Автор: Моденов П.С. Пархоменко А.С. Бахвалов С.В.
Теги: математика аналитическая геометрия сборник задач
Год: 1964
Текст
Б17.3
Б 30
УДК 516'/» (076.1)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Сергей Владимирович Бахвалов,
Петр Сергеевич Моденов,
Алексей Серапионович Пархоменко
Сборник задач по аналитической геометрии
М., 1964 г., 440 стр. с илл.
Редактор И. Е. Морозова
Техн. редактор С. fl. Шкляр Корректор О. А. Бутусова
Жданов набор 28/XII 1963 г.Подписано к печати 6/111 1964 г. Бумага84К108/за.
>из. печ. л. 13,75. Условн. печ. л. 22,55. Уч.-изд. л. 25,97. Тираж 75000®кз
Т-00998. Цена книги 88 коп. Заказ № 1201.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
И НА ПЛОСКОСТИ
Глава I. Геометрия иа прямой.......................... g
i o' Координаты точек и векторов на прямой .....” ц
S 1. Аффинные преобразования на прямой...........\ 14
Глава II. Координаты точек и векторов на плоскости ... 16
§ 1. Прямоугольные и аффинные координаты.....’ 21
§ 2. Расстояние между двумя точками..........’ ’ ' 22
§ 3. Деление отрезка в данном отношении............23
§ 4. Площадь треугольника........................ 26
§ 5. Полярные координаты...........................27
§ 6. Преобразование координат......................28
§ 7. Координаты векторов на плоскости..............32
§ 8. Длины и углы векторов в общих декартовых коор-
динатах ..........................................34
Глава III. Прямая линия...............................36
§ 1. Составление уравнения прямой по различным ее за-
даниям ...........................................53
§ 2. Взаимное расположение двух прямых. Условие па-
раллельности .....................................56
§ 3. Условие перпендикулярности двух прямых.......58
§ 4. Угол двух прямых.............................50
§ 5. Расположение точек относительно прямой.......61
§ 6. Взаимное расположение трех прямых; пучок прямых 63
§ 7. Расстояние от точки до прямой................64
§ 8. Смешанные задачи на прямую.....................6/
Глава IV. Уравнения геометрических мест.................73
Q9
Глава V. Окружность....................................у
Глава VI. Эллипс, гипербола и парабола, заданные кано-
ническими уравнениями..............................,04
§ 1. Эллипс..........................................
§ 2. Гипербола.......................................
§ 3. Парабола.....................................
Г’
4
относительно аффинной CH-
I' л а в а
§ 1-
§2.
§3.
Глава
§ 1-
5 2-
оглавление
Глава VH. Линии второго порядка, заданные общими урав-
ГГдентр ’ диаметры, ’асимптоты, касательные, оси ли-
« 2 Определение "вУлииии‘второй порядка и ёераспо-
Составление'^равнений' линий вторёгё поридка . . .
Ц: Лшши второго порядка относительно аффинной
стемы координат............................
VIII. Ортогональные и аффинные преобразовании
Поворот плоскости................................
Аффинные преобразования. . . . . • • • • •• •
Аффинные преобразования линии второго порядка . .
IX. Элементы проективной геометрии...............
Проективная прямая...............................
Проективная плоскость..............................
Линии второго порядка в проективных координатах
Пучок линий второго порядка и тангенциальные ко-
ординаты ........................................
126
140
143
146
150
152
165
166
170
176
189
192
202
210
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Глава X. Векторная алгебра................................216
§ I. Сложение н вычитание векторов. Умножение вектора
на число.......................................223
§ 2. Радиус-вектор..................................224
§ 3. Задание вектора координатами...................225
§ 4. Скалярное произведение.........................227
§ 5. Векторное произведение; смешанное произведение 230
Глава XI. Координаты в пространстве....................232
§ 1. Расстояние между двумя точками; направляющие ко-
синусы вектора......................................236
§2. Деление отрезка в данном отношении.............239
§ 3. Сферические и цилиндрические координаты........240
§ 4. Преобразование координат.......................241
Глава XII. Плоскость и прямая.............................
§ 1. Составление уравнения плоскости по различным ее
заданиям. Расположение точек относительно плоско-
сти. Условие параллельности плоскостей................
§ 2. Угол двух плоскостей в пространстве; условие перпен-
дикулярности плоскостей..................
§ 3. Взаимное расположение трех плоскоётёй; ёучок пло-
скостен; связка плоскостей .
11 Ра сстояние от точки до плоскости............. ’
* ' ложХТ ™особы задания прямой. Взаимное рёсёо-
ложение прямых н плоскостей
245
255
258
259
262
264
ОГЛАВЛЕНИЕ
б
§ 6. Угол между двумя прямыми; угол прямой и плоско-
сти; условие перпендикулярности двух прямых-
условие перпендикулярности прямой и плоскости 269
§ 7. Расстояние от точки до прямой. Кратчайшее расстоя-
ние между двумя прямыми ........................... 270
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости..........271
Глава XIII. Поверхности и линии в пространстве...........274
Глава XIV. Сфера. Цилиндры и конусы. Эллипсоиды. Гипер-
болоиды. Параболоиды ................................284
§ 1. Сфера...................................’ : 293
§ 2. Конусы и цилиндры второго порядка..............298
§ 3. Эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды...........300
Глава XV. Общее уравнение поверхности второго порядка 312
§ 1. Центр поверхности, диаметральная плоскость, каса-
тельная плоскость, прямолинейные образующие,
круговые сечения.....................................333
§ 2. Определение вида поверхности н ее расположения 336
§ 3. Различные задачи на поверхности второго порядка,
решаемые при помощи инвариантов......................338
§ 4. Составление уравнений поверхностей второго по-
рядка ...............................................341
§ 5. Плоские сечения поверхностей второго порядка . . .
§ 6. Смешанные задачи на поверхности второго порядка 347
Глава XVI. Ортогональные и аффинные преобразования
пространства .............................................
Глава XVII. Элементы проективной геометрии в про-
странстве ................................................
„ .... 368
...............................................
ПРЕДИСЛОВИЕ
в третьем издании часть задач заменена новыми. В ряде
случаев задачи даны в более удобной формулировке. Исправ-
лены замеченные опечатки второго издания. Задачник делится
на две части: аналитическая геометрия на плоскости (сюда же
в качестве первой главы входит и аналитическая геометрия
на прямой) и аналитическая геометрия в пространстве. Пере-
ходной главой от геометрии па плоскости к геометрии в
пространстве является глава X (векторная алгебра), где в
большинстве параграфов помещены как задачи из геометрии
на плоскости, так и задачи из геометрии в пространстве.
Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой. Ответы к
некоторым задачам снабжены указаниями.
Чтобы нс стеснять преподавателя порядком расположения
материала в задачнике, авторы стремились но возможности
избегать ссылок па предыдущие задачи.
В большинстве задач, особенно в начале киши, даются
указания на то, в какой системе координат (прямоугольной
или аффинной) следует решать задачу. Это сделано для того,
чтобы приучить студентов с самою же начала отличать
аффинные задачи от метрических. Однако, если преподаватель
находит нужным пользоваться лишь прямоугольной си-
стемой, эти указания на систему координат можно ш титри-
ровать.
При составлении сборника использованы следующие за-
дачники и учебные курсы:
Андреев К. А., Сборник упражнений по аналитиче-
ской геометрии, издание 2-е, М., 1904.
8
ПРЕДИСЛОВИЙ
Бобровников Н П., О совместных инвариантах це-
лых рациональных функций от дв}х переменных (кандидат-
ская диссертация).
Бюшгенс С. С., Аналитическая геометрия, ч. I и 11,
издание 4 е, Гостехиздат, 1946.
Бюшгенс С. С., Дифференциальная геометрия, Гостех-
издат, 1940.
Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О., Сборник задач
по высшей математике, т. I, издание 11-е, Гостехиздат, 1947.
Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, ч. I,
издание 4-е, Гостехиздат, 1950.
Щбербиллер О. Н., Сборник задач и упражнений
по аналитической геометрии, издание 26-е, Физматгиз, 1963.
Шифф В. И., Сборник упражнений и задач по анали-
тической геометрии на плоскости и в пространстве, издание
3-е, СПб,—М., 1910.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
И НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА I
ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
Декартовой осью координат называется прямая,
на которой фиксированы две различные точки: точка О (начало
координат) и точка Е (единичная точка). Положитель-
ным направлением декартовой оси координат называется направ-
ление луча, выходящего из точки О н содержащего точку Е. Про-
тивоположное иаправленне называется отрицательным направ-
лением оси координат Отрезок ОЕ называется масштабным или
единичным отрезком (рис. 1). Ко-
ординатой точки М называется п ,
число х, определяемое равенством ___2.___с- с > г
, ОМ
x=±g^-, причем перед дробью Рнс j
берется знак плюс, когда точки
М и Е лежат на декартовой оси по одну сторону от точки О и
знак мниус, когда точки М и Е расположены по разные стороны
относительно точки О; х=0, если точка М совпадает с точкой О.
Таким образом, абсолютная величина координаты х точки М
равна отношению отрезка ОМ к масштабному отрезку ОЕ. Точку М,
имеющую координату х, мы будем обозначать так М (х) илн (х).
Направленным отрезком нти вектором М,М,
называется отрезок, концы которого взяты в определенном порядке.
Первая точка (М,) называется началом вектора, вто ая
точка (Aft)—его концом
Вектор обозначают также одной буквой (а. Ь, с, ...)
Координатой вектора М,Мг. лежащего иадекартовой
осн координат, называется число X, определяемое равенством
Х= ± , причем перед дробью берется знак плюс, если в
торы и О? одинаково направлены, н знак минус, если эти
векторы имеют противоположные направления. Таким р
абсолютная величина координаты X вектора Л(1Л11 равна отно
нню отрезка .М,Л12 к масштабному отрезку ОЕ.
Координата X вектора MtMt определяется по формуле
Х=х,—х,.
гдех,—координата начала(Л(1)вектора,х1—к р i ат ш
10
ГЛ. I. ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
ппя-мТк или расстояние между двумя том-
<2>
fl =z I Х2 Aj
/лнс\ тпех точек А, В, С,
ПрОСТЫпнО7прямойН и взятых в определенном порядке
(ЛД^С).НназываетсяРчисло X, равное
АС
к=±св'
Qunif плюс если точка С ленсит
причем перед дробью б р н<-м ч обра.
зо^абсолютная ^ичина^ростоД отношения (АВС) равна от-
Н°ШПНр,остоеРотаоше^не\рехетоКчек А(х,), В (х2), С (ха) определяется
по формуле
(3)
(4)
х —
К=
Если простое отношение (АВС) равно X (точки А и В раз-
личны), то говорят также: «точка С делит отрезок АВ в отноше-
нии 1».
Каково бы ни было число X — 1, всегда существует и притом
только одна точка С, которая делит отрезок, ограниченный двумя
различными точками А и В, в отношении X; если точки А и В
имеют координаты, соответственно равные xt и х2, то координата Я
делящей точки вычисляется по формуле
х, + Хх2
14-Х *
Если точки А и В различны, а Х = — I, то не существует
точки С, делящей отрезок АВ в отношении X.
Сложным, или ангармоническим, отношением
четырех точек А, В, С, D, лежащих на одной прямой
(точки А и D различны, точки В и С различны), называется число
a=(ABCD) = (ABC)-.(ABD).
Ангармоническое отношение (ABCD) четырех точек A (xt),
(х2), С (xt), D(xt), лежащих на декартовой оси координат, вы-
числяется по формуле
a=(ABCD)~^~.
^2 ^”4
Ски раздейются те-жамиТАГиВВ₽ЯТ’ Т°ЧКН С “ ° гаРм0НИче’
переноТо?™ *₽ декаРт°вь,х систем координат получается
прямой, если этаХемы^0:^ СИСТеМЫ ^РДинат на той же
правления оси и вавныр име,от одинаковые положительные на-
и *'-координа’тыРаХ^ Г™Таж₽Ые 0Е = °’Е'- Если х
он же точки М в двух указанных
(5)
П---2] § 1. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК
И ВЕКТОРОВ ИА ПРИМОЙ ц
Системах, то
или
(6)
(7)
(т. е.
х = х'+а.
х’ = х—а,
где а есть координата «нового начала» в «старой» системе
в системе с началом координат О и единичной точкой £}
Общим преобразованием декартовой системы
"п*Т НЭ Г'РЯМОЙ называется переход к новому началу
координат О и новой единичной точке £'. Связь между координа-
тамн х и х одной и той же точки М, лежащей на осн координат
определяется при этом линейным соотношением
х'=ах + р, /о>
где-а^О. 1)
Если в соотношении (8) х и х’ считать координатами двух раз-
личных (вообще говоря) точек М и М' в одной и той же системе,
то этим соотношением устанавливается преобразование множества
всех точек прямой, в котором точке М (х) ставится в соответствие
точка А4'(ахф-Р). Это преобразование называется аффинным. При
аффнином преобразовании прямой сохраняется простое отношение
трех любых точек. Преобразования мы будем иногда обозначать
одной буквой: А, В, С, ...
Если преобразование В ставит в соответствие точке М (х)
точку М' (х'), а преобразование А точке М' (х') ставит в соответ-
ствие точку ЛГ'(х"), то произведением АВ преобразований А и В
называется преобразование, которое точке М (х) ставит в соответ-
ствие точку М" (х"). Преобразование А~‘, которое точке М'(х')
ставит в соответствие точку М (х), называется преобразованием,
обратным преобразованию А.
Пусть нам дано конечное или бесконечное множество 5JI пре-
образований А, В, С, ... Множество называется группой
преобразований, если оно: 1) вместе с каждым преобразова-
нием А содержит обратное преобразование А-1 и 2) вместе с каж-
дыми двумя преобразованиями А и В содержит и их произведе-
ние АВ.
Множество всех аффинных преобразований прямой образует
группу аффинных преобразовании этой прямой.
§ 1. Координаты точек и векторов на прямой
1. Построить точки А (2), В (— 3), С(4), £>(V2), ^(р^З),
О (—}/29), принимая масштабный отрезок равным 1 см.
2. Определить координату вектора АВ в каждом из сле-
дующих случаев:
1) Л(2), В(5);
2) /(—2), В(4);
Проверить результаты построением.
3) Л(—5), В(—4);
4) Л(2), В(-7).
13
гЛ< 1. ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
' з О.,^т ₽»«««»' “ “«’У 10"ка”и А " В ’
В(-2мм(-в), в(-.о>.
'» каждом КЗ следую-
щих случаев:
1) А(2) В(7), С(5); 4) Л (3), В(2), С(3);
2) Л(-3), В(—3), С(6); 5) Л(1), В(\), С(1).
3) Л( — 1), В(0), С(3);
5. Найти все шесть значений простого отношения, со-
старенного ИЗ трех точек А(1) В(3),*С(-2).
6. Дано: (ЛВС’) = Х. Найти (АСВ), (ВАС), (ВСА), (САВ),
Найти координату х точки М, делящей отрезок,
ограниченный точками АТ, (3) и ЛТ,(6), в отношении:
1) Х==3; 2) 3) Х== —Т: 4) Х = 0: 5) Х = 1’
8. Найти координату х середины отрезка MtMt в каж-
дом из следующих случаев:
1) 4(3), 4(9); 2) Ж,(-5), 4(2); 3) 4 (-6), 4(6).
9. Доказать, что если точки О, Е и М имеют соответ-
ственно координаты 0, 1 и х, то х = — (МЕО).
10. Доказать тождество 2(ASXCD-\- XACXDB + ^AD^BC — О»
где Л, В, С, D—произвольно расположенные точки на де-
картовой оси координат, ХАВ—координата вектора АВит. д,
II*. Даны (ЛВР) = Х, (ЛВ<?) = pi. Найти (PQA) и (PQB).
12*. Даны(ЛВР) =Х, (XjBQ) = pi, (ABR) = v. Найти (PRQ).
13*. Даны (ЛВР) = Х, (ЛД<?) = р, R—середина отрезка
PQ. Найти (ABR).
14. В точках с координатами 1, 2, 3, ... , 10 соответ-
ственно помещены массы 1, 2, 3, ... , 10. Найти коорди-
нату центра тяжести системы.
15. Найти ангармоническое отношение четырех точек Л,
В, С, D в каждом из следующих случаев:
1) Л(1), В( — 3), C(l), D(4);
2) Л(2), В( — 6), С(0), /)(5);
13
0(0),
0(1),
О(-2),
0(6),
§ 1 . КООРДИНАТЫ
Л (4),
/1(1),
Л(-5),
А(-1),
ТОЧЕК Н ВЕКТОРОВ НА ПРЯМОЙ
С(-3),
С(3),
С(-2),
С(-4),
Предполагая точки А, В, С D
0(4);
0(2);
0(6);
О(—4).
28]
3)
4)
5)
6)
16*. Дано (ЛВСО) = о>. Предполагая точки А В С Г>
попарно различными, найти все 24 значения ангармонического
отношения из данных четырех точек, соответствующих всем
^Р2С™"”ВК™ ДаННЫ* Т0ЧеК‘ РассмотРеть случаи: а) <о =,
17. Даны точки Д(1"), В(2),С(4) н (ABCD) = — 1. Найти
координату точки D.
18*. Доказать, что если пара точек С, D гармонически
разделяет пару А, В, то -Д- = ~ Ц- -L-.
ЛАВ *АС Xad
19*. Доказать, что если отрезок АВ делится точкой О
пополам, а точками С и D гармонически, то 0Аг — OC-OD.
20*. Дана гармоническая четверка точек А,, А2, А3, Ал.
Доказать, что середина отрезка Л,Л4 является внешней
точкой по отношению к отрезку AtAs.
21. Даны точки Л( —1), В(3) и 0(7). Найти новые ко-
ординаты этих точек, если начало координат перенесено
в точку О'(4).
22. Даны координаты 3 и 7 точки А в двух декартовых
системах координат, полученных одна из другой переносом
начала. Найти старую координату нового начала координат
и новую координату старого начала координат.
23. В какую точку надо перенести начало координат,
чтобы координата точки Л(—3) стала равной—6?
24. Начало координат перенесено в единичную точку.
Какова будет новая координата старого начала?
25. Найти старую координату новой единичной точки,
если начало координат перенесено в точку О'(4).
26. Записать преобразование декартовой системы коорди-
нат, если за новое начало координат и новую единичную
точку принимаются точки О'(— 2) и Е' (4).
27. Найти новые координаты точек Л(3), В(— 2), 0(7),
0(0) и Е(1), если за новое начало координат и новую еди-
ничную точку принимаются точки О' (—2) и Е (5).
28. Преобразование декартовой системы координат оп-
ределяется соотношением х = — 2х-]-3. Найти старые
[29
ГЛ. I. ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
стемы ко°Р"'",аТс”арОЙР координаты нового начала равна нулю.
СТЛР30° S с ть преобразование декартовой системы коор-
динат на прямой, при котором начало координат сохраняется,
а за новую единичную точку берется точка £ (а) (а=/=0).
31 Найти старые координаты нового начала координат
и новой единичной точки, если преобразование декартовой
системы координат выражается так: х ^ах (а=#О).
32. Преобразование декартовой системы координат иа
прямой задано соотношением х' = ах-)-1>(а 4* 0). Найти ста-
рые координаты нового начала координат и новой единич-
ной точки, а также новые координаты старого начала коор-
динат и старой единичной точки.
§ 2. Аффинные преобразования на прямой
33. Образует ли группу множество преобразований оси
координат, определяемое соотношением х — — х-\-а, где а
принимает все действительные значения. Каков геометриче-
ский смысл преобразования х' = -—x-фо?
34. Образует ли группу множество преобразований пря-
мой, определяемое соотношением: 1) х’ = х-{-at 2) х’ — axt
В чем геометрический смысл каждого из указанных преоб-
разований (в каждом случае а принимает все действительные
значения; во втором случае значение а=0 исключается)?
, 35. Найти преобразование, обратное преобразованию
х' — ах + Ъ,
36. Даны преобразования А и В, определяемые соответ-
ственно соотношениями х' = 2х-|-3, х' = — х-)-8. Найти
преобразования АВ, ВА, А~'В, В~'А, А2 В.
37. Найти неподвижную точку аффинного преобразова-
ния х = ах + Ъ.
38. Как запишется аффинное преобразование х'—ах-\-Ь
если произвести преобразование декартовой системы коор-
динат на прямой, принимая за новое начало координат и
новую единичную точку: О*(а) и £*(р) (а=/=В)?
одна ТОЧка<^ИНН0е "реобРазован"е. лр" котором хотя бы
одна точка остается неподвижной, называется центроаффин-
45] § 2. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПРЯМОЙ
ным. Образует ли группу
преобразований прямой?
множество всех центроаффинных
40. Образует ли группу множество аффинных преобразо-
ваний х'*=ах-}-Ь, если:
1) а принимает все действительные положительные зна-
чения, Ь принимает все действительные значения?
2) а принимает все действительные отрицательные зна-
чения, b принимает все действительные значения?
3) а и Ь принимают все рациональные значения (а =£ 0)?
41. Образует ли группу множество центроаффннных пре-
образований х' = 2*х, где
1) k принимает все целые значения?
2) k принимает все целые положительные значения?
8) k Принимает все целые отрицательные значения?
42. Доказать, что необходимым и достаточным условием
сохранения ориентации (направления) отрезка в аффинном
преобразовании х' ^ах-\-Ь, а=£0, является условие а>0.
43. Найти аффинное преобразование, при котором точки
Л (2) и В(4) переходят в точки А' (—2) и Z? (3).
44. Найти аффинное преобразование, при котором две
различные точки Л(х,) и В(х2) переходят в две различные
точки Л'(х') и В'(х').
45. Найти все аффинные преобразования прямой, при
которых:
1) сохраняются длина и направление вектора;
2) сохраняется длина произвольного отрезка.
ГЛАВА II
КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ
Общей декартовой, или аффинной, системой коор-
динат на плоскости называется упорядоченная пара двух пересе-
кающихся осей координат Ох н Оу, причем началом координат
для каждой из осей служит их общая точка 0 (рис. 2). Эта точка
0 называется началом координат. Первая из осей координат на-
вивается осью а б с ц и с с (или осью Ох), вторая—осью орди-
нат (или осью Оу). Векторы ОЕ,
y=et и ОЕ2 = ег(Е1 и Ег—еди-
ничные точки соответ-
ственно осн Ох и Оу) назы-
ваются масштабными
векторами осей коор-
динат.
Проведем через произ-
вольную точку Л1 прямые,
параллельные осям коорди-
нат Оу и Ох; пусть М,
н Л42—точки пересечения
указанных прямых соответ-
ственно с осями Ох и Оу,
х—координата точки Mt на
единичной точкой Е„ у — коор-
оси Ох с началом координат Он
дината точки Мг на осн Оу с началом координат О и "единичной
точкой Ег; тогда числа х \\ у называются координатами
точки М; число а: называется абсциссой точки М, число
у—ординатой точки М. Чтобы указать, что точка М имеет
координаты х и у, пишут М (х, у). Точка Е (1, 1) называется
единичной точкой плоскости.
Общая декартова система координат называется прямо-
угольной, если угол между осями координат прямой, а мас-
штабные векторы осей имеют одинаковую длину. Если масштаб-
ные векторы осей имеют одинаковую длину, а угол между осями
не равен -у, то система называется косоугольной.
Необходимое и достаточное условие того, что три точки А (х„ у,),
(*2> Уг), С (xt, у,) лежат на одной прямой, может быть записано
в одном из следующих видов:
1^1 ха у j —
|х2 у2
М=о
у> I
0)
гл.
н.
КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРОВ
илн
НА ПЛОСКОСТИ
17
*i Ух 1
хг Уг 1
х» У, 1
= 0.
(2)
Простое отношение 7. = (ЛВС) трех точек л/, , „
С(х3, у,), лежащих на одной прямой (точки^В и г1' В(*”
равно каждой из следующих дробей ' " В С Различпы),
Х,—Х,
XZ~X3’
У>~У,
Уг~У,
(3)
(если х2—х, / 0 и уг—у,/0).
Координаты х и у точки С, делящей
двумя различными точками Л (х„ у,) и
— 1, определяются соотношениями:
отрезок,
В(хг, уг).
ограниченный
в отношении
_Хх 4- ^х2
1+Х ’
v 1+а. •
Координаты середины отрезка АВ с концами А (х„ у,} и В (х, нА
равны полусуммам соответствующих координат его концов:
Хх + Хг y,+yt
2 ’ у------Г~
(5)
Формулы (1)—(5) верны в общей декартовой системе координат.
Координаты вектора АВ определяются следующим образом:
проведем через его начало А и конец В прямые, параллельные
оси Оу, до встречи с осью Ох в точках А, и В, и прямые, парал-
лельные оси Ох, до встречи с осью Оу в точках А, и В2, коорди-
наты X, V векторов А^В, и A3Bt на осях Ох, Оу называются коор
динатами вектора Л/5 относительно общей декартовой системы коор-
динат Оху (рис. 3).
18 гл.
Если
точки В,
п. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И BFKTOPOB НА плоскости
Д1> ^—координаты точки А и х.. У,-координаты
Л'=х2—х„ Y^Vi—Vv
Если Л, F—координаты вектора АВ, то пишут!
АВ “ {Л', /}.
Общее преобразование одной аффинной системы координат
в другую определяется по формулам:
х=а1х' + 6|у' + с„
у=atx' + b,y'+с»>
где (рис. 4) а„ в,—координаты вектора О'Е{, б,, координаты
вектора О'Е', г, ^—координаты точки О’ относительно системы
координат Оху, х, у—координаты произвольной точки М плоскости
относительно системы Оху и х', у' — координаты тон же точки Л1
относительно системы О'х'у'.
В случае параллельного переноса формулы имеют вид:
Формулы преобразования поворота одной прямоугольной си-
сто1ы координат Оху в другую прямоугольную систему Ох'у’ имеют
х = х' cos а—у' sin а,
у — х' sin а + у' cos а, (8)
где а—угол от положительного направления осн Ох до положи-
тельного направления оси Ох'. Системы Оху н Ох'у' в этом
,,азыпаются системами одного класса. Если же новая си-
координат Ох у получается из старой системы Оху поворо-
ом на угол а и последующей симметрией относительно Ох', то
гл. II. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРОВ НА плоскости 19
формулы преобразования будут:
*=х' cos а 4- у' sin а,
sin а—у1 cos а.
классов.СЛУЧае СНСТеМЫ " Ох'У называются системами разных
Расстояние между точками А (у и\ м р/ \
d=V(Xa-X,)‘ + (^_J/1)«
(9)
или
d=Vx4-y»t do)
где X, У—координаты вектора АВ.
В случае общей декартовой системы координат расстояние
между точками А (х„ у,), В(хг, yt), измеренное некоторой едини-
цей е, определяется по формуле
d = 8п (*»-*,)*4-2в12 (Ч-х.И^-'л) +g22 (ih-ytf (11)
илн
d - Vs uAa+2gltXy + StiY\ (12)
гДе gu> gM—квадраты длин векторов Of,, 0?2, измеренные еди-
ницей e, a g12—произведение тех же длин на косинус угла (ш)
между О£„ Of,; gik удовлетворяют условиям: gu > 0, gtt>0,
SnSat—g?2 > 0. Обратно, если эти условия выполнены, то суще*
ствуют векторы е,, е2 такие, что
l*if=gii. l*.l*=gM, I е. || е,1 cos (o=g12, (13)
где to—угол между векторами е, u et, | е, | и |е2|—длины
ров е, и еа.
В прямоугольной системе координат угол от вектора
«=(Х, У] до вектора CD=JA', У'| определяется по формулам:
XX' + YY' , XY'-XY
cos(f=~d^— ’ Sln<P= 1
векто-
АВ =
(И)
где d и d'—длины векторов AB н CD. _
Угол от единичного вектора осн Ох до вектора АВ опреде-
ляется по формулам:
cos<p=^-f sin<p=-^.
Для того чтобы два вектора {X, У| и |А", У'} были перпен-
дикулярны, необходимо н достаточно, чтобы
XX' + YY'^O. <16)
20 ГЛ. И. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК и ВЕКТОРОВ НА плоскости
nr.ne.l декартовой системы координат угол от вектора
В случае общ хй_|Х' У'} определяется по формулам:
ли— IX У до вектора CD-р , г i и
А 1 ’ 1 p,±XX’ + 8tt(XY'+X’Y)+g„YY , (17)
cos<p=— dd'
I Л' Y k/—----~i
I А" У' I' 8n8ii Sa
sin <P= -- dd’
(18)
rne имеют указанные выше значения.
Площадь /треугольника АВС с вершинами
А (х„ уд. B(xs, уг), С(хг, у,)-
заданными относительно прямоугольной системы
координат,
деляется по
формулам:
S =-~-mod
1*1 ~*3
I *2~*3
У,—У г
Уг~*Уг
опре-
(19)
или
*1 yt
xt Уг 1
*з Уг 1
(20)
5 =у mod
Площадь ориентированного треугольника
формуле
АВС вычисляется по
*•
*2
1*3
Уг
Уг
Уг
(21)
о =
£
2
1
1
1
Уис. 5.
причем о>0, если треугольник АВС одинаково ориентирован
с треугольником 0Е,Ег, и о < 0 в противном случае.
В случае аффинной системы координат по формуле (19) опре-
деляется отношение площади треугольника АВС к площади мас-
штабного параллелограмма.
Полярная система координат на плоскости опре-
деляется точкой О (полюс), исходящим из нее лучом Ох (полярная
Л ось), масштабным отрезком е
и направлением отсчета
углов (рис. 5).
Полярными коор-
динатами точки М, не
совпадающей с полюсом, на-
зываются: расстояние Q (по-
лярный радиус) от точки М
до полюса О и угол <р (по-
лярный угол) от полярной
п - оси Ох до луча ОМ.
главным ?ия1иА„УГ0Л нмеет бесконечное множество значений;
„ значением полярного угла называется его «качение удо-
ХХРо7оЩ::лГтпНЮ 0<<₽<21’- Если ф0-одно из значений
У > все значения полярного угла заключаются
46—49J § 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ
в выражении q> +2fert, где А —любое целое число Д-,я полюс,
считают е = 0 (<р не определяется) Я П0'ЛК)са
Иногда рассматривают обобщенные полярные координаты- по
лярныи радиус может принимать как положительные так и отри-
Нательные значения; если для точки М Q > 0, то полярный угол ф
отсчитывается от полярный оси до луча ОМ если же о < 0 то
полярный угол q> отсчитывается от полярной оси до луча имею-
щего направление, противоположное лучу ОМ.
Если полюс О принять за начало декартовой прямоугольной
системы координат, направление полярной оси за положительное
направление оси Ох, а за ось Оу принять такую ось, что угол от
положительного направления оси Ох до положительного направ-
ления оси Uy равен-E-g- > то между декартовыми координатами
у точки и ее полярными координатами q и <р имеют место
дующие соотношения:
х=6 cos<p, y = gsin<p
X и
еле-
(22)
И
^=1Гхг + у2, cos , sin <р = ——. (23)
V х2 + уг у хЧ-у1
В задачах, где требуется определить длины отрезков, углы или
площади, имеется в виду декартова прямоугольная система коор-
динат (если только в условии задачи не оговорено противное).
§ 1. Прямоугольные и аффинные координаты
46. Построить точки /(2, 3), В(0, 4), С( — 2, 1),
О(— 3, — 5), f(6, —2), G(5, 0), К(0, —1), $( —3, 0),
Т(0, 7) относительно прямоугольной системы координат.
47. Относительно косоугольной системы координат с ко-
ординатным углом со = -5- построить точки А (3, 2), В(— 4,6),
С(— 2, —5), D(4, —1). *
48. Дана аффинная система координат, у которой коор-
динатный угол со — arccos —т) ’ а ед|,ни,,,|Ы® отрезок оси
абсцисс в 2 у раза больше единичного отрезка оси ординат.
Относительно этой системы координат построить точки /(4,2),
m_______2 1) С( — 3 —3), 0(1^2,—1^3).
49. ’ Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти коор-
динаты его вершин, принимая за начало координат вершину ,
за положительное направление оси абсцисс направление ___
роны АВ, за положительное направление оси ор
22 гл II. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРОВ НА плоскости 150
направление диагонали АЕ, а за единицу масштаба по обеим
осям— сторону шестиугольника.
<50 В трапеции ABCD нижнее основание АВ в три раза
больше ее верхнего основания CD. Принимая за начало коор-
динат точку А за положительное направление оси абсцисс —
направление основания АВ, за положительное направление
осн ординат —направление боковой стороны AD, а стороны
АВ и AD—за единичные отрезки на этих осях, найти коор-
динаты вершин трапеции, а также координаты точки О пе-
ресечения ее диагоналей и координаты точки 5 пересечения
ее боковых сторон.
51. В равнобочной трапеции большее ее основание АВ — 8,
высота равна 3, а угол при основании равен 45°. Принимая
за ось абсцисс прямоугольной системы координат большее
основание трапеции, а за ось ординат — перпендикуляр в его
середине и выбирая за положительное направление оси орди-
нат то направление этого перпендикуляра, которое идет
внутрь трапеции, найти координаты вершин трапеции, точки М
пересечения ее диагоналей и точки 5 пересечения ее боковых
ст орон.
52. Даны две смежные вершины параллелограмма А (— 1, 3),
5(2,—1) Найти две другие его вершины при условии, что
дпагоиа ш параллелограмма параллельны осям координат.
53. Относительно прямоугольной системы координат дана
точка Л'1 (х, у). Найти точку, симметричную точке АГ:
1) относительно начала координат;
2) относшельно оси абсцисс;
3) относительно оси ординат;
4) относительно биссектрисы первого и третьего коорди-
натных углов; «
5) относительно биссектрисы второго и четвертого коор-
динатных углов.
54. Даны три последовательные вершины параллелограмма
( 2, 1), 5(1, 3), С(4, 0). Найти четвертую его вершину.
§ 2. Расстояние между двумя точками
55. Найти расстояние d между точками А и В в каждом
из следующих случаев:
2)а!з’п 2!7, 3>л<12. -1). В(0, 4);
' ^(3, 1), В( —2, 4); 4) Д(3, 5), 5(4, 6).
68] § 3. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 23
каждой из
3) С(—11, 0);
4) 0(5, 12).
56. Найти расстояние от начала координат
следующих точек:
1) >4(11, 4);
2) В(—3, —4):
57. На осях координат найти точки, каждая из которых
равноудалена от точек (1, 1) и (3, 7).
58. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точки
(—8, —4) и от начала координат.
59. Установить, будет ли треугольник АВС: А (3, 1),
В(7, 5), С(5,—1), остроугольным, прямоугольным или ту-
поугольным.
60. На осях координат найти точки, отстоящие от точки
М( — 5,9) на расстоянии, равном 15.
61. “
диусом
ведены
62.
г=10
Дана окружность с центром в точке С(6, 7) и ра-
г=5. Из точки А(1, 14) к этой окружности про-
касательные. Найти их длины.
Из точки С(— 4, —6) как из центра радиусом
описана окружность. Найти точки ее пересечения
с биссектрисами координатных углов.
63. Дай треугольник АВС: А(2,—3), В(1, 3) и
С(— 6, — 4). Найти точку Л1, симметричную вершине А относи-
тельно стороны ВС.
64. Найти центр и радиус круга, описанного около тре-
угольника АВС: А (2, 2), В(— 5, 1), С(3, —5).
65. Зная две противолежащие вершины ромба Д(8,—3)
и С(10, 11), найти две другие его вершины при условии,
что длина стороны ромба равна 10.
66. Найти центр окружности, проходящей через точку
Л(—4, 2) и касающейся оси Ох в точке В (2, 0).
67. Найти центр и радиус окружности, проходящей че-
рез точку Л (2, —1) и касающейся обеих осей координат.
§ 3. Деление отрезка в данном отношении
68. Доказать, что в каждом из нижеследующих случаев
точки А, В, С находятся на одной прямой, и найти простое
отношение (АВС}:
1) Л (2, 1),
2) Л (1, 6),
8) Л (0, 0),
С(0, 3);
С( —3, 2)}
С(1, 1).
В(~2, 5),
В (5, 10),
Д(-3, -3),
24 гл. п. координаты точек и векторов на плоскости [69
69. Найтн координаты точки М, делящей отрезок Мхм
ограниченный точками 44, (2, 3) и Мг (—5, 1), в отношении;
1)1 = 2; 2)1 = —1; 3) 1 = —4; 4)1 = 1.
70. Найти координаты середины отрезка в каждом
из следующих случаев:
1) 44,(2, 3), Мг(— 4, 7);
2) 44, ( — 2, 4), 44,(2,—4);
3) 44,(0, 0), 44,(1, 1).
71. Даны две точки 4(3, 4) и 0(2, —1). Найтн точки
пересечения прямой АВ с осями координат.
72. Найти центр тяжести треугольника, вершины кото-
рого 4(х„ J,), О(х,, Д',), С(х„ yt).
73. Даны середины сторон треугольника 44, (2, 4),
44, (—3, 0), 44,(2, 1). Найти его вершины.
74. Один из концов отрезка АВ находится в точке А (2, 3),
его серединой служит точка 44(1,—2). Найти другой конец
отрезка.
75. Даны две смежные вершины параллелограмма
А (— 4,—7) и 0(2, 6) и точка пересечения его диагоналей
Л4(3, 1). Найти две другие вершины параллелограмма.
76. На осях Ох н Оу отложены соответственно отрезки
04 = 8, 00 = 4. Найти отношение, в котором отрезок АВ
делится основанием перпендикуляра, опущенного на прямую
АВ из начала координат. Система координат прямоугольная.
77. Даны две точки А (—3, 1) и В(2, —3). На прямой АВ
найти такую точку 44, чтобы она была расположена по ту
же сторону от точки А, что и точка В, и чтобы отрезок Д44
был втрое больше отрезка АВ.
78. Даны три последовательные вершины трапеции
4( — 2, — 3), В(1, 4), С(3, 1). Найти четвертую ее вершину
D при условии, что основание AD в пять раз больше основа-
ния ВС.
79. Даны две точки А (— 4, 2), 0(8,—7). Найти
точки С и D, делящие отрезок АВ иа три равные части.
80. Определить координаты концов А и В отрезка, ко-
торый точками 0(2, 2), 0(1, 5) разделен на три равные
части.
92] § 3. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 25
81. Дана точка А (2, 4). Найти точку В при условии
что точка С пересечения прямой АВ с осью ординат де™!
отрезок АВ в отношении, равном |, аточка D пересечения
прямой АВ с осью абсцисс делит отрезок АВ в отношении
4 •
82. Даны две точки 4(9, —1) и s( —2 6) В ка-
ком отношении делит отрезок АВ точка С пересечения пря-
мой АВ с биссектрисой второго и четвертого координатных
углов?
83. Найти две точки А и В, зная, что точка С(_5, 4)
делит отрезок АВ в отношении ~ , а точка D(6, — 5)___вот-
2
ношении =•.
О
84. Вершина А параллелограмма ABCD соединена с се-
рединой М стороны ВС, а вершина В—с точкой N, лежащей
на стороне CD и отстоящей от точки D на расстоянии, рав-
ном у стороны CD. В каких отношениях делятся отрезки AM
и BN точкой К их пересечения?
85. В треугольнике АВС'. Л (5, —4), В( — 1, 2), С(5, 1)
проведена медиана AD. Найти ее длину.
86. На прямой, проходящей через точки (4, 2) и (0, — 1),
найти точки, отстоящие отточки]—4, —4) на расстоянии 5.
87. На прямой, проходящей через точки (4, 8) и
(— 1,— 4), найти точки, отстоящие от второй из данных
точек на расстоянии 4.
88. Дан треугольник АВС'. А (4, 1), В(7, 5), С( — 4, 7).
Вычислить длину биссектрисы AD угла А.
89*. Найти центр и радиус круга, вписанного в треуголь-
ник АВС: 4(9, 2), В (О, 20), С(—15, —10).
90*. Найти точку пересечения общих касательных двух
окружностей, центры которых совпадают с точками С, (2, 5)
и
7-1, ю , а радиусы соответственно равны 3 и 7.
91. Даны три последовательные вершины трапеции
4(_ 1,—2), В(1, 3), С(9,9). Найти четвертую вершину
D этой трапеции, зная, что ее основание AD 15.
26 I Л. и. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК и ВЕКТОРОВ НА плоскости [93
92. В трех точках А (7, 1 |) . В (6, 7) и С(2, 4) поме-
|Ц1Ны грузы соответственно tO, 100 и 40. Определить
пеню тяжести этой системы.
93 11.1Пти положение центра тяжести однородного стержня,
согнутою под прямым углом, если длины его частей соот-
ветственно равны ОА = 2, OS 5.
94. Найти положение центра тяжести проволочного тре-
уго пшика, длины сторон которого 3, 4 и 5 см.
95. Найти Петр тяжести чешрехугольной однородной
ii'iacTiiiiKii знай, что углы пластинки помещаются в точках:
А (4, 4), В(5, 7), С(10, 10), /9(12, 4).
96*. Доказать, что среднее арифметическое одноименных
координат вершин правильного многоугольника равно соот-
ветствующей координате его центра.
97*. Найти сумму квадратов длин всех сторон и всех
дншоналей правильного многоугольника.
§ 4. Площадь треугольника
98. Вычислить площадь треугольника, вершинами кото-
рого служат точки А (4, 2), В (9, 4) и С(7, 6).
99. Вычислить площадь пятиугольника, вершинами кото-
рого служат точки Z (— 2, 0), /3(0, —1), С(2, 0), D (3, 2)
и Е( -1, 3).
100. Вычислить площадь треугольника АВС в каждом из
следующих случаев:
1) Л(2, 1), В(3, 4), С(1, 6);
2)Д( — 2, 4), fi(0, —3), 0(1, 7);
3) Л (5, 4), В (11, 0), С(0, 3).
101. Найти расстояние от точки (2, 0) до прямой, про-
ходящей через точки (1, 1) и (5, 4).
102. Найти расстояние от начала координат до прямой,
проходящей через точки (1, 5) и (2, 4).
ЮЗ. Две вершины треугольника находятся в точках (5,1) и
' 2, 2), третья вершина — на оси Ох. Зная, что площадь
треугольника равна 10, найти третью вершину.
1]ло,цадь тРеУгольника 5=3, две его вершины суть
то *ки ( , 1) и Вц, 3), центр тяжести этого треуголь-
н11шыЛгЖИТ НЭ °СИ ^Х‘ Определить координаты третьей вер-
1121 § 5. полярные координаты 27
§ 5. Полярные координаты
105. Построить точки, полярные координаты которых
имеют следующие значения: (з, —V f 7л\
= Ит); :
I о п\ ' 0 /
V 4 ) •
106. Дан правильный шестиугольник, сторона которого
равна а. Приняв за полюс одну из его вершин, а за поляр-
ную ось—сторону, через нее проходящую, определить по-
лярные координаты остальных пяти вершин.
107. Вычислить расстояние между двумя данными точками:
МЧ) 3)£(з,^)„г(4,Т).
2) С(4, „о(б. *),
108. Даны полярные координаты точек А (8,—- д') и
( п X \ ’ 3 /
^(6, -g- I. Вычислить полярные координаты середины от-
резка, соединяющего точки А и В.
109. Относительно полярной системы координат дана точка
А (5, . Найти:
V /
1) точку В, симметричную точке А относительно полюса;
2) точку С, симметричную точке А относительно поляр-
ной оси.
110. Относительно полярной системы координат даны точки:
А ^2, , В (З, , с(1, , £>(5, л), £(5, 0). Какие
координаты будут иметь эти точки, если повернуть поляр-
ную ось около полюса в положительном направлении на угол
Зя у
4 (
111. Вычислить площадь треугольника, одна из вершин
которого помещается в полюсе, а две другие имеют поляр-
/. л \ /. 5я\
ные координаты (4, -g-|. ( *> fg )•
112. Найти прямоугольные координаты точек, которые^да-
ны своими полярными координатами: А ^2, -у) , В
28 гл. и. координаты точек и векторов на плоскости [113
ось абсцисс совпадает
причем
с полярной осью, а начало координат с полюсом.
113. Зная прямоугольные координаты точек /1( 1, 1),
В (0, 2), С(5, 0), найти их полярные координаты.
114. 'Найти полярные координаты точки 7И, зная ее де-
картовы координаты х=8, у =— 6.
115. Зная полярные координаты точки 10, <р”-g- ,
найти ее прямоугольные координаты, если начало полярных
координат в точке (2, 3), а полярная ось параллельна Ох.
116. Полюс—в точке (3, 5). Полярная ось параллельна
положительному направлению оси Оу. Найти полярные коор-
динаты точек Л7,(9, —1) и Л7г(5, 5 —2^3).
§ 6. Преобразование координат
117. Найти новые координаты точек Л (2, 3), В( — 5, 4),
С(0, 2) в системе, полученной переносом данной аффинной,
если за новое начало координат принимается точка О' (7, —1).
118. В аффинной системе координат задана точка 7Й(2, 5).
Ее координаты после переноса соответственно равны —4 и 7.
Найти старые координаты нового начала О' и новых единич-
ных точек Et, Ег, Е' и новые координаты старого начала О
и старых единичных точек Elt Ег и Е.
119. Найти формулы преобразования декартовой аффин-
ной системы координат на плоскости в каждом из следую-
щих случаев, если даны старые координаты новых единичных
векторов и старые координаты нового начала координат:
1) О'£ ={2, 5}, С/Ё>{7, 9}, О'(3, 1);
2) О'Е; = {5, 0}, О^ = {0, 4}, О'(3, 5);
8) Of = {o, 2}, O'E't = {~7t 0},О'(0, 2);
4) О'Е' = {Й, 0}, СГЕ; = {0, Л}, О'(о, 0);
5) О'Е; = {0, а}, 0%~{Ь, 0}, О'(0, 0).
1241 § 6- "«образование координат .
120. Найти формулы преобразования
координат, если даны старые координаты
точек и нового начала координат-
аффинной системы
новых единичных
Ь).
системе координат даны
4). В новой adidiHHuntt
1) ^(2. 5), £'(— 3, 7), О'(5, 4);
2) £;<о, 0), е;(0, 1), О'(1,0);
3)Г(«, 0), £’(0, b), О'{а,
121*. По отношению к аффинной
три точки: /1(2, 1), В(3, 0), С(1,
системе координат те же точки имеют коордшИты:~7(Г,'б)"
0(1, У), С(3, 1). Найти формулы преобразования аффинной
системы координат. Найти старые координаты нового начала
координат и новых единичных точек и новые координаты ста-
рого начала координат и старых единичных точек.
122. Даны две системы координат Оху и О'х'у'. Коор-
динаты х и у произвольной точки относительно первой си-
стемы выражаются через ее координаты х' и у' относительно
второй системы следующими формулами:
х = 2х'—5у'+3, у —— х' + 2у'—2.
Найти координаты начала второй системы и единичных
векторов ее осей относительно первой системы.
123*. Даны две системы координат Оху и О'х'у’. Отно-
сительно первой системы начало второй системы находи кя
в точке О' (—4, 2), ось О'х' пересекает ось Ох в точке
Д(2, 0), а ось О'у' пересекает ось Оу в точке В(0, 8).
Принимая за единичные векторы второй системы векторы
О' А и О'В, выразить координаты произвольной точки отно-
сительно первой системы через ее координаты во второй си-
стеме.
124*. Дан параллелограмм ОАСВ. Рассмотрим две системы ко-
ординат, принимая за начало обеих систем вершину иаралле
лограмма О, за единичные векторы осей Ох и Оу первой
системы соответственно стороны параллелограмма ОА и ОВ,
а за единичные векторы осей Ох' и Оу второй системы
соответственно векторы ОК и OL (К и L середины сторон
АС и ВС). Найти координаты вершин параллелограмма
второй системе.
30 гл. 11. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК и ВЕКТОРОВ НА плоскости [125
125* Дан треугольник ОЛВ и в нем проведены медианы
АО н BE пересекающиеся в точке О'. Рассмотрим две си-
AL) Oxv и Оху. За начало первой системы
возьмем°точку О, а за единичные векторы осей Ох к Оу —
соответственно векторы 04 и ОВ. За начало второй систе-
мы возьмем точку О', а за единичные векторы осей О х
н О'у'_соответственно векторы О'А и О В. Выразить ко-
ординаты X, у произвольной точки относительно первой си-
стемы через ее координаты х', у' во второй системе.
126. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая
за начало первой системы точку А, а за единичные векторы
осей Ох и Оу векторы АВ, AF, за начало второй системы
точку D и за единичные векторы осей Dx' и Dy' векторы
DB и DF, найтн координаты вершин шестиугольника отно-
сительно обеих систем.
127*. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше
основания ВС. За начало первой системы Оху возьмем точ-
ку О пересечения боковых сторон трапеции АВ и DC, а за
единичные векторы осей Ох и Оу—соответственно векторы
--> — >-
ОВ и ОС. За начало второй системы О'х'у' возьмем точку
О' пересечения диагоналей АС и BD, а за единичные векто-
ры осей О'х' и О'у' — векторы О'В и О'С. Найти форму-
лы, выражающие координаты произвольной точки относитель-
но первой системы через ее координаты во второй системе.
128. Найти формулы перехода от косоугольной системы
координат Оху с координатным углом со к такой прямоуголь-
ной системе Ох'у', положительными направлениями осей ко-
торой являются биссектрисы первого и второго координатных
углов косоугольной системы.
129*. Найти формулы перехода от одной косоугольной
системы координат Оху с координатным углом то к другой
Г>ГО|ЬНо» системе Оху, если одноименные оси этих
тем взаимно перпендикулярны а разноименные образуют
острые углы. J
чал/3.?™ ?ЭНЫ ДВе пРямоУГОЛЬ1,ые системы координат. На-
потожиго? СИСТемы находится в точке О' (—4, 2); угол от
•• иного направления оси Ох до положительного нап-
1371 § 6- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ gj
равлсни, ос» С/х' р„е„ о&! сис„аы
“Z»”"" "аР“ “°РД“т ’°™ “ «‘с
131. Новое начало О' прямоугольной системы С/х'у' име-
ет относительно прямоугольной системы Оху координаты
(—3—2); cos (Ox, Ох') = -| ,sin(Ox,OV)~—1; систе.
мы Оху и О'х'у'—разных классов. Найти выражение старых
координат хну через новые координаты х' и у'.
132. Новая система координат получена из старой пере-
носом начала в точку О'(3, —4) и поворотом на угол а
такой, что cos а = jg, sinoc = — у-^. По отношению к исход-
ной системе координат дана точка Л (6, —2). Найти ее ко-
ординаты в новой системе.
133. Оси координат повернуты на угол а= 60°. Коорди-
наты точек Л(2)/3, —4), В(УХ 0) и С(0,—2^3) опреде-
лены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек
в старой системе координат.
134. Даны точки М(3, 1), 7V(—1, 5) и Р(—3, —1).
Найти их координаты в новой системе, если оси координат
повернуты на угол а = —45°.
135. Написать формулы преобразования прямоугольной
системы координат в прямоугольную систему, оси которой
имеют направления биссектрис координатных углов первой
системы.
136*. Даны две прямоугольные системы координат Оху
и О'х'у'. Начало второй системы находится в точке О (2, 3).
Ось О'х' пересекает ось Ох в точке А (6, 0), а ось Оу пе-
ресекает ось Оу в точке В^О, • Принимая за положи-
тельные направления осей О' х' и О'у' направления векторов
О'А н О'В, выразить координаты произвольной точки отно-
сительно первой системы через ее координаты во второ
системе.
137*. Дан прямоугольный треугольник ОАВ с катетами
ОЛ = 3, ОВ=1 ив нем проведена высота ОС. Принимая
за начало первой системы координат точку О, за положитель
ные направления осей Ох и Оу направления векторов ОА
32 ГЛ. II. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРОВ НА плоскости [138
ОВ за начало второй системы точку С, за положительное
направление оси Сх' направление вектора ОС и выбирая по-
ложительное направление оси Су' так, чтобы обе системы
были одного класса, выразить координаты произвольной точки
относительно первой системы через ее координаты во второй
системе.
§ 7. Координаты векторов на плоскости
138. Определить координаты
кпцих случаях:
конца вектора АВ в следу-
1)27=4, У=— 2, Л(1, 2);
2) 27=—1, F=3, Л(—1,0);
3)27=0, F=—3, Л(4,3).
139. Найти значение угла от вектора АВ до вектора CD
в каждом из следующих случаев:
1) Л(2, 1), В (—2, 3), С(1, 0), D(3, 4);
2) /1(1, 2), В(2, 3), С(2, -1), 1);
3) Л(1, 1), 5(2, 4), 5(5, -1), D(9, 1);
4) Л (2, 3), В(3, 6), С(3, 5), Д>(1, 9);
5) Л(1, 7), 5(2, 4), С(—3|/3, 3) 5>(1, УЗ);
6) Л (0, 0), 5(2, 1), С(0, 0), D(—2, 5).
140. Даны четыре точки: Л(—3, 1), В (2, 4), С(0, ___5),
D(—3, 0). Доказать, что AB_[_CD.
141. Найти косинус, сииус и тангенс угла от единичного
вектора OEt до вектора АВ в каждом из следующих случаев:
1) Л (—2, 3), 5(4, 9); 4) Л (5, 3), 5 (5, —7);
2) Л (2, 1), 5(3, 0); 5) Л (1, 4), 5 (2, 5);
3) Л(3, 2), 5 (—5, 2); 6) А (1, 4), 5 (2, 1).
в ОпРеделить длину вектора АВ и его направление
в следующих случаях;
1) Л(—1, 4)
2) л(4, 7),
3) Л(1, 2),
5(4, -8);
В{—2, —1);
5(4, 6).
151 ] § 7. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ ИА ПЛОСКОСТИ
143. Определить
случаях:
координаты вектора АВ в следующих
1) d = 5;
сс—острый
угол, tga = —;
2) d—51; a— угол 2-й четверти, tga = —
3) d = 25; a — угол 3-й четверти, tga = —
где а—угол от единичного вектора оси Ох до вектора АВ
а d—длина вектора. ’
144*^ Дан вектор 0/1 = {х, у}. Найти координаты век-
тора ОВ, получающегося из вектора ОА поворотом
иа угол <р.
145. Даиы две точки Л (2, 1) и В (5, 5). Найти конец
вектора АС, получающегося из вектора АВ поворотом на
бэт
Угол -g-.
146. Даны две соседние вершины квадрата /1(—3, 2)
и В (2, 4). Найти две другие вершины.
147*. Основанием равнобедренного треугольника служит
отрезок А С: А (—4, 2), С (4, —4). Найти координаты вер-
шины В этого треугольника, зная, что углы при его оспо-
* 5
вании равны arctg -g-.
148. Найти численную величину ортогональной проекции
— >
вектора АВ на ось, направление которой определяется век-
тором CD, если А(—4, 2), В(6, 4), С(—6, —1), £>(—1, —13).
149. Даны две противоположные вершины квадрата
Д(—3, 2), В (5, —4). Найти две другие его вершины
С и D.
150. Даны две вершины равностороннего треугольника
А (2, 1), В(6, 3). Найти его третью вершину.
151*. Определить координаты k-й вершины правильного
л-угольника, если даны координаты первой вершины A, (xv у,)
и координаты центра <$(х„, у0).
2 С. В Бахвалов и др.
34 гл. и. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРОВ НА плоскости [152
152*. Векторы A.AV Л А» АЛ имеЮТ ДЛИИЫ в«’ а” °,
и Образуют углы о,, с положительным направлением
оси Ох. Определить координаты вектора A0At. ,
153*. Векторы АвА„ А,Аг, А„А„ ... , A„_tAn имеют
соответственно длины d„ d2, ... , dn и образуют углы <р„
Ф фп с положительным направлением оси их. Опре-
делить координаты точки Ап, если Ло(-^о. у0).
§ 8. Длины и углы векторов в общих декартовых
координатах
154. Построить аффинную систему координат, если;
1) gu=4, g„=o, g„ = i;
2) Sit ~2 ’
3)g,.=4, g„ = 8, ^„ = 25;
4)gu = 4, = —8> &. = 25.
155. Определить длину вектора а={56, —10}, если
ft, = 4, g„ = 8,g„ = 25.
156. Определить длину вектора а = (7, —8}, если gn — 4,
^>« = 8, g„ = 25.
157. Определить единичный вектор Ь, перпендикулярный
к вектору а = {7, —8}, если g„ = 4, £„ = 8, g„ = 25.
158. Даны длины единичных векторов репера |ех | — 2,
|е2| = 3 и угол между ними ю = ^-. Определить gi2,
gti и расстояние d между точками А (1, —2), В(—3, 4).
159. Длины единичных векторов аффинной системы ко-
ординат суть соответственно 1^1 = 4, |е2| = 2. Угол между
ними сд = — . Относительно этой системы координат верши-
ны треугольника АВС имеют координаты Д(1, 3), В(1, 0),
С(2, 1). Определить длины сторон АВ и АС этого треуголь-
ника и угол А между ними.
160. Длины единичных векторов аффинной системы ко-
ординат суть соответственно |ej = 2, | ег | = V&, а угол
между ними ® = —. Относительно этой системы координат
216] § 8. длины и углы векторов 35
даны два вектора а = {1, 2}, 6 = {2, 2}. Найти угол от пер-
вого вектора до второго.
161. Относительно аффинной системы координат дан
треугольник АВС с вершинами в точках Д(1, 1), 5(5, 3),
0(3, 5), длины сторон которого суть АВ — У§2, АС=Ь,
ВС—1/28. Определить длины единичных векторов этой си-
стемы координат и угол между ними.
162*. Относительно аффинной системы координат дач
прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках
Д(1, 0), Б (0, 1), 0(3, 2), прямым углом при вершине С и
катетами СД = 2, 05=3. Определить длины сторон А'В'
и Д'О' треугольника А'В'С' и угол (между ними, если вер-
шины этого треугольника имеют координаты А' (1, 1),
В’ (2, 2), С'(2, 4).
ГЛАВА HI
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Если на плоскости выбраны какая угодно общая декартова
система координат и какая угодно прямая, то существует уравне-
ние первой степени, т. е. уравнение вида
Ax4-Bt/+C = 0 (1)
(Л и В не равны нулю одновременно), которое обращается
в тождество, если вместо х и у подставить координаты любой точ-
ки, лежащей на рассматриваемой прямой.
Обратно, если на плоскости выбрана какая угодно общая де-
картова система координат и задано какое угодно уравнение вида (1),
где А и В не равны нулю одновременно, то существует на
плоскости прямая, координаты любой точки которой обращают
это уравнение в тождество.
Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.
Если прямая задана своим общим уравнением (1), то для коорди-
нат всех точек, лежащих по одну сторону от нее,
Ах + Ву + С>0, (2)
а для координат х, у всех точек, лежащих по другую сторону
от нее,
Ах + Ву + С<0. (3)
Соответствующие части плоскости будем называть положитель-
ной и отрицательной полуплоскостями. При умно-
жении левой части уравнения прямой на отрицательное число
толожительная полуплоскость становится отрицательной, и на-
ООО р ОТ
М (х^нТи'м ТМ0Й< пР°ходя,1<ей чеРез две различные
ri.LL1’ и -'>2’ №• заданные относительно общей
системы координат, может быть записано так:
точки
декартовой
или
х У I
*1 У, 1
*г Уг 1
= 0,
(4)
X -X, у -J/,1
(5}
гл. ill. прямая линия
37
или (если х2—х, 54 0, у2— у, О)
х~хг_ у-у,
X2~xt y2—yt‘ (6)
или (если х2—х, -£ О)
У2 — у.
у у' ~х2-х2 (х~х^- (7)
Направляющим вектором прямой называется лю-
бой ненулевой вектор, параллельный этой прямой (или лежащий
иа этой прямой). Пусть а = {1, т} —направляющий вектор прямой.
Угловым коэффициентом прямой, не параллельной оси Оу (и не
совпадающей с осью Оу), называется число
я- t
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две
точки М2(х2, у,) и у2), заданные относительно общей декар-
товой системы координат, определяется формулой
. Уг—У,
k==x'2—x2
Если система координат прямоугольная, то угловой коэффи-
циент есть тангенс угла от оси Ох до этой прямой.
Уравнение всякой прямой, не параллельной оси Оу общей
декартовой системы координат, проходящей через точку (х,, у,)
с угловым коэффициентом А, имеет вид:
у—y2 = k (х— х,). (8)
Уравнение всякой прямой, не параллельной оси Оу, пересека-
ющей ее в точке (О, Ь) и имеющей угловой коэффициент k, может
быть записано так:
y = kx + b. (У)
Уравнение прямой, не проходящей через начало координат
и пересекающей оси координат в точках (о, 0) и (О, Ь), может быть
записано в виде (уравнение прямой в отрезках):
Уравнение прямой, проходящей через точку (х„ у,) параллель-
но вектору {/, /л}, можно записать в виде:
|х—х, у— г/,! 0 (10)
I I ml
или
(П)
I т '
Если заданы произвольная точка (х„ у,) и произвольный век
тор {I, т} ф 0, то параметрические уравнения прямой, проходящей
38
гл. Ш. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
через данную течку параллельно данному вектору, будут,
К-ъ+Н. У^У^ + mt. (12)
/ является координатой точки М указанной прямой.
й прямой если аа начало координат принимается точка
!1а самой прямой^ если _вектор /, т}.
(Х” ^бходиХе и достаточные условия того, что две прямые,
заданные своими общими уравнениями:
Htx4-B2y + C2=0
относительно общей декартовой системы координат, пересекаются,
параллельны или совпадают, даиы в следующей таблице:
I расположение прямых Условие
Пересекаются л, в, В2 #0
Параллельны но один 1 It tH из определителей (или оба) в. §1 " |§ tl отличен от нуля
Совпадают |Л, в. | -^2 ^2 в, с,| В, С2| © и •- м чч II
Необходимое и достаточное условие совпадения двух прямых,
заданных общими уравнениями:
Л.х + В^ + С^О, А^ + В^ + С^О,
может быть сформулировано и так: левые части
прямых отличаются числовым множителем X yt О-
А ,х + Bty+С, == X (Агх + Bty + С2)
(тождество относительно х и у).
Ьсли прямые, заданные общими уравнениями:
уравнений этих
А^ + В^+с^О,
ЮтсяСНТтпЬИ° °бщей Д^артовой
* координаты точки
<Л2х 4“ Вгу 4" ^2 —- О
системы координат, пересека-
пересечения определяются по
ГЛ. Ш. ПРЯМАЯ линия
формулам Крамера:
Если прямые, заданные уравнениями:
^х+В.у+С^О, а^+в^+с^о
относительно общей декаптпппй
то в уравнении мемы координат, пересекаются
“(^ + B1J/ + CI)4-₽(Ztx+Bsi/+c8) = 0, П41
где по крайней мере одно из чисел а ипп ft иа Ппп»
енты при х и у одновременно в нуль не об^щаютсГй К°Эффици-
S“"" "%"
“Х"Р"""’ пр™,“” “Р“ ’"«У
А^ + В^ + С^О, А^ + ВгУ + С^О,
может быть определена уравнением вида:
пересечения
a (Atx + Bty 4- CJ 4- р (Агх 4- Bjy 4- CJ = 0.
Если прямые
Л1х4-В1л4-С, = 0, Л1!х4-Вгг/4-С1=0
параллельны, то уравнение
а (А,х 4- В,у 4- С,) 4- р (А^с+Bjy+Q = 0,
где по крайней мере одно из чисел а или р не равно нулю, опре-
деляет прямую, параллельную данным, при условии
А = в
Л, В2 а ’
и обратно: любая прямая, параллельная данным:
А,х+ В,у4-С1«=0, A sx 4- Вгу+С2—0,
может быть определена уравнением вида:
a (А,х-\- Bly-\-Ct)-}-p(Atx-}-B!y-l-Ct) — O.
Пучком прямых (собственным) называется множество
всех прямых, лежащих в одной и той же плоскости и проходящих
через одну и ту же точку, называемую центром пучка. Множество
всех параллельных между собой прямых плоскости также назы-
вается пучком параллельных прямых или несобственным пучком.
Если по отношению к общей декартовой системе координат
даны уравнения трех прямых:
-о,
ч-Ci
Л 4" 4"
4" &*У + G
гл. in. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
40
(16)
fo условие
= 0
Золимое и достаточное условие принадлежности данных
прямых к одному пучку (в частности, к одному пучку параллель-
НЫХуравненне пучка прямых, проходящих через точку (х„ {/,).
может быть записано в виде
Л (*-*,) +В (0-^=0, (17)
где Л и В принимают все действительные значения, одновременно
в нуль не обращаясь.
Вектор {—В, Л} всегда параллелей прямой, заданной по отно-
шению к общей декартовой системе координат уравнением
Ах-^-Ву+С—0.
В декартовой прямоугольной системе координат вектор {Л, В}
перпендикулярен к прямой
Лх4-Ву + С = 0.
Если вектор {А, В} отложить от произвольной точки этой пря-
мой, то его конец будет находиться в положительной полуплос-
кости по отношению к прямой
Ах + Ву + С=0.
Если относительно декартовой
прямоугольной системы координат
две прямые заданы уравнениями:
Л ,х 4- Bty С, — О,
л^+вгу+с±=о,
то косинус угла <р между векто-
рами
«. = {».. В,} и пг = {А2, В2}
определяется по формуле
cos ф—----J———-~
По этой же формуле
+в;/л*+в*'
вертикального! опРеделяется и косинус того угла (и ему
Координат виутоенни1°тпН11ОГО РассматРиваемыми прямыми, для
рдинат внутренних точек которого имеет место неравенство
(рис. 6). (Л‘Х+В«4' + С.) GV+B^ + C.) <0
К ВР прямой,ГЛ^е°ощейРуглонпйИМеЮж1Й угловой коэффициент
мыощеи угловой коэффициент ka, определяется
ГЛ. Ill. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
41
формулой
tg<p=
1 4- k'k2
(если только эти прямые не взаимно перпендикулярны!
Для того чтобы две прямые, имеющие угловые коэффициенты
k, я ks, были взаимно перпендикулярны, необходимо и до^аточно
чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и по
знаку, т. е.
*2 =
1
или
1 +k,kt=O.
Косинусы И синусы углов <P1|2 между двумя прямыми
Ах+В.^+С^о, Д2х4-В2(/4-С2=0,
заданными относительно декартовой прямоугольной системы коор-
динат, определяются по формулам:
cos ф, 2 =
± AtA2+B,B2
УА1 + ВгУлг2 + Вг2'
| А.В,— A.B.I
sin <р1>2 = - 1 •
V Аг, + Вг}У А2г + В‘
а если прямые не взаимно перпендикулярны, то
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух
прямых
4- Bty -|- С, = 0, Дгх-|-Вг1/+ С2=0,
заданных относительно декартовой прямоугольной системы коор-
динат, имеет вид:
А2А2 4- В1В2=0.
Расстояние d от точки Л10(х0, yQ) до прямой, заданной отно-
сительно декартовой прямоугольной системы координат уравнением
Дх4-Ву4-С=0,
определяется по формуле
d | Ах„ 4- Ву0 4- С I
~ Кд^+в5
Пусть а—угол от положительного направления оси Ох до
луча ОР, проходящего через начало координат, перпендикуляр
кого к прямой АВ и пересекающего эту прямую, а р—Расс’°яни'
от начала координат до прямой АВ. Тогда уравнение прям
42
ГЛ. in. ПРЯМАЯ линия
может быть написано в виде:
xcosa4-i/sina—р = 0.
Это уравнение называется нормальным уравнением пря-
мой. Нормальным уравнением будем называть и уравнение
—X cos а—у sin а 4- р = 0.
Если прямая задана общим уравнением
Ах + Ву + С=0,
то нормальное уравнение имеет вид:
Ах + Ву+С 0
± /> + Вг
где знак перед радикалом выбирается произвольно,
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих различные при-
емы решения задач на прямую.
При решении задач на прямую знакомство е этими примера-
ми окажет учащемуся существенную помощь.
Пример 1. Даны дее пересекающиеся прямые'
Atx 4~ В2у 4~ С , = 0, А2х 4* В2у 4- С 2=0,
и точка Мо (х0, у0), не лежащая ни на одной из этих прямых. На-
писать уравнение биссектрисы того угла между двумя данными
прямыми, в котором лежит данная точка.
Решение. Пусть М (х, у)—произвольная точка искомой бис-
сектрисы. Так как расстояния от точки М (х, у} до данных пря-
мых равны, то
I Л,*-!- 4- С, |_| Агх-[-Вуу-[-Сг [
Уа’+в*, У'а, в*2
Так как точки М (х, у) и Ma(x„, уа) лежат внутри одного и
™°Ле У„ГЛа/° ?ИоЛаА* + в.»+с. и ЛЛ4-В,Ло4-С1 одного зиа-
а, а числа А2х4-В2у 4-С2 и Агх0-^В2ув-{-С2 также одного
т. е.
знака,
знака,
знакам
М1*+В1//+С1)(Л1хо + В1г/о + С,)>О>
(Лах + Вгу + сг) (Л2х0 4- Вгу0 4- С2) > 0.
то и^исла' Л.х + и+ Л х + В *и +0^т° + °ДН°Г°
А*+Ау 4-С, __ Агх 4- Вгу 4- Сг
^А1+в* Уа +В
Если же числа х i d > с*
ложных знаков (рис 71 °™ ? ^8*© + В*Уо + Св противопо*
WHC. 7), то и числа Л.Х4-В.1/4-С, иЛ ^ + В^/4-С»
(1)
гл. Ш. ПРЯМАЯ линия
43
6*_ g,y + Ci = _Лгх+в1У-|-С>
V^+b; (2)
не „пл;^:лг
Л1*+В11/ + С1 = 0, Лгх + Вг&4-Сг=0,
и точка М„ (х„, у0), не лежащая ни на одной из них. Найти косинио
того угла между этими прямыми, в котором лежит данная точка.
Рис. 8.
Решение. Опустим из точки Л1о на данные прямые перпен-
дикуляры Л4ОЛ4, и Л4ОЛ42. Обозначим через а искомый угол, а
через Р угол между векторами М0М, и Л10М2. Тогда а—180°—р.
1) Если числа А,х0 + Btu0 С, и Л2*0 + В2<л> + С2 положитель-
ны, то векторы л1==^Л2, и я2={Л2, В2} имеют направления,
соответственно противоположные векторам М0М2 и Л40М2 (рис. 8),
поэтому угол р между векторами М0Л11 и МаМ2 равен углу между
векторами п, и пг, т. е.
cos р =
Л]Л2 -|- В,В2
V А\ +В2Уа‘ +в;
и, следовательно,
а,а2+в,в,
cos а ----1 — •
^А‘,+ВУ.А‘ + В‘
2) Если числа Л1*0 + В1у0-рС1 и А2х0 + В2у0+С2 отрицательны,
то векторы
«^{Л,, В,} и /?2 = {Л2, В2}
44
ГЛ. III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Имеют nioTiir тствеппо те же направления, что я векторы М,/ц g
Л1ЙЛ1,. Следовательно, и в этом случае
сов а
А,Аг-}- В,Вг
V А\ + ВгУА*^В*'
3) Если А1хи + Влуа + С1 > 0, а Лрг, + B2v, — С, < О, то векторы
nt {Л,, Z2J н М0М, имеют противоположные направления, а век-
торы л,= {Л„ В2] и М0М2 имеют одинаковые направления, поэтому
Рис. 9.
угол между векторами щ и п,
равен 180°—0=а, и
cosa=
A,z\—В,В2
Ул’ рВ’VЛ’ ; В’
4) Если A,x,
а Л^х, — В^-т-С^О, то опять
(рнс. 9)
cos a
Л,Л—В,В,
V л*+вУ а* т в*/
Пример X Дани две
пересекающиеся а не яе 'рети-
кулярные прямые-
Арс —В1у-}-С1=0,
Aji - BIp-f-CI=O,
и точка Л10(х0, рп), не лежащая ни на одной из этих прямых. При
каком необходимом и достаточном условии эта ивечка лежит в
остром угле, образованном этими прямыми?
Решение. Необходимость. Пусть точка Мф (х». у4) лежит в
остром угле а, образованном данными прямыми. Тогда если числа
Л1х0 + В1И0 + С, и AjXd-f-BjHj+C, одного знака, то (см. пример
cos a=—
Л,4±-В,В,
и тик как a—острый хгол, то
Л|Ла-|-в1ва -.о
и, «лсдовлте.тыю,
( 4. + В,В,1 ( 41т,+ВЛ+С1Н 4А-?л-^Сж)<а
I ели же числа 4,r>+B1y<+Ct и 4д+Зл4-С, разных •=->'
ион, то (см. пример 2);
Ск'чажЕ
К \ Л и - -™1 - 1 _ 1 *
ГЛ. III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
45
и так как а—острый угол, то
и потому снова
^ii^i + B1B1 > О,
(Л1Л,4-В,В1!) (Л^ + В^+С,) (Лрго + В^ + С,) <о.
Аналогично доказывается, что если точка Мо лежит в
угле, образованном данными прямыми, то
тупом
(Л,Л, + В>В,) (Л + В1У0+С,) (Л^с 4- В^с + С.) > 0;
отсюда следует, что условие
(Л.Л, + В1 Вг) (Л.х, + В.У,+С,) (Л»х,+В#, + Сг) < 0
и достаточно для того, чтобы точка MQ(x„ у,) лежала в остром
угле, образованном данными прямыми.
Пример 4. Даны две пересекающиеся и не взаимно перпенди-
кулярные прямые:
Л1х4-В1у4*С1>=0, А,х + В^ + Сг=0.
Составить уравнение биссектрисы острого угла между ними.
Решение. Пусть М (х, у}—произвольная точка биссектрисы
острого угла между двумя данными прямыми. Тогда
I Л,х4-В,у + С, |_| Лтх4~В1у4-С1|
Va^+b* У^+В*
Так как точка М (х, у) лежит в остром угле, образованном
данными прямыми, то на основании примера 3
(Л,Л,-В,В,) (Л.х + Bly+CI)(Atx + Bty+CJ< 0.
Поэтому, если Л,Л1-гВ1В± > О, то числа Atx+Bty+Ct и
AiX+Bjy + C, разных знаков и потому уравнение биссектрисы
острого угла в этом случае будет
Л,хД-В1у4-С, AjX + BtU+Ci
Уа'тВ^ ~ У A*+B*t
Если же Л,Л1-}-В1В1<0, точисла Л,х4-В1о4-С, и Лхх4-Вху4-
4-Сг одного аиака и, значит, ураииеиие биссектрисы острого угла
между двумя данными прямыми в этом случае будет.
Л,х4-В1у4-С1 Лрг4-В1у4-С1
У А\ +В’ У А{+В‘
Пример 5. Стороны треугольника заданы уравнениями'
Лрс-гВ1у4-С1=О, Л,х4-В«!*-С1=0« Л^4-В»у+С,=0.
Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла т.
ника, лежащего против третьей стороны.
L гл. m. прямая линия
Решение. Решая системы уравнений:
A^+B^+Ct=O, Агх + В,у + С,^О.
Atx+B,y+C,~O, Atx + Bty+Ct*=O,
находим координаты двух вершин М, и М,г треугольника:
СВ СВ м м л2 с2 л. С,
Л2 в2 -А, В, в» с, в, с, » Уг ~ - у=~ <4 w «5 w oqaq оо
”1 bi» Св Св М м А, В,| Л, в,|
Подставляя координаты каждой из етих вершин в левую часть
:«ё>ения противолежащей стороны, находим:
Л»*: 4" Bjj/t+С, — Л,
Вг С,
Вг С,
Л, В.
А, в.,
Л2 С2
Аг С,
Аг В,
А, В,
+ ВхУг 4- С2 =
Л, В, С,
Л2 В2 С2
л, в, с.
»тлаП«Лйи2Хг/2^,П’’ОИЗИОЛ‘’И?гЯ точка б»<ссеКтрисы внутреннего
— ’ХЖГ™1'3' Тогдаточк” >И, и/И лежат но одну
си прямое а потому -числа
^1*1 +С, аж
Л2 в,
Л. в,
Су
С,
С,
ГЛ. 111. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
47
одного знака. Точна так же и числа
^-1-В2у + Сг
Л, В, С,|
Л Вг С,
Аг В, С,
одного знака. Поэтому, если числа'
|Л2 В,
Л. В,
Л, В,|
Л, В,
и
одного знака, то и числа Atx + Вгу+С1 и А,х+Вгу+Сг также
одного знака, а потому уравнение искомой биссектрисы в этом слу-
чае будет:
Л|Х + Bi^+Cj_А,х 4- В-у 4* С2
/л’+в’ Ул‘,+в2
Если же числа
Аг В.
А, В
А» В.
А, В
разных знаков, то и числа A,x + Bty+Ct и Агх + Вгу+Сг также
разных знаков, а потому уравнение искомой биссектрисы в этом
случае будет.
Л1* + Д1У + С1_ А^х+Вгу + Сг
/л*+в; Ул|+В‘
Пример 6. Стороны треугольника заданы уравнениями:
Л1л + В1у+С,=0,
Лрг + Вгу+С,=0,
Лрг + В^ Сг — 0.
Найти косинус внутреннего угла треугольника, лежащего про-
тив третьей стороны.
Решение. Обозначим вершины треугольника, лежащие про-
тив его сторон:
Л(х4- BJy-f-C1=O,
Агх+ Вгу+С,=О,
Агх + Вгу + Сг=0
соответственно через
ЛМ*1> У1)» М1(хг< УгУ’ А1,(х„ Уг).
ГЛ. Ш. ПРЯМАЯ линия
48
Как было показано в
А2х2 + В2у2 + Сг—
Рассмотрим следующие случаи:
I.
предыдущей задаче:
А, В, С,
Л2 В2 с.
л, в, с,|
« + С*- IAsB,
I А, В,
А, В, С,|
Л2 В2 С2
A, В, С3|
I A, Bt
А, В, С,
А2 В2 С2
As В. С,
At Bi Ct
As Bt C2
Аг Bs C,
M, b,i
I А. В. I
\As Вг I
I А, В, |
В атом случае конец вектора
n,= {4„ В,},
отложенного от любой точки стороны
Л1аг4-В1!/+С1 = 0,
и вершина Л1, лежат в одной и той же
прямой, а конец вектора
/г2=|Л2, В2},
отложенного от любой точки стороны
А2х + В2у + С2=0,
М2 лежат в одной и той же
полуплоскости от этой
и вершина
полуплоскости от этой
б?
Рис. 11.
няет внутренний угол^^то^г Между вектоРами п, и п2 допол-
у Р ВНИИ угол м, треугольника до 180° и, следовательно,
cos Л1.=АЛг+В,,Вг
V А*+вУУ+в}'
гл, in. ПРЯМАЯ линия
49
II.
Л, В1 С,
Л, в2 с2
А, Вг С,
I Аг В2 I
|л, в,|
<0,
В этом случае
(рис. 11).
III. Числа
формула для
определения cos Л4, будет такой же
А2 В, С.1
Л2 В2 С2I
А, В, С,|
Ai В2 С.
а2 в2 с2
А, В, С,
разных знаков, например
Л. В, С,
А2 В2 С2
А, В, С,
I*. 1:1
|А в, с,
А2 В2 С2
|л, В, с,
<0.
В этом случае конец вектора
nl=lAt, В,},
отложенного от любой точки стороны
ЛцХ В(1/-|~ =
и вершина Л4, лежат в одной и той же полуплоскости от этой
прямой, а конец вектора
л,= {Л2. В2},
отложенного от любой точки стороны
Af+Bj + C^O,
60
гл. 1». ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
к веошнна Л1, будут лежать в разных полуплоскостях от
этой прямой (pile. 12) Поэтому угол между векторами п, и ,,,
равен внутреннему углу М, треугольника и. следовательно,
AtAt + BtBt
COS </— ~~ •
/ а[+в‘Уа*+в;
Из изложенного следует, что если числа
1«11ЪВ:1
одною знака, то
,, Л,Л, + В,В,
cos Л1,=-- ' 1 ,
/л;+в; Уа\+в[
а если эти числа разных знаков, то
•Мг + В,В2
cos Л(,= ----.
У А*У В*У А[+В*
Пример 7. Стороны треугольника заданы уравнениями:
А^ + Ва+С^О, ^,х + В,1/4-Сг=0, Л^ + В,!/ + С,=0.
п2Пр„сде/и'ПЬ положение данмй М„(х0, Ч) относительно
этого треугольника.
Решение. Обозначим, как п выше, через М (х ц\
М.(х,.р,), М,(х„ у,) вершины данного треугольника, лежащие
соответственно против сторон: «ежащие
А,х + В,у+С,^0. А2х+Вгу + С,^0, А,х+Вгу+С,^0.
Как было показано в примере 5,
I Л, С* I
А в, cJ
ув^+с^ -1 '=И1,
М3 I
М. в, c,i
“л* D2
Лл+вл+с,=_
л, в,| -и».
М, в,
И> ! С>1
А в. с,
Aixt + Btyt^-C,=-Ms В3 Ct I
тттг
Рассмотрим три числа- ‘ '
А».+»л+с„ лл+ел+с_.
=р.-
ЯгЧ + В^+Сг
ГЛ. III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
51
Если числа р, и Atx„ 4- В,у0 4- С, одного знака, то точки М и
/И, лежат по одну сторону от прямой Д,х4-В,и4-С =0 а ₽ЛЙ
эти числа разных знаков, то точки Мо и М, лежат по разные
стороны от прямой A* + B,y+C,-0. Если, наконец, Д,х„+Вн +
4-С, — 0, то точка Мо лежит на прямой А.х + В.у+ с\=0 Ава
логичные выводы можно сделать и для других двух прямых:
Ax + BsiZ+Cj-O, А,х + В,у4-С, = 0.
Точка Ма относительно треугольника может занимать семь
различных положений. Рассмотрим несколько случаев:
I) Числа р, и Axo + BiI/o + C, одного знака;
числа р2 и Л,х0 4-Bjt/o + С, одного знака;
числа р, и Асх04-Вау04-Сг одного знака.
Это условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точ-
ка Л10 лежала внутри треугольника М,Л12Л1,.
2) Числа р, и Д1х04-В11/04-С1 одного знака;
числа р, и /jXo-j-Bji/o-i-C, одного знака;
числа р, и Д,х04~В81/0 + С> разных знаков.
В этом случае точка Л1о лежит внутри угла, образованного
лучами MtMt и МгМ,, причем точки М, и Ма лежат по разные
стороны от прямой (рис. 13).
знака;
знаков;
знаков.
одного
разных
разных
3) Числа р, и Д1ХО4-В1(/О4-С,
числа р, и Atx0 + Bj.y0+Ci
числа р, и А,ха + В,у0+Сг
В этом случае точка Л1о лежит внутри угла, образованного
продолжением лучей Л1,М, и Л1,Л1, за то У i
4) Числа р, и Дл + В^о+С, одного згека;
числа р, и Дах0 + В,р04-С. разных знаков;
А,ха+Вгуе+С,=в-
ГЛ. III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
52
в этом случае точка Мо лежит на продолжении стороны М,М„
®а ТПо и м е ^'Относительно общей декартовой системы коорди-
нат заданы уравнения двух пересекающихся прямых:
Арс+В.у+С^О,
4- В2у 4- С,=О,
и точка Е' (х0, у0), не лежащая ни на одной из этих прямых.
Прямая д1Х + В1г/+С1=о
принимается за новую ось ординат: прямая
А2х + В2у + С, = 0
принимается за новую ось абсцисс, а точка Е' за единичную точку
новой системы координат О'х'у'.
Доказать, что выражения новых координат х', у' произвольной
точки М через ее старые координаты х и у будут иметь вид'
' — +Д1У Ч-C, , _ А^х + В2у + С2
^л + ^ji/o + C,’ ^2*о+ Вгу0 4-Cs
Решение. Приведенные формулы можно рассматривать как
формулы, выражающие координаты х', у' точки М в некоторой
новой системе О'х'у через ее координаты х и у в данной системе,
так как эти формулы линейны относительно х и у и
Уравнение оси О'у' в новой системе О'х'у' будет х' — 0, а так
как
х' __2»_т~и1
+ Bty0 4-Ci ’
то уравнение оси О'у’ в начальной системе Оху будет
сНгт™шал0ГИк10 доказь1ваеТСя. что уравнение оси О'х' в начальной
системе Оху будет:
Лг*4-В2(/4-С2 = 0.
Наконец, координаты точки Е' (х0, у0) в системе О'х'у' будут:
1
* Ахх0 -|- Btya 4-Cj
у' = + В?Уо +^г _ 1
Л2х0 + B2yQ 4“ С,
Щей декартово^систГм0"'дииат ® ХУ' совпадает с той новой об-
задачн. ои К00РЛннат, которая задана в условии
координат даны деГ'маимно^п дек£ртое°й прямоугольной системы
"м*110 перпендикулярные прямые:
Л*х4-В1У + С1 = о, Ai*4-B2i/4-Cg = 0.
53
положи-
‘ выра-
через ее ста-
163—165] § 1. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Первая прямая принимается за новую ось ОпДинл,„
положительное направление определяется ^кгпором Та пТ" ее
рая прямая принимается за новую ось абсиис? поичем!'^' ето'
тельное направление определяется вектором (а Рв \ Но,
имеем? ₽ УЛЫ’ °ПРеДеля» Расстояние от точки до прямой’.
Л^ + В.у+С,
Уа^+в*
Далее, Apr + B^-j-C, > 0 для координат всех точек той попу-
плоскости от прямой Д.х + В.у+С^О, где лежит конец вектора
]Д1, В,}, отложенного от любой точки этой прямой, а в силу вы-
бора положительного направления новой осн О'х', х'> 0 для
любой точки той же полуплоскости.
Диалогично, если Арг + В,^+С, < О, то и х' <0.
Наконец, если А1х-р-В1у + С1=0, то и х‘ =0.
Таким образом,
у»__Д>* 4~ В1У + С,
V д; + в'
Диалогично
^,^А2х + В,урС,
V^ + Bl
§ 1. Составление уравнения прямой по различным
ее заданиям
Если в условии задачи не указано название системы ко-
ординат, то нужно предполагать ее прямоугольной.
163. Составить уравнение прямой, имеющей угловой
коэффициент 3 и отсекающей на оси ординат отрезок, рав-
ный 4. Система координат аффинная.
1.64 . Составить уравнения прямых, проходящих через на-
чало координат и наклоненных к оси Ох под углом. 1) 30 ,
2) 45°; 3) 60°; 4) 120°; 5) 135°; 6) 150°.
165. Составить уравнение прямой, наклоненной к осн Ох
под углом 150° и отсекающей на оси Оу отрезок, равны
—4- • Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.
О
гл 111 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
[166
tfift Н.П in угловой коэффициент и отрезки, отсекаемые
113 <кнх К0ОРД1Ш.Ч каждой из следующих прямых:
п 2л у I 4-е: 4) -Зх + 4у-6 = 0;
2) 2л. 8у—<> °: 5) Зх4-1/Зу+3=0.
8) л + 2у+1“°;
Систем* координат аффинная.
167. Построить прямые по их уравнениям.
’>/ 3;+1: 2 3|/“+ . nJs+YA
2) у-ухН 2; (>)у = —2*. 12) у— 4 = 0;
Чс„ _3v_5- 7)2х+Зу-9 = 0; 13) 2у + 3 = 0;
а)>~4х 8)5x-f-3y+15 = 0; 14) * + у = 0;
4)у = —уХ + 4; 9)Зх+]/Зу+1 = 0; 15) х—у = 0.
Система координат аффинная.
168. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (2, 3) и имеющей угловой коэффициент, равный —5.
Система координат аффинная.
169. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (— 5, 3) и наклоненной к оси Ох под углом 135°.
170. Построить прямую, зная одну ее точку А и угло-
вой коэффициент в каждом из нижеследующих случаев:
2
1) Д(2, 4), й = 4;
О
3) Л(—5, —2), k — 3;
2) Л( — 2, 3), fe = — 4; 4) Л(4, —3), fe = —2.
Система координат аффинная.
171. Луч света направлен по прямой 2х — Зу—12 = 0;
дойдя до оси абсцисс, он от нее отразился. Определить
точку встречи луча с осью и уравнение отраженного луча.
172. Составить уравнения прямых, проходящих через
пары точек:
3) (1, 3) и (1, —7);
4) (2, —3) и (4, —3).
1) (1, 3) и (2, 4);
2) (2, 3) и ( — 4, —6);
Система координат аффинная.
чало7коордХат иЬи₽РаВНеИИе Прямой> проходящей через на-
«««а. Х”«а«. ₽е3 ТОЧ,<У ‘“Ь -8>- С"™>
55
, проходящих через
----1 коор-
187] § 1. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
174 Составить уравнения прямых, проходящих
точку (3 2) параллельно осям координат. Система
дина г аффинная.
176. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Ох
отрезок 3 и проходящей через точку (_5, 3). Система ко^
динат аффинная. коор-
176. Под каким уг ом к осн Ох наклонена прямая про-
ходящая через точки (2, —5) и (О, _____3). р
177. Под каким углом к оси Ох наклонена прямая поо-
ходящая через точки (1, 4) и (3, 5).
178. Дан треугольник АВС: /(—2, 3), В(4, 1), С(6, —5)
Написать уравнение медианы этого треугольника, проведен-
ной из вершины А. Система координат аффинная.
179. Дан треугольник АВС: /(4,4), В (—6, — 1)
С( —2, —4). Написать уравнение биссектрисы внутреннего
угла треугольника при вершине С.
180. Написать уравнение сторон равнобочной трапеции,
зная, что основания ее соответственно равны 10 и 6, а бо-
ковые стороны образуют с основанием угол в 60°. За ось
Ох берется большее основание, за ось Оу берется ось
симметрии трапеции, а за положительное направление
оси Оу берется направление луча, пересекающего меньшее
осиование.
181. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях
координат отрезки 3 и 6. Система координат аффинная.
182. Через точку М{—4, 10) провести прямые, отсе-
кающие на осях координат равные отрезки.
183. Через точку (2, —1) провести прямую, отрезок
которой между осями координат делился бы в данной точке
пополам. Система координат аффинная.
184. Определить площадь треугольника, заключенного
между осями координат и прямой: х-[-2у—6 = 0.
185. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
2x-f-5j = 0 и образующей вместе с осями координат тре-
угольник, площадь которого равна 5.
186. Через точку Л1(4, —3) провести прямую так, чтобы
площадь треугольника, образованного ею и осями, была
равна 3.
187. Написать параметрические уравнения прямой, пр
ходящей через точку (3, —5) параллельно вектору 1 > /•
Система координат аффинная.
бб
гл. 111. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
(188
188. Составить параметрические уравнения прямой, про-
ходящей через точку Л (—6, —4) и имеющей угловой
коэффициент k = — у. Система координат аффинная.
189. Составить параметрические уравнения прямой, отсе-
кающей на осях Ох и Оу отрезки 3 и —5. Система коор-
динат аффинная.
190. Составить параметрические уравнения прямой, прохо-
дящей через начало координат и наклоненной к оси абсцисс
под углом в 150°.
191. Написать в параметрической форме уравнения сле-
дующих прямых:
1) Зх+6уф-5 = 0; 4) х = 2;
2) х— Чу— 4 = 0; 5) у = — 3;
3) у = — Зх-{-5; 6) 2хф-Зу = 0.
Система координат аффинная.
192. Записать в виде Лх + #у-{-С=0 уравнения сле-
дующих прямых:
1) Х = /, у= 1 —3/;
2) x = 2+5f, у = 4 — 7t.
Система координат аффинная.
§ 2. Взаимное расположение двух прямых.
Условие параллельности
193. Установить, какие из нижеследующих пар прямых
совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем
случае найти точку пересечения:
1) х ф- У— 3 — 0,
2) х— уф- 5 = 0,
3) х—2уф- 4=0,
4) х-\- уф- 5 = 0,
5) 2х+3у— 1 =0,
6) х—5у =0,
7) 7хф-9у— 62 = 0,
8) хф-2 =0,
9) х— у/3 =0,
Система координат
аффинная.
2хф- Зу— 8 = 0
2х— 2уф- 3 = 0:
— 2хф- 4у—• 8 = 0
2хф- Зу+10 = 0
4хф- бу— 7=0
2х—10у = 0
8хф- Зуф- 2 = 0
2хф_3 =0:
х]/з —Зу =0
202] § 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ДВУХ ПРЯМЫХ
57
194. Установить, какие из i.........
совпадают, параллельны или пересекаются" в
чае найти точку пересечения:
™„ЖеСЛе_ДуЮ1ЦИХ паР ПРЯМЬ‘Х
последнем слу-
tr X = 3f, У = О/.
v=‘7]2c72/; *=1~2t' y=7+t\
y = 2 + 6<; x = — 4 + 4t, y = 8—3/.
аффинная.
1) х = 3-]-/,
2) х = 5 + 4/,
3) х=4—8/,
Система координат
195. Установить, какие из нижеследующих пар прямых
совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем слу-
чае найти точку пересечения: "}
1) 3x-f~4y + 5 = 0, x ——3-j~4t, у— 1___3f-
2) 2x — 5y — 7 = 0, x = 2-j-/, y= — 9—f'
3) 6x—3y4 5 = 0, x = 5-H, y= — 34-2/;
4) 2х-ф5у—38 = 0, x = — 22/, y=~9-|-5/;
5) 3x + 9y+ 5 = 0, x = 2-j-3/, y=~f,
6) 4x-|-5y — 6 = 0, x = — 6-ф5/, y= 6—4/.
Система координат аффинная.
196. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (2, 5) и параллельной вектору {5, 4}. Система коор-
динат аффинная.
197. Через точку (7, 4) провести прямую, параллельную
прямой Зх—2_у4~4 = 0. Система координат аффинная.
198. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (— 8, 1) параллельно прямой х-[-у-|-7 = 0. Система
координат аффинная.
199*. Через точку М(2, 5) провести прямую, равноуда-
ленную от точек Р{ — 1, 2) и Q(5, 4). Система координат
аффинная.
200. Даны середины 44,(2, 3), Л4г (—1, 2) и 44,(4, 5)
сторон треугольника. Составить уравнения сторон. Система
координат аффинная.
201. Зная уравнения двух сторон параллелограмма
х—Зу = 0 и 2х4-5у4-6 = 0 и одну из его вершин С(4, —1),
составить уравнения двух других сторон параллелограмма.
Система координат аффинная. __
202. Даны вершины треугольника: Л(—1,^), ч
и С(0, 4). Через каждую из них провести прямую, пара-
дельную противолежащей стороне. Система координат
финная.
гл. Ш. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
1203
68
904 Составить уравнение прямой, параллельной и равно-
удаленной от двух параллельных прямых: х4-у-1=0,
rlv—13 = 0. Система координат аффинная.
204 Составить уравнения прямых, равноудаленных от
трех точек (1, 2), (3, 0), (-4, -5). Система координат
аффинная.
205. Доказать, что условие
Axt 4- By, ф- С=Ахг 4- &Ул +
необходимо и достаточно для того, чтобы прямая Ах-\-Ву 4-
+ С—0 была коллинеарна прямой, проходящей через точки
Л4 (х , у ) и Мг (х„ уг), т. е. эти прямые или параллельны,
или совпадают. Система координат аффинная.
206. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
х__у—1=0, х—2у=0 и точка пересечения его диагона-
лей УИ(3, —1). Написать уравнения двух других сторон
параллелограмма. Система координат аффинная.
207*. Составить уравнения сторон параллелограмма ABCD,
вная, что его диагонали пересекаются в точке Л4(1, 6), а
стороны АВ, ВС, CD и DA проходят соответственно через
точки Р(3, 0), Q(6, 6), /?(5, 9), 5(— 5, 4). Система коор-
динат аффинная.
208*. Даны вершины треугольника Л(0, 1), В(— 2, 5),
С(4, 9). Составить уравнения сторон ромба, вписанного в
данный треугольник, если одна из его вершин совпадает
с точкой А, стороны, выходящие из вершины А, лежат на
сторонах АС и АВ данного треугольника, а вершина, проти-
волежащая вершине А, лежит на стороне ВС.
209. В параллелограмме ABCD даны уравнения сторон
АВ\ Зх-|-4у—12 = 0 и AD-. 5х—12у —6 = 0 и точка
-g-J середина стороны ВС. Найти уравнения дру-
гих сторон параллелограмма. Система координат аффинная.
§ 3. Условие перпендикулярности двух прямых
Cv„2vl°;JCTaHO8HTb’ какие из иижеследующих пар прямых
удут взаимно перпендикулярны:
1) х—2>4-3 = 0,
2) 2хф-3у—6 = 0
8) Зх4-7у4-4 = о’
2х-|- у —5=0j
2х— Зу4-4 = 0;
7х—Зу4-2=01
222]
б) .
6)
211.
х+ у = 0;
у —2 =0.
проходящей через
§ 8. условие перпендикулярности двух прямых 59
4) 5х4-6у—8 = 0, 6х4-5у4-2=0;
х— у = 0,
х4-8 *=0,
, Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (7, 4) перпендикулярно к прямой Зх—2у-|-4 = 0.
212. Через точку пересечения прямых Зх—у=0,
х+ 4у— 2«=0 провести прямую, перпендикулярную к прямой
2х 4~ Ту = 0.
213. Даны вершины треугольника! Л(4, 6), В(— 4, 0) и
С( — 1, —4). Составить уравнение высоты, опущенной из
вершины А на сторону ВС.
214. Найти проекцию точки ( — 5, 6) на прямую
7х—13у—105 = 0.
215. Найти точку, симметричную точке М( — 2, 9) отно-
сительно прямой 2х—3y-f-18 = 0.
216*. На прямой х- у—3 = 0 найти точку М такую,
чтобы лучи МА и МВ, выходящие из этой точки М и про-
ходящие через точки А(—2, —1) и В(\, 3), образовывали
с данной прямой равные углы.
217. На прямой х—Зу-р1= 0 найти точку, равноуда-
ленную от двух точек (—3, 1) и (5, 4).
218. Даны четыре точки 7И, (0, 0), Ма (0, 1), Mt(—2, 1)
и Мл (1, 1). Найти точку М, зная, что она служит верши-
ной равнобедренных треугольников ММгМг и ММгМл, боко-
вые стороны которых MMt, ММ2 и ММ„ ММа.
219. Даны две вершины треугольника А(—6, 2),
В (2, —2) и точка /7(1, 2) пересечения его высот. Вычис-
лить координаты третьей вершины С.
220. В треугольнике АВС известны: сторона АВ: 4x4-
4-у—12 = 0, высота ВН: 5х—4у —15 = 0 и высота АВ:
2х4-2у—9 = 0. Написать уравнения двух других сторон и
третьей высоты.
221. Точка пересечения высот треугольника лежит в на-
чале координат. Уравнения двух сторон этого треугольника
х4-3у—1=0, Зх4-5у — 6 = 0. Составить уравнение треть-
ей стороны.
222. Составить уравнения сторон треугольника зная одну
из его вершин Л (3, —4) и уравнения двух высот: 7х ^У
— 1=0 и 2х — Ту — 6 = 0.
ГЛ. 111. ПРЯМАЯ линия
[223
60
§ 4. Угол двух прямых
223. Определить углы между двумя прямыми, если из-
вестны их угловые коэффициенты Л, = у, К = .
224 Через точку (3, 1) провести прямые, наклоненные
к прямой 2х + Зу-1=0 под углом 45°.
225 Через начало координат провести прямые, образую-
щие с прямой 5х—6у + 2 = 0 углы, тангенсы которых равны
7
226*. Даны две точки Д(3, 3) и 5(0, 2). На прямой
4 = 0 найти точку, из которой отрезок АВ виден
под углом 45°.
227. Для каждой из нижеследующих упорядоченных пар
прямых найти тангенс угла от первой прямой до второй
прямой:
1) 2x' + 3j =0, х— 5 = 0;
2) х—Зу+ 2=0, 2х+ у =0;
3) 2х-|-5у— 3 = 0, 5х + Чу— 6 = 0;
4) Зх + 4у —12 = 0, 5х—-12^+60 = 0.
228*. Даны уравнения основания равнобедренного тре-
угольника х-Ьу — 1 =0 и боковой его стороны х — Чу— 2 = 0;
точка (—2, 0) лежит на другой боковой стороне. Найти
уравнение третьей стороны треугольника.
229. Даны две прямые: x + 3j = 0 и х —у+ 8 = 0. Най-
ти третью прямую так, чтобы вторая из данных прямых
была биссектрисой угла между первой из данных прямых и
искомой прямой.
230*. Даны вершины (—2, 1) и (4, 5) в основании равно-
бедренного треугольника и косинус угла А при его вершине:
cos/ = —. Найти координаты вершины А.
231*. Даны вершина В (-3, -1) равнобедренного тре-
угольника, вершина С (2, 1) в его основании и coscp = | угла
Р"232*ШИДаны"ОСТаВИТЬ уравнений сторон треугольника.
иика и косИ" сыЛп» Л(1’ 2> и 4> треуголь-
У утренних углов А и В, прилежащих к
242] § 5. РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК относительно прямой 61
данным вершинам: cos/ = —?— сгк R—3 п
K'S ’ wsO_—=. Составить
уравнения сторон треугольника и найти его третью вершину
233*. Дана вершина С(—3, 2) треугольника, косинусы
его внутренних углов А и В: cos/=—?=, cos В = А и
уравнение 2х — >-2 = 0 стороны АВ. Составить уравнения
сторон треугольника.
234*. Определить тангенсы внутренних углов треуголь-
ника, стороны которого заданы уравнениями х4-2у = 0
Зх—> = 0, х+> —1=0.
§ 5. Расположение точек относительно прямой
235. Определить положение точек Л!, (О, 0), М (2 1)
/4,(~3. 1), /44(3, -1), /4,(4, 2), 7И.(—1, 1), /4,(1,-1)’,
/4в(—6, 4) относительно прямой 2х+3> = 0. Система
координат аффинная.
236. В каком отношении прямая 2х—>+5 = 0 делит
отрезок, начало которого находится в точке (— 5, 4), а
конец—в точке (2, I)? Система координат аффинная.
237. Даны две точки А(—3, 1) и В(5, 4) и прямая
X — 2> = 0. Доказать, что данная прямая пересекает продол-
жение.отрезка АВ за точку В. Система координат аффинная.
238. Доказать, Что прямая 5х—у—5 = 0 пересекает
отрезок прямой Зх—2у—6=0, заключенный между осями
координат. Система координат аффинная.
239. Даны четыре точки /4,(5, 3), /4,(1, 2), /4,(3, 0)
и /44(2, 4). Доказать, что прямые /4,/4, и /4,/44 ваанмно
перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей как
между точками /4, и /4,, так и между точками /4, и /44.
240*. При каком необходимом и достаточном условии
точка (х , у ) лежит между двумя параллельными прямыми
/х + В> + С=0, /х + Ву+П = 0 (С =#Р)? Система коор-
динат аффинная.
241*. При каких значениях параметра и мы будем п -
лучать точки прямой х = 2+5и, > = 1+«. принадлежа
щие отрезку этой прямой, заключенному между двумя
прямыми х + 4>-1=0, Х + > = 0? Система координат
аФФ242*”по отношению к аффинной системе
даны три прямые: /л + Й> + С=0, Ax^By^D^,
[243
гл. III. ПРЯМАЯ линия
62
A.XRV I Д = 0 Доказать, что вторая прямая проходит
между первой И третьей тогда и только тогда, когда
C<LD<ZE или C>D>E.
243* В каждом из нижеследующих случаев определить,
принадлежат ли две точки, заданные своими координатами,
одному углу, смежным углам или вертикальным углам,
образованным прямыми, заданными своими уравнениями:
1) (3, 5), (—2, 1), Зх— у4-8 = 0, 2х-j-5y—6 — 0;
2) (6, —2), (5, 2), %+ У—3 = 0, 2х+3у =0;
3) (2, —2), (3, 6), х— 2у4-1=0, 2x4-бу —9 =0.
Система координат аффинная.
244. Две параллельные прямые 2х—5у 4-6 = 0 и
2Х—Цу—7 = 0 делят плоскость на три области: полосу, за-
ключенную между этими прямыми, и две области вне этой
полосы. Установить, каким областям принадлежат точки
А(2, 1), В(3, 2), С(1, 1), 0(2, 8), Е(7, 1), 4, 6).
Система координат аффинная.
245. Определить положение отрезка ЛГ,Л42 относительно
прямой I; 2х—у-|-5= 0, в каждом из следующих случаев:
1) 714,(2, 3), Ж2(0, —1); 4) Ж,(0, 2), Ж2 (5, 0);
2) Ж,(1, 1), Мг (3, 5); 5) ЛТД—6, 4), Мг(— 2, 4),
3) ЛЦ4, 3), Мг(— 2, 2);
и проверить результаты построением. Система координат
аффинная.
246*. Определить положение прямой х—1у 4- 5 = 0 отно-
сительно треугольника, вершины которого А (3, 1), В (_2, -4),
0(1, 0). Система координат аффинная.
Cl 243** Определить положение точек А (3, 1), В (7, —6),
’ ), 0(3, 2) относительно треугольника, уравнения
сторон которого 2х-у4-2 = 0, x-j-y—4=0, 2х4-у = 0.
Система координат аффинная. Л
сителТо °"Ределить положение прямой 2х — у4-3=0 отно-
ниями Зх-у7)4~0Ка’2ГОРу°4Ы1 Ко™рого задавы Уравне'
координат аффинная. 2^ + 1=0- *~2у = 0. Система
258] § 6. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ТРЕХ ПРЯМЫХ
63
249*. Найти косинус того
2х—7> + 8 = 0, х + 5> = 0, в
ка (3, 1).
угла между двумя прямыми
котором лежит данная точ-
250*. В каком (остром или тупом) угле, образованном
прямыми 2х—>+3=0, х—4>=0, лежит точка (2, _______________1).
§ 6. Взаимное расположение
251. Определить взаимное
дой из следующих троек прямых:
трех прямых;
расположение
1) 2x4- > — 3 = 0,
2) х—2>4-3=0,
3) х + 4>—5 = 0,
4) у — 5 = 0,
5) х— >4-3 = 0,
6) 2 х 4“ 3> 4” 5 = 0,
7) Зх4-2>4-6 = 0,
Зх—2>4-5=0,
2х—4>4-7=0,
X—2>4-7 = 0,
>4-2 = 0,
2х—2>4-7 = 0,
х—у -|-1 =0,
9х-(-6>—5 = 0,
пучок прямых
прямых в каж-
5х— >4-2 = 0;
Зх—6>-|-4=0;
х+3 = 0;
>=0;
4х—4>4-1 =0;
Зх—4>—12 = 0;
5х—> + 3 = 0.
Система координат аффинная.
252. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат и точку пересечения прямых 2х + >—3 = 0,
7х—4> + 2 = 0. Система координат аффинная.
253. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых: 7х—> + 3 = 0 иЗх + 5>—4 = 0,
и через точку А (2, —1). Система координат аффинная.
254. Через точку пересечения прямых Зх—5>+2=0,
5х—2> + 4 = 0 провести прямую, параллельную прямой
2х—> + 4 = 0. Система координат аффинная.
255. Через точку пересечения прямых 2х—6> + 3 = 0,
5х+> — 2 = 0 провести прямые, параллельные осям коор-
динат. Система координат аффинная.
