Текст
З.Г.ПИНСКЕР
ДИНАМИЧЕСКОЕ
РАССЕЯНИЕ
РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИДЕАЛЬНЫХ
КРИСТАЛЛАХ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНСТИТУТ КРИСТАЛЛОГРАФИИ им. А. В. ШУБНИКОВА
3. Г. ПИНСКЕР
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИДЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО • НАУКА • МОСКВА • 1974
УДК 548
Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в идеальных
кристаллах. Пинскср 3. Г. М., изд-во «Наука», 1974.
В последнее время важное значение приобрели методы исследо-
исследования и контроля различных нарушений идеальной структуры
кристаллов, основанные на динамическом рассеянии, в связи с воз-
возросшим потреблением монокристаллов в полупроводниковой тех-
технике, квантовой электронике и т. д.
В монографии впервые дается полное систематическое изложе-
изложение теории наиболее прецизионных экспериментальных методов и
важнейших результатов, относящихся к динамическому рассея-
рассеянию рентгеновских лучей в идеальных кристаллах. Наряду с этим
приводятся в кратком изложении основы современной теории рас-
рассеяния в кристаллах с дефектами.
Книга рассчитана на читателей, имеющих подготовку в объе-
объеме программ физических факультетов университетов и инжепер-
но-физических вузов.
Илл. 108. Табл. 13. Библ. 170 назв.
Ответственный редактор
член-корреспондент АН СССР Б. К. ВАЙНШТЕЙН
20805—0018
П q^ @1)—74^^—^ © Издательство «Наука», 1974 г
ПРЕДИСЛОВИЕ
На протяжении последних пятнадцати лет получены важные
результаты большого числа теоретических и экспериментальных
работ, посвященных дифракции рентгеновских лучей в кристал-
кристаллах с весьма совершенной структурой. Хотя существенное содер-
содержание динамической теории рассеяния в подобных кристаллах
было разработано еще в 1913—1917 гг. Дарвином и Эвальдом,
новые данные, имеющие принципиальный характер, привели
к возникновению особого раздела физики твердого тела.
Помимо обобщенной теории следует отметить исследования
интерференционных эффектов и рассеяния в поглощающих крис-
кристаллах, а также надежные и прецизионные измерения параметров
рассеяния. Особое значение имеет использование обобщенной тео-
теории для разработки задач рассеяния в несовершенных кристаллах,
в частности на кристаллических дефектах различного типа. Из-
Изложение соответствующих работ не входит в содержание данной
монографии.
Столь интенсивное развитие этой области физики в значитель-
значительной степени обязано возрастающей роли монокристаллических
материалов в самых передовых областях современной техники.
К таким материалам предъявляются высокие требования в от-
отношении совершенства их кристаллической структуры, о чем
рентгеновская дифракция дает богатейшую информацию.
Однако широко распространенные методы рентгеновской топо-
топографии являются чисто эмпирическими и обычно характеризуются
качественной, иногда неоднозначной, интерпретацией получаемых
картин. Совершенно очевидно, что основой этих методов должна
быть полная и строгая теория рассеяния как в идеальных кристал-
кристаллах, так и в кристаллах с дефектами в совокупности с надежным
и прецизионным количественным изучением дифракционных эф-
эффектов.
Настоящая монография, насколько автору известно, является
первым1 в нашей и зарубежной литературе систематическим и пол-
1 Примечание при корректуре.
Уже во время печатания настоящей монографии вышла книга В. И. Иве-
ронооой, Г. П. Р^екевич «Теория рассеяния рентгеновских лучей», Изд-во МГУ,
1972, в'которой имеется раздел, посвященный основам динамической тео-
теории.
3
ным изложением теории, экспериментальных методов и резуль-
результатов в области динамического рассеяния рентгеновских лучей
в идеальных кристаллах.
Следует отметить, что глава 11 в основном написана Ф. Н. Чу-
ховским, которому я выражаю благодарность также за просмотр
и обсуждение некоторых других частей текста.
3. Г. Пинскер
Москва, 1973 г.
Глава 1
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Открытие дифракции рентгеновских лучей в кристаллах
Лауэ, Фридрихом и Книппингом в 1912 г. [1] послужило отправной
точкой развития научных исследований в ряде важнейших на-
направлений. Рассмотрим некоторые из них.
Как известно, это открытие окончательно доказало наличие
волновых свойств у рентгеновского излучения. Вместе с ранее
установленной электромагнитной природой излучения это приве-
привело к важному выводу о том, что рентгеновские лучи составляют
коротковолновую часть электромагнитного спектра. Это откры-
открытие было первым и решающим экспериментальным доказатель-
доказательством периодической структуры кристаллов. Фактически к это-
этому представлению уже пришла теоретическая кристаллография,
прежде всего как к следствию теории пространственных групп
симметрии Федорова [2] и Шенфлиса [3].
Из оптики видимого света было известно, что дифракция
на периодических объектах типа оптических решеток наблюдает-
наблюдается на излучении, длина волны которого порядка периодов, в случае
кристаллических решеток — порядка межатомных расстояний. Яс-
Ясной стала причина того, что видимый свет с длинами волн, при-
примерно в 500—1000 раз большими, чем периоды кристаллических
решеток, не позволил вскрыть с помощью дифракционного экс-
эксперимента периодическую структуру кристаллов.
В это время Лауэ работал над главой о дифракции и интерфе-
интерференции для энциклопедии математических наук и нашел простую
форму для теории двумерных оптических решеток. Результат
эксперимента Фридриха и Книппинга побудил его сделать следу-
следующий шаг и построить простейшую теорию пространственной
или трехмерной дифракции и интерференции. Такая теория
получила наименование геометрической или кинематической
теории.
Одним из первых и наиболее известных направлений работ,
получивших бурное развитие в результате открытия 1912 г.,
является рентгеновский анализ атомной структуры кристаллов.
Огромный экспериментальный материал рентгеыоструктурных ис-
исследований, накопленный в течение более чем полувекового перио_
да, представляет одно из важнейших условий развития физики
и химии твердого тела, с одной стороны, и получения, переработ-
переработки, использования многих материалов современной техники, с дру-
другой [4].
Вместе с тем очевидно, что открытие дифракции рентгеновских
лучей положило начало новой и в высшей степени интересной гла-
главе оптики. Если в оптике видимого света кристаллическая среда
рассматривается как континуум, характеризующийся анизотро-
анизотропией, то оптика рентгеновских лучей должна быть несравненно
ближе к периодической атомной структуре. Однако, к сожалению,
блестящие успехи рентгеноструктурного анализа мало способст-
способствовали развитию этой новой оптики. Кинематическая теория рас-
рассеяния была впоследствии дополнена более правильными расче-
расчетами интенсивностей и атомных амплитуд, учетом влияния теп-
тепловых колебаний, методом определения фаз структурных ампли-
амплитуд, основанным на аномальной дисперсии, и т. д. В таком виде
она вполне удовлетворяла требованиям, которые предъявляли ей
исследователи атомной структуры кристаллов.
Характерной чертой кинематической теории является учет
взаимодействия каждого атома только с первичной, или прелом-
преломленной, волной в кристалле. Эта теория пренебрегает взаимодей-
взаимодействием атома с тем волновым полем, которое создается в кристалле
совокупным рассеянием всех атомов. Другими словами, не учи-
учитывается многоволновое рассеяние, в частности взаимодействие
элементарных волн с преломленной.
Заметим, что в настоящее время проблема многоволнового рас-
рассеяния становится более актуальной в связи с исследованием
структуры белковых кристаллов. Это связано с соотношением
длин волн используемого рентгеновского излучения и периодов
решеток подобных структур.
Наиболее грубым дефектом кинематической теории является
пренебрежение законом сохранения энергии, так как энергия про-
проходящей через кристалл первичной волны считается неизменной,
несмотря на то, что часть ее сообщается рассеянным волнам. Впро-
Впрочем, указанный недостаток получил разумное объяснение впо-
впоследствии, к чему мы еще вернемся.
Первым, кто обратил внимание на схематичность кинематрг-
ческой теории и сделал успешную попытку более строго рас-
рассмотреть рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах, был Дар-
Дарвин [5]. С теорией Дарвина можно познакомиться по книгам
Комптона, Алисона [6], Г. С. Жданова [7] и Джеймса [8].
В его теории многоволновое рассеяние получило наглядную,
хотя и недостаточно строгую, интерпретацию многократного отра-
отражения, что было связано с представлениями английской школы,
возглавляемой Брэггами. Отражение рентгеновских лучей от
кристалла рассматривалось как последовательное прохождение
и многократное отражение от параллельных плоскостей, состав-
составляющих кристалл. При этом не учитывалось многократное рас-
сеяние Внутри данной плоскости. Несмотря на неполноту такого
рассмотрения, Дарвин получил правильную форму максимума
отражения от идеального кристалла, который рассеивает не толь-
только под углом Вульфа — Брэгга, но и в некотором конечном угло-
угловом интервале.
В этот период времени, 1913—1914 jr., Дарвин работал вместе
с Мозли в Манчестере у Резерфорда, изучая интенсивности рас-
рассеянных лучей. Проверяя соответствие экспериментальной ин-
интенсивности той величине, которая была определена им теорети-
теоретически, он установил, что первая примерно в 10 раз сильнее.
Тогда он выдвинул совершенно новую идею, согласно которой
несовершенный кристалл состоит из слегка дезориентированных,
но обладающих внутренней совершенной структурой субъединиц,
или блоков, т. о., согласно современной терминологии, обладает
мозаичной структурой (термин, введенный позже Эвальдом).
При построении своей теории Дарвин предсказал явление
первичной экстинкции, которое заключается в полном отражении
рентгеновских лучей совершенным кристаллом в некоторой обла-
области максимума отражения, а следовательно, в быстром экспонен-
экспоненциальном затухании волн в кристалле. В отличие от этого в моза-
мозаичном кристалле следует ожидать возникновения вторичной
экстинкции, т. е. ограниченного проникновения падающего излу-
излучения вследствие постепенного отражения от отдельных блоков,
надлежащим образом ориентированных по отношению к пада-
падающему пучку.
Эти результаты сыграли важную роль в последующем разви-
развитии. Во-первых, был дан толчок к значительному усовершенство-
усовершенствованию методов измерения интенсивностей. Во-вторых, был ука-
указан путь к переходу от строгой теории рассеяния к кинематической,
как к теории рассеяния в мозаичном кристалле. Впрочем, широко
используемые понятия: идеально или неидеально мозаичный^кри-
мозаичный^кристалл не отличаются ясностью и необходимой четкостью. Во вся-
всяком случае, впоследствии Лауэ, Захариасен и другие исследова-
исследователи показали, что кинематические формулы получаются из формул
для совершенного кристалла при предельном переходе к малым
кристалликам.
Далее, идея блочной или мозаичной структуры реальных
кристаллов послужила исходной точкой развития самостоятель-
самостоятельного направления в физике твердого тела и важных технических
применений рентгенографии. К этому мы вернемся в дальнейшем.
Следует отметить, что представление о реальном кристалле как
о мозаике получило своеобразный резонанс в среде физиков.
Распространялось представление, согласно которому совершен-
совершенных кристаллов заметных размеров вообще не существует и соз-
создать их невозможно.
Глубокий анализ явлений, протекающих при распростране-
распространении «коротких» волн в кристаллах, был проведен Эвальдом [9],
который уже с 1911 г., т. е. еще до открытия дифракции рентге-
новских лучей, работал над проблемой построения теории диспер-
дисперсии света в кристалле, обладающем правильной периодической
структурой. Эта работа сыграла существенную роль в формиро-
формировании тех физических идей, которые были внесены Эвальдом в ди-
динамическую теорию рассеяния рентгеновских лучей [10].
Основы теории Эвальда изложены в книге Джеймса [8].
Здесь мы приведем некоторые замечания Эвальда [4], которые
поясняют его подход к явлениям рассеяния излучения в крис-
кристалле.
Типичная задача кристаллооптики — определение коэффициен-
коэффициента преломления — рассматривается как проблема собственных
значений, аналогичная задаче вычисления частот колебательного
спектра механической системы в стационарном состоянии.
Колебания резонаторов, возникновение и распространение
вызванных этими колебаниями элементарных волн в бесконечном,
неограниченном кристалле рассматриваются не как вынужденные,
а как собственные колебания системы. Существенной чертой такой
колеблющейся системы является самосогласованностъ. Она про-
проявляется в том, что каждый резонатор приходит в колебание под
влиянием волнового поля, образованного суперпозицией эле-
элементарных волн всех остальных резонаторов. Другими словами,
волновое поле предполагает наличие связи между колеблющими-
колеблющимися резонаторами, а резонаторы — наличие связи между излуче-
излучениями, т. е. общее волновое поле. Соответствие между двумя
типами связи является условием, определяющим показатель пре-
преломления п. Если задана частота v, самосогласованность предопре-
предопределит величину X или фазовую скорость q оптических волн в дан-
данном кристалле, а следовательно, и показатель преломления среды
п — c/q.
Роль фазовой скорости q как регулятора, обеспечивающего
конечную величину амплитуды в бесконечном, неограниченном
кристалле, очевидна. Действительно, наличие фазовой скорости
q < с эквивалентно утверждению, что элементарные волны от
некоторых атомных плоскостей, распространяясь, допустим, в на-
направлении х, будут интерферировать с последующими элементар-
элементарными волнами с некоторым сдвигом фаз. Таким образом, ампли-
амплитуда суммарной волны будет пропорциональна (с — #)~1. При
q — с амплитуда бесконечного кристалла обращается в бесконеч-
бесконечность. Следовательно, фазовая скорость q при правильном ее
значении определит «способность» системы резонаторов к образо-
образованию волнового поля надлежащей силы в «самосогласованном»
режиме.
Теория Эвальда, опубликованная в 1916—1917 гг., медленно
и с трудом воспринималась физиками, почти не привлекла к себе
внимания даже в период после окончания войны 1914—1918 гг.
Как представлялось в то время, эта теория приводила к тем же
результатам, что и теория Дарвина, но несравненно более слож-
сложным путем.
8
В действительности, однако, теория Эвальда, изложенная
в [10], имела более богатое содержание. Она включала дисперсию
падающей волны внутри кристалла и естественный переход к мно-
многоволновому рассеянию; детальное рассмотрение двухволнового
случая и использование дисперсионной поверхности, что принци-
принципиально позволяет предугадать аномальное прохождение в по-
поглощающих кристаллах; симметричное и асимметричное отраже-
отражения; отражение по Лауэ; наконец, маятниковое решение и, сле-
следовательно, основные интерференционные эффекты при рассея-
рассеянии в идеальных кристаллах.
В последующих работах теория Эвальда получила несколько
иную форму.
Как известно, в этой теории кристалл рассматривался как
периодическая структура, состоящая из точечных резонаторов
или диполей. Под влиянием внешней волны в кристалле возникает
и распространяется возбуждение диполей, приходящих в коле-
колебание. Эта дипольная волна, в свою очередь, порождает электро-
электромагнитную волну. Использованная в этой теории модель точечных
атомов-излучателей в какой-то мере не соответствовала тому уров-
уровню представлений, которые стали складываться с конца 20-х
и начала 30-х годов. Во-первых, в рентгеноструктурном анализе
начал использоваться метод Фурье-анализа распределения элек-
электронной плотности на основе экспериментальных значений струк-
структурных амплитуд. При этом получались картины непрерывного
распределения электронной плотности, максимумы которой соот-
соответствовали положениям центров тяжести атомов.
Эти результаты находились в соответствии с новой физической
картиной микромира, которая отвечала волновой, или квантовой,
механике Луи де Бройля — Гейзенберга, получившей в 1926 г.
свое первое завершение в работах Шредингера. В 1927—1928 гг.
Венцель, Валлер и, в особенности, Хартри и Фок начали вычргс-
лять на основе квантовой механики атомные амплитуды рассея-
рассеяния рентгеновских лучей с использованием модели непрерывного
распределения электронной плотности внутри атома.
К этому надо добавить, что в 1928 г. была опубликована фунда-
фундаментальная работа Бете [11], в которой, по аналогии с динамиче-
динамической теорией рассеяния рентгеновских лучей Эвальда, была пред-
предложена динамическая теория рассеяния электронов. Эта работа
была вызвана открытием дифракции электронов в 1927 г. В теории
Бете в качестве «рассеивающей материи» для электронов прини-
принималось непрерывное трехкратно периодическое распределение
внутреннего потенциала кристалла.
Все это побудило Лауэ [12] выступить в 1931 г. с работой, в ко-
которой дается иная исходная модель в теории Эвальда, именно,
вместо точечных резонаторов рассматривается непрерывно рас-
распределенная электронная плотность при наличии положительных
зарядов, локализованных в центрах атомов. Под влиянием элект-
электрического поля падающей волны возникает поляризация,
9
пропорциональная в каждой точке локальной величине электри-
электрической напряженности.
Несколько позже (в 1933 г.) сотрудник Лауэ Коолер [13] опу-
опубликовал важную работу, в которой была дана квантовомехани-
ческая интерпретация указанной модели, использованная в из-
изложении динамической теории, данной Лауэ в монографии [14].
Тот же подход был использован Захариасеном в гл. III его
монографии [15]. Ясное и сжатое изложение и удачный выбор
переменных и параметров рассеяния принесли большую попу-
популярность этой главе книги. Многие теоретики и экспериментаторы,
работающие в области динамического рассеяния рентгеновских
лучей, использовали эту книгу и ссылались на нее.
По тем или иным причинам динамическая теория в изложе-
изложении Захариасена, а несколько позже и в изложении Лауэ, в по-
последнем издании его книги 1960 г. [14], и в обзорах Отье [16],
Джеймса [17], Баттермана и Кола [18] получила более широкое
распространение, чем прежняя форма теории Эвальда.
Сопоставляя результаты кинематического и динамического
рассмотрения рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах,
исследователи в период времени между двумя войнами сводят
различия между ними к двум пунктам: в направлениях и угло-
угловой ширине дифрагированных пучков и в величинах интегрального
отражения. Что касается геометрии интерференции, то в течение
указанного периода было выполнено значительное число работ,
посвященных отклонению от формулы Вульфа — Брэгга; изме-
измерениям коэффициента преломления методами, перенесенными из
оптики видимого света; определению универсальных констант,
таких, как заряд электрона; абсолютному определению длин волн
и других величин. Эти исследования, выполненные Парратом,
Бирдином, Бергеном и Дэвисом, Ларссоном, Бэклином, Стен-
стремом, Реннингером и другими авторами, показали с полной
убедительностью справедливость формул динамической теории.
Вместе с тем полученные результаты имели во многих случаях
скорее качественный, чем количественный характер [14].
Еще более отчетливо качественный характер эксперименталь-
экспериментальных доказательств справедливости динамической теории выражен
в исследованиях полуширины максимумов отражений и величин
интегрального отражения. В известных работах Джеймса, Бринд-
лея и Вуда, Вагнера и Куленкампфа и Реннингера было показано
с несомненностью, что в большинстве случаев рассеяние рентге-
рентгеновских лучей от кристаллических образцов, в том числе «моно-
«монокристаллов», находящихся в распоряжении экспериментаторов,
либо стоит ближе к значениям, предписываемым кинематической
теорией, либо носит промежуточный характер между кинемати-
кинематическим и динамическим [7].
На пути к созданию экспериментальных возможностей для
точного воспроизведения динамического рассеяния и измерения
его параметров стояло два наиболее серьезных препятствия.
10
Первое заключалось в необходимости получить пучок рентге-
рентгеновских лучей, который по спектральному разбросу и угловой
расходимости отвечал бы тому приближению падающей плоской
волны, которое лежит в основе теорий Дарвина и Эвальда. Реше-
Решение этой задачи потребовало более полувека, если учесть пионер-
пионерскую работу Комптона [19] 1917 г., который использовал кристалл-
монохроматор, и принять во внимание, что и в настоящее время
превосходные схемы для получения указанных пучков, исполь-
использованные Реннингером, Отье, Бубаковой, Хильдебрандтом и Бат-
терманом и Коора [20], все еще требуют усовершенствования по
тем или иным причинам.
Весьма существенным является то обстоятельство, что пре-
преодоление указанного первого препятствия тесно связано со вторым
препятствием — отсутствием достаточно совершенных кристал-
кристаллов. Что касается естественных образцов, то, как было установле-
установлено Парратом, Бирдином и др. еще в 1932—1933 гг., а затем в важ-
важной серии работ Брогреном A952—1954 гг.), среди естественных
кристаллов кальцита и кварца имеются образцы с весьма совер-
совершенной структурой, вполне пригодные для количественной про-
проверки динамической теории. Искусственно выращенные кристаллы
хлористого натрия были исследованы Реннингером и обнаружили
более или менее сильно выраженную мозаичную структуру.
Таким образом, общим итогом упомянутых исследований было
убедительное доказательство справедливости динамической тео-
теории. Однако при этом создавалось впечатление, что формулы
этой теории в основном, а именно в геометрии интерференции,
приводят большей частью к результатам, которые отличаются от
значений, предписываемых кинематической теорией, на ничтож-
ничтожные углы порядка нескольких угловых секунд. Другими словами,
динамическая теория имеет весьма узкую и специальную область
применения. Что касается интенсивностей, значения которых раз-
различаются в некоторых случаях больше, чем на порядок величин,
то и это различие не имеет существенного значения, так как от-
относится к редчайшим экземплярам кристаллов.
Обратимся теперь к послевоенному периоду.
На фоне общего научно-технического прогресса, темпы кото-
которого особенно усилились после перерыва, вызванного второй ми-
мировой войной, выделяется возникновение и развитие промышлен-
промышленности, связанной с полупроводниковыми материалами, прибора-
приборами и различными устройствами, включающими полупроводнико-
полупроводниковые приборы. Исходными условиями возникновения этой промыш-
промышленности были два взаимосвязанных фактора: развитие физики
полупроводников и разработка технологии получения сверх-
сверхчистых полупроводниковых материалов и, в особенности, изго-
изготовления весьма совершенных монокристаллов, прежде всего
Ge, Si и GaAs. Далее было установлено, что полупроводниковые
монокристаллы обладают нужными свойствами и выполняют те
или иные заданные функции либо при ничтожных специально
11
введенных добавках, либо в сверхчистом состоянии, но во всяком
случае — при максимально возможном совершенстве кристал-
кристаллической структуры. Естественно, бурное развитие получили ме-
методы исследования подобных монокристаллов. Потребности прак-
практики вызвали большой интерес, в частности, к динамическому
рассеянию рентгеновских лучей, как к одному из основных
методов исследования и контроля степени совершенства кристал-
кристаллов.
Использование монокристаллических материалов в современ-
современной технике, как известно, не ограничивается полупроводниками.
Большое значение имеют монокристаллы кварца и других веществ
в квантовой электронике и радиотехнике.
В этих условиях существенную роль сыграли интенсивные
теоретические и экспериментальные исследования, выполненные
на протяжении последних 15—20 лет и относящиеся как к дина-
динамическому рассеянию в идеальных кристаллах, так и к рассея-
рассеянию в слегка искаженных кристаллах.
Важным этапом в разработке динамической теории было рас-
рассмотрение случая поглощающего кристалла и вывод формул для
коэффициентов и интегральных величин отражения и прохожде-
прохождения. Существенно отметить, что один из важнейших эффектов,
наблюдаемых при динамическом рассеянии в идеальных кристал-
кристаллах, именно, эффект аномального прохождения в области макси-
максимума, не был предсказан теоретически, а обнаружен чисто экспе-
экспериментально в работах 1941 г. и главным образом 1951 г. и был
назван эффектом Бормана по имени автора этих работ [21]. Между
тем Захариасен в своей книге [15] A945 г.) ничего не говорит об
аномальном прохождении, хотя приведенные им формулы при
незначительном преобразовании однозначно указывают на
наличие такого эффекта. Фактически в работе Лауэ 1949 г. [22]
эффект Бормана показан как очевидный вывод из динамической
теории.
Аномальное прохождение рентгеновских лучей в толстом по-
поглощающем кристалле имеет важное принципиальное и практи-
практическое значение.
Как известно, в основе динамической теории Эвальда — Лауэ
лежит квазиклассическое уравнение Максвелла, решением кото-
которого является так называемая блоховская волна, которая в двух-
волновом приближении аппроксимируется двумя плоскими вол-
волнами. Дальнейший анализ приводит к двум волновым полям
(модам) в кристалле для каждого из двух стандартных состояний
поляризации. Эффект Бормана заключается в том, что для одного
из полей поглощение резко возрастает, а для другого резко сни-
снижается против нормального, что и приводит для этого поля к ано-
аномальному прохождению. Аномальное прохождение одного поля
и поглощение другого находят свое выражение в своеобразных
формах максимумов прохождения при различных условиях экспе-
эксперимента.
12
Наряду с исследованием поглощающего кристалла, на протя-
протяжении главным образом 60-х годов началось всестороннее изу-
изучение интерференционных эффектов, сопровождающих динами-
динамическое рассеяние в кристаллах со слабо выраженным поглоще-
поглощением. Эти интерференционные эффекты, представляющие большой
интерес с чисто физической точки зрения, открывают совершенно
новые пути для точных определений важных количественных па-
параметров как волнового поля в кристалле, так и самого кристалла.
Значение интерференционных эффектов, в частности, определя-
определяется тем, что они позволяют измерить не только параметры идеаль-
идеальных кристаллов, но и характеристики различных искажений в ре-
реальных кристаллах.
Впервые интерференционные эффекты были обнаружены экс-
экспериментально в 1959 г. Като и Лангом при исследовании дина-
динамического рассеяния на клиновидных участках некоторых кристал-
кристаллов [23]. При детальном анализе полученного экспериментального
материала Като показал, что одно из фундаментальных исходных
положений динамической теории во всех ее формах, а именно,
падение на кристалл плоской волны, требует обобщения. Им
было установлено, что определенный тип наблюдаемых интерфе-
интерференционных картин может образоваться только, если на кристалл
падает расходящийся пучок волн. В связи с этим Като разработал
вариант динамической теории в приближении падающей сфери-
сферической волны [24, 25].
В дальнейшем, в 1968—1970 гг., в работах Хильдебрандта и Бат-
термана, Отье, Лефельд-Сосновской и Мальгранж и других авто-
авторов были получены интерференционные эффекты, обязанные рас-
рассеянию падающей плоской волны. Следует отметить, что
аналогичные интерференционные эффекты наблюдались при дина-
динамическом рассеянии электронов значительно раньше (начиная
с 1939-1940 гг.) [26, 27].
Замечательно, что интерференционные эффекты при динами-
динамическом рассеянии, о которых идет речь, были предсказаны Эваль-
дом в его динамической теории в 1916 г., но не могли быть реали-
реализованы экспериментально в течение примерно 43 лет, во всяком
случае для рентгеновских лучей.
Таким образом, мы имеем здесь пример глубокого теорети-
теоретического предвидения, на много лет опередившего возможности
физического эксперимента.
Дальнейшим развитием работ, посвященных изучению дина-
динамических интерференционных явлений, следует считать создание
и использование Бонзе и Хартом рентгеновских интерферометров
[28]. Как и оптические интерферометры, их рентгеновские аналоги
позволяют получать когерентные волны, но рентгеновского диа-
диапазона. Эти вновь созданные приборы открывают интересную пер-
перспективу сверхпрецизионных и сверхчувствительных измерений
как параметров идеальных и реальных кристаллов, так и различ-
различных длин и физических величин за пределами кристалла. Рентге-
13
новские интерферометры, в которых используются наиболее совер-
совершенные монокристаллические материалы, работают в точном соот-
соответствии с динамической теорией рассеяния рентгеновских лучей
и наиболее общими соотношениями электромагнитной оптики.
Интересный и важный класс явлений, обнаруженных экспе-
экспериментально впервые Реннингером в 1937 г. [29], а впоследствии
существенно дополненных работой Бормана и Хартвига [30]
в 1965 г., относится к динамическому рассеянию с учетом несколь-
нескольких взаимодействующих волн в кристалле. При этом наблюда-
наблюдается заметное изменение характера и величины эффектов аномаль-
аномального прохождения в поглощающих кристаллах. Соответствующая
теория разработана Эвальдом и другими авторами [31—33].
Существенную роль в рассеянии рентгеновских лучей в кри-
кристаллах, в том числе и в динамическом рассеянии, играют тепло-
тепловые движения атомов, а также диффузное рассеяние, частично
также зависящее от тепловых колебаний. Влияние неупругого
рассеяния на коэффициенты отражения и прохождения в динами-
динамическом режиме изучали теоретически ряд авторов, в частности
Отеки [34], Афанасьев и Каган [35]. По-видимому, в теории двух
последних авторов получено наиболее ясное физически и полное
решение проблемы. Диффузное рассеяние, имеющее несколько
различных аспектов, продолжает служить предметом теорети-
теоретических и экспериментальных исследований [36].
Наряду с упомянутыми экспериментальными исследованиями,
направленными к строгому количественному изучению динами-
динамического рассеяния, с конца 50-х годов начала развиваться рентге-
рентгеновская дифракционная топография монокристаллов. Методы то-
топографии, позволяющие непосредственно наблюдать изображения
различных дефектов в данном образце, приобрели важное практи-
практическое значение и широко распространены в настоящее время.
Расшифровка топограмм, основанная на качественной трактовке
динамического рассеяния, хотя и не всегда однозначна, но во
многих случаях дает полезную информацию о реальной структуре
объектов исследования. Отметим, что анализ рентгеновских топо-
топограмм имеет много общего с расшифровкой электронно-микроско-
электронно-микроскопических снимков, что является существенным ввиду значитель-
значительных успехов динамической теории рассеяния электронов в деформи-
деформированных кристаллах. Развитие рентгеновской топографии за
последние 10—15 лет связано с именами Ланга, Отье, Ньюкирка,
Бонзе, Швутке, Елистратова, Миускова и других авторов. Общая
характеристика методов рентгеновской топографии и библиогра-
библиография содержатся в сборнике [37], вышедшем под редакцией и с по-
послесловием Елистратова.
Таким образом, разработка теории (Эвальда — Лауэ) рассея-
рассеяния рентгеновских лучей в идеальных кристаллах в приближении
падающей плоской волны, дополненная теорией Като [24] в при-
приближении сферической волны, позволила охватить широкий круг
явлений динамического рассеяния в идеальных кристаллах.
14
Количественное согласи^ с экспериментом в подавляющем боль-
большинстве случаев тем лучше, чехМ совершеннее экспериментальная
техника и точнее использованные атомные и тепловые параметры.
Важнейшая очередная проблема, а именно, динамическая тео-
теория рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах с дефектами,
начала разрабатываться с 60-х годов.
В работах Пеннинга и Полдера [38] и Като [39] по аналогии с
геометрической оптикой было развито лучевое приближение тео-
теории Эвальда — Лауэ и были получены удовлетворительные ре-
результаты в построении динамической теории рассеяния в упруго-
деформированных кристаллах.
В эти же годы Хови и Уилен [40] для электронов и Такаги
[41]2 для рентгеновских лучей начали разработку динамической
теории, которую можно рассматривать как более строгую форму
теории Дарвина.
Характерные для теории Дарвина рекуррентные соотношения,
связывающие амплитуды преломленной и дифрагированной волн
для двух последовательных плоскостей внутри кристалла, преоб-
преобразуются в теории Хови и Уилена в систему из двух дифферен-
дифференциальных уравнений для указанных амплитуд, зависящих толь-
только от глубины z. Эта форма теории, соответствующая так называе-
называемому колонковому приближению, хотя и не является строгой, но
с удовлетворительной точностью описывает распространение волн
для случая дифракции электронов. Достоинством этой теории
являются ее простота и возможность непосредственного перехода
от рассеяния в идеальном кристалле к рассеянию в кристалле
с дефектами. Важно подчеркнуть, что в двухволновом приближении
уравнения Хови и Уилена могут быть использованы для описания
рассеяния рентгеновских лучей в идеальном кристалле в случае
падающей плоской волны.
Более общей и строгой является обобщенная теория, ос-
основанная на уравнениях Такаги, в которых волновое поле
в кристалле зависит от двух переменных х и z, отвечающих плос-
плоскости, образованной векторами преломленной и дифрагированной
волн.
В работе Топэна [42] уравнения Такаги были выведены из
уравнений Максвелла. Этот результат можно рассматривать,
в частности, как доказательство эквивалентности двух форм дина-
динамической теории для идеального кристалла: Эвальда — Лауэ
й обобщенной. Вместе с тем эта последняя имеет по меньшей
мере два существенных преимущества. Прежде всего она непосред-
непосредственно позволяет перейти от приближения плоской падающей
волны к общему случаю падающего волнового пакета, возбужда-
возбуждающего в кристалле пространственно неоднородное волновое поле.
Это было показано одновременно и независимо в работах Слобо-
2 Строгий вывод уравнений Хови и Уилена из уравнений Шредшпера был дан
Такаги в работе 1969 г.
15
децкого, Чуховского и Инденбома [43] и Отье и Симона [44].
В частном случае бесконечно узкой щели получаются результаты,
соответствующие теории Като в приближении падающей сфери-
сферической волны. В указанных работах рассмотрен случай Лауэ.
В 1969 г. одновременно и независимо Афанасьев и Кон [45]
и Урагами [46] решили указанные уравнения для случая Брэгга
при отражении от тонкой плоскопараллельной кристаллической
пластинки. Результаты, полученные в обеих работах, вполне
идентичны. Из работ [42—46], в частности, следует, что наряду
с маятниковым решением динамической задачи, предсказанным
Эвальдом в 1916 г., при использовании падающей волны с огра-
ограниченным волновым фронтом следует ожидать осцилляции интен-
интенсивности на краях волнового поля. Эти осцилляции, по-видимому,
аналогичны френелевской дифракции.
Схема построения обобщенной теории применительно к иде-
идеальному кристаллу изложена в обзоре Инденбома и Чуховского
[47].
Существенное значение имеет использование уравнения Така-
ги для непосредственного перехода от волнового поля в идеальном
кристалле к полю в кристалле с дефектами; при этом входящая
в уравнения функция угла падения будет также зависеть от коор-
координат х ж z. Тем самым положено основание динамической теории
рассеяния рентгеновских лучей в деформированном кристалле.
Глава 2
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ
ДЛЯ ПРОЗРАЧНОГО НЕОГРАНИЧЕННОГО КРИСТАЛЛА
2.1. Волновое уравнение и его решение
Физическая модель распространения электромагнитных рент-
рентгеновских волн, положенная в основу излагаемой теории [14],
сводится к следующему. Мы пренебрегаем действием рентгенов-
рентгеновских волн на ядра атомов. При отсутствии внешнего поля можно
считать кристалл нейтральным. Однако при прохождении пада-
падающей электромагнитной волны должно наблюдаться смещение
отрицательных зарядов и, следовательно, некоторая поляриза-
поляризация.
Таким образом, под влиянием внешнего поля в кристалле воз-
возникает возмущенная электронная плотность, а значит, и дополни-
дополнительный шредингеровский ток, или ток вероятности. Электромаг-
Электромагнитное волновое поле в кристалле связано именно с распростра-
распространением упомянутого возмущения и описывается методами электро-
электродинамики с помощью уравнений Максвелла.
Полная величина возмущенной электронной плотности в каждой
точке р (г) получается суммированием величин, относящихся
к каждому электрону, так как это делается в одноэлектронном
приближении. Итак, имеем
р(/») ——ety(r) i|)* '(/•)» B-1)
где е — заряд электрона; г|; (/•) — волновая функция и\|)*(г) —
соответствующая комплексно-сопряженная величина. Здесь
р (г) — плотность числа электронов в кристалле, усредненная
по квантовомеханическому электронному состоянию и по статисти-
статистическому распределению теплового движения ядер в решетке.
Связанные с величиной р (/•) шредингеровский ток JT и диэлектри-
диэлектрическая проницаемость е, так же как и р (г), являются непрерывны-
непрерывными функциями координат. Таким образом, наша величина е су-
существенно отличается от обычной диэлектрической постоянной
в макроскопической теории диэлектриков.
Обращаемся к уравнениям Максвелла в обычном виде:
rolE = -c~1^, rol H = Г1 l^ + Anj}, B.2)
div E =J&v, fliv И у*= 0.
17
Объемная плотность энергии W и вектор потока энергии элек-
электромагнитного поля в вакууме S выражаются известными форму-
формулами
^ , B.3)
^ B.4)
Скалярная величина интенсивности электромагнитной волны
составляет среднее значение модуля вектора \S\ за период вре-
времени, достаточно большой по сравнению с периодом рентгеновских
колебаний v1.
Уравнение непрерывности для наших возмущенных зарядов
можно получить, если взять дивергенцию rot H B.2), тогда
§ + divjr = O. B.5)
Векторы Е и Н в общем случае выражаются через векторный
потенциал А и скалярный потенциал ср следующим образом:
Н = rot A, B.6)
Так как ф в волновом поле обращается в нуль, мы получаем
для JEJ:
*± B.3)
Смещение отрицательного электричества, вызываемое электро-
электромагнитной волной, описывается поляризацией Р, которая здесь
является непрерывной функцией координат, и индукцией
2> = .E + 4jiP, B.9а)
причем для волнового поля
divjD-0. B.96)
Очевидно, что
J = d-w- BЛ°)
Продолжая аналогию с полем в диэлектрике, можно написать
-D = Л + 4яР-= eJE?f e= l+4jtj-J-j. B.11)
Перейдем теперь к выводу волнового уравнения для попереч-
поперечной волны индукции поля. Используя B.9), перепишем первое
уравнение Максвелла в виде
rot (П - 4яР) = - с'1 Щ- . B.12)
18
Используя известную формулу векторного анализа
rot rot В = grad div В -* AD, B.13)
найдем ротор от B.12):
ДХ> = c"xd (rot H )/dt - — 4я rot rot P. B.14)
Перепишем теперь второе уравнение Максвелла в виде:
, и 1 1дЕ , , 0
Откуда
Д1> _ 1^ + /1Л rot rot P = 0. B.16)
Для того чтобы преобразовать полученную форму волнового урав-
уравнения к более удобному виду, обратимся вновь к значению вели-
величины тока J. Как известно, с учетом возмущенной электронной плот-
плотности общее выражение для шредингеровского тока имеет вид
J ^ 4§^*grad * - ^rad ^ "" •& Л^*' BЛ7)
где второй член описывает томсоновское рассеяние. При прохож-
прохождении электромагнитной волны первый член в скобках также ме-
меняется, но при частотах падающей волны, далеких от собственных
частот рассеивающих электронов, этим изменением можйо пре-
пренебречь. Другое допущение, которое мы делаем, заключается
в том, что во втором члене мы используем величину р, согласно
B.1) относящуюся к невозмущенным атомам в решетке. Таким
образом,
J ж е\ АЩ* = — рА. B.18)
тс2' т т тс1 v ;
Далее, принимая для вектора А
А - Aoexv2ni[\t — (Kr)], ?A = 2nivA B.19)
и учитывая B.8), перепишем B.18) в виде
Сопоставляя B.20) и B.10) и используя для Р функции типа
B.19), получим
JP=y-^—2E B.21)
и согласно B.9а)
19
Откуда для диэлектрической постоянной среды, где второй
член описывает обратное влияние рассеяния на поле в среде,
получаем
Введем теперь новую скалярную функцию решетки % (см.
B.9а))
4лР ж %D, х = 1 — е. B.24)
Принимая, что Z> есть также функция типа B.19), т. е.
1Ж1
получаем преобразованную форму волнового уравнения для ин-
индукции
AZ> + 4я212? \2D + rot rot (xl>) = 0. B.26)
Введенная нами функция %, очевидно, аналогична поляризуе-
поляризуемости и может быть вычислена следующим образом.
Обозначим через N число электронов в единице объема. В та-
таком случае имеем для 8 из уравнения B.23) (р = р = — 1 е \ N):
. B.27)
то второй член справа в уравнении B.27) порядка < 10 . Таким
образом, мы можем разложить величину % в B.24) в ряд по степе-
степеням малой величины ep/nmv2:
+- B-28)
и с достаточной точностью ограничиться первым членом разложе-
разложения, принимая
Поляризуемость %, будучи непрерывной периодической функ-
функцией координат, может быть разложена в ряд Фурье вида
X = 2xmexp[-2m(fcmr)|, B.30)
т
где hm — радиус-вектор обратной решетки:
hm = ггцаг + тгаг + пьъаъ\ B.31)
суммирование производится по всем векторам обратной решетки.
20
Коэффициенты разложения B.30) выражаются формулами
%т = Q J xexp [2m{hmr)\dx, B.32)
%dx. B.33)
Индексы т могут принимать как положительные, так и отрица-
отрицательные значения, причем %т и %ш являются комплексно-сопря-
комплексно-сопряженными величинами; %0 — среднее значение % по всей решетке —
действительная величина.
В дальнейшем используются выражения %т и %о в функции от
структурных амплитуд Fm:
B.34)
Очевидно, что %0 ^> %m, так как рассеивающая способность
атома падает с углом отклонения от направления первичного пуч-
пучка, поскольку суммирование по элементарной ячейке в случае %0
всегда производится при фазах, одинаковых для всех атомов.
Решением волнового уравнения B.26) динамической задачи
является блоховская волна:
D = ехр |2ш (v/ - (ftor))J 2 ^>т ехр {-2т (hmr)]. B.36)
Коэффициенты Dm являются комплексными векторами. Вы-
Выражение B.36) можно рассматривать как плоскую волну с волно-
волновым вектором к0 и периодически изменяющейся амплитудой, при-
причем в идентичных точках различных элементарных ячеек величи-
величина \D\ 2 имеет одинаковое значение.
Другая интерпретация блоховской волны основана на условии
7ст = к0 -{- hmy B.37)
откуда
D - ехр [2ni\tJ 2 An ехр [ -2ni (km г)\. B.38)
В этом случае блоховская волна описывает волновое поле,
состоящее из бесчисленного множества плоских волн с волновыми
векторами кт. Следовательно, уравнение B.38) описывает упомя-
упомянутое во введении многоволновое решение динамической теории.
Там же было указано, что для рассеяния рентгеновских лучей
наибольшее значение имеет двухволновое приближение, которое
будет подробно рассмотрено в 2.2.
21
Для проверки предложенного решения необходимо ближе ис-
исследовать и преобразовать последние члены в уравнениях B.16)
и B.26). Для этого представим в виде тройного ряда Фурье вели-
величину поляризации
-Р = ехр 2яЫ ^ рт ехр [—2т (ктг)]. B.39)
т
С другой стороны, сравнивая упомянутые последние члены и
используя разложения B.30) и B.36), получаем-
. 4лР ж %D = exp {2ni (vt — (к0 •))] х
X 2212>пехр[-2яЦЛ/д^^п, /•)]. B.40)
Так как в разложении B.38) пределы суммирования распро-
распространены на бесконечность, оно остается справедливым, если, на-
например, все индексы т увеличить на одну и ту же величину п, при
этом индекс 0 переходит в р. Очевидно далее, что вектор
V» -hQ + hn B.41)
также является вектором обратной решетки. Выражение B.40)
можно переписать поэтому иначе, если ввести т = q + п:
f)], B.42)
q n
»exp[-2rti(fcmr)]. B.43)
т п
Отсюда получаем значения коэффициентов Фурье-разложе-
Фурье-разложения B.39).
Рт = DЛ)'1 2 Xm-nDn- B.44)
п
Теперь для того чтобы подставить в волновое уравнение B.16)
значения входящих в него членов и установить условия прием-
приемлемости решений B.36) и B.38), проведем дифференцирование:
ДХ>= —4я2 ехр 2пЫ 2 k2mDm exp [~2я$ (ктг)\ =
B.45)
= - 4я2ехр [2ni(vt - (ког))\ 2 ^2>техр [—2m(hmr)].
т
Далее [см. B.39)]
rat JP = —
rotrotJP = — 4я2ехр 2лiv* 2 [Лт [ЛтРт]] ехр [—2т(ктг)].
B.46)
22
Преобразуем тройное векторное произведение в правой части
B.46) по известному правилу:
[А [ВС]} = В (АС) - С (АВ) B.47а)
и получаем
[кт [кшТт]] = кт (ктРт) - Ртк2т. B.476)
Очевидно, что в первом члене справа мы имеем слагаемое Рт,
параллельное кт и не представляющее для нас интереса при описа-
описании поперечных волн; второй член содержит слагаемое Рт, пер-
перпендикулярное к кш. Обозначим его через Рт[т\*
Подставляя в уравнение B.16) новые значения всех трех чле-
членов из B.25), B.45) и B.46), получим уравнение, которое должно
удовлетворяться тождественно, т. е. для каждого из т в отдель-
отдельности. Условие равенства нулю коэффициентов при каждом слага-
слагающем колебании (или моде) будет иметь вид
-f 4л2Рт [п]к2т == О,
(к2т - Я2) Пт/к2т = 4яРт [1П], B.48)
или с учетом B.44)
= 2vA[.»]. B-49)
к
т
Слагаемое Dn[m] — индукция волн п, перпендикулярных к вол-
волновому вектору данной волны А?т.
Уравнения B.49) называются фундаментальными уравнениями
динамической теории.
Заметим, что уравнения B.2), B.9а) и B.15) позволяют уточ-
уточнить взаимное расположение важнейших векторов этих волн.
Действительно, из B.2) и из Фурье-представления магнитной
напряженности
Н --= ехр 2пЫ 2 Нт exp f —2ni (kmr)\ B.50)
т
получаем
div J/ = — 2mexpBm'vO ^(km2Im)exp[—2ni(kmr)\ = 0.
m
B.51)
Очевидно, что равенство нулю суммы является тождественным,
т. е. все (ктНт) обращаются в нуль, а следовательно, магнитные
напряженности отдельных волн перпендикулярны к своим волно-
волновым векторам.
Аналогичным путем доказывается перпендикулярность волно-
волновым векторам векторов индукции Х>т, что видно из уравнения
B.49).
23 ,
Наконец, из уравнения B.15) следует
~-2техр Bjuv*J 1ктНт] ехр [—2ni(kmr)] -
= 2тК ехр Bnivt) 2 An ехр | — 2ni (ктг)},
откуда
2>m=- /f-MA?mffm]. B.52)
Таким образом, в «плоских» волнах т векторы Нт, ?>ти кт обра-
образуют правовинтовую ортогональную систему совершенно так же,
как в электромагнитной оптике видимого света в анизотропных
средах [48].
Чисто поперечными являются лишь волны индукции I). Анало-
Аналогия с оптикой относится и к вектору напряженности электриче-
электрического поля 13, который, оставаясь перпендикулярным к И, лежит
в плоскости, проходящей через к и D. Это следует из первого урав-
уравнения Максвелла B.2), которое приводит к условию
Hm = K-HkmEw], B.53)
а также из уравнений B.9) и B.24), дающих значение J3m в виде
Ет = Dn - 2 Xm-nZ>n. B.54)
п
Вместе с тем следует подчеркнуть, что представление блохов-
ской волны в виде плоских волн является лишь аппроксимацией.
Как показывают уравнения B.37) и B.49), в действительности
«плоские» волны возникают лишь совместно, образуя единое вол-
волновое поле. Кроме того, излагаемая здесь форма динамической
теории является недостаточно строгой и в другом отношении.
Использование индукции D вместо напряженности Е является
недостаточно обоснованным, поскольку в данной теории I) есть
функция координат, а не макроскопический параметр г.
Как следует из сделанных выше замечаний, решение B.38) вол-
волнового уравнения в кристалле, так же как и система фундамен-
фундаментальных уравнений B.49), описывает волновое поле, состоящее из
бесконечно большого числа отдельных плоских волн. Очевидно,
что решение в такой форме не может быть фактически вычислено
и, следовательно, сопоставлено с экспериментом. Однако опыт
дает нам характер приближенного решения, которое позволяет
провести до конца все расчеты и построить соответствующую тео-
теорию. Для того чтобы сформулировать это приближение, обратим-
1 Впрочем, как показал Вагенфельд [49], использование Эвальдом в его тео-
теории электрического вектора Е для описания волнового поля в кристалле так-
также основано на приближении: Е ^ D — rot rot Z (Z -- вектор Герца). Это
приближение не более обосновано, чем приближение Лауэ B.24): 4лР = %Е ^
24
ся к хорошо известной из кинематической теории схеме сферы от-
отражения в обратной решетке (рис. 1). Построение предполагает,
что по крайней мере два узла обратной решетки в точности ложат-
ложатся на сферу, построенную радиусом К, равным А,'1 волно-
волновому вектору в вакууме. Один из них отвечает началу координат
(точка О), узлу или отражению @00), т. е. падающей волне. Дру-
Другой — узлу или отражению hkl (точка Н). В динамической теории
это построение несколько меняется. Если радиус сферы равен
волновому вектору в вакууме К, то начало координат должно
отстоять от центра сферы L на
величину кт Н= &-> вследствие
того, что коэффициент прелом-
преломления рентгеновских лучей
слегка отличается от единицы.
Для образования отражений в
динамической теории не требу-
требуется выполнения столь сильного
условия, как уравнение Вуль-
фа — Брэгга. Для данных усло-
условий эксперимента, т. е. данного
положения центра сферы и са-
самой сферы в обратной решетке,
принципиально любой узел мо-
может отвечать определенному от-
отражению и волновой вектор
этой отраженной волны кт,
будучи подставлен в фундамен-
фундаментальное уравнение B.49), дает
значение вектора Dm в функции от всех 2>r,[m]. Необходимо, однако,
принять во внимание, что сумма в правой части всех уравнений
типа B.49) должна быть примерно постоянной и почти все узлы
обратной решетки находятся от центра на расстояниях, больших и
очень больших по сравнению с К, т. е. вообще К <^ кт и, следо-
следовательно, (к2т — K2)/kl, ^ 1. Однако для узла, лежащего близко
к сфере, указанная дробь будет очень малой величиной. Следова-
Следовательно, отвечающая ей волна Dm будет, наоборот, очень большой
сравнительно со всеми другими Dn.
Другими словами, наше приближение является двухволновым:
одна из волн может рассматриваться как падающая, точнее, пре-
преломленная, другая — как отраженная.
Отстояние узлов обратной решетки от сферы характеризуется
величиной ошибки возбуждения
Рис. 1. Сфера отражения в обратном
пространстве (кинематическое при-
приближение)
В динамической теории более существенное значение имеет
построение не сферы, а дисперсионной поверхности в обратном
пространстве. Если рассматривать в общем случае систему фун-
25
даментальных уравнений B.49) как подлежащую решению систе
му уравнений с р неизвестными векторами Z), то, очевидно, она
распадается на Зр скалярных уравнений. Однако так как компо-
компоненты 2>т, параллельные соответствующим волновым векторам
кт, не образуют поперечных электромагнитных волн, остается
только 2р уравнений. Условием существования нетривиального
решения будет равенство нулю детерминанта этой системы. Полу-
Полученное уравнение и будет описывать указанную дисперсионную
поверхность.
В качестве переменной в этом уравнении может фигурировать
6W=O из уравнения B.55) или другая величина, связанная с геомет-
геометрией дисперсионной поверхности. Высшая степень этой перемен-
переменной и, следовательно, степень уравнения будет 2р. От найденных
корней для переменной можно перейти с помощью уравнения
B.55) к соответствующим волновым векторам к^\ к{? и, наконец,
/>ог) nDh\ где i = 1, 2, 3 ... р. Следующее мысленное построе-
построение поясняет сказанное с помощью образа дисперсионной поверх-
поверхности.
Построим в обратном пространстве векторы к$\ сходящиеся
в начале координат обратной решетки. Их направления и величи-
величины будут определяться данным углом падения и показателем пре-
преломления, различным для разных i [см. далее C.21)]. Начальные
точки этих векторов будем называть точками возбуждения (по
Лауэ), или точками связи (поЭвальду). Меняя угол падения вбли-
вблизи угла Вульфа— Брэгга, мы тем самым будем слегка покачивать
волновые векторы, оставляя неподвижными их конечные точки
в начале координат. При этом их начальные точки будут описывать
некоторые поверхности, которые составят 2р-листную дисперсион-
дисперсионную поверхность. Каждый лист этой поверхности следует рассмат-
рассматривать как геометрическое место точек возбуждения. Если из одной
из точек листа номер i провести векторы к$ ко всем точкам обрат-
обратной решетки (h = 1, 2, ...), то это множество, совместно с исход-
исходным вектором A/q \ будет относиться к некоторому волновому полю
или моде динамической задачи. Таких полей всего будет 2р — по
числу скалярных уравнений нашей фундаментальной системы
B.49). Термин точка возбуждения отражает эффект возбуждения
волнового поля в кристалле под влиянием внешней вакуумной
волны для данного значения угла падения.
Однако, рассматривая волновое поле в неограниченном кри-
кристалле, мы не можем принципиально выделить из множества волн
ту, которая соответствует преломленной волне klQ. Колебания
в неограниченном кристалле рассматриваются как собственные, но
не вынужденные. Этому представлению отвечает термин точка
связи (tie point [4]). В общем случае найденные волновые векторы
могут быть комплексными векторами
Л$>=Ь$ + Ш§. B-56)
26
Известно, что комплексное значение волнового вектора приво-
приводит к появлению в выражении для волны множителя затухания:
#V)] = ехр[— 2т{к$г)} ехр [2я(к$г)\. B.57)
В выражении для интенсивности мы получим квадрат этого
множителя
ехр [-2т (й$ + ifcft, г)] ехр [+2ni (Л$ - ik$, r)\ =
|ЛЙ>| ftbfa<0. B.58)
Наше фундаментальное уравнение B.49) написано для векто-
векторов электрической индукции Dm. Разумеется, оно может быть
с помощью несложного преобразования представлено в виде уравне-
уравнения для магнитных векторов Нт. Умножим векторно уравнение
B.52) на кт. В таком случае справа мы будем иметь
[кт [ктНт]] = /cmffm,
и уравнение примет вид
Нт = -J- = [*mI>ml. B.59)
Теперь умножим векторное уравнение B.49) на ктК. Согласно
B.59), слева мы получим (&2т — К2)Нт, а справа 2% К [hmDn\
(значок т можно опустить, так как здесь мы имеем векторное про-
произведение, куда входит только слагающая 2>п, перпендикулярная
fcm). Заменяя в этом векторном произведении 1)п его значением
согласно B.52) и переходя от тройного векторного произведения
к разности скалярных, получим
(kl - Z2) Нт = 2 Хт-п {Н'п (kmkn) - kn (kmHn)}. B.60)
п
Это есть фундаментальное уравнение для векторов магнитного
поля.
2.2. Двухволновое приближение.
Дисперсионная поверхность
Прежде чем перейти к детальному изложению теории для двух
сильных волн, рассмотрим рассеяние при отсутствии правильного
отражения, т. е. когда угол падения первичной волны достаточно
далек от угла Вульфа — Брэгга. В этом случае система B.49)
вырождается в одно уравнение, индекс т обращается в нуль, и
тогда п тоже принимает значение нуль. Волновой вектор для этого
случая прохождения первичной волны без отражения обозначим
через к. Уравнение принимает вид (к2 — К2)к~2 — %0 = 0.
27
Ввиду малости %0 пренебрегаем ее квадратом и преобразуем
полученное уравнение нижеуказанным образом:
*72 ь). B.61)
Введем величину показателя преломления
п =? 4 = 1 + lL Yn = (l ^—) <Г 1. B.62)
К ' Л \ 2яmv2y ^ v '
Значение п из B.62) совпадает с результатом вычисления показа-
показателя преломления рентгеновских лучей в классической теории
дисперсии. Как известно, экспериментальная проверка этого
значения для частот больших, сравнительно с Z-краем поглоще-
поглощения, дает согласие с точностью до нескольких процентов. Это яв-
является подтверждением применимости допущений и самой физи-
физической модели, положенной в основу излагаемой теории.
Очевидно, в рассматриваемом случае дисперсионная поверх-
поверхность вырождается в сферу с радиусом
\к\ = К A + ЧлоХ К. B.62а)
Переходим теперь к двухволновому приближению. Если, не-
непрерывно меняя угол падения первичной волны на поверхность
кристалла, мы попадаем в область максимума непосредственно
вблизи угла Вульфа — Брэгга, в кристалле возникает блоховская
волна, которую в данном случае можно представить в виде сово-
совокупности четырех плоских волн, двух преломленных и двух отра-
отраженных, так как i = 1,2. Это относится к каждому из двух состоя-
состояний поляризации наших электромагнитных волн.
Для более точного и полного описания процесса рассеяния
введем в рассмотрение плоскость отражения, проходящую через
векторы h^ и к$ указанных волн в кристалле.
Мы будем рассматривать наиболее простую и часто реализуе-
реализуемую на опыте схему, в которой плоскость отражения совпадает
с плоскостью падения.
В том случае, когда частоты падающих волн велики по сравне-
сравнению с isT-краем поглощения, величины поляризуемостей %0 и %h
являются истинными скалярами, и рассматриваемая плоскость бу-
будет плоскостью симметрии процесса рассеяния.
Обратимся к уравнениям B.49). В нашем двухволновом при-
приближении в первом уравнении следует принять т = 0, во втором
т = h\ n в правой части обоих уравнений последовательно при-
принимает значение 0 и h. Что касается векторов 2>т, точнее 2>0 и ?>h1
то мы разлагаем их, так же как и векторы Но иНп, по двум направ-
направлениям: перпендикулярно и параллельно плоскости отражения.
Таким образом, мы будем дальше иметь дело со скалярными урав-
уравнениями. Для колебаний векторов индукции перпендикулярно
28
к плоскости отражения (сг-поляризация) получим
*!-
= %hD0
B.63)
Волны с другим состоянием (я-поляризация,) можно описать
с помощью фундаментальных уравнений для магнитных векторов,
Рис. 2. Взаимное расположе-
расположение векторов индукции в двух
состояниях поляризации
а — а-поляризация;
векторы индукции перпендикуляр-
перпендикулярны к плоскости отражения и вза-
взаимно параллельны;
б — я-поляризация;
векторы индукции лежат в плоско-
плоскости, параллельной плоскости от-
отражения
именно для слагающих этих векторов, перпендикулярных к исход-
исходной плоскости. Используем уравнение B.60).
В этом случае т принимает значение 0 и h и п — также 0 и h.
Нетрудно видеть, что второй член в скобках в правой части B.60)
обращается в нуль, а скалярное произведение при Нh дает мно-
множитель cos 2Э1, где & — угол Вульфа — Брэгга. Система прини-
принимает вид
%т cos
B.64)
Очевидно, что я-поляризацию можно описать и с помощью уравне-
уравнений для слагающих Do и Dh, лежащих в исходной плоскости;
уравнения получаются заменой величин Но и Hh на DQ\\ иД^ц,
как это легко видеть из рис. 2.
Заметим, что в то время как слагающие ZHJL и DhlJ) Но± и Hh±
попарно параллельны, это не имеет места для величин
?*о!1 и #М1-
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с вели-
величинами Do± и Dhj_, перпендикулярными к плоскости отражения
(а-поляризация), с которыми мы будем обращаться (так же как и
с величинами О0ц и Dh\\) как со скалярами, так как их направле-
направления определены однозначно.
29
Преобразуем теперь систему уравнений B.63). Для этого с до-
достаточным приближением примем
К*
/с2 к2
О / , h
гк~гк
V, ЪJ = kl - k\
k0 + k ж kh + k -x. 2K
B.65)
B.66)
B.67)
и перепишем уравнения
B.63) в следующем виде:
(ko-k)Do-4,K%KDh = O,
B.68)
Детерминант этой систе-
системы, будучи приравнен нулю:
А
к
о —
Х1г*
к
К
/2К%-
-kh
B
= о,
69)
образует уравнение диспер-
дисперсионной поверхности в обрат-
Рис. 3. Дисперсионная поверхность в Ном пространстве. Эта поверх-
обратном пространстве при двухволно- /
вом приближении (неограниченный кри- ность является ^в принятом
сталл) приближении) двухлистной
поверхностью вращения (ги-
(гиперболическим цилиндром)
вокруг оси ОН, где О и Н — соответствующие узлы обратной
решетки. Часть сечения этой поверхности плоскостью отражения
показана на рис. 3 (гиперболы S^\ ?B)). На этом рисунке при
выбранном масштабе не помещаются узлы О и Н, а тем более про-
противоположная, относительно оси ОН, часть сечения. Описывая из
точек О и Н сферы радиусом к = К A + 1/2%0), мы получим на
нашем сечении линии То и Th соответственно и точку их пересече-
пересечения М. Ввиду удаленности точек О и Н линии Г и Г' в малом
угловом интервале могут рассматриваться как прямые.
Очевидно, что точка М, удаленная от точек О и Я на величину
К = Я (X — длина волны в вакууме), соответствует центру сферы
распространения в кинематической теории, т. е. отражению при
точном значении угла Вульфа — Брэгга и неизменной длине волны.
Точка Е также может рассматриваться как центр сферы, по-
построенной для отражения при точном значении угла Вульфа —
Брэгга, однако при величине волнового вектора к, включающего
за
поправку на преломление 1. Наконец, точки /W и F^2) на двух
ветвях гиперболы отвечают уже динамическому отражению при
частном значении угла отражения, именно угле Вульфа — Брэг-
Брэгга. Эти точки отстоят от узлов О и Н на величины к\^ = кп и &о ==
= tin соответственно. Для этого частного случая волновые векторы
с индексами 0 и h оказываются равными.
Дисперсионная поверхность, на нашем сечении гипербола,
есть геометрическое место точек возбуждения. Поэтому случаю
динамического отражения под углами, слегка отличными от угла
Вульфа — Брэгга, будет отвечать смещение точек FM или F^\
или обеих, вдоль кривых S^ и S^\ Пусть точками возбуждения
окажутся точки AW и А^\ Соединим их с узлами О и Н. Введем
в рассмотрение отрезки ?^ и ^\ которые имеют следующие значе-
значения (см. рис. 3):
Величины |@1) и ^г) будут далее считаться положительными,
если они образуют острые углы с положительным направлением
векторов U и Шх). Напомним, что векторы К, к и №) направлены
от точек М, Е или ^4^) кОиЯ. Таким образом, мы имеем
Теперь мы можем переписать уравнение дисперсионной поверх-
поверхности B.69) в виде
~~ 1/2 ~"h = 0, B.72)
B.73)
Очевидно, если мы напишем уравнение типа B.68) для другого
состояния поляризации с магнитными векторами, перпендикуляр-
перпендикулярными к исходной плоскости, мы получим в соответствии с B.64)
B.73а)
Поэтому в дальнейшем мы будем вводить в наши формулы мно-
множитель С, имеющий следующий смысл:
( 1 — для G-поляризации,
С — { оа B.74)
[ cos zxr — для л-поляризации.
В литературе но инициативе Эвальда (см. [4]) точка М иногда называется
точкой Лауэ La, так как она соответствует концу вектора А', который исполь-
используется в кинематической теории при описании волнового поля в кристалле.
Для точки Е Эвальд предложил название точкиЛорентца Lo, так как она воз-
возникает при учете преломления на границе раздела вакуум—кристалл. Как из-
известно, формула B.62) может быть получена из формулы Лоренц — Лорент-
ца в теории дисперсии из условия соо — w ~ —со.
Очевидно далее, что
С = \С\(-1)\ B.74а)
где т = 0 для а-поляризации и т — 1 для я-поляризации при
2#>/21
>
В соответствии с этим уравнение дисперсионной поверхности
приобретает вид
Uh = ±K*CXh%-h. B.75)
Исключая к0 из уравнений B.55) и B.70) и используя B.61), полу-
получаем соотношение между величинами е0 и |0
|0 = К (е0 - V,xo). B-76)
Напоминаем, что %0 является величиной существенно отрицатель-
отрицательной.
Уравнение дисперсионной поверхности можно рассматривать
как уравнение гиперболы на плоскости отражения.
Величины |р», проведенные из точек F^ на действительном
диаметре гиперболы, имеют значение
^h B.77)
Если исходить из уравнения гиперболы, отнесенной к осям
то величина действительной полуоси
шн B-79)
F
и мнимой полуоси
B-80)
и уравнение гиперболы B.78) примет вид
^ _ у2 gin2 ^ = _JL = lQlh. B.81)
Нетрудно видеть из B.79), что для колебаний вектора индукции,
перпендикулярных плоскости отражения, действительная ось 2а
больше, чем для состояния я-поляризации в (cos 2'&)~1 раз (рис. 4).
Введем теперь величины c{i\ выражающие отношения величин
Dff/D^. Из уравнений B.68) и B.70) следует
1 Проще пользоваться условием С ~ |cos 2Щ для я-поляризации.
32
Выражения B.82) определяют отношения амплитуд в волно-
волновых полях внутри кристалла. Пользуясь последним соотноше-
соотношением, представляющим с(|) с функции от переменных |(i>, мы мо-
можем проследить, как меняются величины с^ при непрерывном из-
изменении угла падения внутри области максимума.
Очевидно, вся область максимума отвечает интервалу углов
от одного до другого края дисперсионных кривых (соответственно
поверхностей).
На нижней ветви при переходе от отрицательных смещений от
угла тЭ1 (слева) к положительным (справа) величина отношения
Рис. 4. Дисперсионные поверх-
поверхности для о- и я-поляризаций
возрастает от ~ 0,01 до 100 (на правом краю схе-
схемы), обращаясь в единицу в точке F^ (рис. 3). Для сB>, т.е.
для верхней ветви, мы получаем в точности обратный ход, т. е.
уменьшение отношенияJD^ID^ при переходе слева направо.
Однако эти особенности функций B.82) являются не столь харак-
характерными и существенными, как соотношение абсолютных вели-
величин D^ и Я^(см.*[C.22), C.23)).
Следует помнить, что двухволновое приближение, для которого
применима схема рис. 3, заключается в том, что среди бесчислен-
бесчисленное множества волн * динамической задачи две волны, DonDh,
предполагаются достаточно сильными. Поэтому при углах паде-
падения, близких к границам максимума, т. е. к границам дисперси-
дисперсионных кривых, когда одна из волн, именно Dh, становится слабой,
двухволновое приближение и данная схема становится неприме-
неприменимыми. Следовательно, уточнять соотношения B.82) примени-
применительно к условиям, отвечающим краям рис. 3, не следует. Сущест-
Существенно, что вне области максимума мы попадаем в условия, отвечаю-
отвечающие одной волне, которая распространяется в кристалле без от-
отражения. Направление этой волны, с точностью до показателя
преломления, совпадает с направлением падающей волны в ваку-
вакууме. Таким образом, мы имеем в этих случаях переход от двух
волн в кристалле к одной волне. Нетрудно видеть, что дисперси-
дисперсионная поверхность с точки зрения такого перехода является про-
промежуточной областью пересечения двух сфер распространения
(рис. 5).
Качественный анализ соотношений B.82) и рис. 3 позволяет
установить относительные фазы волн индукции двух полей в
2 3. Г. Пинскер
33
каждом из состояний поляризации. Как указывалось выше, %h
является комплексной величиной. Пусть
Xh = I lh I ехР (Щь), %1 = | Ъх | exp (—ir\h), B.83)
откуда х
%h—
В частном случае центросимметричного кристалла
B.84а)
B.846)
B.85)
В уравнении B.82) знаки величин dl\ определяющие фазовые
соотношения колебаний/H и Dh, будут зависеть от знаков как ?0,
так и %h. Так как при данном значении т)л все %h становятся
отрицательными, то с^ ^> 0 и с^ < 0, т. е. Dff колеблется
в фазе с D(q\ aDff в противофазе с Z)
B)
Рис. 5. Дисперсионная поверх-
поверхность — область пересечения
двух сфер распространения
Таким образом, динамическая теория в двухволновом прибли-
приближении приводит к образованию внутри кристалла в области мак-
максимума четырех волновых полей (по два поля для каждого состоя-
состояния поляризации), причем в каждом поле по две волны Don Dh —
итого восемь волн.
Здесь необходимо сделать еще одну^очень важную оговорку.
Рис. 3 и анализ, проведенный в связи с ним, относятся к про-
прохождению рентгеновых лучей, т. е. к случаю Лауэ. Систематиче-
Систематическое рассмотрение случая Брэгга будет дано в гл. 7 и 8.
1 Эти соотношения относятся к частному случаю прозрачных кристаллов, в ко-
которых атомы имеют действительные атомные амплитуды. В поглощающих
кристаллах, как будет показано в гл. 4, комплексно-сопряженными являются
лишь пары величии: %кт и Хйг» %м и Ц{-
Глава 3
ПРОХОЖДЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
ЧЕРЕЗ ПРОЗРАЧНУЮ КРИСТАЛЛИЧЕСКУЮ
ПЛАСТИНКУ. ОТРАЖЕНИЕ ПО ЛАУЭ
3.1. Волновые поля внутри кристалла
1. Полукристалл. Связь с условиями эксперимента.
Эффект преломления.
До сих пор мы фактически рассматривали распространение
блоховских волн в неограниченном кристалле. С этим связана
неопределенность в локализации действительных центров возбуж-
возбуждения на дисперсионной поверхности, а следовательно, и невоз-
невозможность определения действующих волновых векторов к%) и к%\
Указанная неопределенность устраняется, если ввести в рассмот-
рассмотрение поверхность раздела вакуум-кристалл и на ней падаю-
падающую волну, представленную волновым вектором К^а) с углом па-
падения i|H, и отражающую плоскость с углом ф относительно по-
поверхности раздела или входной грани.
При теоретическом рассмотрении границы раздела кристалл —
вакуум может возникнуть опасение, что ввиду малой, порядка пе-
периодов решетки, длины волны рентгеновских лучей реальная
структура поверхности, с ее ступеньками, окисными или адсорби-
адсорбированными пленками и другими отклонениями от идеализирован-
идеализированной картины, может внести существенное искажение в схему гра-
граничных условий. Однако вопрос решается опытом. По-видимому,
схема, использующая математическую границу кристалл — ва-
вакуум, хорошо согласуется с имеющимися экспериментальными
данными. Таким образом, мы переходим от неограниченного кри-
кристалла к полубесконечному кристаллу.
Волновое поле в кристалле порождается падающей волной,
причем волна к0 является прямым продолжением в кристалле па-
дающей[волны К^\ В таком случае фазовые скорости вдоль по-
поверхности раздела, а следовательно, и тангенциальные компонен-
компоненты волновых векторов должны быть равны.
Можно показать, что если в трех условиях Лауэ для образова-
образования максимумов трехмерной интерференции два условия написать
для векторов, лежащих в плоскости входной поверхности, то эти
условия будут выполняться и в динамической теории. Это следует
из упомянутой1 непрерывности тангенциальных слагающих вол-
35
rn
новых векторов на границе. Что касается третьего условия, то
в кинематической теории оно выполняется только для определен-
определенного угла падения, причем тем точнее, чем больше рассеивающий
кристалл. В отличие от этого динамическая теория делает третье
условие не столь строгим даже и для сколь угодно большого рассеи-
рассеивающего кристалла.
Внесем теперь в схему рис. 3 параметры, описывающие усло-
условия на границе. Прямая РР' на рис. 6 указывает положение (еди-
(единичной) нормали к поверхности раздела. Направление вектора
нормали выбирается внутрь
кристалла. Так как направ-
направление волнового вектора К.^
падающей волны в вакууме
отвечает отрезку, проведен-
проведенному от точки Р на прямой Т'о
к узлу О обратной решетки.,
то угол Р'РО, который мы
обозначаем через i|H, и будет
углом падения. Заметим, что
ввиду удаленности точек О
и Н прямые, сходящиеся в од-
одной из этих точек на рис.3 и 6,
представлены параллель-
параллельными. Волновые векторы
волн в кристалле fctf) и &<р
проводятся из точек AW ь
Рис. 6. Дисперсионная поверхность в
обратном пространстве (полукристалл)
узлам О и Н.
Равенство тангенциальных слагающих волновых векторов на
границе кристалл — вакуум требует, чтобы векторы 1?(оа) и k%) на
рис. 6 опирались на общую нормаль.п0, лежащую на РР'. Это мож-
можно записать в виде векторных уравнений
= K8(i
n0
C.1)
где К8^п0 представлены отрезками РА^\ направленными от
точки Р. На рис. 3 и 6 мы рассматриваем плоскость отражения
с положительной стороны, на которую обращен вектор [khk0].
Угол ф между отражающей плоскостью ME и входной гранью на
рис. 6 представлен углом между прямой ВР | \ОН (ОН = h) и нор-
нормалью п. Этот угол может изменяться в пределах от — я/2 до
+я/2 и будет считаться положительным, если векторное произве-
произведение [hn0] обращено в ту же сторону, что и [khk0]. Угол падения
г|H также может меняться от — я/2 до + я/2 и считаться положи-
положительным, если векторное произведение [K^Uq] обращено в ту же
сторону, т. е. на рис. 6 к читателю.
Таким образом, наклон нормали п0 к прямой То определяется
углами д и ф.
36
Что касается положения нормали на То, то оно определяется уг-
углом падения. Если угол падения i|)ofe отвечает кинематической тео-
теории, т. е. углу Вульфа — Брэгга для отражения от данной плоско-
плоскости, то нормаль пройдет через точку М, с которой точка Р совпа-
совпадет. Из рис. 6 следует непосредственно
1>о*= у-ф-О. C-2)
По мере отклонения угла падения от этого значения нормаль п0
смещается вдоль То вправо или влево от точки М. Приращение
величины г|H, которое мы обозначаем через т), может быть представ-
представлено на рис. 6 углом МОР.
В дальнейшем мы принимаем
70 = cosa|H = cos (фой + т)) ~ cos*|)ofe C.3)
и аналогично
Гн = cos -фл = cos (флл + л) ~ cos -фЛЛ. C.4)
Для приращения т] получаем
П = *о-у + Ф + *. C.5)
При проведении сферы из точки Р, как из центра, радиусом К
она пройдет через узел О, но не через Н. Отстояние сферы от уз-
узла Н по радиусу равно отрезку PQ. Очевидно,
lQ^Ka = K4\sm2$. C.6)
Существенным результатом проведения на нашей схеме нормали
РР' является образование на дисперсионных кривых двух точек
возбуждения ^4A) и А^\
Теперь нашей задачей является определение величин аккомо-
аккомодации б*1* и затем вычисление коэффициентов отражения с№ внут-
внутри кристалла в функции от экспериментальных параметров. Для
этого удобно выписать значение модулей векторов Кб^По, исполь-
используя величины отрезков ^ и |(hl). Согласно определению B.71),
они будут иметь положительные значения для второго поля и отри-
отрицательные для первого. Из рис. 6 получаем
= | КЬ^ п01 = Го1 {-Й1) -1
= Гд1 {-&° - y КЪ + Ка} . C.7)
Эти уравнения решаем совместно с B.75) и получаем квадратное
уравнение для ?ог):
тг К Yn Г / ТЛ 1 г\ 1 Yn
37
Введем новую угловую переменную
р = 2а - и, [l - ?] . C.9)
В таком случае решением уравнения C.8) для ^ будет
t/ (ЗЛ0)
При рассмотрении корней C.10) следует различать два случая.
Случай Лауэ — дифракция на прохождение, когда yh ^> 0, слу
чай Брэгга — дифракция на отражение, когда yh < 0. В рассмат-
рассматриваемом здесь случае Лауэ второй член под корнем в C.10) имеет
знак плюс и корень является действительной величиной. Рассмат-
Рассматривая далее выражение C.10) в целом, замечаем, что при поло-
положительном знаке перед корнем ^г) ^> 0, а при отрицательном знаке
1оУ < 0. Имея в виду условия B.71), мы получаем в C.10) |@1}
при отрицательном знаке перед корнем и §0 при положительном
знаке.?
Теперь мы можем записать выражения для величин с№ внутри
кристалла в функции от экспериментальных параметров. Для этого
достаточно восцользоваться уравнением B.82), а |(ог) взять из
C.10). Получаем
c<*> = — ^^ ^ -, C.11)
или
Лэ/ ^ 2хй(ТЛ/ТоI/2С(-1Г
Имея в виду дальнейшее изложение, введем новые угловые коор-
координаты
§ _ C.13)
где для гиперболических функций v имеем известные соотношения
ch v = Yi -\- sh2 v, shy + chy =+ехр(+у).
Используя новые переменные, получаем для ^ и ъп
?±У) = тexp(± v),
C.14)
38
Перепишем выражение C.12)
iw = т /lexp (± v) (~1)T- {ЗЛ6)
Используя B.83L—- B.85), перепишем формулы C.15) и C.16)
следующим образом. Для кристалла без центра симметрии
Для кристалла с центром симметрии
Yja% = (-!)" (У ± V^T?) = ± ехр (± v) (-1)\ C.18)
О
Очевидно, положительный знак отношения D^/Dq указывает на
совпадение фаз этих амплитуд и относится к первому полю, в то
время как отрицательный знак означает, что соответствующие
амплитуды во втором поле находятся в противофазе (см. раздел
2.2).
Средняя точка максимума соответствует значениям р = у =
= v = 0. В этом случае
T^I^Hri''2!^'! C-19)
и для интенсивностей
12 = Го|4°Г, C.20)
т. е. равенство ежесекундных потоков энергии, так как наличие
множителей yh — cos tyh и у0 = cos <ф0 связано с изменением попе-
поперечных сечений при отражении.
Амплитудные коэффициенты отражения с^ даны в C.12) и
C.15) в функции от величин |3, у или v, которые, в свою очередь,
зависят от величины т]. При этом весьма существенной является
неоднозначность названных угловых функций в общем случае
при данном значении т).
Внимательное рассмотрение формул C.6), C.9) и C.13) поз-
позволяет дать им наглядное геометрическое истолкование и выявить
своеобразный эффект преломления, который наблюдается в случае
Лауэ.
Заметим, что формула B.62), определяющая величину коэффи-
коэффициента преломления при падении волны под углами, лежащими
за пределами какого-либо максимума отражения, соответствует
уменьшению модуля волнового вектора вакуумной волны К на ве-
39
личину A/2)К\хо\ (см. рис. 3 или 6). При падении той же волны
в пределах максимума возникает волновое поле, характеризую-
характеризующееся дисперсией. Обозначая совершенно формально коэффициен-
коэффициенты преломления для проходящих и дифрагированных волн в кри-
кристалле через тг(ог) и п^\ можно написать для волновых векторов и ве-
величин п^ следующие выражения:
W = КA + 7, хо) + Й°, 4\ = 1 + V, Хо +[фК), C.21)
kf = * A + V. Хо) + $\ nf = 1 + V. Хо + (
Величину n(h можно рассматривать как коэффициент преломле-
преломления при переходе отраженных волн из кристалла в вакуум. В отли-
отличие от п величины тг(ог) и п^ могут быть как меньше, так и больше
единицы. С другой стороны, полный эффект преломления в част-
частном случае плоскопараллельной пластинки можно определить
величиной
t(t)
6л
t(i) Th __ К$
— So yQ == ~Y •
Правая часть этого выражения получается подстановкой в левую
часть значений ^г) и ^, согласно C.14), и, далее, заменой у на его
значение C.13).
Левая часть C.22) является разностью проекций векторов к?
и &(ог) на нормали к входной и выходной граням (здесь совпадают),
спроектированной на направление kh, практически совпадающее
с направлением Kh * — вектора дифрагированной волны в ваку-
вакууме.
Обращаясь к геометрической интерпретации величины C (или
К$/2), замечаем, что, как показывает рис. 7, при симметричном
отражении
Ь^ C.23)
это вполне согласуется с C.9) при yh = у0. Общий случай асим-
асимметричного отражения представлен на рис. 8. Проектируя после-
последовательно отрезок JVW11 на MR \\ п0 и затем MR на NIUNY, мы
замечаем, что
добавляется к отрезку F"C = PQ = v\ sin 2$ так, что
F sin 2*-4-
Построение разности C.22) в общем случае показано на рис. 9,
где дана ближайшая окрестность точки ^
40
Рис. 7. К выводу формулы
C.23)
Рис. 8. К рассмотрению эффек-
эффекта преломления при асиммет-
асимметричном отражении (случай
Лауэ)
Рис. 9. К выводу формулы
C.22) в общем случае
Рис. 10. К выводу формул
C.25) {а) и C.26) (б)
Рис. 10 показывает характерные частные случаи положения
нормали, т. е. величины ц и одного из параметров р, у, Ф. Так, на
рис. 10, а нормаль пересекает верхнюю ветвь дисперсионной ги-
гиперболы в точке FBK В этом случае, как нетрудно видеть, DD\
равное вообще г/2К$, принимает частное значение
C.25)
Отрицательное значение QP связано со смещением нормали от
точки М влево. На рис. 10, б показан случай падения вакуумной
волны при значениях р = у = 0 =0. Здесь отрезок
C.26)
Непосредственное определение эффекта преломления дается
значением т), выраженным, например, в виде функции от у, так как
результаты теории, в частности кривые отражения и прохождения,
даются в функции от у. Из C.13) получаем
|Хо|[(УТо)-1]
При симметричном отражении т] — ау, или в угловых секундах
,, C\xh\y 1 .
^з^^ш^Г 4,85-10-е' C-28)
Так как С и sin 2ф — величины порядка единицы и | %л I ж 10~5ч-
ч-10'6, то при симметричном отражении значение у близко к зна-
значению T]s и имеет тот же знак.
В общем случае асимметричного отражения согласно C.27)
как знаки, так и соотношение величин у т. ц" могут быть различ-
различными в зависимости от отношения Ыа. При малых скользящих уг-
углах, т. е. больших if>0, величина b может заметно превысить а, что
отражает возрастающий эффект преломления. В результате воз-
возникает два интересных эффекта. Во-первых, смещение максимума
отражения относительно угла Вульфа — Брэгга Ф и, во-вторых,
зависимость этого смещения от знака индексов. Другими словами,
указанное смещение будет различно для отражений hkl и ЪЫ.
Еще раз отметим, что обсуждаемый здесь эффект можно наз-
назвать преломлением несколько условно, так как, например, связь
между величинами г\ и ?/, согласно C.27), одинаково относится как
к отраженной волне, так и к проходящей. Заметим также, что,
42
используя C.27) для оценки угловой протяженности дисперси-
дисперсионных гипербол, представленных на рис. 3 и 6, получим величины
порядка 10"—15" для симметричного отражения и несколько боль-
большие значения и асимметрию рисунка (относительно центра гипер-
гиперболы) при асимметричном отражении.
2. Амплитуды волн. Маятниковое решение. Экстинкция.
Квазистоячие волны
Переходим теперь к пограничным условиям для амплитуд. Эти
условия существенно отличаются от тех, которые используются
в электромагнитной теории света, в двух отношениях. Во-первых,
ввиду ничтожного отличия показателя преломления от единицы
в случае рентгеновских лучей мы можем ограничиться условием
непрерывности слагающих векторов индукции. Во-вторых, по той
же причине мы не учитываем зеркально-отраженной обратно в ва-
вакуум волны, что, очевидно, следует из соответствующей формулы
Френеля.
Вместе с тем, как известно, при скользящем падении рентге-
рентгеновских лучей под углами (я/2) — if>0 порядка критических углов
для полного внешнего отражения величина коэффициента отра-
отражения принимает значения, которыми нельзя пренебречь. Поэто-
Поэтому в этих специальных условиях необходимо выполнить соответст-
соответствующий расчет для динамического рассеяния. Интерес к случаю
малых скользящих углов возрос за последние годы в связи с соз-
созданием спектрометров с асимметричным отражением по Брэггу.
Следует оговориться, что в подобных устройствах скользящие
углы падения (я/2) —г|H превышают 1—2°, что позволяет прене-
пренебречь отраженной волной.
Заметим, что столь малые скользящие углы падения исполь-
используются при отражении по Брэггу.
Обращаясь к формулировке пограничных условий, заметим,
что здесь мы рассматриваем частный случай плоскопараллельной
кристаллической пластинки, на входную поверхность которой
под углом i|50 + Л падает плоская монохроматическая волна.
Пластинка принимается непоглощающей и ее толщина малой
сравнительно с фронтом падающей волны. В таком случае волно-
волновые поля в кристалле остаются неразделенными.
Таким образом, условия на входной поверхности имеют вид
следующих уравнений:
D{o] + #о2) = #оа), C.29а)
DP + Df = 0, C.296)
если начало отсчета для распространения волн выбрать где-либо
на этой поверхности. Уравнение C.296) указывает, что здесь мы
имеем случай Лауэ, так как в случае Брэгга дифрагированная
волна выходит обратно через ту же поверхность.
43
Решая совместно уравнения C.29а, б), C.17) и C.18), получа-
получаем значения амплитуд Dff и ?)(ог) внутри кристалла, выраженные
через амплитуды Dq? падающей вакуумной волны:
C.31)
В частном случае рассеяния в центросимметричном кристалле
YYh D" = ± mW VTh ^ = ± Ут ^ D°K C'32)
Рассматривая волновое поле внутри кристалла, следует преж-
прежде всего различить два случая. Если падающая волна не поляри-
поляризована, то два состояния поляризации будут независимыми коле-
колебаниями в том смысле, что между ними не будет постоянных фа-
фазовых соотношений. Очевидна связь между двумя состояниями
поляризации в том случае, когда падающая волна является плос-
кополяризованной.
Что касается соотношений колебаний двух волновых полей
с одинаковым состоянием поляризации, то они будут взаимно ко-
когерентны в силу связывающих их пограничных условий C.29).
Если к тому же сохраняется указанное выше условие неразделен-
ности полей внутри кристалла, то общее волновое поле для коле-
колебаний с одинаковым типом поляризации может быть описано па-
парой выражений типа
(О. ОО)
из которых первое относится к полю преломленной волны и вто-
второе — к полю дифрагированной волны в кристалле.
Эти выражения можно преобразовать следующим образом:
2 D^ exp 2m [vt - (к^г)] -
г
= exp 2m [vt - (ког)] 2 #о!) ехр (± шДЬ),
i C.34)
= exp 2ni [vt —(khr)) 2 D^ exp (+ я^А/cz),
i
44
где
Afc
Л^. C.35)
Для вычисления модуля | ДА; | можно использовать соотноше-
соотношение
C.36)
Значения величин | g | можно взять из C.14), используя угловые
переменные у и v согласно C.13). Окончательно получим
кс^п\ л1_ C.37)
Начнем анализ волнового поля в прозрачном кристалле с рас-
рассмотрения вклада в максимумы преломленной и дифрагированной
волн каждого из полей. Это может быть сделано на основе уравне-
уравнений C.30), C.32) с помощью рис. 6 и 11.
