PHANOMENOLOGIE
HERMENEUTIK
SPRACHPHILOSOPHIE

ФЕНОМЕНОЛОГИЯ
ГЕРМЕНЕВТИКА
ФИЛОСОФИЯ ЯЗЫКА
РЕДАКЦИОННЫЙ. СОВЕТ СЕРИИ:
АНАШВИЛИ В. В., МИХАЙЛОВ И. Α.,
НИКИФОРОВ О. В., ЧУБАРОВ И. М.
ХУДОЖЕСТВЕННОЕ ОФОРМЛЕНИЕ СЕРИИ
БОНДАРЕНКО А. Л.
ПОДГОТОВКА ОРИГИНАЛ-МАКЕТА СЕРИИ:
РЕДАКЦИОННО-ИЗДАТЕЛЬСКАЯ
ГРУППА «ЛОГОС».

ЛЮДВИГ ВИТГЕНШТЕЙН
ФИЛОСОФСКИЕ РАБОТЫ
(ЧАСТЬ II, КНИГА 1)
МОСКВА
«ГНОЗИС»
1994

ББК 87.3 (4А)
В 15
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
КОЗЛОВОЙ М. С, АСЕЕВА Ю. А.
ХУДОЖЕСТВЕННОЕ ОФОРМЛЕНИЕ
БОНДАРЕНКО А. Л.
ПОДГОТОВКА ОРИГИНАЛ-МАКЕТА:
РЕДАКЦИОННО-ИЗДАТЕЛЬСКАЯ
ГРУППА «ЛОГОС».
ФЕДЕРАЛЬНАЯ ПРОГРАММА КНИГОИЗДАНИЯ РОССИИ
Витгенштейн Л.
В 15 Философские работы. Часть II. Пер. с нем. / Вступ. статья
М. С. Козловой. Перевод М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Издательство
«Гнозис», 1994.
ISBN 5-7333-0468-5
© Козлова MC. Перевод, вступ. статья.
© Бондаренко А. Л. Художественное оформление серии-
© Журнал «Логос» (Москва). Серия «Феноменология, Герменевтика, Фило-
софия языка»

Μ. Козлова. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
(К публикации заметок Л. Витгенштейна)
VII
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
1
ПРИМЕЧАНИЯ
207

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
(К публикации заметок Л. Витгенштейна)
1. От математики к философии. Начало пути. 2. Из истории математики. Поиск ос-
нований. 3. Математика и символическая логика. 4. Кризис логических основ мате-
матики. 5. Программы обоснования математики. Позиция Витгенштейна. 6. «Начало
начал». Взгляд на противоречие.
От математики к философии. Начало пути.
В философию можно прийти разными путями. Один из них с давних пор
проходит через математику. Философские идеи тесно сплетались с математи-
ческой мыслью у пифагорейцев и элеатов, у ПлАТона, ДЕКАРта и др. Основа-
тельно исследовали природу математики с разных философских позиций
Кант и Д.С. Милль. К концу XIX — началу XX вв. по ряду причин нарасти
ет философская «напряженность» внутри самой математики, и ее творцы во-
лей-неволей втягиваются в самое серьезное философствование. Некоторым
из математиков суждено было стать великими философами. В их числе Эд
мунд Гуссерль и Бертран Рассел — создатели двух крупнейших направлений
философской мысли XX в.: феноменологии и аналитической философии.
Интерес к математике и проблемам ее логических основ привел в филосо-
фию и одного из самых влиятельных и оригинальных мыслителей столе-
тия — Людвига ВитгЕнштЕйна (1889-1951).
Дело было так. Сначала Витгенштейн вовсе не помышлял посвятить себя фи-
лософии. Он избрал своей профессией инженерное дело, закончил техничес-
кую школу в Шарлоттенбурге (под Берлином) и с 1908 года завершал обра-
зование в одном из технических университетов Великобритании (Манчес-
тер). Здесь молодой исследователь-конструктор из Австрии занимался воз-
душными змеями, затем двигателем для реактивных самолетов и, наконец,
пропеллером. Ему была уготована карьера в одной из самых перспективных
отраслей техники. Но случилось иначе: расчет пропеллера был по сути слож-
ной математической задачей, и вскоре интерес к самой математике, ее тео-
VII

Μ. С. Козлова
ретическим проблемам, взял верх. А в ту пору в этой солидной и почтенной
науке шла напряженная и увлекательная работа: изучались ее логические и
философские основания, искался выход из парадоксов, выявленных в самом
ее «фундаменте». Весьма авторитетными исследователями в области логики и
оснований математики были в то время Фреге и Рассел. Витгенштейну попала
в руки РАССЕЛОвская работа Принципы математики (1903), и обсуждаемые
в ней проблемы захватили его. Вскоре созрело решение: целиком посвятить
себя увлекшему его делу. Витгенштейн обратился за советом к Фреге (навес-
тив его в Иенне), и тот посоветовал ему пройти школу логики и философии
математики у РАссЕла. Шел 1911 год, будущему философу было 22 года. Че-
рез семь лет он уже завершит свой Логико-философский трактат, кото-
рый войдет в число наиболее известных философских произведений века. А
пока что ему еще лишь предстояло войти в сложный мир философии 1. Про-
фессиональное становление ВитгЕнштЕйна -философа оказалось тесно связан-
ным с Англией. Здесь студентом Тринити-колледжа (Кембридж) он с честью
прошел недолгое, но весьма плодотворное ученичество у РАССЕла и, отталки-
ваясь от его идей, вскоре приступил к созданию собственной логико-фило-
софской концепции. Наиболее продуктивным стал 1913 год. Уединившись
для работы в безлюдном местечке на берегу фиорда в Норвегии, ученик чуть
ли не каждый день сообщал учителю о своих новых результатах. Решаемые
проблемы владели всем его существом, он пребывал в творческом экстазе.
Так рождалась концепция знаменитого Логико-философского трактата. В
1914 году — к моменту ухода Виттенштейня на фронт — она была уже в
принципе выстроена и представлена в основных позициях на суд Расселы.
Быстрое и блистательное вхождение ВитгЕнштЕйна в математическую логику и
философию едва ли можно объяснить лишь его необычайной увлеченностью
вкупе с толковостью или даже одаренностью 2. Исключительно большое зна-
чение имел, конечно, и творческий импульс, сообщенный ему двумя светила
ми философии математики и логики. В предисловии к Логико-философско-
му трактату Витгенштейн напишет: «...Великолепным трудам Фреге и ра-
ботам моего друга г-на Бертраня Рассели я обязан тем, что они в значитель-
ной мере стимулировали мою мысль». Известно, что мысли Витгенштейня, от-
носящиеся еще к 1913 году, оказали определенное влияние на РАССЕЛовскую
доктрину «логического атомизма». Но куда более весомым и существенным,
конечно же, был импульс, до того сообщенный зрелым Расселом начинающе-
му Витгенштейну. Интеллектуальная биография ВитгЕнштЕйна, его путь от
математики и логики к философии, в известном смысле включает в себя — в
снятом ииде — пережитое, наработанное и теоретически осмысленное Рассе-
лом. Одно очень трудно понять без другого. Наиболее ощутимо постоянное
присутствие Расселя в мыслях ВитгЕнштЕйна о природе логики и философии
математики. Потому нелишне сказать несколько слов о РлссЕле.
VIII

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
Основными сферами деятельности РдссЕла были математика и логика. Самые
продуктивные годы жизни были отданы исследованию логических оснований
математики. Его наиболее серьезные и устойчивые философские интересы
также были прежде всего связаны с философией математики и символичес-
кой логики. На той же почве впоследствии окреп его более широкий интерес
к теории познания вообще 3, Лишь в возрасте сорока лет, после почти двад-
цатилетней напряженной работы над математикой и логикой, Рассел обра-
тился — так говорит он сам — к более легким философским проблемам.
Математика занимала важнейшее место в интеллектуальном развитии и
творчестве Рассел а. Он вспоминал, что в юности большую часть своего вре-
мени отдавал математике, и что она в огромной степени определила основ-
ные сюжеты и сам характер его философского мышления. В Автобиогра-
фии Рассел подчеркнул, какое сильное впечатление произвели на него в воз-
расте двенадцати лет Начала Эвклида, а позже факт открытия неэвклидовых
геометрий. Математика представлялась ему наиболее важным и самым до-
бротным видом знания. Он был убежден в ее исключительной роли в общем
комплексе человеческой культуры. Со строгостью доказательностью и мате-
матического знания связывались надежды на общий интеллектуальный про-
гресс: «Я надеялся рано или поздно прийти к усовершенствованной матема-
тике, которая бы не оставляла никакого места сомнению, и, идя от матема-
тики, шаг за шагом расширять сферу достоверности на другие науки» 4. Неу-
дивительно, что Рассел поступил на математический факультет в Кембридже
(1890), где получил необходимую профессиональную подготовку.
Со студенческих лет живой интерес вызывала у РлссЕла и философия. До по-
ступления на математический факультет он специально ею не занимался и
из философских работ прочитал только Систему логики Д.С. Милля, напи-
санную в духе радикального эмпиризма 5. Естественно, что для философских
настроений раннего РлссЕла станет характерным сильное тяготение к тради-
ционному британскому эмпиризму. Но на четвертом году обучения (1894) б
будущий ученый отдается прежде незнакомой ему «экзотической» философии
неогегельянства, воцарившейся в те годы в университетах Англии. На какое-
то время Рассел, по его собственным словам, погружается в фантастический
мир философии немецкого идеализма, делается его приверженцем. Он изу-
чает Лог ику Брэдли и Логику БозАНКЕта, работу Брэдли Видимость и реаль-
ность* испытывает большое влияние МАкТлггАРта. Рассел признавался, что
его грубый эмпиризм не устоял перед философской изощренностью неогеге-
льянства, и что он стал полукантианцем-полугегельянцем 7. Философские по-
зиции тех лет во многом определили характер первых работ Расселэ по фи-
лософии математики.
В его диссертации (на звание члена Совета колледжа) — Основания гео-
метрии Эвклида 8 значительное внимание было уделено действию эвклидо-
IX

Μ. С. Козлова
вой геометрии на клнтовскую трансцендентальную эстетику. РлссЕловская те-
ория геометрии тех лет была кАНТианской, и ее результаты были опровергну-
ты Эйнштейном. Впоследствии о своей первой книге по геометрии, а также о
другой работе Отношение числа и количества (навеянной гегелевской диа-
лектикой) сам Рассел отзывался резко отрицательно. Он самокритично от-
верг также свои размышления тех лет по физике: все написанное мной в
1896-1898 гг. по философии физики представляется мне бессмыслицей. При
этом Рассел понимал, что крах его работ предопределили увлекшие его идеа-
листические философские спекуляции. В их бесплодности применительно к
науке он убедился на собственном опыте. Глубоко разочарованный в своей
прежней ориентации, он переходит к ее острой критике. Переломным в сво-
ей эволюции Рассел считал 1898 год. когда, по его словам, он вместе с Му
ром поднял бунт против Кднта и Гегели« В последующие два года, к рубежу
столетий, Рассел приходит к основным идеям своей последующей философии
и к новой логике.
Чувство освобождения от пут идеалистической спекуляции (уходящей корня-
ми в платонизм), Рассел сравнивал с выходом из душного помещения на све-
жий воздух. Умудренный опытом, он вновь возвращается «на круги своя» —
к настроениям эмпиризма и атомизма (элементаризма). Уже осознанное,
выстраданное, принятие юмистско-позитивистских взглядов на природу по-
знания Рассел считал решающим пунктом своего философского развития,
«революцией», по сравнению с которой все последующие изменения позиций
выступят лишь как «эволюция». Причем, мощное подкрепление (так ему
представлялось) традиционной для Великобритании, но по-своему новой для
него самого, философской платформы он обнаружил в идеях и методах ус-
пешно развивавшейся в это время математической логики.
К. моменту приезда ВитгЕнштЕйна в Кембридж Рассел уже находился в апогее
творчества, его результаты в области оснований математики и новой логики
были впечатляющими и владели умами специалистов. И неудивительно, что
они по-настоящему увлекли ВитгенштЕйна. Трактат во многом — плод со-
трудничества с Расселом, и, хотя ученик в целом проявил большую самостоя-
тельность, в трактовке математики и логики их позиции были еще во многом
П.ШЗКИ {).
Дли понимания вопросов логики и философии математики, волновавших
ВитгЕнштЕйна. необходимо также представлять себе, хотя бы в общих чер-
тах, время и контекст того научного поиска, что вызвал их к жизни и при-
дал им особый смысл. Существенно, что Витгенштейн включился в логичес-
кую проблематику века в «роковое время» ее небывалой актуальности. Ва-
жен был также долгий путь исканий, уже пройденный к тому времени твор-
цами теоретической математики, повой логики и аналитической философии,
безусловно, сыграл свою роль и выбор) наставников: освоив мысли Фреге и
X

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
учение Расселэ, Витгенштейн оказался в «точке роста» новых идей. Что же
происходило в это время в математике? Почему стали остро актуальными
проблемы логики? Отчего математические сюжеты так тесно переплелись с
решением собственно философских задач? Чтобы обрисовать (напомнить чи-
тателю) проблемную ситуацию в математике тех лет, воспроизведем в об-
щих чертах ее основные события и предысторию.
Из истории математики. Поиск оснований.
XIX век. Теоретизация математики. Математика XVII—XVIII столетий, в ос-
новном, разрабатывала методы решения различных задач естествознания.
Главным из великих творений в области прикладной математики было изоб-
ретение анализа (или анализа бесконечно малых) — дифференциального и
интегрального исчислений (Ньютон, Лейбниц), открывших совершенно но-
вые возможности для решения проблем механики и астрономии, а позднее и
целого ряда других областей. К 80-м годам XVIII века анализ, который те-
перь называют классическим, уже стал зрелой наукой. Колоссальную работу
по систематизации всех его разделов проделал Эйлер (1707—1783), придав
законченный вид и формальному аппарату дифференциального и интеграль-
ного исчислений и их приложениям к задачам астрономии, механики, гидро-
динамики, физики и других отраслей точных наук. Однако «увлеченные не-
обыкновенной силой новых приемов, легкостью, экономичностью, простотой,
с которой достигалось решение все новых и новых задач, математики
XVIII в. не заботились о том, насколько логически обоснованны те приемы,
которые они применяли» 10. Перестройка математического знания из практи-
чески-прикладного в теоретическое стала делом следующего века. Развитие
математики на протяжении XIX столетия характеризуется стремлением к си-
стематизации, к установлению единства в многообразии математических
фактов и методов, на первый взгляд весьма далеких друг от друга, а также
критическим уяснением и строгим обоснованием фундаментальных понятий.
Эти тенденции достигают наиболее полного выражения в арифметизации ма-
тематики и формировании теории множеств.
Под арифметизацией математики понимают «стремление свести все основные
факты той или иной математической науки к числу в конечном счете нату-
ральному» п. Начиная с Арифметических исследований (1801) Гдусса.
крупнейшие математики XIX столетия активно разрабатывают теорию чисел
и предпринимают настойчивые усилия положить ее в основу всей математи-
ки, и прежде всего анализа. Аппарат дифференциального и интегрального
исчислений был удобным инструментом для расчета механических движений
и решения многих других задач, но не отличался достаточной строгостью ни
XI

Μ. С. Коллова
в определении терминов 12. ни в доказательстве теорем. Наиболее уязвимой
мастью анализа были его расплывчатые и разноречивые логические основа-
ния. Μ (угоды более точных определений и строгих доказательств разрабаты-
ваются в XIX веке, когда широким фронтом развертываются и все более уг-
лубляются исследования оснований математики.
На протяжении XIX в. анализ заметно меняет свой вид. Большие заслуги г.
логической перестройке этой области математики, внесении ясности и поряд-
ка в ее понятия, принадлежат Коши. Взяв за исходное понятие» переменной
величины, Коши определил другие основные понятия анализа через соотно-
шение между постоянными и неременными величинами. Посредством поня-
тия о «предельном переходе» в свою очередь определяется понятие бесконеч-
но малой величины и далее вводятся другие понятия анализа. Перестройка
анализа диктовалась потребностью более строгого обоснования, более четкой
формулировки его основных понятий, стремлением освободить его от геомет-
рических и механических представлений, построить анализ независимо от дру-
гих математических дисциплин. Все большую силу обретает убеждение, что
«всякая, хотя бы и очень отдаленная теорема алгебры или высшего анализа
может быть сформулирована как теорема о натуральных числах» 13. И матема-
тика XIX в. проделала этот сложный пугь сведения всего содержания анализа
к учению о натуральном числе ]1. Кульминационным пунктом этого течения
математической мысли было построение теории действительных чисел (Больца
но, Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор) 1й. Понятие числа постепенно осознается
как фундаментальное понятие всей математики, и в частности — геометрии.
Ввиду методологической установки на арифметизацию математики особое
значение приобрела задача обоснования арифметики. Важнейшую роль в ее
решении сыграло становление теоретико-множественных представлений.
Построение теории множеств, основным творцом которой был Г. Кантор,
явилось важным итогом развития математики XIX столетия. К ее созданию
вели различные течения математической мысли, но наиболее важным источ-
ником теоретико-множественных идей и методов быпи исследования по осно-
ваниям математики, главным образом исследования по обоснованию класси-
ческого анализа и теории функций. Во второй половине XIX в. понятия ана-
лиза и теории функций постепенно переводятся на язык теории множеств.
Основным понятием для теории множеств является понятие актуально беско-
нечного множества. Под теоретико-множественным методом в математике
понимается сведение той или иной математической проблемы к указанию со-
ответствующего бесконечного множества или нескольких таких множеств, к
изучению свойств этих множеств и последующему решению рассматриваемой
проблемы уже на основе изученных свойств указанных множеств -16. Идеи
теории множеств тесно переплетены с понятиями и методами теории чисел.
ΙΪ неудивительно, что с созданием теории множеств все отчетливее реализу-
XII

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
ется теоретико-множественный подход к обоснованию арифметики. Важную
роль в теоретико-множественном обосновании арифметики сыграл Дедекинд.
Его работа Что такое числа и для чего они служат? посвящена обоснова-
нию понятия натурального числа средствами теории множеств.
Создание теории множеств означало революцию в истории математики.
А. Френкель расценивает завоевание актуальной бесконечности методами те-
ории множеств как расширение нашего научного горизонта, не меньшее по
значению, чем Коперникови. система в астрономии и теории относительности
или квантовая теория в физике. Теория множеств дала универсальный но-
вый метод, ставший основой для последующего развития математики в целом.
Сближение .математики с логикой. Становление математической логики.
Возрас-тание абстрактности мышления и повышенные требования к строго-
сти постепенно сближали математику с такой дисциплиной, как логика. Из-
вестно, что в математике раньше, чем в других науках, был разработан и ус-
пешно применен искусственный символический язык, позволивший выра-
жать математическое рассуждение в виде формального преобразования неко-
торых исходных формул по определенным правилам. В первой половине
XIX в. было осознано, прежде всего в алгебре, что один и тот же формаль-
ный язык можно относить к разным математическим объектам. Это наводило
на мысль о еще более широкой применимости буквенного языка к объектам
любого рода. «С развитием алгебры,— отмечает Бурбаки,— не могла не пора-
зить аналогия между правилами формальной логики и правилами алгебры,
применяемыми в том и другом случаях к неконкретизируемым далее объек-
там (предложениям или числам)» 17. И с середины XIX в., когда эта анало-
гия была осознана, начала создаваться математическая, или символическая,
логика, разработка которой связана с именами Буля, МоРГАна, ДжЕвонса,
Пирса, Пеано, ШРЕДЕРа, Порецкого, Фреге и ряда других математиков.
Известно, что традиционной логической теории не хватало формальной стро-
гости. К тому же ее формулы выражали лишь субъектно-предикатные сужде-
ния, оставляя без анализа отношения. Развивающаяся наука нового времени
не скрывает неудовлетворенности АРИстотЕлевской логикой. Другие же логи-
ческие доктрины были мало известны. Но вот с середины XIX в., с внедрени-
ем математических методов, наступает ренессанс формальной логики. По сло-
вам рАссЕла, с 1850 г. в формальной логике в каждое десятилетие достигается
больше, чем за весь период от Аристотеля до Лейбницд 18. Математическая ло-
гика, общие идеи которой были высказаны еще ЛЕйвницем, отличалась от
традиционной аристотелевской логики, доминировавшей в западном мышле-
нии около 2000 лет, более последовательным применением искусственной
XIII

Μ. С. Козлова
символики (не только для обозначения логических переменных, как у Аристо
теля, но и логических постоянных) и повсеместным применением метода
формализации.
Первый этап становления символической логики называют периодом алгебры
логики. Введя в логику вместо обычного языка систему символов, ирланд-
ский математик Дж. Буль и его последователи Э. Шредер и П. Порецкий за-
менили суждения уравнениями, а процесс дедуктивного умозаключения —
решением логических равенств. Введя символику, в которой все переменные
обозначали классы, Буль построил строго доказуемую систему формул, при-
менимую к классам и их отношениям. Впоследствии через обобщения этой
системы была создана общая логическая теория отношений (Морган, Пирс и
др.). Логические связи между суждениями и понятиями были выражены в
математических формулах, а получение логических следствий предстало как
формальное преобразование исходных формул по фиксированным правилам.
Такое применение математического формализма позволило существенно раз-
двинуть рамки традиционной формальной логики.
Исследования по математической логике на первых порах производились вне
связи с основными направлениями чисто математических исследований.
Многие математики о них, как правило, просто не знали или же не осозна-
вали их значения. Между тем потребность в применении логики и расшире-
нии ее средств была столь настоятельной, что математики вынуждены были
прийти к логике еще с одной стороны — по линии теории множеств. В Лек-
циях по алгебре логики ШрЕДЕРа (1890, 1895) теория множеств и алгебра
логики во многом слились в нечто единое. Этот огромный труд подытожил
развитие математической логики XIX столетия и открыл широкие горизонты
для исследований XX в.
Сближению математической теории множеств с логикой способствовала не-
виданная еще в истории математики степень абстрактности новой дисципли-
ны. Уже у Клнтора многие понятия относились к всевозможным объектам
мышления (понятия множества, подмножества, взаимооднозначного соответ-
ствия, мощности и т. д.) и вследствие этого ставились в один ряд с общело-
гическими понятиями. У ДЕДЕКинда операции над множествами и законы
этих операций превратились в формально-логические операции и их законы.
Этот процесс сближения теории множеств с логикой углублялся и далее.
Сведение математики к арифметике, обоснование последней с помощью аб-
страктной теории множеств, понятия которой ранвозначны по своей общнос-
ти с понятиями логики, означало выход к логическому обоснованию матема-
тики. Этому немало способствовали успехи самой логики. Выдающееся место
в ее развитии принадлежит Основаниям арифметики и Основным законам
арифметики, полученным при помощи исчисления понятий Г. Фреге, а
также ряду работ Пеано, Пирса и других математических логиков. Новая ло
XIV

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
гика привлекает все большее внимание математиков, столкнувшихся в ходе
исследований по основаниям математики с рядом собственно логических
проблем. Это — задача логического обоснования числа как фундаментально-
го понятия всей математики, вопросы непротиворечивости, независимости и
полноты аксиоматики и др.
Использование идей математической логики для систематизации и обоснова-
ния математики знаменовало начало второго периода развития символичес-
кой логики в отличие от первого периода, который характеризовало приме-
нение математики к логике.
Одной из главных идей нового периода, получившего название «логистики»,
была мысль об изложении оснований математики на языке логики, что дик-
товалось возросшей необходимостью более строгого обоснования результатов
математических исследований. Перед лицом этой задачи существенной пере-
стройке подвергается сама логика. В этот период различные логические ис-
числения объединяются во всеохватывающую систему символической логики.
Принципы и теоремы логики удается вывести из минимального набора акси-
ом. Так Фреге осуществил дедуктивное аксиоматическое построение самой
математической логики, придав ей вполне современный вид (исчисление вы-
сказываний, исчисление предикатов). Иными словами, происходит дальней-
шая формализации самой логики. Она принимает вид системы символов, до-
пускающих определенные преобразования на основе четко сформулирован-
ных правил. Осуществляется синтаксический подход к логике. Она рассмат-
ривается как язык. Формируется мощный аппарат формализованного логи-
ческого анализа.
Если в предыдущий период символическая логика мыслилась как отрасль ма-
тематики, то теперь, наоборот, доминирует идея выводимости математики из
логики. Крупнейший немецкий математик и логик Фреге применяет матема-
тическую логику в качестве метода обоснования арифметики. Так, средства-
ми расширенного исчисления предикатов он формализовал теорию мно-
жеств. Определив математические понятия «числа» и «количества» в терми-
нах чисто логических понятий «класса» и «отношения», Фреге представил ма-
тематику как продолжение логики. Дальнейшим развитием и наивысшей
точкой этих усилий явилось трехтомное исследование Prindpia Mathematica
(1910-1913 гг.) РлссЕла и УАйтхЕда. 19
Для многих вопросов обоснования математики, которые прежде исследова-
лись достаточно умозрительно, были найдены строгие решения с помощью
логико-математических методов. С этого времени символическая логика ста-
новится незаменимым средством исследования оснований математики.
XV

Μ. С. Козлова
Кризис логических оснований математики.
К концу XIX в. были достигнуты уже настолько большие успехи в система-
тизации и строгом обосновании математики, что казалось: эта трудная рабо-
та близка к завершению. После работ Г. Клнтора математиками, по словам
Вейля, владело убеждение, что «грандиозное здание анализа приобретает не-
сокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснован-
ным во всех своих частях» 2°. Эта картина напоминает ситуацию в физике,
где к началу 90-х годов установилось мнение, будто стройное здание класси-
ческой физики почти полностью завершено и остается подработать лишь кое-
какие детали. И вопреки ожиданиям вскоре разразился «кризис в физике»,
поставивший под сомнение ее обоснование на базе механики Ньютона. Не
менее драматическими были события в математике.
Не успела теория множеств сформироваться в качестве самостоятельной на-
учной дисциплины и реализовать свои возможности в деле обоснования мате-
матики, как возникло неожиданное препятствие. Уже при жизни Клитора, в
период, когда ожидался небывалый триумф теории множеств, в ней обнару-
жили парадоксы или антиномии. Первый парадокс в 1895 г. установил сам
Кантор и сообщил о нем в письме к Гильберту21. Спустя два года Бурали-
Форти независимо приходит к тому же парадоксу и делает его достоянием
всех математиков. Этот исторически первый парадокс теории множеств но-
сит довольно специальный характер и относится в теории трансфинитных
порядковых чисел22. В 1899 г. Кантор же открывает еще один парадокс и
сообщает о нем в письме Дедекинду.
За открытием этих двух парадоксов абстрактной теории множеств последова-
ла целая серия других 23. Одной из задач своей научной деятельности Кантор
считал устранение парадоксов, но это ему не удавалось: число парадоксов с
течением времени не только не уменьшалось, но, напротив, продолжало воз-
растать. Подавленный неудачей, Кантор в течение последних двух десятиле-
тий жизни ничего не публиковал. Весьма шокирован был открытием пара-
доксов и Дедекинд. Ситуация в самом деле была обескураживающей. Вот как
это выразил крупнейший математик первой половины XX столетия Д. Гиль.
берт: «...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадок-
сов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике —
этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умо-
заключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к не-
лепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математи-
ческое мышление дает осечку?» 24
Парадоксы фиксировали внутренние логические трудности теории множеств,
лежащие в самих ее основах — фундаментальных понятиях и способах рас-
суждения. Возникшую ситуацию называют кризисом оснований математики.
XVI

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
Парадоксы выявились именно в абстрактной теории множеств, которая по
сути дела срастается с формальной логикой. В связи с этим не удивительно,
что вскоре после парадоксов теории множеств был обнаружен целый ряд их
логических «двойников». Под ударом обнаруженных парадоксов оказалась
логико-математическая система Фреге. В 1902 г. в первом томе Основных
законов арифметики, было найдено противоречие, получившее название
парадокса РлссЕла-ЦЕРМЕЛо. Дело в том, что определение множества, предло-
женное Кантором, позволяло рассматривать в качестве элементов множества
объекты любой природы 25. Таковыми — помимо индивидуальных предме-
тов — могли выступать и всевозможные множества, в том числе допуска-
лось, что множество может включать в качестве своего элемента и самое се-
бя. В связи с этим возможно подразделить множества на такие, которые не
содержат себя в качестве своего элемента (нормальные множества) 26, и та-
кие, которые включают в число своих элементов и себя (ненормальные мно-
жества) 27. Трудность возникает, если поставить вопрос, к какому из двух
типов относится множество всех нормальных множеств, поскольку возможны
два взаимоисключащих ответа. Рассел установил, что такое множество будет
одновременно и нормальным, поскольку не содержит себя в качестве своего
элемента, и ненормальным, поскольку оно есть множество всех нормальных
множеств и потому должно включать себя в качестве нормального множест-
ва. Получается логическая ловушка: если множество является нормальным,
то оно является ненормальным. Этот парадокс легко представить и в терми-
нах классов. В популярном объяснении этот парадокс иллюстрируют на при-
мере с брадобреем. В некотором селении парикмахер бреет тех, и только тех
мужчин, которые не бреются сами. Должен ли он брить себя? На этот воп-
рос нельзя дать непротиворечивого ответа.
Кризис оснований математики поставил на повестку дня ряд важных фило-
софских, методологических и логических проблем математики. Наиболее ос-
трым из них был вопрос о причинах и способах устранения парадоксов. Вна-
чале полагали, что парадоксы не составляют сколько-нибудь серьезной опас-
ности и их вскоре удастся преодолеть. Ведь постоянное возникновение и раз-
решение противоречий-антиномий — общеизвестный факт истории науки.
Но в данном случае дело оказалось серъезнее: вместо устранения трудностей,
как бы в насмешку над математиками, обнаруживались все новые и новые
парадоксы. Помимо парадоксов логики и математики (их обычно называют
логическими) был открыт также ряд семантических (иногда их называют
эпистемологическими) парадоксов. 28 Антиномии этой группы содержат по-
нятия именования, определения, истины и другие, принадлежащие гносеоло-
гии, семантике и т. д.
Безуспешные попытки разрешить парадоксы постепенно укрепили убежде-
XVII

Μ. С. Козлова
ние, что дело упирается в переосмысление ряда принципиальных идей мате-
матики и отказ от некоторых старых концепций. Прежде всего парадоксы
поставили математиков «перед проблемой перестройки теории множеств на
совершенно измененной основе» 29, в частности потребовали уточнения по-
нятия множества. Более того, возникла необходимость самого тщательного
анализа логики рассуждения, логических механизмов языка, ибо сам собой
напрашивался вывод: «...логика в том интуитивном виде, какой она имела в
конце прошлого столетия, не годится в качестве четкого критерия строгости
математического доказательства» 30.
Программы обоснования математики. Позиции Витгенштейна.
Обнаружение в конце XIX — начале XX в. парадоксов теории множеств и
их логических «дубликатов» неожиданно выявило шаткость логического фун-
дамента всей столь добротно выстроенной к тому времени классической ма-
тематики. Это послужило новым стимулом для тщательной логической экс-
пликации ее основ. Если в XIX столетии исследования оснований математи-
ки стимулировались потребностями ее теоретической проработки, системати-
зации, — то в XX веке ситуация драматизируется обстоятельствами кризиса
оснований математики, — и тут уже главным делается разрешение воз-
никших трудностей, восстановление былой надежности и достоверности ма-
тематического знания. Возникают различные направления обоснования мате-
матики. Вскоре определились три ведущие программы: логицизм, связанный
с именами Фреге и Расселэ, формализм (по сути близкий логицизму), пер-
сонифицированый Гильбертом, и интуиционизм, теоретиком которого высту-
пил Брауэр. Позже набирает вес конструктивное направление.
Исходный импульс программе логицизма дал Фреге. Опубликовав в послес-
ловии ко второму тому Основных законов арифметики антиномию Расселэ.
он впервые указал на связь такого рода противоречий с характером употреб-
ления языка. Постепенно эта связь осозновалась все отчетливее. Если в логи-
ческих парадоксах, включающих только логические и математические терми-
ны, эта связь несколько завуалирована, то в семантических антиномиях она
выступает явственно. Такие парадоксы возникают из-за двусмысленных и
неопределенных выражений естественного языка и потому требуют особого
логического анализа языка. Этот верно поставленный «диагноз» недуга побу-
дил к скрупулезному логическому анализу оснований математики и активно-
му поиску средств ее логического «врачевания». Рассел, изучая открытый им
в системе Фреге парадокс, пришел к построению оригинального варианта ак-
сиоматической теории множеств и к последующей попытке сведения матема-
тики к логике. Изучение причин парадоксов и поиск выхода из них Рассел
XVIII

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
Тесно связал с разработанными им идеями логического анализа языка. Отсю-
да, из логического анализа оснований математики, ведет свое начало столь
характерное для XX в, направление исследований, как анализ языка науки.
У истоков современного логического исследования языка стояли Фреге и Рас
сел. Именно они поставили те серьезные, животрепещущие вопросы, на ре-
шение которых в последующие десятилетия (и по сей день) направлено так
много усилий логиков, лингвистов, философов.
Поиску выхода из тупиковой для математики ситуации Рассел отдал в общей
сложности около двадцати лет напряженной .работы, увенчавшейся создани-
ем — в соавторстве с А, УаЙтхедом — капитального трехтомного исследова-
ния f*rincipia mathematicü (Основания математики, сокр. РМ) 31. В фоку-
се внимания авторов этого капитального труда оказались логические затруд-
нения математики и логики, что было весьма актуально в связи с обнаруже-
нием парадоксов в логико-математической системе Фреге. Исследование под-
твердило предположение Фреге о том, что причины парадоксов и, стало
быть, смысловых сбоев мышления следует искать в логике, способах упот-
ребления языка. Анализ показал, что самой общей причиной парадоксов яв-
ляется определенного рода «порочный круг», в который нас завлекают непра-
вильно образованные всеобщности («множество всех множеств» и др.). не-
корректное обращение с универсалиями (общими понятиями) в качестве
предикатов. Для разрешения трудностей были использованы все достижения
логического анализа — и те, автором которых был Фреге, и новые, принад-
лежавшие Расселу. Новым шагом рАССЕла прежде всего явилась его теория
описаний, разграничившая имена в собственном смысле слова и описания
предметов по тем или иным признакам. Другим его достижением стала зна-
менитая теория логических типов. В ней йредусмотрено строгое различение
символов (объектов) разных логических уровней: индивидуумы, классы,
классы классов и т. д. Им соответствует градация предикатов и отношений
(предикаты индивидов, предикаты классов, предикаты классов классов и
т. д.). Иначе говоря, выход из логических парадоксов был найден в четком
разделении логических типов (или категорий) и установлении запретов на
такие подстановки аргументов, которые ведут к бессмысленности функций.
Авторы РМ стремились осуществить замысел Фреге о сведении чистой мате-
матики к логике, наведи более строгий порядок в самой логике. То есть это
была еще одна грандиозная попытка взять «крепость» математики, все-таки,
логическим «штурмом». И дело, казалось бы, увенчалось успехом. Логичес-
кие противоречия удалось устранить. И. понятно, что логика РлссЕла и кон-
цепция РМ воспринимались как очень важный и убедительный научный ре-
зультат. Логические идеи РлссЕла и мысли Фреге, несшие в себе и немалый
философский «заряд», вдохновили Витгенштейнз на создание целостной и
изящной концепции Логикофилософского трактата, которая явилась
XIX

Μ. С. Козлова
своеобразным переводом на философский язык новых идей логического ана-
лиза, легших в основу РМ.
Однако в начале 1930-х годов свои известны» теоремы сформулировал Курт
Гедель, и под ударом серьезной критики теперь уже оказывается система
РМ. Отсюда, правда, не следовало, что она всецело ошибочна и бесполезна,
однако стало ясно: логицизм не дает радикального выходя из «кризиса в ма-
тематике», что связывавшиеся с ним надежды на «логический рай» тщетны.
Другой школой обоснования математики, школой отчасти вышедший из РМ,
стал формализм. Его принципы были разработаны немецким математиком и
логиком Давидом Гильбертом (1862-1943) 32 в 1922-39 годах во «спасение»
классической математики от антиномий. Начальный вариант программы
формализма был изложен Гильбертом в Основал: теоретической логики (в
соавторстве с В. Аккерманом, 1928). Вообще под формализмом понимается,
как известно, предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием. Фор-
мализм, в логике и математике отталкивался от представления, что чистая
математика есть «логический синтаксис» — наука о формальных (не наде-
ленных смыслом) структурах символов. Одной из своих целей школа ставила
доказательство того, что манипуляции символами по строгим правилам не
дают противоречий, что весьма сближало ее с логицизмом. Вначале концеп-
ция формализма была еще во многом наивной. Позднее Гильберт предложил
значительно более продуманный и обширный план обоснования математи-
ки путем, ее полной формализации 33. Решение задач обоснования логики
и математики он связал теперь с метаматематикой (специальной теорией
доказательства), позволяющей придать обеим дисциплинам вид исчислений.
Для этого, по замыслу Гильбертн, метаязык — для доказательства непроти-
воречивости выбранной системы аксиом, теории множеств — должен вклю-
чать в себя лишь финитные (конечные) средства выражения и дедукции,
притом средства абсолютно безупречные по ясности и убедительности. Иначе
говоря, непротиворечивость, согласно этому замыслу, должна достигаться це-
ной отказа от каких бы то ни было намеков на понятие актуальной беско-
нечности, «повинное», как выяснилось, в возникновении антиномий. Гиль
бертом и его школой (П. Бернайс, В. Аккерман, Г. Генцен и др.) был получен
ряд важных результатов в разработке проблем теории доказательства, полно-
ты, непротиворечивости аксиоматики и др.
Однако формализм, столкнулся с теми же серьезными трудностямии, что и
логицизм. И это неудивительно, поскольку программы эти во многом близки:
в обеих возлагались большие надежды на строго аксиоматическое построе-
ние основ математики (идеал логической строгости, уходящий корнями еще
в античность) и полную формализацию знания (его выражение в искус-
ственной символике и подчинение всех преобразований знаковых выражений
четко выявленным правилам). С конца 1920-х все явственнее обнаруживает -
XX

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ МАТЕМАТИКИ
ся кризис обеих программ. Своей кульминации он достиг после публикации
известной статьи К. Геделя «О формально неразрешимых предложениях
Piincipia mathernatica и родственных систем». Курт Гедель (1906-1978) —
австрийский логик и математик, с 1940 года живший в Америке, известен
своими трудами по математической логике и теории множеств. Его важней-
ший результат, полученный в 1931 году и изложенный в названной рабо-
те,— доказательство принципиальной неполноты достаточно богатых фор)-
мальных систем (в том числе арифметики натуральных чисел и аксиомати-
ческой теории множеств). Гедель показал, что в таких системах имеются ис-
тинные предложения, которые в их рамках не могут быть ни доказаны, ни
опровергнуты. Иначе говоря, результаты Геделя опровергали центральную
предпосылку и логицизма, и формализма, допускавшую, что для каждой от-
расли математики может быть указана совокупность аксиом, достаточных
для выведения всех остальных положений. Гедель же с бесспорностью дока-
зал, что аксиоматический метод имеет внутренние ограничения. С философ-
ской точки зрения, теорема Геделя о неполноте предполагала принципиаль-
ную невозможность полной формализации какого бы то ни было содержа-
тельного раздела научного знания.
ГЕДЕлевскал работа была для своего времени чрезвычайным научным событи-
ем, мимо которого невозможно было пройти. Идеи логицизма, подкреплен-
ные успехом РМ, владели умами многих логиков, математиков, философов
науки в течение трех десятилетий, и неоспоримые открытия Геделя не могли
не вызвать потрясения. Правда, революционное (особенно с философской
точки зрения) значение ГЕДЕлевской работы было понято не сразу. Но совер-
шенно очевидно, что она была в высшей степени причастна к подрыву сле-
пой веры в аксиоматический метод и формализацию. Из работы Геделя сле-
довало по крайней мере два вывода: 1) что для большей части математики
невозможна окончательная аксиоматизация, 2) что для многих важных от-
раслей математики не существует бесспорного доказательства их внутренней
непротиворечивости. Понятно, что результаты Геделя явились кульминацион-
ной точкой формалистских дискуссий. И, хотя эти результаты убеждали в
том, что цель формализма иллюзорна, авторы программы сначала не сдава-
лись. В первом томе своей книги (1934) Гильберт и Бернайс обещали преодо-
леть трудности, порожденные теоремой Геделя, и разъяснить это во втором
томе. Однако время шло, и все яснее осознавалась иллюзорность надежд на
строго логическое обоснование математики, каким оно мыслилось в програм-
мах и логицизма и формализма. Но, с другой стороны, работа Геделя ут-
верждала, что математические теоремы, недоступные строгой аксиоматиза-
ции, могут быть тем не менее установлены менее формальным математичес-
ким рассуждением. Этот вывод имел серьезный философский смысл и пред-
полагал далеко идущие следствия — отказ от многих иллюзий в понимании
XXI

Μ. С. Козлова
природы математики, формирование более реалистичной концепции матема-
тического знания.
Сторонники философского направления в математике и логике, именуемого
интуиционизмом, подошли к задаче обоснования математики менее ортодок-
сально, чем теоретики логицизма и формализма. Эта программа, основателем
которой был голландский математик Л. Брауэр (1881 — 1966), а его последова-
телями — Г. Вейль, А. Рейтинг и др. — ориентировалась на исследование ум-
ственных математических построений. Они отрицали базисный характер логи-
ки по отношению к математике, а последним основанием математики и логики
признавали интуитивную убедительность. Постулатом здесь стала мысль о том,
что возможность «построения» бесконечного числового ряда есть «базисная ин-
туиция^ человеческого сознания. В основу своего подхода к математике инту-
иционизм кладет понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним
понимание существования математических объектов как принципиальной
возможности их построения. При этом была решительно отвергнута идея ак
туальной бесконечности 34, одна из основных в классической математике и
логике. Интуиционизм возник на рубеже XIX—XX вв. как реакция на теорию
множеств Г. Клитора, в которой идея актуальной бесконечности нашла наибо-
лее полное выражение. Сформировавшийся в обстановке кризиса оснований
математики, интуиционизм подверг острой критике классическую математику,
что усугубило кризис и способствовало широкой постановке проблемы обосно-
вания и логики. В программе интуиционизма акцентировалась не столько иде-
альная («божественная»), сколько человечески-земная, социальная природа
всякого, в том числе и математического познания. Этот более трезвый и реа-
листичный, по сравнению с уже рассмотренными точками зрения, взгляд
приняли многие математики. С 1904 года Брауэр последовательно проводил
критику так называемых чистых математических доказательств су-
ществования, опирающихся на логический принцип исключенного третьего.
Это в конечном счете и положило начало математическому интуициониз-
му как целому направлению в обоснованиях математики. Но проведенный
Брауэром анализ существования оказался ценным и независимо от филосо-
фии интуиционизма, — с точки зрения конструктивного построения тех
объектов, существование которых доказывается. Идеи БРАУЭРа нашли реаль-
ное осуществление в логике конструктивного решения математических проб-
лем (это было показано А. Н. Колмогоровым).
Пожалуй, наиболее жизнеспособным и творческим, учитывающим сильные
моменты разных точек зрения, оказалось математическое лшровидение,
получившее название конструктивного и приведшее к созданию конструк-
тивной математики и логики. Оно связано с именами А. Н. Колмогорова.
А. А. Марковэ., С. Клини и др. В этом направлении основной задачей мате-
матики признается исследование конструктивных процессов и конструктив-
XXII

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
ных объектов. По ряду позиций конструктивное направление близко интуи-
ционистскому, хотя исходные принципы того и другого значительно расхо-
дятся. И там и тут отвергаются принцип исключенного третьего и закон
двойного отрицания. Оба закона считаются неприемлемыми с конструктив-
ной точки зрения. Для обеих позиций характерна финитная установка, то
есть такой подход к основаниям логики и математики, при котором их сфера
ограничивается конструктивными объектами и такими рассуждениями о них,
в которых не присутствует идея актуальной бесконечности. На основе та-
ких «философем» возникла конструктивная математика, представляющая со-
бой, по определению А. А. Марков а, абстрактную науку о конструктивных
процессах, о человеческой способности осуществлять такие процессы, а так-
же о результатах таких процессов — конструктивных объектах 35. в конст-
руктивной математике не применяется абстракция актуальной бесконечнос-
ти, характерная для теоретико-множественной математики и связанная с
рассмотрением никогда не завершаемых процессов как бесконечно продол-
женных и тем самым как бы завершенных. Существование объекта в кон-
структивной математике подразумевает, что построение такого объекта по-
тенциально осуществимо, то есть, что человек владеет способом его построе-
ния. Систематически применяются две абстракции — абстракция потенци-
альной осуществимости и абстракция отождествления, первая — когда отв-
лекаются от практических ограничений конструктивных возможностей в про-
странстве, времени, материале, вторая — когда говорят о двух, в том или
ином смысле одинаковых объектах как об одном и том же объекте.
«Начало начал». Проблема непротиворечивости.
Наиболее остро, как уже говорилось, кризис оснований математики проявил-
ся в обнаружении противоречий. Это вызвало буквально психологический
шок, повергло в отчаяние крупнейших исследователей оснований математи-
ки Клитора, ДЕДЕкинда, Фреге и др. Состояние растерянности оказалось за-
тяжным. Даже много лет спустя после расселовской «находки» Г. Вейль с го-
речью отмечал: «Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах^
(логики и) математики. Как все и вся в мире сегодня, мы переживаем „кри-
зис". Он продолжается почти пятьдесят лет. На первый взгляд, он не меша-
ет нашей ежедневной работе; однако я могу признаться, что на самом деле
он оказал сильное влияние на мою математическую деятельность, он направ-
лял мои интересы в область, казавшуюся мне относительно „безопасной", и
постоянно подрывал во мне энтузиазм и решимость, необходимые для всякой
исследовательской работы» 36.
Причины такой растерянности коренились в давних и прочно сложившихся
XXIII

Μ. С. Козлова
философских представлениях о канонах научного знания вообще и матема-
тики в особенности. Дело в том, что в европейской традиции в течение мно-
гих веков складывалось и прочно утвердилось представление о том, что до-
бротное знание предполагает последовательность обоснований, в пределе за-
вершаемых неким безусловным «основанием». Притом непреложной нормой
любого корректного рассуждения, а тем более систем логически упорядочен-
ных теоретических выкладок, издавна считалась непротиворечивость.
«Стержнем» теоретической мысли с самых ранних ее шагов стал принцип
противоречия. Известно, например, что еще элейские философы (Парменид,
Зенон) доказывали то или иное утверждение путем отрицания предложения,
обратного утверждению. Иначе говоря, они пользовались косвенными дока-
зательствами («от противного»), опираясь на непротиворечивость утвержде-
ний как критерий истинности. 37 По убеждению Аристотеля, принцип (или
закон) противоречия — самое достоверное из начал, которым должен вла-
деть каждый постигающий какой-либо предмет. Другие начала — аксиомы и
особенно постулаты, — он характеризовал как гипотезы, принцип же про-
тиворечия — как «начало всех других аксиом», то есть начало начал, в отно-
шении которого невозможно ошибиться. «...Такое начало, — по Аристоте-
лю, — не гипотеза», это — как бы «точка опоры всякого знания»: ведь «все,
кто дает доказательство, возводят (его) к этому положению как к последне-
му». 38
Проблема противоречий и непротиворечивости, естественно, заняла важное
место в размышлениях ВитгЕнштЕйна на темы оснований математики. В пе-
риод работы над Трактатом его позиции в данном вопросе, похоже, были
близки расселовским. То есть, противоречия содержательного характера тра-
диционно воспринимались как логические аномалии рассуждения, а их пре-
дотвращение — как важнейшая задача логики. Это выражено, в частности,
в известной максиме ВитгЕнштЕйна: «Логика должна заботиться о себе.
Должны быть выработаны строгие логические правила, исключающие бес-
смыслицу» 39, в том числе, конечно же, и бессмыслицу в наиболее явной ее
форме — противоречия. Правда, Витгенштейн, много размышлявший над
идеей логических типов, пришел к выводу: четкое разграничение логических
категорий способен оптимально обеспечить сам язык. Все дело в том, чтобы
разным логическим элементам рассуждения соответствовали разного рода
сим,волы, которые никак не спутаешь. Такой логически «прозрачный» язык
заведомо предотвращает, по мысли ВитгЕнштЕйна, возникновение самореф-
лексивных выражений типа «класс всех классов» и других, приводящих к па-
радоксам. 40 Сохранив общий замысел учителя о разграничении логических
типов, ученик предлагает радикально иную его реализацию. Еще в 1912 году
он писал Расселу: «...теория типов есть, по-моему, теория правильного сим-
волизма, разные типы отношения знаков к вещам должны воплотиться в са-
XXIV

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
мом принципе построения языка». Он разъяснял также, что разрабатывае-
мые им принципы символизма снимают надобность в теории логических ти-
пов. А в Трактате резюмировал: «...В логике... сам язык препятствует лю-
бой логической ошибке»; «мы не в состоянии придать знаку неправильный
смысл». 41
Противоречию (как и тавтологии) в Трактате отведено определенное
место в логической символике, сопоставимое с местом «О» в символике ариф-
метики. Они мыслятся как неотъемлемая часть аналитического аппарата ло-
гики, как «предельные» формальные регулятивы, задающие границы осмыс-
ленных повествований и рассуждений, осуществляемых с помощью высказы-
ваний. Сами же они по сути —-■ не-предложения и с информативной точки
зрения бессмысленны — ничего не говорят о мире. «Тавтология и противоре-
чие — не картины действительности. Они не изображают какие-то возмож-
ные ситуации. Ибо первая допускает любую из возможных ситуаций, второе
же —- не допускает ни одной». 42
Позднее, в 1930-40-е годы точка зрения ВитгЕнштЕйна на противоречия ме-
няется. От логицизма он движется в направлении конструктивизма, восп-
ринявшего некоторые представления интуиционизма, 43. По-видимому, не-
малую роль в смене ориентации сыграли теоремы Геделя, сформулированные
в начале 1930-х годов и ставившие под удар концепцию логицизма и по сути
близкого к нему формализма.
Взгляд позднего ВитгЕнштЕйна на проблему противоречий своеобразен и за-
трагивает не столько специально логические или математические, сколько
широкие философские аспекты проблемы. Одна из теорем Геделя выявляла
невозможность строгого доказательства непротиворечивости логико -матема-
тических систем типа РМ: Отсюда следовало, что надежные гарантии от про-
тиворечий невозможны, и что, стало быть, владевшее умами математиков
представление об исключительной логической строгости, безупречности мате-
матического знания безосновательно. Теоремы Геделя как бы вновь возвра-
щали, притом, в еще более усугубленном варианте то чувство неувереннос-
ти, потери твердой почвы под ногами, какое владело математиками после от-
крытия парадоксов и на время, казалось, утихло в результате «врачевания»
математики, предпринятого Уайтхедом и Расселом.
В своих заметках по философии математики Витгенштейн неединожды воз-
вращается к проблеме противоречий. Из сопоставления этих заметок выри-
совывается примерно следующая картина. Никто не может дать гарантий,
категорически исключить возможность возникновения противоречий в той
или иной математической системе. Ведь парадокс РлссЕла был обнаружен в
системе арифметики Фреге, казалось бы отвечавшей самым строгим логичес-
ким канонам. Иначе говоря, вырисовывалась следующая картина: действуя
согласно четко сформулированным и сколь угодно строгим правилам, все же
XXV

Μ. С. Козлова
можно прийти к противоречию. Происходит это в том «пункте» логического
следования, где некое исчисление или система рассуждения выходит за гра-
ницы своей применимости, распространяется на качественно иные задачи, не
предусмотренные первоначально, уяснение которых требует уже иного пони-
мания, в терминах иной «игры» (скажем в случае если понятие равенства
переносится с рациональных чисел на иррациональные, операции, преду-
смотренные для конечных множеств, переносятся на бесконечные множества
и т. д.). Это обстоятельство выбивало математиков из колеи. Их не покидало
ощущение логического тупика, из которого не получалось найти спаситель-
ный выход. Неясно было и где его теперь искать.
Витгенштейн в своих изысканиях выхода из кризиса («показать мухе выход
из мухоловки») по сути перевел проблему в плоскость философии. Углубля-
ясь в область философских оснований математики, он приходит к необходи-
мости пересмотра веками складывавшихся представлений о совершенно осо-
бом, неопровержимом, абсолютном характере математического знания. В са-
мом деле, математические суждения издавна считались знанием особого ро-
да, существенно отличающимся от эмпирических положений. В особую руб-
рику аналитических, необходимых, априорных истин математические поло-
жения выносились не только в рационалистических доктринах, но и в учени-
ях эмпиризма. Так, например, Юм, выстроивший концепцию радикального
эмпиризма, все же вынужден был оставить в «море» опыта инородный ему
«островок» внеопытных истин логики и математики. Правда, Д. С. Милль в
своей Системе логики предпринял попытку довести дело Юма до конца —
включить в концепцию радикального эмпиризма также положения логики и
математики. Так или иначе он эту задачу решил: логические законы получи-
ли у него психологическую, а базовые, генетически исходные положения ма-
тематики — индуктивно-эмпирическую трактовку. Недаром арифметику
Милля иногда характеризуют, как арифметику «камешков и орехов». Одна-
ко, эмпирико-психологическая трактовка математики и логики в конце
XIX — начале XX столетий вызвала острую критику, в которой приняли
участие такие умы, как Гуссерль, Фреге и др. Подчеркивалось, что характер
математического знания совершенно иной, чем знания опытно-индуктивного,
что математике присущи необходимость и строгая всеобщность, оперирова-
ние такими понятиями, которые не поддаются эмпирической трактовке.
Разъяснялось, что при эмпирико-индуктивной трактовке не удается понять
специфику математики, те ее аспекты и черты, которые подчеркивали, каж-
дый на свой лад, Лейбниц и Кант.
Опыт осмысления оснований математики в XX веке привел ВитгЕнштЕйна к
выводу: традиционная трактовка математики слишком идеализирована, ма-
тематики и философы математики издавна исходят из платоновского пред-
ставления о вечном и неколебимом основании математики, о сверх-надеж-
XXVI

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
ном и неопровержимом характере математического знания. Общий вывод, к
которому приходит Витгенштейн здесь тот же, что и в отношении логического
идеала, которым руководствовался он сам в своем Трактате, а позже вы-
нужден был признать: по идеально-скользкой поверхности льда невозможно
ходить, если мы намерены ходить (!), то есть реально мыслить, нам необхо-
димо трение! Вернемся же в более реальные условия — назад на грешную
землю! Оценки математического идеала и призывы отнестись к математике
более реалистично по сути повторяют сказанное в отношении логики.
Итак, кризис оснований математики, попытки подвести под математику ка-
кой-то особо прочный фундамент, увеличить строгость, надежность и незыб-
лемость ее положений, результатов... В 30-е годы Витгенштейн уже скепти-
чески оценивает эту затею, считая, что она порождена неверным философ-
ским образом математики как особого, абсолютно надежного знания, непод-
верженного логико-эпистемическим перипетиям, претерпеваемым время от
времени в других, менее респектабельных разделах науки. «Если что-то не-
надежно в самой математике, то и любое основание будет столь же ненадеж-
ным» (RFM). Но и внутриматематическими методами задачу обоснования
тоже не решить: «Математические проблемы того, что называют основания-
ми математики, составляют для нас ее основание не в большей мере, чем на-
рисованная скала — основание нарисованной башни» (RFM, V, 13. Р. 171).
То есть, по-видимому точка зрения ВитгЕнштЕйна такова: затея найти надеж-
ное основание математики нереальна. Проблема по сути носит философский
характер, и ее решение упирается в отказ от завышенных, нереалистичных
философских идеализации математического знания. То есть диагноз неду-
га— тот же, что уже не раз звучал в работах ВитгЕнштЕйна: мы сами созда-
ем идеальные нормы, мерила, критерии добротности математического знания
и оказываемся их пленниками, пытаемся осуществить идеал de facto и тер-
пим неудачу. Выход один: понять, что такое идеал и что он, будучи некой
регулятивной идеей — скажу так — не может быть осуществлен как тако-
вой. Такое «врачевание» математики (вызволение ее из плена собственных
сверх-идеалов) мыслится уже не как математическая задача и даже не зада-
ча логических экспертов познавательных процедур математики. Это — зада-
ча философская, находящаяся над или под математикой. Это не задача
обеспечения математики искомым свехпрочным фундаментом. В данном слу-
чае это кропотливое осмысление и разъяснение того, надежды на такую сте-
пень надежности знания, на которую привыкли мысленно ориентироваться в
математике, иллюзорны. Задача философии оказывается разрушительной
(рушатся «воздушные замки»· иллюзий насчет математики) и врачующе-тера-
певтической. В данном случае терапия напоминает психотерапию: предпола-
гаемый эффект — успокоительный. Суть витгенштейновских увещеваний та-
кова: если в нормальном, добротном математическом исчислении (в качестве
XXVII

Μ. С. Козлова
примера фигурирует система Фреге), выявлено противоречие (скажем, пара-
докс РлссЕла), то отсюда не следует, что исчисление неполноценно — ив той
части.... Это тем не менее может быть вполне респектабельное исчисление.
Все решает практика его применения. Ведь математика существует для ре-
шения реальных задач. Это не просто знаковая игра в прямом смысле этого
слова. А для решения реальных задач возможна, скажем, «блокировка» про-
тиворечия, к тому же (такие случаи остроумно изобретает Витгенштейн)
противоречие может вовсе не быть помехой, и к нему можно относиться
вполне спокойно. Облик математики, каким он предстает у ВитгЕнштЕйна,
способен удивить читателя, показаться весьма экстравагантным. Между тем,
размышления философа весьма естественны, проникнуты здоровой иронией
и живым, реалистичным взглядом на вещи. Вчитавшись, их начинаешь по-
нимать, и во многом принимаешь.
М. С. Козлова
Примечания
1 Правда, определенное представление о философии у него уже было. Вспомним,
что к этому времени он уже прочитал такую непростую работу, как труд А. Шо-
пенгауэра Мир как воля и представление. Но В 1912 году Витгенштейн впервые
интенсивно читает философскую литературу, читает самостоятельно и придирчи-
во, вынося порой суровые, максималистские оценки. По свидетельству его друга
Д. Пинсента, он наивно удивлялся тому, что философы, к которым он, в неведе-
нии, относился с пиэтетом, порой оказывались, на его взгляд, «бестолковыми» и
совершали «непростительные ошибки».
2 Расселл видел в Витгенштейне (в первые годы их сотрудничества) характерные
черты гения, включая и одержимость, способность целиком отдаться решению ув-
лекшей его задачи. Сам Витгенштейн оценивал себя значительно скромнее, но
все же признавал, что в период рождения концепции Трактата, творческое на-
чало лидировало.
3 Сам Рассел подчеркивал, что при всех изменениях интересов и разных влияниях,
которые он испытывал, неизменно устойчивым оставалось его пристальное вни-
мание к теории познания (см.: В. Russell. My philosophical development. L.,
1959, р. И).
4 Ibidem, р. 36.
5 Позднее в работах Рассела будет весьма заметно влияние идей Милля и Юма.
6 В это время, неудовлетворенный качеством преподавания, Рассел, по его со-
бственному признанию, испытал временное охлаждение к главному предмету за-
нятий и после третьего курса даже продал свои книги по математике, решив
больше никогда не заглядывать в них. Тем не менее в период завершения учебы
и после он много читает по специальности, особенно по прикладной математике,
считая, что с ее помощью можно многое сделать для человечества. Но все-таки
XXVIII

ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ
полностью поглотила Рассела, сделавшись важнейшим делом его жизни чистая
математика. Теоретик взял в нем верх, и, возможно, это произошло не без влия-
ния философии.
7 Подверженность разным философским влияниям — вообще одна из характерных
черт интеллектуальной биографии Рассела. Пожалуй, в его лице мы имеем дело
не столько с философом в собственном смысле слова, сколько с ученым, пришед-
шим к философии через осмысление оснований своей области науки (математи-
ки).
8 Эта работа легла в основу первой книги Рассела Исследование по основаниям
геометрии (закончена в 1896 году).
9 В предисловии Витгенштейна в к Логико-философскому трактату читаем:
«Доставь она (книга — М. К.) удовольствие одному, прочитавшему ее с понима-
нием человеку, »ч· цель будет достигнута». Корректируя перевод труда для перво-
го британского издания, автор пояснил эту фразу: «... Под „Einem" я действи-
тельно понимал одного (единственного) человека.» Если предположить на мо-
мент, что имелся в виду конкретный человек, то невольно думаешь о Расселе. Во
всяком случае в мире не существовало никого, кто был бы ближе приобщен к
творческой лаборатории создания этого произведения, чем Рассел.
10 Φ ρ е й н м а н Л. С. Творцы высшей математики. М., 1968, с. 83—84.
11 Μ е д в е д е в Ф. А. Развитие теории множеств в XIX веке. М.,1965. С. 35—36.
12 Смутными оставались понятия «бесконечно малого», «производной», «сходимости
рядов» и др.
13 Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат? Казань. 1905. С. 5.
14 Натуральное число — одно из основных понятий математики. Натуральными на-
зывают целые положительные числа (1, 2, 3...), образующие естественный поря-
док, именуемый натуральным рядом.
15 Действительными, или вещественными, числами называют любые положитель-
ные, а также отрицательные числа или нуль. Действительные числа разделяются
на рациональные и иррациональные. Множество всех действительных чисел на-
зывают числовой прямой. Теория действительных чисел занимает важнейшее
место в математике: свойства числовой прямой служат фундаментом, на котором
строится теория пределов, а вместе с ней и все здание современного математи-
ческого анализа.
16 См.: МедведевФ, А. Развитие теории множеств в XIX веке, М., 1965. С.
19.
17 Е>урбакиН. Очерки по истории мктематики. М., 1934. С, 14.
18 См.: R ц s s е 1 В. Mysticism and logic and other essays. L, 1954., p. 76.
19 В дальнейшем название этой работы будет даваться сокращенно — РМ.
20 В е й л ь Г. О философии математики. М--Л-, 1934. С. 16.
21 Об этом стало известно в 1932 г. после опубликования его переписки.
22 См.: К а ρ ρ и X. Основания математической логики. М., 1969. С. 22—23.
23 Они приведены, например, в книге С. Клин и· Введение в метаматематику.
Ц., 1957, с. 40-43.
24 Гильберт Д. Основания геометрии, М.-Л.,1948. С. 349.
25 Такое представление неявно заключало в себе посылку философского реализма
платоновского типа, отсутствие четкой границы между конкретными и абстракт-
XXIX

Μ. С. Козлова
ными объектами, или индивидуалиями и универсалиями.
26 Это наиболее распространенный тип множеств: племя не есть отдельный челдо-
век, созвездие не есть отдельная звезда, коллекция минералов не есть отдельный
образец минерала и т. д.
27 В качестве примеров таких множеств обычно приводятся каталог каталогов, спи-
сок списков, класс классов и т.п.
28 Такую классификацию предложил в 1925 г. английский логик ученик Б. Рассела
Ф. Рамсей.
21) К л и н и С. Введение в метаматематику. С. 42.
30 К а р ρ и X. Цит соч. С. 26
31 Rüssel В. and Whitehead Α. N. PHncipia Mathematica, vol. I—III.
Cambridge, 1910-1913.
32 Важным научным результатом Гильберта было строго аксиоматическое построе-
ние геометрии Эвклида (1899), определившее дальнейший ход исследований по
аксиоматизации научного знания.
33 См.: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики, Т. 1—2,
1934-39, рус. перевод — Т. 1-2, Μ., 1979--82.
34 Критические замечания в связи с использованием идеи актуальной бесконечности
высказывал еще Гаусс. Резко выступал против Кантора и ставил под сомнение
методы классической математики также Л. Кронекер (1823—1891). Предшествен-
ником интуиционизма можно считать также А. Пуанкаре (1854-1912).
35 См.: Марков А. А. Конструктивная математика / Математический эн-
циклопедический словарь. М., 1988, С. 285.
36 Цитируется по: А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории
множеств. М., 1968. С. 15.
37 Данное обстоятельство подчеркнул, в частности, венгерский исследователь А. Са-
бов в статье О превращении математики в дедуктивную науку (См. сб.: Исто-
рико-математические исследования, вып. 12. М., 1959.
38 Аристотель. Метафизика. С. 63. Дальнейшее развитие эта мысль получит
у Лейбница, разъяснявшего, что все аксиомы доказуемы посредством принципа
противоречия.
39 Витгенштейн Л. Логико-философский трактат.
40 См. там же. 3.331—3.333 и др.
41 Там же. 5.4731, 5.4732.
42 Там же. 4.462.
43 Известно, что среди обстоятельств, способствовавших возвращению Витгенштей-
на в философию и формированию его нового мышления, была и лекция теорети-
ка интуиционизма Брауэра, прочитанная в Вене в 1927 (?) году. Стоит отметить
и то, что во время визита в Москву в 1935 году Витгенштейн встречался с Кол-
могоровым, одним из создателей конструктивистского направления в обосновании
математики.
ххх

