги, умноженной на длину окружнос-
ти, описываемой центром масс этой
дуги около оси хг
Теоремы Гюльдина позволяют по
двум известным величинам находить
третью. Например, если известны ко-
ординаты центра тяжести и объем тела
вращения, то можно определить пло-
щадь криволинейной трапеции и т. д.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести криво-
линейной трапеции G = {-R < х< R, х2 < у < Я2} (рис. 58).
Пусть Р =(хс, ус) - центр тяжести. В силу симметрии
ясно, что хс = 0 (мы считаем р - 1). Найдем площадь
трапеции G :
mG = R2-2R - 2 [x2dx = 2йэ --R3 = — R3 .
J 3 3
о
Объем тела, полученного от вращения G около оси х,
равен
§ 2.12. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС
211
г 2 2 8
V = 2Я-лЯ4 - 2л J (х2) dx = 2tlR5 ~-kR5 = -nR5 .
о
На основании первой теоремы Гюльдина
У
V 3 „2
2nmG 5
Пример 2. Найти объем тела, полученного от враще-
ния круга G = {х2 + (у - а)2 < г2} с центром в точке (0, о),
радиуса г (г < а), около оси х (рис. 59).
Ясно, что центр тяжести круга (однородного) совпадает
с его геометрическим центром, т. е. Xе = 0, ус= а . Площадь
круга mG = nr2. Поэтому по первой теореме Гюльдина
V = 2па пг2 = 2л2г2а.
Пример 3. Найти площадь поверхности тела враще-
ния, рассмотренного в примере 2.
Данную поверхность можно рассматривать как поверх-
ность, полученную от вращения окружности х2 + (у - о)2 =
= г2 около оси х. Длина этой окружности равна 2пг.
Поэтому по второй теореме Гюльдина
S = 2па - 2пг = 2п2аг
Рис. 59
Рис. 60
212
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(центр тяжести однородной окружности также совпадает с
центром (0, а) этой окружности).
Пример 4. Найти центр тяжести однородного (п н= 1)
полукруга х2 + у2 < R?, у > О', полуокружности х2 + у2 =
К, у > 0.
4 „з
Известно, что объем шара радиуса R равен — я/с , а
О
площадь поверхности шара равна 4nZ?2. По формуле (1)
получаем (рис. 60)
_ с nR2 4 з с 4R
^ПУпк п о КН ’ УПК ~ „ >
2 а Зп
где успк - ордината центра тяжести полукруга.
По формуле (2) для ординаты усво центра тяжести по-
луокружности имеем
л 9 с 2П
2nycm nR = 4лЯ2, —
Моменты. Моментом q-го порядка (q =2, 3, ...) матери-
альной точки Р с массой Мр относительно плоскости xt =0
называется произведение
Если массы распределены по измеримому множеству G
с плотностью р(Р), то
= J x?p(P)dG (i =1, 2, 3).
G
Если q =2, то соответствующий момент второго поряд-
ка называется моментом инерции.
Кроме того, можно рассматривать моменты q -го по-
рядка тела G относительно начала координат
Г3 V/2
Z<9)= Jp(P) £х2 dG',
G I'=1 >
относительно оси xt ( i =1, 2, 3). Например, момент q-го
порядка относительно оси xt запишется
=\p(P)(4+4)q/2dG.
§2.13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
213
§ 2.13. Несобственные интегралы1
_ Пусть функция и = f(x) задана в замкнутой области G
(G = G u dG). Точка х° е G называется особой точкой
функции, если в любой Е-окрестности точки х° функция
неограниченна. Пусть (рис. 61) Gf = G\t7(x°, е), где С/(х°, е)
— открытый шар радиуса Е с центром в точке х°(р(х, х°) =
=|х - х°| < е).
Если функция Дх) имеет единственную особую точку
х° на области G и непрерывна на области G при Х/е > О,
то несобственным интегралом функции Дх) на G называ-
ется предел (если он существует)
ЙХр(х)<*х = f/(*)<**• (1)
ge g
Говорят, что в случае существования конечного предела
(1) несобственный интеграл сходится, а если предел (1) не
существует или равен бесконечности, то расходится.
Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если
сходится интеграл
J\f(x)\dx < оо (2)
G
от абсолютной величины |Дх)|.
Рис. 61
1 В § 2.13 мы обозначаем точки х, у светлым (не полужирным)
шрифтом.
214
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом
деле, из абсолютной сходимости интеграла (2) следует, что
предел lim J |f(x)|dx существует и конечен. Но тогда, при-
e^°g,
меняя к этому пределу признак Коши (относительно фун-
кции от одного переменного е), получим, что для любого
г) > 0 найдется Ео > 0 такое, что
Ge g£.
J fdx
Gc\Gt.
J fdx - J fdx
Ge Gt.
(VE < E' < Eq).
Итак, для любого т] > 0 найдется е0, так что для всех
положительных е, е', удовлетворяющих неравенствам 0 <
< Е < е' < е0, имеет место
J fdx — J fdx
А это показывает, согласно критерию Коши, что существу-
ет предел (1), т. е. существует несобственный интеграл (1).
Пример 1. Исследовать сходимость интеграла
j|x|”adx, (3)
о
где а > 0, х = (хр х2, х3), |х|2 = х2+ х22 + x3z, Q - единич-
ный шар |х| < 1.
Решение. Функция |х| “ имеет единственную особую
точку (0, 0, 0). Поэтому, переходя к полярным координа-
там, получим
Г | хГ“ dx = lim [ | х;* а dx =
J e->0 J
§ 2.13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
215
2it л/2 1
= lim [ Г Г г2 cos 0 r~ndrd6d<p =
£_>0 J J J
О -п/2 Е
1 п/2 1
= lim2л[r2~adr Гcos0d0 = lim—г3-а
е->о J J ечоЗ-а
е -я/2 е
= lim
4л
Е-»оЗ-а
(1-Е3а) =
4л/(3 - а),
а < 3,
а > 3.
Мы доказали, что интеграл (3) сходится при а < 3.
Если а > 3, то интеграл (3) расходится. При а =3 интеграл
(3) также расходится (при вычислении интеграла по г
первообразная равна 1пг ).
Замечание 1. В n-мерном пространстве, т. е. когда
п
|х|2 = У, х2 , интеграл (3) сходится при а < п и расходится
1=1
при а > п .
Если область G неограниченна и функция /(х) непре-
рывна на области GK = G U(O, R) при любом R (рис. 62), то
несобственным интегралом по неограниченной области G
называется число, равное пределу
lim J f(x)dx = J /(X)dx . (4)
GB G
Рис. 62
Рис. 63
216
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 2. Интеграл J|х| “ dx, где G = £3\С7(О, 1),
G
сходится при а > 3 и расходится при а < 3.
Проводя вычисления как в примере 1, получаем
R л/2
f|x|"“dx = lim [|x|"radx = lim 2л [ r~a+2dr [cosGdO =
J /?—>« J J J
G Gft 1 -л/2
4л •> ( a < 3,
= lim ——— (J?3- - 1) = L ,, m
«-><» 3 - a [4л/(а - 3), a > 3.
При a = 3
R
[|x|~ndx = Нт4л[г“1</г = lim 4л In R = oo.
* JR—J R—>«»
G 1
Замечание 2 . В n-мерном пространстве интеграл
J|x|“adx, G = En\U(0, 1),
G
сходится при a > n и расходится при а < п.
Пример 3. Исследовать интеграл
I = J J exp(-xf - XgJdXjdxg .
о о
По определению имеем
I = lim ехр(-х3 - х^^х^х2 ,
R—>ori *
где Gr = {|х| < R, Xj > 0, х 2 > 0} - четверть круга радиуса
R (рис. 63). Переходя к полярным координатам
х, = rcos <р, х2 = г sincp (0 < <р < л/2, 0 < г < /?),
В(хрх2) г
D(r, ср)
имеем
§ 2.13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
217
R л/2
J exp(-xf -x^)dxldx2 = J J exp(-r2)rdrd<p =
Gr 0 0
r H 2 R
= £Jexp(—r2)^- = ^exp(-r2) = у[1 - exp(-/J2)] _>
z ' z 4 4
о о
Таким образом,
J J exp(-xf - x2)dxxdx2 = — .
о о
С другой стороны, этот интеграл равен
Г” ¥
Io J
Je X2dx2
<о
J J е Хг dxrdx2
о о
где несобственный интеграл от одной переменной справа
(интеграл Пуассона) сходится. Поэтому мы получаем
ко
J exp(-^2)d£,
О
Пример 4. Вычислить интеграл
j ехр(—ах2) (2ах2 + 1) 2dx (а > 0).
о
Интегрируя два
N
Г -ах2
J « (2ах2 + 1)2
раза по частям, имеем
| , 4axdx
dx = [и = ----, dv =---------
4«х (2ах2+1)2
7 1 „-ах2 (-2ах2 -1)
+ 17—9—7е -----------9---dx
J 2ах2 +1 4ах2
4ах(2ах2 +1)
218
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2 N N
_ Г -ах2 dx
4ах(2ах2 +1) •< 4ах2
е £
4ах(2ах2 +1)
1
4а
N
2а J е-ах*
Е
dx
2 2ах2 +1
Переходя к пределу при е —> 0 и N —><*>, будем иметь
§ 2.14. Несобственный интеграл
с особенностями вдоль линии
Пусть функция F (х, у) непрерывна на открытом круге
Ga = {х2 + у2 < а2} (а > 0),
однако не ограничена на нем. При этом мы предполагаем, что
при приближении к любым точкам окружности х2 + у2 = а2
функция F стремится к бесконечности.
Тогда для любого положительного Ъ < а интеграл
^F(x,y)dxdy = jj F(x,y)dxdy
Gb Gb
существует, но интеграл от F на Gu в обычном (римановом)
смысле не существует. Мы ведь знаем, что из существования
интеграла по Ga в римановском смысле должна следовать ог-
раниченность F на Ga.
Однако может случиться, что существует предел
lim F(x, y)dxdy = I.
Ь->а
b<a Gb
§2.15. ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
219
Предел I называют интегралом от F по Ga в несобствен-
ном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл:
I - JJ F(x, y)dxdy .
С этой ситуацией мы столкнулись при рассмотрении при-
мера 1 в § 2,11. Подынтегральная функция в приведенном там
интеграле непрерывна на открытом круге Ga, но неограничен-
на на Ga.
Площадь полусферы | Sa |, соответствующей Ga, нам при-
шлось определить при помощи не простого риманова интегра-
ла, а несобственного интеграла
., f Г , ( dz 1 oz , ,
fol = 1 1 + 5" + hr dxdV =
b-^aJJ V \^dx) уду J
Gt ’
Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда
подынтегральная функция неограничена вдоль линии. В пре-
дыдущем параграфе были приведены примеры несобственных
интегралов, когда подынтегральная функция неограниченна в
окрестности точки.
§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий
от параметра1
Рассмотрим несобственный интеграл
F(x)=Jxm; yt, ...,yn)dy, ... dyn, (1)
О О
зависящий от параметра x = (xp ..., xm) . Будем считать,
что интеграл имеет единственную особенность в точке
У° = (J60.Уп) е &
Точнее, мы рассматриваем область точек у = (ур ..., уп)
n-мерного пространства, по которой происходит интегри-
рование и область G точек х = (хр ..., хт) - область па-
1 В § 2.15 мы обозначаем точки пространства светлым (не по-
лужирным) шрифтом.
220 ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
раметров. Так как мы интегрируем по £2, а в дальней-
шем будем интегрировать и по G, то будем считать, что
обе области £2 и G ограничены и имеют кусочно-гладкую
границу. Что же касается функции f(x, у), то предполага-
ется, что она непрерывна на G х £22, за исключением точек
(х, £/°), где она имеет особенность.
На £2 в окрестности каждой точки (х, у0) функция
/(х, у), вообще говоря, неограниченна.
Мы предполагаем, что^ несобственный интеграл (1) су-
ществует для всех х е G. Это значит, что для каждого
х е G существует конечный предел
Дх) = limF(x) = lim \f(x,y)dy = \f(x,y)dy, (2)
е->0 е—>0 J J
£1е П
где
ГЕ(х) = \f(x,y)dy (3)
и £2£ = Q\U(y°, £) есть множество точек у е £2, из которого
выкинут шар радиуса е с центром в точке у0 .
Важно отметить, что интеграл (3) - это обыкновенный
интеграл Римана^собственный), и так как функция f(x, у)
непрерывна на G х £2£ при любом е > О, то для него
выполняются известные свойства:
1) Д(х) непрерывная функция от х е G.
2) Законно менять местами порядок интегрирования
j dx jf(x,y)dy = j dyj f(x, y)dx . (4)
G G
3) Законно дифференцировать под знаком интеграла
ЭГ(5)
7 £ie «е 1
при дополнительном условии, что частная производная
0
-— /(х, у) непрерывна на G х £2 .
dXj
1 Символ G х Q обозначает прямое произведение множеств G
и Q, т. е. это множество всех пар (х, где х е G, у е Q.
§ 2.15. ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА 221
Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) — 3) при
Е =0, т. е. сохраняются ли они для собственного интегра-
ла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако, если на схо-
димость F (х) к F(х) и —— F. к F наложить дополни-
dXj dxj
тельное условие равномерной сходимости, то свойства 1)
- 3) сохраняются. В связи с этим полезно понятие равно-
мерной сходимости интеграла.
По определению интеграл (1) сходится равномерно на
G (или по х е G), если
F((x) F(x) (£—>0),
т. е.
j f(x, y)dy J f(x, y)dy (e—>0)
£2
равномерно на G.
Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно
на G, если выполняется условие: для любого т) > 0 суще-
ствует £0 > 0 такое, что
|F(x) -Fe(x)|= jf(x,y)dy - ^f(x,y)dy =
£2 £2,
§f(x,y)dy
£2\£2e
(Ve < £0, Vx e G).
К равномерно сходящимся интегралам можно приме-
нить теорию равномерно сходящихся последовательнос-
тей функций, связанную с теорией равномерно сходящих-
ся рядов.
Мы знаем, что если последовательность функций Fn(x)
(п = 1, 2, ...), непрерывных на множестве G, сходится
равномерно на G, то предельная функция F(x) непрерыв-
на на G, и тогда
222
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
lim J Fn(x)dx = J F(x)dx.
G G
Мы знаем также, что если дополнительно считать, что
частные производные существуют и непрерыв-
ны на G и, кроме того,
(6)
-»V(x) (хе G),
OXj
равномерно на G, то функция F(x) имеет производную
——F(x) , равную Ч'(х):
ОХ;
F(x) = у(х) (Ухе G).
ох-
При доказательстве этих свойств не имеет значения
тот факт, что п, возрастая, пробегает натуральные числа.
Можно считать также, что п = £ стремится непрерывно к
нулю (е—>0). Поэтому указанные свойства автоматически
переносятся на равномерно сходящиеся несобственные
интегралы.
Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходится
на G и функция f(x, у) непрерывна на G х D, за исключе-
нием точек (х, у0), то интеграл (1) есть непрерывная
функция от х. При этом
jdxjf(x,y)dy = jdyj f(x,y)dx.
G £1 £1 G
В самом деле, из непрерывности Fe(x), Ve > 0,и равно-
мерной сходимости FJx) —> F(x), £ —> 0, на G следует, что
F(x) непрерывна на G. Далее,
J dxj f(x,y)dy = j F(x)dx = lim j (x)dx =
G £1 G G
= lim dx f(x, y)dy =
E->OJ J
G £1,
lim J dyJ /(x, y)dx =
E-> £it G
§2.15. ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
223
= f(x,y)dx.
Si G
В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве)
формулой
J Fz(x)dx J F(x)dx (е 0),
G G
верной, потому что Fe и F непрерывны на G и -> f
равномерно на G, и (в четвертом равенстве) формулой (4).
Теорема2. Если, кроме того, что выполняются усло-
вия теоремы 1, известно, что частная производная
f{x,y) непрерывна на G х £5, за исключением точек
OXj
(х, у°), и интеграл
\~^—f(x,y)dy
si L
равномерно сходится на G, то имеет место равенство
[ f (х, y)dy = Г f(x, y)dy (7)
ОХ/ J J dx, v '
1 St SI ’
m. e. законно дифференцировать под знаком интеграла.
В самом деле,
\f(x,y)dy = 5^-ТО = lim-^-Fe(x) =
Эх,- J Эх, е->о дх.
1 si 1
= lim-— (f(x,y)dy = lim [~f(x,y)dy =
e->0 dx; J e->0 J dx;
' £lt £lt '
J dXj
SI 1
Во втором равенстве этой цепи применено свойство:
если функция /’Jx) и —Fz(x) непрерывны на G и обе
OXj
при £ —> 0 равномерно сходятся на G соответственно к F(x)
224
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
и ц/(х), то ——F(x) = у(х) на G. В четвертом равенстве
dXj
применено свойство (5), верное для любого е > 0.
Следующая теорема дает достаточный признак равно-
мерной сходимости несобственного интеграла (1).
Теорема 3 (признак Вейерштрасса* 1). Если функция
f(x, у) непрерывна на Gx Q за исключением точек (х, z/°)
(jz° е П), и удовлетворяет на G х Q неравенству
|/(х, у)\ < <p(i/) (хе й), (8)
где интеграл
J q(.y)dy < оо (8,)
£1
сходится, то интеграл (1) равномерно сходится на G.
Доказательство. Зададим т] > 0. В силу сходимо-
сти интеграла (8') найдется £0 > 0 такое, что для всех е,
удовлетворяющих неравенству 0 < £ < £с
J 4>(y)dy
£l\Oe
J f(x, y)dy
Во втором неравенстве мы воспользовались условием
(8). Таким образом Vt) > 0, Зе0 > 0 так, что для всех £,
удовлетворяющих неравенству 0 < £ < £0
Т] >
J f(x, y)dy
£1\£1e
А это значит, что интеграл (1) сходится равномерно на G.
Пример 1. Интеграл
1
V(°) = J xa~ldx (а > 0)
(9)
-------- о
1 К. Т. В. Вейерштрасс (1815-1897) - выдающийся немецкий
математик.
§ 2.15. ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА
225
существует для любых а > О. При О < а < 1 точка х = О
особая, а при а > 1 на отрезке [0,1] подынтегральная
функция непрерывна и интеграл никаких особенностей
не имеет.
Для выяснения вопроса о равномерной сходимости
несобственного интеграла мы должны оценить интеграл
J ха xdx = Ь- (£ > о)
который принято называть остатком интеграла, соответ-
ствующего особой точке х = 0. Для произвольного Г] > 0
невозможно подобрать £0 > 0 так, чтобы остаток был
меньшим т], V а > 0, V е < е0, потому что при любом фик-
сированном £
Е
lim — = оо (ц > 0).
а—>0 CL
Поэтому интеграл (9) сходится неравномерно относи-
тельно
а > 0.
Отметим, что функция х" 1 = <р(х, а) непрерывна на
(0, 1] х [0, 1].
Далее очевидно, что для 0 < а0 < а < 1 интеграл (9)
сходится равномерно. В самом деле, если а0 < а, то на
отрезке [0, £], где 0 < £ < 1, х°“1 < х0"-1, а интеграл
поэтому по признаку Вейерштрасса интеграл (9) равно-
мерно сходится для а0 < а < 1.
Итак, интеграл (9) есть непрерывная функция на [а0,1],
следовательно на (0,1], так как а0 > 0 произвольно.
Если а > 0, то интеграл (9) можно дифференцировать
под знаком интеграла, т. е.
i/(a) = [^~х“ - [х“ 1 In xdx.
J да J
(Ю)
8. Бугров Я. С.
226
ГЛ. 2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В самом деле, так как lim хх In х = 0 (к > 0), то функ-
ЦИЯ
, „ хМп х, х > 0,
ц(*) = -!
0, х = 0
непрерывна на [0, 1] и, следовательно, ограничена на [0,1].
Поэтому для 0 < а0 < а < 1
|лса11плг| < |ха-х-1| |хЧпх| < с|х“° х 1
и интеграл
Г x^'^dx = ------ < - (0 < к < а0).
J ап - к
о и
Отсюда по признаку Вейерштрасса интеграл справа в (10)
равномерно сходится. Далее функция — х“ 1 = х“_11пх не-
да
прерывна на [0, 1]х[0, 1], за исключением точек с х = 0,
поэтому, согласно теореме 2, формула (10) верна.
Интеграл (1) можно рассматривать для неограничен-
ной области Отсчитал, что функция /(х, у) непрерывна
на множестве G х £2 точек (х, у). Так как область £2
неограниченна, интеграл (1) как риманов не существует,
но он может существовать в несобственном смысле, как
предел
limffl(x) = lim f f(x,y)dy = (f(x,y)dy = F(x), (11)
/?->o J
«л £1
где £2B = £2 n U(0, R), 17(0, R) - шар с центром в нулевой
точке радиуса R.
Мы считаем, что
Fn(x)= jf(x,y)dy
и что существует предел
ПтГд(х) = Г(х) = ff(x,y)dy
К-»0 ' ' J
§ 2.15. ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА 227
для всех хе G, т. е. считаем, что интеграл (11) как несоб-
ственный существует для всех х е G.
В данном случае говорят, что особой точкой интеграла
(11) является бесконечно удаленная точка.
По определению интеграл (11) называется равномерно
сходящимся, если FB(x) —> F(x), J? —> <*>, равномерно отно-
сительно хе G.
Так же как в случае конечнойособой точки, доказы-
вается, что для непрерывной на G х £1 функции _/(х, у)
интеграл (11), если он равномерно сходится на G, есть
непрерывная функция от х е G. Далее, если G - ограни-
ченная область с кусочно-гладкой границей, то имеет
также место равенство
J Эх j f(x, y)dy = J dyj f(x, y)dx .
G £2 Si G
Если ---- непрерывна на fl и интеграл по fl от ——
дх> dxj
равномерно сходится по х е G, то (11) можно дифферен-
цировать под знаком интеграла
ff(x,y)dy = f^-ftx,y)rfi/.
Эх.* J J Эх,
1 £2 £1 ’
Пример 2. Исследовать интеграл
1{х) = J xe~xydy (х > 0).
о
Очевидно, что I (0) = 0, а при х > 0
f - R
I(x) = Um xe xydy = lim(-<?~XJ/) = 1.
K->~J о
0 u
Таким образом, функция I(x) разрывна на {0, °°). Это
связано с тем, что наш интеграл сходится неравномерно:
остаток интеграла
j xe~xydy = е-^
R
228
ГЛ. 2 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
не стремится к нулю при любом фиксированном R и х —> О
(он стремится к 1).
ПримерЗ. Гамма-функция. Интеграл
Г(а) = J xa~xe~xdx (12)
о
называется гамма-функцией или эйлеровым интегралом
второго рода.
При а > 1 он имеет особую точку г = “, а при 0 < а < 1
он имеет две особые точки х = О, х = оо.
При исследовании этого интеграла удобно разложить
его на два интеграла
1
Г(а) = j xa~re~xdx + j xa~re~xdx .
о i
Так как для 0 < х < 1 имеем ха 1е х < хг,~', то (как это
видно из примера 1) первый интеграл равномерно сходит-
ся для всех а > а0 > 0, каково бы ни было число а0 > 0.
Второй интеграл, очевидно, сходится для всякого действи-
тельного а.
Если а0 - любое число, то для а < а0
ха le~* < (1 < х < оо),
и так как
J xa°~le~xdx < оо,
1
то по признаку Вейерштрасса второй интеграл равномер-
но сходится Va < а0. Однако сходимость этого интеграла
при любом а не является равномерной.
Например, при а > 1 и R > 1
J ха~ге Xdx > Ra~1je~xdx = R^e4* -> °о
1 R
при а —> + оо и любом фиксированном R.
При а > 1
§ 2.15. ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА 229
Г (а) = J ха re Xdx =
О
Е
= Инг - ха-1р-х| + (а — 1) [ xa~ze~xdx
О *
О
Поэтому при а = п натуральном
= (а - 1)Г(а - 1).
Г(л + 1) = лГ(л) = п (п - 1)Г(л - 1) = ... = п!Г(1) =
= n! J е Xdx = п!,
о
откуда видно, что гамма-функцию естественно рассматри-
вать как обобщение факториала.
ГЛАВА 3
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная
кривая
Кривая
r(f) = <p(*)i + y(t)j + (а < t < b) (1)
называется непрерывной кусочно-гладкой, если функции
ф, ф, х непрерывны на [a, Ь] и отрезок [а, Ь] можно разбить
на конечное число частичных отрезков точками
a t® < < ... < b
так, что на каждом из них функции <р, у, х имеют непре-
рывные производные, одновременно не равные нулю1.
На рис. 64 изображена непрерыв-
ная кусочно-гладкая кривая. В точ-
ках Aj и А2 она непрерывна, но про-
изводные <р'(0» '/(О» все или
некоторые терпят разрыв (первого
рода!).
Кривую (1) будем обозначать од-
ной буквой, например буквой Г.
Обычно Г обозначает не только гео-
метрическое место точек (х, у, z),
определяемых уравнением (1), но и
Рис. 64 порядок следования этих точек,
когда t непрерывно возрастает от а
до b (а < bl). В этом смысле говорят,
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление», §§ 4.21, 7.3.
§3.1. ОРИЕНТИРОВАННАЯ КРИВАЯ 231
что Г есть ориентированная кривая. Порядок следования
обозначают на рисунке стрелкой (рис. 64) — когда t непре-
рывно возрастает от а до Ъ, точка (х, у, z) движется по
Г в направлении стрелки.
Если t = Х.(т) есть функция, имеющая непрерывную
положительную производную на некотором отрезке [с, d]
и при этом Х(с) = a, "k(d) = Ь, то уравнение
г(Мт)) = ф[Х(т)]1 + Ч4ЛСО]/ + хРДт)]й (с < т < d) (1')
определяет ту же ориентированную кривую, что и Г. Ее
обозначают той же буквой Г, только говорят в случае
уравнения (1), что Г определяется параметром t, а в слу-
чае (1') — параметром т. В обоих случаях при возрастании
t от а до b или возрастании т от с до d соответствующие
точки Г движутся в одном и том же направлении.
Другое дело, если совершить замену t = Х(т), где Х(т)
имеет непрерывную отрицательную производную на отрезке
[с, d] (с < d!). В этом случае Х.(с) = b, X(d) = а, и при
непрерывном возрастании т от с до d параметр t будет
убывать и стрелку на нашем геометрическом объекте
придется направить в другую сторону.
Поэтому кривую (1') в случае, когда Х'(т) < 0, мы будем
обозначать другим символом Г_ и говорить, что Г_ есть та
же кривая, что и Г, но ориентированная в противоположную
сторону. Иногда исходную ориентированную кривую мы
будем обозначать символом Г+.
Ориентированная кривая (1) называется замкнутой или
замкнутым контуром, если. r(a) = г(Ь) или, что все равно, если
ф(а) = <p(fo), у(а) = y(fe), х(а) = X(fc)-
Иначе говоря, когда значение параметра t непрерывно
возрастает от а до Ь, соответствующая точка (х, у, z)
проходит в пространстве непрерывный путь, начинающийся
и кончающийся в одной и той же точке. Если при этом
а) б)
Рис. 65
232
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Рис. 66 Рис. 67
кривая Г в других точках сама себя не пересекает, то она
называется замкнутой самонепересекающейся кривой. На рис.
65,а изображена замкнутая самонепересекающаяся кривая, а
на рис. 65,6 - замкнутая самопересекающаяся кривая.
Замечание. Векторное уравнение (1) кривой Г
эквивалентно трем уравнениям
х = <р(/), у = у(/), Z = х(0 (a<t< Ъ).
Пример 1. Пусть кривая Г задана уравнением
r(/) = iRcost + /7?sint
(х = jRcost, у = .Rsint, 0 < t < 2л).
Так как х2 + у2 = R2 (cos2/ + sin2/) = R2, то данная
кривая есть окружность радиуса R с центром в начале
координат. При возрастании / от 0 до 2я точка А = (х, у)
движется по окружности против часовой стрелки. При этом
разным / соответствуют разные точки А. При / = 0 и / =
=2л имеем г(0) = г(2л) = iR. Значит, окружность является
замкнутой самонепересекающейся кривой (рис. 66).
Пример 2. Кривая
r(/) = a(icos/ + /sin/) + btk,
где 0 < / < °°, а, b - положительные числа, называется
винтовой линией. Ее можно получить следующим образом.
Отрезок длины а, перпендикулярный оси z, одним концом
скользит по оси z и одновременно поворачивается около оси
г, тогда другой конец отрезка описывает винтовую линию.
Мы считаем, что высота подъема отрезка по оси z
пропорциональна углу поворота / (а = Ы). При возрастании
/ точка (х, у, г) движется, как указано на рис. 67. Очевидно,
что винтовая линия расположена на боковой поверхности
кругового цилиндра радиуса а, с образующей, параллельной
оси г.
§ 3.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
233
§ 3.2. Криволинейный интеграл первого рода
Пусть задана непрерывная кусочно-гладкая кривая Г
r(f) = ip(t)i + V(t)j + Х(0* (0 < t < Т), (1)
и пусть на Г или в окрестности Г определена непрерыв-
ная функция F(x, у, z).
Криволинейным интегралом первого рода от функции
F(x, у, z) по кривой Г называется число, равное
J F (х, у, z)ds =
г
т
= J F [ф(0> V(0> Х(0] 7ф'(П2 + W)2 + x'(t)2 dt- (2)
о
Левая часть (2) есть обозначение интеграла первого
рода, а правая часть есть его определение — это обычный
определенный интеграл по t на [О, Т).
Например, если кривая Г обладает массой с плотнос-
тью распределения F(x, у, г) в точках (х, у, z) е Г, то
общая масса М кривой вычисляется посредством интегра-
ла (2). Ведь элемент материальной кривой, соответствую-
щей отрезку [t, t + dt] изменения t, имеет массу, равную,
с точностью до бесконечно малой высшего порядка,
Fds = F[<p(t), y(t), Х(О]7ф'^)2 + V'(t)2 + X'(t)2 dt,
где ds — дифференциал дуги Г, это показывает, что М
равна правой части (2).
Величина интеграла первого рода не изменяется при
перемене ориентации кривой'.
J F (х, у, z)ds = J F (х, у, z)ds. (3)
г Г.
Вычислять массу материальной кривой при помощи
интеграла, стоящего в левой части или в правой части (3)
- это, очевидно, все равно.
Например, кривую (1) можно задать уравнениями
х = <р(7 - т), у = у(Т - т), z = - т) (0 < т < 7),
ориентирующими ее в противоположном направлении, и
тогда
234
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Т
j F [<p(T - т), у(Т - т), х(Т - т)] х
о
X ^(р'(Т-т)2 + у'(Т-т)2 +х'(7’-т)2 d-1 =
о _____________________
= - J F[<p(f), v(t), Х(*)]7ф'(О2 + V'(02 + х'(*)2 dt =
т
т
= j F [<p(t), v(O, Х(О] 7ф'(О2 + v'(f)2 + Х'(О2 dt.
о
Пример 1. Пусть вдоль винтовой линии, определен-
ной в примере 2 §3.1, распределены массы с плотностью
F(x, у, z) = zz. Найти массу М участка винтовой линии,
когда параметр t изменяется от 0 до 3 (0 < t < 3).
Запишем уравнение рассматриваемой винтовой линии
в виде
х = acost, у = asint, z = bt (0 < t < 3).
Тогда
з
М = jF[x(f), y(t), z(t)]^x'(t)2 + y'(t)2 + z'(t)2 dt ~
о
з
= J b2 t2-yja2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 dt =
о
з
= b2^a2+b2 J*2 dt = 9bz^a2+b2 .
о
Пример 2. Вычислить интеграл первого рода по эл-
липсу
х = (Kx/st, у = bsint (0 < t < 2л)
от функции F(x, у) =
Имеем
J/ \2 z \
(Ьх | fay У
a J \ b J
j F (х, y)ds =
г
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОРА ВДОЛЬ КРИВОЙ
235
2тс
J ylb2 cos2 t + a2 sin2 t л! a2 sin2 t + b2 cos21 dt =
о
2 л
= J (fe2cos2t + azsinzt)dt = n(a2 + &2).
о
§ 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой
3.3.1. Поле вектора. Пусть £2 есть область простран-
ства R3, где задана прямоугольная система координат х,
у, г и из каждой точки А е £2 выпущен вектор а, завися-
щий, вообще говоря, от этой точки. Тогда
а(х, у, z) = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k
((х, у, z) е £2 (1)
или более кратко
а = Pi + Qj + Rk, (1')
где Р, Q, R- функции от (х, у, z), определенные на обла-
сти £2.
Говорят, что равенство (1) определяет поле вектора а
на области £2.
Если P,Q, R- непрерывные функции на £2, то и вектор
а есть непрерывная вектор-функция на £2.
Соответственно, если Р, Q, R имеют непрерывные част-
ные производные, то и про вектор а говорят, что он имеет
это свойство.
Пример 1. Пусть в начале координат О сконцентрирова-
на масса mv Тогда в области £2, представляющей собой
пространство R3 без точки О, возникает поле силы тяготе-
ния. Физически его можно
обнаружить, если поместить
в произвольной точке А =
=(х, у, z) (отличной от на-
чала координат О) массу
т2. Тогда масса т2 будет
притягиваться к массе тх
с силой F, скалярная ве-
личина которой равна
Рис. 68
236
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
СШлГПп I---------
г= 7х1 2+у277 , (2)
где с - некоторая постоянная, а г - расстояние от точки
А до О. Если считать, что ст1 = 1, т2 = 1, то
|я = 4
Так как вектор F направлен от точки А к точке О
(рис. 68), то его компоненты на оси координат х, у, z со-
ответственно равны
х 1 х у z
Р = ~ “з" > Q = ~~з~ > R = з
г г г г г
(вектор F и направленный отрезок АО образуют с осями
координат х, у, z углы, косинусы которых соответственно
х у z
равны-----,---,-----).
г г г
В связи с полем вектора тяготения можно рассматри-
вать функцию
1 1
Н(Х, У, Z) = - = , 2 .
г д/х2 +у +Z
Легко проверить, что ее частные производные по пере-
менным х, у, z соответственно равны компонентам векто-
ра F:
ди X ди у ди 2
дх г3 * * * * В ду г3 dz г3
Благодаря этому свойству функция и называется по-
тенциальной функцией для вектора F.
3.3.2. Криволинейный интеграл от векто-
ра вдоль кривой. Пусть в пространстве R3, где опре-
делена прямоугольная система координат х, у, z, задана
ориентированная непрерывная кусочно-гладкая кривая Г
с начальной точкой Ао и конечной Аг Если Г замкнута,
то Ао совпадает с Аг Пусть
х = <р(£), у = y(t), z = х(0 (0 < t < Т)
- уравнения Г и значению t = 0 соответствует точка Ао,
a t = Т - точка Аг
В каждой внутренней (не угловой) точке А любого глад-
кого куска Г однозначно определен единичный вектор т
касательной к Г, направленный в сторону возрастания t.
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОРА ВДОЛЬ КРИВОЙ
237
Пусть на Г или на множестве Q, содержащем Г, зада-
но поле непрерывного вектора (задан вектор)
а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k,
где, таким образом Р, Q, R - непрерывные функции на Г
(или £2).
Лучше всего представить себе эту картину так (рис. 69):
из любой точки (х, у, г) е Г (или Q) выпущен вектор а,
направление и длина которого зависят от этой точки (а =
=а(х, у, г)).
Будем считать, что вектор а — сила, и надо найти ра-
боту этой силы вдоль ориентированного пути Г.
Пусть t - значение параметра, которому соответствует
точка А кривой Г. Значению же t + dt соответствует точка
А' е Г. Вектор АА' приближенно равен вектору
ds = idx 4- jdy + kdz,
dx = ip'(f)dt, dy — \/(t)dt, dz = x'(t)dt,
направленному по касательной к Г в сторону возрастания
Элементарная работа силы а при изменении параметра
от t до t + dt с точностью до бесконечно малых высшего
порядка равна скалярному произведению векторов а и ds:
а • ds = [F(<p(f), y(f)> Х(*))ф'(О +
+ Q(<p(t), x(OM*) + я(ф(О, v(0> х(О)х'(*)Ш
Чтобы получить полную работу вдоль всего ориентиро-
ванного пути Г, надо проинтегрировать это выражение по
t на отрезке [0, 71].
В результате получим
т
j ( a, ds) = J [P(<p(O, V(0, Х(0) ф'(0 +
г о
+ Q(tp(t). V(0. Х(0) фЧО + Я(ф(0, Х(0) Х'(0] dt. (3)
Левая часть этого равенства называется криволинейным
интегралом вдоль ориентированного пути Г от вектора а
или, короче, интегралом от вектора а вдоль кривой Г.
238
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Правая часть (3) представляет собой обычный интег-
рал от указанной там функции по t в пределах [О, Т].
Левая часть есть обозначение нового понятия - интег-
рала от вектора а по Г, а правая — есть его определение.
Отметим, что функции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непре-
рывны по (х, у, г) е Г, функции <р(£), V(t)> %(0 непрерывны по
t на отрезке [О, Т], функции же <p'(t), ф'(0> Х(0 непрерывны
для всех значений t е [О, Г], за исключением конечного числа
точек
О = t0 < tj < ... <tN = Т,
где они, быть может, имеют разрывы первого рода.
Но тогда подынтегральная функция от t в правой части (3)
непрерывна на каждом из отрезков [tt, tA+1] в отдельности и
**+i
интеграл J от этой функции существует, поэтому существует
интеграл
Криволинейный интеграл (3) записывают еще следую-
щим образом:
J ( ads) = J ( Pdx + Qdy + Rdz) =
г г
= J (Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + Bfjx, у, z)dz). (4)
г
Чтобы вычислить его, надо подставить в него соответ-
ственно
X = ф(0> У = 2 = х(0.
dx = (p'(i)di, dy = \tf(t)dt, dz = tf(t)dt
и полученное выражение проинтегрировать от 0 до Т.
Как левая, так и правая часть равенства (4) называет-
ся еще криволинейным интегралом второго рода.
3.3.3. Свойства криволинейных интегралов
второго рода. Если ориентированная кривая Г пред-
ставляет собой сумму двух различных ориентированных
кривых Г, и Г2 (Г = Г, + Г2), то
§ 3.3. ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОРА ВДОЛЬ КРИВОЙ
239
J (ads) = J (ads) + J (ads).
г G г2
На рис. 71 изображена ориентированная кривая Г,
разрезанная на две соответственно ориентированные кри-
вые Г1 и Г2.
На рис. 72 изображены два ориентированных замкну-
тых контура Г\ и Г2. Под Г = + Г2 понимается слож-
ный ориентированный контур - объединение Г, и Г2.
По определению считается, что
г G г2
Справедливо свойство: если Г_ есть та же кривая, что
и Г, но ориентированная противоположно, то
Из механических соображений это свойство очевидно.
Работы одной и той же силы а вдоль Г и вдоль Г_, оче-
видно, равны, но противоположны по знаку.
Докажем все же это свойство формально. Это имеет
смысл, чтобы яснее представить себе различие интегралов
второго и первого рода. Ведь интеграл первого рода, как
мы знаем, не меняет знака при перемене ориентации Г.
Пусть т есть единичный вектор касательной к Г, на-
правленный в сторону возрастания параметра t. Тогда
ds = ids,
где скаляр ds - дифференциал дуги Г. Поэтому
J (ads) = J (at) ds.
г г
240
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Правая часть этого равенства есть интеграл первого
рода от функции (ат) по Г. Он, как мы знаем, не зависит
от ориентации Г. Поэтому (пояснения ниже)
J ( ax)ds = J (at)ds = - J (a{-i))ds = - J (ads).
Рис. 73
Г- r_
В первом равенстве этой цепи мы
заменили в интеграле первого рода
Г на Г_, не изменяя подынтеграль-
ную функцию. Во втором равенстве
мы заменили т на -т, поставив
перед интегралом знак минус, что-
бы компенсировать это изменение.
В третьем равенстве надо учесть, что
—т есть единичный вектор касатель-
ной к Г .
Итак,
Пример 2. Вычислить интеграл второго рода (рис. 73)
I = J (x2dx + xydy)
АВ
вдоль прямолинейного отрезка, идущего из точки (0, 0) в
точку (1, 1), и по дуге параболы у = х2, соединяющей эти
же точки.
В первом случае имеем (у = х)
i
/j = J (x2dx + xydy) = J (x2 + x2)dx = 2
AB 0 ' 0
Во втором случае (у = x2)
f (x2dx + x32xdx) = [ (x2 + 2x4)dx = 77 + — = ~z~ .
J J 3 5 5
о 0
Пример 3. Вычислить интеграл второго рода
г х3
I = j(x2ydx+ —dy)
АВ
вдоль тех же кривых, что и в примере 1.
Имеем (у = х)
f 2 2
dx--.
§3.4. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА
241
г х3 111
'1 = J(x°dx + — dx) = 4+^=3-
о
Далее, при у = х2 получаем
г х3 г 2 5 Г 1
/2= I (x^dx + — 2xdx)= (х4 + — x4)dx = — I x4 dx = —.
J 3 J 3 3 •» 3
ООО
Эти примеры показывают, что интеграл второго рода,
вообще говоря, зависит от кривой, по которой он вычис-
ляется, или, как еще говорят, он зависит от пути интег-
рирования.
Во втором примере мы получили одно и то же значе-
ние по разным путям интегрирования. Оказывается, это
не случайно. Причину последнего свойства мы выясним в
дальнейшем.
§ 3.4. Поле потенциала
3.4.1. Понятие потенциала и его свойства.
Важным случаем поля вектора
а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + Щх, у, z)k
является тот, когда на области £2, где задано поле, суще-
ствует функция U(x, у, z), имеющая непрерывные частные
производные, для которых выполняются равенства (на £1)
Э(7 dU dU
-т—= Р, 3- = Q, -z- = Я.
Эх dy dz
Такую функцию называют потенциальной, функцией
или потенциалом вектора а на £2. Говорят еще, что век-
тор а есть градиент функции U и пишут1
dU dU dU
gradCZ = -z—i + -. j + .k = a.
& Эх dy 1 dz
Пример 1. Функция
U (x, у, z) = Г = Jx2 +y2 +z2 ,
определена на всем пространстве, исключая нулевую точ-
ку (0, 0, 0). Ее градиент равен
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и ин-
тегральное исчисление», § 8.8.
242
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
х у z
grade/ = p-f + + ~^k = a.
В равенстве
1
a = 2
*i+^j+±k
в скобках стоит единичный вектор, направленный в сто-
рону радиус-вектора точки (х, у, г). Но тогда
м = А •
Г
Эти факты можно интерпретировать следующим обра-
зом. В нулевой точке находится единичный электричес-
кий заряд; в точке (х, у, г) тоже находится единичный
заряд того же знака. Сила взаимодействия (отталкива-
ния) между этими зарядами есть вектор, приложенный в
точке (х, у, z), направленный как радиус-вектор точки
(х, у, г); его величина равна 1/г2.
Мы видим, что вектор а имеет потенциал U = -1/г.
Перейдем к общим свойствам поля вектора, имеющего
потенциал.
Теорема 1. Для того чтобы поле вектора а, задан
ного в области Q пространства, имело потенциал, необ-
ходимо и достаточно выполнение одного из следующих
двух условий:
1) Интеграл от вектора а по любому замкнутому (ку-
сочно гладкому) контуру Г, принадлежащему к £2, равен
нулю.
2) Интеграл по любому (кусочно-гладкому) пути Г с О,
соединяющему любые две точки Q, не зависит от пути
интегрирования.
Если U(x, у, z) — потенциальная функция вектора а,
то интеграл от а вдоль любого пути Глв с Q, соединяю-
щего точки А = (х0, i/0, z0), В = (х, у, г), равен
J (a ds) = U(x, у, z) - U(xQ, у0, z0).
(1)
3.4.2. Доказательство свойств потенциала.
Прежде всего докажем эквивалентность свойств 1) и 2).
Пусть справедливо свойство 1). Зададим в Q две точки
А и В (рис. 74). Соединим их двумя различными ориенти-
рованными от А до В кривыми Г' и Г", принадлежащими
Q. В силу 1)
§ 3.4. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА
243
и мы доказали свойство 2).
Обратно, пусть верно свойство 2). Зададим произволь-
ный ориентированный замкнутый контур Г (рис. 75).
Разрежем его в точках А и В соответственно на две
ориентированные кривые
Г = Г + Г"
По свойству 2)
J -I.
Г' Г"
откуда
/ - J * J - J - J -0.
г Г' Г" Г' гг
и мы доказали 1).
Пусть теперь известно, что поле вектора а имеет в
области П потенциальную функцию U(x, у, z).
Зададим на Q точку Д, = (х0 , yQ, z0) и переменную
точку А = (х, у, г). Соединим Д с А ориентированной от
Д до А непрерывной кусочно-гладкой кривой Г = Гдд,
определенной уравнениями
X = ф(т), у = V(T), г = х(т) (i0 < -с < t).
Таким образом, значениям t0, t параметра т соответству-
ют точки Ао, А.
Если подставить в U вместо х, у, z соответственно
функции ф, у, %, то U будет непрерывной кусочно-гладкой
244 ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
функцией от т. На основании теоремы о производной
сложной функции в точках гладкости Г (где Г имеет
касательную)
ЭС7 _ dU Эср + dU Эу dU Эх
Эт дх Эт ду Эт дг Эт '
Отсюда следует, что
J(Pdx+Qdi/+7? dz) =
г
_ гГЗДф V1x) + ащФ,у,х) +
J V Эх ду
dU((p,w, у) A f dU
+ --x(T)ldT = J = ся<р(О, v(f).%(*)]-
- t/[<p(t0), V(to), X(UJ =
= U(x, у, z) - U(x0, y0, z0) = U(A) - U(A0) = V(A), (2)
т. e. криволинейный интеграл второго рода при фиксирован-
ной точке Ао зависит только от положения точки А е Q, но
не от пути, по которому она достигается из точки Ло. Этим
доказано свойство (2) и равенство (1), если известно, что век-
тор а имеет в области £2 потенциальную функцию U(x, у, z).
. Нам остается доказать, что из свойства 2) следует, что
существует определенная на £2 потенциальная функция
[7(х, у, z), градиент которой на £2 равен а. В самом деле,
зададим фиксированную точку Ао
е £2 (рис. 76). Пусть известно, что
выполняется свойство 2), т. е. дан-
ное поле вектора а таково, что
криволинейный интеграл по лю-
бой непрерывной кусочно-гладкой
кривой, соединяющей А(| с произ-
вольной точкой А е £2, не зави-
сит от этой кривой, а зависит толь-
ко от точки А. Таким образом,
существует определенная на £2
функция И(А)такая, что
J(Pdx + Qdy + Rdz) = V(A) = V(x, у, z).
§ 3.4. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА
245
Чтобы доказать, что —— = Р в точке А, будем рассуж-
дх
дать следующим образом. Точку Ао соединим с А специ-
альной кривой Гдд с Q (см. рис. 76), которая заканчива-
ется некоторым отрезком АгА, параллельным оси х. Этот
отрезок мы продолжим до некоторой точки Аг. Таким
образом, переменная точка А отрезка АгА2 имеет постоян-
ные координаты у и z и только одну переменную коорди-
нату х. Кривую Гдд представим в виде суммы кривых
Г = Г + Г
1 * АД Л,А’
и тогда
V(x, у, z) = J (ads) = J (ads) + J (ads) =
Гл0Л G|,1
= К + jp(t, у, z) dt, (3)
дце К = J (ads) - постоянная, не изменяющаяся при
движении точки А по отрезку А^А2, а А1 = (х^ у, z). Надо
учесть, что уравнения отрезка А1А2 можно записать в
параметрическом виде (через параметр t) х = t, у = у, z=z,
откуда следует, что
J Q dy = J Q (t, у, z) ’ 0 dt = О,
Г/ЦА Х1
J Rdz = J R (t, у, z) • 0 dt = 0.
Jq
Итак, мы получили равенство (3), верное, какова бы
ни была точка (х, у, z) отрезка А^. Здесь у, z фиксиро-
ваны, а х может изменяться. Так как под интегралом по
t в правой части (3) стоит непрерывная функция от t, то
dv а г
V = V р У’ dt = р(х’ У’ z>-
dx dx J
*0
Аналогично можно доказать, что
246
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
dv 3V
= Q(x, у, z), — = Щх, у, z) ((х, у, z) е Q),
вводя специальные кривые с Q, оканчивающиеся от-
резком, параллельным оси у в одно случае и параллельном
оси г в другом.
Пример 2. Вычислим работу, которую совершает сила
а, определенная в примере 1, вдоль пути, соединяющего
точки (1, 2, 2) и (3, 0, 4).
Сила а имеет потенциальную функцию
U(x, у, z) = -1/г = -1/^х2 + у2 + г2
на области Q, представляющей собой пространство без
нулевой точки. Поэтому криволинейный интеграл не за-
висит от пути.
В силу формулы (1) интеграл от вектора а вдоль любо-
го (кусочно-гладкого) пути Г с Й, соединяющего точки
(1, 2, 2) и (3, 0, 4), равен
j(ads) = (7(3, 0, 4) - (7(1, 2,2) =
Г
__ 1 1 = _ 2
V1 + 22 + 22 л/з2 +42 15
тг й (х У 2
Итак, искомая работа вектора а— ——, , —- равна - —.
\г3 г3 г J
3.4.3. Ротор вектора. Возникает вопрос, как уз-
нать, имеет ли вектор а потенциальную функцию на дан-
ной области Q. Для этого введем некоторые новые поня-
тия.
( д Э д 1
Введем символический вектор V • ®го
называют оператором Гамильтона1.
Ротором вектора а называется вектор
1 У. Р. Гамильтон (1805-1865) - английский механик и математик.
§3.4. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА
247
rota = V х а =
i j k
JL A A
dx dy dz
P Q R
=
dz J + ^Эд dx )i + Эх dy J
Таким образом, можно сказать, что ротор вектора а
равен векторному произведению символического вектора
(оператора Гамильтона) на вектор а.
Следующие две теоремы дают ответ на поставленный
выше вопрос.
Теорема 2. Если вектор а имеет на Я потенциалъ
ную функцию U, имеющую вторые непрерывные частные
производные, то
rota = О.
В самом деле, по условию теоремы
dU dx = Р, dU dy = е’ dU dz = R.
Поэтому dR dQ d2U d2U
'dy ~э7 dydz dzdy — o,
дР dR d2U d2U = o,
dz Эх dzdx dxdz
dQ ЭР d2U d2U
Эх ду dxdy dydx — и
на Я, что и требовалось доказать.
Обратное утверждение тоже верно, но, вообще говоря,
для односвязных областей.
Область Я называется односвязной, если любую, принад-
лежащую к ней замкнутую кусочно-гладкую кривую у мож-
но стянуть в точку, принадлежащую Я. При этом в процессе
стягивания у все время должна принадлежать к Я.
В этом определении достаточно считать, что кривые у
самонепересекающиеся. Такие кривые являются граница-
ми соответствующих односвязных областей <й с 65 а Я.
248
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Примерами односвязных областей могут служить все
пространство или шар без его границы (сферической по-
верхности).
С другой стороны, все пространство (трехмерное!), из
которого выкинута прямая, есть пример неодносвязной
области.
Теорема 3. Если область Q, односвязная и на ней
задан вектор а с непрерывно дифференцируемыми компо-
нентами, для которого
rota = О,
то вектор а имеет на Q потенциальную функцию (по-
тенциал ).
В трехмерном случае теорема 3 следует из формулы
Стокса1, которая будет доказана в § 3.15; в двумерном
(плоском) случае она следует из формулы Грина2, которая
будет доказана в § 3.7.
В плоском случае мы рассматриваем поле вектора
a = Р(х, y)i + Q(x, y)j ((х, у) е П),
где Р(х, у) и Q(x, у) - непрерывные функции на области
Q плоскости.
Функция U(x, у) называется потенциальной для векто-
ра а на Q, если
dU dU
= Р(х, у}, ду = Q(x, у) ((х, у) е Q).
Изложенные выше факты верны и для плоскости. Надо
только всюду опустить z и считать, что R = 0.
В плоском случае определение односвязной области
сохраняется. Обратим внимание, что плоскость (двумер-
ное пространство), из которой выкинута точка, не есть
односвязная область.
Пример 3. Вектор а с компонентами
и х
Р(х, у) = , Q(X, у) =—-----
**+У х2+у2
имеет непрерывные частные производные на области G,
представляющей собой плоскость с выкинутой нулевой
точкой.
Если записать вектор а в виде
а = Pi + Qj + 0 • k,
то отсюда видно, что
1 Д. Стокс (1819-1903) - английский физик и математик.
2 Д. Грин (1793-1841) - английский математик.
§ 3.4. ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛА
249
(dQ дР)
rota = -j — fe-
ох ду)
Легко проверить, что в данном случае
rota =0 на (G).
Область G (плоскости!) не односвязна. Она не удовлет-
воряет условию теоремы 3, и сама теорема, как мы уви-
дим, для нее неверна.
В самом деле, кривая у (окружность)
х = cos0, у = sin© (0 < 0 < 2л),
очевидно, замкнута и принадлежит к G. Криволинейный
интеграл от вектора а вдоль у равен
[ (ads) = [f 2 У 2dx+ Х dy =
J JyI*2+J/2 х2+У2 J
2л 2л
= J (sin20 + cos20) с/0 = J dQ = 2л.
о о
Мы видим, что нашлась замкнутая кривая у с G, вдоль
которой интеграл от а не равен нулю.
Это показывает на основании теоремы 1, что на G не
существует потенциальной функции для рассматриваемо-
го здесь вектора а.