256. Через точку пересечения прямых х+>—6 = 0,
2х + > —13=0 провести прямую, отсекающую на осях
координат равные отрезки (учитывая и знаки).
257. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки пересечения пар" прямых 2х—> = 0, х + 4>—2 = 0 и
х+2> = 0, Зх—7> 4-4 = 0. Система координат аффинная.
258, Через точку пересечения прямых Зх у = 0,
x-f-4y— 2 = 0 провести прямую, перпендикулярную к пря-
мой 2х + 7> = 0.
64
ГЛ. III. ПРЯМАЯ линия
[259
259 Составить уравнения прямых, проходящих через
точку пересечения прямых x + j —4 = 0, 2х4-3_у —9 = 0
„ наклоненных ко второй из данных прямых под углом 45°.
260. Через точку пересечения прямых 2х 4-^ = 0,
gx q'y 11=0 провести прямую, образующую с прямой
х4-4у = 0 углы, тангенсы которых равны ±2.
261. Через точку пересечения прямых Зх 4*У 10 = 0,
4х^-5уц-6 = 0 провести прямую, отстоящую от начала
координат на расстоянии 4.
262*. Даны две параллельные прямые
Ах+Ву + С—0, Ax + By + D = 0 (C=£D).
. .ГУ , С 4 ГУ
Определить положение прямой Ах-j-By -!—j~—О отно-
сительно этих прямых. Система координат а4>финная.
§ 7. Расстояние от точки до прямой
263. Найти расстояния от точек (3, 1), (2, —4), (5, — 1),
(0, —3), (0, 0) до прямой Зх4-4у = 0.
264. Определить расстояния от точек (1, 0) и (—1, 2)
до прямой Зх—у 4-4 = 0.
265. Найти длины высот треугольника, стороны которого
заданы уравнениями: Зх — 4у — 3=0, 5x4- 12у4-2 = 0,
3x4-4у 4-390 = 0.
266. Составить уравнения прямых, параллельных прямой
5х4-12у—1=0 и отстоящих от нее на расстоянии 5.
267. Составить уравнения прямых, параллельных прямой
7х—2у4-4 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии 1^53.
268. Доказать, что прямые Зх—7_у4-2 = 0, Зх—1у 4
—|—3 = 0 параллельны, и найти расстояние d между ними.
269. Составить уравнения биссектрис углов между сле-
дующими прямыми:
1) Зх— у -|- 5 = 0,
2) Зх—4у4- 2 = 0,
3) х— у = 0,
4) Х4-2у = 0,
3x4- У— 4 = 0;
5x4~12j— 3 = 0;
х 4* у = 0;
3x4-4j = 0.
284]
65
§ 7. РАССТОЯНИЕ от ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
от noLx'sxC“v I'""' «“'«УД»™™
от прямых ох—у о = 0э 5х-|-у 3 = 0
271. На прямой х + 2у-12 0 найти точки, равноуда-
ленные от прямых х-]-у—5 = 0 и 7х____у 11 О 1
272. На прямой х-Зу+13 = 0 найти точки, отстоящие
от прямой х + 2у+3 = 0 на расстоянии
273. Найти точку, отстоящую от каждой из прямых
4х Зу + 20 — 0, Зх-|-4у—60 = 0 па расстоянии 5.
274. Составить уравнения прямых, перпендикулярных
к прямой 2х-]- 6у—3 = 0 и отстоящих oi точки (5, 4) на
расстоянии ]/10.
275. Составить уравнение прямой, параллельной прямой
5х—12у4-4б = 0 и отстоящей ог точки (1, 1) на рас-
стоянии 3.
276. Составить уравнение прямой, параллельной осн Оу и
отстоящей от точки (3, 5) на расстоянии 7.
277. Составить уравнение прямой, имеющей угловой коэф-
фициент k = —-i- и отстоящей ог начала координат на рас-
стоянии 5.
278. Через начало координат провести прямую, отстоя-
щую от точки (3, —2) на расстоянии 1.
279*.
Через точку (3, —1) провести прямую, отстоящую
9
(2, — 3) на расстоянии —.
Составить уравнение прямой, отстоящей от точки
расстоянии 2, а от точки (2, 3) па расстоянии 4.
Составить уравнения прямых, отстоящих от точки
расстоянии 5 и наклоненных к прямой х— 7у — О
Найти вершины квадрата, образованного
от точки
280*.
(1.1) на
281*.
(1, 9) на
иод углом 45е.
этими прямыми.
282. Составить уравнения прямых, образующих с осью Оу
углы, тангенсы которых равны ±2 и отстоящих от начала
4
координат на расстоянии .
I 5
283. На прямой х+у—8=0 найти точки, равноудален-
ные от точки (2, 8) и or прямой х—Зу-|-2 = 0.
284. На прямой х — 2у = 0 найти точки, отстоящие иг
прямой 2х + 4у4-1=0 на расстоянии V 5.
3 С. В. Бахвалов и др.
I Л. III. ПРЯМАЯ линия
[285
С6
285 Соситнь уравнения двух параллельных примых,
31|3я ч.о расстояние между -ими равно и что па оси
- s
Д1Ш.ПНЫХ углов и or точки (1, V 2 ) qvj_4v-0
287 Найт точки, отстоящие от прямой Зх + 4у О
на расстоянии 2, а от прямой x-f-3y—1 =0 на расстоя-
288. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат, зная, чю сумма расстояний от точек
р 1) „ (2, —3) до этой прямой равна р== .
289. Найти точку, находящуюся па равных расстояниях
от точек (4, 1) н (8, —3) и от прямой 5х+12_у = 0.
290*. Внутри треугольника, образованного прямыми
2=0, 5x-f-5y—4 = 0 и 2х—2j + 5 = 0, найти
точку, равноудаленную от двух его сторон 7x-|-J—2 = 0,
5x^-5j—4=0 и отстоящую от третьей стороны 2х—2_у-/-5=0
па расстоянии ~]/Г 2.
291. Центр симметрии квадрата находится в точке (— 1,0):
уравнение одной из его сторон х4-3_у—5 = 0. Составить
уравнения трех других сторон.
292*. Даны уравнения х-\-у—5]/~2—У, х-\-у—0 па-
раллельных сторон ромба н точки (3, 5) и (1, 0), лежащие
па двух других его сторонах. Составить уравнения двух
других сторон.
293*. Составить уравнения сторон квадрата, две парал-
лельные стороны которого проходят через точки (2, 1) и
(3, 5), а две другие —через точки (0, 1) и (—3, —• 1).
294*. Составить уравнение биссектрисы того угла между
прямыми х+у—3=0, 7х — у-}-4 = 0, в котором лежит
данная точка (— 1,5).
295 . Даны уравнения боковых сторон равнобедренного
нГет'Т,Ка 7х~/ + 4 = 0. х+у-2 = 0 и точка (3, 5)
99л* вован,1Н- Составить уравнение основания.
TpevroV„L°"aB"Tb уравнен,1“ биссектрис внутренних углов
Зх__4и п ’ СТ°Р°"Ы которого заданы уравнениями:
4J-0. 4х-3у = 0, 5х-|-12^-10^0.
308] § 8 смешанные ЗАдА11и |1А UPi)Mi)0
87
297. Найги центр круга, вписанного
ограниченный осями координат и прямой
298-*. Найтн центр круга, вписанною
стороны которого заданы уравнениями
7х-ф-у = 0, 7х—у+28 = 0.
в треугольник,
Зх—4у—5- о’
в треугольник,
х 4- У + 12 = 0,
299*. Составить уравнение биссектрисы острого vm
между двумя прямыми х—Зу=0, Зх—у+ 5 = 0
ю 3?VP"on П'аК н°Рмальн<,му’ виду уравнение прямой
10х+56у—39 = 0, если #„ = 4, #,г = 8, #„ = 25.
301. Определить расстояние от точки М (2, 1) до прямой
10х + 5Су —37 = 0, если #п = 4, #„ = 8, #„ = 25.
§ 8. Смешанные задачи на прямую
302. Даны две прямые у=й1х + г>1 и y^ktx + bt. Найти
геометрическое место середин отрезков, высекаемых данными
прямыми па прямых, параллельных осп ординат. Система
координат аффинная.
303*. Найги геометрическое место точек пересечения
диагоналей прямоугольников, вписанных в треугольник так,
что две вершины прямоугольника лежат на основании дан-
ного треугольника, а две другие—па его боковых сторонах.
304*. Найти геометрическое место точек пересечения
диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырех-
угольник так, что стороны этих параллелограммов парал-
лельны диагоналям четырехугольника.
305*. Три вершины параллелограмма, стороны которого
остаются параллельными данным направлениям, скользят по
Трем данным прямым. Найти геометрическое место четвер-
той вершины.
306*. Найтн геометрическое место точек, расположенных
внутри треугольника, сумма расстояний которых до дв^х
сторон треугольника равна расстоянию до третьей стороны.
307. На прямых х+у—2 = 0, 5х+у—14=0 найги
соответственные точки А н В такие, чтобы прямая АВ имела
угловой коэффициент, равный 3, и чтобы длина отрезка АВ
равнялась ]/10.
308». Через точку (1,1) провести прямые, образующие
между собой угол, тангенс которого равен ц и которые от
прямой х—-у+1=0 отсекают отрезок длины 2/2.
3*
гл. 111. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
1309
68
чп0 Составить уравнение прямой, проходящей через
/о п дня что ее отрезок между параллельными
точку ( • 5_’о х—у — 2 = 0 равен 5.
,,РЯч7<Гсоставнть уравнение прямой, равноудаленной от
19 гй и (3 1) и такой, что ее отрезок между
SX" &»-’. л+,-з=о. ,.
няется 5.
311 Найт площадь треугольника, уравнения сторон
которого 2х+ 3>-13 =0, х + 2у-7 = 0, x + j-5 = 0.
312*. Через точку (15, 6) провести прямую, отсекаю-
щую от прямых 5х— 2у — 5=0, 2x-f~ 5у 2 = 0 треу гольиик,
площадь которого равна 29.
313*. Составить уравнения прямых, параллельных прямой
д-_3_у = 0 и отсекающих от двух пересекающихся прямых
3v__2у__1=0, 4х— 5_у-|-1=0 треугольник, площадь
7
которого равна -% .
314. Даны две точки А(3, 5) и В(—1, —2). На прямой
7х — 6у-|-1=0 найти точку С такую, что площадь тре-
угольника АВС равна 1.
315. Даны четыре точки А(3, 0), В(—1, —2), С(—3,1)
и D(l, 2). На прямой 5х—2у— 95 = 0 найти точку Л/ та-
кую, чтобы треугольники МАВ и MCD были равновелики.
316*. Даны вершина (—2, 3) треугольника, угловой
коэффициент k — стороны, противолежащей этой вершине,
п площадь треугольника 5 = 5. Найти две другие вершины,
зная, что они расположены на прямых
х + 4у—9 = 0, х + 4у — 21=0.
317*. Даны уравнения медиан треугольника: 4x-j-y —
— =0, 2х+у 2 = 0, х—2 = 0 и его площадь 5 = 3.
Найти вершины треугольника.
’ Точки ( 7, 2) и (3, 0) являются вершинами pan-
el едренного треугольника, при которых углы треугольника
значит оставить Уравнения сторон этого треугольника,
зная, что площадь его равна 26.
Уравне9нйеДх—2^12-0’ равн0бедРен|1ОГО треугольника,
Составить vn 12 — 0 его основания и площадь 5=15.
доставить уравнения боковых сторон.
328]
§ 8. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ
320*. Даны уравнения 7x+v^0 х—v —п о..™-,
бедренного треугольника, онуЙных’на ето равные стороны
и его площадь 5=80. Найти вершины треуголь......... ₽ ’
321. Даны две вершины (0, 7) и (—2, 3) треугольника
площадь которого 5=3, и прямая х—7=0, на которой
лежит третья вершина. Составить уравнения сторон тре-
угольника. к р
322. За новые оси аффинной системы координат прини-
маются прямые
х—>4-2 = 0 (ось О'/), 2х+> —4 = 0 (ось О'х'),
а за новую единичную точку принимается точка (3, 7). Со-
ставить формулы преобразования координат. Система коор-
динат аффинная.
323. Как запишется уравнение х—>+6=0 прямой в но-
вой аффинной системе координ г, если за новые оси коор-
динат принимаются прямые
2х—> + 7 = 0 (ось О'>'), х+>—4=0 (ось О'х'),
а за новую единичную точку принимается старое начало
координат. Система координат аффинная.
324*. Через точку Р(—3, —5) провести прямую, отре-
зок которой между прямыми 2х + 3>—15 = 0, 4х—5> —
—12 = 0 в точке Р делился бы пополам. Система коорди-
нат аффинная.
325*. Дана точка (0, 2) пересечения медиан треуголь-
ника и уравнения двух его сторон 5х—4>+ 15 = 0,
4х + > — 9 = 0. Найти координаты вершин треугольника и
уравнение третьей стороны. Система координат аффинная.
326*. Даны уравнения двух сторон треугольника
2х—> = 0, 5х—> = 0 и уравнение Зх—у — 0 одной из
его медиан. Составить уравнение третьей стороны, зная, что
на ней лежит точка (3, 9), и найти координаты его вершин.
327*. Точка пересечения медиан треугольника лежит в
начале координат. Уравнения двух его сторон: х + > 4 = 0,
2х+>—1=0. Найти вершины треугольника и уравнение
третьей стороны. Система координат аффинная.
328*. Даны уравнения 4х + 5>=0, х — 3> = 0 медиан
треугольника и его вершина (2, —5). Составить уравнения
сторон треугольника и найти его вершины. Система коордт
нат аффинная.
1329
гл 1П. ПРЯМАЯ линия
70 “*• .... "
490» Даны уравнения Зх—2у+1=0. х у 4-1=0
, сторон треугольника и уравнение 2х— у— 1 =0 одной
" его Хин Составить уравнение третьей его стороны.
Система координат афф ннащ
330*. Даны уравнения х+у—о — 0, 2х+у 1 Д ух
медиан треугольника я уравнение х—2у+ 7 = 0 одной из его
сторон. Составить уравнения двух других сторон треуголь-
ника и найти его вершины. Система координат аффинная.
331*. Составить уравнения прямых, проходящих соответ-
ственно ’через точки (0, 4) и (5, 0), зная уравнение
2д__2у+1=0 одной из биссектрис угла между ними.
332*. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин А (2, —4) и уравнения биссектрис двух
его углов х4-у—2 = 0 и х — Зу—6 = 0.
333**. Даны уравнения х + 4 = 0, 4х + 1у 4-5 = 0 бис-
сектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение
Зх-т-4у = 0 стороны, соединяющей вершины, из которых
выходят данные биссектрисы. Составить уравнения двух
других сторон треуготьника.
334*. Даны уравнения сторон треугольника Зх+у—3 = 0,
Зх —4у=0 и уравнение х—у-г5 = 0 биссектрисы одного
из внутренних углов этого треугольника. Составить уравне-
ние третьей стороны.
335. На прямой 7х + 3у—14 = 0 найти точки, сумма
расстояний каждой из которых до двух точек (2, 3) и
(— 1, 4) равна 8.
336. Даны четыре точки Af,(5, 6), Aft(2, 1), Af,<7, 3) и
Л!« (3, 11). Найти точки, из которых отрезки АЛ М и М М
видны под прямым утлом. 1 * *
7 . Составить уравнения медиан треугольника, стороны
которого заданы уравнениями Л^х + Вьу + СЛ = 0, А = 1 2 3,
относительно аффинной системы координат.
338*. Составить уравнения высот треуготьника, стороны
3ЛДаны ^внениямнЛ^-1/Л> + СЛ = 0, А = 1,2,3.
Составить уравнение биссектрисы внутреннего уг-
ла А треугольника АВС, стороны
ниями:
которого заданы уравне-
2х+ у—7 = 0 {АВ},
Зх—4у —5 = 0 {ВС},
5х—Зу —1=0 (СА).
345] § 8. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ИА прямую 71
340. Найти косинус внутреннего утла А
стороны которого заданы уравнениями: Т₽*У голышка,
2х- у—7 = 0
Зх—4у—5 = 0 (ВС),
5х—Зу—1 = о (СД).
341*. Даны две пары параллельных прямых
Дх+Ву4-С = 0, Ах By + D = 0 (С=?=О)
и
-A x-hB'y-f-C'«=0, А'хВ'уD' =0 (С ^D').
Вычислить площадь параллелограмма, ими образованного.
342 . Даны две пересекающиеся и не взаимно перпенди-
кулярные прямые
л/Л + ^*>+СА = 0, А=1,2,
и еще прямая
х = х4 hi, у = у„-\-ти.
При каком необходимом и достаточном условии отрезок по-
следней прямой между двумя первыми лежит в остром
угле, образованном двумя первыми прямыми.
343*. Даны три прямые ДЛх-)-ВАу = 0, й=1,2, 3, про-
ходящие через начало координат. При каком необходимом
и достаточном условии третья прямая проходит в остром
угле, образованном двумя первыми. Система координат прямо-
угольная.
344*. АВ и CD — две пересекающиеся прямые. Через
произвольную точку Р, не лежащую ни на одной из нит,
проводится фиксированная прямая PMN (Л/ и N—точки
пересечения этой прямой соответственно с прямыми АВ и
CD). Через точку Р проводятся произвольные прямые, пере-
секающие прямые АВ и CD соответственно в точках 5 и Т,
пусть —точка пересечения прямых SN и МТ. Найти гео-
метрическое место точек К-
345*. Прямая I пересекает стороны ВС, СА и АВ тре-
угольника AJ3C соответственно в точках Р, Q и °- гц
стороны вращаются вокруг точек Р, Q и Л,
шины А и В скользят по двум прямым р и q. Найти гео-
метрическое место третьей вершины.
72
ГЛ. III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
(346—347]
346*. Возьмем на плоскости л точек Л4,, М„ ..., Л1п.
Пусть прямая I пересекает прямые МгМ„ MtM„ .... Mn_xMn
соответственно в точках Р„ Pt, .... Pn.t. Будем вращать
прямые М,М,, MtM„ .... Ж„_,Л4„ соответственно вокруг
точек Р , Pt, • • ч ^n-i н ПУСТЬ ПРИ 9ТОМ точки Л4,, ...
д/ описывают прямые липни. Какую линию описы-
вает точка /И„?
347*. На стороне ВС треугольника АВС взята точка О,
не совпадающая ни с точкой В, ни с точкой С. Через точку О
проводятся прямые. Пусть какая-нибудь из проведенных пря-
мых пересекает стороны АВ и АС в точках Р и Q. Найти
геометрическое место точек, в которых пересекаются окруж-
ности, описанные около треугольников ОВР и OQC.
ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Рассмотрим ряд примеров на составление уравнений геометри-
ческих мест в декартовых координатах, в полярных координатах
а также параметрических уравнений.
Пример 1. Найти геометрическое место точек М дм
каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек
А и В равно данному числу k, не равному 1;
МА ,
MB=k-
Решение. Введем на плоскости декартову прямоугольную
систему координат, принимая за ось абсцисс прямую АВ Пусть
абсциссы точек А и В в выбранной системе будут х, и хг. Мы пока
не знаем, существует ли хотя бы одна точка М, для которой
МА .
MB=k-
Предположим, что такие точки существуют, и пусть Л1(х, уг-
одна из этих точек. Тогда
Л1А=рг(х—xj’ + x/’, МВ=У(х—хг)г-\-у\
откуда
К(х—х, )» + {/* к
К(х—х,)' + {/’
Полученное уравнение мы подвергнем ряду преобразований.
При этом каждый раз мы должны:
I. Установить, бущет ли всякое решение преобразованного
уравнения решением предыдущего уравнения. Если преобразован-
ное уравнение имеет решения, не являющиеся решениями преды-
дущего уравнения, то надо указать, какие дополнительные усло-
вия следует присоединить к преобразованному уравнению, чтобы
исключить эти решения; эти дополнительные условия обычно явля-
ются неравенствами.
II. Установить, что любое решение исходного уравнения явля-
ется решением и преобразованного уравнения. Если это не так, то
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
х „„«Аптавапие недопустимо, так как мы при этом полу.
чим°такое уравнение, которому не будут удовлетворять координаты
4 ,v точек заданного геометрического места.
"г^ли исходное и преобразованное уравнения равносильны, то
«глопия I н 11 будут выполнены.
У Возведем обе части уравнения (1) в квадрат; получим!
(х—
(х—х^ + у1
<2)
Уравнения (1) н (2) равносильны; в самом деле, если числа х
в у удовлетворяют уравнению (1), то эти же числа удовлетворяют
и уравнению (2).
Обратно, если числа хну удовлетворяют уравнению (2), то,
так как слева и справа в равенстве (2) стоят неотрицательные
числа, из равенства (2) следует:
К(х—х,)д+*/* = ур = । k । = k
Vix-xtf+y*
Далее, освобождаясь в уравнении (2) от знаменателя, получим!
(х-х,)‘ + у,=Л1|(х-х!)г + Л- О)
Уравнения (2) и (3) равносильны. В самом деле, если числа л
и у удовлетвориют уравнению (2), то они удовлетворяют и урав-
нению (3). Обратно, если числа х и у удовлетворяют уравне-
нию (3), то (х—хг)г + у- / 0. В самом деле: если бы (х — ^)’ + Уг = 0,
то отсюда следовало, что х—хг, у-0, и далее, так как числа х и
у но предположению удовлетворяют равенству (3), то мы имени
бы (х,—х2)* = 0, что не имеет места (х, / х2), так как точки
А и В различны.
Итак, если числа хну удовлетворяют равенству (3), то
(х—x.)14-i/’yt0, и, значит, из равенства (3) следует равенство (2).
Преобразуя уравнение (3), получаем следующую цепь равно-
сильных друг другу уравнений:
хг-2х,х + х’ + //’ = Fx1—2/г’х2х + Л’х* + k гу\ (4)
(»- *’) х«+(1 -Л‘) -2 (х,- Л2х5) х+xj - Лгх* = 0, (5)
~2 | . л пХ1 kzXz Xj k Х2
x3 + {/-2-r-p-x+_. ._ (6)
-A=x’
1-Л2
u«= Г* <*>—*)
1—Л2
(l-fe*)2 ’
2
(«~W
Уравнения (1) „ (8) равносильны
равнение (8) есть уравнение окружности с центром
»
(7)
(8)
в точке
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
75
и радиусом
___k\Xt—Xt\
ll-fe’l •
Поэтому геометрическое место, определяемое условием задачи
и есть эта окружность. •
Центр С окружности лежит на прямой АВ (так как ордината
точки С равна 0) и делит отрезок АВ «внешним образом» в отпо-
шенни k . Так как |хг—Xj|—длина отрезка АВ, то радиус этой
окружности равен J
_ kAB
r
Пример 2. Найти геометрическое место точек М, сумма
квадратов расстояний каждой из которых до двух вершин А и В
треугольника АВС равна квадрату расстояния до третьей вер-
шины С.
Решение. Выберем на плоскости какую-нибудь декартову
прямоугольную систему координат и п}сть х,. (/,; хг, уг и х„ у,—
координаты вершин А, В, С треугольника. Предположим, что су-
ществует хотя бы одна точка М (х, у), удовлетворяющая условию
задачи, т. е.
А1Аг + МВг=МС1-,
тогда
(х—х,)‘ + (у—у У + (х—хг)’ + (у—У2Г = (х—х,)г + (у—у, )2,
или
х‘ + уг—2 (х, +xt— х,) х—2 (Ui + Уг—У,) У +
+ х\+у\А-х\А-у\—х\—У1,=^,
ИЛИ
(х—(х, + х2—х,)]* + [у—(у, + у»—у,)1‘ + х* + yj+xj +
+ У г—х»—у\~ —x^—(yy + Уг~ =о.
ИЛИ
|х-(х1-|-х2-х,)]’+[у-(у1 +У2-У, )Г = |(х,-х2)‘+ (?/»-!/.)'] +
4- [(х,—х,)‘ + (у,—у,)*]—1(х,—х,)*+(у2—У1) 1-
Рассмотрим точку D с координатами:
Хо = Х1+хг—х,, y0 = yi+yt—Ум
Тогда последнее уравнение примет вид:
(х—х0)! + (у—Уо)г— ВС*+САг— АВг.
Сели ВС1 + САг> АВг. т. е. угол С острый, то это уравнение
определяет окружность с радиусом
г = ВС‘+СА‘—АВг.
76
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Гак как
х.+хг У>+Уг _Уо + У>
—2“=~2"’ 2 2 ’
то середины отрезков CD и АВ совпадают, т. е. центр ОКРУ»"°-
сти есть вершина параллелограмма противоположная С. две дру-
гие (противоположные) вершины которого суть А и В.
Если ВС' + СА'^АВ2, тэ
(V—х»)2 + (У—Ло)а = °>
откуда
х=х0, f/=W>.
т. е в случае, если угол С прямой, заданное геометрическое
место состоит из одной точки D (х0, у().
Наконец, если ВСг + САг < АВг, то уравнению
U-х.)*+(у-у„Г = ВС2 + СА2 - А В2
не удовлетворяет никакая пара действительных чисел, т. е. нет
нн днои точки плоскости, удовлетворяющей условию задачи.
Пример 3. Найти геометрическое место точек М, для
каждой из которых сумма расстояний до двух сторон ВС и СА
треугольника АВС равна расстоянию до третьей стороны АВ.
Решение. Возьмем на плоскости произвольную прямоуголь-
ную декартову систему координат, и пусть в этой систе.ме нор-
мальные уравнения сторон ВС, СА и АВ будут соответственно'
Д(х4- 4" ==0,
А.,х 4- В2у + Сг О,
Д3х Bsy 4- С,=0
(Д)4-В,= 1, Л’4-В*=1. Д3+В3--1. причем пусть нормирование
произведено так, что левые части всех трех уравнений положи-
тельны для координат внутренних точек треугольника).
п Рувть'М (х . (/)—точка, удовлетворяющая условию задачи, и
г основания перпендикуляров, опущенных из точки Л1
соответственно на стороны ВС, СА н АВ. Тогда
MD + ME=MF,
откуда
IA*+B,j(4-c,l4-|V4-B!i//-t-C!| = | А3х + в,у + с,\
\А^ + В1у+С1\ + \Агх + В2у + Сг\-\ Л3л'4-В5«4-Сз1 = 0. (1)
место неравенства^ в1|утрен|,их точек треугольника имеют
Ax + Bi(/4-C1>0,
АгХ + Вгу + С2>В,
А^ + В3у-\-С,>Ъ.
(2)
77
или
гл. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕ0МЕТРИЧ1 СКИХ МЕСТ
Поэтому, если внутри треугольника существуют точки
ряющие условию задачи, то кооолиняты qJuv ™ ’ УДовлетво-
уравнению РЯ ы этих точек удовлетворяют
(Л.х + В,у + С.) + (А2х + Вгу + С2)—(А,х+ В,у + С,)=0.
(Л, +4—Л3)Х4-(В, В,—Bs)j/ + ci+Cl_Ci=0 (3)
Хта”°л.?““Г „“Н»™»'™ г™- •
равны нулю. Предположим обратное, тЛ^что * «и»рем««ю не
Л=а,+а., в,= в1+в4.
Рассмотрим определители
fulfill 1ЛВ.1 |a3bsi
I4B.I1 |а3в,|- |л’в’|
В силу неравенств (2) эти определители одного знака (см гл III
примеры 5, 6) '
Однако
1Л2Вг|_| Л В, |A2BJ lA.B.l
м, в,|-|л1+дг в1+в,На^|=-|Х в;!-
и мы получаем противоречие.
Отсюда следует, что уравнение (3) определяет прямую.
Итак, если у заданного геометрического места есть точки, ле-
жащие внутри треугольника, то они лежат на прямой (3).
Обозначим через Р точку, в которой биссектриса внутреннего
угла А пересекает сторону ВС. Координаты точки Р удовлетворяют
уравнениям:
а3х -р в3у 4-с3 о
II
+ Вг// + С, — А3х + В,у + С,
Следовательно, координаты точки Р удовлетворяют и уравнению
(А,х -f- В,у 4С,) 4- (Агх-р Вгу-[-Сг) — (А5л -\-В3у +Сг) = 0,
т. е. уравнению (3). Следовательно, точка Р лежит на прямой (3).
Аналогично доказывается, что точка Q, в которой биссектриса
внутреннего угла В пересекает сторону АС, также лежит на
прямой (3). Поэтому уравнение (3) определяет прямую, прохо-
дящую через точки Р и Q.
Все точки отрезка PQ принадлежат заданному геометриче-
скому месту.
Рассмотрим область, ограниченную отрезком ВС и лучами,
которые мы получим, продолжив стороны АВ и АС за точки В и .
Для координаты всех точек этой области имеют место пера
венства:
А.х + В.р-кС. <0,
А.х + Вгу + С:>0,
A3x + Bsy + Ct>0.
78
гл. -V. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МВСТ
л Области существуют точки, удовлетво-
Поэтому если в этих точек удовлетворяют
ряющие условию задачи,
,Р“,1':+г,>+с,)+<Л«+^+с.>-'л-' + в-!' + с-1-0- »)
или
(-Л, + Л2-Л,)х + (~Я1 + В’
Докажем, что числа^^
менно в нуль не
Предполагая
3t—В,)у + (—- ci + — 0. (4')
____а_/14-Дг— Л, и—В)4-В2—В, одновре-
обрашаются.
противное:
лг=л, + л3, в2=в1 + в3,
будем иметь:
I | Л, В, I_I Л, В, I
Г1лв,|- IAB.I’
|А В. II Л, в,
|л2в2|_|л1 + л3 в,+в.
в то время как определители
IX. в,| |Л,В, I
Iл2 в2| и |л, в, I
должны иметь один и тот же знак.
Таким образом, уравнение (4) определяет прямую линию.
Эта прямая линия проходит через точки пересечения прямых
А2х + Вгу + С2 = А,х + Вгу + С„
A^x-j-Biy + Cf — O,
т. е. через точку Р и через точку пересечения прямых
Л|Х +В,у 4- С,= Агх 4~ Вгу -f- С2,
Лгх + В4// + С,=0,
т. е. через точку R, в которой биссектриса внутреннего угла С
встречает сторону АВ. Таким образом, в рассматриваемой области
искомому геометрическому месту принадлежат все точки луча,
ограниченного точкой Р, который мы получим, продолжая отре-
зок RP за точку Р.
Рассмотрим область, ограниченную лучами, выходящими из
точки А и являющимися продолжениями сторон ВЛ и СА за
точку А. Для координат всех точек этой области
Лгх+В^+С^О,
Лгх+Вгу + С2<0,
А>х + ВгУ+Са<0.
мом^0”Хетр^ёском^Им0Д™СТ" Т0Ч,<И’ принадлежащие
будут удовлТВорСяТ°ьМУусЗо Т° К00₽дина™ всех таких
(V+в,у +С,)-( А2Х + в2у + С2) + (А3Х + Bsy + С,) = О
(Л,~Л2 + А‘)х+(В«-Вт+В.)4/ + С1-С2 + С2^0.
иско-
точек
или
(5)
(5')
прямую. Эта
Рис. 15.
гл IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ 79
в иуль^поэтому^^авнение* (5'f' или" (5)Тпреда?я^е °браЩаЮ-ТСН
прямая проходит через точку ' ' оп₽еделяет
пересечения прямых
Atx 4- В1У +С, = Агх + В,у + С„
Аах + Вгу -[-С, =0,
т. е через точку R и через
точку пересечения прямых
Л2х + Вгу + С, = А,х + В Зу + С
Aix + B,y-{-Cl=0,
т е. через точку Р
Поэтому уравнение (5) есть
уравнение прямой PR. Если
эта прямая имеет точки в рас-
сматриваемой области, то все
эти точки принадлежат иско-
мому геометрическому месту
(рис. 15). Если же прямая PR не имеет точек в рассматриваемой
области, то на ней нет точек искомого геометрического места
(рис. 16).
Аналогично устанавливаем, что в области, ограниченной сто-
роной АС и продолжениями сторон ВА и ВС соответственно за
точки А и С, искомому геометрическому месту принадлежат все
точки той части примой RQ, которая лежит в этой области.
В области, ограниченной лучами, выходящими из точки В и
полученными продолжением сторон АВ и СВ за точку В. иско-
ыому геометрическому месту принадлежат все точки тон ча
примой RQ, которые лежат в этой области (такие точки ь у
существовать, но могут н не существовать).
гл. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
В области ограниченной стороной АВ и продолжениями сто-
рон СЛ1 н СВза точки А и В. имеют место неравенства.
Atx + B,y + C, > О,
Atx + B,y + Ct >0,
Лгх +Л3(/ + С,<0.
Поэтому если в этой области есть точки искомого геометриче-
ского места, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению
(Л,х4 В1£4-С1)4-(Л2х4-В2р4-С2)4-(Л,х4-В,у4-С,): 0 (6)
(Л, ф- А2 + Л,) х ф- (В, 4- Вг ф- В,) у 4-(С, + Сг + С,) — 0. (6')
В области, ограниченной двумя лучами, выходящими из точки С
и полученными при продолжении сторон АС и ВС за точку С,
имеют место неравенства:
Л^ + В^ + С, < 0,
Л2х 4- Вгу 4- Сг < 0,
А,х + Вгу \Сг> 0.
Поэтому если в этой области есть точки искомого геометриче-
ского места, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению
—(Д,х 4- В,у 4- С,)—(А.х 4- By; 4- С2)—(Л„х 4- В3у ф- Са) = 0
или тому же уравнению (6).
Если в уравнении (6') коэффициенты Л, 4- А3 ф- Л, и В, ф-В2ф-Ва
одновременно в нуль не обращаются, то уравнение (6') определяет
некоторую прямую линию. Эта примак линия проходит через
точку R' пересечении прямых PQ и АВ, если эти две прямые
пересекаются.
В самом деле, из уравнения примой PQ
(Л,х 4-В,и 4-С.) ф-( А,х 4- В2?/ + CJ-(А.х 4- В,у + С,) - 0
и уравнении прямой ЛВ
Л,х4-Вгу 4 Сг = 0
следует, что
(А,х4- В,у ф-С,) 4- (Агх4- Вгу 4- Сг) 4- (Агх 4- В^ 4- С„) = 0.
тп豓«° Доказывается, что прямая (6) проходит через
сека1лтгп\ПеРеСеЧеНИЯп,ПрЯМЬ1х и (если эти прямые пере-
пвямые п₽пРс»Т°ЧКу ? пересечении прямых ВС и RQ (если эти
лежат всеР тоКаЮТСЯ ’ Иск°мому геометрическому месту принад-
с л едких8 областях. ПРЯМ°Й ₽ Q'R'' Кото₽ые "ахадятся в ^х П°’
С14-С1 + С I(6) Л« + Л«+Л=0, В1+В24-В,=0, То
+C,=t Лх+B u+r Я,луча® ТРИ прямые Л.хф-В.уф-
одну точку.2 R Л’А^ + ^зУ + С8--0 проходили бы через
одна пара’ чисел х и ,,ЛУтаС уРавнеии|° (6') не удовлетворяет ни
У, т. е. в последних двух областях пет точек
причем
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ Я1
искомого геометрического места. Это имеет место тот, ..
тогда когда треугольник АВС равносторонний К°
Итак, искомое геометрическое место состоит нз указанных
выше частей четырех прямых PQ, QP' p-Q' q<р Указанных
Пример 4. Составить уравнение геометрического места
т0ЧеК ^(Х’А СУМ^ Расс™™ий каждой из которых до двух дан-
а^> с~>1^ С' И С’ Рата данному числу 2а,
Решение Согласно условию задачи
MF,-}-MF2—2a.
MF,= ^(х + с)г + у\ MF2 = ]<(x-c)4y’,
поэтому искомое уравнение будет иметь вид-
К (* + с)2 4- у* + 1^(х—с)‘+у*=2а.
Преобразуем это уравнение:
/(x + cf + y1 = 2а - /(х-сГ+у*.
Уравнения (1) и (2) равносильны. Возводя обе части
ния (2) в квадрат, получим:
(х + с)2 + у2= (2а — У(х-Су +ч^.
Но
(1)
(2)
уравне-
(3)
Уравнения (2) и (3) равносильны. В самом деле: если выпол-
нено равенство (2), то будет выполнено и равенство (3). Обратно:
если выполнено равенство (3), то
(х + с)г + у1-(2а-У(х-су + уг)г О
11111
(V (х+с)1 + уг — 2а+У(х—сУ + уг)(У(х+сУ +уг-'Г2а —
— У\х—сУ\уг) 0.
Докажем, что при любых действительных значениях х и у
имеет место неравенство:
1 U + с)2 + ?/2 + 2а -/(х -С)2 -I- v2/0.
В самом деве, предположим, что при некоторых действитель-
ных значениях х и у мы будем иметь:
V(x-cf-\-t? — /(*-|-c)2 + i/2 = 2а.
’*) В самом деле, положим п,={А„ В,}. л2={Лг. В,}, »s==
= М„ ВА; тогда п, +«, + », = 0, а так как л„ пг н п, елини!-
иые векторы, нормальные к сторонам треугольника АВ .
отсюда следует, что все углы треугольника АВС равны
8?
гл IV. УРЛНН1'ИИЯ
геомктрических мест
Рассмотрим точку
венство примет вид.
М с координатами к и у. Тогда это ра-
MFt-MFt=2a.
MFt-MF,<2c
(разность двух cwpon треугольника меньше третьей), поэтому
2а < 2с,
что противоречит условию.
Итак. ________
У(х + с)г + 7г—Уг(х—с)г+уг+2а^0.
значит, __________
У(х+с)г+уг—2а + /(х — с)2 + у1 = О,
а это и есть уравнение (2).
Упрощая уравнение (3), получим равносильное ему уравнение
а2—сх = а У\х— с)2+у2 (4)
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим:
(а2—сх)' = а'[(х—с)2-\-у2], (5)
или
(а2—сг)хг + а2у2 = а2(а2—с2), (G)
или
Уравнения (5), (6) н (7) равносильны друг другу. Докажем,
что уравнения (4) н (5) также равносильны.
Если имеет место равенство (4), то будет иметь место и ра-
венство (5). Обратно, если пара действительных чисел х и у удов-
летворяет уравнению (5), то она удовлетворяет н уравнению (7),
откуда следует, что |х| <а (если бы было |х| > а, то левая часть
равенства (7) была бы больше 1), а так как с<а, то а2 > сх.
е. а=— сх>0. Поэтому нз равенства (5) следует
а2 — сх=a Y(х — с)2 4- у2
числа х н У* Удовлетворяющие уравнению (5),
что уравн“н-п . УРавнению (4)- Таким образом, мы показали,
п“аг" "*
а2±Ь2~ *•
"азываетс"ЧллиХТточкиУр,ОнИрМна3аДаЧИ "ЛИлЭТИМ УРавне,,ием-
Числа а и b называют^. ™ 1 н называются фокусами эллипса
Центром эллипса "“луосями эллипса Точка О называется
ГЛ, IV. УВЛВН1ПИЯ t Гомг tВИЧКСКНХ MFCT
Пример 5 Вокруг точки О, лежащей на окружности с диа-
метром а, вращается луч, причем прямая, содержащая „тот лич.
пересекает окружность в переменной точке В. На прямой <)Р <т
точки Р в направлении луча откладывается отрезок PM h Со-
ставить уравнение линии, описываемой точкой М при вращении
луча Эта линия называется улиткой Паскаля
Решение. Введем полярную систему координат, принимая
за полюс точку О, г за полярную ось диаметр О Л Обозначим черо
6 и ср обобщенные полярные координаты точки М, причем под
углом ср будем понимать угол от полярной оси до вращающсго< я
луча. Обозначим через р' и ср обобщенные полярные координаты
точки Р, соответствующей точке М, причем ф будем брать тем же,
что н для точки М.
Тогда
р' = а со* <р
при любом ср, а
р ОСО5ф-|-/>,
Это есть искомое уравнение линии в полярных координатах
Возможны три случая- 1) Ь <а, 2) Ь- а, 3) b > а.
В первом и во втором случаях линия проходит через полюс, так
как из условия р = 0 находим.
Ь I b I b .
СО8ф =— — ,---------- - I.
т a I а I а
В третьем случае линия через полюс не проходит, ибо условие
р=0 не выполняется ни при каком ср (так как b > а)
Найдем уравнение улитки Паскаля в декартовых прямоуголь-
ных координатах, принимая за начало координат полюс О, а за по-
ложительное направление осн абсцисс направление полярной оси.
Будем исходить из полученного нами уравнения улитки Паскаля
в полярных координатах.
p=e cos<jp+i>. 0)
Для всех точек ливни, отличных от полюса, будем и1 еть.
р=±/?+7,
X х
COS W= — =----> ' - ~ •
С ±Ухг + у2
Уравнение (1) принимает вид-
ах . .
<?=ё +
Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек линии
(и только этих точек), кроме полюса О (если он пр Д-1
Умножая обе частоты последнего уравнения на Q, получим.
ц* - . ах -р Ьр.
81
ГЛ. IV. УГЛШПЛШЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек линии
11 координата полюса О, даже если он линии не принадлежит).
Последнее уравнение можно переписать так
х* + у*—ах + bQ,
Н'И
х* + Уг—ax=bQ (2)
Возводя обе части }равнения (2) в квадрат, получим
(х* 4- у*—ах)* = Ь\г,
111И
(х* -р у*—ах)*=Ьг (х* 4- У*)
(3)
Покажем, что уравнение (3) в декартовых координатах опре-
деляет ту же линию, что н уравнение (1) в полярных координатах.
В самом деле, если полярные координаты точки М удовлет-
воряют уравнению (1), то декартовы координаты этой же точки М
удовлетворяют уравнению (3).
Обратно, возьмем точку М (х, у) (не совпадающую с началом
координат), лежащую на линии, определяемой уравнением (3),
и докажем, что эта точка лежит на линии, определяемой урав-
нением ())
В самом деле, если точка М (х, у) лежит на линии, опреде-
ляемой уравнением (3), то ее координаты удовлетворяют этому
уравнению. Отсюда следует, что
(х* 4- и*— ах)г — b-q*,
откуда
х* + у*—ах= £bo,
1пи
О’ — Яр COS <р= ±6р.
а так как точка М не совпадает с началом координат, то о 0 и
e = acos<p + Ь
о owiVto—Т° точка М лежит на линии (1). Если же
дппаташ? п Q —0 c°s (<Р 4-я) 4-6. Точка с полярными коор-
координаты у^о^Ор + ^ + бГфУл.704’^®’ имеющей Г|олярные
имеет вид ^Равне|,ие Улитки Паскаля в декартовых координатах
(лгг4-р’_ ах)*^ь*(х* + у2).
кость радиуса а Cormn,U,.JPX бе3 Сколь™еш1я катится окру ж-
описываемой той точкой м ,!аРале^1Рнческие уравнения линии,
начальный момент натЛ П катящейся окружности, которая в
^етр ('угол от На‘ШЛе КООР^^ принимая за
радиуса СА этой 1Мп ° 0КРУжн°сти, идущего в точку М,
линия называется ц и к л’о идо й и^'1и1,его в точкУ касания. Эта
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ R5
Решение. Рассмотрим ломаную О АСМ (рис. 17) Проекти-
руя эту ломаную на ось Ох, получим 1 проекта
прОх ОМ = прОх О АСМ = прОх О А + прОхДС + прОхСМ.
Но
прОхОМ=х, прОхЛС=0, прОх ОЛ = ОД = ЛМ = а/
(так как окружность катится без скольжения).
Так как угол от СМ до СЛ равен t, а угол от оси Ох до СМ
равен ~ + (л— t), то
прОх СМ -= a cos g л
Итак,
— a sin t.
Jf = a (t—sin t).
Далее, проектируя ту же ломаную на ось Оу. будем иметь:
прОуОМ = npOj, ОАСМ = прОу О A -J- прф, АС -|- npOj, СМ.
Имеем;
прОуОМ —у, прОуОА = 0, прОу АС = а.
Так как угол от осн Ох до СМ равен -g-л—Z, а угол от оси Ох
до оси Оу равен 4- ” , то угол от осп Оу до СМ равен;
следовательно,
Итак,
3 , л .
npOy CM — a cos (л—/) — — a cos t.
' y-a(i-cost).
ГЛ IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ [348
Таким образом, параметрические уравнения циклоиды будут
x==a(Z-sin/). = cos,).
где параметр t принимает все действительные значения
348 Найтн геометрическое место точек, для которых
сумма квадратов расстояний от двух постоянных точек есть
величина постоянная.
349. Найти геометрическое место точек, для которых раз-
ность квадратов расстояний от двух постоянных точек есть
величина постоянная.
350. Найти геометрическое место точек, для которых рас-
стояние от точки А (4, 0) вдвое больше расстояния от
точки Z? (1, 0).
351*. Прямоугольный треугольник с катетами а и b пере-
мещается так, чю вершины ею острых углов скользят по
взаимно перпендикулярным прямым. Найти линию, описы-
ваемую прн этом перемещении вершиной прямого угла.
352. На осях Ох и Оу общей декартовой системы коор-
динат фиксированы точки А и В. Через точку Р(ха, _у0),
лежащую на прямой АВ, проводят произвольную секущую,
пересекающую осн Ох и Оу соответственно в точках С н D.
Пусть М—точка пересечения прямых СВ и AD. Составить
уравнение линии, которую описывает точка М, когда секущая
вращается вокруг точки Р.
353, Найти геометрическое место точек, сумма квадратов
расстояний которых от трех данных точек есть величина по-
стоянная.
354. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов
ра стояний которых до сторон прямоугольника постоянна,
при условии, что этому геометрическому месту принадлежит
Одна из вершин прямоугольника.
355 . Даны две окружности. Найти геометрическое место
точек, касательные из которых, проведенные к этим двум
окружностям, имеют равные длины.
пап^’ ^аны окружность с центром в начале координат и
место^лиГ " Г0,Ка вне еб- Найти геометрическое
длинам и-яЛ’ расскяние которых до точки А равнялось бы
мости. тель||“х, проведенных из этих точек к окруж-
точку О Пуст/р11'3 ° И прямая не проходящая через
. усть р— переменная точка прямой I. На луче ОР
364] ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ MICT 87
берется точка Ж, такая, что OPOM^k, где fe-данио
положительное число. Найти геометрическое место точек М
358*. Найти геометрическое место точек, разность pad
стояний которых от двух постоянных точек F (______с 0) и
F2(c, О) есть величина постоянная, равная 2п(а<с). Эго
геометрическое место называется гиперболой, а точки
и — ее фокусами.
359*. Найти геометрическое место точек, для которых
расстояние от постоянной точки равнялось бы расстоянию
до постоянной прямой, не проходящей через эту точку.
Это геометрическое место называется параболой, по-
стоянная точка —ее фокусом, а постоянная прямая—ее ди-
ректрисой.
360. Даны точка F (3, 0) и прямая, параллельная оси Оу
и отсекающая на оси Ох положительный отрезок, равный
•у. Найти геометрическое место точек, для которых отно-
шение расстояния до данной точки к расстоянию до данной
прямой равно 4-.
О
361. Даны точка F(5, 0) и прямая, параллельная оси орди-
нат и отсекающая па оси абсцисс положительный отрезок,
9
равный - . Найти геометрическое место точек, для которых
отношение расстояния от данной точки к расстоянию до дап-
ной прямой равно .
о
362. Дана окружность с центром в начале координат и
радиусом г. Во что обратится эта окружность, если орди-
наты всех ее точек уменьшить в одно и то же число
(А) раз.
363. Найти геометрическое место точек, делящих в дан-
ном отношении (тМ) хорды окружности, параллельные дан-
ному направлению.
364. Около начала координат О как центра описаны две
окружности радиусами а и Ь. Луч, вращающийся вокруг
точки О, пересекает эти окружности соответственно в точках
Л и В. Через точку В проводится прямая, параллельная о<.и
абсцисс, а через точку А — прямая, параллельная оси орди-
нат. Найти линию, описываемую точкой М пересечения этих
двух прямых при вращении луча.
к>
Iл IV. УРЛВН1ННИ ifomeipk1 неких мест
[365
ОПЯ в тоеуго.... с постоянной площадью 5, ограни-
ценных'осями координат и пересекающей их прямой, опуска-
кнся перпендикуляры in вершин прямого угла на гипотенузу.
Нейти геометрическое место оснований этих перпендикуляров.
366* О।резок постоянной длины скользит своими концами
ПО сторонам прямою угла. Гонка М делит этот отрезок на
две части, дины которых а и Ь. Найти линию, описываемую
точкой при движении отрезка.
367. Найти геометрическое место точек, произведение
расстояний которых от двух постоянных точек Fx( b, 0)
и F,(b, 0) есть величина постоянная, равная а (овал
Касс и ин).
368. Определить геометрическое место середины отрезков
касательных к окружности хг у* = /?*, заключенных между
осями координат.
369. Прямоугольник, две стороны которою совпадают
с осями координат, изменяемся так, чю ею диагональ со-
храняет постоянную величину а. Линия, описываемая осно-
паиием перпендикуляра, опущенного из вершины прямоуголь-
ника, противоположной началу координат, на его диагональ,
|изывается астроидой. Найти ее уравнение, принимая
за осн координат неподвижные стороны прямоугольника.
370. Написать в полярных коордшкиах уравнение прямой,
перпендикулярной к полярной осп и отсекающей па ней
отрезок ОА = а.
371. Написать уравнение окружности радиуса а в поляр-
ных координатах, приняв за полюс точку О на окружности,
а за полярную ось проходящий через нее диаметр ОА.
372. Даны точка О и прямая, находящаяся от точки О
на расстоянии ОА—а. Вокруг точки О вращается луч, пере-
секающий данную прямую в переменной точке В. На этом
луче но обе стороны от точки В о складываются отрезки
1 г~Ь' Записать в полярных координатах уравнение
ннии (конхоида Ником еда), описываемой точками М.
вра,11еш,и -'У43. принимая за полюс точку О, а за
на naimvm °СЬ перпе“днкУляР ОА, опущенный из точки О
__________фямую. Перейти затем к декартовым координа-
за начало системы точку О, а за ось абсцисс
°п ,1рямая’ находящаяся от точки О
... иА = а- Вокруг точки О вращается луч, пере-
там, принимая
прямую ОА.
на расстоянии
377]
ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
49
секающнй прямую в переменной точке В. На этом луче
по обе стороны от точки В откладываются равные отрезки
BMt = BMt = AB. Написать уравнение линии (строфоида)
описываемой точками Ж, и Mt при вращении луча, в полящ
ных координатах, принимая за полюс точку О, а за полярную
ось перпендикуляр ОА, опущенный из точки О на данную
прямую. Перейти затем к декартовым координатам, принимая
за начало координат точку О, а за ось абсцисс прямую ОА.
374. На окружности радиуса а дана точка О. Вокруг
точки О вращается луч, пересекающий окружность в пере-
менной точке А. На этом луче по обе стороны от точки А
откладываются отрезки АМЛ = AMt = Ча. Линия, описываемая
точками Д4, и /Иг, называется кардиоидой. Написать
уравнение этой линии в полярных координатах, принимая за
полюс точку О, а за полярную ось проходящий через нее
диаметр ОК, и перейти затем к декартовым координатам.
375. Найти геометрическое место оснований перпендику-
ляров, опущенных из неподвижной точки на касательные
к данной окружности, принимая за полюс полярной системы
координат неподвижную точку, а за полярную ось прямую,
соединяющую эту точку с центром окружности. Расстояние
от данной точки до центра окружности обозначить через а,
радиус окружности—через Ь.
376. На окружности радиуса а взята точка О и через
точку К, диаметрально противоположную О, к окружности
проведена касательная. Вокруг точки О вращается луч, пере-
секающий окружность н касательную соответственно в точ-
ках А п В. На этом луче от точки О откладывается отрезок
ОМ, равный отрезку АВ луча, заключенному между окруж-
ностью и касательной. Линия, описываемая точкой М при
вращении луча, называется циссоидой Диоклеса. На-
писать ее уравнение в полярных координатах, принимая за
полюс точку О и за полярную ось диаметр ОК. Перейти
затем к декартовым координатам.
377. Лемнискатой Бернулли называется овал
Кассини, когда постоянная величина аг, о которой говорится
в определении последнего (см. задачу 367), равна квадрат}
половины расстояния между постоянными точками Ft и гг.
Написать уравнение лемнискаты Бернулли в полярных коор-
динатах, принимая за полюс середину отрезка FtFt, а за по
ляриую ось прямую FtFt.
1378
<1П гл .V УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
378 На окружности радиуса а взята точка О и через
378. па окру оа Во)<руг точк(| о вра1цается луч>
нее проведен д )(ХТЬ в переменной точке В. На этом
л;Т“бе стороны от точки В откладываются отрезки
7W ^BMt-=AB. Написать уравнения линий, описываемых
точками М. н М. при вращении луча.
379 Отрезок постоянной длины 2а скользит своими кон-
цами по сторонам прямого угла. Найти линию, описываемую
при этом движении отрезка основанием перпендикуляра,
опущенного из вершины прямого угла на отрезок (в поляр-
ных и декартовых координатах).
380. На окружности радиуса а взята точка О. Через точку
А", диаметрально противоположную О, к окружности проведена
касательная. Вокруг точки О вращается прямая, пересекающая
окружность и касательно ю соответственно в точках А и В.
Из точки А проводится прямая, параллельная касательной, а
из точки В—прямая, параллельная диаметру ОК- Найти геомет-
рическое место точек пересечения этих прямых (верзьера
Марии Аньези), принимая за начало прямоугольной си-
стемы координат точку О, а за ось абсцисс диаметр ОК.
381. Найти геометрическое место точек (овал Де-
карта), зная, что между их расстояниями г, и г2 от двух
постоянных точек А и В существует линейное соотношение
rt = er14-ft, принимая точку А за полюс, а прямую АВ за
полярную ось при условии, что АВ —с.
382. Вокруг точки О вращается луч с постоянной угло-
вой скоростью со. По этому лучу движется точка М с по-
стоянной скоростью v. Составить уравнение линии, описы-
ваемой точкой М, в полярных координатах, если в начальный
момент движения луч совпадает с полярной осью, а точка Л1 —
с точкой О. Линия, описываемая точкой М, называется
спиралью Архимеда.
ваягк^ ' РадиУса г катится по кругу радиуса R, оста-
еГ°’ „йти параметрические уравнения линии, опи-
нимая 2 1° катящегося круга (эпициклоида), при-
параметп ачал0,К00₽ДПнат Центр неподвижного круга, а за
абсцисс и пя Л • между положительным направлением оси
касания подвижно4 Иеподвнжного круга, идущим в точку
женин подвижнаяГ° Круга с неподвижным. В начальном по.то-
пересечення послед^еГс^ХГа^ ” А
389] ГЛ. IV. СРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ 91
384*. круг радиуса г катится по кругу радиуса R, оста-
ваясь внутри него. Написать параметрические уравнения ли-
нии, описываемой точкой катящегося круга (гипоцик-
лоид а). Выбор системы координат и обозначений такой же
как и в предыдущей задаче.
385. Показать, что при R = 4r п поциклоида обращается
в астроиду
t » »
х* -bj?’ =«’ .
386. Показать, что при R = 2г гипоциклоида обращается
в диаметр неподвижного круга.
387*. Отрезок постоянной длины движется так, что один
его конец скользит по окружности .х*+у* = г\ а другой —
по оси Ох (шатунно-кривошипный механизм). Составить
уравнение кривой, которую описывает точка отрезка, раз-
деляющая его на части а и Ь.
388*. По окружности х* +уг = г* катится прямая, началь-
ное положение которой х = г. Определить траекторию точки
катящейся прямой, принимая за начальное ее положение
точку (г, 0) (эвольвента окружности).
389. Исследовать геометрическое место точек—центров
окружностей, касающихся двух фиксированных окружностей.
Рассмотреть три случая: 1) одна из фиксированных окруж-
ностей лежит внутри другой; 2) одна из фиксированных
окружностей лежит вне другой; 3) одна из фиксированных
окружностей вырождается в прямую, не пересекающую вто-
рую окружность.
ГЛАВА V
ОКРУЖНОСТЬ
Уравнение окружности с центром в точке С (а, Ь)
и радиусом г относительно декартовой прямоугольной системы
координат имеет внд’
(х—а)‘+(у—Ь)‘=гг. (П
Это уравнение называется нормальным уравнением
окружности
Если центр совпадает с началом координат, то нормальное
уравнение окружности будет:
хг+уг=г‘. (2)
Уравнение
Ах*4- Аг/’+ 2/Зх 4-2Сг/-|- D = 0
при условии А^О, Вг + Сг—AD>0 в декартовой прямоугольной
системе координат определяет окружность с центром в точке
(В С \
-j, — j ) и радиусом
. i/fl8 + C»-AD
V Аг
Результат подстановки координат произвольной точки пло-
скости в левую часть уравнения окружности, взятого в виде:
(х— а)‘+ (у—6)«_гг=-о,
т. е. число
о=(х—а)г 4- (</—Ь)г — г*
есть степень точки М (х, у) относительно этой окружности,
т. е. число d'—гг, где d — расстояние от точки (х, у) до центра
окружности, а г — радиус окружности.
Если точка М лежит вне окружности, то ее степень относи-
тельно этой окружности' положительна и равна квадрату длины
отрезка касательной, проведенной из данной точки М к окруж*
ностн, или на основании известной теоремы элементарной геомет-
рии произведению отрезка любой секущей, проведенной из этой
точки к данной окружности на ее внешнюю часть:
с—А1Г2=МА-Л1В.
гл. v. окружность
93
Если точка М лежит внутри окружности, то ее степень отно-
сительно этой окружности отрицательна и по абсолютной величине
равна произведению отрезков, на которые точка М делит любую
проходящую через нее хорду-
о=— МА-МВ.
Если точка М лежит на окружности, то ее степень относи-
тельно этой окружности равна нулю:
о=0.
Если
п,^(лг—fl,)2 + (t/—Ь,)г—rJ=O,
иг^(х—а2)г + (у ~btY—г' = О
— уравнения двух окружностей, то уравнение
к1и1 + ^2и2 — 0,
где Z, н лг— произвольные числа, неравные нулю одновременно,
определяет окружность (или прямую). Если окружности и,=0
н ut=0 пересекаются, то окружность
l1u1 + ltut=0
проходит через точки нх пересечения.
Уравнение
+ 1ги2 = 0
можно рассматривать как уравнение геометрического места точек,
. „ и,
для каждой из которых отношение степеней — равно данному
числу — .
Л1
Если Хг = — X, ?= О, то уравнение Х1и1 + 1гиг=0 принимает вид
ut—и2=0 или ut = u2 и определяет прямую линию, называемую
радикальной осью двух данных окружностей, т. е. ради-
кальной осью двух окружностей называется геометрическое место
точек, степени каждой из которых относительно данных окруж-
ностей равны между собой.
Если заданы три окружности
ut=0, иг—0, и2=0,
центры которых не лежат на одной прямой, то три радикальные
осн
Uj—Uf, и2 = и2, иг=и„
взятые для каждой пары окружностей, проходят через одну точку,
называемую радикальным центром этих трех окружностей.
Если
и (х—а)г + (у-1>У-г2=0,
о = Лх + В{/ + С=0
ГЛ V. ОКРУЖНОСТЬ
1390
_ урв1,>.гния окружности и прямой, то уравнение
и рЛо”0
nxnvWIIOCTb Соли окружность и—0 и прямая О.= 0
шр.7екаются, ?о окружность ОЛо=0 проходит через точки ид
пересечения.
390. Составить уравнение окружности, если дан ее центр
S( I, 3) и радиус /'=4
391. Составить уравнение окружности радиуса Г — о с
Петром в начале координат.
392. Определить координаты центра 5 и радиус г каж-
дой из следующих окружностей:
1) х*+у*—6х= 0;
2) х*-|-у‘4 6х—8у = 0;
3-) х‘+уг— 10х |-24у —56 0;
4) Зх’+3у‘ + 6х—4у—I —0.
393. Привести к нормальному виду уравнения окружно-
стей:
1) х*-\-у‘—2х-)-4у = 0;
2) х‘4-у* 4-х—5у—3 = 0;
3) 3х*4-3у‘ —2x4 7у+1=0.
394. Определить положение точек Л(3, 1), В(1, 0),
С( — 2,0) и D (—2,1) относительно окружности х* 4" У —1=0.
395. Составить параметрические уравнения окружности
(х й) +СУ—bf=r*, приняв за параметр угол 0 от по-
ложительного направления оси Ох до направления радиуса
окружности.
396. Как распотожены на плоскости точки, координаты
которых удовлетворяют условиям:
П (Х-1)’ 1-(у-3)‘^25;
2) 16<(х-1),4-(у + з)‘<25;
4 нТ’» (х-4)2-Н_у — 6)’^9;
4) Г-НУ—6х<о, у^0;
5) х*4-у’_4у<0, |х|>1.
397. Составит
в точке (6, 0) и
398. Составит
«Сжит на осн Оу
ь уравнение окружности, касающейся осн Ох
проходящей через точку (9, 9).
ь Уравнение окружности, центр которой
и которая касается оси Ох.
413] гл. v. окружность gj
399. Составить уравнение окружности, центр которой
лежит на оси Ох и которая касается оси Оу.
400. При каком условии окружность (х—o)I + (v_bf
проходит через начало координат?
401. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки (2, 1), (— 1, 2) и через начало координат.
402, При каком условии уравнение х* 4 У* + Ax-j-
+ДУ+ С=0 определяет окружность?
403. Составить уравнение окружности, имеющей центр
в точке (2, 3) и касающейся прямой х—2j4-l=0.
404. Составить уравнение окружности, имеющей центр
в точке (1, —3) и проходящей через точку (3, 5).
405. Составить уравнение окружности с центром в начале
координат и проходящей через точку (2, —4).
406. Составить уравнение окружности радиуса г = 1^26
и проходящей через точки (2, 7) и (— 2, 1).
407. Составить уравнение окружности радиуса г=3, ка-
сающейся осей координат.
408. Составить уравнение окружности с центром в точке
(2, —3), касающейся оси Ох.
409. Уравнение х* + Ах-$-Ву± С —0 определяет
окружность. При каком условии (необходимом и достаточном)
эта окружность: 1) касается оси Ох? 2) касается оси Оу?
3) касается обеих осей координат?
410. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки (2, 1) и (3, 4), если ее центр лежит на прямой
2х—у 4-1 =0.
411*. Составить уравнение окружности, касающейся двух
прямых 2х4-_у—1=0, 2х—2 = 0 и проходящей через
начало координат.
412*. Составить уравнение окружности, касающейся трех
прямых ху— 2 = 0, х—j 4-4 = 0, х — 7у = 0.
413. Окружность проходит через точки (1, 4), (— 7, 4)
и (2, —5). Найти ее центр, радиус и уравнение.
414*. Определить координаты центра S окружности,
вписанной в треугольник АВС, если даны уравнения его
сторон; х — 4 = 0, Зх — 4j + 36 = 0, 4x-f-3y 4-23 =0.
415. Составить уравнение окружности радиуса I, кзсаю
щейся прямой 3x4-4j —5 = 0 и проходящей через точку
(-4, 4).
ГЛ. V. ОКРУЖНОСТЬ
[416
416 Составить уравнение окружности радиуса J 5, ка-
сающейся прямой х+2у-3 = 0, зная, что ее центр лежит
па осп Оу.
417. Составить уравнение окружности радиуса г—1, ка-
сающейся оси Ох, зная, что ее центр лежит на прямой
Зх—у -}-7 = 0.
418. Составить уравнение окружности, касающейся ко-
ординатных осей и проходящей через точку (—2, 1).
419. Составить уравнение окружности, имеющей радиус
г —У 2 и касающейся двух прямых х—у 4- 2 = 0, 7х4-_У = 0.
420. Составить уравнение окружности радиуса г, каса-
ющейся осей координат.
421. Составить уравнение окружности радиуса Г=5 и
касающейся прямой 2х—у4-4 = 0 в точке ( — 1, 2).
422. Составить уравнение окружности, касающейся оси Оу
в точке (0, —3) и проходящей через точку (— 2, 1).
423. Составить уравнение окружности, касающейся пря-
мой х4-2_у=0 и прямой х—2j4- 1=0 в точке ( — 1, 0).
424. Составить уравнение окружности, касающейся пря-
мой х—7j-|-10 = 0 в точке (4, 2), зная, что ее центр ле-
жит на прямой 2х4-_у = 0.
425. Составить уравнение окружности, касающейся пря-
мой 4х—Зу4-1=0 и оси Оу, зная, что ее центр лежит
на осн Ох.
426. Составить уравнение окружности, проходящей через
начало координат и имеющей центр в точке (1, 1).
427*. Составить уравнение окружности, касающейся двух
параллельных прямых Х-[-у — 2 = 0, х4-.У + 3 = 0 и прохо-
дящей через точку (1, 0).
428. При каком условии уравнение Ах* 4- Ау* 2Вх 4"
4-2Су4~£, = 0 определяет окружность (действительную).
Найти координаты центра этой окружности и ее радиус.
429. Определить геометрическое место точек, из кото-
рых отрезок АВ, Д(— 1, 0), В (2, 4), виден под углом а
таким, что ctga = 3.
430*. Найти необходимое и достаточное условие того,
что прямая Ах4-Ву-)-С=0:
1) пересекает окружность х*А~у* 4-ax4-f)y 4-^ = 0;
2) не пересекает эту окружность;
3) касается этой окружности.
446]
гл. V. ОКРУЖНОСТЬ
97
431. Доказать, что прямая x-f-j—12 — 0 нс пересекает
окружность хг-\-у‘ — 2у — 0.
432. Определить длину хорды окружности х14-/ —
— 2х—8у—8 = 0, отсекаемой прямой 5х-|-12у—14=0.
433. Определить общие точки двух окружностей:
х' + У- 6х4-4> —12 = 0. х* 4-/4-10х—8у4-16 = 0.
434. При каком необходимом и достаточном условии
начало координат лежит внутри окружности хг 4-уг 4-Ах 4-
4-В>4-С=0?
435. При каком необходимом и достаточном условии
точка Л40(х0, уо) лежит внутри окружности х’4-/4-Дх4-
4-#j4-C=0i*
436. Составить уравнения касательных, проведенных из
начала координат к окружности (х—5)’-]-/—9 = 0.
437. Составить уравнение касательной к окружносш
х'4-/ — 2x4 6_у = 0 в начале координат.
438. Составить уравнение касательной к окружносш
х‘4-/ 4- Ах-\-Ву — 0 в начале координат.
439. Составить уравнение касательной к окружности
х* -]-/ — 2х—4 = 0 в точке (3, 1).
440. Доказать, что синус половины угла, под которым
окружное ть (х —С)' 4- (j —&)'—/*= 0видна из точкиЛЦх0,v0),
определяется соотношением
• 0 г
Sin 2 ~ К(х. - в)‘4-(ув-ЬУ
441. Составить уравнения касательных к окружности
хг-\-у*-]-2х — 4_у4-1 = 0, параллельных прямой Зх—4у = 0.
442. Составить уравнения касательных к окружности
х* 4-/ — Зх-{-2у— 3 = 0, перпендикулярных к прямой
4х 4- 3 у - 0.
443. Составить уравнение окружности, из любой точки
которой окружность (х — a)2-f-(j — b)* — гг = 0 видна под
прямым углом.
444. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки (5, 0), (4, 1) и касающейся прямой 3x4-4^4-34 = 0.
445. При каком необходимом и достаточном условии
прямая Дх4-4-С —0 касается окружности х*4-/ = /?’?
446. Составить уравнение касательных к окружности
(х—1 )* 4- (у 4. 2)’ = 25, параллельных прямой Зх — 4_у —0.
4 С. В. Бахвалов и др.
ГЛ. V. ОКРУЖНОСТЬ
(447
447. llaAiH civhcuh точек Л(2, 1), В(3, —7), К(0, 1)
относительно окружности х*+у* — 2х = 0.
448. Опре делить длину отрезка касательной, ^проведенной
из точки (5, Ь) к окружности (х+—2)* —25 = 0.
449. Определить длину отрезка касательной, проведенной
из точки (7, I) к окружности %* + /— 6х = 0.
450. Определить длину отрезка касательной, проведен-
ной из начала координат к окружности (х—о)‘4~(У—Ь)г —
— г* —О (а* + 1>г >г‘).
451. Состав:!ib уравнение прямой, проходящей через
точки пересечения двух окружностей — 2х — 4у—-
— 20=0, х‘+/ —8х—8>—4 = 0.
452. Составить уравнение общей хорды двух окружностей
(х-1)‘-ЬО'4-2)'- 13=0, (х+3)‘ + (^-1)‘-36 = 0.
453*. Составить уравнение окружности с центром в точке
(О, 2) п пересекающей окружность х* 4-у*—бх-Ь^У—11=0
под прямым углом.
454*. Составить уравнение окружности с центром на пря-
мой x + 2j4-2=0 и пересекающей каждую из двух дан-
ных окружностей х*+/—6х = 0, х*4-у* 4~8у =0 под пря-
мым углом.
455. Определить радикальную ось двух окружностей:
х'4-/ — 6%4-2у— 6 = 0,
x'4-/4-4x4-2j-| 4 = 0.
456. Найти радикальный центр окружностей
457.
+ О'-V-4=0, fe = i, 2, з.
У равнения
х‘4-/4-Дах4-В^4-Сл = 0, ft=l, 2, 3,
определяют три окружности, центры которых неколлинеарны
Найти их радикальный центр.
458. Найти радикальный центр трех окружностей:
, ^'+/ + x4-2j = 0,
х +/ + 2х4-2.у4-3=0,
х Н'З'8 + Зх у—1=0.
x'+y4-x4-2j = 0,
х- +У4-2х4-2Л-3 = 0,
х +Ji+3x4-ji—1 = 0.
463] гл. v. окружность 99
460. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки (1, 1), (О, 2) и касающейся окружности (х—51*4-
+ (у-5)’«16.
461. Составить уравнение окружности, проходящей через
точку (1, —2) и точки пересечения прямой х—7у-|-10 = 0
с окружностью х’-Ьу4 — 2х-]-4у—20 = 0.
462. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки Д(4, 5), В( — 4, —1), С(0, 1).
463. Через точки Д(4, 5) и В( — 4, —1) провести
окружность так, чтобы прямая, проходящая через точки
пересечения искомой окружности и данной (х-|-3)*+У = 9,
содержала данную точку М(— 3, 0).
ГЛАВА VI
ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА, ЗАДАННЫЕ
КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Эллипс. Каноническое уравнение эллипса (рис. 18) имеет
вид:
5+й1’ “)
где а и b(a>b)— длины полуосей, т. е. половины длин
отрезков, отсекаемых эллипсом (1) на осях координат. Точки пе-
ресечения эллипса (1) с его осями симметрии, т. е. с осями ко-
ординат, называются его вершинами.
Точки F,(_c. 0) и Ft (с. оу. где
с= \'аг~
называются фокусами. Число
'-!<•
pac-
ГЛ. VI. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ 101
Если М (х, у) произвольная точка эллипса (1) и г
стояния от фокусов F„ F2, то
г, = а4-ех, гг = а—ex. (4)
Эллипс есть геометрическое место точек, для каждой из ко-
торых сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная
равная 2а. •
Прямые, определяемые уравнениями
ts)
e.
а
и х ——
е
называются директрисами эллипса (1).
Из уравнений (4) и (5) следует, что для любой точки эллипса:
j-=e, ^г=е> где н dt—расстояния этой точки до директрис
а
х =---
е
Середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой,
называемой диаметром эллипса, сопряженным этим хордам.
Если k—угловой коэффициент хорд эллипса (1), то уравнеине
сопряженного им диаметра имеет вид:
? + Л#=°-
(6)
Два диаметра, из которых каждый делит пополам хорды, па-
раллельные другому, называются сопряженными. Если k2—
их угловые коэффициенты, то
(7)
1 ' аг
Касательная к эллипсу (1) в его точке Л4,(.г„ у0)
определяется уравнением
^=1.
(«)
Гипербола Каноническое уравнение гиперболы (рис 19)
имеет вид
<9)
а* Ь*
где а и Ь— длины полуосей, действительной и мнимой
При о = 6 гипербола (9) называется равносторонней
Точки пересечения гиперболы (9) с ее действительной осью
(т. е с осью Ох) называются вершинами.
Точки Г, (—с, 0), Гг(с, 0), где
(iQ>
102 ГЛ VI ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ
с
начиняются фокусами гиперболы (9), число е=— >1 назы-
вается эксцентриситетом гиперболы
Если Л' (х, у)—произвольная точка левой ветви гиперболы (9)
(х<- а) и г,, г,—ее расстояния от фокусов Ер Е1Г то
г,=—а—ex, rt=a—ex. (11)
Если М (х, у)—произвольная точка правой ветви гиперболы
(9) (х^а) и г,, rt — ее расстояния от фокусов Ft, Ft, то
r, = a-f-ex, ft = — а+ех. (12)
Гипербола есть геометрическое место точек, для которых
абсолютная величина разности расстояний от фокусов есть вели-
чина постоянная, равная 2а.
Прямые, определяемые уравнениями
(13)
называются Директрисами гиперболы (9)
глпеХК"”'"" |12>' "31 ™ «л. М ......
пГр^Р~ любой ветви ги-
иперболы и dp dt—расстояния Гтих^к % Ги'рект^с" ВеТ“"
е’ Х~Т-
ГЛ. VI. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ 103
Как в случае эллипса, вводится
женных диаметров гиперболы.
Уравнение диаметра имеет вид:
понятие диаметра и сопря-
О2 *^2-°-
(14)
где k—угловой коэффициент сопряженных ему хорд.
Угловые коэффициенты сопряженных диаметров гиперболы
связаны условием
. г,
*‘*2~а2 ’ О5)
Уравнение касательной к гиперболе (9) в точке
Л10(х«, yj имеет вид:
х„х У0У,
а2 &
(16)
Асимптоты
гиперболы (9) определяются уравнениями
{/=±1х. (17)
Уравнение гиперболы, отне-
сенной к асимптотам, имеет вид:
хр=С, где С^О. (18)
Две гиперболы ху=С,
ху ——С называются сопря-
женными.
Парабола. Каноническое
уравнение параболы (рис. 20) име-
ет вид:
tf — Zpx, (19)
где число р, называемое пара-
метром параболы, есть расстоя-
ние от фокуса до директрисы.
Точка пересечения параболы (19) с ее осью симметрии (т. е.
с осью Ох) называется вершиной, фокус F параболы (19)
(р \
"2* ’ / '
Директриса параболы (19) определяется уравнением
(20)
Расстояние г любой
определяется формулой
точки М (х, у) параболы (19) до фокуса
(21)
г =
f + x
104 гл. vi линии. заданные каноническими уравнениями 1464
п.паЛпла есть геометрическое место точек, для каждой из
П“? до фокуса равно расстоянию до директрисы.
ДиГ»^ы параХы (19) параллельны ее оси симметрии
(ось Ох) и определяются уравнением
(22)
г.е ь_ угловой коэффициент сопряженных ему хорд.
Кас.тельиаУ к параболе (19) в точке Л1. (х„ у.)
определяется уравнением
»/оУ = Р (* + *«) (23>
Парабола часто задается уравнением
у= ах1. (24)
В этом случае ось параболы совпадаете осью Оу, а параметр
',в2|Я-
Уравнение в полярных координатах. Если за
полярную ось принять ось Ох канонической системы координат
(ось линии второго порядка), а за полюс—левин фокус в случае
эллипса, правый фокус—в случае гиперболы и фокус — в случае
параболы, то уравнение в полярных координатах каждой из этих
линий имеет один и тот же вид:
о=;--------.
* 1— е cosip
где р и ф—полярные координаты точки кривой; р—длина полу-
хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к осн; е —
эксцентриситет кривой (в случае параболы е — 1), при этом для
эллипса и гиперболы р~—, а для параболы р—параметр.
§ I. Эллипс
464. Составить каноническое уравнение эллипса, если;
1) полуоси его соответственно равны 5 и 4;
2) расстояние между фокусами равно 8 и ббльшая ось
на ivj
3) ббльшаи ось равна 26 и эксцентриситет е = у|.
465. Определить фокусы эллипса ^ + ^=1.
«б. Определить фокусы эллипса J + Z = L
477]
§ 1. эллипс
105
467. Определить эксцентриситет эллипса, если:
1) отрезок между фокусами виден из вершин малой осн
под углом 60 ;
2) расстояние между двумя вершинами эллипса различных
осей в два раза больше расстояния между фокусами;
3) расстояние между фокусами есть среднее арифмети-
ческое длин осей.
468*. Составить уравнение семейства эллипсов, имеющих
одни и те же фокусы F, (—с, 0), F,(c, 0).
469. Определить положение следующих точек: 1) А (1 2)-
2) 1, 3);_ 3) Д,(6, 1); 4) Д4(—*1,'7);
5) Д, (/3. 5 у у) относительно эллипса ^ + С = 1-
470. Оси эллипса совпадают с осями координат. Эллипс
проходит через точки Р(2, 2), Q(3, 1). Составить уравне-
ние эллипса.
471. Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют
координаты F(0, 1), F,(l, 0) и ббльшая ось равна 2.
472. Расстояния от одного из фокусов эллипса до концов
его большей оси соответственно равны 7 и 1. Составить
уравнение этого эллипса.
№
473. Дан эллипс 5с+бл = 1- Написать уравнения его
оо zU
директрис.
474. Прямые х = ± 8 служат директрисами эллипса,
малая ось которого равна 8. Найти уравнение этого эллипса.
475. Определить эксцентриситет эллипса, зная, что:
1) малая ось его видна из фокуса под прямым углом;
2) расстояние между фокусами равно расстоянию между
вершинами малой и большой осей;
3) расстояние между директрисами в четыре раза больше
расстояния между фокусами.
476. На эллипсе Х + С=1 найти точку, расстояние
1 ии Ои
которой от правого фокуса в четыре раза больше расстояния
ее от левого фокуса.
хг и*
477. Через фокус F(c, 0) эллипса + проведена
хорда, перпендикулярная к большой осп. Найтн длину
этой хорды.
Ю'НЛ. VI. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ [478
478. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного
X* ,У* __ 1
в ЭЛЛИПС -а + LT — 1"
I/2
479. Оиредс шть диаметр эллипса gg + jg^1’ сопРяжен'
2
ный хордам, имеющим угловой коэффициент к .
480 Составить уравнение прямой, проходящей через
середины хорд 2х-у + ? = 0, 2х-_у-1 = 0 эллипса
/_ + £ = 1.
100 64 х2 у2
481. Составить уравнение такой хорды эллипса 25+
которая точкой ЛЦ2, 1) делится пополам.
482*. Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного
в эллипс, параллельны его осям.
483. Написать уравнение касательной к эллипсу ^4-jg — 1
в точке Л1(4, 3).
484*. Составить уравнения касательных к эллипсу
Xs и2
ж4~тг = 1, проходящих через точку N(10, 4).
лЭ 1 О
х2 у2
485. Определить касательные к эллипсу = |,а*
раллельные прямой хф-у—1=0.
486. Найти уравнения тех касательных эллипса
Зх1 ф 8у2 = 45, расстояния которых от центра эллипса равны 3.
487*. Доказать, что касательные к эллипсу 4" 1»
проведенные в концах одного и того же диаметра, парал-
лельны между собой, и обратно, если две касательные к эл-
липсу параллельны, то точки касания лежат на одном и
том же диаметре.
488. Найти уравнения сторон квадрата, описанного около
эллипса
489*. Доказать, что произведение расстояний любой
™Сс™™Н°.Й 9ЛЛ1Ц’Са °Т ДВуХ его фокУсов есть величина
ПОС40П* п равная квадРатУ малой полуоси.
• ри каком необходимом и достаточном условии
прямая Дхф-Ву-ф- С=0 касается эллипса \ + = 1?
502]
§ 1 • ЭЛЛИПС
107
491*;Найти общие касательные к следующим двум эл.
липсам: - + ^-=1 и т+«г==1
492. Доказать, что касательные к эллипсу 4+-= I
отсекают на двух касательных, проведенных в концах боль-
шой оси, отрезки, произведение которых есть величина
постоянная, равная Ь1.
xi 4^Р** Д°казать> чт0 отрезки касательных к эллипсу
заключенные между касательными, проведенными
в вершинах большой оси, видны из фокусов под прямым
углом.
494*. Найти геометрическое место точек, из которых
эллипс дГ_1_)‘г=1 виден под прямым углом.
495. Эллипс с полуосями о. и b перемещен так, что центр
его совпал с точкой С(х', у'), а оси остались параллельными
осям координат. Какое уравнение имеет эллипс в этом но-
вом положении?
496. Эллипс касается оси ординат в начале координат,
а центр его находится в точке (5, 0). Составить уравнение
эллипса, зная, что эксцентриситет его е = 0,8.
497*. Эллипс при движении по плоскости касается двух
взаимно перпендикулярных прямых (осей координат). Какую
линию описывает центр эллипса?
498*. Эллипс, имеющий фокусы в точках F, (—3, 0),
Fa(3, 0), касается прямой хфу—5 = 0. Составить уравнение
эллипса.
499. О А и ОВ—два сопряженных полудиаметра эллипса
_ = 1, /и—середина хорды АВ и С—точка пересечения
а ОМ
луча ОМ с эллипсом. Определить отношение .
500*. Составить уравнение геометрического места точек,
симметричных центру эллипса относительно касательных.
501*. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного
из центра эллипса на прямую, соединяющую концы двух
перпендикулярных диаметров эллипса, есть величина по-
стоянная. X
502*. Найти геометрическое место проекций какого-лиоо
фокуса эллипса на касательные к этому эллипсу.
)()8гл V1< .. ЗАДАННЫ!’ КАИ0НИЧ1СКИМИ УРАВНЕНИЯМИ [503
Б03ф. Найт iеомстричсское место точек, симметричных
с каким либо фокусом эллипса относительно касательных
к этому эллипсу.
604 Н.1ЙШ геометрическое место центров окружностей,
«.кающихся данной окружности и проходящих через данную
точку, лежащую внутри этой окружности.
505*. Найти произведение расстояний от фокуса данного
эллипса до любых двух параллельных касательных к этому
Эл.пику.
506*. При каком условии из точки (х0, уо) можно про-
вести касательные к эллипсу -г- + ^г=1- Составить урав-
нение этих касательных.
507*. Составить уравнение геометрического места вершин
углов данной величины а, стороны которых касаются эллипса.
7t
Рассмотреть частный случай: угол равен -%.
508*. Найти угол между касательными, проведенными
if"
из точки (х0, у(|) к эллипсу: ^--[-^-=1.
509*. Доказать, что если прямой угол вращается вокруг
точки, лежащей внутри окружности, то хорды, определяемые
точками пересечения сторон угла с окружностью, касаются
одного и того же эллипса.
510*. При каком необходимом и достаточном условии
прямая Ах + By С— 0: 1) пересекает эллипс ——U— =1?
о2 1 62
2) не пересекает этот эллипс?
511*. Доказать, что окружность, диаметром которой
служит отрезок произвольной касательной к эллипсу, заклю-
ченный между касательными, проведенными в концах его
большей оси, проходит через фокусы.
512*. Доказать, что две касательные к эллипсу — + ^ = 1,
пересекающиеся на оси Оу, пересекаются с любой третьей
с choKvcsMu В ЛВУХ точках> лежащих на одной окружности
касател/ны^аЙТИ гео',егрнческое место точек пересечения
“X ;-лК ЭЛЛИПСУ (С фокУсамн Л и в точках /И
и Ч при условии, что прямые • л^> параллельш«
523] § 1 ат 1ичс ЮЗ
514*. Назовем точку внутренней по отношению к эллипсу
если любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает
эллипс в двух (различных) точках.
При каком необходимом и достаточном условии точка
(*„, >«) будет внутренней для эллипса ^- + £= 1?
515*. Доказать, что точка М будет внешней по отноше-
нию к данному эллипсу тогда и только тогда, когда из этой
точки можно провести к эллипсу две (различные) касательные.
516*. Доказать, что точка М является внутренней по
Отношению к данному эллипсу тогда н только тогда, когда
MFt + < 2<z, где Ft и F2—фокусы эллипса, а 2«— его
большая ось.
517*. Найти площадь параллелограмма, у которого двумя
соседними сторонами являются сопряженные радиусы эллипса
с полуосями а и b (радиусом эллипса называется отрезок,
соединяющий его центр с произвольной точкой эллипса;
радиусы эллипса, лежащие на его сопряженных диаметрах,
называются сопряженными радиусами эллипса).
518*. Найти сумму квадратов длин сопряженных радиусов
эллипса с полуосями а и Ь.
519*. Составить уравнение эллипса, принимая за оси коор-
динат два сопряженных диаметра эллипса.
520*. Найти пределы, в которых изменяется угол (острый)
№
между двумя сопряженными диаметрами эллипса ^- + ^-=1.
521*. Найти равные сопряженные радиусы эллипса
-+^-1
а- + Ьг ~ ’
522. Проведем через каждую точку М эллипса две хорды
/ИЛ и МВ, соответственно параллельные двум данным на-
правлениям.
Доказать, что прямая АВ касается некоторого эллипса,
подобного данному, причем точкой касания служит середина
отрезка АВ.
523*. Через две произвольные точки А и А' плоскости
проводятся две параллельные секущие к эллипсу. усть
первая секущая пересечет эллипс в точках Р и Q, а вторая
, AP-AQ _ t
в точках Р и Q . Доказать, что .a'Q' — CUU!””
П01Л. VI ЛИНИИ. ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ уравнениями )524
X* у*
624*. Найти сумму двух хорд эллипса + => про-
ходящих через его фокус и параллельных сопряженным диа-
метрам этого эллипса.
525*. Плоская жесткая фигура перемещается в своей
плоскости так, что две ее точки движутся соответственно
по двум пересекающимся прямым. Доказать, что точки фи-
rj ры описывают эллипсы.
526*. Доказать, что сумма квадратов обратных величин
двух взаимно перпендикулярных радиусов эллипса есть вели-
чина постоянная.
527*. Эллипс катится по равному ему эллипсу, причем
первоначально ббльшие оси обеих линий расположены одна
на продолжении другой (с точкой касания в вершине).
Какое геометрическое место описывают фокусы подвиж-
ного эллипса?
528*. Доказать, что если четырехугольник PQRS, описан-
ный около эллипса, обладает тем свойством, что одна из
диагоналей PR проходит через один из фокусов Г,, а другая
QS проходит через другой фокус Ft, то PR есть биссектриса
угла QFtS, a QS—биссектриса угла PFrR. Произведение
двух противоположных сторон этого четырехугольника равно
произведению двух других его противоположных сторон.
529*. Доказать, что сумма обратных величии отрезков,
на которые фокус эллипса делит проходящую через него
хорду, постоянна.
Доказать, что и отношение произведения этих отрезков
к длине хорды также постоянно.
§ 2. Гипербола
530. Определить положение точек А (4 1) В 1 _______2)
С(/2, 1) относительно гиперболы х2—уг=],
И. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
1) действительная полуось в = 5 и мнимая 6=3;
наягЛТ^Т МеЖДу Ф°КуСаМ" р;1вно 10 “ лействитель-
пая ось равна 8.
532. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
1) действительная ось равна 48 и эксцентриситет е = {|;
5421
§ 2 ГИПЕРБОЛА
Ill
2) действительная ось равна 16 и угол <р между асимп.
тотой и осью абсцисс определяется условием tg<p = A.
533. Вычислить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
534. Даны уравнения асимптот гиперболы у =±— х
и координаты точки Af(24, 5), лежащей на гиперболе Со-
ставить уравнение гиперболы.
535. Определить фокусы гиперболы —
536. Определить фокусы гиперболы ~=__________1.
537. Определить каноническое уравнение гиперболы, если:
1) расстояние между директрисами равно и эксцентрн-
5
ситет е—~;
4
2) угол между асимптотами равен 60° и с = 2)Лз.
538. Определить длину хорды гиперболы, проходящей
через фокус и перпендикулярной к действительной оси.
539. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие
, хг , уг ,
фокусы с эллипсом = 1 при условии, что эксцентри-
5
ситет ее е = -~.
4
х2 if
549. Дана гипербола у — |g = l.
Требуется:
1) вычислить координаты фокусов;
2) вычислить эксцентриситет;
3) написать уравнения асимптот и директрис;
4) написать уравнение сопряженной гиперболы и вычис-
лить ее эксцентриситет.
541. Доказать, что отрезки, отсекаемые директрисами на
асимптотах (считая от центра гиперболы), равны действитель-
ной полуоси. Пользуясь этим свойством, построить директ-
рисы гиперболы.
542. Доказать, что директриса гиперболы проходит через
основание перпендикуляра, опущенного из соответствующего
фокуса на асимптоту гиперболы. Вычислить длину это> о пер-
пендикуляра.
Л2.Л VI ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ РАВНЕНИЯМИ |543
643. Вычислить полуоси гиперболы, зная, что:
I) расстояние между фокусами равно 8 и расе гояние
между директрисами равно 6;
2) директрисы даны уравнениями х — ±3]/2 и угол
между асимптотами прямой;
3) асимптоты даны уравнениями j=±2x и фокусы на-
ходятся на расстоянии 5 от центра;
4) асимптоты даны уравнениями у=^-^х и гипербола
проходит через точку N (6, 9).
544. Написать канонические уравнения двух сопряженных
гипербол, зная, что расстояние между директрисами первой
из них равно 7,2 и расстояние между директрисами второй
равно 12,8.
Б45. Определить угол между асимптотами гиперболы,
у которой:
1) эксцентриситет е — 2;
2) расстояние между фокусами в твое больше расстояния
между директрисами.
Б46. Дана равносторонняя гипербола х*——8. Найти
софокусную гиперболу, проходящую через точку М(—5, 3).
547. На гиперболе — -д-=| найти точку, для которой:
1) фокальные радиусы перпендикулярны друг к другу;
2) расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от
правого.
548 . Доказать, что произведение расстояний любой точки
।нперболы до двух асимптот есть величина постоянная.
549. Составить уравнение такой хорды гиперболы
9 Т=1» к°торая точкой Л1(5, 1) делится пополам.
550. Проверить, что оси гиперболы J—^ = 1 являются
kot'odLT отГ ДИаметрамн’ перпендикулярными к гем хордам,
которые они делят пополам.
551. Найти вершины квадрата, вписанного в гиперболу
а ьг ~1 ’ и исследовать, в какие гиперболы возможно
вписать квадрат.
5641 § 2 гиньрьолл
'О
552. Составить уравнение касательной к гиперболе
5----4°1 в т°чке Л4(5,—4).
553. Составить уравнение касательной к гиперболе
х2 — /- 8 в точке Л4(3,_1). •ииерооле
554*. Составить уравнение касательных к гиперболе
х*—•^•=1, проходящих через точку Л1(1 4).
Х2 55^' Состлвить Уравнение касательной к гиперболе
-д—з£ =1, если касательная:
1} параллельна прямой Зх—у—17=0;
2) перпендикулярна к прямой 2хф-5у-|-11 = 0.
556Найти необходимое и достаточное условие касания
прямой Ах+Ву + C—Q с гиперболой
аг Ь2
х* ip
гиперболы = 1 касательной.
558. Даны фокусы гиперболы Г] (4. 2), —1,____10)
и уравнение касательной Зхф- 4у— 5 — 0. Определить полуоси.
559*. Определить геометрическое место вершин прямых
углов, стороны которых касаются данной гиперболы.
560*. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
имеют координаты F,(1,0), F2(0, 1) и асимптоты параллельны
осям координат.
561*. Доказать что расстояние от любой точки Л/гипер-
болы до фокуса F равно отрезку прямой, проходящей через
эту точку параллельно асимптоте, заключенному между точкой
Л4 и директрисой, соответствующей фокусу F.
562. Составить каноническое уравнение гиперболы, сети
9
дано ее уравнение в полярных координатах р = 4_5со— •
563. Составить уравнение гиперболы в полярных коорди-
натах, если дано ее уравнение в декартовых координатах
х* _1
144 25
564. Можно ли к гиперболе — ^-=1 провести каса-
тельные любого направления и если нет, то какое обвине-
ние наложено на угловые коэффициенты касательных к эго
гиперболе?
11 1Л VI, ЛИПНИ, зада.. КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ [565
665. Гипербола, оси которой совпадают с осями коорди-
нат, касается прямой х—у—2 = 0 в точке М(4, 2). Соста-
вить уравнение этой гиперболы.
566*. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее
и уравнение одной из ее касательных
, I
асимптот j —iy *
5л — бу — 8 = 0.
567. Привести к простейшему виду уравнения гипербол:
1) 9? —25/—18х—100_у—316 = 0;
2) 5 с*—6/ 4-1 Ох—12_у —31=0;
3) х1 — 4/ 4-6х 4-5 = 0.
Определить положение их центров и величину осей.
568*. Найти геометрическое место проекций какого-либо
фокуса гиперболы на касательные к этой гиперболе.
569*. Н 1йтп геометрическое место точек, симметричных
с каким-нибудь фокусом гиперболы относительно касательных
к этой гиперболе.
570. Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся данной окружности и проходящих через данную
точку, лежащую вне этой окружности.
571*. Найти произведение расстояний от фокуса данной
гиперболы до любых двух параллельных касательных к этой
гиперболе.
572*. При каком условии из точки (х0, у0) можно про-
_ X4 у2
вести к гпперооле —^- = 1 Две касательные? Составить
уравнения этих касательных. При каком условии из точки
(х0, у0) к данной гиперболе можно провести только одну
касательную? Составить ее уравнение.
573*. Составить уравнение геометрического места вершин
углов данной величины а, стороны которого касаются гипер-
болы —|f- = l. Рассмотреть случай а = ^-.
574*. Найти угол между касательными, проведенными из
%? t?
точки (х0, уй) к гиперболе
575*. Доказать, что произведение отрезков, отсекаемых
касательной к гиперболе на ее асимптотах (считая от центра),
равно квадрату половины расстояния между фокусами.
б841 § 2. ГИПЕРБОЛА
» I о
576*. Найти площадь треугольника, образованного асим-
птотами гиперболы и произвольной касательной
к этой гиперболе.
5ГП*. Доказать, что точка гиперболы служит серединой
отрезка касательной к этой гиперболе, заключенного между
асимптотами. 3
578*. Найти площадь параллелограмма, одна из вершин
которого есть точка гиперболы ^=1, а две стороны
параллелограмма лежат на асимптотах.
579. Найти геометрическое место точек, дли каждой из
которых произведение расстояний до двух пересекающихся
прямых равно данному положительному числу.
580*. Назовем точку внутренней по отношению к гипер-
боле, если любая прямая, проходящая через эту точку и не
параллельная ни одной из асимптот, пересекает гиперболу
в двух (различных) точках. При каком необходимом и доста-
точном условии точка (х0, j0) будет внутренней по отноше-
нию к гиперболе —^—1?
581*. Доказать, что точка 7И, не совпадающая с центром
гиперболы, будет внешней точкой этой гиперболы тогда
и только тогда, когда из нее можно провести к гиперболе
по крайней мере одну касательную.
582*. Доказать, что точка М является внутренней отно-
сительно данной гиперболы тогда и только тогда, когда
(/И/7,— MFt | > 2а, где F, и /^ — фокусы гиперболы, а 2а—
ее действительная ось.
583*. Доказать, что если прямая / пересекает гиперболу
в двух точках, лежащих на одной ее ветви, то все точки
прямой /, лежащие между точками пересечения прямой I с
гиперболой, являются внутренними относительно гиперболы,
а все точки прямой I, лежащие вне отрезка этой прямо ,
ограниченного точками пересечения с гиперболой, внешними.
Если же прямая I пересекает различные ветви гиперболы, то
картина будет обратная.
584*. Доказать, что все точки касательной к гиперболе,
кроме точки прикосновения, являются внешними по отиоше
нию к этой гиперболе.
Ибгл VI ЛИНИИ, ЭА1АНИЫ8 КАНОНИЧЕСКИМИ уравнениями{585
585*. При каком необходимом и достаточном условии
карательные, проведенные из точки (л*, ув| к гиперболе
f*_ ** | касаются рахтичных ее ветвей?
а* Ь*
586*. При каком необходимом и достаточном условии
точка (х,, >,) лежит в области, ограниченной двумя лучами,
выходящими из центра гиперболы и идущими по ее асимп-
тотам. и самой гиперболой?
587*. При каком необходимом и достаточном условии
все точки отрезка с концами Af,(xv J>) и Aft(xt, у,) вну-
. х‘ и* ,
тренние по отношению к гиперболе —t—р=1?
588*. Доказать, что точка пересечения касательных к ги-
перболе, проведенных в точках /И, и 5ft. равноудалена от
четырех прямых F, If,, FtMt, Fl.lf1 и F, И,, где Fx и Ft—
фокусы гиперболы.
589*. Найти геометрическое .место точек, обладающих
тем свойством, что через каждую точку можно провести
X I/ *
двз луча, касающихся разных ветвей гиперболы р—
и образующих острый угол.
590*. Найгн геометрическое место точек пересечения
касательных к гиперболе в точках .И, и Mt таких, что
Af,F, -l^F^F, и Ft — фокусы гиперболы).
591. Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся двух данных окружностей (одна окружность
лежит вне другой).
592*. Найти геометрическое место вторых фокусов и
геометрическое место центров эллипсов, имеющих данный
фокус и проходящих через две данные точки. Найти те же
геометрические места точек, если вместо эллипсов рассмат-
риваются гиперболы.
593*. Найти геометрическое место вторых фокусов (и
геометрическое место центров» эллипсов и гипербол, для ко-
торых задан один фокус и две касательные. Решить ту же
ИльнаяСЛ>Чае' еСЛИ 3аМН ФОКУС’ °ДНа Т0ЧКЭ н одна KJ'
a1F59h4*\p аЙТИ 1 еометрнческое место точек касания прямых
, И /иг, с окружностью, вписанной в треугольник IfF F
Л0Х“ЗВОЛЬНаЯ ТОЧМ ги,,еР^1Ы. F, и ^-фокусы'гп-
602} § 2. ГИПЕРБОЛА 117
595*. Доказать, что софокусные эллипс и гипербола
(т. е. эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы) пересе-
каются ортогонально.
596*. Доказать, что отрезок произвольной касательной
к гиперболе, заключенный между двумя данными касатель-
ными к этой гиперболе, виден из фокуса под постоянным
углом.
597*. Доказать, что окружность, диаметром которой
является отрезок любой касательной к гиперболе, высекаемый
из нее касательными к гиперболе в ее вершинах, проходит
через фокусы. Найти также произведение отрезков касатель-
ных к Гиперболе в ее вершинах, концами которых служат
вершины гиперболы и точки пересечения этих касательных
с произвольной касательной к гиперболе.
598*. Доказать, что две касательные к гиперболе, сим-
метричные относительно мнимой осп, пересекаются с любой
третьей касательной в двух точках, лежащих на одной окруж-
ности с фокусами.
599*. Доказать, что точки пересечения касательной к
гиперболе с ее асимптотами лежат на одной окружности
с фокусами.
600*. Пусть Pt и Рг — точки пересечения касательной
к гиперболе в точке М с асимптотами. Доказать, что
A^ = AW^ = AIF,-.WF2 (F, и F2—фокусы гиперболы).
601*. Через точку Л1 проведены касательные МИ, и МИ,
к гиперботе (М, и .И,—точки прикосновения). Доказать, что
1)
AIM’ М1£
Al.F.Al.F, = A1,F,M,F, = ’
где R—радиус окружности, касающейся четырех прямых
MjF,, M,F,, M2F, и W2F, (см. задачу 588), а /’—мнимая
полуось гиперболы);
Air; A1F’
2) f.ViVWA'
602*. Найти геометрическое место вершин прямого угла,
стороны которого касаются соответственно двух данных
Эллипсов (или двух данных гипербол или данного эллипса
И данной гиперболы), софокусиых между собой.
I 18 ГЛ. VI. ЛИПНИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ [603
603*. При каком необходимом и достаточном условии
прямая Ах + Ву + С^'. 1) пересекает гиперболу 1?
2) не пересекает эту гиперболу?
604*. Доказать, что сопряженные диаметры равносторон-
ней гиперболы одинаково наклонены к ее асимптотам.
605. Доказать, что гиперболы, заданные уравнением
а* Ьг
= k (а и b фиксированы,
k—параметр):
1) имеют общие асимптоты;
2) имеют общие пары сопряженных диаметров.
606. Доказать, что касательная к гиперболе имеет на-
правление диаметра, сопряженного с диаметром, проходящим
через точку касания.
х2 у*
607. Доказать, что сопряженные гиперболы —2— р = ±1
кососимметричны друг другу относительно одной из асимптот
по направлению другой.
608. Назовем сопряженными радиусами гиперболы
х2 у2
—2—|г=1 два отрезка, лежащих на сопряженных диаметрах
этой гиперболы, причем концами этих отрезков являются
центр симметрии данной гиперболы и точки пересечения
сопряженных диаметров гиперболы с дайной гиперболой
х^ и*
и с гиперболой сопряженной данной.
Доказать, что если
•—конец одного из сопряженных радиусов, то конец другого
будет
609*. Доказать, что два треугольника, образованных двумя
радиусами гиперболы и касательными в их концах, равно-
велики. ’ н
D(,„610*’ Доказать> что отрезки ММХ и ММ касательных, про-
еденных из какой-либо точки М к гиперболе (М и М — точ-
cLTTZ'T*’ Относятс« < ДРУ-У как Длины радиу-
перболы, которым они параллельны.
619] § 2. ГИПЕРБОЛА.
611 . Доказать, что длины хорд, стягивающие дуги
заключенные между двумя параллельными секущими Ли
перболе, относятся друг к другу как радиусы гиперболы
параллельные этим хордам. ’
612*. Доказать, что диагонали параллелограмма, стороны
которого касаются гиперболы, являются сопряженными диа-
метрами гиперболы.
613*. Составить уравнение гиперболы, принимая за оси
координат два сопряженных диаметра этой гиперболы.
614*. Доказать, что прямые, соединяющие какие-либо
две фиксированные точки гиперболы с произвольной точкой
той же гиперболы, отсекают па ее асимптоте отрезок по-
стоянной длины, равный другому отрезку, отсекаемому на
той же асимптоте прямыми, параллельными другой асимптоте
и проходящими через данные точки.
615*. Найти два сопряженных диаметра гиперболы
р=1, образующих между собой угол а.
616. Найти геометрические места точек М пересечения
прямых, проходящих через две данные точки А и В плоско-
сти при условии, что прямые AM и ВМ параллельны двум
сопряженным диаметрам гиперболы.
617*. Доказать, чго касательные в точках пересечения
двух равносторонних гипербол с общим центром взаимно
перпендикулярны, если асимптоты одной из гипербол служат
осями симметрии другой.
618*. Через две точки А и В гиперболы проведены пря-
мые, параллельные ее асимптотам. Доказать, что:
1) вторая диагональ параллелограмма, образованного таким
построением, проходит через центр гиперболы;
2) половина этой диагонали есть среднее пропорциональ-
ное между расстояниями от центра параллелограмма до точки,
в которой диагональ пересекает касательную в точке А и до
центра гиперболы;
3) половина той же диагонали есть среднее пропор-
циональное между расстояниями от центра параллелограмма
до точек, в которых вторая диагональ пересекает гипер-
болу.
619*. Через две произвольные точки А и А плоскости
проводят две параллельные секущие к гиперболе. Пуст*
I SO гл VI. лкиии, ЗАДАННЫЙ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ [620
первая секущая пересечет гиперболу в точках Р и Q, а вто-
рая а точках Р и <?'- Доказать, что -—-^- = const.
620*. Через точку А плоскости проводится прямая, пере-
секающая । • :рб«' лу в точках Р и Q. Доказать, что
= coast, где г—фьхвхс гиперболы, параллельный рас-
сматриваемой сектщей
621*. Доказать, что если две из точек пересечения
окружности с разик торочвей гипербол ей служат концами
одного из диаметров окружности, то две другие (если они
существуют) служат ыжилми одного из диаметров гиперболы;
касательная в одной из последних точек перпендикулярна
к диаметру окружности, соед чающему две первые точки
пересечена
622*. Доказать, что геометрическое место точек прико-
сновения ккателынях или оснований нормалей, проведенных
из а = -»»я точки Д оси, не проходящей через фокусы к со-
> _-- Х4М и гаг.ер6одам, есть окружность
623*. Найтн геометрические места фокусов эллипсов,
касающихся в двьх точках данной окружности.
624*. Найти геометрическое » сто фокусов гипербол,
касающихся в двух точках ханам! окружности.
625*. Какой линии касаются ас штосы гипербол с задан-
шжж фокусом и cuumeicrnv впей этому фокусу дирею-
ржо«?
626*. -.оказать что сумма УЦнтьыгх млясик отрезков,
“• кото|ые фокус г «сербом. делит проходю через него
*°my. востоке > 2мазать что отмщ. -*t ириаижедения
этих с-греэкин к дампе хорды также тостомао.
§ 3. Пзрабола
627. Определить кооршваты фоктсз наовбозы а* — +х
т. Доделить «минтаем фокус. ваХ^ 5 = £
Оцрелелть коорхн«аты фокуса харябмая / = —6Х.
«а. Составить зшнщгне хщ>₽ктрмш варибмм т* = 6х.
-ч гмпм*с,оь У»я-е«е иаробояв. если
**Л*УЯЫ1е от нерщжт* раамо 3.
№. Составить ««««лж >weK>Be
- .от директрисы ;_4. 2.
6471
§ 3. П.М>ЛЬОЛЛ
121
633. Составить уравнение пашботы ее™
F<3- 0» " И»»~» Г""
634. Определить фокус парнб..да ^=д*_4х_-
635. Составить уравнение парабода, зная что:
1) расстояние фокуса от вершины рю». 3’ «аиво-
касается оси Оу и симметрична относительно осн Ох
2) фокус имеет координаты (-5, О), а ось ординат’слтжвт
директрисой;
3) парабола симметриям относительно осн Ох проходит
через начало координат и через точку М (1 4);
4) фокус параболы находится в точке (О, 2) и «•.
совпадает с началом координат:
5) карибом симметрична относ пению оси Оу. проходит
через начало координат и через точку м (6. —2).
636. На параболе = 8х язЛтв точку, фсжалыыв радяу.-
вектор которой равен 20
637. Через фокус параболы у==2рх проведена хорха,
перпендикулярная к ее осн. Определить длину згой хорда
638. Найти такую хорду парабол. У = 4х, птри точ-
кой (3. 1) делится пополам
639. Составить уравнение кжлтелымйк мдрпЬме у*=4х
в точке .4(9, 6).
640. Дано урамоме кэсатет^- й х—Зу—9=0 к пара-
боле у = 2рх Составить уэмаемие карибом.
641*. Найта необходимое и достаточное услинж сэснхкя
прямо* Ах—By—С=0 и параболы /=2рх.
642*. Написать сражение прямой, ихршелааой данной
y — kx-1-b и касающейся варвбош у* =2рх.
643*. Определить общие касатеаьжые к варибаае у* = 4х
х* 9* .
и к эллипсу -— -- — 1.
* *
644*. Онределить геонетрмеоюе место точек, с»«е?-
рпчшх началу системы координат относпевьно касапаннг
к naps бон У = 2гх.