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ I
1—5. Следование правилу (Ср. Философские исследования 189,
190, и далее.).—— Переходы определяются формулой (1—2).
Продолжение ряда (3). Неумолимость математики; математи-
ка и истина (4—5), Замечание об измерении (5).
6—23. Логический вывод. Слово «все»; умозаключение от <<(х).
/χ» κ «/α» (10-16). Логический вывод и истина (7-23).
24—74. Доказательство. Доказательство как образец или модель,
норматив. Пример: рука — пентаграмма (25 и далее). Дока-
зательство как картина эксперимента (36). Пример: 100 ша-
ров (36 и далее). Конструирование фигур из их частей
(42—72). Математическое удивление. Доказательство и убеж-
дение. Математика и сущность (32, 73, 74). Глубина сущнос-
ти: глубокая потребность в конвенции (74).
75—105. Вычисление и эксперимент. «Развертывание» математи-
ческих свойств. Пример 100 шаров (75, 86, 88). Развертыва-
ние свойств многоугольника (76), цепи (79, 80, 91, 92). Из-
мерение (93, 94). Геометрические примеры (96, 98). Внут-
ренние свойства и отношения (102—105); примеры из логики
цвета.
106—112. Математическая вера.
113—141. Логическая принудительность. В каком смысле логичес-
кий аргумент принудителен? (113—117). Неумолимость логики
в сравнении с неумолимостью закона (118). «Логическая ма-
шина» и кинематика твердых тел (119-125). «Жесткость» ло-
гического долженствования» (121). Машина как символ ее об-
раза действия (122). Применение слова, схваченного мгновен-
но (123—130). Возможность как тень действительности (125).
Применение неверно понятого слова, толкуемого как некий
необычный процесс (127). (К 122—130 см. Философские ис-
следования 191—197.) Законы логики как «законы мышления»
(131-133). Ошибка в вычислении (134-136). Замечание об
измерении (139). Логическая невозможность (140). «То, что
мы предлагаем, это на самом деле заметки по естествен-
ной истории человека» (141).
142—155. Основание процесса вычисления и логического вывода.
Вычисление, в котором не прибегают к предложениям
(142—144). Пример с продажей бревен (142—151). Являются
ли наши законы вывода вечными и неизменными?» (154). Ло-
XXXI

Оглавление
гика предшествует истине (155).
156—169. Математика, логика и опыт. Доказательство и экспери-
мент (156—161). Что представляет собой логика в математике:
она действует через правила нашего языка (164). Математик
— изобретатель, не открыватель (167).
ПРИЛОЖЕНИЕ I
1—4. Типы предложений. Арифметика, осуществляемая без
предложений (4).
5—7. Истина и доказуемость в системе Principia mathematica.
8—19. Дискуссия о предложении «Р», утверждающем свою собствен-
ную недоказуемость в системе Principia Mathematica.
Роль противоречия в языковой игре (11—14, 17).
20. Предложения логики. «Предложение» и «предложение-форма».
ПРИЛОЖЕНИЕ II
1-3. Диагональный метод. Понятие «несчетного» (2). Сравне-
ние понятий действительного числа и кардинального числа
(3).
4. Болезнь времени.
5. Обсуждение предложения «Не существует наибольшего карди-
нального числа».
6-7 Иррациональные числа.
8-9. К 0
10—13. Обсуждение предложения «Дроби невозможно упорядочить в
последовательность по их величине».
14. Сравнение разных игр.
15—16. Обсуждение тезиса, что дроби (пары чисел) можно упорядо-
чить в бесконечный ряд.
17. Слово «бесконечный».
18. Финитизм, бихевиоризм. Общие замечания.
часть и
1-2. Доказательство. Математическое доказательство должно
быть обозримым. Роль определений (2).
3—8. РлссЕЛовская логика и идея сведения арифметики к символи-
ческой логике, Применение исчисления должно само за-
ботиться о себе (4). Доказательство в расселовском исчисле-
нии, в десятичном исчислении и в исчислении черточек.
9—11. Доказательство. Доказательство как запоминающаяся кар-
тина (9). Воспроизведение доказательства-образца (10-11).
12—2Ö- РАССЕЛОвская логика и проблема соотношения различных тех-
ник вычисления. Что значит изобретение десятичной систе-
XXXII

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
мы? (12) Доказательство в расселовском исчислении и в деся-
тичной системе (13). Наглядные и ненаглядные знаки для чи-
сел (16). Соотношение между сокращенными и несокращен-
ными техниками вычисления (17—20).
21-44. Доказательство. Идентичность и воспроизводимость дока-
зательства (21). Доказательство как образец. Доказательство и
эксперимент (22-44). Доказательство и математическое убеж-
дение (25—26). Путем доказательства мы пробиваемся к за-
ключению (27). Доказанное предложение как правило. Оно
призвано показывать нам, что имеет смысл говорить (28).
Предложения математики как «инструменты языка» (29). До-
казательство вводит новое понятие (31). Какое понятие дает
«р р»? (32). <<р р» как центр тяжести языкового способа пред-
ставления (33). Доказательство как часть некой институции
(36). Важность различия определения смысла и употреб-
ления смысла (37). Признание доказательства; «геометричес-
кая» концепция доказательства (38—40). Доказательство как
принятие определенного применения знаков (41). «Доказа-
тельство должно быть наглядной процедурой» (42). «Логика не
проходит как основание всей математики, поскольку убеди-
тельность логического доказательства всецело зиждется на его
геометрической убедительности. (43). В математике можно
избежать логических доказательств (44).
45—64. РАссЕЛОвская логика. —— Соотношение обычной и расселов-
ской техники доказательства (45). Критика концепции логики
как «основания» математики. Математика — пестрая мешани-
на вычислительных техник. Сокращенная техника как новый
аспект несокращенной (46—48). Замечание о тригонометрии
(50). Десятичная система обозначений независима от вычис-
ления единичных черточек (51). Почему РАссЕЛОвская логика
не учит нас делению? (52). Почему математика — не логика?
(53). Рекурсивное доказательство (54). Доказательство и эк-
сперимент (55). Соответствие вычислений в штриховой и в
десятичной системах обозначений (56—57). Несколько доказа-
тельств одного и того же предложения; доказательства и смысл
математического предложения (58—62). Точное соответствие
убедительного перехода в музыке и математике (63).
65—76. Вычисление и эксперимент. Являются ли предложения
математики антропологическими предложениями? (65). Мате-
матические предложения как предсказания соответствующих
результатов вычисления (66). Согласие — часть феномена вы-
числения (67). Если вычисления — эксперимент, то что такое
ошибка в вычислении? (68). Вычисления как эксперимент и
как путь (69). Доказательства способствуют взаимопонима-
нию. Эксперимент предполагает его (71). Математика и наука
об условных рефлексах вычисления (72). Понятие вычисле-
XXXIII
2—1923

Оглавление
ния исключает неразбериху (75—76).
77—90. Противоречия. Игра, в которой делается первый ход,
всегда выигрывает (77). Вычисления с использованием (а —
а). В вычислении нет провалов (Abgrunde), если я их не ви-
жу (78). Обсуждение парадокса гетерологического (79). Про-
тиворечие, рассматриваемое с точки зрения языковой игры.
Противоречие как «скрытый недуг» вычислений (81). Проти-
воречие и пригодность вычисления (81). Непротиворечивость
доказательства и неверное применение идеи механических га-
рантий от противоречия (82—89). «Моя цель — изменить точку
зрения на противоречия и непротиворечивость доказательства»
(82). Роль предложения: «Я должно быть ошибся в вычисле-
нии» — ключ к пониманию «оснований» математики (90)
ЧАСТЫН
1—7. Об аксиомах. — Самоочевидность аксиом (1—3). Самоочевид-
ность и применение (2—3). Аксиома и эмпирическое предло-
жение (4—5). Отрицание аксиомы (5). Математическое пред-
ложение стоит на четырех, — не на трех — ногах (7).
8—9. Следование правилу. — Описание с помощью правила (8).
10. Арифметическое допущение не привязано к опыту.
11—13. Понимание арифметики как естественной истории чисел. —
Это суждение с помощью картины (12).
14. Внешнее отношение логического (математического) предложе-
ния.
15—19. Возможность осуществления прикладной математики в отсут-
ствие чистой математики. — Математика не обязательно осу-
ществляется в предложениях; центр тяжести может заклю-
чаться в действии (15). Коммутативный закон как пример
(16-17).
20. Вычисление как механическая деятельность.
•21. Картина как доказательство.
22-27. Интуиция.
28. Какова разница между не-вычислением и ошибочным вычис-
лением?
29—33. Доказательство и математическое формирование понятия. —
Доказательство изменяет формирование понятия. Формирова-
ние понятия как граница эмпирии (29). Доказательство не
принуждает, а ведет (30). Доказательство направляет наш
опыт в определенные русла (31, 33). Доказательства и пред-
видение (33).
34. Философская проблема такова: как возможно говорить истину
и в то же время усмирять прочные предрассудки?
35—36. Математическое предложение. — Мы признаем его тем, что
поворачиваемся к нему спиной (35). Эффект доказательства:
XXXIV

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
вверяешься новому правилу 936).
39—42. Синтетический характер математических предложений. —
Распределение (дистрибуция) простых чисел как пример (42).
40. Результат предполагается эквивалентным операции.
41. То, что доказательство должно быть наглядным, означает, что
причинность не играет в доказательстве никакой роли.
43—44. Интуиция в математике.
47. Математическое предложение как определение понятия, кото-
рое следует за открытием новой формы.
48. Работа математической машины всего лишь картина работы
машины.
49. Картина как доказательство.
50—51. Переворачивание слова.
52—53. Математическое предложение и эмпирическое предложение.
Принятие математического понятия выражает уверенное
ожидание определенного опыта; однако установление этой ме-
ры не эквивалентно высказыванию этого ожидания (53).
55—60. Противоречие. Лжец (58). Толкование противоречия как
чего-то сверх-пропозиционального, как бы памятника с голо-
вой двуликого Януса, возвышающегося над предложениями
логики (59).
ЧАСТЫУ
1—4. Математика как игра и как машинообразная деятельность.
Вычисляет ли вычислительная машина? (2) В какой мере че-
ловеку необходимо иметь понятие о «предложении», чтобы по-
нимать РАссЕЛОвскую математическую логику? (4).
5—8. Причиняет ли вред вычислению как достоянию математики
неправильное понимание возможностей его применения?
Теория множеств (7).
9—13. Закон исключенного третьего в математике. — Там, где для
решения с помощью закона достаточного основания отсутству-
ет база, ее приходится изобретать, — дабы применение этого
закона обрело некий мифический смысл.
14—16, «Алхимия» понятия бесконечного и других математических по-
21—23. нятий с непонятным применением. Бесконечные предска-
зания (23).
17—20. Закон исключенного третьего. Математическое предложение
как требование. Математическое существование.
24—27. Доказательство существования в математике. «Гибельное
вторжение логики в математику» (24; см. также 43 и 48).
Математически общее соотносится с математически особенным
не так, как обычно соотносится общее с особенным (25). До-
казательство существования, не допускающее построения того,
что [согласно доказательству] существует (26—27).
2*
XXXV

Оглавление
29—40. Об экстенсиональном и интенсиональном в математике; деде
киндово сечение. Геометрическая иллюстрация анализа
(29). Теорема ДЕДЕКинда без иррациональных чисел (30). Ка-
ково глубокое содержание этой теоремы? Картина числовой
прямой (32, 37). Обсуждение понятия сечения (23—34).
Общность функций неупорядоченной общности (77). Обсуж-
дение математического понятия функции, экстенсия и интен-
сия в анализе (39-40).
41. Понятия, встречающиеся в «необходимых» предложениях,
должны иметь значение и в предложениях не-необходимых
42—46. О доказательстве и понимании математического предложения
Доказательство, понимаемое как движение от одного по-
нятия к другому (42). Понимание математического предложе
ния (45—46). Доказательство вводит новое понятие. Доказа
тельство призвано убеждать кого-то в чем-то (45). Доказа-
тельство существования' и конструирование (46).
47. Понятие по сути не является предикатом.
48. «Математическая логика» совершенно заморочила мышление
математиков и философов.
49. Числовой знак сопутствует знаку понятия и служит мерой
только вместе с ним.
50. О понятии общего.
51. Доказательство показывает как достигается результат.
52—53. Общие замечания. Философ — тот, кто должен изле-
читься от многих недугов рассудка, прежде чем сможет до-
стичь понятий здравого человеческого разумения.
ЧАСТЬ V
1. Роль предложений, толкующих о мерах и не являющихся эм-
пирическими предложениями. Такого рода предложение (на-
пример, «12 дюймов = 1 футу») встроено в некую технику и,
стало быть, принадлежит к условиям этой техники, но не как
высказывание об этих условиях.
2. * Роль правила. Оно может применяться и для предсказания.
Это зависит от свойств средств измерения и от людей их при-
меняющих.
3. Математическое предложение — преобразование определенно-
го выражения. Правило, рассмотренное с точки зрения полез-
ности и — с точки зрения его ранга. Как допустить, что два
арифметических выражения говорят одно и то же. Эквива-
лентными их делает арифметика.
4. Некто изучает арифметику просто следуя моим примерам. Ес-
ли я говорю: «Действуй с этими числами так, как я действовал
с теми, и ты получишь такой-то результат» это представ-
ляется одновременно и предсказанием и математическим пред-
XXXVI

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ложением.
5. Не стирается ли незаметно, с той и другой стороны, контраст
между правилами описания и дескриптивными предложения-
ми?
6. Что является тем общим для математического предложения и
математического доказательства, на основе чего и то и другое
следует называть «математическим»? Доказательство как кар-
тина. Эту картину превращает в вычисление не одно согласие,
а согласие согласий.
7. Меняется ли смысл предложения с нахождением доказательст-
ва? Новое доказательство дает предложению место в новой
системе.
8. РлссЕловское «ДО».
Предположим, мы получили какие-то свои результаты за счет
скрытого противоречия. Делает ли это их незаконными?
Могли бы мы не допустить противоречивую позицию?
9. «Метод механического предотвращения противоречия». Здесь
не совершенствуется плохая математика, а изобретается но-
вый фрагмент математики
10. Должны ли логические аксиомы быть всегда убеждающими?
11. Люди, которые иногда делают сокращение с помощью выра-
жений значения 0.
12. Допустим, исчисление утратило для меня смысл, поскольку я
узнал, что из него можно получить какой угодно результат —
разве оно не имело смысла до тех пор, пока я не узнал это?
Считается, что противоречие должно быть бессмысленным.
13. Для чего математике нужно основание?
14. Практическое значение вычисления. Вычисление и экспери-
мент.
15. Предполагается ли, что математика проясняет факты? Разве
математика не призвана определять характер того, что назы-
вается «фактом»? Разве она не должна научить нас вопрошать
о фактах?
В математике нет причинных связей, а только структурные
(модельные) связи.
16. Примечания.
17. Сеть соединений в стене. Почему мы называем это математи-
ческой проблемой? Осуществляет ли математика эксперимен-
ты над единицами?
18. «Предложение, которое говорит о самом себе, что оно недока-
зуемо» как это нужно понимать?
19. Конструирование знака-предложения, исходя из аксиом и в
соответствии с правилами; выявляется: мы одновременно и до-
казали предложение, и продемонстрировали, что его действи-
тельный смысл должен быть ложным.
20. Вычисление и эксперимент.
XXXVII

Оглавление
21. Показывает ли противоречие «гетерологический» логический
характер этого понятия?
22. Некая игра. А после определенного хода любая попытка про-
должить игру оборачивается нарушением правил.
23. Логический вывод — часть языковой игры. Логический вывод
и нелогический вывод. Правила логического вывода не могут
быть ни ошибочными, ни верными. Они определяют значение
соответствующих знаков.
24. Разумным действиям с числами не обязательно быть тем, что
мы называем «вычислением».
25. Не является ли математика с абсолютно фантастическим при-
менением всё-таки математикой?
26. Формирование понятий может быть существенным для боль-
шой части математики; и не играть никакой роли в других
частях.
27. Люди не замечающие противоречия и выводящие из него за-
ключения. Преобразовать такую математику в математику, —
разве это не может быть математической задачей?
28. Если бы в арифметике действительно было найдено противоре-
чие, это показало бы, что арифметика с таким противоречием
может прекрасно служить нам.
29. «Класс львов не есть лев, класс же классов есть класс».
30. «Я всегда лгу». Какую роль способно играть это предложение в
человеческой жизни?
31. Логическое следование. Не является ли правило чем-то услов-
ным? «Для человека невозможно признать, что объект отличен
от себя самого».
32. «Верное — т.е. соответствующее правилу».
33. «Принести то же самое» — как я могу объяснить это кому-то?
34. Когда при разложении следует говорить о доказательстве су-
ществования «777»?
35. «Формирование понятия» может означать разные вещи. Поня-
тие правила формирования бесконечной десятичной дроби.
36. Существенно ли для понятия вычисления то, что обычно люди
получают этот результат?
37. Если я спрашиваю, например, движется ли определенное тело
согласно уравнению параболы, — что делает в этом случае ма-
тематика?
38. Вопросы о пути формирования понятий в математике.
39. Можно ли в конечном счете не прибегать в математике к эк-
сперименту?
40. Сочетание форм. Возможности складывания листа бумаги.
Предполагается ли что мы не разделили геометрическую и фи-
зическую возможность? Не может ли быть, что люди при не-
которых обстоятельствах не получают при цифровых вычисле-
ниях соответствующего результата?
XXXVIII

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Если вычисления показывают тебе причинную связь, то ты не
вычисляешь.
Математика нормативна.
41. Введение нового правила вывода как переход к новой языко-
вой игре.
42. Видение поверхности как красной и синей, при невосприятии
ее как красной. Может ли логика сказать нам, что мы должны
воспринимать?
43. Поверхность с черточками, меняющими свой цвет.
44. Некто говорит, что видит красную и желтую звезду, не видя
при этом чего-то желтого.
45. «Я придерживаюсь правила».
46. Математическое долженствование —— выражение отношения
к технике вычисления. Выражение того факта, что математи-
ка формирует понятия.
47. Случай видения комплекса из А и В при том, что не видят А
или В. Можно ли видеть А и В, лишь воспринимая Α ν В? И
наоборот.
48. Опыт и вневременные предложения.
49. В каком случае можно говорить, что предложение арифметики
дает нам некое понятие?
50. Не каждая языковая игра содержит в себе то, что мы готовы
называть «понятием».
51. Доказательство и картина.
XXXIX

ПРЕДИСЛОВИЕ ИЗДАТЕЛЕЙ
Публикуемые здесь замечания по философии математики и логики были на-
писаны в 1937-1944 годах. С тех пор Витгенштейн больше не возвращался к
этой теме. Он много написал об этом в период с 1929 примерно по 1932 год,
часть этих записей мы надеемся опубликовать позже, вместе с другими мате-
риалами тех лет.
Эти более ранние работы относятся к той стадии развития ВитгЕнштЕйна, ко-
торая была еще близка образу мыслей его Логико-философского тракта-
та. Заметки же, представленные в этой книге, примыкают по стилю мыш-
ления к Философским исследованиям.
По-видимому, сначала Витгенштейн собирался включить свои мысли о мате-
матике и логике в Философские исследования. Первый из публикуемых
здесь фрагментов (часть 1) фактически входил в первоначальный вариант
рукописи Исследований. Он начинается двумя фрагментами, по сути совпа-
дающими с §§ 189 и 190 Исследований.
Эта I часть — явно наиболее ранний из представленных здесь фрагментов.
Он, должно быть, написан в 1937 году. Это единственная из частей данного
собрания, существовавшая в машинописном виде, и, безусловно, самая отра-
ботанная из них всех. Последний раздел этой рукописи мы не включили в
книгу; его содержание вошло в окончательную версию Исследований,
547—568. Фрагменты 122—130 в основном совпадают с §§ 193—197 Иссле-
дований, — но были сохранены из соображений связности текста.
К I части давались два приложения. Одно — о неожиданном в математике.
Оно не включено в данную книгу. В другом обсуждается теорема Геделя о
существовании в системе Principia Mathematica истинных, но недоказуемых
предложений (Приложение I).
Должно быть, Витгенштейн намеревался также добавить приложение о тео-
реме Геделя, — а также приложения о канторовской теории бесконечности и
расселовской логике — к планировавшемуся рассмотрению проблемы основа-
ний математики в Философских исследованиях. Под заголовком «Дополне-
ния» (вероятно, в начале 1938) он записал ряд соображений о проблемах,
связанных с теорией множеств: о диагональном методе и разного рода толко-
ваниях числа. Некоторые из этих «Дополнений» публикуются здесь вместе с
подборкой из другой рукописи, написанной с апреля 1938 по январь 1939
(Приложение II).
Витгенштейново разъяснение своей позиции в отношении РлссЕла, то есть об
идее выводимости математики (арифметики) из логического исчисления,
включено во вторую часть данного собрания. Эта часть относится к периоду
с октября 1939 по апрель 1940. Ее рукопись была самой объемистой из всех,
а, стало быть, наименее совершенной по стилю, да и по содержанию. Автор
XL

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
здесь вновь и вновь пытается прояснить свои мысли о природе математичес-
кого доказательства, о том, что значит утверждать, что доказательство долж-
но быть* очевидным, что оно демонстрирует нам некую картину, создает но-
вое понятие, и тому подобное. Он стремится объяснить «неоднородность ма-
тематики» и выявить связь между различными техниками вычисления. Вме-
сте с тем он выступает против идеи «обоснования» математики, как в форме
рлссЕловского логического исчисления, так и с помощью гильбертовской кон-
цепции метаматематики. Обстоятельно обсуждается проблема противоречия
и непротиворечивости доказательства.
Издатели пришли к единому мнению, что эта рукопись полна ценных идей,
которые не встречаются где-то еще, в других работах ВитгшЕНШТЕйна. (Точ-
ка зрения, которую он здесь принимает, в чем-то совершенно отлична от его
поздних мыслей.) С другой стороны, было также ясно, что рукопись нельзя
было бы опубликовать без сокращения. Вот почему возникла необходимость
отбора. Задача была очень трудной, и результаты не дали издателям чувства
должного удовлетворения.
Осенью 1940 года Витгенштейн вновь занимался философией математики, и
записал ряд соображений о «следовании правилу», — это один из вопросов, к
которому его мысли возвращались наиболее часто. Этих записей мы здесь не
публикуем. Работа над темой была продолжена в мае 1941 и привела к изыс-
каниям, значительная подборка из которых публикуется здесь как часть V.
Эта V часть писалась в разное время. Первая половина (1—16) была записа-
на в основном в июне 1941. В ней идет речь об отношении между математи-
ческими и эмпирическими предложениями, между вычислением и экспери-
ментом; дается новое понимание противоречия и непротиворечивости; и, на-
конец, обсуждается гЕДЕлевская проблема. Вторая половина относится к вес-
не 1944. В ней главным образом рассматриваются понятия следования пра-
вилу, математического доказательства и логического вывода. Есть ряд точек
соприкосновения, с одной стороны, с рукописями, того же времени (части
III и IV), и с идеями Философских исследований, с другой. Некоторые из
замечаний издатели в этом случае изъяли, поскольку они дословно вошли в
Исследования. Обе половины этой V части записаны в одной и той же за-
писной книжке, что, пожалуй, служит еще одним свидетельством того, что
автор рассматривал их как одно целое.
Часть III взята из рукописи 1942. Часть IV из двух рукописей 1942 и 1943.
В этих частях многое носит характер предварительного изыскания ко второй
половине V части, но в них содержится и кое-какой материал, который ав-
тор здесь не использовал.
В IV части Витгенштейн обсуждает вопросы, относящиеся к Брауэру и интуи-
ционизму: закон исключенного третьего и математическое существование; де
декиндово сечение, а также экстенсиональный и интенсиональный подходы к
математике.
Хронологическое расположение материала приводит к тому, что один и тот
же вопрос иногда рассматривается в разных местах. Скомпонуй свой матери-
ал в единую книгу сам Витгенштейн, он, пожалуй, избежал бы некоторых из
этих повторов. Издатели же на попытку такой компоновки не отважились.
XLI

Предисловие издателей
Необходимо еще раз подчеркнуть, что здесь публикуются извлечения из бо-
лее пространных рукописей. Возможно, позже представится желательным
опубликовать то, что здесь полностью или частично опущено. Но предвосхи-
щать подобное требование публикации более обширного материала, мы по-
лагаем, не входило в наши задачи.
Издатели ответственны за нумерацию отобранных фрагментов, разбиение же
на отдельные «замечания» с помощью пробелов между ними осуществлено
самим Витгенштейном. За редким исключением, мы не вмешивались в их по-
рядок. Но кое-где, особенно в конце части III и IV, мы соединили вместе за-
мечания на одну и ту же тему, находившиеся в разных местах рукописей.
Оглавление и индекс рассчитаны на то, чтобы помочь читателю в обозрении
целого, и вместе с тем облегчить отыскание переходов. За предложенное в
оглавлении тематическое разбиение материала ответственны исключительно
издатели.
Г. X. фон Вригт
Р. Рис
Г. д. М. Энском
XLII

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Ι
Около 1937-1938
1. Мы пользуемся выражением «Последовательность переходов
определяется по формуле...». Как оно используется? — Можно,
пожалуй, сослаться на то, что люди обучены (натренированы)
пользоваться формулой у = χ2 так, что, подставляя одно и'то же
число вместо х, они всегда получают одно и то же число для у.
Или же можно сказать: «Эти люди обучены так, что по заданию
„+3" они все в одном и том же месте делают одинаковый пере-
ход». Мы могли бы выразить данную мысль следующим образом:
«Задание „+3" полностью определяет для этих людей каждый пе-
реход от одного числа к следующему». (В отличие от других лю-
дей, либо не знающих, что следует делать по такому заданию, ли-
бо реагирующих на него с полной уверенностью, но каждый —
по-своему.)
С другой стороны, можно противопоставить друг другу формулы
разного рода с присущим им различием видов употребления (раз-
ными видами обучения). В этом случае мы называем формулами
особого рода те, что «определяют число у для данного значения
х», а те, что «не определяют число у для данного значения х», —
формулами иного рода, (у = χ2 + 1 было бы формулой первого
рода, а у > χ2 -f 1, у = χ2 ±1, у = χ2 + ζ — формулами иного ро-
да.) В таком случае предложение: «Формула ... определяет число
у>> представляет собой высказывание о типе данной формулы — и
потому предложение такого вида: «Записанная здесь формула оп-
ределяет у>> — или предложение: «Перед нами формула, определя-
ющая у>> — следует отличать от такого предложения, как «Фор-
мула у = χ2 определяет число у для любого заданного х». Тогда
вопрос: «Определяется ли у записанной здесь формулой?» — бу-
дет равнозначен вопросу: «Принадлежит ли такая формула к пер-
вому или ко второму роду?»; но не ясно само по себе, для чего
пригоден вопрос: «Является ли выражение у = χ2 формулой, он-

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ределяющей у для любого заданного х?» Этот вопрос можно за-
дать школьнику, чтобы проверить, понимает ли он употребление
выражения «определять»; или же он мог бы служить математичес-
ким заданием — установить, входит ли в правую часть формулы,
скажем такой, как у = (χ2 + χ)2 — ζ(2χ2 + ζ), лишь одна пере-
менная.
2. «Способ осмысления формулы определяет, какие действия
должны совершаться при ее расчете». Но каков критерий того,
каким способом осмысливается формула? Вероятно, таковым яв-
ляется тот способ, каким мы всегда пользуемся ею, тот способ,
каким нас научили ею пользоваться.
Мы, например, говорим кому-то, кто пользуется неизвестным нам
знаком: «Если под х!2 ты подразумеваешь х2, то получишь для у
это значение, понимая же под этим Vx, получишь то». — Теперь
задайся вопросом: каким образом под х!2 подразумевают либо
то, либо другое?
Вот так и осмысление [формулы] способно заранее определять
последовательность шагов.
3. Откуда я знаю, что при построении числового ряда +2 следует
писать
«20004, 20006»,
а не
«20004,20008»?
— (Аналогичен вопрос: «Откуда я знаю, что этот цвет „крас-
ный"?»)
«Но ты же знаешь, например, что должен всегда писать одинако-
вую числовую последовательность в таких единицах: 2, 4, 6, 8, 0,
2, 4 и т. д.». — Совершенно верно! Указанная проблема должна
возникать уже и в этой последовательности чисел, и даже в та-
кой: 2, 2, 2, 2 и т. д. — В самом деле, откуда я знаю, что после
пятисотого «2» я должен писать »2», то есть что и в этом случае
«2» будет «той самой цифрой»? А если я знаю это заранее, так в
чем польза от такого знания впоследствии? Я имею в виду: откуда
я узнаю, что делать с тем моим прежним знанием потом — при
выполнении реального перехода?
(Если интуиция необходима для продолжения ряда +1, то она не-
обходима и для продолжения ряда +0.)
«А не хочешь ли ты сказать, что выражение „+2" оставляет тебя
в сомнении, что, к примеру, следует записывать после 20004?» —

Ι, 1937-1938
Нет, я отвечаю без колебаний: «20006». Но именно поэтому из-
лишне полагать, что это было заведомо установлено. То, что при
таком вопросе у меня не возникает сомнений, вовсе не означает,
что ответ на него уже имелся заранее.
«Но я все же знаю и то, что, какое число мне ни предложи, я
смогу дать следующее за ним безо всяких колебаний». — Разуме-
ется, если этому не воспрепятствует моя смерть или множество
иных происшествий. Но моя уверенность в том, что я смогу про-
должить ряд, безусловно, очень важна.
4. «А в чем же тогда состоит характерная неумолимость матема-
тики?» — Разве не служит удачной иллюстрацией этого неумоли-
мое следование за единицей двойки, за двойкой тройки и т. д.? —
Но это означало бы: следовать в ряду натуральных чисел; ведь в
другом ряду картина следования была бы иной. А что, если этот
ряд вовсе не определяется такой последовательностью? —
«Должно ли это также означать, что в равной мере будет правиль-
ным любой способ счета, что каждый сможет считать, как ему
заблагорассудится?» — Пожалуй, случай, когда произносят одну
за другой любые цифры в произвольном порядке, мы бы не на-
звали «счетом»; но дело здесь, конечно, не просто в наименова-
нии. Ибо то, что мы называем счетом, — действительно важная
часть нашей жизнедеятельности. Бесспорно, например, что счет и
вычисления не просто пустое времяпрепровождение. Счет (а это
означает такой-то счет) — технический прием, ежедневно
применяемый в самых разных актах нашей жизни. Вот почему
мы учимся считать так, как учимся: с бесконечными упражнения-
ми, с нещадной точностью; потому-то мы неуклонно настаиваем,
чтобы после слова «один» все произносили слово «два», после сло-
ва «два» — «три» и т. д. — «А тогда не оказывается ли этот счет
просто неким употреблением; не получается ли, что такому ряду
не соответствует никакая истина?» Истина состоит в том, чтобы
этот счет был пригоден. — «То есть ты хочешь сказать, что „быть
истинным" — значит быть употребимым (или полезным)?» —
Нет, не это; а то, что о натуральном ряде чисел — так же как и о
нашем языке — не скажешь, что он истинен, можно же сказать,
что он применим, и прежде всего что он применяется.
5. «А разве не следует с логической необходимостью, что, приба-
вив один к одному, ты получишь два, а прибавив один к двум —
три и т. д.; и разве эта неумолимость не того же рода, что и неу-
молимость логического вывода?» — Конечно! Того же самого. —

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
«А разве логическому выводу не соответствует некая истина? Раз-
ве не истинно, что из этого следует то?» — Предложение: «Ис-
тинно, что из этого следует то» просто означает: это следует из то-
го. А как употребляется это высказывание? — Что бы случилось,
сделай мы иной вывод — каким образом мы бы вступили в
конфликт с истиной?
Насколько бы мы погрешили против истины, если бы наши ли-
нейки были сделаны из очень мягкой резины, а не из дерева или
стали? — «Да мы бы не узнали истинных размеров стола». — Ты
имеешь в виду: мы бы их не получили или, получив, не могли бы
быть уверены в том, что это те оке размеры, что получаются с
помощью твердой линейки. То есть тот, кто измерял бы разме-
ры стола эластичной линейкой и заявлял, что длина стола — 1,8
м по нашим обычным меркам, был бы не прав; заяви же он, что
длина стола равняется 1,8 м по его способу измерения, это было
бы верно. — «Да это вообще не измерение!» — Оно похоже на
наше измерение и при некоторых обстоятельствах способно слу-
жить «практическим целям». (Некий торговец мог бы использо-
вать его для неодинакового обслуживания разных покупателей.)
Линейку, которая бы очень сильно удлинялась при небольшом на-
гревании, мы бы поэтому назвали неприменимой в обычных ус-
ловиях. Но можно придумать обстоятельства, при которых именно
это свойство линейки оказалось бы желательным. Вообразим, что
расширение предметов воспринимается невооруженным глазом; и
вот мы приписываем телам в комнатах с разной температурой те же
самые размеры длины, если замеряем их линейкой, которая на на-
ших глазах становится то длиннее, то короче.
Тогда можно сказать: то, что здесь называется «измерением»,
«длиной», «одинаковой длиной», — это не то, что мы обозначаем
такими словами. Употребление этих слов отлично от нашего, но
оно родственно ему; да и мы употребляем эти слова многообраз-
ными способами,
6. Необходимо уяснить, в чем, собственно, состоит умозаключе-
ние. Можно, например, сказать, что оно состоит в переходе от од-
ного утверждения к другому. Но значит ли это, что умозаключе-
ние — нечто, имеющее место при переходе от одного утверждения
к другому, следовательно, раньше, чем высказано другое, — или
же что умозаключение состоит в возможности следования одного
утверждения за другим, то есть, например, в возможности выска-
зать его после того, как высказано первое? Введенные в з^блуж-
6

Ι, 1937-1938
дение особым употреблением глагола «умозаключать», мы готовы
вообразить, будого умозаключение являет собой какую-то необыч-
ную деятельность, особый процесс в сфере разумения, как бы
невнятные наплывы, из которых возникает логический вывод. Но
приглядимся все же к тому, что происходит! — Здесь имеет место
переход от одного высказывания к другому через ряд предложе-
ний — то есть с помощью цепи выводов; но о последней нам нет
нужды говорить, так как сама эта цепь предполагает переход ино-
го рода — от одного звена к следующему за ним. Процесс перехо-
да в этом случае совершается между звеньями. В этом процессе
нет ничего таинственного; это — выведение знаков одного предло-
жения из знаков другого по некоему правилу; сравнение обоих
предложений с каким-нибудь образцом, представляющим нам схе-
му перехода, и т. п. Такие процессы могут совершаться на бума-
ге, устно или же «в голове». — Но умозаключение может проис-
ходить и так, что одно предложение будет высказываться за дру-
гим в отсутствие такого перехода; или же переход может сводить-
ся к тому, что говорится «следовательно» или «из этого следует» и
т. п. «Выводом» это называют в том случае, если предложение де-
йствительно можно вывести из предпосылок.
7. Что же тогда означает: одно предложение можно вывести из
другого согласно правилу? Разве нельзя вывести все из всего с го-
мощью какого-нибудь правила — даже с помощью любого прави-
ла, истолкованного соответствующим образом? Что будет озна-
чать, если я, например, скажу: «Это число можно получить умно-
жением таких-то двух чисел?» Это и будет правило, говорящее о
том, что при верном умножении должно получиться такое число;
обрести же данное правило можно, перемножая два числа или же
иным способом (хотя любую процедуру, приводящую к данному
результату, можно было бы назвать «умножением»). Обо мне го-
ворят, что я перемножил в том случае, когда я провел умноже-
ние: 265 х 363 — но и, когда я говорю: «4 раза по 2 дают 8», —
хотя здесь произведение не есть результат счета (но я бы мог его
и вычислить). Так что, мы говорим, что получен результат и в
том случае, когда он не вычислен.
8. Так ведь выводить можно лишь то, что действительно выводит-
ся!— Должно ли это означать: лишь то, что следует из правил
вывода; или же это должно означать: только то, что следует из
таких правил вывода, которые каким-то образом согласуются с
реальностью? При этом нам смутно представляется, будто эта ре-

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
альность — нечто весьма абстрактное, очень общее и очень жест-
кое. Логика — своего рода ультрафизика, описание «логического
строения» мира, воспринимаемого путем своеобразного ультра-
опыта (вкупе, скажем, с пониманием). Тут, вероятно, приходят
на ум умозаключения вроде вот этого: «Печь дымит, следователь-
но, труба опять не в порядке». (Вот так и осуществляется подоб-
ное умозаключение! А не так: «Печь дымит, а всегда, когда дымит
печь, труба не в порядке; следовательно ...»)
9. То, что мы называем «логическим выводом», есть некое преоб-
разование выражения. Например, пересчетом одной системы мер
в единицы другой. На одном конце линейки масштаб дан в дюй-
мах, на другом — в сантиметрах. И конечно, переход от од-
ной меры к другой может быть как правильным, так и неверным;
но с какой реальностью здесь согласуется правильность? Вероят-
но, с неким соглашением или с неким употреблением или, мо-
жет быть, с практическими потребностями.
10. «Но не должно ли тогда, например, из „(х) · fx" следовать
,j(a)", если „(х) · fx" мыслится так, как мы его мыслим?» — А
как проявляет себя то, как мы его мыслим? Разве не путем
постоянной практики его употребления? Или, скажем, не через
определенные жесты и нечто им подобное? Но когда мы
произносим слово «все», к нему как бы прибавляется что-то —
определенное значение, с которым было бы несовместимо иное
его употребление. «„Все" — это и означает: все!» — говорим мы.
Если бы требовалось объяснить это значение, мы бы сказали:
«„Все" — это и есть все», сопроводив эти слова особым жестом и
миной. t
Сруби все эти деревья! Ты не понимаешь, что означает
«все»? (Он оставил одно дерево.) Как он усвоил, что означает
все! Вероятно, на практике. — И, получив указание, он делает
это, конечно, благодаря такой практике, но ею же порождается
вокруг данного слова масса образов (визуальных и иных), возни-
кающих — то один, то другой — в нашем сознании, когда мы
слышим или произносим слово. (И если нужно дать себе отчет в
том, каково «значение» слова, мы сначала схватываем в этой мас-
се образов какой-то один, а затем отвергаем его как несуществен-
ный, убедившись, что в разное время сознанию предстает то один,
то другой образ, а то и вовсе никакого.)
Значению слова «все» учатся в процессе усвоения того, что из
„(x)'ßc" следует ,jh". — Упражнения, с помощью которых тре-

Ι, 1937-1938
нируются как употреблять данное слово, понимать его значение,
всегда направлены на то, чтобы не допускать исключений.
11. Как мы учимся умозаключать? Или же мы этому не учимся?
Знает ли ребенок, что из двойного отрицания следует утвержде-
ние? И как его убеждают в этом? Вероятно, ему показывают
какой-либо процесс (двойное обращение, двукратный поворот на
180° и т. п.), который он воспринимает теперь как образ отрица-
ния.
И смысл высказывания „(х) · fx" проясняют, подчеркивая, что из
него следует высказывание ,Juv.
12. «Ведь из „все", если оно осмысливается так, должно следо-
вать это>>. — Если осмысливается как? Подумай над тем, как ты
сам его мыслишь. Тут в твоем воображении, может быть еще
всплывет некая картина — и этим дело ограничивается. — Да,
верно, дело не в том, что это должно следовать, а в том, что это
следует: мы -совершаем этот переход.
И мы говорим, что если бы этого не следовало, то речь бы просто
шла не обо всех, — а это лишь показывает, как мы словесно реа-
гируем на такую ситуацию.—
13. Нам кажется, что если из „(х) · fx" больше не следует ,Ja",
то помимо употребления слова «все» должно измениться и что-то
еще, что-то связанное с самим словом.
Не похоже ли это на случай, когда говорят: «Действуй этот чело-
век иначе, его характер наверняка был бы иным»? Ну, данное
высказывание может что-то означать в одних случаях, в других
же — ничего не означать. Мы говорим: «Из характера вытекает
поведение» и по аналогии с этим: из значения вытекает употреб-
ление.
14. Это показывает — можно сказать, — как прочно связаны оп-
ределенные жесты, образы, реакции с постоянно практикуемым
их употреблением.
«Нам навязывается картина...» Очень интересно, что картина дей-
ствительно нам навязывается. И будь это не так, как могло бы
нам о чем-нибудь говорить предложение: «Что сделано, то сделано»?
15. Важно то, что в языке — в нашем обычном языке — «все»
является фундаментальным понятием, а выражение «все, за ис-
ключением того-то» менее фундаментально; то есть для него не
существует одного слова, а также характерного жеста.
16. Суть слова «все» как раз и состоит в том, что оно не допускает

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
исключений. — Да, именно такова суть его употребления в нашем
языке; но какие виды употребления мы считаем существенными,
зависит от того, какую роль играет это употребление во всей на-
шей жизни.
17. На вопрос, в чем состоит умозаключение, нам отвечают при-
мерно так: «Если я установил истинность предложений... то имею
право записать далее...» — В каком смысле я имею право на это?
А ранее я не имел права записать это? — «Те предложения убеж-
дают меня в истинности этого предложения». Но естественно, речь
идет не только об этом. «По этим законам ум осуществляет осо-
бую деятельность логического вывода». Это, конечно, интересно и
важно; ну, а истинно ли это? Всегда ли люди умозаключают по
этим законам? И в чем состоит особая деятельность умозаключе-
ния? Именно поэтому необходимо видеть, как мы делаем выводы
в языковой практике; чем является процесс умозаключения в
языковой игре.
Например, в некоем предписании говорится: «Все, у кого рост
больше 1 м 80 см, поступают в подразделение...» Один чиновник
зачитывает имена, добавляя данные об их росте. Другой распреде-
ляет их по подразделениям. — «N —1м 90 см». «Следовательно,
N идет в подразделение...» Это и есть умозаключение.
18. В таком случае что мы называем «выводами» у РлссЕла или
Евклида? Должен ли я сказать: переходы от одного высказывания
к другому, ближайшему к нему в процессе доказательства? — Но
где находится этот переход? — Я говорю, что у РАССЕла одно вы-
сказывание следует из другого, если при чтении его труда одно из
них выводимо из другого на основе их положения в доказательст-
ве и дополняющих их знаков. Ведь читать эту книгу — игра, тре-
бующая обучения.
19. Часто недоумевают, в чем, собственно, состоит логическое
следование и вывод; какого рода факт, какого типа процесс они
собой представляют? Своеобразное употребление этих слов под-
сказывает нам, что следование — это существование некой связи
между высказываниями, — связи, которую мы прослеживаем в
ходе логического вывода. Это весьма поучительно показано в рас
селовском изложении (Principia Mathematica). То, что предложе-
ние \-q следует из предложения f—p z> q · ρ — здесь основной ло-
гический закон:
9.12. То, что предполагается истинной посылкой — истинно. Рр.
Значит, оправдан вывод \~q из l·-ρ ζ> q · ρ . В чем же тогда заклю-
10

Ι, 1937-1938
чается «вывод», та процедура, которая здесь обоснована? Несом-
ненно, в том, чтобы в некой языковой игре произносить, записы-
вать и т. д. одно предложение за другим в качестве утверждения.
А каким образом может мне дать право на это приведенный ос-
новной закон?
20. Ведь Рассел хочет сказать: <<Так я умозаключаю, и так умо-
заключать правильно». То есть он хочет первым делом сообщить
нам, как он намерен умозаключать: эта процедура выполняется
по правилу умозаключения. Что оно гласит? Что это предложение
влечет за собой то? Да, верно, — в доказательствах этой
книги такое-то предложение должно стоять после такого-то. —
Но ведь то, что так умозаключать правильно, предполагается в
качестве фундаментального логического закона! — В таком слу-
чае этот основополагающий закон должен был бы гласить: «Умо-
заключать от ... к ... — правильно»; при этом предполагается, что
этот основной закон должен быть самоочевидным — а в таком
случае была бы самоочевидной также верность или обоснован-
ность и самого правила. «Но ведь в этом правиле речь идет о
предложениях в какой-то книге, а это не относится к логике!» —
Совершенно верно; в действительности это правило всего лишь со-
общение, что в данной книге будет использоваться только этот
переход от одного предложения к другому (подобно информации
в указателе), правильность же перехода в соответствующем месте
должна быть очевидной; выражением же «основного логического
закона» является тогда сама последовательнось предложений.
21. Своим основным логическим законом Рассел, казалось бы, го-
ворит о предложении: «Оно уже следует — мне нужно всего лишь
вывести его». Так, Фреге однажды сказал, что прямая, связываю-
щая какие-то две точки, по сути, уже существует до того, как мы
ее проводим, и так же обстоит дело, когда мы говорим, что пере-
ходы, скажем в числовом ряду 4-2, были уже выполнены до того,
как мы их осуществляем устно или письменно, как бы прочерчи-
вая их более рельефно.
22. Тому, кто это говорит, можно ответить: ты здесь используешь
некий образ. Переходы, которые надлежит кому-то выполнить в
некотором ряду, можно определить, предварительно осуществив
их для него: например, записывая ряд, который он должен пост-
роить, другими знаками, так что ему останется только перевести
данную запись в нужные знаки; либо же действительно обозначая
этот ряд тонкими контурами, так что остается их только обвести.
11

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
В первом случае можно также сказать, что мы не записываем
тот ряд, который должен записать он, так что мы сами не дела-
ем переходы в том ряду; во втором же случае ряд, который дол-
жен быть записан, уже существует. Мы сказали бы это и в том
случае, если бы то, что требуется записать, диктовалось, хотя
при этом произносился бы ряд звуков, а записывался ряд пись-
менных знаков. Во всяком случае, это надежный способ опреде-
лить переходы, которые кто-то должен сделать, предварительно в
каком-то смысле предписав их ему. — Но эти переходы можно
определить и в совершенно ином смысле. Скажем, мы тренируем
ученика так, как обучают детей таблице умножения и самому ум-
ножению. Овладев соответствующим навыком, все обученные
производят любые действия умножения (не пройденные ими во
время обучения) одинаковым образом и с совпадающими резуль-
татами. Если кто-то благодаря такому навыку выполняет опреде-
ленные переходы по заданию «4-2», то можно достоверно предска-
зать, как он будет поступать, даже если прежде он никогда не со-
вершал этого перехода, — в таком случае может быть естествен-
но ирибегнуть к такому образу происходящего: все переходы уже
сделаны, он же их лишь записывает.
23. «Но мы же выводим это предложение из того, потому что оно
действительно следует из него. Ведь мы убеждаемся, что оно сле-
дует». — Мы убеждаемся, что написанное здесь следует из напи-
санного там. И это предложение используется во временном
смысле.
24. Отдели чувства (жесты) согласия от того, как ты действу-
ешь с доказательством!
25. А как обстоит дело, когда я убеждаюсь в том, что черточки
на следующей схеме
ι Ι Ι Ι ι (а)
численно равны углам на такой схеме:
(Ь)
А
12

Ι, 1937-1938
(я намеренно сделал эти схемы запоминающимися), скоррелиро-
вав их:
(с)
Ну, а в чем я убеждаюсь, глядя на эту фигуру? Я вижу звезду с
нитевидными продолжениями. -*— ■ ■
26. Но я могу использовать эту фигуру и таким образом: пять че-
ловек стоят пятиугольником: у стены расставлены жезлы, как на
схеме /а,); я смотрю на схему (с) и говорю: «Я могу каждому ш*
этих людей дать по жезлу».
Фигуру (с) можно рассматривать в качестве схематичной карти-
ны того, что каждому из пятерых человек я даю по жезлу.
27. Ведь, нарисовав сначала произвольный многоугольник
а затем произвольный ряд линий
I I I I I I II МММ I I III II I I I I I INI I I
можно выяснить путем их соотнесения, соответствует ли число уг-
лов числу линий. (Не зная заранее, что из этого получится.) И
можно также сказать, что, лишь проводя линии цроекции, убеж-
даешься в том, что в верхней части рисунка (с) столько же штри-
хов, сколько углов имеет звезда внизу. (Со временем!) При таком
понимании рисунок (с) не похож на математическое доказательст-
во (как не является математическим доказательством случай, ког-
да я даю группе людей мешок яблок, считая, что каждый из них
может претендовать как раз на одно яблоко).
Но рисунок (с) можно принять и за математическое доказательст-
13

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
во. Дадим формам рисунков (а) и (Ъ) названия. Пусть форма (а)
называется «рука», Р, форма (Ъ) — «пентаграмма», 77. Я доказал,
что Ρ имеет столько же линий, сколько 77 имеет углов. А это уже
опять вневременное предложение.
28. Доказательство — я бы сказал — единая фигура, с опреде-
ленными предложениями на одном ее конце и неким предложени-
ем (которое мы называем «доказанным») — на другом ее конце.
Описание такого рода фигуры могло бы гласить: «В ней предло-
жение... следует из ...» Это своего рода описание образца, кото-
рый мог бы, скажем, быть и орнаментом (узор на обоях). Следо-
вательно, я могу сказать: «В доказательстве на той доске предло-
жение ρ следует из q и г», и это просто описание того, что можно
увидеть там на доске. Но то, что ρ следует из q и г, — не матема-
тическое предложение. Оно имеет другое применение. Оно гла-
сит — так можно было бы это сформулировать, — что имеет
смысл говорить о некоем доказательстве (образце), в котором ρ
следует из q и г. Так же как можно сказать: предложение «белое
светлее черного» утверждает, что имеет смысл говорить о двух
предметах, более светлый из которых — белый, а другой — чер-
ный, но не о двух предметах, более светлый из которых — чер-
ный, а другой — белый.
29. Представим, что нам дан образец для «более светлого» и «бо-
лее темного» в форме белого и черного пятен, и теперь с его по-
мощью мы, так сказать, делаем вывод, что красное темнее, чем
белое.
30. Предложение, доказанное с помощью рисунка (с), теперь слу-
жит новым предписанием для констатации числового равенства:
располагая множеством объектов, упорядоченных в форму руки,
и другим — в форму углов пентаграммы, мы говорим, что оба
множества равночисленны.
31. «Но разве этот вывод мы делаем не просто потому, что уже
однажды сопоставили Ρ и 77 и увидели, что они равночислен-
ны?» — Да, но, если Ρ и Я равночисленны в одном случае, как
мне знать, будут ли они вновь равночисленны теперь? — «Потому
что в самой сущности Ρ и 77 заложено, что они равночислен-
ны». — Но как ты мог бы это выявить через их корреляцию? (Я
думал, что с помощью счета или корреляции устанавливают лишь
то, что обе эти, находящиеся передо мной, группы равночисленны
или неравночисленны.)
«Но если кто-то имеет некое Ρ вещей и некое 77 вещей и факти-
14

Ι, 1937-1938
чески коррелирует их друг с другом, то ведь невозможно, чтобы
он получил какой-то иной результат, чем то, что они равночис-
ленны. А что это невозможно, я вижу из данного доказательст-
ва». — Но разве это на самом деле невозможно? Допустим, на-
пример, что этот кто-то — как мог бы сказать кто-либо другой —
по недосмотру упускает одну из корреляционных линий. Но я
признаю, что в подавляющем большинстве случаев у него всегда
будет один и тот же результат, не получив же его, он подумал бы,
что в чем-то запутался. В противном случае доказательство в це-
лом оказалось бы лишенным основания. Ведь, решившись пользо-
ваться доказательством-картиной вместо корреляции групп, мы их
не коррелируем, а вместо этого сравниваем их с группами в дока-
зательстве (где, на деле, две группы коррелированы друг с другом).
32. Результатом доказательства я мог бы также объявить следую-
щее: «Отныне Ρ и Π называются „равночисленными"».
Или же: доказательство не исследует сущности обеих фигур, но
высказывает нечто, что отныне я буду причислять к сущности фи-
гур. То, что принадлежит к сущности, я отношу к парадиг-
мам языка.
Математик созидает сущность.
33. Заявлять: «Это предложение следует из того» — значит прини-
мать некое правило. Оно принимается на основе доказательства.
То есть я нахожу эту цепь (эту фигуру) приемлемой в качестве
доказательства. «Разве я мог бы поступить иначе? Разве я не
должен был принять это?» — Почему ты говоришь, что ты дол-
жен? Не потому ли, что завершаешь свой вывод словами: «Да, я
должен принять это заключение»? Но ведь это только выражение
твоего безусловного принятия.
То есть я полагаю, что слова «Я должен признать это» применя-
ются в двух случаях: когда мы признали то или иное доказатель-
ство — и по отношению к отдельным шагам самого этого доказа-
тельства.
34. Как же тогда обнаруживается, что данное доказательство
принуждает меня сделать этот вывод? Да в том, что я продвига-
юсь таким вот образом, что я отказываюсь следовать иным путем.
Конечным моим аргументом тому, кто не захотел бы идти таким
путем, как я, был бы следующий: «Разве ты не видишь...!» — А
это не аргумент.
35. «Но коли ты прав, как же получается, что все люди (или по
крайней мере, все нормальные люди) принимают такие фигуры
15

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
за доказательство этих предложений?» — Да, здесь имеется широ-
кое — и интересное — совпадение мнений.
36. Представь себе, что перед тобою ряд шариков; ты нумеруешь
их арабскими цифрами от I до 100; затем после каждого десятка
делаешь большой интервал, а в середине каждого десятка — нес-
колько меньший интервал, разделяющий его на 5 и 5, — так что
число 10 становится наглядным. Затем ты располагаешь эти набо-
ры десятков друг под другом, а в середине столбца делаешь боль-
ший интервал; то есть интервал между пятью верхними и пятью
нижними рядами; затем нумеруешь ряды от 1 до 10. — Это будет
как бы упражнение с шарами. Я могу сказать, что мы раскрыли
свойства ста шаров. — А теперь представь, что весь этот процесс,
эксперимент со ста шарами, был заснят на кинопленку. Однако
на экране не эксперимент, а изображение, картина эксперимента,
ибо изображение эксперимента не есть сам эксперимент. — Но
«математически существенное» в этом процессе я вижу и в проек-
ции! Ибо сначала я вижу 100 пятен, затем они делятся на десят-
ки и т. д. и т. д.
Значит, можно сказать: доказательство служит мне не экспери-
ментом, но, безусловно, картиной эксперимента.
37. На пустой стол положи 2 яблока, проследи за тем, чтобы ник-
то не подходил к столу и не сотрясал его; затем положи на сто-
лешницу еще 2 яблока; теперь сосчитай, сколько всего на ней ле-
жит яблок. Ты провел эксперимент; в результате подсчета у тебя,
вероятно, получится 4. (Мы бы представили эксперимент таким
образом: если при таких-то обстоятельствах на стол положены
сначала 2 яблока, а затем еще 2, то в высшей степени вероятно,
что ни одно из них не исчезнет со стола и ни одно новое не доба-
вится.) Аналогичные эксперименты с тем же результатом могут
быть проведены со всеми видами твердых тел. — Таким способом
мы учим ребенка считать: к трем бобам добавляем еще три боба и
затем считаем, сколько их всего. Если бы при этом иногда при
подсчете получалось 5 бобов, а иногда 7 (например, потому, как
бы мы теперь сказали, что какой-то боб то сам собой исчезал,
то добавлялся), то мы прежде всего сказали бы, что бобы непри-
годны для обучения счету. Случайся подобное с палками, пальца-
ми, черточками и большинством других вещей, это означало бы
конец всякого счета.
«Но разве и тогда не получалось бы 24-2=4?» — Это предложение
стало бы тогда неупотребимым.
16

Ι, 1937-1938
38. «Тебе нужно только взглянуть на рисунок
чтобы убедиться, что 2+2=4». — А мне нужно только взглянуть
на рисунок,
чтобы убедиться, что 2+2+2=4.
39. В чем убеждаю я того, кто следил за отображением в фильме
опыта со ста шариками?
Можно было бы сказать: в том, что это происходило так. — Но
это не было бы математическим убеждением. А нельзя ли в
таком случае сказать: я запечатлеваю в нем некую процедуру?
Эта процедура — перегруппировка ряда из 100 предметов в 10
рядов по 10 предметов в каждом. Причем эта процедура факти-
чески всегда может быть воспроизведена. И в этом вполне можно
убедиться.
40. Вот так и доказательство (25) с помощью проведения линий
проекции запечатлевает процедуру соотнесения Ρ к П. — «А не
убеждает ли оно меня еще и в том, что такое 1 соответствие воз-
можно!» — Если это должно означать, что ты всегда можешь его
выполнить, то такое доказательство вообще не должно быть ис-
тинно. Проведение линий проекции убеждает нас в том, что ввер-
ху имеется столько же штрихов, сколько углов расположено вни-
äy; и это дает нам модель того, как устанавливать соответствие
между такими фигурами. — «А не показывает ли тем самым эта
модель, что она работает, а не только то, что она срабатывает в
данном случае?! В том смысле, в каком она не сработала бы, если
бы вверху вместо I I I I I стояла фигура I I I I I >>. — Как так?

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Разве она не работает и тогда? Скажем, вот так:
И эту фигуру также можно было бы применить в качестве дока-
зательства чего-то! А именно для показа того, что группы такого
типа нельзя привести к соответствию I—I2. «Соответствие I—I
здесь невозможно» означает, например, что эти фигуры и соответ-
ствие I—! несовместимы.
«Я не это имел в виду!» — Тогда покажи мне, что, собственно, ты
имел в виду, и я это сделаю.
А не могу ли я в таком случае сказать, что данная фигура пока-
зывает, как возможно такое соответствие? — И не должна ли она
тем самым также показывать, что она возможна? —
41. Теперь выясним, в чем состояла суть нашего предложения —
дать названия пяти параллельным линиям и пятиконечной звезде?
Что достигнуто в результате того, что эти фигуры получили назва-
ния? Таким образом, мы указали на способ использования дан-
ных фигур. А именно на то, что мы с одного взгляда, не считая,
сколько у них углов и линий, узнаем их как такие. Для нас они
типовые формы, как нож и вилка, как буквы и цифры.
Стало быть, по команде «Нарисуй руку!» (например) я в состоя-
нии непосредственно воспроизвести эту форму. — Ну, а данное
доказательство учит меня соотнесению обеих форм. (Я хотел бы
сказать, что в доказательстве соотносятся не только эти индивиду-
альные фигуры, но и сами формы. А это ведь лишь означает, что
такие формы хорошо запечатлелись в моем сознании, — запечат-
лелись как образцы.) Ну, а разве я не могу столкнуться с труд-
ностями корреляции форм Ρ и Я, скажем в том случае, когда уг-
лы внизу или штрихи вверху слишком многочисленны? «Вовсе
нет, если ты действительно вновь воспроизвел Ρ и Я! —И это
можно доказать; взгляни на эту фигуру!»