Рис. 77
С другой стороны, если из
плоскости х, у выкинуть от-
рицательную полуось х или,
как говорят, произвести раз-
рез плоскости по отрицатель-
ной полуоси х, то оставшееся
множество, которое мы обо-
значим через Gt (рис. 77), бу-
дет односвязным, и так как
на Gt rota = 0, то на основа-
нии теоремы 3 на G, уже су-
ществует потенциальная функция вектора а. Эту функ-
цию можно записать следующим образом:
Г -udx + xdy
U(A) = U(x, у) =1 ~^~2-,
c x +У
где C c. Gt - ориентированная кривая, соединяющая не-
которую начальную фиксированную точку Ао, например
250
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
(1, 0), и переменную точку А = (х, у) е. Gi (см. рис. 77).
Заметим, что кривая С не должна пересекать отрица-
тельную полуось х.
§ 3.5. Дифференциальное уравнение в полных
дифференциалах
Надо решить дифференциальное уравнение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (1)
на области £2 плоскости (х, у), где функции Р и Q непре-
рывно дифференцируемы и удовлетворяют условию
dQ ЭР
V (х'у> е а
т. е. условию
3Q ЭР
rota = — - = 0, (х, у) е £2
для вектора а = (Р, Q).
Но тогда в силу теоремы 3, § 3.4, если область £2 од-
носвязна, то вектор а имеет на £2 потенциальную функ-
цию С7(х, у):
ди
= Р(х, у), = Q(x, у) (х, у) е £2.
Можно сказать, что существует на £2 функция U(x, у)
дважды дифференцируемая такая, что ее полный диффе-
ренциал есть левая часть уравнения (1). Поэтому это урав-
нение называют уравнением в полных дифференциалах.
Приравнивая функцию U(x, у) произвольной постоян-
ной, получим общий интеграл (см. с. 17) данного диффе-
ренциального уравнения (1).
U(x, у) = С
Функцию U(x, у), обращающуюся в нуль в заданной
точке Ао = (х0, у0) е £2, можно получить, вычислив интег-
рал от вектора а = (Р, Q) по какой-либо непрерывной
кусочно-гладкой кривой Гдод с £2, соединяющей точку Ав
с переменной точкой А = (х, у).
Особенно простые вычисления получим, когда £2 есть
прямоугольник (см. рис. 78):
А = {а < х < Ь, с < у < d}.
Достичь точки А из точки Ао можно путем А0ВА, и
тогда придется проделать следующие вычисления:
§ 3.5. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
251
Щх, у) = J (Pdx + Qdy) + J (Pdx + Qdy) =
CAoB CBA
Г y
= J P (u, y0)du + J Q (x, v)dv,
xo yv
потому что
J Q dy = 0, J P dx = 0.
Слов СцА
В данной случае (£2 = Д) легко видеть, что U(x, у) есть
потенциальная функция для вектора а:
dU Г Э Г Э
= Р(х, у0)+ j u)du = р(х> У о) + J u^du =
Уо Уо
= Р(х, у0) + Р(х, у} - Р(х, у0) = Р(х, у),
= о + — f Q(x, v)dv = Q(x, у).
ax dy j
Пример. Решить дифференциальное уравнение
(х« + j/₽+i)rfx + (р + 1)хуЫу = 0, (7)
где а, р - действительные числа, в области £2 точек (х, у),
имеющих положительные координаты (х > 0, у > 0). Здесь
М(х, у) = х“ + i/^1, N(x, у) = (р + 1)хур,
ам 3N
17 = (р + 1)гА = (Р + 1)А
дм _ a^
т. е. л — л на Q,
ду дх
252
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
где Q - односвязная область. Поэтому
rota =
aw дм],
a7-Vr‘o
и, следовательно, по теореме 3 § 3.4 существует функция
Щх, у), полным дифференциалом которой является левая
часть (7). Эту функцию можно получить по формуле (5):
х у
U(x, у) = J (иа + y^jdu + J (р + l)xvpdv =
хо Уо
а+1 а+1
= 7ГТ7 " + ху°" ~ х°у^ + XJ/P+1 ~ х^₽+1 =
VA. I Л. кА. I JL
х“+1
= ----- + хцР'1 + С (а Ф -1).
а + 1
Таким образом, общее решение уравнения (7) в Q есть
функция г/(х), удовлетворяющая уравнению
ха+1
----- + хи₽н = С,
а + 1
где С — произвольная константа. При а = -1 общее реше-
ние находится из уравнения
1п|х] + ху№ = С.
§ 3.6. Ориентация плоской области
На рис. 79 и 80 в плоскости изображены две различ-
ные прямоугольные системы координат. Различие этих
систем заключается в том, что невозможно, передвигая их
в плоскости, совместить их так, чтобы совпали одновре-
менно их положительные оси х и положительные оси у.
Рис. 79
Рис. 80
§ 3.6. ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
253
Система на рис. 79 характерна тем, что поворот на 90°
положительного луча х около начала координат против
часовой стрелки приводит к совмещению его с поло-
жительным лучом у.
Система же на рис. 80 характерна тем, что поворот на
90° положительного луча х около начала приводит к со-
вмещению его с положительным лучом у, только если
этот поворот совершается по часовой стрелке.
Будем называть простым контуром замкнутую само-
непересекающуюся непрерывную кусочно-гладкую ориен-
тированную кривую у.
Рассмотрим в плоскости ограниченную область £2, гра-
ница которой Г состоит из конечного числа не пересека-
ющихся попарно простых контуров:
Г = У1 + у2 + ... + yN.
Если N = 1, т. е. если граница £2 есть один простой
контур (Г = У,), то область £2 называется односвязной.
Например, область £2 на рис. 79 и 80 односвязна.
Если N = 2, как это
область £2 называется двусвязной.
Рис. 83
имеет место на рис. 81 и 82,
При произвольном N область
£2 называется N-связной. Об-
ласть £2 на рис. 83 трехсвязна.
В случае системы координат,
изображенной на рис. 79 (или рис.
81, или рис. 83), область £2, так
же как ее граница Г называется
ориентированной положительно
или отрицательно в зависимос-
ти от того, остается ли £2 слева
или справа при движении по Г
в направлении стрелки.
254
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Соответственно в случае системы координат на рис. 80
(или рис. 82) область £2, так же как ее граница Г, назы-
вается ориентированной положительно или отрицатель-
но в зависимости от того, остается ли £2 справа или слева
при движении по Г в направлении стрелки.
Например, области £2 на рис. 79-82 ориентированы
положительно, а область £2 на рис. 83 ориентирована
отрицательно.
Если £2 ориентирована положительно, то £2_ обознача-
ет ту же область, ориентированную отрицательно.
Полезно следующее соглашение. Пусть £2 - область в
плоскости х, у, £2+ - область £2, ориентированная поло-
жительно, и £2_ - область £2, ориентированная отрица-
тельно. Тогда по определению
jj f (х, y)dxdy = Jj f(x, y)dxdy,
y)dxdy - - Jj/(x, y)dxdy,
Q. £2
где справа стоят обычные двойные интегралы по £2 от f(x, у).
§ 3.7. Формула Грина
Для достаточно общих плоских областей £2 с поло-
жительно ориентированной границей у справедлива фор-
мула
Я dQ dP } г,
Эх ~ аГ dxdv = J {pdx +
называемая формулой Грина. Здесь предполагается, что
dQ dP
Q, т—, Р, 3 непрерывны на замыкании £2 области £2.
ох оу
Начнем с того, что рассмотрим плос-
кую область £2, изображенную на рис.
84, которую мы будем называть элемен-
тарной FI^-областью. Снизу и сверху £2
ограничена кусочно-гладкими кривыми,
имеющими соответственно уравнения
у = <р(х), у = у(х),
<р(х) < у(х), (а < х < Ь).
С боков £2 ограничена отрезками пря-
§ 3.7. ФОРМУЛА ГРИНА
255
мых параллельных оси ординат. Отметим, что эти отрезки
могут вырождаться в точку.
Граница Г области £2 состоит из четырех частей:
Г Г 4- Г Ч~Г -4- Г
CD DA АВ 1 ВС
Для такой области Q имеют место равенства (поясне-
ния ниже, ориентировано положительно)
ь v(*)
ь
= J [ P[x, y(x)] - P[x, <p(x)]]rfx =
a
a b
= — J P [x, y(x)]dx — J p [x, <p(x)]dx =
a
= - J P (x, y)dx- J P (x, y)dx - J Г (x, y)dx -
Гс2> ГАВ rDA
— JP(x, y)dx = - Jp (x, y)dx.
Поясним последнее равенство. Кривая Гсд имеет пара-
метрические уравнения (с параметром х)
х = х, у = у(х).
При этом значению х = Ъ соответствует точка С, а зна-
чению х = а - точка D. Кривая ГАВ определяется уравне-
ниями
X = X, у = <р(х).
Значению х = а соответствует точка А и значению х=Ъ
- точка В. Наконец, отрезок ВС имеет уравнения х = Ъ,
у=у (с параметром у). Вдоль этого отрезка dx = 0, поэтому
на самом деле
J Р (х, y)dx = 0.
Где
Аналогично интеграл по отрезку DA равен нулю:
J Р(х, y)dx = 0.
Итак, мы доказали, что
256
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
JJ у аУ = ~ У) dx- (2)
Q Г
Эта формула распространяется на любую область Q,
которую можно разрезать на конечное число элементар-
ных Н^-областей. Такую область будем называть просто
Н^-областью.
N
В самом деле, пусть Q = у .Q, , где £1 - элементарные
Н -области с границей у, которые будем считать ориенти-
рованными положительно (рис. 85). Тогда (пояснения
ниже)
dy = dy=
n
= X “ J Pdx =-j P(x, у) dx. (3)
>=1 Y, Г
Пояснения требует третье равенство.
Здесь важно отметить, что, если два контура у и у
(tej) имеют общий кусок Y, то он как часть у и как часть
у ориентирован противоположно, и потому криволиней-
ные интегралы от Р по У в обоих случаях отличаются
лишь знаком - их сумма равна нулю. Если учесть это, то
N
сумма в цепи (3) сведется к сумме криволинейных
/=1
§ 3.7. ФОРМУЛА ГРИНА
257
интегралов по кускам принадлежащим к Г, равной
интегралу по контуру Г.
По аналогии можно ввести понятие элементарной Н -
области. В этом случае £2 ограничена слева и справа
кусочно-гладкими кривыми (рис. 86)
х = Цу), х = ц(у), Цу) < ц(г/) (с < у < d).
Сверху и снизу £2 ограничена отрезками прямых па-
раллельных оси х.
Можно также сказать, что элементарная Лх-область
определяется так же, как элементарная /^-область, толь-
ко роль у теперь играет х.
Для элементарной 77х-области £2 получаем (пояснения
ниже)
ш w г1'S’ ‘ &
J J -^dxdy= J dy j — dx= J [ Q(g(y), y) - Q(My), y\dy =
П c X(j/) c
d c
= J Q (Ц(!/)> y)dy + J Q (X(y), y)dy =
C d
= jQ(x, y)dy + ^Q(x,y)dy = J Qdy + JQrfz/4-
гвс Грд Гвс Гсо
+ $Qdy+ J Q dy = J Q (x, y)dy, (4)
Г ДЗ Г
так как dy = 0 на отрезках CD и АВ, то и
J Qdy = j Q dy = 0.
^cd Гав
Формула (4) также распространяется на любую область
£2, которую можно разрезать на конечное число элемен-
тарных /^-областей. Такую область будем называть про-
сто Нх областью.
Итак, мы доказали предложение:
Теорема 1. Если область £2 является одновременно
Нх и Н^-областью, то для нее имеет место формула Грина.
Для доказательства достаточно вычесть из равенства
(4) равенство (3), которые справедливы для области £2,
обладающей указанными свойствами.
9. Бугров Я. С.
258
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Примерами областей, одновременно являющихся Нх-
и /^-областями, могут служить область
х2 < у < 1 - 7F < х с 4у
— 1 < х < 1 0 < у < 1
и эллипс
и
2 2
х у
1- < 1
2----.2 L-
а о
Более того, эти области являются элементарными Нх-
Н -областями.
Замечание 1. Можно доказать более общее утвер-
ждение. Если область £2 ограничена произвольным замк-
нутым кусочно-гладким самонепересекающимся контуром
Г, то для нее верна формула Грина (1).
Следствие. Если плоская область £2 односвязна и на
ней задан непрерывно дифференцируемый вектор
а = Р(х, y)i + Q(x, y)j,
для которого
k = О,
rota =
адэр
дх ду
то а имеет на £2 потенциал (т. е. имеет место в плоском
случае теорема 3 § 3.4).
В самом деле, зададим произвольный самонепересека-
ющийся непрерывный кусочно-гладкий контур у с £2,
ориентированный положительно (рис. 87).
Он служит границей некоторой области со с: £2. Соглас-
но теореме (формуле) Грина (см. замечание 1)
7
dxdy =JJ Gdxdy = О,
(й
Рис. 87
§ 3.8. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО РОДА 259
и так как у с £2 - произвольный замкнутый самонепере-
секающийся контур, то на основании теоремы 1 § 3.4
вектор а имеет потенциал на £2.
Замечание 2. Так как двойной интеграл от единич-
ной функции по области £2 равен площади (мере) области
3Q дР
£2, то, выбирая функции Р и Q так, чтобы - 1,
мы получим различные выражения площади области £2
через криволинейный интеграл:
т£2 = J (Р dx + Q dy).
г
В частности, при Р = - z//2, Q = х/2 получаем
тп£2 = —( (—у dx + х dy). (5)
*
г
Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
х = acost, у = bsint (0 < t < 2л).
Согласно формуле (5) имеем
S = f(~ydx + xdy) =
z *
г
1 2я 1 2я
= — J (afesin2t + abcos2t)dt = — abjdt = nab.
о о
§ 3.8. Интеграл по поверхности первого рода
Пусть гладкая поверхность S определяется уравнением
г(п, и) = <pi + vj + ((u, v) e £2 <-> S, |r„ x rj > 0), (1)
где £2 - ограниченная область с кусочно-гладкой грани-
цей и <р, у, х _ непрерывно дифференцируемые на £2 фун-
кции. Символ £2^5 обозначает взаимно однозначное
соответствие между точками (и, v) е £2 и_точками S.
Пусть, далее, на S или в окрестности S задана непре-
рывная функция F(x, у, z). Произведем разбиение £2 на
части с кусочно-гладкими границами, пересекающиеся по-
парно разве что по своим границам. Каждой части £2у
соответствует определенная часть S. поверхности S. Пусть
А. = (х_, у., 2.) - произвольная точка на Составим сумму
260
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
N
>1
где |S.| - площадь S (см. § 2.11). Предел ее
N
lim У F(A)|SJ= [f(x, у, z)dS (2)
max d(£2,)—»0 1 J
7=1 S
называется интегралом no поверхности S (первого рода)
функции F (или поверхностным интегралом первого рода).
Например, если на S распределена масса с плотностью
распределения F, то интеграл от F по S’ будет выражать
общую массу S.
Интеграл (2) вычисляется по следующей формуле:
| F (х, у, z)dS - J F [<р, у, х]|ги х rjrfudo, (3)
S £1
где справа стоит обычный кратный интеграл (и, v) е Q.
В частности, если гладкая поверхность S определяется
уравнением 2 = f(x, у) ((х, у) е G), где f непрерывна вместе
со своими частными производными первого порядка на G,
то можно считать, что она задана параметрически через
параметры х, у.
X = х, у = у, 2 = /(х, у).
Тогда
r«xrF = - fj - fj + k,
kxrj = -^l + p2+q2 (p= = |^)
и, следовательно,
J F (x, y, z)dS = j F (x, y, f(x, y))-Jl + p2 +q2 dxdy. (4)
s G
Докажем формулу (3). Пусть A = (x., y/f zj и
Xz= <p(u., a.), y. = V), z^ x(ut, o,).
(up v) e Ц(у = 1, .... N).
Тогда (пояснения ниже)
N fl- I
nN = У F (A,) J Ги X r„| dudv =
7=1
§ 3.9. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
261
= XF(A)I^ ЭД =
>1
N
= хг1;|Д| + ел ->
/=1
-> JFI*P. V, X]|ru Xrjdudp (maxd(C2y) -> 0),
о
где знак | |. обозначает, что в | | подставлена точка А., а | |« -
что в | | подставлена такая точка, чтобы выполнялась теорема
о среднем для интеграла:
J К х rj dudv = |ru х ф|,ЭД
а,
(см. теорему 3 § 2.3).
Ведь, очевидно, что (К > |F(A)|) для любого малого Т)
N
|eJ = F (АД|ги хг„|; I - |ru X ru|j]|nj <
7=1
N
< XN= ^n|n|,
7=1
если только d(fi ) < 5, где 5 - зависящее от Т| число, потому
что функция |ru X гг| равномерно непрерывна на £2.
§ 3.9. Ориентация поверхности
Рассмотрим кусок гладкой поверхности S, определяе-
мый векторным уравнением
г = r(u, v) = <p(u, v)i + y(u, v)j + х(и» v)k ((u, v) e £2), (1)
где функции ^, X “ непрерывно дифференцируемые на
замыкании £2 области £2 с кусочно-гладкой границей и
|ru х rj >0 ((u, v) e £2). (2)
Как всегда, мы предполагаем, что имеет место взаимно
однозначное соответствие £2 & S между точками (и, v) е £2 и
точками S.
Единичная нормаль в произвольной точке S определя-
ется по формуле
262
ГЛ. 2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
п = ((«, Г) G Q). (3)
К X ^1
Знаку «+» соответствует одна сторона поверхности S со
щеткой выпущенных в ее сторону единичных нормальных
векторов, непрерывно зависящих от (и, v), а знаку «-»• -
другая сторона S.
Дадим определение. Если из каждой точки А гладкой
поверхности S можно выпустить единичную нормаль п(А)
так, что полученная векторная функция от А будет
непрерывной на всей поверхности S, то S называется
ориентируемой поверхностью.
Функцию п(А) называют еще непрерывным полем нор-
малей.
Поверхность, для которой определена такая функция
п(А), называется ориентированной при помощи п(А). Если
мы говорим, что S есть ориентированная поверхность, то
тем самым считаем, что S обозначает не только поверх-
ность (множество точек), но и тот факт, что на ней задана
указанная непрерывная на S функция п(А). Говорят еще,
что п(А) задает определенную сторону ориентированной
гладкой поверхности (куда выходит из S щетка единич-
ных векторов п(А), непрерывно зависящих от А).
Ту же поверхность, но ориентированную противополож-
ным образом (щеткой единичных нормальных векторов,
идущих в противоположном направлении) надо уже обо-
значать другой буквой. Две такие противоположно ориен-
тированные поверхности удобно обозначать буквами SL и
S . Одна из них произвольно обозначается через S+, а
другая автоматически получает обозначение S .
Простейшим примером ориентируемой поверхности
является плоскость хОу. Единичные векторы, перпенди-
кулярные плоскости и идущие в положительном направ-
лении оси z, определяют одну сторону плоскости, а век-
торы, идущие в отрицательном направлении оси 2, -
Другую сторону плоскости (ге(А) = ±fe).
Рис. 88
§ 3.9. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
263
Поверхность эллипсоида также ориентируема - выпу-
щенный из какой-либо ее точки единичный вектор норма-
ли во внешность эллипсоида, очевидно, непрерывно про-
должается (однозначно!) на всю поверхность.
Этим поверхность ориентирована (определена внешняя
сторона эллипсоида).
Другая, противоположная, ориентация этой поверхно-
сти определяется единичным нормальным к ней векто-
ром, идущим внутрь эллипсоида {внутренняя сторона
эллипсоида).
Выше мы видели, что если S есть гладкая поверхность,
определенная параметрическими уравнениями (1) с ука-
занными там свойствами, то она ориентируема. Знаку «+>>
в формуле (3) соответствует определенная ориентация S, а
знаку «—» будет тогда соответствовать противоположная
ориентация.
Вообще же существуют гладкие поверхности не ориен-
тируемые.
Если прямоугольный лист abb'a' (рис. 88) перекрутить один
раз и его стороны ab, а'Ь’ склеить так, чтобы точки а, Ь'и Ь,
а’ склеились попарно, то получим не ориентируемую поверх-
ность (рис. 89), называемую листом Мёбиуса1.
На рис. 88 отмечен отрезок сс' - средняя линия прямоу-
гольного листа бумаги. Этой линии на листе Мёбиуса соответ-
ствует замкнутая кривая сс', у которой точки с и с' слились
в одну точку. Выпустим из с единичную нормаль п(с) произ-
вольным, по определенным образом. Раз направление п(с)
выбрано (среди двух возможных), то этим уже детерминиро-
ванно определяется выбор п(А) для всех точек А е сс', если
мы хотим, чтобы вектор п{А) зависел от Л непрерывно. Однако
в точке с’ вектор н(с') уже выбран, - ведь с и с’ совпадают.
Легко видеть, что если точку средней линии прямоугольника
непрерывно двигать от с к с', то единичная нормаль п{А), где
А - точка листа Мёбиуса будет стремиться к - п{с), а не к п(с)
и, следовательно, вектор-функция п{А) оказывается разрывной
в точке с = с' е S. Итак, лист Мёбиуса неориентируем.
1 А. Ф. Мёбиус (1790-1868) - немецкий математик.
264
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 3.10. Система координат и ориентация
поверхности
В трехмерном пространстве имеются две существенно
различные прямоугольные системы координат, изображен-
ные на рис. 90 и 91. Отличие друг от друга заключается
в том, что невозможно осуществить такое движение одной
из систем, чтобы в результате его оказались совмещенны-
ми точки О и одноименные положительные полуоси х, у,
z обеих систем.
Первую систему (рис. 90) называют правой, вторую
(рис. 91) - левой'.
Если смотреть снизу вверх вдоль положительной оси
z, то для совмещения положительной оси х с положи-
тельной осью у в кратчайшем направлении в случае рис. 90
нужно вращать ось х в плоскости х, у слева направо (по
часовой стрелке), а в случае рис. 91 - справа налево (про-
тив часовой стрелки).
С каждой из рассматриваемых двух систем естественно
связать «штопор» - комбинацию, состоящую из единич-
ного, направленного в положительном направлении оси
г, вектора и перпендикулярного к оси г кружка (головки
штопора), на границе которого (окружности) задано на-
правление обхода от оси х к оси у в кратчайшем направ-
лении.
Если в случае рис. 90 считать, что ось г есть ось винта
(штопора), скрепленного с головкой и имеющего «правую
нарезку», то, вращая головку в направлении стрелки, мы
заставим штопор двигаться в направлении положитель-
ной оси г (правый штопор). Того же эффекта мы достиг-
нем в случае рис. 91, если ось г будет осью винта, имею-
щего левую нарезку (левый штопор).
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгеб-
ры н аналитической геометрии •>, § II
§ 3.10. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
265
Головка штопора может быть искривлена, т. е. может
представлять собой кусок гладкой поверхности, не обяза-
тельно плоской, но такой, что ось г есть нормаль к этому
куску в точке О. И в этом случае комбинация из такой
головки, на которой задано направление обхода, и еди-
ничной нормали образует штопор - правый или левый.
Наконец, можно представить себе такой штопор пра-
вый или левый с нормальным вектором, идущим в произ-
вольном направлении, не обязательно совпадающим с осью
z. Для дальнейшего будет важно представить себе следу-
ющую конструкцию. Пусть в трехмерном пространстве
задана прямоугольная система координат (правая или
левая) и ориентированная поверхность S. Таким образом,
из каждой точки Р е S выпущена единичная нормаль
п(Р), непрерывно зависящая от Р. Шар У(Р) достаточно
малого радиуса с центром в точке Р высекает из поверх-
ности S некоторый связный кусок g(P), содержащий точку
Р. На контуре (на краю) у(Р) этого куска определим на-
правление обхода так, чтобы вектор п(Р) и кусок о(Р)
образовали штопор, ориентированный так же, как данная
система координат, т. е. если система координат правая
(левая), то и штопор должен быть правым (левым).
Если поверхность S имеет край Г, то созданная конст-
рукция естественным образом приводит к определенному
направлению обхода на Г (рис. 92). Обратим, например,
внимание на точку А контура Г. В ней направление обхо-
да по Г и по замкнутому искривленному принадлежаще-
му S кружочку у совпадают.
Если бы данная поверхность была ориентирована про-
тивоположным образом, а система координат осталась
прежней, то определенные выше направления обхода
нужно было бы заменить на противоположные.
Рис. 92
Рис. 93
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
266
На рис. 93 нарисована ориентированная поверхность с
краем, состоящим из двух замкнутых гладких кривых Г,
и Г2.
Отметим еще следующий факт. Пусть ориентированная
гладкая поверхность S разрезана на две ориентированные
так же поверхности S2 гладкой дугой h (рис. 94). Тогда
направления обхода контуров и S2 вдоль дуги h про-
тивоположны.
Это замечание будет руководящим для того, чтобы
правильно определить понятие ориентированной кусочно-
гладкой поверхности, т. е. поверхности, которую можно
разрезать на конечное число гладких кусков с кусочно-
гладкими краями.
Кусочно-гладкая поверхность S называется ориенти-
рованной, если каждый из ее гладких кусков ориентира
ван и возникающие при этом направления обхода конту-
ров этих кусков согласованы в том смысле, что вдоль
каждой дуги, где два таких контура совпадают, направ-
ления их обхода противоположны.
На рис. 95 нарисован куб, поверхность которого ориен-
тирована при помощи ее внешней нормали.
Пусть S есть ориентированная гладкая поверхность;
таким образом, из каждой точки А е S выпущена единич-
ная нормаль п(А) к Sb А, непрерывно зависящая от А.
Пусть о есть гладкий кусок S. Будем считать, что С есть
вектор, скалярная величина которого равна площади |о|
куска G, а направление определяется вектором п(А), где А
есть какая-либо точка о. Таким образом, о = |о|п(Л).
Этим, конечно, вектор а однозначно не определен.
Однако если диаметр d(o) мал, то направление п(А) не
1
Рис. 94
Рис. 95
§ 3.10. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
267
выходит за пределы некоторого малого конуса, и если о
есть переменный кусок, постоянно содержащий фиксиро-
ванную точку Д, то, очевидно, п(Л) п(А0) (d(o) —» 0), где
d(c>) есть диаметр G, независимо от того, как выбиралась
точка А е о для каждого о.
Дифференциальный элемент ориентированной поверх-
ности S в точке А е S естественно считать вектором
dS = n(A)dS, который, таким образом, равен произведе-
нию дифференциального элемента площади S в точке А
на вектор единичной нормали п(А), определяющей ориен-
тацию S.
Если S задана уравнением
г = r(u, о)= <pi + \ij + yk ((и, v) е G),
то л(А) определяется одним из двух равенств
к < х
л(А) = х (1)
и скаляр dS = |ru х Д| dudv. А вектор
dS = + (ги х rv )dudv. (2)
Если мы хотим, чтобы при преобразовании параметров (и, о)
в параметры (и', о') не изменялся знак в этих выражениях, то
D(u, v)
нужно, чтобы якобиан преобразования v'y был положи-
тельным. Действительно,
п(А) = Гц Х Г?
Кх
D(y, z) D(z, х) D(x, у)
------I +-------J Ч-------К
D(u, v) D(u, и) D(u, v)________
( P(y,z)Y + ( Z>(z, х) Y + ( P(x,y)Y
( D(u, v) J P(u, v) J D(u, v) J
D(y, z) t t P(z, x) | D(x, y) fc
D(u', v') Р(ц, o') D(u', v)
f P(y,2) Y + ( P(2,X) Y + ( D(x, y)
^D(u', o') J v') J
D(u', o')
D(u, v)
D(u', v)
D(u, v)
= ги. X . К X rj D(u’, v'). sign D(u, v)
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интег-
ральное исчисление». § 8.18.
268
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Таким образом, формула (1) со знаком «+»! для еди-
ничной нормали п(А) (а вместе с ней и формула (2)) инва
риантна только по отношению к преобразованиям пара
метров, имеющих положительный якобиан.
Относительно произвольной ориентированной в про-
странстве х, у, г поверхности не имеет смысла говорить,
что она ориентирована положительно или отрицательно.
Другое дело, если поверхность плоская, принадлежащая
к одной из координатных плоскостей.
Ориентированная область G, принадлежащая к плос-
кости хОу, называется положительной (отрицательной)
и обозначается символом G\(G ), если соответствующая
области G единичная нормаль n(A) = k(n(A) = -k), где k
- орт оси г. Это определение согласуется с определением,
данным в § 3.6. Нужно только считать там, что мы смот-
рим на плоскость хОу со стороны положительных г.
Если заменить в этом определении х, у соответственно
на у, г или г, х, а также k - соответственно на орт i оси
х или орт / оси у, то получим определения для областей,
принадлежащих плоскостям уОг, гОх.
Для областей G_, принадлежащих хОу или уОг или
zOx, надо соответственно k, i, j заменить на —k, —i, —j.
§ 3.11. Интеграл по ориентированной
плоской области
В § 3.6 мы ввели понятие интеграла от f по ориентирован-
ной области, принадлежащей плоскости хОу. Именно,
j / dxdy = J f dxdy = - J f dxdy.
G, G G_
Полезность этих определений можно видеть из следующе-
го факта. Зададим две плоскости, где заданы прямоугольные
системы координат х, у и id, у', одинаково ориентированные.
Пусть G обозначает ориентированную область плоскости х, у
с кусочно-гладкой (ориентированной) границей Г, и пусть
непрерывно дифференцируемое преобразование
х' = <р(х, у), у’ = у(х, у) ((х, у) е G) (1)
отображает взаимно однозначно область G на область
(/плоскости х', у' и Г на границу Г7 области G'. Будем пред-
полагать, что якобиан
D(x,y)
Ф 0 (на G).
§ 3.11. ОРИЕНТИРОВАННАЯ ПЛОСКАЯ ОБЛАСТЬ 269
При этом преобразовании обход Г индуцирует на Г' вполне
определенный обход и G' можно считать ориентированной об-
ластью.
Если D > 0, то при переходе от Г к Г' ориентация Г“ не
меняется.
Если же D < 0, то обходы Г и Г противоположны.
Из сказанного следует, что. для любой функции /(х, у),
непрерывной на замыкании G ориентированной измеримой
области G,
\\fdxdy= tff.^^dSdy’,
G G
тде G' обозначает соответствующую G ориентированную об-
ласть. В этой формуле замены переменных якобиан не пишет-
ся под знаком абсолютной величины.
Поясним сказанное относительно связи ориентации Г со
знаком D. В прямоугольной системе координат х, у зададим
два неколлинеарных вектора а' — (а\, а'2) и а" = (а'\т а"2)-
Если определитель
а2
А = л*
а2 а2
положителен1, то это указывает на тот факт, что система а',
а” ориентирована так же, как оси х, у (рис. 96). Если же
Д < 0, то система а', а” ориентирована противоположно
(рис. 97).
Преобразование (1) отображает прямоугольную сетку плос-
кости х, у в криволинейную (рис. 98-100). При этом могут
иметь место два характерных отличных случая отображений,
изображенных на рис. 99 и 100.
Квадрат ABCD переходит в криволинейный параллелограмм
->
А’В’CD1, вектор АВ переходит с точностью до бесконечно
малых высшего порядка в вектор касательной к дуге А'В' в
(дх' ду' А -»
точке А', определяемой вектором I I, а вектор AD —
в вектор касательной к дуге A'D' в точке А', определяемой
fSx' ду'} _ D(x',y')
вектором I ». э I. Если определитель 1У = > 0,
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгеб-
ры и аналитической геометрии», § 12.
270
ГЛ- 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
то расположение этих векторов будет таким, как на рис. 99,
а это приводит к тому, что направления обхода у ABCD и
A'B'C'D' совпадают, а следовательно, и обхода Г и Г.
Если же D < 0, то расположение касательных векторов к
А'В' и A'D' друг к другу меняется на противоположное,
что влечет за собой (рис. 100) тот факт, что обходы у Ги Г
делаются противоположными.
Аналогично определяются интегралы для областей G+ и G ,
определенных на других координатных плоскостях yz, zx.
Рис. 99
Рис. 100
§ 3.12. ПОТОК ВЕКТОРА
271
§ 3.12. Поток вектора через ориентированную
поверхность
В трехмерном пространстве Е = Е3 с прямоугольной
системой координат х, у, z дана область Я и на ней оп-
ределено поле непрерывного вектора
а(х, у, z) = Pi + Qj + Rk.
В Н задана ориентированная гладкая поверхность S*
г = r(u, v) = <pi + у/ + X* ((“, v) е £2, |ф х rj > 0), (1)
где £2 — область с кусочно-гладкой границей в плоскости
параметров (и, и) и <р, у, / - непрерывно дифференцирует-
ся на £2 функции. Будем считать, что единичная нормаль
к S* определяется векторным равенством (в связи со ска-
занным см. (1), (2) § 3.10)
A22L
~ х ^1' (2)
Тогда косинусы углов нормали п = п(А) с осями х, у, г
выражаются равенствами
D(y, z) D(z, х)
cos(n, х) = V,—--г, cos(n, у) = Н—----
D(u, v) D(u, v)
D(x, у) I ।
cos(n, z) = , X = 1/ r„ x r, - (3)
D(u, v) 1 1
Будем еще обозначать через S ту же поверхность, но не
ориентированную - с нее снята ориентация.
Примером указанного поля может служить поле ско-
ростей а жидкости, текущей в области Н. Имеется в виду
стационарное течение, т. е. такое, что ее скорость в про-
извольной точке А е Н зависит от А, но не зависит от
времени t.
Поставим задачу. Надо определить количество W жид-
кости, проходящей в единицу времени через поверхность
S*, в направлении п(А), или, как еще можно сказать, в
направлении ориентации S* (рис. 101).
Для этого рассмотрим малый элемент dS поверхности
S, содержащей некоторую точку А е S. Количество прохо-
дящей через него жидкости в направлении п(А) в единицу
времени, с точностью до бесконечно малых высшего по-
рядка, можно считать равным
andS = (ari)dS = (adS*)
272
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
п(А) (П = "И), а = а(Д)),
__ / Чл - произведению проекции а на
I у /ап направление нормали п(А) на
/ /1/Гг^/ площадь dS элемента. Это про-
/ //////^\ изведение мы записали двумя
/ // 'к способами, использовав равен-
> ство dS* = ndS.
n Искомое количество жидко-
\ сти, проходящей в единицу вре-
\ $ / мени через S* равно интегралу
первого рода
Р“101 И7 = J(an)dS, (.)
S
от функции (ап) по поверхности S.
Заметим, что (ап) есть непрерывная функция от А е S,
потому что по условию а и п - непрерывные вектор-фун-
кции от Л е S. Это показывает, что интеграл первого рода
(*) существует (см. § 3.8).
Этот интеграл условились записывать еще и так:
W= j(adS').
s'
В таком виде его называют интегралом второго рода.
В общем случае, когда а есть произвольный непрерыв-
ный вектор, определенный на Н, величину W называют
потоком вектора а через ориентированную поверхность S*.
Потоком вектора а через ориентированную поверх-
ность S* называется величина, обозначаемая следующим
образом:
J (adS‘)
s’
и определяемая при помощи равенства
J(a<7S") J(an)dS, (4)
s' s
правая часть которого есть поверхностный интеграл
первого рода от скалярного произведения
(ап) = Pcos(n, х) + Qcos(n, у) 4- jRcos(n, г)
вектора а и единичной нормали, определяющей ориента-
цию S*.
§3.12. ПОТОК ВЕКТОРА
273
Так как (ап.) есть непрерывная функция от точки А е S,
то интеграл в правой части (4) первого рода по S суще-
ствует, это было доказано в § 3.8. Выражение в левой
части (4) называют поверхностным интегралом второго
рода'.
Справедливо равенство
J (ari)dS = J (Pcos(n, х) + Qcos(n, у) + Jfcos(n, z))dS =
s s
. + + (5)
J J D(u, v) D(u, v) D(u, v))
где в правой части стоит обычный кратный (двойной)
интеграл по области, в котором в Р, Q и R надо подста-
вить вместо х, у, г соответствующие функции ip, хр, X от и,
о. Это равенство следует из (3) и формулы (3) § 3.8.
Часто удобно вычислить интеграл (5) в декартовых
координатах. Покажем, к каким вычислениям это приво-
дит в предположении, что гладкий кусок S поверхности
взаимно однозначно проектируется на измеримые части
всех трех плоскостей координат. Гладкую поверхность
можно разбить на конечное число таких кусков.
Итак, пусть гладкий кусок S описывается любой из
трех функций
х = Д(р, z) ({у, z) е SJ,
у = f2(z, х) ((г, х) е SJ,
2 = f3(x, у) ((х< у) е S),
непрерывных соответственно на проекциях S на плоско-
сти х = 0, у = О, г = 0 и имеющих непрерывные частные
производные, вообще говоря, только внутри этих проек-
ций Sx, Sg, S2 (измеримых множествах).
Обозначим еще через S', Sy*, S* соответствующие ори-
ентированные проекции ориентированной поверхности S*
на плоскости х - 0, у = 0, z = 0.
Обход контура определяет при проектировании соот-
ветствующий обход площадок Sx, Sy, S2 (рис. 102). Нор-
маль п к S образует угол с осью г, косинус которого равен
1 ад э/3
^г, = ±777770, = ^’’=^)’
1 Другое обозначение интеграла второго рола см. ниже - правую
часть (6), (7).
274
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
где надо взять «+» или «—» в зависимости от ориентации
S*. Имеем (см. (4) § 3.8 и § 3.10)
J R cos(n, z)dS =
s
= f R (x, у, f3(x, у)) , ==- Jl + p2 + q2 dxdy =
s2 + p~ + q
= ± j R (x, y, f3(x, y))dxdy = j R (x, y, f3(x, y))dxdy =
S, s/
= J R (x, y, z)dxdy, (6)
s*
где предпоследний интеграл взят по ориентированной пло-
щадке S* (см. § 3.8). Что касается последнего интеграла в
этой цепи, то его надо рассматривать как обозначение
предпоследнего. Это так называемый интеграл второго рода.
Чтобы его вычислить, надо подставить /3(х, у) вместо г и
проинтегрировать по ориентируемой проекции S*.
Из § 3.8 мы знаем, что J = ± J , где надо взять «+»
V s.
или «-» в зависимости от того, будет ли площадка S*
ориентирована положительно или отрицательно (см. так-
же § 3.6). Аналогичные рассуждения могут быть проведе-
ны и в отношении остальных двух интегралов:
§3.12. ПОТОК ВЕКТОРА
275
| Р cos(n, x)dS = J Р z), у, z)dydz = Jp(x, у, z)dydz,
s s* s*
J Qcos(n, y)dS = Jq(x, f2 (z, x), z)dzdx == J Q(x, y, z)dzdx.
s s/ s*
Мы доказали, что поток вектора а через ориентирован-
ную поверхность S*, определяемую нормалью п, может
быть вычислен по формуле
J ( an)dS =
s
= J (Р(х, у, z)dydz + Q(x, у, z)dzdx + R(x, у, z)dxdy). (7)
s*
Если поверхность S* разрезана на конечное число ча-
стей, S' = ySk , каждая из которых проектируется на
все три координатные плоскости, то чтобы вычислить
поток а через S*, можно вычислить потоки а через каж-
дый из кусков Sk* указанным способом и сложить их.
Шаровая поверхность с центром в нулевой точке есте-
ственно разрезывается плоскостями координат на восемь
кусков, обладающих указанным свойством.
Как уже было отмечено выше, выражение справа в (7)
называют интегралом по поверхности второго рода.
Замечание 1. Если ориентированная поверхность
S = G в пространстве (хр х2, ха) есть кусок координатной
плоскости (ее уравнение х = О при некотором j = 1, 2, 3),
то поток вектора а через G+ есть просто двойной интеграл
от соответствующей проекции вектора а на соответствую-
щую ось. В частности, если G+ есть часть плоскости х3 = О
с нормалью п(А) = +fe, то (cos(n, г) = 1)
J (an)dS = J jR(xp хг, O)dxydx2 =
s s
= J/ffXj, x2, (S)dxldx2 = jR(xp x2, 0)«/х,£/х2.
Gt g
Обратно, если нам дан, например, двойной интеграл
вида
276
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
j/(x, y)dxdy,
G
то его можно трактовать как поток вектора а через пло-
щадку G+, у которого проекция на ось z равна /?(х, у, z)=
= f(X, у).
Замечание 2. Интеграл второго рода от вектора а по
ориентированной поверхности S* меняет знак при пере-
мене ориентации поверхности.
В самом деле, пусть S_* обозначает ту же поверхность,
что и S*, но ориентированную противоположно. Тогда
J (adS) = J (an)dS,
s‘ s
a
J (adS *) = J (a, -n)dS = - J (an)dS = - J(adS*).
S_* S S S*
§ 3.13. Дивергенция.
Теорема Гаусса—Остроградского1
Пусть Е есть трехмерное пространство, где задана пря-
моугольная система координат х, у, г и G с Е - область
с кусочно-гладкой границей S, на которой определено поле
вектора
а(х, у, z) = Pi + Qj + Rk ((х, у, z) е G). (1)
Будем предполагать, что Р, Q, R,
рывны на G, откуда следует, что
смысл непрерывная функция
ЭР ЭС dR
diva = -г— + "V” + т-
Эх оу дг
называемая дивергенцией вектора
Легко видеть, что
dP dQ dR
эР Эу ’ непре'
для вектора а имеет
((х, у, z) е G), (2)
a.
( Э Э Э)
diva= Va (V = ^J),
1 К. Ф. Гаусс (1777-1855) - выдающийся немецкий математик.
М. В. Остроградский (1801-1861) - выдающийся русский математик
§ 3.13. ТЕОРЕМА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО 277
т. е. дивергенция равна скалярному произведению симво-
лического вектора V (оператора Гамильтона) (см. § 3.4) и
вектора а.
Будем считать, что поверхность S ориентирована при по-
мощи единичной нормали п, направленной во внешность G.
Целью нашей будет доказать равенство
divadG = J (an)dS (3)
s
при некоторых дополнительных
условиях, налагаемых на G. Это
равенство называют формулой
Гаусса—Остроградского по имени
математиков, ее доказавших.
Формула Гаусса-Остроградс-
кого говорит, что объемный
(тройной) интеграл от диверген-
ции вектора по области G равен
потоку вектора через границу
этой области, ориентированную
в направлении ее внешней нор-
мали.
Начнем с того, что рассмотрим
область Л, изображенную на рис. 103, которую мы будем
называть элементарной /^-областью. Снизу и сверху Л
ограничена поверхностями и а2 с кусочно-гладкими кра-
ями, определяемыми соответственно уравнениями
z = \(х, у), г = \(х, у) (\(х, у) < \(х, у), (х, у) е AJ),
где Лг — плоская область с кусочно-гладкой границей у,
а 1р Л2 непрерывны на Л2 и имеют непрерывные частные
производные на открытом множестве Л2. С боков Л огра-
ничена цилиндрической поверхностью о‘ с направляющей
у и образующей параллельной оси г.
Пусть S* есть граница Л, ориентированная при помощи
внешней к Л нормали (пояснения ниже). Тем самым ниж-
ний и верхний куски о*,, о*2, так же как боковая повер-
хность о* области Л, соответственно ориентированы. Для
области Л имеют место равенства (пояснения ниже)
I lzdh= ffdxd^ J -£dz =
Л Лг
278
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
= ]] {Я(х, у, Xjx, у)) - R(x, у, \(х, y])}dxdy =
л2
= JJ R (X, у, Х2(х, y))dxdy + jj R (X, у, \(х, y))dxdy =
с 2.Z С ltz
= JJ R(x, у, z)dxdy. (4)
s*
Нормаль п к о‘р о*г образует с осью z соответственно
тупой и острый углы, поэтому проекции а*1 г, о*2„ кусков
о*,, о*2 на плоскость г = 0 ориентированы первая отрица-
тельно, а вторая положительно. Это обосновывает пере-
ход от третьего члена цепи (4) к четвертому. К сумме,
составляющей четвертый член, можно формально доба-
вить интеграл
JJ R (х, у, x)dxdy = О,
О*
потому что cos(n, г) = 0 вдоль а*. Но тогда полученная
сумма трех интегралов равна интегралу, стоящему в каче-
стве последнего члена цепи (4) (потоку вектора (О, 0, 7?)
через S*).
Этим мы доказали теорему Гаусса—Остроградского для
элементарной Нг-области и вектора (О, 0, /?).
Назовем теперь область G Нг-областъю, если ее замы-
кание G можно разрезать на конечное число элементар-
ных /7,-областей
N
G=^Gk
k=i
так, что нижние и верхние куски границы Gk суть части
ориентированной границы S* области G, и докажем, что
для G и вектора (О, О, R) тоже справедлива теорема Гаус-
са-Остроградского.
В самом деле, обозначим соответственно через к, S2 к
нижние и верхние куски границ Gk и через Sk - боковые
куски Gk. Тогда (пояснения ниже)
Г dR v1 Г 3R
J ~^dG=
G *=1 G„
? N t
dG = У J R (x, y, z)dxdy +
*=1 .4*. .
§3.13. ТЕОРЕМА ГАУССА—ОСТРОГРАДСКОГО
279
+ J R (х, у, z)dxdy + J R(x,y, z)dxdy
S*2,* Sk j
= j R (x, y, z)dxdy,
s'
потому что интегралы no S\, очевидно, равны нулю, а
куски S\ k и S*2 k составляют в совокупности поверхность
S', либо только часть S*, а остальная часть о с S* имеет
нормаль в любой ее точке перпендикулярную к оси z. Но
тогда интеграл по а равен нулю.
По аналогии можно ввести понятия Н^.-области и Ну-
области. Например, //^-область обладает тем свойством,
что ее замыкание можно разрезать на конечное число
замыканий элементарных //^-областей. Элементарная же
-область определяется так же, как элементарная Нг-
область, только роль г теперь играет х. По аналогии до-
казывается, что для //^-области G имеет место равенство
Г ЭР
J Эх
G
dG
JJ Р (х, у, z)dydz,
s'
т. е. формула Гаусса—Остроградского для вектора (Р, 0, 0),
а для Нюбласти G — формула
J as,
JJ Q (X, у, z)dzdx.
s'
Если теперь G есть одновременно Нх, Ну и //^-область,
то для нее, очевидно, верна теорема Гаусса-Остроградско-
го для произвольного непрерывно дифференцируемого на
G вектора а = (Р, Q, R), т. е. верно равенство
гггГар 3Q
JJJ [э^ + а7+ a7j
dx dy dz =
= JJ (P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy), (5)
s'
где интеграл справа есть интеграл по поверхности S',
ориентированной внешней нормалью к G.
280
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Если в формуле Гаусса—Остроградского положить Р=х,
Q=y, R=z, то получим выражение для объема области G
|G| = — JJ ( xdydz + ydzdx + zdxdy)
s'
через интеграл по ее ориентированной внешней нормалью
границе S*.
Области, с которыми приходится обычно иметь дело,
являются одновременно Н , Н2-областями.
Пример 1. Шар х2 + у2 + zl < 1 есть Н2-область, даже
элементарная /Г2-область, потому что вся его внутренность
ограничена двумя лежащими друг над другом гладкими
на круге х2 + у2 < 1 поверхностями
г = у/1-х2 - у2 , z = - у/1-х2 - у2 ,
непрерывными на замкнутом круге х2 + у2 < 1, имеющем
гладкую границу. Очевидно, шар есть также Нх и Н -об-
ласть.
Пример 2. Тор. В плоскости х, у зададим окружность
радиуса а с центром в точке (Ь, 0) (0 < а < Ь). Ее уравнение
имеет вид (% - Ь)2 + у2 = а2. Вращение данной окружности
как твердого тела в пространстве х, у, z вокруг оси у
приводит к поверхности Т, называемой тором (на рис. 104
показана половина тора). Уравнение тора в декартовых
координатах имеет вид
(т/х2 +z2 - Ь)2 + у2 = а2.
Чтобы убедиться в том, что Т есть //^-область, доста-
точно поверхность Т разделить на две части плоскостью
х, г. Далее, плоскости х = Ь — а, х = а — Ь рассекают Т
Рис. 104
§3.13. ТЕОРЕМА ГАУСС АОСТРОГРЛДСКОГО 281
на четыре элементарные /72-об ласти, а плоскости z=b - а,
2 = а - b — на четыре элементарные //^области.
Формула Гаусса—Остроградского преобразует объемный
интеграл в интеграл по поверхности.
Чтобы выяснить физический смысл понятия диверген-
ции, будем считать, что в G имеет место стационарное
течение жидкости, скорость которой в произвольной точ-
ке (х, у, z) равна а = а(х, у, г). Зададим произвольную, но
фиксированную точку А = (х, у, г) е G и окружим ее
шаром Vc с: G радиуса Е > О. Пусть S*£ есть его граница
(шаровая поверхность), ориентированная посредством
внешней нормали. Тогда на основании формулы Гаусса-
Остроградского
(adS) = JJJ div adxdydz.
vE
Левая часть этого равенства выражает количество
жидкости, вытекающее из V (вовне <SE) за единицу време-
ни. Применяя к правой его части теорему о среднем, по-
лучим
JJ(adS) = IVjdivap (6)
sE
где |Ие| есть объем Vc, а at - скорость жидкости в некото-
рой точке из Ve. Разделив обе части полученного равен-
ства на |Р| и перейдя к пределу при Е —> 0, получим в
силу непрерывности diva, что существует предел, равный
дивергенции а:
diva = lim JJ(adS) (7)
в точке (х, у, г). Таким образом, diva представляет собой
производительность источников, непрерывно распределен-
ных по G в точке А = (х, у, г). Если в точке А (или всюду
на G) diva = 0, то это значит, что в А (или всюду на G)
производительность источников равна нулю. Если diva < 0,
то это значит, что на самом деле в соответствующей точке
имеет место сток.
Из физических соображений ясно, что diva есть инва-
риант относительно любых преобразований прямоуголь-
ных координат. Но это заключение можно сделать и на
основании математических соображений.
282 ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Как мы знаем (см. нашу книгу «Высшая математика. Эле-
менты линейной алгебры и аналитической геометрии», § 18)
скалярное произведение векторов есть инвариант при преобра-
зованиях координат, поэтому и дивергенция (равная скалярно-
му произведению символического вектора V и вектора а) есть
инвариант относительно преобразований прямоугольных коор-
динат. Конечно, мы считаем (по определению), что координа-
дх ’ ду ’ dz ) преобразуются
по тем же формулам, что и координаты обычных векторов.
Точнее, если формулы преобразования от координат (хр х2, х3)
точки (вектора) в первой системе координат к ее координатам
(j/j, у2, р3) во второй системе имеют вид
3
У,= (Z = 1, 2, 3) (8)
S=1
где а = (otw) - соответствующая ортогональная матрица, то
0 _ V Э
(Z = 1> 2, 3). (9)
7' s=l S
Оператор Гамильтона применяется к дифференцируемой
функции /. В результате мы получаем вектор
ты символического вектора V =
( 0 0 0 ]
V/ = у-’Ч— ’Ч—
ОХ-^ ОХ^ ох^
V на скаляр f - резуль-
, f Jlt.lt,It]
’ 0X2 ’ 0X3 J ’
называемый, как мы знаем, градиентом функции f. Функция
f в этом исчислении считается скаляром. Таким образом,
V/=grad/ есть произведение вектора —
тат есть вектор.
В системе координат уг, у2, у3
df =
dyA ’ ду2 ’ Эуз ,
df . + 0/ . 0/ ,
—----1 ___--] -----fe
дуг ду2 ду3
V/ = grad/ =
где /р ft, - орты системы у2, у2, у3. При этом в силу (9)
0/(0 d 0 ] хп 0/
Формулы (10) согласуются с правилами дифференцирова-
ния сложной функции /(хр х2, х3), у которой
з
* = ^,аьУ1
i=i
(s = 1, 2, 3).
(И)
§ 3.13. ТЕОРЕМА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО
283
Формулы (11) являются обратными к формулам (8) (а 1 =
= а*, т. е. координаты xs выражаются через координаты ук с
помощью s-ro столбца матрицы а).
Здесь мы получили формулы (10), пользуясь только симво-
лическим исчислением.
Теперь, если одно и то же поле вектора определено в двух
прямоугольных системах координат xt, х2, х3 и ylt у2, у3 соот-
ветственно функциями
а = а.(х., х,, x.\i + а„(х., х„ х,)/ 1 а,(х„ х„ x„)fe =
1 1 £, О' V 1 о • 0'1 Z О'
= Ь1(У1> у2> Уз)ч + г/2> + &3(sG’ у2> у№»
где координаты (b^, b2, bs) и (ах, а2, а3) связаны по формулам
(8), (11) (с заменой в них х, у на а, Ь), то в одной и той же
точке
Таким образом, мы еще раз доказали инвариантность ди-
вергенции при преобразованиях прямоугольных координат,
пользуясь только символическим исчислением.
Формулу Гаусса—Остроградского можно записать в
плоском случае, когда G есть область в плоскости х, у и
а(х, у) = Р(х, у)г + Q(x, y)j
— определенное на ней поле. Если п(А) есть внешняя
нормаль к кусочно-гладкому контуру Г области G (А е Г),
то имеет место равенство
ЭР c)Q
Эх ду
J (an)ds,
г
где ds - дифференциал дуги Г.
Если считать, что направление касательной в точке Г
совпадает с положительным направлением обхода по Г,
вдоль которого исчисляется так-
П
же длина дуги контура Г,
(рис. 105)
то
dy
cos(n, х) = cos(T, и) = —,
ds
cos(n, у) = cos[7t - (Т, х)] =
dx
= - cos(T, х) = —
ds
Рис. 105
284
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Поэтому
(an)ds = Pdy - Qdx,
Я( дР ЭСЛ f .
