Текст
И. В. Проскуряков
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 5
Предисловие ко второму изданию 6
Предисловие к первому изданию 7
Отдел I. Определители 9
§ 1. Определители 2-го и 3-го 9
порядка
§ 2. Перестановки и подстановки 16
§ 3. Определение и простейшие 20
свойства определителей любого
порядка
§ 4. Вычисление определителей с 28
числовыми элементами
§ 5. Методы вычисления 29
определителей n-го порядка
§ б. Миноры, алгебраические 56
дополнения и теорема Лапласа
§ 7. Умножение определителей 63
§ 8. Различные задачи 74
Отдел П. Системы линейных 82
уравнений
§ 9. Системы уравнений, 82
решаемые по правилу Крамера
§ 10. Ранг матрицы. Линейная 90
зависимость векторов и линейных
форм
§11. Системы линейных 99
уравнений
Отдел III. Матрицы и 112
квадратичные формы
§ 12. Действия с матрицами 112
§ 13. Полиномиальные матрицы 133
§ 14. Подобные матрицы. 142
Характеристический и
минимальный многочлены.
Жорданова и диагональная формы
матрицы. Функции от матриц
§ 15. Квадратичные формы 155
Отдел IV. Векторные пространства 166
и их линейные преобразования
§ 16. Аффинные векторные
пространства
§ 17. Евклидовы и унитарные
пространства
§ 18. Линейные преобразования
произвольных векторных
пространств
§ 19. Линейные преобразования
евклидовых и унитарных
векторных пространств
Дополнение
§ 20. Группы
§21. Кольца и поля
§ 22. Модули
§ 23. Линейные пространства и
линейные преобразования
(добавления к параграфам 10, 16—
19)
§ 24. Линейные, билинейные и
квадратичные функции и формы
(добавление к параграфу 15)
§ 25. Аффинные (точечио-
векторные) пространства
§ 26. Тензорная алгебра
ОТВЕТЫ
Отдел I. Определители
Отдел П. Системы линейных
уравнений
Отдел III. Матрицы и
квадратичные формы
Отдел IV. Векторные пространства
и их линейные преобразования
Дополнение
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
За последние годы в содержание обязательных алгебраических кур-
сов, читаемых на механико-математическом факультете Московского
университета, внесены значительные изменения. С 1964 года на втором
семестре читается курс «Линейная алгебра и геометрия», в котором
изучаются re-мерное аффинное (точечно-векторное) пространство, тен-
зорная алгебра и другие вопросы, не входившие ранее в курс выс-
шей алгебры. С другой стороны, в курсе высшей алгебры на первом
семестре рассматриваются понятия идеала, фактор-кольца и связан-
ные с ними свойства полей и многочленов, а на третьем семестре од-
ним из основных стало понятие модуля над кольцом.
В связи с этим в третье издание этого задачника внесены допол-
нения. Расширен параграф о кольцах и полях и добавлены пять но-
вых параграфов, содержащие дополнительный материал о линейных
пространствах, линейных и билинейных функциях, модулях, аффинных
пространствах и тензорах.
Кроме того, заменены новыми или существенно изменены неко-
торые задачи или их решения, а также исправлены замеченные не-
точности и опечатки.
Для удобства использования третьего издания задачника наряду
с прежними укажем, что в третьем издании заменены новыми или
существенно изменены задачи (или их решения) с номерами: 629,
€31, 1339, 1374, 1375, 1491, 1647, 1654, 1689, 1705, 1706, 1708.
Все задачи, начиная с 1754, являются новыми.
Выражаю свою благодарность за предложенные задачи и ценные
советы Н. В. Ефимову, И. Р. Шафаревичу, Л. А. Скорнякову,
А. П. Мишиной, Э. Б. Винбергу и всем работникам кафедры выс-
шей алгебры Московского университета.
И. Проскуряков
Москва,.
7 октября 1966 года
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании устранены замеченные опечатки и неточности
формулировок первого издания. Задачи №№ 1226, 1227 и 1228 заме-
нены новыми, более удобными для решения. Нумерация задач сохра-
нена всюду, кроме § 20. В связи с включением в программу понятия
прямой суммы абелевых групп и разложения конечной абелевой группы
в прямую^ сумму примарных циклических подгрупп § 20 написан
заново. Ввиду значительного расширения содержания этого параграфа
при сохранении общего числа задач родственные задачи объединены
под литерами с общим номером. Пользуюсь случаем выразить благо-
дарность работникам кафедры высшей алгебры МГУ за ряд полезных
замечаний по предыдущему изданию.
И. Проскуряков
Москва,
16 апреля 1961 года
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
При составлении настоящего пособия автор стремился, во-пер-
вых, дать достаточное число упражнений для выработки навыков
решения типовых задач (например, вычисление определителей с чис-
ловыми элементами, решение систем линейных уравнений с число-
выми коэффициентами и т. п.), во-вторых, дать задачи, способ-
ствующие уяснению основных понятий и их взаимной связи (например,
связь свойств матриц со свойствами квадратичных форм, с одной
стороны, и линейных преобразований — с другой), в-третьих, дать
задачи, дополняющие лекционные курсы и содействующие расшире-
нию математического кругозора (например, свойства пфаффова
агрегата кососимметрического определителя, свойства ассоциирован-
ных матриц и т. п.).
В ряде задач предлагается доказать теоремы, которые можно найти
в учебниках. Помещая такие задачи, автор исходил из того, что лек-
тор при недостатке времени дает изучить часть материала по книге
самим учащимся и это можно делать по задачнику, где даны указания,
помогающие самостоятельно провести доказательство, что способствует
развитию начальных навыков научного исследования.
Новыми по сравнению с существующими пособиями являются (если
не говорить о деталях) задачи на полиномиальные матрицы (§ 13),
на линейные преобразования аффинных и метрических пространств
{§§ 18, 19) и стоящее особняком дополнение, посвященное группам,
кольцам и полям. В этом отделе даны задачи на самые начальные
разделы теории. Тем не менее нам кажется, что его можно исполь-
зовать в работе учебных просеминаров на младших курсах.
Содержание и порядок изложения материала на лекциях во мно-
гом зависят от лектора. Автор старался дать задачи, учитывающие это
разнообразие изложения. Отсюда некоторый параллелизм и повторяе-
мость материала. Так, одни и те же факты даны сначала в разделе
квадратичных форм, а затем в разделе линейных преобразований, не-
которые задачи формулированы так, что их можно решать как в слу-
чае вещественного евклидова, так и в случае комплексного унитар-
ного пространства. Нам кажется, что для задачника это желательно,
так как дает большую гибкость при его использовании.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В начале некоторых параграфов помещены введения. Они содер-
жат лишь краткие указания терминологии и обозначений в тех случаях,
когда в учебниках нет полного единства в указанном отношении.
Исключением является введение к § 5, где даны основные методы
вычисления определителей любого порядка и приведены примеры на
каждый метод. Автор считал это полезным ввиду того, что в учебни-
ках эти указания отсутствуют, а учащиеся встречают здесь значитель-
ные трудности.
Номера задач, в ответах на которые имеются решения или ука-
зания, снабжены звездочкой. Решения даны для небольшого числа
задач. Это или задачи, содержащие общий метод, применяемый за-
тем к ряду других задач (например, задача 1151, дающая метод
вычисления функции от матрицы, и задача 1529, содержащая по-
строение базиса, в котором матрица линейного преобразования имеет
жорданову форму), или задачи повышенной трудности (например,
задачи 1433, 1614, 1617). Указания содержат, как правило, лишь
идею или метод решения и оставляют учащимся проведение самого
решения. Лишь для более трудных задач они содержат краткий
план решения (например, в задачах 546, 1492, 1632).
При составлении задачника автор использовал следующие источ-
ники:
1. В. Ф. Каган, Основания теории определителей, Одесса, 1922.
2. А. М. Журавский, Сборник задач по высшей алгебре,
ГТТИ, 1933.
3. Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Сборник задач по
высшей алгебре, изд. 1-е — 5-е, Гостехиздат, 1945—1954.
4. А. И. Ма л ьцев, Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1948.
5. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, изд. 1-е
и 2-е, Гостехиздат, 1948—1951.
6. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Гостехиздат, 1953.
Ряд задач заимствован (с согласия их авторов) из числа упраж-
нений, дававшихся на лекциях по высшей алгебре в Московском
университете, или указан автору следующими лицами: И. М. Гель-
фандом, А. И. Узковым, Л. Я. Окуневым, А. П. Мишиной, И. Р. Ша-
фаревичем, Е. Б. Дынкиным. Всем им автор приносит сердечную
благодарность.
И. Проскуряков
Москва,
20 октября 1955 г.
ОТДЕЛ I
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Вычислить определители:
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка
1.
8.
10.
12.
14.
16.
5
7
о2
ab
2
3
ab
b2
2.
6.
1 2
3 4
я+1
п
3.
п
га—1
a?
a+-b
sin a cos a
sin p cos p
sina + sinp
— ab+-b2
a — b
11.
cosp + cosa
2 4. 6 9
5 8 12
7. а-\-Ь а — Ь
а — b а-\-Ь
9. cos а — sin а
sin а cos а
cos а sin а
sinp cosp
cosp — cos a sin a — sinp
13.
15.
17.
2 sin ф cos ф 2sin^-— 1 I
2 cos2 ф — 1 2 sin ф cos ф |
A—02 2t
l+t2
2t
l+t2
1
l + t2
(l+O2
logs с
1
I—l2 l—t2
Вычислить определители, в которых
18.
20.
a c + dl
c — di b
cosa+tsina
1
19.
1
cos a — /sin a
a+-bl c+-di
— c+-dl a — Ы
10 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ B2—40
Пользуясь определителями, решить системы уравнений:
22. 2х-\-5у=1, 23. 2х — Зу = 4,
24. 5*— 7у=1, 25. 4л:-|-7у+13 = 0,
26. jecosa — у sin a = cos p, 27. A^tga-f-y = sin(a-j-PX
x sin a -f- У cos a = sin p. x — у tg a = cos (a -j- p),
где a ф -д- + kn (k — целое число).
Исследовать, будет ли система уравнений определенна (имеет
единственное решение), неопределенна (имеет бесконечно много реше-
ний) или противоречива (не имеет решения):
28. 4л: -f- 6y = 2, Дают ли здесь формулы Крамера верный
6л;-|-9у = 3. ответ?
29. Зл; — 2у = 2, 30. (a — b)x — b — с.
6х — 4у = 3.
31. xsina = I +sina. 32. A:sina= 1-+-cosa.
34. a2x~ab, 35. ax -(- by = ad,
abx = b2. bx-\-cy — bd.
36. ax-\~ 4y = 2, 37. ax — 9y = 6,
38. Доказать, что для равенства нулю определителя второго
порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропор-
циональны. То же верно и для столбцов (если некоторые элементы
определителя равны нулю, то пропорциональность можно понимать
в том смысле, что элементы одной строчки получаются из соответ-
ствующих элементов другой строчки умножением на одно и то же
число, быть может, равное нулю).
39*. Доказать, что при действительных а, Ь, с корни уравнения
а— л: b
= 0 будут действительными.
Ь с — л:
40*. Доказать, что квадратный трехчлен ах2~\-2Ьх-\-с с ком-
плексными коэффициентами тогда и только тогда будет полным
квадратом, если
b с
41—63] § 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО й 3-ГО ПОРЯДКА И
41. Доказать, что при действительных а, Ь, с, d корни уравне-
а — х c-\-di
=±0 будут действительными.
c — dib — x J }
42*. Показать, что значение дроби "•* + , где по крайней мере
СX щ\~ О.
одно из чисел с, d отлично от нуля, тогда и только тогда не зави-
а b
сит от значения х, когда
= 0.
Вычислить определители 3-го порядка:
2
5
1
3
4
5
1
1
1
2
7
6
1
4
7
0
Ь
0
1
3
4
2
1
2
1
2
3
0
1
0
2
5
8
с
с
е
а-\-х
X
X
cos a
3
2
3
1
3
6
¦з-
6
5
3
6
9
0
d
0
,
-4
¦2
-3
.
X
b + x
X
44.
47.
50.
53.
56.
59.
л:
• х
c-j-x
sin а cosp
-sin а cos а cosp <
0
—
sinp
3
2
3
3
8
2
0
1
1
1
1
1
a
b
с
a
X
X
•
2
5
4
1
0
1
5
7
8
b
с
a
X
b
X
61
1
3
2
4
7
-1
1
1
0
25
49
64
с
a
b
X
X
с
Ш
sin a sinp
:osasinp
cosp
45.
5
— 2
8
i
\
3
1
48.
51.
54.
57.
5
0
7
i
— 3
2
7
4 2
5 3
3 2
6 3
1 0
4 5
1 1
I 5
16 25
a
с
b
a2+l ap
ap P2 + 1
aY PY ^
63.
sin a
sinp
?
>ii
iY
b с
a b
с а
aY
PY
?2+ 1
cos a
cosp
cosy
—
—
—
—
5
8
5
1
2
1
• ¦».»
1
9
81
•
•
1
1
1
.
12 отдел т. определители [64—75
64. При каком условии справедливо равенство:
1 cos a cosp 0 cos а cosp
cos а 1 cosy = cos а 0 cosy
cosp cosy 1 cosp cosy 0
66. Показать, что определитель
с2 #sina с sin a
bsina 1 cos a
с sin a cos a 1
и два других определителя, полученных из данного круговой пере-
становкой элементов а, Ъ, с и а, р, у, равны нулю, если а, Ь, с —
длины сторон треугольника и а, р, у — его углы, противолежащие
соответственно сторонам а, Ь, с.
Вычислить определители 3-го порядка, в которых l — ~\f—1:
66.
68.
69.
70.
1
0
1-
1
е2
е
1
1
?2
1
1
1
t
Е
1
е2
1
1
?
1
е
е2
0
1
е2
е
1
е
?2
1
1
е2
е
— / 1
где е = — тг
где е = cos-о-я-р-/ sin-о-я.
где е = cos-я-я-4-/sin-5-я.
О о
71. Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка
равны ±1, то сам определитель будет четным числом.
72*. Найти наибольшее значение, которое может принимать опре-
делитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны ±1.
73*. Найти наибольшее значение определителя 3-го порядка при
условии, что его элементы равны -f-1 или 0.
Пользуясь определителями, решить системы уравнений:
74. 2x + 3y + 5z=10, 76. 5лг—
76—91] § 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО и 3-ГО ПОРЯДКА 13
76. 4х — Зу + 22 + 4 = 0, 77. 5х + 2у + 32 + 2 = 0,
6х — 2y + 3z+l=0, 2х — 2y-\-5z = 0,
Ъх — Зу + 2г + 3 = 0. 3* + 4y-|-2.z-f 10 = 0.
78*. ^ — Х + 2 = 0, 79. 2ах — ЪЬу + сг =0,
— тг + у— 1=0, За* — 6by-{-5cz =
- + - = 0. 5ах — 4Ъу + 2сг = ,
д с
где ййс ф 0.
80*. 4йсх+ йсу — 2abz = 0.
5Ьсх-\-Ъасу — 4abz~\- abc = 0,
3bcx-4-2acy— abz — 4abc = 0, где аЬсфО.
81*. Решить систему уравнений:
х-\- у-\- z = a,
х-\- Ey-\-E2z = b, (е—отличное от 1 значение}/1 .)
Х-\-Е2у-\- EZ — C.
Исследовать, будет система уравнений определенна, неопределенна
или противоречива:
82. 2х — Зу+ г = 2. 83. 4x + 3y-\-2z= 1,
84. 5х- 6y-f z = 4, '^вб. 2х— у + 3г = 4,
Зд; —5у —2г = 3, Зд; —2у + 22 = 3,
2лг— у + 3г = 5. 5л; —4у =2.
86. 2ох —23у + 29z = 4, 87. сх
С2 = 5. 9х
88. ax-\-4y~\-z = 0, 89.
2у + 3г—1=0,
Зх — йг + 2 = 0. л; —
Путем прямого вычисления по правилу треугольников, или пра-
вилу Саррюса, доказать следующие свойства определителей 3-го
порядка:
90. Если в определителе 3-го порядка поменять ролями строки
и столбцы (т. е., как говорят, транспонировать его матрицу), то
определитель не изменится.
9t. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) равны
нулю, то и сам определитель равен нулю.
14
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
{92-101
92. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) опре-
делителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель
умножится на это число.
93. Если переставить две строки (или два столбца) определителя,
то он изменит знак.
94. Если две строки (или два столбца) определителя одинаковы,
то он равен нулю.
95. Если все элементы одной строки пропорциональны соответ-
ствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю
(то же верно и для столбцов).
96. Если каждый элемент некоторой строки определителя пред-
ставлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме
двух определителей, у которых все строки, кроме данной, прежние,
а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во вто-
ром — вторые слагаемые (то же верно и для столбцов).
97. Если к элементам одной строки определителя прибавить соот-
ветствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же
число, то определитель не изменится (то же верно и для столбцов).
98. Говорят, что одна строка определителя является линейной
комбинацией остальных строк, если каждый элемент этой строки
равен сумме произведений соответствующих элементов остальных
строк на некоторые числа, постоянные для каждой строки, т. е.
не зависящие от номера элемента в строке. Аналогично определяется
линейная комбинация столбцов. Например: третья строка определителя
а„ а12 а1
*п
a0
a,
два
21 2 a23
a31 a32 a33
будет линейной комбинацией первых двух, если существуют
числа с1 и с2 такие, что п-а, j = cxax< j-\-c^a^ j (/=1. 2, 3).
Доказать, что если одна строка (столбец) определителя 3-го по-
рядка является линейной комбинацией остальных строк (столбцов),
то определитель равен нулю.
Замечание. Справедливо также обратное утверждение, но оно
вытекает из дальнейшего развития теории определителей.
99*. Пользуясь предыдущей задачей, показать на примере, что
в отличие от определителей 2-го порядка (см. задачу 38) для равен-
ства нулю определителя 3-го порядка пропорциональность двух строк
(или столбцов) уже не является необходимой.
Пользуясь свойствами определителей 3-го порядка, указанными
в задачах 91—98, вычислить следующие определители:
100.
sin2 a
sin2p
1 cos2 а
1 cos2p
1 cos2 v
101.
sin2 a cos 2a
sin2p cos 20
sin2Y cos2y
COS2
cos2
COS2
a
P
Y
102-1131
102.
104.
106.
107.
§ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО и 3-ГО ПОРЯДКА
15
х х' ах-\~ bx'
У У' ау-+-Ьу'
z z' az-\-bz'
а-\-Ъ с 1
b-j~c a 1
с-\-а b 1
1 е е2
е е2 1
х у z
103.