645*. Найта гсометричес» < место осжиам* м|1«'Ш.игу-
лириа,опушенных из фокуса варнбомх f =4fx es касательные.
646. Составить урнвмекме и «рябои* у = 8х я жьявщив
коимсчатах.
647. Составить а—тине урмигмаг вэрвбсьш. Л₽е-
б
делаем * уро»*.-в.*ем < ----
122 ГЛ.У 1. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ [648
648, Доказать, что прямая, соединяющая фокус F пара-
болы с точкой пересечения касательных к параболе в двух
произвольных ее точках Ж, и Мг, делит пополам угол Ж,ГЖг.
649. Найти кратчайшее расстояние параболы у — б4х
от прямой 4х + Зу + 46 «» 0.
650. Доказать, что любая касательная параболы пересе-
кает директрису и фокальную хорду, перпендикулярную
к оси, в точках, равноудаленных от фокуса.
651*. Прямой угол скользит так, что стороны его все
время касаются параболы у’ = 2рх. Определить траекторию
его вершины.
652*. Проверить, что фокус параболы и точки прикосно-
вения двух касательных к параболе, проведенных из любой
точки директрисы, лежат на одной прямой.
653. Составить уравнение параболы, зная, что вершина
ее имеет координаты (а, Ь), параметр равен р и направление
осн симметрии совпадает: 1) с положительным направлением
оси Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) с по-
ложительным направлением оси Оу; 4) с отрицательным на-
правлением оси Оу.
654. Определить координаты вершины параболы, величину
параметра н направление оси, если парабола дана одним
из следующих уравнении:
1) — 10х—2у—19 = 0; 5) у — Ах? С;
2) у8 —6х + 14у + 49 = 0; 6) у = х2 — 8х15;
3)у* + 8х-16 =0; 7) у = х24-6х.
4) Xs —6х—4у-}-29 =0;
655*. Доказать, что параболы, имеющие общий фокус и
совпадающие, но противоположно направленные оси, пересе-
каются под прямым углом.
656. Парабола симметрична относительно оси Ох, вершина
ее помещается в точке (— 5, 0), и на оси ординат она от-
секает хорду, длина которой /=12. Написать уравнение
згой параболы.
657. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить
параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен 24 м,
а высота 6 л.
658. Камень, брошенный под острым углом к горизонту,
описал дугу параболы и упал на расстоянии 16 м от началь-
ною положения. Определить параметр параболической траек-
6701 § 3. ПАРАБОЛА ,
I -О
=’12^ ЧТ° НаИб°ЛЬШая BblC0T“. Достигнутая камнем
pdlMla 1 JrL* ’
659. Найти геометрическое место центров кругов поо-
ОДТ„Т Да""У10 Т°ЧКУ И каса10и1Ихся данной прямой
660. Найти геометрическое место центров кругов касаю-
щихся оси ординат и круга х2 +/ = 1.
661*. Назовем точку М внутренней по отношению к дан-
ной параболе, если любая прямая, проходящая через точку М
направление которой отлично от направления оси параболы*
пересекает эту параболу в двух различных точках. При ка-
ком необходимом и достаточном условии точка (х0, у0) будет
внутренней точкой параболы у2=»2рх?
662*. Доказать, что необходимое и достаточное условие
того, что точка М—внутренняя точка параболы, может быть
записано в виде: r<Zd, где г—расстояние от точки м до
фокуса параболы, a d—расстояние от той же точки до
директрисы.
663*. Доказать, что точка Af„(x0, у0) является внешней
точкой параболы у2 = 2рх тогда и только тогда, когда из
точки 7И0 можно провести к данной параболе две различные
касательные.
664*. Предполагая, что точка /И0(х0, у0) внешняя по
отношению к параболе у2 = 2рх, составить уравнения каса-
тельных к этой параболе, проходящих через точку /Ио (х0, у0).
665. Доказать, что фокус—внутренняя точка параболы.
666*. Доказать, что если прямая не пересекает параболу,
то все ее точки — внешние точки этой параболы.
667*. Доказать, что все точки касательной к параболе
(за исключением точки касания)—внешние точки этой пара-
болы.
668*. Доказать, что геометрическое место точек, симмет-
ричных с фокусом параболы относительно ее касательных,
есть директриса.
669*. Найти геометрическое место точек, для каждой из
которых угол М ММг, образованный касательными Л/Л/, и
ММ* к параболе* у2 = 2рх, проведенными через точку М,
имеет данную величину а (Мг и Л/, точки прикосно-
вения).
670. Доказать, что касательная к параболе имеет направ-
ление, сопряженное с диаметром, проходящим через ток
касания.
124 ГЛ. VI. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ [Ь71
671*. Доказать, что точка пересечения касательных к па-
раболе в концах какой-либо ее хорды лежит на диаметре,
сопряженном с направлением этой хорды.
672. Составить уравнение параболы, принимая за ось Ох
какой-нибудь ее диаметр, а за ось Оу касательную к параболе
в точке пересечения этого диаметра с параболой.
673. Доказать, чго все параболы подобны между собой.
674. Найти геометрическое место точек, для каждой из
которых сумма или разность расстояний от данной точки
и от данной прямой есть величина постоянная.
675. На отрезке, соединяющем произвольную точку Л1
плоскости с данной точкой А, как на диаметре построена
окружность и к этой окружности проведена касательная /,
параллельная дайной прямой. Найти геометрическое место
точек Я4, для каждой из которых расстояние до соответ-
ствующей прямой I постоянно.
676*. Доказать, что отрезок подвижной касательной к пара-
боле, заключенный между двумя неподвижными касательными,
проектируется на директрису в отрезок постоянной длины.
677*. Доказать, что если точка перемещается по одной из
касательных к параболе, то угол между прямой, соединяющей
эту точку с фокусом, и второй касательной к параболе, про-
ходящей через ту же точку, сохраняет постоянную величину.
678*. Пусть М—точка пересечения касательных к пара-
боле в точках и Мг, a F—фокус параболы.
Доказать, что: 1) MF2 = 2)
679*. Найти геометрическое место вершин прямых углов,
стороны которого касаются соответственно двух данных со-
фокусных парабол.
680*. При каком необходимом и достаточном условии
прямая Дх-)-Ву4-С = 0: I) пересекает параболу у2 = с1рх1
2) не пересекает параболу?
681*. Доказать, что если через какую-либо точку хорды,
соединяющей точки прикосновения двух касательных к пара-
боле, провести прямые, им параллельные, то диагональ
полученного таким образом параллелограмма, не проходящая
через выбранную точку хорды, будет касательной к параболе.
682*. Доказать, что прямые, соединяющие основания
перпендикуляров, опущенных из каждой точки одной стороны
ipeyi одышка на две другие его стороны, касаются одной
686]
§ 3. ПАРАБОЛА
125
и той же параболы. Фокусом этой параболы служит основание
соответствующей высоты треугольника. Директрисой является
прямая, соединяющая основания двух других его высот.
683. Доказать, что сумма обратных величин отрезков,
на которые фокус параболы делит проходящую через него
хорду, постоянна. Доказать, что отношение произведения
этих отрезков к длине хорды также постоянно.
684*. Даны парабола и прямая Z, перпендикулярная к ее
оси. Найти на оси параболы такую точку Р, чтобы разность
квадратов расстояний любой точки М параболы от этой точки
и от прямой I не зависела бы от выбора точки Л1 параболы.
685*. Доказать, что если две параболы со взаимно-нер-
пендикулярнымн осями пересекаются в четырех точках, то
через эти четыре точки можно провести окружность; центр
этой окружности есть четвертая вершина параллелограмма,
две противоположные вершины которого находятся в фокусах,
а третья вершина в точке пересечения директрис.
686*. Дан треугольник Т. Пусть Г—треугольник, имею-
щий Своими вершинами проекции некоторой точки Af, лежа-
щей в плоскости треугольника Т, на его стороны.
1) Доказать, что если точка М описывает прямую Z, то
стороны треугольника Т' огибают три параболы С\, Сг, С4,
вписанные в один и тот же угол. Как должна быть распо-
ложена прямая Z для того, чтобы эги три параболы касались
друг друга в одной н той же точке?
2) Как следует выбрать прямую I для того, чтобы дирек-
трисы парабол Ср С4, С, проходили через одну точку?
Найти геометрическое место этих точек.
3) Доказать, что если прямая Z вращается около данной
точки К, то директрисы парабол Ср С,, С, вращаются со-
ответственно около трех определенных точек
Найти огибаю.дую прямых KIt при условии, что точка К или
точка /, описывает прямую.
4) Для каких положений точки К точки /,, /, лежат
на одной прямой? Доказать, что прямые, на которых лежат
точки / /2, /4 соответственно различным положениям точки А,
проходят через неподвижную точку.
Г ЛАВ A VII
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ
УРАВНЕНИЯМИ
Общее уравнение линии второго порядка обычно вапи-
сывается в одном нз следующих ВИДОБ1
Ajc*+2Bxy + Cy,+2Dx + 2Ey + F = 0; (1)
allxt + 2alIxy+auy1+2aix+2a1y+a = 0; (Г)
°пх 4-2altxy 4aHt/ +2jltx4'2aI9y 4*си —О- (Г)
Уравнение (1) определяет одну из следующих линий]
X* , У* ,
, +гг'= 1 эллипс,
а. и*
X* У1
-J- + -Ey= — 1 мнимый эллипс,
а* о •
хг у* „
I. аг’1~б*’ж=0 две миимые пересекающиеся прямые,
X’ Y1 ,
—р-=1 гипербола,
Xs У2
—^Г = о две пересекающиеся прямые,
с
II. У’ = 2рХ парабола,
( Х‘ = а’, а#0, две параллельные прямые,
S-£*= —а*. о#0, две минмые параллельные прямые,
1Х* = 0две совпадающие прямые.
Следующие выражения:
4= О Л5 о о й S (2)
°И «12 «1
к»= аП а22 °2 . (3)
ах а2 а
/,= “11 +“г2, И)
в 0,1 а’1' являются инвариантами по отношению к преоб-
разованию одной декартовой прямоугольной системы координат б
ГЛ. Vtl. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ 127
другую прямоугольную. Это означает, что если
“nx’ т-а,# + 2а,х +2а,у -{-а =0
— уравнение лнннн второго порядка в одной декартовой прямо-
угольной системе координат, а прямо-
“n* £ + 2°itx У' + “ггУг + 2а,х' 4-2а'/ -|-а' =0
уравнение той же линии, полученное в результате преобразо-
вания одной прямоугольной системы координат в другую, то
7t= 0,1 0,1 J®!1 “"I
°м “в |“« <,|’
Л = “и + “ы = а,, + а'гг.
“п au ai
аи агг “2
а, а2 а
ап
“21
01
В случае /2 = 0, Kt = Q инвариантом
также
“12 “1
“и а2 •
а2 а'
(в том же смысле) будет
°2
а
(5)
К, называется семиинвариантом.
Уравнение
V—/,Х+/2=0
(6)
называется характеристическим Его корни 1, и ?.2 всегда
действительны
Линин второго порядка можно разбить иатри группы
К первой группе отнесем лиини, имеющие единственный центр
симметрии; это будут: эллипс, мнимый эллипс, две мнимые пере-
секающиеся прямые, гипербола и две пересекающиеся прямые.
Необходимое и достаточное условие того, что линия второго
порядка имеет единственный центр симметрии (т. е. является ли-
нией первой группы), имеет вид;
/, #0.
Ко второй группе отнесем линии, не имеющие центра симмет-
рии, т. е. одну параболу. Необходимое и достаточное условие то-
го, что линия является параболой, имеет вид;
/,=о, к,#о.
К третьей группе отнесем линии, имеющие прямую центров
симметрии; это будут: две параллельные прямые, две мнимые па-
раллельные прямые, две совпадающие прямые. Необходимое и
достаточное условие того, что линия второго порядка имеет пря-
мую центров симметрии (относится к третьей группе), имеет вид;
/2=0, к, = о.
гл VII. ЛИНИН. ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Ппи помощи преобразования декартовой прямоугольной систе-
м,. координат уравнение линии первой группы может быть прнве-
•<. о к виду
a,x’+V*+^=°; (?)
уравнение линии второй группы—к виду
/,Х‘±2 у —-f-‘Y=0,
(8)
а уравнение линий третьей группы—к виду:
/Л’+77=° (9)
Необходимые и достаточные признаки линий вто-
рого порядка могут быть выражены следующими соотношениями
между инвариантами:
I Эллипс /8>0,
мнимый эллипс /г>0,
две мнимые пересекающиеся прямые /2 > О,
гипербола /г<0,
две пересекающиеся прямые /±<0,
II Парабола /2=0,
111 Две параллельные прямые /, =0,
две мнимые параллельные прямые /, = 0,
две совпадающие прямые /г = 0,
/Л,<о.
к,=о,
Kt*0,
К» = 0,
К.*0,
к.-о, Ks<0,
К. = 0, К,>0,
к,=о, к2=о,
Все вышеизложенное сведено в таблицу на стр 129.
Расположение эллипса или гиперболы относительно на-
чальной системы координат определяется следующим образом;
координаты нового начала (центра) мы находим, решая систему
уравнений
ачх+а12у + а,= о, а21х+аггу+а2 = 0. (10)
Угловой коэффициент новой оси О'Х в случае а,, У 0 нахо-
дится по формуле
. —а,,
к — —----—
Хш1йиТ“1’ хаР*ктеР,,с™ческого уравнения, являющийся ко-
эффициентом прн X2 в уравнении
(И)
*2
•б<олютнойНвРпиииЛоИПС И есЛИ че₽ез ^1 обозначить меныний по
не корень характеристического уравнения, то
гл. VII. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРЛБНЕНИЯМИ
Каноническое уравнение линии и ! и 7 1 - ° 2- -° х 5, IS> 2.1« С| ц 1 + 4 + । 1 £ J1 > $<Г« <-|-о X
Признак линии ° ° V л *н v л ° 5 ° ° - Д п « II Ч < с < V S- •» . " з- - < < С о с о с о - 11 11 II Л д Л V V и * < * ' ' ' ' «г» «ст • • rt м *****-**-•*• О О о " И II 11 •~»w «г1 w
Название линии Эллипс Мнимый эл- липс Две мнимые пересекаю- щиеся пря- мые Гипербола Чве пересека- ющиеся пря- мые Парабола Лве парал- лельные пря- мые Две мнимые пэра ллель- ные прямые Две совпада- ющие пря- мые
% — сс -* ю со о
Преобразованное уравнение о ° II X ° + 1 1 _ ! 0-1 + -н =1 «ч . 3-
I Признак Место места центров центров о со °'° -к "Л
Точка Нет центра Прямая
№ груп- пы — ~ ~
5 С. В. Бахвалов и др.
r< wwc злдлчшве овщями уравнеяиямя
о»
г.-- ушева* ей осн э >
Fz-д —'• гервс а я если «срез к, сЛ?’»ачить тог коречь
га доииемм, знак которого совпадает со знаком
Ов
,* jt ' дает «гявйаВ mH1*»** лейстяпельосй оси гяерболн.
рк-. дяг»* вау -' . гпюатымо яачиь-.4 системы коор>
дмчлт йуагг «заест». если «ы будем знать вершину параболы,
7«шгч»*а м ее оси в старому вогнутости, и параметр.
Йфвмва «арабош определяется при совместном ресееаи
оси варабс-м
в>«* хвиУ + -0 (12)
а.Л~ад
Ои-ГОц
о
с грвмммвв сарай»*. Вежтт?
«и
•j в, t
l°.l о»
к «*
(13)
«армавам ося яа^Оагы я жалравлея в спфову ее аапвутости.
Па:. -=.2'•-• . ^делаете» гэ формуле
•
_ ***** ивдм * аоз>жа рвеяадаекя ва два прямые, то
tH^*^** »е»к b>»ww< г->.- уч ч,-аала 'а. •»?.)»□ часть уразаечия
•в аввебаые ммжгге* в н;*^а11/еая гзвлый *а мымказеле!
*f's
«ап’* а зада а .’'•.•-?тель->-« а ; $ »ни »
евстевм дос^мааг. жгреяа копрой оврмеяаежя ва
Вы- <•- ••аа?»аитаы л««чё атг/х*"^
* ” а ' .л ежтемы коордяиат в жру-
г. • ^;чм*»вя
&|Яв «И
„ I bt а„ а,
г
- 2 о, а
2_/ «и г» |<>,
(13»
«Я
(17)
ГЛ. УП. ЛИЛИЯ, ЗАДАННЫЕ
-*-»ЯМИ УРАВНЕНИЯМИ
<в,
че-еэ
G=gttga—g‘lt.
Семиинвариант X, в равной системе имеет вид
К =1 f" °’ . “п gK °>
* G if*» °« “^ + °Я «» “г
\)0 о, о j а, О а |/
Определение пантов канояическях ра»>еягй
инварианты совершается так же. как в в случае ns«2L
системы ксордлват. "г—д**м
Рзсполсж^ие эллипса в гиперболы с-гределяется след с хм
ОСуЗЗОИ*
координаты центра определяются из уравнений (НП-.
угловой коэффициент воеой оси f/Х (оси * ревой) кахо’схя
по формул*
_g °п
ап—&аЧ
'*1
или ио форму .’Л
ГЗ» X,—корень характеристического уравнения, являкхжся к>
»4< «илеитом при Х<
Расположена* параболы определяется так же, как в случае
прямоугольной системы мюрдлнат тольлоурае -же осн . меет вид
_ , „ g.a^h-g ila ^-a,^ -?яа. я(
°1*1_Г'“И4»Т-------—------<•- _-------------------
(22)
giA*—2£«A»-&Ai
или
аах I 'full ' ^п°г^г—_ q
(23)
(24)
Координаты венгра линии второго порядга (венгра сямме>
ржи;, за ла иной ураьиемием
fljjX*+Ча^ху — а^у1 — 2а*х 4- layj -f а=О,
определяются нэ системы уравнений
attx+any+a,=O. a7ix-а^у+а^О
Есл* / = Д” °л 0, то сутеспует единственный не тр
^2а’ •
Лиаме то лнвнн второго порядка сопряженный
хордам, параллельным вектору {/. ml(, оп-»зе.адется уравнен
(о. iX^auy^a,)l-^(ai,x+aai)~at>m=O
lFx+mFr=O,
(S3
гл. VII. линии, заданные общими уравнениями
Fx=anx + oI2y+o1. Fy = at,x + at2y+a2 (26)
—половины частных производных по х и у от левой части урав-
нения линии второго порядка.
Если направление хорд задано угловым коэффициентом Л, То
уравнение диаметра принимает вид
Fx+kFy=O. (27)
В случае центральной линии все диаметры проходят через
центр. , .
Диаметры параболы параллельны между собой и имеют угло-
вой коэффициент
*= — ~~ (еслиа12/0) (28)
«12
или
ft = — — (если о2, / 0). (29)
«22
Если а„ = п22=0, то диаметры параллельны оси Оу.
Направляющие векторы {(,. от,} и {(2, т2\ двух сопряженных
направлений относительно линии второго порядка (1) удовлетво-
ряют условию
аМ + а1г (1,т2 + /2т,) + a22m,m2=0. (30)
Если сопряженные направления задаются угловыми коэффи-
циентами kt и k2, то условие (30) принимает вид:
«п + «12 (&i + + «22^1^2 = 0. (31)
Если координатные оси сопряжены относительно линии вто-
рого порядка, то ее уравнение не содержит члена с произведением
координат (а12=0).
Уравнение центральной линии второго порядка, отнесенной к
сопряженным диаметрам, имеет вид
аихг + а2гуг+а = 0. (32)
Ось линии второго порядка (ось симметрии) есть диаметр, пер-
пендикулярный к сопряженным хордам
Центральные линии второго порядка имеют две оси; если си-
стема координат прямоугольная и в12 0, то угловые коэффици-
енты осей определяются из уравнения
«,#+(«„ — агг)Ь—с12 = 0. (33)
Парабола имеет одну ось. В случае прямоугольной системы
координат угловой коэффициент сопряженных ей хорд
• ^1®
Й = «^ (если а„ / 0) (34)
ИЛИ
* = +“ (если а12 Ф 0). (35)
ГЛ. VII. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ Аг.от,,..
" НЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ 133
оси симметрии. буду4 парХа°й^ьны₽с^Ло;ПерПеНДНКуляриые к
»р«В еХ«н™””в.ГиХ“а'“,Щ”Л’
удовлетворяют уравнению второго порядка.
Если линия втор фициент k хорд, соп k — k2 аи Sh ого пор ряженш Su £12 аи а12 —k 1 а,2 о22 =0. (36) 612 622 ядка есть парабола, то угловой коэф- jx ее оси, определяется формулой , если Н*2₽22|/0, (37) 1 С11 °12 1
ИЛИ k — £12 ё22 а11 С12 1 £ll £12 G12 ^22
£12 £22 С12 ° 22 • С12 °22 1
если оба указанных детерминанта равны нулю, то хорды, сопря-
женные оси параболы, параллельны оси Оу
Асимптоты гиперболы проходят через ее центр; коор-
динаты {/, т} их направляющих векторов удовлетворяют уравне-
нию
aitl2+‘2aKlm+a22m2=0, (39)
а угловые коэффициенты (в случае, если аа / 0)— уравнению
c114-2aI2fc-)-cJtfcI = 0. (40)
Направления прямых, параллельных асимптотам, называются
асимптотическими.
Если уравнение
F (х, 0 = 0 («I
второй степени относительно х и у определяет гиперболу, то ура в-
некие
F(x. 0=£ («)
*2
определяет пару ее асимптот. «япмгзть
Уравнения асимптот гиперболы F (х, у) можно также записать
Б виде: /до)
lFx+mFv=0.
где {/, щ} —направляющий вектор прямых, имеющих асимптотиче
ское направление, или мл»
Fx+kF^O, <4
(47)
134 ГЛ. VII. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Где к—угловой коэффициент прямых, имеющих асимптотическое
ИаПРЕслЛиИкоеординатная ось Ох (Оу) имеет асимптотическое направ-
ление, то _л.
ап=0 («»=<>)•
Уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам, имеет вид:
2аКху+а = 0. (45)
Касательная к линии (1) в ее точке /И0(х0, у0) опреде-
ляется уравнением
(с, 1 х0 + а1гу„+а,) х 4- (аг1хй + аггуй 4- аг) у -J- а,х0 4- а^уа 4- а = 0. (46)
Уравнение линии второго порядка, отнесенное к любому ее
диаметру и к касательной в его конце, имеет вид:
ЧцХг + а„уг 4- 2atx=О
В частности, для параболы
fl2s!/s + 2fli-*=0- (48)
Если Е, = 0 и Ег=0—уравнения двух линий второго поряд-
ка, то совокупность линий
Vi + Vt=0 (49)
есть пучок лнний второго порядка, определяемый данными линия-
ми. Любая линия пучка проходит через точки пересечения данных
линий, н обратно, всякая линия второго порядка, проходящая че-
рез все точки пересечения данных линий, принадлежит пучку (49).
Через пять точек, из которых никакие четыре не лежат на
одной прямой, можно провести линию второго порядка и притом
только одну. Если никакие три точки не лежат на одной прямой,
то линия будет нераспадаюгцаяся.
Для того чтобы два уравнения второй степени
anx*+2altxy + а22у* 4- 2а,х 4- 2агу 4- а =0,
ЬцХг-1-2Ь1гху 4- Ь22уг4-2btx4- 2b2y-[- Ь =0
определяли одну и ту же линию второго порядка, необходимо и
достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты этих уравнений
были бы пропорциональны.
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Определить вид и расположение линии, заданной
уравнением
Ьху 4- &уг — 12х — 25у 4-11 = о.
Решение.
— первая группа;
О
3
-6 —13
К,=
3 —6 „
8 —13 =^1 0
3 11
ГЛ. V11. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ уравнениями 135
—гипербола;
Л = 0-}-8 = 8.
Характеристическое уравнение:
>?—8Ь—9 = 0;
корни характеристического уравнения:
>•1 = 9, Х.,=—1.
Преобразованное уравнение:
9Х2 —У2 + 11=0;
каноническое уравнение:
Хг У2 ,
T~"9 =L
Уравнения для определения центра:
3^—6 = 0, Зх + 84/~ 13 = °;
центр:
О' (-1, 2).
Угловой коэффициент оси О'Х — вещественной осн.
*+3
(рис. 21).
136 ГЛ. VII. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Пример 2. Найти формулы преобразования координат, при
котором уравнение
еху-Р8уг—12х—26у + 11 =0
переходит в каноническое (см. предыдущую задачу).
Решение. Центр данной гиперболы находится в точке
О'(—1, 2). Тангенс угла <р наклона вещественной оси О'Х гипер-
болы к оси Ох равен 3, следовательно,
1
С03ф=р== , Sin ф =
К ю
и, значит, формулы преобразования координат будут:
откуда
х = х-(-Зу—-5 у = —Зх-|-у—5
По ’ По
Пример 3. Найти фокусы и директрисы линии
Ьху + 8у2 — 12х—26у + 11 = 0.
Решение. Координаты фокусов канонической системе
координат будут:
*fi=—Ио, П=0;
хГ1=Пб, yf'a=o,
а в начальной (см. пример 2)
xFi=—2, yF=_l;
*г,=0, Ур,—5-
Уравнения директрис в канонической системе будут:
Х=+ * ,
~ По
а в начальной
х + Зу—5 1
По ~ По
или
х+Зу—4=0, х-|-Зу—6=0.
Пример 4. Найти вид и расположение линии
х*—4ху 4- 4у» + 4х—Зу—7=0.
ГЛ. VII. линии, заданные общими уравнениями
Решение.
—2
— парабола,
Параметр:
К,=
—2
~:i=o.
I 2
3
2 =
__з
2
_25
4
— 14" 4 = 5.
Каноническое уравнение:
Y2=-±=X.
Кб
4-5» 2 Кб'
Уравнение оси;
1-2—2
х—2у
1+4 °
и
1
2
4
— 7
или
X—2^4-1 =0.
Уравнения для определения вершины:
х—2у 4-1=0,
хг—4ху 4- 4 у2 4- 4х — Зу—7=0;
х—2у—— 1.
(х—2t/)24-4x—Зу—7 =0;
х-2{/4-1=0. 1
4х—Зу—6 = 0. /
Вершина:
О' (3, 2).
Вектор оси, направленный в сторону вогнутости:
—2 4
2 -г
1 —2
ч
2, -1}
2
(рис. 22) (полезно заметить, что при X—
Пример 5. Найти фокусы и директрисы линии
х2—4ху + 4у2 4-4х—Зу— 1=0
(см. пример 4).
138 ГЛ. VII. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ
Решение. Данное уравнение определяет параболу с лара-
с вершиной О' (3, 2), причем положительное
Рис. 22.
направление оси параболы определяется вектором {—2, —
Обозначая через <р угол от осн Ох до оси О'X, будем иметь:
cosq>=
/5
sin ф=
Кб
следовательно, формулы преобразования координат!
откуда
X = ~2*~J/ + 8 у _2»+1
Кб ’ Кб '
Координаты фокуса в канонической системе:
Х=4ТТ’ Х = °’
а в исходной
* = 2,9; 0=1.95.
Уравнение директрисы в канонической системе:
4 Кб
гл. vti. линии, заданные Общими
уравнениями 139
а в начальной
—2х—у-}-8 1
1^5 4 /"б
или
8*4-4^ — 33=0.
Пример 6. Определить вид и расположение линии
хг—5ху+4у2 + х+2у—2 = 0.
Решение. _А
1
~ 2 9
^2 — 5 л г<°
2
— первая группа; 1 1
1 о 2
Кз = 1 АЭ| СП 4 1 = 0
£ 1 —2
2
^-две действительные пересекающиеся прямые.
Преобразуем данное уравнение так:
Xs—5ху4-4t/2 + х + 2у—2=х2 + (—5у + 1) х + 4у2 + 2у—2 =
= х2 + (-5{/+ !)*+( ~5У2— У+4?/2 + 2у-2-( - %— ) =
= + =^+1 )‘+ 4у2 + 2у-2-^^+-' =
/ —5</+ 1 \2 —9#2 + 18i/—9 _
= +--------2---J +-------4
( , — 5//4-1V Зу_
— I х 4----о ) \ 2 /
= (х—у — 1) (х—4у + 2).
Уравнения этих прямых:
х~ у—1 =0.
v_4f/ + 2 = 0.
ГЛ. VII. линии, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ [687
§ 1 Центр, диаметры, асимптоты, касательные,
* ' линии второго порядка
оси
687. Написать уравнение линии второго порядка,
дящей через пять точек: (0, 0), (0, 1), (1,0), (2, —5), (—5, 2).
688. Определить центры следующих линий второго
порядка:
1) 5хг +8ху±5уг— 18х— 18_у4-11 =0;
2) Чху— 4x4-211 =0;
3) 4х84-4хуЧ-У—4-6=0;
4) Xs — 2ху4-У — Зх4*2у—11=0.
689. Написать уравнение диаметра кривой второго
порядка 5х2 — Зху +у* — Зх 4- Чу—5=0, проходящего через
середину хорды, отсекаемой этой кривой на пря-
мой х—Чу— 1 = 0.
690. Дана линия второго порядка 4ху — 5_у*4-2х4-
4-6j-|-l=0. Написать уравнение диаметра этой линии,
проходящего через точку (— 4, 2).
691. Дана линия второго порядка 5х2— 6xj-f-3j2—
— 2х = 0. Найти диаметр этой линии, параллельной пря-
мой 2х—3_у = 0.
692. Найти общий диаметр двух кривых х2 — Чху— уг —
— 2х—2у = 0, х2 — 2ху+уг — 2х— 2у = 0.
693. Даны линия второго порядка бх2— Зху-\-у* — 3x4-
+ 5 = 0 и две точки Л (2, 1) и В(1,4). Написать урав-
нение хорды кривой, проходящей через точку В и сопря-
женной диаметру, проходящему через точку А.
694*. В линию второго порядка, данную уравнением
х >ху -[-yr 4-4 = 0, вписан параллелограмм, одной из сто-
рон которого служит прямая х—1=0. Написать уравнения
остальных его сторон.
695. Написать уравнение линии второго порядка, про-
nm о\ЧерСЗ чстыре точки Л(1,0), Я (3,2), С(0,2),
nnvr’ „ ’ зная’ что Х0РДы АВ и CD имеют сопряженные
Друг к другу направления.
4-66г6*’тДапЫ дзе.лн,,ии второго порядка Зх2 — 2х> + /4-
ХХ!:0’ Зх--2ху-у +641-10 = 0. Для каждой
ры одной ’ парУ СОПРЯЖСН,,ЫХ Диаметров так, чтобы диамет-
ры или параллельны диаметрам другой пары.
прохо-
706]
§ 1. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ,
КАСАТЕЛЬНЫЕ, ОСИ
141
697 . Доказать, что если центр линии
описанной около треугольника, совпадает с
его, то линия есть эллипс.
второго порядка,
центром тяжести
698. Найти асимптоты гиперболы IOjc*
— 41 х — 39у4-4 = 0.
+ 21ху-|-9У—
699. Найти асимптоты следующих гипербол:
1) хг — Зху— 10/ +6х— 8у = 0;
2) 3x‘+2xj~/-(-8x+10y—14 = 0;
3) 3x2 + 7xj4-4/ 4-5x4-2у—6 = 0;
4) 10xJ—2/4-6х4-4у4-21 =0.
700. В точках пересечения кривой х*—2/ — 5х | 4у4-
4-6 = 0 с осью абсцисс провести касательные к этой кривой.
701. К кривой x,4-xy-|-j’4-2x4-3y—3=0 провести
касательные, параллельные прямой 3х4-3у—5 = 0.
702. Дана линия второго порядка 4х* 4*4х^4-/— 6x4-
4~4у4~2 = 0. Написать уравнения касательных к этой ливни,
параллельных оси Оу.
703*. Через точку (3, 4) провести
вой 2х‘—4xj4-j* — 2x-f-6j—3 = 0.
704*. Дано уравнение
(ах 4- 4- у)* 4- 2 (Ах 4- By 4- С) = О,
касательные к кри-
¥0.
а
А
В
Доказать, что: 1) это уравнение определяет параболу;
2) прямая а%4-0у4 у = 0 является диаметром и 3) прямая
Дх 4- By 4- С = 0 является касательной к параболе в точке
пересечения последней с диаметром.
705*. Дано уравнение параболы
(ax4-pj)I4-2«irv4-2a2I^+ns,=0. по-
написать уравнение касательной к параболе в произвольно
ее точке (х0, J.) и уравнение соответствующего сопряжен-
ного диаметра.
грамма, всегда центральная, и ее центр совпадав
пересечения диагоналей в параллелограмм,
2) кривая второго порядка, ет £ Т0.1КОЙ пересе-
всегда центральная, и ее центр
чения диагоналей параллелограмма.
ГЛ. V». ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ [707
707*. Доказать, что если центр линии второго порядка,
вписанной в треугольник, совпадает с центром тяжести этого
треугольника, то линия есть эллипс.
708*. Доказать, что диагонали параллелограмма, описан-
ного около кривой второго порядка, суть сопряженные диа-
метры этой кривой.
709. Определить оси следующих линий второго порядка:
1) 5x’ + 8xy4-5/—18х—18j4-9 = 0;
2) 2ху— 4х4-2у—3 = 0;
3) хг—4xy-j-4y*— 5х+ 10j-[-6 = 0;
4) 2хе4 Зху—2/4-5j>—2 = 0;
5) х1—4х_у-)-4_уг—5х-|-6 = 0.
Система координат прямоугольная.
710*. Доказать, что уравнение оси симметрии параболы,
заданной общим уравнением, может быть записано так:
«„ («11Х + ацУ + °.) + «12 («21* + аггУ + «г) = 0
или
«2. («ц*+«>2^+ «>)+ «22 («21*+ «22^ + «г) = 0-
711*. Найти условие, при котором две линии второго
порядка имеют одни и те же главные направления (система
коордипа г нря моу голытая).
712*. Найти множество точек, которые могут служить
центрами эллипсов, описанных около данного треугольника.
713*. Найт расположение точек плоскости, которые
moi у г служить центрами линий второго порядка, описанных
около данного треугольника, в зависимости от тина этих
линий.
714*. Найти геометрическое место точек, обладающих
тем свойством, чго прямые, соединяющие их с двумя дан-
ными точками, одинаково наклонены к данному направлению.
715*. Найш геометрическое место центров гипербол,
проходящих через две постоянные точки и имеющих одни
и те же асимптотические направления.
716*. Показать, что если кривая второго порядка ка-
сается одной из сторон описанного около нее параллело-
трамма в середине этой стороны, то остальных трех сторон
11 тлелотрамма опа касается также в их серединах; кривая
в эюм случае есть эллипс.
726] § 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И РАСПОЛОЖЕНИЯ ЛИНИИ И3
717*. Найти геометрическое место центров равносторон-
НИХ7Г1ЯП/РПЛ’ 0ПИСа",,ЫХ 0К0Л0 энного треугольника. ₽
718* Около линии второго порядка, заданной уравне-
нием 2x’-4xy + /-2x+6Jr-3 = 0, описан параллело-
грамм, одна из вершин которого находится в точке А(3 4)
Найти остальные его вершины. ' ’ '
§ 2. Определение вида линии второго порядка
и ее расположения. Инварианты
719. Определить вид следующих кривых:
1) хг + 2ху+у2 + у = 0; 3) (x+2yf—3/ = 1:
2) х2 +2ху + уг +х+у = 0; 4) (2х—у)(х—у)— 1 =0.
720. Пользуясь приведением многочлена второй степени
к сумме квадратов по способу Лагранжа, определить вид
следующих кривых второго порядка:
1) 2х* Ч-Зху+ 4у2 —5х + 2у—1 =0;
2) 4х‘ — 4ху + / — 8х + 6у — 2 = 0;
3) 2ху— 4/4-6х+6>4-1=0.
721. Определить вид и расположение линий второго
порядка, заданных нижеследующими уравнениями, пользуясь
преобразованием координат:
1) х2 + 2/ + 4х— 4у = 0;
2) 4х’—уг — 8х—бу—4 = 0;
3) 4rI + 4x4-2j—1 =0;
4) 6х2 + 8/4-Зх—4у+1 =0;
5) 2х2 —3/ —6х + 9у —2 = 0,
6) 2х2 + 6х + Зу + 6 = 0;
7) 4/ + 4х —2у-М =0;
8) Зх2 — 2/4-6x + 4j+l=0;
9) xy+x + j=0.
Определить форму. раз’Ч" " Р»™’»»»™1' "°'
рого порядка, зада.к слодуюя.»»» ур.«~»<«“-
722. + £, +8/ Г«5 _ 0.
723. 9х2+24ху+16у ~
724. 5х2 + Г2ху-22х-12у _°'о
725. х2-2хЛ-/ГЮ^-^ + 25_0.
726. х2— 5ху4-4у -f-х 2у
144 ГЛ. VII. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ [727
727. 4х’ — 12ху-Ь 9/ — 2х + Зу — 2 = 0.
728. 1) 2x’4-4xj4-5/—6х—8,у—1 =0;
2) 5х’4-8х^4-5>>* —18х—18j4-9 = 0;
3) 5х’4-6х^4-5/—16х—16J —16 = 0;
4) 6xv—8/-j-12x—26_р— 11 =0;
5) 7х24-16х.у—23/—14х—16,у—218 = 0;
6) 7х2 —24х_у— 38x4-24J+ 175 = 0;
7) 9х24-24х_у4- 16/ — 40x 4-30j = 0;
8) х24-2х>»4-/—8x4-4 = °;
9) 4x* — 4xj4-/ — 2x—14^4-7 = 0.
729. Относительно прямоугольной системы координат
кривая второго порядка задана уравнением
4ху + 3/4- 16x4- 12_у—36 = 0.
Доказать, что эта линия—гипербола, найти длины ее
полуосей, координаты центра, уравнения действительной
и мнимой осей, уравнения асимптот, координаты фокусов,
координаты вершин, уравнения касательных в вершинах.
730. Составить каноническое уравнение параболы,
заданной относительно прямоугольной системы координат
уравнением
(х cos t -f- у sin t)2 = 2р (х gin/ — у cos 14- q},
и определить ее расположение ^</>.0,
731. Доказать, что уравнение (Л1х4-#,.У4-С1),4-
4-(42х4-В,_у4-С,)2 = 1, где • Л/г 4-®,^2 = 0, определяет
эллипс относительно прямоугольной системы координат.
Составить каноническое уравнение этого эллипса и опреде-
лить его расположение.
732. Фокус линии второго порядка находится в точ-
ке (4,2), соответствующая ему директриса имеет уравне-
ние 2х—у—Ю=0, эксцентриситет липин равен . Найти
второй фокус и вторую директрису этой линии.
733. Фокус линии второго порядка находится в точке
' • Директриса, соответствующая другому фокусу,
имеет уравнение х—Зу—4 = 0; эксцентриситет линии
равен у 16. Найти второй фокус и вторую директрису.
745] § 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И расположения линии 145
+2а1гхУ + а„у‘ +2а1х + 2аг^ + с = 0.
735. Какая линия второго порядка определяется усло-
виями Кг^=0>
736*. Общие уравнения двух гипербол отличаются
только свободными членами. Дать этому факту геометри-
ческое истолкование.
737*. Кривая второго порядка, заданная общим уравне-
нием 2F=0, распадается на пару параллельных прямых.
При каком неооходимом и достаточном условии данная
точка Л40(х0,у0) лежит между ними?
738*. Кривая второго порядка, заданная общим уравне-
нием 2F=0, распадается на пару пересекающихся и не
взаимно перпендикулярных прямых. Найти необходимое и
достаточное условие того, что данная точка (х0, у0) лежит
в остром угле, образованном этими прямыми.
739*. Кривая второго порядка, заданная общим уравне-
нием 2F=0, распадается на пару пересекающихся прямых.
При каком необходимом и достаточном условии они будут
взаимно перпендикулярны?
740*. Доказать, что если общее уравнение линии второго
порядка F(x, у) = 0 определяет гиперболу, то уравнение
F(x, = определяет пару ее асимптот.
'2 _
741. Доказать, что условия/, = 4/,,/,/С,<0 необходимы
и достаточны для того, чтобы общее уравнение кривой вто-
рого порядка определяло окружность.
742. Доказать, что если первый инвариант кривой вто-
рого порядка равен нулю, то второй отрицателен.
743*. Найти необходимое и достаточное Условие т ,
что гипербола, заданная общим уравнением 2г— ,
в остром угле, образованном ее асимптотами.
744*. Доказать, что если общее уравнение кр
рого порядка определяет параболу, то, изменяя i с
член уравнения, получим семейство пара ол „
же параметром, одной и той же осью и
направлением оси в сторону вогнутости. левые части
745». Квадратичные форны, , входни« »
общих уравнений двух гипербол, отлнчаюкя
ш гл VU. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ [746
множителем. Как истолковать это обстоятельство геометрн-
746 Общее уравнение кривой второго порядка опреде-
ляет две параллельные прямые. Найти расстояние d между
ними .
747е. Общие уравнения двух гипербол имеют вид:
С11х*+ 2aisxy + aty + 2а,х+ 2п,у + а = О,
дпх* -г 2апхУ 4- — 2а,х -f- 2а*у + b = О.
При каком необходимом и достаточном условии они будут
лежать в разных вертикальных углах, образованных их об-
щими асимптотами?
748. Дана линия второго порядка Зх*—2ху-^-у*—6х—9=0.
Найти криву ю второго порядка, осн симметрии которой сов-
падают с осями данной кривой и отрезки на осях которой
в два раза больше, чем у данной.
749. Доказать, что уравнение
(Л.х-В^ - С/ - (Л,х J- Bty + CtY = 1,
если * ’ =0, определяет гиперболу, и определить ее
I I
асимптоты.
§ 3. Составление уравнений линий второго порядка
750*. Написать уравнение эллипса, зная его центр С(2, 1)
и концы двух сопряженных диаметров Л(5, 1), В(0, 3).
/51*. Написать уравнение параболы, для которой прямая
х 2у=0 служит диаметром, а прямая х—у = 0—касатель-
в конпе этого диаметра и которая проходит через точку
j4(0, 1).
752*. Найтн асимптоты гиперболы, зная, что центр ее
с в точке С(2, 1), что она касается осн Ох в точке
_ И встречает ось Оу в несобственной точке.
753 . Дан треугольник АВС: А(4, 2), В (8, 2). С(4, 5).
нсать уравнение параболы, описанной около этого треуголь-
ника так, чтобы медиана AD, проведенная из вершины А,
оыла ее диаметром.
754*. Дан треугольник АОВ: 0(0, 0), А(8, 01 В О 6).
писать уравнение линии второго порядка, проходящей через
766] § 3. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛИНИЙ 2 ПОРЯДКА 147
вершину О этого треугольника, пересекающей стороны од
и ОВ и касающейся стороны АВ в ее середине.
/55*. Три вершины параллелограмма находятся в точках
0(0, 0), Ai4, О), В(2, 2), А и В—противоположные вер-
шины. Написать уравнение эллипса, вписанного в этот а-
раллелограмм и касающегося сторон параллелограмма в их се-
рединах.
756. Кривая второго порядка с центром в точке (0,-1)
проходит через точку(3,0) и встречает прямые 2х—Зу + ’1=0,
х + у—5 = 0 в несобственных точках. Написать ее уравнение.
757. Написать уравнение линии второго порядка, пересе-
кающей ось Ох в точке (1, 0) и в несобственной ее точке
и ось Оу в точке (0, 1) н в несобственной ее точке и про-
ходящей через точку (1, 1).
758. Написать уравнение гиперболы, касающейся осн Ох
в точке Л(3, 0), имеющей ось Оу своей асимптотой и про-
ходящей через точку Л1(1, 1‘.
759*. Написать уравнение гиперболы, имеющей асимпто-
тами прямые х—1 =0, 2х—у+1 = 0 и касающейся прямой
4х + у +• о — 0.
760*. Написать уравнение гиперболы, зная ееось2х—у+
4-2=0, асимитоту у = 0 и точку (1, 1).
761. Написать уравнение линии второго порядка, распа-
дающейся на пару асимптот гиперболы Зх* + 10ху+7у‘+
4х —2у-г 1 =0, и найти эти асимптоты.
762. Написать уравнение эллипса, зная, что центр его
находится в точке С(2, 1) и что прямые у 2 = 0их у — 0
служат касательными в концах двух сопряженных диаметров.
’ 763. Написать уравнение эллипса, центр которого нахо-
дится в точке С(4 3), вершина Л лежит в начале координат,
вершина В—на оси Оу. _
764*. Написать уравнение параболы, проходящей через
три точки 0(0, 0), Л (4, 0), в(0 2) при условии, что точки
А и В симметричны относительно оси 6 ..
76S. Да- rpe.ro.ib— ЛВС- Л(6 0) в|0, ЛСМ
— ~-
малая оси и длины полуосей которого а = 2,
ГЛ VII. липни, заданные общими уравнениями 1767
767*. Написать уравнение лннни второго порядка, для
которой осями симметрии служат прямые x-j-j + l—0 и
х__1 0 и которая проходит через точки Л4,(—2, —1),
<°- “2)-
768*. Написать уравнение параболы, осью которой служит
прямая x + 1=0 и которая проходит через точки (0, 0),
(0, 1).
769*. Написать уравнение линии второго порядка, зная,
что две ее вершины, принадлежащие одной оси, находятся
в точках Л,(2, 1), Л2(10, 7) и что она проходит через
точку F(0, 7).
770. Написать уравнение гиперболы, фокусы которой на-
ходятся в точках FJ2, 3), F2(l, 0), зная, что она проходит
через точку Д(2, 0).
771. Составить уравнение линии второго порядка, если
даны уравнение директрисы х cos б-f-j/sin 0—р = 0, коорди-
наты соответствующего фокуса (х,, .у,) и координаты неко-
торой точки М(х2, у2), лежащей на линии.
772*. Составить уравнение гиперболы, если даны коорди-
наты двух ее фокусов F,(x,, _у,) и F2(x2, _у2) и уравнение
касательной Лх4-£?у-|-С=0.
773. Составить уравнение параболы, если даны уравнение
директрисы Зх—4у—1=0 и координаты фокуса F(2, 1).
774. Написать уравнение параболы, зная ее фокус
F(— 1, —2) и директрису х—j4~8 = 0.
775. Написать уравнение параболы, вершина которой на-
ходится в начале координат, а фокус — в точке F(l, 1).
776. Написать уравнение линии второго порядка, зная ее
фокус F(0, 1), директрису х—j»-|-3=0, соответствующую
данному фокусу, и точку А (7, 0) на линии.
777. Составить уравнение линии второго порядка, зная
ее фокус F(l, 1), директрису x-j-2y—1=0 и эксцентриси-
тет е —
778 . Написать уравнение линии второго порядка, зная ее
KycbiF, (1,1) и F2(—2, —2) и одну из директрисx-j-y—1 =0.
779 . Написать уравнение линии второго порядка с цент-
poi в точке С(1, 2), проходящей через начало координат,
одной из директрис которой служит прямая x4-2j—1=0.
780 . Написать уравнение гиперболы, для которой точка
—2, 2) служит фокусом, а прямые 2х—j-f-l=O,
х -|- 2yi—7 = 0 —асимптотами.
790] § 3. составление уравнений линий 2 порядка ,49
781. Для каждой прямой пучка поямыу
ляются сопряженные диаметры относительно L?x различных
линий второго порядка 2F=0, 2ф = 0. Определить" т
рическое место точек пересечения диаметров.
782. Даны линия второго порядка уравнением 2F = 0 и
точка О (х0, у0). Определить геометрическое место точек пеое-
сечения прямых пучка 5 с диаметрами, сопряженными этим
прямым.
783. Определить геометрическое место середин хорд лн-
нии второго порядка, заданной общим уравнением 2F (х, у) =0
проходящих через точку S0(x0, у0).
784. Даны две линии второго порядка уравнениями
2F=0, 2ф = 0; k и ——угловые коэффициенты касатель-
ных к этим линиям, перпендикулярных между собой. Опре-
делить геометрическое место точек пересечения диаметров,
сопряженных этим касательным.
785. Определить геометрическое место середин отрезков,
оба конца которых принадлежат прямым +
Агх -\-Вгу + С, =0, если прямые, их содержащие, имеют об-
щую точку S„ (х0, _у0).
786*. Два угла постоянной величины вращаются соответ-
ственно вокруг своих вершин так, что одна сторона первого
угла пересекается с одной стороной второго в точках дан-
ной прямой. Найти геометрическое место точек пересечения
вторых сторон.
787*. Через точку пересечения каждого диаметра данной
линии второго порядка (эллипса, гиперболы или параболы)
с данной прямой проводим прямую, параллельную направле-
нию, ему сопряженному. Найти огибающую построенных та-
КИМ788*а3<Доказать^'что если стороны двух треугольников
касаются’ линии второго порядка, то через шесть вершин
йих треу™иков м₽ожно провести линию второго порядка.
78Q* Доказать что если линия второго пор д P
лит через верХ треуголка и зечку =е«». его
Lee,. ™ ,та ™,ия есть рзвкостсрож». ™ «•
790*. Доказать, что если две „чек
пересекаются в четырех точках, образованного
есть точка пересечения высот треугольника, ооР
тремя другими точками.
ГЛ. VII. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ [791
791*. Рассмотрим три точки, симметричные относительно
сторон треугольника с некоторой точкой М, лежащей в
плоскости этого треугольника. Пусть ЛГ—центр окружности,
проходящей через эти три точки. Доказать, что:
1) если точка М описывает прямую линию Z, то точка
М' описывает линию С второго порядка; найти положения
прямой /, при которых она касается линии С; исследовать
тип линии С (эллипс, гипербола, парабола) в зависимости
от положения прямой /;
2) если прямая I перемещается параллетьно самой себе,
то оси линии С остаются параллельными двум данным прямым.
Геометрическим местом центров линий С будет в этом
случае также линия второго порядка Сх. Найти геометри-
ческое место центров линий С,, соответствующих различным
направлениям прямой /.
§ 4. Линии второго порядка относительно аффинной
системы координат
792. Определить вид следующих линий второго порядка,
пользуясь приведением многочлена к сумме квадратов по
способу Лагранжа:
1) х1—4ху4- у —4х + 2у—2 = 0;
2) х1—2ху4-4у*4-2х —2у—4 = 0;
3) х2 + 4ху-|-4У— 6х— 8у = 0.
793. Пользуясь приведением многочлена второй степени
к сумме квадратов по способу Лагранжа, показать, что каж-
дое из нижеследующих уравнений определяет пару прямых,
и найти уравнения этих прямых:
ЧХ\~ 5х>—12/~ * )-26у—10 = 0;
2)3x 4- ху— 2уг —5x4- 5у— 2=0;
3) 4х 4-16x^4-15/ — 8х — 22у — 5 = 0-
4) 4хг — 4ху4- у2 — 6x4- Зу— 4 = 0.
отн1с9и4тел?нпеАХТЬ °? ЛИНИИ ВТ°Р°ГО порядка, заданной
18х* 4-189ху 4- 418/™ Зх -иГ Г° y₽aBHeHMeqM
^ = 36, £„=16</ 17у—1=0, если £„ = 9,
50х*—5xXVv 7аВпЫе °СИ ЛИНИИ ВТ°Р°ГО порядка
л ax-j-py— ] =о, если £„ = 25, g12 = 3, g2i= 1.
20х2 + 124ху + 221 у2 —Збх — 126у 4- 9 = О, если
= 6, £,2 = 25. Определить расположение этой
Составить каноническое уравнение линии второго
х2-Зху+у2 + 5 = 0, если£„ = 1,^=1,^=1.
802] § 4. линии 2 порядка в аффинных координатах 151
4- 499v6/+(i?xraB'Г" ОУРрГ'е"Ие Параб°ЛЫ 4х* + 28ху4-
4~ 4Уу + 12х—1=0, если £„=4, gi>=gi „ =25
797. Определить ось и вершину‘парабол” х2 —4ху4-
+ 4у2-4х-4у=0, если £„ = 1, £м = -1, g„ = i.
798. Составить каноническое уравнение линии второго
порядка onv2л_пл.... । OO1..1 „
£.1 = 4,
линии.
799.
порядка
Определить расположение этой линии.
800. Составить каноническое уравнение линии второго
порядка 2ху—4х4-2у4- 1=0, если £„ =4, £„= 1, £„ = 1.
Определить расположение этой линии.
801. Составить каноническое уравнение параболы 49х* 4-
4- 112ху4-64у14-30х4-30у4-6 = 0, если £„ = 25, £,2 = 8,
£г2 4.
802*. Уравнение «,,х -}-2attxy-j-aJ2y =0 определяет
пару пересекающихся прямых (о„а„—aJ,<0). Доказать,
что если система координат декартова прямоугольная, то
уравнение пары биссектрис
быть записано так:
между данными прямыми может
I altx + alty а21х + аг2у!
х У
а если система координат аффинная, то
ЯцЯ + я.О’ а2,х + ачУ
^цХ-р^гУ ^цХ + ^ггУ
ГЛАВА VIII
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Ортогональным преобразованием плоскости на-
зывается такое преобразование, при котором каждой точке М (х, у)
плоскости, заданной относительно декартовой прямоугольной
системы координат, ставится в соответствие точка М' (х‘, у’), ко-
ординаты которой являются линейными функциями координат
точки М".
х' = аих + аиу+ах,
p' = a21x + fl2,// + «2, VI
где
(Ч,а12\
\а2, «22/
(2)
— ортогональная м а т р и ц а, т. е. такая, что
<.+ < =1.
«L+«‘22 =1. (3)
'ЬО21°22 = О-
Ортогональное преобразование взаимно однозначно, сохраняет
расстояние между точками, углы между прямыми, сохраняет кол-
линеарность трех точек (т. е. принадлежность трех точек одной
прямой), параллельность двух прямых.
Всякое преобразование, сохраняющее расстояние между точ-
ками, будет ортогональным в том смысле, что оно аналитически
выражается соотношениями (1), где матрица (2) ортогональная.
Множество всех ортогональных преобразований плоскости об-
разует группу.
Параметры, входящие в соотношения (1), имеют следующий
геометрический смысл: точка О' (с,, аг)—образ начала координат;
вектор е, = |а11Ф о21|—единичный и является образом вектора ех=*
= 0}; вектор et—{aK, а21}—единичный, ортогонален вектору
ех и является образом вектора с2 = |0, 1}. Если угол от вектора
е, до вектора е\ равен а, то
сп —- cos а, в2| = sin а,
ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 153
т. е.
e, = (cosa, sin a}.
Ортогональное преобразование называется ортогональным
преобразованием первого рода, если |“*1“,*|=—1. Всякое та-
кое преобразование сохраняет ориентацию плоскости. Если орто-
гональное преобразование является преобразованием первого рода.
“12=—sin a, cM=cosa,
т. е.
е2 = {—sin a, cosa|.
Формулы ортогонального преобразования первого рода имеют вид:
x'=xcosa—psina-f-c„ .
у' =х sina + j/cosa-i-az.
Ортогональное преобразование первого рода называют также
движением.
Ортогональное преобразование называется ортогональным пре-
образованием второго рода, если °"“и =—1. Всякое такое
I ап I
преобразование изменяет ориентацию плоскости на противополож-
ную. Если ортогональное преобразование является преобразова-
нием второго рода, то
a,, = sin а. аа = — cos a,
т. e.
₽t = |sina, — cos a}.
Формулы ортогонального преобразования второго рода имеют
внд:
x’ = xcosa 4-t/sina+at,
у'=х sin a—pcosa-f-aj.
Ортогональное преобразование
х’=х+а„ у'=у + а,
(7)
называетси переносом.
Ортогональное преобразование
х’ — х cos a—у sin a,
у' =х sin a 4- у cos a
называетси поворотом (на угол а вокруг начала координат).
Ортогональное преобразование
х'=х, у'=—У
называется симметрией (относительно осн первого рода,
ворот являются ортогональными п^а^ия^ втРрого рода.
Симметрия является ортогональным пр Р сти называется
Аффинным преобразованием плоское
такое преобразование, при котором каждой
154 ГЛ VIII- ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
плоскости заданной относительно общей декартовой системы коор.
динат ставится в соответствие точка М (х , у ), координаты кото-
рой Являются линейными функциями координат точки Л-1:
у' — oItx + аггу + аг,
О)
причем определитель
°1| °1! I
°21 а2г I
5*0.
(10)
Параметры, входящие в соотношения (9), имеют следующий
геометрический смысл: точка О’ (а„ а2)—образ начала координат;
вектор ej = {a„. о21}—образ масштабного вектора = 0} оси
Ол; ег— {ак, а22} —образ масштабного вектора ег = {0, 1} оси Оу.
Аффинное преобразование взаимно однозначно, сохраняет кол-
линеарность трех точек (т. е. принадлежность трех точек одной
прямой), параллельность двух прямых, простое отношение трех то-
чек и отношение площадей.
Всякое взаимно однозначное преобразование множества всех
точек плоскости, сохраняющее коллинеарность трех любых точек,
будет аффинным преобразованием в том смысле, что оно
аналитически выражается соотношениями (9), причем вы-
полняется неравенство (10).
Множество всех аффинных преобразований плоскости образует
группу.
Двойные точки аффинного преобразования, т. е. точки,сами,
себе соответствующие, определяются соотношениями (9), где вместо
х' и у' подставлены х и у.
Двойной прямой аффинного преобразования называется
такая прямая, которая при этом аффинном преобразовании пере-
ходит в себя, при этом не обязательно, чтобы точки этой прямой
были двойными.
Аффинное преобразование
х' = х, y' = ky,
заданное по отношению к декартовой прямоугольной системе ко-
ординат, называется сжатием (к оси Ох)
1исло k называется к о э ф ф и ц и е н т о м с ж а т и я.
mauMun !° °Ы Н” было аффинное преобразование, существуют два
два "ерпендикУляРнь1х направления, которым соответствуют
Два опт^Г0НаЛЬНЫХ междУ собой направления.
разовании соотв^Х7ютата₽кжеепИЯ’ КОТОрым в аФФИН110М прео^
называются г n а в и акже два ортогональных направления,
преобразования. ” напРаБлениями данного аффинного
ного преобразован?,6 преобразование есть произведение ортогональ-
Если°в аффХмИ ^ВЗаИМН° ^рпепдикулярных сжатий,
подвижная точка ™ реобразовании имеется хотя бы одна ие-
в нем сохраняются nemiuu33™6™ 11„е 11 т р о а ф ф и н н ы м; если
• 1чииы площадей всех фигур, то оно назы-
ГЛ. VUI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !55
вается экви аффинным, а если копия „
ориентация плоскости, то оно называется v J° °’ сохРаняется я
С о б с т в е н н ы м в е к то р о м аффинного п ” °бДУ л я Р н ы ”•
зывается такой ненулевой вектор который nnJТбр азования на-
нии переходит в вектор, ему коллинеарный Р ЭТ°М Пре°бразова-
Координаты собственного вектора (/, аффинного поеобпа
зования (9) определяются из уравнений: ' преобра-
(°п —К) I 4-о12н1=0,
°гЛ-(агг—X) m = 0,
где X—корень уравнения:
| °и ап I л
I °zi агг—М
Центроаффииное преобразование
*'= °! !* + “«(/>
'/'=‘32ГХ+'Ы/,
заданное относительно декартовой прямоугольной системы коорди-
нат, называется симметрическим, если матрица
/Ч|в,Л
этого преобразования является симметрической, т. е. если elt=e2I.
Всякое симметрическое центроаффинное преобразование имеет
два взаимно ортогональных собственных вектора, и обратно, если
некоторое центроаффинное преобразование имеет два взаимно орто-
гональных собственных вектора, то оно симметрическое.
Множество всех линий второго порядка может быть разделено
на девять аффинных классов; две линии второго порядка отно-
сятся к одному аффинному классу, если одна из них может быть
переведена в другую некоторым аффинным преобразованием; две
линии второго порядка относятся к различным классам, если одна
из них в другую не может быть переведена никаким аффинным
преобразованием.
Эти девять аффинных классов следующие:
1) эллипсы;
2) гиперболы;
3) параболы;
4) пары пересекающихся прямых;
5) пары параллельных прямых;
6) двойная прямая;
7) две мнимые параллельные прямые;
8) две мнимые пересекающиеся прямые (точка),
9) мнимые эллипсы. , ,л,...птпм ка-
При аффинном преобразовании диаметр, етр центр,
л ь н а Я К Л И И И Р Р t шейгД/образом линии
асимптоту и касательную к линии С , ЯБЛИЮЩРЙСЯ образом^ ди-
С; сопряженные диаметры линии С переходят в сопряжении
аметры линии С.
156 ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пример 1. Найти двойные прямые аффинного преобразования:
х'=опх +0,^ + 0,,
y' = atlx + a21y + at. 1 >
Решение. Рассмотрим прямую
Ах’ + Ву'+С=О. (2)
Прообразом этой прямой в данном аффинном преобразовании
(1) будет прямая
А (а„х + аиу + а,) + В (а21х + а^у + <з2) + С == О,
или
(апА+аг1В) х + (а12А +а„В) у -f- Act, + Ваг + С = 0. (3)
Для того чтобы прямая (2) была двойной, т. е. чтобы ее про-
образ (3) совпадал с этой прямой, необходимо и достаточно, чтобы
коэффициенты уравнений (2) и (3) были пропорциональны;
в11А4-п21В=ХА,
а12А+с22Д = ХВ, (4)
Aat-}-Ва2 4-С = ХС,
пли
(а„— X) А +а12В = 0,
а12А-}-(й22—X) В =0, (4')
Aaf + Ва2 + С (1 —Х) = 0.
Так как А и В ие равны нулю одновременно, то из первых
двух уравнений системы (4') следует, что
Таким образом, X должно быть корнем уравнения (5)
Отметим, что в силу неравенства
|°и °u| -£ о
|°21 “2.Г
ни одни из корней уравнения (5) не равен нулю.
ствительных? SHeH"e Ие Имеет Действительных корней, то (дей-
В этом случае из чисел
аи —X, а.
где X—корень уравнения (5) по кпяйнрй
ХЯшеание°ТА:кПерВЫе
нахоЕп?И ПРИ ЭТОМ 1. то из
находим:
аи» н22—X,
мере одно отлично от
системы (4') определяют
последнего ур авиения системы (4')
q__^ai +
ГЛ. VIH. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 157
Если же X—1 — один из корней уравнения (4'), то С—любое
число. В этом случае существует пучок Двойных паралле™
между собой прямых. “"рчлледьных
Таким образом, если корни уравнения (5) действительны
и различны, причем ии один из них ие равен 1, то существуют
две и только две различные двойвые прямые.
Если корни уравнения (5) действительны и различны и один
из них Х2 равен 1, то отличному от 1 корню X, соответствует
одна определенная двойная прямая, а корню Х2==1 соответствует
пучок параллельных между собой двойных прямых.
Пусть теперь уравнение (5) имеет двойной корень, ие рав-
ный 1.
Если в этом случае среди чисел а„ — X. а„, а„, а,,—X есть
хотя бы одно, отличное от нуля, то первые два уравнения
системы (4) определят отношение А: В, а последнее уравнение
этой системы определит число С.
В этом случае имеется лишь одна двойная прямая.
Если уравнение (5) имеет двойной корень, не равный 1,
и если а„ —Х = а11 = а12 = а21—Х = 0, то первые два уравнения
системы (4) удовлетворяются при любых значениях А и В. Из
последнею уравнения системы (4') находим;
Ла, + Ваг
L X—1 ’
Все двойные прямые:
или
Все двойные прямые проходят через точку
/а, аг \
V 1-ХГ
Так как А и В произвольны, то двойной прямой является
всякая прямая, проходящая через эту Т0??У; ппеобоазование
В рассматриваемом случае данное аффинное преобразовав
имеет вид:
х- = Хх+а„ / = Х{/+о,-
„„ ( °< будем
Перенося начало координат в точ у —у- ]—у)
иметь:
а. ф । °* _ -
*=**+idx’ у у +i-x’
1 -/V
158 гл. VIII. ортогональные и аффинные преобразования
Следовательно,
**'+г=х=х (х* + г=Ьс)+а-
^'+г=Х=Х(^ + Г^х)+а‘
или
х*' = Хх*, ?/*' = Xi/*,
т. е. мы имеем преобразование подобия с центром подобия в точке
Qi о» \
1 —X’ 1—X/'
Если оба кория уравнения (5) равны 1, но хотя бы одно из
чисел а„ —X, а12, ап, а22 —X ие равно нулю, то для А :В нахо-
дится вполне определенное значение, а С произвольно. В этом
случае имеем пучок двойных параллельных между собой прямых.
Если оба корня уравнения (5) равны 1 и с„—Х=о12 = а21=>
=аа—Х = 0, то данное аффинное преобразование имеет вид:
x' = x + alt у'=у+а2
(параллельный перенос). Двойными прямыми являются (в случае,
если а, и аг не равны нулю одновременно) прямые, параллельные
вектору {а,, а2}. Если же а,=а2=О, то мы имеем тождественное
преобразование: любая прямая является двойной.
Пример 2. Определить главные направления центроаффин-
ного преобразования А, заданного относительно прямоугольной
системы координат:
х'=опх + oI2t/, у'=аг,х+а21у. (1)
Решение. Рассмотрим центроаффинное преобразование А*:
A'=onx + o21i/, У' = апх+аггу. (2)
Аффинное преобразование А* А будет определяться формулами:
*' = «и (ап* + а12у) <г21 (аах 4- д22р),
= Д)г (апх ф- а,гу) 4- aI2 (a2ix 4- аггу),
или
*' ~ (°!1 4- «2,) х + (ап«12 4- а21«22) у,
У ~ («12ап 4- яг2°21) х 4- (а*г 4- а2г) у.
Это преобразование симметрическое
образовании6д'™ а°Л Л,0б0Г° Вект°Ра е в аффинном пре-
е, = {*, « [и е —₽(х I Отметим, что для двух любых векторов
равны между «бой: Р"Ые произведения е,Аег и егА*ех
ехАег = егА*е2.
(3)
ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 159
В самом деле,
е^ег={хи «/,} {о11х24-о12у1, о21х2 4-о22р2} =
— *i («и*, + а 12у2) ух (аггхг 4- а2гу2) =
= a, ,х,х, 4- atIx,yt 4- а21р,х2 4- ааухуг=
= *г (°,Л + а.,1/,) 4- у, (а12х, 4- с22р,)=
= И«. Уг} {an*i+olt0t, ви’г14-“иР1}=е1Л*е1.
Так как аффинное преобразование А* А является симметриче-
ским, то оно имеет два ортогональных собственных вектора:
*! = {*!•
«« = {*1. V»}.
т. е.
А” Ае, = К,е„
А*Аег — >^ег.
Из первого равенства находим-
егА*Ае1 =Х1₽,₽,=0,
так как е, J_e2.
Обозначая векторы Ае, и Аег через е, и е'г, в силу свой-
ства (3) будем иметь:
etA*Ae,=etA*el = elAe,=e, ег—0.
Таким образом, собственные векторы аффинного преобразова-
ния А*А будут параллельны главным направлениям аффинного
преобразования (1).
Обратно, пусть et и et—векторы, параллельные главным
направлениям аффинного преобразования (1) Тогда
А₽1Ае, = 0
илн
е\ Де, = 0,
откуда в силу свойства (3) будем иметь:
e,Aet — егА*е, = ₽2A*Act =0.
Значит,
e,_L А*Ае,;
ио векторы е, и ег ортогональны
направлений, следовательно, вектор
по определению главных
А*Ае1 коллинеарен век-
тору et, т. е.
А*Ае1=1,е,-
Аналогично доказываем, что
А * Аег = Х2с2
Таким образом, векторы, паРалл®Лд'^'есоГбственными векто-
ниям аффинного преобразования (U, У у
рами афх{>ииного преобразования ( )
160 ГЛ. VHI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
.. отыскания главных направлений аффнииого преоб-
Итак, дия <wck пары взаимн0 ортогональных собст-
разеванияА1 издс> ваиия д» А
венных векторов Р значения симметрического преобразования
разливы. «Образование А имеет единственную пару главных
направлении П1!Сть относительно общей декартовой си-
стелы координат задано аффинное преобразование:
x’=a,tx + alt!/+at,
у' =а„х + a«y4-a2.
Написать формулы этого аффинного преобразования в новой
системе координат, если переход от старой системы Оху к новой
Оху задан соотношениями.
x=c„x+cKy + clt
р=с21х + сир-|-г2.
Решение. Пусть х, и—координаты произвольной точки М
в системе Оху, а х', у'—координаты точки М', являющейся обра-
зом точки РЛ в данном аффинном преобразовании. Пусть далее х,
у—координаты точки М в системе Оху, а х', у' — координаты
точки М' в той же системе Оху.
Тогда
х'^цХ'+с.г/Ч-с,,
р'=с21х' +с22/+с2.
Следовательно,
Ч-СцУ' +с, = а„ (с„х + ску + с,) + аи (сах + сг’у + с2) + а» (
спХ + сггу' + сг = а21 (с, ,х+сиу+G) + a2i (сых + сггу + с2) + аг.
Разрешая эти соотношения относительно х' и и',
формулы вида. w
x’ = btlx + bt!y + bl,
^ = М + д22р + &г*).
линию^оро^ порядив себяиННЫе пРеобРазотния>
равенства-:Ла ^,к' опРеДелЯ|Отся из следующего
мы получим
переводящие
матричного
bn bt
Ь» ba bt
>0 0 1
ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 161
Решение. 1) Найдем аффинные преобразования
щие эллипс в себя. ’
Пусть
х' = с„х + 0,^ + 0,, у'=аг1х-\-аау + а7
переводя-
(1)
— искомое аффинное преобразование. Прообразом эллипса задай-
иого каноническим уравнением: *
х'2 , и'2
о2 + Ь2
(2)
в этом преобразоваинн будет тот же эллипс:
("п^ + оиУ+о,)* , (сцХ+аиУ + а,)1
-------------------------------— J
Ь2
или
Z „2
.2
(gigU g2g2i \
~^-+—)х+2
Так как уравнение (3) определяет тот же эллипс, что и урав-
нение (2), то соответствующие коэффициенты этих уравнений про-
порциональны:
а2 + Ь2
°1 аг
^ + -^+v = 1- (3)
Из четвертого и пятого
как эта система однородна
°11 °21
с2 Ь2
ait °гг
а2 Ь2
°11°12 ] Я21 °22_0
а2 Ь2
gIQll . g2g21 —. Л
<2*
। =о
аг Ь2
^L+^L_ i=—х.
о2 + Ь2
уравнений следует, что а. = а,-0. так
и ее определитель не равен нулю!
1
~агЬ2
#0.
(4)
Из шестого соотношения находим X 1
6 С. В. Бахвалов в др-
°11 °21___« ’
162 ГЛ. VI». ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Таким образом, искомое преобразование будет:
х'=а„х+а,гу. У' = аг,х + аг2у,
и уравнения (4) принимают внд:
аг + Ьг а*’
апач I а21агг_л
а* Ьг '
а31е
или
Мы видим, что матрица
ортогональная. Значит, можно положить:
а
an = cos<p, у etl= — sin <p,
у аи = sin ф, аа = cos ф,
или
о ,
аи = cos ф, — atl = sin ф,
о
Ь
— alt—sin ф, агг = — cos ф.
Таким образом, искомое преобразование:
К'=ХСО5ф— —и sin ф,
а т
* а
V =У *81Пф4-1/СО8ф,
ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОВР*™.
ПГЕОБРАЗОВАННЯ 163
или
(6)
х'=х cos tp+JL у sin(ft
b
У ~ а х sin ф—усовф.
Преобразование (5) можно рассматоивать
следующих преобразований. ₽ ЭТЬ как пР°изведение СВА
А
gj *»:=*|СО5ф—у, sin ф,
1 Уг = *1 sin ф-|-у, cos (р;
С1 х, = ах3,
I Уг=Ьуг.
Преобразование А преобразует данный эллипс в окружность
радиуса 1, центр которой совпадает с центром данного эллипса
Преобразование В есть поворот на угол ф вокруг центра этой
окружности (преобразует эту окружноств в себя).
Преобразование С снова повернутую окружность преобразует
в данный эллипс.
Преобразование (6)
четырех преобразований:
можно рассматривать как произведение
‘ а ’
А
I Уг= — Уй
С1 cos ф—у, sta ф,
I у,=хг5Н1ф4-у2 cos<p;
f х4=ах„
I yt = by3-
Преобразование А преобразует данный эллипс в окружность
радиуса 1, центр которой совпадает с центром данного эллипса.
Преобразование В есть симметрия относительно оси Ох; оно
окружность S преобразует в себя.
Преобразование С есть поворот на угол Ф Iв
окружности; это преобразование окружность S прео р У •
Наконец, преобразование D переводит окружность 5 в данный
ЭЛЛИ2)СНайдем аффинные преобразования, переводящие гиперболу
в себя.
6*
104 ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ и аффинные преобразования
Пусть
х' == +otly + Qi.
у' ^atlx-j-alty + at
-искомое аффинное преобразование.
Прообразом гиперболы
х'у'=С, (1)
отнесенной к асимптотам, будет та же гипербола.
(Ли*+atiy + 01) (о21х + ОпУ + аг) = С,
или
aiAi*’+(a1iOn+fliA>) хУ+апапУг +
+(01021 + о2вц) X + (о2о12 + «iCjj) У + 0,0» = С. (2)
Так как уравнения (1) и (2) определяют одну и ту же гипер-
болу, то соответствующие коэффициенты этих уравнений будут
пропорциональны:
0ца„ = О,
о12о22 = 0,
а1п21+о2а11=0,
а,а22 + а2а12 = 0, (3)
О12О21 + ОцОг2 = X,
о,о2—С = —ХС.
Из третьего н четвертого соотношений в силу неравенства
Oi = o2 = 0.
,'рнХ ”, ““W™ Р-н.™ находим: 1_|
I. Пусть о21=:0. Тогда
ОцО21 =0,
О|2о22 = 0,
oi2o21 + а11с22 = I.
Oi2o22 = 0,
0,1012 — 1
Отсюда следует, что и / п »
получим а 1 ’ Начит’ °>2 = 0- Полагая alt = k,
5 М “Si=T и “с'“>мое преобразование
x’ = kx, у
где /г—любое Действительное число
1
не равное 0.
803—811]
§ 1. ПОВОРОТ
плоскости
165
a2Z lA 0»
III.
°2| 7^ 0>
II. Пусть а12 = 0. Тогда о„а„=о „ „ „
Пусть’а“2=0°’Тогда «[’Г °=о’
следовательно, а22=0 и. пола’гаЛ*-*, Яем’йм^Г °’
X'=ky, У'=^х.
Наконец, если о22=0, то мы приходим к преобразованию
IV.
того же вида.
§ 1. Поворот плоскости
Найти тангенс угла, на который надо повернуть
около какой-либо ее точки, чтобы прямая
803*. Плоскость поворачивается около точки (2,3) на
угол а, такой, что cosa=y, sina=—В какую пря-
мую переходит прямая x-j-2j—3 = 0?
804. Плоскость поворачивается около точки (—1,3) на
угол 45°. В какие прямые переходят при этом оси коор-
динат?
805.
на угол
x = pt
806.
плоскость около какой-либо ее точки, чтобы
2x-|-5j—3=0 стала параллельной оси ординат.
807. Плоскость поворачивается около точки (—3, 4) на
угол -J-90®. В какие прямые при этом переходят биссект-
рисы координатных углов?
808. Составить уравнения сторон правильного шести-
угольника, если 4x + 2j—1 = 0 —уравнение одной из его
сторон, а центр симметрии находится в начале координат.
809. Даны уравнение 2х—j = 0 стороны равносторон-
него треугольника и точка (5, 1) пересечения его медиан.
Составить уравнение двух других сторон.
810. Найти две вершины равностороннего треугольника,
зная, что они лежат на осях координат и что третья
вершина совпадает с точкой (1, 1).
811. Найти вершины А и В острых углов Равн^^Рен‘
кого прямоугольного треугольника, зная ^РетЬ1 в 0_
С(1,2) ипрямые8х-^ + 20 = 0, 7х + 4_у-41=0, на кою
рых лежат искомые вершины.
Плоскость поворачивается около начала координат
а. В какую прямую при этом переходит прямая
166 ГЛ. УШ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [812
812*. Даны трн параллельные прямые: у = 0, у—2=0
у—3 = 0. Найти угловые коэффициенты сторон равносто-
роннею треугольника, вершины которого лежат соответ-
ственно на данных прямых.
813. Центр правильного л-угольника находится в точке
(xt, yt); уравнение одной из его сторон Ах-\- By
Найти уравнение остальных л— 1 сторон.
§ 2. Аффинные преобразования
814. Дано аффинное преобразование х' = 2х -\-Зу
у’ — 4х—Зу—2. В какие точки перейдут при этом преоб-
разовании точки 0(0,0), А (5, 2), В(—1,4)?
815. Дано аффинное преобразование х' = Зх-]-у— 6,
у' = х-\-у-}~ 1. Какая точка переходит при этом преобразова-
нии в точку (9, 8)?
816. Дано аффинное преобразование х = Зх-\-4у—12,
у’ = 4х—Зу4-6. На прямой 1х—2у—24 = 0 найти такую
точку, которая при этом преобразовании переходит в точку,
лежащую на данной прямой.
817*. Аффинное преобразование а переводит точки А (2,1),
В(3, 0), С(1, 4) соответственно в точки А'(1, 6), В’ (1, 9),
С'(3, 1). Куда перейдет при этом преобразовании точка
А1(5, 7)? Какая точка останется неподвижной?
818*. Определить аффинное преобразование, которое
три данные точки А, (1,0), А, (0,2), А,(—3,0) переводит
соответственно в точки А, (2,3), Аг(— 1, 4), А,(—2, —1).
819. Определить двойную точку аффинного преобразо-
вания x' = 4x-J-5y—И, у‘ — 2х-}-4у—7.
820. Определить двойные точки аффинного преобразова-
ния х' = 3х4-4у—8, у' = хА-Зу — 4.
821. Дано аффинное преобразование х — 2х 4- Зу + 5,
у' — 4х— Зу—2. В какие прямые перейдут при этом пре-
образовании 1) оси Ох и Оу, 2) прямые 2х-}-Зу-|-5 = 0,
4х—Зу—2 = 0; 3) прямая 2х—бу—7=0.
822. Дано аффинное преобразование х' = 2х-}-у—2,
у' =х—у—1 и точка А(1, 1). Найти прямую, проходящую
через точку А, которая при этом преобразовании переходит
в прямую, также проходящую через точку А.
823*. Определить двойные прямые аффинного преобра-
зования х' = 1х—у 4-1, у’ = 4x4- 2у 4- 4.
835]
§ 2. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
167
824. Доказать, что аффинное преобразование
х'=ах— bv 1
у — bx-^-ay J
не имеет двойных прямых.
825*. Как запишется аффинное преобразование х' =х-{-2у,
у' — 4х+3у, если за новые оси аффинной системы коорди-
нат принять двойные прямые данного преобразования.
826*. Дано аффинное преобразование х’= 5х-[-у,
у'— 4x-J-8j. Найти такие векторы, которые при этом пре-
образовании переходят в векторы, им коллинеарные.
827. Дано аффинное преобразование х = Зх—у,
у' = х-\-у. Найти векторы, которые при этом преобразова-
нии переходят в векторы, им коллинеарные.
828. Дано аффинное преобразование х' = 2х—5у,
у' = 2х + 3j. Найти такие векторы, которые при данном
аффинном преобразовании переходят в векторы, им колли-
неарные.
829. Дано аффинное преобразование х — 10х-|-11у,
у' = 1 Ох + 9у. Найти такой вектор, который при данном
преобразовании переходит в вектор, к нему перпендику-
лярный.
830. Найти общий вид тех аффинных преобразований,
для которых каждая точка оси Ох является двойной точкой.
831. Найти общий вид тех аффинных преобразований,
для которых оси координат являются двойными прямыми.
832. Найти общий вид тех аффинных преобразований,
для которых ось Ох является двойной прямой, а все точки
оси Оу — двойными точками.
833. Написать формулы аффинного преобразования, при
котором оси координат являются двойными прямыми, точка
Л(2, 0) переходит в точку А' (— 6,0), а точка В(0, 4)
переходит в точку В' (0, 8).
834. Найти такое аффинное преобразование, для кото-
рого все точки осн Ох являются двойными, а точка А( , )
переходит в точку А' (— 1, —4). __
835. Как запишется аффинное преобразование, моторов
прямоугольник ОАСВ превращает в параллелограмм
с теми же длинами сторон и углом ^/_АО — <*>. п
начало прямоугольной системы координат принять в р >
Ibb ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [836
а за положительные направления осей — направления сторон
прямоугольника.
836*. Определить такие аффинные преобразования, при
которых каждая точка прямой Ах-у By-]- С = 0 является
двойной точкой.
837*. Определить такое аффинное преобразование, при
котором каждая ючка прямой x-j- 2у—1 =0 является двой-
ной и точки Af(l, 2) и М' (2, 2)— соответствующими точками.
838. Определить аффинное преобразование, при котором
точки прямой Ах + By -|- С = 0 переходят в себя же и точка
0(0, 0) в точку S0(x0, _у0).
839. Найти такое преобразование, при котором каждая
точка переходит в точку, симметричную ей относительно
прямой Ах-\-Ву-\- С=0.
840. Найти такое аффинное преобразование, при котором
каждая точка переходит в точку, симметричную ей относи-
тельно прямой х-(-_у — 5 = 0.
841*. Определить аффинное преобразование, при котором
прямые x4-j4-l=0, х—_у-*-2=0 переходят в себя же,
и точка /14(1, 1) переходит в 7И'(2, 1).
842. Написать формулы аффинного преобразования, при
котором прямые Аус + В,у 4- С, = 0 и Аус 4- Bty 4- С2 = О
переходят соответственно в оси Оу и Ох, а точка Мо (хе, у0)
в точку Е (1, 1).
843*. Найти такое аффинное преобразование, при котором
прямые Atx +B,y-j- С, = 0 и Dye-]- Е,у-]- F, =0 переходят
соответственно в прямые Аус-]- В2у + С2 = 0 и Dye-]- Егу -]-
+ F2 — 0, а точка Mt(xt, у,) — в точку М2(х2, _у2).
844. Найти такое аффинное преобразование, при котором
прямые 5х — Gy— 7=0 и Зх—4_у = 0 переходят соответ-
ственно в прямые 2х-|-.у—4 = 0 и х—jJ-l=0, а точка
(6, 4) в точку (2, 1).
845. Найти аффинное преобразование, обратное пре-
образованию x' = 2x-b3j—7, У = 3x4-5^ —9.
846. Даны два аффинных преобразования
А: х'=2х4-у —5, j' = 3x—j4-7;
В: х’=х—у 4- 4, у= — x4-2ji4-5.
Найти преобразования АВ и В А.
847*. Найти все аффинные преобразования, квадрат каж-
дого из которых равен единичному преобразованию.
855]
§ 2. АФФИННЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1G9
848*. Относительно прямоугольной системы координат дано
аффинное преобразование х' = 7х + у,/=_5х _5 Л ’°
два таких взаимно перпендикулярных вектора, которые нои
этом преобразовании переходят во взаимно перпендикулярные
векторы. Пред( авить данное аффинное преобразование как
произведение преобразования поворота и двух взаимно нео-
пендикулярных сжатий.
849. Образует ли группу множество аффинных преобра-
зований плоскости x' — ax+b, y'-cy + d, где a, b с d
принимают все действительные значения, причем
с =f=Q.
850. Образует ли группу множество аффинных преобра-
зований плоскости х' — х, y'=ky, где к принимает все
действительные значения, кроме k = 0. Выяснить геометри-
ческий смысл каждого из этих преобразований.
851. Образует ли группу множество аффинных преобра-
зований х' =х + ky, у' —у (k принимает все действительные
значения). В чем геометрический смысл каждого из указан-
ных преобразований?
852. Образует ли группу множество аффинных преобра-
зований х'=Хх, у' — hy, где X принимает все действитель-
ные значения, кроме Х=0. В чем геометрический смысл
каждого из указанных преобразований?
853*. Образует ли группу множество аффинных преобра-
зований x'=r(xcosq)—ysinqi), у' =л(х sincp-f-ycoscp),
где г принимает все действительные положительные значе-
ния, а тр принимает все действительные значения. В чем
геометрический смысл указанных преобразований? Система
координат прямоугольная.
854. Образует ли группу множество аффинных преобра-
зований х' = ах— by, y' — bx + ay, где а н b принимают
все действительные значения, одновременно в нуль на о ра-
щаясь? В чем геометрический смысл каждого из указанных
преобразований?
855*. Образует ли группу множество аффинных преобразо-
ваний х' = Г (X cos <р — У Sin тр) + «, У — г (х SIH <Р 4-у cos <р) + р,
где г принимает все действительные положительные’
чения, а ф, а и Р принимают все действительные значения?
В чем геометрический смысл каждого из указ ।
образований?
170 ГЛ. VIH. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [856
856. Определить площадь треугольника, заданного ура в-
нениями его сторон:
Л1Х + 513'+С1 = °;
^ + 6^+0, = 0;
Л^+в»5' + с» = °.
относительно прямоугольной системы координат.
857. Определить площадь параллелограмма, стороны ко-
торого относительно прямоугольной системы координат опре-
деляются уравнениями:
Ах+Ву Д-С =0;
Ах + Ву +£> =0;
А 'х + В'у 4- С — 0;
А'х -f- В'у -J- D' — 0.
858. Через точку Р( 15, 6) провести прямую, отсекающую
от прямых 5х — 2у—5 = 0, 2х-|~5у— 2 = 0 треугольник,
площадь которого равна 29.
859. Через точку Р(—3, —5) провести прямую, отре-
зок которой между прямыми 2х-[-Зу—15 = 0, 4х— 5у —
—12 = 0 в точке Р делится пополам. Система координат
аффинная.
§ 3. Аффинные преобразования линий второго порядка
860. Найти геометрическое место точек пересечения ка-
№ z/^
сательных к эллипсу ^- + -^- = 1, проходящих через концы
его сопряженных диаметров.
861. ОД, ОВ—два сопряженных полудиаметра эллипса
аг . г/2
r-jr=l, М—середина хорды АВ и С—точка пересе-
чения луча ОМ с эллипсом. Определить отношение
862. Концы сопряженных диаметров эллипса +
соединены хордами. Определить геометрическое место их
середин.
63. Определить коэффициент подобия двух эллипсов
—- I — 1 jc2 уг
а2 ~ ь* И (вТ)* ' при условии, что треуголь-
875] § 3. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНИЙ 2 ПОРЯДКА 171
ник АВС, вписанный в первый эллипс, является описанным
около второго эллипса.
864*. Доказать, чго вершины ромба, описанного около
эллипса, лежат на его осях.
865. Доказать, что центр тяжести любого треугольника
вписанного в один эллипс и описанного около другого’
подобного первому, с тем же центром, есть центр эллипса’
866 :. Определить эллипс наибольшей площади, вписанный
в данный параллелограмм.
867*. Доказать, что площадь треугольника, сторонами
которого являются два сопряженных полудиаметра эллипса
и хорда, соединяющая концы их, есть величина постоянная.
868*. Определить геометрическое место середин хорд
эллипса, отсекающих от него сегменты постоянной площади.
869*. Доказать, что все точки, из которых к эллипсу
можно провести касательные равной длины, лежат на его осях.
870. Доказать, что прямые, соединяющие концы М, и Mt
двух сопряженных радиусов эллипса, касаются некоторого
эллипса, гомотетичного данному. Найти коэффициент гомо-
тетии.
871. Доказать, что отрезки ММ, и ММ, касательных,
проведенных из какой-либо точки М к эллипсу (М, и М,—
точки прикосновения), относятся между собой как длины
радиусов, которым они параллельны.
872. Доказать, что длины хорд, стягивающие дуги, за-
ключенные между двумя параллельными секущими к эллипсу,
относятся друг к другу как радиусы эллипса, параллельные
этим хордам.
873. Доказать, что диагонали параллелограмма, стороны
которого касаются эллипса, являются сопряженными диамет-
рами этого эллипса.
874*. Доказать, что если через какую-нибудь точку М,
лежащую на продолжении общей хорды двух пересекающихся
эллипсов, гомотетичных между собой, провести к этим эллип-
сам касательные ММ, и MMt (М, и М,— точки прикосно-
вения), то отрезки ММ, и ММ, будут относиться друг
к другу как длины радиусов одного из эллипсов, парал-
лельных проведенным касательным.
875*. Доказать, что произведение отрезков М,Р, и , t,
отсекаемых касательной Р,Рг к эллипсу от двух параллельных
касательных М,Р, и М Р к этому эллипсу (М, и , т04
11 Z *
172 ГЛ. VIII ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [876
прикосновения), одно и то же для всех касательных к
876«. Доказать, что произведение отрезков МР, и МРг
касательной PtMPt к эллипсу (/И —точка прикосновения),
гд Р и Р —точки, в которых рассматриваемая касательная
пересекается с двумя произвольными параллельными, каса-
тельными к эълипсу, постоянно.
877. Найти геометрическое место точек М пересечения
прямых, проходящих через две данные точки А и В плоско-
сти при условии, что прямые AM и ВМ параллельны двум
сопряженным диаметрам данного эллипса.
878*. Около эллипса описан четырехугольник. Доказать,
что сумма площадей двух треугольников, имеющих общей
вершиной центр эллипса, а основаниями соответственно две
противоположные стороны четырехугольника, равна сумме
площадей двух других таких треугольников.
879. Пусть ОА и ОА'—два сопряженных радиуса эллипса,
ОВ и OB'—два других сопряженных радиуса того же
эллипса. Доказать, что среди прямых АВ, А'В', АВ’ и А'В
есть две параллельные.
880. Через точку А плоскости к эллипсу проведена се-
кущая, пересекающая этот эллипс в точках Р и Q. Дока-
AP-AQ
зать, что —= const, где г — радиус эллипса, параллель-
ный секущей.
881. Вычислить площадь эллипса с полуосями а и Ь.
882. Доказать, что два сопряженных диаметра эллипса
делят его на четыре равновеликие части.
883. Рассмотрим два радиуса эллипса таких, что площадь
эллиптического сектора, образованного этими радиусами
и дугой эллипса, имеет данную величину. Доказать, что:
1) хорды, соединяющие концы этих радиусов, касаются
некоторого эллипса, гомотетичного данному, причем точками
касания служат середины хорд;
2) сегменты, заключенные между этими хордами и дугой
эллипса, имеют постоянную площадь;
3) треугольник, имеющий сторонами одну из этих хорд
площадьЛЬНЫе К 9ЛЛИПСУ в ее концах, имеет постоянную
вллип'" Д°казать> чт0 если соединить произвольную точку
са с двумя данными на нем точками и провести через
891 ] § 3. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛИНИЙ 2 ПОРЯДКА 173
центр эллипса прямые, параллельные построенным то П1П.
щадь одного из полученных при этом построении секторов
эллипса имеет постоянную величину, равную площади сек
тора, образованного двумя радиусами, имеющими своими
концами две данные точки эллипса.
885. На эллипсе = 1 даны две точки М,(х„Л)
и Уг). Найти угловой коэффициент прямой, прохо-
дящей через центр эллипса и делящей пополам площадь
эллиптического сектора OMxMt (О —центр эллипса).
886. Доказать, что если 2И(х0, у0)— произвольная точка
плоскости и Р—точка пересечения луча ОМ с эллипсом
аг Ь* ' аг ' Р ~\ОР J '
887*. Найти все аффинные преобразования, переводящие
гиперболу ------£2"~1 в себя. Образуют ли группу все эти
преобразования? Доказать, что все они эквиаффинны.
888. Определить аффинное преобразование, при котором
гипербола х1—у2 = 1 переходит в ту же гиперболу, а точка
Af(l, О) — в точку М" 2, 1).
889*. Пусть Л—какое-нибудь аффинное преобразование,
переводящее гиперболу Г в гиперболу Г', софокусную с ги-
перболой Г. Доказать, что тогда PQ’ = P’Q, где Р и Q —
две произвольные точки гиперболы Г, а Р и Q —их образы
в рассматриваемом аффинном преобразовании.
890*. Рассмотрим два радиуса гиперболы, таких, что
площадь гиперболического сектора, образованного этими
радиусами и дугой гиперболы, имеет данную величину.
Доказать, что:
1) хорды, соединяющие концы этих радиусов, касаются
некоторой гиперболы, гомотетичной данной, причем точками
касания служат середины хорд;
2) сегменты гиперболы, заключенные между этими
дамп и дугой гиперболы, имеют постоянную площадь,
3) треугольник, имеющий сторонами одну из хор
касательные к гиперболе в ее концах, имеет
площадь.
891*. Доказать, что если
гиперболы с двумя данными
соединить произвольную точку
на ней точками и провести
174 ГЛ. VIII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [892
чеоез центр гиперболы прямые, параллельные построенным,
то площадь одного из гиперболических секторов, получив-
шихся при построении, имеет постоянную величину, равную
половине площади сектора, образованного двумя радиусами
гиперболы, имеющими своими концами две данные точки
гиперболы.
892*. Определить аффинное преобразование, которое
параболу уг = 2рх переводит в ту же параболу.
893*. Определить унимодулярное аффинное преобразова-
ние, при котором парабола уг — ‘Ipx переходит в ту же
параболу.
894. Точка 5 пересечения двух касательных к параболе
у' = 2рх в точках Af, и /И2 соединена отрезком с серединой
ДГ хорды МхМг. Определить, в каком отношении X делится
отрезок SN точкой Т пересечения этого отрезка с параболой.
895*. Определить такое аффинное преобразование пара-
болы у1 = 2х, которое диаметр у=1 переводит в диаметр
у'=3, а точку Л1(2, 2) переводит в точку Л4'(8, 4).
896*. Определить геометрическое место точек, соответ-
ствующих фокусу параболы при всех унимодулярных пре-
образованиях параболы у2 —2рх в ту же параболу.
897*. Определить геометрическое место середин хорд
параболы уг = 2рх, отсекающих сегменты параболы постоян-
ной площади.
898. Определить геометрическое место точек пересечения
касательных к параболе уг = 2рх в концах хорд, отсекающих
от параболы сегменты постоянной площади.
899. Отношение расстояний двух параллельных хорд
параболы от параллельной им касательной равно 9. Опреде-
лить отношение А длин хорд,
900*. Определить аффинное преобразование, переводящее
параболу (ах J-§у)«2а,х + 2агу + а = 0 ( при условии
0 1 в ту же параболу.
°. «2
901 . Определить аффинное преобразование, которое
параболу {ах + + + + = 0>
переводит в параболу у'2 = 2рх'.
а р
=/= о,
911] § 3. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНИЙ 2 ПОРЯДКА 175
902*. Доказать что площадь сегмента параболы отсе
каемого хордой АВ, составляет ’/, площади треугокХ
сторонами которого являются хорда АВ и касательные Т™
раболе в концах хорды.
903*. Доказать, что любой сегмент параболы можно
аффинно преобразовать в любой другой сегмент параболы
904*. Определить площадь сегмента параболы, отсекав
мого хордой параболы, перпендикулярной к оси параболы
и проходящей на расстоянии, равном а, от вершины.
905*. Определить такую прямую, параллельную данной
прямой y — kx, которая отсекает сегмент параболы у2 = 2рх
данной площади Р. - ?
906*. Через точку параболы / = 2рх провести
хорду, которая отсекает от этой параболы сегмент данной
площади.
907. Доказать, что для всех сегментов параболы посто-
янной площади расстояние между диаметрами, проходящими
через конечные точки хорд,— величина постоянная.
908*. Из переменной точки М к параболе П проводятся
касательные; хорда, соединяющая точки касания, отсекает
от параболы сегмент постоянной площади. Доказать, что
геометрическое место точек М есть парабола, которая полу-
чается из данной параллельным перенесением. Доказать
также, что проекция хорды прикосновения на директрису
есть величина постоянная.
909. Доказать, что прямые, отсекающие от данной пара-
болы сегменты заданной площади, касаются одной и той же
параболы, получаемой из данной параллельным перенесением
в направлении ее оси.
910*. Доказать, что если из точек одной вертикали
в разное время, но с одной и той же начальной скоростью
выбрасываются три материальные точки, то (считая, что
движение происходит в пустоте) площадь треугольника,
образованного летящими точками, с течением времени изме
няться не будет.
911*. Определить аффинное преобразование которое
эллипс anx*-|-2a12xy4-allJI + 2a,x + 2alj + ^ (» ’
IlKl 0) преобразует в тот же эллипс.
ГЛАВА IX
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Проективной прямой называется множество, состоящее
из точек обыкновенной (евклидовой) прямой и еще одного элемента,
называемого несобственной или бесконечно удален-
ной точкой этой прямой.
Все прочие точки проективной прямой называются собст-
венными точками этой прямой.
Однородными координатами собственной точки М
проективной прямой называется любая пара чисел х„ хг, таких,
что х2 0 и отношение х,:х1 = х, где х— декартова координата
точки М. Если х—декартова координата собственной точки
проективной прямой, то ее однородные координаты будут kx, k,
где k—любое число, не равное нулю, в частности х, 1.
Однородными координатами несобственной точки, по опреде-
лению, является любая пара чисел k, 0, где k Ф 0, в частности 1,0.
Точку М, имеющую однородные координаты х„ х2, обозначают
так- 7И(х,:хг).
Система проективных координат на проективной прямой опре-
деляется тремя точками этой прямой: О,, О2 и Е. Точки О, и О2
называются базисными, а точка Е единичной.
Если однородные координаты точек Ot, О2 и Е суть соответ-
ственно:
в11’в21« ^12*^22 И ^1*^2*
а точка М имеет однородные координаты х,:х2, то ее проективные
координаты yt:y2 определяются из следующих соотношений:
Q*i = fln0.?/i + o1202«/2,
Схг=п21р1у1 -(- a22p2i/2,
опведёля1отгаВОЛЬНОе чвсло’ не равное нулю, а числа Qi и q2
определяются из системы уравнений:
ои01+«12(?2=(А,
°siQi + O22Q2=Qb2-
Е будут/* СЛеДУеТ’ ЧТ0 пРоективные координаты точек Ot, О2 И
02(0:1), £(1:1).
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ И7
Однородные координаты суть линейные однородные функции
проективных координат, н наоборот, проективные координаты
суть линейные однородные функции однородных координат
Однородные координаты есть частный случай проективных
координат, когда точка О,-несобственная точка проективной
прямой, точка О,—начало декартовой системы координат и £ —
единичная точка этой декартовой системы.
Двойное или сложное (или ангармоническое) отношение
(ABCD) упорядоченной четверки точек А, В, С, D проективной
прямой определяется следующим образом:
1) если точки А, В, С, D собственные, то
(ABCD) = — .А •
1 CBDB <ABD)'
2) если одна из точек, например D, несобственная, то сложное
отношение (ABCD) определяется как предел, к которому стремится
сложное отношение (ABCD') четырех собственных точек А, В, С,
D’ при условии, что точка D' неограниченно удаляется по прямой.
Это определение приводит к следующим равенствам;
а)
D—несобственная точка, то
если
б)
если
в)
если
(АВСР) = —
СВ
С — несобственная точка, то
(ABCD)=— —;
DA
В — несобственная точка, то
г)
если
(ABCD) = -^;
AD
А—несобственная точка, то
DB
меси—
Двойное отношение четырех точек, заданных своими проектов
ними координатами:
A(Oi:c2). B(bt:bt). C(q:ct). D(dl'-di),
вычисляется по формуле
Io, a2l |a>«J
с. сг I I di dtl
Й. ьг I Pi I
л д С совпадают соответственно
В частности, если точки Л’_^’ ольная точка, имеющая
с точками Ог и L, a м в
определяемое в про-
,7Я ГЛ IX ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1 / о 1
в системе 0„ Ov Е проективные координаты х,:х2, то
(0,02ЕМ) = *,:*»•
Это соотношение служит геометрическим определением про-
еКТЛляХп=енияТточки по ее проективным координатам можно
AATvnaTb так Пусть, например, надо построить точку (2- -3).
Возьмем любую точку О' плоскости, не лежащую на прямой
00 В общей декартовой системе координат с началом О и еди-
ннчной точкой, лежащей на прямой 0 Е, строим точку Р (2, 3).
Если прямая О'Р пересекает прямую 0,02 в собственной точке,
то эта точка и будет иметь (проективные) координаты 2:— 3.
Если же прямая О'Р параллельна прямой О,Ог, то (2: —3) —.
несобственная точка прямой 0,02.
Если (ДВСО) = — 1, то четверка точек А, В, С, и называется
гармонической
Если А В, С, D—гармоническая четверка точек, точки А,
В, С собственные, причем точка С —середина отрезка АВ, то
D — несобственная точка.
Проективным преобразованием множества всех точек проек-
тивной прямой называется преобразование,
ективных координатах соотношениями:
^=С(в»Л+«!*«*).
где q—любое число, не равное нулю, и
I ап а,2
l«si «г:
В этих соотношениях х,:х2—координаты
xt-xt—координаты точки образа, взятые по
и той же проективной системе координат на прямой.
При проективном преобразовании сложное (а и г а р м о н и ч е-
с к о е) отношение четырех точек проективной прямой не меняется,
и обратно, преобразование проективной прямой, при котором
сохраняется ангармоническое отношение четырех любых точек,
есть проективное преобразование,
группу0>КеСТВ0 ВССХ пРоективных преобразований прямой образует
самаТггб₽еСЛВСИИ°е пРеобРазование. при котором каждая точка
В а*Л1=7С?УеТ- иазывается единичным преобразованием,
ствеиных точек ппАекРДИНа-аХ ироективное преобразование соб-
Р ктивиои прямой определяется равенством
5*0.
^0.
точки прообраза, а
отношению к одной
ах-\-Ь
X~17+d' где
<очек каждой'поямой nrt Л ° С К ° с Уь’ Присоединим к множеству
аждои прямой обыкновенной (евклидовой) плоскости новый
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
179
элемент, который будем называть несобственной или веское.,...
удаленном точкой этой прямой. Если две прямые пересекаются
то мы будем присоединять к ним различные несобственные
Ко всем параллельным между собой прямым мы будем пписое™
пять одну и ту же несобственную точку. рисоеди-
Множество всех точек обыкновенной (евклидовой) плоскости
пополненное указанным образом множеством несобственных точек’
иазывается проективной плоскостью. Точки евклидовой плоскости
мы будем называть собственными точками тон проективной пто
скости, которая получается из данной евклидовой плоскости при-
соединением несобственных элементов.
Прямые евклидовой плоскости, пополненные несобственными
точками, мы будем называть собственными прямыми той проектив-
ной плоскости, которая получается из данной евклидовой плоско-
сти присоединением к ней несобственных элементов.
Множество всех несобственных точек проективной плоскости
называется несобственной или бесконечно удален-
ной прямой.
Однородными координатами собственной точки М проективной
плоскости, которая в общей декартовой системе координат Оху
имеет координаты х и у, называются тройка чисел х, у, i, а также
любая тройка чисел хр хг, хг, им пропорциональная. Таким
образом,
х, = kx, xt — ky, xs = fcl,
откуда получается связь декартовых
координат с однородными:
Однородными координатами несобственной точки, присоеди-
ненной к данному пучку параллельных прямых, называются три
числа
х„ х2, О,
где х,, х2—координаты любого ненулевого вектора, параллельного
прямым этого пучка. - „
Если х, х„ 0—координаты какой-нибудь несобственной тощи,
то числа /гх’р kx„ 0, где k—любое число, отличное от нуля, также
будут координатами той же несобственной точки.
Точку /И, имеющую однородные координаты х„ xt, х„ оо< .
™ проективной п.т«кости ко-
ординатах определяется линейным однородн ур
<i,Xi + afx2 4-^=0
и обратно. В частности, уравнение несобственной прямой будет
х,=0,
а уравнения
Xj = 0 и х2 = 0
суть соответственно уравнения осей Оу и Ох.
180
ГЛ. IX. ЭЛГМН.ТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Сие». "„Т™з“хо?«рЛы™““к’а"
j<ucs ipr р РДИННЧНОИ
базисными, а точка с базисным илн координатным.
3»’“ О- °- °- " Е “*”
ветственно:
0t (Оц-Оц-Оц), Ог (о1г:о22:а32),
0}(а,е:ага:а„) и Е (b.-.b.-.b,),
в точка М имеет однородные координаты х^.х^.х,, то ее проектив-
ные координаты у,:у2-.уг определяются из следующих соотношении:
рх, =auQ,yt + о12р21/г + aisQs{/«>
Р*г = 0210146 + “ггОгУг + «2sOs.Vs>
0*з = °»101!/1 + “з.Огг/а + Озз0з4/з.
где Q—произвольное число, не равное 0, а числа р,, р2, р3 опре-
деляются из системы уравнений:
ап01 + 01гОг + °1з0з — ^10>
0-101 + “ггОг + «гзОз = Ьг0.
Сз101 4"О32р2 4" О33р3 = b Зр.
Отсюда следует, что проективные координаты точек О,, Ог, О3, Е
будут:
0,(1:0:0), 02(0:1.0), 03(0:0.1), £(1:1:1).
Однородные координаты суть линейные однородные функции
проективных координат, и наоборот, проективные координаты суть
линейные однородные функции однородных координат.
Однородные координаты есть частный случай проективных
координат, когда точки 0( и Ог—несобственные точки осей Ох и
Оу, О,—начало координат, а Е—единичная точка общей декар-
товой системы координат Оху.
Если
°11*1+012*2+ °1з*3=0,
0>1*1 4-022*2 4-О23Х3 = 0,
°з1*14-о32хг-|-а33х3 = 0
=;= «is-- —«
*1:*2^*з соотноше-
4-012*2 4-Оц*3
“lAi-Ou&j + eub,’
__________
ачЬ1 + а32Ь2 -|- а33Ь3 ’
O,,z — °21*1 4- 022*2 4- О23*3
a2i^i 4- о2262 -|- о23Ь3 ’
!гг*г 4-О3з*э
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ
ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
181
где Q—любое число, отличное от нуля. Пусть точка Л1 имеет
проективные координаты x,:x2:xs. Обозначим через М и £ ппо
екиии точек М и £ из точки О, на прямую О,О2. Тогда точка М
будет иметь на проективной прямой О,О2 в системе 0,0 £*
проективные координаты х,:х2, а потому ” г' ’
Аналогично:
(O,O2E2MZ).
x,.xt = (020zE,M,),
*3--«1 = (OsO1£2M2),
где Ех и М,—проекции точек £ и М из точки
а Ег и Мг—проекции точек Е и М из точки
О, на прямую 020.
Ог на прямую 030,
Для построения точки по ее проективным координатам можно
поступать так. Пусть, например, надо построить точку (—1:1:2)
(рис. 23). Возьмем любую точку О' плоскости, не лежащую на
прямой О2О,. В аффинной системе с началом О' и единичной точ-
ной, лежащей на прямой О'Е, (£, —проекция точки Е из точки Oj
на прямую О2О,), строим точку (1, 2), соединяем ее с О' и в пе-
ресечении с Огб, получаем точку /И'. Берем далее произвольную
точку О'", не лежащую на прямой 0,02, и строим в аффинной
системе с началом О"’ и единичной точкой, лежащей па прямой
О'"Еа, точку (—1, 1), соединяем ее с О"' н в пересечении с 0,0,
получаем точку М'". Искомая точка М (—1:1:2) лежит на пере-
сечении прямых О,М' и О,М'" (аналогичным образом построенная
прямая 02М" пройдет через ту же точку).