э7+^}dxdy = J{Pdy ~ Qdx)-
G \ « ) г
Если в этой формуле заменить соответственно Р, Q на
Q, -Р, то мы придем к формуле Грина, которая была
получена в § 3.7.
§ 3.14. Соленоидальное поле
Поле (область) Q вектора а = Pi + Qj + Rk называется
соленоидалъным (трубчатым), если дивергенция а на Q
равна нулю:
diva = 0 ((х, у, z) е Q).
В силу теоремы Гаусса—Остроградского для солено-
идального поля имеет место равенство
JJ (an)dS = JJJ diva dxdydz = О
S ы
для любой замкнутой ориентированной (во вне о») кусоч-
но-гладкой поверхности S, являющейся границей области
(О с со с Q, т. е. находящейся строго внутри Q.
В частности, если со находится внутри замкнутой по-
верхности S2 и вне замкнутой поверхности (S=St + S2),
как на рис. 106, то
JJ (an)dS + JJ (an)dS = 0
Si s2
или
JJ (an)dS = JJ (an)dS,
®1 S'2
где S~ - та же поверхность, что S2, но ориентированная
противоположно (во внутрь со).
Рассмотрим в Q область со специального вида (рис. 107)
— трубку с границей S, состоящей из трех гладких кусков:
S = Sj + S2 + S3;
при этом по условию в любой точке S3 вектор а касатель-
ный к S3. Тогда
§ 3.15. ФОРМУЛА СТОКСА
285
JJ (an)dS = О
И
О
или
JJ (an)dS = JJ (an)dS.
Si S~2
Мы видим, что поток вектора а через S 2 равен потоку
его через т. е. если, например, а(х, у, г) есть скорость
текущей в Q жидкости, то количество жидкости, втекаю-
щее в единицу времени в трубку, равно количеству выте-
кающей из трубки жидкости.
§ 3.15. Формула Стокса
Пусть в некоторой области пространства Е3 задано поле
непрерывно дифференцируемого вектора
а = Р(х, у, z)i + Q(%, у, z)j + R(x, у, z)k.
В § 3.4 мы определили понятие ротора вектора а:
rota = V X а =
dR_dQy
ду дг у
ЭР
Эи
3Q
Эх
дР
ду
k.
Из векторной алгебры известно (см. нашу книгу «Выс-
шая математика. Элементы линейной алгебры и аналити-
ческой геометрии», § 18), что векторное произведение двух
векторов инвариантно относительно преобразований пря-
моугольных систем координат, имеющих одну и ту же
286
ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
ориентацию, т. е. таких, что правая система переходит в
правую, а левая — в левую. Поэтому rota = V х а инва-
риантен относительно преобразований прямоугольных
систем координат, не меняющих их ориентацию. Следова-
тельно, мы можем, не вычисляя, сказать, что если наш
вектор а имеет в новой (также ориентированной) прямоу-
гольной системе координат компоненты
a = РДх', у', z')i' + Qt(x', у', z')j' + ЯДх', у , z')k',
то имеет место равенство
fdR 3QL рг эд у Гэв_Э£
^<)i/ dz J \ Эа Эх У ^Эх dy
f _ dQi Г ЭРг dRr _z fdQx dPA 'I ,
" [dy’ ~ dz’ )* + Ij*7” Э*7/ + Ux7~
где i', f, k' — единичные орты в системе х', у', г'.
Если ориентированный контур Г замкнут, то взятый
вдоль него криволинейный интеграл от а будем называть
циркуляцией вектора а по Г и обозначать символом
J (adl) = J (Pdx + Qdy + Rdz).
г г
Здесь dl есть направленный в положительном направ-
лении касательной к у вектор, длина которого равна
дифференциалу дуги Г.
Наша цель заключается в том, чтобы обосновать фор-
мулу Стокса
JJ (rotadS*) = JJ (nrota)dS = J (adl), (1)
S* s г
выражающую тот факт, что поток вектора rota через
ориентированную поверхность S* равен циркуляции а по
контуру Г этой поверхности, ориентированному соот
ветственно ориентации S*. Отметим, что через S” мы
обозначили некоторым образом ориентированную поверх-
ность S. Начнем с доказательства теоремы Стокса (т. е.
формулы (1)) для гладкого куска, взаимно однозначно
проектируемого на все три координатные плоскости.
Зададим ориентированный гладкий кусок S* поверхно-
сти с кусочно-гладким краем Г который можно записать
тремя способами:
2 = /Дх, у) (х, у) е S , х = f2(y, г) (у, z) е Sz,
§ 3.15. ФОРМУЛА СТОКСА
287
У = /3(z, х) х> е Sv-
Предполагается, таким образом, что любое из этих
уравнений разрешается относительно любой из перемен-
ных, а функции Д, f2, fs непрерывно дифференцируемы на
соответствующих проекциях S на координатные плоско-
сти. Имеем
s
s
Э7? dQ |
-г----— cos(n, х) +
оу 02 J
dQ dP ]
-----—- cos(n, z)>dS.
dx dy J
(др dR}
+ —cos(n, у) +
^02 ОХ)
Выберем в правой части (2) члены, содержащие Р. То-
гда (пояснения ниже)
(2)
dP , 4 dP ,
—-cos(n, Z) — —cos(n, y)
dy dz
dS
ЭР ЭР ЭД
tVa7¥jcos(n’2)dS =
JJ У’ A(x> y))dxdy =
= J P (x> У, y))dx = J P (x, y, z)dx. (3)
И г
Так как grad (Д(х, у) - z) ортогонален поверхности
z = /Дх, у), то направляющие косинусы нормали в точке
(х, у, f^x, у)) пропорциональны координатам градиента:
эа. эд
Эх ‘ Э^ : = cos(n’ х> : cos(re> У) cos(n, г).
Отсюда
cos(n, у) =
ЗА
- cos(n, z).
что влечет первое равенство в цепи (3). Второе равенство
следует из формулы (6) § 3.12 и правила дифференцирова-
ния сложной функции. Третье равенство следует из фор-
мулы Грина и, наконец, последнее следует из того, что
уравнения контура Г имеют вид
288_____________ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ________________
X = ф(8), у = v(s), z = х(з) = А(ф(л), v(s))>
т. е. в обоих последних криволинейных интегралах в (3)
dx = (p'(s)ds
и на контуре Гг
Р(х, у, Цх, у)) =
= P(<p(s), у(з), /ДсрО), \|/(.s))) = Р(ф(.ч), i|/(s), x(s)),
что равно Р(х, у, г) на Г.
По аналогии доказывается, что
fff-Д cos(re, z) - — cos(w, х)1 dS = [q(x, у, z)dy, (4)
JJ l Эх dz J L
s г
Л| cos(n, x) - — cos(n, y) |dS = f 7?(x, y, z)dz. (5)
I oy dx J J
s г
Из (3), (4), (5) следует формула Стокса (1).
Мы доказали теорему Стокса для куска ориентируемой
поверхности, одновременно проектирующегося на все три
плоскости координат. Имеется еще один важный простой
случай, который непосредственно не охвачен нашими
рассмотрениями. Мы имеем в виду тот случай, когда о*
есть кусок, принадлежащий некоторой плоскости, парал-
лельной одной из осей координат. Для такого куска тео-
рема Стокса тоже верна. В этом можно убедиться непос-
редственными вычислениями, подобными (3). Но можно
рассуждать так. Интегралы, входящие в формулу Стокса,
инвариантны относительно преобразований прямоуголь-
ных координат, не меняющих ориентацию последних.
Всегда можно подобрать преобразование этого типа так,
что а* будет проектироваться на любую из плоскостей
координат новой системы (например, совместим нашу
плоскость с плоскостью, проходящей через точки (1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1)). А в этом случае теорема доказана.
Формула Стокса остается верной для любой ориентиро-
ванной поверхности S* с кусочно-гладким краем Г, кото-
рую можно разбить при помощи кусочно-гладких линий
на конечное число гладких кусков, проектирующихся на
все три плоскости координат.
В самом деле, пусть S* = 4- ... + g*n есть такое
разбиение, и пусть Гр ..., Гд, — соответственно ориентиро-
ванные контуры cfp ..., o*N. Тогда, согласно доказанному
выше,
§ 3.15. ФОРМУЛА СТОКСА
289
JJ (rotado) = J] (rotado) = У, J(adl) = J(adl),
S j=1 j=l г, г
потому что части интегралов J (j = 1, ... N), берущихся
Г;
вдоль внутренних кусков Г. (не принадлежащих Г), про-
ходятся два раза в противоположном направлении и дают
эффект, равный нулю.
Ориентированная поверхность, которую можно разбить
на конечное число треугольников (плоских), называется
полиэдральной поверхностью и представляет собой при-
мер простейшей поверхности, к которой применима фор-
мула Стокса.
Сделаем еще одно замечание. Пусть о*с обозначает круг-
лую определенным образом ориентированную площадку с
центром в точке А = (х, у, z) радиуса £ с ориентирующим
ее единичным вектором п и у — ее ориентированный кон-
тур. Согласно формуле Стокса
J (adl) = J (wrote)dot = J rot„a doE= |ajTOtnap
Ye
где rotna есть скалярная функция, равная проекции rota
на направление п, а rot,/^ есть значение этой функции в
некоторой средней точке Ое. Отсюда следует, что значение
функции rota в точке А равно
rot a = ИтД [ (adl), (6)
~°KLJ
It
где при предельном переходе при £ —> 0 предполагается,
что вектор п неизменный. В любой правой (левой) системе
координат правая часть (6) есть одно и то же число. Од-
нако при замене правой системы на левую и неизменном п
направление обхода изменяется на противоположное,
что влечет изменение знака в правой части (6). Таким
образом, мы убедились в инвариантности rota = Vxa от-
носительно преобразований прямоугольных координат, со-
храняющих ориентацию последних.
Замечание. Приведем ряд формул с участием опера-
тора Гамильтона V, которые оказываются полезными в
векторном анализе.
10. Ветров Я. С.
290 ГЛ. 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Имеем
diva = (V, a), rota = V х a, grad/ = V/,
где / - скалярная функция, a a - вектор.
1) rot[grad/] = V х V/ = 0,
так как символические векторы V и V/ отличаются толь-
ко скалярным множителем. Непосредственно этот факт
доказан нами в теореме 2 § 3.4)
2) div rota s (V, V х a) = 0,
так как вектор V ортогонален вектору V X а.
3) div(/a) s (V, /а) = (V/, а) + /(V, а).
В самом деле,
0 5 Э
- Г. Р + f, О + Г, R + /(?, + О', + «•,) -
= (V/, а) + /(V, а).
4) Легко проверить, что grad/g = / gradg + g grad/ или
в символическом виде V/g = /Vg + gV/. Таким образом,
оператор V действует на произведение двух функций как
обычный оператор дифференцирования.
5) rot(/a) = / rota + grad/ X a
или
V x /a = /(V X a) + V/ X a.
6) div(a X ft) = (6, rota) - (a, rotb)
или
(V, a x 6) = (b, V x a) - (a, V x 6).
Э2/ d2f d2f
7) div grad/ = TT + TT + TT =
dx dy dz
где Д называется оператором Лапласа. Очевидно, что
(V, V/) = Д/.
ГЛАВА 4
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 4.1. Тригонометрические ряды
Функция f(x) называется периодической периода а, если
она определена на всей действительной оси и для нее
выполняется равенство
f(x + а) = f(x)
для всех х.
Например, тригонометрические функции
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cos3x, ... (1)
имеют период 2л.
На самом деле функции eoskx и sinAx для каждого
натурального k имеют период 2л/А. Таким образом
2л/А<2л при k > 1. Постоянная же у = 1 имеет как
угодно малый период. Однако все функции последова-
тельности (1) имеют период 2л.
Периодическая функция
s = f{t)
изображает периодическое движение (колебание) точки,
имеющей в момент времени t координату s (на оси s).
Функция (периода 21)
(kn А
s = A cosl + ю I, (2)
где А>0, I > О и со - постоянные, k - натуральное,
определяет гармоническое колебание точки с амплитудой
А, фазой со и частотой k.
292
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Функция (2) имеет период 2///г, т. е. одно полное коле-
бание происходит за промежуток времени 2l/k. Количе-
ство же колебаний в единицу времени равно k/2l. Именно
число k/2l нужно было бы назвать частотой колебания,
но обычно частотой (колебания) называют число k.
Отметим, что функция
kit kit
a. cos— t + 6 .sin — t
* I k I
где k — натуральное число,
колебание, потому что
(Jak2 + bk2 > 0),
определяет гармоническое
/гл /гл
akcos~ t 4- bksin — t =
= ^a2 + b2
2 , , 2
+ bk
kit
COS— t +
. kit
sin — t
I
= Ak cos
kit
— t +®k
I k
где
= V o* + bk ,
а (£>к определяется однозначно из соотношений
0 < cofe < 2л, ak/^a/l2 + f>ft2 = costoA, bk/Jak2 + fe*2 = sinwk.
0
z"
Рис. 108
Примером гармонического колебания может
служить колебание пружинного маятника
(рис. 108). Пусть пружина, подвешенная в точ-
ке В, имеет на нижнем ее конце груз массы т,
координата центра тяжести которого в момент
1 = 0 равна z = 0. Грузу в момент 1 = 0 прида-
ется импульс z' = р по направлению оси г. В
результате груз будет колебаться. Отклонение его
от точки равновесия обозначим через г — z(t). Так
как сила, действующая на груз в первом прибли-
жении, равна по закону Ньютона wiz" = -kz, то
Г 2
г" + v2z = 0 v = •
\ т)
Общее решение этого дифференциального
уравнения имеет вид
§4.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 293
г = Cj cosvt + С2 sinvi,
где С,, С2 - произвольные постоянные. Так как
z(0) = 0, z'(0)
то
у | 71 | у
z = — sinvt = A cos — , А = — ,
V \ ) V
и мы получили, что центр тяжести груза совершает гармони-
ческое колебание.
С периодическими движениями (колебаниями) прихо-
дится иметь дело в самых различных областях знания —
в теории упругости, акустике, радиотехнике, электротех-
нике - и всюду простейшими периодическими движения-
ми являются гармонические колебания.
Конечная сумма гармонических колебаний с данным
периодом 21 представляет собой сложное колебание
V’ ( kn , . Ал А
Sn(t) = + X ^cos — f +6* sin—fl (3)
2 k=i1 1 '
Нулевой член в этой сумме мы записали в виде а0/2.
Мы увидим, что это удобно.
Наконец, более сложное периодическое колебание (дви-
жение) можно получить как сумму сходящегося (для всех
f) ряда
V1 ( kit , . Ал
f(t) = — + 7, afecos —t + 6fesm—fl (4)
2 л=Л 1 1 '
называемого тригонометрическим рядом.
Числа ak и bk называются коэффициентами тригоно-
метрического ряда (4), а отдельные его слагаемые
Ал Ал
a. cos——t + ft.sin—— f
h I k I
называются членами ряда (4) или его гармониками (соот-
ветствующими частоте А).
Пример 1. На рис. 109-112 изображены графики пер-
вых четырех частичных сумм ряда
Zsin(2A — 1)х sinx sin3x sin5x sin7x
2A-1 + ~ + ~ + -
и график функции
294
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Рис. 112
§4.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
295
х = 0, х = л.
у(х) =
л/4,
0,
- л/4,
На рис. 109 (наряду с графиком у(х)) изображена фун-
кция St(x) = sinx. На рис. 110 штриховыми линиями
sin Зх
нарисованы графики S/x) и —-— и сплошной линиеи -
О
sin Зх
S2(x) = St(x) + —-—.
На рис. 111 штриховыми линиями нарисованы графи-
sin 5х
ки S9(x) и —~— и сплошной линией -
5
sin 5х
S3(x) = S2(x) + —-—
э
и т. д. Уже из рис. 112 видно, что надо полагать
lim Sn(x) = ig(x) (-л < х < л). (5)
п—>0
Так оно и есть на самом деле. По этому поводу см.
далее § 4.4. Функции >8„(х) для любого п имеют период 2л:
Sn{x + 2л) = Sn(x).
Продолжим функцию у(х) на всю действительную ось
периодически с периодом 2л. Тогда она будет иметь гра-
фик, как на рис. 113. Так как равенство (5) выполняется
для всех х е (-л, л] и функции Sn(x) и у(х) периода 2л, то
lim Sn(x) = ig(x) (-°° < х < <=°).
-2п
-п
rt
2rt Зл х
о
Рис. 113
296 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Пример 2. На рис. 114 изображены три периодичес-
ких периода 2л функции
S2(x) sin 2x (сплошной линией),
2
sin2x sin Зх
S3(x) = sinx - 2 1 3 (штрихами),
sin2x sin Зх sin4x
S4(x) = sinx - 2 1 3 (точками).
V ( smfcx
Для больших п график суммы S (х) = 2^' ь
к=1
схематически (не точно) изображается на рис. 115, что
наводит на мысль, что предельная функция
Рис. 115
§ 4.2. СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 297
S(x) = lim Sn(x)
есть периодическая (периода 2л) функция, определяемая
равенствами
[х, -п < х < п,
S(x) = In
[О, х = л.
Это так и есть (см. § 4.4).
§ 4.2. Сходимость тригонометрических рядов
Пусть задан тригонометрический ряд
л I «К , КЛ ]
— + 7, a*cos —x + ^sm —х I
Чтобы выяснить, сходится ли он, естественно рассмот-
реть числовой ряд
+ £(Ы + М (2)
& Л=1
мажорирующий, как говорят, ряд (1). Его члены превыша-
ют соответственно абсолютные величины членов ряда (1):
kn
I
a^cos^x < |aj, < |fej.
Отсюда следует, что если ряд (2) сходится, то сходится
также ряд (1) для всех х и притом абсолютно и равномер-
но (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференци-
альное и интегральное исчисление», § 9.8, теорема 1). Но
ряд (1) может сходиться без того, чтобы сходился ряд (2).
Ведь его члены для каждого х при изменении k меняют
знак (осциллируют) бесконечное число раз, и он может
оказаться сходящимся вследствие компенсации положи-
тельных членов отрицательными. В общей теории рядов
существуют признаки сходимости подобных рядов. Таки-
ми признаками являются признаки Дирихле и Абеля1
(см. § 9.9, теоремы 3, 4 той же книги), хорошо приспособ-
ленные к исследованию тригонометрических рядов.
1 Н. X. Абель (1802-1829) - норвежский математик. П. Г. Лежен
Дирихле (1805-1859) - немецкий математик.
298 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Так или иначе, если установлено, что ряд (1) равномер-
но сходится, то из того, что его члены суть непрерывные
функции периода 21, следует, что и его сумма
<2п у ( kit , . kit ]
= V + / - afecos—x + 6fesin —x (3)
есть непрерывная функция периода 21 (см. § 9.8, теорема
2 и § 9.9, теорема 2 той же книги) и ряд (3) можно почлен-
но интегрировать.
Ряд (3) можно формально продифференцировать по х:
Zkit ( .kit , kit А
— x + 6ftcos—х (4)
fc=l 1 v 1 1 J
и составить его мажорирующий ряд
XtW+M. ст
k=l
Снова, если ряд (5) сходится, то ряд (4) сходится и
притом равномерно. Больше того, на основании известной
теоремы из теории равномерно сходящихся рядов тогда
сумма ряда (4) есть производная от суммы ряда (3), т. е.
kit , kit
-ah sm — x + bh cos—x
" I I
Вообще, если ряд
Ё(т)'(Ы+М <
при некотором натуральном s сходится, то ряд (3) закон-
но дифференцировать почленно s раз.
Впрочем, надо помнить, что не исключено, что ряд (3)
законно продифференцировать и еще один раз (т. е. s + 1
раз).
Пример. Выяснить, сколько раз можно продиффе-
ренцировать почленно ряд
у1, qk coskx (О < q < 1).
*=i
Продифференцируем данный ряд формально s раз:
blcosAxl
ft 9 . , •
, , Ismfex
§ 4.3. РЯД ФУРЬЕ
299
Мажорирующий ряд ^^k*qk (О < q < 1) сходится при
*=1
любом натуральном s, что можно установить с помощью
признака Даламбера. Поэтому исходный ряд можно диф-
ференцировать почленно сколько угодно раз.
Задача. Сколько раз заведомо можно продифферен-
цировать почленно ряды
Zsin kx cos kx
fc4 , 6) 2L ;,3 ,
k=l R k=l K
в) (akcoskx + fcAsin*x) (0 < q < 1, |aj, < M).
*=i
Сколько непрерывных производных заведомо имеют
суммы этих рядов (см. также пример 1 § 9.9 той же книги).
§ 4.3. Ряд Фурье
Пусть задана функция f(t) периода 21 и известно, что ее
можно разложить в тригонометрический ряд:
z 11
kit , . kn
ah cos—t + sin — t
k I k I
(1)
т. e. она уже есть сумма некоторого тригонометрического
ряда (вида (1)) для всех t (или, быть может, для всех t, за
исключением отдельных значений t). Спрашивается, как
определить по функции f(t) коэффициенты ак, Ьк. Этот воп-
рос принципиально был решен математиками и физиками в
начале прошлого столетия. Существенный вклад в его реше-
ние внес Ж. Фурье1. Он показал, что коэффициенты ак, Ьк
тригонометрического ряда, представляющего периодическую
периода 21 функцию f{t), вычисляются по формулам
ak =i Jcos — tf(t)dt (* = 0,1,2,...),
-z
ьк = у Jsin~? f(t)dt (* = 1,2,...).
-I
(2)
1 Ж. Б. Фурье (1768-1830) - французский математик.
300 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Числа ак и Ьк, вычисляемые по этим формулам, назы-
вают коэффициентами Фурье функции f(t), а тригономет-
рический ряд (1), в который вместо ак и Ьк подставлены
соответствующие коэффициенты Фурье, называют рядом
Фурье функции /(f).
В некоторых случаях (для более узких классов функ-
ций) формулы (2) были известны еще Эйлеру. Поэтому их
называют еще формулами Эйлера—Фурье.
В § 4.6 будет дан вывод формул (2) в предположении,
что уже известно, что периодическая периода 21 функция
/(£) разлагается в тригонометрический ряд, равномерно схо-
дящийся к ней.
Нужно сказать, что физики давно считали, что всякое
сложное периодическое движение точки (сложное колеба-
ние) - будь то механическое колебание точки звучащей
струны или электромагнитное колебание, или колебание,
связанное с распространением звука - распадается на
гармонические колебания, т. е. сложное периодическое
движение надо мыслить как сумму (конечную или беско-
нечную) простых гармонических колебаний того же пери-
ода. Выделение из сложного периодического движения,
составляющего его гармонического колебания, соответству-
ющего данной частоте k, имеет большое практическое
значение. Физики такое выделение из реального движе-
ния получают при помощи специальных приборов — резо-
наторов. Математик, если ему данное движение задано
при помощи периодической функции s = f(t), получает
такое выделение при помощи вычислений. Он просто
вычисляет коэффициенты Фурье ак, Ьк этой функции, и
тогда соответствующая ft-я гармоника будет иметь вид
ftn Am
a.cos—t + ft .sin— t.
к l к I
Отметим, что если функция /(f) имеет период а и интег-
рируема на отрезке [0, а] или, как говорят, на периоде, то
для нее справедливо равенство
а а+Х
J /(х) dx = J /(х) dx (3)
О X
для любого действительного числа X. (см. нашу книгу
«Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление», § 6.4, пример 8).
§ 4.3. РЯД ФУРЬЕ
301
Свойство (3), в частности, показывает, что коэффициен-
ты Фурье периодической функции /(/) периода 2Z можно
записать в виде
X+2Z
«*= у р(Э
Ат
cos—tdt (k = 0, 1, 2, ...).
X
X+2Z
1 г Ат
bk = - J /(t)sin — tdt (k = 1, 2, ...),
х
где X — произвольное действительное число, потому что
Am Ат
функции cos—~t и sin~^-£ периода 21, а произведение
функций периода 2Z - в свою очередь функции периода 2Z.
Отметим еще, что если функция f четная на отрезке
[-а, а], то (см. § 6.4, пример 6 той же книги)
J f(x) dx = 2 J f(x) dx.
-a 0
Если же функция f нечетная на отрезке [-а, а],то (см.
пример 7 § 6.4 той же книги)
J f(x) dx = 0.
-а
kn kit
Функция cos — t четная, a sin — t нечетная. Кроме
того, произведение двух четных и двух нечетных функ-
ций есть функция четная, а произведение четной функ-
ции на нечетную есть нечетная функция. Поэтому для
четной периода 2Z функции fit)
ak = — Гf(x)cos— xdx (k = 0, 1, 2, ...),
Z J Z
о
bk = 0 (ft = 1, 2, ...),
а для нечетной —
ak = 0 (ft = 0, 1, 2, ...),
9 r Am
bk-- — /(x) sin — xdx (ft = 1, 2, ...).
Z •* t
о
302
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию (периода
2л) f(x) = х2 (-л < х < л).
Данная функция четная. Тогда ее ряд Фурье состоит
только из косинусов (Ьк = 0). Вычислим коэффициенты ак.
sin kx п
х2 coskxdx =
2 2
— X
л
4 "
— х sinftxdx =
kit J
о
4x coskx
nk k r
Таким образом,
4 г
—т- coskxdx = (-1)*—7 (k > 0).
nk2 J ft
0
л2 coskx
x2 = — + 42/ h2 (-Л < X < л).
О *=1 к
График суммы этого ряда изображен на рис. 116.
§ 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье
Чтобы упростить записи, будем рассматривать функ-
ции периода 2л. Для функций периода 21, где I - произ-
вольное положительное число, рассуждения аналогичны.
§ 4.4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 303
Как мы знаем, рядом Фурье функции f(x) периода 2л
называется тригонометрический ряд
— + / , (akcoskx + fe^sinftx), (1)
*=i
коэффициенты которого вычисляются по формулам
1 71
а. = — I f(x)coskxdx (k = 0, 1, 2, ...),
л J
-It
b. = — [ f(x)sinkxdx (k = 1, 2, ...). (2)
п J
-л
Мы видим, что для того, чтобы ряд Фурье функции f
периода 2л имел смысл, во всяком случае должны иметь
смысл интегралы (2).
В наших рассуждениях интегралы (2) всегда будут
иметь смысл, потому что мы будем говорить о непрерыв-
ных или кусочно-непрерывных на периоде ограниченных
функциях.
Поставим вопрос, каким условиям должна удовлетво-
рять функция /(х), чтобы ее ряд Фурье сходился к ней.
Этим вопросом математики занимались много. Мы огра-
ничимся тем, что сформулируем несколько важных с
практической точки зрения достаточных признаков схо-
димости рядов Фурье, не доказывая их.
Если функция f(x) периода 2л непрерывна на всей
действительной оси и имеет кусочно-непрерывную произ-
водную на периоде, то ее ряд Фурье равномерно сходится
к ней:
f(x) (atcosfex + fe^sinftx).
*=i
Пример 1. Функция у(х) периода 2л, четная и опре-
деляемая на отрезке [0, л] равенством
V(x) = х (0 < х < л),
удовлетворяет, очевидно, сформулированному признаку
(см. график этой функции на рис. 117). Ее коэффициенты
Фурье Ък = 0, а коэффициенты (k > 1)
2 г
а. = — I х coskxdx =
к nJ
о
304
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
2
= — X
п
sin kx
sin kx dx =
—- cos kx
л/г
г a0 1 г л
= 7^2(cos/m _ v = 7 Jxdx = ? •
0
Таким образом,
a0 = Л; a2k = °> a2*-l = n(2fe - I)2
(k = 1, 2, ...).
Но тогда, согласно указанному признаку,
п 4 соз(2/г — 1)х
’ 2 - п^-^Г
(—“ < х < °°);
при этом сходимость ряда равномерная.
Тот факт, что этот ряд сходится равномерно, следует и
из общей теории рядов (по критерию Вейерштрасса). Но
не тривиально, что он сходится именно к функции \у(х).
Отметим еще, что данная периодическая функция <|/(х)
совпадает с функцией у = х только на отрезке [0, л], а вне
отрезка [0, л] эти две функции различны.
Сформулируем еще признак сходимости ряда Фурье,
называемый признаком Дирихле.
Говорят, что функция f(x) периода 2л удовлетворяет
условию Дирихле, если на отрезке [0, 2л] можно указать
конечное число точек 0 = х0 < xt < х2 < ... < xN = 2л
таких, что на интервалах (х., х.+1) функция ограничена,
непрерывна и монотонна (не убывает или не возраста-
ет ), а в точках xj разрыва f
§ 4.4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
305
/(х) = |(Лх,+ 0) + f^r 0))>
т. е. значение fax. есть среднее арифметическое правого
и левого пределов f в х.
Если функция f(x) периода 2 л удовлетворяет условию
Дирихле, то ее ряд Фурье сходится к ней для любого х:
/(х) = + 21 akcoskx + fysinfcr) (-«> < х < °°).
2 Л=1
Пример 2. Функция <р(х) периода 2л, определяемая
равенством
Гл — х, 0 < х < 2л,
^(х)= [О, х = 0,
как это видно из ее графика (рис. 118), удовлетворяет
условию Дирихле. Ведь точки 0 = х0 < xt = 2л обладают
свойством: функция <р(х) убывает, непрерывна и ограниче-
на на интервале (х0, xj и
Рис. 119
306
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
0 = фСО + ^ + Ф^-0) = 71 + (~л) = 0
2 2
fti . <р(2л + 0) + <р(2п — 0) л + (-л)
Ф(2п) = ---------------------- = --------- = 0.
Функция <р(х) нечетная, поэтому ее ряд Фурье состоит
только из синусов; следовательно, коэффициенты Фурье
для нее
ак = 0 (k = 0, 1, 2, ...);
Ъ= — I (л - xjsinftxdx =-------(л - х)
nJ л
о
2 rcosftx^ 2 2 sin kxK _ 2
л J ft ft nft ft _ ft
о °
Итак,
cos kx
(k = 1, 2,
<p(x) = 2
у sin kx
(—“ < x < “).
Задача. Разложить в ряд Фурье функцию периода
2л, определенную на [—л, л] равенством (рис. 119)
— л < х < л,
х - ±л.
Ответ. f(x) = 2
k=i
sin kx
k
§ 4.5. Ортогональные свойства
тригонометрических функций
Рассмотрим последовательность тригонометрических
функций
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x. (1)
Для них справедливы важные (легко проверяемые)
формулы:
§ 4.5. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
307
coskxcoslxdx = •! ’ ’ (k, I = 0,1,2,...),
I л, k = I,
Г . 0, k Ф I,
smkxsinIxdx — •{ (k, I =1,2,...),
J \n,k = l,
71
J cos kx sin Ixdx = 0
-it
It
J cos kxdx = 0
П
It
J sin kxdx = 0
-It
It
J Idx = 2л.
—JI
(k, I =1,2,3,...),
(ft =1,2,...),
(k =1,2,...),
(2)
Из (2), в частности, следует, что интеграл по отрезку
[-л, л] от произведения любых двух различных функций
последовательности (1) равен нулю.
Это свойство формулируют так: функции последователь-
ности (1) ортогональны, на отрезке [-л, л].
Из формул (2) следует:
It
J cos2 kxdx = л,
-It
ft = l, 2,...,
It
J sin2 kxdx = л, (3)
-K
It
Jl2dx = 2л.
-It
Задача. Получить формулы, аналогичные формулам
(2), (3), для тригонометрических функций
308
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
л л 2л 2л
1, cosyx, sinyx, cos—х, sin—х, ...
Указание. Можно их получить непосредственно вы-
числением. Но можно также их получить, произведя в
пи
интегралах (2), (3) замену переменной х =—.
§ 4.6. Коэффициенты Фурье
Допустим, что функция Дх) периода 2л разложена в
тригонометрический ряд
Дх) = — + (atcosfer + b^sinfex), (1)
2 k=i
и оказалось, что этот ряд равномерно сходится к ней.
Каждый член ряда (1) есть непрерывная функция, и
так как ряд (1) по условию равномерно сходится, то его
сумма Дх) есть непрерывная (на действительной оси) фун-
кция (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференци-
альное и интегральное исчисление», § 9.8, теорема 2).
Помножим левую и правую части (1) на cosznx, где т -
натуральное число. Так как функция cosmx непрерывна
и ограничена, то полученный ряд снова будет состоять из
непрерывных функций и снова будет равномерно сходить-
ся, теперь уже к непрерывной функции /(x)cosznx. Но
равномерно сходящиеся ряды непрерывных функций за-
конно интегрировать почленно на конечном отрезке. Про-
интегрируем полученный ряд почленно на периоде, т. е.
на отрезке [ л, л]:
Я Я
J Дх) cosmxdx = J у cosmxdx +
-я -я
+ ak J cos kx cosmxdx +
s=i
= а л (т = 1, 2, ...).
Я 1
Ьк J sin kx cos mxdx =
-л j
Второе равенство следует из ортогональности тригоно-
метрических функций и формул (3) § 4.5.
§4.7. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 309
Аналогично получим
п
J f(x) sinmxdx = bnn (ft = 1, 2, ...)
—It
и
л
J f(x) Idx =
~K
it „ ( It к '
= J1 dx + ak J cos kx dx + bk J sin kxdx =
-it \ -it -it >
= — 2л = аол
в силу последних трех формул (2) § 4.5.
Как уже отмечалось в § 4.4, (2), числа ат, Ьт, вычисля-
емые по формулам (2) § 4.4, называются коэффициента-
ми Фурье функции f, а сам тригонометрический ряд (1),
где ак и Ък - коэффициенты Фурье функции /, называется
рядом Фурье функции f.
Итак, мы доказали, что если функция f представима
в виде суммы тригонометрического ряда (1), равномерно
сходящегося (для всех х!), то числа ак, Ьк необходимо
являются коэффициентами Фурье функции f.
Замечание 1. Таким образом, всякий равномерно схо-
дящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье
своей суммы.
Замечание 2. Мы рассмотрели здесь функцию /(х)
периода 2л, чтобы не усложнять записи. Для периода 21
рассуждения аналогичны.
§ 4.7. Оценка коэффициентов Фурье
Теорема 1. Пусть функция f(x) периода 2л имеет
непрерывную производную f(,l>(x) порядка s, удовлетворя-
ющую на всей действительной оси неравенству
|Мх)| < М; (1)
тогда коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют
неравенству
310
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
, , 2MS , , 2MS
\ak\<—^,\bk\<—Ttk=l,2,...). (2)
К к
Доказательство. Интегрируя по частям и учиты-
вая, что /(-л) = /(л), имеем
Я
а. = — [ f(t) cosktdt =
л •>
-я
1
л k
7С
Г ,,„ч sin kt ,
f (0—— dt
J k
Поэтому
Я
—- f f'(t) sinktdt. (3)
Ttk J
- я
2Мг
k
Интегрируя по частям правую часть (3) последователь-
но, учитывая, что производные f, п непрерывны и
принимают одинаковые значения в точках t = -л и t = л,
а также оценку (1), получим первую оценку в (2).
Вторая оценка в (2) получается подобным образом.
§ 4.8. Пространство функций
со скалярным произведением
Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на от-
резке [а, й], если она непрерывна на этом отрезке, за ис-
ключением, быть может, конечного числа точек, где она
имеет разрывы первого рода (см. также § 7.4 нашей книги
«Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление»). Такие функции можно складывать и умно-
жать на действительные числа и получать как результат
снова кусочно-непрерывные на [а, Ь] функции.
Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных
на [а, 6] (а < Ь) функций f и <р будем называть интеграл
ь
(f, ф) == j /(х) ф(х)с/х. (1)
а
§4.8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ
311
Очевидно, для любых кусочно-непрерывных на [а, Ь]
функций f, ср, у выполняются свойства:
I) (Л ф) = (ф, f).
2) (f, f) > 0 и из равенства (/, f) = 0 следует, что Дх) = О
на [а, Ь], исключая, быть может, конечное число точек х.
3) (а/ + Pip, у) = а(/, у) + Р(ф, у),
где а, Р - произвольные действительные числа.
Множество всех кусочно-непрерывных функций, опре-
деленных на отрезке [а, Ь], для которых введено скаляр-
ное произведение по формуле (1), мы будем обозначать
L'2 = L'2(a, b) и называть пространством L'2 или LI£а, Ь).
Замечание 1. В математике называют пространством
L2 = L2(a, b) совокупность функций Дх), интегрируемых в
лебеговом смысле на [а, Ь] вместе со своими квадратами,
для которых введено скалярное произведение по формуле
(1). Рассматриваемое пространство L'2 есть часть L2. Про-
странство L'2 обладает многими свойствами пространства
L2, но не всеми (см. далее примечание в § 4.9).
Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Вуня-
ковского1 (см. нашу книгу «Высшая математика. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии», § 6, (6))
1(/, ф)| < (/, /01/2(ф. ф)1/2>
которое на языке интегралов выглядит так:
ъ
J f2(x)dx
а
Величина
J f2{x)dx = (Д Д1/2
называется нормой функции f.
Норма обладает следующими свойствами:
1) 11/11 О,
при этом равенство может быть только для нулевой фун-
кции / = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением,
быть может, конечного числа точек (см. нашу книгу «Выс-
шая математика. Дифференциальное и интегральное ис-
числение», § 6.2, теорема 5),
2) II/ + ф|| < Ml + ||ф||,
' В. Я. Буняковский (1804-1889) — русский математик.
312
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
3) 1И1 = |а|-И,
где а — действительное число.
Второе свойство на языке интегралов выглядит так:
'ъ
J |/(х) + ф(*)|2
\V2
dx
>
\1/2
/2 (x)dx
'ь
J ф2 (x)dx
и называется неравенством Минковского.
Говорят, что последовательность функций {/я}, принад-
лежащих к L'2, сходится к функции f е L'2 в смысле
среднего квадратического на [a, fe] (или еще по норме L'2),
если
lim И/„ - /II = Нш
П—п П—>°°
ь А1/2
||/n(x)-/(x)|2dx
= 0.
Отметим, что если последовательность функций /,,(х)
сходится равномерно к функции /(х) на отрезке [а, 6], то
для достаточно больших п разность /(х) - /п(х) по абсо-
лютной величине должна быть мала для всех х е [а, 6].
В случае же, если /п(х) стремится к /(х) в смысле сред-
него квадратического на отрезке [а, &], то указанная раз-
ность может и не быть малой для больших п всюду на
[а, Ь]. В отдельных местах отрезка [а, Ь] эта разность мо-
жет быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от
ее квадрата по отрезку [а, б] был мал для больших п.
Пример. Пусть на [0, 1] задана изображенная на
рис. 120 непрерывная кусочно-линейная функция /п (х)
(п = 1, 2, ...), причем
/„ (0) = /„(2/п) = /п(1) = 0,
/„(1/п) = 1-
При любом натуральном п
max f (х) = 1,
0<х<1
и, следовательно, эта последователь-
ность функций не является равно-
мерно сходящейся к нулю при
п—>со.
Между тем
11/„ - 0|| = ||/„|| =
Рис. 120
§ 4.8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ
313
'1
J f„(x)dx
<о
'1/л
J (nx)2dx +
2/n
J(2-их)2
l/n
dx
Vn
2 J (nx)2
< о
\V2
dx
t. e. последовательность функций {/л(х)} стремится к нулю
в смысле среднего квадратического на [0, 1].
Из элементов некоторой последовательности функций
А» А» А» ••• (принадлежащих 1/2) построим ряд
А + А + А + - (2)
Сумма первых его п членов
°п - А + А + + А
есть функция, принадлежащая к L'2. Если случится, что
в L’2 существует функция f такая, что
II/ - -> 0 (п -> оо),
то говорят, что ряд (2) сходится к функции f в смысле
среднего квадратического и пишут
/ = А + А + А + — •
Замечание 2. Можно рассматривать пространство
L'2 — L'2 (а, b) комплекснозначных функций /(х) = Д (х) +
+if2 (х), где Д и f2 - действительные кусочно-непрерывные
на [a, 6] функции. В этом пространстве функции умножа-
ются на комплексные числа и скалярное произведение
функций f(x) = (х) + if2 (х) и <р(х) = фх(х) + /ф2(х) опре-
деляется следующим образом:
ь ь
(f, ф) = J /(х)ф(х) dx = J [ Д (х) + if2 (х)][фх (х) - мр2 (х)] dx,
а а
а норма f определяется как величина
11/11 = (A f)1'2 =
у/2
ffdx
>
\V2
dx
(ь Y72
J[/i2(x) + /22(x)]dx
314
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 4.9. Ортогональная система функций
Функция (p е L'2 (а, Ь) называется нормальной, если
ЦфИ = (ф, Ф)1/2 = 1-
Две функции ф, ф е L'2 называются ортогональными
(между собой), если (ф, ф) = 0. Система кусочно-непрерыв-
ных на отрезке [а, Ь] функций
Фр Ф2> Фз> ••• (!)
(конечная или бесконечная) называется ортогональной,
если функции имеют положительную норму и попарно
ортогональны.
Система (1) называется ортогональной и нормальной
(ортонормальной) или ортонормированной, если
Jo, k Ф I,
(Ф*’ Ф<) = = |1, k = I,
т. е. она ортогональна и каждая входящая в нее функция
имеет единичную норму.
Любая конечная ортогональная система функций фр
ф2, ..., ф^, линейно независима в L'2, т. е. из того, что
А’
£а*Ф* (х) = 0 (хе [а, 6]),
*=1
где ак - числа, следует, что все ak = 0. В самом деле, если
помножить обе части этого равенства скалярно на ф( (Z =
=1, ..., N), то на основании линейных свойств скалярного
произведения получим
' N '
^а^к, Ф/
k*=i 7
«Хфр ф,) = 0,
и так как (ф(, ф() > 0, то а, = 0 (I = 1, ..., N).
Если f е Ь’г (а, Ь) - произвольная функция, то число
2. )
ы
называется коэффициентом Фурье функции f относитель-
но функции ф* ортогональной системы (1). Ряд
л=1 ||ф*||
(2)
§4.9. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
315
порождаемый функцией f е £'2, называется рядом Фуръе
функции f по ортогональной системе (1).
Если система (1) ортонормальна, то ||ipj| = 1 (k = 1, 2, ...)
и ряд Фурье функции f записывается еще проще:
f~ Ф*)Ф*- (3)
Л=1
Коэффициентами Ф<урье в этом случае являются числа
(Л ф*)- В дальнейшем мы будем рассматривать только
ортонормированные системы (1). Переход от них к произ-
вольным ортогональным системам носит технический
характер.
Теорема 1. Если система (1) ортонормирована, то
для любой функции f е L'2 норма
N
k=l
среди всевозможных систем чисел ..., aN достигает
своего минимума для единственной системы чисел, опре-
деляемых равенствами
а* = (А Ф*) (* = 1. ^).
т. е. для коэффициентов Фурье функции f.
Таким образом,
N
min/-Y аАфЛ
а*
N
f-^ff Фл) Фл
fc=l
(4)
при этом
N
= (Л А ФА)2.
(5)
Доказательство. Имеем
N II2 f N К '
Л=1 II \ Л=1 Л=1 ,
N N
= (Л f) - 2Z«4A Ф*) + =
k=i k=i
316
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
N N
= X [ (А Ф*)2 - 2а*(А Фк) + а/] + (А А ~ X (А %)2 =
k=l k=1
N N
= Xt(A Ф*) - а*]2 + (А А -Х(А Ф*)2 >
/г=1 k=l
N
> (А А -Х(А Ф*)2-
Л=1
При этом очевидно, что последнее соотношение в этой
цепи обращается в равенство только в единственном слу-
чае, когда а.к = (f, фк) при любом k. Тем самым мы дока-
зали соотношения (4) и (5).
Из равенства (5), если учесть, что его левая часть есть
неотрицательное число, вытекает неравенство
N
£(/, фА)2 < (А А,
Л=1
верное при любом N. Но тогда, если система (1) состоит из
бесконечного числа функций фк, то ряд, составленный из
квадратов коэффициентов Фурье функции f, сходится и
справедливо неравенство
Х(Аф*)2<(АА, (6)
*=i
называемое неравенством Бесселя.
Очень важен тот случай, когда ортонормированная
система (1) такова, что неравенство (6) обращается в ра-
венство (равенство Парсеваля-Стеклова1)
Х(Аф,)2 = (АА (7)
Л=1
для всех функций f е L’2.
Чтобы выяснить значение равенства Парсеваля, зада-
дим произвольную функцию f е L'2 и составим для нее ее
ряд Фурье
/ ~Х(А Ф*)Ф*-
*=1
1 М. А. Парссваль (1755-1836) - французский математик.
В. А. Стеклов (1864-1926) - русский советский математик и физик.
§ 4.9. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
317
Сумма первых п членов этого ряда
п
-S„(x) = Х<А ф*)ф*(х)
k=l
называется п-й суммой Фурье функции f по ортогональ-
ной системе (1).
Согласно формуле (5) отклонение SJx) от Дх) в смысле
среднего квадратического (в смысле L'2) равно
п
II/--Sjl2 = (А/)А ф*)2- (8)
k=i
Если для функции f е £'2 выполняется равенство
Парсеваля (7), то
II/ - Sn|| 0 (п -), (9)
и обратно, из (9) вытекает справедливость равенства Пар-
севаля (7).
Существует следующая терминология. Ортогональная
система (1) называется полной в L'2, если ряд Фурье любой
функции f е L'2 сходится в смысле среднего квадратическо-
го к f, т. е. если имеет место свойство (9) для всех f е L'2.
Мы, таким образом, доказали, что для того чтобы
ортонормированная система (1) была полной в L'2, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для любой функции f е L’2
выполнялось равенство Парсеваля (7).
Примечание. Мы уже отмечали в замечании 1 §4.8,
что L2 = L2(a, b) обозначает пространство функций Дх), интег-
рируемых в лебеговом смысле на [а, Ь] вместе со своими квад-
ратами и что L'2 с L2.
Рассмотрим ортонормированную на отрезке [а, Ь] систему
непрерывных функций
<р, (х), <р2 (х), <р3 (х), ...,
полную в том, смысле, как это мы определили выше. Мы
знаем, что если f е L’2, то для чисел
ck = (Д <pt) (k = 1, 2, ...) (10)
выполняется равенство Парсеваля
ь “
ff2(x)dx = Xе*2-
J Л=1
а
Это верно и для функций / е L2, только интегралы надо
понимать в смысле Лебега.
Но имеет место и обратное утверждение: если числа сл
(k = l, 2, ...) таковы, что ряд
318
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Xе*2 < “
Л=1
сходится, то в L2 существует функция f(x) такая, что числа ch
являются ее коэффициентами Фурье и выполняется соотноше-
ние (9).
А в L'2 такой функции может и не быть. В этом проявля-
ется несовершенство пространства L'2. В пространстве L'2
недостаточно количество функций, для того чтобы это обрат-
ное утверждение имело место.
§ 4.10. Полнота тригонометрических функций
В § 4.4 были приведены признаки сходимости ряда
Фурье. Речь там шла об обычной сходимости. Сейчас мы
сформулируем признак сходимости ряда Фурье в смысле
среднего квадратического.
Совокупность всех функций f периода 2л, ограничен-
ных на отрезке [—л, л] и непрерывных на нем, за исклю-
чением, быть может, конечного числа точек, где f имеет
разрыв первого рода, обозначим через £'2* = £'2*(-л, л).
Если функция f е L'2*, то ее ряд Фурье
f(x) = + ^(aAcosfex + bAsinfex), (1)
Л=1
п Г л
ak 1 f r/x COS Art
М ...),
л п k J
сходится к ней в смысле среднего квадратического, т. е.
к
J [ f(x) - Sn(xW dx -» 0 (п оо), (2)
-п
где
ао V /
S(x) = “о” + / ‘ * O,cosfex + fejSin&x).
1 k=i
Формулу (1), где стоит знак равенства, надо читать в
данном случае так: функция f(x) есть сумма ее ряда Фу-
рье, сходящегося к ней (на отрезке [-л, л]) в смысле сред-
него квадратического.
Подсчитаем непосредственно интеграл в (2), учитывая
ортогональные свойства тригонометрических функций,
§ 4.10. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 319
п
j [ f(x) - S„(x)]2 dx =
-тс
J f(x) - ~ (ak cos kx + bk sin kx)
~П - ^=1
dx
n n
= j f2(x) dx - 2^- j/(x) dx -
-n -Л
n • p
-2 ak I f(x) coskxdx + bk I f(x) sin kxdx
^=1 \ -л >
2
Дл
-5-л +
2
n л 2 П
+ ak + V) = J f2(x)dx - - л^(аА2 + b2).
k=i _n z k=i
Для функции f e L'2* это выражение при n —> °° стре-
мится к нулю. Но тогда имеет место равенство
1 **
- \f2{x)dx= ^- + £(<V + bA2) (feI/2*), (3)
Z *=i
называемое равенством Парсеваля для тригонометричес-
ких функций [равенством Ляпунова).
Замечание. При сравнении формулы (3) с формулой
(7) § 4.9 надо учесть, что последняя была выведена для
ортонормированной системы, а рассматриваемая здесь фор-
мула (3) получена для ортогональной, но не нормирован-
ной системы, какой является система
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ... .
Функции
1, cosx, cos2x, cos3x, ... (4)
образуют ортогональную систему на отрезке [0, л]. Имеет
место
Теорема 1. Любую функцию f е £'2 (0, л), т. е. кусоч-
но-непрерывную на [0, л], можно разложить в ряд Фурье
по косинусам-
320
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
f(x) = V +
&
У, ak cosftx, ak
2 г .
= - \f(t)cosktdt (5)
л J
о
*=i
(ft = 0, 1, 2
и при этом ряд (5) сходится к f в смысле среднего квад-
ратического на [0, л].
В самом деле, эту функцию можно продолжить на [-л, п]
четным образом, а затем периодически с периодом 2л на
всю действительную ось. Получится функция f е L’2*.
Ряд Фурье функции / по функциям 1, cosx, sinx, cos2x,
sin2x, ... в силу четности / имеет в точности вид (5) и, как
мы уже знаем, этот ряд сходится к /(х) в смысле среднего
квадратического на [-л, л]. Тем более, в смысле среднего
квадратического на [0,л].
Сказанное можно выразить следующими словами: сис-
тема функций (4) ортогональная и является полной сис-
темой в L'2 (0, л).
Верно также утверждение:
система функций
sinx, sin2x, sin3x, ... (6)
ортогональная и является полной системой в L'2 (0, л),
т. е. имеет место
Теорема 2. Любую функцию f е L’2 (0, л) можно раз-
ложить в ряд Фурье по синусам:
f(x) = У bk sinftx, bk = — f /(#) sinktdt (7)
7“; л J
*=i о
(ft = 1, 2, ...),
сходящийся к ней в смысле среднего квадратического на
[0, л].
Ортогональность системы (6) проверяется непосредствен-
но и следует из (2) § 4.5. Что же касается полноты, то она
вытекает из следующих соображений.
Продолжим функцию / е В'2 (0, л) на отрезок [~п, л]
нечетным образом и затем периодически с периодом 2л.
Ее ряд Фурье по системе 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ...
сходится в смысле среднего квадратического на [-л, л].
Тем более на [0, л]. Притом этот ряд имеет вид (7).
Пример. Разложить в ряд по синусам функцию у = х2
(0 < х < л).
Продолжим эту функцию нечетным образом на [-л, 0]
и затем периодически с периодом 2л на всю действитель-
§ 4.10. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 321
ную ось. Тогда ряд Фурье этой функции \|/(х) будет состо-
ять только из синусов:
bk = - Jx2 sinftx dx = --- + [(1)* _ i];
n Jo « nft3
откуда
n 2n 8
= " * ’ = 2ftH “ n(2ft-l)3
Таким образом,
\|/(х) = bk sinftx.
*=i
График суммы этого ряда изображен на рис. 121.
11. Бугров Я. С.
322
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 4.11. Комплексная форма ряда Фурье
Пусть ак и Ьк — коэффициенты Фурье функции f(x). На
основании формул Эйлера
atcoskx + b.sinAx =
к к
eikx+e-ikx eikx_e-ikx
= а ------------ + Ь-------—------- = ckeikx + c_ke~‘kx,
2 2i k A
где (будем считать bQ = 0)
_ ak~lbk _ ak+ibk
k 2 ’ C ~k 2
Отсюда
(1)
ck = —— f (cosAZ - isinkt)f(t)dt = — f f(f) e'ktdt,
2л J 2л J
о о
1 2n 2n
c_k = — I (cosA# + isinkt)f(t)dt = — [ f(t) eik,dt.
2л J 2л J
о о
Эти два равенства можно записать в виде единой фор-
мулы
1 2"
ck = — f f(t) e~Mdt (А = 0, ±1, ±2, ...). (2)
2Л J
О
Важно заметить, что если f(x) — действительная функ-
ция, то ак и bk действительны, а числа ск и с к, хотя вооб-
ще и комплексны, но взаимно сопряжены:
с_А = ск . (3)
Очевидно, n-я сумма ряда Фурье функции f может быть
записана в виде
п п
Sn(x) = -у- + V, ( akcoskx + bksinAx) = сь е‘кх, (4)
2 к=1 к=-п
а сам ряд Фурье функции f - в виде ряда
/(х) ~ + У", (gbcosfex + b^sinAx) е1кх. (5)
1
Мы будем говорить, что ряд (5) сходится для данного
значения х, если существует предел
§4.12. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
323
п
lim V'с* е,кх = lim Sn(x).
-п
Таким образом определенная сходимость называется
сходимостью в смысле главного значения.
Ведь можно было бы считать его сходящимся, если
существует предел
т
lim V ck
т—>°° ~
тогда т и п неограниченно возрастают независимо друг от
друга.