9 2 2
а2 -f- b2 аф2
(a3-\-b3f
105.
(ах— a-*f 1
(ах-\-а-
(cz\_c-z^& (gz c~zJ 1
, где е — отличное от 1 значение У 1.
sin a cos а sin (а+ 6)
sinp cosp sin
siny cosy
где /==У—1.
log.
по*.
x,
Ух
Уг
108. aj + ^/ ali — b1 cx
ai ~\~ b<? a2t — b2 c2
a3-\-b3i asi — b3 c3
(дать геометрическое истолкование
полученного результата).
а
Р
V
Р
Y
а
Y
а
Р
где а, р, Y — корни уравнения х3 -f- px -f- q = 0.
Не развертывая олределителей, доказать следующие тождества:
111.
112.
113.
ах bx a1x-\~b1y-\-c1
а2 Ь2 а2х + *2у + с2
а3 Ь3 а3х-\-ЬзУ-\-с3
ax-\-bxx flj — bxx cx
2 ~Т— ^2 2 ' ^2 2
аз + Ьъ* аг — hx сз
«! + *,/ aii+bx с,
я2-1-А' а2' + *2 с2
а, *! сх
а2 *2 с2
а3 1
= — 2х
= 2
а,
«3
7з с3
•
fll *, СХ
а2 *2 с2
а3 Ь3 с3
Ьх с,
^2 С2
Ьг сг
•
16
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[114-126
a1-\-b1x a1x-{-b1 cx
2x a2x -f- b2 c2
a2
аъ
1
1
1
1
1
1
a
b
с
a
b
с
be
ca
ab
a2
b2
c2
= (b —a)(c — a)(c —
= (b — a)(c — a)(c — b).
1 1
b с
a3 b3 c3
1 1 1
a2 b2 c2
— {ab + ac
— a)(c — a)(c —
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120*.
121.
122.
§ 2. Перестановки и подстановки
Определить число инверсий в перестановках (за исходное распо-
ложение всегда, если нет особых указаний, принимается расположе-
ние 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке):
123. 2, 3, 5, 4, 1. 124. 6, 3, 1, 2, 5, 4.
125. 1. 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8. 126. 7, 5, 6, 4, 1. 3, 2.
1 a a4
1 b b4
1 с с4
1 a be
1 b ca
1 с ab
I a a3
1 * b3
1 с с3
1 a2 a3
1 b2 b3
1 c2
c3
(a2_|_?2_|_c2_|_
=
1 a a2
1 b b2
Ice2
= (a-\-b-\-c)
= (ab + bc-\-
ab-
.
1
1
1
ca)
\rac-\-l
a @2
b b2
с с2
1 a
1 b
1 с
c)(b
*
a2
b2
c2
127—145| § 2- ПЕРЕСТАНОВКИ И ПОДСТАНОВКИ 17
127. 1, 3, 5, 7 , 2п— 1, 2, 4, 6, 8, .... 2п.
128. 2, 4, 6 2/г, 1, 3, 5, .... 2/г—1.
В следующих перестановках определить число инверсии и ука-
зать общий признак тех чисел п. для которых эта перестановка
четна, и тех, для которых она нечетна:
129. 1, 4, 7 Зга —2, 2, 5, 8 3/г—1, 3, 6, 9 Зге.
130. 3. 6, 9 Зге, 2, 5, 8 Зп — 1, 1, 4, 7 Зге —2.
131. 2, 5. 8, .... Зга—1, 3, 6, 9, .... Зп, 1, 4, 7 Зге —2.
132. 2. 5, 8 Зге— 1, 1. 4, 7 , Зге —2, 3, 6, 9, ..., Зге.
133. 1, 5 4ге —3, 2, 6 4ге —2, 3, 7 4ге—1.
4, 8 4ге.
134. 1, 5, .... 4ге —3, 3, 7 4ге—1, 2, 6 An — 2,
4, 8 4ге.
135. 4ге, 4ге —4, .... 8, 4, 4ге—1, 4/г— 5 7, 3, 4ге—2,
4п—6 6, 2, 4ге —3, 4ге —7 5, 1.
136. В какой перестановке чисел 1, 2, .... ге число инверсий
наибольшее и чему оно равно?
137. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k-u месте
перестановки?
138. Сколько инверсий образует число п, стоящее на k-м месте
в перестановке чисел 1, 2, 3 ге?
139. Чему равна сумма числа инверсий и числа порядков в лю-
бой перестановке.чисел 1, 2 ге?
140. Для каких чисел ге четность числа инверсий и числа поряд-
ков во всех перестановках чисел 1, 2 п одинакова и для каких
противоположна?
141*. Доказать, что число инверсий в перестановке av а2 а„
равно числу инверсий в той перестановке индексов 1, 2 ге,
которая получается, если данную перестановку заменить исходным
расположением.
142*. Показать, что от одной перестановки ах, в2 в, к дру-
гой перестановке Ьг, Ь2 Ьп тех же элементов можно перейти
путем не более чем ге — 1 транспозиций.
143*. Привести пример перестановки чисел 1, 2, 3 п, ко-
торую нельзя привести в нормальное расположение путем менее чем
л— 1 транспозиций, и доказать это.
144*. Показать, что от одной перестановки аг, а2 ап
к любой другой перестановке bv b2, .... bn тех же элементов можно
перейти путем не более чем ¦——»—— смежных транспозиций (т. е.
транспозиций соседних элементов).
145*. Дано, что число инверсий в перестановке я,, а2, ...
-••, ап-\< о-п равно k. Сколько инверсий будет в перестановке
««. Ял_, «2. V
jg ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1146—160
146*. Сколько инверсий во всех перестановках п элементов
вместе?
147*. Доказать, что от любой перестановки чисел 1, 2, .... nt
содержащей k инверсий, можно перейти к исходному расположению
путем k смежных транспозиций, но нельзя перейти путем меньшего
числа таких транспозиций.
148*. Доказать, что для любого целого числа к @^А<^С;1)
существует перестановка чисел 1, 2, 3, ...,«, число инверсий которой
равно k.
149*. Обозначим через (re, k) число перестановок чисел 1,2 п,
каждая из которых содержит ровно k инверсий. Вывести для числа
(я, k) рекуррентное соотношение:
(»-f-l, k) = (n, k)-\-(n, k— l) + (re, k — 2)-+- ... 4-(n, ft —re),
где надо положить (re, у') —0 при j~>C2n и при /<0. Пользуясь
этим соотношением, составить таблицу чисел (re, k) для ге=1, 2,
3, 4, 5, 6 и k — 0, 1, 2 15.
150*. Показать, что число перестановок чисел 1, 2 п, со-
держащих k инверсий, равно числу перестановок тех же чисел,
содержащих Сп — k инверсий. -
Следующие подстановки разложить в произведение независимых
циклов и по декременту (т. е. разности между числом действительно
перемещаемых элементов и числом циклов) определить их четность.
Для удобства подсчета декремента можно для чисел, остающихся
на месте, ввести в разложение одночленные циклы.
151.
/12 3 4 5^ 152. /123456^
\4 1 5 2 3/" \6 5 1 4 2 3/'
^ 154. /1 2 3 4 5 6 7 8 9\
/' \5 8 9 2 1 4 3 6 7f
678 9\ 156. /1 2 3 4 о 6\
7 8 9 1/" \4 5 6 1 2 3/'
153. /1234567 8^ 154. /1 2 3 4 5 6 7 8 9
\8 1 3 6 5 7 4 2
155. /1 2345678 9\ 156. /1 2 3 4 о 6
\2 3 4 5 6
157. /1, 2, 3, 4 2ге—1, 2ге
\2. 1. 4, 3 2ге, 2ге—
158.
159
160
. /1, 2, 3, 4, 5, 6 Зге —2. Зге —1, Зп \
U. 2, 1, 6, 5, 4 Зге, Зге—1, Зге —2/'
. /1, 2, 3, 4 2ге —3, 2ге —2, 2ге—1, 2п\
\Ъ, 4, 5, 6 2ге —1, 2ге 1, 2 )'
. /1, 2, 3, 4, 5, 6 Зге —2, Зге—1, Зге N
\2, 3, 1, 5, 6, 4 Зге—1, Зге, Зге —2/'
161—178) § 2. ПЕРЕСТАНОВКИ И ПОДСТАНОВКИ 19
161.
. /1, 2, 3. 4, 5, 6 Зга —2, Зга— 1, Зга\
\4, 5, 6. 7, 8, 9 1, 2, 3 )'
гаАЛ
к)'
I 1, 2, .... & nk—k + l,nk—k-j-2 гаАЛ
162- [k + l, k + 2 2k 1, 2
В следующих подстановках перейти от записи в циклах к записи
двумя строками:
163. A 5)B 3 4). 164. A 3)B 5)D).
165. G 5 3 1)B 4 6) (8) (9).
166. A 2)C 4) ... Bга— 1, 2га).
167. A 2 3 4 ... 2п— 1, 2га).
168.C 2 1)F 5 4) ... (Зга, Зга—1, Зга —2).
Перемножить подстановки:
/1
1
4
1
2
1
1
2
2
1
2
4
2
5
2
3
3
3
3
5
3
1
3
4
4
2
4
1
4
2
4
1
Ul 2
Дз 2
-3Д5
X
\2
3
4
2
3
2
4
j . 173.
lj
3
4
3
1
/1
3
1
4
1
4
5
2
4
2Г
V
3 4
5 1
5V»
169,
170.
171.
172.
174. Доказать, что если некоторая степень цикла равна единице,
то показатель степени делится на длину цикла. (Длиной цикла назы-
вается число его элементов.)
175. Доказать, что среди всех степеней подстановки, равных еди-
нице, наименьший показатель равен наименьшему общему кратному
длин циклов, входящих в разложение подстановки.
/1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9, 10\
i/o . паити л , где л — ^ ^ ^ ^ ^ ^ % ^ ^ gj .
П, 2, 3, 4. 5. 6, 7, 8, 9, 10\
177. Найти ' '
178. Найти подстановку X из равенства ЛА'5 = С, где
/1 23456 7\ /1234567N
А~\7 3 2 1 6 5 4J' В = \г 1 2 7 4 5 б]'
1 2 3 4 5 6 7\
б 1 3 6 4 7 2/'
20 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1179—187
179. Доказать, что умножение подстановки на транспозицию
(т. е. двучленный цикл) (а, р) слева равносильно транспозиции (т. е.
перемене местами) чисел аир в верхней строке подстановки, а умно-
жение на ту же транспозицию справа равносильно транспозиции а
и р в нижней строке подстановки.
180. Доказать, что если числа аир входят в один цикл подста-
новки, то при умножении этой подстановки на транспозицию (а, Р)
(слева или справа) данный цикл распадается на два цикла, а если
числа аир входят в различные циклы, то при указанном умноже-
нии эти циклы сливаются в один.
181*. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать, что число
инверсий и декремент любой подстановки имеют одинаковую четность.
182*. Доказать, что наименьшее число транспозиций, на произве-
дение которых разлагается данная подстановка, равно ее декременту.
183*. Доказать, что наименьшее число транспозиций, переводя-
щих перестановку av а2 ап в перестановку Ъх, b2, .... Ьп
тех же элементов, равно декременту подстановки
W ъ2 ь„Г
184*. Найти все подстановки чисел 1, 2, 3, 4, перестановочные
с подстановкой /j ^ 3
5 = B I 4
185. Найти все подстановки чисел 1, 2, 3, 4, 5, перестановоч-
ные с подстановкой
1 2 3 4 5^
186*. Для любых целых чисел х и от, где тфО, обозначим
через г(х, от) остаток (принимаемый неотрицательным) от деления х
на от. Доказать, что если от ^> 2 и а — целое число, взаимно про-
стое с от, то соответствие х—>г(ах, от), х = 1, 2, ..., т—1,
является подстановкой чисел 1, 2, .... от—1.
187. Написать подстановку чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, при.
которой число х переходит в остаток от деления Ъх на 9.
§ 3. Определение и простейшие свойства определителей
любого порядка
Задачи этого параграфа имеют целью пояснение понятия определителя
любого порядка и его простейших свойств, включая равенство нулю определи-
теля, строки которого линейно зависимы, и разложение определителя по строке.
Задачи на развитие навыка вычисления определителей с числовыми эле-
ментами, на методы вычисления определителей специального вида, на тео-
рему Лапласа, на умножение определителей и т. д. содержатся в следующих
параграфах.
188—203| § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 21
Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят
в определители соответствующих порядков и с какими знаками:
188. а43«21«35«12«54- >89> «61«23«45«36«12«54-
190. Я27«36«51«74«25«43«62- '91. «33«16«72а27«55«61«44-
192. ai2«23«34 ¦ • • «л-1, u«ftft. 1 < А < П.
193. Й12Й23 •• ¦ «л-1,л«я1-
194. flj2«21«34«43 ••• «2п-Ь 2п«2я, 2п-Г
195. «ц«2, п«3, п-1 ••• «п,2-
196. #13«22«31«46«55«64 ••• «Зл-2, Зл«Зя-1, Зя-1«3я. Зя-2-
197. Выбрать значения / и k так, чтобы произведение
«62«*5«33«ft4«46«2l
входило в определитель 6-го порядка со знаком минус.
198. Выбрать значения I и k так, чтобы произведение
«47«63«U«55«7ft«24«31
входило в определитель 7-го порядка со знаком плюс.
199. Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие эле-
мент а32 и входящие в определитель со знаком плюс.
200. Найти члены определителя
, содержащие х* и х3.
201. С каким знаком входит в определитель порядка п произве-
дение элементов главной диагонали?
202. С каким знаком входит в определитель порядка п произве-
дение элементов побочной диагонали?
203. Пользуясь только определением, вычислить определитель
5х
X
1
X
1
X
2
1
2
1
X
2
3
2
3
2х
«11
«21
«31
0
«22
«32
0
0
«33
... 0
... 0
... 0
«П1 «я2 «иЗ • • • «я
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равные
нулю.
22 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [204—210
204. Пользуясь только определением, вычислить определитель
0 ... 0 0 а1п
0 ... О а2ш я_! а2п
0 ¦ • ¦ аЗ. л-2 аЗ, п-1 «Зп
nl • • • «я, п-2 «я, п-1 «я
в котором все элементы по одну сторону от побочной диагонали
равны нулю.
205. Пользуясь только определением, вычислить определитель
«22
«32
«42
Осп
«23
0
0
0
«24
0
0
0
«5
0
0
0
206. Доказать, что если в определителе порядка п на пересече-
нии некоторых k строк и I столбцов стоят элементы, равные нулю,
причем k -f- / > я, то определитель равен нулю.
207*. Решить уравнение
= 0,
1
1
1
X
«1
«2
X2
«?
«1
... X*
...е-
1
at
где «j, а2 «п — различные числа.
208. Решить уравнение
1
1
1
1
1
—
1
X
1 ...
1 ...
2-х ...
1
1
1
1
1
1
п — х
= 0.
209. Найти элемент определителя порядка п, симметричный эле-
менту dfa относительно побочной диагонали.
210. Найти элемент определителя порядка п, симметричный эле-
менту alk относительно «центра» определителя.
211—223] § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2?
211. Назовем место элемента alh определителя четным или не-
четным, смотря по тому, будет ли сумма i-\~k четна или нечетна.
Найти число элементов определителя порядка я, стоящих на четных
и на нечетных местах.
212. Как изменится определитель порядка п, если первый стол-
бец переставить на последнее место, а остальные столбцы передви-
нуть влево, сохраняя их расположение?
213. Как изменится определитель порядка п, если его строки
написать в обратном порядке?
214. Как изменится определитель, если каждый его элемент за-
менять элементом, симметричным с данным относительно «центра»
определителя.
215*. Как изменится определитель, если каждый его элемент за-
менить элементом, симметричным с данным относительно побочной
диагонали.
216*. Определитель называется кососимметрическим, если эле-
менты, симметрично лежащие относительно главной диагонали, отли-
чаются знаком, т. е. aih = — aki для любых индексов i, k.
Доказать, что кососимметрический определитель нечетного по-
рядка п равен нулю.
217*. Доказать, что определитель, элементы которого, симме-
трично лежащие относительно главной диагонали, являются сопря-
женными комплексными (в частности, действительными) числами, есть-
число действительное.
218. При каких значениях п все определители порядка п, эле-
менты которых удовлетворяют условиям
(a) a.jk — действительное число при j > k,
(Р) akJ = iajk при у> k{i = Y~l),
будут действительными?
219. При каких п все определители порядка п, элементы кото-
рых удовлетворяют условиям (а) и ф) предыдущей задачи, будут~
чисто мнимыми?
220. Показать, что при нечетном п все определители порядка п,
элементы которых удовлетворяют условиям (а) и (Р) задачи 218,
имеют вид а(\ ± i), где а — число действительное.
221. Как изменится определитель порядка п, если у всех его эле-
ментов изменить знак на противоположный?
222*. Как изменится определитель, если каждый его элемент ajk.
умножить на с'~*. где с ф 0?
223*. Доказать, что в каждый член определителя входит четное-
число элементов, занимающих нечетное место; элементов же, занимаю-
щих четное место, входит четное число, если определитель четного-
порядка, и нечетное число, если определитель нечетного порядка.
24 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [224—235
224*. Доказать, что определитель не изменится, если изменить
знак всех элементов на нечетных местах; если же изменить знак всех
элементов на четных местах, то определитель не изменится, если он
четного порядка, и изменит знак, если нечетного порядка.
225. Доказать, что определитель не изменится, если к каждой
строке, кроме последней, прибавить последующую строку.
226. Доказать, что определитель не изменится, если к каждому
столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец.
227. Доказать, что определитель не изменится, если из каждой
строки, кроме последней, вычесть все последующие строки.
228. Доказать, что определитель не изменится, если к каждому
¦столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы.
229. Как изменится определитель, если из каждой строки, кроме
последней, вычесть последующую строку, из последней строки вы-
честь прежнюю первую строку?
230*. Как изменится определитель, если к каждому столбцу,
начиная со второго, прибавить предыдущий столбец и в то же время
к перпому прибавить последний?
231. Как изменится определитель порядка и, если его матрицу
повернуть на 90° вокруг «центра»?
232. Чему равен определитель, у которого сумма строк с чет-
ными номерами равна сумме строк с нечетными номерами?
233. Найти сумму всех определителей порядка п ^-2, в каждом
из которых в каждой строке и каждом столбце один элемент равен
единице, а остальные равны нулю. Сколько всех таких определителей?