Ι, 1937-1938
Данный чертеж учит меня новому способу контроля за тем, дей-
ствительно ли я вычертил подобные фигуры; а не может ли слу-
читься, что при желании использовать эту модель в качестве об-
разца, я все же снова столкнусь с трудностями? Но я говорю: я
уверен в том, что в нормальных обстоятельствах здесь не возник-
нет никаких трудностей.
42. Имеется головоломка, смысл которой заключается в том, что-
бы составить какую-то определенную фигуру, скажем прямоуголь-
ник, из данных частей. Фигура разделена на части таким обра-
зом, что нам трудно найти их правильное соединение. Возьмем в
качестве примера такой:
Что открывает человек, если ему удается осуществить такое со-
четание? — Он находит расположение [треугольников], о кото-
ром ранее не думал. — Хорошо; а нельзя ли также сказать: со-
ставление данной фигуры убеждает в том, что эти треугольники
можно соединить и таким образом? А «эти треугольники» — те ли
они, что входят в вышеприведенный прямоугольник, или же это
треугольники, которые еще только должны быть соединены таким
образом?
43. Заяви кто-то: «Я бы никогда не подумал, что эти фигуры
можно соединить таким образом», — ему не скажешь, указывая
на решенную головоломку: «Так ты не верил, что эти части мож-
но так соединить?» — Он ответил бы: »Я разумею под этим, что
19

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
совсем не думал о таком способе соединения».
44. Представим себе, что физические свойства соединяемых частей
головоломки таковы, что не позволяют им складываться в искомую
фигуру. Но не в том смысле, что, пытаясь привести эти части в такое
положение, испытываешь их сопротивление; просто предпринима-
ешь любые попытки, только не эту, сложиться же в нужное поло-
жение случайным образом составные части тоже не могут: Такое их
положение как бы изъято из пространства. Как если бы, скажем, в
нашем мозгу тут было «слепое пятно». — Да разве и впрямь не быва-
ет так, когда считаешь, что перепробовал все возможные комби-
нации частей, а мимо этой прошел, словно околдованный?
Нельзя ли в таком случае сказать: фигура, показывающая тебе
решение, снимает некую слепоту; или же изменяет твою геомет-
рию? Она как бы показывает тебе новое пространственное изме-
рение. (Словно бы мухе показали выход из мухоловки.)
45. Некий демон окутал это положение своими чарами и изъял
его из нашего пространства.
46. Новое положение возникло как бы из ничего. Там, где рань-
ше не было ничего, теперь вдруг появилось нечто.
47. В каком смысле это решение убедило тебя в том, что можно
сделать то-то? — Скажем, раньше ты этого сделать не мог, а те-
перь можешь.—
48. Я сказал, что «принимаю то-то за доказательство некой
теоремы», — а разве я не могу не принять эту фигуру, показыва-
ющую нужное соединение частей в головоломке, как доказатель-
ство того, что данные части могут быть соединены в этот контур?
49. А теперь представь себе, что одна из частей расположена так,
что является зеркальным отображением соответствующей части
образца. И вот кто-то хочет соединить части, согласно образцу; он
понимает, что фигура должна получиться, но ему не приходит в
голову перевернуть неверно лежащую часть, и он заключает, что
соединение ему не удастся.
50. Можно составить прямоугольник из двух параллелограммов и
двух треугольников. Доказательство:

Ι, 1937-1938
Ребенку складывание прямоугольника из этих составных частей
показалось бы трудным, и он был бы удивлен, что две стороны
параллелограмма образуют прямую линию, хотя сами параллелог-
раммы косоугольны. — Ему могло бы прийти в голову, что пря-
моугольник возник из этих фигур как бы с помощью волшебства.
Да, он вынужден признать, что данные фигуры теперь образуют
прямоугольник, но за счет какой-то уловки, диковинного соедине-
ния, неестественным образом.
Я могу представить себе, что ребенок, совместив таким образом два
параллелограмма и видя, что они так подходят друг к другу, не ве-
рит своим глазам. «Они не выглядят настолько подходящими друг
другу». И можно вообразить, что в таком случае говорили бы: лишь
благодаря какому-то фокусу нам представляется, будто они образо-
вали прямоугольник, в действительности же параллелограммы изме-
нили свою природу, они уже теперь не те параллелограммы.
51. «Признав это — ты должен признать и это». — Он должен
это признать — но возможно, что он все равно этого не признает!
Ты хочешь сказать: «Коли он мыслит, он должен это признать».
«Я тебе покажу, почему ты должен это признать». — Я приведу
тебе наглядный пример, который — если ты его обдумаешь — бу-
дет определять такое твое суждение.
52. Ну как можно манипуляциями доказательства подвести его к
тому, чтобы он нечто признал?
53. «Ты же признаешь, что 5 состоит из 3 и 2».
Я признаю это лишь в том случае, если за этим нет чего-то друго-
го. Кроме того, что я хочу использовать эту картину.
54. Например, фигуру
21

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
можно было бы принять в качестве доказательства того, что 100
параллелограммов, расположенных таким образом, составляют
прямую полосу. Если и в самом деле взять затем сто параллелог-
раммов, то можно получить слегка изогнутую полосу. — Но дока-
зательство предопределило для нас применение этой картины и
способа выражения: если параллелограммы не дают прямой поло-
сы, выходит, они были небрежно построены.
55. Подумай только, каким образом картина (или прием), кото-
рую ты мне демонстрируешь, способна принудить меня всегда су-
дить вот так!
Ведь если перед нами эксперимент то эксперимент, все же слиш-
ком незначительный, чтобы обязывать к какому-то суждению.
56. Доказывающий говорит: «Посмотри на эту фигуру! Что можно о
ней сказать? Разве не то, что прямоугольник состоит из... ? —»
Или же: «Эту фигуру ты называешь „параллелограммом", а эту
„треугольником", а вот так выглядит то, что одна фигура состав-
лена из других. — »
57. «Да, ты меня убедил: прямоугольник всегда состоит из...» —
Следовало ли мне также сказать: «Да, ты меня убедил: этот пря-
моугольник (тот, что в доказательстве) состоит из...»? И это было
бы, конечно, более умеренное суждение; его должен был бы приз-
нать и тот, кто, возможно, еще не признает общего предложения.
Но как это ни странно, признав такое предложение, тем самым
признают не более чем осторожное геометрическое суждение, а не
вообще положение геометрии. Разумеется, — ведь в отношении
прямоугольника (в доказательстве) оно меня ни в чем не убеди-
ло. (Если бы я видел эту фигуру раньше, у меня не возникло бы в
связи с ней ни малейших сомнений.) Все, касающееся данной фи-
гуры, я признал добровольно. Он же прибег к ней лишь как к
средству убедить меня. — Но с другой стороны, если он ни в чем
не убедил меня относительно этого прямоугольника, то каким об-
разом он убедил меня в некоем свойстве других прямоугольников?
58. «Да, эта форма не выглядит так, словно бы она могла состо-
ять из двух косоугольных частей».
Что удивляет тебя? Конечно, не то, что ты сейчас видишь эту фи-
гуру перед собой! Меня что-то удивляет в этой фигуре. — Но в
этой фигуре ничего не происходит!
Меня удивляет соединение косоугольного с прямым. У меня слов-
но кружится голова.
22

Ι, 1937-1938
59. Но я действительно говорю: «Я убедился в том, что эту фигу-
ру можно сложить из этих частей», например увидев изображение
решения какой-нибудь головоломки.
Притом, если я говорю это кому-то, мое высказывание в таком
случае должно означать: «Попытайся! Эти части, сложенные пра-
вильно, действительно образуют эту фигуру». Я хочу тем самым
побудить его что-то сделать и предсказываю ему успех. Предска-
зание основывается на легкости, с которой можно составить фи-
гуру из этих частей, если только знать, как это делается.
60. По твоим словам, тебя удивляет то, что тебе подсказывает до-
казательство. Но разве тебя удивляет возможность провести эти
штрихи? Нет. Ты удивлен только тогда, когда говоришь самому
себе, что две такие части дают эту фигуру. Выходит, ты удивля-
ешься, осмысливая ситуацию, — ты ожидал чего-то другого, а
сейчас видишь этот результат.
61. «Из этого неумолимо следует то>>. — Да, в данном доказа-
тельстве второе следует из первого.
А доказательство является таковым для того, кто признает его в
качестве доказательства. Тот же, кто не признает его, кто не сле-
дует за ним как за доказательством, тот отделяется от нас еще до
того, как оно было высказано.
62.
I I I I I
Здесь перед нами нечто, что выглядит как неизбежное. И тем не
менее «неизбежным» оно может быть только в своих следствиях!
В противном случае это просто картина.
В чем же тогда состоит, так сказать, «долгодействие» данной схемы?
63. Я прочел доказательство — и теперь убежден. — А что, если
я тут же забуду эту убежденность?
Ведь перед нами своеобразный процесс: я прослеживаю все дока-
зательство и затем принимаю его результат. Я имею в виду,
что именно так мы поступаем. Это наш обычай или факт нашей
естественной истории.
64. «Имея в своем распоряжении пять, имеешь три и два». — А
как узнать, что имеешь пять? — Ну, это выглядит, допустим, так:
I I I I I . — А бесспорно ли, что всегда можно разделить нечто на
вышеприведенные группы, если оно выглядит так!
Фактом является то, что мы можем играть в такую вот игру: я
23
3—1923

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
учу кого-то, как выглядят группы, состоящие из двух, трех, четы-
рех, пяти предметов, и обучаю его, как упорядочивать черточки в
одно-однозначное соответствие. Затем я заставляю ученика вся-
кий раз дважды выполнить задание: «Начерти группу из пяти чер:
точек», а затем задание: «Скоррелируй эти две группы друг с дру-
гом»; и тут обнаруживается, что он всякий раз успешно соотносит
друг с другом все черточки без исключения.
Иными словами: на деле успешно, без затруднений справляешься
с корреляцией один к одному того, что называют группами из пя-
ти предметов.
65. Решая головоломку, я должен сложить фигуру; я пытаюсь это
сделать и так и этак, сомневаясь, что мне это удастся. И вот кто-
то показывает картину решения. Тут я — уже без всякого сомне-
ния — говорю: «Теперь-то я могу это сделать». — Наверняка ли в
таком случае я составлю данную фигуру? — Но то, что я не сом-
неваюсь в этом, — факт.
Допустим, теперь кто-то спросил бы: «В чем состоит долгодей-
ствие этой картины?» — В том, что я ее применяю.
66. В ходе доказательства мы приходим к согласию с кем-то. В
противном случае наши дороги расходятся, не слившись — с по-
мощью этого языка — в общий тракт.
То, что путем доказательства один человек убеждает другого, не-
существенно. Ведь может быть и так, что они оба видят (читают)
и принимают доказательство.
67. «Ты же видишь — это не подлежит ни малейшему сомне-
нию, — что такая группа, как А,
А.
I I
В С
по сути, состоит из таких групп, как В и С». — И я говорю — то
есть выражаю мысль и таким образом, — что группа, которую ты
начертил, состоит из двух меньших групп; но я не знаю, каждая
ли группа, которую я бы назвал тождественной первой по типу
(или форме), непременно будет состоять из двух групп, подобных
тем, меньшим. Но я полагаю, что так, пожалуй, будет всег-
да (может быть, этому меня научил мой опыт), и потому хочу
принять такое правило: я буду называть некую группу группой
типа А в том, и только том, случае, если*ее можно разложить на
такие две группы, как В и С.
24

Ι, 1937-1938
68. Вот так же служит доказательством и рисунок в (50). «Впол-
не правдоподобно! Два составенных параллелограмма дают такую
форму!» (Это очень напоминает то, как если бы я сказал: «Да,
действительно! Кривая может состоять из прямых отрезков».) —
Вот уж никогда бы не подумал. Нет, не о том, что части этой фи-
гуры дают эту фигуру. Ведь это заведомо ясно. — А удивляюсь я,
лишь представив себе: вот я, ни о чем не догадываясь, приложил
верхний параллелограмм к нижнему и увидел этот результат.
69. И можно сказать: данное доказательство убедило меня в том,
что способно меня и удивить.
70. Почему же тогда я говорю, что меня убеждает в чем-то фигу-
ра в §50, а не такая, например, фигура:
Она ведь тоже показывает, что две такие части дают прямоуголь-
ник. Напрашивается реплика: «Но это же неинтересно». А почему
это неинтересно?
71. Заявляя: «Данная форма состоит из этих форм», — думают о
форме как о тонком абрисе, о тонком контуре этой формы, на
который как бы натянуты вещи, имеющие такую форму. (Срав-
ни: платоновское понимание свойства как ингредиента вещи.)
72. «Данная форма состоит из этих форм. Ты показал мне су-
щественное свойство этой формы». — Ты показал мне новый образ.
Она как бы создана Богом. Тем самым мы используем не-
кое подобие. Форма становится как бы эфирной сущностью, об-
ладающей данной формой; словно была создана такою раз и нав-
сегда. (Тем, кто закладывал в вещь ее существенные свойства.)
Ведь если бы форма была вещью, составленной из частей, то
Творцом данной формы был бы Тот, кто сотворил также свет и
тьму, цвет и твердость и т. д. (Представь, что кто-то спрашивает:
«Форма... составлена из этих частей; кто ее составил? Ты?»)
Слово «бытие» используется для обозначения сублимированного
эфемерного вида существования. Ну, а рассмотри предложение:
3* 25

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
«Красное есть» (например). Конечно, никто никогда им не поль-
зуется; но если бы мне все-таки нужно было найти ему какое-то
применение, я бы предложил такое: использовать его в качестве
вводной формулы к высказываниям, где должно употребляться
слово «красное». При произнесении формулы смотрели бы на об-
разец красного цвета.
Предложение типа «Красное есть» склонны применять, созерцая
цвет: стало быть, в ситуации, похожей на ту, когда констатиру-
ют существование какой-то вещи (скажем, листоподобного насе-
комого ).
И я хочу сказать: употребляя выражение «Доказательство научи-
ло — убедило — меня, что дело обстоит так», человек все еще
движим тем же уподоблением..
73. Я бы сказал также: «Существенное — не свойство объекта, а
отличительная черта понятия».
74. «Будь форма группы та же, она должна была бы обладать те-
ми же аспектами, теми же возможностями деления. Будь они
иными, это не была бы та же самая форма: возможно, она ка-
ким-то образом производила бы на тебя то же самое впечатление;
но той же самой формой она является лишь тогда, когда ее
можно разделить тем же способом».
Данное положение, казалось бы, выражает сущность формы. —
Я же говорю: высказывая это предложение о сущности, — про-
сто констатируют некое соглашение. На это можно было бы воз-
разить: ничто не отличается друг от друга в большей мере, чем
предложение о глубинной сущности и предложение о простом со-
глашении. А что, если я отвечу: глубина сущности соответствует
глубокой потребности в соглашении?
Таким образом, говоря: «Кажется, будто это предложение повест-
вует о сущности формы», — я имею в виду: такое впечатление,
будто это предложение сообщает о неком свойстве предмета «фор-
ма»! — И можно сказать: предмет, о котором оно высказывает
некое свойство и который я здесь называю предметом «форма», —
это та картина, которую я не могу не создавать, слыша слово
«форма».
75. Какие же свойства 100 шаров ты выявил или продемонстри-
ровал? Ну хотя бы то, что с ними можно делать вот такие
вещи. А какие вещи? Ты имеешь в виду, что их можно дви-
гать, что они не приклеены к поверхности стола? — Не столько
это, сколько то, что из них — без каких-либо изъятий или добав-
26

Ι, 1937-1938
лений — складываются вот такие конфигурации. — Стало быть,
ты показал физические свойства ряда. Но почему ты употребил
выражение «выявлять»? Ведь ты бы не сказал, что выявляешь
свойства железного стержня, показывая, что он плавится при
стольких-то градусах. А разве ты не мог бы с тем же успехом ска-
зать, что в качестве характеристики ряда выявляешь свойства на-
шей цифровой памяти (например)? Что ты действительно выяв-
ляешь — так это ряд шаров. — И показываешь, например, что
некий ряд такого-то вида или же вот так пронумерованный рим-
скими цифрами может быть простым способом без добавления
или изъятия каких-либо шаров приведен в ту или иную запомина-
ющуюся форму. Но с таким же успехом это могло быть и психо-
логическим экспериментом, показывающим, что в твоей памяти
теперь запечатлеваются определенные формы, образуемые про-
стым перемещением 100 пятен.
«Я показал, что можно делать со 100 шарами». — Ты показал,
что эти 100 шаров (или вон те) можно расположить таким обра-
зом. Данный эксперимент был экспериментом раскладывания (в
отличие, скажем, от эксперимента горения).
А психологический эксперимент способен, скажем, показать, как
легко тебя можно обмануть: что ты, например, не замечаешь, ког-
да шары в ряду добавляют или изымают украдкой. Можно даже
сказать так: я показал, что можно сделать из ряда в 100 пятен
путем их видимых перемещений — какие фигуры из них можно
получить с помощью этих видимых перемещений. — Но что я в
данном случае раскрыл?
76. Представь, что тебе говорят: мы раскрыли свойства некоторо-
го многоугольника, соединяя каждые 3 его стороны диагональю, в
результате чего многоугольник оказался 24-угольником. Хочу ли я
сказать, что раскрыл свойства 24-угольника? Нет. Я хочу ска-
зать, что раскрыл свойства этого (начерченного здесь) многоу-
гольника. Я знаю теперь, что вот эта фигура — 24-угольник.
Это эксперимент? Он показывает, например, какого рода многоу-
гольник представлен здесь, сейчас. То, что я проделал, можно на-
звать экспериментом в счете.
А что, если провести подобный эксперимент с пятиугольником,
который я уже в состоянии охватить одним взглядом? — Ну что
ж, примем на минуту, что я не способен его охватить одним
взглядом, — так, например, может быть в том случае, если мно-
гоугольник слишком велик. Тогда прочерчивание диагоналей
27

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
бы способом убедиться в том, что эта фигура — пятиугольник. Я
мог бы еще раз сказать, что выявил свойства начерченного здесь
многоугольника. — Если же я способен охватить его одним взгля-
дом, то в отношении него, конечно, ничего не меняется. Пожа-
луй, было бы столь же излишне выявлять эти свойства, как из-
лишне считать два яблока, лежащие передо мной.
Следует ли мне в таком случае сказать: «Это был тоже экспери-
мент, только я был уверен в исходе»? Но был ли я уверен в дан-
ном исходе так же, как уверен в исходе электролиза воды? Нет,
не так, а иначе! Не удайся электролиз жидкости... я счел бы себя
бестолковым или заявил, что теперь вообще не знаю, что нужно
говорить.
Представь себе, я бы сказал: «Да, перед нами четырехугольник,
но посмотрим все же, делится ли он диагональю на два треуголь-
ника!» Затем я провожу диагональ и говорю: «Да, мы имеем в
данном случае два треугольника». Тогда меня спросили бы: «Разве
ты не видел, что четырехугольник можно разделить на два треу-
гольника? Разве ты только сейчас убедился, что перед тобой че-
тырехугольник; почему же теперь ты веришь своим глазам боль-
ше, чем раньше?»
77. Задания: число тонов — внутреннее свойство мелодии; число
листьев — внешнее свойство дерева. Как это связано с тождест-
венностью данного понятия? (Рамсей.)
78. Что показывает нам тот, кто делит 4 шара на 2 и 2, затем
снова их соединяет, опять делит и т. д.? Он запечатлевает в нас
некий облик и некое характерное изменение этого облика.
79. Представь себе возможные позы марионетки. Или же пред-
ставь, что у тебя цепь, скажем, с десятью звеньями и ты показы-
ваешь, кактне характерные (то есть запоминающиеся) фигуры
можно вьдаожить с их помощью. Звенья цепи пронумерованы,
благодаря чему они укладываются в хорошо запоминающуюся
фигуру, даже если располагаются по прямой линии.
Так я запечатлеваю в твоей памяти характерные положения и
движения этой цепи.
Ну, а если я говорю: «Смотри, из звеньев цепи можно сделать еще
и это» — и демонстрирую это, провожу ли я эксперимент? —
Может быть, я показываю, например, что звеньям можно придать
такую форму; но ты в этом и не сомневался. А то, что тебя инте-
ресует, не касается данной конкретной цепи. — Но все-таки вы-
являет ли то, что я демонстрирую, свойство этой цепи? Безуслов-
28

1,1937-1938
но; однако я проделываю лишь такие движения, такие преобразо-
вания, которые носят запоминающийся характер; и тебе интерес-
но их заучить. Да они потому и интересуют тебя, что их так лег-
ко воспроизводить вновь и вновь на различных предметах.
80. Слова «Смотри, что я из них могу сделать», по сути, те же са-
мые, какие я употребил бы, если бы показывал тебе все, что могу
вылепить, к примеру, из комка глины. Скажем, я достаточно ис-
кусен, чтобы сформировать такие фигуры из этого комка. В ка-
ком-то другом случае этот материал можно обработать таким об
разом. Здесь едва ли можно сказать: «Я привлекаю твое внима-
ние к тому, что я могу это сделать, или же к тому, что материал
это позволяет», — в то время как в случае с цепью было бы ска-
зано следующее: «Я привлекаю твое внимание к тому, что с дан-
ной цепью можно сделать то-то». — Ведь и это можно себе пред-
ставить. Познать же с помощью представления хоть одно свой-
ство материала, конечно, нельзя.
Если такую процедуру рассматривать просто как запоминающую-
ся картину, она утрачивает характер эксперимента.
81. Что я раскрываю, так это, можно сказать, роль, которую иг-
рает «100» в нашей системе исчисления.
82. (Я написал однажды з; «В математике процесс и результат эк-
вивалентны».)
83. И тем не менее я чувствую: свойством 100 является то, что
оно произведено или может быть произведено таким образом. Но
как это (то, что оно произведено таким способом) может быть
структурным свойством 100 в том случае, когда оно вовсе не про-
изведено таким способом? Если никто так не умножал? Такое
безусловно возможно лишь тогда, когда правомерно говорить, что
отличительной особенностью данного знака является подчинение
его этому правилу. Например, свойством 5 является его подчине-
ние правилу «3+2=5». Ибо лишь в силу соответствующего прави-
ла это число является определенным результатом сложения тех
других чисел.
А что, если я говорю: «Быть таким результатом сложения... по
правилу... — свойство данного числа»? Выходит, это свойство
числа возникает при применении данного правила к этим числам.
Вопрос в том, назвали бы мы это «применением правила», если
бы это число не было результатом такого рода? А это равнозначно
другому вопросу: «Что понимается под применением данного пра-
вила — скажем, то, как с ним действуют (а применять его можно то
29

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
так, то иначе), или же „его применение" объясняется по-другому?»
84. «То, что этот процесс ведет к этому числу, составляет свой-
ство данного числа». — Но, математически рассуждая, не процесс
ведет к нему, а оно является завершением какого-то процесса
(само есть часть процесса).
85. Почему же я чувствую, что раскрыто, показано свойство ря-
да? — Потому что попеременно рассматриваю показанное то как
существенное, то как несущественное для ряда. Или же: потому
что попеременно думаю об этих свойствах то как о внешних, то
как о внутренних. Потому что попеременно нахожу нечто то само
собой разумеющимся, то заслуживающим внимания.
86. «Ты же раскрываешь свойства 100 шаров, показывая, что из
них можно сделать». — Как можно сделать? Ведь в том, что из
них можно что-то сделать, никто не сомневался; значит,**речь
должна идти лишь о том способе, каким это было получено. —
Так посмотри же и сообрази, не предполагает ли он уже сам со-
бой этот результат. —
Ну, а представь себе, что таким способом получался бы то один,
то другой результат; ты принял бы это? Разве ты не сказал бы:
«Я, должно быть, ошибся; при одинаковом способе всегда должен
получаться одинаковый результат». Это показывает, что ты вклю-
чаешь результат преобразования в способ преобразования.
87. Задача: надо ли называть опытным фактом то, что путем та-
кого изменения это лицо становится тем! (Как нужно толко-
вать <<это лицо», «это* преобразование», для того чтобы...?)
88. Говорят: это разбиение проясняет, что за ряд шаров перед на-
ми. Проясняет ли оно, каким этот ряд был до разбиения или же
каков он теперь?
89. «Я с первого взгляда вижу, сколько здесь предметов». Ну и
сколько же их? Является ли ответом: «Вот сколько»? — (При
том, что отвечающий указывает на группу предметов.) Но что
гласит этот ответ? Здесь 50 или 100 предметов и т. д.
90. Разбиение проясняет, что это за ряд. Ну и что это за ряд? Яв-
ляется ли ответом: Этот? Что гласит осмысленный ответ?
91. Ведь, осуществляя преобразования другой, аналогичным обра-
зом построенной цепи, я раскрываю и геометрические свойства
этой цепи. Но таким путем я все же не показываю, что можно
было бы сделать с первой цепью фактически, окажись она негиб-
кой или же непригодной [для преобразований] в силу каких-то
30

Ι, 1937-1938
иных физических причин.
Значит, все-таки нельзя сказать: я раскрываю свойства этой цепи.
92. Можно ли раскрыть свойства цепи, которыми она вовсе не
обладает?
93. Я измеряю стол и узнаю, что его длина равна 1м. — Теперь
я накладываю одну метровую линейку на другую. Осуществляю
ли я тем самым ее измерение? Выясняю ли, что длина второй ли-
нейки 1 метр? Провожу ли все тот же эксперимент измерения, с
той лишь разницей, что заранее уверен в результате?
94. А прикладывая линейку к столу, всегда ли я измеряю стол; не
проверяю ли я иногда данную линейку? И в чем состоит разница
между одним процессом и другим?
95. Эксперимент упорядочения множества может показать нам в
числе прочего и то, из скольких шаров оно состоит, или что эти (ска-
жем ) 100 шаров можно перемещать так или иначе.
Но что мы называем «преобразованием путем лишь раскладыва-
ния» — показывает вычисление этого расклада.
96. Разберись с таким предложением: то, что тангенс визуальной
кривой частично с ней совпадает, не эмпирический факт. А если
какая-то конфигурация показывает такое совпадение, так это
происходит не в результате эксперимента.)
Можно также сказать: здесь видно, что сегменты непрерывной ви-
зуальной кривой прямые. — Но не следует ли сказать: — <<И все
же ты называешь это „кривой". — А этот малый ее сегмент ты
называешь „кривой" или „прямой"? — Ты же называешь его
„прямой"; а ведь он отрезок кривой».
А почему бы не использовать какое-то новое название для визу-
ального отрезка кривой, не обнаруживающего в себе кривизны?
«Опыт проведения этих линий все же показал, что они не сопри-
касаются в какой-то точке. — Что они не соприкасаются в неко-
ей точке? А как они определены? Или: можешь ли ты указать
31

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
мне на какую-либо картину того, как обстоит дело, если они „со-
прикасаются" в какой-то точке? Почему бы тогда просто не ска-
зать: согласно эксперименту, они — то есть прямая и кривая ли-
нии — соприкасаются друг с другом? Разве это не то, что я на-
зываю „соприкосновением" таких линий?»
97. Начертим круг из черных и белых сегментов, становящихся
все уже и уже.
Какой из этих сегментов — слева направо — тебе уже кажется
прямым? В данном случае я провожу эксперимент.
98. Ну, а если бы кто-то сказал: «Опыт учит тебя, что эта линия
кривая?» — При этом следовало бы отметить, что слова «эта ли-
ния» обозначают тут черту, проведенную на бумаге. И в действи-
тельности можно проделать подобный опыт, показывая такую
черту разным людям и спрашивая при этом: «Что ты видишь:
прямую или кривую линию?»
Ну, а если бы кто-то сказал: «Сейчас я представляю себе кривую
линию», — а мы бы на это заметили: «Значит, ты видишь, что
это кривая линия», — какой бы смысл это имело?
Можно, однако, сказать и по-другому: «Я представляю себе круг
из черных и белых сегментов; первый сегмент — большой, ис-
кривленный, следующие делаются все уже, шестой — уже пря-
мой». В чем здесь заключается эксперимент?
В воображении я могу вычислять, но не экспериментировать.
99. Что собой представляет характерное применение процесса вы-
вода как вычисления в отличие от применения его в качестве эк-
сперимента?
32

Ι, 1937-1938
Вычисление мы рассматриваем как демонстрацию внутреннего
свойства (свойства сущности) структур. А что это означает?
Моделью «внутреннего свойства» могла бы служить такая вот схема:
1 2 3
1231231231 1А ь о . ι
МИНИН 10 = 3х3 + 1
123456789 10
Если я в связи с этим говорю: 10 черточек необходимо состоят из
3x3+1 черточки, — это не означает: если имеется 10 черточек,
им всегда сопутствуют эти цифры и эти скобы. Вводя же их в эту
схему, я просто демонстрирую, скажем так, суть данной группы
черточек. — А уверен ли ты, что с добавлением этих знаков груп-
па не изменилась? — «Не знаю; но тут имелось какое-то опреде-
ленное число черточек; если оно не равнялось 10, значит, было
иным, а в таком случае оно просто имело бы другие свойства.—»
100. Говорят: вычисление «раскрывает» свойства ста. — Что это, со-
бственно, значит: в 100 содержится 50 и 50? Говорят: ящик вмещает
50 яблок и 50 груш. Но если кто-то сказал бы: «Ящик вмещает 50
яблок и 50 яблок», то мы не знали бы, что он имеет в виду. — Если
говорят: «Ящик вмещает дважды по 50 яблок», — то это либо озна-
чает, что в ящике имеется два отделения, каждое из которых вмеща-
ет по 50 яблок, либо же, скажем, что речь идет о раздаче этих яблок,
при которой каждый должен получить по 50 штук, и тогда я слы-
шу, что из этого ящика яблоки могут получить два человека.
101. «100 яблок в ящике состоят из 50 и 50 яблок» — здесь ва-
жен вневременной характер глагола «состоять». Ибо он не означа-
ет, что 100 яблок сейчас или в течение какого-то времени состоят
из 50 и 50.
102. Что же тогда характерно для «внутренних свойств»? То, что
они существуют всегда, неизменно, в том целом, которое они об-
разуют как бы независимо от всех внешних событий. Подобно то-
му как конструкция машины на бумаге не ломается, хотя сама
машина подвержена воздействию всех внешних сил. — Или же
скажу так: конструкция на бумаге не подвержена воздействию ни
ветра, ни иных погодных условий, как подвержены этому физи-
ческие вещи; она же неуязвима как призрак.
103. Когда мы говорим: «Это предложение следует из того», — то
и глагол «следует» употребляется вневременно. (И это показывает,
33

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
что данное предложение не выражает результата какого-то экспе-
римента. )
104. Сравни его с этим: «Белое светлее черного». Это выражение
также вневременно и тоже выражает наличие внутреннего отно-
шения.
105. «Но это-то отношение налицо», — можно было бы сказать.
Но вопрос в том, используется ли такое предложение и как ис-
пользуется. Ведь пока я знаю только то, что при этих словах в
моем сознании возникает некая картина (но она не гарантирует
мне использования данного выражения) и что сами эти слова со-
ставляют (немецкое) предложение. Однако бросается в глаза, что
слова здесь использованы иначе, чем в обычном случае практичес-
ки полезного высказывания. (Так, например, изготовитель колес
может отметить, что его обычные утверждения о круглом и пря-
мом иного рода, чем те, что мы находим у Евклида.) Говорим же
мы: этот предмет светлее, чем тот, или же — цвет этой вещи
светлее, чем той, и в этом случае есть нечто, что сейчас светлее и
может впоследствии потемнеть.
Откуда же у нас такое чувство, будто фраза «Белое светлее чер-
ного» сообщает что-то о сущности обоих цветов? —
Но правильно ли вообще поставлен вопрос? Что мы понимаем
под «сущностью» белого и черного? Мы думаем, скажем, о «внут-
реннем», о «конституции», но в данном случае это не имеет ника-
кого смысла. Мы, например, также говорим: «В белом заложено
то, что оно светлее...» Разве картина белого и черного пятен
не служит нам одновременно и образцом того, что мы понимаем
под словами «светлее» и «темнее», образцом «белого» и «черного»?
Ну, а темнота заложена «в» черном постольку, поскольку оба
эти качества представлены черным пятном. Оно темное в силу
того, что оно черное. — Или, вернее говоря, это называется
«черным», а тем самым в нашем языке и «темным». Такая связь,
связь образцов и имен, закреплена в нашем языке. И наше пред-
ложение вневременно, потому что оно выражает лишь связь слов
«белое», «черное» и «светлое» с некой парадигмой.
Можно избежать недоразумений, пояснив, что бессмысленно гово-
34

Ι, 1937-1938
рить: «Цвет этого тела светлее, чем того»; это должно было бы оз-
начать: «Это тело светлее того». То есть первая форма выражения
исключается из нашего языка.
Кому мы говорим: «Белое светлее черного»? Что мы этим кому-то
сообщаем?
106. А не могу ли я верить предложению геометрии и без доказа-
тельств, например по заверению другого? — И что утрачивает
предложение, теряя свое доказательство? Здесь, пожалуй, нужно
спросить: «Что с ним можно делать?», ибо это предмет моего ин-
тереса. Принять предложение на основании заверения другого —
как это проявляется? Я могу, например, использовать его в даль-
нейших операциях вычисления или же при характеристике неко-
торой физической ситуации. Если, например, меня кто-то уверя-
ет, что 13 х 13 дает 196 и я ему верю, то я удивлюсь, если не
смогу разложить 196 орехов в 13 рядов по 13 орехов в каждом,
и, может быть, предположу, что число орехов увеличилось само
по себе.
Но я чувствую искушение сказать: нельзя верить, что 13 χ 13 =
196; от кого-то другого это число можно воспринять только ме-
ханически. Почему же не следует говорить, что я верю этому?
Разве верить этому — некий таинственный акт, как бы связан-
ный подспудно с правильным исчислением? В любом случае я все
же могу сказать: «Я верю этому» — и затем действовать соответ-
ствующим образом.
Возможен вопрос: «Как поступает тот, кто верит, что 13 χ 13 =
196?» И ответом может быть: ну, это зависит от того, например,
производил ли он расчеты сам, совершив при этом описку, либо
же их делал кто-то другой, сам же он знает, как производятся та-
кие вычисления, — либо же он не умеет умножать, но знает, что
произведением является число людей, которые расставлены в 13
рядов по 13 человек в каждом, — одним словом, действия зави-
сят от того, что можно предпринять с уравнением 13х 13 =196.
Ибо проверять это уравнение и значит осуществлять какие-то опе-
рации с ним.
107. То есть если считать арифметическое уравнение выражением
внутреннего отношения, то можно было бы сказать: «Вообще
нельзя верить, что 13 χ 13 дает это число, ведь если в конце уже
стоит 196, это не произведение 13 и 13, не результат их умно-
жения». Но это значит, что слово «верить» хотят применять не к
случаю какого угодно вычисления и его результату, а только тог-
35

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
да, когда располагают правильным вычислением.
108. «Во что верит тот, кто верит, что 13 χ 13 = 196?» — Как
глубоко проникает он, опираясь, так сказать, на веру в соотноше-
ние этих чисел? Ведь он не может, сказал бы кто-то, постичь его
до конца; иначе не могло бы быть речи о вере.
Но когда проникает он в отношения чисел? Как раз тогда, когда
говорит, что верит...? Ты не будешь настаивать на этом — ибо
легко заметить, что такая видимость порождена лишь поверхност-
ной формой нашей грамматики (так это можно назвать).
109. Я же хочу сказать: «Можно просто видеть, что 13 χ 13 =
169 и притом быть не в состоянии верить в это. А можно — бо-
лее или менее слепо — принять некое правило». А что совершаю
я, говоря/это? Я провожу границу между вычислением с его ре-
зультатом (то есть определенной картиной, определенным образ-
цом) и опытом с его итогом.
ПО. Я бы сказал: «Веря, что а х Ъ> = с — а иногда я действитель-
но в это верю и об этом говорю, — то я верю не в математичес-
кое предложение, поскольку оно стоит в конце доказательства, за-
вершая его, но верю, что это формула, которая фигурирует там-
то и там-то, получается таким-то и таким-то образом и т. п.» —
И это звучит так, будто постигается процесс веры в такое предло-
жение. В то время как я лишь предпринял робкую попытку ука-
зать на фундаментальное различие ролей арифметического и эм-
пирического предложений при существующем мнимом сходстве
между ними. '
Да, я действительно говорю при определенных обстоятельствах: «Я
верю, что а х b = с». Что я подразумеваю под этим? — То, что вы-
сказываю] Интересен вопрос: при каких обстоятельствах я го-
ворю это и что для них характерно в противоположность обстоятель-
ствам, сопутствующим такому высказыванию: «Я полагаю, что пой-
дет дождь»? Ведь нас занимает именно этот контраст. Мы стремимся
к тому, чтобы получить некий образец употребления математичес-
ких предложений и предложений типа «Я верю, что...», в которых
какое-то математическое предложение является предметом веры.
111. «Ты же не веришь в математическое предложение». — Это
означает: «математическое предложение» выражает некую роль,
функцию предложения, в которой нет места вере.
Сравни: «Говоря: „Я верю, что рокировка осуществляется вот
так", — ты веришь не шахматному правилу, а, скажем, тому, что
так гласит шахматное правило»,
36

Ι, 1937-1938
112. «Нельзя верить, что умножение 13 χ 13 дает 169, потому
что результат принадлежит вычислению». — Что я называю «ум-
ножением 13 х 13»? Только ли правильный образец умножения, в
конце которого стоит 169? Либо также и «ложное умножение»?
Как устанавливают, что является образцом умножения 13x13? —
Разве это не определяется с помощью правил умножения? — А
что, если с помощью этих правил ты сегодня получишь нечто дру-
гое, отличное от того, что устанавливают все учебники арифмети-
ки? Разве такое невозможно? — «Нет, если ты применяешь пра-
вила так, как они применяются в учебниках арифметики».—
Конечно, нет! Но это простой плеоназм. И где устанавливают,
как их должно применять, если же об этом где-то и говорится, то
где устанавливают, как применять именно это правило? А это
значит: не только в какой книге, но и в какой голове? — Чем же
в таком случае является умножение 13 χ 13, или чем я должен
руководствоваться при умножении: правилами или же умножени-
ем, фигурирующим в учебниках арифметики, если, скажем,
они не совпадают? — Но ведь фактически никогда не бывает так,
чтобы тот, кто научился считать, в этом умножении упрямо полу-
чал какой-то другой результат, отличный от результата, предлага-
емого нам в учебниках. А если бы такое стряслось с кем-то, то
мы объявили бы его ненормальным и не обращали бы никакого
внимания на его вычисления.
113. «Но разве я не обязан продвигаться по цепи выводов так,
как я это делаю?» — Обязан? Я же вполне могу продвигаться
так, как мне хочется! — «Но если ты хочешь оставаться в согласии с
правилами, ты должен идти так». — Вовсе нет; я называю это «сог-
лашением». — «В таком случае ты изменил смысл слова „соглаше-
ние" или смысл правила». — Нет; кто устанавливает, что означают
здесь понятия „изменять" и „остаться тем же самым"?
Сколько бы правил ты мне ни давал — я даю тебе некое правило,
которое оправдывает мое применение твоих правил.
114. Можно было бы сказать и так: если мы следуем законам (пра-
вилам) вывода, то следование всегда включает и интерпретацию.
115. «Но ты же не можешь открыть вдруг другое применение это-
го закона!» — Если я на это отвечу: «Ах да, я же именно так его
и применил!» или «Ах, вот как я должен его применить!»— то я
включаюсь в игру. Если же я просто отвечу: «Другое? Да ведь оно
вовсе не другое!» — что ты будешь делать? То есть некто может отве-
чать как разумный человек и вместе с тем не играть в нашу игру.
37

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
116. «Следовательно, согласно твоей точке зрения, каждый мог
бы продолжить ряд, как ему вздумается, и умозаключать любым
образом!» — Мы не будем тогда называть это «продолжением ря-
да», равно как и «умозаключением». И мышление, и умозаключе-
ние (как и счет), разумеется, характеризуются для нас.не произ-
вольными дефинициями, а естественными контурами, внутренне-
му пространству которых соответствует то, что можно назвать ро-
лью мышления и умозаключения в нашей жизни.
Ведь мы согласны с тем, что законы вывода не принуждают нас
говорить или писать то-то, как рельсы принуждают поезд катить-
ся по ним. А на твое заявление, что кто-то, говоря это, может
этого не думать, я лишь отвечу: это не означает, что ему при
всем старании не удается думать об этом; существенной составля-
ющей «мышления» является для нас то, что — в речи, письме и
т. д. — он делает такие переходы. И добавлю, что граница меж-
ду тем, что мы все еще называем словом «думать», и тем, что мы
уже так не называем, проведена столь же нежестко, как и грани-
ца между тем, что еще называется «закономерностью», и тем, что
уже так не зовется.
Тем не менее можно сказать, что законы вывода вынуждают нас
действовать определенным образом, вынуждают в таком же смыс-
ле, как и другие законы в человеческом обществе. Клерк, делаю-
щий вывод тем способом, что описан в случае (17), должен
поступать именно так; его бы наказали, если бы он делал умозак-
лючение иначе. Кто умозаключает иначе, тот всегда вступает в
конфликт, скажем, с обществом; а также сталкивается с другими
нежелательными практическими последствиями.
Есть некий смысл и в заявлении: он может этого не думать. Так
иногда хотят сказать: он может не наполнять это личностным со-
держанием, может действительно не прилагать к этому весь
свой ум, свое «я». Такая ситуация аналогична случаю, когда гово-
рят: данный звуковой ряд не имеет смысла, я не могу пропеть его
с выражением. Не могу личностно отозваться на него. Или —
что сводится к тому же — он мне несозвучен.
«Говорить так, если он это говорит, он может — скажем —лишь
бездумно». И здесь нужно лишь отметить, что «бездумная» речь,
пожалуй, действительно иногда отличается от иной тем, что про-
исходит с представлениями и ощущениями говорящего в процессе
речи; но это сопровождение не есть мышление, а его отсутствие
еще не есть «бездумность».
38

Ι, 1937-1938
117. В какой мере логический аргумент является своего рода при-
нуждением? — «Если ты признаешь это и это, то ты должен
также признать и это\>> Это способ принудить кого-то. То есть
так можно фактически заставить людей признать нечто. — Точно
так же как заставляют кого-то пойти туда-то, указывая это место
повелевающим движением пальца.
Представь, что я показываю в одном случае двумя пальцами од-
новременно в двух различных направлениях и предоставляю ко-
му-то решать идти в том направлении, какое он предпочтет, а
другой раз я показываю пальцем только в одном направлении:
данную мысль можно также выразить следующим образом: мой
первый приказ не принуждал идти в одном направлении, в то
время как второй принуждал. Но такое высказывание должно со-
общать, какого типа был мой приказ, а не как он подействовал,
принудил ли он фактически кого-нибудь его выполнить, то есть
послушались ли его.
118. На первый взгляд эти размышления должны показать, что
то, «что кажется логическим принуждением, в действительности
является только психологическим принуждением» — однако тут
возникает вопрос: знакомы ли мне в таком случае оба вида при-
нуждения?! —
Представь себе, что употреблялось бы выражение: «Закон... кара-
ет убийцу смертью». Оно могло бы просто означать, что так сфор-
мулирован данный закон. Но поскольку закон — средство, с по-
мощью которого виновному выносится приговор, то сама форма
его выражения как бы способна принуждать. — Так, мы говорим
о «неумолимости» тех, кто наказывает кого-то. И тут нам может
прийти на ум фраза: «Закон неумолим — люди могли бы отпус-
тить виновного, закон казнит его». (И даже: «Закон всегда каз-
нит его».) — Для чего используются такие формы выражения? —
Прежде всего это предложение говорит нам только то, что закон
гласит то-то, а люди иногда не руководствуются им. Но затем
рассматриваемое предложение как бы дает нам образ одного неу-
молимого судьи и многих менее суровых судей. Вот почему оно
служит выражением уважения к закону. Наконец, эта форма вы-
ражения может быть использована и таким образом: закон назы-
вают «неумолимым», когда он исключает возможность помилова-
ния, в противном же случае его характеризуют, скажем, как за-
кон, «предусматривающий смягчающие обстоятельства».
Далее, мы говорим о «неумолимости» логики и думаем о логичес-
39

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ких законах как о неумолимых, еще более неумолимых, чем зако-
ны природы. Мы обращаем тут внимание на то, что слово «неумо-
лимый» используется по-разному. Нашим логическим законам со-
ответствуют очень общие факты повседневного опыта. Это те
факты, которые позволяют нам всегда доказывать такие (логи-
ческие) законы очень простым способом (с помощью чернил на
бумаге, например). Их следует сравнить с фактами, которые де-
лают измерение линейкой легким и полезным. Эти процедуры
предполагают употребление именно этих законов вывода, и теперь
уже мы становимся неумолимыми в применении этих законов.
Потому что мы «измеряем», а измерению присуще то, что все
пользуются той же самой мерой. Кроме того, можно отличать не-
умолимые, то есть однозначные, правила вывода от неоднознач-
ных — я имею в виду такие, которые открывают перед нами аль-
тернативы.
119. «Я же могу выводить только то, что действительно следует».
То есть то, что действительно выдает логическая машина. Логи-
ческая машина — это как бы всепроникающий эфирный меха-
низм. — Следует остерегаться такого образа.
Представь себе материал более жесткий и твердый, чем любой
другой. Но если стержень из этого материала переводится из гори-
зонтального положения в вертикальное, то он сжимается; или же
гнется, когда его выпрямляют, при этом он так тверд, что его
нельзя согнуть никаким другим способом. (Механизм, изготовлен-
ный из этого материала, скажем кривошип, шатун, ползун. Раз-
личные движения ползуна.)
Или же: стержень сгибается, когда к нему приближают опреде-
ленную массу; по отношению же ко всем силам, с помощью кото-
рых мы воздействуем на него, он полностью сохраняет свою жест-
кость. Представь себе, что направляющие ползуна изгибаются, а
затем снова выпрямляются в зависимости от приближения или
удаления кривошипа. Но я допускаю, что для этого эффекта здесь
не нужно никакой внешней силы. Такое поведение направляю-
щих создавало бы впечатление как бы о неких живых существах.
Допустим, мы говорим: «Если бы части этого механизма были аб-
солютно жесткими, то они бы двигались вот так», — каков же
тогда критерий их абсолютной жесткости? Состоит ли он в том,
что части механизма противостоят некоторым силам? Или же в
том, что они движутся таким образом?
Предположим, я говорю: «Это закон движения кривошипа (ска-
40

Ι, 1937-1938
жем, корреляция его положения с положением шатуна), когда
длина кривошипа и длина шатуна постоянны». Это может озна-
чать: если относительные положения кривошипа и ползуна сохра-
няются, то я говорю, что длина шатуна остается постоянной.
120. «Если бы части механизма были абсолютно жесткими, то они
двигались бы вот так» — это гипотеза? По видимому, нет. Ибо
если мы говорим: «Кинематика описывает движение механизма,
делая допущение, что его части абсолютно жесткие», — то мы, с
одной стороны, признаем, что этого никогда не бывает в действи-
тельности; с другой стороны, не подвергаем никакому сомнению,
что абсолютно жесткие части двигались бы именно таким обра-
зом. Но откуда эта уверенность? Тут дело не в уверенности, а в
условно принятом допущении. Мы не знаем, двигаются ли жест-
кие (согласно таким-то критериям) тела так-то; но (при некото-
рых обстоятельствах) бесспорно назвали бы «жесткими» те части,
которые двигались бы таким образом. Всегда помни: в геометрии
(или кинематике), рассуждая об одинаковой, или постоянной,
длине, этим не характеризуют метода измерения.
Следовательно, если мы назовем кинематику, скажем, учением о
движении абсолютно жестких частей машины, в нашем определе-
нии будет заложено, с одной стороны, указание на (математичес-
кий) метод: мы определяем некоторые расстояния в качестве
длин частей машины, — длин, которые, не изменяются; с другой
стороны — указание на применение исчисления.
121. Жесткость логического долженствования. Что, если бы кто-
то сказал: «долженствование» в кинематике значительно жестче,
чем причинное «долженствование», побуждающее одну часть ма-
шины двигаться так, когда другая ее часть движется этак? —
Представь, что мы запечатлели движение «абсолютно жесткого»
механизма с помощью кинематографического изображения — ри-
сованный фильм. Если бы об этом изображении говорилось как
об абсолютно жестком, в это вкладывалось бы следующее зна-
чение: мы приняли это изображение за способ представления, ка-
ковы бы ни были факты, как бы ни сгибались или ни расширя-
лись части реального механизма.
122. Машина (ее конструкция) как символ ее образа действия:
машина — прежде всего хочется сказать — как бы уже заключа-
ет в себе свой собственный образ действия. Что это значит? —
Кажется, что, зная машину, мы совершенно определенно пред-
ставляем себе и все остальное, движения, которые она совершает.
41

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
«Мы говорим так, словно эти части моглут двигаться только та-
ким образом и не могут действовать по-другому».
Как? — Разве мы забыли о том, что она может деформироваться,
сломаться, расплавиться и т. п.? Да, во многих случаях мы сов-
сем не думаем об этом. Мы используем машину или картину ма-
шины в качестве символа определенного рода действий. Напри-
мер, даем кому-нибудь такую картину и предполагаем, что он сде-
лает из нее вывод о движении частей машины. (Так, мы можем
сообщить кому-нибудь число, сказав при этом, что оно является
двадцать пятым в ряду 1, 4, 9, 16,...)
Высказывание «Представляется, что машина уже в самой себе со-
держит свой образ действий» означает: ты склонен сравнивать бу-
дущие движения машины по их .предопределенности с предмета-
ми, которые уже лежат в шкафу и вынимаются нами оттуда.
Но мы не говорим так, если речь идет о предсказании действи-
тельного поведения какой-либо машины; тут, как правило, мы не
забываем о возможности деформации частей и т. д.
Однако бывает, что так говорят, если удивлены тем, что можно
использовать машину в качестве символа некоего способа движе-
ний, при том что она ведь может двигаться и совершенно иначе.
Ну, а мы могли бы сказать, что машина или ее картина служит
началом серии картин, которые мы научились выводить из этой
исходной.
Но если вспомнить, что машина могла бы двигаться и иначе, то
вполне может показаться, что в машине-символе способ ее дей-
ствия содержится с еще большей определенностью, чем в реаль-
ной машине. Тут недостаточно, чтобы соответствующие движения
были опытно предсказуемы: они словно уже должны — в некоем
таинственном смысле — действительно присутствовать. И это
совершенно верно: движение машины-символа предопределено в
ином смысле, чем движение любой данной реальной машины.
123. «Кажется, будто все случаи употребления слова можно схва-
тить мгновенно». — Как что, например? — Разве они — в опре-
деленном смысле — не могут быть схвачены мгновенно? А в ка-
ком смысле ты не можешь сделать этого? Здесь кажется, будто
возможно схватить все случаи употребления слова мгновенно в
еще более прямом смысле. А есть ли у тебя для этого некая мо-
дель? Нет. Только форма выражения подсказывает это. В резуль-
тате перекрестных сравнений.
124. У тебя нет модели для этого чрезвычайного факта, но ты ис-
42

Ι, 1937-1938
пытЫваешь искушение использовать некое сверхвыражение.
125. Когда же в таком случае люди думают, будто машина неким
таинственным образом уже содержит в себе свои возможные дви-
жения? — Ну, когда философствуют. А что приводит нас к тому,
чтобы так думать? Тот способ, каким мы говорим о машине. Мы
говорим, например, что машина имеет такие-то возможности
движения (обладает ими): мы говорим об идеально жесткой ма-
шине, которая может двигаться лишь таким образом. Воз-
можность движения, что это такое? Возможность движения не
есть движение', кажется, она не является и простым физическим
условием движения, например наличием некоторого зазора между
гнездом и цапфой, когда цапфа не слишком плотно входит в гнез-
до. Ведь хотя это и является эмпирическим условием движения,
но можно представить себе дело и иначе. Возможность движения
должна быть некоей теньюсамого движения. А знаешь ли ты та-
кую тень? Да я не подразумеваю под тенью какую-то картину
движения; ведь такая картина не обязательно была бы картиной
именно этого движения. Но возможность этого движения должна
быть возможностью именно этого движения. (Смотри-ка, как вы-
соко вздымаются здесь волны языка!)
Однако волны тут же улягутся, стоит нам только спросить себя:
как мы используем выражение «возможность движения», говоря о
машине? А откуда тогда приходят к нам эти странные идеи? Ну,
я показываю тебе возможность движения, скажем, с помощью не-
коего изображения движения: «Итак, возможность есть нечто
подобное действительности». Мы говорим: «Это еще не движется,
но уже имеет возможность двигаться»; «Значит, возможность есть
нечто весьма близкое действительности». Хотя мы и можем сомне-
ваться, возможно ли это движение при тех или иных физических
условиях, но мы никогда не спорим о том, является ли это воз-
можностью этого или того движения: «Следовательно, возмож-
ность движения имеет совсем особое отношение к самому движе-
нию, более тесное, чем отношение картины к ее предмету», ибо
можно сомневаться, является ли такая картина изображением то-
го или иного предмета. Мы говорим: «Опыт покажет, дает ли это
зубцу такую возможность движения», — но мы не говорим:
«Опыт покажет, является ли это возможностью этого движения»;
«Стало быть, то, что эта возможность является возможностью как
раз этого движения, не эмпирический факт».
Мы обращаем внимание на наши собственные способы выраже-
43

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ния по поводу этих вещей, но не понимаем их и ложно толкуем.
Философствуя, мы поступаем как дикари, как примитивные лю-
ди, которые слышат способы выражения цивилизованных людей,
ложно истолковывают их и затем извлекают из этого странные
следствия.
Представь себе, что некто не понимает нашу форму глагола про-
шедшего времени в предложениях типа: «Он был еще жив».
Этот некто заявляет: «„Он еще жив" — это настоящее время;
следовательно, данное предложение говорит о том, что прошедшее
в некотором смысле является настоящим».
126. «Да я имею в виду не то, что сейчас (при понимании) при-
чинно и эмпирически определяет будущее употребление; но то,
что неким странным образом само это употребление в каком-то
смысле уже дано». — Но в ^некотором смысле» оно, безусловно
дано! (Ведь говорим же мы: «События прошлых лет живы во
мне».) Собственно говоря, в том, что ты сказал, неверно лишь
выражение «странным образом». Остальное все правильно; стран-
ным же предложение кажется только тогда, когда его представля-
ют в другой языковой игре — не в той, где мы его фактически
употребляем. (Кто-то рассказывал мне, что, будучи ребенком, он
удивлялся тому, как это портной «шьет платье», — он думал, что
это означает, будто платье возникает путем одного только ши-
тья, то есть как бы подшиванием одной нити к другой.)
127. Непонятное употребление слова толкуется как выражение
какого-то странного процесса. (Аналогично тому, как время
представляется странной средой, а душа странной сущностью.)
Во всех этих случаях трудность возникает из-за смешения глаго-
лов «быть» и «называться».
128. Связь, полагаемая не как причинная, эмпирическая, а как
значительно более сильная и прочная, вплоть до того, что одно в
каком-то отношении есть другое, всегда представляет собой грам-
матическую связь.
129. Откуда я знаю, что этот образ — мое представление о Солн-
це? — Я называю ее представлением о Солнце. Я употребляю ее
как образ Солнца.
130. «Кажется, будто возможно все случаи употребления слова
понять в одно мгновение». — И мы говорим, что делаем это. То
есть иногда мы описываем то, что делаем, именно этими словами.
Но в том, что происходит, нет ничего удивительного, ничего
странного. Странное возникает тогда, когда что-то побуждает нас
44

Ι, 1937-1938
считать, будто дальнейшее развитие уже должно как-то присут-
ствовать в акте его понимания, и тем не менее оно в нем не да-
но. — Ведь мы говорим, что, несомненно, понимаем слово... но, с
другой стороны, его значение заключено в его употреблении. Нет
никакого сомнения в том, что я сейчас хочу играть в шахматы;
но шахматы есть особая игра в силу всех ее правил (и т. д.).
Разве я не знал, в какую игру хотел играть, до того, как сыграл?
Или же в моем акте намерения уже содержались все правила?
Разве опыт учит меня, что за этим актом намерения обычно сле-
дует этот вид игры? Выходит, невозможно быть уверенным в том,
что намереваешься делать? И если это бессмыслица, то какая
сверхсильная связь существует между актом намерения и тем, что
намереваются сделать? Где осуществляется связь между
смыслом фразы «Сыграем партию в шахматы!» и всеми правила-
ми игры? — В перечне правил игры, в обучении игре, в повсед-
невной практике игры.
131. Логические законы, конечно, выражают «мыслительные на-
выки», но также и навык мыслить. То есть можно сказать, они
показывают, как люди мыслят, а также что они называют сло-
вом «мыслить».
132. «Для человека... невозможно признать, что некий предмет
отличен от самого себя» *..— Фреге называет это «законом того,
что люди принимают за истинное». Думая о том, что для меня это
невозможно, я мысленно пытаюсь это сделать. Так, я смотрю на
свою лампу и говорю: «Эта лампа отлична от себя самой». {Но
ничего от этого не меняется.) Я не считаю, например, что это —
ложное положение, но не нахожу ему никакого применения. (Ис-
ключая случай, когда эта лампа мерцает в солнечном свете; для
выражения этого обстоятельства такое предложение вполне умест-
но.) И можно самому биться в мыслительных судорогах, в каких
бьется человек, пытаясь безуспешно мыслить невозможное. Так
же как можно действительно пытаться (тщетно) просто усилием
воли привлечь к себе предмет с некоторого расстояния (делая при
этом, например, определенные гримасы, как бы пытаясь выраже-
нием лица дать понять предмету, что он должен подойти сюда.)
133. Предложения логики есть «законы мысли», «потому что они
выявляют сущность человеческого мышления» — или, говоря точ-
нее: потому что они выявляют или показывают суть, технику
мышления. Они показывают, что такое мышление, а также виды
мышления.
45

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
134. Представь себе такую странную возможность: до сих пор мы
всегда ошибались при умножении 12 χ 12. Да, непонятно, как та-
кое могло случиться, но это случалось. Значит, все вычисленное
таким способом ложно! Но какое это имеет значение? Да
никакого! — В таком случае должно быть что-то не так в нашей
идее истинности и ложности арифметических предложений.
135. Так выходит, что ошибиться в таком вычислении невозмож-
но? А что, если меня вводит в заблуждение дьявол, так что я,
продвигаясь в вычислении шаг за шагом, всякий раз что-то упус-
каю из виду? А очнувшись от зачарованное™, говорю: «Да, я был
слеп!» — Но какая мне разница, если я это «принимаю»? Я бы
мог тогда сказать: «Да, да, вычисление, конечно, неверно, но так
я вычисляю, и вычислением я теперь называю это, а вот это —
„суммой этих двух чисел"».
136. Представь себе, что кто-то зачарован настолько, что подсчи-
тал:
3
μϊϊϊϊϊμΊ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 т. е. 4 х 3 + 2 = 10.
Теперь тот, кто считал, должен применить свое вычисление. Он
берет 4 раза по 3 ореха и затем еще 2 ореха. После этого он рас-
пределяет их между 10 людьми, и каждый получает один орех:
ибо он распределяет их в соответствии с дугами расчета, а коль
скоро дает кому-нибудь второй орех, этот орех исчезает.
137. Можно также сказать: в доказательстве ты движешься от од-
ного предложения к другому; но приемлешь ли ты и контроль за
тем, правильно ли ты двигался? — Или же ты только говоришь:
«Это должно быть правильно» — и измеряешь все другое предло-
жением, которое получаешь?
138. Ибо если это так, то ты движешься лишь от образа к образу.
139. Могло бы оказаться практичным пользоваться для измерения
линейкой, обладающей свойством — при переносе ее из одного
помещения в другое — сжиматься в длину, скажем наполовину.
Свойство, которое при других обстоятельствах сделало бы ее бес-
полезной в качестве линейки.
При определенных обстоятельствах могло бы быть практичным
опускать цифры при подсчете некоторого ряда; считать так: 1,2,
4, 5, 7, 8, 10.
46

Ι, 1937-1938
140. Что происходит, когда кто-то пытается совместить некото-
рую форму с ее зеркальным отражением, перемещая ее в плос-
кости, а это ему не удается? Он накладывает их различным обра-
зом друг на друга, смотрит на части, которые не совпадают, и,
неудовлетворенный, возможно, говорит: «Но это должно удасть-
ся», — затем вновь накладывает фигуры друг на друга.
Что происходит, когда кто-то пытается поднять тяжесть и это ему
не удается, потому что вес слишком большой? Он принимает ту
или иную позу, хватается за тяжесть, напрягает определенные
мускулы и отказывается от своей попытки, возможно выказывая
какие-то признаки неудовольствия.
В чем обнаруживается геометрическая, логическая невозможность
решения первой задачи?
«Во втором случае действующий все-таки может показать на ка-
кой-то модели или другим образом, как выглядит то, к чему он
стремится». — Но он утверждает, что может это сделать и в пер-
вом случае, накладывая две подобные конгруэнтные фигуры друг
на друга так, чтобы они совпадали. — Что тут следует сказать?
Что эти два случая различны? Но различны также образ и дей-
ствительность во втором случае.
141. Собственно, мы предлагаем здесь замечания о естественной
истории человека: не сообщения о курьезных случаях, а констата-
ции фактов, в которых никто не усомнился и которые ускользают
от внимания лишь потому, что постоянно происходят у нас на
глазах.
142. Мы учим кого-то методу деления орехов между людьми, одна
часть этого метода — умножение двух чисел в десятичной системе.
Мы учим кого-то строить дом, при этом обучая его и тому, как
обеспечить достаточное количество материалов, например досок, а
для этого знакомим его с техникой счета. Техника счета — часть
техники строительства дома.
Люди складывают и продают бревна; штабеля замеряются мет-
ром, показатели длины, ширины и высоты умножаются, а резуль-
тат умножения и есть то количество денег, которое запрашивают
и платят за бревна. Люди не знают, «почему» случается так, они
просто ведут себя таким образом: так это делается. — Разве эти
люди не считают?
143. Когда считаешь таким образом, надо ли высказывать какое-
то «арифметическое предложение»? Конечно, мы учим детей таб-
лице умножения в форме кратких положений, но существенно ли
47

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
это? Почему бы им просто не научиться считать? А если они
это умеют, то разве они в таком случае не выучили арифметику?
144. А в каком отношении находится тогда обоснование процесса
счета к самому счету?
145. «Да, я понимаю, что это предложение следует из этого». —
Понимаю ли я, почему оно следует, или же только что оно сле-
дует? ■ ·
146. Предположим, я сказал: покупатели платят за бревна на ос-
нове вычисления; они принимают вычисление за доказательство
того, что должны платить столько-то. — Но это же просто описа-
ние их действий (их поведения).
147. Продавцы бревен, сказали бы мы, продают их в кубических
метрах но правы ли· они, доступая так? Разве не было бы
более правильным продавать их на вес, или по времени, затрачен-
ному на рубку леса, или по труду лесорубов, замеряемому по их
возрасту и силе? А почему бы не назначить цену, независимую от
всего этого: каждый покупатель отсчитывает одну и ту же сумму,
безотносительно к тому, сколько бревен он берет (скажем, люди
решили, что можно жить и так). И есть ли какие-нибудь возра-
жения против отдачи леса даром?
148. Хорошо; а что, если бревна сложены в штабеля произволь-
ной, различной высоты, а затем продаются по цене, пропорцио-
нальной площади, занимаемой штабелями?
И как быть, если такая процедура продажи обосновывается сло-
вами: «Но ведь тот, кто покупает больше дерева, должен и пла-
тить больше»?
149. Как показать этим людям, что на самом деле — выражусь
так — не тот покупает больше дерева, кто покупает штабель, раз-
мещенный на большей площади? — Я ваял бы, например, по их
понятиям, малый штабель, и перекладкой бревен превратил бы
его в «большой». Это могло бы их убедить, но, пожалуй, они бы
сказали: «Да, теперь здесь больше дерева, и оно стоит больше», —
и с этой проблемой было бы покончено. — В этом случае мы бы,
вероятно, сказали, что под словами «больше дерева» и «меньше
дерева» они понимают просто не то же самое, что мы; и что у них
совсем другая система оплаты, чем у нас.
150. (Сообщество, действующее таким образом, вероятно, напом-
нило бы нам «умника» из сказки.)
151. В предисловии к Основным законам арифметики Фреге го-
48

Ι, 1937-1938
ворит: «...здесь мы имеем доселе незнакомый вид безумия», — но
он не указал, как реально выглядело бы это «безумие».
152. В чем состоит согласие людей относительно признания той
или иной структуры в качестве нового доказательства? В том, что
они используют слова как язык? Как то, что мы называем «языком».
Представь себе людей, пользующихся в обращении деньгами , —
монетами, которые выглядят как наши монеты, отчеканенные из
золота или серебра; и они тоже отдают их за товары. Но
каждый предлагает за них столько, сколько ему хочется, а прода-
вец не отпускает покупателю больше или меньше товара в соот-
ветствии с полученной от него суммой. Одним словом, эти деньги
или то, что выглядит как деньги, играют у них совсем иную роль,
чем у нас. Мы чувствовали бы себя значительно менее родствен-
ными этим людям, чем людям, которые еще вообще незнакомы с
деньгами и практикуют примитивный вид товарообмена. — «Но
монеты этих людей тоже имеют какой-то смысл!» — Тогда все,
что делают люди, имеет какой-то смысл? Скажем, религиозное
действие. —
Вполне возможно, что мы были бы склонны называть людей, ве-
дущих себя так, безумными. Но мы же не называем безумными
всех, кто ведет себя подобным образом в формах нашей культу-
ры, «бесцельно» употребляя слова. (Подумай о коронации короля!)
153. Доказательство требует ясности. Если бы ясно не просматри-
вался процесс, с помощью которого получен результат, все же
можно было бы заметить, что получается это число, — но что долж-
но мне это подтвердить? Я не знаю, «что должно было получиться».
154. Возможно ли, что сегодня люди, просмотрев наши вычисле-
ния, были бы удовлетворены результатами, но завтра захотели бы
извлечь из них совсем другие выводы, а в какой-то иной день
опять другие?
А разве нельзя представить себе, что это происходит закономер-
но, что если человек раз сделал этот переход, то в следующий
раз он именно поэтому сделает другой и потому же (скажем) в
последующий раз вновь первый? (Как если бы в некотором языке
цвет, который один раз назывался «красным», по этой причине
назывался бы иным именем следующий раз и снова «красным»
после этого и т. д.; это могло бы быть так естественно для людей.
Это можно было бы назвать потребностью в перемене.)
[Замечание на полях: вечны ли и неизменны ли наши законы
вывода?]
49

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
155. Разве дело обстоит не так: коль скоро человек мыслит, он
делает логические выводы, иначе быть не может.
Это, по-видимому, означает: коль скоро то-то не ставится под
сомнение вообще.
Шаги, которые не ставятся под сомнение, — логические выводы.
Но они бесспорны не потому, что «безусловно соответствуют исти-
не» — и т. п., — а именно потому, что как раз это называют сло-
вами «мыслить», «говорить», «умозаключать», «аргументировать».
Здесь совсем не идет речь о каком-то соответствии высказываемо-
го реальному; скорее, логика предваряет любое такое соответ-
ствие в том же самом смысле, в каком установление метода изме-
рения предваряет правильность или ошибочность того или иного
утверждения о длине.
156. Установлено ли экспериментально, что одно предложение
можно вывести из другого? — Кажется, что да! Ведь я записы-
ваю определенную последовательность знаков, руководимый опре-
деленными парадигмами, при этом, конечно, существенно, чтобы
я не пропустил никакого знака или не потерял его каким-то иным
способом. А о том, что получается в этом процессе, я говорю, что
оно следует. Против данного положения есть такой аргу-
мент: если 2 яблока, прибавленных к 2, дают только 3 яблока, то
есть если имеется 3 яблока после того, как я положил 2 и вновь
2 яблока, то я не говорю: «Стало быть, 2 4- 2 не всегда 4», — но
говорю: «Одно яблоко, должно быть, каким-то образом исчезло».
157. Но каким образом я провожу эксперимент, если просто сле-
дую уже записанному доказательству? Можно сказать: «Когда ты
смотришь на эту цепь преобразований — разве тебе не кажется,
что они согласуются с парадигмами?»
158. Следовательно, если это должно быть названо эксперимен-
том, то, пожалуй, экспериментом психологическим. Ибо види-
мость согласования может, конечно, основываться на обмане
чувств. И так иногда происходит, когда мы ошибаемся в расчетах.
Итак, некто говорит: «Это мой результат». А то, что показывает,
что это мой результат, пожалуй, представляет собой некий экспе-
римент.
159. Можно сказать: результат эксперимента таков, что я в конце,
в результате доказательства я убежденно говорю: «Да, это верно».
160. Является ли расчет своего рода экспериментом? — Является
ли неким экспериментом мое вставание с кровати по утрам? Раз-
ве оно не могло быть экспериментом, который должен показать,
50

Ι, 1937-1938
иа ек_ ли я после стольких-то часов сна достаточно сил, чтобы
подняться?
И чего не хватает этому действию для того, чтобы быть экспери-
ментом? Только того, что оно не служит этой цели, то есть произ-
ведено не для такого исследования. Нечто становится экспери-
ментом вследствие его особого применения.
Является ли эксперимент, в котором наблюдают ускорение сво-
бодно падающего тела, физическим или же психологическим эк-
спериментом, показывающим, что люди видят при таких обстоя-
тельствах? А не может ли он быть и тем и другим? Разве он
не зависит от обстановки, окружения, в которой его проводят; от
того, как мы действуем, что говорим?
161. Если какое-то доказательство и понимают как эксперимент,
то уж, во всяком случае, результатом эксперимента будет не то,
что называют результатом доказательства. Результат вычисле-
ния — его итоговое предложение, результатом же эксперимента
является то, что от этих предложений по этим правилам я был
подведен к этому предложению.
162. Однако нас интересует не то, что те или иные (или все) лю-
ди фактически следуют этому правилу (или прошли этим путем);
нам представляется само собой разумеющимся, что люди — «если
они мыслят правильно» — идут таким путем. Нам дается некий
уже проложенный путь, как бы протоптанный теми, кто прошел
этим путем. Теперь же по этому пути осуществляется движение с
разными целями.
163. Опыт, конечно, учит меня, как осуществляется вычисление;
но это еще не основание для его принятия.
164. Я усвоил опытным путем, что результат, получившийся на
этот раз, — это то, что получается обычно; но об этом ли говорит
предложение математики? Я знаю по опыту, что прошел этим пу-
тем. Но является ли это математическим высказыванием? — И
что оно говорит? В каком отношении находится оно к этим эмпи-
рическим суждениям? Математическое высказывание имеет силу
правила.
В таком случае верно, что математика есть логика; она движется
ίΐο правилам нашего языка. И это придает ей особую прочность,
особое и неприступное положение.
(Математика закладывается на уровне эталонных образцов.)
165. Но как тогда она крутится туда-сюда в пределах этих пра-
51

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
вил? — Она постоянно создает все новые и новые правила: про-
кладывает все новые пути для движения, расширяя сеть старых.
166. Разве она не нуждается для этого в некой санкции? Может
ли она развивать сеть правил произвольно? Что ж, я мог бы ска-
зать: математик постоянно находит все новые формы представле-
ния. Некоторые из них вызываются практическими потребностя-
ми, другие — эстетическими и еще многими другими. А пред-
ставь-ка себе планировщика парка, разбивающего в нем дорожки;
вполне может быть, что он прочерчивает их лишь как линии орна-
мента и совсем не думает о том, что кто-то по ним будет ходить.
167. Математик — изобретатель, а не открыватель.
168. Мы знаем по опыту, что если отсчитываем что-нибудь на
пальцах руки или же используем для этого группу предметов та-
кого вида: II111 — произнося: Я, Ты, Я, Ты и т. д., то первое сло-
во, будет таким же, как и последнее, «Ну, а разве не должно быть
именно так?» — Разве нельзя представить себе, что кто-то видит
группу ЩИ (например) как группу IIIII, в которой средняя чер-
точка как бы сплавлена из двух и считается дважды? (Правда,
это необычный случай. —)
169. А если я впервые привлекаю чье-то внимание к тому, что ре-
зультат счета предопределен заранее, и он это понимает и гово-
рит: «Да, конечно, так и должно быть»? Что это за тип зна-
ния? — Например, он начертил для себя схему:
Я Τ Я Τ Я
I I I I I
И его рассуждение, скажем, таково: «Вот что происходит, когда
я отсчитываю. — Следовательно, должно...»
52

