Текст
ИЗДАТЕЛЬСТВО
БРОКГАУЗ-ЕФРОН
Ленинград, Прачешный пер., 6. Тел. 553-92.
А. Я. — В. А. ГЕРД — Минералогия. Ц. 60 коп. (распродана).
Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ—Элементарная алгебра, ч. I.
„ Методика геометрии.
ЭКОНОМИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ЭКСКУРСИИ. Ц. 1 р. 30 к.
И. Я. ГЕРД — Игры.
ПЕЧАТАЕТСЯ:
Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ — Элементарная алгебра, ч. III.
„ Теория конических сечений.
„ Основы сферической геометрии.
Л. В. ГЛАГОЛЕВА — Детские площадки.
На складе издательства осталось в небольшом количестве.
А. Я. ЮСЕВИЧ — Стереометрия в стереоскопе, в 3-х -сериях.
Ц. 6 руб.
Г. ЁУНГЕ — Учебник физиологии человека, в 2 томах. Ц. 60 к.
Проф. Ю. ГАНН и проф: Э. БРЮКНЕР — Общее землеведение,
в перепл. Ц. 2 р. 50 к.
Проф. Ф. РАТЦЕЛЬ — Земля и жизнь, ч. I, в пер. Ц. 2 р. 50 к.
ч. II, в пер. Ц. 2 р. 50 к.
Г. ГЮрИХ — Минрпалкнпр няпгтвп п прп П О к-
Проф.
Проф.
Проф. .
Проф. В
Проф. «
И. BAJ
В. ШЕ1
Л. ГРА
О. MEL
Ф. ФРЕ
Р. ТИ1*
Ф. КНА
ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ
обозначенного здесь срока
№ 74. ВЦ*ч huur и. ■
! Н. Извольский
ЬЧ(-
КУРС
13
элементарной алгебры
г
qrf ; ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Допущено Государственным Ученым Советом
15-го Мая 1923 г. N: 1321
ЛЕНИНГРАД У
ИЗДАТЕЛЬСТВО БРОКГАУЗ-ЕФРОН
1924
ree74»*y
ш л ''W'
- v\&
V
Склад издания: „Центральный книжный склад про¬
фессиональных союзов железнодорожников и вод¬
ников" (б. Цектран).
Москва, Ильинка, Козьмодемиановский переул., 5.
Ленинград, Проспект Володарского, S3.
Харь нов, Московская, 23.
Типография Издательства Брокгауз-Ефрон. Ленинград, Прачешный пер., 6.
Ленинградский гублпт .М- 400. Тираж 30000 зкз.
Часть ТТ.
I. Изучение действия извлечения корней.
1. Основное равенство для извлечения корней. Мы уже немного
знакомы с этим действием: извлечение корня есть действие,
обратное возведению в степень, при помощи которого по данной
степени и по данному показателю степени находят основание сте-
'нени. Пока мы рассмотрим лишь извлечение корня из арифмети¬
ческих чисел.
Если написано
4,
Iх S1
то 81 есть данная степень — она теперь называется подкорен¬
ным числом, 4 есть данный показатель степени — он назы¬
вается теперь показателем корня. В данном примере легко
подбором [(?)4 =81] найти искомое основание; оно есть число 3, т.-е.
$ si з
Найденное основание называют теперь „корень*. Известно
также, что самый простой показатель корня, 2, не пишется:
У 64 означает „корень 2-ой степени (квадратный корень)
из числа 64“.
Если написано
то а есть подкоренное число, п есть показатель корня. Если
удастся найти искомое основание степени и после этого написать
— 4 —
то это значит:
То же самое можно написать и в такой форме:
п
Объяснение 1. Ведь Ъ=V а , подставим это значение Ь на
место Ъ в равенстве Ъп — а} тогда и получимп/
Объяснение 2. Когда пишут У а , то это значит, что же¬
лают найти число, которое после возвышения в w-ую степень
которое после возведения в w-ую степень дает о; к
свыкнуться с ним, а это можно математически выразить уравне-
является основным и в дальнейшем нм часто придется пользо¬
ваться.
2. Другие равенства для норней. Если мы возьмем какое-ни¬
будь число, например 7, возведем его в куб—получим 7» = 343,
а затем потребуем извлечь кубичный корень (корень 3-ей сте¬
пени) из полученного числа 343, то ответ ясен:
дает а, другими словами, выражение V а выражает число,
этому взгляду на выражение У а следует привыкнуть и
Это равенство
343 =7.
Так же точно
17®= 289, след., V 289 = 17
64 = 1296, „ У' 1296 = 6
и т. п.
— 5 —
Вообще:
в 4 п
1/a? —a, V,a3 = a, Va* = a,...Van —а.
Итак,
VV = a, Vv = b.
Возникает вопрос: нельзя ли эти 2 подкоренных числа я2 и
й2 соединить знаком какого-либо действия —, . или :) и
после этого с такою же легкостью извлечь корень квадратный из
полученного выражения?
Попытаем сначала соединить а2 и Ь2 знаком сложения и
извлечь квадратный корень из полученного выражения, другими
словами: разберем, не будет ли справедливо равенство
Va? -J- ft2 — a -j- Ъ ?
Для его поверки надо а-\-Ь возвести в квадрат, но мы знаем,
что
(я -)- Ъ)2 — a2 -j- 2 ab -j- b2
Отсюда видим, что предыдущее равенство несправедливо и,
следовательно, мы не можем, не заменяя буквы числами, извлечь
корень квадратный из суммы яа-(-Ь2, несмотря на то, что из
каждого слагаемого отдельно мы этот корень можем извлечь.
Так же точно, соединив а2 и Ьг знаком вычитания, проверим,
не будет ли справедливо равенство
l/a* —Р==а —Ь?
Но мы внаем, что
(а — Ь)2 — «2 — 2 ah 1>2
откуда видим, что вышенаписанное равенство неверно, т.-е. мы
не можем, не заменяя буквы числами, извлечь корень квадратный
из разности, хотя бы и из уменьшаемого отдельно и из вычи¬
таемого этот корень мы могли бы извлечь.
Далее проверяем равенство
Va2 .Ь2 = а . Ъ
— (j —
(« b)s = abdb ~as l?, откуда видим, что это равенство оправды¬
вается. Возникает вопрос: возможно ли распространить этот ре-
зультам и на корни любой степени (не квадратные)?
Наконец, поверяем равенство:
/я® а
W~'b
m / а V я я а . а я2
Так как^-J _т . Г h ъ = ^ то это равен¬
ство справедливо, и возникает вопрос о возможности его распро¬
странения на корень любой степени.
Итак, рассмотрим 2 возникших вопроса.
1. Справедливо ли равенство
п и п
• "V ab — V а . vhl
(Ведь равенство Vas1/ —аЪ можно было бы написать н в
виде Vu* b* = Va* . Vb*).
В этом равенстве мы желаем извлечь корень «-ой степени из
произведения двух чисел я и б, и возникает вопрос, равен ли
или нет этот корень выражению nVb Для поверки надо
этот предполагаемый результат возвести в спепень п; если после
этого получится подкоренное число аЪ, то результат верен.
/«_ »_\”
V Vn Vb j ■ • ■ • здесь возводится в и-ую степень произве¬
дение двух множителей, что нам неоднократно приходилось де¬
лать при действиях с одночленами [например, (4a)s=64 а3,
(За® &®)4 = 81а8 Ьи и т. д.], и мы знаем, что должно возвести в
эту степень каждый множитель, т.-е.
(йГ n)"=(vaj{vr)
Но мы уже знаем основное равенство для корней, а именно:
—а [так же точно ^ — &_ • Поэтому
(ЙГ йг)"= (йг)‘ (fr)'=*
я
т.-е. получили подкоренное число аЬ для Vab. Итак, равенство спра¬
ведливо, — всегда
п я я
Vab — Va Vb .
Это равенство мы должны читать словами, и это можно сделать
трояко:
1) Чтобы извлечь корень какой-нибудь сте¬
пени из произведения, можно извлечь его из ка- ^
ждого множителя отдельно и полученные резуль¬
таты перемножить.
2) Корень какой-нибудь степени из произве¬
дения равен произведению корней тех же сте¬
пеней из множителей.
Иногда говорят сокращенно: корень из произведения
равен произведению корней.
3) Напишем наше равенство в обратном порядке:
П Я Я
Va Vb ~Vah
и прочтем:
произведение корней одинаковых степеней
равно корню той же степени из произведения
подкоренных чисел
или сокращенно: произведение корней равно корню
из произведения.
Ясно, что это равенство можно распространить и на большее
число множителей, т.-е.
я п п п я
V abed ... = V& Vb V с Vd . . .
и обратно:
п я я
Va Vb Ус . . . = V abc . . .
Далее подлежит поверке равенство:
П 1 П
л/ “ — У.а ч
V ъ ~~ ■
' Vh
Va
Также точно должно возвести в степень п: если полу-
Уъ
чится подкоренное число
то равенство справедливо
Мы уже не раз возводили в степень дроби и знаем, что прихо¬
дится возводить в эту степень и числителя и знаменателя,
т.-е. получим:
( п Л П У п и
Va \ __ {Va)
^,,7 " (Vb?
Но мы уже знаем, —а и (уУ}П =Ь
Следовательно,
=
(П v П
Уь)
Это показывает, что испытуемое равенство справедливо, т.-е.
имеем:
П
Va
П .
Уъ
а
Т
7»
п .
V а
Vb
Это равенство станем читать словами трояко:
1) Чтобы извлечь корень из дроби (или: из част¬
ного), можно извлекать этот корень отдельно
из числителя (или: из делимого) и отдельно из
знаменателя (или: из делителя).
— 9 —
2) Корень какой-либо степени из частного ра¬
вен частному корней той же степени из делимого
и делителя.
Или сокращенно: корень из частного равен частному
корней.
3) Напишем наше равенство в обратном порядке:
и прочтем:
частное корней одинаковых степеней рав¬
няется корню той же степени из частного подко¬
ренных чисел
или сокращенно: частное корней равняется корню
из частного.
3. Извлечение корня из степени. Мы уже видели,
— 3/ —
что Vя2 = я, у «* = п и т. н. Мы можем развить эти знания
дальше: мы не можем-извлечь Уя, не заменяя я числом, но
можем это сделать для Уя2, который равен о; мы не сможем
также извлечь УяЗ, но ясно, что Va4~а2 [ибо (я2)2 = я4] и т. д.
Уя ... не можем извлечь; Vas = a; Уяз не можем из¬
влечь; Va4 = fP; Va5 ... не можем извлечь; Vae — a3 и т. д.
\
s
3
Также:У а не можем извлечь; Va2 не можем извлечь;
з _ н з
Уяз=я;Уя* . . . не можем извлечь; Vя6 не можем извлечь;
з 8 з
Уяс=яа; Va1 не можем извлечь; У я8 не можем извлечь;
з _ з _
У Я9 = я8 . . . Уя15 = я5 и т. д.
— 10 —
Также: V~a, Va2, V/«si Vai не можем извлечь,
5 _ 5 5 5 5
но 1/а5 = а\ VaVa-, Va8, Va9 не можем извлечь,
3/—. з.
но VflI0 = flS . . . Ун15 = «з и т. д.
Из этих примеров мы приходим к общему заключению: ко¬
рень нз степени мы сможем извлечь только тогда,
когда показатель степени кратен показателю-
\JtopHio (т.-е., когда показатель степени делится на показателя
корня без остатка), и для того, чтобы выполнить это
извлечение корня, надо разделить показателя
степени подкоренного числа на показателя
корня.
Это заключение можно записать математически так:
V
Vam = a (если -^- — целому числу;.
4. Извлечение корня из относительных чисел. До сих пор мы
имели в виду лпшь арифметические числа; дело несколько
усложняется, если рассматривать относительные числа. Так, если
надо вычислить)^ -)-9, то мы найдем, что 1) (—|— З)2—}— 9 и
2) (—Я)2 = -)-9, т.-е. искомым основанием степени может быть
число п -|- 3 и — 3 (других чисел быть не может, так как абсо¬
лютная величина данной степени 9 можег получиться от возве¬
дения в квадрат только арифметического числа 3). Итак, V 9
может иметь 2 значения: и -|-3 и —3; это записывают в виде
V -(-9 = ± 3 („корень квадратный из -{- 9 равен или 3 или
— 3“). Так же точно V -\-2Ь — ± 5 и т. и.
Возьмем затем V — 9. Мы видим, что абсолютная величина
искомого корня должна быть = 3, но если взять это число 3 со
знаком -1 или со знаком — и возвести в квадрат, то получится
+ 9, а не —9.
Отсюда мы приходим к заключению, что вовсе нельзя найти
такого относительного чпела, чтобы его квадрат равнялся — 9,
— 11 —
другими словами вовсе нельзя извлечь V — 9. Так же точно не¬
возможно извлечь и корни: V — 1, V— 25, У — 10и и т. и.
Рассмотрим далее извлечение кубичного корня:
1)V -)-8 ... легко видеть, что (—|— 2)3 = —8, но(—2)3 = •—8;
след.,У -j- 8 имеет лишь одно значение, а именно v -)-8 = + 2;
з 3
также V =+1 V + 64 = + 4 и т. д.
з з
2) V — 8 = — 2 (это видно из предыдущего); V — 1 = — 1;
8/
V—64=—4 и т. д.
Далее мы легко уже найдем:
4 4 4
V 4-1 =±1; У + 81 =±3; V +10000 =±10, но
4 4
V —1 невозможен, V —81 невозможен и т. д.
5 5 5 5
V+1 =+1, V— 1=— 1. У +32 =+2; ] —32 = — 2
и т. д.
в, 6 7
> +1 =±1, но 1 —1 невозможен, V +1 = + 1,
V —1 = — 1 ит. д.
Отсюда уже нетрудно сделать и общее заключенге:
корень четной степени из положительного
числа имеет 2 значения, положительное н отри- у
цательное; корень четной степени из отрица¬
тельного числа вовсе невозможен; корень не¬
четной степени из положительного числа имеет
лишь положительное значение, а из отрицатель¬
ного— лишь отрицательное.
— 12 —
\i 5. Извлечение корня из одночленов и из простейших многочленов.
На основании тех равенств, какие мы имели в предыдущих пп°г
мы можем извлекать корни из одночленов, если можно извлечь корень
из коэффициента и если показатели степеней букв, входящих мно¬
жителями в одночлен, делятся без остатка на показателя корня.
Так:
\/ V'8d^A»=VrS - V'a* . =2.п*.&
На основании равен- На основании пра-
пГТГ п/~~ пгГ п/~~ вила извлечения
ствауоЬс^=\/ayb ус корня и8 степени.
а ■*,. а 4 _
_ / о4 .к8 V пА з? VпА V^x8 ах2
■ \ У 8164,У12 4 ~ 4 4 _ 4__ Wf
\/ 81 h*yis |/в1 \/ Ъ*]/у 12
«Корень ив частного = част- «Корень ив произве-
ноыу корней». дения = проивведе-
нию корней».
Мы можем, если имеем дело с относительными числами, ре-
O-jC2
зультат написать в таком виде: ± "'V‘yT~ ^то наД° истол¬
ковать так: после того, как буквы а, Ь, л и у будут заменены
определенными числами и будут сделаны все вычисления, можно
. полученный результат взять с тем же знаком или с обратным.
Конечно, извлечения корней, подобные предыдущим, должно
выполнять сразу, т.-е.
]/ 25а?Ь6~~ — 5с№\ ./ 32а10 2ы8
\ 615с25 \!А<?
]/ ап bSn cSn =^ab2(? и т. д.
Также легко извлекаются теперь корни из арифметических
чисел, вроде следующих:
\/ 1600 =40(объяснение: фЛбОО = j/ 16.100 = ]/ 16.|/l00)
у 125000 = 50 (объяснение: у 125000 = у 125 . 1000:
= 1/125. 1/1000).
— 13 —
Ноконед, мы можем теперь в некоторых случаях извлекать
корни и из многочленов. Так:
У о* + 2сЛ + А* = о + й [ибо а* +2 аЬ + Й2 = (а + 6)2[ у
У а® — 3а% -j- 3(Л? — 6* ='а—Ъ [ибо а3 — 3а*А -f- Зой2,—Ь® =
= (о —б)3].
з — _ . _ _ _
У ж2 —бж + 9 —ж —3; ]/ ж3 +Зж3_|-Зж-|-1 =
= ж 1 и т. д.
6. Извлечение квадратного корня из чисел. Подобно тому, как
деление (действие, обратное умножению) многозначных чисел
основывается на знании таблицы умножения, в которой даны
произведения однозначных чисел, взятых попарно'; так же точно
извлечение квадратного корня из многозначных чисел основы¬
вается на таблице возведения в квадрат однозначных чисел, а
именно — на таблице:
1 2 = 1: 22 = 4; 3* = 9: 4*=16; Ь2 = 25; 6* = 3fi; 72= 49;
8*= 64; 9s = 81.
Зная эту таблицу „полных квадратов1 (каждое из чисел 1, 4,
9, 16... 81 есть квадрат какого-либо целого числа), мы сразу
пишем следующие равенства:
У 1 = 1; У 4=2; |/9 =3: ]/ 16 = 4; ]/ 25 =5;
У 36 =6; У 49 = 7; ]/ 64 =8; У 81 =9.
Полезно также помнить (они, благодаря практике, легко запо¬
минаются) и другие полные квадраты некоторых двухзначных чи¬
сел: 100= 10s; 121 = II2; 144=122; 169 = 13*;, 225 = 15s;
400 = 202; 625=25* и т. п.
Из этих полных квдратов мы также сразу извлекаем квадрат¬
ный корень. Например: У 169 = 13; ]/ 625 = 25.
Научимся теперь извлекать квадратные корни из других пол¬
ных квадратов, о которых мы сразу не сообразим (и не вспомним),
квадратом какого именно целого числа является каждый из них. Рас-
— 14 —
смотрим, например, |/в41, у 2209, ]/ 11664 и другие. Так как
10®= 100, то мы заранее можем сказать, что 841, 2209, 11664
могут служить квадратами или двухзначных или трехзначных,
четырехзначных и т. д. чисел. Всякое двухзначное, трехзначное,
четырехзначное и т. д. число может быть разбито на десятки и
единицы. Например:
\1 56 = 3 десятков -|- 6 единиц = 50-1-6
173= 17 десятков-{-3единицы= 1 ТО —)— 3
5417 = 541 десяток -j-7 единиц— 5410 j- 7
и т. д.
Вообще, всякое многозначное число может быть разбито на
десятки н на единицы, и оно может быть представлено в виде
а-уЪ,
где а выражает собою десятки этого числа, раздробленные в
единицы, а Ъ выражает разряд единиц.
Поэтому, напр., о нашем V841 мы можем написать:
1/841 =а-1 Ъ.
Остается узнать, чему равно а, т.-е. десятки этого корня, и
чему равно Ь, т.-е. единицы этого кория.
Из предположения ]/841= а -)-Ь вытекает:
n/ (a-j-b)a=S41
или
а?841
или
R41 =//2 —2ab-U?)2 (!).
Мы можем это прочесть так: подкоренное число нашего
корня равно квадрату десятков (раздробленных в единицы), плюс
произведение двойки на десятки и на единицы, плюс квадрат
единиц.
Если один десяток возвести в квадрат, получится 1 сотня
(10® = 100); если 2 десятка возвести в квадрат, получатся 4 сотни
(202 = 400): если, напр.. 11 десятков возвести в квадрат, полу¬
чится 121 сотня (1102= 12100) и т. д. — вообще: если несколько
десятков возвести в квадрат, получится несколько сотен. Первый
член а2 вышеиаписанной формулы a2 -j- 2ah -|- Ъ2 выражает именно
квадрат нескольких десятков и должен быть равен, по преды¬
дущему, нескольким сотням.
Поэтому член и- правой части равенства (1) должен заклю¬
чаться в сотнях числа 841, т.-е. в 8 сотнях.
Мы нависали „должен заключаться", но не „должен равняться"
потому, что сотни могут получиться и от другого члена правой
части, а именно от 2ab, выражающего произведение двойки на
десятки и на единицы. Итак:
член а2 должен заключаться в 8 сотнях
нли
квадрат десятков корня должен заключ. в 8 сотнях.
Отсюда вытекает, что для нахождения а (десятков корня)
надо подобрать такое, самое большое, число, чтобы его квадрат
заключался в 8. Это число есть 2 (22 = 4, но З2 — 9). Поэтому
а = 2 десяткам, или в нашем корне 2 десятка.
Теперь мы можем вычислить, что первый член нашей формулы,
стоящей в правой части равенства (1), а именно член а2 равен
4 сотням.
Лычтсм этот член, равный 4 сотням, из обеих частей этого
равенства. Получим:
441 — 'lnb-\-W
пли, заменя а через 2 десятка:
141=2.(2 дес.).Ъ-}-й® = (4&) десятк.-^?»2 . . . (2).
Рассмотрим член „(4Ь) десятков". Он должен заключаться в
44 десятках. Мы пишем опять „должен заключаться", а не
..должен равняться" потому, что десятки могут получиться еще
и от члена Ъ2, выражающего квадрат единиц.
Итак,
4b заключается в 44.
— 16 —
Следов.,
* 44
о заключается в — или в 11.
4
Но Ь есть разряд единиц нашего корня и число Ь ие можеч
быть больше 9. Поэтому попытаем взять 6 = 9. Тогда 46 = 36, а
число: (46) десятк. -|-Ь2 = 36 десяткам-f- (9s) единица360 -f-
-f- 81 = 441. Поэтому равенство (2), а следов, и равенство (1),
оправдываются.
Итак, мы нашли:
1) а=2 десяткам и 2) 6 = 9 единицам.
Следовательно,
V 841 =29.
Так как необходимо озаботиться о выработке механического
навыка при извлечении квадратных корней, то здесь повторим
все предыдущее в измененном виде.
Надо извлечь
W41.
Будем держать в уме формулу а*-\-2аЬ-\-1Р и помнить, что
841 2a6-f-62 (т.-е. квадрату десятков, плюс произведение &
двойки на десятки и на единицы, плюс квадрат единиц). Квадрат »
десятков (а8) заключается в 8 сотнях — отделим сотни числа 841
запятою, поставленной вверху см. выше,—подыскиваем число, '
квадрат которого заключается в 8. Это число есть 2. Итак, в
нашем корне 2 десятка: записываем
V/8,41 = 2...
и помним, что это число 2 выражает десятки корня, а единицы
еще не найдены (на их месте поставлены выше точки). Квадрат
двух десятков дает 4 сотни. Вычитаем их из подкоренного числа.
Мы можем, имея в виду, что в дальнейшем придется иметь дело
с большими числами, записать это вычитание, подписывая под
сотнями число 4:
VV41 = 2 ...
_4
44.1
Полученный остаток должен равняться произведению двойки
на десятки и на единицы, плюс квадрат единиц (т.-е. 2аЬ-\-Ъ?).
Член 2ab, равный, как мы уже знаем, (46) десяткам, должен за¬
ключаться в 44 десятках. Поэтому принято в предыдущей записи
отделять десятки полученного остатка точкою снизу (см. преды¬
дущую запись).
Чтобы узнать Ъ, т.-е. единицы корня, надо, как мы видели
выше, разделить отделенные десятки (44 десятка) на удвоенные,
найденные уже, десятки корня (на 2а). Поэтому найденное число
десятков (у нас получилось 2 десятка) удваивают и полученное
число записывают слева от 441, оставляя некоторый промежуток
между проведенной чертою и записываемыми 4-мя десятками:
V8'il = 2...
4
4 44.1
, Разделив 44 десятка на 4 десятка и сообразив, что, хотя от
этого деления получается 11, число единиц (6) не может быть
больше 9, мы должны были в формулу 2ab -j- Ь8 подставить вместо а
2 десятка, а вместо Ь 9 единиц и вычислить эту формулу. Теперь
Г>- мы это сделаем в новой форме. Мы можем в формуле 2аЪ -|- Ь8
С** • вынести Ъ за скобки, получим:
-еС5’ ч
| \ (2 а + 6).Ь
Подставим затем числа, получим:
(4 десятка 9 един.). 9 един.
Число в скобках есть 49; его надо умножить на 9.
В последней записи слева от черты мы записали 4 десятка,
теперь надо прибавить к ним 9 единиц — это можно сделать прп-
^ писыванием справа от 4 десятков цифры 9. Полученное число 49
надо умножить на 9—записываем это под 49-ю; умножаем и
^ получаемое произведение пишем под 441. Видим, что 9 взято
правильно; поэтому после знака равенства приписываем к уже
' 2
4
— 18 —
записанным 2-м десяткам цифру 9 и получаем окончательную
форму записи
1/8'41 = 29
4
49 | 44.1
X 9 44 1
О
Формулою (2а -}- Ъ). Ъ очень удобно пользоваться, и ее сле¬
дует постоянно держать в уме.
Другие примеры:
1. V22'09 = 47
16
87
60.9
< 7
60 9
0
Отделяем сотни—их 22, и в них должен содержаться квадрат
десятков.
Отсюда заключаем, что в нашем корне 4 десятка (42 = 16, но
5*=: 25). Вычитаем из подкоренного числа квадрат найденных
десятков, т.-е. 16 сотен; остаток 609 должен быть равен произве¬
дению двойки на десятки и на единицы, илюс квадрат единиц.
Отделяем в остатке десятки — их 60, и в них должно заклю¬
чаться произведение двойки на десятки и на единицы (или про¬
изведение удвоенных десятков на единицы). Делим отделенные
десятки (их 60) на удвоенные найденные десятки (их 8 и они
записаны слева от черты) и из этого деления убеждаемся, что
единиц не может быть больше 7 (60:8 = 7Уг). Испытываем число
7 для единиц, для чего пользуемся формулою (2а-\-Ъ).Ъ (2а—8
десятков, 6=7 единиц, 2а-(-6 = 87 и это число надо умножить
на 7). Вндим, что число 7 подходит.
Итак, 1/2209=47.
— 19 —
2. V/116'64 = 108
100
208; 166.4
X 8 j 166 4
Отделяем сотни — hi 116; в них должен содержаться квадрат
десятков. Так как мы знаем, что 102 = 100, а 11*= 121, то за¬
ключаем, что в искомом корне 10 десятков. Записываем их, вы¬
читаем их квадрат (т.-е. 100 сотен), в остатке отделяем десятки
(их 166) и делим их на удвоенные найденные десятки (т.-е. на 20),
откуда видим, что в нашем корне не больше 8 единиц.
Испытываем число 8 для единиц, для чего пользуемся тою же
формулою (2о-[-Ь).Ь = (20 дес. -)- 8 ед.). 8 ед. = 208.8. Искомый
корень = 108.
3. V954'81 = 309.
900
609
5481
9
5481
О
Отделим сотни — их 954. Зная, что ВО2 = 900, мы приходим
к мысли, что, вероятно, в искомом корне 80 десятков. Чтобы
убедиться в этом окончательно, мы должны взять следующее
число, т.-е. 31, и возвести его в квадрат: 81s = 961. Отсюда за¬
ключаем, что 312 не может заключаться в 954 сотнях, а, следов.,
в искомом корне только 30 десятков. Остальное так же, как в
предыдущем примере.
4. у'зги'вэ.
Отделив сотни (их 3214), мы оказываемся в затруднении, так
как число 3214 не подходит близко к какому-либо из знакомых
нам полных квадратов. Благодаря этому, мы не можем, как это
делали в предыдущих примерах, сразу сказать, -сколько в искомом
корне десятков.
Однако, этот вопрос легко решить, извлекая квадратный корень
из числа 3214 (т.-е. из отделенных сотен) и не обращая внимания
2*
— 20 —
на то, что получится остаток —этим извлечением мы и найдем
именно наибольшее число, квадрат которого заключается в 3214.
Итак, станем извлекать квадратный корень из 3214.
У32'14=56
25
106
6
71.4
(74 9)
63 6
78
Здесь надо обратить внимание на то, что делением отделен¬
ных в остатке 714 десятков (71 десяток) на удвоенные найденные
десятки (на 10 десятков) мы сначала получили для единиц
число 7, но, умножая 107 на 7, увидели, что нельзя взять 7 единиц,
а придется взять их лишь 6 (все вычисления, относящиеся в ис¬
пытанию числа 7, заключены нами в скобки).
Итак, мы теперь можем установить:
1) в V321489 заключается 56 десятков;
2) если из сотен подкоренного числа (а их 3214) вычесть
квадрат 56 десятков, то останется 78 сотен (это мы можем видеть
в вычислениях, относящихся в 1/3214), а весь остаток = 7889.
Чтобы не вычислять отдельно V3214, располагают вычисление
в следующем виде:
V 32'14'89 = 56
25
106
71.4
6
63 6
7889 . . .
В остатке 7889 должно заключаться произведение удвоенных
десятков (их 56) на единицы, плюс квадрат единиц. Чтобы найти
единицы, следует опять в остатке отделить десятки (точкою,
внизу), разделить их на удвоенные найденные десятки (т.-е. на
112 десятков), испытать полученное число единиц при помощи
формулы (2а-\-Ъ).Ъ. Разделив 788 десятков на 112 десятков, по-
— 21 —
лучим для единиц число 7; приписываем его справа к 112 десяткам
и умножаем на 7. Получим все извлечение в форме, данной здесь:
V 32'14'89 =
25
106
714
6
636
П27 7889
7 7889
О
Искомый корень =567.
S
5. l/l3'01'76'64 ... Подобно предыдущему, надо, чтобы узнать
десятки этого корня, отделить в подкоренном числе сотни (в нем
130176 сотен) и из полученного числа извлечь квадратный корень
(не обращая внимания на то, что получится остаток). Но Vl301 '76
в свою очередь состоит из десятков и единиц. Чтобы узнать его
десятки, надо в подкоренном числе отделить сотни (их 1301) и из
полученного числа опять извлечь квадратный корень. Но 1301
в свою очередь состоит из десятков и единиц, и опять, чтобы
узнать его десятки, мы должны в подкоренном числе отделить
сотни (их 13). Теперь из 13 легко извлечь в уме квадратный
корень (не обращая внимания на то, что получится остаток).
Таким образом нам приходится в данном подкоренном числе
13017664 отделить сотни, в отделенном числе 130176 вновь от¬
делить сотни и т. д., пока не дойдем до числа 13, из которого
легко в уме извлечь корень. Это последовательное отде¬
ление сотен сводится к тому, что, отсчитав справа две цифры
(единицы и десятки), ставят сверху запятую; отсчитав в отделен¬
ном числе справа еще 2 цифры, ставят опять сверху запятую
и т. д. Говорят: „мы делим подкоренное число на грани, по две
цифры в каждой, начиная с правой стороны Однако, в последней
(самой левой) грани может оказаться лишь одна цифра, если в "
подкоренном числе было нечетное число цифр. Может случиться,
что до конца деление на грани доводить не придется, так как
мы можем дойти до такого трехзначного или четырехзначного
— 22 —
•
числа, из которого в уме легко извлечь квадратный корень
(см. пример 7, а также уже рассмотренные 2-ой и 3-ии).
Итак, мы в нашем примере, разделив подкоренное число иа
грани, дошли до числа 13, нз которого легко извлечь квадратный
корень, не обращая внимания на то, что останется остаток.
Найдем число 3 (32 = 9, но 42 уже больше 13).
Это число 3 является числом десятков для 1301. Ищем
единицы этого корня:
>/13'01 = 36
9
66 40.1
6 39 6
5
обычным путем найдем, что единиц 6, а весь 1^1301 = 36 (не
обращая внимания на остаток). Это число 36 служит числом
десятков для 1^130176. В предыдущем мы уже вычли из под¬
коренного числа 1301 квадрат числа 36 и получили остаток 5.
Поэтому теперь, вычитая иэ числа 130176 квадрат 36 десятков,
получим остаток в 576. Обычным путем ищем единицы этого корня.
В остатке 576 отделяем десятки их 57; найденные десятки удваи-
1^130176 = 360
остаток
720 | 576.
ваем (36 десят. .2 = 72 десятка) и делим 57 десятк. на
72 десятка. Видим, что единиц в этом корне не может быть ни
одной. Поэтому на месте единиц пишем нуль, и его же приписы¬
ваем справа к числу 72. Умножать число 720 на нуль и полу¬
ченное произведение вычитать из 576 не придется, так как это
пронзведенне равно нулю. Итак, мы извлекли корень из 130176
(причем получился остаток 576) и получили число 360. Это число
является числом десятков для 1/13017664. Обычным путем ищем
— 23 —
его единицы: весь остаток=57664; отделим в нем десятки (их
>'13017664 = 3608
7208
8
остаток
5766.4
5766 4
0
5766) и разделим их на удвоенные найденные десятки (на 720 —
это число уже было написано слева от черты). Получим 8 единиц
(поверка подтвердит годность числа 8). Итак, >'13017664 = 3608.
Все отдельные вычисления можно соединить вместе. Получим:
V 13'01f76'64 = 3608
9
66
6
40.1
39 6
7208
57.664
8
57 664
0
6. >'603537489. Теперь даем вычисление без объяснений (здесь в
самой левой грани окажется лишь одна цифра 6)
>'б,03'53'74'89= 24567
4
44
4
485
5
20.3 (взять 5 много, ибо 45.5 = 225)
176
275.3
242 5
4906
6
32874
29436
49127
7
34388.9
34388 9
О
— 24 —
Из рассмотренных примеров можно вывести заключение, что
цифр после извлечения квадратного корня получается столько,
сколько в подкоренном числе граней.
7. У122'67'77'76. Начав деление на грани, мы дойдем до
трехзначного числа 122, из которого квадр. корень извлечем
сразу (V^121 = 11). Поэтому дальше грани не отделяем. Вычи¬
сление таково:
7. Извлечение квадратного корня из дробей, являющихся полными
квадратами дробных чисел. На основании равенства
мы сведем извлечение корня из дробей к извлечению его из
числителя и знаменателя отдельно.
Было бы трубою ошибкою, если - бы кто-либо извлек корень
V/122'67'77'76= 11076
121
2207 16.777
7 15 449
22146 13287.6
6 13287 6
О
П
144 V144 12
961 1/961 31
(V144 мы, вероятно, скажем сразу,
ибо легко запоминается, что 122 = 144, а V961 придется извле¬
кать так, как это указано в предыдущем п°).
9 9
отдельно из 1 и отдельно из jg. В самом деле, ведь l|g значит
— 25 —
1 -j- jg, но нельзя при извлечении корня из сумыы извлекать его
из каждого слагаемого отдельно.
' Г_ ,41
У34225 185 д
У 5184 72
72
Уз'42'25 = 185; У51'84 = 72’
49
28
8
24.2
(26 1)
22 4
142
2
28.4
28 4
О
365
5
182.5
182 5
О
Также:
1 = 1
• 441 т/77. 21 ’
У 441
V 0,1024 = ^4£££=^ = 0,32
У юооо 100
У^ = ^289_17=1>7 и т. д.
У100 10
Возникает вопрос: не возможен ли случай, что отдельно из
числителя и знаменателя корень квадратный не извлекается, а из
дроби извлекается?
Пусть мы извлекаем квадратный корень из какой-нибудь дроби ^
и пусть, например, получилась дробь т.-е. пусть
Тогда дожно быть
■ GH
или дробь должна равняться
дроби jg. Но это может быть только в том случае, если числи-
— 26 —
тель и знаменатель дроби получаются от умножения соответ-
9 18 2^
ствующих чисел 9 и 16 на одно и то же число: = ^ =
•)0 4 Г) __ . а .
“64=80 и т* д’ ^так> например, дробь может быть в нашем
.45
случае дробью ^, т.-е.
80’
' 3^
4 •
1 / - =
у 80
Здесь мы имеем такой случай, что отдельно из 45 мы не мо¬
жем извлечь корень квадр. (62 = 36, а 72 = 49), отдельно из
45
80 тоже не можем (82 = 64, а 9s=81), но из дроби ^ можем,
а именно: 80 ®днак°5 этот слУчай может иметь место
только тогда, когда дробь, стоящая под корнем, сократима.
Если же мы будем считать дробь ^ несократимою, то она
9
только тогда может быть равна дроби jg, если о= 9 и 6 = 16.
Поэтому мы заключаем: из несократимой дроби можно извлечь
корень квадратный (тоже справедливо и для корня любой степени)
только тогда, когда он извлекается отдельно из числителя и
отдельно из знаменателя. Поэтому следует, вообще говоря, при
’у] извлечении корня из дроби, сначала эту дробь сократить. Напр.:
л/ —— =1 f ———
у 99 У 9 3
и т. д.
8. Простейшие квадратные уравнения. Пусть нам требуется
извлечь квадратный корень из числа 1849. Не выполнив еще
этого извлечения, мы можем искомое число обозначить, например,
буквою х, т.-е. можем написать:
V18i9 = х.
Отсюда мы получим (делая как-бы поверку):
^=1849.
— 27 —
На это равенство мы можем смотреть, как на уравнение, причем
неизвестное число х входит в этом уравнении во второй степени
(в квадрате). Поэтому такое уравнение является простейшим ква¬
дратным уравнением.
Выполним извлечение корня:
V 1849 = 43
16
83 249
3 249
О
Тогда мы можем написать а;=43, и это будет решением на¬
шего уравнения. Однако, обычно, когда речь идет об уравнениях,
имеют дело не с арифметическими числами, а с относительными.
Поэтому мы должны извлекать квадратный корень из числа +1849,
а V + 1849 = ±43 (п° 4), и мы можем наше неизвестное число х
счесть равным или —43 или —43. Поэтому наше уравнение
я?= 1849
имеет 2 решения: 1) х=-(-43 и 2) х = — 43. Их обычно запи¬
сывают вместе: х—± 43.
Также найдем для уравнения ж3 = 121 два решения: 1) х=-)-11
и 2) х=—11 (короче: ж = ± 11).
Если напишем подобное квадратное уравнение в общем виде:
ж3=а,
то для его решения надо извлечь квадратный корень нз числа а.
Если этот корень можно извлечь, то мы 1) можем написать
x = V а
а 2) должны помнить, что этот квадратный корень из числа а
имеет два значения: положительное и отрицательное.
Выше мы записали решение уравнения а?=а в виде
x=V а
— 28 —
Обычно принято записывать это решение, дабы не забыть, что
V а имеет 2 значения, в виде
х = ± V а
Эта запись, в сущности, неправильна, потому что раз написано
V а, то уже этим самым всякий должен знать, что здесь должно
быть 2 значения, но этот обычай очень укоренился.
Мы можем, например, уравнение ж3 = 25 усложнить. Перене¬
сем 25 в левую часть
ж3 —25 = 0,
умножим обе части, например, на 3,—получим:
Зж2 —75 = 0.
Это уравнение мы можем решить. Также точно мы можем решить
уравнение
180 — 5а? = 0.
А именно, последовательно будем получать:
— 52^ = —180; 5ж2 = 180; ж2 = 36; х=±6.
Вообще, мы можем решить уравнение вида
ах 2 -j- Ъ = О,
если только возможно будет выполнить извлечение квадратного
корня.
В самом деле, мы получим:
ах2 = — Ъ; х2 = и ж = 1/ — —.
а у а
Если из числа — ^ можно извлечь квадратный корень (а оно для
этого должно быть прежде всего положительным, что будет при
условии, если а и Ъ имеют разные знаки), то мы найдем два зна¬
чения этого корня или 2 решения нашего квадратного уравнения.
— 29 —
9. Среднее пропорциональное число между двумя данными числами.
На практике часто пользуются средним арифметическим числом
между несколькими данными. Так, если дано*» чисел а\, а%, ав,
at, ... ап, то среднее арифметическое для них есть число х,
определяемое равенством
°i + ав + аз + • - • + ап
ж =
п
Среднее арифметическое нескольких чисел равно ^
их сумме, деленноЗ на число этих чисел.
Если взять 2 числа, а и Ъ, то их среднее арифметическое
а + Ъ
Из этого мы последовательно получим:
2х = а-\-Ъ\ х-\-х = а-^~ Ъ; х — а=Ь — х\ а — ж = ж— Ъ.
Последнее из этих равенств показывает, что число х на
столько же меньше числа а (если а >• Ъ), на сколько число х
больше числа Ъ.
Равенства вроде: 15 — 7 = 9 — 1; ( —f- 13) — ( — 5) = — 3 —
— (—21); а—Ъ=с — d и т. п. называются арифметиче¬
скими пропорциями. Полученное выше равенство а—х—х—Ъ
тоже есть пропорция, но особенная: средние члены у нее одина¬
ковы. Такие арифметические пропорции называются н е п р е р ы в-
н ы м и и одинаковый средний член такой пропорции является, как
видели выше, средним арифметическим между числами, стоящими
на крайних местах.
Также, пропорция х — а = Ъ — х тоже называется непрерыв¬
ною и ее одинаковый крайний член х есть средний пропорцио¬
нальный между ее средними членами а и Ь.
Составим теперь геометрическую пропорцию (см. ч. I п°51)— V/
геометрические пропорции, как знаем, называются обычно просто
„пропорциями" — с одинаковыми средними или с одинаковыми
крайними членами, т.-е
ах х Ъ
—= , или --
х о ах
— 30 —
Такие пропорции называются непрерывными геометрическими про¬
порциями и повторяющийся их член (у нас аз) называется сред¬
ним геометрическим или средним пропорциональ¬
ным между двумя остальными членами (между а и Ъ).
Из нашей пропорции, безразлично первой ли или второй,
получим:
vj я? —rib и x=V ab.
Отсюда выясняется порядок вычисления среднего пропорцио¬
нального для двух данных чисел: надо эти числа перемножить и
извлечь из полученного произведения квадратный корень, причем
надо взять лишь положительное его значение..
Так, для чисел 9 и 4 среднее арифметическое число —
— _6-^, а среднее геометрическое = V9.4 = 6.
Нахождение среднего пропорционального приводит, следова¬
тельно, к решению квадратного уравнения з? = аЪ.
Пусть будут даны 2 положительных числа а и Ъ, неравные
между собою.
Сравним их средние арифметическое и геометрическое, т.-е.
н Vab . Вычитая из 1-го второе, получим:
/t
а-\-Ъ ,/~г а-\-Ъ—2V ab (V~a)s — 2 Va V b-\-(V b)s
2 У аЪ= Г2 = 2 =
~ 2
Так как а и Ъ положительны, то V а — V Ъ или положительное
или отрицательное число, а его квадрат, т.-е. (У а — V b)s обя¬
зательно положительное число, из чего заключаем, что умень-
^ шаемое —больше вычитаемого, т.-е. V ab. Итак,
Среднее арифметическое двух положительных
чисел больше их среднего пропорционального.
II. Иррациональные числа.
10. Возникновение понятия об иррациональных и мнимых числах.