182
ГЛ IK. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Проективная прямая на проективной плоскости определяется
линейным однородным уравнением
utXi + и,х, 4- и,х, «= О,
называемым уравнением этой прямой.
Отношения к, «, и, называются координатами прямой или
тангенциальными ксордннатамн. Запись l(ut:utu,) означает, что
прямая I имеет координаты U|;u,:ua.
В случае, если точка М лежит на прямой /, то говорят, что
прямая и точка инцидентны.
Если фиксировать xt:xtix,, то соотношению
«1х, + «гх1-Ькаха=0 (а)
удовлетворяют координаты всех прямых, проходящих через точ-
ку (ха;х, х,) В этом случае уравнение (а) называется уравнением
ТОЧКИ (Xt:X,X,).
Уравнение прямой, проходящей через две точки М, (х' ;ха :х) и
M,(xl:xt xt), будет.
и значит, координаты прямой будут:
х. X.
X, X
Уравнение точки
тг («>:«, и”) будет:
пересечения двух прямых /п, (и':ц';ы') и
г
2
и значит, координаты
Необходимое н
таково;
и1
и.
«2
Ы2
«2
М,
U.
и,
О,
этой точки будут;
и
2 ;
гг г.
и.
и,
и'
и.
и.
и.
«2
, . Достаточное условие коллинеарности трех точек
МЛхГх2.х,У Л1г (/;:/,-.ГД
х,
-х.
х,
х,
л2
*2
х.
=0.
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Необходимым и достаточным условием того, что три
l2(urU"t.ut), 1г{и-.и-
имеют общую точку, является равенство
< “2
п М
U2
Ui‘ “2
= 0.
Параметрические уравнения ^прямой, проходящей через две
точки Ml(xl:xt хг) и М2 (х^.х^.х*), записываются так:
х, = <и'+₽х",
*t = t«2 + Px",
*. = а^ + Рх",
где аир принимают все действительные значения, не равные
нулю одновременно.
Параметрические уравнения точки пересечения двух прямых
Л(ы1:и2:ы1) и 1г (и, и2-и,) (или координаты любой прямой пучка,
определяемого этими прямыми) будут:
п, = au' + ри",
u2 = au' + pu",
u, = au' + pu",
где аир принимают все действительные значения, не равные
нулю одновременно.
Ангармоническое отношение четырех точек:
Му (х':х':хД Мг(х':х'г х"),
Ms ((ax,+Px"):(cu:;4-^2):(^ + ^))>
М, ((Ах' + рх'): (Ах, + рх"): (Ах, + рх,)).
лежащих иа одной прямой, равно:
РА
(MJAf2M,Af4)= —•
Ангармоническое отношение четырех прямых
Z, (UjZu/u,), 4(ui:“»:wP’
Z, ((au' + Pu,): (a«2 + : +^U’^’
Ц ((^"i +
ГЛ IX ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
проходящих через одну точку, равно.
рХ
<WA)=-^-
Преобразование проективной системы координат Ofl.O^E в си-
стему О,0,0,Е’ определяется соотношениями:
рх, = а„х, + с12х, 4- в1Гс,,
рх, = о,,х, + ОцХ, + а«ха» (₽)
рх,= а„х1+аих, + аг»х5.
где (х -х х )—координаты произвольной точки плоскости относи-
тельно ’ системы 0,0,0,£. а х/хХ-координаты той же самой
точки относительно системы 0,0.0,Е’; при этом
«П °1» °1»
ап °1»
°»1 °м °»s
= 0.
Отсюда след\ет, что
РЛ = Л„х, + Л12х, + Л1ах„
£>х, = Л„х, + Л^х, + Л„х3,
рг, = Л,,х, + Л^х, + Л„х„
где Л,А пропорциональны элементам матрицы, обратной мат-
рице (otJfc).
Если базисные точки О,, 02, О, и единичная точка Е' заданы
относительно системы 0,0,0,£ своими координатами О, (b„:6„:6„),
0,(b„:b2,:b,J и Е(с,:с2:са), то уравнения (р)
имеют вид:
рх, = bue,x' + Ь1ге,х' 4. b„e^s,
pr, = Ь-iPiX, + bt.p,xt -f- b2Jg5x,,
px, = b3lQtxt 4- b3io,x2
где qJ2 определяются из уравнений:
4- b21ot J- bJSQ5 = Xq,
+ 6s:Q. 4- b„pa =
плоскостнТназываетея0тя^308аННе'1 МИ0Жества точек проективной
«PH которой TOOK™™ МРгаР’Рое.преоОриооаРне.
в кр, тоокв. „"«ГЙ.ЙХ
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 183
Проективное преобразование определяется соотношениями:
QX, = аих, -р а12х2+а1Л,
QXj = а21х, -f- аггх,+a22xs,
Q*3= а21х, +а32х2+а32ха,
где Xj:x,:x, и x^x^Xj—координаты соответствующих точек в этом
проективном преобразовании и определитель
“н
а21
“12 “ll
“12 “?S # 0.
“» “и
Множество всех проективных преобразований проективной
плоскости образует группу.
Формулы проективного преобразования собственных точек
проективной плоскости в аффинных координата* принимают вид:
х, = “и* + “иУ+“„ , = <W+<W+<1M
“цХ + “»!/ + а„, ’ а„х+а„у+ам *
Проективное преобразование плоскости в эту же плоскость или
в какую-либо другую плоскость определяется заданием четырех
пар соответственных точек.
Пусть заданы четыре пары соответственных точек:
A (a,:a,:а,) —-А' (а’:а,:а'),
Bfo^b,)—-В' (b^b,:^),
С (с,:с2:с,)—>-С’ (c':c2:cf),
D(d,dt:dJ—D' (<:<:<).
Пусть и—0, о=0, к’=0, и'=0, и' = 0, ш'=0—уравнения прямых
ВС, СА, АВ, В'С, С’А’, А’В'; тогда уравнения
и’ = ри, v' = qv, w’=rw
определяют проективное преобразование, переводящее точки Л,
В, С соответственно в точки А', В', С. Подставляя в левые части
этих уравнений координаты точки D’, а в правые координаты D,
найдем р, а, г.
Коррелятивным соответствием, или корреля-
цией, в проективной плоскости иазывается взаимнооднозначное
соответствие между множеством всех точек проективнон„
и множеством всех прямых этой плоскости. Корреляци »
линейной, если трем любым точкам, принадле
прямой, соответствуют три прямые, проходящие ‘*еР
Линейная корреляция называется п о ля Р и те то ы. если
любая точка А плоскости переходит в прямою через
жащая на прямой а', переходит в прямую о, проходящую через
точку А,
|86 ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Аналитически линейная корреляция определяется Уравне-
O'U;=«„х,+<ol2x,+<о18х„ 6«.=*>>•<+ <^х>+ “•*<
+ или еМ2 = ®1^.+ “»Х.+ ^Х.>
Q'u, = <0,1*1 + <0,2*2 + <0,rXj. еы» — Ш'>Х1 + U»»xi+ “«S*»’
где
<0,1 <012 <0„
IO,, <0g2 <0г,
<0,1 <0,2 Ы33
#0
I г t
И * :х2:х,—координаты любой точки плоскости, а и^.и^.и^—ко-
ординаты соответствующей прямой.
Линейная корреляция будет поляритетом тогда и только тогда,
когда матрица (<o,fe) симметрическая.
Линин второго порядка на проективной пло-
скости. Общее уравнение линии второго порядка в проективных
координатах имеет вид:
«чх‘ +аг2х’ +а8,х’ + 2а,,*,*, + 2а2,хгх, +2a,txlXl =0. (1)
Преобразованием проективной системы координат это уравне-
ние может быть приведено к одному из следующих пяти видов *):
1) х,-f-*2-f-x* = 0—мнимая линия;
2) Xj-f-x’—х’ = 0—действительная линия;
3) х’—*2 = 0 —две действительные прямые;
4)х*-|-х2 = 0 —две мнимые прямые;
5) х’ = 0 —две совпадающие прямые.
линий второго порядка на проективной пло-
Множество всех линий второго порядка на проективной пло-
скости можно разбить на классы следующим образом: две липни
второго порядка относятся к одному проективному классу, если
лш1ийТВв другую*4™8”06 пРе°бРазование> переводящее одну из этих
вы\ЛВпЯгЛ,.ИИ ВТ0Р°Г0 п°рядка относятся к различным проектив-
neXS оТу иНз\СтУиГл= ВТ™™
проТеак°теивакпйНИе множества воех линий на классы
порядКа классификацией линий
называется
второго
иа —1, Жно> .то придется еще умножить обе части уравнения
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 187
±и°^"В2™ЛННИЙ ВТОрОГО П0₽ядка распадается на пять
проективных классов:
1) мнимые линии;
пары мнимых прямых;
пары действительных прямых;
совпадающие прямые.
‘ 1)
2) действительные не распадающиеся линии второго порядка-
3) папы мнимых ппямиг Г Г А*4 »
4)
5) . .
Действительная нераспадающаяся линия второго порядка на
проективной плоскости есть либо эллипс, либо парабола, дополнен-
ная несобственной точкой ее диаметров, либо гипербола, допол-
ненная несобственными точками ее асимптот.
Необходимым и достаточным условием распадения линии вто-
рого порядка на две прямые
является соотношение
“.1 °12 att
a2i a22 агг
a»i аа
=0.
(2)
Полярой точки P(xJ:x®:x®) относительно линии второго
порядка (1) называется геометрическое место точек М (х,:х2:х,),
гармонически сопряженных точке Р относительно точек пересече-
ния М' и М" линии второго порядка с прямыми, проходящими
через точку Р, называемую полюсом.
Поляра — прямая линия; ее уравнение имеет вид:
(onx® + ai2x° + a„x®) х, + (a21x® + a22x® + a„x°) x. +
+ (aaixi +a»2x°+ai>x>)v» = 0’
ИЛИ
F Ox,+F x. + F x,=0,
*. *•
где F F F —половины частных производных от левой части
А х°’ х° х®
уравнения (1) соответственно по х,, х2, х,, вычисленные д
ЧеННЙ X®, X®, X® , „„„nan по
Две точки М (Уу'-Уг-У,) и N дорого Порядка, если
сопряженными относительно л . Р_ЬНо этой линии,
каждая из них лежит на поляре другой относительно это
Условие сопряженности имеет вид.
ziFUl+z2Fu,+ztFu,^0’
ИЛИ
!/,FZ1 + i/2^+^T=0-
Две прямые и
относительно линии второго поряд .
дит через полюс другой.
188
ГЛ IX, ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Касательная к линии второго порядка (1) в точке Р (х?:х“:х°)
определяется уравнением
(й„х? 4- а,гх° + «1Х) х‘ + + °2**° + °2’Х’) Х‘ +
+ (о»,*? + “32*° + “.»*») х> = °- 0)
Точка М называется внутренней точкой действительной не-
паспадающейся линии второго порядка, если любая прямая, про-
ходящая через точку М, пересекает линию в двух различных
точках.
Точка Л1 называется внешнен точкой линии второго порядка,
если существует прямая, проходящая через эту точку, не имею-
щая нн одной общей точки с рассматриваемой линией второго
порядка. „
Для того чтобы точка М была внешней точкой действительной
невырождающейся линии второго порядка, необходимо и достаточно,
чтобы из нее можно было провести к этой линии две различные
действительные касательные.
Уравнение пары касательных, проведенных из точки
М(х£:х®:х“) к линии (1), будет иметь вид:
2F0-2F—Р2 = 0,
где
2F = anxj + a22x* + a„x’ + 2a)2xtx2 + 2a2Sx2xs + 2asrx3x„
^Fo = “u*f + “22 + 2fl.2-rix2 + 2a2sx® x® + 2aSIx® x® ,
P = («,.*? + + a„x®) x, -f- (o2,x® + o22x® + a2Sx“) x2 -f-
+ (“siXl 4"°32X2 Xi’
Для того „чтобы точка М (х,:х2:ха) была внутренней точкой
действительной невырождающейся линии второго порядка, необхо-
димо и достаточно, чтобы
“11 “12 “12
“21 “22 “2s (“iX+“22^+“5Sxf+ 2a12x,x2-|-2a2sx2rs+2aslxsx1)>o.
“si “з2 “12
Диаметр линии второго порядка есть поляра несобственной точки
сопряженных ему хорд, поэтому сопряженные диаметры являются
полярно сопряженными прямыми.
центра™ Лнния центРальная, то несобственная прямая есть поляра
к ЛИННИ ВТ°Р°ГО порядка являются касательными
Обп.₽с ” в точках ее пересечения с несобственной прямой.
координатахУимеетНвид:ЛИНИИ ВТ0р0Г0 класса в тангенциальных
А^+2А12и1иг+А11и1+2Аг>иги,+ Ди«2 + 2Л.,и#Ы1=0. (5)
912—915]
§ 1- ПРОЕКТИВНАЯ
ПРЯМАЯ
Если нераспадающаяся
нием (1), то координаты и,
летворяют уравнению
189
линия второго порядка задана уравне-
иг.и, касательных к этой линии уХ
°и аа “и «1
°S2 аг» иг
"1 «2 нг О
= 0
или уравнению (5), в котором Aik суть
ния к элементам в определителе
(6)
алгебраические дополне-
О11 аЧ “12
“21 ап агз
O31 оаг агл
Если через 2Ф обозначить левую часть уравнения (5), то коор-
динаты х,:х2х, точки прикосновения касательной с координатами
ut:ut:ut определяются по формуле
Х,'Х.'Х. = Ф Ф ’Ф
Л1 л2 л2 '‘ц,-"и,-
Уравнение S—XS'—O (пучок), где S и S'—левые части урав-
нений Двух различных линий второго порядка, определяет линию
второго порядка, проходящую через точки пересечения линий
S=0 и S'=0.
Если каждая из двух линий состоит из двух прямых S — uv,
S' = wt, то уравнение линии второго порядка, проходящей через
точки пересечения прямых Я,(ы = О, о» = 0), Лг(щ = 0, t)=0),
A,(v=0, f=0), At(u = 0, Z=0), имеет вид uv— Zto/ = 0.
§ 1. Проективная прямая
912. На проективной прямой заданы точки: 0,(1:0),
£(1:1) и О2(0:1). Построить точки: /1(2:3), В(— 2:3),
С(1:—1), £>(1:4), К(—4:1). .
913. Выбрав на прямой произвольно две различные соб-
ственные фундаментальные точки 0,(1:0) и £(1.1) и сч.и#гая
точку 0(0:1) несобственной, построить точки: /1(1.-.),
£(—3:2)’ С(—1:1), £(2:1), £(2: —1).
914. Выбрав на правой „д“ 4„.ая
ственные фундаментальные точки О, (i.u) ' .тпп11ТЬ
фундаментальную точку £(1:1) несобственной, построить
точки Д(1:2), £(-3:2), С(—1:1). Ж^4)- 4,1
'^isj Доказать, что если ФУндам®НТЯЛЬХм1маГзаОна14’ло
является несобственной точкой прямой, т , Р
190
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[916
декартовой системы точку О, (0:1), а за единичную точку-
точку £(1:1), будем иметь:
916 Построить фундаментальную точку £(1:1) прямой,
если на’ ней даны две собственные фундаментальные точки
О и () и собственная точка (2:1).
* 917.1 Построить фундаментальную точку £(1:1) прямой,
ест на ней даны две фундаментальные точки О, и О2 и
известно, что несобственная точка имеет координаты (—2:3).
918. Точка £(1 1)—несобственная точка прямой. Каковы
координаты середины отрезка OfiJ
919. Точка 0,(1:0)—несобственная точка прямой. Каковы
координаты середины отрезка О2£?
920. Точка £(1:1)—несобственная точка прямой. Каковы
проективные координаты точки М, делящей отрезок О,О2
в отношении А?
921. Принимая точки О,(—4), 02 (2), £ (3), заданные по
отношению к декартовой системе координат, за фундамен-
тальные точки проективной системы, найти связь между
проективными координатами х,:х2 точки М и ее декартовой
координатой х.
922. Точка £(1:1) — середина отрезка прямой с концами
0,(1:0) и О2(0:1). Каковы координаты несобственно^ точки
этой прямой?
923. На прямой введена декартова система координат.
Принимая начало координат О эюй системы за фундаменталь-
ную точку О, (1:0), единичную точку е(1) за фундаменталь-
ную точку О2 (0:1) и несобственную точку за фундаментальную
точку £(1:1), найти связь между координатой х произволь-
ной точки М и ее проективными координатами.
924. За фундаментальные точки проективной прямой при-
нимаются точки <?,(«,:«,), £(^:&2) и O2(c2:c2). Найти
соотношения, определяющие преобразование координатной сис-
5. Доказать аналитически, что при проективном преоб-
разования прямой, оставляющем на месте несобственную точку,
nr,H\K^riH°CJb С0^ственных точек прямой подвергается аффин-
ному преобразованию.
е. <ВСе пР°ективные преобразования, оставляющие
"Х““" точки О, и О„ и доказать,
тво всех таких преобразований образует группу.
938]
§ 1 ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ 191
Сх'9=а ЛТ?' ХГС "Р»вра3о»з„е
61 " 1 12 2> Q 1 a2ixt + a4,xt сохраняет на прямой
три попарно различные точки, то „„о сводите. к единичной,,.
„x'Sx-O, "1Ю“,ИБНИ преобразование
6xi х, zx2, Qx2—oXj + x,, если за новые фундаменталь-
ные точки принять следующие: О* (2:3), О’ (—1:1) и Е*(5’ 1)?
929*. Найти общий вид всех проективных преобразова-
ний, оставляющих на месте точку О (1:0).
930. Найти неподвижные точки проективного преобразо-
вания qx' = х, 4- 2х2, qx' = 4xi + 3x2.
931*. Найти все проективные преобразования, при кото-
рых точки (а:Ь) и (c:d) неподвижны.
932. Доказать, что проективное преобразование qx' =
== Зх, — 5х2, qx' = x14-x2 не имеет неподвижных точек,
Найтн все проективные преобразования, каждое из
точки (а,:а2) и (bt:bt) переводит соответственно
(«',:«') и (b'/.b'J.
Доказать, что следующие множества проективных
преобразований образуют
1) Qx[ = axl — bxi,
2) qx'= х, 4-йх2,
3) Qx'=xv
4) рх'.-ах,,
935*. Найти все
квадрат каждого из которых равен единичному проективному
и^Зб^Собственная фундаментальная точка Д(1:1) прямой
делит отрезок О О., ограниченный собственными фундамен-
де Р 1 л /1 .л1 и о (0’1) в отношении Л. Каковы
тальными точками О, (1.0) и <4(и- '•
координаты несобственной точки прямо! —ц
937. На прямой даны три точки И(2.1), Щ.
<7(1:__1), причем точка В служит серед
строить фундаментальные точки. е iABCD} четырех
938. Найти ангармоническое от изследуи>
точек А, В, С, D проективной прямой
щих случаев: л (—2:1);
1)Д(3:1), Я(2:5), С(1-°),
933.
которых
в точки
934.
группу.
qx' = bxt + axt (а1 + Ьг ф 0);
рх' = йх2;
проективные преобразования прямой,
(a^O,
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1939
192
ГЛ. IX.
2) Л(1:3),
3) А (—1:1).
5(5:—2),
5(2:3),
С(1:—1),
С(7:11),
£>(2:3);
0(1 :-1)
«39 Выбрав на прямой две произвольные различные
__________и), /?(3:4) и приписав несобственной точке
координаты (2:1), построить фундаментальные точки.
940 Выбрав на прямой три произвольные и попарно раз-
личные"точки Л(1:3), 5(2:1), С(—1:4), построить точку
0(3:—1).
941*. На проективной
В(—1:1), 0(3: 5). Кроме
прямой даны три точки: Л (1:2),
того, дано — Найти
проективные координаты точки D.
942. Выбрав на прямой две произвольные различные точки
—1) и 0(2:1) и приписав несобственной точке этой
прямой координаты (6:1), построить точку 0(1:2).
943. В декартовой системе координат на прямой даны
три точки А(—2), 5(3), С(—1). Принимая эти точки соот-
ветственно за фундаментальные точки Ог, Ог и Е проектив-
ной системы координат на прямой, найти проективные коор-
динаты точек 0(5), Е(—7), 0(4), 7/(2), 0(0) и Е(1).
§ 2. Проективная плоскость
944. Сторонами базисного треугольника проективной си-
стемы координат служат прямые х—4 = 0, у—3 = 0,
Зх-}-4у—12 = 0, а единичной точкой — точка Е(3, 2). Найти:
1) проективные координаты точки М, декартовы координаты
которой(1, 1); 2) декартовы координаты точки /V, проектив-
ные координаты которой (4:3:—6); 3) проективные коорди-
наты несобственной точки оси абсцисс; 4) однородные коор-
динаты точки Ру проективные координаты которой (5:5:—7).
45. Сторонами 0,02, О2О8, OsOt базисного треугольника
системы проективных координат служат прямые у = 2, ось Оу
и ось Ох, а единичной точкой—точка 5(1, 1). Найти в этой
HLT<Hr кооРДчнат центр пучка прямых, параллельных оси Оу.
систрмй е₽шины базисного треугольника и единичная точка
ш.ие декяп°пКТИВНЬ|Х К00РДинат О,, 02, 08, Е имеют следую-
декартовы координаты 0,(1, 1), Ог(—1,1), О,(0,0),
\ ’ 2 у • Чайти в этой системе уравнения осей координат,
а также уравнение несобственной прямой.
958]
193
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ плоскость
947. Даны две точки л (3:0:— 1) В(—1-3-0\ <•
однородными координатами. 1) Написак уравнение прямой”
проходящей через эти две точки; 2) составить парам£“:
ские уравнения этой прямой; 3) найти значения иараГе?роВ
соответствующих несобственной точке этой прямой и коощ
динаты этой несобственной точки. р
948. Какая особенность в расположении двух прямых
соответствует тому факту, что два коэффициента уравнения
одной прямой пропорциональны соответствующим коэффициен-
там уравнения другой прямой? ' 1
949. Составить задачу, двойственную предыдущей. Дать
решение этой задачи.
950. Относительно проективной системы координат даны
две прямые 2х, -ф Зх,—6х, = 0, х, + Зх, = 0. Найти: 1) точку
пересечения данных прямых; 2) уравнение пучка прямых,
содержащего данные прямые; 3) прямую пучка, проходящую
через точку О, (1:0:0).
951. Выбрав на плоскости произвольно систему точек О„
О2, Ог, Е проективной системы координат, построить точки
А (1:2:0), £(0: — 3:1), С(4:0:—1), £(1:2:2), £(1:2:3),
0(1:2:—3), £(3:2:—4).
952. Выбрав на плоскости произвольно систему точек О,,
О2, О„ Е проективной системы координат, построить прямые
«(1:2:0), 6(0:—3:1), с(4:0:—1), d(l:2:2), /(1:2:3),
g(l :2:—3), Л(3:2:—4).
953. Точки О,, О2, О„ Е определяют проективную систему
координат. Сколько из них могут быть несобственными?
954. Построить точку /(1:2:3) плоскости, если три фун-
даментальные точки О, (1:0:0), О, (0:1:0), О, (0.0.1) соб-
ственные, а точка £(1:1:1) несобственная (в остальном выбор
этих точек произволен).
955. Построить прямую а(9:-2:3) нлоскос.и, если
точки О (1:0:0), С2(0:1:0) несобственные.
956. Построить точку /(1:4:-1) плоскости, если точки
О, (1:0:0) и £(1:1:1) несобственные. „лЛнпЯЯ все
957. Построить прямую 0(1:1=» пдоскостп, ш оирд« ке
точки О„ О„ О„ Е проективной систе» соотио»
958. Фундаментальные точки Ц ( •• • )• ’ коСГИ
О, (0:0:1) проективной системы коорд .пат »
собственные. Единичная т°чка £Щ ВаПг„ „ординаты
чением медиан треугольника 0,0,1/,.
1 С. В. Бахвалов и др.
гл |Х ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ [959
I •
несобственных точек сторон треугольника и прямых OtE,
°' М9*Составить уравнение несобственной прямой плоско-
сти, если за точку £-(1:1:1) принимается точка пересечения
медиан треугольника OtOtOz.
960 Составить уравнение несобственной прямой плоско-
сти, ести за точку £(1:1:1) принимается точка пересечения
биссектрис внутренних углов треугольника OtOtOt.
961*. Составить уравнение несобственной прямой пло-
скости, ес ли за точку £(1:1:1) принимается точка пересече-
ния высот треугольника 0t020t.
962. Найти координаты и уравнение прямой, проходящей
через точки (1:2: — 1), (3:5: — 2).
963. Найти координаты и уравнение точки пересечения
прямых (1:—1:2) и (2:5:4).
964. Доказать, что точки (5:1:3), (—2:4: — 3), (8:6:3)
лежат на одной прямой. Составить уравнение прямой, на
которой они все расположены.
965. Доказать, что три прямые (1:1:0), (2: —1:3),
(5:2:3) принадлежат одному пучку. Найти координаты и
уравнение центра этого пучка.
966. Даны четыре точки А(1:2:3), В(—1:2:2), С(3:1:5),
25(2:0:1). Найти координаты и уравнение точки пересечения
прямых АВ и CD.
967. Даны четыре прямые а(1: —1:3), д(2:0:1),
с —1:1:0), </(1:1:1). Найти координаты и уравнение прямой,
проходящей через точки пересечения пар прямых а, b и с, d.
68. Найти координаты точки встречи прямой, проходя-
щей через две точки Л(3:1:5) и S( —2:0:7), с прямой
7х,— 2хг-|-4х, = 0.
969. Найти координаты и уравнение прямой, проходящей
через точки пересечения двух прямых а(1:0:1), />(3:1: — 2)
и точку Зи,п- 5ц,—и, = 0.
970. Найти точки встречи прямой Зх — 2х, 5х=0
С Q7ментальными прямыми О,О„ OsOt и О,О,.
1. С вставить уравнения и найти координаты прямых,
точку Л(3._1:2( с точкааи 0 0 0_ Е
™йти Уравнения и координаты прямых О,£, О,Е, О.Е.
точка р'сП2С1Ь £>~точка встречи прямых О,£ и Et —
ын< q О2Е и 0,0,. Найти точку встречи при-
984]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ плоскость 5
974*. Даны три точки Л((1+Х):1;п Ш1-М ..ыч
С(1:1:(1 + V)) (X О и =# 0, v #= О). Доказать, что каждая
тройка точек: 1) Е, О„ А; 2) Е, О В 3) Е О С *
и одной прямой. Найт,, точки „стр’ечи '„р,чы’х go’
и ВС, 0,0, и СА и доказать, что эти три точки также
лежат на прямой. Сделать чертеж.
975. Какой вид имеют координаты прямой, проходящей
через одну из фундаментальных точек О , О2 или О?
976. Доказать, что координаты любой точки прямой О Е
могут быть представлены в виде (X 1
977*. Даны три точки А, В и С, такие, что точки пере-
сечения пар прямых ОгОг и АВ, ОгО, и ВС, 0,0, и СА лежат
на одной прямой. Доказать, что прямые О,А, ОгВ, ОгС
принадлежат одному пучку. Верно ли обратное положение?
978*. На прямой 0,0, взяты две произвольные различные
точки А и В, отличные от точек О, и О,, на прямой 0,0, взяты
две произвольные различные точки С и D, отличные от точек О,
и 02. Доказать, что точки пересечения пар прямых 0,0, и
ВС, OtA и DB, OtD и СА коллинеарны. Сделать чертеж.
979*. Через две различные точки Р и Q проективной
плоскости проведены прямые: через точку Р— прямые /, 3, 5;
через точку Q—прямые 2, 4, 6. Будем через (i k) обозна-
чать точку пересечения прямых I и k. Доказать, что прямые,
проходящие через пары точек (/ 2) и (4 5), (2 3) и (5 6),
(3 4) и (6 /), принадлежат одному пучку. Сделать чертеж.
980. Сформулировать и доказать предложение, двойствен-
ное предложению предыдущей задачи.
981. Даны четыре точки Д(1:1:2\ В(3: —1:2\
С(11; — 1: Ю), D (3:7:10). Доказать, что они лежат на одной
прямой. Найти ангармоническое отношение (ABCD .
982. Доказать, что четыре прямые а(0:1: 1), (1 - •
с (1:1:0), d(4:9:—5) принадлежат одному пучку, и найти
ангармоническое отношение (abed}. __
983* Пусть Е —точка встречи прямых О,Е и 0гО2, с,
точка встречи прямых ОгЕ и О,Ог, P-точка встречи пря-
мых ОЕ н ЕЕ,, Q—точка встречи прямых и
Найти2 координаты точек Е„ Е„ Р, Q и ангармоническое
отношение (E,EtPQ}. . 2:4:7).
984. Даны три точки А (1:2.3), В( 3.2.4), (
Доказать, что они лежат на одной_ драмой, и найтл
четвертую гармоническую (ABCD)
7
I9i
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[985
986 Да"ы три пРямие «(1:2:1), b(3: —1:2), с(5:3:4).
Л,.^нать что они принадлежат одному пучку, и найти чет-
в‘ртую |’РЯМУЮ d' "Ри"адлежа,цУ,° тому же ПУЧКУ) еСЛИ
986* Пусть А — точка встречи прямых О,0г и £’О3, В —
точка встречи прямых 0,0, и 0,Е, С- точка встречиг пря-
мых АВ и 0 0 D—точка встречи прямых АВ и О,£. Найти
координаты прямых 0,Л, ОгВ, О,С, 0,0 и их ангармониче-
ское от ношение (ОгА, ОХВ, ОгС, OtD). . Dz,
987*. В проективной плоскости дан треугольник АВС и
точка 5, нс лежащая ни на одной из его сторон. Пусть Р,
Q и в—точки встречи прямых Л5, BS и CS соответственно
с прямыми ВС, СА и АВ, a L, М, N—точки, четвертые
।армоппческие к тройкам ВСР, CAQ и ABR, т. е. (BCPL) —
— (CAQM)— (ABRN) =—1. Доказать, что точки L, М, N
находятся на одной прямой.
988. Сформулировать и доказать предложение, двойствен-
ное предложению предыдущей задачи
989. Сформулировать и доказать предложение, обратное
предложению задачи 987.
990. Сформулировать и доказать предложение, обратное
предложению задачи 988.
991*. Найти прямую, четвертую гармоническую к боко-
вым сторонам трапеции и прямой, соединяющей точку пере-
сечения диагоналей с точкой пересечения боковых сторон.
992. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум
катетам и высоте, опущенной из вершины прямого угла
на гипотенузу прямоугольного треугольника.
993. Найт четвертую гармоническую к двум сторонам
угла и его биссектрисе.
994. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум
сторонам треугольника и медиане, проведенной к третьей
стороне.
995. В проективной плоскости даны три коллинеарные
точки А (1:2:5), В(1:0:3), С(—1:2:—1). Известно ангармо-
ническое отношение (ABCD)~5. Найти координаты точки Р.
то 996" В ироекгивной плоскости даны три коллинеарные
дК^2:х,), B(yi:yi:yt),
С «аЛ + РУ,): (ах, + ру,): (ах, + 0у,)).
1003]
197
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ плоскость
Дано ангармоническое отношение (ABCD}- 1
наты точки D. Найти коорди-
997. Доказать, что если фундаментальные точки О и О
проективной системы координат плоскости несобственные2
то точка /И(х,.х2.х,) при х, ф 0 может быть построена так’
надо взять декартову аффинную систему с началом коорди-
нат в точке О, и с единичной точкой Е и построить в ней
точку это н будет точка Каково будет
уравнение несобственной прямой в указанной системе?
998. Найти связь между проективными координатами
(х,:х2:х2) точки М проективно аффинной плоскости и ее
однородными (аффинными) координатами (x:j:z), если за оси
Ох и Оу аффинной системы принимаются соответственно
прямые ОгОг и 0,0, (точка О, собственная), а за единичную
точку декартовой аффинной системы координат принимается
точка £(1:1:1). Уравнение несобственной прямой в проек-
тивной системе координат: х, 4-х2ф-2х, = 0.
999. По отношению к аффинной системе координат Оху
cf 1
дана точка о 1 ,
родными) координатами {x-.y.z) точки М и ее проективными
координатами (х, :х2:х,), если за фундаментальные точки
О,, Ог, О, и Е проективной системы координат принимаются
соответственно точки О, EJt Ег, S.
1000. Вершины треугольника приняты за фундаментальные
точки О,, Ог, О, проективной системы координат проективно-
аффинной плоскости. Точка пересечения медиан этого
треугольника имеет координаты <5'(1:2:3). Построить фунда-
ментальную точку Е( 1:1:1). ......
1001. Доказать, что точки (1:2:1), (3: 1:4), (4.1. )
и (7:0:9) коллинеарны. Выбрав в проективно аффинной пло-
скости произвольно три первых точки (коллинеарных и
попарно различных), построить четвертую. тпЦк-и
1002. В аффинной системе координат даны четыре
Л(1, 2>, В(-1. 2), С(2.3).О(-3,4) Пр—»
ветственно за фундаментальные точки О,, О2, , тОчек
ной системы координат, найти проективные коорди
'7(ТоОЗ.° пр—3
системы координат за фундамептальну ’
у) . Найти связь между аффинными (одно-
198 гл. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 11004
приписывая точкам £„ Et и Е аффинной системы проективные
координаты, соответственно равные 1:0:1, 0:1:1 и 1:1:1,
найти связь между декартовыми аффинными координатами
х у произвольной собственной точки и ее проективными
координатами х, :х2:х,.
1004. Составить уравнения прямых в аффинной системе
координат, если их проективные координаты в проективной
системе, определяемой точками О, (2, 3), О2(—3, 1), 0,(1,0),
Е(2, 5), таковы: (1:1:1), (2:5:—1), (0:1: — 1).
1005. Относительно некоторой системы проективных коор-
динат О,, Ot, О„ Е даны вершины базисного треугольника
и единичная точка другой системы: О, (4:1:1), О2(4:4:1),
0^(0:4:1), £'(2:1:1). Найти формулы, выражающие коорди-
наты произвольной точки относительно первой системы через
ее координаты во второй системе.
1006. Найти связь между старыми и новыми координатами
точки и прямой, если за новые фундаментальные точки
Оп Ог, Ог и Е' берутся соответственно точки Ог, Е, О, и О2.
1007. Найти связь между старыми и новыми координатами
прямой, если за новые фундаментальные точки принимаются
следующие: о'(2:1:0), О2(3:0:1), ОД1:2:4), £'(1: —1:4).
1008. Найти связь между новыми и старыми проектив-
ными координатами точки, если за новые фундаментальные
точки Ot, О2, О, и за новую единичную точку Е’ прини-
маются соответственно точки О2, Оа, Ох и Е.
1009. Найти связь между старыми и новыми проектив-
ными координатами точки, если за новые фундаментальные
точки принимаются следующие: О* (2:1:1), О‘(—1:2:3),
0,(3:4: 1), а за новую единичную точку — точка
£*(1:4:5).
1010. В какие точки переходят точки Д(1:2:3),
' • 1-4), С(—1:0:1) при проективном преобразовании
. -Х*2 • =
= (2х, - Зх, + х,): (Зх, — х2 + 4х.) :(3х, — 2х, + 5х,)?
1011. В какие точки переходят фундаментальные точки
диничиая при проективном преобразовании
л,: х2: х, = (х, -J- х2 — ха): (х, — 4х2): (х, + ха)?
1020]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ
плоскость
199
1012. В
Ь{—1:2:5),
какие
с(0:4:
прямые переходят прямые а(1-3-2)
— 3) при проективном преобразований
х,: хг: х, - (х, — 2х2 + х.): (4х, — 2х2 + Зх,): (х,—х2)?
1013. Как преобразуются координаты прямой
ном преобразовании
в проектив-
X!: х2: х, — (х, х2х,): х,: х2?
1014. В какие прямые переходят фундаментальные прямые
в проективном преобразовании
х,: х2: х, = (х, 4- 2х2—4ха): (2х, --Зх2 + 5х,) :(2х,—2х2 + х,)?
1015. В какие точки переходят точки И(1:—2:3)
и В (‘2:—1:4) при проективном преобразовании
п'.: и»: - (2п, —и2 + и,): (И1 — 4п2 + и,): (Зи, + 2п2 -Зи,)?
1016. В какие прямые переходят прямые а(1:—2:4) и
Z>(2:5:—1) при проективном преобразовании
^:п2:п' = (3п, —2п2):(2п,—па):(п2 + па)?
1017*. Дано преобразование координат
Xj: х2: х, = (х, + 2х2 — ха): (х, — 2х2 + 4х,): (Зх, + х2 — 2ха).
Найти выражения старых координат точки через новые.
Найти выражения новых координат прямой через сырые и
старых координат прямой через новые в указанном преобра-
зовании координат.
1018. Найти проективное преобразование, которое остав-
ляет вершины базисного треугольника неподвижными, а еди-
ничную точку Е переводит в точку Е (с,:с2:са).
1019. Определить проективное преобразование, перево-
дящее вершину О, базисного треугольника в вершину О„
вершину О2— в вершину О, и вершину О, в вершину ,и
оставляющее на месте единичную точку.
1020. Определить проективное преобразование, ост -
ляющее на месте начало координат и переводящее
ственную точку оси Ох в точку А(1, 0), несобственную
точку оси Оу—в точку А(0, 1). Единичная точка по усло-
вию также остается на месте.
200 ГЛ IX. 9Л1М1НТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ [1021
1021 П|йги такое проективное преобразование, которое
'вляет на месте вершину 0,(1:0:0) и все точки стороны
О о базисного треугольника и переводит произвольную
точку М(х-.хг:х,) в точку № (xt:x2:x,), лежащую на пря-
мой О М, и четвертую гармоническую к трем точкам О,, В,
м гдё в—точка пересечения прямой О,/И со стороной О2О5.
’ 1022. Найги общий вид тех проективных преобразований,
которые переводят прямую х, = 0 в ту же прямую.
1023. Найти такое проективное преобразование, которое
оставляет на месте все точки прямой х8 = 0.
1024. Найти такое проективное преобразование, которое
точку Ос (0:0:1) оставляет на месте, а прямые О>О1(х2 = 0)
и 0„02(xffcO) переводит в те же прямые.
1025*. Определить проективное преобразование, которое
переводит прямые x-f-j + 2 = 0, х—у — 4 = 0, х—4у-\-
4-3 = 0 соответственно в прямые х' 4- Зу’ 4-2 = 0, х' —Зу’ -|-
4-4 = 0, х' + 2у'—3 — 0 и точку (0, 0) в точку (0, 0).
1026. Определить проективное преобразование, которое
прямые и, = 0, u2 = 0, иа = 0 переводит в прямые п, = 0,
к, = 0, иг = 0 и точку Мо в точку 2И0.
1027*. Определить проективное преобразование, которое
точки 4,(0, 1), Д,(0, —1), Да(1, 0), /а(2, 0) переводит
соответственно в точки а', (0, 1), А’, (0, — 1), А, (а, 0), Ал (Ь, 0).
1028. Вершины базисного треугольника О1О2О3 проек-
тивной системы координат являются вершинами треугольника,
а единичная точка—точкой пересечения медиан. Определить
такое проективное преобразование, которое вершины базис-
ного треугольника переводит в середины противоположных
сторон, а единичную точку переводит в себя же.
1029. Относительно системы однородных координат проек-
тивное преобразование задано соотношениями
px1 = xI—2х24-3х„ Qxi = 2xI4-x24-2xa,
рх^ = 4х1 —2xt4-5xs.
Найти несобственные точки плоскости, которые переходят
при этом преобразовании друг в друга.
1030. Дано преобразование координат
’• : + 4«',): (3«; 4- «;—«;):(—и; 4- 2г4—«?.
§ 2 ПРОЕКТИВНАЯ плоскость
201
Найти выражения новых координат
в этом ----*----
точки
преобразовании.
хоордпна?“о™ “ „Т”".Г1”"'"'’
inQi п " старые (в данном преобразовании!
1031. Даны два проективных преобразования
П*: : х\: х‘ = <х> + *г): (х, — 2х, + Зх,): (2х —Зх, + 4х ),
П,: х1:х2:х,=
<xi 2*г + 4х,): (2х, — Зх, + 5х,): (2х, —х, -|- х,).
Найти проективные преобразования ПГ*, П П,, ПП.
1032. Найги проективное преобразование,' перевгодящ°е
точки (1:0:1), (2:1:1), (3: —1:0), (2:5:2) соответственно
в точки (_1;0:3), (1:1:3), (2:3:8), (3:0:—4).
1033. Найтн проективное преобразование, переводящее
фундаментальные точки О,, О,, О, и £ соответственно
в точки (2:3:8), (3:—5:—9), (—7:4:1), (1:—1:0).
1034. Найти все проективные преобразования, оставляю-
щие неподвижными фундаментальные точки (1:0:0), (0:1:0)
и (0:0:1).
1035. Дано коррелятивное соответствие
и, :и, :и, (Зх, —х, + 2х.): (х,—х, + х,): (х, + 2х, —4х,).
Какие прямые соответствуют точкам /1(1:2:—3) и
В(2:0:—5)? Каким точкам в этом соответствии отвечают
прямые л(2:0:—7) и £>(0:1:—2)? Выразить в этом соот-
ветствии х,:х,:х, через
1036. Найти линейную корреляцию, в которой точкам
О,, О,, О, и Е ставятся в соответствие прямые ОгОг, О,О,,
0,0, и г(1:1:1).
1037. Даны две линейные корреляции
Л,: и,:и2:и,=
= (Зх, -х, + х,): (Зх, - 4х, + 5х.): (2х, -х, + х.),
Л,: п,:п,:и,- (4х,—х,):(х, + х,—х,):(х,Н-х, + х,).
Пусть ЛТ—произвольная точка |>Р«екгив.юй плоскости а «-
прямая (той же плоскости/, соответствующая ей
корреляции Л,; пусть М-точка
которая ставится в соответствие прямо т _ /множества
пяцпп Л,. Доказать, что "реобразо-зп« .Л
всех точек проективной плоскости) р >
20 гл. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 11038
1ПЯК НлЯги линейную корреляцию, в которой точкам
’ 1 0-1) (3-2:5), (7:1:4) ставятся в соответствие
прямые (4:1:2), (—3:0:1), (3:2:7), (11:1:5).
1039. Найти линейную корреляцию, в которой точкам
(/ О О, И соответствую! прямые (1:0:1), (0:1;—3),
(0:1:5). (Г: 1:2).
1040. Найти линейную корреляцию, в которой фундамен-
тальным’прямым ОгО„ 0,0., Ofi2 и е (1:1:1) соответствуют
точки (3:1:2), (1:2:3), (—1: 1:4), (3:2:9).
1041. Дана линейная корреляция к, :иг :и, — 2х, :3х2: —5х,.
На прямой х.+хг —2х, = 0 найти точку, образ которой
я данной корреляции (прямая) проходит через эту точку.
§ 3. Линии второго порядка в проективных координатах
1042. Определить upocKi явный класс следующих кривых,
пользуясь приведением квадратичной формы к сумме квадратов
но способу Лагранжа:
1) 2х, + Зх ,х, — 5х1х, 4- 4х2 2х2х, —х, = 0;
2) x,x24-x2x,4-x,xJ = 0;
3) 4х?+ 1Сх,х2 — 8х,х,4- 15х2—22хгх,—5х? = 0;
4) 2x3l — 4x.xt + 6х,х, + 6х‘ + 4хгх, + 7х| = 0;
5) 4х? + 4х,х2- 12х,х, х2 —6х2х, 4- 34х2 = 0.
1043*. Доказать, что каждая из линий х2 + / = 1, хг—
' 1’ У ~х может быть проективно преобразована одна
к другую.
1044 '. Найти 1акое npocKiявное преобразование, которое
переводит:
1) окружность xi4-y=.i в гиперболу x2-/ = l;
2) тинерболу ха~у = 1 в „араболу у =
3) окружность хг4-/==1 в иарабо;|у у==х,.
“ "ару
5) 9I IHIIC * V — 1 „ . - Хг и2
а2 ‘ —* в гиперболу---------С—1
} а2 ь2
1053]
§ 3 ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
203
крДТ На“'" Та'"е ,,|”“тш'те "Р^разоваик, Km,w
а1гХ1Хг апХ1Л:а + о2>Х2Х, = 0,
где а,2> 0, а18>0, а2а>0, приводит к виду:
^1 Хг Ч~ Xj х$ -4- х2ха = 0.
1046 . Найти уравнение окружности, описанной около
квадрата, принимая три его вершины за вершины базисного
треугольника, а четвертую—за единичную точку системы
проективных координат.
1047’. Как преобразуется уравнение параболы у2 = 4х,
если от декартовых координат (х, у) перейти к проективным
(.У1 ’Уг принимая за вершины базисного треугольника
точки (1, 0), (—1, 2), (—1, —2), а за единичную точку
начало координат.
1048. Как преобразуется уравнение окружности х2-|-
~]-y* = l, если от декартовых координат (х, у) перейти
к проективным координат: (у,:у2:у,), принимая за стороны
OtOit 0,0,, О,О2 базисного треугольника прямые 1 + у = 0,
1—у = 0, х= 0, а за единичную точку — точку Е(1, 0)?
1049. Определить такое проективное преобразование
окружности х2 4~у2—25 = 0 в ту же окружность, при кото-
ром точки /(3, —4), В(3, 4) и середина М хорды АВ
переходят в точки А'(—4, 3), В' (—4, —3) и середину М’
хорды А'В'.
1050. Определить проективное преобразование, которое
эллипс + прообразует в тот же эллипс и точки
эллипса А (0, 5), В(— 10, 0), С(8, 3) соответственно в точки
Л'(0, —5), В' (0, 5), С'(10, 0).
1051. Определить общий вид тех проективных преобра-
зований, при которых гипербола fl2 1 переходит в ту же
гиперболу и касательные в вершинах к гиперболе переходят
в ее асимптоты. „Капотне
1052. Определить такое проективное
при котором парабола у2-4х переходит ^2) переходят
и точки параболы А (1, 2), В\15, >> < »_ с><0 0)
соответственно в точки А (1, 1 » ’ f 1(,вание
1053. Определить такое "Р^^'^То при ко.о-
параболы у2 = 4х в окружность х +У ’
204
ГЛ IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ (1054
ром точки параболы А (4, — 4),
соответ с тенпо в ючкн А (0,
£(0, 0), С(4, 4) переходит
— 5), В' (5, 0), С'(0, 5)
ОКРУЖНОСТИ.
1054*. Написать уравнение нераспадающейся линии вто-
рого порядка, касающейся двух сторон О,О. и OSO2 базис-
ною треугольника О.О2О2 в вершинах О. (1 :0:0) и О2(0:1:0).
1055*. Около треугольника О.О2О, описана линия второго
порядка. В вершинах треугольника к этой линии проведены
касательные. Показать, что три точки пересечения сторон
треугольника с касательными в противоположных вершинах
лежат на одной прямой.
1056*. Доказать, что три прямые, соединяющие вершины
треугольника, описанного около линии второго порядка,
с точками касания противоположных сторон, проходят через
одну точку.
1057. Написать уравнение линии второго порядка, про-
ходящей через начало координат и касающейся прямой
4x4-35’4-2 — 0 в точке 0.(1, —2), а прямой х—у —1 = 0
в точке Ог (0, —1).
1058*. Написать уравнение параболы, касающейся оси Ох
в точке А (3, 0) и оси Оу в точке В(0, 5).
1059*. Пока <ать, что если кривая второго порядка
касается двух сторон описанного около нее треугольника
в серединах этих сторон, то она и третьей стороны касается
в ее середине; в этом случае кривая является эллипсом и
ее центр совпадает с центром тяжести треугольника.
1060*. Дан треугольник АОВ-. 0(0, 0), 4(8,0), Б(0, 6).
Написать уравнение линии второго порядка, касающейся
сторон этого треугольника в их серединах,
1061*. Дан треугольник АОВ: 0(0,0), 4(9, 0), В(0, 6).
Написать уравнение кривой второго порядка, описанной
около этого треугольника так, чтобы касательные к кривой
в вершинах треугольника были параллельны его противопо-
ложным сторонам.
1062*. Найти геометрическое место центров кривых вто-
рого порядка, касающихся двух данных прямых в точках
О. и О2.
1063*. Показать, что если проективное преобразование,
»о?.еВ0ДЯи1ее линию второго порядка в себя, оставляет
ост°ЛВ11ЖНЫМИ ТРИ ее точки, то и все точки этой линии
остаются неподвижными.
1070]
§ 3. линии
ВТОРОГО ПОРЯДКА
205
1064*. Доказать, что если общее уравнение кривой вто
рого порядка в проективных координатах определяет дТйстви
телькук, 11сшрм.мющуюс„
«И «12
«21 «22
«Л «52
«12
«22
«22
2/?(х1, х2, х,)>0
необходимо и достаточно для того, чтобы точка Л4(х :х 'х }
была внутренней. *’ 2" ’
1065*. Найти уравнение геометрического места точек,
лежащих на своих образах (прямых) в линейной корреляции:
«. :w2= (опх, + с,2х2 + а„х,):(а2,х, + а22х2 +
+ «22Х1) ;(«21Х1 + «2-Л +«32*»)-
Какой вид примет это уравнение в случае, если данная
линейная корреляция является поляритетом (aik = ak;)?
1066. Найти поляру точки (1, 0) относительно кривой
второго порядка Зх8—бху + бу2—4х — 6у-|-1() 0.
1067. Найти поляру точки относительно линии второго
порядка в каждом из следующих случаев:
Точка
1) (-4, 2)
2) (6, 4)
3) (2, 1)
4) (7, 5)
5) (1, 1)
Кривая
6хг—5ху—4у2+3х + 2у —1 =0;
2х2Н-Зуг + 6х —2у = 0;
4х24-3ху—у2 =0;
х2 — 2ху + 2у2 — 4х—бу + 3 = 0;
х2—4ху + Зу2 + 2х—2у = 0.
1068. Определить поляру точки, принадлежащей асимптоте
х® у2_________________1
данной гиперболы —уг — *•
1069 Доказать, что если линия второго порядка распа
дается н’а пару прямых, то поляра любой точки-шлощи-ьно
этой линии проходит через точку пересечения прямых,
на которые распадается линия. втооого порядка
1070. Доказать, что директрисы линии вт«Р^^Р^^
являются полярами соответсгвую.ци ф У
данной линии.
206
гл IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ [1071
1071. Доказать, что поляры любой точки плоскости отно-
„__1|ПГЯ ——= 1 и гиперболы —Zi=l сим-
(птельно эллипса flt т Ь1 1 н аг Ьг
мегричны относительно оси Ох.
1072. Если (х, :х2 :хв)—полюс прямой utXj 4" u2xt Ц- naxs=0
относительно липни второго порядка
в„Х? 4" ai2x*+ ai>X‘ + 2й1гХ1Х2 " 2assX2Xs + 2aaiXsXi ~ °>
то его координаты удовлетворяют системе уравнений:
QU, = ацх1 + CiiX»+ altx3>
QUj = O2iXi -J- Пг1Х2 + aitx3i
QU3 = a31X' + a32X2 + V».
Когда эта система оказывается неопределенной и когда не-
совместной?
1073. Найти полюс прямой относительно линии второго
порядка в каждом из следующих случаев:
Прямая
1) Зх—у4~6 = 0
2) х—3 = 0
3) J = 0
4) х4-Зу4-1 = 0
5) х— у 4-3 = 0
Кривая
х2 — 2ху4- Уг + 2х— бу —0;
2Х2 — 4ху+ у2— 2х+ Оу—3 = 0;
4Х2 + 2ху — 6х—1 Оу 15 = 0;
Зх 4* 7ху г 5у2 -|- 4х 4" 5 у 4-1 = 0;
2хг4-5ху—Зу2 4- 3x4-1 бу—5 = 0.
1074. Найтн полюс прямой х4~Зу4~1=0 относительно
кривой х2 4- бху 4- у2 4- 6х 4- 2у — 1 — 0.
1075. Через точку (2, 1) провести прямую, полярно
сопряженную прямой 4х—у 4-30 — 0 относительно линии
второго порядка х2—6ху +9у2—12х4-1 4у—7 = 0.
1076. На прямой х4~5у4~18 = 0 найти точку, полярно
сопряженную с точкой (—5, 4) относительно линии второго
порядка 2ху—6х4-4у—1=0.
1077- . Даны две линии второго порядка: парабола
2у = 0 и гипербола 2ху = й. Найти точку, полярой
которой относительно обеих кривых служила бы одна и та же
прямая. J
nuizvn ’« оказать, что если из каждой точки прямой, перпен-
ппРИ° К °СИ крив°й второго порядка, опустить перпеп-
поохппя-, П1 110ляРу ЭТ°Й точки, то все такие перпендикуляры
г 1ерез одну и ту же точку, лежащую на оси кривой.
1038]
ПОРЯДКА
207
прямые проходят через
Для того чтобы они были
и достаточно, чтобы они
§ 3. ЛИНИИ ВТОРОГО
1079*. Показать, что если две
фокус кривой второго порядка, то,
полярно сопряженными, необходимо
были взаимно перпендикулярны.
1080*. Показать, что если в линию второго порядка
вписать треугольник и в его вершинах провести касательные
к этой линии, то точка пересечения прямых, соединяющих
вершины описанного треугольника с точками касания про-
тивоположных сторон, есть полюс прямой, на которой лежат
три точки пересечения сторон вписанного треугольника
с касательными в противоположных вершинах его.
1081*. Дана линия второго порядка х1—2х_у-|-у-|-2х___
— 6_у=0. Из точки (—3, 1) к этой линии проведены
касательные. Найти поляру середины хорды прикосновения.
1082*. Найти кривую второго порядка, для которой ось
Оу служит полярой точки А (5, 0), а ось Ох—полярой
точки В(0, 3), зная, что она проходит через точки (1, 2),
1083. Написать уравнение линии второго порядка, опи-
санной около треугольника АОВ: Д(1, 1), В(1, —1), 0(0,0),
при условии, что точка Р(3, 1) служит полюсом сто-
роны АВ.
1084. Определить геометрическое место полюсов данной
прямой y = kx-\-b относительно семейства софокусных линий
второго порядка + где В~с .
1085. Определить геометрическое место полюсов каса-
тельных к окружности (х—I)2-М.У 2) = 16 относительно
окружности х2-]-у2 = 25.
1086*. Доказать, что если фокус линии второго поряд
является центром окружности, то при полярном
вании относительно этой окружности линия второ
пореходнт в окружность. ,u гяпмо-
1087. Определить геометрическое мест '
нически сопряженных основаниям "ерп^д11‘<?3 0),
относительно точки Л и то ikh м к
с осью Оу. „ л1|НИИ второго поряд-
1088. На каждой касательно гармонически
ка x‘-2xj-/-6x = 0 определить то тку.
208
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ [1089
сопряженную точке касания относительно точек пере-
сечения касательной с сопряженными диаметрами, если один
и диаметров параллелен оси Ох.
1089. На каждой прямой, проходящей через начало
координат, берется точка, гармонически сопряженная началу
системы координат относительно оснований перпендикуляров,
опущенных из данных точек Л4, >,) и Mt(x2, у3) на эту
прямую. Найти геометрическое место этих точек.
1090. Точка М перемещается по окружности хг Ц-_у2 —
— 1=0. Какую линию описывает точка пересечения каса-
тельной к окружности в этой точке с полярой той же
точки относительно гиперболы хг—уе = 1.
1091. На каждой прямой, проходящей через точку
5(—1, 0) окружности хг ф/—1=0, определить точку,
гармонически сопряженную точке пересечения этой прямой
с прямой х — 2 относительно точек пересечения прямой с ок-
ружностью.
1092. Две линии второго порядка заданы уравнениями
2F=0, 2Ф = 0. На каждой прямой, параллельной данной
Ах-\-Ву-~ 0, определяются две точки, гармонически сопря-
женные относительно точек пересечения прямой как с первой,
так и со второй кривой. Что представляет геометрическое
место этих точек?
1093. Определить геометрическое место точек М, гармо-
нически сопряженных точкам М (х, j), лежащим на данной
прямой Ах-[-By-f- С — 0 и прямой пучка 5(х0, _у0), относи-
тельно точек пересечения этих прямых пучка с линией вто-
рого порядка 2F=0.
1094. На каждой касательной к линии второго порядка
+ 01гУ + 2о,х + 1азу -[- а — 0 опреде-
ляется точка, гармонически сопряженная точке касания
о носительно точек пересечения этой касательной с другой
иней вюрого порядка 2Ф = 0. Что представляет геомет-
рическое место этих точек?
Через точки прямой Ах + By -фС = 0 проведены
аллельиые прямые с угловым коэффициентом k до пере-
геомРтп С ЛИН"еЙ ВТ°Р°ГО порядка 2Д=0. Определить
точкам ” 1еск°е место точек М, гармонически сопряженных
прямых с111,10 2РЯМ°Й относителЬно точек пересечения этих
прямых с линией второго порядка.
1103]
§ з. линии второго порядка
1096*. Общее уравнение кривой втопп™
тивных координатах определяет ,.»»Р порядка в проек-
дающуюся кривую вто^гр »««₽"«
(необходимом И достаточном) +в"+Ус"°‘™
будет пересекать данную кривую? Вх= + Сх» = 0
зал«Тк УПРР~: "₽”3"aK' ..................’ ’
(x-^+O-O’-r--0, g ± g=1, ,._2pjt=0(p>0)
1098. Две вершины автополярного треугольника линии
ax' -{-by1 + cz2 = 0
перемещаются соответственно по двум прямым
и'х + v'y -f- w’z = 0,
и" х + v"у w"z — 0;
найти геометрическое место третьей вершины.
1099. Точка Л40 перемещается по прямой /2х2-|-
4-/ах3=-0. Какую линию описывает точка М пересечения
поляр точки тИ0 относительно данных линий второго поряд-
ка 2Д—0, 2Ф = 0.
1100. Определить геометрическое место точек пересече-
ния поляр точек М линии второго порядка 2F=0 относи-
тельно линий второго порядка 2Ф = 0, 2ЧГ —0.
1101*. Показать, что если из внешней точки провести
касательные к кривой второго порядка, то прямая, соеди-
няющая эту точку с серединой хорды прикосновения, будет
диаметром кривой, сопряженным направлению хорды.
1102. Относительно системы проективных координат
(О , О , О , Е) линия второго порядка определяется урав-
нением о11х’4-ог2Х2-|-2аг,х2х24-й„х, = 0. Найти проектив
ное преобразование, которое каждой точке Пересе *^ния
мой, проходящей через точку О,, с давно КРЯЯО1 конвой,
в соответствие другую точку пересечения прял
1103. Дана окружность X*+У = 1 и точка 1 1!).Из^то_
точки проводятся всевозможные секущие. переводит
делить такое проективное преобразование, оКружНОстыо
точку пересечения каждой ^екУ*де ж"Усекущей с окруж-
в другую точку пересечения о
ноегыо.
л г IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ [1104
§ 4 Пучок ЛИВИЙ второго порядка и тангенциальные
s ' координаты
1104 Составить уравнение пучка линий второго порядка,
проходящих через точки пересечения прямых:
А(а = 0, v = 0), B(v = 0, w = 0),
C(w=0,/ = 0), D(t = 0, u = 0).
1105. Составить уравнение линии второго порядка, про-
ходящей через точки пересечения прямых A(u — 0, v — 0),
B(u = 0, w = 0), C(w = 0, /=0), D(t = 0, u = 0) и через
точку S.
1106. Составить уравнение линии второго порядка, пре-
ходящей через точки пересечения прямых x-j-y—4 = 0,
16х+31у—48 = 0 с прямыми у—2 = 0, у-{-2 = 0 и каса-
ющейся оси Ох.
1107. Составить уравнение линии второго порядка, про-
ходящей через пять точек Л(0, 3), В(4, 4), С(5, 0), £>(0,— 2),
f(-4 0).
1108*. Доказать, что четыре точки пересечения двух
линий второго порядка, оси которых параллельны, лежат
на одной окружности.
1109*. Показать, что гипотенузы всех прямоугольных тре-
угольников, вписанных в кривую второго порядка и име-
ющих общую вершину (прямого угла) в точке на кривой,
проходят через одну общую точку, лежащую на нормали к
кривой, проведенной из общей вершины этих треуголь-
ников
1110*. Доказать, что всякая линия второго порядка,
проходящая через четыре точки пересечения двух равно-
сторонних гипербол, есть равносторонняя гипербола или
пара взаимно перпендикулярных прямых.
1111*. Доказать, что если две линии второго порядка,
и которых параллельны, пересекаются в четырех различных
точках, то общие (противоположные) хорды этих линий
одинаково наклонены к их осям.
1112. Составить уравнение линии второго порядка, кото-
рая^проходнт через точку /И, и касается данной линии
в точках пересечения ее с прямой -а» = 0.
сос ( " йСоставить уравнение линии второго порядка,
таяще из двух касательных к линии второго порядка
1125]
§ 4. ТАНГЕНЦИАЛЬНЫ! КООРДИНАТЫ
211
в точках
пересечения ее с прямой ’ш = Ах^-Ву
1114. Составить уравнение такой линии второго порядка
которая касается прямых к=0, « = 0 соответствен,»
ках А, В и касается прямой та = 0.
1115*. Составить уравнение такой линии второго порядка
которая касается прямых х = 0, у = 0 в точках Л (0 3)’
^(4,0) и касается прямой х-}-у—1=0. Определить точку
прикосновения с последней прямой.
1116*. Составить уравнение линии второго порядка,
состоящей из двух касательных, проведенных к линии втсн
рого порядка 2F=0 из точки у3).
1117*. Составить уравнение линии второго порядка, состо-
ящей из двух параллельных касательных данного направле-
ния (k) к линии второго порядка anx*-j-2aIIxy4-a2Jy*
1118. Составить уравнения касательных к линии второго
порядка 4Х2 -J- 9у — 36 = 0, параллельных биссектрисе коор-
динатного угла Оху.
1119. Написать уравнение точки S0(xe, у0) в тангенци-
альных координатах.
1120. Определить в тангенциальных координатах урав-
нение точки, делящей пополам отрезок, определяемый
точками х^и-т-урw = 0, x2u-\-yj)J-w = 0.
1121. Определить расстояние отточки хои-+у0®+«' = °
до прямой Ци :v :wt).
1122. Дано уравнение линии второго порядка в точечных
проективных координатах ЗХ] —4х2 5х8—-0. Составить
уравнение той же линии в тангенциальных координатах
П23. Написать уравнение линии второгс' ™Р°Ка
x* + 4xy+ty+6x = 0 в тангенниа. ьных = 0
1124. Составить уравнение окружности х-гУ
" Т”п“яXS-»- уряяяяниея »-
второго порядка, вывести условия соприкосновени
1) эллипса
X1 Vs _ 1
2) гиперболы^—& — 1
3) параболы уг = 1рх и
И прямой их—vy-riD - °:
И прямой ux+vy+™ = Q'>
прямой y~kx-rb.
212 гл. IX. элгмгиты проективной геометрии [1126
1126. Ливня второго порядка задана уравнением в тан-
генциальных координатах р2,иг,+ р8Х + Р)гм« = °- Составить
уравнение этой линии в точечных координатах.
1127. Определить точку прикосновения прямой х -у—-
_ 1 ==о'и линии второго порядка 9u2 + 16v2 — 25w2=0.
1128 Определить общие касательные линий второго
порядка ' х1 + 1 Ох + 4у- 3 = 0, 4ху + У — 16х- 4у = 0.
1129*. Составить уравнение в тангенциальных координа-
тах линии второго порядка, касающейся сторон четырех-
угольника и прямой х-|-у4- 1=0, если даны коор-
динаты вершин /4,(0, 0), /г(2, 0), Л, (4, 5), Л4 (0, 3).
ИЗО. Составить уравнение линии второ! о порядка, кото-
рая касается прямой х-|-_у+1=0 и прямых РХР2, Р2Р„
PJ\ и PtPv проходящих через точки Р,(1,2), Р2(5,0),
Р. (3,-1) Л (-4,0).
1131*. Составить в тангенциальных координатах урав-
нение линии второго порядка, касающейся сторон треуголь-
ника Д,Д2Д„ если Д,.(х,-, >,).
1132. Даны четыре точки Л,(х,, J,), Л2(х2, у2), Ла(х„ _ys),
/44(x4,j>4) и прямая д0х4 wo = 0. Составить уравнение
в тангенциальных координатах такой линии второго порядка,
которая касается прямых /4,/4г, Л2/,, /,/4, Л4Д, и данной
прямой.
1133. Как геометрически истолковать уравнение в тан-
генциальных координатах (wx14-^14-w)(«xs-(-'yjs-]-w)—
МЫ*2 + '£'.У24- w)2 =0, где (х;, у()—координаты точки Mt7
1134. Линия второго порядка задана уравнением в тан-
генциальных координатах Ь.,иг 4-£,л>2 4- +2Z> uv4-
+ 2#2 5w _|_ 2#s twu — 0.
Определить
»(а)____
7 2 ---
аи ai2|
С21 а22I
и /2О,=
аи а22 а„
fl2i агг агз
a.t а32 а„
а‘* К0ЭФфицненты уравнения той же линии в точечных
координатах.
Определить центр линии второго порядка, задан-
’ уравнением в тангенциальных координатах
4- 4- 4- 2b„uv + 2#2>®w + 2#„wu = 0.
1144]
213
§ 4. ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
1136. Линия второго порядка Чппчиа
генциальных координатах Уравнением в тан-
Ь"и* + + bit-w* _|_ 26,^ + 2f>2^w + 2f>aiTOU = 0<
Доказать, что
Н&)/, - о
'« vit > v для эллипса;
А < 0 для гиперболы;
4 ' О, £аа = 0 для параболы.
1137. Написать уравнение линии параболического типа
в тангенциальных координатах.
1138. При каких условиях уравнение в тангенциальных
координатах
+ bi2v2 4- btt-w2 4-2i>,2uw+ 2^,гет + 2t>„w« = 0
определяет окружность (действительную, нулевую или мни-
мую)?
1139. Составить уравнение параболы, касающейся сторон
четырехугольника /,/2/4/4, если /ДО, 0), А2 (6, 0), /,(5, 3),
/4 (0, 2).
1140. Определить площадь эллипса, заданного уравне-
нием в тангенциальных координатах
+ Ь22^ + b»w* + 2f>,2UV+ 2^,^+ 2A„w« = 0.
1141*. Определить геометрическое место центров линий
второго порядка, касающихся сторон чегырехугольнш
А А А А если даны координаты вершин /,(4,0), /ДО, 2),
‘ 1142*. Составить уравнение линии второго порядка каса-
ющейся сторон треугольника АВС и имеющей центр в то же
пзощадн, бвш!;
санпый в четырехугольник /,/2/8/4, если Л ’ ’ 2
/4-, 4), (0, 4). »«л/»тл hphtdob эллин-
1144*. Определить геометрическо сторо11 треутоль-
сов постоянной площади 50,i
ника АВС, если /(0, 0), 5(0, D, С(1,0).
214
ГЛ. IX. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ [1145
1145 Найти геометрическое место оснований перпенди-
куляров,' опущенных из начала координат на касательные
к линии второго порядка
+ Чахгху 4- + а = °-
1146 Найти геометрическое место оснований перпенди-
куляров,' опущенных из точки С(а, Ь) на касательные к линии
второго порядка
Я,,*’ + 2а1г*У + аггУ* + 2а1Х + 2<V + а = °-
1147*. Найти геометрическое место центров эллипсов,
касающихся сторон данного треугольника.
1148. Найти геометрическое место оснований перпендику-
ляров, опущенных из фокуса эллипса на касательные к нему.
1149*. Найти огибающую семейства прямых (т. е. линию,
которой касаются все прямые семейства), произведение рас-
стояний которых от двух постоянных точек Fife, 0) и
Г2( — с, 0) есть постоянная величина Ьг.
1150*. Найти огибающую семейства прямых, образующих
вместе с двумя данными прямыми треугольник постоянной
площади.
1151. Найти огибающую хорд эллипса, соединяющих
концы взаимно перпендикулярных диаметров.
1152*. Вершины прямых углов прямоугольных треуголь-
ников находятся в точке О, а вершины их острых углов—
на двух взаимно перпендикулярных прямых. Найти огиба-
ющую гипотенуз этих треугольников.
1153*. Найти огибающую диагоналей параллелограммов,
вписанных в треугольник АОВ так, что две стороны парал-
лелограмма идут по сторонам треугольника, а вершина,
противоположная точке О, лежит на стороне АВ.
1154*. Найти огибающую гипотенуз прямоугольных тре-
угольников, у которых вершины прямых углов находятся
в точке О, а вершины острых углов—на двух параллельных
прямых.
1155*. Дан треугольник АОВ; из каждой точки его
стороны АВ опущены перпендикуляры на стороны О А и ОВ.
а ти огибающую прямых, соединяющих основания этих
перпендикуляров.
1158] § 4. ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 215
1156*. Найти огибающую тех хорд окружности, которые
из внутренней ее точки видны под прямым углом.
1157*. Прямая вращается вокруг точки Л,’ лежащей
на этой прямой. Точки Р и Q, в которых эта прямая пере-
секает стороны данного угла, соединяем соответственно
с двумя данными точками В и С. Найти геометрическое
место точек пересечения прямых РВ и QC. Рассмотреть
случай, когда точки В и С лежат на одной прямой с вер-
шиной угла или с точкой А.
1158*. Доказать, что если три линии второго порядка
имеют одну и ту же общую хорду, то три другие общие
хорды этих линий, взятых попарно, проходят через одну
точку.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
аналитическая геометрия в пространстве
и ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ГЛАВА X
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Вектором называется упорядоченная пара точек, т. е.
пара точек, взятых в определенном порядке. Первая точка назы-
вается началом вектора, вторая — его концом. Если
обе точки совпадают, то вектор называется нулевым. Ненулевой
вектор изображают направленным отрезком (со стрелкой у конца).
Векторы обозначаются так; а, &, х, г,... или АВ, CD и т. д.
Два ненулевых вектора АВ н CD называются коллинеар-
ными, если прямые АВ и CD параллельны или совпадают. Нуль-
вектор считается коллинеарным любому вектору.
Модулем вектора АВ, не равного нулю, называется длина
отрезка АВ. Модуль нуль-вектора равен нулю по определению.
Если модуль вектора равен 1, то вектор называется единичным.
Обозначения модуля: | а |, а, | АВ |, АВ.
Два ненулевых вектора АВ и CD называются равным и, если
они коллинеарны, направлены в одну сторону и их модули равны.
Отложить вектор АВ от точки С это значит построить вектор
CD, равный вектору АВ.
Суммой а А-о +5+ ... -j-ft векторов а, Ь, с, ..., k назы-
вается вектор, который строится так; от произвольной точки О
™ад” вектоР а’ от к°чца отложенного вектора а откла-
По1/Тют вектоР °' от конца отложенного вектора b откладывают
я ™Р с и т- А- Точка Сбудет началом вектора a4-& + c+...+ft,
СимЛ°СЛед,1ег0 отложенного вектора будет концом суммы,
с™. вектоР°в не зависит от выбора точки О.
построен/ неколлинеарных векторов а и b может быть
к (пРанило параллелограмма): от одной и той же
чки откладывают векторы О А = а и 08= & (рис. 24); строят
параллелограмм ОВСА со сторонами О А и ОВ; тогда 0С = 0А +
+ 0В = а + Ь.
остью а b называется такой вектор х, что
х-\-Ь = а.
ГЛ. X. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
21Т
Для построения
пить так: отложить
Тогда
разности а — Ъ векторов а
векторы а и Ъ от одной и
ОА = а, ОВ = Ь.
и b можно посту-
той же точки О
В А = О А—О В — а— Ь.
противоположным вектору
а # О, называется
тот же модуль и
Вектором —а, г---------
вектор, коллинеарный вектору а, имеющий
направленный в сторону, противопо-
ложную а. Если а=0, то и —а = 0.
Очевидно, что Ь—а=&+(— а).
Свойства сложения:
а4-(Ь-|-с) — (а + 6)+с (ассоциатив-
ность);
а + 0 = а;
а + (—а) = 0;
а-(-& = &4-а (коммутативность).
Произведением Ха числа
Х#0 на вектор а^О называется
вектор, коллинеарный вектору а, модуль которого равен | X11 а |
и который направлен в ту же сторону, что и вектор а, если
X > 0, и в противоположную сторону, если Х<0. Если Х=0 или
а~0, то Ха = О.
Свойства умножения вектора на число:
1 -а —а,
Х(ра) = (Хи) а,
X (а Ъ) = Ха 4- Xft,
(Х + |ч)а = Ха{-ра.
Если вектор а £ 0, то вектор
есть единичный вектор, одинаково направленный с вектором
ОТС,ода а^|а|а».
Если векторы а и & коллинеарны ио# 0, то отношением
~ называется число X, такое, что а —Х&.
Вокиры а. Ь. е... . к
м ы м и, если существуют такие числа а, р. Y-
нулю одновременно, и такие, что
и—..
векторов является их линейная зависимость
218
гл. X. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Тпм воктоса а. Ь. с называются компланарными, если,
г улучи отложены от одной н той же точки, они лежат в одной
плоскости Необходимым н достаточным условием компланарности
тоех векторов является их линейная зависимость.
Р Если векторы а и ft не коллинеарны, а векторы а, Ь, с
компланарны, то вектор с может быть представлен, и притом
единственным образом, как линейная комбинация векторов а и ft:
с=аа4-р&.
В этом случае говорят, что векторе разложен по векто-
рам а и ft.
Если три вектора a, ft, с не компланарны, то всякий вектор
d может быть представлен, и притом единственным образом, как
их линейная комбинация:
d=aa+fib-j-Yc'
В этом случае также говорят, что вектор d разложен по
векторам a, ft, с. Р а д н у со м-в е к то р о м г точки М называ-
ется вектор ОМ, где О—фиксированная точка.
Если точка М делит отрезок Л1,Л12 в отношении X, то радиус-
вектор г точки М выражается через радиусы-векторы г, и г2
точек Mt и Л12 следующим образом:
__ * 1 Т-'-'г
1 +х •
В частности, если М—середина отрезка MtM2, то
• 1 т Г 2
.. *порядояенная тР°йка е>’ ег некомплаиариых векторов
иазывается базисом (в пространстве). Если векторы базиса
Х;2’/ЛеЛИНИЧНЫе и попаРно ортогональные, то базис называ-
ли,,,..., иягтг>Н°Рм 11 р0ван н ым- Векторы ортонормированного
оазиса часто обозначаются так: i, J, k. н
Координатами вектора а по отношению
называются числа X, Y, Z, такие, что
к базису et, е„ ег
Если вектор а имеет координаты X, Y,
а = {Х, Y, Z}.
Z, то пишут:
равны тогда и
координаты.
Два вектора
а = {Х, Y, Z], b = {X', Y', Z'}
лтько тогда, когда равны нх соответствующие
Х — Х' . У = У', Z=Z'.
ГЛ. X. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
21S
векторовХ°ДИМЫМ И ДОСТаточным >сл°вием коллинеарности двух
У, Z} О, Ь={Х-, У', z'} jt О
является пропорциональность нх соответствующих координат
х' = XX, Y' = ХУ, Z' = ZZ,
где X есть отношение вектора Ъ к вектору а.
Если а={Х, У, Z}. Ь = {Х', У', Z'}, то
а + Ь = {Х + Х', У+У', Z+Z'},
a—b = {X—X', У—У', Z—Z'\,
Ха = {ХХ, ХУ, XZ}.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех
векторов
а={Х, У, Z}, Ь = {Х', У', Z'}, с = {Х’, У, Z"}
является равенство
IX
X'
IX*
У
У'
У
Z
Z'
Z'
=0.
Скалярным произведением аЬ двух векторов а / О
и Ь Ф 0 называется число, равное произведению модулей этих
векторов на косинус угла между ними:
ab — ab cos <р.
Если а=0 или 6=0, то а6 = 0 по определению.
Скалярное произведение аЬ равно нулю тогда и только тогда,
когда а 16 или а=0 или 6=0.
Свойства скалярного умножения:
ab=ba (коммутативность),
Х(аЬ) = (Ха)6;
(a + b)c=ac+bc (дистрибутивность),
аа — аг 0,
причем аа = 0 тогда и только тогда, когда а 0.
Если в ортонормироваином базисе
а={Х. У, Z}, 6 = {Х', У, Z'},
ТО ___________
Й6 = ХХ' + УУ' + 2Г, + +
Если а 0, 6 £ 0, то косинус угла ф между векторами а
b определяется по формуле
XX' + VFH-ZZ_________
СО5Ф= yxq^+72 Vx^+y7r+zrt
220
ГЛ. X. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
истомное я достаточное условие ортогональности двух
У. г) , »=(*'• Г. Z-} имеет вид:
XX' + YY' + ZZ’=0
(в ортонормированием базисе)
Векторным произведением [ab] (или ах о) вектора
а на вектор Ь (в случае если векторы а и Ь не коллинеарны)
называется вектор, модуль которого равен площади параллело-
грамма, сторонами которого являются векторы а и Ь, отложен-
ные от одной и той же точки, ортогональный векторам а и Ъ и
направленный так, что упорядоченная тройка векторов a, b, [ab]
одинаково ориентирована с тройкой векторов г, J, k некоторого
оргоиормированиого базиса. Если векторы а и Ь коллинеарны,
то [ab]=0 по определению.
Свойства векторного умножения:
[ab] = -[ba],
f(^)bj = >.[flbj,
Ka+6)c]=[ccJ4-(M.
[a [be)]=b (ас)—dab),
|[abj c] = b(ac)—a(bc),
[abj [cd)-(ac) (bd)—(ad) (be).
Если в ортонормированием базисе
а={Х, Y, Z}, b = {X\ Y’, Z'},
то
Z
( |У 7 I
ГаЫ = {|г,
Смешанным произведением abc трех иекомпланар-
ных векторов а, Ь, с называется число, абсолютная величина
которого равна объему параллелепипеда, ребрами которого явля-
ются эти векторы, отложенные от одной и той же точки; это
положительное. если упорядоченная тройка а, Ь, с одина-
гтп.?.,,£И,еНТИр0Вапа с ортоиормироваииым базисом i, /, k, и
niaHan^bl^ Ь противном случае Если векторы а, Ь, с ком-
аиарны, то abc=0 по определению.
двойства смешанного произведения:
аЬс=а[Ьс] = [аЪ]с,
abc = Ьса = cab=— bac.
Если в ортонормнроваином базисе I, J, k
то а==‘%’ Y’ Z’° b={X’- Л- с = {Х\ Y",
аЬс=
X Y Z
X’ у Г
X- у Z-
гл. X. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
221
зклЛлХГ1* ’• ВыЧиСЛить длинУ d диагонали параллелепипеда,
ОА — а, ОВ=Ъ, ОС=с
трех его ребер, выходящих из одной точки О, и углы
/_ВОС=а, /_СОА=р, /_АОВ^у
между ними
Решение. Пусть OD—диагональ параллелепипеда, выхо-
дящая из точки О, a d—ее длина Тогда
OD = OA + OBA-OC,
откуда
ODz = (OA->t-OBA-6cY =
= 0Аг 4- ОВ* 4- ОС1 + ТОА ОВ 4- 20В ОС+УХ. ОА =
= a2 4-bi4-c±4-2ahcos у 4-cos а + 2са cos£
и. следовательно,
d — аг-г Ы-t-(^+2bc cos а-t-2ca cos p-j-2abcosy
Пример 2. Вычислить объем параллелепипеда, зная длины
ОА=а, ОВ = Ь, ОС=с
трех его ребер, выходящих из одной точки О, и углы
£ВОС=а, /_С0А = $, £AOB=y
между ними
Решение Рассмотрим векторы
0Л=а, ОВ=Ь. ОС —с
и обозначим их координаты в каком-нибудь ортовормвроваивом
базисе так.
а={Х„ У„ Zt], b = {X2 Yt. ZJ. с=!Х,. У..
Тогда, обозначая через V объем параллелепипеда, будем вметь.
V = [a&c| = mod
X, Г, Z,
Х2 У2 Z2
X, У, Z,
где
/? =
XJ4- И+ Z«
XA. + V^+V,
x^i + >'.^ + z»z'
Х'Хг + УУг+Ъ2'-
Х‘4- Yl+ z«
Х,Х24-У,К24-2Л
ХЛ^У.У.+^А
ХгХ>+У2У,+г2г, .
х’4- У1+ Z’
ГЛ. х. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
222
ИЛИ
К*
ab ас
Ьг Ьс
Ьс сг
ab cos у ас cos 0
ab cos у ft2 bc cos a
ac cos 0 be cos a c2
1 cos у cos ₽
cos у 1 cos a
cos 0 cos a 1
= abc V1+2 cos a cos 0 cosy— cos2 a— ccs20 — cos2 y-
Пример 3. Пусть дан тетраэдр ABCD. Возьмем на какой-
нибудь его грани, например на грани АВС, произвольную точку S
и отложим от этой точки вектор SS'—d, равным по модулю пло-
щади грани АВС, перпендикулярный к этой грани и направлен-
ный так, что точки S' и D лежат по разные стороны от плоскости
грани АВС. Аналогично построим векторы РР' — а для грани
BCD, QQ' — Ь для грани ACD и RR' — c для грани ABD. Дока-
зать, что
а 4“ Ь "I- с d = О,
Доказательство. Положим ~DA—x, ~DB—y, D(5=z.
Тогда СА = х—г, СВ=у—2, и следовательно (при надлежащем
выборе ориентации пространства), будем иметь:
</=41(з'~г)(х-гя-
Отсюда
°+6+* + d=|1^+4 [гх]+4 + j 1СУ-2) (x-z)] =
=у [Уг] 4- [zx] 4-1 + _L -1 [yz] _ 1 [zxj +_1. [22J = o.
пук^гоамногогранника.АеННе обобщается на случай любого вы-
пмекие углы^которог^а^^у деуграннь‘е Углы трехгранного угла,
единичные векторы^^/Г IVlvcrliНЫ S На РебРах ST0r0 Угла
Рому примыкают плоские углы 0 и уГто?дГаРаННЬ1Й УГ01П’ К К°Т°'
-ces “~COS v
11 Л i lac j SUI у si о-------- t ~-----!,
’ 01,1 H ът p sin у
1159—1170] § 1. СЛОЖЕНИЕ и вычитание векторов 223
§ 1. Сложение и вычитание векторов. Умножение
вектора на число
1159. Векторы АС=а и BD~b служат диагоналями
параллелограмма^ВСО. Выразить через векторы а и 6 век
торы АВ, ВС, CD и DA, являющиеся сторонами этого парал-
лелограмма. г
1160. Точки К и L служат серединами сторон ВС и CD
параллелограмма ABCD. Полагая и ~AL = l, выразить
через векторы k и I векторы ВС и CD.
1161. В треугольнике АВС проведена медиана AD. Вы-
разить вектор AD через векторы АВ и АС.
1162. В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE
> И CF. Найти сумму векторов AD 4- BE А- СГ.
1163. Точки Е и F служат серединами сторон АВ и CD
— > ----------------------------------------->
четырехугольника ABCD. Доказать, что EF=—±—. Вы-
вести отсюда теорему о средней линии трапеции.
1164. Векторы АВ = р и AF—q служат двумя смежными
сторонами правильного шестиугольника ABCDEF. Выразить
через р и q векторы ВС, CD, DE, EF, идущие по сторонам
етого шестиугольника.
1165*. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра
правильного многоугольника к его вершинам, равна 0.
1166. Доказать, что вектор, идущий из произвольной
точки плоскости в центр правильного многоугольника, есть
среднее арифметическое векторов, идущих из этой точки
к вершинам многоугольника.
1167. В треугольнике найти такую точку, чтобы сумма
векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника,
была равна 0.
1168. Тот же вопрос для параллелограмма.
1169. Из точки О выходят два вектора ОА — а, ОВ-Ь.
Найти какой-нибудь вектор ОМ, идущий но биссектрисе
^^ИТО.^В треугольнике_АВС проведена биссектриса AD
угла А. Выразить вектор AD через векторы АВ и АС.
Гл X. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [1171
224
1171. На трех некомп.танарных векторах АВ=р, AD = q
u'aa' — г построен параллелепипед ABCDА'В'С D’. Выра-
зить через р Я и г векторы, совпадающие с ребрами,
яиагонатью параллелепипеда и диагоналями граней этого
паоалтелепипеда, для которых вершина А' служит началом.
1172. В тетраэдре ABCD даны ребра, выходящие из
вершины Д: АВ = Ь, АС=С и AD = d. Выразить через эти
векторы остальные ребра тетраэдра, медиану DM грани BCD
и вектор AQ, где Q— центр тяжести граниВС£>.
1173. Дай тетраэдр О АВС. Полагая ОА = а, ОВ = Ь,
ОС=с, выразить через а, b и с векторы MN, PQ и ,
где М, Р и R—середины ребер ОА, ОВ и ОС, a N, Q и
5—середины соответственно противоположных ребер.
1174. В четырехугольнике ABCD (плоском или простран-
ственном) положим АВ = т, ВС = п, CD = p, DA — q. Найти
вектор EF, соединяющий середины диагоналей АС и BD.
§ 2. Радиус-вектор
1175. Даны радиусы-векторы гх, гг, г2 трех последова-
тельных вершин А, В к С параллелограмма. Найти радиус-
вектор четвертой вершины D.
1176. Даны радиусы-векторы OA — i\, ОВ — г2, ОС = гг;
дано, что векторы г2 и г3 не коллинеарны. Из точки А
опущен перпендикуляр AM на плоскость ОВС. Найти радиус-
вектор ОМ=х точки М.
1177. В точках Л12(г2), ..., Л4п(гп) помещены
массы тх, т2, ..тп. Найти радиус-вектор центра тяжести
этой системы материальных точек.
1178. Показать, что сумма векторов, направленных из
центра тяжести системы п материальных точек во все этн
точки, равна нулю, если во всех п точках сосредоточены
равные массы.
ншгя 179* Зная Радиусы-векторы г2, г2, г2 вершин треуголь-
L” радиУс"вект°Р точки пересечения его медиан.
тельнХ оо Я раднУСы-векторы г2, г2, г, трех последова-
точки прпр-₽ШИН параллелогРачча, найти радиус-вектор г
Р veneHHH диагоналей параллелограмма.
225
трапеции
четвертой
1189] § 3. ЗАДАНИЕ ВЕКТОРА КООРДИНАТАМИ
1181. Даны три последовательные вершины
/(rj, В(г2) и С(г,). Найти радиусы-векторы- г
вершины D, г точки пересечения диагоналей и
пересечения боковых сторон, зная, что основание AD в К
раз больше основания ВС.
1182. Зная радиусы-векторы гд, rB, rD и г/ четырех
вершин параллелепипеда ABCDA’B'C'D', найти радиусы-век-
торы четырех остальных его вершин.
1183. Радиусы-векторы OA = t\, 0В=г2 и ОС = г слу-
жат ребрами параллелепипеда. ’
Найти радиус-вектор точки пересечения диагонали па-
раллелепипеда, выходящей из вершины О, с плоскостью
проходящей через вершины Л, В и С.
§ 3. Задание вектора координатами
1184. Даны три вектора а={2, 4}, Ь = {—3, 1},
£ = {5,-2}.
Найти векторы 1) 2a-}-3fc—5г; 2) а 4-246 4- 14г.
1185. Даны три вектора а — {5, 3}, b = {2, 0}, с — {4, 2}.
Подобрать числа а и у так> чтобы три вектора аа, b и
уг составили треугольник, если начало вектора b совмес-
тить с концом вектора cuz, а начало вектора уг с концом
вектора Ь.
1186. Представить вектор с как линейную комбинацию
векторов а и & в каждом из нижеследующих случаев;
Г={1, -7}
г -{19, 8};
с = {9, -3}.
1) а = {4, —2}, Ь = {3, 5},
2) а—{5, 4}, & = {—3, 0},
3) а = {-6,2}, & = {4, 7},
1187. Дан вектор а = {6, -8}. Найти координаты еди-
ничною вектора, коллинеарного с а и направленного. ) У
же сторону; 2) в противоположную сторону. _ _
1188. Из одной точки проведены векторы а - { “’кот^
& = /12 5}. Найти координаты единичного век Р-.
рый, будучи проведен из той же точки, делил
между а и 6 поползвектор ь перпен-
1189. Дан вектор а = {—5, п н HanpJB.
днкулярный к вектору в, равны У й и той же
ленный так, что, будучи отложены от одной
8 С В. Бахвалов в др.
226
ГЛ. X. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[1190
,очки векторы а и b образуют пару, имеющую ту же
ориентацию, какую имеет пара единичных векторов осей
1190. Даны три вектора: а = {5, 7, 2}, ft = {3, 0, 4},
р —1|. Найти векторы 1) Зл—2Ь-\-с, 2) 5а-|-
6* !-4г-
1191. Представить вектор d как линейную комбинацию
векторов а, b и с в каждом из следующих случаев:
1) а = {2, 3, 1},
г = {3, —2, 4},
2) а={5, —2, 0},
г = {—6, 0, 1},
3) а = {3, 5, 6},
г = {12, 0, 6},
ft = {5, 7, 0},
rf = {4, 12, —3};
fe = {0, —3, 4},
d = {25, —22, 16};
b = {2, —7, 1},
d = {0, 20, 18}.
1192. Установить, в каких из нижеследующих случаев
тройки векторов а, Ь и с будут линейно зависимы, и в том
случае, когда это возможно, представить вектор с как ли-
нейную комбинацию векторов а и Ь:
1) а = {5, 2, 1}, & = {—!, 4, 2}, с = {—1, —1, 6};
2) а = {6, 4, 2}, Ь = {— 9, 6, 3}, г={—3, 6, 3};
3)я = {б, —18, 12}, 6 = {—8, 24, —16}, С={8, 7,3}.
1193. Показать, что каковы бы ни были три вектора
а, b н с и три числа К, р, v, векторы Ха—р&, yb — Хс,
рс—ха компланарны.
1194. Даны четыре вектора а ^={1,5,3}, 6 = {6,—4 —21
*={0, -5, 7}, = {—20, 27, -35}.
Подобрать числа а, £ и у так, чтобы векторы аа, £Д
}С nd образовывали замкнутую ломаную линию, если на-
чало каждого последующего вектора совместить с концом
предыдущего.
1195. Относительно ортонормированного базиса дан вектор
а~ ‘ • 4, 1}. Найти единичный вектор, имеющий то же
направление, что и вектор а.
и6—\^5 ^9 одной точки проведены векторы а = {—3, 0, 4}
с ‘ ’ 1 14}. Найти единичный вектор, который, будучи
тогаииНл0Т 1°Й Же точки1 делит пополам угол между век-
•ирами а и о.
1206]
227
§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
1197. К вершине куба приложены
величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналя^^^ней
куба, проходящим через эту вепшшпг н,» граней
равнодействующей этих трех сил. У’ ™ велнчинУ
§ 4. Скалярное произведение
1198. Найти скалярное произведение векторов а и b
в каждом из нижеследующих случаев:
U 1«| = 8, |ft| = 5, (О) = 60°;
2) |а| = |&| = 1, (а, 6) =135';
3) a id;
4) а | = 3, |d| = 6, а\\Ь\
5) а 1 = 3, \Ь =1, аЦЬ.
1199. В треугольнике АВС даны длины его сторон ВС=5,
СА — 6, АВ—7. Найти скалярное произведение векторов
ВА и ВС.
1200. Найти угол а при вершине равнобедренного тре-
угольника, зная, что медианы, проведенные из концов осно-
вания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.
1201. Доказать, что векторы р = а(Ьс) — Ь(ас) и с
перпендикулярны друг к другу.
1202. Какой угол образуют единичные векторы s и t,
если известно, что векторы p = s-|-2< и q = 7>s— 4f взаимно
перпендикулярны?
1203. Дан равносторонний треугольник АВС, у которого
длины сторон равны 1. Полагая ВС—а, СА — b, АВ—с, вы-
числить выражение abЬсса.
1204. В треугольнике АВС проведены медианы AD, йс
и CF. Вычислить BCAD+СА ВЕАг^В CF.
1205. В прямоугольном треугольнике АВС опущен пер-
пендикуляр СИ на_гипотенузу^ЛВ. Выразить вектор СН
через векторы а —СВ и Ь = СА.
1206. Ли» прямоугольник ABCD и точи "
может лежать как в плоскости прямоугольника,
Показать, что: пт точки
1) скалярное произведение векторов, ид>^ника равно
М к двум несмежным вершинам пря у ' >
8*
228
ГЛ. X. Bl ИГОРНАЯ АЛГЬВРЛ
(1207
скалярному про» «ведению векторов, идущих от той же точки
к двум друшм вершинам /ИД МС = MB MD,
2) сумма квадрант векторов одной нары равна сумме
квадратов другой пары (ТИЛ’ МС1 = МВг + MD?).
1207. В ipeyiодышке АВС ючка D делит сторону АВ
п <п ношении AD:DB = l. Выразить длину отрезка CD через
три iтороны треугольника и число А.
1208. Доказать, что при любом расположении точек
АВС1) на плоскости или в пространстве имеет место равен-
ство BCXb-^CABD + ABCD^O.
1209*. Доказать, что если в тетраэдре ABCD два ребра
соответственно перпендикулярны своим противоположным,
то н остальные два ребра взаимно перпендикулярны.
1210. Вычислить скалярное произведение векторов а и Ь,
заданных своими координатами в каждом из нижеследующих
случаев:
1)« = {5, 2}, & = {—з, G};
2) а = {6, —8}, ft = {12, 9};
3) а = {3, —5}, b =={7, 4}.
1211. Определить угол а между двумя векторами а н Ь,
заданными своими координатами в каждом из нижеследую-
щих случаев:
1) а={4, 3}, 6 = {1, 7);
2) a={G, —8},
3) а = {2, 5},
4) а = {2, —6},
Ь= {12, 9};
6 = {3, -7}
6 = {-3, 9}.
1212. Даны два вектора а = {5, 2}, ft —{7, —3}. Найти
вектор х, удовлетворяющий одновременно двум уравнениям
ах = 38 н ftx = 30.
г /п13;|До1Ы Три ВСКт°Ра « = {3, —2}, Ь -1—5, 1}.
с = (0, 4}. Найти: ' 1
1) За* — 4аЬ + 56* — 6£>с—2с*;
2) 2(аЬ)с—31?а -\-(ас)Ь.
^дд ^‘1ЙГИ численную величину проекции вектора
Ч] на ось, параллельную вектору {—8, 6}.
1223]
§ 4. СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
229
St ?™ЛИТЬ СКалйр,,ое произведение
координатами в каждом из
векторов а и 6,
нижеследующих
заданных своими
случаев:
1) а— {3, 5, 7}, Ь={—2, 6, 1};
2) а — {3, 0, —6}, Ь = {2, —4 0V
3) а={2, 5, 1}, 6={3, -2’4}.’
1216. Определить угол а между двумя векторами а и
Ь, заданными своими координатами в каждом из нижесле-
дующих случаев:
1) а = {8, 4, 1} Ь = {2, —2, 1};
2) а = {2, 5, 4}, Ь = {6, 0, —3}.
1217. Даны три вектора: в = {5, —6, 1}, Ь = {~4, 3, 0},
с = {5, —8, 10}. Вычислить выражения: 1) Зе2—4о6-|-'2с2;
2) 2а2 462—5с2; 3) ЗаЬ—4Ьс — 5ас.
1218. Даны три вектора: а = {3, 1, 2}, Ь = {2, 7, 4},
с={1, 2, 1}. Найти: 1) (аб)с; 2) а2 (6с), 3) а2Ь + Ь2с + с2а.
1219. Найти численную величину проекции вектора
{8, 4, 1} на ось, параллельную вектору (2, —2, 1}.
1220. Даны два вектора а — (11, 10, 2} и 6 — {4, 0, 3}.
Найти вектор с, перпендикулярный к векторам а и 6, рав-
ный по длине 1 и направленный так, чтобы тройка векто-
ров «, 6, с была ориентирована так же, как и тройка еди-
ничных векторов в,, е2, е3 ортонормированного базиса.
1221. Даны два вектора а = {1, 1, 1} и 6 = {1, 0, 0}.
Найти единичный вектор с, перпендикулярный к вектору л,
образующий с вектором b угол в 60° и направленный так,
чтобы тройка векторов а, b и с имела ту же ориентацию,
как и единичные векторы е,, е2, Сг ортонормированного
базиса. . о В
1222. Даны два вектора «={8, 4, „/1
выходящих из одной и той ------------
ходящий из этой же точки, перпендикулярный к вектору ,
равный ему по длине, компланарный с векторами
образующий с вектором b острый угол. *=/5 1 6},
1223. Даны три вектора а= {3, —2, 4), о \ . п
с={—3, 0, 2}. Найти вектор х, удовлетворяю!
временно трем уравнениям: ах = 4, Ьх— , с
же точки. Найтн вектор с, ис-
перпендикулярный к вектору а,
ГЛ. х. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[1224
230
§ 5 Векторное произведение; смешанное произведение
1224. Зная два вектора а и Ь, найти:
1) [(а 4-6) (а—6)]; 2> [«(в + й>1: 3) —"2 )]•
1225. Показать, что [аб]2 4- (аЬ)* — а2Ьг.
1226. Показать, что если три вектора а, Ъ, с не кол-
линеарны, то из равенств [аб] = [6г] = [са] вытекает соот-
ношение а4_64~с = 0, н обратно.
1227. Показать, что [«(6-f-Aa)] = [(« р.б)б] —[аб].
1228. Показать, что если [аЬ] + [6с] 4~ [са] — 0, то век-
торы а, b и с компланарны.
1229. Из одной точки проведены три некомпланарных
вектора а, 6, с. Показать, что плоскость, проходящая через
концы этих векторов, перпендикулярна к вектору
[ад] + [6с] 4- [га].
1230. Показать, что если векторы [аб], [6г], [га] ком-
планарны, то они коллинеарны.
1231. В ориентированном пространстве даны два взаимно
перпендикулярных вектора а и 6, выходящих из одной
точки. Найти вектор г, получающийся из векторов 6 пово-
ротом на 90° около вектора а так, чтобы ориентация тройки
векторов а, 6 и г совпадала с ориентацией единичных век-
торов е(, с, ортонормированного базиса.
1232. Найти векторное произведение [аб] в каждом из
нижеследующих случаев:
1) а = {2, 3, 1],
2) а = {5, —2, 1},
3) а = {—2, 6, —4],
6-{5, 6, 4};
6 = {4, 0, 6};
6 = {3, —9, 6}.
1233. Вычислить площадь параллелограмма, построен-
ного на векторах а = {8, 4, 1}, 6 = {2, _2 1}
с-п342 п,ннТтТ а==<3’ ь 2ь &=-i2’ 7’ 4Ь
очЛ’ п' ТИ: П аЪс' 2) И«6]с]; 3) [а [6г]].
1235*. Доказать тождества J 1 1 н
аг ad
be bd
1) [o6](rd] =
2) Цв&] [cd]] = с(abd)-d(abc) = 6(acd) —
a (bed)'.
1239]
§ 5. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
231
3) (abc)d = (dbr)a + (dca)b-}-(dab)c;
4) (abc)(xyz)=
ха xb хс
ya yb ус
za zb zc
5) {abc)z =
a2 ab ac
ba bz be
ca cb c2
1236. При каких условиях [[ab] с] = [a [br]]?
1237. Даны три некомпланарных вектора а, b и с.
Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений
ах = а, bx = (J, сх=у.
1238*. Две тройки векторов а,, а2, а, и b,, b2, bs
называются взаимными, если векторы этих троек связаны
соотношениями:
( 0, если i =/= А;
а,ЬА = ч . • к
я ( 1, если i — k\
пользуясь операциями скалярного и векторного умножения,
найти векторы b,, b2, bs тройки, взаимной тройке векторов
О,, а2' а1'
1239. Для тройки векторов «, = {2, 1, —1],
а2 = {—3, 0, 2}, a3={5, 1, —2} найш взаимную тройку
(см. предыдущую задачу).
ГЛАВА XI
КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть на трех прямых Ох, Оу, Ог, проходящих через одну и
ту же точку О и не лежащих в одной плоскости, от точки О отло-
жены векторы е,, е2, е3 (рис. 25).
Эти прямые Ох, Оу, Ог вместе с отложенными на них от точки
О векторами е3, ег, е3 образуют общую декартову или аф-
фиииую систему координат. Точка О называется началом
координат.
Прямые Ох, Оу, Ог вместе с отложенными па них векторами
е,, е2, е3 называются осями координат: Ох—ось абсцисс.
Оу—ось ординат, Ог—ось ап-
пликат. Плоскости Оуг, Огх и
Оху называются координатны-
ми плоскостями. Векторы
е3, е, называются масштабными
Р
Рис. 26.
Рис. 25.
векторами соответственно осей Ох,
штабных векторов с------- ’
Рединичными точками осей координат
Monv. " масшта<5ные векторы РД
“»А"ихор.аТ' '• “ ™>
Мея так: случае векторы
ем, Ог.
отложенных от начала
Концы EIt Е2, Е3 мас-
координат О, называ-
модули их пя'пииУ"»16 вектоРы ev е3 попарно ортогональны, а
Угол ьно й В “том ™ „™2тема_ К00РДинат называется прямо-
ez, е3 обычно обознача-
ГЛ. XI. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ 233
Пусть М- произвольная точка пространства. Проведем чепр,
Охг Тоху ПЛ0СК0С™ паРа^™льные координатным плоскостям Ог“
Точки пересечения этих плоскостей с осями Ox Ou Oz обо
значим соответственно через Р, Q, R (рис. 26). Пусть х-коорди-
ната точки Р на оси Ох с началом в точке О и масштабным век-
тором е„ {/—координата точки Q на оси Оу с началом в точке О
и масштабным вектором е2. г — координата точки R на оси Oz с
началом в точке О и масштабным вектором е,.
Числа х, у, г называются декартовыми координатами точки
М в системе Охуг.
Если точка М лежит в плоскости Оху, то z = 0, если точка М
лежит в плоскости Оуг, то х = 0, если точка М лежит в плоскости
Огх, то у—0 (и обратно). Начало координат О и единичные точки
Ег, Ez осей координат имеют соответственно координаты.
0(0, 0, 0), Е,(1, 0, 0), Е2 (0, 1, 0), Е,(0, 0, 1).
Точка Е(1, 1, 1) называется единичной точкой.
Если в пространстве введена общая декартова система коор-
динат с началом в точке О н масштабными векторами е„ е2, е5,
то координаты точки М являются координатами радиуса-вектора
г=0М этой точки относительно базка е„ е2, es.
Координаты точки М (х, у, г), делящей отрезок М,М2 с кон-
цами Mt (х„ //„ г,) и М2(х2, у2, г2) в отношении
мм/
определяются соотношениями
X, + Хх2 _ {/i + _
Х~ 1+Х ’ У 1+^ ’
Если г, г, и г2—радиусы-векторы точек М, М, и М2 и точка М
делит отрезок в отношении X, то
Ч" Хгг
г~ ] । *
В частности, координаты середины отрезка равны полусуммам
соответствующих координат его концов.
{/1+^2
У- 2
2- 2
л“ 2 ’
или в векторной форме
г- 2
-«пиная то расстояние гоч-
Если система координат прямого» ’ ат определяется
ки М(х, у, Z) или М (Г) Д° на мл
формулой
.34
ГЛ. XI. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
KnrunvcN УМОВ а, р, Y вектора ОМ с осями координат назы-
ввюкя‘направляющими косинусами этою вектора.
Если ОМ={х, У, г}, то
х У
™ ’ cos р = Г^+V+r» ’
2
COS V = ">.• »
Y Kx2 + {/’ + z2
отсюда
cos2 а+cos2 Р + cos2 у = 1.
Расстояние d между двумя точками М, (х„ у„ z,) и М2 (х2, у2, z2)
или Af, (г,) и Л12(гг) вычисляется по формуле
d-1 г, — П | = V (хг—х,)*+(у2—у+ (г,—z,)2.
—--------------------------—->
Направляющие косинусы вектора MtM3 с началом в точке
М, (х„ у„ z,) и с концом М2 (хг, уг, г2) вычисляются по формулам:
х.—х. „ у2—ut z2— г,
ccsa=-A- !, COS р — , cosy—- .
d d ' d
Объем ориентированного тетраэдра с вершинами
М,(х„ У1, г,), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, г3), М4(х4, ул, z4)
или M^rJ, M2(r2), M3(r3), M3(rt) определяется соотношением
X, у, г, 1
о_______ j х2 у2 z3 1
6 х3 у3 z, J
х4 у., z3 1
или
или
У=1
6
х( х4
хг—х4
хг—х3
г, —г.,
Уг—Уь ?2 —
Уг-yt ?а —г4
(г, —г4) (г2-г3) (г,—г4),
причем У>0, если тройка векторов Л14Л4„ А14лГ2, Д4,лТ. одина-
ково ориентирована с координатной, и V <0 в противном случае.
лл^°ОрДИНаТЬ? вектора М,М2 с концами Мх (х., у., ?.)
и А1г(хг, у2, г2) определяются соотношениями:
хг х„ У—уг—у1г Z = z2—z,.
ной сист™ыЬКл<?ппгольника’ заданного относительно прямоуюль-
М (х ®мь’к.00Рдинат своими вершинами А4, (х„ yt, zt), М2(х2, у2, г2),
^г(х„ у3, z3), вычисляется по формуле
|/1 г, 1 2
Z1 х, 1 2
ч ; Zj X, 1 2 х, yt 1 2
гг J + г2 хг 1 -р хг у2 1
1 гз Х5 1 ха у3 1
и, г3 1
г3 xs 1
ГЛ. XI. КООРДИНАТЫ
в ПРОСТРАНСТВЕ
235
или
Уг—У, 2,—г,
Уг Уз г2 —?3
г1— га Х|~х,
гз—?з х2—х,
или
х‘ *» У, — У,11,
Хг—Х, Уг— !/з|
S ~4 (r2-rjj\
где г„ г2, гг радиусы-векторы точек ЛЕ, М М
Если нам даны две системы координат Охуг иО'х'/г’, причем
0 Ei~{av аг- “зЬ О’Ег — {Ь„ b2, b„}, О'Е'3 = {си е2,с2}, О’ (d„ d2, d3),
то координаты х, у, г точки Л4 относительно системы Охуг через
координаты х', у', г' той же точки относительно системы О'х'и г'
выражаются формулами-
x=atx' + bty’ +ctz' +dlt
у — a2x' + b2y' + с2г' 4- d2,
г=а2х' +bsy'+c,z'+ds.
В частности, если обе системы координат прямоугольные то
матрица
(a, b, С] \
а2 Ь2 с2
а3 Ь2 с, /
ортогональная, т. е. сумма квадратов элементов одного ряда равна
1, а сумма произведений соответствующих элементов двух парал-
лельных рядов равна 0. В этом случае at, а2, а3 являются коси-
нусами углов а„ а2, а, масштабного вектора et = 0'E\ в системе
Охуг; 6„ b2, bz— косинусы углов р„ р2, Р, масштабного вектора
е' = О'Е2 в системе Охуг-, с„ с2, с,—косинусы углов у„ у2. у,
масштабного вектора е2 — О'Е3 в системе Охуг, так что формулы
преобразования принимают вид:
х—х' cos «j + у' cos а2 4- г' cos а, 4- dt,
v — х' cos Pi + у' cos р2 + г' cos ps 4- d2,
г = х' cos у, + у' cos у2+г’ cos ys + ds.