234. Найти сумму определителей порядка
a., a,,
¦°„=1
«1а,
«2а,
«1а2
«20,
«яа, «яа2
где сумма берется по всем значениям щ, а2,
друг от друга изменяющимся от 1 до п.
235. Пусть все элементы определителя
а„, независимо
«21
«12
Й22
Чп
а
Я1
а.
являются целыми однозначными числами. Обозначим через Nt число,
записанное цифрами l-Ш строки определителя с сохранением их рас-
положения (ain — число единиц, ait „_i — число десятков и т. д.).
Доказать, что значение определителя делится на наибольший общий
делитель чисел Nv N2, .... Nn.
236—244J § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
236. Разлагая по 3-й строке, вычислить определитель
2—341
4—232
a bed
3—143
237. Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель
5 а 2 —1
b 4
4
2
4
Вычислить определители:
с
d
3
5
—3
—2
4
238.
а
0
1
0
3
b
2
0
0
0
с
0
239.
1
2
3
d
0
0
с
0
a
О
5
О
240.
*
л;
0
0
g
0
а
У
е
h
0
ft
0
z
k
0
0
0
0
и
0
с
d
f
I
V
241. Пусть Мц — минор элемента atj определителя D. Показать,
что если D — симметрический определитель или кососимметрический
определитель нечетного порядка, то М^ = М}1; если же D—косо-
симметрический определитель четного порядка, то Ж,-^ = —М^.
242. Пусть D—определитель порядка и>1, ГУ и D"—опре-
делители, полученные из D ваменой каждого элемента atj на его
алгебраическое дополнение Ац для D' и на его минор Мц для D".
Доказать, что Df = D". Определитель D' называется взаимным (или.
присоединенным) к D. О выражении D' через D см. задачу 506.
243. Вычислить следующий определитель, не развертывая его:
244*.
ер
0
У
z
ТЫВ
X
0
z
У
a
ft
с
6 + c
2
с
ft
с
a
+ o
2
ая определителей,
У
z
0
X
z
У
X
0
0
1
1
1
1
0
z2
У2
a
с
a
ft
2
доказать
1
г2
0
JC2
1
У2
JC2
0
1
1
1
i
j
CJ
•
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
B45—249
245*.
1 a, a\ ... а\-г ахя
1/1 /y^ sift—2 /yrt
• +««)
7я-2
1 fl2
an-2 an-X
246*.
1 а, а\
l«"' «„
. fl"
l- ft2 k
«ft,
n-l
i c2 4
¦,n-i
¦ylt-l
где сумма берется по всем сочетаниям из п чисел 1, 2, 3, .... п
по ге — I.
Пользуясь свойствами определителей, включая разложение по
строке или столбцу, доказать тождества:
247*.
COS
«—
. <x-fP
sin—^J- cos
i±Y
6 — v P4-v
cos 2 sin ' cos
Y —« . Y + « Y + «
cos-J-^— sin 2 ' cos ry
= ^- [sin (p — a) + sin (y — P) + sin (a — y)].
248.
sin2 a sin a cos a cos2 a
sin2p sin p cos p cos2p
sin2Y sinY cosy cos2Y
= sin (a — p) cos a cos p + sin (p — y) cos p cos y + sin (Y~a) cos Y cos a.
249.
b2
250—256] § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
250.
251.
1
1
а+х а+у
1
1
1
Ь+х Ь + у
1 1
с+х
1
с + у
1
(а-Ь)(а-с)(Ь-с)(х-у)
(а+х)(Ь+х) (с+х) (а+у) (Ь+у) (с+у)"
1
1
a + z
1
Ь+х Ь + у Ь+г
1
1
1
с + х с+у с + г
(а-Ь)(а-с)(Ь-с)(х-у)(х-г)(у~г)
(a + x) (b + x) (с + x) (a + у) (b + у) (с + у) (а + г) (Ь + г) (с + г)
252..
при и -f-
253*.
cos q> cos
g2-K1—a2) cos
fta(l — совф)
ca(l — совф)
ft2 + c2 = 1.
»p—sin <p sin if cos
cosq> sin ip+sinq> cos ip cos (
254.
255.
256*.
sintp sin 9
a ft
— ft a
— c ~d
ф Gft(l COS<p) GCA СОБф)
ft2-f-(l—&2)СОБф ftc(l СОБф)
eft A — cos ф) c2-f-( 1 — c2) cos ф
= cos2
Э —sin q> cos яр—cos tp sin гр cos 9 sin гр sin 9
—sin ф sin ip+cos if cos гр cos 9 — cos гр sin 9
cos ip sin G cos 9
с d
d —c
a ft
— d с —ft a
0 1 1 a
10 1ft
110c
abed
— 1 1 1
1 —1 1
1 1 —1
1 1 1
x у z
==
— (a2+-b2 + c2+d?J.
_a + Ь2+- с2 2ab 2bc 2ac+-2d~
1 X
1 У
1 z
— 1 и
и 0
=¦
*
28 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ B57—270
§ 4. Вычисление определителей с числовыми элементами
Вычислить определители:
1
1
1
1
—
—
3
2
5
4
1
— 1
1 —
1
2 —5
-3 7
5 —9
4 —6
3 —3
3 2
2 —5
4 3
1
1
1
1
_
:
1
1
1
-1
2
1 4
2 7
1 2
—5
l
—¦
—3 —2
5
5
4
3 —5
—3 4
—5 7
7
3
5
5
7
8
7
5
8 —8
6 3
5 7
4 3
6 5
3 2
—9 4
—2 7
—3 3
4
8
5
7
2
5
4
6
9
3
4
[
Г
*
•
8
6
5
5 —6
-5
6
7
6
*
2 —4
5
7
5 —
•
•
3
5
6
258.
260.
262.
•
264.
266.
•
268.
270.
0
1
1
1
1
0
1
1
—3
—5
4
7
2
3
4
—3
3
9
5
6
-
1
2
3
2
1
3
-4
4
2
1 1
1 1
0 1
1 0
9
8
—5
—8
—5
—4
—9
2
—5
7
—9
—6
2 2
•
3 6
2 7
—3 —2
—4 —5
4 3
Г 5
8 5 *
.
> 3
—2 2
4 4
—3 7 "
—3 2
2
-8 5 10
—8 5
6
9
7
-4
-5 4
—5
7
5
8 -
2 3
3 7
5 11
—7 7
4 5
8
7
8
г
а
-8
А
1С
1?
7
а
•
! 4
> 2
7
S —3
5
13
21 .
2
! 10
271—278] §5. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ п-ГО ПОРЯДКА
35 59 71 52
42 70 77 54
43 68 72 52
29 49 65 50
24 11 13 17 19
51 13 32 40 46
61 11 14 50 56
62 20 7 13 52
3
5
6
4
2
27
20
13
46
3
2
5
3
4
7
3
1
5
6
2
5
лг
V
V
6
9
12
6
5
5
7
13
6
4
44
64
—20
—
Z
6
]Ло
2
45
9
" 2
8
" 3
5
" 3
-8
2
2
4
3
4
5
2
2
6 4
8 6
9 7
5 А
5 3
40
21
— 13
—55
3
2
2
3
1
— 1
—4
1
"~~ 2"
3
2
4
3
1
2
i/"o~
Г
/2Т
yi5"
/б~
55
40
24
84
•
О
•— о
7
3
2
3
—5
—5
8
14
3
12
5
¦
]/То~ ¦
5
Уп
272.
274.
276*.
yw
1/5
80 24
1
3"
3 —
2
3
1
45
5
2
12
9
2
2
7
57
2
5
21
5
4
5
1
7
70
3
2
15
5
2
3
7
§ 5. Методы вычисления определителей я-го порядка
Введение. Метод вычисления определителей с числовыми элемен-
тами, состоящий в обращении в нуль всех элементов некоторой строки
<столбца), кроме одного, и последующем понижении порядка, становится
весьма громоздким в случае определителей данного порядка с буквенными
элементами. Этот путь в общем случае приводит к выражению, которое
получается вычислением определителя прямым применением его определения.
30
ОТДЕЛ Т. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Тем более этот метод неудобен в случае определителя с буквенными или
числовыми элементами и произвольным порядком п.
Общего метода для вычисления таких определителей не существует
(если не считать выражения определителя, данного в его определении).
К определителям того или иного специального вида применяются различные-
методы вычисления, приводящие к выражениям, более простым (т. е. содер-
жащим меньшее число действий), чем выражение определителя по опреде-
лению. Мы разберем некоторые, наиболее употребительные из этих методов,
затем дадим задачи на каждый из этих методов для их усвоения и задачи,
где учащийся сам должен выбрать метод решения. Для удобства дриентацииг
в материале задачи, связанные с теоремой Лапласа и умножением опреде-
лителей, выделены в отдельные параграфы.
1. Метод приведения к треугольному виду. Этот метод
заключается в преобразовании определителя к такому виду, где все эле-
менты, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю. Случай
побочной диагонали путем изменения порядка строк (или столбцов) на об-
ратный сводится на случай главной диагонали. Полученный определитель
равен произведению элементов главной диагонали.
Пример 1. Вычислить определитель порядка п:
1 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
1 1 1 ... 0
Вычитаем первую строку из всех остальных:
D =
О 0 0 ... —1
Пример 2. Вычислить определитель
1
0
0
1
—1
0
1 ...
0 ...
1
1
0
0
\Я-1
?> =
ах х х
х а2 х
х х а3
XXX
X
X
X
Вычитаем первую строку из всех остальных:
п\ X X
х — at а2 — х 0 ...
х — ах 0 аъ — х ...
х
0
0
х — at 0
0
...«я — х
an—x:
§ 5. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Я-ГО ПОРЯДКА 31
Из первого столбца выносим в[—х, из второго а2—х, ..., из л-го —
п\ X X X
D = (ei — х) (а2 —*)... (ап — х)
a,—
—1
X
a2
1
0
¦x -
«3 —
0
1
¦x
an
...
...
—
0
0
X
Положим
I —X
—10 0 ... 1
и все столбцы прибавим к первому:
D — (а, — х) (а2—х) ... (а„ — х) X
¦ x(al—x){a2 — x)... (а„ — х) {—
2. Метод выделения линейных множителей. Определи-
тель рассматривается как многочлен от одной или нескольких входящих
в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линей-
ных множителей, а значит (если эти множители взаимно просты), и на их
произведение.
Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения ли-
нейных множителей, находят частное от деления определителя на это произ-
ведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример 3. Вычислить определитель: »
D
0 х у г
х 0 z у
у г 0 х
г у х 0
Если к первому столбцу прибавить остальные, то обнаружится, что
определитель делится на х-\-у-\-г; если к первому столбцу прибавить вто-
рой и вычесть третий и четвертый, то выделится множитель у -\- г — х; если
к первому столбцу прнбавить третий и вычесть второй и четвертый, то вы-
делится множитель х — у -\- г; наконец, если к первому столбцу прибавить
четвертый н вычесть второй и третий, то выделится множитель х -\- у — г.
Считая х, у, г независимыми неизвестными, заключаем, что все эти четыре
множителя попарно взаимно просты, и значит, определитель делится на их
произведение (х -(- у -{- г) (у -f- г — х) (х — у + г) {х + у — г).
Это произведение содержит член г* с коэффициентом —1, а сам опре-
делитель содержит тот же член г* с коэффициентом +1. Значит.
32 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Пример 4. Вычислить методом выделения линейных множителей опре-
делитель Вандермонда я-ro порядка:
1*. Ji trfl 1
1 1 # # "
9
х х2
хп хп •••
Рассматривая Dn как многочлен от одного неизвестного хп с коэффи-
циентами, зависящими от х1у ..., хп_и видим, что он обращается в нуль
при хп = хъ х„ = х2, ...,хп = х„_1 и потому делится на хп — хь хп — х2, ...
• ¦•> хп — хп-\-
Все эти множители взаимно просты (так как хь хь ..., х„ алгебраи-
чески независимы).
Значит, Dn делится на их произведение, т. е.
Dn = Я (*ь х2, .... хп) (хп — Xi) (xn ~х2) ... (х„ — а„_ ,)-
Разлагая Dn по последней строке, видим, что он является многочленом
степени п — 1 относительно х„, причем коэффициент при -к"" равен опре-
делителю Вандермонда Dn_l из неизвестных хи х2 xn_i, так как про-
изведение скобок в правой части последнего равенства содержит х^~г
с коэффициентом 1, то многочлен q {хъ х2, ..., хп) не содержит х„, и, сра-
внивая коэффициенты при x^~l в обеих частях равенства, получим Dn_, =
= q(xlt x2 хп_у\ otKyA&Dn=Dn_i(xn — xl)(xn — x2)...(xn — xn_l)
Применяя это равенство с заменой п на п — 1, имеем:
Dn-\ = ?>„_2 (*n-i — xi) ... (*«_, — х„_2).
Это выражение для ?>„_[ подставим в предыдущее выражение для Dn.
Повторяя это рассуждение, мы выделим, наконец, множитель х2 — хи после
чего придем к определителю Вандермонда первого порядка Dt = 1.
Таким образом,
П /
3. Метод рекуррентных (рекурсивных, или возврат-
ных) соотношений. Этот метод заключается в том, что данный опре-
делитель выражают, преобразуя н разлагая его по строке или столбцу, через
определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство
называется рекуррентным соотношением.
Затем вычисляют непосредственно по общему виду определителя столько
определителей низших порядков, сколько их было в правой части рекур-
рентного соотношения. Определители более высокого порядка вычисляются
последовательно из рекуррентного соотношения. Если надо получить выра-
жение для определителя любого порядка п, то, вычислив из рекуррентного
соотношения несколько определителей низших порядков, стараются заметить
общий вид искомого выражения, а затем доказывают справедливость этого
выражения при любом п с помощью рекуррентного соотношения и метода
индукции по п.
Общее выражение можно получить и другим путем. Для этого в рекур-
рентное соотношение, выражающее определитель я-го порядка, подставляют
выражение определителя (я — 1)-гО порядка из того же рекуррентного соот-
§ S. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ п-ГО ПОРЯДКА 33
ношения с заменой п на п — 1, далее подставляют аналогичное выражение
определителя (п — 2)-го порядка и т. д., пока не выяснится вид искомого
общего выражения определителя я-го порядка. Можно также комбинировать
оба пути, используя второй путь для обнаружения искомого выражения и
доказывая затем справедливость этого выражения индукцией по п. Метод
рекуррентных соотношений является наиболее сильным среди разбираемых
здесь методов н применим к более сложным определителям.
Прежде чем перейти к примерам вычисления определителей методом
рекуррентных соотношений, разберем один его частный случай, где рекур-
рентное соотношение дает алгоритм для решения задачи, исключающий эле-
мент догадки, имеющийся в общем случае. Пусть рекуррентное соотношение
имеет вид
n_2, n>2, A)
где р, q— постоянные, т. е. не зависящие от п величины1).
При q = О Dn вычисляется как член геометрической прогрессии: Dn =
= pn~lD1; здесь ?>, — определитель 1-го порядка данного вида, т. е. эле-
мент определителя Dn, стоящий в левом верхнем углу.
Пусть qфO и а, р— корни квадратного уравнения х2—рх — q = Q.
Тогда /? = a -J- p, q = —ар и равенство A) можно переписать так:
?>«-Р?>„_, = а (?>„_,-р/?„_2) B)
или
Dn — aDn_ j = р (?>„_, — а?>„_2). C)
Предположим сначала, что а Ф р.
По формуле для (я — 1)-го члена геометрической прогрессии из ра-
венств B) и C) находим:
?>n-PDn_1 = a"-2(D2-pD1) и Dn-aDn.l = ^-2(D2-aDl),
а"~ l (D2 — PD,) — Р"~ х (D2 — aDi)
откуда Dn = *—- !—~ ? i— ~ или
a —p
?>„_С,а +С2р, где С, - а(а_р) . С2 = р(а_р) • D)
Последнее выражение для Dn легко запоминается. Оно выводилось для
п > 2, но непосредственно проверяется для п = 1 и п = 2. Значение Ct н С2
можно находить не из приведенных выражений D), а из начальных условий
D, = C1a+C12p> D2 = C,a2-f C2p2.
Пусть теперь a = р. Равенства B) и C) обращаются в одно и то же
Dn — aDn_i = a (?>„_, —aDn_2),
откуда
Dn-aDn_l=Aan-\ E)
где
A = D2 — aDi.
Заменяя здесь п на п — 1, получим: Dn_t—aZ)n_2 = Аа"~3, откуда
3
1) Этот метод сообщен автору Л. Я. Окуневым. Он применим также
к рекуррентному соотношению Dn = PiDn_\-\-... -\-PkDn-k c постоянными
ръ..., pk и любым к, но ввиду громоздкости рассуждений мы остановимся
лишь на Л = 2.
34
ОТДЕЛ Т. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Вставляя это выражение в равенство E), найдем: Dn = a2Dn_2 -f- ЧАа"-*.
Повторяя тот же прием несколько раз, получим: Dn = an~1Di + (n — 1) Аап~2
или Dn — а" [(л — 1) С, -J- С2], где Cj = —г, Cs = —5-Cдесь а Ф 0, так как
ример 5. Вычислить методом рекуррентных соотношений опреде-
литель примера 2.
Представив элемент в правом нижнем углу в виде ап = х + (ап — х),
мы можем определитель Dn разбить на сумму двух определителей:
X
X
X
X ...
a2 ...
x ...
X ...
X
X
an-1
X
X
X
X
X
«1
X
X
X
X ...
a2 ...
X ...
X ...
X
X
an-i
X
0
0
0
а„ —j
В первом определителе последний столбец вычтем из остальных, а вто-
рой определитель разложим по последнему столбцу:
Dn = x(at— x)(a2 — х) ... (an_i — x) + (an — x)Dn_l.
Это и есть рекуррентное соотношение. Вставляя в него аналогичное
выражение для Dn_i, найдем:
n = jc(a,— x)(a2 — х) ...
-Jtx(a1—x)(a2 — x) ...
а„_,— х) +
я„_2 — х){ап —
n_l— х) {ап — х)
Повторяя то же рассуждение п—1 раз и замечая, что Di =
— х), получим:
Dn = х (а, — х) (а2 — х).. .(а„_, — х) + х (а, —х).. .(а„_2—х) (ап—х) + ...
— х) ... (а„ —ж) + (а, —ж)(а2 —ж) ... (а„—jc) =
— ж) ... (а„ —ж)(—-f
i—л
ап — х
что совпадает с результатом примера 2.