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
1. Легко представить себе язык, в котором нет вопросительной и
повелительной формы, а вопрос и пожелание выражаются в фор-
ме утверждения, в форме, соответствующей, например, нашему:
«Я хотел бы знать...» и «Я хочу, чтобы...».
О вопросе (например: идет ли на улице дождь) никто не стал бы
утверждать, что он истинен или ложен. Это правомерно утверж-
дать о предложении «Я желаю знать...», что вполне по-немецки. А
если эта форма всегда используется вместо вопроса? —
2. Большинство предложений, которые мы высказываем, пишем и
читаем, — это утвердительные предложения.
И эти предложения — говоришь ты — истинны или ложны. Или,
как мог бы сказать и я, с их помощью играют в игру функций ис-
тинности. Ибо утверждение это не что-то присоединяемое к пред-
ложению, а существенный ход в игре, в которую мы с ним игра-
ем. Это сопоставимо, например, с той особенностью шахматной
игры, что в ней есть выигрыш и проигрыш и что выигрывает тот,
кто «съест» у другого короля. Правда, можно было бы преобразо-
вать шахматную игру в иную, в определенном смысле очень близ-
кую шахматам, с шахматными ходами, но без выигрыша и проиг-
рыша или же с другими условиями выигрыша.
3. Представь себе, что было сказано: «Приказ состоит из предло-
жения-рекомендации („предположения") и повеления предложен-
ного».
4. Разве можно заниматься арифметикой и не прийти к мысли о
высказывании арифметических предложений, не поразиться
сходству между умножением и предложением?
А покажи нам кто-нибудь неверно выполненное умножение, разве
мы не покачали бы головой, как делаем это, когда нам говорят,
что идет дождь, а дождя нет? — Покачали бы; и тут находится
точка соприкосновения. Но ведь мы высказываем жестами свое
неудовольствие и собаке, когда она, например, ведет себя не так,
как бы мы хотели.
Мы привыкли говорить «2 раза по 2 есть 4», и глагол «есть» дела-
ет наше высказывание предложением и явно устанавливает близ-
кое родство со всем, что мы называем «предложением». В то вре-
мя как речь здесь идет лишь об очень поверхностной связи.
5. Есть ли в системе РлссЕла истинные предложения, которые не
53

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
могут быть доказаны в его системе? — Что же тогда называется в
системе РАССЕла истинным предложением?
6. Что же значит тогда, что предложение „ истинно" Ί „р" истинно
= р. (Этоответ.)
То есть вопрос состоит примерно в следующем: при каких обстоя-
тельствах утверждается предложение? Или: как употребляется ут-
верждение предложения в языковой игре? И «утверждение пред-
ложения» здесь противопоставлено высказыванию предложения,
скажем, как упражнению в языке — или как части другого
предложения и т. п.
Итак, если в этом смысле спросить: «При каких обстоятельствах в
игре РлссЕла утверждается предложение?» — то ответом будет: «В
конце одного из его доказательств или в качестве „основного за-
кона"» (Рр.). Иным образом утвердительные предложения в рас
селовских символах в этой системе не употребляются.
7. «А разве не могут существовать истинные предложения, запи-
санные в этой символике, но не доказуемые в системе Рас-
СЕла?» — «Истинные предложения» — это, стало быть, предложе-
ния, которые истинны в. другой системе, то есть которые могут
быть по праву утверждены в другой игре. Конечно, почему бы не
быть таким предложениям или так: почему нельзя записать в рас
селовских символах предложения, например, физики? Этот воп-
рос равнозначен такому: могут ли существовать в языке Евклида
истинные предложения, которые не доказуемы в его системе, но
истинны? — Ну ведь есть даже такие предложения, которые до-
казуемы в системе Евклида и ложны в другой системе. Разве не-
возможны — в другой системе — подобные (очень подобные)
треугольники, которые не имеют равных углов? — «Но это же
шутка! Тогда они будут „подобны" друг другу не в том же самом
смысле!» — Да, конечно; и предложение, не доказуемое в системе
РАССЕла, «истинно» или «ложно» в другом смысле, чем теорема
Principia Mathematica.
8. Я представляю себе, что кто-то просит моего совета, он гово-
рит: «Я сконструировал предложение в расселовских символах
(обозначу его как Р). С помощью определенных дефиниций и
преобразований дело можно истолковать так, что утверждается:
„Р недоказуемо в расселовской системе". Разве я не должен ска-
зать об этом предложении: оно либо истинно, либо недоказуемо.
Но тогда, допустив его ложность, мы получали бы, что оно дока-
зуемо! А ведь этого не может быть. Будь же оно доказано, дока-
54

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 1
зывалось бы и то, что оно недоказуемо. Стало быть, оно может
быть лишь истинным, но не доказуемым».
Так же как мы спрашиваем: «В какой системе доказуемо?» — мы
должны спросить: <<В какой системе „истинно"?» «Истинно в сис-
теме РлссЕла» означает, как уже было сказано: доказано в системе
РлссЕла; а «ложно в системе РлссЕла» означает: противоположное
доказано в системе РлссЕла. — Что же тогда означает твое:
«Предположим, что оно ложно»? В расселовском смысле это оз-
начает: «Допустим, что противоположное доказано в системе Рас
СЕла»; если твоепредполодкение таково, то теперь ты наверняка
откажешься от толкования предложения как недоказуемого. А
под «этим толкованием» я разумею его перевод в это предложе-
ние. — Если ты предполагаешь, что предложение доказуемо в
системе РлссЕла, это тем самым означает, что оно истинно в рас-
селовском смысле, а от интерпретации <<Р недоказуемо» придется
опять отказаться. Если ты предполагаешь, что предложение ис-
тинно в расселовском смысле, то далее следует то же самое. Да-
лее, если предложение ложно в каком-то ином, чем расселовский,
смысле, то это не противоречит тому, чтобы оно было доказано в
системе РлссЕла. (То, что в шахматах означает «проигрыш», в ка-
кой-либо другой игре может составить победу.)
9. Тогда что означает: Ρ и «Р недоказуемо» суть одно и то же
предложение? Это значит, что эти два предложения в такой-то
системе записи имеют одно выражение.
10. «Но ведь Ρ не может быть доказуемо, ибо если предположить,
что оно доказано, то было бы доказано предложение, что оно не-
доказуемо». Но если бы это было доказано или если бы я пола-
гал — может быть, ошибочно, — что доказал это, почему же я
должен не соглашаться с доказательством и говорить, что я счи-
таю мою интерпретацию «недоказуемой»!
11. Предположим, я доказываю недоказуемость Ρ (в системе Рас-
селе); таким образом, я этим доказательством доказал Р. Ну, ес-
ли это доказательство бьшо бы доказательством в системе РАССЕла,
то одновременно была бы доказана принадлежность и непринад-
лежность его системе РлссЕла. — Это случается, когда строят та-
кие предложения. — Но ведь здесь же налицо противоречие! —
Ну да, здесь противоречие. А чему оно здесь мешает?
12. Мешает ли противоречие, которое возникает, когда кто-то го-
ворит: «Я лгу. Следовательно, я не лгу. Следовательно, я лгу. —
Й т. д.»? Я имею в виду: становится ли наш язык менее пригод-
55
4—1923

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ным к употреблению из-за того, что в данном случае из одного
предложения по обычным правилам можно вывести его противо-
положность, а из нее — снова первое предложение? — Само это
предложение непригодно к употреблению, точно так же как и его
вывод; но почему бы его не построить? — Это — никчемное заня-
тие! — Это языковая игра, имеющая сходство с игрой, заключаю-
щейся в ловле большого пальца руки.
13. Таким образом, противоречие становится интересным лишь
благодаря тому, что оно мучает людей и тем самым показывает,
как из языка могут вырастать мучительные проблемы и какие ве-
щи могут нас мучить.
14. Доказательство недоказуемости — это как бы геометрическое
доказательство; доказательство, касающееся геометрии доказа-
тельств. Оно совершенно аналогично, например, доказательству
того, что такая-то конструкция не может быть построена с помо-
щью циркуля и линейки. Тем самым такого рода доказательство
приобретает элемент предсказания, некий физический элемент.
Ибо — как следствие из этого доказательства — мы ведь говорим
человеку: «Не пытайся найти конструкцию (например, трисекцию
угла) — можно доказать, что это не получится». Это значит: су-
щественно, что доказательство недоказуемости может быть приме-
нено таким образом. Можно было бы сказать: оно должно быть
для нас убедительным основанием для отказа от поисков дока-
зательства (то есть конструкции такого-то типа).
Противоречие же нельзя использовать в качестве такого предска-
зания.
15. По праву ли нечто называется высказыванием <<Х недоказуе-
мо», зависит от того, как мы доказываем это высказывание. Толь-
ко доказательство показывает, что может служить критерием не-
доказуемости. Доказательство — это часть системы операций, иг-
ры, в которой данное предложение употребляется и показывает
нам свой «смысл».
Стало быть, вопрос заключается в том, является ли здесь «доказа-
тельство недоказуемости Р» убедительным основанием для предпо-
ложения, что доказательство Ρ не будет найдено.
16. Предложение «Р недоказуемо», как только оно доказано, име-
ет другой смысл, чем до того.
Если оно доказано, то оно представляет собой заключительную
фигуру доказательства недоказуемости. — Если оно не доказано,
то ведь еще неясно, что должно служить критерием его истин-
56

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ностй, и его смысл, можно сказать, еще скрыт.
17. А как предположить, что Ρ доказано? С помощью доказатель-
ства недоказуемости? Или каким-то другим образом? Предполо-
жи, что с помощью доказательства недоказуемости. Затем, чтобы
понять, что доказано, обрати внимание на доказательство! Мо-
жет быть, здесь доказано, что такая-то форма доказательства не
ведет к Р. — Или пусть Ρ доказано, так сказать, неким непосред-
ственным образом, — тогда из этого следует предложение «Р не-
доказуемо», и теперь надо выяснить, как эта интерпретация сим-
волов Ρ сталкивается с фактом доказательства и почему от нее
следует здесь отказаться.
Предположим, однако, что доказано не-Р. — Как доказано? На-
пример, тем, что Ρ доказано непосредственным образом, — ибо
из этого следует, что оно доказуемо, то есть что оно есть не Р.
Что же я должен теперь высказывать: <<Р» или «не-Р»? Почему не
оба предложения? Если кто-нибудь спросит меня: «Что в данном слу-
чае верно — Ρ или не-Р?» — то я отвечу: Ρ стоит в конце расселов-
ского доказательства, так что в системе РлссЕла ты пишешь Р; од-
нако с другой стороны, это как раз доказуемо, и это выражается
через «не-Р», но это предложение не стоит в конце расселовского
доказательства, то есть не относится к системе рАССЕла. — Когда
для Ρ была дана интерпретация «Р недоказуемо», то еще было не-
известно это доказательство для Р, и поэтому нельзя сказать, что
Ρ утверждает: это доказательство не существует. — Как только
выстроено доказательство, тем самым создана новая ситуация: и
теперь надо решать, будем ли мы называть это доказательством
(еще одним доказательством) или же утверждением о недоказуе-
мости.
Предположим, что не-Р доказано непосредственным образом; сле-
довательно, доказано, что Ρ может быть доказано непосредствен-
ным образом! Это снова вопрос интерпретации — не располагай
мы при этом и прямым доказательством Р. — Если бы это было
так, что ж, это было бы так. —
(Суеверный страх и почтительность математиков перед противоре-
чием.)
18. «Но предположим, что предложение ложно — и поэтому до-
казуемо!» — «Почему ты называешь его „ложным"? Потому что
видишь доказательство?» — Или по другим причинам? Тогда это
ничего не значит. Можно ведь с легкостью назвать ложным закон
противоречия, скажем на том основании, что мы очень часто в
4* 57

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
здравом уме отвечаем на вопрос: «И да и нет». То же самое мож-
но сказать о предложении „ ~~р ~р": потому что мы используем
двойное отрицание как усиление отрицания, а не как его отмену.
19. Ты говоришь: «... следовательно, Ρ истинно и недоказуемо».
Это, вероятно, означает: «Итак, Р». Пожалуй, я не возражаю, но
с какой целью ты записываешь данное «утверждение»? (Оно рав-
носильно тому, как если бы кто-нибудь, опираясь на известные
принципы, касающиеся природных форм и архитектурного стиля,
вывел из них утверждение, что на горе Эверест, где никто не мо-
жет жить, должно стоять небольшое шале в стиле барокко.) И
как бы ты смог объяснить мне истинность утверждения, если сам
не можешь использовать его для чего-нибудь иного, кроме как для
этих маленьких фокусов?
20. Здесь надо вспомнить о том, что предложения логики скон-
струированы таким образом, что в качестве информации они не
имеют никакого применения на практике. То есть можно даже
сказать, что они вовсе и не предложения; и то, что их вообще за-
писывают, требует своего оправдания. Ну, а если к этим «предло-
жениям» добавить еще какую-либо структуру иного рода, похо-
жую на предложение, то мы уже совсем утратим представление о
том, какое применение, какой смысл должна иметь эта система
комбинаций знаков, ибо простое звучание предложения из этих
знаковых комбинаций еще не придает им какого-либо значения.
58

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
1. Если кому-то на его просьбу: «Покажи мне число, отличное от
всех этих» — в качестве ответа дается диагональная матрица, то
почему бы ему не заявить: «Но я имел в виду совсем не это!»? То,
что ты мне дал, есть некое правило последовательного получения
чисел, отличающихся от всех прочих чисел в этой последователь-
ности.
«А почему ты не хочешь назвать и это методом вычисления некое-
го числа?» — Но что здесь метод вычисления, а что — результат
вычисления? Ты скажешь, что это одно и то же, поскольку име-
ет смысл говорить: число D больше, чем... и меньше, чем...; его
можно возвести в квадрат и т. д. и т. д.
Не состоит ли вопрос, по сути, в следующем: для чего можно ис-
пользовать это число? Правда, это звучит странно. — Но это как
раз и означает: в какое математическое окружение оно включено?
Таков здесь постоянный девиз: шире оглядись вокруг!
К результату вычисления, выраженному на языке слов, следует
относиться с недоверием. Счет проясняет значение словесного
выражения. Это— более тонкий инструмент для определения
значения. Если ты хочешь знать, что значит словесное выраже-
ние, посмотри на расчет, не наоборот. Словесное выражение от-
брасывает на расчет лишь матовый общий отсвет, расчет же про-
ливает на словесное выражение яркий свет. (Словно бы ты хотел
сравнить высоту двух гор не путем измерения высот, а через их
кажущееся соотношение, получающееся, когда смотришь на них
снизу.)
2. Для чего можно использовать понятие «несчетное»?
Ведь тому, кто изо дня в день пытался бы «выстроить в один ряд
все иррациональные числа», можно было бы сказать: «Оставь! Это
лишено смысла; разве ты не видишь: стоит тебе только выстроить
ряд, я предъявляю тебе диагональный ряд!» Это могло бы отвра-
тить действующего таким образом от его затеи. Что ж, в этом бы-
ла бы польза. И мне кажется, что к этому и сводилась бы подлин-
ная цель данного метода. С помощью смутного понятия некоей
картины данный метод останавливает этого, как бы по-идиотски,
рьяно продолжающего свое дело человека. (Но с помощью другой
картины можно было бы вновь подвигнуть такого человека на
продолжение его предприятия.)
Данный способ кое-что показывает — весьма приблизительно это
59

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
можно назвать демонстрацией того, что эти методы расчета не-
возможно выстроить в один ряд. И значение слова эти здесь ос-
тается смутным.
Умный человек попался в эту языковую сеть! Значит, это, должно
быть, интересная языковая сеть.
Ошибка начинается с того, что говорят: «Кардинальные числа мо-
гут быть сгруппированы в ряд». Но какое понятие мы имеем об
этом упорядочении? Да, конечно, у нас есть понятие о бесконеч-
ном ряде, но здесь это дает нам в лучшем случае смутную идею,
путеводную звезду для образования какого-то понятия. Само дан-
ное понятие абстрагировано от этого и некоторых других рядов;
или: выражение обозначает некое подобие случаев, и его можно
использовать, например, для того, чтобы заранее отграничить об-
ласть, о которой хотят говорить.
Но это не говорит о том, будто вопрос «Можно ли сгруппировать
в некий ряд множество Р1>> имеет ясный смысл. Ибо этот вопрос
означает примерно следующее: можно ли сделать с этими образо-
ваниями что-либо, что соответствует систематизации кардиналь-
ных чисел в некий ряд? Итак, если спрашивают: «Можно ли рас-
положить в ряд действительные числа?» — то корректным был
бы такой ответ: «Я пока не в состоянии точно уразуметь это». —
«Но ведь ты можешь, например, выстроить в ряд корни и алгеб-
раические числа; значит, ты все-таки понимаешь это выраже-
ние!» — Правильнее говоря, я имею здесь дело с определенными
похожими друг на друга образованиями, которые называю одним
общим именем «ряд». Но у меня еще нет надежного мостика от
этих случаев ко «всем действительным числам». И у меня нет так-
же общего метода, позволяющего попробовать, «можно ли сгруп-
пировать в ряд» такое-то множество.
Затем мне предлагают диагональную матрицу и говорят: «Вот те-
бе доказательство того, что эта систематизация здесь невыполни-
ма». На это можно ответить: «Я, как уже говорилось, не знаю,
что это такое — то, что здесь не получается». Хотя я могу по-
нять: ты хочешь продемонстрировать разницу в использовании
«корня», «алгебраического числа» и т. д., с одной стороны, и «дей-
ствительного числа» — с другой. Притом делается это примерно
так: «действительными числами» называются как корни, так и
диагональное число, образованное из корней. И это имеет силу
для всех рядов действительных чисел. Поэтому нет смысла гово-
рить о некоем «ряде всех действительных чисел», ведь диагональ-
60

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ноет число ряда тоже называют «действительным числом». ——
Разве это было бы не равносильно тому, что и каждый ряд книг
обычно называли бы книгой и говорили: «Нет смысла толковать о
„ряде всех книг", так как этот ряд сам является книгой».
3. Здесь очень полезно представить себе; будто задолго до разра-
ботки теории множеств диагональная процедура была известна,
используема для получения того или иного действительного числа
и доступна даже школьникам, как вполне и могло бы быть. Тем
самым изменился, бы аспект открытия КАНТора. Его открытие
вполне могло бы заключаться просто в интерпретации этого дав-
но известного элементарного расчета.
Тип расчета сам по себе весьма полезен. Пусть задание будет та-
ким: запишите десятичную дробь, отличную от чисел:
0,1246798.
0,3469876. . .
0,0127649. . .
0,3426794. . .
..... ... . . (Представте длинный ряд.)
Ребенок подумает про себя: как мне это сделать, я ведь должен
видеть одновременно все эти числа, чтобы избежать записи того
или иного из них? Метод же говорит: вовсе нет; измени первую
позицию первого числа, вторую второго и т. д. и т. д., и ты бу-
дешь уверен, что записал число, не совпадающее ни с одним из
заданных. Число, полученное таким образом, всегда можно было
бы назвать диагональным числом.
В формулировках: «Нельзя выстроить в ряд действительные чис-
ла» или же «Множество... несчетно», — опасно, обманчиво то, что
некое определение, способ образования понятия, представлено э
виде факта природы.
Предложение: «Если что-то называют рядом действительных чи-
сел, то разложение по диагональному методу также именуют «дей-
ствительным числом», и притом говорят, что оно отлично от всех
членов ряда», —звучит скромно.
Доказательство, доказывающее больше, чем позволяют ему его
средства, всегда должно вызывать у нас подозрение. Нечто в этом
роде можно было бы назвать «хвастливым доказательством».
Обычное выражение стимулирует некий процесс, метод построе-
ния, который хотя и применим здесь, но не ведет к цели из-за
61

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
числа предметов, большего, чем даже число всех кардинальных
чисел.
Если бы было сказано: «Размышление над диагональным методом
демонстрирует, что понятие „действительное число" имеет гораз-
до меньшее сходство с понятием „кардинальное число", чем мы,
соблазненные известными аналогиями, склонны полагать», — то
это было бы здраво и верно. Но происходит как раз противопо-
ложное: «множество» действительных чисел сравнивается с «мно-
жеством» кардинальных чисел, как утверждают, по величине. Ро-
довое различие двух понятий изображается — из-за неудачного
выбора выражений — как различие протяженности.
4. Болезнь времени излечивается изменением в образе жизни лю-
дей, и болезнь философских проблем могла бы исцеляться только
изменением образа мышления и жизни, а не лекарством, изобре-
тенным кем-то одним.
Представь себе, что использование автомобиля вызывает и стиму-
лирует определенные болезни и человечество мучается этими бо-
лезнями, пока по тем или иным причинам, вследствие какого-то
развития, оно снова не отучится от езды на автомобиле.
5. Как же люди используют предложение: «Нет наибольшего кар-
динального числа»? Когда и по какому поводу это было бы сказа-
но? Во всяком случае, это использование совершенно иное, чем
применение математического суждения „25 х 25 = 625".
Прежде всего, следует заметить, что мы вообще ставим этот воп-
рос, значит, у нас под рукой нет готового ответа.
Кроме того, пытаясь быстро ответить на вопрос, легко поскольз-
нуться. Так же как и при вопросе: какой опыт показывает нам,
что наше пространство трехмерно?
Мы говорим о позволении, что оно нескончаемо [бессрочная ли-
цензия] .
И можно добавить, что в языковые игры с кардинальными числа-
ми позволено играть без конца. Кому-то, кого мы, скажем, обуча-
ли бы нашему языку и языковым играм, это могло бы о чем-то
сказать. Таким образом, это снова было бы грамматическое пред-
ложение, но совершенно иного рода, чем „25 χ 25 = 625". Оно
имело бы, однако, большое значение, если бы ученик, например,
был склонен (возможно, в силу того, что он воспитан в совсем
другой культуре) ожидать какого-то определенного завершения
этого ряда языковых игр.
62

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ΰ. Почему мы должны говорить: иррациональные числа не могут
быть упорядочены? — У нас есть способ нарушать любой порядок.
Диагональный метод Клитора не выявляет некое иррациональное
число, отличное от всех других чисел в системе, а придает смысл
математическому положению, гласящему, что такое-то число от-
лично от всех других чисел в определенной системе. Кантор мог
бы сказать: то, что некое число отлично от всех других чисел в
системе, ты можешь доказать посредством доказательства, что
оно в первой позиции отлично от первого числа, во второй — от
второго и т. п.
Кантор что-то говорит о сложности понятия «действительное чис-
ло, отличное от всех других чисел какой-либо системы».
Кантор показывает, что если мы имеем систему разложений, то
имеет сМысл говорить о некоем разложении, отличном от всех дру-
гих. — Но этим еще не определена грамматика слова «разложение».
Кантор придает некий смысл выражению «разложение, отличное
от всех других разложений системы», предлагая так называть раз-
ложение в том случае, если можно доказать, что оно диагонально
отлично от разложений в некоей системе.
Таким образом, дается задача: найди число, разложение которого
диагонально отлично от разложений этой системы.
7. Можно было бы сказать: кроме рациональных точек на число-
вой оси находятся различные системы иррациональных точек.
Нет системы иррациональных чисел, но нет и Сверх-Системы, нет
«множества иррациональных чисел» с бесконечностью высшего
порядка.
Кантор дает определение отличия высшего порядка, то есть отли-
чия того или иного разложения от системы разложений. Можно
использовать данное объяснение таким образом, чтобы показать,
что некое число в этом смысле отлично от системы чисел: ска-
жем, число к отлично от системы алгебраических чисел. Но нера-
зумно говорить, что само правило изменения мест по диагонали —
таким-то способом — оказывается отличным от правил этой систе-
мы, поскольку оно само является правилом «высшего порядка»;
ибо повествует об изменении некой системы правил, а потому за-
ранее неясно, в каких случаях мы захотим объявить разложение
вот такого правила отличным от всех разложений системы.
8. <<Эти размышления могут привести нас к высказыванию:
2К0Ж0».
63

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
То есть: мы можем направить эти размышления так, что они
приведут нас к этому.
Или: мы можем это сказать и привести это как основание.
Но если мы это и скажем — что же делать с этим дальше? В ка-
кой практике «закреплено это предложение? Пока оно представля-
ет собой Элемент математической архитектуры, который висит в
воздухе и выглядит так, словно бы был, скажем, архитравом, но
лишенным опоры и ничего не поддерживающим.
Определенные размышления могут привести нас к тому, чтобы
сказать, что 1010 душ располагаются в 1 см3. Но почему же мы все-
таки не говорим этого? Потому что в этом нет никакого проку. По-
тому что данное высказывание хотя и вызывает какой-то образ в
нашем сознании, но такой, с которьш нам дальше нечего делать.
Суждение весомо постольку, поскольку весомы его основания.
Оно несет столько, сколько несут его основания, которые его под-
крепляют.
9. Интересный вопрос: какова взаимосвязь Но с кардинальными
числами, числом которых оно должно быть? К 0 было бы, очевид-
но, предикатом ^бесконечный ряд» в его применении к ряду
кардинальных чисел и к сходным математическим образованиям.
Здесь важно уловить соотношение ряда в не математическом
смысле и ряда в математическом смысле. Конечно, ясно, что в
математике мы употребляем слово «числовой ряд» не в смысле
«ряд числовых знаков», хотя, разумеется, существует и взаимос-
вязь между употреблением одного и другого выражений. Желез-
ная дорога— это не железнодорожный поезд; не является она и
чем-то, похожим на железнодорожный поезд. Для рядов языко-
вых выражений ряд в математическом смысле — это метод пост-
роения.
Таким образом, мы имеем грамматический класс «бесконечная
последовательность» и эквивалентное данному выражению слово,
грамматика которого сходна (в известном смысле) с грамматикой
числительного: «бесконечный» или «Ко». Это связано с тем, что в
исчислениях математики имеется техника, которую с известным
правом можно назвать «корреляцией 1—1 между членами двух
бесконечных последовательностей», так как она имеет сходство с
подобным взаимным соотнесением членов так называемых «конеч-
ных» классов.
Однако из того, что у нас есть то или иное применение для некое-
го типа числительного, словно бы задающего число членов того
64

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2
или иного бесконечного ряда, не следует, что уместно также гово-
рить о числе применительно к понятию «бесконечного ряда», как
будто тут мы располагаем неким применением чего-то, сходного с
числительным. И нет никакой грамматической техники примене-
ния такого выражения. Ибо я, конечно, могу составить выраже-
ние: «Класс всех классов, которые имеют числовое равенство с
классом „бесконечная последовательность"», так же как и выра-
жение: «Класс всех ангелов, которые помещаются на острие иг-
лы», но это выражение пусто, пока для него нет применения. Та-
кое применение — не то, что должно быть еще открыто, а то, что
сначала должно быть изобретено.
Представь себе, что я положил перед тобой игровую доску, разде-
ленную на поля, поставил на нее похожие на шахматные фщуры
предметы и объявил: «Эта фигура — „король", это — „слоны",
это — „пешки". — Больше мы об игре еще ничего не знаем; но
это уже кое-что. — А большее еще, вероятно, будет открыто».
10. «Нельзя упорядочить дроби в соответствии с их величиной». —
Это звучит в высшей степени любопытно и странно.
Это представляет интерес в совершенно ином смысле, чем, напри-
мер, предложение из дифференциального исчисления. Отличие, я
полагаю, состоит в том, что такое предложение легко ассоцииру-
ется с использованием его в физике, в то время как приведенное
предложение принадлежит всецело и исключительно математике,
кажется относящимся как бы к естественной истории математи-
ческих предметов.
О таком предложении можно было бы сказать: оно вводит нас в
тайны математического мира. Это тот аспект, относительно ко-
торого я хочу предостеречь.
Если кажется..., то следует быть осмотрительным.
11. Если, вникая в положение, что дроби не могут быть выстрое-
ны в ряд в соответствии с их величиной, я представлю себе образ
бесконечного ряда вещей и между каждой вещью и соседней с ней
просматриваются новые вещи, и опять между соседствующими ве-
щами проглядывают еще новые и так далее без конца, то, конеч-
но, получится нечто такое, от чего может закружиться голова.
Если же мы поймем, что этот образ, хотя и очень впечатляющий,
все же неточен, что не следует попадаться в ловушку слов «ряд»,
«выстроить», «существовать» и других, то мы вернемся к технике
вычисления дробей, в которой теперь уже не будет ничего стран-
ного.
65

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
То, что в технике вычисления дробей выражение «наиближайшая
по величине дробь» не имеет смысла, что мы не придали данному
выражению никакого смысла, — это вовсе не удивительно.
Если мы применяем технику беспрерывного интерполирования
дробей, то у нас не появится желания назвать какую-либо дробь
«наиближайшей по величине».
12. Если о какой-то технике говорят, что она неограниченна, это
означает не то, что она все продолжается, никогда не приходя к
концу — наращивая нечто неизмеримое, но то, что у нее отсут-
ствует институт конца, что она не закрыта. Так же как о предло-
жении можно сказать, что оно не окончено, если нет точки в кон-
це. Или же об игровом поле — что оно неограниченно, если пра-
вила игры не предписывают ограничений, например с помощью
линии.
Новая техника исчисления как раз и должна дать нам новую кар-
тину, новый способ выражения; и нельзя сделать ничего более
абсурдного, чем пытаться описать эту новую схему, этот новый
тип каркаса с помощью старых выражений.
13. Какова функция такого предложения, как: «Для дроби нет не-
коей дроби, следующей за ней и сколь угодно близкой к ней по
величине, а для кардинального числа следующее за ним, наибли-
жайшее к нему по величине кардинальное число есть»? Ну, это
как бы аналогично предложению, в котором сравниваются две иг-
ры. (Как, например в игре в шашки перешагивают через фигуру,
а в шахматах — нет.)
Фраза: «Построить следующее наиближайшее по величине чис-
ло» — означает нечто, тогда как фраза: «Построить следующую,
сколь угодно близкую по величине дробь» — не означает ничего.
14. Как сравнивают игры? Описывая их — описывая одну как
вариант другой, описывая и акцентируя их различия и подобия.
«В шашках нет короля» — о чем говорит данное высказывание?
(Это звучит по-детски.) Означает ли оно лишь то, что никакая
фигура не называется «королем»; а если бы мы дали одной из фи-
гур такое название, то тогда в шашках был бы король? А как
быть с таким предложением: «В шашках все фигуры равноправ-
ны, а в шахматах — нет»? Кому я могу это сообщить? Тому, кто
уже знает обе игры, или же тому, кто их еще не знает. Тогда ока-
зывается, что первый не нуждается в нашем сообщении, а второ-
му оно ни к чему. А что, если бы я сказал: «Посмотри! В шашках
все фигуры равноправны...»? Или еще лучше: «Посмотри! В этих
66

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2
играх все фигуры равноправны, а в тех — нет». Но что делает та-
кое предложение? Оно вводит новое понятие, новое основание
классификации. Я учу тебя выполнять задание: «Назови мне игры
первого типа!» и т. д. Однако сходным же образом можно было
бы поставить задачу: «Придумай игру, в которой есть король».
15. «Мы не можем выстраивать дроби в ряд по их величине, но
можем выстраивать их в бесконечный ряд».
Чему научится тот, кто этого не знал? Он научится новому роду
вычисления, например: «Определи номер дроби...»
Он учится этой технике — но не учится ли он и тому, что такая
техника имеется?
Разумеется, в некоем важном смысле я научился тому, что такая
техника есть; то есть мною освоена такая техника, которую те-
перь можно применять ко всевозможным другим вещам.
16. «Как бы ты назвал это!»
13 4.
1
2
4
7
«
3
5
8
»
6
9
•
10
Разве не «методом беспрерывного нумерования пар чисел»? И раз-
ве нельзя было бы также сказать о «выстраивании пар чисел в
ряд»?
А учит ли меня математика тому, что я могу выстраивать пары
чисел в ряд? Можно сказать: она учит меня, что я могу это сде-
лать? Разве уместно говорить, что, обучая ребенка умножению, я
учу его и тому, что можно умножать? Скорее, можно было бы,
конечно, сказать: я учу его, что можно умножать дроби, после то-
го как он научился перемножать кардинальные числа. Ибо теперь
можно было бы сказать, он уже знает, что значит «умножать». Но
разве и это не вводило бы в заблуждение?
Если кто-то говорит, что доказал положение о возможности вы-
страивать в ряд пары чисел, то следовало бы ответить, что это не
есть математическое положение, так как вычисления не произво-
67

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
дят с помощью слов «можно», «в», «пары», «чисел» и т. д. Предло-
жение «Можно...» представляет собой, скорее, лишь беглое описа-
ние техники, которой обучают, что-то вроде более или менее под-
ходящего названия, заголовка для этого раздела. Но названия, с
помощью которого пока еще нельзя производить вычисления.
Но, скажешь ты, это и есть как раз то, что делает логическое ис-
числение Фреге и РлссЕла: в нем каждое слово, произносимое в
математике, имеет точное значение, является элементом исчисле-
ния. В этом исчислении можно, таким образом, действительно до-
казать: «Умножать можно». Тогда это, пожалуй, математическое
предложение; но кто говорит, что это предложение можно для че-
го-нибудь использовать? Кто скажет, для чего оно могло бы при-
годиться? Ведь того, что оно интересно звучит, еще недостаточно.
Если в ходе занятия мы, возможйо, и употребляем предложение:
«Итак, ты видишь, что дроби можно выстраивать в ряд», — то
это еще не значит, что у нас есть для этого предложения какое-
либо иное применение, чем сочетание с этим типом исчисления
легко запоминающейся картины.
Если здесь интерес прикован к предложению, которое было дока-
зано, то он сопряжен с картиной, имеющей в высшей степени
слабое обоснование, но привлекающей нас своей необычностью,
как, например, картина «направленности» времени. Она вызывает
легкое опьянение мыслей.
Я могу здесь только сказать: расстанься как можно скорее с такой
картиной и усматривай интерес исчисления в ее использовании.
(Это похоже на то, словно бы мы присутствовали на маскараде,
где каждое исчисление появлялось в причудливом наряде.)
17. «Следует ли избегать в математике слова „бесконечно"?» Да,
там, где кажется, будто это слово придает исчислению значение,
вместо того чтобы, наоборот, получать значение от исчисления.
Способ выражения: «Но если приглядеться, то в исчислении вовсе
нет ничего бесконечного», — конечно, неуклюж, но это означает:
действительно ли необходимо прибегать здесь к картине бесконечно-
го (необычайной величины)? И как эта картина связана с исчисле-
нием? Ведь это связь иного рода, чем связь изображения 1111 с 4.
конечно, смешно делать вид, что ты обескуражен, не найдя в ис-
числении ничего бесконечного; однако вовсе не смешно спросить:
каково же повседневное применение слова «бесконечно», придаю-
щее ему значение для нас, и в чем его связь с этими математичес-
кими исчислениями?
68

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2
18. Финитизм и бихевиоризм — весьма близкие направления.
Оба утверждают: здесь ведь есть только... Оба отрицают сущест-
вование чего-то, оба делают это с той целью, чтобы избежать пу-
таницы.
Мое дело — не доказать, что исчисление ошибочно, но подверг-
нуть испытанию то интересное, что есть в исчислении. Напри-
мер, я проверяю правомочность употребления здесь слова... Но по
сути, я снова и снова* призываю к такому исследованию. Показы-
ваю, как оно устроено и что в нем надлежит уяснить. Стало быть,
не следует говорить: «Так нельзя выражаться», или: «Это абсурдно»,
или: «Это неинтересно», — но можно сказать: «Проверь этим спо-
собом правомочность этого выражения». Нельзя узреть правомоч-
ность какого-либо выражения, не охватив взором его применений, а
этого нельзя сделать, всматриваясь лишь в какую-то грань его при-
менения, скажем, в ту или иную, связанную с ним картину.
69

II
1939 - 1940
1. «Математическое доказательство должно быть обозримым».
«Доказательством» мы называем только ту структуру, которую
несложно воспроизвести. Должно быть возможным четко опреде-
лять, действительно ли мы дважды имеем дело с одним и тем же
доказательством или нет. Доказательство должно быть конфигу-
рацией, наверняка поддающейся точному воспроизведению. Или
же: то, что существенно в доказательстве, должно наверняка под-
даваться точному воспроизведению. Оно может, например, быть
записано двумя разными почерками или разными цветами. К
воспроизведению доказательства не следует относить то, что со-
ставляет точное воспроизведение оттенка цвета или почерка.
Должно быть легко вновь точно записать это доказательство. В
этом состоит преимущество написанного доказательства перед до-
казательством-изображением. Существенное в доказательствах
второго типа часто бывает понято неверно. Чертеж того или ино-
го Евклидова доказательства может быть неточен в том смысле,
что прямые не прямы, сегменты окружности не точно кругообраз-
ны и т. д. и т. д., и при этом представлять собой все-таки точное
доказательство. А из этого понятно, что данный рисунок, напри-
мер, не демонстрирует, что такая конструкция дает многоуголь-
ник с пятью сторонами равной длины, что он доказывает положе-
ние геометрии, а не предложение о свойствах бумаги, циркуля,
линейки и карандаша.
[В связи с этим: доказательство — картина эксперимента.]
2. Я хочу сказать: если неясную форму доказательства делают яс-
ной путем изменения записи, то сначала создают доказательство
там, где прежде его не было.
Представь себе теперь доказательство расселовского положения о
сложении типа а + Ъ = с, которое состояло бы из нескольких ты-
70

Π, 1939-1940
сяч знаков. Ты скажешь: усмотреть, правильно ли это доказатель-
ство или нет, — это чисто внешняя сложность, не представляю-
щая никакого математического интереса. («Один человек легко
схватывает то, что другой схватывает с трудом или вообще не
схватывает» и т. д. и т. д.)
Предположение состоит в том, что определения служат только для
сокращения выражения, для удобства исчисления; но вместе с тем
они являются частью исчисления. С их помощью получают выра-
жения, которые без этого не могли бы быть получены.
3. А как же быть вот с этим: «Хотя в расселовском исчислении
нельзя — в обычном смысле — умножить 234 на 537, но есть та-
кое РАССЕловское исчисление, которое соответствует этому умноже-
нию»? — Какого типа это соответствие? Возможно, оно таково:
это умножение можно выполнить и в расселовском исчислении, но
только в другой символике — иначе говоря, оно выполнимо в
другой числовой системе. Тогда путем расчета в расселовском ис-
числении можно было бы, скажем, решать, правда, более слож-
ным способом, и практические задачи, для решения которых ис-
пользуется такое умножение.
Представим себе теперь кардинальные числа в виде 1, 1 + 1, (1 +
+ 1) + 1, ((1 + 1) +· 1) + 1 и т. д. Ты скажешь, что определе-
ния, вводящие цифры десятичной системы, служат просто для
удобства; исчисление 703 000 χ 40 000 101 можно было бы выпол-
нить и в такой длинной записи. Но так ли это? — «Конечно же,
это так! Я ведь могу записать, построить исчисление в той записи,
которая соответствует исчислению в десятичной записи». — А как
узнать, что она ей соответствует? — Ну хотя бы по тому, что я
вывел ее из другой по определенному методу. — А если я посмот-
рю на нее снова через полчаса, разве она не может за это время
измениться? Ведь она необозрима.
И вот я спрашиваю: можно ли убедиться в истинности предложе-
ния «7 034 174 -f 6 594 321 = 13 628 495» также с помощью дока-
зательства, выполненного в первой записи? — Есть ли такое до-
казательство этого предложения? — Ответ: нет.
4. Но не учит ли нас Рассел все же одному типу сложения?
Предположим, мы доказали методом РАССЕла, что (3 а ... g) (5 а
... /) d (3 α ... s) есть тавтология; можно ли было бы тогда свес-
ти наш результат к выражению g + I есть sl Это ведь предполага-
ет, что можно принять эти три элемента алфавита за представите-
лей доказательства. Но явлено ли это в доказательстве РАССЕла?
71

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
я мог бы со всей очевидностью выполнить РАССЕловское доказа-
тельство с помощью групп знаков в скобках, не усматривая ниче-
го характерного в их последовательности, так что бдоо бы невоз-
можно представить ту или иную группу знаков в скобках ее по-
следним членом.
Предположим даже, будто РАССЕловское доказательство проведено
в записи типа хх х2 ... х10 хп ... х100 ... как в десятичной записи
и что в первой скобке 100 членов, во второй — 300, а в тре-
тьей — 400; само доказательство показывало бы в этом случае,
что 100 + 300 = 400? — Что, если это доказательство приводило
бы один раз к этому результату, а другой раз к другому, например
100 + 300 = 420? Что могло бы убедить в том, что результат до-
казательства, если оно правильно проведено, всегда зависит толь-
ко от последних цифр двух пар первых скобок?
Но небольшие числа Рассел все же учит нас складывать; ибо тут
мы схватываем взглядом группы знаков в. скобках и можем взять
их в качестве числовых знаков, например <<ху>>, «xyz>>, «xyzuv».
Таким образом, Рассел учит нас другому исчислению для получе-
ния 5 из 2 и 3; и это верно, хоть мы и говорим, что логическое
исчисление есть только бахрома, подвешенная к арифметическому
исчислению.
Применение исчисления должно заботиться о себе само. И это
верно именно для «формализма».
Сведение арифметики к символической логике должно показать
применение арифметики; это как бы насадка, с помощью которой
осуществляется ее применение. Как если бы человеку показать
сначала трубу без мундштука, а потом мундштук, который учит
тому, как труба используется и как приводится в контакт с чело-
веческим телом. Однако та насадка, которую дает нам Рассел, с
одной стороны, слишком узка, а с другой— слишком широка:
слишком всеобща и слишком специальна. Исчисление заботится о
своем собственном применении.
Мы распространяем наши идеи от исчислений с небольшими чис-
лами на исчисления с большими числами, подобно тому как пред-
ставляем себе, что если дистанция отсюда до Солнца могла бы
быть измерена с помощью дюймовой линейки, то получилось бы
как раз то, что мы сегодня получаем совершенно иным способом.
Это значит, что мы склонны брать измерение длины дюймовой
линейкой в качестве модели и для измерения расстояния между
двумя звездами.
72

И, 1939-1940
Говорят же, например, в школе: «Если мы представим себе дюй-
мовые линейки, положенные отсюда до Солнца...» — и кажется,
будто тем самым объяснено, что понимается под расстоянием
между Солнцем и Землей. И использование такой картины вполне
правомерно, поскольку нам ясно, что измерить расстояние от нас до
Солнца можно, но что нельзя измерить его дюймовыми линейками.
5. Что, если бы кто-то сказал: «Собственно, доказательство того,
что 1000 + 1000 = 2000, — это ведь рлссЕловское доказательство,
которое показывает, что выражение ... есть тавтология»? Ибо
разве нельзя доказать, что тавтология получается тогда, когда в
первых и вторых скобках будет по 1000 членов, а в третьих —
2000? И если такое доказательство выполнимо, то я могу рас-
сматривать его как доказательство приведенного арифметического
предложения.
Постановка того или иного вопроса в философии всегда предпоч-
тительнее ответа на вопрос.
Ибо ответ на философский вопрос вполне может быть неправи-
лен; исчерпывание же одного вопроса с помощью другого непра-
вильным быть не может.
Должен ли я, например, в данном случае поставить какой-то воп-
рос вместо ответа, гласящего, что то арифметическое предложе-
ние недоказуемо методом РлссЕла?
1 2 з
6. Доказательство того, что ( ) ( ) з ( ) есть тавтология, состоит
в том, что один из членов третьих скобок всегда соотносят с од-
ним членом (1) или (2). И есть ведь много способов такой свер-
ки. Или можно даже сказать: есть много способов установить ус-
пешность корреляции 1—1. Одним из таких способов могло бы
быть, например, построение звездообразных узоров, одного для
левой стороны импликации и одного для правой, и образование из
них — путем все новых сравнений — единого орнамента.
Таким образом, можно сформулировать правило: «Если ты хо-
чешь знать, действительно ли числа А и В вместе дают С, запиши
выражение формы ... и упорядочи относительно друг друга пере-
менные в скобках, записав (или стремясь записать) доказательст-
во того, что выражение есть тавтология».
Мое возражение против этого состоит не в том, что предписывать
именно этот способ сверки есть произвол, а в том, что таким спо-
собом нельзя определить, что 1000 + 1000 = 2000.
7. Представь, что ты записал «формулу» длиною в милю и с помо-
73

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
щью преобразования показал, что она тавтологична («если она за
это время не изменилась», следовало бы сказать). Теперь сосчи-
таем члены в скобках или же разграничим их и сделаем выра-
жение обозримым, тогда выявится, что в первых скобках стоит
7566 членов, во вторых — 2434, а в третьих — 10000. Показал
ли я теперь, что 2434 4- 7566 = 10000? — Это зависит — можно
сказать — от того, уверен ли ты, что этот подсчет действительно
дал число членов, которые во время доказательства стояли в
скобках.
Можно ли сказать: «Рассел учит нас вписывать в третьи скобки
столько переменных, сколько их стоит в первых и вторых скобках
вместе»? Но по сути говоря: он учит всегда соотносить один из чле-
нов в третьих скобках с одним из членов в (1) или (2).
А учимся ли мы тем самым тому, какое число есть сумма двух за-
данных чисел? Возможно, скажут: «Конечно, ведь в скобках (3)
стоит парадигма, образец нового числа». Но насколько I I I I I I I I
I I I I I I I I есть парадигма некоего числа? Поразмысли о возмож-
ности ее использования как таковой.
8. Эта тавтология РлссЕла, выражаемая предложением а + Ъ = с,
прежде всего не показывает, в какой системе обозначений следует
записывать число с, и нет оснований не использовать для этой це-
ли форму а + Ъ. — Ведь Рассел совсем не учит нас технике сло-
жения, например, в десятичной системе. — А нельзя ли вывести
ее самостоятельно из его техники?
Поставим вопрос так: можно ли вывести технику десятичной сис-
темы из техники системы 1, 1 + 1, (14-1) -Мит. д.?
Нельзя ли поставить тот же вопрос так: если имеется техника
счета в одной системе и техника счета в другой, как показать, что
обе они эквивалентны?
9. «Доказательство должно показывать не просто, что это так, но
и что это должно быть так».
При каких условиях числа показывают это?
Можно ответить так: «Если цифры и считаемое передаются в за-
поминающейся конфигурации. Если эту картину используют те-
перь всегда вместо повторного просчитывания этого множест-
ва». — Но здесь мы говорим, очевидно, лишь о пространствен-
ных картинах: а если, скажем, мы знаем наизусть ряд слов и за-
тем координируем один к одному два таких ряда, сопровождая свои
действия, например, словами «первый— понедельник, второй —
вторник, третий — среда» и т. д., разве мы не можем тем самым до-
74

И, 1939-1940
казать, что от понедельника до четверга проходит четыре дня?
Вопрос в том: что мы называем «легко запоминающейся конфигу-
рацией»? Что является критерием того, что мы ее запомнили?
Или служит ли ответом на это: «То, что мы используем ее в ка-
честве парадигмы тождества!»?
10. Чтобы установить свойства теоремы, или доказательства, мы
не проводим экспериментов.
Как мы репродуцируем, как воспроизводим то или иное доказа-
тельство? — Не производя, например, его измерения.
А что, если бы доказательство представляло собой невероятно
длинную выкладку, которую едва ли можно обозреть? Или рас-
смотрим другой случай. Возьмем в качестве парадигмы числа, ко-
торое назовем 1000, длинный ряд черточек, выцарапанных на
скале. Этот ряд назовем пратысячей [эталоном тысячи], и, чтобы
узнать, находится ли на какой-то площади тысяча человек, будем
чертить палочки или натягивать веревки (соответствие 1 к 1).
Знак числа 1000 идентичен тут не образу, а физическому предме-
ту. Подобным же способом можно представить себе прасотню и
т. д., а также доказательство того, что 10 χ 100 = 1000, которое
невозможно охватить одним взглядом.
Цифру 1000 в системе 1 + 1 + 1 + 1 ... нельзя узнать по ее виду.
11.ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ΙΙΙΜΙΙΜΙΙΙΙΜΙ
Является ли эта схема доказательством того, что 27 + 16 = 43,
поскольку при подсчете черточек слева получается 27, а при под-
счете черточек справа — 16, суммарное же исчисление всего ряда
дает 43?
Что необычного в том, чтобы данную схему считать доказательст-
вом этого предложения? Необычно то, как воспроизводится и
опознается это доказательство; то, что оно не имеет характерного
визуального образа.
Но даже если такое доказательство не имеет визуального образа,
тем не менее его можно точно скопировать (воспроизвести), —
разве в этом случае схема не будет доказательством? Я мог бы,
например, выгравировать ее на кусочке стали и передавать его из
рук в руки. Так, я мог бы сказать кому-то: «Вот тебе доказатель-
ство того, что 27 + 16 = 43». Разве в этом случае все-таки
нельзя сказать: он доказывает это математическое положение при
помощи рисунка? Можно, но все же рисунок не является доказа-
тельством.
75

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Но вот что можно было бы все же назвать доказательством того, что
250 + 3220 = 3470: счет ведут от 250 и одновременно начинают
другой счет с 1, координируя тот и другой счет таким образом:
251 .... 1
252 .... 2
253 .... 3
и т. д.
3470 .... 322Ö
Это можно было бы назвать доказательством, проходящим через
3220 ступеней. Это все:таки доказательство, но можно ли его на-
звать наглядным?
12. Что представляло собой по существу изобретение десятичной
системы? Открытие системы сокращений. Но что такое сис-
тема сокращений? Является ли она просто системой новых цифр
или же вместе с тем системой их применения для сокращения? И
если верно последнее, то это является новым способом рассмот-
рения старой системы числовых знаков.
Можно ли, отталкиваясь от системы 1+1 + 1 ..., путем простого со-
кращения способа записи научиться считать в десятичной системе?
13. Допустим, я доказал, по Расселу, выражение формы (3 xyz...)
(3 uvw...) ζ) (3 аЪс.) — и теперь «делаю его наглядным», впи-
сывая над переменными знаки χν χ2, х3... — следует ли из этого,
что я доказал, по Расселу, арифметическое положение в десятич-
ной системе?
Но ведь каждому доказательству в десятичной системе соответ-
ствует какое-то доказательство в системе РлссЕла. — Откуда нам
известно, что это так? Оставим в стороне интуицию. — Но это
можно доказать. —
Если в десятичной системе то или иное число определяют, исходя из
1,2, 3, ..., 9, 0, азнакиО, 1, ... , 9 — исходя из 1, 1 +1, (1 + 1) +
+ 1, ... , можно ли тогда путем рекурсивного объяснения десятичной
системы получить из любого числа знак формы 1 + 1 + 1 ... ?
Допустим, кто-нибудь скажет: арифметика РлссЕла совпадает с
обычной для чисел меньше 10Ю; дальше же они расходятся. И
чтобы обосновать это, он приведет доказательство РАССЕла: Юю +
+ 1 = Юю. Почему бы мне не доверять этому доказательству?
Как меня убедят в том, что я, должно быть, допустил ошибку в
этом доказательстве РлссЕла?
Нужно ли мне в этом случае доказательство из другой системы,
76

II, 1939-1940
чтобы убедиться в том, допустил ли я ошибку в первом доказа-
тельстве? Разве недостаточно того, что я записываю это доказа-
тельство в обозримой форме?
14. Не заключаются ли все мои трудности в понимании того, как
можно, не выходя за рамки логического исчисления РлссЕла, прий-
ти к понятию множества переменных в выражении «(Ξ xyz...)>>
там, где это выражение не схватывается наглядно? —
Ну, его все же можно сделать наглядным, если записать: (Ξ χν
х2г х3...). Однако не все мне здесь ясно: ведь теперь изменился
критерий идентичности такого рода выражения. Теперь я уясняю
иным образом, что количество знаков в двух таких выражениях
одинаково.
По сути, я готов заявить: доказательство РлссЕла можно продол-
жать ступень за ступенью, но в конце не совсем ясно, что же до-
казано — во всяком случае, не ясно по старым критериям. Делая
доказательство РлссЕла наглядным, я устанавливаю нечто об этом
доказательстве.
Смею утверждать: вовсе не обязательно признавать технику вы-
числения РлссЕла — вполне возможно и при использовании иной
техники вычисления доказать, что РАССЕЛовское доказательство
данного положения должно иметь место. Однако само это поло-
жение, понятно, уже не будет основываться в этом случае на до-
казательстве РдссЕла.
Или: то, что для каждого доказанного предложения формы т 4- η
= 1 можно представить себе доказательство РлссЕла, еще не гово-
рит о том, что данное предложение основывается на этом доказа-
тельстве, ибо можно себе представить такой случай, когда нельзя
различить Расселово доказательство одного предложения и такое
же доказательство другого предложения; и об их различии гово-
рят лишь потому, что они представляют собой переводы [на язык
РлссЕла] двух явно различимых доказательств.
Иначе говоря: нечто — скажем, логическое исчисление РлссЕла —
перестает быть доказательством в том случае, если оно перестает
быть парадигмой; с другой стороны, может быть принято любое
другое исчисление, если оно служит нам парадигмой.
15. То, что различные методы счета почти всегда согласуются, —
факт.
Считая клетки на шахматной доске, я так или иначе получаю 64.
Если я выучил два вида слов, например наименования чисел и ал-
77

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
фавит, и привожу их в соответствие 1 — 1
а 1
Ъ 2
с 3
и т. д.,
то всякий раз, дойдя до „ζ", я получу „26".
Имеет место: знание столбца слов наизусть. В каком случае гово-
рят, что я знаю стихотворение... наизусть? Критерии здесь доста-
точно сложны. Совпадение с напечатанным текстом — один из
них. Что должно произойти, чтобы я усомнился, действительно ли
я знаю наизусть алфавит? Трудно себе это представить.
Однако произнесение вслух или запись по памяти последователь-
ности слов я использую в качестве критерия равенства чисел или
множеств.
Должен ли я тут сказать: это все не столь уж важно — логика все
же остается основным исчислением; только вот ответ на вопрос:
идентичны ли формулы, представленные мне дважды? — может
быть в разных случаях разным.
16. По правде говоря, не логика вынудит меня признать верным
предложение такого вида: (3 ) (Ξ ) з (3 ), — если в первых и
вторых скобках будет по миллиону переменных, а в третьих —
два миллиона. Я хочу сказать — никакая логика не заставила бы
признать в этом случае то или иное выражение верным. Нечто
другое заставляет меня признать это выражение соответствующим
логике.
Логика вынуждает меня, лишь поскольку вынуждает логическое
исчисление.
Но для логического исчисления с 1 000 000 составляющих все-та-
ки важно, что это число должно быть разложимо в сумму 1 + 1 +
1... ! А для уверенности, что мы имеем верное число единиц, их
можно пронумеровать:
1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1
12 3 4 1 000 000
Этот способ записи похож на такой: 100, 000, 000, 000, — кото-
рый также делает вполне наглядными числовые знаки. Ведь мож-
но представить себе, что кто-то записал в книге большую сумму
денег в пфеннигах так, что получились 100-значные числа, с ко-
торыми мне предстоит вести расчет. Я бы начал с перевода их в
78

И, 1939-1940
ту или иную наглядную запись, но все же называл бы их «число-
выми знаками» и обращался бы с ними как со своеобразными
дубликатами чисел. Я считал бы их дубликатами чисел даже в
том случае, если бы мне сказали: у N столько шиллингов, сколько
горошин вмещается в этот сосуд; или по-другому: «У него столько
шиллингов, сколько букв в Песне песней».
17. Запись «Xj, x2, х3» — преобразует выражение (5 ...) в карти-
ну, а тем самым и в тавтологию, доказуемую методом РлссЕла.
Зададимся таким вопросом: разве нельзя допустить, что в доказа-
тельстве РлссЕла не гарантировано исполнение корреляции 1 — 1,
и что, пожелай мы, например, использовать эту корреляцию для
сложения, всегда бы получался результат, противоречащий обыч-
ному результату, и что мы относили бы это на счет усталости, из-
за которой незаметно для себя, пропустили отдельные действия?
И разве нельзя было бы тогда сказать: не помешай усталость, мы
получали бы всегда одинаковый результат? Потому что того тре-
бует логика? А разве она этого требует? Разве мы здесь не ис-
правляем логику при помощи иного исчисления?
Предположим, что вместо каждых 100 действий мы бы использо-
вали в процессе логического исчисления их итог и всякий раз по-
лучали надежные результаты, пытаясь же выполнить каждое дей-
ствие в отдельности, не достигали бы этого. —— На это можно
возразить: но ведь исчисление основывается на единичных дей-
ствиях, поскольку суммарное действие из ста составляющих опре-
деляется все же через единичные действия. — Да, определение
гласит: произвести суммарное действие из ста составляющих озна-
чает то же самое, что и ... и все же мы производим разовое сум-
мирование 100, а не сто действий по отдельности.
При укрупнении исчисления я следую тем не менее некоему пра-
вилу а как же обосновывается это правило? Что если
сокращенное и полное доказательства дают различные результаты?
18. Сказанное мною сводится к следующему: можно, например, оп-
ределить 10 как 1 + 1 + 1 + 1 ... , а 100 х 2 -- как 2 + 2 + 2 ... ,
но именно поэтому не обязательно представлять 100 χ 10 как
10 +10+10 ... или даже как 1 + 1 + 1 + 1 ....
Убедиться в том, что 100 χ 100 = 10 000, можно «сокращенным»
методом. Почему бы тогда не считать этот метод изначальным
методом доказательства?
Сокращенный метод учит меня тому, что должно получаться при
использовании несокращенного. (А не наоборот.)
79

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
19. «Но ведь вычисление основывается на отдельных действиях...»
Да, но происходит это совершенно иначе. Сам процесс доказатель-
ства совершенно иной. Я мог бы, к примеру, сказать: 10 = 1 + 1 +
+ 1+1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, равно как 100 = 10 + 10 + 10 +
+ 10+10+10+10+10+10+10.
Разве объяснение числа 100 я не основывал на последовательном
прибавлении 1? Так что же, это прибавление происходило так
же, как если бы я складывал 100 единиц? Нужен ли вообще в
моей записи знак вида 1 + 1 + 1 ... с сотней слагаемых?
Опасно тут, по-видимому, то, что сокращенный метод считают блед-
ной тенью несокращенного. Правило счета — это еще не сам счет.
20. В чем же состоит «суммарное» выполнение ста действий вы-
числения? Да в том, что определяющим считается не действие с
единицами, а какое-то другое действие.
При обычном сложении целых чисел в десятичной системе мы
производим действия с единицами, с десятками и т. д. Можно ли
утверждать, что метод основывается на выполнении лишь единич-
ных действий? Это можно обосновать так: результат реального
сложения 7583, объяснение же этого знака, его значения, которое
в конечном счете должно найти свое выражение и при его исполь-
зовании, дается таким образом: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 и т. д. Но дей-
ствительно ли это так? Нужно ли объяснять данный числовой
знак таким способом или это объяснение неявно выражается в его
применении? Я думаю, что, поразмыслив над этим явлением, мы
убедимся, что это не так.
Расчет при помощи графиков или логарифмической линейки.
Очевидно, что при проверке решения, полученного одним спосо-
бом с помощью решения, полученного другим путем, результат
обычно получается один и тот же. Но если существует несколько
способов — кто скажет, в том случае, если они не совпадают, ка-
кой из них есть истинный способ расчета, восходящий к истокам
математики?
21. Там, где может возникнуть сомнение в том, действительно ли
это является картиной данного доказательства, там, где мы гото-
вы подвергнуть сомнению идентичность доказательства, — там
эта выкладка теряет свою доказательную силу. Ведь доказательст-
во служит для нас также мерой.
Можно ли сказать: к доказательству относится признанный нами
критерий верного воспроизведения доказательства?
80

И, 1939-1940
Это означает, например, что мы должны быть
ны в том, что не пропустили при доказательстве ни одного знака.
И что никакой нечистой силе не удастся нас обвести вокруг паль-
ца, без нашего ведома то убирая, то добавляя число и т. д.
Так можно выразиться, когда уместно утверждать: обмани нас
сам черт, все равно все будет в порядке, все его проделки, на-
правленные против нас, не достигнут цели.
22. Доказательство, скажем так, выявляет не только то, что по-
ложение таково, но и то, как получилось, что оно таково. Оно
показывает, как 13 + 14 дает в результате 27.
«Доказательство должно быть обозримым» означает: мы должны
быть готовы к тому, чтобы использовать его в качестве путевод-
ной нити при вынесении нашего суждения.
Если я говорю: «Доказательство — это картина», — то его можно
представить себе в качестве кинокартины.
Доказательство проводится раз и навсегда.
Доказательство, конечно же, должно быть образцовым.
Доказательство (картина доказательства) показывает нам резуль-
тат процесса (конструкции), и мы уверены, что процесс, отрегу-
лированный таким образом, всегда приведет к такой картине.
(Доказательство демонстрирует нам синтетический факт.)
23. Утверждая, что доказательство — своего рода образец, мы не
надеемся, конечно, сказать ничего нового.
Доказательство должно быть процессом, о котором я говорю: «Да,
так должно быть; это должно получаться, если действовать со-
гласно данному правилу».
Изначально доказательство, можно сказать, должно представлять
собой что-то вроде эксперимента а потом берется просто как
картина.
Если я ссыплю вместе 200 яблок и еще 200 яблок, сосчитаю их и
получу 400, это еще не доказательство того, что 200 + 200 =
400. Это значит, что мы не смогли бы использовать данный факт
в качестве парадигмы для определения всех сходных ситуаций.
Когда мы говорим: «Эти 200 яблок и эти 200 яблок дают в сумме
400», — это значит: если их ссыпать вместе и при этом ни одно не
прибавится и не убавится, то их соотношение будет нормальным.
24. «Это образец сложения 200 и 200», а не: «Это образец того,
что 200 и 200 в сумме дают 400». Впрочем, процесс сложения
дал результат 400, но затем мы берем этот результат в качестве
81

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
критерия правильного сложения — или просто: сложения — этих
чисел.
Доказательство должно быть нашим образцом, картиной того, как
эти операции дают результат.
«Доказанное предложение» выражает то, что может быть вычита-
но из этого доказательства-картины.
Доказательство является образцом правильного суммирования 200
и 200 яблок. Это значит, что.оно определяет новое понятие: «сум-
марный счет 200 и 200 предметов». Или можно сказать: «новый
критерий того, что ничего не убавилось и не прибавилось».
Доказательство определяет «верный суммарный подсчет».
Доказательство— нашим образец получения определенного ре-
зультата, образец, служащий мерилом (масштабом) реальных
изменений.
25. Доказательство убеждает нас в чем-то но нас интересует
не само состояние убежденности, — куда важнее для нас способы
применения, подкрепляющие эту убежденность.
Поэтому нас оставляет равнодушным утверждение: доказательство
убеждает нас в истинности данного высказывания, — поскольку
эту фразу можно истолковать по-разному.
Когда я говорю: «Доказательство убеждает меня в чем-то», — то
высказывание, выражающее данное убеждение, не воссоздается в
доказательстве. Так, при умножении мы не обязательно записы-
ваем результат в форме предложения ... χ ... = ... . Можно, оче-
видно, сказать: умножение дает нам уверенность в этом, даже ес-
ли само предложение, выражающее действие умножения, не фор-
мулируется.
Психологический недостаток доказательств, конструирующих вы-
сказывания, тот, что благодаря им мы легко забываем, что
смысл результата вычитывается не из него самого, а из доказа-
тельства. В этом плане проникновение символики РлссЕла в сис-
тему доказательств нанесло ей много вреда.
Словно шали, окутывающие человеческую фигуру, знаки Расселе
вуалируют до неузнаваемости важные формы доказательства.
26. Поразмыслим над тем, что математическая убедительность до-
стигается грамматическими предложениями; выражением, ре-
зультатом этой убедительности служит то, что мы принимаем не-
кое правило.
Поэтому нет ничего удивительного в том, что словесное выраже-
82

II, 1939-1940
ние результата математического доказательства ввергает нас в
плутни мифотворчества.
27. Я, например, смею утверждать: даже тогда, когда доказанное
математическое предложение, казалось бы, указывает на реаль-
ность вне себя самого, тем не менее оно выражает лишь призна-
ние новой меры (меры реальности).
Таким образом, конструируемость (доказуемость) этого символа
(то есть математического предложения) воспринимается как знак
того, что символы следует преобразовывать таким способом.
Пробились ли мы в ходе доказательства к некоторому знанию? И
выражает ли итоговое предложение это знание? Не зависимо ли
это знание от доказательства (отсечена ли пуповина)? — Вот те-
перь предложение используется само по себе, без привязки к до-
казательству.
Почему бы не сказать: сквозь доказательство я пробился к реше-
нию!
Доказательство включает этот итог в систему решений.
(Можно, конечно, сказать и так: «Доказательство убеждает меня
в целесообразности этого правила». Но, сказав так, можно легко
впасть в заблуждение.)
28. Доказанное таким образом предложение служит правилом, то
есть парадигмой. Ведь мы ориентируемся на правила.
Но приводит ли доказательство лишь к тому, что мы ориентиру-
емся на это правило (признаем его), или оно вместе с тем пока-
зывает и то, как следует ориентироваться на него?
Математическое предложение должно показывать нам и то, что
имеет смысл говорить.
Доказательство конструирует предложение; но важно, как оно его
конструирует. Иногда, например, оно конструирует сначала число,
затем следует утверждение, что такое число существует. Если мы
говорим, что данная конструкция должна убеждать в правиль-
ности этого утверждения, то это означает: она должна нас вести к
тому, чтобы использовать данное предложение определенным об-
разом. Она должна определять, что следует признать осмыслен-
ным, а что нет.
29. Что есть общего в целях Евклидова построения — скажем, де-
ления отрезка на две равные части — и выведения одного прави-
ла из других путем логических умозаключений?
Общее заключается, по-видимому, в том, что путем конструирова-
83