В частности, если производится только поворот, то
х — х' cos О| 4- у' cos а2 + г' cos а3.
У X' cos р, 4- у' cos р2 4- Z' cos Р2,
г = х’ cos у, 4- У' cos у, 4* г' cos уг
откуда
х' = х cos О| 4- У cos Pi 4- г cos у,.
У = х cos а2 4- У cos р2 4- г cos у„
2' = х cos а3 4- У cos ₽з+г cos
гл. XI. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ 11240
Впсдсм в пространстве декартову прямоугольную систему Ко-
ипл.шат (A//Z. Пусть 2И-произвольная точка пространства, не ле-
шишая на <хш Ог Проведем через точку М прямую, перпендику.
лноную к плоскости Олт/, и точку пересечения этого перпендику.
ляпа с плоскостью Оху обозначим через Q.
Точку Q соединим с точкой О. Сферическими координатами
точки М называются следующие числа:
JJ расстояние г (полярный радиус) от точки М до начала
координат О;
2) угол ф (долгота) от положительного направления оси Ох до
луча OQ в системе координат Оху (на этой координатной плоскос-
ти; см. стр. 20—21);
3) угол 0 (шпрота) между лучами ОМ и OQ; при этом мы
считаем 0>0, если аппликата г точки М положительна, и 0<0,
если г<0; если же г = 0, то 0=0.
Из определения сферических координат точки следует, что
0<г<+со, 0<ф<2л,
Выражения декартовых координат через сферические:
x = rcos<pcos0, у — г sin ф cos 0, z = rsin0;
обратно:
г= /л^ + ^ + г2,
х . у
Vх2 + Уг Г х2 + у2
sin 0= . г---------.
V х2 + у2+г2
Цилиндрическими координатами точки М называются следую-
щие числа:
полярные координаты Q, ф, проекции Q точки М на плоскость
Оху относительно системы Оху в этой координатной плоскости, и
аппликата z точки М.
§ 1. Расстояние между двумя точками;
направляющие косинусы вектора
1240. Построить точки А (3, 1,-2), В( — 2, 1, 4),
—2, 1), D(l, 0, —4) в произвольной декартовой
системе координат.
1241. Три ребра параллелепипеда, выходящих из одной
вершины, приняты за единичные векторы осей координат,
айти в згой системе координаты всех его вершин.
242. Дана точка Л1(х, у, z). Найти координаты точки,
нмметричной с точкой М-. 1) относительно начала коорди-
т> ) относительно плоскости Оху, 3) относительно оси Oz.
237
1255] § 1. НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА
1243. Дана точка М(х у z) Найти
ось Ох; 2) на плоскость дуг. ее Проекцию: П на
1244. Определить расстояния точки Mix v г} от осрй
координат. ' ’ -у’ ' и| осеи
1245. В третьем октанте найти точку, зная ее расстояния
от трех осей координат: dx = 5; dy = 3 /5; d, = 2/Hf
1246. Найти направляющие косинусы вектора ОР={3, 2 6]
1247. Луч образует с двумя осями координат углы'в 60
Под каким углом наклонен он к третьей оси?
_ 1248. Вычислить координаты точки М, зная, что вектор
ОМ наклонен к оси Ох под углом 45°, а к осп Ог—под
углом 60° и что длина его равна 8.
1249. Найти углы ф(, <р2, <р3, образуемые вектором ОВ =
= {6, 2, 9} с плоскостями координат Oyz, Ozx, Оху.
1250. Луч, выходящий из начала координат, образует
с осями координат углы а, 0, у. Найти направляющие коси-
нусы проекции этого луча на плоскость Оху.
1251*. Два луча, выходящие из начала координат, обра-
зуют с осями координат углы ар р,, у, и а2, Р2, у2. Най-
ти направляющие косинусы биссектрисы угла между этими
лучами.
1252. Из начала координат выходят два луча OMt и ОМ2,
образующие с осями координат углы a,, у, и а2, Р2, у2.
Найти направляющие косинусы луча ОМ, выходящего из на-
чала координат и перпендикулярного к обоим данным лучам
при условии, что тройка лучей ОМ,, ОМ2, ОМ имеет ту же
ориентацию, как и тройка осей координат Ох, Оу, Oz.
1253. Доказать, что если плоскость отсекает на осях
координат отрезки, соответственно равные а, Ь и с, то длина
перпендикуляра (/?), опущенного на эту плоское|ь из начала
координат, удовлетворяет соотношению
+ + =
1254. Найти расстояние d между двумя точками А и В
в каждом из следующих случаев:
1) Д(3, 5, 1), В(7, 8, 4);
д/___q О 4) В(— 2, —4, 6).
1255. На ’оса Оу найти точку, равноудаленную от двук
точек Д(3, 1, 0) и В( 2, 4, ).
238
ГЛ. XL КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
[1256
I9RR Найти в плоскости Oxz точку, равноудаленную ОТ
,₽ех" (>. ’ В<-1. >. О». <ДЗ >. ->>• 2
1257 Даны четыре точки Л(1, 2, о), Z, 5),
С(2 5, 3), Z)(l, 2, —1). Найти центр и радиус сферы, про-
ходящей через эти точки.
1258. На плоскостях координат найти точки, которые
вместе с* началом координат служили бы вершинами правиль-
ного тетраэдра с ребрами, равными единице.
1259. Найти длину и направляющие косинусы вектора
АВ, если его начало находится в точке Л(— 2, 1, 3), а
конец в точке В (0, —1, 2).
1260. Начало вектора находится в точке /(3, 2, 7).
Найти его конец, зная, что длина вектора АВ равна 15, а
углы между этим вектором и осями координат удовлетво-
ряют соотношению sina:sinf3:sinу = 3:4:5.
1261. Начало вектора находится в точке А (2, —1, 5).
Длина вектора равна И. Найти конец этого вектора, зная,
что первые две его координаты равны соответственно х = 7,
у = 6.
1262. Найги координаты точки М, зная, что она нахо-
дится от точки А (0, 0, 12) на расстоянии, равном 7, и что
вектор
О.И
имеет направляющие косинусы
£ А £
7 ’ 7 ’ 7 ‘
1263. Найти угол между лучом, лежащим в плоскости
Олу и образующим с осью Ох угол 30°, и лучом, лежащим
в плоскости Oxz и образующим с осью Ох угол 60°.
1264. Вершины треугольника находятся в точках
Ъ 3), В (4, 0, 1), С( —10, 5, 3). Найти направля-
юцие косинусы биссектрисы угла В.
1265. Определить внутренние углы треугольника, вер-
шины которого находятся в точках А (1,2, —4), Д(4, 0,_10),
1266. Найти угол между биссектрисами углов xOz и yOz.
niiKv^«lLn«dHTH на"равле11ие прямой, одновременно перпеи-
точки Д(1Й LT“4?V1 КоПр““^’ «Роходящей через две
отрезки°' с<и>.ТХ.К°0РД1,Нат отложены от начала координат
соединены pdBHb,e Ь 2, 3; концы этих отрезков
образом треугольника Предели’1Ь плош-адь получении! о таким
1278] § 2. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
1269. Вычислить площадь треугольника, вершины кото
рого находятся в точках Л(-1, о, -1),’в(0, 2, -™к
1270. Даны три последовательные вершины параллело-
грамма. 4(3, 0, 4), В( 1, 2, 3), С(9, 6, 4). Найти:
2)
3)
4)
5)
четвертую вершину;
точку пересечения диагоналей;
угол при вершине В;
длину диагонали АС;
площадь параллелограмма.
1271. Вычислить объем параллелепипеда, зная, что одна
из его вершин находится в начале координат, а концы ребер,
выходящих из этой вершины, в точках (2, 3 G) (8 4 1)
и (2, —2, 1).
§ 2. Деление отрезка в данном отношении
1272. Найти точку, делящую отрезок Л1,Л12, концы кото-
рого Л4, (—3, 2, 4) и Л12(6, 0, 1), в отношении: 1) 1 = 2;
3
2) 1 =— . Система координат аффинная.
1273. На прямой, проходящей через точки /14,(1, 2, 4)
и /Иа ( — 1, 4, 3), найти точку, лежащую в плоскости Oxz.
Система координат аффинная.
1274. Отрезок АВ разделен на пять равных частей; из-
вестна первая точка деления С(3, —5, 7) и последняя
F( — 2, 4, —8). Определить координаты концов отрезка и
остальных точек деления.
1275. Даны две вершины треугольника: А (—4, —1, 2)
н 5 —16). Найти третью вершину С, зная, что сере-
дина стороны АС лежит на оси Оу, а середина стороны
ВС—на плоскости Oxz.
1276. Найти отношение, в котором каждая из плоек
координат делит отрезок АВ: А (2, 1, 7) и J „
1277. Даны две прямые: одна из них проход Р
точки Л(—3 5, 15) и В(0, 0, 7), а другая через точка
С(2 — 41 и £>(4 —3, 0). Узнать, пересекаются ли эт
прямые, и если пересекаются то найти 0).
« owe
координат.
[1279
середины
в одной
этой же
ГЛ. XI. К.ЮРДННА1Ы В ПРОСТРАНСТВЕ
1279 * Док-мать, что прямые, соединяющие
,279‘ ' ,,v П1.бео тетраэдра, пересекаются
'"’'’""и'де'тся и ней пополам. Доказать, что в
w’ikc пересекаются прямые, соединяющие вершины тетраэдра
J ueHTDiMiniiiKccni противоположных граней. Найти отноше-
... в котором эта точка делит отрезки указанных прямых.
П '1280.й В каком отношении плоскость, проведенная через
копны трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной
точки, делит диагональ, исходящую из этой же точки?
1281.* Вершины тетраэдра соединены с произ-
вольно взятой точкой К. Пусть прямые А3К, АгК, А3К,
А К пересекаются с плоскостями противолежащих граней
A*A,At, А3А,Аз< А4А,Аг> ААА соответственно в точках
А, Д, Д. Показать, что
] КА'г । КА'„ ।
л,л' л2л' а,а'3 л4л'
§ 3. Сферические и цилиндрические координаты
1282. Найти сферические координаты точек Л (8, 4, 1),
Я(~2, —2, —1), С(0, —4, 3), £)(1, —1, —1), £(0, 1,0).
1283. Найти сферические координаты точки /И, зная, что
луч ОМ образует с осями Ох и Оу утлы, соответственно
JT Л
равные y и -g , и что третья координата точки Z ——1.
1284. Найти декартовы координаты точки, лежащей иа
шаре радиуса 1, зная ее широту 0= Д 45° и долготу <р = 330°.
1285. Найти расстояние между двумя точками, лежащими
на поверхности шара радиуса г, зная широту и долготу
каждой из этих точек (расстояние измеряется по дуге боль-
11101 о круга, соединяющей данные точки).
6* Найти цилиндрические координаты точек по их де-
кар.овым координатам А (3, 4, 5), В (1, -1, -1), С (_6,0, 8).
что цилинАРические координаты точки М, зная,
135° и ит? составляет с осями координат углы 60°, 60° и
° и что длина отрезка ОМ=\.
ричсиие' коордвнатыЛоВет °Ра; ° °/b'° °*' 3наЯ цилиид'
^ординаты р, (р и /г точки М.
1293]
241
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
§ 4. Преобразование координат
1289. Написать формулы перехода от одной системы
координат к другой, если единичными векторами первой сис-
темы являются три ребра параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, а единичными векторами другой системы
соответственно параллельные им ребра параллелепипеда вы-
ходящие из противоположной вершины.
1290. Написать формулы перехода от одной системы
координат к другой, если единичными векторами первой
системы являются три ребра параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, а единичными векторами второй системы
отрезки, соединяющие центр параллелепипеда с центрами
граней, проходящих через концы ребер, служащих единич-
ными векторами первой системы.
1291. Даны две системы координат Oxyz и O'x'y'z'. По
отношению к первой системе начало второй находится в точке
О' (2, 1, 3), а единичные векторы второй системы суть
е',{2, 4, 1}, е'{0, 4, 4}, е'{1, 1, 0};
1) написать выражения координат точек относительно
первой системы через их координаты во второй системе;
2) выразить координаты точек относительно второй сис-
темы через их координаты в первой системе;
3) найти координаты начала О и единичных векторов е„
е2, еа первой системы относительно второй.
1292. Координаты х, у, z точек в системе Oxyz выра-
жаются через координаты х', у', z' этих точек в системе
O'x'y'z' соотношениями
у' — z — 1, y = — y'—z', z=x'+3y'+z'-i-\;
I) выразить координаты х , у , z через координаты х, у, -,
2) найти координаты начала О' и единичных векторов
е'г, е' е, второй системы относительно первой;
3) найти координаты начала О и единичных векторов е„
е2, еа первой системы относительно второй. координат
1293. За единичные векторы первой системы РЯЩ11е
приняты три ребра ОА, ОВ, ОС тетраэдра ’ системы
из одной точки О, а за единичные векторы
медианы OD, ОЕ, OF граней ВОС, второй системе.
эдра. Найти координаты вершин тетраэдр^
242
гл. XI. КООРДИНАТЫ В .ПРОСТРАНСТВЕ
[1294
1994 За единичные векторы е„ е2, е, системы коорди-
11ат Хяты три ребра ОА, ОВ, ОС параллелепипеда, выхо-
‘ ..о опной точки О, за единичные векторы е„ е2, е,
второй системы-соответственно диагонали граней ВОС, СОА,
АОВ, выходящие из точки О. Найти координаты центров
граней параллелепипеда в обеих системах.
1295. Три ребра ОА, ОВ, ОС параллелепипеда, выходя-
щие из одной точки, приняты за единичные векторы е„ ег, et
первой системы, а векторы, соединяющие точку О с центрами
граней параллелепипеда, не содержащих точку О и содер-
жащих соответственно точки А, В, С, за единичные век-
торы et, е2, е, второй системы. Найти координаты вершин
параллелепипеда в старой и новой системах.
1296*. Две тройки векторов е,, ег, ez и et, е2, е, назы-
ваются взаимными, если
* ( 0, если i k;
eiei1 = j 1, если i — k.
♦ ♦ ♦ ♦
Найти координаты х„ х2, хг вектора а в системе е„
* ♦
е2, зная его координаты х2, х5 во взаимной системе
^1> t
1297. Даны две системы координат Oxyz и Ох у'z'
с общим началом О. Система Oxyz является прямоугольной.
За положительное направление оси Ох' второй системы при-
нимается биссектриса угла xOz между положительными
направлениями осей Ох и Oz', за положительное направление
осп Оу' принимается биссектриса угла yOz между положи-
тельными направлениями осей Оу и Oz. Ось Oz' перпенди-
кулярна к осям Ох' и Оу', и ее положительное направление
выбрано так, чтобы обе системы Oxyz и Ox'y'z были оди-
наково ориентированы. Единица масштаба для всех осей Ох',
Оу , Oz одинакова и совпадает с единичным отрезком си-
стемы Oxyz. Найти выражения для координат точек в первой
системе через их координаты во второй системе.
1298. Даны две системы координат: Oxyz с углами между
осями по 60 и Ох у z' с углами между осями по 90° с об-
щим началом О и одинаковыми по длине единичными векто-
рами по всем осям обеих систем. Написать формулы пере-
хода от косоугольной системы координат Oxyz к прямо-
ольно х у z , если оси Ох и Ох' обеих систем совнз-
13021 § 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 243
дают, ось оу лежит в плоскости Оху и образует с осью
Оу угол 30 , а лучи,, определяющие положительные направ-
ления осей Oz и Oz , лежат по одну сторону от пло-
скости Оху.
1299. Даны две системы координат Oxyz и Ox'y'z' с
общим началом О и одинаковыми по длине единичными век-
торами по всем осям обеих систем. Первая система прямо-
угольная; положительное направление осп Ох' второй си-
стемы есть биссектриса угла xOz, положительное направление
оси Оу'—биссектриса угла yOz; ось Oz' направлена вдоль
оси Ох и ее положительное направление выбрано так, что-
бы системы были одинаково ориентированы. Выразить коор-
динаты точек в первой системе через их координаты во
второй.
1300. Даны две системы координат Oxyz и Ox'y'z'
с общим началом О и одинаковыми по длине единичными
векторами по всем осям обеих систем. Первая система пря-
моугольная; ось Oz' второй системы совшдаег с осью Oz
первой, а оси Ох' и Оу' суть соответственно биссектрисы
углов xOz и yOz. Найтн формулы перехода от первой си-
стемы ко второй. г , ,
1301. Даны две системы координат Oxtxtx, и Ox,xsx,
с общим началом О и одинаковыми по длине масштабными
векторами по всем осям обеих систем. Косинусы углов между
осями первой системы суть соответственно
cos(xfix2)-=u\t, cos(x2Ox,) = w2S, cos(x,Ox,) = wm.
Косинусы углов между осями первой и второй систем даны
таблицей;
Ох, Oxt Oxs
Ох, ccn aia an
Oxt a£, a22 a2J
Ox3 a5I a,£ aSS‘
> координаты x,, x3, x,
т«» M «бенх
осями Ox, ЧУ,
Написать формулы, связывающие
u v' Y одной и той же •
И Лд, Х2> Л-з МОМ/nV старым11
1302. Косинусы углов между' vуголы,их систем
Oz и новыми Ох', оу', OZ двух
244
гл. XI. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
[1303
координат с общим началом О даны таблицей: Ох' Оу' Oz'
Ох 11 2 £ ~15 15 3
оу 2 14 1 —15 15 3
Oz 2 1 2 3 з з •
Написать формулы перехода от одной системы к другой.
1303. Даны две прямоугольные системы координат Oxyz
и Ox'y'z' с общим началом О. Ось Ох' второй системы про-
ходит в первом октанте и образует с осями Ох и Оу углы
по 60°; ось Оу' лежит в плоскости Оху и образует с осью
Оу острый угол; ось Oz' направлена так, что обе системы
одинаково ориентированы. Выразить координаты х, у, z про-
извольной точки относительно первой системы через ее коор-
динаты х , у', z' во второй.
1304. Найти формулы перехода от одной прямоугольной
системы координат Oxyz к другой O'x'y'z', если начало вто-
рой системы находится в точке О'(1, 2, 3) и (Ох, О'х') =
1
=arc cos ,
О
(Ох, О'у') = arccos
(Ox?O'z')<~,
(Оу, О'х') = arccos
\ 3)'
(—I).
1305. Даны две прямоугольные системы координат Oxyz
и Оху z'. Начало второй системы находится в точке
(2, 1. 2); ось О'х' проходит через точку О, а ось О'у'
пересекает ось Оу в точке Л. За положительное направление
оси О х принято направление вектора О'О, за положитель-
ное направление оси О'у'—направление вектора О'А; поло-
жительное направление оси O'z’ выбрано так, чтобы
обе системы были одинаково ориентированы. Выразить коор-
динаты х, у, z произвольной точки относительно первой
СИС7чп1*Чеы3 ее ко°Рдинаты < У', во второй.
loUb-. Найти формулы перехода от одной прямоуголь-
ной системы координат Oxyz к другой O'x'y'z' при условии,
™п™аЧаЛа ЭТНХ СиСтем Разл"Ч||,‘1, а концы единичных век-
торов соответствующих осей совпадают
ГЛАВА XII
ПЛОСКОСТЬ и ПРЯМАЯ
Всякая плоскость относительно общей декартовой си-
стемы координат определяется уравнением первой степени относи-
тельно координат х, у, г, т. е. ура в не и и ем вида
Ах -|- By + Сг + D = О,
где А, В, С не равны нулю одновременно. Обратно, всякое таксе
уравнение определяет плоскость. Это уравнение называется общим
уравнением плоскости.
Если плоскость задана своим общим уравнением
Ax + B(/+Cz+D = 0,
то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее,
Ax + By + Cz + D>0,
а для координат всех точек, лежащих по другую сторону,
Ах + By + Сг + D <0.
Соответствующие полупространства будем называть «положитель-
ным» и «отрицательным» полупространствами. При умножении
левой части общего уравнения плоскости иа отрицательное число
положительное полупространство становится отрицательным, и
наоборот. ... .
Уравнение плоскости, проходящей через точку /и, (х,, у,, г./
параллельно двум нек ол лчиеариым векторам
a = {lt, т„ п,} и & = рг, тг, пг}, записывается так:
х — Xj lj—yt 2 Zt
lt m, n, =0
/£ «г «г
или
(г—r,)«& = 0,
где г, — радиус-вектор точки Mt.
В параметрической форме:
r=rl+ua + vb.
246
ГЛ. х». ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
или в координатах
л —Xj + «/i + f/2,
у — Ух + umt + v т2,
z = zl+uni +vne.
Здесь и и о—общие декартовы координаты точки М плоскости
относительно системы координат с началом в точке /И, и масштаб-
ными векторами а и Ь.
Уравнение плоскости, проходящей через т о ч к и М, (х,, у2, г,)
и Л4,(х„ уг, г2) параллельно вектору а — {I, т, п}, некол-
линеарному вектору MtM2, пишется в виде:
х —xt
Х2 Х1
У —Ух *
У г —Ух ?! =0,
I т п
или
(r—rt)(rt—r,)a=0.
где rt и г2 —соответственно радиусы-векторы точек Mt и М2.
В параметрической форме:
r=r14-na + t'(r2—г,),
или в координатах
х=х,4-и/ +о(х2—х,),
У^Ух+um + v (yt — Ux).
z^Zx + ип +о (г2—Z,).
Уравнение плоскости, проходящей через три точки не ле-
жащие на одной прямой Л4, (х„ yt, г,), М2(х2, у2, г2), М.(хг,у3, г.),
записывается так:
или
или
X — хг и —Уз г -
Х1 — Ух— Уз гг
Х2 — *s Уг Уз гг'
X у г 1
х, г, 1 — О
хг Чг 2г 1 — V
хг У, г, I
= 0,
(г—г,) (г,—г,) (гг —г3) = 0,
в ?а?ТмТт7",тее'сК”„г!’ХУГм'ёГ’”Р“ ""
ИЛИ в
r=r, + u (г,-гг) + V (Г2-Г,),
координатах
и ~ п 1 (/Х‘ + ° ~^s).
г~г> + « (г, —г,) + и (Z2—Z,),
гл. хи.
ПЛОСКОСТЬ и
ПРЯМАЯ
247
Уравнение плоскости в отрезка х таково:
- + Х 4_
О® О,,*' «"«•»« ПЛОСКОСТЬ» сооткеиьенко „а „„
Необходимым и достаточным v«
что две плоскости, заданные общими уравнениями '“ ТОГ°’
4>Х + В1!/ + С1г + О, = 0,
А* + Вг</ + С2г + Р2=0,
таеблиц^ЮТСЯ’ Параллельны или совпадают, приведены в следующей
Расположение плоскостей Условие
Пересекаются Ранг матрицы д' £') Расе» 2
Параллельны Ранг матрицы £1) равен j Ранг матрицы р1) равен 2
Совпадают _ /Л, Bt С, DA Ранг матрицы £ с' равен 1
Необходимым н достаточным условием совпадения двух пло-
скостей является пропорциональность всех соответствующих ф
фициентов их общих уравнений, т. е.
Zj=M2, = C,-ZC2, D^W2,
где X ?£ О, или
А ,х + В ,у + C.z + D, X (А2х + Вгу+С2г + DJ,
где (тождество относительно х //.zX параллельности двух
Необходимым И доетаточным у • СООТветствуюиц1Х коэф-
плоскостей является пропорциональность соотв
фициентов при х, у и г: 1п
11, = >.В„ с,->.с.. »₽«»
248
гл. XII. плоскость И ПРЯМАЯ
Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости
AlX + BtyA-Ctz + Dt = 0,
Агх + Вгу + С2г + О2 — О,
А,х А-Вгу + С2г + Ds — О
имеют только одну общую точку, является условие
*0.
Л, Bt С,
А2 В2 С2
А3 Bs С,
Пучком плоскостей называется множество всех плоско-
стей проходящих через одну прямую (собственный пучок), или
множество всех параллельных между собой плоскостей (несобст-
венный пучок).
Если
Atx 4- BtyA- Ctz + Dl = 0, А2х А~ В2у -f-C2z 4- D2 — 0
— две пересекающиеся плоскости, то уравнение
a (Atx 4- Bty A-Ctz 4- D,) 4* P (Агх 4~ В2У A-C2z 4- D2) — 0,
где а и p не равны нулю одновременно, определяет плоскость
пучка, заданного двумя начальными плоскостями. Обратно, любая
плоскость этого пучка может быть определена таким уравнением.
Если
А,х 4- В ty 4- С 3z 4“ DI 0,
А2х 4~ В2у 4" С2г 4“ D2=0
—две параллельные плоскости, то уравнение
a(Alx + Bly + C1z + Dt)+^(A2x + B2y + C2z+D2)=O,
где а и р не равны нулю одновременно, определяет плоскость,
параллельную двум данным, если только в этом уравнении числа
+ ctBi + PB2, аС14-рС2 одновременно не обращаются в
нуль. Обратно, любая плоскость, параллельная двум данным,
может быть определена уравнением указанного вида.
Связкой плоскостей называется множество всех пло-
скостей, проходящих через одну точку (собственная связка), или
множество всех плоскостей, параллельных одной прямой (несоб-
ственная связка).
Если
Л1х4-В1{/4-С,г4-£)1 = 0,
А2х 4- В2у 4-C2z 4- D2 =0,
А3х 4- В ау 4- C3z 4- D3 = 0
три плоскости, имеющие только одну общую точку, то уравнение
“(Л,х4- В,у 4-С,г4-D.) 4- р (А2х4- В2у 4- С2г 4- £>2) 4-
re „ (А3х A-Bsy A-C3z 4-£\) = 0,
связки qnrLJ!!lJ>aBllbl нулю одновременно, определяет плоскость
плоскость снячк-и тремя начальными плоскостями. Обратно, любая
и может быть задана уравнением указанного вида-
ГЛ. XII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
249
Если начальные плоскости параллельны одной прямой, но не
принадлежат одному пучку, то линейная комбинация их уравне-
ний определяет плоскость связки, к которой принадлежат три
данные плоскости, если только в указанном уравнении коэффици-
енты при х, у, г одновременно в нуль не обращаются. Обратно,
всякая плоскость указанной несобственной связки может быть
определена линейной комбинацией уравнений плоскостей, опреде-
ляющих эту связку.
Необходимым и достаточным условием принадлежности четырех
плоскостей
+ S>{/+ C,z-р D1 = О,
Агх + В2у 4- ctz + D2 = о,
Ацх + В,у С,г -|- D, = о,
Л.1Х 4- В \у -|- C4z 4- В4 = о
к одной связке является равенство
Я, В. С. Dj
/12 С, D
А, В, С2 D, “°-
В4 С4 Р4
В случае ппямоугольной системы координат вектор {Л, В, С}
является вектором, перпендикулярным к плоскости
Ax + By + Cz + D = 0.
Косинусы углов между плоскостями, заданными в прямоуголь-
ной системе координат уравнениями
Я,х4-В1//4-С|г4-П, = 0.
А2х 4- В2у 4- С2г 4- D2 =0,
определяются соотношениями
А1Я2 4~ В, В 2 + С ,Сг_
cos ф.,2 - ± у^2+В2+С2 у л1+в1+с: ‘
Равенство
Я,Я24-В1Вг 4-С,С1 = 0
есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух
плоскостей, заданных общими уравнениями относительно декарто-
вой прямоугольной системы координат.
d от точки Мо (х0, у0, г0) до плоскости Ах+Ву +
прямоугольной системе координат определяется
| Лх04-Ву0+Сг04-Д| .
“ V'Ai + Bt+Ct~
Вой прямоугольной системы координат.
Расстояние d от точки Л10(х0, iy0, z0) до плоскости Ax-j-By-t-
4-Cz 4-0 = 0 в к ------—дат(-я
соотношением
Уравнение
Ax+By+Cz + D=0
250 гл. хи. плоскость и прямая
плоскости в прямоугольной системе координат называегся нормаль-
ным, если 1;
В этом случае А. В, С-косииусы углов единичного вектора
1А В С) перпендикулярного к плоскости Ax-j-By-\-Cz + D = 0,
с осями координат, а | D (—расстояние от начала координат до
этой плоскости.
Если плоскость не проходит через начало координат и
а. 6. V—углы луча с осями Ох. Оу, Ог, который выходит из начала
координат, перпендикулярен к плоскости и пересекает эту пло-
скость, то нормальное уравнение плоскости имеет вид:
xcosa+^cos p + zcosy—Р = 0.
Нормальное уравнение в векторной форме имеет вид:
«++£) = О,
ГДе п0 — единичный вектор нормали к плоскости, а | D (— расстоя-
ние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение плоскости в векторной форме имеет вид:
нг+ D = О,
где « = {Л, В, С} —вектор, нормальный к этой плоскости.
Расстояние d от точки М0(г0) до плоскости nr-]-D—0 опре-
деляется соотношением
. _ I nra + D | .
|Л| •
если же плоскость задана нормальным уравнением
npr+D = 0,
то
d = |K°r0+D|.
Косинусы углов между плоскостями
«^+£>,=0, n2r+D2 = 0
определяются формулой
Прям а я, проходящая через точку Л1„ (х0, у0, z0), параллельно
ypa™icin?~ ' т’ пН|,апРавля10ИУ|*1 вектор прямой), определяется
x — x0-f-lt, У—Уо + mt, z = z0 + nt
(параметрические уравнения прямой), или
«/о —Z —г0
I т п
(канонические уравнения прямой), и.ш в векторной форме:
r-r0 j-at,
ГЛ. XII. ПЛОСКОСТЬ и
ПРЯМАЯ
251
где г.-рад,,ус..™,„р„чкн д,..
«ой отношение -Л-. р. коор,„и,та „,ю, м „а оси
динат; где началом служит точка М я п_
Если прямая задана двумя точками Л4, (л„ у /,) и лГ (л^
то параметрические уравнения прямой пишутся так; *”
Канонические:
х х{ — t (xt—Xj),
*-2i=f(zt-z,);
х—х1- У—У1= г— г,
•*» Vt Hi г1—Zj
или в векторной форме:
г П + Цг»-г>).
где г, и г,—соответственно радиусы-векторы точек М, и Мг.
Необходимое и достаточное условие того, что две прямые
x=x-, + M, У х—/,/, |
y=Ui + m,t, + >
z = zI+«lC | z=-zs+n2t J
лежат в одной плоскости, пишется в виде-
Г» — *! У2 — III m. = 1 -0
m£ «2
или в векторной форме:
(r8—t\)ab О,
где г. и г,—радиксы-векторы каких либо точек, лежащих соот-
ветственно на первой и второй прямых, а и b векторы, соот
ветственно параллельные этим прямым.
Условие параллельности (или совпадения) двух прямы
л=х,+/Л х = х, + /,Л
У — Vi + 1 у ~ Vi '* w7’
z = z1 j л,/; z — z, Н л2‘
имеет вид- _
l.-ll,, = n, = Xn„
Условие перпендикулярности в прямоугольной сист
динат:
/Л + т1,”» + п1'!1!='0,
252
ГЛ. XII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
Углы между двумя прямыми в прямоугольной системе коорди-
пат определяются соотношениями.
аЬ _ _ х_______/,/2 + ^2 +____________
cos<pm-± |Я||&| -± у ^t + m>+n^ /l + mf+ni '
Расстояние от точки Л10(х0, у0, z0) до прямой
x=xt + lt, y=yl + mt, z = zt + nt
определяется в прямоугольной системе координат соотношением
d==
У1—У о ~1 — го 2 I г1 zo xi хо I xi хо У1 У о
т п п I ~r I т
f/г4-т24-пг
или в векторной форме:
d КкП —Го)»]2
Га2
где гп и г,—соответственно радиусы-векторы точек Л40 и М,.
Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися пря-
мыми
x=xl+llt,
y=y, + m,t,
г==г1 + ”1С
X — Х2 “р /2/,
y = yt + m2t,
z — z2 + n2t
определяется в прямоугольной
системе координат соотношением:
х2 х, у2 yt г2 —z,
mod lt mt п,
d _______*2_______т2 пг
т/р «. I2 , I Щ /,|г, I/, ’
V I «2 n21 | п2 /21 112 т2|
или в векторной форме:
d_ ИГг—Г^аЬ]
Vlab]2 ’
если прямые заданы уравнениями
r=r,+at, r=r2 + bt.
Прямая может быть также задана уравнениями
Л2х + В21/ + С2г + О2 = 0
^кторомСКколли’нрПяеРеСеКаЮЩИХ-СЯ по ЭТОЙ ПРЯМОЙ- в этом случае
’ * вирным данной прямой, будет вектор
а=/|В.С1| |С, Л,| 1Л.В.П
1|s2c2|’ | с2 а2 | ’ I а2 в2 | ’
гл. XII.
ПЛОСКОСТЬ и ПРЯМАЯ
253
Для составления параметрически»
пых уравнениями Р Ких Уравнений прямой, задан-
+ Bji/ Ц-CjZ + D1== 0,
4- В2у+С2г 4- D2 = о
двух плоскостей, пересекающихся по этой пп
на этой прямой какую-нибудь точку; для этого
нибудь одно решение указанной системы-
прямой, надо найти
:гэ надо найти какое-
если, например,
5*0,
систПемьГВаЯ 2 ПрОИЗВОЛЬНОе 3,1ачение (например, г=0) „з
Л.х4-В1«/4-С1г0-|-DI=0,
2^ 4“ В2У ~Ь 6*2^0 4“ ~ 0,
найдем значения двух других координат: х = х0, у-уп. После этого
параметрические уравнения прямой запишутся в виде:
У Уо~ с\ а\
а канонические
х—х0 — У—Уй __ г—
В> С, I С, Л, I I Л, В, I
I В2 С21 IС2 Л21 I Л2 В21
Необходимым и достаточным условием того,
что плоскость
Ax + By + Cz-]-D=0
и прямая
х = х04-((> y—y0 + rnt< z — z0A-nt
пересекаются, параллельны или прямая лежит на плоскости,
приведены в следующей таблице:
Взаимное расположение прямой и плоскости Условие
Пересекаются Параллельны Прямая лежит на плоскости А1 4“Вгп -|-Сл ^0 At +Вт 4-Сп =0 Лх04-В{/о4-Сг04-р5*0 Л/ 4-В"’4-Сп20, Ахй + Ву0+Сг0+О—0.
254
гл. хи. плоскость И ПРЯМАЯ
Угол между прямой
X^xo + lt, y=ya + mt, Z = zo + nt
II плоскостью
Ах + Ву+Сг 4-П = 0
в прямоугольной системе координат определяется из соотношения
__________________________| Л/4-Вш + Сп |_______
s,n(P=~l Аг+В£ + Сг ^~Р + т2 + пг
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности пря-
мой и плоскости в прямоугольной системе координат имеет вид:
А = 7.1, В=7.т, С=7л,
где X 0.
Если три плоскости
Я,х 4- В{у 4- С,г 4-0, = 0,
Ах 4- Вгу 4- С2г 4- D3 — 0,
Asx + B,y+C3z + D3 = G,
имеющие только одну общую точку, принять за координатные
плоскости O'y’z', О'г'х', О'х'у' новой системы координат, а точку
Е' (х0, у3, г0) за новую единичную точку этой системы, то коорди-
наты х, у', г' любой точки М относительно этой (новой) системы
через координаты х, у, г той же точки в старой системе выража-
ются соотношениями:
у,_ Я,х4-В1у4-С,г4-Д1
А*о4-В,ул4-С,г04-Dt ’
, _ Я2х 4-By 4-С8г 4 .Р2
^2хо + В2у0 4- C2za 4- D2 *
_ Asx+ ВзУ+С,г А-Р3
Я3х0 4" В3у0 4- С3г3 4- D3
Если в пространстве заданы четыре точки Mk(xk, у,,, z,,), k — \
числа 4’ °бра3ующие тетраэдр, и задана точка М0(х0, //о, z0), то
c-lL23 41 о [0 14 3J
11 2 3 4]’ 1 [1 2 3 4]’
где
v-J0 12 4] [0 13 2]
У [12 3 4]’ [П 3 4Г
[0 2 3 4]=-
Х0 У О 1
хг Уг ?2 1
хз Уг гз 1
*4 У< Z3 1
[1 2 3 4] =
х, у, г, 1
х2 у2 z2 1
хз Уз ^3 1
хз У г. 1
та м и точки Ale'oTHocM^3 рицент₽ическими координа-
относительно тетраэдра AMMVU-
1307—1315]
255
плоскости:
6) 2у—3z = 0;
7) х 4-z—3 =0
8) 6х—1 =0;
9) jz + 4-0.
§ 1- УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
§ 1. Составление уравнении плоскости по различны»
ее заданна». Расположение точек относительно пл«"“ и.
Условие параллельности плоскостей
1307. Выбрав в пространстве произвольную аффинную
систему координат, построить - 1
1) х—2_y4-4z—12 — 0;
2) Зх—5г4 = 0;
3) 2х—2.y4-3z = 0;
4) x-f-2j—7 = 0;
5) 3x4~5j = 0;
1308. В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат
и плоскостью 2х—Зу + 4г + 18 = 0, вписан куб так, что
одна из его вершин лежит в начале координат, три ребра,
выходящих из этой вершины, направлены по осям координат,
а вершина, противоположная началу координат, лежит в
данной плоскости. Определить длину ребра куба.
1309. Найти векторы, параллельные линиям пересечения
плоскости 2x+j—7z-f-4 = 0 с координатными плоскостями.
Система координат аффинная.
1310. Составить уравнение плоскости, проходящей через
три точки:
1) ЛЫ2, 3, 1), MJ3, 1, 4), Л15(2, 1, 5);
2) А1, (2, 0, — 1), Л12 ( — 2, 4, 1), М, (0, 2, —1).
Система координат аффинная.
1311. Составить уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и через точки (2, 1, 1)иА7, ( 3,0,4).
Система координат аффинная.
1312. Составить уравнения плоскостей, проходящих через
точку (2, 6,-3) параллельно плоскостям координат. Система
К°7з1з!Т^ХаьЯ- уравнение плоскости, отсекающей на
осях Ох и Оу отрезки, соотвегственно равные 5 и
проходящей через точку (1.1, 2)- ,1ППкППя1пей через
1314. Составить уравнение носкоет , Р ые
точку (3, 5, -7) и отсекающей на осях коордииа р
°ТРе1315. Определить объем -Р^^^
динатными плоскостями и плоскост
[1316
гл. XII. ПЛОСКОСТЬ II ПРЯМАЯ
1416 Нтнсать уравнение плоскости, проходящей через
две точки Л (3, 5, 1) и В(7, 7, 8) и отсекающей на осях Ох
н Ov р'вные отрезки.
1317 Составить хршнение плоскости, отсекающей на осях
аффинной системы координат отрезки, соответственно равные
3, 5 и — 7.
1318 Определить отрезки, отсекаемые на осях коорди-
нат плоскостью х-у + 7Z-4 = 0. Система координат аф-
финная
1319. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез ось Оу и точку (2, —5, 1). Система координат аф-
финная.
1320. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точк\ (3, 7, 2) и параллельной дв\м векторам {4, 1, 2} и
{5, 3. 1}. Система координат аффинная.
1321. Составить уравнения плоскостей, проходящих через
оси координат и параллельных вектору {2, 1, —4}.
1322. Написать уравнения плоскостей, проходящих через
осн координат и через точку (3, —5, 1).
1323. Составить уравнение плоскости, проходящей через
ось Оу и равноуд ьтенной от точек (2, 7, 3) и (—1, 1, 0).
1324. Даны вершины тетраэдра Д(2, 1. 0), 5(1, 3, 5),
С(6, 3, 4), 0(0, —7, 8). Написать уравнение плоскости,
проходящей через ребро АВ и через середину ребра CD.
1325. Даны вершины тетраэдра А (5, 1, 3), 5(1, 6, 2),
С(5, 0, 4), 0(4, 0, 6). Написать уравнение плоскости, про-
ходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.
1326. Составить уравнение плоскости, проходящей через
две точки (4, 5, 2) и (6, 2, 4) и параллельной вектору {1,2, 1}.
Система координат аффинная.
1327. Составить уравнение плоскости, проходящей через
две точки (1,7, 8), (2, —6, —6) и параллельной оси Oz.
Система координат аффинная.
1328. Даны четыре вершины тетраэдра Д(3, 5, —1).
’ о, 3), С(9, —1, 5), 0(5, 3, —3). Написать уравнения
ПЛ C|49Qeftc равноУдаленных от всех вершин тетр;Эдра.
. Составить параметрические уравнения плоскости,
проходящей через точку (2, 3, -5) и параллельной векто-
Л™5ь6> 4> " <4- »>•
5(2 4 01 "лсккостн> проходящей через три точки А(2, 1, 3),
’ . ), С( 3, о, 4), выбрана аффинная система координат
1835]
§ 1. УРАВНЕНИЯ
ПЛОСКОСТИ
257
с началом в точке А „ единичным векторами ЛВ=е .
АС=е,. Найти: "
1) пространственные координаты точки < имеющей в
плоскостной системе координаты и = 5, v = 3- Щ в
2) плоскостные координаты и и v точки пересечения дан-
ной плоскости с осью Oz.
1331. В плоскости 2x + 3j-4z4-12 = 0 выбрана аффин-
ная система координат, начало которой находится в точке С
пересечения этой плоскости с осью Oz, а концы единичных
векторов и ех соответственно в точках А и В пересечения
плоскости с осями Ох и Оу.
1) Найти пространственные координаты х. у, z точки Е
этой плоскости, плоскостные координаты которой и—\
V — 1.
2) Написать в плоскостной системе координат уравнения
прямых АВ, ВС и СА пересечения данной плоскости с коор-
динатными плоскостями пространственной системы.
3) Написать в плоскостной системе уравнение линии пе-
ресечения данной плоскости с плоскостью 5x-|-3z—8 = 0.
1332. Написать общее уравнение плоскости по ее пара-
метрическим уравнениям в каждом из следующих случаев:
1) х = 2 + 3« —4х', j = 4—v, г = 2-гЗ«;
2) x = «4-v, _y = u—v, г = 5-]-6»— 4п.
1333. Установить, какие из следующих пар плоскостей
пересекаются, параллельны или совпадают:
1) 2х + 3у> + 4г—12 = 0,
2) 3.V —4_у + 6г + 9 = 0,
3) Зх—2у— Зд + 5 = 0,
4) x+j + z—1 =0,
5) 2х — у—z—3 = 0,
Зх — 6>+1=0;
6х —8j—Юг+15=0;
9x—6j—9г—5 = 0;
2x + 2j/-2z + 3 = 0;
Юх—5>—5г—15 = 0.
1334. Составить уравнение плоскости, проходяще
точку (3 -5, 1) и параллельной плоскости х—> + «
параллелепипеда.
9 С. В. Бахвалов и др.
258
гл. х». ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[1336
1Т1Я Определить положение точек /(—3, 3, 5),
-4). 0(6, 5, I), О(-3, -5 2),Е(4, -7, lo<
J2’ 6 1) относительно плоскости 2х—3j-f-42r—5 = 0.
13з'7. Даны две точки Л(3, 5, 1), 5(2, —6, 3). Найти
отношение, в котором делит отрезок АВ точка С пересечения
прямой АВ с плоскостью 2х—3_у + 6z 1 —0.
1338*. Три плоскости ДАх4-5й^4-САг4- £)А = 0, k-= 1,2, 3,
образуют призму. При каком необходимом и достаточном
условии точка Д(х0, уй, г0) лежит внутри этой призмы?
1339*. При каком необходимом и достаточном условии
точка Жо(х0, у0, z0) лежит между двумя параллельными
плоскостями
АхBy -f- Cz D — 0, Ax 4~ By 4* Cz 4- В — 0?
Система координат аффинная.
1340. При каком необходимом и достаточном условии
плоскость Ах-\- By Cz-\- D — 0 проходит между двумя па-
раллельными ей плоскостями Ах 4- By 4- Cz 4~£' = 0, Лх 4~
4- By-\-Cz-j-F— 0? Система координат аффинная.
1341*. Даны пять точек: Л(3, 5, 1), 5(2, 7, 4),
5(1, 0, —2), D(5, 10, 10), 5(0, 0, —5). Какие две из дан-
ных пяти точек нужно соединить отрезком, чтобы он пересек
треугольник, имеющий своими вершинами остальные три точки?
§ 2. Угол двух плоскостей в пространстве;
условие перпендикулярности плоскостей
1342. Найти косинусы углов между двумя плоскостями
1) 2х—у4-Зг = 0, X4-4J—6я = 0;
2) х4-3у—4z4-5 = 0, 2х2у2z— 7 = 0.
1343. Через начало координат провести плоскость, пер-
пендикулярную к плоскости 5х—2у 4-5г —10=0 и образую-
плоскостью 4у—8z4-12=0 угол 45°.
нач * оставить уравнение плоскости, проходящей через
плпг2? К00РДинат и перпендикулярной к прямой пересечения
""7«™ *-2> + 4г-3=0 с плоскостью Охх.
точки (1* «Л JИ осн°вание перпендикуляра, опущенного из
сти %। . ) на ПРЯМУЮ. по которой пересекаются плоско-
сти 2х4-у + г_1==0> 3x+y^2z-3=0.
1355] § 3. ПУЧОК И СВЯЗКА ПЛОСКОСТЕЙ
259
1346. Составить уравнение плоскости зная ит„ ™
Р(2, 6, -4) служит основанием перпендикуляру о>
из начала координат на эту плоскость. Ученного
1347. Даны две точки Д(3, —2, 1), W, 0 5) Госта
вить уравнение плоскости, проходящей через точку В и пеХ
пендикулярной к прямой АВ.
1348. Составить уравнение плоскости, проходящей через
начало координат, через точку (1, 2, 3) и перпендикулярной
к плоскости х—y-|-2z —4 = 0.
1349. Вычислить косинусы внутренних двугранных углов
тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью
2х + 3у+6д—12 = 0.
1350*. Найти косинус того угла между двумя плоскостями
Зх-]~у—2z 4-4 = 0, х—7y4~2z = 0, в котором лежит точка
(1, 1, 1).
1351*. При каком необходимом и достаточном условии
точка Мв(х0, у0, zB) лежит в остром угле, образуемом двумя
пересекающимися и не взаимно перпендикулярными плоско-
стями Akx -} Bky Dk = Q, k=1, 2?
1352*. Грани тетраэдра заданы уравнениями:
1) 2х—2у 4~z 4~2 = 0, 3) 8x4- 4y + z—16 = 0,
2) х 4~ y + z—5 = 0, 4) 4х4-Зу = 0.
Вычислить косинус внутреннего двугранного угла тетраэдра,
ребром которого служит линия пересечения первых двух
плоскостей.
1353*. Проверить, что три плоскости Их + 10у + 2z = 0,
Зх_|-4у —0, х—y+z—1=0 образуют призму, и вычислить
косинус ее внутреннего двугранного угла, образованного
первыми двумя плоскостями.
1354*. Три плоскости Лйх4-Д/(у+С//Ч ^й — 0> я—Ь > »
образуют призму. При каком необходимом и достаточном
условии все внутренние двугранные углы этой пртмы буду
острые? Система координат прямоугольная.
8 3 Взаимное расположение трех плоскостей;
пучок плоскостей; связка плоскостей
1355. Определить взаимное расположение плоскостей в
каждой из нижеследующих троек плоскостей.
. 2x-4y + 5z-21=0, x-3z4-18-o.
6х + у 4" z — 30 = 0;
9*
2ье
ГЛ. XII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[1356
2) x+2>-3z = 0, Зх+6,-92+10-0,
2х 4у —6г—1 — U,
3)3“±/+2z+l=0, 7х+2, + 2 = 0.
41 Й|+«=’. Зх + 2—5 = 0, 8х—2, + z + 7 = 0;
5) S+2?+12z-3=0, 5,-72-10=0,
Зх + >'+6г+ 12 = °-
1356. Найти необходимое и достаточное условие того,
чтобы три плоскости
Д,х4- = о>
Atx Ч- + C2z Ч- D2 = О,
Д3хЧ-^Ч-^ 4-^ = 0:
1) имели одну общую точку;
2) проходили через одну прямую;
3) были попарно параллельны друг другу;
4) образовывали «призму», т. е. чтобы линия пересече-
ния двух плоскостей была параллельна третьей плоскости;
5) две плоскости были параллельны, а третья их пересекала.
1357. Написать уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и через линию пересечения плоскостей
2х-}-5у —6г-ф4 = 0, 3_у+2г4-6 = 0.
1358. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку (—3, 1, 0) и через прямую х-|-2у— гЧ-4 = 0, Зх —
— _У4-2г—1 =0. Система координат аффинная.
1359. Через линию пересечения плоскостей 6х—y~\~z — 0,
5x4 3г—10 = 0 провести плоскость, параллельную оси Ох.
1360. Составить уравнение плоскости, проходящей через
линию пересечения плоскостей х 4- 2 у 4~3z — 4 = 0, Зх -}-z —
5 = 0 и отсекающей на осях Оу и Oz равные отрезки.
1361. Составить уравнение плоскости, проходящей через
линию пересечения двух плоскостей 2х—г = 0, х+у — г-|-
4-5 = 0 и перпендикулярной к плоскости 7х — у 4-4г — 3 =0.
1 62. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной
nono?fK°CTH Х 4~5z—10 = 0 и проходящей через линию
данной плоскости с плоскостью Оху.
4-2-0 “гГ|Учке, определяемом плоскостями 2х-|-у—Зд 4-
доуг и Л JX+5y 4z4-3 = 0, найти две перпендикулярные
точку (4₽—з Г1™скости, из которых одна проходит через
и
с
13/11 § 3- ПУЧОК И СВЯЗКА ПЛОСКОСТЕЙ 9R1
1364. В пучке, определяемом плоскостями 3*+»—2г
„ х-2у+5д-|=0, найтн плоск«™;„ип«„7
кулярные к этим плоскостям. ’ "ерпендн-
1365. Через линию пересечения плоскостей % + 5у -\-z —О
х—z + 4 = ° провести плоскость, образующую угол -
плоскостью X—4у—8z + 12 = 0. 4
1366. Через ось Oz ^провести плоскость, образующую
плоскостью ]/~5z—7 = 0 угол у.
1367. Даны уравнения граней тетраэдра
с
1) х+2>Н-г4-2 = 0,
3) х—у—z — 0,
2) х +_у— 1 = 0,
4) Зх+z+l =0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро, опре-
деляемое двумя первыми гранями, и через середину ребра,
определяемого двумя последними гранями.
1368. Показать, что три плоскости х-|-2у—z—4 = 0,
Зх — 2y-±-3z—6 = 0, 4у—3* + 3 = 0 образуют призму, и
написать уравнение плоскости, проходящей через линию пере-
сечения первых двух граней призмы и параллельной ее третьей
грани.
1369. Даны три плоскости: 2л? + 3у— 4*+ 5 = 0, 2х —
— 24-3 = 0, х+у—z — 0. Через линию пересечения двух
плоскостей провести плоскость так, чтобы линия ее пересе-
чения с третьей плоскостью была перпендикулярна к линии
пересечения первой и второй плоскостей.
1370. Даны уравнения граней тетраэдра:
1) х + 2у — 3*— 6 = 0, 2) 2_у + 5г—4 = 0,
3) 3x + *+ 1 =0, 4) х + 2у = 0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро,
определяемое первыми двумя гранями и параллельной проти-
воположному ребру тетраэдра.
1371. Составить уравнение плоскости, проходящей^1 Р
точку пересечения трех плоскостей х у 0, х у
+ 1 =0, 2х + * —4 = 0 и
1) проходящей через ось Оу.
2) параллельной плоскости Oxz, тпЦ|ги 12 I 7).
3) проходящей через начало коорд
262
гл. хп. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
11372
\П9 Пои KJKOM необходимом и достаточном условии
четыре плоскости Акх+ Bky+Ckz+ Dk = 0, fe=l, 2, 3, 4,
принадлежат к одной связке? При каком условии эта связка
будет собственной? Несобственной?
1373. При каком необходимом и достаточном условии
четыре плоскости Акх+Вку+ Ckz-j- Dk = 0, k~\, 2, 3, 4,
образуют тетраэдр? Система координат аффинная.
§ 4, Расстояние от точки до плоскости
1374. Определить расстояния точек А(3, 5, 1), В(7, —1,2),
С(2, 0, 4) до плоскости х4*2у—2z-|-5 = 0.
1375. Составить уравнения биссекторных плоскостей углов
между двумя плоскостями 7х4~.у—6 = 0, Зх4-5у— 4z-{-1 =0.
1376*. Составить уравнение биссекторной плоскости того
угла между двумя плоскостями 3x4- 5у— 4z4- 1 =0, х—z —
— 5= 0, в котором лежит начало координат.
1377. Составить уравнения плоскостей, параллельных пло-
скости Ах -}-By 4- Cz4- D — 0 и отстоящих от нее на расстоя-
нии d.
1378. Найти расстояние d между двумя плоскостями
Их 4-By 4-Сг 4-^ = 0 и Лх-ЬДу-|-Сг + £>2 =0.
1379. Даны вершины тетраэдра Д(0, 0, 2), В(3, 0, 5),
С(1, 1, 0) и 0(4, 1, 2). Вычислить длину высоты, опущен-
ной из вершины D на грань АВС.
1380. Даны три плоскости Акх + Вьу + Cbz+ D„ = Q,
b_______1 9 Q II « ‘ kJ t ^k^ ‘ k ’
i, о. Найти расстояние от точки ик пересечения до
плоскости A^x + B^y+C^+D^O.
1381. Составить уравнение плоскости, отстоящей от начала
коо д ат на расстоянии ]/29 и перпендикулярной к прямой,
по которой пересекаются плоскости 2х —у-Рг = 0 6х — у4-
4- /2—4 = 0. Л '
in ч ' °СИ на^ти точку, равноудаленную от точки
' • <5, 4) и от плоскости 2x4- Зу4- Z—17 =0.
плоскостейх+ v "а{*т" точки- равноудаленные от двух
у z-|-i=o, х—y4-z—5 = 0.
скости эЛ°7аВ"ТЬ УРавнение плоскости, параллельной пло-
+5"° " 0Т£™№" и ТО''КЯ (I, 2, О)па
1395] § 4. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ до плоскости
263
,385. На линии пересечения двух плоскостей 2x-v +
+ *-8 = 0, 4x + 3j-z+ 14 = 0 найти точки, отстоящие
от плоскости 2х4~3_у — 62—10 = 0 па расстоянии 7
1386. На прямой, по которой пересекается плоскость
2х—3.у+4я —3 = 0 с плоскостью Oxz, найти точки, отстоя-
щие от плоскости 2х+у—24-3 = 0 на расстоянии ]/~6.
1387*. Составить уравнение плоскости, делящей пополам
острый двугранный угол, образованный плоскостью Зх —4у +
+ 62—2 = 0 с плоскостью Oyz.
1388. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной
к вектору {/, т, п} и отстоящей от точки -Л40(х0, у0, z)
на расстоянии d.
1389. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях
координат отрезки, пропорциональные числам 1, 2, 3, и
отстоящей от точки (3, 5, 7) на расстоянии 4.
1390*. Внутри треугольника, отсекаемого от плоско-
сти Оху плоскостями 3x-|-2j4-42—7 = 0, 2х—5у4-1=0,
5x-|-j>—1^32-4-6 = 0, найти точку, равноудаленную от этих
плоскостей.
1391*. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэтр,
ограниченный плоскостями координат т.оскостыо Их —
— 10j»—22—57 = 0.
1392. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку Л (5, 2, 0) и удаленной от точки/3(6, 1, —1) на рас-
стояние 1 и от точки С(0, 5, 4) на расстояние 3.
1393. Через линию пересечения плоскостей х4-23у —
_________22-|-17 = 0, 5x-|-3j—2-|-1=6 провести плоское in, от-
стоящие от начала координат па расстоянии 1.
1394. По отношению к системе коордтит Oxyz коорди-
натные плоскости новой системы О х у z заданы уравнения
O'y'z'-. х-|-1=6,
О'х'2': 2х—_у = 0,
О'х'у'-. X-4-2J4-32—6 = 0,
а спиничная точка L' повой системы имеет в старой системе
KooZ™%'(l, 3, 5). Выразись новые координаты произ-
вольной точки М через ее старые коордппатьк ,]ЛОСКость
,396. Оакоентезьво
О'х'у задана уравнение» 2х + 3->’ шдаостцш, Oyz
O'y'z' и O'x'z' совпадают соогветс.венно с плоски
264
ГЛ. XII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[1396
п Написать выражения новых координат произвольной
точки 'и через ее старые координаты, зная, что точка А
п обеих системах имеет одни и те же координаты 2, 4, 6.
1396 Относительно прямоугольной системы координат
Oxyzданы уравнения координатных плоскостей новой системы;
O'y'z': х + 2у + 5z + 1 — О,
O'x'z': 2х—у+1=0,
О'х'у'-. х + 2у— z—1=0.
Проверить, что эти плоскости взаимно перпендикулярны,
и написать выражения новых прямоугольных координат про-
извольной точки М через ее старые координаты при условии,
что старое начало О имеет в новой системе положительные
координаты.
1397. Относительно прямоугольной системы координат
Oxyz даны координатные плоскости
O'y'z': x + y + z—1=0,
O'x'z'-. 2х—у—z+l=0,
О'х'у': у—z-j-2 — О
новой системы O'x'y'z'. Проверить, что эти плоскости взаим-
но перпендикулярны, и написать выражения новых прямоуголь-
ных координат произвольной точки М через ее Старые коор-
динаты при условии, что точка, имеющая в старой системе
координаты—1, —1, —1, будет в новой системе иметь
положительные координаты.
§ 5. Различные способы задания прямой. Взаимное
расположение прямых и плоскостей
1398. Составить уравнения прямой ММ. в каждом из
следующих случаев:
1 > АГ, (2, 3, 1), Ж2(4, 6, 9);
2) Л4,(7, -1, 2), ЛГг(5, —1, 4);
3) ЧП. 5- 1), М,(1, —5, 1).
Система координат аффинная.
1399. Составить параметрические уравнения прямых
1) x~2y + 4z = 0, Зх—2y-f-5z = 0;
2) х+у—^-1-5 — 0, 2x-y+2z-2 = 0.
Система координат аффинная.
14061 § 5. РАЗЛИЧНЫЕ
СПОСОБЫ задания прямой
265
1400. Представить каждую из c.№nv.n.„„„
л"""ю пересечен™ „иоскостей, „арал„е„Уьв“ ocZ”“
1) х — 3-f-5f, у = 7— 4t, z=~S + t'
2) х = —1-Н, y = \—t, z — $t.
1401. Установить,
одной прямой:
какие из следующих точек лежат на
В (3, О, 1), (0, 2, 4), (-3, 4, 7);
2) (1, 2, 3), (10, 8, 4), (3, 0, 2);
3) (2, 6, 4), (5, 7, 1), (5, 7, 1).
1402. Установить, какие из следующих точек А (5, 8, 15),
В(—1, —1, —3), С(5, 7, 1), d(q, ±, о), £(0,0, 1) ле^
жат на прямой
х— 1 -|- 2/, у — 2-f-3£, j?==3H~6f.
1403. Написать уравнения прямой:
1) проходящей через точку (3, 5, 1) параллельно прямой
x=2-f-4f, у =— 3t, z — — 3;
2) проходящей через точку (0, —5,4) параллельно прямой
x + 2j + 6 = 0, z = 5.
1404. Найти проекцию прямой на плоскость Оху в каж-
дом из следующих случаев:
1) 5x+8j—Зг + 9 = 0, 2х—4y-\-z— 1 =0;
х—3_</~г—б
—5 ~ 6 ~ 8 •
1405. Найти точки пересечения с плоскостями координат
каждой из следующих прямых:
1) 6x+2j—z—9-0, 3x+2j+2z—12 = 0;
2) x=6 + 2f, j = —2 + 4f, z-
1406. Д»ш точки пересечения пр»>'0« с Д»У»«
динатной плоскостью.
Установить, какие из’ ес.™ пря-
ваются, параллельны, пересекаю
гл. ХП. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
11407
2G<
...ОИЛСЛЫ1М, написать уравнение плоскости, через Них
vnnni.ieft- если прямые пересекаются, написать уравнение
прох д . плоскости и найти их общую точку.
2 = 3 + 4/ и
Z- — 2 + /;
Д =— t и
Z— 4;
содержащей пх
1407. 1) х=-1 +2Л
х= 6 + 3/,
2) х = 1 + 2/,
х = —2/,
у = 2 —2/,
у = —5 + 3/,
3) х=2 + 4/,
х=7-6/,
4) х = 1+9/,
х=7 + 6/,
у =— 6/,
у = 2+9/,
у=2 + 6/,
у = 6 + 4/,
z =— 1 — 8/ и
z— 12/;
Z — 3 + 3/ и
z — 5 + 2/.
1408. 1) л- + г—1 = 0,
и
х—2у + 3 = 0
2) 2х + Зу = 0,
и
2—4 = 0
3) х+у + z—1=0,
Зх + у—z+ 13 = 0,
y+2z—8 = 0;
х+ z — 8 = 0,
2х + Зд—7 = 0;
у+ 42 = 0,
и
2х + 3у + 6д — 6 = 0 Зх+ 4у+ 7z = 0;
4) Зх+у —2д —6 = 0, 41х—19у+52д—68 = 0,
и
х—2у + 5д—1=0 33х+4у—5д—63 = 0.
1409. 1) х = 9/, у = 5/, z — — 3 + / и
( 2х —Зу—Зг—9 = 0,
| х— 2у+ г-рз^о;
2)х=/, у = __8 —4/, г = —3 —3/ и
f х + у— 2 = 0,
I 2х—у+2^ = 0;
3)х = 3 + /, у = 2/, z = 4 и
/ х—Зу-уг — о,
1 х + у — 2 + 4 = 0;
4>* = -2 + 3/, J=-1, г=,4-«
I 2у — 2 +2 =0,
I х—7у + 32—17 = 0.
1410 П
прямые ГхХа«°М| "еобходим™ и достаточном условии
'VW+C,2+d, = о, А.х + В,у+С,х+О, = о
1416] §5. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПРЯМОЙ 267
в одной плоскости?
А л + В*У + Ctz + D^Q лежат
Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли
данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости
или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересече-
ния прямой и плоскости.
1411.
Прямая
п х-12_у-9 г-1
’ 4 ~ 3 ~ 1 ’
о \ |1_if 3_ z
' ~2~ 4~~Т’
х —13 у — 1 z —4
8 2 — 3 ’
. х—l y-4 z—5
’ 5 ~ 1 ~ 4 ’
Плоскость
-3x4-5y —z—2 = 0;
3x—3y 4~2z—5 = 0
хф-2у—4z-|- 1 =0;
3x—j4*2z—5 = 0.
1412.
Прямая
1) 3x4-5j> — 7z4- 16 = 0,
2x— y-\- z— 6 = 0,
2) 2x4-3^4-62—10 = 0,
x4- y-f- 24- 5 = 0,
3) x+2y-j-3z+ 8 = 0,
5x4-3_y-f- z —16 = 0,
Плоскость
5 v—z—4 = 0;
j+42+17 = 0;
2x—у—4z —24 =0.
прямой х=2/, y=l—t.
1413. Найти точку вс:речи
z — 3-j-t с плоскостью х + у + г—10 = 0. Система координат
аффинная.
1414. Составить уравнение прямой, лежащей в плоскости
j' f-2z = 0 и пересекающей прямые х=1— t, y — t, z = 4tn
х = 2 — t, y~4-]-2t, z=\. Система координат аффинная.
1415. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку (3, —1, —4), пересекающей ось Оу и коллинеарной
плоскости у 2z = 0. Система координат аффинная.
1416*. Составить уравнения прямой, коллинеарной прямой
х—Зу 4-2 = 0, х + у —z + 4 = 0 и пересекающей две прямые
х = 34-7, У ——14-2/, 2=4/ и х = — 24-3/, У~ U
2 = 4 — /. Система координат аффинная.
гл. XII. ПЛОСКОСТЬ и ПРЯМАЯ [1417
ZDO
1417* Составить уравнения прямой, проходящей через
начало координат и пересекающей две прямые х=/, 1
“ = 3 + / и х=24-2/, J = 3—t, z = l+3t. Система коорди-
1ыт аффинная.
Составить уравнения прямой, проходящей через
точку (2, 3, 1) И пересекающей прямые х4-_у=0, х—_у_|_
_|_г_^4 = 0 и X4-3J—1=0»^ + ^—2 = 0 Система коорди-
нат аффинная
1419*. При каком необходимом и достаточном условии
прямая х=хв4-«, > = Л + /?г/- z = z0 + nt пересекает тре-
угольник, вершины которого Mk(xk, yk, zk), k — \, 2, 3.
Система координат аффинная.
1420. Составить уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и через прямую х = 3— 2/, у = 1 4-1, z= t.
Система координат аффинная.
1421. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку (—3, 1, 0) и через прямую x-j-2y — z 4-4 = 0, Зх —
—_у4-2х—1 =0.
1422. Составить уравнение плоскости, проходящей через
прямую х=2-[-3/, у — —1 4-6/, z = 4t и коллинеарной пря-
мой х=— 14-2/, y = 3>t, z— — t.
1423. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку (— 2, 3, 0) и через прямую х = 1, у — 2 4- /, z = 2—t.
1424. Составить уравнение плоскости, проходящей через
ось Оу и коллинеарной линии пересечения двух плоскостей
х4-4_у—2.?4-7 = 0, 3x4-7j —2г = 0.
Система координат аффинная.
1425*. При каком необходимом и достаточном условии
отрезок прямой х = х0-|-Z/, y==y+mt, z = z+nt между
двумя пересекающимися плоскостями Akx-\-Bky+Ckz-\-Dk=Q,
гто „А ’ лежит в остром угле, образованном этими птоско-
z = /42u*’ Проверить, что Две прямые х = 14-2/, J = 2/,
и напиг^.Х Н + 8/’ >=64-4f, 2 = 24-/ пересекаются,
1427* биссектрисы тупого угла между ними,
так чтобы пТ63 "РЙМУЮ 2x=ji = 22 провести плоскость р
мого линиямиИНаЯ прямая была биссектрисой угла, образуе-
и пересечения плоскости р с плоскостями _у = 0
1439]
269
§ 6. УГОЛ между двумя прямыми
§ 6. Угол между двумя прямыми; угол прямой и плоскости-
условие перпендикулярности дВуХ прямых; условие
перпендикулярности прямой и плоскости
1428. Определить направляющие косинусы прямых
И 5_z+g. х _у—1 z4-3
'4 -3 12 ’ 12~~=='2О'-
1429. Составить уравнения прямой, которая проходит
через точку Л(1, —5, 3) и образует с осями координат
углы, соответственно равные 60°, 45° и 120°.
1430. Определить угол, образованный прямыми
х—1 _ У + 2_ г—5 х __у—3 г-Н
3 6 2 2 — 9 -----б-’
1431. Вычислить углы, образованные противоположными
ребрами тетраэдра с вершинами 4(3, —1, 0), В(0, —7, 3)
С(—2, 1, —1), 0(3, 2, 6).
1432. Вычислить направляющие косинусы прямой
5х— 6>-|-22 4-21 =0, к—24-3=0.
1433. Определить угол между двумя прямыми:
Зх — 4у— 22 = 0, 4х4~>—62—2 = 0, 1
2x4-J —22 = 0 J у—324-2 = 0. /
1434. Найти косинусы углов между прямыми
2=44-3/:
2=1:
х—>4-1=0. >
2x4-2у—5z 4-1 = 0. j
1435. Найти угол между прямой х = 54-6/, >= 1 —3/,
£==24-/ и плоскостью 7x4-2>—324-5 = 0.
1436. Найти угол между прямой х4->—2 = 0, 2х — 3>4*
4-2 = 0 п плоскостью Зх 4-5>—424-2 = 0.
1437. Составить уравнения проекции прямой 2X4-> т
4-4 = 0, х-}-> = 0 ||а плоскость Oxz.
1438. Составить уравнения проекции прямой х — + >
______II / 2 — 4-Р/ на плоскость 2х—2>+oz—о v-
1439. Составить уравнения перпендикуляра
из точки Л40(хс, Л. на носкость Ax + by + Cz + u
1) х = 3-Н, >=7—2/,
Х = 2-|-5/, > = 1- t,
2) Зх-bj—z+1 =°, |
3x—>4-2 = 0
и
гл. XII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
11440
270
1440. Из точки (3, —2, 4) опустить перпендикуляр На
плоскость 5x+3ji- 7г-{-1 0.
1441 Найти проекцию точки (1, 2, 3) на плоскость
Найти точку, симметричную точке (2, 7, 1) отно-
сительно плоскости X— 4y + z+ 1=0.
1443 Составить уравнения прямой, перпендикулярной
к плоскости Oxz и пересекающей две прямые x = t,
y = _4-|-/t z = 3 — t и х = 1—2f, У — — ЗЦ-/, z = 4—5/.
1444. Через начало координат провести плоскость, пер-
х + 2 у—3_z -1
пенднкулярную к прямой — g — ________2 •
1445. Найти точку, симметричную данной (4, 3, 10)
относительно прямой л'=1-]-2/, у = 2-j~ 4/, 2 = 34-5/.
1446. Найти прямую, проходящую через точку Л! (0, 1,1),
образующую прямой угол с прямой у-|- 1 =0, x-|-2z—7 = 0
и пересекающую прямую х—1=0, Z 4-1—0.
1447. Составить уравнения прямой, пересекающей орто- •
гонально ось Оу и прямую х = 34-4/, у = 1—t, 2 = 2 4-5/.
1448. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного
из точки (3, 2, 1) на ось Ох.
1449. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного
из точки (—1, 0, 4) на прямую х = 1 4-Л y = 2t, z=4— t.
1450. Провести через точку пересечения плоскости
х+у4-^—1=0 с прямой _у=1, 2 4-1=0 прямую, лежа-
щую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.
§ 7. Расстояние от точки до прямой. Кратчайшее
расстояние между двумя прямыми
по расстояние °т точки (1, 3, 5) до прямой,
3x+y4-2z—So^'^'OTC” плоскости 2x4-y4-z —1 =0,
из ие^ющих прямы™5'НИе °Т ТОЧКИ (1’ 2’ 5) А° КаЖД0Й
Пх = с y=1__2ff г=3+/;
)х4-у_2 + 2 = 0) 4х_3г+з==0
образуемого равиение и длину высоты треугольника,
пересечением плоскости Зх-у4-42-12 = 0
14651 § 8. ВЕКТОРНЫЕ УЕЛВНЕНИЕ „Ря„ой „
С координатными ПЛОСКОСТЯМИ, при УСЛОВИИ „
треугольника лежит на оси Oz ’ ЧТ° Верш”на
„ыы'Г4- НаПТ“ Кр"чаГ""м Р^овиве между дву„ пря.
1) x = 3-J-/, у = 1—t, z = 2±2f и
, x = —t, y = 2 + St, z = 3<;
2) х+у—z-bl =0, х4-у = 0 и х—2y+3z—6 = 0,
2х—y + 3z—6 = 0;
3) х4-2у — z-f-1 =0, 2х—Зу + z—4 = 0 и
x + y+z—9 = 0, 2х — у—z = 0.
1455. Найти расстояние между двумя параллельными
прямыми
х—2 у+1 z_ x-7_j/-T_z-3
3 4 2 3 ~ 4 ~~2~’
1456. Найти кратчайшее расстояние между диагональю
куба и непересекающей ее диагональю грани, если ребро
куба равно 1.
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости
1457. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку /И, (г,) и прямую r — re-{-at.
1458. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку /И, (rj и перпендикулярной к прямой г — re-j-at.
1459. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Л40(г0) и перпендикулярной к прямой пересечения
двух плоскостей rni=Di, rnt = De
1469. Найти точку пересечения прямой г ~Гв + с пло-
ское гыо rn = D.
1461. Найти точку пересечения прямой г = rB + at с пло-
скостью г — г -| bu-j-cv.
1462. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку aW^r,,) и пересекающей две прямые г = гк-}-аь >
1463. Составить уравнения прямой, лежащей в
rn = D и пересекающей под прямым углом прямую г — G+ •
1464. Найти проекцию точки М„ (г0) на прямую г • + ;
1465. Найти зеркальное отражение точки Л1Ви,)
телыю прямой r — at.
272
ГЛ. XII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[1466
14бб 11а/1ти проекцию точки ЛГ0(г0) на плоскость гл«=£)
1467. Найти зеркальное отражение точки 2И0 (го) от пло-
СК(1468^Я Найти проекцию точки Л40(г0) на плоскость
Г= Г UO V^‘
1469. Найти зеркальное отражение точки Л70 (г0) относи-
тельно плоскости r — r^ + au bv.
1470. При каком необходимом и достаточном условии
четыре плоскости rtik — Dk, /г=1, 2, 3, 4, принадлежат
одной связке?
1471. Через линию пересечения двух плоскостей rnk = Dky
k=\, 2, провести плоскость, перпендикулярную к плоскости
rnt—Dt.
1472. Найти точку пересечения трех плоскостей rnk-=Dk,
А=1, 2, 3.
1473. Написать уравнение прямой [ra] = М (а 0,
дЛ1 = 0) в параметрической форме.
1474. Найти точку встречи прямой [г с] — М (а 0,
7И-=0) с плоскостью rn — D.
1475. На прямой г = г0-|-а/ найти точку, отстоящую от
плоскости rn=D на расстоянии d.
1476. Дана прямая r—re-\-at и плоскость rn — D. При
каком необходимом и достаточном условии они: 1) пересе-
каются? 2) коллинеарны? 3) параллельны? 4) прямая лежит
на плоскости?
1477. Даны две прямые г = + akt, /г=1, 2. При каком
необходимом и достаточном условии они: 1) скрещиваются?
2) пересекаются? 3) коллинеарны? 4) параллельны? 5) сов-
падают?
1478. Через прямую r — r^^-at провести плоскость, пер-
пендикулярную к плоскости rn — D.
1479. Через прямую г — г -|- at провести плоскость, кол-
линеарную плоскости r = ri~\-ua^-vb.
^ерез пРямую r~r -}-at провести плоскость,
коллинеарную прямой r = rt + bt.
плосокЧере3 прямую = М (а=#0, <Ш = 0) провести
14R9 ’’ пеРпендикулярную к плоскости т — D.
точки м / ТаВиТЬ УРавнение плоскости, проходящей через
1483° С0> И ПРЯМУЮ I''"] =А1.
гонально" ирюше^ ура^*ение пР«мой, пересекающей орто-
1500] § 8. ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ и г,™
"ии ивямои И плоскости 273
составить уравнения прямой, пересекающей m
гонально прямые [гоА] = /цй, fe = i 2 несекающей орто-
1485. Записать уравнения г«1=Л ь— i о „
В ФХ'£ = М и в параметрической Форме. ’ ’ ₽
из точки мТгТ™ УРаВнениЯ пеРпендикуляра, опущенного
из точки /ИО(ГО) на прямую r — rx-\-at.
1487* Я°С/Та?ИТЬ УР^вчения перпендикуляра, опущенного
из точки УИ0(г0) на прямую r«ft = Dfc, ft=l, 2.
1488. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного
из точки 7И0 (ге) на прямую [га] = /И (а =£ 0, аА1 = 0).
1489. Найти расстояние от точки 7И„(г„) до прямой
rnk = Dk, ft=l, 2.
1490. При каком необходимом и достаточном условии
плоскости mk = Dk, ft=l, 2, 3, имеют общую точку и при-
том только одну?
1491. При каком необходимом и достаточном условии
три плоскости rnk = Dk, k = \, 2, 3, образуют призму?
1492. При каком необходимом и достаточном условии
три плоскости rnk~Dk, k~ 1, 2, 3, имеют и притом
только одну общую прямую?
1493. При каком необходимом и достаточном условии
четыре плоскости rtik = Dk, k = 1, 2, 3, 4, образуют тетраэдр?
1494. Через прямую rnk = Dk, ft=1, 2, провести пло-
скость, перпендикулярную к плоскости rnt — Dt.
1495. Найти проекцию точки Л40(г0) на прямую rnk — Dk,
k=1, 2- г 1 м
1496. Найти проекцию точки Ж, на прямую [raj m
(а=#0, аМ = 0). „ п
1497. Вершины треугольника Mh{rk), ft—1, А о- I
каком необходимом и достаточном условии прямая r-re- at
пересекает его площадь? , плоско-
1498. Найти точку встречи прямой г = г, + <« с плоско
стою, проходящей через триточки М,(гД Ь--
1499. Даны две плоскости rnk-Dk, ft-1. • Р
необходимом и достаточном условии они. 1) Пересе
2) параллельны? 3) совпадают? „пстаточном условии
1500. При каком необходимом и 0J: j} 11е-
плоскость rn = D И прямая' кс1 ( аллел’ьны? 4) прямая
ресекаются? 2) коллинеарны? 3) парад
лежит в плоскости?
ГЛАВА XIII
ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Поверхность в пространстве может быть задана
одним из следующих способов:
I. Уравнением z=f(x, у).
II. Уравнением F (х, у, z) = 0 или F(r)~0.
III. Уравнениями х—х(и, v), У = у(и. v), z = z(u, v), т. е.
тремя уравнениями, называемыми параметрическими урав-
нениями поверхности, определяющими координаты х, у, г
любой точки поверхности в функциях двух параметров и и v. Эти
параметры называются криволинейными координатами
точки М поверхности. Для того чтобы указать, что точка М имеет
криволинейные координаты и и о, мы будем писать: М (и, v).
Вместо трех уравнений
х=х(и, и), у=у(и, о), z — z(u, v)
можно задать одно векторное:
Г=Г(и, и),
гДе г радиус-вектор любой точки поверхности.
Сравнение цилиндрической поверхности с образующими, парал-
лельными оси Ог, пишется так:
F (*. 4/) = 0,
щую^криТую'6 в плоскости определяет направляю-
ппп<.пу1а'10Г11"ЧИО могут быть записаны уравнения цилиндрических
р ностеи с образующими, параллельными осям Ох и Оу.
сл₽лг^,п..И Я В пР°странстве может быть задана одним из
следующих способов:
I- Двумя уравнениями
или F(x, г/, г)=о, Ф(х, р. г) =0
С(И=0, ф(г)=0
АВУХ1ГуХнеСнТиям^ере3 ”ее ПР°Х°ДЯЩИК-
*=-а(0, y = y(t). z — z(t).
ГЛ. ХЩ. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИК о
И ЛИНИИ В пространстве 275
т. е. тремя уравнениями, называемыми
ниями линии, которые определяют кХд^Х?РИЧеСКИМи УРавне-
линии в функциях одного параметоа / *’ и' г любой точки
к р и в о л и н е й н о й к о о р д и н а т о й тТо >ТалГ₽ называется
того чтобы указать, что точка М имеет 1 М линии- Для
нату t, пишут М (Z). ет кРиволинеиную коорди-
Вместо трех уравнений х = х(П, и=«(п
одно векторное: я у'-1, г~г(‘> можно задать
r—r(t},
где Г—радиус-вектор любой точки линии.
Если в уравнениях
х—х(и, о), у=у(и, v), г = г(ц, н)
или ' ’ '
Г—г (и, v)
положить u = C = consf, то мы получим уравнения пинии
х — х(и, С), J/ = t/(u, С), г = г(н, С)
или
r=r(u, С),
лежащей на поверхности и называемой координатной ли-
нией v — const.
Точно так же, фиксируя u = C = const, получим координатною
линию
х—х(С, v), y = y(C. v), z=z(C, v)
или
г—г (С, v),
называемую линией и — const.
Семейства линий u = const и v = const образуют иа поверхно-
сти сеть, называемую координатной.
Поверхность, определяемая уравнением F (г, и. г)—0. где
F (х, у, а) есть многочлен, называется алгебраической.
Если многочлен F (х, у, г) распадается на два множителя
®(х, у, г) н ф (х, у, г) (также многочлены относительно х, и. г),
то говорят, что поверхность F (х, у, г)—0 распадается на две
поверхности:
ц>(х, у, г) = 0, ф(*, У, ?) = 0-
Пример 1. Уравнение
определяет сферу радиуса г с центром в ва''алв точки
как это уравнение удовлетворяется коорд_ лежащих вне
этой сферы, для точек же М (х, у, г) пространства, леж
сферы, мы будем иметь:
и для точек М (X, у, х), лежащих внутри сферы:
ГЛ. ХЧ1. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
& I \J *
Пример 2. Уравнение
+ =
ппостоанстве определяет поверхность круглого цилиндра с обра-
зующими' параллельными оси Ог, направляющей которого является
ХХость лежащая в плоскости Оху радиуса г с центром в Ва.
вале координат. В самом деле, пусть точка М (х, у, г) лежит ца
поверхности этого цилиндра; рассмотрим ее проекцию М' (х, у, 0)
на плоскость Оху, точка М' лежит на указанной выше направ-
ляющей окружности С цилиндра, а потому хг~у — г . Если точка
М (х у, г) лежит вне цилиндра, то ее проекция М (х, у, 0) лежит
вне окружности С, а потому хг + «/2>г!.
Наконец, если точка М (х, у, г) лежит ннутри цилиндра, то
ее проекция М' (х, у, 0) в плоскость Оху лежит внутри направ-
ляющей окружности С, а потому x2-j-y2<rt. Мы видим, что урав-
нению хг+у2=г± удовлетворяют координаты всех точек, лежащих
на поверхности цилиндра, и не удовлетворяют координаты никаких
других точек.
Следовательно, уравнение
xt-f-yi = rs
есть уравнение указанного цилиндра.
Замечание. Вообще, если уравнение
F(x, г/)=0
в плоскости Оху определяет какую-нибудь линию, то это же
уравнение в пространстве определяет поверхность цилиндра, на-
правляющей которого служит эта линия, а образующие парал-
лельны оси Ог.
Пример 3. Уравнение
х2+у2—k2z2 = 0, где k 0,
2"!^еляет ПОБеРхность круглого конуса, вершина которого нахо-
остпый начале координат, а образующие составляют с осью Ог
острый угол <р, такой, что tg<p = A.
конуса-а-гп™3 ДеЛе’ пусть (х, У< ?)—произвольная точка этого
расстояннюД/И'Г)аССТОЯНИе 0Т Этой точки М Д° оси °г равно
скость Оху до начаТчаРкооппИ М'У' 0) Т°ЧКИ М (Х’ У’ ?) НЭ ПЛ°‘
ди начала координат, т. е.
или
РУ й стороны, MQ—OQ tg<p. Но OQ = | г], следовательно,
+ //2 = | z| tgq>,
Обрат У* —Z%tg2 Ф — 0«
нему уравнению°СтоДИНаТЬ1 точки У> г) удовлетворяют послед-
^^+7 = | г | tg<p,
ГЛ. XIII. ПОВЕРХНОСТИ
и Линии В ПРОСТРАНСТВЕ
277
или
или
tg(p=^
ГосПРТЙ’ ПР—й -Рез
т0ЧКз\мМе~ *т е
системы' коордХ
F (X, У)=0.
F (х, ± W+?) = 0,
где х, у, z—координаты в пространственной системе Oxyz, в кото-
рой ось Ох совпадает с осью ОХ, а ось Оу совпадает с осью OY.
Пример 4 Рассмотрим окружность X*+ ¥*=!*. При враще-
нии этой окружности вокруг ОСИ ОХ мы получим сферу радиуса г
с центром в начале координат. Уравнение этон сферы на основа-
нии предыдущей теоремы будет иметь вид.
х* + (± Уу2 + г2)2^г\
или
х‘ + у2 + г3=г1.
Пример 5. Рассмотрим прямую
Y = kX.
На основании предыдущей теоремы уравнение поверхности
вращения, полученной при вращении этон прямой вокруг осп ОХ,
т. е. уравнение прямого кругового конуса с вершиной в начале
координат, имеющего осью ось ОХ, будет иметь вид:
± V'y2+z2 = kx,
или . .
^4-z2=*2xi.
Тангенс угла <р между осью н образующей этого конуса равен
I k | = tg <p.
Пример 6. Рассмотрим окружность
Х* + (У—6)2=сг
радиуса а с центром в точке (0, b), этой окруж-
Поверхность вращения, полученнаяпри вращени
пости вокруг оси ОХ, выразится ур
27Н
гл. XIII
л »»FPXHOCTH И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВ!
или
у3 г2 ь3 — а* = ± 26 у2 + г2.
или
(х* 4- у* + г2 + Ь2 —а2)2 =- 46s (у2 + г1).
Если b > а > 0. то эта поверхность называется тором.
' Теперь рассмотрим задачу на составление параметрических
уравнений поверхности
Пример 7 Рассмотрим тор, полученный вращением окру»,
пости (х—а)2 + г2 — Ь2, г/ = 0 вокруг оси Ог. Пусть М (х, у, г) —
произвольная точка тора. Пусть С — центр меридиональной окруж-
ности, на которой лежит точка М. Опустим из точки М перпен-
дикуляр MQ на плоскость Оху, а из точки Q перпендикуляр QP
на ось Ох. Обозначим через и угол от оси Ох до луча OQ в пло-
скости Оху, а через v угол от луча ОС до луча СМ в плоскости СОг.
Тогда
х = 0Р = OQ cos и — (ОС -f-CQ) cos и = (a -f- b cos о) cos и,
у — PQ = OQ sin и — (ОС +OQ) sin и — (a -j-b cos v) sin и,
г — MQ = МС sin v = b sin v.
Мы получили параметрические уравнения тора:
х = (а -|-6 cos о) cos и,
у = (a-(-b cos v) sin и,
г=6 sin v.
Для тора шпрота и долгота изменяются н следующих пределах:
0 < и < 2л, 0 < v < 2л.
илгтГпИМеР Пусть точка М движется равномерно по окруж-
r nnr-rfo.'?.Hy^a Г так,„что Радиус ОМ этой окружности вращается
явнжртга 'Л*' У171080,1 С1<ОРОСТЫО СО. а плоскость этой окружности
пенто пепГм°Н0МеРН0 И поступательно в пространстве так, что ее
окружности сЦпггСЯ П° ..прямой’ перпендикулярной к плоскости
окружности С постоянной скоростью V.
винтовой3линиейОп|1СЫБает линию, называемую обыкновенной
координаТ'пТ^!1! °КРУЖИ°сти в начальном ее положении за начало
Оха, a noHMvm ,( СТЬ’ в которой она расположена, за плоскость
лярно к ее пло’скостщ^ось Це''ТР ОКРУЖИОСТИ перпендику-
За время ^’точ^~начал„ьн°е положение движущейся точки.
а » направлении оси ^вп7оХТп7тьК?УЖ1,ОСТИ АУГУ* РаВНуЮ
я°. ее координаты в момент t будут:
Эти p = г = и<.
винтовойУлинин"’являются параметрическими уравнениями
винтовой линии.* сражают закон движения точки по этой
1S01-.S09) „оми„га„ и лтии в прострАисти т
Р.д«у“."оггт^вир«7гх«р™
перемещения плоскости окружности Ч"0J,0>KHoe направлеиие
противоположной нарезки. Различают пп УЧИМ винтовУю линию
линии; винтовая линия называется правой если” ЛеВуК> винтовые
часовой стрелке винта, имеющего своей Jn -Р” в₽а,цен,,и ™
линию, он ввинчивается; в противном слччя₽ареЗК011 ЭТу ВИНТ0ВУю
вается левой. Математически имеет сХспаегв,'”Т0Еая «азы-
тивоположных нарезках винтовыГлииий'^оХТже = -° П₽°’
вой нарезок имеет лишь физический смысл р °“ ” ле’
1501. Какую поверхность определяет уравнение Z* = 2ху?
Как эта поверхность расположена относительно системы
координат?
1502*. Составить уравнение круглого конуса, вершина
которого находится в точке S(a, b, с), ось составляет
с осями координат углы а, £, у, а угол между образующей
и осью конуса равен <р.
1503. Основанием кру глого конуса служит круг радиуса г;
высота конуса равна h. Составить уравнение этого конуса,
принимая за плоскость Оху плоскость его основания, а за
ось Oz его высоту.
1504*. Составить уравнение поверхности круглого конуса
при условии, что все три оси координат служат образую-
щими конуса, а ось конуса проходит в первом и седьмом
октантах.
1505*. Составить уравнение поверхности круглого конуса,
касающегося трех плоскостей координат, зная, что ось его
проходит в первом и седьмом октантах.
15G6. Составить уравнение поверхности конуса, описан-
ного около сферы с центром в точке <7(0, 4, 1) и радиусом
г = 6, при условии, что вершина конуса находится в точке
5(8, 0, 0).
1507. Составить уравнение поверхности круглого цилиндра,
осью которого служит биссектриса угла yOz, а радиус
1508. Эллипс с полуосями а и b (а>Ь) вращается вокруг
своей большей оси, совпадающей с осью Oz, центр эллипса
совпадает с началом координат. Составить уравнение !
ности, описываемой эллипсом при его вращении (вытянутый
эллипсоид вращения). , «тшается вокруг
1509. Эллипс с п0ЛУ°сями"И?^ю Oz Ц^нгр эллипса
своей малой оси, совпадающей с >
280 ГЛ. XIII. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ [1510
,ПЯ₽Т с началом координат. Составить уравнение поверх-
ности описываемой эллипсом при его вращении (сжатый
9ЛЛИ1б?0^щербХЯ)с полуосями а и b вращается вокруг
соей действительной оси, совпадающей с осью Oz причем
некто гиперболы совпадает с началом координат. Составить
уравнение поверхности, описываемой гиперболой при ее
вращении (двуполостный гиперболоид вращения).
1511. Гипербола с полуосями а и Ь вращается вокруг
своей мнимой оси, совпадающей с осью Oz. Центр гипер-
болы совпадает с началом координат. Составить уравнение
поверхности, получающейся при вращении гиперболы (одно-
полостный гиперболоид вращения).
1512. Парабола с параметром р вращается вокруг своей
оси, совпадающей с осью Oz. Вершина параболы совпадает
с началом координат. Составить уравнение поверхности,
описываемой параболой (параболоид вращения).
1513*. В плоскости Oxz дана парабола хг = 2рг, _у = 0.
По ней перемещается вершина другой параболы с парамет-
ром q, плоскость которой остается все время параллельной
плоскости Oyz, а ось—параллельной оси Oz. Составить
уравнение поверхности, описываемой подвижной параболой.
1514*. Вокруг оси Oz вращается скрещивающаяся с ней
прямая. Угол этой прямой с осью Oz остается постоянным
и равным у; общий перпендикуляр к оси Oz и к этой прямой
также сохраняет постоянную величину г и находится все
время в плоскости Оху. Составить уравнение поверхности,
описываемой вращающейся прямой (однополостный гипербо-
лоид вращения).
^/5*’ доставить уравнение поверхности круглого цилиндра
. . -’о*
В плоскости Оху дана окружность радиуса г
[
пересекающая эту окружность в точке А. В этой
вокруг точки А в свою очередь вращается прямая
°бРазУемь1й этой прямой с продолжением
время вдвое меньше двугранного
радиуса г, ось которого проходит через точку (х , у , z0)
и составляет с осями координат углы а, р, у.
516 • В плоскости Оху дана окружность радиуса г
Центром в начале координат. Вокруг оси Oz вращается
плоскость, I----
плоскости
так, что
ЛИНИИ ОА ОгтяртгсГ
vrna вдвое меньше двуциппи.«
Написать vn BpaL1™ei^ плоскостью с плоскостью Oxz.
прямой Уравненне повеРхности, описываемой вращающейся
1516*.
уравнениям: x = ucost/, y = usint/,
параметрические уравнения цилиндри-
вращения с осью вращения Oz и ра-
1526] гл. хи!, поверхности и линии в пространстве 281
1517. Около оси Ох вращается кривая у=/(х) Соста-
вить уравнение поверхности вращения.
*518*. Составить уравнение поверхности вращения около
оси Oz линии, заданной уравнениями x = f(z) y = gtz\
1519-5-. Исходя из параметрических уравнений сферы
X — г cos и cost/, у = Г sin и cost/, 2! = г Sint/, найти парамет-
рические уравнения линии, по которой эта сфера пересе-
кается с цилиндром х2-\-у2—гх = 0 (линия Вивиани).
1520*. Определить вид и расположение поверхности по
ее параметрическим
Z=f(u).
1521. Составить
ческой поверхности
диусом, равным а.
1522. Составить параметрические уравнения поверхности
вращения, проходящей через линию x=chz, у = 0, если
ось Oz—ось вращения.
1523*. Определить вид и расположение поверхности по
ее параметрическим уравнениям:
x = ucostz, у = и sint/, z — v.
Какое геометрическое значение имеют параметры и и t/?
1524. Определить вид поверхности и ее расположение
по параметрическим уравнениям:
x = «costz, y = «smt/, z — u.
Какое геометрическое значение имеют параметры и и t/?
1525. Плоскость, первоначально совпадающая с плос-
костью Oxz и содержащая прямую, выходящую из начала
координат под углом а к оси Oz, вращается около осн Oz
с постоянной угловой скоростью (о; одновременно точка,
выходящая из начала координат, движется по указанной пря-
мой с постоянной скоростью t/.
Составить уравнение траектории (коническая спираль,,
описываемой движущейся точкой. „«„«элвям-
1526. Цилиндроидом называется поверхность обр .
ная движением прямой, остающейся параллельной H^oiopoH
заданной плоскости. Цилиндроид может ыть>
заданием двух направляющих линий (по /которой
скользить образующая) и направляюще/ пл® цилиндроида,
образующая параллельна). Составить уравн i
и. BOBEFXHOCT8 И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
иИ линиями которого являются окружности
г-4-z* — 2сх = 0, у = о
и
» —2оу = 0, х = 0,
„юношей плоскостью служит плоскость Оху.
1«7 Составить уравнение цилиндроида (см. задачу 1526),
образующие которого параллельны плоскости z = 0, если
^говаправлякмцнын линиями служат два эллипса.
к* . г* .
8
х-—а.
Сг и*
1528. Коноидом называется поверхность, образуемая
движением прямой параллельно заданной плоскости так, что
образующая пересекает данную прямую. Коноид определя-
ется заданием направляющей прямой /, направляющей плос-
кости Я и направляющей кривой С, лежащей на поверх-
ности (если С—плоская кривая, то она не должна лежать
в плоское и, параллельной направляющей плоскости).
Составить уравнение коноида, образующие которого
параллельны плоскости х = 0. если направляющая прямая ле-
жит в плоскости Oxz и отстоит от оси Ох на положитель-
ном расстоянии k, а направляющей кривой служит эллипс
z = 0.
а1 &
1529. Составить уравнение коноида, образующие кото-
рого параллельны плоскости z - 0, е<_ли его направляющими
являются грямая х=а, у~0 и парабола y^ — Q-fZ, х=0.
1о30*. Даны две параболы
У = 2рх, z = 0
2 =—2рх, у —о.
п^ВЖется таи’ что пересекает обе параболы и па'
мостя онвгя00*»"™ Составить уравнение поверх-
’ ^“«ьй движущейся прямой.
1539| гл хи., поверхности и линии в пространстве 2S3
1531. Составить уравнение поверхности, являющейся
геометрическим местом поямых м*."«ющеися
.. “римых, параллельных птоскости
Оху, пересекающих ось Ог и линию
хуг = а\ х*—у*=ь\
1532. Составить в векторной форме уравнение круглого
цилиндра радикса /?, ось которого проходит через потюс О
и коллинеарна вектору а.
1533. Составить в векторной форме уравнение круглого
конуса с вершиной в полюсе О, зная угол у его образующей
с осью и зная вектор а, определяющий направление оси.
1534. Составить уравнение конуса с вершиной в полюсе
О, зная уравнение г—г[и) направляющей кривой.
1535. Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны вектору а и для которого задана
направляющая кривая г = г (и).
1536. Составить уравнение конуса с вершиной в то.ке
зная уравнение г=г(и) направляющей кривой.
1537. Через точку Л1, irj в направлении вектора а
проведена прямая Вокруг этой прямой вращается кривая
г=г(п) Составить уравнение поверхности, описанной вра-
щающейся кривой
1538. Через кажд}Ю точку М(и) кривой r = r.u) в
направлении вектора а(и) проведена прямая. Составить
уравнение геометрического места этих прямых линейчатая
поверхность)
1539*. Через точки Л1,(гД И, (г,). соответ т-
венно в направлении векторов а„ а„ а, проведены три
попарно скрещивающиеся прямые. Составить уравнение
геометрического места прямых, пересекающих три указанных.
ГЛАВА XIV
СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ, эллипсоиды.
ГИПЕРБОЛОИДЫ. ПАРАБОЛОИДЫ
Сфера. Уравнение сферы с центром в точке С (а, Ь, с) и
радиусом г (рис. 27) имеет вид:
(х —а)2 + (у — 6)2 + (г—с)2=г2.
Это уравнение называется нормальным уравнением
сферы. Если центр сферы совпадает с началом координат, то
нормальное уравнение сферы будет:
х2 + у1 + г2 = г2.
Уравнение
Ах2 + Ау2 + Аг2 + 2Вх + 2Су + 2Dz -\-Е = О
при условии
А 5*0, Bs+C2 + D2 — АЕ>0
В С D\
А А А
, f п
определяет сферу с центром в точке(-----------—
радиусом
Степенью
в точке С и
т/В2 + С2 + О2— АЕ
Г~ V А2
точки М относительно сферы
радиусом г называется число
с
центром
a = d2~ г2,
W ЕГл^тоткГлГле» °Т Т°ЧКИ М до центРа С сФеРы-
сферы есть положитель ИТ ВНе сФеРы’ то ее степень относительно
касательной, поовепеи^ чнсло’ Равное квадрату длины отрезка
лежит внутри сфепы И К сФеРе из эт°й точки. Если точка М
тельна, а по абсо пют» степень ее относительно сферы отрица-
Длин отрезков riponsBoni' в<5ЛИчнне равна произведению MP-MQ
точку М. Реальной хорды PQ сферы, проходящей через
Если точка /VI
этой сферы равна сФеРе>Т0 ее степень относительно
феры с центром в т™-. '"Т?пень точки М (х, у, г) относительно
ке С («, ь, с) н радиусом г определяется
гл. XIV. СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ. ЭЛЛИПСОИДЫ 285
по формуле
о = (х —о)2-’ •
Геометрическое место точек
носительно двух неконцентрических'сфер равны
костью называемой р а д и к а л ь н о й п л о с к о с
сфер. Если сферы пересекаются, то радикальная плоскость
ходит через их общую окружность. плоскость
Рассмотрим уравнения двух сфер
(х—а,У + (у - Ь, у + (2 _ с,у - г2 = 0,
(х—агУ + (у— bay + (г—с2)2—г2 =0
и обозначим левые части этих уравнений соответственно
Mj И ^2*
равнение Х,и, 4- ‘kiui = 0, где 1] и не равны нулю
временно, определяет сферу или плоскость, которая в случае,
если данные сферы пересека-
ются, проходит через их общую
окружность. Уравнение u, — ut
определяет радикальную плос-
кость.
Уравнение 7ш + рп =0, где
и =0 — уравнение сферы, а и=0
— уравнение плоскости, опре-
деляет при X #: 0 сферу (или
плоскость при Х = 0, р уЬ 0);
эта сфера проходит через линию
пересечения плоскости о = 0 со
сферой и=0 (если, конечно,
они пересекаются).
Конусы и цилиндры
второго порядка. Пусть
L — действительная нераспада-
ющаяся линия второго порядка,
кости этой линии; совокупность прямых, соединяющих точку S
со всеми точками линии L, называется конусом второго
порядка; точка S называется вершиной конуса, а пря-
мые, соединяющие точку S с точками линии,—образующими
конуса.
Конус называется круглым (или прямым круговым), если
его направляющая L—окружность, а прямая, соединяющая вер-
шину 5 с центром окружности L, перпендикулярна к ее плос-
кости. _.
Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид.
——=0.
а2 + Ьг с*
Если L —действительная нераспадающаяся линия второго
порядка и а—вектор, не параллельный пло™°с™ ЛИН1|И L
то совокупность прямых, проходящих чере
+ (У-b)2 + (г — с)г — гг.
’ -1<ТеГ1ек И каждой из которых от-
Г"-”--, является плос-
плоскостью этих двух
ПрО-
через
одно-
а S — точка, не лежащая в плос-
286 ГЛ. XIV. СФГРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ. ЭЛЛИПСОИДЫ
вектору а, называется цилиндром второго по.
параллели о ве РУ ывается наПравляющеи ц и л и н д р а> а
Р " проходящие через точки линии L параллельно вектору
прямые, "РО*0"5™1' , v ю ш и м и ц и л и и д р а. ру
”• ^^направляющая кривая L является эллипсом, то цилиндр
называется э л л и п т и ч е с к и м; если направляющая кривая L
является гиперболой, то цилиндр называется гиперболнче-
ек НМ наконец, если направляющая кривая L является пара-
болой,’ то цилиндр называется параболическим.
Уравнения эллиптического, гиперболического и параболиче-
ского цилиндров с образующими, параллельными оси Ог (рис. 28),
могут быть записаны так:
с?+ Ь*~
1.
а3 Ь2~
х2 = 2ру.
пП»к^НаЛОг'ЧНО зап«сываются уравнения цилиндров второго по-
(Ол п ^образующими, параллельными другим осям координат
(рисЭ29)нмеСет вндТ’ Канони',еское Уравнение эллипсоида
х2 у2 гг
а2 +б2' + Тг==1,
Если6^"0/,0^6^6' а’ Ь’ с называются полуосями
'рехо“-сЛ/Е”П„’Т= К?"4™’ ”
ты м эллипсоидом вращения
эллипсоидом вращения.
кости являются плпрк^Равнеии" эллипсоида координатные плос-
скостями симметрии, координатные осп — осями
эллипсоида,
называется
то эллипсоид называется ежа-
Если а'>Ь—с, то эллип-
уравнении эллипсоида
ГЛ. XIV. СФГРА. ЦИЛИНДРЫ И KO1IVCM с
и конусы, эллипсоиды 287
<ХТ,И
с,м>,>. «>. »,<о. о,,
эллипсоида с его поверхностью называний симметрии трехосного
В случае эллипсоидаР в?аще®ияэлли"соида.
ются две точки пересечения его поверхностис осью^ения^1'
Касательная плоскость к эллипсоиду
*' 1,1 .ь —— 1
а* + Ь3 + с* *
в его точке (х0, yOt zQ) определяется следующим уравнением:
V + ь- + е ~
Плоскость, в которой расположены середины параллельных хорд
эллипсоида, называется диаметральной плоскостью, сопряженной
этим хордам. Если а = {/. т, л}-вектор, определяющий направ-
ление хорд, то уравнение сопряженной им диаметральной плос-
кости будет:
. ^ + ^=0.
аг г Ьг ^сг
Прямая, иа которой расположены центры "аР“лелпь"0^0СДЧяем
иий эллипсоида называет^L«"a^T',0p’=Co__PypaBfleiiHe плоскости
х = огД/, y — b'Bt, г-^Ct.
Be, «»омеграяь»ие пао»«» » »"»«’₽“ П|”“'
дят через его центр.
288
гп XIV. СФЕРА, цилиндры И КОНУСЫ. ЭЛЛИПСОИДЫ
Если а>Ь>с, то плоскости____ ______
с У^~Ь*х±а l/'b^ — c’z+Kac У а2 — ^ = 0,
пеоесекают эллипсоид по окружностям; при
Где ' '„биениями определяются плоскости всех круговых
v.. ₽»«««<все >««»»» о?—1 до
9Т0М
сече-
Рис. 30. Рис. 31.
Плоскости, касательные к эллипсоиду и параллельные плос-
костям круговых сечений, касаются эллипсоида в точках, называ-
емых омбилическими (четыре точки):
Г и п е Р б о л о и д ы. Каноническое уравнение двуполост-
ного гиперболоида (рис. 30) имеет вид:
—г
а2"1 62 с2-------’’
где обычно а^Ь.
л о идаа°(пис С чп уравнен|,е однополост и ого гипербо-
«иида (рис. 31) имеет вид:
ПДе обычно а^Ь.
о, + 62 Т2"1,
ГЛ.. XIV.
СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ, эллипсоиды
289
Если
щ е н и я.
Если гиперболоид задан каноническим уравнением
динатные плоскости являются плоскостями . '
координат — осями симметрии (главныеисимметРии-
иат—центром симметрии (центр) Точки пепее™ начало коорДи-
ного гиперболоида с его осью симметрии Ог""? ®yno,noCT’
С, (0 0, с) и Сг(0 О, -е) называются его Рвершинами ' ТОЧКИ
/? тВ СЛГа^ Ь Т°ЧКИ Л,(а’ 01 °)’ °- 0). В.(0 Ь 0)
В2 (0, — Ь, 0) пересечения однополостного гиперболоида с е, А
осями симметрии Ох и Оу называются ею вершинами
Конус
а—то гиперболоид будет г и ™ с л л
Г д иудет гиперболоидом
плоскостями симметрии
е.
в р а-
коор-
оси
аг 1 Ьг сг
иазывается асимптотическим конусом гиперболоидов
аг + Ь* с2 ±
Касательная плоскость к гиперболоидам в точке (х0, ул, г0)
определяется уравнением
хлх улу гог_
аг + Ь2 сг ±‘-
Плоскость, в которой расположены середины параллельных
хорд гиперболоида, называется диаметральной плоскостью, со-
пряженной этим хордам.
Если a — {l, т, г:} — вектор, определяющий направление
хорд, то уравнение сопряженной им диаметральной плоскости
имеет вид:
lx
а‘ +Ьг с*
Хорды гиперболоида могут иметь любое направление, кроме на-
правлений образующих асимптотического конуса.
Прямая, на которой расположены центры параллельных сече-
ний гиперболоида, называется диаметром, сопряженным
плоскостям этих сечений. Если Ax + By + Cz + D=0—уравнение
плоскости этих сечений, то уравнения сопряженного диаметра
будут:
х = агЛ/, y = b*Bt, z = — c2Ct.
того чтобы плоскость пересекала гиперболоид по цеи-
чтобы эта плоскость не была параллельна нн. одной из
касающихся асимптотического конуса (вдоль обра
трал’ьной линии (действительной или мнимой), необходимо> ндо-
статочно,
плоскостей,
и «и «₽«
ходят через его центр симметрии.
Ю С. В. Бахвалов и др.
290 ГЛ. XIV. СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ, эллипсоиды
Плоскости _____ ____________
сУ&=Ъу±Ь Уа* + с*г±сЬ К*’+Л=0
пересекают однополостный гиперболоид по кругу при любом К,
а двуполостный при | А.| >1.
Плоскости ____ _____________
су&^Ь*у±Ь Уа'+сгг±сЬ УЬ2+сг=0
касаются двуполостного гиперболоида водной из четырех его
омбилических точек: _____
•/ -i f п’+сЛ
(0, ± Ь у ьг+с>’ * Р Ь* + с*} ’
Круговые сечения конуса
X* . У*
±_j_
аг с”
расположены в плоскостях
с —Ьгу ±Ь У a1 -j-cPz -f- D = 0,
где D принимает все действительные значения, кроме D = 0.