При возрастании положительных значений угловых функций
у или v, т. е. смещении по дисперсионной поверхности вправо от
прямой ME, точка А& приближается к асимптоте То и, как легко
видеть из C.30), \D(q)\ возрастает, приближаясь к величине
Рис. 11. Изменения величин
области максимума
5" W" 15r/rj
Действительно, это справедливо для нижнего знака в этих
уравнениях, т. е. положительных значений у и v, и
lim
exp v
ТШ7 =
A + у2I'2
Наоборот | Х>оХ>1 при этих условиях стремится к нулю. Нетрудно
видеть, что в области отрицательных значений у и г?, т. е. по левую
сторону от прямой ME на рис. 6, знак изменения амплитуд | Dq \
и | Dq^I будет обратным. Другими словами, в области положитель-
45
ных значений у й v преобладает второе поле проходящей волны,
в области отрицательных у и v преобладает первое поле.
В отличие от двух амплитуд преломленной волны модули обеих
амплитуд дифрагированной волны согласно уравнениям C.31)
остаются равными между собой во всей области максимума, кото-
который, таким образом, будет для обоих полей симметричным отно-
относительно равных нулю значений у и v.
Еще раз отметим, что на концах максимума | D^l обращаются
в нуль, так же как и одна из | D^l; мы будем наблюдать явление
распространения одной волны в кристалле, претерпевающей пре-
преломление на входной грани. В средней точке максимума, при
Р =z у = v = 0, получаем
/#> = Я?> = -±-Dia\ D? = Df = (^f-Y Ma)- C.38)
Наконец, при симметричном отражении от плоскости, перпендику-
перпендикулярной входной грани,
Эти результаты поясняет рис. 11, который построен для отраже-
отражения 200 NaCl, при О = 54° и {yo/yhI/2 = 1,23, CuZa-излучения.
При этом поглощение не учитывалось. Пространственное распре-
распределение максимумов волнового поля в кристалле может быть опре-
определено анализом уравнений C.34). Если использовать значения
D(ol) и D^ из C.30) и C.31), а в значениях 2 уравнений C.34)
перейти от показательных к тригонометрическим функциям, мы
получим следующие выражения:
Dio) cos яД/cz — i у ., sin яД/cz I exp 2m [v? — (ког)\, C.40)
Doa)\— l tA /\ xVasin яАь] exp 2ni [vt — {khr)]. C.41)
Более простой вид, удобный для качественного физического ана-
анализа, эти выражения приобретают, если от общего случая перейти
к точке у ~ 0,
D(oa) [cos nAfe] exp 2ni [vt — (*or)], C.42)
D^ [ - i sin nAfo] exp 2ni [vt — {kor)] =
= D^ [sin nAfe] exp hni \vt — (hor) 1— i-|-|, C.43)
где величина — i = exp (— tJt/2) перенесена из амплитуды в фа-
фазовый множитель и fc^ заменено на к0.
Вектор Д&, согласно определению C.35), направлен антипарал-
лельно вектору нормали п0. Его модуль равен расстоянию между
46
двумя точками возбуждения на ветвях гиперболы. В частном слу-
случае симметричного отражения при у = О он переходит в вектор
Afe«=^^^fe' C-44)
модуль которого равен действительному диаметру дисперсионной
гиперболы [см. B.79)]:
Обращаясь к выражениям C.42) и C.43), замечаем, что они описы-
описывают колебания с амплитудами (в квадратных скобках), которые
являются периодическими функциями глубины проникновения
z-излучения в кристалл. Другими словами, постоянные значения
амплитуд имеют место на плоскостях, параллельных входной
границе.
Максимумы волновой функции дифрагированной волны C.43)
при у = О будут лежать на глубинах
2» = -2Д^-' C-46)
причем первый максимум при п = О приходится на плоскость,
находящуюся на глубине, равной половине характерной величи-
величины экстинкционной глубины:
т0 = | Д&о Г1. C.47)
Величина т0 — расстояние между двумя смежными плоскостями
с максимальными значениями волновой функции дифрагирован-
дифрагированной волны. Согласно C.42) расстояние между максимумами про-
проходящей волны такое же. При этом одно семейство плоскостей
смещено относительно другого на половину глубины экстинкции
BI
«
Заметим, что описанная структура волнового поля в кристалле
напоминает, но не совпадает полностью с системой стоячих волн.
Отличие связано с тем, что экспоненты в C.42) и C.43) зависят от
координат х и у и от времени. Следовательно, для каждого данного
значения z указанные уравнения описывают бегущую в плоскости
(ху) волну с амплитудой, величина которой зависит от z.
Существенной чертой такого волнового поля является периоди-
периодическая «перекачка» энергии от проходящей волны к дифрагиро-
дифрагированной и обратно по мере проникновения излучения внутрь крис-
кристалла, а также (что очень важно) в стационарном волновом поле,
порожденном падающей вакуумной волной. Это замечательное
физическое явление, которое обнаруживается с помощью надле-
надлежащих интерференционных экспериментов, было впервые пред-
предсказано Эвальдом на основе его динамической теории. По аналогии
со взаимодействием связанных и колеблющихся маятников, в ре-
результате которого происходит периодический обмен энергией
47
колебаний между ними, Эвальд назвал это явление маятниковым
решением (Pendellosung) динамической задачи. В это решение-
входит также образование побочных максимумов, которое мы рас-
рассмотрим ниже в связи с анализом и численными оценками выраже-
выражений для интенсивностей проходящей и дифрагированной волн в ва-
вакууме.
Приведем теперь численные оценки значений экстинкционных
глубин. При у = 0 экстинкционная глубина
A, cos ft лтс2 cos О Q /о /ох
х° = -сщг=———WJ- C-48)
Так как маятниковое решение рассматривается в этой главе для
случая прозрачного кристалла, то наибольший интерес при чис-
численных оценках для сопоставления с экспериментом имеет рассея-
рассеяние коротковолнового излучения в кристаллах, состоящих из
атомов легких и средних элементов. В табл. 1 приведены примеры,
Таблица 1. Значение экстинкционных глубин т0 в ми
при рассеянии излучений AgKct, M0K1 и CuKot кристаллами
кремния, кварца и германия
Вещество
Кремний
Кварц
Германий
Отражение
220
422
333
1011
1120
2021
1012
220
333
444
Излучение
AgKa
84,5
121,5
250,0
123,0
MOKOL
35,4
42,0
61,5
15,9
31,2
22,3
CUKOL
15,5
14,6
22,6
31,0
44,0
86,5
42,5
6,9
10,0
4,3
относящиеся к рассеянию МоКа-, СиКа- и AgZa-излучений
в кристаллах кремния, германия и кварца.
Следует иметь в виду, что приведенные значения экстинкцион-
экстинкционных глубин относятся к случаю у = 0, что при симметричном от-
отражении соответствует углу v. С отклонением от О, согласно
C.44), экстинкционная глубина уменьшается по закону т =
= т0 A + ?/2)~1/2, что соответствует при j/ = 3 t^ 0,32 т0.
В связи с изложенным анализом выражений для волновых по-
полей в кристалле C.33), C.34) и C.40) — C.43), следует сделать
оговорку, представляющую особый интерес для рассеяния в по-
48
глощающем кристалле (см. гл. 4). Каждое из волновых полей в от-
отдельности, очевидно, может быть описано с помощью выражения
типа B.36), пригодного для двухволнового приближения:
/Я = exp 2ni [v* - (kor)] 0? + D^ exp [- 2m (Лг)]}. C.49)
Это уравнение можно интерпретировать как уравнение волны с ам-
амплитудой (в фигурных скобках), которая является периодической
функцией координат. В отличие от аналогичных задач для произ-
произвольной среды, где геометрические параметры волнового поля опре-
определяются длинами волн колебаний, здесь колебания приспосабли-
приспосабливаются к периодичности решеток. Действительно, в данном урав-
уравнении экстремальные значения амплитуды будут наблюдаться
при целочисленных значениях скалярного произведения (hr). Та-
Такие значения соответствуют атомным плоскостям и п плоскостям,
лежащим между ними, где целое число п есть отношение индексов
интерференции к миллеровским индексам. Будут ли на этих плос-
плоскостях наблюдаться максимумы или минимумы амплитуд, зависит
от соотношений знаков или фаз D^ и D^-
Для первого поля знаки D^ и D^ совпадают, и, таким образом,
на атомных плоскостях будут наблюдаться максимумы. Наоборот,
для второго поля на этих плоскостях будут наблюдаться миниму-
минимумы, в то время как посредине между ними, при значениях (hr),
равных —1, — максимумы.
Такая структура каждого из двух полей имеет существенное
значение в явлениях прохождения рентгеновских лучей в погло-
поглощающих кристаллах. Так как главным механизмом истинного по-
поглощения рентгеновских лучей является фотоэлектрический эф-
эффект, поглощение существенно локализовано на атомах и, следова-
следовательно, на атомных плоскостях. Сильнее будет поглощаться то
поле, которое имеет максимумы на атомных плоскостях.
В непоглощающих и слабо поглощающих кристаллах описан-
описанная структура каждого из полей в отдельности не проявляется.
Более существенными становятся взаимодействия между проходя-
проходящими (D^) и дифрагированными (Dff) волнами обоих полей, рас-
рассмотренные ниже.
3.2. Коэффициенты прохождения и отражения.
Анализ маятникового решения
в случае плоскопараллельной пластинки
Перейдем теперь к вычислению волновых функций волн, вы-
выходящих в вакуум из нижней, или выходной, поверхности кристал-
кристалла, и коэффициентов прохождения и отражения.
Условие C.296) для величин Dff на входной грани перепишем
49
в виде
c^D^ + c^Df^O, C.50)
где c(i) даны в уравнении C.11) *.
Условия на выходной грани должны включать^ фазовые мно-
множители, отвечающие распространению волн по толщине пластин-
пластинки t (начало отсчета на входной поверхности)
[— 2nitk$] + Dfexp [- 2nitk$] =
= D(od)exp [- 27iitK$\, C.50a)
. C.506)
Решая совместно C.50) и C.29а), получим
лA) __ ^B) Л(а) ЛB) _ сA) П(а)
_ ,A)пA) _ 6 П(«) ПB)
-С ^ ^ ^
Подставляя значения Dq и D^ в условия C.50), получим
B)
D(od) ехр [- 2nttK$] = J .,, ?>(оа) ехр [-
C-53)
C.54)
Так как (см. C.1)) А$? = ^о? — #6(г), и в случае плоскопарал-
плоскопараллельной пластинки
Kf = K^a), C.55)
1 В работах 1971—1972 тт. группа авторов [50, 51] исследует отражения по
Брэггу и по Лауэ, возникающие при очень малых скользящих углах паде-
падения или отражения, порядка угловых минут. При теоретическом рассмотрении
подобных экспериментов авторы учитывают в пограничных условиях ди-
динамической задачи зеркально отраженную волну на входной грани. В резуль-
результате получается модифицированная форма динамической теории. Эксперимен-
Эксперименты, описанные в указанных работах, находятся в согласии с выведенными
соотношениями.
50
перепишем C.53) в следующем виде:
х
X {c^exp [mtK{&{1) — бB))] — cA)exp I— mtK{b{1) — 6B))]}.
C.56)
Аналогичное преобразование можно сделать с выражением C.54),
поскольку
Kid) — k(i) = K{a) — k{i) •— б(!) C 57)
Из уравнений C.7) и C.10) следует
К FA) + бB)) = -Д- Р — — , # (бA) - бB)) = 4- W\
То r WAAr - hi/2. C.58)
Переходя от волновых функций к значениям коэффициентов
прохождения Г и отражения i?, умножаем правые части C.56)
и аналогичного выражения для ?)/? на соответствующие комплек-
комплексно-сопряженные выражения. Комплексными являются вели-
величины c(i), содержащие комплексные дроби %h/%h. Произведения
%h%h, представленные в C.11) и C.13), являются действительными
величинами, так же как и величины у и v.
Для коэффициента прохождения получаем
I ?>id) I2 1
Т = ' ° ' = r-i { I с(а) I2 + I c^> I2 — cd)cB)*Lexp (— i2a) —
I Z)^a^ I2 I <r2' c'1' I2 '
или, переходя от экспоненциальных к тригонометрическим функ-
функциям,
Т = , B) A)
Аналогичным путем получаем для коэффициента отражения
C.60)
- бB)) = я* -^ ад
C.61)
51
й окончательно, используя Соотношения C.17) и C.18), получаем
явные выражения для Т и R в функции от у и v:
Т (у) = °, ' = , 2 [у2 + cos2 А У 1 + у2], C.62)
sin2 Л V\ 4-у*
То
о
1+У2
C.63)
Г (у) = ^h'E-sin'Hch^ = 4 _ д (у) f C.64)
ch2 г;
* '
X
C.65)
КС ^~~~ C.66)
Рассматривая выражения C.64) и C.65), замечаем прежде всего,
что сумма любой соответственной пары величин Т и R для любого
данного значения углового аргумента у или v равна единице. Оче-
Очевидно, это отвечает нашему рассмотрению рассеяния в прозрачном
кристалле, в котором энергия падающей волны делится на энер-
энергию проходящей и отраженной волн. Напоминаем, что в формулах
C.63) и C.65) в случае центросимметричных кристаллов величина
отношения | %h | / | 1п I обращается в единицу.
Уравнения C.62) — C.65) имеют маятниковое решение. Дейст-
Действительно, через посредство переменной А эти выражения являют-
являются периодическими функциями толщины кристалла L Дополни-
Дополнительность Т и R проявляется в том, что для любого данного зна-
значения t определенные значения у будут соответствовать максиму-
максимуму Г и минимуму R, или наоборот. Так, при t = Bп + 1)/2 \Ако\
в средней точке максимума, т. е. при у = 0, коэффициент отраже-
отражения R достигает максимального значения — единицы. При значе-
значениях t = 2тг/2 | Ак0 \ в средней точке максимума R = 0 и Г = 1.
Аналогичное периодическое изменение значений R и Т с толщиной
имеет место и при других, отличных от нуля, значениях у и v. За-
Заметим, что при значениях у =j= 0 максимальные значения R уже не
достигают единицы.
Очевидно, что особенно наглядно маятниковое решение полу-
полученных уравнений проявится в случае рассеяния на клинообраз-
клинообразной пластинке. При этом указанное периодическое изменение
величин Т и R будет непосредственно наблюдаться на участках
выходной грани, соответствующих критическим значениям t.
Кроме того, что особенно существенно, интервалы между макси-
максимумами обеих величин возрастают в некоторых схемах экспери-
эксперимента в отношении ~(sin р,) или —(tgji), где |i — угол клина.
Соответствующая геометрическая теория изложена ниже.
Помимо зависимости от толщины коэффициенты R и Г являются
также квазипериодическими функциями от угловых переменных
52
Рис. 12. Изменения величин Т и Я в области максимума в случае прозрачного
кристалла
а — кривые R и Т соответствуют t = 2n/A/i0; б — кривые R при различных значениях
толщины кристалла /; показаны побочные максимумы маятникового решения
у и v. Наличие множителя A + у2)-1 = сЬ-2г? приводит к монотон-
монотонному спаду гребенки на кривых R и Г (рис. 12). При больших зна-
значениях угловых переменных R обращается в нуль и Т — в едини-
единицу. Таким образом, маятниковое решение для Ли Г, как функ-
функций угла падения, приводит к образованию тонкой структуры или
побочных максимумов.
Угловое распределение побочных максимумов коэффициента
отражения R определяется из условия
или
¦ —1.
Так как для типичных условий эксперимента
C.67)
C.68)
C.69)
то для второго и последующих побочных максимумов
К2п 4-1 \2 251 « г-
j-— >"т~ с достаточной точностью можно пренебречь еди-
единицей в C.68), и в таком случае отстояние между соседними
побочными максимумами составит
Аг/ ж * , = -т- . C.70)
При симметричном отражении условия C.68) и C-70) позволяют
представить
фAХл И) =Ф1(')-Ф2(Хл), C.71)
что, очевидно, важно для экспериментальной проверки теории.
53
Действительно, для симметричного отражения [см. C.2?)]
C\Xh\y
и, переходя б C.68) от угловой функции у к аргументу г), получим
Для максимумов, следующих после первого, по-прежнему можно
использовать C.70), которое преобразуется для симметричного
отражения к виду
C.73)
Таким образом, сопоставляя измерения углового расположения
первого максимума C.72) и последующих C.73), можно раздельно
определить как толщину данной кристаллической пластинки, так
и величину | Хл I или структурную амплитуду \ Fh \ данного от-
отражения [52].
В случае асимметричного отражения C.70) можно преобразо-
преобразовать к виду
C^% C.74)
Для численных оценок тонкой структуры максимумов, обя-
обязанной маятниковому решению, применим C.73) к отражениям
220 и 333 излучения СпКа от монокристаллических пластинок Si.
Если задаться угловым интервалом ~ 1", то необходимая толщи-
толщина пластинок составит 40 и 22 мк соответственно. Для получения
большого интервала необходимо использовать еще более тонкие
пластинки, что представляет большие экспериментальные труд-
трудности.
Сопоставляя обе формы маятникового решения: полосы равной
толщины и побочные максимумы, отметим некоторые интересные
различия этих явлений [52]. Прежде всего обратим внимание на
возможность раздельного определения толщины пластинки t и ве-
величины |хл| в случае побочных максимумов, согласно C.68) —
C.73). В случае же полос равной толщины в формуле C.44) имеется
параметр у, не всегда поддающийся точному независимому опре-
определению. Далее следует указать, что принципиально число тех и
других максимумов различно. В случае полос равной толщины
число полос не может превышать величины t/x0. Между тем, как
следует из формул C.68) и C.70), число побочных максимумов не-
неограниченно.
Наконец, интересно рассмотреть модель, представляющую ма-
маятниковое решение, как эффект интерференции волн от двух
(фиктивных) источников.
54
Фиктивные источники используются в оптике видимого света
для интерпретации классических интерференционных экспери-
экспериментов. Однако в отличие от оптических схем, где фиктивные ис-
источники вводятся для расчета взаимодействия волн в реальное
пространство, здесь используются точки возбуждения А^ (см.,
например, рис. 6) в обратном пространстве. Отвлекаясь от разли-
различия амплитуд D^ или Dff и выбрав в качестве направления рас-
распространения интерференцирующих в кристалле волн
правление вектора ^\
на-
наРис. 13. Разность хода
волн в кристалле
а — при образовании полос
равной толщины;
б — побочных максимумов
близкое к направлениям &ох) и
а
(рис. 13, а), запишем разность фаз волн />ог):
2п | ДА; | Го = 2я -~ •
C.75)
Эта разность фаз отвечает первому экстинкционному расстоянию
в кристалле. Используя выражение C.37), выпишем значение
разности хода двух интерферирующих волн, соответствующей
тг-му экстинкционному расстоянию или п-й полосе (максимуму):
2яД
пх
n
= -^-, C.76)
где Д/х — разность хода, отвечающая первой полосе. Таким обра-
образом, с возрастанием номера полосы равной толщины разность хода
интерферирующих волн уменьшается. Иная картина наблюдается
при образовании побочных максимумов. В этом случае выражение
C.75) отвечает разности фаз интерферирующих волн для некоторо-
некоторого определенного побочного максимума, т. е. определенного поло-
положения нормалей 1—4 на рис. 13, б или определенного значения
уп (и = 1, 2, . . .). Нулевой максимум (у = 0), очевидно, соответ-
соответствует положению нормали 1 на том же рисунке. Из рисунка вид-
видно, что разность хода, отвечающая тг-му максимуму,
C.77)
возрастает с увеличением номера максимума.
Рис. 14. Профили максимум ой усред-
усредненных функций R и f
Рис. 15. Кривая изменения интег-
интегрального отражения /?f D)
-S -3 -10
8 10 12 П Й
Дальнейший анализ эффектов маятникового решения, связан-
связанный, в частности, с экспериментальным определением структур-
структурных^ амплитуд, приводится для приближения падающей сфериче-
сферической волны в гл. 6 и 9, для приближения падающей плоской
волны — в гл. 9.
Из сказанного ясно, что экспериментальное наблюдение и из-
измерение эффектов, связанных с маятниковым решением, пред-
представляет трудную задачу. Фактически оно осуществлено лишь
в самые последние годы, как это показано в гл. 9. Поэтому до сих
пор по преимуществу использовались выражения C.62) — C.65)
в таком виде, чтобы они отвечали доступным условиям измерений.
Речь идет об усреднении функций В и Т по t и у. Для получения
Я достаточно, например, в C.63) заменить величину квадрата
синуса его средним значением по полному периоду колебаний.
Среднее значение Т получим вычитанием Я из единицы:
В =
1
2A+1/2)
[2 A + У1)]
C.78)
Кривые для Я и Т представлены на рис. 14.
Полуширина максимума w или его ширина при значении
В = /2лтах определяются из условия 2у = 2. Переходя опять
к абсолютным величинам г), получаем (см. C.27))
= 2t]1/3s =
sin 2ft
C.79)
Если варьировать длину волны применяемого излучения,
т. е. принять, что данной величине Ац соответствует определен-
определенный интервал ДА, = X — А,в, где Кв — длина волны, точно отвеча-
отвечающая условию Вульфа — Брэгга, то мощно выразить полуширину
56
максимума в интервалах Длин воли!
Переходим к определению интегрального отражения
ч
С sin2 A V'\ -f ?/2
dy, C.81а)
Этот интеграл вычисляется дифференцированием подынтеграль-
подынтегрального выражения по параметру А:
Т
С Tsin [2/lsincpi ,
j sincp ^7
о
к которому можно привести правую часть в C.81а).
Далее используется определение
—- /0 (ж) — \ cos (x sin
о
и результат имеет вид (принимаем \%h |/| ^- | = 1)
п=0
Здесь /0 и Jn обозначают, как обычно, функции Бесселя нулевого
и соответственно тг-го порядков.
Для численного расчета интегрального отражения по C.816)
можно использовать либо асимптотические свойства ряда
А (Л<1),
C.81в)
либо, согласно Де-Марко и Вейссу [53], использовать данные
2А
в приложении 1 значения интеграла \ J0(x)dx для А
о
Для А ^> 5 достаточно точные результаты дает функция
2А
<
57
P (A} = 0,7979-^4
^i^L . C.8lr)
Кривая изменений функции i?f (^4) дана на рис. 15. При малых
значениях величины А, пропорциональной толщине кристалла t,
наблюдается монотонное возрастание интегрального отражения,
что находится в согласии с кинематической теорией. С дальнейшим
ростом А обнаруживается эффект экстинкции, а именно, периоди-
периодическое изменение интегрального отражения с постепенным пониже-
понижением амплитуды колебаний относительно среднего значения я/2.
Нетрудно видеть, что то же^ среднее значение л/2 получается при
интегрировании величины Я из C.78):
Дdy = \- J A + У'Т1 dy = -%-. C.81д)
Следует также иметь в виду, что при больших толщинах t кристал-
кристаллической пластинки приближение прозрачного кристалла непри-
неприменимо, и необходимо использовать формулы D.124) — D.126),
приведенные в гл. 4. Численная оценка критических толщин для
такого перехода может быть сделана на основе теории, изложен-
изложенной в гл. 4.
Принимая указанное среднее значение интегрального отра-
отражения, выпишем следующие окончательные значения:
' lJ-тг- <3-82а)
В случае падающего неполяризованного излучения
г>1\ \%h\ 1 /* Л Я 1 + | COS 2Ф |
У "т7~2 2 *
При асимметричном отражении максимумы отражения R
(и соответственно минимумы Т) смещаются из положений, отвечаю-
отвечающих кинематической теории. Смещение максимумов определяется
из C.27) при у = 0
Используя B.62) и вводя
6D = l-n=:-V,Xo, C.84)
58
перепишем C.83) в виде
Эффект смещения, таким образом, не связан с собственно динами-
динамическим рассеянием (не зависит от %h) и определяется рассмотрен-
рассмотренным в 3.1 своеобразным преломлением при прохождении через
плоскопараллельную пластинку. Интересно отметить, что при
переходе от hkl к Ш1 величина смещения изменяется. Действи-
Действительно, изменение знаков индексов отражения эквивалентно пе-
переходу к отражению от другой стороны той же системы плоскостей.
При этом меняются значениями величины у0 и yh.
Следует иметь в виду, что увеличение ц означает возрастание
угла\|H, т. е. уменьшение скользящего угла падения.
Наконец, отметим, что при асимметричной съемке угловая
полуширина максимумов w = 2г]у2 отражений с противоположны-
противоположными знаками индексов становится различной. В результате если
при симметричном отражении угловое положение и полуширина
максимумов Rh и Rh полностью одинаковы, то при асимметричном
отражении эти максимумы приобретают различную угловую полу-
полуширину и расходятся в разные стороны от точки, отвечающей
т,=0.
Что касается численных оценок, то описанные эффекты, вообще
говоря, незначительны и измеряются величинами порядка угловой
секунды, что впрочем вполне доступно современным возможно-
возможностям регистрации (см. гл. 9).
Так, при отражении 444 и 444 Moi^a-излучения от плоскопа-
плоскопараллельной пластинки Si, ограниченной сверху и снизу плоско-
плоскостями A00), смещения центров максимумов отражения составляет
для i?444Tlo=r— 0,45" и для R--- т}0 = 0,84"; соответственно w444 =
= 0,34", *#--- = 0,66". Эффекты более сильно выражены для отра-
отражения с минусами, что связано с условием
а следовательно, с уменьшением скользящего угла падения при
переходе к 444.
3.3. Прохождение через клиновидную пластинку
До сих пор мы рассматривали прохождение рентгеновской вол-
волны через плоскопараллельную пластинку. Если при этом сохра-
сохраняется условие широкого фронта падающей волны по сравнению
с толщиной пластинки и, следовательно, волновые поля внутри
кристалла остаются неразделенными, то из кристалла в вакуум
выходит одна общая волна D(ad) и одна волна D^\
Нетрудно показать, что если кристаллическая пластинка бу-
будет не плоской, а клиновидной, следует ожидать некоторого рас-
59
хождения выходящих в вакуум волн, которые порождаются раз-
различными волновыми полями внутри кристалла. При этом на вы-
выходной грани волны по обе стороны поверхности раздела будут
связаны не соотношениями C.29), а пограничными условиями
для каждого поля в отдельности. То же относится к условию не-
непрерывности тангенциальных слагающих волновых векторов C.1).
Рассмотрим прохождение неполяризованной рентгеновской
волны через клиновидную кристаллическую пластинку, наиболь-
наибольшая толщина которой значительно меньше волнового фронта па-
падающей вакуумной волны. Пограничные условия на входной
грани, а также волновое поле внутри кристалла, которое форми-
формируется соответственно этим пограничным условиям, остаются не-
неизменными и, следовательно, описываются в соответствии с выше-
вышеизложенным детальным анализом. Однако теперь в вакуум из
кристалла выйдет по четыре волны для каждого состояния поля-
поляризации.
Рассмотрим л- и а-колебания вектора индукции. Амплитуды и
волновые векторы падающей волны в вакууме и четырех волн, вы-
выходящих из кристалла, обозначим в этом разделе следующим обра-
образом:
C.86)
Выведем теперь выражения для волновых векторов в вакууме,
например, Км. Для этого используем пограничные условия для
волновых векторов, сначала на входной, затем на выходной гра-
гранях. Обращаясь к C.1), добавим в обе части уравнения вектор h:
Привлекая далее C.7) и C.14), получим
х (КГТ? + й + ^%г -^ ¦ C.88)
Для формулировки пограничных условий на выходной грани ис-
используется схема (рис. 16). Через точки возбуждения А^ прове-
проведены прямые A^PW, параллельные нормали nd к выходной грани.
Направление нормали — из кристалла в вакуум. Пограничные
условия на выходной грани для каждого из векторов в вакууме
можно записать следующим образом:
™ nd, C.89)
60
где, uo аналогии с C.7),
C.90)
Окончательное выражение для Км получаем, подставляя в
C.89) значения к$ из C.88) и используя C.14) и C.90),
— гпх {—
'h
У) -
^iVi + У2 - У) -
lh
-4Каи C.91)
—-
To
C.92)
Вычислим теперь значения углов между парами волновых век-
векторов, т. е. х0 между K^l и Kh между Км- Для этого обратимся
к рис. 17, который в увеличенном виде изображает соответствую-
соответствующую деталь рис. 16. Угол х0 ж К^Р^Р^, где отрезок р(х)рB)
примерно перпендикулярен к векторам К$[. Аналогично, угол
Рис. 16. Дисперсионная поверхность
в обратном пространстве для клино-
клиновидной пластинки
Рис. 17. К выводу формул для зна-
значений углов х0 и x/j
61
Kh
, где отрезок (?A)(?B) почти перпендикулярен
ь-hd'
В соответствии с соотношением C.35) вектор А^А^1}, пред-
представляющий вектор К8^п0 — 7?6BЫ0, вместе с тем является век-
векторной разностью &о2) — Л^или равной ей А?^2) —Л?\ Из погранич-
пограничных условий для волновых векторов на выходной грани следует
(&0 — ^0 )танг = Фи — fch )танг ==
= {Rod — &0d )танг = (Khd — -К/иОтанг- C.93)
Эти равенства становятся понятными из рис. 17, где отрезки А^АA),
pwpi1) и (?B)(?A), представляющие соответственно | Ак^}\ и
Д/4г)|, | \Kod\, | &Khd\, имеют равные проекции на прямую
получаем из
). Эта прямая, перпендикулярная к вектору nd, параллель-
параллельна выходной грани.
Используя из C.37) значение | А& | =
рис. 17:
^ /Г+72 sin |х.
J
C.94)
Для определения приближенных значений углов щ и xh введем
средние значения ур'о для углов
C.95)
C.96)
C.97)
фл для углов
Z (*#Ч)« Z («
и обозначения
Z (*л
л
В таком случае для указанных углов получаем
(ToTft)"
C-98)
C'99)
Используя выражения B.34), B.35) и B.62), можно написать
^ »)^-, (З.ЮО)
откуда
_ p sirip,
= Р
SinjX
y'h
C.101)
(ToT
62
Полученные формулы позволяют рассчитать углы расхождения
волн KqI и Км при прохождении рентгеновских волн через кли-
клиновидную пластинку.
Весьма интересным, с точки зрения эксперимента, является
наблюдение и расчет интерференционных явлений в слабо расхо-
расходящихся парах Khl и К%1- Эта интерференция относится к полосам
равной толщины, т. е. разность фаз, отвечающая наблюдаемым при
этом периодическим изменениям интенсивности, связана с величи-
величиной АЛ? согласно C.37).
Точное значение периода интерференционной картины опреде-
определяется величиной (| АК^])-1, т. е. вычитанием C.91) из C.92).
Принимая
получаем
-1
C.103)
Выражение дляЛ^ в явном виде определяется, очевидно, величи-
величиной векторной разности в круглых скобках, в правой части C.103).
Эта величина определяется одной из возможных эксперименталь-
экспериментальных схем [23]: 1) ребро клина перпендикулярно к плоскости, в ко-
которой лежат нормали пои^к входной и выходной граням; 2) реб-
ребро клина наклонно к указанной плоскости. Здесь мы рассмотрим
только первый случай. Схемы эксперимента будут различаться
соотношениями углов ср и q/ между отражающей плоскостью, и
пограничными плоскостями. Наконец, в каждой схеме возможны
два хода лучей, которые различаются взаимными направлениями
векторов:
[*/А1, lnond]. C.104)
Это условие эквивалентно отражениям от двух противоположных
сторон отражающей плоскости. Схемы представлены на рис. 18, 19.
Вывод выражения C.103) в явном виде, т. е. вычисление моду-
модуля разности векторов в правой части C.103), облегчается рассмот-
рассмотрением рис. 20. На этом рисунке:
= | Ак |, A^F = |АЛ14-,
AA)F = Q™QW
Величина отрезка A^F определяется из треугольника
63
Рис. 18. Схемы прохождения через клиновидную пластинку
а, в—-Т|, ф' = Ф -Ь М-, яр! = яро -Ь 20, яро = я/2 — ф — О, яр^ — ярг
^ z—1|, ф' = ф -[- (х, ярг, = яро — 20, яро = я/2 — ф + О, яр/j = Ф/, — м.
^Пп ^ Лоа
I У ^ KQa
Рис. 19. Схемы прохождения через клиновидную пластинку
а, *—ТТ, ф'= ф — ц, ^/t = яро + 20, я|?0 = я/2 — ф — О, грл= tyh -f |n;
«. г—It, ф'= Ф — ц, i|)/l = гро — 20, яро = я/2 — Ф + О, <ф^= ifrh + |4
откуда, подставляя значение | Ак | из C.37), получаем
ЛЛ = {| AKhd I) =
X {С | %h | /
X
7
+ Г'ь -
Г
C.106)
Это выражение упрощается в частных случаях схем C.104) и
рис. 18, б при tyh zzz \i, рис. 19, б при г|^ ^ [г.
При использовании схем рис. 18, б принимаем yh ж cos ^
и подбираем отражение с yh ж 1, откуда
{С 1
sin
C.107)
С другой стороны, в схемах рис. 19, г принимаем
подбираем отражение с yh zzz 1, в результате
Л, ж X УШ'и \C\ln\ V~T+f tg
cos
. C.108)
При малых fi выражения C.107) и C.108) практически эквива-
эквивалентны. Наконец, используя
C.101), получаем из C.108)
Ah =
C.109)
Явления интерференции на
клине будут рассматриваться в
гл. 6 в связи с приближением
сферической падающей волны,
а также в гл. 9 в связи с экспе-
экспериментальной проверкой дина-
динамической теории. В частности,
будет рассмотрен эффект моду-
модуляции периода Ah, вызванный
биениями двух колебаний, соот-
соответствующих двум состояниям
поляризации, а следовательно,
и двум значениям С в форму-
формулах C.106)-C.108).
Рассматривая в этой главе
распространение рентгеновских
волн через кристаллическую
пластинку, мы исходили из мо-
модели, включающей два важных
условия: падающая волна явля-
является плоской монохроматической и ширина ее фронта велика срав-
сравнительно с толщиной пластинки. Однако во многих случаях мы
встречаемся с иной картиной. Падающее излучение в действитель-
действительности представлено пучком волновых векторов в угловом интер-
интервале, превышающем угловую ширину динамического максимума,
и протяженность фронта падающего излучения на входной грани
значительно меньше толщины пластинки. Детальное рассмотре-
Рис. 20. К выводу формулы C.106)
Случай ij^ = i|)h + |ц
3 3. Г. Пинскер
65
т
Т R
Рис. 21. Различные случаи прохождения через плоскопараллельную пластинку
а — широкий фронт плоской падающей волны; б—узкий фронт плоской падающей волны,
слева — в прозрачном кристалле, справа — в поглощающем; в — пучок лучей, проходя-
проходящий через узкую щель
ние волнового поля в кристалле и вакуумных волн, выходящих
через заднюю грань, в случае подобной схемы падения изложено
в гл. 6.
Здесь мы ограничимся лишь некоторыми замечаниями по этому
вопросу.
В 3.1—3.3 мы рассматривали условия, при которых оба поля
в кристалле перекрываются. В 3.4 мы имели дело с волновым по-
полем в клиновидной пластинке, и пограничные условия на выходной
грани формулировались для каждого из полей в отдельности,
хотя волновые поля внутри пластинки остались неразделенными.
Это было результатом того, что фронт падающей вакуумной волны
был принят широким сравнительно с толщиной пластинки
(рис. 21, а). Иное должно наблюдаться при падении волны с узким
фронтом, например, через щель. Если бы при этом можно было
обеспечить параллельность волновых векторов по ширине щели,
т. е. по-прежнему принимать вполне определенный угол падения,
то внутри кристалла следовало бы ожидать разделения обоих вол-
волновых полей, причем в каждом из них разделялись бы волны
с различным состоянием поляризации. На выходной грани кри-
кристалла каждое поле должно давать свой вклад как в прошедшую,
так и в дифрагированную волны (см. рис. 21, б). Разделение полей
внутри толстого кристалла является следствием того, что распро-
распространение энергии рентгеновских волн в кристалле, так же как
и в случае кристаллооптики видимого света, происходит по направ-
направлениям векторов Пойнтинга, не совпадающим с направлениями
волновых векторов. Эти вопросы подробно рассматриваются
в гл. 5.
Однако в действительности использование щелей влечет за со-
собой образование веера лучей. Собственно говоря, аналогичную
структуру имеет и пучок лучей от рентгеновской трубки. В обоих
случаях лучшим приближением является не плоская волна, асфе-
асферическая, как будет подробно показано в гл. 6. Здесь мы только
обратим внимание на то, что в связи с наличием в падающем пучке
66
одновременно всех направлений или всех углов падения, во вся-
всяком случае в пределах максимума, в кристалле образуется широ-
широкий веер лучей или направлений распространения рентгеновских
волн (рис. 21, в).
Вместе с тем показанные на рис. 21 наглядные модели должны
рассматриваться как частные случаи падения на кристалл волны
с произвольной шириной фронта, которая соответствует более об-
общему представлению волнового пакета. Подобное представление
рассматривается в обобщенной теории на основе уравнений Така-
ги и излагается в кратких чертах в гл. 12, а также частично
в гл. 7 и 10.
Глав а 4
РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ПОГЛОЩАЮЩЕМ КРИСТАЛЛЕ.
ОТРАЖЕНИЕ ПО ЛАУЭ
Теория рассеяния, изложенная в гл. 2 и 3, относится к проз-
прозрачному кристаллу без поглощения. Такое приближение является
разумным и находится в хорошем соответствии с эксперименталь-
экспериментальными данными, если рассеивающий кристалл достаточно тонок и
не содержит атомов тяжелых элементов, а рассеянное излучение
имеет длину волны малую по сравнению с краями поглощения эле-
элементов, входящих в состав кристалла. Типичным примером явля-
является рассеяние излучений МоКа или AgKa в тонких пластинках
кристалла кремния, на котором изучались эффекты, связанные
с маятниковым решением (см. гл. 3, 6, 9). Очевидно, что переход
к широкому кругу явлений, сопровождающих прохождение рент-
рентгеновского излучения с любой длиной волны через более толстые
кристаллы, требует учета дисперсии и поглощения рентгенов-
рентгеновских лучей.
В соответствии с этим изложению теории рассеяния в погло-
поглощающем кристалле мы предпосылаем краткое рассмотрение обоб-
обобщенного атомного рассеяния, включающего поглощение.
4.1. Атомное рассеяние и поглощение
Точное вычисление атомного рассеяния в указанном общем
смысле требует использования многоэлектронных волновых функ-
функций атомов. В таком случае при построении динамической теории
для шредингеровского тока должно быть использовано уравнение
B.17), включая первый член справа.
К сожалению, в настоящее время многоэлектронные функции
неизвестны и соответствующие точные расчеты пока невыпол-
невыполнимы.
Поэтому, используя приближенные методы, различные авторы
вычисляют дисперсионные поправки к атомному рассеянию, а тео-
теория рассеяния в поглощающем кристалле строится на основе мето-
метода, применяемого в классической теории дисперсии, т. е. введением
комплексных параметров рассеяния [54].
Атомное рассеяние рентгеновских лучей с учетом дисперсии
и собственно поглощения удобно рассматривать с помощью
68
определения Джеймса [8, 55]:
где /о — рассеяние излучения с длиной волны, много короче края
поглощения; А/' и А/" — рассеяние, зависящее от дисперсионных
эффектов, т. е. от частоты падающего излучения, причем А/" = Д
определяется поглощением \
Обзор работ, относящихся к определению величин А/' и А/",
примерно до 1950 г. приведен в монографии Джеймса [8]. В тече-
течение последних лет опубликованы новые работы, в которых достиг-
достигнут определенный прогресс в теоретическом и экспериментальном
определении параметров, входящих в D.1). Здесь мы не будем
останавливаться на определении величин А/' и лишь кратко
рассмотрим методы теоретического вычисления указанных по-
поправок.
Классическая теория дисперсии заменяет реальный процесс
рассеяния атомами падающего излучения моделью колеблющихся
диполей, обладающих определенными собственными частотами.
Фактически учитываются лишь колебания электронов. Обозначая
через cos = 2nvs собственную (круговую) частоту диполя, через
о — частоту падающего излучения и вводя коэффициент затуха-
затухания />, нетрудно получить для амплитуды волны, рассеянной ди-
диполем на расстоянии единицы в экваториальной плоскости
D.2)
тс2 o)g — со2 + ip®
Для свободного электрона это выражение переходит в формулу
Томсона для рассеяния одним электроном At = — —з") Ео. Таким
\ тс !
образом, рассеяние диполем в электронных единицах или функ-
функция рассеяния диполем
* __ о2 ., о\
со2 — ©J — ipu ' ^ ' '
Знак / зависит от соотношения между со и cos и противоположен
знаку амплитуды^., член ip<o имеет заметное значение только в
специальном случае, когда со ^ cos.
1 Крамер и Манн дали значения атомных амплитуд /0 для нейтральных атомов
&[всех элементов, а также для многих ионов в виде коэффициентов к следую-
| щей функции: ., | ;
г=1
Эта функция с большой точностью передает значения/0, вычисленные по методу
Хартри— Фока [55а].
69
Разделение действительной и мнимой частей в D.3) приводит
к следующим выражениям:
и = Е^ . D.46)
11 @J _ 0JJ + /,2Ю2 V '
Для того чтобы установить соотношение между fa и атомным
коэффициентом поглощения \ха, можно использовать значение по-
показателя преломления п, согласно B.62). Как указано в 3.1, фор-
формула B.62) относится к случаю падения вакуумной волны на кри-
кристалл под углом, не попадающим в пределы какого-либо максиму-
максимума отражения.
Величина электронного заряда в единице объема р в выраже-
выражении для коэффициента переломления
„ = 1 _ J!*L D.5)
может быть представлена в виде
р = eZ - Nef0, D.6)
где Z — число электронов в единице объема; N — число атомов
в единице объема и /0 — атомная амплитуда рассеяния в направ-
направлении падения начального пучка. Таким образом, получаем
"^-ЭТ^о. D.7а)
Так как для случая прохождения в поглощающей среде фазо-
фазовый множитель распространяющейся волны
ехр [— 2ni(Kn, r)]
при вычислении интенсивности не исчезает полностью, а преобра-
преобразуется в множитель поглощения согласно B.58), мы можем совер-
совершенно формально разделить как п, так и /0 на две части (действи-
(действительную и мнимую)
В соответствии с этим множитель поглощения будет иметь вид
ехр 4я (Кпи г) = ехр (— |ir). D.8)
Если теперь ввести атомный коэффициент поглощения \ла, то со-
согласно D.8) и D.76) получим
1* 2 ^
йг2 ^. D-9)
яч
7Q
Еще раз подчеркнем формальный характер рассуждений, при-
приведших к формуле D.9), как впрочем и исходного соотношения
D.1). Действительно, в то время как рассеивающая способность
атома /о г пропорциональна электронной плотности или числу элект-
электронов (для /0 просто совпадает с числом атомных электронов),
foi определяется вероятностями переходов, возникающих при
возбуждении и ионизации атомных электронов. При этом foi для
определенных видов излучения заведомо меньше полного числа
электронов в атоме данного элемента.
Для действительной части атомной амплитуды, в случае, когда
со не слишком близок к cos, можно в D.4а) пренебречь коэффици-
коэффициентом затухания р и написать
Это выражение можно преобразовать, используя весьма полезное
понятие силы осциллятора.
Атом представляется в виде совокупности осцилляторов, раз-
разбитых на группы, каждая с определенным значением собствен-
собственной частоты. Число осцилляторов с некоторой частотой cos, обозна-
обозначаемое g (s), называется силой осциллятора. В таком случае атом-
атомное рассеяние D.10) может быть представлено в виде
И-_?^4. ,4.11,
Классическому понятию силы осциллятора можно сопоставить
вполне определенную величину в квантовой механике.
В результате квантовомеханического рассмотрения когерент-
когерентного рассеяния рентгеновских лучей на атоме с одним электроном
можно получить следующее выражение:
где h = Л/2 я. В этом выражении для частот падающего излучения
со^> cokn, /nn представляет полную величину когерентного рассея-
рассеяния атома в состоянии п. В общем случае приходится учитывать
дисперсию. Сравнивая D.12) с D.11), замечаем, что классической
величине силы осциллятора g (s) отвечает величина
g (&, п) = -р- cofen | xn]t |2. D.13)
Величина xnk пропорциональна вероятности самопроизвольно-
самопроизвольного квантового перехода атома из состояния к в состояние пх
которое будем считать нормальным. Для одноэлектронного атома
состояния к могут быть квантованными, так как верхние уровни
свободны. В случае многоэлектронного атома состояния к могут
включать непрерывную область, т. е. отвечать фотоэффекту. В от-
71
Личйё от классической модели осциллятора в 66 квантовом эквива-
эквиваленте сила осциллятора пропорциональна не числу осцилляторов,
а вероятности перехода.
Наряду с силой осциллятора g (s) используется понятие плот-
плотности осциллятора, существенное для непрерывной области состо-
состояний. Величина dg/d(o представляет число осцилляторов, приходя-
приходящееся на частоты в пределах от со до со + d(o. Полная сила осцил-
осцилляторов, приходящаяся на данную атомную оболочку, очевидно,
определяется из интеграла
причем для каждой оболочки имеет место специальный вид функ-
функции g (со). В соответствии с D.14) и D.11) можно написать
(to, D.15)
где сог- — круговая частота падающего излучения.
Наконец, рассматривая долю, поглощаемую атомом из всей
падающей энергии, можно показать, что плотность осциллятора
следующим образом связана с атомным коэффициентом поглощения:
Далее из D.9) и D.16) получаем для ft\
Для вычисления dg/d(o из D.16) необходимо знание закона
изменения \i (со) с частотой в пределах данной электронной оболоч-
оболочки. Некоторые авторы использовали следующий эмпирический за-
закон:
(^)ГИо>Л, D-18)
здесь значок s означает, что данная величина относится к краю
поглощения. На основе тех или иных соображений выбиралось
определенное значение г, которое зависит также и от порядкового
номера элемента.
Поправки А/' и А/", вычисленные с помощью D.16), D.17) и
D.18), вошли в расширенном виде в международные таблицы [56].
Наряду с этими данными мы здесь отметим три работы, посвящен-
посвященные вычислению теоретических величин А/' и А/". Далее мы сопо-
сопоставим вычисленные значения А/" с наиболее надежными экспери-
экспериментальными значениями для Ge. '
72
Крамер [57], стремясь обойти необходимость использования
экспериментальных значений |д,а, вычислял сначала значения силы
осциллятора, а затем из уравнения D.16) теоретическое значение
IV Величины Л/" и Л/' определялись из D.17) и D.15). В выраже-
выражении D.15) плотность осциллятора может быть выражена также
через величину \ia.
При вычислении квантовомеханического эквивалента gK для
/^-оболочки использовалось выражение
g^r = {AE max (I, V) Bj + 1) [w [l, j, Г, /'; i.
Pn',,>rPn,idrJ, D.19)
в котором АЕ — разность энергий двух состояний; B/ + 1) —
кратность конечного состояния; И — поправка, используемая при
вычислении сложных спектров; F'— частичная занятость конеч-
конечного состояния; Р — радиальные функции Хартри, которые были
в расчете заменены на релятивистские атомные функции. С деталя-
деталями расчета можно познакомиться в литературе, приведенной в ра-
работе Крамера.
Несмотря на более строгий расчет используемых волновых
функций, в работе Крамера, как отмечает сам автор, точность вы-
вычисления А/' и А/" была существенно ограничена использованием
зависимости \ia от со согласно D.18). Автор приводит таблицы
вычисленных им значений Л/' и А/" для элементов с атомными
номерами от 10 до 98 и пяти характеристических излучений: Сг,
Fe, Cu, Mo, Ag Ka.
В работах Хэнля [58] и Вагенфельда [59] использовались для
расчета водородоподобные атомные волновые функции.
Хэнль воспользовался результатами работ Сугиура [60], кото-
который вычислил плотность осциллятора в Х-континууме для одно-
электронного атома. В пределах отношения (o/(o# = zk от 1 до 4
величина g (z), согласно Хэнлю, составляет
g(*)~«EfJ>D*_l), D.20)
в то время как плотность осциллятора по Сугиура
dg_ 2^gjz± 21
Для перехода от водородоподобного к реальному атому Хэнль
ввел ряд поправок. Во-первых, была введена поправка на экрани-
экранирование заряда ядра. Эффективный заряд ядра для Х-электронов
был принят Z — s, где s — константа Слейтера, равная 0,3. Во-
вторых, влияние внешних электронов было сведено к дополнитель-
дополнительному потенциалу в области if-оболочки. Наконец, в выражении
для энергии ионизации к величине (Z — sJ добавлялась реляти-
73
вистская поправка вида a2 (Z — sL/4, где а — постоянная тон-
тонкой структуры оптического спектра. В результате исправлен-
исправленная частота края поглощения co^ = ык A — 8К), где 8 к =
= A — Ш/ХКА), Хк в ангстремах, А = (Z — 0,3J + 1,33 х
XlO-5B -sL.
Формулы Для вычисления величин А/' и А/", которые были ис-
использованы Джеймсом, получаются при подстановке значения dg/da
из D.21) в D.16) и D.17), причем значение g(z) в D.21) берется из
D.20) и z =
-1
I)}, D-22)
AfK = O, z<l. D.23)
Таблицы значений А/' и А/" для if-оболочки в функции от б# и
К/Хк приведены в приложении III монографии Джеймса [8].
Переходим к методу расчета \ia, использованному Вагенфель-
дом. Для вычисления поперечного сечения поглощения а или
совпадающего с этой величиной \ха применялось общее выражение,
получаемое на основе водородоподобной функции,
^ 2 2 |<р'|^ехрBя^)|р>!2. D.24)
,т',п' 1,т,п
Здесь р — начальное состояние с квантовыми числами п, Z, т
связанного электрона; р' — конечное состояние выбитого свобод-
свободного электрона с квантовыми числами п', Г, т\ Для того чтобы
определить пространственное распределение выбитых фотоэлект-
фотоэлектронов, необходимо анализировать множитель запаздывания
exp BniKx), в котором х есть направление распространения рент-
рентгеновской волны, а в качестве направления электрического векто-
вектора выбрана ось у. Указанный множитель может быть представлен
в виде ряда
exp BniKx) = 1 + i2nKx - 2п2К2х2 + . . . D.25)
Это разложение можно связать с определенной физической мо-
моделью: его члены соответствуют излучению диполя, квадруполя
и т. д. Будучи предложено еще в 1930 г., оно было подробно рас-
рассмотрено в упомянутой работе Хэнля [58], который сделал числен-
численную оценку вклада отдельных членов ряда D.25) и отметил пре-
пренебрежимо малый вклад квадрупольного, а тем более последующих
слагаемых. Однако квадрупольные члены могут быть использова-
использованы для вычисления величин %hi, как будет показано далее.
При вычислении отдельных членов D.25) были использованы
74
известные правила перехода: для диполя Z->*/' = Z±1,b част-
частности для К -поглощения Г = 1; для квадруполя I ->¦ Г = Z± 2,
для Х-поглощения Z' =2. В отличие от Хэнля Вагенфельд при-
приводит формулы для вычисления оа или \ia для поглощения на К-,
L- и М-обол очках. Однако в работе Гутмана и Вагенфельда [61]
фактически вычислены лишь коэффициенты поглощения на
К- и L-оболочках. Как отмечают эти авторы, существенный прогресс
в надежности и точности расчетов, основанных на водородоподоб-
ной модели, стал возможным благодаря опубликованию более точ-
точных значений длин волн характеристического излучения боль-
большинства элементов (см. [59]). Эти данные позволили вычислить
константы экранирования sn не только для /f-поглощения, как
в расчетах Хэнля, но и для L- и Л/-поглощения.
Расчетные формулы, которые были использованы автором
[59] для вычисления поперечного сечения поглощения на данной
оболочке, легко вывести (например, для if-оболочки — диполь-
ный член) следующим образом. Для квантовомеханического вы-
выражения силы осциллятора используется не приближенное соот-
соотношение Хэнля D.20), а более точная формула Сугиура:
( v = ехр [ - D/ V73I)] arctg (* - 1 )Va
1— ехр(— 2я/B— II-2) ' -
D-26)
Из D.9) и D.17) следует
-)К- D-27)
Так как-^ =<ок "ЗГ> то' ИСПОЛЬЗУЯ D.21), D.27) можно перепи-
переписать в виде (для двух электронов)
xfe) ?() D-28)
где g (z) определяется из D.26), и
lK = (Z-sK)*R^ /?oo = ^-4. D.29)
Квадрупольный член для Х-поглощения
где Яс = h/mc — комптоновская длина волны.
75
Аналогично для L-поглощения
^ = к+к -
D.31)
4 п Хс A1 —
3
+ 5 И2Р I C + 8ф) ' ^Z'
^ = X/XL, gh (z) отличается от gK (z) тем, что z в D.26) является
функцией от XL. Релятивистские поправки в этих расчетах не вво-
вводились.
Таблицы, вычисленные Гутманом и Вагенфельдом, содержат
значения атомного поглощения в отдельности для дипольного и
квадрупольного членов, а также их сумму
Указанные величины вычислены для элементов с атомными номера-
номерами от 11 до 84 для излучений от AgK^ @,4975 А) до СтКаг
B.2897 А).
Следует подчеркнуть, что методы расчета, использованные
Хэнлем, Крамером и Гуттманом и Вагенфельдом, не позволяют
с необходимой надежностью и точностью вычислить величины
А/' и А/" в непосредственной близости к краям поглощения соот-
соответствующих элементов. Кроме того, несмотря на учет релятивист-
релятивистских эффектов в работах Хэнля и Крамера, соответствующие ме-
методы расчета, строго говоря, неприменимы к тяжелым элементам.
Важно далее отметить, что какая-либо теоретическая оценка
надежности и точности изложенных методов расчета величин
А/' и ii представляет трудную и нерешенную задачу. Поэтому,
особое значение прибретает экспериментальная проверка величин,
вычисленных в упомянутых работах.
Не останавливаясь на детальном анализе опубликованных
работ, посвященных экспериментальным определениям коэффи-
коэффициентов поглощения рентгеновских лучей, заметим, что такие опре-
определения связаны с рядом непреодоленных до сих пор трудностей и
не отличаются достаточной точностью.
Существенный прогресс достигнут в работе Гримвалл и Перс-
сон [62], которые измерили линейные коэффициенты поглощения
в Ge ряда излучений. В табл. 2 указанные экспериментальные дан-
данные сопоставлены с теоретическими значениями \1&е, вычислен-
вычисленными авторами работ [55—58, 61]. Как можно видеть из приве-
приведенных величин Д.%, экспериментальные данные для X < Х#
лучше всего согласуются с теоретическими, полученными в работе
58], в то время как для X ^> Хк наилучшее соответствие имеет
76
Таблица 2. Сопоставление теоретических значений \xGe (см) с экспери-
экспериментальными для Ge
Излучение
р.э [62]
\хт [58]
А, %
\хт [61]
Д, %
[iT [57]
А, %
jftT-поглощение
Я, = 0,497
Я, =0,559
Я,= 0,6323
МоХа Я,= 0,709
125
147
210 •
274
108,
148,
197
290
2
8
13,5
1
6
6
126
174
244
332
,7
,8
1
12
16
21
179
40Э
,5
12,2
50
L-поглощение
Я, = 1,392
Cutfa Я, = 1,541
Fe#p Я, = 1,756
?еКа X = 1,936
Crtfp А, = 2,085
СгКа X = 2,29
296,5
352
510
670
827
1090
253,5
338
494
652
806
1055
6
4
3
2,8
2,5
3
400
1060
14
2,5
4,3
3,6
2,8
2,2
0,8
0,6
0,45
0,35
0,3
0,2
место для данных работы [61]. Последний столбец таблицы дает оцен-
оценку точности и надежности теоретических расчетов величин %hi.
4.2. Комплексная форма параметров
динамического рассеяния [63]
Обратимся теперь к параметрам динамического рассеяния в иде-
идеальных поглощающих кристаллах.
Величины поляризуемости и коэффициенты ее ФурЪе-разло-
жения становятся в этом случае комплексными:
1 = 1т + Ни Ъ = %ог + Н*и 1к = Ihr + Hhu D.34)
Волновые векторы волн в кристалле также становятся комплекс-
комплексными.
При падении вакуумной волны за пределами области макси-
максимумов отражения мнимая часть волнового вектора будет связана
только с нулевой слагающей Фурье-разложения %, именно с %0
[см. B.61)]:
к = К A + 7а Xor + i 7a Xoi), D.35)
Ki^^KY.^. D.36)
Фазовый множитель для такой волны в кристалле при переходе к
интенсивностям преобразуется согласно B.58).
Если угол падения попадает внутрь какого-либо максимума,
волновые векторы волны в кристалле к^ и k(h становятся комплекс-
77
ными через посредство как %0, так и %л. В соответствии с C.1)
можно написать
hf = К^ - К№по - ъК8[{)п0. D.37)
Аналогичное соотношение можно написать для вектора к$\ причем,
как это следует из соотношений C.7), вектор kff также становится
комплексным из-за функции 6(i). Таким образом,
fcS=rfno = *U). D.38)
Сопоставляя D.8), D.35) и D.36), можно написать
? D-39)
Обратимся к соотношениям D.34) и используем аналогию между
амплитудами рассеяния /г и Fhr и поглощения ft и Fhi.
Для действительной части % и %h можно написать очевидные
выражения
*' = ?* "Г \ (" т
(где /г должно включать как дисперсионную поправку, так и фактор
Дебая — Валлера),
= -.J]L.2LFhT. D.41)
При h = 0 мы получаем выражение B.35). Аналогично D.40) мы
можем написать для %t следующее выражение, формально вводя
мнимую атомную амплитуду ft:
D.43)
С другой стороны, из D.9) получаем
, ___ тс2 1 , __ тс2 1 /Л) ,, , ,ч
/о* — "^2—2ЛГ ^а' 'hi — "ё2"""^^ # V4.44;
Весьма существенной является угловая зависимость /^, а сле-
следовательно И |Ла.
В работе Хэнля [58] было показано, что отдельные составляю-
составляющие по мультипольностям в D.25) имеют, вообще говоря, различ-
различные поляризационные множители. Таким образом, следует разли-
различать \i~t и |д,а, где значки сверху обозначают состояние поляризации
падающего излучения относительно плоскости отражения. В соот-
78
ветствии с этим можно записать [59] [сравните с D.33)]
Hj == р*> | cos 2d I + \i$ I cos 4d |. D.45)
Кроме поляризационных множителей следует учесть для %ht
(но не для /of!) температурную поправку. Мы введем температур-
температурный множитель Дебая — Валлера ехр (—М), тот же, который
вводится в действительную часть атомной амплитуды (см. также
[35]). Таким образом, для неполяризованного падающего излуче-
излучения следует написать
х« = - & ш 2 л (*•г) ехрUi (*»•). D-4б>
яч
или с учетом приведенных соотношений
Хм = - г 2 Hih) ехр 2т (Лг) ехр (- М),
яч
D.47)
Заменяя показательную функцию на тригонометрические и
принимая, что температурный фактор включается в величины /
и \ia \ выпишем следующие формальные соотношения. Для отра-
отражения hkl (j — номер атома в базисе):
Хл = (Xhr + iXhi) = - r|2(/ri 4- ^) i
LH4
Xhr = — Г 2 (/rj cos ф;. + i/ri sin ф.),
/« cos (p?. + i/y sin ф3.) =
p, + »ц(*) sin Ф.). D.48)
яч
ЯЧ
Для отражения Jtkl:
Ч = Чт + l4i = - Г 2 (/п C0S Фу - Vrj Sln Ф;) -
ЯЧ
-ir S (м$} cos фу - И?sin %)' D-49)
яч
me2 nQ '
Ф. = 2я (to,- + /сг/. + Щ. D.50)
Очевидно, что величины ^Ог и %oii не содержащие фазовых мно-
множителей, являются действительными, в то время как %hr и %hi —
комплексными.
79
Далее, из выражений D.48) и D.49) следует, что
Кг = Чг> Кг = Чг D-51)
Причем, в отличие от параметров прозрачного кристалла, при от-
отсутствии центра симметрии,
D.52)
Использованная форма записи комплексных величин %hr и %hi
сопоставляется с другой формой:
= |%пг | ехр щ
= | Xw | ехр U
Цг = | ХЛг | ехр (- ix]h),
\г = | %hi | ехр (— icoh).
D.53)
Сопоставление D.48), D.49) и D.53) позволяет определить фазы
y\h и соЛ (опускаем значки /)
cos ЛЛ = j
cos ©h =
sin Мл =
^
cos ф, sin т^ = i^^
4 cos ф = j^| 2 Kh) cos Ф.
sin ф =
in ф>
D.54a)
D-54б)
I Fhr | = У C U cos ФJ + (J fr sin фJ,
12 ^ I = / B Kh) cos ф)^ + B
sin Ф)«,
D.54b)
Следует обратить внимание на то, что | F/lr | и | Fhi | — величины
безразмерные, | 2[х^) | согласно D.54в) имеет размерность
|яа, т. е. [еж2]. Введение этой величины диктуется удобством ис-
использования таблицы значений \ia [61].
Рассмотрим теперь значения OUXu и | %ь,/%л |» которые войдут
в формулы для Т и R. Как указано [см. D.52)], в поглощающих
кристаллах %h и ^ не являются комплексно-сопряженными. Ис-
Используя D.48)—D.51), получаем
Vn - (%nr + txhi) (%-hr + 1Х1г) = (xhr + ahi) (%*hr + ix*M).
На основании D.53)
Vn = I %hr I2 - I Zm I2 + | Xhr 11 Xhi | exp [- h>hl +
= I Xhr |2 - | X
hi |
- 21 Xhr 11 xM I cos vh;
D.55)
80
Далее
ч
У (Х/гг
аналогично
ч
У-h
^1 — 2
%hr
it
* • * \
S1П V h
sin v,t.
x^ - tx-M)
V Щг
D.56a)
D.566)
При выводе D.56) величины | thJlhr |2 отбрасывались как величи-
величины второго порядка малости. Согласно D.54),
cos ф
D.57)
V j
) Sin ф
'а'0 C0S Ф
Заметим, что величины cos v^ и sin v^ являются безразмерными,
как и должно быть. Для центросимметричных структур цк и coh
обращаются в 0 или я, и тогда cos v^ = +1 и sin v^ = 0.
Используя эти соотношения, преобразуем D.56) следующим об-
образом:
"^ r/r.-D-58)
в2 \
/7^2 I
Таким образом, соотношение между модулями обоих отношений
определяется знаком детерминанта или согласно D.56) знаком
sin vh.
Наряду с коэффициентом линейного поглощения [х, относяще-
относящегося к любому направлению в кристалле, в дальнейшем исполь-
используется линейный коэффициент поглощения в направлении нормали
к входной поверхности:
_
D.59)
Наконец, для комплексной угловой функции р можно написать
pr = 2ti sin 2d + | хог
D-60)
81
Таблица 3. Значения линейного коэффициента поглощения \х (в см)
и действительной и мнимой частей нулевого члена Фурье-разложёния
поляризуемости |Х0| -106
Эле-
Элемент
Si
Пара-
Параметр
\*>
Хог
Xoi
СиКа
143
14
0
,0
,862
,351
Излучение
МоКа
14,3
3,156
0,0162
AgKa
И
1
0
,2
,963
,00998
Эле-
Элемент
Ge
Пара-
Параметр
И-
Хог
Хч
СиКа
352
30
0
,0
,438
,863
Излучение
МоКа
290,0
6,461
0,328
AgKa
148,8
4,024
0,133
В табл. 3, 4 приведены значения | %Or |, | Xhr |, Щ | Хо* | и
%hi | для Si и Ge и трех характеристических излучений AgKa,
Ка и СиКа.
Значения | %ог | и | %hr | в табл. 3, 4 вычислялись по величинам
/г, взятым из [56]. В эти значения были внесены поправки на ано-
аномальную дисперсию, вычисленные с помощью таблицы в работе [8],
и множитель Дебая — Валлера. Значения дебаевской температуры
приняты для Si 543° и для Ge 296°. Значения линейного коэффи-
коэффициента поглощения были определены из таблицы работы [61] для
Si и из наших табл. 3,4 для Ge. При этом для излучений AgKa
и ШоКа использовались величины \л = 148,8 см'1 и 290,0 см*1,
а для СиКа — 352 см-1. Из значений \i непосредственно по форму-
формуле D.39) вычислялись %oi.
Для определения величин | %hi |, относящихся к Si, и для
излучения Си Ка — к Ge, согласно D.45), вычислялись \л^ и [гЦ,
причем \ia и (На брались из таблицы работы [61]. Далее использо-
использовалась формула D.47) для определения |Xah) и D.48) — для вычис-
вычисления | хм I-
Определение величин | %hi | для Ge в случае излучений
AgKa\ и МоКа этим путем невозможно, так как соответствующие
раздельные значения \ла и \^а, взятые из работы [61], дают в сумме
величину, приводящую к \i = 174,8 и 332 см*1, что значительно
превышает соответствующие экспериментальные значения 148,8
и 290 см. Эти данные приведены в табл. 2. Поэтому, используя
указанные величины \ia и \ia, мы придем к нелепому результату
I Xoi | < j Xhi •) В качестве приближенных значений | %hi \ мы при-
приводим в табл. 5 величины, основанные на допущении 80 =
= 1. Эти величины вычислялись по формуле D.48),
D.47), в D.45) принималось (и^ ж \ла ж \Ха, (iij >^ \ла ~
или
|iW«|ie(l + |cos20|)/2.
— по
cos 2ф
82
Таблица 4. Значения действительной и мнимой частей коэффициентов
Фурье-разложения поляризуемости IXjJ'lO6
Элемент
Излучение
Отражение
111
220
311
400
Si
Ge
СиКа
МоКа
AgKa
CuKa
MoKa,
AgKa
8,09
1,70
1,06
17,62
3,95
2,45
9,74
2,04
1,27
21,36
4,84
2,99
6,29
1,32
0,82
14,22
3,23
2,00
8,17
1,74
1,06
18,16
4,16
2,57
c;
Ol
Ge
CuKa
MoKa
AgKa
CuKa
\Xhi
0,245
0,0113
0,00436
0,586
• 106
0,340
0,0168
0,00608
0,810
0
0
0
0
,237
,0110
,00422
,565
0
0
0
0
,327
,0152
,00583
,781
Элемент
Излучение
331
Отражение
333
440
444
Si
Ge
CuKa
MoKa
AgKa
CuKa
MoKa
AgKa
5,56
1,17
0,72
12,11
2,79
1,72
5,11
1,13
0,70
10,78
2,50
1,54
6,64
1,39
0,86
14,16
3,31
2,04
6,22
1,17
0,72
11,61
2,77
1,70
IXhtl-10»
Si
Ge
CuKa
MoKa
AgKa
CuKa
0,228
0,0106
0,00409
0,545
0
0
0
0
,222
,103
,00398
,526
0,308
0,0142
0,00550
0,730
0
0
0
0
,295
,0134
,00516
,684
В заключение заметим, что величины | %hi | и | %о* , приве-
приведенные в табл. 3—5, вполне удовлетворяют условию %hi | <^
^ I Ihr \(h = 0, h) и относятся лишь к легким и средним элемен-
элементам и к излучениям, заметно отличающимся по длинам волн от
краев поглощения этих элементов.
83
Таблица 5. Значения мнимой части Фурьё-рйзложения поляризуемости
|М°6 G
Излучение
МоКа
AgKoc
Отражение
ill
0,229
0,093
220
0,317
0,129
311
0,221
0,090
400
0,306
0,124
331
0,214
0,087
333
0,207
0,084
440
0,287
0,116
444
0,268
0,109
4.3. Вывод точных формул
для коэффициентов прохождения Т и отражения R
в случае поглощающего кристалла
Здесь мы рассматриваем случай неразделенных полей, который
соответствует падению вакуумной волны с шириной фронта, пре-
превышающей толщину кристаллической пластинки. Вывод указан-
указанных формул аналогичен тому, который использовался в случае
прозрачного кристалла и изложен в 3.3. Однако расчет осложня-
осложняется ввиду комплексного характера переменных c(i), 6(i) и W.
Точные формулы для ГиД, относящиеся к общему случаю рас-
рассеяния в кристалле без центра симметрии и при любом соотно-
соотношении между модулями | %hr | и | %hi |, были выведены Зелин-
ской-Рогозинской [64]. Наше изложение очень близко к выводу,
данному этим автором, однако мы сохранили тот смысл обозначе-
обозначений %hr и Хм, который, следуя Лауэ, мы ввели ранее.
Исходим из формулы C.11) для c(i):
D.61)
7г), D.62)
где W определяется по C.58). Умножая числитель и знаменатель
дроби на %К' получим
D.63)
Заменяя знаменатель в правой части D.63) буквой р, выпишем
в явной форме значения четырех величин с(гг) и с*г)
cJD = - р [Цг (ft + \У{) - X-hi (ft. + Wr)],
с? - - р-1 \\r (Pr - Wr) + XHi№ - W,)], D'64)
сB) = — p-i [%-г($г — \?г) — XHi(f3r — Wr)\.
84
Точные выражения для величин Wr и Wt можно получить,
применяя правило извлечения корня из комплексного числа:
D.65)
а - р» - р| + 4С* ^- ФЛ, Ь = 2prpi + 4С* ^- Тл. D.66)
Приведем явные выражения для величин (бA) + бB)) и (бA) — )
являющихся теперь комплексными. Из уравнений C.10) следует
¦?• Й° = - ^ КЭг ± ^r) + i (Pi ± W4)l, D-67)
и тогда [см. C.7)]
D.68)
Подставим эти величины в суммы и разности 8(i):
б*1* + бB) = F(гх) + б(г2)) + i (йР + б[2)),
6<» - бB) = (б*1' - бB)) + i F{° - 6f). D.69)
Получим для действительных и мнимых составляющих
D.70)
в«_в» = ^., в?>-в?> = ^-. D.71)
Необходимо также учесть, что
Ы) + i (#> + в?')] =
() D.72)
inKt [(б^ - б(г2)) + i{6P - 8?)} =-- - nKt 5-i + И(^. D.73)
Повторяя теперь вывод, изложенный в 3.3, перепишем форму-
формулы C.53) и C.54) для волновых функций преломленной и дифра-
85
тированной волн применительно к кристаллу с поглощением
KI (^-- %!.)] {D» + Ц")ехр [- лЮ^] X
шЮ ^\ - (сМ + icV) exp [nKt ^J X
X exp [-into |^]}, D.74)
X exp inKt y1 — exp nKt -^ exp —inKt 2~Ч г. D-75)
Переходя к величинам Ги Л, умножаем приведенные уравне-
уравнения на сопряженные комплексные величины. При этом исполь-
используем соотношение D.43) и в интерференционных членах исполь-
используем тригонометрические функции.
Точные формулы для Т и R имеют следующий вид:
Л(«)
|с«|2ехр Г-
L
cos \Kt^
+ | c<D j2 exp nKt —l- \ + 2 (cMcW* -
+ 2 (cf)Vr2) - c^Dcp)*) sin ГяЮ ^1}, D.76)
i? = - '°2 I'0 j .— ex
exp — яй —^- + exp \nKt—1\ — 2 cos\nKt—-\\. D.77)
L j h -I L ТЛ J L тЛ JJ
Несмотря на достаточно сложный характер этих выражений
и трудность их качественного анализа, все же они ясно показывают
одну замечательную черту явления прохождения рентгеновских
лучей через совершенный поглощающий кристалл, а именно —
эффект Бормана.
Действительно, рассматривая эти формулы, можно заметить,
что члены в фигурных скобках описывают последовательно волны,
принадлежащие первому и второму полям и их интерференции.
Поглощение представлено общим множителем, стоящим перед
86
скобками, и дополнительными множителями, относящимися к
каждому из двух полей. При этом дополнительный множитель
при первом члене в скобках, относящийся к первому полю, имеет
знак показателя степени, совпадающий со знаком показателя
общего множителя перед скобкой, в то время как дополнительный
множитель при втором члене имеет обратный знак. Следовательно,
если относить общий множитель к «среднему арифметическому»
между поглощением проходящей и дифрагированной волн в кри-
кристалле,
Г1 + г-1) D.78)
то при падении вакуумной волны в области максимума возникает
дополнительное или «интерференционное» поглощение:
W.
+яЯ*_Л. D.79)
Его характерной чертой является различие в знаке, что приводит
к усилению поглощения одного поля и существенному ослаблению
поглощения другого поля. Другими словами, при рассеянии
рентгеновских лучей в поглощающем кристалле возникает ано-
аномальное поглощение одного поля и аномальное прохождение
рентгеновских лучей другого поля. При достаточной толщине t
кристаллической пластинки проходящая и дифрагированная вол-
волны в вакууме будут формироваться только за счет одного из полей
в кристалле.
4.4. Вывод приближенных формул
для коэффициентов прохождения Т и отражения R
В настоящее время основным материалом, на котором ведется
количественное экспериментальное исследование динамического
рассеяния рентгеновских лучей, являются монокристаллы Si,
GaAs, кварца, кальцита, Ge, Си. Эти монокристаллы состоят
из атомов легких и средних элементов периодической системы.
Можно полагать, что при рассеянии в таких кристалах излучения
с длиной волны ^, не очень близкой к краю поглощения на К- или
L-оболочках рассеивающих атомов, выполняются условия
Кроме того, взаимодействие падающего рентгеновского излуче-
излучения с атомами в таких кристаллах (сравнительно с рассеянием на
атомах тяжелых элементов) лучше удовлетворяет приближенным
методам расчета параметров поглощения, изложенным в 4.1.
Как было показано Захариасеном [15] и Лауэ [12], использование
этих условий и пренебрежение квадратами мнимых составляющих
при наличии квадратов действительных компонентов %Ог и %hr
87
позволяет вывести более простые формулы для Г и Д. Такие фор-
формулы удобны для проведения детального качественного анализа
явления и фактические успехом используются для достаточно точ-
точного количественного сопоставления с экспериментом. Вывод при-
приближенных формул может быть сделан путем простых преобразо-
преобразований.
Будем пользоваться в качестве угловых переменных величи-
величинами у и v, которые здесь должны рассматриваться как комплекс-
комплексные функции. На основе уравнений C.13), D.60) и условий D.80)
можно написать для у
Pr + tpt _ K + Jh Г . vft1
У Уг -т 1Уг— г т -|, г т -]1/2 1 i 2ф »
D.81)
Значение мнимой части угловой переменной vt получаем при помо-
помощи тождества
sh v — sh vr cos vi + t ch z;r sin ^.
На основе приближения
cosui^l, smVi^Vi D.83)
можно написать
(sh г?),
(sh v)r ж sh i;r, Vi ж sin ^ = Jl_2!. D.84)
Откуда, используя D.81) и C.13), получим
D.85)
Для величин Wr и И^г используются приближенные значения,
которые получаются из точных следующим простым преобразова-
преобразованием. Пренебрегая в D.66) величиной р; по сравнению с |3? [см.
D.60)], получим для W'r
D.86)
Приближенное выражение для Wt можно получить, умножив и
разделив второе уравнениеD.65) на Wr и заменив в знаменателе
Wr на Wr:
D-87)
2Wr
Вывод приближенных выражений для Т и R можно выполнить,
используя метод, изложенный в 3.3, как это было сделано выше
для точных значений указанных коэффициентов, но с привлечени-
привлечением приближенных значений функций, входящих в эти выражения.
Для величин с№ используем сначала C.15) в следующей форме:
c{i) =
С ' =
v ^exp l± {v
Квадраты модулей величин (с<2> — сA>) и
саны в форме [см. D.83)]
D.88)
могут быть запи-
То
Ч
То I Л/1 I / 1 2
Хг
сA)сB) 12 = JL
ч
D.89)
D.90)
Далее, экспоненты niKt FA> + б^2)) и niKt (бA) — б^2)) преобра-
преобразуются согласно D.72) и D.73). Первые члены в правой стороне
этих выражений при умножении на комплексно-сопряженные
величины войдут в экспоненты множителей поглощения (с заменой
Wr и Wi на Wr и W'j). Второй член справа в D.72) сокращается,
так же как и второй член справа в D.73), при величинах | с& \ 2.
Что касается членов сA)сB)* и с^с^*, то здесь мы получим
cu)cB)*exp inKtr
IL ^л
= —2 —
4
•с^ехр —inKt-^— =
[ Wr
COS ЯШ
Согласно D.55) и D.80), напишем
D.91)
D.92)
89
И в таком случае на основании приведенных выше соотношений
I cos vh
Ji_ = 6/l + з„. D.93)
Таким образом, помимо среднего коэффициента поглощения от,
значение которого дано в D.78), при отражении возникают два
дополнительных коэффициента
ц 2яХС|хь-| cos v.
G/i = Sr- (Т — Ть1) th ur, eh = г/^ —— . D.94)
z х о п (ТоТ ) 2 ел yr
Наконец,
W'r 2nKCt | хЛг |
nKt = ^— ch vr — 2Л ch vr = 2а. D.95)
Здесь величина 4 имеет то же значение C.66), что и для прозрач-
прозрачного кристалла (| %hr \ = \ %h I).
Итак, точные формулы D.76) и D.77) для R и Т преобразуются
в приближенные формулы Лауэ, имеющие следующий вид (сохра-
(сохраняем прежние обозначения для Т и R):
ехр [— <зт?]
В отличие от Т коэффициент отражения R в общем случае крис-
кристалла без центра симметрии будет различным для отражений
hkl и hkl. Заменяя величины | %h \ I \ %^ ) и | %^ | /1 Хн \ их значения-
значениями согласно D.56) или D.58), получим для двух коэффициентов
отражения
~~* , + °н) ^] — cos2a}/'l+ 2
hr .
D.966)
Другая форма записи выражений для Т ж R, в функции от угловой
переменной у, имеет вид
Д
+ (Уг + /l + У?J exp [(aft + a'h) t) + 2 cos Ba - i Д_
D.97а)
Д±^ (У) - "Р,!~ ^l1 {^ [fa + ok) Ц - cos 2a} f 1+2 %L sinvA
D.976)
90
Приведем также выражения для Г и Л (в наших обозначениях),
данные Захариасеном в его книге [15]. Эти выражения легко по-
получить с помощью простейших преобразований из D.97):
( 1 1 + 2t/J
Г(у) = ехр[—бтШ1—¦ sin2a + . /2 X
( 1 + у\ 1 + у\
X sh2 \(ch -\- o'h) -j-\ -1— r sh[(oh -\- eh)t] 1, D.98a)
л („) = ^^
х
X U ±2
D.986)
Если в формулах Лауэ типа D.96а) или D.97а) в фигурных скобках
выписываются последовательно члены, относящиеся к первому
и второму полям, и интерференции между ними, то в формулах
Захариасена выписываются сначала члены, относящиеся к про-
прозрачному кристаллу, а затем к поглощающему. Заметим, что
Чу.
в D.98а) не учитывается дополнительная фаза 2^== т*"~ *
Очевидно, что в формулах Лауэ более отчетливо, в явной форме,
обнаруживается «эффект Бормана».
4.5. Анализ приближенных формул
для коэффициентов прохождения Т и отражения R
Выражения D.96) и D.97), так же как и D.76) и D.77), ясно
показывают наличие интерференционного поглощения, различного
для обоих полей. Полная величина коэффициента поглощения в
направлении нормали к входной грани составляет
G = °m±(Gh + °h). D.99)
Она будет одинакова как для преломленной, так и для дифраги-
дифрагированной волн, так как согласно D.35) и D.38) определяется мни-
мнимой частью волнового вектора к$.
Вместе с тем соотношение коэффициентов Т и R существенно
определяется условиями эксперимента. Наиболее важными явля-
являются значение произведения amt (для симметричного отражения
\xt), условия ф = я/2 (симметричное отражение) или ф =j= я/2
(асимметричное отражение), и, наконец, наличие или отсутствие
центра симметрии в рассеивающем кристалле.1 Следует также
иметь в виду замечания, сделанные в 4.1, о неприменимости изло-
изложенной теории к рассеянию кристаллами, состоящими из атомов
тяжелых элементов, и к излучению с длиной волны, близкой к краю
поглощения. Обращаясь к формуле D.99), отметим, что собствен-
91
но интерференционное поглощение, зависящее от %hi, представле-
представлено величиной oh, обладающей максимумом при уг = 0. Что каса-
касается он, то эта величина согласно D.94) определяется подобно от
линейным коэффициентом поглощения \х и при этом зависит от
различия между углами падения г|H и отражения г|)Л, обращаясь
в нуль при симметричном отражении.
Наличие осциллирующих членов в формулах для Т и R озна-
означает, что при небольших значениях произведения omt (до ~2)
в поглощающих кристаллах, так же как и в прозрачных, наблю-
наблюдаются побочные максимумы маятникового решения. При этом
наличие дополнительной фазы 2vt в косинусном члене формулы
для Т приводит к некоторым особенностям рассеяния в поглощаю-
поглощающем кристалле. Во-первых, побочные максимумы Т несколько
смещаются относительно таковых на Л-кривой, в результате чего
нарушается строгая дополнительность обеих кривых, характер-
характерная для рассеяния в прозрачном кристалле. Во-вторых, так как Vt
зависит от уг в первой степени, кривая Г, содержащая побочные
максимумы, приобретает небольшую дополнительную асимметрию
относительно средней точки.
С переходом к большим значениям резко возрастает ано-
аномальное поглощение одного из полей, в результате чего ослаб-
ослабляются и затем совсем исчезают побочные максимумы. Это опре-
определяется возросшим «собственным» поглощением интерференцион-
интерференционной части (косинусного члена).
Очевидно, эффект поглощения влияет также на периодические
изменения амплитуд преломленной и дифрагированной волн с глу-
глубиной. Напомним физическую модель, с помощью которой в гл. 3
было дано объяснение интерференционных эффектов маятникового
решения. Интерференция между преломленными волнами обоих
полей в кристалле приводит к периодическому изменению ампли-
амплитуды суммарной волны с глубиной. Такая же интерференция имеет
место для дифрагированных волн обоих полей. При этом, хотя
период изменений амплитуды с глубиной в обоих случаях одина-
одинаков, так как определяется величиной вектора Afc, относительные
положения плоскостей максимумов и минимумов смещены на по-
половину экстинкционной глубины т == | кк\ ~1. В результате
возникает эффект перекачки энергии от преломленной волны к
дифрагированной и обратно.
С другой стороны, совокупность обеих волн в каждом из двух
полей также образует модулированную амплитуду, но с периодом
модуляции порядка межатомных расстояний, т. е. примерно в
104 раз меньшим экстинкционной глубины. В прозрачном кристал-
кристалле эта модуляция не проявляет себя. Так как в первом поле мак-
максимумы лежат на атомных плоскостях, его поглощение быстро
растет с глубиной или толщиной кристаллической пластинки.
При этом в первом члене в формулах D.96) и D.97) для R и Т
появляется множитель аномального поглощения ехр [—( ош +
+ oh + o')t], в то время как в интерференционном члене вслед-
92
ствие взаимной компенсации дополнительного интерференцион-
интерференционного поглощения обоих полей остается множитель нормального
поглощения ехр (—omt). Таким образом, для оценки возможности
сохранения в поглощающем кристалле эффекта периодического
обмена энергий между преломленной и дифрагированной волнами
с глубиной можно сопоставить глубину экстинкции с относитель-
относительным ослаблением энергии поля, представленной вторым и третьим
членами в указанных формулах, вследствие поглощения. Для опре-
определенных частных случаев это сопоставление сделано в табл. 6.
Таблица 6. Значения множителей поглощения при симметричной съемке
кристаллов Ge в Си.Ка-излучении (С = 1, уг — 0, [L = 352 см)
Слагающие
\xt
0,25
0,5
1,0
6,0
10,0
20,0
Первое поле
Второе поле
Первое поле
Второе поле
Интерференционная
часть
Отражение 220, тэ = 6,75-1(Г4 с
0,614 0,376 0,141 8-10-6
0,992 0,981 0,962 0,786
Отражение 333, т0 = 13,5.10~4
0
0
0
,670
,910
,782
0
0
0
,450
,824
,607
0
0
¦0
,202
,678
,368
67
0
0
• ю-3
,037
,0025
3,1.10-9
0,670
11. Ю-»
0,0204
45,5.10-6
0,450
4,1-Ю-4
2,1.10-»
Перейдем к более детальному анализу формул для R и Т.
Симметричное отражение [63, 65, 66, 69, 70]. В случае симме-
симметричного отражения параметры рассеяния принимают следующие
частные значения. Дополнительный индекс означает принадлеж-
принадлежность данного параметра к симметричному случаю:
Tos = Ths = cos d, prs = 2t! sin 2*. pis = 0,
,= 0,
2лКС |
cos vh
Vrs
r\ sin 2ft
D.100)
D.101)
cos vh,
D.102)
a5 = As
, As = A.
D.103)
93
Выпишем выражения для коэффициентов прохождения и отраже-
отражения:
+ 2 exp [- -^] cos Bas - 2vu)}, D.104)
1 + 2
D.105)
Проследим теперь за изменением формы кривых Ts и Rs с воз-
возрастанием произведения [U. Возрастание \it может быть связано
либо с увеличением толщины кристаллической пластинки при
фиксированном значении \i для используемого излучения, либо
с переходом к другим, более мягким излучениям, поглощение ко-
которых в данном кристалле возрастает и происходит на других
электронных оболочках атома. Как показывает эксперимент
(см. гл. 9), оба случая обнаруживают далеко идущее сходство.
Следует также иметь в виду, что сам по себе параметр \it не
является достаточно универсальным. Как следует из формул
D.96), D.97), D.104) и D.105), произведение \it непосредственно
определяет множитель поглощения лишь для интерференционного
члена. Что же касается относительных значений множителей по-
поглощения, то здесь удобно сопоставление следующих величин:
— \it A + е), — [it A — е), — {it, г=:\Хы \:\ Xoi |.
D.106)
Величина е может существенно меняться при переходе от первых
отражений к последующим как из-за уменьшения температурного
фактора ехр (—М), так и главным образом в соответствии с
изменением геометрического структурного множителя. Типичным
примером может служить рассеяние СиКа излучения на Ge:
?220 — 0,96 и 8ззз = 0,61. Соответствующие значения множителей
поглощения приведены в табл. 6.
Изменение формы кривых Т и Я представлено на рис. 22 и 23
[12, 17]. Кривые при малых значениях \it соответствуют значени-
значениям R и Т без косинусного члена; Л— интенсивность пучка, про-
прошедшего через пластинку данной толщины за пределами мак-
максимума.
М
Что касается кривой прохождения, то при малых \xt да 0,1—0,2
она обнаруживает характерный минимум, слегка смещенный от
нулевой точки. Далее, с возрастанием \it асимметрия кривой Т
становится значительной, кривая «деформируется» и постепенно
образует максимум.