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ния знака я добиваюсь признания знака.
Можно ли сказать: «Математика создает новые выражения, а не
новые предложения»??
Можно в том смысле, что математические предложения являются
раз и навсегда принятыми в языке инструментами, а их доказа-
тельство лишь указывает то место, где они находятся.
В какой же мере являются «инструментами языка», например,
тавтологии РлссЕла?
Рассел, во всяком случае, не счел бы их таковыми. Его ошибка,
если таковая была, могла бы состоять лишь в том, что он упустил
из виду их применение.
Доказательство позволяет вывести одну структуру из другой.
Оно направляет процесс порождения одной структуры из другой.
Все это, конечно, верно — но оно приводит в различных случаях
к совершенно разным результатам! Что же представляет для нас
интерес в таком переходе?
Предположи я даже, что доказательство заложено в систему язы-
ка, кто скажет мне, как следует использовать этот инструмент,
для чего он служит?
30. Доказательство ведет меня к утверждению: это должно быть
так. Допустим, я понимаю это в случае Евклидова доказатель-
ства или в случае доказательства 25х25 = 625,но будет ли картина
той же, скажем, в случае доказательства РлссЕла „ Ι— ρ Ζ) q · ρ : Ζ)
: qr"? Что означает здесь «это должно быть так» в отличие от «это
так»? Следует ли мне сказать: «Ну, я беру это выражение в ка-
честве парадигмы для всех ни о чем не говорящих [неинформа-
тивных] предложений этой формы»?
Я прослеживаю доказательство и говорю: «Да, так должно быть;
я должен констатировать такое употребление моего языка».
Я хочу сказать, что это «должно» соответствовать рельсам, кото-
рые я прокладываю в языке.
31. Сказав, что доказательство вводит новое понятие, я имел в
виду примерно вот что: доказательство добавляет к парадигмам
языка новую парадигму; подобно тому как, особым образом сме-
шав красноватый и синий цвета, мы получаем новый оттенок и
даем ему новое название.
Но если мы и склонны называть доказательство такой новой па-
радигмой, то в чем состоит точное сходство доказательства с тако-
го рода понятийным образцом?
84

II, 1939-1940
Хочется сказать: доказательство изменяет грамматику нашего
языка, изменяет наши понятия. Оно формирует новые взаимосвя-
зи, и оно создает понятие этих взаимосвязей. (Оно не устанавли-
вает, что они существуют; скорее, они не существуют до тех пор,
пока оно их не создаст.)
32. Какое понятие создает „ρζι ρ"Ί И все же кажется возмож-
ным сказать, что „pzzp" служит нам знаком некоего понятия.
„ρ Ζ) р" является формулой. Устанавливает ли формула какое-то
понятие? Можно сказать: «Отсюда по формуле... следует то-то».
Или же: «Отсюда таким-то образом следует, что...» Но то ли это
предложение, в каком я заинтересован? А вот такое предложение:
«Сделай отсюда вывод таким образом...»?
33. Если я говорю о доказательстве, что оно является образцом
(картиной), то и о простейшем расселовском высказывании я дол-
жен сказать то же самое (как об исходной клетке доказательства).
Можно задать вопрос: как получилось, что предложение „р з р"
стали рассматривать как истинное утверждение? Ведь его не ис-
пользовали в практике речевого общения, однако существовала
все же тенденция в особых обстоятельствах (когда, например, за-
нимались логикой) произносить его с полной убежденностью.
Как же обстоит дело с „р => р"? Я вижу в нем выродившееся
предложение, которое находится в сфере истинности.
Я фиксирую его как важную точку пересечения в системе осмыс-
ленных предложений. Как точку опоры нашего способа изображе-
ния [описания, изложения].
34. Построение доказательства начинается с тех или иных знаков,
и некоторые из них, так называемые константы, должны уже об-
ладать значением в языке. Так, важно то, что „ν" и „~" уже
привычно используются нами, и отсюда построение доказательст-
ва в Principia Mathernatica обретает свою значимость, свой
смысл. Однако знаки доказательства не позволяют усмотреть это
значение.
«Использование» доказательства, конечно, должно иметь дело с
соответствующим использованием его знаков.
35. Как уже говорилось, меня в известном смысле вполне убежда-
ют элементарные предложения РдссЕла.
Тем самым убежденность, рождаемая доказательством, не может
проистекать только из конструкции доказательства.
36. Если бы я увидел в Париже эталон-метр, но не знал бы ниче-
85

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
го об институте измерения и его связи с этим стержнем— разве
мог бы я сказать, что мне известно понятие эталона метра?
А не является ли частью некоего института и доказательство?
Доказательство — некий инструмент, но почему я говорю: «ин-
струмент языка»?
Необходимо ли тогда, чтобы счет был инструментом языка?
37. То, чем я постоянно занят, — это, очевидно, подчеркивание
различия между определением смысла и использованием смысла.
38. Признать доказательство: его можно признать в качестве па-
радигмы той фигуры, которая возникает, если к фигурам опреде-
ленного рода верно применить эти правила. Его можно признать
как правильный вывод итогового правила. Или как правильный
вывод из верного эмпирического, предложения; или как верный
вывод из ложного эмпирического предложения; или просто как
правильный вывод из эмпирического предложения, о котором нам
неизвестно, истинно оно или ложно.
Ну, а можно ли сказать, что понимание доказательства как «дока-
зательства конструируемое™» доказанного предложения является
в каком-то смысле более простым, первичным, чем какое-либо
другое понимание?
То есть можно ли сказать: «Каждое доказательство доказывает
прежде всего то, что должна получиться эта знаковая форма, ес-
ли применить данное правило к данным формам знаков»? Или:
«Доказательство доказывает прежде всего то, что может возник-
нуть эта форма знака, если оперировать этими знаками согласно
этим правилам преобразования». —
Это указывало бы на геометрическое использование. Ибо предло-
жение, истинность которого, как я утверждаю, уже доказана, яв-
ляется здесь геометрическим высказыванием — грамматическим
предложением, затрагивающим трансформации знаков. Можно, к
примеру, сказать: доказано, что имеет смысл утверждать, что нек-
то получил знак ... по этим правилам из ... и ..., но лишено смыс-
ла и т. д. и т. д.
Или: если лишить математику всякого содержания, то осталось
бы лишь то, что определенные знаки могут быть сконструированы
из других по определенным правилам. —
Самое малое, что пришлось бы признать: что эти знаки ... — а
это признание заложено в основу всякого другого. —
И все же я хотел бы сказать: последовательность знаков доказа-
86

И, 1939-1940
тельства не влечет за собой с необходимостью какое-либо призна-
ние. Если же мы однажды начали с признания, то оно не обяза-
тельно должно быть «геометрическим».
Доказательство могло бы состоять всего лишь из двух ступеней,
например из выражения „(х)- fx" и выражения ,jä" — играет ли
верный переход по некоему правилу здесь существенную роль?
39. Что же в доказанном является непоколебимо верным?
Признать то или иное предложение незыблемо верным — хочу я
сказать — значит использовать его в качестве грамматического
правила: тем самым из него устраняется неопределенность.
«Доказательство должно быть обозримым» означает, собственно, не
что иное как: доказательство не эксперимент. То, что вытекает из
доказательства, мы принимаем не потому, что так однажды полу-
чилось, или потому, что так часто получается. В доказательстве мы
видим основание для утверждения: так должно было получиться.
К данному результату приводит, доказывает его не сама эта зави-
симость, — мы убеждаемся в этом и принимаем эти конфигура-
ции (картины) за образцы того, что получается, если ...
Доказательство является нашим новым образцом того, что полу-
чается, если ничего не прибавляется и не убавляется, если мы
правильно считаем и т. д. Но эти слова показывают, что я толком
не знаю, образцом чего является доказательство.
Я хочу сказать: посредством логики Pnncipia Mathematica можно
обосновать арифметику, в которой 1000 + 1 = 1000; а все, что
для этого нужно, ставило бы под сомнение очевидную правиль-
ность расчетов. Если же мы их не подвергаем сомнению, то при-
чина этого кроется отнюдь не в нашей убежденности в том, что
логика истинна.
Если в ходе доказательства мы говорим: «Это должно получиться»
то определяют это не основания, которые нам не видны.
Нас заставляет принять данный результат не то, что мы его полу-
чили, а то, что он конец этого пути.
Это и служит доказательством — то, что нас убеждает: конфигу-
рация, нас не убеждающая, не является доказательством даже в
том случае, если она способна пояснять доказанное высказывание
в качестве примера.
Это значит: для демонстрации того, что доказано, не может потре-
боваться физическое исследование конфигурации доказательства.
40. Увидев на картине изображение двух людей, мы не говорим
.5—1923 87

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
сначала, что один на вид меньше другого, а уж потом — что
один, кажется, стоит дальше другого. Вполне возможно, что в
глаза бросится не малая величина фигуры, а ее отдаленность.
(Это, как мне кажется, связано с вопросом о «геометрическом»
понимании доказательства.)
41. «Доказательство — образец того, что называют таковым».
А образцом чего должен служить переход от „(х) -fx" к ,/а"? По
крайней мере это образец того, как можно умозаключать от зна-
ков типа „(х) fx".
Образец я представляю себе в виде некоего обоснования, но в дан-
ном случае это не является обоснованием. Образец (х) - fx .'. fa не
обосновывает вывода. Что же касается обоснования вывода, то
оно лежит за пределами этой знаковой схемы.
И все же что-то есть в том, что математическое доказательство
создает новое понятие. — Каждое доказательство — как бы
признание определенного использования знаков.
А что в нем признается? Только такое употребление правил пе-
рехода от формулы к формуле? Или же в некотором смысле
признаются и «аксиомы»?
Можно ли сказать: я признаю рзр как тавтологию?
Я принимаю „pz>p", например, как максиму вывода.
Мысль о том, что доказательство создает некое новое понятие,
можно примерно выразить и так: доказательство — не сумма его
оснований и правил вывода, а новое здание — хотя оно и являет
пример и одного, и другого стиля. Доказательство — это новая
парадигма.
Понятие, создаваемое доказательством, может быть, например,
неким новым понятием вывода, правильного умозаключения. Но
почему я признаю это верным умозаключением — основание это-
го лежит за пределами доказательства.
Доказательство создает новое понятие — создавая новый знак или
будучи таковым. Или же отводя предложению, выступающему его
результатом, новое место. (Ибо доказательство не движение,
оно — сам путь.)
42. Невозможно представить себе, что эта подстановка в этом
выражении даст что-нибудь иное. Или: я вынужден признать, что
это непредставимо. (Результат же эксперимента может оказаться
тем или иным.)
Тем не менее можно представить себе случай, когда на вид дока-

II, 1939-1940
зательство меняется, — в своей глубинной основе оставаясь тем
же самым, и тогда говорят, что оно неизменно, каким бы ни было
внешнее впечатление.
Разве, по сути, ты не говоришь лишь то, что доказательство бе-
рется в качестве доказательства?
Доказательство должно быть наглядным процессом. Или также:
доказательство является наглядным процессом.
Доказательство доказывает не нечто, скрытое за доказательством,
но само доказательство.
43. Если я говорю: «Прежде всего должно быть очевидно, что
эта подстановка действительно дает в результате это выраже-
ние», — то я мог бы также сказать: «Я должен принять это как
бесспорное утверждение», — но тогда для этого должны быть вес-
кие основания, например то, что одна и та же подстановка неиз-
менно дает один и тот же результат и т. д. Так не заключается ли
наглядность именно в этом?
Я хочу сказать: там, где нет наглядности и, значит, уместно усом-
ниться в том, что результат действительно получен вследствие
этой подстановки, — там доказательство разрушено. И вовсе не
каким-то глупым и несерьезным способом, не имеющим отноше-
ния к природе доказательства.
Или: логика не служит основой всей математики уже потому, что
сила логического доказательства заключена в силе геометрическо-
го доказательства и разрушается вместе с ней *.
Это значит: логическое доказательство, например расселовского
типа, имеет силу до тех пор? пока оно обладает также геометри-
ческой силой убеждения *, и сокращение такого логического дока-
зательства может обладать такой силой и оставаться благодаря
этому доказательством, в то время как полностью выполненная
РАССЕЛовская конструкция таковым не является.
Мы склонны верить в то, что логическое доказательство обладает
своей собственной абсолютной доказательностью, проистекающей
из безусловной надежности основных логических законов и пра-
вил логического вывода. Хотя все же доказанные таким образом
суждения не могут быть достовернее, чем правильность примене-
ния этих законов вывода.
Логическая достоверность доказательства, смею утверждать, не
превышает его геометрической достоверности.
44. Если же доказательство является образцом, то необходимо
5*
89

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
уточнить, что должно считаться верным воспроизведением доказа-
тельства.
Если, например, в доказательстве встречается знак
„I I I I I I I I I I ", то не совсем ясно, должна ли считаться воспро-
изведением этого знака только «численно равная» группа черточек
(или, скажем, крестиков) или же годится и какое-то другое, не
слишком малое число. И т. д.
Однако возникает вопрос, что должно считаться критерием восп-
роизведения доказательства — критерием тождества доказатель-
ств. Как их надо сравнивать для установления тождества? Явля-
ются ли они тождественными, если одинаково выглядят?
Мне хотелось бы, так сказать, продемонстрировать, что в матема-
тике можно избежать логических доказательств.
45. «Посредством соответствующих дефиниций мы можем в логи-
ке РАССЕла доказать, что „25 χ 25 = 625"». — А можно ли опре-
делить обычную технику доказательства при помощи расселов-
ской? Но как можно определить одну технику доказательства че-
рез какую-то другую? Как может одна из них объяснить суть
другой? Ведь если одна является «сокращением» другой, то она
должна быть систематическим сокращением. Вместе с тем тре-
буется подтверждение того, что можно систематически сокращать
длинные доказательства и таким образом получать новую систему
доказательств.
Длинные доказательства сначала всегда сопровождают короткие,
как бы опекая их. Но наконец наступает момент, когда они уже
не могут более сопутствовать коротким и те проявляют свою са-
мостоятельность.
Рассмотрение длинных, недоступных обозрению логических дока-
зательств— это лишь средство показать, как эта техника — поко-
ящаяся на геометрии доказательства — может утратить силу, а
новая техника — стать необходимой.
46. Готов утверждать: математика — это пестрая смесь техник
доказательства. — И на этом основывается возможность ее много-
образного применения и ее значимость.
А это ведь равноценно утверждению: владея системой исчисления,
подобной расселовской, и создавая на ее основе с помощью соот-
ветствующих дефиниций системы, подобные дифференциальному
исчислению, вы бы изобретали новый раздел математики,
Но можно было бы просто сказать: придумай человек десятичную
90

И, 1939-1940
систему счета — это было бы некое математическое изобретение! —
Даже если бы он уже располагал Principia Mathematica РлссЕла. —
Каким образом приводятся в соответствие две системы доказа-
тельств? Устанавливают правило перевода, посредством которого
выражения, доказанные в одной системе, можно перевести в вы-
ражения, доказанные в другой системе.
Ведь возможно представить себе, что некоторые — или все —
системы доказательств сегодняшней математики скоординированы
таким образом с одной системой, например системой РлссЕла. Так
что все доказательства, хотя и более дотошным способом, были
выполнимы в этой системе. Значит ли это, что тогда существова-
ла бы только одна система, а не много систем? — Но тогда долж-
на существовать возможность показать в рамках этой одной сис-
темы, что она может быть преобразована во множество других
систем. — Одна часть системы будет обладать особенностями три-
гонометрии, другая — алгебры и т. д. Таким образом, можно
сказать, что в этих частях используются различные техники.
Я говорил: тот, кто изобрел счет в десятичной системе, сделал ма-
тематическое открытие. А не мог ли он сделать это открытие все-
цело в расселовских символах? Тогда он открыл бы, так сказать,
новый аспект.
«Но тогда истинность истинных математических суждений была
бы доказуема, исходя из этих общих оснований». — Мне кажется,
в этом-то и загвоздка. Когда мы говорим, что математическое
суждение истинно? —
Мне кажется, что мы вводим, сами того не ведая, новые понятия
в логику РлссЕла. Например, когда устанавливаем, какие
знаки формы „(5 х, у, ζ,..)" должны считаться эквивалентными
друг другу, а какие неэквивалентными.
Является ли само собой разумеющимся то, что „(3 х, г/, ζ)", не
есть тот же знак, что и „(Ξ х, г/, ζ, /г)"?
Но допустим, я сначала ввожу „ρ ν g" и „~р" и конструирую с
их помощью несколько тавтологий, а затем развертываю, напри-
мер, ряд ~р, ~~р, ~~~р и т. д. и ввожу такую запись, как ~*р,
~2р, ... ~1Ор, ... Я бы сказал: сначала мы, пожалуй, совсем не ду-
мали о возможности такого вот упорядочивания, а теперь ввели в
наше исчисление новое понятие. В этом и состоит «новый аспект».
Ясно ведь, что я мог бы здесь ввести понятие числа, хотя бы и
очень примитивным и ограниченным способом, но этот пример
показывает все, что мне нужно.
91

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Насколько верно было бы утверждать, что с помощью ряда ~р,
~~р, ~~~р и т. д. в логику вводилось бы некое новое понятие? —
Так вот, прежде всего можно сказать, что это сделано с помощью
«и т. д.». Ибо это «и т. д.» символизирует новый для меня закон
образования знаков. Характерным признаком этого служит то,
что для объяснения десятичной записи необходимо рекурсивное
определение.
Новая техника вводится.
Можно сказать и так: иметь понятие о расселовском построении
доказательств и предложений еще не значит иметь понятие о лю-
бом ряде расселовских знаков.
Я бы сказал: РАССЕЛовское обоснование математики как бы запаз-
дывает с введением новых техник — до тех пор пока наконец, не
сочтут, что они уже больше вовсе не* нужны.
(Пожалуй, это похоже на то, как если бы я столь долго филосо-
фствовал о понятии измерения длины, что забыл о необходимости
реально установить для такого измерения ту или иную единицу
длины.)
47. А можно ли то, что я хочу сказать, выразить так: «Если бы
мы с самого начала выучились всей математике в системе Рассе
ла, то с помощью расселовской техники, например, дифференци-
альное исчисление еще, конечно, не было бы изобретено. Стало
быть, тот, кто открыл бы этот тип расчета в расселовском исчис-
лении >>?
Предположим, передо мной рлссЕловские доказательства предло-
жений
„Р = ~~р"
„~р = р"
„Р = р",
и вот я нахожу сокращенный способ доказать предложение
„Р = ~1ОР".
Это равнозначно тому, как если бы я нашел некий новый тип
расчета в рамках прежнего исчисления. В чем же состоит эта на-
ходка?
Скажи мне: открыл ли я некий новый тип вычисления, если при
обучении умножению мое внимание привлек лишь такой особый
подвид этих вычислений, как умножение с одинаковыми сомно-
жителями, а потому я ввел запись „а« = ...?"
Очевидно, что использование одной только «сокращенной» записи
92

II, 1939-1940
или какой-либо иной записи — „I62" вместо „16 χ 16" — еще не
дает ничего нового. Важно то, что мы теперь эти сомножители
просто считаем.
Является ли „16^" просто другой записью „16 χ 16х 16х 16х 16
χ 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16"?
Доказательство того, что 16^ = ..., состоит не просто в том, что-
бы умножить 16 на самое себя 15 раз и получить этот резуль-
тат, — доказательство должно показывать, что число использует-
ся в качестве сомножителя 15 раз.
Если я спрашиваю: «Что же нового в «новом способе исчисления»,
называемом возведением в степень», то ответить на этот вопрос
очень трудно. Слово «новый аспект» неопределенно. Оно означает,
что мы теперь смотрим на дело несколько иначе, — но вопрос в том,
каково существенное, важное проявление этого «иного видения».
Прежде всего я хочу сказать: «Вовсе не обязательно, чтобы бро-
салось в глаза, что в определенных случаях все сомножители
равны» — или: «Произведение одинаковых сомножителей есть но-
вое понятие» — или: «Новое заключается в том, что мы по-друго-
му производим расчеты». При возведении в степень явно сущест-
венно то, что учитывается число сомножителей. Однако это не оз-
начает, что мы каждый раз обращаем внимание на это число.
Нам не должно бросаться в глаза, что имеются произведения с 2,
3, 4 и т. д. сомножителями, хотя мы часто получаем такие ре-
зультаты. Новый аспект — но снова встает вопрос: что является
его существенной стороной? Для чего я использую то, на что об-
ратил внимание? Пожалуй, прежде всего это выражается в запи-
си. Я пишу, например, „а2" вместо „ах а". Тем самым я адресу-
юсь к числовому ряду (отсылаю к нему), чего раньше не происхо-
дило. Так я устанавливаю здесь новую связь! — Связь — между
чем и чем? Между техникой подсчета сомножителей и техникой
умножения.
Таким образом каждое доказательство, каждое отдельное исчисле-
ние дает новые связи,
Но одно и то же доказательство показывает, что αχ αχ αχ α ... =Ъ,
и вместе с тем что ап = Ъ; нужно лишь осуществить переход сог-
ласно определению „а"".
Так именно этот переход и является новым. Если же это лишь пе-
реход к старому доказательству, то как он может быть важным?
«Это только иной способ записи». Когда же он перестает быть
только другим способом записи?
93

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Hq в том ли случае, когда годится лишь один способ записи, а ни-
какой другой не может быть использован таким образом?
Если кто-то вместо ,/(&)" напишет „(а)/' — это можно назвать
«открытием нового аспекта»; можно сказать: «Он рассматрива-
ет функцию как аргумент ее аргумента». Или если кто-то вместо
„ах а" запишет „ χ (α)", можно сказать: «То, что раньше рас-
сматривали как особый случай функции с двумя аргументами, он
рассматривает как функцию с одним аргументом».
Тот, кто делает так, конечно же, в некотором смысле изменяет
аспект, он, например, соединил это выражение с другими, сопо-
ставил с теми, с которыми раньше не сравнивал. — Но является
ли в данном случае это важным изменением аспекта? Нет, до
тех пор пока не будут сделаны определенные выводы.
Верно, введя понятие числа отрицаний, я изменил аспект логи-
ческого исчисления. «Так я его еще не рассматривал», — можно
было бы сказать. Но важным это изменение становится только
тогда, когда оно захватывает применение знака.
Осмысление фута как 12 дюймов, конечно, означало бы измене-
ние аспекта «фута», но важным это изменение стало бы лишь в
том случае, если бы и длина теперь измерялась в дюймах.
Тот, кто вводит подсчет знаков отрицания, вводит новый способ
воспроизведения знаков.
Правда, для арифметики, толкующей о равенстве чисел, совер-
шенно безразлично, как устанавливается числовое равенство двух
классов, но для ее выводов не безразлично, как сопоставляются
друг с другом соответствующие знаки, каким способом, например,
устанавливается, одинаково ли число цифр в двух числовых знаках.
Не введение числовых знаков в виде сокращений, а метод сче-
та, — вот что важно.
48. Я хотел бы объяснить неоднородность математики.
49. «Я могу доказать и в расселовской системе, что 127 : 18 = 7,05».
Почему бы и нет. — Но должен ли при доказательстве РлссЕла по-
лучаться тот же результат, что и при обычном делении? Оба они,
конечно, связаны друг с другом посредством счета (скажем, пра-
вилами перевода); но не попытка ли это осуществлять деление
посредством новой техники — поскольку истинность результата
зависит тут от геометрии переложения?
А положим, кто-нибудь скажет: «Ерунда — такие рассуждения не
имеют никакого значения для математики»,
94

И, 1939-1940
— Но дело здесь не в неуверенности, ибо мы совершенно уверены
в своих выводах, а в том, пользуемся ли мы все еще логикой
(РлссЕла), скажем, производя деление.
50. Изначальная значимость тригонометрии заключается в ее свя-
зи с измерениями длин и углов: она является разделом математи-
ки, ориентированным на измерение длин и углов.
Применимость в этой области также можно назвать «аспектом»
тригонометрии.
Допустим, я делю круг на равные сектора и определяю косинус
одного из них путем измерения — расчет это или эксперимент?
Если это расчет — является ли он наглядным?
Нагляден ли расчет при помощи логарифмической линейки?
Если нужно определить косинус угла путем измерений, будет ли
тогда предложение формы „cos α = η" математическим пред-
ложением? Что тут служит критерием решения? Говорит ли это
предложение о чем-то внешнем — действиях с линейками и т. п.,
или же о чем-то внутреннем — связанном с нашими понятиями?
Относятся ли фигуры (рисунки) в тригонометрии к чистой мате-
матике или они являются только примерами возможного приме-
нения'?
51. Если в том, что я намерен сказать, есть нечто истинное, то,
например, счет в десятичной записи должен обладать своей со-
бственной жизнью. — Конечно же, каждое десятичное число
можно представить в форме:
I I II I I I I I I I I I I I I I I I I I I ! I
I I I I I I I I I I I I I I I I I I
и, исходя из этого, выполнять в этой записи четыре вида вычисле-
ний. Но жизнь десятичной системы должна быть независимой от
счета при помощи единиц-черточек.
52. В связи с этим мне все время приходит на ум следующее: хо-
тя в логике РлссЕла можно доказать выражение „а : Ь = с", но
она не научит нас строить правильное выражение этой формы, то
есть она не научит нас делить. Процесс деления соответствовал
бы, например, некой систематической проверке доказательства
РлссЕла, скажем с целью получить доказательство предложения
типа „37 χ 15 = х". «Но техника такой систематической проверки
основывается в свою очередь на логике. Можно опять же логически
доказать, что эта техника должна привести к цели». Значит, это
95

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
сходно с тем, как доказывалось бы в Евклидовой системе, что то
или иное построение можно осуществить этим или иным способом.
53. Что старается показать тот, кто стремится показать, что мате-
матика — это не логика? Он ведь хочет сказать нечто в этом ро-
де: — если завернуть столы, стулья, шкафы и т. д. в достаточное
количество бумаги, они в конце концов будут выглядеть как ша-
рообразные.
Он не стремится показать, что для каждого математического до-
казательства невозможно строить «соответствующее» ему (каким-
то образом) доказательство Рассели, он хочет показать другое —
то, что признание такого соответствия основывается не на логике.
«Но мы ведь всегда можем вернугься к простым логическим мето-
дам!» Ну, а если признать, что Mbi это можем сделать, то как же
получается тогда, что мы не дожисны этого делать? Или мы слиш-
ком поспешно, неосмотрительно уходим от этого дела?
Но как мы возвращаемся к простому выражению? Избираем ли
мы, например, путь вторичного доказательства и, дойдя до конца,
возвращаемся назад к первичной системе, чтобы осмыслить, куда
мы попали; или же движемся в двух системах и в конце пути сое-
диняем конечные пункты? А откуда мы узнаем, что в первичной
системе в обоих случаях получим один и тот же результат?
А разве продвижение во вторичной системе не заключает в себе
силу убеждения?
«Но мы можем, совершая каждый шаг во вторичной системе, ду-
мать, что он мог бы быть совершен и в первичной системе!» Дело
именно в этом: можно представить себе, что он мог бы быть
совершен, — не совершая его«
И почему мы принимаем одно вместо другого? На основе логики!
«А разве нельзя логически доказать, что оба преобразования
должны привести к одинаковому результату?» — Но ведь здесь
речь идет о результате преобразований знаков! Как может решить
этот вопрос логика?
54. Как может доказательство в системе черточек доказать, что
доказательство в десятичной системе является доказательством?
Ну, а разве с доказательством в десятичной системе дело обстоит
не так же^ как с построением в Евклидовой системе, относитель-
но которого доказано, что оно действительно является построени-
ем определенной фигуры?
Можно ли сказать так: «Перевод системы черточек в десятичную
96

ΙΙί 1939-1940
систему предполагает рекурсивное определение. Это определение
не вводит, однако, сокращения одного выражения через другое.
Индуктивное доказательство в десятичной системе не содержит,
конечно, множества всех знаков, которые переводились бы через
рекурсивное определение в систему знаков-черточек. Потому это
общее доказательство не может быть переведено путем рекурсив-
ного определения в некое доказательство в системе черточек»?
Рекурсивное определение вводит новую технику знаков.— Оно
должно, следовательно, осуществлять переход к новой «геомет-
рии». Нам преподается новый метод опознания знаков. Вводится
новый критерий идентичности знаков.
55. Доказательство показывает нам, что должно получиться. —
И поскольку каждое воспроизведение доказательства должно де-
монстрировать именно это, то оно должно автоматически воспро-
изводить, с одной стороны, результат, а с другой — обязатель-
ность его сохранения.
Это значит: мы воспроизводим не только условия, в которых был
получен однажды данный результат (как при эксперименте), но и
сам результат. И все же доказательство не является игрой с зара-
нее оговоренными условиями, поскольку оно должно быть способ-
но снова и снова вести нас [указывать нам путь].,
Мы должны быть способны, с одной стороны, совершенно автома-
тически воспроизводить доказательство, а с другой — это воспроиз-
ведение всегда должно оставаться доказательством результата.
«Доказательство должно быть обозримым» — это положение, по
сути, обращает наше внимание на различие понятий: «повторить
доказательство» и «повторить эксперимент». Повторить доказа-
тельство не означает воспроизвести условия, в которых однажды
был получен определенный результат; это значит повторить каж-
дую ступень доказательства и его результат. Стало быть, доказа-
тельство должно быть чем-то, допускающим совершенно автома-
тическое воспроизведение, но при всем том каждое такое воспро-
изведение должно обладать доказательной силой, заставляющей
признать данный результат.
56. В каком случае мы говорим: одно логическое исчисление «со-
ответствует» другому, пусть даже оно является его сокращенной
формой? — «В том случае, если его результаты путем соответ-
ствующих дефиниций могут быть переведены в результаты этого
другого исчисления». Но разве оговорено, как нужно производить
расчет при помощи этих определений? Что позволяет нам приз-
97

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
нать этот перевод? Является ли он в конечном счете игрой с зара-
нее оговоренными правилами? Он становится таковой, если мы
готовы признать только тот перевод, который приводит к привыч-
ному результату.
Почему мы называем некую часть логических исчислений РАССЕла
соответствующей дифференциальному исчислению? — Потому
что в ней доказываются предложения дифференциального исчис-
ления. — Но ведь не в конечном же счете, не post hoc? — А раз-
ве это не безразлично? Достаточно того, что эти доказательства
можно найти в системе рАССЕла! Но не являются ли они доказа-
тельствами этих предложений лишь в том случае, если их резуль-
таты можно перевести только в эти предложения? И будет ли это
верным даже в случае умножения *в системе черточек при нали-
чии нумерации черточек?
57. Здесь следует вполне определенно сказать, что расчеты в за-
писи при помощи черточек всегда совпадают с расчетами в деся-
тичной записи. Возможно, для того чтобы добиться надежного
совпадения, мы в какой-то момент будем вынуждены прибегнуть
к тому, чтобы заставить несколько человек повторить расчеты с
черточками. И то же самое мы предпримем при расчетах с еще
большими числами в десятичной системе.
А это, конечно, свидетельствует уже о том, что не доказательства
в системе черточек делают убедительными доказательства в деся-
тичной системе.
«Но ведь если бы даже не было вторых, то можно было бы ис-
пользовать первые доказательства, чтобы доказать то же са-
мое». — То же самое? Что значит «то же самое»? — Это значит,
что доказательство с помощью черточек убедит меня в том же са-
мом, хотя и не тем способом. — Ну, а если бы я сказал: «То, к
чему нас ведет доказательство, не может быть определено незави-
симо от этого доказательства»? — Убедился ли бы я при помощи
доказательства в системе черточек в том, что доказанное предло-
жение обладает потенциалом использования, которым его надели-
ло доказательство в десятичной системе, — показала ли бы, на
пример, система черточек то, что это предложение может быть
доказано и в десятичной системе?
58. Разумеется, было бы бессмысленно говорить, что одно предло-
жение не может иметь больше одного доказательства, — именно это
мы и утверждаем. Но нельзя ли сказать: это доказательство показы-
вает, что ... получается, если делать это; другое доказательство по-
98

II, 1939-1940
казывает, что это выражение получается, если делать нечто иное?
Ибо разве, например, математический факт, что 129 делится на
3, независим от того, что этот результат получается при этом
расчете? Я подразумеваю: существует ли факт этой делимости не-
зависимо от логического исчисления, в ходе которого получается
такой результат; или это является фактом именно данного исчис-
ления?
Представь себе, что говорилось бы: «Путем счета мы познаем
свойства чисел».
Но существуют ли свойства чисел вне счета?
«Два доказательства доказывают одно и то же, если они меня
убеждают в одном и том же». — В каком же случае они убежда-
ют меня в одном и том же? Откуда я знаю, что они убеждают ме-
ня в одном и том же? Конечно же, не в результате интроспекции.
К принятию этих правил можно подвести разными путями.
59. «Каждое доказательство демонстрирует не только истинность
доказанного предложения, но и то, что оно может быть доказано
таким образом». — Но ведь оно может быть доказано и другим
способом. — «Да, но доказательство доказывает это определенным
способом и при этом доказывает, что это может быть продемон-
стрировано именно этим способом». — Но и это можно показать с
помощью какого-то другого доказательства. — «Да, но не именно
этим способом». —
Это означает примерно следующее: данное доказательство есть ма-
тематическая сущность, которая не может быть заменена никакой
другой; можно сказать, что оно способно убедить нас в чем-то та-
ком, в чем не в состоянии убедить ничто иное и что можно выра-
зить неким предложением, не соотнесенным ни с каким другим
доказательством.
60. Но не допускаю ли я грубой ошибки? Для арифметических
предложений и предложений логики РлссЕла как раз существенно
то, что к ним ведут различные доказательства. Более того, что к
каждому из них ведет бесконечно много доказательств.
Верно ли, что каждое доказательство убеждает нас в чем-то та-
ком, в чем может убедить нас только оно? Не стало ли бы тогда
доказанное предложение как бы избыточным, а само доказатель-
ство тем, что уже доказано?
Убеждает ли меня доказательство лишь в доказанном предложении?
Что значит: «Доказательство является математической сущностью,
99

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
которая не может быть заменена никакой другой»? Это означает
ведь, что каждое из доказательств имеет свое собственное значе-
ние, каким не обладает ни одно другое. Можно было бы сказать:
«— что каждое доказательство, даже уже доказанного предложе-
ния, вносит определенный вклад в математику». Почему говорит-
ся о вкладе, если дело состоит лишь в доказательстве предложе-
ния? Ну, можно сказать: «Новое доказательство выявляет (или
создает) новую связь». (Но тогда разве не существует математи-
ческого предложения, говорящего о наличии этой связи?)
О чем мы узнаем, когда видим новое доказательство. — помимо
предложения, которое и без того уже знали? Узнаем ли мы нечто та-
кое, что не может быть выражено в математическом предложении?
61. Насколько использование какого-то математического предло-
жения зависит от того, что позволено считать его доказательст-
вом, а что нет?
Можно же сказать: если выражение „137 χ 373 = 46792" в обыч-
ном смысле верно, то должна существовать такая схема ум-
ножения, в крайних точках которой находятся стороны этого ра-
венства. И такая схема является образцом, удовлетворяющим оп-
ределенным правилам.
Берусь утверждать: не признай я схему умножения одним из дока-
зательств предложения, это означало бы, что и применение этого
предложения выпало из схем умножения.
62. Подумаем вот о чем: недостаточно того, чтобы два доказатель-
ства приводили к одному и тому же знаку-предположению! Ибо
откуда мы знаем, что этот знак оба раза говорит об одном и том
же? Это должно вытекать из других взаимосвязей.
63. Точное соответствие верного (убедительного) перехода в му-
зыке и математике.
64. Представь себе, что я даю кому-нибудь задание: «Найди дока-
зательство предложения...» — решение должно было бы заклю-
чаться в предъявлении мне определенных знаков. Прекрасно, а
каким условиям должны удовлетворять эти знаки? Они должны
быть доказательством такого предложения — но является ли это
геометрическим условием? Или психологическим? Иногда это
можно назвать геометрическим условием; там, где средства дока-
зательства заранее предписаны и ведется поиск определенной их
комбинации.
65. Являются ли предложения в математике антропологическими
предложениями, которые говорят о том, как мы, люди, умозак-
100

И, 1939-1940
лючаем и вычисляем? — Является ли свод законов сочинением по
антропологии, которое сообщает нам, как люди, принадлежащие
к этому народу, обращаются с вором и т. д.? Можно ли ска-
зать: «Судья справляется в книге по антропологии и в соответствии
с этим приговаривает вора к тюремному заключению»? Так ведь су-
дья ИСПОЛЬЗУЕТ свод законов не как руководство по антропологии.
66. Предсказание говорит не о том, что человек, следующий при
преобразовании этому правилу, получит именно это, а о том, что
он получит такой результат в том случае, когда мы говорим, что
он следует этому правилу.
А что, если бы мы сказали, что математические предложения в
этом смысле являются предсказаниями: они предсказывают, чего
достигнут члены того или иного общества, которые обучились
этой технике, в ходе совместных согласованных действий "с ос-
тальными членами этого общества? „25 χ 25 = 625" означало бы
тогда, что люди, если они, по нашему мнению, следуют правилам
умножения, при умножении 25 χ 25 придут к результату 625. —
То, что это — верное предсказание, никаких сомнений не вызы-
вает; как и то, что счет, по сути, основывается на таких предска-
заниях. Это значит, что мы не называли бы нечто словом «счи-
тать», если бы не могли с уверенностью высказать подобное пред-
положение. Это означает, собственно: счет — некая техника и все
сказанное относится к сущности техники.
67. Это согласие принадлежит счету по самой его сути, посколь-
ку он надежен. , ■
В технике счета должны быть возможны предсказания.
А это делает технику счета похожей на технику игры наподобие
шахмат.
Но как в таком случае обстоит дело с согласием — не означает ли
оно, что один человек сам по себе не мог бы считать? Ну, во вся-
ком случае, один человек не смог бы считать лишь однажды в
своей жизни.
Можно было бы сказать: все возможные позиции в шахматах по-
зволительно понимать как предложения, гласящие, что они (сами
но себе) являются возможными игровыми позициями; или же как
предсказания: люди могут достичь этих позиций в результате оп-
ределенных ходов, которые они единодушно объясняют согласно
правилам. Тогда полученная таким образом игровая позиция яв-
ляется доказанным предложением этого рода.
«Счет есть некий эксперимент». Счет может быть экспери-
10!

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ментом. Учитель просит ученика произвести некий расчет, чтобы
понять, умеет ли он считать; это эксперимент.
Когда утром в печке разводят огонь, является ли это эксперимен-
том? Может являться в том или ином случае.
Вот так же и шахматные ходы не являются доказательствами, а
положения фигур не являются предложениями. И математические
предложения не являются игровыми позициями. И, таким обра
зом, они не являются также предсказаниями.
68. Если расчет — некий эксперимент, что является тогда ошиб-
кой в расчете? Ошибка в эксперименте? Конечно же, нет; ошиб-
ка в эксперименте появилась бы в том случае, если бы не соблю-
дались условия эксперимента, если бы, например, кого-то заста-
вили считать при страшном шуме.
А почему не скажешь: хотя ошибка в расчете — это не ошибка в
эксперименте, но это все же неверный ход эксперимента — иног-
да объяснимый, иногда необъяснимый.
69. «Расчет, например умножение, является экспериментом: мы
не знаем, что получится, и узнаем это лишь тогда, когда будет
выполнено умножение». — Конечно, так же как нам неизвестно,
когда мы идем гулять, в каком месте окажемся через пять ми-
нут — но разве это делает прогулку экспериментом? — Нет; но
при расчете я же хотел заранее знать, что получится, ведь меня
интересовало именно это. Мне любопытно знать, каков будет ре-
зультат. Но не в том смысле, что я намереваюсь сказать, а то,
что я должен сказать.
Но разве на примере этого умножения ты интересуешься не тем,
как именно будет считать большинство людей? Нет, во всяком
случае, в обычной ситуации — нет, если даже я устремляюсь
вместе со всеми в какой-то общий пункт назначения.
Но ведь расчет как раз и показывает мне экспериментально, где
находится этот пункт. Он позволяет мне мысленно отправиться в
путь и уяснить, куда я попаду. А правильное умножение есть об-
разец того, как мы все проделываем этот путь, когда нас направ-
ляют таким образом.
Опыт учит, что мы все признаем такой расчет верным.
Мы осуществляем расчет и получаем результат. Но я хочу ска-
зать, что нас здесь интересует не достигнутый — скажем, при тех
или иных условиях — результат, нас интересует картина
действия, разумеется, действия убедительного, так сказать, согла-
102

Η,1939-1940
сованного, но картина не итога эксперимента, а пути к нему.
Мы не говорим: «Значит, мы действуем вот так!» — а говорим:
«Значит, это происходит вот так!»
70. Наше согласие проявляется в одинаковых действиях, — но
мы пользуемся этой тождественностью только для предсказания
того, с чем согласятся люди. Так же как предложением «Эта тет-
радь красная» мы пользуемся не только для того, чтобы предска-
зать, что большинство людей назовет эту тетрадь «красной».
«И это мы называем „тем же самым"». Если бы не существовало
совпадения в том, что мы называем «красным» и т. д. и т. д.,
язык перестал бы существовать. Каково же положение дел с сог-
ласием относительного того, что мы называем «согласием»?
Мы можем описать феномен языковой путаницы; но что является
для нас ее симптомом? Это не обязательно должна быть сумятица
и хаотичность в действиях. Скорее уж, это тот случай, когда я не
разбираюсь в том, что говорят люди, не могу реагировать согласо-
ванно с ними.
«Это для меня не языковая игра». В таком случае я мог бы также
сказать: хотя они сопровождают свои действия произнесением
звуков и я не могу назвать эти действия «путаными», но все же у
них нет языка. — Но, может быть, их действия стали бы путаны-
ми, если бы им помешали издавать эти звуки.
71. Можно сказать: доказательство служит пониманию. Экспери-
мент предполагает это.
Или даже: математическое доказательство формирует наш язык.
Но все же нельзя отрицать того, что посредством математического
доказательства можно делать научные предсказания относительно
доказательств, выполняемых другими людьми. —
Если у меня кто-то спрашивает: «Какого цвета эта книга» — и я от-
вечаю: «Она зеленая», — то не могу ли я с тем же успехом ответить:
«Люди, говорящие по-немецки, называют ее „зеленой" („grün")»?
А разве он не мог бы при этом спросить: «А как называешь ее
ты?» Ведь он хотел услышать мой ответ.
«Границы эмпиризма.>>
72. Но ведь существует наука об условных рефлексах счета; явля-
ется ли это математикой? Такая наука должна опираться на эк-
сперименты: и этими экспериментами будут вычисления. Но что,
если эта наука стала бы весьма точной и, наконец, даже «матема-
тической» наукой?
103

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Ну, а является ли результатом этих экспериментов совпадение
расчетов людей или же их согласие в том, что они называют «сог-
ласием»? И т. д.
Можно сказать: такая наука не функционировала бы, если бы у
нас не было согласия в понимании идеи совпадения.
Понятно, что можно использовать математические работы для
изучения антропологии. Но не вполне тогда ясно одно: должны ли
мы говорить, что «этот текст показывает нам, как у этого народа
принято оперировать знаками», или же мы должны говорить:
«Этот текст показывает нам, какие разделы математики освоил
этот народ»?
73. Могу ли я, закончив операцию умножения, сказать: «Итак, с
этим я согласен — »? — Но могу ли я то же самое сказать, сде-
лав лишь одно действие в умножении? Например, произведя ум-
ножение „2x3 = 6"? Не более чем, глядя на этот лист бумаги, я
могу сказать: «Итак, это я называю „белым"»?
Это, на мой взгляд, было бы аналогично такому заявлению: «Вызы-
вая в своей памяти то, что делал сегодня, я провожу своего рода экс-
перимент (я заставляю себя проделать все сначала), и воспомина-
ние, которое затем проявляется, призвано показать мне, что ответят
на вопрос о моих действиях другие, видевшие меня люди».
Что произошло бы, если бы мы чаще оказывались в такой ситуа-
ции: мы выполняем расчет и находим его правильным; затем выпол-
няем его еще раз и обнаруживаем, что результат неверен: мы полага-
ем, что раньше допустили ошибку, — если затем мы произведем его
снова, то нам покажется неверным наш второй расчет и т. д. ?
Ну, а надо ли все это называть расчетом или нет? — В любом
случае невозможно применить этот расчет для предсказания того,
что некто в следующий раз придет к тому же результату. — А
нельзя ли сказать, что он неверно вычислил в этот раз, так как в
следующий раз так же он уже не сосчитает? Я мог бы сказать:
там, где существовала бы такая неуверенность, не было бы сче-
та.
Но с другой стороны, я все-таки говорю: «Счет правилен — в том ви-
де, как он выполнен». Не может быть ошибки в счете „12 χ 12 =
= 144". Почему? Это предложение включено в наши правила.
Является ли „12х 12 = 144" высказыванием о том, что все люди,
умножающие таким образом 12 на 12, непременно получают 144?
74. Допустим, я многократно произвожу один и тот же расчет,'
104

II, 1939-1940
чтобы удостовериться в том, что делал его правильно, и в конце
концов признаю его верным. — Разве я повторял эксперимент не
с целью убедиться в том, что и в следующий раз все будет проте-
кать так же? — Но почему троекратное пересчитывание должно
меня убеждать в том, что и в четвертый раз ход процесса будет
тем же самым? — Я бы сказал: я пересчитывал, чтобы быть уве-
ренным в том, что «я ничего не пропустил».
Опасность здесь в том, что мы ищем, как мне думается, оправда-
ние своему действию там, где этого оправдания не требуется и где
мы должны просто сказать: мы делаем это вот так.
Если кто-то снова и снова проводит эксперимент «постоянно с од-
ним и тем же результатом», он тем самым делает эксперимент,
который учит его тому, что называть «одинаковым результатом»,
то есть как использовать слово «одинаковый». Измеряет ли тот,
кто измеряет стол дюймовой линейкой, и саму линейку тоже? Ес-
ли он измеряет линейку, то он не может при этом измерять стол.
А что, если бы я сказал: «Измеряя стол дюймовой линейкой, че-
ловек проводит эксперимент, который учит его тому, что получа-
ется при измерении этого стола всеми другими дюймовыми ли-
нейками». Ведь нет сомнения, что, исходя из измерения одной ли-
нейкой, можно предсказать, что даст измерение другими линейка-
ми. Как несомненно и то, что невозможность такого предсказания
разрушила бы всю нашу систему измерения.
Ни одна линейка, можно сказать, не была бы верной, если бы
все линейки в общем не совпадали. — Но, говоря это, я не имею
в виду, что они были бы тогда все неверными.
75. Счет потерял бы смысл, если бы наступила неразбериха. Подоб-
но тому как потеряли бы свой смысл слова «зеленый» и «голубой».
И все же кажется нелепым утверждать, что предложение арифмети-
ки говорит: сумятица не наступит. — Не сводится ли решение этой
проблемы просто к тому, что в случае наступления сумятицы предло-
жение арифметики стало бы не ложным, а бесполезным?
Подобно тому как утверждение, что длина этой комнаты 16 фу-
тов, не стало бы ложным в том случае, если бы наступила нераз-
бериха в масштабах и измерениях. Его смысл, а не его истинность
основывается на упорядоченном осуществлении измерений. (Но
не будем здесь догматичны. Есть переходные случаи, затрудняю-
щие рассмотрение.)
А что, если я скажу: математическое предложение выражает уве-
ренность в том, что неразберихи не будет? —
105

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Тогда и употребление всех слов выражает уверенность в том, что
неразберихи не будет.
Но ведь нельзя же сказать, что употребление слова «зеленый» сви-
детельствует, что путаницы не будет, поскольку тогда употребле-
ние слова «путаница» в свою очередь должно было бы утверждать
то же самое об этом слове.
Если „25 χ 25 = 625" выражает уверенность в том, что здесь мы
всегда легко придем к согласию, что путь, который заканчивается
этим предложением, вполне приемлем, то почему оно не выража-
ет уверенности в чем-то ином — скажем, в том, что мы всегда
сможем прийти к согласию относительно его употребления?
С этими двумя предложениями мы играем не в одну и ту же язы-
ковую игру.
Можем ли мы быть равно уверены в том, что там увидим тот же
цвет, что и здесь, и в том, что будем склонны назвать цвет тем
же самым, если он будет тем же самым?
Вот что я хочу сказать: математика как таковая является всегда
мерой, а не измеряемым.
76. Понятие счета исключает неразбериху. Что получилось бы,
если бы кто-то, производя умножение в разное время, получал бы
разные результаты, понимал это, но считал бы, что все в поряд-
ке? — Но тогда он не смог бы использовать умножение для тех
же целей, для которых используем его мы! Почему же нет? А разве
не ясно, что у него тогда ничего не должно было бы получаться.
Интерпретация счета как эксперимента представляется нам един-
ственно реалистичной.
Все остальное, полагаем мы, просто вздор. В эксперименте мы
имеем нечто вполне осязаемое. Это почти то же, как если бы ут-
верждалось: «Поэт, когда он пишет стихи, проводит психологичес-
кий эксперимент. Только так можно объяснить то, что стихотворе-
ние может иметь ценность». Сущность эксперимента искажается,
если думать, что каждый процесс, результат которого нас очень ин-
тересует, является тем, что мы называем «экспериментом».
Каким-то обскурантизмом представляется заявление, что вычисле-
ние — это не эксперимент. Точно так же, как и утверждение, что
математика не оперирует знаками или — боль не является фор-
мой поведения. Но происходит это только потому, что люди пола-
гают, будто тем самым утверждается существование некоего неу-
ловимого, то есть подобного тени, предмета наряду с предметами,
106

II, 1939-1940
которые всеми нами отчетливо воспринимаются. Тогда как мы
всего лишь указываем на разные способы употребления слов.
Это почти то же самое, что сказать: «голубое» должно обозначать
голубой предмет, иначе нельзя было бы понять назначение
этого слова.
77. Я придумал игру — с таким расчетом, что тот, кто начинает,
всегда должен выиграть; значит, это не игра. Я изменяю ее; те-
перь все в порядке.
Проделал ли я эксперимент, в результате которого выяснилось, что
начинающий всегда выигрывает? Или же выявилось, что это проис-
ходит потому, что мы склонны играть таким образом? Нет. Но
ведь результат получился не таким, как ты ожидал! Конечно же,
нет; но это не делает игру еще и неким экспериментом.
Но что это значит: не знать, из-за чего исход всегда должен быть
таким? Так ведь все дело в правилах. — Я хочу знать, каким об-
разом я должен изменить правила, чтобы добиться верной иг-
ры. — Но ты же можешь изменить их, например, совсем — то
есть выбрать вместо твоей совершенно другую игру. — А вот это-
го я не хочу. Я хочу в общем и целом сохранить правила и только
устранить ошибку. — Но это так неопределенно. И к тому же
просто неясно, что следует считать такой ошибкой.
Это почти то же самое, что сказать: в чем ошибка в этой музы-
кальной пьесе? Она нехорошо звучит в исполнении на этих ин-
струментах. — Тогда как ошибку не обязательно искать в инстру-
ментовке; можно было бы искать ее в темах.
Предположим, однако, что игра такова, что тот, кто начинает, всег-
да может выиграть с помощью определенного простого трюка. Но
это не дошло до сознания, — тогда это некая игра. И вот кто-то обра-
щает на это наше внимание, и это перестает быть игрой.
Какой поворот можно дать этому, чтобы уяснить ситуацию? — Я
ведь хочу сказать: <<И это перестает быть игрой», — а не: «И те-
перь мы понимаем, что это не было игрой».
Значит, я хочу сказать, это можно истолковать и так: кто-то дру-
гой не обратил наше внимание на что-то, но научил нас вместо
нашей игры какой-то другой игре. —— Но как может новая игра
вывести из употребления старую? — Мы теперь понимаем кое-что
по-иному и не можем дальше играть так же наивно.
Игра состояла, с одной стороны, из наших действий (игровых
действий) на доске; и эти игровые действия я мог бы сейчас вы-
107

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
полнять столь же хорошо, как прежде. Но с другой стороны, для
игры было существенно, что я слепо пытался выиграть; теперь же
я не могу более вести себя таким образом.
78. Предположим: первоначально люди обычным образом практи-
ковали 4 вида счета. Затем они начали использовать в вычисле-
ниях выражения в скобках, а также выражения типа (а — а). И
вот они заметили, что, например, умножение становится при этом
многозначным. Должно ли это было бы сбить их с толку? Дол-
жны ли были бы они сказать: «Теперь прочный фундамент ариф-
метики, кажется, пошатнулся»?
И если бы они теперь требовали доказательства непротиворечи-
вости, ибо иначе они на каждом шагу подвергались бы опасности
сбиться, чего они требовали бы? В общем, они требовали бы
порядка. А разве раньше порядка не было? — Ну, они требовали
бы порядка, который бы их теперь успокоил. — А разве они как
дети и их надо убаюкивать?
И все-таки умножение из-за своей многозначности стало как бы
практически непригодным — то есть: неприменимым в прежних
нормальных целях. Предсказания, которые основывались на ум-
ножениях, теперь бы не срабатывали. — (Если бы я хотел пред-
сказать, какую длину будет иметь шеренга солдат, которая может
быть образована из каре 50 χ 50, я снова и снова приходил бы к
неправильным результатам.)
Значит, этот тип вычислений неправилен? — Скорее, он неприме-
ним для этих целей. (Вероятно, применим для других.) Не вроде
ли того, как если бы я однажды вместо умножения стал бы де-
лить? (Такое действительно может случиться.)
Что означает: «Ты должен здесь умножать, а не делить!» —
Что тут4 верной игрой является обычное умножение, что в нем не-
возможно оступиться? А что вычисление с помощью (а — а) —
неподходящая игра — что в ней невозможно не споткнуться?
(Описывать, а не объяснять — вот, чего мы хотим!)
А что, если мы не вполне ориентируемся в нашем исчислении?
Мы в лунатическом сне прошли путь между пропастями. — Но
даже если мы сейчас говорим: «Теперь мы бодрствуем», — можем
ли мы быть уверены, что в один прекрасный день не проснемся?
(И тогда скажем: значит, мы снова спали.)
Можем ли мы быть уверены, что не существует пропастей, кото-
рых мы не видим?
108

Π, 1939-1940
А если я бы сказал: пропастей в исчислении нет, если я их не вижу!
А не сбивает ли нас сейчас с толку чертенок? Ну, если и сбивает,
это не имеет значения. Чего не знаешь, — о том не волнуешься.
Предположим: один раз я делил бы на 3 таким образом:
1 1 1 1 1
II
ΙΙΙΙΙΙΙΙΙ
а другой раз таким:
ιΤίίϊιίιΓιϊιίιιιι
и не заметил этого. — И вот кто-то обращает на это мое внима-
ние.
На ошибку? А так ли уж безусловно, что это ошибка? И при ка-
ких обстоятельствах мы называем это ошибкой?
79. -ДО = φφΌβί.
ф(ф) = ~ф{ф)
Предложения ,,φ(φ)" и << ,,φ{φ)" иногда, кажется, говорят нам то
одно и то же, иногда же совершенно противоположное. В зависи-
мости оттого, как мы его рассматриваем, предложение «ф(ф)>>,
казалось бы, говорит то ~ф(ф), то нечто противоположное. И в од-
них случаях мы рассматриваем его как результат подстановки
Φΰ)
в других как
φ
f
φ
Мы готовы заявить: «„Гетерологический" — это не гетерологичес-
кий; то есть можно назвать это „гетерологическим" по определе-
нию». И это звучит вполне правильно, проходит совершенно глад-
ко, и противоречие вовсе не обязательно бросается нам в глаза.
Если же противоречие замечено, мы склонны были бы прежде
всего сказать: в утверждение о том, что ξ гетерологично, мы
109

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
вкладываем в том и другом случаях разный смысл. Один раз
это — несокращенное утверждение, другой же раз — утвержде-
ние, сокращенное согласно определению.
Затем мы попытались бы выйти из положения, сказав: „ф(ф) =
φλ{φ)"'. Но зачем нам так себя обманывать? Ведь здесь действи-
тельно два противоположных пути ведут к одному и тому же.
Или же: столь же естественно в этом случае сказать ,,~ф(ф)",
как н^ф(ф)".
Сказать, что С расположено справа от пункта А и что оно распо-
ложено слева, одинаково правомерно в соответствии с определен-
ным правилом,
которое гласит, что некое место расположено в направлении, ука-
занном стрелкой, если к нему ведет дорога, начинающаяся в этом
направлении.
Рассмотрим это с точки зрения языковых игр. —
Первоначально мы играли в игру только с прямыми дорогами.
80. Можно ли, например, представить себе, что если я вижу что-
то голубое, то это означает, что предмет, который я вижу, не го-
лубой — что видимый мною цвет всегда расценивается как тот,
который исключен? Я мог бы, скажем, допустить, что Бог всегда
показывает мне какой-то цвет лишь для того, чтобы сказать: не
этот.
Или же происходит так: цвет, который я вижу, говорит мне толь-
ко о том, что этот цвет играет некую роль в описании предмета.
Он соответствует не предложению, а просто слову <<голубой». И
описание предмета может, таким образом, с равным успехом оз-
начать: «он голубой» и «он не голубой». Тогда говорят: глаз пока-
зывает мне только голубизну, а не ее роль. — Мы сопоставляем
зрительное восприятие цвета со слуховым восприятием слова «го-
110

И, 1939-1940
лубой», если не слышим в предложении остального.
Я хотел бы показать, что человека можно подвести к тому, чтобы
ситуацию: нечто является голубым, — он пытался описать с по-
мощью слов «оно голубое», и «оно не голубое».
Что, стало быть, в наших силах так изменить метод проецирова-
ния, что „р" и „~р" приобретают одинаковый смысл. Но это ут-
рачивается, если не ввести чего-либо нового в качестве отрицания.
При этом языковая игра может из-за противоречия утратить свой
смысл, характер языковой игры.
И здесь важно сказать, что этот характер очерчивается не тем,
что говорится: звуки должны производить известное воздействие.
Ибо языковая игра (2) * лишилась бы характера языковой игры,
если бы вместо 4 приказаний строители издавали все новые и но-
вые звуки и даже если было бы можно доказать с точки зрения
физиологии, что каждый раз именно эти звуки заставляют по-
мощника приносить те строительные камни, которые он приносит.
Здесь также можно было бы сказать, что языковые игры важно,
конечно, рассматривать и потому, что они постоянно продолжают
функционировать. То есть важность их рассмотрения определяет-
ся тем, что люди могут быть приучены к такой реакции на звуки.
С этим, как мне кажется, связан вопрос о том, является ли вы-
числение экспериментом, имеющим целью предсказать ход вычис-
лений. Что если кто-то выполнил вычисление и — правильно —
предсказал, что в следующий раз будет вычислять иначе, ибо об-
стоятельства в следующий раз изменятся хотя бы потому, что та-
ким способом вычисление произведено уже много раз?
Вычисление — это феномен, который мы узнаем из вычисления.
Так же как язык — это феномен, который мы знаем из нашего
языка.
Можно ли сказать: «Противоречие безвредно, если его можно изо-
лировать»? А что мешает нам изолировать его? То, что мы как
следует не ориентируемся в исчислении. Стало быть, в этом и за-
ключен вред. И это как раз имеется в виду, когда говорят: проти-
воречие показывает, что в нашем исчислении что-то не в порядке.
Оно есть просто локальный симптом болезни всего тела. Но тело
больно только тогда, когда мы не ориентируемся.
Исчисление несет в себе скрытую болезнь, а это значит: то, что
мы имеем, и в том виде, в каком оно имеется, не исчисление, и
мы не ориентируемся, то есть не можем провести никакого ис-
111

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
числения, которое бы «в сущности» соответствовало этому подо-
бию исчисления и лишь исключало из него все непригодное.
Но как возможно не ориентироваться в некотором исчислении;
разве оно не открыто нам?
Допустим мы усвоили исчисление у Фреге вместе с его противоре-
чием. Но так, что это противоречие не представляется чем-то бо-
лезненным. Оно, скорее уж, являет собой признанную часть ис-
числения, с его помощью вычисляют. (Вычисления не служат
обычной цели логических исчислений.) — Так вот, ставится зада-
ча заменить это исчисление, вполне респектабельной частью кото-
рого является противоречие, другим, в котором не должно быть
этого противоречия, ибо исчисление хотят использовать в целях,
сделать противоречие нежелательным. — Что это за задача? И
какого рода неспособность имеется в виду, если говорят: «Мы еще
не нашли исчисления, удовлетворяющего этому условию»?
Говоря: «Я не ориентируюсь в исчислении», — я имею в виду не
состояние души, а неспособность что-либо сделать.
Часто для прояснения какой-то философской проблемы бывает
полезно представить себе историческое развитие, например в ма-
тематике, совершенно иным, чем оно было в действительности.
Если бы оно было иным, то никому бы не пришло в голову гово-
рить то, что говорят в действительности.
Я бы поставил вопрос, например, так: «Стремишься ли ты в своем
исчислении к пользе? — Тогда у тебя не возникнет и противоре-
чия. А если ты не стремишься к пользе, то в конце концов неваж-
но, если даже противоречие и получится».
81. Наша задача заключается не в поисках исчислений, а в том,
чтобы описать нынешнее состояние дел.
Идея предиката, истинного относительно себя самого и т. д., опи-
рается, конечно, на примеры, — но ведь эти примеры были глу-
постями, они же вовсе не были придуманы. Но это не говорит о
том, что такие предикаты нельзя было бы использовать, а проти-
воречие не имело бы применения!
Я имею в виду следующее: если внимание действительно направ-
лено на использование, то не придет в голову написать ,/(/)". С
другой стороны, если знаки в исчислении употребляют, так ска-
зать, без каких-либо предпосылок, то можно написать и ,/(/)", а
потом нужно сделать выводы, и нельзя забывать, что еще нет ни-
какого представления о возможном практическом использовании
этого исчисления.
112

Π, 1939-1940
Сводится ли вопрос к тому: «Где мы покидаем область примени-
мости?» —
Ибо разве невозможно хотеть породить противоречие? Чтобы
мы с гордостью за наше математическое открытие сказали бы:
«Смотри, вот fek мы производим противоречие». Разве невозмож-
но, чтобы множество людей стремились, например, произвести
противоречие в области логики и чтобы в конце концов кому-то
это бы удавалось?
Но почему же люди должны пытаться сделать именно это? —
Ну, я, пожалуй, не смогу здесь предположить какую-то убедитель-
ную цель. А почему бы, например, не с целью показать, что в
этом мире все неопределенно?
Эти люди, правда, никогда не стали бы на самом деле использо-
вать выражения типа ,/(/)", но они были бы рады жить в сосед-
стве с противоречием.
«Усматриваю ли я некий порядок, мешающий мне неожиданно
прийти к противоречию?» Это все равно что сказать: покажи мне
в моем исчислении порядок, который убедит меня, что я таким
способом ни разу не приду к числу, которое... Я приведу ему тог-
да, например, рекурсивное доказательство.
Но разве неправильно сказать: «Что ж, я пойду своим путем даль-
ше. Увижу противоречие, тогда и нужно будет с этим что-то пред-
принять»? — Значит ли это: в действительности не заниматься
математикой? Почему это не должно быть вычислением? Я спо-
койно пойду этим путем дальше; если мне придется наткнуться на
пропасть, я попытаюсь ее обойти. Разве это не значит «идти»?
Представим себе такоий случай: люди некоего племени могут счи-
тать только устно. Они еще не знают письменности. Они учат сво-
их детей считать в десятичной системе. В их счете часто встреча-
ются ошибки, цифры повторяются или упускаются, а они этого
не замечают. Вот какой-то путешественник записывает фонограм-
му их счета. Он учит их письменности и письменному вычислению
и затем показывает им, как часто они ошибались при устном сче-
те. — Должны ли теперь эти люди признать, что прежде они, со-
бственно, и не производили вычислений? Что они только топта-
лись на месте, а теперь идут? А разве они не могли бы сказать:
раньше наши дела шли лучше, наша интуиция не была отягощена
мертвой буквой? Невозможно постигнуть дух с помощью машин.
Возможно, они говорят: «Если тогда мы, как утверждает твоя ма-
шина, повторяли какую-то цифру, то, значит, так и надо было».
113

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Мы доверяем, например, «механическим» средствам вычисления
или счета больше, чем нашей памяти. Почему? — Должно ли
быть так? Я могу ошибиться в счете, машина, сконструированная
нами так-то и так-то, не может. Должен ли я придерживаться та-
кой точки зрения? — «Что же, опыт научил нас тому, что выпол-
нение вычислений с помощью машины более надежно, чем с по-
мощью памяти. Это научило нас тому, что наша жизнь пойдет бо-
лее гладко, если мы будем производить вычисления с помощью
машин». Но должна ли гладкость обязательно быть нашим идеа-
лом (должно ли быть нашим идеалом все завернутое в целло-
фан)?
А разве я не мог бы доверять памяти и не доверять машине? И
разве невозможно не доверять опыту, который «морочит мне го-
лову» тем, что машина надежнее?'
82. Прежде я не был уверен, что среди типов умножения, соот-
ветствующих этому описанию, нет ни одного, который дает иной
результат по сравнению с признанным. Но допустим, моя неуве-
ренность такова, что появляется лишь в преддверии нормального
типа вычислений; и предположим, мы сказали: она ничему не ме-
шает, ибо если я вычисляю совсем уж необычным образом, то дол-
жен все это еще раз обмозговать. Разве это не было бы правильно?
И все же я хочу спросить: должно ли доказательство непротиво-
речивости (или однозначности) непременно дать мне большую
уверенность, чем та, что есть у меня и без того? А если я действи-
тельно пускаюсь на авантюры, разве я не могу пускаться на та-
кие авантюры, в которых это доказательство больше не дает мне
какой-либо уверенности?
Моя цель заключается в том, чтобы изменить установку по отно-
шению к противоречию и к доказательству непротиворечивости.
(А не в демонстрации того, что это доказательство показывает
мне что-то незначительное. И как это могло бы быть\)
Если бы для меня было важно, например, порождать противоре-
чия в эстетических целях, то я бы без долгого раздумья принял
индуктивное доказательство непротиворечивости и сказал бы: без-
надежно стремиться произвести противоречие в этом исчислении,
доказательство показывает нам, что это не получится. (Доказа-
тельство в теории гармонии.)
83. Пожалуй, удачным можно считать такое выражение: «Это ис-
числение не ведает этого порядка (этого метода), а то исчисление
ведает».
114