Прямолинейной образующей поверхности второго порядка
называется прямая, все точки которой принадлежат поверхности.
Однополостный гиперболоид имеет два однопараметрических
семейства прямолинейных образующих:
где а и р не равны нулю одновременно.
Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят
две различные прямолинейные образующие, принадлежащие раз-
ным семействам. 1
ллип^ап^Те'ПЬНаЯ плоскость пересекает однополостный гипербо-
TO4KV v, ДВУМ пР?молинейным образующим, проходящим через
П я п 7 ЭТ0Й плоско”и с поверхностью.
с.к г, °лоиды. Каноническое уравнение эллиптиче-
ского параболоида (рис. 32) имеет вид:
хг , у* „
“—I----= 2z.
р q
ГЛ. XIV. СФЕРА,. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ. ЭЛЛИПСОИДЫ 291
где р>0, <7>0 и обычно p^q. Если p—q, то эллиптический
параболоид —п а р а б о л о и д вращения.
Каноническое уравнение гиперболического парабо-
лоида (рис. 33)
р ч
=2г,
где р>0, <?>0.
Если параболоид задан
динатные плоскости Oxz и
метрии, а ось Ог—осью
каноническим уравнением, то коор-
Оуг являются его плоскостями сим-
симметрии (ось параболоида); точка
О (0, 0, 0) пересечения параболоида С его осью называется вер-
шиной. Плоскость Оху служит касательной плоскостью к пара-
болоиду в его вершине.
Касательная плоскость к параболоиду
точке (х0, у0, г0) определяется уравнением
в данной иа ием
^-|-^=z+29
р q
для эллиптического параболоида и
'-----------------------'----=z -j-
р q ‘°
для гиперболического параболоида.
Плоскость, в которой расположены середины параллельных
хорд параболоида, называется диаметральной плоскостью, со-
пряженной направлению этих хорд.
10*
009 г гг XIV. СФГРА. ЦИЛИНДРЫ и КОНУСЫ, эллипсоиды
Z«7X 1Л»
а-=(1.т, «} — лектор, определяющим направление
хорд то уравпепие сопряженной им диаметральной .плоскости
будет [Х ту
---- -4---П
р q
для эллиптического параболоида и
Гх _ ту _п
р q
для гиперболического параболоида.
Хорды эллиптического параболоида могут иметь любое на-
правление, кроме направления его оси (Oz), а Диаметральные
плоскости эллиптического параболоида параллельны его оси (Ог).
Хорды гиперболического параболоида не могут быть парал-
лельны плоскостям
±dL.
6
0;
все диаметральные плоскости гиперболического параболоида
также параллельны его оси (Ог).
Прямая, на которой расположены центры параллельных
сечений параболоида, называется диаметром, сопряженным плос-
костям этих сечений. Если Ах+By + Cz + D — 0 — уравнение
плоскости одного из сечении, то уравнения сопряженного диа-
метра будут:
для эллиптического параболоида и
Др
С ’
Д<7
для гиперболического параболоида.
Для того чтобы плоскость пересекала параболоид по цен-
п^иЬ,,°И (Действительной или мнимой), необходимо и доста-
ч’пп^п Ы ЭТа п„лоскость пересекала ось (Ог) параболоида,
сечений г.™ЧеСКНИ паРаболонд имеет два семейства круговых
, скости которых определяются уравнениями:
± VP~qyi- V"qz-\-D =
все действительные значения, меньшие чем
где D принимает
2 ‘
D<p^q
2
Плоскости
—W± V дг+Р~^Я У д = о
1542^ § 1- СФЕРА
касаются эллиптического параболой™ n „
точках " да в двух его омбилических
(о, ±W6^j,
Гиперболический параболоид имеет два однопараметоических
семейства прямолинейных образующих: араметрических
Через каждую точку гиперболического параболоида проходят
две прямолинейные образующие, параллельные плоскостям
и принадлежащие разным семействам.
Касательная плоскость к гиперболическому параболоиду
пересекает его по двум прямолинейным образующим, проходящим
через точку касания.
§ 1. Сфера
1540. Определить координаты центра и радиус каждой
из следующих сфер:
1) хг+у“ + га— 12x4 4у—6z = 0;
2) х2+/ + гг + 8х=0;
3) хг+/ 4г1 — 2х + 4у — 6z — 22 — 0;
4) хг+/ + ^г —6z—7 = 0.
1541. Определить координаты центра и радиус окруж-
ности
х‘ + /+г‘-12х4 4j-6z + 24 = 0, 2x + 2> + z+1-V.
1542. Определить координаты центра окружно
Х24-У +г’ = А!2, 21х + ^4-С'-г+^ = 0.
•Л4 ГЛ XIV СФЕРА ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ, эллипсоиды [1543
1543. Определить расположение точек И(3, О, 4),
5(3, 5, Of, С(3, 4, 4), 0(5, 4, 6) относительно сферы
(х-1 f-Ну + 2f+(*—1)’= 49.
1644. Определить расположение плоскостей
1; 2x + 2y + z-j- 2 = 0,
2) 2x4- 2у+*+ 5 = 0,
3) 2x4 2y-f-z4-ll =0
относительно сферы (х—1 )! 4* (у—2)!4-(х—4)2 — 25 = 0.
1545. Найти уравнение диаметральной плоскости сферы
(х—«)’ +(у—bf*+(z—с)г = /?г, сопряженной прямой х =
= x.+Z/, У =yt + mt, z — z^-j-nt.
1546. Определить геометрическое место хорд сферы
(х— If 4- (У—4 )г+(z 4- 1)г = 25, делящихся точкой Af(3, 5, 1)
пополам
1547. Определить геометрическое место середин хорд
сферы х* 4- У* 4-г* — А?* = 0, проходящих через точку
У О'
1548. Определить геометрическое место середин хорд
сферы хг уг z* — R*, проходящих через точку (—/?,0,0).
1549. Через точку Мй(ха,у„, zof проведены хорды сферы
(х—af -f-(y—= Определить геометрическое
место середин этих хорд.
1550. Определить геометрическое место оснований пер-
пендикуляров, опущенных из точки <S(x0, у0, zt) на каса-
тельные плоскости к шаровой поверхности хг 4"У* 4“2* *=
1551. Составить уравнение касательной плоскости к сфере
(х 1) —2)2 = 49 в точке М(7, —1,5).
*552. Составить уравнение касательной плоскости к сфере
(А с)г = ^ в точке М0(х0, у., х0).
оэо. Составить уравнение касательной плоскости к сфере
X 4-y24-z’ =Ге в точке М(х9, ув, го).
1554*. (.оставить уравнение сферы, проходящей
0KpyiS"HZ+/=9’'2=-° и^+7=25?^27‘ чсрс‘
. " '-(,с, *вить уравнение сферы, проходящей через
[ужность (х-М) 1-(у —2)г4-(г4-2),=:49, 2х4~2у—z+
-Г4 и начало координат.
^ОС,‘1ВИ1Ь уравнение сферы, проходящей черет
(х I 2х+2>.-/+
-f-4x=U и через точку (1, _>2( 0)
1565]
§ '• »•>
1557. Определить геометоическг»
ния прямых одной связки (S) с перпен^^Г°ЧеК "ересече-
плоскостями другой связки (S ) Дока-итк > ₽НЫ,‘И К НИм
геометрическое место получим ’ ЧТ° Т° Же О1юе
точки пересечения плоскостей связки ₽ассмат₽ивать
ными к ним прямыми связки 4 ’ ПеРПенЛИКуЛЯр-
1558*. При каком необходимом и достаточном vcjioru..
плоскость Ах+By + Cz + D^O касается ’°,в
_l,2_d2 п касается сферы +
‘ ПРедполагая «о условие выполненным, найти
координаты точки прикосновения.
1559*. Составить уравнение сферы, проходящей через
окружность -(-а —3x-f-6y-{-2z—5 = 0, х-2у-
— 4- 1 = 0 и касающейся плоскости 2х 4- 2у 4-2 — 7 = 0.
1560. Составить уравнение сферы, проходящей через
окружность х24-уг~~ 11=0, г = 0 и касающейся плоскости
х4-у 4-2—5 = 0.
1561. Определить геометрическое место центров окруж-
ностей, получаемых в пересечении сферы х2 4-у2 4-г2 =/?’
плоскостями пучка Д,х4-В,у4-С,2 4-О, =0, Atx-\-Bty +
1562. Определить геометрическое место оснований пер-
пендикуляров, опущенных из точки А(3, 2, 2) на плос-
кости, касающиеся сферы хг -{-уг -|-2г = 1 вдоль окруж-
ности, по которой эта сфера пересекается с плоскостью
2x±2y+z—1=0.
1563. Определить геометрическое место оснований пер-
пендикуляров, опущенных из начала координат на касатель-
ные плоскости к сфере (х—1)г + (у—2)2-Ь(г-|-1)2—9 = 0
вдоль окружности, по которой эту сферу пересекает плоскость
1564*. Инверсией, или преобразованием обратными радиу-
сами относительно сферы х2-Ьу2+^2—А’2 = 0, называется
такое преобразование, при котором каждой точке М(х, у, г)
пространства ставится в соответствие точка М'(х,у, z ),
принадлежащая лучу ОМ, так что отрезки ОМ и ОЛf удов-
летворяют условию ОМ-ОМ’= Установить зависимость
между координатами соответствующих точек.
1565* Составить уравнение поверхности, в которую пере-
. ъостави ум 2С2 = 0 при инверсии
ХОДИТ сфера X 4" У ~ ^ах *"У г —
(см. задачу 1564) относительно сферы х +У + г
29и гл XIV. СФЬРА. ЦИЛИНДРЫ и КОНУСЫ, эллипсоиды [1566
1566*. Составить уравнение поверхности, в которую пе-
реходит плоскость Ax+By+Cz + D = 0 при инверсии ее
(см. задачу 1564) относительно сферы хг + уг 4-z* = R*-
1567. В каком отношении делит площадь поверхности
сферы хг 4-у1 + z* = R* линия, по которой эта сфера касается
с конусом, описанным около сферы, если вершина конуса
находится в точке (х0, ув, z0).
1568. Составить уравнение радикальной плоскости сфер
+ у + — 2х = 0 и x* + y* + z* — 2хф4у—5z = 0.
1569. На прямой, проходящей через начало координат и
точку (1, 1, 1), найти такую точку, касательные из которой
к данным сферам (х—2)*-j-(y—5)I-f-zi=l, (х—4)2ф
-ф (у—3)2ф(Д—6)г = 2 равны.
1570. Доказать, что радикальные плоскости трех сфер,
взятых попарно, принадлежат одному пучку (ось этого пучка
называется радикальной осью трех сфер).
1571. Доказать, что шесть радикальных плоскостей четы-
рех сфер, взятых попарно, принадлежат одной связке (ценгр
этой связки называется радикальным центром четырех сфер).
1572. При каком необходимом и достаточном условии
сфера (х—«)гф(у—b)*-\-{z—c)t = RI касается прямой
х = хвф//, y=yB + mt, z = z0-\-nfi
1573*. Составить уравнение геометрического места центров
сфер, касающихся двух скрещивающихся прямых х = х1 ф-/,/,
у^у.фги/, z^z^nj и х^=х2ф/2/, у = у„фги2/,
г = ?,фя/, если /?ф/^фл’ = 1, /1фт|ф^=1.
1574. Доказать, что геометрическое место центров сфер,
касающихся трех попарно скрещивающихся прямых, есть
линия пересечения двух поверхностей второго порядка.
1575. Доказать, что существует, вообще говоря, восемь
сфер, каждая из которых касается четырех попарно скрещи-
вающихся прямых.
1576. От скольких параметров зависит множество сфер,
каждая из которых:
1) проходит через данную точку?
2) проходит через две данные точки?
3) проходит через три данные точки?
4) касается данной прямой?
5) касается данной плоскости?
6) касается данной плоскости и имеет данный радиус?
1586]
§ 1. СФЕРА
297
7) имеет цен гр на данной плоскости?
8) имеет центр на данной окружности?
9) проходит через данную окружность?
1577. Дана плоскость rn=D и сфера (г-гГ = Р=
При каком необходимом и достаточном условии ° данная
плоскость и данная сфера:
1) не имеет ни одной общей точки?
2) касаются?
3) пересекаются?
1578. Найти геометрическое место центров сфер, касаю-
щихся трех данных плоскостей.
1579*. Известно, что плоскость Дх-f- By + Cz-f- D = 0
пересекает сферу (х—й)24-(у—с)2 = /?2. При ка-
ком необходимом и достаточном условии точка (х0, уо, z )
лежит внутри меньшего сегмента, отсекаемого данной пло-
скостью от данного шара?
1580. Через прямую х = х14*И, y=y,4-/nf, z = zx-\-nt
провести плоскости, касательные к сфере (х—п)2 + (у—Ь]г +-
4- (г —с)2 = /Л
1581. При каком необходимом и достаточном условии
прямая х = х(4-It, у = у,-f-mt, z — zx-\-nt и сфера (х—п)24-
(у________с)г = /?г: 1) не имеют общих точек? 2) пе-
ресекаются?
1582. Составить уравнения плоскостей, касательныхксфере
__________о)2 4-(у—/>)24-(г — с)2 = /?‘ и параллельных плоскости
Ах 4- By 4- Cz 4- В) — 0.
1583* . Составить уравнение сферы, ортогональной чен -
рем данным сферам:
х2Н-/ + ^= 9,
(х4-5)’4-О'-1>1 + (*+2)’ = 53,
(х4- 1)г -Ьу2 + (^4 3)2=39,
х’4-О'+’)* + (*-2)* = 10-
1584. Составить уравнение радикальной плоскости двух
«и <»
15711
рек сфер (г-Г,)‘-=Й. 2' 3’ 4'
298 гл. xiv. СФ1ИА. цилиндры и конусы, эллипсоиды [1587
1587. Нлйтн точки встречи прямой г = г1-|-а? со сферой
1688. Составить уравнение сферы радиуса /?, центр ко-
торой находится на прямой г=г,4-а/ и которая касается
плоскости rn = D.
1589. Плоскость rn^=D пересекает сферу (г—г0)г = /?г.
Найти радиус окружности сечения.
1590. При каком условии уравнение г2-f-2rn-4-D = 0
определяет сферу? Найти ее центр и радиус.
1591. Во что переходит плоскость rn—D при инверсии
ее относительно сферы r2 = R2 (см. задачу 1564)?
1592. Во что переходит сфера г2— 2пг = 0 при инверсии
ее относительно сферы r2 = R2 (см. задачу 1564)?
1593. Во что переходит сфера (г—г0)2 = п2 при инверсии
ее относительно сферы r2=R2 (см. задачу 1564)?
1594. Составить уравнение плоскости, касательной к сфере
(г—г0)! = /?! в точке 7W0(q0), принадлежащей сфере.
§ 2. Конусы и цилиндры второго порядка
1595. Составить уравнение поверхности круглого цилинд-
ра, если даны уравнения его оси x — t, у— 14-2?,
z —— 3 — 2t и точка 5(1, —2, 1) на его поверхности.
1596. Составить уравнение конуса с вершиной в точке
5(1, 2, 4), образующие которого составляют с плоскостью
2х 4- 2у z — 0 углы 45°.
1597. Составить уравнение поверхности кругового конуса,
вершина которого находится в точке 5(1, 2, 3), ось пер-
пендикулярна к плоскости 2x4- 2у —z-\-1 = 0, а угол, обра-
зующей с осью, равен 30°.
1598. Составить уравнение конуса, описанного около сферы
х + У -f-z = 1, если вершина конуса находится в точке
УИ(5, 0, 0).
1599. Составить уравнение цилиндра, образующие кото-
и составляют рав-
1600. Составить уравнение круглого цилиндра, описан-
х2+/°+?=збУХ Сфер <x-1)! + 0'-2)i + (* + 2)! = 36’
1601. Составить уравнения конусов, описанных около
сфер хЧ/-Н’-4 = 0, хг4-У + (*-ЗГ-1=0.
рого касаются сферы х2 4- у2 4- z2 — 1 = 0
ные углы с осями координат.
мн ожество
множество
всех
всех
зависит
множество
всех
25
161OI § 2. конусы и цилиндры ВТОРОГО порадад
известны три его образующие”:”! - 7™™„11НЛИНД₽а* если
ж — 1 =rj,-4_i =2 — 2. -З'-г. х-Н=.у = г—1.
1603. От скольких параметров зависит
Круглых цилиндров пространства?
1604. От скольких параметров зависит
круглых конусов пространства?
1605. От скольких параметров
круглых цилиндров:
1) описанных около данной сферы?
2) имеющих данный радиус?
8) имеющих данную ось?
4) проходящих через данную прямую?
1606. Направляющая конуса задана уршпениими
4--д-и 1. х— 0, вершина конуса находится в точке (4, 0, —3);
составить уравнение конуса.
1607. Составить уравнение оси круглого конуса, вершина
которого находится в точке jW0(r0), если известны направ-
ляющие векторы трех образующих г,, гг, г„ лежащих на
его поверхности. Составить также уравнение самого конуса.
1608*. Составить уравнение цилиндра второго порядка,
г/2 г2 «
описанного около эллипсоида '• еслн иавестеи
вектор а •= {/, т, п}, определяющий направление образующих.
1609. Даны круглый цилиндр [аг]г = с2 и прямая r=r0+bt.
При каком необходимом и достаточном условии прямая;
1) не имеет общих точек с цилиндром?
2) пересекает цилиндр?
3) касается данного цилиндра?
4) является образующей данного цилиндра?
1610. Дан круглый конус
При каком необходимом и достато у
1) не имеет общих точек с этим конусо ?
2) проходит через его вершину?
3) является образующей конуса?
4) пересекает поверхность конуса?
5) касается поверхности конуса?
300 ГЛ. XIV. СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ, эллипсоиды [1611
1611. При каком необходимом и достаточном условии
точка лежит внутри круглого конуса (аг)г = аггг cos2 А
(А = const).
1612. Найги геометрическое место оснований перпенди-
куляров, опущенных из точки (х0, у0, д0) на образующие
круглого конуса х!+_у2—з2 = 0.
§ 8. Эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды
1613. Составить уравнение эллипсоида, пересекающего
координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно по линиям
у 2 ^2
V — о, ке+ 775=1 п х = 0, 4г 4-7Z==1, если его оси совпа-
v 25 1о У 1о
дают с осями координат.
1614. Составить уравнение эллипсоида, оси которого сов-
падают с осями координат, если он проходит через эллипс
г —О, ^’4~jg = l и через точку 7И(1, 2, ]/23).
1615*. Составить уравнение эллипсоида, оси которого
совпадают с осями координат, если известно, что он про-
ходит через окружность x24-J!4~-z2 = 9, z — x и точку
М(3, 1, 1).
1616. Составить уравнение касательной плоскости к эл-
липсоиду = i в точке /И(3, 2,5).
1617*. Найти необходимое и достаточное условие того,
что плоскость Ах4- By -[- Cz 4- D — 0 касается эллипсоида
1618*. При каком необходимом и достаточном условии
плоскость Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0 пересекает эллипсоид
1619. Определить геометрическое место оснований пер-
пендикуляров, опущенных из центра эллипсоида
2г а ь
4" ^г=1 на касательные плоскости к нему.
1620-=-. Определить центр сечения эллипсоида -7 4-^2 4"
гг а. ' о
+ ^==1 плоскостью Дх4-йу»4-Сг4-£> = 0.
1629] § 3. эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды 3qi
1621. Составить уравнение геометрического места хорд
эллипсоида ^4.-4--= ц которые точкой А1(х„ у„ zj
делятся пополам.
1622. Составить, уравнение диаметральной плоскости эл-
липсоида —-j-—4-_ = if делящей пополам хорды, парал-
лельные вектору а~{2, 1, 2).
1623. Определить геометрическое место середин хорд
эллипсоида = проходящих через точку
р(х0< Уо. ZJ-
1624. Определить геометрическое место центров эллин-
W2 Z2
сов, получаемых в пересечении эллипсоида —=1
е касательными плоскостями к сфере х* 4-уг 4- гг = R'.
1625. Показать, что + —1—Х(Дх + Ву4-Сд4-
4-0) = 0 есть уравнение эллипсоида, проходящего через
2^
линию пересечения эллипсоида *1~2? ~ * с плоскостью
/1x4 By 4- Cz 4- 0 = 0, оси которого параллельны осям коор-
динат.
1626. Найтн геометрическое место центров эллипсоидов,
определяемых уравнением 4-|-г 4-^- —I —+-Ду+Сд-)-
>£)\_0, где X принимает любые значения.
1627. По какой линии пересекаются два эллипсоида
Xs, г/* .г1 х‘ //*«*]
ГЛе 1628. Составить уршнение всех плоскостей, иересекно-
х1 . Уг Л_г1 — 1 («>^>С) но окружностям.
ЩИХ ЭЛЛИПСОИД TF + fesT'c* ' .
X* t I L=1 геомегрнче-
1629*. Найти на эллипсоиде и1 -гтсг
ское место точек, обладающих^тем^свойст“™’ск()СТ„й к эл.
геометрического места имеет
одно и то же значение, равное d.
302 ГЛ. XIV. СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ, эллипсоиды [1630
„„„ х2 . и2 , г2
1630. Решить задачу 1629 для эллипсоида ^g+jg-l 9 —
— 1 = 0.
1631. Составить уравнение геометрического места точек,
являющихся центрами круговых сечений эллипсоида 4ф-|-
-/-£ = 1, a>b>c.
С X2 2 Z2
1632. Эллипсоид ^г+^г+|г = 1, а > b > с пересечен
пучком плоскостей, параллельных плоскости Ах-\- By Cz—b.
1) Составить уравнения плоскостей, в которых будут рас-
положены оси симметрии эллипсов, полученных в сечениях,
считая, что данная плоскость не пересекает данный эллип-
соид по окружности.
2) Рассмотреть числовой пример: хг 2у3 3z2 = 1,
х у Ч~ z = 0.
1633. Составить уравнение плоскости, пересекающей
F/2 22
эллипсоид — Ь 110 эллипсу, центр которого на-
ходится в точке (х0, у0, гй).
1634. Доказать, что все плоскости, проходящие через
концы трех попарно сопряженных диаметров эллипсоида
х2 у2 г2 , х2 и2 , г2 1
^ + ^ + ^ = 1, касаются эллипсоида + ст = у > при-
чем точки касания плоскостей ко второму эллипсоиду яв-
ляются центрами сечения первого.
1635*. Доказать, что всякие два круга, получаемых при
пересечении эллипсоида двумя непараллельными плоскостями,
лежат на одном шаре.
1636*. Доказать, что если у двух поверхностей второго
порядка коэффициенты при квадратах координат их канони-
ческих уравнений отличаются на одно и то же число, то
плоскости круговых сечений этих поверхностей параллельны.
1637*. Доказать, что сумма чисел, обратных квадратам
длин трех любых попарно перпендикулярных радиусов эллип-
соида, постоянна для данного эллипсоида.
1638*. Доказать, что все плоскости, проходящие через
концы трех попарно перпендикулярных радиусов эллипсои-
да, касаются шара, вписанного в куб: этот куб вписан в эл-
липсоид. } }
I65l| § 3. ЭЛЛ„„МВДЫ; „„„бзд,,. зю
1639. Прямая x=14-2t v = _чд_ч/ , t
В0,7ыосна?™с“та‘"’ь ,ра,ге""с XS’»
640. Найти геометрическое место центров сфер касаю
щихся плоскости Оху и сферы хг 4- у* 4- г» L а« Ф P’
1641. Найти поверхность, образованную движением при-
мой, которая пересекает параболы у* = 2х, z = 0 и z‘ = —-2х
У~(), оставаясь параллельной плоскости у—z=0
1642. Составить уравнение геометрического места прямых
касающихся сферы х2 4-/ 4-= 1 „ пересекающих две пря-
мые Х=1, у = 0 и х =—1, 2 = 0.
1643. Составить уравнение поверхности, образованной
движением окружности, плоскость которой параллельна пло-
скости х4~.У = 0, причем эта окружность пересекает ось Ох,
ось Оу и прямую у—х, г = а.
1644. Определить угол между прямолинейными образую-
щими однополостного гиперболоида х'4-.У1—г2=1, прохо-
дящими через произвольную точку.
1645. Определить угол прямолинейной образующей одно-
полостного гиперболоида x’+j*—z*=l с касательной к
окружности горлового сечения в той точке, в которой эта
окружность пересекается с рассматриваемой образующей.
1646. Даны параметрические уравнения х—«cost/,
у = и sin v, z = ± Ytf — \ однополостного гиперболоида.
Найти зависимость между U, v для прямолинейной образующей.
1647. Найти прямолинейные образующие поверхности
x24-y2 = 2(zs4-1), проходящие через точку (1, 1, 0).
1648 Определить геометрическое место середин хорд
гиперболоида x2 + /-^ = C еслп 1|РЯМЬ*- содержащие э«и
хорды проходят через точку 5(х0, у„, zc)
1649 Определить геометрическое место диаметров по-
s . . s ,» _. 1 сопряженных плоскостям, касаю
верхпости х 4- J , t’_j од1> ЛИцИц ее пересечения
щимся сферы х 4-> ~ 1 л
С ПЛОСКОСТЬЮ х4-у -Ь 2 — 1 —6. .«лтпов сЛеоы
1650. Онределигь к
л-ч-/+z=с л««и» х-+/-«•-1.
верхности X tJ z
х 4- у + Z — 1 • .пеохпости второго порядка,
1651. Составить УР‘,в,,ен''®_ Р 11оверхностей x’ + j—
преходящей)через^ли1щюд^о тоцку 5(0> 0, 2).
304 IЛ XIV. сфера, цилиндры И КОНУСЫ, эллипсоиды [1652
1652 Определить геометрическое место центров плоских
сечений сферы хя+/ + «я —1=0, полученных в результате
пересечения ее касательными плоскостями к поверхности
х«4-у’ = 2г.
1653. Доказать, что проекции прямолинейных образую-
щих поверхности £—£ = 2* (Р>°. ?>0)на плоскость Oxz
касаются параболы х = 2рг-
1654*. На гиперболическом параболоиде х —у ~2z
найти геоме>рическое место точек пересечения двух взаимно
перпендикулярных образующих.
1655. Найти геометрическое место середин хорд конуса
—г* = 0, если прямые, содержащие эти хорды, про-
ходят через данную точку (jc0, у0, z0).
1656*. Доказать, что проекции на плоскость горлового
эллипса линий, по которым поверхность однополостного гипер-
болоида рассекается касательными плоскостями к его асимпто-
тическому конусу, касаются этого эллипса.
1657*. Прямолинейная образующая однополостного гипер-
болоида проектируется в плоскость горлового сечения. Как
будет расположена проекция относительно горлового сечения?
1658. Найти проекции прямолинейных образующих гипер-
болического параболоида на плоскость, касательную в его
вершине.
1659*. Составить уравнения прямой, на которой распо-
2%
ложены центры сечений эллипсоида -? + т? +-z-= 1 плоско-
а2 Ь2 ’ с2
стями, параллельными плоскости Ах-}- By-]-Cz = Q.
1660*. Эллипсоид перемещается так, что касается трех
взаимно перпендикулярных плоскостей. Найти геометрическое
место центров движущегося эллипсоида.
1661*. Эллипсоид вращается вокруг своего центра так,
что все время касается некоторой плоскости. Найти геомет-
рическое место точек касания на самом эллипсоиде (полодия),
('ют вопрос имеет приложение в механике твердого тела:
точтш )ИС ПО инеРи,ии твеРДого тела, вокруг неподвижной
1662. Составить уравнения прямой, на которой располо-
жены центры сечений эллипсоида ф-+ jg = 1 плоскостя-
ми, параллельными плоскости х—z = 0.
уравнение конуса с вершиной в данной
описанного около данного эллипсоида
что около трехосного эллипсоида —2-|-
а—максимальным, зЬ—
. минимальным радиусом из всех макси-
1671) § 3. мотпеоилы; ггаврьмошщ. „„Акти,ш 305
1663. При каком «обходимом и достаточном условий
точка (хс, у„, zt) лежит внутри эллипсоида -2 - _|_ * = 1?
1604. Пусть (х0, уе, го) внутренняя точка эллипсоида
Составить уравнение плоскости, проходящей через эту Toiv
и пересекающей эллипсоид по эллипсу, центр которого иа^
ходится в этой точке.
г 1665*.^Пусть (х0, уо, zc) — внешняя точка эллипсоида
+ Составить уравнение конуса с вершиной
в данной точке, описанного около этого эллипсоида.
1666. Составить
точке <$„(6, 0, 0),
х2 i? г2
25 + 1б+"9 =1’
1667. Доказать,
п2 Z2
4-p+^s = l нельзя описать круглый цилиндр.
1668* *. Найти геометрическое место точек пересечения
трех взаимно перпендикулярных плоскостей, каждая из ко-
торых касается данного эллипсоида.
1669*. Доказать, что для трехосного эллипсоида, задан-
ного своим уравнением ^ + ^-+^ = 1 («>/>> с) относи-
тельно декартовой прямоугольной системы координат, с яв-
ляется минимальным радиусом*),
«минимаксом», т. е. минимальным радиусом >и »сс~
мальных радиусов плоских сечений этого эллипсоида.
1670. Доказать, что уравнения х — а cos и cos т, У
= b sin и cos v, z = с sin ф—параметрические уравнения эллип-
соида. Каков геометрический смысл параметров “
кие линии определяются уравнениями к-const и J
1671. Какой вид примет уравнение эллипсе д ,
плоскость Оху принять плоскость Огг—диаметр,
ходящего через центр поверхностт,
сопряженный этой плоскости?
сг птпезок граничными точ-
*) Радиусом эллипсоида> на-шает^ и₽го ^изволь1.ая точка,
ками которого служат цетн
306 гл. XIV. СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ и КОНУСЫ, эллипсоиды (1672
1672*. Исследовать, какие линии второго порядка могут
получиться в сечении однополостного гиперболоида произ-
вольной плоскостью.
1673*. Доказать, что плоскость, касательная к однопо-
лостному гиперболоиду, пересекает его по двум прямоли-
нейным образующим.
1674*. Доказать, что любая плоскость, проходящая через
прямолинейную образующую однополостного гиперболоида,
пересекает его еще по прямолинейной образующей другой
серии.
1675. Найти геометрическое место точек, для каждой
из которых отношение расстояний до двух скрещивающихся
прямых пространства равно данному числу р.
1676. Определить геометрическое место точек пересече-
ния трех взаимно перпендикулярных касательных плоскостей
- X* , if о
к параболоиду -j-^ = 2z.
/1 D
1677*. Доказать, что геометрическое место вершин трех-
гранного угла, все плоские углы которого прямые, а грани
касаются данного однополостного гиперболоида, есть сфера,
центр которой совпадает с центром данного однополостного
гиперболоида.
1678*. Исследовать, какие линии второго порядка могут
получиться в сечении двуполостного гиперболоида произволь-
ными плоскостями.
1679*, Доказать, что геометрическое место вершин трех-
гранного угла, все плоские углы которого прямые, а грани
касаются двуполостного гиперболоида, есть сфера, центр
которой совпадает с центром рассматриваемого двуполостного
гиперболоида.
1680. Составить уравнение конуса с вершиной в точке
(хо> го). описанного около однополостного или двупо-
лостного гиперболоида С 4-^—?!
<г 1 Ьг сг
1. Составить уравнение цилиндра с образующими, па-
раллельными вектору а = {/, т, п}, описанного около одно-
олостного ИЛИ двуполостного гиперболоида
-4-^—---И
йг ' Ьг <? ~ ±1 •
1689) § 3. Мл»тс„„ди; гипв,ВМ01ив; т
1682. При каком необходимом и достаточна
точка (х0, yt, z0) будет внутренней точкой Щ УСЛОВНИ
, X2 1? г« } неииеи точкой двуполостного
гиперболоида ~г+^~J = —1?
1683*. Как запишется уравнение однополостного гипео-
болоида, если за начало координат принять точку О этой
поверхности, за оси Ох и Оу-прямолинейные образую^
проходящие через эту точку, а за ось Ог-днаметр сопря-
женный плоскостям, параллельным плоскости Оху?
1684*. Как запишется уравнение двуполостного гипербо-
лоида, если за начало координат принять произвольную
точку О этой поверхности, за оси Ох и Оу—две прямые,
лежащие в касательной плоскости в точке О, имеющие со-
пряженные направления относительно любого сечения пло-
скостью, параллельной касательной, а за ось Oz—диаметр,
проходящий через точку О?
1685*. Доказать, что плоскость, параллельная любой
плоскости, касательной к двуполостному гиперболоиду, либо
не пересекает этот гиперболоид, либо имеет с ним одну
общую точку, либо пересекает по эллипсу.
1686*. Рассмотрим семейство поверхностей второго по-
у2 ..2 Z2
рядка + Исследовать аффипныр сорт
г а + л Ьг 4- л с + л
поверхности семейства в зависимости от значений считая
а>г>>с>0. Доказать, что через каждую точку простран-
ства проходят три поверхности из этого семейства: эллипсоид,
однополостный Г) перболоид и двуполостной гиперболоид.
Доказать, что эти поверхности пересекаются ортогонально.
1687*. Доказать, что плоскость, касательная к асимпто-
тическому конусу однополостного гиперболоида, пересекаю-
щего ортогонально данный эллипсоид, пересекает этот эллип-
соид по эллипсу, имеющему постоянную площадь.
1688. Составить параметрические уравнения однополост-
ного гиперболоида и двуполостного ги"ерб"“а- ого ги.
1689*. Какой вид примет уравнение ОД,1О1'™“Т™Г°
перболоида, если за плоскост Оху
ходящую через центр поверхнос , и
кругового сечения, а за ось Oz np”””T^j
]) диаметр, сопряженный плоек через центр
2) нормаль к плоскости Оху, проходящую
поверхности?
308 гл. XIV. СФГРЛ. ЦИЛИНДРЫ и конусы, эллипсоиды [1690
1690*. Какой вид примет уравнение двуполостного ги-
перболоида, если принять за плоскость Оху плоскость, про-
ходящую через центр поверхности, параллельную плоскости
круговых сечений, а за ось Oz принять:
1) диаметр, сопряженный плоскости?
2) нормаль к плоскости Оху, проходящую через центр
поверхности?
1691. Доказать, что геометрическое место точек, для
каждой из которых отношение расстояния от данной точки F
к расстоянию до данной плоскости р равно данному числу
k=F\, есть поверхность вращения второго порядка. Дока-
зать, что конус с вершиной в точке F, направляющей кото-
рого служит какое угодно плоское сечение указанной по-
верхности, есть конус вращения.
1692. Доказать, что проекция любого плоского сечения
параболоида вращения плоскостью, пересекающей его ось,
на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть окружность.
1693*. Какие аффинные сорта линий второго порядка по-
лучаются при сечении эллиптического параболоида произ-
вольной плоскостью?
1694. Составить уравнения прямой, на которой лежа г
. 2
центры сечений залип гического параболоида —— = 2z
Р q
плоскостями, параллельными плоскости Ах +
+By + Cz + D = 0.
1695. При каком необходимом и достаточном условии
™чка (хе> Уь, лежит внутри эллиптического параболоида
-+^ = 2z (р>0, ?>0)?
1696. Пусть AJ0(x0, у0, zn) — произвольная внутренняя
точка эллиптического параболоида — 4-^ = 2z(p>0, ?>0).
Составить уравнение плоскости,
в тоткее12'°щей данну,° повеРхность по эллипсу
1697. Пусть /И (г и ~ \
J 'o\xo> З'о» zo>—внешняя точка
«ого„арабо„овд^ + ^=22 (р>0> ?>0)
SXTS’X”‘ .
оло этой поверхности. Составить
проходящей через эгу точку
< с центром
эллингиче-
Составигь
точке /Ио,
уравнение
1707) § 3. эллипсоиды; гппЕгеолоиды; плллволоилы 309
плоскости, в которой лежит прикосновски» конто
с поверхностью. пивенин конуса
1698. Составить уравнение цилиндра с образующими
параллельными вектору а = {/, т> п}> описанного
тического параболоида — ^z,
1699*. Доказать, что геометрическое место вершин трех-
гранных углов, все плоские углы которого прямые, грани
которого касаются данного эллиптического параболоида, есть
плоскость, перпендикулярная к оси параболоида.
1700*. Доказать, что если р' и —параметры парабол,
получаемых в сечении эллиптического параболоида =
(р>0, ?>0) двумя сопряженными диаметральными пло-
скостями, то р' -\-q' =p-\-q.
1701. Найти геометрическое место точек, равноудаленных
о г данной точки и от данной плоскости, не проходящей
через данную точку.
1702*. Доказать, что конус второго порядка с вершиной
в фокусе меридионального сечения параболоида вращения
(т. е. сечения, проходящего через ось вращения), направля-
ющей которого служит любое плоское сечение этого пара-
болоида, есть конус вращения.
1703*. Доказать, что плоскости, параллельные любой
касательной плоскости к эллиптическому параболоиду, либо
не пересекают эту поверхность, либо касаются ее, либо пе-
ресекают по эллипсу.
1704*. Доказать, что гиперболический параболоид не имеет
плоских эллиптических сечений.
1705*. Какие аффинные сорта линий второго порока мо-
гут быть получены в сечении гиперболического параболоида
различными плоскостями?
1706. Составит уравнения пряной. на которой ^ежат
центры сечений гиперболического параболоида - 2-
(р>0, «>0> олоскостянн, параллетьннпи плоскости Ах +
+ Ву + Сг = » (С* 0). , ОЛЬ|ИЯ точка. Соста-
1707. Пусть Л1с(хе, уо, р „ чеоез ЭТу точку и
вить уравнение плоскости, проходящей через у
310 ГЛ XIV. СФЕРА. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ, эллипсоиды (1708
х* у*
рассекающую гиперболический параболоид — — — = 2z по
центральной линии второго порядка с центром в точке /Ио.
1708*. Какой вид примет уравнение гиперболического
параболоида, если за начало координат принять произвольную
точку О поверхности, за оси Ох и Оу—две прямолинейные
образующие, проходящие через точку О, а за ось Oz—пря-
мую, параллельную оси параболоид?
1709*. Доказать, что геометрическое место вершин трех-
гранник углов, все плоские углы которого прямые, а грани
касаются гиперболического параболоида, есть плоскость, пер-
пендикулярная к оси этого гиперболического параболоида.
1710*. Доказать, что если р' и q’ — параметры парабол,
получаемых в сечении гиперболического параболоида
и*
----— е-2г (р>0, ^>0) двумя его взаимно перпендику-
1.1 1' 1
лирными диаметральными плоскостями, то —•
1711*. Доказать, что если р’ и д’ — параметры пара-
бол, получаемых в сечении гиперболического параболоида
г»
~2.Z двумя сопряженными диаметральными плоскости-
ми, то р' + q’ =*p—q.
‘1712*. Доказать, что касательная плоскость в вершине
гиперболического параболоида делит пополам отрезок пря-
молинейной образующей, заключенный между двумя глав-
ными плоскостями этой поверхности.
1713» Найти геометрическое место точек, равноудаленных
от двух данных скрещивающихся прямых в пространстве.
1714. Доказать, что любая плоскость, проходящая через
прямолинейную образующую гиперболического параболоида
в случае, если она не параллельна оси этой поверхности,
проходит еще через одну прямолинейную образующую этого
гиперболического параболоида, причем эта плоскость будет
касательной к поверхности в точке пересечения указанных
прямолинейных образующих.
1715. Доказать, что параметрические уравнения
P(u-H'), гО, г = 2Мг/, где р>0, ?>0,
уть уравнения гиперболического параболоида. Какие линии
определяют уравнения и — const, v = const?
17,91 § 3. эллипсоид,,; „,„„вмоиды. ПАрА11ОЛ011ди 8п
1716. Найти геометрии
гиперболического параболоида ч _
р a через каждую из
которых проходят две взаимно перпендикулярные прямоли
нейные образующие этой поверхности прямолн
1717* Доказать, что проекции прямолинейных образую-
щих гиперболического параболоида на плоскость касатель-
ную к этому параболоиду в его вершине, параллельны тем
прямолинейным образующим, которые лежат в указанной
касательной плоскости.
1718. Доказать, что проекции прямолинейных образую-
щих гиперболического параболоида на какую-либо главную
плоскость огибают сечение поверхности этой главной пло-
скостью.
1719*. На двух скрещивающихся прямых пространства на
равных расстояниях друг от друга взяты точки:
на прямой I точки 1, 2, 3, 4, ...;
на прямой Г точки Iх, 2', 3', 4', ...
Доказать, что прямые 11', 22', 33', 44', ... лежат на
поверхности одного и того же гиперболического параболоида
(на этом свойстве основано построение нитяных моделей
гиперболического параболоида).
ГЛАВА XV
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Общее у р а в н е н и е поверхности второго порядка имеет
вид:
+ «й?* + ймг' + 2«1г^ + 2й2^г +
4-2a,Iz*+2«iX + 2a2f/ + 2asz+a==0. (1)
В случае, если уравнение (1) задано относительно декартовой
прямоугольной системы координат, следующие выражения являются
инвариантами поворота и переноса декартовой прямоуголь-
ной системы координат:
/.=
/г=
«и
«21
«31
«И
«21
«12
«22
«33
«12
«22
аи
«22
«33
/1 —«и -|-агг4-я.
/<1 =
«11
«21
«3!
«1
«12
«22
«32
«,
«11 «12
«3! «33
33
«>з
«2,
«33
«3
О
а,
а
а
«22
«32
аг»
а»
Следующие два выражения,
там и, являются инвариантами
ной системы —
с е м и и и в ариан-
/<,=
^2 =
координат:
«и
«21
«1
«11
а,
«1г
«22
«2
«1
а
«1
«г
а
«г,
«2
«И
«2!
«I
«2
а
называемых
поворота декартовой прямоуголь-
«12
^3S
«3
«
«22
32
«2
«3 + а:
а
«33
«з
«22
«33
«2
«2
«3
а
а.
а
и.,"учае- если К4=0, семиинвариант К, будет также и
№muuuoHT0M пеРеноса; в Случае же /,==0, К4 = 0. /2=0,
ариант будет также и инвариантом переноса.
nmmi'nu п'"И '3 7=0, то уравнение поверхности второго порядка при
оворота и переноса прямоугольной системы координат
ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО
может быть приведено к следующему виду:
ПОРЯДКА 313
~ГЛ2г +AsZii4._2i_:0>
где Х„ Х2, Х2—корни характеристического уравнения
(I)
«11 X и,
«21
«S1
12 ois |
«га — X a2s
«22 os> — X
X* /jX’-E/jX—Is~0.
1 . Если Х|, Х2, Х3 одного знака, а имеет знак, им
воположный, то уравнение (I) определяет’эллнпсоид.
Считая, что
или
(2)
проти-
= 0
перепишем уравнение (I) в виде:
X1 , Уг , Г
__^ + _2k+_Jk~
Xj/j Xj/j Xj/j
Тогда полуоси эллипсоида будут:
А, с
а =
К,
X,/,’
причем в силу условия I^Xj | <1 Х21 <1 Ха| будем иметь а - b с.
2°. Если X,, Х2, X.
мнимый эллипсоид: считая | X, |<|Х2|<|Х,|. приведемего
к виду:
,з> К* одного знака, то уравнение определяет
S . . . . _______
. уг +^ = -1,
оз + Ь2
где
С
а —
X/»
. . 11 I 11 । будем иметь Q b
причем в силу условия |Х, | < IМi I з 1 0 уравнение (I)
Е™ V. ч ' “*•
определяет мнимый к у
ведем его к виду;
X* . ^ + 5 = 0,
а» + Ьг' с1
где
|Xj’
с
а —
причем и Ь ^с.
314 ГЛ. XV. yPABHl.UHH 1IOBI РХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
4°. Если два корня характеристического уравнения (2) одного
8иака, а третий корень и
Л.
Л
имеют знак,
им противоположный
то уравнение (I) определяет однополостный гипербо-
лоид. Обозначая в этом случае через %, и А2 корни характери-
стического уравнения, имеющие один знак, и полагая | А, | < | Х21,
уравнение (I) перепишем в виде:
X2
Kt
М»
Kt
A2^J А3/3
или
A2 F2_Z2
а2 + Ь2 с2
где
+
причем а^Ь.
5°. Если два корня характеристического уравнения и свобод-
I'
ный член уравнения (I) имеют один и тот же знак, а третий
Л
корень характеристического уравнения имеет знак, им противопо-
ложный, то уравнение (I) определяет дву подостный гипер-
болоид. Обозначая в этом случае через А, и А2 корни одного
знака и считая |А,|<;|А2|, перепишем уравнение (2) в виде
или
А'2 , У2 Z2
А/» Аг/s
А2 У2 Z2
a2 + b2 c2~ ’
где a^b.
6°. Если два корня характеристического уравнения одного
знака, третий корень имеет знак, им противоположный, и А* = 0,
уравнение (I) определяет конус. Считая, что одинаковый знак
кМв1(>Ту-К0РНИ И ^2’ И полагая I л, I < IА21, приведем уравнение (1)
A j •
или
А2 , у2 Z2
J_ + 1 р-0
I A I I I I А3 |
А2 У2 Z2
а2 + Ь2 с2"-0.
ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА 315
где
«= 1Лтт 6= 1/-L.
r IM ' |М
причем a^ab.
с=«
("pa.So д“ар,аГ ’ р““ ” • “°
II. Если =0, К4 ^4 0, то уравнение поверхности второго по-
рядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы
координат может быть приведено к следующему виду
Х1Х2 + Х2Г»±2 1/ -Az-O,
* t
(П)
где и X,—отличные от нуля корни характеристического урав-
нения.
7*. Если X] и Л2 одного знака, то уравнение (II) определяет
•глиптический параболоид.
Будем считать
I li I < I Х21-
Переписывая уравнение (II) в виде:
выбирая перед радикалом знак,
противоположный знаку X, и
и полагая
1
1 Ъ
ПОЛуЧИШ!
*+y-~2z,
Р я
К* знак минус, переии-
ГДв ^сли X, и Разных знаков, то уравнение (II) определяет
Г И ПО^значаяИ чеСрезК Х1ЙпоПлож,п'ел°ьный_2^.е111,> —
тельный и беря перед радикалом |/ •
тем уравнение (II) в виде:
А'2______________Д_
т V /. ъ
= 2Z
I,
или
Р Я
3b ГЛ XV УРАВНЕНИЕ ПОВГРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1
I
р=ах;
П1 Если /, = 0, Kt — 0, /2#0, то уравнение поверхности вто-
рого порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной
системы координат может быть приведено к следующему виду:
Х,Х»+Х2Г* + ^=0, (Ш)
Д’
и Л, одного знака, а имеет знак, им противо-
'2
уравнение (III) определяет эллиптический
где Л, и 1,—отличные от нуля корни характеристического урав-
нения
9“. Если Х|
положный, то
цилиндр.
Считая, что
]Л1|<|Л.2|, перепишем уравнение (III) так:
• Г_______j
К.
л2/2
К, 4
Aj/j
или
аг^Ь* ’
где
с= 1/Та,
V л.1/2 V л2/2
причем а^Ь.
К
I . Если Л,,, Л,2и у* одного знака, то уравнение (III) опреде-
?
ляет мнимый эллиптический цилиндр.
Считая X, Л2|, перепишем уравнение (III) в виде:
Х+22.=_,
или
«2+дг— 1.
вдесь а^Ь.
‘ Если и одного знака, а /<,=0,
₽ ДВе мнимые пересекаю щи
Перепишем в этом случае уравнение (III)
уг
Т--~=°
то уравнение (III)
еся плоскости,
в виде:
Хг
ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
или
где а Ь,
г IM Г |Х2|’
12°. Если Z, и X* разных знаков и К =£0 ™
определяет г и п е р б о л и ч е с к и й ц и л и н л п т?уРавиение (™)
тот корень характеристического уравнения,^0^“' '
противоположный знаку перепишем уравнение
22
12°. Если X, и X
через /п
имеет знак.
(И1) в виде;
или
Xs Уг
А
М. хл
^_Р_.
а* Ь*~*'
где
£ , Р л
а
13°. Если к, и X, разных знаков и Ks = 0, то уравнение (HI)
определяет две пересекающиеся плоскости. Обозначая
через X, положительный корень характеристического уравнения,
перепишем уравнение (III) в виде:
Х1 Х2
или
^-^=0,
аг Ь* ’
где
сти
ной
где
нения.
, Л , __г> к то уравнение поверхио-
IV. Если /, = 0. К« — °> °’ „‘пота и переноса прямо}голь-
второго порядка при помощи по _р к следующему виду,
системы координат может быть приведено к
Х^Л-отличный от нуля корень характеристическо
ei‘ ГЛ XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
14 Уравнение (IV) можно переписать и так:
Х*-2 1/--’ V.
'1
Это уравнение определяет параболический цилиндр.
Пар метр параболы, полученной в сечении этого цилиндра плоско-
стью перпендикулярной к его образующим, определяется формулой
р=-
V. Если/,=0, /С4=0, /, = 0. Х, = 0. то уравнение поверхности
второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной
системы координат может быть приведено к следующему виду:
Л1Х‘ + 4л=0 или /,Хг+^=0,
•I 71
или
х*+^=о. (V)
15°. Если Х2<0, то уравнение (V) определяет две парал-
лельные плоскости.
Полагая в этом случае
!\
перепишем его в виде:
X1—а*=0.
16°. Если Х2>0, то уравнение (V) определяет две мнимые
параллельные плоскости. Полагая
— =с2.
перепишем его в виде:
Xf4-a» = 0.
_nJZ ' Наконец, если Х2 = 0, то уравнение (V) определяет две
совпадающие плоскости:
Х2=0.
чтобы поверхность второго порядка была поверхно-
ческоене°бходимо и достаточно, чтобы ее характеристи-
Лл«УР ’е имело кРатиый корень.
уравне Распол°жения поверхности, каноническое
начала О' кяи^0" известно> нужно знать координаты нового
динат в котлпп"ЧеСКОи системы координат, т. е. той системы коор-
хоординаты няпп1оП0Ве₽х,,0сть имеет каноническое уравнение и
1динаты направляющих векторов осей этой системы.
В)
(4)
Г». «V. ^8ИИК noBEPXWB
Координаты направляющих
координат определяются из системы“ ур’Й^0""^06 Систе>™
(“п—1)/ + аит+вип=0>
“sJ + (oI2—X.)m + a23n=o, У
“»./ + aS2m + (a31-X)n=0( J
где X —корень характеристического уравнения R
ности вращения для определения ее расположеии^48® П°Верх'
положение нового начала О' канонической Л,™ Вадо знать
координаты направляющего вектопа оси впа„,С С ы кооР^нат и
делиются из системы (3), гдГХ-ппостейР^ТЯ’ КОТОрые оп₽е-
ского уравнения. Р° орень характеристиче-
В случае, ести поверхность имеет центр (не обязят₽П1.иЛ
ственныи), за начало координат О' канонической системы беретея
центр поверхности. Координаты центра поверхности опредЙ^я
из системы уравнений: •••ределяются
«и* + аиУ 4- »? + о, = О,
“г|Х 4* atz4 4*“t»z4-at = 0,
ал*4*озгу+а33?4-а3 = 0.
I. 1’. Трехосный эллипсоид
яг + 6г + сг ’ 0>Ь
Координаты центра трехосного эллипсоида определяются из
системы (4). Координаты направляющего вектора большей осн (О'Х)
определяются из системы (3), где X—наименьший по абсолютной
величине корень характеристического уравнения; координаты на-
правляющего вектора средней оси (О'К) определяются из системы (3),
где X—средний по величине корень характеристического уравне-
ния, а координаты направляющего вектора меньшей осн (O'Z) опре-
деляются из системы (3), где X — наибольший по абсолютной величине
корень характеристического уравнения.
2’. Если уравнение (1) определяет точку (мнимый конус), то
координаты этой точки определяются из системы (4).
З3. Однополостный гиперболоид
+ а> Ь.
аг ' Ьг с*
Координаты центра однополостного гиперболоида определяются
"3 1,-
лоида (O'Z) определяются из сис > г1ПпОвого сечения однополо-
направляющего веКТ°р?х^ольОделяются из системы (3), где Х=Х„
стного гиперболоида (О Л) определяются горлового
а координаты направляющего вектора меньшей ( /
сечения однополостного гиперболоида определяются
где Х = ХГ
320 гл, XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
4*. Двуполостный гиперболоид:
X’ г1 Z2
аг+Ь2 с2
1,
а > Ь.
Координаты центра двуполостного гиперболоида определяются
из системы (4).
Пусть X, и Xt—корни характеристического уравнения, имеющие
одни и тот же знак, причем | X, | <. | Х2|, а Л, третий корень ха-
рактеристического уравнения, знак которого противоположен знаку
корней Л, и Х2. Тогда координаты направляющего вектора оси (O'Z)
гиперболоида определяются из системы (3), где Х = Х2; координаты
направляющего вектора оси О'Х (т. е. большей оси эллипса, полу-
чающегося в сечении, перпендикулярном к оси гиперболоида)
определяются из системы (3), где Х=Х,; координаты направляющего
вектора оси O'Y определяются из системы (3), где Х=Х2.
5е. Конус:
£+£-?=» а>Ь.
а‘ Ь2 с2
Координаты вершины конуса определяются из системы (4).
Пусть и Х2—корни характеристического уравнения, имеющие
один и тот же знак, причем 1Х,|<|Х,|, а X,—третий корень ха-
рактеристического уравнения, знак которого противоположен
знаку X, и X,.
Тогда координаты направляющего вектора оси конуса (O'Z)
определяются из системы (3), где Х = Х,. Координаты направляю-
щего вектора оси О'Х (большей оси эллипса, получающегося в се-
чении, перпендикулярном к его оси) определяются из системы (3),
где Х = Х,; координаты направляющего вектора оси O'Y опреде-
ляются из системы (3), где Х = Х2.
И. 6е. Эллиптический параболоид
X2 Y2
—+ —=22.
Р q
Началом координат канонической системы в этом случае яв-
" параболоида,
определяется
ляется вершина параболоида. Вектор эллиптического
направленный - — -
соотношением
В сторону вогнутости поверхности,
где
ltAt, flA)
А, — —
«12
«21
«32
«13
«22
«33
«1
аг
аг
А~
«И
«21
Л2=
«12
«22
алгебраические дополнения элементов
а»
а»
аг
। «,
«и
«21
«31
«13
«23
«S3
«1
«2
«3
at, а, определителя К*.
ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ п
'°РОГО ПОРЯДКА 321
уравнения, причем |°™|И< 1°Тт"уля КОРИИ характеристичен
вектора оси О'Х (больш^ осгКлли™' КооРДИ11ати направляющ^
эллиптического параболоида, плоскс^ ’ П°Луча,О1цегося в сечти
оси) определяются из системы (3) ? п.еРп‘"Дикулярной к его
ляющего вектора оси O'Y определяются К00Рдн,'а™ взирав-
Вершина эллиптического параболоил» 0>’ где
уравнении: р Оол°мда определяется из системы
«..x+a.^ + a^-ba, аг,х+а„и + а.., л.„
A,
A2
'г
(5)
A.
аих^'КапУг +а„г’4-2а1гх,/4-2аг,{/г4-
+ 2aslzx + 2a,x + 2^ + 2a,г + a=0.
7°. Гиперболический параболоид;
X* Уг А,
--------------------------2Z
Р Ч
Началом координат канонической системы в этом случае яв-
ляется вершина параболоида. Направляющий вектор оси гипербо-
лического параболоида, направленный в сторону вогнутости глав-
ного сечения параболоида плоскостью (О XZ) с ббльшим пара-
метром (р), будет.
I КА,, f,At, /,А,
где А„ А2, Л, —алгебраические дополнения элементов а„ аг, а,
определителя Kt.
Пасть 1. и Л,—отличные от нуля корпи характеристического
уравнения, причем | Л, | < Х2 Тогда координаты направляющего
вектора оси О'Х (биссектрисы острого угла между прямолинейными
образующими, проходящими через вершину) опРеле™*от<:я кз _
стемы (3), где Х = >.„ координаты направляющего вектора оси O'Y
°П₽'вТрХа" «. сн.
CKMEcS в елуяае ™
ионическое уравнение гиперооли ie и
ВИД Л1_р=2р/
в ™ елт». пае-.
плоскостями O'XZ и О YZ, имеют случае определяется вектором
ление оси параболоида в этом слу
^'Тп'^Эллаптаческ"»
аг &
11 С В Бахвалов я др
322 гл. xv. урлппвннр поверхности второго порядка
Пля определения расположения эллиптического цилиндра
л=£ I) надо знать его ось и направляющие векторы боль-
шей именьшей осей сечения, перпендикулярного к оси цилиндра.
Ось цилиндра определяется уравнениями (4) (из которых нужно
п данном случае взять лишь два линейно независимых).
Пусть и Л,—отличные от нуля корни характеристического
уравнения, причем |Х||<|Х2|.
Тогда координаты направляющего вектора оси ОХ (большей
оси сечения перпендикулярного к оси цилиндра) определяются
hi системы (3) где Х = Х<; координаты направляющего вектора
оси ОТ определяются из системы (3), где Л = Х2.
В случае Х( = Х2 мы имеем круговой цилиндр
Хг + Уг=аг,
и для определения его расположения достаточно знать только его
ось (см. выше).
9°. Гиперболический цилиндр:
^-^-1
а1 Ьг
Для определения расположения гиперболического цилиндра
надо знать его ось и направляющие векторы действительной и
мнимой осей сечения, перпендикулярного к оси цилиндра.
Ось цилиндра определяется уравнениями (4). Пусть X, и Х2 —
отличные от нуля корни характеристического уравнения, причем
Д'
тот из ннх, знак которого противоположен знаку ~ . Тогда коор-
*2
динаты направляющего вектора оси О'Х (действительной оси сече-
ния цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его оси) опреде-
ляются из системы (3), где Х = ХП а координаты направляющего
вектора оси O'Y (мнимой оси) определяются из системы (3),
где Х = Х2.
IV. 10°. Параболический цилиндр. Чтобы определить
расположение параболического цилиндра, достаточно знать:
1) плоскость симметрии, параллельную образующим цилиндре;
2'„ касательную плоскость к цилиндру, перпендикулярную
к этой плоскости симметрии;
3) вектор, перпендикулярный к этой касательной плоскости и
направленный в сторону вогнутости цилиндра.
° случае, если общее уравнение определяет параболический
шлиндр, оно может быть переписано в виде:
или (ОХ + + уг}2 + 2fc >х + + 2ьзг + ь =0
(ах + Pp + yz + m)1— [2 (та— b,) x-f-2 (пф — b2) у +
+ (my—bf)z-]-mz — ft] = 0.
Подберем т так, чтобы плоскости
(та— Ь1)х + 2(тр — Ьг)у + (ту—ьг)г + тг—Ь=0
ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
были бы взаимно перпендикулярными:
ВТОРОГО ПОРЯДКА
323
откуда
а‘ + ₽2+?4 ’
При этом значении т плоскость
2 (та-6,) х + 2 (m₽- fcj + (ту__ г+т8_ ь = 0
SoCKOCTbCK°CTbK) СИММет₽ии’ параллельной образующим цилиндра.
ax + ₽i/+Yz + m = 0
будет касательной плоскостью к цилиндру,
к указанной плоскости симметрии, а вектор
перпендикулярной
{am — bj, Pm~ht, ут~ Ьг|
будет перпендикулярен к найденной касательной плоскости и на-
правлен в сторону вогнутости цилиндра.
Если уравнение (1) определяет поверхность, распадающуюся
на пару плоскостей, то для определения ее расположения надо
знать уравнения каждой из этих плоскостей. Эти уравнения полу-
чим, разлагая левую часть уравнения (1) каким-либо способом па
линейные относительно х, у, г множители и приравнивая каждое
из них нулю.
Для того чтобы поверхность второго порядка, определяемая
уравнением (I), распадалась на пару плоскостей, необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы
41
°21
«21
«1
«12
агг
аег
аз
а,г
агг
«2,
а,
«Л
«2
«> /
а /
был бы равен 2 или 1.
Если начало координат служит
в уравнении поверхности отсутствуют
координат, т. е. оно имеет вид:
центром поверхности, то
члены с первыми степенями
апх‘ + аг2уг + п„гг + 2«,гху + 2aityz + 2ппгх+а - 0.
Обратно, уравнение такого “ХнаГХ^Гц^ом^ "
верхность, для которой начало координат_являет^ начало коор-
Еслн перенести оси координат так, бы поверхности
динат стало центром поверхности, то общее уравиеи
примет вид: _
апхг + n2# + + 2а„ху+2n23f/z + 2nslzx + « - •
11*
324 ГЛ XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
где
o=yi, если /,#0;
о = £*. если /,=0, К<=0. 1^0-.
а=^, еслп /,=0, Kt=0, 1г=0. Я, = 0. /,#
'1
В частности, уравнение коиу-са с вершиной в начале координат
имеет вид
анх* 4- а21у* + а„гг 4- 2atzxy 4- 2attyz +2atlzx — 0.
Обратно, всякое уравнение такого вида определяет конус (дей-
ствительный или мнимый) с вершиной в начале координат или пару
плоскостей, проходящих через начало координат (действительных
и различных или пару мнимых, или пару совпадающих).
Уравнения, связывающие старые координаты с новыми, имеют
вид-
х^/.Х + ^У-Ь/^+х,,
y=mlX+miY +miZ + yt),
г = ntX 4- ntY + ntZ + ze,
где ₽, = {/,, mt, n,|, £2 = ’/2, mt, пг\, e, = \lt, mt, л2|—единичные
векторы осей О'Х, O'Y, О Z канонической системы, определяемые
из системы (4), а хв, ув, гй—координаты нового начала (центра
поверхности, если поверхность центральная, и координаты вершины,
если она ие центральная) по отношению к старой системе.
Касательная плоскость к поверхности
а„хг+-f- flMz! 4- 2а12ху 4- 2a„i/z 4- 2a„zx 4- 2л,х 4-
4- Ча^у 4- 2atz 4- а = 0
в точке (хв, у ze) определяется уравнением
(а»хв 4-о12у0 4- а„г0 4- о,) х 4- (а2,хв 4- a22ye 4- а22ге + аг) у +
+ (апха + а,1Уа + attzt + a’)z-j- а,х0 4- а2ув 4- а,гв -]а 0-
вепхмг^ти о вершииой в точке S (хв, ув, z6), описанный около по-
авнение ВТорого П0Рядка. заданной общим уравнением (1), имеет
4- 4- а,^ 4- 2attxy 4- 2aItyZ 4- 2а„гх 4.
+4a,x+2aty+2atz 4- а) (й„х> 4- + а„ггл 4- 2л,4-
t ^2,У^++ 2а.хв4-2Qt?,e + 2одго 4-а) -
’Л+М.+зд4-о1)х+(в,1х0+вй?в+а1А4.вг)94.
-г т0,^,4- altz,4- a,) z 4-а,хв 4-а2у0 4-n,z,4- о]’ =0.
Миной обад1м°уравнеииемКн\0 "овеРХиости второго порядка, за-
УР нем (1), образующие которого параллельны
гл. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХ НПг-г»
Юности ВТОРОГО порядка m
.«ГОРУ „|, 0„ри„ятоя
V , ~(ОяХ+о*Л+°»^+а1)лР=0
Координаты I, т, п вектопоп п,
асимптотического конуса поверхности ХХ?"™ обРазУю®и“
ляются уравнением второго порядка, опреде-
аиР + аит«+а„лг + Чди1т 2а1гтп + 2а11П/ =0. ’
Диаметральная плоскость, сопряженная направленно
♦ т, л{, определяется уравнением
I (°цХ 4-c12t/ +о, jZ + aJ+m (atlx+a„y-t-a„x л-ог)-}-
+ « (а„х + a„y+a„z + a J =0.
Дна етр поверхности второго порядка, сопряженный плоскости
Ах -г В у+Сг 4- D =0,
определяется уравнениями.
вектора
+ а„у + c»z + а, аг1х + аиу+а^,г аг1х + апу± а,^4 а,
АВС
Главные плоскости поверхности второго порядка определяются
как диаметральные плоскости, сопряженные главным направле-
ниям, соответствующим корням характеристического уравнения,
отличным от нуля.
Координаты векторов |/. т, л| и {/'. т' л’}, имеющих взаимно
сопряженные направления относительно поверхности второго по-
рядка. т. е. векторов одни из которых параллелен диаметральной
плоскости, сопряженной другому, связаны соотношением
(»„/+«„» +»,.") + +адя+ЯиЯ| л._о.
Еся. «. . Оу
сти) направления, то уравнение поверхности Р
и обратно РАппяжеио плоскости Оху, то УРа*
Если направление оси Ог сопряже ямя хг я уг
иение поверхности не содержит членов с произ
" °б₽. «««Р»”»
1) поверхность
ацх1 + а ггу! + аиг1 + 2апху + 2аг^г + 2д„ гх + 2а,г + с=ft
3 >6 ГЛ XV. УРАВ1Н
IIH12 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2) плоскость
Лх4-Д^4-Сг4-£» = 0, где А2 + В1 + Сг = 1;
тогда система инвариантов кривой второго порядка, по которой
д.тная плоскость пересекает данную поверхность, определяется
соотношениями:
* /г = — й Q & мм — й12 Й22 й32 Й.3 й23 й.З А В С •
А В С 0
йп й12 Й1Э «1 А
Й21 й22 °23 й2 В
к. = — Й31 й«2 й22 й3 С 9
а, й2 й3 а D
А В С D 0
Й11 й12 А °н й13 А й22 й23 ®
— — аи агг В - - Й>1 йзз С — й32 й»з С ,
А В 0 А с 0 В С 0
аи ait й| А йи й.з Й1 А Й22 й23 й2 ®
* Й21 й22 й2 В Й31 Й33 йз С З32 й33 й3
= — а, аг а D ~ Й1 Й3 а D ав a D ’
А В D 0 А С D 0 В С D 0
причем определение вида линии и составление канонического урав-
нения проводится по тем же формулам, как и в случае исследова-
ния линий второго порядка на плоскости, если под /г, К,, lt и /<2
теперь понимать соответственно /г, /<3, К».
Так, например, характеристическое уравнение линии сечения
запишется так:
z2-/,x + * /2 = 0;
условие того, что линия сечения имеет единственный центр
шется так: Й11 й12 й«3 А
* /г = - CJ С4 <3 о й23 й33 В С ^0;
А В с 0
простейшее иметь вид: уравнение линии, имеющей единственный центр
V2+V!- * = ( ),
, запи-
|, будет
д ^-i и корни характеристического уравнения, и т. д.
ГЛ. XV. ХРЛВЯМ„Е „ОВЕРМОСТИ
1иного порядка 327
Если в сечении получается ист,,,.
ее центра определяются системой: ₽ НаЯ кРивая- то коорДинаты
йн* + а121/ + а1|(г+О1 = Л/>
°2i* + а^у 4- aHz + a2.= Bt,
а>'х + аггу + а„г 4- а, = Ct,
Ax + By-t-Cz + D = O.
вой сечения, опред^’яютс^и^ уравнений35 Направления occft кри-
(йц X) / + с1ги4-оин — др = о,
°г^ + (сг2 — К) т+аап— вр = О,
+ + л) п—ср = 0,
А14- В/и4-Сп = 0,
где X—корень характеристического уравнения кривой сечения
или
Хг—/Д4-/’=0
«и X о12 О|8
«21 о22 X о2а
«31 ач аз1
АВС
А
В
С
О
= 0.
Если в сечении получается парабола, то аектор
О| о)2 О)2 А
«22 «23
«3 «32 «33
D В С О
«11 «1 «13
«21 «2 «23 В
Й31 й3 Й33
A D С О
оп о)2 О) А
«21 «22 «2 $
«31 «32 as
А В D О
параллелен оси параболы и направлен в сторону ее вогнутости.
Ось параболы определяется уравнениями.
А х 4- By 4- С г + D — О,
где /, т, п определяются системой:
(йп_Х)/ + о12,п4-й..п-^0,
й2)/ + («22- т + °28" _ГО = о’
О, J 4- аггт + (й»8 П п’
Л/4-Вт4-Сп = 0>
°22
«за
В
X.
Й11
й2)
А
а„ йи А
А С О
й1«
о22 В — «si «и
ВО *-
й23
й23
С
ев
в^ту »»—“
оси с поверхностью.
А
В
С
о
828 гл. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ппимср 1 Определить вид и расположение поверхности,
заданной относительно прямоугольной системы координат, уравнением
х*+5/+ г* 4-+ бхг 4-2^z—2х + 6^+2г=0.
Решение.
I 1 з
1 5 1
3 1 1
Л=
= —36^0
—поверхность имеет единственный центр симметрии. Далее,
113—1
Kt = 15 1 3 3 11 1 = 36>0,
—13 1 0
^ = 14-54-1=7, /,/,<0. Следовательно, данная поверхность —
однополостный гиперболоид. Находим /t:
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
—7Хг4-36=0;
Х,=3, Х.ж —6, Х, = —2. Простейшее уравнение
ЗХ2 4- 6У1—2Z2 4- — = 0
•—оо
или
ЗХ2+6Уг—2Z2—1=0,
или
X2 уг 72
/ 1 \г+ / ] V~7~l v”1,
\FV (.71) (т^)
Центр поверхности находим, разрешая систему:
*4-f/4-3z—1=0,
х4-5у4-г4-3 = 0,
3x4-f/4-z4-l = 0,
откуда С ( — — _ 2
\ 3 ’ 3 ’ Т
• Координаты вектора
ei=Ul- «1. л,| ,
ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТи »
торого 'Порядка 379
параллельного новой осн О’Х. онре.он,^ оявМ:
(1—3) G+wI4-3nl==o,
li + (5—3) mj + nj-Q
344-m,4-(l-3)nI=0.
откуда находим е' = |1 _ i 11 Tnui,„ _
е -Н 2 1} ие'-Н о Н ’ "аХ0ДИМ Векторы
1 z. ч и ₽,-ji, и, -1|, параллельные новым осям ОТ и O'Z
Пример 2. Определить вид и расположение
заданной о/нлоеотено щтмоузмм еноте «S.'SK;
2оЧ-2-/’+32’ + 4ч + 2ог + 2„г^,л+6„_2г+3!7 ““
Решение.
2 2 1
2 2 1
1 1 3
1 -2
2 2 1 3
11 3—1
—23—1 3
=0,
=- -125.
—уравнение определяет эллиптический параболоид.
Находим:
4
11 з|+|1 зН0’
/, = 24-24-3 = 7.
Характеристическое уравнение:
X»—7Х»4-10Х = 0;
его корни:
Х, = 2. А, = 5, Л.,-0.
Простейшее уравнение:
— 125
10
2 = 0
или
_*L+J2_=2z,
5 + 1
2/2 /~2
5 л— 1
₽'2К2’ ^2
Направляющий вектор оси
параболоида, направленный в сто-
рону вогнутости:
2 1 —2
2 1 3
1 3 -1
2 1 -2
2 1 3
13-1
2 2—2
2 2 3
1 1 1
=7 {25,
—25, 0} ! ||1.
-1. О'.
530 гл.
XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Координаты l„ mlt nt направляющего вектора новой оси О'Х
определяются из системы уравнений:
(2—2) /| 4- 2mt 4- п, = О,
2/, 4- (2—2) т, 4- л, = О,
/,4~«14-(3—2) л,=0
откуда /, = 1, «1=1. «1 = —2, и следовательно, направляющий
вектор оси О'Х будет {1, 1, —2}.
Аналогично из системы
(2—5) 44-2/nI4-nI=0,
2/j4*(2—5) тг 4- л2 = 0,
+ 4" (3— 5) п2 = О
находим направляющий вектор {1, 1, 1} оси О'У.
Координаты вершины определяются из системы уравнений!
2х4-2//4-г—2_2х4-2у4-г4-3 x-f-y-f-Зг— 1
25 —25 ~ О
2х‘ 4- 2z? 4- Згг 4- Аху 4- 2хг 4- 2уг — 4х 4- 6 у—2г 4- 3 = 0
или
2х4-2«/4-г—2 = — (2x4-2i/4-z4-3),
х ~1~ У —1=0,
2х‘ 4-2^ 4- Зг2 4- 4ху 4-2хг 4-2уг—4х 4- бу—2г 4-3 = 0,
откуда находим вершину
tyf-1 -12
\ 40 ’ 40 ’ 2 ) '
Пример 3. Определить вид и расположение поверхности,
ваданнои относительно прямоугольной системы координат урав-
5х* 4- 2уг 4-5г2—4ху—2хг—4уг 4- 10х—4у—2г 4- 4 = 0.
Решение.
5
—2
-1
—2 - 1
2 —2
-2 5
= 0,
К»=
5 -2
-2
5 -2
5 -2
—2
5
2 —2
4
5
—2
—1
5
— 1
—2
5
— 1
5
—2
—1
4
= 0,
—2
2
—2
—2
5 -1
-1 5
i —1
5 —
> —1
2 —2
—2
/, = 54-24-5= 12.
2
—2
—2
5|
—2
5
—1
= 36,
—2
— 1
4
= -36,
К4=
2
5
—1
5
5
4
ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХнпгт*и г>т
ТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 331
Так как 7г = К4 = 0,' /г> о 1,к „
определяет эллиптический цилиндр ’ ’ ° йанное Уравнение
Характеристическое уравнение
12Z2 + 36X = 0
имеет корни:
Х1 = Хг=:6, К,=0.
Простейшее уравнение:
6№ + 6P-g=0
ОО
или
Х* + Уг=
£
6 ’
/6 ’
Это уравнение определяет круглый цилиндр, радиус которого
равен
Ось цилиндра определяется системой уравнений:
5х—2у—г 4-5 = 0,
—2х 4- 2у—2z — 2=0,
—х—2j/4-5z—1=0,
из которой достаточно взять хотя бы два первых.
Пример 4. Определить вид и расположение поверхности,
заданной относительно прямоугольной системы координат урав*
нением
х2 4-4-4г14-4-4x2 4-4</z—6z 4-1 =0.
Решение.
*,=
— уравнение
332 ГЛ. XV. УРАВН1НИР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Иросгепшсе уравнение:
6Х*-2 |Л-~Г=0
Параметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной
к образующим:
₽~2 /з"
Для определения расположения перепишем уравнение ци-
линдра в виде:
(r+t/+2z + /n)!—[2mx+ 2mz/+ 2 (2m 4-3) z-J-1] = 0.
Определяем m из условия перпендикулярности двух плоскостей:
х 4- у 4- 2? 4- = 0.
2тх 4- 2т у 4- 2 (2m 4- 3) г 4-1 = 0.
1 -m4-1 -т 4-2 (2т 4-3) = 0,
откуда
т — —1.
Таким образом, уравнение плоскости симметрии, параллель-
ной образующим:
х 4-У 4-2г—1 = 0;
уравнение касательной плоскости, перпендикулярной к этой пло-
скости симметрии:
—2х —2i/4-2z4-1=0,
откуда находим вектор
{-2. -2, 2} И{-1, -1. О.
перпендикулярный к этой касательной плоскости и направленный
в сторону вогнутости цилиндра.
Пример 5. Определить вид и расположение поверхности,
ваданной относительно прямоугольной системы координат уравне-
нием
у14- 2ху 4- 4хг 4- 2уг—4х— 2у = 0.
1721] § 1. ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ, ДИАМЕтрлпии
, ДИАМЕТРАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 333
Решение.
так как —Л4 —О, /г<0, К, = 0, то данное уравнение опреде-
ляет пару пересекающихся плоскостей.
Чтобы найти уравнения этих плоскостей, разложим левую
часть данного уравнения на линейные относительно х, у, г мно-
жители:
уг 4- 2ху 4- 4хг + 2уг—4х — 2у—уг 4- 2 (х 4- z— 1) у+4xz—4х=
=у‘ + 2(х+г — 1) y-j-(x-f-z—lf + 4xz—4x—(x4-z—lf —
= (х + у~Ьг—1)г-(-4хг—4х—хг—2xz—г1— 1 4-2х-|-2г =
~(х + у +z — I)1—хг-]-2хг — 2х—г2 4-2г— 1 =
— (х+у + г—I)2—(х2—2хг 4-2x4-г2—2г 4-1) =
= (х4-1/4-г-1)2-[х24-2(1-г)х4-(1-г)2] =
= (x+y + z-l)‘-(x~z+lf=(2x + y) (у+2г-2).
Отсюда находим уравнения плоскостей, которые определяются
данным уравнением:
2x4-f/ = 0, {/4-2г—2=0.
§ 1. Центр поверхности, диаметральная плоскость,
касательная плоскость, прямолинейные образующие,
круговые сечения
1720. Найти центр поверхности х~±у + г
— 2v^4-6^4-2x-6v-2^ = 0. Какой вид примет это урав-
нение, если, не меняя направления осей, перенести иач
координат в центр поверхности? „Типгчтельно
1721. Решить вопрос предыдущей задачи
поверхности 4xy-f-4xz—4у 4Z 1—0.
ДМ гл.
XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1722
1722. Составить общее уравнение поверхности второго
П дка,* имеющей центр в точке М„(х0, у0, z0).
1723 Найти диаметральную плоскость поверхности
2/——2ху—2jz—2xz—4х—1 =0, параллельную
плоскости х4-у'4--г = °-
1724 Составить уравнение диаметральной плоскости по-
верхности x* + 2yt-zl-2xy—2yz + 2xz—4x-l=0, про-
ходящей через точки 0(0, 0, 0) и Л4(1, 1, 0), и найти
вектор, параллельный сопряженным ей хордам.
1725. Составить уравнение диаметральной плоскости по-
верхности х*—ху 4- 2yz4-х—z = 0, проходящей через точку
(1,1 1) и сопряженной к прямой, параллельной плоскос-
ти Оху.
1726. Найти вектор, параллельный хордам, которым со-
пряжена плоскость х=0 относительно поверхности z — xy.
1727. Составить уравнение плоскостей, сопряженных
диаметру х=1, y = z поверхности: х*+уг-[-гл— 2yz —
— 2х—у4~ 1 =0-
1728. Составить уравнения диаметра поверхности
4х*4*6/4~4zi4-4xz4- 8_y—4z4*3 ==0, параллельного оси Оу.
1729. Найти уравнения диаметра поверхности х* -}-2уг—
— z* — 2ху — 2yz-\-2xz—4х—1=0, сопряженного плоско-
сти х4-j4-^4-1 =0.
1730. Найти диаметральную плоскость поверхности
2x*4-5j‘4~ 8г2 4- 2ху4- 6xz-|- 12уг-|- 8x4- 14_у 18г — 0, со-
пряженную хордам, параллельным вектору {3, 2, —5}.
1731 . Доказать, что если две плоскости касаются ко-
нуса второго порядка вдоль его образующих, то хорды,
параллельные линии пересечения этих плоскостей, делятся
пополам плоскостью, проходящей через указанные обра-
зующие.
1732*. Доказать, что геометрическое место центров по-
ностей второго порядка, проходящих через две пары про-
тложных ребер тетраэдра, есть прямая, соединяющая
середины ребер третьей пары.
, ^1айти плоскость, пересекающую поверхность
х — 2у 4-г 4-4ху — 8x2—4yz —2x4~8j — 4z — 2 = 0 по ли-
2^котоР°й находится в начале координат.
1 , ч , • ^йти центр линии пересечения поверхности
с пло-
1747] § 1. ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ, ДИАМЕТРАЛЬНАЯ Плп
глльНАЯ ПЛОСКОСТЬ 335
1735. Найти наибольший угол <
нуса zt + 2xy + 2xz + 2yz = o\ также У °бразуЮ1цими ко-
ляет его ось с осями координат. У ’ которые состав-
1736. Доказать, что плоскость х + v4.2z4-4 —п
кает поверхность z2 — 2ху—4д:—2у + 2.z~3 - п пересе"
прямых, и найти уравнения этих прямых. "° Паре
1737. Найти общий вид прямолинейных образующих
поверхности х* + 3/ + Згг -2ху - 2xz-2yz-6 = О
xv+7lS+x+TvJ!P’“n'""'e',B“e °бРазУ“«' ™веРх««,н
ху -у xz -f- х -f- у -f- 1 = V.
1739. Найти прямолинейные образующие поверхности
у — 2ху — 4xz + 2jz—4х4-2у — 1 =0.
1740. Найти прямолинейные образующие поверхности
хг + У2 + + 2ху—2xz—yz + 4х + Зу - 5z + 4 = 0, прохо-
дящие через точку (—1, —1, 1) поверхности.
1741. Найти касательную плоскость к поверхности
4х2 + бу2 + 4z2 4- 4xz— 8у—4z 4-3 = 0, параллельную пло-
скости х4-2у4-2 = 0.
1742*. Через прямую 4х—5у = 0, z—1=0 провести
плоскость, касательную к поверхности 2х2 4-5у2 4~2зг —
— 2ху 4-6у2 — 4х—у — 2z = 0.
1743*. Составить уравнение цилиндра, описанного около
поверхности х*4- 2у2 4- 2г2 4~ 2ху—2х— 4у—4z 4- 2 — 0,
зная, что его образующие параллельны оси Oz.
1744. Составить уравнение конуса с вершиной в начале
координат, описанного около поверхности х2-|-2у 4~2z 4-
-}-2ху___2х__4у—4z’4_2 = 0, и найти плоскость, в которой
лежит линия касания конуса и поверхности.
1745*. Доказать, что уравнение поверхности второго
порядка, распадающееся на пару плоскостей цен^ральн^
круговых сечений эллипсоида F(x, у, z) — , ил
F(x, д>, с)— [(*— ol’+O1—О'+(2—с)!] + т4 = 0’
гле Л,—средний корень
липсоида; (о, Ь, с) — его центр, , * нпСТИ Рх’ + у’Ч-
1746*. Найти круговые сечения повер 4~
4- д2 4-ху—xz — 2х = 0. плоскостей проходящих через
1747. Составить уравнения плоское , Р , 12
точку™ -1, 3) и рассекающих+ +'
— 2х —12у —72д 4-109 = 0 110 ОКРУЖНОСТЯМ-
830 гл. XV yPABIIFHWP ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1748
1748 . Найти круговые сечения поверхности z*-j-6xj = ].
1749. Найти геометрическое место центров круговых
сечений эллипсоида хг + 2у* + 2z* + 2ху—2х—4у +
_l4^-|-2 = О
1750. Через точку М(—1, —1» —1) провести плоско-
сти, рассекающие поверхность хг + /+ **+2xj + x +
+ 2y + 2z = 0 по кругам.
§ 2. Определение вида поверхности и ее расположения
1751. Пользуясь методом Лагранжа, показать, что ниже-
следующие уравнения определяют поверхности, распадаю-
щиеся па пару плоскостей, п найти эти плоскости:
1) y2 + ‘2xy + 4xz+ 2yz—4х—2у = 0;
2) хг + 4у‘ + 9г‘—4xy-j-6xz—I2yz—х +
+ 2у—3z—6 = 0;
3) Зх1 — 4у2 + Зг* + 4ху + 10x2—4уг+6х—
—20у— 142 — 24=0;
4) 5№ + 4/ + Зг14- 9ху + 8x2 + lyz + 7х +
4- бу 4- 5г 4- 2 = 0;
5) 4x!4-49/4-2I — 28xj4-4x2—14j2 4-8x—
— 28j 4-42 4-3 = 0;
6) 1 бх24- 9/ 4- 100г2 + 24ху -Ь 80x2 + 60yz 4- 56х +
4- 42у + 140г + 49 = 0.
1752. Определить вид поверхности, пользуясь приведе-
нием левой части ее уравнения к сумме квадратов по спо-
собу Лагранжа:
1) 4х* + бу1 + 4г! + 4x2—8у— 4г+3 = 0:
2) -х*+ 5у2+ г’+ 2ху + 6x2+ 2уг—2х +6у—102 = 0;
л х +/ —Згг — 2ху—6xz—6уг + 2х+2у + 42 = 0;
4) х 2у +2* + 4ху—8x2—4yz— 14х—4у +
6\ + 2г’~2х.У—2уг + х—4у—~3г + 2 = 0:
J о 2 2У +z2 + 4xy — 10x2 + 4yz + х+у— 2 = 0;
8 ^ V+^~^y-^+4x-2yL9;
) 2у -}-2 +4Xj — Юх2+4у2+2х+4у —
0)х* + У*+42*4-^^ . я... -10*.-,=():
337
1762] § 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ПОВЕРХНОСТИ
10) 4ху4-2х4-4у —6z—3=0;
11) xy + xz + yz + 2x-\-2y— 2z = 0.
1753. Определить вид и расположение поверхности
пользуясь преобразованиями поворота и переноса или rnvn-
пировкой членов в уравнении поверхности: 3
1) z = 2x2—- 4уг—6х + 8у+ 1;
2) z = x24-3y2 — бу4-1;
3) х24-2у2- 3z*4-2x4-4y —6z = 0;
4) х24-2ху4-у2—z2 = 0;
5) z2 = 3x-|-4y4-5;
6) z = x24-2xy4-/+l;
7) z2 = x2 4- 2xy 4- y14- 1;
8) x24-4y2 + 9z2—6x4-8y—18z—14 = 0;
9) 2xy + zz— 2z4-l =0;
10) x24-y2—z2—2xy4-2z—1 =0;
11) x24~4y2—z2—lOx—16y4-6z-|- 16 = 0;
12) 2xy+2x4-2y + 2z—1 =0;
3x2 4- 6x— 8y + 6z—7 = 0;
X2 4-y2 4- 2z2 4- 2xy 4- 4z = 0;
3x2 4- 3y2 4- 3z2— 6x 4- 4y- 1 = 0;
3x2 + 3y2—6x+ 4y—1=0;
3x2 4-3y2—3z2 —6x4-4y 4-4г 4-3 = 0;
4x2—уг—4x4- 4y—3 = 0.
13)
14)
15)
16)
17)
18)
Определить каноническое уравнение и расположение сле-
дующих поверхностей:
1754. х2 + 5у2 4- 2г + 2ху 4- 6xz 4- 2yz - 2х 4- бу 4- 2г = 0.
1755. 2x2 + / + 2z2-2xy4- 2^ + 4х“^Г1°10
1756 х24-У24-4г24-2ху4-4хг4-4уг—62 4-1 -°-
1757* * 2 ' 1 ^i9v.,_-6vz+4zx4-4x-
2x2-l-'v24- 2z2—2xy 4- 2y^4- 4x-2y 7,°=0
4x2 + 9y24-z2 —12xy—6yz+ 4zx+4x-^_5^ q
1758. 7x, + 6/+5z,-4xy-^-6-e-24{’++3() = 0.
1759. 2x- + 2,--5г- + ?xy -2x-^-4z+_2“£
1760. x2— 2y2 + z24-4xy—8xz 4y + 14Д16=О.
1761. 2x24-2/ + З224-4xy4-2xz4-2y*—3 = 0<
1762. 2x- + 5/ -I- - гху + 2yz - to + 0.
338 ГЛ XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1763
1763. 1) х* + 5у* + z* + 2ху + 6xz + 2yz — 2х-|-
4-бу 4-22 = 0;
2) 5х* + 2уг + 5z*—4ху—2x2 — 4у2-|-10х—
— 4у — 22 4- 4 = 0;
3) х* — 2у2 4 22 4- 4ху — 10x2 4- 4yz 4- 2х 4-
-J-4y—Юг — 1 =0.
1764. 5х2 —уг 4- z14- 4ху + 6x2 4- 2х 4- 4_у 4- 62—8 = 0.
1765. 2х*4~ 10y2 — 22*4-12x>»4-8j2 4- 12x4-
4-4у-|- 82—1 =0.
§ 3. Различные задачи на поверхности второго порядка,
решаемые при помощи инвариантов
1766. Общее уравнение поверхности второго порядка
определяет эллиптический цилиндр. Что будет происходить
с поверхностью, если:
1) изменять свободный член?
2) изменять коэффициенты при первых степенях коор-
динат?
1767. Решить вопрос предыдущей задачи для того слу-
чая, когда общее уравнение поверхности второго порядка
определяет параболический цилиндр.
1768. Доказать, что если уравнение я,/2 -^-аггуг +
+ а^г + 2а1гху 4- 2с25у2 2«„2Х 4- 2ахх 4- 2а ty + 2аtz 4-
4-а = 0 определяет гиперболоид, то уравнение atlx2 + «1гУг +
4- css2l4-2GlIxy4-2c18 yz 4- 2asi2x -j- 2o,x 4-2сгу 4- 2<zs2 4-
I ^4
+ а = р определяет его асимптотический конус.
1769*. Определить X и р так, чтобы уравнение х2—уг Ч~
4~ 32г 4- (Хх 4- ру)2 — 1=0 определяло круглый цилиндр.
1770*. Найти условие, при котором поверхность
а (хг 4-2у2)-|- b (у2 2x2)4- с (22 4- 2ху) = 1 будет поверх-
ностью вращения.
1771*. Доказать, что уравнение у2-\~ (z2—22)(1—Х2)4~
4-2Хх2—2х = 0 определяет поверхность вращения. Соста-
вить уравнения оси вращения.
1772*. Определить k так, чтобы конус X2 — 2ху 4- kz2 = 0
ыл конусом вращения, и найти ось вращения.
1773. Исследовать характер поверхности
х2 4- (2m2 4-1)(/ + z2)—2ху — 2x2—2yz—2т2 4- 3/»— 1 = 0
при изменении т от —оо до 4-00.
1783]
§ 3. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ Qq<\
Оо У
1774*. При каком соотношении mcmdv пяг»
В уравнение + 2Xxz +Х И
определяет коническую поверхность? \У Н 2z = 0
1775*. Какой вид примет общее уравнение т- о
рождающейся лек™,„сер^ вторХ
если за плоскость Оху Припять касательную плоскость Xv
прикосновения принять за качало координат, а осп Ох „X
направить по главным направлениям кривой, по которой
данная поверхность рассекается плоскостью, параллельной
касательной?
1776*. Доказать, что всякая действительная поверхность
второго порядка может быть задана уравнением Х,*2 + Х2У+
+ 2^ = 0, при этом некоторые из чисел X,, Х2,\, b
могут быть равны нулю. Выразить величину b через инва-
рианты поверхности в случае, если поверхность имеет один
определенный центр.
1777*. Доказать, что, для того чтобы в конус второго
порядка можно было вписать трехгранный угол, ребра кото-
рого попарно перпендикулярны (прямоугольный триэдр),
необходимо и достаточно, чтобы /,=0.
1778*. При каком необходимом и достаточном условии
точка Л7(х0, у0, z0) лежит на оси эллиптического или гипер-
болического цилиндра, заданных общими уравнениями?
1779*. Общее уравнение <р = 0 поверхности второго по-
рядка определяет гиперболический цилиндр. Что определяет
уравнение гр — ^ = 0?
1780*. При каком необходимом и достаточном условии
два гиперболоида имеют общий асимптотический конус?
1781*. Пусть уравнение а„х tnDC’„2eieT
рядка определяет гиперболоид. Р лежит между Г|0.
достаточном условии точка ° ю ег0 асимп-
верхностыо этого гиперболоида и поверхностью
тотического конуса? «павнение поверхности
1783*. При каком условияг обще^УР„ перпендикулярныв
второго порядка определяет д
плоскости?
340 гл. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1784
1784*. При каком необходимом и достаточном условии
общее уравнение поверхности второго порядка определяет;
1) круглый цилиндр?
2) круглый конус?
3) сферу?
1785. Определить объем эллипсоида, заданного общим
уравнением.
1786. Пусть общее уравнение = 0 поверхности вто-
рого порядка определяет эллипсоид. Координаты каких то-
чек удовлетворяют уравнению ф—у-* = 0?
1787*. Пусть общее уравнение поверхности второго по-
рядка определяет эллипсоид. Чго будет происходить с этим
эллипсоидом, если непрерывно изменять свободный член его
общего уравнения?
1788. Найти нормирующий множитель уравнения
4-/»iF,,-|-/j|F2 = 0 главной плоскости поверхности второго
порядка, соответствующей корню Z, —X, характеристиче-
ского уравнения; Z,, mlt —координаты единичного век-
тора, соответствующего корню A —характеристического
уравнения.
1789. Общее уравнение ф = 0 поверхности второго по-
рядка определяет две параллельные плоскости; при каком
необходимом и достаточном условии точка Л4(х0, .у0, £0)
лежит между этими плоскостями?
1790. Общее уравнение ф = 0 поверхности второго по-
рядка определяет две пересекающиеся и не взаимно перпен-
дикулярные плоскости. При каком необходимом и достаточ-
ном условии точка М(х0, у0, г0) лежит в остром угле,
образованном этими плоскостями?
1791*. Общее уравнение ф = 0 поверхности второго по-
рядка определяет две пересекающиеся плоскости. Найти
тангенс угла между этими плоскостями.
1792*. Общее уравнение ф —0 поверхности второго по-
рядка определяет эллиптический цилиндр. При каком необ-
ходимом и достаточном условии точка М (xn, vn, zn) лежит
внутри цилиндра? 0
1793. Общее уравнение ф = 0 поверхности второго по-
ядка определяет две параллельные плоскости. Найти рас-
стояние между ними.
1803) § 4. составление
1794*. При каком необходимом и
общее уравнение <р = 0 поверхности втопо?70'"10''' уСЛ0ВИи
деляет параболоид вращения? рого П0РЯДка опре-
§ 4. Составление уравнений поверхностей второ™
порядка
1795*. Как запишется уравнение круглого конуса каса-
ющегося плоскостей °XZ И °Уг "° "Ряы™ Ох и Оу?
1796 . Составить уравнение поверхности второго порядка
пересекающей плоскости координат по гиперболам % = о
yz = a\ у = 0, xz = b; z = 0, ху= с.
1797й. Составить уравнение конуса второго порядка
пересекающего плоскость Oyz по окружности х = (\
у2 +z2 — 2гу, а плоскостьOxzпо параболе у — 0,z*—2рх=0.
1798*. Составить уравнение конуса второго порядка, на
котором лежат окружности х=0, у1-}-?— ЧЬу — 0; у = 0
x2-\-z2— 2ах = 0.
1799*. Составить уравнение поверхности второго порядка,
пересекающей плоскость Оху по паре прямых, а плоскости Oxz
и Oyz по окружностям радиуса г, касающимся оси Oz в начале
координат и расположенных в положительных полуплоскостях.
1800*. Составить уравнение поверхности второго порядка,
зная, что она пересекает плоскость Оху по окружности
х2 + у! — 12х—18у4-32 = 0, z=0, а плоскости Oxz и
Oyz— по параболам, оси которых параллельны положитель-
ному направлению оси Oz, причем параметр параболы, лежа-
щей в плоскости Oxz, равен 1.
1801*. Составить уравнение параболоида вращения,. про-
ходящего через окружность х z = 0, х -Ьу х
— 2z = 0 и точку (1, 1, 0).
1802* Составить уравнение поверхности второго порядка,
пробей через ось Oz > “°ТХ-
плоскостя: плоскость Oxy-по окружное™ рипуса г ж
ющейся осп Оу в начале коордппзт; °® “
прямой, отсекающей па осях Рав"“‘! П°Л““"Й с „шюжитель-
а плоскость Oyz—по прямой, < РУ
ными полуосями Оу и Oz равные прохОдашего
1803*. Составить уравнение пар ___ ез
0 — - / и V V» * —
две точки (0, 1, —О « (1, ’
гл. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1804
1804. Составить уравнение поверхности второго порядка,
проходящей через три окружности:
х2+У = 1, 2 = 0;
^+/ = 3, 2=\;
^+/ = 5, 2 = 2.
1805*. Составить уравнение поверхности второго порядка,
зная, что она проходит через точку (2, 0, —1), имеет
центр в точке (0, 0, —1) и пересекает плоскость Оху по
линии 2 = 0, х2—4ху—1=0.
1806*. Составить уравнение:
1) однополостного гиперболоида;
2) гиперболического параболоида, принимая за начало
координат какую-нибудь точку поверхности, за оси Ох и Оу
прямолинейные образующие, проходящие через эту точку,
а за ось Oz проходящий через эту точку диаметр.
1807*. Составить уравнение эллипсоида, для которого
плоскости x-\-y-\-z —1=0, х-\-у— 2д=0, х—j-|-l= 0
служат плоскостями симметрии, причем большая ось эллип-
с шда лежит на линии пересечения первой и второй плоско-
стей и по длине равна 8; средняя ось лежит на линии
пересечения первой и третьей плоскостей и длина ее равна 4;
малая ось лежит на линии пересечения второй и третьей
плоскостей и длина ее равна 2.
1808. Составить уравнение поверхности второго порядка,
для которой плоскости x4j4-2 = 0, 2х—у—z—2 = 0,
У—z 1=0 являются плоскостями симметрии и которая
проходит через точки (1, 0, 0), (0, —1, 0), (1, 1, — 1).
1809. Составить уравнение поверхности второго порядка,
проходящей через точки (0, 0, 0), (1, 1, —1), (0, 0, 1),
для которой плоскости х + у 4-z = 0, 2х— у—2 = 0,
У ^+1=0 являются плоскостями симметрии.
1810 . Найти общий вид уравнения параболоидов, про-
ходящих через окружность №-[-/=/-*, 2 = 0, оси которых
параллельны вектору {/, tn, п].
1811. Найти геометрическое место центров поверхностей
Р о порядка, проходящих через данный эллипс и две
Располо'кенные симметрично относительно плоскости
si ого эллипса.
ния^п1о’ ОпРеделить геометрическое место точек пересече-
ямых связки, имеющей центр S(c, b, с) с сопряжен-
геометрического места пря-
2х—г = 0, 1 2х + г = о 1
1+^ = 0;/ 1— у = 0. I
перпенди-
1823] § 5. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 9 ™
СТЕИ 2-го ПОРЯДКА 343
НИМИ им диаметральными плоскостями
порядка, заданной общим уравнением. рхности второго
1813*. Составить уравнение г—-
мых, пересекающих три данные прямые*:
2x-bj—z—1 =0
2х— + 1 = 0
1814. Найти геометрическое место оснований перпенди-
куляров, опущенных из начала координат на плоскости
касающейся поверхности второго порядка, заданной общим
уравнением.
1815*. Найти геометрическое место прямых, по которым
пересекаются взаимно перпендикулярные плоскости, прохо-
дящие соответственно через прямые у = kx, z = c и у — — kx,
z— —с.
1816. Найти геометрическое место точек, равноудаленных
от двух прямых y = kx, z — c и у=—kx, z——с.
1817*. Найти геометрическое место вершин конусов,
имеющих своей направляющей окружность, в которые можно
было бы вписать прямоугольный триэдр.
1818*. Найти геометрическое место точек пересечения
трех взаимно перпендикулярных прямых, которые пересекают
параболу z = 0, уг =2рх,
§ 5. Плоские сечения поверхностей второго порядка
1819*. Найти главные направления линии пересечения
поверхности второго порядка, заданной общим уравнением
1820*. Через точки (0, = ио параболе,
плоскость, пересекающую конус № Д чсрез ТОчки
1821*. Найти все плоскости, проходящ Р __
(0, —2, 2) и ( — 1, 0, 0) н пересекающие конус + У
—> = 6 по эллипсу. ___________ провести плоскость,
1822*. Через прямую п0 равносторон-
пересекающую поверхность ‘txr у т
ней гиперболе. «пявнение и расположение
1823*. Найти каноническое ура/ = 2х плоско-
параболы, получаемой в сечении цилиндра у
стыо x-i-y-pz—1=0.
344 гл. XV. УРАВНЕНИЕ пЬверхности ВТОРОГО ПОРЯДКА (1824
1824». Найти каноническое уравнение и расположение
эпипса, получаемого в сечении эллипсоида x2^2y2^3z2__
__1=0 плоскостью 2x4" уЧ~2=0. Составить уравнения
главных осей сечения.
1825*. Составить уравнения оси параболы х2 4- у*—2г2—
— 1 = 0, у 22 1=0.
1826*. Найти плоскость, в которой лежат оси симметрии
парабол, получаемых от сечения поверхности у* 4- 2г2—2х=0
плоскостями, параллельными плоскости у—2 = 0.
1827*. Найти геометрическое место центров сфер посто-
янного радиуса, пересекающих эллиптический параболоид
по окружностям.
1828*. Составить уравнение цилиндра, проходящего через
точку (0, 1, 1) и имеющего круговые сечения, расположен-
ные во взаимно перпендикулярных плоскостях, одно из ко-
торых определяется уравнениями х2 -ф —1=0, z — 0.
1829*. Найти длины полуосей эллипса, полученного от
сечения эллипсоида х2 + у2 + 4г2—1=0 плоскостью х+
4-у 4-2=0.
1830*. Доказать, что плоскость х—ф = 0 рассекает эллип-
тический параболоид 2у*-\-^— 2х = 0 по окружности и
найти радиус этой окружности.
1831*. Найти параметр параболы х2 -ф 2 у2 + £ 4- 4х_у—
— 2xz—4_у2-ф2х—62 = 0, х—2 = 0.
1832*. Определить аффинный сорт кривой, по которой
плоскость /4х-±-Ву4-Сд+£>=0 (Л2 + В2 -ф С2 = 1) Пересе-
Y2 U2 2*
кает эллипсоид ——— 1
а2 ' bz 1 с2
1833*. Определить аффинный сорт кривой, по которой
плоскость Лх- Ду-|-С2 + О = 0 (Л2 4- В2 -ф С2 = 1) пересе-
кает однополостный гиперболоид —*4-^ —^= 1.
а2 Ь2 с2
1834*. По какой кривой рассекает касательная плоскость
к однополостному гиперболоиду его асимптотический конус?
1835*. По какой кривой рассекает касательная плоскость
дв полостному гиперболоиду его асимптотический конус?
1836*. Определить аффинный сорт кривой, по которой
плоскость Лх4-Ву4-С24-£) = 0 (Л1 4- В2 -фС2 = 1) пересе-
кает двуполостный гиперболоид — 4-—— — — 1
а2 ' Ь2 с2
I848I§ 5. плоские мчвд „ов„ад 2,го лорвди
1837*. Определить аффинный fniv,
плоскость Их Сг+Д = о (/Т *рвв^. по которой
кает эллиптический параболоид =1) пересе-
? + 7 = 2г-
1838*. Определить аффинный
плоскость Ax + By-\-Cz-{-D = 0
кает гиперболический параболоид
1839*. Определить аффинный сорт по которой
плоскость Ax + By+Cz + D = Q (A2 + B‘ + Ct=l\ песете
с®рт вривой’ по которой
+^ + С = 1) пересе-
хг и2
~—~ = 2г.
плоскость Ax-j-By-f- Cz-]-£) =
х2 , иг 2г ‘
кает конус ~+^__=о.
Найти плоскости, пересекающие по окружностям след} ю-
щие поверхности второго порядка:
1840*. ^+^ + -^=1.
сг— >•
Х~ + У~-^2г.
Р ч
I
а2'Ьг с*-1'
L’-lL*—-£*— _ 1
аг'Ьг с*
х2л.У1-г1^
а2'Ь2 с2
По какой кривой рассекает однополостный
1 касательную плоскость к его
готическому конусу? „,„1ОП.
1846*. Доказать, что любая плоскость рассекае* г
болический параболоид по кривой, не являющейся р
эллиптического типа. , г_ , п—о
1847*. При каком условии пяоскост^Ах + ЗН +бщим
рассекает поверхность второго пор Д ,
уравнением, по двум прямым? „_лтИЦРской цилиндр
1848*. Можно ли рассечь гиперболическ
__|^=1 по равносторонней гиперболе?
1841*.
1842*.
1843*.
1844*.
1845*.
х2 у1
болоид + р
гипер-
асимп-
346 ГЛ. XV. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1849
1849*. Найти радиусы тех кругов, по которым рассекается
эллипсоид + 5= 1 плоскостью, проходящей через
его центр симметрии.
1850*. Решить вопрос предыдущей задачи для однопо-
лостного гиперболоида.
1851*. Найти плоскости, пересекающие гиперболический
параболоид —— = 2д по РаВ||ОСТОРОН|1ИМ гиперболам.
1852*. Найти плоскости, рассекающие конус ^4-^ —
О о4
___ = 0 по равносторонним гиперболам.
с2
1853*. Доказать, что если пересечение двух поверхностей
второго порядка содержит линию второго порядка, то мно-
жество остальных точек, общих этим поверхностям (если
оно не пустое), есть также линия второго порядка.
1854*. Доказать, что, для того чтобы через две линии
второго порядка можно было провести поверхность второго
порядка, необходимо и достаточно, чтобы эти две линии
имели две общие точки (собственные или несобствен-
ные, действительные или мнимые, различные или совпада-
ющие).
1855*. Доказать, что через три линии второго порядка,
плоскости которых не проходят через общую прямую и ко-
торые попарно имеют по две общие точки, причем ни одна
из этих точек не принадлежит сразу всем трем линиям,
можно провести поверхность второго порядка и притом
только одну.
1856*. Доказать, что, для того чтобы главные оси двух
поверхностей второго порядка были соответственно парал-
лельны, необходимо и достаточно, чтобы матрицы квадра-
тичных форм, входящих в состав левых частей уравнений
поверхностей, были перестановочны.
1857*. Доказать, что сумма чисел, обратных парамет-
рам двух перпендикулярных диаметральных сечений эллип-
тического параболоида, постоянна для данного парабо-
лоида.
1858*. Найти на однополостном гиперболоиде геометри-
еское место точек, через каждую из которых проходят
две взаимно перпендикулярные образующие. По какой кривой
1863]
§ 6. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
будут рассекать поверхность
плоскости, параллельные «асательны» «оХтяТк’?'™”
постному гиперболоиду в точках указанно™ Х,р„“Хо
§ 6. Смешанные задачи на поверхности второго порядка
1859*. Пусть общее уравнение <р = 0 поверхности второго
порядка определяет эллиптический или гиперболический па-
раболоид. Доказать, что уравнение плоскости, касательной
к этому параболоиду в его вершине, может быть записано
в виде:
ггб.+о-^’-^о.
Л1 Л2
аг, й»}; ei< ег> es—единичные векторы главных
(е, — единичный вектор оси), а Ь,—составляю-
Ь по оси (е3).
вершины, то плоскость а пересекает
по эллипсу;
если плоскость
то плоскость а
Р пересекает конус по двум образую-
пересекает его по гиперболе;
где b — {at,
направлений
щая вектора
1860*. Конус второго порядка пересечен плоскостью а.
Через его вершину проведена плоскость параллельная а.
Доказать, что:
1) если плоскость 0 не имеет с конусом никаких других
общих точек, кроме
конус
2)
ЩИМ, IV 1W1W4UV..- --I------- - - -
3) если плоскость р имеет с конусом только одну об-
щую образующую (касается конуса), то линия пересечения
конуса плоскостью а будет парабола.
1861*. Доказать, что нормали к линейчатой поверхности
второго порядка, проведенные в точках прямолинейной обра-
зующей, составляют гиперболический паРабоа° Д_‘ 0СТЯМ1)
1862*. Найти углы между непараллель .