Пример 6. Вычислить определитель порядка п:
5 3 0 0 ... О О
2 5 3 0 ... О О
О 2 5 3 ... О О
О 0 0 0 ... 2 5
Разлагая по первой строке, найдем рекуррентное соотношение
Уравнение х2 — 5л: -}- 6 = 0 имеет корни а = 2, Р = 3.
По формуле D) О„ = С1ал4-С2ря=Зп+1 — 2и+\
4. Метод представления определителя в виде суммы
определителей. Некоторые определители легко вычисляются путем
разложения их в сумму определителей того же порядка относительно строк
(или столбцов).
§ Б. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ я-ГО ПОРЯДКА
Пример 7. Вычислить определитель
а, 4-Ьг ... а, + Ь„
35
Этот определитель относительно первой строки разлагается на два опре-
делителя, каждый из них относительно второй строки снова разлагается
на два определителя и т. д. Дойдя до последней строки, получим 2" опре-
делителей.
Если при каждом разложении за первые слагаемые принимать числа аь
а за вторые числа bj, то строки полученных определителей будут либо вида
a/, ah ..., п[, либо вида Ьи Ь2, ..., Ьп- Две строки первого типа пропорцио-
нальны, а второго типа равны. При п > 2 в каждый получившийся опреде-
литель попадает, по крайней мере, две строки одного типа, и ои обратится
в нуль. Итак, Dn = О при п > 2.
Далее,
D1=al+bu D2 =
а, а,
bi b2
а2 а2
5. Метод изменения элементов определителя. Этот метод
применяется в тех случаях, когда путем изменения всех элементов опреде-
лителя на одно и то же число он приводится к такому виду, в котором легко
сосчитать алгебраические дополнения всех элементов. Метод основан на сле-
дующем свойстве: если ко всем элементам определителя D прибавить одно
и то же число х, то определитель увеличится на произведение числа х иа
сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D. В самом
деле, пусть
D--
D'
а„, +
Разложим D' на два определителя относительно первой строки, каждый
из них на два определителя отиосительно второй строки и т. д.
Слагаемые, содержащие более одной строки элементов,, равных х, равны
нулю.
Слагаемые, содержащие одну .строку элементов, равных х, разложим
по этой строке. Тогда получим: D'=*D-{-x
чт0 и требовалось.
.j
Таким образом, вычисление определителя D' сводится к вычислению
определителя D и суммы его алгебраических дополнений.
Пример 8. Вычислим определитель Dn примера 2.
Вычитая из всех его элементов число х, получим определитель
D-.
а,— х 0 ... О
О а2— х ... О
О 0 ...а„ —
36 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ B79—284
Алгебраические дополнения элементов D, не лежащих на главной диа-
гонали, равны нулю, а каждого элемента на главной диагонали — произве-
дению остальных элементов главной диагонали. Поэтому
= (al—x) ... (а„
г_,—х) (а!+1—
— x
¦
an — x
Вычислить следующие определители приведением к треугольному
виду !):
279.
280.
281.
282.
283.
1
—1
—1
]
1
2
3
n
xx
Xl
Xl
Xl
я„-
3
2
2
2
3
4
n
с
2
0
' N0
—2
3
4
5
n
12
x2
x2
x2
1
«1
a2
2
3
2
2
ho
2
3
1
3
3
0
—3
... n
... n
. • .
a13 ..
#23 • •
Хз ¦•
Хз ..
.. a2
Isi
...2
... 2
... 3
. . ¦
...
2
— 1
n
n
. aln
• «2Л
- <*3«
• xn
1
ax
-ь2
n
n
n
0
•
n —
n
n
n
•
1
1
й2
<
284.
¦
n
n
n
n
•
1
bx ax
a2
a0 с
•
4 a2 ... a
~x x 0 ... 0
0 —x
0
v 0
0 0 ... л
1) Всюду, где. по виду определителя нельзя узиать его порядок, пред-
полагается, что порядок равен п.
:285—294J § 5. вычисление определителей я -го порядка
37
285*.
с, а2 с3 . .. с„
-хл х2 0 ... О
U " X2 Xg • ¦ • U
О
О
О ... х„
286. Вычислить определитель порядка п, элементы которого за-
даны условиями atj = min (i, j).
287. Вычислить определитель порядка п, элементы которого за-
.даны условиями e{y = max(/. j).
288*. Вычислить определитель порядка и, элементы которого за-
даны условиями alj = \l — j\.
Вычислить следующие определители методом выделения линейных
.множителей:
289.
290.
291.
293.
294*.
1
1
1
1
1
1
1
1
с0
с0
со
с0
1
1,
2
2
1-
2
2
2
1
1
2 — л:
1
1
ах
X
с,
а\
1
2 —
3
3
+-*
1
1
1
а2
а2
X
а2
X2
1-
3
3
х-\-
3
1
1
3 —
1
2
2
1
1
1
— X
1
1
.
п
п
1 ... п
дг + 1
т
1
1
X ... 1
... rt-f- 1 —X
ап
ап
ап
X
292.
•
•
— х а
ft с
с b
3
3
5
g д-2
*
1 1
1 1
1+г 1
[
1 —
г
т
Ъ
с
— X
а
с
b
а
— X
38
ОТДЕЛ
I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Вычислить следующие определители методом
ношений:
295*.
296*.
297.
0
1
1
1
299.
301.
2
1
0
0
7
2
0
0
803.
1
3
0
0
0
3
аф\
аф2
афъ
афп
— Л
0
0
1
ах
0
0
1
2
1
0
5
7
2
ч a
0
2
4
2
0
0
0
аф2
аф2
афг
афп
ai
*1
0
1 ..
0 ..
а2 ..
0 ..
0 ...
1 ...
2 ...
0 ...
0 ...
5 ...
7 ...
.
0 ...
0 0
3 0
5 3
2 5
0 0
0 0
афг
афг
афг
афп
а2
0
х2
0
. 1
. 0
. 0
• ап
0
0
0
2
0
0
0
7
•
0 ..
0 ..
0 ..
3 ..
0 ..
0
• •
. . .
...
•
аг1
Ьп
афп
аг
К
anbn
ап
0
0
Хп
298
300.
302.
. 0
. 0
. 0
. 0
. 5
. 2
0
0
0
0
3
5
•
•
1
1
1
1
1
3 2
1 3
0 1
0 0
5 6
4 5
0 1
0 0
0 0
0 0
•
0
ах
1
0
0
0
2
3
0
0
2
3
1
0
0
0
0
о2
4
1
0
. . .
...
0
0
2
3
0
0
1295—303
рекуррентньи
0
0
0
й.
0
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
•
...
...
•
... 0
... 0
... 0
... 0
... 3
... 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
3
k COOT-
1
0
0
0
ап
304—Э09] § 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ n-ГО ПОРЯДКА
304.
a-f-P ap
1
0
0 0 ... 0
a-|-p ap 0 ... 0
1 a-(-p ap ... 0
о
о
о
0
Вычислить определители методом представления их в виде суммы
определителей:
805*.
ai
a
306*.
l
xx a2
ax x2
a2
-j- t
a2
a
•2
а„
ах
a2 ... х„
307*.
0
д:,
x2
xz
Xn
1
Й1
x2
x3
X.
1
0
a2
д:я
1 ...
0 ...
0 ...
a3 ...
xn ...
1
0
0
0
X
1
0
0
0
a.
308.
afin
аФ\
Х2
Л onb2 апЬъ ...
Вычислить определители *):
309.
1 2 3 ... п—\
1 3 3 ... п— 1
12 5... п— 1
п
п
п
1 2 3 ... 2я — 3 п
1 2 3 ... и—1 2п—1
') Всюду, где неясно, чему равен порядок определителя, он предпола-
гается равным п.
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1
1
1
1
2
2
2
2
и
JC
0
0
0
У
1
п
1
1
1
1
1
0
а
п
У
X
0
0
0
ах
ах
ai
2
2
2 .
-1 .
2 .
0
У
X
0
0
— п
1
1
1
1
1
1
п
1
п
1
1
2
3
1
1-
1
1
— п
1
1 .
1 .
п .
1 .
0
2
3
•
0
0
У
0
0
1
1
1
•
*
,
0
0
2
а
2
а2
. 2
. 2
. 3
. 2
. 2
. > .
• • .
• • •
• • •
п
1
..
• • -
..
. 1
. 1
. 1
. п
1
. . .
...
2
2
¦ ю
ISO ¦
ISO
0
0
О
X
0
1
1
—
1
1
-и
1
1
0
О
0
# .
1
2
2
N0 '
2
0
0
0
У
X
п
•
•
•
...
...
¦ • •
— п
1
1
1
а
«я
ап
+ К
•
312.
1
1
1
1 — п
•
316.
•
318.
1
п
п
п
0
1
1
1
а
b
b
b
п
2
п
п
1
0
1
1
b
а
b
Ь
п
п
3
п
1
1
0
1
...
...
. • ¦
...
...
...
...
...
• • •
...
b
b
а
b
п
п
п
п
1
1
1
0
Ъ
Ъ
b
а
О О О О ... 3
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ я-ГО ПОРЯДКА
1 Ьх 0 0 ... О О
— 1 1— Ьл
О
— 1 1 — Ьо
о
b.
О
О
О
о
• —1 1—
а, а2
х а2
а9 х
й. а,
а, а,
«о -1
at х
. х 1
• о» 1
О 0 ..
-1 0 ..
х —1 ..
О
О
О
О
о
О
О
1
1
О
2 3..
х 0 ..
1 Д.
О ...
о ...
п— 1 и
О О
О О
О О О ... х
О О О ... —1
и —1 О
и—1 х —1
п — 2 О л:
О
О
О
.. о
. о
—1 ... О
2
1
1
а
X
1
О О
О О
х2 л3
X X2
1 X
ш
О ... л:
О ... О
.. хп
.. хп~2
.. 1
1
1
1
1
1
c0
О
1
1
1
1
1
1
1
1
a"
a
1
Cn
c1
cU
cl
c\
c,
1 1 ..
Од;..
x 0 ..
X X . .
X X . .
1
2
3
я+I
(c-
a-
ОТДЕЛ
cl ..
Cl-i ..
ci_, ..
c22 ..
0 ..
C2 ..
. 1 1
. X X
. л; x
. О лг
. x О
1
22
32
(n+1J
1)" •
-1
1
I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
С"
. cnnz\
. 0
. 0
. 0
• ««-1
•
...
...
a
C"n
0
0
0
0
1
2»
3"
+ 1)"
-nf
— и
1
•
*!+*!
1 ' X2~
(дсЧ-ва)я
- V1
л,.
и-2
и-1
п-2
332—338] § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ я-ГО ПОРЯДКА
1 COS фх COS2
332.
333.
334.
хде щ (х) = хк -f-
335.
1 sin ф! sin2 фх ... sin"" ф,
1 sin ф2 sin2 ф2 ... sin" ф2
COS" ф,
1 COS ф2 COS2 ф2 . . . COS" ф2
(х2) ф2(д;2) ... Фл_1
' + ак2Х*~2+ ... + «**•
1 1 ... 1
/l(C0Sft) /^СОБфг) ... /,(СО8ф„)
/2(СО8ф2) ... /2(СО8ф„)
/n_l(COSq>,) /„.ДсОБфз) ... /„_1(СО8ф„)
тде Д (л) = йдодг* -(- «й^* + Д*2**~2 + • • • + «ftft.
336. 1 Cl С' ... С"
1 С1 С2 Сп~1
1 Г1 Г2 Г"
337.
538.
B«—1)" Bи —2)" ... и" Bя)"
Bn—1)" Bя —
... п
"
Bп)
я-1
2п —
1
^i
д;2
1
л2 —
дг2
v-2
2
1
я —
1
...
2
¦"•я
1
И
1
*
2я
1
гп~\
X
я-1
44
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1339-347
339.
340.
341.
1
1
1 2
ai
а
2
23
2и-1
С
С
3
З3
З2"
ii b\
12 Ь2
... re
... га3
2и-1
... re
и-2.2
#1 Oi
,n-2.2
Й2 02
ft"
• n
.. 02
n—1.
n—2.2
0
sin
"
. . • 0n+i
sin" щ cos ax ... cos" aj
sin" a2 sin" a2 cos ct2
sinn~xan sinn~2an cosan
cos" a2
342.
yJn-x{xi>
у,) yf
где //(а:, у) — однородный многочлен от л;, у степени
343*.
344*.
а, х,
а., х.,
д:
п-1
346.
а
1
1
1
1
1
1
xi
Х2
Хп
X,
Х1
Хп
X1
Х\ ..
х\ ..
• • К'1
¦ ХТ2 -
К1
v-л—2 -yti
• Л2 л2
Хп~2
v-S — 1
• Х1
•
cs+1
v-S —I y-S + 1
• А2 А2
• к-1 к+1
345.
v-П
. . . Xj
... X"
347*.
<2-\Х2 — 1)
348—357J § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ n-ГО ПОРЯДКА
45
348*.
349*.
360*.
352.
364.
366.
356.
367.
Х1 ... \+Хп
1-\-х2
1 cos фх cos 2ф, ... cos (re — 1) ф!
1 cos ф2 cos 2ф2 ... cos (и—1)ф2
1 cos ф„ cos 2ф„ ... cos (п — 1) ф„
sin ф, sin 2ф, ... sin пц>х
sin ф2 sin 2ф2 ... sin иф2
sin ф„ sin 2ф„ ... sin
361*.
a b с d e f g
b a d с f e h
d a b g h e
с b a h g f
f g h a b с
с
d
e
f e
g h
ft g
e f
h g f e d
a2 —
bade
с d a b
b a
353*.
abed
bade
с d a b
d с b a
an
x al a2
ax x a2
ax a»
«2 aZ
an —
an — b2
-\-xnyn
/i
Л (вц> •
/2(«2) •
• /i («„)
где ft(x) — многочлен сте-
пени не выше
re —2.
... \-\-ап+Ьп
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1358—364
хпУп
«1 — Ь2
а2 —
а2 —
— bn-\-x
«A «A
a 0 ... 0 b
0 a ... b 0
0 ft ... a 0
ft 0 ... О а
, 0 ...
c2 ...
(порядок определителя равен 2п).
О
Oft д О
ft2rt 0 ... О а2л
— Л- о о ... о о
1 -I ^ 0 ... О О
о 1 А ^...о о
о
0 0 0
1 1 0 0 ... О О
1 1 1 0 ... О О
О 1 1 1 ... О О
О 0 0 0 ... 1 1
865—371J § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ л-ГО ПОРЯДКА 47
365*. Рядом Фибоначчи1) называется числовой ряд, который на-
чинается числами 1, 2 и в котором каждое следующее число равно
сумме двух предыдущих, т. е. ряд 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Доказать, что и-й член ряда Фибоначчи равен определителю
и-го порядка:
1 1 0 0 ... 0 0
—1 1 1 0 ... 0 0
0 —1 1 1 ... 0 0
0
0 0 0 ... —1 1
Вычислить определители:
366. 9 5 0 0 ... О О
4 9 5 0 ... О О
О 4 9 5 ... О О
О 0 0 0 ... 4 9
368. О 1 0 0 ...
—1 0 1 0 ...
О —1 0 1 ...
О 0 0 0 ... —1 О
369*. а 1 0 0 ... О О
1 а 1 0 ... О О
О 1 а 1 ... О О
О О О О ... 1 а
370. а 1 О О ... 0 0
-1 а 1 0 ... 0 0
О —1 а 1 ... 0 0
О О О О ... —1 а
371*. Доказать равенство:
cos а 1 О О ... О
1 2 cos а 1 0 ... О
О 1 2cosa 1 ... О
•
0
0
0
367
к
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0 ...
0 ...
1 ...
0 ...
0
0
0
1
0
0
0
0
о
о
о
о
о
о
О ... 1 2 cos a
= cos ла.
') Fibonacci — итальянский математик XIII века.
48
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1372-377
Пользуясь этим результатом и результатом задачи 369, получить
выражение cos/га через cos а.
372. Доказать равенство:
0 0 .
1 0 .
2 cos a 1 .
sin па
sin а
2 cos а
1
0
1
2 cos а
1
0
0
0
0
0
0
о
о
о
о
1 2 cos а
где определитель имеет порядок п — 1. Пользуясь этим равенством
и результатом задачи 369, представить sin/га в виде произведения
sin а на многочлен от cos а.
373*. Доказать равенство, не вычисляя самих определителей:
h b\
1 «2
С2
0
0 0 ...
Ь2 0 ...
а3 Ь3 ..
0 0 ...
с
0
0
0
и-
0
0
0
п
Вычислить определители:
374.
375.
376*.
1+д:2
х 1
0
0
1 2 3
2 3 4.
3 4 5
п 1 2 .
а
а+(п— 1)
а-Н.п-2)
а + х
X
+
X
0
..
X
X 1
X2
п
п
а
н-
а
0
X
1+д:2
0
— 1
п
1
— 2 п
+ х
а
+2х
ai
1
0
0
0 ..
0 ..
х ..
0 ..
п
1
2
— 1
•
а~\~х.
а
а
-1-3
X.
а2
1
0
.
•
1
0
0
0
X
0 0
?2с2 0
а3 Ь3с
0 0
0
0
0
1+ X2
а-\-{п—2) х
К«-3)А
К«-4)а
-{п—1)х
... 0 0
... 0 0
з ... 0 0
... 1 ап
¦
¦ а+(и— 1)х
¦ а-\-{п—2)х
¦ а-{-{п—Ъ)х
а
377.
1 X X2
хп-2 хп-\ 1
X X2 X3
,. xn~s х"~2
vn— 4 vti—Z
378—381] § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ п-ГО ПОРЯДКА 49
378. Не вычисляя определителей, установить, как связаны между
собой два циркулянта:
«i a2 «з
а„
a, a0
а,
an-\ un
a2 a3 a4
2п-ч а„_2
ai a2 «з ••• an~i «л
a2 a3 a4 ... an ax
a3 a4 a5 ... a^ a2
an Cj Й2 ... an_2 an_
построенные из одних и тех же чисел аи а2 ап применением
круговых перестановок в двух противоположных направлениях.
Вычислить определители:
379*.
1
1
1
1
(?)
\2)
ln-l)
1
(?)
(I)
(«il,
i
... (i)
(n+l\
)¦¦¦ ("=?)
380*.
381*.