II, 1939-1940
А как быть, если говорят: «Исчисление, не знающее этого поряд
•ка, собственно, не есть исчисление»?
(Канцелярия, не знающая этого порядка, собственно, не есть кан-
целярия.)
Беспорядка, смею утверждать, избегают в практических, а не в
теоретических целях.
Порядок вводят потому, что без него не клеится дело, — или же
его вводят, подобно обтекаемым формам детских колясок и ламп,
поскольку он, к примеру, где-то в другом месте оправдал надежды
и, таким образом, стал стилем или модой.
Злоупотребление идеей механического обеспечения безопасности
в отношении противоречия. А как быть, если части механизма
сплавятся друг с другом, сломаются или погнутся?
84. «Только доказательство непротиворечивости демонстрирует
мне, что я могу доверять исчислению».
Что это за предложение: только в таком случае можно доверять
исчислению...? А если ты доверяешь ему без такого доказательст-
ва? Какого типа ошибку ты совершил?
Я навожу порядок, я говорю: «Есть только эти возможности: ...»
Это похоже на то, как если бы я определял возможные переста-
новки элементов А, JS, С: прежде чем появился бы порядок, у ме-
ня было бы лишь туманное представление об этом множестве. —
Совершенно ли я теперь уверен, что ничего не пропустил? Поря-
док — это средство ничего не пропустить. Но не пропустить ка-
кую-либо возможность в исчислении, или: не пропустить какую-
либо возможность в реальности? — А достоверно ли, что люди
никогда не захотят вычислять иначе? Что они никогда не будут
воспринимать наше исчисление так же, как мы — счет дикарей,
числовой ряд которых доходит только до пяти? — Что мы никог-
да не захотим интерпретировать реальность иначе! Но это от-
нюдь не та уверенность, которую должен нам дать этот порядок.
Должна быть обеспечена не вечная правильность исчисления, а
Только, так сказать, временная,
«Но ты ведь имеешь в виду эти возможности! — Или же другие?»
Порядок убеждает меня в том, что, имея эти 6 возможностей, я
ничего не пропустил. Но убеждает ли од меня также в том, что
ничто не сможет опровергнуть мое теперешнее понимание таких
возможностей?
85, Можно ли представить себе, что возможность построения се-
115

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
миугольной конструкции вызывает те же самые опасения, что и
структура противоречия, и что доказательство невозможности се-
миугольной конструкции имело бы столь же успокоительное воз-
действие, как и доказательство непротиворечивости?
Как получается, что мы вообще склонны (или близки к этому) в
(3 — 3)х2 = (3 — 3) χ 5 сократить (3 — 3)? Как получается,
что этот шаг по правилам выглядит понятным, и как получается,
что он потом все-таки оказывается неприменим?
Пытаясь описать эту ситуацию, необычайно легко ошибиться. (То
есть ее очень трудно описать.) Описания, которые непосредствен-
но приходят в голову, вводят нас в заблуждение — так, в этой
области, устроен наш язык.
При этом всегда от описания соскальзывают к объяснению.
Это происходит или же выглядит примерно так: у нас есть исчис-
ление, скажем, с помощью костяшек на счетах; заменим его ис-
числением с помощью письменных знаков. Это исчисление приб-
лизит нас к такому расширению способа вычисления, к которому
не подводило первое исчисление, — или, пожалуй, лучше сказать:
второе исчисление стирает различие, которое в первом нельзя
было не заметить. Ну, а если проведение этого различия было
смыслом первого исчисления, а во втором это различие не прово-
дится, то тем самым второе утратило способность быть эквивален-
том первого. И теперь, по-видимому, могла бы возникнуть проб-
лема: где мы отошли от первоначального исчисления, какие рубе-
жи в новом соответствуют естественным границам старого?
У меня есть система правил вычисления, смоделированных по
правилам некоего другого исчисления. Я взял его себе за образец.
Однако вышел за его пределы. Это было даже преимуществом;
тем не менее теперь новое исчисление в некоторых ситуациях (по
крайней мере для старых целей) стало непригодным. Поэтому я
пытаюсь его изменить, то есть заменить его несколько иным ис-
числением. Притом таким, которое обладает преимуществами но-
вого, будучи лишено его недостатков. Но является ли это ясно оп-
ределенной задачей?
Существует ли — можно также спросить — правильное логичес-
кое исчисление, только без противоречий?
Можно ли, например, сказать, что хотя «теория типов» РлссЕла и
избегает противоречия, но исчисление РАССЕла все же не универ-
сальное, а искусственно ограниченное, искаженное логическое ис-
числение? Можно ли сказать, что чистое, универсальное логи-
116

Π, 1939-1940
ческое исчисление еще только должно быть найдено?
Я играл в игру и следовал при этом четким правилам, но как я
им следовал — это зависело от обстоятельств, и эта зависимость
не была записана черным по белому. (Это представление в неко-
торой степени вводит в заблуждение.) И вот я захотел так играть
в эту игру, чтобы «механически» следовать правилам, и «форма-
лизовал» игру. При этом, однако, я дошел до таких ситуаций, где
игра утратила всякий смысл: я хотел поэтому их «механически»
избежать. — Формализация логики не вполне удалась. Но зачем
вообще ее пытались провести? (Зачем она была нужна?) Не ис-
ходила ли эта потребность и мысль о том, что она должна удов-
летворяться, из неясности в другом месте?
Вопрос «Зачем она была нужна?» был очень существенным воп-
росом. Ибо исчисление было придумано не для практической це-
ли, а для того, чтобы «обосновать арифметику». Но кто говорит,
что арифметика есть логика; или же что надо сделать с логикой,
чтобы превратить ее в каком-то смысле в фундамент арифмети-
ки? Если нас подталкивают к таким попыткам, например, эстети-
ческие соображения, то кто говорит, что в этом можно преуспеть?
(Кто говорит, что это английское стихотворение может быть, к
нашему удовлетворению, переведено на немецкий?!)
(Даже если и ясно, что для каждого английского предложения, в
каком-то смысле есть перевод на немецкий.)
Философская неудовлетворенность исчезает благодаря тому, что
мы больше понимаем.
Благодаря тому, что я считаю позволительным сокращение (3 —
3), этот тип вычисления утрачивает свой смысл. А что, если, на-
пример, ввести новый знак равенства, который должен был бы
выражать: «равно, после этой операции»? Но разве уместно было
бы говорить: «Выиграл в этом смысле», — если в этом смысле я
выигрывал бы каждую игру?
Исчисление провоцировало меня в определенных случаях на уп-
разднение его самого. Теперь я стремлюсь к такому исчислению,
которое этого не делает, и исключаю такие ситуации. — Но озна-
чает ли это, что любое исчисление, в котором такое исключение
не происходит, является ненадежным? «Что же, выявление этих
случаев было для нас предостережением». — А не ошибочно ли
понял ты это «предостережение»?
86. Можно ли доказать, что ничего не пропущено? — Конечно. А
не придется ли кому-нибудь позже признать: «Да, я что-то пропус-
117

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
тил; но не в той области, для которой имеет силу мое доказатель-
ство»?
Доказательство непротиворечивости должно дать нам основания
для предсказания; и в этом его практическая цель. Это не зна-
чит, что такое доказательство принадлежит физике нашей вычис-
лительной техники — стало быть, прикладной математике, — но
это значит, что тем ближайшим его применением, ради которого
мы ценим это доказательство, служит некое предсказание. Это
предсказание не таково: «Этим способом не получится беспоряд-
ка» (ведь это было бы не предсказанием, а математическим выра-
жением). Предсказывается другое: «Не произойдет никакого бес-
порядка».
Я хотел сказать: доказательство непротиворечивости может успо-
коить нас только тогда, когда оно является убедительным основа-
нием для этого предсказания.
87. Там, где мне достаточно доказательства, что противоречие
или трисекцию нельзя соорудить таким способом, там индуктив-
ное доказательство дает то, чего от него требуют. Однако если я
должен опасаться, что что-то тем или иным образом когда-то мо-
жет быть истолковано как порождение противоречия, то никакое
доказательство не может избавить меня от этого смутного опасения.
Ограда, которую я возвожу вокруг противоречия, не (м^ть сверхо-
града.
Как исчисление может быть в принципе упорядочено путем того
или иного доказательства?
Разве оно могло не быть верным исчислением до тех пор, пока не
нашли этого доказательства?
«Это доказательство чисто механическое; его могла бы выполнить
машина». Что за машина? Машина, изготовленная из обычных
материалов, или же сверхмашина? Не путаешь ли ты твердость
правила с твердостью материала?
Мы увидим противоречие в разном свете, если рассмотрим его по-
явление и его последствия как бы антропологически или же если
взглянем на него с возмущением математика. То есть мы увидим
его по-разному, если попытаемся просто описать, как противоре-
чие влияет на языковые игры, и если посмотрим на него с пози-
ции математического законодателя.
88. Но стоп! Разве не ясно, что никто не хочет прийти к противо-
речию? Что, стало быть, тот, кому ты укажешь на возможность
118

И, 1939-1940
противоречия, сделает все, чтобы противоречие было невозмож-
но? (Что, следовательно, тот, кто этого не сделает, простофиля.)
А, допустим, он ответил: «Я не могу представить себе противоре-
чия в моем исчислении. — Ты, правда, показал мне противоречие
в другом исчислении, но не в этом. В этом нет противоречия, и
я не вижу здесь возможности для него»?
«Если мое понимание исчисления в какой-то момент с
необходимостью изменится, если благодаря окружению, которого
я сейчас не вижу, непременно изменится его аспект — тогда и
продолжим разговор об этом».
«Я не вижу возможности противоречия. Так же не вижу, как и
ты, по-видимому, не видишь возможности такового в твоем дока-
зательстве непротиворечивости».
Знаю ли я, что мне покажется опасным противоречие, столкнись
я однажды с таковым там, где сейчас считаю его невозможным?
89. «Чему учит меня доказательство, помимо его результата?» —
Чему учит меня новая мелодия? Разве я не чувствую искушения
сказать, что она учит меня чему-то? —
90. Роль ошибки в расчете я еще не объяснил. Роль предложения:
«Должно быть, я ошибся в вычислении». Это, по сути, ключ к по-
ниманию «оснований» математики.
1923 Ц9

III
1942
1. «Аксиомы в математической системе аксиом должны быть са-
моочевидны». Как же это получается?
Как в тех случаях, когда я говорю: вот так я могу это предста-
вить себе легче всего.
Причем слова «представить себе» означают здесь не особый душев-
ный процесс, при котором обычно закрывают или прикрывают
руками глаза.
2. Что говорят, когда предлагается, например, такая аксиома,
как аксиома о параллельных прямых? Опыт ли показал нам, что
они ведут себя таким образом? Что .ж, возможно; но какой опыт?
Я имею в виду: опыт, конечно, играет роль; но не ту, какой мож-
но было бы непосредственно ожидать. Ведь мы же не устанав-
ливали экспериментально, что действительно только одна прямая,
проходящая через данную точку, не пересекает другую прямую. И
все-таки предложение очевидно. — В связи с этим я бы сказал:
совершенно безразлично почему оно очевидно. Достаточно того,
что мы принимаем его. Важно только то, как мы его используем.
Предложение описывает картину. В частности, такую:
Эта картина для нас приемлема. Так же как для нас приемлемо
обозначать приблизительное значение некоего числа, округляя его
до числа, кратного 10.
«Мы принимаем это предложение». Но в каком качестве мы его
принимаем?
3. Я хочу сказать: если дана, например, формулировка аксиомы о
120

III, 1942
параллельных прямых (и мы понимаем этот язык), то этим еще от-
нюдь не определен тип использования данного предложения и, соот-
ветственно, его смысл. А если мы говорим, что оно очевидно, это
значит, что мы уже выбрали, неосознанно, определенный тип ис-
пользования такого предложения. Предложение не является мате-
матической аксиомой, если мы его не используем именно для этого.
Иными словами, то, что мы здесь не ставим экспериментов, а
принимаем нечто как самоочевидное, уже задает определенное ис-
пользование. Ибо мы ведь не столь наивны, чтобы принять оче-
видность за эксперимент.
Математическим предложением его делает не то, что нам очевид-
на его истинность, а то, что мы принимаем его за самоочевидное.
4. Опыт ли учит нас тому, что между каждыми двумя точками
можно провести прямую? Или же тому, что два разных цвета не
могут быть на одном и том же месте?
Можно сказать: представление учит нас этому. И в этом заклю-
чена истина; нужно только правильно понять это.
До формулировки предложения понятие еще податливо.
А не может ли опыт заставить нас отказаться от аксиомы? Может. И
тем не менее она не играет роль эмпирического предложения.
Почему ньютоновские законы не являются аксиомами математи-
ки? Потому что совсем нетрудно представить себе, что все проис-
ходит иначе. Но — хочу сказать — это отводит таким предложе-
ниям просто определенную роль в противоположность другой. То
есть сказать о предложении: «Это можно представить себе и ина-
че» или «Можно представить себе и нечто прямо противоположное
этому» — значит отвести ему роль эмпирического предложения.
Предложение, которое, как полагают, невозможно представить
себе иначе, как истинным, имеет другую функцию, чем то, что
проявляет себя иначе.
5. Математические аксиомы функционируют таким образом, что,
если опыт заставил бы нас отказаться от какой-либо аксиомы, от
этого не стало бы аксиомой противоположное ей утверждение.
„2 χ 2 Φ 5" не означает, что
„2x2 = 5" оказалось непригодным.
Можно было бы предпосылать аксиомам, так сказать, специаль-
ный утвердительный знак.
Нечто является аксиомой не благодаря тому, что признается в
121

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
высшей степени вероятным, даже достоверным, а благодаря тому,
что ему приписывается особая функция, притом такая, которая
противостоит функции эмпирического предложения.
Мы оказываем аксиоме признание иного рода, чем эмпирическому
предложению. И под этим я отнюдь не подразумеваю, что «душев-
ный акт признания» здесь иной.
Аксиома — это как бы другая часть речи.
6. Слыша математическую аксиому, гласящую, что то-то возмож-
но, мы безоговорочно принимаем как известное то, что означает
здесь «быть возможным»; ведь это привычная для нас форма
предложения.
Не осознается, сколь различным может быть использование вы-
сказывания «... это возможно!». И. поэтому не приходит в голову
спрашивать об особом использовании его в этом случае.
Без целостного, подробного обзора применений мы здесь никак не
можем усомниться в том, что понимаем данное предложение.
Относится ли предложение об отсутствии дальнодействия к разря-
ду математических предложений? Здесь опять-таки я бы сказал:
данное предложение предназначено не для выражения какого-то
опыта, а для выражения того, что мы не можем представить себе
что-то другое.
Сказать, что между двумя точками всегда возможна — с геомет-
рической точки зрения — прямая, значит: предложение «Точки...
лежат на одной прямой» является высказыванием о положении
точек лишь в том случае, если повествует более чем о двух точках.
Вот также не задаются и вопросом, что в конкретном случае оз-
начает предложение типа «Не существует...» (например, «Не су-
ществует доказательства этого предложения»). На вопрос о том,
что оно означает, отвечают кому-то другому и самому себе приме-
ром несуществования.
Ί, Математическое предложение стоит не на трех, а на четырех
ногах; оно срерхопределенно.
8. Описывая поступок какого-то человека, например, с помощью
того или иного правила, мы хотим, чтобы тот, кому адресовано
это описание, благодаря применению этого правила знал, что про-
исходит в данном конкретном случае. Ну, а даю ли я ему в этом
правиле косвенное описание?
Существует же предложение, гласящее: если умножить числа.!, по
таким-то правилам, то получится...
122

III, 1942
Использование математического предложения само всегда должно
быть вычислением. Это определяет отношение вычислительной де-
ятельности к смыслу математических предложений.
О равенстве и соответствии судят по результатам вычислений, вот
почему нельзя объяснить вычисления с помощью соответствия.
Описание осуществляется с помощью правила. Для чего? Поче-
му? — Это другой вопрос.
«Правило, примененное к этим числам, дает те числа» — это мог-
ло бы означать: выражение правила позволяет человеку получать
из одних чисел другие.
Возникает совершенно верное ощущение, что это не было бы ма-
тематическим предложением. Математическое предложение опре-
деляет некий путь; прокладывает для нас тот или иной путь.
В том, что оно является правилом, однако не просто устанавлива-
ется, а выводится по правилам, нет противоречия.
Используя правило для того или иного описания, и сам знаешь не
больше, чем говоришь. То есть и не предвидишь использования
этого правила в особом случае. Говоря «и т. д.», и сам знаешь не
больше, чем «и т. д.».
9. Как можно объяснить человеку, что нужно делать, когда пред-
писано следовать некоему правилу?
Пытаются объяснить: прежде всего делай самое простое (если
правило заключается, например, в том, чтобы все время повто-
рять одно и то же). И в этом, конечно, кое-что есть. Имеет смысл
утверждать, что проще записать ряд чисел, в котором каждое чис-
ло равно предыдущему, чем ряд, в котором каждое число на 1
больше предыдущего, и далее, что это более простой закон, чем
закон попеременного прибавления 1 и 2.
10. Не слишком ли поспешно применять предложение, опробован-
ное на палочках и бобах, к длинам световых волн? Я имею в ви-
ду, что 2 χ 5000 = 10 000.
Неужели мы в самом деле рассчитываем, что нечто, доказавшее
свою истинность в столь многих случаях, должно быть верным и
для этих случаев? Разве это не свидетельствует в гораздо большей
степени о том, что мы себя еще вовсе не связали арифметически
предположением?
11. Арифметика— как натуральная история (минералогия) чи-
сел. А кто о ней так говорит? Все наше мышление пронизано
этой идеей.
123

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Числа (я имею в виду не числовые знаки) суть формы
(Gestalten), а арифметика говорит нам о свойствах этих форм.
Трудность, однако, заключается в том, что свойства таких обра-
зов — не отраженные свойства такого рода вещей; они являют
собой возможности. А эти возможности в свою очередь оказыва-
ются физическими или психическими возможностями (разложе-
ния, составления и т. д.). Формы же просто играют роль картин,
используемых так или иначе. И мы даем не свойства форм, а их
преобразования, конструируемые как своего рода парадигмы.
12. Судим мы не о картинах, а с помощью картин.
Мы исследуем не их, а с их помощью нечто другое.
Ты подводишь кого-то к решению принять эту картину. Ну, на-
пример, путем доказательства, то есть путем демонстрации ряда
изображений или просто показывая ему изображение. Что скло-
няет его к данному решению, здесь безразлично. Главное заклю-
чается в том, что речь идет о принятии какой-то картины.
Картина складывания не есть сложение; картина разложения —
не деление; картина соответствия — не соответствие. И все же
эти картины имеют огромное значение. Когда складывают, делят
и т. д., это выглядит вот так.
13. Что было бы, если бы звери, кристаллы имели столь же пре-
восходные свойства, что и числа? Тогда существовал бы, напри-
мер, ряд форм, одна из которых всегда была бы на единицу боль-
ше, чем другая.
Попытаюсь показать, как получается, что математика кажется
нам то натуральной историей чисел, то собранием правил.
А разве нельзя было бы изучать преобразования форм зверей (на-
пример^? А как изучать? Я имею в виду вот что: разве не было
бы полезно продемонстрировать самим себе преобразования форм
зверей? И все же это не было бы разделом зоологии. —
Математическим предложением было бы тогда (например) то, что
это преобразование переводит эту форму в эту. (При том что
формы и их преобразования узнаваемы.)
14. Мы должны, однако, помнить о том, что математическое до-
казательство с помощью своих преобразований доказывает не
только знаково-геометрические предложения, но и предложения
самого различного содержания.
Так, преобразование любого расселовского доказательства доказы-
вает вместе с тем, что это логическое предложение может быть
124

III, 1942
образовано с помощью таких правил из основных законов. А само
доказательство рассматривается как доказательство истинности
вывода или же как доказательство того, что вывод /ш о чем не
говорит.
Это же возможно только через отношение предложения к чему-то
вне его самого; то есть, скажем, через его отношение к другим
предложениям, к их использованию.
«Тавтология («ρ ν ~р», например) не говорит ни о чем» — это
предложение, относящееся к языковой игре, где используется
предложение ρ (например: «Идет дождь или не идет дождь» — это
не сообщение о погоде).
РлссЕловская логика ничего не говорит о типах предложений и об
их использовании. — Я имею в виду не логические предложе-
ния. — И все же логика обретает весь свой смысл лишь благода-
ря ее предполагаемому применению к предложениям.
15. Можно представить себе, что у людей есть прикладная мате-
матика без чистой математики. Они могут, допустим, рассчитать
траекторию, которую описывают определенные движущиеся тела,
и предсказать их местонахождение в заданное время. Для этого
они используют систему координат, уравнения кривых (форму
описания действительного движения) и технику вычислений в
десятичной системе. Идея предложения чистой математики может
быть им совершенно чужда.
Таким образом, у этих людей есть правила, по которым они пре-
образуют соответствующие знаки (в частности, например, числр-
вые знаки) с целью предсказания определенных событий.
А разве, например, умножая, они не придут к предложению, гла-
сящему, что от перестановки множителей местами результат ум-
ножения не меняется? Это не будет первичным знаковым прави-
лом, но также не будет и предложением об их физике.
Ну, им не обязательно получать такое предложение — даже если
они допускают перестановку множителей.
Мне представляется, что эта математика всецело используется в
форме предписаний. «Ты должен делать то-то», — в частности,
чтобы получить ответ на вопрос: «Где будет находиться это тело в
то или иное время?» (То, как эти люди пришли к такому методу
предсказания, совершенно безразлично.)
Центр тяжести математики лежит для этих людей целиком и пол-
ностью в действии.
125

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
16. Но возможно ли это? Возможно ли, чтобы они не провозгла-
шали коммутативный закон (например) как предложение?
Смею сказать: эти люди не обязательно придут к пониманию того,
что они делают математические открытияj — а не только физи-
ческие.
Вопрос: должны ли они делать математические открытия как от-
крытия? Что они потеряют, если не сделают таковых? Разве они
не могли бы использовать (например) доказательство коммута-
тивного закона, не понимая, что его финалом служит некое пред-
ложение, что оно, таким образом, имеет результат, так или иначе
сравнимый с их физическими предложениями?
17. Простое изображение
О
рассмотренное то как 4 ряда по 5 кружков, то как 5 колонок по
4 кружка, могло бы убедить кого-то в наличии коммутативного
закона. И в итоге он мог бы выполнять умножения то в одном, то
в другом направлении.
Взгляд на образец и фишки убеждают его, что он сможет выло-
жить с их помощью фигуру, то есть что он затем осуществит
такой расклад.
«Да, но лишь при условии, что фишки не изменятся». — Если они
не изменятся и если мы не совершим какой-то непонятной ошиб-
ки или же если фишки невзначай не исчезнут и не прибавятся.
«Но ведь существенно то, что фигуру действительно каждый раз
можно выложить из фишек! А что, если ее нельзя было бы выло-
жить?» — Вероятно, тогда мы полагали бы, что нам что-то меша-
ет. Но что же дальше? — Пожалуй, мы приняли бы все так, как
оно есть. И Фреге мог бы тогда сказать: «Здесь мы столкнулись с
новым типом безумия!»
18. Ясно, что математика как техника преобразования знаков с
целью предсказывания не имеет ничего общего с грамматикой.
19. Предполагается, что люди, чья математика представляет со-
бой лишь такую технику, должны также признавать доказательст-
126

III, 1942
ва, убеждающие их в заменимости одной знаковой техники дру-
гой. То есть они находят преобразования, ряды изображений, в
отношении которых могут решиться использовать вместо одной
техники другую.
20. Если вычисление кажется нам механическим действием, то
машиной выступает человек, выполняющий вычисление.
Вычисление было бы тогда как бы диаграммой, которая вычерчи-
вается той или иной частью машины.
21. И это подводит меня к тому, что изображение вполне может
убедить нас в том, что в случае приведения механизма в действие
определенная его часть будет двигаться так-то.
Такое изображение (или ряд изображений) воздействует как до-
казательство. Так, я мог бы, например, сконструировать то, как
будет двигаться в механизме точка X.
А разве не странно то, что с первого взгляда бывает неясно, как
изображение определенного периода при делении убеждает нас в
повторении ряда цифр?
(Мне трудно отделить внутреннее отношение от внешнего — и
изображение от предсказания.)
Двойственный характер математического предложения — как за-
кона и как правила.
22. Что, если бы вместо «интуиция» говорили «правильное отга-
дывание»? Это представило бы ценность интуиции в совершенно
ином свете. Ибо феномен отгадывания— это психологический
феномен, каковым не является феномен правильного отгадывания.
23. То, что мы обучены технике, обусловливает то, что теперь,
глядя на это изображение, мы изменяем его так и этак.
«Мы решаемся на новую языковую игру».
«„Мы, скажем так, спонтанно решаемся" на новую языковую
игру».
24. Да; — функционируй наша память иначе, мы, по-видимому,
не могли бы производить вычисления так, как делаем это. А мог-
127

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ли бы мы тогда давать определения так, как мы это делаем; гово-
рить и писать так, как мы это делаем?
Как же можно описывать основы нашего языка эмпирическими
предложениями?!
25. Предположим, что деление, если бы мы его полностью выпол-
нили, не приводило бы к тому же результату, что и воспроизведе-
ние его периода. Это могло бы происходить, например, оттого,
что мы, не осознавая этого, изменили бы наши счетные таблицы.
(Хотя к этому мог бы привести и иной способ воспроизведения.)
26. Какая разница между тем, чтобы невычислять и вычислять
неправильно? — Или: существует ли четкая граница между тем,
что время не измеряют, и тем, что его измеряют неверно? Между
незнанием об измерении времени вообще и знанием о неверном
измерении?
27. Обрати внимание на болтовню, с помощью которой мы убеж-
даем кого-то в истинности какого-либо математического предло-
жения. Она позволяет сделать выводы о функции этого убежде-
ния. Я имею в виду ту болтовню, которая пробуждает интуицию.
Тем самым запускается в действие машина счетной техники.
28. Можно ли сказать, что тот, кто обучается технике, убеждает-
ся в равенстве результатов?
29. Граница эмпирии — образование понятий.
Какой переход я делаю от «будет так» до «должно быть так»? Я
образую другое понятие. Такое, в которое включено то, чего пре-
жде не было. Утверждая: «Если эти производные равны, то долж-
но....» — я видоизменяю критерий равенства. То есть преобразую
мое понятие равенства.
Ну, а что, если в подобном случае кто-то заявляет: «Я осознаю не
два эти процесса, а только эмпирию, образование и преобразова-
ние понятия не осознается мною обособленно, все кажется мне
стоящим на службе эмпирии»?
Другими словами: по-видимому, мы не становимся то более, то
менее рациональными или же не меняем форм нашего мышления
настолько, чтобы в итоге изменялось то, что мы называем
«мышлением». Представляется, что мы всегда только приспосаб-
ливаем наше мышление к опыту.
Когда кто-то говорит: «Если следовать правилу, это должно быть
так», — то очевидно, что у него нет ясного представления об опы-
те, который соответствовал бы чему-то противоположному.
128

III, 1942
Или же так: у него нет ясного представления о том, как это выг-
лядело бы, если бы было иначе. И это очень важно.
30. Что вынуждает нас оформлять понятие равенства так, что
мы, например, говорим: «Если оба раза действительно сделать од-
но и то же, то и получиться должно то же самое»? — Что вынуж-
дает нас действовать по правилу, считать что-либо правилом? Что
вынуждает нас говорить с самими собой в формах выученного на-
ми языка?
Так ведь слово «вынуждены» выражает то, что нам не отделаться
от этого понятия. (Или следует сказать «склонны»?)
В самом деле, даже если я перешел от одной формы понятия к
другой, то на заднем плане все еще сохраняется старое понятие.
Нельзя ли сказать: «Доказательство подводит нас к определенному
решению, а именно к решению принять определенное образование
понятия»?
Рассматривай доказательство не как процесс, который тебя вы-
нуждает, а как процесс, который тебя ведет. — Притом он ве-
дет тебя к пониманию (определенного) положения вещей.
А как получается, что каждого из нас он ведет так, что мы все
согласованно испытываем его влияние? Ну, а как получается, что
мы все согласованно считаем*} Можно сказать: «Именно так мы
приучены, а достигаемая таким образом согласованность подкреп-
ляется доказательством».
В процессе этого доказательства мы сформировали точку зрения,
исключающую деление угла на три части с помощью линейки и
циркуля.
Признавая некое предложение само собой разумеющимся, мы тем
самым освобождаем его от всякой ответственности перед опытом.
В процессе доказательства наш взгляд меняется — однако то, что
связано с опытом, не наносит ему никакого ущерба.
Перестраивается наша точка зрения.
31. «Должно быть так» не означает «так будет». Напротив: «так
будет» выбирает из разных возможностей одну. «Должно быть
так» усматривает только одну возможность.
Доказательство вводит наш опыт, так сказать, в определенное
русло. Тот, кто снова и снова пытался проделать что-то, после до-
казательства отказывается от таких попыток.
Кто-то пытается сложить из фишек особое изображение. И, уви-
дев образец, где из всех этих фишек выложена часть этого изоб-
129

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ражения, отказывается от попытки. Доказательством того, что
его намерение невыполнимо, послужил образец.
Этот образец, так же как и тот, который показывает ему, что со-
ставить изображение из этих фишек можно, изменяет и его поня-
тие. Ибо он еще никогда, можно сказать, не рассматривал задачу
составления изображения из этих фишек таким образом.
Подразумевается ли тем самым: видя, что из этих фишек можно
выложить часть изображения, понимаешь и то, что из них никоим
образом нельзя выложить все изображение? Разве нельзя допус-
тить, что человек будет вновь и вновь предпринимать попытки в
надежде, что некое расположение фишек все-таки достигнет этой
цели? И разве исключено, что он достигнет своей цели? (Напри-
мер, путем двойного использования одной фишки?)
Не следует ли здесь различать мышление и практический успех
мышления?
32. «...Кто не понимает определенных истин непосредственно, как
мы, вынужден идти длинным путем индукции» — так говорит
Фреге. Меня же интересует именно непосредственное понимание,
будь то понимание чего-то истинного или же чего-то ложного. Я
спрашиваю: что характеризует поведение людей, которые «непос-
редственно понимают» что-то, — что всегда служит практическим
успехом этого понимания?
Меня интересует не непосредственное понимание определенной
истины, а феномен непосредственного понимания. Притом, инте-
ресует не как особое душевное явление; его проявление в де-
йствии человека — вот что меня занимает.
33. В самом деле, представляется, что образование понятия как
бы вводит наш опыт в определенные рамки, так что теперь мы
по-новому видим сочетание одного опыта с другим. (Так же как
некий оптический прибор позволяет особым образом соединить
свет из разных источников в одной картине.)
Представь себе, что доказательство было бы литературным произ-
ведением, скажем пьесой. Разве просмотр такой пьесы не мог бы
подводить к чему-либо?
Я бы не знал, что произойдет, — но, увидев некую картину,
убеждался, что события развернутся так, как изображается.
Картина помогла мне сделать предсказание. Не в качестве экспе-
римента, она была лишь акушером предсказания.
Ведь каков бы ни был мой опыт в настоящем или прошлом, я все
130

III, 1942
же должен делать предсказание. (Опыт не сделает его за меня.)
Втаком случае не столь уж удивительно, что доказательство помо-
гает нам предсказывать. Без этой картины я бы не мог сказать,
что произойдет; видя же картину, я схватываю ее как ориентир
для предсказания.
С помощью картины, показывающей вещества в пробирке и реак-
цию, я не могу предсказать, какой цвет будет иметь химическое
соединение. Если бы изображение показывало вспенивание, а в
конце красные кристаллы, то я мог бы сказать: «Да, так и долж-
но быть» или «Нет, так не может быть». Но дело обстоит иначе,
если я вижу картину механизма в движении; эта картина может
сообщить мне, как действительно будет двигаться одна из частей.
Однако если бы изображение представляло механизм, части кото-
рого состояли бы из очень мягкого материала (например, теста) и
поэтому изгибались бы на картине различным образом, то эта
картина, вероятно, опять-таки не смогла бы мне помочь сделать
предсказание.
Можно ли сказать: понятие формируется таким образом, что оно
прилажено к какому-то определенному предсказанию, то есть по-
зволяет сделать его в наиболее простых терминах — ?
34. Философская проблема такова: как возможно говорить исти-
ну, усмиряя при этом столь сильные предрассудки?
Не все равно: считаю ли я что-либо обманом моих чувств или
внешним событием, беру ли я этот предмет в качестве меры или
наоборот, решаю ли я сделать важнейшими два критерия или
только один.
35. Если вычисление выполнено правильно, результат должен
быть таким. Ну, а должно ли так получаться всегда? Конечно.
Обученные той или иной технике, мы приучены и к соответствую-
щему способу рассмотрения, сидящему в нас так же прочно, как
и такая техника.
В математическом предложении речь не идет, по-видимому, ни о
знаках, ни о людях, и потому оно не повествует ни о тех, ни о
других.
Оно показывает те связи, которые мы считаем жесткими. Но в
известной мере мы отворачиваемся от этих связей и смотрим на
что-то другое. Мы как бы поворачиваемся к ним спиной. Или же:
мы опираемся на них или основываемся на них.
Повторяю еще раз: мы рассматриваем математическое предложе-
131

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ние не как предложение, повествующее о знаках, а отсюда оно
таковым и не является.
Мы признаем его тем, что поворачиваемся к нему спиной.
Как обстоит дело, например, с основными законами механики?
Тот, кто их понимает, должен знать, на какой опыт они опирают-
ся. Иначе обстоит дело с предложениями чистой математики.
36. Предложение может описывать картину, а эта картина может
быть разнообразно закреплена в нашем способе рассмотрения ве-
щей, а стало быть, в нашем образе жизни и действия.
Не является ли доказательство слишком легковесным основанием
для того, чтобы вовсе отказаться от поиска той или иной кон-
струкции трисекции? Ты всего один или два раза прошел ряд зна-
ков и на этом основании хочешь принять решение? Только пото-
му, что увидел одно это преобразование, ты хочешь отказаться от
поиска?
Эффект доказательства состоит, я полагаю, в том, что человек
попадает во власть новых правил.
До сих пор он производил вычисления по такому-то правилу; и
вот кто-то показывает ему доказательство того, что можно вычис-
лять и иначе, и он переключается (на новую технику) — не пото-
му, что говорит себе: так тоже получится, а потому, что воспри-
нимает новую технику как идентичную старой, потому что он дол-
жен наделить ее таким же смыслом, потому что признает ее такой
же — так же как признает зеленым этот цвет.
Это значит: понимание математических отношений играет почти
такую же роль, что и понимание тождества. Можно даже ска-
зать, что это более сложный тип тождества.
Можно сказать: причины, по которым он переключается на дру-
гую технику, того же типа, что и причины, которые заставляют
его выполнять новое умножение так, как он его выполняет; приз-
навать технику равноценной той, какую он применял в других
умножениях.
37. Человек будет узником в комнате, если дверь не заперта, но
открывается внутрь, а ему не приходит в голову потянуть ее на
себя вместо того, чтобы толкать.
38. Стань белое черным, кое-кто из людей скажет: «В сущности,
это все еще то же самое». Другие же, потемней цвет на один тон,
заявят: «Он совершенно изменился».
39. Предложения «а =■ а», <<р ζ> ρ», «Слово „Бисмарк" состоит из
132

III, 1942
7 букв», «Не существует красновато-зеленого цвета» равно убеди-
тельны и являются предложениями о сущности; что у них обще-
го? Они очевидны каждое на свой манер и по-разному употребля-
ются. Предпоследнее наиболее схоже с эмпирическим предложе-
нием. И понятно, что его можно назвать синтетическим предло-
жением а priori.
Можно сказать: не сопоставив ряд чисел с рядом букв, не узна-
ешь, сколько букв в слове.
40. Фигура, выведенная из другой по некоему правилу (напри-
мер, поворот темы).
Затем результат становится эквивалентом операции.
41. Когда я писал «доказательство должно быть обозримым», это
означало: причинность не играет в доказательстве никакой роли.
Или же: доказательство должно поддаваться репродуцированию
путем простого копирования.
42. Можно, вероятно, сказать, что синтетический характер мате-
матических предложений наиболее явно проявляется в непредска-
зуемом появлении простых чисел.
Но, будучи синтетическими (в этом смысле), они тем не менее
априорны. Я хочу сказать: можно утверждать, что такие предло-
жения нельзя получить из соответствующих понятий путем неко-
торого рода анализа, но что они, наоборот, устанавливают с по-
мощью синтеза то или иное понятие, подобно тому, как пропуска-
ние [излучения] сквозь призмы позволяет определить некое тело.
Распределение простых чисел было бы идеальным примером того,
что можно назвать синтетическим а priori, ибо можно сказать, что
с помощью анализа понятия простого числа его, во всяком слу-
чае, не найдешь.
43. То, что при продолжении деления 1:3 снова и снова должно
получаться 3, столь же мало познается интуицией, как и то, что
умножение 25 χ 25, если его повторять, снова и снова даст тот
же результат.
44. Разве нельзя серьезно говорить об интуиции в математике?
Пусть даже то, что постигается интуитивно, было бы не матема-
тической, а физической или психологической истиной. Так, я с
большой достоверностью знаю, что, умножив 25 χ 25, каждый
раз буду получать 625. Это значит, что я знаю психологический
факт: это вычисление снова и снова будет казаться мне правиль-
ным; как знаю и то, что если десять раз подряд по памяти запишу
133

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ряд чисел от 1 до 20, то при сверке записи окажутся одинаковы-
ми. — Является ли это фактом опыта? Конечно. И все же было
бы трудно указать эксперименты, которые убедили бы меня в
нем. Нечто такое можно назвать интуитивно познаваемым фак-
том опыта.
45. Ты хочешь сказать, что каждое новое доказательство тем или
иным образом изменяет понятие доказательства?
Но по какому принципу что-то признается в качестве нового до-
казательства? Или же здесь, скорей всего, вообще не существует
никакого «принципа».
46. Ну, а должен ли я сказать: «Мы убеждены в том, что снова и
снова будет получаться тот же самый результат»? Нет, этого недо-
статочно. Мы убеждены, что всегда, будет получаться, вычислять-
ся то же самое вычисление. А является ли это математическим
убеждением? Нет — ведь, если бы не всегда вычислялось то же
самое, отсюда не следовало бы, что вычисление дает то один ре-
зультат, то другой.
Мы, конечно же, убеждены также в том, что при повторном вы-
числении мы повторим образ вычисления. —
47. Разве нельзя сказать: при умножении в любом случае получа-
ют не математический факт, а математическое предложение?
Ведь то, что получают, не является математическим фактом, а
стало быть это, — математическое предложение. Ведь математи-
ческое предложение — это определение понятия, вытекающего из
открытия.
Ты получаешь новую фигуру. Теперь ты можешь, например, за-
помнить или скопировать ее.
Получена, сконструирована новая форма. Используют же ее для
того, чтобы дать вместе со старым новое понятие.
Понятие изменяют так, чтобы это должно было получиться.
134

111,1942
Я открываю не результат, а тот путь, каким он достигается.
Причем эмпирическим фактом является не то, что этот путь где-
то начинается и где-то кончается, а то, что этим или каким-то
другим путем я дошел до этого результата.
48. А разве нельзя сказать, что правила ведут по этому пути, да-
же если никто по нему не идет?
Так как именно это и хочется сказать, то перед нами здесь мате-
матическая машина, движимая самими правилами, послушная
только математическим, а не физическим законам.
Я хочу сказать: функционирование математической машины —
лишь картина действия машины.
Определенное правило не работает, ибо то, что всегда происходит
по данному правилу, есть некое истолкование этого правила.
49. Предположим, что на рисунке изображены стадии движения.
Это помогает мне сформулировать предложение, которое я как бы
считываю с этого изображения. Предложение содержит слово
«приблизительно» и представляет собой предложение геометрии.
Странно, что я должен уметь считывать предложение с изображе-
ния.
В предложении же не идет речь об изображении, которое я вижу.
В нем не говорится, что на этом изображении можно видеть то-
то. Но в нем не говорится и о том, что будет происходить с реаль-
ным механизмом, хотя это и подразумевается.
А можнобыло бы изобразить движение механизма и иначе, при-
том, что части механизма не изменяются. То есть не вынужден
ли я при этих условиях принять в качестве изображения движе-
ния именно это?
Представим себе чертеж фаз работы механизма, выполненный
штрихами разного цвета. Пусть штрихи будут частично черные на
белом фоне, частично белые на черном фоне. Представь себе чер-
тежи, выполненные таким образом в Евклидовой системе; они по-
теряют весь свой вид.
135

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
50. Перевернутое слово имеет новое обличье.
Что, если говорят: перевернув последовательность 12 3, узнаешь,
что, перевернутая, она даст 3 2 1? Притом узнаешь не свойство
этих чернильных штрихов, а последовательность форм. Узнаешь-
формальноесвойствоформ. Предложение, выражающее это фор-
мальное свойство, доказывается опытом, демонстрирующим воз-
никновение одной формы из другой именно таким образом.
Ну, а получает ли при этом тот, кто это узнает, два впечатления?
Одно от того, что последовательность переворачивается, другое
от того, что получается 3 2 1? А разве у него не могло бы быть
впечатление, что 12 3 переворачивается, и все же отсутствовать
впечатление, что получается 3 2 1? Пожалуй, скажут: «Такое воз-
можно лишь в силу странной иллюзии». —
В самом деле, нельзя сказать, что это формальное предложение
мы узнаем из опыта, — потому что таким опытом его называют
лишь в том случае, когда этот процесс приводит к этому результа-
ту. Опыт, который имеется в виду, уже состоит из этого процесса
с этим результатом.
Поэтому он больше чем опыт: это — ведение некоего образца.
Может ли ряд букв быть дважды перевернутым?
Например, один раз, акустически, другой — оптически. Предпо-
ложим, я объясняю кому-нибудь, что значит переворачивание сло-
ва на бумаге, что носит такое название. И тут выясняется, что он
имеет в виду акустическое переворачивание, то есть что-то, что он
хотел бы так назвать и что, однако, не совсем совпадает с перево-
рачиванием написанного. Так что можно сказать: он слышит это
как слово-перевертыш. Как если бы при переворачивании слово
искажалось. А это могло бы получаться, скажем, тогда, когда бы
слово и его перевертыш выговаривались бегло, в противополож-
ность тому случаю, когда их выговаривают по буквам. Или же
перевертыш мог бы казаться другим в том случае, если бы слово
прочитывалось слева направо и справа налево за один прием.
Вполне возможно, что точное, зеркальное отображение некоего
профиля, увиденное сразу же после него самого, мы никогда бы
не сочли тем же самым профилем, только перевернутым в другую
сторону; для того же, чтобы он производил впечатление точного
обратного изображения, надо было бы несколько изменить про-
филь в размерах.
Я ведь хочу сказать, что неправомерно говорить: хотя и можно
сомневаться, например, в том, что какое-то длинное слово пере-
136

III, 1942
вернуто верно, но мы знаем, что у слова имеется только один пе-
ревертыш.
«Да, если это должен быть обратный порядок в этом смысле, то
он может быть только один». Означает ли здесь <<в этом смысле»:
по этим правилам, или: с этим обличьем? В первом случае пред-
ложение было бы тавтологично, во втором ему не обязательно
быть истинным.
51. Представь себе машину, которая «сконструирована так», что
переворачивает ряд букв. И представь себе, что мы имеем предло-
жение, утверждающее, что в случае
но
результатом будет он.—
Правило, каким оно на самом деле предполагалось, представляет-
ся некой движущей силой, которая переворачивает идеальный ряд
τηακιΐΛί образом, — что человек всегда может сделать с реальным
рядом.
Стало быть, это механизм, являющийся мерилом, идеалом реаль-
ного масштаба.
И это понятно. Ведь если результат переворачивания становится
критерием того, что ряд действительно был перевернут, и если мы
выражаем это, как бы имитируя идеальную машину, то эта маши-
на должна безошибочно порождать этот результат.
52. А нельзя ли в таком случае сказать, что понятия, создаваемые
математикой, просто удобны, что, в сущности, все шло бы своим
чередом и без них?
Прежде всего, признание этих понятий выражает уверенное ожи-
дание определенного опыта.
Например, мы не признаем, что умножение не каждый раз дает
тот же результат.
А то, чего мы с уверенностью ожидаем, существенно для всей на-
шей жизни.
53. Почему же в таком случае не заявить, что математические
предложения выражают именно такие определенные ожидания, а
стало быть, и опыт? Только потому, что как раз этого они не де-
лают. Принятие того или иного понятия есть признание некой ме-
ры, которую я, вероятно, не постиг бы, не ожидай я столь опре-
деленно появления соответствующих фактов; вот почему установ-
ление этой меры не эквивалентно высказыванию ожиданий.
54. Трудно поместить реальное тело в верную плоскость: рассмат-
137

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ривать данность как данное. Трудно разместить тело иначе, не
так, как мы привыкли его видеть. Стол в чулане вполне может
лежать на столешнице, например из соображений экономии мес-
та. Вот так и я всякий раз видел, что данное реальное тело по
разным соображениям располагалось так; и вот я должен считать
нечто другое его началом и нечто другое его концом. Это трудно.
Оно как бы не желае^г так стоять, пусть даже его поддерживают в
этом положении другие сооружения.
55. Одно дело— употреблять математическую технику, рассчи-
танную на то, чтобы избегать противоречия, и совсем другое —
философствовать, выступая против противоречия в математике.
56. Противоречие. Почему именно оно является неким призра-
ком? Это ведь очень подозрительно.
Почему вычисление, созданное для практической цели и привед-
шее к противоречию, не должно просто говорить мне: «Действуй
по своему усмотрению, я, вычисление, здесь ничего не решаю».
Противоречие можно понимать как знак богов, говорящий мне,
что надо действовать, а не размышлять.
57. «Почему в математике противоречие не должно иметь прайа
на существование?» — А почему оно не имеет права на существо-
вание в наших простых языковых играх? (Ведь тут наверняка
есть взаимосвязь.) Является ли это основным законом, управляю-
щим всеми мыслимыми языковыми играми?
Предположим, что противоречие, например, в приказе вызывает
удивление и нерешительность, — и вот мы говорим: в этом и со-
стоит цель противоречия в данной языковой игре.
58. Некто приходит к людям и говорит: «Я всегда лгу». Они отве-
чают: «Что же, тогда мы можем тебе доверять!» — Но мог ли он
иметь в виду то, что сказал? Разве не создается впечатления, что
он неспособен сказать что-либо действительно истинное, что бы
это ни было?
«Я всегда лгу!» — Так что же делать с этим предложением? —
«Это тоже была ложь». — Но тогда ты, значит, лжешь не всег-
да! — «Нет, все ложь!»
Мы, вероятно, сказали бы, что под словами «правда» и «ложь»
этот человек имеет в виду нечто иное, чем мы. Возможно, он име-
ет в виду примерно следующее: то, что он говорит, слишком зыб-
ко, или же что ничего не идет действительно от сердца.
Можно также сказать: его «я всегда лгу» не было, собственно го-
138

III, 1942
воря, утверждением. Это было, скорее, восклицанием.
Выходит, можно утверждать: «Если он высказал это предложение
не бездумно, то он должен толковать эти слова как-то иначе, он
не мог толковать их обычным образом, не так ли?»
59. Почему бы не трактовать РАССЕловское противоречие как нечто
сверхпропозициональное, нечто, возвышающееся над предложени-
ями и одновременно смотрящее, как голова Януса, в обе стороны!
NB. Предложение F(F) — в котором ¥(ξ) = ~ξ(ξ) — не содер-
жит переменных и потому могло бы считаться чем-то сверхлоги-
ческим, чем-то несомненным, отрицание чего лишь вновь ут-
верждало бы его же. В самом деле, разве нельзя было бы даже
начать логику с этого противоречия? И от него как бы спуститься
к предложениям.
Противоречащее само себе предложение стояло бы, подобно па-
мятнику (с головой Януса), над предложениями логики.
60. Не страшно: если противоречие возникает в той области, где
ни последовательное, ни противоречивое предложения не выпол-
няют никакой работы; опасно другое: не знать, как добраться ту-
да, где противоречие уже ничему не вредит. «Если мое понимание
исчисления должно в какой-то момент измениться, если благодаря
окружению, которого я сейчас не вижу, должен измениться его
аспект — тогда продолжим разговор об этом».
139

IV
1942-1943
1. Ясно, конечно, что математик, поскольку он действительно «иг-
рает в игру», не делает выводов. Ибо «играть» должно означать
здесь: действовать в соответствии с определенными правилами.
И даже если бы он сделал вывод, что, согласно общему правилу,
он может действовать здесь таким образом, это уже былобы выхо-
домза пределы простой игры.
2. Вычисляет ли счетная машина?
Представь себе, что вычислительная машина появилась случайно; и
Bot кто-то случайно нажимает на ее кнопки (или же какое-то жи-
вотное пробегает по ним), и она вычисляет результат 25x20. —
Я хочу сказать: для математики существенно, чтобы ее знаки при-
менялись и в гражданской жизни.
Именно употребление вне области математики, то есть значение
знаков [их отнесенность к объектам], делает знаковую игру мате-
матикой.
Ведь мы же не будем считать логическим выводом преобразование
одной структуры (скажем, расположения стульев) в другую, если
такие упорядочения не имеют языкового употребления вне этой
трансформации.
3. А разве не мог бы кто-то, не имеющий никакого понятия о
значении расселовских знаков, повторно просчитать за Расселом
его доказательства? То есть в каком-то существенном смысле про-
верить, истинны они или ложны?
Можно было бы так отладить человеческую вычислительную ма-
шину, показав ей правила вывода и продемонстрировав их дей-
ствие на примерах, чтобы она считывала доказательства матема-
тической системы (например, РАССЕловские) и после каждого пра-
вильно сделанного вывода кивала головой, а в случае ошибки ка-
чала головой и прекращала вычисления. Во всем же остальном
140

III, 1942
это существо можно было бы себе представить полным идиотом.
Доказательством мы называем то, что может быть повторно прос-
читано, равно как и скопировано.
4. Если математика — это игра, то играть в такую игру — значит
заниматься математикой, а почему бы тогда не быть математикой
и танцу?
Представь себе, что вычислительные машины встречаются в при-
роде, но их корпуса непроницаемы для людей. И тогда люди ис-
пользовали бы эти устройства примерно так же, как мы — вы-
числение, хотя о таковом они совершенно ничего не знают. Так, с
помощью вычислительных машин они бы клали предсказания, но
их обращение с этими странными предметами носило бы характер
экспериментирования.
У этих людей отсутствовали бы понятия, имеющиеся у нас; но что
бы их заменяло? —
Вспомни механизм, движение которого мы рассматривали как ге-
ометрическое (кинематическое) доказательство: очевидно, что в
нормальной ситуации никто не скажет о человеке, вращающем
колесо, что он что-то доказывает. Разве не так же обстоит дело с
тем, кто ради игры выстраивает знаки в ряд и изменяет эти ряды;
даже если то, что он получает, и можно рассматривать как дока-
зательство?
Утверждение, что математика — игра, должно означать: в ходе
доказательства никогда не следует апеллировать к значению зна-
ков, то есть к их внематематическому применению. Но что значит
вообще: апеллировать к нему? Как возможно, чтобы такая апел-
ляция была плодотворной?
Означает ли это — выйти за пределы математики и вновь вер-
нуться к ней или же это означает — перейти от одного способа
математического вывода к другому?
Что значит — приобрести новое понятие о поверхности шара? В
какой степени это будет тогда понятием о поверхности шара!
Лишь в той степени, в какой это понятие применимо к реальным
шарам.
Насколько необходимо иметь понятие о «предложении», чтобы
представлять себе РАССЕловскую математическую логику?
5. Если предполагаемое применение математики существенно, то
как тогда обстоит дело с теми разделами математики, применение
которых — или же то, что математики считают применением, —
141

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
совершенно ирреально? В таких случаях — мы это видим в тео-
рии множеств — занимаются какой-либо областью математики,
имея совершенно ложное понятие о ее применении. Но разве тем
не менее при этом занимаются не математикой?
Если бы арифметические операции служили исключительно для
конструирования шифра, то их применение было бы, конечно,
принципиально отлично от нашего. Но можно ли было бы тогда
вообще назвать эти операции математическими?
Можно ли сказать о том, кто применяет правило дешифровки,
что он совершает математические операции? И все же его преоб-
разования можно толковать и так. Ибо он ведь мог бы сказать,
что рассчитывает результат, получаемый при дешифровке знака...
в соответствии с тем или иным ключом. А предложение: знаки...
дешифрованные в соответствии с этим правилом, дают... — явля-
ется математическим. Так же как и предложение о том, что в
шахматах от этой позиции можно прийти к той.
Представь себе, что геометрией четырехмерного пространства за-
нимаются с целью познакомиться с условиями жизни духов. Разве
из-за этого она перестает быть математикой? И можно ли тогда
утверждать, что она определяет понятия?
Разве не странно звучало бы утверждение, что какой-то ребенок
уже способен выполнять тысячи операций умножения, — а это
должно подразумевать, что ему уже доступны вычисления в неог-
раниченной числовой области. Хотя это можно было бы считать
еще весьма скромным способом выражения, так как вместо «бес-
конечно много» говорилось бы только о «многих тысячах».
Можно ли представитьсебе людей, которые в обычной жизни про-
изводили бы вычисления лишь в пределах 1000, а все, что сверх
того, сохраняли для математических исследований мира духов?
«Верно это или нет для реальной поверхности шара — для мате-
матической поверхности шара это верно» — тем самым создается
впечатление, будто особое отличие математического предложения
от эмпирического состоит в том, что истина этого последнего
приблизительна и шатка, математическое же предложение описы-
вает свой объект точно и, безусловно, истинно. Как если бы «ма-
тематический шар» как раз и был шаром. И тогда можно было
бы, скажем, спросить себя, существует ли только один такой шар
или же несколько (ФРЕГЕвская постановка вопроса).
Причиняет ли вред вычислению как разделу математики непра-
вильное понимание возможностей его применения?
142

III, 1942
А помимо неверного понимания, как обстоит дело просто с неяс-
ностью?
Допустим, некто полагает, что математики открыли странный
предмет V-1, который, будучи возведен в квадрат, дает -1. Разве
он не мог бы достаточно четко производить вычисления с ком-
плексными числами и применять такие вычисления в физике? И
становятся ли они из-за этого в меньшей степени вычислениями?
В одном отношении его понимание, конечно, хромает; но он, не-
сомненно, сделает свои выводы с полной уверенностью, и его ис-
числение будет прочно стоять на ногах.
Ну, а разве не смешно было бы утверждать, что этот человек за-
нимается не математикой?
Когда кто-то расширяет границы математики, предлагает новые
определения и находит новые теоремы, то в известном
смысле можно сказать, что он не ведает, что творит. — У него
есть смутное представление о том, что он что-то открыл, как бы
некое пространство (при этом он думает о некоем помещении),
освоил какую-то новую область, а если его спросить об этом, он
наговорит много ерунды.
Представим себе простейший случай, что кто-то выполнил неви-
данные умножения, чтобы, как он говорит, завоевать тем самым
новые огромные области мира чисел.
Представь себе, будто система вычислений с V-I изобретена чуда-
ком, которого привлекла просто парадоксальность идеи и он зани-
мается вычислением как своего рода богослужением или храмовой
службой абсурда. Он воображает, что фиксирует невозможное и
оперирует им.
Иными словами: тот, кто верит в математические объекты и их
странные свойства, — разве не может он все-таки заниматься ма-
тематикой? Или же: разве он не занимается и математикой?
«Идеальный объект». Высказывание «Знак а обозначает идеаль-
ный объект» должно, очевидно, говорить что-то о значении, то
есть об употреблении а. А это, конечно, означает, что такое упот-
ребление в известном отношении сходно с употреблением знака,
имеющего свой предмет, но что оно не соответствует никакому
предмету. Однако интересно, что извлекается из этого факта для
выражения «идеальный объект».
6. При известных условиях можно говорить о бесконечном ряде
шаров. — Представим себе такой прямой бесконечный ряд шаров
143

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
с равными промежутками и рассчитаем силу, с которой все эти
шары по закону притяжения действуют на определенное тело.
Число, получаемое вычислением, мы будем рассматривать как
идеал точности для известных измерений.
Ощущение странности проистекает здесь от неправильного по-
нимания. От того типа неверного понимания, который порожден
ловушками рассудка — икоторому я хочу положить конец.
Возражение, что «конечное не может постичь бесконечное», по
сути, направлено против идеи психологического акта постижения
или понимания.
Или представь себе, что мы просто говорим: «Эта сила соответ-
ствует притяжению бесконечного ряда шаров, размещенных опре-
деленным образом и действующих на тело согласно этому закону
притяжения». Или же: «Рассчитай силу, с которой бесконечный
ряд шаров с определенными свойствами действует как некое те-
ло!» — Этот приказ все же имеет определенный смысл. В нем
описано особого рода вычисление.
А как быть с такой задачей: «Рассчитай вес колонны, состоящей
из стольких положенных одна на другую плит, сколько имеется
кардинальных чисел; самая нижняя плита весит 1 кг, каждая по-
следующая — половину предыдущей»?
Трудность заключена не в нашей неспособности составить некое
представление. Довольно легко представить себе, например, бес-
конечный ряд. Вопрос в том, что дает нам это представление.
Представь себе, что бесконечные числа использованы в сказке.
Гномы сложили башню из стольких кусков золота, сколько су-
ществует кардинальных чисел, — и т. д. То, что может произойти
в этой сказке, должно же иметь смысл. —
7. Представь себе, что теория множеств изобретена неким сатири-
ком как своеобразная пародия на математику. — Затем в ней уг-
лядели бы разумный смысл и включили ее в математику. (Ведь,
если кто-то один может считать ее раем для математиков, почему
бы кому-то другому не признать ее шуткой?)
Вопрос в следующем: разве не очевидно, что она и в качестве
шугки является математикой? —
А почему очевидно, что она является математикой? — Не потому
ли, что это знаковая игра по правилам?
Но разве возможно иметь некое понятие и не обладать ясным
представлением о его применении?
144

III, 1942
8. Возьми построение многоугольника сил: разве это не элемент
прикладной математики? А где же предложение чистой матема-
тики, которое привлекают на помощь при этом графическом рас-
чете? Разве это не такой же случай, как с тем племенем, которое
для известных предсказаний использует вычислительную технику,
но не предложения чистой математики?
Вычисление, которое служит для проведения некой церемонии.
Например, в соответствии с определенной техникой из возраста
отца и матери и числа их детей выводится число слов для некой
формы благословения их семейного очага. Описание процедуры
вычисления можно было бы представить себе в виде некоего подо-
бия Моисеева закона. И разве нельзя было бы представить себе,
что народ, обладающий этими церемониальными вычислительны-
ми предписаниями, в практической жизни никогда не вычисляет?
Это было бы все-таки прикладным вычислением, но оно не слу-
жило бы целям предсказания. ч
А что удивительного было бы в том, если бы технические приемы
вычислений имели некое семейство применений?
9. Сколь странен вопрос: появится ли при бесконечном десятич-
ном разложении числа π сочетание φ (некая особая последова-
тельность цифр, скажем „770")? — Понятно лишь при попытке
рассуждать совершенно заземленно: люди приучены при вычисле-
нии располагать знаки по известным правилам. И тут они дей-
ствуют в согласии с тем, к чему приучены, а мы говорим, что
проблематично, запишут ли они когда-нибудь, следуя заданному
правилу, сочетание φ.
А о чем говорят, утверждая, что здесь ясно одно: в ходе бесконеч-
ного разложения мы либо придем, либо не придем к φ?
Мне кажется, что тот, кто это говорит, сам уже устанавливает не-
кое правило или же постулат.
Что, если бы на какой-то вопрос отвечали: «На этот вопрос пока
еще нет ответа»?
Так мог бы ответить, скажем, писатель, если бы спросили, есть
ли у героя его романа сестра или нет, а он бы еще не решил этот
вопрос сам для себя.
Вопрос — хочу я сказать — изменяет свой статус, если становит-
ся решаемым. Ибо тогда устанавливается взаимосвязь, которой
прежде не было.
О человеке, обученном чему-то, можно спросить: «Как он будет
145

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
толковать правило применительно к этому случаю?» —- или же:
«Как должен он толковать правило применительно к этому слу-
чаю?» А что, если на этот счет не принято никакого решения? —
Что ж, тогда ответом не служило бы: «Толкование должно быть
таким, чтобы при разложении появилось φ» или: «Толкование
должно быть таково, чтобы φ не появилось», но ответом было бы:
«С этим еще не решено».
Как странно звучит утверждение, что дальнейшее разложение неко-
его иррационального числа есть дальнейшее развитие математики.
Математика осуществляется в понятиях. — Ив определенных по-
нятиях в большей мере, чем в других.
Я хочу сказать: кажется, будто основа для решения уже имеет-
ся; между тем ее еще надо изобрести.
Не сводится ли дело к следующему: обращаясь мыслью к усвоен-
ной нами технике разложения, мы используем ложный образ за-
вершенного разложения (того, что обычно называют «рядом»), и
это вынуждает нас ставить не имеющие ответа вопросы?
Ведь любой вопрос о разложении V2 должен быть сводим в конечном
счете к практическому вопросу, касающемуся техники разложения.
И здесь речь идет, конечно, не только о случае разложения како-
го-то действительного числа или же вообще о получении матема-
тических знаков, но о любом аналогичном процессе, будь то игра,
танец и т. д. и т. д.
10. Если кто-то вдалбливает нам в голову закон исключенного
третьего, толкуя о его непреложности, — то ясно, что с предме-
том его обсуждения что-то не в порядке.
Если кто-то выдвигает закон исключенного третьего, то он как бы
предлагает нам на выбор две картины, говоря, что одна из них
должна соответствовать факту. А что, если сомнительна сама при-
менимость здесь этих картин?
Заявляя, что бесконечное разложение π должно либо содержать,
либо не содержать сочетание φ, нам предлагают как бы картину
уходящего вдаль необозримого ряда.
А что, если изображение на большом удалении начинает терять
четкость контуров?
11. Говорить о бесконечном ряде, что он не содержит определен-
ного сочетания, имеет смысл только в совершенно особых условиях.
Это значит: такое предложение обретает смысл лишь в известных
случаях.
146

III, 1942
Например, в таких, когда присутствие сочетания ... исключено
законом данного ряда.
Далее: продолжая вычислять десятичное разложение, я вывожу
новые законы, которым подчиняется данный ряд.
«Что ж, хорошо, в таком случае можно сказать: в законе данного
ряда либо должно быть заложено появление этого сочетания, либо
его исключение». Но так ли это? — <<А разве закон разложения не
полностью детерминирует ряд? А если он его детерминирует, не
допуская неопределенности, он должен имплицитно решать все
вопросы, касающиеся структуры ряда.» — Тогда ты здесь имеешь
в виду конечные ряды.
«Но ведь определены все члены ряда от I до 1000, до 1010 ит. д.,
а это значит, что все члены определены». Это верно, если исклю-
чено, что какой-то из последующих членов может оказаться не
определенным. Но ты же видишь, что это не позволяет тебе сде-
лать вывод о том, появится ли в ряду некое сочетание (если оно
еще не появилось). Таким образом, мы понимаем, что использу-
ем дезориентирующую нас картину.
Желая узнать о ряде больше, ты должен как бы переместиться в
другое измерение (как бы с линии на окружающую ее плос-
кость). — Так разве плоскость уже не присутствует здесь, так
же как и линия, и не требуется просто кое-что исследовать, если
хочешь знать, как это происходит?
Нет, математику этого более широкого диапазона надо еще изоб-
рести, как и любую математику.
В некой арифметике, где счет не идет дальше 5, вопрос о том,
сколько будет 4 + 3, еще не имеет смысла. Однако здесь вполне
может существовать проблема придания смысла этому вопросу.
Это значит: этот вопрос имеет так же мало смысла, как и поло-
жение об исключенном третьем применительно к этому вопросу.
12. Предполагается, будто в законе исключенного третьего уже
присутствует нечто достаточно прочное, во всяком случае, не под-
лежащее сомнению. Между тем в действительности эта тавтология
имеет столь же шаткий смысл (если позволительно так сказать),
что и вопрос о том, имеет ли место ρ или ~р.
Представь себе, что я бы спросил: что имеют в виду, когда говорят:
«При этом разложении... появляется сочетание...»? Мне бы отве-
тили: «Ты же знаешь, что это означает. Оно появляется подобно
тому, как при десятичном разложении действительно появляется со-
четание...» — Значит, оно появляется вот так? Но как именно?
147