Комплексные функции
{е“*} (k = 0, ±1, ±2, ...) (6)
образуют ортогональную систему на отрезке [0, 2л], так
как при k Ф I
е<") = jeikxeilx dx = jei<k-‘)x dx =
о о
ei(k~l}x
(первое равенство записано по определению скалярного
произведения для комплекснозначных функций, см. за-
мечание 2 § 4.8). Далее
2п
(е1к\ eikx) = j е^х e tkxdx = 2л.
о
§ 4.12. Понятие интеграла Фурье.
Повторный интеграл Фурье
Рассмотрим сначала кусочно-гладкую периода 2л фун-
кцию Дх), удовлетворяющую свойству
f(x + 0) + f (х - 0)
/(*)= —------------- (1)
Это значит, что f имеет период 2л, непрерывна и имеет
непрерывную производную всюду на действительной оси,
за исключением точек, которых на периоде [-л, л] конеч-
ное число; при этом в этих точках существуют пределы f
и f справа и слева. Кроме того, мы предполагаем, что в
любой точке выполняется равенство (1). Это условие ко-
324 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
нечно существенно только для точек разрыва f, потому
что в точках непрерывности оно выполняется автомати-
чески. Совокупность всех указанных периодических фун-
кций f обозначим через L’*.
Для каждой функции f g L'* можно рассматривать ее
ряд Фурье
Дх) = ~~ + V ( akcoskx + b^sinftx) = ck ёкх, (2)
XU
*=1
где
К
ak = — f f(t) cosktdt (k = 0, 1, 2, ...), (3)
я J
-л
л
b = — f f(t)sinktdt (k = 1, 2, ...), (4)
л J
-n
n
<\= \f(t)e ‘k‘dt (k = 0, ±1, ±2, ...), (5)
2л J
-71
ak - ibk ak + ibk
ck- c_„ = (k = 0, 1, 2, b. = 0).
XU Xu
Выпишем еще N-ю сумму ряда Фурье функции /:
a N N
Sn*(x) = -у + akcoskx + &ftsinAx) = ^ck eiix. (6)
fc=l k=-N
В теории рядов Фурье доказывается, что для любой
функции f е £'* имеет место
lim Sn*(х) = Дх), (7)
т. е. ряд Фурье функции f g L'* сходится к ней, в любой
точке х.
Интегралы Фурье могут быть введены по аналогии с
рядами Фурье.
Теперь мы будем рассматривать непериодические фун-
кции f кусочно-гладкие и абсолютно интегрируемые на
действительной оси. Для них, таким образом, интеграл
(несобственный)
§4.12. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
325
JI f{x)\dx <
конечен.
Термин кусочно-гладкая функция понимается в следу-
ющем смысле. Функция f непрерывна и имеет непрерыв-
ную производную для всех точек х действительной оси за
исключением конечного числа точек, где функция f или
ее производная f разрывна. Однако в точках разрыва
существуют правый и левый пределы как /, так и при
этом имеет место равенство
/(х + 0) +/(х - 0)
=--------Г---------
Совокупность указанных непериодических функций
обозначим через L' = «).
По аналогии с коэффициентами Фурье мы вводим для
функций f g L’ функции
a(s) = — \ f(t)cosstdt (0 < s < ~), (3')
л J
Ь(з) = — [/(#) sins#d# (0 < s < оо), (4')
л J
с(з) = — [ f(t) e Mdt (-оо < s < о°). (5')
2л J
В то время как коэффициенты Фурье определяются для
дискретных значений k= 0, 1, 2, ..., их аналоги (3') - .5')
являются уже функциями непрерывного аргумента з.
По нашему предположению функция f кусочно-непре-
рывна, тем не менее функции a(s), b(s) uc(s) непрерывны.
Например, пусть для простоты функция f имеет только
одну точку разрыва х0. Тогда интеграл (3') можно разбить на
два интеграла
1 1 и
a(s) = — Г f(t) costsdt + — Г f(t) costsdt. (8)
nJ л J
Если видоизменить функцию /(t) в точке t = х0, считая, что
/(х0) = f(xD + 0), то под первым интегралом в (8) будет нахо-
326 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
диться непрерывная функция от s и t (-«> < s < xD < t < ~).
По признаку Вейерштрасса (см. теорему 3 § 2.15) первый
интеграл равномерно сходится, потому что
|/(f)cosfs| < fit), JI f(t)\dt < ~.
Но тогда первый интеграл есть непрерывная функция от s
(см. теорему 1 § 2.15). Подобным образом доказывается не-
прерывность по s и второго интеграла (8).
Отметим еще, что
lim a(s) = 0, (9)
lim b(s) = 0, (10)
lim c(s) = 0. (И)
Например, чтобы доказать свойство (9), введем в интеграле
Л
(3') замену переменной t = и + — . Тогда
8
a(s) =
If/ Л А
~ J ' I U + / I cos(sw + n)du =
1 f ,( 7t) 1 f J Л |
-----I fl и 4— cosusdu = - — I / 14— costsdt.
я J \ s) л J V s J
Из этого равенства и из (3') следует:
cos tsdt
Последнее соотношение (стремление к нулю), конечно, надо
доказывать, но мы это делать не будем.
Аналогом отдельного члена ряда Фурье (гармоники)
естественно считать функцию
§ 4.12. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
327
a(s)cosxs + fe(s)sinxs =
f(t) [cosfscosxs + sinsfsinxs]df =
= — J f(t) cos(t - x)sdt = — j f(t) [e‘s,< *> + e =
= c(s)e'sx + c(-s)e'sx. (12)
Точнее, аналогом члена ряда Фурье надо считать
(o(s)cosxs + b(s)sinxs)ds = (c(s)e'xs + c(-s)e~ixs)ds. (12')
Аналогом N-H суммы Фурье надо считать следующий
интеграл (см. (12)):
N
S^x) = J [ a(s)cosxs + &(s)sinxs]ds =
о
/V оо
= — J J f(t) cos(f - s)sdtds = — J dt J f(t) cos(f - x)sds =
0 — CO —CO 0
Iff 1 Г «.г sin N(t — x)
— J f(t) dt J cos(t-s)sds = ~ J f(t)--—--dt. (13)
Л -CO 0
Мы переставили местами интегралы. В данном случае это
законно. На основании известной в анализе теоремы Фубини1
переставлять интегралы в кратном интеграле можно, если
после перестановки получится абсолютно сходящийся крат-
ный интеграл. В данном случае
°° N N
— J J | /(f) cos(f - x)s|dfds < — J J | /(t)| dsdt =
—co 0 ~
= J|/(0|^<
В силу (12) функцию SN (x) можно также записать в
комплексной форме
1 Г. Фубини (1879-1943) - итальянский математик.
328
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
N
SN (х) - J [ £(5)^“ + c(-s)eH’*]ds =
о
N N ~
= J c(s) e‘^ds = J e‘sx — J f(t) e^dtds =
-A -N
N
= —U I f(t)<r“»dtds. (13')
V2n y2n *
-/V
Функцию
„ . . 1 ? fm sin ~ x> 1 f „ x sin Nu , „ лх
SJx) = ~ J T(t)----------- dt=— /(u + x)-------du (14)
nJ t - X nJ и
°° —co
называют простым интегралом Фурье.
Можно доказать, что если f е L' (-<», °°), то для х
lim S„(x) = /(х), (15)
N—
т. е. имеет место свойство, аналогичное свойству (7) для
рядов Фурье.
Отметим, что N-я сумма ряда Фурье периодической функ-
ции может быть записана следующим образом (пояснения ниже):
°° л
SN*(X) =
N -
Пл х ’ . 1 Г1
— + / . (akcoskx + b,sinAx) = — I — f(t) dt +
2 ь-i Л J 2
K~l -n
,v If
+ — J f(t) cosktdtcoskx +
*=i [_ -it
1 Г Г1 N
= — J f(t) — + (cos kt cos kx + sin kt
-Я »
л Г jv
= — J f(t) — + cos k(t - x) dt =
А=1
- к
-я
я
k=l
N
-It
k=i
1 я
— I f(t) sin ktdt sin kx
it J
-it
sin Ax
dt -
N
§4.12. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
329
1 f sin(7V + l/2)(t-x)
2 sin((f - х)/2)
—[ №+x)
Л J
-It
sin(N + l/2)u
2sin(u/2)
du.
(16)
В предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой
(см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление», § 9.8, (15))
1 , V , sin(N + 1/2)а
2 Гл 2 sin(a/2)
В последнем же равенстве (16) мы сделали замену пере-
менной t = и + х. В силу этой замены интеграл по отрезку
[-л, л] по t перейдет в интеграл по [х - л, х + л] по и, но
последний отрезок можно снова заменить на отрезок [-л, л],
потому что подынтегральная функция (от и) периода 2л (см.
(3) § 4.3).
Мы видим, что интеграл в правой части (16) очень похож
на интеграл (14). Поэтому не так уж удивительно, что оба эти
интеграла стремятся при N —» ~ к функции /(х).
Из(13)и(15) следует, что
1 А ~
lim — f ds f f(t)cos(t - x)sdt = f(x). (17)
A->~ nJ J
0 —oa
Следовательно, для любой функции f е L’ (—оо> оо)
~ j j cos(t - x)s dt = f(x). (18)
0 — oo
Это очень важное равенство, которое составляет основу
в теории интегралов Фурье.
Интеграл в (18) называется повторным интегралом
Фурье.
Равенство (18) утверждает, что для функций f е L'
(-оо, <х>) повторный интеграл Фурье от f в точке х равен
значению функции f в точке х.
В интеграле (18) менять порядок интегрирования
нельзя. Да ничего бы и не получилось хорошего. Если бы
мы произвели такую замену - пришлось бы тогда интег-
рировать по s функцию cos(Z - x)s (при фиксированных t
330
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
и х) на бесконечном интервале (—°°), но такой интеграл
не имеет смысла.
Таким образом, в повторном интеграле (18) мы долж-
ны сначала интегрировать функцию f(t)cos(t - x)s по t на
(—оо, оо), а затем по s на (0, °°). Оба интеграла несобствен-
ные. Интеграл по t, очевидно, абсолютно сходится. Что
же касается интеграла по s, то это, вообще говоря, не так.
Буквы s и t в интеграле (18) можно, конечно, заменить
при желании любыми другими буквами s', #', что не изме-
нит величину интеграла.
Из (13) и (15) мы получили формулу (18). С другой
стороны, из (13') и (15) мы получим другую важную фор-
мулу, верную для функций f е L' (-°°, °°):
N °°
lim -Д=-- [ eisxds Г —^= e~Mdt =
-Д' -oo
« [ f{t)e~istdt = /(x). (19)
л/2л Д у2л Д
Введем обозначения
N 1 °°
7(х) = lim - ,1- [ /(t)e “'d« = [ f(t) e tx,dt =
N->°°-j2n J., л/2л J
-N —“°
= c(x),
/(x) = lim [ f(t) elxtdt = .—[ /(t) eixtdt =
я->~ ^J2it J V2x J
—/V
= c(-x).
/(x) называется преобразованием Фурье или прямым
преобразованием Фурье функции f, а /(х) называется
обратным преобразованием Фурье функции f. Операции ~
и взаимно обратны. Если к функции f применить опе-
рацию ~, а к полученной функции f применить опера-
цию , то, как видно из (19) , получим снова функцию /:
f = f, аналогично f = f (20)
§4.13. КОСИНУС- И СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 331
Задача. Доказать следующие формулы для функций
f е L' (—°°,
1) /Ю= /(«);
2) f (-х) = f (х);
= Д/f-l (а*0);
КД"'
5) е'ц'7 = = f(x + ц) (ц - действительное);
6) ~f = Л
Например,
e^f = [ e^‘eix‘dt—^^- Г f(u) e~iutdu =
J2n £ V2u £
= Д= [eiUl+*)fdt-^= [f(u)e‘u,du = 7(p + x) =
V2n £ V2k £
= f(li + x).
§ 4.13. Косинус- и синус-преобразования Фурье
В силу (18) § 4.12 для f е L’ (—°°, °°) имеет место равен-
ство
/(х) = — J ds J f(t) cos(t - x)sdt =
0 —со
= — J cos xsds J f(t) costsdt + — J sin xsds J f(t) sintsdt. (1)
0 —OQ 0 —те
Если функция /(t) четная, то второй интеграл в правой
части (1) равен нулю, а в первом интегрирование по t на
(-оо, оо) сводится к интегрированию по (0, °°), и мы полу-
чим формулу
— J cos xsds J f(t)
П о о
costsdt = /(х).
(2)
332
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Для нечетной же функции fit) первый интеграл справа
в (1) равен нулю, а функция f(t)sints четная. Поэтому
(3)
— J sin xsdsJ/Ю sintsdt = Дх).
о о
В формулах (2) и (3) можно считать, что х > 0, а Д<)
есть произвольная кусочно-гладкая функция, принадле-
жащая L' (0, °°). Ведь в этих формулах используются толь-
ко значения f на полуоси [0, оо). Поясним это замечание
подробнее.
Пусть задана кусочно-гладкая функция f е L' (0, оо)
такая, что ДО) = ДО + 0). Продолжив ее на всю действи-
тельную ось четным образом, получим четную кусочно-
гладкую функцию f е L’ (—оо, оо), для которой верна фор-
мула (2); в частности, она верна для х > 0.
Будем теперь считать, что для нашей кусочно-гладкой
функции f е L' (0, оо) выполняется равенство ДО) = 0
(вообще ДО + 0) Ф ДО)). Продолжим / нечетным образом на
(—оо, оо), получим нечетную кусочно-гладкую функцию f £ L'
(-оо, оо), для которой верна формула (3); в частности, она
верна для х > 0. Подчеркнем, что в формуле (3) ДО) = 0, в
то время как в формуле (2) значение ДО) = ДО + 0) может
быть любым.
Интегралы
J—J f(t) costsdt, J f(t) sintsdt.
о о
называются соответственно косинус- и синус-преобразова-
ниями Фурье. Из формул (2) и (3) непосредственно следу-
ет, что если к кусочно-гладкой функции f е L’ (0, оо)
применить последовательно два раза косинус- (или синус-)
преобразование Фурье, то получим исходную функцию f.
В этом смысле косинус- (синус-)преобразование Фурье
является обратным самому себе.
§ 4.14. Примеры
Справедливы равенства (пояснения ниже)
1) Дх) =
1,
О,
f sin as ,
I cos xs------ds.
J s
0
§ 4.14. ПРИМЕРЫ
333
2) /(х) =
signx,
О,
Г . 1 —COSS ,
I smxs-------as.
J s
о
3) f(x) =
1,
О,
1 f sin s(x - a) - sin s(x - b) ,
— I------------------------------as
it J s
0
Г — OS
4) J e cossxdx = 2 +—2 (a 0).
5) | e 05 sinsxds = —5--7 (a > 0).
J a +x
0
2a Г cos xs .
6) p-°9 = — .......... dx (a > 0, 0 < s < 00).
n J az +xz
0
2 C x
7) e~as = — I —---— sinxsdx (a > 0, 0 < s < 00)
л J a2 + x2
0
8) f(x) =
sinx,
0,
2 г sin sit
— I-----5“ sinsxds.
7CJ i-s*
9) f(x) = '
cosx,
0
sit
cos —
----cossxds
1-s2
10) /(x) = e fcxicospx =
af 1 1
= — cos sx--—------ +--------
71 0 [(«-₽)+« (s + P)2+a2
11) f(x) = e^sinPx =
(a > 0).
4ap г ssinsxds
n I [(s-P)2+a2][(« + P)2+a2] 0)
334
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Пользуясь обычными методами теории неопределенных
интегралов, не видно, как можно вычислить интегралы,
стоящие в правых частях равенств 1) —3). С другой сторо-
ны, функции 1) -3) кусочно-гладкие и принадлежат к L'
(—оо, оо) (/ е L' (-оз, оо)). Поэтому к ним применима формула
представления (1) § 4.13. Эта формула упрощается и имеет
вид (2) § 4.13, если f - четная функция, а если f - нечет-
ная, то она имеет вид (3) § 4.13. Например, функция (1)
четная и потому
2 г г 2 7 sin sa
Дх) = — cos xs ds cos tsdt = — cos xs-------ds,
It J j ItJ s
0 0 0
где надо считать, что в точках разрыва f выполняется
равенство
Я*) = ^[Дх + 0) + Дх - 0)].
£
Интегралы 4), 5) вычисляются интегрированием по
частям.
Используя равенство 4), имеем
2а 7 cos xs 2 7 Г -а?.
— I —5-% dx = — I cos xs dx I e cosXxdA. = e~a™,
n J +x‘i it J I
о о °
где последнее равенство имеет место в силу формулы (2)
§ 4.13, применимой, потому что е е L' (0, °о) - гладкая
функция. Итак, равенство 6) доказано.
Подобными рассуждениями получается формула 7) из
5) применением формулы (3) § 4.13.
Функция 8) нечетная кусочно-гладкая. Чтобы получить
нужный интеграл, представляем ее по формуле (3) § 4.13,
где внутренний интеграл равен
©о 71
J sin st f(t)dt = J sin st sintdt =
о о
л
= — [ cost(s - 1) - cost(s + l)]dt =
& *
0
1 [ sin n(s -1) sin7t(s + l)^ sinns
2[ s—1 s + 1 J = 1-S2 ’
§ 4.14. ПРИМЕРЫ
335
Представление функции 9) получается аналогично с
применением формулы (2) § 4.13.
Функция 10) четная. Чтобы получить нужный интег-
рал, представляем ее по формуле (2) § 4.13, где внутрен-
ний интеграл равен
J e~at cosfitcosstdt =
о
= J е at cos(p + s)tdt + Je at cos(P — s)tdt =
о о
- a 1 1
2 (P + s)2 + a2 (P - s)2 + a2
Последнее равенство записано в силу 4).
Аналогичные рассуждения проходят для функции 11)
при использовании формулы (3) § 4.13.
Наконец, приведем еще один пример, методика вычис-
ления которого отлична от предыдущих.
12) Найти косинус-преобразование функции ехр(-£2).
Пусть
j exp (-A2)cosAsdA = I(s).
о
Легко видеть, что (см. § 2.13, пример 3)
/(0) = [ exp (-A2)dA = .
* 2
о
Дифференцируя функцию /(s), получаем
I'(s) = - J A exp(-A2)sinAsdA
о
(дифференцирование законно, так как последний интег-
рал равномерно сходится). Интегрируя по частям, произ-
водную I'(s) можно представить в виде (А. ехр(-А2) dA = dv,
sinAs = и)
sin As . „о
I(s) = —-—exp(-A
Ci
- — | exp (-A2)cosAsdA =
Ci *
0
336
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
S
= -?Z(s).
&
Решая последнее дифференциальное уравнение перво-
го порядка, имеем
di s Is* с2
— = - — ds, In — = - —, I(s) = C exp-.
Из условия 7(0) = -Jit /2 находим, что С = yfn /2. Таким
образом,
J exp (-А2) cosXsdX =
о
§ 4.15. Приближение интеграла Фурье
Поясним физическую сторону понятия интеграла Фу-
рье. Рассмотрим непериодическое движение, при котором
ордината у некоторой точки есть функция у = f(x) от
времени х.
Функцию f(x) можно записать следующим образом:
f(x) = J[a(s)cosxs + fe(s)sinxs]ds =
о
= J [ c(s)e~‘s* + c(-s)eisx]ds.
о
При достаточно большом натуральном N, а затем при
достаточно малых As(As = As;.) приближенно
N
f(x) = J [ a(s)cosxs + fe(s)sinxs]ds =
0
N
= J [ c(s)e '“х + c(-~s)e’’x]ds =
о
= [ g(s ,)cosxs. + fo(spsinxs;]As =
§ 4.16. СУММА ФЕЙЕРА
337
= У [ c(s)е~‘х,1 + c(-s/)e'x^]As. (1)
i
Первое приближение можно осуществить с любой точ-
ностью во всяком случае, если интегралы от a(s) и b(s)
(следовательно, и от c(s)) абсолютно сходятся на (0, °°), в
частности, если функции a(s), b(s) (следовательно, c(s))
равны нулю для s > s0, где s0 - некоторое число. Второе
приближение можно осуществить во всяком случае для
значений х, принадлежащих к произвольному заданному
отрезку [хр х2]. При этом для заданного отрезка [хр х2]
подбираем нужные числа 8., делящие [О, 7V] на равные
части. Но тогда движение у = /(х) будет приближенно
равно на отрезке времени [хр х2] сумме гармонических
колебаний — даже с общим периодом.
Спектром периодической функции f(x) называют сово-
купность ее коэффициентов Фурье. По спектру, в частно-
сти, видно, из каких нетривиальных (не равных тожде-
ственно нулю) гармоник состоит периодическое движение
У = /(*)•
Спектром непериодической функции f(x) называются
порождаемые ею функции a(s) и Ь(з) или функция c(s).
Если a(s) и b(s) равны нулю вне интервала (р, q), то
сумма, приближающая Дх) по формуле (1), состоит из
гармонических колебаний с частотами s; е (р, q).
Функцию f (s) = V2n c(s) тоже называют спектром f.
§ 4.16. Сумма Фейера1
Выше мы рассмотрели ряды Фурье функции Дх) и ус-
тановили достаточные признаки сходимости ряда Фурье к
функции Дх).
Математики Э. Дюбуа Реймонд и Л. Фейер построили
примеры непрерывных функций, ряды Фурье которых
расходятся в одной точке или на множестве всех рацио-
нальных точек периода [-л, л].
Таким образом, если про функцию Дх) известно толь-
ко, что она непрерывна, то этого недостаточно, чтобы
сказать, что ее ряд Фурье сходится. Для сходимости нуж-
но наложить на функцию f еще некоторые добавочные
условия. В наших признаках такими добавочными усло-
виями были существование производной у функции f или
Л. Фсйср (1880-1959) - выдающийся венгерский математик.
338
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
же она должна удовлетворять условию Дирихле (быть
кусочно-монотонной или, как еще говорят, иметь конеч-
ное число максимумов и минимумов).
Впрочем, эти условия могут быть заменены на более
общие достаточные условия, на которых мы не будем
останавливаться.
Класс периодических и непрерывных на всей действи-
тельной оси функций будем обозначать через С*. В этом
классе (пространстве) можно ввести норму:
М = max |Дх)|.
v хе[-тс,тс]
Свойства нормы (см. § 4.8) легко проверяются.
Итак, ряд Фурье функции f е С* не обязательно схо-
дится к Дх) во всех точках х е [-я, л].
В связи с этим приобретает большое значение тот факт,
что ряд Фурье произвольной функции f е С* суммируется
к ней методом средних арифметических (см. § 9.16 нашей
книги «Высшая математика. Дифференциальное и интег-
ральное исчисление») и притом равномерно на всей дей-
ствительной оси.
Зададим функцию f е С* и составим для нее ряд Фурье
Дх) - + У/ akcoskt + b sinftt),
& 1
ак= — ^f(t)cosktdt (k = 0, 1, 2, ...),
-п
л
bh = — [f(t)sinktdt (k = 1, 2, ...).
я J
-тс
Пусть
Sn = Sn(f’ ж) = V" + У, (a^oskt + feAsinft«)
2
- n-я частная сумма ряда Фурье функции f и
°, = *) =
+ S1+...+Sn
п + 1
(1)
— n-я средняя арифметическая сумма Фурье функции /.
Функция ал(/; х) называется суммой Фейера порядка п.
Первой нашей задачей будет получить компактное
выражение для ол. Так как (см. (16) § 4.12)
§ 4.16. СУММА ФЕЙЕРА
339
то
S.
it sinl n + - |f
If I 2)
-]f(t + x)----
к 4 2sin —
2
dt =
~ J f(x + t)Dn(t)dt,
1 J 1 г
----[ f (t)dt + У — I fit + x)Dk(t)dt =
2л J , n J
1
n +1
1___
7t(« + 1)
J/(t + x) | + XA(O dt.
-it . *=i
Здесь
=
Л
1 X'~' ( 111 t
—I- > cos, t = sin k + — t/ 2 sin —
2 I 2) I 2
/=i v ' -
- ядро Дирихле.
Чтобы упростить выражение в квадратных скобках под
знаком интеграла, предварительно подсчитаем сумму:
(2)
Умножая левую и правую части равенства (2) на 2sin— ,
Li
получим
п
У1, [ cosfex - cos(ft + 1)х] = 2\|/(x)sin —
k=0
или
[1 - cosx] + [cosx — cos2x] + ... + [cosnx - cos(n + l)x] =
= 2v(x)sin-,
1 - cos(n + l)x = 2y(x)sin—.
Из последнего равенства находим, что
340
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
. о It + 1
1 - cos(n + 1)х Sln о ’х
V(*) = ---------- = —“
2 sin - sin —
2 2
На основании (3) получаем
(3)
= 1
1 2
n OJ.11 Гр I IwV
v V 2
1 2 sin
2
” ( 1А
Zsin Л + - х .2п + 1
I о I sin -------------х
о к = 2
2 sin - 2 sin2 —
2 2
Таким образом,
1 71
а „(Г, х) - J f (х + t)Fn(t)dt,
где
f„(t) =
1
2(п + 1)
sin------1
2
. t
sin —
2
(5)
Функция Fn(t) называется ядром Фейера порядка п.
Легко видеть, что
1 •^'П + 1 — k 1 ( k А
ВД-2 + X~7Ti-cos^= 2 + Д1 “7T1JCOS^(6)
Поэтому сумму о„(х) можно еще записать так:
1 п+1 — k
СП(Х) = — + ~ (o^cosfex + ^sinAx) =
1 VI < « 1
= — + /, 1------- (a^cosftx + 6tsinfcx). (7)
1^72Ч“л.у
Замечание. Из формулы (7) видно, что суммаФейе-
ра ол(/; х) отличается от суммы Фурье Sn(/; х) функции /(х)
§ 4.16. СУММА ФЕЙЕРА
341
тем, что каждый член (akcoskx + fetsin/ex) суммы Sn(f; х)
умножен на число
k
X = 1------------ (k = 0, 1, п).
* 71 + 1
Отметим следующие свойства ядра Фейера Fn(t):
1) Fn(t) - неотрицательный, четный тригонометричес-
кий полином порядка п (см. (5) и (6));
1 К я
2) J Fn (t)dt = - [ Fn (t)dt = 1 (8)
к J л J
-я -к
(см. (6), учесть ортогональность функций coskx (k= 1, ..., n)
к единице);
3) для всякого числа 5 > О
Теорема 1 (Фейера). Для любой непрерывной на дей-
ствительной оси функции f(x) периода 2п (т. е. f е С*)
ее сумма Фейера порядка п равномерно стремится к ней
при п т. е.
II/ - cn(/)llc* = max \f(x) - an(f; х)| -> 0 (п -> <»). (9)
Доказательство. В силу свойства 2) ядра Фейера
имеем
ОЛ(Л X) - /(х) = i f f(x + t)Fn(t)dt - ftx) =
7t J
-л
тс 1 я
= J f (X + t)Fr(t)dt - - J f (x)F„(f)d« =
-л -Я
It
= J[ f{x + t) - /(x)]F„(r)dr- (10)
342 ГЛ. 4- РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
В силу (10) и свойства 1) ядра Fn(t) имеем
|о„(Л Г) - /(х)| < - Г Fn (t)\f(x + t) - f(x)\dt <
Л J
-я
f Fn (t)\f(x + t) - f(x)\dt +
71 , T
+ ~ \ Fn (t)\f(x + t) - f(x)\dt, (11)
я *
где 8 > 0 - пока произвольное число (0 < 8 < л).
Так как по условию теоремы функция f(x) непрерывна,
то она обязательно ограничена
|/(х)| < М (Vx е [-л, л]).
Тогда
\f(x + t) - < 2М, (12)
для любых X и t.
Далее функция /(х) равномерно непрерывна на [л, л],
поэтому для любого е > 0 можно указать число 8 > 0
такое, что
|/(х + о - /(х)| < -, (13)
при |f| < 8 и любых х, (х + t) е [-л, л].
Теперь, взяв в (11) 8 такое, как указано в (13), на ос-
новании свойства ядра 2), с учетом (12) и (13), получаем
|о„(/; х) - Дх)| <
< ~ f Fn (t) dt + — f Fn (t) dt <
2Л J Л J
e f 2M f £ 4M г
<— |Fn(t)dt+ ---------- F„(0^= 9 + ~ И„(0<Й-
2л J л J 2 л J
-n 6<]t|<JC °
Теперь при достаточно большом п0 на основании свой-
ства 3) ядра Fn (t) второе слагаемое справа в последнем
неравенстве при п > п0 можно сделать меньшим е/2. Итак,
окончательно получаем
|о„(Г, х) - /(х)| < -| + - = е (п > п0, х е [-л, л]).
§ 4.17. ПОЛНОТА СИСТЕМ ФУНКЦИЙ В С И L'.
343
Таким образом,
Ь„(А х) - /(х)^. = тах|ол(/-; х) - Дх)| < е (п > п0), (14)
т. е. последовательность {ол(/; х)} равномерно сходится на
[-л, л] к функции f(x). Теорема доказана.
Мы уже отмечали выше, что средние арифметические
числового ряда могут стремиться к пределу, в то время
как сам ряд может расходиться (см. § 9.16, пример 2 в
нашей книге «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление»). Это явление как раз имеет
место для рядов Фурье непрерывных функций.
Существует непрерывная функция, ряд Фурье которой
расходится на множестве всех рациональных чисел (счет-
ное множество), однако это не мешает тому, как это мы
доказали, что средние арифметические суммы Фурье для
любой непрерывной функции f сходятся к f и даже рав-
номерно.
Следствие (теорема Вейерштрасса). Для лю-
бой периодической непрерывной на действительной оси
функции f(x) и любого £ > 0 найдется тригонометричес-
кий многочлен Тп(х) такой, что
1/00 “ г„(*)1 < £ (Vx е [-л, л]).
Для доказательства достаточно в качестве Тп(х) взять
сумму Фейера Gn(f‘, х) при достаточно большом п.
§ 4.17. Полнота систем функций в С и L'2
Систему непрерывных на отрезке [a, ft] функций
4>! (*). <Р2 (*), <Р3 (*), — (1)
называют полной в пространстве С[а, ft] непрерывных
функций, если для любой функции f е С[а, ft] и любого
Е > 0 найдется конечная линейная комбинация из этих
функций
<Рл(*)-
А=1
(2)
такая, что для всех х е [a, ft] выполняется неравенство
f(x)~XiCk<pk(x)
(3)
344
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Говорят еще, что система (1) полна в пространстве
Ь'2 (а, Ь), если для любой функции f е Ь'2 (а, Ь) и любого
Е > О найдется линейная комбинация (2) такая, что
Л « 4
о Л=1
41/2
dx
>
Е. (4)
Если система (1) полна в С[а, &], то она полна также в
L'2 (а, Ь).
В самом деле, пусть F(x) е Ь'2 (а, Ь). Зададим е > О и
подберем непрерывную функцию /(х) (см. ниже пример)
так, чтобы
А для последней подберем сумму (2), чтобы выполня-
лость неравенство (3). Тогда
* "о
dx
>
ck4>k№
< e + ejb- a = eI
/(x)-^c*cpft(x) dx
где правая часть может быть взята как угодно малой.
В § 4.9 мы рассматривали произвольную ортонормаль-
ную на отрезке [а, Ь] систему функций <р1, <р2, ... и назы-
вали ее полной в L'2 (а, Ь), если ряд Фурье любой функ-
ции f е L'2 (а, Ь) по этой системе сходится к f в смысле
среднего квадратического.
Таким образом, в случае ортонормированной системы
Фр Ф2. Фз> (5)
мы имеем два определения полноты в Ъ’2 (а, Ь). Они экви-
валентны. В самом деле, пусть ортонормированная система
(5) полна в L'2 (а, Ь) в смысле § 4.9, и пусть f е L'2 (а, Ь).
§4.17. ПОЛНОТА СИСТЕМ ФУНКЦИЙ В С И L’ 345
...... ----------- .. ---- ,
Тогда
—> 0 (п —> °о),
iLHo.*)
и при достаточно большом п — па и ck = (f, <pfc) получим
неравенство (4). А это доказывает, что система (5) полна
в смысле второго определения.
Обратно, если система (5) полна в смысле второго оп-
ределения и задана функция f е L'2 (а, Ь), то для всякого
«о
Е > 0 найдется линейная комбинация ak <р4, такая, что
Л=1
(пояснения ниже)
* 7-Л(Аф*)ф
— /-£(афл)фл
для любого п > п0, второе и третье неравенство этой цепи
следует из теоремы в § 4.9 получим, что ряд Фурье функ-
ции /(х) е L'2 (a, 6) по системе (5) сходится к ней в смысле
среднего квадратического.
Пример. На рис. 121а изображена функция F(x), раз-
рывная в точке х0, а на рис. 1216 она видоизменена в
5-окрестности х0, так что получилась непрерывная функ-
-----------------------------------►
а Л-c Ь х
а хо 6 х
Рис. 121а
Рис. 1216
346
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ция F6(x) = f(x). Для любого Е > 0 можно указать 8 > О
так, что
1
6 '2
J|F(x)-Fs(x)|2dx
< Е .
В § 4.9 было сформулировано без доказательства важ-
ное утверждение о том, что ряд Фурье функции / е L'2* по
тригонометрической системе сходится к f в смысле средне-
го квадратического. После того как мы доказали теорему
Вейерштрасса (см. § 4.16), это утверждение можно полно-
стью обосновать.
В самом деле, мы уже пользовались теоремой 1 § 4.9,
утверждающей справедливость равенства
min/-У
а* г?
п
*=1
где ск - коэффициенты Фурье функции f е L'2 (а, Ъ) по
ортонормированной системе {<pt}. Отметим, что это равен-
ство имеет место и для произвольной ортогональной, не
обязательно нормальной системы. В этом случае коэффи-
циенты Фурье
' Ы1 ' ’ .... ’
Тригонометрическая система
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ...
ортогональна на отрезке [-л, л].
Теорема Вейерштрасса выражает тот факт, что эта си-
стема полна в С*, но тогда, как мы знаем, она полна в
£,2*-
А это и означает, что ряд Фурье по тригонометричес-
кой системе любой функции f е L'z* сходится к ней в
смысле среднего квадратического.
§ 4.18. Сведения из теории кратных
рядов Фурье
Будем рассматривать функции /(х), х = (хр ..., хп), от
многих переменных, заданных на некотором н-мерном
прямоугольнике
§ 4.18. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 347
А = Ц < х;. < b., j = 1, п},
где a*, bf — действительные числа.
Из теории кратных интегралов (см. теорему 3 § 2.4)
следует, что если интегрируемая на А функция f(x), пред-
ставима в виде произведения интегрируемых функций от
одного переменного
п
f{x}= Пм*л
/=1
то
J f (x)dx = fl J 4. (x.) dXj, (1)
A 7=1 Д,
где Ay = [a,, ft ].
Прямоугольник А можно рассматривать как прямое
произведение отрезков А, (см. сноску 2 на с. 191):
А = At х Az х ... х Ап.
Отметим, что в равенстве (1) слева стоит п-кратный
интеграл, а справа стоят одномерные интегралы Римана
от функций fj (х;), заданных на А;..
Функции
1
(*. = 0, ±1, ...; j = 1, 2, ..., п),
л/2л 1
как мы знаем имеют период 2л по переменной х. (у = 1,
..., п). Эти функции (от одного переменного х) непрерыв-
ны на всей оси ху и на периоде [—л, л], а следовательно,
интегрируемы по Риману на отрезке [-л, л]. Кроме того,
нам известно, что функции 2— е‘к^> образуют ортонор-
л/2л
{1 ifyXj 1
/=- е > на [—л, л], т. е.
-72л
Г 1 1 Jo,
J 72л е‘кл^ 11,
-л
Введем обозначения
ki * ljt
kJ=h-
(2)
п
k = (*р ..., kn), kx x.,
7=1
348 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
А, = А/"’ = {—7С < х. < л, j = 1, ..., п}.
Тогда в силу (1) и (2) функции
(k. = О, +1, j = 1..... п)
от п переменных будут ортонормальны на кубе А4:
Г 1 •* 1
I-----т^е' ----^e'lxdx =
£(2л)п/2 (2л)п/2
k*l,
k = l.
Под равенством целочисленных векторов к и I мы, как
обычно, понимаем равенство соответствующих их коорди-
нат и k & I означает, что векторы k и I отличаются хотя
бы одной координатой.
Будем рассматривать комплексные функции f(x) пери-
ода 2л по каждой из переменных xjt j = 1, ..., п.
Символ С* будет обозначать класс (пространство) не-
прерывных функций с нормой (см. § 4.8)
||/1| = тах|Дх)|.
хеД.
Множество всех кусочно-непрерывных периодических
функций, для которых введено скалярное произведение
по формуле
(А£) = jf(x)^)dxdx, (4)
А.
мы будем обозначать l)2* = L'2 (А,) и называть простран-
ством L'*. Норма в этом классе (пространстве) вводится так:
\1/2
И - 114;.-
J |f(x)|2dx
<А*
Тот факт, что f(x) - кусочно-непрерывная функция,
означает следующее: куб А, (период) можно разрезать на
конечное число частей с помощью кусочно-гладких повер-
хностей так, что на каждой части функция f(x) непрерыв-
на и имеет пределы на границе части, а вдоль разрезов
она может иметь разрывы.
§ 4.18. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 349
Все свойства нормы (см. § 4.8) для пространства L'2*
выполнены. Под нулевой функцией (/ = 0) мы понимаем
функцию, равную нулю всюду на А*, кроме конечного
числа кусочно-гладких поверхностей.
Например, в случае функций от двух переменных, мы
допускаем, что нулевая функция fixx, х2) может быть не
равна нулю в конечном числе точек А* или на конечном
числе кусочно-гладких кривых.
Отметим, что n-мерная мера Жордана указанных по-
верхностей равна нулю, поэтому n-кратный интеграл от
нулевой функции по А. равен нулю.
Пусть теперь функция /(t), t = (fp ..., tn), периода 2л по
каждой из переменных и известно, что ее можно разло-
жить в кратный ряд:
Л*) = У — У ck ем = У ck е1к1, (5)
*1 = ~“ *п=-~
где последняя сумма распространена на всевозможные
векторы k = (Лр ..., kn) с целыми координатами.
Спрашивается, как определить по функции /(t) коэф-
фициенты ск. Здесь можно поступить таким же образом,
как это мы делали в § 4.3 в одномерном случае, т. е. для
функции f от одного действительного переменного.
Если ряд (5) равномерно сходится на А„ то (аналогич-
но, как и для функции одного переменного, см. § 4.6)
h(t)e~‘“dt. (6)
Числа ск, вычисляемые по формуле (6), называют коэф-
фициентами Фурье функции fit), а ряд (5), в который
вместо ск подставлены коэффициенты Фурье, называют
рядом Фурье функции fit) в комплексной форме (см. § 4.11).
Итак, если функция f(t) = fitlt ..., tn) представима в
виде суммы ряда (5), равномерно сходящегося на Д„ то
числа ск необходимо являются коэффициентами Фурье
функции fit).
Если в ряде (5) коэффициенты ск вычислены по форму-
лам (6), то ряд (5) будем называть рядом Фурье функции
fit) независимо от того, сходится он к fit) или нет. В этом
случае будем писать
/(*) е".
(7)
350 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Если функция f е С*, то ряд (7) не обязательно сходит-
ся к f(t) во всех точках t е Л, (см. § 4.16).
Зададим вектор N = (Np ..., Nn), где N - натуральные
числа, и определим соответствующую ему частичную сум-
му Фурье функции f следующим образом:
SN(f; х) =
= Xе* е‘кх = тАг [ X е iKt =
(2л) -Д
= <8)
71 д.М
где
Глг l'l
N, sin TV; + — IZ
1 x'1 V 2 J
DNjM= ? + Z^osku = ------------------
k=i 2 sin
2
- ядро Дирихле порядка N.. Здесь мы воспользовались
формулой Эйлера е'х + е_,х = 2cosx.
В частности, если N. = N, = ... = N , то
' 12 П'
1 Г
S^f-, х) = — JП Kt)dt. (8')
к д. /=1
Многомерный аналог суммы Фейера имеет вид
М Ni
X...£sft(/;x)
fe1=Q кг=0_____
СТлг(Л Х) = (NT + + V
= А - x)f(f)dt = А [ФИ“)/(М + x)du, (9)
л ; л J
Л« Д.
где
Ф»=
§ 4.18. СВВДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 351
- ядро Фейера порядка ЛГ. Если N, = ... = Nn, то в фор-
муле (9) ядро Фк(и) несколько упростится.
Так как функции ем при k Ф 0 ортогональны к 1, то
— [фЛ,(ы)с(и = 1.
nn J
л*
Далее, если Л£ = {|uj < е, j = 1, ..., и}, то
— f<I>jv(u)du < — [ф7у(ы)сгы =
л" AJ пп J
1.
(Ю)
Кроме того,
1
кп
j $N(u)du
д.\д£
(И)
Докажем последнее свойство для двумерного случая
— f ФЛ(и)б/п =
л i
Д.\Де
1
л2
J Фк(и)(1и <
J fa2 (u2)du2 + J FN1
при Nj оо и N2 —> о» (см. свойство 3) ядра Фейера § 4.16).
Теорема 1. Если функция f(t) е С*, то
\\f(x) - х||с, -4 0 (N. -> оо, j = 1, .... п).
Доказательство. В силу свойства (10) ядра Ф^и.)
имеем
oN(f; х) - Дх) = -1- [[ /(х + t) - Дх)]ФЛ,(г)Л.
л J
д.
Отсюда
\oN(f; х) - f(x)\ <
\ [фл(01/(* + t) - f(x)\dt =
л J
352
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
= ~ + £)- f(x){dt
Д6
фА + t) - f(x)\dt,
где 8 > 0 - пока произвольное число (0 < 8 < л).
Так как функция Дх) по условию теоремы непрерывна
на А,, то она ограничена л равномерно непрерывна на А,.
|/(х)| < М (Vx е Д,); (12)
для всякого £ > 0 существует S > 0 такое, что
1/(х + t) - f(x^ < е/2 (13)
при |а| < 8 (/ = 1, п) и любых х, (х + t) е А*.
Теперь, взяв 8 такое, как указано в (13), на основании
свойств ядра Фл(£) получаем
£ 1 Г. 2М г
|пл. - /| < ]®N(t)dt + — I ФИ«)Л <
Л ' Л J
Аб Д*\Д&
£ 2М f z , ,
S 2 + J Ф"<‘>‘Й-
д.\д6
Теперь для вектора № с достаточно большими коорди-
натами, на основании свойства (И), второе слагаемое
справа в последнем неравенстве можно сделать при N > №j
(j = 1...п) меньшим £/2.
Тогда окончательно получим
£ £
К (/; х) - f(x)\ <- + - = £,
& zu
ИЛИ
||CFW(/; X) - Дх)||с, < £
при N > №j (j = 1, .... n) X/x e А,. Теорема доказана.
Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что система фун-
кций (3) полна в С*, а следовательно, и в Ь'2* (см. § 4.17).
Замечание 2. Мы уже отмечали выше, что кратный
ряд Фурье непрерывной функции не обязательно сходит-
ся к ней во всех точках А,. Однако кратная сумма Фейера
<5N(f; непрерывной периодической функции Дх), как мы
доказали выше, сходится к Дх) во всех точках х = (хр ...,
..., х„) е А,.
§ 4.18. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 353
Справедлива
Теорема 2. Ряд Фурье (7) функции f е Ь'2* сходится
в f(x) в смысле среднего квадратического
||Лх) - SN(f; х)|Ц. -* О (N. -> ~...Nn оо)
и имеет место равенство Парсеваля
1И11;.= (2л)" Х|сЛ
Доказательство этой теоремы можно провести, как
в одномерном случае (см. § 4.9, 4.17), воспользовавшись
замечанием 1 о полноте системы (3).
Будем теперь рассматривать ряд Фурье (7) в двумерном
случае. Если воспользоваться формулами Эйлера e±ix =
=cosx ± isinx, то (7) формально преобразуется в ряд
Дх, у) - ^-+ "У (a^cosAix + dkOsinfex) +
2 *=i
1 °°
+ 7 X (a0tcosly + c0,sinh/) +
z=i
+ aklcoskxcosly + bklsinkxcosly) +
k=i i=i
+ cklcoskxsinly + dklsinkxsinly), (14)
где мы положили
1 Л ТГ
abl = — J J f (и, v)coskucoslvdudv,
Я -7Z-71
1 Л П
Ьы = —g- / (u, v)sinkucoslvdudv,
К J
-л-л
1 л л
сы = —— [ I f (и, v)coskusinlvdudv, (15)
л2 J J
-л-л
1 я л
dkl = — J J f (и, v)sinkusinlvdudv.
-л-л
Замечание 3. Если f(u, и) - действительная функ-
ция, то ак1, Ьк1, ск1, dkl — действительные числа.
12. Бугров Я. С.
354
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Отметим, что к ряду (14) мы могли бы прийти и непос-
редственно, исходя из ортогональной на А, = {-д < х, у
системы функций
cosfcc cosly, sinfcx cosly, coskx sin/г/, sinkx sinly
(k, I = 0, 1, 2, ...). (16)
Ряд (14), где числа akl, bhl, сы, ^вычисляются по фор-
мулам (15), называется рядом Фурье функции f(x, у) по
тригонометрической системе функций (16). Числа (15)
называются коэффициентами Фурье функции f(x, у) по
системе (16).
Таким образом, кратный ряд Фурье можно записывать
как в комплексной форме (7), так и в виде кратного три-
гонометрического ряда (14).
Рассматривая снова п-мерный случай, в предположе-
нии, что
/ е С*, е С*,
коэффициент Фурье ck, где kn Ф 0, можно преобразовать
следующим образом:
с‘~
(2тс) д.
интегрируя по частям в последнем интеграле (и = f(t),
e~ik-'"dtn = dv), получаем
л-1
Mt) ,,
dtn dt"
= 1 M
(A*”'1) = {-n xj < к, j = 1, 2, ..., n-1}).
Вообще, если X = (Xp ..., Xj - заданный целый неотри-
цательный вектор и е С* для любого неотрицательного
целого вектора s < X (s? < X , j = 1.п), то после соот-
ветствующего применения процесса интегрирования по
§ 4.18. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 355
частям (с учетом периодичности функции f и всех ее про-
изводных) получим
v 'k
(17)
где
|Х| = = k^k2^ ... kn\
7=i
причем мы считаем, что если ^=0, = 0, то кА» = 0° = 1.
Числа - коэффициенты Фурье производной
эХ1+...+Х„^ Э|Х|
fx>(t) = -------!— = --------.
at/1... dt„- at/’.-.at/"
Теорема 3. Пусть X = (\, Хи) — вектор с целыми
положительными компонентами и функция f(x) =
= Дхр хп) е С* вместе со своими частными производ-
ными fl® порядка fe < X (Л. < Л.., j = 1, п) и выполняются
неравенства
1
(2я)"
J | /w(x)|2dx < М2
А*
(18)
для любого вектора I = (1г, ..., 1Л), имеющего компоненты
I., равные нулю или же 7^.
Тогда сумма Фурье SN(f; х) (N = (Nv ..., Nn)) функции
f отклоняется от f(x) с оценкой
п -31+-
|/(х) - SN(f; х)| < cM^Nj+l) ‘ 2 , (19)
7=1
где с не зависит от М и N.и зависит только от к.
Доказательство. Для простоты оценим остаток
ряда Фурье функции в двумерном случае
рДЛ х) =
Если рассматривать плоскость точек (k^, k2) (рис. 122),
то в остаточный член р„(/; х) входят члены ряда Фурье,
отвечающие точкам (Alt k2) с целочисленными координа-
тами из заштрихованной части.
Учитывая, что le***! = 1, имеем
356
ГЛ. 4. Р51ДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Рис. 122
1рД/; х) <
k2=-
Xl4.0l +
|feB|>TV2 l*2l>W2
В силу формулы (17) получаем
Ipw(/;*)< X I l
I*1I>A1 |^1|
dK'f
1
р С*-°[эх/-
у У_____!__
i.,fe |£&|/ф|/ф
Ck
+*-2 f
Эх/'Эх/2
У —
|..Ь, И1’
со,*2
d^f
Эх2Хг
1
2^ 2-l I (A, I U Ск
1<К1<^ |Л;,|>а2 lAjl |й21
Эх!Х1Эх2Хг
§4.18. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 357
Применяя неравенство Буняковского для сумм (см.
нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии», § 6, (7)), получаем
(пояснения ниже)
1рД/; x) <
\V2 (
2a2X1
J*1I>A1
dK1f
xl/2
X X^’2X1V2X2
Ck
Эх,
M0x/2
2 Л1/2
2^V2
4.1/2 (
Iv2X!
I ^2 l> ^2
o,*2
0XV
2W2
^х2Хг
z .
1*11 >M
X
X
z z
|*1!>^ I*2I>1
41/2
X Х<2Ч’2Хг
ISlfeJSNl |*2|>^
X
Ck
0^1+^2 f
2 41/2
0x/‘x2l2
Теперь в силу равенства Парсеваля и (18),
неравенств k~a < с№~а, k~a < сх при а >
(X. >1,7= 1, ..., п)
а также
1 имеем
*>1
P„(ft x)| < c(Ny + 1)V2
0X7
Эх/1
'2
X
358
ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
+ c(Nl +
^Л1+л2 у
дх^'дхъ*2
+ c(N2 +
эХг/
|gx1+x2/r
< cM[(N, + 1)1/2 + (N2 + l)!/2-^].
Таким образом,
|рД/; x) < cM[(N1 + 1)1/2-M + (N2 + l)i/2(20)
где постоянная с не зависит от М и Nv N2.
В n-мерном случае оценку остатка можно провести
подобным образом.
Оценка (20) говорит о том, что ряд Фурье функции f(x)
сходится равномерно на А. при X. > 1, j = 1, ..., п.
В силу теоремы 2 ряд Фурье функции f сходится к /(х)
в смысле среднего квадратического. В таком случае он
сходится равномерно именно к функции f(x) (см. ниже
лемму 1), и потому
п
1р„(А х)| = |/(х) - SN(f; х)| < сМ £(Ny + 1)*'2Л
/=1
и теорема доказана.
Следствие. Если функция f и ее частные производ-
df df
ные вида ——.....—— принадлежит к С*, то кратный
ряд Фурье функции f сходится равномерно на А, к функ-
ции /(х).
Ведь если эти частные производные непрерывны, то их
квадраты интегрируемы на А, и верны оценки (18) при
некоторой постоянной М и = ... = = 1.
Лемма. Если ряд
и0(х) + ui<*) + —
непрерывных на области Q с функций сходится в
смысле среднего квадратического к непрерывной функции
S(x) и в то же время он сходится равномерно на fl к
функции <р(х), то для всех точек х е fl
§ 4.18. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ 359
S'(x) = <р(х).
Доказательство. Пусть SN(x) - сумма первых N
членов ряда, V с £2 — произвольный шар и
Kn = шах |<р(х) - £Дх)|.
xgV
По условию леммы yr,N О (N -> °°). Поэтому в силу
неравенства треугольника (см. § 4.8)
г Y/2
J |<S(x) - <р(х)|2 dx
<v j
\V2
/ у/2
J|Sw(x)-<p(x)|2dx <
<v ,
Следовательно, левая часть этой цепи равна нулю (она
не зависит от N):
J j-S(x) - <р(х)|2 dx = 0.
v
Далее, так как по условию функция S(x) непрерывна
на £2, а <р(х) непрерывна на £2, как сумма равномерно
сходящегося ряда непрерывных функций, то для всех х е V
S(x) - <р(х) --- 0.
Если предположить, что существует хотя бы одна точ-
ка х°, в которой
[S(x°) - <р(х°)]2 > 0,
то мы получили бы, что
J[S(x)-<p(x)]2dx> О
V
(см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциаль-
ное и интегральное исчисление», § 6.2, теорема 8).
Далее, так как V - произвольный шар, входящий в
область £2 (открытое связное множество), то
S(x) = <р(х) (Vx е £2),
и лемма доказана.
360 ГЛ. 4. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Теорема 4. Для функции / е С* при произвольном
т] > 0 имеет место равенство
S^f; х) - /(х) =
1 г .п,
= — J П Dn) [Я* + u) - f(x)]du + 0(1) (N -» «=) (21)
71
равномерно на любой области Q с А,.
Здесь множество (крест) есть объединение множеств
п
£1 = {|u| < Т]} О' = 1, п), т. е. К = UQM • Символ
/=1
• N означает, что N1 °°..........Nn —>
Теорема имеет место и в случае, если функция f просто
интегрируема (по Риману или Лебегу). Мы не будем дока-
зывать данную теорему, отметим лишь, что при ее доказа-
тельстве придется использовать свойства кратных интег-
ралов Фурье, аналогичные свойствам одномерных
интегралов Фурье (см. формулы (9) - (11) § 4.12).
Заметим еще, что в формуле (21) нельзя заменить мно-
жество (крест) на куб = {|uj < Т], у = 1, ..., п}, и в этом
проявляется существенное различие между рядами Фурье
функций многих переменных и функций одной перемен-
ной.
Формулу (21) можно использовать при получении раз-
личных достаточных признаков сходимости кратного ряда
Фурье к функции f(x) в зависимости от свойств функции
/(х).
ГЛАВА 5
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 5.1. Температура тела
Рассмотрим физическое тело £2. Температуру его в точ-
ке (х, у, г) в момент времени t обозначим через
и = и(х, у, z, t).