Если написано
у~а
то,в зависимости от того, какое числовое значение дано букве а,
явится или не явится возможность извлечь этот корень. Если,
например, заменим а числом —|— 36. то V 36 = ± 6; если за¬
меним а числом -(- 30, то извлечь этого корня мы не умеем:
5 взять мало, ибо 5а = 25, но 6 взять много, ибо 62 = 36. Возни¬
кает прежде всего вопрос, не может ли этот V 30 равняться
какой-либо дроби. Положим, например, что
/55=|.
где несократимая (и неправильная) дробь: если бы эта дробь
была сократимою, то мы могли бы ее сначала сократить, почему
всегда можем считать, что эта дробь несократима, другими сло¬
вами, что а и Ъ не делятся иа одно и то же число.
Тогда,, зная значение действия извлечения корня, мы можем
написать, что
а2 аа •
-jtt = 30 или -гг— 30.
о2 оо
Но а и Ъ не имеют общих делителей; следовательно, дробь -р-
также не сократимая, а между тем, у нас требуется, чтобы она
равнялась целому числу 30. Это невозможно; следовательно, не
может быть, чтобы У30 был равен какой-нибудь дроби.
в.— I
Возьмем еще У 40 .
Мы знаем, что 2* = 32, но 35 = 243. Если теперь положить, что
— 32 —
т.-е. опять-таки получим, что несократимая дробь равна целому
числу, чего быть не может. Отсюда мы сделаем общее заклю¬
чение:
если корень какой-либо степени из целого числа
не может быть равен целому числу, то он не может
равняться и никакой дроби.
Заменим теперь в выражении V а а числом — 36, — полу¬
чим V—36. Однако, как мы знаем, попытка извлечь этот ко¬
рень не приводит ни к каким результатам: нельзя взять ни -)-6
(ибо (-|~6)8=-)-36], ни—6 [ибо (—6)а=-(-36], ни какое-либо
другое число (ибо тогда даже и абсолютная величина получится
не 36, а иная).
И вот возникает неудобство: в зависимости от того, какое
числовое значение дано для а, приходится выражение
V а
или считать определенным числом или не считать, а если напи¬
сано V о, причем не сказано, какому именно числу равно а, то
вовсе становится неизвестным, представляет ли это выражение
определенное число или нет. В виду этого возникает потребность
расширить понятие о числе: помимо знакомых уже целых и дроб¬
ных, положительных н отрицательных чисел, желательно ввести
понятие о новых числах так, чтобы всегда можно было считать
, «j 4
V a, Va, Va и т. д. за число, хотя бы и новое, не целое а
не дробное, или не положительное и не отрицательное.
Остановимся на двух из вышеупоминаемых случаях:
1) V -[-30 и 2) V — 36 .
Эти два случая существенно различны. В первом из них затруд¬
нение является в абсолютной величине числа, а во втором —
абсолютная величина не возбуждает сомнений (она должна полу¬
читься =6), а затруднение оказывается в знаке. Для первого
случая мы можем, сравнивая V -(- 30 с целыми или дробными
числами, пользоваться понятиями „много", „мало* (или „больше*,
„меньше"): мы уже указывали, что взять 5 (абсолютная вели-
— 33 —
чина чисел -|-5 и —5) мало, потому что 5а—25, но взять 6
(абсолютная величина чисел -{-6 и — 6) много, так как 6s = 36;
так же точно взять 5-|- (абсолютная величина чисел -)- 5 и
1 \ / 1 \а 1 1
— 5 g ) много, иотому что I 5-g I — 30-^-, а взять 5— мало, по-
/ 1 \» 4
тому что I 5—1 =28 у- и т. д. Во втором случае мы вовсе не
можем пользоваться, сопоставляя V — 36 с целыми или дробными
числами, этими понятиями „мало", „много". В случаях, подобных
1-му, вводят понятие о новых числах> которые и не целые и не
дробные, ио могут быть сравниваемы с ними, — их называют
иррациональными числами (а прежние числа, целые и дроб- \f
ные, называют рациональными). В сл}чаях, подобных вто¬
рому, вводят понятие еще о новых числах, которые не суть ни
положительные и ии отрицательные — их называют мнимыми
числами (а положительные и отрицательные числа называют
действительными). Сделав эти условия, мы всегда можем
считать выражение V а за число, либо за действительное, либо
ва мнимое, причем его абсолютная величина может быть рацио¬
нальной или иррациональной.
Примеры иррациональных чисел: 2, У10, У75,У 3,У20,Уз0
и т. п. Иррациональные числа могут получаться и от иных опе¬
раций, а не только от извлечения корня. Те иррациональные
числа, которые получаются от извлечения корней, называются
радикальными числами (радикальные числа являются частным
случаем иррациональных).
Мнимые числа прежде всего получаются от извлечения ква¬
дратного корня из отрицательного числа: V—1, V—2, V—3,
V—4 ит. д.; далее нам также ясно, что, например, V —16 не
может равняться ни -J- 2, ни — 2, ибо (+2)4 = -f- 16 и (— 2)-* = —f— 16;
поэтому мнимые числа получаются еще от извлечения корня ка¬
кой-нибудь четной степени из отрицательного числа. При изуче¬
нии мнимых чисел оказывается, что удобно считать V — 1 за
простейшее мнимое число, и с ним, оказывается, можно сравни¬
вать любое мнимое число.
3
— 34 —
11. Сравнение накого-либо иррационального числа с рациональ¬
ными. Мнимые числа мы будем изучать позднее, а теперь обра¬
тимся хотя бы к некоторому изучению иррациональных чисел,
причем будем лишь обращать внимание на абсолютные величины,
а знаки вовсе и не будем писать.
Пусть имеем
У~2
На это выражение мы можем смотреть, как на письменное обо¬
значение некоторого числа, притом иррационального (1 взять
мало, ибо Iя =1, а 2 взять много, ибо 2я = 4; поэтому V~2 не
может быть равен ни целому числу, ни дробному). Замечание в
скобках позволяет нам использовать для V 2 слова „больше" и
„меньше": наше иррациональное число V 2 следует считать
больше единицы, но меньше двух, т.-е.
V/2>1 и У"2 <2.
Мы можем написать то же самое так:
X
-J 1<V2<2
и можем говорить, что V 2 заключается между единицею и
двумя.
Возьмем теперь какое-нибудь промежуточное число между
1 и 2, напр., 1-^- . Мы относительно его тоже можем устано-
о
вить, считать ли его больше иррационального числа V 2 или меньше.
Так как ^1 = 1-^-, то мы видим, что взять 1^- мало, или
что
4<У2
Также точно, взяв число 1^-, мы видим, что (l 3) —2^
и что
■4>^
— 35 —
Два последних результата мы можем записать в одну строчку:
li <У£< l|- >/
Отсюда мы видим, что иррациональное число У 2 заключается
1 2
между 1 д- и 1-g-. Мы можем продолжить подобные изыскания и
заключить У 2 в более тесные пределы.
Также точно возьмем иррациональное число У10 и станем
з
сравнивать его с разными целыми и дробными числами: 2 10,
так как 2s = 8 (меньше 10), но 3>Ую, так как З8 = 27
(больше 10); 2-^->У1о, так как ^2 тг)*—15^- (больше 10);
2 р>Ую, так как (2 12§ (больше 10); 2^->У10,
(1 \з 729 1 Ъ—
2 -^\ = (больше 10); также 2^- 10;
2-^->У 10, но 2у<У 10, так как ^2 у j3= (меньше 10).
Мы можем отсюда записать:
3/—
2 < У 10 < 3
2у<У 10 <2 i
п
Вообще, пусть мы имеем Vci . Если затем, взяв какое нибудь
число Ь (целое или дробное), мы получим, что
П
0=6”, ТО Уо =6,
но если ’
П
а < 6", то Уо < 6,
и если, наконецъ,
Л
«>6П, то Уа >6.
3*
— 36 —
Если, испытывая разные числа, мы получим: 1) (или
*<Ь") и 2) с”О (или а>сп), то
П
п
(иррациональное число V'a заключается между рациональными
числами с и Ъ).
Следует заметить, что подобные неравенства справедливы
П
(хотя они и не нужны) и для того случая, когда V а извлекается.
Так, V 64 = 4, но мы все-таки, не заметив этого, могли бы писать:
64 > 3, ибо 3s < 64
V,64>»i, ибо (з|)3<64
V 64 < 4-i-, ибо ^4 -iy > 64 и т. п.
12. Возможность заключить иррациональное число в сколь угодно
тесные пределы. Итак, мы можем заключить всякое иррациональ¬
ное число, выраженное при помощи корня, между некоторыми
рациональными числами. Так, мы получили:
1<У/2<2
(V2 заключается между 1 и 2)
4<vT< if
{У 2 заключается между 1^ и l-|-j
8
2 <V 10<3
{У 10 заключается между 2 и з)
2i<v4o<2l
(^10 заключается между 2уи2-^].
— 37 —
Если мы возьмем прямую линию (чер. 1) и на ией, на¬
чиная от точки 0, будем откладывать отрезки, каждый из кото¬
рых равен линейной единице, то получим ряд точек, обозначен¬
ных на чертеже цифрами 1, 2, 3, 4 ...
А 2^
—I 1- !Н, 1 1 1
О 1 2 2| з 4 5
Чер. 1.
То обстоятельство, что, напр., V10 заключается между 2 и 3,
з
можно использовать так: V10 выражает как бы длину некото¬
рого отрезка, начало которого в точке 0, а конец — в к^кой-то
точке, заключенной между точками 2 и 3.
Если мы остановимся еще на том, что
2|<^То<21,
то мы можем между точками 2 и 3 обозначить еще 2 точки:
расстояние одной от точки 0 равно 2у лин. единиц — ее так на
чертеже и обозначим „2у“, а расстояние другой от точки О
равно 2^-лин. единиц—ее так и обозначим п2у -. Тогда мы
з
приходим к заключению, что V10 выражает длину отрезка, на¬
чало которого в точке 0, а конец—где-то между точками „2у* и
*2'^-“. Длина отрезка между этими точками = 2^ — 2 j- =^- (на¬
шей линейной единицы). Итак, мы установили, что конец отрезка,
выражаемого V'lO, находится где-то на небольшом отрезке
(от точки 2у до точки 2-i-j, длина которого равна лишь на¬
шей линейной единицы. Мы можем еще теснее сблизить те точки,
между которыми должен помещаться конец отрезка, выражаемого
У10. Напр., сделаем так, чтобы этот конец умещался где-нибудь
— 38 —
на отрезке, длина которого равнялась бы 0,01 лин. единицы. Для
этого обратим 2у и 2-i- в десятичн. дроби (ограничиваясь лишь
тысячными долями):
2-i- — 2,142..2^-=:2,166...
Стало быть l/i0>2, 14 и Т/10< 2,17. Испытаем теперь
число 2, 15; (2, 15)3 = 9,938375 (т.-е. < 10).
Испытаем еще число 2,16; (2,16)®= 10,077696 (т.-е.>10).
Следов.: 8
2,15 <1^10 <2,16.
Мы можем итти и далее, а именво заключить V10 на протя¬
жение отрезка, длина которого равна лишь 0,001, другими сло-
з
вами — заключить V10 между числами, разнящимися друг от
друга лишь на 0,001. Для этого надо испытать числа 2,151;
2,152; ... 2,159. Потребуется довольно продолжительная работа;
■е будем ее выполнять, так как нам достаточно лишь знать, что
ее можно выполнить и можно, следов., заключить V\0 в преде¬
лах, отличающихся друг от друга лишь на 0,001.
Подобные соображения применимы к любому корню и поэтому
иы сможем заключить любое иррациопалын е число, выраженное
.корнем (короче: радикальное число) в сголь тесных пределах,
^ в каких пожелаем.
Г —
Если, вообще, мы пожелаем \ а заключить между числами,
1
отличающимися друг от друга лишь на — , то мы сумеем наити
такие дроби (правильные или неправильные) и ^ ^ , чтобы
—<> а <——
м и п
/ . Ь -(-1 Ъ 1
J разность между дробями —J-— и — равна —:
Ь-f 1 Ь _ 1 \
п п п 1"
— 39 —
Все предыдущее позволяет нам сделать общее заключение:
следует признать, что всякое радикальпое число выражает собою
длину некоторого отрезка в определенных линейных единицах,
конец которого мы не можем, вообще говоря, точно указать,
но можем сблизить как угодно тесно те границы, между ко¬
торыми этот конец заключается. Подобное же заключение, ока¬
зывается, имеет место п тогда, когда рассматривают иррациональ¬
ные числа, происшедшие от иных операций, а не от извлечения
корней.
В некоторых случаях геометрия позволит нам даже точно
указать, где находится конец отрезка, выражаемого иррациональ¬
ным числом.
Так, построим прямоугольный треугольник, ка¬
теты которого равны между собою и каждый из
них равен линейной единице (чер. 2). Тогда, назвав
длину гипотенузы через х, мы получим на основа¬
нии теоремы Пифагора, что
= 1 —J— 1; ж® = 2 и след. x=V 2.
Итак, длина гипотенузы этого треугольника выражается ирра¬
циональным числом V2. Отложив эту гипотенузу на предыдущем
чертеже (конечно, необходимо для этого, чтобы на обоих черте¬
жах линейная единица была одна и та же), мы получим точку А
так, что отрезок о А =■ гипотенузе х и его длина выражается
иррациональным числом.
13. Понятия о действиях над иррациональными числами. Если
каждое иррациональное число выражает отрезов, то сложение и
вычитание иррациональных чисел должно быть сведено к сложе- \J
нию и вычитанию отрезков. Так, возьмем какой-либо отрезок за
линейную единицу (чер. 3). Тогда мы можем, напр., построить отрезки,
длина которых выражается иррациональными числами Vb и V 3
(на чер. 3 это сделано).
Тогда мы легко найдем 2 отрезка, длина которых выражается:
одна суммою чисел Vb и V3, а другая их разностью (чер. 4).
Вообще говоря, мы можем рассуждать так: пусть даны 2 ирра¬
циональных числа; каждое из них выражает длину отрезка; сло-
Чер. 2.
— 40
жив эти отрезки, мы получим новый отрезов; геометрия учит
нас, что всякий отрезок может быть измеряем другим, принимае¬
мым за единицу (либо, что тоже самое: всегда существует число,
выражающее отношение этих двух отрезков), причем, если первый
Чер. 3.
отрезов соизмерим со вторым (принимаемым за единицу), то по¬
лучим в результате этого измерения рациональное число, а если
несоизмерим, то — иррациональное; во всяком случае, получим
после сложения наших отрезков новый, длина которого выра-
V?
Y2
V5
Чер. 4.
жается определенным числом; также точно и вычитание ваших
отрезков ведет к определенному числу.
Благодаря предыдущему, мы можем писать суммы и разности
иррациональных чисел, напр. :
У 5 4- У 3, У 5 — У 3, У'49 — УЧ И Т. п.,
зная, что они имеют определенный смысл.
Такой же смысл имеет место и для сумм или раз ностей, вроде
. _ g g
10 + У 3, 1«_У 3, 2-f У 5, У 10 — 2 и т. п.
Перейдем к умножению и делению иррациональных чисел.
— 41 —
Выше, для действия извлечения корня, мы получили равен¬
ства:
я я п
У a .Уъ=УаЬ
п п
Уа=л/^
»- у ъ
Уъ г
Мы можем принять эти равенства, как за такие, которыми
определяется умножение и деление радикальных чисел.
Первое из этих равенств обладает всеми свойствами умно¬
жения.
п п п п / п п \
' У а . V Ь~У Ь . Vа \ибо Vab — Vbn)'—это переместитель¬
ный закон умножение.
/л п \ я п п я п. п
\|/а . УТ) - Vс = УаЬ . Ус = УаЬс= Уa УЪс —
п / п я \
— Уа\Уъ Ус) — это сочетательный закон умножения.
П Я
Кроме того, если V а и V Ъ выражают рациональные числа
(если, другими словами, эти корни извлекаются), то равенство
п __ п Я *
У а . У Ъ^УаЬ остается в силе (оно и было получено в пред-
П И
положении, что У а и У b извлекаются).
Второе из этих равенств является обратным первому. В са-
Я
мом деле, мы можем У а принять за произведение двух миожм-
П
телей / J и Уъ, так как
Эти равенства позволяют выполнять умножение и делении
иррациональных чисел в том случае, когда эти числа выражены
корнями с одинаковыми показателями.
— 4.2 —
Так:
1^5 . 1^2 — V^IO; V]2 . V3~V36 = 6 (здесь от умножение
двух иррациональных чисел получается рациональное число).
3— я— 8 — 8 _ 8, а
У5 . VS — V15; У 2 . V7=Ve = 2
з
/— — 8 В \ / Ю
Кб : У/3 = У'2; VlO : V21 — \ 21
^18 : V2~V9 = 3-, ^96 : 16/3=гУ32 = 2 и т. п.
В дальнейшем нам удастся развить зто определение умноже¬
ния и деления, и мы научимся выполнять умножение и деление
всяких радикальных чисел.
14-. Вычисление иррациональных чисел с некоторою точностью.
Пусть мы желаем измерить длину бруска А (чер. 5); для
8ТОТО прикладываем к нему линейку, разделенную, иапр., на
дюймы. Мы можем, если это иам достаточно, ограничиться очень
приближенным результатом.
Увидав, что длина бруска заключается между 5 и 6 дюймами,
мы можем сказать, что
1) длина бруска=приблизительно 5 дм.
и 2) длина бруска=приблизительно 6 дм.,
причем мы, во всяком случае, делаем ошибку, меньшую, чем
1 дюйм: в первом случае настоящая длина бруска больше 5 дюй¬
мов на отрезов, который меньше 1 дюйма; во втором длина бруска
меньше 6 дюймов на отрезок, меньший 1 дюйма.
Более точно мы можем тоже самое записать в виде:
5 дюйм. <1 длины бруска <6 дюйм.
(„длина бруска заключается между 5-ю и 6-ю дюймами").
Так как, во всяком случае, берем ли мы для длины бруска
Ь дм. или 6 дм., мы делаем ошибку, меньшую, чем 1 дюйм, то
говорят, что здесь измерили длину бруска с точностью до 1 дюйма.
— 43 —
Если отнестись к вопросу об измерении длины бруска более
внимательно, то увидим (чер. 5), что
1 3
о-g- дм. < длины бруска <5-^ дм.
|длина бруска заключается между 5 —■ дм. и 5-|- дм-j.
Если на основании этого сказать, что
1) длина бруска =: прибл. 5-i- дм.
3
или 2) длина бруска=прибл. 5-^ дм.,
то в каждом из этих случаев ошибка была бы меньше дм.—
мы измерили теперь длину бруска с точностью до -j- дм.
Если бы дюймы были разделены на более мелкие части, напр.,
на десятые доли, и мы увидели бы, напр., что
5, 6 дм. <длпны бруска <5, 7 дм.
(длина бруска заключается между 5, 6 дм. и 5, 7 дм.), то мы
могли бы сказать, что
1) длина бруска=прибл. 5, 6 дм.
и 2) длина бруска = прибл. 5, 7 дм., причем ошибка была бы
в обоих случаях меньше 0,1 дюйма — мы измерили бы длину
бруска с точностью до 0,1 дюйма.
Подобно этому, выше мы, напр., получили для V2, что
1<1/?<2. \J
Мы можем теперь говорить, что мы вычислили V 2 с точно- ^
етью до 1, и, если бы кто-либо сказал, что V 2 — прибл. 1 или 2.
то в обоих случаях ошибка окажется меньше единицы (т.-е. раз¬
ность V 2 — 1 меньше 1 и разность 2 — V"2 меньше единицы)
Так же точно, далее мы получили:
< V’Icif.
— 44 —
Этот результат мы можем толковать, что мы вычислили V 2
с точностью до у: если принять, что прибл. 1у или V2 =
2 1
= прибл. 1-д , то ошибка должна быть меньше у, или, другими
.— j ^ ; — \
словами, каждая из разностей к 2 — 1у и 1-g V 2 меньше у .
Так же точно, полученный выше результат
2\ <^10 <2-1-
в/— 1
позволит сделать заключение, что V10 вычислен с точностью до^-
8
В самом деле, 2 у —2 у = ^ , т.-е., если принять, что К 10 =
1 в/— 1
= прибл. 2 у или что У10 = прибл. 2у, то ошибка должна быть
1 / ^ —— j | 3
меньше ^ (или каждая из разностей VlO — 2 у и 2у — V 10
Г\
меньше -р 1.
Вообще, если мы получим, что
П
p<V a<g,
П .
то это можно истолковать, что V а вычислен с точностью до
V (в—р)-
Примеры:
1. v 5267891. Если нам достаточно очень грубого приближе¬
ния, то мы можем испытать лишь числа 10, 100, 1000
Ю4= 10000 (меньше 5267891), но 1004 = 100.000.000 (больше
5267891); следов.,
10<V/5267891 < 100
4
•’Здесь V 5267891 вычислен с точностью до 90 единиц.
/ 1
2. У 815 вычислить с точностью до -г.
4
Сначала вычислим этот корень с точностью до 1; 1*=1
(мало), 2я = 8 (мало), 3я — 27 (мало),4®=б4 (мало), 5я—125
(мало), 68=216 (мало), 7s = 343 (мало), 8s = 512 (мало), 9®=; 729
(мало), 103 = 1000 (много). Поэтому
9 <^815 < 10.
Теперь испытаем числа 9-^-, 9 9 = 9-^-, 9-|-.
(9т)-(т-)8 =тг = 791S (мало>-
( 91г)8=^1Г= 857 -|- (много); след.,
9-£-<^8ЙГ<9-|
з J_
Итак, мы вычислили У 815 с точностью до 4 и можем
принять: или У815 =прибл. 9-j- или V^815 = 9-^-, причем
ошибка меньше -i-.
3. Вычислить V^45 с точностью до 0,1.
Легко прежде всего получить
6 <V45 <7.
Теперь надо испытать числа 6,1; 6,2 .. . 6,9. Чтобы уско¬
рить работу, начнем с числа 6,5 6,5® = 42,25; 6,6я=43,56;
6,7я = 44,89; 6,8я=46,24. Поэтому
6,7 <1^45 <6,8.
Итак, 1^45 вычислен с точностью до 0,1.
Замечание. Мы уже имели случай видеть (п°7), что невоз¬
можно, чтобы корень какой-нибудь степени извлекался (безоши-
— 46 —
бочно) из несократимой дроби, но в то же время он не извлекался
бы отдельно из числителя и знаменателя. Поэтому
суть числа иррациональные и также могут быть вычисляемы
с какою-либо точностью.
15. Более удобный способ приближенного вычисления квадрат¬
ных корней из целых чисел.
В п°6 изложен обычно употребляемый прием для извлечения
квадратного корня из чисел. Применим его к приближенному
вычислению иррациональных чисел, выражаемых квадратными
V корнями, с точностью до какой-либо десятичной доли единицы:
до 0,1, до 0,01, до 0,001 и т. д.
Прежде всего ясно, что мы можем этим приемом вычислять
квадратные корни с точностью до 1. В самом деле, пусть имеег
1^52347. Начнем выполнять, согласно указанному приему, из¬
влечение этого корня:
Мы получили число 228, но видим, что знак равенства здесь, в
сущности, поставлен неправильно: так как после поверки оказалось,
что остается остаток 363, то взять число 228 мало, но нельзя
было взять и числа 229, потому что 449.9 = 4041, и эго было бы
между 228 и 229; другими словами, мы вычислили иррацнональ-
V^5'23'47 = 228
4
42 12.3 '
2 84
448 I 394.7
8 j 358 4
36 3
много. Поэтому мы можем заключить, что V52347 заключается
лое число ^52347 с точностью до 1.
— 47 —
Пусть теперь мы желаем вычислить V"l9 е точностью до 0,1.
Нам надо получить, следов., после извлечения корня число
с десятыми долями, другими словами, дробь со знаменателем 10.
Если мы напишем:
понимая эту запись в том смысле, что из какого-то числа извле¬
кался квадратный корень и получилась дробь со знаменателем 10,
то мы придем к заключению, что под корнем была дробь со
знаменателем 100 (10а=100). Итак, чтобы после извлечения
корня получились десятые доли, необходимо, чтобы подкоренное
число было дробью со знаменателем 100. У нас под корнем
написано число 19; мы можем его выразить дробью со знамена¬
телем 100, и тогда
саниому, извлечь V1900 и в полученном результате поставить
занятую так, чтобы получились десятые доли).
1900 1900 1900
100 р/ 100 10
или
1/19 = 1^19,00 = (здесь придется, согласно выше напи-
Так как 1^19 есть число иррациональное (4 <1^19 < 5), то
и 1^1900 есть также иррациональное число; следов., при извле¬
чении ^1900 может быть лишь речь о том, чтобы вычислить
этот корень с точностью до 1. Получим:
l/ig'00 = 43
16
83 30.0
3 24 9
43 <1/1900 <44
— 48 —
* 1/77 1Л900
гак как и 19= lo-’ Т0 И3 пРедыдУщег0 П0ЛУЧИМ•
4,3 < V 19<4,4
Мы можем принять: 1) 1^19 = прибл. 4,3 и 2) ^19 = прибл. 4,4
— в обоих случаях ошибка меньше 0,1.
Совершенно так же, если надо Vl9 вычислить с точностью до
0,01, необходимо превратить подкоренное число 19 в дробь, зна¬
менатель которой есть 100я или 10000. Тогда
V^19
= /“
190000 1^190000
100я
100
Придется затем вычислить 1/190000 с точностью до 1:
г/19'00'00 =435
83
3
30.0
24 9
865 | 510.0
5 I 432 5
(6 взять много, ибо 866.6 = 5196)
775
Итак,
•ткуда
435 <1/190000 <436
4,35 <1/19 <4,36
\1 Мы видим, что для вычисления Vl9 с точностью до 0,1
пришлось к подкоренному числу 19 приписать два нуля, для
вычисления с точностью до 0,01 пришлось приписать еще 2 нуля;
ясно, что для получения тысячных долей придется приписать
еще 2 нуля и т. д.; обычно эти нули не приписывают к числу
вначале, а приписывают постепенно по два нуля в остатку. При
— 49 —
этом можно сразу в получаемом числе поставить запятую между
разрядами единиц и десятых долей. Бот, иапр., вычисление
Уъ с точи, до 0,001.
VT= 1,732
1
27
20.0
7
18 9
343
110.0
3
102 9
3462 710.0
2 692 4
176
Итак, мы можем принять, что 1) У3 = прибл. 1,732 и
2) Уъ =прибл. 1,733.
Возникает вопрос, какое из этих чисел 1,732 и 1,733 ближе
выражает У3 (другими словами: в каком случае будет ошибка
меньше, в случае ли, если мы возьмем результат извлечения корня
с недостатком, т.-е. число 1,732, или с избытком, т.-е.
число 1,733). Для решения этого вопроса в полученному остатку
припишем еще два нуля и испытаем цифру 5 (5 десятитысячных
долей):
34645
1760.0
5
17322 5
Видим, что 5 десятитысячных взять много, т.-е. Уз~ =
= 1,732-}-®, причем х меньше 5 десятитысячных или половины
тысячной доли. Поэтому мы заключаем, что Уз ближе в 1,732,
чем в 1,733. След., лучше принять, что 1^3 = 1,732 — ошибка
будет меньше, и мы уверены, что она меньше тысячной доли.
Итак, мы теперь вычислили V3 с точностью до тысячной доли.
4
— 50 —
Вот еще пример. Вычислить V 247 с точн. до 0,01
\ 1/2'47 = (15,71) 15,72
25
5
307
7
14.7
12 5
220.0
214 9
3141
510.0
1
3141
31425
19590.0
5
15712 5
Мы видим, что взять 5 тысячных мало. Поэтому ближе взять
результат с избытком, т.-е. взять, что 1/247 = 15,72 (а не 15,71).
16. Приближенное вычисление квадратных корней из десятичных
дробей.
Пусть требуется извлечь 1/149,59. Так как знаменатель
дроби =100, а V100 =10, то мы можем сразу получить деся¬
тые доли, а именно:
V149
,59 = |/
14959 1/14959
100
придется для этого извлекать 1/14959, т.-е. из целого числа 14959.
Конечно, мы можем вести вычисление и так:
1/149',59 = 12,2
144
242
2
55,9
48 4
/о
Мы здесь под знаком корня написали не целое число 14959,
но дробь 149,59, причем, конечно, при вычислении не обращали
/
— 51 —
внимания на запятую (ведь из предыдущего мы получили, что
надо извлекать квадратный корень из целого числа 14959). Если
мы хотим получить еще сотые, тысячные и т. д. доли, то должны
продолжить процесс извлечения, приписывая всякий раз к остатку
по 2 нуля. Вот вычисление этого корня с точн. до 0,001.
1/149/59 = (12,230) 12,231
242
9
55.9
48 4
2443
3
244605
750.0
732 9
1710.00.0
1223 02 5
Испытывая последнюю цифру 5 (десятитысячных), мы уви¬
дали, что ближе взять с избытком и, поставив 12,230 в скобки,
написали 12,231.
Пусть теперь имеем 1/5,7. Тогда сразу, как было в предыду¬
щем примере, получить десятых долей нельзя. В самом деле,
/ /57 V57
^=1/ 10= vis
Так как VlO безошибочно не извлекается, то, извлекая ква¬
дратный корень из целого числа 57, мы получим какие-то ирра¬
циональные доли для 1/5,7, так как VlO есть число иррацио¬
нальное.
Но мы можем изменить подкоренное число 5,7 так, чтобы оно
осталось равным самому себе и чтобы корень квадратный извле¬
кался из знаменателя, а именно: .
х
. . 1/570 1/570
./5,7 ==1/5,70 = )7=. = _пг
4*
Теперь, извлекая квадратный корень из целого числа 570,
мы получим сразу десятые доли для 1/5,7. Придется, следов.,
вести вычисление так:
V 5,7 =Уб', 70=2,3
4
43
17.0
12 9
4 1...
Далее, приписав к остатку два нуля, можем получить сотые
доли, затем тысячные и т. д.
Из рассмотренных примеров мы видим, что первою заботою
при извлечении квадратного корня из десятичной дроби является
забота о том, чтобы из знаменателя десятичной дреби корень
извлекся бы безошибочно. Знаменателями десятичных дробей
могут быть числа 10,100, 1000, 10000, 100000 и т. д. Извлекается
квадратный корень безошибочно из 100, из 10000 из 1000000
и т. д., а из 10, из 1000, из 100000 и т. д. не извлекается.
Последний случай (случай неизвлечения) имеет, следовательно,
место тогда, когда у десятичной дроби нечетное число десятич¬
ных знаков. В этом случае необходимо сделать так, чтобы ко¬
рень из знаменателя извлекался; сделать это можно тем же
приемом, каким мы воспользовались при вычислении 1^5,7, т.-е
приписыванием к десятичной дроби справа одного нуля.
Вот примеры:
1. V/0,395 = V'0,39'50 =0,628
36
122 35.0
2 244
1248
8
1060.0-
998 4
12565
5
6160.01 след., лучше взять с недо-
62825 J статном.
— od —
2. Уо,54'6ТЗЪ =0,739
49
143
56.7
3
42 9
1469
1383.5
9
1322 1
1478 | 6140.0 . . .
Сразу видно, что 5 взять много; поэтому лучше взять с не¬
достатком.
3. ]/9,0254б = V 9,02'54'60 — 3,0042
6004 I
4 |
60082
2
600845
5
25.46.0
24 01 6
14440.0
12016 4
242360.0 1 лучше взять с не-
300422 5 / достатком.
17. Приближенное вычисление квадратных корней из обыкновенных
дробей.
Мы можем данную обыкновенную дробь обратить в десятичную
и свести дело к предыдущему. Вот примеры:
вычислить с точностью до 0,001. Обратим дробь
10
в обыкновенную, причем вычислим лишь 6 десятичных знаков,
потому что для получения тысячных долей достаточно иметь под
знаком корня 6 десятичных знаков
110 I 13
1.
у 18
II — 0,846153
13
60 0,846153
= 1/0,'84'61'53= (0,9191 = 0,920
80
20
181
36.1
70
1
181
50
1829
1805.3
9
16461
1592
Если мы хотим узнать, что лучше взять: 0,919 (с недостат¬
ком) или 0,920 (с избытком), то надо к остатку приписать сле¬
дующие два десятинных знака — они получатся, если при обра¬
щении в десятичную дробь мы вычислим еще 7-ой и 8-ой
знаки. Эти знаки суть 8 и 4 (это видно сразу, так как мы полу¬
чили остаток и придется делить на 13 число 110, что уже было
сделано).
Тогда полный остаток будет 159284, и испытание цифры
5 нам даст:
18385 15928.4 \ след., 5 мало; поэтому ближе
5 9192 5 \ взять с избытком.
Конечно, мы могли бы в этом случае получить такой же ре¬
зультат, если бы к остатку 1592 приписали два нуля. Но бывают
случаи, когда подобная неправильность повлияет на результат.
См. следующий пример:
/ 4376
8325
4376
2- J/ с точн. до 0,01
= 0,5256, если ограничиться четырьмя десятичными знаками.
оо^О
Тогда
1/0,52'56 =0,72
49
142 I 35.6
2 28 4
72
Если теперь приписать к остатку два нуля и испытать цифру 5
(тысячных), то получим: , /
1445
5
720.0
722 5
Из чего можно было бы заключить, что 5 взять много и что
лучше принять, что
4376 Л_„ ,
— =0,72 (с недостатком).
Однако, это было бы неправильно. Если мы, обращая
4376
8325
в десятичную дробь, взяли бы и 5-ый и 6-ой десятичные знаки,
то получили бы
—0,525645 . . .
8325 ’
Почему к остатку 72 пришлось бы приписать не два нуля, а
цифры 4 и 5; получили бы для испытания цифры 5:
1445
7245
5
7225
откуда заключили бы, что лучше принять, что
4376
= 0,73 (с избытком).
V 12£
У 8325
вычислить с точностью до 0,001.
17
^ = 0,425. Поэтому
/
12iZ —V/12',42'50 = (3,524) 3,525.
65
5
9
34.2
32 5
702| 175.0
2|140 4
7044
4
3460.0
2817 6
70485
5
642400 1
352425 I след'» лУчше взять с избытком.
— 56 —
Возможен и иной прием для приблизительного вычисления
квадратного корня из обыкновенных дробей. Пусть, например,
/7 7
^2 с точностью до 0,01. Заменим дробь
другою дробью, ей равною, чтобы из знаменателя дроби безоши¬
бочно извлекался бы квадратный корень. Для втого, как легко
сообразить, надо числителя и знаменателя умножить на 3. Тогда
i/-=i/-=
У 12 у 36
1^21
Извлечем затем V21 с точностью до 0,01.
V 21=4,58
85
5
50.0
42 5
908
8
750.0
726 4
23 6
Итак, если принять, что V21 = 4,58, то ошибка будет
меньше 0,01. Полученное число надо разделить на 6, — от этого
ошибка уменьшится в 6 раз и будет, следовательно, меньше —^
600.
Итак,
у 4 58 ^
=0,76 (при делении 38 на 6 ближе взять 6,
чем 7).
тш» |/ А=|/ §-=^
— /"а 5 91
V35 = 5,91 и, след.,1/ у=-у—= 0,
109
9
100.0
98 1
1181
1
1900
1181
719
— 57 —
18. Другие случаи приближенного вычисления корней. Возможно
пожелание вычислить, например, 1^52 с точностью до Тогда
1Ь
мы должны превратить 52 в дробь, знаменатель которой = 16s
или 256. Тогда
У13Ы2
16
Но V 133'12 =115
121
225
5
1212
1125
87
Поэтому
V/52=iJ= 7^ (с точи, до i)
Так как мы взяли 115 с недостатком, то
7|<l/ffi<7i(7i=7l).
1
Встречается иногда надобность вычислить с какою-либо точ¬
ностью произведения, вроде 7 1^2, 26V3] uVlO и т. д.
Вычислим, например, с точностью до 0,01 произведение liVlO.
Если бы мы вичислили сначала 1^10 с точностью до 0,01 и получен¬
ное число умножили бы на 14, то ошибка увеличилась бы в
14 раз, и мы не смели бы утверждать, что наша цель достиг¬
нута. Поэтому, обычно в таких случаях пользуются следующим
приемом.
Ясно, что а=V а2. Поэтому 14 =1^14® = Vl96. Мы можем
число 14 заменить V' 196. Тогда:
14 1/10 = 1/196 VlO
— 58 —
Но мы знаем, что „произведение корней одинаковых степеней
равно корню той же степени из произведения подкоренных чи-
/ п п п \
*ел“ [Уа У Ъ — УаЪ ).
Поэтому
ыУ 10 = V7196 .V'lO^V'igeO
Извлекая последний корень с какою-либо точностью, мы по¬
лучим ту же самую точность и для произведения 14У10.
1/19,60 = 44,27
84
4
36.0
33 6
882
2
8847
7
2 40.0
1 76 4
63 60.0
61 92 9
88545
5
1 67 100)
4 42 7951 след,> ближе взять с недостатком.
Поэтому 1±УТ0 = 44,27 с точн. до ^ сотой доли.
Тот прием, который здесь был употреблен для замены про¬
изведения 14 У10 одним корнем (l/l960), носит название „под¬
ведения множителя под знак корня". Его можно при¬
менить к корню любой степени:
Г Г Г Г _ - -
aVb = Var V b = V ar fc.
Например,
8— 3,—
4,—
2 V3 = V8 V 3i=l/24; ЗУ 5—к 81 Vb = V±05 и т. д.
— 59 —
III. Квадратные уравнения.
19. Возникновение более сложных квадратных уравнений. В п°8
мы уже имели случай ознакомиться с решением простейших ква¬
дратных уравнений. Так, уравнение 3ж2—12 = 0 решается так: у/
Зх^—12; ж* = 4; x — Vi, причем Vi имеет два значения:-]-2
и —2. Также точно уравнение з? — т имеет решение: x — Vm,
причем Vт может изображать или действительное или мнимое
число; в первом случае он имеет два значения, положительное
или отрицательное, а абсолютная его величина может быть ра¬
циональным или иррациональным числом.
Мы можем увидать, что квадратное уравнение может быть
выражено в более сложной форме. Прежде всего мы можем ваме-
нить х каким-нибудь линейным двучленом.
Так, если дано уравнение:
(5х— 11 )я=81 V
то мы можем прочесть его словами так: .квадрат некоторого ли¬
нейного двучлена равен 81“, откуда сообразим, что для получе¬
ния самого линейного двучлена надо извлечь квадратный корень
из 81. Можно для ясности вто обозначить так:
(Линейный двучлен)2 = 81; след., сам линейный двучлен = Ув1.
Последнее можно написать так:
бх —11=1/81
Та? как V81 = ± 9, то дальнейшее решение расчленяется
на 2 ветви:
1) бх—11 = —9; 5ж=11-}-9; 5х=20; x=i
2) бх—11= — 9; 5я = 11 — 9; 5х = 2; х = ^-
Итак, мы нашли два решения j^l) x=i и 2) a?=-|-J для
уравнения {бх—II)2 = 81.
— 60 —
Еще примеры:
1. (5 — Bxf —100.
Тогда 5 — Ъх — V 100
1) 5 —Зх=+10; — Зж = + 10 — 5; Зх = — 5; х ——1|
2) 5 — Зх = —10; — Зх = —15; x = -j-5
2. (2ж + 3)2=7.
Тогда 2x-j-3 = V 7. Квадратный корень из 7 есть число ирра¬
циональное и имеет 2 значения. Мы пока, не вычисляя его прибли¬
женно, станем обозначать одно значение через —|—1^7, а другое
через — V?.
1) 2х-\-3 = -\-У 7; 2x = — 3+VT] ж —~3+VУ
2) 2» + 3 = — V7; 2х = — 3 — V~т\ х = ~Ъ~Х/-
_ 2 /
Вычислив приближенно V 7, мы можем найти также приоли-
жениые решения данного уравнения.
Так как предполагается, что приближенное извлечение ква¬
дратного корня хорошо известно, то очень часто решение подоб¬
ных уравнений и оставляют в выше полученной форме:
— B + VY ^ — 3—У7
1) * = ^ и 2) -2
— всякий, кому это понадобится, сумеет вычислить эти решения
е любою точностью.
^Вычислим, например, их с точностью до 0,01.
VТ= (2,64) 2,65
46
6
30.0
27 6
524
4
240.0
209 6
5285
5
3040.0
2642 5
след., лучше взять с избытком.
— 61 —
— 3+2,65 —0,35 ,
Тогда: 1) х= L. — ——о,17 (приблиз.)
— 3 — 2,65 —5,65 „ ,
2) х — — - — 2,82 (приблиз.).
Вообще, пусть дано уравнение
[ах + b)s — с. \/
Тогда ax-\-bz=zV с
1) ах-\-Ъ =V с, ах = — b-j-V с;
х
с
а
2) ax-\-b = — V с; ах = — Ь— V с; х —
Ь — V в
Принято вместо „решение" квадратного уравнения говорить
„корень" квадратного уравнения. Говорят, например, .квадратное уу
уравнение имеет 2 корня*. (Этот термин „корень уравнения"
употребляется для всякого, не только квадратного, уравнения и
заменяет собою выражение „решение уравнения").
Принято не писать отдельно каждый корень, как это было
сделано выше, а соединять их вместе, и лишь конечный резуль¬
тат записывать отдельно.
Примеры. 1. (2ж + 7)2 = 1
— 7 1
Тогда 2ж+7 = =ь1; 2ж = —7 ± 1; х—
А
1) х— — 3 ^ибо —'~2~ ——3^и2)ж=—4^ибо—^—-=
= -4/
Иногда вместо записи: 1) х = — 3 и 2) х=—4 пишут так:
Ху ' 3 , Хд 4
Здесь хг обозначает один корень нашего квадратного уравне¬
ния, а хя — второй корень.
— 62 —
2. (Зж — 5)2 = 9
5 =t 3
Зж— 5 = =t3; 3ж = 5±3; ж=—^—
2 2
ж,_23: ж2_ 3
Вообще:
(аж-]- Ь)2 =с
I , т/— i л/— —Ъ±V с
аж 4- о = ± к с; аж = — о ± У с: ж =
1 а
— b-\-V с —Ъ—V с
ж.= 1 ; ж„=
1 а 8 а
20. Дальнейшие усложнения при решении квадратных уравнений.
Мы могли бы какой-либо из предыдущих примеров задать в иной
форме. Например, вместо того, чтобы дать уравнение в виде
(2ж-|-7)3 = 1, мы могли бы задать его в виде
М 4ж3-]-28ж + 49 = 1.
Тогда решающему надо было бы догадаться, что левая часть
этого уравнения есть квадрат двучлена 2ж-}-7. Как только он
подметил бы это, то тотчас переписал бы его в виде
(2ж + 7)2=1
и легко решил бы его.