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Представь себе, что тебе бы ответили: «Оно появляется либо так,
либо не так!»
«Но разве ты действительно не понимаешь, что имеется в ви-
ду?!» — А разве невозможно думать, будто понимаешь, а между
тем заблуждаться? —
Откуда я знаю тогда, что означает: сочетание... появляется при
разложении? Конечно же благодаря примерам, показывающим
мне, что получается, когда... Но эти примеры не показывают, как
получается, что при разложении появляется данное сочетание.
Разве нельзя сказать: если бы действительно было правомерно ут-
верждать, что эти примеры учат меня, как происходит, что в де-
сятичном разложении появляется данное сочетание, то они долж-
ны были бы показывать мне и то4 что означает противоположное
утверждение?
13. Общее предложение о том, что данное сочетание не появляет-
ся при разложении, может быть только требованием.
А что, если рассматривать математические предложения как тре-
бования и как таковые их высказывать? «Пусть 252 даст 625».
Да, требование тоже имеет внутренее и внешнее отрицание.
Символы (χ) · φχ и (Зх) · φχ, вероятно, полезны в математике,
если известна и остальная техника доказательства существования
или не-существования, которую здесь тянут за собой РАССЕловские
знаки. Если же оставить вопрос открытым, то эти понятия старой
логики оказываются в высшей степени дезориентирующими.
Допустим, некто заявляет: «Да ведь ты знаешь, что „данное соче-
тание появляется при разложении" означает именно это», — и
показывает какой-то случай его применения. — Я могу возразить
на это лишь репликой, что показанное им способно иллюстриро-
вать различные факты. Вот почему, зная, что он наверняка при-
бегнет в таком случае к данному предложению, обо мне — на
этом основании — нельзя сказать, что я знаю, что означает это
предложение.
Противоположностью утверждению «существует закон, что р>> не
является утверждение «существует закон, что~р». Выражая первое
через Р, а второе через ~Р, оказываешься в трудном положении.
14. Предположим, детей учили бы, что Земля представляет собой
бесконечную плоскость; или же что Бог создал бесконечный ряд
звезд; или что звезда равномерно и беспрерывно летит по прямой
линии все дальше и дальше.
148

III, 1942
Странно вот что: если воспринимать нечто подобное как само со-
бой разумеющееся, совершенно спокойно, то оно утрачивает вся-
кую парадоксальность. Как если бы кто-то сказал мне: успокойся,
этот ряд или движение продолжается беспрерывно. Нас как бы
избавили от усилия думать о конце.
«Мы не будем принимать во внимание конец». (We won't bother
about an end.)
Можно было бы также сказать: «Для нас ряд бесконечен».
«Мы не станем беспокоиться о конце этого ряда; для нас он всег-
да будет необозримым».
15. Невозможно сосчитать рациональные числа, потому что они
не поддаются счету, но можно считать с помощью рациональных
чисел — так же как и с помощью кардинальных чисел. Такой лу-
кавый способ выражения входит в целую систему уловок, прибе-
гая к коим мы с помощью нового аппарата столь же уверенно
действуем с бесконечными множествами, сколь до сих пор опери-
ровали конечными.
Нельзя назвать это «исчисляемостью», но вполне имеет смысл го-
ворить о «нумеруемости». А это выражение позволяет уяснить и
применение понятия. В самом деле, хотя тщетны попытки сосчи-
тать рациональные числа, но стремиться их пронумеровать вполне
возможно.
16. Здесь напрашивается сравнение с алхимией. Можно говорить
о своего рода алхимии в математике.
Характеризует ли эту математическую алхимию уже то, что мате-
матические предложения рассматриваются как высказывания о
математических объектах — то есть что математика выступает
как исследование этих объектов?
В известном смысле в математике нельзя апеллировать к значе-
нию знаков потому, что именно математика и задает им значение.
Что типично для явления, о котором идет речь, так это то, что
загадочность какого-нибудь математического понятия не истол-
ковывается сразу же как некое ошибочное понимание, как лож-
ное понятие; она толкуется как что-то такое, чем, во всяком слу-
чае, не следует пренебрегать, с чем, пожалуй, скорее даже следует
считаться.
Все, что я могу сделать, — это указать легкий выход из этой не-
ясности и мерцания понятий.
Странным образом можно утверждать, что во всех этих мерцаю-
149

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
щих понятийных образованиях есть, так сказать, прочное ядро. И
я бы сказал, что оно-то и делает их математическими творениями.
Можно сказать: то, что ты видишь, больше похоже, конечно, на
какое-то мерцающее воздушное сияние, но посмотри на него с
другой стороны, и ты увидишь плотное тело, которое только под
определенным углом зрения выглядит как мерцание без телесного
субстрата.
17. «Определенная конфигурация входит в ряд или же отсутствует
в ряду» — это означает: дело выглядит так или же оно не выгля-
дит так.
Откуда мы знаем, что значит противоположность предложения «φ
появляется в ряду» или же предложения «φ не появляется в ряду»?
Этот вопрос звучит бессмысленно, и все же он имеет какой-то смысл.
Притом вот какой: откуда я знаю, что понимаю предложение «φ
появляется в ряду»?
Верно, можно привести примеры употребления таких высказыва-
ний и противоположных. А они служат примерами того, что су-
ществует некое правило, предписывающее появление чего-то в опЛ
ределенном месте или ряде мест или же определяющее, что это
появление исключено.
Если слова «ты сделаешь это» означают: ты должен это сделать, а
«ты не сделаешь этого» — ты не имеешь права делать это, —то
фраза «ты сделаешь это или ты этого не сделаешь» не будет пред-
ложением об исключенном третьем.
Каждый чувствует себя неуютно при мысли, что некое предложе-
ние могло бы повествовать о том, что в бесконечном ряду что-то
не появляется, — и напротив, отнюдь не кажется странным, если
некое повеление гласит: в этом ряду, как бы долго его ни продол-
жать, это появиться не должно.
Откуда же берется это различие между «как бы далеко ты ни
шел, ты этого никогда не найдешь» — и «как бы далеко ты ни
шел, ты никогда не должен этого делать»?
Услышав приведенное предложение, можно спросить: «Как можно
знать что-то в этом роде?» — по отношению же к приказу такое
неуместно.
Высказывание кажется самодостаточным, приказ же — отнюдь нет.
Можно ли представить себе, чтобы все математические предложе-
ния выражались в повелительном наклонении? Например: «Пусть
10 х 10 будет 100!»
150

III, 1942
А тогда фраза: «Пусть будет так или же пусть так не будет» —
выражала бы не закон исключенного третьего, а правило. (Как я
уже говорил об этом выше.)
18. Но действительно ли это выход из трудностей? Ибо как тогда
обстояло бы дело со всеми другими математическими предложени-
ями, скажем 252 = 625; разве для них в пределах математики
не имел бы силы закон исключенного третьего?
Как используют положение об исключенном третьем?
«Существует либо правило, запрещающее это, либо правило, раз-
решающее это».
Предположим, что нет правила, запрещающего определенное со-
бытие, — почему же тогда должно быть правило, разрешающее его?
Имеет ли смысл говорить: «Хотя и не существует правила, запре-
щающего данное сочетание, оно действительно не появляется»? —
А если это не имеет смысла, то как может иметь смысл нечто
противоположное этому — то, что такое сочетание появляется?
Ну, когда я говорю, что оно появляется, передо мной витает кар-
тина ряда, от его начала до этой конфигурации, — если же я го-
ворю, что такое сочетание не появляется, то подобная картина
мне не нужна, и мой запас картин иссякает.
А что, если бы правило при употреблении незаметно отклонялось
в сторону? Я имею в виду, что можно было бы говорить о его
применении в различных пространствах.
Противоположностью высказыванию «это не должно появиться»
называют «это может появиться». Но для какого-то конечного
фрагмента ряда противоположностью «это не должно в нем появ-
ляться», по-видимому, будет «это должно в нем появиться».
В альтернативе «в бесконечном ряду φ появляется или не появля-
ется» странно то, что нужно представить себе по отдельности обе
эти возможности, что ищется представление для каждого вариан-
та и что одного представления обычно оказывается недостаточно
для отрицательного и положительного случаев.
19. Откуда я знаю, что общее предложение «Существует...» имеет
здесь смысл? Да из того, что оно может быть использовано для со-
общения о технике развертывания в той или иной языковой игре.
Одно сообщение гласит: «Это не должно появляться», — то есть:
если оно появляется, значит, ты неверно вычислил.
Другое же оповещает: «Это может появиться», то есть такого рода
запрета не существует. Еще одно: «Это должно появиться в такой-
151
7—1923

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
то области (всегда в этом месте в этих областях)». Противопо-
ложностью же этому, по-видимому, будет: <<В таком-то месте это
не должно появляться» — вместо «Это не должно там появляться».
А что, если существовало бы правило, разрешающее, например,
везде, где правило образования π дает 4, ставить вместо 4 любую
другую условную цифру?
Прими во внимание также правило, в определенных местах за-
прещающее некую цифру, а в других оставляющее возможность
выбора.
Разве не верно, что понятие о бесконечных десятичных дробях в
математических предложениях — это понятие не о рядах, а о не-
ограниченной технике разложения рядов?
Мы осваиваем бесконечную технику: то есть сначала нам что-то
проделывают, мы это повторяем; нам формулируют правила, и
мы упражняемся в следовании им; при этом, вероятно, употреб-
ляют и такое выражение, как «и т. д. до бесконечности», но под
этим не подразумевают какого-то гигантского протяжения.
Таковы факты. Ну, а что означает: «ср или появляется в данном
разложении, или же не появляется»?
20. Значит ли это, что нет такой проблемы: «Проявляется ли в
этом разложении конфигурация φ?» — Спрашивать об этом —
значит спрашивать о правиле появления φ. А альтернатива су-
ществованию или несуществованию такого правила — это, во
всяком случае, не математическая альтернатива.
Только в пределах некоей математической структуры, которую
еще надлежит создать, вопрос допускает математическое реше-
ние и становится вместе с тем требованием такого решения.
21. Что же, выходит, бесконечное не действительно —разве нель-
зя сказать: «Эти два края плоскости пересекаются в бесконечности»?
Неверно: «Круг имеет это свойство потому, что проходит через две
бесконечно удаленные точки...», верно другое: «Свойства круга
могут быть рассмотрены в этой (странной) перспективе».
Это, по сути, некая перспектива, причем притянутая за волосы.
(Что вовсе не ставится кому-то в упрек.) Но всегда должно быть
совершенно ясно, в какой мере этот способ восприятия притянут
за волосы. Ибо иначе его действительное значение оказывается
смутным.
22. Что значит: «Математик не знает, что делает» — или: «Он
знает, что делает»?
152

III, 1942
23. Можно ли делать бесконечные предсказания? — Ну, а почему
бы, например, закон инерции не назвать таким предсказанием?
Или же предложение о том, что комета описывает параболу?
В известном смысле их бесконечность, правда, не принимается
всерьез.
Как же тогда обстоит дело с предсказанием о том, что при разло-
жении π, как бы далеко оно ни зашло, мы никогда не наткнемся
на конфигурацию φ? — Что ж, можно сказать, что это или нема-
тематическое предсказание, или же математическое правило.
Кто-то, научившись разлагать V2, идет к гадалке, и она пророчит
ему, что, как бы далеко он ни продвинулся в разложении ч2, он
никогда не придет к последовательности .... — Является ли ее
пророчество математическим предложением? Нет. — Разве что
она скажет: «Если ты всегда будешь разлагать правильно, то ни-
когда не придешь....» Но разве это предсказание?
И все же кажется, что такого рода предсказание правильного
разложения вполне мыслимо и отличимо от математического за-
кона, утверждающего, что таковое должно вести себя тем или
иным образом. Так что в математическом разложении различа-
лось бы то, что фактически получается так — как бы случай-
но, — и то, что должно так получиться.
Как следует решать вопрос о том, имеет ли смысл бесконечное
предсказание?
Во всяком случае, не утверждением: «Я уверен, что имею в виду
нечто, когда говорю...»
Пожалуй, вопрос не столько в том, имеет ли предсказание какой-
либо смысл, сколько в том, какого типа смысл оно имеет. (То
есть в каких языковых играх оно появляется.)
24. «Пагубное проникновение» логики в математику.
В подготовленной таким образом области это является доказа-
тельством существования.
Порочность логической техники состоит в том, что она заставляет
нас забытьспециальную математическую технику. В то время как
логическая техника — лишь вспомогательная техника в матема-
тике. Например, она устанавливает известные связи между други-
ми техниками.
Это почти то же самое, как если бы кто-то захотел сказать, что
столярное дело состоит в склеивании.
25. Доказательство убеждает тебя в том, что существует некий
7* 153

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
корень уравнения (не давая тебе понятия о том, где он существу-
ет), — но откуда ты знаешь, что понимаешь предложение о су-
ществовании корня? Откуда ты знаешь, что действительно в чем-
то убежден? Ты можешь быть убежден в том, что применение до-
казанного предложения будет найдено. Но тебе не понять этого
предложения, пока ему не найдено применение.
Если доказательство в общем виде доказывает, что существует
некий корень, то все зависит от того, в какой форме оно это до-
казывает. То есть от tofo, что ведет здесь к данному словесному
выражению, которое есть просто схема, замалчивающая главное.
В то время как логикам кажется, что оно замалчивает только по-
бочное.
Математически общее соотносится с математически особенным не
так, как обычно соотносится обще'е с особенным.
Все, что я говорю, сводится, собственно, к тому, что можно знать
некое доказательство и следовать ему шаг за шагом, но при этом
все-таки не понимать того, что было доказано.
А это в свою очередь связано с тем, что можно грамматически
правильно построить математическое предложение, не понимая
его смысла.
А когда его понимают? — Я полагаю: тогда, когда его могут при-
менять.
Вероятно, можно сказать: когда имеют некую ясную картину его
применения. Для этого, однако, недостаточно связывать с ним ка-
кую-то ясную картину. Куда лучше* было бы сказать: когда имеют
ясный обзор его применения. Но и это плохо, ибо речь идет лишь
о том, чтобы не предполагать применения там, где его нет; чтобы
не позволять словесной форме предложения вводить себя в заб-
луждение.
Но как же получается, что таким образом предложение или дока-
зательство может быть не понято или неправильно понято? И что
тогда нужно, чтобы добиться понимания?
Существуют, полагаю, случаи, когда кто-то как раз может приме-
нить предложение (или доказательство), однако не в состоянии
дать ясный отчет о типе применения. И такой случай, когда он не
в состоянии и применить предложение. (Аксиома умножения.)
Как обстоит дело в этом отношении с 0 χ 0 = О?
Можно сказать, что понимание математического предложения не
гарантировано его словесной формой, как в случае большинства
154

III, 1942
не математических предложений. Это означает, по-видимому, что
дословный текст не определяет языковую игру, в которой функ-
ционирует предложение.
Логическая запись проглатывает структуру.
26. Чтобы понять, как можно назвать «доказательством существо-
вания» что-то не допускающее конструирования существующего,
подумай о разнообразных значениях слова «где». (Например, то-
пологическом и метрологическом.)
Ведь доказательство существования может не только оставлять
неопределенным место «существующего», но и вообще не зада-
ваться вопросом о таком месте.
Это значит, что если доказанноепредложение гласит: «Существует
число, для которого...», — то вряд ли имеет смысл спрашивать:
«И каково это число?» — или говорить: «И это число есть...»
27. Доказательство того, что при разложении π, появляется 777,
без указания, где именно, должно было бы рассматривать это раз-
ложение-с совершенно новой точки зрения, так чтобы, например,
показывать свойства областей разложения, о которых мы знали
бы лишь то, что они расположены очень далеко вовне. При этом
перед нашим мысленным взором витала бы картина того, что в
запредельной дали в π должна предполагаться как бы некая тем-
ная зона неопределенной протяженности, где наши вспомогатель-
ные вычислительные средства уже ненадежны, а затем — в еще
большем удалении — некая зона, где снова можно что-то видеть
иным образом.
28. Что касается доказательства путем reductio ad absurdum, то
всегда можно представить себе, что его употребляет в качестве
аргумента человек, выдвигающий не математическое утверждение
(например: он видел, что А поставил В мат такими-то фигурами),
которое может быть опровергнуто математически.
Трудность, ощущаемая в математике в связи с reductio ad absurdum,
такова: что происходит при этом способе доказательства? Что-то
математически абсурдное, то есть нематематическое? И, напраши-
вается вопрос, как вообще возможно принимать нечто математи-
чески абсурдное? То, что можно принять и довести до абсурда
физически ложное, не создает трудностей. Но как помыслить, так
сказать, немыслимое?!
Косвенное доказательство гласит: «Если ты хочешь, чтобы это бы-
ло так, то ты не должен принимать этого: ибо с этим сочетае-
мо лишь противоположное тому, от чего ты не хочешь отказаться».
155

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
29. Геометрическая иллюстрация математического анализа на са-
мом деле несущественна, чего нельзя сказать о геометрическом
применении. Первоначально геометрические иллюстрации были
применениями [математического] анализа. Там же, где они
перестают быть таковыми, они легко могут совершенно сбивать с
толку.
В таком случае мы имеем дело с воображаемым применением.
Вымышленным применением.
Идея «сечения» является такой опасной иллюстрацией.
Лишь поскольку иллюстрации служат применениями, они не по-
рождают того особого головокружения, которое вызывает иллюст-
рация в тот момент, когда она утрачивает возможное применение;
то есть когда она становится нелепой.
30. Так можно было бы вывести теорему ДЕДЕКинда, если бы то,
что мы называем иррациональными числами, было совершенно
неизвестно, но существовала бы техника определения жребием
очередного десятичного знака. И эта теорема имела бы тогда свое
применение, даже если бы не существовало математики иррацио-
нальных чисел. Это не означает, что разложения ДЕДЕкинда как
бы уже предвосхищают все особые действительные числа. Просто
кажется, что это будет так, стоит лишь объединить исчисление
ДЕДЕкинда с исчислениями конкретных действительных чисел.
31. Можно спросить: чего не мог бы понять в доказательстве тео-
ремы ДЕДЕкинда ребенок 10 лет? — Разве это доказательство не
много проще, чем все те вычисления, которыми должен владеть
ребенок? — И если кто-то скажет, что ребенок не может понять
глубокого содержания теоремы, — я задам ему вопрос: как эта
теорема обретает свое глубокое содержание?
32. Образ числовой оси — это абсолютно естественный образ, но
до определенного момента, то есть до тех пор, пока его не исполь-
зуют как некую общую теорию действительных чисел.
33. Пожелав осуществить разбиение действительных чисел на два
класса — нижний и верхний, — сделай это сначала огрубленно, с
помощью двух рациональных точек Ρ и Q.
Q
156

III, 1942
Затем подели отрезок PQ на две равные части и реши, в какой
половине (если не в точке разбиения) должно располагаться сече-
ние; если, например, в левой, то подели ее пополам и прими бо-
лее точное решение; и т. д.
Располагая принципом неограниченного повторения данной про-
цедуры, ты можешь сказать, что этот принцип дает то или иное
сечение, так как он решает для каждого числа, расположено ли
оно снизу или сверху. — Здесь встает вопрос, можно ли с помо-
щью такого принципа разбиения продвигаться неограниченно или
же необходим еще какой-то другой способ решения; и еще, требу-
ется ли таковой после того или до того, как с помощью этого
принципа получено решение. Ну, во всяком случае, не до завер-
шения данной процедуры, ибо пока еще стоит вопрос о том, на
каком конечном отрезке прямой должна лежать искомая точка,
вопрос может решаться дальнейшим разбиением. — Но разве по-
сле такого решения в согласии с принципом все еще остается про-
странство для какого-то дальнейшего решения?
С теоремой ДЕДЕкинда дело обстоит так же, как и с законом ис-
ключенного третьего: кажется, будто он исключает нечто третье,
в то время как о каком-то третьем в нем и речи нет.
Доказательство теоремы ДЕДЕкинда оперирует некоей картиной,
которая не может его оправдать, скорее сама эта картина должна
быть оправдана данной теоремой.
Принцип разбиения легко принять за бесконечно продолжающее-
ся разбиение, ибо он во всяком случае не соответствует никакому
конечному разбиению и, казалось бы, позволяет продвигаться все
дальше и дальше.
34. Разве нельзя было бы предпослать теории предела, функ-
ций, действительных чисел более экстенсиональное предварение,
чем это делают? Даже если бы это подготовительное исчисление
неизбежно оказывалось очень тривиальным и само по себе беспо-
лезным?
Трудность то интенсионального, то снова экстенсионального спо-
соба рассмотрения * начинается уже с понятия «сечение». Совер-
шенно ясно, что каждое рациональное число можно назвать свое-
го рода принципом разбиения рациональных чисел. И вот обнару-
живается что-то еще, что тоже можно назвать принципом разбие-
ния, например то, что соответствует V2. Затем еще нечто подоб-
ное этому, — и наконец мы уже вполне осваиваемся с возмож-
ностью таких разбиений и осмысливаем их с помощью картины
157

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
сечения, осуществленного в том или ином пункте прямой, то
есть экстенсионально. Ибо, делая сечение, я ведь могу выбрать
место для него по своему желанию.
Но если принципом разбиения служит сечение, то ведь оно явля-
ется таковым вот почему: о любом условно взятом рациональном
числе можно сказать, что оно расположено по одну или по другую
сторону сечения. — Можно ли в таком случае сказать, что идея
сечения привела нас от рациональных чисел к иррациональным?
Разве мы пришли, например, к V2 с помощью понятия сечения?
Что же такое сечение действительных чисел? Да это принцип раз-
биения на нижний и верхний классы. Следовательно, такой прин-
цип порождает каждое рациональное и иррациональное число.
Пусть даже отсутствует система иррациональных чисел, но и тог-
да все те, что имеются, подразделяются по отношению к сече-
нию на нижние и верхние (поскольку они, так сказать, сравнимы
с ним).
Ну, а ДЕДЕКиндова идея состоит в том, что разбиение на нижний и
верхний классы (при известных условиях) есть действительное
число.
Сечение — это экстенсиональное представление.
Конечно, если у меня есть математический критерий, позволяю-
щий определять для любого рационального числа, относится ли
оно к нижнему или верхнему классу, то мне легко систематически
приближаться сколь угодно близко к месту встречи обоих классов.
По Дедекинду, мы осуществляем сечение не рассечением, то есть
не указанием определенного места, а тем, что, — как и при обна-
ружении V2, — приближаемся к обращенным друг к другу кон-
цам нижнего и верхнего классов.
Причем требуется доказать, что никакие другие числа, кроме дей-
ствительных, не могут выполнить такого рода сечение.
Не забудем, что первоначально разбиение рациональных чисел на
два класса не имело смысла, пока мы не обратили внимание на
нечто такое, что можно было описать подобным образом. Понятие
это взято из повседневного употребления языкам потому вроде
бы должно непосредственно иметь смысл и для чисел.
Если теперь ввести идею сечения действительных чисел, заявив,
что понятие сечения здесь просто распространяется с рациональ-
ных чисел на действительные и что все, что для этого нужно, —
это некое свойство, разделяющее действительные числа на два
158

III, 1942
класса (и т. д.), — то прежде всего не ясно, что подразумевается
под такого рода свойством, которое разделяет подобным образом
все действительные числа. Тут обращает на себя внимание то, что
для этого может сгодиться любое действительное число. Но это
нас продвинет лишь до сих пор, не далее.
35. Экстенсиональные объяснения функций, действительных чи-
сел и т. д. опускают все интенсиональное — хотя они его предпо-
лагают — и отнесены к постоянно воспроизводимой внешней
форме.
36. Наше затруднение на самом деле начинается с бесконечной
прямой; хотя мы уже в детстве учили, что прямая не имеет кон-
ца, и мне неизвестно, чтобы эта идея когда-либо вызывала у ко-
го-нибудь затруднение. А что, если некий финитист попытался бы
заменить это понятие понятием прямого отрезка определенной
длины?!
Но подобная прямая — это закон ее продолжения.
37. Что в Дедекиндовой экстенсиональной трактовке вводит в заб-
луждение, так это идея о том, что действительные числа распреде-
лены на числовой оси. Можно их знать или не знать, это не имеет
значения. И таким образом, достаточно лишь сделать сечение или
поделить их на классы, и тем самым им всем будет указано их место.
Именно благодаря комбинации вычисления и конструирования
возникает идея о том, что на прямой, если не допустить V2 в ка-
честве меры расстояния от 0, должна быть оставлена некая точ-
ка, скажем точка Р.
О
I
«Ведь если бы я действительно точно конструировал, то окруж-
ность должна была бы рассечь прямую между ее точками».
Это невероятно путаная картина.
Иррациональные числа — это, так сказать, частные случаи.
В чем состоит применение понятия прямой, утрачивающей ту или
иную точку?! Такое применение должно быть «обычным». Выра-
жение «прямая, утрачивающая некую точку» — это ужасающе де-
159

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
зориентирующая картина. Ужасающий разрыв между иллюстра-
цией и применением.
38. Универсальность функций есть, так сказать, неупорядоченная
универсальность. И наша математика построена на такой вот неу-
порядоченной универсальности.
39. Если вообразить себе общее исчисление функций, не подкреп-
ленное примерами, то встречающиеся в учебниках туманные объ-
яснения с помощью таблиц истинности и диаграмм, стали бы
вполне уместны как указания на то, каким образом можно было
бы, скажем, придать тот или иной смысл этому исчислению.
Представь себе, что кто-то говорит: «Я хочу слышать компози-
цию, которая развивается так»:
Разве это было бы непременно бессмысленно? Неужели не могла
бы существовать композиция, позволяющая показать, что она в
каком-то важном смысле соответствует этой линии?
Или же допустим, что непрерывность считалась бы свойством зна-
ка „χ2 + у2 = £2" ? — конечно, лишь при том, что это и другие
уравнения обычным образом подлежали бы известному виду про-
верки. <ЛГак данное правило (уравнение) подвергается этой особой
проверке». Проверке, осуществляемой с оглядкой на тот или иной
вид экстенсии [наглядно-геометрического изображения].
При такой проверке данного уравнения предпринимается нечто,
связанное с определенными экстенсиями. Хотя не следует думать,
будто речь здесь идет об экстенсии, каким-то образом эквивалент-
ной самому уравнению. Делается лишь, так сказать, намек на оп-
ределенные экстенсии. — И суть тут не в экстенсии, которая
только faute de mieux* описывается интенсионально; напротив,
эта интенсия разъясняется — или изображается — с помощью
определенных экстенсий, получаемых из нее то тут, то там.
Протекание определенных экстенсий попутно освещает алгебраи-
ческое свойство функции. Выходит, в этом смысле можно ска-
160

III, 1942
зать, что изображение гиперболы попутно проясняет уравнение
гиперболы.
Этому не противоречит то, что такие экстенсии представляют со-
бой важнейшее применение данного правила; ведь рисовать эл-
липс — это одно, а конструировать его с помощью его уравне-
ния — это совсем другое. —
Так же как я бы сказал, что экстенсиональные рассуждения (на-
пример, теорема Гейне—Бореля) показывают: так следует обра-
щаться с интенсиями.
Теорема дает нам в общих чертах метод обращения с интенсиями.
Она говорит примерно следующее: «Это должно будет выглядеть
так».
И тогда можно, например, так или иначе проиллюстрировать ме-
тод работы с определенными интенсиями. Иллюстрация — это
знак, описание, которое особенно легко уясняется и запечатлева-
ется в памяти.
Иллюстрация как раз и будет задавать здесь способ работы.
Некое учение о размещении фигур на картине (рисунке) — напри-
мер, исходя из общих эстетических принципов — независимо от
того, что делают эти фигуры: борются, ласкают друг друга и т. д.
Теория функций как своего рода схема, которая, с одной сторо-
ны, охватывает огромное множество примеров, а с другой сторо-
ны, предстает как некий стандарт классификации случаев.
В обычном изложении вводит в заблуждение видимость того, буд-
то общее вполне можно понять и без всяких примеров, без какой-
либо мысли об интенсиях (во множественном числе), ибо в самом
деле все могло бы быть понято экстенсионально, не будь это не-
возможно по внешним причинам.
40. Дедекинд дает общую схему способа выражения; так сказать,
логическую форму рассуждения.
Общая формулировка процедуры. Эффект подобен эффекту вве-
дения слова «упорядочение» для общего объяснения функций.
Вводится общий способ выражения, весьма полезный для изобра-
жения математической процедуры. (Подобно тому, как это проис-
ходит в аристотелевской логике.) Но опасно вот что: обретая этот
общий способ выражения, обычно полагают, будто получают пол-
ное объяснение соответствующих индивидуальных случаев (та же
опасность, что и в логике).
Мы определяем понятие правила построения какой-то бесконеч-
161

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ной, продолжаемой все дальше и дальше, десятичной дроби.
А как обстоит дело с содержанием понятия?! — Так разве нельзя
выстроить здание понятия подобно некой емкости, применение
для которой всегда найдется? Разве нельзя выстроить форму
(форму, к созданию которой побудило какое-то содержание) и
таким же образом как бы подготовить для возможного ее исполь-
зования языковую форму? Ведь эта форма, поскольку она остает-
ся пустой, цоможет определить и форму математики.
В самом деле, разве в этом смысле не открыта и не ожидает са-
мых различных новых применений субъектно-предикатная форма?
То есть: верно ли, что все то трудное, что связано с универсаль-
ным математическим понятием функции, присутствует уже в
аристотелевской логике, поскольку универсальность предложений
и предикатов в столь же малой степени может быть охвачена на-
ми, как и универсальность математических функций?
41. Понятия, входящие в «необходимые» предложения, должны
фигурировать и иметь значение и в предложениях, не являющих-
ся необходимыми.
42. Разве мы бы сказали о ком-то, что он понимает предложение
„563 + 437 = 1000", если бы он не знал, как можно это предло-
жение доказать? Можно ли отрицать, что знаком понимания
предложения является знание того, как его следует доказывать?
Проблему нахождения математического решения теоремы можно
с известным правом назвать проблемой придания формуле мате-
матического смысла.
Уравнение соединяет два понятия; так что теперь можно перехо-
дить теперь от одного к другому.
Уравнение образует понятийную колею. Но является ли понятием
понятийная колея? А если нет, существует ли между ними четкая
граница?
Представь себе, что ты научил кого-то технике умножения. Он
использует ее в какой-то языковой игре. Чтобы не умножать каж-
дый раз заново, он записывает умножение в сокращенной форме,
как уравнение, и использует его там, где раньше умножал.
И тогда он говорит о технике умножения, что она устанавливает
связи между понятиями. То же самое он скажет и об умножении
как картине этого перехода. И наконец, об уравнении: ибо су-
щественно ведь, что переход можно изобразить и просто с помо-
щью схемы уравнения. Чтобы, таким образом, не надо было все
162

III, 1942
время делать переход заново.
Но будет ли он и теперь склонен говорить о процессе умножения,
что тот представляет собой понятие?
Он ведь предстает как движение. Это кажется движением между
двумя стационарными точками; эти точки есть понятия.
Рассматривая доказательство как мое движение от одного поня-
тия к другому, я не собираюсь утверждать и о нем
[доказательстве] самом, что оно тоже есть некое новое понятие.
Но разве нельзя рассматривать умножение как одну картину,
сравнимую с одним знаком-числом, и разве она не может функ-
ционировать и как знак-понятие?
43. Можно сказать: используя то одну, то другую сторону уравне-
ния, мы используем две стороны одного и того же понятия.
44. Является ли понятийный аппарат неким понятием?
45. Как человек показывает, что понимает математическое пред-
ложение? Например, тем, как он его применяет. Стало быть, и
тем, что он его доказывает, не так ли?
Можно сказать: доказательство показывает новую взаимосвязь,
потому оно дает и новое понятие.
Не является ли тем новым понятием само это доказательство?
Если доказательство приведено, ты безусловно можешь составить
новое суждение. Ибо после этого о каком-то определенном образ-
це можно говорить, что он является или не является этим доказа-
тельством.
Да, но является ли образцом доказательство, рассмотренное, ис-
толкованное как доказательство? Как доказательство, скажу
так, оно должно меня в чем-то убеждать. В ответ на него я готов
что-то делать или оставить это дело. В ответ же на новое понятие
я ничего не делаю и не перестаю делать. Итак, смею утверждать:
доказательство есть использованная определенным образом карти-
на доказательства.
А то, в чем оно меня убеждает, может быть очень разного типа.
(Вспомни доказательства расселовских тавтологий, доказательства
в геометрии и в алгебре.)
Определенный механизм может убедить меня в чем-то (может
что-то доказать). Но при каких обстоятельствах — в контексте
каких действий и проблем — я буду утверждать, что он меня в
чем-то убеждает?
«И все же понятие не убеждает меня ни в чем, ибо оно не предъ-
163

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
являет мне никакого факта». — А почему бы понятию не убеж-
дать меня прежде всего тем, что я склонен его применять?
Почему бы новому, однажды образованному, понятию не позво-
лять мне непосредственно переходить к суждению?
46. «Понимать математическое предложение» — это очень зыбкое
понятие.
Если же заявить: «Дело вообще не в понимании. Математические
предложения суть лишь позиции в некой игре», — то это тоже
бессмыслица! «Математика» как раз не является четко очерчен-
ным понятием.
Отсюда возникает спор о том, является ли доказательство сущест-
вования, не представляющее собой конструкции, действительно
доказательством существования. Τό есть спрашивается: понимаю
ли я предложение «Существует...», если у меня нет возможности
найти, где это существует? И здесь есть две точки зрения: я пони-
маю его, например, как предложение, сформулированное на моем
родном языке, то есть постольку, поскольку способен его объяс-
нить (и замечаю, как далеко заходит мое объяснение!). Но что я
могу с ним делать? Во всяком случае, не то, что с конструктив-
ным доказательством. И поскольку критерием его понимания слу-
жит то, что я в состоянии делать с данным предложением,
постольку с самого начала неясно, понимаю ли я его и в какой
степени.
Проклятие проникновения математической логики в математику
состоит в том, что теперь каждое предложение можно изобразить
в математической записи, и потому мы чувствуем себя обязанны-
ми понимать его. Хотя ведь этот способ написания представляет
собой всего-навсего перевод обычной туманной прозы.
47. Понятие, по сути, не является предикатом. Мы, правда, иног-
да говорим: «Эта вещь не бутылка», — но для языковой игры с
понятием «бутылка» вовсе не существенно, что в ней дозволены та-
кие суждения. Обрати внимание именно на то, как употребляется в
языковой игре то или иное слово-понятие (например, «плита»).
Вовсе не обязательно, например, иметь предложение «Это плита», а
можно было бы обходиться, скажем, лишь таким: «Вот это плита».
48. «Математическая логика» совершенно деформировала мышле-
ние математиков и философов, объявив поверхностное толкова-
ние форм нашего повседневного языка анализом структур фактов.
Разумеется, здесь она лишь продолжила сооружение аристотеле-
вской логики.
164

III, 1942
49. Совершенно верно: числовой знак соотносится с тем или иным
понятийным знаком и только вместе с ним он представляет собой,
так сказать, некую меру.
50. Если ты заглянешь этой мышке в пасть, то увидишь два длин-
ных острых зуба. — Откуда ты это знаешь? — Я знаю, что они
есть у всех мышей, а значит, и у этой. (И при этом не говорят:
«Эта вещь также является мышью, а значит, у нее тоже есть...»)
Почему это представляет собой столь важное продвижение впе-
ред? Ну, мы исследуем, например животных, растения и т. д.,
строим общие суждения и применяем их в особых случаях. — Но
ведь это правда, что данная мышь имеет данное свойство, если
все мыши имеют его! Это — определение, касающееся использо-
вания слова «все». Фактическая же всеобщность заключается в
другом. Ну, скажем, во всеобщем распространениии и примене-
нии такого метода исследования.
Или: «Этот человек — студент-математик». Откуда ты это зна-
ешь? — «Все люди в этой комнате математики; сюда допущены
только они». —
Интересный случай всеобщего: у нас часто есть средство убедиться
во всеобщем характере предложения, прежде чем мы примем во
внимание особые случаи; и тогда мы выносим суждение об особом
случае с помощью всеобщего метода.
Мы дали швейцару приказ впускать только людей с пригласитель-
ными билетами и рассчитываем теперь на то, что этот человек,
которому позволили войти, имеет приглашение.
Для общего логического предложения представляет интерес та
постоянно повторяющаяся ситуация, в которой совершается такой
переход, а не факт, о коем оно, как нам кажется, повествует.
51. Если о доказательстве говорят, что оно показывает, как (на-
пример) 25 х 25 дают 625, то это, конечно, странная манера вы-
ражения, так как арифметический результат — это все же не
временной процесс. Но ведь доказательство и не показывает ника-
кого временного процесса.
Представь себе ряд картин. Они показывают, как двое по опреде-
ленным правилам фехтуют на рапирах. Ведь ряд картин может
это показать. Картина относится тут к некоей реальности. Нельзя
сказать: она показывает, что фехтование совершается так, но мож-
но сказать: она показывает, как фехтуют. В каком-то ином смысле
можно сказать, что изображения показывают, как с помощью трех
движений можно перейти от одной позиции к другой. Ну, и они
165

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
показывают также, что в ту позицию можно перейти так.
52. Философ должен так крутиться и вертеться, чтобы увернуться
от математических проблем, а не осаждать одну из них — ту, что
вроде бы следует решить, прежде чем можно будет двигаться
дальше.
Его труд в философии — как бы безделье, простой в математике.
Тут не надо возводить новое здание или наводить новый мост, требу-
ется другое: выносить суждение о географии, как она есть теперь.
Нам хорошо видны вершины понятий, но неясно видны откосы,
позволяющие одному [понятию] переходить в другое.
Вот почему в философии Математики ничего не дает отливка до-
казательств в новые формы. Хотя к тому есть сильное искушение.
И 500 лет назад могла существовать какая-το философия матема-
тики.
53. Философ — тот, кто должен излечиться от многих недугов
рассудка, прежде чем он сумеет прийти к понятиям здравого чело-
веческого разумения.
Если в жизни мы окружены смертью, то в здоровье разума мы
окружены безумием.
166

ν
1941 и 1944
1. Роль предложений, в которых речь идет о мерах и которые не яв-
ляются «эмпирическими предложениями». — Кто-то говорит мне:
«Этот отрезок длиной 240 дюймов». Я говорю: «Это 20 футов, то есть
примерно 7 шагов», — и таким образом я получаю понятие о дли-
не. — Преобразование основывается на арифметических предло-
жениях и на предложении о том, что 12 дюймов = 1 фугу.
Это последнее предложение никто обычно не высказывает как эм-
пирическое предложение. Говорят, что оно выражает соглашение.
Но процесс измерения полностью утратил бы свой привычный ха-
рактер, если бы, например, выстраивание в ряд 12 отрезков дли-
ной в дюйм каждый не давало, как обычно, некой длины, кото-
рая в свою очередь может особым образом сохраняться.
Должен ли я поэтому сказать, что предложение „12 дюймов = 1
футу" повествует обо всех этих вещах, придающих процессу изме-
рения его теперешний смысл?
Нет. Данное предложение основывается на некой технике. И ес-
ли угодно, на физических и психологических фактах, делающих
возможной эту технику. Но отсюда не следует, что его смысл сво-
дится к выражению этих условий. Противоположностью такому
предложению («12 дюймов = 1 футу») вовсе не является утверж-
дение, что линейки недостаточно жестки или что не все мы счита-
ем и вычисляем одинаковым образом.
2. Это предложение играет типичную (что не означает простую)
роль правила.
С помощью предложения „12 дюймов = 1 футу" я могу сделать
предсказание, в частности, о том, что двенадцатидюймовые куски
дерева, выложенные в ряд, окажутся равными по длине куску,
измеренному другим способом. Стало быть, смысл такого правила
заключается, например, в том, что с его помощью можно сделать
167

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
определенные предсказания. Утрачивает ли оно из-за этого харак-
тер правила? —
Почему можно сделать такие предсказания? Что же, все линейки
сработаны одинаково; они не разнятся много в длине; куски дере-
ва, распиленные по футу или дюйму, — тоже; наша память до-
статочно надежна для того, чтобы, считая до 12, мы не повторили
цифру дважды и ничего не пропустили; и т. д.
А нельзя ли заменить правило каким-либо эмпирическим предло-
жением, гласящим, что линейки сработаны определенным обра-
зом, что люди пользуются ими так? Было бы дано нечто вроде
этнологического описания этой человеческой институции.
Итак, очевидно, что это описание могло бы взять на себя функ-
цию правила.
Тот, кто знает некое математическое предложение, еще ничего не
знает. Если в наших операциях возникает путаница, если каждый
вычисляет по-разному, один раз — так, а другой раз — эдак, то
здесь еще нет никакого вычисления; придя к некоему соглаше-
нию, мы только завели наши часы, а вовсе еще не измерили время.
Тот, кто знает некое математическое предложение, еще ничего не
знает.
То есть это математическое предложение должно быть только
строительными лесами для описания.
3. Как простое преобразование выражения может иметь практи-
ческие последствия?
То, что у меня есть 25 χ 25 орехов, можно верифицировать, нас-
читав 625 орехов, но можно выяснить это и другим способом,
более близким к форме выражения „25 χ 25". И конечно, имен-
но во взаимосвязи обоих этих способов определения числа состо-
ит цель умножения.
Правило в большинстве случаев обособлено, оно, так сказать,
горделиво покоится; хотя то, что делает его значимым, — это
факты повседневного опыта.
То, что мне надо сделать, — это что-то вроде описания королевской
канцелярии; — при этом я не имею права совершить промах и объ-
яснить королевское достоинство полезностью короля; и все же я не
могу оставить без внимания ни полезность, ни достоинство.
В практической деятельности я сообразуюсь с результатом преоб-
разования выражения.
А в таком случае как можно утверждать, что высказывания: «Здесь
168

V, 1941 и 1944
625 орехов» и «Здесь 25 χ 25 орехов», — означают одно и то же?
Тот, кто верифицирует предложение «Здесь 625...», верифицирует
тем самым и «здесь 25 χ 25...», и т. д. И все же одна форма бли-
же к одному типу верификации, а другая — к другому.
Как ты можешь утверждать, что «...625...» и «...25 χ 25...» гово-
рят об одном и том же? — Они становятся одним и тем же
лишь благодаря нашей арифметике.
Я могу получать то один, то другой тип описания, например, пу-
тем счета. То есть получать каждую из обеих форм то тем, то
другим образом; но ту и другую различным путем.
Тут можно спросить: если предложение «...625...» было верифи-
цировано один раз так, а другой раз иначе, то выражало ли оно
рба раза одно и то же?
Или: что происходит, если один метод верифицирования дает
„625", а другой — не дает „25 х 25"? — Тогда «...625...» истин-
но, а «...25 х 25...» ложно? Вовсе нет! — Сомневаться в одном —
значит сомневаться и в другом: определенная грамматика, при-
вносимая в эти знаки нашей арифметикой.
Если оба способа счета позволяют обосновать указанное число, то
достигается указание лишь на одно число, пусть и в различных
формах. Напротив, можно, не впадая в противоречие, сказать:
«При одном способе счета у меня получается „25 х 25" (и таким
образом, 625), а при другом — не 625 (и таким образом, не 25 х
25)». Арифметика не имеет против этого никаких возражений.
То, что арифметика приравнивает друг к другу оба выраже-
ния, — это, можно сказать, грамматический трюк.
Она тем самым перекрывает определенный тип описания и отво-
дит его в другие каналы. (И необязательно сразу же отмечать,
что это связано с фактами опыта.)
4. Предположим, что я научил кого-то умножать, но не с помо-
щью сформулированного общего правила, а только благодаря то-
му, что он видит, как я решаю для него примеры. Я могу затем
написать ему новое задание и сказать: «Сделай с этими двумя
числами то же самое, что делал я с прежними». Но я могу также
сказать: «Если ты с этими двумя сделаешь то же, что я сделал с
другими, то ты придешь к числу...» Что это за предложение?
«Ты напишешь то-то» — предсказание. «Если ты напишешь то-
то, — значит, выполнишь действие так, как я тебе показывал» —
это определение того, что называется «следовать чьему-то правилу».
169

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
„Решением этой задачи является..." — Что это за предложение,
если я прочитываю это, прежде чем вычислил ответ задачи?
«Если ты сделаешь с этими числами то, что я тебе показывал с
другими, то получишь...» — это означает: «Результатом этого вы-
числения является...» — и это не предсказание, а математическое
предложение. Но в то же время это все-таки предсказание! —
Предсказание особого рода. Так, может неподдельно удивиться
человек, обнаружив, что при сложении столбцов на самом деле
получается то-то; он может, например, воскликнуть: а ведь, ей-
богу, получается это!
Представь себе тогда этот процесс предсказывания и подтвержде-
ния как особую языковую игру — я имею в виду изолированно от
всего прочего в арифметике и ее применении.
Что же так необычно в этой игре в предсказания? То, что мне ка-
жется странным, исчезло бы, если бы предсказание звучало так:
«Будучи уверен в том, что последовал моему примеру, ты полу-
чишь это» или «Если тебе все будет казаться правильным, то ре-
зультатом будет это». Такая игра могла бы быть, скажем, связана
с введением определенного яда, и предсказание тогда было бы,
например, таково, что инъекция повлияет определенным образом
на наши способности, на нашу память. — Но если мы можем
представить себе игру с введением яда, то почему же мы не мо-
жем представить себе такую же игру с введением лекарства? Но и
тогда весомость предсказания все еще может опираться на то, что
здоровый человек рассматривает это как результат. Или, может
быть, что здорового человека это удовлетворяет.
«Следуй за мной, тогда ты это выяснишь» не значит, конечно:
«Следуй за мной, тогда ты будешь за мной следовать» — и не зна-
чит: «Вычисляй так, тогда ты будешь так вычислять». — Но что
значит: «Следуй за мной»? В языковой игре это может быть про-
сто приказом: «Следуй сейчас за мной!»
Какова разница между предсказаниями: «Если ты правильно вы-
числяешь, то получишь это» и «Будучи уверен в том, что ты пра-
вильно вычисляешь, ты получишь это»!
Ну, а кто говорит, что в моей вышеописанной языковой игре
предсказание не означает последнего? Кажется, что оно этого не
означает, но как это проявляется! Спроси себя, при каких усло-
виях данное предсказание казалось бы предсказывающим одно, а
при каких — другое. Ибо ясно, что это зависит здесь от осталь-
ных условий.
170

V, 1941 и 1944
Тот, кто мне предсказывает, что я получу это, не предсказывает
ли как раз того, что я буду считать правильным этот резуль-
тат? — «Но так произойдет, — пожалуй, скажешь ты, — именно
потому, что это действительно правильно]» — А что означает это:
«Я считаю вычисление правильным, потому что оно правильно»?
И все же можно сказать: в моей языковой игре производящий вы-
числение не думает о том, что факт получения этого является осо-
бенностью его существа; факт не кажется ему психологическим.
Представляя себе этого человека, я нахожусь под впечатлением,
что он лишь как бы следовал уже имеющейся нити. А способ это-
го следования принимал как нечто само собой разумеющееся,
зная только одно объяснение своего действия — а именно движе-
ние нити.
Правда, следуя правилу или примерам, он следует им по-своему,
но не рассматривает такие действия как некую особенность своего
прохождения; он не говорит: «Итак, я проследовал таким обра-
зом», — а говорит: «Стало быть, прохождение таково».
Но если бы кто-то в конце вычисления в нашей языковой игре
все же сказал: «Итак, я отклонился в сторону таким образом]»
или «Итак, я доволен этим отклонением!» — то могу ли я тогда
сказать, что он неправильно понял всю языковую игру? Конечно
же, нет! Если, помимо этого, он не использует ее каким-либо не-
желательным образом.
Не получается ли, что такое применение данного вычисления
рождает точку зрения, будто это оно, вычисление, а не мы сами
совершаем прохождение?
Почему ты всегда стремишься рассматривать математику в аспек-
те изыскания, а не в аспекте действия?
Большое влияние должно здесь иметь то, что при вычислении мы
употребляем слова «правильно», «истинно», «ложно» и форму ут-
верждений. (Покачивания головой и кивки.)
Почему я должен утверждать, что знание того, что все люди, выу-
чившиеся вычислять, считают именно так, не есть математи-
ческое знание? Потому что оно, кажется, указывает на другой
контекст.
Является ли, таким образом, подсчет результатов вычисления уже
прикладной математикой? А значит, и подсчет моих со-
бственных результатов?
5. Нет никакого сомнения в том, что в определенных языковых
171

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
играх математические предложения играют роль правил описа-
ния — в противоположность предложениям-описаниям.
Но это не означает, что такая противоположность не
скрадывается во всех направлениях. А это в свою очередь не оз-
начает, что эта противоположность не обладает исключительной
важностью.
То, что показывает математическое доказательство, представляет-
ся внутренним отношением и не подлежит сомнению.
6. Что общего у математического предложения и математического
доказательства, из-за чего они оба называются «математическими»?
Не то, что математическое предложение должно быть математи-
чески доказано; не то, что математическое доказательство должно
доказывать некое математическое предложение.
Что математического есть в недоказанном предложении (аксиоме) ?
Что общего между ним и математическим доказательством?
Должен ли я ответить: «Правила вывода математического доказа-
тельства всегда являются математическими предложениями»?
Или: «Математические предложения и доказательства служат по-
лучению вывода»? Это было бы уже ближе к истине.
Мы говорим: доказательство — это образ. Но такой образ нуждается
в апробации, которую мы ему устраиваем при пересчете. —
Вероятно, это так. Но если бы апробация· у одного человека полу-
чалась, а у другого нет и они не могли прийти к взаимопонима-
нию, было ли это тогда вычислением?
Стало быть, вычислением это делает не одна апробация сама по
себе, но прежде всего совпадение апробаций.
Ибо вполне можно представить себе и игру, в которой люди, по-
буждаемые выражениями, несколько сходными с общими прави-
лами, придумывают себе для определенных практических задач,
то есть ad hoc, последовательности знаков, и вполне допустимо,
что это даже оправдывало бы себя. И здесь «вычислениям»,
пожелай мы их так назвать, не было бы необходимости совпадать
друг с другом. (Здесь можно было бы говорить об «интуиции».)
Совпадение апробаций — это предварительное условие нашей
языковой игры, оно в ней не утверждается.
Если какое-то вычисление — служит экспериментом и его усло-
вия выполнены, то мы должны признать в качестве результата то,
что получается; и если вычисление — эксперимент, то предложе-
ние: в результате оно дает то-то, в конечном счете представляет
172

V, 1941 и 1944
собой предложение о том, что при данных условиях появляется
данный тип знаков. Если же при этих условиях получают то один,
то другой результат, то нельзя сказать: «Что-то тут не так» или
«Оба вычисления не могут быть верными», — а следует сказать:
это вычисление не во всех случаях дает один и тот же результат
(почему — необязательно должно быть известно). И хотя процесс
теперь стал особенно интересным, даже, возможно, еще интерес-
нее, чем прежде, но то, с чем мы имеем дело, уже не вычисление.
А это опять-таки некое грамматическое замечание об употребле-
нии слова «вычисление». И в этой грамматике, бесспорно, есть
своя изюминка.
Что значит прийти к взаимопониманию относительно разницы
в результатах вычисления? Это ведь значит прийти к одинаковому
процессу вычислений. Если же достичь понимания не удается, то
один из вычисляющих не может сказать о другом, что тот тоже
вычисляет, просто с другими результатами.
7. Ну, а должен ли я тогда сказать: один и тот же смысл может
иметь лишь одно доказательство? Или: коли найдено доказатель-
ство изменяется смысл?
Конечно, кое-кто возразил бы: «В таком случае никогда нельзя
найти доказательство предложения, ибо если оно уже найдено,
оно перестает быть доказательством этого предложения». Но это
еще ни о чем не говорит. —
Все зависит от того, что устанавливает смысл предложения. То о
чем мы хотим сказать — устанавливает смысл предложения. Его
должно устанавливать употребление знаков; но что мы считаем
употреблением? —
То, что оба доказательства доказывают одно и то же предложе-
ние, означает примерно следующее: оба характеризуют его как
подходящий инструмент для достижения одной и той же цели.
А целью является намек на вне-математическое.
Л однажды сказал: «Если хочешь знать, о чем говорит математи-
ческое предложение, посмотри, что доказывает его доказательст-
во». Не заключены ли в этом одновременно как истинное, так и
ложное? Действительно ли смысл, суть математического предло-
жения становятся ясными, как только мы можем следовать за до-
казательством?
Если два доказательства доказывают одно и то же предложение,
то можно, в общем-то, представить себе условия, в которых ис-
ключается все связанное с этими доказательствами окружение,
173

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
так что они предстают одинокими и голыми, и тогда нет никакого
основания утверждать, что у них было что-то общее, что они до-
казывали одно и то же предложение.
Стоит лишь вообразить себе такие доказательства вне включаю-
щего и связывающего их организма применения, как они предста-
ют, так сказать, нагими и босыми. (Как две кости скелета, осво-
божденные от окружающих их разнообразных связей организма,
в системе которого мы только и привыкли мыслить себе их.)
Когда мы говорим о различных образных рядах, что они проде-
монстрировали, например, что 25 χ 25 = 625, то довольно просто
узнать, что фиксирует то место данного предложения, к которо-
му ведут оба пути.
То или иное новое доказательство встраивает предложение в не-
кий новый порядок; при этом часто происходит перевод одного
типа операций в совершенно другой. Словно мы переводим урав-
нения в кривые. И тогда мы узнаем что-то о кривых, а тем са-
мым и об уравнениях. Но по какому праву мы позволяем убедить
себя с помощью хода мысли, который, как кажется, совершенно
далек от объекта наших мыслей?
Так ведь наши операции не более далеки от нашего объекта, чем,
например, деление в десятичной системе от распределения орехов!
Особенно если представить себе (а это легко сделать), что такая
операция первоначально была придумана для другой цели, чем
разделение, и т. п.
Если ты спросишь: «По какому праву?», — то ответом будет: мо-
жет быть, и без всякого права. — По какому праву ты говоришь,
что продолжение этой системы будет идти параллельно той?
(Словно бы ты признал единицами измерения одновременно и
дюйм и фут и утверждал бы, что 12п дюймов будут всегда иметь
ту же длину, что и η футов.)
8. В расселовском „~f(f)" отсутствует прежде всего применение, а
поэтому и смысл.
Если же эту форму все-таки применяют, то тем самым не гово-
рится, что ,$/)" должно быть предложением в каком-то привыч-
ном смысле или что ,$(ζ)" должно быть пропозициональной
функцией. Ибо понятие предложения, кроме понятия предложе-
ния логики, объясняется Расселом только в общих, традиционных
чертах.
Здесь смотрят на язык, не глядя на языковую игру.
174

V, 1941 и 1944
Предположим, что мы производим вычисление с помощью чисел и
иногда используем также деление с помощью выражений формы
(п — п) и таким способом получаем тут и там результаты умно-
жения, отличающиеся от обычных, и т. д. Но это никому бы не
мешало. — Сравни с этим: мы составляем списки, перечни лиц,
но не так, как это обычно делаем, не в алфавитном порядке; и
тогда получается, что одно и то же имя в некоторых списках
встречается чаще одного раза. Но ведь можно предположить,
что этого никто не замечает или же что люди это видят, но при-
нимают совершенно спокойно. Так, можно представить себе лю-
дей некоего племени, которые, если у них монеты падают на зем-
лю, полагают, что не стоит труда их поднимать. (У них, допус-
тим, есть для таких случаев поговорка: «Это принадлежит дру-
гим» — или что-то в этом роде.)
Но вот времена меняются, и люди (вначале лишь немногие) на-
чинают требовать точности. Имея на это право? Без всякого пра-
ва? — И что же, прежние перечни не были тогда собственно пе-
речнями? —
Скажем, мы получили некоторые результаты наших вычислений пу-
тем скрытого противоречия. Становятся ли они из-за этого незакон-
ными? — А если теперь мы решительно не желаем признать такие
результаты и все же опасаемся, что некоторые из них могут вкрасть-
ся в наши подсчеты. — Что ж, тогда у нас будет идея, способная до-
служить образцом для некоего нового исчисления. Подобно тому как
может возникнуть идея какой-то новой игры.
РлссЕловское противоречие беспокоит нас не потому, что оно —
противоречие, а потому, что весь нарост, кульминацией которого
оно является, представляет собой раковую опухоль, возникшую,
как кажется, без цели и смысла из нормального тела.
Можно ли тогда сказать: «Мы стремимся к такому исчислению,
которое будет с большей надежностью говорить нам истину»?
Но ведь ты же не можешь признать противоречие! — Ну почему
же не могу? Мы ведь иногда употребляем эту форму в нашей речи,
правда, довольно редко, — но можно в общем представить себе язы-
ковую технику, в которой оно было бы постоянным инструментом.
Можно, например, сказать о некоем объекте в движении, что он
существует и вместе с тем что он не существует в данном месте;
изменение могло бы быть выражено через противоречие.
Возьми какую-нибудь музыкальную тему, например глйдновскую
(хорал св. Антония), возьми часть одной из брамсовских вариа-
175

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ций, которая соответствует первой части данной темы, и поставь
себе задачу создать вторую часть вариации в стиле ее первой час-
ти. Эта проблема — того же типа, что и математические пробле-
мы. Если решение найдено, например такое, какое предлагает
Брамс, то сомнений нет — это является решением.
С этим способом решения мы согласны. И все же здесь ясно, что
вполне могут существовать разные пути, с каждым из которых мы
можем согласиться, каждый из которых мы могли бы назвать по-
следовательным .
«Мы совершаем только законные — то есть разрешенные прави-
лами — шаги и вдруг приходим к противоречию. Тогда перечень
правил, как он есть, оказывается бесполезным, ибо противоречие
опрокидывает всю игру». Почему же ты позволяешь ему опроки-
дывать ее?
Но я хочу, чтобы можно было механически, по правилам, делать
дальнейшие заключения, не получая противоречивых результатов.
Так вот, к какому типу предвидения ты стремишься? К такому,
которого не допускает твое нынешнее исчисление? Что ж, из-за
этого оно не становится плохим разделом математики или же не в
полном смысле математикой. Тебя вводит в заблуждение смысл
слова «механически».
9. Если ты ради практической цели хочешь механически избежать
противоречия, на что не способно пока твое исчисление, то это
похоже примерно на то, как если бы ты искал конструкцию ...-
угольника, который до сих пор мог начертить лишь методом проб
и ошибок, или же как если бы ты искал решение уравнения тре-
тьей степени, к которому ты до сих пор лишь приближался.
Здесь не улучшается плохая математика, а изобретается новый
раздел математики.
Предположим, что я хочу так определить некое иррациональное
число, чтобы в его разложении не появлялось сочетание „777". Я
мог бы взять π и предписать: если эта фигура возникает, мы бу-
дем вместо нее ставить 000. И вот мне говорят: этого недостаточ-
но, ибо тот, кто рассчитывает позиции, не имеет возможности ог-
лядываться на прежние. Тогда мне нужно другое исчисление; та-
кое, чтобы я мог быть заранее уверен в том, что оно никак не
даст „777". Математическая проблема.
«Пока непротиворечивость не доказана, я никогда не смогу быть
совершенно уверен в том, что кто-то, выполняющий счет маши-
нально, но по правилам, не вычислит что-нибудь не то».
176

V, 1941 и 1944
Поскольку не достигнуто такое предвидение, исчисление ненадеж-
но. — Но представь, я спросил бы: «Как ненадежно?» — Поведи
мы речь о степенях ненадежности, разве это не могло бы помочь
нам вырвать из нее метафизическое жало?
Разве первые правила исчисления были нехороши? Так ведь мы и
задали их только потому, что они были хороши. — Если позже
выявлено противоречие, значит, они не выполнили своей задачи?
Да нет же, для такого применения они не предназначались.
Я могу желать придать моему исчислению определенного рода
провидение. Оно не сделает его собственной частью математики,
но сделает его более полезной для определенной цели.
Идея механизации математики. Мода на аксиоматические системы.
10. Но предположим, что «аксиомы» и «способы вывода» суть не
просто какие-то способы конструирования, но и вполне убедитель-
ные способы! И тогда это означает, что существуют случаи, в кото-
рых конструкция, сооруженная из таких элементов, не убеждает.
И действительно, логические аксиомы совершенно неубедительны,
если мы в качестве пропозициональных переменных берем струк-
туры, которые первоначально никто не предусматривал в качестве
возможных значений, тогда как истинность аксиом (изначально)
получила безусловное признание.
А что, если сказать: аксиомы и способы вывода должны быть вы-
браны так, чтобы они не могли доказать никакого ложного пред-
ложение?
«Мы стремимся получить не какое-то достаточно надежное, но не-
кое абсолютно надежное исчисление. Математика должна быть
абсолютной».
Предположим, что я установил правила для игры «Лиса и охот-
ник», игра мне представляется развлекательной и забавной. —
Однако затем обнаруживаю, что охотник может всегда выигры-
вать, стоит ему один раз узнать, как это делается.
Теперь я, скажем, недоволен своей игрой. Заданные мной прави-
ла привели к результату, которого я не предвидел и который пор-
тит мне игру.
11. <<Ν. столкнулся с тем, что при расчетах часто производилось
сокращение с помощью выражений типа „(/г — п)". Он вскрыл
возникающую вследствие этого разницу в результатах и показал,
как из-за применения этого типа вычислений были потеряны че-
ловеческие жизни».
177

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Но предположим, что другие люди также заметили эти противоре-
чия, только не могли дать себе отчет в том, откуда они берутся.
Они, так сказать, производили вычисления с нечистой совестью.
Из числа противоречивых результатов они выбирали один, но без
неуверенности, в то время как открытие, сделанное JV., дало им
полную уверенность. — Но сказали ли они себе: «С нашим исчис-
лением что-то не в порядке»? Была ли их неуверенность сродни
нашей, когда, проводя физический расчет, мы не были уверены в
том, что эти формулы действительно дадут здесь правильный ре-
зультат? Или же это было сомнением в том, что производимые
ими вычисления действительно были вычислениями? В таком слу-
чае что они сделали для того, чтобы устранить затруднение?
Люди до сих пор лишь очень редко производили сокращение с по-
мощью выражений со значением О. Но вдруг кто-то открывает,
что таким образом они действительно могут вычислить любой ре-
зультат. — Что они теперь делают? Здесь возможны разные вари-
анты. Они, например, могут объявить, что этот тип вычислений
потерял из-за этого свою занимательность и что в будущем не сле-
дует более вычислять таким образом.
Хочется сказать: «Он полагает, что производит вычисления, а на
самом деле он не вычисляет».
12. Если вычисление потеряло для меня свою занимательность,
поскольку я знаю, что мог бы теперь вычислить все, что угод-
но, — то разве оно не представляло для меня какого-то интереса
тогда, когда я этого еще не знал?
Я, конечно, могу объявить теперь все эти вычисления аннулиро-
ванными — ведь я же как раз бросил заниматься ими, но
означает ли это, что они и не были вычислениями?
Когда-то, сам того не понимая, я сделал заключение при наличии
скрытого противоречия. Является ли теперь мой результат лож-
ным или же неправильно полученным?
Если противоречие так хорошо скрыто, что его никто не замечает,
так почему бы нам не называть то, что делаем сейчас, подлинным
вычислением?
Мы говорим, что противоречие разрушило бы исчисление. Но ес-
ли оно проявляется, так сказать, лишь крошечными дозами, как
бы мерцая, не как постоянное вычислительное средство, то унич-
тожит ли оно исчисление и тогда?
Представь себе, что люди вообразили, будто (а + 5)2 должно
быть равным а2 + Ы. (Является ли это заблуждением такого же

V, 1941 и 1944
типа, как и то, что должна существовать трисекция угла с помо-
щью линейки и циркуля?) То есть можно ли вообразить, что два
способа вычисления должны давать одинаковый, если не один и
тот же результат?
Я складываю столбец, делаю это различным образом, беру, на-
пример, числа в разной последовательности и получаю снова и
снова беспорядочно разный результат. — Я, вероятно, скажу: <<Я
совсем запутался; делаю либо беспорядочные ошибки в вычисле-
нии, либо определенные ошибки в определенной связи: например,
после „6 + 3 = 9" всегда говорю: „7 + 7 = 15".
Или я мог бы представить себе, что вдруг в какой-то момент вы-
числения вычитаю вместо того, чтобы складывать, не подозревая
при этом, что делаю что-то не то.
Могло бы быть и так, что я не нахожу ошибки и считаю себя по-
мешанным. Но такой моя реакция быть не должна.
«Противоречие отменяет исчисление» — откуда взялась эта стран-
ная констатация? Ее можно, как я полагаю, поколебать с помо-
щью некоторой доли фантазии.
Чтобы решить эту философскую проблему, надо сравнить между
собой такие вещи, сравнивать которые еще никому всерьез не
приходило в голову.
В этой области можно спросить о чем угодно, хотя и относящемся
к делу, но не касающемся его сути.
Определенный ряд вопросов, затронув сердцевину, проскакивает
наружу. На другие отвечают между делом.
Найти путь через сердцевину необычайно трудно.
Он проходит через новые примеры и сравнения. Отработанные
примеры и сравнения нам его не укажут.
Предположим, что РАССЕловское противоречие так и не найдено.
Вполне ли здесь очевидно, что мы тогда имели бы ложное исчис-
ление? Разве здесь нет разных возможностей?
А что, если мы хотя и нашли противоречие, но больше по его по-
воду не волнуемся и, например, установили, что из него не следу-
ет делать никаких выводов? (Так же как никто не делает выво-
дов из логического парадокса «лжец».) Было ли бы это очевидной
ошибкой?
«Но ведь тогда это все же не подлинное исчисление! Оно же утра-
чивает всякую строгость]» Нет, не всякую. И оно только тогда
лишено полной строгости, когда ориентируются на определенный
179