круговых сечений трехосного эллипсоид . ₽
э.и плоскости будут взаимно пеРпеидикУДЯд
1863*. Найти углы между прямыми, соединяющими^ _ р
симметрии двухполостного гиперболоида Х~, + ь* f
с его омбилическими точками. Пр» «»<>“ "Р”‘
мые будут взаимно перпендикулярны!'
848 гл. х*. уравнение поверхности второго порядил Г1ЯС4
IBM. Найти вершину параболоида K(Atx-j- Bty+c z?+
+рМ,х + BJ + C*z? ~ Ai*+Bty + C4a-pDf, функции
Лх+^Л+'V. Atx+B,y+Ctz, A,x+Bty+Ctz+D
л1мейи . независимы *
1865. Найти геометрическое место центров сфер радиу-
са R, пересекающих эллипсоид х2-!-2y2-f-3z2—1=0 по
окру ЬЯОСТРМ.
1866*. Пусть £—линия пересечения сферы х2-)-
«Я2 с эллипсоидом Рассмотрим аффинное
nM{J i^HHe данной сферы в данный эллипсоид. При этом
преобразовании линия L перейдет в линию С, лежащую на
начальном эллипсоиде я называемую полодией. Доказать
что расстояние от центра эллипсоида до касательных пло^
ск <тей к нем/ в точках полодии неизменно для всех точек
полодии.
ГЛАВА XVI
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПРОСТРАНСТВА
Ортогональным преобразованием простран-
ства называется такое преобразование, при котором кхг -
точке М(х, у, г) пространства, заданной относительно дежа^лий
прямоугольной системы координат, ставится в соответствае точка
М' (х'.у'.г'), координаты которой (относительно той же системы
координат) являются линейными функциями координат точке М
х1 =aJtx-^atty-^auz-rat,
p'=cttx+^Jjf+o^+aJ, (1)
где
/а11 ait a1t
( а„ аа (2)
°п аи
— ортогональная матрица т е. такая, что
<4»+ом+л‘»=1,
0»/»»+®»°»*'' апап~
ОцО» -г аг1а„—аг^„=0
altait -г ОгзУг»+
Система соотношений (3) экв валентна следую®**
j
^,+^» + ^« = 1
а\ = /
а„аг,+а,гаа-га„аг1^0,
aila„+^4-r°»a»i °
(Г)
350 Г1 «V» ОРТОГОНАЛЬНЫЕ H АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Ортоговкльная матрица может быть определена как такая,
дав которой обратная матрипа совпадает с транспонированной:
или. что то же самое,
Параметры, входящие в соотношения (1), имеют следующий
геометрический смысл: вектор £,={<»„, о,,, единичный и яв-
ляется образом вектора «, = {1, О, О}; вектор — пв, с12|
единичный, ортогонален вектору е, и является образом вектора
^,= {0, 1, 0}, вектор £t={au, а^, пм} единичный, ортогонален
векторам е, и ег и является образом вектора е, = {0, 0,1 в рассма-
триваемом ортогональном преобразовании (1). Точка (f (с„ аг, at)—
образ начала координат О.
Ортогональное преобразование взаимно однозначно, сохраняет
расстояние между двумя точками, углы между прямыми, сохраняет
коллинеарность трех точек (т. е. принадлежность трех точек одной
прямой), параллельность прямых, параллельность плоскостей,
параллельность прямой и плоскости.
Всякое преобразование, сохраняющее расстояние между теч-
ками, будет ортогональным, т. е. аналитически будет выражаться
соотношениями (1), где матрипа (2) ортогональная.
Множество всех ортогональных преобразований пространства
образует группу.
Ортогональное преобразование называется ортогональным пре-
(fгазованием первого рода, если это преобразование сохра-
няет ориентацию пространства, н ортогональным преобразованием
втоР°го рода, если оно меняет ориентацию пространства.
В случае ортогонального преобразования первого рода опреде-
литель матрицы (2) ранен 1:
С11 аи а1»
вМ °»1 аи
*- -т-'- е равен* — уНОГ° п₽ес^Разования второго рода этот опре-
|ап си аиI
“а
ап аа аи
ГЛ. XVI. ОРТОГОНА ТЬНЫЕ И
Ортогональное преобразование
х* =*+х„
!/' = «/4-у.,
г = г-$-г#
называется переносом.
Ортогональное преобразование
x'=aux-j-a11j/+ollz,
£<=aIiX + any + at^>
z' =aMx-rani/ + a„z
называется поворотом около неподвижной точки О (начала
координат).
Аффинным преобразованием пространства
называется такое преобразование, прн котором каждой точке
М (х, и, г) пространства ставится в соответствие точка М (х\ у', г),
координаты которой являются линейными функциями координат
точки М:
х'=апх+аку+а1гг+а1,
у - аих 4-Щ ф а,.
?' = апх-$- а^) ф а„г ф а»
причем определитель
I ви аи <*и
°11 аи аи
ач а» агг
5^ 0.
(5)
Параметры, входящие в соотношения (4), имеют следующий
геометрический смысл* точка О '(а,, а,, а,)—образ начала коорди-
нат. Вектор ^, = {0». агг, —образ масштабного вектора е,=
= {1, 0, 0} осн Ox; ei — [alt. аа, а„}—образ масштабного вектора
et=’0, 1, 0} оси Оу; вектор е, = {au, аи, о,,}—образ масштабно-
го вектора е, = {0. 0, 1} оси Ог.
Аффинное преобразование взаимно однозначно.
При аффинном преобразовании прямая переходит в прямлю.
плоскость — в плоскость.
Прн аффинном преобразовании сохраняется параллельность
прямых, параллельность плоскостей, параллельность прямой и
плоскости.
При аффинном преобразовании сохраняется простое отноше-
ние т ех точек, лежащих на одной прямой, отношение площадей
фи гл р, лежащих в одной плоскости, и отношение объемов тел.
Всякое взачмно однозначное преобразование множества всех
точек пространства, сохраняющее коллинеарность трех точек, ле-
жащих на одной прямой, будет аффинным преобразованием, т. е.
аналитически оно будет выражаться соотношениями (4), причем
бу дет выполнено неравенство (5). Множество всех длинных пре-
образований пространства образует группу.
352 ГЛ XVI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Двойные точки аффинного преобразования, т. е. точки, сами
себе соответствующие, определяются соотношениями (4), где вместо
У у', z‘ подставлены соответственно х, у, z.
Двойной прямой аффинного преобразования называется такая
прямая, которая прн этом аффинном преобразовании переходит
в себя.
Двойной плоскостью аффинного преобразования называется
такая плоскость, которая прн этом аффинном преобразовании
переходит в себя.
Аффинное преобразование
х' —х, у’ = у, г' — kz, k> О,
заданное по отношению к декартовой прямоугольной системе коор*
динат, называется сжатием (к плоскости Оху). Число k назы-
вается коэффициентом сжатия.
Каково бы ни было аффинное преобразование, существуют
три попарно ортогональных направления, которым соответствуют
также три попарно ортогональных направления.
Три попарно ортогональных направления, которым в аффин-
ном преобразовании соответствуют также три попарно ортогональ-
ных направления, называются главными направлениями
данного аффинного преобразования.
Всякое аффинное преобразование есть произведение ортого-
нального преобразования н сжатий к трем попарно ортогональным
плоскостям.
Если в аффинном преобразовании имеется хотя бы одна не-
подвижная точка, то оно называется центроаффинным; если
принять неподвижную точку за начало координат, то формулы
аффинного преобразования будут иметь вид:
у' ^а^хА-а^у-^а^г,
г' =апх-^аку-\-апг.
Если при аффинном преобразовании сохраняются объемы тел,
то оно называется эквиаффинным.
^ля 1°го чтобы аффинное преобразование (4) было эквиаффнн-
ным, необходимо и достаточно, чтобы
в случае ООО М № «• ООО 8 й м = ±1.
сохраняется не только о аффиииое преобразованн аи ап ам °2i аа ахг ап агг Оп бъем, но и с е называете = +1 >риентация пространства; такое :я унимодулярным.
ГЛ. XVI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 353
Собственным вектором аффинного преобразования
называется такой ненулевой вектор, который при этом преобразо-
вании переходит в вектор, ему коллинеарный.
Если е--собственный вектор аффинного преобразования а
е'==1й—его образ в этом преобразовании, то число X называется
собственным значением, соответствующим собственному вектору е.
Координаты /, т, п собственного вектора аффинного преобра-
зования (4) определяются из системы уравнений:
= 0.
J + (й1г—m+аг,п=О,
a,il + anm -f- (а„—X) п=О,
где X—корень уравнения
Си X аа а1г
агг аи
й». агг ап—1.
Это уравнение называется характеристическим. Собственное
знаиение собственного вектора е есть корень этого уравнения
Центроаффинное преобразование
«и'
а»,
в».
«и
а.
У' =а„х-\-аг1у-}-аиг,
г'=ачХ+0,^+0,^.
иятаН««к1о1НОСИТеЛЬНО декаРтовой прямоугольной системы коорди-
нат, называется симметрическим, если матрица Р
«и
'»i агг
ап
этого преобразования является симметрической, т. е.
а11~с±1> О.» = с»1» ап~ап-
Всякое симметрическое центроаффиниое преобразование имеет
три попарно ортогональных собственных вектора, н обратно, если
некоторое центроаффинное преобразование имеет три попарно
ортогональных собственных вектора, то оно симметрическое.
Множество всех поверхностей второго порядка может быть
разделено на 17 аффинных классов. Две поверхности второго по-
рядка относятся к одному и тому же аффинному классу тогда
и только тогда, когда одна из них может быть переведена в дру-
гую некоторым аффинным преобразованием.
При аффинном преобразовании диаметр, диаметральная пло-
скость, центр, асимптотический конус, касательная плоскость
к поверхности П второго порядка переходят в диаметр, диамет-
ральную плоскость, центр, асимптотический конус и касательную
плоскость поверхности П', являющейся образом поверхности
При аффинном преобразовании сохраняются отношения
ности: если плоскость л сопряжена хордам поверхности 11, п р
С. В. Бахвалов в др.
354 ГЛ. XVI. ОРТОГОНАЛЬНЫ! И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ fl 867
„,л1„.,м вектору (I, ТО плоскость л' будет сопряжена хордам
поверх Гости Л', параллельным вектору а', где плоскость л'_
образ плоскости л. поверхность/7'-образ поверхности П, & а'~
пАпяз вектора а в рассматриваемом аффинном преобразовании.
Если диаметр р сопряжен сечениям поверхности П, парал-
лельным плоскости л, то образ р' прямой р будет диаметром
поверхности ГТ, являющейся образом поверхности П, сопряжен-
ным сечениям поверхности П, параллельным плоскости л', где
я'—образ плоскости л.
1867. Найти аффинное преобразование, при котором
точки 0(0, 0, 0), Е,(1, 0, 0) и Е2(0, 1, 0) остаются не-
подвижными, а точка Е,(0, 0, 1) переходит в точку Е(1, 1, 1).
1868. Найти неподвижные точки аффинного преобразова-
ния, заданного соотношениями
x' = 2x-f-y + z—1, y’ = x-\-z— 1, /= — z — 2.
1869. Найти аффинные преобразования, при которых оси
координат преобразуются сами в себя (являются инвариант-
ными прямыми).
1870. Найти общий вид аффинных преобразований, остав-
ляющих на месте все точки плоскости Оху.
1871. Найти общий вид аффинных преобразований, остав-
ляющих на месте все точки оси Oz.
1872. Найти аффинное преобразование, оставляющее на
месте концы Et{\, 0, 0), Е2 (0, 1, 0), Es(0, 0, 1) единичных
векторов осей координат и переводящее начало координат
в точку О’, симметричную с точкой О относительно пло-
скости Е,Е2Е,.
Система координат прямоугольная.
1873. Найти аффинное преобразование, при котором яв-
ляются инвариантными ось Oz и биссектрисы углов xOz и
yOz, причем векторы, лежащие на оси Oz, не меняют своей
длины, а векторы, лежащие на биссектрисах, увеличиваются
в два раза.
1874. Дано аффинное преобразование
~ аих + а12У +
у' ~а2ххЛ-a^y-\-a2Zz,
z'^azxx-Yai2y + aiiz,
ческо^'м'пг66 НЭ месте начало координат. Найти геометри-
то прямых, проходящих через начало координат,
,8791 гл. xv,. оттого,„РГО№МО,ИИ Ю5
которые ори этом прообразов™,,,, перехода, „ пряаые „ „„„
ортогональные. щнмыц к ним
1875. * Дано аффинное преобразование
х' = 2х + у, y=x + 2j, 2'=3x + 4j-52.
1) Найги векторы, которые при этом преобразовании
переходят в век юры, им коллинеарные.
2) Как запишется данное аффинное преобразование, если за
оси координат принять прямые, параллельные этим векторам?
1876*. Дано аффинное преобразование
X- y + 3z, у' = x + 5y + zf / = 3х+л-г.
Найти такие три попарно ортогональные вектора, которые
при этом преобразовании переходят в три также попарно
ортогональных вектора; представить данное аффинное преоб-
разование как произведение ортогонального преобразования
и трех взаимно перпендикулярных растяжений.
1877*. Дано не тождественное ортогональное преобразо-
вание первого рода
х =cltx-{-ctly + clsz,
У — с2гу -j- c2sz,
z' = cs,x-|-cs2.y + c„z,
оставляющее на месте начало координат.
Найти направляющий вектор такой прямой, все точки
которой при данном преобразовании остаются неподвижными.
1878*. Дапо ортогональное преобразование первого рода
х'-сих + с1гу + С1,д,
/-сг1х + с22у + с2,г,
Это преобразование может быть осуществлено поворотом на не-
который угол ф около неподвижной прямой. Найтн этот угол.
/С11 С12
1879*. Пусть с= с21 с22
СЛ С»«
си
С23
Cjs
—ортогональное преоб-
разовая не первого рода; г—произвольный вектор, перпен-
дикулярный к неподвижной прямой (см. предыдущую задачу),
г'— его образ в данном преобразовании; е—направляющий
12
«356 171. XVI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ 1 880
век-iop неподвижной прямой. Какому условию должны удов-
летворять координаты вектора е = {а, Ь, с}, чтобы тройка
векторов г, г', е имела ту же ориентацию, как и тройка
положительных направлений осей координат?
1880*. Дано ортогональное преобразование
, И .2 .2
Х ~ 15 3 Z'
, 2 , 14 1
У ~ 15 15 У 3 Z'
z у х + Уу+ ~3Z'
Найти направляющий вектор неподвижной прямой, опре-
деляющий направление вращения и угол поворота.
1881*. Дано ортогональное преобразование первого рода
Найти такое ортогональное преобразование, которое осуще-
ствляет поворот вокруг той же оси и на тот же угол, что
и данное преобразование, но в противоположном направлении.
1882*. Найти ортогональное преобразование, зная направ-
ляющий вектор е—{а, Ь, с} неподвижной прямой, опреде-
ляющий направление вращения и угол (р поворота.
ГЛАВА XVII
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Присоединим к множеству всех точек ппямой
венной или бесконечно удаленной точкой этой
точками.13 °ТЛИЧИе °Т °СТаЛЬНЫХ Т0ЧеК' называемь|х собстееннь^и
Полученное, таким образом, множество мы будем называть
собственной прямой. Ко всем параллельным .между собою
прямым будем присоединять одну и ту же несобственную точку,
К двум непараллельным прямым (пересекающимся или скрещиваю-
щимся) мы присоединяем различные несобственные точки.
Трехмерное евклидово пространство, дополненное указанным
образом несобственными точками, называется трехмерным
проективным пространством.
Собственной плоскостью проективного пространства называется
множество всех точек плоскости евклидова пространства, допол-
ненное теми несобственными точками, которые присоединены ко
всем прямым, лежащим в этой плоскости. Совокупность этих
несобственных точек называется несобственной прямой
данной плоскости. Совокупность всех несобственных точек мы
будем называть несобственной плоскостью.
Введем общую декартову систему координат Охуг. Пусть А1
собственная точка проективного пространства, имеющая в системе
Охуг координаты х, у, г. Числа х, у, г, 1 и любую четверку чисел
Xi = kx, Xi = ky, xt = kz, Xi = k-1, где k*0,
будем называть однородными к о о р д и и а т‘ам; иitо i* “
Отсюда получаем выражения для декартовых^коо) д *
точки через ее однородные координаты.х——. У Xi
пуИь м-,к^г.г
параллельным вектору а— хг, лг). Z а та|(Же любую чет-
точки М будем называть числа х,. х» однородными
верку чисел, им пропорциональную'•
координатами х„ xs, xs, х4 будем (I 0:0 0). песобствен-
В частности, несобственная. ^/^Хвёйная точка оси Ог:
ная точка оси Оу. Oz(0.1- V) гО О-О-1), а единичная точка.
О, (0:0:1:0); начало координат. Ot(u. . ;
358
л XVH. S.U'MIIITW ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
/ (1111 Всякая плоскость проективного пространства опре-
лястся линейным однородным уравнением первой степени:
в х 4-агг,4-в,*,4-“Л = °> и обратно В частности, несобственная
плоскость определяется уравнением *4 = 0
Система проективных координат в проективном пространстве
определяется пятью точками О,, О,, 0„ О, и Е, из которых ника-
кие четыре не лежат в одной плоскости Точки О2, О„ о,
называются фундаментальными или базисными. Тетра-
эдр 0,0,0,0, называется базисным или координатным.
Т чка Е на ывается единичной точкой системы проективных
координат
Пусть 0„ О„ 0„ О, и Е имеют следующие однородные коор-
динаты О, (а,, а„ а„ а„), О,(а„ а„ “32.“4i), O,(at,:a,t:a„’ait),
0,(а„ аи а„ аи), Е (е, е, е, е,), а произвольная точка М — одно-
родные координаты М (х, х, х, х,).
Тогда проективными координатами точки М относительно си-
стемы проективных координат 0,0,0,0,Е будут числа у,'у,.у,'у„
определяемые из следующей системы уравнений:
0*i = а„о,у, + a„G,y, + с,аоа-уа + а„о,у„
0*2 = а„о,у, 4- a,,Q,y, 4- a„Q,y, + a,,Q,y„
О*, = a„Q,y, -f- ca2o2z/2 4- flaae8Va 4- “iiCil/i.
0*4 = “nOil/i + cJ2osI/j 4- “ззОз'/з 4- а,.о,у,,
где числа e„ (>,, Qa, o4 определяются из системы уравнений:
“1101 + “1201 + “1,0, + 01404 = ₽1.
“1101 + “12O2 + at»Qt + “24O4 = С2,
°iiOi + oa2p2 4- o8!03 + “мОз = oa,
O41O1 + “42O1 + O4.Q3 + a^Q. = e,.
В системе O,O,O,O,E проективных координат точки О,, О2, О„О„Е
имеют соответственно следующие проективные координаты:
0,(10 0.0), О, (0-1:0:0), О, (0:0:1:0), 04 (0:0:0:1), Е (1:1:1.1).
Ес и рани 0,0,0,, 0,0,0,, 0,0,0, и 0,0,0, определяются в си-
стеме однородных координат уравнениями:
uiixi + w12 х, 4- w,aXj 4- «,4X4 = 0
И21Х1 + + “14*4 + “14*4 — 0
“11*1 + “,1*1 4- “зз*1 4- “44*4 = 0
“41*1 4- “з1*2 4- “44*, 4- “44*4 — 0
(0,0,0,),
(0,0,0,),
(Ofifi,),
(О.О,О,)
пооективныр ™ЧКа Е ИМеет 0ЛН°Р°Д1'Ь1е координаты (е,-.ег:е,:е,), то
дииатами х х °Рли,1аты У.'-У,'.у,'и, точки М с однородными коор-
динатами х,.х,.х,:х, определяются по формулам:
Си, — Ц“У| 4~ “и*, 4- и„х, 4- и„х,
+ ui^t + 4,.e,-). и„е, ’
u3ieI4-“ste2 + nS3e7+u7^7 ’
р{/г _ “11*1 4- “11*1 4- “13*1 4- “14*4
“2|е, 4- и,,е, 4- w2aea 4- и„е,
Qy, = UitX14- “42*2 4- “43*3 4- “43*4
“41^1 4~ “42^2 4- “43^3 4- “44^4
соотношениями: ' К00рди’
Ох.=-^±ЪУ+Сгг + Рг
А^ + ВгУ. + С^ + Рг’
ох ~ A^ + B^+Ciz + Dl
А*х<, тВ4у<1 + C4z0+Dt-
случай проективных
не лежащие на одной
XV,.. ээтмитц таитщнов ги>^
Если грани базисного тетпаэлпя п л л
некоторой общей декартовой с‘„с относительно
ООО- A v 1 О рдинат уравнениями-
ооо' lx+^+^+DI=o,
о’ол ^+b^+^2+c2=o,
О О О^' ^+^+С*г + О,=0,
А*п В3у с4г + D4 = о,
а единичная точка—точка Е(х и ™
наты собственных точек определяются ---- пРоективн“е
ох = Aix + Biy + C1z + D1
’ Atxo + B1ye + Ciz(, + Dl’
_ A3x + B3y + Csz + Dt
Азхо 4 В3у0 -f- C3z0 -f- Ds ’
Однородные координаты есть частный случай проективных
координат, когда вершины О„ Ог, О3 координатного тетраэдра суть
несобственные точки декартовых осей координат Ох, Оу, О?
точка 04 совпадает с началом координат О, а единичная точка
декартовой ~ системы координат принимается за единичную точку
проективной системы координат.
Если спроектировать вточку A4IV(xI:x2:x2:0) точку М(х,-.хг:х3:х3),
отличную от точки 04, из атой точки О3 в плоскость OjOjOj, точ-
ку Е — в точку £1 v (1:1:1:0), то на плоскости 0t0fi3 в системе проек-
тивных координат Oft3O3Exv точка M,v имеет координатых^х^.х,.
Если спроектировать точку М (xt;xtxt;xt), не лежащую на пря-
мой О3О4, на прямую О,О2 плоскостью 0303М в точку Л412 (x^jrj.rOiO).
а точку Е — в точку £12(1:1:0:0) плоскостью ОгО3Е, то на пря-
мой OjOj в системе проективных координат О3ОгЕи точка Л112 будет
иметь координаты х3.хг.
Плоскость в проективной системе координат определяется ли-
нейным однородным уравнением u1xi^-utxz^-u3x3+utxi=0.
Четыре числа и^.и^и^, а также всякие четыре числа, им
пропорциональные, называются координата ли этой
Обратно, всякие четыре числа ut, иг, и3, и3, н Р у'
одновременно, определяют в указанном смысле •
Уравнение плоскости, проходящей через три toikh
Л(й1:ог:о3:о4), В (Ь,‘.Ьг:Ь3:Ь3), С (с!.сг:с3с3),
прямой, пишется в виде:
Хг = аа2 + рЬг + Хсг,
х3 = аа3+$Ь3+ус3,
xi=:aai + ^bi + \c1,
проективные координаты
где а, ₽, у можно РХотор^“ c“.icSe проективных координат
ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ В иек“5°Р
с базисными точками А, В,
ai
bl
Cl
л2
аг
Ьг
Сг
а.
Ь,
а.
Ь,
Сл
0;
или
„ в Т можно рассматривать
• * * , г» ЛТП пои СИ
I ПЛОСКОСТИ В *•-- .
12**
360
гч. XVH 9П1МННЫ 111’01 КТПВНОЙ Г1ОМ1-ТРИИ
Ппямая проективною пространства, проходящая через две
точки А(а,а, а а,) и В (b,:bt-b,:bt). определяется уравнениями:
х, aa.+fMh, xx = a«,4-fA. х, = аа,4 х4 = ап4 + рь4,
_ ' н н можно рассматривать как проективные координаты точки
прямой АВ в некоторой системе проективных координат с базис-
ными точками А и В. *
Прямая являющаяся пересечением двух плоскостей
(lyc-tvi’*) н определяется уравнениями:
Ml=at)l + pu’i. «t==af* u>= at,5 + Ри«> U*=‘xil«+Pu’4
(пучок плоскостей, определяемый двумя данными плоскостями).
Ангармоническое отношение четырех точек:
А В (Ь3:Ьг:Ь,:Ь3),
С [(ап, Ч-Р*,):(а«Е + &>г)(аа, + р&3):(аа4 + рь4)],
D ((Ха, + цЬ,):(Ьаг 4- pds):(Xaa + pbx):(Xa4 4- |А)]
равно (АВС£))=-^-.
Таким же образом определяется ангармоническое отношение
четырех плоскостей пучка.
Если взять в качестве новых базисных точек О, (atl:ati:atl:a31),
О'(а1Х:а21:а,2:а42), О'(а„:а„:а„-а4,), о'(а14:а24:а„:п41), а за новую
единичную точку—точку Е' (е,:е2:е,:е3), то координаты х1:х2:х,:х4
точки М в системе OtO2OsO3E через координаты х':х':х,:х4 той же
точки в системе О,О2О,О4 Е' выражаются соотношениями:
6*1 «1101*1 4* «1262*2 4- «1з6з*3 4" «1161*4,
6*2 «2161*1 4“ «2262*2 4“ «2з6з*3 4“ «2164*4,
0*3 = 01101*1 4- «8262*2 4- «ззбз*з 4- «3464*4.
0*4 = «4101*1 4- «4262*2 4- «4з6з*3 4- «4404*4.
где 01:02:0з;0з определяются из соотношений:
°1101 + «ибг 4- «ибз 4- «пОз = 061, «3101 4- «згОг 4" «ззОз 4- «sl04 = б^з-
«2101 4- «22Q2 4- «2г0з 4- «2161 = 0е2, «4101 4- «420г 4- «4з0з 4- ««01 = 0р4-
Проективным преобразованием называется такое точечное
взаимно однозначное соответствие, при котором три любые колли-
неарные точки переходят снова в коллинеарные. При этом пло-
скость переходит в плоскость, прямая —в прямую, сохраняется
отношение инцидентности точек, прямых и плоскостей, ангармони-
ческое отношение четырех точек одной прямой, четырех прямых
одного пучка и четырех плоскостей одного пучка.
Множество всех проективных преобразований пространства
образует группу. 1 1
гл. xvи. элементы проективной геометрии 361
Проективное преобразование определяется, и притом единствен-
ным образом, пятью парами соответственных точек, если никакие
четыре прообраза и никакие четыре образа не лежат в одной
плоскости.
В координатах проективное преобразование определяется
соотношениями:
QX1=C11^i+«12-*’2 + cUxs+ о14х4,
QXg = ^21^1 4* &22Х2 4” «23*3 4* «24*4-
где M (xtx2:xs:xt) — прообраз, а ЛГ (х':х' :х'
этими соотношениями при условии
Q*3 «31*1 + «32*2 4" «33*3 4“ «34*4»
Q*4 = O4lX| -f- «43X3 "В «43*3 4" «41*4,
•*4) образ. Обратно,
определяется проективное преобразование.
В аффинных координатах для собственных точек пространства
проективное преобразование определяется соотношениями;
,__Л,х -р Вф- С-|- Д, ,________Агх Btp +Сз? + Рг
Л4хф-В4//-рС4г-р О, Л4х -р В1У -р С4г -р Д4
,__Лз-г -р В3у -р Сгг -р D,
Atx -р В4р -р С4г + Д4
где М (х, у, г) — прообраз, а М' (х', у', г')—образ.
Обратно, при
условии
Л, В, С, Д(
Л2 В2 Сг D2
ла В3 С, D3
Л4 В4 С4 Д4
/О
эти соотношения определяют проективное преобразование собствен-
ных точек проективного пространства.
Коррелятивным преобразованием, или корреляцией,
называется взаимно однозначное соответствие между множеством
всех точек проективного пространства и множеством всех плоско-
стей этого пространства.
Корреляция называется линейной, если трем любым точкам,
лежащим на одной прямой, соответствуют три плоскости, проходя-
щие через одну прямую. При линейной корреляции ангармониче-
ское отношение четырех точек одной прямой равно ангармониче-
скому отношению соответствующих нм четырех плоскостей пучка.
Линейная корреляция называется поляритетом, если она
Удовлетворяет следующему условию: пусть М— любая точка, т
соответствующая ей плоскость, /V—любая точка, лежащая
ГЛ XVII ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
О Г)^
т тогда плоскость п, соответствующая точке N, До_
проходить через точку М. Если в поляритете точке М соответствует
ХХь т. ТО точка М называется полюсом плоскости %а
пакость т иазывается полярой точки М. а
Две точки М и N, каждая из которых лежит на поляре ДрУГой
(в некотором поляритете) называются полярно со п р я ж е н-
и ы м н (в этом поляритете).
Две плоскости тип, каждая из которых проходит через по-
люс другой (в некотором поляритете), называются полярно сопря-
женными (в этом поляритете).
Если в некотором поляритете точка М описывает прямую /
то поляра т точки М вращается около некоторой прямой эти
прямые I и Г называются полярно сопряженными в этом поля-
ритете
В координатах линейная корреляция определяется соотноше-
ниями-
—oJJxI + + @tsxt -|- Я33Х3, Q@3 @ззхз "Ь o32x2 "Ь @ззхз ~{~@гзХз,
QUt =-- + @згхг -|- a2sxt -|- a2ixv Qui — @ззхз + @ззх2 + @33X3 -|- a^x^
где M (x,:xt:x,:x4) —произвольная точка, a m {ц2:и2'.и2.и^—соответ-
ствующая ей плоскость Обратно, этими соотношениями при условии
а11 °12 а13 ° 14
°21 @22 @23 @23
@31 @32 @33 @33
^41 @32 @33 @33
определяется линейная корреляция.
Необходимым и достаточным условием того, что линейная кор-
реляция есть поляритет, является условие 0^ = 0^-.
и л/1СЛОВНе. поляРНой сопряженности двух точек M(xi.x2:xt:x^)
(Уз Уз-Уз Уз) в данном поляритете записывается так:
+а,гХ‘ +а,л) + ("2Л + @22Х2 + +агЛ) +
Уз ззХг +аг2х2 +aitxt + а,Л) + (Oilxt + a12x2 + аахг + =0.
и nlv ”e в°ляРн°й сопряженности двух плоскостей т (и^и^и^из)
1- г- з- з) в данном поляритете записывается так:
или
“11 а12 аи @33 «1
а21 @22 @23 @23 «2
а31 @32 @33 @33 @3
а31 @32 @33 @33 @3
V1 @2 @3 @з 0
+ ;“г + А““*> + (А»“> + Л22и2 + А2гиз + А2з@з)@Л
+ + А.2@2 + А,гиг+ лг1«4) оа +
32@2 + A33II3 + ^414uj О4 —О'
+ + А
гл- xvn. ЭЛЕЧЕНТЫ проЕктиш(ой гЕо^
где А,/-алгебраическое дополнение элемента
а>!
а.,
ап
агг
а1г
агг
агг
ач
аы
а21
363
a>k в определителе
Координаты (а2а2.аг aj полюса плоскости и у
+ «4*4 = 0 определяются соотношениями: цЛ + иг*г + «Л+
0а! = ли«! + Л2«2 + А 1гиг + Л14и4,
ра2 - Л21и, + Л22н2 + Аггиг + Л24п4.
Q“j — AniUt + Лг2н2 4- Лии2 4- Л„и4,
ра4 = At,u, 4- Л42и2 4- Л4ги, 4- Лии4.
Поверхность второго порядка в проективном пространстве
может быть определена как множество точек, ннциден?ных своим
полярам в некотором поляритете.
Общее уравнение поверхности второго порядка в проективных
координатах имеет вид-
а»х* + а22х* 4- аггх\ 4- аих\+2а12х1х2 4- 2о1Лхг +
2а]4х4х4 4~ 2о23х2х4 4* 2g24x2x4 4* 2с41хах4=0.
Обратно, каждой поверхности второго порядка, заданной
в проективном пространстве своим общим уравнением, можно по-
ставить в соответствие некоторый поляритет.
Уравнение поляры точки М (а, а2 аг'а4) относительно поверх-
ности второго порядка пишется так:
(otla, 4- Oi2a2 4- Oita2 4- П14о4) xt 4- + аггаг ~Ьа»гаг 4" anai) xi +
4- (fljiOj 4~ aJ2a2 °ма« “Ь oMa«) хг + (апа1 ' акаг 4"ачаг + аиат) *4 — 0.
Если точка М лежит на поверхности, то ее поляра есть каса-
тельная плоскость к этой поверхности в точке М.
Если точка Л1 не принадлежит поверхности, то ее поляра
может быть определена как плоскость, в которой леж^''^₽™®
гармонические к точке М и двум точкам Л и В, "дающимся
в пересечении прямой, проходящей через точку М, Р „„
Конус с вершиной в точке М (а,: а2: а4. а4), описанныи окол
поверхности второго порядка, определи тся р н и
(auxl 4- а22х\ 4- аггхгг 4- + 2«.гххх2 4- 2аМ + 2^ +
+ 2a2,x2x, + 2a2ix2xi+2a,lxtxi)(allul+a22at+a„a, а» 4
+ 2п12а,а2 + 2atla1U, + 2^^ + 2огзаг«3 - 2агЛЩ
-Ка^+а.Л +а,,а1^,;Ь(“2‘“,а “““а f“+atla‘)x,]!=0.
4- (а,,а, + п.г«г + + а’*01) х‘+ (а*' ‘ 1 " 2
364
ГЛ XVII. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Чгловие при котором плоскость utx, -[-uzxz + w,x34-u *.—.л
кясается поверхности второго порядка, в случае, если эта поверх.
и££ ие вырождается, записывается так-
Gjl О12 ait °ll
#21 ^22 ^2J ^24 W2
аз1 ai2 ам аЫ Ut
^41 ^42 ^42 ^44 ^4
Ut Ut ut u3 0
= 0-
Это xравнение называется тангенциальным уравнением
поверхности второго порядка (невырождающейся). При этом
а11 °12 °14 Ы1
fl21 й22 fl22 °24 Ы2
°31 аЮ aU °34 И4
°41 °42 а*3 °44 И4
Ut U2 U, U, О
— — (ЛцЦ, + ^22иг + A3,uf + Аии* + 2 А12utuz 4-
+ 2Аии3иг + 2AtiuIui+ 2Az,uzu, 4- 2X24alU1 4.
+ 2?,34U3«4)>
где алгебраическое дополнение элемента alft в определителе
Д =
°11 °12 ai3 ° 14
а21 °22 °2« °24
а«1 °S2 О33 а33
аи азг °4« °44
Тетраэдр называется автополярным по отношению
к поверхности второго порядка (или к некоторому поляритету),
гравиКаЖДаЯ еГ° 861)11111113 является полюсом противоположной
Если за базисный тетраэдр принят автополярный, то уравне-
вие поверхности второго порядка при надлежащем выборе еди-
вичиои точки может быть записано в виде:
/4^-/^-^-/.^ = О, где |а; =1, i=l, 2, 3, 4
паз1Р1Я1пт^1ерХНОСТИ ВТ0Р°Го порядка в проективном пространстве
Ппи В0СеМЬ пР°е™но различных классов V
проектавному ТлаПс?у Ртог°^И второго поРя^ка относятся к одному
может быть n^,?aCCi Тогда и только тогда, когда одна из иих
Ниже ппиьл\ЧеНа пРоектявным преобразованием другой.
второго поп«з^оДЦСЯ пР°стейшие уравнения восьми поверхностей
(см\абл°™р ^осяшихся к различным проективным классам
поверхвости^л “ВрМой вевырождающейся или гиперболической
Для того чтобы пп№п'Чае 511,,птич«:кой Д< 0.
иеиием п • - овеРХНОСть второго порядка, заданная урав-
“и-*, т а~х- 4. п -л , „ . , , „
-е , 4- 2а22х^с^ 4- 2alix^xi = О,
18851 гл, xv„. МИ1мта „Роитаюо|, rKwipm
Рр:с«:т4ньшм лару «*“*<»»
/ °п ои ait au\
I а21 Ог2 Ог» 0»4 ]
\ ®»1 о»± ои аи I
\ ач ап а4г ait ]
был равен 2 или 1.
Ранг А Тип поверхности
4 х1+хг + х1 + х1 = °—мнимая поверхность xi т х2 т *4 = 0— эллиптическая поверх ность х1 + х|——гиперболическая поверхность
3 Х|4-х’ + х, = 0—мнимый конус х^+х|—х’ = 0—действительный конус
2 х*+х’ = 0—две мнимые плоскости х^—х* = 0—две плоскости
1 х* = 0—две совпадающие плоскости
Точка М называется внутренней точкой действительной эллип-
тической иевырождающейся поверхности второго порядка, если вся-
кая прямая, проходящая через эту точку, пересекает поверхность
в двух различных точках. Точка М, не лежащая на поверхности
и ие\вляющаяся внутренней точкой, называется внешней точкой.
1883. Найти несобственную точку прямой, за?а^:
1) двумя точками 4(1:0: —1:2) и 1- • •
2) двумя плоскостями д(2:-1:0:1) и г/(6:0:1.,-Я
1RR4 Дана плоскость o.xt -f- огхг 4- °»х» + °* »
„ожно «aib о ее распо.»— ..„„««ль» -р«,г-
"ог° - О' 3< “ °?
1885*. Дэны две плоскости
. . -а.х. + а.х. = О. <,Л+ЛЛ + »А + »Л-»-
Г1. XVH эн MlНгы проективной геометрии [1886
Докатать, что:
1) если коэффициенты первого уравнения пропорЦИо
„льны соответствующим коэффициентам второго уравнения
a kb , А О, I - 1, '2, 3, 4, то обе плоскости совпадают;
' 2) если три коэффициента первого уравнения пропор-
циональны соответствующим трем коэффициентам второго
уравнения al—kbl, А=^4 0, т=1, 2, 3, то линия пересечения
плоскостей лежит в координатной плоскости х4 —0;
3) если два коэффициента одного уравнения пропорцио-
нальны соответствующим двум коэффициентам другого:
at=kbn к0, Z=l, 2, то линия пересечения плоскостей
пересекает ребро х8 = 0, х4 = 0 координатного тетраэдра.
1886. Сформулировать теоремы, двойственные теоремам
предыдущей задачи.
1887. Найти условие, при котором две прямые в про-
странстве имеют общую точку, если:
1) первая прямая проходит через две точки
Д(с1:с2:а,:а4), :/>,:& ), а вторая —через две точки
Д'(nJ :<:<:<) и & (b't :Ь'г:Ь'г:Ь\);
2) первая прямая является линией пересечения плоско-
стей u(ui:b2:u8;w4) и а вторая—линией
пересечения двух плоскостей и'(г/:тт':тт') и :т/
3) одна прямая задана двумя точками A(al:a2:ai:ai) и
B(bl:bi:bi:bi), а другая:—как линия пересечения плоскостей
«(«, :иЕ:«3 :н4) и 17(17^17,:^:^).
1888. Даны две прямые: одна — двумя точками
Д(1: —1:0:4) и В(—2:0:—4:3), а другая — двумя плоско-
стями н(2:5:— 3:0) и гЦЗ:—2:2:1). Написать уравнения
прямой, проходящей через точку Д4(2:0:1:—3) и пере-
секающей данные прямые.
1889. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости
2xs-фЗх4 = 0 и пересекающей две прямые, из которых
одна задана двумя точками Д(2:3:0:—4) и В(0:3:—4:0),
Э Д?^я~Двумя плоскостями и(2:0:— 3:0) и 17(1:5:4:3).
• Найти общий вид проективных преобразований,
переводящих в самих себя ребра ОО, и 0,0. координат-
ного тетраэдра. *
оста^*' °ощий вид проективных преобразований,
РебепЛО°Г)ИХ На меСте все точки двух противоположных
1 г и О8О4 координатного тетраэдра.
190Ц r„. xvu. ,1ИГ„ТЫ ггомир11и
„ер^шХХ^О, “^рГоТо‘"ЫХ
1893. Найти общий вид ироективны» «
переводящих вершины координатного тетраэдр^Рав30ваний-
лежащие на противоположных гранях. Р Р Т0ЧКИ’
1894. Найти проективное преобразование, переводящее
вершины координатного тетраэдра в точки, в которыхТря-
мые, соединяющие эти вершины с единичной точкой пере-
секают противоположные грани. ’ н
1895. Найти общий вид уравнения поверхности второго
порядка, касающейся граней х, = 0, х2 = 0 координатного
тетраэдра в точках их пересечения с ребром х8 = 0, х =0.
1896. Найги геометрическое место точек, из которых
данная точка и данная прямая проектируются в полюс и
поляру относительно данной кривой второго порядка.
1897. Доказать, что два конуса, описанных около поверхно-
сти второго порядка, пересекаются по двум плоским линиям.
1898. Даны две поверхности второго порядка:
2F(xt, хг, х., х4) = 0, 2Ф(х1, х2, х., х4) = 0.
Каждой точке /И(х1:Х2:х8:х4)пространства ставится в соответ-
ствие прямая пересечения полярных плоскостей этой точки
относительно данных поверхностей второго порядка. Найти
геометрическое место прямых, соответствующих точкам пря-
мой, соединяющей точки A (al:a2-as:at) и B(bi:b2:bt.bi).
1899. Даны три поверхности второго порядка:
2Д(х, у, z) = 0, 2Ф(х, у, z) = 0, 2'F(x, у, г)=-0.
Определить общую точку трех полярных плоскостей
точки М(х У , г,) относительно трех данных поверхностей.
1900. Определить геометрическое место точек г'еРе“ч]_‘
ния полярных плоскостей для точек плоскости Лх+^+
+Сг + Г> = 0 относительно трех поверхностей в р
порядка, заданных уравнениями.
2F(I, у, г) = 0, 2Ф(х, у. ^0. Л=«-
1901. Определить геометрическое
сопряженных прямолинейным обгразу12_2 относительно по-
поверхности второго порядках-^
верхности второго порядка 2В (х, у,
ОТВЕТЫ
2. 1) 3; 2) 6; 3) 1; 4) -9. 3. I) 8; 2) 5; 3) 4. 4. 1) -| ; 2)-1;
3 2
3) : 4) 0; 5) не определено. 5. (АВС)~ — у, (АСВ)= — — ,
3 9 5 5
(ВСЛ) = у. (ВАС)=-^, (САВ) =-у
= -1-2., (ВЛС)=Ц, (ВСЛ)=-Ц-^,
21 21
7. 1)~; 2)^; 3)0; 4)
; 4) 0; 5) не определено. 5. (АВС)= — у, (АСВ)=~
2 5 /г>лоч------А, (СВА)=~. 6. (АСВ)=
(САВ) =
3; 5)
(PQB) = j
(ВЛС)=
<“Л>=-гтт-
2) ; 3) о.
12 ^+у)(Ц—Z)
’ U+X) (V—р) ‘
2) — д-; 3) не определено; 4) 1; 5) не определено; 6) 1.
16. Шесть различных значений со, 1—со, -Ю- ,
со
14. 7.
1
1 + А
8. 1) 6;
1 +ц
+ Х‘
15.
1) 0;
1
1 — со
1
со
и ; 1) — tg2a, sec2 a, cosec2 a, —ctg2a, cos2a, sin2 a; 2) —I, 2
н A 17. —
2 5
20. У к а з а н и e. Найти отношение, в котором середина
отрезка Л,Л4 делит отрезок А,Аг. 21. х’д = — 5, х'в=— 1, хс = 3.
22. Старая координата нового начала координат а — — 4.
23. 0(3). 24. -1. 25. 5. 26. х' = -| х4-1. 27. = ,
лв=0, х'с=|, х'0=|, 28. Хе/ = 1
кооо^инатаСпиГ>АРИВаеМ°е пРеобРазование либо сохраняет начало
динат ’ является переносом декартовой системы коор-
2*
30. Х' = £. 31.0, 1. 32. Ь. а + ь, Lz±.
а а
369
69]
от bi-ты
33. Нет; преобразование сводится к ™
координат и последующему параллельно™ °тРа>кеж"0 от начата
мому вектором с координатой а. У переносу, определяе-
34. 1) образует; перенос.
2) образует; растяжение с коэффициентом п „
и растяжение с коэффициентом I а I с нослеХ,?.? . ’ Сли о>0-
около начала, если а<0. ледующпм отражением
35. х'=~х--
а а
36. 1) х'=-2х + 19; 2) х'=-2х + 5; 3)х'=-1х + £;
4) В~1А = ВА (ибо В-‘ = В); 5) х'=—4х+41.
37. x=-j-l—, если а / 1. 38. х*'=ах*
1 а Р—а
39. Нет. 40. 1) Да. 2) Нет. 3) Да. 41. 1) Да. 2) Нет 3) Пет.
5 - - - '
43. х' = —х— 7. 44.x'
2 х2—Xi х2—х,
45. 1) Преобразования переноса: x' = x-j-a, где а принимает
все действительные значения; 2) х' = ±х+в—преобразования
переноса и зеркального отражения от начала координат
(х'=—х + а) или только переноса (х'—х + а).
49. Д(0, 0), В(1. 0), С
F
хг xi *ivj
----- *+—------
, £>(1, V 3), £(0, К 3),
50. Д(0, 0), В(1, 0), С
D(0, 1), О
S
5)
3)
51, А (—4, 0), В(4, 0), С(1, 3), £>( — !, 3), A! fo, S (0, 4).
52. С (5, 3), D (2, 7) или С(-1, -5) и /9 (—4. -1).
53. 1) (-х, —у); 2) (1, -у); 3) (-х у).
-у, _А). 54. 77(1, -2). 55. 1) 5; 2) ^34; 3) 13; 4) Г 2.
56. 1) К137; 2) 5; 3) 11; 4) 13. 57. (14, 0) и fo, у J.
58. (0 —10). 59. Треугольник АВС прямоугольный.
60. (7’, 0), (-17, 0), (0,9 + 10 /2) (0,9-10 f 2). 6IJ.
62. (2, 2), ( — 12, —12), (0,
64. Центр ( — 1,
66. А1 (2, Ю). 67. АД (1,
__6) (-*4, 4). 63. А! (—5, 4).
2). радиус г = 5. 65. В (2, 5), D^(16. 3).
, _1), Г1=1; А12(5, -5). г,=5.
68. 1)1; 2)-1; 3)“Т- В9‘
_22 IV 4) fl I’)-
з ’ з J ’ И 2 J
8 5
3 ’ 3
370
01 ш-ты
[70
70. 1) (-1. 5), 2) (0, 0), 3) fy, у) • (¥' °) Н (°’ ~1])-
73. (—3, 3), (7, 5), (—3, —3). 74. В (0, — 7). 75. С (10, 9),
DM — 4). 76. 4. 77. М (12, -11). 78. D (8, -18).
79. С (0, —1), D (4, —4). 80. А (3, —1), В (0, 8).
81. в(-3, 82. Х = -2. 83. А (160, -131),
В (—225, 184).
__) ______________>. Q
84. АК:КМ=3, BK:KN = -^.
о
Указание. Принять векторы AD и АВ за единичные
векторы аффинной системы координат.
85. AD = 1^L. 86. (-8, -7) и (О, -1). 87. fl, -I'j
\ 10 i О J
/ QQ 100 \ 10 г
11 ( -IQ- )• 88‘ 89, Центр М (°, 5)> раднусг = 3рл5.
\ 10 1 и / О
(1 Ч \
5~,4| .
93. Если принять за начало координат точку О, а за поло-
жительные направления осей Ох и Оу соответственно направления
О А и ОВ, то центр тяжести согнутого стержня будет иметь коор-
2 25
динаты х — -=,у = —.
7 14
94. Если направить ось абсцисс по меньшему нз катетов,
а ось ординат по большему, то для координат центра тяжести
треугольника получим числа х=1,
97. п2гг, где п — число сторон
описанной окружности.
Л=|. 95. х —8,2, // = 6,2.
многоугольника, а г — радиус
98. 7. 99. 12,5. 100. 1) 4; 2) ; 3) 13. 10!. 1. 102. 3 V 2.
103. (32, 0); (—8, 0). 104. (5, 2) или (2, 2). 109. (а, 0),
(й|<3 ’ к)’ (2о> (° ’°7,1)
2) CD = Ю; 3) EF = 5. 108. (1 — —
\ ' 3 J '
109. 1) В (5. 2) cfs,
\ 6 J \ 3 / ’
с(,.^.с(5.лр(5.^).
/зГз5 = 1'о,,2‘ Л(1> ,/з)’ в(~1- ’)• с<°- 5)-
\ 2 2) •
134] ОТВЕТЫ
371
ИЗ. А ( К"2 , —А в (2 5Л гач
4/ \2’ 2 ) С(о-°) «4-q = 10,cos4>=4
sin<p = —-g-. 115. (2 + 5 KT, 8). 5'
И7, (~5> 4). ( — 12, 5),
116. M, f 6 К2.
(-7, 3).
118. О' (6, -2), е; (7, -2), Е' (6,
Е2(-6, 3).
119.
у = 4у'+5;
г * ’
12 °" х=—Зх'—8w'+5, t/ = x'+3i/'+4; 2) х= — Х'~(/+1
Е = Е3) х = — ац'+а, у = — bx’ + b. J ’
-1); 0 (-6, 2), Е,(-5,2),
1) 3)^=^W+3, J^^'+ST + l; 2) х = 5х'+3,
5) х— by', у —ax'. ’ ах У —by,
120. 1) х=—Зх'—8/+5, «/= ' — -
121. х' = х + ^-2, „^гх-^+З; 7\ £; (0> 3),
Е’2(0, 2); О (-2, 3), Е,(—1, 5), £,(-!. 2).
122. О' (3, -2). e'i = {2, -1}, e>{-5, 2|.
123. х—6х' + 4г/' —4, у = — 2х' + бу' + 2
124. 0(0, 0), Д(|, -J), с(|, в/_2 4\
\ о О / \ и о у у О о J
2,1,1 1 , . 2 , , 1
125. х 3 + 3 * — з 3 + 3 •
126. В перво» системе: А (0, 0), Е(1, 0), 0(2, 1), 0(2, 2),
Е(1, 2), F (0, 1).
Во второй системе: А
/ I 2 \
Е(0, 0), Е(-у. д-1, /• (0, 1).
1 2,2 2 , , 1 , . 2
127. х=у х'-у у +3-, р=-з х +3 // +3.
-i-).
128. х'= (*+?/) cos у, !/' = (—х + «/) sin у.
—x'cos <0 + у' х' — I/' COS <D
129. х— . У- shiw
130. х=— У'— 4. ‘/ = •^5“ *'-"2 У’+2'
131. х=-j х'-| //'-3, У = —| x'+s у ~2'
132. А (2, 3). 133. А (3/3 , 1), В , т>)’С(3 3)1
134. ЛИ Г 2. 2К2), Л(-ЗИ2,
Р (- К 2,— 2 К 2).
312
ОТПЕТЫ
[135
1 2 1 2 , ’ V 2 V 2
1’5. x 2-x+-y~V, U “=-------2“-^+-^—V (если поло-
жителшые птртпия °“Й..^^?£.,С°7Д^ЯЮТ соответственно
4.5' и 1.
1зе.
I II1HV U ------- ~ л .
В5 с положительным направлением их).
|x__|v' + 2, у=-1х’-±у'+3.
х'—3ц' , 3 Зх'-j-//' 9
"По По 1°’
137.
138. 1) В(И, О), 2) В (—2, 3), 3) В (4, 0).
139. 1) cos<i = 0, s>ln<p=—1, Ч’ = 270°4-360с k;
3 , 7 /3
2)cos<p=---slii<p=-7=. ф=агссо£(-------~
' V 158 Y K58 к K58
3) C0S<p=-^=, S1H<P==-±=Z, <р = 315° + 360°й;
+ 2йл;
cosq> = pL=-, sfii<р=р^=, ф==45° + 360°й,
I Из”
c<>s<p=^-, si(i<p = ——, <р =60° + 360°й;
1 , 12 12
COS<P=‘^77F’ =arcsin-=4-2^;
V 145 К 145 K145
k принимает все целые значения.
141. 1)
-1)
5)
6)
2)
c<>s<p=—L;, sin<p=-l=, tg<p=l, <р — 45° + 360°А;
У У 2
1 1
cos<p = -—, sin<p =-----tg<p=— 1, ф=315°+360°й;
У у 2
cos<p = —1, sin<p==o, tg(p = o, <р=180° + 360°й;
cos<p = 0, sin<p== — 1, tg <p не определен <р = 270°4-360°й;
то же, что и 1); 6) cos<p = —L=, sin<p =-----;
уг1()
/ io ’
d = 13, coS(p = l, sinф =-l| 2) = 10, cos<p = —|,
3 4
со8ф = — sinm = —,
5 T 5
j-15- —20}.
. „ =x sin ф + у cos ф.
^3/3 5 r_\
~~T~’ 2—2 К3 ).
3)
-1)
5)
tg<p = —3.
142. 1)
*»—|. a, d=5,
'! И. 3|; 2) I —4S, 2«; 3) I
’х 7ХСОЬ1 ^Sl,l<₽. i/'=xsin
145. С v---__2|/3 ,
6,/J( —5, 7), С (0. 9) пли £)'( — 1, —3), с (4, —1).
171]
ОТВЕТЫ
373
147. В, (— —В (— 5 13\
СЧ2 ’ 3/ 2"’ ~у)-
-->
Указание. Вектор
АВ получается из вектора АС поворотом на угол q>=arctg —
и изменением длины в отношении -—!—- . (48. 2
149. С (4 3), D(~2, Указание. Если М~середина
диагонали АВ, то вершины С и D мы получим, повернув вектор
МВ один раз на , другой раз на —
150. С, (4- /Т, 2 +2КУ), С2 (4 + КУ. 2-2 КЗ).
951. ( х0 + (х, —х0) cos - (!/1 -у.) sin
\ п п
. , , . 2л (k — 1) , , , 2л (k — П\
Уо + — xQ) sin —4--------1- (i/,—y0) cos —i---i ).
П n J
152. {a, cos ©i +a2 cos w2 + a,cos wa, a, sin w, -\-as sin co2+assin(o.}.
153. (x0 + dt cos <Pi +.. -+dn cos q>„, ya-\- dt sin <p,+. . .+d„sin<pj.
154. 1) w = ^, |0,|=2, |02| = 1; 2) <0 = ^, 10,1 = 1, |02|=1;
4 4
3) cos®=-=-, 10,1 = 2, |02| = 5; 4) cosco = — -=-, |e,| = 2, |02|=5.
D °
( 4 11
155. |a| = 78. 15G. |a|=30. 157. = —51.
h I ± JLl
b*~\ 5 ’ 5 I'
158. gii=|^|2 = 4, g22 = |^l* = 9. g.2 = l^il-|et|cosco-
= 2-3 • ^- = 3, d = Vgax2 + 2glzxy +g2iy2=
= К4 (-4)2 + 2-3-( —4)-6 + 9-6г = K244 .
159. AB = 6, AC = 4, £A = -^. IGO. a = ^- + 2fen.
/\ 2л
161. | 0i | = 2, |02| = 1, (e„ ez) = -^-
162. Л'В' = 1, Л'С'=5, cos Д'=5-.
163. 3x-g + 4 = 0. IG4. 1) x-Og=o;
3) K3'x-g = 0; 4) V 3x + y = 0; 5)_x+y=0; 6) x+/Зу-0.
— / r 3 i
165. K3x+3g+l=0, ^--3-’°/
166. 1) й = 2, a = —2, b = 4; 2) k=—3. °-3> b
1 1 • 41 £ = —-О = •—2, У = 'o" ’
3) ft=-y. 0=-’. b=-y- ° 4’ 2
i/-v _ 1 />=—/3. 168. 5x+y~I3==u-
169.1 + 7+2 = 0- I71- 2x + 3g-12 = 0.
374
UTB1 ты
1172
S
<72 1) У I 2 0, 2) Зх 2y 0, 3) x 1 —0, 4) y + 3 = n
173.’ h-У «• *T4- « + 2 = 0. П5. 3x + 8^19;J;
176. 135. I77.arctgy. 178. 5x + 7y-ll = 0
179. 7x+y+<8 = 0
180. и :0, и 2 I ; у ... ...
181. 5x + 3y 15 = 0 182, x + y—6 = 0. 183. x—2y—4=0.
184. S =9 185. 2x + 5y±10 = 0
186. 3x + 2y —6 = 0. 3x + Sy + 12 — 0.
187. x 3—4/, y = — 5 + 2/. 188. x
189. x 3 + 3/, у = 5/. 190. x = — J
191.
— 5 + 2/. 188. x= —6 + 7/, у = —4-3/.
5
j) X = — 2/, y = ~-g+Л 2) x = 4+2/, y=/; 3) x=/,
« = —3/ + 5; 4) х = 2, у=/; 5) х=/, у ——3, 6) х = 3/, у = _2/.
192. Зх + у — 1 — 0, 7х + Зу — 34 = 0.
193. 1) пересекаются в точке (I, 2); 2) параллельны; 3) сов-
падают, 4) пересекаются в точке (— 5, 0); 5) параллельны;
6) совпадают, 7) пересекаются в точке (—4, 10); 8) параллельны;
совпадают.
194. 1) пересекаются в точке (15, —10); 2) параллельны;
совпадают
195. 1) совпадают; 2) пересекаются в
параллельны; 4) пересекаются в точке (4,
совпадают.
196. 4л— 5г/ +17 = 0. 197. Зх-2у—13=0.
198. Такой прямой не существует, так
лежит на данной прямой.
199. х—2 = 0, х—3//+ 13 = 0. 200.Зх — 5у + 9=0; х-у+3=0;
Х-3//4 11 о. 201. х —Зу — 7 = 0; 2х + 5у —3 = 0. 202. Зх + 4у-
-16 = 0, 5x + 3y-l=(); 2х—у —7 = 0. 203. х + у—7 = 0.
204. 5х—/у—3 = 0; х+ // + 3 = 0; 7х — 5у — 9 = 0. 20G. х— и—7=0;
х 2у-10 0. 207. х + 2у—3 = 0; 2х—у — 6 = 0; х + 2у—23=0;
228, 2х + У~1=0; 2х —у+1=0; 6х—Зу+19=0;
«7.°' о209, 9х + 12" + 20 = 0; 5х — 12у + 36 = 0. 210. 1),
3), 5). 6). 211. 2х + Зг/-26 = 0. 212. 91х-26у-2 ' --
— 4н + 12=0. 214. (2, —7). 215. М' (2, 3). 216.
(- -'l 217 f29 47\ ( 1
V’ 7} 2,7‘ VT8’ 54> 2,8‘ (“у.
»»*+727°'„22о3’ к " 135°- И4+5« + <
</ = 0, 12х + 71// = 0.
l>S; 2) -Т. З)-21 . 4, S6
+ 16 0 230. И.Л’, З3'
+71 =°- 2х-5« +
+ 65=0, 2х-5у+1=&?
9)
3)
3)
6)
точке (—4, —3);
6); 5) параллельны:
как данная точка
0. 213. Зх -
2 13\ .
5 ’ 5 J ’
2 )'
С (2, 4).
= 0 (ЛС); Зх —12у—1=0(С7/).
2х + 7// + 22 = 0; 7х + 2у —13 = 0,
. -- - -24. 5х + »/—16 = 0, х—5у + 2 = 0.
//-О, 12х + 71»/ = 0. 226. Mt (4, 0), Л42( —1. 5)-
zu • <+ 228. 2х-у+4-0. 229.3х + у+
Лг _0 230. Л, (-7, 15); Лг (9, —9). 231. 12х —у—23 = 0,
= 0, пли 8х + 9у—25 = 0, 14х + 23у +
261]
ОТВЕТЫ
ИЛИ
?.анн?? П,РЯМОЙ- Остальные
по одну сторону от данной прямой, точки м" ^’-по Jy™
240. (Ах0 + Ву0 + С) ( Ах0 + Ву0 + D) < 0.
„ 37^
Указание. Определить
поворотом вектора ВС около точки В ТреуГ°ЛЬНИКа
вершине. й на данный угол при
232. х-у+ 1 =0. Зх—ц_ ] _0> x_2j/ + 5 = Oi С]
х— </ + 1=0, х—3//4-5 = 0, 2х—$/—2=о, С f — 13
233. С А; х 4- 3=0, С В 2х_11 и > л ' 3 /
, cd.zx 1 ‘</4-28=0, или СД;Зх—4ц-L 17=о
СВ. 2x4-</4-4 = 0. 234.-7 2 —
’ 3 '
235. Точки Л1, и Л18 лежат на дд....„й
точки не лежат на данной прямой. Точки М М
рп nnHV rmnnuv Г>'г поппп,1’, ____V. .2* _?
9
236. |.
241. — 4 < « <4-
о о
243. 1) смежным углам; 2) одному углу; 3) вертикальным
углам.
244. Точки А, В и С лежат в полосе, точки D и 'F принад-
лежат одной внешней области, точка £ — другой внешней области.
245. 1) /И1Л4г[| /; 2) Л41МгЦ1; 3) Mt и Мг лежат по разные
стороны от /; 4) прямая / пересекает продолжение отрезка М,Мг
за точку /И,; 5) прямая / пересекает продолжение отрезка
за точку Л1г.
246. Данная прямая пересекает стороны СВ и ВА, а также
продолжение стороны СД за точку А.
247. Точка А лежит на 2-й стороне, на ее продолжении за
3-ю вершину. Точка В лежит в области, ограниченной 1-й сторо-
ной и продолжениями 2-й и 3-й сторон соответственно за 3-ю и
2-ю вершины. Точка С лежит в области, ограниченной 3-й сторо-
ной и продолжениями 1-й н 2-й сторон соответственно за 2-ю и
1-ю вершины. Точка D лежит в области, ограниченной продолже-
ниями 1-й и 2-й сторон за 3-ю вершину. Эти результаты рекомен-
дуется проверить построением.
248. Прямая 2х — </+3 = 0 параллельна стороне М,/И, и
пересекает продолжения сторон МхМг и Л4гЛ1, за точку М2.
249. ^<р= 250‘ В ТУПОМ’
251 1) Тпи прямые проходят через одну точку, 2) три пря
мне „арЛЛ™ между еоОой; 3) три
точку; 4) три прямое ^ХиК
параллельны между собой; 6) прямые ооразую ^у
7) первые две прямые параллельны, р Р 38х_19// +
+зо2“:
Зх — 4//+ 20=0.
О I виты
[262
376
267. 7х —2t/ + 57 = o,
4х + Зу + 3 = 0, «/+1=0.
11 _П\ 79_ 9\
4’ 8 ) И \ 4’ 8 '
q । 2.Z)
262. При Х> 0 прямая Лх + В{/+ 1+х=° будет парад-
и лежать между ними При Х = 0 прямая будет
Ле‘ПЬХтк’ ? первой из данных. При 0>А>-1 прямая Лх +
TR/flc-0 будет проходить между двумя другими. При
+ ^\>_00 прямая Лх + В// + О = 0 будет проходить между
двумя другими. . 7 ]
263. 2. у. 5. 0. 264. 7^^65- 78’ 273. 70.
266. 5х +12у + 64 = 0, 5х + 12{/-66 = 0.
7х—2#—49 = 0. 268. у=. 269. 1) 6х + 1=0, 2i/-9 = 0;
2) 64х + 8//+ Н = 0. 14х—П2{/ + 41 =0; 3) х = 0, {/ = 0; 4) (з +
+ ^*5)х + 2(2+ /5){/ = 0; (3— Кб) х+ 2 (2— Кб){/=0.
270. (-1, о), (о, 4). 278. (0, 6), (-1, у)- 272. (-10, 1),
/_4, 3). 273. (5, 5), (—3, 11), (3, 19) и (11, 13). 274. Зх—у—
-21=0, Зх—//—1=0. 275. 5х—12{/-32 = 0. 276. х-10 = 0,
х 4-4 = 0. 277. х + 2{/ ± 5 = 0. 278. (3 ± КЗ)х + 4{/ = 0. 279. х +
_i-4ty-|-1 =0, 13х+16у—23 = 0. 280. 4х + 3{/ + 3 = 0, {/+1=0.
281. 3x+4z/—64 = 0, Зх + 4у—14 = 0, 4х—Зу — 2 = 0, 4х — Зу +
+ 48 = 0, (0, 16), (8, 10), (2, 2) и (—6, 8)., 282. х ± 2$г± 4 = 0.
283. (3, 5) и (- 37, 45).
285. х + 2{/ + 3 = 0, х + 2{/ + 7 = 0 и х—2у + 3 = 0,' х—2{/ + 7 = 0.
286. (0, /2) и (0, 3 К2).
(&з fl* ?з\
\5’_ 5\ 5’ 5 /
4(К21-2)х + (/21+32)у=0, -4(^21 +2) х + (32— К21){/ = 0.
289. (8, 1) и 290. (О, I). 298. Зх—{/ + 9=0,
Зх— у— 3=0, х + 3{/ + 7 = 0.
292. Два решения: « = 0, « = 5 и 20х +21и — 20 = 0, 20х +
+21{/—165 = 0.
У к а з а н и е. Определить угловой коэффициент искомых сто-
рон, принимая во внимание, что расстояния между противопо-
ложными сторонами ромба равны между собой.
з , 93-Два решениям—3{/ +1=0, х — Зт/ +12==0, Зх + {/—1=°,
3Х-7У + \°-° И 7х+У—15 = 0, 7х+у — 26 = 0, х—7{/ + 7=0,
пол4Тк0 (см' Указание к предыдущей задаче).
294. 12х + 4{/—Ц =о. 295. Зх+р-14 = 0.
vKa.Q ‘ х~у=0' 7*~56{/ + 25 = 0, 77х + 21{/ —50 = 0 (см. общие
указания к настоящей главе).
297 ( 8 5 \
к 12’ “12} 298- (~2> -6)-
299. 4х—4{/ + 5 = 0 (см. общие указания к этой главе).
_Г7\
5 Г
_Н
5’ 5/ ’
288. 2х—у=0, 22х—19{/ = 0,
327]
отвгты
377
„пп Юх4-5бу—39
300, ±.]3 -°- ЗОЬ Нормирующий множитель N =
= ± 1з' d = 3‘
302. Прямая, у которой угловой коэффициент и стрелок от-
секаемый на оси ординат, суть средине арифметические угловых
коэффициентов н соответственных отрезков данных прямых.
03. Отрезок прямой, соединяющий середину основания и
середину высоты треугольника.
304. Прямая, соединяющая середины диагоналей. ЗОЭ.Прямая.
306. Отрезок прямой, концами которого служат точки пере-
сечения биссектрис внутренних углов треугольника, прилежащих
к третьей стороне с противолежащими этим углам сторонами тре-
угольника.
307. 21,(1, 1), В,(2, 4), 4,(5, -3), В. (4,—6).
Указание. Определить координаты вектора искомой пря-
мой.
308. 4х—Зу—1=0. 2х —у—1=0; х—2у4-1=0, Зх-4у4-
-}-1=0. 309. Зх-Ь4у—2 = 0, 4т4-3у—5 = 0. 310. 4х—Зу—1 =0,
ех_8у4-9 = 0. 311.312. х— 12у4-57 = 0, 8х-9у-66 = 0-
393. л —3^4-9=0, х—Зу—5 = 0. 314.
315. (19, 0), (21, 5). 316. (1. 2), (5, 4) или ( - ) ( _ _ >
\ 3 3/ \ 3 ’ 3 Г
о2’ 1, Р’ 2)’ (3’~ 4) ,,лн (2, 0), (3,-6), (1 0)
3,?'_2n~Q3z/J'o20ri°7’ 3Зг + 2^-9 = °. *4-5у—3=0 ИЛИ 2х—Зу—
~67п Зх4-2у4-17 = 0, х4-5у— 3 = 0. 319. х—7у4-32-0, х—
— y-f-2 = 0.
320. Четыре решения: (9, — 3), ( — 5, —5), (—1, 7)- (—9 3)
(5,5), (1,-7); (4,-28), ( — 20, —20). (—6, -18); ’(— 4, '28k
(20, 20), (6, 18). 7
321. 17х—7у 4-49 = 0, 7х—Зу-|-23=0. 2х-у4-7 = 0 или
Их— 1у4-49 = 0, 5х—Зу-Ь19 = 0, 2х—у 4-7 = 0.
322. x'=-~*t^.T2 323. 14х’4-4у'-3 = О.
324. 142х— 183у— 489 = 0.
Указание. Припять данные прямые за оси, а данную
точку Р за единичную точку новой системы координат; написать
уравнение искомой прямой в новой системе, а затем перейти и
старым координатам.
325. х— 5у4-3 = 0. Вершины (1, 5), (—3, 0), (2, 1).
Указание. Перейти к новой системе координат.
326. х-4-у—12 = 0. Вершины (0, 0), (4, 8), (2, 10).
Указание. Принять данные стороны треугольника
новой системы координат.
327. (—3, 7), (-6, 10), (9, -17); 9х-|-5у4-4 = 0.
за оси
13 С. В- Бахвалов и ДР-
are
ОТВЕТЫ
[328
Я28. Зх + 8</~17“0‘ 6х-0-17 = О, 9х + 7^ + 17 = 0; (-5,4),
it i> 329* Доз решения; х—3 = 0 и 5х Лу 1«— 0
f3, ^Я0 Задача имеет три решения; (1, 4), (3, 5), (14,-12)
lfirf?S_G8»0. 17х+Ну-106=0; (-1,3), (3, 5), (16,-1^
}£1Ж-37-0 16х + 13у-113=0; (1, 4), (5, 6), (12, -13
61 »=0, 19х + 7у-137=0
331. Зл+у—4=0, Х4-Зу —5 —0.
Укаэание. Каждая из искомых прямых проходит через
одну из данных точек и точку, симметричную второй данной точке
относительно данной прямой.
332. х +7^—6 =0, х—у—6 = 0, 7х-\-у — 10 = 0.
Указание. Сторона ВС проходит через точки Л, и At, сим-
метричные точке Л относительно данных прямых.
333. Зх—4у + 24=0, 5х+ 12 г/-J-16 = 0. 334. х-(-Зу —13 = 0.
335. (2, 0) и (-1, 7). 336. (1, 5) и
337. (Л,х + Bty + С.) | £ 1 = (Агх + Вгу + С.) | £ |
логично для двух других медиан.
338. (А,л 4- В,у + С,) (Л2А, + ВгВ.) = (Агх + Вгу + С») (Л, А, +
4-8,8,) и аналогично для двух других высот.
339. (2 И34 + 5 У~5)х+(^-3 V~5)y-7 /34—/5=0.
и ана-
7
340. 341.
Г 170
(С-D) (С’—Р')
|Л В I
Л' В'
342. (Л,Лж + В,Вг) (А,( + В/п) (Аг1 + В2ш) > 0.
вез. (М,+м.)|£®;||£®;|<о.
344. Прямая. 345. Пр ямая, проходящая через точку пере-
сечения прямых р и q. 346. Прямая. 347. Точка О и окруж-
ность, описанная около треугольника ЛВС. 348. Окружность.
349. Прямая. 350. Окружность х2-(-//г = 4.
351. Отрезки двух прямых, проходящих через точку пересече-
ния двух данных прямых 352. уох + хо// = 0.
353. Окружность, центр которой совпадает с центром тяжести
И3 Трех данных точек. в которых помещены равные массы.
Окрркность, описанная около данного прямоугольника.
355* Прямая, перпендикулярная к линии центров данных
РУжн°стеи, в случае, если окружности не пересекаются. Если
я о^Н?СТИ пеРеСека,°тся, то искомым геометрическим местом
г няи^СЯ ВСе ТОЧК117'РЯМОЙ, проходящей через точки пересечения
uv °ТЖИТСтен’ за исключением точек этой прямой, лежа-
ся >тгп да,,ИЬ1х окружностей. Если, наконец, окружности ка-
. т искомым геометрическим местом является их общая
п (Т0ЧКа касания исключается).
356. Прямая 357. Окружность.
а®8- с« j,t=l. где Ь2==сг—а2 (гипербола, рис. 34).
379
364]
ОТВЕТЫ
359. р2 = 2рх (парабола, рис. 35).
Указание. За ось абсцисс п
щенный из фокуса F на директрису,
дину О этого перпендикуляра, за ось
ординат—прямую, проходящую че-
рез точку О параллельно директ-
рисе. Длину перпендикуляра FD из
фокуса на директрису обозначить че-
рез р.
ринять перпендикуляр, опу-
за начало координат—сере-
Рис. 34.
~0
Ма.у>
Ffj 0)
Рис. 35.
364. Если через <р обозначить угол от оси Ох до радиуса ОА,
а через х и у обозначить координаты произвольной точки иско-
мого геометрического места, то параметрические уравнения иско-
мого геометрического места будут иметь вид: х—а cos <р, p=/>sm<p
или + (эллипс, рис. 36).
a2 bz
13*
380 ответы [365
365. (x’ + z/2)2 = 2Sx// (лемниската Бернулли, рис. 37)
3е6367.ЛИ(^+//г)2—2Ь2(хг—уг) = а^—Ь‘1—ойалы Кассини; При
а=Ь — лемниската Бернулли (рис. 38).
2 2 2
368. /?г (х2+#2) = 4х2#2. 369. хг +уг =а3 (рис. 39).
370,
372,
373. г- —
cos<p
374. r =
375.
о . ,
----± о или
cos ср
± a tg «р или
. 2а (cos<p ± 1),
г — a cos <р + b.
r2 = 2a2 cos2<p
со^’ 37f* r = 2°cos<p.
(*г + 4/2)(*—а)2— Ь!х2 = 0 (рис. 40).
(Х^ + у2) (х — а)2—а2уг = 0 (рис. 41).
(Т2+{/2-2ах)2 = 4а2(х2 + !/2) (рис. 42).
07г г Sin2 (р %*
61 ИЛИ У Ъ^х (рис- 43)- 377«
(рис. 44). х
+ а)2™2а\Ве окружности (х—°)г + ({/’—а)г=х2а2;
яяп r = aosin2,P ил” (-vs + i/2)’ = 4a2xV (рис. 45).
8а® " Х aC°S Где Ф—полярный угол или
= ,?^ (Рис. 46).
(х—а)г + (у +
381. гг(1— аг)~2r (a&4-ccos<p)+c2— &2 = 0. 382. г = —ф-
СО
»»».«-(R+r)eM(_,CO!«±I/i(,=(/(+r)sta(_rsln£±r/
(эпициклоида, рис. 47). •
зм.,=(«_r)cos(+rcos >=(R_Os,„/_rsl„fci<
(гипоциклоида, р„с. 48).
Рис. 40. р||С 4|
412]
ОТВЕТЫ
383
г1—аг—х2___2° + fc ,
х Г-у
. _______ 4' = r(sin<p-<pcos<p) (эвольвента
389. 1) эллипс; 2) гипербола- Чч
/-3)* = 16. 391.’ А ”гП1РоС0Л^? парабол
2
Н)Ч9-*-
2
7 У 41 л
6 ) 36~°-
387. 4а2х2
388. х = г (cos <р + <р sin <р)
окружности, гис. 49)
+ (z/'-З)2 = 16. 391.’ х2'+ 'у2 =г25.' 392.' l^S (3? 0),
г = 5; 3) 5(5,—12), ,= 15; 4) <,
393. 1) (x-l)2 + (i/ + 2)2-5 = 0; 2) (x + |Y +
/ 1 \г °
3) Х-4 )
394. Точки А, С, D лежат вне окружности, точка В лежит
На ОКруЖИОСТИ. лежит
395. x = a+rcosO, f/ = fc+rsinO.
396. 1) Точки находятся вне окружности или на самой ок-
ружности с центром в точке S (1, 3) и радиусом, равным 5;
2) точки расположены между двумя концентрическими окружно-
стями и на самих окружностях, радиусы которых равны 4 и 5 и
их общий центр (1, —3); 3; точки принадлежат общей части двух
кругов и границе кругов, центры которых находятся в точках
S, (1, 2) и 5г (4, 6) и радиусы которых равны 5 и 3; 4) точки за-
полняют полуокружность, находящуюся над осью Ох, радиус этой
полуокружности равен 3 и центр находится в точке (3, 0) оси Ох;
5) точки заполняют сегменты, отсекаемые от окружности х2-}-//2 —
— 4п = 0 прямыми х=± 1. 397. (х—6)2 + (j(—5)2 = 25. 398. х2 +
+ #2—2ау = 0, а 0. 399. х? + у2—2ах = 0, а^О.
400.a2 + h2—^ = 0.
401. Возьмем искомое уравнение в виде x2 + (/2 + 4x + Bj( = 0;
имеем: 2Л4-В+ 5 = 0, —Л+2В + 5 = 0, Л =— 1. В — — 3, х2 + у —•
—х—Зу = 0. 402. Л2+В2—400. 4O3.(x-2)2 + (w—З)2--=0.
404. (х— l? + (w + 3)2— 68 = 0. 405. х2 + У—20 = 0. 406. (х—3)2+
± З)2—9 = 0 или x2 + yI ± 6х ± 6w + 9—0. 408. х +у Тг-0
+ 4 = 0. 409. 1) Л2—4С = 0; 2) В2-4С = 0; 3) А
410. Возьмем уравнение окружности в виде х + (г + т
, R J-Г О Ее некто ( ——. — Имеем: 5 + 2Л+В + С = 0;
4- оу + С = и. се центр । 2* 2 )
( А \ . в I 1-П
25 + ЗЛ +4В + С = 0, 2^—g-j+g-+ *-и-
Оте. хг + уг— 2х—6t/ + 5 = 0.
О ГВЕТЫ
[413
384
Отп.
]|!=о, (х+1)‘+
+ (//_ЗГ-^=0, (х+1)г + (У + 8)’
413. S(“3, —1). r== ^4L 4I4, 2Ч
4fS. (x + 4)‘ + (ff~З)2—1=0,
416. х‘ + (&-4У = 5, хг+(»
417. (х + 2)г + (!/— I)2—1=°.
418. (z+5)2 + (V—5)г
(•• J- rY® -4- (и 4- г\г — t
121
72 =д °’
121
-2- = 0.
— 1=0.
О \2
fj +(!/+!)'-1=0.
—25 = 0, '(х+ОЧ-^—1)г—1=0.
2 = 0,
|2 —2 0
420. (л ± г)‘ + (V ± г)г-гг = 0.
К \1 / К
х+т) +и+т) ~2=°-
I 7 Г I ? 9
х+т) +y~Z
2
2
—2=0.
+ (4,_2-К5)2-25 = 0. 422. (х + 5)2 + (</+ З)2 = 25.
/ 9V / 1 V 5 /IV
423. (x + ^j -64 = °’ (/+2j +
424. (x—6)2+(^ + 12)2— 200 = 0. 425. (x— l)2+f/2— 1 =0,
+^,— ^’ = 0- 4126. x2 + t/2—2x—2i/ — 0.
лп, /.. 5\2 , /. . 7 V 25 f 3 V , / 1 у
-=o, b + -j+b-TJ-
25 „
8
_c \
AJ’
428. Ш B! + C*-AD>0,
=i4| №+c*-ad.
429. Дуги двух окружностей:
/ 13\г /
Г'г) +^+-
430. 1) —_2
2) М_а + Др-^2С| _____
Г^+р»_4у;
"Г4зЖ?
больше^диуса окружности.3"110” ОКРУЖНОСТИ Даиной п₽я*
5 Y 125
2 ) 2 ‘
liy , / 13У
2 J + И 2 J
_125
— 2 .
3) 1 Ла + Вр-2С|_
474]
365
othi i ы
432. Расстояние от иентпя <; п ич
данной прямой равно 3; следователе.." Д<1""ой окРУ»"ости до
равна Г25^9 = 4 сл‘Ж>патель«о длина половины хорды
433. Одна точка (— ], 1).
х—Зи — В^‘ Ллям<1\71Х<'~^В,/о~'~С <0‘ 43В* Зх±4«/=0
х 30-0. 438. Дх + В^о. 439. 2х+Д?=0.
434.
437.
44'- \Х~^У + 21 = оГ'зх-^+По.
442. Зх—4|/-±4 = 0, Зх—4(/—21=0
443. ( ----
+ («/ + 3)2 =
—С2 = 0. -
448. 3 Кз. 44Э- 2 Кг?
^аг + Ьг—гг. 451. Зх±2^-8 = о. 452. 4х-Зн-9=0
453.x 4-(У—2)г = 9. 454.(х—4)2 + ((/ + 3)2=1. 455. х±1=0.
(х-аГ + (У~Ьу~(г Г2)’=0 444. n (х-П»4-
446 2VX~.701l)|+fe-£)! = W. 445. (Дг-ьв,)^^
44£ ?.Т4'/+Л=0’ Зх~4{/—36=0. 447. 1; 52; I.
456. /
o^ + bj-r2
^ + Ьг~г[
<+b'-r}
Ь} 1
1
1
bt
£
a, b, 1 ]
2 a2 b2 1
a, b. 1
«! + &М .
«1+^-4'
< + b\-r\ ,
a, b, 1
2 аг b„ 1
а» b, 1
а.
1
1
457. Координаты радиального центра определяются из си-
стемы AkxA-Bky-\-Ck = t, k = \, 2, 3, где t — вспомогательное пере-
менное.
Отв.
С, В, 1
С, В2 1
£«А1
1
1
1
А, В
А2В,
А,1\
С, А, 1
С2 А,1
С, А, 1
Д, В, 1
AtBt 1
Л. 6,1
458. (—3, —7). 459. (х+3)2±(н + 7)2—41 =0
460. (х —1)' + (^—2)’=1, (х-4)‘ + («/-5)2 = ;
46!. xs4-f/2-x-3i/-10 = 0. -*
463. х* + уг—9х + Ну—45=0. -----у;, •
t
9
462. хг+ {/’ + !8*— 2«v + 27 0.
464. 1) ^-(+]6=1: 2) 25 +
3)^=1. 465. (±3,0) 466.(0, ±12).
l)e=|: 2)e
W 469.' 1) внутренняя; 2) внутренняя; 3) внешняя; 4) вне..
б) п£уда<Д2^^^Э2Л;2з2?^47!. 3х2 + 2х(/ + 3^-4х-4^0.,
472 xZa.‘j1-\ 473. х=±9. 474, 32+16 ’
472. jg+y-1-
467.
4 Авв.^ + -£-=1
е=_ 468. о2 + о,„с,
386
ОТВЕТЫ
К75
1/2“ КЮ _ 1
2) <’=-5-; 3)е~2"
3
470.
/15
47S. (-2’ ±
478.
481. 32*±25# — 89 = 0. 483. 3*4-4#—24=0.
25»
. 477. —.
а
tob 479, 24* 4- 25// = 0. 480. 8*4-25# = 0.
Vra«4-6‘
’ л- °и-л- 4«4. 1) у==4.
ох 16х—15#—100 = 0 485. х + у ±5 — 0. 486. ± 3* ± 4#± 15 = о
} 488.* ±# ± 3=0. 490. Л^+В»52-С»=0. 4Ш. х ± #±3=о.’
494. *»+#»=а* 4-**.
496. ^+| = 1
(*-*')2 , (у-у'У ,
Ьг ~ •
= 1.
495. -^—г
(*—5)‘ уг
или ~25~ “
25
497. *»+#*= в» 4-0».
25\*
3 )
498. 4-^=1
17^ 8
499. -£=. 500. (*! + #‘)» = 4(а»*»4-0г#г).
г Z
502. Окружность.
503. Окружность с центром в фокусе, радиус которой равен
большей оси эллипса. 504. Эллипс.
505. Ьг, где Ь — меньшая полуось эллипса.
х2 8
506. При условии ^•4"^>1- Уравнение пары касатель-
±--1 ) (^л.& 1 'j (ХХ° ,УУо iY л
Ьг / \аг + Ьг 1 / \ _« + >.е 1 / — 0.
507. л /
----------------------4ct2 а (
л
a~ ~2 ’ то x‘+y2 = a! ± Ьъ (окружность).
них:
ххо УУо
’а*+~Ь*
х'£_
а2^ 0»
= 0. Если
508. ctgа = ± х'+&о~аг-Ьг
2ab J / ^о.Уо
_,л V аг + Ьг~г
10. 1) Ага2 + В!Ь*-Сг>о- 2) А2аг ± ВгЬг-С* < 0.
513. Окружность. 5(4, х<> , ,Jo , .
а^+7г<к 5,7‘ аЬ-
518. а2±#г. 5|9. . сг л
__ a’ + fc2-1- SfiO-arcctg^cp^.
521 va-ib*
524- Сумма равна 2 —
570]
ОТВЕТЫ
387
527. Окружности.
530. Л-внутренняя. В-внешняя,
2) ~ — У 1
' 16 9“L
533. У 2.
С точка гиперболы. 531. I) ’
, '25 э~1;
X уг г
576 100 ~ ’ 2 3 * *) 64~36~к
уг
'~75 = k 535‘ F> (— 13, 0).
532.
534.
хг „г
1) ~
' ктс
хг
432
fz (13, 0).
536. F, (0, 17), Fa(0, -17). 5S7. n x«
*/ Jg *0* — 1J
2) 7j~C=l- 538. d = —. gag.
У 3 a 16 9 ’
540. 1) F,(5, 0); F2(-5, 0); 2) e=A; 3) {/= ± 1 x,
„ з з 1
9 . цг хг 6
X=±-5: 4) Й~9=1’ e= 4 ' 542*6
4)
2)
= 1.
g-g-il. S«. 1) « = №;
Ml 1) (± | I'M. ± I.s);
2)
543. 1) a-2/3, 6 = 2; 2) a=6 = 6; 3) a=/5, 6 = 2/5;
„.Hit
о
544- S-S=±i ,,ли
a = 90°. 54S.
W b
(, ± -f- /Г19 1 549. 20x—9y-91 =0.
\ 5 5 /
—. / ab , ab
( ± УЬг—а2 ' 1 /б2—a*.
если b>a. 552. x + y-1=0. 553. 3x+!r-8 = °. 554. 1) x=l
2) 5x-2t/ + 3 = 0 555. 1) 3x-t/±3/5 =0; 2) 5x-2f/± 9 =0.
У269 , 12
556. а*Аг— ЬгВг=&. 557. b1. 558. a=—^=. b-
559. хг + уг = аг—Ьг. 560. 8xy—4x—4y4-3=0.
5B2 ^-^=1
5B2, 16 9
564. | A I >
567. 1)
3) (x + 3)2 1 568. Окружность.
Зй. окружное « ««WO-
длине действительной оси гиперболы. 570. Р
задача возможна.
25
563. C-12—13 cos <p
565. y-7=L 566*
(JL±21=1;2) —f
32 6
(x+ I)2_ (# + *)* = 1;
5
388
ОТВЕТЫ
1571
S7I. b*, ГД® b—длина мнимой полуоси.
— *» У°^1 нп —— — 5^°; уравнение пары каса-
572- ^~Ь2< ’ а2 ьг
(< ко-
тельных \^~ ь» 1 /\а2 Ь2 / ' а2 b* J ’
у\
одну касательную при условии (приче 0 и уд нерав.
хо 1 р хоУо
пи нулю одновременно) или р-~ р- — 1- ьсли р”-р = *> то
„ V . УоУ 1 п
уравнение касательной имеет вид -р--г-р~ — J — О, а если
=0, но х0 и уд не равны нулю одновременно (т. е. точка
а2 Ь2
лежит на асимптоте, но не совпадает с центром), то уравнение
касательной имеет вид:
если
b
Уо=° — Х°.
Xй Z/2 \
р —р—1 lctg2a = 0. В случае
573. (х2+у2—as+b2)2 + 4a2b2
л
а = ~ и а> b окружность х2 + у2=а2— Ьг.
/22
1/_Л + ^ + 1
V а2± Ь2
*о+1/ог-аг+Ьг
579. Две сопряженные гиперболы. 580.
хг
ло
аг
2аЬ
574. tg<p=±----
585.
a2 b2 <U-
586.
576. ab. 578.^.
X2 //8
587.
а2 Ь2 *’
геометрическое место
ло ‘/о
О2”"
^<1
Ь2
хг Угг
а2 ь2 '
Х^_у^ Т0ЧеК (*.
a2 ^<°- 590. Окружность.
г S®2- f^l+FtM
гиперболы, если F,M
коэффициентом
1, XjX2 > 0. 589. Искомое
у) удовлетворяет неравенству
591. Гипербола.
1Г1 = const — ветвь
также гипёпболя" ®- Геометрическое место центров —
’ етичная данной, с центром гомотетии Ft и
юмотетии, равным у . В случае, если рассматри-
0
653]
ОТВЕТЫ
ваются гиперболы, искомым
еолый£””в%-рА*г» “с™ бто
с данным ФокуСоМФотноситХТа"еИ...ОТ точек, симметоичн
то Е0М0 4- MaF = M'0F, где лГ-то^’ " Касательная 'о.
-^относительно касател^н < -
Искомое^еометрическое место с - =
594. Если Р и Q—точки касания, то F,P4-FO=9c и
F597.2ft'2 Т°ЧКИ Р ” Q °ПИСЫВаЮт окРУжности.
602. Окружность, центр которой совпадает с центром
F,P-
эллин*
сов и радиус равен у o*4-oj—С*.
603. 1) Агаг—ВгЬ2—Сг <0; 2) А2а2-ЕГ-Ь2-С2 > 0 (не
асимптот). '
ваз. £-£=1.
а2 Ь2
5. Угловые коэффициенты искомых диаметров-
(а2 4- б2) tg a j; У (я2 4- Ьг) tg2 a 4-4n2fe2
считан
2а2
635. 1) уг= ± 12х;
- 18„. 636. (18, 12)
639. х—3i/+9 = 0.
. . Р
633. р2 = 8х—8. 634.
2) t/'=10x—25; 3) 4/’«=16х; 4) х!
и (18, — 12). С-’ °."
640. уг = 4х. 641. В‘р-=2АС.
896. Гипербола.
623. Пусть М, и Л12—точки прикосновения, лежащие издан-
ной окружности, a F, и Г2—фокусы эллипса. Гоща Л1,Р, 4-
4-M.F. = const, AfJ^M^const. Но Af,F2=412Fl. значит,
Л4 р 4-Л1 „/'. = const и геометрическое место точек F, есть эллипс.
Аналогично и точка F2 описывает эппипс с Ф°|<У“',1,_^1' и.г.
824. Гипербола. 625. Парабола. 627.(1,0). 628.(0,1).
629. (—2, 0). 630. х=—у • 631. р2=12т 632. р2-!-<•
2-4)-
’ 637.1^’ 638. t/ = 2x-5.
642. »/=Ь4-^-
КЛЧ Г 4- 2и 4-4 = 0. 644. X (х2 4- К2) + РУг=°’
645^ Касательные к параболе в ее вершине
4 647. ^=12х. 649. 2. 651. Директриса.
I cos О’ fc)i==_2p(v—с);
646.
653.
OTBFTH
в 91)
654. I) (-2, 1), Р
р »,3, ось *1
совпадает с с.,—
ось паработы параллельна оси Оу, 5) — 2Л •
„ - 1 - • ось параболы параллельна оси Оу, 6) (4,
р-2|Л|’
ось
[654
_ - , =5- ось параллельна оси Ох; 2) (0, —7).
„араллельна оси Ох; 3) (2, 0); р = 4; направление оси
отрицательным направлением оси Ох; 4) (3, 5); р = 2:
„ _ / В 4АС — Вг\
4A
-1);
ось
параболы параллельна оси Оу, 7) (— 3, — 9);
параболы параллельна оси Оу.
О
-1,657. 12. 658.
О
1
1
2 =
656. 4“Й =
5 Зо
659. Парабола, имеющая данную точку фокусом и данную
прямую директрисой.
660. Две параболы: уг = ± 2x4-1. 669. у\— 2рх0 <0.
664. (у1—2рх) (y* — 2pxQ) -[уу0—р (х 4- х0) J8 = 0.
669. Парабола (2x4-p)l4-4ctg*a (2рх—у2)=0.
672. уг=2рх. 674. Парабола. 675. Парабола.
679. Прямая, параллельная касательным к параболам в их
вершинах.
680. 1) Вгр>2АС; 2) В!р<2АС.
6 1. Искомая точка (Й4~р. 0). если x = k —данная прямая, а
уравнение параболы взято в виде уг = 2рх.
586. 1) Пусть С—окружность, описанная около тре'толь-
ника 1, а Л и В—точки пересечения прямой I с окружностью С.
Т°ЧКИ Л На СТ0Р0НЫ треугольника Т лежат на одной
ня nr nft ’ пРоек„цпи точки В на стороны треугольника Т лежат
зованний "Рямои ПаРаболы Си Ct и С, вписаны в угол, обра-
зованный прямыми р и а.
км ^2 + ,6^ + 5Ps-5x-5y = 0.
— 5 —0-*4?н₽т^’ 1’ 2)’ 3) прямая центров 4х-\-2у-^>
690 LT, 1ТРп <"Тбола)- S89. 17х—4у—4=0.
698 Й4®+Ч=п°' X 4«-6Я-1=0. 692.
695. u-S1-(7-'«>=n<'”3'+2: г-3»-2: *+1=0.
у — 2 = 0. ' '* или две прямые 2х — у — 2 = 0,
697* У к аГаРн"и3е=Г 2f/ + 3 = 0; 2) Зх—t/ = 0; Ду— 9 = 0.
системы координат «о,, 0Ставить Уравнение линии относительно
треугольника, одна мч , аЛ° .КОТоРой совпадает с центром тяжести
параллельна стороне cnf™ ’ совпадает с медианой, а другая ось
698. 2х 4-Зр—51.0 ДВре дРУгие вершины.
^ + 2У-1Ц*~з^3+7* + Иу 4-20 = 0; 2) 6х-2у 4- 19 =0,
^-бр-НЗ-О 6> 3* + W14 = 0, х4-у-3 = 0; 4)5у4-3 = 0-
700. 1)х-4у-2 = 0; 2)х4-4у-3 = 0.
721]
ОТВЕТЫ
S')!
?о^*ЛЙо7?;^й+1з-о. ’02. 7,+1=0.
Уравнение касательной (а, + а11Х
+ ГДе «»=«"Х=аР t^4^+6W')j' +
еТОр”-Р»аме?^“р„УДЯХиеи',«"»“ »f°~,
3) ® f-*7>3=л
710. воспользоваться уравнением диаметра.
711 0,1 °гг___^11 ^22
' 20.2 2^Г'
712. Множество центров состоит из внутренних точек тре-
угольника, сторонами которого являются средние линии данного
треугольника, а также из внутренних точек углов, вертикальных
к углам треугольника, образованного средними линиями.
714. Равносторонняя гипербола.
715. Составить уравнение гиперболы относительно системы
С началом в точке О пересечения прямых, проходящих через
данные точки и имеющих данные асимптотические направления,
принимая эти прямые за оси координат.
Отв Прямая линия.
717. Окружность. 718. В ^2, С (2, 0), D ^3,
719. 1) парабола; 2) две параллельные прямые:
х + и + 1 =0; 3) гипербола; 4) гипербола
720. 1) эллипс; 2) парабола; 3) гипербола
_Л, ,. некто О' (—2, 1), большая ось
721. 1) эллипс б' + 'з—*• центР '
параллельна оси От;
Лг Y1 . „„нтп О'(1, -3). действительная
2) гипербола ц Р '
Т
ось параллельна оси Оу, / __
_ч , „„ v______2Л'1 вершина параболы и I
3) парабола г — za . н \ _ „•
' „ипя рвеох; 4) мнимый эллипс,
"»Р™ 0,. пар»*- „ь па.
р.„„а ее» О.
1
мнимой —>
2К 2
7
2
X 1 | .ось
2 ’ )
5) гипербола с центром 0‘
39?
ОТВЕТЫ
[722
/ 3 1
6) парабола с вершиной О I • 2
, ось параболы па.
ратлельна оси Оу, парабола выпукла вверх, параметр равен — .
п ( 3 1 \
7) парабола, вершина О (— jg • уJ
1
Ох, выпукла вправо, параметр равен у ;
ось параллельна оси
8) две пересекающиеся в точке 0^(— 1, 1) прямые з (x-f-I) _l
+ Г"2(р-1) = 0 и »П"(х + 1)- V 2(«/-1) = 0;
9) гипербола с центром О (— 1, — 1), асимптоты параллельны
осям координат.
X* У1
722. Эллипс -+у = 1; центр С (2, 3), угловой коэффи-
« - 1
циеит большей оси —- .
723. Парабола Е*=10Ал, вершина параболы имеет координаты
С(-1, 2); вектор^—, — _ j имеет направление оси и направлен
в сторону вогнутости.
724. Гипербола у-у = 1, центр С (1, 1), угловой коиНи-
ниеит действительной оси £'= —
3 ’
725. Парабола Р = 4/2А', вершина С (2, 1); вектор { 1, 1 }
72filen^0CH ”.напРавлен в сторону вогнутости
ра действительных пересекающихся прямых
А—у— 1 =0,
Х~ 4{/ + 2 = 0.
727. Пара действительных параллельных прямых
2х— 3«/ + 1=0,
2х-3«/-2 = 0.
728. 1) эллипс — л-12—1 r (1 1 \
35 35 » центр С I — t — 1 , угловой коэф-
6 36
Фиииент большей оси =
2 ’
?) эллипс —+ —_____।
бывшей оси /г!-/ ’ С(’’ °’ yrJ,OBoii ™эФФ”^"т
732]
ОТВЕТЫ
393
Хг V»
3) эллипс —+=1
10 4 ’
большей ОСИ k = — 1;
4) . гипербола у-£=1, центр
фициент действительной оси k = ~ з-
_ уг yi ’
5) гипербола 9—^=1, центр
- « 9
действительной оси /г — — .
4 ’
6) гипербола, длина полуосей а = 4.
угловой коэффициент действительной осн
7) парабола, параметр р=1, вершина (0, 0), вектор, парал-
И
)5’ 5
1), орт осп
ЦеНТР С(1’ ’>• ~ коэффициент
2)1 угловой коэф-
О» 0)1 угловой коэффициент
Ь = 3, центр (1, — 1)
лельный оси и направленный в сторону вогнутости
8) парабола, параметр р= К 2", вершина (1,
( 1 1
(направленный в сторону вогнутости);
3
9) парабола, параметр р =
вершина
1 2 ] . ,
, —=. > (направленный
5 )5 I
729. /, = —4<0, /,= 144# 0,
В сторону BOI hvtocth).
__________ _ гипербола; действительная
полуось а = 3, мнимая полуось Ь = 6; центр (3, —4); действи-
тельная ось 2х—у—10—0, мнимая ось х+2(/+5=0;
оси
ось 2х — у—10 — 0, „
асимптоты: р4-4 = 0, 4х4-Зр=0; фокусы (6, 2), (0, —10); соот-
ветствующие им директрисы x-f-2p + 2 = 0, x + 2y + 8—Q, вершины.
(JL + 3, -Д
з +3> _ 6 4
касатель-
ные в вершинах; * + 2р + 5± ЗУ^б —0.
правлен в сторону вогнутости. г , у, = ,
731. Каноническое уравнение (Л, + В,)Л + (А-г
Главные оси определяются уравнениями-
Л.х +/?,«/ + £. = °- А*+В^+С«=а
732. Фокус (0, 4), директриса 2х-у |-8=°.
894
отвиты
1733
ТЗЗ. фокус (-2, 1), директриса х— ?.у — 6 = 0.
734. 735. Равносторонняя гипербола.
Л К/»
736. Гиперболы имеют общие асимптоты 737. /, -2F (х0, у) < 0
738. I, 2г (х*. у0) <0. 739. /,=0.
743. 1,К3< 0
745. Гиперболы имеют общие асимптотические направления.
4Кг
/?
746- dl
747.
а11 C12 °1
Я21 Я22 at
я» аг а
д„ flIt о,
Я21 Я22 а1
ai at ь
<0.
748. 6х2 —4хц + 2у* + 12х — 99 = 0.
*
Указание. Л'3:/(з = 4.
749. (Л.х + Й^ + С,) ± (Лгх + В2{/ + С2) = 0.
750. 4х»4-8хц4-13ц2—24х —42ц4-9 = 0.
751. х2—4хц4-4ц2—4х —4ц=0. 752. х — 2 = 0, х-]-2у — 4 = 0.
753. 9х2 —24x1/ 4-16уг—60х — 16ц + 256 «= 0.
754. 9х24-16ц2 —36х —48ц=0. 755. х2 — 2ху 4-5ц2 —4х—4ц 4-
4-4=0.
756. 2х2 — ху-3уг—х—бу—15 = 0. 757. ху —х — у+ I =0.
758. х‘—4хц-6х 4-9=0. 759. 2х2 — ху — х-|-ц4-5 = 0.
760. 4ху + Зуг 4-4ц —11=0. 761. 12х24-40хц 4-28ц24-16х 4-
+ 8л-11=0, 2х-|-2ц—1=0, 6x4-141/4-11=0. 762. х2 —2хц 4-
4- 2ц2—2x4-1=0.
763. 337х24- 168хц4-288ц2 —3200х—2400т/ =0.
764. 4х2—Ьху 4- уг—16х—2ц = 0.
765. х24-2хц4-2ц2 —14х—20ц4-48 = 0.
766. 5х24-6х{/4-5i/*—6х — 10у—3 = 0.
767. хг 4- ху 4- уг 4- 2x4-1/—2 = 0. 768. хг 4- 2ху -|- уг 4- 5х —•
— у=0
769. 36х84-24X1/ 4-29//2—528х — 376ц 4- 1211 = 0.
770. Зх2—6хц — 5//1-|-24ц —12 = 0.
771, >-i)24-(l/—Ц,)2 = _____________
/(х»—х,)24-(ц2—ц,)2 1*2cos04-Ил sin0—р| '
772. Ки-хаЧ-Сц-Ц,)2-К(х-х,)24-(ц-цгГ =
х cos 64-ц sin 0—р
i/ , (Лх,4-В(/,4-С)(Лх.4-~В?Г±£Г.
у (Xt *i) "Ь (У1 У1) ———— £jj>
773. 16х2 4- 24xt/ 4- 9у2 —94х — 58ц 4-124 = 0.
774. х24-2л«/4-Ц2 —12х4-24ц —54= 0.
775. x2—2хц4-ц*—8х—8ц=0. 1—0
776. хг4-2хц4-ц! —6х4-2ц—7=0. 777. 4хц4-3ц2 —2ц—‘-и*
778. л2—6хц4-У2 —2х—2ц4-5 = 0.
779. Их2 —20хц —4цг4-18х4-36ц = 0.
780. 4х24-6хц—4цг— 26x4-18ц — 39 = 0.
812]
I F F
781. 1*
788. (x—x0) Fx + (y__yj p
785. И.^ + В,!/ + С1)[Дг(Л- ...
+ (^ + В,(/ + Л?лТ
788. Лии™ 2!/ + 4)IA(x
ОТВЕТЫ
395
J ’ 782‘ FX + (»-«/<) Fv = o.
^=х°)Л47хФх+/:а=о-
+ (Д2х + в2Л)с+Лг.^-г/о)] +
788. Линия второго порядка 787 £ Х°) + В’(у~^Л=0.
?93. 1 Г2х+P3fL°-i 2)оМЛИПС’’ 3) па’раб^"й ВТ0Р0Г° П°РЯЯКа-
— 2f/4-l=0; 3)+2х + 5ь/Л=0 4У+зТ°;52)о:^72=0’ 3х^
2х—«/ —4 = 0. ’ 2x+3J/~5 = 0; 4) 2x-j,+i=0.
794. 45х-J-2051/— 4 = 0, 15x-15j/-2=0.
795. 15х+// —2 = 0, 5х + 3{/—4 = 0. 796. 2х+7у—1=о.
77* t~5\+1 = 0~уРавнение оси; координаты верши-
НЫ Ц-6-’12Г
798. Эллипс ~д'~Ь_|’ =1> Центр О' , угловой коэф-
2
фициент большей оси /г =------- .
Хг
799. Гипербола —Y* = 1; центр совпадаете началом коор-
динат 0(0, 0), угловой коэффициент действительной оси k — l.
X2 Y2
800. Гипербола =—7ё = Ь ЦентР О' (—1, 2); угловой коэф-
Охи
фициент оси О'Х, k ——2.
809. Y2=\x. 803. Ilx4-2t/—3 = 0. 804. х + у—2-У 2 =0,
/и
х—^4-4—3 рг2’ = о. 805. X cosa+f/sina—р = 0.
806. tga = --| . 807. х-</ + 6=0, х + у-8-0.
808. 4x4-2f/4-l =з_0, (2— V3 )х + (2/ 3 +1)» ± 1 -°-
'^y^Vat^rV.'e’p^27— & ”
углы 120° и —120°.
890. (КЗ -1. 0) и (О V 3 -’j ,2> 4), Вг(3, 5).
»'- л.<-з. -^е'<7' м __Г1 ,,_зГз;
892. /г,=— 3f3, йг=-п-> ’ 5
2
/ 3
2 ’
Л2 = -
k3— 5
396
ОТВЕТЫ
[813
813. (a cos — В sin —(х x0) + ^Xsin 4- В cos —2^ *
X (у—уо) + Ах9 + Вуо + С — О, Л«*1. 2..п — \.
814. О (5, -2), Л'(21, 12), В'(15. -18). 815. (4, 3).
816. (4, 2). 817. М'(Ю, 6), В (у, 2) • 818. х'=х— у^-ц
и'^х + и+2. 819.(2, 1). 820. Прямая двойных точек х + 2у —
1.4-О 821. 1) 2х—у —12=0, х + у—3 = 0; 2) х=0, у = 0~ос„
Оу и Ох. 3) х—у=0. 822. 2^^3 = 0. 823. 2х-2^-3=о,
4х-р = 0. 825. х'*= —х*, у'* = 5у*. 826. {1, 4}, {1, —1}.
827. {1, 1}. 828. Таких векторов (с действительными коор-
динатами) нет.
829. {3.-2} и {3, —5}. 830. x*=x+clty, у'=сггу.
831. х'=с„х, у'=сиу. 832. х'=сих, у'^у. 838. х'=х-зх>
1 2
у —2у. 834. х'=х —-?-у, у' =—з У- 835. к' =. х 4- у cos о,
у' = у sin fi).
836. х'=х + 5(Лх + Вг/ + С), у' ™* у +1 (Ах 4- Ву + С), где suf
могут принимать любые числовые значения.
5 1 1
837. х' = —х + у у —у'— у (см. предыдущую задачу),
(Л \ В А ( В \
14- gxj x+-gxcy-t-x0, у'^-^уах+[ 1 +-^!/о k+i'o-
839. х' -х - 2Л Ах + ВУ + С и-^п—2В Ах + ВУ + С
BBS. х -х 2Л Аг + Вг • V У А* + &‘
840. х' = — j/4-5, у' = — х-|-5.
В4!- *' = А<17х—»+8)> !/'=Л(— x+17t/ — 4).
1Z
842. г'— ^1Х + В,у4-С, Агх + Вгу + С»
^«Х0 + Вгу04-Сг
Dzx'+Ety'+\_
П2х2 4-BjZ/j 4“ В2
— 11х+14у+13
AiX„ Btyb -(- С, ’
843. Л»х'4-В2/ 4-Сг Л,х4-__________
Ох + /"51ВгУг + Сг ’
= = ------------------------------------------------ .
У’=|*^3Л-1И=Х + 8, ' ^,=B4x~i2+^' 2)х' = -х + 2у-8,
метрия7от|’ос1т?льнпВ«^Ае пР„еобРазование; 2) центральная сим-
метрия относител! нп ^К0У°Р0Й точки плоскости; 3) «косая» сим-
- днои прямой в направлении другой прямой.