Покажем, что функция и удовлетворяет дифференци-
альному уравнению
ди (д2и д2и д2и
dt [йх2 ду2 За2,
((х, у, a) е £2)
(1)
или, если воспользоваться обозначением
й2 й2 й2
Л дх2 ду2 dz2
уравнению
— = a2Au, (1')
dt
которое называется уравнением теплопроводности. Оно
является примером линейного дифференциального урав-
нения в частных производных второго порядка.
Рассмотрим элементарный кубик о в теле £2 (рис. 123).
Количество тепла, проходящее через левую грань о спра-
ва налево за промежуток времени (t, t + At), равно с
точностью до бесконечно малых высшего порядка
362
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Дх
РИС. 123
ди
а—(х, у, z, t)Ay&zAt.
Здесь а - коэффициент тепло-
проводности тела, который мы
считаем постоянным в любой его
точке. Дело в том, что указанное
количество тепла, очевидно, про-
порционально числу а, площади
Ду Дз рассматриваемой грани, при-
ращению времени Д£ и скорости
изменения температуры в направ-
лении оси х, равной частной про-
йм
изводной — . Частная производ-
ная меняется в пределах грани, но, пренебрегая бесконечно
малыми высшего порядка, можно считать, что она всюду
ди
на этой грани равна — в точке (х, у, z, t).
дх
Количество тепла, проходящее через правую грань о
справа налево, очевидно, равно
ди
а— (х + Дх, у, z, t^ytazkt.
дх
Количество же тепла, вошедшее в куб о через левую и
правую его грани за указанный промежуток времени,
равно
ди ди
а-^—(х + Дх, у, г, t)tybzNt - ат?— (х, у, z, t)tybz&t -
ОХ ох
д2и
- а,—— (х, у, z, t)Ax&y&zht.
Эх2
Общее количество тепла, вошедшее в о за время (t, t+At),
очевидно, равно сумме количеств тепла, вошедших за это
время через все грани о:
й2м й2м й2м
Но это число (количество тепла) равно также
ди
р — AxAi/AzAf,
dt
а
(2)
(3)
§ 5.2. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
363
где Р - удельная теплоемкость тела, которую мы считаем
постоянной во всех его точках.
Приравнивая величины (2), (3), после сокращений по-
лучим дифференциальное уравнение (1), где
Итак, мы показали, что температура тела £2 есть фун-
кция и = и(х, у, z, t), удовлетворяющая уравнению (1), где
а2 — положительная константа, физический смысл кото-
рой был выяснен выше. Впрочем, мы ограничились тем
случаем, когда во всех точках тело имеет постоянную
удельную теплоемкость и постоянный коэффициент теп-
лопроводности.
Дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное
множество решений. Чтобы найти среди них определен-
ное решение, надо наложить на функцию и дополнитель-
ные условия. Обычно это так называемые начальные и
граничные условия.
Ниже мы рассмотрим несколько математических за-
дач, связанных с этим вопросом.
§ 5.2. Задача Дирихле
Распределение тепла в теле называется стационарным,
если температура и тела зависит от положения точки
(х, у, г), но не зависит от времени t, т. е.
и = и(х, у, г).
В этом случае
и функция и удовлетворяет уравнению
Ди = 0.
Определение. Функция и(х, у, г) называется гармо-
нической на области £2, если она имеет непрерывные ча-
стные производные второго порядка на £2 и удовлетворяет
на £2 уравнению
Ди = 0. (1)
Уравнение (1) называется уравнением Лапласа1. Спра-
ведлива
1 П. С. Лаплас (1749-1827) - выдающийся французский математик,
физик.
364
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Теорема1. Пусть ограниченная область £2 простран-
ства имеет кусочно-гладкую границу (поверхность) Г, на
которой задана непрерывная функция f(x, у, г). Тогда
существует на замыкании £2 единственная непрерывная
функция и(х, у, г), гармоническая на £2, такая, что
м|г = f(*> У, z).
Теорема 1 имеет очевидную физическую интерпретацию.
Если на границе Г тела £2 все время поддерживать темпе-
ратуру и, равную u|r = f(x, у, z), где f(x, у, z) - заданная
непрерывная на Г функция, то внутри тела установится
вполне определенная (единственная) температура и(х, у, z).
Это утверждение с физической точки зрения надо считать
очевидным. Но оно может быть доказано и математичес-
ки. Эта задача, называемая задачей Дирихле, исследова-
на очень хорошо, при этом даются различные приближен-
ные методы ее решения.
Задача Дирихле имеет большое практическое примене-
ние и в плоском случае. В плоском случае она формули-
руется так.
На кусочно-гладкой границе Г плоской области £2 зада-
на непрерывная функция /(х, у). Требуется найти функцию
и(х, у), непрерывную на £2 = £2 + Г и гармоническую на £2,
т. е. имеющую вторые непрерывные частные производные и
удовлетворяющую уравнению Лапласа на £2:
Э2 д* I
дх2 ду2 )
Эта задача решается положительно: на £2 существует и
притом единственная функция и(х, у), удовлетворяющая
требованиям этой задачи.
Особенно важны те случаи, когда задача Дирихле ре-
шается эффективно.
Ниже мы даем эффективное решение задачи Дирихле
для круга.
Ди = О
§ 5.3. Задача Дирихле для круга
Теорема 1. Пусть G есть открытый единичный круг
с центром в начале прямоугольной системы координат х,
у и на его границе Г задана непрерывная (периода 2 л)
функция /(0), где 0 - полярный угол точки Г. Тогда на
замыкании б = о + Г круга о существует и притом един-
§ 5.3, ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 365
ственная функция и(х, у), непрерывная на о, гармоничес-
кая на о и равная /(6) на Г:
«1Г = ле). (1)
В полярных координатах (р, 0) функция и = и(р, 0)
записывается в виде ряда
Оп V r>fc
u(p, 0) = — + ZjP (akcosM) + feAsin&0), (2)
2 fe=i
где
- коэффициенты Фурье функции /(0).
Мы докажем теорему 1 в предположении, что функция
/(0) имеет вторую непрерывную производную, хотя теоре-
ма верна и если /(0) просто непрерывна.
Разложим функцию /(0) в ряд Фурье
Д0) = (akcoskQ + &л81.п&0).
2 Л=1
Так как Д0) имеет вторую непрерывную производную, то
2М . . 2М
|aj<— ,|fej< (А*0), (3)
к «
где константа М = тах |/"(t)| (см. § 4.7). Имеем
-n<t<n
|p*(aAcos/s0 + fetsin&0)| < |aj + |fej (0 < p < 1),
и так как ряд
t + £<w + wsbl +
k=l 2 л=1 «
сходится, то по теореме Вейерштрасса ряд (2) равномерно
сходится на о. Но тогда п(р, 0) есть непрерывная на о
функция, как сумма равномерно сходящегося ряда непре-
рывных функций. Кроме того,
и(1, 0) = ~~ + (a; cos/;0 + feAsin/?0) = /(0),
2 k=i
т. е. выполняется свойство (1).
Каждый член ряда (2) удовлетворяет уравнению Лап-
ласа в полярных координатах
366
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Э2и 1 д2и 1 ди
ки = ТТ + —2~^ + ~ V = °
Эр2 р2 Э02 р Зр
(см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциаль-
ное и интегральное исчисление», § 9.9, пример 3). Кроме
того, имеют место равенства (0 < р < 1)
ди V-'
— = V kpk~l(ak cos kB + bk sin kB),
dP
d2u
dp2
d2u
dB2
У k(k - l)p* 2(ak cos kB + bk sin A0),
a=i
У k2pk(-ak cos kB - bk sin kB).
k=i
(4)
Почленное дифференцирование ряда (2) законно, пото-
му что для любого положительного р0 < 1 члены, напри-
мер, третьего ряда (4) не превышают соответственно
Ро*А2ТГ = 4МРо* (О < р < р0),
г?
а ряд
4Л/Хро < « (О < р0 < 1)
1
сходится.
Поэтому сумма ряда (2) и(р, 0) является решением по-
ставленной задачи (является гармонической функцией).
Тот факт, что решение задачи Дирихле является един-
ственным, мы доказывать не будем.
§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости
Пусть в полуплоскости R2+ = {-оо < х < оо, у > 0} тре-
буется найти ограниченное решение уравнения Лапласа
Ди = 0, (1)
удовлетворяющее граничному условию
и(х, 0) = <р(х) (-оо < х < с<=). (2)
Легко проверить, что функции
их(х, у) = [cx(Z)cosXx + P(X)sinXx]exp(-Xp)
§ 5.4. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ
367
при любом фиксированном А > О являются ограниченны-
ми гармоническими наR2+, т. е. удовлетворяют наR2+ урав-
нению (1). Но тогда сумма таких функций и даже интеграл
по параметру также будет решением уравнения (1):
и(х, у) = j [a(A)cosAx + 0(A)sinAx]exp(-Ay)dA, (3)
о
лишь бы было законно дифференцирование под знаком
интеграла по параметрам хи у. Функции сх(А) и [3(A) най-
дем из условия (2)
и(х, 0) = J [a(A)cosAx + 0(A)sinAx]dA = ф(х). (4)
о
Запишем разложение функции ф(х) в интеграл Фурье
ф(х) = J - — J ф(^) cos £Ad£ cos Ах +
0 (\ 7
1 °° '
— J ф(^) sin ^Ad^ sin Ax
•dA.
Сравнивая формулы (4) и (5), мы видим, что
a(A) = ~ J ф(£) cos » ₽(^) = — J ф(0 sin •
Подставляя эти функции в (3), получаем
и(х, у) = — J ехр(-Ау) J ф(£) cos A(t - x)dt dA =
(5)
(6)
о
= — J ф(0 J exp(-Ay)
— oa 0
Согласно § 4.14 пример 4) имеем
y2dt
у2+(t- x)2 ’
cos A(t — x)dA dt.
u(x, y) = - f ф(0
Я J
(3')
368
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Замечание 1. Пусть функция ф(х) имеет непрерыв-
ные производные до четвертого порядка включительно и
удовлетворяет условиям
(k = О, 1, 2, 3, 4).
Тогда из (6) следуют оценки
М (7)
1 + Л 1 + Л
где с - некоторая постоянная. В самом деле, если |Л] < 1,
то
г
° ~ 1 + Х4 ’
Если же |Х| > 1, то, интегрируя по частям четыре раза,
получим
(8)
1 t sin ХЕ,
а(Х) = -Ч>Ю—
71 Л
ЯЛ J
-Л- [q>'(£)sin£A^ =
ЯЛ J
= -^ Jq>(4)(£)cos£M£,
ЯЛ J
откуда
|а(Х)| < <
Л
4 •
2М4
iTv <9>
Из (8) и (9) следует первое неравенство (7). Второе не-
равенство (7) доказывается аналогично.
Оценки (7) обеспечивают существование, непрерывность
д2и д2и
и ограниченность функций и, —у, _ 2 в верхней полу-
дх оу
плоскости /?2+.
Замечание 2. Можно доказать, что если функция
<р(х) непрерывна и ограничена на (-«>, °°), то полученное
при помощи формулы (3') решение задачи Дирихле для
верхней полуплоскости единственно в классе ограничен-
ных функций.
§ 5.5. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СТЕРЖНЕ 369
§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне
Рассмотрим тонкий изолированный (покрытый тепло-
вой изоляцией) стержень, лежащий на отрезке [0, л] оси
х (рис. 124). Предполагается, что его физические свойства
в точках любого его сечения одинаковы. Температура
стержня есть функция
и = u(x, t)
от абсциссы х сечения и времени t.
На основании сказанного в § 5.1 функция и удовлет-
воряет дифференциальному уравнению в частных произ-
водных
где а2 > 0 — константа, если предположить, что теплоем-
кость и теплопроводность стержня не зависят от х.
Поставим задачу: найти функцию и (х, t), непрерыв-
ную для t > О, О < х < п, имеющую непрерывные частные
д2и ди
производные —? и ~г— для t > О, О < х < л, удовлетво-
дх dt
ряющую дифференциальному уравнению (1) для t > О,
О < х < л, и следующим условиям:
1) начальному условию
и(х, О) = Дх) (О < х < л),
(2)
где Дх) - заданная на отрезке [О, л] непрерывная функ-
ция;
2) граничным условиям
u(0, t) = и(л, t) = О (Vt > О). (3)
Таким образом, предполагается, что в начальный мо-
мент времени t = 0 температура в стержне выражается
функцией Дх) (см. (2)), а на протяжении всего времени
О
опыта на концах стержня искусст-
венно поддерживается температура
нуль (см. (3)).
Уравнение (1) будем решать мето-
дом Фурье разделения переменных.
_ Суть его заключается в том, что мы
х отыскиваем частные решения урав-
нения (1), удовлетворяющие пока
только краевым условиям (3), в. виде
370
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
произведения двух функций, каждая из которых зависит
только от одного переменного:
и(х, t) = Х(х) T(t). (4)
При этом мы ищем нетривиальные решения, т. е. тож-
дественно не равные нулю. Из (4) имеем
Э2п d2X , ди
—у= T(t)^X = ТХ", — = ХТ'.
дх dx2
Подставляя эти выражения в (1), получаем
В (5) левая часть не зависит от х, а правая - от t,
поэтому
1 Т' X"
а2 Т ~ X = (6)
где |1 - некоторая постоянная.
Таким образом, функция Х(х) и T(t) удовлетворяют
обыкновенным дифференциальным уравнениям
X" + цХ = 0, (7)
Г + а2[1Т = 0, (8)
где ц — некоторая постоянная.
Так как мы ищем решения, удовлетворяющие услови-
ям (3), то при всех t должны выполняться равенства
u(0, t) = Х(0) T(t) = 0, и(п, t) = Х(к) T(t) = 0.
Если предположить, что T(t) = 0, Vt, то и(х, t) = 0 для
всех х n t. Поэтому имеется хотя бы одно t, для которого
T(t) Ф 0. Но тогда
Х(0) - Х(п) = 0. (9)
Мы пришли к следующей задаче. Требуется найти та-
кие числа ц, для которых дифференциальное уравнение
(7) имеет нетривиальное (не равное тождественно нулю)
решение на отрезке [0, л], удовлетворяющее граничным
условиям (9).
Задача эта называется проблемой Штурма—Лиувилля1
для уравнения (7) на отрезке [0, п] при граничных усло-
виях (9). Искомые числа ц называются собственными
значениями задачи Штурма—Лиувилля, а соответствующие
1 Ж. Лиувилль (1809-1882) - французский математик,
Ж. Ш.Ф. Штурм (1803-1855) - французский математик.
§ 5.5. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СТЕРЖНЕ 371
нетривиальные функции, удовлетворяющие граничным
условиям (9), называются собственными функциями, со-
ответствующими этим значениям.
Будем искать решение поставленной задачи среди по-
ложительных чисел р = X2 > О (X > 0). В этом случае числа
+ik являются корнями характеристического уравнения,
поэтому общее решение уравнения (7) запишется так:
Х(х) = CjCosXx + C2sinXx.
Из (9) находим
0 = Q, Сг = 0,
. 0 = Cj cos Хя + С2 sin Хп, или С2 sin Хп = 0.
Чтобы получить решение, тождественно не равное нулю,
нужно считать С2 / 0 и sinXn = 0. Последнее возможно
только при натуральных Х=Л = 1, 2, 3, ... . Каждому k
соответствует решение
Хк(х) = dksinkx (k — 1, 2, ...),
удовлетворяющее, очевидно, граничным условиям (9). Это
нетривиальное (тождественно не равное нулю) решение
уравнения (7). Итак, числа
щ = k2 (k = 1, 2, 3, ...)
суть собственные значения поставленной выше краевой
задачи (проблемы Штурма Лиувилля), а функции
Хк = dksinkx (k = 1, 2, ...)
при любом dk Ф 0 - соответствующие этим значениям соб-
ственные функции.
Мы нашли все собственные значения и собственные
функции поставленной задачи Штурма—Лиувилля, пото-
му что при любом ц < 0 дифференциальное уравнение (7)
имеет только тривиальное (тождественно равное нулю)
решение, удовлетворяющее условиям Х(0) = Х(л) = 0.
В самом деле, при ц — -X2 < 0 общее решение уравнения
(7) имеет вид X = + С2е'^. Найдем постоянные С, и С2 из
условия (9):
0 — + С2.
0 = +С2е-Хл.
Определитель данной системы
1 1
е~^
е 0,
372 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
поэтому система имеет только тривиальное решение Ct — С? — 0.
Таким образом, частного решения уравнения (7), тождествен-
но не равного нулю и удовлетворяющего условиям (9), не
существует при р. = -А.2 < 0.
Если р = 0, то характеристическое уравнение имеет число
нуль кратным корнем, поэтому общее решение (7) запишется
Х(х) = С, + С2х.
Учитывая краевые условия, получаем С1 = 0, + С2л = 0,
откуда = С2 = 0 и Х(х) = 0.
Остается решить уравнение (8) при найденных р* = k2:
, dT
Т + a2k2T = 0, = -a2k2dt, T(t) = Akexp(-a2k2t),
где Ак - произвольная постоянная.
Итак,
uh(x, t) = bhex.p(~a2k2t)sinkx (Ьк = Akdk) (10)
- суть частные решения уравнения (1), удовлетворяющие
краевым условиям (3).
Легко видеть, что конечная сумма
N
uN(x, t) = bk exp(-azAzt)sin/sx,
*=i
где bk - произвольные постоянные, в свою очередь пред-
ставляют собой решение дифференциального уравнения
(1), удовлетворяющее граничным условиям ил,(0, t) =
=ил,(л, t) = 0. Но тогда и сумма бесконечного ряда
и(х, t) = У bk exp(-a2A:2t)sin/?x (11)
fe=i
при достаточно малых коэффициентах Ьк будет удовлетво-
рять уравнению (1) и граничным условиям u(0, t) = и(к, t) = 0.
Теперь мы подбираем числа Ьк так, чтобы выполнялось
равенство
и(х, 0) = /(%) = У, sin&x (0 < х < л). (12)
fe=i
Числа Ьк подбираются единственным образом - именно
по формуле
2 f
Ьк = — I f(t) sinktdt,
к J
о
§ 5.5. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СТЕРЖНИ 373
т. е. они должны быть коэффициентами Фурье функции f
(см. § 4.3).
Если функция f(x) непрерывна на [0, л], то ряд (12)
сходится к ней в смысле среднего квадратического на [0, л]
(см. теорему 2 § 4.10).
Если окажется, что ряд
^А2Ьа exp(-a2A2Z)sin/sx,
k=i
(14)
сходится, то вследствие неравенств
|fcfcexp(~a2/e27)sinfcc| < |bj, (13)
ряд (11) равномерно сходится и его сумма есть непрерыв-
ная функция для t > 0.
При t > 0 ряд (11) сходится очень быстро - его можно
дифференцировать почленно сколько угодно раз. В част-
ности,
Э2ы
д^2
— = —a2^^k2bk exp(-a2A2t)sinftx,
k=i
откуда видно, что
ди д2и
-г— = Д2 9 •
dt дх
Законность равенств (14), т. е. почленной дифференци-
руемости ряда (11) при t > 0, может быть прослежена
следующим образом. Если задано t > 0, то возьмем t0 так,
чтобы 0 < t0 < t. Тогда, например, в случае первого ряда
(14), считая, что < М, будем иметь
|/e2bfcexp(~a2A2£)sin£x| < Mk2exp(-a2k2t0).
Но ряд из положительных (постоянных!) чисел
М k2 exp(-az/sz£0) <
Л=1
сходится (что можно проверить по признаку Даламбера
или Коши), а это вместе с оценкой (13) показывает, что
почленное дифференцирование два раза по х произведено
законно.
374 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Замечание. Выше мы получили, что задача Штур-
ма-Лиувилля
X" + цХ = О, Х(0) = Х(л) = 0 (15)
имеет собственные значения
ц, = 1, Ц2 = 4, ц3 = 9, = Л2.... (16)
Они положительны и им соответствуют собственные
функции
sinx, sin2x, sin3x, ..., sin Ах, ..., (17)
образующие ортогональную систему на отрезке [О, л]:
п
J sin kx sinlx dx = 0 (k* I).
о
Из теории тригонометрических рядов известно, что
система (17) полна в L'2 (0, л) (см. теорему 2 § 4.10), т. е.
ряд Фурье произвольной кусочно-непрерывной на отрезке
[0, тс] функции по этой системе сходится к ней в смысле
среднего квадратического.
Некоторые сведения, обобщающие эти факты, читатель
может найти далее в § 5.10.
§ 5.6. Теплопроводность
для бесконечного стержня
Согласно § 5.5 температура и(х, t) точки х стержня в
момент времени t удовлетворяет дифференциальному урав-
нению
ди д2 и
(Ч
Будем рассматривать бесконечный стержень (—<*> < х < “).
Краевые условия при этом отпадают, поэтому мы будем
искать ограниченное решение уравнения (1), удовлетворя-
ющее только начальному условию
и|,-о = °) = <P(xh (2)
где функция ср(х) определена на всей действительной оси.
Будем предполагать, что функция ср непрерывна и при-
надлежит L\—°о, <*>). Эту задачу мы будем называть зада-
чей Коши для уравнения (1).
Для упрощения записи ниже будем считать а = 1.
§ 5.6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО СТЕРЖНЯ 375
Чтобы решить поставленную задачу, применим метод
Фурье разделения переменных. Частное решение будем
искать в виде
и(х, t) = Х(х) T(t).
Подставляя эту функцию в (1), получаем
X" Т'
X ~ Т ~ Ц’
Т = цТ, (3)
X" = цХ. (4)
Решение уравнения (3) имеет вид
T(t) = Сехр(ц^).
Из физических соображений ясно, что температура
и(х, t) = X(x)T(t) не может возрастать неограниченно при
t -» оо. Значит, постоянная ц должна быть отрицательной.
Положим ц = -А2. Тогда решение уравнения (4)
Х(х) = A(k)cosKx + B(A)sinAx.
Функция
ык(х, t) = [a(A)cosAx + P(A)sinAx]exp(-Azt) (5)
есть частное решение уравнения (1) при всех А. Но тогда
сумма таких решений и даже интеграл по параметру А от
функции (5) также будет решением уравнения (1):
и(х, t) = J [a(A)cosAx + p(A)sinAx]exp(-f2A)dA. (6)
о
Конечно, функции ос(А) и Р(А) должны достаточно быс-
тро убывать к нулю, чтобы законно было дифференциро-
вание (6) по параметрам х и t. Функции а(А) и Р(А) нахо-
дим из начального условия
и(х, 0) = J [a(A)cosAx + P(A)sinAx]c?A = <p(x). (7)
о
Запишем разложение функции <р в интеграл Фурье
(см. (1) § 4.13):
ф(*) = J J<p(£)cos£Ad£
cos Ах +
о
376
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
— f ф(Е,) sin sin kx -dk.
л *
(8)
Сравнивая (7) и (8), мы видим, что надо считать
а(Х) = л I C°S = п J Sin
Подставляя эти значения в (6), получаем (см. 12) § 4.14)
и(х, t) = — J J <р(0 cos Х(Е, - x)dE, exp(~k2t)dk =
0 “
= J ф(х + Е,) Jexp(-X2t)cosXf,dX d^ =
о
х=-4=
Vi
.0
= — |ф(х + £) J exp(-z2)
— CO 0
cos
1 f J. 1 [n f 1 .t
- d/x+M7eiT«p =
( X
1
2-Jnt
t2
[ф(^ + х)ехр
i I 4tJ
(10)
Итак, задача (1), (2) решена полностью.
Замечание. Если функция ф удовлетворяет услови-
ям, отмеченным в замечании 1 § 5.4, то решение задачи
Коши, полученное по формуле (10), непрерывно и ограни-
д2и ди
чено вместе со своими производными—, — и является
Эх dt
единственным решением в классе ограниченных функций.
§ 5.7. Малые колебания струны
Струной называется тонкая нить, работающая на ра-
стяжение, но не на изгиб. Если ненатянутую струну мять,
она не сопротивляется, однако если ее растягивать, то в
§ 5.7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
377
Рис. 125
ней возникают напряжения.
Пусть концы куска натя-
нутой струны закреплены в
точках х = а, х = b оси х.
Будем считать, что величи-
на возникающего в ней на-
пряжения равна числу Т.
Плотность струны будем счи-
тать равной числу р на всем
ее протяжении. В момент времени t = 0 выведем нашу
струну из равновесия, например оттянем пальцем и
предоставим ей свободно колебаться (дрожать) — совер-
шать малые колебания.
Отклонение струны в любой ее точке, имеющей абсцис-
су х, в момент времени t обозначим через
и = и(х, t) (а < х < Ь, t > 0).
Выведем дифференциальное уравнение, которому удов-
летворяет функция и.
На рис. 125 изображен график нашей струны в момент
времени t.
На элемент ее, соответствующий отрезку [х, х + Дх],
действуют две силы натяжения ВС и AD . Скалярная ве-
личина каждой из этих сил равна Т:
|ВС| = | AD | = Т.
Сила ВС приложена к точке В, имеющей абсциссу
х + Дх, направлена по касательной к струне в этой точке
и образует с положительным направлением оси х угол а,
тангенс которого равен
ди(х + Дх, t)
l8“ —to—
Так как струна совершает малые колебания, то можно
считать приближенно
tgoc = since.
Таким образом,
ди(х + Дх, t)
since = ---------.
dx
Проекция силы ВС на ось и, очевидно, равна
378 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ди(х + Дх, t)
Tsina ~ Т-----------
дх
Проекция же силы AD на ось и, очевидно, равна
Эы(хД)
Эх ’
Сумма этих проекций равна
Эи(х+Дх, t) du(x,t) Э2и(х, t)
Эх Т Эх Т дх2 ^Х’
Мы пренебрегаем бесконечно малыми более высокого
порядка, чем а, потому что рассматриваем, как говорят,
малые колебания струны.
С другой стороны, произведение массы на ускорение
рассматриваемого элемента струны равно
Э2и(х, t)
рА* 2
дх
Поэтому на основании закона Ньютона
Э2н д2и
рДх—у = Т—-уДх.
dt2 Эх2
Сокращая на Дх, получим дифференциальное уравне-
ние колебаний струны:
д2и
д2и
— п2----
dt2 дх2
Теперь математическую задачу, к
изучение свободных колебаний струны, можно сформули-
ровать так: требуется решить линейное дифференциаль-
ное уравнение с частными производными второго порядка
(1) при начальных условиях
Т
а2
(1)
Р
которой приводит
и(х, 0) = f(x),
Эи(х,0)
™
(2)
(3)
и при краевых условиях
u(0, t) = и(п, t) = 0.
Начальные условия (2) показывают, в каком положе-
нии находилась струна в начальный момент времени и
какова скорость каждой ее точки при t = 0. Функции f(x)
и F(x) - заданные функции.
Краевые условия (3) показывают, что концы струны
закреплены в точках о = 0 и b = %.
§5.7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 379
Решение поставленной задачи, можно провести мето-
дом Фурье (так же как в § 5.5). Ищем сначала решение
уравнения (1) в виде произведения
и(х, t) = Х(х) T(t), (4)
удовлетворяющее граничным условиям
Х(0) 7(e) = 0,1
Х(л) 7(e) = 0 J (5)
для всех е > 0. Но тогда
Х(0) = Х(п) = 0,
потому что иначе было бы 7(e) = 0 и и(х, е) s 0.
Подставляя произведение (4) в (1), получим
ХТ" = агХ"Т,
или
1 Т" X"
а2 Т ~ X ’
Но функция от е может равняться функции от х, толь-
ко если обе они равны постоянному числу, которое мы
обозначим через -ц:
1 Т” X"
а2 Т ~ X = ~Ц’
В результате получаем два обыкновенных дифферен-
циальных уравнения
X" + = 0, Х(0) = Х(п) = 0, (6)
7" + а2ц7 = 0. (7)
Уравнение (6) надо решить с краевыми условиями
Х(0) = Х(л) = 0, т. е. надо решить для этого уравнения
проблему Штурма-Лиувилля (см. § 5.5). Как показано в
§ 5.5, решением этой проблемы являются числа (собствен-
ные значения)
ц* = Л2 (Л = 1, 2, ...)
и соответствующие им нетривиальные функции (собствен-
ные функции)
Хк(х) = sinkx (Л = 1, 2, ...),
удовлетворяющие при этих числах условиям (5).
Общее решение уравнения (7) при найденных цЛ = Л2
имеет вид
Tk(t) = A^cosafte + Bksinakt (k = 1, 2, ...).
Следовательно, все решения дифференциального урав-
нения (1) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям
(5), можно записать в виде
380 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
uk(x, t) = (Akcosakt + Bksinakt)sinkx (k = 1, 2, ...),
где постоянные Ак, Вк для каждого k могут быть взяты
произвольно. Но тогда и любые суммы
А
^^Aj.cosafet + Bksinakt)sinkx
k=i
суть решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным
условиям (5). Вместе с этими суммами обладают этим
свойством и суммы бесконечных рядов
и(х, t) = ^j{Aheosakt + Bksinakt)sinkx, (8)
k=i
если числа Ak и Вк достаточно быстро стремятся к нулю,
чтобы эти ряды можно было два раза почленно дифферен-
цировать.
Теперь в нашем распоряжении имеется большой запас
функций u(x, t), удовлетворяющих уравнению (1) и гра-
ничным условиям (3), - они определяются формулой (8),
где числа Ак, Вк — произвольные, лишь бы выполнялись
указанные условия сходимости.
Чтобы найти решение поставленной задачи, удовлетво-
ряющее начальным условиям (2), дифференцируем (8) по t:
ди
(х, t) = / (~Aksinakt + Bkcosakt)sinkx (9)
k=i
и приравниваем (8) и (9) при t = 0 заданным функциям
f(x) и F(x):
оо оо
/(х) = Ак sin Ах, F(x) = ah B,.sinfex. (10)
*=1 *=i
Отсюда
л п л л
2 f 2 г
А, = — I f(t) sinktdt, В. = - F(t) sinktdt. (11)
nJ nak J
о о
Если функции /(x) и E(x) непрерывные на [0, п], то
этого достаточно, чтобы можно было вычислить числа Ак,
Вк по формулам (11) и ряды (10) будут сходиться к этим
функциям во всяком случае в смысле среднего квадрати-
ческого (см. § 4.10). Конечно, если функции /(х) и F(x) не
только непрерывны, но и имеют непрерывные производ-
ные (достаточно третьего порядка), то сумма ряда (8) уже
заведомо будет иметь вторые непрерывные производные.
§ 5.8. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА
381
§ 5.8. Колебание бесконечной струны.
Формула Даламбера
Если струна очень длинная, то на колебания, возника-
ющие где-то в ее середине, концы струны будут оказывать
малое влияние.
Поэтому, рассматривая свободные колебания неогра-
ниченной струны, мы должны решить уравнение
только при начальных условиях
и{х, О) = /(х), (2)
if (х, О) = Е(х). (3)
Такая задача называется задачей Коши или задачей с
начальными условиями.
Эту задачу удобно решить следующим образом. Введем
новые переменные
£ = х - at, т] = х + at, (4)
тогда уравнение (1) перейдет в уравнение
Э2п
Э£Эц = °' (5)
Решением уравнения (5), очевидно, является функция
и = ф(0 + ф(т]),
где ф и ф — произвольные функции, которые мы будем
считать дважды дифференцируемыми.
Возвращаясь к старым переменным, получаем решение
уравнения (1) в форме
и(х, t) = (р(х - at) + ф( х + at). (6)
Непосредственным дифференцированием (6) легко убе-
диться, что это действительно так. Имеем
= ф'(х - at) + i|Z(x + at),
u't = —а(р'(х — at) + *n/(x + at),
u"xx = ф"(х _ at) + ф"(х + at),
u"„ = а2ф"(х - at) + a2y"(x + at),
t. e.
382
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Полученное решение (6), зависящее от двух произволь-
ных функций, называется решением Даламбера1.
Используя начальные условия, найдем функции <р и у:
<р(х) + у(х) = Дх), (7)
-а<р'(х) + ау'(х) = F(x). (8)
Интегрируя (8) на отрезке [О, х], получим
X
-<р(х) + у(х) = - f F(y)dy + С, (9)
a J
о
где С - произвольная постоянная. Из (7) и (9) находим
1 1г С
= -f(x) ~ — F(y)dy -
0
1 If C
VW = ^ft*) + — J F(y)dy + —.
Xi ZiCL * Zi
0
Теперь решение задачи Коши запишется
и(х, t) = ф(х - at) + у(х + at) =
(Ю)
1 1 Г 1
= -/(X - at) - — F(y)dy + -fix + at) +
Z Ztt J z
0
x+at
+ f *(!/)<&,
za J
о
или
f(x — at) + fix + at) 1 г
u(x, t) = + — F(y)dy. (11)
Z Ztt J
x-at
Формула (11) называется формулой Даламбера.
§ 5.9. Колебание круглой мембраны
Пусть круглая мембрана радиуса 1 в состоянии покоя
занимает круг радиуса 1 с центром в начале полярной
1 Ж. Даламбер (1717-1783) - выдающийся французский матема-
тик.
§ 5.9. КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
383
системы координат г, ф (рис. 126). Будем считать, что
мембрана закреплена по окружности г = 1. Если теперь
подействовать на мембрану некоторой силой, то отклоне-
ние точек мембраны и будет функцией координат г, ф и
времени Г.
и = и(г, ф, t).
Так же как и в § 5.7, можно получить уравнение ко-
лебаний мембраны
Э2ц
—5-= а2Дн= а2
dt2
д2и 1 ди
Эг2 г дг
i_^u
г2 Эф2 ,
(1)
Для уравнения (1) мы будем решать задачу с краевым
условием
«Li = О (2)
и начальными условиями
«1,-0 = м, ч- = F(r). (3)
<’i t=o
Мы рассматриваем, таким образом, осесимметрическое
колебание мембраны, при котором все точки окружности
радиуса г < 1 с центром в начале координат в начальный
момент времени имеют скорости и отклонения, не завися-
щие от угла ф. Таким образом, и функция и будет зави-
сеть только от г и t и уравнение (1) упрощается:
д2и
д?
( д2и 1 dtz'j
(Эг2 + г дг)
(4)
Решение уравнения (4) с
условиями (2), (3) можно
найти методом Фурье. Ищем
сначала все решения вида
и(г, 0 = C7(r)7(i).
Легко показать (как в
§ 5.7), что функции T(f) и
U(r) удовлетворяют уравне-
ниям
Т" + [12а2Т =0, (5)
1
U" + -и' + \12и = О. (6)
г
384 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Таким образом, надо найти числа ц, для которых урав-
нение (6) имеет нетривиальное решение Е7(г), удовлетворя-
ющее граничному условию
С7(1) = 0. (7)
Эти числа р называются собственными значениями
данной задачи Штурма-Лиувилля, а функции U(r) - им
принадлежащими собственными функциями.
Замечание. В § 5.7 рассматривалась задача Штур-
ма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго
порядка с двумя граничными условиями (Х(0) = Х(л) = 0).
В данной же задаче, тоже для уравнения второго поряд-
ка, фигурирует только одно граничное условие (Е7(1) = 0).
Это происходит потому, что данное уравнение имеет осо-
бенность в точке г = 0, вследствие которой это уравнение
имеет наряду с ограниченными и неограниченные реше-
ния. Фактически и в данном случае ищутся собственные
функции, удовлетворяющие двум граничным условиям: пер-
вое условие - собственная функция U(r) должна быть огра-
ничена в окрестности г = 0 и второе условие - Е7(1) = 0.
Чтобы получить решение уравнения (6), введем новую
переменную
р = гц, У(р) = Е7(р/ц).
Тогда уравнение (6) превращается в такое же уравне-
ние, но при ц. = 1:
V”(p)+ -У'(р) + Чр) = 0. (8)
Уравнение (8) уже изучалось в §1.24, пример 2. Оно
имеет два линейно независимых решения, одно из них
неограничено в окрестности точки р = 0, а другое есть
функция Бесселя нулевого порядка
00 2k
J°(P)= J0(~1)A 22\k\)2’
где степенной ряд справа сходится на интервале —< р <
Всевозможные ограниченные в окрестности нулевой точ-
ки решения уравнения (8) имеют вид CJ0(p), где С - про-
извольная постоянная (см. замечание 1 § 1.24). Соответ-
ствующие функции
<Ч,(ф)
и будут нужными нам ограниченными на [0, 1] решения-
ми уравнения (6).
§ 5.9. КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ 385
Теперь остается подобрать р так, чтобы выполнялось
граничное условие
j0(1-p) = о.
Мы видим, что число р должно быть корнем функции
J0(r). Хорошо известно, что функция J0(r) имеет бесконеч-
ное число нулей: 0 < р, < р2 < ... . Например,
Pj = 2,40; р2 = 5,52; ... .
Итак, числа рА (k = 1, 2, ...) суть собственные значения,
a Jf)(p7.r) им принадлежащие собственные функции нашей
краевой задачи. Эти функции можно умножать на произ-
вольные постоянные ск Ф 0 и получать снова собственные
функции
CjbJ0(pZ) {k = 1, 2, ...),
принадлежащие числам р*.
При р = р4 решение уравнения (5) запишется
7\(i) = afccospfcat + feAsinpAaC
Соответствующие решения уравнения в частных произ-
водных (4), удовлетворяющие граничному условию (2),
имеют вид
wjr, 0 = (a,cosp/z£ + fetsinpta#)J0(pfcr),
где ак, Ьк — произвольные постоянные. Но тогда и сумма
бесконечного ряда
u(r, t) = ^(aAcospfcat + ^sinp^a/Щр^г) (9)
*=1
является решением уравнения (4), удовлетворяющим гра-
ничному условию (2), конечно, если числа ак и bf доста-
точно быстро стремятся к нулю, чтобы эти ряды можно
было два раза почленно дифференцировать.
Чтобы найти решение поставленной задачи, коэффици-
енты ак и Ьк находим из начальных условий (3):
4-о= = Лг), (10)
*=1
0ZZ
э? = = Лг). (И)
Л=1
Функции Бесселя J0(ptr) обладают свойствами, сход-
ными со свойствами тригонометрических функций. Так,
13. Бугров Я. С.
386 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
если функция /(г) кусочно-гладкая на [0, 1], то она непре-
менно разлагается в ряд вида (10) (с постоянными коэф-
фициентами ак), сходящийся к ней, во всяком случае, в
смысле среднего квадратического (см. также § 5.10).
Мы знаем, что тригонометрические функции ортого-
нальны на [0, 2л]. Функции Бесселя <J0(|_iAx) тоже ортого-
нальны на [0, 1], но, как говорят, с весом х:
1
J х J0(ptx)J0(|i(x)dx = 0 (k * I). (12)
о
Отсюда следует, как мы это докажем ниже, что в ра-
венствах (10), (11) числа ак, Ьк необходимо вычисляются
по формулам
1 1
j xJ0(pfcx)/(x)dx J xJ0(pAx)F(x)rfx
ak ~ П-------------------------------------------
Г r 12 f г 12 <13>
J dx . J dx
о 0
(k = 1,2,...).
Система непрерывных на отрезке [а, 6] функций
<Pj (х), <р2 (х), <Р3 (х), ... (14)
называется ортогональной на [а, £>] с весом р(х) > 0, где
р(х) непрерывная функция, если выполняются равенства
ь
J р(х) Ф*(х)фг(х)йх = О (k * I). (15)
а
Если функция /(х) разложена в равномерно сходящий-
ся на [а, £>] ряд по функциям фА(х) системы (14):
f(x) = (16)
*=1
то
ь
J р(х)фт(х)/(х)йх
ст = -ь----------------- (т = 1, 2, ...). (17)
J р(х)[фт(х)]2</х
§ 5.10. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 387
В самом деле, после умножения ряда на р(х)<рт(х) его
равномерная сходимость не нарушается и почленное ин-
тегрирование по [а, £>] в силу свойств (15) приводит к
равенству
ь ь
J Р(х) <pm(x)f(x)t/x = ст j р(х) [<pm(x)]2 dx (т = 1, 2, ...),
а а
откуда и получаем формулы (17).
Докажем (12). Функция Jo (р*х) удовлетворяет уравнению
d2 1 d
= 0 (ft = I, 2, ...).
Умножая уравнение со значком ft на xJ0(|inx), а уравнение
с индексом п на xJ0(|iAx) и вычитая из одного другое, получим
Т 1 Ч
dx
,2
4т^о(Цпх)
dx
r , А d d т / \
+ ^о(Дпх)^^о(Ьх) - J0(ptx)—J0(Hnx) +
+ (И*2 - = °-
Легко проверить, что это уравнение можно представить в
виде
d
dx
d т . . d d ч1|
-J-Ix “ 'МЬх)-7-'Мнл*) r +
ax ax ax
+ GV - = °-
Интегрируя это равенство по х в пределах от 0 до 1, по-
лучим
1
(Ц/ - Р„2) Jx J0(p4x)J0(p„x)dx = 0 (ft * n),
о
так как интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу
того, что Jo (|1й) = Jo (Ц„) = 0.
§ 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго по-
рядка
388
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
d
dx
, dy
Pto~
dx
+ [Хр(х) - <7(х)]у(х) = О,
(1)
где р(х) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [О, Z]
функция, а р(х) и q(x) - непрерывные на этом отрезке
функции. При этом р(х) > О, р(х) > О, §(х) > О на [О, Z] и
X- постоянное число.
Поставим задачу (Штурма-Лиувилля). Требуется най-
ти все числа X (собственные значения), для которых су-
ществует нетривиальное дважды непрерывно дифференци-
руемое решение у(х) уравнения (1) (собственная функция),
удовлетворяющее граничным условиям
аУ(О) + рУ'(О) = О,1
W(O + 5y'(Z) = O, J ()
где а, Р, у, 5 - постоянные числа.
Можно доказать, что:
1) Существует счетное множество собственных значе-
ний задачи
\ < Х2 < Х3 < ... (\ -> о°),
которым соответствуют собственные функции
У, (х), у2 (х), у3 (х), ....
2) При д(х) > О все собственные значения Хп положи-
тельны.
3) Собственные функции на отрезке [О, Z] образуют
ортогональную и нормированную систему с весом р(х):
I Jo, mtn,
J p(x)ym(x)yn(x)dx =1^ т = п
о
4) Теорема Стеклова. Всякая функция /(х), удов-
летворяющая краевым условиям (2) и имеющая непре-
рывную первую производную и кусочно-непрерывную вто-
рую производную, разлагается в абсолютно и равномерно
сходящийся ряд по собственным функциям уп(х)
оо 1
/(х) = X cn = J Р(х> yn(.x)f(x)dx.
п=1 0
Задача 1. Решить уравнение свободных колебаний
струны при наличии сопротивления среды
§ 5.10. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
389
Э2И ди д2и
л + 2т^~~ = а2—q"
Э#2 dt Эх
при начальных и краевых условиях
Эи(х,0)
и(х, О) = /(х), —--- = F(x), u(0, t) = u(n, t) = 0.
dt
При решении предполагать, что коэффициент трения
т мал (т < а).
Ответ.
u(x, t) = е mt /1 (akcosqkt + bksinqkt)sinkx,
k=i
где
= ^(ka)2 -m2 ,
2 Л 2
a. = — I /(x) sin/sxrfx, b. = ----- F(x) sinkxdx + ------— .
% **
Задача 2. Решить уравнение
Эи Э2и
-т— = а2—=-
Эг Эх2
при условиях
Эи(О, t)
——— = О, u(n, t) = и0, и(х, О) = <р(х).
Ответ.
V1 -a2Xlt
u(x, t) = Uo + / cosX^x,
k=l
где
, 2k+1 2 f , . , , 2u0
Ab = —г-— , cb = — <p(x) cosA. xdx - ——.
* 2 * n J * л%А
о B
Указание. Решение искать в виде и = и0 + v(x, #),
где v(x, t) - неизвестная функция.
Задача 3. Доказать свойство 3) ортогональности соб-
ственных функций задачи Штурма-Лиувилля (1) на [0, t],
удовлетворяющих граничным условиям (2).
390 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Указание. Необходимо следовать схеме доказатель-
ства ортогональности функций Бесселя (см. § 5.9).
Задача 4. Привести уравнение (Чебышева)
(1 - х2)у" - ху' + п2у = О (3)
к виду (1) на [-1, 1].
Указание. Умножить левую и правую части уравне-
ния (3) на р(х) > 0 и найти функцию р(х) из условия
-хр(х) = [(1 - х2)р(х)]'. (р(х) = 1/J1-X2 ).
Задача 5. Найти весовую функцию р(х) для уравне-
ния (Чебышева-Лагерра)
ху" + (1 - х)у' + пу = 0.
Ответ. р(х) = ехр(-х), 0 < х < °°.
§ 5.11. Интеграл энергии (Дирихле)
В пространстве х, у, z пусть задан достаточно гладкий
замкнутый контур Г', определенный в параметрической
форме уравнениями
х = <р(з), у = y(s), z = x(s) (0 < s < I). (1)
Проекцию Г* на плоскость (х, у)
х = <p(s), у = v(s) (2)
обозначим через Г. Будем считать, что Г' проектируется на
плоскость х, у взаимно однозначно, т. е. контур Г само-
непересекается и ограничивает некоторую область £2 плос-
кости х, у (рис. 127).
Рис. 127
Пусть на Г' натянута
мембрана, т. е. пленка, ра-
ботающая на растяжение,
но не на изгиб. Требуется
найти ее уравнение
z - и(х, у) ((х, у) е £2). (3)
Край мембраны закреп-
лен на Г', поэтому функция
и[х, у) удовлетворяет гра-
ничному условию
§5.11. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
391
н|г = х(») = и(ф(8), v(s)) (0 < s < Z). (4)
Можно доказать, что потенциальная энергия мембра-
ны, с точностью до множителя, характеризующего ее
физические свойства, выражается кратным (двойным)
интегралом
2
2
dxdy,
(5)
о
который называют интегралом Дирихле функции и (х, у).
Если при помощи внешних сил мембране придать дру-
гую форму
2 = р(х, у) ((х, у) 6 £2),
оставляя ее закрепленной в Г', то ее энергия будет равна
а сама она будет по-прежнему удовлетворять граничным
условиям
и|г = р1г = X(s) = ^9(8), y(s)] (0 < s < Z). (4')
В этом состоянии она будет еще больше напряжена,
поэтому £)[о] > О[п].
Следовательно, и(х, у) можно определить как такую
функцию, интеграл Дирихле которой обращается в мини-
мум среди интегралов энергии для всевозможных указан-
ных функций и:
Z)[u] = min Z>[p]_ (6)
Чг=Х(«)
Введем класс W функций и(х, у), непрерывных на £1 =
= £2 + Г, имеющих непрерывные частные производные на
£2 и удовлетворяющих граничным условиям таким же,
как и:
Ч- = u|r
Функций V, принадлежащих классу W, бесконечное
множество. Одна из них есть искомая функция и(х, у),
обращающая 72[п] в минимум среди всех v g W:
D[u]= min D[v], (7)
veW
Отметим, что если каждый функции f из некоторого
класса функций E(f е Е) в силу некоторого закона при-
ведено в соответствие число F(f), то говорят, что F(f) есть
функционал, определенный на классе функций Е.
392 ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Интеграл Дирихле D[v] является примером функцио-
нала, определенного на классе функций W.
Для функционалов, так же как для обычных функций,
можно рассматривать теорию экстремумов, называемую вари
ационным исчислением. Приращением или вариацией аргумен-
та функционала F(f) называется разность между двумя фун-
кциями из класса Е:
6/ = ~ /(*)
По аналогии с понятием дифференциала функции
Э
df = + аДх)1-о = ^<х + аДх)Дх1-о = f (х)Дх
(где а - произвольное действительное число) можно ввести
понятие вариации функционала
а
8F= 4-F(/(x) + «SnL-o-
оОС
Говорят, что функционал F(f) достигает минимума (мак
симума) на функции /0 (х), если F(f) > F(f0) (F(f) < F(f,)).
Имеет место утверждение: если функционал, имеющий вариа-
цию 8F, достигает минимума (максимума) на функции f = f„,
то
5Г(/0) = 0.
В самом деле, при фиксированных /0(х) и 8/ функционал
Л/о(х) + <х8/) = <р(а) является функцией только от одного пере-
менного а, которая при а = 0 достигает минимума (максиму-
э
ма), следовательно, <р'(0) = 0 или = 0, т. е.
5F(f0(x)) = 0. (8)
Таким образом, условие (8) есть необходимое условие экст-
ремума функционала.
Вернемся снова к интегралу Дирихле. Введем еще вспо-
могательный класс 9U(J функций w, непрерывных на £2,
имеющих непрерывные частные производные на £2 и рав-
ных нулю на Г:
w]r = 0.
Если функция v имеет вид
v = и + w (и> е 91^),
то, очевидно, она принадлежит к W. Обратно, всякую
функцию v & W можно записать в виде
и = и + (и — и) = и + w (w g. 9JQ,
потому что
§5.11. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
393
Иг = (о - м)1г = и1г “ “1г = Х(») - Х(») = °-
Поэтому равенство (7) можно еще записать в виде
jD[u] = min D[u + it]. (9)
u4r=O
Задача о нахождении минимума (9) называется вариа-
ционной задачей. Функции w е ЭЛ,, называют вариациями
(вариациями аргумента функционала jD[v]).
Для функции и достигается минимум интеграла Ди-
рихле в классе W: прибавление к и произвольной вариа-
ции w выводит интеграл Дирихле из минимума - он ста-
новится большим.
Зададим произвольную функцию w е ЭЛд. Если помно-
жить ее на какое-либо число X, то получим снова функ-
цию Xtr е ЭЛд, поэтому Р[и + Xtr] > D[u], VX. Но
D[u + Xir] =
Э(и + Xtr)
дх
д(и + Xtr) V
< J
dxdy =
ди . dw
—+ X——
dy dy
dxdy =
Я du dw du dw
t———h — —— dxdy +
[Эх дх дуду
= jD[u] + 2XZ>[u, u>] + X2Z)[ir],
где мы ввели обозначение
(10)
Я( ди dw ди dw ]
Так как и + Xtr е W, то имеет место неравенство
D[u + Xu>] > Л[и] для любых X, которое обращается в ра-
венство при X = 0. Поэтому функция D[u + Xir] от X обра-
щается в минимум при X = 0.
394
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Но тогда (см. (10); см. также
(8))
S /Я7 d
( / — D[u + Аы7]|х=0 = {2D[u, u>] +
~= 275[щ tv] = о,
_________________>. и мы доказали, что искомая фун-
0________________х кция и удовлетворяет уравнению
Рис. 128 D[u, it] = 0
или уравнению
Я ди dw ди dw
+ 5—5~~ dxdy^Q (11)
[Эх Эх ду ду j
для всех w е 91^. Уравнение (11) называют уравнением в
вариациях.
Чтобы вычислить интеграл
Я ди ди)
tetedxd!'’
£2
сперва произведем интегрирование по х при фиксирован-
ном у. Интегрируя по частям, имеем (рис. 128)
Г ди dw ди В ди ° Г д2и г д2и
+ d^Wc “ J^wdx-)-^wdx’
ar os
где есть сечение £1 прямой, состоящей из точек, имею-
щих ординату у. На рис. 128 состоит из двух отрезков
[А, В] и [С, Л]. Надо учесть, что функция w равна нулю в
точках А, В, С, D, лежащих на Г. Следовательно,
f Г ди dw ГГ Э2и
£2 £2
w dx dy.
Аналогично, интегрируя сначала по у, а затем по х
получим
Я ди dw г г д2и
adydydVdx = "Л dx dV‘
В таком случае из (11) следует, что
JJ wAudxdy = 0 (12)
£2
для всех w е ЭПр, где Д - оператор Лапласа. Но тогда
§ 5.12. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
395
Ди = 0 (V(x, у) е Q).
В самом деле, если допустить, что Ди Ф 0 хотя бы в одной
точке (х0, у0) е 42, то в силу непрерывности функции Ди суще-
ствует круговая окрестность 17(6) точки (х0, у0) радиуса 5, где
функция Ди сохраняет знак числа Ди(х0, у0), которое мы будем
считать положительным. Тогда, взяв в качестве функции w е
ЭПо функцию
. х [(*-*о)2 + (^-^о)2 ~б2]2> Iх’У) е
w(x, у) =
О, (х, у) е Q \ (7(8),
получаем, что
JJ w kudxdy = JJ w Ixudxdy > О,
П Щ8)
что противоречит (12).
Итак, мы доказали, что функция z = и(х, у), описыва-
ющая мембрану, удовлетворяет на Q уравнению Лапласа,
т. е. и — гармоническая функция на Q. Вопрос о нахож-
дении и(х, у) свелся к задаче Дирихле: требуется найти
гармоническую на 42 функцию и(х, у), непрерывную на О
и удовлетворяющую граничному условию (4).
Примечание. Мы считаем само собой разумеющим-
ся тот факт, что функция и имеет на 42 непрерывные про-
изводные второго порядка, чтобы было законно произво-
дить вычисления, приведенные выше.
На самом деле, это имеет место во всяком случае, если
функции <р, ф, % имеют непрерывные производные по
параметру S.
§ 5.12. Применение преобразований Фурье
Ниже даются примеры приложения преобразований
Фурье при решении задач математической физики. Но
сначала сделаем несколько общих замечаний.
Пусть функция f(x) имеет на луче [0, «=) вторую непре-
рывную производную и выполняются условия
lim f(x) = 0, lim f(x) = 0.
X—Х—>4-оо
Тогда
J f"(x) sinpxdx =
о
f\x) sin px|“ -
396
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- pj f'(x)cospxdx = - pj f{x) cospxdx =
о о
= - pf(x) cos px|0 - p2 J f(x) sinpxdx =
о
= pf(Q) - p2 J f(x) sinpxdx,
о
и мы доказали равенство
оо оо
J f" (x)sinpxdx = - р2 J f(x) sinpxdx.