Эти изменения легко объясняются с помощью качественного
анализа формулы D.104). Асимметрия кривой объясняется разли-
различием множителей поглощения для первого и второго полей, пред-
представленных соответственно первым и вторым слагаемыми в фигур-
фигурных скобках. Можно сказать, что начальная кривая при малых \it
характеризует аномальное поглощение по сравнению с «фоном»
или значением [x^/cosO, действующим за пределами максимума и
0,8
Ц6
И*
0,2
_
>
t
\
г
\
\
\
\
\
N
/
/
\( п
1'
l'\
\ ч
.. Я
^0,01
^-—<— i
-6 -Ь-2 0 2 Ч 6 у
'H,
Рис. 22. Максимумы прохождения Т
для поглощающего кристалла при
симметричной съемке для ряда воз-
возрастающих значений t (Cu^Ca, 200,
NaCl, ji = 160 см-1)
Рис. 23. Максимумы отражения R для
поглощающего кристалла при симмет-
симметричной съемке для ряда возрастаю-
возрастающих значений t (MoKa, 220, Si, u =
= 13,4 см'1)
7 У
95
обозначенным на рис. 22 прямыми N. Это аномальное поглощение
несколько сильнее для первого поля, которое эффективно при
Уг& < 0. При возрастающих \it более отчетливо выражается ано-
аномальное прохождение, имеющее место только для второго поля,
т. е. справа от оси у = 0.
Кривые Т при средних значениях [it описывают суперпозицию
№2 2j[f
функций — ^ слева и — ;—— справа, медленно
меняющихся с изменением | yrs [, и множителя поглощения вто-
второго поля.
В отличие от кривых прохождения кривые отражения (рис. 23)
во всем интервале значений [it сохраняют симметричные форму
и положение относительно оси yrs = 0. Это объясняется тем, что
функции D^ и Dh2) симметричны относительно этой оси.
Рассмотрим область приближения толстого кристалла при
симметричном отражении. Как доказывает табл. 6, при значениях
\it ~ 5 ~— 6 и более, первое поле, а также интерференционная часть
настолько ослабляются, что величина и форма кривых Т и R опре-
определяется практически лишь вторым полем. Здесь мы вступаем
в область приближения толстого кристалла.
Формулы для Т и R записываются в виде
Tesx{Vrs+ |^sJexp| —J^li - CEC°SJl )] , D.107)
/ (A I 2 \ I (*OS ТГ \ (A I 2 \*/2 /I
1±2 -^~
D.108)
Рассмотрение траектории вектора плотности потока энергии, про-
проведенное в гл. 5, показывает, что в толстом поглощающем кристалле
происходит сужение волнового поля по мере проникновения
вглубь.
При симметричном отражении энергия волнового поля рас-
распространяется вдоль отражающей плоскости, поэтому некоторые
авторы используют выражения для Res и Т\ типа D.108) и D.107)
без cos О в показателе степени множителя поглощения. Отмечен-
Отмеченная выше суперпозиция функций для Т\ все в большей степени,
с возрастанием \it сводится к преобладанию экспоненциальной
функции
[/ Сг cos v, \ I
- |i* I yt- . D.109)
\ A ~г yrs> ] J
Как показывает нижняя кривая Т& на рис. 22, соответствующая
jii = 6,4, максимум определяется функцией D.109). С дальнейшим
возрастанием \it максимум Т, уменьшаясь и смещаясь ближе к
96
нулевой оси, при значениях [ii~40-r-60 по положению и форме
совпадает с максимумом Л. Характерным параметром для пере-
переходной области и в особенности для области приближения толстого
кристалла является величина смещения точки Гтах относительно
оси уг = 0. Эта величина определяется из кубического уравнения
J1L = у8 _ ay2rs + yrs - р'1 = 0, а - ^±^, р = ^^е. D.110)
Уравнение D.110) решается точно. На рис. 24 приведены значения
Рис. 24. Смещения максимумов
Т на шкале у и в угловых се-
секундах в функции от р для от-
отражений 220 и 311 Cuiifос-излу-
Cuiifос-излучения от Ge
0,6
0,2
0 10
JO
смещения yrs, а также смещения точки Гщах в угловых секундах
ц" для частных случаев отражений 220 и 311 Си/?ос-излучения от
Ge, при возрастающих значениях [its*
Другим важным параметром кривых Tes и Res является их
полуширина, которая при рассеянии в достаточно толстых кристал-
кристаллах примерно одинакова. Значение полуширины 2i/i/2 или w = 2i]i/2
может быть определено из уравнения
которое решается методом последовательных приближений. Так
как D.111) основано на учете только одного поля, значения уц2 для
{it < 6 являются оценочными (табл. 7).
Величина коэффициента поглощения в формулах D.107),
D.108) в простейшем случае кристалла с центром симметрии и
сг-поляризации имеет минимальную величину
Сравнивая ряд отражений с возрастающим sinOA для данного
кристалла, данного излучения и h + к + / = const, мы, очевидно,
получим (качественное) подобие для отношений %hi/%oi и Xhr/Xor-
В первом случае спад определяется действием температурного
множителя, во втором случае — дополнительно еще спадом
4 3. Г. Пинскер
97
Таблица 7. Значения ух, и полуширины w = 2г],^ для кривой
симметричного отражения R Си Ко. -излучения от Ge
-1,2
—1,0
—0,72
0,60
0,52
0,46
0,42
0,33
220 (? =
VXit
3,12
5,21
10,42
15,63
20,80
26,05
31,27
52,03
= 0,96)
w"
-6
—5
-4
3,3
2,8
2,5
2,3
1,8
333 (?
4,92
8,2
16,4
24,6
32,8
41,0
49,2
82,0
= 0,61)
w"
~2
-1,6
~1,2
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
функции / (sin О/А,). Поэтому для дальних отражений подобие
будет ухудшаться.
Между тем отношения X/ir/Xor согласно B.61) и B.77), а также
рис. 6 равны отношениям действительного полудиаметра диспер-
дисперсионной гиперболы к величине V2 К | Хо |? т« е. тем больше, чем
ближе точка пересечения гиперболы с осью ME (рис. 6) к точке
Лауэ — М.
Таким образом, из рис. 6 можно установить и сопоставить
значения интерференционного (и полного) поглощения, т. е.
эффект Бормана.
Этот путь был указан Эвальдом в 1958 г. [67] и может быть
назван критерием Эвалъда. В трехволновом случае, как будет
показано в гл. 12, он также является существенным.
Асимметричное отражение [63] обнаруживает ряд интересных
особенностей, которые формально в значительной степени связаны
с влиянием величины oh> Эти особенности выражены тем сильнее,
чем резче асимметрия съемки. Сопоставим нижеследующие выра-
выражения для величин oh и oh:
2кКС\Хм\
D.112)
Величины cos vh и уТ (при условии yr ^ 1) по модулю близки.
Что касается «множителя асимметрии» q, то в практически реали-
реализуемых условиях его модуль может существенно отличаться от
нуля, принимая (при | уг \ ж 1) значения, равные ~ 1. Учитывая
далее, что | Xoi | для дальних отражений может значительно пре-
превышать | х/гг |, мы приходим к заключению, что при больших
98
_ 7000
-800 \-
Рис. 25. Кривые изменения коэффи-
коэффициентов поглощения в области мак-
максимума при асимметричной съемке
1 — oh\ 2, 4 — oh; з, 5 — ah + ah
B, з—для отражения 333~, 4,5 — для 333)
Рис. 26. Максимумы отражения R
при асимметричной съемке (Ge, огра-
нение {100}, Си#ос-излучение)
a- Gmt= I, [it = 0,29;
б— Gmt = 3; |ы/ = 0,87;
в— Gmt = 20,72; [xt = 6:
l — отражение 333; 2 — 333
-Z -1
-2 ~1,2 0 1,2 2
\yr\oh может значительно превышать oh. Такой случай представлен
кривыми oh, С7л_и ой + он на рис. 25. Кривые относятся к от-
отражениям 333 и 333 CuA'a-излучения от кристаллической пластин-
пластинки Ge, ограненной плоскостями {111}.
Существенно отметить две особенности этого графика: смещение
максимума суммы oh + oh от нулевой точки и обращение кривых
при перемене знака индексов отражения. Первая может быть
объяснена тем, что в определенных пределах о'п и сумма on + eh
растут с увеличением | уг [. Вторая объясняется Зависимостью
Gh от уг в первой степени. Допустим, что для некоторого отражения
hkl Yo^> Y- В таком случае q <^ 0 и положительные значения oh
и суммы о'н + о'п будут наблюдаться при yt ]> 0. Так как перемена
знака индексов отражения эквивалентна переходу к отражению
qt другой стороны той же плоскости, Yo и yh меняются значениями
99
и oh и oh + o'h будут положительными уже при отрицательных
значениях уг.
Обратимся к коэффициенту отражения Я, который даже при
небольших значениях omt практически совпадает с Д, так как из-за
достаточно сильного поглощения пропадает тонкая структура или
побочные максимумы маятникового решения. Поэтому в дальней-
дальнейшем мы опустим черту над R (так же как и над Г).
Как было показано в гл. 3, максимумы асимметричного отра-
отражения от прозрачного кристалла Я имеют симметричную форму
относительно средней точки !/ = 0 и совпадают для отражений
с обоими знаками индексов. При переходе к шкале г) обнаружи-
обнаруживается эффект смещения Кривых Я относительно угла О, что вы-
вызывается преломлением, причем смещение для hkl и hkl имеет
противоположный знак. Однако эффект смещения в случае про-
прозрачного кристалла является незначительным, порядка 1". В отли-
отличие от этого при асимметричном отражении от поглощающего
кристалла указанное смещение 7?-кривых является их характерной
чертой. Это смещение сопровождается искажением их формы,
которая становится асимметричной относительно ЛШах- Для
отражений с противоположными знаками индексов величины сме-
смещений максимумов на шкале уг равны по величине и противопо-
противоположны по знаку, так что кривые Rhhi^ Rj^j оказываются зеркаль-
зеркально-симметричными (для центросимметричного кристалла). В тол-
толстом кристалле
Re
ехр [ — (<зт — <sh — oh) t]. D.113a)
4(l+?/2rs)
Естественно, от выражения D.113а) можно перейти к D.108)
для симметричного случая.
Обращаясь опять к форме и положению кривых R, замечаем,
что смещение этих кривых и их асимметрия растут с увеличением
произведения Gmt (рис. 26). Как показывает рис. 26, в, в случае
выбранного примера отстояние максимумов при omt ж 21 состав-
составляет величину 2,3 по шкале уг, т. е. превосходит полуширину
максимума R при отражении от прозрачного кристалла. Очевидно,
что смещение этих кривых обязано смещению максимума функций
(ah + стА), представленных на рис. 28. Не останавливаясь здесь на
вычислении интегрального отражения, заметим, что в случае
центросимметричных кристаллов, для которых множитель
1 + 2
несмотря на различие кривых Rh (у) и R^ (у), их интегральные
отражений будут равны
J Rh(y)dy * §/^(j/)dy. D.1136)
100
Это равенство не будет выполняться при отражении от кристаллов
без центра симметрии. Зеркальная симметрия в смещении макси-
максимумов и условие D.1136) для центросимметричных кристаллов со-
сохраняются при возрастании omt. Это связано с тем, что, несмотря на
поглощение одного из полей, вклад любого из них в отраженную
волну внутри кристалла согласно формуле C.31) и рис. 11 остается
симметричным относительно оси ут = 0.
Что касается Г-кривых, то они при асимметричной съемке
также испытывают смещение по шкале г/, противоположное по
0,26В
-2 -1
2 -2,5 -1,5 -0,5 О 0,5
Рис. 27. Кривые коэффициента прохождения Т при асимметричной съемке
(Ge, Cutfcc)
а: 1, 2 — at = 1,3; 6:1 — at = 7; 2 — 10; 3 — 20,72; 4 — 62,16
знаку для отражений hkl и hkl. Однако наиболее существенным эф-
эффектом является различие в значениях Thhl и Г^-j, возрастающее
с толщиной или, точнее, произведением omt. При cmt = 62 или,
в том же примере отражений 333 и 333 СиЛ'а-из л учения от Ge,
jx? — 18, отношение ^ны^ш достигает 100.
Этот эффект является следствием асимметрии вклада каждого
из полей в кристалле D(d в общую величину коэффициента про-
прохождения Г. Как следует из формулы C.30) и рис. 11, вклад пер-
первого поля преобладает при у <i 0 и вклад второго поля — при
у ]>0. Таким образом, в результате сильного поглощения первого
поля величина прохождения для отражений hkl и hkl определя-
определяется лишь вторым полем в кристалле. Между тем в результате
смещения максимумов функции (сг^ -f стЯ) от средней точки ут = 0
максимумы функций Т смещаются в противоположные стороны,
и, в то время как Гшх в нашем примере асийметричного отра-
отражения смещен в сторону максимального значейия | /?@2) |2, макси-
максимум Тщ. смещается в сторону отрицательных значений уТ} где
101
величина | D^ |2 очень мала. На рис. 27 показаны кривые Т с со-
соответствующими числовыми значениями основных параметров.
Параметром, определяющим области приближения тонкого,
промежуточного и толстого кристаллов при асимметричной съем-
съемке, является произведение
С возрастанием степени асимметрии, когда одна из величин у0 и yh
много меньше единицы, omt может значительно превосходить \it,
в результате чего упомянутые области приближения тонкого и
толстого кристаллов существенно смещаются в сторону меньших
толщин.
4.6. Интегральные значения отражения Ri и прохождения Тг
в случае поглощающего кристалла [66]
Величины Rt и Tt являются важнейшими параметрами рассея-
рассеяния, наряду с коэффициентами R и Г, в особенности при рассеянии
поглощающим кристаллом. Их регистрация представляет более
простую экспериментальную задачу, чем получение полных кри-
кривых отражения, и привлекает к себе внимание многих исследова-
исследователей.
Исследование функций Rt и Tt для некоторых частных случаев
было дано в монографии Захариасена [15] и работе Хирша [68].
Однако более полное решение задачи вычисления этих интеграль-
интегральных величин и анализ результатов содержатся в работах Рама-
чандрана [69] и Като [70]. Полезная дискуссия, в особенности при-
применительно к толстому кристаллу, а также учет периодических
составляющих имеется в работе [71]. В нашем изложении, следуя
главным образом ходу расчета, изложенного в работе Като, не-
незначительным изменением значений переменных и последователь-
последовательным учетом периодических составляющих выводятся общие выра-
выражения для интегральных величин Rti& Tt. Вместе с тем приведен-
приведенные выводы относятся к случаям, когда | %hi | <^ | %hr |, так как
выполняется интегрирование выражений Захариасена — Лауэ
D.96) и D.97). Далее следует отметить, что если интегральное от-
отражение Rt вычисляется совершенно точно, вернее, соответствую-
соответствующие интегралы являются собственными, то при вычислении Tt
мы встречаемся, с несобственными интегралами, для которых,
однако, возможно нахождение главного значения. Расходимость
указанных интегралов отражает особенности подынтегральной
функции на границах максимума. Как уже отмечалось в гл. 2 при
анализе соотношений B.82), на границах максимума, когда волна
0^ становится очень слабой, двухволновое приближение непри-
неприменимо»
102
Итак, по определению [см. D.81)]
sin2#
D.114a)
T\. D.1146)
В соответствии с этим, используя D.986), запишем следующее вы-
выражение для интегрального отражения:
D.115а)
где
С sin2 Л У14 и!
—сзо — оо
D.1156)
Значения Л, сгл, oft определяются из уравнений D.93) и D.95).
Интеграл W, в согласии с анализом, проведенным в 3.3, выража-
выражается следующим образом:
W = л
71=0
D.116)
Что касается гиперболической подынтегральной функции в вы-
выражении D.1156) для V, то ее аргумент является общим и для ги-
гиперболических функций, которые подлежат интегрированию при
вычислении Tt (см. далее). Для приведения соответствующих
интегралов к стандартному виду используются следующие подста-
подстановки:
-Ш
D.117)
Здесь «множитель асимметрии» q задан выражением D.112). Далее
h cos В =
= ^ q=
(ToTh)/2
= б^ cth
h sin p = 6h^ ch i;r,
D.118)
103
В таком случае указанный аргумент гиперболических функций
преобразуется следующим образом:
, 2>r(To-Th)
= A sin p sin 0 {1 — ctg p ctg 0} = Л cos @ + p). D.119)
Переходя от sh2 [(ал + Oh)t/2] к ch l(oh + o'h)t] и от переменной
интегрирования уг к переменной 9, получаем
V = 1/2§{ch[Acos@ + P)]-l}d0. D.120)
о
Этот интеграл решается с помощью функций Бесселя от мнимого
аргумента In (А). Общее выражение, а также функции нулевого
и первого порядков имеют вид
оо
/«(*) = S!*!(« + *)! ("Г.
h>
— + -^Т1б' + 1Гб4"+ 24^.256 + 1202-1024
h\h) 2 + 2>8 + 12>32 + 144#128 +24-120-512 +
+ 120.720.1024 +•- D-121)
При переходе к толстым кристаллам используются асимптотичес-
асимптотические выражения для 1п (А), имеющие хорошую сходимость при до-
достаточно больших значениях п. Приведем такие выражения для
функций нулевого и первого порядков:
/0 (А) ж F (А) 2 ^~\ А (А) ~ F (А) 2 ^А, D.122а)
г г
V ^ h-i — j j 9 75 75>49 1052-812
Zl гЛ — г + 8д + 128Д2 + 16-64Д3 "• 8-642./i4 + 120.8б.Лб + *"
г
VI .',-i __ . 3 _15 105 525 105-77
41 { ~ 8/i 128Д2 16-64Л3 8-642-Д4 "" 643-Д5 "••"'
г
D.1226)
Используя указанные функции [72], непосредственно получаем
для интеграла
?1] D.123)
104
и для полной величины интегрального отражения:
ЛГ=A±2
sinvft\exp[— amt]Q,
D.124)
/0 (fe) —
Интегральное отражение от центросимметричного кристалла
l amt]Q. D.125)
Более простое выражение, дающее во многих случаях хорошее со-
согласие с экспериментом, может быть получено, если исходить из
величины Я. При этом используется переход [см. D.116)]
Откуда
D.126)
Переходим к вычислению интегрального прохождения. Прежде
всего заметим, что так как интегрирование выполняется в пределах
от —оо до оо, то, очевидно, в D.114) ехр [ — o0t] представляет из-
излучение, проходящее через кристалл за пределами области макси-
максимума.
Для облегчения расчета вычисляется интеграл от суммы
Тг+Ric- Используя D.97) и D.98), можно записать [см. D.119)]
ch[fecos(9
2(j/2r
sh \h cos (9
X
X [008B0-2^)-cos 2o]-exp|^-^-(-i--^-)Jjdyr. D.127)
Используя D.85) и згчитывая приближение D.83), получаем
1 2v, sin 2a
^ [cos Bа — 2у{) — cos 2а] ^
1I V '
(?уг делает подынтегральную функцию нечетной относительно
нулевой точки). В результате очевидных преобразований
105
выражение D.127) принимает следующий вид:
Тг + Ric = ехр [- amt] {Гх + Га},
sin 2а , , - 9Я.
*"п DЛ28)
оо
Г1= С |ch[/icos@ + p)] +
+ уг(у' + 1) Z sh [hcos@ + р)] — ехр [Acos
Обращаясь к интегралу Уг, замечаем, что он является несобствен-
несобственным. Действительно, при возрастании уг коэффициент при sh
стремится к единице. Далее, сумма (ch + sh) принимает значение
ехр [h cos @ + jj)]. Рассматривая выражения D.118) и D.119),
замечаем, что при дальнейшем возрастании уг ехр [h (cos @ + |J)]—>
—> ехр \h cos P -|——? . В результате подынтегральная функция
L У J
\h cos P |
L Уг J
принимает следующее асимптотическое значение:
D.129)
Таким образом, этот интеграл является расходящимся, и в после-
последующем будет определяться его главное значение.
Разобьем Yx на две части
п
Y[ = ^ {ch [h cos @ + p)] — ch [h cos p]} sin'2 0d0, D.130)
0
+ p)J — sh[Acosp]}sin-20d0. D.131)
0
При вычислении этих интегралов используется известное разло-
разложение в ряды по функциям Бесселя от мнимого аргумента [72]:
ch [h cos ф] = Io (h) + 2/2 (h) cos 2ф + 2/4 (h) cos 4ф + ...
... 4- 2/2n (h) cos 2mp, D.132)
sh [h cos ф] = 2Д (h) cos ф + 2/3 (A) cos Зф + 2/б (A) cos 5<p + ...
... + 2/2n+1 (ft) cos Bn + 1) ф. D.133)
Интеграл Ух преобразуется с помощью разложения D.132) следую-
следующим образом:
оо п
Y[ = 2 2 /щ W j {cos 2ге (в + р) — cos 2rep} sin'2 0d0, D.134)
n=0 0
106
й его главное значение соответствует пределЬноку пере&оду
тс—е
lim $ {cos 2тг @ + Р) — cos 2rcp} shT2 QdQ. D.135)
Разбивая область интегрирования в D.134) на две части, получаем
искомое значение этого интеграла
тс/2 '
^ {cos 2п @ + Р) + cos 2п @ — р) — 2 cos п$} sin 0й0 =
о
тс/2
= — 4 cos 2лгр \ sin * d8 = — 2шт cos 2тгр. D.136)
о;
Этот последний интеграл является стандартным (вычисляется
с помощью интегральных сумм [73]). Таким образом,
оо
Y[ = — 2зт 2 2я cos 2тгр/2п (А). D.137)
П=0
Аналогичным путем получаем для второго интеграла D.131):
оо
Yl = — 2я 2 Bгс + 4) cos [Bп + 1) pj /2n+1 {h). D.138)
п=0
Полная величина интеграла Yx составляет
оо
Yi = — 2п 2 {mcos[m$]Im(h)}. D.139)
m=i
Другое выражение для интеграла У\, которое используется в
дальнейшем анализе полученных формул, применительно к от-
отдельным частным случаям может быть получено использованием
рекуррентных формул для функций In(h) [75]:
mlm {h) = -у- {/w-i (h) — /m+1 (/г)}, D.140)
откуда
оо
Y[ - — ЛАД (ft) + 2л/г sin p 2 sin [Bn + 1) P] /2n (A), D.141)
n=0
oo
Fi = — nh cos p/0 (Л) + 2nh sin p 2 sin [2тгР112n (h), D.142)
n=l
L (Л) + /0 {h) cos p} + 2лЛ sin pp, , D.143)
D.144)
107
Для Р в рассматриваемом общем случае может быть также полу-
получено следующее выражение. Исходя из другой рекуррентной фор-
формулы для In (h)
¦gjf/n (&) = 4" I-7*-! (Л) + 7^+i (Л)Ь D.145)
получаем дифференциальное уравнение для Р
-g- = 4-/»sinP + PcosP- DЛ46>
При начальных условиях Р = 0 при Л = 0 имеем
h
Р = 4- sin р exp [ft cos р] ^ /0 (я) ехр {— х cos p} ds. D.147)
о
Переходим теперь к вычислению интеграла Y2, который перепи-
перепишем в виде
%hi
Переходя к угловой переменной vr
, р sin BA ch vr)
Уа= ) (сПГ)^ dvr
—оо
и применяя разложение в ряд по функциям In (h)
sin BA ch ur) = 2/х BЛ) ch уг + 2/3 BЛ) ch Зг;г + ..., D.150)
преобразуем У2 в серии интегралов
ch«/ dvr + ... D.151)
о г
Эти интегралы являются стандартными. Их решения имеют вид [74]
о о
Функции В вычисляются с помощью бесконечных произведений
108
имеющих при разумных значениях параметров пренебрежимо
малые значения.
Таким образом,
У-hr
WfahpA) + 2 S IlBA)B[i +4, 1 ~4
*- n=l ^
D.154)
Изложенный расчет приводит к следующим двум выражениям
для интегрального прохождения:
- amt] {Y.+ Y2} - Ric= яехр [- amt]
уг'2 = яехр [- emt] \M' (h) + N (A) + -L} .
D.155)
Здесь функции М и М' от h представляют результат интегрирова-
интегрирования монотонных слагающих R и Т, в то время_как функция N от
А относится к интегрированию периодических слагающих. Ниже
приводятся явные выражения для этих функций:
~ 2 2 ^ cos
7П=1
М (Л) - 4~ t1 -
Af7 (А) = 2Ph sin p - Mi {h) — -i- A + 2h cos p) /0 (ft),
Xhr
ctgp/xB4)- 2^"+iB4).
D.156)
D.157)
Введение двух различных выражений для Tt, так же как и
различных выражений для функций Р, диктуется необходимостью
использования в различных частных случаях (тонкий и толстый
кристаллы, симметричное и асимметричное отражения) таких
функций, которые будут обладать наилучшей сходимостью при
тех или иных предельных условиях.
4.7. Анализ выражений для интегральных величин Bt
\\ Т г применительно к важнейшим частным случаям
Преобразуем общие выражения, полученные ранее, к виду,
более удобному как для качественного анализа в отдельных
случаях, так и для численных оценок сходимости используемых
рядов.
I. Рассеяние в тонком кристалле. В этом случае удобно исполь-
использовать точные выражения для функций In (h) и Ix BA), подобные
приведенным в D.121), и исследовать их в области значений аргу-
аргументов от A, h <^ 1 до A, h ^ 1—5. Применяя соответствующее
условие в D.116), а также выражения D.114), D.121) и D.124),
109
получим дйя интегрального отражений
X
D.158)
Для вычисления интегрального прохождения удобно использо-
использовать функцию М (h) согласно D.155) и D.156). Применяя общее
выражение D.121) для вычисления функций In (h), при п ^> 1
получим
_
- -Г C0S Р - Ж D C0S
sin 20
— -jg- (cos C + cos 3C) — ^ B,67 cos 4C + 6 cos 2C + 1) —
— ^r A,5 cos 3C + cos C) — от—7ТТ D,8 cos 4C + 6 cos 2C + :
Эти выражения существенно упрощаются при переходе к сим-
симметричному отражению, при этом
То = Тл cos ft, вт = б0, cos C = ctg C = cos B^г + 1) C = О
1IiC8C°SX D.160)
Выражения D.158) и D.159) принимают вид
D.161)
D.162)
Сопоставляя выражения D.158) и D.159) для асимметричной съем-
съемки с выражениями D.161) и D.162) для симметричной, замечаем,
что первые могут быть использованы в меньшем интервале вели-
величин \it. Это связано с тем, что h zz2—2,5 \it, в то время как hs ^ \it.
Хотя при малых значениях \it явления должны быть близкими
к рассеянию в прозрачных кристаллах, для которых характерно,
110
например, отрицательное значение величин Tt в D.159) и D.162)
при h и hs, меньших единицы, все же можно отметить особенности,
свойственные поглощающим кристаллам. Это прежде всего разли-
различие в значениях Rt для hkl и Tiki отражений, вследствие того, что
sinVft^O. Величина интегрального прохождения Tt при асим-
асимметричной съемке различается для отражений с противоположны-
противоположными знаками индексов из-за изменения знаков у cos Z|5 в D.159),
причем это имеет место как при отсутствии, так и при наличии
центра симметрии в рассеивающем- кристалле.
Чрезвычайно наглядно выражение D.162) передает переход от
отрицательных значений при hs < 1 к положительным при hs ^> 1,
что соответствует переходу к промежуточной области между при-
приближениями тонкого и толстого кристаллов. Хотя при возраста-
возрастании значений h и А свыше ж 5 сходимость рядов, входящих в рас-
рассматриваемые выражения, ухудшается, приведенные формулы
все же могут быть использованы для примерного подсчета инте-
интегральных величин в промежуточной области.
В пределе, при h ж О, полученные соотношения должны сов-
совпадать с формулами для прозрачного кристалла. Учитывая, что
при этом должно быть jlx = 0, получим, например, из D.161) и
D.162h
Rl^nA, П^-Ri. D.163)
II. Рассеяние в области, промежуточной между приближениями
тонкого и толстого кристаллов [66]. При значениях h до 10 инте-
интегральные отражения, согласно D.124), можно определить, исполь-
используя разложение C.81) для вычисления f/0 (x)dx и таблицы [75]
для значений 10 (К) = /0 (ih).
III. Рассеяние толстым кристаллом. Симметричное отраже-
отражение. Для приближения толстого кристалла используются асимп-
асимптотические выражения для функций Io (h) и Ix (h). Рассмотрим
сначала симметричное отражение, которому по преимуществу
посвящены имеющиеся экспериментальные работы. Так как
асимптотические выражения D.122а) имеют общий множитель
ехр /&/Bя/гI/г, то в формулах для Rt и Tt
ехр — (а0* - hs)} = ехр [- -^ A _ Се cos vh)] . D.164)
Для интегрального отражения получаем [см. D.116)]
Г №
п\у I ехр — аA — Сг cos v,
'У L cosd Т h
0,627 .У Т,
s*n2d (pis cos vhJ
X
- (5)
Отметим хорошую сходимость ряда в D.165). Даже для hs = 15,
т, е. в области, промежуточной между приближениями тонкого и
Ш
толстого кристаллов, третий член, содержащий fos2, составит лишь
0,03% от единицы. Для вычисления интегрального прохождения
необходимо использовать Ti2 из D.155). При этом функция М' (h)
дана в D.156) и функция N (А) принимает асимптотическое зна-
значение для симметричного отражения, равное —1/2. Что касается
величины Р, то
Р - i
ps - -j-
Используя далее асимптотические выражения для /0 (/г) и
получаем
х
I a i i -^ ^ i ? o^u . lo, o^U . oo , 14У . \ / / л ar7\
Очевидно, применяя приведенные формулы для Ris и Tis к рас-
рассеянию в кристаллах с центром симметрии, необходимо положить
cos Vfc = 1, sin v^ = 0.
Наличие множителя cos vh в показателе множителя поглоще-
поглощения при рассеянии в нецентросимметричных кристаллах сущест-
существенно снижает эффект аномального прохождения, по сравнению
с этим эффектом в кристаллах с центром симметрии. Снижение осо
бенно велико для сильных отражений, т. е. для больших значений е.
Так, при е = 0,96 и cos vh = 0,95
ехр[— \it(l — г)] = 0,3; ехр [— \it(l — cos vhe)] = 0,07. D.168)
Важным параметром рассеяния является отношение величин
интегрального прохождения и отражения. При экспериментальных
исследованиях это отношение может служить приближенным
критерием степени совершенства рассеивающего кристалла.
Сходимость ряда для Тг D.167) хуже сходимости ряда D.165)
для интегрального отражения. Так при /г, ^^; jx^ = 30 использова-
использование лишь первого члена в D.165), т. е. единицы, приводит к ошиб-
ошибке ~ 0,4%. Такая же величина ошибки требует использования
в D.167) четырех первых членов, включая член с hi*. С указанной
точностью отношение
-1,
2,125 5,320 18,520\
D.169)
составляет для центросимметричного кристалла при hs ж \it = 40
не менее 1,057 и при lit — 50 порядка 1,042. В случае кристалла
без центра симметрии, когда необходимо учитывать множитель
№
перед рядом в D.167). указанное отношение для одного из отра-
отражений может оказаться гораздо ближе к единице, а для другого —
величиной порядка 1Д и больше при тех же значениях \it. Мы здесь
не рассматриваем это отношение при специальных условиях, когда
множитель | Хл. \/\%ъ I B формуле для Rt может достигать величины
порядка 2.
На рис. 28 приведен график функции D.169) в интервале зна-
значений hs от 10 до 50 для центросимметричного кристалла.
IV. Рассеяние толстым кристаллом. Асимметричное отраже-
отражение. Очевидно, что мы и в этом случае используем асимптотические
Рис. 28. График функции Qs~
— TiJRis для центросиммет-
центросимметричного кристалла и симметрич-
симметричного отражения
а
U
о,э
10
15
26
42 53
выражения для функций In (h). Для показателя множителя
поглощения получаем
<V — h = 2fT" ^Го + Th^ ~~ 51' D.170)
Для интегрального отражения получаем формулу, мало отличаю
щуюзя от D.165),
с\х I
0 627 hr
x
Xkr
smvh
0,125 0,703
X
D.171)
Чтобы получить выражение для Ти необходимо вывести асимпто-
асимптотическую формулу для функции Р в общем виде. Для этого введем
новую переменную
-К) Р. D.172)
Дифференцируя D.172) по h и используя D.147), получаем следую-
следующее дифференциальное уравнение для g (h):
If- + g [1 - cos p - Bhy1] - ]/^exp (- /г) Io (h). D.173)
Переходим к большим h [см. D.122)]:
A.
h
-h) = Ao + ф +-?
D.174)
113
Допустим, что асимптотическое выражение для функции g имеет
аналогичный вид:
В таком случае, подставляя это значение g, а также правую часть
D.174) в D.173) и приравнивая коэффициенты с равными h,
получим
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения
D.173) для g будет:
g^M/2яЛехр[- A - cosC)h] + Во + Bi;h + BtW -\
D.177)
Постоянная интегрирования^/ должна быть равна нулю, так как
Р для больших h A — cos p) имеет значение
р_ slug ехр/г 1 D 178^
и, следовательно, искомое асимптотическое выражение для Р
имеет вид
Заметим, что в частном случае симметричного отражения
cos р = 0 и коэффициенты Bt принимают значения коэффициентов
ряда D.166).
Используя решение 7\>2 в D.155) и М' (h) в D.156), пренебре-
пренебрегая малой величиной первого члена в выражении для N (А) и учи-
учитывая, что при больших A 2^J2n+i BЛ) — 1=0, получаем
ехр [- 4: (т°+Th)}ш> (fe)' {4-180)
2M' (h)«^^ \hA - cos2p) 2j А/Гг - 2fe
D.181)
Подставляя значения коэффициентов Bt из D.176), Л,- и ^4i из
D.122), мы получим для интегрального отражения
( №
I ехР ~Iy^TНТо + Tft) — -
D.182)
114
Приводим выражения для пяти коэффициентов Lt в явном виде:
L* = 4'25 {\-lZlf[1 + °'25 (* - cos Р) + °'0938 ^ - cos ^ +
+ 0,281, D.183)
Ls = 13,125 (j^^|; [1 + 0,25 A - cos p) + 0,0938 A - cos p)*+
+ 0,0391 A - cos pK] + 0,4395,
L* =59'064 (T^&[1 + °'25 A"cos p) + °'0938 <* -cos №+
+ 0,0391 A - cos pK + 0,017 A - cos PL] + 1,452.
Рассматривая полученные соотношения для асимметричного
отражения, замечаем, что интегральное отражение Rt так же, как
и при симметричном отражении, имеет различную величину для
отражений с противоположными знаками индексов при рассеянии
в кристаллах без центра симметрии. Необходимо отметить, что ряд
^2\Aih~l D.171) тождествен ряду D.165) для интегрального от-
г
ражения при симметричной съемке. Это указывает на то, что хотя
при переходе к асимметричной съемке максимумы отражения де-
деформируются и становятся асимметричными относительно средней
точки, вклад «хвостов» в величину Rt остается незначительным.
Вместе с тем необходимо отметить значительное возрастание
поглощения при той же величине \it при асимметричной съемке
сравнительно с симметричной. Так, при асимметричном отражении
333 и 333 излучения Си Ка от Ge при огранении {100} для значе-
значения \it = 20 множитель поглощения в формулах для Rt и Tt
составляет 6,3-10~6, а при симметричном отражении величину
4-10, что соответствует jjU^31.
Переходим к замечаниям, относящимся к интегральному про-
прохождению Тг. Прежде всего отметим различие в значениях Tt
для двух отражений с противоположными знаками индексов
[Ьг = Lt (cos p)] и нечувствительность их к наличию или отсут-
отсутствию центра симметрии в рассеивающем кристалле. Видно ухуд-
ухудшение сходимости рядов в формуле D.182) для Tt по сравнению с
аналогичным выражением при симметричной съемке. Это является
следствием сильной деформации максимумов Т и образованием
медленно спадающего в сторону больших уг хвостов (см. рис. 27, 6)
Переходим к численным оценкам. Применяя формулу D.182)
для указанного примера, получим следующие ряды:
l\ \ 9 qq _L 128*6 i 2^2Q , 50 575 2 045 000
, 28-106 208,7-106 .
+ -рг- + ьр Н • •., D.184)
115
Црй h = 41,8 (\it = Щ этот ряд имеет вйД
-{)ззз = 12,33 + 3,08 +1,38 + 0,688 + 0,495 + 0,202 +
+ 0,037 + ... = 18,21 + ...,
fi%i = 0,0811 + bj» + ML + ..., D.185)
,8\5 = 0,0811 + 0,00198 + 0,000235...
Отношение сумм этих рядов
4=6
338
i=2
: 202. D.186)
4=0 33 3
Заметим, что седьмой член разложения для 333 составляет ~ 0,3%
от нулевого, так же как третий член ряда для отражения SS3.
Следует иметь в виду, что в данном примере отражению 333 соот-
соответствует большой угол падения г|H или малый скользящий угол.
Отношение интегрального прохождения Т\ к интегральному
отражению Rt в общем случае толстого нецентросимметричного
кристалла и асимметричного отражения на основании D.171) и
D.182) имеет вид
J
= -J-» (l ± 2
sin v,) S^-1. D.187)
Это отношение будет различаться для отражений hkl и Ък1 также
при наличии центра симметрии в рассеивающем кристалле, так как
все выводы, полученные из рассмотрения формул для Rt и Гь
очевидно, находятся в согласии с анализом выражений для коэф-
коэффициентов отражения и прохождения.
При рассеянии в прозрачном кристалле переход к я-колеба-
ниям в плоскости отражения приводит к уменьшению коэффици-
коэффициента отражения и интегрального отражения, однако эти параметры
имеют тот же порядок величины, что и для а-колебаний. Это непо-
непосредственно следует, например, из формул C.82) для интеграль-
интегрального отражения. Для отражений 220 и 333 излучения Cu/Га от
тонкой пластинки Si:
р220 г\ 7 D220 рЗЗЗ П QQ О333
Лщ = U,/Лгц, /ti|| =U,yy/tij_.
Переходя к рассеянию в поглощающем кристалле, замечаем,
что в случае тонкого кристалла при любой схеме съемки интег-
интегральное отражение Д^ц ~| cos 261 Ri± [D.158), D.161)]. Пример-
Примерно такая же зависимость имеет место для Tt.
В толстом кристалле распространение волн с я-колебаниями
подчиняется другим закономерностям, и практически такие волны
почти не обладают аномальным прохождением. Это является след-
116
ствиём того, что функция h D.117) входит в показатель при мнб-
жителях поглощения omt — h и o0t — hs [см. D.165), D.167),
D.171), D.182)].
В случае симметричного отражения влияния поляризационного
множителя прослеживается более просто. В случае сильных отра-
отражений, когда A — е)<^1, множители поглощения для а- и я-по-
ляризаций сильно различаются. Типичным является отражение
220 излучения СиКа от Ge. В этом случае е = 0,96, и, например,
при \xt = 20 множитель поглощения для а-поляризации равен
0,42 и для я-поляризации 87 -10"8, т. е. излучение, прошедшее
через кристалл, является почти полностью плоскополяризован-
ным.
Для более слабых отражений, так же как и при асимметричном
отражении, различие множителей поглощения не столь сильно.
Излучение с я-поляризацией составляет величину от ~1% до не-
немногих десятых процента от излучения с а-поляризацией.
Другое замечание относится к так называемому закону Фри-
деля, играющему важную роль в рентгеноструктурном анализе,
который основан на кинематической теории рассеяния. Закон
Фриделя сводится к нечувствительности интенсивности отражений
к наличию или отсутствию центра симметрии в структуре. При
этом особенно важно указать, что речь идет об отражениях от
таких плоскостей, которые непараллельны имеющимся в нецен-
тросимметричном кристалле полярным направлениям.
Как следует из содержания гл. 3 и 4, можно говорить о выпол
нении или нарушении закона Фриделя при динамическом рассея-
рассеянии со следующими оговорками. Во-первых, вместо интенсивности
при динамическом рассеянии следует сравнивать кривые отраже-
отражения и интегральные отражения Rt.
Во-вторых, как было показано рядом авторов, главным обра-
образом применительно к дифракции электронов при многоволновом
рассеянии закон Фриделя для интегральных отражений не выпол-
выполняется при рассеянии как в прозрачном, так и в поглощающем
кристалле.
Однако в двухволновом приближении, как ясно из изложенного
выше, рассеяние в прозрачном кристалле подчинается закону
Фриделя, в то время как при рассеянии в поглощающем кристалле
этот закон нарушается, что связано непосредственно с наличием
Л/ / у *
— = A + 2 —— sin vh ) в формулах для интегрально-
го отражения Rг. Следует подчеркнуть, что этот множитель прини-
принимает значения, заметно отличающиеся от единицы лишь при рас-
рассеянии на кристаллах, содержащих тяжелые атомы, излучения
с длиной волны, близкой к краю поглощения. Так, например, при
рассеянии на кристаллах CdS со структурой сфалерита излучения
с длиной волны, близкой к краю поглощения металлического ато-
атома, величины указанного множителя согласно D.58) будут сильно
117
множителя
различаться. Действительно, величин А
А = (Z/r sin ф) (S[x^} cos ф) - (Sji^ sin ф) B/r cos ф) D.188)
будет определяться суммами, связанными с синусами, если выбрать
такое описание структуры, в котором атомы Cd помещаются в
центры октантов. В таком случае, используя излучение с указан-
указанной длиной волны, мы получим значительное уменьшение /г Cd
за счет большой величины и отрицательного знака поправок А/'.
С другой стороны, при этом возрастет поглощение B (ла sin ф).
Отношение [см. D.58)]
может достигнуть величины 2.
Глава 5
ВЕКТОРЫ ПОЙНТИНГА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭНЕРГИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ВОЛН
5.1. Усредненный вектор Пойнтинга
в общем случае
Изложенная теория, описывающая возникновение и распрост-
распространение волновых полей в кристалле, не может быть полной
без рассмотрения векторов Пойнтинга, по которым распространя-
распространяется энергия волновых полей. Так же как и в случае видимого
света, направления векторов Пойнтинга рентгеновских полей
в кристалле не совпадают с волновыми векторами щ или к% .
Учет соотношений, определяющих векторы Пойнтинга и их
траектории, может быть использован при рассмотрении случая
малости волнового фронта падающей волны сравнительно с тол-
толщиной кристалла, а также рассеяния рентгеновских лучей в де-
деформированных кристаллах.
Вектор плотности потока энергии 8, представленный выра-
выражением
S = ?[M], E.1)
используется в настоящей теории в несколько измененном виде.
В общем случае поглощающих кристаллов электрический и магнит-
магнитный векторы являются комплексными величинами типа B.50).
Прежде всего обратим внимание на то, что направление век-
вектора 8, так же как и его модуль, меняется во времени с частотой,
отвечающей частотам рентгеновских колебаний и, кроме того, ме-
меняется в пределах элементарной ячейки кристалла, притом одина-
одинаковым образом во всех ячейках. Поэтому в дальнейшем для сопо-
сопоставления с экспериментом необходимо усреднить величину 8
по периоду колебания v-1 и периоду решетки, нормальному
к входной грани.
Отнесем нашу электромагнитную волну к прямоугольной си-
системе координат. При распространении волны вдоль положитель-
положительного направления оси х среднее значение векторного произведе-
произведения за период колебания составит
l/v
[ШГ]]=: 'ЩД1 = v jj EyHz Ли E.2)
о
И9
Результат этого первого усреднения может быть записан в форме
l ^, E.3)
где дополнительный множитель V2 является средним значением
квадрата косинуса. Далее, удобно перейти от вектора электриче-
электрической напряженности Е к вектору индукции D, который образует
в кристалле правовинтовую тройку векторов совместно с Н и 8
ввиду близости диэлектрической постоянной волн возмущения
к единице. Таким образом, для среднего по времени значения век-
вектора Пойнтинга можно написать
8'ж-^Ъе1П1Г]. E.4)
Для того чтобы получить выражение для вектора 8, отвечаю-
отвечающего нашей задаче, необходимо подставить в E.4) блоховские
решения B.36) и B.50) для векторов индукции и магнитной напря-
напряженности. При этом выясняется, что вектор 8* в кристалле яв-
является суммой слагающих, относящихся к отдельным полям.
Как отмечалось выше, поля, принадлежащие одному состоянию
поляризации и связанные общими условиями на границе вакуум —
кристалл, являются взаимно когерентными, так же как и поля,
относящиеся к различным состояниям, поляризации в том случае,
когда падающая волна плоскополяризована.
Выпишем выражения для D и Н:
I) = 2 exp 2ni [vt - (A#V)] 2 Anexp [-2m (hmr)], E.5)
i m
Н =-- 2 exp 2m [vt — (hfr] 2 Нп exp [- 2ni (hnr)]. E.6)
j n
Формулы E.5) и E.6) написаны для общего случая многовол-
многоволнового рассеяния. Первая (внешняя) сумма берется по точкам
возбуждения на всех полостях многополостной дисперсионной
поверхности и вторая сумма — по всем точкам обратной решетки,
или по всевозможным индексам отражений. В соответствии с этим
векторное произведение в E.4) будет иметь вид
i Э
X 2 S [ЯшНУ*] ехр [2я* (hn - hm, r)]. E.7)
т п
Рассматривая распространение энергии в поглощающем кристал-
кристалле, используем для вычисления вектора разности к® — к^
формулы B.58) и D.37). Итак, имеем
(*#} - Jfi\ г) - (Ak(ij\ nz) + A/4я) (о(|) + g0)) z, E.8)
120
где Д&М обозначает вектор, отнесенный к разности волновых векто-
векторов любой пары точек возбуждения на двух различных полостях
общей дисперсионной поверхности; оь и Oj обозначают полные
величины показателей поглощения для волн, связанных с указан-
указанными точками.
Рассматривая теперь величину векторного произведения E.7)
и учитывая E.8), можно заметить, что значения oz медленно ме-
меняются с глубиной z и практически постоянны на отрезках порядка
периода решетки. Разброс значений | AfcW | весьма незначите-
незначителен. В отличие от этого
exp [2ni (hn — hmi r)] = exp 2ni (hqr)
является быстро меняющейся внутри ячейки функцией. Среднее зна-
значение этой величины в пределах элементарной ячейки обращается
в нуль при всех значениях q, за исключением q = 0, когда этот
множитель обращается в единицу. При этом двойная сумма по п
и по т обращается в одинарную (п = т). Таким образом, наше
векторное' произведение, усредненное по элементарной ячейке,.
приобретает следующий вид:
X exp Г- 4- (s(i) + ои) z] S H>l?H!p]. E.9)
Теперь преобразуем векторные произведения в правой части E.9)
в скалярные. С этой целью используем формулу B.59) для вектора
магнитной напряженности. При этом учтем, что модули векторов
кш = кп отличаются величинами порядка 10~5 от К. Поэтому
если ввести единичный вектор вдоль кп
\Кп\
формулу B.59) можно переписать следующим образом:
Нпж]8пВп], E.10)
и далее, согласно B.47а),
\n(i)HiJ)]*—\D{i)\<i(j)D(jrn — (F>{i) n(j)*\<iij) (яи) n{i)\r>(j)*
\±Jn Jl n \ —[-LJn [&n -L'n JJ — \J^n i -Un )Sn — [8n , Un ) Un .
E.11)
Нетрудно видеть, что второй член в правой части E.11; обращается
в нуль, так как векторы, параллельные волновым векторам, будут
во всех случаях перпендикулярны соответствующим векторам ин-
индукции. Таким образом, уравнение E.9) переписывается в виде
X exp [- 4- (sW + а0)) z] 2 B>W)«» E.12)
121
й Величина Дважды усредненного вектора плотности потока энер-
энергии (с использованием действительной части E.12))
)
E.13)
+ 22exp Г *т(a(i) + а(Л)z]cos [2nAk™z](Х>М
i j L
Таким образом, вектор S является суммой векторов, направленных
от соответствующих точек дисперсионной поверхности к отдель-
отдельным узлам обратной решетки. Значение каждого такого вектора
определяется выражением в фигурных скобках. Члены типа
| D(n I2 представляют собой независимый вклад отдельных волн
от различных полостей дисперсионной поверхности, а двойная
сумма — соответствующие интерференционные члены от каждой
пары таких волн.
Косинусный член в формуле E.13) имеет аргумент с периодом,
соответствующим экстинкционной глубине
z = t = [Д/с^Т1. E.14)
Представляет интерес дальнейшее третье усреднение вектора S
по периоду т. Использование такой величины удобно при любом
соотношении ширины фронта падающей вакуумной волны и тол-
толщины кристалла, если учесть, что обеспечить постоянство толщины
кристалла с точностью порядка микрона на сколько-нибудь заг
метной площади составляет трудную задачу.
Введем вектор
E.15)
усредненный дополнительно по экстинкционной глубине для
данного излучения. Переходя от многоволнового приближения
к двухволновому, следует переписать E.13) и E.15), принимая
71 = 0, Ли 1 = 1,2 в виде
$=.?-
)(дг)|2*л)ехр(-
tF + D^Df) ад] exp (- aoz) cos BaAkzz), E.16)
i
I2
* = -sir
+ (| Iff |« s0 + | Df | «fc) exp (- omz)}, E.17)
где А/с = | Afe | определяется из C.35) и C.37).
122
Заметим, что выражения E.16) и E.17) удобно относить к одно-
одному состоянию поляризации. Действительно, следует учесть, что
произведения (D^D^*) слагающих индукции, относящихся к двум
различным состояниям поляризации, обращаются в нуль. Кроме
того, глубина экстинкции т содержит множитель С и, следователь-
следовательно, будет больше для а-поляризации.
5.2. Трижды усредненный вектор Пойнтинга
в прозрачном кристалле.
Слагающие вектора по полям. Теорема Эвальда — Като
Введем в наши выражения среднее значение вектора плотно-
плотности тока падающей вакуумной волны:
|#о| = 4-\ #оа)|2. E.18)
Заменяя в E.17) с/8я его значением из E.18), используя соотно-
соотношения C.30) и C.31) и введя обозначение I =• —-
чим (а*1* = a<2) = 0) Л
4 A + у2)
s =
4 с№ v
или
полу-
E.19а)
{|exp(- 2v)s0 + lsh] + [expBi;)«0 + hh]} E.196)
S = «A) + fB), E.20a)
Очевидно, в E.19) и E.20) полная величина вектора плотности по-
потока энергии представлена в виде суммы соответствующих векто-
векторов, отвечающих плотности потока энергии каждого из двух полей
в кристалле. _
Другое представление вектора 8 следует из иной группировки
членов в правой части E.19), а также из C.78), E.18) и E.20)
¦г=1, 2
г=1,[2
E.21)
Здесь вектор S представлен в виде суммы вектороб плотности по-
потока энергии преломленной и дифрагированной волн в кристалле.
Выражения, аналогичные E.21), получаются из E.206), если
заменить с/8п его значением из E.18) и ввести переменные рг и q{.
+
д<а>
E.22)
Существенной характеристикой векторов 8 и 8^ является их
ориентация в данной точке кристалла, например, относительно
векторов 80 и Sh. На рис. 29 j пред-
представляет биссектрису угла 2ф между
80 и sh. Направления векторов S
и 5(г) определяются углами е и е^
этих векторов с направлением j, при-
причем положительные значения 8 и ег-
отсчитываются в сторону s0. Из ри-
рисунка непосредственно следует, что
Рис. 29. К выводу формулы
E.23)
sin (О + е) _ Ун Т ^
sin (О-е) То П
sin (О + в.) __ \^
E.23)
E.24)
откуда определяются углы е и
E.25а)
E.256)
Используя далее соотношения C.17) и C.18), можно получить
следующие формулы:
" ^tgO, E-26*)
u&" - 2ch*z;-(l-/r&u ~ 2i
при I = 1, т. е. при симметричном отражении
tff 8 =* th2 V tgV = -г-2 я- tfif '&¦
sine a» _-y»sind, cose =»-j-(l +ya)oosd,
/ = у у* + A + 2i/a) cos2 О, E.266)
tg 6l (v) = tg e2 (- P) = exp(-,)-Zexp, ф E>27a)
6 x v ' & ^ \ / exp (— v) + / exp v & v '
и при I = 1
sin в,-4= ySin* у • E.276)
2 ^ (я» + cos2 flI/2 V '
Заметим, что при асимметричном отражении для каждого данного
значения у или v углы ег =f= e2. Для равенства этих углов необхо-
необходимо, чтобы
1 72 B/2 + "|Л + I/*)
у2 — ^ = In Z2, = Z2. E.27в)
(yi + Vl+yJ)
Очевидно, при 1 = 1 Ух = г/2 или ^i — V2- Используя соотношения
E.23) и E.24), легко получить формулы для модулей | S \ и | S{l)\
при каждом данном значении углов е и ei(
Так как в фигурных скобках справа в уравнениях E.21) и E.22)
даются суммы слагающих соответствующих векторов по осям s0
и 8h, то, очевидно, модули этих векторов равны суммам проекций
слагающих на направления векторов. Эти проекции получаются
умножением слагающих на косинусы углов, образуемых вектором
с соответствующей осью. Преобразуя E.21) и используя E.23),
получим
I Z I sin
и аналогичным путем из E.22) и E.24)
Наконец, используя выражения E.26а) и E.27а), можно вычислить
значения sin(O — е) и sin (^ — е^), входящие в знаменатели фор-
формул E.28) и E.29"), и_вывести нижеследующие выражения для мо-
модулей векторов S и #(г) в функции только от переменной у. В об-
общем случае асимметричного отражения
E.30а)
123
Рис. 30. Доказательство теоремы
Эвальда — Каго, ?1 =?п
1*ис. 31. Направления векторов
5"^ в области максимума
В случае симметричного отражения
, E.31а)
# м fо, **?¦ E31б)
Обращаясь опять к уравнениям E.20), заметим, что разложение
вектора S на слагающие по отдельным полям в кристалле имеет
физическое обоснование, поскольку эти слагающие «возникают»
на точках возбуждения дисперсионной кривой в результате пере-
пересечения их нормалью к входной грани. При этом, как было пока-
показано Эвальдом [67] и Като [76], векторы 8W направлены по норма-
нормалям к ветвям дисперсионной кривой в соответствующих точках.
Элементарное доказательство упомянутой теоремы заключается
в следующем. На рис. 30 показаны прямоугольные координаты х
и ?/, в которых описывается дисперсионная кривая согласно B.81),
х* cos2 О - г/2 sin2 Ь = Й4)$\ E.32)
где
= х cosO — у sinft, ?л,г) = х cos Ф + у sin
или
X =
2 cos О
У = —¦
2 sin О
E.33)
Угол, образованный нормалью к дисперсионной кривой E.32) в
точке (ж, у) с осью х, определяется условием
— — = — tg2 О = -^ ^r- tg d. E.34)
Используя соотношения B.82), эти уравнения можно переписать
следующим образом:
dx l^o I \»n Ltg#; E,35)
129
Это уравнение в точности соответствует E.256) для углов et между
векторами S"{i) и биссектрисой j, направление которой обратно
(положительному) направлению оси х. На рис. 31 показаны на-
направления векторов 8&) и #B> в различных точках всей области
максимума.
Чтобы пояснить применимость полученного результата к обще-
общему случаю многоволнового рассеяния, можно использовать ход
рассуждений, основанный на понятии групповой скорости.
Рассмотрим общее решение волнового уравнения в виде группы
блоховских волн [см. B.38) и B.36)]:
D = 2 Di = 2 я* ехР I2™ [Vjt - {kojr)}} 2 />техр[-2ш (hmr)].
E.36)
Разброс частот Vj и волновых векторов kOj отдельных компонентов
группы характеризуется условиями
о|, vi-v<v, E.37)
где к0 и v — некоторые средние значения для группы. Выражение
E.36) можно переписать в следующем виде:
D = ехР2я* [vt - (ког)\ 2 {2^А»ехр [- 2т (hm, r)]\ x
X exp {2ni [(Vj -v)t- (koj — k0, r)]}. E.38)
В соответствии с условиями E.37) скорость перемещения ампли-
амплитуды, точнее, энергии, связанной с группой, выражается через
и = — grad 'V. E.39)
kQ
Наглядное представление величины вектора групповой скорости и
может быть получено следующим образом. При построении дис-
дисперсионной поверхности мы использовали векторы &(ог), сходя-
сходящиеся в начале координат обратной решетки О. При покачивании
такого вектора в пределах максимума, при постоянном значении
частоты v, его начальная точка описывает некоторый определен-
определенный лист дисперсионной поверхности. Если же частота меняется
в некотором интервале dv, то каждый вектор в данном волновом
поле i будет представлен пучком волновых векторов. Качания
этих векторов приводит к заполнению их начальными точками
определенного объема, внутри которого частоты v будут функциями
координат обратного пространства.
Введенная величина групповой скорости и =grad&' v будет
направлена по нормали к поверхности v = const, т. е. к диспер-
дисперсионной поверхности. Можно показать, что величина вектора
Пойнтинга равна произведению групповой скорости распростра-
распространения на плотность энергии.
127
Рассмотрим теперь качественную картину изменений векторов
8&) в области максимума и их вклада в полную величину S.
При этом можно сопоставить рис. 31 и рис. 11, если рассматривать
изменения квадратов соответствующих величин (рис. 11). При
больших положительных значениях у или v вблизи правой грани-
границы области максимума значение tg e2 согласно E.27а) прибли-
приближается к tg$, т. е. .вектор S& по направлению близок к вектору So.
При этом модуль | SW j согласно E.30) принимает асимптотическое
значение
| 3B> 1^.«15, | "A + * + A~У + <' ^ ***~ | 5. |, E.40)
а следовательно, почти полностью определяет величину вектора
\~8 |. Это находится в соответствии с рис. 11 и выражением E.22),
в правой части которого основной вклад в величину | S^ j будет
составлять \ D(q)\2/\ D^ |2, а вклад вектора \8Ы\ в правой части
области максимума ничтожен. Описанные соотношения стано-
становятся обратными в крайнем левом углу максимума, где главный
вклад определяется вектором | SW I.
Обращаясь снова к вектору #B), замечаем, что с уменьшением
у направление #<2) постепенно меняется, так как при этом умень-
уменьшается угол е2. Вместе с тем уменьшается и модуль этого векто-
вектора, причем меняется соотношение между двумя его компонентами
в E.22), так как вклад дифрагированной волны возрастает. При не-
некотором определенном значении у оба компонента в уравнениях
E.22) становятся равными. Согласно C.30) и C.31) при этом
При у = у' значение вектора
^B) = Ho|fff j, E.42)
так как равенство компонентов означает, что согласно E.J25)
82 = 0 и, следовательно, вектор S^ направлен вдоль j. Вектор^A)
принимает то же значение и имеет равные компоненты при
E.43)
Дальнейшее уменьшение у до нуля приводит к совпадению на-
направлений всех трех векторов S и S^\ Это непосредственно сле-
следует из уравнений E.26а) и E.27а), которые дают при у = 0 сле-
следующее общее значение тангенса угла относительно вектора j:
tg гу=0 = tg ef = -y~ tg О. E.44)
128
В соответствии с этим уравнения E.30) для модулей векторов
плотности потока энергии при у = 0 принимают вид
| & | = | So\~ [A + If cos2 О + A — IJ sin2 G]V. =
' E.45)
Указанное в E.44) общее направление всех трех векторов, не сов-
совпадающее с j, все больше отклоняется от этого последнего с воз-
возрастанием множителей асимметрии, введенных в гл. 4 [см. D.112)
и D.118)] (принимаем |ХЛ|«|Хл|):
E.46)
Весьма существенно установить направление этого поворота.
Очевидно, что если
для (Ш)Го>Гл и |*о|<|*л|. то tg6 = tgei<0, E.47а)
для (Ш)Го<Гн и |*о|<|*л|, то tge-tge^O. E.476)
Соотношения E.47) означают, что при у = 0 общая энергия вол-
волнового поля, представляемая вектором S, распространяется при
Vo ^> Y/i B направлении, лежащем между отражающей плоскостью
и вектором sh, а при 7о<7л— между той же плоскостью и век-
вектором 80.
Очевидно, также, что в рассмотренном интервале уменьшаю-
уменьшающихся положительных значений у векторы 8М и S также совер-
совершили поворот: первый от sh, где модуль S<V ж 0, и второй от
sQ — до значений е?**0 = — ef = ~" 8У=0-
При дальнейшем изменении у в сторону возрастающих_ отри-
отрицательных значений в угловом интервале (д + г) векторы 8№ и 8
будут поворачиваться до направления s0, а вектор 8W в меньшем
угловом интервале {& — г) до направления sh, где | 82 \ ^ 0.
При симметричном отражении значение у, при котором оба
компонента у каждого из векторов 8& будут равны, обращается
в нуль согласно E.41) и E.43) и, таким образом, совпадает со зна-
значением у, при котором все три вектора плотности потока энергии
имеют одинаковое направление. Выражение E.45) принимает
более простой вид
|^| = |^0|cosd-2|fA)| = 2|fB)|. E.48)
Здесь, очевидно, общее направление совпадает с j, а значит и
с отражающей плоскостью.
Наконец, важно отметить, что полная величина поворотов век-
векторов SW в интервале изменений у, т. е. в пределах немногих
5 3. Г. Пинскер 129
угловых секунд, составляет 2Ф, что выражается в зависимости от
индексов отражающей плоскости и используемого излучения
величинами ~ 20° ~- 90° и более. Можно показать, что величина
производной de/dr] содержит в качестве множителя величину
| %h I ж 105 ~~ 10е, что и определяет этот эффект. Интервал
поворотов S при симметричном отражении — от s0 до j и обратно;
при асимметричном — от s0 до (О + е0) и обратно. Впрочем модуль
величины е0 при использовании мало поглощаемого излучения,
например МоКа, составляет несколько градусов.
Преобразуем некоторые из полученных выше соотношений, ис-
используя систему координат, естественным образом связанную
с формой исследуемого кристалла в виде плоскопараллельной
пластинки. В этой системе ось х (рис. 32) с единичным вектором а
лежит в плоскости входной грани, и ось z с единичным векто-
вектором п — по направлению внутренней нормали.
В соответствии с выбором знаков для1|H ия|?л, сделанным в гл. 3,
а именно, считая их положительными при отсчете от ?гпо часовой
стрелке, принимаем и для а тот же знак. В таком случае положи-
положительное направление оси х и вектора а принимаем налево от нача-
начала координат, как показано на рис. 32 для асимметричного отра-
отражения. Связи между векторами s0 и 8h, с одной стороны, ипиа —
с другой, имеют следующий вид:
~ = n + atg^0, -^ = и + atgifo. E.49)
То Тл
Преобразуем E.21), вынося за скобку Лу0 и используя E.49)
^ = I 51 Л
о1 2(ЛУ
П
E.50)
Из этого выражения можно определить уравнение траектории
распространения энергии в прозрачном кристалле, отнесенное
к указанным осям,
? **±3«t. E.51)
Это уравнение показывает, что энергия волнового поля в прозрач-
прозрачном кристалле распространяется по прямым, выходящим из
«точки» падения на входную грань падающей плоской волны с огра-
ограниченным волновым фронтом. Наклон этих прямых, во всем ин-
интервале значений у ясен из предшествующего анализа, причем
соотношение между углами а и е соответствует той или иной схеме
отражения. Примеры таких схем и этих соотношений приведены
на рис. 32 и 33. В случае рис. 33
. . E.52)
В результате значение tg а определяется из более простого
130
соотношения
E.53)
где знаки плюс или минус выбираются соответственно знаку tga
или tgi|H. Выражения E.51) сами по себе не вносят нового в физи-
физическую картину или геометрию распространения энергии волно-
волнового поля в прозрачных кристаллах. Вместе^с тем эти выражения
непосредственно дают ориентацию вектора 8, тогда как формулы
V00}
а
{700}
Рис. 32. К выводу формул E.50) и E.51)
Si, огранение ~{100}, отражение 444, излуче-
излучение MoJCa, ф = 55°
Рис. 33. Схема симметричного
отражения (Si, Mo#a, 220)
5.26) позволяют вычислить лишь положение этого вектора отно-
относительно следа отражающей плоскости или вектора j.
Кроме того, использование приведенной системы координат
является весьма существенным при переходе к поглощающему
кристаллу, в котором, в отличие от прозрачного кристалла, tg cp
является функцией вертикальной координаты или глубины z.
В результате траектория распространения энергии становится
криволинейной, и определение ее уравнения в явном виде требует
интегрирования более сложной функции, чем E.51).
Изложенный анализ, относящийся к распространению энергии
в прозрачном кристалле, одинаково применим как к центросим-
метричному кристаллу, так и к кристаллу без центра симметрии.
5.3. Трижды усредненный вектор Пойнтинга
в поглощающем центросимметричном кристалле
Запишем следующее выражение для вектора 8 в поглощающем
кристалле {oh + ху'н = и, | Xh \ I \ %? | = 1)'.
5*
131
Используя систему координат, введенную выше с единичными
векторами а и п, перепишем E.54)
3 = 1 So\ eXP(y)T°
+ chzz (n + a tg -фЛ)}. E.55)
Используя тождества
ch Bvr -f- kz) -}- cYikz — 2 ch(vr + kz) chi;r,
ch Bi;r + kz) — ch kz = 2 sh (i;r + kz) sh i;r,
легко получить следующее выражение для $:
3 ^ еХР^У}Т° B ch(vr + xg) ch prn +
+ 2 sh (vr + kz) sh ur tg"i|H ^ + ch kz (tg i|)h + tg %) a}. E.56)
Отсюда тангенс угла наклона касательной к траектории в точке
с координатами (х, z) относительно оси z
1 ^
vr ch (vr + >cz)
E.57)
и уравнение траектории в выбранных осях
х = ^ th (vr + kz) th vr tg if0 dz +
о
tg^ + tgfrj QhXZ =
1 2chy J ch(yr + >cz) ii2 \ /
0
Первый интеграл является стандартным
Xl.^tg^ln^i^, E.59,
а второй легко решается с помощью подстановки exp (vr + kz) = tt
chv shv
2ch vr
z -
132
Окончательно
Ут
или
1п-
2
J
В последнем выражении первый член соответствует траектории
распространения энергии в случае симметричного отражения и
второй член возникает при переходе к общему случаю асимметрич-
асимметричного отражения.
Полученные выражения для траектории распространения энер-
энергии волнового поля E.61) и для угла а E.57) в функции от коорди-
координатного параметра vr и глубины z являются достаточно сложными.
Качественный анализ формы и расположения траекторий,
а также некоторые основные численные оценки могут быть выпол-
выполнены, если использовать асимптотические формы уравнения E.57)
для участка кристалла вблизи поверхности (z zz 0) и при большой
толщине {z ^ оо). В первом случае используем условия
th (vr + kz) |z=o ^ th vr9 ch ш \Z~Q ж 1,
ch (vr + ш) |z~0» ch ur9 E.62)
откуда
2A+2/?)
E.63)
Во втором случае имеем
ch*cz
Ch
- vr), E.64)
I rv*V Z«oo
tg a z«oo ^^ t]i vr tg гЬ0 + -7Г—г ^ =
& iz^oo ** r & yu i 2 ch vr exp уг
у ih.
E.65)
Заметим, что уравнения E.63) и E.65) фактически описывают
распространение энергии в прозрачном кристалле: в поверхност-
поверхностном слое при наличии двух полей, так как E.63) совпадает с E.51)
и в глубине кристалла при наличии одного поля E.65). Дей-
Действительно, рассматривая распространение второго поля
133
в поглощающем кристалле, используем выражения E.22), E.49)
и получаем
ехр[- (б™-к)з
8 =
0
exp Bvr) tg tyoa
E.66)
Из этого выражения непосредственно определяется значение tg a,
совпадающее с E.57).
Дальнейший анализ применяется к определенным схемам асим-
асимметричной (и симметричной) съемки. На рис. 32—34 представлены
а
Ряс. 34. Схема асимметричного отражения
а —яро = —11°, tyh = + 65°; б — ^о = +6°30,
= 50°; в — Ц0 = —65°,
11°
соответствующие схемы. На рис. 32,34,6 углы sosh полностью уме-
умещаются в одном из квадрантов прямоугольной системы коорди-
координат. Следовательно, при любом значении угловых параметров vr
или ут, а также на любой глубине знаки tg а и угла а будут посто-
постоянны: для схем рис. 32 и 34, б, в знаки будут положительными.
В противоположность этому схемы рис. 34, а, в так же
как и частный случай подобных схем рис. 33, соответствуют
более сложным закономерностям в изменении формы траекторий
вектора Пойнтинга при изменении упомянутых параметров
(табл. 8).
Обратимся сначала к схемам, представленным на рис. 32 и
34, б, в которых tgi|H и tgtyh положительны. Выражение E.63)
приводит одинаково при положительных и отрицательных возра-
возрастающих значениях уг к уменьшению величин tg а и а. От наи-
наибольшего значения, отвечающего уг = 0, угол а, уменьшаясь,
приближается к значению г|H. Что касается значений угла а для
z^ оо, определяемых из уравнения E.65), то здесь возрастание
положительных и отрицательных значений уг приводит к различ-
различным результатам. В первом случае значения угла а приближаются
к величине г|H, во втором случае — к tyh. При этом интервал из-
изменений при распространении энергии от поверхностного слоя
к более глубоким (от z я? 0 до z^ оо) с возрастанием доложитель-
134
Таблица 8. Значения углов а между направлением вектора S и вертикальной
осью п в поглощающем кристалле (рис. 34)
Схема
отражения
г|H = 6°30',
i|)h = 50°
г|H = —11°
\|)Л=65°
ф0 = —65°
Глуби-
Глубина
z ^ оо
z^O
z ^ оо
г ~ 0
Z ^ ОО
-5
7
50
-10
65
-64
10
о
о
о
о
°35'
°45'
9е
30'
49°30'
—4е
64е
-63;
-6
530'
540'
'35'
D30'
Угловой параметр у„
—1
20°30'
46°
21°
6Г20'
-57°25'
—9°35'
0
33°
33°
44°
44°
-44°
-44°
20'
20'
i
20°40'
18°40'
21°
8°20'
-57°25'
—60°10'
3
9°
8°
-4°
7°
—63°
-64°
30'
30'
35'
35'
30'
5
7°
6°
-10°
-10°
—64°
-64°
30'
40'
35'
50'
ных значений ут уменьшается почти до нуля. С возрастанием отри-
отрицательных значений уг этот интервал возрастает до полной вели-
величины 2Ф.
Другими словами, возрастание | ут | приводит к совпадению
направлений векторов 8 и 80 в поверхностном слое, в то время как
возрастание положительных значений уг приводит к совпадению
тех же векторов в глубине кристалла, а возрастание отрицатель-
отрицательных значений ут — к совпадению # и sh. Следовательно, кривизна
соответствующих траекторий в первом случае (ут ^> 0) уменьшается
и во втором (ут < 0) возрастает.
В соответствии с этим траектория вектора 8 вблизи правого
(положительного) края максимума (так же как и в центре при
уг = 0) близка к прямолинейной, в то время как в левой стороне
максимума интервал изменений Да приближается к 2ф. Сказан-
Сказанным определяются и знаки углов а, которые зависят от знаков
Все это относится и к схемам, представляющим зеркальное от-
отражение рис. 34, б.
Существенной чертой траекторий вектора Пойнтинга при ис-
/\
пользовании схем с углом sosh, захватывающим части обоих
нижних квадрантов координатного поля, является их искривле-
искривление с пересечением вертикальной оси п. Это следует из изменения
знаков углов а в глубине кристалла по сравнению со знаками
в поверхностном слое, которое наблюдается (табл. 8) в левой сто-
стороне максимума. Использование для численных оценок, приве-
приведенных в табл. 8, асимптотических выражений E.63) и E.65) не по-
позволяет проследить за формой таких траекторий, в частности,
определить (в этом полуколичественном анализе) значения коор-
координаты хч при которых траектории пересекают вертикальную ось.
Это возможно только в случае симметричного отражения, схема
которого представлена на рис. 33.
135
При симметричном отражении [см. D.39) и D.101)] С = 1,
4>о = -4н =*. E-67)
E.68)
Уравнение траектории распространения энергии E.61) приобре-
приобретает следующую форму:
у sin
[Z\l& COS V^
у 4- г
cosdl/l+2/?
[18 COS V^ Ch Vr • Ч '
Очевидно, что знак xs будет обратным знаку г/г, так как sin О в
данном случае [г|H < 0] будет отрицательной величиной. Наконец,
существенно упрощается также и E.57):
tg as = th yrth (vr + zoh) tg « = Vr th (vr + zah) tg <h E.70)
Знаки функции tg as подчиняются тому же правилу, что и знаки xs.
Асимптотические формы уравнений E.70) имеют следующий вид:
„,2 Л,2.
E.71)
tg asl 2ЖОО« - Hi— I tg * [. E.726)
У 1+?
Выражение E.72а) совпадает с E.53) при симметричном отра-
отражении от прозрачного кристалла, а E.726) соответствует случаю
распространения энергии одного лишь второго поля и непосред-
непосредственно получается из E.65) наложением условий для симметрич-
симметричного отражения. Рассматривая зависимость знаков углов а и
tg a от знаков уг, замечаем следующее.
Положительные значения уг при обоих предельных значе-
значениях z дают отрицательные значения tg a, т. е. траектории рас-
распространения энергии при уг < 0 полностью укладываются на
правой стороне координатного поля при х < 0. При этом чем
больше значение уг, тем меньше увеличение | tg a | во всем интер-
интервале изменений z. При значениях уГ1 соответствующих положи-
положительной границе максимума, значения tg az^o~tg a^oc, т. е.
траектория вектора S идет почти параллельно направлению s0-
При отрицательных значениях ут вблизи верхней границы кри-
кристалла tg a также имеет отрицательные значения, однако при
136
больших z tg а меняет знак на обратный, т. е. траектория век-
вектора 8 пересекает ось z. Чем больше | уг |, тем больше измене-
изменение | tg a |. При больших отрицательных значениях ут изме-
изменение | а | составляет почти 2Ф.
Из условия xs = 0, согласно E.70), помимо решения уг = 0,
следует также, что при ?/г<0и vr < 0
z = 2\vr\/eh. E.73)
Другими словами, с уменьшением уг или vr точка пересечения
«поднимается» к началу координат, т. е. к входной грани кри-
кристалла. При ут = 0 траектория распространения энергии совпа-
совпадает с осью z, которая лежит в отражающей плоскости.
Указанные особенности геометрии распространения энергии
в поглощающем кристалле иллюстрируются некоторыми кривыми,
представляющими траектории в схеме отражения на рис. 35.
Изложенный анализ геометрии распространения энергии в
поглощающем кристалле относится к сравнительно небольшим
значениям произведений amt для асимметричного отражения или
\it для симметричного отражения. Вступая в область толстого
кристалла, мы должны учесть зависимость поглощения от пара-
параметра ут или ввести в наши формулы вместо коэффициента погло-
поглощения специальную функцию линейного коэффициента погло-
поглощения по направлению вектора 8 — [Xs, который может быть
представлен либо в виде функции от уг (или vr), либо угла 8 откло-
отклонения S от отражающей плоскости.
Наиболее простой путь для учета поглощения при рассмотре-
рассмотрении распространения энергии в толстом поглощающем кристалле
заключается в замене выражения для 8 выражением для 8^ E.66).
Таким образом, значение вектора плотности потока энергии
в толстом^ поглощающем кристалле мы получаем, используя
E.306) для 8^ и вводя множитель поглощения:
E.74)
где N — числитель дроби E.306). В частном случае симметрич-
симметричного отражения используется E.316):
I 3 Ы
E.75)
На рис. 36 представлена полярная диаграмма величины \ 8 \/\ 80\
в функции от ут, согласно E.75), для симметричного 220 отраже-
отражения излучения CuiTa от Ge при значениях \it = 17,65 и 35,3.
Наиболее существенной чертой диаграммы является сужение
фронта волнового поля, распространяющегося в достаточно тол-
толстом поглощающем кристалле. Отметим, что схема, представлен-
представленная на рис. 36, соответствует падению вакуумной волны с весьма
137
о
r-W'fcM
¦0,5
Рис. 35. Криволинейная траектория
вектора Пойнтинга в поглощающем
кристалле
Рис. 36. Сужение волнового фронта
в толстом кристалле
'/lllllllllllin/lMIIIIIIIIIUHlii
узким волновым фронтом и при наличии полного набора векто-
векторов S эквивалентна падению сферической вакуумной адлны.
Эффект сужения волнового фронта обязан зависимости пока-
показателя при множителе поглощения в E.75) от угловых перемен-
переменных уг или vr. На основании D.78), D.94) и D.113а) можно полу-
получить следующее выражение для этого показателя:
av' = .
vr) + J- ехр (+ vr
_ 2Ce
E.76)
Нетрудно видеть, что, например, в случае симметричного отра-
отражения (ГB) уменьшается от границ области максимума к средней
точке в зависимости от величины 8 = | %hi |/| %o* | на ^ 4,5 ч-
-ь 30%, что приводит к весьма существенному возрастанию \S |.
Более общее значение имеет величина линейного показателя
поглощения, в виде=функции еь дающая величину поглощения
вдоль направления 8& для любой точки дисперсионной кривой.
Такое выражение может быть использовано в т:ех случаях, когда
условия эксперимента не позволяют связать каждый данный век-
вектор плотности потока энергии с определенным значением угла г]
внутри максимума при падении на кристалл расходящегося^пуч-
ка или сферической волны. *
138
Вводим вектор L^ (рис. 37), определяемый согласно E.206)
следующим образом:
2*Л, E.77)
= | Z>
откуда
= | 2Я | cos а, = | Df |2 Го + I Dft |2 гЛ.
E.78)
С другой стороны, из заштрихованного треугольника на рис. 37
следует, что
| ?(i) |sin (# ± е,) = | Я^л |2 sin 2*, E.79)
I Xr<*> I
= (sin 2O) V sin (ft + 8^ sin (ft -- e*) =
E.80)
Проектируя тот же треугольник на направление jf, получаем
| L(i) |cos гх = {| Df |2 +| D^ I2} cos ft.
E.81)
Далее, из C.18) следует, что
ехр(+г;г) 1
То
ехр (+ vr)
/7
IJD^ I2 To + I D^ I2 T
2 ch yr --= —SJ. ^' л ' fe e рис. 37. к выводу формулы E.84)
|Д,||/)Л|^ТоТЛ
E.82)
Используя выведенные соотношения, а также выражение E.76)
для а, получаем
= в cos а, =, ([х/| L
2 ± 2Сг cos v,
| 11 |
E.83а)
или, исключая | L \ с помощью E.80) и E.81), приходим к выра-
выражению, совпадающему с формулой Лауэ для (х в направлении
вектора 8 [141,
COS О
sin2 е-
8 =
i*«r
E.836)
139
Наконец, используя тбждебтвб
cos О |/ sin2 О
получаем
E.84)
Если энергия волнового поля распространилась вдоль некоторого
направления L на отрезок Z, то потеря этой энергии на поглощение
составит, очевидно, p,S(i)Z. Проектируя путь I на направление j
и разлагая полученную проекцию на слагающие loso и lhsh, по-
получим
\xs(i)l cos 14 = [is(i) (Zo + /Л) cos # =
' 1 - -|^-J (Zo + lh). E.85)
Xoi I ±
Из этого соотношения следует, что выражение в фигурных скоб-
скобках является линейным коэффициентом поглощения вдоль
некоторого оптического пути в кристалле, состоящего из беско-
бесконечно малых отрезков вдоль s0 я sh. Полученное выражение для
линейного показателя поглощения, как показал Като [24], обла-
обладает замечательным свойством: оно может быть получено без
выполнения условий D.80), которые лежат в основе теории дина-
динамического рассеяния в поглощающем кристалле.
Отметим два предельных значения правой части E.85) при
&i — 0 и et = ¦&. При st = 0 второй член в фигурных скобках
приобретает максимально возможное значение, а следовательно,
линейный коэффициент поглощения (для второго поля) — мини-
минимальную величину. Другими словами, минимум поглощения
энергии имеет место при ее распространении вдоль отражающей
плоскости. Наоборот, максимум поглощения, отвечающий вели-
величине нормального линейного поглощения 2пК\ %Qi\ = |x, соот-
соответствует значению st — Ф, т. е. значению ег- = + Ф> соответ-
соответствуют определенные резкие границы динамического волнового
поля внутри кристалла. Таким образом, выражение E.85) опи-
описывает волновое поле, строго локализованное в (треугольном)
участке поглощающего кристалла.
Вместе с тем выражение E.85), имеющее общий характер и
относящееся как к симметричному, так и к асимметричному
отражениям, показывает две составные части линейного коэф-
коэффициента поглощения кристалла в области максимума: нормаль-
нормальный коэффициент A и аномальный — интерференционный или
бормановский
Н = ± 2яКС cos vh [xwJte (l - |^-)]V°. E.86)
140
При этом интерференционный коэффициент поглощения зависит
только от параметра Хл* и не зависит от х<н> который определяет
величину [г.
Сопоставляя выражение для линейного коэффициента погло-
поглощения внутри области максимума E.85) с формулой типа D.99)
замечаем прежде всего, что если E.85) не связано с определенным
значением угла падения г|H, а следовательно, и с положением
отражающей плоскости относительно входной грани, то E.87)
не связано с определенной точкой падения вакуумной волны на
кристалл. Таким образом, переходя от E.87) к E.85), мы пере-
переходим от приближения падающей плоской волны к падающей
сферической волне при достаточно узком волновом фронте (узкой
щели). Очевидно, в общем случае оба выражения неэквивалентны,
так как E.85) дает коэффициент поглощения вдоль любого на-
направления в кристалле, в то время как E.87) — вдоль нормали
к входной грани. Напоминаем, что E.85) имеет общее значение,
так как применимо при любом соотношении параметров | %hi\
и I %hr\y а E.87) лишь при | X/iil^ I %hr\- По-видимому, вол-
волновое поле в кристалле, порожденное падающей волной с узким
волновым фронтом, имеет в некотором отношении более простую
структуру, и задача определения линейного коэффициента по-
поглощения в любом направлении имеет сравнительно простое
решение без упомянутого приближения. В важном частном слу-
случае симметричного отражения при vr = yr = ег = О оба выра-
выражения совпадают, точнее
taV* = {2пК | хог | + 2лКС cos vh \%hi\} (l0 + lh) t. Ee88)
5.4. Распространение энергии
в поглощающем кристалле без центра симметрии.
Учет периодической составляющей вектора Пойнтинга.
Дополнительные замечания
Как уже упоминалось, изложенная для прозрачного кристалла
теория полностью применима к кристаллам без центра симмет-
симметрии, так как значение | %л|/| %л | обращается в единицу. В слу-
случае поглощающего кристалла без центра симметрии выражение,
соответствующее E.54), не позволяет провести столь детальный
качественный анализ, как это сделано выше.
Выражение для вектора распространения потока энергии в
поглощающем кристалле без центра симметрии имеет вид
ну
E.89)
141
|г
Переходя к системе координат xt, получаем
1 i § I Toexp [—с
^0 9 лЬ2„
[~chBi;r
sh (xz) n
Откуда
¦]•»¦
ch Bvr + xz) th -фо +
ch Bг;г +
4
ch (xz) tg 1|?Л
ch (xz)
x ==
Асимптотические уравнения для tg а при z ^^ 0 и z
вид
E.90)
E.91a)
E.916)
оо имеют
ch Bvr)
exp Bvr) tg f о +
vr)
В случае симметричного отражения
E.92)
tga =
chB»r + xz) —
ch Bуг + xz) +
ch xz
chxz
E.93)
E.94)
Заметим, что здесь в отличие от центросимметричного кристалла
даже при yr = vr = 0 tg a Ф tg •&. Вместо этого получаем из
E.84)
E.95)
142
Сравнивая величину tg а из E.95) для двух отражений hkl и
hkl и используя D.56), получаем
Таким образом, фиксируя точку выхода энергии волнового поля
на выходной грани кристаллической пластинки, можно устано-
установить различие между отражениями hkl и hkl только из геометрии
дифракционного эффекта, в то время как при использовании
коэффициента отражения (см. гл. 4) различие устанавливается
по интенсивностям.
В заключение этой главы следует рассмотреть соотношения,
относящиеся к траекториям дважды усредненного вектора Пойн-
тинга #, а следовательно, содержащие периодические составляю-
составляющие. Необходимость учета этих осцилляции особенно наглядна
в случае поглощающего кристалла, так как использование век-
вектора S, усредненного по экстинкционной глубине т, ограничено
надлежащей величиной отношения т/о*™ = x\i/y0. Так, в случае
отражений 220 и 333 излучения СиКа от Ge это отношение сос-
составляет ~ 0,2 и — 0,5 соответственно.
К сожалению, вычисление траекторий вектора Пойнтинга с уче-
учетом периодических составляющих и поглощения представляет
сравнительно сложную задачу и качественно анализируется лишь
в простейшем случае симметричного отражения от центросиммет-
ричных структур.
Основные особенности задачи могут быть показаны на примере
рассеяния от прозрачного кристалла.
При учете периодических составляющих в значениях коэффи-
коэффициентов прохождения и отражения [см. C.62) — C.66)] для 8
вместо E.21) получаем
Я = 13, | A + i/V {[У2 +cos2 р] *о + ^ sin* psh} , E.97)
где р = яг/т. Переходя к системе координат xz, перепишем E.97)
Я $№ + cos2 Pi (» Н- « ^ Ь) + sin2 р (п + a tg %)} E.98)
или
= ГнГ К1 +Уг)п + Кг/2 + cos2 p) tg г|?0 + siu2 p tg %] а}.
E.99)
143
Отсюда
E.100)
Заменяя sin2 p и cos2 p на их средние значения, получаем E.51).
Рассмотрим подробнее симметричное отражение. В этом слу-
случае вместо E.100) получаем
лг
EЛ01)
Первый член справа относится к непериодической составляющей,
которая совпадает с E.53) для трижды усредненного вектора,
а здесь может быть отнесена к средней линии распространения
энергии. Второй член описывает периодические увеличения и
уменьшения угла а по сравнению с углом для средней линии.
В соответствии с E.101) уравнение траектории имеет вид
Анализ выражений E.101) и E.102) непосредственно связан
с описанием маятникового решения для прозрачного кристалла,
приведенным в гл. 3 [см. C.44) — C.47I. Действительно, сред-
средняя линия пересечется с осциллирующей на глубинах
2 = -^ либо z = ^l, Ак = т-\ E.103)
которые соответствуют глубинам экстинкции. При этих глубинах
расстояния х от оси z для обеих составляющих х в E.102) будут
равны.^При таких значениях z углы наклона осциллирующей
кривой согласно E.101), вследствие cos 2р = + 1 /будут равны
^A E.104)
Между двумя точками пересечения кривая отстоит от средней
прямой
Xo==TJ^—Ztgft E.105)
на величину
*-*»= о„лУ_и,Д1 • EЛ06)
При этом z = (m + 74)/Л&. В этих точках, как следует из E.102),
вектор потока плотности энергии S оказывается параллельным
оси z.