848. {1, 3| и [3, —1 !• х* = 2 . 1 . 1 , 2 „
* 1 <’ ~Zr~X у у*—---— х4--=_ У’
Х-/20Х. Г=Гвб« «4, пК К5 ’ 5
в50 Об * 54>9e Да.
(8 k раз) плоскости СМысл: «равномерное сжатие
»1 С/л «
885]
ответы
397
851. Образует. Сдвиг пяла™,.
852. Образует. Гомотетия отн<*итеЛьно оси Ох
853. Образует. Поворот плоскости »
„а угол <р соединенный с гомотетией (r-SL”34343 КОоРДинат
если г< 0 то добавляется еще симметпия ат Ициент гом°тетии;
координат). «етрия относительно начала
854. Образует. Геометрический Й
1> «, и Смысл Каждого из пяииму
образований такой же, как и в предыдущей Д ™Х
855. Образует. Геометрический смысл
преобразований: перемещения, соединенные
тией и переносом.
856.
пре-
задаче: г = У а14. (Я.
каждого из данных
с поворотом, гомоте-
S — —
~ 2
л.в.с,‘
АгВгСг
ASBSC3
। z-z I I | I '.pJ, I
Указание^ Аффинное преобразование х' = А^ + В^+С,
у' —- Atx + В2у + С2 переводит две первые из данных'сторон соот-
ветственно в оси Оу, Ох, а третью сторону—в прямую
= 0.
AjBjCj—х‘
АгВгС2—у‘
А,В,С,
Определяя отрезки, отсекаемые этой прямой на осях коорди-
нат, найдем площадь преобразованного, а затем и исходного тре-
угольника.
857.5 =
(C-D) (С-D')
Указание. См. предыдущую задачу.
858. Два решения х— 12//Н-57 — 0 8х—9у-66—
Указание. Рассмотреть аффинное преобразование, пере
водящее данные прямые в осн координат.
У5Л 'A*
водящее данные прямые в оси коорднн , д У
ннчную точку.
..г ,.г 1^2
860. ^г + пг=2. 86!.
аг tr , * яЛЛинно эллипс в круг.
Указание. Преобразоват ФФ
ййо *____— —. 863. — ‘
а‘ Ьг 2 -ся сторон параллелограмма в их се-
866. Эллипс, касающийся стор
рединах. эм 881. ЯаЬ.
868. Эллипс. 870.
885.
У> + Уг
x,-j-xs ‘
1887
893
ОТ BFTbl
I /, , M 1л/ 1 X
887. х'=2 (* + + Т У
/==_(_i + yJ Ух+2V + XJ у-
Указание Искомое преобразование может быть предс
Лено как произведение трех преобразований: летав-
1) преобразования а: Х*=А—у* = £ + Хт переводЯщего
данную гиперболу в гиперболу х*у*—\\
2) преобразования 0: х'* = Кх*, у'*=~у*, переводящего ги-
перболу в себя;
3) преобразования а-1: х' =-- у (х'* + у'*), у' = —
переводящего гиперболу х'*у'* = \ снова в данную гиперболу
Полагая в случае Х>0, Х = е°, можем записать искомое ппеобпя’
зование также в виде' н
x'=ch фхф-у sh <рг/, у'=-^-sh фх-f-ch фу.
888. х'<=х 1^2 +у, у' — х + у V 2 и х' = х 1^2—у,
у'=х—уУг2. 892. х' = ^-(2рх —2ущ4-гпг), у'=к(у—т).
893. х' = ^-р (2рх — 2ут-\-тг), у'=у — т.
894. Точка Т—середина отрезка SN.
Указание. Рассмотреть такое аффинное преобразование
параболы в себя, при котором точки Л4, и Mt переходят в точки,
симметричные относительно оси параболы.
895. х'=х + 2у + 2, у' = у+2.
у к а да н и е. См. задачу 893.
раболы до xonHi = 2р —расстояние от вершины па-
от параболы сегм’р ерпендикУлярной к оси параболы и отсекающей
Указа Данной площади).
зовйние пеоеп1ппт1,о^ССМОТРеть Уним°ДУлярное аффинное преобра-
Данной плошап^1 . произвольную хорду, отсекающую сегмент
898. yl = 2o'lx Х°?Е'У’ пеРпе11Дикулярную к оси параболы.
До хордЫ пеппеип U ’ где J1 — Расстояние от вершины параболы
параболы’сегмент ^КУЛ”РНОИ к оси параболы и отсекающей от
899. 3 Данной площади.
чтобы точка касаН1|1]?п2п£?.ЗОВаТь паРаболу аффи нно в себя так,
касания перешла в вершину параболы.
933] ответы
399
900. Искомое ореобрееомкие о„р„ел,екя форм,,.»,
и* + ₽Р=Х(ах'+₽у'+т),
2а'Х + 2агу + а = кЦ 2 (a,-am) х' +2 (Ol_pm) у, + где к
и т—-произвольные параметры.
Указание. При аффинном преобразовании касательная н
параболе переходит в касательную, а диаметр, сопряженный пеп-
вой касательной, перейдет в диаметр, сопряженный второй каса-
тельной.
901. х'== —^ { 2(а,—am) х + 2 (a2-£m) y + o-m’),
у'== X (a* + Р</+ m)> где X и т—произвольные параметры.
904. 4 а УЪра- 905. у
О
906. 2рх—2ту-}-т*—2р = 0, где m = у, ±: у0, где уй—ордината
конца хорды, параллельной касательной в вершине параболы и
отсекающей от параболы сегмент данной площади.
9И.х + ^// + ^=(х + ^У +
a,i <41 \ “н
32р ’
sin 6,
<4i ~ • <4i
а»
а'
838. (—1:1). 919.(1:2). 920. (—1:—X).
921. х1:ха = 7(х—2)(4 + х).
922,
7 (x—2):(4 + x).
(i-.-i).
923.
х1:х,=(х-1):^ 924. х,:х,
bi ьг
<4 <4
Ь] ьг
С1 С2
х, хг
Cj ^2
Х> Xj
а, аг
926. x'==flnx„ x'=a22x8.
928. x*' = 13(6x*4-13x*), x*'=6(36x‘ + 13xs).
929. x' —aItx, -f-a^Xj, хг=аг:х2.
930. (1: —1), (1:2).
' |Xb bl
pd d I
932. Кории у
x,+
I хг,
pel
Xf
37\
/ I I. еА'г
a i
c pc
a lb |
c pd I
уравиения
==0 комплексные.
»;|Sl+,“
' xtx,
г
933. QXj
ОТВЕТЫ
(935
400
9S5. <и>«,.х, +«.Л- <И>=°»А-а.Л и тождественное пре-
°бР937.НПр«”ь ’ Л В, С за фундаментальные точки Но.
ВО* системы координат
988. I) g. 2) -g : 3) °0-
989 Проведен через точку А прямую, построим начало ко-
ординат (произвольно) и припишем точке А аффинную координату
(—|), далее построим относительно этой прямой В (2).
Проектируя точки 0. оо Е аффинной системы координат на пер.
воычальную прямую из точки пересечения прямых ВВ’, СС ,
иолч«ям искомые точки.
940. Указание. См. задачу 939. 941. (5.7)
948. D(—l 14). F (-1:2). G (—1 24). Н (1:16), 0(3 8), £(1:6).
944. 1) М (3 2 -1); 2) tf(12, 9); 3) /?(5:0:-3); 4) Р (1:1:0).
945. (0.1 -I).
946. х, + х'= 0—уравнение осн Ох;
х,—х' = 0—уравнение осн Оу, уравнение несобственной
прямой х,-{-хг + 2ха = 0.
947. 1) Зх,Д-х,+9х,=0; 2) х, = 3а—0. х2 = 30, х, = —а;
3) а=С. х, = — 0. х2 = 30, х2=0
948. Прямые пересекаются на одной из сторон координатного
тре\ гольника
949. Прямая, инцидентная обеим точкам, проходит через
версия базисного треугольника
950. 1) (-3 4.1); 2) а (2х,+3х2-6х2)+0 (х. + Зх^-О;
3) х,—4ха=0
953. Две
95S- Координаты несобственных точек сторон треугольника
~ ‘k L1 —* 0); координаты несобственных точек
прямых 0,£. 0,Е, 0,Е (-2:1:1), (1-2 1), (1:1:—2).
“59" х, — Xj + x,=0. 960. ах -\-by -\-cz = 0, где а, Ь, е—длины
сторон треугольника OfitOt
<Ж1 _?х 1 by , сг
' cosj4 + cosS + S»c=0’ гле °* Ь’ с~~Длниы сторон, а А,
В С~2ТЛЫ ’Ре>гольиика Oflfi,
962. х, —х2—х,= 0. 963. (2 0 —1), 2и. — и,=0.
31
-з =0, 15х,— 9х,-22х,=о.
«5 ’
1. —1). 966. 72:0:1). 2u, + u,=0.
5х,—x'linr * л ®68’ <120:14:— 203). 969. (5:—1:10).
«. FW « -ЗМ0;5:2). 97l.i, + x.-o.
0 3 0) (3 1 Зх* + х2-4х,=0; (0-2:1), (2.0 —3),
I 5 1
964. —2 4
I 8 6
965. и, — иг—u,=0, (I. __------- —i »
967. (2 0 1). гх.-х^О. 968. (120:14 —203). 969. (5
-х2+10х,=0 970. (2:3 0), <5 0 — 3), (0.3.2). 9<i
-3x,=0. x, + 3x. = n 3x,x2 — 4x, = 0; (02:1).
1010]
ОТВЕТЫ
401
972« Х2 — 0, Xt—Xf =0, X _______X __О 1 at
(1:—1:0). 973. (1: —1 0). 2—0’ <° л ~П 0 —]),
974. Точки пересечения прямых 0,0, и АВ ()..-ц 0), 0,0, .
ВС (O.p’-v). 0,0, и СА (X 0 -v) Так как Гх'оЛЦ’то
точки находятся на одной прямой °
975. О.и, и,), (и,:0:и,). (и,.«,;()). 981. (ABCD)= — 9.
982. (abcd)=-4-.
4
983. Е, (01:1). Е, (1:1-0), Р (1:2:1). Q(-1:0:1). (Е,Е Р01—1
984. D (4:0 — 1). 985. d ( —1:5.0). 1
986. О,А (0:0:1), ОгВ (1:0-0), О,С (1:0:1), O,D (10.-1),
(0,4. О,В, О,С, O,D) = -1. 2 ' ’’
991. Прямая, параллельная основаниям и проходящая через
точку пересечения боковых сторон трапеции.
992. Прямая, соединяющая вершину прямого угла треуголь-
ника с серединой отрезка гипотенузы, отсекаемого на ней бис-
сектрисами внутреннего и внешнего углов при этой вершиве.
993. Биссектриса угла, смежного с данным.
994. Прямая, параллельная третьей стороне, проходящая
через противоположную вершину треугольника.
995. (3 10:19).
996. (()ах,4-₽у,):(/ах, + ₽1/г):р.ах,-}-₽^). 997. х„=0.
998. х:у:г=4хг:4х,:(х1 + х1 + 2х,).
999. х,:х,:х, = (—6х—By — 6г).2х Зу ,
1000. Е (6-3 2) относительно проективной системы для
О, н S (1:2:3), принятой за единичную точку.
1001. Рассмотрим проекции трех первых точек нз '
ординэтного треугольника на противоположные стороны остро
проекции четвертой точки. х х
1002. Е(—15:4:—24), 0(3:4: —4). 1003. х = ^, у= — •
1004. 347х —250у—74 = 0, 1513х—500у—1786 = 0; -r-2-a
1005. х, = Х (8х, — 4х'), х, = >- (2х, х, -.х,). >
>.(2х'—x'-f-x').
1006. х' :х' :х' = (х, - х,)' г, - <-*.+ х^’ t
х, :х,:х,= (х;-*') :<:(—*.+ х»)>
„'.„'•и'-——и.-(и, + иг-Ьи»’: и‘" , ,
« » и'=3(и, + 2и, + 4и^
IOO7.U; = - п (2ut + ^y и,=8(3iz, + u»b ,
1008. х'-х'-х.^х^х^х,.
коз.
ох, = 16х, 4-60х, —х, 1 1 21
1010. Л' (— 1-13:14). б'(11-23:28)- С ( •
402
OTBt nJ
11011
ЮМ. О,'(1:1.1), О'(1:—4 0), О3'( —1:0:1), Е'(1: — 3:2).
1012. а’(—8-6: —11), Ь’ (7:6: — 36), с' ( —18:1:14).
1013. и^и':и'=и,:(—и,+ иг),
и. и':(«, + и'): (и\ + и2).
1014. 0(0а (2'6: -7), О'2Оа (7:6: -2), O'aO't (8:9: -13).
Ю13. Л'( —10-1:4), В'(—10.3:3).
1016. а' (7: — 2:2), Ь' (—4:5:4). , , , ,
1017. х, :х2: х, = (Зх' + 6х'): (14х' 4- х2 — 5х'): (7х, + 5х2 — 4х'),
и,:«2:и,=(«' + u2-)-3u3): (2и,—2m2+w,) ;( — «,+ 4н2—2«'),
;иа: и, = (14иа + 7ыа): (Зиа 4- и2 + 5«а): (6«, — 5ы2 — 4ы3).
1018. px'^CjX,, цха — с2х2, рх3=с3х3.
Ю19. рх'=х3, рх2 = х1, qx2 — x2.
1020. х' = Лх„ х2 = Лх2, х3 — Л (х, + х2 — ха).
1021. х' = — х,, х'=х2, х' = х3.
1022. Xj = X (сих, + cI2x2 + oiat3), x'=X (o21x14-a22x24-a23x3),
x'=lx3.
1023. x, = |л (x, + oxa), x' = p. (x2 + Px3), x' = yx3.
1024. x' = ^„x,, x' — Xo22x2, x3 = X (aaixt 4- aa2x2 4- o„xa).
IO25.x' = ^^±^- 7x~3y - .
5x-9^4-16’ * 5x—9//4-16
1 “2 "3
1027. x’ —_______—__________ u' = 2(fe —c)t/
(2a-b)x + 2(b — a)’ y (2a— b) x 4-2 (b — a)
1028. x, = 1 (x2 4-x3), x2 = A (x, 4-x3), x3= X (x, 4- x2).
1029. (1:2:0) переходит в точку (— 3:4:0).
1030. u3:«': и'а= (u,4-5«2—и,): (4ut 4- 2u24- 14t/s): (7«t—«г4-11 “.)»
xi 'X2'X2 (2X|4-3x2 x3) : (— 3xj 4" ^2 H" 2x3): (4x, — x2 xa),
A1:x2 :x3 = (xt 4- 4x2 4- 7x3): (5x3 4- 2x2— x'):
‘оз», i) x;:x;
2) \
•( x, 4-14x2 4-1^)-
xi = (X,- 4x2 4- 3xa): (2x, 4- 4x2-3xa): (x,4-5x2-3xa);
: x3 = (7x,—7x, 4-10x3): (9x, — 7x2 4-11 x3):
3. . . :(Зх,4-Х2 4-Хз);
x> ;x2 • x3 - (3x, - 5x2 4- 9x.): (3x, 4- x2-3xa); (4x, 4-*2 - 3*з)
1061] ОТВЕТЫ
403
1082. x/.x/x^^+^-Sx.) (х,-х8) (2х,-2х24-х)
,033. х>;:х,= (2x1 + 3xt-7x,):(3l,_5xi+4);(8x ’_
1034. x1:x2:x8 = px1:qx2:rx8. ’’
1035. Точки (1:2: -3) (2:0.-5) переходят соответственно в
прямые (5 4.—17), (4.3.—22). Прямые (2:0:— 7) и (0-1-—21 па
реходят соответственно в точки ( — 3:17:20) и (2 12-3v\’-//-
==(2«1+ыг):(5и1 —14й2—M,):(3Mi—7м,—2и,). ' ’ 2 5~
ЮЗв. ХуХ2-.хг = иг:и2.иг.
1037. х\:х2.х'ъ = (Их, — 7х24-8х,): (14х, - 18х24-22х,):
_ „ , ’• (— 5х, 15х2—20х,).
10 u( .и2.п8= (2х3-f-x2 х8):х2:(х24-х8).
1039. и1:и2-и,^2х,:(х2 + х,):(2х, — Зх2-|-5х8) или
x1:x2:x8 = 4ui:(m14-5m2—u8):(—u,4-3«24-us).
1040. х,:х, :х2 = (Зн, 4-1/2 — п8): (п, 4-2t/2—u8): (2и, 4-Зи2 4- 4и3)
и ли Uj: u,: и2 = (11 х, — 7х2 + х8): (—6х, + 14х2 4- 2х3): (—х, —7х2 + 5х8).
1041. (1:1:1) и (7:3:5).
1042. 1) действительная нераспадающаяся линия; 2) действи-
тельная нераспадающаяся линия; 3) пара действительных прямых;
4) действительная нераспадающаяся линия; 5) линия распадается
на пару мнимых прямых.
1 и . 1 х—у
1044. 1) х' = у; 2) х==^’ У=^'
X и — 1 . X , 1
3> —Lj; 4) 9=7;
к. - °г ,,’-аУ
5) х = — , у = — •
'»«•
1046. 2у1у2-у>у2-УгУ. = °- 1047‘
13x4-25 , — 12g
1048. у* —yty2 = V- 1049.x'- х+13 - У х4-13
30 (г_2у 4-10) , 5(х4-91/—Зо)
1050. x = . У “=T+5F=S5
1051. х‘= ± — (4Ch0 + osb0); ± — (4sb0 + ocl1 »
1052. « - Й it+та;= 10 '2Г
х 4-4 . 1054. 26х1х24-х2-0>
1053. х' = 5-^р-. У - х 4-4
1057. 6х» + Эху - / + 2х ТЛТЗ'эОг/ 4- 225 = 0.
1058. 25х’ - ЗОху 4- 91/ -1 4-144 = 0.
1080. 9х' 4-12x1/ + I.6!/ -7^54(S
1081. 4х2 4- 6х{/ 4- 9У—36х J
ОТВЕТЫ
[1062
404
1062. Прямая, соединяющая точку пересечения данных пря-
мых с серединой отрезка Ох()г.
1065. я11^+аи*^ + й«зл'? + (а»2 + а21) *i*i + (fli3+a»i) xix,+
+(<711+а1,)хгхг = 0. В случае a,k = aki, о, ,х,2 + a22xj + a„xj-f-
-f- 2д12х1х2 "Ь 2c2sx2xs 4" 2а41х3х, = 0.
1ОСв« х~*6г/ 4-8 = 0.
1067. 1) 55х—6у+10 = 0; 2) 15x4-11(/4-14 = 0; 3) 19х4-4(/ = 0;
41 х ~о—несобственная прямая; 5) поляра неопределенная; ли-
ния’состоит из двух прямых и данная точка—точка пересечения
прямых.
MS.
а Ь а о
1072. Система неопределенная, когда линия второго порядка
распадается на пару прямых и данная прямая принадлежит пучку,
определяемому прямыми, на которые распадается линия второго
порядка; система несовместна, когда данная линия второго по-
рядка распадается на пару прямых, а данная прямая не принад-
лежит пучку, определяемому этими прямыми.
1073. 1) (—3; 1); 2) (3, 3); 3) (0, 3); 4) (1:—1:0)—несоб-
ственная точка, данная прямая — диаметр, сопряженный хордами
направления {1, —1}; 5) полюс неопределенный: геометрическим
местом полюсов служит прямая 9х— у-)* 19 = 0.
1074. (1, -1). 1075. у=1. 1076. (—7, —5). 1077. (1, —Л).
1078. Указание. Написать уравнение линии относительно
системы координат, одной осью которой Является ось кривой, а
другой осью — прямая, перпендикулярная к первой.
1079. Указание. Уравнение линии второго порядка отно-
сительно системы координат с началом в фокусе имеет вид
хг (1 —с2) ф- у1 —2рсх — р2 — 0.
Определить поляру точки, лежащей на директрисе.
080. Указание. Использовать условие полярной сопря-
женности. 1081. Зх—</4-10 = 0. 1082. 7х24-2ху—6х—10у4-15--0.
1083. 2х2~ху + уг—Зх4-// = 0. 1084. ~ х4-Ь//+с2=0.
|*пяе‘ - 4 +12ll2 + 50Е 4-100т) — 625 = 0.
IO8S Указание. Уравнение линии второго порядка с фо-
кусом в начале координат имеет вид:
*2 (1 —с2) 4- у2—2рсх— р2 = 0;
определяем полюсы касательных к этой линии.
1087. (х4-|У-1Л=-.
Ю88. у- j*2—6JF+9p—9х~4-18у
2х2—4ху4-6у2— 12x4-24у 4-27 ’
у =. Т3*2 —9//2 4-18х—45?— 54
__ 2х‘— 4х(/4-бу2 — 12x4-24 (/4-27 ’
у удовлетворяют уравнению х2—2ху—у2—6х = 0.
1109]
ОТВЕТЫ
'“» У+Л1»Ь. + й+,(х, + ... ,, , 4“5
1090. р = 0, | х | >1. 2)1~2(х‘х + ^У)(х2х + у2{/) = 0<
Fy Fz .
Вг -(Лх-ЬВу)
1091. 2х2 + 3/ + х-1=0.
1093.
+ 2at
1094. о„
FyF,
ф'ф
1095.
Fy Fz
К С
*о X хуо — хоу
Г+ч.|
'отг.|р
|ФЖ
Аг
= 0.
у —У»
fy
MKiMj'i
Fz
Fy
Фу
=0.
Z
Fz
k
А
4 F*
ФА
14 4
|ФхФ;
Fy Fz
— 1 у — kx =з=0.
В С
1096.
°п
а21
°S1
А
°12
azz
°22
В
°12
azz
аг,
С
А
В
С
О
®г
1097. I) (аЛ + ^В + С)а—г‘(Аг + Вг) <0;2)«!А2 ± ЬгВг-(?>0\
3) 2ДС — рВг <0.
1098. a (by w' —czv') (byw"—czv") +
+ b (czu'— axwr) (czu"—axw") +
4- c (axv' — byu') (axv"— byu") —0.
1099.
FXt FXt
®х2
\ 4
Fx,
Фхз
А,
= 0.
1100. Fx Fy Fz
Ф* Фу фг
Ч'х ъ V,
=0.
1101. Указание. Диаметр есть поляра несобственной точки.
1102. —х,, х2 = хг, xf=x3.
1103. X + 2J?~-~5 , о П04, uw-xut=0.
€ 2х + 2у—3’ 1 2х + 2у-3
1105.
1106. 1 бх1 + Мху + 30/ -112х -172у + 196 = 0.
П07. Зх2 —6x0 + 10/—Зх —100—60=0.
У Казани е. Составить уравнение линии второго порядка,
проходящей через точку В и точки пересечения прямых АВ, DC
с прямыми AD, СЕ.
НОВ. Указание. Приняв за координатные оси прямые
параллельные осям данных линий; уравнение любой линии, про-
водящей через точки пересечения данных, запишем:
(a)1xt + n22/+...) + Z(h11x2+bM/+...) = 0.
1109. Указание. Принимаем касательную к данной линии
в данной точке за ось Оу, а нормаль в этой точке за ось
тогда уравнение имеет вид:
а, ,хг + 2а1гху + аггу‘ + 2«их=О,
406
ОТВЕТЫ
[1110
в уравнение линии, состоящей из двух катетов, х*+2Ь1гху—
тогда уравнение aI1x,4-2<71Ixt/ + “2ii/2 + 2ei»* + а22 (x*A-2btixy—у3) q
определяет линию второго порядка, состоящую из касательной и
гипотенузы. При любом значении Ь12 эти гипотенузы проходят
через одну и ту же точку (х — — . у = 0 ) .
\ ап I <*22 /
ИЮ. Указание. Для равносторонней гиперболы или пары
перпендикулярных прямых/,=0. 1
1111. Принимаем за оси координат прямые параллельные осям
линии. Тогда уравнение пучка линий принимает вид:
(а,,х* +аггуг +...) + к (btlx* + b22y2 +...) = 0.
При трех значениях к это уравнение определяет нужные пары
прямых с каноническим уравнением *
(ацХ* + а^) + к(Ь„х2 + Ь2гу*) = 0;
отсюда и следует утверждение.
1192. 2Fw*—2Fcw2 = 0.
II1S. Уравнение искомой линии
где Л—корень уравнения
К,—кА*
«21
I о, —кАС
1«п
I «21 1
«1 '
IU4. I
\ив <4
Уравнение прямой АВ имеет вид: и . „,_п
ив Т vA w
HI5. 9x*-264xf/+16^-72x~96^4-144=0- f— 2А
i'!m 2й +CW«+^+V,)‘-o. ’ V‘7’ '7)'
' ^F~l»,.x + »„(,+ <,.+ k („„Л +
ins. x-и K13=o v + w +ю__
0/1+У1) о 4-2ш = 0. 1121. d = Mix<> + tli{/t> + a>i
можно записать 2F—kw*~0
2F
кА В а„—кВг
а2 ~кВС
а,
«2
а
С
««
О,.2
«2
В
А
В
С
О
а2 — к АС
аг~кВС =0,
а —кС2
«11 «12 °,
а22 а2
°i «2 а
w2 = 0.
VA J
W4
«В vA
0.
+ а12у + ае)]2 = 0.
= 0. 1120. (х, + х2) и +
=—1. 1122. — 20н2 —
— 15«*+12н’=о 1123 ? г л * ul+vi
иге «аг.
УР« е™а"„реда„ем «>-
। У' ' 3 —— о.
= w\
3) 2kb = p.
— • !Ё\
25 ’ 25/
1143] ОТВЕТЫ
407
1129. ЗОио— 14uw — ш2=о
ИЗО. ^2+^г-^~15иь-Х4ит_^
1131. а1ЛТ1+а27’,Т1+а.Т1Т2=0
где T^xju + yjv +w (/ = 1, 2, 3).
1132. ut-u2--—— u2-u =o
“Ж
где Ul=xtu+yiv+w, u4 = x,uo + yiVo+Wo.
„ JS S"„"’«,Toporo « M.M.
1134. /'а, = /'Ч.„ /^’ = (/<V 1135. M
(a) (a~i ^ss/
1136. Если /2 , /“ —инварианты уравнения той же линии в
точечных координатах, то = bnl^\ =
1137. bltu2 -\-2bt2uv + б28о2 Ц-2blauro-|-2Ь23ош =0, где I^£0.
1138. I bt2b23 I _ I btlb131 I b12b2t 1 _q
I ЬцЬц I I I | bltbs21
1139. Уравнение искомой линии в тангенциальных координа-
тах I2uv-j-uw— vti> = 0 и в точечных координатах х2+2ху+уг +
4-24х — 24{/ +144 = 0.
//<*)
"33
1141. Уравнение линии в тангенциальных координатах
(4u + w) (—Зы+to)—1(2о +to) (—u-|-to)=0.
1
Отсюда (см. задачу 1135) хс— g(j• Ус~ 2(i—X) ил
1
Xg । У с == •
1142. Уравнение линии е' T^JeH^SXопределяеТда-
р (5и + w) w + q (4о + w) w + / (5и + + точечных координатах
лее р, q при помощи координат центр .
уравнение имеет вид:
х2 + 2х(/+ 4</2—6х—12(/+ 9 - 0.
авнение линии в тангенциальных координатах
(4о + w) (би + ш) + to (4« + 4о + w) - °-
Л Наибольшее значение
5(£_№-120{/ +144 = 0-
1143. Ур
эллипса равна л у
Х=1; Хбх^ + бху + ^Зу1
Площадь
площади при
408
ОТВЕТЫ
[1144
1144. Если рЮ(и + ш)+<7®(^+н') + <и + №Н1’+^—Урав-
нение лишш в тангенциальных координатах, то
S0 = n
----2pq г Р^1____________, Ус= — У-Т1 _
8(р 4-р 4-1)’ ’ с 2(р+<?+1) 2(р4-^+1)‘
Исключая р и q, получаем (1—2х) (1 2у) (2х + 2у !)==—J?.
1145. Уравнение линии в тангенциальных
координатах:
а12
а»
о2
v
«1
«г
а
w
заменяя в этом уравнении и, v,
чаем искомое уравнение.
1146.
to
и
V
W
О
через х.
= 0;
и — (хг + У2), полу-
«И °12 а1
Л21 °22 С2
at аг а
х—а у~Ь ~[х(х — а)-}-у(у — Ь)]
1147. Принимаем одну из вершин
аффинных координат, а стороны ОА,
осей. Определяем уравнение линии в
тах; тогда
х—а
У — Ь
— [х(х — а) + у(У~ Ь)1
I о
О треугольника за начало
ОВ за единичные векторы
тангенциальных координа-
= 0.
01
и
0 х + у — ~
х
х + у— ~ 0
х У
У
1
= / <fc> = 2 (х + ,-1)>0;
отсюда и определяем совокупность искомых точек.
1148. Окружность, центр которой совпадает с центром эллипса,
а радиус равен большой полуоси.
Указание. p2 + 2cpcos<p—b2 = 0, где р — длина перпенди-
куляра из правого фокуса на касательную к эллипсу х* + //2 +
^казание- Определить расстояния точек
Pi> В2 До прямой их -j- vy to =.0.
П50. xz/=^—_ t где 5 — площадь треугольника и со — угол
между данными прямыми; осями координат являются данные
прямые.
1151. ж* + у* .
аг+Ь2
1177]
ОТВЕТЫ
409
-1=0.
; уравие-
к одному
a-|-b
II52« (q® -|- Ь2) uv -4- buw 4- ctvw т— О г пл л к
ной точки до данных прямых. ’ ’ Расстояния от даи-
1153. Парабола. 2uu + 2uw4-2wu=(i —
пие искомой линии относительно системы координат, нХТкХ
рых совпадает с точкой О, а единичные векторы равны ОА ОВ
1154. Если y — at и «/ = «, уравнения данных прямых, то урав-
нение искомой линии будет 54
1155. Парабола: С uv sin2 со-|-(А cosco—В) uro-|-(В cos co —
— A) vw — 0.
Указание. Рассмотрим косоугольную систему координат
с началом О и осями ОД, ОВ; тогда уравнения прямых, перпен-
дикулярных к осям: xcosco + p—q = 0, x-}-i/cosw— р=0;
ние прямой АВ: Ax-pBt/+C = 0; прямые принадлежат i
W W
пучку: р =--—, <? =---
1156. Эллипс. 1157. Линия второго порядка.
1159. АВ-^. ВСCD DA =------------------------.
Иво. 5с=^. сг=?1=^. 1»1.лг=^±^.
1162. 0. 1164. BC = p+Q, CD = -<B D£=—р, £F=-p-<7-
1167. Точка пересечения медиан треугольника.
1168. Точка пересечения диагоналей. ___* _>
; „ Ь лг> АВ | Д^| + АС| ДВ|
U60. “’°- """|Ж-иЖГ'
„Л. /Гк=р. лТг~ч. Ж'-р+ч.
^=q—r, А'С—рА-Ч г- ; В4-<? .
1172. 'ВС — С—Ь, CD = d—c, DB = b—d, DM 2
1173.
1174,
1176,
3 h a+&—c
JTN=i±^!. — *s“ 2
—* tn+p ” + g 1175. fj+G—r»-
££=—2--2 ’ •
[rs (г^]Нг^ЖЕ£^^ -
x= — [ggJ2
1177.
14 С. В. Бахвалов и ДР-
410
ОТВЕТЫ
[479
1179. r=^,+2+~- ,,8°* Г~ 't *'
. г>+Хг» j, _rt Krt
1181. rt=r, + K(r,~гг), r —-1+A • r i—x *
1182. rc — rB~^rD—rA. rB,^rB — rA + rA,, rc, = rB+rD^.
4- rA.—2r4. ro. = rD—rA+rA>.
И83. г=Г| + ^- «84. {-30, 21», {0,0».
1185. a=2, y= —3.
1188. 1) c—a—b; 2) c=2a—3b; 3) c= — a.
/ 3 lib
<•»•!*« -Ш (-0.6; 0.8,„88.
1189. & = {-2. -5». 1190. 1) {3. 22, —3{; 2) {19, 39, 30|.
1191. 1) d=a+b—c; 2) d=5a+46; 3) d=4a—c.
1192. 1) Векторы a, b и с линейно независимы;
2) векторы a, b и с линейно
2
a+y&;
зависимы и с= —
i __ А ± 11
1 9’9’9/
3) векторы а, b и с линейно зависимы, но вектор с не
может быть представлен как линейная комбинация Векторов а и
Ь, так как эти последние коллинеарны между собой, а вектор с
им не коллинеарен.
1194. о=2, 0 = 3, у = 5. 1195.
119g /_ 2 , _ * ,----------’I П97. 5. 1198. 1) 20,
I Ге Кб Кб)
л
2)----«-J 3) 0; 4) 18; 5) —3. 1199. -19. 1200. cosa = 4-.
z о
Указание. Выраеить векторы, направленные по медианам тре-
угольника через векторы, направленные по его боковым сторонам.
,202‘1 ,203ж — V- 1204.0. 1205. с7/=а—1~? —.
___к а 3 3 н и е. Точка // делит гипотенузу АВ в отношении:
АИ;НВ=Х=аг;Ьг.
1207. СОг-+ _L_ f,2_ где а> ь> с_длины
сторон треугольника. ' '
векто^го наачалааНиекоица.РаЗИТЬ КЭЖДЫЙ B=KT°P Че₽е3 РадиусЫ'
12Н#*П Каз3а>лИпе'i^M.0Tp.« "РеДЬ'ДУВДУЮ задачу.
1212. х=7б3’4!2 °; 3) 1 ,2,,‘ 45°: 2) 90°; 3) 135°; 4) 180°-
1213. 1) 181, 2) 1-254, 12J. 1214. -8. 1215. 1) 31; 2) 6, 3) 0.
1245]
ОТВЕТЫ
411
212. Псо=а_|..2)а_м. K(7.
|22‘- {4’
1222. /5
4
11
5 V5J
— 1—/т
4
4 1
когда вы-
1) вектор b пер-
с коллинеарны.
1223. л=|2, 7. 3|. 1224. I) -2Кк 2)
1222. Указание. Всспольэоваться тождеством: (р-п) <с_
— a)] = [afe] + (ftc] + [ca]. 1231. с=1"У
|«|
1232. 1) {6, — 3, —3}; 2) {—12, —26, 8|; 3) {0, 0, 0|
7 1233. 18 V 2. 1234. 1) -7; 2) {-46, 29, -12}; 3) {-7,
1236. Равенство имеет место тогда и только тогда;
полнено, по крайней мере, одно из двух условий: “
пендикулярен к векторам а и с; 2) векторы а и
1237. л— Ц(6с1 + Рка]+У[о&1
abc
Указание. Отнести векторы а, Ь, с и х
прямоугольной системе координат, заменить систему трех вектор-
ных уравнений системой трех линейных уравнений с тремя неиз-
вестными (координатами искомого вектора), найти эти последние
по правилу Крамера и написать разложение искомого вектора по
трем единичным векторам осей координат. Сгруппировав в полу-
ченном разложении члены, содержащие а, р и у и принимая во
внимание выражения смешанного и векторного произведения
в координатах, получим формулу, данную в ответе.
1238. &J--, «2 ахагаг' * aia2a1
М
к какой цибуль
°la2°3
( 2 4
1239. { g * j i
ц, -4.
13 * 3 j
1241. (0, 0, 0), .. ..
(1, 0, 1), (1, 1. 0), (К I. )• 3) {_Xi 2).
1242. 1) ( —x, —У, —г)! 2) (x' y’ ’
1243. 1) (x, 0, 0); 2) (0, y, 2).-
I244. d,_r?+?. Й,= ^* + А
1245. M (— 6, - 4, 3).
*.=
(1, о, 0), (0, 1, 0), (0. о, 1). (0. 1. п.
14
412
ОТВЕТЫ
[1246
.246. у. у. у- »247* 45° или 135°-
.248. Л4,(4 У"2, 4, 4) и 44,(4 V~2, — 4, 4).
6 2,9
.249. sin <р, . sln<p,==yp sin<p3 —п .
COS a _____„ a
(250. cos at == > cos P
cosa,+cosa2
(251. cosa=-----— ------•
2 cos -y
cos 6 „
.=—:—-, cosy, = 0.
1 siny
CO-P^COSP-+COS Р»
„ <p
2 cos ~
cosv cos Yi + c0SYa ( где ф—угол между данными лучами, и
2cos-y
cos <p = cos at cos a2 + cos P( cos P2 + cos Yt cos y2.
’ cos Yt cos at I
cos y2 cos a21
sin<p ’
Icos Pt cos Yt
|COS ₽i cos Ya
1252. cosa=---------t—-----
sin <p
cos P =
I cos a, cos p, I
I cos a2 cos P21
cosy= . m
1 sin <p
, где <p—угол между данными лучами.
si«<p=
cos у, cos at
cos Yz cos a2
Pl cos Y,
₽2 COS Ya
1254. /34, /2Т. 1255. f 0,
cos a.t cos Pt 2
cos a, cos p2
.0.-1),
1257.(3,3,1), fl=3.
1258. ±-L,0
, О,
0, ±-U
•259.46 = 3, cosa=-|-, cosp = — cosy = —y-
В < ,2o60’ M5' n’ 7)1 в2<15* ~7- 7)- вИ-9, 11, 7),
•261. 6,(9, 5, 11), BJ9, 5, —j)
•262.44,(2,3,6) Л4 П90 285 570\
_ 4 49 ’ 49 ’ 49 /
•263. cos<p=£3 . 1264. 0, yy,l265.cosA = =
C0SC = nnt’ СО8С = 1зУп" |2еб- 60°- 1267. cosa = y,
1288]
ОТВЕТЫ
413
cos₽ = ±, cosY=0. 1268.S=3,5. |269.s=9 ,270.l)D(H, 4,5);
2) M (6, 3, 4); 3) arccosl; 4) 6/^ 5) 18/2? |27|. V = i50.
1272. 1) ^3, у, 2^; 2) (-30, 8, 13). 1273. (3, 0, 5).
1274. Л^у, —8, 12^, , 7_ __1з) и остальные точ-
ки деления: £>(А, —2, 2Y е(—- , 1, — з\.
1275.0(4,-5,-2), ' '
1276. 1.=!, ^ = 1. V=-Y.
1277. Данные прямые пересекаются в точке
/ 3, 5_
\ 2’2
, И
1278. Пересекает ось Ог. 1279. 3. 1280. -Y.
1282. А
cos ф— __, sin ф=—-j=z , sin 0 ——
У 5 У 5 у
В^г=3, ф=—
„ / л
С(г=5, Ф= — ~2’
1г— я
с = / 3, Ф=-Т.
6 — arcsin
8 = arcsin
О = arcsin
£fr = l, ф=^-,«=о).
1283. г = 2, со$ф= у. sin<p= у.
+ cos ф( СО5ф
sin<P=-5 •
г= — 1
//К V2 У2)
1284. ( ’-----Г’ "Т"/' .
1285. s= г arccos (cos ф, cos % cos «jcos 9> +
1286. = со5ф = у> sin<P=~. 2 =
/ r— n
В(о = 1<2, 4>=—4--
1287. Q = ^p-> ФвT’ г=
cos Ф
1288. cos a——'
я л
®=—6
6, ф—л, г—8)>
414
ОТВЕТЫ
[1289
1289. х= — к -f- 1. у=—J/'+l. г——z'4-l.
I 1 1 , , 1 1 . , 1
1290. *'+2", г = Тг+Т’
I29f. I) х = 2х'+г' + 2. у = 4х' + 4у' + г' + 1, г = *' + 4у’ +3;
1117,
2) х =—х + у—z-j-4, у =*^"х f У + ~2 2 4~ ’ г = 3х ^УЛ-
/7 \ I 1 I
4 2г-10, 3) 0^4, —10 j, е,= j- 1, — , 3J-,
<?=/1 —21, «,= /—1, 4-, 2к
— 1 1 * 4* I 9 I 2 1
1 1 1 , 1 , 1 , 1 1
1292. 1) х'=-2 • У = -4х + ~4У + ~2 г~’
г'=-1х-|у-4г + Т: 2) °- °’ ₽> = {~2’ °- >}•
-1. з), -1.1}; з>о(-|.—pl).
/11 1 I J 1 1 5l ( 1 11
2’4’ 4/’^ |2 ’ 4’ 4 ' ’ е’ |°’ 2 ’ 2 f
1293. 0(0, 0, 0), А(~ 1, 1, 1), В(1, —1, 1), С(1, 1, —1).
числа в скобках, соединенных стрелкой, суть координаты одной и
гои же точки в первой и второй системах.
1295. (О, 0, 0) w (0, 0, 0), (1, 0, 0) <-> , — 2-, -1),
(О, 1, 0) <-> f — — 1 _1> ,0 n 1 1 3\
\ 2’2’ 2 ) ’ (0, °- ^-"2 • ~~2' ~2 J ’
(1, 1, l)w(l, 1, I), (0> 1( 1( i} (1( 0>
CTnp’nvL/'^.L' Ь —О. где числа в скобках, соединенных
рой систем? Ь К00Рдииаты одной и той же точки в первой и вто-
VHClCMdX.
1МбХ' .б,,Х1+^хг + бих». х*г=ёгуХ{+ё^х2+ёг,Х», Х*г-
гДе gik = eiek, i=l, 2, 3; k=l, 2, 3.
-__ и— У’ х' у' z'
1297. X=JL
1298. х=х
~-у' ~ t 2/3 z Кб , V6 ,
3 6 ’ У 3 У 6 г ’ г— 2
1327]
ОТВЕТЫ
415
1299. х=ХЛх.__г>
2 х г >
л'
z =
1300. х =
1302. х =-----х-
/2 + |Л2+г'-
1301. X, + м,л+„1Л 01Ж. +ад.+а
+>.+V1 - +„=1,;+Ои2.,
иг2х, + х, = а81х; + аа2Х; + а
П , 2 9
5Л-Г5^+4^
2,1 2
1303. х=- ^'-у= У'-~ г', у = ± х- у^_ г,
1
r= z .
- — а> Где Сй1А = Ц)А.,
. 2 , 14 1
J 15 Х “15 " г'>
£
3
.304. «=1,.-|9. + 4г. + ,. #=_|,.Ц9._12,+г.
2 , 1 , 2 , „
г-Т*-з-«-зг +3-
130S. «=_|z_?L/+J?242. 9=-4«ч-
г^' + ь '=-Tz-7T8«'’F7?+2-
306. +
,2 2 , 2 , , 1 , ,2
+-3’ г=“з х“У^+зг + з-
1308. 2. 1309. {О, 7, 1}, {7, О, 2}, {1,
+ 2t/ + z-9 = 0; 2) х + «/-2 = 0, С
1312. Jt —2, // = 6, г——3.
1313. 14х— 10у+ЗЗг—70 = 0. 1314. х+у+г-1 =0. 1315. 27.
1316. 7х + 7«/—6г—50 = 0. 1317. 35х + 21!/-15г-10а=0.
1318. 0 = 4. & = -4, е=4- «319. х-2г=0. 1320. 5.г-6у-7г+
+ 41|32°1. х-2(/ = 0, 2х + г = 0, 4{/ + г = 0. 0'?324 2/ЙЙ
x_3“=0) ^ + 5^ = 0. «323. Зх-г = 0 х-г-=0 «324.27^^
+ J-65--O 1325. 10x4-9^+52-74 = 0. 1326. х
1327. 13х + у—20 = 0.
, -2, 0}. 1310. 1) х +
1311. 4х—11у + Зг = 0.
416
ОТВЕТЫ
[1328
I; 28. Семь плоскостей: х—г—6 = 0, « + (/—10 — 0, «+2р—
__r—8«i0, 2* + У~г—14 = 0, х — у—г — 2 = 0, 2х + 0 + г—16= 0,
Ьх + и—2г—28 = 0.
1329. х=2—б«4-4о, 0=3+6«— 2о, г=—5 + 4п.
1330. I) «= — 13, 0=13, г=—9; 2) « = 5Г’ v=~^-
1331. 1) «=—6, «=—4, г=—3; 2) u + v—1=0, u = 0.
Р«0; 3) 39« + 9и —1=0
1332. 1) х— 4у— г+ 16=0; 2) х^5у—г + 5 = 0.
1333. 1) пересекаются; 2) пересекаются; 3) параллельны;
4) пересекаются; 5) совпадают.
1334. х—2р + 4г—17 = 0.
1335. 2х + 3у + 4г— 1 = 0 « + 30+9 = 0, г—1=0.
1336. Точки А и В лежат в данной плоскости, точки D и Е—
по одну сторону от плоскости, а точки С и F— по другую сто-
рону от иее.
4
1337. (ЛВС) = дд.
1338.
A, Bt C,
A« Bt C,
A« B, Ct
0,
Д»0П +С,г0+Р3)
АЧА^о+Дг^о+С^о+Р,)
AtBi—A2B1
Д -(Tl^ + B^ + C^o + D2)
АД AtBs
АД—А3В.
А, В, Df |
где Д = At Bt Dt .
А» Bt Dt I
1339. Mxo+B0o + Czo + D) (Ахо+В0о + Сге + /?)<О.
1340. E<D<F или E>D>F. 1341. Точки D и E.
20
8342. 1) ±-p--=-p= ; 2) плоскости взаимно перпендикулярны.
1343. x+20p + 7z = 0 и x—г=0. 1344. 4х —г=0.
1345. (—2, 1, 4)
1346. 2« + 6р—4z —56=0. 1347. 3« + 2p+4z—38 = 0.
1348. 7«+p—3z=0, 1349.4, 4, 4-. 1350.—-4=.
7 7 7 3 p<21
’?+ B'B*+C>CJ + S^o + Ctz0 + DJ (Агх0 + Вгув +
1352,
1353. g.
(A,At+ B,B2 + C,C,) (A.A3+ B,Bs + CtC,) (A2At+ B2B, +
ТРИ плоскости пересекаются в точке (3, 5, 7); 2) три
ояHVKOCT" П0Г|аРно параллельны; 3) три плоскости переходят через
сечрыиоЯМУЮ’ 4' плоскости попарно пересекаются и линия пере-
61 прпи каждых двух плоскостей параллельна третьей плоскости;
„..Р и т,,етья плоскости параллельны, вторая плоскость их
1354,
с,с,ко.
1372]
ОТВЕТЫ
417
1356. 1) ранг матрицы
2) ранг матрицы
/я, В, С. од
( 42^2£*52) и равен 2;
\a>b3c3dJ
^Л.В.СД
равен 3;
\ЛаВзС8/
ЛМ>СЛ
\л’д2£2) равен
ваС2/
рангу матрицы
-п (Я, В, С.\
‘ ₽ ма,р‘"‘“ (*Ь&) Р>™ I; р»«г «„р„щ
/Я, В, DA
( Я2 В2С2 О2 ) равен 2;
\я, в3 с, DJ
4) ранг матрицы
Я, В, С, о;
я2 в2 с2 d2
Яа В, С3 Ds
Я> В) с;
Я2 В, С2
ASB3C,
равен
2, ранг матрицы
равен 3, причем ранг каждой из
матриц (я’Л£)«
Я.В.СЛ (А,ВгСг\
AtBtC3)’ \А3В3С3)
равен 2;
Я1 Bt С|
Аг В3 С3
А, В, С,
равен 3, а ранг одной из матриц (д'д'с*)*
) равен 1.
6x + 9/>-22z = 0. 1358. 20x4-19w-5г 4-41=0.
1 /Л о. с»_ < л flOCfl -Iv-Lho—.
|362.Ux +'^-2Г-1б’=0.“ |363.Ъ+4?/--г4-1=0
5) ранг матрицы
Я8 Bt Ci Dt
Аг Вг Сг D.
,Яя В2 С2 о,
равен 2, ранг матрицы
12 °2 ъ2-
Аг BtC,
АгВ,С;
«»««. ил-гЗ.-2^.-С. 1358. 20х+19{/-5г4-41=0.
ass- %+13р-ей=о.
-63 = 0. 1365. х+ 20{/ + 7г- 12=0, + *±.з~о
и 3x-f/=0. 1367. 11х+ 16// + 5г+4 = 0. 1368. 4{/-Зг 3 U.
1369. 24х + 21р—33z4-50 = 0.
1370. 16x4-50//—Зг-132 = 0 оох_29„-7г=0.
1371. 1) 10х—7г = 0; 2) 6z/-7=0; 3) ЗУх
А\ В, C2 d'2 =0 Связка будет собственной при условии
А, В, С, D,
At В4 С4 О41
/а-вс'\ „
\AtBtCj XA.B^U^
3 ^3
1357.
1372.
Аа в\ С2 О* =0 Связка будет собственной при условии
418
OlBtTH
[1373
Связка будет несобственной прн Ус£оеии
А.В^СЛ
*>(№£ <Re
\А в4с4/
ЛВ,^,
А2 В 2 C3D2
А3 В, С, D,
AtB,CtDt
Л, В, Cl Dt
Я2 B2 C2 D2
А, В, C, D,
At C4 D2
1373.
#0,
zlj B2 C2
Ш:|#о, Ж:^,
lA^BtCtl AtBtCt A.B.CJ
1374. 1) у; 2)2; 3) у.
1375. 4x— 4у + 4г —7 = 0, 10x + 6(/—4z —5 = 0.
1376. 8x + 5y - 9z — 24 = 0.
A, B2C,
1378. H = J °2 AL. 1379. L
1386. mod
A. B,C, D,
Аг B2 C2 D2
А, Вг C, Ds
А3 Вл Сл Рл
Hi Bt c, ______
A,B,C, ’ A’+‘
^2 B2 Cj
AiBiCi #0.
zlj Ct
1381. 3x + 4w—2z±29 = 0. 1382. (0, 0, 3). 1383. (0, —3, 0).
1384. 2x+(/—42+17 = 0, 2x + y—4z—25 = 0,
1385. (0, —3, 5) и
1386. 0,
98
23’ 23 '
363
375 \
23 )'
, ... “ <)•
1387. (3+ Кб1)х—4t/ + 6z —2 = 0.
S' йХГ/о)ЛтЧГ^) + п(г-г<)) ± d VV + m' + n^O.
1389. 6x + 3v + 2?-75 = 0, 6x + 3// + 2z -19 = 0.
,390‘ (“53 ’ 53’ °)’ ,39b M
S*4 + 2L2f-9 = °- P-2 = 0.
£
2-
2 _A
2 ’ 2 ’ 2
1393. 3x-4y-5^0, 387xL 164^-24z-421 =0.
— (2«-й, г. = £±2£ + ^
, 3
~y, z = — —(2x+3y — 6z+6).
,/=;2x“^+l x + 2(/—Z-I.
30 l/”c ’ 2
1395. у
1428]
ОТВЕТЫ
419
1397. х' = —L±£±£^lL .
1/~ о * У ---~г——! f 2*
» = 3+3'. «-</4,
+ Л’*0'-5г-33“». «+^ + 17-0; 2) Ь_г+5=0. 5„ +
3)я^!\',оХ»Тпр‘.гв 1’РЯ“#; 2> »»₽“’»’ -Реуголь....;
ЙХч" n04K!’H’af И DC™T на прямой, точки С и Е нет
1403а 1)х — ЗЦ-4/,//~5—3/, г = 1; 2)х4-2«4-10_о > i п
1404. 1) Их—4у4-6 = 0, г = 0, 2) 6х4-5(/—38-0 г-0 ~ ’
1405. 1)(-1; 7.5; 0). (2. 0. 3), (0? 5. 1); 2) (6,-2. 0).
\7, 0, —у]. (0. —14, 15). 1406. ;--, "»г« 0\
1407. 1) пересекаются в точке (—3, 5, —5) / лежат в пло-
скости 9х+Юу—7г—58=0; 2) скрещиваются; 3) параллельный
лежат в плоскости 5х—22р-|- 19г4-9 = 0; 4) совпадают
1408. 1) пересекаются в точке (—3, О,
3x4-4t/4-5z—11=0; 2) скрещиваются; 3)
в плоскости 4х4-3»/=0; 4) совпадают.
1409. I) совпадают, 2) параллельны
12х—3i74-8z=0, 3) скрещиваются; 4)
(10, —1, 0) и лежат в плоскости х—7р-|-Зг—17—О
1411. 1) Прямая и плоскость пересекаются в точке (0, 0, 2);
2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит в плоскости;
4) прямая и плоскость пересекаются в точке (2, 3, 1).
1412. 1) Прямая и плоскость пересекаются в точке (2, 4, 6);
2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит в плоскости.
1413. (6,-2, 6). 1414. >:=14-4/. п = — 2/, г = /.
1415. 4х 4-Зг = 0, у 4-2г 4-9 = 0.
1416. 2у — г4-2=0. х —7у4-Зг-17=0.
1417. 4x4-3// — г = 0, 13x4-2i/—8г = 0
1418. х—9.1/4-5г 4-20 = 0, х—2у—5г4-9 = 0.
1419. Числа
2^—4/—г 4-1
У—г 4-2
~7Т~ •
4) и лежат в плоскости
параллельны и лежат
и лежат в плоскости
пересекаются в точке
xs—х0 у3—//о
х,—х0 Pi Уо
Л1 Ао
I
//» — У»
Уг — Уо
т
г,— *0
г2~гв
п
х3 х9
I
У2 "У$ ^2 ^0
Уз Уо го ’
т п
г,—?0
Z1 ^0
должны быть одного знака.
1420. х-3£4-5г = 0.1421. ^ + ’9fi^ +(424.°5i+62*=0r
“ 114254At4Д2 + В,В2 4- ВД( Atl А-В^п +^n/^ff0+
1426. х = 3-/. 4/-24-/, г=ПН-
1428. l)cosa = j^. cos 0 = — jg. c0S Y~ j3 •
19 9
2) cosa = 2g. cosP^^’ coSV==25‘
420
ОТВЕТЫ
[1429
1429. (г-3). 1430. cos<p=± 1431. ф, =
' g 7 z>
ft = <P,=~. 1432. cos a^ip- cos₽=n, cosy»-.,
98
1433. cos <p= + pg •
7 9
,«*-i’±HZ6T:2)±7T7S-
1
1435. arcsin —=— . 1436. arcsin-.
F 46/62 10 /19
1437. x—z + 4 = 0, f/ = 0.
1438. 5x—13t/—12г-|-20 = 0, 2x— 2t/4-3z—5 = 0.
1439. x = x0-J-Л/, y = £/o~|-Z3/, z — zB-j-Cf.
1440.
x-3_// + 2
5 3 ’
z—4
— 7 *
1441. (7, 1, 0). 1442. (4, -1, 3). 1443. x = ~, z = ™.
1444. 4x + 5t/—2z = 0. 1445. (2, 9, 6).
1446. Такой прямой нет. 1447. 4x-|-5z = 0, 41^—-63 = 0.
1448. у—2г=0, х=3. 1449.//+2г—8 = 0, х'+2у—г + 5 = 0.
1450. х + ^ + г—1=0, х —1=0. 1451. /14.
Н52.» 2J3J/3 _
1453. x-f-3i/=0, Зх—0-Иг—12=0, й= д/—
18 Г 5 '
1454. 1) у— ; 2) 0 (прямые пересекаются); 3) у .
1455. 3. 1456. -1 -
/ 6 ’
1458. (r-J’j a’Zo^ а==0 или г== А + « (r,—r0) + v а.
1459. (г г^пхп2 — 0 или г=гв-}-ип14-г»пг,
1460. ro + a£zzZo/
ап
1461. г,4-о^~Го) &с #
1462. (г—г0) (г.—г0) а, = 0, (г—г0) (г2—г0) а2 = 0.
1463. (г—r0) a[an] = 0, rn—D. 1464. у,4--0~^ а а.
1465. 2г,—г ?_(го~~г») о
аг а<
1497]
ОТВЕТЫ
421
1466. r0 + £2Z^« .«R, D__„
0 n2 n. 1467. г0 + 2Н_Ц°2п
1468. ro + <flZ2ol£*L
(И&р^1аЬ1-
1469. r0 + 2(-^Z2»L^rnbI
• °' *WJ + °- (».»A) + D,
t™J |n,n,)- D, (л,.,)— О,(„Л).
1472.
*4 (я,л,я2) =о.
’г)-
1474.
1475.
1476.
гои = £>.
1477.
ш,—D, m2—D2
r„ni—Dl rBn2—D2
«1Л2Л8
r ДаЛЛ D—Mn
r. + o^Z22±^
an
l)an^0-, 2) an = 0; 3) ал=0, rjt * D-, 4) ол = 0,
o. , , 1) (.гг~г1) a,az £ 0; 2) (r2—r,) a,a2=0, |a,a,l 0-
) [aiO2] — 0; 4) [aiO2] = 0, |(r2—r,) a,| / 0; 5) [a,a2] = [(r2—rjaj-o’
«478. (r—ro)an = O. 1479. (r-ro)ab = O. 1480. (r-rJab=0.
1481. r—^1) [anJ=0 или n ((raj—JM)=O.
1482. (r—ro)([aM)—rva2)a=0 или (r—r0) (Af-(roa])=O.
Jf83. (r—rJaJa^J^O, (r—r2)a2 [a,a2] =0.
1484. ([ra,] —Af,) a.dj^O, ([ra2]—Af2) a,af=0.
1485. [r [n,n2J] = Dtn, -Dxnz, +[„.„j t.
I486, (r—r0) a — 0, (r—r0) (r,—r0) a = 0.
1487. (r—r0) л,л2 = 0,
1488. (r— r^a=0 и r([roa]—M) + roM =0.
1489. । РгУ?| Р‘П«~1Г|> 1И1И«1Ц . 1490. л,п2п, 0.
I I , л
1491. //,«,»/, = 0, («,«»] ^ 0, [л2л,1 / 0 О,
Dt [пл] + D2 [ nsnt ] + D, [n,nt ] ^ 0.
1492. п,л2п2 = 0, [nln2]2 + (”2n«J +ln»”il
D, [п2л2] + О2 K«.] + D, [п.и21=0 nnn^O,
1493. л,л2п, # 0, Wi3 0 «2«№ J0’ . 56
Dt (nzn,nt) + Dz + D, (ntn,n,)+D1 (п,пгпг) Ф и.
1494. гпг ftiln2] = Dtntns—Dsnlni.
|495 Dt [п2 [ntn2]]-D21.
149В. +
а2
1497. Числа (r2—r^
•— одного знака.
{«1«2р
г.) (г,-г.) а. (r.-r.) ir.-rj a. (r,-rj W-M »
ОТВЕТЫ
11498
422
- —-- = 1.
b2
х2+у2—г2 tg2 у=г2.
it
1512. х2+^ = 2рг. 1513. г = £-+£.
Z.p
12
+
2р •
У — Уо г~г0
cos р cos у
1515.
12
X—х0 у—у
cos a cos |
У
1498. r0-a +
•лао 1) 'пп 1^0; 2) [п,пг] — О; 3) [п^г] — лР2”1 — 0.
1500. 1) A S 2)<ш==0; 3)ал=0, паМ-аЮ * 0; 4) ап = 0,
"“^ЬКонус вращения. Осью вращения служит биссектриса
vr„a между положительными направлениями осей Ох и Оу. Оси
и S являются образующими конуса (так что угол в осевом
СеЧе|502Э.ТОГ° K°'l(x—fl/T(У— W + <z~cos2 ? = Кх ~с) cos а +
+ (t/-6)ccs₽ + (z-dcosY]2. 1503. —2- 7?+ 2ТГ—1 =0-
1504. хи + иг + гх^О. 1505. хг + у2 + г2— 2ху—2хг — 2?г=0.
1506. 19х2—29у2—44г2—64ху— 16xz 4- tyz— 304х 4*512// 4* 128? 4*
4-1216 = 0. 1507. 2х2+у2 + г2—2уг—2 = 0.
1508. ^4-^ = 1. 1509. ^4*^ = 1. 15Ш.
+5=>-
1511.
а2
1514.
I I 2 Zq X Хо
’ | cosy cos а
ls,6‘ ~i7^T '• l517’ J/s + zZ = (/WF-
ух2 4- у2—г ух2+у2+х
1518. x2-j-y2 = f2(2)+g2(z). 1519. x = rcos2u, у —г sin и cos и,
г = г sin и.
1520. Поверхность вращения около оси Ог; а —расстояние
точки поверхности от оси Ог и v — угол перпендикуляра из точки
поверхности на ось Ог с положительным направлением оси Ох.
та поверхность вращения пересекает плоскость Охг по линии
Z = /W. {/ = 0.
non.n^ а 3 а 11 и е’ Параметры и, о можно рассматривать как по-
ит^лл КооРДи,*аты основания Ms перпендикуляра, опущенного
точка опвёАОЛКОСТЬ °ХУ' °М* = и’ M^M=f («) При постоянном v
не зависят от сё некотсРу*° линию, вид которой и расположение
aHpa5cnvHif^n,°S Г’ ^ = Qsinu> z~и, где и —угол перпендику-
с положительным0 нёп Т°ЧКИ ПОвеРхности на ось вращения (Ог)
плоскости Оху Рулением оси Ох, и — расстояние точки от
•“Ь И, уравнИ1„я + нмодям 2аа
"=1п(* ± К?^Т):
'•={wccst>, usint,. ln(u +
1555]
ОТВЕТЫ
423
1523. Винтовая поверхность, образующие которой пересекают
ось Ог и перпендикулярны к ней; и —расстояние точек М винто-
вой поверхности от оси Ог, о —угол образующей с осью Ох, рав-
ный расстоянию точки М от плоскости Охр.
1524. Образующие этой поверхности составляют с осью вра-
щения Ог угол 45°.
1525. r = {otsinaccstot, tit sin a si» cot, tit cos a].
1526. Цилиндроид распадается на две поверхности:
(х + ?/)г + гг — 2a (х-Ц </) == 0 (эллиптический цилиндр) и г*4-г2[(х —
— у)2—2а (х + ,v)] + 4аг ху =0.
527. U+a)1
(х 4- а)1 (с* —г2) 4- ~ (х -а)2 (Ь1—
— z^j +16aV = 0.
1528. ( 1-^) (|-1 Y-£=0- 1529. а2у‘=2рг(х-а)2.
1530. уг— гг = 2рх (гиперболический параболоид). 1531. Ьгхуг =
° 1532.У[аг]г-^аг. 1533. [ar]2 ==oV’sin2 у 1534. r=vr(«).
1535. r=r(u)4-tia. 1536. r-r0 + u (r(u)—r„).
1537. [(r—r0) a]2 = [(r(u)—re) a]’.
1538. r=r («) 4-na («).
1539. r=r,+ua,+
+ ti (r2~r,~ua,—a, ^-r»+ua^(rt-r,~u(f,)at \
\ (r,4-«a,—r,)a,a, )
1540. 1) (6,-2, 3), r = 7, 2) (-4. 0, 0), r = 4; 3) (1, -2. 3),
(10 14 S \
О О О j
1ЧЛЭ ( AD BD CD У
V А2 + Вг+Сг' Аг + В'-Ь-Сг ’ Дг4-8г4-С* / '
1543. Л —внутренняя. В —внешняя, С —принадлежит сфере,
D —внешняя.
7 7 4 7 \
1544. 1) пересекает; 2) касается в точке I ~у —у у) •
3) не пересекает.
1545./(х — а) + т(у— Ь) + п(г-с)=0.1546.2х+у + 2г-13=0.
1547. х(х—х0) + у(у—уа)+г(г — г0)=0 (сфера).
1548. х24-£г4-гг4-/?х = 0 (сфера).
1549. (х—а) (х—х0) + (у~Ь)(у~ц0)+(г—с) (г—г„)=0.
1550. [х(х—хд)+у(у—Уо) + г(г~г1))12=РК*-*о)г4- (У~У»)' +
+ (z — г0)2]. 1551. бх + 2у + 3г-55 = 0
1552. (х0-а)(х- хв) 4- (у0 - Ъ) (у - у0) 4- (z0 ~с) (z~xB) = 0.
1553. x^+y^ + z.z—R^O.
1554. х24-/-рг2— Юг —9 = 0.
1555. хг4-уг + г‘ + 22х + 16у-6г = 0.
424
OTBFTU
[1556
|BB6« х’ + ^* + г*+2^ + 21^ g а-1-10—0.
1ЯЯ7, Сфера, для которой отрезок является диаметром
1338. R* (A,+B* + C,)~D*=0. Точка прикосновения:
( AR* BR* CR‘\
\~~D~’ D ’ D J'
IB59. л-‘±У*+г*—2x + fv—4 = ° и
0.
58 , 116 144 188
•"'+^~65x+ 65 65 65
1560. **+#*+(z + D*= 12 и хг + «,1+(г + 4)г=27.
x и г
1561. -гг—, = ,п--~Г = 77^777.
где ut = Atx4-B,y-j-C,z4-D,, ut= Atx-f-B2y-f-Сгг-f-Dt
l562.(x-3)2 + (#-2)* + (z-2)2=(2 (x-3) +2 (#-2)-|-(z-3)]’x
X[2(x—3)4-2(jy—2) + z—2] = x(x—3) + y (y—2) + z(z—2).
1563. x + y+ z=0,9(x*+y* + z2) = [x (x—1) +у (у—2) + z (z 4-1) ]2.
1564. x' —----—----- y'~_______z'—
1565. 2ax-i-2by-j-2cz—Ri=0.
1566. x2 + </2 + z2+f-^
R2 = 0.
1567.
. 1568.4#—5z=0. 1569.
31 31 31 \
12’ 12’ Т2Л
1572.
a—xQb—y0
I tn
1573. Iх—xi У—У,
I »i m,
^Дх-х^у-у*
I «2 ГПг
у—у, z—z}
tn,
I2
|2 + Р— УоС—г0
I т п
-L I £ ^0 а Х0 I2
Ч п I I
•г
п
р— ytz— г.
II 2:"9’ '•
z~z2x—
|2
2
2-/ l
при этом A2.
,579‘ (*° fl)2 + ko-^l+^o-c)2_</?2,
ах~Хх1Ь~^с~г1 2
. Х1У~ У, Z—Z. ==Р2
1 т п
(Ла + В5+Сс +
1580.
RiZ — z,
zn n
X---Г I»
|2
x~ xty—уг
I m
n I
1607]
ОТВЕТЫ
1581. 1) I6 — Ух С~г,
,' I т п
425
сГг,а7х,Г+|°гх,ь~^12^
ктга i * fft. \
5«?- * (х-а)+в\71м .
1583. (ж-1)4^Л)г Д+С3 ± /? F^KM
1584. 2 (г, -г2) г= __ +r, + R2 2
1585. 2 (r,~rt) r=~ +
2 (G ~г„) г= - R; + р* +
p^LC’BeK2T°P РаДикальисго центра
г*) [(Г,-гг)(r.-rj]
2(Г1-^)(Г|-Г,)(Г,-Г4) +
4- ^.-^1+^-г») [(Г,-г4) (Г,-гг)]
~27ri-G) (r-r3) (r,-r~) +
+ l(r,-r,)(r,-г,)]
2(G-rt)(rl-ra)(r,-rJ
1587. г, + a _a ^Г|~Г^ ± УRW—\a fa—r0)]2
a2
1588. (r—rI—a-~r,n ± Т?|л|\2 =
\ ___________an J
1589. 1/ ^fan-P)\ |5go.nt>D,S(-n),R=y^To:
* I л I
Rz 1
1591. r2—rn — — О (сфера). 1592. nr— R2 (плоскость).
2_z X
1593. (a2—r^)r2 + 2r0rR2—Я4=О(сфера). I594.(r-po)(ro—Qo)=O.
1595. 8x2 + 5v2 + 5z2—\xy + 8yz + 4zx +16x + 14y + 22г - 39=0.
1596. x2 + у2 + 7г2 — 16xy— 8xz-8yz + 62x + 44y-32z-11 = 0.
1597. 27 [(i— 1 )2 + (у—2)2 + (г-3)2] = 4 (2x + 2y-г-3)2.
2 .7 x + y+z\2
+ (y----з— ] +^г’
x + 2y—2г \2
1598. (x—5)2 —24 (р2 + г2) = 0.
1599. fx—
1600. [ x—x + 2^~-Y+(y~2'-------9 j '
( ,o^ + 2i/-22Y
2
= L
9
I Z -Г Z, g у
1601.8 (X2 4- Уг)-(г-6)2 = о (второй KOH усвырсткдается В точку^
1602. (10x-5j/-5z + 2)2 + (-5x + 10«/ 5г 13)2=294,
1603. 5. 1604. 6. 1605. 1) 2; 2) 4; 3) 1; 4) 2.
1606. 18z/2 + 50г2-)-75хг+ 225x-450-°.^
1607. Уравнение оси: r=r0 I r г> j v2
/ (rx
нение конуса:^ г —^)\г% r, J J г2, г2 г,
ОI ВЕТЫ
{1СОЧ
вектор произвольной точки конуса, полюс находится в вершине
конус»
тг , п‘
1609. lYllo&Ha'ilf— > 0. 2) |ог0П»—с* fabj* < 0,
3) |(afr| [ar0|j*—с* (a6p=0, |ab) 0; 4) [a&]=0,
|arj* -c*
1610. I) {(a&)‘—a*6*cos*l} {(ar0)*—a*r*cos*>.} —
— {(aftXarJ-a’fr^cos’ZpX). 2) (ro6)=O; 3) [r0&]=0. (ab)2 =
. a’b’cos’X, 4) {(a»)*—a*<»’cos*A.| {(ar0)*—o'rjcos*!}—{(a&)(ar0)—
— a* (r9b) cos* X}2 < 0, 5) (ab)l—a2b* cos* X 0, {(a&)*—
— aVcos* A.} {(ar„)* — a!r‘ cos* 1} — {(ab) (arQ) —a* (rob) cos* l}*=0
1611. (ar,)‘ < a’rj cos* X.
1612. Пересечение сферы x (x—x0) -\-y (y —y0)+z (г—z0) =0
с данным
1613.
КОН}сом
х* , </* z*
25^9^16
1616. 10г + 15у+6г—90 = 0.
л .4 , < __i «с«д —
o5+9 +16~ ’ ,e,4‘ 9+16 + 36
1. 1615. — 4- lJ
12' 9
7.2 1
1617. atAl + b2Bt + c‘Ct = D2
1618. а2А2 + ЬгВг+сгС2> D2
1619. (г* 4- и'- 4- г’)* = а2х* 4 Ьгу* 4- с*г*.
( aiA& b!BD c2CD \ А ... . .
1620.------—,-------—,------д-)* Где Д=аИ*4-Ьгб*
4-c*C*.
1621. ^4
1622.
1623.
</1</ , £i?_ /
аг ' Ьг с2 \
12x4 9</4-72г=0
?_<£—*>) , »(У—.Уо) , г(г —г0) „
а‘ + Ьг + с*
. г‘
V a* b2 + F
b2 4 о* I
Ь2
\г
j‘)=0.
Прямая, сопряженная плоскости А x 4- By 4- Cz + © = 0.
Линия пересечения состоит из двух эллипсов
r V'a8—6* , V Ь2—с2
± а |/~^_сгг + ?|,а''==0, Где k—любое дей-
ствительное чис-10 по абсолютной величине—меньшее 1.
х« yi «^инии пересечения данною эллипсоида с эллипсоидом;
a*+y* + 7«=d« 1630. См. 1629.
1624.
1626.
1627.
1628.
1631. Пара прямых
1632. 1) С (
\ с2 Ь2
1
а2 ) \ а2 с2
х~аУа2~b2t, у = 0, г = ± с Уьг—с2 t.
_____________±\ 1_р/'Вг С‘<\(Лу
Ла2 с2 )\Ь2__а2) ' \ с* Ь2'ДЬ2
) +д (Сх Az\(Ay Вх\ f 1 1 \ л
;+А \Л2~*}
1672]
ОТВЕТЫ
) (3—2р)(х—3z)—2 (3г_
x 4-(2-2 /3) «-(6-3 Hj г Л x+72lt ^~*) = O или
1633. + г/o (u~yj zotz-7) ^3)J/-(64-3кз)г=о.
а Ьг ‘----Т~^- = О
1639. х’ + ^=13г’-14г + 10
\ У), U(x+z) = 1+iz их_г = 11 ,
и (* + г) —!—.(/—две образующие, то cos6^4. (по—I)2 ’
1645.45°. 1^+wqpT)-
1646. WCCSt’+l^u2—1=с(1 Tash») ( 1/-----
= l±«sino. 1 +«sinu),c(«cosv± ]/>-!) =
1647. —x~X 9-1 г
1 — 1 1 ’ 1 —1 _(•
•®*®- x (x - *0) + У (У - У о) - г (г - z0) = 0.
1649. ху — yz—zx = 0 (конус).
1650. z2+xy—xz — yz=0. 165!. хг—9«2+4г2-10г+4 = 0
1652. (х2 + у’)(1+2г)+2г’ = 0. +
1654. 1) х—у = 0, г = 0; 2) х + «/=0, г = 0.
•655’ x(x—xo) + y(y—yo)—x(z—zQ) = O.
1657. Касаются горлового эллипса.
1658. Два однопараметрических семейства параллельных
прямых.
1659. 1660. Сфера х2 + //г + г2 = аг + 6г+Л
и /1 О D С
I? X2 f/2 22 1
1661. Уравнения полодии +?-1, ? +
где р = const.
2 .2 ,2
х г — х0 , о 1
•ee2-4=Z^T6’ ^ = °- 'ВВЗ--^ + ^+^<Е
1664. (х-хй)^2 +(у-(/о)-§- + (г-гс)^-=О.
|665. |'М^+-МЫо1+?^)]2=
Г(х-х0)г (у-уй? , (г-г0)г1 Мо £,А_Л
= -^2— +—?—H^+Z>2 7
1666 11 ( у2 п —_____L(x-6)*=0.
,6В6- 25^16 + VJ 25 Х '
1668. Сфера.
1671. Если оси Ох и Оу взаимно
х2 + ^2+Л2г’= 1, где k 0.
1672. Эллипс, гипербола, парабол , Д
перпендикулярны, то
пересекающиеся пря-
мые, две параллельные прямые.
ОТВЕТЫ
428 1’675
1675. Одпополостный гиперболоид при р * 1 и гиперболиче-
ский параболоид при Р=[
Л т ° п
1676. Плоскость ^ + —2
1678. Эллипс, гипербола, точка,
/х2 У2 г* , Д(
1680.
± 1
У»У—гЯ + 1
ь2
(везде берется или +1 или
гем.
мнимая линия.
। А_Л. + 1
Г ьг с2 ± .
= 0
-D-
/ /2 т2пг
( аг^Т2 с2
1х ту
а2' Ъ2 ё2
nz\2
=0.
а2 + Ьг с2 :
г В -2
Х<1 Уо г° I
1682. -^Г + Тг"- (3. <
И/0- х2 У2 г2
1684. 2г—а2 4--fc2 с2"
1686. Эллипсоид в случае 1>— с2, однополостный гипербо-
лоид в случае —b2 < X <—с2, двуполостный гиперболоид в слу-
чае —а2 < X < — Ъ2.
1688. Параметрические уравнения сднополостпого гипербо-
лоида:
1683. ху — Xz2 + 2pz = о, X 0>
UV -к 1 , V — и
х — а—р—, у~Ь——,
и v -f-u
двуполостного: x = acosutgo, #=bsinutgo, г —
’ cos и
1689. 1) х2 +1/*—k2z2 = ц2; 2) хг+уг + az2 + 2fixz + 2yyz 4- ам = 0,
где а<Р2 + у2, о41 < 0.
1690. 1) x2 + y2-k2z2=^~ц2; 2} x2 + y2 + uz2 + 2fixz + 2yyz +
+ а41 = 0, гдеа<р«4-у2, а44>0. ‘ Г
1693. Эллипс, парабола, точка, мнимая линия
1694. х=-~, у=~^-. 1695. ^-4-^1
G С Р ч
1697. Уравнение плоскости прикосновения:
/ х2 и2
(t+v
uv— 1
г — с —:— ;
и + v
с
1698. . £
\ Р q
1699. См. 1676.
У*
q
т2
Т
'(Л У0У
Р + <7
_ / /х ту
\Р + V
v ^ = 2+го.
р ч
\2
z —zoj = 0.
\ 2
л) =0.
1748]
ОТВРТЫ
429
парабола, две
пересекающиеся прямые,
У^. 1707. %.
с > р (')~7^-w=z-z(r
Лр
!™‘- Параболоид вращения.
1705а Гипербола,
одна прямая.
1706. х =
1708. z==—).xi/, где >7^0
1713. Гиперболический параболоид.
1716. Гипербола: ? — 7~Р , хг______
2 ’ р а ~Ч~Р (в случае р^п)-
в случае р = <7-две пересекающиеся ипямыр /
образующие). z = 0, х = у н г = 0 х — 'Рямые (прямолинейные
1720. С(1, ), -1); Х’ + Р+'2*+2ХГ-2У7^рх7 ,
1721. Прямая центров х = 1, «=< z —— /
1722. а., (х-х^+ОгИ^уУ+(гг~ '• 4W + 4XZ-l_=0.
+ ?”0X-XJ ^~^ + 2а»(Р~ус)(г-гс) + 2а„ (г-гс)(х-хс)4-
1723. X-j-Y-j-Z — O. 1724. X~Y~Z~O, {О О Р
1725. 4х— у—4г + 1=0. 1726. {О, ’ |'т27 Y-h
1728. Зх4-1=0, Зг—2 = 0. ' ’ ' чи.У-h.
1729. г = 1; 2х —3</=0. 1730. 7х 4-171/4- 19г+ 19 — 0
1731. У к аза II ис Составить уравнение конуса относительно
системы координат, оси которой совпадают с линиями касания
и прямой пересечения плоскостей.
1732. Указание. Составить уравнение поверхности относи-
тельно системы координат, осями которой являются три ребра,
исходящие из одной вершины.
1733. х—4»/ + 2г = 0. 1734. (О, 0, 1)
1735. 1) <р=135с; 2) a=p = 60J, у=4 5°.
1736. х + ^ + 2г4-5=0?_х + (-3 ± К 8) у-5±2 8=0
1737. х — у—z = 2fe(/34-(/-z), *(х—V—z>— |/ l-i/4-г
1738. х=и, и(</4-г) = —х—р-1-одиа серия и y+z=v,
vx ——х—у—0—вторая серия.
1739. н(х + г + 1) = у-х + г+2, x+z+ 1= и (р-х + г)
1740. г—1=0, x + f/-z+3=0 и *“«4-2=0. х+у 4-2 -0.
1741. х+2//—2 = 0 и х4-2у = 0. 1742. 4х-5//-2г)-2 = и
1743. xjW+2x//-2x-4{/=0.
ОЙ.' У Га4ГаТ’":=Ур»»-Х+о%й гостей аектралтох
круговых сечений огиоситглмо сигаачи координат, «кто»»
осей эллипсоида, имеет вид:
(X.-MxJ-^-^M или
/ к
^Xjxf + jT
1746. x-l==0,_x + «/-z-P=0-
1747. 2x4-3 V 2 г=9 ?2. 3 К2?
.748. х-(3 ± 2 /2). + Х = 0, где X принимает
тельные значения.
м^+^+Ф+£4]
ОТВЕТЫ
[1749
430
1750. xt 1 =0. У + 1
I7SL 1) Две плоскости у
2) две плоскости х
3) две
4) две
= 0. х + 2у — 2 = 0 и z-f-l=O. 3x4-4^ — 4—0.
= 0, у + 2г— 2=0;
г -4-За 4-2 = 0, х— 2//-f-3z— 3 = 0;
плоскости х—ху I м Z, , I
плоскости х 4-2//4-За 4-4 — 0 Зх 2₽4-z Ь —О,
плоскости x+y + z + 1—О, 5х + 4у+ ^г + 2 _0,
5) две плоскости 2х-7у + ? + 3-0. 2х 7у + z4- 1 0,
6) двойная плоскость (4x4-3^4-10^4-7) —0.
752, 1) эллипсоид; 2) одиополостный гиперболоид; 3) дву-
полостиый гиперболоид; 4) конус; 5) эллиптический параболоид;
6) гиперболический параболоид; 7) эллиптический цилиндр; 8) ги-
перболический цилиндр, 9) параболический цилиндр; 10) гипербо-
лический параболоид; И) одиополостный гиперболоид
1753. 1) гиперболический параболоид Z = 2X2—4У2 с верши-
ной , 1, у' : 2) эллиптический параболоид Z = X24-3E2 с вер-
шиной (0, 1, —2); 3) конус Х24-2Е2—3Z2 = 0 с вершиной (—!,_]
—1); 4) пара плоскостей х-\-у ± г = 0; 5) параболический цилиндр
Z2=5X; 6) параболический цилиндр Z = 2X2; 7) гиперболический
X2 Уг Z2
цилиндр Z2 — 2Х‘ = 1; 8) эллипсоид уу4- — 4- —= 1
(3, -1, 1), 9) конус X2—r24-Z2 = 0; 10) пара
*—У ± (? — I) —0; 11) однополостями гиперболоид
Z2
~lg —1 с Центром (5, 2, 3); 12) гиперболический
с центром
плоскостей
X8 Уг
Тб~ + -4
параболоид
Х2~Уг — —2Z; 13) параболический цилиндр X2—10Е = 0; 14) круг-
лый цилиндр X24-Z2 = l; 15) сфера (х—1)24-^4--|.у+ г* = .
16) круглый цилиндр (х-1)24-(г/4-|-У = у; 17) круглый конус
X 4 К — Z2 = 0; 18) пара плоскостей (2х—1) [у 2) = 0.
‘^5^* Одиополостный гиперболоид —-_~____।_____^2_____
Z2 , ,
/ 1 \— 1 > Центр f__L_____2 \
I —— ] \ 3 ’ 3 ’ "з” / ’ к°ординаты единичных
,,ов°й системы ei' = J_L __L _L
Л_ 1 I ' ’l<3, /3.
1763]
ОТВЕТЫ
431
1755. Эллиптический цилиндр _ , У2
2у + Т~1, Уравнения
оси симметрии х=/, ц —2 + 2/ ? — i ,
z j ] ---------*—вектор оси О’Х
е' ~ Г Г з ’ 7=з Уз} • °- °'У<=, о, _U.
1756. Параболический цилиндр 6Лг—2 /зР = о
(757. Две параллельные плоскости 2х~3у + г= — 1 £ /ё
1758. Эллипсоид+ центр (1 _()
1759. Двуполостный гиперболоид ------[_—____£_
5 15 25
/ 2 X
центр /О, 1, —— I
g. = / —,---, ОI , е,— / —— , -, ОI, е = {0, 0, 1}.
ei ] / 2 V 2 J г )/2 /2 / ’ ‘ '
1760. Коиус вращения Хг-)-У2—2Zl=0, вершина (1, 1, —1),
вектор, параллельный оси конуса, {2, 1, — 2j
X2 Y2
1761. Эллиптический параболоид ——р —j— = 2Z. Едииич-
2 /2 /1
ный вектор оси параболоида, направленный в сторону вогнутости,
(_L________L, (А векторы {1, 1, -2} и 11, 1, 1} параллельны
| /2’ V 2 ( ’
главным осям сечений, перпендикулярных к оси параболоида,
/ 1 19 1 X
вершина yj-
1762. Эллиптический цилиндр •у+у^1’ *’ Т0Чка На
. /1 О В —вектор параллельный оси цилиндра;
оси ! цилиндра, J1, ^_вектоРры пРараллельные главным осям
Учений, перпендикулярных к оси цилиндра. у^_^_
1763. 1) одиополостный гиперболоид —р + । 1
3" 6 2
центр О'
( 1 AV
з ’ з ’ з 7
единичные векторы осей
432
ОТВЕТЫ
[1764
1 2
2) круглый цилиндр Х’ + Уг = т, уравнения оси 5х-2у-г +
—»+г+1=0: ।
>болический цилиндр Хг—-Г'2 = у , уравнения оси цент-
- -=0. x—y + z+1—О. Направление действитель-
направление
4-5=0; х
3) гипер!
ров х + 2у—5г +1 = .
ной оси главного сечения
' ( 1
мнимой оси е.
1764.
е,
. о,
1 1
л2_____Уг
4 2
7 /14 /14
2
</=—т=; положительное направление
/14
=2Z—гиперболический
параболоид;
4
Р—7 /14’
полученной , ...
вектором {1, 2, —3}. Положительное направление оси О'Х опре
деляется вектором 14, 1, 2\. Положительное направление оси О'}'
. , „ ( 617
определяется вектором .......*
__113 1011
196 ’ 392
8Z л ' /
—-р= = 0. Вершина I
ляющие направления осей О'Х, O'Y, {2, 4, 1} и {1, —1, 2}. Век-
тор |—3, 1 2} направлен по оси параболоида в сторону оси
главного сечения с меньшим параметром (плоскость O'XZ).
1766. 1) Оси симметрии сохранятся; новые цилиндры будут
гомотетичны начальному; 2) ось симметрии сдвинется параллельно
самой себе; новый цилиндр будет подобен первоначальному.
пам *Ь*’ 1 Произойдет перенос цилиндра без изменения его
2> иапТГа’ напРавления вогнутости и направления образующих;
р вление образующих изменится, параметр изменится.
а В=± К 2 определяются из условий /,=0,
1771’у4'* ,770‘ а6 + ^ + ^ = 0.
L=i _Д аРактеристическое уравнение имеет кратный корень
1772* n*~0’ + г + —1—0—уравнения оси вращения,
опнпг ' ДВа конуса 2хг—4хт> 4- (1 ± /б) гг = 0, ось вращения
0СЬ ДРУГ0Г°
оси параболы,
в сечении поверхности плоскостью O'XZ, определяется
вершина О'
. 1765. Гиперболический параболоид 7Хг—2Уг —
183 499
784 ' 784 ’
509\
. Векторы, опреде-
ОУ/ /
Г
433
1790]
ОТВЕТЫ
I
кг '
если
т:+
I:
1773. 1) Если —©о /м <*____1
< 1 Эллипсоид; 2) если т— 1
эллиптический цилиндр; 3) если — 1 <- 1 ----
’ < т <-2'—однополостпый
гиперболоид; 4) если m= ' ко 5) 1
лестный гиперболоид; 6) если = ппа 2
плоскости; 7) если т > 1—эллипсоид Д мнимые пересекающиеся
1774. ^+и»_4Хр_21-4и + 4 = 0. 1775. а^+а^+
+aJS2! + 2fllaxz+2a2si/z + 2as2=0 (77е< fc_ ________К4
™ ЭТИ ПрЯМЫе За 0СЬ К0°РД"нат. полним /,=0
1778. Результат подстановки координат точки М в левую
часть уравнения цилиндра должен быть равен
1779. Две асимптотические плоскости.
1780. Если все соответствующие коэффициенты их уравнений,
кроме, может быть, свободных членов, пропорциональны.
1781. Если -~ + Ь—а>0, > 0, — однополостями гппербо-
3 К ’
лоид; если —а < 0, ~ < 0,—однополостиый гиперболоид;
's 'г
к к
если ~ + b— а < 0, -. * > 0,—двуполостпый гиперболоид;
‘г ‘г
~-}-Ь—а > 0, ^-<0,—двуполостный гиперболоид, если
-f-fe—о = 0 — асимптотический конус.
1782. Результат подстановки координат данной точки в левую
часть уравнения гиперболоида должен быть заключен между О
и . 1783. /S=K4=/<S=/, = O. 4/0. 1784. 1) /,= /<4=0.
/«J4/. /Ж,<0; 2) К4=0, /./, или и Рав,,ь’ д,,а
ня характеристического уравнения; 3) Л4<0, 3 а г
1785. ~ /Х* . 1786. Координаты центра эллипсоида
С К»
хчпитг ртллпиу от числа о [
1787. При изменении а по одну с р У
П „»»»«,,«». —с — * “
получим мнимые эллипсоиды 0. /,.2Е(х0. <0’
1788. - • П89. 2f (xt. у», Q-К <°
X,
434
ОТВЕТЫ
11791
179». ЗЬ-2 —*' *792- Л’2Г(х0, уй, г0)<о.
1793. d=2 «794. /. = 0, Я4<0, /^4/,
„ .-гос ху уг zx
1795. z2=±2xf/. 1796. —+—+ у-1.
1797. у2-[-г2 + у-ху—2рх—2гу = 0.
а2 _Г £2
1798. х2 + у2 + гг+—ху—2ах—2Ьу = 0.
1799. Эллиптический цилиндр (х + у — г)2 + г2 = г2.
1800. х2 + у2 — 12х— 18г/—2г + 32 = 0.
1801. хг + 2у2 + г* + 2хг—Зх — 5г = 0.
Указание. Предварительно составить уравнение парабо-
лоида относительно новей системы координат, координатная пло-
скость О'х'у' которой совпадает с плоскостью х — г—О.
1802. х! + уг+хг—уг—2гх = 0. 1803. z2 + 3xz—yz-{-6x-j-
-|-2t/ —4 = 0 и г2—2х// + 2хг — уг + 4х -f- 2у— 4 = 0.
1804. Эллиптический параболоид х2+уг—2г —1=0.
1805. х2 + 3г2—4ху + 6г—1 = 0.
1806. 1) а„гг-1-2а,2ху-1-2а1г = 0; 2) 2а,2ху -}-2а,г = 0.
Из условия принадлежности осей Ох, Оу поверхности следует,
что а„ = а, = а2 = аг2=а = 0; так как диаметр сопряжен с пло-
скостью Оху, то ais— дгз = 0. В случае параболоида а33 = 0.
1807 (х“«'+1)г , (х+У~2г)г (x + y + z-l)2
32 *' 24 3 ~~
1808. x-f-jz + z ± 1 = 0—две плоскости.
1809. Однополостный гиперболоид
4 (x + {/-f-z)2 — 3(2х—г/—г)2 + ({/—г +1)2=1
1810* x2 + y2 + (i^-m2)z1 —
1811. Х1 + 1Л
а2^Ьг
У*
+ р~1> г —0 —уравнение данного эллипса н (а, р, у), (а, р,— у)
а2_р2
а2 Ь2
2lxz — 2туг + 2а3г—г2 = 0, о3
₽V
^ = 0, если
#0.
Xs
а> +
— координаты данных точек, симметричных относительно плос-
кости данного эллипса.
+ Поверхность второго порядка {x-a)Fx + (y-b)Fy +
ности. 1813. 4x2+^-2f*=iУ’ z) = °—уравнение данной поверх-
1814.
ап
Й21
QS1
а,
о12
^22
«22
«2
У
е.
«и
а2,
«33
«2
Z
альных координатаЗаПИСаТЬ уравнение поверхности в тангенци-
— (х2
аг
°з
а
= 0.
У к а з а н и
х
У
z
О
1828 J
ОТВЕТЫ
433
1815.fe’x2—+ ,, ,
1817. x* + {/* + 2z2—г«=о где г пЯ ,8,B* kxV + (*’ +1) cz - n
1818. р« + г> = 2рх. Де '-Pawyc Дачной окруЦ™
1819. Указание. I, т п~кооол
тора главного направления определяются "3“ системыГЮЩеГ° ВеК'
(an —X) f+al2m + alsn —/fl-о.
аг J + (С21—X) т + aisn — В Р = 0.
a.J + aBlm + (a8S—X) n-Cp=0.'
•A/ + 6m~|-Cn = 0,
где X — корень уравнения
an X a(i al8 Л
a2i у и — X a,s В
°ji азг °s» — X С
А В С 0
1820. 4х — 3{/—5г-{-4 = 0. Плоскость, параллельная плоскости
искомой параболы и проходящая через начало координат, имеет
с конусом две совпадающие образующие.
1821. 2х + у 4-2 + X(i/+z)=0 при Х<——•
1822. Определить взаимно перпендикулярные асимптотические
направления; х —2 ± /7)(2х—г)=0.
1823. Параметр параболы р=-|== .уравнения оси параболы
2f/ + l=0. х + р + г-1=0, вершина вектор оси
равленный в сторону ее вогнутости, {1, 0, -1}
Vi । V»__1=0, центр совпадаете
>• [2 % ' -12
системы координат, главные "а"Ра"л*и.ия-
Ji<33 4-I5, — 12—4/33, —184-2 И ЗЗЬ
(-154- /ЗЗ, 12- 4 / 33, 184-2 /33}.
’ ж_з+,.,= з+(..=|+г«“-^ °-
О—парабола На-
поверхностей^вы.
;0 Ka = 0.
!± /Зхг-J/z-1-» цилиндр проходи’
—а =0; так как е цилиндра
Ч 1 1 =0, г = 0, т° УР0 дта поверхность
через +,2i*s"+l*ВУМ 0КРуЖНОСТЯМ'
имеет вид \+ ^epOg хг + Уг+г 1
параболы, пап
27- КЗЗ
1824.
началом <
оси ОХ'
оси OY:
1825. S/-4
1827. --^-₽’44-2Y + X-R,==0’a =
писать УРВ1|^"е
ГолКлис? условия /« = ^54^°’Д‘1=1о. Из условий /,
1828. **4-/4 г^о -о,^0; таК КЭК '
следует, ats—atl — агз~ ’ , г = о, то
чере, ««Py“SJ,+ f
имеет вид х । У .
пересекается со .
ОТВЕТЫ
nw
43Ь
1 1ЯЯОм /?==!-—7 * ^831« /7 — ' 7== •
ИМ.* '• »"ГЗ Г 2 /2
ВгЬ* + Сгс*. то в сечении —действитель-
1832. Если U то две мнимые пересека-
ний «липе. если g л«а»4.В’Ь2 + С2с2, то мнимый эллипс,
ющиеся прямые, если то в сечении_эллипс, если
1838. Если ^f^?ct^A2a2—B2b2^0, то гипербола; если
cV< «а.1д«ь« то две пересекаю-
С»с*<А2а2 В ь’‘^Л(лжА,а2 + ВгЬ2 и D # 0, то парабола, если
ииеся Р.₽?Тдал» О 0 то две параллельные прямые
CVm34 По ги^боле 1835. По эллипсу. 1836. Если С2с2>
*® „.It rv^rtc*—A2a2—B2b2, то в сечении —мнимым эллипс;
>л,в1+Д?л&+В2Ь2 D2>C2c2—A2a2—B2b2, то действительный
если С*с*> А!? + A2~t b4jz D2~C2c?—A2a2—B2b2, то две мни-
эллипс, если С^> лае’сли с^~А2а2-В2Ь2 < 0, то гипер-
ft^a"eS CV=^fl! + W 0 5*0, то парабола, если C2c*=
° а» « 1 R*b2 D = 0 то две мнимые параллельные прямые.
“ 1837. Если С* 0, 2DC> B2q + A2p, то миимый эллипс; если
г 2DC = B2q + A2p, то две мнимые пересекающиеся прямые;
«•ЛИ С^О 2DC < B2q+ А2р, то эллипс; если С — 0, то парабола.
1838. Если С 5^0, 2DC -A—qB2+pA2, то гипербола; если
С^0, 2DC=—qB2 + pA2, то две пересекающиеся прямые;
с—0, qB*—pA2 ^0, то парабола; если С = 0, qB2—pA2=0,
то две совпавшие прямые.
1839. Эллипс, если CV > А2аг+B2b2, D^Q\ гипербола, если
€*£* < А2а2 + ВгЬ2, D # 0, две пересекающиеся прямые, если С2с2<
< Ага*+В2Ь\ D=0, две мнимые пересекающиеся прямые, если
CV >A2a2-}-B2b2, D=0, парабола, если С2(А — А2а2 -j- B2b2, D # 0,
две совпадающие прямые, если С2с2= A2a2-^B2b2, D — 0.
iazn с^а*—b2 аУ^Ь2 — с2 , , ас п , .
1840. г -_==х ± —5=-^—z-pl -т=0, где X < 1.
ьУаг— с2 ьУа2—с2 b _
л = 0, где
Р 2
1841. ±
2 + (Р—<?) |
PZ^y + z4-/.(p — q)—0,
ч ______ z
b2y ± Ыгаг + с2г + Х = 0 при любом значении ?..
Ьс
2 + Х — = 0, где | X | > 1-
^Ьгу ± i>/a2-J-t?z + O = 0, где D * 0.
ПЛлл —-----—- -
или ±
1842. с
1843. ,
- z, и- - г - т-v 4-гь> = и, где LI V.
1843. По двум параллельным прямолинейным образующим.
1846. Указание. Определить /2 Для плоского сечения.
1847. | а„ alt а, а, Л |
°2|
ач
А
а12
4Zj
В
аг
а,
С
««
а»
а
D
В
С
Ь
0
= 0.
t
1859J
ОТВЕТЫ
1848. Сечения существуют, если уравнение 1 1
Допускает решения А, В такие, что А*+В« ~а*
1849. Средняя Полуось Ь. ~ ь
1850. Если vnan
агГ6> ji-1 Уравнение одиополостного гипео
болоида и а>г,. то R а если ь>а,
1851. ПЛОСКОСТЬ Ax-t-By-}-Cz-^-D = O ДгЦ-nz 1 рг 1
кает гиперболический папабопоип ™ +с 3=1 Рассе-
если С *6,
1852. Плоскости Ax-l-By + Cz-4-D—O
виями. « + ^ + Сг + £>-0 определяются усло-
Аг + В2 + Сг=1, (Ус2 <A2a2 + B2b2, D2 + C2^—AI^—E2b2jtG,
A*(j~2~y) +B2(i~^)+C2(? + ^)=°-
Решение возможно, если Ь>с или а>с.
1853. Указание. Принять плоскость, содержащую линию
второго порядка пересечения поверхности, за плоскость Оху.
1854. Указание. Если линии принадлежат одной поверх-
ности, то две точки пересечения общей прямой плоскости
с поверхностью будут принадлежать каждой из двух данных ли-
ний. Если две линии имеют общие точки, то докажем принадлеж-
ность этих линий одной поверхности второго порядка, составив
уравнение линий относительно системы координат, две координат-
ные плоскости которой есть данные плоскости.
!855. Указание. Принять плоскости этих линий за коор-
динатные плоскости.
1856. Указание. Доказательство необходимости: пусть А и
В—матрицы квадратичных форм данных поверхностей; существует
ортогональное преобразование, приводящее матрицы квадратичных
форм обеих поверхностей к диагональной форме /. и р если С —
матрица преобразования, то С_,ЯС = л. С ВС=р; °т‘:юДа АВ~
= С?.иС~\ ВА — Си'/.С~', ио Хр = рХ. поэтому АВ — ВА.
1857. Указание Если оба сечения nP°X0£” чер<* асатель.
раболоида, то, принимая их за плоскости ОХ • < у получим
ную плоскость в вершине параболоида за пл
уравнение 2г = апх2+ %алгху + а^у2- Отсюда pf+p2 0,1 22 ’
1858. Пересечение поверхности четвертого порядка
+ +^ + ^+2^=°
° Лппоила и будет искомым
с поверхностью однополостного гипер аллельиые касате >ным
геометрическим .местом. Плоско , есесекают одиополостный
плоскостям в точках этой кривой пересек
гиперболоид но равиосторонни Я1 e2 — {k> ,п» Л*Ь
1859. Указание. Если направлениям парабо-
единичные векторы, параллельны ичеСКой системе координ
лоида, а X, У, 2-координаты в каиони
ОТВЕТЫ
[1861
438
То + + r2(l*Fx + m»Fy + n^F^3 ~ 2В —
___L 1Х,(1,х + may + rti2) + l'a' + '",°2 + n>a^* ~~}~^liX+
+ mu + п2г) + /2а, + 'Vb + пАР= 2aiz> т- e- Равно линейной
лСмкпии от x и, г. Исключая из этого выражения слагаемые, содер-
шяшие вторые степени координат, получаем нужное выражение.
1861* Указание. Принять за ось Oz системы координат об-
разующую линейчатой поверхности.
1862. tg <р„2 = 1 ' ПЛОСКОСТИ CWT пер-
пеидикулярны при условии 6г(аг-|-с*)—-2а с2=0.
1863 tPffi - ,2^К(п2 + с2)(а2-^)
1863. tg<pl(2 ± а2Ь2—а2с2 + 2Ь2с2
прямые будут перпендикулярны, если а2Ь2—аг(? -\-2Ь2с2 — 0.
1864.
а Bl С,
р вг cs
Р, + Хаг + рР2 В, С,
Л1 В, С\
л2 в2 с2
At вг cs
At a C,
a2 ₽ c2
А, Р3 + 1аг + нР2 c8
Л, Bj Ct
Аг Bt сг
A9 B9 C9
J
Л, В, a
Л2 B2 p
Л8 В3 Р3 + Хаг+рРг
Л2 В] С, I
Л2 В2 С2 I
Л8 В3 С3 I
где g-WHW.l
^[NtNt\2 ’
= {Л/, Ву, С,} Ц=1, 2, 3).
PW [TV
2|л[ЗДР
причем Nj —
I865. 2x2-6z’=1-2B2,j = 0. Если R ф -^=, то гипербола;
если R_ ^г_, то две прямые. 1867. x' = x-(-z, y' = y-\-z, г' = г.
Гото'. х'’Д дГс’г ’®69‘f/==C,,A’; У'=с2гУ^ г'=саъг.
1871. х'= с хх.7 ’ У 7у+Сг«2’ г ~спг-
“г’ “ *'“Y+cf+% 2
. 2 } s ~х+V-r+y;
зЧ»+|г+т-
•873.х'=2х и'~9, 3,
+ £г«2У’ + а38г24-(а , 2 ~х+у + г. 1874. Конус апх* +
1876. 1) {-6 6^ 1!1,)Х%+(г(а”1+а’’)д:2 + (аг» + а«)Уг = 0-
1887]
ОТВЕТЫ
439
1876. Три попарно ортогональных вектора е _] ц
1 ’ °’ Л»=2 в направлении векторов е е е и
отражение от плоскости, коллинеарной векторам /. е'. *’ ’
пр™»-, »»™р"«««»»
(Си — l)a + c12b+CljC=o, сг1а + (с22-1) Ь+сис-0,
csl“+c12b + (cM— 1)с=0.
COS ф = С|1 4~c,t4~C,t 1
2
(с« — c2S) “ 4- (с„ —cls) b 4 (сн —с,г) с > 0.
е = {— 1, —2, 0}, с05ф=-?-.
и
и е См. задачу 1877.
ХЧК^+^Г-
1 ... 1 .
х' = [а2 (1 —cos ф) + cos ф] х + [ab (1 —cos ф) — с sin ф] */ 4-
у' =[ab (1— cos ф) 4-с slri ф]х-(-(Лг (1 —
г'=[«с(1—со8ф) —
—cos ф) + a sin ф[ у 4- [с2 (1 —cos ф) 4- cos ф[ г или
в век.ирпип .-=гс05ф4-К1«пф4;е(еИ(1-С08ф), где
Г—1Х п г]—произвольный вектор, f— {х , у, г }—ею обргл н
е=Ла, Ь, с\___направляющий вектор неподвижной прямой, окре
деляющий направление вращения.
аяяЯ 13 (__2*1:Н0), 2) (1.2*.—6:0).
IMU Плоскость проходит через вершину координатного
О il*0 0*0) 2) плоскость проходит через ребро коорди-
тетраэдра О, (l-O-U-y). 0 3) „,ЮСКОсть совпадаете
натного тетраэдра OtO2.x,-U. х, и.
I ранью координатного тетраэдра , « ^ ’ (Ь.:Ь.*Ь,*Ь«). пока-
(886. Да НЫАВе.J04/”; -Ь^Ь^Ь^Й'то обеЧо-жи совпадают,
зать, что 1) если 1 „пЯмая соединяющая точки А и В.
2) если а1:аг:а!— b,:b,. ,, Рдииатиого тетраэдра 04(0*0.0 1).
проходит чер«ь соединяющая точки А и В. пере-
секТет ребро координатного тетраэдра ж,-0, х.
1878.
1879.
1880.
У к a з a ii
(831.
z'==_^.x-^-y4- —г.
1882.
+ [ас(1— cos ф) + 6 мпф] г, i . .
—cos ф) + cos ф] у + [ be (1 — cos ф)—a sin ф] г,
— 6 51Пф]х + [М1 - 7.‘ '
в векторной форме г* =
1887.
1)
О, "г
Ь)
а, и.
Ь, ь.
аг а3
Ь3 К
а» а<
Ь, ь.
= 0, 2)
«I
V1,
и.
",
Vs
“г
u'
и,
v>.
",
v‘
Ut
V,
llt
v'.
=0,
3) («iai + ы»а»
t'« °2 ’ ‘
? uta\ + (сф +ЙЙ
440
ОТВЕТЫ
[1888
(888. Зх, 4-11х14-2л-4 = 0, 7х,4- 17х2 —17х2—х4 = 0.
1889. х1 = 8а + 45р, х2=27а—360, х,== — 20а + 30₽, х.^
м— 1ба4“5р» , ,
1890. л, = ОцХ, 4-п12х2, х2 = о21х, 4- а|2х2, хг = assxs 4- а24х4,
X 4 = W: 4" auxf
1891. x'=Xx„ х' = Лх2, x' = px„ x' = px4.
1892. Xj = U)8X2 4* X2 &23X3 4* ^24X4> ~ @3lXl + ^32X2I
x4 — otlxt 4" ^4ix2- ,
1893. Xj — G|2X2 4~ ^13X3 4“ ^14^4» X2~ ^21X1 4~ ^2 8X3 4~ ^24X4,
Х, = Яз1Х1 4*а32Л2 4" а24Л4» ^4 a41"' l 4" Й4?Хг 4" QjjXj.
1894. x' = xt4-x,4-xlr x'=xi4-x,4-x4i x' = x, +xs4-x4,
x4 = x, -f-Xg-j-Xf.
1895. aMXj 4- aMx4 4- 2aI2x,x2 4- 2a34x4x, = 0.
1896. Линия второго порядка, лежащая в плоскости, прохо-
дящей через данную точку и поляру точки пересечения данной
прямей с плоскостью данной кривой относительно этой кривой.
1897. Отнесем поверхность к автополярному тетраэдру, две
вершины которого О, (1:0:0:0) и 02(0:1:0:0) совпадают с верши-
нами конусов; тогда уравнение поверхности будет иметь вид:
llXj 4- ^2xl + ^3XJ 4- s= 0,
а уравнения конусов соответственно будут:
Х2х| 4" ^з*з 4* ^4х4 = 0, X,Xj 4- ^-зхз 4* ^4х4 = 0.
Вычитая одно уравнение из другого, получим: Х,х'—=
— 0— уравнение пары плоскостей, в которых и лежат линии пе-
ресечения конусов.
1898.
a\F x^AdzF Xz-\-at¥ Х4 f>tFx b2FXiA-bsFXtA Ь4РХ1 l_g_
OjO*, 4- оаФХ2 4- а,ФЖз 4- а4ФХ4 6гФх, 4 62ФХ2 4- 68ФХ, 4- b4ФХ4 I
1899. X‘.y:2tt=
Fy, FZl
= Фу. Фг.
•— Фх,
1901. F^f2^2FzFr = 0 и плоскость Fz==0; для второго се-
нейства прямолинейных образующих получаем ту же поверхность.
Ft,
Ф(.
Фу.
¥
’ y>
Fzt
Фг,
w
* Zi
Fgt Fh
%
1900.
Фх.
Vx,
Fy
Фу
By
Fh FXi
Ф6 Ф-.
Г* 'T*
F2 Ft
xv't
C D
J ^Х. 4 Vi
w, i/1
*11 * Xl *yi
Pz Ft
Фг Ф* -o
Uf W —