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
идеал строгости, стремятся к особому стилю математики.
«Но ведь противоречие в математике несовместимо с применением
математики».
«Если бы противоречие упорно использовалось, скажем, для полу-
чения всевозможных результатов, то это сделало бы применение
математики фарсом или чем-то вроде излишней церемонии. Его
действие отчасти сходно с действием нежестких линеек, которые
из-за растяжения и сжатия допускают разные результаты измере-
ния». Но разве измерение шагами не было измерением? И если
бы люди применяли линейки из теста, разве следовало бы это са-
мо по себе назвать ложным?
Разве так уж трудно придумать причины, почему известная растя-
жимость линеек была бы желательной?
«но не правильнее ли изготовлять линейки из постоянно твердого, бо-
лее устойчивого материала?» Конечно, правильно; если этого хотят!
«Значит, ты берешь под защиту противоречие?!» Да вовсе нет;
столь же мало, как и мягкие линейки.
Следует избегать одной ошибки: полагают, что противоречие
должно быть бессмысленным; то есть если, например, последова-
тельно использовать знаки „р", „~", „·", то „р · ~р" не сможет
нам ничего сказать. — Но подумай: что значит «последовательно»
продолжать то или иное употребление? («Последовательно про-
должать этот отрезок кривой».)
13. Зачем математике нужно обоснование?! Я полагаю, оно нуж-
но ей не более, чем предложениям, повествующим о физических
предметах или же о чувственных впечатлениях, — нужен их ана-
лиз. Однако математические предложения, равно как и все дру-
гие, нуждаются в выяснении их грамматики.
Математические проблемы так называемых оснований в столь
же малой степени лежат для нас в основе математики, в какой
нарисованная скала несет на себе нарисованную крепость.
«Но разве фрегевскзя логика не становится из-за противоречия
непригодной для обоснования арифметики?» Становится! Но кто
же утверждал, что она должна быть пригодной для этой цели?!
Можно даже представить себе, что ФРЕГЕвская логика дана в ка-
честве инструмента дикарю, чтобы он выводил с ее помощью
арифметические предложения. Он вывел противоречие, не заме-
тив, что это — противоречие, и теперь из него выводит любые ис-
тинные и ложные предложения.
180

V, 1941 и 1944
«Добрый ангел до сих пор хранил нас от этого пути». Чего же ты
еще хочешь? Полагаю, можно сказать: добрый ангел будет нужен
всегда, что бы ты ни делал.
14. Говорят: процесс вычисления — это эксперимент с целью по-
казать, как это может быть столь практичным. Ведь об экспери-
менте мы знаем, что он действительно имеет практическую цен-
ность. Мы только забываем, что он обладает этой ценностью бла-
годаря некоей технике, которая является естественно-историчес-
ким фактом, но правила которой не играют роли предложений
естественней истории.
«Границы эмпиризма». — (Живем ли мы потому, что жить прак-
тично? Мыслим ли мы потому, что мышление практично?)
Ему известно, что эксперимент практичен, значит, вычисление —
это эксперимент.
Правда, наши экспериментальные действия имеют характерный
облик. Если я вижу, как кто-то в лаборатории льет жидкость в
пробирку и нагревает ее над горелкой БунзЕна, то я склонен ска-
зать, что он проводит эксперимент.
Предположим, что люди, умеющие считать, хотят — как и мы —
знать числа для различного рода практических целей. И об этом
они спрашивают определенных людей, которые, когда им объяс-
нили практическую проблему, закрывают глаза и ждут, пока им
не придет в голову соответствующее число, в этом случае мы
имели бы дело не с вычислениями, сколь бы надежным ни было
такое определение чисел. Подобное определение чисел практичес-
ки могло бы быть даже более надежным, чем любое вычисление.
Вычисление, можно сказать, есть некая составляющая техники
эксперимента, но само по себе оно не эксперимент.
Но не забываем ли мы о том, что к эксперименту относится и оп-
ределенное применение процедуры? А вычисление содействует
применению.
Разве кому-нибудь могло бы прийти в голову назвать перевод шиф-
рованного сообщения с помощью некоего ключа экспериментом?
Если я сомневаюсь в том, что числа пит, будучи перемножен-
ными, дадут /, то я сомневаюсь совсем не в том, возникнет ли в
процессе нашего вычисления путаница, когда, например, полови-
на людей будут считать правильным одно, а другая половина —
другое.
Некое действие является «экспериментом» лишь с определенной
181

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
точки зрения. И ясно, что вычислительное действие также может
быть экспериментом.
Допустим, я хочу проверить, что вычисляет этот человек при та-
ких условиях, имея в виду эту постановку задачи. — Но разве это
не то, о чем ты спрашиваешь, когда хочешь знать, сколько будет
52 χ 63! Я вполне могу спросить это — мой вопрос может быть
даже выражен именно этими словами. (Сравни с этим: является
ли предложение «Прислушайся, она стонет!» предложением о ее
поведении или о ее страдании?)
Ну, а что, если я, предположим, пересчитаю его вычисление? —
«Что ж, тогда я проделаю еще один эксперимент, чтобы выяснить
совершенно точно, что все нормальные люди реагируют именно
так». — А если они реагируют не одинаково, то какой из резуль-
татов будет математическим?
15. «Чтобы быть практическим, вычисление должно обнаруживать
факты. А на это способен только эксперимент».
Но какие «факты»? Полагаешь ли ты, что можешь продемонстри-
ровать, какие факты имеются в виду, например, указывая на них
пальцем. Прояснит ли это роль, которую играет «установление»
факта? — А что, если лишь математика определяет характер то-
го, что ты называешь «фактом»!
«Интересно знать, сколько колебаний имеет этот звук». Но ведь
именно арифметика и научила тебя этому вопросу. Она научила
тебя видеть этот тип фактов.
Математика — хочу я сказать — учит тебя не просто ответу на
какой-то вопрос; она учит тебя целостной языковой игре, включа-
ющей вопросы и ответы.
Должны ли мы сказать, что математика учит нас считать?
Можно ли сказать о математике, что она учит нас эксперимен-
тальным способам исследования! Или же она помогает нам от-
крыть такие способы?
«Чтобы быть практической, математика должна учить нас фак-
там». — А должны ли эти факты быть математическими факта-
ми? — Но почему бы ей вместо того, чтобы «учить нас фактам»,
не создавать формы того, что мы называем фактами?
«Да, но остается еще тот эмпирический факт, что люди производят
вычисления именно так!» — Да, но тем самым их вычислительные
предложения не становятся эмпирическими предложениями.
«Да, но наши вычисления должны ведь основываться на эмпири-
182

V, 1941 и 1944
ческих фактах!» Конечно. А какие из этих фактов ты имеешь в
виду? Психологические и физиологические, делающие счет воз-
можным, или те, что превращают его в полезную деятельность?
Взаимосвязь со вторыми состоит в том, что вычисление есть
определенная картина эксперимента, а именно, того, как он всег-
да нормально протекает. От первого рода фактов вычисление по-
лучает свой смысл, свой облик: но это отнюдь не говорит о том,
что предложения математики имеют функции эмпирических пред-
ложений. (Это было бы равносильно предположению: так как по
ходу пьесы появляются только актеры, то на сцене театра не мог-
ли бы найти полезного применения никакие другие люди.)
В вычислении нет никаких каузальных взаимосвязей, только мо-
дельные взаимосвязи. И здесь ничего не меняет то, что мы прове-
ряем ход доказательства для того, чтобы признать его. Как несу-
щественно и наше искушение сказать, что он создается в психоло-
гическом эксперименте. Ибо в ходе вычисления не исследуется
психологическое протекание процесса.
<<В минуте 60 секунд». Это — предложение, весьма сходное с ма-
тематическим. Зависит ли его истинность от опыта? — А разве
мы могли бы вести речь о минутах и секундах, если бы у. нас не
было чувства времени; если бы не было или, в силу физических
причин, не могло быть часов; если бы не существовало всех тех
взаимосвязей, которые придают смысл и значение нашим измере-
ниям времени? В этом случае — сказали бы мы — измерение
времени потеряло бы свой смысл (как не имело бы смысла ста-
вить мат, если бы исчезла игра в шахматы) — или оно имело бы
тогда совершенно иной смысл. — Но разве бы сделал какой-то из
описанных таким образом опытов предложение ложным, а иной
опыт — истинным? Нет; это не описывало бы его функцию. Оно
функционирует совершенно иначе.
«Для того чтобы быть практическим, вычисление должно основы-
ваться на эмпирических фактах». — Почему бы ему лучше не оп-
ределить, что собой представляют эмпирические факты?
Обдумай: «Наша математика преобразует эксперименты в дефи-
ниции».
16. А неужели нельзя представить себе человеческое общество, в
котором не существует ни процесса вычислений в нашем смысле,
ни измерения в нашем смысле? — Можно. — Зачем же тогда
стараться выяснить, что есть математика?
Потому что у нас есть математика и существует efe особое понима-
183

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ние, как бы некий идеал ее положения и функции, — все это
требует ясной проработки.
Не требуй слишком многого и не опасайся, что твое справедливое
требование ни к чему не приведет.
Моя задача заключается в том, чтобы критически подойти к логи-
ке РлссЕла не изнутри, а снаружи.
Это значит: не подходить к ней математически — иначе я буду зани-
маться математикой, — а уяснять ее положение, ее обязанности.
Моя задача заключается в том, чтобы говорить, например, не о
гЕДЕлевском доказательстве, а минуя его, вокруг него.
17. Задачу: найти число путей, по которым можно проследить ли-
нии стыков этой стены, не перескакивая и не повторяясь, каждый
признает математической задачей.
— Если бы рисунок был гораздо сложнее и больше, не схватывал-
ся взглядом, то можно было бы предположить, что он незаметно
для нас изменяется, и тогда задача найти такое число (которое,
вероятно, закономерно изменяется) уже не была бы математичес-
кой задачей. Но и в том случае, если оно остается тем же, задача
также не является математической. — Да и тогда, когда стена
обозрима, тоже нельзя сказать, что задача становится математи-
ческой, подобно тому как говорят: эта задача является вопросом
эмбриологии. Правильнее сказать: здесь нам нужно некое матема-
тическое решение. (Равно как: в чем мы здесь нуждаемся — так
это в образце.)
«Признали» бы мы проблему математической из-за того, что в ма-
тематике речь идет о повторении линий рисунка?
Почему же тогда мы склонны запросто назвать эту проблему
«математической»? Потому что мы сразу видим, что здесь ответ на
математический вопрос представляет собой практически все,
что нам нужно. Хотя эту проблему легко можно было бы счесть,
например, психологической.
То же самое и с задачей сложить лист бумаги определенным образом.
Может создаться впечатление, что математика является здесь нау-
кой, которая экспериментирует с единицами, то есть проделывает
184

V, 1941 и 1944
эксперименты, где не важны типы этих единиц, будь то горошины
или стеклянные шарики, штрихи и т. д. — Она выясняет лишь
то, что является общим для всех них. Так, например, не их точку
плавления, а то, что 2 и 2 здесь есть 4. И проблема стены пред-
ставляет собой как раз математическую проблему, а значит, она
может быть решена с помощью этого типа эксперимента. — Ив
чем же состоит математический эксперимент? В общем, в раскла-
дывании и перемещении вещей, проведении штрихов, записыва-
нии выражений, предложений и т. д. И не надо смущаться тем,
что внешнее проявление этих экспериментов не есть проявление
физических, химических и т. д. экспериментов, — они-то как раз
другого рода. Здесь есть только одна сложность: то, что происхо-
дит, достаточно легко увидеть, описать, но как следует рассматри-
вать это в качестве эксперимента? Где здесь голова, а где нога эк-
сперимента? Где условия эксперимента, а где его результат? Яв-
ляется ли результатом то, что дает вычисление, или изображение
вычисления, или одобрение (в чем бы оно ни заключалось) того,
кто вычисляет?
Становятся ли, например, законы динамики предложениями чис-
той математики из-за того, что их интерпретация остается откры-
той и ее используют для создания измерительной системы?
«Математическое доказательство должно быть обозримым» — это
связано с определенной наглядностью той фигуры.
18. Не забудь: предложение, утверждающее о самом себе, что оно
недоказуемо, следует считать математическим утверждени-
ем, ибо это не что-то само собой разумеющееся.
Столь же не самоочевидно и то, что следует считать математичес-
ким предложение, утверждающее о невозможности построения не-
коей структуры.
То есть если говорят: «Оно сообщает о самом себе», — то это на-
до понимать особым образом. Ибо тут легко возникает путаница
из-за разного употребления выражения «Это предложение сообща-
ет нечто о...».
В этом смысле предложение „625 = 25 χ 25" также сообщает
нечто о самом себе; а именно то, что левая цифра будет получе-
на, если перемножить стоящие справа цифры.
Геделевское предложение, которое сообщает нечто о самом себе,
само себя не упоминает.
«Предложение говорит, что это число нельзя получить из этих чи-
сел этим способом». — Но уверен ли ты также в том, что ты пра-
185

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
вильно перевел его на русский? Да, конечно, кажется, что так. —
Но разве нельзя здесь ошибиться?
Можно ли сказать: Гедель говорит, что надо уметь доверять мате-
матическому доказательству, если мы хотим рассматривать его
практически как доказательство конструируемости предложения-
образца по правилам доказательства?
Или: математическое предложение должно позволять рассматри-
вать себя как предложение некоей действительно применимой к
самой себе геометрии. И если это сделать, то окажется, что в не-
которых случаях на доказательство полагаться нельзя.
Границы эмпирии — это не допущения, признаваемые правиль-
ными лишь интуитивно, не являющиеся достоверными; это нечто
иное: способы сравнения и действия.
19. «Предположим, мы имеем арифметическое предложение, гла-
сящее, что определенное число ... не может быть получено из чи-
сел ..., ..., ... с помощью таких-то и таких-то операций. И предпо-
ложим, что может существовать правило перевода, согласно кото-
рому это арифметическое предложение переводимо в цифры пер-
вого числа; аксиомы, исходя из которых мы пытаемся его дока-
зать, — в цифры других чисел; а наши правила вывода — в упо-
минаемые в предложении операции. — Если бы тогда мы вывели
арифметическое предложение из аксиом, следуя нашим прави-
лам вывода, то тем самым мы продемонстрировали бы его выво-
димость, а также доказали бы предложение, которое можно выра-
зить с помощью такого правила перевода: это (то есть наше)
арифметическое предложение невыводимо».
Что же тогда оставалось бы делать? Я полагаю, довериться нашей
конструкции знака-предложения, то есть геометрическому до-
казательству. Так, мы говорим, что это «пропозициональное соче-
тание» можно получить из тех таким-то способом. А в переводе, в
другой записи, это означает: такая цифра может быть получена
из тех других с помощью этих операций. В этом смысле предложение
и его доказательство не имеют ничего общего с какой-то особой ло-
гикой. Здесь такое сконструированное предложение было просто
другим способом записи сконструированной цифры; оно имело фор-
му предложения, но мы не сравниваем его с другими предложения-
ми как знак, который нечто говорит, имеет некий смысл.
Но, конечно, следует сказать, что такой знак не нуждается в том,
чтобы его рассматривали ни как знак-предложение, ни как число-
вой знак. — Спроси себя: что делает его одним, а что другим?
186

V, 1941 и 1944
Если мы теперь прочтем сконструированное предложение (или
цифру) как предложение математического языка (например, по-
русски), то оно выразит нечто противоположное тому, что мы как
раз считали доказанным. То есть, продемонстрируй мы его кон-
струкцию как доказательство, полученное, исходя из принятых
аксиом, с помощью принятых правил вывода — мы бы продемон-
стрировали ложность действительного смысла предложения и од-
новременно доказали его.
Упрекни нас кто-либо в невозможности таких предположений на
том основании, что они были бы логическими или математичес-
кими допущениями, мы бы ответили! достаточно лишь предполо-
жить, что в вычисление вкралась ошибка, которую пока не удается
найти и за счет которой и был получен «предполагаемый» нами ре-
зультат.
Здесь мы снова возвращаемся к выражению «доказательство
убеждает нас». Притом нас интересует не выражение убеждения
голосом или жестом, не связанное с ним чувство удовлетворения
или что-то в этом роде, а подтверждение убеждения при использо-
вании доказанного.
Правомерно спросить, каково значение доказательства Геделя для
нашей работы. Ведь никакой фрагмент математики не может ре-
шить ни одну из тех проблем, что волнуют нас. — Ответ таков: инте-
рес представляет ситуация, в которую нас вводит такое доказа-
тельство. «Что мы должны тут сказать?» — такова наша тема.
Как бы странно это ни звучало, моя задача в связи с теоремой Геделя
состоит, по-видимому, лишь в том, чтобы выяснить, что означает
в математике предложение типа «Предположим, что это можно
доказать».
20. Представляется совершенно естественным спрашивать «сколь-
ко?» и затем считать и вычислять!
Считаем ли мы потому, чта считать практично? Да, считаем! — И
таким же образом вычисляем.
На основе эксперимента — или как еще его назовешь — иногда
можно верно определить размеры измеряемого, а иногда даже
надлежащую меру.
Тогда, выходит, единица измерения есть, таким образом, резуль-
тат измерений? И да, и нет. Не результат измерения, а, пожалуй,
следствие измерений.
Возможен такой вопрос: «Учил ли нас опыт производить вычисле-
187

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
ния таким образом!» — или другой: «Является ли вычисление
экспериментом ? >>
21. Почему бы не сказать, например, что противоречие „гетероло-
гический" е гетерологический = ~ („гетерологический" е гетеро-
логический) обнаруживает некое логическое свойство понятия
«гетерологический»?
Предложения: «„Двухсложный" — это гетерологический» или
«„Трехсложный" — это не гетерологический» представляют собой
эмпирические предложения. Может быть, в некоторых крнтекстах
было бы важно выяснить, обладают ли прилагательные теми же
свойствами, которые они обозначают *, или нет. Тогда в языковой
игре применяли бы слово „гетерологический". Но неужели при
этом полагали бы, что предложение .«„/г" е h>> является эмпиричес-
ким предложением? Оно явно таковым не является, и нам не следо-
вало бы допускать его в нашу языковую игру в качестве предложе-
ния, даже если бы мы и не обнаружили указанного противоречия.
,,/г" g /i = ~(„/i" e h) можно назвать „истинным противоречи-
ем". — Но ведь это противоречие не является осмысленным пред-
ложением! Прекрасно, но ведь логические тавтологии тоже не
предложения.
«Противоречие истинно» означает здесь: оно доказано; выведено
из правил для слова «/г». Его использование заключается в демон-
стрировании того, что «„/г"» принадлежит к тем словам, которые,
будучи включены в „ξ е /г", не создают предложения.
«Противоречие истинно» значит: это действительно противоречие,
и неправомерно использовать слово «„/г"» как аргумент в „ξ е /ι".
22. Я устанавливаю некую игру и говорю: «Если ты сделаешь этот
ход, то я пойду так, а если ты сделаешь такой ход, то я буду хо-
дить так. — Теперь играй!» И вот он делает ход или нечто, что я
должен признать ходом, а когда я хочу в ответ на это ходить по
моим правилам, то оказывается, что бы я ни делал, это не соот-
ветствует правилам. Как могло это случиться? Устанавливая пра-
вила, я что-то сказал: я следовал известному обычаю. Я не пред-
видел, что мы будем делать дальше, или видел лишь некую опре-
деленную возможность. Это похоже на то, как если бы я сказал
кому-то: «Прекрати игру; этими фигурами ты не можешь поста-
вить мат» — и проглядел существующую возможность мата.
Различные, полушутливые обличья логического парадокса инте-
ресны лишь постольку, поскольку напоминают о том, что для по-
нимания подлинной функции парадокса необходимо его серьезное
188

V, 1941 и 1944
оформление. Спрашивается: какую роль может играть в той или
иной языковой игре подобная логическая ошибка?
Например, кого-то инструктируют, как он должен действовать в
том или ином случае; а впоследствии эти указания оказываются
бессмысленными.
23. Логический вывод — это часть языковой игры. И тот, кто де-
лает логические заключения в языковой игре, следует определен-
ным инструкциям, которые были заданы при изучении самой язы-
ковой игры. Если, например, подмастерье строит дом, руково-
дствуясь данными ему указаниями, то ему приходится время от
времени прерывать доставку стройматериалов и т. д. и выполнять
определенные операции со знаками на бумаге; после чего он, со-
ответственно результату, снова берется за строительную работу.
Представь себе процесс, по ходу которого тот, кто толкает тележ-
ку, приходит к выводу, что он должен очистить ось колеса, по-
скольку толкать тележку стало слишком тяжело. Я имею в виду
не то, что он говорит себе: «Всегда, когда слишком тяжело тол-
кать тележку ...» — а то, что он просто действует так. И случа-
ется, что он кому-то крикнет: «Тележка не идет; очисти
ось!» или же: «Тележка не идет. Значит, надо очистить ось».
Это ведь и есть некий вывод. Правда, не логический.
А нельзя ли сказать: «Не-логическое заключение может оказаться
ложным; а логическое — нет»?
Является ли логическое заключение верным, если оно сделано в
соответствии с правилами или если оно сделано в соответствии с
правильными правилами? Если бы, например, говорилось, что из
~р всегда должно следовать р, — разве это было бы неверно? А
почему бы не предпочесть этому другое утверждение: такое прави-
ло придало бы знакам „~р" и „р" необычное для них значение?
Я хочу сказать: можно понимать это так, что правила вывода
придают знакам их значение, потому что они являются правила-
ми использования этих знаков. Потому что правила вывода при-
частны к определению значения знаков. В этом смысле такие пра-
вила не могут быть верными или неверными.
Некто А в процессе строительства измерил длину и ширину како-
го-то участка и отдает В приказ: «Принеси 15 х 18 плит». В приу-
чен умножать и в соответствии с результатами отсчитывать то или
иное число плит.
Конечно же, произносить предложение «15 χ 18 = 270» при этом
никогда не требуется.
189

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Можно сказать: эксперимент — вычисление служат полюсами,
между которыми движутся человеческие действия.
24. Мы тренируем человека таким-то образом, затем ставим пе-
ред ним вопрос и в ответ получаем числовой знак. Этот знак мы
затем используем в своих целях, и он оказывается практичным.
Это и есть вычисление? — Пока еще нет! Это могло бы быть
весьма целесообразным процессом, — однако не быть тем, что
мы называем вычислением. Так, можно было бы представить се-
бе, что для целей, которым служит сегодня наш язык, издавались
бы звуки, не образующие, однако, никакого языка.
Для вычисления характерно то, что все, вычисляющие правильно,
получают одну и ту же картину вычисления. И «производить вы-
числения правильно» означает не: в здравом уме или без по-
мех, — но: производить вычисления таким образом.
Каждое математическое доказательство дает новую опору матема-
тическому зданию. (Я думал об опорах стола.)
25. Я задался вопросом: разве математика, имей она чисто фан-
тастическое применение, не являлась бы все же математикой? —
Но спрашивается: не называем ли мы это математикой лишь по-
тому, что видим здесь переходы, мостики от фантастического при-
менения к нефантастическому? То есть можно ли сказать, что
люди, использующие вычисления, оперирующие знаками только
в оккультных целях, владеют математикой?
26. А в таком случае разве не правильно все-таки сказать: в мате-
матике существенно то, что она образует понятия? — Ведь мате-
матика — это в конце концов антропологический феномен. Зна-
чит, можно признать это главным для большей части математики
(для того, что называется «математикой») и вместе с тем сказать,
что это не играет никакой роли в других областях. Само по себе
данное усмотрение, конечно, не окажет какого-то влияния на тех,
кто учится теперь смотреть на математику таким образом. Ведь
математика — это некое семейство; но это не говорит о том, что
нам безразлично, что бы в него ни включалось.
Можно сказать: если бы ты не разбирался в каком-нибудь мате-
матическом предложении лучше, чем ты понимаешь аксиому ум-
ножения, то ты бы не понимал математики.
27. — Здесь есть противоречие. Но мы его не видим и делаем из
него выводы. Например, выводим математические предложения, в
том числе ложные. Но мы признаем эти выводы. — Если же
построенный по нашим расчетам мост разваливается, то мы нахо-
190

V, 1941 и 1944
дим для этого другую причину или говорим, что это было угодно
Богу. Было ли тут наше вычисление ложным или оно вообще не
было вычислением?
Конечно, если мы в научной экспедиции наблюдаем людей, дей-
ствующих таким образом, то, пожалуй, можем сказать: эти люди
вообще не производят вычислений. Или: в их вычислениях есть
элемент произвола, который отличает суть их математики от сути
нашей. И все же мы не сможем отрицать, что у этих людей есть
своего рода математика.
Какие правила должен установить король *, чтобы впредь избе-
жать той неприятной ситуации, которую создал для него его плен-
ник? — Какого типа эта проблема? — Она ведь подобна следую-
щей: как нужно изменить правила этой игры, чтобы та или иная
ситуация не могла сложиться? А это математическая задача.
Но может ли это быть математической задачей — сделать матема-
тику математдкой?
Можно ли сказать: «Люди стали по-настоящему считать только
после того, как была решена эта математическая задача,»?
28. Разве это надежность, если она основана на том, что наши
банки действительно в общем и целом не подвергаются набегу
всех своих клиентов сразу; хотя случись это, они бы обанкроти-
лись?! Что ж, это иной тип надежности, чем более примитивная
надежность; но все-таки это некая надежность.
Я полагаю, будь в арифметике действительно найдено противоре-
чие, это доказывало бы лишь, что арифметика с таким противо-
речием может вполне успешно справляться со своими задачами; и
было бы предпочтительнее видоизменить наше понятие требуемой
надежности, чем утверждать, что это еще не было бы по сути под-
линной арифметикой.—«Но ведь это же не идеальная надеж-
ность!» — Идеальная для какой цели?
Правила логического вывода — это правила языковой игры.
29. Какого рода вот это предложение: «Класс львов — это ведь не
лев, а класс классов — это класс»? Как оно верифицируется?
Как можно его использовать? Насколько я вижу, его можно ис-
пользовать только как грамматическое предложение. Чтобы обра-
тить чье-либо внимание на то, что слово «лев» употребляется
принципиально иначе, чем имя льва; а вот родовое слово «класс»
употребляется подобно обозначению одного из классов, например
класса львов.
191

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Даже признав, например, РАССЕловскую теорию типов, все же
можно сказать, что слово «класс» употребляется рефлексивно.
Ибо оно ведь и в ней употребляется рефлексивно.
Конечно, утверждать в этом смысле, что класс львов не есть лев и
т. д., равносильно утверждению, будто кто-то, сочтя е за а, при-
нял белку за балку.
Внезапная смена восприятия схемы куба и невозможность узреть
«льва» и «класс» в качестве сопоставимых понятий.
Противоречие гласит: «Прими во внимание...»
А что, если какому-то определенному льву (например, царю
львов) дать имя Лев? Тут ты скажешь: ведь очевидно, что в пред-
ложении «Лев — это лев» слово «лев» употребляется двумя разны-
ми способами. (Логико-философский трактат.) А нельзя ли
причислить их к одному типу употребления?
А что, если бы предложение «Лев — это лев» употреблялось та-
ким образом, что привлекало бы внимание к различию в исполь-
зовании обоих «львов», и*ни к чему больше?
Можно исследовать какого-то зверя с целью понять, не является
ли он кошкой. Но понятие «кошка» так, во всяком случае, иссле-
довать нельзя.
«Класс львов — это не лев» кажется бессмыслицей, в которой
лишь из вежливости можно усмотреть какой-то смысл: я же хочу
истолковать это предложение иначе — как настоящее предложе-
ние, если только оно правильно понято. (То есть не так, как в
Логико-философском трактате.) Стало быть, моя концепция
здесь иная. А это значит, что я говорю: существует языковая игра
и с этим предложением.
«Класс кошек — это не кошка». — Откуда ты это знаешь?
В басне о зверях говорится: «Лев пошел гулять с лисом», не некий
лев с неким лисом; и не лев такой-то с лисом таким-то. И здесь
действительно получается так, будто род «лев» рассматривается
как какой-то один лев. (Но это не то, о чем говорит Лессинг, ког-
да место какого-то льва занимает вполне конкретный лев. «Бар-
сук-Гримбарт не означает барсук по фамилии Гримбарт» *.
Вообрази себе язык, в котором класс львов называют «львом всех
львов», класс деревьев — «деревом всех деревьев» и т. д. — Пото-
му что тут как бы представляется, что все львы образуют одного
большого льва. (Мы говорим: «Бог создал человека».)
Тогда можно было бы установить парадокс о том, что не сущест-
192

V, 1941 и 1944
вует определенного множества всех львов. И т. д.
Но разве нельзя было бы считать и производить вычисления на
таком языке?
30. Можно задаться вопросом: какую роль способно играть в че-
ловеческой жизни предложение типа «Я всегда лгу»? И тут вооб-
разимы самые разнообразные варианты.
31. Является ли пересчет длины из дюймов в сантиметры логическим
заключением? «Цилиндр имеет длину 2 дюйма. — Значит, его длина
примерно 5 см». Является ли это логическим заключением?
Да, но разве правило не нечто произвольное? Не что-то такое, что
устанавливают? А можно установить, что умножение 18 χ 15 не
должно давать 270? — Почему бы и нет? — Но тогда оно проис-
ходило бы не по тем правилам, что были установлены вначале и
употреблять которые привычно?
Является ли то, что следует из правила, в свою очередь правилом?
А если нет, то предложением какого типа его следует назвать?
«Для людей... невозможно признать какой-то предмет отличным
от самого себя». Ну, уж имей я хоть какое-то понятие о том, как
это делается, я бы тотчас же попытался! — Но если для нас не-
возможно признать, что предмет отличен от самого себя, то впол-
не ли возможно признать, что два предмета отличны друг от дру-
га? Например, передо мной два кресла, и я признаю, что их два.
Но при некоторых условиях я все же могу поверить, что это толь-
ко одно кресло; и в этом смысле я могу считать одно двумя. —
Но тем самым я ведь не признаю кресло отличным от самого се-
бя! Пусть так, но тогда я не признаю и отличия двух кресел друг
от друга. Тот, кто полагает, что мог бы это сделать, играет в сво-
его рода психологическую игру, переводит ее в игру жестов. Имея
перед собой два предмета, он левой рукой указывает на один из
них, а правой — на другой, как бы желая подчеркнуть, что они
автономны. Будь же перед ним только один предмет, он указывал
бы на него обеими руками, как бы подчеркивая, что нельзя де-
лать никакого различия между ним и ним самим. — Ну, а почему
бы не поиграть теперь в эту игру обратным способом?
32. Слова «верно» и «неверно» употребляют при обучении тому,
как действовать по правилу. Словом «верно» побуждают ученика
продолжать действие, словом «неверно» удерживают его. Ну, а
можно ли объяснить эти слова ученику, предписав: «Это соответ-
ствует правилу, то — нет»? Вполне можно, если только он имеет
понятие о соответствии. А что, если это понятие еще лишь долж-
193

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
но быть сформировано? (Все зависит от того, как он реагирует
на слово «соответствует».)
Мы учимся следовать правилу, предварительно не обучаясь упот-
реблению слова «соответствие».
Скорее, мы усваиваем значение слова «соответствие», учась следо-
вать правилу.
Тот, кто хочет понять, что значит «следовать правилу», уже сам
должен уметь следовать правилу.
«Если ты принимаешь это правило, то должен делать это». — Это
может означать: правило не предоставляет здесь тебе двух откры-
тых путей. (Математическое предложение.) Я же имею в виду:
правило ведет тебя, как коридор с твердыми стенами. Но ведь
против этого можно возразить, что правило поддается толкованию
всеми возможными способами. — Правило устанавливается здесь
как приказ; и действует оно тоже как приказ.
33. Языковая игра: принести что-нибудь другое; принести то же
самое. Ну, и можно представить себе, как в нее играют. — Но
как объяснить ее кому-то? Можно обучить его этому. А откуда
он знает, что нужно приносить в следующий раз в качестве «того
же самого», — что позволяет мне сказать, принес ли он то, что
нужно, или нет? — И я прекрасно знаю, конечно, что в ряде слу-
чаев люди явно выразили бы мне свое несогласие.
И все же предполагает ли это, что «то же самое» определялось бы
примерно так: то же самое — это то, что все люди или большин-
ство из них согласованно считают таковым? — Конечно же, нет.
Ведь для констатации тождества я же не использую согласие лю-
дей. А тогда какой критерий ты применяешь? Вообще никакого.
Употреблять слово без обоснования не значит употреблять его
неправильно.
Проблема предыдущей языковой игры существует, конечно, и
здесь: принеси мне что-нибудь красное. Ибо откуда я узнаю, что
это что-то красного цвета? Благодаря совпадению цвета с неким
образцом? — По какому праву я говорю: «Да, это красное»? Ну я
так говорю; и это не обосновывается. Причем для этой языковой
игры, так же как и для предыдущей, характерно то, что она со-
вершается при бесспорном согласии всех людей.
Неразрешимое предложение математики — это нечто, что не
признано ни как правило, ни как противоположность правилу;
оно имеет форму математического высказывания. — Но является
194

V, 1941 и 1944
ли эта форма четко описанным понятием?
Um
Представь себе п _>О0фп = е как свойство музыкального фрагмента
(например). Но конечно же, не так, будто фрагмент длится бес-
конечно, а как свойство фрагмента, распознаваемое на слух (как
бы алгебраическое свойство).
Представь себе уравнения, используемые в качестве орнаментов
(узор обоев), а затем проверку этих орнаментов на то, какого ро-
да кривым они соответствуют. Эта проверка походила бы на вы-
явление контрапункта в музыкальном отрывке.
34. Доказательство, которое показывает, что сочетание „777" по-
является в разложении π, но не показывает где. Что ж, доказан-
ное таким образом это «предложение существования» не было бы
правилом для определенных целей. Но разве оно не могло бы
служить, например, средством классификации правил разложе-
ния? Аналогичным образом было бы доказано, например, что
„777" не появляется в π2, но появляется в π χ е и т. д. Вопрос
состоял бы лишь в том: разумно ли говорить о соответствующем
доказательстве, что оно доказывает существование „777" в этом
разложении? Это может запросто сбить с толку. В этом-то и состо-
ит проклятие прозы, и особенно расселовской прозы, в математике.
Что за беда, например, сказать, что Бог знает все иррациональ-
ные числа? Или: что они все уже наличествуют, хотя нам и из-
вестны лишь некоторые из них? Почему эти картины небезвредны?
Прежде всего, они скрывают определенные проблемы.
Предположим, люди рассчитывают разложение π все дальше и
дальше. Так что лишь всеведующий Бог знает, придут ли они до
конца света к сочетанию «777». Но может ли его всеведение ре-
шить, было ли бы достигнуто такое сочетание после конца света?
Этого оно не может. Я бы сказал: и Бог может решать математи-
ческие вопросы только с помощью математики. И для него про-
стое правило разложения не может решить ничего из того, что
оно не решает для нас.
Это можно выразить так: при заданном правиле разложения неко-
е вычисление может показать нам, что на пятом месте стоит циф-
ра «2». В состоянии ли Бог знать это без вычисления, просто ис-
ходя из правил разложения? Я склонен сказать: нет.
35. Если я говорю, что предложения математики образуют поня-
тия, то это как-то туманно; ибо „2 + 2 = 4" образует понятие в
ином смысле, чем „р d p", „(x) · fic з/α" или теорема Дедекин
195

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
да. Существует именно семейство случаев.
Понятие правила образования бесконечной десятичной дроби не
является, конечно, специфически математическим понятием.
Это — понятие, связанное со строго определенной деятельнос-
тью в человеческой жизни. Понятие такого правила является ма-
тематическим не в большей мере, чем понятие следования прави-
лу. Или же: это последнее определено не менее точно, чем поня-
тие самого такого правила. — Да, выражение правила и его
смысл — это только часть языковой игры: следования правилу.
С тем же правом можно вообще говорить о таких правилах как
о деятельности следования им.
Конечно, о правиле, например, говорят: «Все это уже заложено в
нашем понятии», — но ведь это означает: мы склонны к этим
определениям понятий. Ибо что же есть у нас в голове такого,
что уже содержит все эти определения?!
Число, как говорит Фреге, есть свойство понятия, но в мате-
матике оно есть признак математического понятия. Ко — это
признак понятия кардинального числа и свойство некоей техни-
ки. 2^ о — это признак понятия бесконечной десятичной дроби,
но свойством чего является это число? То есть: о понятии какого
типа его можно эмпирически высказать?
36. Доказательство предложения надоумливает меня, какую сде-
лать ставку на его истинность. И различные доказательства впол-
не могут подсказать мне то же самое.
Нечто поразительное, некий парадокс в особом, как бы искажен-
ном окружении. Надо дополнить его окружение таким образом,
чтобы то, что выглядело парадоксом, больше не казалось таковым.
Доказав, что 18 χ 15 = 270, я тем самым доказал и геометричес-
кое предложение о том, что, применяя к знаку „18 χ 15" опреде-
ленные правила преобразования, мы получим знак 270. — Теперь
предположим, что люди, у которых под действием какого-нибудь
яда нарушена четкость зрения или правильность запоминания
(как мы склонны теперь выражаться), получали бы при этом вы-
числении не 270. — Разве вычисление не бесполезно, если по не-
му нельзя правильно предсказать, что получается в итоге при
обычных обстоятельствах? Что ж, если даже оно бесполезно, это
не означает, что предложение „18 χ 15 = 270" является эмпири-
196

V, 1941 и 1944
ческим: люди вообще так считают.
С другой стороны, не столь уж ясно, что характерным признаком
всего, что мы называем «вычислением», является всеобщее согла-
сие тех, кто вычисляет. Можно вообразить, будто люди, научив-
шиеся вычислять при определенных условиях, например под вли-
янием опиума, начинают производить вычисления каждый на
свой манер и находят применение этим вычислениям; и при этом
не говорится, что они вовсе не вычисляют и неспособны вычис-
лять, наоборот, их вычисления признают правомерными.
Но разве они не должны быть по крайней мере приучены выпол-
нять одинаковые вычисления? Я полагаю, что и тут можно пред-
ставить себе отклонения.
37. Можно ли сказать, что математика учит экспериментальному
способу исследования, экспериментальной постановке вопросов? А
разве нельзя сказать, что она учит меня, например, спрашивать,
движется ли определенное тело в соответствии с уравнением не-
кой параболы? — Но что в этом случае делает математика? Без
нее или без математиков мы бы, конечно, не пришли к определе-
нию этой кривой. Но было ли определение этой кривой уже мате-
матикой? Математикой ли обусловлено, например, то, что люди
при исследовании движения тела пытаются уяснить, представима
ли его траектория с помощью эллиптической конструкции из нити
и двух гвоздей? Математикой ли занимался тот, кто придумал
этот тип исследования?
Ведь он создал новое понятие. Но было ли это сделано таким же
образом, как это делает математика? Подобно тому как дает нам
некое новое понятие умножение 18х 15 = 270?
38. Выходит, нельзя сказать, что математика учит нас считать?
Но если она учит нас считать, так почему бы ей не учить нас так-
же сравнивать друг с другом цвета?
Ясно: тот, кто учит нас уравнению эллипса, обучает нас новому
понятию. Но тот, кто доказывает, что этот эллипс и эта пря-
мая пересекаются в этих точках, — также дает нам какое-то но-
вое понятие.
Обучение уравнению эллипса подобно обучению счету. Вместе с
тем оно подобно освоению вопроса: «Имеется ли здесь в сто раз
больше шаров, чем там?»
Что ж, обучи я кого-то в ходе языковой игры этому вопросу и ме-
тоду ответа на него, значит, я обучил бы его математике? Или это
произошло бы лишь в том случае, если бы он оперировал знаками?
197

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
(Напоминало ли бы это вопрос: «Было ли бы геометрией то, что
состояло бы только из аксиом Евклида?»)
Если арифметика учит нас вопросу «Сколь много?», то почему бы
ей не учить нас и вопросу «Сколь темно?»?
Но вопрос «Имеется ли здесь в сто раз больше шаров, чем
там?» — это ведь не математический вопрос. И ответ на него —
не математическое предложение. Математическим вопросом было
бы: «Верно ли, что 170 шаров в сто раз больше, чем 3 шара?» (И
притом это вопрос чистой, а не прикладной математики.)
В таком случае следует ли сказать, что тот, кто учит нас считать
вещи и пр., дает нам новые понятия, а также тот, кто учит нас
чистой математике такими понятиями?
Является ли то или иное новое сочетание понятий неким новым
понятием? И создает ли математика концептуальные связи?
Слово «понятие» очень и очень расплывчато.
Математика учит нас по-новому оперировать понятиями. И пото-
му можно сказать, что она изменяет нашу понятийную деятель-
ность.
Но совершает это лишь такое математическое предложение, кото-
рое принято как постулат либо же доказано, а вовсе не проблема-
тичное предложение.
39. А разве нельзя экспериментировать математически? Напри-
мер, попробовать, можно ли сложить голову кошки из квадратно-
го листа бумаги; при этом нас не будут интересовать физические
свойства бумаги, ее прочность, эластичность и т. д. Но ведь речь
идет только об опыте. А почему не об экспериментировании? Ведь
этот случай подобен тому, когда опытным путем подставляют па-
ры чисел в уравнении χ2 + уъ = 25, чтобы найти некую пару,
удовлетворяющую уравнению. И если в конце концов мы примем
к32 + 42 = 25, то будет ли это предложение результатом экспе-
римента? Почему же тогда мы называли эту процедуру опытом?
Дали бы мы ей то же название и в том случае, если бы некто
всегда решал такие проблемы с первого раза с полной увереннос-
тью (со всеми признаками уверенности), но без вычисления? В
чем состояло бы здесь экспериментирование? Предположим, что,
прежде чем он дает решение, оно является ему как видение. —
198

V, 1941 и 1944
40. Сложение форм, в котором сливаются некоторые элементы, иг-
рает в нашей жизни очень небольшую роль. — Как в случае, когда
дают фигуру
Но будь это важной операцией, наше привычное понятие об
арифметическом сложении, пожалуй, было бы иным.
То, что из квадратного листа бумаги (по известным правилам)
можно сложить лодку, шляпу и т. д., мы должны, конечно, счи-
тать делом геометрии, а не физики. Но разве геометрия, понимае-
мая таким образом, не является частью физики? Нет; мы отделя-
ем геометрию от физики. Геометрическую возможность от физи-
ческой. А что, если оставить их вместе? Просто сказать: «Если ты
сделаешь с листом бумаги вот это и это, то получится это»? То,
что надо делать, может быть задано в рифму. И разве не может
быть, чтобы кто-то совсем не различал двух этих возможностей?
Подобно ребенку, еще не освоившему этой техники. Он не знает и
не задумывается о том, возможны ли такие бумажные фигуры
лишь потому, что бумага при этом тянется так и этак, искривля-
ется, или же потому, что она не меняет своей формы.
А разве не так же обстоит дело и в арифметике? Почему бы лю-
дям не учиться вычислению без каких-либо понятий о математи-
ческом и физическом фактах? Они знают лишь, что это всегда
получится, будь они внимательны и делай то, чему их научили.
Представим себе: пока мы вычисляем, цифры на бумаге внезапно
изменяются. Единица становится вдруг 6, а потом 5, потом снова
1 и т. д. Хотелось бы предположить, что это ничего не меняет в
вычислении, ибо как только я считываю цифру, чтобы вычислять
с ее помощью или применить ее, она снова становится той, с
какой мы имели дело в ходе наших вычислений. Тем не менее
мы бы при этом прекрасно видели, как изменяются цифры в ходе
199

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
вычислений, но были бы приучены к тому, чтобы не волноваться
по этому поводу.
Но и в отсутствие вышеописанного допущения эти вычисления,
конечно, могли бы приводить к вполне пригодным результатам.
Вычисление выполняется здесь строго по правилам, и все же этот
результат не должен получаться. — Я допускаю, что мы не ус-
матриваем какой-либо закономерности в смене цифр.
Хочу сказать: можно было бы толковать этот процесс вычислений
действительно как экспериментирование и, например, сопровож-
дать его словами: «Попробуем теперь, что получится, если приме-
нить это правило».
Или же: «Поставим такой эксперимент: запишем цифры с помо-
щью чернил этого составами выполним вычисления по правилу...»
Ты мог бы, конечно, сказать: «В этом случае манипулирование
цифрами по правилам не есть вычисление».
«Мы вычисляем только тогда, когда за результатом стоит «дол-
женствование»». — А когда мы не знаем об зтом долженствова-
нии, то оно все равно заложено в вычислении? Или мы не вычис-
ляем, если делаем это с полной наивностью?
А как же быть с такой ситуацией: не занят вычислением тот,
кто, получая то один, то другой результат и будучи не в состоянии
найти ошибку, примиряется с этим и говорит: это как раз и сви-
детельствует о влиянии на результат определенных обстоятельств,
которые пока неизвестны?
Это можно выразить таким образом: тот, кому вычисление откры-
вает причинную взаимосвязь, не вычисляет.
Детей упражняют не только в самих вычислениях, но и в совер-
шенно определенном отношении к ошибке в ходе вычислений.
Сказанное сводится к тому, что математика нормативна. Но
«норма» не равнозначна «идеалу».
41. Введение нового правила вывода можно считать переходом к
новой языковой игре. Я представляю себе такую игру, в которой,
например, один участник произносит „рэд", другой— „р", а
третий делает вывод.
42. Возможно ли, узрев, что плоскость окрашена в красный и си-
ний цвета, не заметить, что она красная? Представь себе, что для
вещей, полукрасных-полусиних, используется особое прилагатель-
ное: мы говорим, что они «буные». Разве не мог бы кто-то натре-
нироваться замечать вещь буного цвета и вместе с тем не заме-
200

V, 1941 и 1944
чать, является ли она также красной? Этот человек умел бы сооб-
щать только: «буное» или «небуное». А мы могли бы из первого
сообщения делать заключение, что вещь частично красная.
Я представляюсебе, будто рассмотрение цвета осуществляется с
помощью некоего психологического сита, которое позволяет ус-
мотреть лишь то, что плоскость сине-бело-красная (французское
трехцветие) или же что она не такова.
Ну, а если усмотрение того, что поверхность частично красная, —
это особого рода наблюдение, то как оно может логически следо-
вать из предыдущего? Ведь логика не может сказать нам, что мы
должны узреть.
Кто-то считает яблоки в ящике; он считает до 100. Кто-то другой
говорит: «Ну уж пятьдесят-то яблок, во всяком случае, в корзине
есть» (это все, что его интересует). Это ведь своего рода логичес-
кое заключение; но разве это также и не особый опыт?
43. Плоскость, разделенную на ряд полос, рассматривают нес-
колько людей. Каждую минуту все цвета полос одновременно из-
меняются.
Сейчас цвета таковы: красный, зеленый, синий, белый, черный,
синий.
Воспринимаются: красный · синий · zd черный : =э · белый.
Воспринимаются также:
~ зеленый zd '-белый,
и кто-то делает заключение:
~ зеленый з : красный · синий · -черный.
А такие импликации суть «material implications» в расселовском
смысле.
Но можно ли зрительно воспринять, что
к · с · z> ч : => · б?
Не воспринимается ли сочетание цветов, то есть, например, к · с ·
• ч · б, и не из этого ли выводится такое предложение?
201

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
Но разве невозможно, вглядываясь в плоскость, целиком сосредо-
точиться на том, окрасится ли она в зеленый цвет или не в зеле-
ный; и следует ли тогда, видя ~з, обращать внимание на особый
цвет плоскости?
А разве кто-то не может быть целиком поглощен конфигурацией
к · с · з ч : и> · б? Если он, например, приучен рассматривать
плоскость только с этой точки зрения, забывая все остальное.
(При особых обстоятельствах людям могло бы быть безразлично,
красные ли предметы или зеленые; но было бы важно, окрашены
ли они в один из этих цветов или в какой-нибудь третий. И в
этом случае могло бы существовать какое-то цветовое слово для
«красного или зеленого».)
Однако если можно углядеть, что
к · с · z> ч : z> · б?
и
~з=)~ б,
то можно также узреть, а не просто логически заключить, что
-зэ:к'С-ч.
Если это три зрительных восприятия, то должно быть также воз-
можно, чтобы третье восприятие не совпадало с логическим выво-
дом из первых двух.
Итак, можно ли тогда представить себе, чтобы кто-то, рассматри-
вая какую-то плоскость, видел сочетание красно-черного (напри-
мер, как флаг), настраиваясь же на видение одной из двух поло-
вин, видел бы вместо красного синий? Что ж, ты это только что
описал. — Это примерно так же, как если бы кто-то, глядя на
группу яблок, воспринимал ее все время как две группы по два
яблока в каждой, но как только он пытался бы охватить их в це-
лом одним взглядом, ему казалось бы, что их 5. Это было бы
очень странным феноменом, притом не из числа тех, на возмож-
ность которых мы обращаем внимание.
Вспомни о том, что ромб, воспринимаемый как бубновая масть,
выглядит не как параллелограмм. Однако не потому, что его про-
тивоположные стороны кажутся не параллельными, а потому, что
мы не замечаем параллельности.
44. Я мог бы представить себе, что кто-то говорит, будто он видит
красно-желтую звезду, но не видит ничего желтого, потому что он
видит звезду как сочетание цветовых частей, разделить которые
он не в состоянии.
202

V, 1941 и 1944
Например, перед ним фигуры типа
На вопрос, видит ли он красный пятиугольник, он ответил бы
«да»; на вопрос, видит ли он желтый пятиугольник, — «нет». Та-
ким же образом он говорит, что видит синий, а не красный треу-
гольник. — Если обратить на это его внимание, он заявит при-
мерно следующее: «Да, теперь я вижу это; я не рассматривал
звезды таким образом».
И с ним могло бы также случиться, что он не в состоянии был бы
отделить друг от друга цвета в звезде, так как не мог бы отделить
друг от друга формы.
Не может научиться обозревать географию некоего пейзажа тот,
кто продвигается в нем так медленно, что забывает один участок,
подходя к другому.
45. Почему я все время веду речь о принудительности правила;
почему не о том, что я могу хотеть следовать правилу? Это ведь
столь же важно.
Но я хочу сказать не о том, что правило вынуждает меня действо-
вать таким образом, а о том, что оно дает мне возможность при-
держиваться его и позволять ему принуждать меня.
И тот, кто, например, играет в некую игру, придерживается ее
правил. Причем интересно то, что люди для собственного удоволь-
ствия устанавливают правила и затем придерживаются их.
Мой вопрос заключался, собственно, в следующем: «Как может
человек придерживаться некоего правила?» И образ, который мог
бы здесь всплыть, — это образ короткого участка перил, с помо-
щью которого он должен продвинуться дальше, чем хватает пе-
рил. [Но ведь то, что там есть, — ничто; однако то, что там
есть, — все же не ничто]] Ибо если я спрашиваю: «Как может
человек ...?» — то это означает, что что-то кажется мне здесь па-
радоксальным', стало быть, меня запутывает какой-то образ.
203

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
«Я совсем не думал о том, что эта вещь также и красная; я видел
ее только как часть многоцветного орнамента».
Логическое заключение — это переход, который оправдан в том
случае, если он следует определенной парадигме, и законность ко-
торого не зависит больше ни от чего другого.
46. Мы говорим: «Если, умножая, ты действительно следуешь
данному правилу, то должно получиться то же самое». Если же
это лишь несколько истеричный способ выражения, характерный
для университетского языка, то нам не следует слишком уж этим
интересоваться.
Но это выражает повсеместно наблюдаемое в нашей жизни отно-
шение к технике вычислений. Акцент же на долженствовании со-
ответствует лишь непреклонности такого отношения к этой техни-
ке вычисления и к бесчисленным родственным ей техникам.
Математическая необходимость — это только иное выражение то-
го, что математика формирует понятия.
А понятия служат для понимания. Они соответствуют определен-
ному способу действий с ситуациями (Sachlagen).
Математика образует сеть норм.
47. Возможно видеть комплекс, образованный из А и В, не видя
А или В. Можно также называть этот комплекс «комплекс из А и
В>> и думать, что это название указывает на некое родство этого
целого с А и Б. Так, возможно сказать, что видишь комплекс, об-
разованный из А и Б, не видя ни А, ни В. Например, так, что
можно было бы сказать: здесь есть красновато-желтый цвет, но
нет ни красного, ни желтого.
Ну, а могу ли я иметь перед собой А и В и видеть их обоих, но
зрительно воспринимать только Α ν ΒΊ Что ж, в известном смыс-
ле это все же возможно. И притом я представил бы себе это так,
что воспринимающий поглощен определенным аспектом; что он,
например, имеет определенного типа парадигму; что он привер-
жен определенному навыку применения. — И так же, как он мо-
жет быть ориентирован на Α ν jB, он может быть ориентирован и
на А · В. То есть он замечает только А · В и не замечает, напри-
мер, А. Быть ориентированным на Α ν Б означает, так сказать,
реагировать на вот такую ситуацию понятием „Α ν В", И точно
так же можно, конечно, обращаться и с А · В.
Скажем, кого-то интересует только А · В, и, что бы ни происходи-
ло, он формулирует только суждения «А · В>> или «~(А · В)», и я
204

V, 1941 и 1944
могу себе представить, что он вынесет суждение «А · В>> и на вопрос:
«Видишь ли ты В?>> — скажет: «Нет, я вижу А · В>>. Примерно так
же, как тот, кто видит А · В, не согласится с тем, что он видит Α ν В.
48. Но «видение» плоскости «целиком красной» или «целиком си-
ней»— это ведь «настоящий» опыт, и все же мы говорим, что
нельзя иметь одновременно оба эти опыта.
А если бы человек уверял нас, что видит эту плоскость действи-
тельно целиком красной и целиком синей одновременно? Мы
должны были бы сказать: «Ты сообщаешь нам нечто непонятное».
Предположение «1 фут = ... см» для нас вневременно. Но можно
было бы представить себе такой случай, в котором мера фута и
мера метра постепенно как-то изменялись бы, и тогда для пере-
счета одной в другую их пришлось бы все время сравнивать.
А разве соотношение длин метра и фута у нас не определено экспери-
ментально? Определено; но результат получил статус правила.
49. В какой мере можно утверждать, что предложение арифмети-
кидает нам некое понятие? Что ж, давайте будем интерпретиро-
вать его не как предложение, не как решение ого или иного воп-
роса, а как некую — каким-то образом принятую — связь понятий.
252 и 625, соединенные знаком равенства, дают мне, можно ска-
зать, новое понятие. И доказательство показывает, что такая
связь получается благодаря этому равенству. — «Давать какое-то
новое понятие» может лишь означаь: вводить новое использование
понятия, некую новую практику.
«Как можно отторгнуть предложение от его доказательства?» Этот
вопрос свидетельствует, конечно, о неправильном понимании.
Доказательство — это окружение предложения.
«Понятие» — это расплывчатое понятие.
50. Не в каждой языковой игре присутствует что-то, что мы на-
звали бы понятием.
Понятие — это что-то, подобное изображению, с которым сравни-
вают предметы.
Разве есть понятия в языковой игре (2) *? Но ее нетрудно расши-
рить таким образом, чтобы «плита», «куб» и т. д. стали понятия-
ми. Например, с помощью какой-то техники описания или изоб-
ражения таких предметов. Конечно, нет никакой резкой границы
между языковыми играми, работающими с понятиями, и прочими
языковыми играми. Важно, что слово «понятие» относится к не-
коему типу вспомогательного средства в механизме языковых игр.
205

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ
51. Рассмотрим какой-либо механизм. Например, этот:
В то время как точка А описывает круг, В описывает фигуру
восьмерки. И мы запишем это как предложение кинематики.
Когда я привожу механизм в действие, его движение доказывает
мне данное предложение; так же как. это делал бы чертеж на бу-
маге. Данное предложение примерно соответствует изображению
механизма, с нарисованными траекториями точек А и В. То есть
в известном отношении оно представляет собой изображение этого
движения. Оно фиксирует то, в чем убеждает меня доказатель-
ство. Или — в чем оно меня уговаривает.
Если доказательство регистрирует ход процесса согласно определен-
ному правилу, то тем самым оно порождает какое-то новое понятие.
Порождая новое понятие, оно убеждает меня в чем-то. Ибо для
этого убеждения существенно, что протекание процесса по этим
правилам всегда должно порождать одну и ту же конфигурацию.
(«Одну и ту же» соответственно нашим обычным;правилам срав-
нения и копирования.)
Отсюда возможно утверждать, что доказательство должно демон-
стрировать наличие внутреннего отношения. Ибо внутреннее отно-
шение — это операция, порождающая одну структуру из другой,
понимаемая как эквивалент изображения самого этого перехода,
так что теперь переход, соответствующий этому ряду изображе-
ний, ео ipso представляет собой переход, соответствующий таким
правилам операции.
206

ПРИМЕЧАНИЯ
Стр. 17 1 Замечание на полях рукописи: Означает ли здесь «такое соот-
ветствие» корреляцию фигур самого доказательства? Не может
быть чего-то такого, что одновременно выступало бы и мерой, и
тем, что измеряют. [Примечания, кроме тех случаев, где это ого-
варивается особо, принадлежат издателям книги. — Ред.]
Стр. 18 2 Замечание на полях рукописи: Я могу попытаться найти нечто,
соответствующее этой фигуре, но это не будет другая подобная же
фигура, и мне придется согласиться с тем, что ничего близкого ей
быть не может.
Стр. 29 3 Логико-философский трактат, 6. 1261: «В логике процесс и
результат эквиваленты».
Стр. 45 4 Grundgesetze der Arithmetik, Ι. XVIII.
Стр. 89 * Но ср. § 38.
Стр. 111 * Философские исследования, § 2.
Стр. 157 * Под экстенсиональным подходом тут подразумеваются конструк-
тивные, геометрические наглядные иллюстрации к смыслу матема-
тических выражений, интенсиональный же подход приравнивает-
ся к постижению самого этого смысла. — Ред.
Стр. 160 * За неимением лучшего (фр.) — Перев.
Стр. 188 * В оригинале — игра слов: Eigenschaftswörter — прилага-
тельные, Eigenschaften — свойства. — Перев.
Стр. 191 * Здесь, вероятно, имеется в виду король, который издал следую-
щий закон: «Каждый иностранец должен указать цель своего при-
езда; тот, кто скажет неправду, будет повешен». Один софист зая-
вил, что он приехал для того, чтобы быть повешенным на основа-
нии этого закона.
Стр. 192 * В русском языке ср. аналогичный вариант: «Медведь—Топты-
гин». — Перев.
Стр. 205 * Философские исследования, I, § 2.

Феноменология, герменевтика, философия языка
Л. Витгенштейн
Философские работы (часть II, книга 1)
Художник
А. Бондаренко
ЛР N 050032 от 11 октября 1991 г.
Издательство «Гнозис»
119847, Москва, Зубовский бульвар, 17
Тел. (095)246-5632
Факс (095)246-6905
Подписано к печати 02.09.94. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Гарни-
тура Бодони. Печать офсетная. Тираж 10000 экз.
Заказ N 1923
Отпечатано с оригинал-макета в Московской типографии N 2 «РАН»
121099, Москва, Шубинский пер., 6.

В серии
«Феноменология. Герменевтика. Философия языка»
вышли в'свет:
ЛЮДВИГ ВИТГЕНШТЕЙН
ИЗБРАННЫЕ ФИЛОСОФСКИЕ РАБОТЫ
М. Козлова. ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
(о заметках Л. Витгенштейна)
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКИЙ ТРАКТАТ (1921)
ФИЛОСОФСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ//^
О ДОСТОВЕРНОСТИ
КУЛЬТУРА И ЦЕННОСТЬ
Первая на русском языке попытка представить собрание
основных работ Людвига Витгенштейна — одного из наиболее
оригинальных и глубоких мыслителей нашего века, труды и
учение которого принадлежит к числу высочайших достижений
мировой культуры.

МАРТИН ХАЙДЕГГЕР
РАБОТЫ И РАЗМЫШЛЕНИЯ РАЗНЫХ ЛЕТ
А. Михайлов. ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ.
БЫТИЕ И ВРЕМЯ (1927)
ИЗБРАННЫЕ ПАРАГРАФЫ
DER URSPRUNG DES KUNSTWERKES
ИСТОК ХУДОЖЕСТВЕННОГО ТВОРЕНИЯ (1936)
Г. -Г. Гадамер. Введение к
ИСТОКУ ХУДОЖЕСТВЕННОГО ТВОРЕНИЯ (1955)
ИЗБРАННЫЕ РАБОТЫ РАЗНЫХ ЛЕТ (1933-1970)
ВРЕМЯ КАРТИНЫ МИРА, СЛОВА НИЦЩЕ "БОГ МЕРТВ", САМОУТВЕРЖДЕНИЕ
НЕМЕЦКОГО УНИВЕРСИТЕТА...
В книге собраны переводы на русский язык произведений одного
из крупнейших философов XX века, большей частью относящих-
ся к философии искусства и культуры. В основу собрания поло-
жен перевод важнейшего в этой тематике трактата «Исток худо-
жественного творения», параллельно с оригинальным немецким
текстом.
Представляя характернейшие образцы своеобразного художест-
венного стиля хайдеггеровской философии, предлагаемое собра-
ние заинтересует самые широкие круги мыслящей публики.
Сборник представляет собой плод многолетних занятий творчест-
вом Хайдеггера известного философа и филолога-германиста А.
В. Михайлова. Продуманный отбор текстов и осмысленная их
композиция в книге, обширное введение и развернутые коммента-
рии превращают сборник в цельное, проникнутое единым замыс-
лом произведение.

МАКС ШЕЛЕР. ИЗБРАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ФИЛОСОФСКОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ (1929)
СБОРНИК СТАТЕЙ
DIE STELLUNG DES MENSCHEN IM KOSMOS
ПОЛОЖЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА В КОСМОСЕ (1927)
ФЕНОМЕНОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ (1914)
ФОРМАЛИЗМ В ЭТИКЕ И
МАТЕРИАЛЬНАЯ ЭТИКА ЦЕННОСТЕЙ (1913):
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ;
РАЗДЕЛ 2. ФОРМАЛИЗМ И АПРИОРИЗМ
ORDO AMORIS (1916)
Л. А. Чу хина
ЧЕЛОВЕК И ЕГО ЦЕННОСТНЫЙ МИР В ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ
ФИЛОСОФИИ МАКСА ШЕЛЕРА
Избранные произведения Макса Шелера (1874-1928), известного
немецкого философа впервые издаются на русском языке
отдельным изданием. Представлены наиболее значительные труды
мыслителя по теории познания и феноменологии, аксиологии и
этике, антропологии и общим мировоззренческим проблемам.
Ученик Эд. Гуссерля, собеседник и оппонент М. Хайдеггера,
Шелер занял в истории философии XX века самостоятельное,
чреватое напряженными поисками смысла исторического бытия
человеком место. Его взгляды оказали существенное влияние на
мировоззрение ряда русских религиозных философов,
проживавших в эмиграции в середине века (Н. Бердяев,
Л. Шестов и др.) и безусловно найдут отклик в широких кругах
современных исследователей, гуманитариев, вообще людей
склонных к умозрению.

В серии
«Феноменология. Герменевтика. Философия языка»
готовятся к печати (февраль-март 1995 г.):
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ (Антология).
Под общей редакцией проф. А. Ф. Грязнова
Книга содержит тексты более чем 30 авторов, в полной мере
представляющих аналитическую традицию философствования в
XX веке, в том числе:
Г. Фреге. Функция и понятие, Понятие и вещь
Б. Рассел. Логический атомизм, Мое философское развитие
Л. Витгенштейн. Голубая книга
Д. Э. Мур. Доказательство внешнего мира,
Защита здравого смысла
Р. Карнап. Преодоление метафизики
М. Шлик. Поворот в философии
К. Гемпе^ль, П. Оппенгейн. Логика объяснения
Г. Райл. Понятие сознания (Гл. I, X)
П. Стросон. Смысл и истина
B. Куайн. Вещи и их место в теориях
Д. Дэвидсон. Метод истины в метафизике
Дою. Хакинг. Почему язык важен для философии
Д. Деннет. Онтологические проблемы сознания
C. Крипке. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке
М. Даммит. Может ли аналитическая философия быть
систематической и должна ли она быть таковой
Б. Страуд. Аналитическая философия и метафизика
Д. Фодор. Пропозициональные установки
и др.
ЖАК ЛАКАН. ФУНКЦИЯ И ПОЛЕ РЕЧИ И ЯЗЫКА В
ПСИХОАНАЛИЗЕ. FONCTION ET CHAMP DE LA
PAROLE ET DU LANGAGE EN PSYCHANALYSE.

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ В РОССИИ
(Антология). Под общей редакцией И. М. Чубарова
Книга содержит тексты более чем 20 авторов, в полной мере
представляющих рецепцию феноменологической философии в
России, в том числе:
Ахманов А. Интеллектуальная интуиция и мистическое
созерцание
Вокач Н. Зигварт и проблема логики
Волков Н. О суждении
Гурвич Г. Феноменологическая философия в Германии;
Э. Гуссерль.
Жинкин Н. Вещь
Зеньковский В. Проблема психической причинности.
Копре А. Эволюция М. Хайдеггера; Философ и техника.
Кунцман А. Психология мышления Ф. Брентано, Г. Уфуеса, Э.
Гуссерля и К. Штумпфа.
Ланц Г. Эд. Гуссерль и психологисты наших дней.
Литауэр Е. «Бытие и время» Мартина Хайдеггера
Лосев А. Музыка как предмет логики.
Лосский Н. Трансцендентально-феноменологический
идеализм Гуссерля.
Сеземан В.Е. К проблеме чистого знания.
Цирес А. Возможность
Челпанов Г. И. Брентано и Гуссерль о предмете психологии
Шпет Г. Г. Язык и смысл
Яковенко Б.В, Философия Эд. Гуссерля;
Критические заметки о феноменологии.
И др.
ФРАНЦ БРЕНТАНО. ПСИХОЛОГИЯ С ЭМПИРИЧЕ-
СКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ.