.PJft Извольский
' • ?	1л	ЪЧ Ь
у_ 1 '*< . t1 !'(£js?r-&£pu	/f.	/^0	.
КУРС
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ алгебры
/7*Г A,
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Допущено Государственным Ученым Советом
15-го Мая 1923 г. N° 1321
ПЕТЕРБУРГ
ИЗДАТЕЛЬСТВО брокгауз-ефрон
1924

Печатается с согласия Госиздата.
Склад издания: „Центральный книжный склад про¬
фессиональных союзов железнодорожников и вод¬
ников1* (б. Цектран).
Москва, Нльинка, Козьмодемиановский переул., 5.
Петроград, Проспект Володарского, 53.
Харьков, Московская, 23.
Типография Издательства Брокгауз-Ефроя. Петроград, Прачешяый, 6.
Петрооблит № 10783. Тираж 30000 зкз.

ПРЕДИСЛОВИЕ.
Основным моментом, отделяющим алгебру от арифметики,
является введение в сознание учащихся относительных чисел.
Вопрос о том, как именно относительные числа ввести в курс и
как установить выполнение действий над ними, вызывал среди
педагогов большие споры. Моя точка зрения на этот вопрос
такова:
Относительные числа, если проанализировать вопрос об их
генезисе, вошли в математику или 1) как необходимое обобщение
понятия о числе, имеющее целью придавать определенный смысл
выражению а — Ъ, каковы бы ни были а и Ъ („чтобы вычитание
оказалось всегда возможным") или 2) как обобщение понятия о
числе, вызванное стремлением вылить в математические символы
ряд фактов действительности, для каковой цели арифметические
числа оказывались бы не совсем пригодными. Первая точка зрения,
если развивать ее последовательно, должна привести к теории
пар чисел (в обычной или, быть может, несколько замаскирован¬
ной форме). Отвлеченность этой теории должна явиться источни¬
ком больших затруднений для педагога. Поэтому в элементарном
курсе алгебры от нее следует отказаться. Вторая точка зрения
позволяет придать каждому действию над относительными числами
определенный конкретный смысл, и, следовательно, более прием¬
лема для педагога. Поэтому в настоящем курсе я провожу эту

II
вторую точку зрения. Однако, имея в виду 1) то, что курс
алгебры должен постепенно приучать учащихся переходить от
конкретно-практического смысла какой-либо операции к фор¬
мально-отвлеченному ее определению и 2) то, что построение
методики обучения обратным действиям (вычитанию и делению)
на конкретных фактах действительности оказывается для уча¬
щихся достаточно трудным, я в настоящем курсе вычитание и
деление относительных чисел излагаю, исходя из их определений,
как действий, обратных сложению и умножению.
Следующая часть курса, а именно: теория рациональных
преобразований и ур-ия первой степени — проведены в настоящем
курсе со следующими особенностями: ,
1)	я никогда не начинаю с правил; правила с моей точки
зрения должны появиться лишь в конце работы над рядом частных
примеров, да и самый вывод правила должен быть не формально¬
логическим, как это имеет место в большинстве курсов алгебры
(например, вывод правил умножения и деления дробей), а должен
являться результатом тех постепенных обобщений, какие моглп бы
иметь место в сознании человечества при переходе от действий
над арифметическими числами к действиям над алгебраическими
выражениями; этим самым учащиеся прйучаются смотреть на эти
алгебраические выражения, лишь как на новые формы тех же
относительных чисел, действия над которыми уже усвоены уча¬
щимися.
Да и очень плохое впечатление получается от нашей тради¬
ционной привычки скорее «доказать" правило и заставлять уча¬
щихся в дальнейшем ему следовать: как будто центр тяжести
обучения алгебре состоит в том, чтобы учащиеся научились
аккуратно подставлять в ту словесную или символическую фор¬
мулу, которую они запомнили, вместо букв или слов соответствую¬
щего числа, а не в том, чтобы учащиеся приучались осознавать

каждый шаг выполняемой ими операции (особенно это бросается
в глаза в дальнейшем, а именно'—при решении квадратных урав¬
нений).
2) При прохождении уравнений первой степени отнюдь нельзя
ограничиваться стремлением научить решать уравнения; необходимо
надо, чтобы учащиеся привыкли и к тому, что можно извлечь из
уравнений помимо нахождения их корней; так уравнение первой сте¬
пени с двумя неизвестными устанавливает определенную зависи¬
мость между двумя переменными, и это обстоятельство дает хо¬
рошее средство подготовить учащихся к усвоению общего понятия
о функции; неопределенные системы уравнений, не давая воз¬
можности найти корни уравнений, дают иной раз возможность
установить какое-либо свойство входящих в уравнения пере¬
менных — на все это обращено много внимания в настоящем
курсе.
Добавлю еще, что я не начинаю с определений уравнения и
тожества, — взамен того я стараюсь достигнуть того, чтобы уча¬
щиеся привыкли видеть в каждом уравнении символическую запись
известной задачи.
3) Я не являюсь сторонником того, модного в настоящее
время направления, которое вводит в курс уравнения с самых
первых шагов (даже в курсе арифметики). Я думаю, что стре¬
мление заменить арифметические методы решения задач методом
уравнений не целесообразно, ибо при этом в результате должна
появитьси односторонность в математическом развитии учащихся,
тем более, что иногда арифметические методы куда изящнее и
предпочтительнее метода уравнений. Для примера вспомним задачу,
торговка продала первому покупателю половину всего числа
бывших у нее яиц и еще х/а яйца, второму — половину остатка
и еще пол яйца, третьему — половину нового остатка и еще пол
яйца и четвертому — половину остатка и еще пол яйца, после

rv
чего у нее яиц вовсе не осталось. Сколько яиц было у нее
первоначально ?
Поэтому статья об уравнениях 1-ой степени оставлена мною
на ее традиционном месте, зато читатель найдет в этой статье
много деталей, позволяющих, с моей точки зрения, получше
вкоренить идею уравнения в сознании учащихся.
4) Я также не придаю существенного значения введение
в начала курса алгебры построения график. С моей точки зренияJ)
графики для математики дают (в начале курса) слишком мало,
но поглощают много времени. Если графики полезны для прохо¬
ждения других предметов, то преподаватели этих предметов и
должны, не перекладывая эту свою обязанность на преподава¬
теля математики, научить учащихся и строить их и пользоваться
ими. Не следует считать неразрывно связанною с графиками
идею функциональной зависимости. В настоящем курсе много
уделено внимания понятию о функциях (см., например, пункт 2-ой
этого предисловия), и я полагаю, что в курсе элементарной
математики есть много поводов для постепенного освоения уча¬
щихся с этою основною идеею математики, я лишь думаю, что
раннее введение график может, пожалуй, помешать выполнению
этой задачи, ибо часто приходилось видеть, что для учащихся
графика является мнемоническим средством, которое как бы
усыпляет сознание учащегося, и он уже не стремится проникнуть
в происхождение рассматриваемой функции.
Итак в начале курса алгебры я не даю знакомства с мето¬
дом координат, зато в III части курса я даю краткие све¬
дения из аналитической геометрии, которые позволяют иллюстри¬
ровать исследование уравнений 1-ой степени с одним и двумя
неизвестными соответствующими задачами на пересечение пря¬
1) См. мою статью—„Переоценка значения график для курса алгебры1*.
.Математический Вестнпк“. выпуск 3-ий. 1917 г.

V
мых и тем самым удалить из курса задачи вроде задачи о
курьерах.
Вторая часть настоящего курса охватывает извлечение ква¬
дратного корня, понятия об иррациональных и мнимых числах,
квадратные уравнения, теорию преобразований иррациональных
выражений, прогрессии и логарифмы. По поводу этой части огра¬
ничусь лишь 3 замечаниями.
1. В статьях об извлечении квадратного корня и о преобра¬
зованиях иррациональных выражений я стараюсь избегнуть по
возможности формально-механических правил. Особенно это можно
подметить в главе о преобразованиях иррациональных выражений:
здесь, следуя развитию вопросов, возникающих в естественном
порядке, получаем основные равенства, которыми и направляется
работа над выполнением преобразований в каком-либо данном
иррациональном выражении.
2. Квадратные уравнения введены в курс дважды (здесь
можно видеть, что настоящий курс алгебры не чужд принципа
концентричности): в первый раз — после извлечения квадратного
корня из чисел, что естественно, так как извлечь У а значит,
в сущности, решить уравнение Xs=а, а развитие этой мысли ведет
к решению и более сложных квадратных уравнений. Во второй
раз квадратные уравнения появляются после статьи о преобразо¬
ваниях иррациональных выражений, и здесь заканчивается работа
изучения этих уравнений.
3. В статье об арифметических прогрессиях можно видеть
мое желание воспользоваться наглядностью в особой форме: на¬
блюдение самых математических символов дает иной раз возмож¬
ность установить то или иное свойство объектов, выражаемых
этими символами.
По поводу III части курса, посвященной дополнительным
статьям (теория соединений, Бином Ньютона и т. д.) уже

VI
было выше указано, что здесь вводятся в курс краткие сведения
из аналитической геометрии. Замечу еще, что глава о неравен¬
ствах построена на представлении чисел точками прямой линии.
Курс, как это видно из выше изложенного, разделен на
3 части: первая часть посвящена рациональным преобразованиям,
вторая — иррациональным и третья — дополнительным статьям.
Такое деление представляется мне и последовательным и целе¬
сообразным.
Вышеизложенные особенности настоящего курса, а также то
обстоятельство, что в курсе разобрано детально достаточно много
примеров, позволяют мне думать, что настоящий курс может слу¬
жить не только учебником для школы, но и руководством для
самообучения, и тем самым восполнить, хотя бы до некоторой
степени, пробел нашей учебной литературы в области математики.
Н.	Извольский.

I.	Обзор арифметических действий.
1. В арифметике мы работаем над числами, целыми и дроб¬
ными. Основным арифметическим действием является сложение.
Напр.: 35 + 127, 13-|-J-4|- и т. д.
Станем обозначать числа буквами латинского алфавита: а, Ъ,
с, d... т, п, р... х, у, z. Тогда мы можем, напр., под обозначе¬
нием „а“ понимать любое число, целое ли, дробное ли или сме¬
шанное1). Если записано
и —j- Ъ
то мы можем эту запись понимать в смысле, что надо .число о
сложить с числом Ъ". Так как число, получаемое от сложения,
называется суммою, то мы можем сказать, что здесь написана
.сумма чисел а и Ъ‘ (или: сумма двух слагаемых). Зная сло¬
жение, мы еще можем написать, что
о> —J— Ъ —— Ъ —|— п,
т.-е. „сумма чисел а и Ъ все равно, что сумма чисел Ъ и а*
Здесь выражено при помощи знака равенства основное свойство
сложения: сумма не изменяется от перестановки слагаемых. Это
свойство называется переместительным законом сложения.
Также точно запись а-\-Ъ-\-с выражает сумму трех слагаемых,
запись а + Ь+Ю выражает сумму чисел а, Ъ и 10 и т. п.
Каждая из записей, в которую входят буквы, обозначающие
числа, соединенные знаками действий, называется формулою
(а-\-Ъ, а + Ь + с, а + Ь+10 и т. д. суть формулы).
2. Можно поставить вопросы, обратные сложению. Напр.:
1)	я задумал число, приложил к нему число 17, получилось 35;
какое число я задумал (можно записать: ? —|—17 = 35); 2) какое
*) Обозначение чисел буквами не должно уже здесь вызывать за¬
труднений, так как уже теперь во многих случаях делают «то нововве¬
дение в курсе арифметики (см., напр., Н. Извольский: Арифметика,
конец 11-й части).

число надо прибавить к 17, чтобы получилось в сумме 35?
(17 -f- ? = 35). Подобных вопросов можно составить множество, и
их вообще можно записать в форме: ?-]-а = Ъ или а-)~ ? = 6.
Во всех этих вопросах речь идет о сложении, причем дается
сумма (35 или Ъ) и одно слагаемое (17 или а), а требуется найти
другое слагаемое. Для решения таких вопросов употребляется
вычитание: оба первых вопроса решаются вычитанием 17 из 35
(35 —17), а два последних—вычитанием числа а из числа Ъ (Ъ—о).
Понятно, почему для решения подобных вопросов употребляется
одно и то же действие, вычитание, несмотря на то, какое сла¬
гаемое дано, первое или второе: причина этого заключается в
том, что сложение обладает переместительным законом. Итак,
вычитание есть действие, обратное сложению, при
помощи которого по данной сумме двух чисел и по
одному слагаемому находится другое слагаемое.
Если записана формула
я —у,
го ее следует понимать так: число х есть сумма двух слагаемых,
число у — одно из этих слагаемых, а желаем найти другое слагаемое.
Дают названия: х... уменьшаемое число, у... вычитаемое, а после
вычитания получим число, называемое разностью (или остатком).
Поэтому формулу	'	^
х — у
читают: „разность чисел х и у“.
Вот более сложные формулы: 1) а — (6 —}— с) „разность между
числом а и суммою чисел Ъ и с“. Полезно заметить, что всегда
при чтении формул приходится сначала обращать внимание на
последнее действие (в нашей формуле последним действием
является вычитание, а от вычитания получается разность; по¬
этому и начинаем чтение словом „разность"; 2) (a-j-6-j-c)—1
„разность между суммою чисел а, Ъ и с и числом 1"; 3) (а—&)-}-
-|-(с — d) „сумма двух разностей" (или: .сумма разностей двух
пар чисел" или „сумма разности чисел а и Ъ и разности чисел
с и da).
Наоборот, словесное выражение „сумма числа а и раз¬
ности чисел бис* запишется формулою a-f-(5 — с); выражение

„разность между суммами двух пар чисел" можно написать фор¬
мулою (« —|— 6) — (c-\-d) и т. д.
Следует приобрести некоторый навык в чтении и письме
формул.
3.	Следующее действие, у м нож е н и е, появляется в курсе це¬
лых чисел, как действие, заменяющее сложение равных слагаемых.
В курсе дробей выясняется необходимость расширить .понятие об
умножении и установить смысл умножения на дробь, как дей¬
ствия, при помощи которого некоторая часть числа берется сла¬
гаемым несколько раз. Напр.:
a. 4 = a-f-a-|-a-f-a
3 а ■ а ■ а
°-4=Т+4+Т-
Вспомнив названия „множители* и „произведение*, мы будем
иметь возможность формулу а. Ъ (или просто ab, так как усло¬
вились для упрощения пропускать знак умножения, точку, тогда,
когда один множитель или оба выражены буквами) прочесть:
произведение чисел а и Ъ.
Вот более сложные формулы: 1) ab-\-cd „сумма двух про¬
изведений* (или „сумма произведений двух пар чисел" и т. п.);
2) (а-\-Ъ) (с-\-сГ) „произведение суммы чисел а и Ъ на сумму
чисел с и d (или „произведение сумм двух пар чисел");
3) (о -)~Ъ) (а — Ъ) „произведение суммы двух чисел на разность
тех же чисел; 4) ah — 1 „разность между произведением чисел
а и Ъ и н числом I* и т. п.
-Переместительный закон умножения („произведение не изме¬
няется от перестановки множителей") выразится равенством:
аЪ=Ъа.
Если возьмем, напр., числа 3 и 4, то справедливость его ясна
из рассмотрения, напр., следующей группы кружочков
О О О О
О О О О
О О О О
Если разуметь под а и Ъ целые числа, кажтое из которых
меньше 10, то формула \0а-\-Ъ выражает двузначное число, в
котором а десятков и Ъ единиц: в 1 десятке 10 единиц, в а де¬

сятках 10.а единиц, да еще Ъ единиц, а всего (Ю.о-]-Ь) единиц
(желательно повторить те же рассуждения для числа, напр., 79).
Также точно, установив вышеуказанные ограничения для букв
с и d, получим:
100o-j-lOi-f-c... формулу, выражающую трехзначное число,
в котором а сотен, Ъ десятков и с единиц,
1000 а-|- 1006-{-l0c-|-d... формулу, выражающую четырех¬
значное число, и т. д.
4. Подобно тому, как это было сделано для вычитания,
является возможность установить, что 2 вопроса:
1)	? X 11 = 143
и 2) 11 Х?=143
(1) задумано число, умножено на 11, получилось 143, — какое
число задумано? и 2) на какое число надо умножить 11, чтобы
получить 143?) дают начало новому действию, делению. Всилу
переместительного закона умножения оба вопроса решаются одним
и тем же действием 143:11. Отсюда устанавливаем, что деление
есть действие, обратное умножению, при помощи
которого по данному произведению и по одному
множителю находится другой.
Если написана формула а:Ъ или то а есть данное произ¬
ведение, Ъ данный множитель, — надо найти другой множитель.
Вспоминая название „делимое", „делитель" и „частное", мы мо¬
жем прочесть предыдущую формулу словами: „частное чисел
а п Ъ‘.	—
Бопее сложные формулы:	1)	г—р— .частное от деления
Ъ с
г .	—	Ъ
числа а на сумму чисел о и с", 2) —г—? „частное от деления раз-
CL -р О
ности двух чисел на сумму тех же чисел", 3) (аЪ -{- cd): (а -|- Ь -j-
—|— с —(?) „частное, причем делимым служит сумма произведений
двух пар чисел, а делителем — сумма всех этих четырех чисел*
и т. п.
5. Подобно тому, как сложение нескольких чисел считается
за одно действие, так точно и умножение многих множителей

я ияьлттКлЛ I
— 5 -уДмитрия Луг. .ча
удобно выполнять сразу (если сред^ множителей •'имеются дроби *)
# считать за одно действие.
Поэтому формула
abcde
выражает .произведение 5 множителей".
Также точно: 1) {а-\-Ъ) (c~\~d) (е-J-/)... произведение сумм
трех пар чисел; 2) а (о-|-Ь) (а — Ь)... произведение числа а, на
сумму чисел а и Ъ и на разность тех же чисел; 3) если а целое
число, то формула о (а -J-1) (о -j- 2) (а -J- 3) выражает произве¬
дение четырех последовательных чисел и т. п.
Арифметика учит нас, что перемножать числа можно в любом
порядке и любыми группами.. Напр.:
abcde = cebda — (cd). (ае). Ъ —
6.	Подобно тому, как сложение одинаковых чисел привело к
новому действию — к умножению, так точно умножение одинако¬
вых чисел может привести в мысли о необходимости создания
нового действия. Это новое действие, заменяющее собою умноже¬
ние одинаковых чисел, называется возведением в степень.
Вместо а. а. а. а пишут а4,
что читают: „возвести число а в четвертую степень". Также
точно:
178— (у 17 — 289; 63 = 6 .6. 6 = 216; 35= 3 . 3. 3 . 3. 3 = 243;
(1\*—I	I 1	! —1 . /ч 1\8—ч! ч! ч1—1® “ 1Р—
\2/ — '2 ' 2 ' 2 ' W 16’ [ а/ 3 '	3	-а3—3 ' 3 ' 3~
1000 о7 1	„
—	- = 37 ^ и т. п.
— чу	27
Для возведения в степень задаются 2 числа: одно выражает
каждый множитель, — и оно называется основанием сте¬
пени, другое показывает число одинаковых множителей, — оно
называется показателем степени; в результате возведения
в степень получается новое число, выражающее произведение
.. -г,	„1	5	3	0	1	7.5.3.8.1
») Напр, 3^ . ^ . — . 8 . w=2 12 и ^ выполняем сокра-
щения и получаем отьет сразу.

одинаковых множителей — оно называется степенью. Вот при¬
мер, где указано значение этих названий:	*
Основание
степени
ГГоказа-
4тель сте¬
пени.
81
степень.
Если показатель степени = 2, то вместо .возвести во вторую
степень4* говорят „возвести в квадрат", а вместо слова „степень"
употребляют название „квадрат**. Так же точно вместо „третьей
степени“ употребляют название „куб" (.возвести в куб").
Читают:
а2	 квадрат числа а
63	 куб числа Ъ
ж4	 четвертая степень	числа	ж
сп ... . п-—ная степень	числа	с	и т. д.
Вот более сложные формулы:
а2 -)~ Ь2. . . . сумма квадратов чисел а и Ъ
(а -)~ /))2 . . . квадрат суммы чисел а и Ъ
(а -|- h -f- с)8, куб суммы трех чисел
а2 — Ьа
а _|_	■	■ ■ частное от деления ^разности квадратов
двух чисел на сумму квадратов тех же
чисел
a -f- a2 -j- о® -j- а\ . . сумма первой '), второй, третьей
и четвертой степеней числа о и т. д.
Возведенпе в степень не обладает переместительным
законом, т.-е. аь не равно Ъа. Это видно из простейших при¬
меров:
3* = 3 .3 = 9, но 23 = 2.2.2=z&.
7.	В виду последней особенности действия возведения в сте¬
пень для него можно составить 2 обратных задачи. Напр.:
Ч Если написапо а>. то ато ввачпт само число о, т.-е. а1 = а.

1) Я задумал число, возвел его в третью степень (или: в куб),
иолучилось 64; какое число я задумал?
Эту задачу можно записать в виде
(?)3 = 64
2) Я взял число 3, возвел его в некоторую степень, — полу¬
чилось 81. В какую степень было возведено число 3.
Эту задачу можно записать в виде
3 ? =81.
Теперь уже, так как возведение в степень не обладает пере¬
местительным законом, эти две задачи следует считать совер¬
шенно различными.
Сначала решать их можно подбором: попробуем число
1, —18=1, а не 64, след., 1 не годится; 23 = 8, а не 64, след.,
2 не годится, 33 = 27, а не 64, след., 3 не годится; 43 = 64
след., в 1 задаче было задумано число 4. Также выясним, что
во второй задаче число 3 было возведено в 4-ую степень.
Так как таких задач можно составить очень много, то для
их решения необходимо изобрести новые действия. Эти действия
обратны возведению в степень. Итак, для возведения в степень
существуют два обратных действия: первое из них называется
извлечением норня и служит для решения вопросов, подобных
первой из наших задач; второе называется нахождением лога¬
рифма з служит для решения вопросов, подобных второй задаче.
Если мы обратим внимание на то, что в первой задаче нам
даны степень (64) и показатель степени (3), то мы установим
определение:
Извлечением корня называется действие,обрат¬
ное возведению в степень, при помощи которого
по данной степени и по данному показателю нахо¬
дится основание степени.
Также точно: во второй задаче даны степень (81) и основа¬
ние степени (3), а надо найти показателя степени. Поэтому
нахождением логарифма называется действие,
обратное возведению в степень, при помощи кото¬
рого по данной степени и по данному основанию
находится показатель степени.

— 8 —
8.	Займемся несколько первым из этих двух обратных дей¬
ствий, а именно — извлечением корня. Вместо записи
(?)8 = 64
пишут
Итак, знаком извлечения корня является знак |/	,	причем
данная степень (64) пишется под чертою этого знака, а данный
показатель (3) над этим знаком.
Запись у 64 читается словами „извлечь корень третьей сте¬
пени из 64*. Также точно читают: \/32 . . . извлечь корень
пятой степени из числа 32; у 625 . . . извлечь корень четвер¬
той степени из 625 и т. п.
Вместо „корень второй степени* часто говорят „квадратный
корень*, причем можно показатель 2 пропускать (2 является
самым маленьким показателем и следует помнить, что если ника¬
кого показателя над знаком корня не написано, то подразумевается
показатель 2):
■j/49 . .	. квадратный корень из 49
|/ а .	.	. квадратный корень из числа а.
Также точно, вместо „корень третьей степени* читают „ку¬
бичный корень
у 64 (см. выше). . . кубичный корень из 64
8/- 4
уа. .	.	кубичный	корень	из числа а.
Пусть требуется извлечь корень 4 степени из 625, что запи¬
сывается так:
\/б25
Принято называть данную степень (625) подкоренным
числом, а данный показатель степени (4) — показателем
корня. Ми можем, подбирая, найти, что искомое основание сте-

пеня есть 5, — этот результат называется именем „корень (четвер¬
той степени)* и записывается в виде
1^625 = 5.
Еще примеры: |/121 — 11, \/8 = 2, |/ 10000 =10, ]/82 =
= 2 и т. д.
Примеры на чтение формул:
|/<Г . . . корень п — ной степени из числа о.
|/о—Ь. . корень квадратный из разности двух чисел
(а и Ъ).
. корень кубичный из произведения двух чисел
сумма корней квадратных из чисел а и Ъ.
]/о . у а . уа. . . произведение квадратного корня из
числа а, на кубичный корень из того же числа
и на корень шестой степени из того же числа.
9.	Так же точно ознакомимся несколько и с другим действием,
обратным возведению в степень, — с нахождением логарифма.
Вместо 3' =81 пишут (gr381,
что читается словами „найти логарифм числа 81 при основании 3“.
Итак, знаком этого действия является знак 1д, причем рядом с
этим знаком пишется данная степень (81) — она называется теперь
просто словом „число*, а внизу этого знака (рядом с хвости¬
ком буквы д) пишется данное основание степени (3) — оно назы¬
вается теперь „основанием логарифма". Иногда пишут вместо 1д
знак Lg. Мы нашли подбором, что искомый показатель степени =
= 4; это записывают в виде
МЫ 81=4
(логарифм 81 при основании 3 равен 4). Этот искомый показа¬
тель называется именем „логарифм*.
Также найдем: 1д%32 = 5, (у10ЮОО = 3, 1д625 = 2 и т. д.
В последующем придется более подробно изучать и извлече¬
ние корня и нахождение логарифма.
•?
I

— lo¬
ll.	Относительные числа.
10.	Пусть тянется дорога (черт. 1) и на ней расположено ка¬
кое-либо место А; по дороге идет путешественник, и известно,
что он в настоящий момент находится иа расстоянии 7 верст от
места А. Оказывается, что, несмотря иа данное число (7 верст),
мы затруднимся указать, где именно находится путешественник,
так как существуют два места, расположенные на этой дороге на
расстоянии 7 верст от А: одно вправо и другое влево. Поэтому
недостаточно данного числа 7 верст и необходимо еще сделать
добавление: вправо или влево.
I
А
Черт. 1.
Точно такое же затруднение встретится, если на прямой линии
потребуют отметить точку, отстоящую от данной точки А (черт. 1)
на расстоянии 3 сантиметров: мы незнаем, в какую сторону от А
отложить 3 сантим, вправо или влево, и для того, чтобы задача
сделалась определенной, надо к числу 3 сантим, добавить: вправо
или влево.
Условимся, вместо того, чтобы к данному числу добавлять
слово вправо, ставить перед этим числом знак -j- (плюс) и
вместо слова влево ставить знак — (минус). Тогда легко реша¬
ются задачи:
На данной прямой отметить точку, отстоящую от данной
точки А
1)	на-|-4 сантим., 2) на — 3 сантим., 3) на — 6у сантим.,
4)	на -f- 3,6 сантим. Такпм образом появляются числа со знаками
или относительные числа.
Существует еще много вопросов, где удобно пользоваться
теми же знаками-[-и—.
Условились (это условие принято всем цивилизованным чело¬
вечеством) ставить знак-j-перед чеслом градусов, выражающим

— 11 —
температуру, если ртуть в теермометре стоит выше нуля и знак—,
если она стоит ниже нуля.
Указать на шкале термометра, где стоит ртуть в термометре,
если температура
1) = + 16°; 2) =-3°; 3) =0; 4)=+7-Ь; 5) = -1б|°.
Вот еще несколько вопросов, в которых числа со знаками
дают возможность сокращения слов.
1) Игрок играет; результат его игры может быть двоякий:
или он выигрывает, или он проигрывает. Условимся *) обозначать
знаком-j-выигрыш и знаком — проигрыш.
Объяснить следующие обозначения:
Результат игры игрока: а)— — 2 руб.; Ь) г=-|-4руб.; с) = 0
d)	= — б руб. 50 коп.; е) =-(-5,25 руб.
2) Купец торгует; результатом его торговли может быть пли
прибыль или убыток; прибыль обозначают знаком -j- и убыток —
знаком —.
Что получил купец от торговли, если результат ее оказался:
а) =—42 руб.: Ь) =—}— 106 руб.; с) = —11 коп.; d) =0?
3) Время от известного момента можно считать вперед и на¬
зад; будущее время (или время после известного момента) обо¬
значают знаком -j- и прошедшее (или до известного момента)
знаком —.
От рождества христова до известного события прошло:
a) -f-1908 лет; Ь) —480 лет; с) —}- 33 года; d) —XII веков.
Когда произошло это событие?
4) Состав класса в течение года может изменяться; в него
могут вступить вновь несколько учеников и могут, с другой сто¬
роны, выбыть несколько учеников. Увеличение состава класса
станем обозначать знаком -(- и уменьшение знаком — (здесь на¬
мечается, почему для обозначения смысла чисел употребляются
те же знаки -j- и —, которыми в арифметике обозначаются сло¬
жение и вычитание).
Объяснить значение выражений: а) класс изменился на-|-4 уче¬
ника; Ь) в течение года класс изменился на — 3 ученика.
1) Это условие согласуется с нашим обычным представлением о ело
женив арифметических чисел. (См. еще вопрос 4).
2*

— 12 —
Всякое относительное число состоит из двух частей:
1)	из самого арифметического числа, которое называется
абсолютною величиною алгебраического числа и 2) из
знака.	•
Числа, имеющие знак -|-, называются положительными,
а имеющие знак —, называются отрицательными.
Числа 5 и — 5 имеют одинаковую абсолютную величину (5)
и отличаются друг от друга знаками.
Говорят, что, напр., число-]- 7 состоит из 7 положительных
единиц, а число —6 состоит из 6 отрицательных единиц.
Часто у положительных чисел знак -|- впереди опускают: пи¬
шут 5 вместо -|- 5 и т. п. Этим условием, в сущности, выражается
то, что арифметические числа считают совпадающими с положи¬
тельными.
11.	Сложение относительных чисел.
Задача 1. Игрок записывал выигрыш знаком -(- и проигрыш
знаком —. Найти результат каждой из следующих записей:
а) +7 РУб- + 4 РУ6-; Ь) — 8 руб. —6 руб.; с) —4 р.+ 4 р.;
d) -j-8 p. —6 p.; e) —11 p. -j-7 p.; f) +2 p. +3 p. —5 p.;
g) -j-6 p. —4 p. -(-3 p. —5 p. -(-2 p. —6 руб.
Запись а) указывает, что игрок сначала выиграл 7 руб. и
затем еще выиграл 4 р., — итого выиграл 11 р.; вапись с) ука¬
зывает, что сначала игрок проиграл 4 р. и затем выиграл 4 р.,—
потому общий результат=О (игрок ничего не сделал); запись
e) указывает, что игрок сначала проиграл 11 руб., потом вы¬
играл 7 руб.,—проигрыш пересиливает выигрыш на 4 руб.; сле¬
довательно, в общем, игрок проиграл 4 руб. Итак, имеем право
для этих записей записать, что
а) +7 р.-(-4 р. =+11 р.; с)—4 р. +4 р. =:0^е) —11 p.-f-
4" 7 р. = — 4 руб.
Так же легко разбираются и остальные записи.
По своему смыслу эти задачи сходны с теми, которые в ариф¬
метике решаются помощью действия сложения, поэтому и здесь
мы станем считать, что везде приходится для нахождения общего
результата игры складывать относительные числа, выражающие

— 13 —
результаты отдельных игр, например, в примере с) относительное
число —11 руб. складывается с относительным числом -|- 7 руб.
Задача 2. Кассир записывал приход кассы знаком +, а
расход знаком —. Найти общий результат каждой из следующих
записей: а) —(— 16 р. —(— 24- р.; Ь) — 17 р. — 48 р.; с) —|— 26 р.—26 р.;
d) — 24 p. -j- 56 руб.; е) — 24 р. —{— 6 p.; f) — 3 руб. + 25 р. —
— 20 р.+ 35 руб.; д)+17 руб. —11 руб.+ 14 руб. — 9 руб.—
— 18 р.+ 7 p.; h) —9 р. — 7 р.+ 15 р. —11 р. + 4 руб.
Разберем, напр., запись f): сосчитаем сперва весь приход
кассы: по этой записи было 25 руб. приходу, да еще 35 руб.
приходу, итого приходу было 60 руб., а расходу было 3 руб.,
да еще 20 руб., итого было 23 руб. расходу; приход превышает
расход на 37 руб. След.,
— 8 руб.+ 25 руб.—20 руб.+ 35 руб. = + 37 руб.
Задача 3. Точка колеблется по прямой, начиная от точки А
(черт. 2).
Черт. 2.
Перемещение ее вправо обозначаем знаком + и перемеще¬
ние ее влево знаком —. Где будет находиться точка после не¬
скольких колебаний, записанных одною из следующих записей:
а)	+2 дм. —	3 дм.+ 4 дм.; Ь) —1 дм. + 2	дм. + 3 дм. + 4	дм.—
— 5 дм. + З	дм. с) +10 дм. — 1	дм.+ 8	дм. — 2 дм. + 6	дм.—
— 3 дм. + 4	дм. — 5 дм.; d) —4	дм. + 1	дм. — 6 дм.-|- 3	дм.—
— 8 дм.+ 5	дм.; е) +5 дм. —6	дм.+ 8	дм. —11 дм. На чер¬
теже дюймы обозначены отрезками, меньшими настоящих.
Последнюю запись (е) разберем: сначала колеблющаяся точка
передвинулась вправо от А на 5 дм„ потом подвинулась влево
на 6 дм.,—в общем, она должна оказаться находящеюся влево
от А на 1 дм., потом подвинулась йправо на 8 дюйм., след., те¬
перь она находится вправо от А иа 7 дм., и затем подвинулась
влево на 11 дм., следовательно, она находится влево от А
иа 4 дм.
Остальные примеры предоставляем разобрать самим уча¬
щимся.

— 14 —
Мы приняли, что во всех разобранных записях приходится
складывать записанные относительные числа. Поэтому условимся:
Если несколько относительных чисел написаны
рядом (с их знаками), то эти числа надо сложить.
Разберем теперь главные случаи, встречающиеся при сло¬
жении, причем возьмем относительные числа без названий (т.-е.
вместо того, чтобы говорить, напр., 5 руб. выигрышу, да еще
3 руб. проигрышу, или точка переместилась на 5 дм. вправо
от А, да потом еще на 3 дм. влево, станем говорить 5 положи¬
тельных единиц, да еще 3 отрицательных единицы...).
1) +8 + 5.
Здесь надо сложить числа, состоящие из 8 полож. единиц, да еще
из 5 полож. единиц, получим число, состоящее из 13 полож. единиц.
Птак, —|— 8 —|— 5 — 13.
2) —6 — 9.
Здесь надо сложинь число, состоящее из 6 отрицат. единиц
с числом, состоящим из 9 отрицат. единиц, получим 15 отрицат.
единиц (сравнить: 6 рублей проигрыша и 9 руб. проигрыша —
составят 15 руб. проигрыша). Итак,
— 6—9=— 15.
3) +4 — 4.
4 рубля выигрыша да затем 4 руб. проигрыша, в общем, да¬
дут нуль (взаимно уничтожатся); также, если точка продвинулась
от А сначала вправо на 4 дм., а потом влево на 4 дм., то она
окажется опять в точке А и, след., окончательное ее расстояние
от А равно нулю, и вообще мы должны считать, что 4 полож.
единицы, да еще 4 отрицательных единицы, в общем, дадут нуль,
или взаимно уничтожатся. Итак,
+ 4 — 4 = 0, также — 6 + 6 = 0 и т. д.
Два относительных числа, имеющих одинако¬
вую абсолютную величину, но различные знаки,
взаимно уничтожаются.
4) —6 + 9.
6 отрицат. единиц уничтожатся с 6 положит, единицами, да
еще останется 3 полож. единицы. Итак,
— 6 + 9 = + 3.

— 15 —
5)	-f-7-11.
7 полож. единиц уничтожатся с 7 отрицат. единицами, да
еще останется 4 отрицат. единицы. Итак,
4-7 —11 = —4.
Рассматривая 1), 2), 4) н 5) случаи, имеем
+ 84-5 = 4-13; —6 — 9 = —15; —64-9=4-3 и
+ 7 —11= —4.
Отсюда видим, что надо различать два случая сложения алге¬
браических чисел: случаи, когда слагаемые имеют одинаковые
знаки (1-й и 2-й) и случай сложения чисел с разными знаками
(4-й и 5-й).
Не трудно теперь увидать, что
при сложении чисел с одинаковыми знаками сле¬
дует сложить их абсолютные величины и написать
их общий знак, а при сложении двух чисел с раз¬
ными знаками надо вычесть арифметически их
абсолютные величины (из большей меньшую) и на¬
писать знак того числа, у которого абсолютная
величина больше.
Из примеров, данных в задачах 1-3, 2-Й и 3-3, можем вы¬
вести заключение, что
можно относительные числа складывать в лю¬
бом порядке, или сумма относительных чисел не
изменяется от изменения порядка слагаемых.
Пусть требуется найти сумму
+ 6 —7 —3 + 5 —4 —8 + 7 + 9.
Мы можем сначала сложить все полож. числа+ 6+ 5 +
+ 7 + 9 = + 27, потом все отрицат. — 7 — 3 — 4 — 8 = — 22
и затем полученные результаты между собою+ 27 — 22 = + 5.
Можем также воспользоваться здесь тем, что числа +5 —
— 4 — 8+7 взаимно уничтожаются и тогда остается сложить
лишь числа + 6 — 7 — 8 + 9 = +5.

— 16 —
12.	Другой способ обозначения сложения.
Можно каждое слагаемое заключить в скобки и между скоб¬
ками написать знак сложения. Напр.:
(+7)+ (+9); (—3) + (—8); (+7)+ (—11); (-4)+ (+5);
(— 3)	(+ 5) + (— 7) + (-(- 9) + (—11) и т. п.
Мы можем, согласно предыдущему, сразу написать сумму,
напр. (— 4) -f- (+ 5) = +1 (случай сложения чисел с разными
знаками: надо из большей абсолютной величины вычесть мень¬
шую и написать знак того числа, у которого абсолютная вели¬
чина больше), но можем также переписать сначала то же самое
без скобок, пользуясь нашим условием, что если числа написаны
рядом с их знаками, то эти числа надо сложить; след.,
чтобы раскрыть скобки при сложении относи¬
тельных чисел, надо слагаемые написать рядом
с их знаками (знак сложения и скобки опустить).	Г
Напр.: (+7)+ (+9)з=+7 + 9; (—3) + (—8)=—3 — 8;	у
(+7) + (— И) = 4-7—Н; (-4)4-(4-б) = -44-5;	(-3)4-	,
-Н+5)4-(—7)4-(4-9)+(—11)= —34-5 — 74-9-11.
После этого можно полученные числа сложить.	*
В курсе алгебры следует обратить особенное внимание иа
уменье раскрывать скобки.
У пражнения.
1) (—7) 4-(+11)+(—15) 4-(+8)4-(—1);
2) (+ г) + (—§-) + (+ж);
3> (—i) + (+4) + (~4);
4> (+£) + (“т) + (~т) + (+т)-
Иногда допускают некоторые упрощения при обозначении сло¬
жения: 1) первое слагаемое пишется без скобок. Напр.:
+ 1 + (— 4) + (+	+f(—g-) или —Т + (—т) + ( + 5) •

•	««I
♦и У М J
— 17 —
2)	Знак -f- у первого числа пропускают И пишут, иапр., 5-f-
-f-(—7) вместо-|-5-f-(—7) (см. конец п° 10).
8) Знак -(- также пропускают иногда у числа, еслй оно на¬
писано тотчас же внутри скобок. Напр.:
—1 + СО + (— 2) + (5) вместо — 1 + (+ 7) + (— 2) + (+ 5)-
Упражнения.
^ ¥ + (“!) + (+й) + (— i);
2) — 0,5 + (+ 0,25) + (— 1,07) + (- 0,13);
3) 1,24 + (- 0,77) + (+ 2,35) + (—1,575).
Вот более сложный пример на сложение:
Т + (¥“т)+*(“1 + ¥ —l)- .
> Здесь сначала надо выполнять действия внутри скобок: внутрй
каждых скобок надо сложить написанные числа, так как они на-
15	1	,
писаны рядом с их знаками: ^ — g- =—	(случаи сложения с
3	111
разными знаками), также — 'g'+ir — q= — 24- Тогда Имеем:
KM+(-f+W)=i+(-i)+(-i)=
—_I	*-
“4	2	24	24 ‘
Упражнения.
1) 1+(3-7) + (1 —6 + 7-8 + Э);
2) 1-НЗ + 17 —11)];
• 3) I +(—1 + Ё~1) + (¥ — I)5
4)-2Г0+(11-!) + (1Т-!-1')-
13.	Вычитание относительных чисел.
В курсе арифметики установлено, что вычйтанйе есть
действие, обратное сложению, при помоп^и кото*
рого по данной сумме и по одному слагаемому на-
. ходят другое слагаемое.
| Гее.	«к-тут|

— 18 —
Пользуясь этим определением, мы должны разобрать, как надо
выполнять вычитание относительных чисел.
Пусть надо из (+ 8) вычесть (— 3), т.-е. пусть надо
( + 8)-(_-3)=+	^
С ма Данное Неизвестное
’ слагаемое, слагаемое.
Первое данное число выражает данную сумму, второе — данное
слагаемое, а надо найти другое слагаемое (для него оставлено
место после знака равенства), т.-е. надо решить вопрос: какое
число надо сложить с (— 3), чтобы в сумме получилось ( + 8)?
Этот вопрос запишем в такой форме:
(?) + (-3) = + 8.
Но сразу этот вопрос решить трудно, а поэтому сначала ре¬
шим более простой, вспомогательный вопрос: какое число надо
сложить с (— 3), чтобы в сумме получился нуль ?, т.-е.
(?) + (- 3) = 0.
На этот вопрос ответ ясен: надо взять для неизвестного слагае¬
мого число, имеющее ту же абсолютную величину, как и давное
слагаемое, но обратный знак, — в данном случае надо для неизвест¬
ного слагаемого взять число + 3. Теперь перейдем к решению
Главного вопроса: мы взяли для неизвестного слагаемого число + 3
и в сумме получился нуль, но нам надо получить в сумме +8,
поэтому надо, чтобы и в другое слагаемое вошло это же число + 8.
Следовательно, неизвестное слагаемое должно состоять: 1) из + 3,
чтобы в сумме получился нуль и 2) из +8, чтобы эту сумму
„нуль" довести до требуемой + 8. Поэтому на месте неизвестного
слагаемого пишем +3 + 8:
( + 8) — (— 3) = + 3 + 8 = + 11.
Последнее (=+11) написано на том основании, что числа + 3
и + 8 надо соединить в одно или сложить.
Вот еще примеры:
( — 7) —( + 5) = —6 — 7 = —12.
Искомое слагаемое должно состоять: 1) из — 5, чтобы в сумме
подучился нуль н 2) из — 7, чтобы дополнить этот нуль до тре¬
буемой суммы, до —7. Сложив числа —5 и —7, полечим —12*
(— 3) — (— 8) = + 8 — 3 = + 5.

— 19 —
Искомое слагаемое должно состоять: 1) из +8, чтобы в сумме
получился нуль н 2) из —3, чтобы дополнить этот нуль до тре¬
буемой суммы, до —3. Сложив числа +8 и —3, получим +5.
( + 7)-(+9) = _9 + 7= — 2.
Искомое слагаемое должно состоять: 1) из —9, чтобы в
сумме получился нуль и 2) из +7, чтобы дополнить этот нуль
до требуемой суммы, до +7; сложив числа —9 и +7, полу¬
чим — 2.
Из этих примеров видим, что вычитание в алгебре состоит
лишь в умении раскрывать скобки: надо второе число (данное
чЧ^ слагаемое или вычитаемое) написать с обратным знаком, а первое
> число (данную сумму или уменьшаемое) написать с тем же зна¬
ком. После того, как это сделано, т.-е., когда скобки раскрыты,
дело сводится к сложению, так как написаны числа рядом с их
знаками, напр., в последнем примере: —9 + 7.
Так как сумма не изменяется от перестановки слагаемых, то
можно числа, полученные в разобранных примерах после раскры¬
тия скобок, переставить, чтобы порядок был согласен с порядком
данных чисел:
(+8)—(—3) = +-8 —{— 3; (—7) — (+5) = — 7 — 5;
— 3-(-8) = —3 + 8; (+ 7) — (+ 9)=+ 7 — 9.
Итак,
чтобы раскр ы ть с кобкипр ивы читана и, надо пер¬
вое число (уменьшаемое) написать без изменения
и приписать к нему второе число (вычитаемое) с
обратным знаком.
Заметим еще, что при обозначении вычитания первое число
пишется часто без' скобок, а если оно положительное, то, как
уже известно, знак + можно впереди ие писать.
Например,
— 3-( —5) = -3 + 5 = + 2;	1	—	(— 6) = 1+ 6 = 7;
3 —( + 3) = 3 —3=0.
14.	Примеры на сложение и вычитание. Пусть требуется вы¬
числить:
1 — {3 + Г5 — (3 — 5 — 6)]1.

— 20 —
Мы станем руководствоваться следующим порядком: если
внутри какой-либо пары^ скобок нет других скобок и нет дей¬
ствия, то эти скобки можно раскрыть; если же внутри этих ско¬
бок есть действие (сложение), то надо сначала его выполнить.
В нашем примере такой порядок: сначала выполним сложение
чисел, написанных внутри маленьких скобок, потом надо эти скобки
раскрыть, выполнить сложение внутри квадратных скобок, раскрыть
квадратные скобки, выполнить сложение внутри витых скобок,
раскрыть вти скобки и, наконец, сложить полученные числа:
1-{В + [5-(8-в-6)]} = 1-|8 + [5-(-8)]} =
= 1-|3 + [5 + 8]}=1-»8 + [ + 13]| = 1-{3+13} =
= 1 — {+ 16} = 1 —16 = — 15.
Конечно, при навыке можно сразу выполнять несколько дей¬
ствий и, следовательно, укоротить вычисление.
Еще пример:
а—{(6—с)—[d+(e + /)]} при а——3; 6=1; с=4;
d =— 5; е = — 7; f= 2.
Выполним вычисления по действиям:
1)	Ь_с=+1_(_|_ 4)=1— 4=-3;
Примеры для упражнений:
1) 3 — {l [5-j-(	2	7)]};
2) _а + [1-(-8)}-[5 + (-3)1;
Пусть еще требуется вычислить выражение:
2)	« + /=( —7) + ( + 2) = -7 + 2 = -:

-21- ,
3) d+( —5) = —5 + ( —5)=—5 —5=—10;
4) ( — 3)-(-10) = -8+Ю = +7;
5) —3 — ( + 7) = — 3 — 7 = — 10.
Примеры для упражнений:
1) (о — Ь) + [с_(d — е)] — [а—{Ь — с)] при а = i; Ь = — 1;
1,1	3
c = ---d=-T;c=-T;
2) х — {у — [г — << + *)]} при ж = + Ьу = —i;^ = -i;
3) (3 + 1/ — г) — [ж— (у — 0] при х = — 0,5; г/ = + 0,26;
* = — 0,14; < = — 0,7.
Если взять число нуль и прибавлять б нему по +1, то по¬
лучим ряд постепенно увеличивающихся целых чисел:
О, +1, +2, +3, +4, +5,
Этот ряд совпадает (см. конец п°10) с натуральным рядом чисел,
т.-е. с
О, 1, 2, 3, 4, 5
Если мы, взяв число нуль, вычтем из него (+1), затем еще
раз вычтем (+1) и т. д., то, согласно с тем, как мы это пони¬
мали в арифметике по отношению к натуральному ряду чисел,
мы теперь признаем, что и здесь станем получать все уменьшаю¬
щиеся целые числа:
1) о —(+1) = -1; 2) С — 1)—( + 1)=—1 — 1= — 2;
3)	(-2) —(+1) = —3 и т. д.
Получим, идя от нуля налево, ряд уменьшающихся относи¬
тельных чисел:
 , — 5, —4, —3, —2, —1,0.
Соединяя этот ряд с предыдущим, получим полный ряд отно¬
сительных чисел:
 —6, —5, —4, —3, —2, —1, О, -J-
+ !• 4~2, +3, +4, +5, +6
Этот ряд в вправо и влево идет без конца.

— 22 —
/
Всякое число в этом ряду больше другого, которое стоит
левее и меньше любого, стоящего правее его. Так	—	3;
0> — 6; — 5<0, — 3< + 2 и т. д.
В промежутках между целыми числами этого ряда можно вста- •
вить бесконечно много дробных чисел.
15.	Умножение относительных чисел.
Задача 1. Точка движется по прямой слева направо со ск5-
ростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через
точку А. Где будет находиться движущаяся точка по прошествии
5 секунд?
   1
А
Нетрудно сообразить, что точка будет находиться на 20 дм.
вправо от А, Запишем решение этой задачи относительными чис¬
лами. Для этого условимся в следующих знакоположениях:
1)	скорость вправо будем обозначать знаком -j-, а влево зна¬
ком —, 2) расстояние движущейся точки от А вправо будем
обозначать знаком -f- и влево знаком —, 3) промежуток времени
после настоящего момента знаком -j- и до настоящего момента
знаком —. В нашей задаче даны, след., такие числа: скорость
—-|-4 дм. в секунду, время =-{-5 секунд и получилось, как
сообразили арифметически, число -f- 20 дм., выражающее расстоя¬
ние движущейся точки от А через 5 секунд. По смыслу задачи
мы видим, что она относится в умножению. Поэтому решение
задачи удобно записать:
( + 4).( + б) = +20.
Задача 2. Точка движется по прямой слева направо со ско¬
ростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через
точку А. Где находилась эта точка 5 секунд тому назад?
Ответ ясен: точка находилась влево от А на расстоянии
20 дм.
Решение удобно, согласно условиям относительно знаков, и,
имея в виду, что смысл задачи не изменился, записать так:
( + 4).(-б) = -20.

— 23 —
Задача 3. Точка движется по прямой справа налево со ско¬
ростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через
точку А. Где будет находиться движущаяся точка спустя 5 секунд?
Ответ ясен: на 20 дм. слева от А. Поэтому, согласно тем же
условиям относительно знаков, мы можем записать решение этой
задачи так:
( — 4).( + 5) = —20.
Задача 4. Точка движется по прямой справа налево со
скоростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит, через
точку А. Где находилась движущаяся точка 5 секунд тому назад?
Ответ ясен: на расстоянии 20 дм. справа от А. Поэтому ре-
шевие этой задачи следует записать так:
(— 4). (— 5) = -}- 20.
Рассмотренные задачи указывают, как следует распространить
действие умножение на относительные числа. Мы имеем в зада¬
чах 4 случая умножения чисел со всевозможными комбинациями
знаков:
1) ( + 4).(+5) = -f 20;
2) ( + 4).(-5) = - 20;
3) ( — 4).( + 5) = —20;
4) (—4). ( — 5) =+20.
Во всех четырех случаях абсолютные величины дан¬
ных чисел следует перемножить, у произведения
приходится ставить знак -f- тогда, когда у множи¬
телей одинаковые знаки (1-й и 4-й случаи) и знак —,
когда у множителей разные знаки (случаи 2-й и 3-й).
Отсюда же видим, что от перестановки множимого и множи¬
теля произведение не изменяется.
Упражнения.
»(-!)•(+*> «(+•)•(-& 3>Ю-Н>
4)	( + 0,285). ( -j- 1,6); 5) ( + 3,68). ( — 0,045).
Выполним один пример на вычисление, где входят и сложение
и вычитание и умножение.
{•-[!-(Ь4М-ЭД-<ММ-Н+4)-

— 24 —
Чтобы не спутать порядка действий, обратим внимание на
формулу
db + cd,
Здесь написана сумма произведений двух пар чисел: надо,
следовательно, сперва число о умножить на число 6, потом число с
умножить на число d и затем полученные произведения сложить.
Также в формуле
я— Ъс
надо сперва число Ъ умножить на с и затем полученное произве¬
дение вычесть из числа я.
Если бы требовалось произведение чисел а и ft сложить с с и
полученную сумму умножить на d, то следовало бы написать:
(аЬ -f- с) d (сравнить с формулой ab + cd).
Если бы надо было разность чисел я и ft умножить на с, то
написали бы (о—Ъ)с (сравнить с формулой я — Ъс).
Поэтому установим вообще, что если порядок действий не
обозначен скобками, то надо сначала выполнить умножение, а
потом уже сложение или вычитание.
Приступаем к вычислению нашего выражения: выполним сна¬
чала сложения, написанные внутри всех маленьких скобок, по¬
лучим:
=ММ-4)-НЯ-МИН+А)-
Теперь надо выполнить умножение внутри квадратных скобок
5Г
н затем из -g- вычтем полученное произведение:
нк4-й-<-‘>)(+*н+а=
Н1 — [+ й •(—4)1 • 1+й “(+ й •
Теперь выполним действия внутри витых скобок: сначала умно¬
жение и потом вычитание:
={1 — [—2]} • (+у)—(+^)={1+2} • (+т)—(+й) ~
= {+з} ■ (+■§-)—(+й)-

— 25 —
Теперь остается выполнить умножение и вычитание:
v' 12/	12—12’
У пражн ения:
1) (3 — 7 — 10)[5 — (7 —11).( — 7)];
2) [-4 + (-5).( + 9)].(-5)-200;
-з) й+(— т+4—2т) ■ (2—А);
oa-Ci-iH- им+м
о)	4 ■- {г- [(- I) . (i - f- £) + (4-7 .)(-*)]}:
6)	{re — Ц — (+ т) • (—1+1)] • (4 ~ г — I)} • С5-11)-
16.	Произведение нескольких множителей. Пусть требуется
найти
(-5).(+4).(-2).(-3).( + 7).(-1).(+5).
Здесь надо первое число умножить на второе, полученное1
произведение на 3-е и т. д. Не трудно на основании предыду¬
щего установить, что абсолютные величины всех чисел надо между
собою перемножить.
Если бы все множители были положительны, то на основанип
предыдущего найдем, что и у произведения надо написать знак +.
Если бы какой-либо один множитель был отрицателен
[напр., (+ 2). ( + 3). (	4). ( — 1) • ( + 5). ( + 6)],
то произведение всех предшествующих ему множителей дало бы
знак + (в нашем примере ( —2). ( —3). ( —}- 4)	24), от умно¬
жения полученного произведения на отрицательное число (в на¬
шем примере +24 умножить на —1) получили бы у нового
произведения знак —; умножив его на следующий положитель¬
ный множитель (в нашем примере — 24 на + 5), получим опять
отрицательное число; так как все остальные множители предпо¬
лагаются положительными, то знак у произведения более изме¬
няться не может.
Если бы было два отрицательных множителя, то, рассуждая,
как выше, нашли бы, что сначала, пока не дошли до первого
отрицательного множителя, произведение было бы положительно,
от умножения его на первый отрицательный множитель новое
3

— 26 —
произведение получилось бы отрицательным и таковым бы оно и
оставалось до тех пор, пока не дойдем до второго отрицатель¬
ного множителя; тогда от умножения отрицательного числа на
отрицательное новое произведение получилось бы положительным,
которое таким останется и в дальнейшем, если остальные множи¬
тели положительны.
Если бы был еще третий отрицательный множитель, то полу¬
ченное положительное произведение от умножения его на этот
третий отрицательный множитель сделалось бы отрицательным;
оно таковым бы и осталось, если остальные множители были все
положительны. Но если есть еще четвертый отрицательный мно-'
житель, то от умножения на него произведение сделается поло¬
жительным. Рассуждая так же, найдем, что вообще:
Чтобы узнать знак произведения нескольких
множителей, надо посмотреть, сколько среди этих
множителей отрицательных: если их вовсе нет, или
если их четное число, то произведение положи¬
тельно; если же отрицательных множителей не¬
четное число, то произведение отрицательно.
Итак, теперь мы легко узнаем, что
(_5).С+4).(— 2).(— 8).С + 7).(-1).(+5) = + 4200.
Также
(4-3).(-2).(+?).(+ 3).(-5).(-1) = —630.
Теперь нетрудно видеть, что знак произведения, а также и
его абсолютная величина, не зависят от порядка множителей.
Удобно, когда имеем дело с дробными числами, находить
произведение сразу:
(-!) • (- *в) ■ (+ а) ■ (- 4)-<-16>=
_ . 5■ 22.9.5.16  | 11.9.1.16  |	I	оо
8..15.10.2 —"г 8.3.2.1	-j-ll .о
Удобно это потому, что не приходится делать бесполезных
умножений, так как предварительно полученное дробное выраже¬
ние сокращается, сколько возможно.
Пример на вычисление:
Н!-(!) • HID- {I-ПЬН) •(+!)]! • (&-")■

— 27 —
Вычислим сначала каждый множитель отдельно:
1 \ 1 «•	« 3	/	25\	~ 3 , , 9	,13
1) 1-и множитель = — 2 g	—	(—=— 2 g + ^ =+Гб;
«чо-	1 Г	5	/	104-,	1	"5 , 101
2) 2-и множитель	= ¥ _	- )J = _ _ ^ + _J =
= Л -Г4- 1-1 = - —	•
3	[_	5lJ 3	51	51
о я	5	1 п 1	216
3) 3-й множитель = — — 17 = — 16,-5=— ,0 ;
lo	io	1о
4) Все производные = (—^	=
13.47.216	47.4__47_	_	1}3
—	16.54.13	16	—	4 —	4
У пражнения.
, «[(-й-(+1)Ч]-[»-и-й-(+И-(+А>
«[(Ь!)-НН-Ж+(-§)•(+1)]*
X |"l	(	B2I. |	|)j;
17.	Деление	относительных	чисел. Деление	мы	можем	рас¬
сматривать, как	действие, обратное умножению,	прн	по¬
мощи которого по- данному произведению и по
одному множителю находят другой множитель.
Данное произведение пишется перед знаком деления, а данный
$
множитель после этого знака.
Пусть требуется
1 + 24):(+6).
Здесь 4" 24 есть произведение и —(— 6 один множитель, — надо
найти другой. Так как абсолютная величина иропзведения (24)
получается, как знаем из предыдущего, умножением абсолютной
величины одного множителя (6) на абсолютную величину другою,
то, чтобы найти последнюю, надо арифметически разделить число
а*

— 28 —
24 на число 6,—получим 4. Следовательно, абсолютная величина
искомого множителя =4. Чтобы найти его знак, обратим внима¬
ние на знак произведения: так как у произведения знак +, то
у множителей должны быть одинаковые знаки; у одного из них
мы видим знак +, следовательно, и у другого должен быть
знак +. Итак,
(+ 24): (+ 6) =	4.
Пусть требуется
(+24): (-6).
Абсолютная величина искомого множителя, как выяснено
выше, —4. У произведения знак +, следовательно, у множите¬
лей одинаковые знаки; у одного из них мы видим знак — (—6),
следовательно, и у другого должен быть знак —. Итак,
(+24): (-6) = -4.
Пусть требуется
(-24): (+6).
Абсолютная величина искомого множителя также =4. У про¬
изведения знак —, следовательно, у множителей были знаки раз¬
ные: у одного из них мы видим знак + (+6), следовательно,
у другого должен быть знак —. Итак,
(-24): (+6) =-4.
Пусть требуется
(-24): (-6).
Абсолютная величина искомого множителя также =4. У про¬
изведения знак —, следовательно, у множителей были разные
знаки; у одного из них видим знак — (—6), следовательно, у
другого был знак +. Итак,
(— 24): (— 6) = + 4.
Разобранные 4 случая обнимают всевозможные комбинации
знаков у данных чисел:
(+ 24): (+ 6) = + 4
(+24):(—6) = —4
(-24): (+6) = -4
(-24): (-6)=+4.

— 29 —
Вспомнив, что данное произведение называется делимым, дан¬
ный множитель — делителем и искомый множитель — частным, мы
можем теперь установить:
чтобы разделить одно относительное число на
другое, надо разделить их обсолютные величины
и у частного поставить знак -j-, если делимое и де¬
литель были с одинаковыми знаками; если же они
были с разными знаками, то поставить знак —.
Пример на вычисление:
Заметим, что если порядок действий не обозначен скобками,
то деление (так же, как и умножение) надо выполнить раньше
сложения или вычитания. Поэтому
Еще пример на вычисление формулы:
\[{а — bc):d-\-e]:{a — с) :(c — d) при а— ^;Ъ=—1; с—+ -|;
Выполним вычисления по действиям:
4)	—й+(— i)——Гз;

— 30 —
0) а— с—\ — (— -|) = i+| = + lir
6) (—й): (+1Т)==—Й;
7) е — /7 = —-g (-j- 31 = — 3—;
8) ( й): ( 34')==+А-
У пражнения:
1) [(+ 5J.(-?).(-2)—10]:[8-(—12):(+ 6)].
2) [i-5:(+15)].[4:(-8)-I].(l-4);
МК4+НК-4)]}-(М‘
4) [0,8. (—1,15) — (— 0,14): (3,5)]: 1,1 — 2;
5) Вычислить [(а.Ъ — а:Ъ):с — d\.(a — Ь) при а = 6,
Ъ = — 2: с = — 1; d~-f-1.
6) Вычислить {[(а — Ь):(с — с?) —j— Ь]. с—й}:Ь—сприа=-|-,
Ъ= 1^; с = —1; d = — 1;
7) Вычислить {[[а А-Ъе — d): аЪ — с] : (d — а)} с а при
  	  	3 , 1   1 .   1 . 7  5 |
а —	8" ’	"3	’	2	’	~8‘
18.	Возведение в степень относительных чисел.
Возьмем сначала какое-либо положительное число, напр., 3,
и станем его возводить в разные степени:
(+ 3 )2 = С+ 3) • (+ 3) = + 9; (+ 3)2 = (+3)(+ 3)(+ 3)=+27
(—]— 3 )4 = (_—j— 3)	3^ [—j— 3) (—|— 3)	—j— S1 и т. д.
Из этих примеров уже становится совершенно ясным, что
при возведении в любую степень положительного числа результат
вс-гда получается положительным.
Возьмем затем отрицательное число, напр., — 3, и станем его
возводить в разные степени:
(— 312 = (— ЗМ— 3)= + 9; (— 3)з = (—3)(— 3)(—3)=—27
(— З)1 — [— 3) (—3) (-3)	(— 3) = —81;	[-8)»	=
= 1—3) (—3) (—3) — 3 j [— В) = — 243 и т. д.

— 31 —
Рассматривая эти примеры, придем к общему заключению, что
при возведении отрицательного числа в четную степень (во 2-ую,
в 4-ую, в 6-ую и т. д.) результат получается положительный, а при воз¬
ведении его в нечетную степень (в 3-ю, в 5-ую, в 7-ую и т. д.)
результат получается отрицательным.
Вот еще примеры:
(— 12^=-f 144; (+ 10)s = -f 100000 ; (— 2)6 = — 32; (-f 2f =
=+32; (+■§■) =+t 1 : (— i) =+t ; (+x) =+A ;
(—■т) ——й;(+* i) =(+t) =+ п=+! b;(—2 i) =
=H) H) =+?=+* M-4)!=
=(-1) H) (-4)=-f=-3 f ■ «•
Выполним два примера на вычисление, где помимо, возведения
в степень, входят и другие действия.
ч[-'1-(+йМ-й(-»ЭД-(-•*+#
Сначала надо выполнить действия внутри каждых скобок,
причем врутри квадратных скобок пришлось бы сначала выпол¬
нить умножение (—	^— 2 j , но второй множитель ^—2
еще не вычислен —надо, поэтому, предварительно вычислить его.
ЙТЗ|К
=й Н+тГ-Ш- (!)]■ (-> 4)4-1 Н+й-
-(-а-ю=(-14-1+1)-н) =
—(“1 А)- (—ъ)—+3J-
2)	(а? Ъ — а Ь9 ^ . ^а3-)-?»3—31	.	£(а	—	b'f	—	вычислить
при а = —^ и b =
} (+ ¥) —(+¥)(+¥)— + Т-

— 32 —
Будем вычислять по множителям. Первый множитель есть
оаЬ — а№. Здесь написана разность между произведением ква¬
драта числа о на число Ъ и произведением числа о на квадрат
числа Ъ. Согласно этому, и следует вести вычисления: сначала
число а возвести в квадрат, полученный результат умножить на
число Ъ, — получим уменьшаемое; затем число Ъ возвести в ква¬
драт, умножить число а на полученный результат, — получим вы¬
читаемое, после чего надо выполнить вычитание:
1-й множитель:=а2Ь—а№=(^—	(+ т[) — (— ■§)•(+ kj ~
= (+Ё) '(+?)“(—l)-(+l) = ii — (— Й) = 128 + з! =
Второй множитель вычисляем без пояснений порядка действий.
2-й множитель = a8-f Ь8—31	§)8	+ (+4)3 — 315Т2~
_	1» I I 	41	^ — — 1^. I_oi — —49
—	512"т"\ > 8)	512	512	‘ 8	512 — ААш
i	гля	295 Г 5	/ I	1Yl8 295
и	множитель -	(а-Ъ)* -	ш=	+	~512=
_ г	5	_	1_"]8	 295 Г	JT18	 295  729	 295
— L	8	2 J	512 — L	8 J	512	512	512—
Теперь остается вычисленные 3 множителя перемножить:
(+ш)-(-32>-(-2>=+|=22г
Еще примеры:
аз 73
1.	(Числитель	можно	было	бы написать более подробно
в форме (-|-9)я-—(-(- 7)а).
3. (о8 — й8)3 при «= + 5;Ъ— — 7.
4. а№—(о — Ъ? при а =—1;Ь = —
5. а8 — (о — Ъ). (с -j- df при а=-\- 10; Ь = — 8; с = —{— 1 ;<7=
1
3'
Действия, обратные возведению в степень, будут разучиваться
в дальнейшем курсе.

— 33 —
III.	Одночлены и многочлены; их преобразования.
19.	Возьмем формулу
а — S;
мы ее читали так: „разность чисел а и Ъи. Мы можем в этой
формуле число а заменить нулем; тогда она обратится в
О—Ъ или просто в —Ъ.
Из нуля вычесть Ъ значит, согласно тому, что мы знаем о
вычитании относительных чисел, к нулю приписать число Ъ, взя¬
тое с обратным знаком. Поэтому выражение — Ъ должно пони¬
маться, как число, обратное по знаку числу Ь. Еслн, напр., Ъ — -f- 5,
то —Ъ= — 5; если Ь =— 4, то —Ь=—4 и т. п. Если мы
иапишем выражение -f - о, то его надо понимать, как число, равное
числу о. Если a=-f-5, то —5; если а = — 4, то -|-о=4
и т. п.
Поэтому формулу
а — Ъ
мы можем понимать, без различия результата, или в смысле
а-(+Ь)
или в смысле
а -{- (— Ъ).
Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложе¬
нием и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
а — Ъ есть сумма чисел а и (•— Ъ)
х—у есть сумма чисел х и (—у)
— а—Ъ есть сумма чисел (—о) и (—Ъ) и т. п.
Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место
несколько сложений и вычитаний, напр.,
а—b + c-f-d — е—/,
мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как
сумму, а именно:
a _ Ъ+е - d—е—f=(+ о) + (- Ъ) + (+ с) + (+ ф + (-е)+
~Ь(—/)•

— 34 —
Поэтому принято подобные выражения называть имепеы
„алгебраическая сумма*.
20.	Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму
о—Ъ — с или —ЗЪс*-\-2аЪ — 4а?Ь и т. п.
Принято называть эти выражения именем многочлен, причем
это слово заменяет собою слово „сумма" или название „алге¬
браическая сумма*. Мы знаем, что
а—Ъ — c=f-J-a'l-L-( — b) -f- (— с)
—аЪс—3 Ъ<?	2 аЬ — 4 a26=( — abc) -)-(— 3 Ьс2) (-}- 2 ab)
-{- (—4 агЪ) и т. п.
Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.
Первый многочлен,
а —Ъ — с,
Состоит из трех членов: (+«),(—Ц и (-)-с).
Второй многочлен,
— аЪс — ЗЬс® -{- 2 ab — 4 а*Ъ,
состоит из четырех членов: (—аЪс), (—ЗЪс2), (-}- 2ah) и(—ia%).
Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:
— аЪс—3 Ьс2 2 аЪ — 4 agb={—abc) -f- (—3 be8) (-)- 2 ab) -|-
-f- (— 4 a%) = (+ 2 ab) + (— 3 be2) -f- (— 4 a?b) -f- (— abc) = 2 ab —
— 3 be2 — 4asb — abc.	N
Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены
многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано
выше для многочлена —abc—ЗЪс%-\-2аЬ — 4«2Ь, притом так, что
впереди теперь оказался член (-\-2ab). Это позволило несколько
упростить выражение: впереди знак -|- можно не писать. Конечно,
надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предва¬
рительно (как выше.) каждое слагаемое в скобки.
Еще пример:
1 — Зо + 2с? — о* + За4 = За4 — a3 -f 2аа — 3a -f 1.
Первый член этого многочлена был первоначально (+1) —
— знак -j- подразумевался перед единицею; когда мы пере¬

— 35 —
носим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы пере¬
несли его на последнее место), то уже этот знак пропускать
нельзя.
Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы переста¬
новкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на пер¬
вом месте стоит член с буквою а в 4-ой степени, на следующем—
член с буквою а в 3-ей степени, потом идет член с буквою а
во 2-ой степени, потом — а в 1-ой степени и, наконец, член, где
буквы а вовсе нет.
Подобное расположение членов многочлена выражают сло¬
вами: „многочлен расположен по нисходящим степеням буквы о“.
Вот еще примеры подобного расположения:
Зж5— 2ахв~\-Ъ (по нисходящим степеням буквы х)
а4— а8£>-|-с№ — abs -|- Ь4 (по нисходящим степеням буквы о)
3аЪъ — 4а3Ь8	5а*№ — 2а® (по нисходящим степеням буквы Ъ)
4ж4— Зж8 -|- 2ж8 (по нисходящим степеням буквы х).
Употребляют часто также и обратное „по восходящим степе¬
ням" расположение, нри котором степень избранной буквы посте¬
пенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы
нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с
другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли
бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим сте¬
пеням буквы Ь). Вот примеры:
3—2«-|-Заа — 4о3 (по восходящим степеням буквы а);
— х + х2 — Зге3 — 4зД (по восходящим степеням буквы ж);
аж2 — Ьж8 -(- сж5 — dx6 (по восходящим степеням буквы х)'
ав—2аЪ-\-Ъ2 (по восходящим степеням буквы Ьили по нисхо¬
дящим степеням буквы о)
Зх5 — 4г/ж4— бг^ж8— 6г/4ж (по нисходящим степеням буквы х или
по восходящим степеням буквы у).
21.	Многочлен о двух членах называется двучленом (напр,
За -|- 26), о трех членах — трехчленом (напр., 2аа — ЗаЬ-\-4Ь2)
и т. д. Возможно говорить о сумме из одного слагаемого (дру¬
гое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене.
Тогда уже, конечно, название „многочлен" неуместно и употре¬

— 36 —
бляется название „одночлен". Каждый член любого многочлена,
взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры про¬
стейших одночленов:
2; — За; а3;	; — бж4; ab; а№;
2	3
—3abc;—а^Ъ; -g abc? и т. д.
Почти все одночлены из выше написанных являются произ¬
ведениями двух или более множителей, причем у большинства
из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в
одночлене — 3cibc имеется числовой множитель — 3 и буквенные
множители а, Ъ и с; в одночлене имеется числовой множи¬
тель-1-4 (знак-[-подразумевается) и буквенный множитель
и т. д. Еслн бы мы написали одночлен с несколькими число¬
выми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего
— 6. о2. Ъ.	с2,
то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые мно¬
жители оказались рядом, т.-е.
— 6. оя. Ъ. с®,
эти числовые множители перемножить — получим
— 4а* Ъ с* (точки, знаки умножения пропускаем).
Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой
множитель писать впереди. Пишут:
4 о, а не о4
— 3с?Ъ, а не о2 (— 3) Ъ
2	70	ТО 2
асгш а не air.— и т. п.
О	О
числовой множитель одночлена называется коэффициентом.
Если в одночлене не написан числовой множитель, например,
аЪ, то можно всегда его подразумевать. В самом деле
о = (-[-1).о; а& = (-[-1)а&
— а — (—1).а; а3 = (—1).а8 и т. п.
Итак, у одночленов ая, аЪ, аЬ2 подразумевается, у каждого,
коэффициент 1 (точнее:-[-1). Если напишем одночлены — аЪ,
— о2, — аЪ?ит. п., то у них должно подразумевать коэффициент— 1.

— 37 —
22.	Более сложные примеры многочленов и одно¬
членов.
(о-)-Ъ)3-)-3 (а — Ъ)3... эта формула выражает сумму двух
слагаемых: первым является квадрат суммы чисел а и Ъ, а вто¬
рым— произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел.
Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член
есть (о -{- Ъ)2 и второй 3 (о — Ъ)а. Если взять выражение (о -)- Ъ)а
отдельно, то, в силу предыдущего, его надо считать одночленом,
причем его коэффициент = -{- 1
a (Ь—1) — Ъ (a—1) — (о—1) (Ъ—1)... должно признать за
трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть а ф—1) и
его коэффициент = -(-1, второй член — Ь (о — 1), его коэф¬
фициента— 1, третий член — (о — 1) (b — 1), его коэффи¬
циент = — 1.
j/o+b —\/а — Ъ... должно признать за двучлен: первый
его член ~]/а-j-й, и его коэффициент = +1 (так как ~\/а-\-Ъ—
= (—J— 1) |/«—|— Ь); вторым членом является— ]/о — Ъ, и его
коэффициента — I (так как — j/а — Ъ). = (—i) j/0—Ъ
Мы знаем, что 23.	=	-g-. 23, следоват, вообще,^- == -^-.а.
Поэтому, у одночлена можно считать коэффициентом число 4-
О	^	О
Также точно — |г = (— |г) • х\ поэтому у одночлена — коэф-
»	1т	За , 3	2а£
фициентом служит число—1акже -д- —. а;	з~=
— ^ит. п.; поэтому у одночлена — коэффициент =
(3 \	2а:3	‘	2
или точнее: —]—g-)> У одночлена g- коэффициент = —^ и
так далее.
Многочлен
—^4-y+ff-dG+Vm
5	l/o + Ь	5(о —Ь)	(о	+	Ь)8

— 38 —
Состоит из четырех членов: первый член а- ^ можно пред¬
ставить в виде: ^4" ^ (а — Ъ), поэтому его коэффициент =
, 1	1
= 4- -г; второй член можно представить в виде
5	уо+Ь
I
(— 1).	j- т.-е. его коэффициент =—-1;	также у 3-го члена
2
коэффициент =-|-— и у 4-го коэф. =—1.
Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена.
Так трехчлен
а4-Ь + с
можно, например, разсматривать за двухчлен, причем а-\-Ъ,
например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это
яснее отметить, пользуются скобками:
(« + &) + с-
Тогда у члена (a -f- Ъ) подразумевается коэффициент -f-1
[в самом деле (а Ъ) — (-f-1) (а -|- Ъ)].
3
Также х-\-у-\-Ь (х-[-«/) — — (х-\-у)
можно рассматривать за трехчлен, первый член которого есть
х 4~ У) (У него коэффициент =	1),	второй	член -}- 5 {х -f- у)
з
(у него коэффициент = -j- 5) и третий член — -т {х-\-у) (у него
коэффициент = —
23.	Значение коэффициента.
1.	Целый положительный коэффициент. Пусть
имеем одночлен -|- 5а, так как положительное число 4" 5 счи¬
тается совпадающим с арифметическим числом 5, то
—|— 5а а. 5 —- а —а 4~ а —[— а -j— а.
Также -ф- 7ху2 — ху2.7 = ху2 -f - ху2 4~ ху2 4" ху2 4“ ХУ* 4~ ХУ*
4~ху2; 4~ За3 = а8. 3 = а34~ о84“ °3» Ч~ ^abe = аЪс 2 = abc 4- аЪс
и так далее.

— 39 —
На основании этих примеров мы можем установить, что целый
положительный коэффициент показывает, сколько
раз буквенный множитель (или: произведение буквенных
множителей) одночлена повторяется слагаемым.
К этому следует привыкнуть в такой степени, чтобы в вообра¬
жении сразу представлялось, что, напрнмер, в многочлене
3 а 4 а2 5 а3
сводится дело к тому, что сначала о повторяется 3 раза слагае¬
мым, затем о2 повторяется 4 раза слагаемым и затем о8 повто¬
ряется 5 раз слагаемым.
Также: 2а-\-$Ь-\-е = а-±-а-\-Ъ-^-Ъ-\-Ъ-\-с
а? -|- 2ху2 Зу3 = ж3 -р- ху* -р ху* 4- у3 -|- у3 -|- и т. п.
2.	Положительный дробный коэффициент. Пусть
3	3
имеем одночлен-|-| а. Так как положительное число -f-совпа¬
дает с арифметическим числом то -f- -^-а=а. а это значит:
надо взять три четвертых части от числа а, т.-е.
+ 3		 3   (( | О	I Q	. с\	0,
т	а	= а	. i =т -f i	-f т	(см. п°	3)
Также:	+f+f+ £+£
+ |.«{ = «'!>.I=fJ
1	2	м	7,9	2	аЬЗ	I аЬ2
+ 5 аЪ =аЬ2 И=-^+~Ь
Поэтому:	дробный	положительный	коэффициент	показывает,
сколько раз и какая часть буквенного множителя одночлена повто¬
ряется слагаемым.
Многочлен	. abc -}- ^ а%	а2Ъ -}- 2Ъс2
должно без затруднений представлять себе в виде:
abc , abc , abc . (fib а2Ъ . аЪ2 . аЪ2 . аЪ2 , . . . .
Т+Х+ 4- + Т + Т + -Г+ 8 +-8- +Ъс3 + ^3 и
тому подобное.
«

— 40 —
3.	Отрицательный коэффициент. Зная умножение
относительных чисел, мы легко установим, что, например,
(+5)	(—3) = (-5).(+3) или (_б).(—3) = (+б) (+3)
или вообще а . (— 3) = (— о) . (-{- 3); также а. ^	=
= (—«) • ( + |) и т- п-
Поэтому, если возьмем одночлен с отрицательным коэффи¬
циентом, например, — За, то
— За = а.(— 3) = (—а).(-J— 3) = (—а). 3= — а — а— а
(—а взято слагаемым 3 раза).
Также:
-т°=°-(-4) =(-«)• (+4) =—-4=-4-
а а
-4 *"=**(—4)=(-:^ • (+4)=(-ж8) • 4=-т-т
т. п.
Из этих примеров мы видим, что отрицательный коэффициент
показывает, сколько раз буквенная часть одночлена, или его
определенная доля, взятая со знаком минус, повторяется сла¬
гаемым.
Таким образом:
_ ,	2	,	ЗЬ2	,	,	,	,	,	а2	а*
— 5ао	^	а	— -g	=	— ab— ab—ab — аЪ — ab— -у	j	—
Ъ2	Ъ2	Ъ2
~1Г	5	—ТГ
Также:
Зж8— 2ж2 —^ =я8 + ж* + а:8 — я2 — х* —	^
„ 7 ЗаЬ2 -	-	2Ъс2	4ас2	al2
— 2 abc— —g— -j-4a2o-| g— g—= — abc—abc g
аЪ2	аЪ2	.	, .	,	.	, .	, , Ьс2	Ьс2	ас2	ас2
“ 5	5	f- а2Ь -}-	а2Ъ -J- а2Ъ -j- а2Ъ -j- -g-	g	—3—5-	-
ас2	ас2
5	g-	и	т. п.

— 41 —
24.	Приведение подобных членов многочлена. Б предыдущем
мы имели много примеров, в которых, при помощи нашего знания
о значении коэффициентов, мы более короткий многочлен заме¬
няли более длинным.
Ъх
Так, трехлен Зхз —2х2 g-был заменен восьмнчленом а:8-}-
ЯС SC X
ж8 -|-	— х2 — х2 g- — -g- — g-.Нов большинстве слу¬
чаев приходится пользоваться обратным преобразованием много¬
члена: пользуясь смыслом коэффициента, можно уменьшать число
членов многочлена. Бот простейшие примеры:
а-}-а-|-о-|-а — Ъ-— Ъ — Ъ = 4а — 3 Ъ
х — у — у-\-х — у — у-\-х=Ъх — 4у
,	^	Ol	I п I О а   Q „	3 о
а — -g —+ о +я — Y — За	8
Поясним, например, 2-ой пример. Мы видим, что в этом много¬
члене слагаемое (-f-x) повторяется три раза. Мы можем, пере¬
ставив члены многочлена, сделать так, чтобы эти три слагаемых
оказались рядом; тогда сумму -\-x-\-x-\-x мы можем заменить
одним членом, воспользовавшись коэффициентом -{- 3, т.-е. чле¬
ном Ъх. Далее мы получим, после указанной перестановки членов,
четыре слагаемых, написанных рядом —у — у — у — у, мы
можем, воспользовавшись коэффицентом — 4, заменить эти 4 члена
одним —4 у.
Вот еще несколько примеров:
,	2	С
— abc — ЗоЗ -|- ЪЪс2 -j- -g- ас2	g- ah2;
xt , Ж® хз 2-з ( я2 хз  Зх2 3x3
Т ' ~5 _ Т —Т+Т 4 Х Ъ Г~
Рассмотрим далее пример:
а — 2Ь -j- За — Ь~\-а — ЗЬ
X
-X

— 42 —
Зная значения коэффициентов, имеющихся у некоторых чле¬
нов этого многочлена, мы могли бы заменить второй член этого
многочлена —2b через — b — Ъ, третий член-j-За через-|-а-f-
-f-a-j-a и последний член — 36 через — 6 — 6 — 6, и тогда мы
увидали бы, что во всем многочлене а повторяется слагаемым
5 раз, что можно выразить коэффициентом-j-5, — 6 повторяется
слагаемы 6 раз, что можно выразить коэффициент — 6 при множи¬
теле 6, т.-е.
а — 26 -j- За -— 6 -(- а — 36 = 5а — 66
Также х-^-'дх — у — 1у-\-\\х — 2у-\-4х=2ох — Юг/
аз — За3 -j- 14аЗ — 2аЗ — 15аЗ — 5 а2
а , а 6	26 , 5а 7	3 ,
8"+8—5—5- + -8- = '8в-Т 1 И Т- П‘
Пусть теперь имеем двучлен
5а — 8а
Зная значение коэффициентов, мы видим, что
5a — 8a = a-j-a-j-a-j-a-[-a — а — а — а — а — а — а — а — а
Так как известно, что-j-a и — а взаимно уничтожаются (или
-j- a — a=zo), то предыдущая сумма сведется к — а — а — а или
в — За, т.-е.
5а — 8а = — За
Также
Ьх — 2x = x-j-x-j-x-^-x-j-x — х — х=3х.
Возьмем теперь многочлен
12а — 46 — 3c+4a-f 76 — 2с — 6а — 46 —5с.
Мы видим, что здесь сначала-j-а повторяется слагаемым
12 раз, затем 4 раза, а затем — а повторяется слагаемым 6 раз.
Так как—6а взаимно уничтожится с-|-6а, то остается после
этого-]-а, повторенное слагаемым 10 раз, т.-е. получим член-]- 10а.
Также члены — 46-J-76 — 46 вместе дадут лишь член — 6, а
члены — Зс—2с-]-5с взаимно уничтожатся. Поэтому
12а — 46 — Зс -]- 4а -]- 76 —-2с — 6а — 46 -f- 5с = 10а — 6.

— 43 —
Те упрощения многочленов, какие имели место в ряде преды¬
дущих примеров, называются приведением подобных чле¬
нов многочлена. Смысл этого преобразования состоит в том,
что мы можем в одном многочлене те члены, буквенные
множители которых совершенно одинаковы, заме¬
нять одним членом.
Эти члены, о которых здесь идет речь, имеющие одинаковых
буквенных множителей, называются подобными членами. Так,
3а-Ы п — 5о2&з суть подобные члены и их можно, еслп они
являются членами одного многочлена, заменить одним членом, но
члены Зозб и — Ьс&Ъ не суть подобные, ибо их буквенные
множители не одинаковы: у первого члена есть буквенный мно¬
житель оз, а у второго имеется множитель а2, но не аз, и эти
два члена, если они даже являются членами одного многочлена,
нельзя соединить в одни член.
Соединение подобных членов многочлена в один член и назы¬
вается приведением подобных членов многочлена.
Чтобы научиться быстрее выполнять это преобразование,
рассмотрим следующие 4 основных примера:
1) 12аЪ2 -(- 23оЬ2
2) — 7а3Ь2 — 8аЗ&2
3) 12021 —7а?Ъ
4) ЪаП>2—\1а2Ъ2
Зная значение входящих сюда коэффициентов, мы найдем
результаты:
12я&2 + 23еЛ3= ЗбаЬ3
' _ 7а%2 — 8 aW = — 15я%3
12 asb — 7 а2Ь = 5а?Ъ
6 еДО _ 11 а*1? = — 5 а3Ь3
Рассматривая эти результаты, мы прежде всего видим, что
при приведении подобных членов буквенные множители остаются
неизменными. Далее в 1-м примере у двух подобных членов
были коэффициенты —12 и	а у результата получился
коэф. —j— 35. Ясно, что пришлось коэффициенты приводимых по¬
добных членов сложить, также точно во 2-м примере были коэф¬
4* .

— 44 —
фициенты — 7 и — 8, а в результате коэф. = —15. Здесь также
пришлось выполнить сложение (абсолютные величины сложить и
приписать общий знак). В Б-м примере были коэффициенты -J-12
и — 7. а у результата получился коэффициент -(-5, в 4-м из
коэффиц. 4"® и —11 получился коэффиц. —5. Вспоминая, что
при сложении относительных чисел надо абсолютные их величины
вычитать арифметически (из большей меньшую) и брать знак
того числа, у которого абсолютная величина больше, мы придем
к заключению, что и в этих случаях коэффициенты приходится
складывать. Дело не меняется, если коэффициенты возьмем дроб¬
ные. Итак,
чтобы выполнить приведение подобных членов
многочлена (другими словами: чтобы все подобные члены
одного многочлена соединить в один), надо сложить их ко¬
эффициенты, а буквенные множители оставить без
изменения.
Конечно, если в многочлене 3 или более подобных членов, то
можно выполнять сложение их коэффициентов в любом порядке.
Примеры:
1) 3as_ 5_as_ 3 а— Т_аа—41аз— 1_а^_о|-а34- If « =
= а8 — а2.
Коэффициенты при членах с а8 суть	3,	— 4^-	и	-(- 2-~; их
сумма =-(-1. Поэтому в результате	у	члена	с	а8	должны
взять коэф. —(— 1, но 1 множителем не	пишется,	a	-f-	впереди
также не пишется, — получаем первый член о8. У членов с с3
5	7
коэффициенты суть'—— и —их сумма = —1. Поэтому полу-
3	1
чим член —о3. Наконец, у членов с о коэффиц. суть ——, —g
и -f- их сумма=о. Поэтому эти члены вовсе взаимно уни¬
чтожаются.
1	1	п,8	п7&	fiT$
2) _1аЬ»_з|о*Ь+^— ~ + 5а3й—а8— ™ = — al? +
+ 1 |а%-§<А

— 45 —
Здесь для удобства подобные члены подчеркнуты одинаковыми
знаками.
25.	Сложение и вычитание одночленов и многочленов. Формула
а-\-Ъ выражает сумму двух слагаемых, и, так как члены -|-а и
-(-6 не подобны, мы не можем заменить эту сумму каким-либо
более простым выражением: если члены не подобны, то их сло¬
жение можно только обозначать, но не выполнять. Но обозна¬
чать сложение можно более подробно, при помощи скобок, а
можно и без скобок; аналогичное имеет место и для вычитания.
Поэтому мы имеем:
Н~а) -Ь(-Ь^) = a-ffc: (Н~**)Н-(—Ъ)—а — Ъ
(-{- о) — (-)- Ъ) = а — Ъ; (-(- о) — (— b) ~ a -j- b.
Все эти равенства являются, в сущности, повторением тех,
какие приходилось писать, когда выполняли сложение и вычитание
относительных чисел, а именно в те моменты, когда мы раскры¬
вали скобки.
Также точно:
За3 -f- (-f- 4	За3 -f-4 |-«Ь8
За® -j- (— 4 i-ab2) = За3 —4 -|ab3
За3 — ff 4-lab3) = За3 —4-|ab3
За3 — (— 4| ab3) - За3 -f-4 |-ai3
Каждая буква означает какое-либо чнсло, каждый одночлен,
напр., — ^-|a^2i если выполнить все действия над числами, какпе
обозначены буквами, выражает также число. Следовательно, сюда
также применимы те правила для раскрытия скобок, какие были
установлены	при рассмотрении	сложения и вычитания	относитель¬
ных чисел — на	этом основании	и написаны предыдущие равенства.
Условно мы можем говорить, что этими равенствами опреде¬
ляется порядок, как выполнять сложение и вычитание одно¬
членов. Если бы эти одночлены оказались подобными, то в ре¬
зультате можно будет подобные члены соединить в один. Напр.:
— 2-|а3 — (— -|а3) — (—3-|as)+ (-fa3) -
= — 2-|-а3 -f g-a3+ 3-|а3+ а3 — °s -f

— 46 —
Так как каждый многочлен есть сумма составляющих его чле¬
нов, то сложение и вычитание многочленов сводится к постепен¬
ному прибавлейию Сили к вычитанию) к первому слагаемому всех
членов второго слагаемого (многочлена). Напр.:
а + (зЬ—2с— l-|d! 4- 5ej = a-\-3b — 2с — \\d+be
х3— [а?— Ц- х-\-2я?— l^j = x3—х?-\- ^х—2х3-{-1 =—я8—#2~Ь
+ ЪХ + 1
(5а3— ЗЬ3) + (ЗаЬ3— 2b3 — о3) = 5о3 — 3Ь3 -(- ЗаЬ2 — 2Ь3 — о3 =
= 4а3 — 513 -{- ЗаЬ2
(al? — За% — о3) — (ЗаЬ8 — ЗаРЪ — Ь3) = аЬ2— ЗаРЬ — а3 — ЗаЬ8 +
-|- 3 а8Ь Ь3 = 2аЬ8 — а3 -j-
Итак, при сложении первое слагаемое (одночлен или много¬
член) пишется без изменения и к нему постепенно приписывается
каждый член второго слагаемого (многочлена) с тем же самым
знаком, а при вычитании уменьшаемое (одночлен или многочлен)
пишется без изменения и к нему приписывается постепенно ка¬
ждый член вычитаемого с перемененным знаком; после этого, если
возможно, выполняется приведение подобных Членов.
В пояснение предыдущих примеров остановимся на втором
из них: уменьшаемое, одночлен х?, переписано без изменения, и
к нему приписаны постепенно все члены вычитаемого, причем у
каждого переменен знак. В самом деле, первый член вычитаемого
всть я? или — к уменьшаемому пришлось приписать — а;3;
5	5
второй член был—-^х,— пришлось приписать-f--qX и т. д.
26.	Мы можем смотреть на предыдущее, как на установление
порядка раскрытия скобок: если перед скобками знак -)-, то надо
все члены, стоящие в скобках, писать с теми же знаками, а если
перед скобками знак —, то — с обратными. Напр.:
— (ЗаЬ — а8 + Ь8) -f (— Ь8+аЬ— а8)— (2аЬ—За3 — 31?) ——ЗаЬ -f
4. о? — Ь3 — b8-f аЬ—g2—2ab-f За8 +ЗЬ2 = — 4аЬ -f За8 + р

— 47 —
Чтобы получше усвоить значение скобок, полезно упраж¬
няться в раскрытии скобок, если в выражении имеется несколько
пар различных скобок.
Примеры:
1.	os — [а8— 1 — (2а2 — а3)] -f [4 — (а — 2а2 — За3)] —
— а8— [а2— 1 — 2а2 -fa3] + [4 — o-f- 2а2 + За8] = а3 — а2 +1+
-(- 2а2 — а8 4 — а 2а8 За3 = За8 -(- За2 — a -j- 5.
Здесь сначала были раскрыты „маленькие" скобки, а затем
квадратные, после чего было выполнено приведение подобных
членов.
2.	xyz—\3y*z—(~xif—\yz2}+
- xyz — |зy2z — ^ху2 -f ~yz2 -f
Ъг/г—\ХУ2 —(\vzi—2УХ*) }=
}=
-§Jl2z — \xy2 — ~ijz2 -f 2xyz
— xyz — |зy2z — ^xif -f ~yz2 -f ^fz — ±xy2 —\yz2 + 2xyzJ =
— - xyz— ЗуЧ 4- \xy2 — ~yz2—\y2z-\-	—	2xyz —
— —xyz — S^y*z-f jxy2-f ~^yz2.
Сначала были раскрыты „маленькие** скобки, потом „квадрат¬
ные^, потом „вититые* и, наконец, выполнено приведение подоб¬
ных членов.
Мы уже видели, что можно несколько членов многочлена
счесть за одни член, для чего эти члены заключают в скобки.
Теперь является возможность делать это двумя способами: перед
скобками можно ставить или знак -}- (это имело место и в п°22)
или знак —. В согласии с тем, как раскрывать скобки, когда
перед ними стоит знак -}- или знак —, мы должны и при заклю¬
чении нескольких членов многочлена в скобки оставлять их с
теми же знаками, если перед скобками знак -|- и менять их
знаки, если перед скобками ставим знак —.
Например:
bcibc — 2а?Ъ -f- бас2 = -f- (3abc — 2а26 -|- бас2)	— (— ЗаЬс-f-
-|- 2 а?Ь — 5 ас2).

— 48 —
Последнее удобнее писать в виде — (2asb — 3abc — 5ас2).
Возьмем еще 4-хчлен и сделаем из него различными спосо¬
бами двухчлен
а — & —f— с — d — (о — Ь)	(г — d) = (а — Ь) — (d — с) ~
= — ф — а) (с — d)= — ф — о) — (d—c)=(a-j-c)-|-(—Ъ—d)~
= (a -f- с) — ф -j- d) = (а — d)-\- (с — Ъ) = (а — d) — ф — с) —
— И т. д.
27.	Умножение одночленов и многочленов. Если числа обознаг
чены различными буквами, то можно лишь обозначить их произ¬
ведение; пусть, напр., надо число а умножить на число Ъ, — мы
можем это обозначить или а. Ъ или ab, но не может быть и речи
о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение. Однако,
когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию
коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих
одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми
буквами, является возможность говорить о выполнении умножения
одночленов; еще шире такая возможность при многочленах. Раз¬
берем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная
с простейшего.
1.	Умножение степеней с одинаковыми основа¬
ниями. Пусть, напр., требуется о3. о5. Напишем, зная смысл
возведения в степень, то же самое подробпее:
а.а.а.а.а.а.а.а
Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас
написано о множителем 8 раз, или, короче, а8. Итак, а3. а5 = а8.
Пусть требуется Ъ*2. Ь№. Пришлось бы написать сначала
множитель Ъ 42 раза, а затем опять множитель Ъ 28 раз — в
общем, получили бы, что Ъ берется множителем 70 раз, т.-е. &70.
Итак, Ьа. Ь28 — Ът. Отсюда уже ясно, что при умножении степе¬
ней с одинаковыми основаниями основание степени остается без
перемены, а показатели стененей складываются. Если имеем а8. а,
то придется иметь в виду, что у множителя о подразумевается
показатель степени 1 („а в первой степени"), — следовательно,
а8 .а — а®.

— 49 —
Примеры: х.хъ.a? —a?-, a11.a22.a33=aee; З5 . З6 . 3 = З13;
(а -j- б)3. (а -|- 6)4 = (а —j— Ъ)1; (Зж — I)4. (Зя — 1) = (За: — I)5 и т. д.
Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели ко¬
торых обозначены буквами, напр., хп (х в степени п). С такими
выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:
ап . а = ап+1; an.a2 = an+s: ап . az — an+s и т. д.
Ьп-1.6 = 6"; bn~s. Ъ5 = Ъп+2', &П+2.Ь3 = 6"+5 и т. д.
хп . хп~1 = х2п~1; хп+2 .хп~2 = 2п ; хп . х%п .ж3** —х?п и т. д.
Поясним некоторые из этих примеров: bn~z.b5 надо основа¬
ние Ъ оставить без перемены, а показатели сложить, т.-е. (и—3)-f-
-f- (-(- 5) = n — 3 -)- 5 =; и -j- 2. Конечно, подобные сложения
должно научиться выполнять быстро в уме.
Еще пример: ж”+2.л:п—2, — основание х надо оставить без
перемены, а показателей сложить, т.-е. (п -f- 2) -j- (и — 2) =п-\-2-(-
-}- п — 2 = 2 п.
Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение
степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равен¬
ством :
ат . а" = аЯ|+п
2.	Умножение одночлена на одночлен. Пусть,
напр., требуется 3а2Ъяс. iab2d2. Мы видим, что здесь обозначено
точкою одно ужножение, но мы знаем, что этот же знак умно¬
жения подразумевается между 3 и а3, между о2 и б3, между 63
в с, между 4 и а, между а и Ы, между Ъ2 и d2. Поэтому мы
можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем пере¬
множить их любыми группами в любом порядке. Переставим их
так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями
оказались рядом, т.-е.
3 . 4. а2. а. Ъа. Ъ2. с. d2.
Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени
с одинаковыми основаниями и получим 12asb*cd2.
Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем пере¬
множить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а
остальные множители приходится переписывать без изменения.

— 50 —
Еще примеры:
—	• (— 24а?/8) = 22a6xys
—	‘	^\xz^ = — 8~хау^ и т. п.
Более сложные примеры:
-an+1 ft". 2\ а””1 ЪЪп . 0,1 ЪЫ=-\ с?п 69и-
— З#2”^.^— 2xn~^j . ^—4хп~^~*^ = — 24х*п~1 и т. п.
3.	Умножение многочлена на одно'член. Пусть надо
сначала какой-нибудь многочлен, напр., о—6— с —}— с? умножить
на положительное целое .число, напр., -ф-З. Так как положитель¬
ные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это
все равно, что (о — 6—-c-\-d) . 3, т.-е. a — 6— c-\-d взять
3 раза слагаемым, или
(о — 6— c-\-d) . (-(-3)=a — 6— с —}— cZ —|— a — 6— c-\-d-\-
-f- о—6 — c-\-d=3a — 3 6 — Зс -(- 3d,
т.-е. в результате пришлось каждый член многочлена умно¬
жить на 3 (или на -|- 3).
Отсюда вытекает:
(За—36 — 3c-(-3(?) : (-j-3) = a — 6■—c-\-d,
т.-е. пришлось каждый член многочлена разделить на (-{- 3).
Также, обобщая, получим:
(а —6 + с) : (+5)=-J — Aи т. п.
Пусть теперь надо (а — 6 — c-\-d) умножить на положитель-
з
ную дробь, напр., на -j-	.	Это	все	равно, что умножить на
3	3
арифметическую дробь что значит взять части от (а —
—Ъ — c-\-d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко:

— 51 —
/
надо (а— Ъ — с-f-t?) разделить на 5, а это уже умеем/де-
а	Ъ	с	(I Л
лать, — получим -g	g	g	—. Остается повторить полу¬
ченный результат 3 раза или умножить на 3, т.-е.
(^_b_c+a).(+|) = (o_6_0+,i).|=(£_|_|+^s=
 За	ЗЬ	Зс . 3d
— Ц	5“	5"> Т'
В результате мы видим, что пришлось каждый член много-
3	3
члена умножить на или на -I- т-.
D	О
Пусть теперь надо (а — Ъ — с —с?) умножить на отрицатель¬
ное число, целое или дробное,
напр., на ^Мы знаем, что а . ^—т) = (—«)•(+■!')•
Поэтому
(„_b_c+d).(_f)=_(a-6-c-fd).(+f)=
 s	I	jr	I	(	\	I	J ^
= (-“ + * + в-^Ч+'5)=—5- + Т+Г—Г’
т.-е. и в этом случае пришлось кяжлый член многочлена умно- ^
3
жить на—
о
Таким образом, какое бы ни было число т, всегда (а — 6 —
— е-|-<2) - т=ат — Ът — cmdm.
Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь
мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен — надо
каждый член многочлена умножить на этот одночлен.
Напр.: ^с® — За;2 — ^ а; j. (— 4х2у) = — 4х&у	12х*у -}- 2-i- х3у
пли
■g- а2я. (4ate3 — 6Ъ2сх2 -)- 8Ъс3х) =1-^ а3Ъх*—2-^- а2Ъ2схъ За2Ъс3х2;
(х2 — 2а; —j— 1) . 3хп=:3хп~^2 — Gxn^'1-\-3xn и т. д.

— 52 —
4.	Умножение многочлена на многочлен. Пусть
надо (а-\-Ъ-\-с) . (d -[- е). Так как d не означают числа, то и
{(1-\-ё) выражает какое-либо одно число.
Поэтому
{а-\-Ъ-\-с) . (d-\-e) = a(d-\-e)-\-b{d-\- e)-\-c(d-\-e)
(мы можем объяснить это и так: мы вправе d-\-e временно при¬
нять за одночлен).
Далее, выполняя ряд полученных умножений (одночлена на
многочлен), получим:
— ad -|- ае -(- М -(- Ъе -|- cd -)- се
В этом результате можно изменить порядок членов.
Получим:
(а-4-Ъ-(-с) . (d-j-е) = ad-(-Ы-(-cd-(-ае4~Ъе-4-се,
т.-е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый
член одного многочлена умножать на каждый член другого.
Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных чле¬
нов) умножить каждый член первого многочлена сперва на пер¬
вый член второго (на -)- d), затем на второй член второго (на 4 е),
затем, если бы он был, на третий п т. д.; п^сле этого следует
сделать приведение подобных членов.
Пример: ^4а6—2-|- агЬ3 — —■ ЪьJ . |4а3 — ab2 4 66s j =
= 16а8 — 10а5ft3 _ аз& _ 1-§•а662_[_	4 J. ay4 24as63 —
— 15a26® — 2 j b« — 16a8 -(- 14as&3 — i- aW — 1-| a662 -f
+ ^ obi — 15a266 — 2 i 6s-
1 20	4
28.	Рассмотрим случаи, более простые, но зато и чаще встре¬
чающиеся:
(Зж — 1) (2гс-j- 3) = 6a;s — 2х~\-9х — 3 = 6я247а: — 3
(За3 + 5а2) (4аз -J- 2а) = 12а3 -j- 20а4 4- 6а4 4 10а3 =
— 12a8426a*4l0a3

— 53 —
В этйх примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом
двучлене члены расположены по нисходящем степеням буквы,
общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выпол¬
нять в уме и сразу писать окончательный результат.
От умножения старшего члена первого двучлена на старший
член второго, т.-е. 4а;2 на За;, получим 12л3 старший член произ¬
ведения — ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от
степенью буквы х, т.-е. с х2. Легко видим, что такие члены по¬
лучатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й
член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на
2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выпол¬
нить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих
двух подобных членов (после чего получим член —19а;2)—дело
нетрудное. Затем замечаем, что следующий член, содержащий
букву х в степени еще на 1 меньшей, т.-е. х в 1-ой степенй,
получится только от умножения второго члена на второй, и ему
подобных не будет.
Еще пример: (а£-|-За;) (2а; — 7) = 2а;3 — х2 — 21а;.
Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:
Старший член получится от умножения старшего члена на
ставший, ему подобных членов не будет, и он = 2а3. Затем ищем,
от каких умножений получатся члены с а2 — от умножения 1-го
члена (а2) на 2-ой (—5) и от умножения второго члена'(—За)
на 1-ып (2а) — это указано внизу скобками; выполнив эти умно¬
жения и соединив полученные члены в один, получим — 11а2.
Затем ищем, от каких умножений получатся члены с а в первой
•степени — эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив
Напр.:
(4а;2 — 5а:) (За: — 1) = 12х3 — 19а2 -4 5jr.
перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1
(а2 —За —2) . (2а— 5)=2аЗ— 11а2 + 11а+ 10.

— 54 —
их и соединив полученные члены в один, получим-|-11а. Нако¬
нец, замечаем, что младший член произведения (-(-10), вовсе не
содержащий а, получится от перемножения младшего члена (— 2)
одного многочлена на младший члер (—5) другрго.
Еще пример :|(4а3 -(- За2 — 2а) . (За2 — 5а) = 12а5 — ца4 —
— 21а3-|-10а2.
Из всех предыдущих примеров мы также получим общин ре¬
зультат: старший член произведения получается всегда от пере¬
множения старших членов множителей, и подобных ему членов
быть не может; также младший член произведения получается
от перемножения младших членов мцожителей, и подобных ему
членов также быть не может.
Остальным членам, получаемым при умножении многочлена
на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться,
что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь стар¬
ший, и младший.
Вот примеры:
(а2 —|— аб —|— Ъ2) (а — Ъ) = а3 -|- аЯ> -)- ab2 — с&Ь — аЪ2 — Ы —
I	— а3 — Ъ3
(а2 — oZ) —J— Ъ2) (а -(- Ъ) = а3 — а2Ъ -(- af>2 -)- a2fc — а£2 -(- 53 =
= а3 -f-b3
(а3 —asfc —|— а&2 _)_ fe3) (а — Ъ) — а*— Ъ* (пишем только результат)
(х4— хЗ-\-хэ — я-|-1) (ж-f-1) = яг® —J— 1 и т. п.
Эти результаты достойны внимания и их полезно запомнить.
Особенно важен следующий случай умножения:
(а -)- Ъ)	(а — Ь) = а2 ab — ab — 52 =: а2 — Ъ2
ИЛИ	{х-\-у)	(X у) = Х% -)- Ху Ху у2=1Х2—у2
или	(ж-{-3)	(х—3) = х2 -Х-Зх—Зх — 9 =х2 ■—9 и	т.	п.
Во всех этих примерах, применяясь к арифметике, мы	имеем
произведение суммы двух чисел на их разность, а в результате
получается разность квадратов этих чисел.
Если мы увидим подобный случай, то уже нет нужды выпол¬
нять умножение подробно, как это делалось выше, а можно сразу
написать результат.

— 55 —
Напр., (За -|-1) . (За—1). Здесь первый множитель, с точки
зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число есть
За и второе 1, а второй множитель есть разность тех же чисел;
потому в результате должно получиться: квадрат первого числа
(т.-е. За. За = 9а2) минус квадрат второго числа (1.1 = 1), т.-е.
(За1) . (За—1) = 9а2 —1.
Также (ж+ -|) ■ (ж —§■) = ж2 — -j
(iab — 5) . {аЪ-\-Ь)—а^ — 25 и т. п.
Итак, запомним
(а —|— Ь) (а — Ь) = а2— Ь2
т.-е. произведение суммы и двух чисел на их раз¬
ность равно разности квадратов этих чисел.
29.	Возведение одночленов в степень.
. Мы легко найдем:
(5аЩ2 = 5a3b . 5а3Ъ — 25ае£>2
^—3-i- a6fcnj2 ==-— 3Sasbn. ^—8^-а56"^ =-)- 12-ia10fc2” и т. п.
Однако, следует писать результат сразу, не записывая проме¬
жуточных умножений, напр.
(— ab2c3)2 = -)- а264с6 и т. п.
Наблюдая выполненные примеры, мы придем к заключению,
что при возведении одночлена в квадрат следует: 1) возвести
в квадрат его коэффициент и 2) показателя степени каждого мно¬
жителя удвоить (или умножить на 2).
Также
(5a3fc)s = 5а3Ь. 5а3Ъ . 5а3Ь~125а913
(— 2ой4)з = — 2аЫ . (— 2ab*) . (— 2ab*) = — 8a3fc12 и т. п.
Из этих примеров мы придем к заключению, что при возве¬
дении одночлена в куб следует коэффициент возвести в куб, а
показателя степени каждого множителя умножить на 3.

— 56 —
Результат следует писать сразу.
Напр.,
^4= 4“ -g-«с612 и т. п.
Теперь уже не трудно сообразить, что при возведении одно¬
члена, напр., в 5-ую степень следует коэффициент возвести в 5-ую
степень, а показателей степеней каждого множителя умножить
на 5 и т. п.
(а3)5 — а15; (ж4)4 — а*16; (?/5)6 — у30
и вообще (am)n = amn, т.-е.
при возведении степени в новую степень показатели перемно¬
жаются.
Также:
(4 2об3)* = -f 32аь&1ь; (— 2об3)3 = — 32а5615
(-f 2a63)« = 4-64ae618; (— 2a№f = -j- 64a36i8 и т. п.
30.	Возведение многочленов в квадрат.
Рассмотрим теперь возведение в квадрат двучлена и, приме¬
няясь к арифметической точке зрения, будем говорить о квад¬
рате суммы, т.-е. (а + Ь)2 и о квадрате разности двух чисел, т.-е.
(а —6)2.
Так как (а 4- 6)2 = (а 4 Ь) . {а 4 6),
то найдем: (а46) . {а-\~Ъ') = а3-\-аЪ-\-аЬ-\-Ы=а^-\-2аЪ-\-Ыу
т.-е.
(а 4~ Ь)2 — aS Ч- 2 аЬ4 Ь2
Этот результат полезно запомнить и в виде вышенаписанного
равенства и словами: квадрат суммы двух чисел равен
квадрату первого числа плюс произведение двоикй
на первое число и на второе число, плюс квадрат
второго числа.
Зная этот результат, мы можем сразу написать, напр.:
О* + У)2 —	+ 2зУ + У2
(Заб 4,1)2 — 9а2&г 4 баб 4 1
(ьх3 4 i-ja — 25tf 4 Ъх3 4 i
(хп 4 4ж)2 = #2" _|_ 8ж" + 1 4 16#2 и Т. П.

— 57 —
Разберем второй из этих примеров. Нам требуется возвести
в квадрат сумму двух чисел: первое число есть 3ой, второе 1.
Должно получиться: 1) квадрат первого числа, т.-е. (3ой)2, что
равно 9а2?/-; 2) произведение двойки на первое число и на вто¬
рое, т.-е. 2. Зай. L= бай; 3) квадрат 2-го числа, т.-е. I2 = 1 —
— все эти три члена должно сложить между собою.
Совершенно также получим формулу для возведения в квад¬
рат разности двух чисел, т.-е. д^я (а—й)2;
(а — й)2 = (а — й) (а — Ъ) = а% — аЪ — ай	й2 =
= а2 — 2ай й2.
Итак, J
(а — Ь)2 = а2 — 2аЬ -j- Ь2,
т.-е. квадрат разности двух чисел равен квадрату
первого числа, минус произведение двойки на
первое число и на второе, плюс квадрат второго
числа.
Зная этот результат, мы можем сразу выполнять возведение
в квадрат двучленов, представляющих сточки зрения арифметики
разность двух чисел.
Напр.:
(т — «)2 = ж2 — 2 тп -)- и2
(бой3 — За2й)2 = 25а2й® — 30а8й* -j- 9а4й2
(й» —	=	Ы	—	ЗЬ3	-J- 2-j
(ап~1 — а)2 = а2п—2—2а”-f-а2 и т. п.
Поясним 2-ой пример. Здесь мы имеем в скобках разность
двух чисел: первое число 5ай8 и второе число За2й. В резуль¬
тате должно получиться:	1) квадрат ‘первого числа, т.-е.
(5ай3)2 = 25а2й6, 2) произведение двойки на 1-ое и на 2-ое число,
т.-е. 2 . 5ай3. За2й = 30а8й4 и 3) квадрат 2-го числа, т.-е. (За2й)2 =
= 9а4й2; первый и третий члены надо взять с плюсом, а 2-ой с
минусом, получим 25а2й®— 30а8й4	9а4й2. В пояснение 4-го при¬
мера заметим лишь, что 1) (а”—а)2 = а2”-2... надо показателя
степени умножить на 2 и 2) произведение двойки на 1-ое число
и на 2-ое = 2 . ап~1 а — 2 а”.
5

— 58 —
Если встать на точку зрения алгебры, то оба равенства:
1)	(ct —j— b)z = «2 _|— 2ctZ> —)— Ь2 и 2) (а — Ъ)2 = а2— 2аЬ -f- Ъ2щвыра¬
жают одно и тоже, а именно: квадрат двучлена равен квадрату
первого члена, плюс произведение числа (-(-2) на первый член
и на второй, плюс квадрат второго члена. Это ясно, потому что
наши равенства можно переписать в виде:
1) (а + Щ2 = (~f- а)2 + ( +2) • (+а) (+&) + (+&)2
и 2) (а-Ъ)2 = (+ а)2 + (+2) (+а) (-fc) + (-fc)2
В некоторых случаях так именно и удобно толковать получен¬
ные равенства:
(_4a-3fc)3 = (-4a)2-K(+2) (-4a) (- 36) + (- 36)*
Здесь возводится в квадрат двучлен, первый член кото¬
рого = — 4а и второй = — 3Ъ. Далее мы получим: (—4а)2 =
= 16а2, (—j— 2) (—4а) (—36) =-)-24af>, (—3fc)2=9f>2 и окон¬
чательно:
(_ 4 а — Щ2 = 16а2	24afc -f 9fc*
Возможно было бы также получить и запомнить формулу для
возведения в квадрат трехчлена, четырехчлена и вообще любого
многочлена. Однако, мы этого делать не будем, ибо применять
эти формулы приходится редко, а если понадобится какой-либо
многочлен (кроме двучлена) возвести в квадрат, то станем сводить
дело к умножению. Например:
(а8 — 2а;2 + За; — I)2 = (ж® — 2а;2 + 3* — 1) (ж8 — 2а;2 -f За; — 1) =
— а;®— 2жв-|-3#4 — ж8—2хР-\-4:Х* — 6ж8 -|- 2х2 -|- З#4 — 6а^ -f-
-J- 9а;2 — За; — ж8 -j- 2а;2 — За; -f- 1 = з? — 4а^ -J- 10а^ — 14ж? -J-
-f-13а;2—6а;-fl.
31.. Применим полученные 3 равенства, а именно:
(а-|-Ь) (а — Ъ)=а2 — Ъ2
(а 4~ Ь)2 = а2 4~ 2 аЪ 4- Ь*
(а — Ь')2 = а2 — 2аЪ-\-Ъ2
к арифметике.

— 59 —
Пусть надо 41.39. Тогда мы можем это представить в виде
{40 -|-1) (40 — 1) й свести дело к первому равенству — получим
402 — 1 или 1600 —1 = 1599. Благодаря этому, легко выполнять
в уме умножения вроде 21.19 ; 22.18; 31.29; 32. 28; 71. 69
и т. д.
Пусть надо 41.41; это все равно, что 412 или (40 -(-1)2 =
=1600 + 80 +1 = 1681.Также 35.35 = 352 = (30 + 5)2 = 900 4
-)-300-|-25 = 1225. Если надо 37.37, то это равно (40 — 3)2 =
= 1600 —240-)-9 = 1369. Подобные умножения (или возведение
в квадрат двузначных чисел) легко выполнять, при некотором
навыке, в уме.
32.	Возведение многочленов в куб. Станем опять
сначала на точку зрения арифметики и рассмотрим возведение в
куб суммы и разности двух чисел. Получим:
1) (о -f б)8 = (а -f б)2. (а -|— б) = (а2 + 2аб + б2) . (а + б) = а® 4
+ 2 а2б + аб2 -f а2б -)- 2 аб2 + fc8 = о3 + 3 а2б + Заб2 + б3
2) *(а — б)3 = (а — б)2. (а — б) = (а2 — 2аб б2) (а — б) = а8 —
— 2а2б -(- аб2 — а2б -)- 2аб2 — б8 = а8 — За2б -|- З^б2 — б8
Итак:
1) (а -f ЬУ> = а3 + За2Ь ЗаЬ2 Ь3
2) (а — Ы3 = а3 — За2Ь -|- ЗаЬ2 — Ь8
Словами эти равенства читаются так:
1) Куб суммы двух чисел равняется кубу пер¬
вого числа, плюс произведение тройки на квадрат
первого числа и на второе число, плюс произве¬
дение тройки на первое число и на квадрат вто¬
рого числа, плюс куб второго числа.
2) Куб разности двух чисел равен кубу первого
числа, минус произведение тройки на квадратпер-
вого числа и на второе, плюс произведение тройки
на первое число и на кЬадрат второго, минус куб
второго числа.
Теперь мы можем сразу написать, что, например,
(2а -f Зб)8 = 8а8-\- 36а2б -f 54аб2 + 276е
(а3— 1)3 = й* — За* 4- За2 — 1
(2а3б — За)3 = ЪаЧ? — 36а7б2 -)- 54а5б — 27а3
,5*

— 60 —
Здесь сначала написан куб первого числа, т.-е. (2а86)з, a
это = 8а9бз, затем „минус произведение 3 на квадрат первого -
числа и на второе*, т.-е. — З.(2а3б)2. (За)=;— 3.4а662 . 3а =
— — 36а762, затем „плюс произведение тройки на первое число
и на квадрат второго", т.-е. + 3 (2аЗб). (За)2 = -f- 3. 2аЗб. 9а2 =
= 54а% наконец, „минус куб второго числа", т.-е. — (За)з = —
— 27аЗ.
(^4-l)8t=x15 + a;10 + i-z5-4-i и т. д.
3	3^.1
Мы можем наши равенства переписать в виде:
1)	(а + й)3 = (+а)з + (-[-3) (—J— a)2 (—]— Ь) —(—|—	(-)-a)	(—J— Ь)2—|—
+ (+6)з
3)	(а — Ъ)з = (+ а)з -j- (+ 3) (+ а)2 (— Ъ) + (-j- 3j (-j- a) (— 6)2+
+ (-6)з
и читаем их так:
Куб двучлена равен кубу первого члена, плюс
произведение числа (+ 3) на квадрат первого
члена и на второй, плюс* произведение числа (+ 3)
на первый член и на квадрат второго, плюс куб
второгочлена.
Например: (—За4—аб)3 = (—За4)з-|-(+3) (—За4)2 (—а6)4-
+ (— За4) (— аб)2 + (— а6)з - — 27а12 — 27а®6 — За562 — а3бз
и т. п.
Если потребуется возвести в куб трехчлен1, то можно или
сводить дело к умножению
[Например: (я2 — 2ж — 1)з = (a-2 — 2ж — 1) (ж2 — 2ж — 1) (ж2 —
— 2ж—1) = ...]
или, приняв временно два члена (лучше первые два) за одно
«пело, свести дело к возведению в куб двучлена:
\з?- — 2х — 1)3 = (Ж2__ 2х)з — з (ж2 — 2ж)2 + 3 (ж2 — 2ж) — 1 =
примем ва
«дно число
= ж« — Ъхь-\-\2&— 8жЗ — 3. (ж4— 4жЗ—)-4ж2)+3 (ж2 —2ж) —
— 1 = . . . . (Надо выполнить остающиеся умножения и сделать
приведение подобных членов).

— 61 —
4
33.	Деление степенен с одинаковыми основани¬
ями и деление одночленов. Пусть надо а9:аз; здесь, со¬
гласно смыслу деления, дано произведение = а9 и дан один мно¬
житель =а3. Надо найти другой множитель. Напишем данное
произведение (а9) подробнее
а.а.а.а.а.а.а.а.а
в отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т.-е. аз
или а.а.а. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно
осталось неподчеркнутым
CL л CL • CL * CL я CL • СЬу
что = а®. Итак,
а9: аз = а6.
Пусть надо li7:118. Данное произведение есть f>*7 или такое
произведение, где Ъ повторяется множителем 47 раз; отделим
один данный множитель, fcis, или произведение, где Ъ повторяется
18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множите¬
лем является произведение, где Ь повторяется 29 раз множите¬
лем, т.-е. Ь2®. Итак, fc47:fcis — Ъ29.
Также
•	/£>15	■	/£>5 - j|i>iO
(а + Ъ)1: (a -f Ъ) = (а -f Ъ)6
323:320 — 33 = 27 и т. д.
Вообще
am: a” - am-n (если m >■ n)
или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями
основание степени остается без изменения, а показатель’ дели¬
теля вычитается из показателя делимого (если показатель дели¬
мого больше показателя делителя).
Пусть теперь надо
20сРЪ*с2й: Ъа?Ыс^.
Здесь дано произведение (20o5b*csd) и один множитель
надо найти другой множитель. У произведения коэффи¬
циент (-j- 20), он получился от умножения коэффициента данного

— 62 —
множителя (-|- 5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы
найти этот коэффициент, надо (-j- 20): (-{- 5), получим -J- 4. В дан¬
ном произведении а взято множителем 5 раз, в данном множи¬
теле а входит множителем S раза. Поэтому в искомом множителе
а должно входить множителем 2 раза, т.-е. в искомом множителе
должно быть о®. В данном произведении Ъ берется множителем
4 раза, а в данном множителе — 3 раза; следовательно, в иско¬
мом множителе Ъ должно входить множителем лишь 1 раз. В дан¬
ном произведении имеем с® (с берется множителем 2 раза) и в
данном множителе имеем с2. Поэтому в искомом множителе с не
должно новее входить. В данном произведении имеется множи¬
тель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно
иметься в искомом множителе. Итак,
20asb*c2d: ba&tec* = 4a2bd.
Еще примеры:
— ^ ах1у^: ^— 2-jj- ах* ] — хЪУ2
2 i-oi2c3:(— 56с2) г: - —1-abc
в
— 15 а*Ъз : ^ а?Ъз — — 30
Л
— 3 i ахз:^ — 3^-ax^j = 1 и т. д.
В предыдущем встречались деления, вроде c2:c*;a:a;№:№;
— 3 i ахз: ^ — 3 ax^j и т. д. Здесь уместно заметить, что
частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда
равно 1.
34.	Деление многочлена на одночлен. Пусть тре¬
буется
(баз&2 | а2&з_ 8^ . 3 аЪк
Здесь дано произведение ^бозбз	— а?Ьз — ~ ab^j и один мно-
з
житель -j- аЪ2, — надо найти другой множитель. Прежде всего
ясно, что искомый множитель, или частное, должен быть трех¬
членом. Первый его член, умноженный на данного множителя

— 63 —
-г ab2, должен быть первый член данного произведения, т.-е. 6а3^
О	г
Поэтому первый член искомого частного получится, если выпол-
з
нить деление 6а®Ь2;^-а62; также второй член частного полу-
3	3
чится от деления -}- -g а?Ы на -g- аЫ и третий от деления —
3	в
— ab* на -г аЬг. Эти деления легко выполнить и получим
О	и
^6аЗ&2	^	а263—:-g-abs= 10а2-|-аЬ — Ь2.
Также:
(ж* — Зж—2): 6= i ж2 — i-ж—	i-
^а363 — i а2_|_ i-ab*^	: (—	——6a26	-}- 3ai2 — 2Ь3
(an—2a”-i-f-4an-2—Sa^^rSaz^a*-1—i-aи~2-|-
-|--^-an— 3 — an—* и т. n.
Все эти примеры позволяют установить: при делении много¬
члена на одночлен надо каждый член многочлена делить на
одночлен.
35.	Деление многочлена на многочлен. Пусть
требуе'дея
(2ж3 — 7ж2 —|— ж —(— 1) г (2ж — 1).
Здесь дано произведение (2ж3 — 7ж2-]-ж-(-1) и один множи¬
тель (2ж—1), — надо найти другой множитель. В данном при¬
мере сразу ясно (но вообще этого установить нельзя), что и дру¬
гой, искомый, множитель, или частное, есть многочлен. Это ясно
потому, что данное произведение имеет 4 члена, а данный мно¬
житель лишь 2. Однако, сказать заранее, сколько членов у иско¬
мого множителя,—нельзя: может быть 2 члена, 3 члена и т. д.
Вспоминая, что старший член произведения всегда получается
от умножения старшего члена одного множителя на старший
член другого (см. умножение многочлена на многочлен) и что
членов, подобных этому, быть не может, мы уверены, что 2ж3
(старший член данного произведения) получился от умножения 2ж

— 64 —
(старший член данного множителя) на неизвестный старший член
искомого множителя. Чтобы найти последний, придется, следо¬
вательно, разделить 2а;з на 2х— получим х2. Это и есть старший
член частного.
Вспомним затем, что при умножении многочлена на много¬
член приходится каждый член одного многочлена умножать на
каждый член другого. Поэтому данное произведение (2а;з — 7.г2-|-
-\-x-\-\) представляет собою произведение делителя (2х — 1) на
все члены частного. Но мы можем теперь найти произведение де¬
лителя на первый (старший) член частного, т.-е. (2х—1).х2;
получим 2жЗ — х2. Зная произведение делителя на все члены
частного (оно = 2жз — 7я3	1) и зная произведение дели¬
теля на 1-ый член частного (оно = 2я3 — х2), вычитанием мы мо¬
жем найти произведение делителя на все остальные, кроме 1-го,
члены частного. Получим
(2жЗ — 7^2 х 1) — (2жз — х?) = 2а;3 — 7з$ -)- х 1 — 2aj3 -)-
-|- х* = — 6х2 -j- х	1.
Старший член (—6#2) этого оставшегося произведения дол¬
жен представлять собою произведение старшего члена делителя
(2х) на старший член остального (кроме 1-го члена) частного.
Отсюда найдем старший член остального частного. ‘Надо —
— Зх2: 2х, получим — Зх. Это и есть 2-ой член искомого част¬
ного. Мы можем опять найти произведение делителя (2х — 1) на
второй, только что найденный, член частного, т.-е. на — Sx.
Получим (2х — 1). (— Зх) = — 6х2 -j- Зх. Из всего данного
произведения мы уже вычли произведение делителя на 1-ый член
частного и получили остаток — 6х* —{— д: —f— 1, представляющий со¬
бою произведение делителя на остальные, кроме 1-го, члены
частного. Вычитая из него только что найденное произве¬
дение — 6х* -f- Зх, получим остаток, представляющий собою произ¬
ведение делителя на все остальные, кроме 1-го и 2-го, члены
частного:	в
—	1—	(—	6х*	-f	Зх)	=	—	5ж2	х	-f	1	-f	ба*	—	Ъх=
=—2.с-}-1.

— 65 —
Разделив старший член этого оставшегося произведения (— 2л;)
на старший член делителя (2ж), получим старший член осталь¬
ного частного, или его третий член, (—2х):2х = — 1, — это и
есть 3-ий член частного.
Умножив на него делителя, получим
(2а;— 1).(— 1) = — 2х-\-1.
Вычтя это произведение делителя на 3-й член частного из
всего оставшегося до сих пор произведения, т.-е.
(— 2а: + 1) — (— 2ж + 1) = — 2а; + 1+2® —1=0, ''
мы увидим, что в нашем примере произведение делителя на
остальные, кроме 1-го, 2-го и 3-го, члены частного =0, откуда
заключаем, что у частного больше членов нет, т.-е.
(2ж3 — 7х*-\-х-\-1): {2.x— 1) = л;2— За;— 1.
Из предыдущего мы видим: 1) удобно располагать члены дели*
мого и делителя по нисходящим степеням, 2) необходимо уста¬
новить какой-либо порядок для выполнения вычислений. Таким
удобным порядком можно считать тот, который употребляется в
арифметике при делении многозначных чисел. Следуя ему, все
предыдущие вычисления расположим так (сбоку даны еще краткие
пояснения):
Произведение делителя | о^з 7а;2 | х \ 1
на все члены частного. (
м
Проиаведение делителя (	2а:3	lb	х2
■ на 1-й член частного.
2а; —1
х2— За;—1
Проиаведение делителя j
\
| — 6а;1 + За;
на остальные члены | — 6а;2 -)- х -}- 1
частного.
Произведение делителя
на 2-й член частного.
Произведение делителя г
на остальные, кроме 1-го < —2 л;+ 1
и 2-го, члеь'ы частного. I
Произведение делителя I +	—
на 3-й член частного. 1	2а:	-г	1

— 66 —
Те вычитания, какие здесь нужны, выполняются переменою
знаков у членов вычитаемого, причем эти перемененные знаки
пишутся сверху.
, .-Так, написано
Это значит: вычитаемое было 2хъ—х2, а после перемены знаков
получили —2л?-\-х2.
Благодаря принятому расположению вычислений, благодаря
тому, что члены делимого и делителя расположены по нисходя¬
щим степеням и благодаря тому, что степени буквы х в обоих
многочленах идут, понижаясь всякий раз на 1, оказалось, что
подобные члены приходятся написанными друг под другом (напр.: '
— 1х2 и	почему	легко	выполнить	их	приведение.	Можно
подметить, что не все члены делимого нужны во всякий момент
вычисления. Напр., член -(-1 не нужен в тот момент, где был
найден 2-й член частного, и эту часть вычислений можно упро¬
стить.
Еще примеры:
1. (2а* — 3ab* — Ъ* — 3а2Ъ2): (Ъ2 —}— а2 —(— аЬ).
Расположим по нисходящим степеням буквы а и делимое и
делитель:
Бместо
пишут
2d4—агЪ2 — 3 аЪ3 — Ы	а2ab Ъ2 1
— 2а* + 2а2Ъ+2а2Ъ2	2а2—2аЬ~Ъ2
— 2а8Ь—3 а2Ъ2—ЗаЪ3
— 2 а*Ь ± 2 а2Ъ2 + 2 аЬ»
— а2Ъ2—аЬ8—6*
±a2b8 + aS3 + 64
О

— С7 —
(Заметим, что здесь, благодаря отсутствию в делимом члена с а3,
в первом вычитании оказалось, что подписаны друг под другом не
подобные члены — а2Ъ2 и — 2а3Ъ. Конечно, они не могут быть приве¬
дены в один член и написаны под чертою оба по старшинству).
2.
а2 — 1
3.
а*—1
a1 i а*
а*—1
a4 dr а2
а2_1
а2Х1
О
а» + 2_4 а” — 4а” 1 — а” 2
— о" + 2 + 2о" + 1+о"
_ 2ап +1 — 5а” — 4а” ~1
i 2 а” +1 i 4а” + 2п” — *'
а4 _|_ a2 -j- 1
ап —2ап ^ — ап ^
- а” — 2 а'
,и — 1
- аТ
i а" + 2а” — 1 + а” — 2	•
О
В обоих примерах надо внимательнее относиться к подобным
членам: 1) друг под другом часто оказываются написанными не
подобные члены и 2) иногда (как, напр., в последнем примере,
члены — 4а” и — а” при первом вычитании) подобные члены
выходят написанными не друг под другом.
Возможно выполнять деление многочленов в ином порядке,
а именно: всякий раз разыскивать младший член или всего или
остающегося частного. Удобно в этом случае располагать данные
многочлены по восходящим степеням какой-либо буквы. Напр.:
а— 6а2 -}- 4аЗ 15а4
—а±3а2
— 3a2-f-4a*
± За2 + 9а3
— 5аЗ-)-15а4
± 5а3 ц! 15а4
а — За2
1 — За —г 5а2

— 68 —
36.	Алгебраические дроби. Деление многочленов
с остатком. Те случаи деления, какие мы не можем выпол¬
нить, дают повод ввести в дело ал ге б рай чески е дроби
(подобно тому, как это было в арифметике). Так а: Ъ =
а2:аь=~■ ЗаЬ3: 4Ь2с3 =	; ЗаЬ:(о4-6)— ^ и т. п.
а5	4Ь2с3	1	а-\-Ъ
Пояснения. Во 2-м примере (а2:а5) произведение а2 и
один множитель а5 — нельзя этот множитель выделить в данном
произведении. В 3-м примере нельзя выполнить деление потому,
что в делителе есть буква с, какой нет в делимом. В 4-м при¬
мере деление не выполнимо потому, что не может от умножения
многочлена (а-|-Ь) на одночлен или многочлен в произведении
получится одночлен ЗаЬ.
Алгебраические дроби разделяются на одночленные (и числи¬
тель и знаменатель — одночлены) и на многочленные (или числи¬
тель—многочлен, или знаменатель — многочлен, или оба они —
многочлены). В предыдущих примерах 3 первых дроби — одно¬
членные, последняя — многочленная.
Пусть требуется
(ж24-5а: + 7):(ж +3).
Выполняем деление:
х-}-3
~я2 + 3х ж+2
2гс—7
2ж + 6
>
1	I
Видим, что дальше продолжать деление нельзя, так как 1 не
делится на старший член делителя х. Поэтому мы можем сказать,
что от этого деления в остатке получается 1. Полное частное
должно быть представлено в виде ж —|— 2	) (подобно тому,
х —j— 3
как в арифметике 57:8 = 7-^- (полнее 7 —(—g*)-

— 69 —
Также
(За3 — 7а2й — 2ай2): (а2 — 2ab — й2) = За — Ъ
— ай2 — й3
а2 — 2ай — й2
или
:=3а—ft-
ай3	Ъ3
а2 — 2ай — Ы
Несколько сложнее обстоит дело со случаем деления много¬
членов с остатком, если располагают эти многочлены по восхо¬
дящим степеням какой-либо буквы. На этом мы останавливаться
не будем.
37.	Особые случаи деления многочленов. Прежде
всего нам ясно, что (а — Ь): (а — й) = 1. Мы можем записать это
и так: (а1 — й1): (а — Ъ)— 1. рассмотрим теперь деление (а2 — №)■
также на (а — й). Мы знаем, что (a -f- й) (а —Ъ) = а2 — й2. Отсюда
мы заключаем, что (а2 — Ь2)". (а — й) = а -f- Ъ. Выполним затем
еще ряд делений:
а3—Ъ3
— a3i а2й
а2й—й®
— а2й+ай2
ай2—й3
— ай2 ± й3
О
и т. д.
а — й
а2 -)- ай -j- й2
а*—й4
— a4 i а3й
а3й— й4
—а3й±а2й2
а2й2 —й4
—а2й2^Ьй«3
ай3—й4
— ай® i й4
О
а — й
a® -j- а2й -j- ай2 -|- й3
Соединяя все эти примеры вместе, получим:
(а1 — й1): (а — й) = 1
(а2 — й2): (а — й) = а -f- й
(а3 — й3): (а — й) = а2 -j- ай -|- й2
(а4— й4):(а — й) = а3 -|- а2й -|- ай2 -J- й3
Нам становится после этого ясным, что мы можем этот ряд
продолжить и написать частное сразу, не выполняя самого деле¬

— 70 —
ния: мы сообразим, руководясь предыдущим, что при делении
(а5 — 65) на (а — Ъ) получится ,в частном 5 членов, из них
1-й должен быть о4, следующий а3Ъ и т. д., причем степень
буквы а всякий раз понижается на J, а степень буквы Ъ повы¬
шается на 1, — последний член должен быть Ъ*, т.-е.
(а8 — Ь8): (а—Ъ) = а* -|- а3Ъ -|- а3Ъ3 -j- aba -f - Ъ*,
также и дальше
(а6 — Ъв): (а — Ь) = а® —|— а*Ь а»63 -|- а?Ъ3 -}- аЫ -}- Ъ6
Все эти упражнения позволяют нам сделать общее заключение:
разность любых одинаковых степеней двух чисел
делится на разность этих чисел без остатка, причем
частное составляется по определенному закону.
Мы можем под влиянием этих примеров попытаться разобрать
ряды делений, аналогичных предыдущим. Напр.: (a -f- Ъ): (а -f- 6);
(а3 -f- Ъ3): (а -f- Ъ); (а3 -f- Ъ3): (а Ъ); (а* -{- Ь4): (о -|— Ь) и т. д. Прежде
всего очевидно
(а1 -f-Ь1): (а -f- Ъ) = 1.
Дальнейшие примеры должно проделать:
о2 + Ь2
— а2 ip аЪ
— ob-f-b2
±аЬ±Ь2
а+Ь
а — Ъ
-j- 2 Ь2 (остаток)
о4+Ь*
— а4 + а3Ъ
а3-\-Ъ3
— а3 + а2Ь
—а£Ъ-\-Ъ3
+д2Ь±аЬ2
оЬ2 —Ь3
— аЬ* + Ъ3
a-f-Ь
а2 — аЪ-1- Ъ3
О
а-|-Ь
а8 — аРЬ -|- аЬ3 — Ъ3
— а3Ъ-\~Ъ*
±026 + 0 262
о262—64
— а3Ъ3 + об*
— аЪ3-\-Ъ*
— cib3 ± Ъ*
2Ы (остаток) и т. д.

— 71 —
Соединяя эти примеры, получим:
(а1 -j- 61): (а -)- 6) = 1
262
(а2 + 62) :(а + 6) =а—Ъ-\
о + Ь
(аз + 63): (а + 6) = а® — аб + 6>
*2б4
(а4 + 64): (а + 6) = а2— а26 + а62 — 6» ■'
0+6
Мы также замечаем, что теперь возможно продолжить эти
деления, причем результат мы можем написать сразу, не выпол¬
няя самого деления:
(о5 + 65): (а + 6) = а4 — аЗб + а262 — абз + б4
26®
(а® + 6®): (о + 6) = а5—а46 + аЗ&2 — osjs + oj* — J*_| ——-
и т.- д.
Мы можем сделать, ясное для нас, заключение:
сумма нечетных одинаковых степеней двух
чисел делится без остатка на сумму этих чисел,
причем частное составляется по определенному закону; сумма
жед>динаковых четных степеней двух чисел не де¬
лится без остатка на сумму этих чисел.
Также точно мы еще получим:
(а 6): (« + 6)=W-?L
(о2 — 62): (а + 6) = а — 6
26з
(аз — 6з): (о + 6) = а® — аб + б2
а + 6
(а4 — б4): (а + 6) =: аз — а«6 + аб2 — бз и т. д.,
т.-е. разность одинаковых четных степеней двух чисел
делится на сумму этих чисел без остатка, а раврость
одинаковых нечетных степеней не делится.
Также:	,	26
(а + 6) :(а — 6) = 1
а— 6
(аг+б2):(а—6)=а + 6 + -^
(аз + бз): (а — Ъ) = аг + аб + 6* ^^ и т. д.
т.-е. сумма любых одинаковых степеней двух чисел
не делится без остатка на разность этих чисел.

— 72 —
IV.	Разложение многочленов на множители.
)
38.	Рассматривая, напр., многочлен
За -}- 36 — Sc,
мы ыоя^ем подметить, что в каждом его члене есть множитель 3
(полнее: -)- 3), и, вспоминая умножение многочлена на одночлен,
заключим, что этот многочлен можно рассматривать, как произ¬
ведение многочлена (а —Ь — с) на число 3, т.-е.
За —J— 3Ъ — Зс — 3 . (а —J— b — с).
Также точно:
та-\~тЬ — тс~т ,(а-\-Ь — с).
Мы видим, что, напр., многочлен та-\-тЪ — те оказался раз¬
ложенным на 2 множителя; один т и другой (a-j-b —с). Так как
т входило множителем в каждый член данного многочлена
та-\~тЪ — тс, то m является общим множителем всех членов
данного лногочлера. Полученный результат, т.-е.
т. (a -f- Ъ — с)
мы можем истолковать так: общий множитель т всех членов
многочлена вынесен за скобку.
Итак, мы можем иногда раскладывать многочлен на множи¬
тели при помощи приема, называемого .вынесением об¬
щего множителя скобку*.
Еще примеры:'
'•j- *l)2abc — abd — об;
мы видим, что у всех членов имеется общий множитель а и
общий множитель Ъ. Соединяя их в один одночлен, мы скажем,
что у всех членов есть общий множитель аЪ. Его можно вынести
за скобку. Напишем пока:
2аЪс — аМ — аЪ ~ аЪ. (.. ..)
I

— 73 —
Рассматривая эту запись, мы видим, что здесь известны:
произведение двух множителей (2abc— abd—ab) и один из них
(ab), а надо найти другой, а именно тот, который должен быть
написан в скобках. По данному произведению и по одному дан¬
ному множителю другой множитель узнается делением, т.-е. для
того, чтобы узнать, что надо писать внутри скобок, надо 2abc —
— abd—ab разделить на ab. Получим: 1) 2abc:ab—2cf
2)	— abd:ab =—d и 3) — dbicib ——1. Итак,
2abc — abd — ab — ab (2c — d — 1).
2)	Забс — 6abcx — 9cibcx* = Sabc [1 — 2x — 3a?2)
(не забудем, что надо выполнить деление, чтобы узнать, что пи¬
сать внутри скобок).
-? 3) «з _|_ а1 -}- а& -|- а®
Рассматривая этот многочлен, мы можем считать, что у всех
его членов есть общий множитель а.а.а или а3 (для этого стоит
лишь написать этот многочлен подробно:
ааа -|- аааи -|- ааааа -j- аааааа). Вынесем этот множитель за
скобки и делением узнаем, что следует писать внутри скобок —
получим:
а3 -}- cd -f- а5 -)- «® = й* (1 -)- a -f - a- -J- а3).
Из этого примера заключим, что если какая-либо буква вхо¬
дит множителем в члены многочлена в различных степенях, то
за скобку вынести меньшую из этих степеней.
+ 3) Зж5 — бж4 = Зж4 (ж—2)
f4) 4«3ЬЬ— боЗЬ4 -f- 2«3&з — (262 — 36+1) 2я363
(здесь общий множитель 2as6s, выносимый за скобку, написан
после скобок).
5)	— L 5ж2ф -[- 35ж3г/3 — 20ху5 = (7.г2 — Ъху — 4 г/2) 5жг/3
(здесь внутри< скобок члены переставлены: сперва написан
член с положительным коэффициентом).
Можно было бы в последнем примере вынести за скобки не
множитель Ьху*, а множитель — 5ал/3, — получим:
— 1 ох2у4-J-З5ж3г/3 —20ху° = —5жг/3 (3ху — 7ж2-}-4?/2).
6

— 74 —
Иногда выносят за скобки и такой множитель, что его уже
нельзя назвать общим, благодаря чему в скобках получаются
дроби. Во всяком случае, тот многочлен, который должно писать
внутри скобок, узнается делением. Напр.:
6x3 — 2х* _ зхб — 6x3 (1 _ .1x2 — i-хз)
аЪ — ас-\-Ъс = аЪ ( 1	-т-4-—т-
1	V	сю ' сю
а + Ъ + с = т’.(-+-+-\
'	\т'т'т}
Иногда случается, что во всех членах многочлена имеется
общий многочленный множитель, напр:
а (х— у)-\-Ъ (х — г/) + с (х — у);
здесь общин множитель каждого из трех членов есть многочлен
[х — у) — его можно вынести за скобку, и, след.,
« (*—У) + Ъ (х — У) + с (х — у) = (х — у) (а + Ь + с).
Вот более сложный пример:
а2 (х—1)з — 2Ъх (х—1)2 — Зс (х — 1) = (х—1) [а2(х—1)2 —
— 2Ъх (х — 1) — Зс].
Иногда приходится, чтобы получить общий множитель у всех
членов многочлена, соединять несколько его членов в один:
а (х2 -}— х -J-1) + х2 + х -J-1
— здесь мы имеем многочлен о четырех членах [первый член
есть а (х2 + х+1), второй х2 и т. д.]; соединим последние
3 члена в один:
а (х2 + х+1) + (х2 + х+1);
гогда наш четырехчлен обратился в двухчлен, причем у обоих
его членов есть общий множитель (х2 + х + 1), — поэтому:
а (х2 —[- х —1~ 1) —j— (х2 —|— х -]— 1) — (а —[-1) (х2 —j— х —1)
Здесь пришлось 3 последних члена данного четырехчлена за¬
менить одним, для чего эти 3 последних члена были заключены

— 75 —
в скобки со знаком + перед ними, но иногда приходится заклю¬
чать, для той же цели — получения общего множителя, несколько
членов многочлена в скобки со знаком — перед ними (см. пп°
22 и 26):
а (а — Ъ) — a-j-b = a (а — Ь) — (а — Ь) = (а — Ъ) (а — 1)
а — а2 — 1+3а (а2 —а+ 1) = — («2 —а+ 1) + За(а2 —а+1)=:
= («в — а +1) (За — 1).
39.	Применение формул. Рассматривая умножение много¬
членов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для
(а+ Ь)2, для (а — Ь)з, для (а+ 6) (а — 6), для (а + 6)з и для
(а—6)з.
Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из
этих формул, то его явится возможным разложить на множители.
Напр., многочлен Ф— 2а6 + 6г, мы знаем, равен (а — 6)2 lhb
(а—6).(а — 6), т.-е. удалось а2 — 2а6 + 62 разложить на 2 мно¬
жителя]; также
m3 + 2тп + п2 = (т + м)з
ж2 — Уг — {?-\-у) (х — у)
«з + За2# + За#2 + #з — (а + #)з
#з з#г у _J_ 3#г/2 — ys — (x — у) з
Вот ряд постепенно усложняющихся примеров:
гФ + 2т + 1 = (т + I)2
sfi — 2#з + 1- (#з _ 1)9
0г + 6а+9 = (а+3)2
ФЪ2 — 25 = (аб + 5) (аб — 5)
4а8 — 12а6 + 962 — (2а — 36)2
9#ю —1 — (Зж5 +1) (Зж5— 1)
а3 + За2 + За + 1 = (а + I)3
ж» — 6#з+12ж — 8 = (ж—2)3 и т. д.
Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный
здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения
в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус
произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат
6*

— 7fi —
второго числа): .г® есть квадрат первого числа, а, следовательно,само
первое число есть тз, квадратом второго числа является последний
член данного многочлена, т.-е. 1, само второе число есгь, следо¬
вательно, также 1; произведением двойки на первое число и на
второе является член — 2д;3, ибо 2хз = 2.х3.1. Поэтому наш
многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел хз
и 1, т.-е он равен (хз— 1 )2. Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы ви¬
дим, что данный многочлен а-Ь- — 25 можно рассматривать, как
разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа
служит «262., следовательно, само первое чпедо есть nb, квадратом
второго числа является 25, почему само второе число есть 5. По¬
лому наш многочлен можно рассматривать получившимся от
умножения суммы двух чисел на их разность, т.-е.
(ab -f- 5) (ab — 5).
Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены
че в том порядке, к -которому мы привыкли, напр.
9а2-\-Ъ2-)-6ah — мысленно мы можем переставить второй и
третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен =
= (3«4-Ь)2
= ^«-j--i^2... (переставим мысленно первый и
зторой члены).
25.Г6 + 1 — Ю.кз — (5.гз — 1)2 пт. п.
Рассмотрим еще многочлен
а>- -)- 2 нЬ 4- 4Ь2'
Мы видим, что первый член его претставляет собою квадрат
числа а и третий член представляет собою квадрат числа 26, но
зторон член не является произведением двойки на первое число
и на второе, — такое произведение было бы равно 2 .а. 21 = -lab.
Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу ква¬
драта суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a2-{-'2ub-\-
-|— 4fc2 = (« —j~ 2fc)B, то это было бы неверно — надо тщательно
рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему
разложение на множитетп по формулам.

40. Соединение обоих приемов. Иногда п| п разло¬
жении многочленов на множители приходится комбинировать и
прием вынесения общего множпгеля за скобкп п прне i применения
формул. Вот примеры:
1. 2аЗ — 2а62. Вынесем сначала общего множителя 2а за
скобки,— получим 2а («2 — Ь- \. Множитель о2 —//-, в свою очередь,
разлагается по формуле на множители (о + 6) н (а — 6).
Итак, 2«з — 2п1А = 2а {и2 — Ъ-) = 2а {а +6). (а —6)
+ 2. 6.ГЗ 12x2 + 6x = fix (X2	2x-!-l)=:fix (X 1)2
3.	я"+2 + 2а"+ 1 6 +а " 62 = а и{а2 + 2«6 + №') =ап (а -I- 6Y2.
Иногда приходится применять прием разложения по формулам
многократно:
1. а4 — б4=(в2 + &2) (а2 — 62)
Мы видим, что первый множитель а2 + 62 не подходит ни
к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые слу¬
чаи деления (п° 37), мы установим, что а2 + 62 (сумма квадра¬
тов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй
из полученных множителей «2 — 62 (разность квадратов двух чи¬
сел) разлагается на множители (а + 6) и (а — 6). Итак,
а1 — 64 = (а8 + б8) (я2 — 62) = (а2 + 62) (а + 6) (а— 6)
2 .'о8 — 1 г=(а4 + 1) (с4 — 1) = (я4+ 1) (а 2+ 1) (а2 — 1) =
= (а4+1) (а2 +1) (а+1) (а—1).
41. Применение особых случаев деления. На
основании п° 37 мы можем сразу написать, что, напр.,
0з — 6з — (а — 6) (а2 + «6 + б2)
«з+бз==; (а+ 6) («2 — аб + 62) и т. п.
Этими равенствами мы воспользуемся для ряда примеров:
1. 8x3 — 1 = (2х — 1) (4х2 + 2х + .1)
2. а5 + 1 = (а + 1) I а4 — as -I- а2 — а 4- 1)
3 . аб — 6е = («з 4- б3) (а3 — 63) — (а + 6) (а2 — аб + б2) (а — 6)
(а2 + аб + 6^) и т. д.

— 78 —
1
42.	Разложение на множители при помощи груп¬
пировки членов. Иногда удается разлагать многочлены, на
множители, соединяя несколько членов данного многочлена в один
и применяя один из предыдущих приемов.
4 1. ах 4~ Ьж 4~ а.У 4- Ъу. Сгруппируем 1-ый и 2-ой члены в один
и также 3-ий и 4-ый; тогда ахА~Ъх-\-ау-\-Ъу = х («Ь)-J—
~у(а-\-Ъ\
Мы вынесли в первой группе общий множитель ж за скобку
и во второй — общий множитель у за скобку—теперь мы полу¬
чили 2 члена и видим, что у них есть общий множитель (a-f-b),
который также вынесем за скобку. Итак
ах-\-Ъх + ау-{-Ъу = х (o-f ft)-f у {a-j-ft) = (a-j-ft) (ж+у')
**	1	■	I
+ 2. ис-\-Ъс— ad— bd = c	—	d	(о-f-ft)=(о-}-ft) (г—<2).
■ " *
Разница этого примера от предыдущего в том, что во второй
группе пришлось взнести за скобку общий множитель со знаком
минус (— d).
-И. ас — bc-\~bd — ad. Здесь, разбив многочлен на две группы,
как указано внизу его, мы увидим, что после вынесения за
скобку множителя с в первой группе в скобках получим а — ft.
Во второй группе можно вынести за скобку —{— «Z, и тогда в скоб¬
ках получим Ъ — а, но можно вынести за скобку и —d, и тогда
в скобках получим — ft -j- а или, что то же самое, о — ft. Мы ви¬
дим, что второе вынесение за скобку для нас целесообразнее,
так как тогда в скобках и от первой группы и от второй полу¬
чаются одинаковые множители, а именно: (а—ft). Итак,
ас — bc-\-bd — ad = c (а — ft)— d (а — Ъ) — {а — ft) (с—d).
4.	ax’1 —ayi-\-x — у = а (ж2 _ 3,2)4-(ж—у)=а (х-\-у) (зс—у)~\-
-[~{х — у) = (х~у) [а (ж + у) + 1] = (® — У) (аж4-ог/
43.	Разложение на линейные множители некото¬
рых квадратных трехчленов. Прежде всего укажем на
некоторые употребительные названия. Станем рассматривать

— 79 —
многочлены, в состав которых входит лишь одна какая-нибудь
буква, напр., буква х. Тогда самым простым является многочлен)
в котором два члена, иричем в одном из них имеется буква х
в первой степени, а в другом вовсе буквы х не имеется, напр.,
Ъх — 5 или 15 — 1х или 8г-\-1 (здесь уже вместо буквы х взята
буква г) и т. д. Такие многочлены называются линеййыми
двучленами.
Далее, усложняя дело, составим многочлен из трех членов:
в одном буква х пусть входит во второй степени, в другом — в
первой, а третий член вовсе этой буквы не содержит, напр.:
Ъх2— Ъх-\-1 или x2-j-2x— 1
или Ьу2-\-7у-\- 8 или г2— 5z—2 и т. д.
Такие многочлены называют квадратными трехчленами.
Затем, мы можем составить кубический четырехчлен, напр.:
хЗ~\~2х2—х-\-1 или Вхз— 5Х2 — 2х—3 и т. д.,
многочлен четвертой степени, напр.:
х* — 2x3 — Зж2 -)-	—	5	и	т.	д.
Возможно обозначать коэффициенты нри х, при х2, при Xs и т. д.
также буквами, наир., буквами о, Ь, с и т. д. Тогда получим:
1) общий вид линейного относительно ж двучлена ах-\-Ъ,
2) общий вид квадратного трехчлена (относительно л-): ах'--\-
-f- Ъх-\-с,
3) общий вид кубического четырехчлена (относительно х):
ахз -j- Ьх2 -f- сх -J- d и т. д.
Заменяя в этих формулах буквы а, Ъ, с, d... различными
числами, получим всевозможные линейные двучлены, квадратные
трехчлены и т. д. Напр., в формуле ах? -\-Ъх-\-с, выражающей
общий вид квадратного трехчлена, заменим букву а числом —}— 3,
букву Ъ числом —2 и букву с числом —1, получим квадр.
трехчлен Ьх2 — 2х—1. В частном случае возможно получить и
двучлен, заменяя одну из букв нулем, напр., если а = -}~ 1,
6 = 0 и с = — 3, то получим квадратный двухчлен ж2 — 3.
Можгго научиться раскладывать некоторые квадратные трех¬
члены довольно быстро на линейные множители Ограничимся,

— 80 —
однако, рассмотрением только таких квадратных трехчленов, ко¬
торые удовлетворяют следующим условиям:
1) коэффициентом при старшем члене (при х2) служит -}-1,
2) можно подыскать такие два целые числа (со знаками, или
два относительных целых числа), чтобы их сумма равнялась
коэффициенту при х в первой степени и их произведение равня¬
лось члену, свободному от х (где буквы х вовсе нет).
Примеры. 1. х2-\- 5а;-j- 6; легко в уме подыскать два числа
(со знаками), чтобы их сумма равнялась -f- 5 (коэффициенту
при х) и чтобы их произведение = + 6 (члену, свободному от х),—
эти числа суть: -f-2 и -}-3 [в самом деле, —f-2 —J— 3 = —5 и
(-f- 2). (-(- 3) = -j- 6]. При помощи этих двух чисел заменим
член -{- 5х двумя членами, а именно: -)- 2х-\- Ъх (конечно, -(— 2jr-j—
-J- Зх=-(- 5х); тогда наш трехчлен искусственно будет обращен
в четырехчлен ж2 -j— 2а: —За; —J— 6. Применим теперь к нему прием
группировки, относя первые два члена в одну группу и послед¬
ние два — в другую:
• х’2 -j- Ъх -f 6 = j'24-2.r -f 3.r-j- 6 = x ( r -j- 2) -f 3 (•/■ + 2) =
— {x-j~2) (a*-J- 3).
В первой группе мы вынесли за скобку х и во второй —)— 3,
получили два члена, у которых оказался общий множитель (ж—{— 2),
который также вынесли за скобку, и наш трехчлен х2 -)- Ъх -j- 6
разложился на 2 линейных множителя: х-\-2 и х -)- 3.
2. хз — х —12. Здесь надо подыскать два числа, (относитель¬
ных), чтобы их сумма равнялась — 1 и чтобы их произведение
равнялось —12. Такие числа суть: —4 и -}-3.
Проверка: —4-}-3 = —ij (—4) (-|_3) =—12. При помощи
этих чисел заменим член —х двумя членами: —х = — 4х-{-Зх,—
получим:
я&—х—12 = Х%— 4жЗж—12=х (х — 4)-j-3 (х— 4) =
= (® — 4) (я+3).
3. ж2 — 7х -f- 6; здесь нужные числа суть: — 6 и — 1 [Про- ,
верка: _ 6 + (—1) = —7; (—6) (_1)=+б].
1

— 81 —
Тогда:
X2 — 1х-\- 6=.?2 — вх— х -J- 6 =zx (х — 6) — (х— 6) =
= (х-6) (J-	1).
Здесь члены второй группы — а -J- 6 пришлось заключить в
скобки, со знаком минус перед ними.
4.	—|— 8а; — 48. Здесь нужно подыскать два числа, чтобы их
сумма равнялась -1-8 и чтобы их произведение равнялось —48.
Так как произведение должно иметь знак минус, то искомые
числа должны быть с разными знаками, так как сумма наших
чисел имеет знак -}-, то абсолютная величина положительного
числа должна быть больше. Раскладывая арифметическое число 48
на два множителя (а это можно сделать по разному), получим:
48 = 1.48 = 2.24 = 3.16 = 4.12 = 6.8. Из этих разложений
легко выбрать подходящее к нашим требованиям, а именно:
48 = 4.12. Тогда наши числа суть: +12 и —4. Дальнейшее
просто:
ж3 + 8л—48 = T2 + 12r — 4.г — 48=гг (ж+12) — 4 (ж+12)=
= (я+12) (х — 4).
5. х2 + 1х—12. Здесь надо найти 2 числа, чтобы их сумма
равнялась +7 и произведение = —12; 12 = 1.12 = 2.6=3.4.
Повидимому, подходящими числами являлись бы 3 и 4, во их
надо взять с разными знакаки, чтобы их произведение равня¬
лось—12, а тогда их сумма ни в коем случае не может рав¬
няться + 7 [ — 3-1-(+4) = + 1, + 3 + (—4) = — 1]. Другие
разложения на множители также не дают требуемых чисел; по¬
этому мы приходим к заключению, что данный квадратный трех¬
член мы еще не умеем разложить на линейные множители, так
как к нему наш прием не применим (он не удовлетворяет второму
из условий, какие были установлены вначале).
\

— 82 —
V.	Алгебраические дроби.
Разница между арифметическими и алгебраическими дробями.
44.	Мы уже имели случай (п°36) видеть, как получаются
алгебраические дроби. Теперь возникает общий вопрос: нельзя ли
оперировать над этими дробями так, как мы это умеем делать
с арифметическими дробями? Разница между арифметическими и
алгебраическими дробями следующая.	'
(	1	15 29	\
напр.-g-,	в т. д.) и числитель
и знаменатель суть целые арифмегические числа. Если (см. конец п°10
и конец гг 14) арифмегические числа считать совпадающими с поло¬
жительными числами, то мы можем говорить, что у арифметиче¬
ской дроби и числитель и знаменатель суть целые положительные
числа. Возьмем теперь какую-нибудь алгебраическую дробь
— какова бы она ни была, мы, однако, знаем, что и ее числитель
и ее знаменатель суть какие-нибудь числа, но теперь эти числа
могут быть и дробными, могут быть и положительными и отри-
цатетьными. Итак, числптеть и знаменатель у арпфметпче-кой
дроби суть целые арифметические числа, .а у алгебраической —
какие угодно (и целые и дробные) относительные Фисла.
45.	Р асп р о стр ан ение о с н о в ног о свойства ариф¬
метических дробей1 на алгебраические. Арифметиче¬
ские дроби обладают свойством, которое позволяет: 1) упрощать
дроби и 2) выполнять их сложение и вычитание: это свойство
таково: если числителя и знаменателя дроби умно¬
жить или разделить на одно и то же число, то вновь
-г	»	/тг„™ 15 3 5
получаемая дробь равна прежней IHanp., ™=-д, к —
а~Ъ	2а	—	36
4а65с ИЛИ а?-\-ab-\- Ы
и т. д.,—

— 83 —
Возникает вопрос, остается ли в силе это свойство и для
алгебраических дробей. Рассмотрим сначала выражения вроде
следующих:
(т)' 7' ш
и т. п.
Эти выражения являются обобщением арифметических дробей:
числители и знаменатели их еше остаются арифметическими
числами, но уже не обязательно целые а могут быть и дробными-
Напр., выражение
(?)
ш
рассматривается, как дробь, у которой числитель есть дробное
число у и знаменатель — дробь Подобные выражения назы¬
вают сложными дробями.
Выполняя деление, указанное в этих сложных дробях, мы
получим:
5	,	3	5.7
3t=5-7=TT
т)
_8_
\ 9 I' 9	9.7
(■
13-
(пУ
15	4	15.11
7 • 11— 7.4
Попробуем теперь числителя и знаменателя каждой из этих
сложных дробей ужножить на одно и то же число, сначала на
целое:
3.12	5.12.7
7	3.12

— Ь4 —
5 7
Этот результат = -jp, т-е тому, который получился при вы-
полнеыии действий в выражении уо-ч, т.-е.
(т)
5 . 12	 5
(|-)Л1 (1)
7.11	7“
Попробуем теперь числителя и знаменателя третье i сложной
дроби умножить на одно и то же дробное число:
115 \ 13
\ 7 /17	/15	13\ /4	13\	15.13 . 4.13 _
/ 4 \ 13 V 7 ' 17 )' \11 ‘ 17)— 7 Л7 ‘ 11.17 —
III Г 17
15 . 13 . 11 .17	,	*	, „	,15 . 11
~~7—17—4—ПГ = (сократив эту дробь на	13	и на	1/)	7 ^
т. (М-®
■" Ш-1ГШ
Мы видим, что и к сложным дробям рассматриваемое свойство
применимо. Можно, и не выполняя всех действий, притти к тому
же результату: если числителя сложной дроби
(?)
Й)
умножить на какое-нибудь число (цеюе ли или дробное — теперь
■безразлично), то это равносильно тому, что все выражение (всю
сложную дробь, или, другими словами, то число, которому равно
это выражение) умножится на это число; если затем знаменателя
этой сложной дроби умножить на то же число, то это равно-

сильно тому, что все выражение разделится на это число; если
какое-нибудь число умножить сначала на новое число, а потом
раздешть на него же, то оно останется, в общем, без перемены
Итак, мы теперь можем написать:
а am
Ъ Ьт ’
/
где а, Ъ и т суть какие-нибудь арифметические числа, целые или
дробные — безразлично.	<
Остается теперь сообразить, будет ли cnpai етливо это равен¬
ство, если а, Ь и т будут относительными числами?
Так как положительные числа считаются совпадающими с
арифметическими, то это равенство остается в силе, если а,Ъпт
суть относительные положительные числа. Станем теперь предпо¬
лагать векоторые из них отрицательными и рассматривать,
остается ли наше равенство справедливым. Абсолютные Еешчины
„ а am
выражениии ^ должны быть одинаковы, так как абсолютные
величины суть арифметические числа. Если и а и Ъ отрицательны,'
а	„ am
то дробь ц- выражает положительное число, но и дробь j— вы¬
ражает также положительное число, каков бы знак ни бы у числа т
(напр., если т число отрицательное, то am число положитель¬
ное, Ът — тоже положительное и частное от деления am на Ьт
тоже положительное), т.-е. равенство остается верным. Если а и Ь
а
имеют разные знаки, то частное выражает отрицательное число,
am
но и частнсе ,— в этом случае, каково бы ни было число т.
Ът	J
выражает отрицательное число (напр., если а и tn положитель¬
ные числа, а Ъ отрицательное, то am положительное число,
Ът — отрицат ешнсе и частное от деления am на Ът — отрица¬
тельнее).
Итак, всегда справедливо равенство:
а am
Ъ Ът
каковы бы числа а, Ъ и т ни были.

— 86 —
То же равенство можно написать в обратном порядке:
am а
Ьт~ Ъ'
Итак, основное свойство дробей, что их числителя и знамена¬
теля можно умножать на одно и то же число (на какое угодно
относительное число), распространяется и на алгебраические
дроби.
46.	Сокращение алгебраических дробей. Опираясь
на вышеустановленное свойство, мы можем упрощать алгебраиче¬
ские дроби так же, как это делают с арифметическими дробями,
сокращая их.
Сокращение дробей состоит в том, что числи¬
теля и знаменателя дроби делят на одно и то же
число.
Если алгебраическая дробь одночленная, то числитель и зна¬
менатель представляются в виде произведения нескольких множи¬
телей, и сразу видно, на какие одинаковые числа можно их раз¬
делить:
3 а
—... можно числителя й знаменателя разделить на а, — получим,
3 а 3
что —
б
а?Ъс
-r-j ... можно числит, и знамен, разделить на а2Ь, — получим,
«2оо
cfibc	с
ЧТО	-г	0
a%bd	d
Также:
6ахгуР 2ж8	21а(Ь -\-а) (Ъ — а) 	 3аф -f- а)
9az3y*	Ъвг	’ 14&(£>з-]-а2) (Ъ — a)	2Ьф* -j- «2)	п т' п'
Рассмотрим еще дробь:	„
а
m	„	аааа
Ту же дробь мы можем написать подробнее: 	 г	видим,
J	г	аааааа
что последовательно можно делить и числителя и знаменателя

— 87 —
4 раза на а, т.-е. в конце-концов разделить каждого из них на а*.
^4	J	/р8	/^5
Поэтому	— = —; также	—- = — и т. п.	Итак, если в числителе
J	а6	а2	ах3	а
и знаменателе имеются множителями различные степени одной и
той же буквы, то можно сократить эту дробь на меньшую степень
этой буквы.
Еще примеры:
' а3Ы	Ъ	15 ah3xB	ЗпЫ
а*Ы	а	’	20Ъ*х1еу	4ж8#
П	.	П	—	1	тП	т,
а 1 а о о~
■ ~ — и т. д.
ап+1 а ’ апЪп~2
Если дробь многочленная, то приходится сначала эти много¬
члены разложить, если возможно, на множители, и тогда явится
возможность увидать, на какие одинаковые множители можно де¬
лить и числителя и знаменателя.
Примеры:
За + ЗЪ _ 3(а -+- Ъ)__ 3 _ 2а — Ъ _ 2а —Ъ _ 1
а2 -(- ab а(а -)- Ъ) а ’ 4а—2Ь 2(2а — Ъ) 2
й2 — £>2 (а -jr Ъ) (а — Ъ) а — Ъ
ab -j- Ъ3 Ца -(-6)	Ъ
а2 — 1  (а-f-l) Ja—1) а—1
а2—|— 2а—|— 1	(«	+	I)2	а—J—1
ж2—6а 4-9
——-—!-g .... числитель легко раскладывается на множители
«по формуле* — он представляет собою квадрат разности двух
чисел, а именно (х — З)2. Знаменатель к формулам не подходит,
и придется его разлагать приемом, употребляемым для квадрат¬
ного трехчлена: подыщем 2 числа, так, чтобы их сумма равня¬
лась — 1 и их рроизведение ;= — 6, — эти числа суть — 3 и -J- 2;
тогда ж2—х—6=х2 — Зж -j- 2ж— 6 = ж(ж— 3)-|-2(ж— 3) =
= (*—8) (*+2)
Итак,
з?—6ж-(-9	 (ж	— 3)а		х—3
ж®—ж—6	(ж—3)	(ж —J— 2)	ж-}-2

— 88 —
*
Также
«з _J_ гг2—L- о —1—1	fa2-]-Л fa-1-Л	«8 -f- 1
 1	     —	1	_	»	*	Q	T	П
' a2—4a— 5	fa —|— 1) fa— 5)	a—5
Рассмотрим еще ряд дробей.
Н)
ВТ
. выполнив деление, найдем, что эта дробь = —1, и
—а	, +я 1
вообще -— ---—1 или ——=—1.
-\-а	—	а
Пусть теперь имеем дробь ^^. Мы можем, напр., знаме¬
нателя заключить в окобки со знаком — перед ними, — получим
а — Ъ	„
———^ , а эта дробь совпадает с только что рассмотренными
и она—— 1.
Также
2 п — 2Ь 2 fa — Ъ) 2	2
ЪЪ —- За=—Ца—-Ц=—-3~	3	(Иб°	+2 Р^делить на-3
получим—	■
Xs — х2у—ху2 — х(у8 -4- ху — ж2) —х  х #
ху2—&у~ у(у*-\-ху — х*) ~ у ~ у ’
V
4 — а2  (2—crt(2-j-a) —(а—2)(2-]-a)  а-4-2
а2—5a-J-6	(а—2)fa— 3) (а—2) (а — 3)	а — 3'
Заметим еще, что (—|— 5)2 = (—5)2, (-f- a)2 = (—a)2, (а — 6)2 =
— (Ь — а)2 и т. п.
Поэтому, напр.,
о* — 2а-|-1_(а — Л2__(1 —	—	а
аЪ Ц\ — a) £>(1 — а)
И4 т. д.

— 89 —
47.	Сложение и вычитание алгебраических дро¬
бей.	Мы	знаем,	что сложение	и вычитание	арифметических	дро¬
бей с	одинаковыми знаменателями	сводится	к	сложению	и	вычи¬
танию их числителей, а знаменатель остается тот же самый.
Распространяется ли это на алгебраические дроби? Другими сло¬
вами, будет ли справедливо равенство:
а	.Ъ	с	а -(- Ъ — с
п	п	п	п
какие бы	числа	а,	Ъ,	с и	п	ни	были	(целые или дробные, поло¬
жительные	или	отрицательные)?
Отрет на этот вопрос легко получится, если вспомнить деле¬
ние многочлена на одночлен: мы знаем, что
(а-|-Ь—с) :n = a:n-j-b:w — с : п
или
а-\-Ъ — с  а	. Ь с
п	п	ж п	7
нанисав это равенство б обратном порядке, получим:
а	Ъ	с а-\-Ъ — с
п'п п	п	*
откуда и получим вывод, что сложение и вычитание алгебраиче¬
ских дробей с одинаковыми знаменате1ями выполняется так же,
как и сложение и вычитание арифметических дробей, т.-е. скла¬
дываются или вычитаются числители, а знаменатель остается не¬
изменным.
Примеры:
1	_L,	Ьс	2 cd - 1-|-Ъс—2—ей Ъс — 1 — cd
(X Ct d	(X	(X	(X
(два члена числителя -}-1 и — 2 соединены в один, в — 1).
7

— 90 —
а2_|_ 2сз г2 — ЗаЪ <?-\-дЪ—1?__
а -j- Ь a-i-Ъ	а-\-Ь
_ (я8 -+- 2 с2) — (с2 — ЗоЬ) — (с8 -1- аЪ ~ Ь2) _
а -\-Ъ
 а -(-2с2 — c8-J-3aJ — с® — аЬ-{-Ь2	о2-[-2«Ь-j-Ь2
«с—]—Ь	а	-р	Ъ
= «г±%-=«+ъ.
а-\-о
'	Зж	—	2у 2ж 5у .-7у —
ab	ab ~~
  3# — 2«/ — 2ж — 5у -(- 7|/ — х
~ аЪ
[Здесь мы сразу пишем числителя без скобок, т.-е. вместо (Зх — 2у) —
— (2а:-f- 5г/) —}— (7 — х) пишем тот многочлен, который получится
после раскрытия скобок].
Выполнив затем в числителе приведение подобных членов, мы
увидим, что все члены взаимно уничтожаются, и в числителе по¬
лучается нуль, т.-е. в результате получим ^ . Так как при де¬
лении нуля на любое число получается нуль, то и окончатель¬
ный результат = 0, т.-е.
Зх—2у	2х5у . 7у — х
ab	юЪ	‘	аЪ
■ 0.
Если алгебраические дроби имеют различных знаменателей, то,
для выполнения их сложения и вычитания, их надо предвари¬
тельно привести к общему знаменателю. Приведение алгебраиче¬
ских дробей к общему знаменателю выполняется так же, как и
для арифметических дробей: надо разложить знаменателей дробей,
если это еще не сделано, на множители, при помощи этих мно¬
жителей надо найти общее найм, кратное (это название
здесь имеет условный смысл) для знаменателей всех данных дро¬
бей (найти общего знаменателя) и затем надо, пользуясь основ¬
ным свойством дробей, умножить числителя и знаменателя каждой
дроби на одно и то же число, выбранное так, чтобы получился у
этой дроби нужный нам и уже найденный общий знаменатель.

— 91 --
Вот примеры, поясняющие это:
а -I- 76	3а—26	, 2а—55 0	*	„
1.	—	—	J	——. Знаменатели этих дробей можно
10	J\)
счесть за арифметические числа (12, 15 и 20) и общий знамена¬
тель легко находится арифметическими	приемами — он	равен 60.
Чтобы привести 1-ую дробь	к знаменателю 60, надо	и	ее числи-
5а-|-35б
теля и ее знаменателя умножить на 5, — получим —^—; также
придется числителя и знамена leifl второй дроби умножить на 4,
и третьей дроби — на 3, — получим:
а-\-1Ъ	3а—26	2а—56	5а-|-356	12а—86 .	6а—155
12	15	'	20	60	60	*	60	~
_5а+356—12а-|-86-|-6а-
~	90
X у 8
2.	+	Здесь	каждый	знаменатель	уже	разложен
аб 6с 1 са
на множители (1-й знаменатель состоит из множителей а и 6
и т. д.). Наим, кратное всех знаменателей, или общий знамена-
тель,=абс.
Чтобы привести 1-ую	дробь	' к	этому	знаменателю,	надо	ее
числителя и	знаменателя умножиуь	на	с;	также	надо числ. и	знам.
2-й дроби умножить на а и числ. и знам. 3-ей дроби умножить
на 5, — получим:
я	в	_сх . ау . Ъе	сх-\-ау-\-Ъе
аЪ	Ъс са аЪс'аЪс аЪс	abc
(*4 С3 J
3.	—н	т	I—5	.	Здесь	первый	знаменатель	состоит из
а*	а* а? а
множителей а . а, второй=а.а.а.а, третий —а.а.а и четвер¬
тый = а. Мы видим, что общим знаменателем может служить 2-й,
так как он делится на каждого из остальных (а4: а2 = а2; а4: а3=а;
а4:а=а»). Чтобы привести дроби к этому знаменателю, надо:
1) числитель и знатенатель 1-й дроби умножить на а2, 2) 2-ую
дробь оставить без изменения, 3) числителя и знаменателя 3-ей

— 92 —
дроби умножить на п и 4) числитель и знаменатель 4-ой дроби
умножить на а3, — получим:
9
Ъе	с4 . с3	Ъ a?bs	с*  ас3 а3Ъ а*Р—c*-f-oc3—а3Ъ
а8	а*' а3	а о4	а4 о4 о4	о4
Мы можем на основании этого примера установить: если ка¬
кая-либо буква входит множителем в знаменатели дробей в раз¬
личных степенях, то в общий знаменаиеть эта буква должна
войти в наибольшей из степеней ее, имеющихся в знаменателях
данных дробей.
4.	—ь—т	• Здесь общий знаменатель = 6а2Р;
2 а?Ъ	Ъшг	6 ао
числителя и знаменателя 1-ой дроби придется умножить на 3Ъ,
2-ой дроби — на 2а и 3-ед дроби — на ab.
Получим:
a-f-1	2-f-Ъ 1		3ah-\~3b	4a-f-2ab аЪ
~2Ж	ЗаР боб	6а*Р 6a8P ~~
ЗаЪ-\-ЗЪ—4а—2 ab — ab 3 Ъ—4а
'	бРР	~ ИРР” ‘
В предьтдищих примерах каждый знаменатель представлял из
себя одночлен и тем самым он уже являлся разложенным на
множители. Перейдем теперь к примерам, где знаменатели — много¬
члены, и их, для нахождения общего знаменателя, приходится
разложить на множители.
1	,	1	а-\-Ъ	.г
о.	-д—.—т 4-	. Мы видим, что знамена-
а?-\-аЪ ' ab — lr arb — air
телеп можно разложить на множители при помощи вынесения
общего множителя в каждом знаменателе за скобки: ——,, -I-
а(а	Ъ)	1
.	1	а-\-Ъ	„	^
1	. Теперь мы находим общего знаменателя,—
Ъ(а—Ъ)	аЦа — Ъ)
он равен аЪ{а-\~Ъ) (а—Ъ); для приведения наших дробей к этому
знамена1 елю, надо чнсл. и знам. 1-ой дроби умножить на b (а—Ъ).
2-й дроби — на a (a -)- Ъ) и третьей — на (а Ъ).

— 93 —
Итак,
1	■	1	g-H	  1	1	a	+	b	_
a*-\-ab ab— bs	a?b—ab3 а{а-\-Ъ')	b (a—Ъ)	ai(a—b)
  b(a—b)	a(a-j-b)	(a-j-6)3
ab(-f-b) (a— b)	atya-)-J) (a— b)	ab(a4-b)	(a — b)
 ab— №-{-a2-\-ab—a8—2 ab — b2	—2 b2
ai(a-j-b) (a — b)	ab	(a	-)-	b) (a—b)
 	2	b	_	2 b
a(a -)- b) (a— b) a(a2—b2)
Возможно дать ответ и в таком виде:
2 Ь	2	Ъ
а* — а№	ИЛИ	аЬ8—а*
12	3
6.			 -I  	 .	Здесь	ни	один	из	знаменателей не
а — 2 а — 3 а—6
раскладывается на множителей, и общий знаменатель равен произве¬
дению всех трех знаменателей, т.-е. = (а — 2) (а — 6) (а—Ъ). Тогда
12	3	_	(а—3) (а—6)'
о — 2 а — 3 а — 6	(а —2) (а — 3) (а — 6)
2(а — 2) (а — Ъ)	3(а	—2) (а —3)	_
(а — 2) (а—3) (а —6) (а — 2) (а — 3) (а — 6) —
 (а — 3) (а —6) + 2 (а —2) (а —6) —3 (а—2) (а — 3)_
(а — 2) (а—3) (а—6)
«2—За—6a-|-l8-f-2a8—4 а—12a-f-24—3as-f- 6a-j-9a —18
~	i	(а	—2) (а —3) (а—6)	—
_	24	—10а
— (а— 2) (а — 3) (а —6)
7.	^	—5-^	г— • Здесь знаменатель я8 — «8 раскла-
ж8 —f	х —(— у
дывается на множители (ж-|-у) (х—у), откуда и видим, что этот
знаменатель и явится общим: придется, следовательно, первую дробь
оставить без изменения, а числитель и зн - енатель 2-й дроби
умножить на х—у. Получим:
ж8 + ху — 2у*	 у{х—у)_ _ х*-\-ху—2у -уХ-\-у2 _
ж2—?/8	{х-\-у).{х—у)	ж® —«г
_з? — у%_
— я?— „2— и

— 94 —
Каждое целое выражение мы можем превратить в дробь с
любым знаменателем.
Иапр.
 2	3 	 а	а-\-Ъ х—у-\-2в
2	3	'	’ а а ~\-Ъ' х — у2г
ч 10	15 	 5	о	5(а—|—Ь)	5(х—у-\-2z)
2	3	'	* ’ а а -\-Ъ	х—у-\-2г
^ 2 Ъ	3 Ъ 	 аЪ	Ъ(а-\-Щ	Ъ(х—y-\-2z)
2	3	‘	‘ ’ а а-\-Ъ	х — у-\-2г
I л 2(o-j-l) 3(о-}-1)	  а(а_Ь1)__
а-1-1_	2	_	8		 а —
 (а~М) (а+Ь)
— а + Ь
Поэтому легко выполнять сложение (илн вычитание) тогда,
когда одним из слагаемых является целое выражение.
Примеры:
g 2	2 а—5 2(а—2) 2а—5 2а — 4 — 2a-f-5
j а—2 а — 2	а—2	а—2
а — 2
9 ж— У	\z=X~~y	х+2х=_	х—У — х— 2у __
ж—f- 2г/	ж-|- 2у	ж —J— 2г/
— Ъу _	Ъу
х-\-2у	х-\-2	у'
10 1 , 1 _(“-!) («+!) . 1 +
а-|-1	а+1	"Га+1~	а	+	1	—
— а + Г
Иногда встречаются случаи когда знаменатели двух дробе?
2 , 1
отличаются друг от друга только знаком, напр. 	=--^г
a— о 0 — '•

— 95 —
Здесь члены 2-го знаменателя имеют знаки, об атные членам
первого, так что Ь — а — — (а — Ь). Сделав эту замену и поста¬
вив знак — не перед знаменателем, а перед дробью, получим:
1 \=_2	L___L_
а — Ъ 1 Ъ — а а — Ъ ' а — Ы а — Ъ а — Ъ а —Ъ
Также
ж + 2	1	_ж+2	/	1	\	z+2	1 _я + 3
х — у	у — х х — у	V х — у) х — у	х — у х — у'
Встречиются также случаи, когда некоторые множители одного
знаменатели отличаются лишь знаком он множителей другого зна¬
менателя. Тогдк следует поступать с ними подобно тому, как это
было указано на двух только что рассмотренных примерах.
Вот еще ряд примеров:
1] а + 3 I 1 I 1		 а 3	I	1
о2—1	а+1	1—а (о-f-l) (о—1)	а+1
1
—  	  ....	здесь,	разложив	на	множители	1-го знаменателя,
мы увидели, что один его множитель (а — 1) обратен по знаку
с третьим знаменателем; поэтому мы переменили знак у 3-го
знаменателя, изменив в то же время знак перед 3-ею дробью.
Теперь мы легко находим общего знаменателя — он = (а+1) (о—1,
и поэтому
а+3	1.1		 о-f- 3	1	1	1__
а2— 1+а+1 + 1 — а	(а —f— 1) (а — 1) а -f-1 ° — 1
а —|— 3	|	а	—	1	а —|— 1
= (а + 1) (а—I) + (а + 1) (а-1)“ (а+1) (а+1) =
 а + 3 + а—1—о—1  а-]-1	  1
~ (а + 1) (о—1)	—	(а	+	1) (о —1)— а —1 *
12  1  ■ 1 - 1  .  1
ж8— 5ж+ 6	9	— з?	(х—2)	(т—3) ^ (3+ж) (3—х)'' *
Здесь мы, разложив на Множители знаменателей (первый знаме¬
натель есть квадратный трехчлен который раскладывается на

— 96 —
множители приемом, данным в »° 43), видим, что один множи
тель второго знаменателя (3 — ж) обратен по знаку множителю
первого знаменателя (х—3). Поэтому переменим знак у этого
множителя 2-го знаменателя и знак перед второю дробью.
Тогда будем иметь (заметим еще, что х -}- 3 = 3 -f- х):
1.1 1 1
а?—бж-^б^Э—а?	(х—2) (ж—3)	(3	—гс) (3—ж)
1	 1	  ж	+	З
(х — 2) (х — 3) (х-1-3) (ж — 3)	(х — 2) (ж—3)(ж-|-3)
х — 2		 х-\-3—ж-j- 2
(ж — 2) (ж—3) (X -f 3) — (ж— 2) (ж—3) (ж -{- 3) —
 	5
(ж— 2) (х—3) (ж-|-3)
то	°—1 I	1	°	—1 I .	1	о
13.		о «	:	д = Г 77,	« Здесь множп-
о — 3 ' 9 — 6a-f-os о — 3 1 (3—о)2
тель (3 — о) обратен по знаку множителю а — 3. Однако, этот
множитель 3 — а входит во 2-ой знаменатель в квадрате. По¬
этому, если у него переменить знак, то знак у второй дроби не
изменится [сравнить: (—5)*;=(-|-5)2; (-f-a)2 = (—о)2; (ж —1)8 =
г=(1 — ж)*; (а — Ъ)* — (Ъ — о)2 и т.д.].
Поэтому:	•
a —1 .	1	а—1 ,	1	а—1	,	1
а—3 г9 — 6а-j-а®	а — 3	(3—а)®	а — 3^(а—3]®
 (а — 1) (а — 3) -J- 1 а® — а —За-j- 3-|-1 а® — 4я 4
—	(а —3)®	~	(а	—	3)®	—	(о	—3]®	~
_(а —2)®
(о —3)®
48.Умножение и деление алгебраическихдробей.
Мы умеем выполнять умножение и деление арифметических
дробей, например:
Зч,с 3.5 З.к_ 3 . г ^ 3 5.3 Е.3 5.8
8 ’ 8	8.5’	8	8	’	8	— 3
3	5	3.5 . 3 . 5 3.7
8 Х 7	8.7	’	8	'	7	—8.5

— 97 —
Другими словами, мы знаем, что
а ас
а
а
Ъ
ab
Ъ'С~Ъ
’Ъ
: с =
Ъс' ° ■
с
а
с
ас а
с
ad
ъ •
d~
bd'l
: d
Ъс’
Ъ ас
* : “=т
с Ъ
если буквы а, Ъ, с и d обозначают арифметические целые
числа.
Возникает вопрос, не остаются ли в силе эти равенства, если
а, Ъ, с н d будут обозначать; 1) какие-нибудь арифметиче¬
ские числа и 2) любые относительные числа.
Прежде всего придется рассмотреть сложные дроби, на¬
пример:
1) 10-. u\ 10.^__/10. з\ ——■
'	Л7	'	13/	7.11	3.13	[	7	У' 13
10. (тз)	Ъ	ас
—	т.-е.	здесь	оправдывается	равенство	о:	——
(4) '
[Этот результат можно было предвидеть: число 10 надо разде-
3	11
лить на частное чисел y Е Тз — эт0 Равносильно Т0МУ> чт0
а
число 10 надо разделить на у и полученный результат умножить
0111 1
на 13J.
ОЛ 1®)	(1-Щ — ЬА Зл.5	5.7.3. 5
* ^13^ \ 8 • 7)' U ’ 5 / 8.6 ' 4. ]
. 13 — 8 . 6 . 4 .13
_(£)■(!)
(£)•(¥)
т.-е. здесь оправдывается равенство	=
о а
ас
bd

\
— 98 — -
ON (s)	.	(т)_/5	6\	/3	.13\ 5.7. 3.5  5 . 7 . 4 . IS
' ^	‘	^13^	\8 ‘ 7 /	' \4	‘	b)~8.6' 4.13	8 . 6 . 3 • 5 ~
(!) * (?) 5	a	с
\	=	Tci—roi ■ • • т.-е. здесь оправдывается равенство	=
(т) • (т)	*	d
 ad
Ъс
АЛ (в)	.	10/5 . 6\	. /	13V	5 .7. 10.5 _5 .6.13 _
(“)~	7	'	5'~ 8-6‘ I3	— 8.7.10.5 —
(I) ?(¥)	■-	аса,
~prj—х — . . . также оправдывается равенство : - =^-.
Этих примеров уже достаточно, чтобы убедиться в справедли¬
вости равенств, относящихся к умножению и делению дробей,
когда числа а, Ь, с и d какие угодно (целые или дробные) ариф¬
метические. Заметим, что основных равенств лишь 2, а именно:
о с ас а с ad
Т ‘ d ~~М и Т: 7Г~~Ы
так как остальные равенства могут быть сведены к этим
а	а	с	о.1
-г:с=-г: - == ,— и т. п.
Ъ	Ъ 1	о. с
Остается теперь рассмотреть, останутся ли справедливыми эти
равенства, если некоторые из чисел о, Ъ, с и d предположить
отрицательными: если, например, о отрицательное число, а Ъ, с
и d—положительные, то дробь ~ отрицательно а дробь ^ по-
а е
ложительна; поэтому, например, от деления на должно по¬
лучиться отрицательное число, но мы видим, что, согласно на-
ad
шему предположению, н выражение должно выразить отрица-

— 99 —
а с ad
тельное число, т.-е. равенство ^	^	оправдывается	и	в
этом случае. Легко также рассмотреть и другие предположения
для знаков чисел а, Ъ, с и d. Результатом этого рассмотрения
является убеждение в справедливости равенств
а с ае а с ad
Ъ md~~ Ы И Ь :d~ Ъс
и для случая, когда а, Ъ, с и d выражают любые относительные
числа, т.-е. для умножения и деления алгебраических дробей
остаются в силе те же правила, как и для арифметических.
Теперь мы можем выполнять умножение и деление алгебраи¬
ческих дробей. Наибольшие затруднения представляет здесь во¬
прос о сокращении дробей, получаемых после умножения или де¬
ления. Если алгебраические дроби одночленные, то сокращение
полученного результата не представит затруднений, а если дроби
алгебраические, то является необходимым предварительно числи¬
теля н знаменателя каждой из данных дробей разлагать на мно¬
жители.
Примеры:
, , „ 6а	4а?Ъ	2а%Ъ
1. 4аЗ;-—= —_=
Ъ	6а	3
5х2у	/	9гу	\ (	2yt»\		 5.9.2х2у%гР
2.—
(_9*У_\ (	__
6zt ' ^	10xt	j ' { Ъхг)	6.10.3.a:2^2
_y'i
2в
a*W ,	.	aflb*	a?b
3‘ — c3d* :	5	—+C3d2ab —C2<r
1	_2a—1_	2a—1	_	1
4"	^	4a2	— 1	4a2— 1	(2a	-}- lj(2a — 1) 2a 1
3a-{-3b	2a — 2Ъ   3 (a-f-b)	2 (a — Ъ)
a2 — ab ’ a8—‘2ab-\-lP	a (a — b) ’	(a-j-S)2
6 (a -j- b) (a — b)  	6
a (a — 5)(a-4-5")2	a (a-f-5)’

6.
— 100 —
ж8—1	_ я?-\-х—2 (ж-|-1) (х—1) (ж-}-2)(ж—1)
а»8 — х—12 ’ х? — 16 (ж— 4) (ж -f- 3) ‘ (ж-)-4) (ж—4)
(л?—f— 1) (х—1) (х-\-4) (х—4) (ж—(— 1)(ас—J—4) ж3—]— 5а:—f-4
(ж— 4) (ж+З) (х-\-2) {х—1)	(х^\-3)(х-\-2)	ж2-|-5ж-|-6
( 1 I 1 \	(	«*+ь2\
i\ 1 I 1	  а	—	Ь	I	a-f-b
а-\-Ъ а — Ъ (а Ъ) (а — Ъ)	(a -f- Ъ) (а — Ъ)
2 а
~ (a-j-b)(a — Ъ)
а2 Ь2 2а8 — а8 — Ъ3 а8 — Ь3
2) “ ШГ =	55	 =	2о	=
 (а -(- Ь) (а — Ь)
“ 2а ’
2а	(а -)- F) (а — F) 2a(a-f-b)(a—Ъ)
(а-[-Ь)(а — Ъ) '	2а	(а-}-Ь)(а—Ъ)2а
8.		1	!_)	:		L)
\я? — у2 х -\-у х—у) \з? — у* х-\-у х — у)
П	_	1	L_7	Вх+У _ Х~~У
ж8— у8 ж-fy Ж — у Ж8 у* Я8 — у8
х-\-у _3 ж-р-у —ж + у—ж —у ж-j-y
ж2 — у8	ж2	—	у8	ж2	—	у8
1
2)
х — у
Зж — у 1	1	Зж	—	у	'х	—	у
ж8—у8	ж-}-у	ж — у ж2—у8 ж8—у8
ж —|— у  Зж—у — ж —|— у — ж—у ж — у
ж2—у2-	ж2	—у2	ж8—у8
1
ж-f у
3)	1	•	1	— *+у-
ж—у ■ ж —j— у ж —у

— 101 —
VI.	Уравнения первой степени- с одним неизвестным
49.	Происхождение уравнений. Возьмем какой-либо
линейный двучлен (см. п° 43), например, Ъх— 7. Здесь буква х
обозначает какое-либо число. Мы можем заменить х любым чи¬
слом. Заменим х сначала нулем; тогда наш двучлен ока¬
жется :=—7. Заменим затем х числом -]-1; тогда наш линейный
двучлен окажется равен числу—2 (в самом деле, придется 5.(—f— 1)
и к полученному произведению прибавить — 2); заменим затем х
числом 2,—тсгда наш линейный двучлен окажется — + 3; заме¬
ним х числом 2-^-, — тогда двучлен окажется = -}- 5^; заменим
-тогда двучлен окажется равен числу— 19^
х числом—2^-,-
и т. д. без конод.
Мы можем записать эти результаты в виде таблицы:
X
двучлен
0
— 7
1
— 2
2
+з
2—
2
+ 5-J
— 2—
2
-191
55 . . .
(значение этой записи выяснится
ниже).
Мы видим, что число х изменяется; то взяли ж=0, то
взяли ж = 1 и т. д.—поэтому его называют переменным;
так как, кроме того, число х меняется только по нашему же¬
ланию (мы можем взять для х произвольное значение), то это
переменное называют независимым — в рассматриваемом при¬
мере х является независимым переменным. Рассматрн-

ваемый нами двучлен (5#—7) также принимает различные зна¬
чения (см. таблицу), но эти значения получаются в зависимости
от того, какое числовое значение дано независимому перемен¬
ному х. Поэтому мы можем установить, что в рассматривае¬
мом примере двучлен меняется в зависимости от х; двучлен
является таким образом здесь зависимым переменн'ым.
Часто называют еще зависимое переменное именем функция
(добавляют: чего, какого независимого переменного): двучлен
5х — 7 является функциею х.
Возможен вопрос, обратный предыдущему: нельзя ли найти
такое числовое значение для х, чтобы наш двучлен оказался ра¬
вен какому-нибудь наперед заданному числу, например 55? Этот
вопрос записан в последней строчке нашей таблицы: какое число
надо взять для х (записано при помощи знака вопроса), чтобы
двучлен оказался равен числу 55?
Удобно записать этот вопрос в такой форме:
бх — 7 =55
(мы хотим выбрать число для х, чтобы бх—7 равнялось
числу 55).
Последняя запись носит название „уравнение". Наше
уравнение бх—7 = 55 выражает, следовательно, запись задачи:
найти число для х, чтобы наш двучлен оказался равен 55. Не¬
посредственным соображением эту задачу легко решить: из числа
бх вычитается число 7 и получается 55, — значит число бх
должно равняться 55 -f- 7, т.-е. 62 или бх=62. Здесь известно
произведение двух множителей (62) и один из них (5), — надо
найти другой. Для этой цели надо 62 разделить на 5 — полу-
2
чим 12g, из чего заключаем, что для х надо взять числовое
2
значение 12-^-. Мы решили нашу задачу и это решение можем
записать в форме
2
# = 12-=-.
5
Этот результат называется решением нашего уравнения.

— 103 —
Также легко найдем решения других подобных уравнений.
За; + 2 = 14
а;=4
8 —Зх=2
х=2
12а — 9 = 51
а= 5 и т. п.
В каждом столбце в первой строчке написано уравнение, которое
является записью некоторой задачи (например, для третьего
етолбца: найти число для о, чтобы двучлен 12а — 9 равнялся
числу 51), во второй строчке каждого числа дано решение со¬
ответствующего уравнения.
Возникает желание развить предыдущее: нельзя ли записы¬
вать подобным же образом более сложные вопросы. Вот, напри¬
мер, один из них:
Возьмем два двучлена с одним и тем же независимым пере- {
менным, например, 4ж-]~3 и 7х—1.'Если мы станем х давать'
различные значения, то, в зависимости от них, будем получать
соответствующие значения для двучленов:
пусть х=0; тогда 1-ый двучлен = 3, а 2-ой = — 1;
пусть а? = 1; тогда 1-ый двучлен = 7, а 2-ой=6;
пусть х= — 1; тогда 1-ый двучлен = 1, а 2-ой =— 8;
пусть х — 2\ тогда 1-ый двучленен, а 2-ой =13 и т. д.
Возникает вопрос: нельзя ли отыскать такое значение для х,
чтобы оба наши двучлена оказались равными одному и тому же
числу. Эту задачу возможно записать в форме уравнения:
4ж + 3 = 7ж— 1
(мы хотим найти число для х, чтобы 1-й двучлен оказался равен
тому же числу, как и 2-ой).
Теперь уже несколько труднее найти решение этого уравнения.
Однако, все-таки возможно 1) увидать, что член 4х должен ока¬
заться на 4 единицы меньше члена 7а; (к члену 4а; при¬
бавляется еще 3 единицы, а от члена 7х вычитается
одна единица, и тогда они оказываются равными), откуда заклю¬
чаем, что За? должно равняться 4 и, следовательно, для а? надо
взять число 1-g-. И тогда мы запишем решение нашего урав¬
нения:	.
a; = !-g.

— 104 —
Можно записывать уравнением и более сложные задачи. На¬
пример, уравнение
ж— 3	х— 1  1
аг —|— 3	х-\~1	4
выражает задачу: найти такое значение для х чтобы дробь Х . ^
X “ г “ О
1	X 1
оказалась на больше дроби ^	. Непосредственно решить
эту задачу уже вряд ли удастся.
В рассмотренных примерах мы имели лишь такие уравнения,
где требовалось найти числовое значение лишь для одного пере¬
менного в каждом уравнении. Поэтому такие уравнения называ¬
ются уравнениями с одним неизвестным.
Ясно, что могут иметь место и уравнения с двумя, с тремя и
более неизвестными. Так, например, задача: найти числовые зна-
X	1
чения для х в у так, чтобы дробь — была на — больше дроби
У	4
X
-j-д, может быть записана уравнением с двумя неизвестными:
“ I
X	X		jl
У 2/ + 8~~4'
Также точно, уравнение
За;—bx-\-2z=\&
выражает задачу: найти числа для х, у ил, чтобы трехчлен
Ъх—Ъу-\-2г оказался равен 14, — здесь мы имеем уравнение с
тремя неизвестными.
Мы видели, что сообразить непосредственно, какому числу
должно равняться неизвестное (или: каким числам должны рав¬
няться неизвестные), становится тем труднее, чем сложнее урав¬
нение. Поэтому является потребность изыскать способы, при по¬
мощи которых можно было бы легко находить решение уравнений.
Мы должны в первую очередь научиться решать уравнения с
одним неизвестным и притом такие, где не придется встретиться
с квадратом, кубом и т. д. этого неизвестного (уравнения
первой степени).

— 105
г>У!ь*л чииылг?
Л . K'f- ia
■ ' 14 ■ :
50.	Свойства равенств, на .которых иен омы¬
вается решение уравнений. Возьмем какое-нибудь урав¬
нение, не очень сложное, например:
7х—24 = 15 — Ъх
или
х х— 3 х— 5  1
2	3	б-~
Мы видим в каждом уравнении знак равенства: все то, что
написано слева от знака равенства, называется левою или
первою частью уравнения (в первом уравнении 7х—24 явля-
, х х — 3
ется левою или первою частью, а во втором ... —
z	о
х — 5	.
 =—- есть первая, или левая, часть); все то, что написано
о
справа от знака равенства, называется правою или второю
частью уравнения (15 — Зх есть правая часть первого
уравнения, 1 является правою, или второю, частью 2-го урав¬
нения).
Каждая часть любого уравнения выражает собою некоторое
число. Числа, выражаемые левою и правою частью уравнения,
должны быть равны между собою. Нам ясно: если мы к ка¬
ждому из этих чисел прибавим по одинаковому числу, либо вы¬
чтем из них по одинаковому числу, либо каждое из них умно¬
жим на одинаковое число, либо, наконец, разделим на одно и
то же число, то результаты этих действий должны также быть
равными между собою. Другими словами: если а — Ь, то а-\-с —
= Ь —с, а—с=Ь — с, ас=Ъс и — — По поводу деления
С с
следует, однако, иметь в виду, что в арифметике не имеется де¬
ления на нуль—мы не умеем, напр., число 5 разделить на нуль.
Поэтому в равенстве —=— число с не может быть равным нулю.
с с
Итак:
1.	К обеим частям уравнения можно прибавить или из них
вычесть по одинаковому числу.
8

— 106 —
2.	Обе части уравнения можно умножить или разделить на
одно и то же число, исключая случай, когда это число может
оказаться равным нулю.
Пользуясь этими свойствами уравнения, мы можем найти
удобный способ решать уравнения. Выясним этот случай на при¬
мерах.
Пример 1. Пусть надо решить уравнение
Ьх— 7 = 4х-{~1Ь.
Мы видим, что первая, часть уравнения содержит два члена;
один из них Ьх, содержащий неизвестный множитель х, можно
назвать неизвестным членом, а другой — 7 — известным. Во вто¬
рой части уравнения также 2 члена: неизвестный 4х и извест¬
ный -f- 15. Сделаем так, чтобы в левой части уравнения оказа¬
лись только неизвестные члены (а известный член —7 уничто¬
жился бы) а в правой части оказались бы только известные
члены (а неизвестный член -f- 4х уничтожился бы). Для этой цели
прибавим к обеим частям уравнение одинаковые числа: 1) при¬
бавим по7 (чтобы уничтожился член — 7) и 2) прибавим
по — 4х (чтобы уничтожился член4- 4х). Тогда получим:
Ьх— 7 4-7 — 4х = 4х-\-15 4~ 7 — 4х
прнбавл.	прибавл.
члены.	члены.
Сделав в каждой части уравнения прпведевие подобных чле¬
нов, получим
х=22.
Это равенство и является решением уравнения, так как оно
указывает, что для х надо взять число 22.
Пример 2. Гешить уравнение:
8х 4-11 = 7 — 4х
Опять прибавим к обеим частям уравнения по —11 и по
4~ 4х, получим:
8ж4- 11 — 11 4- 4х= 7 — 4х—114-4а:

— 107 —
Выполнив приведение подобных членов, получим:
12х = — 4 *
Разделим теперь обе части уравнении на -j-12, получим:
4_
12
1
или х= — —
(первую часть уравнения 12х разделить на 12 — получим у9- или
просто х; вторую часть уравнения —4 разделить на -f-12 — полу-
Последнее равенство и является решением уравнения, так как
Прибавим к обеим частям уравнения по -f- 23 и по — бх, —
Теперь, для того, чтобы впоследствии ускорить процесс реше¬
ния уравнения, не будем сразу выполнять приведение всех по¬
добных членов, а только заметим, что члены —23 и -(-23 в
левой части уравнения взаимно уничтожаются, также члены -j- бх
и —бх в первой части взаимно уничтожаются —получим:
1
оно указывает, что для х надо взять число —-ц
Пример 3. Решить уравнение
х — 23 = 3. (2х — 3)
Раскроем сначала скобки, получим:
х — 23 = 6х — 9
получим:
ж — 23 —J— 23 — 6х—6х — 9 —23 — бх.
х—6ж =— 9-]~23.
Сравним это уравнение с начальным: вначале было ур-ние:
х—23 = 6» — 9;
теперь получили уравнение:
ж — 6ж = — 9 + 23.

— 108 —
Мы видим, что в конце концов оказалось, что член — 23, нахо¬
дившийся сначала в левой части уравнения, теперь как бы пере¬
шел в правую часть уравнения, причем у него переменился знак
(в левой части начального уравнения был член —23, теперь его
там нет, но зато в правой части уравнения имеется член -f-23, ко¬
торого там раньше не было). Так же точно в правой части уравнения
был член -f-ба;, теперь его там нет, но появился зато в левой
части уравнения член — 6а:, которого раньше там не было. Рассмаг-
тривая с этой точки зрения примеры 1 и 2, мы придем к общему
заключению:
Можно любой член уравнения перенести из
одной части в другую, меняя знак у этого члена
(в дальнейших примерах мы будем этим пользоваться).
Итак, возвращаясь к нашему примеру, мы получили уравнение
х — 6а: = — 9 -{- 23
Выполним приведение подобных членов:
— 5а: = -j—14.
Разделим обе части уравнения на —5. Тогда получим:
х = —2~
э
[— 5а;: (— 5) получим х] — это и есть решение нашего уравнения.
Пример 4. Решить уравнение:
Зж — 8	2х — 1	. х — 7
6	4	1“	8" — '
Сделаем так, чтобы в уравнении не было дробей. Для этой
цели найдем общего знаменателя для наших дробей — общим
внаменателем служит число 24 — и умножим на него обе части наг-
шего уравнения (можно, ведь, чтобы равенство не нарушилось, умно¬
жить на одно и то же число только обе части уравнения). В первой
части 3 члена, причем каждый член является дробью — надо,
следовательно,	каждую	дробь	умножить	на 24; вторая часть
уравнения есть 0, а нуль умножить на 24 — получим нуль. Итак,
(Зж —8)24	(2ж— 1). 24	, (х— 7).24_п
6	4	8

— 109 —
Мы видим, что каждая из наших трех дробей, благодаря
тому, что она умножена на общее наименьшее кратное знамена¬
телей этих дробей, сократится и сделается целым выражением,
а именно получим:
(Зл — 8). 4 - (2л — 1) .6 + (л— 7) .3 = 0.
Конечно, желательно все это выполнить в уме: надо вообра¬
зить, что, напр., числитель первой дроби заключается в скобки и
умножается на 24, после чего воображение поможет нам увидеть
сокращение этой дроби (на 6) и конечный результат, т.-е.
(Ъх—8).4: Тоже имеет место и для остальных дробей. Раскроем
теперь в полученном ур-ии (в его левой части скобки):
12л— 32— 12л +6 -f Ъх — 21=0
(обратим внимание, что здесь понадобилось двучлен 2х — 1 умно¬
жить на 6 и полученное произведение 12л—6 вычесть из пре¬
дыдущего, благодаря чему знаки членов этого произведения
должны перемениться — выше и написано —12л 4-6). Перенесем
известные члены (т.-е. —32, 4" 6 и —21) из левой части ур-ия
в его правую часть, причем (как мы уже знаем) знаки атих
членов должны перемениться — получим:
12л— 12л 4- Ъх— 32 — 6 4-21.
Выполним проведение подобных членов:
Зл=47
(при навыке должно сразу выполнять и перенесение нужных
членов из одной части уравнения в другую и приведение подоб¬
ных членов), разделим, наконец, обе части уравнения на 3 — по¬
лучим:
х— 15 -g—это и есть решение нашего уравнения. '
Пример 5. Решить уравнение:
Зл 4-1	.	2л — 3
о ^— = х-\	;—
V	1	л

Здесь две дроби, и их общий знаменатель = 35. Умножим,
чтобы освободить уравнение от дробей, обе чаети уравнения на
общего знаменателя 35. В каждой части нашего ураййения 2 члена.
При умножении каждой части на 35 должно каждый член умно¬
жить на 35 — получим:
5.35--gg+1-bjL==iB.S5+^g-8)-8S
7	5
Дроби сократятся — получим:
175 — (За: -f 'l). 5 = 35»-4- (2ат — 3). 7
(конечно, можно было бы при навыке написать сразу, это урав¬
нение).
Выполним все действия:
175 — 15а;— 5 = ЪЪх-\- 14а; — 21.
Перенесем все неизвестные члены из правой части (т.-е.
члены —j— 35а; и -]~ 14а;) в левую, а все известные члены из левой
части (т.-е. члены —J—175 и —5) в правую-—следует при этом
не забывать у переносимых членов менять знак:
— 15а;—35а;— 14а; = — 21 —175+ 5
j
(член — 15а;, как раньше был в левой части, так и теперь в ней
остался—у него поэтому отнюдь не следует менять знака; ана¬
логичное имеет место и для члена —21). Сделав приведение по¬
добных членов, получим:
— 64аг = —191.
[Возможно сделать так, чтобы не было знака минус в обеих
частях уравнения; для этого умножим обе части уравнения на
(—1), получим 64а; = 191, но этого можно и не делать].
Разделим затем обе части ур-ия на (—64), получим решение
нашего уравнения
[Если умножили обе части уравнения на (—1) и получили
уравнение 64а; = 191, то теперь надо обе части уравнения разде¬
лить на 64].

— Ill —
На основании того, что пришлось выполнять в примерах
4 и 5, мы Ложей установить: можно освободить уравнение от
дробей—для этого надо найти общего знаменателя для всех
*’ дробей, входящих в Сравнение (или наименьшее общеё кратное
знаменателей всех дробей) и на него умножить обе части уравне¬
ния—тогда дроби должны исчезнуть.
Пример 6. Решить уравнение:
5.г = 4г.
Перенеся член ix из правой части уравнения в левую, по¬
лучим:
Ъх—4х = 0 или х = 0.
Итак, решение найдено: для х надо взять число нуль. Если
мы заменим в данном уравнении х нулем, получим 5.0 = 4.0
или 0 = 0, что указывает на выполнение требования,- выражав- (
мого данным уравнением: найти такое число для х, чтобы одно¬
член Ъх оказался равен тому же самому числу, как и одно¬
член 4х.
Если кто-либо подметит с самого начала, что обе части урав¬
нения Ъх—4х можно разделить на а; и выполнит это деление,
то получится явная несообразность: 5 = 4! Причиною этого
является то обстоятельство, что деление ^ в данном случае
выполнить нельзя, так как, мы видели выше, вопрос, выражаемый
нашим уравнением, требует, чтобы ж=0, а деление на нуль не
выполнимо.
Заметим еще, что и умножение иа нуль требует некоторой
внимательности: умножая на нуль и два неравных числа, мы по¬
лучим в результате этих умножений равные произведения, а
именно — нули.
Если, напр., мы имеем уравнение
х — 3 = 7 —.х (его решение: х = 5)
и если кто-либо захочет к нему применить свойство .обе части
уравнения можно умножить на одно и то же число* и умножить
обе части иа х, то получит:
х3 — Зх = 7х—х2.

I
— 112 —
•
После этого может обратить на себя внимание, что все члены
уравнения содержат множителя х, из чего можно сделать заклю¬
чение, что для решения этого уравнения можно взять число нуль,
т.-е. положить х = 0. И в самом деле, тогда получим:
О2 — 3.0 = 7.0 — О2 или 0=£>.
Однако, это решение х—0, очевидно, не годится для данного
уравнения х—3 = 7 —х\ заменяя в нем х нулем, получим явную
несообразность: 3 = 7!	*
51.	Пропорции. Рассмотрим особенный вид равенства,
а именно:
а с
Ь~1'
это равенство показывает, что частное от деления числа а
на число Ъ равно частному от деления числа с на число d.
Вместо „частное от дегения числа а на число Ъ" говорят
„отношение числа о к числу Ъа. Поэтому наше равенство мы
можем прочесть: отношение числа а к числу Ъ равно
отношению числа с к числу d. Иногда еще читают и так:
„число а относится к числу Ъ, как число с к числу d“. Подоб¬
ные равенства называются пропорциями. Итак, пропорция
есть равенство двух отношений.' То число, которое является де¬
лимым каждого частного, называют предыдущим членом отно¬
шения: о есть предыдущий член 1-го отношения, с есть преды¬
дущий член 2-го. Каждое из тех чисел, которое служит дели¬
телем, называется последующим членом отношения: Ъ есть
последующий член 1-го отношения и d есть последующий член
2-го отношения. Еще называют а и d крайними членами про¬
порции, а Ъ и с—средними. Эти названия особенно ясны,
если знав деления взять знак: и написать пропорцию в виде:
а\Ъ — е\а.
Мы можем также рассматривать пропорцию:
а  с
Ъ~Т
как равенство двух дробей, а именно: дроби и дроби

— 113 —
Уничтожим в этом равенстве дроби. Для этой цели надо обе
части равенства умножить на общего знаменателя, т.-е. на bd.
Получим:
abd cbd
"У ~d
•	f
Совратив каждую дробь, получим:
ad~d>.
Это равенство можно прочесть словами: произведение
крайних членов пропорции равно произведению
ее средии.х членов.
Это свойство членов пропорции принимают эа ее основное
свойство.
Мы можем из этого равенства получить и еще следующие:
1.	Разделим обе части равенства
ad—cb
на d (или на а), получим
т.-е. один из крайних членов пропорции равен про¬
изведению средних, деленному на другой крайний.
2.	Напишем наше равенство в обратном порядке:
cb — ad
и разделим обе части его на Ъ (или на с), получим:
т.-е. средний член пропорции равен произведению
крайних, деленному на другой средний.
Пользуясь основным свойством пропорции, мы можем иногда
освобождать те уравнения, какие имеют форму пропорции, от
дробей без отыскания общего знаменателя.

I
— 114 —
Например, возьмем уравнение:
х—1 _ 2
Зх— 1 — ~5*
Это уравнение имеет форму пропорции: отношение числа
х — 7 к числу Зх — 1 равно отношению числа 2 к числу 5.
Воспользуемся основным свойством пропорции, т.-е. произведение
крайних членов равно произведению средних; получим:
' (ж —7).5=(3ж—1).2
(ибо в нашей пропорции крайние члены суть х—7 и 5, а сред¬
ние— Зх—1 и 2). Теперь уравнение без труда может быть
решено.
52.	Более сложные примеры уравнений.
Пример 1.
5	3	15
х — 1	1	х2 — 1
Общий знаменатель есть х2—1, так как ж2—1 = (ж-}-1) (х—1).
Умножим обе части этого уравнения на х2—1. Получим:
5 (з-fl) (х — 1)	3 (а-Н) (х —1)15 (ж-f 1) (ж—1)
X—1	ж-}-1	X2	— 1
или, после сокращения,
5 (ж + 1) — 3 (х— 1) = 15
или
Ъх -]- 5 — Зх -|- 3 = 15.
или
*	2х=7 и х = 3^
Рассмотрим еще уравнение:
“‘5	3	4
х—1	х~]-1	х1 — 1
Решая, как выше, получим:
5 (ж-М) — 3 (х—1) = 4
5ж —I— 5 — За: — 3=4 пли йх=2 И х = 1.

— 115 —
Посмотрим, оправдаются ли наши равенства, если заменить
в каждом из рассмотренных уравнений ж найденным числом.
Для первого примера получим:
5	3	15	о	2	4	1 1	1 1
ИЛИ 2 — -о- = -я- ИЛИ 1-Я-= 1-
1	1~ 1	3—3	3	“	3
22	2	4
Видим, что здесь иет места никаким сомнениям: мы нашли
такое число для ж, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5	3	15	5	3	15
— или тг ггг
1—1 2 1—10 2 0
Здееь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением
на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся при¬
дать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению,
то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение х— 1
удовлетворяет нашему уравнению. До этой лее поры мы должны
признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего
прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное
входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравневпп,
причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении,
обращаются в нуль.
Пример 2.
х —3 2ж —3
х — 1	2х — 2
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму про¬
порции: отношение числа ж-{-3 к числу х — 1 равно отношению
числа 2х-\-Ъ к числу 2х'—2. Пусть кто-либо, в виду такого
обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравне¬
ния от дробей основное свойство пропорции (произведение край¬
них членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(ж + 3) (2ж — 2) = (2ж + 3) (ж —1)
или
2жа-|- 6ж — 2ж— 6 = 2ж® -j- Зж— 2ж— 3.

— 116 —
Здесь может	возбудить опасения, что	мы	не	справимся	с этим
уравнением,	то	обстоятельство,	что в уравнение	входят	члены
с ж2. Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть
но 2Ж2—от этого уравнение не нарушится; тогда члены с ж2
уничтожатся, и мы получим:
6ж — 2ж — 6 = Зж —2х — 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — по¬
лучим: .
3ж = 3 или ж = 1
вспоминая данное уравнение
х —|— 3	2ж — 3
х —1	2х — 2
мы сейчас же подметим, что найденное значение для х (ж = 1)
обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения
мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны
отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции
усложнило дело и что можно было бы получить более простое
уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель,
а именно на 2 (х — 1) — ведь 2ж— 2 = 2 (ж — 1), то получим:
2 (ж-[-3) = 2ж— 3 или 2ж-}-6 = 2ж— 3 или 6= — 3,
что невозможно.
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет
таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы
знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
За+5 _2ж+18
ж — 1 2ж— 2
Умножим обе части уравнения 2 (ж—1), т.-е. на общий зна¬
менатель, получим:
6ж10 = 2ж18
или
4ж = 8 и ж = 2

— 117 —
Найденное решение не обращает в нуль знаменателя и имеет
3.2 + 5	2.2 + 18	‘
прямой смысл: —-—-	—— или 11 = 11.
2i 1 " 1	А	•	  &
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на2(ж—1),
воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(Зж+5) (2х — 2) = (2ж+18) (х— 1)
ИЛИ 6ж2 + 4ж—10 = 23*+16ж—18.
1 Здесь уже члены с ж® не уничтожались бы. Перенеся все
неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, полу¬
чили бы
4 ж2— 12ж =— 8
или
ж2— Зх =— 2
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем
мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два
решения: 1) можно взять х = 2 и 2) можно взять х=1. Легко
проверить оба решения:
1)	2й — 3.2 = — 2) и 2й 1—3.1= —2
Если мы вспомним начальное уравнение
Зх + 5 2х + 18
х— 1 2х— 2 ’
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) х~2
есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает
знаменателя в нуль, 2) х=\ есть то решение, которое обращает
знаменателя в нуль и ие имеет прямого смысла.	i
Пример 3. жя_5а._|_6— яа_х_^= Х2_2х^3
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это урав¬
нение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
11 ж® — 5ж + 6 = ж*— Зх — 2х + 6 =х(х— 3)— 2 (ж— 3) =
= (х—3) (х—2),

— 118 —
2) ж2 — ж — 2 = ж2 — 2ж -f- ж — 2 = ж (ж — 2) -J- (ж — 2) —
— (ж — 2) (ж-f 1),
3) ж2 — 2ж—3 = ж2—Зж-}-ж — 3 = ж (ж—3)-|-(ж — 3) =
= (ж —3) (ж+1).
Общий знаменатель = (ж— 3) (ж^-2) (ж-(-1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь мо¬
жем переписать в виде:
3	2	_	2	ч
(ж —3) (ж —2)	(а?—2) (ж-f-l) — (яг— 3) (ж+1))
на общего знаменателя (ж — 3) (ж — 2) (ж+1). Тогда, после
сокращения каждой дроби, получим:
3(ж+ 1) — 2 (ж—3) = 2 (ж — 2)
Зж + 3 — 2ж + 6 = 2ж — 4.
Отсюда получше
— х — —13 и ж= 13.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль
ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение
3	2	_	1
ж3 — 5ж+ 6 ж2 — ж — 2 ж2 — 2 ж — 3
го, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3 (ж +1)— 2 (ж — 3)=ж—2
или
Зж + З — 2ж + 6=ж — 2
или
Зж—2ж — х — — 3 — 6 — 2,
откуда получили бы
0 = —11,
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя
найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой
смысл.

— 119 — ^
53.	Примеры, где известные числа выражены
буквами. Пусть дано уравнение
ах-\-1=0.
I
Мы можем левую часть этого уравнения, т.-е. двучлен
ах-\-Ъ, рассматривать, как общий вид линейного двучлена: ведь
мы можем написать множество различных линейных двучленов,
напр., Зх -(-4, Ъх — 2,— 333-1-7, х-\-1, х — 3 и т. д. — все их
можно подвести под общую формулу ах-\-Ъ, так как, давая
буквам а и Ъ различные значения, мы будем получать различные
линейные двучлены (так, если я = -(-3 и & = -}-4, то получится
первый двучлен Зх -(-4, если взять о=—(- 1 и Ъ — — 3, то по¬
лучится последний двучлен х — 3 и т. д.).
Поэтому примем, что в уравнении ах-\-Ъ — 0 буквы а шЪ
выражают известные числа, а буква х — неизвестное число. Тогда
мы решим наше уравнение по тому же плану, как это делали
выше:
1)	перенесем известный член-)-?» в правую часть:
ах — — Ъ
2") разделим обе части уравнения на коэффициент при х, т.-е.
на —а получим:
Ъ
х= .
а
Это равенство и является решением нашего уравнения.
Еще пример:
ах -(- Ъ = сх -(- d
(буквы о, Ъ, с и d выражают известные числа).
Перенесём неизвестные члены влево, щ, известные вправо:
ах — cx = d—Ъ.
т
Необходимо теперь сделать так, чтобы в левой части уравнения
оказался бы лишь один неизвестный член. Этого можно достиг¬
нуть вынесением множителя х за скобки:
(а — c).x=zd—Ъ

— 120 —
Разделим теперь обе части уравнения на коэффициент при х,
т.-е. на множитель (о — с)члена (о — с).х — этот множитель ведь
выражает известное число; тогда и получим решение нашего
уравнения:
d— Ъ
х = -	.
я —с
Пример 3.
а—х h — х
Ъ	я
Уравнение имеет форму пропорции. Поэтому
я (я—х) — Ь(Ъ — х)
или
я2 — ах— Р — Ъх.
Перенося неизвестные члены влево, а известные вправо,
получим:
Ъх—ax=zP—я2.
Отсюда
(Ъ — а)х = Р — я2
и
Р — а*
h — о
Вспоминая, что Р — я* = (Ъ -)- я) (Ъ — я), мы можем сократить
полученную дробь, и тогда
х = Ъ -f- я.
Пример 4.
х — Зя   Ъ
х—я—Ъ	2о
Уравнение имеет форму пропорции. Решение таково:
1а{х— ^а) — Ъ(х — о — Ъ),
Чах — 6я2 — Ъх — аЪ — Р,
2ах — Ъх = 6я2 — ab — Р/
(2о — Ъ)х = 6я2 — ab — Р,
_ 6аа-аЪ~\-Р
Х	2о—Ъ

— 121 —
Попробуем разделить многочлен 6а2—аЪ~\-Ьг на многочлен
2 а — Ъ
6а2 — пЪ — Ь2 12а —Ъ
~ См2±Ш 3а + Ъ
2 пЬ —1>2
2ab dr h2
~ б
Поэтому имеем окончательно:
х=За-^-Ъ.
54.	Задачи на составление уравнений с 1 не¬
известным:
Мы можем применить умение решать уравнение к решению
задач. Нижеследующие примеры укажут, как это делать.
Задача 1. Продавался дом. У одного покупателя была сумма
3	5
денег, рарная -j его.стоимости, а у другого — равная -g- его стои¬
мости. Если бы онн сложились вместе, то у них оказался бы
излишек в 7000 руб. Какова стоимость дома?
Положим, что дом стоит х руб. Тогда (в согласии с началом
задачи) первый покупатель имел (х. руб. или, что тоже самое,
4" руб-, а второй имел -g- руб. Следующая фраза условия задачи,
а именно—„если бы они сложились вместе, то у них оказался бы
излишек в 7000 руб.*—является уравнением, выраженным сло¬
вами: надо выразить его теперь не словами, а математическими
знаками. Сначала возьмем подобную же фразу в упрощенной
форме: „если сложить числа а и Ъ, то полученная сумма даст
излишек т против числа си — эту фразу можно переписать мате¬
матическими знаками так: а	Ъ = с -(- т.
Совершенно так же можно записать и то уравнение, которое
имеется в нашей задаче: если сложить числа ^ и ^г, то полу¬
ченная сумма даст излишек 7000 над числом х
или
— х-\- 7000.
4	0	'
9

— 122 —
Полученное уравнение должно упростить: 1) умножим обе части
уравнения на общего знаменателя 12 — получим
9ж + 10ж = 12ж + 84000	—■
2)	Перенесем неизвестные члены в левую часть:
9ж + 10ж — 12ж = 84000
или
7х = 84000,
откуда
х =12000
Теперь мы можем дать ответ на задачу:
Стоимость дома составляла 12000 руб.
Задача 2. В понедельник в классе отсутствовало 13 учени¬
ков, а во вторник 5 учеников. Отношение числа присутствующих
учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник
равнялось -д-. Сколько всего учеников было в этом классе?
Положим, что всего в классе числилось х учеников. Тогда
в понедельник присутствовало (ж—13) учеников, а во вторник
(ж—5) учеников. Фраза „отношение числа присутствующих
учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник
7
равнялось д-“ является уравнением, выраженным словами, и мо¬
жет быть переписана математическими знаками:
ж—13 _ 7
ж— 5	9 *
Решим это уравнение:
9(ж—13)=7(ж—5) или 9ж—117=7ж — 35.
Отсюда получим: 2ж=82 и ж=41.
Итак, в этом классе числились 41 ученик.
Задача 3. Найти дробь, знаменатель которой на 3 больше
4
числителя и которая обращается в если из ее числителя и
О
внаменателя вычесть по 1.

— 123 —
Эта задача несколько отличается от предыдущих. В ней тре¬
буется .найти дробь", но нельзя было бы начать решение за¬
дачи так, как это делали в 1-ый и 2-ой задаче: положим, что
искомая дробь=х. Нельзя было бы так начать потому, что
в задаче речь идет отдельно о числителе и отдельно о знамена¬
теле: приходится вычитать 1 отдельно из числителя и отдельно
из знаменателя. Поэтому надо так обозначить дробь, чтобы были
видны и ее числитель и ее знаменатель. Так как сказано, что
знаменатель на 3 больше числителя, то можно обозначить буквою
х или числителя или знаменателя, — тогда легко найти выра¬
жение для другого члена дроби и для самой дроби.
Вот решение задачи.
Положим, что числитель искомой дроби—ж. Тогда ее знамена-
ЗС
тель = ж-]-3, и искомая дробь = — . - . Фраза, „которая (т.-е.
ос н— О
дробь) обращается в если из ее числителя и знаменателя вы¬
честь по 1", является уравнением и может быть написана мате¬
матически:
х— 1	4 х— 1	4
*—j—-	— •— — НЛП  1—— —.
a-f-3—1	5	x-f-2	о
Отсюда:
5(х— 1) = 4(ж -f- 2); 5х— 5 = 4x-j-8;5x — 4x=5-j- 8 ;х — 13.
13
Тогда знаменатель дроби = 16 и искомая дробь =
Задача 4. Один брат старше другого на 14 лет, а через 6 лет
он будет в 2 раза старше. Сколько лет каждому брату?
Здесь надо дать два ответа: сколько лет младшему брату и
сколько лет старшему, но решать задачу можно при помощи
уравнения с 1 неизвестным, так как сказано, что старший брат
на 14 лет старше младшего. Решим задачу так:
Положим, что младшему брату х лет; тогда старшему
(ж-f-14) лет.
Через 6 лет будет младшему брату (х -(-6) лет. а старшему
(гс —J—14 —(— 6) лет или (х + 20) лет.

— 124 —
Сказано, что старший будет тогда (через 6 лет) в 2 раза
старше младшего, т.-е. число ж 4 20 должно быть в 2 раза больше
х —6, а это можно записать в виде
Х 1 ^ =2 или х-(- 20 = 2(х-j-6) или —— х_)_6.
я+6	1	v	1	'	2
Наиболее естественная запись — первая: узнавать, во сколько
раз одно число больше другого, надо делением; нам надо узнать,
во сколько раз число (гс—|— 20) больше числа (ж -(-6) — для этого
надо (гс —|— 20) разделить на (х 4 6), и нам сказан ответ „в два
раза*. Поэтому пишем, что от этого деления получится число 2,
ж 4 20
т.-е.	-	=2.
х-\-6
Вторая запись может быть объяснена так: нам сказано, что
число (х 4 20) должно быть в 2 раза больше числа (х 4 6).
Чтобы сравнять эти числа, надо, следовательно, меньшее из них,
т.-е. ж-)-6,умножить на 2. Тогда х420 — 2.(х-J-6).
Третья запись объясняется так: чтобы сравнять числа х -(-20
п х —|— 6, надо большее из них уменьшить в 2 раза, и тогда
х —[— 20	.	•
^£—=,+6.
Если мы возьмем 1-ую запись
* + 20_о
ж + 6
и умножим обе части уравнения на ж-)-6, то получим
х -(- 20 = 2 (х-j- 6)
т.-е. вторую запись. Легко также из 3-ей записи получить 2-ую
или 1-ую и т. д.
Во всяком случае, после освобождения уравнения от дробей,
получим
ж 4- 20 = 2 (ж -|- 6)
и легко решим уравнение:
ж420 = 2ж-*-12;20—12 = 2ж — ж;8 = ж илп ж=8.
Итак, младшему брату о лет, а старшему 14 лет (846 = 14).

— 125 —
Задача 5. Купили сахару и кофе, всего 28 фунтов; за фунт
сахару платили 15 коп., а за фунт кофе 80 коп., за всю же
покупку заплатили 12 рублей. Сколько купили сахару и сколько
кофе?
Здесь затруднение может быть в том, что в условии задачи
даны числа то в копейках, то в рублях. Должно заранее уста¬
новить, в каких единицах, в рублях или копейках, будет вестись
решение. Решим задачу в рублях. Тогда решение таково:
Положим, что купили х фунтов сахару. Тогда кофе куппли
(28 — х) фунтов.
За сахар заплатили (15ж) копеек или х j рубле i (так как
3
15 кон. = рубля), а за кофе заплатили 80(28 — х) коп. или
4	4
— (28 — х) руб. (так как 80 коп. = -g- рубля).
Фраза „за всю покупку заплатили 12 руб.* может быть за¬
писана:
Зх , 4(28ж —х) _10
20	5	~
[Если бы решали в копейках, то уравнение было бы 15ж +
+ 80 (28— х) = 1200].
Освободим уравнение от дробей, для чего обе части умножим
на 20, — получим:
Зж+16 (28—ж) = 240
или
Б®+ 448 — 16ж=240
или
Зж—16ж=240 —448
или
— 13ж = —208,
откуда
35 = 16,
Итак, сахару купили 16 фунтов, а кофе 12 фунтов (28-^16 =
= 12).

— 126 —
1
VII.	Уравнения 1-ой степени с несколькими неизвестными.
55.	Уравнение с двумя неизвестными. Рассмотрим
теперь уравнение
Ъх -|- Ъу= 18.
Оно является записью задачи: найти числовые значения для
х и у, чтобы двучлен Ъх-\-Ъу оказался равным числу 18.
Мы знаем, что если бы в втом двучлене было бы лишь одно
неизвестное число, то и тогда мы сумели бы решить соответ¬
ствующее уравнение. Поэтому возникает соображение, что здесь
одно из неизвестных является как бы лишним: если взамен неиз¬
вестного у, напр., взять какое угодно число, то мы получим
уравнение с одним неизвестным и сумеем его решить.
А если так, то данное уравнение должно иметь сколько угодно
решений, и выясняется способ их получения: станем давать
одному из неизвестных, например, у, произвольные значения и
всякий раз из получаемого уравнения с 1 неизвестным станем
определять другое неизвестное х. Чтобы придать этой работе
больше порядка, будем результаты ее записывать в таблице.
У
X
0
3!
1
3
7
3
5
—2—
2
5,1
Дадим у значение 0, т.-е. примем, что у — 0 (записано в пер¬
вой строчке таблицы). Тогда наше уравнение обратится в
Ьх= 18,

— 127 —
откуда
(в таблице записываем это число во втором столбце, озаглавлен¬
ном буквою 35).
Итак, мы получили одно решение нашего уравнения: ?/ = О и
з5 = 3-|- (если эти значения подставить в наш двучлен вместо
а; и у, то требование, чтобы двучлен равнялся числу 18, оправ¬
дается:
Дадим у значение 1, т.-е. примем, что у~ 1 (вторая строчка
таблицы); тогда получим
откуда 5х= 18 — 3 пли 5х~15 и х=3 (записано во 2-й строчке).
Итак, найдено второе решение уравнения у — \ и х=3.
Дадим у значение 7, т.-е. примем, что у=7; тогда получим
О
уравнение бж-f- 21 = 18, откуда 5х——3 и х=—-=■	(см. 3-ю
О
строчку таблицы).
таблицы). Эту работу можно продолжить сколь угодно далеко.
Итак, одно уравнение с двумя неизвестными имеет
бесконечно много решений; для их получения надо
одному неизвестному давать произвольные значе¬
ния и из получаемых уравнений определять вся¬
кий раз другое неизвестное.
Рассматривая предыдущую таблицу и вспоминая п°49, мы
установим: у нас у был независимым переменным, а; — зависимым,
или х являлся функциею у—а.
Мы можем несколько ускорить работу нахождения решений
данного уравнения. Сочтем у за известное число (все равно, ведь,
у мы всякий раз заменяли известным числом); тогда на уравне¬
s. з|-}-3. 0=18).
5гс —|— 3 = 18,

— 128 —
ние Ъх-\-Зу=\8 мы можем смотреть, как на уравнение с одним
неизвестным х и решим это уравнение:
Ъх = 18 — Зу; х= ^
5
Мы можем этот результат выразить словами так: мы из дан¬
ного уравнения определили у через ж.
18 — 3?/
Теперь по формуле 		—- мы можем легко начти сколько
О
угодно решений, делая вычисления в уме. Примем, напр., у — 2.
Тогда надо (— 3) умножить на (+ 2), получим — 6; сложить
(-(-18) и (—6) — получим +12 и разделить на 5 — получим
ж = + 2^-. Еще пусть у =10; тогда (—3).(-f-10) =—30;
(+18) + (—30) = —12; (— 12): (+5) = — 2§, т.-е. *=-2|
и т. д.
Возьмем еще уравнение:
Ъх— 3 у= 17..
Примем за независимое переменное х, а за зависимое у и
определим у через х. Это можно сделать двумя приемами:
1) Ъх— Ъу—\1	2)	Ъх — Зг/= 17
— 3^=17 — Ъх	Ъх—17 — Зу
Зу—Ъх —17	Зу = Ъх—\7
Ъх— 17	Ъх	—	17
У ~	5	 У= - а
Быть может второй прием удобнее 1-го, так как его выпол¬
нение легче поддается воображению, если желательно выполнить
определение у-а через х в уме.
Теперь мы можем найти сколько угодно решений нашего урав-
2
нения:	1)	х=0;	у	=	— 5-g-; 2) х=1; у— — 4; 3) х=—1;
_ 1
У—— < g- и т. д.

— 129 —
Следует приучиться быстро (в уме) определять одно из не¬
известных данного уравнения с двумя неизвестными через другое.
Примеры:
1)	2х-\-у =11	2)	Ъх~	у—\Ь
у= 11 — 2х	у = 3х ~ 15
3)	2х — 5 у = 11
11 -4- Ъу	2х—11
х = или у —	_
(х через у)	(у через х)
и т. д.
56.	Общий вид уравнения 1-й степени о двумя
неизвестными.^Все предыдущие примеры объединяются общею
формою уравнения с двумя неизвестными:
ах-\-Ъу = т.
Давая а, Ъ и т различные числовые значения, мы будем по¬
лучать различные уравнения с двумя неизвестными. Напр., чтобы
получить предпоследнее уравнение, рассмотренное в предыду¬
щем п°, а именно Зх — у= 15, надо заменить а числом —|— 3,
Ь —числом 1 и т — числом —|— 15.
Кроме того, следует заметить, что в уравнении
ах -)- Ъу = т
мы можем считав числа а, Ъ и т целыми, так как в противном
случае, умножив обе части уравнения на общего знаменателя,
мы всегда можем уничтожить в уравнении дроби.
Если уравнение с 2 неизвестными дано в какой-либо сложной
форме, напр.,
х—3 , х х—4	1
*/ —2“^2 ’
то его следует упростить, причем следует это слово „упростить*
понимать в смысле стремления привести уравнение в общему
виду, т.-е. в виду
ах-\-Ъу = т.

— 130 —
Чтобы это сделать, умножим сначала обе части данного урав¬
нения на 2 (у—1), т.-е. иа общего знаменателя. Получим:
2{х — 3)-f х {у— 1)=ф — 4) {у — 1) — 2 (у 1).
— Затем раскроем скобки:
2х—6-f-ху — х = ху — 4 у — х-\~4 — 2у-\-2.
Мы видим прежде Есего, что из обеих частей уравнения можно
вычесть член ху, и тогда в уравнении не останется члена с про¬
изведением неизвестных. Это важно для нас, так как те уравне¬
ния, где входит член с произведением неизвестных, приходится
считать уравнениями второй степени, и с ними иметь дело труд¬
нее. После уничтожения члена ху, как в левой, так и в правой	i
части уравнения, перенесем все неизвестные члены влево, а
известные вправо:
2х — Ж —f— 4 у:-\- ж —(— = 6 —|— 4	2.
Сделаем приведение подобных членов:
2х-\-%у — \2.
Наконец, мы видим, что можно обе части уравнения разделить
на 2—этого никогда не следует упускать, так как, благодаря
этому, облегчается дальнейшая работа—получим:
х-\-Зу~ 6.
Наше уравнение упрощено до последней возможности.
57.	Совместное решение двух уравнений с двумя
неизвестными. Способ подстановки. Так как одно урав¬
нение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений,
то возникает возможность присоединить в этому уравнению еще
второе с теми же неизвестными и искать решение, удовлетворяю¬
щее им обоим. Эту задачу выражают так: решить два уравнения
с двумя неизвестными совместно, или: решить систему двух урав¬
нений с двумя неизвестными.
Решим для примера совместно следующие два уравнения:
4ж-(_ 7^ = 35 и Ъх-\-у~ 24.

— 131 -
Выберем одно из этих уравнений, напр., 2-е (оно проще, ибо
коэффициент при у = 1); оно имеет бесконечно много решений и
для их получения удобно определить одно из неизвестных через
другое—определим у через х. Получим:
у = 24 — бх.
Так как мы ищем общее решение для двух уравнений, то у
в 1-м уравнении должен равняться такому же числу, как и для 2-го.
Поэтому заменим у в 1-м уравнении полученным для него выра¬
жением: 24 — бх. Тогда получим:
4ж-}-7 (24— 6ж) = 35.
Мы видим, что получилось уравнение с одним неизвестным,
с х. Решим его
4ж+16Ь —42ж=35
или
ЗБх = 133,
откуда
х=3±-.
Это показывает, что лишь число 3^ для х может удовлетворить
обоим уравнениям, причем у определится из равенства у = 24 — бх.
Подставив сюда вместо х число 3-^, получим у~24 — 6.3^ =
= 24 — 21 = 3. Итак,
есть единственное общее решение двух наших уравнений.
Способ, которым мы решили наши уравнения, называется
способом подстановки. Этот способ подстановки состоит,
как видели, в следующем: из одного уравнения (выбираем то,
которое проще) определяем одно неизвестное через другое и по¬
лученное выражение подстанавливаем в другое уравнение на место
этого неизвестного.
Еще пример:
2х — 5^ = 13 и 8гс—(— 7»/ = 25.

— 132 —
Определим из 1-го уравнения х через у
2ж = 5у-)-13 и
подставляем полученное выражение во 2-е уравнение вместо х - а.
Получим:
Полученная дробь сокращается:
4(5у-{- 13) —)— 7*/= 25.
Отсюда
20i/-f 52 + 7у=25; 27у = — 27; // = — 1.
Далее найдем
5.(-1)+13_8_
Ж— 2 “ 2
58.	Спосо'б сложения и вычитания или способ
уравнивания коэффициентов. Решим совместно следую¬
щие 2 уравнения:
7х+5у = 47\	.
7х — 5у = 9 J
<
Мы видим, что в левой части одного уравнения входит член
-\-Ъу, а в левой части другого — член —5у. Если бы пришлось
эти части сложить между собою, то эти члены уничтожились бы.
И этого достигнуть легко: из данных двух уравнений составим
вытекающее из них новое, для чего сложим и левые части обоих
уравневдй меаду гобою, и правые части между собою — резуль¬
таты этих сложений, очевидно, должны быть равны между собою,
т.-е. получим:
14ж— 56
(члены -j- буи — 5у взаимно уничтожились). Отсюда получим х=4.
Умножим затем обе части второго уравнения на —1; получим:
7ж + 5у = 47
-7х\-Ьу ^= — 9,

— 133 —
и теперь опять сложим левые части между собою и правые между
собою (говорят: сложим вти 2 уравнения по частям). Получим»
так как члены -\-7х и —1х взаимно уничтожаются:
Юг/ = 38, откуда у = 3,8.
Мы могли бы взамен этого сделать и так: вернемся к урав¬
нениям (1) и вычтем по частям (т.-е. из левой части левую
часть и из правой части правую часть) из первого уравнения
второе. Тогда надо у всех членов 2-го уравнения переменить
знаки—результат получится тот же самый.
В разобранном примере абсолютные величины коэффициентов
при каждом неизвестном в каждом уравнении были равны; рас¬
смотрим теперь пример, когда абсолютные величины этих коэффи¬
циентов неравны.
Зх-\~ 4г/ = 23
9х-\- 10у = 65.
Рассматривая эти уравнения, мы видим, что коэффициенты
при х не равны, но что их легко сделать равными, если обе части
первого уравнения умножим на 3. Сделав это, получим:
9a;-f-12^ = 69
9^4-10^ = 65.
Теперь вычтем по частям из первого уравнения второе (надо у
всех членов 2-го уравнения переменить знаки — эти новые знаки
пишут сверху, см. выше). Получим:
2г/ = 4, откуда у =2.
Рассматривая данные уравнения, мы теперь приходим к воз¬
можности уравнять коэффициенты при у, для чего можно посту¬
пить по разному: 1) обе части 1-го уравнения умножить на 2-!—
тогда получим:
7^4-10^=571
9#4~ 10//= 65.

— 134 —
Вычтем теперь из 2-го уравнения по частям 1-е, для чего
переменим знаки у всех членов 1-го уравнения (мы вычитаем из
2-го первое, а не наоборот, только для того, чтобы в левоЗ части
коэффициент при х получился положительный), получим:
, 1 „1 ^1,1 Е
\-^х=Л—, откуда ж = 7-^ : lg =5.
2
2) Обе части 2-го уравнения умножим на —, — получим:
Зж-[-4г/=23 (первое оставляем без изменения).
3-|ж-|-4г/ = 26
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
3	„	3
-^х — Ъ, откуда ж— 3:-g:=5.
3) Если не желаем иметь дела с дробными коэффициентами,
то найдем общее наименьшее кратное для коэффициентов при у,
т.-е. для чисел 4 и 10 —оно есть 20 и, умножением обеих частей
1-го уравнения и обеих частей 2-го, сведем дело к тому, чтобы
в каждом уравнении коэффициентом при у служило это общее
наименьшее кратное. В нашем примере для этого умножим обе
части 1-го уравнения на 5 и обе части 2-го уравнения на 2.
Получим:
15ж + 20г/ = 115
18ж + 20г/=130.
Опять вычтем по частям из 2-го уравнения первое, — получим:
Зж = 15, откуда х= 5.
Заметим еще, что когда одно неизвестное определено, можно
подстановкою получить другое. Так, мы сначала нашли у=2.
Подставим это значение в 1-ое уравнение:
3ж + 4.2 = 23
или
3ж=23— 8 = 15, откуда х=5.

— 135 —
Коротко выполним еще один пример:
6ж—15;/=32
4ж-(- 9г/—34
. 2 .
.3
Сбоку мы отметили, что надо обе части 1-го уравнения умно¬
жить на 3 и обе части 2-го на 5 — мы имеем в виду уравнять
абролютные величины коэффициентов при у. Получим;
18а;— 45 у= 96.
20гс+45?/=170.
Сложим эти уравнения по частям, получим:	*
38а;=266 й х = 7.
Теперь умножим обе части 1-го уравнения на 2 й обе части
второго на 3 (отмечено сбоку).
Получим:
— ~Ь —
12а; — 30?/=: 64
12а;-|- 27?/ = 102.
Вычтем но частям из 2-го уравнения первое; получим:
57?/ —38 и ?/ = ^=- .
Применим этот способ к решению двух уравнений с двумя
неизвестными в общем виде:
ах-\-Ъу — т
cx-\-dy—n
.d
.Ь
. с
. а
Сначала умножим, как отмечено, обе части 1-го уравнения
на d и обе части 2-го на Ъ. Получим:
adx-\-bdy = md
cbx -j- bdy = nb.

— 136 —
Вычтем по частям из 1-го уравнения второе, получим:
adx — сЪх = md — пЬ.
Вынесем в левой части х за скобки, получим:
(ad — cb)x = md— пЪ,
откуда
md — пЪ
Х-1Ж=сЬ'
Уравняем теперь коэффициенты при х, для чего обе части
1-го уравнения умножим на с и обе части второго на а. Получим:
# _ (
асх-\-Ъсу = тс
acx-\-ady—na.
Вычтем по частям из 2-го уравнения первое, получим:
ad у — Ъсу = па — тс,
откуда
(ad — Ъс) у = па — тс
па — тс
ad — Ъс ’
Мы вычитали здесь из 2-го уравнения первое, а не наоборот, с
целью получить ■ тот же знаменатель ad — 6с, какой получился
при определении х — а.
59.	Способ сравнения неизвестных. Этот способ
состоит в том, что из каждого уравнения определяем одно из
неизвестных через другое — полученные выражения должны быть
равны, благодаря чему получаем одно уравнение с одним не¬
известным. Пример;
8х— 9у~\7
4х + 1 by — 15.
Из 1-го уравнения получим:
 17 + 9 у
* — ~

— 137 —
а из 2-го:
15—1оу
4
Полученные для х выражения должны быть равны между
собою, т.-е.
17 —(— 9т/ 15— 15у
8	—	4	‘
Умножим обе части уравнения на 8 (иа общего знаменателя)—
получим:
17 4-9?/= 30 — ЗОу,
откуда
39у = 13 и У-\-
Теперь найдем х
15 — 15?/ 15—15.i !5 — 5 ю i
*=-ПГ~=	4	=—^=Т^22-
60.	Различные примеры на решение систем двух
уравнении с двумя неизвестными. Мы разберем здесь
несколько примеров с целью показать, как и какими .способами
удобнее пользоваться, в зависимости от особенностей данных урав¬
нении.
Пример 1:
*	5	,	. у
——"я"’	Н—7~ — 11 •
У 8	1 4
Вместо того, чтобы сначала упрощать уравнения, мы определим
из 1-го уравнения х через у, для чего достаточно обе части
уравнения умножить на у. Получим:
8 '
Полученное выражение подставим вместо х во 2-е уравнение:
^•5у , у __ .
8 ^4
10

— 138 —
или
f+i=n
Освободим теперь уравнение от дробей, для чего обе части
его умно&иы на 4
№у + У =
Откуда
11?/= 44 и у = 4.
Теперь легко вычислить х
5 у	5.4	.1
х= — =	=	2—.
8	8	2
Пример 2.
х-\-у х ,	х-\-у
Чг-з-=1-	I =3'
Здесь возможно употребить следующий искусственный прием.
•С [~~ и
Определим из 1-го уравнения - -Г через х, •— мы получим,
х
перенеся член — в правую часть:
О
£+У	ж
2 —	3	'
X
Подставим затем полученное выражение 1 -f- = во 2-ое УРав~
О
нение на место-—— получим:
х + У __
или
х—1	3	—	3

— 139 —
или
откуда
— — 4
3	’
*=4:4=6.
Подставим теперь число fi на место х в I-ое уравнение, —
получим:
откуда
Пример 3.
3 + J- = l + 2,
-f- = 0 и у = 0.
ах —у х у
а  ——-—=а.
2 а	4 х — а
Упростим 1-ое уравнение, для чего сначала обе части его
умножим на общего знаменателя 4а:
4а2 — 2ах -\-2y~ax или Ъах — 2у = 4а2.
Упростим 2-ое уравнение:
у = ах — а2 или ах—г/ = а2.
Уравняем теперь коэффициенты при у, для чего 1-ое уравне¬
ние оставим без изменения, а обе части 2-го умножим иа 2,—
получим:
Ъах — 2у — 4а2
2 ах — 2у = 2а2.
Вычтя по частям из 1-го уравнения 2-ое, получим:
ах~ 2а2,
откуда
2а2 Л
х — — = 2а.
а
10*

— 140 —
Подставим теперь полученное значение х в наиболее простое
уравнение, т.-е. в ах — у=а2.
Получим
2а2 — у — а3,
откуда
У —а2.
Пример 4.
12_15_J_. 8 , 10_j>
х у 4’ х у 6'
Не следует здесь освобождать уравнения от дробей.
Уравняем числителей тех дробей, знаменателем которых слу¬
жит у, для чего обе части первого уравнения умножим на 4 и
обе части второго на 6. Получим:
48 60
х у~
48 . 60	_
 	—	5
х у
(1)
Сложив по частям наши уравнения, получим:
®°=6.
X
Умножим обе части на х:
96 = 6ж или 6ж = 96
откуда
ж= 16.
Для определения у умножим обе части 1-го уравнения в системе
(1) на — 1; получим:
 48 .60
*	!/
48 . 60 г
 	—	5.
х	у

— 141 —
Сложив теперь наши уравнения по частям, получим:
120
откуда
120 = 4# или 4#= 120 и #=30.
61.	Особенные случаи систем двух уравнений
с двумя неизвестными. Иногда данные два уравнения
представляют требования, противоречащие друг другу — тогда
эти уравнения совместно решить нельзя. Вот наиболее простой
пример:
ж + # = 11 \
Ж-]-# = 13 I
Ясно, что. сумма двух чисел не может одновременно равняться и
11 и 13.
Вот более сложный пример:
Зж—4# = 7
6ж— 8# = 13.
Возможно подметить, что левая часть 2-го уравнения получается
из левой части 1-го умножением на 2. Если обе части 2-го урав¬
нения разделить на 2, то получим:
Зж—4# = 7
Зж—4# = 6
Теперь ясно, что эти 2 уравнения противоречат друг другу.
Еще более сложный пример:
4ж -|- 6# = 7 '
6ж-[-9 у— 11.
Если разделить обе части 1-го уравнения на 2 и обе части
2-го на 3, то получим явно противоречащие друг другу требования:
2ж+3# = 3у
2ж+3# = з|.

— 142 —
Если бы кто не заметил этого и стал бы решать данные
уравнения при помощи, напр., уравнивания коэффициентов, то
получил бы:
4ж 6у = 7
6а+ 9!/=11
.3
.2
12х+18у = 21
\2x\- 18у~22
отеуда 0 = 1
Это и указывает на невозможность совместного решения данных
уравнений.
Наоборот, иногда бывают случаи, что два данных уравнения
равносильны одному.
Напр.:
2х	Ъу = 8
4a + 6j/=16.
Мы видим, что 2-ое уравнение можно упростить, разделив обе
его части на 2, после чего получим уравнение 2х-\-Зу = 8
такое же точно, как и 1-ое. Следовательно, здесь, в сущности, мы
имеем лишь одно уравнение с 2-мя неизвестными, а оно, как мы
знаем, имеет бесконечно много решений.
62.	Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть
имеем уравнение
Зх-\- &у— 2^= 11.
На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи:
найти числовые значения для х, у и z, чтобы трехчлен Зж-(-
-(-4у — 2г оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение
является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем
решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого
взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются
как бы лишними, и им можно давать произвольные значения.
И действительно, если, напр., взять для у число 3 и для г число
5, то получим уравнение с одним неизвестным:
Зж+ 12 — 10= 11,
откуда
Зж=9 и х = 3.

— 143 —
Возьмем другие числа для у и z. Напр., пусть
у— — 1 и г= О.
Тогда получим уравневие:
Зж — 4 = 11,
откуда
Зж= 15 и ж = 5.
Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:
Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно
много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать
произвольные значения.
Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме
двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое
получится, если положить у = —1 и г~ — 2"):
незавие. верезг,
У	г
завис, иереи.
х
Так как для у и для г мы берем произвольные значения, то
они являются независимыми переменными, а х является зависи¬
мым (от них) переменным. Другими словами: х является функциею
от у и z.
Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно опре¬
делить из него х через у и и. Получим:
Зж + 4у — 2л? = 11; Зж = 11 — 4у + 2г
11—4j/-f 2и
и ж_ 3
Дадим, напр., значения: у = 5 и z—\\
ц — 20 + 2 . 1 '
получим: ж= g—■— — — л-g- и т. д.

— 144 —
Возьмем еще уравнение
За;—Ъу— 2.г = 7.	^
Примем х и у за независимые переменные, а г—за зависимое
и определим е через х и у
— 2^=7 —Зж+Sy; 2z = 3x — by — l и г = —~5У—_7
2
Теперь легко составить таблицу решений:
X
У
е
О
О
	3 J.
1
О
— 2
— 1
— 2
0
63.	Два уравнения с тремя неизвестными. Пусть
имеем уравнения:
За;-f 4у— 2я=11
5а? + 4г/-(-2л=19,
которые надо решить совместно. Мы умеем решать совместно
2 уравнения с двумя неизвестными, почему прежде всего при¬
ходит мысль, что здесь одно неизвестное является лишним и что
его, вероятно, можно заменить любым числом. И действительно,
если дадим х произвольное значение, напр., возьмем х = 7, то
получим
21 + 4*/ — 2я=11
35-f-4«/+ 2я = 19,
т.-е. 2 уравнения с двумя неизвестными, которые мы умеем
решить.

— 145 —
Упростив эти уравнения, получим:
4у— 2г =—10
I	4j/—(— 2#^=—16.
Сложив их по частям, пблучим:
8у=— 26 и у=—Ъ^.
Вычитая из 2-го первое, получим:
4z — — 6 и В — — li.
Взяв х = 0, получим:
4у— 2г—П
4?/-[-22=19.
Решив (так же, как и выше) эти уравнения, получим:
3	1
Так же для х= 1, получим «/ = 2-j-; z— 1— и т. д.
Эти решения можно записать в таблице, причем, как видим,
здесь одно неизвестное (у нас х) является независимым пере¬
менным, а два другие являются зависимыми переменными.
Вот эта таблица:
X
У
в
0
3-3
2
1
9_5.
4
*
7
-4
-1?

— 146 —
Итак,
два уравнения с тремя неизвестными имеют бе¬
сконечно много решений, причем для получения
их надо одному из неизвестных давать произ¬
вольные значения.
Чтобы удобнее получать эти решения, можно заранее из дан¬
ных уравнений определить зависимые переменные через незави¬
симое.
Для этой цели перенесем члены Ъх и 5х, имеющиеся в наших
уривнениях, в правую часть (эти члены, ведь, приходится считать
известными), — получим:
Сложив эти уравнения по частям, получим:
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
Теперь, взяв для х какое-нибудь [значение, напр., х— 2, легко
Вот еще пример. Пусть даны уравнения:
2х —|— у — в — 7
Ъх -\- 1у -f- 4л = 11.
Определим из них х в у черев я. Для этого сначала перенесем
члены с z в правую часть уравнения:
4 у — 2в= 11 — Ъх
4у -f- 2z —19 — ох.

— 147 —
Обе части первого уравнения умножим та 2:
4х + 2у = 14 + 2е
Зж + 2у = 11 — 4 z.
Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:
ж = 3 + 6г	(2)
Таким образом мы определили х через е. Затем умножим обе
части 1-го уравнения из системы (1) на 3 и обе части 2-го на 2
(чтобы уравнять коэффициенты при х). Получим:
6ж+Зг/=21+Зг
6ж + 4у= 22 — 8z.
Вычитая	по	частям	из	2-го уравнения первое, получим:
у = 1 —Ш	 (3).
Таким образом	определили у через е.
Пользуясь равенствами (2) и (3), легко найти сколько угодно
решений данных двух уравнений, причем надо неизвестному г
давать произвольные значения. Вот несколько решений:
2 1
*
У
0
3
1
1
9
— 10
— 1
— 3
+ 12
2
15
— 21
!••••
64.	Три уравнения с тремя неизвестными. Пусть
теперь требуется решить совместно 3 уравнения с тремя неиз¬
вестными :
Заг —}— 2 у — 5г— 8
х-\-Ъ у — 2я=9
4х-\- Ъу—6г=26.

— 148 —
*
Вспоминая все предыдущее, мы уже заранее вправе думать,
что здесь произвольные значения ни одному из неизвестных
давать нельзя и что здесь найдем единственное решение (по
одному числу для каждого неизвестного).
При этом для нас уже намечен путь, как этого достигнуть.
В предыдущем п° мы научились из двух уравнении с тремя не¬
известными определять два неизвестных через третье. Выберем
из наших трех уравиевий те два, которые кажутся нам наиболее
простыми, напр., 1-е и 2-ое:
Злт —j— 2 у — 5г — 8
ж + З у — 22 = 9
и из них определим х в у через г
Ъх —j— 2у — 8 —[— 52 I ■ 3
х —(— Ъу = 9 + 2г
9х -f- 6у = 24 -|- 15г
2х + 6у = 18 + i2
След., х
7я = 6 + Ш
_ 6 + 112
(1)
Зж+2у = 8+5я |
хЗу = 922 |
След,
' Зх 2у — 8 -)- 5г
Ъх + 9у — 2 7 +
7у = 19+*.
\9-\-г
У~— п •
(2).
Подставим теперь полученные выражения для х — а и для
у — а в третье уравнение, — получим:
4(6 +11г)
5(19+*)
7
6г=26
т.-е. получили одно уравнение с одним неизвестным г, которое
умеем решить. Сначала освободим его от дробей, для чего обе
части его умножим на 7.
4(6 -j- 11г) -4- 5 (19 + г) — 42г'= 182.

Раскроем скобки
24 + Ш + 95 + Ъе — 42* — 182.
Перенесем известные члены вправо и сделаем приведение
подобных членов:
7л = 63, откуда 5=9.
Теперь из формул (1) и (2) получим:
6 + П.9	19 + 9
х = —±-7	=	15 и у — —~ =4.
Еще пример:
2ж+ 30= 11
Ъу + 25 + 3
45 + За> = 66.
Определим из первых двух уравнений 2 неизвестных через
третье: мы именно видим, что можно из первого уравнения опре¬
делить х через у и из второго определить в через у:
11 —Зи	3	—5м
х— 2 и 5_	2	.
Подставим полученные выражения в третье уравнение на
место вех:
4(3-5у) , 3(11 Зу)
 2 + 2~
Отсюда получим:
4(3 — Ъу) + 3(11 — 3у)= 132
или
12 — 20у + 33 — 9у= 132
или
— 290 = 87,
откуда
у = — 3.

— 150 —
Тогда
*=”=M=-J)=io	•
g=B-_5.(-3) = 9
В этих двух примерах мы держались следующего плана;
выбираем из данных трех уравнений какие-либо два, более удоб¬
ных, и из них определяем два неизвестных через третье,— полу¬
ченные выражения мы подставляем на место этих неизвестных
в третье уравнение.
Возможны и иные планы. Поясним их на следующих примерах:
1.	Зж— 4у-\-Зв=19
4ж— 6y-j-z=22
7х — 181J — 33.
Мы видим, что в третье уравнение входят только 2 неиз¬
вестных, х я у. Поэтому постараемся получить из первых двух
уравнений с тремя неизвестными новое уравнение с двумя неиз¬
вестными, а именно: также ежи у,—тогда мы будем иметь два
уравнения с двумя неизвестными, которые умеем решать. Для
этой цели исключим способом уравнивания коэффициентов из
первых двух уравнений неизвестное в, для чего 1-ое уравнение
оставим без изменения, а обе части второго умножим на—3. Получим:
Зж— 4у -j- 3г = 19
— 12ж + 18у — Зв = — 66.
Сложив по частям эти уравнения, получим:
— 9ж-(- 14 у — — 47
или
9ж—14^ = 47.
Присоединим сюда еще третье из данных уравнение в решим
ах совместно способом уравнивания коэффициентов:
9ж —14(/ —47 1.9 I 81ж— 126у=423
7ж—18г/ = 33 | . (— 7)| — 49ж +126?/=— 231
32ж=192
ж=6

— 151 —
Подставляя это значение х—а в уравпение
9х— 14j/ = 47,
получим
54—14# = 47,
откуда
14?у = 7 и у=~
Подставляя полученные для х и для у значения в простейшее из
данных уравнений, а именно в уравнение
4ж — 6 у-\-в = 22,
получим
24 — 3 4-я = 22,
откуда
0=1
2.	Зж+5у	—02 = 29
Ьх-\-2у— 62=17
4ж—10i/ + 32=17
Наметим сдедующий план: выберем сначала 2 из этих трех
уравнений и из них способом уравнивая коэффициентов получим
одно уравнение с двумя неизвестными; затем выберем вторую
пару уравнений из данных и из них тем же способом, получим
второе уравнение с теми же двумя неизвестными. Применяясь к
данным уравнениям, удобно будет выполнить этот план в сле¬
дующем порядке: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнение н из них,
исключив способом уравнивания коэффициентов у, получим одно
уравнение ежи в\ 2) возьмем 1-ое и 3-е уравнение и из них
также исключим у и получим второе уравнение с неизвестными
х и 0\ 3) решим полученные 2 уравнения с неизвестными х и в
также способом уравнения коэффициентов.
1) Зж-f 5^ — 92=29 I . (—2) I — 6ж —10^ + 182=— 58
Ьх -\-2у— 62= 17 J . 5 j 25ж+10(/ —302 = 85
19ж —122 = 27
2) Зж-f Ьу — 92=29 I . 2 I 6ж+ 10#—182= 58
4ж— \0у -(- 32= 17j j 4ж— 10(/ + 32=17
10ж— 152= 75

I
— 152 —
Разделим обе части уравнения на 5:
2ж— 32 = 15.
3) 19ж— 12л?= 17 I	|	19а;— 122 = 27
2х— 32 = 15 I . (—4)| — бж-j- 12л?-[	60
11а; = —33,
откуда
х — —3.
4) Подставим полученное для х значение в уравнение
2х — 32= 15.
Получим*:
— 6—32 = 15 или 32= — 21 и 2=—7.
Подставим полученные для хне значения в уравнение
5х-\- 2у — 62= 17.
Получим.
— 15+2^-1-42 = 17
иле
2у = —10 и у— — 5.
3.	4а;—2г/ + 2 = 4
5а; + Ъу — 2 = 11
Ъх\-1у— 22= 7
Составим следующий план: 1) из первого уравнения определим
2 через х и у- 2) полученное выражение подставим иа место в
во 2-ое и в 3-е уравнения, — получим два уравнения с двумя
неизвестными, а именно — с х и у; 3) рентам полученные два
уравнения.
1) 2 = 4 — За?+ 2 у,
2) 5а; + Зу — (4 — За; + 2у) =11
За: + Ту — 2 (4 — За; + 2у) = 7
Упростим каждое из этих уравнений:
1-ое: 5®+3у — 4 + За;— 2г/=11

V7lfIH0TEEA
153 —
;i Лукича
т	•	J
или	!	*1U>!KGDCK0T	1
8ж-(- у = 15.
2-ое: Ъх-\-1у— 8-|-6ж — 4у=7
или
9ж +Зг/=15
или
Ъх-\-у=.Ь.
3) 8ж Л-у = 15 )
%Х\^У 5 ] вычтем по частям из 1-го уравнения второе
5х= 10, откуда х= 2.
4) Подставим полученное для х значение в уравнение
$х-*гу = 5.
Получим
6 + У = 5,
откуда
у= —1.
Подставим эти значения х — а и у—а в выражение для в:
в = 4 — Зх-\-2 у.
Тогда
в = 4— 6 — 2= —4.
65.	Упрощение уравнений.Общий вид уравнения
1-ой степени с тремя неизвестными. В предыдущих
примерах мы брали уравнения уже упрощенные, причем все не¬
известные члены были перенесены в левую часть, а известный
член в правую. Мы легко установим теперь общий вид уравне¬
ния первой степени с тремя неизвестными, — это есть уравнение:
ах-\-Ьу-\-св = т.
Давая а, Ь, с и т различные значения, мы получим всевоз¬
можные уравнения с тремя неизвестными.
Если уравнения даны в сложной форме (со скобками, с дро¬
бями и т. п.), то следует каждое из них упростить, причем сле-
11

— 154 —
дует стремиться привести их к форме, которая дана выше, к
■общему виду.
Пример: х—z—4у	1  6 — 7у — z
3	5
х—1  2	1—х — 2 у  x-j-2z— 2
2z^y~~3 ’	16	~	12
Упростим сначала 1-ое уравнение, для чего умножим обе его
части на ojpero знаменателя 15, — получим:
5х — 5 z— 20 у —15 = 18 — 21 у— 3z.
Перенося неизвестные члены влево, известные вправо и вы¬
полнив приведение подобных членов, получим:
5х у — 2z = 33.
Упростим теперь второе уравнение для чего воспользуемся
свойством пропорции: „произведение крайних членов пропорции
равно произведению средних":
Зх — 3 = 42 — 2у
откуда	•
Зх-\-2у — 4 2 = 3.
Для упрощения 3-го уравнения не будем пользоваться свой¬
ством пропорции (в виду того, что у знаменателей 16 и 12
имеется общий множитель 4), а умножим обе части уравнения
на общего знаменателя 48. Получим:
3 (1—х—2г/) = 4 {x-\-2z—2)
или
3 — Зх — 6г/ = 4ж-|-8я—8
или
7ж+ 6г/+82=11.
Итак, мы получили уравнения:
Ьх-\-у — 22= 33
Зх-\-2 у — 4 2= 3
1х 4- 6г/+ 82= 11.

— 155 —
Наблюдая их, мы подметим, что если применить способ
уравнивания коэффициентов, то можно сразу из 1-го и 2-го урав¬
нения исключить и у и г (уравнивая, например, коэффициенты
при у, мы уравняем их и при в). Поэтому составим следующий
план для решения наших уравнений: 1) возьмем 1-ое и 2-ое
уравнения и, исключив пз них и у и в, получим 1 уравнение с
одним неизвестным х, откуда и определим х; 2) подставим по¬
лученное значение х — а в одно из первых двух уравнений
(лучше в 1-ое — оно проще) и в третье, — тогда получим 2 урав¬
нения с двумя неизвестными, которые и решим
1) Ъх-\-у—-20= 331 . 2 I \0x-\-1y — 4j?=66
Зж —2у — 4^=:з|	| Зж —}— 2 у — 42=3
— вычтем по частям —
7ж = 63 ;х=9
2) 5 . 9 —|— 2/—22 = 33 или у — 22 =—12
7. 9 -|- 6г/ -j- 82 = 11 или -f-82 = — 52
или Зу-|-42 =— 26.
у — 2 2 =—12 1.21 2 у — 4 2 =— 24
Зг/ -)- 42 = — 26 | J Ъу-\-кв ——26
Ьу = — 50;г/ = —10
Далее легко найдем, что 2 = -(-1.
66.	Примеры решения систем с буквенными коэф¬
фициентами. Особенные системы. Рассмотрим 2 примера
решения систем уравнений с 3 неизвестными с буквенными
коэффициентами.
1.	х — 3 у = а,у — 3 2=5,2—За- = с	^
Определим из 1-го уравнения х через у и из 2-го в через у
и подставим в 3-е уравнение:
I о У — Ь
■* = а + Зг/;2 = ^-д—
— 3(а + Ъу) = с
11*

— 156 —
Отсюда
у—Ь — 9а — 21 у — Зс
или
26 у= —9а—5— 3*
и
9а -j— 5 —|— Зс
Тогда
х — а —
27а -f- 35 -|- 9с 	a-f-35-|-9c
26
26
Также
(
9а —J— 5	Зс
26
с—J— За —{— 95
26
2. х-\-ау— с?в=а%
х-\-Ъу — 58л=5з
х+су — <*в=с*
Сначала из 1-го уравнения вычтем по частям 2-<jp, — получим
одно уравнение с у и в:
Мы можем теперь обе части этого уравнения разделить на
а — 5 [в самом деле, мы знаем, что а*—Ьъ — (а-\- 5) (а—5) и
что аз— 5з —— 5) {с?-\-ab-\- 5*)]. Получим:
Затем вычтем по частям из 1-го третье уравнение, — получим-
другое уравнение с теми же неизвестными у и е:
ау — Ъу—а*в-\-Ъ?в=а*—5*
или
(а—Ъ)у — (с?—6s) и=га* — 53.
у — (а4-5)и=а*4-а5-|-58.
ау — су — а*я-|-<Лг=аЗ — сз.
Его упростим подобно предыдущему:
(а — с) у — (а2 — с8) в = аз — с*
или

— 157 —
Теперь сложим по частям оба полученных уравнения, умно¬
жив предварительно обе части одного из них (напр. 2-ое)
на (—1):
у—(а —}— Ь) лг:=а*-(-а5-|-Ь*
— г/ —|— (а —j— с) в=— ая—ас—с*
(с—Ъ)в—аЬ— ас-J-b*—<?
или
— ф—с)в=аф— с) -f - ф2—с*).
Разделим обе части этого уравнения на ф— с):
— в—а —Ь —f-c
и
в— — (a+b-j-c)
Далее из уравнения у—{a -\-V) в=а2 ah ~\-1? получпм:
у= — (а —J— Ь) (o-{-Ь-|-c)4-o®-^-аS-^-Ь,
или
у=—ab—ас—Ъс=—(аЬ-\-ас-\-Ъе).
И из уравнения х-\-ау — а2в=аз получим теперь:
х =—ay-^-cPe-^-afi—aPb-^-a^c-^-abc—а* —с?Ъ — с?с -|- а8
или
х—аЬс.
Рассмотрим теперь систему, подобную тем, какие были рас¬
смотрены для двух неизвестных:
-+-+-=1
X 1 у	в
6_4-1_1_1 1_
я'	у в 3
»+±-!А=о
X 1 у	в
Здесь не следует освобождать уравнения от дробей; наметим
такой план: 1) из 1-го и 2-го при помощи уравнивания числи-

— 158 —
теле® удалим в, 2) из 1-го и 3-го также исключим в и 8) решим
два полученных уравнения с неизвестными х и у.
1)
’ х ' у 1 г
l+i_i=i
X ' у
— 1 1_
3
— 4- — = 21
X 1 V 3
Я	5
2»т+^+1=1
i+i_!i=o
X ' у в
1+7=2т
X 1 у
9+1+1®. = 3
х у в
-4- —— — — О
х у в ~
^+- = з.
ж у
«+-=111
ж у з
_48__ «>_	^
ж ж
откуда
Ж:
9	8	1
Подставим в уравнение —+ — = 2Л
®+^=21или1+^ = 21,
9 1 у 3	У	3
откуда
отсюда получим:
8-1	8	4
— =: 1_L ИЛИ —=г — ,
У 3 у з
1=6
Подставим полученные для ж и у значения в 3-е из данных
уравнений:
9	6	в

— 159 —
или
Li- — 15
3 + 3 — z
или
15 !
— =1, откуда z=15	‘
67.	Особенные случаи систем уравнений с тремя
неизвестными. Возьмем следующую систему уравнений:
Ъх -f--f- 5z = 17
2х -)- Ъу -{- 4z= 15
5х-\-1у-\- 9^=; 32
Наблюдательный человек здесь может подметить, что третье
уравнение вовсе не является новым, а является следствием двух
первых: каждый член 3-го уравнения получается от сложения
соответствующих членов 1-го и 2-го уравнения (5х=Ъх-\-2х,
7у=4у Ъу; $z = Ъг -f - iz; 32 = 17 -j-15), и само собою понятно!
что если
Ъх -|- 4г/ Ъе должно равняться 17
2х~{-Ъу-\- ±z должно равняться 15,
то
(Ъх-j-	-|-	5л)	-f-	(2х	Ъу 4z) должно равняться 32.
Поэтому мы здесь имеем, в сущности, только 2 уравнения
с 8 неизвестными, и они имеют бесконечно много решений.
Можно составлять такие системы и более сложным путем.
Возьмем два уравнения:
х — 2у -j-3z=7
2 x-j-y—z — 5
Умножим каждое из них на какое-либо число и сложим (или
вычтем) по частям полученные уравнения. Умножим обе части
1-го уравнения* напр., на 3 и обе части второго на (—2) и по¬
лученные уравнения сложим. Тогда получим уравнения:
— х — 8y-f- 11л =11.

— 160 —
Это уравнение является следствием двух первых и поэтому
все три уравнения, взятые вместе, должны иметь бесконечно
много решений.
Попробуем решать эти уравнения: 1) из 1-го и 3-го сложе¬
нием пр частям исключим ж; 2) из 2-го и 3-го, умножив предва¬
рительно третье на 2, также исключим х:
1)	х — 2у-\-Ъв — 7	2) 2х-\-у — 2 = 5
— х— 8г/+11я=11	— 2ж—16г/ + 22я = 22
— Юг/ +142 =18	— 15г/ + 212=27
Если теперь разделить обе части 1-го из полученных уравне¬
ний на 2 и обе части 2-го на 3, то получим одно и то же урав¬
нение, а именно:
— 5г/ + 72=9.
Это обстоятельство и является признаком того, что иатпя.
система имеет бесконечно много решений.
Если мы изберем такой план: 1) из 1-го и, напр., 8-го урав¬
нений определим х и у через в; 2) подставим полученные выра¬
жения в 3-е уравнение, то должны получить само собою очевид¬
ное равенство, вроде 0 = 0 или 7 = 7 или 15 = 15 или —11 =
= —11 и т. п.
В самом деле:
1)	X—2г/-(- 32= 7	I	х—2г/= 7 — 32
— ж —8^4-112=11	| 0ТС1°Да  х 83/=11 112
— Юг/ = 18 —142,
откуда
72 — 9
У~ 5
4ж—8г/= 28 —12в
— х—8г/ = 11 — 112
вычтем по частям:
17 —2
ож = 17 — 2, откуда ж = —-—

— 161 -
или
84 — 2s-j-7z — 9 — 5s = 25
25 = 25.
Бели мы опять возьмем 2 уравнения, как выше,
За:	4?/ —|— 5в= 17
2а;-f 3t/-i-4*=15
и присоединим в ним еще третье:
5х 7у -}- 9г = 33,
то после предыдущего становится ясным, что эти 3 уравнения
совместно решить нельзя. В самом деле, ведь левая часть 3-го
уравнения получается от сложения левых частей 1-го и 2-го
уравнений, а в таком случае эта сумма должна равняться
17 —|—15 или 32, но не может равняться 33.
Также точно можно, взяв 2 уравнения произвольно, составить
третье, несовместимое с ними, умножением каждого из взятых
двух уравнений на какое-нибудь число и сложением (или вычи¬
танием) полученных уравнений, причем известный член должно
как-либо изменить. Напр., если первое из взятых уравнений
умножим на 2 (получим: 6а: —}— 8^ —|— 10я = 34), второе на. 3 (по¬
лучим: 6a;-f-9y-J- 12я=45), сложим полученные уравнения по
частям, но вторую часть как-либо изменим (напр., вместо полу¬
чающейся суммы 79 возьмем 100), то полученное уравнение
не совместимо о первыми двумя.
Если кто-либо стал бы решать систему несовместимых урав¬
нений, то пришел к результату явно нелепому, налр.:
12ж-|- \7у-\-22в = 100
0 = 5 или 7=11 или — 5 = -|- 5 и т. п.

— 162 f—■
68.	Уравнения с четырьмя и более неизвестными.
Теперь ясны следующие соображения: одно уравнение с четырьмя
неизвестными имеет бесконечно много решений, причем можно
давать произвольные значения трем неизвестным, два уравнения
с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем
произвольные значения можно давать двум неизвестным, три урав¬
нения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, при¬
чем произвольные значения можно давать одному неизвестному,
четыре уравнения с 4 неизвестными имеют лишь одно решение
(конечно, если ни одно из этих уравнений невесть следствие осталь¬
ных и не противоречит остальным).
Такие соображения можно продолжить и дальше. Например,
5 уравнении с 8-ю неизвестными имеют бесконечно много реше¬
ний, причем произвольные значения можно давать трем неизвест¬
ным и т. п.
Решать системы уравнений с большим числом неизвестных
приходится редко. Следует при этом решении пользоваться по
возможности всеми особенностями уравнений, чтобы упростить
решение.
Рассмотрим 2 примера:
1.	x-\-y-\-2z— t= 9
ХЛ~У —	7
х — y-j-z -\-2t~— 9
х—у — z —2 l-r=. 5.
Сложив 1-е и 2-е уравнения по частям, мы получим очень про¬
стое уравнение только с двумя неизвестными, а именно
2х-\-2у — \Ь или х-\-у = 8.
Сложив по частям 3-е и 4-е уравнения, получим:
2х—2у = — 4 или х — у — — 2.
Теперь легко решить 2 полученных уравнения (х-\-у = 8 и
х—	2), и тогда найдем х= 3 и у=5.

I
— 163 —
Подставляя эти значения в 1-е и в 3-е уравнения, получим:
3-}-5-f-2s— t= 9 или 2s— t= 1
3 — 5-j- e-\-2t = — 9 или s-|-21 = — 7
Подстановка этих значений во 2-е и 4-е уравнения приведет
в таким же точно уравнениям.
Теперь остается решить 2 уравнения с 2 неизвестными:
2
2s — f= 1
и + 2< = —7
4s —21—	2
s-f-2< = —7
^	bz — —5 и s=tz—1
Далее найдем, что t— — Б.
2. х-\-у-\- z — a
y-\-z-\~ t = b
Z —j— t —j— U с
f	ж z= d
u-\-^A-y—e
Сложив по частям все уравнения. Тогда получим:
Зх	3 у —J— 3 z —|— 31	3и — о —|— Ъ —j— с —|— d —|— с
или
з + 3/ + * + *+« =	3
Вычитая отсюда по частям 1-е уравнение, получим:
. Ъ —I— с —I— d с — 2а
3 	*
Вычитая теперь по частям это уравнение из 4-го, получим:
 2d-f-2a — Ъ— е — е
х—	з	•
Симметричность уравнений позволит сразу написать:
2е -f- 2Ь — с — d — о
У =	1	s	 и	т.	д.

— 164 —
VIII. Применение уравнений к различным вопросам.
69.	Нахождение особенностей чисел, входящих
в уравнения. Поясним примером то, что составляет предмет
этого п°.
Пусть имеем уравнение с двумя неизвестными:
4х— 3у=0.
Это уравнение, как известно, имеет бесконечно много решений
(одному из неизвестных можно давать произвольные значения и
всякий раз вычислять другое неизвестное). Однако, эти числа,
находимые для х и у, обладают одною особенностью, благодаря
тому, что известный член нашего уравнения равен нулю. Пере¬
несем член 3у вправо и разделим обе части уравнения на 4у.
Получим:
1) 4^=32/и 2) у=4*
Этот результат показывает, что отношение числа х к числу у
3	*
всегда постоянно и = -j, какое бы решение нашего уравнения мы
ни взяли.
Если мы возьмем уравнение с двумя неизвестными в общем
виде
ах-\-Ъу = т
то мы придем к заключению: если известный член ш=0, то
отношение переменных хну постоянно и его можно определить:
из уравнения ах-\-Ъу = 0 получим Ъу=—ах
Так же точно, если мы имеем 2 уравнения с тремя неизвест¬
ными, причем известные члены этих уравнений суть нули, то,

— 165 —
хотя эти уравнения имеют бесконечное множество решений, отно¬
шение двух каких-либо переменных постоянно и может быть
легко вычислено. В самом деле, пусть имеем уравнения:
ах-\-Ъу —j— св =0
агх-\- Ъ^у -)- сгв — 0.
jC f/
Найдем из этих уравнений отношения — и —, для чего раз-
8 8
делим обе части каждого уравнения на в
е ' s'
aij + bij + ci=<>
или
X
о—	-\-Ъ — = — с
е ' в
х I х У
Теперь мы можем принять за неизвестные наши отношения:
X	XI
— одно неизвестное, — другое неизвестное, и из полученных
в	в
двух уравнений эти новые неизвестные можем вычислить:
о — -\-Ъ — = — с
в	в
х , , У
«ГГ + Vr — —
. ъл
dbi —-1-bbi~ =—cbi
г 1 в
. Ъ аф — -f- ЪЬ\ — ——сф
Вычтем по частям:
аЪ,— — аф—=с\Ъ—cb,
1 в 1 в	1
ИЛИ
откуда
(<Л1 — аф) — — сф — cbi,
8
х сф — cbi
в abi—аф’
У
Подобно этому, вычислим отношение —

I
— 166 —
Предоставим учащимся самим решить следующие вопросы:
1. Какою особенностью должно обладать уравнение ах-\-Ъу = т,
чтобы сумма переменных х и у оставалась постоянна и эту сумму
можно было бы вычислить?
2. Какою особенностью должно обладать уравнение ах -f- Ъу = т,
чтобы разность переменных х и у оставалась постоянною и ее
можно было бы вычислить?
3. Какими особенностями должны обладать уравнения ах-\-Ъу=т
и су-\-dz- п, чтобы сумма переменных х, у и в оставалась по¬
стоянною и ее можно было бы вычислить? Составить несколько
примеров, подходящих к этому случаю (один из них: 1х-\- Щ —
и 4(/ + 7я=1).
4. Из уравнений
ЮОж-f- 10у -\-г=а
ЮОя —J—10у-\-х—Ъ
(а и Ъ — известные числа).
Определить разность чисел х ш в. Во сколько раз разность чисел
х в в меньше разности чисел о и £>?
Рассмотрим еще несколько примеров более сложных.
1.	Под влиянием примера 2-f- 2 = 2.2 может возникнуть
вопрос: нельзя ли еще, кроме 2 и 2, найти пару чисел, чтобы
их сумма равнялась произведению, т.-е., чтобы
х-\-у — ху.
Разделив обе части этого уравнения на х.уу получим:
—+—=1.
у х
Отсюда можно сделать вывод: если мы нашли два таких числа,
что их сумма равна их произведению, то сумма чисел, им обрат¬
ных !), равна единице. Наоборот (так как из последнего уравне-
*) Числом, обратным числу а, называется число у. Так, числу 5
13	4	1
обратно число у, числу у обратно число у, числу у обратно число 4
(1:-у = 4) и т. д.

— 167 —
иия легко получить первое): возьмем два чпсла, сумма которых
равна единице, — тогда сумма чисел им обратных равна их произ¬
ведению.
Легко находить числа, сумма которых равна единице; взяв
числа, им обратные, получим пару чисел, сумма которых равна
их произведению.
Так:
-q-+-i- = 1; след.. З-f — = 3 . -у
2,3	,	5,5	55
-£-+-5- — 1; след.,т+ —
2 2
А А
2 ’ 3
* т. д.
Рекомендуется подобным же образом рассмотреть вопрос о
нахождении чисел, разность которых равна их произведению.
2.	Из арифметики известно, что от прибавления к числителю
и знаменателю правильной дроби по одинаковому числу эта дробь
5
увеличивается. Например, -g- прибавим по 2 к числителю и зна-
7
менателю, получим Эта дробь больше прежней, потому что в
3	3
ней не хватает	до 1, а в прежней не хватало до 1. Так как
3 .3	7^5	„
то	Иод	влиянием	этих	сведении может возникнуть
вопрос: по какому числу надо прибавить к числителю и знаме¬
нателю правильной дроби, чтобы дробь увеличилась в 2 раза?
Получим уравнение:
х-\-г 2х
у+е~~Т'
Отсюда
ху -}- ув = 2 ху -f- 2xz
или
ху = 8 (у — 2х)	(1,
Отсюда можно определить в через х и у, но мы, не имея этого
в виду, разделим обе части уравнения на хув; получим:
— = -   (2)
г х у	' '

— 168 —
Далее может возникнуть вопрос: но какому числу надо при¬
бавить к числителю и знаменателю, чтобы данная дробь утроилась?
Чтобы данная дробь учетверилась? и т. д.
Получим сначала уравнение:
х -j- t Зж
Отсюда
ху -\-yt=Зху -f- Зх*
или
2xy = t iy—3x)	(3)
Разделим обе части уравнения на xyt, получим:
JL—Л Ё.	(4)
t X у
Вычитая по частям из (2) уравнения (4)-е, получим:
12 1 111
или -
(4)
Далее, если мы желаем дробь учетверить, получим уравнение:
х-\-и 4ж
у-\-и~ у '
Отсюда
ху -f- иу ~ 4ху -f - 4жм
или
Зху —и (у — 4х)	(5)
Разделив обе части уравнения на иху, получим:
—=—■-- (6)
иху
Вычитая по частям из уравнения (4) уравненпе (6), получим:
2	3	1	1	11,
-=— или
t и у I t\ I tl\ у
(4) (f)

169 —
\
Ясно, что все это можно продолжить: если от прибавления к
X
числителю и к знаменателю дроби — числа v эта дробь увели-
У
чивается в 5 раз, то
Отсюда можно вывести свойство тех чисел г, t, и, v, .... ,
X
которые увеличивают дробь — соответственно в 2, в 3, в 4, в 5
и т. д. раз, если эти числа прибавить к числителю и знамена-
X
телю дроби Это свойство таково: если возьмем числа, обрат¬
ные соответственно самому числу в, половине числа t, одной
трети числа м, одной четверти числа v и т. д., то эти обратные
числа идут, уменьшаясь всякий раз на число, обратное знамена¬
телю данной дроби.
Заметим, что если мы хотим иметь дело только с положитель¬
ными числами, как в арифметике, то для удвоения этим способом
дроби необходимо, чтобы знаменатель, у был больше удвоенного
числителя х [из уравнения (1) видно, что для этого необходимо,
чтобы было 2/>2ж], для утроения — надо, чтобы знаменатель у
был больше утроенного числителя [из уравнения (3) видим, что
нужно для этого, чтобы было у^> Эж], для увеличения в 4 раза —
надо, чтобы знаменатель у был больше учетверенного числи¬
теля И.Т. д.
з
Рассмотрим пример. Возьмем дробь ^.
При помощи уравнения (1) вычислим в\
1
1
_ У
и т. д.
ху _J'
у—2х :
Тогда дробь -
3l + 3L«	84,72
1 2э
в два раза больше данной
г '	6,72	672
L пРовеР™ UJ2= 3472
868	217
168	42
12

Итак, число, удваивающее нашу дробь, есть З^г.
Так как число, обратное знаменателю, есть L, то на основании
о!
выше найденного свойства составим следующий ряд чисел:
1) || (число, обратное 3	;
пч 25	1	22
2) ^—зх — эт0 есть ЧЕГСЛ0> °братн°е половине того числа,
которое увеличивает нашу дробь в 3 раза;
оч 22	1	19
3) gg—31—93 — эт0 есть числ0> обратное третьей части числа,
увеличивающего нашу дробь в 4 раза;
19	1	16	*
4) ^—з1=9з —эт е число, обратное четверти числа,
увеличивающего нашу дробь в 5 раз, и т. д.
Наконец, получим число которое является обратным 9-й
части числа, увеличивающего нашу дробь в 10 раз.
Проверим последний результат. Мы видим, что само число,
увеличивающее нашу дробь в 10 раз, будет 93.9 или 837. Тогда:
3Ч/1Л	3+837	840	30	,	00.
зТХ10 = зТТ837=568=з-1 (вращаем на 28).
70.	Свойства пропорций. К тем сведениям о пропор¬
циях, какие даны в п°51, мы теперь можем присоединить ряд
других.'	•	I
Пусть имеем пропорцию
a\l — c\d.
Мы знаем ее свойство „произведение крайних членов равно
произведению средних", т.-е.
ad — Ъс	(1)
Разделим обе части последнего уравнения на cd, — получим:

— 171 —
Сравнивая эту пропорцию с начальною, мы приходим к заклю¬
чению, что в пропорции можно переставлять еесред-
н и е члены.
Разделив обе части уравнения (1) на ab, получим:
d с	J 7,
— = — или а:Ъ — с:а,
о а
т.-е. (сравнивая с начальною пропорцией)) в пропорции можно
переставлять ее крайние члены.
В последней пропорции, согласно выясненному выше, опять
можно переставить средние члены, — получим:
d:c = b:a,
т.-е. (сравнивая эту пропорцию с начальною) в пропорции
можно переставить и крайние и средние члены.
Мы можем затем в начальной пропорции написать 2-е отно¬
шение на месте первого и обратно,—получим еще пропорцию:
с: d = a:b.
В этой пропорции мы можем: 1) переставить средние члены
c:a~d:b,
2)	переставить крайние члены
/	b:d	—	a:c
и 3) переставить и крайние и средние члены
b:a = d:c
Таким образом мы можем из каждой данной пропорции полу¬
чить перестановками членов еще 7 пропорций:
a:b = c: d
а: с = b:d
dib — c:a
d: с = b: а
c:d~a:b
с: a=d: b
* b:d~a:c
b :a=d: c.
12*

— 172 —
71.	Сложные пропорции. Из двух или нескольких дан¬
ных пропорций можно получить одну. Напр., пусть имеем две
пропорции:
а с	аг	сх
~T> ~d И
Перемножим эти равенства по частям. Тогда получим:
а ах	с	с\
Ь '6,	d '	dx
или
ЛЛ	f*f*
^ [или (аах): (Щ) = {ссх): (c7d,)].
Мы видим таким образом, что можно из двух данных пропор¬
ций умножением получить новую — она называется сложною
пропорциею, — причем каждый член этой сложной пропорции
является произведением соответ. членов данных. Поэтому гово¬
рят, что	две	данных	пропорции	можн<) перемножить	почленно.
Другую	сложную	пропорцию	можно получить делением:	разде¬
лим первое отношение на первое и второе на второе — резуль¬
таты должны получиться равные, т.-е.
а их	с сх
Ъ ' Ъх d ' dx
или
abx
Ьа~ dcx
Если эту сложную пропорцию написать в виде
то мы скажем, «то можно делить данные две пропор¬
ции почленно.
Можно, конечно, складывая или вычитая первое отношение
одной данной пропорции с 1-ым отношением второй и второе отно¬
шение со вторым, получить новое равенство:
а «г__ с сл
Ъх~ d"r-d1’

— 173 —
которое, приведя дроби к общему знаменателю и выполнив пх
-сложение, можно преобразовать в форму пропорции
flbj -(- агЪ  cd1 -j- (fcj
’
но, вообще говоря, эта новая пропорция не сводится к с л о ж е-
нцю или вычитанию почленно, и такие пропорции на
практике нужны довольно редко.
72.	Производные пропорции. К каждому отношению
данной пропорции
а  с
T~d
прибавим по одному и тому же числу к. Получим:
Выполняя сложение, отсюда получим новую пропорцию:
а -j- Ш с -|-kd
Пропорции, получаемые, таким образом, из данной, называются
производными пропорциями. Мы разберем только 2 случая:
1)	когда 7с=—1 и 2) когда к=.— 1, т.-е., когда к обоим отно-
шейиям ‘данной пропорции или прибавляют по 1 или вычи¬
тают по 1.
а	I	-	с	I	1	а-\-Ъ	c-\-d
■ Пь+1	= 7 + ,т	-Т-=
а	,	с	а — Ъ с — d
2)	т	1	=~д—	1	или —?—=——
' Ъ	а	Ъ	d
Эти пропорции, сравнивая их с данною, можно прочесть словами:
1)	отношение суммы членов первого отношения данной про¬
порции к своему последующему члену равно отношению суммы
членов второго отношения к своему последующему,

— 174 —
2)	отношение разности членов первого отношения данной про¬
порции к своему последующему члену равно отношению разноети
членов второго отношения к своему воследующему.	Ф
Разделим по частям два равенства:
а-\-Ъ cA-d а с
Ъ ~~d~ aT~d'
Получим:
(а-|-&)-Ь (c-f-d).d	а-\~Ъ	c-\-d
Ъ.а	й.с	а	с
Также точно из равенств
а — Ъ с—- d а с
Ъ~ й~ и
получим:
(а—Ъ)Ъ (с — d)d	а — Ъ	с—d
 				=	 ИЛИ
Ъа	dc	а	с
Полученные две новых пропорции, сравнивая их с данною,
можно прочесть словами:
1)	отношение	суммы	членов	первого отношения	данной	про¬
порции	к	своему	предыдущему	члену равно отношению	суммы
членов второго отношения	в	своему предыдущему,
2) отношение, разности	членов первого	отношения	данной
пропорции к своему предыдущему члену равно отношению раз¬
ности членов второго отношения к своему предыдущему.
Делением по частям	двух полученных	выше	равенств,	а
именно:
аА-Ъ	с4-d а—Ъ с — d
Ъ	d~	И ~Ъ~— d~
получим еще новую пропорцию:
(ст —(— &)2* (c-\-d)d	c-\-d
Ъ(а — Ь) d(c — d) ИЛИ а—1/~с —cZ

— 175 —
которую опять прочтем словами:
Отношение суммы членов первого отношения данной пропор¬
ции к разности этих членов равно отношению суммы членов вто¬
рого отношения к разности этих же членов.
73.	Свойство ряда равных отношейий. Пусть имеем
несколько отношений, равных между собою:
а]  «а а4
h
Следовательно, каждое из этих отношений равно какому-нибудь
определенному числу к.
т.-е. *^=к, ~=к, ^=к.
®1	Я2	В
Освободим от дробей каждое из последних равенств, получим:
а-у — кЪг
\	а2=кЪ2
«3 — ]'Ъ3
Мы можем теперь сложить все эти равенства по частям, при¬
чем во второй сумме можно общего множителя к вынести за
скобку. Получим:
°i а2 ~h аз ~h • • ■ — ^	"~Ь \	•	•	■	)
Разделим теперь обе части равенства на -j- b2 -J- Ъ2 . . ),
получим:
а1~1~а2~1~Яз4~- • • _7.
\ + &3 4" }в + • • •	’
но число к можно заменить любым из данных отношений, т.-е.
°1 "Ь °2 Ч- “з "Ь • • ■  °1 Я2
Ь +	•	•	~\~К~

— 176 —
т.-е-, если имеем ряд равных отношении, то отноше¬
ние суммы предыдущих к сумме последующих
равно каждому из данных отношений.
74.	Задачи на составление уравнений. Здесь мы
рассмотрим несколько задач, для решения которых удобно исполь¬
зовать уравнения с несколькими неизвестными.
Задача 1. Двое меняются товарами: первый дает второму
24 арш. полотна, взамен чего получает 40 аршин ситцу и 4 рубля
денег. Узнать цену аршина полотна и аршина ситца, если 7 аршин
полотна на 30 коп. дороже 16 аршин ситца.
-Надо заранее установить, в каких единицах мы будем решать
задачу: в рублях или копейках. Остановимся на рублях. Тогда
решение таково:	*
Положим, что 1 аршин полотна стоит х руб. и 1 аршин
ситцу — у рублей. Тогда получим, согласно условию, уравнения:
24ж = 40г/ -\- 4
7ж—16 у = ^
Эти уравнения надо решить совместно.
[Было бы большою ошибкою, если кто-либо написал бы уравне¬
ния так: 24ж=40г/-{-4 и 7х—16$/= 30 и стал бы их решать
совместно. Ошибка состояла бы в том, что в 1-м уравнении х и у
выражают цену аршина полотна и ситца в рублях, а во 2-м урав¬
нении числа хну выражают те же цены в копейках. Следов.,
числа х и у в 1-м уравнении не такие же, как во 2-м, и нельзя
было бы решать эти уравнения совместно].
Упростим наши уравнения:
6ж— Юг/ = 1
70ж— 160$/ = 3
Умножим обе части 1-го уравнения на 16 и обе части 2-го
на (— 1):
96ж— 160$/ = 16
— 70ж+160г/ ——3
Отсюда: 26ж=13 или х=^

— 177 —	•
Подставив это значение х— а в уравнение 6.т — 10г/ = 1, по¬
лучим :
3 —102/= 1,
откуда
Щ — 2 и у =1
Нтак, 1 аршин полотна стоит i рубля или 50 коп., а 1 ар¬
шин ситцу стоит i рубля или 20 коп.
Задача 2. Найти три числа так, чтобы первое было на 1 больше
четвертой части суммы двух других, чтобы второе было на 3
больше четвертой части суммы двух других и чтобы третье было
на 5 больше четвертой части суммы двух других.
Положим, что искомые числа суть х, у и г. Тогда, согласно
условию задачи, получим уравнения:
-=*±г+.
В виду симметрии этих уравнений, применим следующий спо¬
соб их решения:
Сложим по частям все 3 уравнения, — получим:
2х-\-2у-\-2г
х + У + г=  	  f-9
или
Отсюда можно определить сумму всех трех чисел:
Х^ Z— 9 и, след., х-\-у-1—2 = 18
Л

— 178 —
Отсюда далее получим г/ + я=18— х. Подставим это выра¬
жение (18 — х) на место у-\-з в 1-ое уравнение:
Решим это уравнение:
4ж = 18—ж + 4 или 5ж = 22 и ж = 4-^
»
Также точно найдем, что ж + я = 18 — у и, подставив во 2-ое
уравнение, получим:
'*=■--7-f-+s. ■
|ткуда
4*/ = 18 — у-\~ 12; 5у = 30; у = 6.
Наконец, найдем, что ж + у = 18— z и, подставив в 3-е урав¬
нение, получим:
18 — z , „
*=
откуда
4я=18 —z+20; 5*r=38; я=7-|-
Задача 3. Сумма цифр некоторого двухзначного числа
равна 15, разность же между искомым двузначным числом и обра¬
щенным !) равна 27. Найти это двузначное число.
Необходимо придется иметь дело в этой задаче Отдельно с
разрядом единиц и с разрядом десятков (в самом деле, понадо¬
бится брать сумму цифр, понадобится переставлять цифры числа).
Поэтому необходимо обозначить отдельно и десятки и единицы.
Положим, что в искомом числе х десятков и у единиц. Тогда
само двузначное число = 1 Ож+$*.
[Объяснение: в одном десятке 10 единиц, а в ж десятках
единиц в х раз больше, т.-е. (10ж) единиц, да у нас еще имеется
у единиц; поэтому во всем числе (10ж + ?/) единиц. Примеры:
53 = 10.5 + 3; 79=10.7 + 9 и т. д.].
*) Число совращенное» данному есть то, которое получится, если
переставить цифры данного в обратном порядке. Так, для 23 обращен¬
ное число есть 32, для 97—обращенное 79, для 185 — обращенное 581, для
753 — обращенное 357 н т. д.

— 179 —
Согласно условию, имеем:
1) ж-(-у = 15 (когда говорят „сумма цифр", то подразуме¬
вают сумму числа десятков с числом единиц).
2) Для числа 10#-у окрашенное число есть 10у-\-х.
Поэтому:
10#-J-у— 10// — # = 27
или
9# — 9г/= 27 или # — у = 3.
Итак, имеем 2 уравнения:
х-\-у=\Ъ
4	,	я	—г/ = 3,
откуда ж=9 и у~ 6. Поэтому искомое число равно 96.
Если бы изменить несколько задачу и предложить ее в таком виде:
разность цифр некоторого двузначного числа равна 3, а раз¬
ность между этим числом и обращенным равна 27; найти это
двузначное число;
то мы получили бы два уравнения:
1)	х — у = 3
и 2) 9# — 9у = 27 (как выше), а это уравнение, как и было
сделано выше, упрощается и приводится также к ж — у— 3, т.-е.
здесь мы имеем, в сущности, лишь одно уравнение с двумя неиз¬
вестными. Отсюда мы сделаем вывод: если разность цифр дву¬
значного числа равна 3, то разность между ним и обращенным
всегда равна 27. Напр.:	41 — 14 = 17,	52 — 26 = 27,
63 — 36 = 27 и т. д.
Заметим еще, что уравнение ж — у = Ъ имеет бесконечно
много решений, причем одному неизвестному, напр., у—у, можно
давать произвольные значения. Но наш вопрос относится к дву¬
значному числу и поэтому у, выражающий число единиц двузнач¬
ного числа, может быть равен лишь 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Если же взять у = 7 или более 7, то ж окажется равен 10 или бо¬
лее, и число уже будет трехзначным. Также можно убедиться, что
если разность цифр двузначного числа = 1, то разность между этим
числом и обращенным = 9, если разность цифр = 2, то разность
между самим двузначным числом и обращенным должна рав¬
няться 18 и т. д.

— 180 —
Задача 4. Число десятков трехзначного числа вдвое меньше
суммы цифр его единиц и сотен: частное от деления этого трех¬
значного числа на сумму его цифр = 48; если из этого трехзнач¬
ного числа вычесть 198, то получится обращенное число. Найти
это трехзначное число.
Положим, что в искомом числе х сотен, у десятков и г еди¬
ниц. Тогда искомое число есть ЮОж-f-lOу-\-г.
Согласно условию, им^ем:
1)	У=
100ж + 10y-f 0 _nfi
x-\-y-\-z
и 8) 100л:-j- 10y-\-z-—198 = 100,?-]- lOj/-)-#.
Упростим эти уравнения:
1) 2у = х-\~ z или 2у—х — 0 = 0
2) 100ж -j- 10^ -{- 0 = 48ж -f- 48г/ -j- 48г или 52ж—38у —
— 47^ = 0
и 3) 99ж — 990=198 или х — 0=2.
Составим следующий план решения. Так как в 3-е уравнение
входят только х и 0, то исключим из 1-го и 2-го уравнений не¬
известное у, чтобы получить другое уравнение также с ж и 0.
Для этого воспользуемся способом подстановки, а именно: из
1-го уравнения определим у через ж и 0 и подставим во 2-ое.
Мы именно имеем
Ж + 0
»= 2
(отсюда видим, что не было нужды даже упрощать это уравнение).
Подставим во 2-ое:
62*_“Ц±Й_47. = 0
А
или
52ж— 19(ж-|- 0) — 470 = 0
или
52ж— 19ж—190 — 470 =0
ИЛИ
ЗЗж— 660 = 0

— 181 —
или
х — 2z = О
или
X=2z
Подставим это значение х — а в 3-е уравнение, — получим:
2s — г = 2 или г=2.
Далее найдем:
х = 2# = 4
х + г о
У=—$~ = з,
и искомое число есть 432.
Обратим внимание на 3-е уравнение.
Его можно было написать первоначально в виде
ЮОх-}- 10у -\-г— 100#— 10у — х = 198
или
99а; — 99#= 198.
Левая часть этого уравнения выражает разность между на¬
чальным трехзначным числом и обращенным; эта разность
всегда, следовательно, выражается в виде
99а: — 99#
или, вынеся 99 за скобки, в виде
99(ж— #),
т.-е. разность между каким-либо трехзначным числом и обращенным
ему всегда равна разности цифр сотен и единиц, умноженной на 99.
В том числе, для которого была составлена выше решенная
задача, разность цифр сотен и единиц равнялась 2; поэтому
разность между самим числом и обращенным равнялась 198
(99. 2 = 198).	I
Если взять иное трехзначное число, напр., 187, то можно
заранее указать, что разность между ним и обращенным числом
(здесь придется вычитать из обращенного данное, ибо обращенное
число больше данного) будет равна 99.6, т.-е. 594 (в самом деле:
7—1 = 6; 99.6 = 594).
Задача 5. Для прокормления лошадей был сделан запас
сена на 30 дней. Если бы лошадей было на 1 меньше, то этого же

— 182 —
запаса хватило бы на 2 дня дольше, а если бы лошадей было на
8 больше, то этого запаса хватило бы на время, на 10 дней
меньшее. Сколько было лошадей и на сколько дней был сделан
запас ?
Положим, что было ж лошадей и запас был сделан на у дней.
Запишем условия задачи нагляднее:
1) Для х лош. запаса хватит на у дней.
2)	„ (ж 1) .	„	(2/	+2) дней.
3)	„ (ж+ 8) .	„	„	„	{у	—10) дней.
Воспользуемся способом приведения к единице и поставим
вопрос: на сколько дней хватило бы этого запаса для одной
лошади? (можно и такой вопрос: сколько лошадей можно про¬
кормить этим запасом в течение одного дня? — И тот и другой
вопрос можно заменить и таким: сколько дневных порций было
в этом запасе?).
На этот вопрос можно дать ответ тремя способами:
1) в согласии с 1-м условием: на (г/ж) дней (для х лошадей
запаса хватит на у дней, а одну лошадь можно тем же запасом
прокормить в течение времени в х раз большого);
2) в согласии со 2-м условием: на (т/ —}— 2) (ж — 1) дней;
3) в согласии с 3-м условием: на (у — 10)(ж-j-81 дней.
Эти 3 выражения; являкнщеся ответом на один и тот же
вопрос, должны быть равны одному и тому же числу, т.-е.
ух = (г/ + 2) (ж — 1) = (у — 10)(ж -f 8).
Возьмем отсюда следующие уравнения:
1) ух—	2)(ж — 1) и	-
2)	—	— 10)(ж -f- 8).
Упростим их:
1) ух — ух-\- 2х — у — 2 или 2ж — у = 2,
2) ух = ух—10ж-]- 8 г/— 80 или 4у—5Х — 40.
Решим их способом подстановки:
из 1-го уравнения у = 2ж—-2, и тогда:
4(2ж—2) — 5ж = 40 или 8ж — 8—5ж=40,
откуда Зж=48 и ж =16; тогда у=Ш'—2 — 30.
Итак, было 16 лошадей и запас был сделан на 30 -дней.

— 183 —
Подобно этому решается задача:
Купили стадо овец. Если бы каждая овца стоила на 1 рубль
дешевле, то на те же деньги можно было бы купить на 24 овцы ^
больше, а если бы каждая овца стоила бы' на 2 рубля дороже,
то на те же деньги можно было бы купить на 30 овец меньше.
Сколько было куплено овец и сколько стоит каждая овца?
Положив, что было куплено х овеп и каждая овца стоит
у рублей и записав наглядно все условия, мы здесь поставили бы
вопрос: на какую сумму денег были куплены все овцы? — Ответ
на этот вопрос мы получили бы в трех формах.
Выше решенная задача (о лошадях), в сущности, является под¬
бором каких-либо фактов из жизни к арифметике. В самом деле,
там было взято тем, кто составлял задачу, число 480 и разложено
тремя способами на 2 множителя:
480 = 30.16 = 32.15 = 20.24.
Также точно вторая задача (об овцах) является подбором к сле¬
дующим разложениям:
720 = 6.120=5.144=8.90.	Л
*
Желательно, чтобы учащиеся сами находили подобные разло¬
жения чисел на множители и изыскивали факты, из опыта к ним
подходящие, выражая их в форме соответ. задач.
Задача 6. Два работника, работая вместе, могут выполнит!,
некоторую работу в 12 дней,нона самом деле вместе они работали
только 3 дня, после чего первый прекратил работу, а второму понадо¬
билось еще 21 день, чтобы закончить эту работу. Во сколько дней
каждый работник, работая отдельно, может выполнить эту работу ?
Положим, что первый работник может выполнить эту работу
в х дней, а 2-ой в у дней. Тогда в один день 1-ый выполняет
— часть работы, а второй — часть. Вместе в 1 день они вы-
ОС	W
( 1 1 \ *
полнят (	часть работы. Так как сказано, что вместе
они могут всю работу выполнить в 12 дней, то в 1 день они
вместе выполняют -i- часть работы, т.-е.
±+!=Л
х у 12

— 184 —
Так как вместе они работали 3 дня, а после этого один второй
работал еще 21 день, то это значит, что 1-ый работал всего 3 дня
3
и за это время сделал — часть работы, а 2-ой работал всего
ОС
*24
24 дня и за это время сделал — часть работы, а вместе оии сде¬
лали всю работу, т.-е.	,
-1 + ^=1.
х у
Решим эти уравнения способом уравнения числителей.
1,1 1
3 3 1
.3
х у 4
3 , 24
3 , 24
		— 1
х у
		— 1
х у
Вычтем но частям из 2-го уравнения
первое, получим
21	3
У ” 4 1
* откуда 3^/=84 и у =28.
Подставим это число на место у в 1-ое уравнение:
_1 1 _ _1_	•	J___l	1	_	1
1Г+2в“ 12 ПЛИ х Т2 _~28~~~2Т'
Следов., х = 21.
Итак, 1-ый работник может выполнить- эту работу, работая
отдельно, в 21 день, а второй — в 28 дней.
Так же решается и следующая задача:
Бассейн наполняется через 3 трубы. Если открыть 1-ую и
2-ую, то через них бассейн наполнится в 12 часов, если открыть
2-ую и 3-ю, то — в 15 часов, а если открыть 1-ую и 3-ю, то —
в 20 часов.
Во сколько времени может наполниться этот бассейн через
каждую трубу отдельно?
Положим,- что через 1-ую трубу бассейн может наполниться в
х' часов, через 2-ую — в у часов и чераз 3-ю —в z часов.

— 185 —
Тогда в 1 час через первую трубу наполняется ~ часть бас¬
сейна, через 2-ю часть и через 3-ю часть. Условия за¬
дачи дают нам 3 уравнения:
1+1 = 1. 1 + 1=1- 1+J—1
х	у	12’ у	г	15’	х	z	20‘
Эти уравнения можно, например, решить так:
Сложим по частям все 3 уравнения, — получим:
0/	1	I	1	|	1\_1	1	,	1	.	1	 1
2 (	— -|	]—— или 		—— .
\х	' у	' г)	5	х	у	1	0	10
Вычтя по частям из этого уравнения первое, получим:
1=1—«»*•. »=<*>•
Вычтя из того же уравнения по частям второе, получим-:
1 1 1 1
T=l0—15 = 80 :	=
и, вычтя третье, получим:
1111	on
Т =10—20 1=20:
1-ая труба может наполнить этот бассейн в 30 час., вторая—
в 20 час. и 3-ья — в 60 час.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
СТРАН.
I. Обзор арифметических действий	 1
II. Относительные числа	 10
Сложение относ, чисел	 12
Вычитание относ, чисел	 17
Умножение относ, чисел	 22
Деление относит, чисел	 27
Возведение в степень относ, чисел	 80
П1. Одночлены и многочлены; нх преобразования	 33
Сложение и вычитание одночл. я многочл.	 45
Умножение одночл. и многочл	 48
Деление одночл. и многочл	 61
IV. Разложение многочленов иа множители	 72
V. Алгебраические дроби 	*•	.	.	82
Y1. Уравнения первой степени с одним иеизвестным	 101
Задачи на составление ур - ий	с	1	неизв	 121
УП. Уравнения 1-ой степени с неснольиими неизв	 126
Ур-ния с двумя неизвестн.  	 126
Ур-ния с тремя неизвестн	 142
Ур-ния с четырьмя и более неизвестн	 162
YTTT- Применение уравнений к различным вопросам	 164
Свойства пропорций	 170
Задачи на составление уравнений	 176