(?) (-V) ("Л ••
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ••
ГГ) (B+;+1) ••
гп + п —1
я
11 0 0 ... 0
. (?) (?) о ... о
¦ (?) (!) (!) ¦•• »
("I")
m + n+l\
2 /
+2п —1\
п )
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[382—386
• (") С.) - С)
¦ ("Л ("Л - ("Г)
("Л
("Л
I я ; \ п ) ¦•• i к )
(р+«+1) (р+пп+2) ••• (Р+2И+1)
(р + 2п\ (р + 2п+1\
I п ) \ п j •'
1 (f) (S) - С)
р + 3п\
)
(
••• С^1)
\ 1 j I 2 J ••' 1 -л ]
Ы
(т + п\
\ + )
E)
(S)
A)
о
о
о
о
о
1 ("») (!) С)
1 («+1) (я+м fn+M
з ; v 4
¦ С)
¦ ("Л
387—390] § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ л-ГО ПОРЯДКА
51
387*.
2 3 4
3 6 10
4 10 20
2!
п(п+
388*.
|. n(n+l)(n + 2)
2! 3!
3!
...Bп-2)
(л-1I
0
С)
0
0
о
о
(I) °
(?) (!) (а)
о
о
о
о
1
X
И
389*.
1 0
1 1!
1 2
1 3
1 4
О
О
2!
3-2
4-3
О
О
О
31
4-3.2
4!
0
0
0
0
... 1
... х
... х
... X
... X*
1 ге и(ге— 1) ге(ге
390*.
— 2) л(ге—1)(и —2)(ге —3) .
Э ... О х0
О 0 0 ... О
|) 0 0 ... О
?) (!) ° - °
О- °
1 (") (S) С) - (.-.
. jc"
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
391*.
О л: л:
у 0 л;
у у О
У У У
392.
а х х
у а х
У У а
У
У
2
О
х
X
У
сф
а+Р
X
X
X
394.
У У У
0 1
1 а
1 У
1 У
1
1 X
а2
У
1
X
X
а3
... 1
... X
... X
... X
0
0
1 а-|-р ар
1 у
О
О
О
О
О
О
О
О
а + 1
1
О
О
О
а
О
О
О
О
а + р ар
О О
а+1 а О
1 а-т-1 а
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
1 а-\-1
п\а0 (п—1)!а!
— и х
О — (п— 1)
(п — 2)!й2 ••• ап
0 ... О
х ... О
О
О
О
cosec а 1 0 0 ...
1 2 cosec а 1 0 ...
О 12 cosec а 1 ...
О
О
О
О
О
О
О ... 2 cosec а
399—406] § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ n-ГО ПОРЯДКА
399*.
X 1
n— 1 x
0 w —2
О
2
x
О ... О О
О ... О О
3 ... О О
о
о
О и —3 х ... О О
400.
401.
— х
О ... 1
— х
— х
ар+п{п-1)— х
1 — х а а2
а а2 — х а3 ...
а2 а3 а4—х ...
— х
с"
а"
ап
402.
. а2" —х
403.
404*.
во 1 1 1 ... I
1 с, 0 0 ... О
1 0 а2 0 ... О
1 0 0 0 ... а„
1 —Ъ —Ъ
1 /ш — 2Ь — ЪЬ ... — (и — 1) b
1 (и—1)а а — 3? ...—(«— 1)?
с0
а
а
а
— Ъ
Ь
с\
0
0
ъ
0
с2
0
b
0
0
0
... b
... 0
... 0
... с
1 2а
406*. (X! —аЛ2
а
а
а
406.
(х, - а,
а2а1
(х2—а2
а3а2
а3а
3ап
anat
апа3
54
407*.
1—
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
0 ... О
0 ... О
b2 0
1—/>2 *3
— 1 1 —
408.
а2
О
409*.
О
a3 . . . ал
a3 ... а„
О ... ая
О
1 2 3 4
1 1 2 3
1 х 1 2
1 XXX
. п
. я—1
. я —2
1
О ... 1
410*.
1
X
X
2
1
л:
3
2
1
... Л
... Л
я
—
—
1
2
л: л:
411*.
412.
413.
аохп
вол;2
о,дг
я-1
Я-2
х
л;
х
о.д;
х-\-\ х х
х х-\-2 х
х х х -f-З
О
О
х х
X X
х + 2 х
х х 4-4
х
х
х
X -f И
л:
д;
О
О
*л-1 О
414—419| » Б. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ я-ГО ПОРЯДКА 55»
414.
416.
1
X
X
X
X
*+-}¦
X
X
416*. (в1
417*.
1
1
i — Й1 Х\ — а2
1 1
1 «1 Х„ — U2
418*.
419*.
1 т
1 1
-L 1 2
2 3 4
1 I 1
4 Т
1
п
1
1
flo-f-°i °i
О
I
7Г
1
" п+1
1
'" п + 2
1
•'2я— I
О
«2
О
О
О
О
О
О
О
О
О ... о„_,
56
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[420-427
420*. Получить закон составления развернутого выражения для
континуанты и-го порядка'):
1 0 0 ... 0 0
1 0 ... 0 О
@,02
—1 а2
О —1 о3 1 ... О О
О О
О 0 ... —1 о„
"я
т. е. выражения в виде многочлена от av o2, .... о„. Написать
в развернутом виде континуанты 4-го, 5-го и 6-го порядка.
§ 6. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа
421. Сколько миноров Л-го порядка содержит определитель по-
рядка п?
422. Доказать, что при определении знака алгебраического до-
полнения можно пользоваться суммой номеров строк и столбцов не
данного минора, а дополнительного к нему. Иными словами, если
М — данный минор, М' — дополнительный минор, А — алгебраиче-
ское дополнение минора М, А' — алгебраическое дополнение ми-
нора М', то из А — ъМ', где е = ± 1, следует А' — гМ.
423. Показать, что разложение Лапласа определителя порядка п
по любым k строкам (столбцам) совпадает с его разложением по
остальным п — k строкам (столбцам).
424*. Показать, что правило знаков, связывающее алгебраиче-
ское дополнение А с дополнительным минором М' минора М. можно
формулировать так: пусть сц, щ, .... ak—номера строк, р,, р2. ....
Эй — номера столбцов минора М в определителе D порядка п. записанные
в порядке возрастания, а
соответственно номера строк и столбцов дополнительного минора М',
также записанные в порядке возрастания; тогда А = М', если под-
становка
\Pi- fe Рл /
четна, и А — — М', если эта подстановка
нечетна.
Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:
425.
1
О
3
О
2
О
4
О
426.
1
2
3
4
1
0
0
4
3
0
0
7
4
8
2
5
427.
0
8
7
0
5
3
2
4
2
5
4
1
0
4
1
0
') Название «континуанта» объясняется связью с непрерывными дробями,
которая устанавливается в задаче 53Э.
428-438|
428.
§ 6. МИНОРЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
5 2 13 2
4 0 7 0 0
2
2
3
7
1
3
3
3
0
2
0
0
7
6
4
1
2
4
5
4
0
3
0
0
3
5
0
4
3
7
429.
431.
6 3 2 4 5
5 12 2 3
12 0 0 0 0
3 4 0 0 0 0
7 6 5 4 0 0
2 3 4 5 0 0
5 12 6 7 3
2 7 5 3 4 1
7 6 5 4 3 2
9 7 8 9 4 3
7 4 9 7 0 0
5 3 6 10 0
0 0 5 6 0 0
0 0 6 8 0 0
1
5
1
8
1
9
1
*i
Уг
z.
0
1
0
1
0
1
1
*2
У2
*2
2
4
4
5
8
5
0
2
0
3
0
4
0
cos о
cosp
cosy
3 0
7 3
9 0
7 6
27 0
3 10
0
sin a
sinp
sinY
2
3
3
1
4
1
0
2
1
0
33.
Б.
1
4
4
5
6
2
6
4
3
5
1
6
9
3
3
5
2
9
4
3r
1
3
4
0
5
2
0
3
0
1
5
0
2
5
8
2
4
6
—
3
5
2
4
7
4
4
3
2
3
3
7
6
4
0
0
3
4
5
8
1
7
5
0
1
3
0
5
1
5
4
2
4
8
7
5
0
0
0
0
1
3
0
0
5
4
0
0
0
0
0
0
—1
7
0
0
3
2
0
0
0
0
1
3
2
6
0
0
•
— 1
7
4
9
0
0
438.
0
0
a
•ft
с
0
0
a'
b'
c'
a
a'
*i
Уз
Уз
Ь
b'
Уг
*2
У\
с
с'
Уч
Ух
хъ
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
0
1
1
1
а
X
0
0
b
0
У
0
с
0
0
z
440.
•
0
a'
b'
с'
a
1
0
0
b
0
1
0
с
0
0
1
441.
•
[439—446
xxx
a О О
0*0
0 0c
1 1
1 2
0
0
0
0
о
1
3
1
x2
x2
X2
«12
«22
0
О
О
1
*8
О
О
1
3
«23
«33
«1, 2п-2
«2, 2п-2
«3, 2л-2
«I, 2л-1
«2, 2л-1
О
1. 2л
О
О
0
0
«2Я, 1
«11
1
«21
Xl
«31
x\
0
«2Л-1, 2
«2n, 2
1
0
Xl
0
2
0
«2л-2,3 • '
«2л-1
«2n,
«12
1
«22
x2
«32
x\
,3 • •
з • •
1
0
X2
0
X2
X2
0
• «2я-2, 2л-2
• «2n-l, 2я-2
¦ «2я, 2Я-2
... aln
1
... a2n
... xn
•¦¦ «Зя
... xl
«2л-
1
0
xn
0
xl
0
0
,2л-1
2Я-1
0
0
«2Я, 2Л
*nl
я-1
0
х:
я-1
X:
я-1
О
яя
я-1
О
Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить следующие определители
щредварительно преобразовав их:
446*. 2—1 3 4—5 446. 5—5—3 4 2
—44363
3—1 5—9 —5
—77684
5—3 2—1 —2
2
4
—6
3
2
—1
—2
4
2
6
3
7
—9 -
4
5
4
8
—2
1
4
—5
—7
3
—2
—3
447-4531
447.
449.
461 »
§ 6. МИНОРЫ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
2 1 2
3—2 7
3 —1 —5
5—6 4
2—3 3
3 2
5 —1
—3 —2
2 —4
1 —2
5 9—2—4 5
2 —3
—5 —7
4 —5
6 —5
.
462 >).
453.
14-х
X
X
X
X 1
14-2х
«11 «12
«21 «22
«я, 0
tn Ь,2
*„, 0
1 1
1 1
х 1
ах — х о,
«2 «2—J
«я «„
4 —3 3
2 4—2
8—6 8
3—3 7
X
[4-х ...
X
X
-+2х ...
X
••¦ «1, я-1
••• й2,я-1
... 0
¦ ¦ • С1. я-1
• • ¦ С2, я-1
... 0
... 1 X
... X 1
... 1 1
... О, О,
С. . . О2 «2
• ¦ «п «я-
448.
460.
X
X
14-*
1 4-2х
X
X
«1я 0
0 0
0 Ь,
с 0
0 0
0 b
' «1
«.-1
«1-1
-«1
— «2
¦х х—а„
ДОПОЛНЕНИЯ
2
3
—2
6
2
3
—5
4
—1
—3
X
X
14-х
14-х
X
X
0
0
«1 Ьп2
0
0
.Г *л2
«2~1
«2
«2-1
— «1
— «2
-«я
—3
2
3
4
—1
4
6
—9
—4
7
• • .
...
...
• • •
...
... а
... а
...
• ¦•
¦ ••
5
5
—4
7
7
—3
5
—3
1
5
X
1 4
X
X
1 4
X
0
*2.«
*я,я
0
5
—2 1
—4 —3
2 —3
— 8 —1
1 5
— 1 2
2 3
7 —5
1 —2
2 3
1 j-x
X X
X
X
X X
1 -1-х
-1 *2Л
-1 Ьпп
Ь2. я-1 *2«
я-1 —
й-1~
-1 *лл
¦1 вв-1
-1 «„-!
-1 йл
— О, X — О,
X—
«2 —«2
—«я "«я
*) Порядок определителя равен 2л.
60
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
|454-458
454. В определителе D четного порядка п = 2k выделим четыре
минора Mv М2, М3, М4 порядка k, как показано на схеме:
Mi М2
fl,l ...
ak+i, l •••
anl
alk
ak+i, к
ank
аи
ak.
ak+i,
an.
ft+i
ft+i
ft+i
ft+i
... aln
• •¦ ak,n
••• ab+i,n
... ann
M3 Mt
Выразить определитель D через миноры Mv M2, M3, М4 в сле-
дующих двух случаях:
а) если все элементы М2 или Ж3 равны нулю;
б) если все элементы Ж, или Ж4 равны нулю.
455. Пусть в определителе D порядка n = kl выделены / мино-
ров порядка k, расположенные вдоль второй диагонали, т. е. Мг
лежит в первых к строках и последних k столбцах. М2 в следую-
щих k строках и предыдущих k столбцах и т. д., наконец, М{ —
в последних k строках и первых k столбцах.
Выразить D через Mv М2< ¦ • • • Щ> если все элементы D, лежа-
щие по одну сторону от указанной цепочки миноров, равны нулю.
456. Пусть в определителе D порядка п выделены к строк и /
¦столбцов, причем / <; k и все элементы выделенных / столбцов,
не лежащие в выделенных k строках, равны нулю. Показать, что
в разложении Лапласа определителя D по выделенным k строкам
нужно брать только те миноры порядка k, которые содержат вы-
деленные / столбцов; утверждение, полученное переменой роли строк
я столбцов, также верно.
457. Пользуясь теоремой Лапласа, решить задачу 206.
458. Доказать, что
«и
0
«21
0
««1
0
0
*11
0
*21
0
Кг
«12
0
«22
0
««2
0
0
*12
0
*22
0
К*
... а1п
... 0
• • • «2я
... 0
••• «яп
... 0
0
Ьгп
0
Кп
0
bni
«11 «12
«Я1 «п2
ln
... ьп
459—4621 § 6. МИНОРЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
459*. Вычислить определитель порядка k-\-l:
3200 ... 0000
13 2 0 ... 0 0 0 0
0 13 2 ... 0 0 0 0
61
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
О
5
2
О
3
5
2
k строк.
строк.
460. Написать разложение континуанты (сравнить с задачей 420)
порядка а.
о, 1 0
—1 а2 1
0—1 а3
а2
О
-1
О
0
0
1
0
0
0
0
0
0
о о
I
а„
по первым k строкам. Какое свойство чисел Фибоначчи (задача 365)
получается отсюда при n — 2k?
461. Не раскрывая скобок, доказать, что равенство
{ab' — a'b) {cd' — c'd) — {ас' — а'с) {bd' — b'd) -f-
-f {ad' — a'd) {be' — b'c) = 0
справедливо при любых значениях а, Ь, с, d, a', V, с', d'.
462*. В матрице
(аи ... а1п ahn+1 ... oI>2n\
anl •¦¦ ann an. n+l ••• «л. 4n>
содержащей и строк и 2я столбцов, берем любой минор М порядка п,
содержащий, по крайней мере, половину столбцов левой половины
матрицы..
Пусть с — сумма номеров столбцов минора М и пусть М' — минор
порядка п, составленный из остальных столбцов матрицы. Доказать,
что 2(—1)ст ЛШ' = 0, где сумма берется по всем минорам М указан-
ного типа.
62 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
463*. Показать, что три определителя
1463—465
b2x2 а2хг b2x3
«1У3
*,г, axz2 bxz2
b2zx ci2z2 b2z2 a2z3 b2z3
x X2 X
c,
и Д =
У1 У2 Уз
связаны равенством О = 63Д21).
464*. Пусть
/ (л:) = а0 4 ахх 4- «г*2 4~
i == Ьо 4~ &1Х 4~ &2х2 4" ^з*3 4~ ^4-"-4'
i = с0 4- с, * 4- с2х2 4- сз*3 4- с4-^4
и
(х — а) (л: — р) (лт — у) = х3 + Р-^2 4" ?* 4~ г-
Показать, что:
/(Р)
Л (а) Л О) A(Y)
1 а а2
1 Э Р2
1
V2
465. Говорят, что определитель
а0 ах а2 а3 а4
*о b\ h h К
г q p 1 О
О г q p 1
получен окаймлением при помощи k строк и k столбцов из опредв'
лителя
ахх ... а1п
') Обобщение этого свойства дано в задаче 540.
§ 7. УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
63
466-467J
Показать, что при k > n D = 0, а при k-^n D является формой
(т. е. однородным многочленом) степени п — k относительно элемен-
тов atj определителя Д и формой степени 2k относительно окаймляю-
щих элементов xtj, ytj, коэффициентами которой служат алгебраи-
ческие дополнения миноров А-го порядка в определителе Д. А именно,
доказать, что D = (— ifLAi^ ... ,fti]y2... /ft*y2 ...//v2 - h' где
Aixi2... 'ftAV- 4 есть алгебРаическое дополнение минора опреде-
лителя Д, стоящего в строках с номерами tv i2, .... 1к и в столбцах
с номерами j\, j2 jk, a X^^ ... /ft и Уixs2... jk — миноры опре-
делителя D, составленные из окаймляющих элементов и лежащие
в строках (соответственно столбцах) с указанными номерами. При этом
сумма берется по всем комбинациям индексов, изменяющихся от еди-
ницы до п при условии, что ix < i2 < ... < lk, j\<j2< ¦¦< Л-
466*. Доказать следующее обобщение теоремы Лапласа: если строки
определителя я-го порядка D разбить на р систем без общих строк,
причем в первую систему входят строки с номерами aj < а2 < ... < aft.
во вторую — строки с номерами aft+i<cift+2< ••• < o-k+i и т. д.,
наконец, в последнюю—строки с номерами an_J+j < aB_J+2<... <а„,
если затем в матрице первой системы строк взять минор Ж, по-
рядка k, лежащий в столбцах с номерами 0, < р2 < • • • О*,
во второй матрице минор М2 порядка /, лежащий в столбцах с но-
мерами pft+, < р?+2 < ... < pft+j, отличными от номеров столбцов Мг,
и т. д., наконец, в последней матрице — минор Мр порядка s,
лежащий в оставшихся столбцах с номерами р„_4+,<ря_4+2< .. .<р„,
и если затем составим произведение eMvM2 • ¦. Мр, где е = -f-1,
если подстановка
С,, а, „
A)
С,, а, ... а„\
1 Рг • • • Ря/
четная, и е = — 1, если эта подстановка нечетная, то определитель D
равен сумме всевозможных произведений такого вида. То, что это
утверждение обобщает теорему Лапласа, следует из задачи 424.