о о
Аналогично
оо оо
J f" (x)cospxdx = f(x) cos px|o + p J f'{x) sinpxdx =
о о
= - ДО) + pj /'(x) sinpxdx =
о
(1)
= - ДО) + pf(x) sin px|“ - p2 J /(x) cospxdx =
о
= - Д0) - p2 J f(x) cospxdx,
о
т. e. имеет место равенство
J f" (x)cospxdx = ~f(0) - p2 J f(x) cospx dx. (2)
о о
Конечно, мы предполагаем, что входящие в равенства
(1) и (2) несобственные интегралы на [0, о°) существуют.
5.12.1. Уравнение теплопроводности. В каче-
стве примера применения синус-преобразования рассмот-
рим уравнение теплопроводности (см. § 5.5) для полубес-
конечного стержня:
§ 5.12. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
397
ди д2и
— = А2—(х > 0, t > 0) (3)
dt дх2
при граничном условии
и = и0 при х = 0, t > 0; (4)
и начальном условии
и = 0 при t = 0, х > 0. (5)
ди
Считаем, что и, -г— —> 0 при х —> +<=«. Это не противо-
dx
речит физическим соображениям. Поэтому мы находимся
в условиях возможности применения синус-преобразова-
ния.
Итак, пусть
ич = us(p, t) = J u(x, t) sinpxdx (6)
о
- синус-преобразование искомого решения поставленной
выше задачи.
Умножая уравнение
в пределах от 0 до
~йГ =
snipx и интегрируя по х
оо, получим (учитывая (4)-(6))
Л2 pJ^uo~P2us
\ • /
ич = 0 при t = 0.
(t > 0);
(7)
(8)
Таким образом, мы свели задачу к решению обыкно-
венного линейного дифференциального уравнения перво-
го порядка. Ограниченное решение уравнения (7), удов-
летворяющее условию (8), имеет вид
Щ = ^p'ujl - ехр(-р2Л2#)].
Формула обращения (см. (3) § 4.13) дает
и(х, t) = — и I [1 - ехр(-/>2й#)] smpx—. (9)
7С j Р
0 г
Как нам известно (см. нашу книгу «Высшая математи-
ка. Дифференциальное и интегральное исчисление»,
398
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Г . dp
§ 6.10), интеграл I sinpx— сходится и, более того (см.
J Р
о
ниже пример 2 § 6.14),
Поэтому
Г . dp г sin и , л
I sm пх-£-= |----du = — .
J р J и 2
о о
2 Г , 2. х • dp
— ехр(-р kt) sm рх —
71 J р
0
(И)
Полезно проверить, что функция (11) действительно
удовлетворяет нашему уравнению. При проверке необхо-
димо обосновать законность дифференцирования по пара-
метру соответствующих несобственных интегралов.
При t = 0 интеграл в правой части (11) равен л/2, в
силу (10). Поэтому выполняется начальное условие (5).
При х = 0 этот интеграл равен нулю и и = и0, т. е.
выполняется граничное условие (4).
Интеграл в (11) при t > 0 сходится, потому что
sin рх
Р
dp < J exp (~p2kt)dp
J exp (~p2kf)
о о
Продифференцировав формально равенство (11) по пе-
ременной t, получим
ди 2k 7 „ dp
— = —J р2 exp(-p2kt) smpx— . (12)
dt л J p
о
Чтобы обосновать законность формального дифферен-
цирования при t > 0, надо задать произвольный отрезок
[a, fe] изменения t, где а > 0, и доказать, что интеграл (12)
равномерно сходится на этом отрезке при фиксированном
х > 0 (см. теорему 2 § 2.15).
Так как |sinpx| < рх, то при фиксированном х > 0 вы-
полняется неравенство
Г 2 7 2
J р exp(-p2Zrt)|sinpx| < xj р ехр(-p2ka)dp,
о о
§ 5.12. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 399
где интеграл в правой части сходящийся и не зависит от
t. Но тогда интеграл (12) равномерно сходится на [a, fe] и
формальное дифференцирование (11) законно, и формула
(12) действительно имеет место (см. § 2.15, с. 198).
Подобным образом обосновывается законность фор-
мального дифференцирования при получении частной
д2и
производной Т•
Эх
Аналогичным образом, используя комплексное преоб-
разование Фурье, можно решить задачу теплопроводности
для бесконечного в обе стороны стержня < х < °° (см.
§ 5.6, где решение задачи получено методом Фурье разде-
ления переменных).
5.12.2. Уравнение колебания неограничен-
ной струны. Как мы установили в § 5.7, уравнение
колебания струны имеет вид
Э2и Э2п
-у = (— < X < оо, t > 0). (13)
Эг Эх2
Будем решать уравнение (13) при начальных условиях
(t = 0, -<=° < х < оо), (14)
Мы предполагаем, что функция /(х) такова, что все
выкладки, которые будут производиться ниже, законны.
Пусть
и =
— = 0
dt
й = —^= [ u(x,t)e‘ri,dx
- комплексное преобразование Фурье (обратное) функции
и(х, #).
ди
Интегрируя по частям (в предположении, что и и
обращаются в нуль при х = ±°°), получаем
^ах = ~р2й- (15)
Умножая уравнение (13) на е'рх и используя начальные
условия (14), интегрируя по х в пределах от -<» до +«>,
400
ГЛ. 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
используя (15), получим вспомогательное уравнение
2 2Л
— = -алр*и (t > 0). (16)
dt
Начальные условия запишутся
^-0
dt
й = f(p) =
а = о).
(17)
Решая уравнение (16) (обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение второго порядка с постоянными коэффици-
ентами), получим
й - f(P) cosapt.
Формула обращения (см. (19) § 4.12) дает
и = -I— J е ipxf(p) cosapt dp =
1 7 eiapt+e~iapt
Д 2
J f(z) e,pzclzdp =
----7----- f Г £ 'Р<х-а0 4. e~tj>(x+al)l .
2V2n J
J f(z) e&dzdp =
1
= ^[/(x - «0 + f(x + a#)].
Таким образом, мы получили, что
U = - [/(X - at) + f(x + a0],
т. e. получили формулу Даламбера для данной задачи
(см. (11) § 5.8).
ГЛАВА 6
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 6.1. Понятие функции комплексного
переменного
Понятие комплексного числа было рассмотрено в на-
шей книге «Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление», глава 5. Там же были рассмот-
рены многочлены Qn(z) от комплексного переменного.
Многочлен является простейшим примером функции ком-
плексного переменного.
Комплексные числа мы условились изображать точками
плоскости, где задана прямоугольная система координат.
Дадим понятие функции от комплексного переменного.
Пусть даны две плоскости комплексных чисел z=x+iy
и w = и + iv (рис. 129). Рассмотрим некоторое множество
Рис. 129
402 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
точек D в плоскости z и множество G в плоскости ш. Если
каждому числу z e D по некоторому закону поставлено в
соответствие определенное комплексное число w g G, то
говорят, что на множестве D задана однозначная функция
комплексного переменного, отображающая множество D в
множество G. Символически это обозначают так:
w = f(z).
Множество D называют областью определения функ-
ции f(z). Если каждая точка множества G является значе-
нием функции, то говорят, что G - область значений этой
функции или образ множества D при помощи функции
/(G) = В этом случае говорят еще, что функция f
отображает D на G.
Функцию f(z) можно записать в виде
f{z) = iz(x, у) + iv(x, у) ((х, у) g D),
где
и(х, у) = Re/(z),
v(x, у) = Im/(z)
((х, у) g D),
— действительные функции от переменных х, у.
Если каждому z е D соответствует несколько разных
значений и>, то функция w = /(а) называется многозначной.
Понятия предела и непрерывности функции комплек-
сного переменного вводятся аналогично, как это делается
для функции действительного переменного, необходимо
лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль
комплексного числа.
Говорят, что функция
W = f(z) = u(x, у) + iv(x, у)
имеет предел в точке а(), равный числу А = а + ib, если
lim \f(z) - А| = 0. (1)
|z-zo|^O
В этом случае пишут
lim /(г) = А.
2>го
На языке функций и и v свойство (1) записывается в
виде равенства
lim J(u - а)2 + (и - Ь)2 = 0 (2)
|z-z0|—>0
или, что все равно, в виде двух равенств1
1 Определение предела функции or двух переменных см. в нашей
книге «Выешая математика. Дифференциальное и интегральное исчис-
ление!., § 8.3.
§6.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
403
lim «(х, у) = a, lim v(x, у) = b. (3)
(х,{/)-»(хо>Уо) (*,</)->(*<>-У<>)
Для комплексных функций f(z) и g(z) имеют место
свойства, аналогичные соответствующим свойствам дей-
ствительных функций:
lim [/(z) ± £(а)] = lim /(z) ± lim g(z),
2—>Z0 2 >2() z~*z0
lim [f(z)g(z)J - lim f(z) lim g(z),
2 —>20 Z~>Z()
lim f(z)
lim ------ (lim g(z) * 0).
g(z) lim g(z) z- >z<,
2->zo
(4)
Как обычно, формулы (4) надо понимать в том смысле,
что если пределы, стоящие в их правых частях, существу-
ют, то существуют также пределы, стоящие в их левых
частях, и выполняется соответствующее равенство.
Функция w = f(z) = и(х, у) + iv(x, у) называется непре
рывной в точке г0, если для нее выполняется свойство
lim Да) = /(а0), (Да + Да) - /(а0) -> 0, Az -> 0. (5)
2—
Таким образом, непрерывная в точке z0 функция дол-
жна быть определена в окрестности этой точки, в том
числе и в ней самой и должно выполняться равенство (5).
Равенство (5) эквивалентно двум равенствам:
lim и(х, у) = и(х у), lim v(x, у) = v(x , у).
(х,у^(х0,у0) (х.У)->(*о,Ро)
Следовательно, непрерывность f в точке а0 эквивален-
тна непрерывности функций и и v в точке (х0, у0).
Из свойств (4) следует, что сумма, разность, произведе-
ние и частное непрерывных в точке а0 комплексных фун-
кций /(а) и g(z) есть непрерывная функция в этой точке.
В случае частного надо в этой формулировке считать, что
g(z0) * 0.
Пример 1. Функция w = |z| = ^х2 + у2 задана на
всей комплексной плоскости. Ее значения - неотрица-
тельные числа. Эта функция непрерывна во всех точках
комплексной плоскости:
404 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
||г + Дг| - |г|1 < |Дг| -> 0 (Дг -» 0).
Пример 2.
w = argz = argz + 2kit (k = 0, ±1, ...). (6)
Эта функция многозначная (бесконечнозначная); ф =
= argz - главное значение аргумента (0 < ф < 2л).
Пример 3. Функция w = г. Она непрерывна:
\z + Дг - г\ = |Дг| -> 0 (Дг -> 0).
Но тогда и функция гя (п =
=2, 3, ...) непрерывна как про-
изведение конечного числа не-
прерывных функций.
Множество комплексных
чисел D будем называть облас-
тью, если D, как множество
точек плоскости, открыто и
связно.
Область D называется одно-
связной, если любая непрерыв-
ная замкнутая самонепересека-
ющаяся кривая, проведенная в
Рис. 130 £>, ограничивает некоторую об-
ласть G, целиком принадлежа-
щую D. Область, не обладающую этим свойством, будем
называть многосвязной.
Пример 4. Кольцо г < |z| < R - многосвязная (дву-
связная) область. Кривая L (рис. 130) принадлежит коль-
цу, но ограничивает область, не входящую целиком в него.
§ 6.2. Производная функция комплексного
переменного
Пусть задана однозначная функция w = f(z) на области
D (открытом связном множестве) комплексной плоскости г.
Производной от функции f(z) в точке г называется
предел
Дм> /(г + Дг)-/(г) dw
hm -----= lim ---------------- = f(z) = -----
дг->о Дг Аг ->о Дг dz
(1)
когда Дг любым образом стремится к нулю.
Далеко не всякая функция комплексного переменного
имеет производную. Существование предела (1) — очень
§ 6.2. ПРОИЗВОДНАЯ
405
сильное требование: при подходе z + Az к г по любому
пути каждый раз должен существовать указанный в (1)
предел.
Функцию /(з), имеющую непрерывную производную в
любой точке области D комплексной плоскости, называ-
ют аналитической функцией на этой области.
Можно доказать, что если производная аналитичес
кой функции f(z) не равна нулю на области D, то мно-
жество значений G функции f(z) также есть область.
Мы будем пользоваться этим свойством.
Дадим геометрическое представление производной f(z),
когда она не равна нулю. Кроме плоскости г, введем еще
другую плоскость точек и>. Опишем из точки z открытый
круг о радиуса 8 > 0 с центром в ней рис. 131).
Произвольная точка о имеет вид z + Аз, где Аз - про-
извольное комплексное число с модулем, меньшим 8:
|Дз| < 8. Запишем Аз в показательной форме
Аз = ре® (р > 0). (2)
При помощи функции w = /(з) круг о перейдет в неко-
торую область o' плоскости w. Область <У состоит из точек
w + Аш, где приращения Ло> соответствуют всевозможным
указанным приращениям Аз (|Дз| < 8) (см. рис. 131).
Из (1) следует равенство
Аш
—— = f(z) + а(Дз), где а(Дз) -» 0.
ДЗ Аг—>0
Умножая левую и правую части последнего равенства
на Аз, получаем
Ata = f(z)kz + Аз • а(Аз). (3)
Произведение Аз • а(Аз) стремится к нулю при Аз 0
быстрее чем Аз. Поэтому, если f(z) Ф 0, то первый член
406 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
правой части (3) является главным. Приближенно, с точ-
ностью до бесконечно малых высшего порядка (по сравне-
нию с Az), при достаточно малых Az можно написать
Ata ~ f'(z)6z.
Число f(z) запишем в показательной форме
f(z) = re"f (г > 0). (4)
Поэтому, учитывая (2), получим
Ди? = (|Az|) = р < 5).
Мы видим, что модуль |Ди?|, с точностью до бесконечно
малой высшего порядка, в г = |Дг)| раз больше модуля
|Az|:
|Ди>| ~ гр = r|Az|,
а аргумент Au? (тоже с точностью до бесконечно малой
высшего порядка) получается из аргумента Az прибавле-
нием к нему числа ф (рис. 132):
Arg(Au?) ~ Arg(Az) + ф.
Таким образом, для того чтобы представить себе, куда
перешли точки z + Az с |Az|< 5 при помощи функции w =
= /(z) надо 1) повернуть круг с на угол ф = arg/'(z) и
2) растянуть его в г = |/'(z)l раз. Каждая точка z + Az,
|Az| < 5, при помощи этих двух операций перейдет в неко-
торую точку, которую надо еще сдвинуть на величину
Az - a(Az) - бесконечно малую высшего порядка чем Az.
Пусть Г, и Г2 — гладкие кривые, выходящие из точки
z. Касательные к ним образуют с осью х углы соответ-
ственно 0р 02 (отсчитываемые от оси х против часовой
стрелки). Образы этих кривых Пх, Г'2 на плоскости w (рис.
133) при помощи функции w = /(z) имеют касательные в
точке w, образующие с осью абсцисс соответственно углы
0'р 0'2 (которые отсчитываются
v‘ ‘ -------тоже против часовой стрелки).
f w*hw X При этом (в силу свойства 1))
\ б' \ = 0] + ф, 0'2 = 02 + ф,
I I откуда следует свойство
\ ----- / 0'2 - 0\ = 02 - 0Р
\ j выражающее, как говорят, что
данное отображение сохраняет
углы и притом с сохранением
направления отсчета (если 0„ >
Рис. 132 > т0 0^ > Q' j
§ 6.2. ПРОИЗВОДНАЯ
407
Кроме того, как мы видели выше, данное отображение
осуществляет в каждой точке г, где f(z) * 0, растяжение,
не зависящее от направления.
Отображение, обладающее (с точностью до бесконечно
малых высшего порядка) свойством сохранения углов (с
сохранением направления отсчета) и свойством постоян-
ства растяжений, называется конформным отображением.
Из вышеизложенного следует, что отображение с помо-
щью аналитической функции w = f(z) является конформ-
ным во всех точках, где f(z) * 0.
Замечание 1. Если функция f(z) комплексной пере-
менной z имеет всюду на области D производную f'(z), то
автоматически эта производная непрерывна всюду на D,
т. е. f(z) аналитическая на D. Этим утверждением мы
будем пользоваться, хотя доказывать его не будем.
Замечание 2. Из равенства (3) следует, что если фун-
кция f(z) имеет производную в точке г, то она непрерывна
в этой точке (т. е. Да? —> 0 при Да —> 0).
Производная от функции f(z) порядка k обозначается
через ?*\г) и определяется по индукции
(Р "(г))' = ^>(г) (Л = 1, 2, ...; f"»(z) = /(z)).
Зная, что у аналитической на области D функции f(z)
производная непрерывна на D, нам будет в дальнейшем
нетрудно заключить, что /(z) имеет на D непрерывные
производные любого порядка
f(z), f\z), f"'(z), ... .
Употребляют еще такую терминологию: функция f(z)
называется аналитической в точке г0, если она аналити-
408 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ческая на некоторой окрестности этой точки. Наконец,
говорят, что функция f(z) аналитическая на замыкании D
области D, если существует область G, содержащая в себе
D (G ю D), на которой f(z) аналитическая.
Приведем основные свойства производных функций
комплексного переменного, аналогичные соответствующим
свойствам производных для функций действительного
переменного, которые и доказываются аналогично:
[u(z) ± o(z)]' = u'(z) ± v'(z), (5)
[u(z)v(z)]' = u(z)v'(z) + u'(z)o(z), (6)
“(г) u(z) u'(z)v(z) - u(z)v'(z) o2(z) (^)*0), (7)
(8)
div _ div dv
dz dv dz ’
Формулу (8) надо понимать так: если iv есть функция
w — ф(о) комплексного переменного о, имеющая производ-
div
ную = ф (i>), a v = \|/(z) - функция от комплексной
dv
переменной г, имеющая производную — = \|/(z), то про-
ста
изводная сложной функции
iv = F(z) = ф[ \|/(2)]
вычисляется по формуле (8).
Ниже мы приводим некоторые элементарные функции
комплексного переменного.
Степенная функция
w = Z",
п — целое.
Эта функция имеет производную, вычисляемую по
формуле
(z")' = nz"*1 (п = ..., -2, -1, О, 1, ...).
При п > 0 ее удобно вычислить как предел
.. (z + Az)"—z"
lim ----—— = nz" l,
Дг—>0 Az
применяя формулу бинома Ньютона.
При п < 0 теперь можно воспользоваться формулой (7).
§ 6.2. ПРОИЗВОДНАЯ
409
Функция zn при п > 0 аналитическая на всей плоско-
сти z, а при п < 0 на всей плоскости с выколотой из нее
точкой z = 0.
е
Функции е2, sinz, cosz, tgz.
Первые три из этих функций определены в нашей книге
«Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление», § 9.13, как суммы степенных рядов:
Z Z
---1---h ...,
1! 2!
-3 „5
Z Z
ЗТ+5? ”
2! + 4!
Радиус сходимости каждого из этих рядов равен <*>.
Поэтому производные от этих функций могут быть полу-
чены для любого z почленным дифференцированием соот-
ветствующих рядов:
sinz = г -
cosz = 1 -
е2.
= COSZ,
= -sinz.
„ ,2
. z Z
(<И=1+ 1! + 2!
z2 z4
(sinz) = 1 +
z3 z5
(cosz)' = - z+ — - —
Формулы для тригонометрических функций суммы
комплексных аргументов остаются такими же, как и в
случае действительного переменного.
Функция tgz определяется по формуле
sin z
tgz = -----------------------.
cosz
Ее производная равна
cos2 z + sin2 z 1
(tgZ) = ----------5----- = --2~ (COSZ * °)’
COS z COS z
что следует из формулы (7).
Функция аг (а > 0) может быть определена по формуле
а2 = е-,па = exp(zlna).
410 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Ее производная вычисляется на основании формулы
(8) о производной сложной функции:
(а2)' = (е21по)' = е2,по1гш = а21па.
Гиперболические функции shz, chz, th z определяются
формулами
, е-е , е + е , shz
shz = -------, chz = --------, thz = ——.
2 2 chz
Отсюда следует, что
Jz ~iz
€ — €
shiz = -------- = isinz, chiz = cosz. (9)
2
Заменяя в (9) z на iz, получаем
cosiz = chz, siniz = ishz. (10)
Отметим еще легко проверяемую формулу
ch2z - sh2z = 1.
Формулы сложения для гиперболических функций
легко получить из (9) и (10) соответствующих формул для
тригонометрических функций от комплексного перемен-
ного. Например:
ch(zt + z2) = cosi^ + z2)_=
= cosiz.cosiz, — siniz.siniz, = chz.chz, +
£ Z J. 6 L Z.
+ shzjshz2.
Производные от этих функций вычисляются на осно-
вании формул (5), (7), (8):
(shz)' =
= chz,
(chz)' = shz,
, ch2z — sh2z 1
(thz) = --—T----- = —— (chz Ф 0).
ch z chz
Пример. Выделить действительную и мнимую части у
функции w = cosz и найти нули этой функции.
Пусть z = х + iy, w = и(х, у) + iv(x, у). Имеем
cosz=cos(x + ij/)=cosxcosj/i - sinxsinij/ = cosxchj/ — isinx shj/.
Таким образом, u(x, у) cosxchj/, v(x, y) = -sinxshj/.
Чтобы найти нули функции cosz, мы должны прирав-
нять нулю ее действительную и мнимую части:
§6.3. УСЛОВИЯ ДАЛАМБЕРА-ЭЙЛЕРА
411
cosxchi/ = 0,1
sin xshi/ = 0.J
Решим эту систему. Так как chi/ Ф 0 для любого дей-
ствительного у, то из первого уравнения получаем cosx = 0.
Из второго уравнения при у Ф 0 получаем, что sinx = 0.
При действительных х косинус и синус не обращаются
одновременно в нуль, поэтому при у Ф 0 система решений
не имеет. Если же у = 0, то shi/ = 0 и второе уравнение
удовлетворяется при любых х. Таким образом, нули фун-
кции cosz расположены на действительной оси х и совпа-
дают с нулями cosx.
Замечание 3. Из этого утверждения следует, что нули
функции chz совпадают с нулями функции cosj/, где
у = Imz.
Замечание 4. Отметим еще § 6.15, посвященный ли-
нейной и дробно-линейной функциям; его можно читать
и непосредственно после настоящего § 6.2.
§ 6.3. Условия Даламбера—Эйлера
(Коши—Римана)
Рассмотрим комплексную функцию
w = f(z) = u(x, у) + iv(x, у) (z е D),
определенную на области D комплексной плоскости. Пусть
она имеет производную в точке z е D
Aw
f(2) = lim—, (1)
дз->о Дг
Aw = [u(x + Ах, у + At/) - u(x, г/)] +
+ i[i?(x + Дх, у + Ai/) - t?(x, i/)].
Таким образом, при любом способе стремления Az =
= Дх + 1Лу к нулю должен существовать предел (1), рав-
ный одному и тому же комплексному числу f\z). В част-
ности, это должно иметь место, если а) Дг = Дх + i0 = Дх
и Дх —> 0 или, если б) Дг = 0 + iAj/ = iAj/ и Д(/ -) 0.
В первом случае (см. § 6.1, (3))
Aw г Ги(х + Ах, у) - iz(x, у)
lim ---= пт --------------------+
Az—>о Дг Дх
1?(Х + Дх, у) — и(х, у)
Лх
412 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
и(х + Дх, у) - и(х, у) v(x + Дх, у) - и(х, у)
lim ------------------- + i lim -------------------
Дх—>0 Дх Дх—>0 Дх
Эи . Эи
Эх + * Эх '
Во втором случае
и(х, у + txy) - и(х, у)
Am
f(z) = lim-------
Дз—»о Да
= lim
Ду->0
i^y
и(х, у + Ду) - и(х, у)
&У
. ц и(х, у + Ду) - и(х, у)
1 &</-»о Ду
lim v(x, у + Ду) - и(х, у)
Д»->0 Ду
Эи Эи
1 Эу + ду ‘
Но тогда должны выполняться равенства
ди ди ди Эи
Эх Эу ’ Эу Эх ’
которые обычно называют условиями Коши—Римана. Не-
которое время думали, что именно Коши и Риман впер-
вые получили эти условия. Теперь выяснилось, что они
были известны еще Эйлеру и Даламберу.
Итак, нами доказана
Теорема 1. Если функция
f(z) = u(x, у) + iu(x, у)
имеет производную в точке z = х + iy, то ее действи-
тельные компоненты и и и имеют в точке (х, у) частные
производные первого порядка, удовлетворяющие условию
Коши-Римана.
Теорему 1 можно обратить, правда при добавочном
предположении, что частные производные от и и и непре-
рывны.
Теорема 2. Если функции и(х, у) и и(х, у) имеют в
точке (х, у) непрерывные частные производные, удовлет-
воряющие условиям Коши—Римана, то функция комплек-
сной переменной f(z) = и 4- iv имеет в точке z = х + iy
производную.
§ 6.3. УСЛОВИЯ ДАЛАМБЕРА-ЭЙЛЕРА
413
Доказательство. Пусть функции и и v имеют не-
прерывные частные производные в точке (х, у). Тогда они
дифференцируемы в этой точке, т. е. их приращения, со-
ответствующие приращениям Дх, Ду, могут быть записа-
ны в виде
Ди = и(х + Дх, у + Ду) - и(х, у) =
Эи ди
= э7Лх + ду Aj/ + °i(p) (Р 0)’
Ди = и(х + Дх, у + Ду) - и(х, у) =
dv ди
= + о2(р) (р °)>
где р = |Дз| = ^Дх2 + Ду2 , оДр) и о2(р) (р -> 0) - бесконечно
малые функции высшего порядка малости чем р, т. е.
г °/(Р)
~— = 0 (j = 1, 2). Поэтому, учитывая, что оДр) +
+ io2(p) = о(р) (р —> 0), имеем (в силу (2))
Ди) Ди + 1Ди
Ля Дх + iAy
ди , Эи , . dv , dv , |
— Дх + —- Ду +1 — Дх + —- Ду
Эх Эу ^Эх Эу J
Ах + 1Ау
ди ... dv i , .. ч
Хр) _ + (-&!,+.А») + 0(р)
Az Дх + iAy р Az
du dv
= — + i — + o(l),
Эх Эх n
потому что
нечно малую функцию
= 1. Символ о(1) означает беско-
р—>0
при р 0. Таким образом,
Aw
lim ---- =
Дг—>0 Az
du . dv
дх + * Эх
т. e. функция f имеет в точке г производную, равную
Эи Эи
Лг|^+г^- <3>
Используя условия (2), можно получить и другие фор-
мы для выражения производной f(z). Теорема доказана.
414 гл. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Если учесть, что существование производной /'(г) на
области D автоматически влечет за собой ее непрерыв-
ность на D, то из теорем 1 и 2 вытекает следующая
Теорема 3. Для того чтобы функция
Дг) = и(х, у) + iv(x, у)
была аналитической на области D плоскости г, необхо-
димо и достаточно, чтобы частные производные первого
порядка функций и и и были непрерывны на D и выпол
нялись условия Коши-Римана
ди до ди ди
дх ду ’ ду дх ’ G
Функции и и v называют сопряженными друг к другу
на D.
Пример 1. Функции |г| = -^х2 + у2 , Вег = х, 1тг = у
не являются аналитическими на плоскости г. Ведь каж-
дая из них может быть записана в виде /(г) = и + tv, где
u/Ои у = 0- действительные функции, очевидно, не
удовлетворяющие условиям Коши - Римана.
Пример 2. Проверить выполнение условий Коши-Ри-
мана для действительной и мнимой частей функции
W = cosz.
В примере 1 § 6.2 мы показали, что
и(х, у) = cosxchj/, и(х, у) = -sinxshy.
Отсюда
ди ди
— = -sinxchj/, = cosxshj/,
ди Эи
— = -cosxshj/, = -sinxchj/.
Таким образом,
ди dv ди dv
дх ~ ду’ ду дх
т. е. условия Коши-Римана выполнены.
Так как частные производные первого порядка от фун-
кций и и о непрерывны для любых точек (х, у), то фун-
кция w = cosz аналитична на всей комплексной плоско-
сти.
§ 6.4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
415
Задача. Записать функции ег, sinz, shz, chz, z" (n -
натуральное) в виде
Да) = и + iv,
где и = Re/(z), и = Im/(z), и убедиться в том, что они
удовлетворяют условиям Коши - Римана.
Замечание. Если функцию Да) представить в виде
Ди) = R(x, у) ехр(гФ(х, у)),
где jR - модуль, а Ф - аргумент функции Да), то условия
Коши - Римана имеют вид
dR ЭФ dR ЭФ
Эх ду ду Эх
§ 6.4. Гармонические функции
Пусть на области D плоскости z задана аналитическая
функция /(z) = u(x, у) + ic(x, у). Тогда, как это уже было
отмечено в § 6.2, функция Да) имеет на D непрерывные
производные любого порядка. Но тогда функции и и v
имеют на D непрерывные частные производные любого
порядка, а первые производные удовлетворяют условиям
Коши - Римана
Эи Эи ди dv
дх ду ’ ду Эх ’
из которых следует
Э2и Э2п дги Э2и
Эх2 дхду ’ Эр2 дхду ’
Складывая эти равенства, получаем
Левую часть уравнения (2) обозначают символом
Э2и Э2и
Ди = —+ д 2 •
Эх2 ду
Уравнение
Ди = О (3)
э2 Э2
называют уравнением Лапласа. Символ Д = —_ 2
Эх2 ду
называют оператором Лапласа.
416 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Функцию и, имеющую непрерывные частные производ-
ные второго порядка на D и удовлетворяющую уравнению
Лапласа (3), называют гармонической на D.
Итак, мы установили, что действительная часть ана-
литической на D функции является гармонической фун-
кцией на D.
Если первое равенство в (1) продифференцировать по у,
а второе — по х и вычесть второе равенство из первого, то
будем иметь
До = О,
т. е. и мнимая часть аналитической функции является
гармонической функцией.
Однако функция f(z) = и + iv, где и и v - произвольные
гармонические на D функции, не всегда является анали-
тической на D. Она будет аналитической, только если
функции и и v удовлетворяют на D условиям Коши-Ри-
мана
Покажем, что если D есть односвязная область, то для
всякой гармонической на D функции и(х, у) существует един-
ственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряжен-
ная к и на D функция о такая, что
f{z) = и(х, у) + iv(x, у)
аналитическая на D.
Пусть задана на D гармоническая функция и(х, у). Поло-
жим
Эы ди
Так как и имеет на D непрерывные частные производные
второго порядка, удовлетворяющие уравнению Лапласа, то
ЗР д2и _ д2и dQ
ду ~ ду2 “ дх2 ~ дх '
Из полученного равенства
дР dQ
— на D
ду дх
и односвязности D следует (см. § 3.4), что криволинейный
интеграл
(х.у) (х,у) , х
Г Г ( ди du I
J (Pdx + Qdy) = J \--tydx+-^dy 1= t>(x, у) (4)
(xoȣ/o)
§ 6.4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
417
вдоль любого кусочно-гладкого пути L с D, соединяющего
точки (х0, у0) и (х, у), зависит от этих точек, но не зависит от
формы пути. При этом v есть функция, потенциальная для
вектора (Р, Q) на D, т. е.
dv ди ди ди
у- = р = -Х-. у = Q = ч-- (5)
дх ду ду дх
Это показывает, что и имеет непрерывнее частные произ-
водные на D, удовлетворяющие вместе с и условиям Коши-
Римана. Но тогда и и v - сопряженные друг к другу функции.
Если - другая функция, сопряженная к и на D, то
dt?! _ ди ди
дх ду ' ду дх
Из (5) и (6) следует:
-р) Э(Р!-Р)
------------------ = 0, --------— = 0 на £>.
Эх-------------------ду
Но тогда - v = С на D, где С - постоянная. Утверждение
доказано.
Пример 1. Функция и = х2 - у2 удовлетворяет, оче-
видно, уравнению Ди = 0. Найти аналитическую функ-
цию /(г), у которой Ref(z) = и.
Мнимую часть этой функции ищем по формуле (4)
(рис. 134):
(*,</)
v = J (2ydx + 2xdj/) =
(0,0)
х у
= J(2 -0 + 2x-0)dx + J(2j/-0 + 2x)dy =
0 0
14. Бугров Я. С.
У
= J 2 xdy = 2xj/ + C.
о
Тогда функция f(z) = (x2 - j/2) +
+ Ц2ху + C) = z2 + iC аналитическая
во всей комплексной плоскости.
Пример 2. Функция w = z =
= х + iy аналитическая на плоско-
сти z. Следовательно, функции и=х,
v~y гармонические и удовлетвори-
418 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ют условиям Коши - Римана на плоскости z. Это можно
проверить непосредственно.
Пример 3. Функции и = х, v = -у гармонические, но
условия Коши—Римана для них не выполнены, поэтому
функция /(z) = х + Ц-у) = z не является аналитической.
Убедимся в этом непосредственно: w = z = х ~ iy,
7-----\ - Т~ Ды; Az
Ди? = (г + Дг)- 2 = г + Дг-г = Да, — = — =
' ' Az Az
Ax + iAy
Ax + iAy ’
Выбираем два пути подхода точки z + Sz к точке z, а
именно, a) Az = 0, Ау 0; б) Ах 0, Ау = 0. Тогда:
Aw
в случае а) ——
Аг
Aw
в случае б) ——
Az
-iAy Aw
— = -1, т. е.
iAy Az
Aw
Таким образом, предела при Да —> 0 не существует
и функция w = z не имеет производной в любой точке
плоскости.
Замечание. В полярных координатах х = pcosO, у = psinO
гармоническая функция и(х, у) перейдет в некоторую новую
функцию относительно координат р и 0
u(pcos0, psin0) = <о(р, 6)-
Легко видеть, что
со' = и cos0 + и' sin0,
р 1 и '
С0р2 = u"2 cos20 + 2u"rjlcos0sin0 + u"2 sin20,
<o'e = u'xpsin0 + u'ypcos0,
cog2 = u^2 p2sin20 - 2u"xjip2sin0cos0 +
+ uj<2 p2cos20 - pu'xcos6 - pu'ssin0.
Отсюда
«"г + —<£>' + = и"г + u'y^ = Au = 0.
P p
В связи с этим равенством пишут
§ 6.5. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
419
д а2 1 а 1 а2
Д =-----Н-------1------
аР2 р аР р2 ае2
и правую часть этого символического равенства называют
оператором Лапласа в полярных координатах. Мы доказали,
что
Д<о(р, 0) = О
' З2 1 э2'
, ар2 + р ар + р2 эе2 ,
§ 6.5. Обратная функция
Пусть задана аналитическая функция
w = f(z) (a е D), (1)
отображающая область D плоскости а на область G плос-
кости w взаимно однозначно (или одно-одпозначно). Это
значит, что каждому a е D соответствует при помощи
функции (1) одно значение w е G и при этом каждое w е G
в силу этого закона соответствует только одному значе-
нию z е D. Этим определена на G однозначная функция
z = <p(u,) (w е G), (2)
обладающая тем свойством, что
/Тф(и')1 = w (w е G).
Имеет место, очевидно, и другое равенство
<p[f(z)l = z (z е D).
Функция а = ф(и,) называются обратной функцией к
функции w = f(z) (z е D).
Покажем, что если
f(z) Ф 0 (a е D),
то функция z = <р(а>) есть аналитическая функция на G.
В самом деле, пусть точки w, w + Ди, е G. Этим точкам
соответствуют при помощи обратной функции точки а,
а + Да. Так как по условию функция f имеет производную
в точке а, то она непрерывна в этой точке: Ди, 0, если
Да —> 0. В силу указанной взаимной однозначности верно
и обратное, как это можно доказать, но мы доказатель-
ство опускаем, Да 0, если Ди, —> 0. Но тогда
Да ,. 1 1
^„л,;" № Пг) №>*о).
Да
420 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Это показывает, что производная от обратной функции
z = <р(и)) существует в точке w и равна
Ф'М = (w е G). (3)
Так как w - производная точка G, то функция <p(ic)
аналитическая на G.
Пример. Функция1
w = az + Ь
при а Ф 0 отображает всю плоскость z на всю плоскость
w взаимно однозначно. При этом обратная функция имеет
вид
и> —Ь
z = -----.
а
Непосредственно видно, что обе эти функции анали-
1
тичны соответственно на плоскостях z и w (w = a, z — —).
а
Функция tfz = z1/n (п - натуральное). Плоскость R
точек z разрежем на п секторов лучами
2л
е = = — k (k = о, i,..., n-i),
выходящими из нулевой точки (см. рис. 135, где п = 3).
Пусть Dk есть сектор
6* < 6 < е*+1 (р > о), (4)
точнее, множество точек z — ре16, р > 0, имеющих аргумент
6 = argz, удовлетворяющий неравенствам (4). Очевидно, Dk
есть область. Обозначим также через D\ множество, полу-
чаемое добавлением к Dk луча 0=0* (вместе с нулевой
точкой). Точки jD\ можно записать в виде
z = ре» (0* < 6 < 0М1, р > 0).
Положим еще
6 = еА + v (G, < е < 0*+1).
Если 0 < х|/ < 0j = 2л/н, то 0* < 0 < 0*н и обратно.
Функция w = Z" отображает D\ взаимно однозначно и
непрерывно на всю плоскость
1 Подробнее об этой функции см § 6.15.
§ 6.5. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
421
w = re'4 (0 < tp < 2л),
которую обозначим через R'.
В самом деле,
. (2п . )
ml —й+ф
re'4 = р"е"'в = р"е ' "* ' = p"e",'fj
поэтому
2п
г = рл, <р = «гр (0 < 1|/ < 0 = —),
п
откуда
р = ri/n = «/7, у = (р/п>
где у/r есть арифметическое значение корня n-й степени
из г, т. е. неотрицательное число, п-я степень которого
равна г. Из сказанного следует, что функция w = zn на
множестве D*k имеет обратную функцию
,ф+2Лтг
z = (z)A = рр'8 = г1/п е п
(k = 0, 1, ..., п-1; w е R'). (5)
Вообще же функция w = zn имеет обратную п-значную
функцию
имеющую п непрерывных ветвей (5), соответствующих
числам k = 0, 1, ..., п-1. Ветви (5), определяемые числами
k = 0, 1, п-1, отображают R' соответственно на D‘o,
D\, D\
Чтобы вычислить производную от А-й ветви, нам при-
дется рассмотреть область Dk с D\. Обозначим через R\
пространство R' без луча <р = 0.
Аналитическая функция w = zn отображает взаимно
однозначно Dk на R! v При этом соответствующая обрат-
ная функция определяется по формулам (5). В силу (3)
производная от нее равна (z 6 РА)
_(p+2for { .
lr^ne п 1 -ir-Uv+M 1 kj
-----7—7TV = — rn ’ = —wn
п re‘(^2kK) п «
422 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Рассматривая области Dk вместо множеств D*k, мы ис-
ключаем из рассмотрения лучи 0 = 0А плоскости R. Если бы
нас интересовало поведение функции z" в окрестности этих
лучей, то следовало бы плоскость R разрезать лучами
0 = 0„ +.а (0 < а < 2п/п, k = 0, 1, п-1)
и считать, что Dk, D*k суть множества точек z 6 R, опре-
деляемых соответственно неравенствами
0. + а < 0 < 0... + а, 0. + а < 0 < 0... + а.
к кН 'к я+1
Функции ег, Inz. Функция
w = с7 = er"y = exeiy (z = х + iy)
аналитическая на плоскости R точек z. Она не равна нулю
для всех z е R. Это видно из того, что
ех Ф 0 и |е;-ц| = 1.
Обозначим через R' плоскость точек tv, через R"o - эту
плоскость с выкинутой из нее точкой О и через R\ - эту
плоскость с выкинутым из нее положительным лучом оси х.
Из дальнейшего мы увидим, что образ R при помощи
функции w = ег есть область Я'о. Однако отображение R
на J?',, не взаимно однозначно - обратная функция к
функции w = е, называемая натуральным логарифмом w
и обозначаемая через
z = lnu> (п> е Я'о),
бесконечнозначна. Ниже мы определяем эту функцию.
Для этого разрежем R на полосы прямыми (рис. 136)
у = ук = 2лЛ (А = 0, ±1, ±2, ...).
Открытую полосу ук< у < ykvi обозначим через Dk и
полузамкнутую полосу ук< у < ук+1 - через D*k.
Замена переменной у на Ц при
помощи равенства
У = yk + П
преобразовывает полосу D*k точек
г = х 4- iy на полосу D*x точек
х + it] взаимно однозначно.
Рассмотрим функцию w = е~ на
множестве D*k. Полагая z = х +
+ iy, w = re'f, 0 < <р < 2л, будем
иметь
W = reiV = e^gly = gxg,(2ta+n) = exetn
(0 < Ц < 2л),
§ 6.5. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
423
откуда
г = ех, ср = Т|.
Таким образом,
X = 1пг = 1п|ю|,
J/ = J/* + n = J/*+<P = 2kn = argu) (k = 0, ±1, ±2, ...).
Следовательно, функция w = e2 имеет на полосе D*k
обратную однозначную функцию
z = х + iy = (г) к = ln|u>| + i(argtp + 2Лл) (6)
(k = 0, ±1, ..., w е R'o).
Вообще же функция w = е2 имеет обратную бесконеч-
нозначную функцию
z = lnu> (ip е Ro),
имеющую бесконечное число непрерывных ветвей (6), со-
ответствующих числам k = 0, ±1, ±2, ...
Область Dk преобразуется при помощи аналитической
функции w = е2 на область Rx плоскости w взаимно од-
нозначно. Обратная к ней однозначная функция, опреде-
ляемая для данного k равенством (6), аналитическая на
R\. Ее производную лучше всего вычислить с помощью
формулы (3):
(1шр)' = (1шр)' = --г = — = — (и> g R ). (7)
(е2) е W
Подчеркнем, что мы здесь вычислили производную не
от многозначной функции 1шр, а от ее определенной одно-
значной ветви, соответствующей некоторому k.
Тот факт, что производная оказалась равной функции
1/w, не зависящей от k, объясняется тем, что разные вет-
ви (6) отличаются на постоянную.
При вычислении производной от 2 = Imp мы считали,
что точки г принадлежат к областям Dk, исключив из
рассмотрения прямые у = ук плоскости R.
Если бы мы интересовались поведением рассмотрен-
ных функций на прямых у = ук, то тогда следовало бы
разрезать плоскость R сдвинутыми прямыми
у = ук + а (0 < а < 2л, ук = 2л/г, k = 0, ±1, +2, ...),
считая таким образом, что Dk есть область точек 2 = х +
+ iy, для которых ук + а < у < ук+1 + а.
424 гл. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Степенная функция 2й (а - действительное число) оп-
ределяется по формуле
~ — £>odnz — ga[ln|z|+i(argz+2£rt)] — l^lcx^ia(argz+2A7t)
{k = 0, ±1, ±2, ...) (8)
или
W = paeta«H2*n) = 0, ±1, ±2, ...) (8')
где
г = pefe.
Если а - целое, то
£t'ci2A7c — J
И
w = (ре‘в)а = га,
где г“ понимается в обычном смысле как произведение а
множителей г.
Если а = ± p/q, где р > 0, q > 0, - целые, то числа
справа в (8') существенно различны лишь при k = 0, 1, ...,
..., <?1:
w = (й = о, 1, ..., <7~1).
В частности, при а = 1/п и п натуральном мы получи-
ли уже эти факты (см. (5)).
Если же а - иррациональное число, то функции, опре-
деляемые формулой (8) или (8') для разных k, различны.
Это непрерывные ветви многозначной (бесконечнозначной)
функции w = za.
Имеем далее (z = рс,в)
а g«Iln p+i(e+2fat)]
(zay = (еа1„г)' = еи!пг. _ = а——- =
— (Хв^и -1
т. е. равенство
(z“)' = azal, (9)
верное для любой ветки 2а. При этом, с каким k взята
ветвь 2°- в левой части (9), с таким же k надо взять ветвь
z“-1 в правой части.
Замечание. Обратные функции для тригонометри-
ческих и гиперболических функций можно ввести анало-
гичным образом.
Например, функция и> Arcsinz является обратной к
функции 2 = sintc, т. е. sin[Arcsinz] = г.
§ 6.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
425
Из уравнения
л —
2 = sin w = ------—
2i
находим
e2iw -1
2ieiw
euw _ 2tzeiw —1 = 0, = iz ± — z2 ,
t. e.
iw = ln|iz ± z2 | + i[arg(iz ± д/l - z2 ) + 2kn].
Таким образом,
w = Arcsinz = -i[ln|iz ± Vl- z2 | + i[arg(iz ± Vl - z2 ) + 2fm]]
- бесконечнозначная функция (k = 0, ±1, ±2, ...).
Аналогично можно получить
Arccosz = —i[ln|z ± Vz2 -1 | + i[arg(z ± д/z2 -1) + 2An]],
i
2
Arctgz = -
In
1 + zi
1 - zi
+ i arS
1 + zi
1 - zi
+ 2/гл
Arshz = ln|z ± ^z2 +11 + i[arg(z ± Vz2 +1 ) + 2/гл],
Archz = ln|z ± д/z2 -11 + i[arg(z ± Vz2 -1)+ 2/гл].
§ 6.6. Интегрирование функций комплексного
переменного
1 Пусть w = f{z) = и + iv - непрерывная функция ком-
плексного Z, определенная в области D и L - гладкая
кривая, лежащая в D, с началом в точке А и концом в
точке В (рис. 137), заданная уравнением
Рис. 137
z = z(t) = x(t) + iy(t) (а < t < Р)
или, что все равно, двумя урав-
нениями
X - x(t),|
... f (а < t< Р). (1)
У = y(t) ]
Как всегда, направление на L
соответствует изменению парамет-
ра t от а до Р (А = z(a), В = z(P)).
Интеграл от функции /(z)
вдоль кривой L определяется
следующим образом:
426 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
J /(z) dz = J ( и + iv)(dx + idy) = J ( udx - vdy) +
l L l
₽
+i j(vdx + udy)= J[u(x(£), y(t))x'(t) - v(x(t), y(t))y'(t)]dt+
L a
P
+ i J[u(x(f), y(t))x'(t) + u(x(t), y(t))y'(t)]dt. (2)
a
Если учесть, что z'(t) = x'(t) + iy'(t) и u(x(f), j/(t)) = h(z(O)>
то равенство (2) можно коротко записать так:
Р
jf(z)dz = J f[z(t)]^(t)dt. (3)
£ а
Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплек-
сному переменному есть сумма двух криволинейных ин-
тегралов, и его вычисление сводится к вычислению обык-
новенных интегралов.
Интеграл (2) существует для любой непрерывной фун-
кции f(z) (в этом случае функции и(х, у) и v(x, у) также
непрерывны) и любой гладкой кривой L (т. е. когда x\t),
y\t) непрерывны и x'(t)2 + > 0).
Если кривая L кусочно-гладкая и состоит из гладких
ориентированных кусков ..., Ln, то по определению
считаем
J f(z) dz = У, J f(z) dz. (4)
£ *=1 L„
На основании свойств криволинейного интеграла лег-
ко получаем
1) J /(2) dz = - J f(z) dz,
L £-
где L_ та же кривая, что и L, но ориентированная проти-
воположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Диф-
ференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).
2) J [ Af(z) + B<p(z)]dz = A J f(z) dz IB J <p(z) dz,
£ £ £
где А, В - постоянные числа.
§ 6.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
427
3) Если |/(z)| < М при г е L, то
J /(z)dz
L
< Ml,
где I — длина L.
В самом деле, на основании свойства обыкновенного
интеграла имеем
₽
а
< jМ\z'(t)\dt - mJ7x'(0Z +j/'(02 dt = Ml.
a a
Пример 1.
Г dz
I = 2л7> (5)
J z z0
где L есть окружность с центром в точке z0, ориентирован-
ная против часовой стрелки.
В самом деле, уравнение L можно записать в форме
z = г0 + ре“ (0 < t < 2л),
где р - радиус окружности L. Поэтому
f dz 2{pieltdt 2?
I _ _ = J = i 11Л = 2л1.
Пример 2. При целом n * -1
J (z - z0)"dz = О, (6)
L
где L — снова окружность с центром в точке z0, ориенти-
рованная против часовой стрелки.
В самом деле,
L О
428 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2п
iD„+i [ ei{n+1}tdt =
J
О
ipn+1
i(n +1) о
(и + 1 * 0).
= О
потому что е'2<л+1>п = 1 для любых целых п.
у Теорема 1 (Коши). Если функция f(z) аналитичес-
кая на односвязной области D, то интеграл от f(z) по
любому кусочно-гладкому замкнутому контуру Г, при-
надлежащему D, равен нулю:
j f(z) dz = 0.
г
Доказательство. Так как f{z) = и + iv — аналити-
ческая на D функция, то функции и(х, у) и v(x, у) непре-
рывно дифференцируемы, и выполняются условия Коши-
Римана:
ди dv ди dv
дх ду ’ ду Эх ’
в силу которых выражения vdx + udy и и dx - vdy есть
полные дифференциалы некоторых функций. Поэтому
криволинейные интегралы по замкнутому контуру у от
этих выражений равны нулю (см. § 3.4 и 3.5). Но тогда,
согласно равенству (2),
J f{z) dz = J{udx - vdy) + i J{vdx + udy) = 0.
г г г
Пример 3.
$zn dz = 0 {п = 0, 1, 2, ...),
Г
J ег dz = 0, J аг dz = 0 (а > 0),
г г
J sin z dz = О, У cos z dz = О,
г Г
У shz dz = О, У chz dz = О,
г г
где Г - произвольный замкнутый кусочно-гладкий кон-
тур, потому что подынтегральные функции аналитичес-
кие на плоскости Z. Ведь они имеют непрерывную произ-
водную во всех точках г комплексной плоскости.
§ 6.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
429
Рис. 138 Рис. 139
Как следствие из теоремы 1 получаем следующую тео-
рему.
Теорема 2. Пусть область D комплексной плоско-
сти ограничена сложным положительно ориентирован
ным кусочно-гладким контуром Г, т. е. при обходе по Г
точки D остаются слева. Тогда для функции f(z), анали-
тической на D, имеет место равенство
J dz = 0.
г
Поясним эту теорему. На рис. 138 изображена двусвяз-
ная область D с кусочно-гладким контуром Г = Г, + Г2,
ориентированным положительно.
Соединим контуры Г, и Г2 гладким куском у, как на
рис. 139. Ориентируем у двумя противоположными спосо-
бами: у+, у_. В результате получим новую область D1 од-
носвязную, ограниченную ориентированным контуром
Г2 + у+ + Г, + у_. По теореме 1
J f(z)dz = 0.
Г2+Тч. + Г1+Т_
Но
J f(z)dz = f f(z) dz + f /(z) dz = 0,
1 У Y<-
поэтому
J f(z) dz = J f(z) dz + J f(z) dz = 0.
г g r2
430 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Каждый из интегралов J , J при этом может и не
г, Ц
равняться нулю.
Замечание 1. Для краткости мы будем позволять
себе писать «контур» вместо «замкнутый непрерывный ку-
сочно-гладкий контур».
Из теоремы 2 как следствие вытекает
Теорема 3. Пусть область D ограничена внешним
контуром Г, ориентированным против часовой стрелки,
и внутренними контурами Ги Г2, ..., Гу, ориентирован-
ными тоже против часовой стрелки (как
на рис. 140, где N = 3), и пусть на D зада-
на аналитическая функция f(z).
Тогда имеет место равенство
N
f/(z)dz = у ]f{z)dz. (8)
Г *=1 Г4
В самом деле, если считать, что Г А - тот
же контур, что и Г\, но ориентированный
по часовой стрелке, то по теореме 2
к
j /(z) dz + У J f(z)dz = 0,
г ft=1rs
откуда следует (8), потому что
J /(2) dz = - j /(z) dz.
г; r*
Отметим, что если в теореме 3 N = 1, то
J /(z) dz = J /(z) dz
Г Г,
(рис. 141).
Замечание 2. Из равенства (9), т. е. из
теоремы 3 при N = 1 следует, что равенства
(5) и (6) остаются верными, если в них ок-
ружность L с центром в точке z0 заменить на
любой замкнутый кусочно-гладкий контур L',
содержащий внутри точку z0 и ориентирован-
ный против часовой стрелки:
О)
Рис. 141
§ 6.7. ФОРМУЛА КОШИ
431
f dz
2п/’ <10>
J(z - z0)ndz = 0 (и # -1). (11)
L'
Формулы (10) и (11) являются основными в этой тео-
рии. Именно к ним, как мы увидим, обычно сводится
вычисление криволинейных интегралов от аналитических
функций (см. далее § 6.10 и 6.11).
§ 6.7. Формула Коши
Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной зам-
кнутой области D (D = D vj 3D), с кусочно-гладкой грани-
цей L, ориентированной в положительном направлении
(рис. 142), т. е. против часовой стрелки. Тогда имеет место
формула Коши
f(z0) = о' ------» (!)
и 2ш J z — Zr,
L и
где z0 - любая точка внутри контура L.
Таким образом, аналитическую функцию достаточно
определить на контуре L, а по формуле (1) можно автома-
тически получить ее значения в других точках D.
Для доказательства формулы (1) рассмотрим функцию
з-г0 • (2)
Опишем около точки zQ окружность у с D (см. рис.
142), ориентированную положительно, достаточно малого
радиуса р. Функция ip(z) определена и непрерывна на D за
исключением точки z0, в которой ее предел равен произ-
Рис. 142
432 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Поэтому, если доопределить функцию <р в 20 при помо-
щи равенства <p(z0) = f(z0), то она окажется определенной,
непрерывной и ограниченной на D:
|<p(z)| < М, XfzeD.
К тому же функция <р аналитична на множестве, огра-
ниченном контурами у и L и по теореме 3 § 6.6
I ~ ~ dz = <p(z) dz.
r 2 zo J
L T
Но правая часть этого равенства стремится при р —> 0 к
нулю:
J <p(z)dz
lz-zol=P
< М2лр О,
а левая не зависит от р. Поэтому
Так как (см. (10) § 6.6)
j 2^Z<2 dZ = I =
2 - zo Jz~zo
L
формула Коши доказана.
Формула Коши имеет место и для многосвязной обла-
сти и доказательство ее может быть сведено к уже дока-
занной формуле Коши для односвязной области.
На рис. 143 изображена двусвязная область D с поло-
жительно ориентированной границей L, состоящей из двух
ДЦ.
Рис. 143
Рис. 144
§ 6.7. ФОРМУЛА КОШИ
433
замкнутых соответственно ориентированных контуров
(L = L0 + L,).
Пусть zQ — произвольная точка D. Соединим контуры
Lo и L, кусочно-гладкой кривой у, ориентированной от Lr
и Lo, не проходящей через точку z0. Наряду с кривой у
вводим совпадающую с ней кривую у_, но ориентирован-
ную противоположно.
Если из D выкинуть у, то оставшаяся область Dt будет
односвязной с положительно ориентированной границей:
L' = Lo + у + £, + у = L + у + у.
Функция f(z) аналитическая на D* и z0 е Dt. Поэтому
на основании теоремы Коши для односвязной области
f JVLd; =
2ni J z — Zq
f<20) =
1
2ni
dz =
1 Г /(*) ,
2ni J z - z0 ’
L u
f f(z) , . f „
потому что I------dz + I------dz = 0.
J z-zQ J z-z0
Y Y-
Пример. Вычислить интеграл
sinz
где L — ориентированный против часовой стрелки контур,
содержащий в себе точку z = i (рис. 144) и такой, что
точка z = -i находится вне него.
Запишем наш интеграл в виде
Г sin zdz
J (z + i)(z-i)
и рассмотрим функцию /(z) = sinz/(z + j). В силу наших
предположений о контуре L эта функция аналитична в
замкнутой области, ограниченной контуром L, поэтому по
формуле Коши
г sin zdz r f(z) , sin I
I —;---- = I-----dz = 2ray(i) = 2ni-~—— = nsini = nishl.
Jr z +1 J z - i 2i
l L
434 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 6.8. Интеграл типа Коши
Выражение
1 Г f(z)dz
2ni J z — zn
L °
где f(z) - аналитическая функция на замкнутой области D,
ограниченной положительно ориентированным контуром
£, называется интегралом Коши.
Если г0 лежит внутри L, то интеграл равен f(z0), если
же z лежит вне £, то - аналитическая функция на
z z0
D и, следовательно,-интеграл Коши равен нулю.
Пусть теперь £ - любая кусочно-гладкая ориентиро-
ванная кривая, не обязательно замкнутая, и <p(z) - непре-
рывная функция, определенная вдоль £. Выражение
<»
* Z Z (х
£ и
называется интегралом типа Коши. Оно представляет со-
бой функцию F(z0), определенную вне £(z0 еГ £).
Теорема 1. Интеграл (1) типа Коши есть аналити-
ческая функция F(z0) для всех г0 ~ё £.
Производная порядка п от F(z0) вычисляется по фор-
муле
„ „ n! г (p(z)dz
(я-1,2,...). (2)
И-*»)
Доказательство. Пусть о есть произвольный круг,
не имеющий общих точек с кривой £. Функция двух ком-
плексных переменных г0 и z
Ф(з0, z) =
<Р(?)
z-z0
непрерывна на множестве о х £. (zQ е о, z е £,) и имеет на
нем непрерывную частную производную
ЭФ _ <p(z)
(2-2о)2
(надо учесть, что так как круг а не пересекается с £, то
при любых г0 е о и z е £. разность z - z0 ф 0). Это пока-
§ 6.9. СТЕПЕННОЙ РЯД
435
зывает, что дифференцирование F(z0) по параметру z0 за-
конно произвести под знаком интеграла в (1):
=
1 г (p(z)dz
При этом производная F'(z0) непрерывна вне £ (см. § 2.4,
теорема 4, которая легко обобщается на случай интеграла
от комплексного переменного). Но тогда F(z0) аналитична
вне £.
Мы доказали формулу (2) в случае п = 1. Для п > 2
рассуждения ведутся по индукции.
Следствие. Если функция w = f(z) аналитическая в
области D, т. е. имеет непрерывную первую производную
на D, то она имеет производные всех порядков.
Доказательство. Пусть а0 - любая точка Кио- круг
с центром в г0, целиком лежащий в области D, а у - окруж-
ность - граница о, ориентированная против часовой стрелки.
Тогда по формуле Коши
/Ю =
1 f f(z)dz
2ni J z — zn ’
у
т. e. функция /(z0) изображается интегралом типа Коши при
£ = у и <р(г) = /(г). Значит, в силу теоремы 1 Да) бесконечно
дифференцируема и
п! f f(z)dz
2^Jt—
П 7 (z~2o)
.л+1 (п _ 2
(3)
§ 6.9. Степенной ряд
Рассмотрим степенной ряд
К?) = £ М* - z0Y (\z - zj < R), (1)
k=0
имеющий радиус сходимости R > 0.
Из теории степенных рядов мы знаем, что ряд (1) рав-
номерно сходится на круге |z| < р, где р - любое положи-
тельное число, меньшее J?(p < R). Поэтому сумма f(z) ряда
(1) - непрерывная функция в открытом круге |z - z0| < R.
Больше того, f(z) имеет на этом круге непрерывную произ-
водную любого порядка, которую можно вычислить
путем почленного дифференцирования ряда (1). Это пока-
436 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
зывает, что сумма степенного ряда есть аналитическая
функция в круге (открытом!) его сходимости. Числа ck
вычисляются по формуле
С* = (k = °’ b 2’ -)’ (2)
что показывает, что степенной ряд есть ряд Тейлора своей
суммы. В силу равенств (3) § 6.8 эту формулу можно за-
менить следующей:
(S . о. 2, ...),
2ni J ?+1
к
где L - произвольный контур, ориентированный против
часовой стрелки, принадлежащий к кругу сходимости ряда
(1) и содержащий внутри точку z0.
Но верна также
Теорема 1. Функция f(z), аналитическая в круге
\z — z0| < R, разлагается в сходящийся
ряд по степеням (z — г0).
Доказательство. Пусть f(z) ана-
литическая в круге |г - zj < R. Обозна-
чим через z любую точку внутри этого
круга (рис. 145). Опишем положитель-
но ориентированную окружность L с
центром в точке z0 и радиуса р
так, чтобы точка
контура L. Тогда
аналитической на
него. Поэтому по
Яг) -
R
z оказалась внутри
функция f(z) будет
контуре L и внутри
теореме Коши
1 г/т
2ni j (С - z)
Дробь 1/(5, - z) можно представить в
1 1 1
к ней степенной
Рис. 145
(3)
виде
(4)
С-2 £-z0 1_z-z^
С-20
Так как точка С, е L, а г находится внутри этого контура, то
z~zq
Р
1.
(5)
§ 6.9. СТЕПЕННОЙ РЯД
437
Поэтому 1 / 1 — ——
к £ ~ 2о >
можно рассматривать как сумму
сходящейся геометрической прогрессии
1
—------— = 1
Из (4) и (6) получаем
Z ~ Z° I 2 ~ 2°
£~z0 Л~20.
(6)
причем ряд (7) равномерно сходится при любых £ е L и посто-
янном 2, потому что, как зто видно из (5), выражение
С — 20
не зависит от £ е L и меньше 1.
Умножая (7) на (не нарушая его равномерной сходи-
2ni
мости) и интегрируя вдоль L, имеем
1 f/m = 1 Г/m г-г0 г f(№
27uJ £-z 2niJ^-z0 2ra 20)2
В силу (3)
f(z) = с0 + C/Z - z0) + c2(z - г0)2 + .... (8)
где мы обозначили
1 г /т /(n)(Zn)
Сл = Mfzt ° {п=°*L 21 (9)
Итак, мы доказали, что аналитическая функция /(г) в кру-
ге |г - г0| < R изображается степенным рядом (8) с коэффици-
ентами (9), т. е. своим рядом Тейлора.
Пример 1. При разложении функций в ряд Тейлора
можно использовать известные разложения элементарных
функций. Например,
cosz =
£(-d
п~0
(2п)!’
поэтому
438 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1 - cos 2г ~ 1 V1чл (2г)2п
sin2 z = -------- = 2 (2п)! •
sin г
Пример 2. Функция tgz = -------- в достаточно малой
cos г
окрестности г = О является аналитической функцией
1
((tgz)' =---о—, cosz ф 0). Поэтому данную функцию мож-
cos г
но разложить в ряд Тейлора по степеням г, хотя общий
вид коэффициента трудно вычислить. Имеем по формуле
(2): с0 = 0, ct = 1, с2 = 0, с3 = 2, т. е.
2г3
tg2 = Z + — + ...
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функции w = shz
00 п
и w = chz. Имеем ег = п i , поэтому
уу z"'
2 S, (2п + 1)1-сЬг 2 SS<2">!'
§ 6.10. Ряд Лорана1
Теорема 1. Пусть 0 < г < R < ==. Всякая аналитичес-
кая в кольце
г < |z - z0| < R (1)
функция f(z) однозначно представляется в этом кольце в
виде сходящегося ряда
f(z) = X с« (г - z0Y = X с" (2 - z0)n + X , С~П .п ’ (2)
л=0 П=1 \z zo>
где
1 Г
C"=^J(tT-zor (л = °’±2’ <3>
' Пьер Лоран (1813-1854) - французский математик.
§ 6.10. РЯД ЛОРАНА
439
ay - любая окружность Is - z0| = p, r < p < R, ориентиро-
ванная против часовой стрелки.
Ряд (2) называется рядом Лорана функции f(z) по сте-
пеням (z - z0) или разложением Лорана функции f(z) в
кольце, г < \z - zj < R.
Замечание. Когда говорят, что ряд сходится,
под этим подразумевается, что сходятся отдельно ряды
Рис. 146
п=0 п=-“>
Доказательство теоремы 1. Возьмем ориенти-
рованные против часовой стрелки окружности с и С радиу-
сов г' и Д' с центром в точке z0, где
г < г' < R' < R (рис. 146).
В силу условия теоремы f(z) ана-
литична в кольце между окружно-
стями с и С и на самих окружнос-
тях. Поэтому по формуле Коши для
сложного контура имеем
1 г/М +
2ni J С - z
с
1 г /М
2ni J £ -z
или
1 г/М
2га J L - z
1 f/M
2ni J С, - z
(4)
f(z) =
с
где z - точка между окружностями с и С.
В первом интеграле точка обозначает точку окружно-
сти С, поэтому
Z~Zy
*>-z0
\z-z.
R'
1,
у
1
1
(z - z0)
<>-z
(5)
440 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
причем ряд справа сходится равномерно для g С (при
фиксированном г).
Во втором интеграле точка обозначает точку окруж-
ности с, поэтому
~ z0
z-z0
£ z0
z-z0
_у в-М”
^o(z-zof+1’
(6)
причем ряд справа сходится равномерно для всех g с
(при фиксированном z).
Подставляя (5) и (6) в (4) и почленно интегрируя,
получаем
я,. у 1 f
К ) \ 2т J (> V
n=0
(z - Zo)n +
(z - z0)-" 1 =
у I f /(£)<% ,
О27”’’ ft 2 Г'1 Z Z°" +
V 1 Г
+ X^Jz-\li (7)
n-0 c г0/
Так как функция Д^)/(£, - z0)"H при любом п аналитич-
на в кольце, то в силу теоремы Коши интеграл (3) равен
подобному интегралу по любой другой окружности, в
частности по с и С. Поэтому из (7) следует (2), где числа
сп вычисляются по формулам (3).
Первый ряд У, сп (z - z0)n в правой части (2), сходится
п=0
в круге |z - z0| < В к некоторой аналитической в этом
круге функции f\(z). Он называется правильной частью
ряда Лорана.
Второй ряд в правой части (2)
§ 6.10. РЯД ЛОРАНА
441
С-п (z 1 2 3о) П>
п—1
сходится при |z - z0| > г. Он определяет некоторую анали-
тическую функцию Д (а), называемую главной частью ряда
Лорана.
Итак,
f(z) = Д (z) + Д (z),
где Д (г) - функция аналитическая в круге |z - zj < R, а
Д (z) - вне круга радиуса г с центром с точке z0 (|z - z0| > г).
Внутри кольца г < |z - z0| < R обе эти функции аналитичны.
Коэффициенты ряда Лорана с рассматриваемой функ-
ции Да) единственны, потому что они вычисляются по
формулам (3).
Пример 1. Функция
Я2) _ —1— _ _!_______________1_
Л ’ (г-2)(г-3> г-3 г-2
аналитична на плоскости z, за исключением точек z = 2
и z = 3.
а) Функция f(z) аналитична в круге |z| < 2, и потому на
основании теоремы 1 § 6.9 ее можно разложить в ряд
Тейлора по степеням г, сходящийся в круге |а| < 2:
/(z) = X ck zk- (8)
А=0
Числа ck можно вычислить по формуле
ск = (Л = 0, 1, 2, ...). (9)
«I
Однако в данном случае ряд (8) можно также полу-
чить, применив формулу для суммы членов убывающей
геометрической прогрессии. Имеем (если |z| < 2)
1 = 1 1
а-3 3i_z
3
442 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1
z - 2
Поэтому для нашей функции ск = —---.
2 3
В силу единственности разложения функции в степен-
ной ряд полученные числа ск равны соответственно чис-
лам ск, вычисляемым по формуле (9).
. б) Функция /(z) аналитична в кольце 2 < |z| < 3. Поэто-
му ее можно разложить в ряд Лорана
f(z)=Sc*2*, (10)
С* = 2ш1ГТ (А + °’ ±1’ ±2’ -)’ (П)
Y Ъ
где у - окружность = р, 2 < р < 3, ориентированная
против часовой стрелки. Но числа ск можно получить, не
прибегая к сложным формулам (11). Имеем для 2 < |z| < 3
1
2-3
гк
q/?+1 *
/? =0 й
1 1 1
z-2 2
Z
Поэтому ряд Лорана функции f(z) целый вид
V 2k l v 2к
f(z) ~ 2 .t. 2.1 о*+1 •
А=1 2 k=0 d
Вследствие единственности разложения в ряд Лорана
полученные коэффициенты равны соответственно числам
ск, определяемым по формулам (11).
в) Функция /(z) аналитична также во внешности круга
|z| < 3, т. е. для значений z, удовлетворяющих неравенству
|z| > 3 и обладает свойством
§ 6.10. РЯД ЛОРАНА
443
lim /(z) = 0. (12)
Поэтому /(z) можно разложить в ряд Лорана вида
/(2)=
*=1 Z
(13)
Члены вида ckzk (k — 0, 1, ...) не могут входить в раз-
ложение Лорана функции f, т. е. ск = 0 для указанных k.
Иначе это противоречило бы свойству (12).
Числа с . здесь тоже можно получить непосредственно.
Имеем для |z| > 3
1____1 1
z-3 21-3
z
Поэтому
Z Z {ZJ
Пример 2. Надо разложить функцию
1 1 1
/(г)= (г-2Хг-3) = 7^3 ~ 7^2 (14)
в ряд Тейлора по степеням z - i и определить радиус
сходимости этого ряда.
Решение. Наибольший круг с центром в точке i, внут-
ри которого функция /(z) аналитическая, имеет радиус,
равный расстоянию от точки i до ее ближайшей особой
точки. Таковой является, очевидно, точка z = 2. Следова-
тельно, указанный радиус равен
В = |2 - i| = л/22 +12 = л/б .
Обозначим через а открытый круг (без границы) с цен-
тром в точке i радиуса В = Тъ .
Внутри круга а функция /(z) аналитическая, а любой
концентрический ему круг большего радиуса содержит в
себе особую точку z = 2, в которой аналитичность наруша-
ется.
444 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
На основании теоремы 1 § 6.9 функция /(z) разлагается
в ряд Тейлора по степеням z - i. Этот ряд легко получить
эффективно.
Имеем
1
Т-~2
1
z -1
i-2
i-2
i-2
1--^ +
i-2
z-i
7^2
(15)
1
1
2
и мы получили степенной ряд по степеням z - I, сходя-
щийся, очевидно, в круге |z - i| < R, R = |i - 2| = Тб .
Далее
1_____________1________1 1
z-3 ~ (z-i) + (i-3) ~ f ~3 i । 2
i-3
Снова получен степенной ряд по степеням z-i, тоже
сходящийся в круге |z - i| < R. На самом деле он сходится
в круге радиуса |i - 3| = Т10 , но это нам не понадобится.
Разность рядов (16) и (15) есть разложение в ряд Тей-
лора по степеням z - i функции f(z). Радиус сходимости
этого ряда равен R = .
Задача. Разложить функцию ftz) (см. (14)) в ряд Ло-
рана по степеням z - i: а) в кольце Тб < |z - i| < Т10 и
б) в окрестности z = <*>.
§ 6.11. Классификация изолированных особых
точек. Вычеты
В § 6.10 была доказана теорема 1, утверждающая, что
если 0 < г < R < оо и функция /(z) аналитична в кольце
Г < \z - zj < R,
то она разлагается в сходящийся к ней ряд Лорана
§6.11. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
445
/(2) = Х^* <Z “ го)* = A(Z) + A(z) (r < lz - ZOI < Я), (1)
A -
где
A(Z) = ^Ck(z - zo)*
А-О
/2(Z) = X
k=l
C-k
(z -г0)к
(2)
Пусть г = 0. Предполагается, таким образом, что фун-
кция аналитична в открытом круге 0 < ]z - z0| < R, из
которого выколота точка z0. В самой точке z0 функция f
чаще всего бывает не определена.
Говорят в этом случае, что z0 есть изолированная осо-
бая точка функции f. Ниже будет дана классификация
изолированных особых точек.
Степенной ряд
/1(2) = Xе* (2 - 20)* (|z - zj < 7?)
*=0
имеет радиус сходимости R > 0. Поэтому его сумма имеет
непрерывную производную в круге |z - z0| < R.
Рассмотрим три случая (при г = 0!).
Случай а). Функция Да) имеет вид
/(2) = A(z) = ХС* (2 - 20)*, (3)
k=0
т. е. все числа с_к = 0 (k = 1, 2, ...). Так как степенной ряд
(3) сходится для всех a с |z - z0| < R, то его радиус сходи-
мости равен R и, следовательно (см. § 6.9), его сумма f1 (а)
определена и непрерывно дифференцируема во всех точ-
ках круга |z - zj < R, в том числе и в точке z0. Таким
образом, функция /Да) аналитична в этом круге.
Поэтому, если принять, что
/(zo) ' fi(zo) — с0,
то и функция /(а) будет аналитической в этом круге.
В этом случае говорят, что особенность у функции f в
точке г0 устранима. Достаточно положить Да0) = с0, как
функция f станет аналитической не только поблизости от
точки z0, но и в самой точке.
446 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Заметим, что в данном случае интеграл
J /(z) dz = 0 (4)
L
для любого замкнутого контура L, содержащего внутри
точку z0 и принадлежащего к кругу |z - z0| < R.
Случай б). Функция f(z) имеет вид
т со
/(Z) = Л (z) + X = X г - zor (с m # 0). (5)
Й=1 I2 го> к=_т
Таким образом, ск = 0 для k = ~(т + 1), ~(т + 2), ...
В этом случае говорят, что точка zrj есть полюс функ-
ции f(z) порядка (кратности) т. При т = 1 точку z0 на-
зывают еще простым полюсом.
Так как
Ит Цг) = с0
z~*z0
И
т -£
= -- га"-+ с ‘-'{г “ +-+
+ c__t(z - z0)m l] = оо, (6)
то
lim f(z) = <*>. (7)
г~>го
Теперь, если L - контур, ориентированный против ча-
совой стрелки, содержащий внутри z0 и принадлежащий
к кругу |z - z0| < R, то
J /(z) dz = 2nic ,. (8)
L
В самом деле,
f f(z) dz = J Д(г) dz + J —C~k k dz = 0 + 2nic p
L L *=1 L (Z “
потому что
Г dz г dz
J ~— = 2711, J , .k = о (k = 2, ..., m)
LZ~Z0 l{z-20)
(cm. (10), (11) § 6.6).
Случай в). Функция f(z) имеет вид
§6.11. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
447
/(И) = (г - г0У + У \*.fe = Д(а) + f2(z), (9)
ft=O л=1 lz z0>
где в ряду
f2 (2) = У—
2 £ " Zo)*
не равно нулю бесконечное число коэффициентов с .
В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке
z0 существенную особенность.
Мы знаем, что
lim f(z) = с0.
*->z0
Однако /2 (г) при указанных условиях не стремится
при z —> г0 к какому-нибудь пределу - конечному или
бесконечному. Этот факт мы не имеем возможности здесь
доказать и скажем только, что он вытекает из известной
теоремы Сохоцкого1.
Заметим, что рассуждения, которые приводились при
доказательстве равенства (6) в случае полюса, в данном
случае неприменимы, потому что для бесконечных сумм
операция почленного предельного перехода не всегда за-
конна.
Z(-l)
. z 2л имеет суще-
п •
п=0
ственную особенность в точке z = 0. Эта функция не имеет
предела в точке z = 0.
В самом деле, при z = х (х - действительное)
i
ехр(-1/х2) —> 0, когда х —> 0. Однако если z = —, то
п
exp(-l/z2) = ехр(и2) —» при п -> <*>. Значит, предел в
точке z = 0 у функции exp(-l/z2) не существует.
Для любого ориентированного против часовой стрелки
контура L, принадлежащего к кругу \z — zj < R и содер-
жащего внутри точку 20, так же как в случае полюса
j f(z)dz = 2nic ,. (10)
L
IO. В. Сохоцкий (1842-1929) - русский советский математик.
448 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Дело в том, что интеграл по £ в данном случае (см. за-
мечание 2 § 6.6) можно заменить на интеграл по какой-либо
ориентированной против часовой стрелки окружности у с
центром в точке з0, принадлежащей к кругу |z - z0| < В. Но
на у ряды (9) равномерно сходятся и, следовательно, их
можно почленно проинтегрировать по у. Однако, как мы
знаем,
Г dz г dz
J 7 = О (А * 1) и J —— ~ 2ni,
y(z-2o)
откуда следует равенство (10).
Сделаем теперь определение: пусть г0 есть изолирован-
ная точка функции f(z), т. е. пусть функция f(z) анали-
тическая в некотором круге
|z ~ zj < В,
из которого выколота точка zf|. Вычетом функции f в
точке z0 называется интеграл
~ f /(z) dz = Выч ftz). (11)
2ти
где L — контур в круге |z — zj < В, ориентированный
против часовой стрелки и содержащий в себе точку г0.
На основании сказанного выше (см. случаи а), б), в)),
если
f(z) = У, Ck (2 ~ z0)* (0 < |z - z0| < В}
k=~^>
есть ряд Лорана f в точке z0, то
Выч f(z) = с . (12)
г=г0
Поэтому, если известно разложение функции в ряд
Лорана по степеням z — z0, то вычет в точке з0 легко
находится.
В частности, если з0 — устранимая особая точка, то
Выч f(z) = 0.
г=*о
Иногда разложить функцию Дз) в ряд Лорана трудно,
и поэтому приходится искать другие способы вычисления
вычета, не разлагая функцию в ряд Лорана.
Пусть z = z0 - полюс порядка т > 1. Тогда
§6.11. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
449
= Yck(z- zoy + £ c_.k (z - 2о)~* {С т * 0). (13)
*=0 fe=l
Умножая левую и правую части (13) на (z — z0)m, имеем
(2 - Z0)mf(z) = Cm + C_m+1(Z - Zo) + ...
... + ct(z - z0)ml + £c*(z - Zoy+m. (14)
k=0
Если продифференцировать равенство (14) (m - 1) раз,
то свободный член справа будет равен (т — 1)!с t и, следо-
вательно,
^[(z-zofrtz)!
Um ------L--—j------= (m - l)!c .,
г~>г« dz”-1 1
откуда
x d^r^-Zofaz)]
Выч f(z) = c . = 7-“г? Um ---------—;------. (15)
z=z0 M ’ -1 (тп-l)! г->20 dzm^
<p(z)
Если функция Дг) = , где <р(г0) * 0, а у(г) имеет
простой нуль при г = г0 (ф(г0) = 0, 1/(г0) * 0), то z= г0
является простым полюсом Дг). На основании формулы
(15) (при т = 1) имеем
<P(z) . Ф(г)
Выч «2) - Выч^ - Um (г - 2.) ¥(г) -
lim <p(z)________<P(zq)
г->г0 У(г) - y(z0) ~ у'(г0) •
г-г0
Таким образом, в данном случае
ф(20)
Выч Цгу - <, - ч.ы (16)
В случае, когда z = z0 - существенно особая точка, у
нас имеется только один способ вычисления вычета —
разложение функции Дг) в ряд Лорана.
15. Бугров Я. С.
450 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пример 2. Найти вычет функции f(z) = ---- в точ-
cosz
л
ке z = - .
ф(-г)
ф(-г)
В данном случае Да) =
где <p(z) = sin2z, y(z) = cosz.
Точка z = л/2 является простым полюсом функции /(z),
так как <р(л/2) = 1*0, у(л/2) = 0, г/(л) = -sinz, г/(л/2) =
= —1*0. Значит, по формуле (16) получаем
ф(л/2) 1
Выч /(a) = -"V = — = -1
г=п/2 ф (л/2) -1
Пример 3. Найти вычет функции exp(l/z) в точке
z = 0.
Имеем
Таким образом, точка z = 0 является существенно осо-
бой и
Выч ехр
2=0
с., = 1.
Пример 4. НайТи вычет функции
Д*) =
1
(z-2)2(z-3)
относительно точки г = 2.
Данная точка является полюсом второго порядка,
поэтому по формуле (15) имеем
Выч /(z) = j™ А [(2 _ 2)2/(2)] = Urn А А_
2=2 dz dz z —6
lim-------
(z-3)
§ 6.12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
451
§ 6.12. Классификация особых точек
на бесконечности
Предположим теперь, что в теореме 1 § 6.10 z0 = 0 и
= а г — любое неотрицательное число (0 < г < оо).
Тогда теорема 1 гласит: если функция f(z) аналитическая
для всех комплексных чисел z, удовлетворяющих нера-
венству
Ы > г, (1)
то ее можно разложить в ряд Лорана по степеням г:
f(2) = X Ck 2k = F1(2) + F2(z) (|z| > r), (2)
сходящийся для всех z с |z| > г. Здесь
оо ОФ
W= W=X^z\ (3)
ft=0 2 *=i
Множество (1) называют внешностью круга |z| < г.
Удобно считать, что это множество есть окрестность бес-
конечно удаленной точки (точки со).
Таким образом, мы формально добавляем к множеству
комплексных точек (чисел) еще абстрактную бесконечно
удаленную точку (z = со).
Функция f(z) аналитична в окрестности точки z = со,
исключая саму точку со, которую естественно в данном
случае называть изолированной особой точкой функции f.
В зависимости от поведения функции f(z) в окрестнос-
ти точки z = со естественно ввести следующую классифи-
кацию:
а) Особенность в точке z = устранимая, если
ск = 0 (k = 1, 2, ...),
т. е. если
f(z) = F,(z) (Ы > г).
В этом случае
lim f(z) = lim F^z) = c0.
2—Z—
Очевидно также
f f(z)dz - -c .
2ra J 1
L
где L - произвольный контур, ориентированный по часо-
вой стрелке, содержащий внутри себя окружность |z[ = г
452 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
(рис. 147). При известном во-
ображении можно считать, что
точка °° находится внутри кон-
тура L , — если двигаться по
контуру I. по часовой стрел-
ке, то точка °° остается слева.
б) Точка z = °° есть полюс
порядка т, если
т
= Ft (3)+ Xе*2* (Ст * °)-
*=1
В этом случае, очевидно,
lim f(z) = оо. Далее
J f(z) dz = X c-k J + У, ck J zk dz =
£ *=o L_ 2 k=i L_
г dz
= -c_x J — = -2rac p
L
потому ЧТО
J zk dz = - J Zk dz = 0 (k Ф -1).
в) Точка z = есть существенно особая точка, если
f{z) Fl(z)+ ^ckZ* (4)
*=i
и имеется бесконечное множество чисел ck, не равных
нулю.
Функция F^z) стремится к конечному пределу при z <=о
в то время как функция У ck гк, на основании теоремы
k=i
Сохоцкого, не стремится ни к какому пределу при z —> оо.
Поэтому и функция f(z) не стремится к пределу при z —>
Далее
§6.12. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
453
J f(z) dz = У, ck J zk dz = -2nic j.
L Z.
Почленное интегрирование здесь законно, потому что,
как мы знаем, интегралы J можно заменить на интег-
L_
ралы J по окружности радиуса р > г, на которой ряд (4)
с
равномерно сходится.
Введем определение.
Вычетом функции f(z) в бесконечно удаленной точке
называется
[ f(z) dz = Выч Дг),
2га J z==o
L_
где L_ есть произвольный замкнутый контур, ориентиро-
ванный по часовой стрелке, принадлежащий к множеству
|z| > г (где функция f(z) аналитична!). В данном случае
говорят, что при движении по контуру по часовой стрелке
«точка °° остается слева».
На основании сказанного (см. а), б), в)), если
Д-г) = Xе*2* > г>>
ряд Лорана функции f во внешности окружности |г| = г,
то
Выч f(z) = _c_j.
2=ео
Если z = оо - устранимая особая точка, то в ряде Ло-
рана функции Дг) отсутствуют положительные степени г,
а г-1 может присутствовать, поэтому Выч Дг) в этом слу-
чае не обязательно равен нулю.
Пример. Функция
Z 1 Iv
«г> - ?тт -
г 1 + —— п=о
I z )
454 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
' - (Ы> 1)
п=0
имеет устранимую особенность в точке z= «и с4 = 1,
значит,
Выч f(z) = -1.
£=•»
§ 6.13. Теорема о вычетах
Теорема 1. Пусть функция f(z) аналитическая на всей
плоскости z, за исключением конечного числа точек z},
zN. Тогда имеет место равенство
N
Выч f(z) + Выч f(z) = 0. (1)
*=12=г*
Доказательство. Построим
окружности ур Т2> Yw ориен-
тированные по часовой стрелке, с
центрами соответственно zir z2, ...,
..., zN, настолько малого радиуса,
чтобы они не пересекались.
Кроме того, построим окруж-
ность Г, ориентированную против
часовой отрелки, с центром в нуле-
вой точке, настолько большого ра-
диуса, чтобы окружности у,, ...,
..., yN оказались внутри Г (рис. 148).
Сложный контур L = + Рис. 148
+ у2 + ... + Уд, + Г ограничивает
область Q, внутри которой функция Да) аналитическая.
Она аналитическая также на L. При этом при обходе по
L область £1 остается слева.
Но тогда на основании теоремы Коши для сложного
контура
ff(z)dz + ... + ff(z)dz + ff(z)dz = 0 (2)
Yi Yjv Г
или, если помножить левую часть на —1/2га, то получим
(у(, Г_ ориентирована противоположно Г'):
f(z) dz + — Г /(2) dz = О,
2га J
Т1 Тл Г
— \f(z)dz + ... + ------
2га J 2га
§6.14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
455
т. е.
Выч fiz) + ... + Выч fiz) + Выч fiz) = 0.
Z=Zj Z=ZA- z=~
Надо учесть, что внутри каждого из контуров ук имеет-
ся только одна особая точка гк, а вне Г - только одна
особая точка z = °°. Теорема доказана.
Применение этой теоремы сводится к следующему. Если
затруднительно вычислить один из интегралов, входящих
в (2), то можно попытаться вычислить оставшиеся интегра-
лы, входящие в (2), и получить искомый интеграл из (2).
Само вычисление этих интегралов сводится к разложе-
нию функции fiz) в ряд Лорана в окрестности соответству-
ющих особых точек. В сущности и эти разложения не
надо знать полностью. Достаточно только знать члены
вида c^/(z — гк) этих разложений, чтобы прийти к цели.
§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи
вычетов
Рис. 149
Пусть функция /(а) ана-
литична в верхней полу-
плоскости, включая дей-
ствительную ось, за
исключением конечного
числа особых точек
>- а2, ..., aN, лежащих в верх-
л ней полуплоскости. При
этих условиях мы рассмот-
рим способы вычисления
интегралов
J fix) dx, J f{x) e,xdx.
Теорема 1. Пусть функция fiz) удовлетворяет пере-
численным выше условиям и, кроме того, |/(z)| < M/|z|m при
|z| > R, где т > 2 и R - достаточно большое число. Тогда
“ N
f fix)dx = 2ni У Выч fiz). (1)
* . - 2-а,-
-оо / = 1 '
Доказательство. Опишем полуокружность L (ори-
ентированную против часовой стрелки) радиуса R с цент-
456 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ром в точке О так, чтобы все особые точки функции /(и)
попали внутрь L (рис. 149). В силу теоремы 1 § 6.13
N
f{x)dx + [ f(z)dz = 2ni Выч f(z). (2)
J . , z=a.-
I L J=1 >
Так как |/(z)| < M/|z|m при |z| > R, то
г v М пМ
J f^dz * О, R оо (т - 1 > 1).
L
Переходя к пределу в равенстве (2) при полу-
чим (1).
f dx
Пример 1. Вычислить интеграл J 4 •
1
Функция f(z) = ------4 аналитична в верхней полуплос-
1 + z
кости, за исключением точек
л/2 л/2
Oj = e’ti/4 = --(1 + i), а2 = е3*'/4 = -(i - 1),
2 2
в которых она имеет простые полюсы. Кроме того,
|/(2)|<1/И4 (т = 4 > 2). Найдем вычеты функции f(z) в
точках а2. По формуле (16) § 6.11
Выч f(z) = 0 = 1, 2),
где у (z) = 1 + z4. Имеем \|/(z) = 4z3, X|/'(tz1) = 4e37!i/4 =
= -4e te/4 0, уЧ^) = 4е9т:'/4 = 4ein/4 * 0. Отсюда
1 1
Выч /(z) = - — а'’1''4, Выч f(z) = — e ,’t/4.
z=aj 4 z=a2 4
По формуле (1) получаем
7 dx 2тй „ A
Д1 + Х 4 1 7 2i
Tt V2
= л sin— = n------.
4 2
§ 6.14, ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 457
Теорема 2. Пусть функция f(z) удовлетворяет усло-
виям, отмеченным в начале параграфа и lim f(z) = 0 рае-
2—
номерно относительно argz = ф. Тогда
оо N
f f(x) e‘xdx = 2ni V Выч f(z)eiz. (3)
J z=a.
/=1 '
Доказательство. Так же как при доказательстве
теоремы 1, имеем
R N
J f (г) eixdx + J f (z) eizdz = 2ni Выч f(z)eiz (4)
-R L >=x Z~a‘
(функция f(z)e‘z имеет те же особенности, что и /(z)).
Нам нужно доказать, что при R —> >= интеграл
J f(z) eizdz стремится к нулю. Имеем
L
J f(z)eizdz = j f(Rei'f)e~Rs™'feiRcos'9iRei'fd^>
L О
< J Rdq.
о
В силу условия теоремы < £ при R > N\ для всех
ф (0 < ф < л) и достаточно большого Поэтому (вшф >
> 2ф/л при 0 < ф < л/2)
А < £ t/ф =
о
л/2 л/2
= 2е J J?e-fisinip </ф < 2е J Re-2^ dq =
О О
R
= ел J е dt = ле(1 - e~R) < ле (R > Nj).
о
Переходя к пределу в (4), при R °° получаем (3).
Если функция f(z) имеет особенности на действитель-
ной оси, то специальным построением контура интегриро-
458 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
вания можно вычислить соот-
ветствующие интегралы, если
они существуют.
П р и м е р 2. Пусть f(z) = 1/z.
Эта функция имеет простой
полюс на действительной оси
в точке z = О. Далее, lim f(z) = О
Рис. 150
равномерно относительно
argz = ср.
Построим контур интегрирования, как на рис. 150. Обход
контура осуществляется по стрелкам, указанным на этом
рисунке. В заштрихованной части функция ёг/г аналити-
ческая при любом R и любом е, поэтому по теореме Коши
(полуокружность у ориентирована против часовой стрел-
ки)
Е ix iz iz
J + J dx + j-ydz - \~dz “ °- (5)
E J L У
Как и выше, легко показать, что I 2 dz = 0.
R~*
L
Далее
lim [eiz — = lim f ^tefcos<p+isin<p) 4 dtp _
e->0 J z £—>o J £e«P
у 0
n n
= ilim Jd(p = j J dip = ni.
E-> о о
Таким образом, равенство (5) в пределе, при 7? —><=<> и
Е —» 0, принимает вид
-R £ 7
, г е - е t г sin х т
= lim 21 ------------dx = 2i\----------dx,
£->o J 2xi J x
E о
t. e.
§ 6.14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
459
Г sin х л
J ~ dx = 2'
о
sin х
Так как функция ----- четная, то
Замечание. Если под знаком интеграла есть сомно-
житель sinx или cosx, то часто удобно рассматривать ин-
теграл от функции, где sinx или cosx заменены на е'г. Это
объясняется тем, что |sinz| и |cosz| неограниченно возрас-
тают при z —> а \d!\ = е у -ъ 0 при г/ —> (i/ > 0). Поэтому
{sinzl
cos z I бУДет ДРУгое, чем у функ-
ции f(z)e‘z. Затем, получив значение интеграла f(x) d*dx,
выделяя действительную и мнимую части, мы найдем
J /(х) cosxdx и J /(х) sinxdx.
-DO — °°
Пример 3. Вычислить интеграл
о
cosaxdx
а2 + х2
(а, а > 0).
Рассмотрим функцию + z2). Эта функция анали-
тична в верхней полуплоскости, кроме точки z = at. Фун-
кция /(z) = 1/(а2 + z2) —> 0 при 2->» равномерно относи-
тельно argz = ф. Поэтому по теореме 2
г е е е к
—5----?,dx = 2ni Выч —-----х= 2л/------ = — е аа.
J а + х z=at а + z 2ai а
Выделяя действительную часть, получим
Г cos ах ,
I ~2----2dx =
J°a + х
л Г cos ах
— е~аа 1 ------
а ’ J а2+х2
dx
п
---р аа
2а
460 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пример 4. Вычислить интеграл
оо В «
г sin X
I = ——5- dx.
J 1 + х2
о
Имеем
fl- cos 2x ,
-------5— dx =
J 2(1 + x2)
dx
г cos 2х ,
------vdx =
Jl + x2
о
= 7arctgx
2
Итак,
1 71 2
-----i
2 2
71
4
п
г2 = - (1 - е2).
4
sin2 xdx
1 .1 ^.2
к
Id - е2У
Пример 5.
f cos2 xdx
J 1 . ^2 =
1 - sin2 х
J-dx= J
о
dx
+ xz J
sin2 х ,
------dx =
1 . ~2
о
о
о
о
п
4 е
е2) = ^(1 + е-2).
71 Л
= 2 4 (1 “
Пример 6. Вычислить интегралы Френеля1
НК
sin х2 dx.
х
Рис. 151
- 2
Рассмотрим функцию е1г . Эта
функция в заштрихованной обла-
сти (рис. 151) аналитическая, по-
этому по теореме Коши
а
J е1г* dz = О,
О
О L 7
где L - часть окружности |z| = R,
у- отрезок прямой z = ре‘п/4,
О < р < R (ориентированные по стрелкам). Далее
1 О. Ж. Френель (1788-1827) - французский физик.
§ 6.14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
461
• О R
J е‘г dz = J e‘p * ein/4dp = -e,r^ J e-p2 dp —>
т R 0
Итак.
§ 2.13)
Rie^dy
л/4
f рR2 sin 2<р
J Яф <
, 4<р
f -Я2 —
R J е л dtp < -
о
в пределе при R
J e dt —> 0, R —> oo.
о
> “ получаем (см. пример 3
j eix dx = e™/4 J e p dp = eni/i J—
о о '4
тельную и мнимую части, получаем
Выделяя действи-
J cosx2 dx =
о
9
sin x
ях =
0
о
т. е.
J cosx2
о
j sin x2 dx =
о
462 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная
функция
Целая линейная функция. Рассмотрим три
функции
w = z + с, (1)
w = Г2, (2)
w = e№z, (3)
где с - постоянное комплексное число, г > 0, 6 - произ-
вольное действительное число.
Все три функции (1), (2), (3) отображают плоскость г на
всю плоскость w.
Рис. 152
Рис. 153
Рис. 154
Функция (1) осуществляет сдвиг плоскости z на вектор
с (рис. 152).
Функция (2) (г > 0!) осуществляет растяжение (при r> 1)
и сжатие (при г < 1) плоскости 2 в г раз: Ы = г|з|, Argiz>=
= Arg2. На рис. 153 показан случай г > 1.
Функция (3) осуществляет поворот плоскости г вокруг
нулевой точки на угол 6 (рис. 154).
Функции (1), (2), (3) имеют соответственно производные
w' = 1, iv = г, w' = ein,
не равные нулю и потому они осуществляют конформные
отображения.
Все эти три функции являются частными случаями
более общей целой линейной функции
w = az + b (а * О), (4)
где а и Ъ - постоянные комплексные числа.
Осуществляемое ею отображение можно записать в виде
w = a(z + с) = reiB(z + с),
где с — b/а, а = ге,в.
§ 6.15. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 463
Отсюда следует, что она сводится к (1), (2), (3):
w = ги, и = ейи, и = z + с.
Иначе говоря, преобразование плоскости z, осуществ-
ляемое функцией (4), сводится к переносу (на вектор с),
затем к повороту плоскости (на угол 6) и затем к растяже-
нию или сжатию плоскости в г раз.
1
Функция id = —. Полагая z = re'9, w = ре‘в, имеем
р = 1, 6 = _ф, (5)
где второе равенство надо понимать с точностью до 2/гл
(k = 0, ±1, ±2, ...).
Отсюда видно, что окружность |z| = 1 переходит в себя,
точнее каждая ее точка переходит в точку, симметричную
относительно действительной оси.
Отметим, что если окружность |z| = 1 проходится в
направлении против часовой стрелки, то отображенная
окружность |ip| = 1 проходится по часовой стрелке.
Преобразование (5) удобно разбить на два преобразова-
ния:
1
г = -, ф = <р; (6)
р = г', е = -ф'. (7)
Преобразование (6) называется инверсией относитель-
но единичной окружности.
При инверсии относительно единичной окружности
точки z и z', лежащие на луче, составляющем угол ф с
осью х, переходят в точки, лежащие на этом же луче, и
притом так, что
гт' = 1.
Построение точки г' = /е^
по известной точке г = ге** вид-
но из рис. 155, где рассмотрен
случай, когда z лежит вне ок-
ружности |z| = 1. Из ТОЧКИ Z
проводим касательную к ок-
ружности |z| = 1, Т - точка ка-
сания, Тг' 1.02. Из подобия тре-
угольников (ДОТг’ и AOT’z)
464 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ОТ г
_ = —. ОГ = 1 = 1.
г ОТ
Если точка z находится внутри окружности |z| = 1, то
восстанавливаем из нее перпендикуляр к Oz до пересече-
ния с окружностью в точке Т. Через последнюю проводим
касательную к окружности до пересечения с лучом Oz.
Точка пересечения и будет точкой z'.
Точки z и z' называют взаимно симметричными отно-
сительно окружности |z| = 1.
Отображая теперь (по (7)) точку z' зеркально относи-
тельно действительной оси, мы получаем точку
1 1
w = /g-ч. = — = -.
rev z
Из формулы и? = 1/z видно, что при z —> 0 точка w
имеет неограниченно возрастающий модуль, поэтому удоб-
но считать, что при помощи этой формулы точке z = О
соответствует «бесконечно удаленная точка», которую обо-
значают СИМВОЛОМ W = оо.
Итак, функция w = 1/z отображает плоскость z на
плоскость w при помощи преобразования инверсии отно-
сительно окружности \z\ = 1 и зеркального отображения
относительно оси х. При этом точка z = 0 переходит в
точку w = °о, а точка z = °° — в точку w = 0.
-1 . .
Далее и>' — Ф 0 при любых z с |z| > 0, поэтому отобра-
z
жение с помощью функции w = — (|z| > 0) конформно.
Дробно-линейная функция
Будем считать, что ad - be 0. Очевидно, что точка
г = —die (с 0) переходит в точку w =
Функцию w, выделяя ее целую часть, можно предста-
вить в виде
a be —ad
w = *" , (9)
с c(cz + d)
откуда видно, что
ad - be
uf = ------7 * 0 (cz + d * 0),
(cz + d)2
§6.15. ДРОБНО ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 465
т. е. отображение с помощью функции (8) конформно.
Из равенства (9) видно, что данное отображение состо-
ит из рассмотренных выше отображений:
, 1
2 = сг + d, z" = —, w = Az" + В.
2
Если считать прямую линию за окружность бесконеч-
ного радиуса, то при преобразовании (9) окружность пере-
ходит в окружность {круговое свойство).
Из геометрических соображений ясно, что при парал-
лельном переносе, растяжении и вращении окружность
переходит в окружность. Больше того, внутренность ото-
бражаемой окружности переходит на внутренность ото-
браженной окружности. Поэтому достаточно проверить
1
круговое свойство для преобразования и, = —. Уравнение
2
окружности в плоскости хОу, как нам известно, имеет
ВИД
А(х2 + у2) + тх + пу + I = О
или
2 + 2 2 — 2 _
Az • 2 + т—-— + п + I = 0 (г = х + iy, z = х - iy)
или
— — - (г, m + in'\
Azz + В 2 + Bz + I = О В = —-— . (Ю)
В рассматриваемом случае 2 = 1/tv, 2 = 1/ Й7 . Следова-
тельно, уравнение (10) переходит в уравнение
1 В В
А ____ + + 'Z7 + I ~ 0
ww w w
или в уравнение
А + Bw + Biv + Iww = 0,
которое описывает некоторую окружность в плоскости ш.
В частности, при I = 0 получаем прямую линию, т. е.
окружность, проходящая через начало координат в плос-
кости 2, переходит в прямую в плоскости w.
Отметим, что отображение с помощью функции (9)
может переводить внутренность отображаемой окружнос-
ти как на внутренность, так и на внешность отображен-
ной окружности.
466 ГЛ. 6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Функция (9) в принципе зависит от трех параметров,
за которые можно взять отношение чисел a, b, с, d к
одному из них (не равному 0).
Поэтому, чтобы определить преобразование (9), надо
задать три условия. Обычно задают три пары соответству-
ющих точек:
a bc-ad
— -j---------
с c(czk + d)
(k = 1, 2, 3).
Легко подсчитать, что
(ad - bc)(z - zk) (ad - bc}(zk - з,)
(cz + d)(c3ft + d) > (czk + d^cZj + d)
Отсюда
iv — ia, w4 — ia, z - z, Z-> - z,
-----L;_3----l = ------------L (11)
W — IV2 w3 — w2 z — Z2 z3 - z2 '
Это и есть преобразование (9), переводящее точки z в wk
(k = 1, 2, 3).
Пусть заданы две окружности Г и Г' соответственно в
плоскостях з и ip. Требуется найти дробно-линейное ото-
бражение, переводящее Г на Г и внутренность Г на внут-
ренность Г'.
На Г и Г' соответственно зададим произвольные трой-
ки точек {з,, з2, г3} и {ip,, ip2, ip3}, следующие в положитель-
ном направлении, т. е. против часовой стрелки. Тогда пре-
образование (11) и будет решением поставленной задачи.
В самом деле, оно отображает точки zk соответственно
в точки wk (k = 1, 2, 3) и, очевидно, окружность Гна Г
(в силу кругового свойства).
Тот факт, что в данном случае внутренность Г перехо-
дит на внутренность Г', следует из конформности отобра-
жения, осуществляемого дробно-линейной функцией.
В данном случае окружности Г, Г* имеют положитель-
ную ориентацию (проходятся против часовой стрелки). В
силу конформности отображения внутренняя нормаль к Г
(например, в точке и,) переходит в дугу окружности (пер-
пендикулярной Г' в точке и?,), которая находится внутри
Г', а это и обеспечивает отображение внутренности Г на
внутренность Г".
Если же нужно найти дробно-линейное преобразова-
ние, отображающее Г на Г и внутренность Г на внешность
Г', то в формуле (11) надо взять точки {з,, з2, з3} на Г,
§ 6.15. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
467
расположенные в положительном направлении, а точки
{u1!, u|2, ir3} на Г' - в отрицательном направлении.
Рис. 156
Рис. 157
Эти выводы распространяются и на случай, когда либо
Г, либо Г', либо и Г и Г' являются прямыми. Однако
требует пояснения, что надо понимать под внутренностью
прямой Г, когда на ней отмечены точки {zt, z2, z3}.
В случае рис. 156 это есть верхняя полуплоскость, а в
случае рис. 157 - нижняя полуплоскость.
Если прямую Г дополнить точкой то ее можно
мыслить как непрерывную окружность (см. рис. 156, 157)
бесконечного радиуса.
Будем двигаться по Г (возможно, через бесконечно
удаленную точку) от zx к z2 в таком направлении, чтобы
дуга 2j22 не содержала в себе z3. Этим направление обхода
на Г определено и тогда внутренностью Г называется
область, расположенная слева от Г при движении по это-
му направлению. На самом деле этой областью является
верхняя или нижняя полуплоскость.
Задача 1. Найти дробно-линейное преобразование, ото-
бражающее внутренность единичного круга на верхнюю
полуплоскость так, чтобы точки zt = +1, z2 = i, z3 = -1
перешли соответственно в точки wr = 0, w2 = 1, w3 = 2.
Задача 2. Записать дробно-линейное преобразование
верхней полуплоскости в себя, при котором точки Zj=-1,
з2=0, z3=1 переходят соответственно в точки 11^=1, w2 = 2,
u)3 = 3.
ГЛАВА 7
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§7.1. Изображение Лапласа
В этой главе мы, как правило, будем рассматривать
функции f(t) действительного переменного t, заданные на
[О, °°). Иногда будем считать, что f(t) определена на (—“, “),
Рис. 158
но при t < 0 функция /(f) = 0.
Кроме того, будем предпола-
гать, что функция /(f) кусоч-
но-непрерывна и на каждом
конечном промежутке имеет
конечное число точек разры-
ва первого рода. Пусть р = а +
+ ib — комплексное число.
Рассмотрим функцию
F(p) = f e~pt f(t)dt. (1)
о
Если
|/(t)| < М exp(sof), (2)
где а > s0, то функция F(p) аналитическая в полуплоско-
сти Rep > s0 (рис. 158).
В самом деле,
§ 7.1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛАПЛАСА
469
|F(p)| = J t e*P(~at
о
— ibt)f{t)dt < J t exp(~ai)|/(t)|7Zt <
о
< J exp (—at) • tMexp(sot)dt =
о
= M J fexp(-(a - s^t)dt < <*>, (3)
о
так как a > s0. Законность дифференцирования по p под
знаком интеграла следует из неравенства (3) и того факта,
что функция tf(t)exp(-pt) кусочно-непрерывна (см. теорему
2 § 2.15).
Функция F(p) называется изображением Лапласа фун-
кции f, L-изображением или преобразованием Лапласа.
Мы будем употреблять обозначения
F(p) = L(/(i); р), f(t) = F(p), F(p) = f(t).
Функцию f(t) в этом случае называют начальной функ-
цией или оригиналом. Число s0 (s0 = s0(/)) называется по-
казателем роста функции f(t) (ниже, если особо не огово-
рено, то мы считаем, что показатель роста f равен з0).
Процесс нахождения изображения для заданного ори-
гинала и обратно, нахождение оригинала по известному
изображению называется операционным исчислением,
начало которому положил Хевисайд1. Разработав опера-
ционное исчисление, Хевисайд не дал ему обоснования.
Отметим, что он рассматривал преобразование
F (р) = р j exp (—pf)f(t)dt,
о
т. е. F (р) = pF(p).
В одних вопросах удобным является преобразование
Лапласа, в других - преобразование Хевисайда. Мы бу-
дем рассматривать преобразование Лапласа.
Обоснование операционного исчисления было дано в
двадцатых годах нашего века в работах ряда математиков.
1 О. Хевисайд (1850-1925) - английский инженер-электрик.
470
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теорема 1 (единственности). Если две непрерыв-
ные функции f(t) и g(t) имеют одно и то же L-изображе-
ние F(p), то они тождественно равны.
Мы не доказываем эту теорему.
На основании теоремы 1 мы можем сказать, что для
непрерывной функции fit), тождественно не равной нулю,
изображение не может быть периодической функцией.
В самом деле, если Vp F(p) = F(p + со), где со * 0, то
J exp i-pt)f{t)dt = J exp (-(р + u)t)f(t)dt.
о о
По теореме 1
fit) = exp(-coi)/(Z),
т. е. exp(-coi) = 1 (со Ф 0), чего быть не может.
§ 7.2. Изображение простейших функций
и свойства изображений
Единичной функцией или функцией Хевисайда назы-
вается функция
11, Z > 0,
°о(*) = |о, t < 0.
Очевидно, что показатель роста этой функции s0 = 0.
Найдем L-изображение этой функции в области Rep > 0:
L(o0(Z); р) = J exp (~pt)dt = - —exp(-pt)
о р
Таким образом,
_1
Р
о
а„«) *
Аналогично для функции fit) = cosZ интегрированием
по частям находим
L(cosZ; р) =
(1)
J exp (~pt)costdt = {exp(-pZ) = {и, costdt = dv} =
о
§ 7.2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
471
= exp(-pZ) sin i|0 + р J exp(-pZ)sinZdZ =
о
= p J exp(-pZ)sinZdZ =
о
= p[- exp(-pZ) cost|0 - pj exp (-pZ)cosZdZ] =
о
= p - p2L[cosZ; p].
Отсюда
p
L(cosZ; p) = ~(ReP > 0)»
t. e.
p
cosZ = -----7 . (2)
1 + P
Попутно мы доказали, что
L(cosZ; р) = pL(sinZ; р),
откуда
sinZ = —. (3)
1 + Р
Теорема 1 (подобия). Если /(Z) = Р(р), то ftotZ) =
=—F| —I (а > 0, Rep > max{sn, asn}).
a {a J
В самом деле,
f [ du\
L[f(at); p] = J exp (-pZ)/(aZ)dZ = (aZ = u, dt = — !- =
If I P ] 1 r и 4 P
= — exp - — u f(u)du = — L /(“); — .
ch I a J ' a a
На основании теоремы 1 получаем
472
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
cosctf .= 1. p/a = —P (4) al + (p/a)2 p2+a2
sin at .— 1 a a 1 + (p/a)2 p2 + °2
Теорема 2 (свойство линейности). Имеет ме-
сто равенство
L[Af(t) + р] - AL[f(t); р] + BL[g(t); р],
где А, В - постоянные числа.
Это свойство вытекает из соответствующего свойства
несобственного интеграла. Отметим, что если показатели
роста функций f и g соответственно равны s0 и s0, то
изображение Af + Bg существует в полуплоскости Rep >
> max{s0, s0}.
Пример 1. Найти изображение функции
f(t) = 3o0(t) + 2 cos3t.
В силу (1), (4) и теоремы 2 имеем
Ь[/(0; р] = 3L[ao(O; р] + 2L[cos3i; р] = - + 2-/— .
Р р2 +9
Пример 2. Найти оригинал изображения
2 2
Др) = —+ ~5----.
Р р2 +16
Представим изображение F(p) в виде
Др) = 2- +
Р
1 4
2 р2+42
Имеем
— - <М*)’ —?---9 - sin4t.
Р р2+42
Следовательно, оригинал (по теореме 1 § 7.1)
fit) = 2o0(i) + -|sin4t
§ 7.2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ 473
Теорема 3 (смещение изображения).
L[/(i)exp(-ai); р\ = L[f(t); р = a], Re(p + а) > s0.
Доказательство очевидно.
Пример 3. Найти изображение функций e a'cos[3^,
e atsin3t, е al.
Так как
то по теореме 3
£[exp(-<x/)cos₽t; р] = -—. (6)
(p + a) +р2
Совершенно аналогично, используя формулы (5) и (1),
имеем
i[exp(-az)sinpt; р] = ---------5-----, (7)
(р + a) + р2
1
Л[ехр( at); р] = L[c0(t); р + а] = . (8)
Пример 4. Найти ДсЬа£; р], L[shai; р].
Используя теорему 2 и равенство (8), имеем
L[chai; р] =
= р] + р] =
_ 1 1 1 1 _ р
2 р-а + 2 р + а ~ р2 - а2 '
Аналогично
L[shai; р] = —5---7.
р - a
Пример 5. Найти оригинал для изображения
Г(р) = 1/(р2 + 2р + 5).
Имеем
474
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2 2
F(p) = ---------5-----5-, —5----7 = sin2Z.
2[(р +1)2 + 22] р2+22
2 1
------5----5- = e~'sin2f, f(t) = — e_,sin2i.
(р +1)2 + 22 2
Теорема4 (дифференцирование изображения)
dn
(-1)ЛТ^ W(0; р\ = />].
Доказательство. Если Rep > s0, где s0 — показа-
тель роста функции f(t), то интеграл
J /(0 exp(-p#)di
о
существует при любом n = 1, 2, ... Далее, очевидно, что
d" г 7
—J exp (-pt)f(t)dt = J (-t)n exp(-pt)f(t)dt.
р о о
Отсюда
dn
р] = —г L[f(ty, р].
1
Пример 6. Так как
р
получаем
o0(Z), то в силу теоремы 4
= 1 -i,
т. е.
1
* - р2
Продолжая дифференцирование, получим
п!
Г = (п = 1, 2, ...)?
(9)
§ 7.2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
475
Если п не целое, то
Г(п +1)
-7Л-
где
Г(а + 1) = J е 1 tadt = L[t“; 1].
о
При натуральном п имеем Г(п + 1) = п\.
Пример 7. Найти изображение функции /сова/.
Имеем
р cosot/, - р = icosat
р2 +а2 <р2 + a2J
или
р2 - а2
(р2 + а2)
= tcosaZ.
(10)
Теорема5(о дифференцировании оригина-
л а). Справедлива формула
ЦЖЪ р] = pL[/(t); р] - /(0) (Rep > s0) (И)
в предположении, что функция f(t) непрерывна1, имеет
кусочно-непрерывную производную f'(t) на [0, °°) с разрыва
ми первого рода и показатели роста f(t) и f'(t) равны sQ.
Доказательство. Имеем
р] =
~ N
= J exp (-pt)f(t)dt = lim | exp (-pt)f(t)dt =
' N->~ J
0 0
1 Бывают случаи, когда функция fit}, о которой говорится в тео-
реме, задана на интервале (О, <») и существует предел справа /(0+0)=
= lim/(t). Тогда в формуле (11) надо заменить /(0) на /(0 + 0).
z->0
/>0
476
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
= lim е pf/(i) + Р (е ptf(t)dt =
w->~ lo J
о
= -ДО) + pUftt); p] (Rep > So),
потому что
|e'7’JV/(lV)| < —> 0.
N —>OO
Следствие 1. Справедлива формула
HfnKt); p] =
= p"L[/(O; p] - p"’7(0) - ... - pf-2>(0) - pl\0) (12)
(Rep > s0)
при условии, что f(t), ..., f(n~r> (i) непрерывны, кусочно-
непрерывна на [0, о»), а рост функции f вместе с ее про
изводными до порядка п включительно равен s0.
В частности, при
/(0) = Г(0) = ... = Л-»(0) = о (13)
имеет место
р] = p"L[/(t); р]. (14)
Пример 8. Найти изображение функции f(t) = cos2t.
Пусть F(p) = cos2i = f(t). Тогда
f(t) = pF(p) - /(0).
Но
/(0) = cos20 = 1,
2
f(t) = -2sintcosi = -sin2i = - —5--.
p +4
Следовательно,
2
pF(p) - 1 =----y—
pz +4
откуда
1 Г. 2 "I p2 +2
P_ p2 +4 p(p2+4)'
Этот же результат мы получим, если воспользуемся
равенством
§7.2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
477
1 1 р +2
L[cos2t; р] = ~+ -~2—7 = П Л •
2р 2 рл+4 pip +41
Теорема 6 (интегрирование оригинала).
I р
В самом деле, изменяя порядок интегрирования, имеем
оо I оо оо
Iеpt j = J J е pt dt =
0 0 От
/(-г) dx =
1 F(p)
= Р]=—.
Теорем а 7 (интегрирование изображения).
Если интеграл J F(q) dq сходится, то он является
р
изображением функции f(t)/t:
~ ?= J F(q) dq.
p
Доказательство. Изменяя порядок интегрирова-
ния, получаем
J F(q) dq= J j e qlf{t)dt
P p \0 /
dq =
478
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
“ -at
= J je^dq fttydt f
f(t)dt =
= J e f‘dt =
о
T fW.n
L~,p
Замечание 1. Мы применяем здесь и ниже измене-
ние порядка интегрирования. Согласно теореме Фубини,
которую мы здесь не доказываем, эта операция законна,
если полученный после изменения кратный интеграл аб-
солютно сходится. Кроме того, мы считаем, что путь ин-
тегрирования лежит целиком в полуплоскости Rep > s0.
Следствие 2.
о о
если сходятся соответствующие несобственные интегралы.
t
Пример 9. Найти изображение функции J sin 2т йт.
о
Имеем
2
sin2i = —5—
р1 2+4
По теореме 6
sinZ
Пример 10. Найти изображение функции ——
1
Нам известно, что sinZ = —5----. Поэтому по теореме 7
Р +1
§ 7.2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
479
sin t f dq |~ л
—- = J-2TT = arctg<7| = - - arctgp.
i 0 q -t- ± z
Пример 11. Найти интеграл
f sin t
\ — dt.
о
Используя пример 10 и следствие 2, получаем
f sin t f dq л
i~Tdt= J^Ti = arct4 = 2-
Теоремав (запаздывание оригинала).
Пусть f(t) = 0 при t < 0, тогда
L[f(t ~ U; Р] = р],
где t0 — некоторая точка.
Доказательство. Имеем
- «0; р] = J e~pt fa - Qdt =
о
сю
= J f(t - t0)dt + f e~pi f(t - tjdt =
f -pt
= J e f(t~ t0)dt = {t - i0 = u, dt = du} =
to
= J e p(u+t<>) f(u)du = e-*"° J e P“ f(u)du =
О о
= р].
1
Пример 12. Так как L[o0(Z); р] = , то (рис. 159)
480 гл. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
60(t-h}
ffti
Рис. 159
Рис. 160
а 2а За 4а. Sa Sa
Рис. 161
1
Z[o0(t - Л); р] = e-Ph~.
Пример 13. Пусть (рис. 160)
f(t) = o0(t - ft) - o0(t - ft,) (ft < ftj.
По теореме 2 и теореме 8 имеем
,-рл _ e~ph,
€
р] = L[o0(t - ft); р] - L[o0(t - Л,); р] = - р
Пример 14. Найти изображение функции f(t) (рис. 161),
определенной на отрезке [0, 2а] равенствами
(А, 0 < t < а,
[О, а < t < 2а
и продолженной затем на весь луч t > 0 с периодом 2а.
Имеем
00 ©о (& + 1)О
р] = J e~pt f(t)dt = X J е~Р* fWdt =
0 k=° ka
§72 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
481
„ (2к+1)а
= У J еpl Adt = jr — [е _ е =
*=О 2Ла Р
_ А(1~е~ра)у e-2kpa = А(1-е ра) _ А
Р р(1-е~2ра) р(1 + е~ра)
Выражение
J /1С0/2 (t - T)dT
о
называется сверткой функций f^t) и /2(i) и обозначается
символом Д * /2.
Легко проверить, что
t t
J А(т)/2 (t - T)dx = J 4 (t - т)/2(т)б?т
о 0
(надо сделать замену переменной t - т = и).
Теорема 9. Преобразование Лапласа от свертки
функций /\ и f2 равно произведению преобразований Лап-
ласа от ft(t) и f2(t) (so(fj = s0(/2)):
p
о
= £[Д(О;р]-ВДП;р].
Доказательство. Напомним, что мы считаем, что
Л(0 = /2(0 = О п₽и t < 0. Изменяя порядок интегрирова-
ния (рис. 162) и учитывая, что /2(t - т) = 0 для 0 < t < т,
16. Бугров Я. С.
482
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
J Zi(t) je p,f2(t-T)dt
О кт
dx = {t - т = z, dt = dz} =
ч
e~p^f2{z)dz dx
= J Afrk di j А(гк PZ dz =
о о
= £[/1(т);р]-Ц/2(г);р].
Отметим, что двойной интеграл по бесконечному секто-
ру {0 < т < t, О < t < оо} от функции e~p,f1{x)f^t - т) абсо-
лютно сходится при Rep > s0.
Пример 15.
е* гсЬатс?т; р
= Це'; р] • /Jchaf; р] =
1 Р
р -1 р2 - а2 ’
Следствие 3. Пусть F(p) = fit), G(p) = git), тогда
имеет место формула Дюамеля1
t
pF(p)G(p) = f(t)g(O) + j f(x) g'(t - t) dx. (15)
о
Доказательство. Имеем по теореме 9
t
F(p)G(p) = J f(x) g(t - x)dx.
о
Отсюда, по теореме 5 о дифференцировании оригинала,
получаем
1 Относительно функции g(t) можно сделать такое же примеча-
ние, как в сноске на с. 475. Дюамель (1797—1872) — французский
математик.
§72 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
483
pF(p}G(p) =
, t t
f(i)g(t - т)</т = f(t)g(O) + J /(t) g'it - -t)dx.
о 0
Теорема 10. Если 3(f(x); у) и L[f(x); p] - соответ-
ственно преобразования Фурье и Лапласа функции f
(s0(f) < 0), то
л/2л 5(/(х); у) = L(f(x); iy} + L[f(-x); -iy}. (16)
В самом деле,
2л5(/(х); у) =
Г -ixy
= J f(x)dx =
ОО 0
Г ~ixv Г -ixu
J е f(x) dx + J е f(x)dx =
о
= L[/(x); н/1 + J e У f(-x}dx =
о
= L[/(x); iy} + £[/(-%); -iy}.
По формуле (16) легко найти изображение Фурье, если
известно преобразование Лапласа функции f.
Пример 16. Пусть
fM =
е ах cos Рх,
0,
х > 0, а > О,
х < 0.
Найти преобразование Фурье этой функции.
Преобразование Лапласа функции f существует (s0(/) =
-а), поэтому
72л S(/(x); y)=L[/(x); iy} = L[e~aicosPx; iy}^ - iy+^ .
(iy + а)2 +p2
Приведем без доказательства ряд теорем о нахождении
оригинала по известному изображению.
Теорема 11. Пусть F(p) - аналитическая функция
на расширенной комплексной плоскости и точка р = «
правильная и F(°°) = 0, т. е. ее ряд Лорана имеет вид
484
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тогда оригинал
F(p)= XtL
*=1 Р
изображения дается формулой
этого
О,
V in
^Сп+1п}’
Л=0
(17)
Л0 =
В самом деле,
—k *
k=lp
п'.
f f(t) e p‘dt = У e~pl tndt =
J " n! J n=oP
0 n=0 0
В силу теоремы 1 § 7,1 (единственности) теорема дока-
зана.
Теорема 12. Пусть F(p) — дробно рациональная фун-
кция с полюсами pt, р2, ..., рт. Тогда
f(t) = У Выч[Г(р)<|. (18)
*=1^‘
Если pk — простые полосы и F(p) = А(р)/В(р), где А(р),
В(р) — многочлены без общих корней, то
(19)
Теорема 13 (формула Меллина1). Если F(p) -
аналитическая функция в Rep > s0, F(p) —> 0 равномерно
x+i°°
относительно argp, или |р| -» Jl F(p)| dy < М, то F(p)
x~i^>
является изображением функции
f(t) = /г [ ept F(p)dp (х > s0). (20)
Zill J
1 P. X. Меллин (1854-1933) - финский математик.
§ 7.2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ 485
Пример 17. Найти оригинал функции
F(p) = 1/{р - 1)(р2 + 1).
Будем пользоваться теоремой 12. Здесь А(р) = 1, В(р) =
= (р - 1)(р2 + 1)- Точки р = 1, р = ±i являются простыми
полюсами функции F(p). По формуле (19) имеем (В'(р) =
= Зр2 - 2р + 1)
е1 еа е'и 1
Л,) Т - 2(ГП) + 2(Го 2 ~cos' - sto'1'
Пример 18. Найти оригинал fit), если F(p) = sin(l/p).
Имеем
1 1 1 1
sinp = р ~ 3! р3 + 5!р5 - "• ’
т. е. F(p) удовлетворяет условию теоремы 11. Поэтому
Для удобства пользования сведем все полученные изоб-
ражения элементарных функций в единую таблицу.
Номер по порядку Оригинал Изображение
1
1 1 P a
2 sinai p2 + a2 P
3 cosat cosa(t - t0) p2 + a2 pepl<'
4 p2 +a2 1
5 p + a
486
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Номер по порядку Оригинал Изображение
shat cha? a
6 p2 - a2 P
7 p2 - a2 ₽
8 e^'sinPt (p + a)2+p2 p + a
9 е-"' cospt (p + a)2 + p2 Г(п +1)
10 tn p"+1 . стад
11 (-i) dpn 1
12 te~al (p + a)2 2pa
13 tsmat (p2+a2)2 2 2 p - a
14 tcosat (p2+a2)2
15 W), /(0) =... ...= Л"1}(0) = 0 pnF(p}
i f 1
16 J Z(T) dT 0 7F(p)
§ 7.3. ПРИЛОЖЕНИЯ
487
Номер по порядку Оригинал Изображение
17 АО t J F(q) dq p
18 f(t ~ t0) ep«>F(p) 1
19 o0(f - ft) e~fh — P
20 ДЛ;р1-Д/2; Pl
21 + + J AO g'tt - T)dT 0 pL[f; p]- L[g; p]
22 > 0) k~0 у ck Dk k=l P
§ 7.3. Приложения операционного исчисления
7.3.1. Операторное уравнение. Пусть дано ли-
нейное дифференциальное уравнение n-го порядка с по-
стоянными коэффициентами
а„х<"?(х) + ... + a^(t) + aox(t) = f(t). (1)
Требуется найти решение уравнения (1) для t > 0 при
начальных условиях
х(0) = х0, х'(0) = х'о, ..., х<л ,>(0) = х0<п-,>. (2)
Пусть x(t) является решением (1), удовлетворяющее
начальным условиям (2). Тогда после подстановки этой
функции в (1) мы получим тождество. Значит, функция,
стоящая в левой части (1), и функция f(t) имеют одно и то
же L-изображение:
488
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
k
V d х
L*=o иг
В силу следствия 1 § 7.2
dkx
L Р
at
= р].
= р*£[х; р] - р* ’х(О) - ...
- рх'*2>(0) - х<* ”(0).
Поэтому, используя свойство линейности изображения,
получаем
dnx.
a"L dtn ’р + — + ao Ц*; pl = Llf’ Al;
ап[рпДх; р] - рп1х0 - р'12х'о - ... - pxjn г> -
- x0<n D] + ап1[рп Щх; р] - рп~2х0 - ... - рх0" 3 -
- х0<"-2’] + ... + aT[L[x; р] - х0] + а0 Цх; р] = L[f; р].
Для краткости записи обозначим L[x- р] = х(р),
L[f; Pl = F(p). Тогда
х(р) - [ар'1 + ап ,р"-’ + ... + агр + а0] =
= а„[р" ~'х0 + рп-2х'о + ...+ х0(п1>] +
+ ап_,[рп 2х0 + рп-3х'о + ... + х0<" 2>] + ...
... + а2[рх0 + х'о] + а,х0 + F(p). (3)
Уравнение (3) будем называть вспомогательным урав
нением или изображающим уравнением, или операторным
уравнением.
Отметим, что коэффициент при х(р) в (3) получается
dkx
dtk
из левой части (1) формальной заменой производных
на степени р*. Обозначим этот коэффициент через
Rn<P) = апРп + a„-iP'"' + - + + «о-
Легко видеть, что этот коэффициент является левой
частью характеристического уравнения для дифференци-
§ 7.3. ПРИЛОЖЕНИЯ
489
ального уравнения (1) (см. (2) § 1.16). Тогда изображение
решения находим в виде
ад -
RM RM
(4)
где
V„-!(P) = а^о + а2(рх0 + х'о) + а3(р2х0 + рх’о +
+ х"0) + ... + ап[р"1х0 + рп2х'о + ... + рх0<'12) +
+ x0(ni,l-
Если начальные условия нулевые, т. е. х0 = ... = х0(п1) =
= 0, то формула (4) запишется
ад -
им
Если теперь по изображению (4) или (4') мы найдем
оригинал, то в силу теоремы единственности это и будет
искомое решение x(t).
(4')
Пример 1. Решить уравнение
х + 4х = 2, х0 = х'о = О.
По формуле (4') имеем
2
р(р2 + 4) ’
х(р) =
так как 2 = 2/р. Разложим изображение на простейшие
дроби
, 11 Р
Х(р) = —-----»---
2 [ р р2 +4
Отсюда
х(0 = - Vcos2i = V “ ^cos2t.
Мы получили решение (1 - cos2t)/2 только для t> 0.
Легко проверить, что оно удовлетворяет нашему уравне-
нию и при t < 0. Впрочем, этот факт следует из общих
соображений, на которых мы не останавливаемся. Это
замечание относится и к примерам 2-4.
490
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Можно также воспользоваться теоремой 12 § 7.2 А = 2,
В = р(р2 + 4), В' = Зр2 + 4; 0, ± 2i - простые нули много-
члена В(р)):
x(t) = 2
eot е2и е~2и
В'(0) B'(2i) B'(-2i)
— - —cos2t.
2 2
Пример 2. у" = 21/ + 5y = sinx, y(0) = 0, t/'(0) = 1-
Составим вспомогательное уравнение:
[р2У(р) ~ РУ(О) ~ //'(0)] + 2[p y(p) - i/(0)] + 5y(p) =
1
“ P2+l’
1
y(p)(p2 + 2p + 5) = 2 + 1.
P +1
Отсюда
____________1 1
(j>2 +l)(p2 +2/? + б) pz++2p + 5
______f>2 + 2______
(p2 + 1)(p2 + 2p + 5) '
Многочлен B(p) = (p2 + l)(p2 + 2p + 5) имеет простые
нули p = ± i, p = -1 ± 2i. На основании теоремы 12 § 7.2
(A = p2 + 2, B'(p) = 2p(p2 + 2p + 5) + 2(p + l)(p2 + 1))
имеем:
A(± i) = 1, B'(i) = 4i(2 + i), B'(-i) = -4Ц2 - i),
A(-l + 2i) = -1 - 4i, B'(-l + 2i) = ~8i(2i + 1),
A(-l - 2i) = 4i - 1, B'(-l - 2i) = -8i(2i - 1),
eix e~ix , - (1 + 4i)e(-1+2i)x
^x) = 4i(2 + i) + -4i(2-i) + - 8i(2i +1)
§ 7.3. ПРИЛОЖЕНИЯ
491
- (4t - 1)е (1+21)* sin x cos x
— 8i(2i — 1) = 5 10
cos2x 9 . „
------ч---sin 2x
10 20
При решении дифференциального уравнения иногда
удобно использование формулы Дюамеля (см. (15) § 7.2).
Будем рассматривать уравнение (1) при нулевых на-
чальных условиях: х(0) = ... = х("“”(0) = 0. К этому слу-
чаю всегда можно свести задачу заменой искомой функ-
ции по формуле
tk
= y(t) + х<*)(0).
k=0
Допустим, известно решение уравнения (1) при правой
части, равной единице, и нулевых начальных условиях.
Операторное уравнение для данной задачи имеет вид
1
Д„(Р)*1(Р) = р (5)
где хДД) - изображение решения x,(t) указанной задачи.
Из равенства (4') и (5) находим
F(p)
Х(Р) = ₽ 1,0 = Pxi(P)F(P)- (6)
★ЧАР)
Согласно формуле Дюамеля
t
pF(p)x1(p) =. /(f)Xj(O) + J f(T)x\(t - T)dz
0
или учитывая, что Xj (0) = 0, получаем
t
x(p) = pF(p) хг(р) = J ft-t) x',(i - T)dT.
0
Отсюда решение уравнения (1) при нулевых началь-
ных условиях будет иметь вид
492
ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
t
x{t) = J Дт) x\(t - T)dT, (7)
о
где xx(t) - решение уравнения (1) при f{t) = 1 и нулевых
начальных условиях.
Пример 3. Решить уравнение
1
х" - х = ----7 , х(0) = х'(О) = 0.
1 + е
Решим вначале задачу Коши для уравнения
х\ - х, = 1, х, (0) = х\ (0) = 0.
Составим операторное уравнение:
р2хДр) = хг(р) = хг(р) = / 2 -
Р рр -1
Р _ £
р2-1 Р'
Отсюда
Xj(t) = chf - 1.
Замечание. Так как правая часть уравнения х", -
-х'1 = 1 имеет специальный вид, то решение этого уравне-
ния можно проводить и обычным образом (см. § 1.18).
По формуле (7)
t , - * Л-t „-Я-Т
г 1 t е — е
м - Jl77sh(' ’ ‘ | 2(1+г) л ‘
ef г e~*dt f rf(c 1 +1)________e‘ +1
2 J l + eT 2 J l + ex ” 2 ™ 2
о о
ef f e xde x
TJ e-x + i
о
+
el Ие"+1) __e-f . ef+l
+ 2 J e~x +1 2 Ы 2
e*
~2
§ 7.3. ПРИЛОЖЕНИЯ
493
е* , е ‘ +1 , е* +1 1
+ 2~1П—2— = shHn~2~ + z^~tet + е* ~ 1]’
7.3.2. Решение систем дифференциальных
уравнений. Рассмотрим этот вопрос на конкретном при-
мере.
П р и м е р 4. Пусть требуется найти решение линейной
системы
2х + у + х = 1,
х + Зу + 2у = О
при начальных условиях р(0) = х(0) = 0.
Обозначим х(р), у(р) изображения искомых функ-
ций. Составим вспомогательные уравнения:
2рх(р) + ру (р) + х(р) = —,
Р
рх(р) + Зру(р) + 2у(р) = 0.
Таким образом, для изображений мы получили линей-
ную систему алгебраических уравнений. Определитель
системы
Д =
= 5р2 + 7р + 2.
2р + 1 р
р Зр + 2
Решая систему алгебраических уравнений, находим
Зр + 2 _ -1
р(5р2+7р + 2)’ V^~ 5р2+7р + 2’
Изображение у(р) запишем в виде
1._______1_______2 0,3
У Р ~ ~ 5 (р + 0,7)2 - 0,09 3 (р + О,7)2 - (0,3)2 ’
откуда
y(t) = -|e-°-7'sh(0,3)i.
О
Далее
494 ГЛ. 7. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
_( )= 3________ + 1 _ 5р + 7 =
ХР б[(р + 0,7)2 -(0,3)2] р 5рг+7р + 2
__ 2^>3 1 _ р + 0,7 _
(р + 0,7)2 - (0,3)2 р (р + 0,7)2 - (0,3)2
_________0,7
(р + 0,7)2 - (0,3)2 ’
т. е.
7
x(z) = 2е 0,7'sh(0,3t) + 1 - e-°-7ich(0,3f) - - е °-7,sh(0,3i) =
3
= 1 - | e-°-7'sh(0,30 - e“°’7fch(0,3t).
О
7.3.3. Вычисление интегралов.
fl — cos xt
Пример 5. Вычислить интеграл Дх) = J dt.
о
Найдем изображение этого интеграла:
L[7(x); р] = J е 0 = J J е~рх (1 - cos xt)dx 0 0 г 1 р dt р2+,2Ь2 J Таким образом, _„Г1-С«Х<йг/х_ 1 f dt 7 dt = Ji[l - cosxi; p\-f = Z 0 dt I t 5 Г = — arctg- p(p2+t2) P Pt^ n ~ Тр2' к
ГЛАВА 8
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 8.1. Понятие обобщенной функции
В последнее время в математике и ее приложениях
получили большое применение обобщенные функции. Само
понятие обобщенная функция возникло в работах П. Ди-
рака1.
Общая математическая теория обобщенных функций
заложена в работах С. Л. Соболева2 и Л. Шварца3.
Ниже излагаются элементарные сведения из теории
обобщенных функций, заданных на всей бесконечной
действительной оси (-«>, °°).
В основе этой теории лежит пространство S, состоящее
из функций ф(х), вообще говоря комплекснозначных
(ф(х) = ф1 (х) + гф2 (х), ф1 и ф2 - действительные функции).
Каждая функция ф е S обладает следующими свойства-
ми:
1) ф(х) непрерывная на оси (-<», бесконечно диффе-
ренцируемая функция;
2) для любого неотрицательного целого числа k и
любого многочлена произвольной степени п
1 П. Дирак (1902 г. рожд.) - английский физик.
2 С. Л. Соболев (1908 г. рожд.) - советский математик.
3 Л. Шварц (1915 г. рожд.) - французский математик.
496
ГЛ. 8. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Р„(х) = аоХ" + а1Х" * + — + ап-1Х + ап
произведение k-й производной от ф(х) на многочлен Рп(х)
стремится к нулю при х —» «>:
lim ф‘*,(х)Ря(х) = 0.
Из этих свойств вытекает, что для каждой функции
<р е S существует конечный несобственный интеграл
оо (Л = 0, 1, 2, ...).
(1)
В самом деле, по условию, например, существует пре-
дел
lim [(1 + х2)тф<ч(х)] = 0,
X —
где т - любое натуральное число. Следовательно, для
числа е = 1 существует такое число 7V > 0, что
|(1 + х2)“ф<*Чх)| < 1 (2)
для Vx с |х| > N. И так как функция (1 + х2)тфк}(х) непре-
рывна на отрезке [-2V, 7V], то по теореме Вейерштрасса
(см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциаль-
ное и интегральное исчисление», с. 94, теорема 1) ее мо-
дуль ограничен на [—N, N] некоторым числом М:
|(1 + х2)тф<*>(х)| < М (х е [-(V, Л'])-
Но тогда
|(1 + х2)тф(Ч(х)| < М + 1 (Vx 6 (-оо, оо))
и, следовательно,
М + 1
№*ЧХ) < - ~ (х е (-«, оо)), (3)
(1+*)
откуда
Этим мы доказали, что всякая функция ф е S, вместе
со своими производными ф<*)(х), принадлежит простран-
ству L' = L’{—°о, оо).
§8.1. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ
497
Примером функции ф е S может служить функция
ф(х) = ехр(-х2). Это бесконечно дифференцируемая на
(-«, оо) функция. Ее производные соответственно равны:
<р'(х) = -2хехр(-х2), ф"(х) = (4х2 - 2)ехр(-х2),
<р"(х) = (~8х3 + 12х)ехр(-х2).
По индукции нетрудно показать, что
<р(*)(х) = (?Дх)ехр(-х2),
где Qh(x) есть некоторый многочлен степени k.
Если теперь Рп(х) есть произвольный многочлен степе-
ни п, то произведение Pn(x)Qt(x) = Rn+k(x) есть, очевидно,
некоторый многочлен степени п + k и
lim ф»*>(х)Рп(х) = lim йп+А(х)ехр(-х2) =
= lim(coxn+* + ... + сп+к^х + c„4t)exp(—х2) = О,
X—
так как при любом I > О
lim х'ехр(-х2) = О
(см. ту же книгу, с. 158, пример 2).
Рис. 163
Вторым примером функции ф е S является так назы-
ваемая финитная на (—ООэ ©о) функция. Это бесконечно
дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого
отрезка [a, 6] (рис. 163). Любая ее производная тоже равна
нулю вне [а, Ь] и, следовательно, для любого многочлена
Р„(х) степени п
lim ф(*'(х)Рп(х) = 0.
Во множестве S вводится понятие предельного перехода.
Последовательность {фДх)} функций из S называется
сходящейся к функции ср е S в смысле S, если для любого
498 ГЛ. 8. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
неотрицательного целого числа I и любого многочлена
Рл(х) имеет место равенство
lim (ф/«(х) - ф('>(х))Р„(х) = О
равномерно относительно всех х е (—°°, °°). Иначе говоря,
для любого неотрицательного целого числа I, любого
многочлена Рп(х) и любого £ > 0 найдется число Ло такое,
ЧТО |ф*(/)(х) - ф(/)(х)| • |-Р„(х)| < £, ДЛЯ V/?>/?ohVxg (-0°, 00).
Если последовательность {фА} сходится к ф в смысле S,
то пишут
фДх) -> ф(х) (S) или lim фЛ(х) = ф(х) (S).
Множество функций ф е S обладает следующим свой-
ством: если ф е S, V е S и «, Р - произвольные числа,
вообще комплексные, то
осф + Рф е S.
Благодаря этому свойству множество S называется
линейным множеством (или пространством).
Введем определение: если каждой функции <р е S, в
силу некоторого закона, приведено в соответствие число
у, то говорят, что на S определен функционал F и пишут
у = F<p = (F, ф).
Функционал F называется линейным, если он облада-
ет свойством: каковы бы ни были функции ф е S и ф е S
и комплексные числа а, Р справедливо равенство
Е(осф + Рф) = «Еф + РЕф
или, в другой записи, (Е, осф + Рф) = ос(Е, ф) + Р(Е, ф).
Функционал F называется непрерывным, если для
любой последовательности {ф4} функций фА g S, сходя-
щейся в смысле S к некоторой функции ф, имеет место
равенство
lim Е(фЛ) = Е(ф).
ф*-+ф(£)
Линейный и непрерывный функционал, определенный
на S,
Е(ф) = (Е, ф) (ф g S)
называется обобщенной функцией над S.
Совокупность всех обобщенных функций над S обозна-
чается через S'. Приведем примеры обобщенных функций.
§8.1. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ 499
Пусть F(x) есть кусочно-непрерывная функция, удов-
летворяющая неравенству
|F(x)| < с(1 + х2)', (4)
где I — некоторое натуральное число. Покажем, что интег-
рал
(F, ф) =
j F(x) (p(x)dx (ф e S)
(5)
есть обобщенная функция F g S', т. е. линейный непре-
рывный функционал над S. В самом деле, на основании
неравенства (4) и неравенства (3), в котором надо поло-
жить k = 0, т = I + 1, интеграл (5) сходится, и притом
абсолютно:
М + 1
dx =
f dx
= С(М + 1) I -----
-~1 + Х
Линейность функционала (5) очевидна. Функционал (5)
является также непрерывным в смысле S. В самом деле,
пусть
Ф„ -> Ф (S).
Тогда, в частности, стремится к нулю величина
max (1 + х2)/+1|фп(х) - ф(х)| -> 0.
х
Поэтому для любого г > 0 найдется N > 0 такое, что
при п > N
тах(1 + х2)'+’|фп(х) - ф(х)| < £. (6)
X
Но тогда, в силу (4) и (6).
1(*\ Ф„) - Ф)1 = J ^(х)[фп(х)-ф(х)1^ S
500
ГЛ. 8. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Г . , ах
< С J ( 1 + Х2)'+,|фп(х) - ф(х)| 1 + х2
г dx
< СЕ ——-г = С.Е (п > N),
Д1 + X
и мы доказали непрерывность функционала (F, ф).
Важно отметить, что для того чтобы две кусочно-не-
прерывные функции Fj(x) и F2(x), удовлетворяющие при
некотором I неравенству (4), представляли при помощи
равенства (5) равные обобщенные функции F1 = F2 е S',
необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
-Fj(x) = F2(x) во всех точках непрерывности F,(x) и F2(x).
Достаточность условия очевидна, так как величина
интеграла не изменится, если подынтегральную функцию
изменить в конечном числе точек. Но можно доказать,
что это условие является также и необходимым.
В связи со сказанным обобщенную функцию, предста-
вимую при помощи интеграла (5) кусочно-непрерывной
функцией F(x), отождествляют с этой обычной фун-
кцией. Например, sinx,
, ехр(-х2), ^а*х\ о0(х) =
J1, х > 0,
= jo х<0 ~ функция Хевисайда, обычные функции,
но также и обобщенные, принадлежащие S'. Для них спра-
ведливы неравенства типа (4):
|sinx| < 1,
sinx
х
< 1, ехр(- х2) < 1,
ло
< с(1 + X2)", |о0(х)| < 1.
Имеется много и других обычных функций F(x), кото-
рые определяют при помощи равенства (5) обобщенную
функцию F(F е S'), хотя они и не удовлетворяют неравен-
ству (4). Например, нетрудно показать, что функция
§ 8.2. ОПЕРАЦИИ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ 501
ф(х) = 1п|х|, хотя и не удовлетворяет неравенству (4), все
же порождает обобщенную функцию (ф е S').
Однако существуют элементарные функции F(x), для
которых интеграл (5) не является линейным непрерыв-
ным функционалом над S. Функция F(x) = ехр(х2) являет-
ся примером такой функции. Ведь у(х) = ехр(-х2) е S, но
J F(x) ф(х)Лс = J ехр(х2) exp(-x2)dx = J1 dx =
Обобщенную функцию F е S', порожденную обычной
функцией F(x) в виде интеграла (5), называют регулярной
обобщенной функцией.
Однако в S' входят также и другие обобщенные функ-
ции.
Важным примером обобщенной нерегулярной функции
является дельта-функция Дирака, обозначаемая через 8(х).
Функция 8(х) есть функционал, определенный на функ-
циях ф е S при помощи равенства (8, ф) = ф(0) (ф е S).
8-функция приводит в соответствие каждой функции
ф е S ее значение в точке х = 0. Можно доказать, что не
существует обычной функции F(x), которая представляла
бы 8-функцию в виде интеграла (5), т. е. функция Дирака
— это подлинно обобщенная функция.
§ 8.2. Операции над обобщенными функциями
Производная от обобщенной функции F е S' по опре-
делению есть обобщенная функция F', определяемая ра-
венством
(F, ф) = -(F, ф') (ф е S). (1)
Так как из того, что ф е S, следует, что ф' е S, и из
того, что фп —> ф (S), следует, что ф'п -> ф' (S), то функцио-
нал (F, ф') является непрерывным функционалом над S.
Линейность его очевидна. Определение (1) естественно,
потому что, если, например, обычная функция F(x) е S, то
j Г'(х)ф(х)с/х = Г(х)ф(х)|“по - J F(x) <p'(x)dx =
502
ГЛ. 8. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
= - J F(x) <p'(x)dx.
Ведь всякая функция из S стремится к нулю при х —>
Очевидно, что любая обобщенная функция F е S' имеет
производную (обобщенную) какого угодно порядка, опре-
деляемую по индукции = (Fk r>)'.
Таким образом,
(F™, ф) = (-1)*(Г, ф<*>).
Например,
(5<А\ ф) = (-1)*(5, ф(*>) = (-1)*ф(*)(0);
(с'о’ ф) = “(°0’ ф') =
= - | с0(х)ф'(х)с(х = - j ф'(х)<4х = - ф(х)|“ = Ф(О) =
— 03 О
= (S. Ф)-
Таким образом, производная от регулярной обобщен-
ной функции Хевисайда с0(х) равна 5(х), т. е. подлинно
обобщенной функции (</0(х) = 5(х)).
По определению последовательность обобщенных фун-
кций Fn е S' сходится к функции F е S' (Fn —> F(S')), если
’ (Fn> Ф) = (F- ф) (^ф е S).
Отсюда автоматически также следует, что последова-
тельность производных F'n сходится к производной F,
потому что
(F'„, ф) = -(Fn, ф') -> -(Г, ф') = (F', ф) (п оо).
Можно рассматривать ряд
F = и, + и2 + и3 + ... (2)
функций uk е S', имеющий своей суммой функцию F е S',
что надо понимать в том смысле, что
N
^uk ^F(S')(N^~).
. *=1
Из сказанного, очевидно, следует, что ряд (2) можно
почленно дифференцировать:
F' = и\ + и'2 + и'3 + ..., (3)
§ 8.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 503
т. е. ряд (3) сходится в смысле (S'). Но тогда его можно
почленно дифференцировать любое число раз:
Fk = икг + ик2 + ик3 + k = 1, 2, ... .
Для обобщенной функции F по определению вводится
операция умножения на бесконечно дифференцируемую
функцию Х(х) с помощью равенства (KF, ф) = (F, Хф), где
для некоторых I |Х(х)| < с(1 + |х|с).
Отметим еще, что если F(x) е S', ц 0 — действительное
число, то обобщенные функции F(p - х), .F(jix) определя-
ются при помощи равенств
(Г(ц - х), ф(х)) = (Г(х), ф(ц - х)),
(Лцх), ф(х)) = и1 ад, ф - .
Естественность данных определений легко выясняется
на обычных функциях из пространства S.
§ 8.3. Преобразование Фурье
обобщенных функций
Отметим, что если функция ф принадлежит S, то ее
преобразование Фурье ф (х) = ~т== Г (p(t)e~lxldt также
принадлежит S.
При этом преобразование ф = ф отображает S на S
линейно и непрерывно.
Непрерывность заключается в том, что если какая-либо
последовательность функций фл е S сходится в смысле S
к функции ф, то и фп сходится к ф :
ф„ -> ф (S) при Ф„ -> Ф (S).
Подобные факты имеют место и для обратного преоб-
разования Фурье ф функции ф е S
ф(х) = —Г (p(t)eixtdt
504 ГЛ. 8. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
После сделанных замечаний естественно определить
преобразование Фурье обобщенной функции F е S' с помо-
щью следующих равенств:
(F, ф) = (F, ф), (F, ф) = (F, ф). (1)
Так как для функции ф е S имеет место равенство ф =
= Ф = ф (см. § 4.12, с. 120), то подобные равенства верны
также для обобщенных функций: F — F = F, F е S'. В
самом деле, например, ( F, ф) = ( F, ф) = (F, Ф) = (F, ф),
откуда следует, что F = F.
Отметим еще, что если ф(£) е S, то ф (t), Zip(t), ф'(<)
также принадлежат S, и имеет место равенство
[ itq(t)eltxdt
2-rr J
(2)
ф'(х) = 2— [ - ltxdt
V27t J
или, коротко,
ф' = itф = —itty .
Для обобщенных функций имеет место подобный факт:
F = ixF ~ —ixF . (3)
В самом деле, например в силу (1) и (2), получаем
(-ixF , ф) = (-ixF, ф) = (F , -£хф) =
=(F, -1хф) = -(F, ф') = (F, ф),
t. e. F = — ixF и (3) доказано.
По индукции легко выводим, что
= (ixy=F = (-ix)*F (k = 0, 1, 2, ...).
§ 8.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 505
Пример. Найти преобразование Фурье обобщенной
функции Дирака.
Решение. По определению имеем
( 8 , ф) = (8, й) = ф (0) = 2— [ (p(t)e ‘xtdt\
V2n Д ‘*=°
f <p(o dt.
2n J
Отсюда 8 — —7= . Аналогично можно получить, что
V2n
Преобразование Фурье обобщенных функций обладает
свойствами преобразований Фурье обычных функций, от-
мщенных в задачах § 4.12. Например, если F е S', то
e^‘F =F(x + ц) при любом действительном ц * 0.
В самом деле, на основании подобного свойства для
функций изД^меем
(е'"' F , ф) = (еФ' р , ф) = (f , е*‘ ф) =
=JJF, е*“ф) = (F, ф(х - ц)) = (F(x + ц), ф),
откуда e^‘F = F(x + ц).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономная нормальная систе-
ма 105, 106
Амплитуда колебания 29
Аналитическая функция 405,
407
Асимптотически устойчивое
решение 138
Бернулли уравнение 36, 59
Бесселя функции 132
Вариации метод 87
Вариационная задача 392
Вейерштрасса признак 224
- теорема 343
Вектор собственный 115
Вектор-функция 235
Векторов поле 235
Внешняя мера множества
— фигура 161, 162
Внутренняя мера множества
162
- фигура 162
Вронскиан 76
Вронского определитель 76
Вычет функции 444, 448, 454
Вычисление интегралов при
помощи вычетов 455
------операционного исчис-
ления 494
Гамма-функция 228, 475
Гармоника 293
Гармоническая функция 415,
416
Гармоническое колебание 291,
292
Главная часть ряда Лорана
441
Гладкая поверхность 157, 158
Градиент функции 241
Двойной интеграл 155
Дельта-функция 501
Диаметр множества 155
Дивергенция вектора 278
Дифференцирование изобра-
жения 474
- оригинала 475
Жордана мера 161
Задача Дирихле 363, 364
- Коши 14
- поставленная корректно 137
- Штурма-Лиувилля 387
Замена переменных в интег-
рале 187, 189
Замкнутый контур 231
Запаздывание оригинала 479
Изображение Лапласа 468
- свертки 481
- функции 469
Изоклина 23
Интеграл двойной 155
- Дирихле 390
- зависящий от параметра 219
- кратный 154, 159
- криволинейный второго рода
238
--первого рода 233
- матрицы 108
- от вектора вдоль кривой 233
- по ориентированной плоской
области 268
--поверхности первого рода
259
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
507
- повторный 176, 323
- простой Фурье 323
- Пуассона 217
- Римана 155
- типа Коши 434
- тройной 156
- Фурье 323
Интегральная кривая 13
Интегрирование изображения
477
- оригинала 477
- уравнений при помощи ря-
дов 128
- функций комплексного пере-
менного 425
Классификация изолирован-
ных особых точек 444, 451
- особых точек на бесконечно-
сти 451
- точек покоя 142
Колебание мембраны 382
- пружины 99
- струны 376, 381
Контур замкнутый 231
Конформное отображение 407
Координаты полярные 193,
196
- сферические 193, 196
- центра масс 208
- цилиндрические 198
Корректно поставленная зада-
ча 137
Косинус-преобразование Фу-
рье 331
Коэффициенты тригонометри-
ческого ряда 293
- Фурье 308, 309, 314, 349
Кривая замкнутая 232
- - самонепересекающаяся
232
- кусочно-гладкая 230
- непрерывная 230
- ориентированная 230
Кусочно-гладкая поверхность
157, 158
Лапласа уравнение 363, 366
Лебега мера 162
Линейное уравнение высшего
порядка 73
— первого порядка 24
Линейность изображения 472
Лист Мёбиуса 263
Матрица единичная
- Коши 112
- обратная 108
- симметрическая 120
- фундаментальная 110
Мера Жордана 151
- Лебега 162
Метод вариации произвольной
постоянной 87
- касательных 46
- Лагранжа 125
- Ньютона 45
- Фурье разделения перемен-
ных 369
- Эйлера приближенного ре-
шения уравнения 51
Метрическое пространство 40
Множество меры нуль 163
- связное 370
Момент инерции 212
Начальное условие 15, 60,
62, 363
Неподвижная точка оператора
42
Неравенство Бесселя 316
- Буняковского 311
- Минковского 312
- треугольника 40
Несобственный интеграл 213,
215
- - абсолютно сходящийся
214
508
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- - зависящий от параметра
219
- - равномерно сходящийся
221, 227
--сходящийся 213, 215
Неустойчивый узел 146
Норма функции 311
Область односвязная 247, 404
- многосвязная 404
- типа И 254
- элементарная 254
Обобщенная функция 498
Образ множества 402
Общий интеграл дифференци-
ального уравнения 17
Огибаемая кривая 57
Огибающая семейства кривых 57
Оператор аддитивный 73
- Гамильтона 246
- Лапласа 415, 419
- линейный 73
- - дифференциальный п-го
порядка 73
- непрерывный 42
- однородный 73
- самосопряженный 120
- сжимающий 42
Операционное исчисление 468
Определитель Вронского 76
- Якоби 189, 190
Оригинал 469
Ориентация кривой 230
- области 252
- поверхности 264, 266
Ортогональная система функ-
ций 314
Ортогональность функций 306
Ортонормированная система
функций 314
Особая точка интеграла 213, 227
Особенность существенная 447
- устранимая 445
Особое решение 56
Оценка коэффициентов Фурье
309
Площадь поверхности 200, 206
Поверхностный интеграл вто-
рого рода от вектора 275
Поверхность гладкая 200, 204
- кусочно-гладкая 266
- полиэдральная 289
Показатель роста функции 469
Поле векторов 235
- направлений 22
- потенциала 241
- соленоидальное 284
- трубчатое 284
Полная ортогональная систе-
ма функций 318
Полнота тригонометрических
функций 318
Полнота систем функций в С
и L'2 342
Положение равновесия систе-
мы 139
Полюс функции 446
Понижение порядка уравне-
ния 69
Последовательность итераци-
онная 43
- сходящаяся 41
- фундаментальная 41
- функций 41
--сходящаяся 41
--, - в смысле среднего квад-
ратического 312
--, - по норме 312
--, - равномерно 42
Потенциал 241
Поток вектора 271
Правильная часть ряда Лора-
на 440
Преобразование Лапласа 469
— свертки 481
- Фурье 330, 331, 391, 395,
503
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
509
- Хевисайда 469
Признак Вейерштрасса 228
Признаки сходимости ряда
Фурье 299, 302
Принцип сжатых отображе-
ний 42
Проблема Штурма-Лиувилля
388
Производная от матрицы 107
— обобщенной функции 501
— функции 404
Простой интеграл Фурье 328
Пространство линейное 498
- метрическое 40
- непрерывных функций 41
- полное 41
- S, (S')
- со скалярными произведе-
ниями 310
- фазовое 103, 106
Прямое произведение мно-
жеств 220
Прямоугольник 157
Равенство Парсеваля-Стекло-
ва 319
Равномерно сходящийся несоб-
ственный интеграл 220, 227
Расстояние 40
Регулярная обобщенная фун-
кция 501
Решение асимптотически ус-
тойчивое 138
- Даламбера 38
Решение дифференциального
уравнения
- общее линейного уравнения
неоднородного 73, 90
------ однородного 81
- особое 56
- устойчивое 137
- частное 90, 124
Ротор вектора 246
Ряд Лорана 438
- степенной 435
- Тейлора
- тригонометрический 291
- Фурье 299, 340
— в комплексной форме 322
--по ортогональной системе
функций 314
--кратный 346
Свертка функций 481
Связное множество 370
Седло 153
Синус-преобразование Фурье
381
Система дифференциальных
уравнений 63, 103
- линейная 107
--с постоянными координа-
тами 81, 112
---- однородная 81
----неоднородная 90, 124
Система координат левая 264
--полярная 193, 196
- - правая 264
--сферическая 198
--цилиндрическая 198
- линейно зависимых функ-
ций 74
--независимых функций 75
- уравнений автономная 105,
106
--гиперболическая 152, 153
--динамическая 105
--нормальная 64
-- однородная
--параболическая 152, 153
--эллиптическая 152, 153
- функций ортогональная 314
Скалярное произведение фун-
кций 310
Собственная функция 101, 388
Собственное значение 101,
388
Собственный вектор 115
510
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Соленоидальное поле 284
Спектр непериодической фун-
кции 337
- периодической функции 337
Стационарное распределение
тепла 363
Сторона поверхности 262
Струна 361, 376
Сумма интегральная Римана
159
- Фейера 337
- Фурье 338
Сходимость в среднем квадра-
тическом 312
- несобственного интеграла
213
- по норме 312
— последовательности обоб-
щенных функций 502
- степенного ряда 435
Таблица изображений 485
Температура тела 361
Теорема Гаусса-Остроград-
ского 276
- Гюльдина 209, 210
— Дюамеля 482
- Коши 428
- Ляпунова 140
- о вычетах 454
- Стокса 285
- существования решения си-
стемы уравнений 64, 67
Теорема существования реше-
ния уравнения высшего по-
рядка 66
------первого порядка 47
- Фейера 341
Точка неподвижная оператора
42
— особая изолированная
- покоя 139
Траектория фазовая 105
Узел неустойчивый 146
- устойчивый 144
Уравнение Бернулли 36, 59
- Бесселя 130
- в вариациях 394
- дифференциальное 11
--высшего порядка 65, 73
--линейное 32, 73
--обыкновенное 12
-----первого порядка в пол-
ных дифференциалах 13, 24,
252
--------однородное 29
--------с разделенными пе-
ременными 26, 28
- изображающее колебания
мембраны 382
--струны 376, 381
- с постоянными коэффициен-
тами 81, 90
- теплопроводности 369, 374
- характеристическое 82, 114
Условия Коши-Римана 411,
412
Фаза колебания 291
Фазовая скорость 106
- траектория 105
Фазовое пространство 103,
106
Фигура внешняя множества
- внутренняя множества 161
Фокус 149
Формула Грина 254
- Даламбера 381, 382
- Дюамеля 482
— Коши 431
- Меллина 484
- Стокса 285
Фубини теорема 478
Фундаментальная матрица 110
- последовательность 46
- система решений 74
Функции Бесселя 132
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
511
- линейно зависимые 74
--независимые 74, 75
Функционал 391, 498
- линейный 498
- непрерывный 498
Функция гамма 228
- гармоническая 363, 365
- гиперболическая 410
- Дирака 501
- дробнолинейная 462
- единичная 470
- комплексного переменного
401
- линейная 462
----многозначная 462
---- однозначная 402
- натуральный логарифм 422
- обобщенная 495
- обратная 419
- показательная 409
— потенциальная 241
- степенная 408
- финитная 497
Фурье интеграл 323
--повторный 329
Фурье интеграл простой 328
- коэффициент 299, 300
- преобразование 330
- обобщенной функции
--обратное 330
--прямое 330
- ряд 299, 315, 322, 349, 353
Характеристическое уравне-
ние 82, 114
Центр
- масс 208
- тяжести 208
Цилиндрические координаты
198
Циркуляция вектора 286
Частное решение 90, 124
-- неоднородного уравнения
90
Частота колебания 291, 293
Штопор левый 264
- правый 264
Эйлера ломаная 51
- метод приближенного реше-
ния дифференциального урав-
нения 51
- уравнение 86
Эквивалентные уравнения 14
Элементарная н. область 254,
277
Эллиптическая система урав-
нений 257
Ядро Дирихле 339
- Фейера 340
Якоби определитель 189, 190
Якобиан 189, 190
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Яков Семенович Бугров,
Сергей Михайлович Никольский
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
РЯДЫ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Обложка Т. Неклюдовой
Корректоры: Н. Пустовойтова, О. Милованова
Лицензия ЛР № 065194 от 2 июня 1997 г.
Сдано в набор 10.10.97. Подписано в печать 20.12.97.
Формат 84x108 1/32. Бумага офсетная.
Гарнитура NewtonC. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 26,88. Уч.-изд. л. 27
Тираж 10000 экз. Заказ № 28 4
Издательство «Феникс»
344007, г. Ростов-на-Дону, пер. Соборный, 17.
Отпечатано с готовых диапозитивов в АПП «Джангар».
358000, г. Элиста, ул. Ленина, 245.