Возможно было бы еще усложнить дело, перенеся 1 из пра¬
вой части уравнения в левую. Тогда уравнение приняло бы вид:
4ж3-)-28ж + 48 = 0
и решающему надо было бы догадаться, что следует в обеим
частям уравнения прибавить по 1, чтобы получить в левой части
квадрат двучлена.
Обычно квадратные уравнения и задаются в последней форме.
Решим несколько таких примеров.
^ 1. з?-{-6х—7 = 0
— 63 —
Мы видим, что первые два члена ж3 + 6ж подходят под начало
формулы a® + 2аЬ + Ь2, выражающей квадрат суммы двух чисел.
Именно, мы можем считать, что ж3 есть квадрат первого числа
(а само первое число есть, следовательно, ж), 6ж есть произведе¬
ние двойки на первое число (ж) и на второе (6ж=2.ж.?). Отсюда
легко сообразить, что второе число должно быть 3. Чтобы полу¬
чить в левой части ураввения квадрат двучлена ж-|-3, надо сде¬
лать так, чтобы вместо члена — 7 был бы член + 9 (квадрат
второго числа). Для этого придется прибавить (к обеим частям
уравнения, конечно) по 16. Получим: j
ж3 + 6ж —7 + 16 = 16
или
ж3 + 6ж + 9 = 16
илй
(ж + З)2 = 16
После этого легко решить уравнение:
ж + 3 = ±4; ж=— 3 ± 4
жг = +1; ж2 = — 7.
2. ж3— 10ж+21 = 0.
Здесь придется сводить дело к формуле а2 — 2аб + Ь2 (ква¬
драт разности двух чисел): ж3 есть квадрат первого числа (само
первое число есть, следовательно, ж), 10 ж есть произведение
двойки на первое число и на второе, откуда выясняется, что
само второе число есть 5; надо, чтобы еще был член +25
(квадрат второго числа), для чего придется в обеим частям
уравнения прибавить по 4. Получим:
ж3—10ж+21 +4 = 4
или
ж3 — 10ж+25 = 4
или
(ж — 5)3 = 4
Теперь уравнение легко решается:
ж—5 = ±2; ж = 5=ь2; 1) ж = +7 и 2) ж = + 3
3. ж2 + 7ж +12 = 0.
— 64 —
Здесь квадрат первого числа есть ж8; член -)- 7ж выражает
произведение двойки на первое число (ж) и на второе (7ж=2.ж.?),
7 1
откуда выясняется, что само второе число есть ^ или 3^ ■ Его
49 1
квадрат =-j- или 12^-. Придется, следовательно, к обеим частям
уравнения прибавить по Тогда получим:
*?+7ж+121=1;
7.1 — 7 ± 1 „ ,
Ж— 2 2— 2 ’ — ’ 8—
4. ж8 — 5ж — 3 = 0. Придется свести к квадрату двучлена ж —
25 1
Так как квадрат второго числа есть а у нас последний
член есть —3, то придется в обеим частям уравнения прибавить
по -|-9р Получим:
ж3 — 5ж — 3 -f- 9j= 9j или ж8 — 5ж 6^-=^-;
/ 5\2 37 5 5 . Т^37 5 ±^37
Г й) — 4 ’ Ж 2 2 ’ Ж 2 2 2
Корни иррациональны и их можно вычислить с любою точ¬
ностью.
Возможно поступать так. Перенесем известный член (—3) в
правую часть уравнения. Получим:
ж8 — 5ж= 3.
Теперь придется, чтобы получить в левой части квадрат дву-
25 1
члена, прибавить в обеим частям уравнения по или по 6j.
Получим:
а?—5ж+б1=8 + б|
и т. д.
— 65 —
Такой порядок быть может удобнее, так как не придется, как
это было раньше, рассчитывать, по какому числу именно надо
прибавить к обеим частям уравнения.
121
5. ж®-{- 11ж-{-7 = 0; ж*-|-Пж — — 7; прибавить надо по
/ 11 121 \
{второе число есть g-; его квадрат -^-1.
Тогда
* + 11*-{^=^-7
или
/ , 11\* 93
(Ж+-2)=Т_ _
11 rtl/93 11 ^1/93 —11 ± I/93
*4-5=—д—; *=—2 ±~Г= ' §
21. Формула для решения квадратного уравнения вида ж®-)-рж-{-
-|-}=0. Те квадратные уравнения, которые мы до сих пор ре¬
шали, имеют такой состав: в левой части 1) имеется старший
член с квадратом неизвестного (ж8), причем коэффициент этого
члена=1; 2) имеется член с первою степенью неизвестного
(—5а:; -{-11а: и т. д.), причем коэффициенты его были различны
и 3) имеется какой-то известный член. Другими словами, левая
часть решенных нами уравнений имела вид квадратного трехчлена,
прячем у старшего члена коэффициент = 1. Мы можем, обозна¬
чая буквою р коэффициент при х в первой степени и буквою q
известный член, написать этот квадратный трехчлен в общем
виде: ж®-\-рх-{-q, а самое уравнение в виде:
ж® -\-рх -f- q = 0.
Нахождение решения этого уравнения можно выполнить в том
же порядке, какой был применен в последнем примере.
1) Перенесем известный член -f-g в правую часть уравнения:
я?-\-рх= — д.
2) Член ж® примем за квадрат 1-го числа, — само первое
число есть ж; член -{- рх можно принять за произведение двойки v
на первое число (ж) и на второе, откуда увидим, что второе
5
— 66
V)
число должно равняться^-. Поэтому прибавим к обеим частям
Р2
Vуравнения по —, т.-е. квадрат второго числа:
*,+i»+Y=T”e
ИЛИ
(*+ £-)Ч
т~*
3) Найдем (при помощи извлечения квадратного корня), какому
Р
числу равен линейный двучлен х-\--~-:
А
.+^ = */тГ«
4) Определим значения для х\
и, след.,
Р , 1 /р* Р i/V
*.=—r+Ki-e- ■«»=-—
Полученную формулу
выражающую решения квадратного уравнения, следует запомнить.
Поэтому равенство
читают словами:
Неизвестное равно половине коэффициента при
неизвестном первой степени с обратным знаком,
плюс или минус, квадратный корень ив квадрата
этой половины без известного члена.
— 67 —
Усвоивший эту формулу может пользоваться ею для быстрого
нахождения квадратного уравнения (надо лишь знать, что эта
формула относится к уравнению вида x2-\-px-\-q — 0).
Примеры.
1. х2 — 6ж — 2 = 0. Здесь коэффициент при неизвестном в пер-^
вой степени есть — 6, надо взять его половину с обратным
знаком, т.-е. -(-3, затем надо взять „плюс или минус квадратный
корень из квадрата этой половины без известного члена, т.-е. надо
взять (—{— 3)® или 9 и из этого числа вычесть известный член,
равный — 2, т.-е. 9 — (— 2)= 9 —[— 2 = 11. Итак,
ж = 3 ± 1/9 + 2 = 3 ± V И
^=3 + V 11, xs=3 — V 11.
2. х2— 5ж+1=0. Так же, как и выше, найдем:
V21 5 ± V21
5 , Г25 , 5 _ / 21 5
х— 2 4 2^[ 4 2
3. Зж2 — 10ж— 8 = 0. Надо сначала привести уравнение к
виду х2-\-px-\-q~0, для чего надо обе части уравнения разде¬
лить на 3; получим:
. 10 8 п
*'-т*~ з = °
и тогда
5 ,/'25 , 8 5 ± ^49
*“8 * I ТГ + 1= 3~
2
4. г>ж2 + 17ж +6 = 0. Тогда:
, , 17 , 6 17 ,/289 6
#+Т* + -5 = 0; х= 10 У Too
— n±V 109 —17 ±13
10 10
ж, = — 0,4; ха = — 3.
5*
— 68 —
I 22. Формула для решений уравнения вида аз? -f- Ъх -|- с = О.
В двух предыдущих примерах мы имели дело с уравнениями,
коэффициент у старшего члена которых был не 1, а иное число,
и мы должны были сначала обе части уравнения разделить на
этот коэффициент, чтобы привести уравнение к виду ж2 -\-рх д=0.
Но возможно получить формулу, при помощи которой можно сразу
находить решения данного уравнения, не добиваясь того, чтобы
коэффициент при старшем члене был единица.
Возьмем уравнение:
«ж® -{- Ъх -j- с — 0.
Найдем его решения прежним порядком, т.-е. сначала разделим
обе его части на а и затем применим вышенайденную формулу.
Тогда последовательно получим:
Ъ / Ь2 с
х ~\ = 0» х — — к- ± I ~а—9
' а ' а 2а г 4 а3 а
Станем постепенно упрошать полученное выражение:
ж = ——-4 л/ ?)2 4"с — Ъ ^ л/Ь* — 4«с —
2а \ 4а2 4а2 2а Г 4а2
Ъ Vla— 4ас —b±Vh'i — 4ас
2а 2а 2а
Полученный результат
— b±Vh2 — 4 ас
х=
2а
можно запомнить и применять непосредственно к уравнению
ах1 -\-Ьх-\-с=0.
Полученную формулу читают словами:
неизвестное равно коэффициенту при неизвест¬
ном в первой степени с обратным знаком, плюс или
минус квадратный корень из квадрата этого коэффи-
— 69 —
диента без произведения числа 4 на коэффициент
при квадрате неизвестного и на известный член,
и все это деленное на удвоенный коэффициент при
квадрате неизвестного.
Примеры:
1. 3.r* -f 5х 2 = О
2) 2я? — ж -f- 1 — О
\±V\— 4.2.1 1 ±V—1
х— 4 — “ 4
Так как V—7 есть мнимое число (п° 10), то мы можем лишь
сказать, что данное квадратное уравнение имеет мнимые решения.
3) —Ах1 —Уж —f— 1 = 0. Удобнее (и это всегда следует делать)
добиться, чтобы у старшего члена коэффициент был положитель¬
ный, для чего обе части уравнения умножим на —1. Получим:
4Ж2 —7х—1=0,
и тогда
__1 ±Vl9— 4(-f-4)(— 1)__7 ±V49 -j-16
ж_ _ __ _
7 4-1/6о 7 — 1/65 ,
и жо = (решения иррациональны).
О О
23. Общий вид квадратного уравнения и более сложные примеры.
Уравнение
аа? -|- Ьх -j- с = 0
можно принять за общий вид квадратного уравнения, так как к
этому виду можно привести любое квадратное уравнение, сколь бы
оно ни было сложным, при помощи умения раскрывать скобки,
освобождать уравнение от дробей, переносить члены из одной
части уравнения в другую и делать приведение подобных членов.
Вот ряд примеров на это.
1 1 1
1.
х — 4 х 3
Умножим обе части уравнения на Зж (а — 4).
Тогда получим:
Зж(ж—4) Зж(ж — 4) Зх(х — 4)
х—4 х 3
пли, после сокращений дробей,
Зж — 3(ж— 4)== х (х — 4)
•JРаскроем скобки:
Зж—Зж-(- 12 —хя — 4ж
^Члены -(- Зж и —Зж взаимно уничтожаются: перенесем член -|- 12
из левой части в правую, но напишем эту правую часть сначала;
получим:
ж2 —4ж—12 —0.
Уравнение приведено к виду ж2 -\-рх -f- д = 0 и его решить
можно по формуле — ^ =ь у — q:
х— 2 ± Vi-\- 12; жх = 6; х2 = — 2.
ч Зж — 6 х-\-Ъ 1
x-f-З ж— 1 8 "
Умножим обе части уравнения на 8(ж-|- З) (ж—1). Получим
после сокращений дробей:
8(3ж— 6) (ж — 1) + 8(ж + 3)2 = 25(ж-|-3) (ж—1)
или
8(3ж2 — 9ж+ 6) -f 8(ж2 -|- 6ж+ 9) = 25 (ж2 + 2ж — 3)
или
24ж2 — 72ж + 48 -f- 8Ж2 -f- 48ж-+- 72 = 25ж2 + 50ж — 75.
Перенеся все члены в левую часть и сделав приведение подобных
членов, получим:
7Ж2 — 74 ж-}- 195 = 0.
— 71 —
Отсюда (по формуле
— Ъ ± V 63 — 4 ас
2 а
74 ± V5476 — 5460 74 ± 4
а;
14
4а; 26 6
3. гг = 1*
а а— 2х
Умножим обе части уравнения на а (а—2ж);
(4а; -j- 26) (а — 2а;) — аЬ — а(а — 2х).
Раскроем скобки:
4 ах -f- 2 аЪ — 8а^ -— 4Ъх — об = а2 — 2 ах.
Перенесем все члены в левую часть и переставим некоторые из
них:
— 8а? -f- 4ах 2 ах — 4 Ъх — а2 -{- 2 аЪ — ah — 0
Члены —Ъах-\-4Ъх соединим в один член, вынеся за скобки —а; V
(знак — напишем впереди скобок); также члены а2— аЪ соеди¬
ним в один, заключив их в скобки:
— 8а;2 -|- баа; — 4 Ъх —a2 -f- ab = О
пли
8а;2 — боа; -f- 46а; -f-.os — db = 0.
8а^ — (6а — 46)a; -j- (а3 — аЪ) = 0.
Отсюда
6а — 46 ± 1^(6а — 46)2 — 4. 8(а2 — аЬ)
16
или
6а — 46 ± У4а2— 16«Ь—j— 16b3
Ifi
— 72 —
Так как 4а* — 1 бай -|- 16t? = (2а — 46)2, ю
6а — 4?> =ь (2а-—4Ь)
Д6
Тогда
6а — 4 Ъ-\-2а — 4Ь 8а — 8 Ъ а — Ъ
*1— 16 ~ 16 ' — 2
6а — 4Ь — 2а-|-4Ь 4а а
Х2— 16 —16“"4 •
24. Неполные квадратные уравнения. Когда данное уравнение при*
водят к виду ах*-\-Ъх-\-с = Ъ, то может случиться, что некото¬
рые члены взаимно уничтожатся и в левой части станет не 3,
а менее членов; другими словами, может случиться, что некоторые
из коэффициентов а, Ъ и с окажутся нулями. Полученные уравне¬
ния называют неполными. Разберем различные возможные
здесь случаи.
1. Если окажется, что а = 0, то из уравнения аж* -{- Ъх -j- с — О
исчезает старший член и уравнение обращается в Ьгс —(— с = О,
т.-е. в уравнение первой степени.
2. Если окажется, что Ъ = 0, но ни а ни с не нули, то из
уравнения ая?-\-Ъх-\-с — 0 исчезает член с неизвестным в первой
степени и уравнение обращается в ах5-j- /° = 0. Мы уже подоб¬
ные уравнения решали (п°8 и начало п°10). Теперь мы можем
решить зто уравнение в общем виде:
ах?с = 0; ах2 = — с; х? = — х—± I — —.
1 ага
Так как буквы а и с могут выражать всякие числа, и поло-
с
жительные и отрицательные, то подкоренное число — — может
оказаться и отрицательным и положительным: если а и с имеют
разные знаки, то дробь ^ отрицательна, а подкоренное число
— — положительно и х будет иметь два действительны! значения;
— 73 —
с
«ели а и с имеют одинаковые знаки, то — положительное числе.
а
с л/ с
а — — отрицательное и у — — выражает мнимое число.
3. Если окажется, что с = 0, но ни а ни Ъ не нули, то урав¬
нение обращается в аоР Ьх = 0. Это уравнение можно решить
„ — b±V},2—4 ас
по нашей формуле , заменяя в ней с через нуль.
£(Х
Полу чим:
-b±Vw _—Ь±Ъ „ Ь
2 а 2 а
Однако, предпочтительнее решать подобные уравнения, исходя
из положения:
произведение нескольких множителей может
быть только тогда равным нулю, когда хотя бы
один из этих множителей равен нулю.
Это положение станет ясным, если мы его иллюстрируем при¬
мером : на какое число надо умножить -{- 5, чтобы в произведе¬
нии получить нуль? Если взять (-(- 5). (—5), то получим ни
нуль, а — 25; если взять (-J- 5). ^, то получим -|— 1, а
С-|-5). ^—3") — —и только (+5).0 = 0. Так же точно на
вопрос, какое число надо умножить на (—5), чтобы произведение
оказалось равным нулю, — приходится ответить, что это может
быть лишь при умножении нуля на (— 5). Так же рассматривая
случаи умножения нескольких множителей, мы приходим к за¬
ключению, что в произведении нуль получается лишь тогда, когда
хотя бы один множитель был равен нулю.
Тогда уравнение
ая*-)-Ьж=0 \j
можно написать в виде:
х
(аж-|-Ь)=0 \/
— 74 —
v/Мы видим, что здесь требуется, чтобы произведение двух мно-
^ жителей равнялось нулю. Это может быть только при условии,
что один из множителей равен нулю, т.-е. мы должны иметь:
или ж = 0 или ах-\-Ъ = 0.
Первое предположение дает нам первое решение, т.-е. хх = О
а второе предположение дает возможность определить, решая
уравнение первой степени, второй корень этого уравнения, т.-е.
*ч/из уравнения аж -f- Ь = О получаем х—— —,—это и есть вто-
(X
рой корень нашего квадратного уравнения: ж„ =— —. Этот спо-
а
соб предпочтительнее потому, что сразу в уме легко напиоатв
оба решения.
Пусть, например, имеем уравнение
Зж2 — 8ж=0
Мы сразу видим, что 1) это уравнение оправдается, если при¬
нять х равным нулю и 2) если х не нуль, то на него можно
разделить обе части уравнения, и получим уравнение первой сте¬
пени Ъх—8=0, которое легко решить в уме. Итак, для этого
уравнения найдем следующие корни:
1) х=0 и 2) х— | =2| .
Также для уравнения
эж2 -j- Ъх = О
получим:
1) ж=0 и 2) ж =—
Квадратные уравнения видов
аж2 —(— с = О
п
ая?-\-Ъх—0
называются неполными квадратными уравнениями.
— 75 —
Возможен еще вид неполного квадратного уравнения, а именно:
положим, что в уравнении аз?~\-Ъх-\-с=.О и Ъ и с обращаются
в нули; тогда уравнение обратится в
ож3 —0.
Ясно, что оно может удовлетвориться только при х — 0.
Можно, написав это уравнение в виде
ахх — О
и заметив, что а не нуль, притти к мысли, что у этого уравне¬
ния также два корня: можно либо один множитель х принять
раьным нулю, либо другой. Итак, здесь и хг = 0 и xs = 0.
25. Основные принципы решения уравнений высших степеней.
Подобно тому, как одним из исходных пунктов при рассмотрении
квадратных уравнений является сознание возможности решить
уравнение вида (ах-\-Ъ^=с, так же точно мы признаем возмож¬
ность решить уравнение, какой бы оно ни было степени, если
его можно привести к виду
(ах -f- Ъ)п = с.
В самом деле, мы отсюда получаем последовательно:
, г лГ т. . л/~ —Ъ + Р с
ах-\-Ь = У с; ах— — 0-+-V с; х—
' а
По поводу этого результата следует заметить: 1) мы всегда
П —
считаем У с за число, рациональное или иррациональное, дей-
п. —
ствительное или мнимое; 2) У с имеет два, одно или ни одного
4 з
действительных значений (например: У-|-16 = ±2, У-{-8 = 2,
з .
У—8 = — 2; У — 4 не имеет ни одного действительного значе-
п-
ння); при изучении мнимых чисел выясняется, что У с имеет
всегда я значений, среди которых действительных может быть
или одно или два.
Итак, мы имеем первый принцип:
если уравнение, какой бы оно ни было степени,
\jn р и в о д и т с я к виду (ах-\-Ъ)п = с, то его можно решить.
Так как мы научились решать квадратные уравнения, то этот
принцип можно развить и установить, что мы можем решить урав¬
нение, если оно приводится к виду:
(ах2 -f- Ъх -j- с)п = d
В самом деле, отсюда получим:
\| ax*-\-bx-\-c — V d
п —
Пусть одно из значений У d есть т. Тогда
аз? -f- Ъх -J- с = т
или
аз? -}- Ъх -j- (с — т) — 0.
Это уравнение мы можем решить.
При рассмотрении одного вида неполных квадратных уравне¬
ний мы пользовались положением, что произведение нескольких
множителей может равняться нулю только тогда, когда один из
множителей равен нулю. Это положение позволяет установить
2-й принцип:
если уравнение, какой бы оно ни было степени,
можно привести в виду
(alx -j- Ъг) (а^с -J- Ьа) (а3х + 63)... (апх -f- bj = О
Nf o его можно решить.
Чтобы уяснить этот принцип, рассмотрим ряд примеров:
’) пусть дано уравнение
(х — 4) (х -j- 5) (Зх — 2) (4ж + 3) = 0.
I
— 77 —
Мы видим, что здесь имеется требование, чтобы произведение
четырех множителей, каждый из которых является линейным
двучленом, равнялось нулю. Это может быть только тогда, когда
один из множителей равен нулю. Чтобы удовлетворить этому, мы
можем: 1) выбрать для х такое число, чтобы первый множитель
(х — 4) оказался равен нулю, для чего должно принять, что х — 4;
2) выбрать для х такое число, чтобы второй множитель (х -\- 5)
оказался равен нулю, для чего должно принять, что х=—5;
3) выбрать х так, чтобы 3-й множитель (За; — 2) оказался равным
2 .
нулю, для чего должно принять, что х — -g- (если это трудно
увидать сразу, то этот результат получается из уравнения За;—2=0,
откуда За;=2 и x—^j и 4) выбрать х так, чтобы четвертый
множитель (4а; -j- 3) оказался равным нулю, для чего должно
з
выбрать х=—-j- (из уравнения 4х -f- 3 = 0 иол у чаем 4#=—3
3\
и х=. .
Итак, наше уравнение имеет 4 корня:
2 з
хг — 4, xs — о, xs — g и хк - ~
2) Уравнение
х(ах -}- Ъ) (сх -}- d) (сх -)-/') = 0
имеет также 4 корня:
п _ Ъ — d f
— 0, ха — а ’ —’ с ’ Х* — е
Эти корни получаются приравнением нулю каждого из мно¬
жителей:
1) а;=0
2) ах~\-Ъ — 0, откуда ах — — Ъ и х=
3) c.r-j-d = 0, откуда сх— — d и х=- —
f
4) ex -} - f=. 0, откуда ex —— / и х = —
— 78 —
Теперь ясно, что уравнение
(o^-f-bO (а^с-\-Ъъ) (o^-f-bg) .... (о«ж-|~Ья) — О
имеет столько корней, сколько множителей в левой его части, п
каждый корень находится из уравнения, получаемого от прирав¬
нивания нулю каждого множителя.
Из «j.e —j— fej = 0, получаем агх=. — Ъг н х=—— и т. д.
IV. Преобразования иррациональных выражений.
26. Мы знаем, что в некоторых случаях мы можем извлекать
корни даже и тогда, когда подкоренные числа выражены буквами.
случаях мы встречаемся с корнями, которых извлечь на буквах
{не заменяя буквы какими-либо числами) мы не можем.
Kbie-j выражения.
Опираясь на знание основных равенств для корней, мы можем
заменять одно иррациональное выражение другим, ему равным
можем, другими словами, выполнять преобразование иррациональ¬
ных выражений.
Мы знаем следующие равенства для корней:
Напр., У a, Уas, У а*, Т/—j— Л2 и т. п. Выражения последнего
рода носят название иррациональных выражений: У а, Уа8,Ра\
и т. п. суть иррациональные или р а д и к а л ь-
*) По - латыни слово «radix» обовначает «корень»; поэтому часто и
по-русски говорят «радикал» вместо «корень».
If
— 79 —
•/ — ^ j
4) Vam — a г (если —=целому числу). V
г
i К этим равенствам постепенно прибавятся еще и другие.
27. Выведение множителя из-под знака норня и введение мно- ч
жителя под знай норня.
з
Возьмем иррациональное выражение У24а3Ь*. Рассматривал его,
мы видим, что подкоренное число можно разложить на 2 мно-
жителя так, что одним множителем явится одночлен, из которого
корень извлекается. Получим:
1^24^6» — УнаЧг .?>&-= РъаЧР.
Так как из одночлена 8a3bs мы извлечь кубичный корень
можем, а именно Л^==2а6,то далее получим:
g g
У 24я865 = 2«Л V 6*.
Также
VЮООаЬ5 = 106* У10аЬ .... здесь мы подкоренное число
ЮООаЪ5 разбили в уме на множители 100Ы и ЮаЪ, причем из
1-го множителя корень извлекается. Все это подробно можно
было бы записать так:
VЮООаб5 — V10061. Юяб = VЮОЬ4 . У 10аЬ=г 106* УЮаб-
Также
5 5 -
У Г>4<т1061л = 2я26ч У 'J и т. п.
Это преобразование носит название „выведение множителя из-
под знака корня11. Оно во многих случаях полезно, так как
упрощается число, стоящее под знаком корня.
— 80 —
При приблизительном вычислении иррациональных чисел мы
встречались и с обратным преобразованием, с „подведением мно¬
жителя под знав корня". Так
J 14 V 2 = V\&.V 2 = Vi9gV 2 = У392
Такое подведение было для нас полезно с целью вычисления
выражений вроде 14 V 2 с заданною степенью точности. Вот
•ще примеры:
3ab'1 V2аЪ — У27аЧА. V2аЪ =. V21 аЪа. 2ah = V54а4Ь7.
Здесь мы сначала множитель Зоб3 заменили кубичным корнем
из (3<*6*Д а затем воспользовались вторым равенством п°24:
П >1 . п п
аУ Ъ — V о" V Ъ =У апЪ.
Подведение множителя под корень также иногда упрощает
данное иррациональное выражение. Напр.:
*Ут=^ Yt=Y^I=vt
“Т'/ гг=^“* V?=
В этих примерах удалось при помощи подведения множителя
под корень добиться того, чтобы под корнем не было дробей.
Иногда для той же цели можно подводить под корень множителя,
которого не было первоначально перед знаком корня. Напр.:
V к = к-2» У Та = ^ VI = Та У4^-i=
— 81 —
Здесь мы сначала искусственно ввели в дело два множителя
и 2а перед знаком корня, — от этого выражение осталось
равным прежнему, так как .2а=1.
£iO>
Еще пример:
Здесь мы сначала ввели в дело перед знаком корня множи-
житель а® разбили на а.а, причем один из них оставили перед
знаком корня, а другой ввели под знав корня. Дальнейшее по¬
дробно записано выше.
Все предыдущие примеры записаны очень подробно, но на
практике надо писать как можно короче, выполняя многое в уме.
Еапр:
28. Приведение подобных иррациональных одночленов. Обобщая
понятие о подобных членах, мы можем члены многочлена, имею¬
щие одинаковых иррациональных множителей, назвать подобными
иррациональными одночленами и соединять их в один член.
Придется здесь рассмотреть два случая: 1) тот, когда мно¬
жители каждого члена, стоящие перед корнем, либо только
числовые, либо у каждого члена перед знаком корня имеются лишь
одинаковые буквенные множители, и 2) тот, когда у этих членов
перед знаком корня имеются различные буквенные множители.
тели -jj- и 2, произведение которых равно единице, затем мно1
V
г
6
- 82 —
«
1-ый случай:
4УТ— бУУ —3i- г/у_L 2У У У1').
О 2
Мы можем эти четыре члена заменить одним членом. Подобно
тому, как
4а — 5 а — 3 -У a -f- 2 Уа ■= — 1 -У а
так же точно
4УТ— 5 УТ— 3 у У У-} 3-У У7 = — 1 У У У
Мы здесь, следовательно, как прп обычном приведении по¬
добных членов многочлена, должны коэффициенты сложить, а
иррациональный множитель написать без изменения.
Также многочлен
-У аУаЬ2— а Ус?Ь -J- 1 У а УаЬ2—|-а Уа2й—У-a Vali1
12 ^ о 12
можно упростить, сделав приведение подобных иррациональных
его членов: 1-ый, 3-ий и 5-ыи его члены подобны, потому что у
них и буквенные множители перед корнем и иррациональные
множители одинаковы; также подобны между собою 2-ой и
4-ый члены, но 1-ый и 2-ой члены не подобны, потому что ирра-
з — Е
циональные множители У а}?1 и У аЧ> не одинаковы.
Мы теперь легко, сложив коэффициент у подобных членов,
получим:
~ aVal? — а У о?Ь ~\~ 1 -У а УаЬ2 \ а У а?Ь — У аУаЬ2 =
12 * о 12
g _ g
■ aV ab2— 1 У а Уa%
О
*) Здесь, как во многих примерах ниже, мы будем оперировать над
корнями так, как будто бы каждый из них имел лишь одно значение.
— 83 —
Также:
ад У а — 'За2 У а — 4ад У a -j- 4а2 У a -j- Зад V а = а2 У а,
так как подчеркнутые члены взаимно уничтожаются.
2-ой случай:
ЗаУ Б — 2дУ 3 — 4сУ 3 — ЪЪ У 3
Мы видим, что иррациональный множитель У 3 у всех членов
одинаков, но буквенные множители перед корнем не у всех
членов одинаковы.
Мы можем тогда лпшь вынести общий иррациональный мно¬
житель У 3 за скобку и внутри скобок сделать приведенпе тех
членов, которые окажутся подобными. Получим:
ЗаУ 3 — 2ЪУ 3 — 4с У 3 — ЗдУ 3 = (За — 2Ь — 4с — ЗЪ)У 3 =-
= (За — 5Ь — 4с) У 3
Еще примеры:
3 3 - з _ з _
5 к а — дУ а — (4 -— 2 Ь) У а = (5 — Ъ — 4-f- 2 Ъ) У а. —
— (1 -f Ь)ТЛГ
— У 2х-4- — У 2.x-f-2У2х=%( ——-У 2\У,2х
х у \х У J
В скобках можно выполнить сложение. Получим:
_у* +з»+2яу у^_ У + у)2 у~
ху ху
29. Равенство (y—J=y^ или y^T={y~f. *
Мы знаем, что {y~'J=a (равенство 1-ое и°24). у
6*
— 84 —
— Ъа — 1 и т. д. — мы, следовательно, можем возводить любой
корень в степень этого корня и должно при этом получиться
подкоренное число.
Попробуем теперь возводить корень какой-нибудь степени не
в ту же самую степень, а в иную. Напр. . Зная смысл
возведения в степень, мы получим, что это все равно, что
Мы можем затем применить сюда равенство 2-ое п°24, читая
его словами „произведение корней одинаковых степеней равно
корню той же степени из произведения подкоренных чисел" (и°2).
Это равенство показывает, что если над каким-либо числом а
надо выполнить два действия, а именно—извлечение корня степени г
и возведение в степень к, то эти действия можно выполнить в
любом порядке: сначала извлечь корень, а потом полученный
результат возвести в степень, или сначала возвести в степень, а
потом извлечь корнь — результат получится один и тот же.
Итак,
Вообще, для (к и г — цельные числа) получим:
/ г \к г г г г г
\|/ а ) ]/a|/a'|/a...=|/a.a.a....= уаР .
а.а.а..
или в обратном порядке
— 85 —
Пользоваться этим равенством мы можем: 1) для возведения
корней в степень — напр.: {Vba^ = Уёаз, =V а№,
(уа +1) =V'as+2a-f 1 и т. д. („для возведения корня в
степень надо возвести в эту степень подкоренное число“) и
2) для более скорого вычисления некоторых корней — напр.:
V253 = (V2bf = 5B=;125, У324 = (у'зг) =24=16
и т. д.
п п г
1 /г пг пг 1/г 1/п
30. Равенство У V а — V а нли V а~ У V а — У V а /
В предыдущем п° мы получили равенство, которым можно поль¬
зоваться для возведения корня в любую степень. Теперь возни¬
кает вопрос, как извлекать из корня новый корень. Пусть тре-
Г
буется извлечь из V а еще корень степени и. Обозначим временно
результат этого извлечения корня п — ой степени через х. Тогда
X
Согласно значению действия извлечения корня (n-ой степени),
мы должны иметь:
г г
хп =Уа или Уа =х
Мы видим, что здесь извлекается из числа а корень степени г
и результат этого извлечения = ж”. Тогда, согласно значение
действия извлечения корня (сгспени г), мы должны иметь:
(ж" у = а или жпг= а
Отсюда мы получим:
пг —
х —V а
и тогда
V
г пг
V a = V а
— 86 —
Это равенство позволяет нам двукратное извлечение корня
заменять однократным. Так
з *
YV~a = V7i ; Yv3cFb = V Y\/VY= УТ
(подробнее: Y\/V 2 — Y V 2 = 2 ) пт. д.
Написав наше равенство в обратном порядке и имея в виду, что
в произведении ш множители п иг можно переставлять, получим:
П Г
Va=y{/7=Y^
Этим равенством можно пользоваться для упрощения иррацио¬
нальных выражений. Напр.:
з
е — л/ ~ 3 —
V as ~ X Va2 = V а. . . Здесь мы корень 6-ой степени за¬
менили корнем кубичным и корнем квадратным, причем корень
квадратный сделали внутренним, так как из а8 извлекается ква¬
дратный корень; затем мы этот квадратный корень и на самом
деле извлекли (V а? = а).
в —— 1/ з — —
V а3 = У V a3 =V а . . . Здесь разница от предыдущего в
том, что следует внутренним корнем сделать кубичный корень,
ибо из а3 извлекается кубичный корень.
5 4 '
10 "|/ 5 12 Л/ 3 4
У 100= У V 100 = УЮ; V27 = У V27 —V 3 ;
jg "I / g g jg *1 / 9
V Qa3V = У V %a3W = V 2а1?; V аЧР =\ V аРЬ27 =V ub3 = Ь Vab.
Конечно, желательно привыкнуть к таким упрощениям корней
так, чтобы писать результаты сразу. Иапр.:
V1 ОООаЗ = VlO а... Здесь корень 9-ой степени заменили двумя
кубичными корнями и один из них извлекли.
— 87 —
20
Б
V 81612 V
корнями 5-ой и 4-ой степени я корень 4-ой степени извлекли.
Такое упрощение иррациональных (радикальных) выражений
называется сокращением корней.
31. Упрощение иррациональных одночленов, под знаком kodhh
которых имеются дроби. Мы уже имели случай видеть {п°27), что
можно добиться того, чтобы под знаком корня не было дроби.
Мы добивались этого при помощи подведения множителя под
знак корня. Теперь покажем возможность выполнять то же самое
п то же число, достигнуть того, чтобы получилась новая дробь,
равная прежней, причем из ее знаменателя корень извлекся бы.
Знаменатель 24 нашей дроби разлагается на множители 8 и 3;
из 8 кубичный корень извлекается. Чтобы добиться его извлечения
и из другого множителя, надо умножить его еще на З2 или на 9.
Итак, умножим числителя и знаменателя дроби т^-па 9. Получим:
иначе. Возьмем выражение постараемся достигнуть того, \f
чтобы под знаком корня не было бы дроби.
5
Мы можем, умножая числителя и знаменателя дроби на одно
Также
3
з
з —
4
4
, 4
ГШ>_У Sab 1 4
Тбб4- ~ -2lT~2bVbab
— 88 —
Замечание. Иногда встречаются радикальные выражения,
подкоренные числа которых имеют знак минус и степени корней
нечетные. Такие выражения могут быть упрощены в том смысле,
что можно сделать так, чтобы перед подкоренным числом стоял
знак +.
Вот примеры:
8 — 8 —g g g g g
V—7 = У(—1).7=h(—1)3. 7 = к (—l)3. У7=—1.У 7 =— V 7
в 5, s 5 5 — 5 — 5 —
У— a = V(— 1). a = V(— l)5. о =K(—l)5 ■ Va =— 1Va = — У a
8 8 8 . 3
3aV— 2ab = ЗаУ (— l)3.2ab = 3a. (— 1) V2аЪ = -— ЗаУ2аЬит. п.
\
Конечно, желательно видеть сразу, что, напр.:
5 5— 8 _ 8 —
У — 2 — — У2 ; xV—Xs =— хУх2 и т. п.
32. Упрощение иорациональных многочленов. В м°26 мы уже
выполняли приведение подобных иррациональных членов много¬
члена. Теперь остановимся на тех случаях, когда члены много-
>'*члена приходится предварительно упрощать, после чего уже
’ обнаруживается наличность подобных иррациональных членов в
этом многочлене.
Примеры.
1. ЗУ8 — 5^18-1-7V50—91/72.
n/ Здесь каждый член может быть упрощен при помощи выведе¬
ния множителя из-под знака корня. Так как 8 = 4.2, 18=9.2,
50 = 25.2, 72 = 36.2, то
ЗУ8= 3.2 У2=бУ2, — 51/18 =— 5.3^2 = — 1оУ2,
ТУ 50 = 7 . 5 У 2 =35 У2,—91+2 =— 9.бУ2 =—54 1/2.
Поэтому
зУв — 51/18 +7 У50 —91/72 = бУ2 — 15У2 +
+ 351/2—541/2 = — 28 У2.
— 89 —
2. V147 — 6 Y^-Yl — 2V27
Здесь упрощения таковы:
V/147=T/49.3 =71/з
-6 уЛ=-в.’£=-в*=-2У8
- V£=- УЪ=-1у*
— 2 .1^27 = —2 VV 38= —2 Уз
Поэтому
У147 —6 >/^ -2^27 = 7Уз~2Уз~\Уз -
—2Уз=2^Уз!
О
3 3 3
3. 2^ — х1 — 3 Ут+* j/~ -f &64х*° — За?
-f- xV—8х*.
Упростим сначала каждый член.:
з з з
2К —х1 ■=—2 УзРх — — 2х3У х
-з т/1=-з l/4=--vV
IX г г х
Г Г Г Г 37
3 _
У64ж10 = 2хУ= 2х ~)/У X1 = 2хУ.1л
90
xv-—8a;4=i-—xV 8х* = — 2 x?V x
Тогда
3 3 3
2^ — x1 — 3|/l + Xs}/i-+ V 64.'/;10 — 3^|/— -L -f
8,— о 3.
—J— Яг-—8x* — — 2ж®ка; V".x2 -(-ж2к ж -}-2.rVV2 -}-
3 8_ 3 — / о \ 8 _
-f-3хУх3 —2j?Vx ~—ЗэрУх -|- ( \-Чх-\-Ъх JVx2 =
(о \ 3 — 3 —
бх — J Vх1 — 3x?V.c.
4. Vхп+1 -4- Vabn —1//«?п+1
1 а
Упрощаем каждый член отдельно:
Van+l= Van. а= aVa-, Vabn —hV a
9 n 9 " - 9 »— n,~
_ _y>i +1 1 VaSn. a = —- . a2Va = — 2aV a
a a a
Тогда
7l 71 П
П ft q W » Л — » —
1 -j-V^ab71 — ■—\/'arn~^1 = cs Va -}- bVct — 2aK 6t zzr
91 71 71
= bV a —aV a = (b— a)V a
nr 1 / 71 r f r \k
V a— V V а и V ak =\V a) .
vj 33. Использование равенств:
i
Пусть имеем, например, Va; умножим показателя этого
— 91 —
12— •••
корня, например, на 3, —получим Va. Зная равенство Va —
г
\/п/ 12
= г У а , мы приходим к заключению, что V а можно рассматрн-
4
вать, как результат извлечения из Vа ёще корня кубичного (дру-
4 —
гими словами: умножая показателя корня в выражении V а на 3,
мы этим самым извлекли из У а еще кубичный корень). Если
12 —
над полученным результатом, т.-е. над выражением Va, выпол¬
нить обратное действие, т.-е. возведение в 3-ю степень, то 1) мы
/ г—г .
должны воспользоваться равенством а)=Уак и 2) получен-
( 12/~^
ный результат \^а получим: у аз I должен равняться начальному
выражению у а (мы сначала из у а извлекли кубичный ко¬
рень, а затем полученный результат возвели в куб), т.-е.
4 12
Так же точно, извлекая из у а еще корень 5-ой степени (для
чего надо показателя корня умножить на 5 — получим }/ а ^ и
возводя полученный результат в 5-ую степень, для чего надо
20
подкоренное число возвести в 5-ую степень — получим у а5, при-
4 2*4
дем к заключению, что у а = у а5.
Также
S 6 — S 12 15 18
У а = у и2 = \/а3 = у а* =у а5 = у и6 =...
5 — 10— 15 — 20 _ 25
уЪт=уъ2 =.уъ3 =уъ* =уъь=...
I
— 92 —
n 2м Bn n&
Вообще: "|/a = j/aa=|/a3= . . . =y ak
Этот результат можно выразить словами: если показа¬
теля корня умножить на какое-нибудь целое число
(а это равносильно извлечению еще нового корня), а подко¬
ренное число возвести в ту же степень, то новый
корень равен прежнему.
Еще примеры:
|/ 2 сРЬ = ]/ 4 а4Ья = )/ 8а6Ъ2 - |/ 16а8Ь4 =...
9 18, 27 86
УШ2 = ]/9«2Ь4 —у 27а3№ =\/81сЫ8
J
и т. п.
34. Приведение корней к общему показателю. Рассматривая,
например, 2 последних примера предыдущего п°, мы виднм, что
l/2аеЬ и \/ЗаЪ3 удалось, между прочим, заменить корнями с оди¬
наковыми показателями: |/2а?Ъ = )/8а6Ы и \/3al>s =]/ 9asL\
Этот пример указывает, что и вообще всякие данные корни (два
или более) можно привести к общему показателю. Из тех же
примеров ясно, как этого следует достигать: надо найти общее
наименьшее кратное для показателей данных корней (можно, ко¬
нечно, и не наименьшее, но в громадном большинстве слу¬
чаев выгоднее иметь дело с наименьшим общим кратн.), затем
каждого показателя умножить на такие множители, чтобы пока¬
затель каждого корня сделался равен общ. наимен. кратному;
так как это умножение показателей равносильно извлечению но¬
вого корня соответствующей степенн, то надо возвести в такую же
степень подкоренные числа.
Примеры. 1. ]/б«а и \/2аР. Общин показатель должен быть 40
(шбо обшее наименьшее кратное для 10 и 8 равно 40). Чтобы
— 93 —
первый корень привести к этому показателю, надо его показа¬
теля 10 умножить па 4, а чтобы новый корень равнялся данному,
надо и подкоренное число нозвести в 4-ую степень. Показателя
2-го корня надо умножить на 5 и подкоренное число возвести
в 5-ую степень. Получим:
]/ба?=$ 625a12; \^2а№= \'ъ2а5Ъи>.
2. у 4, у 5 и уЗ. Легко видеть, что общее наименьшее
кратное для 3, 7 и 6 есть 42. Тогда
п т
3. \/а и \/ъ. Общее наименьшее кратное для «йот есть пот.
Тогда
п пт тг— пт,
уа — уа^; y&==j/b*.
35. Умножение и деление корней. В п°13 мы видели, что умно¬
жение и деление иррациональных чисел, выраженных корнями
с одинаковыми показателями, определяются равенствами:
п _ п п
\/а. уЬ=г]/аЬ V ,
П
Теперь, когда мы умеем приводить корни к общему показа¬
телю, мы видим возможность выполнять умножение и деление
иррациональных чисел, выраженных корнями каких угодно
степеней.
— 94 —
2. j/T . \/ 2 . !/з^]/-4^ .
(Здесь мы заменили число 6
произведением 2 на 3).
. / 2е 49 36 36
— Г —24Т^— = 1/22- 35 = l/972.
10 10 1C
10
=)/so|.
10 120 .
в . 8 / п 120 120 / Л12
4. У 2а . Vх 8а. у -jj—У220а™ . V245а15 . ]/ =
120
4 12 12 12 12
г -| / 2ФЪ _ -./ЪсРЫ -ш/8а%'А -т/Ьа%% ~ш/~о
Г ЗссР 1 У 9сЗД“ — г 27?^ ’’ Г 9с3сГ6 — У 3
Мы можем теперь выполнять умножение и деление и с ирра¬
циональными многочленами.
8 4 -
Примеры. 1. (15 У96 — lOV^lS): (—51/б)г=
. /■_ 15^96 , 10)/18_ 3^96 , 2^18 _n */lS 0^/2f.3__
V , — ~~e f" У 36 Г 2*73*“
бУ 6 бУ 6 У б4 У б2
=*vi-*y
— 95 —
2. ^ aV Ъ — bV a^j J\bVa3 — a V ft8 j = \/
= ab V }>VdA — b2VaVa3 —a2 Vit Vb5 -j- abV aV IP =
= abV аЧ? — Ъ21— u2VbB -(- abVaVP ~
abVаЧ>2 — abVa — d4iVb -j- dbVа*Ъъ
+ =^2V/2^)-|-3^2V/2^^ V/2’+3.2V'2(v'2)+ V
Л_У e_ з_ _
-j- 2 у =16 + 12У32-1-бУ4 -\-V2.
Здесь мы сначала воспользовались формулою для возведения
н куб суммы двух чисел, затем каждый из полученных членов
упростили. Например, 3-ий член=3.2V2 (у 2 3.2^2 . V4 =
= 3. 2 V 2 V 2 (корень 6-ой степени заменили кубичным и ква-
з
дратпым и квадратный корень извлекли из 4) = бУ 4.
4. Интересным случаем возведения в квадрат является случай,
даваемый следующими примерами:
1) (У7 + 2Vr6 -f YZ^Jy 7 + 2^б)+ /
+ 2~Y7 + 21/б’ Y1— 2,V~6-]-{У 1— 2 уУ)—
У,
— 7 +2У6-1-2Г (7-{-2Уб) (7 — 2V 6)-f7 — 2V& =
= 14 + 2V 49 — 24 = 14 + 2 . 5 = 24.
— 96 —
2) (Уг+2У~6~—^7 —2У 6 ) =
-(tf (-21/ 6 ) — 2^7-{-^ 6 7 — 21/ 6 +
1 — 2V 6 ) =7 + 21/6 —21/49 — 24 +
+ 7 — 21/6^=14 — 10=4.
В пояснение укажем: 1) {У 7 + 2У 6 :У ... так как здесь
квадратный корень возводится в квадрат, то должно получиться
подкоренное число, а оно есть 7 + 21/6; то же самое имеет место
и при (\/7 — 2V 6 j .
2) 2~\/7 + 2V 6 \/7 — 2V 6 ... произведение корней
одинаковых степеней равно корню той же степени из произведе¬
ния подкоренных чисел; поэтому этот член=2\^(7 +21/6)(7—2V6);
здесь под знаком корня имеем произведение суммы двух чисел
на их разность и она равна 7s — (2V6)8 = 49 — 24 = 25,
а 1/25 = 5.
Если бы мы обозначили число возводимое в квадрат в первом
примере через х, т.-е. положили бы, .что ~\/7 + 21/ 6 +
+ ~\/ 7 — 21/ 6 — х, то результат этого возведения в квадрат
был бы таков: ж®=24, а следовательно, x—V2i = 2V&. Из
этого мы заключим, что сложное выражение, с двойными корнями,
обозначенное через х, равно очень простому выражению
2 У6, т.-е.
\Л + 21/ 6 +\/7 — 2V 6=21/ 6.
Так же точно во 2-м примере придем к еще более простому
результату, что
\/7 + 21/~6 — \Л — 2У~6~= 2.
— 97 —
Попробуем выяснить, как составлять подобные примеры, даю¬
щие столь простые результаты. Для этой цели рассмотрим общий
пример:
'(д/а+^Т± \/a—VY^={\/a-\-V~T )"±
± 2\/(a-{-Vb) (а—УЪ) + (V а — V'bf = a + Vb ±
± 2Va? — Ъ-\-а — Vb —2а =ь 2Va8—b.
В предыдущих примерах результат получился очень простым
потому, что последний корень (Vа2—Ъ) извлекся. Следовательно,
если мы хотим составить еще подобные примеры, надо подобрать
для а и Ъ числа так, чтобы а2 — Ъ было полным квадратом. На¬
пример, можно взять а=3 и Ь = 5. Тогда выражения
Vs-fVT-f Vз—УТи \/ъ-\-У 5 —Л/a—V б" должны
ранняться: 1-ое—Ую, а 2-ое—V 2.
Так же при о = 9 и Ь = 45 (тогда а2 — Ь = 81|—45 = 36 = 6®)
получим, что
\Д-|-зУ1Г-f \/э —-зУТ:=Узо и \Л + зУ~1Г—
—Л/э — ЗУ*5 = Уб
(мы пишем зУб вместо У45, ибо У45 =: У9. 5 = 3 У 5).
36. Освобождение знаменателей алгебраических дообей от ирра¬
циональности. Преобразования, о которых здесь пойдет речь, возни-
12
кают из задачи: вычислить, например, ~~=^ с точностью до 0,01.
У 5
Если бы кто-либо начал извлекать Уб с какою-либо точностью,
то ему понадобилось бы затем делить число 12 на приближенное
значение Уб. Это было бы неудобно, так как трудно было бы
даже выяснить, с какою точностью будет справедливо частное,
7
— 98 —
полученное от этого деления. Поэтому поступим так: умножим
12
•-J числителя и знаменателя дроби на У 5. Тогда
12 12У5 _ 121/5
У 5 (Vo)s 5 _
Теперь вычисление не вызовет сомнений: сперва вычислим 12У 3
с точностью до 0,01 (это удобно, как знаем, выполнять по схеме:
12Vo =У144. У б = У 144.5 = V720) и затем полученное число
разделим на 5, — от этого ошибка уменьшится в 5 раз.
Еще примеры:
14-У2 __ (1 + У2) V 3 Уз -f Уб
Уз ' 3 3
1 _ Уз Уз Уз
4У3 4Уз . Уз 4(УЗ)2 12
а аУ с аУс
ЪУ с Ъ(У cf Ъс
Результат таких преобразований можно выразить так: в этих
примерах нам удалось иррациональные знаменатели дробей сде-
■ лать рациональными — удалось освободить знаменателей дробей
от иррациональности.
Заметив, 1) что мы остановимся лишь на случае, когда в зна¬
менателе имеются квадратные корни и 2) что в предыдущих при¬
мерах каждый знаменатель был одночлен, мы приходим к заклю¬
чению: чтобы освободить знаменателя дроби от иррациональности
в том r.ivHcie, когда этот знаменатель одночлен и содержит лишь
кв.111 а ный корень, надо числителя и знаменателя дроби умно¬
жить на иррациональный множитель знаменателя.
Более сложный пример:
а а\/ 2У2 _ а\/2 У¥ . У 2 __2аУ2 _аУ 2
\^2У2 2У2 2 (У2)* 4 2
Возможно освобождать от иррациональности знаменателей
дробей и тогда, когда в них входят корни кубические и высшей
степени. На этом не будем останавливаться.
Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель дроби двучлен
и в нем имеется один или два квадратных корня. Например,
_ - .... Здесь нет пользы от применения предыдущего
5 — У 2
приема, потому что, если кто-либо умножил бы числителя и зна¬
менателя на 5 —У2 , то в знаменателе получилось бы (5—У2)2=
= 25— \0>У 2-\-2=21—■.I0V2, т.-е. опять иррациональный дву¬
член. Здесь помогает известное равенство
((a -j- Ъ) (а — Ь)=о2 — Ъ2.
Следуя ему, умножим числителя и знаменателя нашей дроби \
на Ъ~\-У2. Получим:
3 _ 3 (5 + 1/2) 3(5 +У2)_ 3 (5 + У~27 __
5—У 2 (5 — У2)[5-\-1^2) ' 25 — 2 23
15 -f- 3 У2
23
Еще пример:
2 2(2У5 — ЗУ2) __ 2 (2У/5~—- ЗУ 2)__
зУ2 (2У5-\-ЗУ2) (2У5 —3 У 2) 20 — 18
=У2У£-з>5=2У5-_зУ£
2
Общий пример:
а а (УЪ — Ус) а (УЪ — Ус)
Уъ + Ус ~~{УЪ-\-Ус) <уъ—У~с) 6 —с
Итак, если знаменатель дроби есть двучлен с квадратными
корнями, то для освобождения этого знаменателя от иррацио¬
нальности помогает следующий прием: если знаменатель является
суммою двух чисел, то умножают числителя и знаменателя на
— 100 —
разность тех же чисел, а если знаменатель есть разность, то—■
на сумму тех же чисел.
Рассмотрим еще несколько примеров с трехчленными знаме¬
нателями.
3 —2V6
1.—_ . . . Станем рассматривать трехчлен
2V2—V3+V5
2У2 —/з+/б за двучлен, для чего 1-ый и 2-ой члены соеди¬
ним в один 1). Тогда 2V 2 —V 3 -\-У 5 можно рассматривать, как
сумму двух чисел: первым числом является 2У 2—V 3 и вто¬
рым V5. Явится возможным применить предыдущий прием — умно¬
жим числителя и знаменателя на разность тех же чисел, т.-е на
(21/ 2—Уз) —V 5 или на 21/ 2—1/ 3 —Уб. Тогда
3 — 2У~6 _ (3-2УЧ) (2У~2 — Т/~3 —Уб)
\>У 2 —Уз -У У 5 (21/ 2—У 3 -{-Уб ) (2У~2 —У1? —У б)
(подчеркнутые члены считаются ва
одво число)
_ (3 — 21/6) (2У2 — УИ~У~5) _
(2У~2 —У"з)*— б
(3 — 21/6) (21/ 2 —УН—У 5) __(3-21/6)(21/ 2—УЗ—Уб)
8 — 41/6 + 3—5 6 — 41/6
[(2]/ 2 — У 3)’. . . надо вычислять
по формуле (а — Ь)г].
Мы замечаем, что знаменатель 6 — 4 У 6 разлагается на мно¬
жители (вынести за скобку 2): 6 — 41/6 = 2 (3 — У 6), причем
множитель в скобках такой же, как 1-ый множитель числителя, —
на него можно дробь сократить и, следов.:
3 — 2У~6 __ 2У 2— Ув —У 5
2У2-/8 +УТ 2
*) Малоопытным рекомендуется всегда соединять 1-ый и 2-ой члены
в один, дабы ватем не спутаться в знаках. При развитии опытности
можно любые 2 члена ив трех принять га один.
— 101 —
Этот пример был нарочнр составлен так, чтобы иррациональ¬
ный двучлен 6 — 4 У2 , получившийся в знаменателе, сократился
бы с числителем на своего иррационального множителя. Если
такого сокращения не произойдет, то все же мы видим, что упо¬
требленный нами прием помог приблизиться к нашей цели:
раньше в знаменателе был трехлен, теперь—двучлен. Оставалось
бы еще раз повторить тот же прием и цель была бы достигнута.
2. = = . . . Принимаем 2 У 5 + У 3 за одно число
2Уб + Уз + 1
и умножаем числителя и знаменателя на 21/ 5 + У 3— 1.
61 _ 61 (2У~5+У3 —1)
2У5+У3 + 1 (2Т/5+Т/9+1) (2У+ + УГ— 1)
_61(2У~5 + УТ— 1) _61 (21/7+УТ—1)_
(2У5+УТ)а— 1 20 + 4 УЙГ+ 3 — 1
61 (2У 5 + У~~3 — + _61 (2УТ + У з”— Г)
22 + 4У15 ' 2(11 + 2У15)
Теперь остается еще раз числителя и знаменателя умножить
на 11 — 2У15. Получим:
61 _ 61 (2У 5 +У 3—1) (11— 2У15)_
2УТ+У 3+1 2 (11 + 2У15) (11 — 2У15)
_61 (2У 5 + У 3 — 1) (11— 2У15)_
2. [112 — (2У15)2]
61 (2У5+УЗ—1) (11 —2У15)
“ 2.61 —
^vr+vj_-n (ii-aviq (Я COItpaImal).
я я о (1 —У а +У J)
1—У а —У Ъ (1-Уа -Vb) (l-yV+Уб)
— 0(1—^ о +У~&)_ в_(1 -УТ+ У^).
1— 2Уа + а — б (1+а —J)—2УТ
— 102 —
Здесь многочлен 1-fa— Ь считаем за одно число и про¬
должаем:
а (1 — V а -f V Ъ) [(1 -j- а — Ъ) -j- 2У a)]
’ (1-h* — ^)2 — 4a
a(l — V а -\-У Ъ) (1-f-a — Ъ-f 2У a
1 -(-a2 — 2a — 2b — 2a6-f 52
37. Решение радикальных уравнений. Если в уравнении встре¬
чается корень, под знаком которого имеется неизвестное, то такое
Сравнение называется радикальным. Мы ограничимся лишь
уравнениями с квадратными корнями.
Легко решаются уравнения, вроде следующих: Yx =4;
Yx — — : Ух —а- Надо обе части каждого из них возвести в
\) г
квадрат:
х = 16; = х = а?.
Также легко решаются и более сложные уравнения:
Ух -f1= 4;У2х—1 =—~2> Уа,х-\-Ъ=с
Возведя обе части каждого из них в квадрат, получим урав¬
нение первой степени, которое легко решить:
1) ж-f 1 = 16; х— 15; 2) 2х— i=-f-l; 2х=1 !■; ж = |
с2— Ъ
3) ах~\-Ь = с2; ах = сг—Ъ: х =—-—.
Квадратный корень из положительного числа имеет 2 значения:
Поэтому те же решения будут иметь и уравнения:
Ух-f 1= — 4; У2х—1 = i-; Уах-j- Ъ =— с.
В сущности, мы решаем здесь уравнения: Ух-\- 1 = ± 1;
Y 2х — 1 = ± Уах + Ь =db с.
— 103 —
Мы также сумеем решить уравнения, если под знаком корня
написан квадратный (относительно х) трехчлен. Например:
Ух2 — 5./- + 5 = 1.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
х2 — 5гс —j— 5 = 1 или х2 — 5х -J- 4 = 0, \/
5 l/25 Г 5.3 1Ч . оч .
откуда х = ^ ± у — 4 = — ± —, т.-е. I) ж = 4 и 2) х = 1
Если уравнение написано в более сложной форме, то следует
сначала, если возможно, привести его к форме, имеющей место
в предыдущих примерах.
Примеры. 1. 5 — У2х—1=2. Сначала должно перенести
известные члены в одну часть, благодаря чему корень останется
в какой-либо части уравнения „изолированным “.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
2х—1 = 9 или 2х = 10 и х= 5
Если бы мы взяли начальное уравнение с иным знаком у
корня, т.-е.
Здесь, однако, возникает сомнение. В самом деле, если мы
подставим найденное значение для х в наши уравнения, то
получим:
— У2х— 1=2 — 5 или —У2х— 1 = — 3 или У2х—1 = 3
5 + У2х— 1=2
ч) решение было бы такое же:
У2х — 1 = 2 — 5 или У2х— 1 = — 3
2х—1=9: 2ж=10; х—Ь
5—У9 =2
5 — 3 = 2
5 — У2х— 1 - 2
5+ У2х— 1=2
5+1/9 =2
5 + 3 = 2, что неверно.
— 104 —
Причиною последнего недоразумения является то обстоятель¬
ство, что квадратный корень имеет два значения, положительное
и отрицательное, а между тем, когда пишут 5 — V2х — 1 или 5 -f-
-\-V2x—1, то как бы предполагаем, что берется всякий раз
лишь одно значение: в 1-ом случае — со знаком —, а во 2-ом слу¬
чае со знаком-f-.
Если мы будем иметь в виду, что квадратный корень имеет
2 значения и, чтобы это нагляднее представить, будем перед зна¬
ком корня, как это принято, писать знаки ±, то наши уравнения
можно было бы написать:
1) 5— [±V2x—1^ = 2 и 2) Б-f {±V2x— 1^ = 2
Тогда надо было бы в 1-ом уравнении значение корня в скоб¬
ках взять со знаком-)-, а во 2-ом — со знаком —, и наши урав-
ннеия удовлетворились бы. ~
Таким образом полное решение радикальных уравнений с
квадратными корнями состоит не только в том, чтобы найти соот¬
ветствующее значение неизвестного, но еще и в том, чтобы ука-
вать, какое именно значение корня должно взять.
2. 2х-УЗх-1-19 = 2.
Полнее это уравнение должно написать в виде:
2а; — VSx-\- 1э) = 2
Его решение: 1) надо „изолировать" корень, для чего пере¬
несем, например, член 2 из правой части в левую, а член с кор¬
нем— в правую:
. V
2а;— 2 = Узх-}-19 (знаки =ь подразумев.)
2) Надо обе части возвести в квадрат (придется пользоваться
формулою для квадрата разности):
4а;2 —■ 8а; —}— -4 = Зл; —{— 1Э
— 105 —
3) Упростим и решим полученное квадратное уравнение:
4з® — Пх— 15 = 0
11 ±*'121 + 240 11±19.гчг_оЗ
X— ' = > L) х—6 т И 2) х= 1
8 8
Первый корень (ж=3-|-^ дает: 1'3а;+19 = =ь 5 i-, а член 2х =
= 7-i-; поэтому в уравнении
2х — [г±, УЗх + 19 ) = 2
первый корень соответствует положительному значению Уъх + 19.
Второй корень (х=—1) дает: Т'3ж + 19 = =ь4, а член
2х=— 2; поэтому в уравнении
2х— [± УЗх + 19) = 2
второй корень соответствует отрицательному значению УЪх-\- 19.
3. Vx-\-l — V2x— 14 =2
Полнее это уравнение должно написать:
| ± Ух-\- ^ ± У 2х — 14^ = 2
Изолируем один корень, для чего перенесем второй член в
правую часть (знаки ±не будем писать):
Ух -(-7 = 2+ У2х— 14
Возведем обе части уравнения в квадрат (правую часть воз¬
водим по формуле для квадрата суммы):
х + 7 = 4 + 4 У2х —14 + 2х—14
Изолируем оставшийся корень:
x-J-7 — 4—2ж+14 = 4 \/ix—14
или
17 — ж = 4 1/2ж — 14.
— 106 —
Возведем еще раз обе части уравнения в квадрат:
289 — 34а + ж2 = 16 (2ж— 14)
или
289 — 34а;-f-ж2 — 32ж 4-224 = 0
или
ж2 — 66ж4-513 = 0,
откуда
ж=33± |/1089 — 513 =33 ±24
следовательно,
ж1 = 57 и ж2 = 9
Первый корень дает, что |/ж 7 = ±8 и что \/*1х — 14 =
= ±10.
Испытывая разные комбинации знаков при (± 8) — (± 10),
приходим к заключению, что этот первый корень {х± — 57) соот¬
ветствует отрицательному значению i/ж-|-7 и отрицательному зна¬
чению 1/2ж — 14, ибо тогда (—8) — (—10) = 4-2.
Второй корень (ж2 = 9) дает: j/ж 4-7 = ± 4 и у2х—14 =
= ± 2; ясно, что он соответствует положительным значениям
обоих корней, так как (4- 4) — (4- 2) = 2.
4. 1/2ж4- 1 4- 1/7ж— 27 = l/Зж+Т.
Здесь один корень уже изолирован. Поэтому возведем обе
части уравнения в квадрат (левую часть — по формуле для
квадрата суммы):
2ж4-14-2]/(2ж4- 1) (7ж—27) 4-7ж—27 = 3ж4~4
Все члены без знака корня переносим вправо:
2 1/(2ж-|-1)-(7ж — 27) = — 6ж -j- 30.
Можно обе части уравнения разделить на 2 (кстати, выполним
умножение под знаком корня):
;/14ж2 — 47ж — 27 =15 — Зж
— 107 —
Опять возводим обе части уравнения в квадрат:
14а?— 47а; — 27 = 225 — 90л; + 9л;2
пли
5а? _|_ 43л-— 252 = 0.
Отсюда
— 43 ± j/l849 -j- 5040 _ — 43 ± 88
10 ' 10
хг = А\ х2 =—12,6
Первый корень (хг = 4) дает |/2а; + 1 = ± 3; |/7л; — 27 =
= ±1 и 1/За; + 4=±4ион соответствует либо положитель¬
ным значениям всех трех корней [(+3) + (+ 1) = —f— 4]. либо
отрицательным значениям для всех трех корней [(—3) + (—1) =
=— 4]. Второй корень хе = —12,6 нам разбирать не приходится,
так как он ведет к мнимым числам (например, ]/‘2x-j- 1 тогда
окажется — ~\/— 24,2^, а действий над мнимыми числами мы не
изучали.
5. Л/я? — 4 \/ix-\-25 =х-\-2
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
а? — 4 У4а; + 25 = а?-}-4а; + 4
или
— 4l/4a;-j-25 = 4a;-f-4
или
— f/4a;+25 =а;+1.
Возводим опять обе части уравнения в квадрат:
4а; + 25 = л? + 2а; + 1
или
х1 — 2л; — 24 = 0
Отсюда
x=l±-[/l + 24 = 1 ±5
х1=6 и ха = — 4
— 108 —
Первый корень соответствует такой комбинации знаков:
+ Уж® — 4. (— |/4ж -(- 25) = x-j-2
а второй — комбинации
— j/a?— 4 (-j-"j/4а? —j— 25) = a:-f-2
Y. Изучение корней квадратного уравнения.
38. Основные свойства керней квадратного уравнения. Мы
получили для уравнения
xs-j-px-\-g=0
решение в виде
Тогда корни х1 ъ ха нашего уравнения суть:
** =- т + YJPT~q;х*=-1"“
Рассматривая их, мы замечаем, что если бы пришлось эти
корни сложить, то получился бы очень простой результат, так
-f- У^ Q и — У^ g взаимно уничтожились бы.
V Сделаем же на самом дело такое сложение — получим:
%+%=-£ +
Итак, —р.
как
— 109 —
Этот очень простой результат достоин запоминания:
Сумма корней квадратного уравнения, у кото¬
рого коэффициент при старшем члене = 1, равна
коэффициенту при неизвестном в первой степени
с обратным знаком.
Столь же простой результат получается и при умножении
первого корня на второй. Чтобы удобнее выполнить это умно¬
жение, сведем его к умножению суммы двух чисел на их
разность:
Тогда, вспоминая, что от этого умножения получим квадрат
первого числа минус квадрат второго, будем иметь:
( р\* (лР? Y £
Итак,
^ = 2
*
т.-е. произведение корней квадратного уравнения,
у которого коэффициент при старшем члене равен
единице, равно известному члену.
Примеры. 1) ж® — Ъх—5 = 0
Сумма корней этого уравнения равна 3 (надо взять коэф¬
фициент — 3 с обратным знаком), а произведение их равно — 5.
2) Зж® + 7ж+2 = 0.
К этому уравнению предыдущие заключения сразу применить
нельзя, — должно сначала сделать так, чтобы коэффициент при
х% равнялся 1. Для этого разделим обе части уравнения на 3
(это следует сделать в уме); тогда уравнение примет вид:
7 2
з? 4- =0
' 3 “ 3
— 110 —
Тогда сумма корней = --и произведение корней = —
' О В
3) 4a^-f-5a; — 8 = 0
Разделив в уме обе части уравнения на 4, мы увидим, что
5
сумма корней=—• — и произведение их = — 2.
4) axs-\-1зс-\-с = 0
„ , Ь с
Тогда хг -j- = — —; —-—
39. Условия для действительных и мнимых корней; знаки дей¬
ствительных норней. Продолжая изучать корни квадратного урав¬
нения, мы должны поставить вопрос: нельзя ли по внешнему
виду квадратного уравнения, не решая его, быстро узнать, будут
ли его корни действительны или мнимы? И, если действительны,
то каковы знаки этих корней?
Для изыскания ответов на эти вопросы возьмем уравнение:
яж2 -j- Ъх -|- с=0
Мы знаем, что его корни выражаются формулой:
— ft ± i/ft8 — 4яс
2я
Ответ на первый вопрос, очевидно, зависит от выражения,
стоящего под знаком корня, т.-е. от
\J ft8 — 4яс
Если это выражение положительно (т.-е. если ft8—4яс>0),
то i/ft2—4ас имеет 2 действ! их значения и, следоватетьно,
корни нашего уравнения т"' .ельны. Если это выражение отри¬
цательно (т.-е., если Ь2— 4яс<0), то i/ft2 — 4яс выражает мни¬
мое число, и, следовательно, корни нашего уравнения мнимы х).
!) Правильнее говорить «корни в втом случае суть комплексные
числа». Под именем «комплексное» число понимают выражение вроде:
3 + V — 5 илп 1 — V —- и т. п.
— Ill —
Выражение 69 — 4ас называется дискриминантом квадратного
уравнения.
Итак, если дискриминант квадратного уравнения положителен,
то его корни действительны, а если дискриминант отрицателен,
то. корни этого уравнения мнимы.
Примеры:
За?—2х—7 = 0 . . . корни действительны,
ибо 62 — 4ос=(— 2)2 — 4 (+3) (—7)>0
ж9—5а; + 7 = 0 . . . корни мнимы, ибо б2— 4ае=(—5)9—
-4(+1) (+7)<0
4я? —|— 9гс —f— 5 = 0 . . . корни действительны, ибо
69 — 4<гс=(+9)2 — 4 (+4) (+5)>0
4гс* —(— 9гс —(— 6 = 0 . . . корни мнимы, ибо 6®—4ас = (+9)8—
— 4 (+4) (+6)<0
а?— За;—11 = 0. . . корни действительны, ибо
6®— 4ос=(—З)9 — 4 (+1) (—11)>0
Первый и последний примеры показывают, что если известный
член уравнения отрицателен, то уже сразу видно, что корни
действительны (здесь, конечно, предполагается, что коэффициент
у а?, как обычно это стараются делать, положителен).
Должно еще рассмотреть особый, промежуточный случай: ка¬
ковы будут корни квадратного уравнения, если дискриминант
(6® — 4ас) равен нулю?
Пусть 6®— 4ас=0. Тогда "|/ba — 4ас =0 и
— 6 + 0 —6 — 0
xi— 2а ’ х*~ 2а
Прибавление или вычитание нуля не изменяет числа, и мы
видим, что в этом случае и хг и х2 становятся одинаковыми:
6
i
— 112 —
Итак, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю,
то корни этого уравнения действительны и равны между собою.
Заметим, что в этом случае левая часть уравнения
аз?-\-Ъх-\-с=.0
является полным квадратом. В самом деле, если Ь8 — 4ас — О,
то 1) Ь = ± \/4ас = ± \/Г^~~\/а "|/с =±2 }/аГ}/с~
и 2) аж3 -\-bx-\- с=сш? ± 2 "j/c x-j-c— (х ~[/a ± j/c ^
Уравнения
ж2— 6ж —j— 9 = 0, 4ж®-j-4a;-j- 1 — 0, Эж3— 30ж-(-25=з0 и т. п.
имеют равные (и действительные) корни.
Итак, мы теперь можем при помощи дискриминанта, не решая
квадратного уравнения, ответить на вопрос, действительны ли или
мнимы его корни. Остановимся теперь на втором вопросе, иа во¬
просе о знаках корней, в случае, если они действительны (в слу¬
чае мнимых корней этот вопрос отпадает: тогда каждый корень
является ни положительным, ни отрицательным, а мнимым числом).
Возьмем, например, уравнение
Зж8 — бж-f 1 = 0.
Корни действительны, йбо (— 5)2 — 4 .3.1 > 0. Кроме того,
. 1
мы знаем, что произведение корней = + у, т.-е.
*!■** = + -§■■
Произведение двух множителей дает положительное число
в том случае, когда оба множителя с одинаковыми знаками.
Поэтому мы заключаем, что хг и ж8 (корни нашего уравнения)
или оба положительны или оба отрицательны. Мы еще знаем, что
сумма корней нашего уравнения = т.-е.
— 113 —
Так как мы уже знаем, что хх и х<> имеют одинаковые' знаки
н так как их сумма положительна ^=-f--0, то теперь мы за-
ключаем, что каждый корень положителен.
У уравнения *
З^ + бдЧ 1=0
оба корня действительны (дискриминант >01 и каждый из них
отрицателен ^ибо хх. х% = -J- -j, а хх -f-ха = — j.
Возьмем еще уравнение
2х2-\~7х— 11=0
Корни действительны (для лого достаточно увидать, что из¬
вестный член отрицателен).
Так как
11
.*■!*„ = — Т
то корни имеют разные знаки: один из них положителен, а дру¬
гом отрицателен.
Так как
—- Др
то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину;
только в этом случае сумма положительного и отрицательного
числа может равняться отрицательному числу.
Уравнение
2л3 — 1х —11 =0
имеет действительные корни, один из которых положителен, дру¬
гой отрицателен, причем положительный корень имеет большую
абсолютную величину ^так как хх -)- га = -(- ).
8
— 114 —
Возьмем уравнение в общем виде
«.г2 -j- Ьт с — 0.
причем коэффициент а всегда можем считать положительным.
Тогда:
1) Если Ь2 — 4ас <[ О,
то корни мнимы
2) Если Ь2— 4яс = 0,
то корни действ., равны
между собою и знак каждого
из них обратен знаку Ь.
3) Если Л2 — 4«с>0, то корни действительны; притом, если
с>0, то корни имеют одинаковые знаки (так как их произведе
ние= и знак каждого из них обратен знаку Ъ (так как их
Ь ^ I
сумма = j; если с<0, то корни имеют разные знаки! так
(X ' \
как их произведение — 0 тот корень имеет большую абсо¬
лютную велпчииу, знак которого обратеи знаку Ъ (так как их
>> .
сумма = — —).
40. Разложение квадратного тпехчлена на множители. Мы уже
занимались разложением квадратных трехчленов на множители
(часть Т тс°43), но ограничивались лишь простейшими случаями,
когда коэффициент у старшего члена =1 и когда удавалось
найти два числа, чтобы их сумма равнялась коэффициенту при
первой степени буквы трехчлена и чтобы их произведение равнялось
свободному члену. Напр., ж2 — Угг —j—14 разлагается при помощи
чисел — 7 и — 2; .7s — 9а:-f-14 = а?— 7 л— 2-t —j— 14 ~х(х— 7) —
— 2(а — 7) = (х — 7)(х — 2).
Задача отыскания таких чисел, очевидно, связана с решением
того квадратного уравнения, которое получится, если квадратный
трехчлен приравнять нулю (в данном случае с уравнением а2—9а-j-
-{-14 = 0). В самом деле:
— 115 —
1) Мы ведь знаем, что сумма корней квадратного уравнения
вида ж® -f-рх -j- q — 0 равна коэффициенту при неизвестном в
первой степени с обратным знаком, а их произведение = извест¬
ному члену. Из этого заключаем, что числа, нужные для разло¬
жения техчлена a?-\-px~\-q на линейные множители, суть корни
уравнения a?-f-рх-f- q = О, взятые с обратными знаками.
2) Если трехчлен уже разложен на линейвые множители, то
легко найти корни того уравнения, которое получится, если этот
трехчлен приравнять нулю. Напр., мы получили:
л-2 — 9а; 14 = (а;— 7) (х — 2).
Теперь легко решить уравнение
хй — 9л; -f- 14 — 0.
Заменим левую часть равным ему произведением (х — 7)
{х — 2); тогда
(•' —7) (.г— 2) = 0.
Но произведение двух множителей может равняться нуль
лишь тогда, когда один из множителей равен нулю. Поэтому мы
должны иметь:
1) х — 7 = 0 или х=7 и
2) х — 2 гг 0 или ж= 2.
Это и суть корни уравнения х2— 9а;-f-14=0. Мы и на этом
примере видим, что они обратны по знаку тем числам (— 7 и — 2).
которыми мы воспользовались для разложения трехчлена ж® —
— 9ж-]-14 на множители.
Вообще, пусть удалось трехчлен г8 Jr тх -f- п разложить на
множители ат-|-д и х-\-h, т.-е.
х2 -j- тх -(- n = (х -J-p) (ж -{- К).
Тогда уравнение
ха -f- тх -f- » = 0
равносильно уравнению
(.лЧ-^Ка: + л) = 0
8е
— 116 —
Отсюда опять найдем корни, приравнивая нулю каждый мно¬
житель: 1) х-\-д~0 и, след., х= — д и 2) x-{-h — 0 и, след.,
X =— h.
Обратимся теперь к разложению на множители квадратного
трехчлена a?-\-px-\-q в том случае, когда числа, нужные для
такого разложения, а, следов., и корни уравнения ж®-|-ра;-{-д = 0,
не легко найти непосредственным соображением (напр., если они
иррациональны).
Мы знаем, что корни хг и х2 уравнения а® -)- g = О
обладают свойствами, что 1) аг-(-а8 = —р и 2) а1аа = д.
Отсюда получим:
Заменим в трехчлене р ид найденными для них значениями:
-\-р% -f- g = а® — (х1-\-х^х-\- = а® — а,а—а2а -f- аггя =
Мы, следов., здесь разложили полученный четырехчлен на
множители при помощи обычного приема группировки членов,
причем в 1-ой группе вынесли за скобки общий множитель а, а
во второй — множитель — хг
Полученный результат можно выразить так:
Если будет дан какой-ннбудь трехчлен, то надо: 1) приравнять
его нулю и найти его корни и 2) трехчлен заменить произведе¬
нием двух множителей, каждый из которых равен главной букве
трехчлена минус один из полученных корней.
Этот результат распространяется и на случай мнимых корней,
но мы должны этот случай оставить в стороне, так как не изучали
действий над мнимыми (и над комплексными) числами.
Пример: й* — За — 7.
1) р = ~{хл-\-х^ и 2) g=.rrr2.
1 группа 2 группа
d х(х—хг) — х3 (х — хг) ~(х — хл) (х — xs).
трехчлен ж® -\-рх -(- g разлагается на
множители (х — хг) и (х — ха), где хх и ха
суть корни уравнения a? -f-рх -}- g = 0.
— 117 —
Приравняем этот трехчлен нулю:
о* — За — 7 = 0
и найдем корни нолученного уравнения:
_ 3 -f- |/зУ _3-|/37
1 2 8 2 •
Тогда
^_ta_7=(._!±^(._!bV!!)
Если мы вычислим корни уравнения приближенно, то получим
приближенное разложение на множители.
у 37 = 6,08 (с точн. до 0,01)
1208
8
10.00.0
9 664
336
Тогда
аг = (прибл.) 4,54 и а£ = (прибл.)— 1,54.
Следовательно,
а2 — Зо — 7 = (прибл.) (а -— 4,541 (a -f-1,54).
Предыдущий прием разложения квадратного трехчлена на
множители относится к случаю, когда у старшего члена трехчлена
коэффициент = 1. Рассмотрим теперь случаи, когда этот коэффи¬
циент не 1.
Пример 1.
Зз1— Ъх— 2
Вынесем множитель 3 за скобки. Тогда
Зх2
-й* —2 = 3^ —f).
— IIS —
Трехчлен, полученный в скобках, мы уже умеем разлагать на
множители. Для этого надо его приравнять нулю ^получим ур-не
5 2 \
Xя — д- х — у = ОI и найти его корни (конечно, корни этого
уравнения такие же, как и у уравнения 3ж3—5х — 2=0; по¬
этому можно приравнять нулю данный трехчлен). Найдем:
Зх® — 5х — 2 = 0
э±у'25 + 24 _ I
х— ■; хх = 2; х2 = —
Следовательно,
4=(*-2) (*+!)■
Поэтому
Зх* — 5х— 2 = 3 (х— 2) (х -(- 4)-
Возможно множитель 3 ввести в ту скобку, где имеется дробь;
получим:
Зх*— 5х— 2 =<х — 2) (Зх-|- 1).
Пример 2.
— 12а*+11а+15.
Поступая, как в 1-м примере, получим:
— 12a*-f 11а+15 = — 12 (а2— Ца— j)
„ 11 & _Л. 11 -х- л /121 75_ 11 v 841 _
а 12 ° 4 ~ ' 24 ~ V570+ 4 — 24 _ V 576
— _ 5. _ j*
24 ~ 24 ’ “i 3 ’ 4'
Поэтому
■'-Т5«-Т=(“-т)(“+4)
и, следовательно,
-12о*+1Ю+15=-12 (a 4)(“+ Т)'
— 119 —
Здесь можно множитель —12 разбить на два, на (— 3) и на
(-J- 4) и ввести множитель — 3 в первые скобки, а множитель-(-4
ви вторые.
Тогда
— 12а2+11а-|-15 = (5— За) (4гс + 3). ‘
Вообще, трехчлен аз? -\-bx-\-c можно разложить на множители
так:
аз?-\- Ьх-\-с=а (о? -i- — х -]——
\ а а
Приравняем данный трехчлен (или трехчлен в скобках) нулю
* найдем корни полученного уравнения. Пусть х1 = т и ха — п.
Тогда
аз? -f- Ъх -}- с = а(х ■— т) (х — и).
41. О симметрических функциях корней квадратного уравнения. Рас¬
смотрим многочлен я?—3ху-\-у*— 2гс 3у — 1.
Если мы станем давать х — у и у— у различные значания,
то и этот многочлен будет принимать различные значения — он V
есть функция переменных х а у. Возможен случай, что значения,
получаемые для функции, не изменятся от того, если переменные
хну переставить.
В нашем примере этот случай не будет иметь места, так как,
заменяя х через у и обратно, мы нолучим многочлен г/2—Зух-\-
-\-з?—‘ly -f- Зх — 1, который представляет собою не то же самое,
что данный. Но если мы рассмотрим многочлен а? — 3ху —(— —
— 2х — 2у—1, то легко видеть, что он не изменится, если х заме¬
нить у-он и обратно. Функция от хну, обладающая свойством,
что она не изменяется от перестановки хну, называется сим- \|
метрическою функциею х-а и у-a. Простейшие симметри¬
ческие функции двух переменных хну суть их сумма (х -}- у)
и их произведение {ху).
Если мы имеем квадратное уравнение
аз? -f- Ъх -{- с = О,
— 120 —
корни которого пусть будут хх и xv то мы знаем, как выража¬
ются простейшие симметрические функции корней этого уравне¬
ния через его коэффициенты, а именно:
Если мы составим какую-либо более сложную симметрическую
функцию от хг и хя при помощи действий сложения, вычитания,
умножения, деления и возведения в степень — одним словом,
рациональпую симметрическую функцию, то уже заранее можно
предполагать, что она также выразится через коэффициенты а, Ь
и с без корней — рационально (предполагать это можно из того
соображения, однако, не вполне отчетливого, что такая функция
может быть сведена к ряду операций над простейшими симметри¬
ческими функциями, т.-е. над хг-\-хя и хгх2, а эти функции, как
мы знаем, выражаются рационально через а, Ъ и с). Эту общую
мысль мы не станем рассматривать во всей ее общности, но лишь
иллюстрируем ее несколькими примерами.
я <>
1. ят-|- х\ (сумма квадратов корней).
Так как л, —I— лс„ = —, то
1 1 * а
Ъ
с
а
но з\х2 = —; след., '2хххя = . Поэтому
г 2 —
2. rf х\ (сумма кубов корней)
,в № з . о 2 , 0 2 1 s Ь3
j - х2)в=— — или х, -f- 3xtx2 -f 3 x1.v1 -+- г? — -g-.
Но 3zTz2 -j- = Ъхгх2 (Zj -(- x2) — 3 . -
Поэтому
— 121 —
Так же можно выразить сумму четвертых, пятых и т. д. степе¬
ней корней квадратного уравнения:
3 . 3 , 2 . 2.,
Х\Х% -J- ХгХч хгхя (Xi -)- Xi)
* I 2 ,2,2.
Xi ХгХ2 -f - X2 {Xi X2) J\X2
( 6® 2c \ cl
^ я8 a ) a J
с (I8 — 2ac) _ &8 — 3ac с (62 — 2«c)
a8 ' as a (ft8— 3ac)
VI. Уравнения высших степеней, приводимые к квадратным.
Уравнения второй степени с двумя неизвестными.
42. Биквадратные и трехчленные уравнения. Выше (и°25) были
' установлены основные принципы для решения уравнений высших
степеней. Однако, в отдельных случаях удобно бывает руковод¬
ствоваться не этими основными принципами, а соображениями
частного характера. Примерами могут служить уравнения:
а4_3х2_54_0; Xя — 3.r44-2=3U; 3x8-r2xi — 56 = О
и т. п.
Уже при первом взгляде бросается в глаза их сходство с
квадратными уравнениями и возникает мысль воспользоваться для
их решения умением решать квадратные уравнения. И это пред¬
варительное соображение оправдывается: примем в 1-м уравнении
временно за неизвестное х®, во 2-м х$, в 3-м х*. Тогда наши
уравнения могут быть написаны (достаточно, впрочем, лишь пред¬
ставить это и нет нужды писать) в виде
(ж2)* — З.(х?) — 54 = 0; (а:3)»_3. (жЗ)-(-2=0; \J
3 . (я*)8 + 2. (х*) — 56 = О,
и временные неизвестные легко определяются: •
1) ж4 — Зж®—54 = 0; я? = ±~^ ® -(- 54 =
— 122 —
Тогда, обозначив корни через (a.s)j и получим:
(а*), = +9; (*Ъ = —6.
2) ^_3*» + 2=0: ±-Y*r~2= I ±-L
(*3|, =2; (jC3)s=r 1.
г * , — 2 1/4 + 672 —2 dt26
Л.с*— о6 = 0: 2? — —
2
«w+_ , _ e
(»*|I = 4; («*д = _4 3 .
Теперь легко определить значение самого неизвестного х:
1)Для первого уравнения мы получили: (а?)х = 9; (a?)s=— 6.
Если мы возьмем первое решение н примем, что
я? = 9, то .т=>л9~==ьЗ
Если мы возьмем второе решение и примем, что з?——6, то
x — V—6... мнимое число.
Итак, если иметь в виду, что и мнимое число V — 6 имеет
2 значения, обозначаемые -}- V—6 и —V— 6, то мы нашли для
нашего уравнения всего 4 решения:
Х\ = -f-3; х^- —3; Хд — —|—— б; х^ — —Л/—6.
2) Для второго уравнения мы получили: (a;3)J = 2; (ж»)я=1.
Если мы возьмем первое решение и примем, чт х?> — 2, то
®/—
х = У 2 . Этот корень имеет лишь одно действительное значение
(я два комплексных, которых мы еще не умеем находить).
Если мы возьмем второе решение и примем, что a£ = l, то
!
% ~ V 1 . Этот корень имеет также одно действительное значение
в два комплексных (их не умеем находить). Действительное зна-
а—
ченне У 1 есть единица; поэтому х= I.
— 1-23 —
Итак, мы нашля 2 решения:
3
хг = У 2 и а"2=1.
О
3) Для третьего ур-ия мы получили: — 4 и (хА)2=—4 ^
Примем сначала, что ж4 = 4; тогда х — У 4. Этот корень имеет
всего 4 значения, 2 действительных и 2 комплексных. Действи¬
тельные значения таковы:
Xi—-\-V± = -\-V 2 и = — V4 =—V 2 .
2
Возьмем затем второе решение и примем, что хА =— 4 —;
л/ 2
тогда х— у —4 -g-. Этот корень имеет 4 комплексных значения.
Итак, мы нашли здесь два денствительн. решения:
:rl — -f- V2 u х2 = —V2
Уравнения, подобные рассмотренным, называются трехчлен¬
ными уравнениями. Первое из них, в котором неизвестное входит
во 2-ой и в 4-ой степенях, называется биквадратным. Вот
общий вид биквадратного уравнепия:
ах4 -J- /лт® -(- с = 0.
Сначала временно примем за неизвестное ж® и определим его:
„ — Ъ±Уъ* — 4 ас
— 2а
Чтобы определит!, само неизвестное х, надо из полученного
выражения еще извлечь квадратный корень. Тогда
^у—Ъ + Ур — Аас
га
— 124 —
Перед каждым корнем здесь поставлены знаки -{- и —. Ком¬
бинируя их, мы получим всего 4 решения:
. Л/— Ъ-\-Уъ* — Аас I/—ЪА-УР
>=+у —- ^=-г —о7.~
= +
-4 ас
*■=+'—= —Т5-
У — Ъ — Vw— 4ас Л/ —Ъ — У& — \ас
Г ^ ’ xt = —f .
2а 4 2а
Если Ь®—4ас <[ О, то все 4 корня биквадратного уравнения
мнимы. Если 6я — 4ас=0, то все решения подойдут под формулу
Ъ b
—, и если — <0, все корни будут мнимы, а если
A U Aid
— >■ 0, то действительны. Если Ъ2 — 4ас ]> 0, то вопрос о дей-
Aid
ствительности или мнимости корней сведется в вопросу, будут ли
положительны или отрицательны выражения — b -j- Уь2— 4ас и
— Ь—УVs — 4ас (предполагая, что а]> 0).
Общий вид трехчленного уравнения таков:
аз?п -)- Ъхп -|- с = 0.
Его решение в общем виде таково:
— Ъ±У&—4 ас Л/ — Ь ± Уь2— 4 ас
ж" = и ж = Г „
2а 2а
\j4-3. Возвратные уравнения. Рассмотрим уравнение:
ах4 -4-- Ь.г'' -f - ex3 -\-Ъх-\-а—0
Его особенность в том, что коэффициент при ж4 равен извест¬
ному члену и коэффициенты при ж® и ж равны между собою.
Благодаря этой особенности, решение этого уравнения приводится
к решению квадратных уравнений.
— 125 —
Заметим, что х не может быть равен нулю (если положить,
что х—0, то получилось бы а=0, что у нас не имеет места).
Поэтому разделим обе части уравнения на х*: ^
в*«_)_й* + е+|+^=0.
Сгруппируем члены так. чтобы в одну группу взять члены V
с одинаковыми коэффициентами: одна группа и Ъх-\-
_j-— — другая. В первой группе вынесем за скобку а, во вто- V'
JC
рой Ъ. Тогда наше уравнение будет:
а(^ + Ь) + & {X + j)J'-r = ° &
Введем новое неизвестное я, полагая, что
* + С2)
Тогда, возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим: V
з?-±2.х. =
X 1 яг
или
*+2+р=*“
откуда
+ p = —2
Заменим в уравнении (1) выражения, стоящие в скобках, у
через я. Тогда получим:
а(я2 — 2) Ъя -|т- с = О
Или
ая*-\-Ъя -|- (с — 2а> = 0,
откуда
—b±V Ь8— 4о d — 2а)
*” 2я
— 126 —
Найдем для г два значения ех и z¥ Заменяя ими z в уравне¬
нии (2), получим 2 уравнения:
_1_ 1 I 1
х+~ и *+J=*s
Освобождая эти уравнения от знаменателей и перенеся все
члены в левую часть, получим:
х) я2— ^4-1 = 0 и 2) 3? — z^4- 1=0
Решив каждое из этих уравнений, получим из каждого по
2 решения для х, а всего 4 решения. Заметим, что выполнит»,
все это мы сумеем лишь в том случае, если .е, и zs действи¬
тельны.
Подобным же образом решается и уравнение:
илА Ьз? -j- сз? — Ъх-\-а=^ О
Поступая с ним, как с предыдущим, получим
о(^ + 15) + 1,(*-1)+,:=0. .. (3)
полагая
найдем
^-2 + ^ = **
откуда
^ + ^5 — «*+2.
Подставляя эти значения выражений, написанных в скобках
уравнения (3), получим уравнение:
я(л“+2) + Ь» + е=0
Решив это квадратное уравнение, найдем два значения
для е\ и zT Подставляя их в уравнение (4), получим 2 ква¬
дратных уравнения, решив которые найдем, вообще говоря, 4 корня
нашего данного уравнения.
Уравнения, рассмотренные здесь, называются возвратными.
Их общий вид таков:
аз? 4~ Ъх з -(- сз? ± Ъх -f - а ~ О
Рассмотрим еще уравнение:
аз? -|~ ЪхЗ —Ъх — а = 0 (5)
Его решим, разлагая первую часть на множители, а именно:
аз? -j- Ъа? — Ъх — а ~ аз? — a -f- Ъз3 — Ъх - ~
— а(з? — 1 )-\-Ъх(з?—1)=а(а^-|-1) С3"8—1) —J— Ьаг (э?—1) =
— (э?—1) (аз? 4~ а -}- Ъх) = (х О (%—1) (я#8 -{-&г-|-я).
Тогда уравнение (5) напишется в виде:
(*+1) (х—1) (лт24~ Zw-b °) = О-
Отсюда делаем заключение, что один из множителей должен
равняться нулю, т.-е. или
1)ж-(-1=0 и тогдаж= — 1, или 2)х — 1 =0и тогда1
или 3) аз? 4~ Ъх -(- а — 0 и тогда, решив это уравнение, получим
еще 2 значения для х.
Так же решается уравнение:
аз? 4- Ъз? 4~ Ъх — а — 0 (6)
В самом деле:
аз? -|- Ъз? 4- Ъз — а = а(з? — 1)4“ Ьл'(я®4-1) =(я5в4— ^) [° О®*— ПЧ-
4- Ъх] — (х% 4~ 1) (аз? 4~ Ъх — а).
Уравнение (6) обращается в
(з?4-1) (аз?-\-Ъх—а)=0.
Тогда
или 1) з? 4~ 1 =0 и, след., x = ±V — 1 (два мнимых корня)
или 2) аз?-\-Ъх— а = 0, откуда получим еще 2 корня нашего
уравнения.
— 128 —
Примеры, рассмотренные здесь, показывают, как, пользуясь
особенностями уравнений, свести их решение к квадратным урав¬
нениям. Укажем, что удалось найти решение в корнях общего
уравнения 3-ей и 4-ой степени и удалось доказать, что общее
уравнение степени выше 4-ой не может быть решено в ради¬
калах.
44. Уравнения второй степени с двумя неизвестными. Общий
вид уравнения с двумя неизвестными второй стенени таков:
ая3 -f- Ьту -f о/2 ' 'x -f- cy -j- / = 0.
Вообще говоря, оно имеет бесконечно много решений, и их
можно получать так: дадим одному неизвестному какое-либо знаг
чепие; тогда получим квадратное уравнение с одним неизвестным,
решив которое получим 2 соответствующих значения для другого
неизвестного (они могут быть и действительные и мнимые и ком¬
плексные). Если же рассматривать только действительные реше¬
ния, то бывают случаи, что одно уравнение с 2 неизвестными
второй степени имеет лишь одно решение, а иногда и вовсе ре¬
шений не имеет Так, уравнение ж2-|-^2 = 0 имеет лишь един-'
ственное действительное решение, а именно: ж = 0 и у = О,
а уравнение ж* -|- у2 -|- 1 = 0 вовсе действительны v решений
не имеет.
| Общая задача „решить совместно два данных уравнения вто¬
рой стенени с двумя неизвестными* не может быть решена эле¬
ментарно, так как она приведет к уравнению 4-ой степени. Не
останавливаясь на ней, мы рассмотрим лишь несколько частных
случаев, когда совместное решение приводит к уравнениям ква¬
дратным и первой степени.
Пример 1. х-\-у=п\ ху — Ь
^ Г*ти два уравнения легко решаются способом подстановки:
из 1-го уравнения определим, например, х через у (х = а — у)
п подставим во 2-ое уравнение (получим: ау— ^ = Ъ); решив
полученное квадратное уравнение (г/2—ау-\-Ь = 0), найдем
2 значения для у, а при помощи равенства х = а — у найдем 1
и соответствующие значения для х.
— 129 —
Можно, однако, предложить для решения таких уравнении
особый прием, основанный на свойствах корней квадратного
уравнения. Наши уравнения указывают, что нам надо найти
такие два числа жиг/, чтобы их сумма равнялась данному
числу а и чтобы их произведение равнялось данному числу Ъ.
Это показывает, что искомые числа х и у могут быть приняты
за корни некоторого квадратного уравнения, коэффициент у не¬
известного в первой степени которого равен — о, а известный
член = Ъ, причем коэффициент у старшего члена = 1.
Следовательно, если назвать неизвестное через г, то это урав¬
нение будет
# —-аг -\-bz= 0 /
Один из корней этого уравнения даст нам значение для х,
а другой для у. Именно, мы получим:
а _l/«8 г
Тогда мы найдем два решения для данных уравнений: V)x—^r-\-
А
+ V'Z* 21 »=!+
+Yf^-
Здесь мы встретились с задачею: составить квадратное уравне¬
ние, если дана сумма его корней и дано произведение его корней.
Эта задача близка к другой: составить квадратное уравнение,
если даны его корни.
Например, составить квадратное уравнение, корни которого
суть -\-1 и —3. Найдем сумму и произведение этих корней:
H-7I-K—3) = +4: (+ 7).(— 3)=— 21.
Тогда, как это сделано выше, легко написать самое уравневие.
Оно будет, если неизвестное обозначим буквою х, таково:
ж® — 4ж — 21 =0.
9
— 130 —
у/ Составим еще квадратное уравнение, корни которого
1 1
суть __ и__г.
илн, умножая обе его части, на 6:
6 ж2 -f- Ьх 1 =г 0.
Наконец, составим квадратное уравнение, корни которого
3 _f- Уб и 3 —Уъ.
Сумма корней =6; произведение корней =9—5 = 4.
Искомое квадратное уравнение есть
х2 — 6х -f- 4 = 0.
Заметим еще, что можно составлять такие уравнения и иначе.
Например, для второго случая ^корни суть —~ и ——J иско¬
мое уравнение можво написать в виде:
Раскрыв скобки и освободив от дробей, получим то же, как
и выше, уравнение 6х2 -f- 5х 4 = 0.
Пример 2. x*-J-ya = a; ху — Ъ.
Покажем сразу особый прием для решения этих уравнений
(но, конечно, возможно их решить и способом подстановки).
Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим по
частям с первым; получим:
Сумма корней =—n — =—произведение корней=
£t 6 Ь
Искомое квадратное уравнение есть
х2~\-у2~\- 2ху=а -f- 2Ъ
или
(ж+г/)2 = а + 26
откуда
— 131 —
Умножим опять обе части уравнения ху — Ъ на 2 и вычтем
по частям полученное уравнение из первого; получим:
а? -f- у2 — 2 ху = а— 2 Ъ
или
(х — yf = a — 2 Ъ
откуда
х — у — ±У а — 2Ъ
Теперь мы имеем:
х у = ±У а-\-2Ъ
х — у = ±Уа— 2b.
Сложив эти уравнения по частям, получим:
2х=±Уа-\-2Ъ ±Уа— 26.
Вычтя из 1-го уравнения по частям 2-ое, получим:
2у = ±Уа-\-2Ъ г-^Уа — 2Ъ
Из этих уравнений получим:
±Уа~\~2Ь±Уа — 26 =ь Уа-\- 26 Уа—26.
*= —-2 ; у= з
Имея в виду, что квадратный корень всегда имеет 2 значения,
мы можем те же решения написать в виде:
_ Уа-\-2Ь-уУа — 2Ъ _уа+2Ъ—Уа — 2Ъ
Х— 2 5 У~ 2 ~
Здесь мы имеем 4 решения. Пусть абсолютная величинаVa -J- 26
есть т и абсолютная величина Уа—26 есть п. Тогда:
-4-m-j-n Л-т—и -\-т—п -4-т-\-п,
i) 2 —; у=:г-~2—; 2)ж== 2—: у~2
9*
— 132 —
Пример 3. я?— у* = а; х — у = Ъ.
Разделим по частям 1-ое уравнение на второе. Тогда, зная,
что я? — г/2 = (ж -j-у) (х—у), получим:
I а
Теперь из уравнений
а
*+9=т
ж—у=Ь
Сложением и вычитанием получим:
а о-(-Ь*
2ж=т+Ь и ж=^~
2У— Т—® и У
* Ъ * 2Ъ
VII. Прогрессии.
45. Арифметические прогрессии. Составим несколько рядов
чисел, придерживаясь следующего порядка: сначала напишем
какое-нибудь число, для получения следующего прибавим к 1-му,
например, число 3, следующее получим прибавлением ко 2-му опять
числа 3 и т. д. без конца
1) 7;10;13;16;19 . . .
Начнем теперь с числа 2 -i- и всякий раз будем прибавлять
, 1
по W:
О
2> 4 : 4; 4 : 4 : 71 • • •
В предыдущих примерах мы писали числа без знаков (арифме¬
тические); перейдем теперь в относительным числам; тогда все
— 133 —
\l
V
числа в этих двух примерах можно считать положительными.
Начнем теперь с числа (— 5) и всякий раз будем прибавлять
по (+2):
3) — 5; — В; — 1; —1; —3; —}— 5 : —}— 7 ; . . .
Начнем с числа и ^Удем прибавлять по (—
4Л _i_ JL • _1_ Л • о ■ А ■ Ё. - ijL
4)-Т 4 <Т 81и' а> 4 ! 8 " * '
Начнем с числа ^ и будем прибавлять по ^
>
б) — 1у 2; — 2-J; — 3;— 3^ 4; . . .
Ряды чисел, подобные предыдущим примерам, называются
арифметическими прогрессиями, а самые числа каждого
ряда называются членами арифметической прогрессии. То число,
которое всякий раз прибавляется к предыдущему члену для
получения последующего, называется разностью арифметиче- ^
ской прогрессии. Станем обозпачать разность буквою г. Тогда
1 3
в примере 1)г=:3, во 2) г = -{-1—, в 3)r =-f- 2, в 4) г — —-
гч 1
и в 5) г — —
Рассматривая предыдущие примеры, мы видпм, что в некото¬
рых (в 1-м, во 2-м и в 3-м) члены прогрессии постепенно воз- .
растают — в этих случаях и самые прогрессии называются воз-'4'
растающиыи; в других примерах (в 4-м и 5-м) члены про-
3 3
грессии постепенно уменьшаются (в 4-м: -j- -g меньше, чем -f- ;
3 3 3 3
О меньше, чем; — -g- меньше, чем 0;— меньше, чем g
и т. д.) — в этих случаях прогрессии называются убывающими.
Из предыдущих примеров ясно, что арифметическая прогрессия
возрастает, если ее разность положительна, и убывает, если ее
разность отрицательна. Другими словами:
если г>0, то арифметическая прогрессия возрастающая
если г <[ 0, то арифметическая прогрессия убывающая.
— 134 —
Заметим, что иногда употребляется особый знак, а именно -f-,
для обозначения арифметической прогрессии. Если, например}
написано
то числа а, Ъ, с, й и т. д. надо предполагать подобранными так,
чтобы они составили арифметическую прогрессию.
Напишем арифметическую прогрессию в общем виде. Поло¬
жим, что ее первый член есть а и разность есть г. Тогда арифме¬
тическая прогрессия будет такова:
Первый член а, второй член = а -j- г, 3-ий член=о-}-г-}-г =
=a-f-2r, 4-ый член=а-}-2г-)-г==а-)-3»-, 5-ый член = а-)-4г.
Далее иам ясно, хотя выше эти члены и не написаны, что
G-ой член = а-\- 5г, а, например, 10-ый член должен равняться
a-j-9r, 25-ый член = а 24г, 72-ой члеи = а-(-71г и т. д.
Вообще, мы видим, что любой член арифметической прогрессии
равен ее первому члену, сложенному с разностью, повторенной
столько раз, каков нумер этого члена, уменьшенный на единицу.
Если мы захотим написать выражение для члена № п (и-ый член),
го он должен быть равен
Эта формула выражает любой член арифметической прогрессии,
так как числу » можно придавать любые значения.
Тогда, зная эти 2 члена прогрессии (1-ый и 2-ой), мы легко можем
найти какой угодно ее член. Для этого сначала найдем ее раз¬
ность. Так как второй член = a -f- г, то для получения разности г
надо из 2-го члена вычесть 1-ый член: (а-]-г)— а = г.
Тогда для нашего примера
-f- a; b; c;d; ...
а; а г; a -J- 2г; a -J- Зг; а -(- 4г. . . .
4J а + г(п —1)
Пусть начата арифметическая прогрессия — 3 ; —(— 4^-; . .
••=(+4Н',-Зт)=+ 4 + 4 =7!
— 135 —
Теперь мы сразу можем найти любой член нашей прогрессии.
Например, 12-ый член = ( — 3'f)+(+7'|') • 11 Сначала надо
3 33 1 1
7 -g-11; получим 77-g- = 81-g, и затем надо сложить — 3— и -}-
-f- 81 — , — получим:
“Зт + 81| = 77т-
Также для прогрессии
12.-8; . . .
»■ = (+ 8) — (4-12) = 4- 8 — 12 = — 4
и, например, 21-ый член=12-[-(— 4). 20 = 12 — 80=—68
Легко продолжить арифметическую прогрессию, если ее пер¬
вый член = а, и второй = 6. Тогда г = 6—а, 3-ий член = 6 -|-
-}-(£/ — а) =26— а, 4-ый член = 26— a-f- (6— а)~ЗЪ—2аи т. д.
Получим прогрессию:
а; 6; 26 — а, 36 — 2а, 46 — За, 56 — 4а, . . .
46. Свойства арифметической прогрессии. Обозначим теперь
буквою а не первый член арифметической прогрессии, а какой-
нибудь из дальнейших. Тогда мы можем продолжить прогрессию
в двух направлениях: 1) можем получать последовательно при¬
бавлением разности (пусть она = г) последующие члены этой
прогрессии и 2) можем получать последовательно вычитанием
разности г предыдущие члены прогрессии:
. . . : a — Зг; a — 2r; a — r;a;a-(-r,a-}-2r;a-}-3r; . . .
Когда мы получим лишь 2 члена, один, следующий за а, и
другой, ему предшествующий, то получим арифметическую про¬
грессию из трех членов, а именно:
а — г; а; а г.
Уже при первом взгляде иа иее замечается некоторая ее
особенность, а именно, что сумма ее первого и 3-го членов, т.-е.
(а — г) -}- (a -j- г) равна 2а или в 2 раза больше среднего члена а.
— 136 —
То же самое можно выразить и так: если арифметическая
прогрессия состоит из 3 членов, то ее средний член равен поло¬
вине суммы крайних.
Присоединим к этой прогрессии еще 2 члена a-j-2r в одном
направлении и а — 2г в другом:
а — 2г; а — г: а; а г; о -f- 2г
И опять замечаем, что в этой прогрессии, состоящей из
5 членов, сумма крайних членов, а именно (а — 2г) -(- (а -(- 2г)
в 2 раза больше ее среднего члена а, или наоборот: средний
член ее составляет половину суммы крайних.
Нам ясно, что присоединение еще двух членов а-}-Зг и
а — Зг не нарушит этого свойства и т. д. Поэтому установим
общее свойство:
если арифметическая прогрессия состоит из нечетного числа
членов, то сумма ее крайних членов в 2 раза больше ее сред¬
него члена, или: ее средний член равен половине суммы
крайних.
Пусть, например, имеется:
Тогда
I• о а+г
о-)-г= 2е или е=—~—
Конечно, если мы напишем арифметическую прогрессию в той
форме, какая имела место в предыдущем п°, т.-е.
а; a -f- г; a -f- 2r; a -j- Зг ; a -j- 4r; a -j- бг; a -j- 6г; . . .
то и здесь можно увидать то же свойство. Ограничиваясь, напри¬
мер, написанными семью членами, получим:
a-f- (о -f- 6г) = (а -}- Зг). 2
или
„ + 3r=it+(?+^l
— 137 —
Возникает вопрос, нельзя ли, как-либо видоизменив его,
распространить это свойство на арифметические прогрессии
вообще, независимо от того, четное или нечетное число членов
рассматривается в этой прогрессии. Так как в предыдущем
играют роль крайние члены прогрессии, то обозначим теперь
первый член буквою а и последний буквою и. Тогда второй член
от начала прогрессии будет а -)- г (г означает разность прогрессии),
третий член будет а-|-2г, 4-ый а-(- Зг и т. д. Также точно,
исходя от последнего члена и, получим, что 2-ой член от
конца=и— г, 3-ий член от конца=и — 2г, 4-ый член от
конца=и—Зг и т. д.
Тогда наша прогрессия будет обозначена в форме
а ; а-\~ г ;a-f- 2г; и—2г;и — г;и
J < J У.
Рассматривая эту прогрессию, мы видим (и это уже не зави¬
сит от того, четное лп нли не четное чйсло членов у этой про¬
грессии), что сумма 2-го члена от начала и 2-го члена от конца=
= (a-j-г) -f- — г) = а-\-г-\~и— г=а-\-и, сумма 3-го члена
от начала и 3-го члена от конца = (a -J- 2r) -j- (и — 2г) = а -f- 2r -f-
-\-и — 2r=a-J-u; ясно, что и сумма 4-х членов от начала и
конная о -)-« и т. д. Другими словами, если мы будем склады¬
вать члены арифметической прогрессии попарно, а именно так,
как это выше обозначено линиями со стрелками, то сумма
остается постоянною и равна а -f- и. Итак,
в арифметической прогрессии сумма членов,
равноотстоящих от ееначалаи конца, равна сумме
ее кранных членов.
47. Вычисление суммы нескольких членов арифметической про¬
грессии. Пусть имеем ограниченную арифметическую прогрессию,
число членов которой п и пусть требуется найти удобный сносов
для вычисления ее суммы.
— 13Я —
Напишем нашу прогрессию так, как это сделано выше:
п \ a-\-r\a-\- 2г; . . . и — 2г;и — г\и
и обозначим сумму ее членов буквою s. Тогда
\J s = а -}- (а -|- г) (я -}- 2»‘) -f- . . . -f- {и — 2r)-\-(u —
>1. ^ ^ а-|-г* ф >х
j в + Ц I
« -\-и
Пользуясь вышенайденцым свойством и складывая члены этой
прогрессии попарно, соединяя в одну пару члены, равноотстоящие
от начала и конпа, мы найдем, что сумма каждой пары z= a -f-и.
Так как всех членов прогрессии п, то для решения вопроса:
сколько таких пар? надо п разделить на 2. Если » число четное,
п
то результат укажет, что таких пар , а если п число нечетное,
£
п
то частное — укажет, что таких пар столько-то, да еще имеется
половина пары. Так как мы знаем, что средний член прогрессии,
если в ней нечетное число членов, всегда равен половине суммы
крайних членов, то этот средний член и можно принять за „по¬
ловину нары“. Поэтому всегда можно считать, что в этой про¬
грессии найденных нами пар имееется Так как сумма членов
ft
каждой пары —о-}-гг, то вся сумма s = (a-|-M). —. По этой фор¬
муле легко вычислять сумму членов, хотя бы и в очень боль¬
шом числе, арифметической прогрессни.
Итак,
/|чи (а-\-и)п
в = (о + и). у =
Пример 1. Вычислить сумму п первых чисел натурального
ряда.
Натуральный ряд есть
1;2;3;4;5;С;7;& . . .
— 13У —
Он представляет собою арифметическую прогрессию, разность
которой = 1. Ясно, что, например, 20-ый член этой прогрессии=
— 20, 43-ий член = 43 и вообще м-ьш член=«. Называя по¬
следний нужный нам член, а нам нужно взять за последний те-ый
член прогрессии, через и, получим:
и=п.
И тогда, согласно вышенайденной формуле,
,=(1+,).д.=Л±^-=-г&±ч.
Пример 2. Найти сумму п первых нечетных чисел.
Напишем ряд нечетных чисел
1; 3; 5; 7 ; 9; 11 . . -
Он представляет собою арифметическую прогрессию, разность
которой = 2. Последним членом, который мы называем буквою м,
должен служить я-ый член. Тогда, согласно п°45
u = a-j-r(n—l) = l + 2(n—l) = l-j-2n—2 = 2n—l
[этот результат, между прочим, позволяет легко отвечать на
вопросы: каково 25-ое нечетное число? Каково 200-ое нечетное
число? и т. д. 25-ое нечетное число = 2.25 — 1 =49; 200-ое
нечетное число = 2.200 — 1 = 399 и т. д.].
Подставим в формулу для суммы арифметической прогрессии
вместо а единицу (у нас первый член а= 1) и вместо и выра¬
жение 2п—1 (ибо м=2я— 1). Получим:
(1-4-2в — 1 ). те 2м. те
.= 2-'- =—г-=п>
Этот результат замечателен своею простотою: мы теперь
сразу, например, на вопрос, чему равна сумма десяти первых
нечетных чисел, — отвечаем, что она = 102, т.-е. 100; также сумма
первых 40 нечетных чисел = 1600 и т. д.
— 140 —
Интересно, что этот результат легко получить наглядно. На
прилагаемом чертеже большой квадрат разбит на маленькие;
так как на стороне большого квадрата укладывается 6 раз сто¬
рона маленького квадрата, то всего малень¬
ких квадратов здесь 6.6 или 62. Считая
же эти квадраты иначе, а именно—сначалатот
квадрат, который стоит наверху влево (его
площадь затушевана), затем 3 не затуше¬
ванных квадрата, его окружающие, затем 5
затушеванных, окружающих выше сочтен¬
ные и т. д. — получим, что число всех ма¬
леньких квадратов выражается суммою пер¬
вых шести нечетных чисел:
1 4-3 + 54-74-9-f 11.
Итак, эта сумма 6-ти первых нечетных чисел должна
равняться 62. Обобщая это, заключим, что сумма п первых не¬
четных чисел должна быть равпа и2.
Пример 3. Найти сумму 12 членов арифметической про-
V1 •рессии, первый член которой —35 и 5-ый член=25.
ft
Формула для суммы членов известна: (а -ф- и) —. Здесь а
Л
выражает 1-ый член, и он = 35, и выражает последний, т.-е.
12-ый член. Его можно было бы вычислить, если бы была известна
разность, по формуле
а-\-т(п — 1)
н, как здесь, так и в формуле для суммы членов прогрессии,
выражает число всех членов (пли нумер последнего члена), и у
нас и = 12.
Определить разность прогресспп можно при помощи 5-го члена.
С одной стороны он должен, согласно предыдущей формуле, вы¬
ражаться так: a-f-4r, а с другой стороны он = 25, т.-е.
a-j-4r = 25 или 35-J-4r = 25
откуда
4г = —10 и г = — 2-jL
“ \
— 141 —
Тогда 12-ый член, и, выразится:
п = 35 + {— 2-i-j . 11 = 35 — 2-i-. 11 = 35 — 27-i- = 7~
s=(35+7l).6 = 2f
255
Найдем еще для той же прогрессии сумму 17 членов. Тогда,
называя через и семнадцатый член, получим:
и =35 — 2j. 16 = 35 — 40 = — 5
* = (35-б) Ц =^-=255
Мы видим, что сумма 17 членов этой прогресси равна сумме
12 членов. Если мы вычислим члены после 12-го, то получим
(назовем эти члены так: м13, ии, и15, м1в и м17):
— 5 , Uy^ — 2-g-, - 0 ; м1в 2 tj* 5 **17 -= 5.
Теперь ясна причина, почему сумма 17 членов равна сумме
12 членов. Оказывается, что сумма и18 -j- ии -f- Mis “Ь wie ~Ь **17 — ^
Г1 р и м е р 4. В предыдущем примере мы видели, что при
решении различных вопросов, относящихся к арифметической
прогрессии, приходится пользоваться двумя равенствами:
1) uz=za-\-r{n — 1) и 2) s=(«-)-m)
Решим теперь следующую задачу:
Сколько надо взять членов арифметической прогрессии
sijeii....
чтобы получить в сумме 9G?
Так как даны 1-ый и 2-ой члены, то легко получаем (вычи¬
танием 1-го члена из 2-го) разность:
-__oi 1
— 142 —
Положим, что нам надо взять п членов. Тогда
Ф
с 1 1/ С1 1 .1 с5 1
м=8--д („_1) = 8у- -и + ¥ = 8¥- з-и
Подставив вместо а число 8-|- и вместо « выражение 8-| —
— ~ п в формулу для суммы и имея в виду требование, что эта
сумма должна равняться 96, получим уравнение:
(8у+4-т’1)-1=96
«ж
26» и*
~з—б=96
Освободив это ур-ие от знаменателей и приведя его к обыч¬
ному виду квадр. ур-ий, получим:
»2— 52»-(-576= О
Отсюда:
или
или
»
= 26 ±V 676 — 576 = 26+10
Мы найдем 2 решения: 1) и = 36 и 2) и = 16, т.-е. можно
взять или 16 или 36 членов этой прогрессии, чтобы их сумма
равнялась 96. Наличность этих двух ответов показывает (сравнить
с предыдущим примером), что сумма 20 членов этой прогрессии,
начиная с ее 17-го члена, равна нулю.
Вообще говоря, те задачи, в которых приходится узнавать
число членов арифметич. прогрессии, приводят к решению квадр.
ур-ия. Если корни этого ур-ия действительны и если оба они и
положительные и целые числа, то годятся оба решения; если
один из корней—целое положительное число, а другой корень—це¬
лое или дробное отрицательное число, или дробное положитель¬
ное, то ответ на задачу дается лишь первым корнем. Напр., если
пг = 17 и = 20~, то нет смысла в ответе „надо взять
— 143 —
20-^- членов этой прогрессии"; если оба корня отрицательны или
оба корня дробные числа, то это показывает, что задача соста¬
влена неправильно и что прямого ответа на нее нет.
48. Геометричесние прогрессии. Станем образовывать теперь
ряды чисел не сложением с определенным числом, как было при
получении арифметических прогрессий, а умножением на опреде¬
ленное число.
Получаемые ряды называются геометрическими про¬
грессиями, а то число, на которое всякий раз умножаем, на¬
зывается знаменателем геометрической прогрессии — станем
его обозначать буквою д. Вот несколько примеров:
1)
+
5;
+
15;
+
45;
+ 135;
+ 405; . .
(3 =
= + 3)
2)
+
—
21;
+
63;
—189;
+ 567; . .
(? =
= —3)
3)
—
4;
+
8;
—
16;
+ 32;
— 64; . .
(? =
- 2)
4)
—
12;
—
18;
—
27;
-4(Ф
—60f-; . .
4 ’
(* =
=+4
5)
+
16;
—
8;
+
4;
-2; +
i; — h ■
(? =
6)
+
81;
+
54;
+
36;
+ 24; +
16; + 10|
(« =
=+?)
Ь
—
15;
—
о;
—
4
3_*L-
25’
=+4)
8),
1
4;
+
4
>
4 .
" 9 ’
+ —• —
27’
4 .
81 ’ ' ' '
(9 =
__ M
” ay
Рассматривая эти примеры, мы видим, что в некоторых про¬
грессиях (геометрических) все члены имеют один и тот же знак
[в 1) и 6) все члены имеют знак +, а в 4) и 7) все члены
имеют знак — ], а в других знаки у членов чередуются [при¬
меры 2), 3), 5) и 8)]. Легко подметить, от чего это зависит: если
знаменатель прогрессии положителен (если q > О), то все ее члены
имеют один и тот же знак (прогрессия знакопостоянна), а
если знаменатель отрицателен (если g < 0), то знаки у членов
прогрессии чередуются (прогрессия знакопеременна). Далее
мы видим, что абсолютные величины членов прогрессии или по¬
степенно возрастают (примеры 1, 2, 3, 4) или постепенно убы¬
— 144 —
вают (примеры 5, 6, 7 и 8). В первом случае прогрессия (по
абсолютной величине) возрастающая, а во втором (по абсолютной
величине) убывающая. Из предыдущих примеров легко подметить;
что это зависит от знаменателя: первый случай имеет место, если
абсолютная величина знаменателя больше единицы, а 2-ой случай,—
если она меньше единицы. Принято абсолютную величину числа х
обозначать через |ж|. Так, если написано | (а — 3) (а — 5)|, то
это значит, что надо взять абсолютную величину произведения
(а — 3) (а — 5). Тогда предыдущее заключение можно записать так:
\J если | q 1>1, то геом. прогрессия возрастает (по абсолютной
величине),
если | q Id. то геом. прогрессия убывает (по абсолютной
величине).
Напишем теперь геометрическую прогрессию в общем виде,
обозначив буквою а ее первый член и буквою q — ее зна¬
менатель. Тогда 2-ой член этой прогрессии = aq, 3-ий члеп =
— ад . q — aqs, 4-й член = ag® . g = од8 и т. д. получим:
a; aq] ад2; ад8; од4; ад®
Мы написали последним шестой член прогрессии и он=ад5;
также 7-й член=ад®, а, напр., 15-й член = ад14, 43-й член=
^ад42 и вообще п-ый член = од”-1 . Если мы назовем этот ю-ый
член буквою и, то
u=raqn—1
Словами это можно выразить так: любой член геометрическ.
прогрессии равен ее первому члену, умноженному на знаменателя
в такой степени, каков нумер этого члена без единицы.
Если члены прогрессии обозначают различными буквами, то,
чтобы показать, что эти буквы надо заменять числами не как
попало, впереди пишут знак (этот знак заменяет слова „гео¬
метрическая прогрессия”). Если, напр., написано:
Н- а] Ъ] с; d; е;
то это значит, что под буквами а, Ь, с и т. д. надо подразуме¬
вать числа, составляющие геометрическую прогрессию.
;
— 145 —
Легко продолжить геометрическую прогрессию, если даны ее
первый и второй члены. Пусть, напр., 1-й член = 20, и второй = 36.
Тогда, зная, что второй член = aq (т.-е. первому, умноженному
на знаменателя), имеем:
36 * d
20. g = 36, откуда 1—.
Следов., 3-й член получим, умножая 2-й на 1 , т.-е. 3-й член =
4 3^4 4
— 36 . l-g-=— 64-^-, 4-й член получим, умножая найденный
4
3-и на 1-г и т. д.
5
Вообще, если 1-й член = а и 2-й член~~Ъ, то знаменатель
q — — и прогрессия будет
, ы ъ3 ь*
а; ’ а ; а'-'
48-а. Нахождение суммы нескольких членов геометрической про¬
грессии. Пусть надо вычислить сумму s, получаемую от сложения V
п первых членов геометрической прогрессии.
a; aq; aq2', аф
Желательно найти по возможности короткий способ для вы¬
числения этой суммы.
Последний член прогрессии будет иметь нумер п; поэтому
он = aqn~1-, предпоследний получим, разделив этот член на q,
т.-е. aqn~^: q = aqn~^; также 3-й от конца член =
= aqn q— aqn ^ и т. д.
Тогда
s — п -j- aq aq2 -f- aq3 —|—... 4- ад* ~~ 3 -4- aqn — ~ -j- aqn ~~1
Применим сюда следующий прием: перенесем член а, в кото¬
рый не входит множитель q в левую часть равенства, а у
оставшегося многочлена в правой части вынесем q за скобки; \J
получим:
s — а=д (а -f- aq -j- aq2 -|- -aqn~i-sr aqn~ ^ —J— «f/n 2).
10
— 14G —
Мы видим, что в скобках написана также сумма членов ва¬
шей геометрической прогрессии, начиная с первого и кончая
предпоследним, — не хватает лишь последнего члепа. Поэтому
сумма в скобках = s — aqn~l, или, если мы обозначим послед¬
ний член ади —1 через и, то эта сумма=s — и.
Тогда
s — a — q (s — и). \)
Решим полученное ур-ие относительно s.
s — a = qs-—uq; s—qs=.a—щ; (1—q)s=a — uq,
откуда
a — uq
1-q
(1)
Вот формула, по которой легко вычислять е. Можно эту фор¬
мулу представить в других формах.
Умножим и числителя и знаменателя полученной дроби на—1
(дробь останется равной прежней);
тогда
•=^ «
Формула (1) удобнее для убывающей прогрессии, а (2) для
возрастающей.
Заменим в этих формулах и через aqn~^', V
тогда
а—aqn a(l—qn)
или
* 1— q 1 — q
xqn — a a (?” — 1)
q — 1 ~ q— 1 '
• (3)
49. Применение к примерам.
Пример 1. Сколько понадобится зерен ржи, чтобы эти зерна
разложить на шахматной доске в таком порядке: на 1-ую клетку
одно зерно, на 2-ую—два, на 3-тью—4 и т. д., увеличивая всякий
— 147 —
раз в 2 раза (имеется легенда, будто бы такую награду потребо¬
вал для себя изобретатель шахматной игры).
Получаемые числа зерен ржи составляют геометрическую про¬
грессию, знаменатель которой=2, а именно:
1; 2; 4; 8; 16;
Всего на шахматной доске 64 поля (клетки); поэтому на по¬
следнее (64-ое) поле придется зерен 1 . 2е3 пли просто 2м., а
1 (2е4 1)
сумма всех зерен по формуле (8)=-^——— = 2М — 1.
Если вычислить 264 и затем полученное число зерен перевести
на вес (в пуде около 400.000 зерен), то окажется, что понадо¬
бится так много ржи, что ее в таком количестве трудно собрать
со всего государства, хотя бы и довольно большого.
Пример 2. Суммы, вроде
.... -(- а21 -}- a22
или
i • • • • 4-ж”
или
1—— жЗ-|_ .... -[-я16
или
1—а-\-(ia — a3-j- .... ±ап (-}- или — смотря по
тому, четное или нечетное число п), легко заменить теперь более
короткими выражениями. Первая из них есть сумма 23 членов
геометрической прогрессии, первый член которой = 1 и знамепа-
т а22 . а — 1 a23 — 1
тель = а. Тогда сумма s = -—— —,
а—1 а—1
т.-е. l-f-a4-o» + ...-fo« = —.
1 • 1 ' 1 .а— 1
Также вторая сумма есть сумма членов геометрической про¬
грессии, знаменатель которой х, причем последний член есть
(п -|- 1)-ый член этой прогрессии. Поэтому
+1 1
1+Х + Я2 +
10*
Третья сумма есть сумма 17 членов геом. прогр., знаменатель
которой - ; — х.
Тогда
. о « I I 1—*1в • (—■*') 14-х17
1 —х-\-х2 —xs4- - • • • + я = —ч i— =
1 ' 1 1 — (— х) 1 -|- х
И, наконец, также найдем, что
1 — а4~— а84“ ■ • • ■ ±a"=1~(±g*t)-(—Ц —1±gW+1
1— (— а) 14-0
(если п четное число и, следов., п 4-1 нечетное, то в числителе
должно взять знак4'1 а если п нечетное число и, следов., п-\- 1
четное, то знак—).
Эти равенства можно получить в обратном порядке: выполнив
деление двучлена а28—1 на двучлен а—1, получим частное
14- а 4" “2 4" 4-а22: также делением можно получить и
остальные равенства.
Пример В. Иногда приходится по некоторым данным опре¬
делять число членов геометрической прогрессии. Так как число
членов, и, входит в формулу а. qn ~1 в виде показателя степени,
то для определения п приходится решать особые ур-ия, а именно
показательные (неизвестное входит показателем степени).
Здесь нам придется иметь дело лишь с очень простым случаем
таких ур-ий. Для примера рассмотрим задачу:
Первый член геом. прогр. = 12; ее знаменательсумма
29
нескольких ее членов = 23^. Найти число ее членов.
пт а — иЧ
Мы знаем, что s= ^ ; следов., имеем ^р-ие
I
— 149 —
откуда
*=24—23^ = 1.
Но и = о . qn~K Следов.,
“■вГ1» I
откуда
1 3 1
9п-1~ 32 .12 —128
Так как 2 дроби ^ и — должны быть равны и так как
о”—1 128
числители их одинаковы, то
2П~1 = 128.
Разлагая 128 на множители, мы найдем, что 128 = 27.
Поэтому
2й ~ г= 27
Здесь написано равенство двух степеней, причем основания
этих степеней одинаковы. Поэтому и их показатели должны быть
равны, т.-е.
п —1 = 7, откуда п = 8.
50. Ппнятие о бесконечно больших и бесконечно малых. Мы
знаем натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; в нем
числа идут без конца. Мы знаем также, что между каждыми
двумя соседними числами натурального ряда можно поставить
бесконечно много дробей. Если мы будем под обозначением п
понимать переменное число и станем этому » приписывать раз¬
личные числовые значения, все увеличивающиеся и увеличива¬
ющиеся, то мы можем говорить, что это число и может быть
сделано больше любого наперед заданного числа.
Принято в таком случае говорить, что переменное число и
есть бесконечно большое число. Иначе то же самое вы¬
ражают словами, что я стремится к бесконечности. Бесконеч¬
ность обозначают знаком со и пишут, что
предел « = со
— 150 —
понимая под этим, что число п может получить значение, боль¬
шее любого данного числа, сколь бы велико оно ни было. Здесь
в дальнейшем мы ограничимся только арифметиче¬
скими чис лами.
Рассмотрим теперь ряд функций от п. Пусть, напр., у — Зи;
тогда у является функпнею от п. Будем п давать различные число¬
вые значения, заменяя п все увеличивающимися числами нату¬
рального ряда; тогда получим ряд значений для у: Зг = 3; 32 =
= 9; В3 = 27; 3* = 81; Нам ясно, что значения для у
будут все увеличиваться, по мере увеличения п, и нет предела
этому увеличению. Поэтому у (а у— 3м) есть также бесконечно
большое число при увеличении п до бесконечности, и мы можем
написать
предел (зя) прип = 00 = °°-
Рассмотрим теперь функцию 1,1й . Тогда, давая п — у после¬
довательно различные значения нз натурального ряда, получим
ряд соотв. значений этой функци:
(1,1)1; (1,1)2; (1,1)3; (1,1)4; (1>1)5
Когда мы переходим от одного значения к следующему, при¬
ходится предыдущее значение нашей функции умножать на 1,1.
Напр., при переходе от (1,1 )1а к (1,1 )м, получим:
(1,1)» = (1,1)4. 1,1.
Так как от умножения какого-нибудь числа на число, большее
единицы, это число увеличивается, то предыдущий ряд значений
нашей функции все время увеличивается и указать предела для
итого увеличения нельзя, т.-е.
предел (1,1)” =<»
при П = 00
Вообще, если «)>1, то
предел (оп) = о»
при J* = 00
— 151 —
Прежде чем перейти к случаю, когда а < 1, рассмотрим дробь
—. Если станем давать для те все увеличивающиеся значения,
те
то дробь будет уменьшаться. Если притом нам задано ка V
кое-нибудь число, хотя бы и очень малое, напр., 0,000001. то
дробь — может быть сделана меньше этого заданного числа (в на¬
те '
шем примере следует для этого взять те >1000000. Вообще, если
задано число с, то дробь — можно сделать меньше с, т.-е. можно
те
добиться, чтобы было 1
< с
те г
Для этого должно взять для и число, большее — ; в самом деле,
с
1 * 1 , 1
если п= —, то дробь— = 1: — — с, а если число и еще уве-
с п с
личить, то дробь уменьшится и станет меньше числа с. Все это
справедливо, как бы мало число с ни было. Значит, дробь ~м0'
жет сделаться как угодно малою; то же самое можно выразить
так: с увеличением числа п дробь стремится к нулю, или
предел f — j = О
при те = оо
Эта запись понимается так: если число те увеличивать бес¬
предельно, то дробь — приближается как угодно близко к нулю.
Рассмотрим еще дробь , где а число постоянное, а те уве-
З1
личивается
/ 5 0,7 \
напр.,— , , и т. п. ] . Эту дробь можно
\ те » и /
представить в виде 1
те
- 152
Если нам нужно это произведение двух множителей сделать
меньше какого-либо заданного числа с, то для этого надо сделать
й 1 с 1с
дробь— меньше числа —• . В самом деле, если — = — , т. *
п а па
1 с
а . ■— = а . — — с,
п а
а если множитель — еще уменьшится (причем первый множи-
Ю„„._;^Р0_ео.Л»еу_
и станет меньше с; дробь же — может быть сделана, как видели
выше, меньше любого числа; следовательно, и дробь — может
п
быть сделана меньше любого числа, т.-е. дробь — также стре¬
тч
мится к нулю, или
предел.
при п=сс
5 2
Например, дробь можно сделать меньше 0,00001; тля
* 1 * 0,00001
этого надо, чтобы дробь — была меньше ——- . J мно-
п 5,2
жив числителя и знаменателя этой дроби на 100000, заменим ее
дробью, ей равною, —520000— ' ®так> чтобы сделать дробь
5 2 11
— -<0,00001, надо, чтобы дробь — была < , а для
fi н э^пиии
этого надо, чтобы число п было > 520000.
Те переменные, которые могут быть сделаны как угодно ма¬
лыми (или которые как угодно близко приближаются к нулю),
называются бесконечно малыми. Дробь при безгра¬
ничном увеличении п есть бесконечно малое. Так же точно дробь
а
—, где о постоянное число, а п переменное, увеличивающееся
безгранично, есть также бесконечно малое. При выяснении по-
— 153 —
л а 1
следнего, мы дробь — заменили произведением а . — , где
а постоянное число, а — бесконечно малое. Результат исследова-
п
ния этого произведения показал, что оно тоже есть бесконечно
малое число. Поэтому мы можем утверждать: произведение постоян¬
ного числа на бесконечно малое число есть бесконечно малое.
Так же точно, сумма двух (или трех, четырех и т. д., но не¬
пременно конечного числа) бесконечно малых есть бесконечно
малое. В самом деле, пусть к и к1 суть два бесконечно малых
числа (это значит, что их можно сделать меньше какого-либо на¬
перед заданного числа); можно ли сумму к -(-Л1 сделать меньше
любого наперед заданного числа с? Да, потому что мы можем
С с
сделать — и^1<-,и тогда сумма к-^к1 станет меньше
2
числа с.
Также и разность двух бесконечно малых есть число беско¬
нечно малое, и, наконец, частное от деления бесконечно малого
числа на постоянное есть также бесконечно малое число
(
к 1 1
— = к . — - если к бесконечно малое число, о — постоянное,
а а ’ а
то уже известно, что и все произведение есть бесконечно малое
Л
число
Рассмотрим теперь опять дробь — , но при условии, что
число п уменьшается и приближается к нулю ^следовательно, и
будет, между прочим, принимать какие-либо дробные значения на-
1111 \
пример: , "з" « То > 20 11 т- п- )■ Сначала станем изменят!
1 1 1
число п но следующему закону: 1; — ; ; 1QQ-)- и т. д.
эти последовательные значения п составляют геометр, прогр. со
1
знам.= уф.
— 154 —
Тогда для п = 1 получим — = 1, для п—^- получим =
п 10 п
^--=10, для п= пол\чич =1:—100,дляте=:
= -L получим — = 1: -=1000 в т. д. Мы видим, что дробь
1UUU П 1оои
~ увеличивается и притом беспредельно. Ясно также, что если
и будет безгранично уменьшаться, приближаясь в нулю, по ка¬
кому-либо иному закону, то все равно дробь — может быть
вделана больше какого угодно числа; если, например, нам надо
сделать дробь — больше числа с, то мы видим 1) что при
Т1
1 * 1 Т 1 ON ^ 1 * 1
п = — дробь — = 1: — = с, и 2) что при п <; — дробь —
С УЪ С С УЪ
будет больше с.
Итак, дробь
бесконечно большим, или
Итак, дробь -i- при приближении п к нулю является числом
Также ясно, что
пред. ^
при п=0.
11Ред-1т)=со
при и = 0.
Рассмотрим теперь функцию о”, при условии, что а меньше 1.
/ 3 .» ,, 3
(начала возьмем пример l-j-l Мы знаем, что =
= TV и, след., (4-У ^(Т0» ■ Так как (4)"
есть число бесконечно большое [мы ведь уже знаем, что ап , если
1
•/>1, есть число бесконечно большое], то дробь
— -155
еближается с дробью ее числитель также 1, а знаменатель
также бесконечно большое число; поэтому дробь —\ — есть
з")
число бесконечно малое, или
пред, — О
при V — СО
Также
--ИМтУ-тв"
1 / 1 \П
Так как о <1, то — >■ 1 и, следовательно, I —■ J при
безграничном увеличении п есть число бесконечно большое, а,
1
число есть число бесконечно малое, или
пред. (а” )=0 (если а<1)
при П— 00
51. Понятие о пределах. Бывают случаи, что какое-нибудь пе¬
ременное, изменяясь, не увеличивается безгранично и не прибли¬
жается к нулю. Здесь мы уже будем рассматривать относитель¬
ные числа. Тогда такое переменное приближается к определен¬
ному числу, которое называется пределом этого переменного.
Например, рассмотрим функцию у = 1 при безграничном
увеличении я; тогда, как мы знаем, дробь приближается к
нулю и может быть сделана сколь-угодно малою. В таком слу¬
чае у приближается к 1 и может быть сделан сколь угодно
близким к 1. Эта „близость* может быть оцениваема абсолютною
величиною разности между 1 и у. Мы именно иолучим:
\1 I1 — м=1 — ^— т)=1 — 1 + (ссли и числоп0-
ложительное, а если « число отрицательное, то |1—у| = J^ J^'
— 156 —
Так как при безграничном увеличении числа п дробь есть
число бесконечно малое, то абсолютная величина разности 1—у
может быть сделана сколь угодно малою, или есть бесконечно
малое число. В виду этого, мы имеем такое определение
предела:
постоянное число т называется пределом пе¬
ременного г, если |s—т\ есть число бесконечно
малое.
Принято бесконечно малые числа называть греческими буквами
«. & Т. 5-
Если
}z—m| —а,
ТО /
z ■= ш -± a. v
\
Здесь мы имеем выражение переменного г через его предел
т и через некоторое бесконечно малое а.
Выше мы также пользовались понятием „предел" для беско¬
нечно малых и для бесконечно больших чисел: запись
предел а=0
указывает, что а есть бесконечно малое число, а запись
преде1 х— х
указывает, что х при своих изменениях может быть сделан сколь
угодно большим и что, в сущности, предела для его увеличения
нет.
Рассмотрим еще функцию:
1 -4- х
причем будем считать, что х, постепенно уменьшаясь, может
приблизиться сколь угодно близко к нулю. Тогда уже по внешнему
1 -1-а;
виду мы замечаем, что числитель 1 -j-хдроби --- ■— ■ приближается
* —г- 00
сколь угодно близко к 1. а знаменатель 2 -}- х к 2, почему можно
заключить, что дробь приближается к ~. Проверим это, для чего
составим разность:
J _1 __ 1 +.г
^ — 2 2+т
Эта разность равна:
2 ^ (1 +ж) ~ * —* — Счисл. и зиа-
2 (2 -|-а:) 2(2 + *) -5- + 2'
менателя разделили на х). Если х приближается сколь угодно
4
близко к нулю, то дробь— есть бесконечно боаыпое число,
х %
4
а, следовательно, и знаменатель (-2 бесконечно большое
х 1
число; поэтому абсолютная величина дроби
1 _
— + 2
£С »
есть величина бесконечно малая. Итак,
I I
1
где х оесконечно малое число, откуда следует, что -г- есть пре-
а
дел для у.
52. Применение к геометрической прогрессии. Рассмотрим гео¬
метрическую прогрессию
о; aq; aqa; aq3; . . . aq” — 1. . .
Мы можем эту прогрессию продолжать без конца. Ее и-ый
член выражается формулой aq” —,, где множитель а есть постоян¬
ное число, число q также постоянное, а показатель степени и—1
увеличивается по мере того, как мы берем все следующие и сле¬
дующие члены прогрессии, и этот показатель может сделаться
сколь угодно большим.
Если абсолютная величина знаменателя больше единицы, т.-е.
|2| > 1, то функция qn должна, как видели выше, по абсолютной
ч
__ 1Г)Я _ j
величине также увеличиваться до бесконечности, а, следовательно,
и произведение о . дм — 1 должно увеличиваться по абсолютной ве¬
личине беспредельно.
Поэтому мы заключаем: еслн геометрическая прогресспя воз- [
растает (другими словами: если jg| > 1), то члены этой прогрес¬
сии по абсолютной величине возрастают беспредельно.
Положим теперь, что |д| 1, т.-е., что прогрессия убывающая;
тогда, как мы знаем, функция дм — 1 при увеличении п стремится
к нулю, т.-е.
предел (дм —1^=0 (если |д| <С 1)
при п — со
Так как, следовательно, дм —1 есть число бесконечно малое,
то произведение а . g« — 1, где а число постоянное есть тоже
число бесконечно малое, или
предел (я . дм — 1)—о (если 1д1<1)
при п— 00
Итак, заключаем: в убывающей геометрической прогрессии
члены ее постепенно стремятся к нулю.
В таком случае, если мы рассмотрим сумму нескольких чле¬
нов этой прогрессии, например, сначала трех
s = a-\-aq-\-aq2,
и затем станем прибавлять еще по одному члену, то сумма s ста¬
нет изменяться, но эти изменения с каждым шагом становятся
все менее заметными и стремятся к нулю. В таком случае возни¬
кает вопрос, не стремится ли эта сумма к определенному пре¬
делу?
Для решения этого вопроса мы можем поступить двояко.
1) Вспомнить, как мы получили формулу для суммы п членов
геометрической прогрессии и выяснить, что особенного будет при
применении этого приема к случаю, когда число п увеличивается
без конца. Мы пишем:
s о —|— яд —j— яд3 ядз -)— яд4 -j— . . - (без конца).
— 159 —
Переносим а в первую часть и у оставшихся во второй частя
членов выноски q за скобке. Тогда
S О г= 2(0 + 02-}-0^2 _|_agr3_j_ . . .).
Мы видим (как и прежде), что в скобках получается та же
сумма членов геометрической прогрессии. Разница от прежнего
состоит в том, что прежде мы заметили, что в скобках полу¬
чается сумма всех членов, кроме последнего, а теперь в скобках
получается сумма, слагаемые которой идут без конца. Поэтому
ее также надо назвать s, т.-е. имеем:
s — а — (/. s.
Отсюда
s—qs—a или (1 — q)s = a
и, следовательно,
Здесь, следовательно, мы получили формулу для суммы беско¬
нечно убывающей геометрической прогрессии.
2) Возьмем формулу для суммы п членов геометрической (убы¬
вающей) прогрессии и станем в ней число п увеличивать без
конца. Не удастся ли подметить (и определить) предела, к кото¬
рому стремится эта сумма?
Мы знаем, что
а — uq а — aqn а а
\f~ 1—3 _ 1 — 3 — 1— 3 ~ 1 — 3 ' '
Так как дп при условии, что \д) •< 1 стремится к нулю, при
увеличении и до оо, или есть число бесконечно малое, а гг——
1—3
а _
есть число постоянное, то j . q есть также, при увели¬
чении п до оо, число бесконечно малое, что показывает, что s
а
стремится к пределу .
— 160 —
То же самое можно выяснить проще. Мы знаем, что в убы¬
вающей прогрессии члены стремятся к нулю, т.-е.
предел и — 0.
Тогда, рассматривая формулу
а — uq
1 — q
и пмея в виду, что и стремится к нулю, а, следовательно, и щ
стремится к нулю, мы заключаем, что числитель этой формулы
стремится к о, а знаменатель остается постоянным, почему
а —- иа а
предел = -j
1—9 1—9
Называя этот предел также буквою s, напишем:
а
* S_ 1—9
т.-е. предел суммы членов убывающей геометрической прогрессии
при увеличении числа членов до бесконечности есть ^
1 3
53. Примеры. 1. Наити предел суммы прогрессии 3; 1-^- ; -j-...
11 Ь 1
Тогда g=l -j- : 3=-g- и предел s = j =3:-^- = 6.
1 2
Мы будем обозначать предел суммы или знаком „предел s“ или
иногда просто ,,s“.
2. Найти предел суммы прогрессии
1ь; — 6;+ 2; . . .
Тогда s= —6:18 = 1-, s= 18 : 11 + -|Л =18- -|- =
= «4-
3. Рассмотрим периодическую дробь
0,515151 . . .
— 161 —
Мы можем ее написать в виде:
51 1 "1 | 51 1
I,- ' 1003 "г-
100 ' Юи- 1 100»
Мы видим, что для вычисления этой дроби надо взять сумму
бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член
которой — ■, а знаменатель— -^q-- Тогда
51 . I 1 \ 51 . 99 _ 51 _ 17
S 100 ■'1 100 ) 100 ' 100 99 — 33
Также периодическую дробь 0,9999. . . , надо считать раиной
едипице, потому что предел суммы убывающей геометрической
прогрессии -1- 5-^ ; ; . . .
таков:
9 / 1 \ 9 9
предел s = 10 : 1 ю ) ~ ю : 10 1-
По мере того, как мы пишем все больше и больше девяток
в выражении 0,9999 получаемые дроби (0,9; 0,99; 0,999;
0,9999; и т. д.) все ближе и ближе подходят к единице.
VIII. Обобщение понятия о степени.
54. Нулевые и отрицательные поиазатели. До сих пор в выра-. ,
жении оя мы понимали под п целое и положительное число.
Возникает желание освободиться от этого ограничения и придать
смысл этому выражению даже и в том случае, когда чъ число
_s
дробное или число отрицательное. Ясно, что выражения ав или
а~* и т. п. не могут иметь прежнего (прямого) смысла: нельзя
взять о множителем раза (?!), нельзя взять а множителем
— 4 раза (?!). Поэтому надо сделать попытку придать подобным
выражениям косвенный смысл. Постараемся это сделать сначала
для случая, когда п целое отрицательное число. Исходным uj ак¬
том для этого является равенство
о"1: ап — ат ~ ” (если т п). \J
11
J
— 162 —
Это равен тво в прежнем имело место с тою оговоркою, которая
выше дана в скобках. Нельзя ли от этой оговорки освободиться?
Возьмем сначала случай, когда т = п, например, а8:о*. Если
отбросить вышеуказанную оговорку, то мы получили бы
з з з—з о
а : а — а = а
но это выражение прямого смысла не имеет. Однако, мы можем
выполнить то же деление иначе, а именно—мы знаем, что при де¬
лении числа на самого себя, частное должно равняться единице,
т.-е. а3:а8=1. Сопоставляя этот результат с предыдущим, мы
приходим к мысли, что мы можем пользоваться выражением о® —
косвенный смысл для него теперь найден, — но мы должны счи¬
тать, что о°= 1, другими словами, что о® есть новое выражение
для числа 1. Следовательно, каждое из выражений
5°; 100®; {— 1^°; (e-f Ь)° и т. п.
выражает 1 (например, 100® = 1).
Возьмем теперь пример, где показатель я (делителя) был бы
больше показателя т (делимого): например, а3: а*. Если попы¬
таться применить основное равенство к этому случаю, то получим:
3 4 3—4 —1
& • С1> — CL . О •
Этот результат „а в минус первой степени“ прямого смысла
не имеет. Однако, то же деление мы можем выполнить иначе, при
помощи дробей:
„ а3 а. а.а \
а3:а*=—г = =—
а* а. а .а .а а
Сопоставляя эти два результата, мы останавливаемся на мысли:
мы можем употреблять выражение о-1, как заменяющее дробь.
(Мы, следовательно, принимаем, что а~1 = —
о/
Так же точно:
1) а8: о® — о8 ~в = а~*
2) „*:„*=?;= »•“■? =1, ,
ar a .a.a .a .a or xj
— 163 —
1
Если мы примем, что а —то мы можем употреблять а
а-
как выражение, заменяющее дробь ^. Так же точно получим воз¬
можность употреблять оГ 3, как выражение, заменяющее и т. д.
ая
Вообще, если мы примем, что
-k 1 Л 1 -к
а г=—г или наоборот —j — а
а а
•
то мы этим самым придаем выражению а-к определенный (хотя
и косвенный) смысл и получаем возможность употреблять отри- \ .
цательные степени. ’
Пример ы:
— о’ V 2' о! 2 2 5’
- 2
4Ь3^Тз = бГ’ Ю-2 = ^ = 0,01; 2-=^.
(т)
а\ 1 а Ъ (числитель и знаменатель
) Т ~а поменялись местами)
(гГ-Кт)=i!S=S=®‘
и т. п.
Для возведения дроби в отрицательную степень можно сна¬
чала поменять местами числителя и знаменателя и полученную
дробь возвести затем в такую же положительную степень.
(1ГЧ !)’=?=4
(т) '=4S = 64 (/.■£■) =(з)8=4 и т-п-
11*
— 164 —
55. Польза введения отрицательных показателей. Уже мы имели
случай видеть то значение, которое имеют для нас отрицательные
показатели: теперь равенство
т . п т — п
а :а = а
справедливо, каковы бы числа т и « ни были, лишь бы каждое
из них было целое и положительное.
Далее, теперь для нас является возможность писать дроби в
виде целых выражений. Так
1—2 а 1 7—2' Я3 о 7,-3
-а_и , ; -s а ;
~ =3ай8.1 . |=3.4~1.«.Л2crf-2:^гт=(o^-Л>-,
4«г т с гг а 6 1
и т. д.
Если мы возьмем десятичное число, например
523,574
то
41523,574 = 5.100 + 2.10+3 + 5.^7.^ + 4.^.
Теперь то же самое можно написать:
523,574 = 5 .103+2. 10 + 3 .10°+5 . Ю-1 + 7. 10_2 +
+ 4. 10~3 (3 . 10° = 3.1 = 3).
Нулевая степень бывает полезна иногда для обозначения
многочлена, расположенного по степеням какой-нибудь буквы.
Так
За8 — 5я2 + 2о — 4
теперь можно написать в виде
За3 — 5 а? + 2а — 4а°.
Мы имеем
— к 1
а = *
и
— 165 —
Отсюда
или наоборот
ак= —
ак
— к '
а
Поэтому, если встретятся дроби, в состав знаменателя кото¬
рых входят множители в отрицательных степенях, то можно их
заменять через положительные степени. Например:
а 1 1 2
а . s . ; = air с.
т-2 — 1 — “ • j —г • „—1
be be
Если имеем дробь вроде
ah
а-\-Ъ
то ее можно заменить через
ab(a-f-b)-1
так как
-аЪ. | г = аЬ (а -|- Ъ) ~1
а —|— Ъ а —[- Ъ
Было бы ошибочно, если бы кто-либо написал, что эта дробь равна
аЬ. (а~~1 *). Такое выражение оказалось бы ранным а-\-Ъ.
В самом деле,
аЪ^а = {1 + т) = аЬ-Ъ^Г = а + Ь-
56. Выполнение действий над отрицательными степенями. Удоб¬
ство пользования отрицательными степенями связано с вопросом
о том, остаются ли или нет в силе те правила действий, которые
установлены для положительных степеней. Рассмотрим этот вопрос.
Здесь мы станем под буквами тип понимать целые и положи¬
тельные числа; тогда для обозначения целого отрицательного
числа надо писать —т или —?з. Мы зыше (в различных частях
— Ififi —
курса) получили ряд правил для умножения, деления, возведения
в степень и извлечения корня, выражаемых равенствами:
» т п
а .а
: а
,т+п. т , п — т — я
а : а
а
(теперь это равенство справед¬
ливо во всех случаях, и оговорка, что т'^-п уже не нужна);
, ¥1
(о
Т» • '
)п=а”т; |/ ит = ап (если — = целому числу). Надо рас¬
смотреть, остаются ли справедливыми эти равенства, когда один
или оба показателя отрицательны (—т или —п).
1. а-т.ая=— . ow = —= ам —ж =а-ж + я
а . а
ш — п т 4- (— п)
:а =а 1 v ’
г_ —о—=
ат.ап ап + п
! -f- (— и)
Отсюда видим, что всегда, будут ли показатели степеней поло¬
жительны или отрицательны, при умножении степеней с одинако¬
выми основаниями надо основание оставить без изменения, а по¬
казатели степеней складывать.
=—-— = о-(”* + п) -
- — : ан ;
ат
ат+п~
— а~ т — п— 0— "1 — (+
ат : а~~п~ ат : — = ат . оп = ат + п = ат~^~п>
a-m:a-n = — : — = а” = ап~т = — »)
ат ап ат
Отсюда видим, что прп делении степеней с одинаковыми основа¬
ниями всегда приходится из показателя делимого вычитать пока¬
затель делителя.
— Y — -1— о (—/»).«
I М)«
3. (а
— т\п __ / х
* т
1
.0m)-n_ _а-мт_0:
' у ФИ \П *И11.
— тп пт. (— п)
(а~ т)~ п-
{a~wY
J _ атп _ 0(— »»)(— Я)
— 167 —
Итак, в силе остается и прежнее правило для возведения
степени в новую степень: надо показателей степеней перемножить.
П 1 , П.
7 ”/ ч/ 1 ^ ^ 1 1 / т
4. у а—т— 1/ — — _— — — (предполагая, что — = целому
Г e* я« \
числу) ~а ” = а п
Итак, остается в силе и правило извлечения корня.
Другие случаи, а именно \/ ат и Л/ а~т, надо рассматри¬
вать только тогда, когда будет сделано расширение представле¬
ния о показателе корня. До сих пор предполагалось всегда, что
показатель корня есть целое положительное число. Можно ли
—1 _ —2 —з
придать смысл выражениям вроде а. |/ а и т. д.?
Ответ ясен: да, можно, так как мы уже обобщили понятие о сте¬
пени и считаем, что показатель степени может быть и отрица¬
тельным и положительным (но пока еще целым).
Если, например, написано
—3 _
то мы должны понимать эту запись, что здесь дана степень (она
равна а), дан показатель степени (—3) и надо найти основание.
Пусть:
1) \/ а=х;
тогда
или
—з
\J aj — а
Если теперь имеем
тогда
или
2) "\/ а — х
х =а
(vT=-
V ""
— 168 —
то, положив, что искомое основание степени = х, будем иметь
—п
V ат—х
откуда
х~ ” = ат или — = ат или 1 = ат . хп
т т
или хп = и, наконец, х= ^ =: о п=о ", т.-е.
о"
“■ т (конечно, здесь имеет место
\/ т — т
у а —а предположение, что - =целому).
Также пусть V a~m=zx\ тогда
х~п = а~~т или -i-=— или хп — ап‘
х" в"
т —т
откуда я = \/ ат = ап = а п , т.-е.
/ ГГ*
\ а~т—сГг (если ^ = целому).
Итак, мы видим, что и правило извлечения корня остается
всегда справедливым. Легко видеть, что остаются в силе и основные
равенства для корней, а именно У аЬ—У а У Ъ и |/ — ^
г ъ п
Б самом деле,
—В —В —п / —п —в у—п
1) \/ аЪ = "\/ а . у/ Ъ , потому что ' у/ а . у/ Ь )
1 111
* / -““В —П \В / —П \п / —П \П 4 — D \П * . —П о
tyA-V6’ w°' ч ъ> w
= (у^) .(\/б) = a.fe
- Ki9 —
2)
1 А:
\ Ъ
—П
—я
\ а
\ а
V ;ь
. потому что
—и
—п
\/ъ
\»
\
(\ ь) [\
и)
а
(v~J (утУ
57. Дробные поназатели. Теперь перейдем к выяснению воз¬
можности дальнейшего обобщения понятия о степени, к возмож¬
ности считать показателя степени дробным числом. Исходным
пунктом для этого является равенство
Г D
|/ ап — а1 (если ^ — челом j числу).
Откажемся от этой оговорки и станем применять это равенство
ко всяким целым числам п и г, независимо от того, делится -ли
или иет п на г без остатка. Тогда получим, например:
1 3 1 3 — 2 7 — 4
V а — а2 ; Уа = а 3 ; V с? = а 3 ; Ко4 = а 7 ;
5,- - 1-
Уа8=аь=а 6 и т. п.—
— получаются степени с дробными показателями; мы можем ими
пользоваться, придавая им смысл, указанный в предыдущих ра¬
венствах.
— 3/_ — 4/—
Так, а3 будем понимать в смысле У а, а4 в смысле кв3,
J ~ * -* Р Q
а = а 5 в смысле Va7 и вообще а « в смысле У ар.
Мы найдем, например, что:
J_ ±_ 5 JL з —
25 8 = 1/25=5; 32 6 = К32 = 2; 63 = У 6 — можно вычислить
1
с какою-либо степенью точности (1 < 6 3 < 2 н т. д.).
16 4 =V]6s=WlQ) [на основании равенства V ап =z(v a} J
= 23 = 8.
27~*='V'27*=(V27) =3* = 81
~ >/645=(^/64) =25 — 32 и т. п.
64
Так же точно мы можем теперь употреблять и отрицательные
дробные степени, основываясь на равенстве
—к.
Например. 9 а = = 81 4 = \ =
V9 3
9;
81т
= 1
1
V' 81"
'27'
Удобно при вычислениях пользоваться равенством, полученным
нами для отрицательных степеней:
Так
^4A)4v£)=(i)’ =4
(£)~} = 8T=(vli)' = *=t,
(ГМ)4=у1=1=4---
58. Удобство введения дробных степеней. Уже то обстоятель¬
ство, что мы теперь можем пользоваться равенством
\J
V ал — аг
без всяких оговорок, независимо от того, положительные ли или
отрицательные числа суть гг и г, делится ли я на г без остатка
или не делится, является достаточным основанием для того,
чтобы признать, что введение понятия о дробных степенях и
удобно и целесообразно.
Далее, удобство дробных степеней проявляется в том, что
мы можем иррациональные выражения писать без знака корня.
Например,
_ _ j_ j_ j_ _i
3aVzb = 3a. У 2 . Vb =3а.2 2 . Ъ2— 3.2 2 ab*
Также (без подробных указаний):
1 _L JL — -Ё
ab2 У 4С(Р = 43 at^c 3 d 3 = 2 3 а№с 3 d 3
j_ _ _i_ _i_
Уя-j-fc = (a-{-&) 2 , У a Уb =a 2 -j-6 2 и т. п.
Вот еще примеры, где соединяется использование и дробных и
отрицательных показателей:
п т/7 _ 1 г_ 1_ j_ -i_
^—=2aVb .3 3 с 3 =2.3 3 ab2 с 3
УЗс2
_ 1
^— = 0(1+^*» Г1 =о(1 УЪ2)-1
1 + Уъ
— а = a . (1 -|- Ъ) г и т. п.
У\ -f Ъ
59. Действия над дробными степенями. В п° 56 было выяснено,
что действия над отрицательными степенями должно выполнять
так же, как и действия над положительными степенями, руковод¬
ствуясь равенствами:
в — »»
ат.ап= ат + п; ат:ап = ат~п; iam)n = атн; Уат=ап.
Теперь следует выяснить, остаются ли в силе эти равенства, если
под тип понимать дробные числа, положительные или отрица¬
тельные. При исследовании этого вопроса мы будем понимать под
обозначениями р, q, г и s целые числа (или положительные или
отрицательные); тогда дробные показатели будут выражаться в
формах ^ и .
что показывает справедливость и для дробных степеней равенства,
выражающего правило умножения степеней с одинаковыми осно¬
ваниями. Нет нужды рассматривать случаи, когда один из пока¬
зателей целое число, так как целое число всегда можно предста-
5
вить в форме дроби: 5 = у и т. п.
2. Л: а'8' = VI? : =
Q8,-
ря - qr
=zY aps~qr =a 9S =aq
что показывает справедливость равенства, выражающего правило
деления степеней с одинаковыми основаниями.
/QS \г цн, J рТ
— {Vap) =V apr=avs=a
что показывает справедливость равенства (а,п)п —атп для слу¬
чая, когда тип (или одно из ннх) дробные числа.
Л л/ ч v __ р р_.
4. У а4 = У \/ <? = \/ о* = «5r =« ?
т.-е. остается в силе равенство, дающее правило для извлечения
корня из степени, для случая, когда подкоренное число является
дробною степенью.
Можно и показатель корня также считать иногда дробным. На
этом случае нет надобности долго останавливаться, достаточно
лишь заметить, что корень с дробным показателем определяется
равенством
— 173 —
(показатель подкоренного числа а был 1; разделив его на пока¬
зателя корня, получим:
60. Иррациональные показатели. Можно еще обобщить понятие
о степени и принять, что выражение ат имеет смысл даже и
тогда, когда т является числом иррациональным. Чтобы это сде¬
лать, надо хорошо изучить теорию иррациональных чисел. Здесь
придется ограничиться лишь некоторыми соображениями по по¬
воду этого вопроса, опирающимися на те сведения об иррацио¬
нальных числах, которые даны в главе II, и на те сведения тео¬
рии пределов, которые даны в и°51.
Рассмотрим сначала пример
V2 есть число иррациональное (радикальное).
Мы знаем, что V2 можно заключить между сколь угодно
близкими пределами (вычислить с любою степенью точности).
Так, мы можем получить:
1<У2_<2
1,4 <1/2 <1,5
1.41 <1/2 < 1,42
1,414 <У2 <1,415
н т. д.
Тогда явится возможным и 3^“
влами, и мы будем имрть:
заключать между двумя чи-
— 174 —
т/о
Итак, напр., мы можем считать, что 3 заключается между
З1,41* и З1’415. Разность между З1'415 и 31/Ш такова: З1-415 — З1,414=
/1000 — \ 1000—
— З^.'414 (З0’001 — 1) = 31>4U' Уз — 1/;Уз, хотя и трудно, но
1000-
можно вычислить; также можно вычислить З1’414 — V314“, после
чего можно вычислить нашу разность — это нам покажет, что
т/о~ 1(,0/°—
3 вычислено с некоторою точностью. УЗ очень близок к1:
llOOO— .
поэтому множитель У 3 — I) весьма мал и точность приближения
получится довольно большая.
Так как З1,414 < З2 (или 9), то мы можем утверждать, что наша
разность меньше 9.(30'001—1), т.-е.
31,415 _ 31 414 _ 31,414 (зо оо1 — 1) < 9 . (3°.°°i — 1).
Если мы продолжим вычисления дальше, то про новую раз-
„У2
ность полученных чисел, между которыми заключается 3 , можно
будет последовательно получать:
что она меньше 9 (3°>00°i—1),
что она меньше 9 (30000°i— 1),
что она мевыпе 9 (ооооога — j) и т д
Таким образом мы приходим к выражению
9. (3“—1),
где а есть число, которое может быть сделано сколь угодно
малым (бесконечно малое число).
Тогда
предел (3“) = 3° = 1.
Поэтому предел выражения, стоящего в скобках, т.-е. 3“ — 1
должен быть^ равен нулю, или (3° — 1) есть число бесконечно
малое. В таком случае и произведение
9. (3° — 1)
должно быть бесконечно малым числом.
— 175 —
l/n
Так как разность границ, между которыми заключается 3
меньше, чем 9.(3“—1), то мы должны заключить, что и подавно
эта разность стремится к нулю.
Если мы возьмем прямую и, приняв определенный отрезок за
линейную единицу, станем откладывать по прямой от определен¬
ной ее точки отрезки, которые соответствуют числам, между
у/о
которыми заключается 3 , то расстояние между концами каждой
пары отрезков может быть сделано сколь угодно малым, из
чего мы можем притти к убеждению (сравнить с тем, что дано в
у/о
пп 10 —12), что 3 выражает собою также определенный отре-
\^9
зок, а, следовательно, 3 " есть определенное число.
То же самое молено повторить и для выражения ат, где под m
понимается какое-либо иррациональное число; о т можно сделать
ряд суждений в форме <P2+as и т- д-
Тогда ат заключается 1) между а Л и а Л + 3i, 2) между ар* и
aPa~baa и т. д.
Разность между границами для ат будет
сначала равна aft + “i — аV\ ~ара (а 3i — 1),
затем равна + ® з— аР*=а,Р*(а**—1)
н т. д.
Так как мы все точнее и точнее вычисляем иррациональное
число т, то аг, а2, а3 и т. д. все уменьшаются и стремятся к
нулю, откуда заключим, что и разность аап—1 стремится к нулю
по мере того, как указатель п у а становится больше. Это обстоя¬
тельство приводит к убеждению, что ат может быть заключено
в сколь угодно близких друг к другу границах, что и позволит
нам считать ат определенным числом.
— m —
IX. Логарифмы.
61. Нахождение логарифма. Нам уже приходилось указывать,
что для возведения в степень имеется 2 обратных действия и
■^|одно из них, в котором но данной степени и по данному осно¬
ванию ищется показатель, называется нахождением логарифма.
Так, задача: в какую степень надо возвести число 3, чтобы
получить 729 (или: 3? = 729), может быть записана в виде
fc?s729
\J что можно прочесть так: „найти логарифм числа 729 при осно¬
вании 3“. Решить эту задачу мы можем пока лишь подбором, для
чего на место знака вопроса в записи
3? = 729
пробуем подставлять различные числа (напр., целые: О, 1, 2, 3
i 4 и т. д.). Этот подбор покажет нам, что 3е = 729, откуда мы
"Sj заключим, что искомый показатель степени есть 6. Результат
можно записать так:
1д3 729 - 6
что читается словами „логарифм числа 729 при основании 3 ра¬
вен 6".
Пусть надо найти 1дь 125 (логарифм 125 при основании 5). Не
зная еще, чему он равен, мы положим, что
1д5 125 = х.
Тогда в этом равенстве число 5 есть основание степепи, х есть
показатель степени, 125 есть степень. Мы можем ту же зависи¬
мость между этими числами выразить в виде равенства:
5я =125.
Остается попытаться: не удастся ли последовательною про¬
бою найти показателя степени х. Легко получим, что г=3 и,
следовательно,
1дь 125 = 3.
Если мы нашли, что логарифм числа а при основании h равен
числу с, т.-е., что
1дъа = с,
то это равенство можно написать без знака логарифма
Iе = а
(Ъ — основание степени, с — показатель, а — степень).
Следует твердо усвоить, что два равенства
ит = Ъ и 1даЬ — т
выражают одну и ту же зависимость между числами а, Ъ и т:
если щно одно из ннх, можно тотчас же написать другое (за¬
метим еще, что та же зависимость между числами а, Ъ и т выра-
т
жается еще равенством V Ь =а).
Выполним несколько более сложных примеров на нахождение
логарифмов, причем всегда будем считать основание и степень
положительными числами, но показатель может оказаться поло¬
жительным и отрицательным.
1. 1д48. Положим, что искомый логарифм = х; тогда 1д48 = х ^
или 4* = 8. Мы видим, что взять х — 1 мало, но х — 2—много.
Отсюда мы заключаем, что х заключается между 1 и 2. Мы за- V
мечаем также, что обе части равенства 4х = 8 можно свести к
степеням числа 2. В самом деле, 4 = 22 и, следовательно, 4х ~22х, ^
а 8 = 23. Тогда получим 23х — 28. Мы видим, что две степени с
одинаковыми основаниями равны, откуда делаем заключение, что
и показатели этих степеней должны быть равны, т.-е. 2х =
откуда х = 1 i-. Итак, lg48 = 1 -i-. Мы можем выполнить и no¬
il 1 __
верку: 4 2 =.42 — V 4Ъ = (V4 )3 = 28 = 8.
Подобным образом найдем, ч.ч
1д8127 — |-, что 1дав6 что 1д^81 = 1 i и т. п.
13
Свободно обращающиеся с дробными показателями должны виден,
справедливость этих равенств сразу, не обращаясь к способу,
которым мы нашли IgJS.
2. lg27 i. Пусть 1да7~=а: тогда >7'г =~. Так как 27 = 3*
и, следовательно, ‘27sr = 3ax, так как 9 = 32 и. следовательно, ~ ~
= 3~2, то наше равенство может быть написано в виде
3^__3 -s
9 1 9
откуда получим 3х =— 2 и .ь=— -= . Итак, 1д21-^ =
Вот поверка этого:
o7~T-(J-U_ _1 —Л
— \-27 I ~ 3 — — 9 •
(1/27)2
Также получим: lgs~ = — 1; h/i^ =— 2; h7JO0,001 =—3;
l 1 i 1
1 I И T‘ "•
Следует заметить, что те, кто свободно обращаются с отрица¬
тельными показателями, видят справедливость этих равенств сразу.
3. U7ЯС. Пусть 1д2Ь — х: тогда 2*—6.
Здесь уже нельзя свести дело к равенству степеней с одина¬
ковыми основаниями, потому что (> =2.3, а множителя 3 в левой
части равенства быть не может.
Придется прибегнуть к приему подбора.
Мы видим, что взять ж = 2 мало (22=;4)1 но взять х = 3
много (23=^8). Поэтому х заключается между 2 и 3
или 2 < .с < 3.
Это значит, что мы вычислили х с точностью до 1.
\] Примем теперь, что ж=24-~ (т.-е. 2 двум с дробью, причем
w У
мы всегда можем у втой дроби считать числитель— 1; наир.,
5 1
— 179 —
Тогда
2+ -
2 У =6
пли
I 1 1 У _ '
22.2»=6; 4.2» =6; 2» =-§ — |; i'' 2 = |; (-|)2/= 2.
2 + —
Пояснения: 1) 2 2/ можно считать получившимся от умно-
2 1
жения 22 на 2^; 2) 2» можно, зная значение дробных показа-
у у 3
телей, заменить V 2; 3) раз написано V 2 = ^, то это значит,
л t
3
что есть ( основанпе степени, у — показатель и 2 — степень,
т.-е. [~у =2.
Будем давать у — у последовательные значения 1, 2, 3, 4
и т. д., — получим:
y = i; (-f-)2^1! мало
у = 2; (-!-)* = х-^-=2±. .. . много,
откуда заключаем, что у заключается между 1 и 2, а, следова¬
тельно, х заключается между
2-|-у и 2-|--|-^ведь ж = 2-|--i-j или между 3 и 2^.
Итак, мы нашли
2^<ж<3.
Это значит, что мы вычислили X с точностью ДО -5- .
Зная, что у заключается между 1 и 2, положим:
» = 1+'Т
1+!
подставим в равенство {—^ — 2. Получим: {^) *
12*
— 180 —
Или
Станем для г брать последовательные значения 1, 2, 3, 4
и т. д.:
, /4 у 4 1 1
*=1;ш =^=11Г--- - мал0
о М \‘ 1° 1 7
г=2; I-g-| =-g-= 1-g- .... много.
Итак, г заключается между 1 и 2, т.-е.
* 1<:<2.
Поэтому у заключается между 1 -]- у и 1 -J- т.-е. между
2 и 1~, а ж заключается между 2-b-zy и 2 -|—1- ^ведь х—
1f
о I 1 \ *,1 «2
= 2-\~— j, т.-е. между 2-^- и 2-g-, или
1 2
24-<я<221.
2 11
Так как 2 2 — -g-, то мы вычислили х с точностью
ДО-g-, и можем, напр., принять, что ж = прибл. 2-i- или что
2 1
х — прибл. 2 -g-, причем ошибкх будет меньше -g-. Мы могли бы
продолжить подобные вычисления дальше, полагая z= \ “by- и
вычислить х еще точнее, но делать этого не будем, так как нам
достаточно лпшь сознания, что мы могли бы при желании про¬
должать вычисление сколь угодно далеко и вычислять х все с
большею и большею степенью точности. Этого достаточно, чтобы
признать, что существует логарифм числа 6 при основании 2 и
что он есть число иррациональное. Так же точно мы придем к
убеждению, что существуют: 1дъЪ; ?#2018; 1д107 и т. п. и что их
можно вычислять приближенно. Отсюда мы делаем общее заклю¬
чено пе, что существует логпрнфм всякого положительного числа
— 181 —
при всяком положительном основанпи, большем или меньшем
единицы (единицу взять за основание нельзя, так как 1" = 1 i ри
всяком значении для и).
« 2
4. Найти число, логарифм которого при основании 6 равен-5-.
О
Согласно условию, имеем уравнение (искомое число названо
буквою ж):
То же самое мы можем написать без знака логарифма:
_2_ 3—8
& 3 —X или ж = Уб2=Узб.
Это искомое число можно вычислить приближенно.
5. При каком основанпи логарифм числа 64 равен 1 i ?
Называя искомое основание буквою х, получим:
з
1дх64 = или х а = 64 или Уж3 = 64
или
ж3 = 642 и, наконец, ж—Уб42 = 16.
62. Некоторые особенности логарифмов. Мы уже в №50 рассма¬
тривали функцию ат (а мы считаем положительным числом). Мы
знаем, что если а>1, то при увеличении п функция а" возра.
стает (беспредельно), а если а< 1, то а" убывает. Представим
то же самое в иной форме. Пусть
ап = Ъ или lgjb—п
Тогда, если а > 1, то с увеличением п увеличивается и Ъ (и и Ъ
одновременно увеличиваются пли уменьшаются). При этом, если
положим, что п~0, то 6=1 (а°= 1). Отсюда мы приходим к
заключению, что если основание логарифмов а есть положительное
число, большее единицы, то логарифмы чисел, больших единицы,
должны быть положительны (больше нуля), а логарифмы чисел,
меньших единицы, должпы быть отрицательны (меньше нуля).
— 182 —
Наоборот, положим, что а есть число положительное, меньшее
единицы; тогда а°=1, т.-е., если 0, то Ь = 1. Если теперь п
увеличивать, то h должно уменьшаться, а если п уменьшать, то Ъ
должно увеличиваться. Поэтому мы заключаем, что если осно¬
вание логарифмов есть положительное число, меньшее единицы,
то логарифмы чисел, меньших единицы, положительны (если Л<1,
то п>0), а логарифмы чисел, больших единицы, отрицательны
(если Л>1, то
Остановимся поподробнее на первом случае, когда «>1.
Так как а°= 1, то lga. 1 = О,
(это можно выразить словами: „логарифм единицы при всяком
основании равен нулю“).
Так как а1 —а, то 1даа — \
(это можно выразить словами: „логарифм основания равен еди¬
нице*).
Так как логарифмы чисел, если а>1, увеличиваются одно¬
временно с самими числами, то, вычислив достаточно много лога¬
рифмов различных чисел при этом основании а, мы могли бы
получить следующую таблицу:
числа 1 0 1 .... о . .
их логарифмы I ■ оо О .... 1 . .
Из этой таблички мы видели бы, что логарифмы правильных
дробей (в первой строчке участок от 1 влево до О) должны быть
отрицательны.
Логарифм О, в сущности, вычислить нельзя, но можно обратить
внимание, что если число, большее единицы (например, 5), возво¬
дить в отрицательную степень, по абсолютной величине все
в большую и большую (например, 5 _1°; 5 ~20; 5 ~40 - - •то аб¬
солютная величина получаемого числа будет все меньше и меньше
/К —10 ^ К —20— 1 -ч
— ijio 1 ° — -20
Поэтому можно условно говорить, что от возведения такого
основания в бесконечно большую отрицательную степень полу¬
чится число бесконечно малое, пределом которого является нуль,
т.-е. можно считать, что 1да0 при основании а>1 равен — «.■ 1.
— 183 —
Если мы пойдем по первой строчке таблицы рт 1 вправо, то
увидим, что логарифмы (см. нижнюю строчку) этих чисел посте¬
пенно возрастают и эти логарифмы идут от 0 до 1, если числа
возрастают от 1 до а. При дальнейшем возрастании чисел лога¬
рифмы их также возрастают беспредельно.
63. Свойства логарифмов. Пусть основанием логарифмов слу¬
жит некоторое положительное число а. В дальнейшем мы будем
писать просто 1дЪ, Igc, Igd, . . . вместо lg ab, 1дас, lgad, . . -
Пусть вычислен логарифм некоторого числа Ь и пусть он ока¬
зался равен т, т.-е.
Это равенство можно написать без знака логарифма (основа¬
нием служит число а):
Из этого равенства можно получить ряд других того же вида,
возводя каждую его часть в одну и ту же степень:
и вообще оП1]> — Ър *)
где р какое-нибудь целое или дробное, положительное или отри¬
цательное число. Каждое из этих равенств мы можем написать
в новой форме, пользуясь знаком логарифма:
Эти равенства показывают, что если вычислен (хотя бы и при¬
ближенно) логарифм какого-нибудь числа, то легко вычислить
логарифм любой степени этого числа, — для этого надо вычислен¬
ный логарифм умножить на показателя степени.
Например, можно вычислить приближенно 1д10 3; найдено, что
1д10 3 = 0,47712 (с точностью до 0,00001). Зная это, легко вы¬
числить логарифмы следующих чисел: 9(32), 27(33), 81(34) . . . ,
нт Ь.
а2»1 _ 12. а3т — 12 . пш У
hj(b2) = 2т; (г/(б8) — Ът; 1д{№) 4иг . . .
и вообще lg(bP)=pm
1) (а‘п)р = атр.
— 184 —
Получим, например:
i<79 = 0,47 712.2 = 0,95424; Рз = 0,47712=0,15904;
lg -i = (— 1).0,47712 = —0,47712 и т. п.
О
Мы можем полученный общий результат
1д (Ър ) = рт
выразить иначе. Мы знаем, что lgb=m, или наоборот: т = Igb.
Заменив т через 1дЪ, получим:
bg(b*) = plgb.
Этот результат можно прочесть словами: логарифм сте¬
пени какого-нибудь числа равен показателю атой
степени, умноженному на логарифм этого числа.
Так: 1д(х2) — ‘Ядх, 1д(сЩ = 3lgd, IgVb = -i- Igb (ибо УЪ =
= Ь-т); 1д Рс IffC (ибо Ус =сТ) и т. д.
Пусть теперь вычислены логарифмы двух чисел, Ь и с, т.-е.
\i Igb = т; Igc=п.
Напишем каждое из этих равенств без знака логарифма:
4 ат = Ъ ; ап = с
Пз этих двух равенств мы можем получить еще 2 новых
\J равенства того же вида, умножая по частям эти равенства и раз-
J делив по частям одно на другое. Так как 1) ат. ап = а”*+п и
2) ат: ап —ат~п (независимо от тою, какое из чисел тин.
больше), то будем иметь:
ат + п = Ъс;ат-п — —.
с
Эти равенства вновь напишем при помощи внака логарифма:
1д(Ьс) = т -|- п; 1д-~ = т — п.
— 185 -
Эти равенства показывают, что, зная логарифмы двух чисел,
мы легко можем вычислить логарифм их произведения и их
частного.
Например, вычислено, что
Zgr3 = 0,47712, 1/75 = 0,69897 (при основании 10).
Тогда легко найдем:
1д15 = 0,47712 -f 0,69897 = 1,17609
Ig^r = 0,47712 — 0,69897 = - 0,22185
t)
tyf-= 0,69897— 0,47712 = 0,22185. ,
Соединяя эти знания со знанием, как вычислять логарифм
степени какого-нибудь числа, мы нолучим, например, еще:
1^375 = 1^(3.125) = 1д(Ъ.53)~ 0,47712 -f 3.0,69897 = 0,47712-|-
+ 2,09691 = 2,5740'3
= 0,69897 — 3.0,47712 = 0,69897 — 1,43136 =
=— 0,73239.
Можно еще найти 1д2, так как 2 = ^, а логарифм числа 1®
при основании 10 равен единице:
1д2 = lg™ = 1 — 0,69897 = 0,30103.
Два подученных нами равенства
1д(Ъс) = т-\-п; 1д ^ ) = »г— п
можно написать в ипой форме, заменяя тип через 1дЪ и 1дв:
lg(bc) = Igb -j- lgc ; Ig^- = lgb — lgc
Эти равенства прочтем словами: 1) логарифм произве¬
дения равен сумме логарифмов множителей; 2) ло¬
гарифм частного равен разности логарифмов
делимого и делителя (или: логарифм дроби равен
логарифму числитедя минус логарифм знаме¬
нателя).
— 186 —
Конечно, первое из этих равенств легко распространить и на
случаи многих множителей:
lg(hcde)~lgb-1- lg(cde) — Igh lgc -f- lg(de) = Igb -j- lgc -f- Igd 4- Ige-
64. Логарифмирование. Только что полученные свойства лога¬
рифмов дают возможность заменять логарифм какого-либо выра¬
жения, в котором входят действия умножение, деление, возве¬
дение в степень и извлечен е корня через логарифмы отдельных
чисел, входящих в это выражение. Так
\j 1д(49а2Ъ) = 1д49 + Щ"'2) + ЦЬ =
(мы пользуемся здесь свойством, что логарифм произведения
равен сумме логарифмов множителей)
= + 21да -j- Igb
(мы пользуемся здесь свойством, что логарифм степени какого-
нибудь числа равен показателю этой степени, умвоженноыу на
логарифм этого числа: 1д4<) — 1д{72) = 21д7 и 1д(а3') — 21да).
aVb я —
l9 tfyj- — h/(a УЪ ) — 1д{с'П <1 ) =
(пользуемся здесь свойством, что логарифм дроби равен лога¬
рифму числителя минус логарифм знаменателя)
= 1д« + — \ы&) + igVd\=
[здесь мы 1) заменили 1д{аУъ) суммою логарифмов множите¬
лей, 2) заменили lg(csVd ) также суммою логарифмов множителей,
причем следует обратить внимание, что знак — относится ко всему
Ы&У л)]
= lga + ~ Igb — (21цс-\- | h,d) =
3/~~ ] з.—
[здесь мы 1) 1дУ Ъ заменили через -g- Igb, ибо УЬ = Ь 3,2) 1д(с-)
заменили через 2lgc и 3) lg Vd заменили через -jp Igd]
= h>a + jf Igb — 2lyc — -j Igtl
(здесь мы раскрыли скобки).
— 187 —
Итак, з
+ Iffh — 'Ilf/С — у Igd.
Следует заметить, что из этого примера видно, что логарифмы
тех множителей, которые имеются в числителе, входят в оконча¬
тельный результат со знаком а логарифмы тех множителей,
которые написаны в знаменателе, входят в окончательный резуль¬
тат со знаком—.
Так как все то, что имело место в предыдущем примере,
легко выполнить в уме, то желательно писать окончательный
результат в подобных примерах сразу. Например,
ig —3 bjf< — ]Ф> — з Ьр
(-1* 4 Н
(Так как квадратный корень извлекается из всего выражения, то
множитель должен умножаться на логарифм подкоренного
числа; так как числитель подкоренного числа есть 1, то его ло¬
гарифм равен нулю, который! не пишется, а логарифмы множи¬
телей I м Vс знаменателя надо взять со знаком минус).
То преобразование, которое имеет место в предыдущих при¬
мерах и которое состоит в том, что логарифм какого-нибудь
выражения заменяется логарифмами отдельных чисел, входящих
в выражение, называется логарифмированием.
Если в выражение входят действия сложение и вычитание, то
надо иметь в виду, что мы не можем заменять логарифм суммы
и логарифм разности через логарифмы слагаемых или уменьшае¬
мого и вычитаемого, т.-е. мы не можем как-либо заменить
lg(a -j- b) и 1д(а — Ъ).
Рассмотрим еще несколько примеров, где входят суммы и
разности:
1) lgVa-\-b =lg(u -f- Ъ) . . . дальнейшее преобразование
этого невозможно.
— 188 —
2) lg -1— —lg{a2 — 1) — Ь(Уа 4 Vb )
Vu 4 Vb
Так как a8— 1 = (a -(- 1) (a — 1), to lg(a2 — 1) = lg f(o 4- 1)
(a — 1)] = lg(a-\- l)-f- lg(fl—1): что касается lg(Va -J- Vb ), to
как-либо упростить этот логарифм мы не можем. Итак,
1д 1 =lg(a-\-l)-\-lg{a — l) — lg(Va -f Vb )
Va -\-Vb
e) lff ч° ^ ^ = Щ (a 4 *0 — 4 lg(a — Ь) и т. H.
Va^b~
65. Потенцирование. Можно выполнять обратное преобразо¬
вание: если логарифм какого-нибудь числа х выражен через
логарифмы других чисел а, Ъ, с, . . . , то можно самое число х
выразить через а, Ь, с, . . . Например,
1дх = 31д2~\~ 21дЗ
31д2 можно заменить через /#23 ил : IgS, а 21дЗ через 1дЗя или
1д§, и тогда
1дх — 1д{23) 1д{3й) = 1д8 1ф
Так как сумма логарифмов встречается тогда, когда берется
логарифм произведения, то 1д8-\-1д9 можно заменить через
Zp(8.9) или через 1д72.
Итак,
1дх = 1д8 1д9 = 1д72.
Отсюда заключаем, что х= 72.
Еще примеры:
1) lgx—3lga ^ Igb 1да
Тогда
Igx = lg(a?) — (lg Vb -\-lgVc ) = 1д(а*) — lg {Vb~Vc~ ) =
I °3
= lg
* з __
Vb Vc
— 189 —
Отсюда
а®
X —
з
Vb Yc
2) Igx = 2(lga Igb—3Igc)
Тогда
Igx = 2[Iga -f- IgPb — ^(c8)] = 2[lg(a Vb ) — lg{c*)] =
„ 7 aVb , ( «Vfe \2
= 2.lg—— =lg\ — )
* сз J\c*
Отсюда
■r = ( J
С
Рассмотрим примеры более сложные:
1) Iffюх —— 2 Z<7107 3/^1011
Здесь первый член правой части, 2, не имеет знака логарифма.
Так как указано, что в нашем равенстве все логарифмы берутся,
принимая за основание число 10, то этот член 2 можно заменить
при помощи знака логарифма, а именно мы знаем, что Z^10100 = 2.
Поэтому
1д1йх~ 1д10100 — lgw7 — 3Z#l0ll = Z^lOO — (Igl -f Zpl331) ==
— 1д\00—1фЪ\1 — 1д 100
откуда x—
9317
100
9317
2) Ig ax=2lg аЪ—Ыдас—1
Заменим 1 через Iga (мы знаем, что логарифм числа а при
оснонании а равен 1). Тогда получим (основание а уже не
пишем)
Ы
Igx —2lgb — Ыдс — Iga = Igb3 — (Igc3 -f- lga)= Ig
откуда x=—^
сз. a
b*
— 190 —
66. Десятичные логарифмы. Из предыдущего видно, что если бы
мы знали логарифмы всевозможных чисел при каком-либо осно¬
вании, то можно было бы значительно упростить вычисления. Так,
если бы нам надо вычислит], было 56,75s. 0,507:5, то мы нашли бы
логарифм 56,75. умножили бы его на 3 (что легко), нашлн бы
логарифм 0,5078 и приложили бы его к предыдущем}. Затем
нашли бы, какому числу соответствует полученный последний
логарифм, и вычисление было бы выполнено. Поэтому полезно
иметь для практических вычислений таблицы, в которых мы
могли бы быстро найти логарифм всякого числа и обратно: по
логарифму найти соответствующее число. Такие таблиц],] суще¬
ствуют, причем для практических целей удобно принять за осно¬
вание логарифмов число 10, служащее основанием нашей деся¬
тичной системы счисления. Эти логарифмы носят название деся¬
тичные или обыкновенные логарифмы. Мы знаем, что
/<^10 = 1 (при основании 10), /цШ) - 2 (ибо 100 = 102), 1д 100 = 3
и т. д. Но если мы станем вычислять логарифмы промежуточных
чисел, то, вообще говоря, постоянно будет иметь место случай,
что эти логарифмы удастся вычислить лише, приближенно. Мы
будем в дальнейшем рассматривать таблицы, где логарифмы вы¬
числены с точностью до половины 0,00001, т.-е. с точностью до
пятого десятичного знака. Например, 1д2 = 0,30103; /г/30=1,47712;
/<7251 = 2,39967 и т. д. Принято называть целую часть лога-
^рифма характеристикою, а дробную часть — мантиссою.
Так, характеристика логарифма 251 есть 2, а мантисса лога¬
рифма 251 есть 39967 (ее читают или: тридцать девять, девять¬
сот шестьдесят семь, или: три, девять, девять, шесть, семь).
Характеристика логарифма 30 есть 1, а мантисса — 47712. Харак¬
теристика логарифма 2 есть 0, а мантисса 30103. Мы знаем,
что 1д 100 = 2. Но мы можем для однообразия писать 1д 100 =
= 2,00000. Тогда характеристика этого логарифма есть 2, а ман¬
тисса есть 00000.
67. Нахождение характеристики логарифмов. Составим неболь¬
шую таблицу десятичных логарифмов: мы знаем, что 1д 1=0,
10.10 = 1, 1д 100 = 2, 1д 1000 = 3. . . (д 0,1 = — 1 (так как
0,1=^=10-1), 1д 0,01= — 2 (так как 0,01 =^ = ЮО"2),
— 191 —
lg 0,001 = — 3 (так как 0,001 =-j^ = 10~3) . . . Запишем все
это в виде таблицы, причем условимся для удобства писать I
вместо — 1, 2 вместо — 2 и т. д. (знак минус будем ставить не
перед числом, а над ним):
Числа . -
3 нуля 2 нуля 1 нуль одно- дву- трех-
впер. впер. впер. зн. ч. вн.х. зн. т.
... 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000:
Их лога¬
рифмы .
3 ._2 ....^1 .....О 1 2 3
хар. = 3. zap. = 2. хар. = 1. хар.=0. хар. = 1. хар. = 2.
Рассмотрим сначала правую часть этой таблицы, начиная
с числа 1. Если возьмем числовой интервал, напивающийся с еди¬
ницы и идущий д о 10, то в этом интервале заключаются: 1) целые
однозначные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и 2) однозначные
числа с дробями, например, 1,0073; 2,4; 7,103 и т. п. Во всяком
случае, целая часть каждого из этих чисел представляет собою
однозначное число. Мы видим далее, что логарифмы чисел этого
интервала начинаются с нуля и идут до единицы.
Таким образом логарифм любого из этих чисел может быть
представлен в виде:
0 ,
где на месте пяти т^очек следует вообразить какие-либо цифры,
выражающие соответствующие дробные разряды мантиссы. Напри¬
мер, оказывается, что
1д 2,6 = 0,41497, 1д 8,015 = 0,90890 и т. п.
Отсюда мы заключаем, что характеристика логарифмов чисел,
в целой части которых одна цифра, равна нулю.
Рассмотри*! далее интервал чисел, начинающийся с 10 и иду¬
щий до 100. Здесь заключаются: 1) все двузначные целые числа
10, 11, 12. ... 99 и 2) двузначные целые числа с дробями 10,01;
27,6; 99,999 и т. п. У всех этих чисел в целой части имеется
двузначное число. Их логарифмы идут, начиная с 1, и доходят
до 2. Каждый из этих логарифмов выразится в форме
1 ,
где пятью точками обозначена мантисса.
Мы видим, что характеристика этих логарифмов = 1. Итак,
если в целой части числа 2 цифры, то характеристика лога¬
рифма этого числа =1.
Также найдем, что в интервале, начинающемся со 100 и до¬
ходящем до 1000, помещаются числа, в целой части которых
имеется трехзначное число; их логарифмы начинаются с 2 и до¬
ходят до 3 и имеют форму
откуда заключаем: если в целой части числа 3 цифры, то харак¬
теристика логарифма = 2.
Ясно, что можно итти далее. Вот общая сводка предыдущего:
если в целой части числа 1 цифра, то характер, логарифма = О
- „ ., . „2 цифры, „ „ „ — 1
3 — 9
» * Т! В 55 ° 55 »> » ft ' **
А Ц
Ч » И * И т 1» » Я 1* и
к —4
?J » « я ** Ч п 99 п **
Отсюда ясно общее заключение: характеристика лога¬
рифма (десятичного) целого числа или целого
с дробью на единицу меньше числа цифр в целой
части этого числа.
Это заключение позволяет быстро находить характеристику
югарифма целого числа или целого с дробью.
Рассмотрим затем левую часть таблицы. Возьмем сначала
интервал, начинающийся с 0,1 и доходящий до 1. В этом интер¬
вале помещаются числа 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8: 0,9.
Затем в нем же помещается бесконечное множество промежуточ¬
ных чилел, вроде 0,107, 0,21, 0,2095, 0,7631 и т. н. Но числа,
вроде 0,095, 0,0704 и т. п., отнюдь не входят в этот интервал,
так как каждое из них меньше 0,1. Можно подметить одну осо¬
бенность всех чисел, входящих в рассматриваемый интервал:
у всех у них впереди один нуль (а именно: нуль целых). Лога¬
рифмы этих чисел начинаются с 1 и, постепенно увеличиваясь,
доходят до 0, т.-е. логарифм какого-либо из этих чисел полу¬
чится, если к 1 прибавить какую-то положительную дробь (поло-
— 193 —
житель ну ю мантиссу) н этот логарифм должно было бы записать
например, так 1д 0,2=1 -(-0,30103. Вместо этого пишут (здего
становится ясным, почему удобно у характеристики писать
знак — над числом): 1,30103. Эту запись так и понимают: наш
логарифм имеет отрицательную характеристику 1 и положитель¬
ную мантиссу. Вообще, для какого-либо числа в рассматриваемом
интервале логарифм его выразится в форме
X
где пятью точками обозначена положительная мантисса.
Итак, характеристика логарифма числа, выраженного правиль¬
ною десятичною дробью, у которой имеется впереди один нуль
(нуль целых), равна 1.
Рассмотрим теперь интервал, начинающийся с 0,01 и доходя¬
щий до 0,1. Сюда входят числа вроде 0,01; 0,01006; 0,011;
0,0123; 0,02; 0,021; 0,02085 0,09; 0,0927;
0,0999917 и т. п. Их особенность та, что они обозначены десятич¬
ными дробями, имеющими впереди 2 нуля (в том числе и нуль
целых). Логарифмы этих чисел начинаются с 2 и, увеличиваясь,
доходят до 1. Эти логарифмы можно представить в форме
X
где точками обозначена положительная мантисса. Итак, если число
выражено десятичною дробью, имеющей два нуля впереди, то
характеристика логарифма этого числа =2, причем мантисса
положительна.
Также, рассматривая следующий интервал, найдем, что харак¬
теристика логарифмов правильных десятичных дробей, имеющих
впереди 3 нуля (один из них „нуль целых"), равна 3 и т. д.
Если у прав. дес. дроби впереди 1 нуль, то харак. логар. = 1
И К Я Я 2 Нуля Я » » — 2
13
— 194 —
Отсюда вытекает общее заключение: характеристика,
логарифма правильной десятичной дроби равна
стольким отрицательным единицам, сколько у этой
десятичной дроби впереди нулей (из них одни есть
„нуль целых*), причем мантисса этого логарифма положительна.
Это заключение дает возможность находить характеристику
логарифма и для правильных десятичных дробей — теперь мы
сумеем всегда сами определить характеристику логарифма.
68. Особенности характеристики и мантиссы. Пусть найден лога¬
рифм какого-либо числа а и пусть характеристика его — к и ман¬
тисса = т, так что можно написать
1да = к-\- т,
причем к есть целое, положительное или отрицательное число,
а т. есть положительное число, меньшее единицы.
Возьмем затем новое число, а именно а. 10” (т.-е. умножим
данное число а на какую-нибудь степень чпсла 10); будем при
этом считать, что показатель степени п есть число целое. Най¬
дем логарифм этого числа. Логарифмируя, получим:
1д (а.10п) = 1да-\-п1д 10.
Но 1д 10 при основании 10 равен единице, a Iga=к -(- т.
Тогда .
\) lg (а . \Qn) = k-]-m-\-n = (k-\-n)-\-m
Здесь числа кип соединепы в одну группу, так как это —
числа целые. Отсюда мы видим, что мантисса 1д (а. 10”) остается
такою же, как и 1да, но характеристика изменилась: к прежней
характеристике к прибавился показатель степени числа 10.
Итак, если число умножить нацелую степень 10-и,
то мантисса его логарифма не изменится, а к ха¬
рактеристике прибавится показатель степени
числа 10.
а
Рассмотрим еще Логарифмируя, получим:
I
lg Ца — nty Ю = Л —(— т — п = (к — п) -(- т.
— 195 —
Отсюда мы также выводим заключение:
если разделить число на целую степень 10-и, то
мантисса его логарифма не изменится, а из харак¬
теристики вы чтется показатель степени числа 10.
Эти особенности характеристики и мантиссы дают возмож¬
ность, зная логарифм какого-либо числа, быстро получить лога¬
рифмы многих других чисел, получаемых из первого умножением
или делением на 10, 100, 1000 и т. д.
Например, 1д25~ 1,39794.
Поэтому 1д250 = 2,39794 (число 25 умножить на 10, от чего
характеристика увеличится на 1).
Также 1д 250000 = 5,39794 (число 25 умножить на 10000 или
на 104, от чего характер, увеличилась на 4).
Также 1д 2,5 = 0,39794 (число 25 разделено на 10, от чего
следует из характеристики вычесть 1).
Также 1д 0,0025 = 3,39794 (число 25 разделено на 10000 нли
на 104, благодаря чему из характеристики должно вычесть
4:1 — 4 = — 3 = 3).
69. Устройство логарифмических таблиц и нахождение по ним
мантиссы логарифмов. Мы здесь остановимся лишь на самом упо¬
требительном порядке расположения .таблиц. Остановимся на
пятизначных таблицах Е. Пржевальского (изд. 1914 г.), которые
наиболее распространены.
Первая страница (занумерованная числом 29) этих таблиц дает
мантиссы логарифмов однозначных и двузначных чисел. Она сла¬
гается из пяти пар столбцов, причем один из этих столбцов озаглавлен
буквою N, а другой — слогом Log\ в первом напечатаны числн, а
во втором—мантиссы их логарифмов. Вот начало первого столбца:
и
Log.
N
Log.
0
—
7
84 510
1
00 ООО
8
90 309
2
30 103
9
95 424
3
47 712
10
00 ООО
4
60 206
11
04 139
5
69 897
12
07 918
6
77 815
13'
— 196 —
Каждая мантисса, для удобства ее чтения, разбита на 2 группы,
жапример, для числа 7: первая группа 84 и вторая 510.
Из этих таблиц мы можем находить логарифмы однозначных
и двузначных целых чисел, а также и тех, которые получаются
от умножения или деления этих целых чисел на 10, на 100
■ Т. д.
Например, из данного здесь кусочка таблицы мы можем
найти:
1д 7=0,84510 (характеристику нуль мы пишем сами, потому
что знаем, что характеристика логарифма целого числа на еди¬
ницу меньше числа цифр в целой части этого числа, а мантиссу
берем из таблиц).
1д 11 = 1,04139 (в целой части числа 2 цифры, следов.,
характеристика = 1).
1д 0,06 = 2,77815 (у правильной десятичной дроби 0,06 впе¬
реди два нуля, — следов., характеристика=2, а мантисса у
этого логарифма должна быть такая же, как и у числа 6, потому
что от умножения или деления числа на целую степень числа 10
мантисса не изменяется).
1д 1,2 = 0,07918 (в целой части одна цифра; поэтому харак¬
теристика = нулю; мантисса должна быть такою же, как и у
1д 12).
1д 0,11 =1,04139 (впереди один нуль; поэтому характери¬
стика равна 1; мантисса такая же, как и у 1д 11).
Из последних трех примеров видим, что мантиссу приходится
искать так, как будто бы у данного числа не было запятой (не
обращая внимания па запятую). Этим замечанием мы будем
часто пользоваться для дальнейшего.
Для нахождения логарифмов целых трехзначных чисел (или
чисел, получающихся из них умножением или делением
на 10, 100 ) служат первые два столбца следующих
30 страниц (занумерованы 30, 81, .... 59).
Первая из этих страниц дана на стран. 228.
Пока остановимся лишь на двух столбцах: 1-й озаглавлен
буквою N, и в нем даются числа, а второй озаглавлен цифрою О,
— 197 —
и в нем даны мантиссы соответствующих логарифмов *). Поль¬
зуясь этими столбцами, найдем, напр.:
1д 108 = 2,03342 (характеристика = 2, потому что в целом
числе 3 цифры, а мантиссу берем из столбца 0). 1д 1,28 = 0,10721
(в целой части числа 1 цифра, следов., характер. = 0, а мантиссу
берем из столбца 0). 1д 0,0112 = 2,04922 (впереди 2 нуля, сле¬
довательно, характеристика равна 2, а мантиссу беремдля числа 112,
как будто бы запятой не было).
Пользуясь всеми 30-ю страницами, мы можем находить здесь
логарифмы всех трехзначных чисел от 10 до 999.
Перейдем теперь к вопросу о нахождении логарифмов по та¬
блицам для четырехзначных чисел.
Мы знаем (см. таблицу), что 1д 106 = 2,02531. Умножим
число 106 на 10, для чего справа припишем нуль. Мы знаем,
что от этого характеристика логарифма увеличится на 1, а ман¬
тисса не изменится. Итак, 1д 1060 = 3,02531. Заглавие столбца,
в котором мы взяли мантиссу 02531, а именно „0“, как раз
и говорит, что если к числу 106 справа приписать нуль, то ман¬
тиссу нужно взять ту же — 02531. Если мы к числу 106 справа
припишем не нуль, а 1, то мантисса уже изменится, и она дана
в следующем столбце, озаглавленном цифрою 1, так что из та¬
блицы найдем, что 1д 1061 = 3,02572. Заметим, что в столбце,
озаглавленном цифрою 1, напечатаны лишь три последние цифры
мантиссы, а первые две, а именно .02“, надо оставить прежние.
Также для числа 1062, полученного приписыванием цифры 2
справа к числу 106, найдем мантиссу логарифма в столбце, оза¬
главленном цифрою 2, причем здесь опять даны лишь последние
3 цифры, а первые две остаются прежние: 1д 1062 = 3,02612.
Ясно теперь значение следующих столбцов, озаглавленных циф¬
рами 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Напр., при помощи столбца „9“ мы
найдем 1д 1069 = 3,02898.
Мы видим, что логарифмы чисел 1061, 1062, 1063 по¬
степенно увеличиваются. Иногда это увеличение может отразиться
•) Для сокращения печатания первые две цифры мантиссы не пе¬
чатаются, если они такие же, как у предыдущего логарифма. Так, пре¬
тив 116 напечатано 446, а надо пояимать 06446, против 117 дано 819,
а надо понимать 06819.
— 198 —
и на первых двух цифрах маптиссы. Этот случай отмечается
звездочкою, поставленною в некоторых местах таблиц перед
тремя последними цифрами мантиссы. Так, мы видим, что 1д 1070 =
= 3,02938,1д 1071 = 3,02979, ио уже/<? 1072 = 3,03019. Звездочка,
доставленная в столбце „2“ перед 019 (там именно напеча¬
тано: * 019), указывает, что первые две цифры мантиссы теперь
уже надо взять не 02, а 03.
Из вышеобъясненного устройства таблиц вытекает следующий
прием отыскания логарифмов 4-значных чисел. Надо в столбце N
найти первые три цифры числа, затем надо итти по строчке, со¬
ответствующей найденным трем цифрам, до того столбца, кото¬
рый озаглавлен тою же цифрою, какова 4-я цифра данного числа.
Тогда в этом именно столбце мы найдем последние три цифры
мантиссы, а первые две найдем в столбце „0“ или на самой этой
строчке или выше ее (если перед последними тремя цифрами не
напечатано звездочки), или ниже ее (если перед последними тремя
цифрами имеется звездочка).
Так, найдем 1д 1245 = 3,09517; 1д 1307 = 3,11628; 1д 1208 =
= 3,08207 (перед 207 имеется звездочка).
Если данное число есть десятичная дробь, то положение за¬
пятой влияет лцшь на характеристику, а мантиссу надо искать,
как будто бы запятой не было. Например, 1д 11,56 = 1,06296;
1д 0,1234=1,09132; 1д 0,01071 = 2,02971.
Несколько сложнее отыскание логарифмов пятизначных чисел.
Отыщем сначала логарифм числа 1031,7. Мы умеем найти 1д 1031
и 1д 1032, а именно 1д 1031 = 3,01326 и 1д 1032 = 3,01368- Иско¬
мый логарифм, 1д 1031,7, должен заключаться между этими двумя
найденными логарифмами Рассматривая данную таблицу, мы ви¬
дим, что изменения логарифмов близки к пропорциональности
изменениям числа, если ограничиться небольшим интервалом чисел.
Так 1д 1031 =3,01326, а 1д 1032 = 3,01368, откуда видно, что
с увеличением числа на 1 наш логарифм увеличится на 42 сто¬
тысячных. Увеличим еще число на 1, т.-е. возьмем число 1033,
мы видим, что мантисса его логарифма есть 0,01410, т.-е. она
еще увеличилась на 42 стотысячных. Так же идет и дальше,
и только при переходе от числа 1039 к 1040 мы увидим нару¬
шение этой пропорциональности (а именно: здесь мантисса увели¬
— 199 —
чивается лишь на 41 стотысячную). Тем более мы вправе при¬
нять, что такая пропорциональность имеет место при изменении
числа меньше, чем на 1. В нашем примере мы видим: 1) при
увеличении числа 1031 на 1 мантисса логарифма увеличивается
на 42 стотысячных — это число 42 называется табличною
разностью в этом месте таблиц; 2) нам надо от числа 1031
перейти к числу 1031,7, т.-е. увеличить число 1031 на 0,7.
Возникает вопрос: как от этого изменится мантисса? Так как мы
вправе здесь принять, что изменение логарифма пропорционально
изменению числа, то рассуждаем так:
если число увел, на 1, то мантисса увел, на 42 стотысячных
* » „я 0,1 „ ,, „ я 4,2 и
(в 10 раз меньше)
0 7" 1)9 4
*> Т» » * v,l я „ г, -«7,**
(в 7 раз больше).
Так как следующие десятичные доли после стотысячных в наших
таблицах не вычислены, то мы должны полученное число 29,4
округлить до стотысячных. Так как 0,4 меньше -i, то мы по¬
просту должны эти 4 десятых отбросить и взять ровно 29 сто¬
тысячных. Если бы у нас получилось 29,7, то ближе было бы
взять 30 стотысячных. Наступает некоторая неопределенность,
как лучше взять, если получится 29,5. Приходится в каждом
данном случае пользоваться побочными соображениями.
Итак, мы получили, что при переходе от числа 1031
к числу 1031,7 мантисса логарифма должна увеличиться на 29 сто¬
тысячных. Так как 1д 1031 = 3,01326, то 1д 1031,7 = 3,01355
(прибавляем 29 стотысячных).
Чтобы не делать самому подобных рассчетов, справа дан
столбец, озаглавленный буквами Р. Р. (это значит: Partes рго-
portionales — пропорциональные части). Здесь имеется ряд малень¬
ких столбиков и каждый из них озаглавлен соответствующей
табличной разностью. В маленьком столбике, озаглавленном
числом 42, найдем против цифры 7 (7 десятых) полученную нами
поправку мантиссы 29,4.
— 200 —
Изложенный способ нахождения логарифмов промежуточных
чисел, когда известны логарифмы двух чисел, называется интер¬
полированием.
Мы нашли, что 1д 1031,7 = 3,01355. Но мы знаем, что от
умножения или деления числа на 10, 100, 1000 и т. д. мантисса
логарифма этого числа не меняется. Следов., 1д 1,0317=0,01355;
1д 0,10317 =Т,01355; 1д 103,17=2,01355; 1д 10317 = 4,01355
и т. п.
Останавливаясь на последнем случае, на числе 10317, мы
можем так истолковать способ отыскивания в таблицах мантиссы
логарифма: 1) мы в таблицах непосредственно находим мантиссу
логарифма для числа, выражаемого первыми четырьмя цифрами
данного числа (в нашем примере для 1031); 2) находим таблич¬
ную разность — в нашем примере она = 42; 3) н столбце Р. Р.
в столбике, озаглавленном ,42“, мы находим поправку ман¬
тиссы для пятой цифры нашего числа (пятая цифра нашего
числа 7 и для нее поправка = 29,4).
Рассмотрим еще пример. Пусть надо найти 1д 12,894. Харак¬
теристика этого логарифма = 1. Ищем сначала мантиссу для
четырех цифр числа (не обращая внимания на запятую), т.-е.
для 1259. Находим 11025 (звездочка перед 025 показывает, что
первые две цифры надо взять не 10, а 11). Находим затем та¬
бличную разность для этого места таблиц; она равна 34 (следу¬
ющая мантисса, для числа 1290, равна 11059). В столбнке „34*
ищем поправку на пятую цифру нашего числа, т.-е. на 4; эта
поправка = 13,6. Округляя эту поправку, мы должны взять
14 стотысячных и прибавить их к найденной мантиссе, т.-е-
к 11025 (точнее: к 0,11025" надо прибавить 0,00014). Получим
11039. Итак, 1д 12,894= 1,11039.
Рассмотрим еще 2 примера с шестизначными числами.
Пусть надо найти \д 120468. Характеристика = 5. Ищем ман¬
тиссу сначала для четырехзначного числа 1204. Она = 0,08063.
Табличная разность здесь=36. Ищем поправку на 5-ую цифру
числа 6, эга поправка = 21,6. Далее в том же столбике .36“ мы
находим поправку на 5-ую цифру числа 8 — она = 28,8. Но у нас
цифра 8 имеется в числе на 6-м месте, а это место всегда, есть ли
в числе запятая или нет и где бы эта запятая ни стояла, выра¬
— 201 —
жает разряд в 10 раз меньший, чем разряд 5-го места. Поэтому
и поправка мантиссы на ту цифру числа, которое стоит на 6-ом
месте, должна быть в 10 раз меньше, чем на такую же цифру
5-го места. На цифру 8, если бы она стояла на 5-м месте, была бы
поправка 28,8: следов., на ту же цифру 8, стоящую на 6-м месте,
поправка должна быть в 10 раз меньше, т.-е. 2,88. Итак, мы
имеем 2 поправки, которые надо прибавить к найденной мантиссе
08063: 1) на 5-ую цифру 6 надо прибавить 21,6 и 2) на 6-ую
цифру 8 надо прибавить 2,88. Итого надо прибавить 21,6—|—2,88 =
= 24,48. Так как 48 сотых меньше -g- , то их отбрасываем и при¬
бавляем к мантиссе 24 стотысячных: 0,08063 0,00024=0,08087.
Итак, 1д 120468=5,08087.
Другой пример мы возьмем так, что он относится к одной из
последних страниц таблиц логарифмов. Пусть надо отыскать
1д 68,2754. Характеристика = 1. Отыскание мантиссы ясно и*
следующего:
Для числа 6827 мантисса 83423
Табличная разность = 6
Поправка на 5-ую цифру 5 3
Поправка на 6-ую цифру 4 0,24
Общая поправка 3,24
Или просто 3
Итак, 1д 68,2754=1,83426.
Из этого примера видим, что здесь влияние 6-ой цифры ока¬
залось настолько ничтожным, что результат получился бы тот же,
если бы мы эту шестую цифру вовсе отбросили. Обычно прихо¬
дится поступать так: если мы видим, что влияние 6-ой цифры
числа слишком мало, потому ли, что табличная разность в рас¬
сматриваемом месте таблиц мала или потому, что эта 6-ая цифра
сама мала, мы вовсе на нее поправки не берем; если же мы ви¬
дим, что влияние 6-ой цифры должно быть значительно, то сле¬
дует взять поправку и на нее.
Если бы мы взяли число с 7-ю цифрами, то ясно, что влия¬
ние 7-ой цифры должно быть еще в 10 раз меньше. Поэтому еле-
— 202 —
дует вовсе не обращать внимания на 7-ую и дальнейшие цифры.
Существуют таблицы семизначных (и даже с большим числом
знаков) логарифмов. Там влияние 7-ой, 8-ой цифры значительны
и их надо принимать во внимание.
70. Обратная задача: отыскание числа, соответствующего дан-
дому логарифму. Для решения этой задачи надо пользоваться
таблицами, начиная лишь со 2-ой их страницы (занумерованной
числом 30).
Пусть дано 1д х=2,07737; требуется найти число х. Для этой
цели мы должны постараться в наших таблицах отыскать данную
мантиссу 07737. Сначала ищем в левой части столбца „0“ пер¬
вые две цифры данной мантиссы 07. Эти цифры имеются на той
странице таблиц, которая приведена у нас на стран. 228. Идем по
строчке, где нашли цифры 07, а также по следующим, до тех пор,
пока не найдем остальные цифры мантиссы (или пока не убе¬
димся, что такой мантиссы в наших таблицах нет — об этом слу¬
чае после). Цифры 737 находятся в нашем примере в столбце „5“
в строчке, соответствующей числу 119. Отсюда мы заключаем,
что мантисса 07737 соответствует числу, первые три цифры ко¬
торого 119 и четвертая 5, т.-е. числу 1195. Так как характери¬
стика логарифма = 2, то это показывает, что в целой части числа
3 цифры, т.-е. х =119,5.
Еще пример:
Igx = 2",09202.
Мы находим данную мантиссу на той же странице, но при¬
дется последние три цифры 202 искать в строчке, расположенной
выше той, где напечатаны цифры 09, и мы действительно видим,
что там в столбце „6“ напечатано *202. Эта звездочка, как знаем,
показывает, что здесь предполагаются первые две цифры 09.
Найденная мантисса находится в строчке против числа 123 и
в столбце „6“. Поэтому искомое число есть 1236. Так как харак¬
теристика Igx есть 2, то это значит, что у числа впереди 2 нуля,
один из которых есть „нуль целых", т.-е. х — 0,01236.
Рассмотрим теперь примеры, когда данной мантиссы в табли¬
цах нет.
1. Igx— 3,06204; х = ?
— ‘203 —
В таблицах (см. ту страницу таблпц, которая дана у нас на
•гран. 228) мы найдем две мантиссы 06183 и 06221, между кото¬
рыми заключается данная нам мантисса.
Мантисса 06183 соответств. числу 1153
06221 „ „ 1154
Поэтому искомое число заключается между 1153 и 1154. Возь¬
мем меньшее из них, т.-е. 1153; ему соотв. мантисса 06183.
Слеюв., мы не добрали 21 стотысячных (ведь нам дана мантисса
06204), а табличная разность в этом месте таблиц = 38.
В столбце „38“ ищем справа, где даны поправки мантиссы,
поправку 21. Таковой пег. Ближайшая меньшая к ней есть 19,0
и она соответствует пятой цифре числа 5. Итак, если мы к числу
1153 припишем пятую еще цифру 5 (получим число 11535), то
ему будет соотв. мантисса 06202 (0,06183-)- 0,00019). Нам нужно
было найти поправку мантиссы 21, а мы взяли 19; значит, мы
еще не добрали 2 стотысячных. Мы можем этот недобор воспол¬
нить при помощи 6-ой цифры. Уменьшим в столбике „38“ все
поправки в 10 раз и будем искать ту из них, которая наиболее
близка к 2. Найдем: 1) 1,9 протпв цифры 5 и 2) 2,28 против
цифры 6. Ближе к 2 подходит 1-ая. Поэтому остановимся на ней
и прибавим к нашему числу еще 6-ую цифру 5.
Итак, мантиссе 06204 следует считать соответствующим число
115355. Так как характеристика данного логарифма = 3, то в этом
числе в целой части должно быть 4 цифры. Итак, х =1153,55.
Здесь мы могли взять 6-ую цифру потому, что табличная раз¬
ность велика. Обыкновенно при вычислениях по пятизначным та¬
блицам ограничиваются пятью цифрами, и мы могли бы написать,
что ж =1153,6 (взять пятую цифру 6, а не 5, лучше, так как
циф| е 6 соответствует поправка 22,8, что ближе к 21, чем 19,0).
Еще пример:
1дх=1,65009: ж=?
Для этого примера надо образ иться не к той странице таблиц,
которая приведена у нас. А именно, на стран. 41 таблиц Е. Прже¬
вальского (издание 1914 г.) найдем:
Мантисса 65002 соответств. числу 4467
65011 „ „ 4468
— 204 —
Взяв первое число, мы не доберем в мантиссе 7 стотысячных.
Табличная разность = 9 (из 65011 вычесть 65002).
В столбце „9“ (его легко, конечно, составить самому) найдем
поправку 7,2, наиболее близкую к нужной нам, и она соответств.
5-ой цифре числа 8. Итак, число есть 44678. Так как характери¬
стика данного логарифма =1, то у искомого числа х вперед*
один нуль, т.-е. х=0,44678.
71. Вычисления при помощи таблиц логарифмов. Чтобы пока¬
зать практическое значение таблиц логарифмов, остановимся на
вопросе об извлечении корней. Мы умеем вычислять с какою
хотим точностью квадратные корни, и обычный прием довольно
быстро ведет в цели. Но относительно других корней (кубичного
корня, корня 5-ой степени и т. п.) мы лишь знаем, что можно
это сделать путем проб, что очень утомительно, если нужна боль¬
шая точность. При помощи логарифмов мы можем довольно быстро
и с хорошею точностью извлекать корни любой степени.
Пусть, напр., надо вычислить Р'ТбО. Тогда мы можем написать:
3/ 1
750; lgx = —lg 750
Логарифм 750 найдем по таблицам; он = 2,87506.Разделив его
на 3, получим, что 1дх ~ 0,95835 (остатком 1 пренебрегаем, ибо
он меньше половины делителя 3). Теперь по 1дх находим соотв.
число.
На стран. 56 таблиц Пржевальского найдем, что мантисса 95832
соотв. числу 9085. Табличная разность между этою и следующею
мантиссою = 5, а мы не добрали 3 стотысячных. В столбике „5“
находим поправку 3, — она имеется против пятой цифры 6. Итак,
нужное нам число есть 90856. Так как характеристика лога¬
рифма х равна 0, то х= 9,0856.
Рассмотрим еще ряд примеров на вычисление при помощи
логарифм, таблиц. Здесь придется попутно ознакомиться с неко¬
торыми особенностями этих вычислений:
1. х= (0,56783)3 . 156,47.
— 205 —
Логарифмируя, получим:
lgx=i 3 1д 0,56783-j-ty 156,47.
Пользуясь таблицами, находим 1д 0,56783 и 1д 156,47; первый
из них умножаем на 3 и результат складываем со вторым.
Мы найдем, что 1д 0,56783 = 1,75422. При умножении его
на 3 следует обратить внимание на одну особенность: сначала
надо умножить мантиссу на 3, а она положительна, — получим:
0.75422 . 3 = 2,26266; здесь получилось целое число 2 положи¬
тельное: затем надо умножить отрицательную характеристику
1 на 3, — получим 3; и, наконец, надо сложить полученное ранее
целое число 2 (положительное) с 3 (с отрицательным), — получим 1,
т.-е. 1,75422 . 3 = 1,26266. Конечно, такие умножения не должны
затруднять (напр.: *2,61304 X 4 = 6,45216; "3,52479 . 2 = 5,04958
и т. п.).
Далее мы найдем, что 1д 156,47 = 2,19443.
Нужно сложить найденные логарифмы, получим Igx и по 1дх
найтн самое число х. При сложении 1,26266 -j- 2,19443 придется
опять складывать отрицательную характеристику с положительной
(1 -ф-2 = -j-1). Вычисление располагаем так:
3 1д 0,56783 =Т,26266
1д 156,47 = 2,19443
1д:е = 1,45709
а; = 28.648
V 0,468
Л 0,12345*
Логарифмируем: 1дх=^ 1д 0,468.— 3 1д 0,12345.
По таблицам найдем, что 1д 0,468 = 1,67025. Этот логарифм
надо разделить на 2. Здесь опять имеет место особенность: отри¬
цательная характеристика 1 не делится нацело на 2. Чтобы
избежать необходимости соединять отрицательную дробь с поло¬
жительной, поступают так: добавляют к характеристике еще
столько отрицательных единиц, чтобы хедение выполнилось на¬
— 206 —
пело (в нашем примере надо добавить одну отрицательную еди¬
ницу), но зато к мантиссе добавляют столько же положительных
единиц.
В нашем примере эти добавления можно указать так:
7,67025 : 2 = (— 1 + 0,67025) : 2 = (—2+1,67025) : 2.
Выполняя деление, получим: 1) —2 : 2=— 1, и
2) 1,67025 : 2 = 0,83512 (остаток отбрасываем).
Поэтому
1,67025 : 2 = —1+0,83512=1,83512.
Конечно, этого писать при вычислениях подробно отнюдь не
надо, наоборот: надо все выполнить в уме и сразу написать по¬
следний результат.
[Еще примеры: 1) 1,30456: 3=1,76819 (мы добавили к ха¬
рактеристике 2 отрицат. единицы и тогда 3 разделили нацело
на 3, — получилась 1; затем добавили к мантиссе 2 положитель¬
ных единицы — в них 20 десятых долей, да еще у нас 3 десятых
доли; всего 23 десятых; делим их на 3, получим 7 десятых, оста¬
ющиеся 2 десятые раздробляем в сотые и т. д.); 2) 7,11524: 5 =
= 2,62305 (мы добавили в характеристике 3 отрицат. единицы и
разделили полученное число 10 на 5, — получили 2; добавили
также в мантиссе 3 положит, единицы, в них 30 десятых долей,
да еще одна десятая всего 31 десятых дел.; разделив их на 5,
получим 6 десятых и т. д.].
Далее мы найдем: 1д 0,12345 = 1,09149. Умножив его на 3,
получим 3,27447. После этого понадобится из 1,83512 вычесть
3,27447. Здесь опять особенность: придется из отрицательной
характеристики 1 вычесть отрицательную характеристику 3, т.-е.
придется (—1) — (—3). Конечно, мы знаем, что при вычитании
надо у вычитаемого числа переменить знав, — получим (— 1) —
— (— 3) = — 1 + 3 = + 2.
Вот расположение вычисления:
1д 0,468=7,83512
3 1д 0,12345=7,27447
1дх = 2,56065
X =: 363,63
— 207 —
Еще большая особенность наступила бы, если бы не удалось
вычесть десятые доли вычитаемой мантиссы из десятых долей
уменьшаемой без „занимания" у целых. Рассмотрим пример, обрат¬
ный только что вычисленному:
0,123453
х=—
V 0,408
1дх=3 1д 0,12345 g 1д 0,468
3 1д 0,12345 ="3,2*447
| 1д 0,468 =1.83512
= 3935
Теперь надо 8 десятых вычесть из 2 десятых. Займем одну
(положительную) единицу характеристики [характеристика была 3;
если от нее взять — занять — еще одну положительную единицу,
то останется 4: (—3) — (-f-1) = — 3 — 1= — 4; тоже самое
получим и так: прибавим к мантиссе -J-1 и к характеристике—1.
от чего все чпсло не изменится]. Тогда придется 8 десятых до¬
лей вычитать из 12 десятых, получим 4 десятых, а далее при¬
дется из 4 вычесть 1 : (— 4) — (— 1) = — 4-)-1= — 3.
Итак,
3 1д 0,12345 = 3,27447
у 1д 0,468 =1,83512
1дх =3,43935
х =0,0027501
72. Дальнейшие примеры вычислений. Замена вычитания лога¬
рифмов сложением. Если бы понадобилось вычислить выражение
вида то пришлось бы: 1) сложить Iga, lgbt lgc, затем сло¬
жить логарифмы чисел d, е и f и из первой суммы вычесть вто-
— 208 —
fую; в самом деле, если ж=—, то lgx=lga-\-lgb -j- Igc —
— (Igd + Ige -f- Igf).
Взамен этого предпочитают все свести к одному сложению.
Чтобн выяснить это, возьмем пример:
аЬ
х= —.
с
Тогда
1дх = 1да -)- Igb — Igc — Iga -f- 1дЪ -(- (— 1дс),
т.-е. можно вместо того, чтобы вычесть логарифм числа с, при¬
бавить — Igc, т.-е. логарифм числа с с перемененным знаком.
Иногда этот логарифм с переменным знаком называют именем
коллогарифм и обозначают его через coUog. Мы будем обо¬
значать его просто — 1д.
Теперь надо научиться быстро менять знак у логарифма.
Пусть lgc~h-\-mt где h характеристика, а т мантисса, и она
непременно положительна.
Тогда — lgc = — h — т.
Здесь мантисса стала отрицательна. Чтобы сделать ее опять
положительною, прибавим сюда-J-l и —1, отчего число не изме¬
нится.
Тогда получим:
— lgc = — h — т -j- 1 — 1 =(— h — 1) —J~ (1 — m)
мы соединили здесь положительную единицу с мантиссой, а отри¬
цательную с характеристикой.
Сравним теперь:
Igc = h -f- т
— Igc — (—h— I') —(1 — nt).
Характеристика у Igc и характеристика у — Igc обладают
•войством, что если вх сложить, то их суммам—1.
В самом деле:
Л-f-(— ft— 1)—h — h— l= — 1.
— 209 —
Это свойство позволяет быстро находить характеристику у—1д,
если известна характеристика самого 1д. Напр., если у самого
логарифма характеристика=3, то у — 1д характеристикам4
(3 -}- 4 = ■—1); если у самого логарифма характеристика = 0>
то у — 1д характеристикам! (O-f 1 = —1); если у самого ло¬
гарифма характеристикам з, то у—1д характеристика = 2 (3 -J-
-+-2 = —1) и т. д.
Мантисса — Igc получилась в форме 1 — т. Ясно, что она
положительна, так как абсолютная величина т была меньше 1.
И легко видеть, что ее быстро можно писать, когда начальная
мантисса т известна. Возьмем пример.
Пусть 1дс=2,46107.
Тогда — Igc = 3,53893.
Мантисса 53893 получилась-от вычитания 1—0,46107.
Если мы обозначим это вычитание в форме:
_ 1,00000
0,46107
то внание арифметики укажет нам, что каждую цифру, кроме
последней, надо вычитать из 9, а последнюю из 10. Если у дан¬
ной мантиссы справа на конце стоит нуль (или нули), то из
10 придется вычитать последнюю значущую цифру:
1 — 0,36000=0,64000 . .. здесь 3 нуля справа можно было бы
вовсе не писать — они указывают лишь на то, что все логарифмы
у нас берутся с точностью до 0,00001.
Итак, менять звак у логарифма мы можем так: 1) подбираем
для характеристики число так, чтобы оно в сумме с данною
характеристикою составило — 1; 2) каждую цифру данной ман¬
тиссы вычитаем из 9, а последнюю значущую из 10.
Напр., пусть 1да = ],00459; тогда — 1да = 0,99541.
Пусть 1д Ъ= 2,30503; тогда— 1д 5= 1,69497.
Пусть 1дс = 1,40670; тогда — 1дс = 2,59330 и т. д.
14
— 210 —
Примеры вычислений:
з _ —
0,67 У 0,051
1. X-
0,0-46783
Логарифмируя, получим:
lx — lg <V;7-f-i- 1д п,о51 — Ъ1д 0,024678.
Конечно, привыкший к таким вычислениям не станет этого
нисать, и будет это видеть при взгляде на данное выражение.
Схема вычисления:
1д 0,67 = 1,82607
у 1д 0,051 =Т,56919
3 1д 0,024678 = 4,82307
1д 0,051 =2,70757
1д 0,024678 = 2739231
3 1д 0,024678 =1,17693
Хдх~ 4,21833
х— 16532
Здесь мы разделили 2,70757 на 3 так, как это было выяснено
в предыдущем и0; умножив 0.024678 на 3 (получили 5717693),
мы переменили у этого логарифма знак (получили 4,82307). Все
полученные логарифмы надо сложить (1,826071,56919 ^—4,82307).
*= т/_ 57-~
1,0245 У0,40
Логарифмируя (опять заметим, что это можно не писать, а
видеть при взгляде на данное выражение), получим:
lgx = y (Хд 57,3— 1д 1,0245 i- &0,4б).
— 211 —
Вычисления (без подробных пояснений) таковы:
/р 57,3=1,75815
— 1д 1,0245 =ГГ,98949 1,0245 = 0,01051
—1д 0,46 = 0,11241 0.46 =1766276;
1,86005 'з Ц 0,^6 =-1,88759
(надо ото разд. на 2)
1дх = 0,93002
ж=8,512
В таблицах нашлась мантисса 0,93003,"'а мы написали, что
Igx0,93002, однако, последняя цифра 2 спорная: быть может,
можно было бы [здесь написать и 3, потому что от деления 5
В виду этого ответ (ж = 8,512) дан так, как будто бы мантисса
была 93003.
Если приходится вычислять выражения, где входят действия
сложение и вычитание, то приходится прп помощи таблиц, если
то нужно, вычислять отдельно каждое слагаемое (или уменьшае¬
мое и вычитаемое). Напр., если надо вычислить выражение
то придется сначала при помощи таблиц вычислить первое сла¬
гаемое, а затем второе и полученные результаты сложить.
Если в данное выражение входят отрицательные числа, то
сначала знаки „минус* отбрасывают и вычисляют абсолютную
величину этого выражения, а затем легко сообразить, надо ли
полученную абсолютную величину взять со знаком -{- или —.
на 2 получается 2-i-, и мы не знаем, что взять ближе 2 или 3.
(— 3.25)5 V— 5,2
14*
212
Тогда, называя абсолют, величину х через | х | , получим:
Так как числитель выражения для самого х отрицателен, а
знаменатель выйдет положительным [(—3,2 5)5 даст отриц. число,
*/
V—5,2 — тоже отрицательное, а их произведение положительно i,
то х должен оказаться отрицательным числом, т.-е. х — —|«|.
Выполним следующее вычисление:
Вычислим сначала отдельно вычитаемое в числителе. Пусть
Так как здесь отрицательное число возводится в 4-ую степень,
то х должно быть числом положительным, и мы можем писать
3,255 1/5^2
3
3
* = V0,25
Тогда
19 °>25:= 1,39794: 3 —1,79931
Отсюда
* = 0,62995
Теперь надо из 0,21 вычесть 0,62995:
0,21 — 0,62995 = — 0,41995
и, следовательно,
“(~3|ТШг)4’ lgx=i (& 0,41995 —3,1416)
—(здесь не будет экономии от замены вы-
,49715
читания сложением)
1,12605... надо умножить на 4
1^ = 4^50420; «=0,0003193.
73. Показательные и логарифмические уравнения. Мы уже встре¬
чались с показательными уравнениями при решении некоторых
задач (где ищется число членов) на геометрические прогрессии.
Там для решения таких уравнений мы пользовались положением:
если две степени равны и если их основания одинаковы, то и их
показатели равны.
Этим положением можно иногда воспользоваться и при реше¬
нии более сложных уравнений.
Пример 1.
Ъх~\ 25х~3. Vbx + 1=l.
Так как 25 = 5s, то 25* 3 = 52(05 3). Поэтому мы можем пред¬
ставить наше уравнение в ииле:
(ведь 5° = 1)
или
Откуда, на основании указанного положения, получим:
х — \-\-2x — 6-j- - О
&
или
Зх — 7+^-ii=0; 6s— 14 + х -f 1=0
или
<- 1 О 1 ®
7s =13 и s=l-y.
Пример 2.
3®_}_3а!+2 ^зг+4 =2457
мы можем в левой части уравнения вынести 3х за скобки:
3х (1 + З2 -}- 3*) = 2457
— 214 —
иди
3*. 91=2457
Разделив обе части уравнения на 91, получим \1
3х = 27 или 3Ж = 3Я, откуда ж=3.
Пример 3.
з2* + 2_10_3*+ = о.
Первый член можно представить в виде ?РХ. З2 или 3-х. 9 или
3.З2*. Тогда уравнение примет вид
9 .З2* — 10.3я’ -(-1—0. V
\
Если мы временно примем 3® за неизвестное, то это уравнение
явится квадратным уравнением относительно этого неизвестного,
п его можно написать в виде
9. {3X)S— 10.3’г —(— 1 = 0.
Отсюда получим:
оЯ. 10=*=Vl00 — 4.9 _ 10 ±8 %
— 18 ~ 18 ^
(3*)1 = 1: (3*)я=4-
Отсюда найдем:
1) 3* = 1; так как 1 — 3°, то и х — 0.
2) 3* = -^-; так как ^- = 3 —2, то 3^ = 3 — 2 и х— — 2.
Но, вообще говоря, показательное уравнение сводится в боль¬
шом числе случаев к виду
ах — Ъ,
I
— 215 —
где в и i но суть степени одного и того же числа. Тогда решать
такие уравнения можно при помощи логарифмов. Логарифмируя,
мы из уравнения ах — Ъ, получим:
xlga = Igb, откуда х=^-
Расемотрим несколько более сложных примеров, приводящих
в такому же результату.
Пример 4.
2х. 3х-1 —5 у
Логарифмируя, получим:
xlg2 + (х — 1) 1дЗ — 1дЬ
или
xlg2 -j- xlg3 — 1дЗ = 1дЪ.
Отсюда последовательно получаем:
x(Jg2 -)- 1дЗ) ~ 1дЪ + 1дЗ
1дЬ + Щ
Х-~1д2+1дЪ
Отыскав входящие сюда логарифмы, получим:
__ 0,69897+ 0,47712 _ 1,17609
Х 0,80103+ 0,47112 0,77815
Мы можем теперь или непосредственно выполпить деление
(1,17609:0,77815) или опять прибегнуть к помощи логарифмов:
1дх=1д 1,17609 — 1д 0,77815
1д 1,17609 = 0,07044 _
1д 0,77815 =+89106
1дх= 0,17938; Ж = 1,5114.
Пример 5.
З2*_2.3а: + 1 — 7 = 0.
— 216 —
Мы знаем, что = 3х . 3. Поэтому наше уравнение примет
вид
З2*— 6.3* —7 = 0
Решим его относительно неизв. 3х
3^ = 3 ± l/g + 7 = 3 ifc 4
(3я5)г = 7; (3*^= — 1. Отсюда получим:
= 1,77 (прибл.)
2) 3х——1, это невозможно ни для одного действительного
значения ж.
Рассмотрим теперь несколько примеров уравнений, где неиз¬
вестное входит под знаком логарифма. Такие уравнения называ¬
ются логарифмическими.
Пример 6.
/ Так как здесь написано равенство двух логарифмов, то мы
v имеем право заключить о равенстве самих чисел, т.-е.
Решая это уравнение последовательно, получим:
х-\-3 = (х— 3) (ж— 7); ж®— 10ж-}-21 = ж-{- 3;
ж2—11ж-}-18 = 0, откуда
lg(x -f 3) — 1д(х — 3) = 1д(х — 7)
I/ При помощи потенцирования получим:
7 ^ “Ь 3 7 _
19—3=Ы.Х-Ц.
*У!|>_,8=п*4
жх= 9 и ж2 = 2
— 217 —
Из этих двух решений мы можем взять лишь 1-ое, потому что
второе приводит к логарифмам отрицательных чисел: Igix—31
сведется тогда к lg{—1) и 1д{х—7) к 1д{—5).
Пример 7.
^1о(*Ч~ 1) гг ^1 == Ц, 80108.
Здесь указано основание логарифмов 10. Оно позволит нам
заменить член во 2-ой части, у которого нет знака логарифма,
через 1д некоторого числа. Мы, именно, найдем 0,30103 = 1д^2.
Тогда получим:
1д(х +1) 1д(х + 4) = 1д2,
откуда
-х+1 —2
Ут + 4
Отсюда последовательно получаем;
х-\-\ — 2Vx-\-&; №-f-lJ* = 4(*-f 4):
дг3 —|— 2а; —)— 1 — 4х-\~ 16; х2 — 2#—15 = 0
x=l±Vl-L-15=l±4
хг = 5 и х% = — 3
От второго решения (оно соотв. отрицательному значению Vx-\- 4)
нритется отказаться, ибо тогда lg(x-\-1) сведется к 1д{—2).
Здесь мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся примеры
показательных и логарифмических уравнений. В других случаях
приходится прибегать к новым приемам, более или менее остро¬
умным.
X. Вычисления финансового характера.
74. Сложные проценты. Пусть капитал а руб. положен в банк
по р°/0- Тогда это понимают так: с каждых 100 руб. капитала полу¬
чают в год р руб. процентных денег. Мы можем расчитать, сколько
процентных денег получат с капитала а в год и, прибавив их к
— 218 —
этому капиталу, получить наращенный капитал, т.-е. ту сумму,
-в которую обращается капитал а руб. через год. Расчёт может
быть выполнен и в такой форме:
с кап. 100 руб. в год получают р руб. проц. денег;
следов., с 1 руб. в год получат руб. проц. денег.
Поэтому 1 руб. через год обращается н (1+Тоо)и6"
/ р \
а капитал а руб. через год обращается в o.l 1 -}- -щу I руб.
Р
Назовем для краткости 1 -}- через q, т.-е. пусть
•+&=«
[q выражает ту сумму, в которую обращается 1 рубль через 1 год].
Тогда
кап. а руб. через год обращается в aq руб.
Таким образом теперь у лица, положившего в банк год тому
назад капитал а руб., будет лежать в банке капитал aq руб.
Процентные деньги за. этот второй год придется уже считать не
с капитала а руб., но с капитала aq руб. Мы уже знаем, что
1 рубль через год обращается в q руб. Следов., этот капитал aq
через второй год обратится в (aq. g) рублей или в аф руб. Про¬
должая расчет дальше, получим:
кап. а руб. через 1 год обращается в aq руб.
„ - „ - 2 года „ „ af „
и и « » 3 ?) и п &Q п
ИИ» « И » » » и »
. . п лет • „ , of , рублей.
Называя тот наращенный капитал, который накопится через
к лет, буквою А, получим уравнение:
Ц А = ад" //
— 219 —
Это уравнение называется уравнением сложных процентов.
Тер>ин „сложные* npi центы употребляется для обозначения того,
что при расчете всякий раз (а это делалось выше через год)
начисляются проценты не только на самый капитал, но и на те
процентные деньги, которые уже прибавились к капиталу.
Полученное уравнение дает возможность решать ряд вопросов
финансового характера.
Задача 1. В какую сумму обратится капитал 1000 руб.,
отданный по 5 слож. процентов, через 14 лет, если процентные
деньги присчитываются к капиталу через каждый год?
Мы должны в уравнении A~aqn положить:
ю 5
о = 1000, q= 1 + — = 1 +Yqq = 1.°5 (это — сумма, в которую
обращается 1 рубль через 1 год), и = 14.
Логарифмируя наше уравнение, получим:
IgA = Iga + nlgq
Iga—3,00000 , . . [мы знаем, что 1д1000=3]
\Algq = 0,29066 ... [по таблицам найдем, что Zpl,05 = 0,02119,—
умножим его на 14]
?рЛ = 3,29666
След., А=(почти) 1980... [по таблицам получим немного меньшее
число, но оно очень близко к 1980 руб. Мы берем это последнее
потому, что здесь претендовать на большую точность нельзя, так
как приходится приближенный логарифм 0,02119 умножать на 14,
отчего ошибка увеличивается в 14 раз]. »
Мы видим, что через 14 лет капитал, отданный по 5 слож.
процентам, почти удваивается.
Задача 2. Какой капитал надо положить в банк по 4
сложн. процент., чтобы он через 20 лет обратился
в 10000 руб.
— 220 —
В ур-ии A — aqn надо положить:
А=10000, q~ 1-1—=1,045, ю=20. Определим из этого
ур-ия а
А
« =
qn
Вычисляем по таблицам логарифмов:
Iga—lgA — nig д.
1дА = 4,00000 \
20 1д д = 0,38240 J . . . [Z9 1,045 = 0,01912]
Ig £( = 3,61760
« = 4145,7
т.-е. искомый капитал = 4145 руб. 70 коп.
Задача 3. Капитал 4300 руб., отданный по 6 слож. про¬
центов, обратился в 8653 руб. 40 коп. Сколько времени он был
в обороте?
В ур-ии A = aqn положим
.4 = 8658,4, « = 4300, д, = 1,06. Надо определить те.
Ig А = Ig а п Igq, откуда и =
1дА=^ 3,93719; Zp«= 3,63347; Ig 1,06 = 0,02531.
r, 3,93719 — 3,63347 0,30372 . „
След., те = -рщ = -0,02531“ “ = 12'
Итак, капитал был в обороте 12 лет.
В предыдущей задаче числа были подобраны так, что ответ
для п получился в виде целого числа. Однако, это ур-ие принято
yuoTj еблять и в том случае, когда число п дробное. Ошибка
расчета настолько мала, что ее не приходится здесь принимать
во внимание.
Задача 4. Во сколько лет капитал, отданный по 4
слож. проц., удваивается?
Из основного у-рия получим:
2а = « . 1.045*'
— 221 —
Это ур-ие упрощается — обе его части можно разделить на я:
2 = 1,045”
Отсюда
7 0 7 л плк г9% 0,30103
/о 2 = и «о 1,045 и п = —=—--- = —
а У 1,045 0,01912
Отсюда найдем, что и = приблиз. 15, 8 лет.
Задача 5. По сколько слож. проц. был отдан капитал
860 руб., если он через 18 лет обратился в 1350 руб.?
В ур-ии А = а (f1 надо считать q неизвестным, а .4 = 1350,,
о = 860 и и = 18. Из нашего ур-ия получим:
п
V-
г= I/ —
7 1дА — 1да
или Igq = — -—
п
1д А =3,13033
1ди = 2,93450
0,19588
J<7<7 = 0,01088 (надо было 0,19588: 18)
Отсюда $ = 1,0253.
V
Так как </ = !-]—то П0ЛУчим:
1+-шг=М253-
Отсюда
Р
100 =0,0253 и р— 2,53.
Капитал был отдан по 2,53 сложных процента.
Замечание. Ур-ие A = aqn применимо не только к фи¬
нансовым вопросам, но и к вопросам статистики. Например,
прирост населения в каком-нибудь городе, в каком-нибудь госу¬
дарстве можно уподобить приросту напитала, отданного в рост по
некоторому числу сложных процентов.
1
— 222 —
75. Усложнение основного ур-ия сложных процентов. В поду¬
ченном нами ур-ии
A^zaqn
п выражает, в сущности, как это можно видеть при получении
выражения aqtl , число присчетов к капиталу процентных
денег. В предыдущем был рассмотрен случай, когда присчет про¬
центных денег делался через годовые промежутки. Но возможно
эти присчеты делать через промежутки меньшие, например, через
полгода, через четверть года, через месяц и т. д.
Пусть, например, условились делать эти присчеты через каждые
полгода. Если капитал отдан по у>%. то через год со 100 руб.
Р
получают р руб. прибыли, а с 1 руб. -jqq- руб. прибыли. Следо-
Р
вательно, через полгода получат с 1 рубля — руб. прибыли.
«ии
Итак,
1 руб. обращается через * года в ^1 —|—гщ-] руб.
® а(1+-^т)руб-
Если капитал находился в банке п лет, то за это время должно
быть сделано 2п присчетов. Следовательно, а руб. через п лет
обращается в a |l-|—)2w руб.
Называя наращенный капитал через А, получим:
(l+ -Щ-)~П
Мы можем и в этом случае пользоваться у-рием
А=a g2n
где q означает сумму, в которую обращается 1 рубль черев
4-года’и е=1+-щ- ■
Если присчеты сделать через каждые 3 месяца (или четверть
года), то получим ур-ие
А = а qin
где <?=1-|—^ , а п выражает число лет.
— 223 —
Если присчеты делать через каждый месяц, то получим у-рие:
А~а д^-п
где q— 1 -J- “j25q- > а п выражает число лет, и т. д.
Теоретически рассуждая, мы должны были бы сделать заклю¬
чение, что правильным расчет был бы тогда, если бы мы стали
делать присчеты каждое мгновенье. Эту мысль можно выразить в
такой форме. Разобьем год на к равных промежутков, тогда
1 рубль через 1 год, считая по р °/0, обратится в
1 -I £ Klt
^ 100 . к
Если к станем увеличивать до бесконечности, то, как оказывается,
выражение ^стремится к некоторому определен¬
ному пределу, и этот предел дает теоретически правильное ре¬
шение задачи.
От одного года нетруден переход к сколько угодно годам.
Р 1
Представим выражение 1 -f- ^ через 1 -f- -у^
. к
Р
Пусть ■ —т. Например, если р = 4 (т.-е., если капитал
Р
отдан по 4%), то ^— = 25.
Положим, что наш капитал находится в банке в течение т
лет. Тогда каждый рубль обращается в
Теория пределов дает возможность установить, что выражение
\тк
{'+~яУ
224
при увеличении Тс до бесконечности, в пределе стремится в числу,
очень важному для высшей математики. Это число обозначается
через е. Оно может быть вычислено лишь приблизительно и оно,
с точностью до 0,001, приблизительно равно 2,718. Мы можем,
например, установить теперь, что 1 рубль, отданный по 4%,
обращается через 25 лет = 25^ прибл. в 2,718 рубля.
76. Примерная задача. По сколько процентов был отдан ка¬
питал 520 руб., если он обратился через 12 лет в 1000 руб.,
причем присчет процентных денег делался через каждые
4 месяца?
1 V
Так как 4 месяца= — года, то ~ 1 -j—, а число при¬
счетов = 36.
Поэтому получим:
1д 1000 = 3,00000
1д 520 = 2,71600
0,28400 (надо разделить на 36).
Ig д = 0,00789
2=1,01833
77. Ежегодные внлады. Основная задача, называемая именем
„ежегодные вклады*, состоит в следующем:
Некто вносит ежегодно (в начале каждого года) в банк одну
и ту же сумму. Какой капитал у него составится через некоторое
число лет.
1000 = 520 . 23®
Отсюда
36
т.-.е.
Отсюда f> — 5,499 или, приблизительно, 5
т.-е. капитал был отдан, приблизительно, по 5-^- %.
— 225 —
Пусть вносимая ежегодно сумма есть Ь, пусть банк делает
расчет по р°/0 и пусть спрашивается, какал сумма накопится
через п лет.
Положим, как и раньше, что
Тогда первый взнос Ъ рублей будет находиться в банке п лет
и обратится в Ьдп рублей, второй взнос Ь рублей будет находиться
в банке п — 1 лет и обратится в Ьдп~^ руб. и т. д.; последний
взнос Ь рублей, внесенный в начале последнего, «-го, года, обра¬
тится в bq руб. Итак, накопленный капитал В будет выражаться
так:
B=bqn + bf-1 + bqn~^ +.. . + bq* +bq.
Правая часть этого уравнения есть сумма п членов геометриче¬
ской прогрессии, за первый член которой удобно взять bq и за
знаменатель q. Тогда ее сумма равна
bqn 1 — bq bq (jw — 1)
q— 1 — 2—1
в, следовательно,
т> —1)
Пример. Пусть некто вносит ежегодно по 200 р. и банк
■латит по 4%. Какая накопится сумма через 12 лет?
Тогда в уравнении
7j bq (2П — 1)
в F-T"
Ь = 200, д=1,04 и п=12.
Сначала вычислим 2я или 1,04м
1д 1,04м=121д 1,04 = 12. 0,01703 = 0,20436
12
и, следовательно, 1,04 =1,6009.
Тогда g” — 1 =0,6009.
М
— 226 —
Далее вычисляем:
Ip й= 2,30103
Ig 3 = 0,01703
lg (g* _ l) = 1,77880
—1§(Q — 1)= 1,39794 (ибо lg 0,04 = 2,60206)
lg В = 3,49480
и B= 3124,6 руб.,
т.-е. у этого лица накопится 4124 руб. 60 коп.
78. Срочные уплаты. Под этим именем понимают следующ. задачу.
Пусть некто завял сумму А рублей по р сложных процентов
и обязался уплачивать долг ежегодными взносами, причем первый
взнос делает спустя год после займа. Можно, например, поставить
вопрос, какую сумму должно уплачивать ежегодно, чтобы погасить
долг через п лет после вайма.
Пусть искомая сумма есть с рублей.
Тогда мы имеем:
1) Капитал А через п лет должен был бы обратиться в сумму
(если бы этот капитал был положен в банк)
Ад”
где з=1 (как в выше).
2) Если бы должник, уплачивая ежегодно по с рублей, вносил
эти деньги в банк, то в конце 1-го года была бы внесена сумма с,
которая пролежала бы в банке (м — 1) лет и обратилась бы в
рублей, в конце 2-го года была бы внесена сумма с,
которая пролежала бы в банке (»— 2) года и обратилась бы в
сумму (е. дп~ ®) рублей и т. д. Наконец, последний взнос с уже
совпал бы с тем моментом, который был назначен для погашения
долга, и все деньги, накопившиеся в банке от этих взносов,
должны были бы быть отданы заимодавцу, благодаря чему по¬
следний взнос с рублей не получил бы наращения. Таким обра¬
зом в банке накопилась бы от этих срочных уплат сумма, равная
с-3” — 1 + в.аж — 2-f- -\-cq-\-c.
Мы видим, еолн рассматривать эту сумму с ее конца н постепенн*
■тти к началу, что слагаемые ее представляют собою последов*-
— 227 —
тельные члены геометрической прогрессии со знаменателем 5.
Поэтому эта сумма равна
cqn ~1 . 2 — е c(q” — 1) ’
—— или — .
q — 1 ^—1
Для того, чтобы расчет был справедлив, должно считать, чти
заимодавец должен получить одинаковые суммы, внесет ли ои
сразу капитал А в банк и через и лет получит наращенный ка¬
питал, или будет получать постепенно через год по с рублей, т.-е.
надо, чтобы
2—1
Это равенство является уравнением для операции „срочных уплат-.
Из него можно для решения того вопроса, какой поставлен у нас,
определить с. Получим:
_ Af(g — 1)
с = — .
<Г — 1
Полученное выражение для с носит название „формула срочных
уплат".
Из полученного уравнения можно было бы определить А,
считая с, $ и w за известные:
(г—i)-e*
а также определить я, считая А, с и q sa известные:
А(д~ l)<f* = с .q*‘ — «
или
в* [с — А(д— 1)]=в,
откуда
+ 1д [с — ^ (2 — 1)] = Igt
и
„ _ Igc—lg [с А (2 —1)1
Ы
Однако, задача „определить q по данным А, е и и*, вообще
говоря, здесь ие может быть решена, так как получается уравте-
— 228 —
ние, где неизвестное q входит в степени вив степени
Решать такую задачу возможно лишь искусственным путем.
Мы не даем здесь примеров на вычисление потому, что пола¬
гаем, что учащиеся уже могут справиться с задачами на срочные
уплаты самостоятельно, так как приемы вычислений остаются, в
сущности, такими же, как и в задачах на сложные проценты илп
ежегодные вклады.
N
0
1
О
3
4
5
6
7
8
9
100
00000
043
087
130
173
217
260
303
346
389
101
102
103
43-'
860
01284
475
903
326
518
945
368
561
988
410
604
*030
452
647
*072
494
689
*115
53‘;
732
*157
578
775
*199
620
817
*242
662
104
105
106
703
02119
531
745
160
572
787
202
612
828
243
653
870
284
694
912
325
735
953
366
776
995
407
816
*036
449
857
«078
490
898
1"7
108
109
938
03 342
743
979
383
782
*019
423
822
*060
463
862
«100
503
9U2
*141
543
941
*181
583
981
*222 *262
623 663
*021 *060
•302
703
*1<Ю
110
04 139
179
218
258
297
336
376
415
454
493
111
112
118
532
922
05 308
571
961
346
610
999
385
650
«038
423
689
*077
461
727
*115
500
766
*154
538
805* 844
*192 «231
576 614
883
*269
652
114
115
116
690
06070
446
729
108
483
767
145
521
805
183
558
843
221
595
881
258
633
918
296
670
956
333
707
994
371
744
•032
408
781
117
118
119
819
07188
555
856
225
591
893
262
628
930
298
664
967
335
700
*004
372
737
*041
4< >8
773
*078 *115
445' 482
809' 346
*151
518
882
120
918
954
990 *027
*063
*099
*135
*171
*207
*243
121
122
123
08 279
636
991
314
672
*026
350 386
707 743
*061 *096
422
778
*132
458
814
*167
493
849
*202
529
884
*237
565
920
•272
600
955
*307
124
125
126
09 342
691
10037
377
726
072
412
760
106
447
795
140
482
830
175
517
804
209
55->
899
Ш
587
934
278
621
968
312
656
*003
346
127
128
129
380
721
11059
415
755
093
449
789
126
483
823
160
517
857
193
551
890
2 7
585
924
261
619
958
294
653 687
992 *025
827 361
180
394
428
461
494
528
561
594
628
661
694
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Р. Р.
44
43
42
1
4.4
4.3
4.2
2
8.8
8.6
8.4
3
13.2
12.9
1 .6
*
17.6
17.2
16.8
5
2*2.0
21.5
21.0
6
26.4
26.8
25.2
'
30.8
ЗОЛ
29.4
S
35.2
34.4
33.6
9
39.6
38.7
37.6
41
40
39
1
4.1
4.0
3.9
2
6.2
В.о
7.8
3
12.3
12.0
11.7
4
16.4
16.0
15.6
5
20.5
20.0
19.5
6
24.6
24.0
23.4
7
28.7
28.0
27.3
8
32.8
32.0
31.2
9-36.9
36.0
36.1
38
37
36
1
3.8
3.7
8.6
2
7.6
7.4
7 2
3
11.4
11.1
10.8
4
16.2
14.8
14.4
5
19.0
18.6
18.0
6
22.6
22.2
21.6
7
26.6
26.0
25.2
8
30.4
29.6
28.8
9
34.2
33.3
32.4
35
34
33
1
3.6
3.4
3.8
2
7.0
6.8
6.6
3
10.»
10.2
9.9
4
14.0
136
13.2
5
17.5
17.0
16.6
6
21.0
20.4
19.6
7
34.8
23.8
33.1
6
28.0
27.2
26.4
9
31.6
30.6
29.7
Р. Р.
О Г Л А. В Л Е Н И Е
' — _ Ст) ан.
I. Изучение действия извлечения корней
Извлечение корня из одночл. и простейших ыногочл. . 12
Извлечение квадратного корня из чисел 13
Простейшие квадратные уравнения 26
Ii Иррациональные числа
Возникновение понятия об иррац. и мнимых числах . . 31
Сравнение какого-либо иррац. числа с рациональным ■ 34
Понятия о действиях над иррациональными числами . 39
Вычисление пррап. чисел с некоторою точностью ... 42
III. Квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения 72
Основные принципы решения уравнений высших степеней. 75
IV. Преобразования иррациональных выражений
Освобождение знаменателей алгебраич. дробей от пррац. 97
Решение радикальных уравнений 102
V. Изучение корней квадратного уравнения
Разложение квадратного трехчлена на множители . . . 114
О симметрических функциях корней квадратв, уравнения 119
VI. Уравнения высших степеней, приводимые
к квадратным. Уравнения второй степени
с двумя неизвестными
VII. Прогрессии
Арифметические прогрессии 132
Геометрические прогрессии 143
Понятие о бесконечно больших и бесконечно малых . . 149
Понятие о пределах 155
VIII. Обобщение понятия о степени
Нулевые и отрицательные показатели 161
Дробные показатели . 169
Иррациональные показатели 17.3
IX. Логарифмы
Логарифмирование 186
Потенцирование 188
Десятичные логарифмы 190
Устройство логарифмических таблиц 195
Вычисления при помощи таблиц логарифмов 204
Показательные и логарифмические уравнения 213
X. Вычисления Финансового характера
Сложные проценты 217
Ежегодные вклады 224
Срочные уплаты • 226
ПРИНИМАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 1924 ГОД
на общепедагогический журнал для учителей и
деятелей по народному образованию.
ПЕМГОГИЖГШ!
: III И VI "
7-й год и г д а ни я (выходит с 1918 г.).
Издательство БРОКГАУЗ-ЕфРОН
Редакция: И. С. СИМОНОВ и И. М. ГРЕВС.
Ближайшее участие в журнале принимают: С. И. Абакумов,
Н. А. Алъмедннген, Н. П. Анциферов, С. 77. Аржанов, Н. II. Бах¬
тин, А. П. Болтунов, А. А. Борзов, Л. JI. Бродский, В. П. Бу¬
данов, В. II. Верховский, В. А. Берд, II. И. Грацианский, Я. Я. Гу¬
ревич, Д. А. Лшринов, П. А. Знаменский, С. А. Золотарев, Г. Г. Зор-
генфрей, Н. А. Извольский, С. В. Иванов, И. Н.. Кавун, А. М. Кал¬
мыкова, Н. П. Каменыциков, Н. И. Кареев, Н. В. Кашин, А. А. Кро-
гиус, К. М. Лепилов, А. К. Линдеберг, А. Л. Липовский, II. М. Мен¬
дельсон, А. П. Нечаев, С. А. Павлович, Я. И. Перельман, С. А. 11с-
реселснков, С. А. Петров, И. 77. Плотников, И. И. Полянский,
А. Е. Пресняков, М. Д. Приселков, Б. Е. Райков, А. С. Рожде-
ствин, М. М. Рубинштейн, Н. А. Сйввин, В. 77. Селинов,
Л. Д. Синицкий, И. А. Сигов, Н. С. Соболев, Н. М. Соколов,
П. Э. Сум, Р. Г. Тумим, А. 77. Флеров, Л. В. Щерба, К. 77. Яъо-
довский, Е, Н. Янжул, А. Р. Ярогиевский, А. А. Яхонтов.
Подписная цена на год (5 книг) 3 руб. аол. боа пересылки. За пересылку
60 ноп. Розничная продажа лронзиоднтся в нонторв журнала и во всех
книжных магазннах Ленинграда н Москаы.
Цена отдельной книги 80 коп.
Адрес конторы и склада: Ленинград, Прачешный пер., д. 6.
Контора открыта ежедневно (кроме воскресных и праздничных
дней) от 11 до 4 час. дня. Тел. 553—92.
Каждый выпуск будет представлять законченный сборник статей *
(включая критику, библиографию и хронику).
Склад издания: „Центральный книжный склад про¬
фессиональных союзов железнодорожников и вод-
ников“ (б. Цектран).
Москва, Ильинка, Козьмодемиановский переул., 5.
Ленинград, Проспект Володарского, 53.
Харьков, Московская, 23.