Существенно отметить, что характерные параметры траекто-
траектории потока энергии, определяемые приведенными уравнениями,
144
являются функциями у. В частности, при у = 0 средней линией
E.105) становится ось z. На оси z отстояния между двумя ближай-
ближайшими точками пересечения z = тх и z = (т + XU) x будут наи-
наибольшими из расстояний, отвечающих различным возможным
значениям у. В точках пересечения вектор 8 будет направлен
вдоль s0. При том же значении у = 0 в точках z= (т -\- 1/3) т
вектор # будет направлен вдоль 8h. На средних линиях (прямых) ?
отвечающих у =f= 0, в точках я = тх
или z = (га + V2) т вектор S будет
также направлен вдоль s0, однако в
промежуточных точках пересечения
отклоняется к «0. Это отклонение
возрастает с увеличением у. Общее
представление о характере осцилля-
осцилляции направления потока энергии в
случае симметричного отражения
дает рис. 38, отличающийся от соот-
соответствующего рисунка для S (рис. 29)
наложением осциллирующих кри-
кривых.
В^случае поглощающего кристал-
кристалла в формулах для tg а и х[E.69),
E.70I появятся дополнительные сла-
слагаемые, аналогичные вторым членам
в правой части выражений E.101) и
E.102). Эти дополнительные члены
имеют вид
2nz t
tgpas = cos — tg ft/ch (v
4z)chvr,
E.107)
C0S
2jtz
Of Of7511,5Z
Рис. 38. Осцилляции направле-
ния распространения вектора
Пойнтинга
E.108)
Подынтегральная функция в E.108) осциллирует с глубиной z.
Эти осцилляции при положительных значениях yr = sh vr моно-
монотонно спадают с глубиной и при отрицательных значениях уг
проходят через (пологий) максимум и затем тоже спадают. Функ-
Функция xVs, согласно E.108), пропорциональная площади под осцил-
осциллирующими кривыми, ведет себя аналогично. Очевидно, период
осцилляции равен отношению zlx. Некоторые дополнительные
данные, относящиеся к поведению функции xvs, можно полу-
получить из обзора Джеймса [171.
145
Глава 6
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
В ПРИБЛИЖЕНИИ ПАДАЮЩЕЙ
СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
Динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в идеаль-
идеальных кристаллах, изложенная в гл. 2—4, имеет одним из исход-
исходных условий — падение на кристалл плоской монохроматической
волны. В конце гл. 3 мы отметили возможность других экспери-
экспериментов, в частности использование пучка с ограниченным волно-
волновым фронтом и набором направлений падения, перекрывающим
угловую ширину максимума отражения. В гл. 5 рассматривался
случай волнового фронта падающей волны, малого по сравнению
с толщиной кристаллической пластинки.
Эксперименты, в которых использовалась подобная схема
(система диафрагм между трубкой и кристаллом), были постав-
поставлены в 1959 г. Като и Лангом [23] для исследования полос маят-
маятникового решения при прохождении рентгеновского пучка через
кристаллический клин. Эти авторы получали рентгенограммы
двух типов: «секционные»— снимки при фиксированном положе-
положении кристалла и пленки относительно источника рентгеновских
лучей и снимки при сканировании кристалла и пленки относи-
относительно источника. На секционных снимках было получено изо-
изображение маятниковых полос, имеющих форму шпильки (бук-
(буквы V). При сканировании были получены прямолинейные
полосы.
В связи с качественным и в особенности количественным ана-
анализом этих экспериментов Като развил динамическую теорию,
описывающую рассеяние рентгеновских лучей кристаллом при
падении на него сферической волны [24]. Очевидно, что этот под-
подход к явлениям рассеяния ближе к условиям эксперимента, чем
приближение плоской падающей волны.
Действительно, излучателями характеристического рентгенов-
рентгеновского излучения антикатода рентгеновской трубки являются
отдельные атомы, и это излучение, прошедшее через систему
диафрагм, следует рассматривать как наложение элементарных
сферических волн без постоянных фазовых соотношений между
ними. Нетрудно видеть, что наиболее существенным является
соотношение между угловой шириной максимума отражения
(или прохождения), с одной стороны, и угловым раствором пучка
рентгеновских лучей, выходящего из антикатода и эквивалент-
146
ного (в некоторых отношениях) сферической волне. Этот угловой
раствор составляет ~ 1,5', т. е. по меньшей мере на порядок
больше полуширины максимума. Интересно сопоставить указан-
указанное соотношение с тем, что имеет место в современном электронном
микроскопе при просвечивании монокристаллической пластинки.
Расходимость пучка электронов в подобных приборах не более
10~3 рад, в то время как полуширина первых максимумов дина-
динамического рассеяния на порядок больше.
Анализ этой фундаментальной проблемы «динамического»
рентгеновского эксперимента проводится также в гл. 9 в связи
с методами «приготовления» плоской монохроматической волны
с помощью монохроматоров.
Динамическая теория в приближении падающей сферической
волны, развитая Като, позволила с большой точностью описать
упомянутые полосы маятникового решения на секционных сним-
снимках, которые были фактически первой экспериментальной реа-
реализацией эффекта, предсказанного Эвальдом в его работах 1916—
1917 гг.
Существенным результатом теории Като и усовершенствова-
усовершенствования экспериментов с получением секционных снимков является
новый метод измерения абсолютных значений | %hr |, а следо-
следовательно, и структурных амплитуд \Fhr\. Здесь абсолютные
значения противопоставляются относительным значениям, обычно
определяемым из измерений интенсивности рентгеновской ди-
дифракции. Особенностью метода Като следует считать исключение
ошибки, обязанной влиянию экстинкции на интенсивность силь-
сильных отражений, так каск на секционных снимках измеряются
только геометрические параметры дифракционной картины.
6.1. Динамическая теория в двухволновом приближении
при условии падающей на кристалл сферической волны.
Применение к рассеянию
в прозрачной плоскопараллельной кристаллической
пластинке
Скалярная волна в вакууме, распространяющаяся в положи-
положительном направлении вдоль оси z, описывается в общем случае
следующей интегральной формулой:
F.1)
—оо —оо
где F (К) — весовая функция, относящаяся к угловому спектру
волны Та. В случае плоской волны весовая функция обращается
в 6-функцию:
Ke). F.2)
147
В случае сферической волны можно использовать обычное Фурье-
представление (при единичной амплитуде):
оо оо
exp i {Кг) 1 f f exp i (Kr) ., v ,„ -R o>
—oo —oo
Сравнивая F.3) и F.1), замечаем, что весовая функция для сфе-
сферической волны
F-4)
Здесь iTcos {Kz) = Kz = (К2 — jf| — ЛГ5I/в принимает положи-
положительные значения либо на действительной, либо на мнимой осях
комплексной плоскости.
В случае рентгеновских лучей мы должны использовать выра-
выражение, аналогичное F.1) для векторных волн. Для получения
такого выражения рассмотрим спонтанное электромагнитное излу-
излучение атомных источников. В вакууме вдали от источника элек-
электромагнитное поле полностью характеризуется заданием любого
из векторов JE или Н, связанных соотношением
Е = iK'1 rot fiT. F.5)
Если ввести операторы
M = [JV1, N = ±[(IV]V] F.6)
(I — постоянный вектор, пропорциональный матричному элемен-
элементу оператора плотности тока спонтанного атомного перехода,
в результате которого излучается гамма-квант) и оставить только
главный член (порядка г-1) в асимптотическом разложении на-
напряженности поля, можно получить следующие выражения для
электромагнитного поля в волновой зоне излучения:
Н3^МФ8, ES^NQ)S. F.7)
Отметим, что в асимптотической области векторы Е и Н перпен-
перпендикулярны направлению распространения поля. Подставляя F.1)
в F.7), получаем
оо оо
Я8« iK j \ dKxdKvFs (К) [IK] exp i (Kr),
—oo —oo
F.8)
oo
J dKxdKyFs(K) {[IK] K]exp i(Kr).
—oo — OO
В дальнейшем нас будут интересовать вполне определенные
состояния поляризации электромагнитного поля в кристалле
148
6 колебаниями вектора ййдукции либо в плоскости отражений,
либо перпендикулярно этой плоскости. Поэтому мы можем
ограничиться рассмотрением скалярного волнового поля, включая
соответствующие поляризационные множители [IK] и ЩК]К]
в весовую функцию F {К).
Обращаясь к выражению для сферической волны в виде супер-
суперпозиции плоских волн, каждая из которых описывается изло-
изложенной в предыдущих главах динамической теорией, внесем в
формулу F.3) соответствующие амплитудные коэффициенты:
оо с»
I I Kl%,hdKxdKv. . F.9)
—оо —оо
Множитель dOih может рассматриваться как амплитудная моду-
модуляция преломленной и дифрагированной волн в кристалле. На-
Напомним, что такая же интерпретация приводилась нами приме-
применительно к выражению B.36) для блоховской волны, а также
при анализе волнового поля в кристалле C.49).
Множители dOjh для прозрачного кристалла (в двухволновом
приближении) детально рассмотрены в гл. 3. Они могут быть
также записаны в форме
d0 = 2 *>Р exp i {(*#> -К)(г- гв)}, F.10)
t=l,2
dh = 2 DT exp i {(*?> -K)(r- re)}. F.11)
г=1,2
В выражениях F.10) и F.11) г обозначает расстояние точки наблю-
наблюдения от источника, ге — расстояние произвольной точки на
входной грани от того же источника. Для дальнейшего содержа-
содержания данной главы существенное значение имеет точное опре-
определение величин, обозначаемых г и ге. Так как формулы F.10)
и F.11) относятся к плоским волнам, то ге можно рассматривать
как вектор, проведенный от источника к любой точке входной
грани. При этом согласно C.1)
кР — К^-КЬ^По F.12)
направлено в любой точке нормально к входной грани. Таким
образом, в F.10) и F.11) величина фазы в фазовых множителях
дана относительно произвольной точки входной грани.
Переходим к детальному рассмотрению случая падающей сфе-
сферической волны. Для выполнения интегрирования в общем выра-
выражении типа F.9) оси выбираются следующим образом.
В обратном пространстве, как показано на рис. 39 (см. рис. 6),
ось х направлена в сторону отсчета отрицательных значений
углов т] и ось z совпадает с вектором J5C0, образующим с отра-
149
жающей плоскостью угол О. Начало координат выбирается й
точке М.
Анализ процесса распространения в плоскопараллельном кри-
кристалле поясняется рис. 40. Сферическая волна, выходящая из
точечного источника на антикатоде рентгеновской трубки, про-
проходит систему щелевых диафрагм и падает на кристалл в точ-
точке О. Ось х перпендикулярна вектору Kq, имеющему тот же
смысл, что и на рис. 39, и представляющему ось z. Ось у перпен-
перпендикулярна к плоскости чертежа, которая совпадает с плоскостью
отражения. Вектор К* имеет направление вектора отраженной
волны при падении вакуумной волны под углом ft. OF — перпен-
перпендикуляр, опущенный на выходную грань, OL — след отражающей
плоскости и ОР — переменный вектор, соответствующий вектору
плотности потока энергии, который далее будет рассмотрен под-
подробнее. Для описания волнового поля, так же как и его интен-
интенсивности, в любой точке внутри кристалла используется направ-
направление ОР. Любая точка на этой прямой внутри кристалла и точ-
точка Р на выходной грани определяются косоугольными коорди-
координатами 10 и lh, а также длинами перпендикуляров, опущенных
на векторы К% и К% {х и х'). Расстояние каждой данной точки
наблюдения от источника мы определяем следующим образом:
г = ге + (г - ге),
F.13)
где второй член справа представляет собой радиус-вектор от точ-
точки О входной грани к любой точке волнового поля в кристалле.
В соответствии с рис. 40 г — ге можно отнести к переменному
вектору ОР.
Рис. 39. Выбор осей координат * и г
в обратном пространстве
150
Рис. 40. К анализу псоцесса Dacnno-
странения волн в Уплоскшараллель-
ном кристалле
Расчеты, относящиеся к излагаемой теории, производятся
с помощью следующих переменных:
s— лх 2 sin 20 ' '"sin 20 V To
t=[(r-re)n], a = gi- sin20. F.14)
Связь новых переменных со старыми с учетом направления оси х
устанавливается непосредственно (в этой главе Ко — 1А и К —
= 2яА)
/ГТ72 ± у = г1 (/^Т72 ± *),
F.15)
Полное аналитическое выражение волновой функции проходящей
волны в прозрачном кристалле в приближении падающей пло-
плоской волны в старых переменных
КйС 1/^/Л г 11
+ 1LJL1 (/1 + У2 ± у)\\ F.16)
2 W JJ
и в новых переменных
2То ^
F.17)
Заметим также, что далее в этой главе для обозначения плоской
волны используется выражение
Т = Т0ехр[-йо* + 1(Д>I. F.18)
Аналогичные преобразования приводят к выражению для вол-
волновой функции дифрагированной волны в прозрачном кристалле
[см. C.32)]:
»•] +
F.19)
Переходим к вычислению интеграла F.9). При этом мы заменяем
в амплитуде величину К^1 на К~г, что соответствует двухволно-
151
вому приближению или аппроксимации участка сферы радиуса К
на рис. 39 плоскостью (ее след — прямая МР). Фазовый мно-
множитель exp i (Кг) в F.17) и F.19) преобразуется, согласно F.13),
exp i (Кг) = exp i (KZL) exp i (Kzz + Kxx), F.20a)
L = re, [K (r - re)\ = Kzz + Kxx. F.206)
Что касается интегрирования в F.9) по Ку, то необходимо учесть,
что переменная Ку встречается только в выражении F.20а), так
как Кг = (К2 — Кх — КуУ/2- Выполняя интегрирование по Ку
методом перевала [77], получаем
\ exp \i
—оо L
iK (z + L) -
- i (z + L) %jL 1 dKy = exp IK (z + L)x
Kv. F.21)
Переходя от показательной подынтегральной функции к триго-
тригонометрическим, используем для вычисления полученных инте-
интегралов таблицу интегральных трансформант в книге Снеддона [78].
После обратного перехода к показательной функции получаем
Dv = exp(iKz) I/—j-y-exp — i-y- . F.22)
w f Z -\- Li \ 4 у -
Вместо выполнения интегрирования по А^ вводим новую пере-
переменную s, связанную с Кх соотношением F.14). Вынося за знак
интегралов выражения, не содержащие 5, получим следующие
формулы:
Do = \ Bя)~3/2 [К (z + L)]"V2 exp (iKL) exp (-i|) x
F.23)
x
X exp [i (Kz + 2n (hr) + цн + Р)] Uh, F.24)
и интегралы Uo и С/^ имеют вид
оо
?) exp [iorf ]/РТ?] + (* + У*Т7) X
—оо
X exp [— iatVs2 + f2]} [Ys2 + fj^exp [— *gs*] ds, F.26)
152
h = 4~ \ {exp [Ш Ys2 + /2] — exp [— iat /s2 + /2]} X
_L
—oo
X '—*-!!: pYp [— 7.^/] Л* F.27a)
Здесь
g=-f--a, z = (a + g)*. F.28)
Более простой интеграл f/ft непосредственно раскрывается с по-
помощью уже упомянутой таблицы интегральных трансформант [78].
Результат записывается следующим образом:
_0, 1?|>а,
KCVW* r F-29)
Вычисление интеграла Uo облегчается следующим очевидным
соотношением с Uh [см. F.27а)]:
а также рекуррентным соотношением
г (?) _- — д [Jo (|)]/^s. (b.ol)
В результате получаем
0, |ff|>a,
- F.32)
Анализ полученных выражений для волнового поля в кристалле
может быть произведен с помощью рис. 40 и 41. Прежде всего,
как следует из условий F.29) и F.32), волновое поле в кристалле
резко ограничено треугольной областью ROT. В приближении
плоской падающей волны, как подробно показано в гл. 5, каждому
частному значению угла падения л|э0 + ц отвечает определенное
направление распространения энергии, или вектор плотности
потока энергии S = SW + ^2), причем векторы #(|> представ-
представляют нормали к соответствующим ветвям дисперсионной поверх-
поверхности в точках возбуждения. В случае сферической падающей
волны, когда возбуждаются все точки дисперсионной гиперболы,
векторы S^ по-прежнему являются нормалями в соответствую-
соответствующих точках той или иной ветви. Однако они уже не связаны с
153
каким-либо частным значением угла падения и однозначно опре-
определяются, например, углом е относительно отражающей пло-
плоскости. При этом, очевидно, данному значению е будут отвечать
два вектора S^ в точках А и А (см. рис. 41). Можно принять,
что для каждого значения е существует определенный вектор
& = 28% = 28^. Такой переменный вектор Ъ представлен на
рис. 40 прямой ОР. Основание Р этого переменного вектора фик-
фиксируется косоугольными координатами х' и х, направления ко-
коКп и Kq . В свою очередь х и х1 зави-
зависят от общего углового параметра д,
являющегося функцией е. Значение
х представлено формулой F.28), в
то время как значение хг определя-
определяется из соотношений, следующих из
рис. 40:
торых перпендикулярны
х' =
То
То
F.33)
Рис. 41. Возбуждение всех то-
точек дисперсионной гиперболы
при падении сферической ваку-
вакуумной волны (верхнее А^=А)
Используя далее очевидные связи
I = OP = t/cos (i
x = I sin (# + e);
получаем для q
— я|H + е),
sin 20
cos
— 0 + 8) 2 cos г|)^
F.34)
F.35)
Учитывая приведенные значения аргументов х и х' F.28), F.33)
и решения интегралов F.29) и F.32), выпишем полные значения
волновых функций Do и Dh в кристалле в следующей форме:
— i
Dh = —^=^--7=exp (¦ ?-
;{^2 + 2я(лг)+
- x
F.36)
F.37)
F.38)
Полученные выражения показывают, что геометрические места
точек, отвечающие постоянным значениям произведения
t To /О 9\ j.9 /CZ. *JO\
хх = •J— (a^ — gr^) r, (Ь.оУ)
154
образуют гиперболы, асимптотами которых являются векто-
векторы К* и Kt
Исходя из формул F.36) и F.37), можно перейти к полю
интенсивности внутри кристалла. Напишем соответствующее вы-
выражение для дифрагированной волны
Ян = Т (/)» (/0 [/ Vl^'}f = Т (/)»{/, [Щ (е)]}2. F.40)
Как уже отмечалось во введении к настоящей главе, излагаемая
теория была использована для истолкования и расчета интерферен-
интерференционных эффектов маятникового решения, которые наблюдались
на секционных снимках.
Естественно связать такие осцилляции указанных функций
с интерференцией полей, обязанных возбуждению точек на обеих
ветвях дисперсионной кривой. Для описания волнового поля
внутри кристалла используется переменный вектор ОР, который
при каждом частном значении угла 8, с одной стороны, соответ-
соответствует интерференции определенной пары волн, для точек А и
А (рис. 41), а с другой стороны, служит разрезом через интер-
интерференционную картину маятникового решения.
Для интерференции волн, соответствующих сопряженным точ-
точкам А л А дисперсионной гиперболы, необходимо выполнение
двух условий: наряду с совпадением направлений распростране-
распространения потока энергии 8B1| 8% указанные волны должны быть
когерентными.
Рассматривая не только точку А, но и малый участок гипер-
гиперболы вблизи А, на котором еще можно пренебречь ее кривизной,
мы можем ввести следующие характеристики, определяющие спо-
способность к интерференции вдоль направления 8% соответствую-
соответствующих волн: 1) дифракционную ширину
g^(8KAr^8X; F.41)
2) геометрическую ширину g' — IW, где I — путь, проходимый
в кристалле вдоль #(г) от точки О, и W — угловая расходимость
векторов 3?(г) внутри участка 8КА. При этом минимальный раз-
размер gm определяется равенством геометрического размера и ди-
дифракционной ширины
gm = lWm = IW (cow) = (K(om)~\ cow = Ц±. F.42)
Условие F.42) означает, что волны внутри интервала относи-
относительного углового разброса пучка волн не могут интерферировать
с волнами за пределами этого интервала. Другими словами, gm
дает порядок величины когерентного участка вдоль волнового
фронта, который распространяется в направлении ^(г).
О_братимся теперь к точке А дисперсионной гиперболы. Точ-
Точка А является сопряжецной точке А, что означает параллель-
155
яость соответствующих векторов S(l\ а также определенное
условие, касающееся интервала когерентности. Сопоставим мини-
минимальный размер gm, согласно F.24), с разностью расстояний от
источника
\A + ге)-A + ге)\^Ь2цт, F.43)
где величины с чертой относятся к участкам волнового поля в кри-
кристалле, соответствующим точке возбуждения А. Строго говоря,
это соотношение не соответствует исходной модели, показанной
на рис. 40 и положенной в основу
излагаемой теории. Для выясне-
выяснения условия F.43) необходимо до-
допустить конечную ширину волно-
волнового фронта падающей волны вмес-
вместо точки О на рис. 40. При этом
не выполняется первое условие
F.20). Величина L отвечает рас-
расстоянию от источника до гточки
падения при угле \|H, в то время
как ге и ге — расстояниям до точек
при углах падения :ф0 + г\. На
первый взгляд, условие F.43) не-
невыполнимо, так как левая часть,
согласно F.42), имеет величину
порядка lWm, т. е. примерно 10~*L2r\m, если принять, что
r\m ~ Wm- Однако условие F.43) оказывается справедливым, так
как волновое поле в кристалле обладает свойством увеличения,
в результате чего Wm ^> 2r]m.
Действительно (см. [79] и рис. 42), при наличии некоторого
интервала углов падения dr\ на малом участке SS' дисперсион-
дисперсионной гиперболы возникает интервал агг углов векторов 8(г) с пло-
плоскостью отражения. Увеличение М, пропорциональное кривизне
гиперболы на данном участке 1/i?, где R -— радиус кривизны,
составляет
Рис. 42. К вычислению увеличе-
увеличения М в кристалле
М ^ *»ь = dei dys д
dr\ dys йц
To =
JlTcosd
R COS 8- '
F. 44)
Величина радиуса кривизны на рассматриваемом участке гипер-
гиперболы
Н ~ 2 tg2 d cos^e^ + to ~" KC\%h\ 2sin2 О '
Рассмотрим два предельных случая.
1. На границе максимума R ->¦ К, так как граница максиму-
максимума соответствует переходу от дисперсионной гиперболы к окруж-
окружности. При этом &г ->• $ и
M^U F.46)
т. е. увеличения нет.
156
2. При точном значении угла Вульфа — Брэгга et; = у =
= sjft = 0 и
F.48)
Из отношения т<Д М будет порядка 104.
Из этой оценки мы получаем, во-первых, нужное нам соотно-
соотношение
?m>L2rw F.49)
и, следовательно, возможность интерференции волн, отвечающих
точке (участку) А дисперсионной гиперболы, с волнами, соответ-
соответствующими возбуждению сопряженной точки (участка) Ж, и толь-
только с этими волнами. Сопоставляя условия образования интер-
интерференционных картин маятникового решения в случаях падения
сферической и плоской волн, отметим их существенные отличия.
Действительно, во втором случае интерферируют волны с при-
примерно параллельными волновыми векторами, в то время как
в первом случае интерферируюгволны сРпараллельными[векторами
Пойнтинга, или лучами.
Другой вывод, который следует сделать из приведенной оцен-
оценки увеличения М кристалла в области максимума, имеет более
общее значение: фраунгоферова дифракция, при которой геомет-
геометрические размеры изображения источника значительно меньше
дифракционной картины, в кристалле реализуется при расстоя-
расстояниях источник — дифракционная картина примерно в 104 мень-
меньших, чем в вакууме.
Уравнение F.40), дающее распределение интенсивности в пло-
плоскости отражения, показывает, что величина 9h фактически зави-
зависит от двух независимых переменных: глубины (толщины) t и
угла е, образованного переменным вектором ОР и следом отра-
отражающей плоскости. Величина ср (е) в F.40) выражается следую-
следующим образом:
ТГ Q I у |
<Р <е) = "ЖгГ ^sin (* + 8)sin (* - 8) cos (*" ~ * + 8)"
Экспериментальные исследования этих эффектов и в особен-
особенности применение их для определения абсолютных значений струк-
структурных амплитуд основаны на вариациях интенсивности вдоль
линии OL (следа) отражающей плоскости (рис. 40). Обозначая
отстояние произвольной точки на этой линии от точки О на вход-
входной грани через р и учитывая, что вдоль OL значение е обращается
в нуль и cos (фл — Ф + в) = t/p, получим
157
Выражение F.40) переписывается в виде
где а = К0С | %h | /2cos О1 составляет действительную полуось
дисперсионной гиперболы.
Как было показано экспериментальными исследованиями этих
интерференционных эффектов, для описания изменения интенсив-
интенсивности вдоль линии р можно ограничиться формулой F.52) лишь
на участке дифракционной картины, примыкающей к точке О.
Более глубокие участки соответствуют асимптотическому разло-
разложению функции Бесселя, которое для функции нулевого порядка
имеет вид [72]
/0(?)« |Л|.cos [E--?¦]• F.53)
В таком случае, для более глубоких участков интерференцион-
интерференционной картины закон изменения интенсивности выражается сле-
следующим образом:
Cfh (р)« А яТ|^ cos* Bяар - -f) . F.54)
Расстояние между двумя соседними гиперболами вдоль линии р,
вблизи точки О в соответствии с F.52)
где |т+1 и |т — значения аргумента /0, отвечающие двум сосед-
соседним максимумам. Для остальной части дифракционной картины
при больших значениях р интервал между соседними максиму-
максимумами F.54)
* Я X COS О А /л г?»\
Л ~C\%J = Лр?в F'56)
Несмотря на совпадение формулы F.56) с C.45) и C.47) для
экстинкционной глубины в случае падающей плоской волны раз-
различия между двумя цнтерференционными картинами бросаются
в глаза при исследовании абсолютных положений максимумов,
т. е. их расположения относительно входной грани кристал-
кристалла (см. рис. 43) [80].
Прежде всего при р*^ 0 Bяар < 0,01), т. е. непосредственно
вблизи входной грани, согласно F.52), функция /0, а с ней и
величина интенсивности Cfh (p) имеют максимум, в то время как
из "C.43) интенсивность дифрагированной волны в кристалле,
пръГпадающей плоской волне
Cfh — | А,(а) I2 sin2 (jtAfc), F.57)
J58
-при z ж О, #л да О. Отстояния между максимумами в случае
падающей плоской волны Лрг точно определяются из F.56) и
примерно соответствуют отстояниям Amh при больших р. Однако
отстояния первых максимумов превосходят Лрг. Так, расстояние
между первым и вторым максимумами превосходят APi на 22%.
Далее эти расстояния постепенно уменьшаются, приближаясь
к Лрг. При этом максимумы смещены к входной грани по срав-
сравнению с максимумами для случая плоской волны на V4 Лтл»
что непосредственно следует из выражения F.54).
Рис. 43. Сопоставление интер-
интервалов интерференционных кар-
картин маятникового решения
а — сферическая падающая волна ;
б — плоская падающая волна.
/ 2 3 Ч- 5 6
Рассмотрим детальнее физические причины, приводящие к ука-
указанным различиям, в особенности смещение фазы на я/4 в F.57)
сравнительно с F.54) [81]. Полное аналитическое выражение для
фазы каждой из двух слагающих волн, проходящих и дифраги-
дифрагированных, после проведения интегрирования по Ку имеет вид
[см. F.23) - F.26)]
(at -x)s±at
Л
F.58a)
С другой стороны, фаза для каждого из полей заменяется вдоль
траектории вектора 8^ по закону
T(i) = KL + (fc(i) (v), v), F.586)
где v — единичный вектор вдоль 8&\ Легко показать, что зна-
значение F.56) для Amh может быть получено из величины разности
векторов
)> F.59)
в то время как величина
Ар1 = 2я/(АА5 (п), п). F.60)
Более полное выражение для фазы колебаний вдоль траек-
траектории вектора 8^ может быть получено приближенным методом
159
перевала. В отдельности для проходящей и дифрагированной
волн можно получить
То =AL + K-i+ -—) + +— +(fco v)h F.61,
±-ъ- + 2п(Ьг) + ЬI-
+ (*#М*- F-62)
Здесь фаза, обозначенная индексом 1, содержит величину я/2,
соответствующую множителю i в выражениях F.23) и F.24).
Фаза с индексом 2 появилась в результате интегрирования по
Ку [см. F.22)]. Соответственно фаза с индексом 3 возникает при
интегрировании по Кх. Наконец, член, зависящий от Z, опреде-
определяет форму гипербол и их отстояния.
В связи со сдвигом фазы в F.54) представляет интерес наличие
двух знаков в (+ я/4K. Если исходить из того, что при падении
на кристалл сферической вакуумной волны возбуждаются все
точки обеих ветвей дисперсионной гиперболы (поверхности),
причем из каждой точки по нормали распространяются векто-
векторы 8^\ то, очевидно, что для первого поля следует ожидать обра-
образование фокуса (фокальной линии) этих лучей вблизи входной
грани. Что касается второго поля, то соответствующая ветвь
имеет тот же знак кривизны, что и дадающая волна, и дает лишь
расходящийся веер векторов Пойнтинга. Это можно показать,
если проинтегрировать выражение для цилиндрической волны
оо
Т (г) = J exp i {kxx + f (kx) z) dkx F.63)
—oo
приближенным методом перевала. Результат имеет вид
оо
Y (г) = \ exp (i/2) [/" (х)]0 z {kx - [kx]0Lkx =
где индекс 0 означает величину, отвечающую точке стационарной
фазы, а — + 1, в зависимости от знака [/"]0. Полученное выра-
выражение показывает, что знак фазы U (я/4)] зависит от знака вто-
второй производной / (кх), т. е. от кривизны наших гипербол.
Между тем из оптики известно, что при переходе через фокус
фаза меняется скачком на я/2. Таким образом, фаза второго
поля остается неизменной и составляет [—i (я/4)]3, в то время
как фаза первого поля меняется и становится [i (я/4)]3. Деталь-
Детальное рассмотрение этого эффекта, следующего из теории Дебая,
дано в монографии Зиммерфельда [82].
160
Существенной Чертой рассматриваемой интерференционной
картины можно считать модуляцию интенсивности максимумов
с интервалами, более или менее значительно превышающими
интервалы F.55) и F.56). Эта модуляция, как показали Като [83]
и Харт и Ланг [84], обязана эффекту биения при суммировании
интенсивностей излучений со взаимно перпендикулярными пло-
плоскостями колебаний электрической индукции. Учитывая, что
излучение, выходящее из рентгеновской трубки, является (прак-
(практически) полностью неполяризованным, и рассматривая для
простоты Amh из F.56), следует различать A_l и Ли:
1 = | %h | A cos ft, (Л |, Г1 = хн cos 2ft/ X cos ft,
1 + (Л „ Г1 = (AJ-1 A + cos 2ft). F.65)
Формула F.54) для интенсивности вдоль отражающей плоско-
плоскости У h (p) переписывается и далее преобразуется следующим
образом:
л//\ лг -1 Г о/ ЯР Я \ , оа о/ Яр Я \ 1
3h (Р) = N±P l [cos2 ^ - _ \ + cos 2ft cos2 ^ - ^j I =
= yt (l+cos2ft)+ yi(l+cos2ft)cos{я[(Л±)+(A||)"]p~
— я/2} cos {я [(Л^) — (Ац)'1] р} — y=A — cos 2ft) x
X sin {я [(Л^) + (Л и )"x]p =-\ sin {я [(Aj_)"x — (Л ц у1] р},
Не рассматривая здесь убывания амплитуды с возрастанием р,
представленного множителем N±/2p, рассмотрим три слагаемых
в правой стороне уравнения F.66).
Первое слагаемое дает лишь общий фон. Третье слагаемое
дает незначительные модуляции, так как cos 2ft имеет величину,
близкую к единице. Поэтому основная интерференционная кар-
картина определяется вторым слагаемым, точнее, величиной
cos {я [(AjJ + (Ли)] р — (я/2)}. Интервал Л, слегка отлич-
отличный от Amh из F.56), соответствует соотношению
Л = BAJ-1 A + cos 2ft). F.67)
Амплитуды полос Nip модулируются эффектом биений двух
осцилляции интенсивности, выраженным множителем
cos [яр (AJ-1 A - cos 2ft)] F.68)
во втором слагаемом. Полосы интерференции ослабляются вплоть
до полного исчезновения, если соблюдается условие
A - cos 2ft) р/Л да Bп + 1)/2. F.69)
6 3. Г. Пинскер 161
Число полос между двумя участками ослабления определяется
соотношением
N = A + cos 2Ф)/2 A - cos 2*) F.70)
за исключением участка между началом и первым ослаблением.
Здесь число полос составляет N/2. Условия образования полос
в участках между двумя ослаблениями зависят от знака мно-
множителя cos [ярЛ^1 A — cos 2d)]. В случае положительного знака
максимумы и минимумы интенсивности полос определяются усло-
условиями
ярЛ]^ A + cos 2*) 2~ = 2шт — max,
ярЛ]1 A + cos 20) — -у- = {2п + 1) я — min. F.71)
В случае отрицательного знака указанного множителя условия
F.71) меняются на обратные, и, следовательно, положения макси-
максимумов и минимумов меняются после каждого участка ослабления.
Приведенные характеристики находятся в хорошем количествен-
количественном согласии с экспериментальными данными [83, 84] (рис. 44).
Хотя изложенное рассмотрение влияния поляризации на
интерференционную картину является естественным и, возможно,
элементарным проявлением поперечной природы электромагнит-
электромагнитных волн рентгеновского диапазона, наглядный характер эффекта,
а также возможность внесения поправки в наблюдаемые значе-
значения Л делает этот эффект существенным. Речь идет о небольших
смещениях в положениях максимумов, вызванных как плавным
фоном, так и слабыми осцилляциями [третий член справа в F.66)],
Принципиальный интерес представляет измерение формы макси-
максимумов интерференционной картины. Действительно, форма мак-
максимумов находится в закономерной связи с формой ветвей диспер-
дисперсионной гиперболы и согласно F.40) должна быть гиперболиче-
гиперболической. Метод экспериментального изучения формы дисперсионной
поверхности с помощью описываемых здесь секционных снимков
является более прямым, чем использование кривых отражения.
Между тем обнаружение каких-либо отклонений от гиперболы
в форме дисперсионных кривых имело бы важное значение, так
как указывало бы непосредственно на неприменимость (во вся-
всяком случае частичную) двухволнового приближения.
В соответствии с F.61) или F.62) полная величина разности
фаз между волнами, связанными с двумя различными ветвями
дисперсионной гиперболы, составляет
Ф ^ (фA) _ фB)) _|_ ([&(!) (V) — fcB) (V)], V) I F.72)
или, учитывая F.50) и F.59),
ф = (фA) _ фB)} + 2^1^1 уш', F.73)
162
откуда получаем
={Ф - (ОХ" - Ф(«)} / -^
F.74)
Таким образом, условием точной гиперболической формы интер-
интерференционных полос является постоянство разности фаз (ФA> —
— фB)). Очевидно, это условие относится и к форме дисперсион-
дисперсионной поверхности или ее сечения плоскостью отражения. Выпол-
Выполненные до сих пор экспериментальные проверки формы интер-
интерференционных полос [85] не обнаружили отклонения от гипер-
гиперболы.
В связи с использованием секционных снимков для определе-
определения абсолютных величин структурных амплитуд в ряде работ
Като с сотрудниками [86] разрабатывалась методика регистрации
и точных измерений периодов ЛЛ, данных формулами F.55) и
F.56). Если обратиться к основной части дифракционной кар-
картины, за исключением участков, прилегающих к входной грани,
то в формулу F.56) следует ввести поляризационный множитель
а
Рис. 44. Модуляция интенсивности
гипербол
Стрелки показывают области ослабления
/У
Рис. 45. Схема образования изображения гипербол маятникового решения при
распространении сферической волны в кристалле
а — интерференционная картина в случае плоскопараллельной пластинки; б — интерфе-
интерференционная картина в случае клина; пересечение прямых г и р—точка С
6* 163
согласно F.67). В таком случае период Л^ между соседними вер-
вершинами гипербол в отражающей плоскости внутри кристалла
имеет величину
F.75)
На рис. 45, а показана соответствующая дифракционная картина
на боковой стороне плоскопараллельной пластинки. Период
Ah измеряется вдоль оси р. На выходной грани плоскопараллель-
плоскопараллельной пластинки будут наблюдаться полосы, отвечающие основа-
основаниям гипербол.
Для объективной регистрации гипербол можно использовать
клин, показанный на рис. 45, б. Здесь дифракционная картина
наблюдается на выходной грани и соответствует косой проекции
изображения на грани А.
Как отмечалось в самом начале этой главы, при исследовании
динамического рассеяния, наряду с секционными снимками,
используются также снимки со сканированием.
На рис. 45 показано направление перемещений кристалла (и
пленки) относительно источника. Нетрудно видеть, что при этом
на пленке регистрируются линии, которые являются геометриче-
геометрическими местами вершин гипербол, образующих секционный сни-
снимок. Вместе с тем эти линии являются линиями постоянной, или
равной, толщины в клинообразном кристалле.
На рис. 45, б представлен частный случай съемки при симмет-
симметричном отражении: отражающая плоскость ОСО1 перпендикуляр-
перпендикулярна входной и выходной граням пластинки. Период Ah на выход-
выходной грани вдоль оси г будет увеличен по сравнению с периодом
Л? вдоль р согласно формуле
2 «ctg|i F.76)
где |х — угол клина СО'О. Величина Ah с учетом F.75)
отличается от соответствующей величины периода в приближе-
приближении падающей плоской волны лишь множителем поляризации.
Однако детальное рассмотрение изображений, получаемых при
регистрации дифракционной картины на выходной грани клина,
привело к необходимости введения ряда поправок, приведенных
в гл. 9.
Величина интегрального отражения в случае прозрачного
кристалла не должна отличаться от значения, получаемого в тео-
теории при падающей плоской волне. Согласно C.816)
2А
164
Заметим, что здесь и далее в формулах Rt опущен множитель
| ЭСЛ | / \7С^|. Выражение F.78) представляет осциллирующую функ-
функцию на фоне постоянной интенсивности я/2. Интеграл, очевидно,
является функцией верхнего предела
имеет период осцилляции 2я и дает интервал между соседними
полосами равной толщины t:
Таким образом, использование снимков со сканированием,
которые были получены впервые в работе Като и Ланга ([23]
гл. 1), не требует пересмотра теории в приближении падающей
плоской волны. Однако, как это следует из нашего изложения,
только на основе теории в приближении падающей сферической
волны можно установить механизм образования и количествен-
количественные характеристики интерференционных полос на снимках со ска-
сканированием.
Здесь будет уместно дополнить сопоставление двух типов маят-
маятникового решения: полос равной толщины и побочных макси-
максимумов, которое было рассмотрено в разделе 3.3. Очевидно,
гиперболические полосы на секционных снимках не могут быть
отнесены к указанным двум типам. Действительно, согласно
F.33)—F.35) аргумент функции Бесселя /0, входящей в выраже-
выражение F.40), для поля интенсивности интерференционной картины
будет
Е=Е(*,в). F.81)
Отсюда следует, что полосы на секционных снимках представ-
представляют геометрические места точек, отвечающих максимумам ин-
интенсивности, для определенной пары значений угла е и толщины
(или глубины) t. При этом точки всех гипербол на прямой р,
лежащей в отражающей плоскости, соответствуют значению
е = 0, т. е. направлению векторов 8^ или Е = 2Шг\ параллель-
параллельному той же плоскости. Естественно, сканирование кристалла
по направлению, указанному на рис. 45, приводит к образованию
линий равной толщины на фотопленке. (На выходной грани кристал-
кристалла образуются лишь интерференционные гиперболы: при скани-
сканировании меняется объем кристалла, в котором происходит рас-
рассеяние падающей сферической волны.)
С другой стороны, полосы на секционных снимках, так же
как и побочные максимумы, обязаны интерференции при
равном наклоне. Однако в то время как при образовании побочных
максимумов интерферируют волны, имеющие одинаково направ-
направленные волновые векторы как внутри кристалла, так и в вакууме,
Ш
при падении на кристалл сферической волны интерферируют
волны, имеющие в кристалле одинаково направленные векторы
§, т. е. лучи, но в вакууме имеющие различные направления
лучей, или волновых векторов.
Если учесть соотношения F.59) и F.60) и обратиться к дис-
дисперсионной гиперболе в обратном пространстве, то станет оче-
очевидным следующее. Так как интервалы осцилляции и разность
фаз интерферирующих волн в случае секционных снимков, соглас-
согласно F.59), определяются проекцией соответствующего диаметра
дисперсионной гиперболы на нормаль (v, но не п\) или вектор
8, то очевидно, что разность фаз уменьшается к краю снимка
до нуля, так как вблизи границы максимума дормаль к кривой
становится перпендикулярной диаметру гиперболы. Таким об-
образом, в этом отношении гиперболы на секционных снимках сход-
сходны скорее с линиями равной толщины, чем с линиями равного
наклона.
6.2. Применение изложенной теории
к рассеянию в поглощающем кристалле
Для перехода к поглощающему кристаллу мы должны рас-
рассматривать в выражениях F.23)—F.27) параметры %0 и %h, x^
как комплексные величины. Следует обратить внимание на то,
что %Q входит только в величину фазы Р F.25), в то время как
%h и %? — в подынтегральные функции в F.26) и F.27). Выражение
F.25) можно переписать в виде
Р = Рг + iPi = 4(Xor + *ХоО & + к), F.82)
а следовательно, множитель поглощения, относящийся кпредын-
тегральным частям в F.23) и F.24), соответствует нормальному
коэффициенту поглощения.
Переходя к интегралам Uo и С/л, замечаем, что при вычислении
интерференционной части показателя в множителе поглощения,
как показано в гл. 4, согласно теории Захариасена и Лауэ, ис-
используется весьма существенное приближение: | Xhi | <^ | Xhr |,
в то время как при вычислении амплитудных множителей при-
принимается Хо ~ Ъг и Хлхя ~ (XhXi)r = фн- Однако при интегри-
интегрировании выражений F.26) и F.27), как было показано Като,
удается избежать указанных ограничений и вычислить эти интегра-
интегралы для общего случая любого соотношения между модулями дей-
действительной и мнимой частями параметров %. Для этого использу-
используется интегрирование по комплексной плоскости. Как и ранее,
начинаем с интеграла Uд. Сначала этот интеграл вычисляется при
условии
а>|.(*-а.*,)|/«0«у. F.83)
166
Вводится следующая функция комплексной переменной z\
I (+) = [± V2 {z2 + /2Н exp it[-qz±a(z* + fL, F.84)
причем значение (z2 + /2I/г будет равно (s2 + /2IД на линии
z __ 5r _]_ j5. дЛЯ 5г ^ 0. Контуры интегрирования показаны на
рис. 46. Интегрирование вдоль линий Lt (i = 1, 2, 3, 4) сводится
к четырем интегралам:
L2=0
L8=—oo L4=o
F.85)
Далее берутся интегралы по кон-
контурам С (+) и С (—). Однако,
так как внутри этих последних
контуров нет полюсов, линейные
интегралы по бесконечно уда-
удаленным полуокружностям при
выполнении условий F.83) стре-
мятся к нулю и интегралы по
бесконечно малым окружностям
)
СМ
Рис. 46. К выводу формулы F.89)
вокруг точек (полюсов) z = + i/ равны нулю. Поэтому
/(-)&] =
F.86)
На этих последних линиях выполняются условия
z = if sin ф (lu Z2); z = — if sin <p (Z8, ^)- F.87)
В таком случае линейные интегралы по контурам lt (i=l,..., 4)
имеют вид
я/2
\ / (+) dz = — i/2 \ exp ft (q sin ф — ia cos ф) d(p,
h Фо
\ / (+) dz = i/2 \ exp /^ (g sin ф + ia cos ф) с?ф,
h я/2
я,'2
/з -Фо
-Фо
V / (—) dz = ~^- \ exp /^ (— g sin ф — ia cos ф) йф, F.88)
167
Где ф0 определяется из Соотношения /г8Шф0=^. Изменяя пе-
переменную ф-таким образом,чтобы все интегралы приняли форму
первого, например, во втором интеграле, заменяя ф на я — ф,
получим для суммы интегралов
Uh s= -5- / exp ir\h V exp ft (g sin ф — ia cos ф)йф =
Фо
= --г- f exp ir\h \ exp [i/? (a2 — q2I'* sin urf^ =
0
= nif exp 1Т)Л/0 [ft (a2 — g2I/-]. F.89)
Нетрудно показать, что, заменяя условие F.83) условием a <^ | g |,
мы получаем Uh=0, а при ее = | g | интеграл становится несоб-
несобственным, хотя и имеет главное значение.
Аналогичным путем решается и интеграл 6 0.
Таким образом, мы приходим к неожиданному и весьма
важному результату, формулы F.36) и F.37) для волновых
функций в кристалле одинаково применимы как к прозрачному,
так и к поглощающему кристаллам, если во втором случае считать
Хо и %h комплексными величинами. При этом никаких ограни-
ограничений, касающихся соотношения модулей | Хог | и | Xoi |» а также
I Хлг | и | Xhi l не накладывается.
Так как при больших значениях аргумента |, в частности
| (р), функции Бесселя /0 принимают асимптотические значения
л f 2
F.90)
я \ я ^ ^ Зя
—)' —<^< —
(см. также F.53)), то мы можем рассматривать эти выражения как
описывающие две плоские волны в кристалле. Каждая волна связа-
связана с определенной ветвью дисперсионной гиперболы. Эти
волны в поглощающем кристалле имеют линейный коэффициент
поглощения в направлении нормали в данной точке гиперболы
согласно E.85) на некотором пути I:
± 2Д (ж*')* =
}/" ^} F.91)
В связи с этим выражением в разделе 5.3 рассматривается соотно-
соотношение между этой величиной и полным значением а в теории рас-
рассеяния в поглощающем кристалле при падении плоской волны-
Переходя от выражений для волновых полей к выражениям
для интенсивностей и прослеживая изменение интенсивностей
вдоль отражающей плоскости (направление отсчета длин р),-
168
мы можем использовать выражения F.36) и F.37). Таким об-
образом, интенсивности вдоль указанного направления для прохо-
проходящей и дифрагированной волн в кристалле имеют вид
F.92)
F.93)
к)
F.94)
Рассмотрим два важнейших частных случая (применительно к
Тонкий кристалл
F.95)
При этом можно использовать приближенное выражение
/0 (и + iv) = Cf0 (и) - Мг (и), v << 1, F.96)
или
|/0Bяар)Р = |/0Bагр)Р
h)
Bар)]2- F.97)
Подставляя это выражение в F.93), мы получим необходимое
частное значение ?fh. Определим теперь относительное смещение
максимумов функции F.97) и полной величины dh сравнительно
с положением максимумов в случае прозрачного кристалла со-
согласно F.55). Указанное смещение имеет величину
ХогГ1, F.98)
причем эта величина смещения справедлива, если только хЛтЛ<^ 1.
Отметим, что максимумы смещаются по направлению к вход-
входной грани. Численная оценка для величины х0 для отражения
220 излучения СпКсс от Ge составит —5%.
Толстый кристалл
В соответствии с асимптотическим разложением функции Бесселя
нулевого порядка /0 величина интенсивности в направлении
169
р выражается следующим образом:
ch
мд>Л]} . F.100)
Оценка относительного смещения максимумов в этом случае по-
показывает,что учет этого смещения при прецизионных измерениях
необходим лишь при значениях Xot/%hr и Xht/Xhr порядка ОД.
Следующей задачей в разработке теории в приближении сфери-
сферической падающей волны является вычисление интегральных ин-
тенсивностей, которые здесь определяются интегрированием поля
интенсивности на выходной грани. Задача решается для кристалла,
имеющего форму клина, в частности, в связи с интерпретацией
снимков со сканированием и их использованием для определения
структурных амплитуд.
Значения интегрального отражения и прохождения в излагае-
излагаемой теории формулируются следующим образом:
Л; Л=—expf—^]x
Переменная интегрирования а является нормированной перемен-
переменной координатой на прямой RT, представляющей след выходной
грани, и определяется выражением (см. рис. 47)
о = [т - \ {а + 6)] / 72 F - а), F.103)
где а = TF, Ъ = i?/" и т — переменное отстояние от основания
F перпендикуляра EF, опущенного на выходную грань. Далее
t' = (t/2) [A/Yo) + A/?л)]» Т»и Y^ — косинусы углов с нормалью
к выходной грани.
170
В работе Като [24] вычисляется интеграл в выражении F.102)
и подробно анализируются полученные выражения для интег-
интегрального отражения Rt. Для R\ получено выражение
RX = -f ехр [- ц*'] /4??" { \ 7о(р) <*Р +
2л = 2A Vl — g2 . F.104)
В этом выражении
.. J. / Л Л \
F.105)
Л соответствует формуле C.61) с учетом комплексного значения
величин \%h\ и |%tJ. Следовательно, А =\А \ ехр /a, cos а = 1,
sin а = и. Наконец, /г дается формулой D.117).
Сравнивая F.104) с величиной интегрального отражения в
приближении падающей плоской волны D.115), D.121) и C.81),
замечаем, что интеграл в F.104) отличается от интеграла W
в D.115) верхним пределом интегрирования, а сумма в F.104)
отличается от интеграла УвD.115) множителем g2r+i[24|/4 — g2].
V
Рис. 47. К вычислению инте-
интегральных интенсивностей в слу-
случае клина
Указанное сходство используется для проведения качественного
анализа результатов интегрирования. При этом необходимо
заменить косинусы углов с нормалью к выходной грани
7о и y'h на соответствующие величины, относящиеся к входной
грани.
I. Прозрачный кристалл: \i = х = g = 0. Интегральное от-
отражение, описывающее распределение интенсивности на снимках
со сканированием, уже в функции от угловой переменной у
или угла 1], одинаково как при падении плоской, так и сферической
волн.
171
П. Тонкий поглощающий кристалл: h (ж \it')<^l. Полагая,
что величина 2 в F.104) пренебрежимо мала, приходим к выводу,
что интегральное отражение при падающей сферической волне
слегка отличается множителем [A + и2)/A — g2)Y/2 и верхним
пределом интегрирования от выражения для прозрачного кри-
кристалла.
III. Промежуточная область толщин: h (да \itf) да 1. В этом
случае необходимо учитывать величину
*= 2 7ПтDГ^г+1[2Л/Г^7']. F.106)
Численные значения функции gm BA) в широком интервале
значений 2Л, т. е. в широком интервале произведений \it, ока-
оказались близкими к единице для значений 2А <^ 3 и при условии,
что и и g порядка 0,1. Таким образом, и в этом случае можно ис-
использовать теорию в приближении падающей плоской волны.
IV. Толстый поглощающий кристалл: h ^> 1. Используя асимп-
асимптотическое разложение бесселевых функций, можно получить
следующее выражение для интегрального отражения:
]
F.107)
т. е. результат (при достаточно больших /г), практически совпа-
совпадающий с D.174) для интегрального отражения в случае падаю-
падающей плоской волны, разумеется, если в F.102) отнести cos яро
и cosi^ к входной грани.
В заключение приведем линейный коэффициент поглощения
в направлении нормали к выходной грани для интегрального от-
отражения:
к4
4- к*« (V+-И+гКС
F.108)
где параметры %h и %н рассматриваются как комплексные вели-
величины.
Глава 7
ОТРАЖЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ПО БРЭГГУ. I.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ.
ДИФРАКЦИЯ В КОНЕЧНОМ КРИСТАЛЛЕ
Изложенная выше теория относится к прохождению рентге-
рентгеновских лучей через кристалл с выходом отраженной волны через
выходную или обратную поверхность кристаллической пластин-
пластинки. Такая схема эксперимента носит название метода или случая
Лауэ. Другая схема (рис. 48) относится к случаю Брэгга, в котором
отраженная волна выходит в вакуум через входную поверхность.
Существенное отличие физических явлений, протекающих при
этом в кристалле, от того, что имеет место в случае Лауэ, опре-
определяется различием условий для амплитуд на границах раздела
кристалл—вакуум. В случае Лауэ комплексный характер поляри-
поляризуемости, угловых функций и волновых векторов внутри кристалла
выражает истинное поглощение рентгеновских лучей. В случае
Брэгга наряду с поглощением мы встречаемся с экстинкцией —
К
(а)
а
Рис. 48. Схема отражения по Брэггу
а — Yo > | Уп |; б — Yo < I yh |; в — Yo = I \h I
интерференционным эффектом, действие которого для некоторых
случаев в определенной части области максимума значительно пре-
превосходит действие поглощения. Характерной чертой отражения
по Брэггу является различие физического механизма рассеяния в
разных частях области максимума.
Теория рассеяния рентгеновских лучей идеальными кристал-
кристаллами при отражении по Брэггу исторически начала разрабаты-
разрабатываться раньше теории Эвальда. Она была впервые дана в трудах
Дарвина и Принса [87], который включил в рассмотрение эффект
173
поглощения. В настоящей главе используется тот же подход,
что и в предыдущих главах, предложенный Лауэ—Захариасеном.
Следует отметить работу Вагнера [88], который рассмотрел от-
отражение по Брэггу в тонкой плоскопараллельной поглощающей
пластинке, а также работы Бонзе [89, 90]. В самые последние годы
были опубликованы важные теоретические и экспериментальные
исследования, посвященные этой проблеме [91—97].
Поскольку различие между рассеянием по Лауэ и по Брэггу
возникает при изменении пограничных условий, содержание
гл. 2, относящееся к неограниченному кристаллу, может быть
использовано в обоих случаях. Иное расположение дисперси-
дисперсионной поверхности относительно нормали к выходной поверх-
поверхности кристалла будет специально рассмотрено.
Переходя к полукристаллу (см. гл. 3), замечаем прежде всего
что при выбранных нами направлениях отсчета углов г|H и tyh
величина cos tyh = yh в случае Брэгга становится отрицательной
%>я/2, Г„ = -|ГЛ|. G-1)
В соответствии с этим получаем
G.2)
c(i) = _: .;" -—. G.3)
• h '
2y_ — С
Ah To
Как можно видеть, существенное отличие этого выражения от
C.11) заключается в том, что корень в правой части для опреде-
определенной области величин р может принимать мнимые значения.
Эта область ограничена условиями
-2СЫ j/ilii- <р< + 2СЫ[/-%^ . G.4)
В результате в указанной области величин р волновые векторы
волн в решетке принимают комплексные значения. По аналогии
с волновыми векторами в поглощающих кристаллах это озна-
означает экспоненциальное ослабление интенсивностей таких волн
по мере их проникновения внутрь кристаллов, Соответствующая
область максимума носит название области полного отражения.
В этой главе мы также будем пользоваться угловыми функция-
функциями р, у и v от величины ц — отклонения от угла г|?0. Однако связи
между указанными функциями будут иметь несколько отличные
значения в различных областях максимума, а также в прозрач-
прозрачных и поглощающих кристаллах.
174
7.1. Отражение от прозрачного кристалла
Для того чтобы исследовать различные области максимума
при отражении по Брэггу, рассмотрим прежде всего схему эк-
эксперимента, при котором падающая вакуумная волна имеет до-
достаточно широкий по сравнению с толщиной кристалла волно-
волновой фронт и при этом ничтожную расходимость, меньшую угло-
углового размера максимума.
По-видимому, вся область максимума может быть разделена
по меньшей мере на три части: область полного отражения и две
соседние — в сторону меньших и больших углов ^о + 'П-
Область I находится в стороне меньших значений уг-
углов гE0 — г] сравнительно с границей области полного отражения.
Здесь yi <[ —1, но | yi | ^> 1. Величина (у\ — I)*2, а вместе с
ней и значения с(г), ?ог), к^ и Л4г) являются действительными
величинами. Переменная v определяется условиями
г/i = Р = — r.h у г;>0. G.5)
Используя приведенные соотношения, а также C.15), получаем
+ Vyl-i) =: - |/it- exp (- v), G.6)
G.7)
Область III находится в стороне больших значений уг-
углов \|H + т). Здесь г/ш ^> 1, (у\ц — i)^2и связанные с ним функции
действительны, так же как и в области I. Переменная v определя-
определяется условиями
Ут= Р = г.Ь 7^ г;>0, G.8)
откуда
1/ G.9)
G.10)
175
V "IT" Bp=V ~h
-l/-^- exp(-i;). G.11)
Наконец, в области полного отражения—области II для перемен-
переменной v принимаем
2/ц = cos и, у>0. G.12)
Границами области являются значения ymin = —1, I/max = + 1.
Так как в этой области | у \ <[ 1, то
Vlfn-1 = i Vl - уъи = isini;, G.13)
G.14)
G.15)
Очевидно, при наличии поглощения переменные у и v становятся
комплексными величинами. Заметим также, что угловая ширина
области полного отражения, которая далее будет определяться,
соответствует полуширине максимума при отражении по Лауэ
и составляет для прозрачного кристалла от —10—13" для сильных
отражений до —2—3" для слабых отражений.
Для дальнейшего анализа необходимо привести три возмож-
возможные схемы съемки по Брэггу, различающиеся соотношением меж-
между Yo и модулем \yh I. На рис. 48, а представлен случай Yo>| Yh l>
WI Тл|I'- > 1, Фл - (я/2) < (я/2) - ф0, (я/2) - ф0 > *. На рис.
48,6 показана схема съемки при Yo <С I 7л I» (То/| Тл \У/2 <[ 1» Фл —
— (я/2) > (я/2) —1|H, (я/2) — ф0 <С *• На рис. 48, в дана схема
симметричного отражения по Брэггу, при котором отражающая
плоскость параллельна входной поверхности кристаллической
пластинки и Yo = | Y/J > Фо = я — фл.
Сопоставим теперь формулы для амплитудных коэффициентов
отражения в трех областях максимума с анализом взаимного
расположения дисперсионной поверхности и нормалей п к вход-
входной поверхности кристалла в случае Брэгга (см. рис. 49). Отра-
Отражающая плоскость представлена здесь прямой, проходящей
через точки Е и М, и является действительной осью дисперсной-
176
ной гипербалы. Наиболее существенным отличием этой схемы
от рис. 6 или других схем, относящихся к случаю Лауэ, следует
считать расположение нормали п, которая на рассматриваемой
схеме в зависимости от значения угла т] либо пересекает одну
какую-либо ветвь гиперболы, либо проходит между ними. Не-
Нетрудно видеть, что указанные выше три области максимума пред-
представлены здесь участками схемы: область I — левее точки R',
область II — между точками R' и R и область III — правее точки R.
Действительно, в области II величина р определяется условиями
G.4), в соответствии с чем у
принимает значения от—1 до+1.
Границами области, внутри ко-
которой {у2 — 1)V. = i (I — i/2)V%
будут (при данном направлении
п) точки R'hR, где (у2 —1)^=0.
В областях I и III нормали
п пересекают соответствующую
ветвь гиперболы в двух точках
^A) и Л<2>, (A'W, Л'»)), которые
при уменьшении ц сближают-
сближаются, сливаясь затем в одну точку
Д' или R.
Нетрудно показать, что вели-
величины № непосредственно связа-
связаны с отношением длин отрезков
AB/SB. В частности, для i = 2
Th
Рис. 49. Дисперсионная поверхность
в обратном пространстве при отраже-
отражении по Брэггу
отрезок А^В в области III пред-
представляет величину ?о2)/То- Чтобы
получить значение длины отрезка SB, можно исходить из величи-
величины ?@2) в точке F ?o!f = а> cos Ф, тогда 'SB =Yo a cos * =
= (V2 yo)KC\%h | [см. BJ9)]. Используя B.81), получаем
SB V ?(ь2)
G.16)
На основании полученного выражения G.16) легко проследить
за изменением коэффициентов c(i) с изменением угла ц. С увели-
увеличением угла ц в области III, т. е. при смещении нормали п впра-
вправо, отрезок АA)В, а с ним и отношение с<х> растут беспредельно.
Поскольку такое поведение величины сA> физически неприемлемо,
так как с отклонением от угла Ф отраженная волна должна убы-
убывать, мы приходим к заключению, что в этой области максимума
в кристалле первое поле отсутствует. Что касается второго поля,
то соответствующий коэффициент сB) при возрастании'угла г\
вместе с отрезком А^В стремится к нулю. Можно сказать, что
177
значение с^2) в G.16) является единственным решением диспер-
дисперсионного уравнения в области III.
В области I точки А'A) и А'^2) как бы меняются местами срав-
сравнительно с точками А^ и А^\ С увеличением ц в сторону отри-
отрицательных значений, т. е. с приближением к левой границе макси-
максимума, отрезок А /A>2?', а с ним и коэффициент с{1) уменьшаются и стре-
стремятся к нулю, в то время как отрезок А'B)В' и сB> возрастают
беспредельно. Единственным физически приемлемым решением
дисперсионного уравнения в области I является значение сA\
и, следовательно, необходимо признать, что в области I внутри
кристалла существует лишь первое поле.
Сопоставляя эти выводы с формулами G.6), G.7) и G.10),
G.11), мы видим соответствие в поведении обоих полей в областях
I и III.
Наконец, тот же результат можно сформулировать с помощью
пограничных условий для амплитуд на входной поверхности,
которые для случая Брэгга принимают следующую характерную
форму:
ДГ + М2'= /><?> и 44^ = ^. G.17)
Учитывая сделанные выводы о наличии только одного из
полей внутри кристалла в двух боковых областях максимума,
перепишем эти условия для областей I и III соответственно:
D™=Df\ c™DP = D(ha\
G.18)
Таким образом, в каждой из этих областей значения соответствую-
соответствующей амплитуды D^ постоянны и не зависят от угла ц, в то время
как амплитуды отраженных волн Z)?l) возрастают с уменьшением
модуля \х\ | или | у |, достигая максимума при у = + 1, т. е. на гра-
границах области II полного отражения. Для %h = %^-эти максималь-
максимальные значения, согласно G.6) и G.11), при c(i> = 1 приводят к
условиям в областях I и III:
ехр (-,)=-/Ж
exp(-z,)= j/il^- . G.19)
Однако эти условия выполнимы только в том случае, когда
I V/i I <С То? так как г; всегда положительно, другими словами, когда
схема эксперимента соответствует рис. 48,а. В случае схемы, пред-
представленной рис. 48,6, дисперсионная поверхность в обратном
пространстве будет иметь расположение относительно нормалей,
178
несколько отличное от рис. 49. При уменьшении | ц | на аналогич-
аналогичной схеме точки АB) в области III и А'{1) в области I, перемещаясь
вдоль гиперболы, достигнут точек касания соответственно R и R'
раньше, чем придут в вершину гиперболы F (или F1), в которой
только и может обратиться в единицу коэффициент с^К В резуль-
результате условия G.19) не будут выполнены.
Переходя к коэффициенту отражения, получаем одинаковую
величину для областей I и III:
2 у
= ехр(—2v) h
ITJ
То
ч
G.20)
Что касается области II, то из G.14) и G.15) следует, что для
обоих полей
ч
ч
G.21)
Таким образом, для прозрачного кристалла коэффициент отра-
отражения равен 1 во всей области полного отражения от у = —1
до у = -f- 1 и быстро падает в
областях I и III от единицы до
нуля по закону G.20). Соответ-
Соответствующая кривая отражения
(см. рис. 50) была впервые вы-
вычислена Дарвином [5], который
использовал известный первый
вариант динамической теории.
Очевидно, эффект полного
отражения падающей волны в
области II связан с экспонен-
экспоненциальным убыванием волнового
поля в кристалле с глубиной.
Это убывание, подобно явлению
поглощения, также можно опи-
описать введением комплексного
I
J
¦
¦
ш
О)
-/
о
/
волнового вектора.
Так как в области II мы не
Рис. 50. Профиль максимума отра-
отражения по Брэггу при асимметричной
съемке от прозрачного кристалла
можем построить тангенциаль-
тангенциальную проекцию волнового векто-
вектора в кристалле, воспользуемся
формально уравнением C.1), причем вместо величины|@2) использу-
используем коэффициент сB> согласно B.82). Таким образом, мы получаем
условие на границе для волновых векторов в форме
= Kf - КдB)п0, G.22)
1
G.23)
179
или, подставляя значение сB) из уравнения G.15), получаем для
мнимой части волнового вектора, обязанной полному отражению
от прозрачного кристалла,
По аналогии с коэффициентом поглощения D.36) вводится коэф-
коэффициент экстинкции
= 2пКС|%h| VY^f IУъШ- G-25)
Как можно видеть из уравнения G.25), экстинкция имеет мак-
максимум при у = 0 и падает до нуля на краях области полного от-
отражения при у =+ 1. Подставляя в G.25) значение |%Л|, полу-
получаем [см. B,34)]
Ое max = 2№e*F (h) //гЛт>Т тс^ • G«26)
При подстановке в G.23) всесто сB) величины сA> мы получим
согласно G.14) для коэффициента экстинкции
ве = - 2пКС|XhI/l^F/Vu\U\- G-27)
Если положительное значение ае по G.25) означает экспонен-
экспоненциальное ослабление волнового поля, проникающего в глубь
кристалла, то отрицательное значение о'е соответствует экспонен-
экспоненциальному усилению этого поля с глубиной и, таким образом,
является физически неприемлемым, так как в области II вся
энергия падающей волны отражается обратно в вакуум. Этот
результат еще раз подтверждает правильность вывода о наличии
в области II лишь второго поля.
В дальнейшем мы будем часто пользоваться помимо углов
яро и tyh относительно нормали углами со0 и сол относительно
входной поверхности или углами скольжения. При этом увели-
увеличение угла яро, или величина rj, откладываемая от нормали по часо-
часовой стрелке, означает уменьшение угла скольжения со0. Исполь-
Используя угол ф между входной поверхностью и отражающей плос-
плоскостью, запишем для схемы рис. 48, а
То = cos i|H = sin (ft + ф) = sin o)o,
G.28)
| г л | = | cos i|>h | = sin (ft - ф) = sin сол.
При симметричном отражении (рис. 48, в) максимальное зна-
значение экстинкции составляет величину
_2 е* %С F(h)
и, следовательно определяется только структурой кристалла,
природой рассеивающих атомов и индексами отражения.
180
Сопоставим величины экетинкции и обычного поглощения.
Наибольшее превышение ое над величиной \i имеет место для са-
самых первых отражений и в тех случаях, когда обычное поглощение
минимально, т. е. для жесткого излучения и атомов легких эле-
элементов. Этим требованиям удовлетворяет, например, отражение
излучения ШоКа от плоскости B00) Si. В этом случае, принимая
С = 1, получим
Ое, s, max = 14 700 СМГ1, рж15слГ\ Ge/\i X 1000. G.30)
Более правильно сравнивать величину ае с величиной [г, отне-
отнесенной к нормали к входной поверхности, тогда отношение эк-
стинкции к поглощению составит лишь — 128.
Для полной характеристики максимума интенсивности при
отражении по Брэггу, приведем выражения для углового размера
и средней точки области полного отражения. Согласно G.4)
угловая величина этой области составляет
G.31)
или, переходя к угловому аргументу ц,
\Хн\- G-32)
Наличие множителя С существенно снижает угловую ширину
Ат1о для я-колебаний вектора D. Индекс 0 обозначает принадлеж-
принадлежность данного углового интервала к падающей волне. Средняя
точка максимума ti0 отвечает значению р = 0, т. е. смещена от-
относительно величины а|H,
Р = 2т10 sin 2fl - хо (l + Щ-) = 0,
Ло = ЭСо (l + -Ц^-)Bзт2*Г1. ~ G.33)
Значение rj0 по G.33) совпадает с величиной углового смещения
максимума отражения в случае Лауэ, согласно C.83), с заменой
—Y/i на V/i- Замечания, сделанные в связи с выражением C.83),
частично применимы и к случаю Брэгга. Это относится к ука-
указанию о зависимости эффекта смещения только от величины
%0, но не от Xhi Заметим, что в виду ^0 =— \ %Q \ выражение G.33)
обозначает уменьшение углая^о, т. е. увеличение угла со 0. Наконец,
G.33) можно преобразовать так же, как это сделано в случае
Лауэ, и получить выражение, аналогичное C.85),
sin li)
181
и в случае симметричного отражения
sin 20 ' v }
выражение, полученное Дарвином.
Очевидно, что смещение угла падения G.33), отвечающее сред-
средней точке максимума, приводит к смещению отражения, отве-
отвечающего той же точке. Из основного условия, связывающего
переменные векторы Кп и Ко, , Ког) — Кп — Л, следует, что
G.36)
где г|H и tyh — переменные углы,
^о = 'Фо + Ло, tyh = Фл + Л/1- С7-37)
Таким образом,
К (cos я|?0г]0 — cos %r\h) = 0, G.38)
так как мы принимаем cos ifi ж cos -фо и cos г|/л ж cos гр^. Из
G.38) получаем
^() G-39)
Изменение величины отклонения падающего луча при отражении
по Брэггу составляет, если перейти от углов г|?0 и -фл к углам сколь-
скольжения,
1 . 1
Xocosq. f I 1
1 «1П Г
2 cos -О4 | sin coo
Это выражение показывает, что величина Stj может принять осо-
особенно большие значения, а следовательно, может быть измерена
с большей точностью в том случае, когда или падающий, или от-
отраженный луч почти параллелен входной поверхности. Для
достижения таких условий поверхность кристалла сошлифовы-
вается под надлежащим углом к отражающей плоскости. На рис. 50
приведен профиль максимума по Брэггу согласно формулам
G.19) и G.21). Ширина области полного отражения и положение
максимума относительно угла д в соответствии с формулами
G.32) и G.33) приведены в функции от углов скольжения. Эта
форма максимума, полученная впервые Дарвином, называется
иногда в литературе его именем. Ее характерными признаками
являются: плоская вершина, отвечающая коэффициенту отраже-
отражения R = 1, и симметрия относительно средней ординаты. Эти
признаки характерны для отражения от прозрачного кристалла
и нарушаются при переходе к поглощающим кристаллам.
182
Замечательное свойство прозрачного кристалла полностью
отражать в области II максимума падающие на него рентгенов-
рентгеновские лучи, очевидно, является весьма ценным при решении фун-
фундаментальной экспериментальной задачи — получения доста-
достаточно интенсивного излучения, возможно, близкого по своим ха-
характеристикам к идеальной модели плоской монохроматической
волны. При этом существенным является уменьшение угловой-
расходимости отраженного пучка, которая для сильных отраже-
отражений, как было отмечено, может немного превышать 10". В случае
симметричного отражения угловые расходимости падающего
и отраженного (в области II максимума) пучков одинаковы.
Величина угловой расходимости в этом случае определяется
выражением, которое можно получить из G.32) и условия у0 =
11
G.41)
Отсюда, переходя обратно к асимметричному отражению и углам
скольжения, получим опять для расходимости падающего пучка,
который отражается в пределах области II максимума
,7.42)
Очевидно, что расходимость отраженного в той же области мак-
максимума пучка будет связана с величиной Arjs выражением, в ко-
котором синусы углов од и оH меняются местами. Используя фор-
формулы G.28), можно написать (для схемы 48, б)
А Г Sin (On , А , Sin(d — ф) /г7 /О\
% = Atis I/ —: = ЬЛг|о, Ь = . ;» , : . G.43)
1Л IS Ш/ gin ^ 1U> gin ^ _|_ ф^ \ /
Так как углы ср между входной поверхностью кристалла и отра-
отражающей плоскостью можно менять шлифовкой и, кроме того,
использовать повторное отражение от разных кристаллов, то
величину расходимости Дт|Л отраженного пучка можно весьма
существенно уменьшить. Этот метод асимметричной съемки дей-
действительно оказался одним из наиболее эффективных методов
получения пучка лучей с нужными свойствами (см. гл. 9).
Эффект изменения угловой расходимости пучков при измене-
изменении углов падения и отражения наглядно поясняется использо-
использованием схемы дисперсионной поверхности в обратном простран-
пространстве (рис. 51). На рис. 51,а показано, что при симметричном от-
отражении угловые расходимости в области полного отражения для
падающей волны ТТ' и отраженной RRf одинаковы, на рис. 51, б
при асимметричной съемке ТТ' ^> RR', т. е. Дг)^ <С Arj0.
Сделаем несколько замечаний, касающихся суммарного вол-
волнового поля в кристалле (для а-поляризации) при указанных
183
условиях отражения, т. е. падении плоской монохроматической
волны с широким волновым фронтом. Это поле описывается
уравнением C.49) .
D{i) = {D^ + D^exp (- 2ni (hr)} exp 2ni [vt - {k(ol)r)l G.44)
и его полная величина определяется соотношением фаз проходя-
проходящей и дифрагированной волн в кристалле. В отличие от случая
Лауэ, при котором во всей области максимума присутствуют
оба поля |двухволнового приближения, в рассматриваемом слу-
Рис. 51. К рассмотрению эф-
эффекта изменения угловой рас-
расходимости пучков при измене-
изменении углов падения
а — симметричное отражение;
б — асимметричное отражение
чае в каждой из областей эффективным является лишь одно из
полей: в области I лишь первое, в то время как в областях II и
III — второе поле. Для определения фазовых соотношений необ-
необходимо в выражениях G.6), G.11) и G.15) уточнить фазу цк от-
отношения (%//ХьI/2 = ехР Щк- Принятые нами в C.16) значения
цк = я соответствуют простейшему случаю примитивной транс-
трансляционной решетки с одним атомом в элементарной ячейке, при-
причем исключаются условия аномальной дисперсии. Таким обра-
образом, величина отношения D0/Dh принимает следующие значения
(с точностью до множителя (у0/ \ yh \)Ч*):
I — ехр(— у),
Л1-ехр[Ця-г;)], G.45)
III — ехр(&я — v).
Другими словами, в области I обе волны находятся в фазе, в об-
области III — в противофазе и в области II сдвиг фазы монотонно
растет от 0 при у = —1 до я при у = + 1.
Как это следует далее из G.44), максимумы и минимумы пол-
полного волнового поля в кристалле располагаются на плоскостях,
параллельных атомным плоскостям. Значения экстремумов ин-
интенсивности поля выражаются величинами [1 + (у0/ yh\) exp (—v)]2
для областей I и III и величинами [1 ± (у0/ yh |)]2 для об-
области П. Очевидно также, что если при принятых условиях
в области I на атомных плоскостях лежат максимумы, то в об-
184
ЯаСти III на тех же плоскостях лежат минимумы. Ё области
II положения максимумов и минимумов монотонно меняются от
одного до другого крайних положений. Эти данные непосредствен-
непосредственно указывают на направление распространения энергии в каждой
из областей. В то время как на боковых областях максимума
суммарный вектор 8 направлен вдоль 2?, в области II полного
отражения энергия волновою поля распространяется параллель-
параллельно входной поверхности кристалла. Соответственно значениям
сдвига фаз Do и Dh колебаний по трем областям можно построить
Ш
Рис. 52. Изменение интенсив-
интенсивности волнового поля в кри-
кристалле в функции от угловой
переменной у в трех областях
максимума
-5 -J 4 0
график полного значения интенсивности волнового поля в кристал-
кристалле, представленный на рис. 52. Пунктирная линия в области II
показывает значения интенсивности с учетом некоторой принятой
величины экстинкции.
Обращает на себя внимание резкая асимметрия максимума
относительно средней точки этого распределения интенсивности
внутри кристалла, в то время как кривая отражения (Дарвина),
изображенная на рис. 50, является симметричной.
Некоторые отличия в описанной картине возникают при пере-
переходе от а- к я-поляризации, в частности возрастают значения
интенсивности поля в области III.
Сделаем некоторое общее замечание, имеющее существенное
значение. Несмотря на оговорки, согласно которым рассматри-
рассматривалось отражение от прозрачного кристалла при широком фронте
падающей плоской волны, в действительности в приведенной трак-
трактовке неявно предполагалось, что отражающий кристалл является
достаточно толстым. В таком случае, даже при сколь угодно ма-
малом поглощении, волновые поля в областях I и III, распростра-
распространяясь в глубь кристалла, полностью затухают.
Иное имеет место при отражении от тонкой кристаллической
пластинки без поглощения или с исчезающе малым поглощением.
Волновые поля, возникающие в кристалле при углах падения,
отвечающих областям 1илй III, достигают противоположной вы-
выходной поверхности, где вступают в силу другие пограничные
условия.
Так, поскольку отраженная волна не выходит в вакуум на вы-
выходной поверхности, пограничное условие для дифрагированных
185
волн может быть записано следующим образом!
D(hd)ехр [- 2m (Khr)] = ехр [- 2ni (К + Л), г] х
X 2 Я?} ехР [2я?8<*>*] - 0. G.46)
г=1,2
Таким образом, здесь возникает дополнительно второе поле в
области I и первое поле в области III. Чтобы установить направ-
направление распространения энергии вновь возникающих полей, на-
напишем выражение для скалярного произведения векторов 8^ на
нормаль п. Используя выражения E.206), G.10) и G.11), легко
получить следующее соотношение:
f го
(± 2у)|
ехр (± 2у)| . G.47)
Применяя это соотношение, например к области III, и учитывая,
что v ^> 0, получим положительную величину скалярного произ-
произведения для второго поля (при —2v) и отрицательную величину
при 2v, т. е. для первого поля. Так как внутренняя нормаль
щ направлена от входной поверхности к выходной, то из G.47)
следует, что второе поле распространяется в том же направлении,
в то время как первое — в обратном направлении, т. е. к входной
поверхности кристалла.
Очевидно далее, что при достаточно широком фронте падаю-
падающей плоской волны (под углом падения, отвечающим одной из
боковых областей максимума) внутри кристалла, так же как и на
входной поверхности, возникнут интерференционные эффекты.
Постоянная величина относительного сдвига фаз интерферирую-
интерферирующих волн обоих полей., определяющая расстояние между макси-
максимумами или минимумами интерференционной картины
ДА? = hf - k%\ G.48)
соответствует хорде, которая соединяет две точки А^ или А'^
на общей ветви дисперсионной гиперболы. Эти интерференцион-
интерференционные эффекты являются побочными максимумами маятникового
решения в случае Брэгга. Они соответствуют тонкой структуре
боковых областей максимума. Эта тонкая структура постепенно
пропадает при возрастании толщины отражающей кристалли-
кристаллической пластинки и переходит в монотонный спад коэффициента
отражения от R = 1 до R = 0 на кривой Дарвина (рис. 50).
7.2. Истинное поглощение при отражении по Брэггу.
Исследование величины а
В отличие от случая Лауэ величина коэффициента поглощения
здесь существенно различна в трех областях максимума. Начнем
рассмотрение с коэффициента поглощения, отнесенного к нормали
186
щ к входной поверхности кристаллической пластинки
а = ц/то, G.49)
где (Л — линейный коэффициент поглощения в произвольном
направлении при падении вакуумной волны под углом i|H + г|
в области максимума. Как точные, так и приближенные выражения
для а вычисляются аналогично гл. 4 с необходимыми корректи-
коррективами, вызванными особенностями случая Брэгга.
Так как величина в непосредственно связана с мнимой частью
волнового вектора, возникающей в связи с бь то согласно B.58),
C.1), D.67) и D.68) получаем
где учтено условие G.1), согласно которому
Далее приводятся точные и приближенные значения действи-
действительной и мнимой частей корня W аналогично формулам D.65),
D.66), D.86), D.87). Точные значения Wr и Wt при любом соотно-
соотношении | x/if|, | %oi\, \%hr\i |Xor| определяются согласно выраже-
выражениям D.65), однако при слегка отличных значениях величин а
и Ь. В случае Брэгга, очевидно,
a __ q2 g2 4?2ф ' 'ft' fo = 2B B- 4C2lF ft G.52)
To To
или в функции от у
Го уг
G.53)
В этом случае
При вычислении приближенных значений Wr и Wt использу-
используется аналогия с выражениями D.86) и D.87)
W ^ЛРг2С(|Тд1/ТГ0)П = liJTj
* (Р2^(|Т!/Т)ФI/« /^-J
Таким образом, для приближенного значения а получаем
или
6 = i-7±T ЬН^-1 ^)--т^г(К^-1 ±
G-56б)
Имея в виду, что в области I ут =— |yr | и в области III уг=|г/г|,
и вводя обозначения
2С& cos v,
т^ГГ' G'57)
выпишем отдельно значения а для обоих полей. Область I — пер-
первое поле
°I = aHr + W+6}' G'58а)
второе поле
b -G-58б)
Область III — первое поле
второе поле
^} G-58г)
Сравнивая последние соотношения с аналогичным выражением
E.76) для случая Лауэ, замечаем принципиальное различие в
эффектах поглощения.
В случае Лауэ величина а всегда положительна, хотя и может
различаться для обоих полей весьма существенно. В случае
Брэгга величина а может принимать как положительные, так и
отрицательные значения, при этом величины в фигурных скоб-
скобках G.58) всегда положительны. Абсолютная величина | a(i> | (i =
188
= I, III) для обоих полей мало различается, а в случае симмет-
симметричного отражения одинакова.
Обратимся пока только к положительным значениям а в облас-
областях I и III. Как и следовало ожидать из анализа, проведенного
в разделе 7.1, положительные знаки относятся к первому полю
в области I и ко второму полю в области III. При этом если при-
принять 2 Сг cosv^ ^> 0, то а1 ]> а111. Таким образом, возникает
асимметрия профиля максимума при отражении от поглощаю-
поглощающего кристалла. Вблизи границы области полного отражения при
значениях угловой функции уг ^> 1 величина коэффициента по-
поглощения а111 меньше значения or1, отвечающего другой боковой
стороне максимума. С увеличением угла отклонения, т. е. с воз-
возрастанием \уг\ в выражениях G.58), относительный вес первого
слагаемого в фигурных скобках возрастает и все выражение асимп-
асимптотически приближается к величине \i/y0. Если 2Сг х cosv^^O,
то области I и III имеют обратные отношения коэффициентов а.
Для более детального исследования области III с меньшим погло-
поглощением определим дифференцированием по уг выражения G.58)
минимум функции а111 и соответствующие аргументы:
и в случае симметричного отражения
. G.60)
Из G.60) следует, что при a-колебаниях вектора индукции величина
коэффициента поглощения будет несколько меньше, чем при
я-колебаниях. Для численной оценки величины Gm/n, s приведем
значение этой величины при симметричном отражении 220 излу-
излучения Си/Га от Ge и С = 1. При этих условиях С2г2 cos2 vh ж
ж 0,925 (при комнатной температуре) и а составит — 0,25 (хАуо-
Определим величину а в области полного отражения. Так
как в этой области максимума
To /vftr '
то на основании G.53) можно написать
щ
G.61)
189
или
G.62)
В тех случаях, когда можно принять малость | %hi | по сравнению
с \%hr\ и пренебречь величиной pf, подкоренное выражение в
G.62) можно аппроксимировать более простым и получить для
коэффициента поглощения
G.63)
X
Наконец, непосредственно на границах области полного отраже-
отражения при ут = ± 1 для вычисления величины а используем точ-
точные формулы D.65) и G.53) для Wt. Формула D.65) упрощается,
если в G.54) принять малость величины g2 — |3? и, следовательно,
а для рассматриваемых значений у обращается в нуль. Для Wt
получаем
G.64)
Отсюда для уг = ± 1
s_i =
_ И'
1
То
и, ( 1 1 _
Здесь
+ 2и cos \h,
X =
^hi
X
hr
G.67)
Общая картина изменения величины а во всех областях макси-
максимума передается с помощью двух графиков рис. 53, а, описы-
описывающего изменение о/ош в боковых областях максимума и
рис. 53, б, где о/<Ут дана также внутри области полного
отражения. Нетрудно видеть, что в приведенных формулах
для а G.56а), G.62), G.63) и G.65), G.66) fto1- Ы^1) обращает-
обращается в нуль при симметричном отражении. Что касается асиммет-
асимметричного отражения, то эта разность является существенной, если
190
падающая, или отраженная, волна образует малые
углы. Однако во всех случаях эта разность меньше второго члена
в фигурных скобках, и, следовательно, знаки коэффициента погло-
поглощения (Г для первого и второго полей, вычисленные из всех ука-
указанных формул, будут противоположными друг другу как при
симметричном, так и асимметричном отражении.
Рис. 53, а относится к отражению 333 излучения СмКа от
Ge, причем отражающая плоскость A11) наклонена к входной по-
поверхности кристалла под углом 35°. При этом О = 45°, у-1 =
а . 6/I4J ff
-2,5 -1,5-1
Рис. 53. Изменение относительного коэффициента поглощения o/gw
а — при асимметричном отражении для обоих полей;
б — при симметричном отражении, включая экстинкцию в средней области максимум*
а
= 1,015, lYhl = 5,75. Для вычисления хода величины or с
угловой переменной уг в областях I и III удобно использовать
формулу G.56а), дающую достаточно точный результат от боль-
щих 12/г | до значений уг около ±1. Принимаем С = 1. Кривая
на рис. 53, а дает относительные значения <у/ат, где
*т = V/Vr^bj G.68)
соответствует среднему геометрическому величин, относящихся
к распространению излучения в кристалле в направлениях fc0
и kh: [a/yq и (х/| yh |. Рассматривая рис. 53, а, замечаем, что сплош-
сплошные кривые, вычисленные с помощью уравнения G.56а), со знаком
минус перед вторым членом в фигурных скобках для области I
и знаком плюс для области III, относятся к поглощению при от-
отражении от толстого кристалла. Действительно, как мы показали
ранее, в толстом кристалле в области I возникает лишь первое
поле и в области III — второе поле. Как видно из рисунка,
в области I имеет место интерференционное поглощение, превы-
превышающее нормальное поглощение [х/у0 за пределами максимума.
Величина поглощения первого поля в области I резко возрастает
с приближением к границе области полного отражения. В области
II, которая будет еще рассмотрена в связи с рис. 53, б имеет место
наложение двух эффектов: фотоэлектрического (истинного) по-
191
? лощения и экстинкции. При переходе в область III поглощение
резко падает и далее возникает интерференционное прохождение,
максимальная величина которого, отвечающая минимуму or,
может быть вычислена с помощью формулы G.59). Естественно,
с увеличением \уг\ на обеих границах максимума значения а
асимптотически приближаются к величине цУ^о» в области I
от значений, больших этой величины, и в области III от значений,
меньших этой предельной величины.
Сплошные кривые на рис. 53, а отвечают положительным зна-
значениям а для первого поля в области I G.58а) и второго поля
в области III G.58г). Коэффициенты поглощения для дополни-
дополнительных полей, представленные на рис. 53,а штриховыми кривыми,
являются отрицательными и относятся соответственно ко второму
полю в области I G.586) и первому полю в области III G.58в).
На шкале относительных величин рис. 53,а они окажутся зна-
значительно выше рассмотренных ранее значений а1 и а111.
Кривая изменения относительной величины поглощения o7<rm
при симметричном отражении (рис. 53,6) вычислена следующим
образом. Для областей I и III применяются формулы
ЬЦу) -а2 (у))
лЛг
(yr-Cecosvh).
G.69)
G.70)
G.71)
Приближенная формула получена из G.56а); за пределами участ-
участков, непосредственно примыкающих к границам области II,
,г,Ш N 1,-Cecosv,,
am,s
Для значений уг = ±1 формулы G.65)—-G.67) приводят в слу-
случае симметричного отражения к виду
,±1 ,_
^с V\ ~§г
Сг cos Vft)
> 73)
где, как обычно, при положительном значении величины 8 cosvn
верхний знак относится к ут = 1, т. е. к первому полю.
Наконец, в области полного отражения можно использовать
формулу G.62) и G.63) с учетом условий симметричного отраже-
отражения и для <rm == (i/sin О. Более точную формулу G.62), как и в
случае областей I и III, следует применить к участкам, близким
к границам области.
192
Остановимся на характерных чертах кривой изменения погло-
поглощения в пределах максимума, представленной на рис. 53, б.
Что касается областей I и III, то здесь можно отметить сходство
с кривой на рис. 53, а. Существенно также, что как в этих об-
областях, так и в целом, несмотря на наличие симметричного отра-
отражения, максимум сохраняет свою асимметричную форму. Ано-
Аномальное поглощение в облаоти I и аномальное проникновение
волнового,поля в области III можно связать с анализом фазовых
соотношений между проходящей и дифрагированной волнами
в кристалле (см. рис. 52). Там было указано, что в области I бла-
благодаря совпадению фаз максимумы полного волнового поля ле-
лежат на атомных плоскостях, а в области III, ввиду сдвига фаз
на я, максимумы лежат между атомными плоскостями.
Возвращаясь к анализу кривой поглощения на рис. 53, б,
отмечаем резкое различие значений поглощения на границах
области полного отражения. Рассматривая эту область, следует
иметь в виду, что в центре области и всего максимума в целом
при максимальном значении первичной экстинкции проникно-
проникновение волнового поля внутрь кристалла пренебрежимо мало и
соответственно вклад истинного поглощения в эффект затухания
волнового поля в кристалле незначителен. При переходе к боковым
частям области II экстинкция резко падает и поглощение
вступает в свои права.
Можно заметить, что в случае асимметричного отражения в
области II должны иметь место две кривые поглощения, отвечаю-
отвечающие сплошным и штриховым кривым в областях I и III, показан-
показанным на рис. 52.
7.3. Дифракция в конечном кристалле
в приближении сферической падающей волны
или падающего волнового пакета
Как уже отмечалось, выше рассматривалось отражение по
Брэггу от кристалла, ограниченного либо лишь входной гранью
(бесконечно толстый кристалл), либо двумя параллельными гра-
гранями (тонкая плоскопараллельная пластинка). Существенным
исходным условием вышеизложенного анализа было приближение
падающей плоской волны с шириной фронта, превышающей тол-
толщину пластинки. Напомним, что теория отражения по Лауэ,
изложенная в гл. 2, 3 и 4, также относится к плоскопараллель-
плоскопараллельному или клиновидному кристаллу с той или иной толщиной.
То обстоятельство, что в динамической теории Эвальда — Ла-
Лауэ—Захариасена ограничиваются рассмотрением плоских кристал-
кристаллов, причем не учитываются пограничные условия на боковых
гранях, некоторые авторы полагали отличительной чертой этой
теории. Такому подходу противопоставлялась кинематическая
или геометрическая теория, которая описывает рассеяние рент-
рентгеновских лучей на конечных кристаллах.
7 3. Г. Пинскер 193
Между тем методы динамической теории, в особенности в ее
современных формах (гл. 6 и 12), могут быть успешно использо-
использованы для решения соответствующих задач, причем условием
полноты рассмотрения является в данном случае отход от клас-
классической схемы — приближения падающей плоской волны.
Характерное для рассеяния в конечном кристалле многократ-
многократное отражение от границ было рассмотрено Вагнером [88J на при-
примере тонкой неограниченной с боков плоскопараллельной плас-
пластинки с учетом поглощения. Схема такого отражения показана на
J.
77 ъ-0 Рис. 54. Многократные от-
/S ражения в тонкой плоско-
параллельной пластинке
7
в
рис. 54. Хотя в основе этой схемы л ежитмодель падающей в точке
Е волны с узким волновым фронтом, Вагнер применил для рас-
рассмотрения волнового поля внутри кристалла и выходящих из
кристалла волн (например, в точках А и Е') теорию в приближении
падающей плоской волны. Применяя последовательно стандарт-
стандартные пограничные условия для отражения по Брэггу типа G.17),
этот автор получил выражения для векторов Пойнтинга и интен-
сивностей отраженных и проходящих волн в точках Е, А, Е\ ...
Очевидно, эти выражения в более полной теории в приближении
падающей сферической волны интегрируются по углам [91, 92].
Следует заметить, что в работе Вагнера [88] приводятся фор-
формулы для коэффициента поглощения в функции от углов 8$
(i = 1, 2), образуемых векторами Пойнтинга с отражающей
плоскостью. Подобные формулы E.83)—E.85) применительно
к случаю Лауэ рассматривались в гл. 5 и представляют интерес,
так как вполне применимы к теории для сферической волны.
Для случая Брэгга могут быть получены следующие выражения
для коэффициента поглощения вдоль направлений векторов
Пойнтинга:
cos |ц-Се cos vh|/ I --^ }• G.74)
Сопоставляя G.74) с E.83), заметим, что знак плюс в скобках
перед вторым членом в E.83), примененный к G.74), означал
бы переход от области III в область I максимума. Необходимо
также учесть знаки е*. Они считаются положительными, если век-
векторные произведения [kokh] и [jS^] параллельны. Минимум функ-
функции [Is определяется в зависимости от соотношения между вели-
величинами Сг cos vh и "" 9Cl
194
I. Ce I cos vh
, минимум при гг = О,
G.75)
II. Се| cos vh| < sin2d, минимумы при двух значениях ги
определяемых из уравнения
sin4 Ф — СЧ2 cos2 v^
2
СЧ* COS* Vh
s
Используя выражения G.75) и G.76), можно построить поляр-
полярную диаграмму наименьшего поглощения или наибольшего про-
проникновения (jli^2))-1 лучей, проникающих в кристалл при падении
в случае Брэгга и отраженных обратно в точке А (на рис. 54).
Такая диаграмма представлена на рис. 55. Минимальное ослаб-
ослабление соответствует лучу ЕТ, где Т — точка касания прямой,
параллельной нижней грани. Луч AN отвечает величине ((х8^)*1,
т. е. пучку, отраженному от А обратно в кристалл.
В работе Вагнера [88], так же как и в работах Урагами [93, 94],
рассматриваются условия перехода от случая Брэгга к случаю
Лауэ и обратно.
Рис. 55. Полярная диаграмма
наибольшего проникн овения лу-
лучей, проникающих в кристалл
и отраженных обратно от вы-
выходной поверхности
//////////////////ТУКО*/1///////////// V//////
При использовании падающего пучка с достаточной расходи-
расходимостью и отражении от системы плоскостей с углом ф ~ О могут
одновременно реализоваться отражения по Брэггу (qx^^)
и по Лауэ (ф>$). В таком эксперименте плоскости отражения
обоих типов не совпадают.
Другая схема подобного перехода, которая обсуждается в
[93], основана на использовании сферической падающей волны
с угловой расходимостью порядка ширины динамического макси-
максимума. При этом отражения обоих типов, Лауэ и Брэгга, возникают
либо ввиду отклонения входной поверхности от плоской формы,
либо в результате последующего отражения от других границ
кристалла.
7*
195
В работах [94, 95] Урагами рассматривает в приближении
падающей плоской волны переход от отражения по Брэггу к от-
отражению по Лауэ для схемы Вагнера.
Рассеяние рентгеновских лучей в ограниченном кристалле
изучали Борман и Лееман [96, 97]. Падающий пучок рентгенов-
рентгеновских лучей с узким волновым фронтом направлялся на меньшую
грань кристалла, имеющего прямоугольное сечение. Образующе-
Образующееся при этом волновое поле внутри кристалла в угловом интер-
интервале 2Ф между направлениями s0 и sh частично распространялось
без отражения до противоположной выходной грани и в боковых
участках отражалось на границах кристалла. Таким образом, в
этом эксперименте, во-первых, одновременно реализовались усло-
условия отражения как по Лауэ, так и по Брэггу (большие грани
отвечали плоскостям с малыми индексами) и, во-вторых, возникла
интерференция между различными частями волнового поля.
В описываемом случае (излучение СиКа, кристалл Si) рассеяние
соответствовало толстому поглощающему кристаллу и эффекты
маятникового решения были в значительной степени подавлены.
Более общие случаи рассеяния были рассмотрены теоретически
в последующих работах Урагами [93—95] и Като с сотрудниками
[91, 92] и, частично, экспериментально в указанных работах
Урагами. В схемах, исследованных этими авторами, «точки»
падения вакуумной волны лежали как между краями меньшей
грани, так и на вершинах этого сечения. Кроме того, рассматри-
рассматривалось трапециевидное сечение кристалла. В отличие от Леемана
и Бормана [97], которые анализировали волновое поле в кристал-
кристалле в приближении падающей плоской волны, авторы работ [91 —
95] использовали уже упомянутые выше современные формы
динамической теории.
В гл. 6 было показано, что волновые поля, порожденные в
кристалле падающим пучком рентгеновских лучей (без исполь-
использования монохроматора), могут рассматриваться в приближении
падающей сферический волны. В изложенной теории Като окон-
окончательные выражения для волновых функций получаются интег-
интегрированием по функциям углов или Фурье-преобразованием
выражений для плоских волн. Этот метод был использован Като
применительно к отражению по Лауэ.
При рассмотрении волновых полей в ограниченном кристалле
Като с сотрудниками [91, 921 успешно применили тот же метод
разложения по плоским волнам к случаю Брэгга.
Схема, рассмотренная в этих последних работах, представлена
на рис. 56. На входной грани в точке Е имеет место отражение
по Лауэ. Соответственно выражения для плоских волн в кристал-
кристалле совпадают с формулами F.16) и F.19). Дифрагированная волна
падает на выходную грань в точке Аг и здесь претерпевает отра-
отражение и прохождение по Брэггу (далее в точках А2п+1ш В2п мно-
многократные отражения и прохождения).
196
Из пограничных условий на этой поверхности
Eh,texv[i'KKntra)] = dfiexv[i{khra)] +rfh,rexp [i(*h,rra)],G.77)
О = doexp [i (fcora)l + do,r exp [i (*Ofr*\«)] G-78)
(индексы t и г означают прошедшие и отраженные волны) и со-
соответствующих условий для волновых векторов, из которых оп-
определяются величины аккомодаций 8(i\ можно вычислить окон-
окончательные значения волновых функций внутри кристалла после
отражения от выходной грани. Значения Фо, г и ФЛ,Г уже в прибли-
приближении падающей сферической волны получаются интегрированием
в комплексной плоскости величин d0, г и dhy г. Выражения для
Ф0>г и Фн,г очень близки к выражениям F.36) и F.37) для одно-
однократного отражения по Лауэ. В обозначениях, принятых в гл. 6,
значения волновых функций для случая Лауэ — Брэгга составля-
составляют (первая строка в формулах G.79) и G.80) относится к условию
#о,г#л, г > 0, вторая — к условию xOyrxhir < 0)
Фо.г= I "Го I У Ч.г Х
0,
Ф;
h,r
in]
h,r
о,
G.79)
G.80)
в зависимости от знака x0>r,
Bh = Во exp [2ш (hr)]. G.81)
Величины у0 и yh являются косинусами углов, образованных
волновыми векторами Ко и Khyt выходящих вакуумных волн
с нормалью па выходной грани; хОуГ и xhyr — длины перпенди-
перпендикуляров, опущенных из точки наблюдения на направления
к0 и kh в кристалле, подобно отрезкам х и х' в F.36) и F.37);
Для волны Фл> f, вышедшей в вакуум, получается выражение
Фл.1 =
Th c\^-J,(fV(\ro\/n)xhxh>r)
v h,r
^\hh)xhxh^BhytEe,
o,
G.82)
с = ± 1 в зависимости от знака xh, Ee — амплитуда падающей
волны.
Не останавливаясь на подробном анализе полученных резуль-
результатов, ограничимся двумя замечаниями.
197
nB
Рис. 56. Образование волновых полей в ограниченном кристалле (случай
Лауэ—Брэгга)
Рис. 57. Схема образования волновых полей в ограниченном кристалле
(обратное пространство для случая Лауэ — Брэгга;
Как и в применении к случаю Лауэ (гл. 6), волновые функции
внутри кристалла G.79) и G.80) отличны от нуля в определенной
области, ограниченной направлениями векторов Ко и Khft. To
же относится к волновой функции выходящей волны ФЛ)< соглас-
согласно G.82). При этом в случае Лауэ (рис. 40) указанная область
включает действительную часть, находящуюся внутри кристалла
и выходящую из точки Е (точки Е на рис. 56), и мнимую часть,
находящуюся в вакууме, с волнами, сходящимися в той же точке.
Аналогично этому, в случае Лауэ — Брэгга формулы G.80)—
G.82) действительны в области ограниченной двумя прямыми,
пересекающимися в некоторой точке «фокуса». Эта область вклю-
включает участок кристалла, ограниченный выходной гранью и на-
направлением отраженного в точке А вектора Kh^r. На рис. 57 по-
показана схема рассмотренных отражений Лауэ — Брэгга в обратном
пространстве. Отметим, что в отличие от чистого случая Брэгга,
связывающего точки ВиВг, лежащие на общей ветви дисперси-
дисперсионной кривой, в данном случае для каждой точки Dr существует
соответственная точка Do с тем же направлением вектора Пойн-
тинга. Как известно из гл. 6, наличие таких пар точек характер-
характерно для случая Лауэ в применении сферической падающей волны.
В работе [92J рассматривались более сложные случаи рассея-
рассеяния в подобных кристаллах при наличии однократного отражения
по Лауэ на входной грани и многократных отражений по Брэг-
Брэггу на боковых выходных гранях. Применялся тот же метод иссле-
исследования.
198
Отметим замб^айия, прийёдейныё в этой работе, Но поводу
эксперимента Леемана и Бормана и наблюдаемых ими интерфе-
интерференционных полос. Полагая необходимым рассмотрение схемы
Леемана—Бормана в приближении сферической падающей волны,
авторы приводят соответствующие выражения для волн, прошед-
прошедших через кристалл без отражения на внутренней стороне боко-
боковых граней (Лауэ—Лауэ), и для волн, претерпевших такое отра-
отражение (Лауэ—Брэгг—Лауэ). В приближении сферической пада-
падающей волны асимптотические формы функций Бесселя, входя-
входящих в указанные выражения, имеют вид в случае Лауэ—Лауэ
для прошедшей волны
^- {ехр [* (Р1 + -J-
4-exp[-i(Pl+.JL)]}, G.83)
для дифрагированной волны
iJ0 (рО ~ УЯ^РГ {ехр [i (Pl + -J-)] + ехр [- i [Pl + -?)
G.84)
В случае Лауэ—Брэгг—Лауэ для прошедшей волны
Л (р.)« УШъ j/^Г {ехр [i (р, - Щ
+ exp[-i(p,--^-)]}, G.85)
для дифрагированной волны
Pl =/ VWh , Р2 =
Сопоставляя приведенные выражения G.83)—G.86), легко полу-
получить выводы, совпадающие с экспериментальными наблюдениями
Леемана и Бормана.
При взаимной интерференции прошедших, так же как и диф-
дифрагированных, волн разность фаз выражается одинаковой величи-
величиной (рх— р2 + я), так как вторые члены в фигурных скобках пре-
пренебрежимо малы в случае толстых поглощающих кристаллов. От-
Отсюда следует, что те и другие волны имеют минимумы и максимумы
в тех же точках и, в частности, на общей выходной грани, где
Pi = Рг имеют общий минимум. При этом минимум соответствует
нулевой амплитуде лишь для прошедших волн.
199
Приведенное рассмотрение интерференционного эффекта в
работе [921 имеет характер иллюстрации возможностей развитой
этими авторами теории. Как уже отмечалось, в опытах Леемана —
Бормана практически отсутствуют эффекты маятникового решения,
что существенно упрощает задачу расчета. Авторы работ [91, 921
подчеркивают, что общий случай интерференционных эффектов
при многократном отражении является весьма сложным и по-
поэтому не рассматривается.
В отличие от этого Урагами посвятил свои работы [93—95J
рассмотрению интерференционных эффектов в условиях много-
многократного отражения произвольного
типа падающей волны и наличия от-
отражения на входной (узкой) грани
как по Лауэ, так и по Брэггу.
Мы уже отмечали в историческом
обзоре (гл. 1), что Урагами, наряду
с нашими авторами Афанасьевым и
Коном [45], применил для решения
задачи отражение по Брэггу обоб-
обобщенную динамическую теорию, осно-
основанную на уравнениях типа Такаги.
В гл. 11 кратко излагается решение
этой задачи методами обобщенной
теории, причем интегральное урав-
уравнение для отраженной по Брэггу вол-
волны решается с помощью Фурье-пре-
Фурье-преобразования этой функции (Dh).
В первой работе [95] Урагами рассматривает более сложный
случай: падающий волновой пакет одновременно претерпевает
отражения как по Брэггу, так и по Лауэ. При этом поверхность
раздела может быть не плоской, что представляется важным обоб-
обобщением по сравнению с классической динамической теорией.
Действительно, Лауэ [14] подчеркивает, что стандартные условия
на границе для величин D иН относятся именно к плоской поверх-
поверхности раздела.
Следует отметить, что теория Като приближения сферической
падающей волны является недостаточно общей, так как исклю-
исключает из рассмотрения такой важный параметр, как ширина фронта
падающей волны. Метод плоских волн, использованный Като,
не позволяет провести исследование волнового поля в зависимо-
зависимости от ширины волнового фронта или ширины щели на входной
грани кристалла.
В обобщенной динамической теории, как показано в гл. 11,
для определения волнового поля в любой точке кристалла необ-
необходимо вычислить интеграл по некоторому контуру С от функции
Грина (функции влияния) G [уравнение A1.43)]. При этом необ-
необходимым условием решения является задание величин Do, Dh
и их нормальных производных на контуре.
Рис. 58. Случай Лауэ — Брэг-
Брэгга при криволинейной поверх-
поверхности кристалла
200
Урагами рассчитывает соответствующий интеграЛ для контура
TPQRS (рис. 58) на поверхности кристалла RT; участок АВ
представляет ограниченный фронт падающего волнового пакета,
т. е. группы волн с разбросом направлений распространения.
Участок АВ делится точкой S на две части: на AS условия па-
падения отвечают случаю Брэгга, а на SB — случаю Лауэ. Как
показывает исследование, проведенное в этой работе, при паде-
падении узкого пучка на ребро клиновидного кристалла в кристалле
возникает волновое поле, представляющее рассеяние по Лауэ
и Брэггу и сопровождающееся образованием маятниковых полос.
Используя соотношения обобщенной теории, Урагами получил
выражения для проходящей и дифрагированной волн в кристал-
кристалле, которые включают все указанные эффекты.
Для волны, отраженной от входной грани, получено выраже-
выражение, отвечающее затухающей осцилляции, что находится в полном
согласии с результатом расчета случая Брэгга в работе [45].
Принципиальным является результат, полученный в обеих
работах [45] и [95] и относящийся к так называемому краевому
эффекту. Как было установлено экспериментально при исполь-
использовании широких (по углам) пучков, интенсивность пучка,
отраженного по Брэггу, достигает максимума на стороне, обра-
обращенной к падающему пучку. Этот эффект не мог получить правиль-
правильное теоретическое истолкование в работах [24, 88], в которых для
соответствующих углов значения интенсивностей обращались в
бесконечность. В противоположность этому в работах [45] и
[95] для амплитуды отраженной волны в точке падения получа-
получаются хотя и большие, но конечные значения.
В своей работе [9,5] Урагами привел полученную им рентге-
рентгенограмму, которая качественно соответствует теории.
В другой работе [94] было рассмотрено многократное отра-
отражение, аналогичное схеме Вагнера, однако в общем случае клино-
клиновидной пластинки. Здесь более строгим путем получены резуль-
результаты, аналогичные результатам, полученным Вагнером.
Наконец, в третьей работе [93] рассматривается схема много-
многократных отражений, подобная той, которая была исследована
несколько позже в работах Като с сотрудниками [91, 92]» В этой
работе Урагами, главным образом, применительно к рассеянию в
прозрачном кристалле вычисляет как маятниковое решение при
многократных отражениях, так и распределение интенсивности
волн, отраженных по Брэггу на одной из боковых стенок.
Наиболее типичной является рассчитанная теоретически и
наблюдаемая экспериментально (в той же работе) картина маят-
маятниковых полос V-образной формы, образованных интерференцией
волн, однократно отраженных от обеих боковых границ пластинки.
201
Глава 8
ОТРАЖЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ПО БРЭГГУ. II.
КОЭФФИЦИЕНТЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ
В этой главе выводятся выражения для вычисления коэффи-
коэффициентов и интегральных значений отражения и прохождения в
общем виде: как в смысле применимости к любой из трех областей
максимума, так и с учетом обоих полей в кристалле. Полученные
общие выражения далее применяются к частным задачам.
При выводе основных соотношений сопоставляются формулы,
выведенные различными авторами, в частности, те, которые приво-
приводятся в монографии Захариасена [15, гл. 1] и широко использу-
используются в литературе.
Приведенные здесь выражения применимы к случаю падения
плоской вакуумной волны.
8.1. Вывод общих выражений
для коэффициентов отражения и прохождения
Выведем выражения для коэффициентов R и Т при отражении
hq Брэггу с учетом обоих полей в кристалле, не предрешая во-
вопроса о вещественности или комплексности параметров дина-
динамической ^задачи. Рассмотрим отражение и прохождение в случае
плоскопараллельной кристаллической пластинки, в которой раз-
различаются входная и выходная поверхности. Приведенный вывод
близок к данному в работе Рамачандрана и Карта [98].
Пограничные условия на входной поверхности
DP + D™ = D?\ Z>k1) + Ok2) = ^a). (8.1)
Условия на выходной поверхности
expl—2nik^t]+D^)ex^[—2nik(^t]^=D(Q%xp[--2nik$t], (8.2)
exp [- 2nik$t] + Df exp [— 2тк(&] = О. (8.3)
Напомним, что D^ — амплитуда волны, отраженной в вакуум
на входной поверхности, и D^ — амплитуда волны, вышедшей
в вакуум через выходную поверхность.
202
Согласно C.1) волновые векторы волн в кристалле и волно-
волновой вектор вакуумной волны К. связаны следующими условиями:
hf = К? - K6(i)n0, fck{) = К A + а) - K6(i)n0,
где
6(*> = —
2To ^ 4|тл| — V 16|тл
— 6B) = _ 21 r hl
^TolT,
l/V -
To
(8.4)
(8.5)
(8-6)
Введем для всех трех областей максимума общее обозначение
г/ = ch у, (8.7)
а также величину
. (8.8)
Для амплитуд D^ записываем соотношения [см. G.6) и G.11)]
DP = fD^ exp (v), Df= /42) exp (- v). (8.9)
Исключая из (8.1) D^ и поставляя (8.9) и (8.4) в (8.3), получим
(8.10)
0
exp (v +
Введем переменную
— exp (— v
Сокращаем в (8.10) дробь справа на величину
(8.11)
выражение для D^ принимает вид
0
exp (v + х) — exp [— (v + х)]
Далее, используя (8.1), получаем
jDB) = fxP(» + a?)-D0l)
(8.13)
Подставляя в (8.9) значения D^ и вводя с помощью (8.1) величину
Z)fttt), получим следующее выражение для коэффициента отражения
R =
/•
|shx|
| sh (г? + сг) |2 '
(8.14)
203
Для пбйу^ения коэффициента прохождения Т подставляем в
(8.2) значения D^ из (8.12) и (8.13 и значения А$ из (8.4):
Т =
Это выражение с точностью до множителя
(8.15)
который дает единицу при умножении на комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженную величину, принимает следующий простой вид:
* == I сЪ (« _1_ пЛ 12 # (О.1Ь)
Прежде чем перейти к анализу формул (8.14) и (8.16) примени-
применительно к более частным задачам, приведем аналогичный вывод
выражений для Л и Г, используя обозначения Захариасена [15].
Введем переменные g, z, W, с^ и п^:
Я =
с& =
Z = —
C То
Y I '
(8.17)
О = exp [^- i2n ~(b-?±
= exp
(8.18)
Пограничные условия на выходной поверхности (8.2) с точностью
до фазового множителя ехр [—2ni(K$ t)] могут быть переписаны
следующим образом:
^ + >(,2) = Z)(od) (8.19)
и (8.3) с точностью до множителя ехр [—2ni (I + a) KfJ t]
cwnwD^ + СBУ2)^2) = 0. (8.20)
Решая совместно уравнения (8.1), (8.19) и (8.20), получаем
R =¦
Го
сA)сB) („A) _ „B))
сB)пB) _
(8.21)
204
Выражениёч Й (8.21) было преобразовано Захариасеном для об-
общего случая* тонкого и толстого, а также прозрачного и погло-
поглощающего кристаллов.
Разбиение\на действительные и мнимые части соответствую-
соответствующих параметров сводится к следующему:
z2 =v + iw. (8.22a)
Введем также обозначение
jtK.t/ro = a. (8.226)
В таком случае величина п^ из (8.18) записывается так:
л(*) = ехр [— ia(Xo — z + v)] exp (+ aw). (8.23)
После введения в (8.21) значений с<*> из (8.18) и и<*> из (8.23)
выражение для коэффициента отражения запишется так:
1-rJ
То
z + у) (— z — у) [ехр BniKt№) - ехр BяШбB))]
х-1 [(_ z _ у) ехр BяШ6B)) - (- z + у) ехр Bл* ЮбA))]
(8.24)
R -
Здесь у =
Числитель этого выражения преобразуется следующим об-
образом:
| n(i) _ ф) |2 = 4 (sin2 аг; + sh2 aw). (8.25)
В знаменателе (8.24) вычисляются квадраты модулей
|-z±/7Tir I2 (8-26)
и используются тождества
+ z9\±\z\*}*-\q\*\. (8.27)
В результате, путем очевидных преобразований, выводится сле-
следующая общая формула Захариасена для коэффициента отраже-
отражения:
sin2 ay -} sh2 aw
X ~—
1 1 '
D + (D + | z |2) sh2 aw — (D — | z |2) sin2 аг; + ~ M1/2 sh 2aw + — Дг1/« s[n 2av
(8.28)
205
Содержание последующих параграфов настоящей главы сводится
к преобразованию, качественному анализу и, частично!, численным
расчетам полученных общих формул (8.21) и (8.28) применительно
к важнейшим частным случаям.
8.2. Отражение по Брэггу от прозрачного кристалла
В этом случае переменная х в (8.11) может быть представлена
как [см. (8.6)]
х = inKt F(i) - бB)) = —
1 , А =.
/TolTj
(8.29)
Рассмотрим теперь последовательно разные области максимума
Область II
_1 __ у 1-у* ,
(8.30)
Из (8.14) следует для относительной интенсивности отраженной
волны
= R
To
| sh x p
= | sh (А у 1 - у* ) |»
| sh (Л /1 — у* + г;) |2
Используя далее тождества
(8.31)
sin2
+ !;)!« = sh2 Л ]/Т^7 +
—1
и учитывая формулы G.12), G.13), получаем
(8.32)
sh2
1 —1
1
2/2 - A - У2) cth2 Л /1 - у2
(8.33)
Заметим, что в наших выражениях, помимо тех, которые совпа-
совпадают с формулами Захариасена, переменная у задана формулой
G.5):
»=- Р (8.34)
т. е. фактически не отличается от функции у, которой мы пользо-
пользовались в главах, посвященных отражению по Лауэ, так как
з- Что касается формул Захариасена, то следует иметь
206
в виду, ^
Vz=-\h (8.35)
и в прозрачком кристалле у2 = z2/q.
Области д и Ш- В этом случае х — —iA (у2 — II/2,
sh х = - sh Щ (у2 — II/.], |sh х\2 = sin2 U (у2 + II/.].
Используя Тождества (8.32), получаем
ч
h
sin2 [Я (у2— II'2] __
(8.36)
Выражения (8.33) и (8.36), данные в форме и с обозначениями
Захариасена, легко получаются также из общей формулы (8.28).
Действительно, область II соответствует условию (q + z2) <^ 0
и области I и III — (q + z2) > 0.
1. (q + z2) <^ 0. Так как v = 0, то sin2av и sin2av обращаются
в нуль, так же как и | (\q + z2\ + \z\2J— \q\2\1'2. Далее \q +
+ z2\ = q A — г/2) и, наконец,
=^. (8.37)
согласнУ) (8.33).
aw - а? /Г^2 = Л /Г=^.
В результате из (8.28) получаем -/
2. (д + z2) > 0, тогда w = 0, аг? =
- зЬ2аш = 0, (|? + z2|- |z|2J - \q\2 =0, д ? у )
и уравнение (8.28)'переходит в J_!Ai h , согласно (8.36). Заметим,
Го JW
z2 =
что, учитывая тождества
sh2a = — sin2 га, cth2a = — ct^ га, (8.38)
формулы (8.33) и (8.36) следует рассматривать как две формы
одного общего выражения.
Рассматривая формулу (8.36), замечаем, что она описывает
побочные максимумы маятникового решения для случая Брэгга,
которые возникают в боковых областях общего максимума интен-
интенсивности. Мы уже упоминали ранее о возможности возникновения
подобных максимумов, рассматривая явления в тонкой кристал-
кристаллической пластинке. Причиной образования максимумов можно
считать интерференцию между вторым волновым полем, прони-
проникающим внутрь кристалла, и первым полем, которое возникает
при отражении от выходной поверхности и распространяется об-
обратно в кристалл*
Преобразуем выражение (8.36), переходя частично в знамена-
знаменателе от переменной у к v:
tu
1 — cos2A Vy*— 1
ch 2v — cos 2A Yv2 —
207
На рис. 59 показан профиль максимума, соответственно формуле
(8.39), при нескольких значениях параметра А = -?—Г h t. Вы-
(8.40)
ражения (8.36) и (8,39) обращаются в нуль при условии
2 А "|Л/2 —1 = 2я/п.
Для больших т (практически уже при т > 2) угловой интервал
между двумя минимумами отвечает величине
(8.41)
что формально совпадает с выражением C.70), которое дает уг-
угловые интервалы побочных максимумов в случае Лауэ.
Рис. 59. Кривые отражения по
Брэггу от прозрачного кристал-
кристалла при различных значениях
параметра А — / (t)
1 — А = л; 2 — А = я/2; 3 —
А = 0,5
Как уже отмечалось, различие механизма образования побоч-
побочных максимумов в обоих случаях отражения связано с тем, что
точки возбуждения интерферирующих волн в случае Лауэ лежат
на различных ветвях, в случае Брэгга — на общей ветви диспер-
дисперсионной гиперболы.
Модуль вектора ДА, представляющий в обратном простран-
пространстве экстинкционную глубину т, в случае Лауэ задан выражением
C.37):
(8.42)
При отражении по Брэггу нормаль к входной грани в областях
максимума за пределами области полного отражения пересека-
пересекает в двух точках какую-либо одну ветвь дисперсионной гипер-
гиперболы.
Длина хорды ЛA>ЛB> на рис. 49 непосредственно определяется
из выражения
(8.43)
208
где значений gol) слегка отличаются от C.14), если учесть отрица-
отрицательный
± *>•
Таким образом, в случае Брэгга
При симметричном отражении получим в случае Лауэ [см. C.73)]:
А*«-втсТ. AT1s=^' (8'46)
в случае Брэгга
(8.47)
Приведенное рассмотрение побочных максимумов маятникового
решения в случае Брэгга показало их близкую аналогию с тем же
явлением при отражении по Лауэ. Различие сводится к тому,
что в случае Брэгга интерферируют волны встречные, в то время
как в случае Лауэ — распространяющиеся в (почти) одном на-
направлении.
Нетрудно видеть, что в боковых областях максимума при от-
отражении по Брэггу должен иметь место и другой тип маятникового
решения, именно полосы равной толщины. Действительно, модулю
вектора А/с, согласно (8.45), должен отвечать определенный «эк-
стинкционный» интервал т. Распределение соответствующих мак-
максимумов, так же как и в случае Лауэ, принципиально можно
наблюдать, используя вместо плоскопараллельной кристалли-
кристаллической пластинки клинообразную, при фиксированной величине
угла падения, т. е. величины г\.
Наконец, заметим, что численная оценка величин Ау и ДА; =
= т, данная в гл. 3 для случая Лауэ, по порядку величин при-
применима и к случаю Брэгга. Это непосредственно следует из со-
сопоставления выражений (8.46) и (8.47).
Представляет интерес рассмотреть случай толстого кристал-
кристалла, обладающего столь малым поглощением, что его можно считать
прозрачным.
Формулы (8.33) и (8.36), содержащие величину А, как это
следует из (8.29), зависят от толщины кристалла t. В области
II максимума согласно (8.33) величина относительной интен-
интенсивности с возрастанием А стремится вместе с cth2 [А A — j/2)t/2l
к единице; если \у\ <^ 1 и А ^> 1, то
= 1. (8.48)
209
Что касается областей максимума I и III, то задача вычисления
относительных интенсивностей для предельных толщин являет-
является более трудной, так как наличие тригонометрических функций
в (8.36) делает величину интенсивности осциллиру/Ющей функцией
толщины. Для вычисления искомой величины необходимо усред-
усреднить ctg [А (у2 — II/*] по области изменений А, большей, чем
я/2. Интегрирование по А приводит к выражению для \у\ ^> 1
4>1
То jr<u>
о
Ч
A - /1 - у-% (8.49)
Сопоставим теперь выражения для коэффициентов отражения от
прозрачного кристалла, полученные в этой главе, (8.33), (8.36),
(8.48) и (8.49) с выражениями G.20) и G.21).
Для области II максимума (8.33) отличается от G.21), однако
это расхождение устраняется при переходе к предельному значе-
значению для толстого кристалла, и формула (8.48) дает R = 1 в со-
согласии с G.21).
Для* областей I и III переход от (8.36) к формуле (8.49), при-
применимой для толстого кристалла, не устранил различия с форму-
формулой G.20), которая может быть записана в следующем виде, если
перейти от переменной v к у [см. G.5) и G.8)]:
i, ш =
(8-50)
где верхний знак относится к области I.
Нетрудно видеть причину этого различия. Формула G.20)
[и эквивалентная ей (8.50)] выведена в разделе 7.1 с учетом лишь
одного первого поля в области I максимума и одного второго поля
в области III. Как уже отмечалось, в основе этого вывода лежит
представление о толстом слегка поглощающем кристалле. В та-
таком кристалле волновое поле, возникающее на входной поверх-
поверхности, распространяется в глубь кристалла и затухает, не достигая
выходной поверхности, где может возникнуть дополнительное поле,
идущее обратно.
В отличие от этого формула (8.49) получена на основе представ-
представления, согласно которому даже в достаточно толстом кристалле
волновое поле, идущее в глубь кристалла, все же достигает
выходной поверхности и порождает дополнительное поле. Дей-
Действительно, исходные формулы (8.14) и (8.24) выведены для широ-
широкого фронта падающей волны и наложении двух полей во всей
области максимума.
Захариасен назвал формулу (8.50) решением Дарвина, который
вывел ее впервые, а формулу (8.49) — решением Эвальда. Оче-
Очевидно, решение Эвальда применимо к менее толстым кристаллам,
в которых эффект поглощения пренебрежимо мал, и предельным
выражением для коэффициента отражения должна быть формула
210
Дарвина. Йз\ этого следует, что строгое рассмотрение требует
более точногохучета комплексного характера параметров, входя-
входящих в выражения (8.14) и (8.24).
На основе изложенного,приведем выражения для интегрального
отражения в приближении Дарвина и Эвальда. Очевидно, что в обо-
обоих случаях интегральное отражение по области II максимума
Л?, и = 2
Для решения Дарвина
ч
(8.51)
i, I +
i, III
Jk
Ч
2 J exp (— 2v) dy ==
о
oo
2 J exp (— 2y) sh и dv = (8.52)
о
oo
^ I ? [exp (- v) - exp (- 3»)] ^ = -|-
Откуда полная величина интегрального отражения от толстого
кристалла
(8.53a)
Очевидно, как в выражении (8.53а), так и в следующем выраже-
выражении для интегрального отражения (8.55) при падении на кристалл
неполяризованного излучения С заменяется известной величиной
поляризационного множителя:
8
3
\Xh\
То
(8.536)
В зависимости от условия 2д ]> я/2 или 2д < я/2 или cos2 d ^
^5in2/& величина интегрального отражения принимает одно из
двух частных значений:
То
ctg*
ч
Ч
(8.53в)
я
Для решения Эвальда можно либо проинтегрировать выражение
(8.49), полученное путем усреднения (8.63) по достаточно широ-
широкой области изменений толщины (и величины .4), либо проин-
проинтегрировать формулы (8.33) и (8.36) с учетом условий (8.38),
211
а затем перейти к толстому кристаллу. Этот второй тмгетод был ис-
использован Лауэ путем интегрирования по комплексной плоскости
изменений величины у. Не останавливаясь на ходе ^Ьтегрирования,
который подробно изложен в монографии Лауэ' [14], приведем
окончательный результат
dy
_Joo У2 + A - У2) cth (Л У 1 - у*)
(8.54)
При больших значениях .4, а следовательно и толщины отражаю-
отражающего кристалла t, th А ж 1. Для этого предельного значения до-
достаточно, чтобы А ^> 3. В таком случае
ч
пС\Х
(8.55)
Сравнивая это значение Rt с интегральным отражением в случае
Лауэ согласно C.82), замечаем, что в случае Брэгга интеграль-
интегральное отражение в два раза больше. Заметим, что (8.53) было полу-
получено Дарвином.
R
0,8
ОЛ
-5 -3
-1 0 1
Рис. 60. Максимумы кривых
отражения по формулам Дар-
Дарвина A) и Эвальда B)
На рис. 60 показаны профили максимумов, отвечающие форму-
формулам Дарвина и Эвальда. Различие этих профилей находит свое вы-
выражение в различии значений полуширины. Из условия i?ij ш =
= Va находим из (8.50) и (8.49):
wD = 2t]i/2 ==
3 У 2
(8.56а)
н>е =
(8.566)
Заметим, что при асимметричном отражении по Брэггу от тол-
толстого кристалла с минимальным поглощением форма максимума
остается симметричной. Однако при этом наблюдаются два сущест-
существенных изменения по сравнению с симметричным отражением.
На шкале углов падения с уменьшением скользящего угла о)о>
или увеличением я|э0, возрастает смещение средней точки максимума
у0 относительно угла Ф и увеличивается полуширина максимума
212
Ат]0. Указанное смещение максимума определяется разницей вели-
величин ц0 согласно G.34) и G.35) при | yh \ > у0 (см. рис. 48). Увели-
Увеличение ширины области полного отражения Ат]0 следует из G.32).
Очевидно, величины т]0 и Дт]0 изменяются в обратных направле-
направлениях при увеличении о)о (рис. 48). При переходе от шкалы углов
падения к шкале углов отражения указанные изменения имеют
обратные знаки. Величина смещения максимума на шкале углов
отражения подробно обсуждается в 9.4 в связи со схемой трехкри-
стального спектрометра при асимметричной съемке. Что касается
численных оценок, то отмеченные эффекты значительно превышают
соответствующие величины в случае Лауэ. Так, при асимметрич-
асимметричном отражении 220 излучения МоКа от Si с yh = 0,335 и Yo =
= 0,027 получаем т]0 ж — 11,2" вместо r\Os = — 1,8" и Аг\0 —
= 8,1" вместо Ar]Os = 2,3".
8.3. Отражение по Брэггу
от толстого поглощающего кристалла
Выражения для величин R и Т в указанном случае могут быть
получены как из общих формул (8.14) и (8.16), так и из формулы
Захариасена (8.28).
Приведем сначала в развернутой форме выражения для комп-
комплексных переменных в (8.14) и (8.16) х ж v.
Согласно (8.11) и (8.6)
w
(8.57)
где точные и приближенные значения Wr и W{ для случая Брэгга
даны в гл. 7 выражениями G.52)—G.55). Заметим, что из (8.57)
*-W*fc * — TKTw- (8'58)
Выпишем здесь приближенные значения xrnxu используя формулу
G.55):
(8'59>
(8.60,
При выводе выражений для комплексной переменной v исполь-
используются тождества
chv — ch {vr-\-ivt) = ch vr cos vt + ish.vr sin vt, (8.61)
а также аналогичное выражение для sh (vr + iut) D.82).
Приближенные значения основаны на допущениях D.83) и D.84).
213
Таким образом, в областях I и III максимума
У г + tyi = =F ch {vr + ivt). (8.62)
Точные значения функций vr и vt определяются согласно (8.61)
из условий
ch vr cos Vi = н= yr, sh vr sin vt — q= yt\ (8.63)
приближенные значения
ch vr
sin ^ = =F
В области II [см. G.12)]
У г + iy% — cos (vr + 1У|) = ch Vi cos yr
cos iui = ch Vi, sin ?y^= i sh V\.
Таким образом, точные значения vr и
yr = ch^cos vr,
и приближенные
yr zz cos vr, Vicz
i sh ^ sin yr,
(8.64)
(8.65)
(8.66)
у.
г
V l-
определяются из условий
(8.67)
(8.68)
Преобразуем теперь общие формулы (8.14) и (8.16) к частному
случаю отражения от толстого поглощающего кристалла, исполь-
используя тождество
| sh а |2 == -i- (ch 2аг — cos 2сц).
(8.69)
Выражения (8.14) и (8.16) принимают следующий вид:
ch 2xr — cos 2x{
R =
ch Bxr + 2vr)- cos
2v.
ch Bжг + 2wr) — cos B^ + 2w.) ' V0-'1;
где переменные а;г и xt даны формулами (8.57) — (8.60).
Переходим к применению формул (8.70) и (8.71) к отдельным
областям максимума. При этом учтем, что согласно (8.58) и (8.60)
хг = — \xt\j а также используем соотношения G.5) — G.15).
В областях I и II максимума
= | /12
ch 2xr — cos 2x^
ch2pr-cos2i><
(8> 72)
214
где верхние знаки в круглых скобках относятся к области I. В об-
области II, заменяя v на iv, получим вместо (vr + iv?), (vt — ivr).
Таким образом, в формулах (8.72) и (8.73) заменяем vr на vt и vt
на — vr. В результате для области II получаем следующие выра-
выражения для Л и Г:
ch 2xr — cos 2xi
ch 2v^ — cos 2vr
ch Bxr + 2v{) - cos Ba:. + 2vr) ' $ЛЬ)
Представляет интерес сопоставление формул (8.39) и (8.72) в
связи с влиянием поглощения на побочные максимумы маятнико-
маятникового решения. Обратим внимание на различие числителей обеих
формул. Наличие в (8.72) членаch.2xr приводит к тому, что в мини-
минимумах, соответствующих условию (8.40), функция R не обращает-
обращается в нуль. Другое существенное свойство функции (8.72) заключа-
заключается в асимметрии относительно средней точки (у = 0). Это можно
показать следующим образом.
Рассмотрим для простоты симметричное отражение. Преобра-
Преобразуем выражение (8*59), приняв уг ^> 1:
lit Cpte cos v
При выполнении условия (8.40)
2хг =-2А Vtr ~ 1 = 2лт, (8.77)
и мы получим в числителе (8.72) ch (а — $) — 1 при ут > 0,
ch (а + р) — 1 при уг < 0,
sin ф ' ^ yr sin О ' \ • /
Эта асимметрия является следствием асимметрии коэффициента
поглощения. Заметим, что из сравнения (8.59) и G.56а) следует
(8.79)
2Сг cos v.
в соответствии со знаком уг меняет свой знак при переходе от
области I к области III.
В отличие от выражений (8.72) — (8.75), применимых к опре-
определенным областям максимума, выведем формулы, предложенные
рядом авторов и пригодные для вычисления коэффициентов отра-
отражения и прохождения (поглощающий кристал) в случае Брэгга
по всему максимуму.
215
Бонзе [89] использует для вычисления коэффициента отражения
величины амплитудного коэффициента отражения внутри кристал-
кристалла [см. C.11) и C.15)] для случая Брэгга:
=- {~1)т j/t
|
\ {у ± ]/^Z7
В этой формуле, как обычно, верхний знак в круглых скобках спра-
справа относится к первому полю, нижний — ко второму. Использо-
Использование величин с^ для коэффициентов отражения вакуумных волн
облегчается в случае Брэгга тем обстоятельством, что, как было
показано в гл. 7, в областях, примыкающих к левой
стороне максимума и к области полного отражения, остается лишь
первое поле, в то время как в области, примыкающей к правой сто-
стороне максимума (у ]> + 1), остается лишь второе поле.
Таким образом, в соответствии с пограничными условиями
G.18), вполне правомерными являются равенства
i = 1>2> (8-82)
и коэффициент отражения в общем случае поглощающего кристал-
кристалла вместо G. 20) и G.21) выражается простой формулой
где c(i) уже являются комплексными величинами.
Перейдем теперь к выводу выражения для R в виде явной
функции от с(гг) и с{г\ а следовательно, и от уг и у{. Вывод соответ-
соответствующих выражений будет более строгим, чем в гл. 4 для формул
Лауэ D.96) — D.98). Значения уг и yt вычисляются следующим
образом:
У = 7==- = У'+ '»!• (8-84>
Здесь
Отметим, что (8.85) выведено при условии
(8.86)
216
Возвращаемся к выражению (8.84)
У =
2|C|
— 3 —
h
w\Vbv-^
Отсюда
К
(8.87)
(8.88)
2|C|
1 О
Pi
2|C|
(8.89)
Формула (8.81) принимает вид
« ±
едJ - 1].
(8.90)
Для выделения действительной и мнимой частей в корне, входя-
входящем в правую часть выражения (8.90), применяем правило извле-
извлечения корня из комплексной величины. Обозначая этот корень
через W, запишем
(8.91)
Умножая и деля Wr на Е + 1 и Wt на ? — 1, где
(8.92)
(8.93)
217
получим
E— 1
(8.94)
Путем несложных преобразований выражение для | с^\2 прини-
принимает простейшую форму, и после подстановки в (8.83) получаем
следующую формулу для коэффициента отражения от поглощаю-
поглощающего кристалла:
R = (Е - У Е* - 1)
(8.95)
причем из двух знаков перед корнями в (8.94) справа выбираем
знак минус, который единственно обеспечивает в (8.95) условие
Д<1.
Входящие в выражение (8.93) переменные ут и yt могут быть
преобразованы из (8.88), если учесть, что
2Ф,
cos vh = к cos vh
(x2 отбрасывается). В таком случае
Уг= — {Уг + g* COS Vh), ух = (УК COS Vh — g).
(8.96a)
(8.966)
При симметричном отражении от центросимметричного кристал-
кристалла эти переменные принимают следующие частные значения:
7тГ > Vis — yZsK -nZ
Сё
Х/и
e= ^ ; (8.97а)
(8.976)
Заметим, что выражение типа (8.95) можно получить также из
формулы (8.70), если использовать тождество
ch Bxr + 2vr) = exp
Bxr) — [ch Bxr) — sh Bxr)] sh 2vn
разделить числитель и знаменатель в (8.70) на ch Bxr) и далее
перейти к асимптотической форме, отвечающей толстому кристал-
кристаллу. При этом хт [см. (8.59)] растет беспредельно, а с ним и
218
chB#r); th Bxr) стремится к единице. В результате получается
[ch Bi;r) - l/cha Byr) — 1],
(8.98)
где ch Bvr), как можно показать, имеет значение, близкое к Е.
Формула (8.71) для коэффициента прохождения легко преоб-
преобразуется с помощью приведенных формул
Тв = (8.99)
1 _,
1
у Д^ ехр B*г) -
^у2г 1
1
~ 1J cos 2^-
Впрочем при вычислении Т было показано, что двумя последними
членами в знаменателе, дающими осцилляцию Т с возрастанием
толщины кристалла, можно пренебречь ввиду их малых значений.
Наконец, следует вывести используемые в литературе значения
коэффициента отражения для толстого поглощающего кристалла в
нескольких приближениях, исходя из формулы Захариасена (8.28).
Эту формулу следует рассматривать как общее выражение, приме-
применимое к кристаллам любой толщины. В случае толстых кристал-
кристаллов в этой формуле следует принять aw ^> 1 [см. (8.23)]. Следова-
Следовательно, можно отбросить все члены, не содержащие aw, и заме-
заменить sti*aw на *Д expBaw) nsh.Baw) на 7г ехр (law). После со-
сокращения на expBaw) получаем
(8.100)
| + |*|»J_|g|2jV,
Рассмотрим далее последовательно применение (8.100) к трем
важнейшим частным случаям при асимметричном отражении.
I. Центросимметричный кристалл, члены с х2 отбрасываются
[15]. Введенные ранее переменные получают следующие значения
[х определяется в G.67)]:
q=~
{%hr
=а
= У\ \
= | t
hr |
{8-101а)
(8-1016)
(8.102a)
| q + z2| = a| - A + J2x)
yz и ^заданы в (8.89),
(8.1026)
219
Введем дополнительную переменную
+ (У% + 8*)}- (8.103)
Подставляя полученные выражения в (8.100), умножая затем чис-
числитель и знаменатель в правой части (8.100) на L% — (Lz — 1I/г и
отбрасывая в знаменателе член 4и2, получаем
ч
(8.104)
Эта формула, за исключением последнего множителя, приведена
Захариасеном в его монографии.
II. Центросимметричный кристалл; члены с %2 не отбрасывают-
отбрасываются [99]. Преобразуем сначала выражение (8.100) следующим обра-
образом:
Ч
Здесь удобно ввести переменную
(8.105)
(8.106)
Формула для коэффициента отражения (8.105) принимает вид
Т" (8Л07)
и была дана в работе Хирша и Рамачандрана [99].
Используемые в (8.105) и (8.106) переменные несколько отли-
отличаются от (8.100)—(8.103):
= С2
То
-С2
То
|2 = аA + х2),
- g2)
4 (yzg
Откуда
(8.108)
(8.109)
(8.110)
III. Кристалл без центра симметрии; члены, содержащие
х2 не отбрасываются [100]. В отличие от D.53) запишем комплекс-
комплексные значения | %hr | и | %hi | следующим образом:
у v' J_ /y" (& \\\я\
где согласно D.48)
Хм = — r 2 И4у} cos %'» Хл
Xfcr==--r2/rJcos<Pj> Хй
В таком случае
= - r 21*$ sin Ф*
= ~ Г
(8.1116)
1Сй = I Xhr I2 - I Xhi I2 + Й (x'hrXhi + XhrXhi)- (8.H2a)
Если ввести переменную
v==\Yh 1-2 /у' у' . _L у" у- \ (8.1126)
if I Л/Лг I ^'vfiy'^'iii **hr**h\'
то можно написать
I Х^я I = I Xhr |2 [A - и2J + W*. (8.112b)
Следует помнить, что мы принимаем х = | %м |/| Хлг |» т- е- величи-
величиной существенно положительной. Что касается соотношения пол-
полных величин Xhi/Xhn т0 оно определяет величину р согласно
(8.1126).
Очевидно, для центросимметричного кристалла s = 0 и р =
= х. Для q берем более общее значение
л2 ТО
9 = -стп
Кй= — а[A — xa) + i2p], (8.113a)
в то время как в числителе (8.100) сохраняется величина
L|xh|2 = a[l + x2+2s|. (8.1136)
¦ ¦ л ¦
Вместе с тем в выражениях (8.106) и (8.109) мы сохраняем
прежнее значение | q | (8.108).
Итак, коэффициент отражения выражается следующим обра-
образом:
ч
где
У(У\ -
* - 1 +
4 (у * - ,)• +
[A — н2J + 4/>»]l/l
(8.114)
(8.115)
221
Выражения (8.114) и (8.115) выведены в работе Кола и Стемпла
[100].
Максимумы симметричных отражений 220 и 333 излучения
СиКа от Ge, вычисленные по формулам (8.95) и (8.107), (8.110)
(рис. 61), практически совпадают. Обращаем внимание читателей
на интересное различие формул (8.70), (8.72), (8.74), с одной сто-
стороны, и формул (8.95), (8.104), (8.107), (8.114), с другой. В пер-
первых в явном виде присутствуют функции толщины (глубины) кри-
кристалла t, а именно, хг и хг [см. (8.59) и (8.60)]. Во второй группе
формул мы имеем дело с R^, т. е. с предельным переходом к бес-
бесконечно толстому поглощающему кристаллу.
Надо полагать, что тщательный анализ и сопоставление этих
двух типов выражений может вскрыть различие (например, в об-
области толщин) подобно тому, как это было сделано для решений
Дарвина и Эвальда для прозрачного или почти прозрачного кри-
кристалла. Сделаем несколько замечаний, касающихся формы (и вы-
0,8
0,6
0,4-
0,2
J—i—¦*—i i
S -J -1 0 1
5-5-3-101
Рис. 61. Сопоставление кривых симметричного отражения Cu/fa-излучения для
Ge, вычисленных по формулам (8.95а), (8.107) и (8.110)
о — отражение 333; б — отражение 220
соты) максимума отражения по Брэггу от поглощающего кристал-
кристалла. В случае тонких поглощающих кристаллов, как мы уже отме-
отмечали в связи с анализом формулы (8.72), побочные максимумы
маятникового решения должны[наблюдаться, причем следует ожи-
ожидать асимметрии относительно средней точки максимума высоты
побочных пиков.
С возрастанием толщины кристалла, ввиду затухания волново-
волнового поля, проникающего в кристалл в областях I и III максимума,
вследствие поглощения максимум приобретает характерную «дар-
«дарвиновскую» форму с плоской вершиной и плавно спадающими бо-
боковыми частями (см. рис. 50).
Рассмотрение формы максимума по Брэггу в поглощающем
кристалле сводится к анализу деформации дарвиновской кривой
222,
в зависимости of параметров
* = I Хм I / I Хм- I и
д-о
г 0,05
л/ir I
То
для центросимметричного кри-
кристалла и в зависимости от х, g,
р, 5 [формула (8.107) и (8.110)]
для кристалла без центра сим-
симметрии [89, 101," 102].
На рис. 62 приведены неко-
некоторые типичные формы макси-
максимумов при различных значениях
хид, построенные в соответст-
соответствии с расчетами по формулам
(8.102) и (8.105). Заметим, что
формы максимума при хЛ ^> 0
и хЛ <С 0 для данного значе-
значения Kh = %hi/Xhr являются зер-
зеркально симметричными относи-
относительно оси ординат. Как можно
видеть из приведенных кривых,
возрастание х приводит к уси-
усилению асимметрии максимума,
в то время как увеличение g—
к уменьшению площади макси-
максимума или интегрального отра-
отражения. При значениях х =
= 0,1 ч-0,2 и g< —0,3 один
(левый) край асимметричного
максимума сохраняется неиз-
неизменным по отношению к дарви-
дарвиновской кривой. Эта особенность
кривых отражения в случае поглощающего кристалла может
быть объяснена на основе анализа волнового поля в кристалле.
Ранее было показано, что относительное расположение плоско-
плоскостей узлов и пучностей волнового поля, с одной стороны, и атом-
атомных плоскостей, с другой, различно в областях 1иШ, плавно ме-
меняется от одного до другого края в области полного отражения.
Если допустить, что в области I при уг < — 1 атомные плоско-
плоскости совпадают с узловыми плоскостями волнового поля, то в этой
«левой» стороне максимум останется неизменным, и «левый» край
области II будет отвечать R = 1. Соответственно с перемещением
узловых плоскостей при возрастании у эффект поглощения усили-
усиливается и остальная часть максимума обнаруживает характерный
спад коэффициентов отражения. Рис. 63 может служить иллюстра-
223
-J -2-1 0 1
2 3
Рис. 62. Кривые отражения от погло-
поглощающего кристалла, отвечающие раз-
различным значениям параметров g и и
а—х^0; б — х = 0,1; в — х = 0,2,
g = -0,2
a
's>0
^*
i
p=»—
<p-0,5x
\p-0
\р-Ц5х—
1 /7 /7
\p-0
I
/
R
?2
w
V °>5
1
0,3
0,1
\
- \
\
-p=-x
-р=-0,5я
-p = 0
p= -0,5 н
p = 0
V ~
V
I
\s<0
___ ___ ___
6
s>0
s>0
s<0
s>0
s<0
1
Z
3
^^
I
P=0
j
/,
1
OJ
fl/sf
Wf/0'7
1 0,5
[
0,3
0,1
я
1
-X/ V\
p=-0.5tt "' /?
P — 0 **J~7.
[ \
1
\
v
V
1
-2
-J
0
-2
0
Рис. 63. Кривые отражения от поглощающего кристалла без центра симметрии
а х = —g = 0,1; б — х = — g/21= 0,05; 1 — кривые R\ 2 — предельные значения #тах; 3 — кривая Дарвина (для прозрачного кри-
кристалла)
цией изменений, которые претерпевает форма максимума при от-
отражении от кристалла без центра симметрии [параметры pus
заданы уравнениями (8.112) и (8.111)].
Многие детали подобных изменений кривых отражения можно
истолковать с помощью модели кристалла, в котором эффекты рас-
рассеяния и соответственно экстинкции, с одной стороны, и эффекты
поглощения, с другой, связываются с двумя различными рассеива-
рассеивающими центрами, определенным образом распределенными в
структуре [102].
8.4. Интегральное отражение
от поглощающего кристалла в случае Брэгга
Несмотря на то, что динамическая теория в применении к от-
отражению по Брэггу разрабатывается уже почти 60 лет, аналити-
аналитическое выражение для интегрального отражения в наиболее слож-
сложном случае толстого поглощающего кристалла выведено совсем
недавно в работе Афанасьева и Перстнева [103].
Будем исходить из формулы для коэффициента отражения За-
хариасена (8.104), которая с помощью новой переменной LA [cm.
также (8.17)]
LAaig+^,-H«P= (8Л16)
1 21 Г 1 12
- -у Хо (То + | Th I) +| [Тоа - у Хо (То + | Th |)J - <?То |
приводится к виду
(8.117)
а = 2т) sin 2ft.
Далее вводятся следующие вспомогательные переменные:
To+lTj IXpjl 2/^TJ |C|Im
9
\O\VW\\'
(8.118)
Перейдем от переменной интегрирования а к L согласно соотно-
соотношению
*2 = 1 + iir^rL- (8Л19а)
Величина интегрального отражения выражается следующим
8 3. Г. Пинскер 225
образом:
СI
(8.1196)
где подлежащие вычислению интегралы имеют вид
I1 = \[2 — k- кН2 ~ 2 V(l — к2) A - кЧ2)] ¦
~ $ [2 - ft» - &V - 21/A -
i—ir]
_ 22)'Л J
dz.
(8.120)
(8.121)
Д может быть непосредственно выражен через полные эллипти-
эллиптические интегралы первого рода К и третьего рода П [104]:
h = %k2 + .
X [(к2 - q2) П (- q\k) - k2K (к)].
|2д2 - к2 A + д2)] + 2 /1 - /с2 х
(8.122)
/2 приводится к стандартным эллиптическим интегралам после
интегрирования по частям:
1
/а = $ [ 2 — &а — кН2 + 2 /(Г— к2) A - kh2)) X (8.123)
о
где интегралы /3 и /4 приводятся к эллиптическим интегралам
h = A - g2) jV Г=й*К (/с) —J-] +
+ A + 2g2) + [Vl~k* IK (к) - E (*)] —^} . (8.124)
Окончательно функция Р (s, q) принимает следующее значение:
P (s, q) = A - s2 - :
+ ks* A - g2) [3 A - gV) П (- q\ к) -
(8.125)
226
Существенной чертой расчета, выполненного в этой работе
является общий характер комплексных параметров %0 и Хь, Хя>
которые входят в выражение для переменной интегрирования z
(8.119) посредством величин q, s и L. Здесь не накладывается ка-
каких-либо ограничений, связанных с соотношением величин | %hi |
и |%ftr|> как и величин \%oi | и | %Ог |, а также с наличием или от-
отсутствием центра симметрии в рассеивающем кристалле. Для про-
произведения %h%-можно использовать как общие выражения (8.111),
так и более специальное, например, отвечающее центросимметрич-
ным кристаллам. В этом более простом случае основные параметры
s и q принимают следующие значения:
= _
2C(\<rh\ftof'\Xh\ У ^
|Tj/ToI/2 *
~ ' X ^Ss^ (8Л26)
q* ^ [1 + (|TJ/To)l 8 =
где g определяется из (8.89), x = | Xhi | / Хлг | и е = |Хм|/Хог|-
Интегральное отражение в общем случае может быть протабу-
лировано с помощью формул (8.119) и (8.125) и таблиц эллипти-
эллиптических интегралов. Однако так как в настоящее время наиболь-
наибольший интерес представляют случаи отражения при (относительно)
малых | %Oi | и ) %hi |, а следовательно, s ж # <^1, А; ж 1, причем
q <I 1, то функция Р (s, q) может быть упрощена. Используя вы-
выражения для полных эллиптических интегралов первого и второго
рода и разложение
A - ,*) п (- Ф, и)« \ ш
A-й<1), (8.127)
можно получить
(8-128)
Это выражение дает для s <: 0,2 результат, отличающийся от точ-
точного не более чем на — 1%. Наконец, для 5 ^ 0,05 главный член
в (8.128) составляет
P(s,q)^l--^-s (8.129)
и интегральное отражение оказывается равным
Д1 _ 8 C|Xhrl /|Th|
1 3 sin2d у То
A- 2,355 \g\), (8.130)
в* 227
что почти точно совпадает с эмпирической, формулой Хирша и
Рамачандрана, предложенной ими для случая g<Z 0,1, а также
близко к формуле Захариасена^ Rt ^ 8/3 A — 2 \g\). Наконец, если
принять в выражении для s (8.118) %oi = 0, то (8.130) дает формулу
Дарвина (8.53).
Таблица 9. Функция Р (s, q) для различных s n q
q
1,0
0,9
. 0,7
0,5
0,3
0,1
s
0,20
0,716
0,708
0,696
0,687
0,682
0,680
0,25
0,672
0,661
0,646
0,636
0,630
0,627
0.30
0,633
0,620
0,602
0,591
0,583
0,580
0,35
0,599
0,584
0,564
0,551
0,543
0,539
0,40
0,568
0,552
0,529
0,515
0,507
0,503
0,45
0,541
0,523
0,499
0,484
0,475
0,470
0,50
0,516
0,496
0,471
0,455
0,446
0,442
0,60
0,473
0,451
0,423
0,406
0,397
0,392
Q
1,0
0,9
0,7
0,5
0,3
0,1
0,70
0,412
0,383
0,366
0,356
0,352
0
0,
о,
о,
о,
,80
349
332
323
318
0
0,
0,
о,
,90
304
295
290
1
0,
0,
о,
s
,00
280
271
266
1
о,
о,
,50
190
187
2
о,
,00
143
3
0,
,00
0Э7
5,
о,
00
059
В излагаемой работе [103] протабулированы значения интеграль-
интегрального отражения при широких интервалах изменения параметров
q от 0,1 до 1 и s от 0,2 до 5 (табл. 9). Де-Марко и Вейсс [53], вычисли-
вычислили значения Щ машинным интегрированием формулы (8.107)
для широкого интервала значений параметров — g от 0 до
3 и х от 0 и до 1. Большое число вычисленных значений A291), при
незначительных интервалах величин этих параметров, снижает
ошибку при использовании интерполяции до —0,1% (см. при-
приложение 2).
Пользуясь этой таблицей, можно исходить из значений ^ихв
любом из приближений, отвечающих данному конкретному при-
примеру и требуемой точности расчета. Вместе с тем при рассмотрении
отражений от кристалла без центра симметрии, в соответствии с от-
отношениями (8.106) — (8.111), использование лишь двух указан-
указанных параметров, вообще говоря, недостаточно для определения
величины i?i, хотя в отдельных случаях это можно сделать с
228
удовлетворительной точностью. Приложение 2 воспроизводит
результат расчета Де-Марко и Вейсса. Малая таблица соответст-
соответствует определенному интервалу значении g = х.
В отличие от данных приложения 2 сравнительно простое вы-
выражение (8.128) позволяет подсчитать величину интегрального от-
отражения для любого общего случая кристалла без центра симмет-
симметрии в широком диапазоне изменений значений параметров | %oi|,
|%tolHl%hr|> а также провести качественный анализ ожидаемого
поведения величины Rt.
Частная задача, связанная с вычислениями интегрального
отражения и представляющая принципиальный интерес, была
решена в работе Вейсса [105]. Речь идет о сопоставлении формул
(8.50) (решение Дарвина) и (8.49) (решение Эвальда) для коэффи-
коэффициента отражения в случае толстого «непоглощающего» кри-
кристалла.
Будем исходить из наиболее общего выражения Захариасена
(8.28). Приведем в явном виде значения аргументов av и aw. На
основании (8.22) и (8.104) эти величины можно вычислить наибо-
наиболее точно, используя правило извлечения корня из комплексного
числа:
av = A (q + z^'\ aw = A(q + z*)f, (8.131)
(q + z2f = [(y2r -g*-l-tf) + i2 (yzg - x)]1/2, (8.132)
av=y? Ж - f ~ 1 + *2J + ^ (yzg - *JГ/2 +
+ (^-?2-l+*2)}1/2, (8.133)
aw = -^=- №r ~ g2 - 1 + x2J + 4 (yzg ~ xJ]V* -
-0/2-?2-1 + и2)}1/2. (8.134)
Приближение Эвальда можно сформулировать условием: g = 0
и приближение Дарвина — aw ^> 1. На машине вычислялась ве-
оо
личина Щ = ^ Rdy, причем R бралось по формуле (8.28). R\ вьь
числялось в функции от толщины t = 2gA/\i [см. (8.133) и (8.134]).
Для g (х) = х принималось значение 0,01 (рис. 64). Как показы-
показывает кривая Rv\, при очень малых толщинах (\it<Z 0,001) мы имеем
кинематическую область, при \it ^ 0,03 мы приближаемся к ре-
решению Эвальда. В] максимуме i?f = я, что точно отвечает при-
приближению Эвальда. С возрастанием толщины кристалла кривая
асимптотически приближается к значению R\ = 8/3, т. е. к ре-
решению Дарвина. Эта величина интегрального отражения дости-
достигается при |л?^>8, т. е. действительно соответствует толстому
кристаллу при исчезающе малом поглощении»
229
Численная оценка полученного результата применительно к
конкретному эксперименту может быть проиллюстрирована на
примере симметричного отражения 220 излучения Ag Ka от кри-
кристалла Si. В этом случае
A = 11,2**-* 1^1 = 1,266.10^,
|Хог| = 1-Ю-8, \%м 1^0,6.10-*,
g ж 0,008, к ж 0,005.
Максимум на кривой рис. 64 будет близок к толщине пластинки
кремния t = 0,03 мм, и значение [it = 8 соответствует толщине
Ъ • , О М/М/ т
Рис. 64. Изменение величины
интегрального отражения от
кристалла с исчезающе малым
поглощением с возрастанием
толщины [решения Эвальда и
Дарвина (g = 0,01)]
О 2
Сделаем несколько общих замечаний, касающихся интеграль-
интегрального отражения в случае Брэгга. Как следует из изложенного ма-
материала, величина интегрального отражения отпределяется преж-
прежде всего параметрами g и х, а также отношением \yh\/y0-
Обращает на себя внимание слабая зависимость Rt от х. Рас-
Рассматривая табл. 9 значений функции Р (s, q), замечаем, что для
данного значения s ^ g изменение х ^ gs в 10 раз приводит к
уменьшению функции Р лишь на — 5% для малых s и до ~ 15—
16% для s = 0,60. Из приложения 2 следует, что при g = 0,30
изменение х от 0 до 0,3 приводит к увеличению Щ — на 11,5% .
Более существенное изменение наблюдается при больших значе-
значениях g. Так, при g = 2 изменение х от 0 до 0,9 влечет за собой
возрастание R\ на 87% . Возрастание величины Щ с увеличением
х аналогично возрастанию интегрального отражения в случае
Лауэ с увеличением величины 8 = | %hi\ I \ %ог|. Заметим, что па-
параметр g в формулах (8.119) и (8.125) пропорционален при рассея-
рассеянии от центросимметричного кристалла величине 8. Во всяком слу-
случае, увеличение х и | %ы | означает возрастание интерференцион-
интерференционного «вклада» в поглощение или возрастание экстинкции
6
2nKC\%h
(TolTjI'2 (To|TjI/2
Вместе с тем следует отметить несравненно меньшую чувствитель-
чувствительность интегрального отражения к изменению параметров х или
230
в в случае Брэгга по сравнению со случаем Лауэ. В соответствую-
соответствующих формулах для случая Лауэ, например D.165), величина 8
входит в показатель множителя поглощения и для сильных отра-
отражений возрастание или уменьшение \%hi\ меняет величину Ri
на несколько порядков.
Несравненно большее влияние на Rt в случае Брэгга имеет
параметр g. Можно показать, что величина g, согласно (8.89),
соответствует отношению величин поглощения и экстинкции.
Действительно, рассматривая путь, проходимый падающей и диф-
дифрагированной волнами в кристалле, получим для некоторой эф-
эффективной глубины ta
°ta = V(r? + Wh\-1)ta. (8-136)
С другой стороны, экстинкционное «поглощение» при некоторой
глубине проникновения te и уг = 0 составит
(8.137)
ee (To|Tj)V2 '
откуда
— = A= 2jtJg|Xoiltl+(lT^lyi =_4^>0. (8.138)
^ *a яХС|хЛг|(|Т?|/То)/2
Таким образом, возрастание величины истинного поглощения или
уменьшения глубины проникновения, обязанное поглощению,
приводит к увеличению параметра g. Большая величина экстинк-
экстинкции, т. е. малость глубины проникновения волнового поля в кри-
кристалл, связанного с интерференционными эффектами, при малом
поглощении соответствует малой величине g. В связи с этим можно
заметить, что на рис. 62, а изменение профиля кривой при малых
значениях | g | затрагивает лишь область полного отражения, что
иллюстрирует связь этого параметра с эффектом экстинкции. За-
Заметим также, что указанная трактовка параметра g позволяет
сформулировать физические условия перехода от динамического
рассеяния к рассеянию на мозаичном кристалле.
I Т I
Интересной чертой функции R{ —— (при g < 0,2) является
То
заметное изменение ее величины при переходе от симметричного к
асимметричному отражению. Действительно, сравнивая соответ-
соответствующие значения g
oas
ккг
замечаем, что с отклонением от значения | yh \ /у0 = 1 до 4—5 или
до 0,25—0,20 величина g (одинаково в обоих случаях) увеличива-
увеличивается примерно в 2—2,2 раза. Это влечет за собой некоторое умень-
231
Шение величины Щ. Однако так как
ч
то благодаря действию множителя (| yh | у0)^2 интегральное от-
отражение R? в конечном счете либо еще больше уменьшается (если
|Т/г|<СТо)> либо увеличивается (если \yh\ >y0). Увеличение
может достигать 70—80%, уменьшение всегда более значительно.
Сопоставляя величины интегрального отражения по Лауэ и
по Брэггу, можно сделать следующие замечания.
Интегральное отражение по Брэггу в аналогичных случаях
более или менее значительно превышает отражение по Лауэ, иногда
на несколько порядков, что является весьма существенным при
создании кристаллических монохроматоров.
С другой стороны, сложный характер зависимости Щ от таких
параметров, как | %hr | и | %hi |, делает мало эффективным не толь-
только их экспериментальное определение измерением интегральных
отражений, но также и точную и однозначную проверку теории.
Глава 9
РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРОМЕТРЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ.
НЕКОТОРЫЕ ИТОГИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ПРОВЕРКИ ТЕОРИИ
Динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в иде-
идеальном кристалле, изложенная в предыдущих главах, основана на
двух возможных физических моделях падающей вакуумной волны,
которая возбуждает волновое поле в кристалле: большая часть из-
изложения исходит из приближения падающей плоской волны, а
меньшая — из приближения падающей сферической волны или
эквивалентного допущения — ограничения фронта падающей вол-
волны узкой щелью.
Обращаясь к экспериментальным исследованиям динамичес-
динамического рассеяния, посвященным количественной проверке теории,
следует прежде всего рассмотреть трудности, возникающие при
попытке реализации приближения падающей плоской волны. Эти
трудности связаны главным образом с использованием характе-
характеристического излучения рентгеновской трубки. Действительно,
как известно, спектральная ширина этого излучения, так же как
и угловая]расходимость, значительно превосходит соответствующие
параметры динамических максимумов, а тем более их тонкой струк-
структуры.
Прежде чем перейти к систематическому рассмотрению этой
проблемы, заметим, что на современном уровне эксперименталь-
экспериментальных исследований динамического рассеяния достигнуты большие
успехи в создании пучка, монохроматичность и ничтожная угло-
угловая ширина которого позволяет реализовать указанное прибли-
приближение с высокой точностью.
Однако именно в связи с достигнутым уровнем совершенства
спектральной аппаратуры на пути прецизионной количественной
проверки теории возникают новые препятствия, связанные,
во-первых, с трудностью получения монокристаллических образ-
образцов, лишенных самых незначительных нарушений, и, во-вторых,
с недостаточно точными значениями некоторых фундаментальных
параметров, вводимых в теоретические расчеты. Это относится,
например, к величинам %hr, %hi, %oi, величине М в дебаевском тем-
температурном факторе, к параметрам, связанным с неупругим рас-
рассеянием на фононах, к длинам волн, используемым в данном экс-
эксперименте, и, возможно, к некоторым другим величинам (см., на-
например, 4.1).
233
Очевидно, в экспериментальных исследованиях получают кри-
кривую отражения при покачивании исследуемого кристалла вблизи
среднего значения {у = 0) при падении на него рентгеновского
пучка после отражения от монохроматора. Кривая отражения яв-
является, следовательно, наложением, точнее, сверткой функции
R (¦&) для двух (или трех) кристаллов. Она не может быть непосред-
непосредственно сопоставлена с теоретически вычисленным динамическим
максимумом для одного исследуемого кристалла. (Заметим, что
в этой главе через ф обозначается переменный скользящий угол
падения на данную отражающую плоскость в области максимума.)
Приведем теперь некоторые оценки мешающих эффектов, свя-
связанных с конечной спектральной шириной характеристической
линии и ее угловой расходимости.
9.1. Оценка спектральной ширины и угловой расходимости
излучения рентгеновской трубки
При использовании в качестве источника монохроматической
волны той или иной линии характеристического излучения прихо-
приходится учитывать естественную спектральную ширину этих линий
ДА. Внутри этого интервала имеет место некоторое распреде-
распределение интенсивности, которое можно аппроксимировать, например,
гауссовым распределением. Классическая теория дисперсии
[6, 106] связывает конечную спектральную ширину линии с затуха-
затуханием электронного осциллятора. Подробное рассмотрение этого
вопроса приводит к следующей формуле для спектральной ширины
линии на половине высоты:
Wx = ах = |5g. = 0,059Х (X = К)1 см). (9.1)
Этот результат означает, что спектральная ширина является уни-
универсальной константой, в частности, не зависящей от длины вол-
волны Ао середины интервала ДА. Переходя от спектральной ширины
к эффективному времени жизни осциллятора т (в течение которого
интенсивность линии уменьшается в е раз), получаем
*= <9-2>
что дает, например, для СпКа^ Ао = 1537 X, % = 2,12-105 сек,
и для МоКаг, Ао = 708 X, т = 4,70-10-16 сек.
Однако, как известно, классическая теория дисперсии рент-
рентгеновских лучей в оценке естественной ширины спектральной ли-
линии существенно расходится с экспериментом, не подтверждается
универсальный характер условия (9.1), и абсолютная величина
ДА, вообще говоря, занижена. Квантовомеханическое рассмотре-
рассмотрение устанавливает связь между шириной спектральных линий и
234
шириной уровней, определяющих соответствующий переход:
(AE)if = h(Av)if = (AE)t + {AE)f. (9.3)
Численная оценка величин {АЕ)ц фактически берется из экспе-
экспериментальных данных. Значения, приведенные в монографиях
(например, [106]), следует считать ориентировочными. Так как
из измерений на двухкристальном спектрометре (см. ниже) непо-
непосредственно определяется полуширина спектральной линии, то
лучше обратиться к этим данным. Итак, согласно [106], величины
ДА, для Каг линии монотонно падают от 1,60 X для Са до 0,153 X
для W; ДА, для Ьах — от 4,5 X для Ag до 0,88 X для U. Новые и
более точные данные, хотя и для ограниченного числа линий,
приведены в табл. 10 в связи с анализом результатов, полученных
на двухкристальном спектрометре.
Возвращаясь к теоретическим оценкам, заметим, что ширина
спектральной линии
где т — время жизни состояния, представляет собой величину,
обратную вероятности распада в единицу времени.
Для формы спектральной линии классическая теория дает
следующее выражение:
^] (9-5)
квантовомеханический расчет дает, в первом приближении, ту же
формулу. Впрочем, здесь не учитывается асимметрия влияния хи-
химической связи и другие более тонкие эффекты. Формула (9.5) пред-
представляет особый интерес в связи с тем, что она близка к формуле,
описывающей кривую отражения,получаемую на двухкристальном
спектрометре при так называемом антипараллельном положении
кристаллов (см. ниже).
Очевидно далее, что каждой данной величине полуширины АХ
характеристической линии излучения отвечает некоторая величи-
величина дисперсии при отражении от данного кристалла. Эта величина
определяется дифференцированием уравнения Вульфа—Брэгга:
д» <9-6>
Существенно отметить возрастание ДФ с порядком отражения, в то
время как полуширина максимума
v, = 2Ау | Xhr | /WTo (shtfO)-1 (9.7)
уменьшается
235
Таблица 10. [^Экспериментальные рентгеновские данные по естественной
полуширине спектральных линий iv-L (в X ед.), полученные измерениями
на двухкристальном спектрометре [107]
Линия
Cutfai
Titfai
FeAai
Mo/iTai
Отражающий
кристалл
Кварц 1120
Кварц 2240
Кальцит 211
Кальцит 422
Кварц 1120
Кальцит 211
Кварц 1120
Кальцит 211
Кварц 1120
Кварц 1120
Кальцит 211
*
0,475
0,44
0,56
0,455
0,91
1,0Э
0,82
1,00
0,27
0,263
0,306
**
W—
0,038
0,010
0,142
0,012
0,075
0,22
0,04
0,49
0,029
0,027
0,076
0,44
0,43
0,42
0,44
0,84
0,87
0,78
0,81
0,24
0,24
0,23
Автор
Parratt
»
»
»
»
»
Brogren
Allison
Parratt
Brogren
Parratt
* Полуширина по схеме A,1).
Полуширина по схеме A, —1).
Сопоставим теперь численные оценки величин дисперсии по-
полуширины максимумов при динамическом рассеянии. При отра-
отражении 220 кристаллом Ge излучения СпКаг значения ДФх/2 =
= 24, w = 12,8, при отражении 333 — AOi/2 = 57,5, га = 3,9, а
при отражении 220 кристаллом Si излучения МоКаг значения по-
полуширины и дисперсии составили w = 2,2, Дфу, = 13,1.
Переходим к рассмотрению угловой расходимости излучения
рентгеновской трубки (см. также [24]).
Сформулируем условия применимости приближения плоской
падающей волны, полагая, что излучение трубки обладает доста
точной монохроматичностью. Если обозначить (плоский) угол,
внутри которого интенсивность излучения еще имеет заметную ве-
величину, через Q, то первым условием будет
m> = 2tiVi>Q, ( (9.8)
где слева стоит угловая полуширина максимума отражения. j>
Что касается ширины когерентного фронта падающей волны,
то, вообще говоря, существенным является соотношение между
этой шириной и толщиной кристаллической пластинки. Но, кроме
этого, при использовании пограничных условий на входной грани
для тангенциальных слагающих волновых векторов необходимо
устранить возможность дифракционных явлений (дифракция
Френеля) на краях когерентного участка волнового фронта или
щели. Это условие формулируется следующим образом:
2Л7. > ЬЯ-1. (9-9)
236
где S — эффективный поперечный размер входной грани (S =
Можно также записать в качестве желательного условия
, (9.10)
где / — линейная ширина когерентного фронта.
В условиях эксперимента, в котором на исследуемый кристалл
падает пучок лучей от антикатода рентгеновской трубки, прошед-
прошедшей через систему диафрагм, соотношения (9.8) и (9.10) невыпол-
невыполнимы. Величина Q, обычно, на два порядка превышает угловую
полуширину динамического максимума.
Наконец, помимо немонохроматичности и значительной угло-
угловой ширины рентгеновского излучения трубки существенным яв-
является качество рассеивающего кристалла. Как показали экспе-
экспериментальные исследования [6], выполненные в начале тридцатых
годов, наиболее совершенные образцы монокристаллов, пригод-
пригодные для количественной проверки динамической теории, можно
было найти в то время среди естественных кристаллов кальцита
и, иногда, кварца. Кристаллы каменной соли или искусствен-
искусственные кристаллы хлористого натрия скорее могли быть использо-
использованы для изучения рассеяния в области промежуточной между ди-
динамическим и кинематическим. В настоящее время исследователи
располагают также и таким превосходным материалом, как синте-
синтетические монокристаллы кварца, германия, кремния, арсенида
галлия и некоторых металлов.
9.2. Двухкристальный спектрометр
с использованием отражений по Брэггу в обоих кристаллах
(схема Брэгг — Брэгг)
Как хорошо известно, еще с 1917 г. [6] в практику исследова-
исследований начал входить двухкристальный спектрометр, в котором пу-
пучок лучей от рентгеновской трубки последовательно отражается
от двух кристаллов, чем достигается существенное приближение
к условиям динамического рассеяния. Хотя подобные приборы
нашли широкое применение при решении ряда других физических
и технических задач, мы здесь будем рассматривать двухкристаль-
ные спектрометры только с точки зрения экспериментальной про-
проверки динамической теории в отношении параметров динамичес-
динамического максимума и интерференционных эффектов.
Дальнейшее усовершенствование спектральной аппаратуры
было направлено к тому, чтобы получить форму кривой отражения,
в наибольшей степени близкой к динамическому максимуму.
В связи с этим необходимо отметить:
1) использование схемы Брэгг — Лауэ и Лауэ — Лауэ в
работах Брогрена [108];
2) создание и использование трехкристального спектрометра,
идея которого и первые эксперименты принадлежат Реннингеру
237
[101], а теория и весьма ценные результаты яёляются заслугой
чешских авторов Бубаковой, Драгокоупила и Фингерланда [109];
3) асимметричную съемку в различных схемах, проведенную
Реннингером [НО, 111], Бубаковой [112], японскими авторами [113—
115], Баттерманом и Хильдебрандтом [116];
4) двухкристальный спектрометр Лауэ — Лауэ, с использо-
использованием в первом кристалле эффекта Бормана, в работах Отье
[16], Лефельд-Сосновской и Мальгранж [117].
Детальное изложение теории двухкристального спектрометра
дано в книге Комптона и Алисона [6]; обсуждение некоторых важ-
p'
Рис. 65. Схема двухкри-
двухкристального спектрометра
ных выводов, этой теории приведено в монографиях Джеймса
[8] и Лауэ [14]. Применение теории к схемам трехкристального
спектрометра развито в работе [109].
Схемы двухкристального спектрометра, для которых была раз-
развита теория (рис. 65), основаны на комбинировании двух кристал-
кристаллов с отражением по Брэггу в симметричном положении, т. е. от
системы плоскостей, параллельных входной грани. Падающий на
первый кристалл или кристалл-монохроматор А рентгеновский
пучок после выхода из трубки проходит через две параллельные
щели, в результате чего он характеризуется двумя значениями рас-
расходимости или плоскими углами: а—горизонтальная расходимость,
соответствующая ширине щелей (в плоскости чертежа), и ср —
вертикальная расходимость, соответствующая высоте щелей. Та-
Таким образом, максимальные значения этих углов
а
= c/z, cpm = hlz,
(9.11)
где с — ширина и h — высота щелей; z — расстояние между ними.
Схема спектрометра, показанная на рис. 65, относится к двум
различным установкам второго кристалла В. Нормали к отражаю-
отражающим плоскостям кристаллов: неподвижного А и вращающегося В в
положениях РР или Р'Рг лежат в общей горизонтальной плоско-
плоскости.
Неподвижный кристалл А устанавливается таким образом,
чтобы некоторый средний луч в падающем пучке (т. е. луч, прохо-
проходящий через геометрические центры обеих щелей), образовывал с
238
плоской гранью кристалла угол#0, соответствующий середине об-
области полного отражения. Действие кристалла А сводится к тому,
что он в некоторой эффективной области углов а формирует па-
параллельные пучки лучей для каждого значения длины волны к.
Кристалл В устанавливается в исходное положение. Покачивая
кристалл В вокруг вертикальной оси, лежащей в отражающей
плоскости, мы регистрируем отраженные от этого кристалла пучки,
и, таким образом, получаем некоторую экспериментальную форму
максимума, называемую в литературе кривой качания (rocking cur-
curve) или кривой отражения. Существенной задачей теории явля-
является установление соотношения между этой кривой и истинной
формой динамического максимума от одного кристалла В. Рас-
Рассмотрим прежде всего величины углов, образуемых различными
лучами в падающем пучке, при различных значениях К с кристал-
кристаллами А и В.
Если центральный луч, падающий на кристалл А, характери-
характеризуется параметрами О о. ^о> а ^ 0» Ф = 0, па, где па — индексы от-
отражения от кристалла А, то угловое отклонение от центрального
луча при отражении произвольного луча в пучке с параметрами
(#, Я, а, ф, па) составит
а- 4" Ф2 *8 * (Ьо. пл) ~ (Я- - Я,о) (-gJ-)J. (9.12)
Второй член этого выражения отвечает отклонению, зависящему
от вертикальной расходимости, третий— отклонению, связанному
с немонохроматичностью. Вид последнего члена связан с естест-
естественным допущением, что в пределах спектральной ширины падаю-
падающего пучка углы отражения меняются лишь незначительно. Ин-
Индексы 1 и 0 означают, что значение этой производной берется вблизи
среднего угла д0 (для первого кристалла) и средней длины вол-
волны %0.
Обращаясь теперь к кристаллу В, замечаем, что если в нулевом
положении угол падения на второй кристалл среднего луча будет
также д0, то в случае поворота кристалла на угол Р в пределах об-
области максимума, например, против часовой стрелки, угол отра-
отражения от В изменится на Фо 4- р (положение I — РР) или на д0 — р
(положение II — Р'Р') (рис. 65, 66). Соответственно угол от-
отражения луча от второго кристалла (X, а, ср) будет отличаться от
угла отражения стандартного луча на величину
+ Р ± а - 4~ Ф2 *8 * (Ьо, лв) - (Ь - К) (¦§?¦)* • (9.13)
Здесь верхние знаки перед р и а относятся к положению I и ниж-
нижние — к положению II, пв означает индексы отражения от второ-
второго кристалла, индексы 2 и 0 относятся к значению производной
вблизи угла отражения центрального луча от второго кристалла
вблизи Хо.
239
Теперь нам необходимо учесть функции распределения энергии
или интенсивности в исходном пучке в зависимости от расходимо-
расходимости пучков а и ф и длины волны X. Зададимся пока некоторыми
функциями
G(a, Ф), /(Л-Хо), (9.14)
которые нормируются таким образом, что интенсивности внутри
определенного интервала аргумента (da, cfap и dk соответственно)
определяются умножением на эти интервалы.
а
Рис. 66. Положение кристалла В в спектрометре
a — антипараллельное (I); б — параллельное (II)
В результате изложенного мы можем написать следующее вы-
выражение для полной мощности излучения, отраженного от второго
кристалла, в функции от угла поворота Р кристалла В из началь-
начального положения, если горизонтальная расходимость падающего
пучка заключена в пределах от — ат до ат:
~*m Xmax aw
фтп min am
± Р ±0-4-^
(9.15)
В этом выражении С а и Св — функции, отвечающие коэффициен-
коэффициентам отражений га^ и тгв от кристаллов А и В.
Анализ и некоторое упрощение достаточно сложного выраже-
выражения (9.15) можно начать с рассмотрения одной из важнейших
характеристик спектрометра, а именно дисперсии, которую мож-
240
но ожидать вследствие конечного спектрального интервала в ис-
используемом излучении.
Переходя к предельному случаю бесконечно узких максиму-
максимумов для функций С а и Св, которые, следовательно, будут отличать-
отличаться от нуля лишь при обращении в нуль их аргументов, легко полу-
получить величину дисперсии:
iS. = D - Па + Пв (9 Ш
где, как и раньше, верхний знак относится к положению I и ниж-
нижний — к положению II кристалла Б. Это соотношение непосред-
непосредственно приводит к следующим важным результатам. В положе-
положении I дисперсия в двойном спектрометре складывается из значений
дисперсии, отвечающих обоим кристаллам в отдельности. Наобо-
Наоборот, в положении II полная дисперсия составляет разность тех
же величин.
В важном частном случае, когда оба кристалла одинаковы и
индексы отражения па = п>в, положение I дает удвоенную диспер-
дисперсию, в то время как II — дает дисперсию, равную нулю. Такое
свойство положения II определило его преимущественное исполь-
использование во многих работах.
Дальнейшее рассмотрение характеристик двойного спектромет-
спектрометра ведется раздельно для обеих схем.
Положение II, или параллельное расположение кристал-
кристаллов — схема (га,— п) (рис. 66, б). Важным частным случаем явля-
является схема с двумя одинаковыми кристаллами, причем предпола-
предполагается, что оба кристалла являются достаточно (и в одинаковой
степени) совершенными и индексы отражения
пА = пв. (9.17)
Кроме того, очевидно, что
СА = Св = Съ Ох = *2 = Ф. (9.18)
В таком случае выражение (9.15) принимает вид
- (Ь - К) (-f^)J da dX dq>. (9.19)
Качественный анализ этого выражения позволяет получить допол-
дополнительные характеристики параллельного расположения.
Исходным пунктом такого анализа служит весьма малая об-
область значений аргумента, измеряемая немногими угловыми се-
секундами или абсолютной величиной углов порядка 10~5, при ко-
241
торых функция С под интегралом отлична от нуля. В таком слу-
случае можно показать следующее.
1. Функция G (а, ф) может быть представлена в виде произве-
произведения двух функций
G (а, Ф) = Gt (a)G2 (Ф). (9.20)
При этом, хотя значения функций Gt отличны от нуля в областях
углов порядка минуты (— 10~3 в абсолютных единицах), в соответ-
соответствии с величиной члена V2 Ф2 tg Ф, эффективная область измене-
изменений функции G2 примерно того же порядка, что и функции С. Кро-
Кроме того, как можно показать, при параллельном расположении
кристаллов форма получаемой кривой отражения вообще не зави-
зависит от вертикальной расходимости падающего на первый кристалл
пучка.
2. Для каждой из монохроматических составляющих падающе-
падающего пучка эффективная область изменений аргумента весьма незна-
незначительна и составляет примерно
ае ж (% — %0) (д&/д%H. (9.21)
Эта оценка соответствует сделанному выше указанию, что кристалл
А преобразует падающий пучок в совокупность параллельных пуч-
пучков для монохроматических составляющих.
3. Функция Р (Р) отлична от нуля в очень узкой области зна-
значений аргумента. Другими словами, в схеме (д, —п) полуширина
кривой отражения сравнима с полушириной динамического мак-
максимума от одного кристалла. Для некоторых типичных условий она
превышает эту последнюю приблизительно в 1,3 раза.
4. Эффективная область длин волн, участвующих в образова-
образовании максимума внутри кривой отражения, относительно велика и
оценивается величиной
bo±@tya«)°am. (9-22)
В типичных случаях это составляет — Яо ± B -—• 3) X, т.е.
используется интервал длин волн, более или менее значительно
превышающий полуширину многих спектральных линий (см.
табл. 10). Оценка (9.22),*как видно из этого выражения, не зави-
зависит от р.
5. Сопоставляя узкую область изменений функций С, факти-
фактически учитываемых при интегрировании, и сравнительно широ-
широкие области изменений аргументов ф, а, Я, причем функции G±,
б2и / медленно меняются в пределах угловых секунд, приходим
к следующей форме выражения для кривой отражения:
г со
Р($) = К J С (а) С (а — Р) da, (9.23)
242
где
. (9.24)
Поставленный выше вопрос о соотношении между эксперименталь-
экспериментальной кривой отражения Р ф) и истинным профилем динамическо-
динамического максимума отражения от кристалла В был специально рассмот-
рассмотрен Лауэ [118]. Было показано, что прямой переход невозмо-
невозможен.
Мало того, если надлежащим подбором функции (или функций)
С интеграл (9.23), вычисленный тем или иным методом, будет в
удовлетворительном согласии с экспериментальной кривой отра-
отражения, то и этот результат не будет однозначным.
Следует далее отметить, что элементарное рассмотрение (9.23)
непосредственно обнаруживает, что кривая отражения при
использовании схемы (и,— п) является симметричной относитель-
относительно точки Р = 0, даже если истинные кривые динамического отра-
отражения кристаллов А ж В несимметричны, например, как в случае
отражения по Брэггу от поглощающего кристалла. Необязатель-
Необязательным условием указанной симметрии будет тождественность ди-
динамических максимумов от обоих кристаллов.
Очевидно далее, что формула (9.23) относится к случаю, когда
падающее на кристалл А излучение поляризовано. При неполя-
ризованном излучении функция Р записывается следующим обра-
образом:
оо
5 -Р) + Ся(а)С„(а-рI**. (9.25)
Это выражение дает полную мощность, отраженную кристаллом В
в положении р. Коэффициент отражения в этом случае выражается
величиной
(9.26)
Впрочем, под коэффициентом отражения часто понимают величи-
величину Р (Р) (9.25). Очевидно, что так как подынтегральная функция в
(9.25) является для любого данного значения а произведением
ординат обеих кривых С1 (а) и С (а — (J), то максимальное зна-
значение этого произведения при |J = 0 и параллельности обоих
243
крйбталлов будет соответствовать величине (процентного отра-
отражения)
оо оо
J [СГ0 («)]•**+ | [Cn(a)fda
R @) = =^1__ — , (9.27)
J [Св (а) + Ся (a)] da
— ОО
которая является максимальным (относительным) значением коэф-
коэффициента отражения (в двухкристальном спектрометре).
Наконец, величина интегрального отражения при измерениях
на двухкристальном спектрометре вычисляется из следующего вы-
выражения:
[ J Ca(<x)da]* + [ J Cn(a)da]*
R (P) Ф = -^ == . (9.28)
Положение I, или антипараллельное расположение кри-
кристаллов — схема (п, п) (рис. 66, а). В этом случае, аналогично
(9.19), можно написать
-%0)C[a- -^-tg®-
- (К - Хо) (UU da d% ЙФ. (9.29)
Качественный анализ этого уравнения, подобный тому, который
относится к случаю параллельного расположения, приводит к
следующим результатам.
1. И в этом случае эффективные значения а оцениваются как
?)e. (9.30)
2. Оценивая интервал значений р, для которых функция Р (C)
имеет еще заметную величину, приходим к выводу, что в данном
случае этот интервал существенно превышает угловую ширину
динамического максимума для одного кристалла. Количественные
оценки требуют установления связей между величиной |3 и спект-
спектральным интервалом, дающим вклад в образование максимума.
3. Аргумент второй функции С под знаком интеграла в (9.29)
можно переписать следующим образом:
-2 (ж). <*-Ч - {«- (ж). <*-Ц-т-
Нетрудно видеть, что так как последний член в этом выражении,
так же как и второй член в фигурных скобках [согласно (9.30)],
малы, то и первый член в фигурных скобках должен быть малым
для того, чтобы величина С для второго кристалла заметно отли-
отличалась от нуля. Таким образом, в отличие от параллельного рас-
расположения кристаллов [см. (9.22)], если кристалл В отклоняется
от среднего положения на угол |3, оба кристалла отбирают из все-
всего спектра волн в падающем пучке узкую спектральную полосу:
Р- (9-32)
Этот результат имеет принципиальное значение, так как он позво-
позволил Реннингеру использовать в качестве монохроматора в трех-
кристальном спектрометре именно схему (п, п). Действительно,
как было уже указано, при образовании максимума Р ((J) при па-
параллельном расположении кристаллов в значение функции Р (f$)
при каждом данном положении f$ дают вклад монохроматические
составляющие пучка в сравнительно широком интервале длин
волн: в типичном случае, согласно (9.22), 2—ЗХ. В противополож-
противоположность этому, в каждом данном положении |3 кристалла В в схеме
{п, п) принимает участие спектральный интервал в f$/aw раз мень-
меньший, т. е. в указанном типичном случае шириной до 0,01— 0,02Х.
Что касается дисперсии двойного спектрометра, то согласно
(9.16) при расположении кристаллов (п, п) она составляет сумму
дисперсий от обоих кристаллов и, в частном случае равенства пА =
= %и тождественности обоих кристаллов, указанное расположе-
расположение дает дисперсию, удвоенную по сравнению с дисперсией от одно-
однокристального спектрометра.
4. Наконец, важным является результат проверки симметрии
функции Р (Р) в данной схеме.
Рассматривая выражение (9.29), мы замечаем, что его преобра-
преобразование, подобное тому, которое было применено к (9.19), здесь не
может быть проведено. Что касается переменной а, то, в соответ-
соответствии с (9.30), эффективная область ее изменений мала сравнитель-
сравнительно с am, и поэтому мы можем и здесь распространить пределы ин-
интегрирования по а до ЧЬ оо. Эффект вертикальной расходимости не
может здесь быть исключен, так же как и функция / (к — А,о).
Однако рассматривая условно работу нашего спектрометра при
падении на кристалл А монохроматического пучка лучей с указан-
указанной расходимостью (а, ф) и, приняв, что мы можем пренебречь
зависимостью от ф, получим
С (а) С (р- a) da, (9.33)
где опущен множитель пропорциональности. Как показывает вни-
внимательное рассмотрение этой формулы, она отличается от (9.23)
тем, что, заменяя в ней (|J) на (—13), мы не получим эквивалентного
результата. Следовательно, кривая отражения, снятая при вра-
вращении кристалла В в схеме (п, п), не обладает паразитной или ин-
245
бтрументальной симметрией относительно точки C = 6 (так же
как и относительно любого другого значения |3). Это свойство кри-
кривых отражения, снятых в схеме (тг, п), также имеет принципиаль-
принципиальное значение для последующего, хотя и не может быть использо-
использовано в рассматриваемой схеме двухкристального спектрометра
из-за сильного эффекта дисперсии.
9.3. Трехкристальный спектрометр
Впервые идея трех- и многокристальных спектрометров была
выдвинута Дю-Мондом [119], который предложил наглядный гра-
графический метод анализа свойств подобных приборов. Реннингер
[101] использовал этот метод для качественного рассмотрения
возможных схем трехкристального спектрометра, построил его и
получил с его помощью существенно новый результат: кривую от-
отражения по Брэггу от кальцита с отчетливой асимметрией. Таким
образом, была устранена паразитная симметрия кривых отраже-
отражения, которые получаются при использовании классической схе-
схемы (п, — п) двухкристального спектрометра. Полная теория и схе-
схема трехкристального прибора были развиты в работе [109] и ус-
успешно использованы для получения кривых отражения от Ge и Si.
Рис. 67. Схема трехкристального спектрометра
Схема трехкристального спектрометра приведена на рис. 67.
Неподвижные кристаллы 1 и 2 образуют двухкристальный моно-
хроматор г. Кристалл 5, для которого получают кривую отраже-
отражения, устанавливается в положение параллельное или антипарал-
антипараллельное по отношению к кристаллу II.
Графический метод Дю-Монда заключается в следующем
(рис. 68). Значения переменных йи^, связанных законом Вульфа —
1 Мы используем термин «монохроматор» для одного, двух или более кристал-
кристаллов, с помощью которых получается пучок, приближающийся к плоской моно-
монохроматической волне. Другими слонами, монохроматор не только моно-
хроматизирует падающее излучение, но и преобразует его, суживая угловую
расходимость.
246
Al
Брэгга, откладываются на двух осях прямоугольной системы коор-
координат. Значения К в функции от О лежат на прямой линии, наклон-
наклонной к обеим осям. Фактически, однако, используется не линия, а
полоска. Значения ширины этой полоски, взятые параллельно
осям Ф и А,, соответствуют некоторым интервалам углов падения и
дисперсии. Двухкристальный спектрометр отвечает наложению
двух подобных полосок. При качании кристалла 2 в параллельной
установке отвечающий ему график смещается в положительном на-
направлении оси Ф, и в антипараллельной установке отвечающий
второму кристаллу график смещается
в противоположном направлении.
Зачерненный ромб на пересечении
двух полосок в случае схемы (п, п),
изображенный на рис. 68, соответст-
соответствует угловому и спектральному ин-
интервалам пучка, который образуется
в результате последовательного отра-
отражения от двух неподвижных кристал-
кристаллов 1 и 2, составляющих двухкри-
двухкристальный монохроматор. Более широ-
широкая полоса 3 показывает область
отражения кристалла 3, который
поворачивается во время измерения
кривой отражения.
Этот метод позволил Реннингеру
выбрать принципиальную схему для
трехкристального прибора. Существенным моментом в схеме
Реннингера является правильный выбор устройства двухкристаль-
двухкристального монохроматора. В изложенной выше теории двухкристального
спектрометра было указано, что из-за отсутствия дисперсии по-
полуширина максимума при (п, ~п) расположении несравненно
меньше, чем при расположении (п, п). Однако параллельное рас-
расположение характеризуется значительным вкладом в образование
максимума сравнительно широкого интервала длин волн при каж-
каждом данном значении |3 или при каждом положении кристалла 2.
Очевидно поэтому, что, используя подобный луч в качестве зонда
для получения кривой отражения от кристалла 3, мы получим раз-
развертку по спектральному интервалу, заключенному в падающем
луче.
Наоборот, согласно оценке (9.32), в каждом данном положе-
положении второго кристалла в схеме (п, п) в отражении принимают уча-
участие составляющие спектрального интервала примерно на два по-
порядка меньше, чем в схеме (п, —/г),
Выяснение возможностей и количественных характеристик
трехкристального спектрометра было достигнуто разработкой бо-
более строгой теории этого метода, изложенной в работе [109]. По-
Построение теории близко к изложенной теории двухкристального
спектрометра.
Рис. 68. К пояснению графи-
графического метода Дю-Монда
247
Условия, которые должны выполняться, следующие:
1) кристаллы устанавливаются так, чтобы нормали к их вход-
входным граням лежали в общей плоскости;
2) кристаллы имеют совершенную структуру, так что их функ-
функции отражения отвечают динамической теории;
3) рассматривается симметричное отражение от всех трех кри-
кристаллов. В таком случае, используя расположение (п, п) в моно-
хроматоре (или для первых двух кристаллов (рис. 67)), на осно-
основе рассуждений, которые были приведены при выводе формулы
(9.15), получим
- (X - %0) (|^)"Х] da d% dq>. (9.34)
Здесь угол у представляет отклонение исследуемого кристалла 3
от начального положения, и знаки «±» отвечают положениям ан-
антипараллельному и параллельному кристалла 3 относительно 2
соответственно. Символы этих схем по предложению Реннингера
имеют вид {пг, и2, п3) и (и1? п2, —и8).
Для упрощения общего выражения (9.34) введем допущения
«, = fl2 = #0, (9.35)
C, = Clf *, = *i, (9.36)
G (a, Ф) = Gx (a) G2 (q>). (9.37)
Функции / (X — Хо) и (?! (a) изменяются незначительно в преде-
пределах угловых координат, отвечающих динамическим максимумам
С] и Со. Поэтому они могут быть вынесены за знак интеграла и
пределы интегрирования по переменным А, и а могут быть расши-
расширены до =f оо. Введем новые функции
(9-38)
Если обозначить значения дисперсии для кристаллов 1 ж 2 через
Do и кристалла 5 — через Dx и использовать формулу Вульфа —
Брэгга, то можно написать
Di _ / дЪ\г 11 ЭО\о __ dp cos do _ tgfa __
Ж - \1Гуо / \Ж Jo "" - 1рГ ~
248
Далее
Принимая Фо > #i, получаем 0 < /с ^ 1. Наконец, введем
х = — я|J — р. (9.41)
Уравнение (9.34) принимает вид
X Сг [+¦ (г + а) + кх) dx da di|>. (9.42)
Так как G2 (if) не зависит от а и ж, уравнение (9.42) может быть
представлено
Р(±Г) = АВР'{±1), (9.43)
(9.45)
Существенный результат (9.43), (9.44), (9.45) заключается в том,
что форма кривой отражения, снятой на трехкристальном спект-
спектрометре, при сделанных допущениях не зависит от вертикальной
расходимости падающего пучка [функции G2 (if>)]. Для дальней-
дальнейшего анализа полученных соотношений введем новую переменную
у = ± а + кх, (9.46)
откуда
a + x = ±1J + x(lzFk), -.a + x=+y + x(i±k), (9.47)
и (9.45) преобразуется
= )\ C0[y+x(i-k)]C0[-y + x(i + k)] х
— ОО
xC±(±r+y)dxdy. (9.48)
Интегрирование может быть произведено отдельно, и мы получа-
получаем две функции
ОО
^'(±Г)= S <?i(zbr + J/)[FB/)l^, (9.49)
(9.50)
249
при этом (9.50) зависит от свойств двухкрйСталЬного монохрома*
тора. Р' (±т) представляет, следовательно, как и в случае двух-
кристального спектрометра, свертку двух функций: С1 — функции
динамического рассеяния от кристалла 3 и V (у) — функции раз-
размывания. Важное свойство функции Р' (у) заключается в том, что
изменение знака в схеме (пъ п2, ± п3) дает две кривые отражения,
которые являются зеркально-симметричными. Так как это свой-
свойство не зависит от G2 (if), оно может служить методом проверки
установки трехкристального спектрометра. Отсюда следует, что
отклонение от зеркальной симметрии должно служить указанием
на различие (например, степени совершенства) кристаллов, со-
составляющих монохроматор, разумеется, если в остальном установ-
установка отвечает соответствующим требованиям.
Другое важное свойство прибора — соотношение между полу-
полушириной кривой отражения, полученной на этой установке, и по-
полушириной динамического максимума кристалла 3. Исследуем
функцию V(y), представленную в (9.50), при различных возможных
значениях к.
Для к = 1 имеем
р= ^ C0(—y + 2x)dx = ^ C0{2x)dx. (9.51)
—оо —оо
Отсюда следует, что полуширина функции Vx (у) равна
полуширине Со {у):
wVl = w0. (9.52)
С другой стороны, при к = 0
Vo(y)=
= 5 C0(z)C0(z-2y)dz. (9.53)
Последняя справа форма функции Vo (у) соответствует параллель-
параллельному расположению (тг, —п), но в «половинном» масштабе. Если
полуширина при параллельном расположении составляет wn,
то
(9.54)
Аппроксимируя функцию С гауссовой кривой ошибок, мы полу-
получим w0 — 2*1/2 wn czz 0,71^. В таком случае пределы изменения
полуширины функции wy в интервале изменения величины к
250
будут
0,50 wn < wv = 0,71 wn. (9.55)
Величина wy дает нам оценку углового расхождения луча, выходя-
выходящего из двухкристального монохроматора и используемого в ка-
качестве зонда для получения кривой отражения от кристалла 3.
Эта величина на графике Дю-Монда (рис. 68) соответствует ширине
по оси д зачерненного ромба, полученного при пересечении «по-
«полосок» от кристаллов 1 и 2 при их антипараллельном расположе-
расположении. Реннингер [101] оценил величину wy из подобного графика,
как 2/з^тх, т. е. в полном согласии с условием (9.55).
Для вычисления полуширины кривой отражения, получаемой
на трехкристальном спектрометре, мы можем использовать ту же
аппроксимацию гауссовой кривой для функции Сг. В таком слу-
случае можно получить следующее соотношение:
м>» = и;? +-^ A + &а), (9.56)
где w, юг и w0 обозначают значения полуширины кривых отра-
отражения и функций С1 и Со соответственно.
Нетрудно видеть, что, согласно (9.56), наилучшее приближе-
приближение к динамической кривой от исследуемого кристалла 3 дости-
достигается при использовании отражения высокого порядка, дающего
острый максимум в монохроматоре, и отражения первого порядка
от исследуемого кристалла. Так, в [120] авторы использовали схе-
схему C,3,1), причем монохроматор состоял из двух монокристаллов
Si и исследовался кристалл Ge при отражении 111 (излучение
СпКа). В этом эксперименте значения величин w1 и к составляли
8" и 0,24 соответственно. Используя w0 ж 1,89", получаем
Г w2 11/2
у>\ + -f A + 0,06) J ж 8,06" ж 8,1". (9.57)
Таким образом, трехкристальный спектрометр при надлежащем
выборе отражений позволяет получить кривую отражения, кото-
которая по форме практически совпадает с истинным профилем динами-
динамического максимума, в особенности, если учесть, что этот прибор не
искажает истинную кривую из-за «паразитной» симметрии [121].
Рассматривая далее различные частные соотношения между
тремя кристаллами, образующими спектрометр, можно получить
основные характеристики ожидаемых кривых отражения и прежде
всего — значения полуширины.
Наконец, аналогично двухкристальному спектрометру, в слу-
случае трехкристального прибора величина R @) в частном случае
(/гх, п2, ± ^з) определяется из формулы
с»
JJ Со (а + х)Со(—а + x)d (± т ± а + кх) da dx
Rm @) = ~- . (9.58)
^ Со (а + х) Со (— а + х) da dx
251
В первой работе с использованием трехкристального спектро-
спектрометра, выполненной Реннингером [101], в качестве монохромато-
ра были взяты монокристаллы кальцита. Исследовалась кривая
отражения также от кальцита в схемах B,2, ± 1). При расчете тео-
теоретических кривых было принято, что после отражения по схеме
B, ± 2) в монохроматоре пучок, падающий на кристалл 3 имеет
cr-компоненту интенсивности — 85% и я-компоненту — 15%.
Несмотря на существенное различие профилей теоретической и
экспериментальной кривых, значения интегральных отражений,
пропорциональных площади, ограниченной кривой, весьма
близки:
ДТ = 37,7 • 10"в, Щ = 36,5 • 10"в.
Близость этих величин свидетельствует о том, что при отражении
рентгеновских лучей от почти совершенных кристаллов значение
интегрального отражения слабо зависит от степени отклонения от
идеальной структуры.
Наконец, в начале 1968 г. была опубликована работа япон-
японских авторов [114], в которой принцип трех- (и четырех-)кристаль-
ного спектрометра успешно совмещен с асимметричной съемкой.
Замечания о результатах, полученных этими авторами, приводит-
приводится ниже.
9.4. Другие типы спектрометров и монохроматоров
Двойные спектрометры типа Брэгг — Лауэ и Лауэ-Лауэ.
Брогрен и Эделл [108] в своих исследованиях кривых отражения
кальцита, кварца, а затем Ge и Si использовали двойные спектро-
спектрометры по схемам Брэгг—Лауэ и Лауэ—Лауэ (рис. 69). В спектро-
спектрометре Брэгг — Лауэ (рис. 69, а) используется в кристалле 1 сим-
симметричное отражение по Брэггу и в исследуемом кристалле 2 —
симметричное отражение с теми же индексами по Лауэ. Для со-
сопоставления с экспериментальными кривыми отражения эти ав-
авторы использовали формулы (9.25) — (9.28), в которых значения
функций Со (ос) и С„ (ос) от кристалла 1 и Со (ос — |3) и С„ (ос — |3)
от кристалла 2 соответствовали коэффициентам отражения и про-
прохождения в зависимости от выбранной схемы прибора. Так, в слу-
случае схемы Брэгг — Лауэ для кристалла 1 использовались коэффи-
коэффициенты отражения по Брэггу и для кристалла 2 — коэффициенты
отражения или прохождения по Лауэ. Хотя использование ука-
указанных формул в схемах Брэгг—Лауэ и Лауэ—Лауэ не было обо-
обосновано специальным анализом, правомерность такого расчета
была подтверждена хорошим совпадением теоретических (т. е.
вычисленных указанным путем) и экспериментальных кривых от-
отражения в широкой области спектра. (Вместе с тем следует отме-
отметить, что все еще остается неясной теоретическая оценка таких ос-
основных характеристик кривых отражения, получаемых в схеме
Брэгг — Лауэ, как наличие или отсутствие «паразитной» симмет-
252
Рис. 69. Схемы спектрометров
и монохроматоров.
а — двухкристальный спектрометр
по схеме Брэгга — Лауэ; б — двух-
двухкристальный спектрометр по схе-
схеме Лауэ — Лауэ с использованием
эффекта Бормана; в — монохрома-
тор с асимметричным отражением
по Брэггу
рии и соотношения между полушириной динамического максиму-
максимума и кривой отражения.)
Схема монохроматора с отражением по Лауэ для изучения кри-
кривых отражения, разделения волновых полей в кристалле и интер-
интерференционных эффектов при динамическом рассеянии использо-
использовалась, начиная с 1961г., Отье и его сотрудниками [16, 117].
Характерной чертой этого монохроматора (рис. 69, 6) является
использование эффекта Бормана. Как отмечалось в гл. 5, при про-
прохождении излучения через толстый кристалл происходит сильное
сужение волнового фронта, а следовательно, уменьшение расхо-
расходимости выходящих, отраженного и прошедшего, пучков.
Спектрометры с использованием асимметричной съемки по Брэг-
Брэггу, Зависимость угловой ширины области II полного отражения по
Брэггу от угла падения г|H или скользящего угла падения соо =
— (я/2) — г|H = (я/2) — (О — ф), рассмотрена в 7.1. Варьируя угол
Ф между входной поверхностью кристалла и отражающей плос-
плоскостью, что может быть сделано шлифовкой (и последующей обра-
обработкой) входной поверхности, можно существенно изменить угло-
угловую расходимость пучка, отраженного в пределах области II мак-
максимума. Согласно G.43), эта угловая ширина выражается форму-
формулой
а
Ь =
rsincoo
/лет
(9.59)
Таким образом, для получения отраженного пучка с ничтожной
угловой расходимостью необходимо использовать возможно ма-
малый скользящий угол падения.
253
Весьма наглядной иллюстрацией к соотношениям (9.59) яв-
являются кривые отражения 111 излучения СиКа от Ge, получен-
полученные Бубаковой [112]. В этой работе был использован трехкристаль-
ный спектрометр, описанный выше. Кривые отражения, представ-
представленные на рис. 70, были сняты при трех различных углах падения
<о0 (соответственно, трех значениях ср). Средняя кривая 1 отве-
отвечает симметричному отражению, левая 2 — скользящему паде-
падению при cpj= О — со0 = + 4,5° и правая 3 — значению ф = #—
— о)о = —4,5°. Соответственно, левая кривая имеет полушири-
полуширину меньшую и правая большую, чем средняя.
R
Рис. 70. Кривые отражения
111 CuA'a от Ge, получен-
полученные при различных углах
падения
Реннингер [111] рассмотрел ряд схем двухкристальных
спектрометров с комбинацией либо асимметричного отражения от
обоих кристаллов, либо асимметричного отражения от одного и
симметричного отражения от другого кристалла. Он показал что
при асимметричном отражении от обоих кристаллов с параллель-
параллельным расположением отражающих плоскостей достигаются как зна-
значительное сужение угловой ширины кривой отражения, так и боль-
большое увеличение интенсивности по сравнению с трехкристальной
схемой. Однако полученная при этом кривая свертки обладает
«паразитной» симметрией, как и в классическом двухкристальном
спектрометре. В отличие от этого, двухкристальный спектрометр
с асимметричным отражением от кристалла 1 и симметричным от-
отражением от кристалла 2 ¦ (исследуемого) свободен от указанного
недостатка.
Асимметричное отражение от одного кристалла было успешно
использовано Баттерманом и Хильдебрандтом [116] для получения
пучка с угловой расходимостью ~ 0,4" и шириной когерентного
фронта ~ 0,5 мм (рис. 63, в). Этот пучок направлялся на поверх-
поверхность тонкой плоскопараллельной пластинки для получения кри-
кривой отражения по Брэггу, содержащей побочные максимумы ма-
маятникового решения. Диафрагма, установленная между описан-
описанным монокристальным монохроматором и отражающей пластин-
пластинкой, не может обеспечить достаточно полного устранения дру-
других пучков, помимо основного (X ф Хо). Кроме того, при расши-
расширении волнового фронта происходит уменьшение интенсивности
отраженных пучков.
254
Систематические исследования свойств асимметричных моно-
хроматоров или, как их называют авторы, коллиматоров были вы-
выполнены на протяжении последних шести лет японскими исследо-
исследователями Коора, Кикута и их сотрудниками [113—115, 122].
Общий подход к схемам двух- и трехкристальных коллиматоров
изложен в работе [115].
Рассмотрим задачу применительно к двухкристальному моно-
хроматору.
Поскольку в пучках, отраженных монохроматором, наиболь-
наибольший интерес представляет область II полного отражения, рассмат*
ривается изменение трех параметров (в наших обозначениях):
угловой величины области полного отражения Аг]0, согласно G.32),
и угловых смещений ц0 и %, падающего и отраженного лучей со-
соответственно, согласно формулам G.34), G.35) и G.39).
Следует сделать оговорку. Так как в цитируемых работах рас-
рассматривается отражение от поглощающего кристалла (Си Ка от
Si или Ge), то полное отражение в области II максимума не имеет
места. Вместе с тем эта область представляет основную часть пло-
площади под кривой отражения.
Исходим из выражения для угловой функции ут в форме дан-
данной Захариасеном [уравнение (8.89)]. Учитывая далее, что величи-
величина т] уменьшается при возрастании скользящего угла со, получим
Уг = - [V* A + Ь) Хог - Ь (со - со0) sin 2»]/С | Хлг I Vbi (9.60)
Отсюда
©о = Ь + A + б) А + ЪгЪВуг, (9.61а)
А = | %Or |/2 sin 2*, В - С | хлг |/2 sin 20, (9.616)
и, аналогично переходу от G.34) к G.39), умножая соо на Ь,
получаем
юл = * + A + Ъ) А + Byz VT. (9.62)
В выражениях для соо и сол вторые члены справа дают угловое
смещение средней точки максимума относительно угла падения,
равного д. Действительно, согласно G.34) и G.39),
т|0 = А A + Ъ'\ т|л = А A + Ъ). (9.63)
Третьи члены справа в (9.61а) и (9.62) дают угловые «координаты»
относительно нового «начала» — середины максимума — любой
точки, отвечающей данному значению yz. При Ayz = 2 получим,
согласно G.32).
At]0 = 2В/ VK Ат|л = 2В Vb7 (9.64)
Рассмотрим теперь последовательно угловые положения средних
точек максимумов т]0 и x\h и значения V2 Дть и V2 Ar]h при отра-
отражении от двух кристаллов относительно исходной величины Ф.
255
На кристалл 1 падает пучок с большой угловой расходимостью.
Однако эффективным для получения максимума отражения можно
считать асимметричный относительно средней точки максимума
оH угловой интервал 2Blb'l\ где Ь1 — соответствующий параметр
для кристалла 1. В этом интервале принимаем интенсивность по-
постоянной. Отраженный от кристалла 1 максимум будет иметь сред-
среднюю точку на расстоянии А A + Ь±) от угла # и эффективную об-
область для получения отражения от кристалла 2 — 2В til*.
При рассмотрении отражения от кристалла 2 наиболее сущест-
существенным является учет не только пучка, отраженного от области
25 &i2, который обозначается
через i?i*, но и другого отра-
отраженного пучка i?n, который
возникает при падении на кри-
кристалл 2 фона, не попадающего
в упомянутый максимум. Из
этого фона эффективным будет
угловой интервал 2В/ЬЧ*, сред-
средняя точка которого отстоит от
д на величину А A + Ь*1), где
Ъ2 — соответствующий параметр
для кристалла 2. Пучок Дц
будет, очевидно, иметь полуши-
полуширину 2ВЪХ^ и среднюю точку на
расстоянии А A + Ъ2) от д.
В результате второй кристалл
отразит два пучка: i?* и i?n,
имеющие угловые размеры
2Bb2b[/2 и 2ВЬ%2 соответственно.
Отстояние средней точки максимума i?* от Ф составляет
А A + Ъ^)Ъ2. Таким образом, окончательная кривая отражения
после кристалла 2 RiRn будет сверткой двух кривых, смещенных
друг относительно друга на величину А A — ЬгЬ2), что приводит
к образованию второго небольшого максимума и к резкому сниже-
снижению интенсивности.
Наилучшим путем устранения этого эффекта является надлежа-
надлежащий поворот второго кристалла, что должно привести к наложе-
наложению максимумов Ri и i?n. Угол поворота должен соответствовать
разности между «угловыми координатами», или отклонениями от
Ф средних точек максимума, отраженного от кристалла 1, и фона,
т. е. величине
Рис. 71. Монохроматор асимметрич-
асимметричного отражения
А A + Ъ?) - А A + Ьг) =
(9.65)
Для такого поворота используется небольшая упругая деформация
тонкой части монокристаллического блока (рис. 71). Далее, так
256
как величина В, согласно (9.616), будет значительно меньшей для
л-компоненты ввиду наличия множителя С, неполная компенса-
компенсация угла, данного (9.65), приведет к затуханию я-компоненты. От-
Отметим, что трехкристальный спектрометр из несвязанных крис-
кристаллов является более универсальным.
9.5. Некоторые итоги экспериментальной проверки
инамической теории
Исследования кривых отражения. Итоги исследований кри-
кривых отражения от более или менее совершенных монокристаллов
с использованием спектрометров за период времени до 40—50-х
годов изложены в монографиях [6—8]. Здесь мы приведем некото-
некоторые результаты исследований, выполненных за последние 15—17
лет. Эти работы были проведены Брогреном с сотрудниками [107,
123—125], Реннингером [101, 110], Бубаковой и др. [112, 120],
Отье с сотрудниками [16,117], Баттерманоми Хильдебрантом [116],
Коора, Кикута и др. [122, 126]. Брогрен с сотрудниками получа-
получали кривые отражения и прохождения от кальцита и кварца
A954 г.), а также от кварца, германия и кремния A962—1963 гг.)
в более широком, чем ранее, спектральном диапазоне. Для полу-
получения кривых отражения использовались спектры, полученные
главным образом по схеме Брэгг — Лауэ, и, в меньшей степени,
по схемам Брэгг — Брэгг и Лауэ — Лауэ. Применялось как характе-
характеристическое излучение, так и белое от вольфрамового антикатода
с кристаллом-монохроматором. Существенным результатом этих
исследований было получение кривых отражения и прохождения
от кристаллов в широком диапазоне толщин и длин волн. Эти кри-
кривые относятся как к К-, так и к L-поглощению, причем их форма
в соответствии с теорией, изложенной в гл. 4, определяется толь-
только произведением \xt. Это можно проиллюстрировать рис. 72, где
показаны сходные кривые отражения от кристаллов кальцита
разной толщины, полученные в лучах МоКа и AuL px, с величина-
величинами \xt = 2,6 и 2,1. Отметим также характерную форму кривых про-
прохождения, обнаруживающих наличие эффекта Бормана (рис. 72, Б).
При обсуждении результатов авторы сопоставляли экспери-
экспериментальные и рассчитанные (для кривой свертки) параметры
полученных кривых: полуширину, i?max> Г max и их отношение,
интегральные величины Щ, Тг и смещения максимумов R от мак-
максимумов Т для толстых и от минимумов Т для тонких образцов
(рис. 73). В ряде случаев теоретические данные не могли были по-
получены.
Представляют интерес установленные в этих работах скачки
значений полуширины, коэффициента и интегральной величины
отражения на краях поглощения. Эти скачки более резко выраже-
выражены при отражении по Лауэ, чем по Брэггу. Как показали Кол и
Стемпл [100], отражение по Брэггу от мозаичного кристалла со-
сопровождается более сильным скачком на крае поглощения, чем
9 3. Г. Пинскер 257
при динамическом рассеянии. Это различие можно использовать
для контроля степени совершенства кристаллических образцов
(см. также [127]).
Систематическую экспериментальную проверку динамической
теории в случае отражения и прохождения по Брэггу от Ge вы-
выполнил Бонзе [89]. Он использовал классический двухкристаль-
ный спектрометр по схеме (п, —п). Представляют интерес резуль-
результаты измерений, полученные этим автором, величины прохожде-
прохождения Тв- Используя машинный счет, он подбирал значения хм Для
отражений 444 и 333, при которых теоретическая кривая по фор-
формуле свертки (9.26) для Т (|3) наилучшим образом совпадает с экс-
экспериментальной (рис. 74). При расчете величины С {а — |3) бра-
Рис. 72. Кривые отражения и прохождении 211
Излучение Аи Lpt (А) от кальцита толщиной 0,34 мм (схема съемки Лауэ — Лауэ) и
MoKct! (Б) от кальцита толщиной 0,91 мм (схема съемки Брэгга— Лауэ): а — теоретиче-
теоретические кривые; б — экспериментальные кривые; 1 — кривые прохождения; 2 — кривые от-
отражения
258
лись по формуле (8.98) для Тв- Им получены значения отношений
Xhi/Хоь равные 0,61 для 333 и 0,73 для 444.
Следует отметить, что сходимость экспериментальных и теоре-
теоретических значений таких параметров, как полуширина и высота
максимума кривых отражения в работах Брогрена и Бонзе опреде-
определяется во многих случаях величинами порядка 10—15%. В неко-
некоторых случаях экспериментальные значения оказывались выше
теоретических.
В работах Бубаковой [112] и Бубаковой, Драгокоупила и Фин-
герланда [109, 120], а в самое последнее время — Коора и Кикута
[122, 126] была решена более специальная задача получения кри-
кривых отражения, возможно более близких к динамическому макси-
максимуму от одного кристалла. Решение было достигнуто применением
трехкристальных спектрометров. Приведем здесь результаты, по-
J№3
2000
JO 0 О Л,Х
500 W00 1ЩЗ J500 А,Х
Рис. 73. Измеренце параметров отражения и прохождения для рефлекса 220 Ge
а — коэффициенты отражения в случае Брэгга; б — разрешающая сила в случае Брэгга;
в — коэффициенты отражения и прохождения в случае Лауэ; г — интегральные значения
отражения и прохождения в случае Лауэ
9*
259
лученные в работе [126]. Автор поставил перед собой задачу опре-
определения структурных и атомных амплитуд из параметров кривых
отражения по Брэггу. Были получены кривые отражений 422 и
333 излучения СиКа от Si. Использовалось излучение, прошед-
прошедшее через двухкристальный монохроматор с компенсацией эффекта
преломления, описанной в 9.4. Расходимость такого пучка
составляла 0,10". Наибольший интерес представляют ре-
результаты, относящиеся к параметрам кривой отражения 422. Экс-
Экспериментальная кривая отражения, средняя из тринадцати экс-
и-30 -20 -10 О 10 20 30-30 -20 -JO 0 10 20у
Рис. 74. Сопоставление экспериментальной и теоретической кривых прохож-
прохождения в случае Брэгга (Се, излучение СиКа)
а — отражение 333, t = 60 мк\ б — отражение 444, t = 80 мк\ сплошная кривая — теоре-
теоретическая, пунктирная — экспериментальная
периментов, имеет полуширину 2,963" ± 0,011" и отличается от
полуширины кривой, вычисленной по формуле свертки для трех-
кристального спектрометра, 2,959" на 0,2%, в то время как по-
полуширина динамического максимума для одного кристалла 2,931"
отличается от экспериментальной величины на 1,5%. Хорошая
сходимость достигнута для максимального отражения: экспери-
экспериментальное значение — 93, теоретическое — 94,5°/0-
Исследования интерференционных эффектов маятникового ре-
решения. Начиная с работы Като и Ланга [23], было выполнено зна-
значительное число исследований, в которых удалось реализовать и
более или менее детально изучить как линии равной толщины, так
и побочные максимумы маятникового решения. Благодаря работам
Като с сотрудниками весьма обстоятельно изучены рентгено-
рентгенограммы с гиперболами, связанные с интерференционным эффектом
при падении сферической вакуумной волны. В гл. 6 подобные сек-
секционные снимки подробно описаны в связи с теорией, развитой
Като. Физические условия рассеяния, приводящие к интерферен-
интерференционным эффектам при сферической, а затем при плоской падаю-
падающей волне, наглядно показаны в работе Харта и Милна [128]
(рис. 75).
Тонкий пучок рентгеновских лучей в форме ножа без прохож-
прохождения через монохроматоры падает на клин, составляющий часть
260
монокристаллического блока кремния. Проходя через клин при
симметричном отражении, падающее излучение образует секци-
секционный снимок с гиперболами, который фиксируется на фотопла-
фотопластинке, укрепленной в положении 1. Если удалить фотопластинку,
то рентгеновские пучки проникают в толстую плоскопарал-
плоскопараллельную пластинку, составляющую другую часть того же моно-
монокристаллического блока. После прохождения через толстую пла-
пластинку волновое поле с гиперболическими максимумами претер-
претерпевает существенное изменение как в геометрии, так и в интенсив-
интенсивности отдельных волн. Вследствие сужения угловой расходимости
проходящих пучков каждая точка гиперболы представляет почти
плоскую волну со своим значением угловой функции у. В резуль-
результате вступают в силу соотношения, действительные для прибли
жения плоской падающей волны вместо прежней, сферической
волны.
Отличия обеих интерференционных картин сводятся в основ-
основном к следующему:
1) абсолютные положения полос плоской волны смещены от-
относительно полос сферической волны на 1/4 периода по направле-
направлению к выходной грани [ср. F.57) и F.54)];
2) в средней точке гиперболы, т. е. в направлении, параллель-
параллельном отражающей плоскости, на достаточной глубине периоды обе-
обеих картин почти одинаковы;
3) в то время как для плоской волны периоды уменьшаются с
увеличением | у | внутри максимума, для сферической волны перио-
периоды возрастают; это объясняет обращение гипербол на картине
плоской волны;
4) периоды обеих картин (для каждого данного значения у)
слегка различаются, так как эффект модуляции картин сфериче-
сферической волны, связанный с интерференцией а- и я-колебаний, про-
пропадает ввиду поглощения я-слагающей в толстой пластинке
(рис. 76). Эта интерпретация носит качественный характер и тре-
требует проверки на основе обобщенной теории.
Определение абсолютных значений атомных амплитуд. Боль-
Большая серия работ, выполненных на протяжении последних семи
лет, посвящена абсолютным определениям атомных амплитуд рас-
рассеяния с помощью рентгенограмм с гиперболическими полосами
маятникового решения. Эти работы выполнены по преимуществу
Като и его сотрудниками.
Метод, основанный на измерении периодов Ah интерференцион-
интерференционных картин маятникового решения, противопоставляется мето-
методу определения структурных амплитуд из измеренных интенсив-
ностей рассеяния от порошков. Необходимость учета вторичной
экстинкции при рассеянии от порошков является источником
ошибок, снижающих надежность и точность определений. От этих
ошибок свободен метод измерений геометрии интерференционных
картин от монокристаллов. Однако этот последний метод не может
быть универсальным ввиду ограниченного числа кристаллических
261
веществ, которые могут быть получены в виде совершенных моно-
монокристаллов.
Вместе с тем возможность сопоставления результатов двух
принципиально различных методов следует рассматривать с точ-
точки зрения точной количественной проверки динамической теории
и контроля степени совершенства какой-либо кристаллической
структуры.
Определение атомных амплитуд из интерференционных картин
производилось с использованием клина, как это изложено в гл. Ь.
Однако непосредственное применение формул типа F.76) и (о.7/)
затруднительно, так как геометрический фактор Фк при необхо-
необходимости учета возможности отклонения от простейшей геометрии
эксперимента требует специального исследования. В связи с этим
Като [86, 129, 130] еще с 1967 г. разработал такую методику экс-
эксперимента, при которой один и тот же образец кристаллического
клина используется последовательно сначала для получения сек-
секционного снимка с гиперболическими максимумами, а затем для
определения %0 и Fo с помощью интерферограмм. Эти последние
получаются внесением клина на пути одного из двух когерентных
Рис. 75. Схема эксперимента для
получения интерференционных по-
полос, отвечающих падающей сферичес-
сферической (плоскость 1) и плоской волнам
(плоскость 2)
Рис. 76. Изображение интерференци-
интерференционных полос, огвечающих плоской
падающей (а) и сферической волнам
(б)
Цифры обозначают номера максимумов
262
пучков в интерферометре, описанном в гл. 10. Прохождение рент-
рентгеновского пучка через клин при падении за пределами максимума
влечет за собой возникновение периодически изменяющейся раз-
разности хода между когерентными волнами и образование интерфе-
интерференционной картины, период которой Л.о, аналогично Ah в F.76),
определяется формулой
Ло = ^-Фо, (9.66)
где Фо — геометрический фактор, аналогичный Фп.
Переходя от %h и %0 к Fh и Fo, заметим, что если схема экспе-
эксперимента такова, что переход от секционного снимка к интерферо-
грамме выполняется минимальным и вполне определенным числом
операций, то для отношения величин двух структурных амплитуд
можно написать:
в в 9
Таким путем достигается возможность более точного учета источ-
источников ошибок при определении геометрического фактора.
Здесь мы изложим в кратких чертах содержание последней ра-
работы Танемура и Като [130], посвященной определению абсолют-
абсолютных значений амплитуд Fh для Si. Для юстировки кристал-
кристаллического клина при получении снимков обоих названных типов
был изготовлен специальный двухкристальный спектрометр, в
котором клин устанавливался в положение В в схеме (п, — п)
на рис. 66. Оба кристалла в спектрометре могли перемещаться.
Интерферометр был определенным образом связан с кристаллом А.
Весь эксперимент проводился следующим образом. Сначала кри-
кристаллический клин устанавливался в отражающее положение по
отношению к падающему пучку. Использовались симметричные
отражения A.gKax излучения. В этом положении клина производи-
производилась съемка секционной рентгенограммы с гиперболами. Затем
клин поворачивался на угол О и смещался параллельно входной
грани на небольшую величину, составляющую половину шири-
ширины соответствующего пучка в интерферометре. Затем интерферо-
интерферометр ставился в такое положение, чтобы клин попадал точно на
пути одного из пучков, падающего нормально к входной грани.
В этой установке клина получался снимок интерферограммы
(рис. 77). Наконец, клин убирался и получался снимок картины
муара, свойственной интерферометру и обязанной наличию нару-
нарушений структуры в отдельных частях этого прибора (см. 10.3).
При расчете интерферограммы было принято, что наблюдае-
наблюдаемый период Лг простейшим образом связан с периодом Ло и пе-
периодом картины муара Л^:
Л^1 = Ло1 + ЛГ1 (9.68),
ввиду сложения сдвигов фаз фг = ф0 + Ф*.
263
При расчете секционных снимков авторы исходили из схемы,
показанной на рис. 78, в которой поясняются пространственные
соотношения между дифракционной картиной на боковой поверх-
поверхности клина А (см. также рис. 45, а) и на фотопластинке, уста-
установленной перпендикулярно к дифрагированному пучку. Необ-
Необходимо учесть деформацию картины при переходе от грани А
к выходной грани клина (см. рис. 45, б), а также нарушения стро-
строгой установки фотопластинки, а именно, отклонение действи-
действительной биссектрисы секционного снимка у от проекции г) линии
р и угол т между отвесной прямой и границей снимка WR'.
Рис. 77. Фотография интерференци-
интерференционных полос от клина, полученная с
помощью интерферометра по схеме
Лауэ
Jd)
(d)
пучок <?> о > б -
пучок
Рис. 78. Схема, поясняющая связь
между картиной гипербол в кристал-
кристалле и на секционном онимке
264
В таком случае для геометрического фактора Фн можно написать:
Ау Лт) Аг
Д^ АГ Ар
Ф.
cos (со/2)
cos со
(9.69)
где со — угол при вершине секционного снимка. Выражение (9.69)
получено в результате анализа и исключения возможного влия-
влияния ряда источников ошибок, таких, как угол у, отклонение от
строго симметричного отражения и отклонение плоскости снимка
от вертикальной. Кроме этих ошибок, были подвергнуты тща-
тщательному рассмотрению другие неточности эксперимента и основ-
основные источники ошибок при расчете теоретических значений пара-
параметров. Здесь можно отметить: 1) неточность в установке фото-
фотопластинки и непостоянство расстояния образец — фотопластинка
как при изменении угла (переход к другим отражениям), так и
при переходе от секционного снимка к интерферограмме; 2) поп-
поправки на температурный ход множителя Дебая — Валлера, на
дисперсию (Af), на преломление в воздухе для Fo и на рассея-
рассеяние на ядрах для отражений высших порядков.
Итогом этого анализа, а также некоторых контрольных экспе-
экспериментов и измерений была следующая оценка точности получен-
полученных значений атомных амплитуд рассеяния. Максимальные от-
отклонения в сериях определений / для отражений 111, 220, 333,
440, 444 от 0,34% для 333 до 0,03% для 444. Вероятные ошибки
измерений для первых четырех отражений 0,02; 0,01; 0,04 и
0,03% соответственно. Значения атомных амплитуд рассеяния
| / | кремния, согласно новейшим определениям различных ав-
авторов, представлены ниже.
Отражение
Танемура, Като [130]
Гетлихер, Вельфель
[134]
Харт,Милн[131]Д132]
111
10,664
10,72
220
8,463
8,45
8,478 (Мо)
8,448 (Ag)
8,487 (Мо)
8,494 (Ag)
333
5,84з
5,90
440
5,408
5,36
444
4,17а
4,18
В работах Харта и Милна [131, 132] были также выполнены
тщательные определения атомных амплитуд для отражения 220
излучений МоКа и AgKa от кремния. В работе [131] были ис-
использованы секционные снимки и особое внимание было обраще-
обращено на устранение влияния деформаций и дефектов в структуре
образца. В работе [132] авторы регистрировали интерференцион-
интерференционную картину, возникающую при последовательном прохождении
265
двух пластин (из одного блока) и воздушного зазора между ними.
Теорию этого метода, представляющего интерес при исследовании
деформированных кристаллов, разработали Отье, Милн и Со-
важ [133]. Различие в значениях атомных амплитуд, полученных
в работах [131, 132] при использовании двух различных излучений,
авторы приписывают различиям в значениях дисперсионного
члена А/'.
Наконец, значения атомных амплитуд получены Гетлихером и
Вэльфелем [134] из измерений интенсивности рессеяния в порош-
порошках и находятся в ряду лучших определений такого рода. Эти
данные пересчитаны на излучение AgKax. Добавим, что в работе
Кикута [126] значение / = 6,71 + 0,01 для отражения 422 было
определено из полуширины кривой отражения по Брэггу. Хоро-
Хорошая сходимость величин, полученных различными авторами, осо-
особенно относится к /220, здесь расхождения 0,2% и менее. Существен-
Существенно также подчеркнуть, что авторы [130] не считают возможным
приводить какие-либо теоретические значения атомных амплитуд
ввиду их недостаточной точности.
Рис. 79. Схема опыта Отье и Мальгранж
а — прохождение пучка через тонкую часть клина и образование полос маятникового
решения постоянной толщины;
б — прохождение пучка через толстую часть клина и разделение волновых полей, возник-
возникших в кристалле
В работе Мальгранж и Отье [135] в одном эксперименте были
реализованы две разные области рассеяния в смысле соотношения
между шириной фронта падающей плоской волны и толщиной
кристаллической пластинки. Авторы использовали монохроматор,
основанный на эффекте Бормана (см. рис. 69). Рентгеновский пу-
пучок с сечением в форме ленты падал на кристаллический клин
из Si таким образом, что пучок покрывал как толстую, так и
тонкую части клина (рис. 79). В тонкой части клина (толщина
~ 50 мкм) происходило перекрытие волновых полей и образование
интерференционной картины, теория которого дана в 3.4. Иссле-
Исследовалось отражение 220 в лучах Moifa. Расчет периода Л был
основан на формуле C.108) при Yh'~ cos И- В таком случае
Л =
Ы
1 + J/2)'
366
Рис. 80. Фотографии, полученные в работе СИье и Мальгранж
Левая часть соответствует прохождению через тонкую часть клина и содержит полосы
постоянной толщины; правая часть соответствует прохождению через толстую часть кли-
клина; полоски а и b соответствуют двум волнам в кристалле
Подставляя (ГоТhYu = 0,983, у ж 0,6, tg \i = 0,21 и J хл I «
^2,04 • 10~6, получаем Л — 140 мкм при экспериментальной величи-
величине 132 мкм.
В толстой части клина происходило разделение двух полей.
Для определения расстояния между участками обоих полей на
выходной грани можно использовать формулу E.276) для углов
е2 (у) и гг (—у), образуемых векторами SB) и Sa) с биссектрисой/
угла 2ф между 80 и 8h. Использование формулы E.276), выведен-
выведенной для симметричного отражения, оправдывается близостью
отношения Тл/То к 1 в данном эксперименте. Итак,
= 0,104.
Это расхождение векторов /S на выходной границе пластинки
толщиной 0,6 мм составляет 120 мкм и на рис. 80 (с увеличением
X 38) величину ~ 5 мм. г
12 А0
Рис. 81. Кривые отражения (а) и прохождения (б) с побочными максимумами
маятникового решения (случай Лауэ)
267
Если в описанном исследовании наблюдались линии равной
толщины, то в другой работе Лефельд-Сосновской и Мальгранж [117]
были получены побочные максимумы маятникового решения
от почти плоскопаралельной пластинки кремния в лучах СиКа
и AgKa. Исследовалось отражение 220. Использовался моно-
хроматор того же типа, что и в работе Отье и Мальгранж. Кривые
отражения и прохождения по Лауэ с побочными максимумами бы-
были получены от пластинок толщиной от 47 до 13 мк. Такие плас-
пластинки представляли донья ямок, вытравленных в монокристалле,
Рис. 82. Схема образования
побочных максимумов в слу-
случае Брэгга
благодаря чему обладали достаточной жесткостью в ходе экспе-
эксперимента. Как можно видеть из рис. 81, полученные кривые отра-
отражения и прохождения обладали достаточным разрешением, при-
причем угловые расходимости максимумов находились в согласии с
теорией. Вместе с тем обращает на себя внимание недостаточный
контраст дифракционной картины. Сильный диффузный фон мо-
может быть связан как с неоднородностью пластинки по толщине,
так и с влиянием щелевой диафрагмы, установленной между
кристаллом-монохроматором и исследуемым образцом. Влияние
диафрагмы анализируется в работе.
Аналогичные результаты были получены при отражении по
Брэггу в работе [116]. Используя описанный выше однокристаль-
однокристальный монохроматор с асимметричным отражением по Брэггу, ав-
Рис. 83. Кривая отражения
по Брэггу, содержащая побоч-
побочные максимумы (Si, г = 13,6 мк,
333, GuA'a)
1 — линия фона;
2 — линия фона и интенсивности;
3 — линия интенсивности за выче-
вычетом фона
О 2
торы получили кривую отражения от тонкой плоскопараллельной
пластинки. Как ясно из рис. 82 [см. уравнения G.46) —G.48)],
интерференция в пластинке возникает между вторым полем, иду-
идущим сверху, и первым полем, отраженным от нижней грани. Ус-
Условием перекрытия этих полей является достаточная ширина
фронта падающей волны. На экспериментальной кривой (рис. 83)
268
наблюдаются максимумы, положения которых находятся в соот-
соответствии с теорией [см. уравнения (8.39) и (8.72)]. Однако и здесь,
как и в работе [117], контраст является очень слабым, что объяс-
объясняется теми же причинами.
Заканчивая краткий обзор экспериментальных исследований,
в которых ставилась задача количественной проверки теории,
следует сделать три замечания.
Проверка теории в приближении падающей сферической вол-
волны достигла достаточно высокого экспериментального уровня,
однако важный параметр рассеяния, а именно, ширина входной
щели или фронта падающей волны, пока остается полностью не-
неизученным.
Проверка теории в приближении плоской падающей волны раз-
развивается несравненно медленнее, что связано с отставанием в раз-
разработке монохроматоров и трудностями приготовления образцов
для исследований в области малых и средних значений \xt.
Наконец; сопоставление с теорией результатов прецизионных
определений затруднительно ввиду отсутствия точных методов
расчета тепловых параметров и параметров рассеяния и погло-
поглощения на отдельных атомах.
Глава 10
РЕНТГЕНОВСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ.
КАРТИНЫ МУАРА
ПРИ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Рентгеновская интерферометрия является замечательным дос-
достижением современной экспериментальной физики. Действитель-
Действительно, подобные интерферометры позволили реализовать возмож-
возможность абсолютных измерений длин с точностью порядка ангстрема.
В первых же экспериментах с таким прибором было обнаружено
явление муара при рентгеновской дифракции, которое является,
по-видимому, самым чувствительным методом регистрации и точ-
точных измерений нарушений идеальной структуры кристаллов.
В отличие от оптических интерферометров, в рентгеновских при-
приборах для разделения и отклонения когерентных пучков исполь-
используется дифракция. Явление преломления в линзах не может
дать надлежащего эффекта ввиду ничтожной величины разности
A — п) для рентгеновских лучей.
Фундаментальная трудность, возникающая при создании рент-
рентгеновского интерферометра, это — необходимость обеспечить с
точностью до долей ангстрема заданную разность хода двух коге-
когерентных пучков. Эта трудность была преодолена использованием
одного монокристаллического блока высокосовершенного крис-
кристалла Si и кварца для изготовления всего прибора.
Рентгеновские интерферометры могут различаться в зависимос-
зависимости от используемого типа отражений. Соответственно могут быть
интерферометры по Лауэ, по Брэггу и смешанного типа. Наи-
Наибольшее значение до сих пор приобрел интерферометр по Лауэ.
10.1. Рентгеновские интерферометры
Интерферометр по Лауэ был описан Бонзе и Хартом в 1965 г.
[28]. Схематический план прибора дает рис. 84. S, М и А — плас-
пластинки, перпендикулярные общему основанию, изготовленные из
одного монокристаллического блока кремния. Пучок рентгенов-
рентгеновских лучей Doa) падает на разделитель S, после которого прошед-
прошедший и дифрагированный пучки Do и D^ «преломляются» путем
дифракции в зеркалах М1 и Ми. Дифрагированные пучки 3)\
и S)\l рекомбинируют в кристалле-анализаторе А. В результате
образуются два выходящих из интерферометра пучка 25od) и
270
33h . Используя достаточно толстые пластинки S, М и А (от-
(отражение 220 СиКа), авторы уменьшили число действующих вол-
волновых полей в кристаллах и обеспечили применимость прибли-
приближения плоской падающей волны. Несколько позже [136, 137]
хорошие результаты при пониженном контрасте были получены
на интерферометре по Лауэ в режиме прозрачного кристалла.
В теории прибора Бонзе и Харта [28J используются соотно-
соотношения, относящиеся к прозрачному кристаллу, но применитель-
применительно к пластинкам S и М учитывается лишь второе поле. В работе
[138] Бонзе и Те-Каат рассмот-
рассмотрели интерференционные эффек-
эффекты в приборе, возникающие при
расфокусировке.
Здесь будем придерживаться
следующих обозначений. Наря-
Наряду с амплитудами D будем рас-
рассматривать волновые функции
55. Волны в воздушных проме-
промежутках снабжаются дополни-
дополнительной цифрой I или II сверху,
номером пути в интерферометре.
Волны внутри кристаллов име-
имеют номер волнового поля (араб-
(арабские цифры) внизу и наимено-
наименование кристалла и номер пути сверху. Волновые векторы имеют
номер волнового поля также внизу, а величины б — номер
сверху.
Очевидно, что на всех границах кристалл — вакуум (воз-
(воздух) используются пограничные условия для волновых векторов
типа C.1) для каждого из полей и для проходящей и дифрагирован-
дифрагированной волн отдельно:
A0.1)
Рис. 84. Схема интсрфероме1ра с от-
отражением по Лауэ
- khl = K8w'n0,
Используя стандартные пограничные условия для волновых
функций типа C.29), а также C.50) на входных и выходных гра-
гранях кристаллов S, М, А, которые мы не будем здесь приводить,
выпишем значения амплитуд, которые определяются из этих ус-
условий (индекс / относится к входным поверхностям, индекс и —
к выходным).
1. Из условий на поверхности St (rnQ) = 0 [см. C.51) и C.52)]
получаем
_ сB)
A0.2)
271
2. Из условий на поверхности Su (rnQ) = ts
A0>3)
C{1) — C{Z)
3. Из условий на поверхности М\ {гп0) = х1 + ts'.
c(iJ
ехр (— 2шКд^Хл),
_ сB)\2 F V lh
:i).ew ' A0-4)
—c/tl4 exp (— 2тКЬ^Хл).
4. Из условий на поверхности М}1 (т0) = хц + is'»
~т riwT exP (
^A)^B)
A0.5)
5. Из условий на поверхности М\ (rn0) = ^s + ^i +
(IJ B)
D' Da) °
ми BК
(С С )
A0.6)
Из условий на поверхности М*1 (т0) = ts -\- хп + <тии:
> AfV2 ехр Bя*? [б<« fe+ ад + tmi)-№xu)}-
(с — с у
A0.7)
6. Из условий на поверхности Аг (rn0) = ts + #i + ^ш +
-f- yi = ts + жц + ^ywn + г/ц = Z/ (выписываем амплитуды для
обоих полей):
для первого пути:
(IJ BJ
Dtf =¦ - № ,° СBА8 ехр I- 2mK F<«Vi + 6<%i)],
(С — С )
D&1 = - Df f*e(*L exp [- 2я1К (б<«»1 + в<«аяI, A0.8)
(IK B)
< = Dia) {с^_СсB)K ехр {- 2ШК [(б<1)' - б»)') L +
+ №х1+№уг]}, (Ю.9)
(IJ B)
D" = ^ (ca)%v ехр <- 2ltiX [(б<1)' ~ 6BГ) L +
272
для второго пути:
)'CA [- 2тК F»>уц
AI3
(щСB)K ехр [-
A) BJ
J {- 2тК [(б») -
-f- 6<«Vii]}, A0.11)
- 2я^ [(б») - №)L
7. Из условий на поверхности Аи (т0) = L -\- га'-
Dlid) = - D^ (емУ*^ ехр{- 2ШК[Wyi + №Xl -
A0.12)
(IJ BJ
ссB))з ехр {- 2тК [6<«'
ехр {
A0.13)
волны S>id) и 2)ftd), получаем
Для отношения амплитуд пар волн, формирующих выходные
d d м
= ехр {- 2Я1Я [б»)' (yi - *„) +
A0.14)
Отсюда следуют условия для точного совпадения фаз этих пар
волн:
г/1 = агц, a:i = уи. A0.15)
Таким образом, интерферометр, собранный согласно описан-
описанной схеме и условиям A0.15), обеспечивает максимальную ин-
интенсивность на всей площади сечения пучков 33(od) и 33(h\ При
смещении фазы одного из пучков 3I, 3)^, 3I, 25J1 на вели-
273
чину п пучки, представленные отношениями A0.14), будут иметь
противоположные по знаку амплитуды и выходные пучки — нуле-
нулевую интенсивность. Существенное значение имеют соотношения
фаз и амплитуд волновых функций внутри кристалла анализатора.
Для первого поля, сопоставляя попарно волновые функции
преломленных (З)^1 и Ж^11) и дифрагированных волн (SDhi и
3)щ ), замечаем, что фазовые множители в каждой паре равны,
если учесть условия идеальной геометрии A0.15 [см. A0.9) и
A0.11)).
Для сравнения амплитудных множителей необходимо исполь-
использовать соотношения [см. C.11)]
причем величина —1 соответствует случаю симметричного отра-
отражения от центросимметричного кристалла. В таком случае мы
получим для отношения амплитудных множителей в каждой паре
волн, в первом поле, величину — сAJ. Если учесть сужение вол-
волнового фронта проходящих лучей в толстом поглощающем крис-
кристалле, эта величина будет близка к —1.
Таким образом, безотносительно к поглощению волны, от-
относящиеся к первому полю, будут взаимно поглощаться внутри
кристалла-анализатора А. Однако это возможно лишь при усло-
условии точного совпадения положений отражающих плоскостей в
кристаллах А, с одной стороны, и S иД/, с другой. Это совпадение
может быть достигнуто в однокристальном интерферометре исполь-
использованием высокосовершенного монокристаллического блока и в
двухкристальном — соответствующей взаимной юстировкой кри-
кристаллов. Если в двухкристальном приборе анализатор А будет
смещен точно в направлении вектора дифракции h на отрезок
dh/2, то взаимная компенсация волн будет иметь место для вто-
второго поля, но, так как первое поле погашается вследствие пог-
поглощения, интенсивность выходящих пучков будет равна нулю.
Отсюда следует, что подобный интерферометр может быть ис-
использован для измерения отрезков порядка долей одного анг-
ангстрема.
Как следует из условия A0.15), а также из условий на поверх-
поверхности Аь необходимо выполнение равенства 1м\ — ?шь хотя,
например, отстояния обоих зеркал М от разделителя S могут быть
различными, что представляет известные удобства.
Рассматривая реальный эксперимент и трудность выполнения
равенства A0.15), которое обеспечивает «идеальную геометрию»
интерферометра, можно отметить, что «оптическая» полировка
оказывается достаточной. Это следует из правой части A0.14),
в которой величины 6B)' и бB) порядка 10~5 ч- 10~6 и поэтому
неровности порядка 104 -н 105 от длины волны, т. е. от 1 до 10мкм,
приведут к изменениям фаз ~ 2я/10, что является еще вполне
допустимым.
274
»1
м |/
¦У 1
1/
] iC
A
2e
\
/
\ П
/77
П
/l
|
l\l
1
Источник-
Рис. 85. Схема интерферометра
с источником конечных размеров
Рис. 86. Схема эксперимента
с созданием разности хода коге-
когерентных волн
Переходим к численным оценкам применимости приближения
плоской падающей волны, которой соответствует изложенная
теория прибора. Как известно, антикатод рентгеновской трубки
в совокупности с диафрагмами на пути пучка формирует сфери-
сферическую падающую волну, которая может быть аппроксимирована
суперпозицией плоских волн. Однако использование толстых
поглощающих кристаллов радикально меняет ситуацию. В ка-
качестве типичного случая можно рассмотреть пример 220 отра-
отражения СиКа излучения от кристаллов Si, суммарной толщиной
Т = ts + tM + tA ~ 1,5 мм, что соответствует \kt = 22. Излу-
Излучение, проникающее через кристалл подобной толщины (при рас-
расстоянии от источника до St ж 500 мм), будет иметь на выходной
поверхности Аи расходимость ~ \". Это, в свою очередь, соответ-
соответствует эффективной ширине источника рентгеновских лучей в
2,5 мкм и такой же ширине области, прозрачной для этого источни-
источника, на входной поверхности St. Поперечный размер френелевской
зоны на St от указанного малого источника составит примерно
30 мкм, что при ширине источника 2,5 мкм с избытком обеспечит
постоянство фазы вдоль фронта падающей волны.
С другой стороны, расходимость —Г'на выходной поверхности
кристалла-анализатора А соответствует когерентному участку
волнового фронта ~ 130 мкм. Это обстоятельство важно в двух от-
отношениях. Во-первых, оно обеспечивает фокусировку бесконечно
тонких лучей 2)J(d), Xl^d\ так же как и 2)?(d), SrhI(d), даже при
275
небольших отклонениях от идеальной геометрии уравнений
A0.15). Эти уравнения, в свою очередь, можно рассматривать
как условия фокусировки, действительные и в том случае, когда
падающая волна не вполне строго является плоской, а скорее мо-
может рассматриваться как слегка сферическая. Во-вторых, наличие
небольшой конечной угловой области для фокусировки пучков
в кристалле А (ет, рис. 85) имеет непосредственное отношение к
ширине источника или его размерам в плоскости, параллельной
основанию интерферометра. Так как различные точки излучают
взаимно некогерентно, то условия A0.15) означают, что попереч-
поперечное смещение пучков I и II таково, что оно обеспечивает равен-
равенство фаз на выходе из кристалла А для всех точек эффективной
части Ве источника, где
ве = 2r|tgem|cosd. A0.17)
Описываемый интерферометр является ахроматическим прибором,
так как условия для минимума и максимума интенсивности не
зависят от длины волны. При изменении длины волны должно
наблюдаться смещение облучаемых областей в зеркалах М.
Вводя в один из промежуточных пучков (например, путь I)
интерферометра клин Р с ребром, параллельным основанию при-
прибора (рис. 86), мы получим непрерывное и периодическое изме-
Рис. 87. Схема эксперимента с полу-
получением интерференционной картины
от плосковогнутой линзы
Ут
\
\
Рис. 88. Интерференционная карти-
картина о г плосковогнутой линзы с отвер-
отверстием в центре
27G
пение фазы для этого пучка относительно другого (путь II). Воз-
Возникающая при этом интерференционная картина может быть ис-
использована для определения показателя преломления п для дан-
данного излучения в материала клина. Значения периодов изменений
разности хода внутри клина Л^ и на выходной грани Ло при
перпендикулярном падении на входную грань (за пределами
максимума!) выражаются известными соотношениями
где \х — угол клина. По существу, тот же эффект имел место при
образовании интерференционной картины от плосковогнутой
линзы, введенной на пути одного из пучков в интерферометре по
Лауэ в первой работе Бонзе и Харта [28] (рис. 87 и 88).
10.2. Работа интерферометра при нарушенной фокусировке
Как мы отмечали выше, условия идеальной геометрии A0.15)
одновременно являются условиями фокусировки пучков, излу-
излучаемых всеми точками линейного источника с шириной ВР в плос-
плоскости, параллельной основанию прибора.
В связи с процессом наладки подобного интерферометра, так
же как и двухкристального прибора, возникает задача расчета
и экспериментального исследования изображений, которые воз-
возникают в сечении выходных пучков в случае расфокусировки.
Бонзе и те-Каат [138] выполнили подобное исследование приме-
применительно главным образом к двум типам нарушений: отклонение
от условий A0.15) и использование источников с шириной В ^> Ве.
Для упрощения задачи рассматривался прибор, для которого
условия идеальной геометрии имели вид
Х = у, х = Х1=Хц, У~У1 = Уп. A0.19)
В интерферометре осуществлялось симметричное отражение 220
излучения Си Ка в кристалле кремния.
Нарушение фокусировки определяется величиной
Ах = у — х A0.20)
Для исследования влияния величины Ах на распределение ин-
интенсивности в поперечных сечениях выходных пучков был изго-
изготовлен интерферометр (рис. 89) с пластинкой анализатора А,
наклоненной к плоскости, параллельной пластинкам S и М,
на небольшой угол а! = arctg a = 1°15'. При этом на некоторой
высоте от основания переменная величина расстояния от М до
А у точно отвечала условию A0.20). Выше этой идеальной плос-
плоскости Ах ^> 0, ниже — Ах < 0. В таком случае при фотографи-
фотографировании сечения выходных пучков З)^ и ЗЗ^ сверху вниз по
277
вертикали полученных изображений величина параметра Ах
изменялась линейно, от Axm3iX до Дятт, проходя через значе-
значение 0.
Для описания интерференционных картин, возникающих при
расфокусировке, необходимо вычислить величину разности фаз
пучков, прошедших пути I и II интерферометра, в функции от
Ах. Эту разность фаз можно отнести к оси 1г (см. рис. 89), направ-
направленной параллельно основанию прибора, с началом в точке О,
Я
Н
Рис. 89. Схема интерферомет-
интерферометра, использованного при иссле-
исследовании работы прибора с на-
нарушенной фокусировкой
/cm
[1111
П1О]
лежащей на средней плоскости с Ах = 0. Другая координата
/2 линейно связана с величиной Ах:
^Ах_^Ах_^ х 21)
Если обратиться сначала к источнику и учесть расходимость
двух когерентных волн, выходящих из каждой его точки под
малым (предельным) углом Aip, то можно ввести некоторый ин-
интервал Л, аналогичный периоду стоячих волн d/2 при отражении
под углом Вульфа — Брэгга. Уравнение для Л при угле Ai|V2
имеет вид
Аур v '
Волны, различающиеся направлением на величину Дг|), об-
образуют соответственно два различных угла tj внутри максимума,
что и приводит к образованию интерференционных полос с указан-
указанным интервалом Л.
Введем помимо аккомодации б0 (см. рис.90) соответствующую
величину для отраженных волн бЛ:
бо = ХР^, 8h = APh, К (б0 — 6h) = Кц 2 sin ft. A0.23)
Рассматривая распространение указанных двух волн по путям
I и II в интерферометре и снабжая относящиеся к ним величины
буквами а и 6, запишем величину разности углов падения и, сле-
следовательно, углов г] внутри, максимума:
(«о6 - б?)| = Of - л6)-
(Ю.24)
278
С другой стороны, величина Аг^ связана с разностью хода и, сле-
следовательно, с разностью фаз волн, которые распространяются по
первому и по второму пути. Эта разность фаз возникает, во-пер-
во-первых, внутри кристаллов, на отрезке пути Г, во-вторых, вследствие
расхождения на угол Аяр при выходе из источника и, наконец,
ввиду различного поперечного смещения, главным образом в
зеркале М. Выражение для полной разности фаз сначала задается
в функции от аккомодаций б. Затем, используя соотношения C.7),
C.14) и C.15), можно перейти
к амплитудным коэффициентам
отражения с, которые будут раз-
различными на путях I и II (соот-
(соответственно са и съ). Окончатель-
Окончательные простые формулы были по-
получены разложением выраже-
выражений для с в ряд по степеням
малых величин: Aг ctg О zlAx) Т.
Д
(г g l)
Отсюда связь между Дг|; и Ах
была получена в следующей
форме:
Рис. 90. К выводу формулы A0.23)
sin zft,
A0.25) K'uh'
откуда (см. A0.22))
Л == Ax, Ax = XIЛх. A0.26)
Таким образом, интерференционные картины, связанные с нару-
нарушением условий идеальной геометрии A0.15) или же с интерфе-
интерференцией волн, выходящих из источника под углом Ai|?, эквива^.
лентны.
Заметим также, что в расфокусированном приборе описанного
типа (рис. 89) возникает плоскость антисимметрии, перпендику-
перпендикулярная основанию интерферометра и проходящая через его сере
дину. В точках, симметричных относительно этой плоскости, раз-
разность фаз волн, идущих по путям I и II, имеет противоположный
знак. Вместе с тем на этой плоскости фокусировка сохраняется.
Изложенный в кратких чертах анализ приводит к следующему
уравнению для линий равных фаз в плоскости поперечного сече-
сечения выходного пучка:
l1lt=XTmtg#/a \%h I, A0.27)
где т принимает последовательный ряд целочисленных значений.
Для того чтобы выявить гиперболы A0.27) в достаточной области
изменений координат /х и /2, можно воспользоваться введением
клина на пути одного из пучков в приборе. Если ребро клина
параллельно одной из осей, картина смещается вдоль этой оси
на отрезок, пропорциональный А — величине, обратной пе-
периоду полос.
279
Рассмотрим теперь условия и соотношения, определяющие
контраст и функцию видимости интерференционных картин в
расфокусированном интерферометре. Заметим, что соотношение
A0.17), относящееся к сфокусированному прибору, требует уточ-
уточнения при наличии расфокусировки. В теоретической оптике [139]
рассмотрение контраста интерференционных картин в зависи-
зависимости от размеров источника связано с условиями и степенью
частичной когерентности. В случае рентгеновских лучей расхо-
расходимость пучка коллимируется конечной угловой шириной области
максимума.
С другой стороны, при наличии расфокусировки эффективная
ширина источника Ве включает в себя помимо пучков, дающих
интерференционную картину, также и такие, которые дают вклад
в образование фона (рис. 85). Можно считать, что полезная часть
источника Ва оказывается меньше Ве и эта последняя делится на
три участка
A0.28)
Два крайних участка BJ2 дают пучки, проходящие лишь по
одному из двух путей I или II,.в то время нак центральная часть
дает пучки, проходящие внутри угла 2гт в пластинке А [см.
A0.17)].
Очевидно, что величина контраста или функция видимости
^max + ^min * + ? 'iBd + B
2р__Щ
D
и
В интерферометре с идеальной геометрией В^ = Ве и v = 1,
т. е. контраст составляет 100%. В отличие от этого в интерферо-
интерферометре с прозрачными кристаллами может быть достигнут конт-
контраст 50%. При наличии расфокусировки контраст определяется
осциллирующей функцией типа sin ц/ц при
. A0Л0)
Так, в реальных условиях эксперимента значение |tg ew | —
= 0,136 привело к потере видимости при первом минимуме функ-
функции sin ц/ц для Ах<^40 мкм, что согласуется с экспериментальным
значением 28 мкм и с оценкой допустимых нарушений условий
A0.15), приведенной выше.
Представляет также интерес, наложение на интерференцион-
интерференционную картину расфокусировки с периодом Л — АУДг|), картины
муара, возникающей в интерферометре в результате различия
межплоскостных расстояний в пластинах. Если, в частности, пе-
период d сохраняется в <S и М, в то время как в А изменяется на
d + Ad, то предельный угол Aij) принимает значение Дг]/. В ре-
результате при Ах = 0 Ai|) =/= 0. Если добиться максимального кон-
контраста при Дг|) = 0, то остающаяся часть Д\|/ = К/А позволит
280
определить j Ad|,
A0.31)
Фактически, подобная ситуация встречается обычно при работе
с интерферометром Лауэ ввиду нарушений структуры в отдельных
участках монокристаллических блоков.
В работе [138] приводятся также краткие замечания о влиянии
на различные интерференционные картины в сечениях выходных
пучков вертикальной расходимости и размера источника в верти-
вертикальном направлении.
10.3. Образование и использование картин
рентгеновского муара
Как известно, различают оптический, или геометрический,
и дифракционный муар. Согласно Шубникову [140] оптический
муар наблюдается при последовательном прохождении света через
изображения двух решеток: А с повторяющимся изображением
и В с сеткой, периоды которой совпадают (решетки не парал-
параллельны) или близки (решетки параллельны) периодам А. Изоб-
Изображения в А, разбитые на элементы, синтезируются с увеличен-
увеличенными интервалами. При этом складываются интенсивности световых
пучков. Дифракционный муар возникает при последователь-
последовательном прохождении (падение лучей в области максимума) излучения
через два кристалла с соотношениями периодов и ориентации,
аналогичными решеткам при оптическом муаре, при этом скла-
складываются волновые функции рассеяния на отдельных кристаллах.
Очевидно, в этом случае периоды решеток близки к длинам волн
излучений.
Муар при дифракции электронов был обнаружен несколько
ранее рентгеновского муара. Подробное рассмотрение электрон-
электронного муара приводится в монографиях [141] и [27]. Соответствую-
Соответствующая теория развита Хашимото и др. [142] и Дживерсом [143].
Теория Дживерса может быть применена и к описанию рентге-
рентгеновского муара в приближении падающей плоской волны, что
эквивалентно использованию обобщенной динамической теории,
основанной на уравнениях типа Такаги [41]. Основы этой теории
изложены в гл. 11. Здесь мы применим ее к образованию муара
в приближении падающей плоской волны, рассматривая оба рас-
рассеивающих кристалла как идеальные. В таком случае уравнения
для волнового поля в первом кристалле имеют вид [см. A1.90)].
Переходим к симметричному отражению (уд = уп = cosft) и
281
задаем нижеследующие значения волновых функций 25О и SDh:
3H = Роехр [- шхо(ВД1 =- А>ехр[- ^^^z] , A0.33)
33h = DhexV{- in%0[(khr) + («#•)]},
| #. A0.34)
В результате подстановки A0.33) и A0.34) в A0.32) эти последние
уравнения принимают вид
или, заменяя,
получим
1
= i — Do ехр [шхо (h + s, r)].
Отметим, что приближение падающей плоской волны находит
свое выражение в том, что амплитуды Do и Dh являются функция-
функциями лишь глубины z. Отсутствие нарушений в рассеивающем крис-
кристалле означает, что угловая координата внутри максимума для
падающей волны s не зависит от глубины z.
\w\\
Рис. 91. Модель образования
п т дифракционного муара
Модель образования муара при использовании обобщенной
теории, в частности уравнений A0.35), приведена на рис. 91.
Уравнения A0.35) относятся к волновому полю внутри первого
кристалла. Для описания поля внутри второго кристалла следует,
во-первых, ввести некоторое постоянное приращение Av к ра-
радиусу-вектору г, что соответствует либо смещению, либо повороту
второго кристалла, и во-вторых, для того чтобы сохранить неиз-
282
менной величину %^, использовать известное приближение
а также заменить
(h + АЛ,, г + Аг) на (Л,Лг) + (гАЛ,), причем (ЛЛг) = (—МЛ).
В таком случае уравнения A0.35) переписываются следующим
образом:
if = i — АЛ1 — 11—expia]}exp[ —
(Ю.36)
= i-^-ZH{l — I1 — ехр ia]} ехр
Л|. A0.37)
Здесь х — координата в направлении /i, т. е. перпендикулярно
отражающим плоскостям.
Так как значения производных в A0.36) зависят от х только
через а, то геометрические места точек равных или постоянных
значений амплитуды и интенсивностей рассеяния будут отвечать
условиям
х = ™*L = Л const, Л = | ЛЛ, Г1. A0.38)
I АЛ I
Следовательно, период муара Л определяется величиной изме-
изменения вектора дифракции Aft. Из этого результата получаются
формулы для периодов муара: параллельного, или дилатационного,
поворотного и смешанного:
АПар = djl, I = kd/d, Лпов = dh/a,
Лсмеш « [/Лп'ар + Лпов ]"' (Ю. 39)
Эти формулы совпадают с соотношениями для геометрического муа-
муара, которые вывел Шубников.
Если падающая волна испытывает в кристаллах А и В отра-
отражения от различных систем плоскостей с векторами hug соот-
соответственно, значение периода муара определяется из формулы
Л = |Л-вг|. A0.40)
Как следует из выражений A0.38), полосы параллельного
муара параллельны отражающим плоскостям и полосы поворот-
поворотного маура параллельны вектору дифракции h.
Далее, по Дживерсу [143] можно получить выражения для
интенсивностей картины муара. Согласно рис. 91, муар возни-
возникает при интерференции пар волн либо в направлении волны
дифрагированной, либо преломленной в первом кристалле.
283
Применяя последовательно теорию в приближении плоской
падающей волны к рассеянию в первом и втором кристаллах, мож-
можно показать, что интенсивность на выходной грани второго крис-
кристалла может быть представлена следующим образом (для направ-
направления отражения от первого кристалла):
Cfh = CflCfl1 (hl) + CflC/н (О1) + 2 (#№W) cos 2я (х - х0) Л~\
A0.41)
где х0 — некоторая функция от толщин обоих кристаллов и ве-
величины отклонения от угла Вульфа — Брэгга.
Если рассматривать образование муара при падающей сфери-
сферической волне, то необходимо привлечь более общую форму урав-
уравнений Такаги, в которой амплитуды или волновые функции волн
в кристалле зависят от двух аргументов. Эти аргументы могут
быть связаны либо с прямоугольными осями х и z, либо с косо-
косоугольными xoso и xh8h, направленными вдоль волновых векторов
преломленной и дифрагированной волны в кристалле: (см. A1.36))
В работах Отье и Симона [44, 144] авторы переходят от урав-
уравнений типа A0.42) к уравнениям второго порядка [см., например,
A1.54)] и далее используют решение, аналогичное A1.49),
A1.50), для сферической падающей волны. В случае фронта пада-
падающей волны произвольной протяженности:
A0-43)
Та
A0.44)
Приведенные значения Dh (Р) ий0 (Р) относятся к произволь-
произвольной точке Р волнового поля на выходной грани кристаллической
пластинки. Интегрирование производится по некоторому кон-
контуру АВ на входной грани, который является сечением ограничен-
ограниченной по фронту падающей волны. Этот контур делится пополам
началом, точкой О; b = ОА = OB, x — переменная координата
на линии АВ,
284
С другой стороны, при почти точечной протяженности АВ, т. е.
в случае сферической падающей волны, значения амплитуд
Dh и Do в произвольной точке р0 на выходной грани выра-
выражаются следующим образом:
Dh(ро) = g|| ^
A0.46)
г тт 1
я
X —
A0.47)
Очевидно, в этом случае область волнового поля в кристалле
ограничена треугольником, образованным направлениями s0 и
sh и выходной гранью кристалла (см. рис. 40); г0 соответствует Р
на указанном рисунке; далее, b и р0 в A0.46) и A0.47) аналогичны
величинам Ъ и х в A0.43) и A0.44), но относятся к выходной гра-
границе.
Рассматривая более общий случай по сравнению со схемой
рис. 91, а именно, наличие небольшой прослойки воздуха (вакуу-
(вакуума) между кристаллами, мы можем написать для волн, прошедших
эту прослойку, следующие выражения:
, (Ю.48)
Dl = Dl(p*)ехр [- 2ni^ zi] ехр [- 2л1К\гЦ, A0.49)
где Dlh (Pl) и D\ (P1) даны в уравнениях A0.46) и A0.47).
Характерной чертой метода, используемого в реферируемой
работе [44], является произвольный выбор волнового вектора в
данном кристалле. Для этого вектора принимаются два условия:
1) равные тангенциальные слагающие с волновым вектором пада-
падающей вакуумной волны; 2) модуль, равный Кп, где п — коэф-
коэффициент преломления.
Обращаемся опять к образованию муара. Пусть второй крис-
кристалл, из такого же материала, что и первый, будет слегка повернут,
причем волны, описываемые A0.48) и A0.49), претерпевают в нем
отражение от той же плоскости, что и в первом кристалле. Выби-
Выбираем в качестве волновых векторов внутри этих кристаллов век-
векторы, соединяющие в обратном пространстве точки О и Н с точ-
точкой Z/0 (рис, 92). Далее, мы принимаем
1^г1 = 1* = 1*;п1 = 1*кп|, (Ю.50)
где векторы со штрихом соответствуют отраженным волнам
ll %
285
Dll
На рис. 92 вакуумные волны после прохождения через первый
кристалл представлены волновыми векторами К10 = ОМ,
Kh = НЖ'. Если вектор дифракции h для отражения в первом
кристалле представлен прямой ОН, то во втором кристалле для
волны, прошедшей через первый кристалл, вектор дифракции
представлен прямой Н'О =
= h — dh. Для волновых век-
векторов во втором кристалле мы
имеем K™e=H'Lq, К]1 = OL0.
Аналогично, для волны, отра-
отраженной от первого кристалла,
вектор дифракции и волновые
векторы во втором кристалле
будут представлены в виде
ОН = —h + dh,
¦жг'И
Рис. 92. Обратное пространство при
образовании дифракционного муара
Z)J = {z>J (я1) ехр (-2я*
X ехр (— 2яйКJV),
Dlh = ш\ (х1) ехр (— 2я
X ехр(— ътК1пг1).
Коп = O'LQ .
Выразим теперь волны, па-
падающие на второй кристалл, с
помощью следующих формул
[ср. с A0.48) и A0.49)]:
ехр [- 2пг (К* - К1»1)
X
A0.51)
ехр [- 2m {Klh - К{1) г1]!
х
A0.52)
Разности векторов в фазовых множителях в фигурных скобках
непосредственно определяются из рис. 92. Скалярные произве-
произведения этих величин на г1 разлагаем на суммы произведений мо-
модуля векторной разности на проекции г1, нормальные и касатель-
касательные к плоскости раздела. В результате для «псевдоамплитуд»
получаем
l Dll 2Kl x
X ехр BmKv\0a0zl) ехр Г— 2тК^- zA =
- 2мК^- zl) , A0.53)
Dh(x4l) =
- 2ni^ %Л . A0.54)
286
После прохождения обоих кристаллов суммарная отраженная
волна имеет величину
Для вычисления каждой из этих волн можно воспользоваться
формулами для волны с конечной шириной фронта A0.43) и
A0.44). При этом в качестве D^, или «певдоамплитуды», берутся
волны A0.53) и A0.54). Получаем
A0.56)
АгВ2
X j/'n^- А (В' /Ь111-*"') Ас". A0.5?)
Наконец, если ввести величины
" (хи) = То / Я/г„ ехр [ - in
то значения D}} (О1) и D1q (h1) могут быть представлены в функ-
функции от амплитуд 3)\ {х1):
A0.60)
0, \r'^ " К '
Di1 (О1) = Жо1 (ХУЗ){Т(X) ехр|- 2Ш ]?& -^Tioao] z1} , A0.61)
Dl1 (hl) = 2)',! (ХУ®11 (- X) ехр J- 2m ^ - Я%а„J 2ij .
A0.62)
Окончательно выражение для «псевдоамплитуды» отраженной
волны после прохождения через оба кристалла имеет вид
Dh(X)« Si1 (X) ®J? (X) + Ж;1 (X) 25J1 (- X) х
X ехр К- 2тК%0/2) zl (т^1 — Гё1)! ехР (— 2nidhxzl), A0.63)
где d/г^ означает слагающую от вектора dh по нормали к плоско-
плоскости раздела.
287
На рис. 93 показана схема
прохождения падающей сфери-
сферической волны черезоба кристал-
кристалла. Там же|нанесены оси отсче-
п та координат х1 и х11 в плоско-
плоскости раздела и X на выходной
грани второго кристалла. Сог-
Согласно обозначениям этого ри-
рисунка, величина Ь1 = О1А1 =
<У?7, Ь11 = О2А2 = O2#2H Ъ =
, = О А = ОВ. Отрезок ОР = X
представляет переменную коор-
координату, для которой дается ве-
величина Dh (X) в A0.63).
Достаточно сложное выраже-
выражение (Ю.бЗ)упрощается в частном
случае малой толщины первого кристалла. Интенсивность кар-
картины муара при таком допущении может быть представлена сле-
следующим образом:
в
X
Рис. 93. К теории муара в прибли-
приближении падающей сферической волны
X
x
- 2 У Я10[
rt [ВУ'Ь112 —X2) cos Ф\ ,
A0.64)
где величины ?f0 и У\ и аргумент Ф имеют следующие значения:
sin2 Bbl
sin2 Bb
Ф = 2я
- -)- 2ndh, z1
A0.65)
A0.66)
A0.67)
Используя для описания волнового поля в первом кристалле схему
рис. 40, заметим, что [см. C.66)]
A0.68)
ВЫ = r hh = A.
В результате выражения A0.65) для интенсивностей Cfl и ^л
совпадают с формулами C.62) для интенсивностей в случае
288
прозрачного кристалла в приближении плоской падающей волны
(принимая Xh = Х/г)-
В то же время множители при величинах Cfl и У\ в выражении
A0.64) близки к квадратам модулей величин интегралов U{)
и Uh в теории Като [см. формулы F.29) и F.32)].
Таким образом, выражения A0.64)—A0.68) допускают наг-
наглядную, качественную интерпретацию.
С другой стороны, сравнивая A0.64) с формулой Дживерса
A0.41), можно заметить, что величины интенсивностей Cfo и Уh
как в первом, так и во втором кристаллах, очевидно, должны
отвечать приближению плоской падающей волны. Следует пом-
помнить, что теория Дживерса, развития для дифракции электронов,
применима к рассеянию рентгеновских лучей лишь при симмет-
симметричном отражении. В таком случае фаза Ф, данная в A0.66),
получает более простую форму:
Ф = 2я1(ДА, г) + ф], A0.69)
которая вполне аналогична величине 2л; (х — хо)/А в A0.41),
если учесть последнюю из формул A0.38).
Переходя к анализу результатов изложенных теорий и сопо-
сопоставления теории с экспериментом, заметим, что в опубликованных
работах интерпретация эксперимента сводится преимущественно
к применению простых геометрических соотношений типа A0.39),
а также к использованию некоторых качественных и полуколи-
полуколичественных закономерностей.
Как следует из тех же формул A0.39), период муара не зависит
от длины волны используемого излучения. Однако при наблю-
наблюдении картин муара в интерферометре изменение длины волны
может привести к изменению этих картин, что должно быть свя-
связано с перемещением облучаемого участка кристалла (пластин-
(пластинки М).
Площади кристаллических пластин, облучаемые при образо-
образовании рентгеновского муара, определяются геометрией освещения
и могут быть увеличены сканированием. В опубликованных ра-
работах эти площади имеют поперечники порядка 1—5 мм и более.
Периоды муара меняются в пределах от немногих микрон до мил-
миллиметров, откуда следует, что этим методом можно изучать отно-
относительные деформации Ad/d в пределах от 10 ~4 до 10 ~8 и пово-
повороты отдельных участков кристалла на величины от одной до
десятых долей угловой секунды. Интерпретация подобных деформа-
деформаций в настоящее время представляется неясной.
Необходимо также иметь в виду, что интерференционные эф-
эффекты типа линий равной толщины, отвечающие параметрам
Хо и %h, могут привести к ошибкам в индицировании наблюдае-
наблюдаемых полос. Периоды подобных полос согласно C.109)-, A0.18)
составляют десятки и сотни микрон, т. е. имеют тот же порядок
величин, что и линии муара. Поэтому требуются дополнительные
10 3. Г. Пинскер 289
признаки, чтобы различить природу этих картин. Так, А муара
всегда уменьшается при переходе к высшим порядкам отражений,
в то время как Ah может увеличиваться, если структурные ам-
амплитуды соответствующих отражений уменьшаются. Кроме того,
полосы равной толщины, связанные как с %0, так и с %/г, всегда
параллельны входной грани.
Переходя к отдельным экспериментальным работам, заметим,
что лишь в некоторых случаях можно полагать, что возникнове-
возникновение картин муара обязано специальной надлежащей ориентации
S
Рис. 94. Устройство для изу-
изучения деформаций в интерфе-
интерферометре
рассеивающих кристаллов, выполненной автором. В работах
Чикава [145] и Ланга и Миускова [146] эффекты муара возникали
при последовательной дифракции волн от двух участков моно-
монокристалла с разницей в значениях dhhl или с взаимным поворотом.
В отличие от этого, в работах Бонзе и Харта [28], Бредлера
и Ланга [147], а также Харта [136] и Дислейта [137] картины муа-
муара были результатом специальной взаимной юстировки рассеи-
рассеивающих кристаллов. Из этой группы работ авторы [28], [136]
и [137] применяли интерферометрическую аппаратуру. В работе
[28] часть монокристального блока кремния, примыкающая к
пластине-анализатору А, связывается с остальной частью узкой
полоской (рис. 94) и снабжается устройством (рычагом, блоком и
грузиком), которое позволяет поворачивать анализатор относи-
относительно остальной части прибора на небольшой угол; поворот
пластинки А на угол 0,01" приведет к образованию муара с ин-
интервалом полос в ~ 4 мм. На рис. 95, а показана серия картин,
полученных при. разных значениях момента пары сил, повора-
поворачивающих пластинку А. Из наблюдаемого максимального наклона
полос можно определить отношение Adld ж 8*10~8. На рис. 95,6
показаны изображения дислокаций на картинах муара. Не вда-
вдаваясь в детали, заметим, что лишь при Ad ^> 0 (верхние снимки)
две избыточные полосы муара находятся над изображением дис-
дислокации, при Ad <^ 0 (нижние снимки) избыточные полосы —
под изображением дислокации. Из условия эксперимента удалось
установить, что вектор Бюргерса этих дислокаций составляет
1/2 [110] или 3,84 А, что соответствует кратчайшему межплоскост-
межплоскостному рассеянию в Si с решеткой алмаза.
290
Рис. 95. Снимки муара, полученные в интерферометре
а — картины, возникающие при закручивании (повороте анализатора А), момент закру-
закручивающей пары уменьшается слева направо; б — изображения дислокаций
В работах В. Ф. Миускова * эффекты муара систематически ис-
используются в рентгеновской топографии реальных кристаллов.
На рис. 96, а приведена рентгенограмма картин муара от бездис-
бездислокационного кристалла кремния повышенной чистоты, получен-
полученная в трехкристальном интерферометре. Горизонтальные полосы
муара отвечают повороту на ~ 0,8", вертикальные — величине
Устное сообщение.
10»
291
Рис. 96. Снимки муара, полученные
в интерферометре
а — картингt поворотного и дилатационного
муара, полученная в трехкристальном ин-
интерферометре B20, МоКа, Si; \xt = 25);
б — модуляция картины муара (справа)
интерференаией от клина
Рис. 97. Поворотный муар от двух
пластинок Si, угол поворота 2,5"
Ad/d ^ 4-10 8. Центральная часть снимка представляет силь-
сильно нарушенную область, крайняя правая часть не имеет фикси-
фиксируемых нарушений. Таким образом, в поверхностном слое крис-
кристалл обладает более совершенной структурой. Очевидно, интер-
ферометрическая методика позволяет фиксировать имеющиеся в
кристалле градиенты тех или иных нарушений.
На рис. 96, б, полученном П. А. Безирганяном и Ф. О. Эйрамд-
жяном г в трехкристальном интерферометре можно наблюдать
модуляцию картины муара (справа) интерференцией от клина
(слева). Клин был введен в один из пучков интерферометра (см.
рис. 86).
В работе'Бредлера и Ланга [147] картина муара была получена
от двух монокристальных пластинок кремния, ориентированных
в ходе эксперимента с небольшим взаимным поворотом. Получен-
Полученная весьма контрастная картина соответствует чисто поворотному
мУаРУ (рис 97).
10.4. Другие типы интерферометров.
Трансляционный муар
Интерферометр с отражением и про-
прохождением по Брэггу [1481. Общая схема интер-
интерферометра ясна из рис. 98. В отличие от интерферометра с отра-
отражением по Лауэ, здесь центральная пластинка выполняет (двумя
различными участками) функции разделителя и анализатора, в то
время как боковые части являются непрозрачными зеркалами.
Ход лучей в интерферометре можно кратко свести к следующему.
Первичная вакуумная волна 33$ падает на центральную пластин-
пластинку, вызывая образование отраженной (по Брэггу) волны 33lh и
волнового поля в кристалле. Это поле в тонкой пластинке претер-
претерпевает частичное отражение на выходной поверхности, причем дру-
другая часть энергии поля выходит в вакуум в виде волны 3)\, Вол-
Волны 33ь и 330 испытывают отражение по Брэггу от боковых
кристаллов-зеркал, и отраженные волны вновь попадают на
среднюю пластинку. Здесь волна 33\ отражается, образуя выход-
ную волну SDl^d\ другая выходная волна ЗЗ11^ является волной,
прошедшей (по Брэггу) через тонкую пластинку в результате па-
падения волны 331q. Отражения в средней пластинке и боковых
кристаллах соответствуют асимметричной схеме при угле между
входными поверхностями кристаллов и отражающими плоскос-
плоскостями ф = 13,7°. В интерферометре используется отражение 220
Си Ка излучения от Si.
Существенной чертой экспериментов с интерферометром по
Брэггу является использование сферической волны, образован-
образованной из пучка, выходящего из рентгеновской трубки и прошедшего
Устное сообщение.
293
через систему диафрагм. Сечение падающей на среднюю пластинку
волны составляло 20 мкм при толщине пластинки 504 мкм. Тем
не менее при расчете интерферометра использовалось приближе-
приближение плоской падающей волны.
При проверке работы прибора введением пластмассового кли-
клина на пути одного из лучей CCI(d) или ff11^)) наблюдалось услож-
усложнение и размытие интерференционной картины, связанное с ря-
рядом факторов. Помимо нарушений «идеальной» геометрии, которая
вполне аналогична соотношениям для интерферометра по Лауэ,
различные области кривой отражения несли информацию о реаль-
реальной структуре различных участков стенок желобков между цен-
центральной пластинкой и боковыми зеркалами. Наряду с этим была
обнаружена полосчатость, связанная с процессом получения моно-
монокристального блока кремния.
По-видимому, использование интерферометра по Брэггу пред-
представляет более сложную задачу, чем работа с интерферометром пи
Лауэ. Это может относиться как к технике изготовления, так и к
более корректному расчету, основанному на приближении сфери-
сферической падающей волны. Интересно отметить, что авторами обна-
обнаружено сильное расхождение падающего пучка внутри кристалла
в противоположность случаю Лауэ при прохождении через тол-
толстый поглощающий кристалл. В заключение можно привести ука-
указание, сделанное в работе о возможности использования подобной
схемы для построения нейтронного интерферометра.
Рис. 98. Схема интерферометра с от-
отражением по Брэггу
Рис. 99. Схема комбинированного ин-
интерферометра (разделитель и анали-
анализатор по Лауэ, зеркала по Брэггу)
—
м
1
//
к
1
/
у/
N
о
/л
5 /
\
/
/
/
I
|
—
М
—
V
QMS
двухкристалыюго
Рис. 100. Схема
интерферометра
а — схема прибора; б, в, г — использова-
использование различных отражений для его юсти-
юстировки
\9€
В работе [149] описан комбинированный интерферометр,
в котором разделитель и анализатор работают на основе отра-
отражения по Лауэ, а зеркала — по Брэггу (рис. 99).
Принципиальное преимущество подобной схемы — в более вы-
высокой интенсивности выходных пучков. Действительно, при про-
прохождении через пластинку с заданной величиной поглощения от-
отношение интенсивностей проходящих пучков TbITl ~ A —
— RJ/R, где R — коэффициент отражения. Наоборот, интеграль-
интегральное отражение по Брэггу в два раза больше отражения по Лауэ.
Двухкристальный интерферометр. В ин-
интерферометрах, изготовленных из одного монокристаллического
блока, помимо решения задачи рекомбинации когерентных пуч-
пучков, обеспечивается механическая и «тепловая» стабильность.
Однако при использовании интерферометрического метода изу-
изучения и контроля совершенства структуры с помощью картин
муара представляет интерес создание прибора из двух независи-
независимых частей, одна из которых является данным образцом. Подоб-
Подобный прибор важен также при точных измерениях длин и парамет-
параметров с помощью трансляционного муара. В работе Бонзе и те-Каата
F150] описан двухкристальный интерферометр, в котором (рис. 100)
разделитель и зеркало изготовлены из одного блока Съ а ана-
анализатор — из другого С2. Как показано на рисунке, кристалл
(?2 закрепляется неподвижно, а кристалл Сх снабжается механиз-
механизмом с тремя взаимно перпендикулярными поворотами. Интер-
Интерферометр рассчитан для отражения 220 Си Ка от Si. Оси указан-
указанных поворотов имеют рациональные ориентации: ось 6 (рис. 100)
направлена вдоль [112], ось р — вдоль [111] и ось х — вдоль
[110]. Таким образом, ось 6 позволяет установить угол отражения
Рис. 101. Схема интерферометра для Рис. 102. Запись трансляционного
получения трансляционного муара муара в лучах отраженного (R) и про-
прошедшего (Т) пучков
220 по Лауэ по отношению к падающей волне. Ось р — позволяет
либо вызвать, либо устранить поворотный муар между пластин-
пластинками А, М и S. Наконец, ось к — нормальна к отражающей плос-
плоскости 220. Соответственно основной дифракционный эксперимент,
отражение от плоскостей B20), по схеме интерферометра позволяет
юстировать кристалл Сг относительно оси 6. С помощью отраже-
отражения 224 излучения МоКа от тех же трех пластинок SMAC^ юсти-
юстируется относительно оси х. Для юстировки относительно оси р
используется многократное отражение 112 внутри полости, обра-
образованной обоими кристаллами, как показано на рис. 100, в. Наи-
Наиболее точной должна быть юстировка относительно последней оси.
Точность установки по р и 6 контролировалась с помощью пьезо-
элемента. Прибор был термостатирован с точностью до + 10~3 °С
в продолжение часа и + 10~2 °С в течение суток, а также защищен
от механических вибраций и дрейфа.
Исследование режима работы прибора показало, что в системе
происходят медленные движения двух типов: взаимное поступа-
поступательное смещение @,2 А в минуту) кристаллов Сх и С2, эффект
которого можно компенсировать, и взаимный их поворот.
Таким образом, была доказана возможность юстировки частей
прибора с точностью порядка 10 ~3 от угловой секунды.
Картины трансляционного муара. В ра-
работах Харта [136] и Дислейта [137] для осуществления взаимного
смещения частей интерферометра использовался тот же принцип
упругой деформации более тонких частей монокристального бло-
блока, что и в работе Бонзе и Харта [28]. Харт [136] поставил задачу
использования трансляционного муара, возникающего в интер-
интерферометре по Лауэ, для абсолютных и точных измерений неболь-
небольших отрезков (~0,1 мкм). Схема интерферометра представлена на
296
рис. 101. С помощью соответствующего давления можно упруго
деформировать пружины Sx и S2 и смещать анализатор относитель-
относительно пластинки S и М. При этом смещение микрометренного винта,
деформирующего пружины на 20 мк, приводит к относительному
смещению частей интерферометра на d22o = 1,92 А. Запись тран-
трансляционного муара дана на рис. 102.
Дислейт [137] использовал аналогичное устройство, дополнен-
дополненное оптическим интерферометром, смонтированным вместе с
рентгеновским на общей латунной основе. Работа такого комби-
комбинированного прибора с одновременной записью по двум каналам—
оптическому и рентгеновскому — позволяет производить абсо-
абсолютные измерения с ошибкой порядка ангстрема отрезков до
50 мкм.
Глава 11
ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИДЕАЛЬНЫХ И ДЕФОРМИРОВАННЫХ КРИСТАЛЛАХ
В главе 1, посвященной историческому обзору развития на-
наших представлений о процессах распространения рентгеновских
лучей в идеальных (и почти идеальных) кристаллах, отмечалось,
что за последние годы наблюдается своеобразное возрождение
динамической теории Дарвина. Преимуществом первоначальной
формы этой теории является большая простота выводов, с по-
помощью которых ее автор, а также Принс [87] и другие, получили
результаты, подтвержденные более строгой теорией Эвальда —
Лауэ — Захариасена. Когда актуальной стала задача построе-
построения теории рассеяния рентгеновских лучей в деформированных
кристаллах, Пеннингом и Полдером [38] и Като [39] была рас-
рассмотрена эта задача для слабодеформированных кристаллов,
с использованием слегка модифицированной теории Лауэ — За-
Захариасена. При этом выявились принципиальные трудности, стоя-
стоящие на этом пути и вызванные неприменимостью к иным условиям
рассеяния таких понятий, как обычная блоховская волна и ее
аппроксимация суперпозицией плоских волн, дисперсионная по-
поверхность, экспоненциальные комплексные волновые функции.
В это же время в небольшой заметке, опубликованной в
1962 г., Такаги [41] предложил использовать другой подхо т к
той же задаче и привел фундаментальные уравнения для описания
волн в кристалле, близкие по форме к уравнениям типа
d-^ = c0D0 + chDh, A1.1a)
^ = chD0 + (с0 + 2а) Dh, A1.16)
где с0 и ch — некоторые комплексные коэффициенты прохожде-
прохождения и отражения и 2а — функция отклонения от точного значе-
значения угла Вульфа — Брэгга, например типа C.6).
Между тем уравнения A1.1) являются не чем иным, как рекур-
рекуррентными соотношениями Дарвина, записанными в дифференциаль-
дифференциальной форме [7].
Теория, основанная "на подобных уравнениях, как было пока-
показано для дифракции электронов [27, 40] и рядом авторов для ди-
298
фракции рентгеновских лучей [42—46,151], непосредственно обоб-
обобщается для деформированного кристалла и общего случая падаю-
падающего волнового пакета.
В настоящей главе, следуя Топену [42], мы прежде всего при-
приводим вывод уравнений типа Такаги из уравнений Максвелла.
Далее, согласно [43], рассматривается применение теории в приб-
приближении падающего волнового пакета к рассеянию в идеальном
кристалле как для случая Лауэ, так и для случая Брэгга.
Возможности теории для решения задачи дифракции по Брэг-
Брэггу применительно к деформированному кристаллу иллюстриру-
иллюстрируются в 4.3.
11.1. Вывод фундаментальных уравнений
в общем случае деформированного кристалла
В данной теории область дефекта делится на две части: слабо
искаженная и сильно нарушенная, в которой практически от-
отсутствует динамическое равновесие проходящей и отраженной
волн. Для слабо искаженной области не делается никакого пред-
предположения о роде деформаций и используется лишь единственное
ограничение на порядок возрастания их величины: относительное
изменение деформации принимается малым сравнительно с еди-
единицей
A1.2)
(uj(r)—вектор смещения, г— радиус-вектор в реальном кри-
кристалле, ?,/=1,2, 3).
Вектор электрической индукции в вакууме описывается выра-
выражением
D = Z>0(r)expq(o0Z — 2яФ0(г)], A1.3)
где вводится циклическая частота
соо = 2nv0.
Выражение A1.3) является обобщением B.19) и описывает про-
произвольную (в смысле формы поверхности равной фазы) волну.
В частности, для плоской волны: Фо (г) — (Jcor), \ к0 | = 1Д.
В общем случае D удовлетворяет волновому уравнению для ва-
вакуума:
о
АР + ^-В = 0. A1.4)
Подставляя A1.3) в A1.4), получаем
AZ>0 - 1Ы 2 д-р- Ц^ - i2nDoA<i>o -
2(^J>о + ^1>о=0. A1.5)
299
Так как Do и Фо действительные функции координат, разделение
действительной и мнимой частей уравнения A1.5) проводится не-
непосредственно.
Мы будем рассматривать волны, для которых радиусы кри-
кривизны поверхностей одинаковой фазы много больше длины волны Я,
например для сферической волны радиуса R будем считать X/R<^.
<^ 1. Легко видеть, что в этом случае
-f 0 (?-)], A1.6)
где второй член в скобках справа обозначает пренебрежимо малые
члены высших порядков малости относительно К.
Если падающая волна является почти плоской, т. е.
причем к0Ак0 = 0 и | Ак0 \ <^ \ к0 |, то из A1.6) следует, что
\ко\ = Х~\ \Ako\ = R-\ A1.8)
что соответствует падающему волновому пакету с угловой шири-
шириной порядка X/R.
Для описания волны внутри кристалла мы сохраним (обобщен-
(обобщенную) функцию Фо для фазы. Амплитуда Do становится комплекс-
комплексной функцией координат, зависящей от разности хода в кристалле
и в вакууме. В частности, в случае совершенного кристалла мы
имеем одну псевдопериодическую волну, отвечающую правой
части уравнения C.34), для каждого состояния поляризации.
Из этого следует, что пограничное условие C.29а) сводится к рас-
рассмотрению 2>0 как непрерывной функции координат при переходе
из вакуума в кристалл.
Волновое поле в кристалле будем описывать с помощью
блоховской функции, однако теперь с переменными амплитудами
[см. B.36) и B.38)]:
П = %nmexvi[<ot-2n(kmr)). A1.9)
т
В случае совершенного кристалла и плоских волн остаются пос-
постоянными B.37):
кт = к0 + hm, к0 = grad Фо. A1.10)
Однако в общем случае к0 и hm являются функциями координат.
Мы можем определить в каждой точке вектор hm, нормальный к
системе плоскостей т (тройка индексов), причем
\hm\ = d?{r). A1.11)
Тогда при переходе от плоскости с номером пт к плоскости той
,же системы пт -{- I имеем соотношение
Дит = 1 = fcwd-#-, A1.12)
300
где dr —приращение радиуса-вектора г при переходе отданной
точки г на пт-й плоскости к точке г + dr на (пт + 1)-й плоскости.
Считая далее чисто формально пш непрерывной функцией
координат, которая принимает целочисленные значения на каж-
каждой плоскости т, находим
A1.13)
& = ]>]l>mexp Цсо0* - 2яФш), A1.14)
где
A1.15)
Заметим, что изложенный здесь способ введения функции пт
не является строгим. Непрерывность пт, в частности, нарушается
в кристаллах, содержащих дислокации. Тем не менее можно по-
показать, что результаты излагаемой теории применимы в общем
случае произвольного распределения пт, если в деформированном
кристалле выполняется условие A1.2).
Переходим к замечанию, касающемуся диэлектрической пос-
постоянной и поляризуемости в общем случае деформированного
кристалла. Хотя диэлектрическая постоянная при этом не остается
периодической функцией координат, но сохраняется условие
A1.2), можно приближенно принимать 8 (г) экспоненциальной функ-
функцией пт в каждой системе т отражающих плоскостей. Для поля-
поляризуемости остаются в силе формулы B.24), B.34) и B.35).
В разложении Фурье B.30), в соответствии со сделанным заме-
замечанием, учитываем A1.11). Таким образом, мы записываем
, A1.16а)
Ь = IS? 50 F°' Х- = %h = " IS? 5ff ^" A
Далее, соответственно анализу, проведенному в 4.1 и 4.2 [например,
D.48)—D.50)], запишем для общего случая поглощающего крис-
кристалла:
Хо = Хог + i%oh Хи = Хлг + ^Хм A1.17)
Одно из характерных отличий рассеяния в деформированных
кристаллах есть зависимость угла отражения, или отклонения г\
от координат. В этой главе в качестве угловой переменной ис-
используется величина
а = 2r]sin2d, A1.18)
соответствующая удвоенной величине а из уравнения C.6).
Нетрудно видеть, что величина а из выражения A1.18) соответствует
301
приближенному значению выражений
^у A1.19)
где как d, так и sin О зависят от координат.
Перейдем теперь к выводу волнового уравнения для поля внут-
внутри кристалла и фундаментальных уравнений. При этом, так же как
и в гл. 2, мы будем исходить из уравнений Максвелла.
Взяв ротор от обеих частей уравнений B.2), получаем
rot rot Е = - — rot 4? = — — 4г rot H. A1.20)
с dt с dt \ • /
Перепишем теперь B.2) в виде [см. B.9) и B.10)]
rotH^c-1^- . A1.21)
Подставляя A1.21) в A1.20) и переходя от вектора Е в левой части
A1.20) к вектору 2>, согласно соотношению
D = &E = A +%)Е, ^?жA —хJ>, A1.22)
получаем волновое уравнение для волн индукции D:
го1го1A-х)П^^П. A1.23)
При этом формально принято, что D зависит от времени так же,
как и каждая из плоских волн в A1.14).
Для вычисления в явном виде левой части A1.23) перепишем
сначала величину A — у) D, используя решение волнового урав-
уравнения A1.14) и Фурье-разложение поляризуемости A1.16а).
При этом, по аналогии с соотношением обратных векторов в идеаль-
идеальном кристалле hk + ht = hk+i, принимаем щ + п1 =
Е = A + х) & = ехр 1щ1 { 2 *>™ ехр (-
т
-23 %mDh ехр [ - Йя (пт + Ф„)]} =
т h
= ехр i'V2 От ехр (-ЙяФт), A1.24)
В дальнейшем множитель ехр (шо?) опускается. Кроме того,
используются связи
к0 = grad Фо, Лт = grad ^гт, fem = grad Фт. A1.26)
302
Слагающие по осям от двойного векторного произведения, соглас-
согласно известным формулам векторного анализа, имеют вид
(rot rot Щ = - Щ +
V П дх\ дх^хк
где индексы г и к независимо принимают значения 1, 2, 3.
Для члена номер т в сумме в правой части A1.24) появятся
следующие значения слагающих по осям после первого дифферен-
дифференцирования:
А A - х) Dmi = ехр (- ЯяФ„) [Щ^- -i2nkmliQmi } . A1.28)
Проведя второе дифференцирование и учитывая, что
J_ k - - д 1с
дхк тк ~~ дхгдхК ~~ дх^т{'
получаем окончательно
rot rot (I - X) D = 2 еХР С" 12яФт)
_ ^2я gra
div Qm + i2nQmA<Dm - AQm +
+ graddivQm}= A. A1.29)
Подставляя A1.29) и блоховское решение в A1.23), получаем
^2 = 4. . A1.30)
Уравнение A1.30) имеет бесконечное число неизвестных. Пред-
Предполагая, что эффективные расстояния, на которых меняются пред-
экспоненциальные множители с номером т в A1.30), много боль-
больше длины волны с волновыми вектором Um (как будет показано
последующими оценками), можно приравнять члены, относящиеся
к различным волнам т. Составляя скалярные произведения каж-
каждого из членов A1.30) на Qm, получим для каждой волны
4я2 {klQl - U\ (DmQm) - (Qmkm)*} + i2nkm grad Q2m + Йя {Q2m x
X АФт - Qm grad {kmQm) - {kmQm) div Qm +
+ Qm grad div Qm - QmAQm} = 0. A1.31)
Заменяя в A1.31) km на am, согласно A1.19) получаем
l - k20 2 Xm-hnnQm - {Qmkmf
n
{km grad Ql + <?гтЬФт - Qm grad (JcmQm) -
Wm) div Qm + Omgrad div ^m - QmbQm}. A1.32)
303
Система уравнений A1.32) содержит члены, существенно раз-
различающиеся по порядку величины. В последующем мы исключаем
члены, малые сравнительно с Q^JX2 ж 1. Ниже дается оценка по-
порядка величины всех членов уравнения A1.32). Буквой т здесь
обозначаются величины, малые по сравнению с единицей.
1. K^mQm : ocm < 1, откуда klamQ2m ~ т<?2Я;
2. к20 %m-hr>hQm : Xm-h < 1, откуда kl%m-hDhQm ~ %QlX*
3. (QmkmJ : ввиду достаточно точной поперечности
4. hm grad Q^n : Qm медленно меняется на отрезках порядка
А,, кт grad Qlb ~ tQlb/X2;
5. (?^ДФт: из A1.4) — A1.6), а также и A1.25) следует, что
Дфш ~ Фтт2Д2, отсюда (&АФт - т2^/^2;
6- Qm gra(l (Qm^mY '• ^mQm ~ ^Qm^ МвНЯЮТСЯ МвДЛвННО, ОТ-
сюда Qm grad (Qmfcm) ~ x2(?2mA2;
7. (kmQm) div Qm : (JcmQm) ~ rQJX, так как Om медленно
меняется на отрезках порядка Я, то div Qm <^ Qm/^>
8- Qm grad div Qm : div Qm ~ '*Qml'k медленно меняется на
отрезках порядка X и Qm grad div Qw
9. QmAQm : AQm ~ grad div Qw, Omw ?
Учитывая приведенные оценки и пренебрегая в A1.32) други-
другими членами второго порядка малости, которые появляются при
исключении Qm, согласно A1.25) перепишем A1.32) в следующем
виде (после сокращения на klDm, cos Xmh—поляризационный
множитель)
<VA, - 2 Xm-hBh cos Xmh + ^km grad 2>m= 0. A1.33)
Кроме того, следует подчеркнуть, что в уравнениях A1.33) ве-
величины hm являются постоянными и соответствуют волновым век-
векторам в идеальном кристалле. Таким образом, задача о распро-
распространении рентгеновских волн в реальном кристалле сводится к
решению системы уравнений A1.33) в частных производных пер-
первого порядка с переменными ат, рассчитанными с учетом локаль-
локального поля деформаций в данной точке кристалла.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только двух
волн (двухволновое приближение) 0 и h и рассеянием в центросим-
метричном кристалле.
Пусть 8Q и Sh — единичные векторы в направлениях распрост-
распространения преломленной и отраженной волн соответственно:
so^Xko, sh = Xkh. A1.34)
Для любой точки плоскости отражения в кристалле имеем
г ==xoso + xhsh, A1.35)
304
и система уравнений A1.33) в двухволновом приближении записы-
записывается следующим образом:
^
Как и в гл. 2 при выводе основных соотношений теории Эвальда—
Лауэ, переход к двухволновому приближению позволил получить
фундаментальные уравнения A1.36) в скалярной форме.
Очевидно далее, что в двухволновом случае мы можем вклю-
включить поляризационный множитель cos Xmh, входящий в выраже-
выражение A1.33), в величину Xh, добавляя значки J_ (сг^-поляризация)
и || (я-поляризация), при этом
VTf- __ у II / I РОо 9А I \-l (A A Q7\
Система A1.36) была впервые получена Такаги в 1962 г. [41].
В настоящее время она является основной системой уравнений
при решении задачи о распространении пространственно-неодно-
пространственно-неоднородных рентгеновских волновых пакетов в кристалле и анализе
проблемы изображения в рентгеновской дифракционной оптике
(как в идеальном, так и в деформированном кристалле).
11.2. Дифракция рентгеновских лучей в идеальном кристалле
в условиях пространственно-неоднородной
динамической задачи.
Функция влияния точечного источника
Рассмотрим общий случай волнового пакета, падающего на по-
поверхность идеального кристалла. Введем в плоскости отражения
прямоугольную систему безразмерных координат с осью Ох,
направленной антипараллельно вектору отражения h, и перейдем
от косоугольной системы {sosh) в уравнениях A1.36) к новой
прямоугольной системе с помощью соотношений
х = V" (хо — 3/i)» z = ~ (х0 + xh). A1.38)
Уравнения A1.36) принимают вид
A1.39)
или, используя подстановки
A1.40)
305
получаем
_2* * + * z>; =
A1.41)
В последующем изложении мы отбрасываем штрихи при Do и Dh.
Система A1.41) соответствует телеграфному уравнению для
амплитуд Do и Dh [152]:
A1.42)
Для построения решений A1.42) при произвольных граничных
условиях введем в рассмотрение функции G (? — х, ? — z), удов-
удовлетворяющие уравнению [47]
ь^lCrJ - {ар дф ^ 1 2 [ di "г "a^
-z). A1.43)
Здесь б (e) — дельта-функция Дирака. В формулах A1.42) —
A1.52) используется обозначение X2 = %h%h. Из определения
функции G (? — х, ? — z) и выражения
A1.43) также следует
A1.44)
В теории линейные дифференциаль-
дифференциальные операторы функции G, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям с б-функцией в пра-
правой части, носят название функций
Грина.
Составим билинейную комбинацию —
тождество
A1.45)
= 0,6 (?-*)* (?-*)•
Рис. 1оЗ. Схема Такаги
Поясняет определение волново-
волнового поля в точке В кристалла с
помощью известных данных для
D- и ее нормальной производ-
производной на АА'=±С
Интегрируя тождество A1.45) в плоско-
плоскости (xz) и переходя с помощью теоремы
Грина от интеграла по площади к интег-
интегралу по контуру, ограничивающему
данную площадь, находим интегральное
соотношение, связывающее волновые
доля внутри кристалла и на произвола
306
но заданном контуре С:
dz - dx)\. A1.46)
Если на контуре С известны значения функции Dj и ее нор-
нормальной производной dDj/dn (эти значения могут быть заданы про-
произвольно лишь для контуров, которые пересекаются прямыми
x-^-z = const в одной точке [153]). то A1.46) дает решение задачи об
определении волнового поля в любой точке кристалла (рис. 103).
При этом функция G и ее производные являются функциями
влияния, описывающими распространение локального возмущения
волнового поля и играют в оптике рентгеновских лучей такую
же роль, какую в световой оптике играет функция i?-1 exp (ikR),
описывающая, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, распро-
распространение возмущения от элементарного источника.
В дальнейшем мы для простоты ограничимся рассмотрением
симметричной дифракции рентгеновской волны по Лауэ и Брэггу
на идеальном кристалле в виде плоскопараллельной пластины
толщиной t.
11.3. Отражение по Лауэ в идеальном кристалле
Будем считать, что кристаллу соответствуют z ^> 0, входная
поверхность кристалла совпадает с плоскостью z = 0. Распределе-
Распределение падающей волны при z = 0 имеет вид
Do = D(oa)(x,y), Dh - 0. A1.47)
Волновое поле в кристалле распространяется в положитель-
положительном направлении оси z. Из физических соображений ясно, что
в этом случае удобно выбрать в качестве функции G в A1.45)
запаздывающую функцию Грина G(r>
= 4-/о (-!-/(?-*)*-(?-;
X
X ехр {- * -J- [? - z) - (I - х)]|е (? - z) 19 (? - z +
+ l-x)-Q(t-z-?- z)h A1.48)
где /0 (z) — функция Бесселя нулевого порядка; 9 (z) — ступен-
ступенчатая функция: 9 (z) = 1 при z>0; 6 (z)=0 при z<S) и d9 (z)/dz=
= б (z). Непосредственной подстановкой A1.48) в уравнения
A1.44) или A1.45) можно убедиться, что G(r> обращает эти урав-
уравнения в тождества. Выражение A1.48) для функции G было впер-
впервые получено в работе Слободецкого, Чуховского и Инденбома
[43] и независимо в работе Отье и Симона [44].
307
Из A1.46), используя A1.47) — A1.48), а также A1.41), и
опуская промежуточные выкладки, получаем для волнового поля
внутри кристалла следующие выражения:
Do (х, y,z) = \ dx' Dloa) (хг, у) Gw (x - x', z),
A1.49)
со
Dh(x,y,z)= \ dx'Df(x',y)Gh0(x-x',z),
(x, z) = - exp [— i -J- (z - x)\ {б (z - x) - -|-
X Jt (^- fz2 - ^2 j 6 (z) [9 (ж + 2) - 9 (x - 2)]}, A1.50)
GhQ(x,z)= _^Lexp[- i-2-(z^x)\ x
X /of4" /*
Формулы A1.49), A1.50) позволяют построить волновое поле
внутри кристалла при произвольном распределении падающей
волны на входной поверхности z = 0. Рассмотрим в качестве при-
применения полученных формул изображение щели в поле дифраги-
дифрагированной волны, когда Z)oa) (х, у) = D(oa) [9 (х + а) — 9 (х — а)],
где а — полуширина щели. В этом случае для поля дифрагиро-
дифрагированной волны из A1.49), A1.50) имеем
min(x+z, a)
Dh(x,t) = -^- I dx'x
maxCc-z, -a)
/o(-|- Vt2- {x - *?) exp [- -|L {t - x + x') ]. A1.51)
При a ->• oo A1.51) естественно переходят в классическое реше-
решение динамической задачи (см., например, C.41))
= i sin (»/2) vi^m_ 1_
ЛК ; V(l+(aL/27№ \
Если полуширина щели а больше толщины кристалла ?, решение
A1.52) справедливо лишь для центральной «равномерно освещен-
освещенной» области \х\ < а — t, а по краям изображения а — t \x\ <
< а + t должны наблюдаться осцилляции интенсивности.
Если полуширина щели меньше толщины кристалла, равно-
равномерно освещенная область исчезает, а области осцилляции интен-
интенсивности накладываются, причем с уменьшением ширины щели
или с увеличением толщины кристалла максимума интенсивности
возрастают к краям изображения для прозрачного кристалла.
308
Напротив, в сильно поглощающем кристалле эти осцилляции ин-
интенсивности сглаживаются. На рис. 104, 105 приведены примеры
изображений щели в дифрагированной волне, полученные с по-
помощью формулы A1.51) для прозрачного и сильно поглощающего
кристалла и различных значений параметров а, а и t.
Отметим, что, как следует из A1.49), A1.50), в предельном
случае бесконечно узкой щели ее изображение непосредственно
дается функциями Goo в проходящей и Gh0 в дифрагированной вол-
волнах, что соответствует результату теории Като A961 г.) для па-
падающей на кристалл сферической волны (см. гл. 6).
Рис. 104. Распределение интенсивности дифрагированной волны в случае
прозрачного кристалла постоянной толщины
a— a/z = Ю-2; б — 2-Ю-2; в — 0,1; г — 0,25; 1 — а/ | X | = 0; 2—2; 3—4; 4 —
Представляет интерес вывод и физическая интерпретация
функций влияния точечного источника, основанные на переходе от
уравнений гиперболического типа для волнового поля в кристал-
кристалле (задача Коши) к уравнениям эллиптического типа (задача Лап-
Лапласа) [154]. Ниже кратко приводится теория построения функций
влияния, как суперпозиции «обобщенных» плоских волн.
Выполняя замену переменных в уравнениях Такаги A1.36)
yh [X + iY] = хо, 7о IX - iY] = xh A1.53)
для амплитуды Dh (X,Y) находим следующее уравнение:
= 0.
A1.54)
Амплитуду Dh (X,Y) можно формально рассматривать как комп-
комплексную амплитуду электромагнитной волны, удовлетворяющую
уравнению A1.54) и граничным условиям на контуре Г (X — 0)
dY
= 0,
ЭХ
(XT)
= -2nikCXhr0D0(X,Y)
A1.55)
309
a
Из физических соображений ясно, что
Dh (X,Y) не может нарастать на беско-
бесконечности, когда (X2 + У2) -> оо, т. е.
имеет место асимптотическое равенство
VDh (Х,У) + зо при X2 + Y2 -> оо.
Уравнение A1.54) удобно представить
в виде
LDh = 0.
Здесь дифференциальный
равен
L =
A1.56)
оператор L
A1.57)
и действует на амплитуду Dh (X,Y) в
области Q' (X > 0).
Введем функцию распределения
T(X,Y) следующим образом:
. A1.58)
Рис. 105. Распределение ин-
интенсивности дифрагирован-
дифрагированной волны в случае погло-
поглощающего кристалла
а — a/z == 4-Ю-2; 6—0,25;
в — 0,5; а/ | X | равно: э — 0,5;
2—0', 3—1; 4—5
где 9 (X) — ступенчатая функция.
Действуя оператором L на тождест-
тождество A1.58), находим уравнение для
Г-функции:
эх
ЭХ '
A1.59)
которое является неоднородным (с пра-
правой частью) двумерным волновым урав-
уравнением. Решение этого уравнения может
быть написано в виде «запаздывающих» и «опережающих» потен-
потенциалов:
Т = -L
X
9
+2-
-#J2)(<Jfl)] х
"h dQ(X')
ЭХ' dX'
R2 = (X - X'J + (Y - У'J,
A1.60)
где Hq (oR) — функция Ханкеля нулевого порядка первого или
второго рода.
Учитывая граничные условия A1.55), соотношение
<Ю (X)/dX = 6(X),
310
а также вспоминая, что в области QT-функция совпадает с амп-
амплитудой Dh, окончательно находим
а | R - W \)\ 6 (| R - Rs |), A1.61)
где Rs — радиус-вектор контура Г=е(О, Ys). Выражение A1.61)
для амплитуды Dh полностью эквивалентно результату A1.49),
полученному методом Римана, если воспользоваться функцио-
функциональным соотношением
С другой стороны, последнее соотношение позволяет интерпре-
интерпретировать функцию влияния A1.48) как суперпозицию «обобщен-
«обобщенных» плоских волн (математически описываемых функциями
Ханкеля), распространяющихся от точечного источника, распо-
расположенного на поверхности кристалла.
Таким образом, изложенная трактовка процесса распростра-
распространения рентгеновских волн в кристалле при наличии ограничен-
ограниченного волнового фронта падающей волны приводит к более общему
представлению, согласно которому наблюдаемое распределение
интенсивности может рассматриваться как интерференционная
картина. В тех или иных специальных условиях эта картина от-
отвечает наличию двух волновых полей (опыт Отье [16, 135]). В слу-
случае падающей плоской волны с неограниченным волновым фрон-
фронтом интерференционная картина, известная как маятниковое ре-
решение динамической задачи, может быть вычислена как интерфе-
интерференция двух волновых полей — физическая модель, использо-
использование которой не обязательно. Тот же результат может быть
получен при использовании функций влияния по методу Римана.
Отсюда следует, что изложенная в гл. 2—5 и 7, 8 теория Эваль-
да — Лауэ — Захариасена не является единственно возможной
трактовкой динамического рассеяния/Вопрос о многоволновом
рассеянии, который освещен в гл. 12 с позиций теории Эвальда —
Лауэ в том случае, если желательно использовать функции влия-
влияния, потребует специального рассмотрения.
11.4. Отражение по Брэггу в идеальном кристалле
С учетом выбранной нами системы координат области кристал-
кристалла соответствует теперь х ^> 0. Граничные условия имеют вид
Dh = 0, x=t.
311
Отметим, что в случае дифракции по Брэггу граничные усло-
условия задаются при различных значениях переменной х, поэтому
построение решения для волнового поля не является столь оче-
очевидным, как это было в случае дифракции по Лауэ. Тем не менее
эта задача была впервые решена Афанасьевым и Коном [45] и не-
независимо Урагами [46] методом Римана, обобщенного этими авто-
авторами на случай задания граничных условий A1.62).
Для единства изложения приведем здесь решение, основанное
на использовании функций Грина G.
Введем в рассмотрение запаздывающую и опережающую функ-
функции Грина:
х
A1.63a)
X
x e (x -1) \ e (? - z +1 - x) - e (c - z -1 + x)\ x
A1.636)
удовлетворяющие уравнениям A1.43), A1.44).
Полагая в A1.46) G = G^ и учитывая, что для G = G(a) ин-
интеграл по прямой х = 0 равен нулю, имеем
Dh (I, С) -= J dz (Z)h -2J— - C««) -gA + iG(«)Z)h).x=:(. A1.64)
Вспоминая, что Dh\x=t = 0 и -^ |x=« = — ^ Do (См- (И.41)),
A1.64) можно представить в виде
oo
Для определения Do (t, z) в A1.65) снова используем A1.46)
с G = G(r), для которой обращается в нуль интеграл по прямой
х = U
D0(t,z)= ] dz>[Do^-G(r)^+i^G(rWo]x=o . A1.66)
Учитывая A1.41) и проводя тождественные преобразования,
312
преобразуем A1.66) к виду
—оо
L™^]=o. A1.67)
Подставим A1.67) в A1.65). При этом мы получаем интегральное
уравнение поля дифрагированной волны для каждого значения
толщины ?. Так как нас в случае дифракции Брэгга интересует
поле отраженной волны на входной поверхности кристалла, то,
полагая | = 0 и учитывая явный вид функций G(a> и G(r> [A1.62),
A1.63)], получаем искомое интегральное уравнение:
+t
(О,Ю + -5г\\&&'/о Н-м1-*1 'о Н-У*'2-'2 х
%r\\dzdz'
X /o (-|- yW^T^ exp
( - -f- (z + z')J Do (C - z - z') +
exp|-^J^ dzJ0[±-Vz*-t*)x
H?-z^t). A1.68)
Интегральное уравнение A1.68) проще всего решить методом
Фурье-преобразования:
оо
0h(O,?) = 4- [ Dh(a)exv(iat,)da, A1.69)
—оо
Ai(<*)=
В результате такого преобразования после проведения непо-
непосредственных вычислений и использования табличного интегралл
!
313
йаходим
)D0(a), A1.71)
G(B) = sin (t /a2 - (X2/4))
(a) sin (* /a* — (x2/4) — i j/~a2 — (X2/4) cos (* /a2 — (x2/4)
A1.72)
Функция G(a> устанавливает связь между Фурье-компонентами
искомой функции Dh (О, |) и заданной на поверхности кристалла
q (?). В координатном пространстве эта связь имеет вид
оо
А, @,0 = \G^{l-z)Df(z)dz, A1.73)
A1.74)
Если на кристалл падает плоская волна, то
Z)(oa)(z) = Dexpf— i^-z), Z) = const. A1.75)
Легко проверить, что, подставляя A1.75) в A1.74) и выполняя ин-
интегрирование сначала по z и затем по а, мы получим результат,
который в точности соответствует результату классической ди-
динамической теории для дифракции Брэгга.
Отметим, что формулы A1.71), A1.72) можно получить непо-
непосредственно, раскладывая падающую волну на плоские волны и
решая для каждой Фурье-компоненты динамическую задачу в
ге классической постановке.
Таким образом, формулы A1.72) — A1.74) полностью решают
поставленную задачу определения поля отраженной волны на
входной поверхности кристалла при произвольном распределении
падающей волны в случае дифракции Брэгга.
Нам осталось привести окончательное выражение для интег-
интеграла A1.74). Используя известные табличные интегралы, можно
получить для С(Б) (z) выражение в виде конечной суммы для любо-
любого фиксированного z:
GB (z) =
4 ' \ 4
n=0, m=n,
)e (z - 2tm^\ • <u-76>
В важном для приложений случае бесконечно толстого кристалла
(t —» оо) в A1.76) остается только первый член ряда с п = 0:
GB (z)|(_= -^-exp (- i-^z)[/0 [Ц-] +ЦЩцг). A1.77)
314
11.5. Применение обобщенной теории
к деформированному кристаллу.
Связь угловой переменной %h с полем деформаций
Пусть точка с радиус-вектором г* в результате деформации
переходит в точку г. Аналогично, пусть hm есть значение вектора
hm до деформации. Тогда уравнение плоскости с номером nh
до деформации имеет вид
nh = hmmr\ A1.78)
Предположим, что при деформации кристалла точка О не подвер-
подвергается смещению, т. е.
hm(O) = hm. A1.79)
С другой стороны,
г = г*^и A1.80)
(и — вектор смещения). Подставляя A1.80) в A1.78) и учитывая
A1.79), находим
nh = (hm(O)\r-u}), A1.81)
hm = grad nh = hm (О) - grad (hm (О) и). A1.82)
Тогда величина а равна [см. A1.18), A1.19)]
ah = V {h2m (О) + grad2 [hm (O)u]- 2hm {0) grad [hm (О) и] +
+ 2k0hm{O) + 2fe0grad [hm{0)u]} = ah(O) -
-2№khgradlhm(O)u] + O(T*), A1.83)
или, используя A1.34), A1.35), получаем
аЛ = аЛ(О)- 2l?-[hm@)u], A1.84)
oxh
где ah (см. A1.19)) определяет отклонение общей ориентации кри-
кристалла от точного условия Брэгга. Полагая окончательно
A1.85)
hr — действительная величина), получим
(H.S7)
315
Представим систему уравнений A1.36) в виде
A1.89)
11.6. Изучение частного случая зависимости jD0 и Dh
только от толщины кристалла [155]
Будем искать решения основной системы A1.36), для которой
амплитудыDo и Dh зависят только от одной переменной t — (п, г),
где п — единичный вектор нормали к поверхности входа крис-
кристалла (t <С О в кристалле и t = О на входной поверхности).
Ясно, что существование подобных решений, которые в даль-
дальнейшем будут называться «собственными волнами», накладывает
определенные ограничения на форму падающей волны и тип де-
деформации кристалла, например, случай дифракции плоских рент-
рентгеновских волн на совершенном кристалле. Тем не менее изуче-
изучение подобных решений имеет методическое значение, так как
оно приводит к существенному упрощению расчетов. В частно-
частности, мы увидим, что число переменных в основной системе уравне-
уравнений от двух сводится к одному и даже нулю, например в случае
постоянного градиента деформации в кристалле бесконечной тол-
толщины.
Собственные волны. Мы называем «собственной волной» такую
волну, для которой ah зависит только от t. В общем случае па-
падающий на кристалл пучок всегда расходящийся и дифракционная
картина — суперпозиция бесконечного количества картин, соот-
соответствующих различным волновым векторам, содержащимся в
падающем пучке. Для изучения дифракции на совершенных кри-
кристаллах этот пучок обычно разлагают на плоские волны. Метод
Топэна заключается в том, что тип волны, выбираемой для этого
разложения, зависит от рода деформации кристалла. Кроме того,
необходимо, чтобы система собственных волн была полной, т. е.
чтобы любая падающая волна могла быть представлена в виде сум-
суммы собственных волн.
Система дифференциальных уравнений для собственных волн
[ср. A1.36)]
л* ш, h л, n * n i л, п
я 4Л dt
316
при этом
o.h = ah(O)+l%?-dt, A1.91)
О
t = To^o + Т/Л» To = (»«о); Th = (nsh). A1.92)
Систему уравнений A1.90) необходимо дополнить граничными ус-
условиями, причем возможны два случая:
а) случай Лауэ (b = yh/y0 > 0):
ZV-0, Do = D{oa) (* = 0) A1.93)
(Z)oa) — амплитуда волн в вакууме);
б) случай Брэгга (Ъ = у^/уо < 0):
Dh = 0 при ? — ?тах (^тах — нижняя грань кристалла, для бес-
бесконечно толстого кристалла tmSiX = — оо)
DQ = D(ba) (t = 0). A1.94)
Рассмотрим в качестве примера изогнутый кристалл. Пусть
R — радиус кривизны плоскостей, положительный для t ^> 0.
Ось ОХ лежит в плоскости падения, перпендикулярной оси Ot,
ось OY параллельна оси кривизны. Считая, что изгиб является
строго цилиндрическим, имеем
—
A1.95)
где L = (Я* + 2|х*)А* (|х*, Я* — коэффициенты Ламэ).
Учитывая A1.84), находим
** 2(Ъ1)
^ U4h
dt ~ bR
В частности, в симметричном случае Брэгга Ъ = —1, yh = sin Ф,
^L = JL (cos2 О — L sin2 О). A1.96)
В симметричном случае Лауэ Ъ = 1
dah/dt = O. A1.97)
Следовательно, интегральная отражательная способность та же
самая, ТОо и для неизогнутого кристалла. Действительно, в этом
случае величины О и d изменяются, но величина dsinO остается
постоянной вдоль хода лучей [38].
317
11.7. Модификация основных уравнений
(поглощающий кристалл)
Введем следующие обозначения:
D (?
Dh e Qhykrv [ Xor ^Jp [ ^'
/1то||тЛ| l ;
Введем также величину
f 1 в случае Лауэ,
е= , с A1.101)
1—1 в случае Ьрэгга. х '
Основная система уравнений A1.90) принимает вид
i%; = A + 1у) Qh, ~ i^ = ZQh (у + ig) + e A + Ы).
A1.102)
Здесь величины у и g даны в (8.89), х = Xft(/Xftr. Кроме того,
А
A1Л03)
где i, /, к — независимо принимают значения 1,2; sjf* и 4к) яв-
являются проекциями соответствующих единичных векторов на
нормаль п.
Рассмотрим случай отражения по Брэггу. Заметим, что
в этом случае нас интересует величина
A1.104)
0() ^ ^
0V ' Qo@) Do@)V\4o\
Естественно поэтому попытаться получить уравнение для опреде-
определения только функции X (А). Система A1.102) делением соответ-
соответствующих уравнений на Qh и Qo преобразуется к виду
A1.105)
- 4- A + i*)-
4
Вычитая почленно из первого уравнения второе, находим иско-
искомое уравнение:
i(dX/dA) - Х2A + Ы) -2Х(у + ig) + A + Ы) A1.106)
318
с граничным условием
Х = 0 (Л = Лтах). A1.107)
Рассмотрим дифракцию Брэгга в случае однородного изгиба
толстого кристалла много больше длины обычного поглощения,
т. е.
При этом энергия, выходящая с обратной стороны кристалла, бу-
будет пренебрежимо мала (бесконечно толстый кристалл, tmRX =
= — оо). С учетом этого обстоятельства граничное условие A1.107)
можно заменить следующим:
Х = 0, (Л = — xhI.-x)). A1.108)
Так как для однородного изгиба
у = у{О) + СА, A1.109)
то удобно преобразовать уравнение A1.106), введя независимую
переменную у:
ic (dXIdy) - X2 A + *х) - 2Х (у + ig) + A + *х) A1.110)
с граничным условием
X =0 (у = -cg-oo). A1.111)
Уравнение A1.110) является исходным для проверки динами-
динамической теории в однородно деформированном кристалле в случае
дифракции Брэгга [1551. Исследование кривых отражения обна-
обнаруживает, что при \с\ < ОД нет отличия от кривой для совершен-
совершенного кристалла. При \с\ —0,01 кривые имеют со стороны ycg ^> 0
осциллирующий хвост, убывающий в среднем как ехр (— |4 gylc\),
в то время как часть кривой, заключенная в интервале от —1 до1,
остается практически неизменной. Если \с\ ^> 1, главный макси-
максимум уменьшается и смещается вправо (ycg^>0), между тем как
«хвост» вытягивается, давая широкую и сильно сплющенную
кривую отражения.
Глава 12
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
В СЛУЧАЕ ТРЕХ СИЛЬНЫХ ВОЛН
Принципиальное рассмотрение многоволнового рассеяния было
впервые выполнено Эвальдом в 1937 г. [156] на основе его динами-
динамической теории. В этой работе рассматривалось рентгеновское вол-
волновое поле, состоящее из п взаимодействующих между собой плос-
плоских волн, распространяющихся в кристалле. Согласно точке зрения
автора, основные характеристики поля, а именно длины и на-
направления волновых векторов hn и относительные значения ампли-
амплитуд или напряженностей электрических и магнитных полей, опре-
определяются точкой А в обратном пространстве, названной автором
точкой связи. При этом условие самосопряженности полного
волнового поля приводит к выводу, что точка А должна лежать
на дисперсионной поверхности А = 0 (см. гл. 2 и рис. 3). Эта по-
поверхность должна иметь 2п листов. Такой подход принципиально
позволяет определить преломленные и дифрагированные волны
в вакууме использованием соответствующих условий на грани-
границах кристалл — вакуум.
Наряду с указанной теоретической работой Эвальда, следует
отметить экспериментальное обнаружение и детальное исследова-
исследование в двадцатых и тридцатых годах нашего века двух чисто дина-
динамических эффектов, связанных с многоволновым рассеянием.
Прежде всего это «просветление» (Aufhellung), открытое в
1923 г. Вагнером и детально исследованное Бергом и в особенно-
особенности учеником Эвальда Майером [157]. Явление просветления зак-
заключается в том, что при использовании слегка расходящегося пуч-
пучка лучей с конечным спектральным интервалом для получения
определенного отражения от монокристалла можно поворотом
вокруг одной из осей спектрографа юстировать кристалл в поло-
положение, отвечающее одновременно второму отражению. В таком
случае на спектральной полосе, отвечающей первому отражению,
возникает узкая светлая линия, обязанная изменению относитель-
относительной интенсивности первого (главного) отражения при переходе к
трехволновому рассеянию. Необходимо отметить, что уже в 1928 г.
Майер использовал динамическую теорию Эвальда для расчета
эффекта просветления, который рассматривался как трехволновое
рассеяние с лежащими в одной плоскости волновыми векторами
падающей (преломленной) и двух дифрагированных волн. В тео-
320
ретической части этой работы для рассмотрения трехволнового
рассеяния использовался метод дисперсионной поверхности, и
Майера можно считать предшественником современных иссле-
исследователей.
Трехволновое рассеяние в более прямом смысле было открыто
и исследовано Реннингером в 1937 г. и было им названо «непрямым
возбуждением» (Umweganregung). Исследуя отражение рентге-
рентгеновских лучей от кристалла алмаза, Реннингер наблюдал (обна-
(обнаруженное еще до него) отражение 222, запрещенное для алмазной
структуры. Как известно [158], возникновение этого отражения
объясняется отклонением электронной оболочки атомов углерода
в этой структуре от сферической симметрии и сосредоточением не-
некоторой доли электронной плотности в межатомных «мостиках».
Впрочем, это объяснение может считаться подтвержденным экс-
экспериментально скорее качественно, чем количественно.
Реннингер применил оригинальную методику эксперимента.
Установив кристалл по отношению к падающему пучку в поло-
положение отражения (по Брэггу) второго порядка от плоскости A11),
он регистрировал ионизационной камерой интенсивность отра-
отраженного пучка, вращая кристалл вокруг оси, нормальной к пло-
- скости A11). При этом наблюдалось слабое постоянное отражение
222 и периодическое возникновение более или менее сильных пи-
пиков, обязанных отражениям от других плоскостей кристалла.
Период этих «всплесков» интенсивности, в соответствии с шес-
шестерной симметрией оси [111] в обратной решетке, составлял 60°.
Образование обнаруженных отражений при вращении кристалла
алмаза вокруг оси [111] при угле падения, отвечающем отраже-
отражению 222, непосредственно прослеживается на стереографической
проекции кубического кристалла вдоль оси третьего порядка,
если нанести соответствующие проекции окружностей основания
конусов Косселя. Окружность конуса отражений 222 (которая
проектируется без искажения) пересекает с указанным интервалом
в 60° окружности конусов отражений 111, 133 и 113 поочередно.
Легко показать, что, несмотря на пересечение окружностей ко-
конусов более сильных отражений 220 и 400, возникновение этих
отражений невозможно, если учесть поляризацию отраженных
волн.
Толчок к новым детальным исследованиям многоволнового
рассеяния был вызван работой Бормана и Хартвига 1965 г. [30].
В этой работе исследовалось одновременное отражение 111 (пу-
(пучок II) и 111 (пучок III) по Лауэ излучения Си Ка от кристалли-
кристаллической пластинки Ge. Применялся широкоугольный пучок и от-
отражения регистрировались на фотопленке. Снимок представляет
собой полоски двухволнового отражения, с более интенсивными
пятнами, возникавшими в результате трехволнового рассеяния.
Так как толщина пластинок Ge была —1 мм (\xt ^ 30), то полу-
полученную картину можно было объяснить усилением аномального
прохождения по сравнению с двухволновым случаем. Этот вывод
11 3. Г. Пинскер 321
подтверждается тем, что при переходе от толщины 0,8 мм к 1,2 мм-
полоски исчезали, в то время как точки оставались. Используя при-
приближенное соотношение интенсивностей отражений от пластинок
указанных толщин, авторы нашли минимальный коэффициент
поглощения —45 см'1 и сопоставили его с соответствующими ве-
величинами:
\х = 352 см~\ amin(Hl) = Ю5 см'1,
6g?In B20) = 15 см~\ cffin A11) - 45 см-1.
На другом снимке зафиксированы случаи отражения, возни-
возникающие, если направить падающий пучок вдоль отраженных пуч-
пучков // и 77/. Полученные снимки интересны, по меньшей мере, с
двух точек зрения. Во-первых, иллюстрируется эквивалентность
трехволнового отражения (но не двухволнового!) при цикличе-
циклической замене пучков/-^ // -> III -»/—>... Во-вторых, обнаружи-
обнаруживается образование отражения 200, запрещенного при двухволно-
вом рассеянии.
Следует отметить, что дальнейшие экспериментальные иссле-
исследования многоволнового рассеяния немногочисленны. Можно при-
привести измерения Саксосио и Заяк [159], Уэбаха и Хильдебрандта
[160] и Кацнельсона, Кисина и Поляковой [161], а также очень
краткую заметку Хильдебрандта [162], в которой дана сводка
выполненных им измерений ряда трех-, четырех- и шестиволно-
вых отражений. Для отражений 111 зафиксированы многочис-
многочисленные случаи усиления аномального прохождения по сравнению
с двухволновым рассеянием. Вместе с тем до сих пор не зафикси-
зафиксированы надежные данные, указывающие на возрастание аномаль-
аномального прохождения для отражений типа 220.
Наряду с экспериментальными работами, начиная от 1965 г.
были опубликованы теоретические работы, задачей которых на-
наряду с разработкой общей теории многоволнового рассеяния был
расчет векторов индукции, коэффициентов поглощения и интен-
интенсивностей прошедших и дифрагированных волн [159, 163—165] и
[33]. Как будет показано далее, существенно различаются два ти-
типа многоволнового рассеяния (по преимуществу, трехволнового):
первый тип, при котором волновые векторы к0, kh, U{ лежат в
одной плоскости, и второй тип, при котором указанные векторы
не компланарны.
Рассеяние первого типа описывается уравнениями, которые
являются обобщением системы B.63) или B.64). Аналогично урав-
уравнениям в форме B.68), используя соотношения B.70) и B.76),
запишем систему для случая трех отражений, для а-поляризации
(Xo - 2e,) Dh + x^iDt = 0, ' A2.1)
322
и для я-поляризации
(Хо - 2е0) # о + X/L cos2$0hHh + %т cos 2$0lHl = 0,
Xh cos 2#оь#о + (Хо - 2eh) Ял + %к.г cos 2flwtf, = О,
X, cos 2#о,#о + »-Л cos 2ды#л + (хо - 2е,) #, = 0. A2.2)
Отсюда можно получить
cos 20
л л Bел - Хо) Bв, - хо) - | Хл-i I2 ^
Выражения A2.3) и A2.4) обнаруживают две интересные осо-
особенности многоволнового рассеяния. Во-первых, в том случае,
если Xh = 0, т. е., например, данное отражение является запре-
запрещенным, величины Dh и Hh, а следовательно, и интенсивность
отражения не обязательно обращаются в нуль. Этот результат
объясняет эффект Реннингера или «непрямое возбуждение». На-
Наоборот, при отличных от нуля значениях %h, X/ и хл-z второе сла-
слагаемое в числителе A2.3) и A2.4) может иметь знак, обратный пер-
первому, в результате чего значения Dh и Hh, а значит, и интенсивно-
стей, могут быть сильно уменьшены. Это объясняет эффект «про-
«прояснения».
Основной интерес представляет, однако, многоволновое рас-
рассеяние с некомпланарными волновыми векторами. Этот случай
связан с трудностью в определении направлений и величин век-
векторов индукции ввиду отсутствия стандартных направлений а-
и я-поляризаций. Задача оказывается сложной также и потому,
что дисперсионная поверхность является поверхностью шестого и
более высокого порядка и ее исследование становится чрезвычай-
чрезвычайно трудным.
Общее и вместе с тем детальное рассмотрение трехволнового
рассеяния дано в работах Эвальда и Хено [31, 32] к изложению ко-
которых мы и перейдем.
12.1. Рассеяние в прозрачном кристалле.
Опорные системы координат
Для анализа и описания волнового поля в кристалле в трех-
волновом приближении широко используется образ дисперсион-
дисперсионной поверхности в обратном пространстве. При этом возможен раз-
различный выбор системы координат. Наиболее общей следует
считать систему, связанную с тройкой волновых векторов, прове-
проведенных из точки Е — точки Лоренца (на рис. 3 и 6) к соответст-
соответствующим узлам обратной решетки. Эта тройка векторов показана
на рис. 106. По построению точка Лоренца (Lo) является точкой
11* 323
пересечения сфер радиусом
A2.5)
Соответствующие векторы обозна-
обозначаются буквами Л>A\ Л>B) и U@\ причем,
если обозначить вектор Lo О = Lo
= — Lo, к№ = — Lo + fr2,
—Lo + h3. A2.6)
лишь весьма незна-
незнаОчевидно, что волновые векторы ди-
динамического трехволнового рассея-
рассеяния kt отличаются по направлениям
от векторов W
р
чительно. Мы вводим далее единич-
единичные векторы:
S-. = —
Рис. 106. Опорная система ко-
координат в обратном пространст-
пространстве, используемая в теории трех-
трехволнового рассеяния Эвальда—
Хено
Lo
к
So =
— Lo ¦
— Lo
A2.7)
новое начало, точку
Таким образом, наряду со стандарт-
стандартным началом координат в обратном
пространстве, точкой О, мы вводим
Lo, которая смещена относительно О на
вектор Lo, согласно A2.6). Для определения величины вектора
Lo, выраженной через векторы ht, используем то обстоятельство,
что точка Lo лежит на пересечении плоскостей, равноотстоящих
от О ж h2 и О и hz соответственно. Уравнения этих плоскостей по-
получаются непосредственно, так как для любого вектора Ох,
кончающегося на такой плоскости, величина его проекций на
прямую Oh2 составит A/2) (h2h2), на прямую Oh3 — A/2) (h3h3).
Искомые уравнения имеют вид
1 2 12
(xh2) = -су- h2, {xh3) = -х- h3, hi-^=\ Ohi |. A2.8)
Вектор Ox =Ox'y лежащий на пересечении указанных плоскостей
в плоскости (h2h3)./ с одной стороны, удовлетворяет уравнениям
A2.8) и, с другой, может быть определен как Ох1 = ah2 + Pfo3-
Скалярным умножением этого уравнения на h2 и 1ьъ и использо-
использованием A2.4) мы определяем а и р. В результате
Ох'=х* =
12 [Л2
- (h2hs)\ h2 + hi [hi -
}- A2.9)
Расстояние OLo, очевидно, будет равно векторной сумме вектора
Ох' и некоторого вектора, нормального к плоскости (h2h3),
Lo == х' — v [h2hz] = х.
A2.10)
324
Возводя A2.10) в квадрат, подставляя х2 = к2 и значение хг из
A2.9), определяем неизвестное v. Окончательное выражение для
вектора Lo имеет вид
1 2 2
+ [hi — (h2hs)] h\h3 — w [h2h3],
w = {4k2 [h2h3]2 — h\hl (h2 — h3JYl*. A2.11)
Точка Лауэ La (точка М на рис. 3 и 6), по определению, соответ-
соответствует пересечению сфер, проведенных из точек О, 1гьъ h3 радиу-
сами К. Ввиду малого различия величин к и К значение расстоя-
расстояния La Lo можно получить, заменяя в A2.7) к на К и используя
переход
цт f A^h Д&2 = d ^' кк2. A2.12)
Отсюда
— La Lo = %оК2 [?2hs] . A2.13)
Итак, роль исходной или «прямой» системы координат будет
играть тройка векторов st, согласно A2.7), с общим началом в
Lo. Объем «ячейки», опирающейся на векторы st, составляет
vs = («1 [*2«з]) = &~3 (- Lo [(- Lo + Л,) (- Lo + h3)]) =
= К* (- Lo [hji,]) = Л"» 2[fe^8p [Л2Л3]2= 2F ' <12-14)
Далее будут также использоваться безразмерные векторы
щ = Г12к-\ i\* = hJc-\ A2.15)
модули которых соответственно условию Вульфа — Брэгга от-
отвечают величинам 2 sin l&2 и 2 sin Фз* где углы #2 и ^ отвечают ис-
исправленному (на преломление) закону Вульфа — Брэгга. С ис-
использованием новых переменных значения w и vs переписываются
в виде
W = /Ь31/Ч[Т]2Т]з]2~Т]2Г]2(Т]2-Т1зJ,
^s = 1/2 V4 1т,,т,,]« — T^Tg (л, — т,,)». A2.16)
Для исследования дисперсионной поверхности используется си-
система координат, обратная по отношению к системе st. Единичные
векторы обратных осей tt определяются с помощью стандартных
соотношений:
h = [SiS2]/vs = [— Lo h2
t2 = [*s*i]A>* = [Lo/
*i = [«2«з]/^з = {[— L», h3 — h2\
= - «2 ~ h + [h2hs]/№vs. A2.17)
325
Из этих соотношений следует, что векторная сумма
«1 + «2 + *з = 1Л«Л»|/ЛЧ== [iMelM A2.18)
направлена нормально к плоскости (h2h3), т. е. совпадает с направ-
направлением La Lo.
Явные выражения для tt в функции от t\t имеют вид
«1 = 2v
«2 = 2р [1]211з12 {[ЩЧ1 Пз (%%)] 1Ч«%1 * f [%%] %]
*з = 2^lbiP{[T1^3- ^2 (%%)][%%] -2^11%%]%!}. A2.19)
Пространственное соотношение между системами st {hi) и
tt было показано на рис. 106.
Для вектора—La Lo вместо A2.9) можно написать (используя
A2.18))
-LaLo = 1/2 к%0 (п-*) (гг + 12+t3) ж 1/2 к%0 («, +е, + е8), A2.20)
где п — показатель преломления.
Ось, направленная вдоль (hzh2) и проходящая через точки
Lo и La, получает наименование главной оси и точки ее пере-
пересечения с дисперсионной поверхностью — наименование главных
точек.
Положение точки возбуждения А относительно точки О on-
ределяется вектором
Lo А = Т = Lo + 1/2 k%ov, A2.21)
где v — безразмерный единичный вектор, направленный от Lo
к А. Соответственно, точка Лауэ определяется соотношением
tfLa = h +12 + е8. ' A2.22)
Понимая под вектором Ut волновой вектор, относящийся к точке
возбуждения А, запишем его значение в виде
0, A2.23)
где в общем случае
Множитель Т; связывает v с величинами е; и, следовател) но,
с нашими угловыми функциями. Запишем
- _ 2gi-Xo _ 2si + IM
Ti Xo "" | Хо |
326
яли, так как
2е, + |X0|»2(fci - к)К-1 + |Х0| = 2(/с{ - К) К'1,
ТО
Ti~ 1/2 а: | хо | • • A2.25)
12.2. Система фундаментальных уравнений B.49)
в случае трех сильных волн
и уравнение дисперсионной поверхности
при рассеянии в прозрачном кристалле
Перенесем в уравнениях B.49) в левую сторону члены
*3Cm-n-Dn[m]. Для трех волн система B.49) может быть переписана сле-
следующим образом:
Bг1 — Xi) А — Xia A[i] — Xi3 A[i] = О,
- Xal A[2] + Bе2 - Xi) А - X28D8[a] = 0, A2.26)
- X3iАи ~ Х8аAw + Bе3 - Х'01>з = 0.
«Здесь используется соотношение, вытекающее из B.55) ввиду мало-
малости величин гт:
Х-*(к2т-К*)^2гт. A2.27
Далее мы разлагаем каждый из векторов Dm на слагающие,
параллельные и перпендикулярные каждому из волновых векто-
векторов кт:
Dm = Dm[n]+Dmlln, m,n = 1,2,3, тфп. A2.28)
Принимая в дальнейшем изложении %о = Xi^ введем величины
omn =ттт-, am=n=l. A2.29)
Подставляя A2.28) и A2.29) в систему A2.26), получим
* 1А + a12Z>2 + a13?>3 = ^ь
+ T2Z>2 + a23Z>3 = Мг, A2.30)
Б этих уравнениях принято, что значения коэффициентов %t
лишь незначительно изменились бы при замене единичных векто-
векторов Si на те, которые точно отвечают направлениям kt, согласно
A2.23).
Переходим к рассмотрению решения данной системы в двух
принципиально различных случаях.
1. Все Хт равны нулю. Тогда векторы Dn не дают вклада в
направление вектора fcm, другими словами, Dn\\Dm, или все три
327
вектора индукции лежат в одной плоскости. Определение вели-
величин этих векторов сводится к решению скалярной системы урав-
уравнений, основанному на значении детерминанта
|ti а12 а13
Л= а21 т2 а23 =0. A2.31)
«31 «32 t3 I
Этот случай рассмотрен выше [см. A2.1) — A2.4)].
2. Детерминант А и хотя бы одна из величин Xt не равны нулю.
Тогда решение системы A2.30) для векторов индукции имеет вид
«12 «13
«
23
«32
«21
«31 ^3^3
«13
«23
A2.32)
ДХ>, =
Ti a
«21
«31 «:
12
32
Очевидно, для получения величин Dt в явном виде необходимо
исключить неизвестные коэффициенты Хг. С этой целью прежде
всего составим скалярные произведения уравнений A2.32) на еди-
единичные векторы ?ь ?2 и s3 соответственно. При этом мы получим
систему линейных однородных уравнений для Х$. Эта система
имеет решение при условии равенства нулю детерминанта, со-
составленного из коэффициентов при Xt. Следовательно, соответст-
соответствующее уравнение A2.33) является уравнением дисперсионной
поверхности в трехволновом случае. Вводя обозначения для ска-
скаляров Smn = (8m8n), Smm = 1, ПОЛУЧИМ
«12 «13
Д'= -
— *12
$13
t2
«32
«21
<X3i
«21
<*31
«23
t3
«23
t3
t2
«12
#32
tl
«31
tl
a31
«18
t3
«13
t3
a12
«32
a
21
21
«
12
= 0.
A2.33)
Первое весьма существенное замечание, касающееся детерминанта
А', относится к оценке относительных значений образующих его
элементов; smn имеют значения косинусов соответствующих углов
между волновыми векторами; численные значения атп заключе-
заключены в пределах от —1 до —0,5 -=- 0,6, наконец, xt имеют значения,
которые можно пояснить отношением величин \ к 1/2 К |%ol на
328
рис. 6 и которые, следовательно, меняются в области максимума
в пределах от ~0,5 до —2 -нЗи могут принимать большие зна-
значения на самых краях области отражения.
Отсюда мы заключаем, что помимо случаев значительного
отклонения падающей волны от середины максимума, все элементы
детерминанта в A2.33) являются величинами порядка единицы.
Вводим дополнительно следующие обозначения: (s^) (s2s3) •
'(^3^1) =$123- В тех случаях, когда необходимо показать
циклическую перемену индексов, не используются соотно-
соотно1С = (Xi23 ~\~ «32Ь ^1^2 = ^12? ^1 ^2^3
а12а23 = а1223» а12а23а31 = «123* A2.34L
Величины атп являются выражением динамической связи
или взаимодействия соответствующих волн в кристалле. Величины-
типа а1223 отражают более сложное непрямое взаимодействие волн
1 и 2 через посредство волны 3. Наконец, величина а123 относится,
к обратному эффекту взаимодействия волн 1 —> 2 —> 3 —» 1, анало-
аналогично обратной связи или самоиндукции.
Перепишем теперь уравнение A2.33) по нисходящим степеням^
т, но с использованием A2.34):
[*! I «2з |8 A + <%) + т21 а3112 A + *у +
ts | а1212 A + ^2)]} - Т1232С (зш - s*2 - si - *з\) +
121 а133212 + т231 ааш |2 + t3i | a322i |2]} +
| а133212 A — s*2) + т231 а2113 [2 A — s^) + t311 а322112 х
X A - ^)] + [т21 а231* s^ + т21 а311*4, + т* | а121^] _
- 2С ft! | а2312 (зш + 4з) + т21 «si I2 («we + *1) + ^з | «1212 X
X (*123 + 522)] + 4С%23 - | а123 |2i;2 = 0, A2.35)
v\ = 1 + 2,123 - s$2 - s%3 - 4,. A2.36>
Выражение A2.36) — стандартное для объема триклинной эле-
элементарной ячейки с периодами а = Ъ = с = 1 [см. также A2.14)]..
12.3. Анализ уравнения дисперсионной поверхности
в случае прозрачного кристалла
1. Асимптотические свойства. Допустим, что один из xir
например т3, значительно больше двух других. Это означает, что
для одной из двух отражающих плоскостей угол падения значи-
значительно отклоняется от значения, отвечающего середине максиму-
максимума. В этом случае в уравнении A2.35) достаточно учесть лишь
члены, содержащие т2:
- *Л I «1212 A + «У + <& I «is I4} = 0. A2.37>
329'
Приравнивая нулю содержимое в фигурных скобках, мы получаем
для (TjTs) два значения:
A2.38)
Нетрудно видеть, что эти два решения различаются множителем,
который совпадает со значением множителя поляризации для
лхколебаний вектора индукции. Решения A2.38) соответствуют
гиперболическим цилиндрам (вдоль оси t3). Другими словами,
они означают переход от трехволнового к двухволновому при-
приближению.
2. Зависимость от перестановок (номеров) векторов ht. Как и
следовало ожидать, дисперсионная поверхность инвариантна к
циклическим перестановкам номеров 7, 2, 3 волновых векторов.
^Это видно из того, что отдельные части А' в A2.35), отвечающие
каждой степени тг, образуются по правилу циклических пере-
перестановок, а величины |а12з|2, 2С, s123 и v\ остаются при этом неиз-
неизменными. При нециклических перестановках изменяется поло-
положительное направление главной оси и дисперсионная поверхность
строится с обратной стороны плоскости векторов h2 и h3.
3. Фазовые соотношения. Из уравнения A2.35) следует, что
фазы коэффициентов связи атп = |amn| exp iq)mn входят только
через посредство величины
2С = а123 + а321 = |а123| 2 cos cp, A2.39х
Ф = Ф12 + Ф23 + Ф31- A2.40)
Таким образом, отдельные фазы не влияют на дисперсионную
поверхность, и, следовательно, при фиксированных значениях
двух отдельных фаз третья может быть определена из геометрии
дисперсионной поверхности.
В связи с этим следует сделать принципиальное замечание,
касающееся выполнимости закона Фриделя при трехволновом рас-
рассеянии. Как было специально отмечено в конце гл. 4, закон Фри-
Фриделя при двухволновом рассеянии нарушается лишь для случая
поглощающего кристалла без центра симметрии. В отличие от
этого при трехволновом рассеянии закон Фриделя нарушается
также и в случае прозрачного кристалла. Действительно, при об-
обращении (переориентации) полярного направления в нецентро-
симметричном кристалле изменяется знак ер, а следовательно, и
интенсивность отражений [166].
4. Центросимметричность дисперсионной поверхности. Имеет
место лишь при условии С = 0, так как величина С входит в оба
члена в А' A2.35), содержащие нечетные степени т. Нулевое зна-
значение С может определяться либо равенством нулю одного из
amn, либо значением ф = л/2 в A2.39). Центром симметрии дис-
лерсионной поверхности в указанных случаях, очевидно, будет
точка Lo.
330
5. Следствия обращения в нуль величины а123. В этом случае
постоянные члены в A2.35) (не зависящие от т^) обращаются в
нуль, и, кроме того, при этом нижняя степень т — квадратная.
В результате точка Lo, для которой все хг = О, является по мень-
меньшей мере двойной, т. е. через нее проходят два из шести листов
дисперсионной поверхности. Кроме того, при этом, согласно ус-
условию 4, точка Lo будет также центром симметрии дисперсионной
поверхности.
6. Главные точки при а123 — 0. Допустим, что один из коэффи-
коэффициентов связи, например, а23 = 0. В этом случае все шесть глав-
главных точек действительны. Пусть х1 = т2 = т3 = т. Уравнение
A2.35) сведется к следующему:
Д' = Т2 [Т4 _ r2Ni + у2] = 0? A2.41)
где
N, = {| а1212 A + *;2) + | а1812 A + sj8)},
N2 = {| а311212 A + 2*123 - sls) + | а12 \*s*2 + | а1314^3}.
Решая уравнение A2.41), получаем соответствующие шесть зна-
значений т, положительных и отрицательных. Четыре корня, отве-
отвечающие выражению в квадратных скобках, являются действитель-
действительными, так как дискриминант [Nl — 4 N2] ^> 0.
7. Сечение дисперсионной поверхности в случае а23 = 0. Сече-
Сечение плоскостью (t2, 13) состоит из пары прямых, проходящих че-
через Lo. Если единичные векторы s2 и s3 связаны плоскостью сим-
симметрии, проходящей через s1? тогда вектор Т перпендикулярен
к гг. Сечение состоит из двух осей Т и двух пар гипербол, взаимное
расположение которых зависит от соотношения параметров and,
являющихся функциями а и s.
8. Точечная решетка. В некоторых случаях представляет ин-
интерес рассмотрение рассеяния в точечной решетке, для которой
все а, заданные выражением A2.29), обращаются в единицу (на-
(например, рассеяние нейтронов при единичном температурном мно-
множителе). Эта модель соответствует в теории Эвальда точечным ди-
диполям. Благодаря условию а = 1 упрощаются выражения для
А', например, A2.33).
9. У слови?, определяющее прохождение дисперсионной поверх-
поверхности через точку La. Принимая, согласно A2.22), все хг = 1
и используя модель точечной решетки, т. е. условия а = 1 и С =
= 1, получим из уравнения A2.35)
l+2sm-2^т-1^0, A2.42)
условие, которое всегда выполняется [см. 12.36].
10. Три (взаимно) ортогональных волновых вектора. Если
все smn = 0, то из уравнения A2.35) остается лишь первое (трой-
(тройное) произведение:
Д' (*«» = 0) = (т„ - |al2|2) (т23 - | а2з |2) (т13 - Кз|2) = 0. A2.43)
331
Это уравнение в обратном пространстве описывает три пары
взаимно пересекающихся недеформированных гиперболических
цилиндра для трех пар векторов sl9 s2; s2, s3; s3, вг. Существенной
чертой полученного решения является такая ориентация векторов
индукции, которая исключает распространение волнового поля
в третьем (по отношению к данной паре тп) направлении. Други-
Другими словами, соответствующие волновые поля не связаны между
собой. Трехволновое поле распадается на три двухволновых.
12.4. Рассеяние в кристаллах кремния и германия
Очевидно, представляет интерес применение изложенной об-
общей теории (без учета поглощения) к наиболее важному в настоя-
настоящее время случаю рассеяния в кристаллах Ge и Si. Структурные
амплитуды, а следовательно, и величины атп для алмазной ре-
решетки зависят только от суммы индексов Н = 2ftf и принимают
одно из четырех значений:
Н = 4гс, откуда а = 1,
Я = 4тг + 2, а = 0,
Я = 4л + 1, а = exp (—iji/4): /2,
Я = 4тг — 1, а = ехр (+ ш/4): /2
{п — любое целое число), и обозначаются 1,0, «—», «+» соответ-
соответственно.
Так как волна jf, или 000, соответствует величине Н = An
при п = 0, то коэффициенты связи а12 и а13 соответствуют коэф-
коэффициентам а2 и а3. Используя циклические перестановки, можно
составить следующую схему всех возможных комбинаций значе-
значений Н и коэффициентов связи в случае Ge и Si для точечной ре-
решетки (в вершинах треугольников даны значения Н, на середи-
серединах граней — значения <xm7l):
Чп
Ч-п
5 Ч-п-1 6
332
Рассматривая диаграмму, можно отметить, что случаи 2 и 3
не представляют интереса, так как одно из отражений не взаи-
взаимодействует с остальными. Случаи 4 и 5 принципиально эквива-
эквивалентны. Наибольший интерес, помимо случая 1, представляют
случаи 6 и 8, соответствующие «непрямому возбуждению». При
этом случай 6 соответствует истинному «непрямому возбуждению»,
если учесть, что волна 1 есть падающая волна. Случай 8 — это
«непрямое возбуждение» в том смысле, что обе отраженные волны
взаимодействуют не непосредственно, а через падающую волну.
При переходе к кубической структуре с использованием без-
безразмерных векторов т|, согласно A2.15), значения скалярных
произведений принимают простую форму
-4г(тъ-т1зЛ. A2.44)
Рассмотрим теперь случаи 1, 6 и 8 на схеме.
1. Случай 1 —максимальная связь между отражениями, остп:=
= 1. Принимая также хг = т, получим из A2.35).
А' = (т - IK \(х + IK - (т + 1) 2 4т - 2sm] = 0. A2.45)
Для точки Лауэ La первых три корня (т = 1) независимы от уг-
углов между волновыми векторами. Что касается уравнения третьей
степени относительно (т + 1), то непосредственно устанавливаем,
что оно не имеет корней, отвечающих т ^> 1, т. е. дисперсионная
поверхность не проходит над точкой Лауэ.
2. Случай 6 — истинное «непрямое возбуждение». Отражение
An -\- 2 является запрещенным и непосредственно не связано с
падающей волной 1. Однако обе волны связаны через 4 п-1,
Принимая а12 =0 и для простоты а13 = а23 = а, получим для
главной точки (т^ = т)
Д' = Т2 [Т4 _ Т2 |а|2 B + 52з + S2j + | a|4Bs123 + 1 - s\2 +
В этом случае точка Lo соответствует двум корням т = 0 , являясь
центром симметрии дисперсионной поверхности. Значения дру-
других главных точек определяются решением уравнения, отвечаю-
отвечающего выражению в квадратных скобках в A2.46). В частном слу-
случае, когда волновые векторы 1 ж 2 взаимно перпендикулярны, со-
соответствующие корни принимают значения т2 = 1, т2 = 1 +
+ #1з + $2з- Случай соответствует определенному значению а/К.
3. Случай 8 — окольное «непрямое возбуждение». Этот случай
представляет особый интерес по двум причинам. Во-первых, он от-
отвечает схеме эксперимента Бормана и Хартвига [30], рассмотрен-
рассмотренного в 12.1. Кроме того, как уже указывалось, он был детально
рассмотрен в работе Хильдебрандта [33]. Здесь отражения 111
333
и 111 непосредственно между собой не взаимодействуют, а лишь
через посредство падающей волны. Это объясняется тем, что зна-
значение коэффициента а23, отвечающего отражению (ill) — A11) =
= 020, равно нулю, отражение 020 — запрещено. Уравнение
дисперсионной поверхности A2.35) принимает вид
= %Ш ~ V2 tm [Т2 A + Sl3) + Т3 A + 5ja)J +
= 0. A2.47)
Весьма существенным здесь является анализ сечения дисперсион-
дисперсионной поверхности плоскостью симметрии, каковой является плос-
плоскость A00). Такое сечение описывается уравнением, которое
можно получить из A2.47), если учесть, что в этом случае
тз = тз = т> 5i2 = si3 = si 523 ^ s'- Откуда уравнение сечения
Д' = та [тхт - 1/2 A + 2s2-s')]h1x - 1/2 A + s')] = 0. A2.48)
Решением этого уравнения являются две асимптоты, на которых
Т2 = тз = 0, и две гиперболы. Асимптоты пересекаются в точке
Lo. Обе гиперболы отвечают значениям т и т1? имеющим одинако-
одинаковый знак, что следует из положительного знака величины A -(-
+ 2s" - s').
Отметим полное соответствие между изложенной характери-
характеристикой сечения дисперсионной поверхности плоскостью симмет-
симметрии и чертежом, приведенным в работе Хильдебрандта [33]. Ни-
Ниже мы еще остановимся на сопоставлении результатов обеих
работ.
Эвальд и Хено показали, что в трехволновом[случае отражений
111/1II /020 излучения CuiJTa от Ge лист дисперсионной поверхности,
расположенный между точками Lo и La, пересекает главную
ось ближе к точке La, чем в случаях одной или двух волн. В слу-
случае одной волны точкой возбуждения следует считать точку Lo,
находящуюся на расстоянии т = 1 от точки La. В двухволновом.
случае для точечной решетки можно использовать решение дис-
дисперсионной поверхности в асимптотическом рассмотрении A2.38):
Ч = ^2 = I«i21 = 2'1/2— °>707-
Наконец, в трехволновом случае для точечной решетки следует
использовать решение A2.48). При этом s=sl2 = s13 = cos20m =
= 0,889, s' = 523 = cos2#200 = 0,852, соответственно корни A2.44)
составляют т<^= 0,9623, т^2) - 0,9297.
В результате минимальное расстояние дисперсионной поверх-
поверхности от точки La в случаях изолированной волны (I), двух вола
(II) и трех волн (III) равно
(I) — 26,5, (II) -7 ,76, (III) -1.
Каково физическое содержание этих параметров? Согласно мо-
модели Эвальда, диполи, образующие кристаллическую решетку,,
334
приходят в колебание под влиянием внешнего поля. Колебания
диполей, в свою очередь, являются источником электромагнит-
электромагнитного поля внутри кристалла. Можно показать, что уменьшение
расстояния точки возбуждения, лежащей на дисперсионной по-
поверхности, от точки La означает усиление резонанса, т. е. умень-
уменьшение амплитуды дипольных волн, необходимых для создания
волнового поля в кристалле. Соответственно увеличение указан-
указанного расстояния означает увеличение дипольнои амплитуды. Меж-
Между тем поглощение энергии поля в кристалле пропорционально ди-
дипольнои амплитуде и, следовательно, растет с увеличением рас-
расстояния точки А от точки La.
Следует подчеркнуть, что изложенная модель находится в со-
соответствии с той формой динамической теории, которая исполь-
используется в гл. 2—8, хотя представления о диполях там не привле-
привлекаются. Действительно, согласно теории рассеяния в поглощаю-
поглощающем кристалле, изложенной в гл. 4, наименьшим поглощением
сопровождаются волны, связанные с точкой возбуждения на вто-
второй дисперсионной кривой, лежащей ближе к точке Лауэ. Кроме
того, величина интерференционного коэффициента поглощения
[см. D.93) и D.94)]
^~A + ^Г1/2, A2.49)
и, следовательно, с возрастанием уг или с удалением от точки La
величина oh уменьшается и полный коэффициент поглощения
(от — oh) возрастает.
Обращаясь к трехволновому случаю, замечаем, что сопоставле-
сопоставление расстояний от La указывает на усиление эффекта аномаль-
аномального прохождения рентгеновских лучей в поглощающем кристалле..
12.5. Рассеяние в поглощающем кристалле.
Введение комплексных параметров рассеяния
Дополнительно к параметрам рассеяния в поглощающем кри-
кристалле, введенным в 4.2, здесь необходимо ввести комплексные
величины а и т, заданные в действительной форме в A2.29) и
A2.25). Величины аШп преобразуются следующим образом:
п т ьЬтп d
Лог "Г
__ d
—' та
d У-тп Хтп XOj \ Г. / XOi \ I
L Л0г ^or Л-Or J / L ^^Or / J
L ^or Лог лОг J / L \AOr / J
335
Нетрудно видеть, что
Для комплексной формы параметров %h можно написать
k-kh №r -bhr) + t{kj- khi)] (%or- i%Qi)
Т A
Учитывая, что
kr = if A + Va XOr), A?i = V2
ш коэффициент поглощения (полный) в направлении Hh для вол-
волны h динамического рассеяния
ah = ayh, A2.53)
получим, после выполнения действий, указанных в числителе
A2.52), и деления числителя и знаменателя на 1/2 К%1Г1
A2.54)
При этом, аналогично A2.51),
Xh == 1 h ~T Xh •— , Xh — lh Xh - y
d
Xh = Xhn
T- _kr-khr _._ Л «ТЛХо, A2.55)
Теперь введем формальный способ записи величин а и т, исполь-
используя обозначение |Зтл, согласно условию
тпч m>=hn, //to r/^ч
х^, m — n=h.
Далее, р = pd + фа и величины pd и ра связаны соотношениями
типа A2.55). Величины |3d и ра имеют следующий смысл:
Qd, a _ Ad' a l Л0г fta, d j^d, a — , ГП-^П,
Pmn — Vmn Hi T:— pmn »
yd, a
л>г
A2.57)
336
12.6. Уравнение дисперсионной поверхности
в случае поглощающего кристалла.
Коэффициент поглощения
Используя формальный способ записи A2.56), получим урав-
уравнение A2.33) в виде
A' (pmn) = О, А' (тЛ) атп) = 0. A2.58)
При введении в A2.58) разложения |3 на действительную и мни-
мнимую части мы получаем детерминант, который в отличие от преж-
прежнего включает величины, отличающиеся по порядку, хотя это
различие имеет место «внутри» каждого элемента Д'. Разложением
дисперсионной функции в ряд Тэйлора удается разделить Д'
на две функции, зависящие только от действительных и от мнимых
частей. Этот результат является фундаментальным в излагаемой
теории. Приводим упомянутое разложение уравнения дисперси-
дисперсионной поверхности:
i * /V аа дД' \ ,
run Pmn /
A2.59)
где
<„=
^ (С)
Разложение A2.59), очевидно, можно записать кратко следующим
образом:
д'=д;+ *д1 = о, A2.61)
где Дг и Д| являются действительными функциями и равенство
нулю детерминанта в A2.58) может быть выполнено лишь при од-
одновременном выполнении двух условий:
д; = о, д; = о. A2.62)
В нашем случае четной степени функции Д' выражения A2.62)
переписываются так:
F)
- 0, A2.63)
+ 2pj -U.
12 з. Г. Пинскер 337
Очевидно, числа в круглых скобках справа наверху при членах
разложения одновременно обозначают степень при (З^п и порядок
производной. Отсюда, если использовать приближение, лежащее
в основе теории для поглощающего кристалла, а именно, малость
fCn сравнительно с |3^п (см. соотношения A2.57)), мы получим из
A2.63) нужный результат
2 Рт
A2.64а)
ЭД'
L h-
= 0,
^тп
A2.646)
Уравнение A2.64а), очевидно, является уравнением дисперсион-
дисперсионной поверхности в случае поглощающего кристалла. Что касает-
касается уравнения A2.646), то оно непосредственно позволяет получить
общее выражение для относительного коэффициента поглощения
|я' = afx. Для этого достаточно заменить в нем величину Th
ее значением из A2.55):
2%тп d
-J- amn
ЭД'
A2.65)
Тем самым принципиально решена задача теории в приближении
трех сильных волн (включая падающую) для рассеяния в погло-
поглощающем кристалле при условии малости мнимых параметров C^п*
Помимо величин аи |я, можно рассматривать коэффициенты по-
поглощения вдоль нормали к дисперсионной поверхности или вдоль
вектора распространения потока энергии (вектора Пойнтинга):
\х = |я =3cos9i, (lZ.bb)
где L^ определяется выражением E.77). Напомним, что в гл. 5
было показано, что теорема Эвальда — Като, согласно которой
векторы S(l) или L{1) направлены вдоль упомянутой нормали,
применима как в двухволновом, так и во многоволновом случаях.
Угол (fi в A2.66) образован направлениями вектора L&) и норма-
нормали п к входной грани.
Обращаясь к формуле A2.65), замечаем, что некоторые из
входящих в нее сумм имеют простой геометрический смысл.
338
Прежде всего величина 2(—Л, очевидно, является соответ-
h \dTh/
ствующеи слагающей по st от единичного вектора с вдоль градиен-
градиента функции А':
grad Л' (Гк, а*пП) = 2 d?r8U А = i = 1, 2, 3.
A2.67)
В таком случае, используя систему единичных векторов tt, об-
обратных векторам st [см. A2.13), A2.16), A2.17) и A2.18)],
п = 2 ТА, Lo La = - 2 ги Lo А = — 2 ^г\ A2.68)
г г г
получим нижеследующие значения для сумм в A2.65):
21^7
г дТг
1^7 = (—Lo La с)' 2 Ti ^г = cos (п, с) = cos ф,
A2.69)
Выражение в квадратных скобках в правой части A2.65) преобра-
преобразуется следующим образом:
2 л V У"ГПП
T7Zr\a
1 _i- Р — "т
— = 1 + Р-?. A2.70)
h
Здесь Р, согласно теореме Эйлера, имеет вид
h h
Отсюда
у — \ ! р # _4 I (^ La, с) „ .до г-гг>ч
К -ii-Г ^ -L -г (Lo La с) ^- ^1^./^
Рассматривая выражение для величины 2?, замечаем, что так как
ЛОГ ATnn __ |
то В XZ 0 (разумеется, только для качественной оценки выраже-
выражения A2.65) и величины в квадратных скобках).
12* 339
Как показывает рис. 107, скалярные произведения, входящие
в правую часть A2.71), представляют собой проекции на общее
направление с отрезков A La и LoLa. Очевидно, что в случае глав-
главного сечения, т. е. пересечения дисперсионной поверхности с осью
Lo La, точка А ложится на главную ось и значение скобок преоб-
преобразуется следующим образом:
у ^1-
A2.73)
Для главной точки величина коэффициента поглощения, с точ-
точностью до приближения В ж 0, составит
[х == б/[до~—(LoLac)(l — 7v)/cos(p. A2.74)
Рис. 107. К геометричес-
геометрической интерпретации кри-
критерия Эвальда для коэф-
коэффициента поглощения
при трехволновом рас-
рассеянии, Л = 71
Это выражение можно рассматривать как
обоснование критерия Эвальда, сформули-
сформулированного выше при рассмотрении трех-
волнового рассеяния в прозрачном кри-
кристалле. Как мы отметили в гл. 4, критерий
Эвальда выполняется и при двухволновом
рассеянии.
Сделаем два замечания по поводу ука-
указанного критерия. Во-первых, так как он
относится к положению дисперсионной
поверхности в обратном пространстве, то
он определяет лишь значения величин т и,
следовательно, действительных частей
атомных амплитуд fhr и/Ог. Между тем, как
будет показано далее, окончательные выра-
выражения для коэффициентов поглощения, на-
например, A2.84), так же как и формулы для \х в двухволновом случае
D.107), D.108), содержат в скобках вычитаемое, зависящее как
от /г, так и от ft, что, вообще говоря, может существенно влиять
на значение величин а и |я'. С другой стороны, в работе [31], по-
посвященной рассеянию в прозрачном кристалле, не рассматривает-
рассматривается случай 7 (см. стр. 332), примером которого может служить от-
отражение 111/111/220. Этот случай анализируется в работе Хено
и Эвальда [32] и кратко рассматривается ниже. Усложнение фор-
формы дисперсионной поверхности делает менее наглядным и одно-
однозначным указанный критерий Эвальда. Вместе с тем, формула
A2.65) имеет общее значение.
Рассмотрим применения уравнения дисперсионной поверхности
A2.64а) и формулы A2.65) для коэффициента поглощения в слу-
случае рассеяния в кристаллах с одним сортом атомов.
Придерживаясь по-прежнему приближения малости мнимых
составляющих т и а по сравнению с действительными, перепишем
уравнение A2.64), опуская индекс «г»:
A2.75)
340
В важном частном случае кристаллов элементарного состава
(Ge, Si, Си и т. д.) значение а^гп в A2.64) преобразуется [см. B.35)
и D.41)] в
F* Г ^^ /
_nm=]_nmj = 1^G, l' = f. A2.76a)
Fd i \\ л f '
^0 >0 >| 1 J0
Если ни одна из величин ат не равна нулю, используем обозна-
обозначения
?=L 43=/ь ^=/;, h = hr A2-766)
'о 'о >о
для введения новых переменных
, TtTt!r, ТяТ3!
h h h h
A2.76b)
h
Напомним, что Т{ — координаты конца переменного радиуса-
вектора, соединяющего точку Lo с любой точкой в обратном про-
пространстве, прежде всего с любой точкой возбуждения на диспер-
дисперсионной поверхности. Нормировка величин 7\ устанавливается
таким образом, что координаты точки La отвечают значениям
Т\ = 1. Новые переменные Тг меньше соответствующих Тг. По-
Поэтому, в частности, точка La' на главной оси, отвечающая значе-
значениям Тг = 1, и, следовательно, T\/^^jhIUi находится между
точками Lo и La.
Уравнение дисперсионной поверхности в новых переменных
принимает вид
A2.77)
Формула для коэффициента поглощения A2.65) преобразуется
в
_(dF /; дг и dF /; \ / dF t[
ty J f " f -- f —. / V I~ I л
-i
\ i" i' 12 ^Gl2
L \ /2 /3
4l/, 3/- /и 1 _ dF\( dF /i ,
1Г7Г 23^+1Г7Г 31^/\**ТК
/2 . ^ ,3 I I. A2Л8)
841
Цифра 2 перед скобкой означает удвоение в случае центросиммет-
ричных структур. При отсутствии центра симметрии, очевидно,
необходимо включить члены с перестановкой индексов. Коэффи-
Коэффициенты перед каждым из членов, содержащих dFldGmn, соответ-
соответствуют произведениям [см. A2.65)]
лог ^тп I тп ' о
X0i Хтп /0 fmn
Заметим, что уравнение F (Th Gmn) = О непосредственно полу-
получается из А (т;, остп) = 0 путем замены тг- на Tt и атп на Gmn.
Рассмотрим теперь важнейшие частные случаи.
1. sla = sls, /и = Дз, /12 = Аз- Принимая U = f3 = 1', получим
T[ = 7\ (/'a//i), T\ = T2fu T'z = TBf[. A2.79)
В этом случае прямая Тг = Т2 = Г3 = Т не совпадает с главной
осью 7\ — Г2 = Т3 = Г', что имело бы место при усреднении всех
fmn. Выражение для коэффициента поглощения получается из
A2.78) с учетом указанных соотношений A2.79):
+ 2 -|«„ й] [ж А + (ж + ж) И"' I!
|« й] [
A2.80)
2. Пусть при этом одна из величин amn, например а23, равна 0.
Наши переменные Т\ принимают следующие значения:
U /8
Откуда уравнение дисперсионной поверхности
Л/ (гр' >тп л \ /2/2 тр /гр п \ С\ /Л о QO\
I i jl> >— ^"rnn ^ /2 /3 г \l j, vzmnj = U ^lZ.oZ]
V /o /
и выражение для коэффициента поглощения
dF f
, _ ( dF U 8F /3 8F \
342
X
X
3. Если дополнительно к условию а23 = 0 еще имеем s12 =
= 51з и/12 = /1.3» /12 = Лз> задача существенно упрощается. Вводя
/2 = /з = /'» получим вместо A2.81) Гг- = 7^/'. Выражение для
коэффициента поглощения (& = К)
A2.84)
Примером этого случая может служить рассмотренное ниже
отражение 111/111/020 от кристалла Ge.
Принимаем
000 - hu 111 - Ла, Ш - из, 020 - (Аа - А3). A2.85)
Далее, учитывая, что при рассеянии алмазной решеткой отражение
типа 020 является запрещенным, записываем
а23 = а32 = 0.
Что касается произведений sm , то они принимают следующие
простые значения:
—
= Si3 = S = COS 2Om = 1 — —
523 = 5' = cos 2d200 = 1 - 2р2, A2.86а)
IG1212 = | G1312 = 1/2, р = VaGe. A2.866)
Уравнение дисперсионной поверхности записывается как
+ l^p. Тгз + 4 {Т\ + Tl) = 0. A2.87)
Выпишем значения производных, входящих в формулу для коэф-
коэффициента поглощения,
JL- = Т23 \Тг (Т31 - 1/2) + Т3 (Тп - 1/2) - 4 {Тг + Т3)],
J?- = T3(T31- 1/2)(Tlt - 1/2) + Тш(Т31 - 1/2) +
-х г*' A2-88)
343
dF/dT3 получается из предыдущего выражения заменой индексов
2 на 3. Отсюда
= Т23 \Тг (Г, + Гз) - 1] - 2s2sT23 + s>I% x
X (Т31 -1) + s2^ (Г12 - 1) + s'Tn, A2.89)
3
2 -Щ = V* + 7'з) (^з - 1/2) (Г» - 1/2) +
+ (Ti + Т2) Тгз (Тп - 1/2) + (Tt + Тг) G-,, - 1/2) Г2
+ ^f (Т, + 71,) - *2Г2 (Гц - 1/2) -
4 У» - 1/2) -
— -J- 7'1 (Г! 4- Г3) _ -?2- (Га + Г3). A2.90)
С помощью этих выражений можно вычислить величину \л' в лю-
любой точке дисперсионной поверхности, согласно A2.84).
Наибольший интерес представляет сечение дисперсионной по-
поверхности ее плоскостью симметрии, которая параллельна грани
куба A00). В этой плоскости Т2 — Т3 = Т и Т =f= Тг. Подставляя
эти соотношения в уравнение A2.77), получаем уравнение сечения,
которое легко приводится к виду
1/2 - -J-] \ТХТ - 1/2 - s2 + ~] - 0. A2.91)
Это уравнение, как легко видеть, распадается на уравнение пары
прямых (асимптот) и два уравнения гипербол. Центром симмет-
симметрии сечения является точка Lo, в согласии с анализом уравнения
дисперсионной поверхности A2.35), проведенным выше.
Переходим к исследованию векторов индукции Dh. Для этого
следует обратиться к уравнениям A2.32), которые можно пере-
переписать в виде
Dh =4~ А/,, A2.92)
где Д h отличается от Л заменой одного из столбцов на произве-
произведения kiSi. Малый детерминант А применительно к рассматривае-
рассматриваемому сечению и с заменой
| A2.93)
имеет простое значение
A = (/ui//i)ZW-l). A2.94)
При вычислении Д^ мы вводим в наши выражения величины Kti
пока еще не определенные. Так как система уравнений для Х\
344
является однородной, то мы определяем из нее соответствующие
отношения %ilKk и далее переходим к новым переменным, учиты-
учитывая условия, относящиеся к данному сечению. При этом мы полу-
получаем два решения применительно к каждой из гипербол в урав-
уравнении A2.91).
Для первой гиперболы [ТгТ — 1/2 — E72)] указанные отно-
отношения составляют Х1/К3 = О, К2/К3 = —1, в результате чего полу-
получаем из A2.32)
f'T(TiT —
A2'96)
Формула A2.96) соответствует нормальной или а-компоненте
для вектора индукции падающей волны, так как она осциллирует
параллельно вектору s2 — s3, т. е. перпендикулярно плоскости
падения, в которой лежат векторы п и s±. Векторы, обозначенные
через ?>?- и D^-, лежат вместе с вектором D± в плоскости, прохо-
проходящей через 8г и s2- Однако их направления
I>t\\ (- «2 cos 2O200 + s3) и Dt\\ (- #2 + «зcos 2O200) A2.97)
отличаются от перпендикуляра к плоскости падения.
Как следует из уравнений A2.26), для рассматриваемого слу-
случая (а23 = а32 = 0)
iaAriI + а1з А[1] = 0,
+ taА - 0, а81 Ар] + ^з^з = 0, A2.98)
и D% соответственно параллельны проекциям вектора Dx
на направления, перпендикулярные s2 и s3. Это же относится и к
слагающим, лежащим в плоскости (s2s3).
Из уравнений A2.91) непосредственно следует, что для всех
точек гиперболы
I Dt |2 = | Dt I2 = -w-1 Dt I2, A2.99)
для главных точек TJ2T = 1/2.
Аналогично, для второй гиперболы [ТгТ — 1/2 — s2 +
+(s72)] указанным путем могут быть получены следующие выраже-
выражения:
D*= до!.) [*-Чг—-ъ*\. (igloos)
345
Нетрудно видеть, что Df лежит в плоскости падения, так как
коэффициенты при векторах s2 и s3 в A2.100а) равны между собой.
Соответственно различие коэффициентов при s2 и s3 в A2.100в)
указывает, что, вообще говоря, векторы D\ и Z>J' не лежат в плбс-
кости падения. Для отношений |Z?| |2/ \Dl \2 и |Dj' \2/\D^ |2 могут
быть получены выражения, аналогичные A2.99).
Анализируя полученные результаты для ориентации векторов
Dh, замечаем, что в трехволновом случае (точнее, в указанном се-
сечении) наблюдается та же закономерность, что и в двухволновом,
а именно, гипербола с большим значением действительного диа-
диаметра отвечает а-поляризации векторов индукции.
Наконец, полученные выше соотношения позволяют непосред-
непосредственно вычислить значения коэффициентов поглощения.
Так, для точек дисперсионной поверхности, лежащих на сече-
сечении ее плоскостью симметрии, согласно формулам A2.80) A2.87)
и A2.90), коэффициент поглощения выражается формулой
2Т1Г + Тг (Та + Тз)
Для главных точек этих гипербол, лежащих на главной оси, для
которых Т± — Т2 = Т3 = Г, причем для двух гипербол соответ-
соответственно
Тп = + ]/«2 + 4" (! - s') = +1/"A ~ Р2J + 4" Р4 >
или Т1 = 0,96 и Ти = 0,93, получаем
plto = ^11 = J_ [l _ J». тЛ = -L ("l - -^-0,96 Y
|*min = ^ = >f [l - "tf 0'93^] • A2Л02)
Сравнивая этот результат с выражением для коэффициента по-
поглощения в двухволновом случае D.107), замечаем, что значение
скобок различается на множитель 21/* Т в вычитаемом, и, следо-
следовательно, в трехволновом случае для отражений типа 111 наблю-
наблюдается существенное возрастание аномального прохождения.
Формулы A2.102) совпадают с теми, которые были выведены
Хильдебрандтом более специальным методом [33]. Заметим, так-
также, что соотношение^ между] величинами Т в A2.102) Т1 ^> Г11
и, следовательно,
A2.103)
вполне аналогично соотношениям между |аио для двух гипербол
346
йлй двух состояний поляризации ё дьухйолновом случае. В фор-
формуле D.107) наличие поляризационного множителя С приводит
к увеличению \i в случае я-поляризации.
Другие вопросы, относящиеся к трехволновому рассеянию, в
том числе форма дисперсионной поверхности, коэффициент по-
поглощения вдоль вектора Пойнтинга,_а также переход к двухволно-
вому случаю: 000—111 или 000—111 рассмотрены в работе Хено
и Эвальда [32] с помощью изложенной общей теории.
При отражении 111/111/220 от кристалла Ge,
более сложном по сравнению с предыдущим, исходные точки об-
обратной решетки есть 000 — hv 111 — h2, Til — й3, 220 — (h2 —
— h3) при этом a23 Ф 0, s12 = sl3 = 1 — 3/2f}2 = s, s23 = s' = 1 —
—4|32. Уравнение дисперсионной поверхности, выраженное через
переменные Тг, имеет вид
F (Гь Р2) = (Т23 - 1) (Г18 - 1/2) (Т12 - 1/2) +
+ s*s' A - Т2) A - Тъ) A/2 - Тг) -
X A - ГзJ - 5'2 (Г23 - 1) A/2 - Т\) = 0. A2.104)
Здесь переменные Tt связаны с координатными функциями Тг
соотношениями A2.76в).
Напомним, что
/' = -?¦ = А, /; = 4- A2.105)
Плоскость симметрии дисперсионной поверхности в данном слу-
случае Т2 = Г3, а следовательно, и Т2 = Т3; однако в отличие от
предшествующей задачи здесь главная ось (Т[ = Т2 = Тд) не
совпадает с осью (Тг = Г2 — Г3).
Пересечение дисперсионной поверхности с главной осью отве-
отвечает указанным соотношениям: Т[ = Т2 = Т3 = Т', и, следо-
следовательно, согласно A2.79),
Тх-^r -=Т2 = Т3 = Т = -^ . A2.106)
Значения величины Т в точках пересечения определяются из урав-
уравнения
(Т - 1) [{Т + 1) (аГ2 - 1/2J + sV (Г — 1) A/2 - аТ) -
-52(Г- 1)(аГ2 - 1/2) — 5/2(^ + 1)A/2 - аТJ] - 0,
а = (А //'J. A2.107)
Одной из точек пересечения является точка, отвечающая условию
Т[ = Г; = Т'3 = Д. A2.108)
347
Коэффициент поглощений в этой точке
A2Л09)
Заметим также, что коэффициент поглощения, измеренный вдоль
направления падения, составляет величину
Hy =- 1 - (/220//0), A2.110)
и вдоль нормали к дисперсионной кривой (ближайшей к точке
La)
= Г1 [l - ^j , Г = |/l J- Р2. A2.111)
Рассмотрим теперь пересечение дисперсионной поверхности пря-
прямой, отвечающей условию
Т=Т1 = Т2 = Т3 или Т'% = Тъ=Т[Щ*-. A2.112)
Согласно A2.104), точки пересечения удовлетворяют уравнению
(Т - 1) [Г2 - 1/2 — s' A/2 - Т)] [(Г2 - 1/2) (Т + 1) +
+ s'(T + 1) A/2 - Т) - <?2 (Г - 1)] = 0. A2.113)
Учитывая выражение A2.80), можно вычислить значения величин
\i', отвечающих различным корням уравнения A2.113). Наиболь-
Наибольший интерес представляет значение \i' для Т = 1. В этом случае
\лг отвечает формуле A2.109). Это означает, что, в отличие от более
простого случая 111/111, здесь минимальные значения величин
\л' и а соответствуют не только пересечению дисперсионной по-
поверхности с главной осью, но и другим точкам дисперсионной по-
поверхности.
Интересно сравнить координаты точек вобратном пространст-
пространстве, для которых в случаях 111/111 и 111/111 установлены мини-
минимальные значениявеличин \i' и а.
В случае 111/111 координаты соответствующей точки на глав-
главной оси
Тл - Г; = Т'ъ - 0,78.
В случае 111/111 координаты точки на главной оси
Т\ = Т'2 - Т3 - 0,69.
В том же случае координаты точки с одинаковыми значениями
(ы' и а
348
Основной результат рассмотрения отражений 111/111 заклю-
заключается в том, что с точностью до множителя (у2 + 7з) ~х минималь-
минимальное значение коэффициента поглощения а в этом трехволновом слу-
случае совпадает со значением а при двухволновом отражении 220. Ин-
Интересно отметить, что jimin определяется как действительными
амплитудами fmn (через посредство переменных Т[, т. е. координат
точки на дисперсионной поверхности), так и мнимыми fmn. В связи
с этим необходимо отметить, что критерий Эвальда, основанный на
учете лишь /™п, здесь недостаточен и дает неправильный ответ,
т. е. точка пересечения дисперсионной поверхности с главной
осью в случае 111/111 расположена ближе к точке La, чем в слу-
случае 111/111.
По-видимому, в случаях, когда ни одно из отражений не явля-
является запрещенным, а также в еще более сложных случаях, когда
все атп различны, необходимо более общее детальное исследова-
исследование дисперсионной поверхности и величин, входящих в формулу
A2.78), для определения «абсолютных» значений j^mm и amxn.
Как уже отмечалось, работа Бормана и Хартвига [30], в кото-
которой было обнаружено возрастание аномального прохождения в
трехволновом случае, послужила толчком к теоретической раз-
разработке многоволнового рассеяния.
12.7. Обзор других теоретических
и экспериментальных работ
Независимо от изложенной теории Эвальда — Хено, хотя ча-
частично и по инициативе Эвальда, в 1965—1968 гг. были опублико-
опубликованы работы, в которых излагались расчеты различных типов
многоволнового рассеяния в случае Лауэ [159, 163—165, 167,
168, 33].
В работах [159, 163] авторы поставили перед собой частную за-
задачу в многоволновом рассеянии, отвечающую точному соблюде-
соблюдению условия Вульфа — Брэгга для каждого из отражений и та-
такой ориентации отражающих плоскостей, при которой входная
грань кристаллической пластинки параллельна плоскости, про-
проходящей через многоугольник векторов hmn. Это ограничение по-
позволило авторам [163] вычислить значения интенсивностей рассея-
рассеяния и минимальных коэффициентов поглощения для двух приме-
примеров трехволнового случая, а также для четырех- и шестиволнового
рассеяния.
В этих работах авторы исходили из фундаментальных уравне-
уравнений для слагающих волновых векторов Dh по двум взаимно пер-
перпендикулярным направлениям в плоскости, перпендикулярной
соответствующему волновому вектору kh. Используя угловой
параметр типа
^ ЗСо), A2-114)
349
и вводя для каждой дифрагированной волны в кристалле единич-
единичные векторы поляризации zth и oh, авторы составляли уравнения
следующего вида:
xDmn = 2 %rn-n l(rtw*n) Агя + (ятап) Аи,], A2.115)
= 2j Xm_n [{отлп) Dnn -\- (omon) Dna ].
Для относительных интенсивностей выходящих дифрагированных
волн в вакууме использовались выражения
3 D$Ml exp GF^-j- (*„ + х})\ Г , A2.116)
где j обозначает различные решения системы A2.115). Каждому
решению соответствуют определенные значения х и векторов ин-
индукции. В работе [163] рассматривались отражения 111/111,
220/202, 220/220/400, 220/242/044/224/202. Для всех этих случаев
соответствующие системы уравнений решены и значения х и D
определены.
Вычисление минимальных коэффициентов поглощения произ-
производится в [1631 по аналогии с двухволновым рассеянием (для
угловой функции у =0):
щ = ^о + A|i,- = jio - К htoil. A2.117)
Отражение 220/202 исследовалось ранее [159]. В обеих работах
было показано, что при этом усиление эффекта Бормана либо
очень незначительно, либо вообще отсутствует (в [159] даже ослаб-
ослабление) .
В остальных исследованных в работе [163] случаях расчет при-
приводит к заметному усилению эффекта Бормана.
Весьма обстоятельное рассмотрение трехволнового отражения
111/111 выполнено в работе [33]. Автор исходил из системы фунда-
фундаментальных уравнений типа A2.26) и выбрал для описания дис-
дисперсионной поверхности прямоугольную систему координат с на-
началом в точке La. Ось и — вдоль 8г (в нашем обозначении), плос-
плоскость (uw) — в плоскости симметрии и ось v перпендикулярна
к этой плоскости (единичные векторы г, j, к соответственно).
Выбор прямоугольной системы координат с указанным направле-
направлением осей удобен для исследования нормальной (DOv) и параллель-
параллельной (DOw) слагающих индукции падающей волны и соответствую-
соответствующих величин для дифрагированных волн.
350
Уравнение дисперсионной поверхности имеет вид (частично
в наших обозначениях)
KN-LM = О, К, N = |X0|8[tiTaT3- Са^лг(та +
L = М = [— 2Ьс (т2 - т3) <4] [ %013, Ь = Р =
A2.118)
Введение слагающих радиуса-вектора г (и, v, w) в уравнение
дисперсионной поверхности позволяет провести исследование этой
поверхности. Как и следовало ожидать, в сечении дисперсионной
поверхности плоскостью симметрии получаются уравнения, опи-
описывающие пару прямых
иъ = (К | Хо | + 2 с w)/2a, a = s12 A2.119)
и две пары гиперболических кривых
щ о = -}— {K\X0\(i+a) + 2cw +
± V[K \ Xo | A - a) + 2cwf + 8aC2KiNK2Xl} A2.120)
в полном согласии с результатом, полученным выше с помощью
общей теории Эвальда — Хено.
Для вычисления коэффициента поглощения автор исходит из
формулы
о = 4ябь 6 - и/К (an), 6 = 6r + ify. A2.121)
На сечении дисперсионной поверхности плоскостью симметрии
гипербола, ближайшая к точке La, пересекается двумя прямыми:
нормалью к входной грани и осью и. Из треугольника, образо-
образованного точкой La и двумя упомянутыми точками, пересечения,
можно найти приближенное соотношение
w= u(<a-i) . A2.122)
Исключая величину w из этого уравнения и A2.120) и приравни-
приравнивая эти значения, определяем и и подставляем в A2.121). Мнимая
часть 6j, определяющая amm, вычисляется на основе стандарт-
стандартного приближения I %hi I <^ I %hr I. Для от\п получаем формулу
A2.102)
DL
V2.
35<
Для определения направлений векторов индукции автор исходит
из соотношений [см. A2.118J)
KDOv = 0, NDOw -О, KN = 0, A2.124)
справедливых для сечения плоскостью симметрии. Здесь
do- = JDQd и D$=kDOw. A2.125)
Точкам на гиперболах отвечает условие 2eL — Хо =/= О, причем
Если К = О, JV =f= 0 и из A2.120) следует, что DOw = 0, т. е.
Х)о = 2)^ = jD0, колебания Do направлены перпендикулярно к
плоскости симметрии. Так как условие К = 0 относится к гипер-
гиперболе внешней, т. е. расположенной ближе к точке La, то получаем
соответствие с двухволновым случаем.
Аналогично, для N = 0 (внутренняя гипербола) 1>0 = JDq =
A2.126)
и D^ = Ja
лежат в одной плоскости с вектором J^, а также векторами Н2
и к3 или s2 и ^з-
В отличие от этого, как следует из уравнения A2.126), векторы
D\ и D\ в общем случае не лежат в плоскости симметрии, так как
их направление определяется также и векторами s2 и s3.
Эти результаты иллюстрирует рис. 108.
Наконец, представляет интерес указание, сделанное в [33],
относительно более сильной зависимости коэффициентов поглоще-
поглощения в трехволновом случае (чем в двухволновом) от длины волны Я.
Далее из фундаментальных уравнений следует
= jDOvXL>M zt bDOvX
BeL - Xo)
cDOwXL,MsLt
Из уравнения A2.126) видно, что векторы D^^
п
Рис. 108. Расположение векторов индукции в случае трехволнового отражения
111/111 от Ge
а — векторы, отвечающие а-поляризации; б — векторы, отвечающие я-поляризации
352
Эта последняя связана с наличием множителя Т (Х2/а2) в формуле
A2.102) для коэффициента поглощения. Приведенные автором
кривые для а-Уао и oVo0 обнаруживают сильный спад с уменьше-
уменьшением X; обе кривые пересекаются при X ~ 3,75 А.
Переходя к оценке соответствия между теоретическими и экс-
экспериментальными значениями amin для рассматриваемого отра-
отражения 111/111, отметим работу Уэбаха и Хильдебрандта [1601,
в которой было проведено более тщательное измерение интенсивно-
стей1 прошедших волн на образце Ge для излучений ОлхКа и
МоКа.
Весьма существенные условия получения правильных резуль-
результатов в данном эксперименте — это, во-первых, измерение интег-
интегральных интенсивностей и, во-вторых, при измерении прошедшей
волны — использов.ание достаточно толстого образца. Как сле-
следует из формул D.167) и D.169), интегральные отражения для про-
прошедшей волны Тi и отношение Q = Тг/11г в случае симметричного
двухволнового отражения являются функциями толщины крис-
кристалла. Эта зависимость может быть формально записана так:
\i х 2Г1 + \imin.
Авторы [1601 использовали другие формулы, ссылаясь на Като
A2.127а)
A2.1276)
Формула A2.1276) относится к более толстому кристаллу. Следует
сделать оговорку, что закон изменения указанных величин с тол-
толщиной кристалла при трехволновом рассеянии нам неизвестен.
Далее необходимо иметь в виду, что при исследовании прошед-
прошедших через кристалл волн мы измеряем в определенном интервале
толщин суммарную величину Т(~ и Тх , а следовательно, amin и
ffmin- Авторы [1601 измеряли интегральные интенсивности Тг
и Rt при прохождении излучения через ступенчатую пластинку
Ge с максимальными толщинами —1,81 мм (\it — 64 для Си Ка
и [it = 58 для MoiTa) и 2,05 мм (соответственно, [it = 72,5 и
65,5). Полученные из их экспериментов значения amin составляют
(t = 1,81 мм)
Gmin ~ 25 см для СиКа и сгп1пж 14 см для Мо Ка.
Существенно, что в трех- и двухволновом случаях эксперимен-
экспериментальные значения
-Рк 1 = 0,56, f-gU-0,91. A2.128,
6min J L 6min J
Что касается численных результатов теоретического расчета
ffmin и Smiri» то, очевидно, они зависят от принятых значений ис-
исходных параметров.
353
Хильдебрандт, используя старые данные Вагенфельда для
i/li и значение |jl = 350 см-1, получил (излучение Си Ко)
ffmin = 19 см-1, Gmin = 31 см~х. Если воспользоваться нашими
табл. 3 и 4 и величиной \к = 352 см-1, то можно получить о^т =
= 28 см-1, arnirl = 39 см-1. Величина 28 см-1 близка к результа-
результату авторов работы [1601.
Необходимо также подчеркнуть расхождение между расче-
расчетами и экспериментальными данными для коэффициентов поглоще-
поглощения в случаях многоволнового рассеяния, включающих отраже-
отражения типа 220. Так, по расчетам [163J для отражений 220/400/220
и 220/242/044/224/202 должно наблюдаться значительное снижение
o~min сравнительно с величиной от\п при двухволновом рассеянии
E,2 см-1 вместо 14,4 смг1). Между тем в заметке [1621 подчерки-
подчеркивается, что как в только что указанных, так и в других случаях,
включающих отражения типа 220, на линиях этих отражений не
наблюдалось более интенсивных пятен, обязанных усилению ано-
аномального прохождения. В той же заметке отмечается, что подоб-
подобные пятна наблюдались на линиях, отвечающих отраженным
пучкам 111, 311, и 331. Очевидно, необходимо продолжать экспе-
экспериментальные исследования с более совершенной методикой. Вме-
Вместе с тем теоретические расчеты, в которых были получены сни-
сниженные значения для amin, возможно, должны быть проверены
более прецизионным путем. Для трехволнового рассеяния в из-
изложенной работе Эвальда и Хено для отражения 220 было полу-
получено значение оШ[П, совпадающее с величиной, отвечающей двух-
волновому рассеянию.
Оценивая возможности дальнейшей разработки вопросов мно-
многоволнового рассеяния, приходится признать, что существенный
прогресс может быть достигнут при условии использования ма-
машинного счета для вычисления интенсивностей и коэффициентов
поглощения во всей области максимума, т. е. для всех точек дис-
дисперсионной поверхности. Примером такого исследования могут
быть работы [167, 168J, посвященные трехволновому отражению
111/111 Си К а излучения от Ge.
В заключение заметим, что трактовка многоволнового рассея-
рассеяния в случае Брэгга отличается от изложенной теории для слу-
случая Лауэ необходимостью учета эффектов экстинкции. В резуль-
результате при анализе различных возможных решений дисперсионного
уравнения устанавливается мнимость некоторых из них. Экспери-
Экспериментальные исследования отражений по Брэггу почти отсутствуют.
Основной экспериментальный метод исследования многократных
отражений в случае Брэгга—это метод Реннингера [29J.
Рассмотрение геометрии образования многократных отражений
при съемке кристалла по методу Реннингера дано в работе Кола,
Чемберса и Дана [169]. Проведенный анализ позволяет индициро-
индицировать пики на кривой интенсивности, которая получается при ази-
азимутальном вращении кристалла.
354
Авторы [168] приводят график, на котором даны кривые зави-
зависимости параметра р-1 = ак-1 от азимутального угла а для струк-
структуры алмаза. Подобные кривые, очевидно, могут быть полезны
и при исследовании многократных отражений по Лауэ.
Примером использования указанного метода может служить
работа Лафуркада, Кудерка и Ларока [170] по исследованию много-
многократных отражений по Брэггу от кристаллов цинка. Ренпингер
отметил, что измерения положения подобных пиков дают возмож-
возможность прецизионного измерения периодов решетки.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА С Jo (x)doo ДЛЯ
2А
2А
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,10
3,20
3,30
0,00000
0,09991
0,19933
0,29775
0,39469
0,48968
0,58224
0,67193
0,75834
0,84106
0,91973
0,99399
1,06355
1,12813
1,18750
1,24144
1,28982
1,33249
1,36939
1,40048
1,42577
1,44528
1,45912
1,46740
1,47029
1,46798
1,46069
1,44871
1,43231
1,41181
1,38756
1,35992
1,32928
1,29602
2А
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
6,00
6,10
6,20
6,30
6,40
6,50
6,60
6,70
1,26056
1,22330
1,18467
1,14509
1,10496
1,03471
1,02473
0,98541
0,94712
0,91021
0,87502
0,84186
0,81100
0,78271
0,75721
0,73468
0,71531
0,69920
0,68647
0,67716
0,67131
0,66891
0,66992
0,67427
0,68187
0,69257
0,70622
0,72263
0,74160
0,76290
0,78628
0,81147
0,83820
0,86618
2А
6,80
6,90
7,00
7,10
7,20
7,30
7,40
7,50
7,60
7,70
7,80
7,90
8,00
8,10
8,20
8,30
8,40
8,50
8,60
8,70
8,80
8,90
9,00 .
9,10
9,20
9,30
9,40
9,50
9,60
9,70
9,80
9,90
10,00
0,89512
0,92470
0,95464
0,98462
1,01435
1,04354
1,07190
1,09917
1,12508
1,14941
1,17192
1,19243
1,21074
1,22671
1,24021
1,25112
1,25939
1,26494
1,26777
1,26787
1,26528
1,26005
1,25226
1,24202
1,22946
1,21473
1,19799
1,17944
1,15927
1,13772
1,11499
1,09134
1,06701
356
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОТРАЖЕНИЙ Щ В СЛУЧАЕ ЁРЕГГА
ОТ БЕСКОНЕЧНО ТОЛСТОГО КРИСТАЛЛА (Л>4)
Таблица 1. (О < — g-< 3,000, 0 < х < 1,000)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0,
о,
0,
о,
о,
о,
—8
,000
,005
,010
,015
,020
,025
,030
,035
,040
,045
,050
,055
,060
,065
,070
,075
,080
,085
,090
,095
,100
,105
,110
,115
,120
,125
,130
,135
,140
,145
,150
,155
,160
165
170
175
180
185
190
195
200
210
220
230
240
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1,
1,
1
1,
1,
1,
1,
1,'
х =0
,6667
,6357
,6059
,5769
,5487
,5207
,4937
,4674
,4415
,4162
,3913
,3669
,3430
,3195
,2964
,2738
,2515
,2296
,2081
,1870
,1662
,1457
,1256
,1058
,0863
,0671
,0483
,0297
,0114
9934
9757
9582
9410
9240
9073
8909
8746
8586
8429
8273
8120
7820
7529
7244
6969
0.025
2,5278
2,4998
2,4730
2,4468
2,4212
2,3959
2,3713
2,3472
2 3236
2,3004
2,2775
2,2552
2,2332
2,2115
2,1903
2,1694
2 1488
2 1286
2,1088
2 0892
2,0700
2,0510
2,0324
2,0140
1,9960
1,9781
1,9606
1,9434
1,9264
1,9096
1,8931
1,8768
1,8608
1,8450
1,8294
1,8140
1,7840
1,7547
1,7263
1,6986
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1,
\\
\\
1,
1,
1,
1,'
0,050
,4113
,3855
,3606
,3364
,3126
,2893
,2664
,2440
,2220
,2005
,1793
,1584
,1380
,1178
,0980
,0785
,0594
,0405
,0220
0037
9858
9681
9506
9335
9166
8999
8835
8673
8514
8357
8202
7899
7605
7319
7040
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1,
i]
l]
1,
1,
1,
1,
1,
0,075
,3106
,2864
,2631
,2404
,2182
,1961
,1748
,1538
,1332
,1130
,0931
,0736
,0544
0355
0169
9986
9806
9629
9455
9283
9114
8948
8783
8622
8463
8306
7999
7701
7411
7130
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1,
1
1,
1,
l'
1,
0,100
,2230
,1994
,1774
,1557
,1347
,1142
,0941
,0743
,0549
,0358
,0170
,9986
,9804
9626
9450
9278
9107
8940
8776
8614
8454
8141
7838
7544
7257
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
0,125
,1442
,1224
,1016
,0810
,0611
,0416
0225
,0038
9854
9672
9494
9320
9147
8978
8812
8648
8328
8017
7716
7424
2,
2,
2,
2,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,'
0,150
0773
0540
0339
0145
9956
9771
9589
9410
9234
9062
8893
8562
8242
7932
7632
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,175
,0129
,9930
,9740
,9555
,9373
,9196
,8849
,8516
,8195
,7885
1
1
1
1
1
0,200
,9576
,9202
,8851
,-8512
,8187
357
СО СО tO tO ^
СЛ О СЛ О Сл О СЛ <
_- , , - -.._-_ JCOCOCOCOCOCOCOCOtOtO-OtOtO
•__j ?j\ ts_) ^__Tj •^ ZJ^ tN^1 СЭ •в*Л O^ ts_) СЭ ***Л O^ IN^ ^3 CO 00 **Л O1^ O~^ i-p>» 00 Ю ^~^ CI-^ CO 00 ^*Л О1^ С-П ^f>* 0O ts^ ^~^ ^3_i CO 00 *-J O^ О ^
СлООтОСЛОСлОСЛОСлОСЛОСлОООООООООООООООООООООООООО
tOt0t0tOtOC0C^
i^^WC005CO^CO<l05050505 ~ "
" О IMC С. hN 00 *] К' DO 00 h* CD OKI
iccooocoooococococoooc
i СЛ СЛ СЛ en О- О- О5
. __-. ) to сл --j со to о\ -J
'^h^tsjcocnoo^cnco^cai
¦ - ~ч оо со (_< со
: о о о о о о с
4ЛО-СО^СоелСОь^1
c*^_i с^ со ^^ СО 00 О~^ СО С
ООО-О-ОСОСЛОСЛС
„ __ _ ЩСЛО-О-О-О-
5 tO rfN. О- СО н^ СО О"( 00 О СО (_¦< 00
. -iCDCO-JCOOOGi
о о о о о с
COCOCOC^
tO
^(X)OC<10:C505<lOOOCOOiD^D^O
) СО СЛ СО н—
OW
^OT4COOtO^O.OOOW
00_^W0iMC0W
COWCOO:CO^i^^^a(CnOTl^C^O-0.0-^^J
ts:OCOOO<l^
C0M0^0i^0JNOC0CCl^
ООООООООн
э со о to сл to н
0,250
1,8637
1,8290
1,7964
1,7652
1,7350
1,7059
1,6779
1,6507
1,6244
1,5989
1,5742
1,5502
1,5268
1,5041
1,4821
1,4606
1,4397
1,4194
1,3995
1,3802
1,3613
1 3430
1 3250
1 3075
1,2904
1,2737
1 2337
1 1959
1 1601
1,1262
1,0941
1,0636
1,0346
1,0071
0,9808
0,9558
0,9319
0,9091
0,8873
0,8665
0,8465
0,8274
0,8090
0,7914
0,7745
0,7583
0,7277
0,6993
0,6729
0,6484
0,6254
0,6041
0,5840
0,300
1,7886
1,7561
1,7256
1,6963
1,6681
1,6409
1,6147
1,5893
1,5647
1,5409
1,5178
1,4953
1,4735
1,4523
1,4317
1,4116
1,3920
1,3730
1,3544
1,3363
1,3186
1,2763
1,2365
1,1988
1,1633
1,1296
1,0977
1,0674
1,0386
1,0113
0,9852
0,9603
0,9366
0,9140
0,8923
0,8716
0,8517
0,8327
0,8145
0,7970
0,7802
0,7485
0,7192
0,6919
0,6666
0,6429
0,6209
0,6000
0,400
1,6816
1,6524
1,6252
1,5990
5739
1,5496
1,5261
1,5035
1,4815
1,4602
1,4396
1,3903
1,3444
1,3014
1,2610
1,2229
1,1871
1,1531
1,1210
1,0905
1,0616
1,0341
1,0079
0,9830
0,9591
0,9364
0,9147
0,8938
0,8739
0,8548
0,8366
0,8021
0,7702
0,7407
0,7133
0,6877
0,6638
0,6415
0,500
1,6178
1,5540
1,4969
1,4446
1,3962
1,3511
1,3091
1,2696
1,2324
1,1974
1,1642
1,1329
1,1032
1,0749
1,0480
1,0224
0,9980
0,9747
0,9525
0,9311
0,9107
0,8724
0,8371
0,8044
0,7741
0,7460
0,7198
0,6953.
0,600
1,5852
1,5257
1,4726
1,4238
1,3786
1,3365
1,2972
1,2620
1,2253
1,1924
1,1612
1,1317
1,1036
1,0769
1,0514
1,0271
1,0040
0,9605
0,9207
0,8840
0,8500
0,8185
0,7892
0,7620
0,700
0,800
1,5759
,5198
,4695
1,4234
1,3806
1,3407
1,3032
2680
2348
2034
1736
1453
1,1184
1,0682
1,0225
0,9805
0,9419
0,9062
0,8730
0,8422
1,5844
1,5309
1,4828
1,4387
1,3976
1,3593
1,3233
1,2894
1,2573
1981
1,1446
1,0958
1,0512
1,0101
0,9722
0,9370
0,900
1,6069
1,5553
1,5090
1,4663
1,4266
1.3544
1,2902
1,2324
1,1800
1,1321
1,0881
1,0476
1,000
,6402
,5452
,4649
,3944
,3314
1,2746
1,2228
1,1755
359
Таблица 1 (окончание)
х = 0
0,025 0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
400
450
500
550
600
700
800
900
000
100
2,200
2,300
400
500
600
700
800
2,900
3,000
0,5300
0,5136
0,4980
0,4834
0,4696
0,4440
0,4211
0,4003
0,3815
0,3642
0,3485
0,3341
0,3207
0,3084
0,2970
0,2863
0,2764
0,2672
0,2586
0,5304
0,5139
0,4983
0,4837
0,4698
0,4443
0,4214
0,4006
0,3817
0,3645
0,3487
0,3343
0,3209
0,3086
0,2971
0,2865
0,2766
0,2674
0,2587
0,5314
0,5149
0,4993
0,4847
0,4708
0,4452
0,4222
0,4014
0,3824
0,3652
0,3494
0,3349
0,3216
0,3092
0,2977
0,2871
0,2771
0,2679
0,2592
0,5332
0,5166
0,5010
0,4862
0,4723
0,4467
0,4235
0,4026
0,3837
0,3664
0,3505
0,3359
0,3225
0,3102
0,2987
0,2880
0,2780
0,2687
0,2600
0,5356
0,5190
0,5033
0,4885
0,4744
0,4487
0,4254
0,4045
0,3854
0,3680
0,3521
0,3374
0,3240
0,3115
0,3000
0,2892
0,2792
0,2699
0,2612
0,5388
0,5220
0,5062
0,4913
0,4772
0,4513
0,4279
0,4068
0,3876
0,3701
0,3541
0,3394
0,3258
0,3133
0,3017
0,2909
0,2808
0,2714
0,2626
0,5426
0,5257
0,5098
0,4948
0,4806
0,4545
0,4309
0,4096
0,3903
0,3727
0,3566
0,3418
0,3281
0,3155
0,3038
0,2929
0,2828
0,2733
0,2644
0,5472
0,5302
0,5141
0,4989
0,4846
0,4582
0,4344
0,4130
0,3935
0,3757
0,3594
0,3445
0,3307
0,3180
0,3062
0,2952
0,2850
0,2755
0,2666
0,5525
0,5353
0,5190
0,5037
0,4892
0,4625
0,4386
0,4169
0,3962
0,3792
0,3628
0,3477
0,3338
0,3210
0,3091
0,2980
0,2877
0,2780
0,2690
Таблица 2 @,000<—g-=x<0,190)
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,055
0,060
0,065
0,070
0,075
0,080
0,085
0,090
0,095
К?
2,6667
2,6366
2,60Э8
2,5801
2,5535
2,5278
2,5030
2,4730
2,4558
2,4332
2,4113
2,3901
2,3694
2,3493
2,3297
2,3106
2,2920
2,2739
2,2553
2,2391
0,100
0,105
0,110
0,115
0,120
0,125
0,130
0,135
0,140
0,145
0,150
0,155
0,160
0,165
0,170
0,175
0,180
0,185
0,190
0,195
к?
2,2230
2,2059
2,1899
2,1743
2,1590
2,1442
2,1297
2,1154
2,1016
2,0880
2,0773
2,0618
2,0492
2,0368
2,0247
2,0129
2,0013
1,9900
1,9789
1,9681
0,200
0,210
0,220
0,230
0,240
0,250
0,260
0,270
0,280
0,290
0,300
0,310
0,320
0,330
0,340
0,350
0,360
0,370
0,380
0,390
0,9576
1,9371
1,9175
1,8988
1,880Э
1,8637
1,8474
1,8317
1,8167
1,8023
1,7886
1,7755
lf7630
1,7511
1,7397
1,7288
1,7184
1,7085
1,6991
1,6902
360
0,250
0,5651
0,5475
0,5308
0,5151
0,5003
0,4730
0,4484
0,4262
0,4060
0,3877
0,3708
0,3554
0,3412
0,3280
0,3158
0,3045
0,2940
0,2842
0,2749
0,300
0,5807
0,5624
0,5454
0,5290
0,5139
0,4858
0,4605
0,4376
0,4169
0,3980
0,3807
0,3648
0,3502
0,3367
0,3242
0,3126
0,3017
0,2916
0,2821
0,400
0,6205
0,6004
0,5824
0,5651
0,5486
0,5184
0,4913
0,4668
0,4446
0,4244
0,4059
0,3889
0,3732
0,3588
0,3454
0,3330
0,3215
0,3106
0,3006
0,500
0,6723
0,6508
0,6306
0.6116
0,5937
0,5607
0,5311
0,5045
0,4804
0,4584
0,4383
0,4199
0,4029
0,3873
0,3728
0,3594
0,3469
0,3352
0,3243
0,600
0,7365
0,7126
0,6902
0,6691
0,6493
0,6129
0,5803
0,5510
0,5244
0,5003
0,4782
0,4580
0,4395
0,4223
0,4064
0,3917
0,3780
0,3653
0,3533
0,700
0,8135
0,7867
0,7616
0,7380
0,7158
0,6752
0,6389
0,6063
0,5767
0,5501
0,5257
0,5034
0,4828
0,4639
0,4464
0,4301
0,4150
0,4009
0,3878
0,800
0,9044
0,8740
0,8455
0,8189
0,7933
0,7481
0,7074
0,6709
0,6379
0,6081
0,5809
0,5560
0,5331
0,5121
0,4927
0,4746
0,4579
0,4423
0,4277
0,900
1,0100
0,9751
0,9427
0,9123
0,8839
0,8321
0,7861
0,7449
0,7079
0,6744
0,6440
0,6161
0,5906
0,5671
0,5455
0,5254
0,5067
0,4894
0,4732
1,000
1,1318
1,0915
1,0541
1,0193
0,9868
0,9277
0,8755
0,8290
0,7872
0,7495
0,7152
0,6840
0,6554
0,6291
0,6049
0,5825
0,5617
0,5423
0,5242
*=g
0,400
0,410
0,420
0,430
0,440
0,450
0,460
0,470
0,480
0,490
0,500
0,525
0,550
0,575
0,600
0,625
0,650
0,675
0,700
0,725
1,6816
1,6736
1,6659
1,6586
1,6517
1,6452
1,6390
1,6332
1,6277
1,6226
1,6178
1,6071
1,5981
1,5303
1,5852
1,580.9
1,5780
1,5763
1,5759
1,5765
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=g
,750
,775
,800
,825
,850
,875
,900
,925
,950
,975
,000
,050
,100
,150
,200
,250
,300
,350
,400
,450
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
nl
,5782
,5809
,5844
,5889
,5941
,6001
,6069
,6143
,6223
,6310
,6402
,6603
,6824
,7062
,7316
,7585
,7837
,8161
,8466
,8781
Y.=g
1,500
1,550
1,600
1,700
1,800
1,900
2,000
2,100
2,200
2,300
2,400
2,500
2,600
2,700
2,800
2,900
3,000
пУ
1,9105
1,9438
1,9779
2,0481
2,1208
2,1957
2,2724
2,3507
2,4305
2,5115
2,5937
2,6768
2,7608
2,8457
2,9313
3,0175
3,1044
361
ЛИТЕРАТУРА
1. М. Laue, W. Fridrich, P. Knip- 15.
ping. Miinchener Sitzungsbe-
richte. 1912, 303; Ann. Phys.,
1913, 41, 971. 16.
2. E. С. Федоров. Зап. СПб.,
минерал, об-ва, 2-я серия, 1891, 17.
28.
3. A. Schoenflies. Kristallsysteme 18.
und Kristallstruktur. Leipzig,
1891. 19.
4. Fifty Years of X-Ray Diffra-
Diffraction. By P. P. Ewald N. V. A. 20.
Oosthoek's Nitgevers Mij,
Utrecht, 1962, 248. 21.
5. C. G. Darwin. Phil. Mag., 1914, ,
27, 315, 675.
6. А. Комптон, С. Алисой. Рент-
Рентгеновские лучи. Перев. под ред.
Д. Д. Гогоберизде. М.—Л., Гос-
техиздат, 1941. 22.
7. Г. С. Жданов. Основы рентге- ^
новского структурного анализа. 23.
М.— Л., Гостехиздат, 1940.
8. Р. Джеймс. Оптические принци- 24.
пы дифракции рентгеновских
лучей. Перев. с англ. под ред. 25.
В. И. Ивероновой. М., ИЛ,
1950. ц 26.
9. P. P. Ewald. Fortschr. Ghemie,
Physik und physik. Ghemie, Ser.
B, 1925, 18, 492; Physika, 1924, 27.
4, 234.
10. P. P.Ewald. Ann. Phys., 1917,54,
332; Z. Phys., 1920, 2, 519; 1924,
30, 1; Phys. Zschr., 1925, 26, 29.
il.'H.A. Bethe. Ann. Phys., 1928, 28.
'87, 55.
Yl.^M. Laue. Ergebnisse exact5Na-
'turwiss., 1931, 10, 133. * 29.
13. M. Kohler. Ann. Phys., 1933,
18, 265. 30.
14. M. Laue. Rontgenstrahlinterfe-
renzen. Изд. 3, Frankfurt/M., 31.
1960.
W. H. Zachariasen. Theory of
X-Ray Diffraction in Crystals.
N. Y., 1945.
A.Authier. Bull. Soc. Fr. Mi-
Miner, 1961, 84, 51.
R. W. James. Solid State Phy-
Physics, 1963, 15, 53.
B. W. Batterman, H. Cole. Revue
Modern Physics, 1964, 35, 681.
A.H. Compton. Phys. Rev.,
1917, 9, 29.
K. Kohra. J.Phys. Soc. Japan,
1971, 30, 1136.
G.Borrmann. Z. Phys., 1941,
42, 157; Z. Phys., 1950, 127,
297; Z. Kristall., 1954, 106, 109;
Beitrage zur Physik und Chemie
der 20 Jahrhunderts. Vicweg ung
Sohn, 1959, 26.
M.Laue. Acta Cryst., 1949, 2,
Г106.
W. Kato, A. R. Lang. Acta
4>yst., 1959, 12, 787.
TV. Kato. Acta Cryst., 1961, 14,
526, 627.
N. Kato. J.Appl. Phys., 1968,
39, 2225, 2231.
3. Г. Пинскер. Дифракция элек-
электронов. M., Изд-во АН СССР,
1949.
П. Б:Хирш,А}Хови, Р. Б. Ни-
колсон и др. Электронная ми-
микроскопия тонких кристаллов.
М., изд-во «Мир». Перев. с
англ., 1968.
U. Bonze, M. Hart. Appl. Phys.
Letters, 1965, 6, 155; Z. Phys.,
1965, 188, 154; 1966, 190, 455.
M. Reinninger. Naturwissen-
schaften, 1937, 25, 42.
G. Borrmann, W> Hartwig.
Z. Kristall., 1965, 121, 401.
P. P. Ewald, Y. He no. Acta
Cryst., 1968, A24, 5.
362
32. Y. Нёпо, P. P. Ewald. Acta 52.
Cryst., 1968, А24, 16.
33. G. Hildebrandt. Phys. status so- 53.
lidi, 1967, 24, 245.
34. Y. H. Otsuki. J. Phys. Soc. Ja- 54.
pan, 1964, 19, 2285.
35. A. M. Afanasiev, Yu. Kagan. Ac-
Acta Cryst., 1968, A24, 163. 55.
36. Ч. Вустер. Диффузное рассея-
рассеяние рентгеновских лучей в кри-
кристаллах. Перев. с англ. М., 55а
ИЛ, 1963.
37. Прямые методы исследования де- 56.
фектов в кристаллах. М., изд-во
«Мир», 1963.
38. P. Penning, D. Polder. Phillips 57.
Res. Repts, 1961, 16, 419.
39. N. Kato. J. Phys. Soc. Japan, 58.
1963, 18, 1785; 1964, 19, 67, 971. 59.
40. A. Howie, M.J. Whelan. Proc.
Eur. Reg. Conf. on Electron. 60.
Microscopy, 1960, 1, 194; Delft;
Proc. Roy. Soc, 1961, A263, 61.
217.
41. S. Takagi. Acta Cryst., 1962, 62.
15, 1311; J. Phys. Soc. Japan,
1969, 26, 1239. 63.
42. D. Taupin. Bulletin de la So-
ciete franc, de Mineralogir et 64.
Cristall., 1964, 87, 469.
43. И. Ш. Слободецкий, Ф. H. 4y-
ховский, В. Л. Йнденбом. Пись- 65.
ма.в 5КЭТФ, 1968, 8, 90.
44. A. Authier, D. Simon. Acta
Cryst., 1968, A24, 517. 66.
45. A. M. Афанасьев, В. Г. Кон. Ди-
Динамическая теория рентгенов-
рентгеновских лучей в кристаллах с де- 67.
фектами. Препринт. Изд. Ин-та
атомн. энергии им. Курчатова. 68.
М., 1969; Acta Cryst., 1971,
А27, 421. 69.
46. Т. Uragami. J. Phys. Soc. Ja-
Japan, 1969, 27, 147. 70.
47. В. Л. йнденбом, Ф. Н. Чухов-
ский. Проблема изображения в 71.
рентгеновской оптике. Пре-
Препринт. Ин-т кристаллографии
АН СССР. М., 1971. 72.
48. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц.
Электродинамика сплошных 73.
сред. М., Физмагтиз, 1959, стр.
403.
49 Н. Wagenfeld. Acta Cryst., 1968,
А24, 170. 74.
50. S. Kishino, К. Kohra. Japan. J.
Appl. Phys., 1971, 10, 551.
51. S. Kishino, A. Noda, K. Kohra. 75.
J. Phys. Soc. Japan, 1972, 33,
158,
M. Renninger. Acta Cryst., 1968,
A24, 143; 1969, A25, S3, 214.
/. /. De-Marco, R. J. Weiss. Ac-
Acta Cryst., 1965, 19, 68.
G. Moliere. Ann. Phys., 1935,
24, 591; 1939, 35, 272; 1939,
36, 265.
R. W. James. The Optical Prin-
Principles of the Diffraction of X-Ra-
ys. London, Bell, 1962.
. D. T. Cromer, J. B. Mann. Ac-
Acta Cryst., 1968, A24, 321.
International Tables for X-Ray
Crystallography, 3. Birmingham,
Kynoch Press. 1962.
D. T. Cromer. Ada. Cryst., 1965,
18, 17.
H. Honl. Z. Physik., 1933, 84,1.
H. Wagenfeld. Phys. Rev., 1966,
144, 216.
Y. Sugiura. J. Phys. rad., 1927,
8, 113.
A. J. Guttman., H. Wagenfeld.
Acta Cryst., 1967, 22, 334.
G. Grimvall, E. Persson. Acta
Cryst., 1969, A25, 417.
3. Г. Пинскер. Кристаллогра-
Кристаллография, 1970, 15, 658.
E. Zielinska-Rohozinska. Acta
physica polonica, 1965, 27, 4,
587.
M. Lefeld-Sosnowska, E. Zielins-
Zielinska-Rohozinska. Acta physica po-
polonica, 1962, 21, 329.
3. Г. Пинскер. Кристаллогра-
Кристаллография, 1966, 11, 505; 1971, 16,
1117.
P. P. Ewald. Acta Cryst., 1958,
11, 888.
P. B. Hirsch. Acta Cryst., 1952,
5, 176.
G. N. Ramachandran. Proc. In-
Indian Acad. Sci., 1954, A39, 65.
TV. Kato. J. Phys. Soc. Japan,
1955, 10, 46.
E. К. Ковьев, О. Н. Ефимов,
Л. И. Коровин. Phys. status so-
lidi, 1969, 35, 455.
Э. Грей, Г. Б. Мэтъюз. Функ-
Функции Бесселя. М., ИЛ, 1953.
Г. М. Фихтенголъц. Курс диф-
дифференциального и интегрально-
интегрального исчисления. Т. 2. М.— Л.,
Гостехиздат, 1948, 144.
И. С. Градштейн, И. М. Ры-
Рыжик. Таблицы интегралов, сумм
и т. д. М., Физматгиз, 1962.
Е. Янке,1 Ф. Эмде, Ф. Леш. Спе-
Специальные функции, М., изд-во
«Наука», 1964.
363
76. N. Kato. Acta Cryst., 1958, 11, 102.
885.
77. P. Курант, Г. Гильберт. Me- 103.
тоды математической физики.
Т. 1.М.— Л.,Гостехиздат, 1951, 104.
442.
78. И. Снедлон. Преобразование
Фурье. М., ИЛ., 1955, 583.
79. A. Authier. Acta geologica et 105.
geographica. Universitatis Co-
menianae. Geologica, 1968, N14, 106.
37.
80. N. Kato. J. Phys. Soc. Japan,
1966, 21, 1160. 107.
81. N. Kato. Acta geologica et geo-
geographica. Universitatis Gomeniae 108.
Geologica. 1968, N4, 43.
82. А. Зоммерфелъд. Оптика. § 45. 109.
M., ИЛ, 1953, 411.
83. N. Kato. J.Phys. Soc. Japan,
1965. 20, 1047. 110.
84. M.Hart,A.R.Lang. Acta Cryst.,
1965,19,73. 111.
85. N. Kato,- J. Phys. Soc. Japan,
1966, 21, 1772. 112.
86. N. Kato. Acta Cryst., 1969, A25,
119. 113.
87. J.A. Princ. Z. Phys., 1930, 63,
477.
88. H. Wagner. Z. Phys., 1956, 146, 114.
127.
89. U.Bonse. Z. Phys., 1961, 161, 115.
310.
90. U. Bonse. Z. Phys., 1964, 177, 116.
385.
91. T. Saka, T. Katagawa, N. Kato. 117.
Acta Cryst., 1972, A28, 102.
92. T. Saka, T. Katagawa, N. Kato.
Acta Cryst., 1972, A28, 113. 118.
93. T. S. Uragami. J. Phys. Soc. Ja-
Japan, 1971, 31, 1141. 119.
94. T. S. Uragami. J. Phys. Soc. Ja-
Japan, 1970, 28, 1508. 120.
95. T. S. Uragami. J. Phys. Soc. Ja-
- pan, 1969, 27, 147.
96. G. Borrmann, K. Lehmann. Crys- 121.
tallography and Crystal perfec-
perfection. London, Academic Press, 122.
1963, 101.
97. K. Lehmann, G. Borrmann. Z.
Z. Kristall., 1967, 125, 234. 123.
98. G. N. Ramachandran, C. Kartha.
Proc. Indian Acad. Sci., 1952,
35, 145. 124.
99. P. B. Hirsch, G. N. Ramachand-
Ramachandran. Acta Cryst., 1950, 3, 187. 125.
100. H.Cole, N.R. Stemple. J. Appi.
Phys., 1962, 33, 7, 2227.
101. M. Renninger. Acta Cryst., 1955, 126.
8, 597.
R. Bucksch, J. Otto, M. Rennin-
Renninger. Acta Cryst., 1967, 23, 507.
A. M. Afanasiev, I. P. Persnev.
Acta Cryst., 1969, A25, 520.
A. Erdetyi. Higher Transcenden-
Transcendental Functions, 2, N. Y.— To-
Toronto — London, McGraw —
Gill, 1953.
R. J. Weiss. Acta Cryst., 1965,
18, 814.
М.А.Блохин. Физика рентге-
рентгеновских лучей, гл. 3. М., Гос-
техиздат, 1953.
G. Brogren. Arkiv phys., 1954,
8, 391.
G. Brogren. 6. Adell. Arkiv phys.,
1954, 8, 297.
R. Bubakova, J. Drahokoupil,
A. Fingerland. Czech. J. Phys.,
1961, Bll, 205.
M. Renninger. Z. Naturforsch.,
1961, 16a, 1110.
M. Renninger. Advances in
X-Ray Analisis, 1967, 10, 32.
R. Bubakova. Czech. J. Phys.,
1962, B12, 776.
K. Kohra, S. Kikuta, S.Annaka
a. o. J. Phys. Soc. Japan, 1966,
21, 1565.
K. Kohra, S. Kikuta. Acta Cryst.
1968, A24, 200.
S. Kikuta, K. Kohra. J. Phys.
Soc. Japan, 1970, 29, 1322.
B. М. Batterman, G. Hildebrandt.
Acta Cryst., 1968, A24, 150.
M. Lefeld-Sosnovska, C. Mal-
grange. Phys. Status solidi, 1969,
34, 635.
M. Laue. Z. Phys., 1931, 72,
472.
/. Du-Mond. Phys. Rev., 1937,
52, 872.
R. Bubakova, J. Drahokoupil,
A. Fingerland. Czech. J. Phys.,
1962, B12, 776; 1961, Bll, 199.
A. Fingerland. Czech. J.Phys.,
1960, B10, 233; 1962, B12, 264.
T. Matsushita, S. Kikuta,
K. Kohra. J. Phys. Soc. Japan,
1971, 30, 1136.
G. Brogren. Arkiv fys.,
1954, 8, 371; 1962, 22, 87; 1963,
23, 87.
G. Brogren., 0. Adell. Arkiv fys.,
1954, 8, 401.
G. Brogren, E. Hornstrom. Ar-
Arkiv fys., 1963, 23, 81; 1964, 24,
81.
S. Kikuta. PhysM Status solidi»
1971, 45, 333.
364
127. Б. Т. Захаров. Кристаллогра- 149.
фия, 1965, 10, 442; 1966, 11, 227.
Ш.М.НаН, A.D.Milne. Phys. 150.
Status solidi, 1968, 26, 185.
129. N. Kato. S. Tanemura. Phys. 151.
Rev. Letters, 1967, 19, 22.
130. S. Tanemura, S. Kato. Acta 152.
Gryst., 1972, A28, 69.
131. M. Hart. A. D. Milne. Acta
Gryst., 1969, A25, 134.
132. M. Hart, A. D. Milne. Acta 153.
Gryst., 1970, A26, 223.
133. A.Authier,A. D. Milne, M. Sa-
uvage. Phys. Status solidi, 1968, 154.
26, 469. 155.
134. S. Gottlicher, E. Wolf el. Z. Elek. 156.
Chem., 1959, 63, 891.
135. С Malgrange, A.Authier. C. R. *157.
Acad. Sc. Paris, 1965, 261, 3774.
136. M.Hart. Brit. J. Appl. Phys., 158.
1968, 1, 2, 1405.
137. R. D. Deslattes. Appl. Phys. Let- 159.
terrs, 1969, 15, 386.
138. U. Bonse, E. te-Kaat. Z. Phys., 160.
1971, 243, 14.
139. M. Борн, Э. Вольф. Основы on- 161.
тики. М., изд-во «Наука», 1970.
140. А. В. Шубников. Природа, 1927,
№ 2, 83; 1953, № 1, 20; 1965, 162.
№ И, 61.
141. S.Amelincx. The Direct Ob- 163.
servation of Dislications. N. Y.,
Academic Press, 1964. 164.
142. H. Hashimoto, M. Mannami,
T. Naiki. Phil. Trans. Roy. Soc. 165.
1961, A253, 459.
143. R. Gevers. Phil. Mag., 1962, 7, 166.
1681.
144. D. Simon, A. Authier. Acta 167.
Gryst.; 1968, A24, 527.
145. /. Chikawa. J. Appl. Letters,
1965, 7, 193. 168.
146. A. R. Lang, V.F.Miuskov. Appl.
Phys. Letters, 1965, 7, 214. 169.
147. J.Bradler, A. R. Lang. Acta
Gryst., 1968, A24, 246.
148. U. Bonse, M. Hart. Z. Phys., 170.
1966, 194, 1.
U. Bonse, M. Hart. Acta Cryst.,
1968, A24.
U. Bonse, E. te-Kaat. Z. Phys.,
1968, 214, 16.
S. Takagi. J. Phys. Soc. Japan,
1969, 26, 1239.
A.H. Тихонов, А. А. Самар-
Самарский. Уравнения математиче-
математической физики. М., изд-во «Нау-
«Наука», 1966.
Р. Курант. Уравнения с част-
частными производными. М., изд-во
«Мир», 1964.
F.Balibar. These, Paris, 1969.
D. Taupin. These, Paris, 1964,
P. P. Ewald. Z. Kristall., 1937,
A97, 1.
G. Mayer. Z. Kristall., 1928, 66,
585.
B. Dawson. Proc. Roy. Soc,
1967, A298, 264.
E. J. Saccosio, A. Zafac. Phys.
Rev., 1965, A139, 255.
W. Uebach, G. Hildebrandt.
Z. Kristall., 1968, 129, 1.
А. А. Кацнельсон, В. Н. Кисин,
Н. А. Полякова. Кристалло-
Кристаллография, 1969, 17, 965.
G. Hildebrandt, Acta Cryst., 1969,
А25, pt S3, XVI; S209.
Т. Joko, A. Fukuhara. J. Phys.,
Soc. Japan, 1967, 22, 597.
P. Penning, D. Polder. Philips.
Res. Rep., 1968, 23, 1.
P. Penning. Philips. Res. Rep.,
1968, 23, 12.
K. Kambe. J. Phys. Soc. Japan,
1957, 12, 25.
S. Baiter, R.Feldman, B.Post.
Phys. Rev. Letters, 1971, 27,
307.
R.Feldman, B. Post. Phys. Sta-
Status solidi, 1972, 12a, 273.
H. Cole, E. W. Chambers,
H. M. Dunn. Acta Gryst., 1962,
15, 138.
/•. Laf our cade, J.-J. Couderc,
P. Larroque. C. R. Acad. Sc. Pa-
Paris, 1965, 260, 5752.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие • 3
Глава 1. Введение. Исторический обзор 5
Глава 2. Волновое уравнение и его решение для прозрачного не-
неограниченного кристалла , 17
2.1. Волновое уравнение и его решение 17
2.2. Двухволновое приближение. Дисперсионная поверхность 27
Глава 3. Прохождение рентгеновских лучей через прозрачную
кристаллическую пластинку. Отражение по Лауэ ... 35
3.1. Волновые поля внутри кристалла 35
I. Полу кристалл. Связь с условиями эксперимента. Эффект
преломления 35
П. Амплитуды волн. Маятниковое решение. Экстинкция.
Квазистоячие волны 43
3.2. Коэффициенты прохождения и отражения. Анализ маят-
маятникового решения в случае плоскопараллельной пластин-
пластинки 49
3.3. Прохождение через клиновидную пластинку 59
Глава 4. Рассеяние рентгеновских лучей в поглощающем кристалле.
Отражение по Лауэ 68
4.1. Атомное рассеяние и поглощение 68
4.2. Комплексная форма параметров динамического рассея-
рассеяния [63] 77
4.3. Вывод точных формул для коэффициентов прохождения Т
и отражения R в случае поглощающего кристалла .... 84
4.4. Вывод приближенных формул для коэффициентов прохож-
прохождения Т и отражения R 87
4.5. Анализ приближенных, формул для коэффициентов про-
прохождения Т и отражения R 91
4.6. Интегральные значения отражения R\ и прохождения Т{
в случае поглощающего кристалла [66] 102
4.7. Анализ выражений для интегральных величин Ri и Т-х
применительно к важнейшим частным случаям 109
Глава 5. Векторы Пойнтинга и распространение энергии рентге-
рентгеновских волн 119
5.1. Усредненный вектор Пойнтинга в общем случае *. . . 119
5.2. Трижды усредненный вектор Пойнтинга в прозрачном
кристалле. Слагающие вектора по полям. Теорема Эваль-
да—Като 123
5.3. Трижды усредненный вектор Пойнтинга в поглощающем
центросимметричном кристалле 131
S66
5.4. Распространение энергии в поглощающем кристалле без
центра симметрии. Учет периодической составляющей век-
вектора Пойнтинга. Дополнительные замечания 141
Глава 6. Динамическая теория в приближении падающей сфериче-
сферической волны 146
6.1. Динамическая теория в двухволновом приближении при
условии падающей на кристалл сферической волны. При-
Применение к рассеянию в прозрачной плоскопараллельной
кристаллической пластинке 147
6.2. Применение изложенной теории к рассеянию в поглощаю-
поглощающем кристалле 166
Глава 7. Отражение рентгеновских лучей по Брэггу. I Основные
определения. Коэффициенты ^поглощения. Дифракция в
конечном кристалле . • 173
7.1. Отражение от прозрачного кристалла 175
7.2. Истинное поглощение при отражении по Брэггу. Иссле-
Исследование величины а 186
7.3. Дифракция в конечном кристалле в приближении сфери-
сферической падающей волны или падающего волнового пакета 193
Глава 8. Отражение рентгеновских лучей по Брэггу. II Коэффици-
Коэффициенты и интегральные значения отражения и прохождения 202
8.1. Вывод общих выражений для коэффициентов отражения
и прохождения 202
8.2. Отражение по Брэггу от прозрачного кристалла . . . 206
8.3. Отражение по Брэггу от толстого поглощающего кристалла 213
8.4. Интегральное отражение от поглощающего кристалла в
случае Брэгга 225
Глава 9. Рентгеновские спектрометры, используемые при исследо-
исследовании динамического рассеяния. Некоторые итоги экспе-
экспериментальной проверки теории 233
9.1. Оценка спектральной ширины и угловой расходимости
излучения рентгеновской трубки 234
9.2. Двухкристальный спектрометр с использованием отраже-
отражений по Брэггу в обоих кристаллах (схема Брэгг—Брэгг) 237
9.3. Трехкристальный спектрометр 246
9.4. Другие типы спектрометров и монохроматоров 252
9.5. Некоторые итоги экспериментальной проверки динами-
динамической теории 257
Глава 10. Рентгеновская интерферометрия. Картины муара при ди-
дифракции рентгеновских лучей 270
10.1. Рентгеновские интерферометры 270
10.2. Работа интерферометра при нарушенной фокусировке 277
10.3. Образование и использование картин рентгеновского муара 281
10.4. Другие типы интерферометров. Трансляционный муар 293
Глава 11. Обобщенная динамическая теория рассеяния рентгенов-
рентгеновских лучей в идеальных и деформированных кристаллах 298
11.1. Вывод фундаментальных уравнений в общем случае де-
деформированного кристалла 299
11.2. Дифракция рентгеновских лучей в идеальном кристалле
в условиях пространственно-неоднородной динамической
задачи. Функция влияния точечного источника .... 305
367
11.3. Отражение по Лауэ в идеальном кристалле 30?
11.4. Отражение по Брэггу в идеальном кристалле 311
11.5. Применение обобщенной теории к деформированному кри-
кристаллу. Связь угловой переменной суд с полем деформаций 315
11.6. Изучение частного случая зависимости Do и D^ только
от толщины кристалла 316
11.7. Модификация основных уравнений (поглощающий кри-
кристалл) 318
Глава 12. Динамическое рассеяние в случае трех сильных волн . . 320
12.1. Рассеяние в прозрачном кристалле. Опорные системы
координат 323
12.2. Система фундаментальных уравнений B.49) в случае трех
сильных волн и уравнение дисперсионной поверхности
при рассеянии в прозрачном кристалле 327
12.3. Анализ уравнения дисперсионной поверхности в случае
прозрачного кристалла 329
12.4. Рассеяние в кристаллах кремния и германия 332
12.5. Рассеяние в поглощающем кристалле. Введение комплекс-
комплексных параметров рассеяния 335
12.6. Уравнение дисперсионной поверхности в случае погло-
поглощающего кристалла. Коэффициент поглощения 337
12.7. Обзор других теоретических и экспериментальных работ 349
Приложение 1 356
Приложение 2 357
Литература 362
ЗИНОВИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ ПИНСКЕР
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИДЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛАХ
Утверждено к печати Ордена Трудового Красного Знамени
Институтом кристаллографии АН СССР им. А. В. Шубникова
Редактор В. В. Удалова. Редактор издательства М. С Райкова
Художник А. Г. Кобрин. Художественный редактор Н. Я. Власик
Технический редактор Э. Л. Купит,
Сдано в набор 27/YIII 1973 г. Подписано к печати 28/XII 1973 г. Формат 60x90Vi«.
Бумага книжно-журнальная № 2. Усл. печ. л. 23. Уч.-изд. л. 24. Тираж 2100. Т-18354.
Тип. зак. 2876. Цена 1 р. 67 к.
Издательство «Наука». 103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
Опечатки
Страница
169
190
190
358
358
Строка
13 св.
7 св.
8 св.
18 сн.
17 сн.
Напечатано
Я» («О
8B/2r-D
0,8602
0,8185
Должно быть
/о (и)
ь\
8 A - \fy
0,8902
0,8685
3. Г. Пинскер