§ 7. Умножение определителей
467. Перемножить определители
1
3
4
2
4
5
3
2
4
и
2
1
1
о
—4
—5
1
3
2
всеми четырьмя возможными способами (т. е. умножая строки или
столбцы первого определителя на строки или столбцы второго) и
64
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
{468-473
проверить, что во всех случаях значение полученного определителя
равно произведению значений данных определителей.
468. Вычислить определитель
а Ь
—Ь а
—с — d
—d с
путем возвышения его в квадрат.
469. Вычислить определитель
а
—Ь
~d
Ъ
а
—d
с
с
d
a
b
—е —/ —g
—/ е —Л
—g h e
~h —g f
d
—с
b
a
—h
g
t
e
d
—с
b
a
f
—e
h
~g
b
a
d
—d —c
с
d
a
—b
e
f
g
h
a
—b
g
—h
—e
f
с
—d
a
b
h
g
*
ft
d
с
—b
a
1 -г-
1-М2У2
путем возвышения его в квадрат.
Вычислить следующие определители, представляя их в виде про-
изведений определителей:
470*.
471.
472.
473.
1 + *пУ\ ! + хпУ2 • ¦ • 1 + х„уп
cos (а, — Pi) cos (щ — fo) • • • cos (°i — Pn)
cos (а2 — Pi) cos (а2 — P2) .. • cos (a2 — Р„)
cos(an — Pi) cos(an~p2) ... cos(an -pn)
1 cos (cii — a2) cos (ai — a3) ... cos (щ — а„)
cos (a! — a2) 1 cos (a2 — a3) ... cos (a2 — an)
cos (aj — a3) cos (a2 — a3) 1 ... cos (a3 — а„)
cos
— an) cos (a2 — an) cos(a3 — an) ...
sin(ai-|-a2) ... sin^-f-a,,)
sin(a2-|-ai) sin2a2 ... sin(a2-f-an)
1
sin (а„
sin (ая -f a2) .
sin 2а„
474—479)
474.
§ 7. УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1— лЭД 1 —<*2
\—anb2 '" \—а„Ь„
476. | (Со + Ь0)п (со + Ьх)п ... (с0 Ч- Ьп)п
476*.
,л-1
оя-1
А • I
.. (п+1)
"
я" (п+-1)" ...Bи— I)
"
477.
, где sft =
478*.
«2
... Sn X
Sa . . . S,
n+1
, где sb =
65
• - s2n-\
479*. Доказать, что значение циркулянта определяется равенством
Ci a2 a3 ... а„
ап Cj a2 ... а„_г
«я-1 ап а^ ... ап_2
1 и Ej, e2 е„ — все
где /(x) =
значения корня n-й^ степени из единицы.
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [480—485
480. Доказать, что при обозначениях предьщущей задачи
с
а2 с3 я4
с3 а4 а5
а2
а„ ах
= (-1) 2
481*. Вычислить определитель
1
л-1
я-2
а
1
а"-1
а-
а
1
чЛ-1
. а
л-2
. а
л-З
а а2 а3 ... 1
482. Пользуясь результатом задачи 479, вычислить определитель
а b ... Ъ
b a ... Ь
Ь Ь ... а
483. Пользуясь результатом задачи 479, вычислить определитель
abed
d a b с
с d a b
be da
Вычислить определители:
484.
486.
1
1
ci
1
па"-1
2а
С1
1
1
с2
2с
1
Зс2
С
С1
1 ..
г3
Зй2
2я
4с3
• С" 1
рП-2 f>n-\
.с„-3 сг2
. 1 1
•
na"-i
... (П— l)fl"-2
1
486—491] § ">¦ умножение определителей
486*. Доказать равенство
s — flj s — а2 ... s — а,
s — а„ s — а, .
¦а0
s —
s— с,
а2 а3
где s = flj-|-fl2-|- ... -\-а„.
Вычислить определители:
487*.
488*.
489*.
490*.
491.
(р столбцов)
—1 —1 —1
1 —1 —1
-1 -1 -1
(р столбцов)
а а а ...
b а а ...
b b a ...
а а а ...
я
cos —
я
(и—1)я
я
COS ~
я
cos 6 cos 20
cos re0 cos 0
cos 20 cos 30
i
« • * 1
... —1
1
(rt — p
abb
a a b
a a a
b b b
2я
cos —
ft
л
cos n
Зя
COS
n
cos 30 .
cos 20 .
cos 40 .
(я
1
—1
1
— Р
столбцов)
1 ... 1 1
1 ... 1 1
1 ... 1 —1
столбцов)
... b
... b
... b
... b
Зя
2я
я
я
cos п
cos^
b
b
b
a
•
—1
... cos -
... COS -
[я -1) я
п
и —2) я
я
n
cos —
л
COSM0
.. cos(re—1H
COS0
«я
sine sin(a-\-h) sin(c+2A)...sin[o+(n— 1)A]
sin [я+(я— 1) h] sin a sin (a + /?)¦ ¦ .sin [a-\-(n—2) A]
sin (c -f h) sin (fl+2/г) sin (а+З/г)... sin с
68
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1492-497
492*. I2 22 З2 ... я2
n2 I2 22 ... (n— IJ
(и— IJ n2 I2 ... (n —2J
22 32 42 ... I2
493*. Вычислить косой циркулянт (или косоциклический опреде-
литель)
ах а2 а3 ... ап
— ап ах а2 ... а„_х
—fln_i —а„ а, ... я„_2
*п-\
— а0 — а-, — а.
а.
494.
а2
«3
а2
«п-1
*п-2
, где г-
¦любое число.
a2z a3z a4z ... ах
495*. Доказать, что циркулянт порядка 2п с первой строкой из
элементов ах, а2, .... а2п_х, а2п равен произведению циркулянта по-
рядка п с первой строкой из элементов al-\-an+1, a2-\-an+2
а„ -J- а2п и косого циркулянта порядка п с первой строкой из эле-
ментов
flj йп + \, О>2~
496*. Перемножая
Х1 Х2
Х2 — Х1 —
Хз Х4 —
Xi —Х3
- «п+2. • • •
два
Хз
Xi
Xi
х2
определителя
х4
*3
— х2
— Х1
У\
у2
Уз
У4
а2п.
У2
— У1
У4
— Уз
Уз
—у4
— У1
У2
У4
Уз
—у2
— У1
доказать тождество Эйлера:
Какое свойство целых чисел отсюда вытекает?
497*. С помощью умножения определителей доказать тождество
(я3 4- Й34- с3—ЪаЬс) {а'3 + Ъ'ъ + с'3—Ъа'Ь'с') = Л3 4- В3+С3— ЗЛВС,
', С = ей' 4~ йс' 4" ее'.
где Л = й
Какое свойство целых чисел отсюда вытекает?
498—502] § 7. УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 69
498*. При обозначениях предыдущей задачи доказать тождество
<fl2 _|_ bi _|_ С2 __ аЬ _ ас _ Ьс) {а>* + Ъ'2 + с'2 — а'Ь' — а'с' — ft V) =
499*. Доказать следующее обобщение теоремы об умножении
определителей. Пусть даны две матрицы
"a «22 • • • e2B I „ p _ I Ъ
каждая из т строк и п столбцов.
Комбинируя строки одной матрицы со строками другой, полагая
и
?{j = 2 aikbjk> составим определитель т-то порядка
сп с12 ... с1пг
S At
l</,</2<... <Zra<n '
Далее обозначим через i4ji(i,,.i/ и Biit^4il соответственно
миноры /и-го порядка матриц А а В, составленные из столбцов этих
матриц с номерами iv i2 lm в том же порядке. Тогда
А.*. '. <!>
при т<^п (формула Бинэ — Коши), т. е. определитель D равен сумме
произведений всех миноров порядка т матрицы А на соответствующие
миноры матрицы В. При т > п
?> = 0. B)
500*. Доказать утверждение B) предыдущей задачи, пользуясь
теоремой об умножении определителей.
501*. Не производя умножения, доказать тождество Коши:
— (Mi + ct2d2 4- ... + andn) (Vi + V2 +¦•••+ V/i) =
2 (я > 1).
S02. He производя умножения, доказать тождество Лагранжа:
70 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [503—508
503*. Доказать, что для любых действительных чисел
ах, а2 ап и Ьъ Ь2 Ьп
справедливо неравенство
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
одна из данных систем чисел отличается от другой лишь числовым
множителем (быть может равным нулю). (Неравенство Коши — Буня-
ковского.)
504*. Доказать, что для любых комплексных чисел av а2, ..., ап
и Ьх, Ь2, .. •, Ьп имеет место равенство
.fc-l /\ft-i / \ft-i /U / __
2 — akbj) (ajbk — аф -).
505*. Доказать, что для любых двух систем комплексных чисел
с2 а„ и ftj, й2 ^я справедливо неравенство
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда числа
одной из данных систем отличаются от чисел другой лишь числовым
множителем.
506*. Взаимным (или присоединенным) определителем к опре-
делителю D порядка я>1 называется определитель D', полученный
из D заменой всех его элементов на их алгебраические дополнения
(с сохранением прежнего расположения).
Доказать, что
Dr = Dn~l. A)
507*. Пусть М — минор порядка т определителя D, А — алге-
браическое дополнение М, М' — минор взаимного определителя D\
соответствующий минору М (т. е. составленный из алгебраических
дополнений элементов определителя D, входящих в М). Доказать
равенство М' = Dm~1A.
Если условиться дополнительный минор ко всему определителю D
считать равным 1, то это равенство будет обобщением равенства
предыдущей задачи (при т = п).
608*. Пусть С—минор (и — 2)-го порядка, полученный из опре-
делителя D вычеркиванием i-й и у-й строк и &-го и 1-го столбцов,
причем i < j и k < /; Apg, как обычно, — алгебраическое дополнение
элемента аюа. Доказать, что
509-516]
§ 7. УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
71
509*. Показать, что если определитель D равен нулю, то все
строки (а также столбцы) взаимного определителя пропорциональны.
510*. Пусть а,ц — элемент определителя D порядка п и A'ij —
алгебраическое дополнение соответствующего элемента Аи определи-
теля ?>', взаимного с D. Показать, что Aij — D ~ atj.
511*. Пусть М — минор порядка т определителя D порядка п,
М' — соответствующий М минор взаимного определителя D' и А'—•
алгебраическое дополнение минора М'. Доказать, что A' = Dn~m~lM.
Это — обобщение равенства предыдущей задачи.
612*. Зная миноры всех элементов определителя D, отличного
от нуля, найти его элементы.
613*. Пусть
=1, 2. 3. ...).
Показать, что
л-И *i
Sl «2
s2 s3
s2
«3
Sn
Sn+\
S2n
514. Показать, что если
D{x) =
a2l
*1Я
«12
«22
«2Я
Л
*1
*я-1
X . . .
с с
1 2
^2 *3
sn sn+l
«Irt
«2й
«яя — X
••• **-i
... «„
f
то произведение D(x)-D(—х) можно представить в виде
1П — х2 Аи ... А1п
где все Ац не зависят от х. Найти выражение Atj через akV
516*. С помощью умножения определителей доказать, что при
перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.
616*. С помощью умножения определителей доказать, что опре-
делитель не изменяется, если к одной его строке (столбцу) приба-
вить другую строку (столбец), умноженную на число с.
72 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
617*. Показать, что определитель
1 cos Фз cos ф2
1517-522
1
COS ф2 COS Ф1
СОвф,
1
равен нулю, если Ф1-Ьф2-}-Фз = 0.
618*. Пусть lv 12, 13 и Щ> т2> тз — косинусы углов двух лучей
с ортогональными осями координат и ф—угол между этими лучами.
Доказать, что sin2 ф = (Zjm2 — l^n{f -j- (l2m3—^те2J -f- (l3m1 — ^m3J.
519. Пусть alt plt yt; a2, P2, У* аз> Рз' "Уз — Углы трех лучей
lj, L2, La с ортогональными осями координат и "пусть углы этих
лучей между собой будут qn=?. (L^, L3), Ф2=21 (Ls> Li)- Фз=^(^ ^
Доказать, что
COSOj COSP! COSYl
cos a2 cos p2 cos y2
cos a3 cos p3 cos y3
= 1 — cos2 Ф1 — cos2 ф2 — cos2 Фз -f- 2 cos фх cos ф2 cos ф3.
520*. Пусть (jCi. yO, (x2, y2), (x3, y3) будут прямоугольные
координаты точек М1г М2, М3 на плоскости. Показать, что опре-
делитель
Xi У1 1
х2 У2 1
*з Уз 1
не изменяется при повороте осей координат и переносе начала.
Пользуясь этим, выяснить его геометрический смысл.
521*. Пусть (xlt yt) и (х2, у2) — прямоугольные координаты двух
точек М1 и М2 на плоскости. Выяснив геометрический смысл опре-
х1 у1
делителя , узнать, меняется ли он при повороте осей и
Х2 Уг
при переносе начала координат?
622*. Вычислив произведение определителей
Х\
х2
х3
У1
У2
Уз
R
R
R
•
— х\
— х2
— х3
— У1
—у2
— Уз
R
R
R
получить выражение радиуса описанного круга через стороны а, Ь, с
и площадь 5 треугольника.
§ 7. УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
а2, а3; ft, fo, p3; Yi. Y2, Y3"
73
что определитель
а.
Рз
¦ соответственно
523-527J
523*. Пусть Oj
косинусы углов трех попарно ортогональных лучей ОА, ОВ, ОС
с осями прямоугольной системы координат Ох, Оу, Oz. Доказать,
ц а2 а3
= ± 1, причем знак плюс будет
Ъ
в случае одинаковой ориентации триэдров О ABC и Oxyz (это озна-
чает возможность при вращении фигуры О ABC совместить О А с Ох,
ОВ с Оу, ОС с Oz) и минус — в случае противоположной ориен-
тации (это означает, что при совмещении ОА с Ох и ОВ с Оу
лучи ОС и Oz окажутся противоположно направленными).
524*. Пусть (jclt У1, Zj), (х2, y2, z2), (x3, у3, г3) — координаты
трех точек Л^, М2, М3 пространства. Показать, что определитель
"з Уз
не меняется при повороте системы координат (которая предпола-
гается прямоугольной) и выяснить его геометрический смысл.
525*. Найти выражение объема V параллелепипеда через длины
а, Ь, с его ребер, проходящих через одну вершину и углы а, р, у,
образуемые этими ребрами. (Угол а образован ребрами длины Ь и с;
Р образован с и а; у образован а и Ь.)
526*. Пусть 1и 12, /3; щ, т2, т3; п1г п2, и3 — соответственно
косинусы углов лучей ОА, ОВ, ОС с положительными полуосями
прямоугольной системы координат Ох, Оу, Oz.
Доказать, что для компланарности (т. е. для расположения
в одной плоскости) лучей ОА, ОВ и ОС необходимо и достаточно
h h h
выполнение условия
= 0.
627*. Пусть (xlt уi, zt) — прямоугольные координаты точки Mt
пространства (/=1, 2, 3, 4). Показав, что определитель
х2 у2 z2
х3 Уз *ъ
х4 у4 z4
ие меняется при переносе начала координат, выяснить его геомет-
рический смысл.
74 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
628*. Перемножая определители
1528-529
л
Уз
R
R
R
R
— У 2 —¦
— Уз —'
— У4 —i
R
R
R
R
получить выражение радиуса шара, описанного около произвольного
тетраэдра, через объем и ребра тетраэдра. В частности, найти из-
полученного выражения радиус шара, описанного около правиль-
ного тетраэдра с длиной ребра, равной а.
§ 8. Различные задачи
629*. Показать, что определитель порядка п допускает следую-
щее аксиоматическое определение (эквивалентное обычному).
Любую строку из и чисел1) будем называть вектором и обозна-
чать одной буквой жирного шрифта. Сложение двух векторов и
умножение вектора на число определяются, как обычно, т. е. если
= (аи а2
ап) и Ь =
то
Ь2 Ьп),
, an-\~bn).
если с — число, то ca = (calt ca2 сап).
Функция f(щ, а2. .... с„) от п векторов с числовыми значе-
ниями называется линейной по каждому аргументу (или короче поли-
линейной), если
/(«1 с'а; + с"а;' а„) =
= с7(«! а\ «„) + ?"/(«! а'[ с„) (а)
для любых входящих сюда векторов, любых чисел с', с" и любого
I = 1, 2, .... п. Далее назовем функцию обладающей свойством
аннуляции, если
/(«1 at,
I,
= 1. 2
«п)
п,
0 при al =
Пусть et(i= 1, 2, .... п)— вектор, у которого на i-м месте стоит
единица, а на всех остальных местах нули. Функция /(av a^, • • •• а-п)
называется нормированной, если
е2 en) = l. (Y)
') Вместо чисел можно рассматривать также элементы любого поля Р.
530—533] S 8. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Пусть дана квадратная матрица порядка п
и \А\ — ее определитель в обычном смысле, т. е.
75
где сумма берется по всем перестановкам lv i2, .... /„ чисел
1, 2 п и s—число инверсий в каждой перестановке.
Показать, что
1) определитель | А | как функция строк матрицы А обладает
свойствами (а), (Р), (у);
2) любая функция п векторов, обладающая свойствами (а) и (р),
удовлетворяет равенству/(аР а2, .... an) = \A\f(ei, e2, .... еп),
где А — матрица со строками av а2, .... ап;
3) любая функция / (аг, а2, .... а„), обладающая свойствами
(а), (Р), (Y), равна определителю | А | матрицы А со строками
av а2 «„. Иными словами, определитель | А | матрицы А есть
единственная полилинейная, со свойством аннуляции, нормированная
функция ее строк.
630*. Пользуясь утверждением 2) предыдущей задачи, доказать
теорему об умножении определителей.
631. Показать, что для функций п векторов над полем характе-
ристики, отличной от 2, свойство (Р) при наличии свойства (а) экви-
валентно знакопеременности функции, т. .е.
/(«1 Щ, •••. «,-. •••. «„) — — /(«1 а.} at, .... а„)(Р')
для любых векторов и любых I, у=1, 2, .... п, 1ф). Построить
пример функции п векторов над полем Р характеристики 2, обла-
дающей свойствами (а), (р') и (y), но не обладающей свойством (р).
632*. Вычислить определитель
11 1 1 ... 1
е2
е"-1
2(П-1)
г"'1
2л . . . 2я
где e = cos (-isin —.
633*. Как изменится определитель, если в нем выделить k строк
(или столбцов) и из каждой из них вычесть все остальные выделен-
ные строки?
76 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [534—539
634. Определитель
al2-\~x ... aln-\-x
а^+х ... а2п-\-х
х ап2-\-х
представить в виде многочлена, расположенного по степеням х.
636*. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех эле-
ментов определителя
°1I °12
a2l a22
й„1 ап2 ... ап
равна определителю
1 1 ... 1
I аП а22 °12 • • • аЧп а\п
i~an а32 — а12 ... а3п — а1п
ап1~а
и
П2
, — а.
636*. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех эле-
ментов определителя не изменится, если ко всем элементам прибавить
одно и то же число.
637*. Доказать, что если все элементы какой-нибудь строки
(столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических
Дополнений всех элементов определителя равна самому определи-
телю.
638. Доказать, что кососимметрический определитель четного
порядка не изменится, если ко всем его элементам прибавить одно
и то же число.
639*. Установить следующую связь континуант (развернутое вы-
ражение континуанты дано в задаче 420)
{аха2
«1
-1
0
0
1
а2
— 1
0
0
1
«3
0
0 ...
0 ...
1 ...
0 ...
0
0
0
—1
0
0
0
«я
540—541] § 8. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
с непрерывными дробями:
1 . (U1U2 ¦ • • ап)
«1 Н t 7 \
а2 -+-—_•_ (а2а3 ... ап)
77
640*. Пусть даны два определителя:
«И «12
«21 «22
порял .;¦ п
1
*12
*22
... Ь„
порядка р.
'р\ "р2 • • • "рр
Составим определитель порядка пр:
¦ «iAi «11*12 ¦•• alnl
«21*11 • • • «2«*11 «21*12 • • • «2и*12 • • • «21*ip
¦¦• «11*1р
««1*11 • • • «««*11 ««1*12 • • • «««*12 • • •
«11*21 • • • «1«*21 «11*22 • • • «1,
«21*21 • • ' «2«*2I «:i*22 • ¦ • «2«*22
«Щ*21 • • • «««*21 «/,1*22 • ¦ • «яАг
... anb2p
... a2lb2p
«2n*
lp
«ln*
ln*2p
•«««*2
Таким образом, матрица определителя D состоит из р2 клеток по п
строк и п. столбцов в каждой. При этом клетка, стоящая в i-й кле-
точной строке и у'-м клеточном столбце (для любых I, /'= 1, 2 р),
получается из матрицы определителя Л умножением всех ее элементов
на btj. Доказать, что D = АРВ". Определитель D называется кронеке-
ровским произведением определителей А а В (см. задачи 963, 965).
641. Доказать следующее правило разложения окаймленного оп-
ределителя: если
С ал
?> =
ь\2
л
«2п
а„„
78 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
и Atj — алгебраическое дополнение элемента а^, то
1542—545
ап
«21
х,
л!
У2
Уп
*, У-1
642*. Пусть элементы определителя D являются многочленами
от неизвестных xv х2, .... ха с числовыми (или из произвольного
поля Р) коэффициентами, причем D — 0. Доказать, что алгебраиче-
ские дополнения элементов определителя D можно представить в виде
Ац = А[Вр I, ]= 1, 2, ..., п, где все >Ц и Bj — многочлены от
xv xv ..., xs. Найти эти многочлены для определителя Д:
Д =
0
— а
а
0
— Ь —с
где за неизвестные приняты а, Ь, с.
643*. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать, что
кососимметрический определитель четного порядка является квадра-
том некоторого многочлена от его элементов, стоящих выше глав-
ной диагонали.
644*. Показать, что если в общем выражении кососимметриче-
ского определителя каждый элемент пц при у > I заменить через
— а1г то сократятся все члены, подстановки из индексов которых
при разложении на циклы дают хотя бы один цикл нечетной длины.
646*. Пусть D — кососимметрический определитель четного по-
рядка п с элементами ац — — а^{1, J= 1. 2, .... п). Пфаффовым
произведением определителя D называется произведение
ее/,, itaiv it ... alnit v
в котором индексы п элементов, в него входящих, образуют пере-
становку /j, /2, .,., 1п чисел 1, 2, .... п; е = -|-1. если эта пере-
становка четная, и е = —1, если нечетная. Пфаффово произведение
называется приведенным, если оно состоит только из элементов,
лежащих в D выше главной диагонали (т. е. если у каждого эле-
мента первый индекс меньше второго). Член определителя D назовем
существенным, если подстановка из его индексов имеет только
циклы четной длины. Пара приведенных пфаффовых произведений
Nv N2 (в данном порядке) называется соответствующей данному
существенному члену определителя D, если она построена по этому
545—546] § 8. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 79
члену следующим образом. Пусть подстановка из индексов данного
члена записана в циклах так:
(aYa2 ... aJk.1aA)(P1fl8 ... Pg-iVg) ... (И1И2 ••• M»-iM»)> 0)
-причем аг = 1 и каждый цикл, начиная со второго, начинается
с наименьшего числа из чисел, не вошедших в предыдущие циклы.
Строим пфаффовы произведения
M OsOa,.a4 ••• «aft_,. o^,. р^, P< ••• вр,_,. 0, ¦¦¦
и
затем каждый элемент atj, где i > у, заменяем через — Ojt.
Соответственно меняется знак et или е2, но меняется и класс
перестановки, так что при каждой замене мы снова получаем пфаф-
фово произведение. Выполнив в N[ и N'o все указанные замены, мы
и получим пару Nu N2 приведенных пфаффовых произведений, соот-
ветствующую данному существенному члену D.
Доказать, что:
1) Любая пара приведенных пфаффовых произведений (различных
или одинаковых) соответствует одному и только одному существен-
ному члену общего разложения определителя D. (В общем разложе-
нии D члены, получающиеся один из другого заменами типа atj=—ajt,
считаются различными.) Иными словами, установлено взаимно одно-
значное соответствие между всеми существенными членами и всеми
парами приведенных пфаффовых произведений определителя D.
2) Каждый существенный член равен произведению приведенных
пфаффовых произведений соответствующей ему пары.
3) D = р2, где р — сумма всех приведенных пфаффовых произ-
ведений, называемая пфаффовым агрегатом или пфаффианом опре-
делителя D.
646*. Доказать следующую рекуррентную формулу, удобную для
вычисления пфаффова агрегата, определенного в предыдущей задаче.
Если рп — пфаффов агрегат . кососимметрического определителя
Aj—1агу1 четного порядка и>2, а р1п — пфаффов агрегат опре-
делителя D[n, полученного из Dn вычеркиванием n-й и i-й строк,
а также соответствующих столбцов, где i = 1, 2, .... п — 1, то
л-1
Рп= 2(—1)'~1 Р1пЩп> Р2 = а12-
80 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [547—551
Показать, что р1п получается из р„_2 увеличением на 1 всех
индексов элементов, больших или равных L
647. Пользуясь формулой предыдущей задачи, вычислить пфаф-
фианы р2, р4, p6.
648. Пользуясь формулой задачи 546, найти число слагаемых
пфаффова агрегата рп кососимметрического определителя Dn четного
порядка п, т. е. число различных приведенных пфаффовых произ-
ведений определителя Dn (произведения, различающиеся лишь поряд-
ком сомножителей, различными не считаются).
649*. Пусть D — кососимметрический определитель нечетного по-
рядка п с элементами atj (i, j = 1, 2, .... п), Мц— минор эле-
мента atj, Pi,n+i — пфаффов агрегат минора Ми. Показать, что
Mtj=Pi,n+iPj,n+i ('• /=1. 2 »)• Далее, показать, что за
многочлены At, Bj задачи 542 (при условии, что неизвестными
дгц .... xs считаются элементы D, стоящие выше главной диаго-
нали) МОЖНО ПРИНЯТЬ At=( 1)'/*!, л + 1- Bj = ( 1)* 1Pj,n+V
0 a b
Проверить, что для определителя —а Ос этим путем
— Ь —с 0
получается тот же результат, что и в задаче 542 (если учесть, что
в задаче 542 At и В} определены с точностью до изменения знака
у всех этих многочленов).
660*. Доказать, что определитель общего вида, рассматриваемый
как многочлен от своих элементов, принятых за неизвестные, не раз-
лагается на два множителя, каждый из которых есть многочлен от
тех же неизвестных степени, отличной от нуля. Иными словами,
определитель является неприводимым многочленом от своих элемен-
тов и притом над любым полем.
661*. Пусть D=\atj\—определитель порядка n> I, k—любое
из чисел 1, 2, .... п, ( ^ ) = С„ = п_ ; обозначим через sx,
52. •••• s/n\ всевозможные сочетания из п чисел 1, 2, , п по k,
занумерованные в произвольном, но в дальнейшем неизменном по-
рядке (для определенности числа в каждом сочетании можно считать
расположенными в порядке возрастания, хотя для дальнейшего это
не существенно); \xtj—минор k-ro порядка определителя D, стоя-
щий на пересечении строк с номерами из сочетания sl и столбцов
с номерами из сочетания Sj, i, 7=1. 2, .... ["Л", Оу — алгебраи-
ческое дополнение минора \xtj в D. Определителем миноров k-то
552—5531 § 8- РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 81
порядка определителя D назовем определитель порядка I " ), имею-
щий вид
Введем еще определитель ДА порядка ( " I, получающийся из ДА
заменой каждого минора [itj его алгебраическим дополнением atj в D.
Доказать, что:
1) значения определителей ДА и ДА не меняются при изменении
нумерации сочетаний, т. е. при перестановке сочетаний в последо-
вательности sv s2 s(n\*
_ Vft/
2) ДА = Д„_А. Это — обобщение утверждения задачи 242;
(п\ (п-\\ (п-1\
1\
( ( _
3) Akbk = DKk>; 4) ДА = О1*-1''; 5) bk = DK * .
662*. Вычислить определитель Р„= \рц\* в котором ptj=\,
если i делит у, и />i7- = 0, если I не делит j. Найти значение опре-
делителя Qn=\qtj\, в котором gtj равно числу общих делителей
чисел i и j.
653*. Функцией Эйлера называется функция <р(п), равная числу
чисел ряда 1, 2, .... п, взаимно простых с п. Пользуясь предыду-
щей задачей и теоремой Гаусса о том, что и = 2ф(^)> гДе сумма
берется по всем делителям d числа п (включая 1 и само п), пока-
ZD j где dtj — наибольший
... <р(п).
зать, что определитель порядка п ZD^y =
общий делитель чисел / и j, равен <рA)фB)
ОТДЕЛ II
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 9. Системы уравнений, решаемые по правилу Крамера
Следующие системы уравнений решить по правилу Крамера:
664. 2х1 + 2х2— х3+ х4 = 4, 665. 2хх + Ъх2+ 11 х3 + 5х4 = 2,
4хх + 3х2— х3+2х4 = 6, Xj + х2 + 5хэ + 2х4=1,
8х, + 5х2—Зх3+4х4=12, 2х,+ х2+ Зх3 + 2х4 = —3,
Зх^Зхз—2х3+2х4 = 6. хг+ х2+ 3x3 + 4x4 = —3.
666. 2х,+ 5х2 + 4х3+ х4 = 20, 667. 3x^4x2+ х3+2х4+3 = 0,
*!+ Зх2 + 2х3+ jc4 = 11, Зл:1+5л:2+3х3+5х4+6 = О,
2х1+10х2 + 9х3+7х4 = 40, 6х!+8х2+ x3+5x4+8 = 0,
Зх,+ 8х2 + 9х3+2х4 = 37. Зх!+5д;2+Зд;3+7х4+8 = 0.
668. 7х1 + 9х2 + 4х3+2х4—2==0, 669. 6х+5у—2г + 4/+ 4=0,
2х, —2х2+ х3+ х4—6 = 0, 9х— y+4z— /—13=0,
5х1+6х2 + Зх3+2х4—3 = 0, 3x + 4y+2z — 2t— 1=0,
2хг + 3х2+ х3+ х4 = 0. Зх — 9y+2f— 11=0.
660. 2х— у — 6z+ 3^+ 1=0, 661. 2х+ у+4г+8/ = —1.
7x — 4y + 2z—15^ + 32 = 0, х + Зу — 6г + 2/ = 3,
х —2у —4z+ 9f— 5 = 0, Зх — 2y + 2z — 2/= 8,
х— y + 2z— 6^+ 8 = 0. 2х— y + 2z==4.
662. 2х— y+3z = 9, 663. 2х —
Зх —5y+ z = — 4, 3x
4x —7y+ z = 5. 5x —
4x —
664*. Две системы линейных уравнений с одними и теми же
неизвестными (не обязательно с одним и тем же числом уравнений)
называются эквивалентными, если любое решение первой системы
удовлетворяет второй и обратно. (Любые две системы с одними
S65J § 9- СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, РЕШАЕМЫЕ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА 83
и теми же неизвестными, каждая из которых не имеет решений,
также считаются эквивалентными.)
Показать, что любое из следующих преобразований системы
линейных уравнений:
а) перестановка двух уравнений;
б) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число,
отличное от нуля;
в) почленное вычитание из одного уравнения другого, умножен-
ного на любое число
переводит данную систему уравнений в эквивалентную.
Переводит ли изменение нумерации неизвестных данную систему
в эквивалентную? Допустимо ли изменение нумерации неизвестных
при решении системы уравнений?
665. Доказать, что любая система линейных уравнений
я
2%*/ = ^. /=1. 2 s, A)
7 = 1
посредством преобразований типа а), б), в) предыдущей задачи и
изменения нумерации неизвестных может быть приведена к виду
л
2еуУ/ = «*/. /=1. 2 s. B)
удовлетворяющему одной и только одной из следующих трех групп
условий:
а) сиФ0, 1=1, 2 п; Сц = 0 для I > у (в частности, коэф-
фициенты при неизвестных во всех уравнениях, следующих за п-м
{при s> п), равны нулю), dj —0 для t='n-\- 1, .... s (в этом слу-
чае говорят, что система приведена к треугольному виду);
б) существует целое число г, 0<^г^п—1, такое, что спф0,
1=1, 2 г; с,у = О при I > у, сгу = О при i>r и любом j,
равном 1, 2, .... n; dj = O при i=zr-\-l, r-f-2, ..., s;
в) существует целое число г, 0 <^ г ^ п, такое, что си Ф 0 при
/ = 1, 2 г; ciy- = 0 при I > j; ci7- = 0 при i> r и любом
y=lt 2, .... п. Существует целое число ft, r-|-l<^&<^s, такое,
что йкФ^.
Показать, что если в системе B) восстановить прежнюю нуме-
рацию неизвестных, то получится система, эквивалентная исходной
системе A). Затем показать, что в случае а) система B) (а значит
и A)) имеет единственное решение; в случае б) система B) имеет
бесконечно много решений, причем для любых значений неизвестных
уг+1 уп существует единственная система значений остальных
неизвестных yv .... ут; в случае в) система B) решений не имеет.
Эта теорема дает обоснование метода исключения неизвестных при
решении системы линейных уравнений.
84 ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИИ [566—575
566. Показать, что если система линейных уравнений A) преды-
дущей задачи имеет целые коэффициенты, то при всех преобразова-
ниях в процессе ее приведения к виду B) можно избежать дробных
чисел, так что и система B) будет с целыми коэффициентами.
Следующие системы уравнений решить методом исключения не-
известных:
567, 3xi—2х2—5х3+ х4=3, 568- 4х:—Зх2+ х3+5х4—7=0
2х1—Зх2+ х3+5х4=—3, Xj-—2х2—2х3—Зх4—3=0,
Xi+2x2 —4х4=—3, 3xi— х2+2х3 +1=0,
xi— х2—4х3+9х4==22. 2х+3х2+2хз—8х4+7=0.
569. 2xj—2х2 + х4+3=0, 570. Xi+ х2—6х3—4х4=6,
2xi+3x2+x3—Зх4+6=0, 3xi— х2—6х3—4х4=2,
3xi+4x2—х3+2х4 =0, 2xi+3x2+9x3+2x4=6.
Xi+3x2+x3— x4—2=0. 3xi+2x2+3x3+8x4=—7.
571. 2xi —Зх2+3хз + 2х4 —3 = 0,
—2х3— х4+4 = 0,
Зх2 — Зх3 — 2х4 — 3 = 0,
8xi + 6x2+ x3+3x4 + 7 = 0.
572. Xi+ 2x2+ 5х3+ 9х4 = 79,
3xi+13x2+18x3 + 30x4 = 263,
2xj+ 4x2+Ilx3+16x4=146,
Xj+ 9x2+
573. Xi+ x2+
- 9x3
*з +
Зх3 +
6x3 +
0x3 +
+ 9x4
*4 +
4*4 +
10x4 +
20x4 +
= 92.
x5 =
5x5 =
15x5 =
35x5 =
15,
35,
70,
126,
574. Xi + 2x2+ 3x3+ 4х4+ 5х5= 2,
+ 7x3+10x4+13x5=12,
j ++11хз+16х4 + 21х5 =17,
2xj —7х2+ 7x3+ 7x4+ 2x5 = 57,
Xi + 4x2+ 5x3+ 3x4+10x5= 7.
575*. 6x1+ 6x2+ 5x3+18x4 + 2Ox5=14,
9x2+ 7x3 + 24x4 + 3Ox5=18,
12x2+ 13x3 + 27x4 + 35x5 = 32,
6x2+ 6x3+15x4 + 2Ox5=16,
5x2+ 4x3+15x4+15x5= 11.
576—584] § 9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ, РЕШАЕМЫЕ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА 85
676. лг,+ *2 + 4*3 + 4х4 + 9л;5+ 9 = 0,
2дг1 + 2д:2+ 17*з+ 17*4+82*5+ 146 == О,
2*! + 3*3— *4+ 4*5+ 10 = 0,
*2+ 4*з+12*4 + 27*5+ 26 = 0,
*! + 2*2+ 2*з+10*4 — 37 = 0.
577. 5*! + 2х2— 7*з+14*4 = 21,
5*i— *2 + 8*з—13*4+3*5= 12,
10*!+ х2— 2*з+ 7*4 — *5= 29,
15*!+ 3х2+15*з+ 9*4+7*5=130,
2*i— х2— 4*з+ 5*4—7*5 = —13.
578. 2*i+ 7*2+3*з+ *4= 5, 579. 2*,+ 3*2— *3+ *4=1,
*i+ 3*2+5*3—2*4= 3, 8*,+12*2—9*з+8*4=3,
*i+ 5*2—9*3+8*4= 1, 4*!+ 6*2+3*3—2*4=3,
5*1+18*2+4*3+5*4=12. 2*+ 3*2+9*з—7*4=3.
680. 4*i — 3*2+2*з— *4=8, 581. 2х:— *2+ х3— *4=3,
3*i — 2*2+ *3— 3*4=7, 4xj —2*2—2*з + 3*4=2,
2*i *2 5*4=6, 2*i *2 + 5*з 6*4=1,.
5*! — 3*2+ *3—8*4=1. 2xj— *2—3*3 + 4*4=5.
582. Показать, что многочлен степени п вполне определяется его
значениями при ге+1 значениях неизвестного. Точнее, показать, что
для любых различных между собой чисел *0, xv *o хп и лю-
бых чисел у0, Ур .... у„ существует и притом только один много-
член / (*) степени <С п, для которого
/(*|) = У/. / = 0. 1, 2 п.
583. Пользуясь предыдущей задачей, доказать эквивалентность
двух определений равенства многочленов от одного неизвестного:)
с числовыми коэффициентами (или коэффициентами из любого беско-
нечного поля):
1) два многочлена называются равными, если равны их коэффи-
циенты при каждой паре членов одинаковой степени (определение,
принятое в алгебре);
2) два многочлена называются равными, если они равны как
функции, т. е. если равны их значения при каждом значении неиз-
вестного (определение, принятое в анализе).
584. Показать, что для конечного поля коэффициентов опреде-
ления предыдущей задачи не эквивалентны (построить пример).
') Индукцией легко доказать аналогичное утверждение для многочленов-
от любого числа неизвестных.
86 ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИЙ |585—595
585. Найти квадратный многочлен / (х), зная, что
/0) = —1; /(-1) = 9; /B) = -3.
586. Найти многочлен 3-й степени f(x), для которого
/(—1) = 0. /A) = 4. /B) = 3. /C)=16.
587. Какой геометрический смысл имеет утверждение задачи 582?
588. Найти параболу 3-й степени, проходящую через точки @, 1).
{1, —1.), B,5), C,37), причем асимптотическое направление парал-
лельно оси ординат.
589. Найти параболу 4-й степени, проходящую через точки E, 0),
(—13, 2), (—10, 3), (—2, 1), A4, —1), причем асимптотическое на-
правление параллельно оси абсцисс.
Решить следующие системы линейных уравнений, применив в каж;
лом случае наиболее подходящий прием:
590. — x + y + z + t = a, 591*. a(x + t)-\-b(y-\-z) = c.
b, a'(y-\-t)-\-b\z + x)=c'.
t = d. x + y-\-z-\-t = d,
причем афЬ, а' ф Ь'. а" ф Ь".
592*. ax-\-by-\-cz-\-dt = p.
— bx -\- ay -f- dz — ct = q,
—ex — dy-\-az-\-bt = r,
— dx -\- cy — bz -j- at = s.
593*.
где et, a2, .... an—различные числа.
594. хг + x2 +...+ xn =1.
• • • + «я*я = *.
2
a\x2
a"'lxi + a2~lx2 + • • • + «Г 4 = *"" '•
где av a2, • • •, an — различные числа.
595. xx + axx2 + ... + a»-1*, = ft,,
где at, a2, ..., an — различные числа.
596—600] § 9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, РЕШАЕМЫЕ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА 87"
596. Xy 4-
х„ — i
«2*2
где о,, а2 ап — различные числа.
597. *,+ *„+...+ дс„ + 1=0.
д:2 + • • • + 2"^п +1=0.
nxt 4- n2x2 4- • • • 4- n"xn 4-1=0.
598. axx4- bx2-\- ... 4- bxn = c,,
bXi 4- ад:24- ... 4- bxn = c2,
bxx 4- *л:24- ... 4- axn = cn,
где (а — Ь)[а~\-(п—1)Ь\ф0.
699*.
<-з A -f За, 4-2а2) ^ 4-а?-3 A + За2 4-2а2) х2 4-
... +аГ3A
600*. Разлагая функцию . ."^ в степенной ряд, получим;
Показать, что
1 0
i l
0
О
1
.. о
.. 0
,. 0
1 1
¦1 n n — 1 n — 2
1
• • -2
$8
601. Известно, что
ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1
" * Н~ 91 Х < 41 Х Ifil
cosx " • 2!
.*j, e2, e3, ...—так называемые числа Эйлера. Показать, что
[601-603
., где
еп = Bп)\
1
2!
_L
4!
Ж
1 _____
Bя)! Bя —2)! Bя —4)! Bя —6)!
1
1
2!
4!
1
О
1
J_
2!
1
0
0
1
1
о
о
о
__
2!
602*. В разложении *_i = 1
!+ ***»+ •••
__ (—if-1 в
' Bя)!
» где &п —так называемые числа Бернулли.
Показать,
ЧТО
-(~1Г1BпI
Далее показать.
1
2!
1
3!
1
4!
1
Bя)!
2!
1
3!
1
4!
1
B«+1)!
что
1
1
2!
1
3!
1
Bя-1)!
1
1
2!
1
"зГ
1
Bя)!
0
1
1
2!
1
0
1
1
1
<2я-
1I
0
0
1
1
0
0
1
1
•
•
Bя —2)! '
• • *
• • •
• • •
Bя —2)! Bя—3)! "•¦
0
0
0
1
2!
.. 0
.. 0
.. 0
1
.. 2!
= 0
при и> 1.
603*. Показать, что число Бернулли Вп, введенное в предыду-
щей задаче, может быть выражено следующими определителями и-го
604—607| § 9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ, РЕШАЕМЫЕ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА 89>
порядка:
В„=-±-Bге)!
или
1
3!
3
Г
5
IT
2я-
Bя +
!
Bл
1
1)«
1
4!
2
6!
3
8!
я
1
1
3!
1
5!
1
Bя — 1)!
1
2!
1
4!
1
6!
1
)! Bя)!
0
1
1
Ж
1
Bя — 3)!
0
1
Г
1
4!
1
Bя—2)!
0
0
1
1
Bя —5)! *
0
0
1
2!
1
Bя —4)! '•
.. 0
.. 0
.. 0
1
•• 3!
. 0
. 0
. 0
1
* 4!
604*. Обозначим через sn(k) сумму и-х степеней чисел натураль-
ного ряда от 1 до ft—1. т. е. sn(ft)=r "+"
Установив равенство
показать, что
ft"
ft"-1
ип-2
-.п-2
Г.п-3
<-п-2
-1-1 1
О
О
о ...cl
о ... о
605*. Представить в виде определителя ге-й коэффициент 1п раз-
ложения —— =
606. Представить в виде определителя ге-й коэффициент /„ раз-
ложения х ctg х — 1 — ftx2 — /2х4 — ... — fnx2n —
607*. Выразив ге-й коэффициент ап разложения е~х=1 — а,л;-|-
-f-a2x2 — asx3 +••• в виДе определителя, найти отсюда значения
определителя.
80
ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИЙ
[608-615
§ 10. Ранг матрицы. Линейная зависимость векторов
и линейных форм
Найти ранг следующих матриц методом окаймления миноров:
608.
«10.
2
4
2
3
5
1
7
—1
—2
1
—1
—3
—3
—5
3
5
1
2
3
2
—5
1
1
8
2
3
0
4
4
7
2.
\
•
/
5
4
-7
1
612. Найти значения к, при которых матрица
3 1 14-
10
17
2 2 4
имеет наименьший ранг.
Чему равен ранг при найденных к и чему он равен при других
значениях к?
613. Чему равен ранг матрицы
1 к
при различных значениях к?
614. Пусть А — матрица ранга г и Мк — минор Л-го порядка,
стоящий в левом верхнем углу матрицы А. Доказать, что путем
перестановок строк между собой и столбцов между собой можно
добиться выполнения условий: М1 Ф 0, М2 Ф0, .... Мт Ф 0, тогда
как все миноры порядка больше чем г (если они вообще существуют)
равны нулю.
615. Элементарными преобразованиями матрицы называются
следующие преобразования:
1) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца),
умноженной на любое число;
3) перестановка двух строк (столбцов).
616—6271 §ю-рАНГ матрицы 9Г
Доказать, что элементарные преобразования не изменяют ранга;
матрицы.
616. Доказать, что перестановку строк (столбцов) матрицы можно
получить, выполняя преобразования строк и столбцов только типо»
1), 2), указанных в предыдущей задаче.
617. Доказать, что любую матрицу ранга г элементарными пре-
образованиями, указанными в задаче 615, можно привести к виду, где-
элементы аи = а^ = ... = а„ = 1, а остальные элементы равны нулю.
618. Доказать, что элементарными преобразованиями одних строк
или одних столбцов квадратную матрицу можно привести к «тре-
угольному» виду, где все элементы по одну сторону от главной
диагонали равны нулю, причем нули можно получить по желанию
либо сверху, либо снизу от главной диагонали.
Вычислить ранг следующих матриц при помощи элементарных,
преобр азований:
619.
621.
25
75
75
31
94
94
17
53
54
43
132
134
620. /47 —67 35 201 155'
26 98 23 —294 86
.16 —428 1 1284 52.
25 32 20 48
24 19 36 72 —38
49 40 73 147 —80
73 59 98 219 —118
47 36 71 141 —72
622.
17 —28 45 И 39
24 —37 61 13 50
25 —7 32 —18 —11
31 12 19 —43 —55
42 13 29 —55 —68
623. Доказать, что если матрица содержит т строк и имеет
ранг г, то любые s ее строк образуют матрицу, ранг которой не
меньше r-\~s—т.
624. Доказать, что приписывание к матрице одной строки (или одно-
го столбца) либо не изменяет ее ранга, либо увеличивает его на единицу.
625. Доказать, что вычеркивание одной строки (столбца) матрицы
тогда и только тогда не изменяет ранга, когда вычеркнутая строка
(столбец) линейно выражается через остальные строки (столбцы).
626. Суммой двух матриц, имеющих одинаковое число строк и
одинаковое число столбцов, называется матрица, каждый элемент
которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц,,
т. е. (аф -\- (btj) = (atj -\- Ьф. Доказать, что ранг суммы двух матриц,
не больше суммы их рангов.
627. Доказать, что любую матрицу ранга г можно представить
в виде суммы г матриц ранга единица, но нельзя представить в виде
суммы менее чем г таких матриц.
92 ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИЙ [628—635
628. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от при-
писки к ней каждого столбца матрицы В с тем же числом строк,
то он не меняется от приписки к матрице А всех столбцов матрицы В.
629*. Доказать, что если ранг матрицы А равен г, то минор d,
стоящий на пересечении любых г линейно независимых строк и г линейно
независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.
630*. Пусть А — квадратная матрица порядка «> 1 и А — мат-
рица, взаимная (присоединенная) с матрицей А. Выяснить, как изме-
няется ранг г матрицы А с изменением ранга г матрицы А.
631*. Доказать, что вычисление ранга симметрической матрицы
сводится к вычислению одних только главных миноров, т. е. мино-
ров, стоящих в строках и столбцах с соответственно равными номе-
рами. Именно, доказать, что:
1) если в симметрической матрице А порядка п имеется главный
минор Мт порядка г, отличный от нуля, для которого все окаймля-
ющие его главные миноры (r-(-l)-ro и (г-|^2)-го порядков равны
нулю, то ранг матрицы А равен г (если все главные миноры равны
нулю, то можно считать главный минор нулевого порядка Мо равным
«динице, и теорема останется верной; при г = п— 1 миноров порядка
г -(-2 не существует, но утверждение теоремы верно, ибо ранг А
равен п— 1);
2) ранг симметрической матрицы равен наивысшему порядку отлич-
ных от нуля главных миноров этой матрицы.
632*. Пусть А — симметрическая матрица ранга г и Mk — минор
k-то порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А. (При k = 0
считаем Мо = 1.) Доказать, что путем некоторой перестановки строк
и соответствующей перестановки столбцов матрицы А можно добиться
того, что в ряду миноров Мо= 1, Mj, M2 Мт никакие два
соседних не равны нулю и Мт ф 0, все же миноры порядка выше г
(если они существуют) равны нулю.
633*. Доказать, что ранг кососимметрической матрицы опреде-
ляется ее главными минорами. Именно:
1) если существует главный минор порядка г, отличный от нуля,
для которого все окаймляющие его главные миноры порядка г -f- 2
равны 0, то ранг матрицы равен г;
2) ранг кососимметрической матрицы равен наивысшему порядку
отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
634*. Пусть А — кососимметрическая матрица ранга г и Mk — ми-
нор k-то порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А(М0= 1).
Доказать, что путем некоторой перестановки строк и соответствующей
перестановки столбцов матрицы А можно добиться того, что миноры
Мо, М2, Ж4, ..., Мт отличны от нуля, а миноры Ми М3 ^c-i
и все миноры порядка выше г (если они существуют) равны нулю.
635. Доказать, -что ранг кососимметрической матрицы — число
четное.
636—645| § ю. ранг матрицы 93
636. Найти линейную комбинацию 3«i-|-5a2— а3 векторов
о, = D, 1, 3, — 2), «2 = A, 2. —3, 2),
а3 = A6, 9, 1, —3).
637. Найти вектор х из уравнения
Cj + 2а2 + 3«3 + 4* = 0.
где
о, = E. —8, — 1, 2), С2 = B, — 1, 4, —3).
«з = (— 3, 2, —5. 4).
638. Найти вектор х из уравнения
где
«i = B, 5, 1, 3), «2 = A0, 1. 5, 10),
«з = D, 1. — 1. 1).
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зави-
симыми или линейно независимыми:
639. о, = A. 2, 3), 640. «!=:D, —2, 6).
а2 = C, 6, 7). а2 = F, —3, 9).
641. С! = B, —3, 1), V642. «i = E, 4, 3),
а2 = C, — 1, 5), а2 = C, 3, 2),
а3 = A. —4, 3). «з = (8. 1. 3).
643. а, = D. —5, 2, 6), 644. а, = A. 0, 0, 2, 5),
«2 = B, —2, 1, 3), а2 = (°. 1. 0. 3, 4),
а3 = F. —3, 3, 9), в3 = @, 0, 1, 4, 7),
О4 = D. —1. 5, 6). «4 = B. —3. 4, 11, 12).
645. Если из координат каждого вектора данной системы векторов
одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на
определенных (одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя
их порядок, то получим вторую систему векторов, которую будем
называть укороченной для первой системы. Первую же систему бу-
дем называть удлиненной для второй. Доказать, что любая укоро-
ченная система для линейно зависимой системы векторов сама линейно
зависима, а любая удлиненная система для линейно независимой си-
стемы векторов сама линейно независима.
94 ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 1646—653
646. Доказать, что система векторов, содержащая два равных
вектора, линейно зависима.
647. Доказать, что система векторов, два вектора которой раз-
личаются скалярным множителем, линейно зависима.
648. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор,
линейно зависима.
649. Доказать что если часть системы векторов линейно зависима,
то и вся система линейно зависима.
660. Доказать, что любая часть линейно независимой системы
векторов сама линейно независима.
651*. Пусть дана система векторов
«< = («<,i. Щ, 2 Щ, п) ('= 1. 2 s; s<«).
s
Доказать, что если | ауу| > 2 | а«у | • т0 данная система векторов
'ф)
линейно независима.
652. Доказать, что «ели три вектора av c2. с3 линейно зависимы
и вектор с3 не выражается линейно через векторы ах и а2, то век-
торы ct и с2 различаются между собой лишь числовым множителем.
653. Доказать, что если векторы av c2 ak линейно неза-
висимы, а векторы с,, с2, ... , ак, Ь линейно зависимы, то вектор Ь
линейно выражается через векторы а,, с2 ак.
654. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что каждый век-
тор данной системы векторов линейно выражается через любую ли-
нейно независимую подсистему этой системы, содержащую максималь-
ное число векторов.
655. Доказать, что упорядоченная система векторов av с2 акУ
отличных от нуля, тогда и только тогда линейно независима, когда
ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие.
656*. Доказать, что если к упорядоченной линейно независимой
системе векторов av а2 ак приписать впереди еще один век-
тор Ь, то не более чем один вектор полученной системы будет ли-
нейно выражаться через предыдущие.
657*. Доказать, что если векторы аг, с2> ... , аг линейно неза-
висимы и линейно выражаются через векторы bv b2, ¦ ¦ ¦ , bs, то
r<s.
658*. Базой данной системы векторов называется такая ее под-
система, которая обладает следующими свойствами:
1) эта подсистема линейно независима;
2) любой вектор всей системы линейно выражается через векторы
этой подсистемы.
Доказать, что:
а) все базы данной системы содержат одинаковое число векторов;
$59—666] § ю- ранг матрицы S5
б) число векторов любой базы является максимальным числом ли-
нейно независимых векторов данной системы; это число называется
рангом данной системы;
в) если данная система векторов имеет ранг г, то любые г ли-
нейно независимых векторов образуют базу этой системы.
659*. Доказать, что любую линейно независимую подсистему дан-
ной системы векторов можно дополнить до базы этой системы.
660. Две системы векторов называются эквивалентными, если
каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы дру-
гой системы и обратно. Доказать, что две эквивалентные линейно
независимые системы содержат одинаковое число векторов.
661. Доказать, что если векторы а,, с2 ak линейно выра-
жаются через векторы Ъх, Ь2. • ¦ ¦ , Ьх, то ранг первой системы не
-более ранга второй.
662. Даны векторы:
c, = @,'l, 0, 2, 0). а2 = G, 4. 1, 8. 3),
а3 = @. 3, 0, 4, 0), с4 = A, 9, 5, 7, 1),
а5 = @. 1, 0, 5, 0).
Можно ли подобрать числа ctf(i, j=l, 2 5) так, чтобы
векторы . i
Ь2 = С2хах + С22п2 Л' Сфъ -Г" ^24^4 + С25С5-
63 = f31°l + С32°2 + С33«3 + С34С4 + С35°5-
64 = Спаг -f C42«2 + ^43ОЗ + С44а4 + С45«5-
Ь5 = С51°1 + ^52*2 + С53°3 + С64С4 + С55С5
были линейно независимы?
663. Доказать, что вектор Ь тогда и только тогда линейно вы-
ражается через векторы av a2 ак, когда ранг последней си-
стемы векторов не изменяется от присоединения к ней вектора Ь.
664*. Доказать, что:
1) две эквивалентные системы векторов имеют один и тот же ранг;
2) теорема, обратная утверждению I), неверна.
Однако справедливо утверждение:
3) если две системы векторов имеют одинаковый ранг и одна из
этих систем линейно выражается через другую, то эти системы эк-
вивалентны.
Найти все значения к, при которых вектор Ь линейно выражается
через векторы ах, а2,
665. с, = B, 3, 5), 666. ах = D,
О2 = 1
«3:
6 — 1
«2, •
з,
7,
—6,
2
... as:
5).
8),
1).
к).
4.
2,
1.
9.
3),
1).
6).
к).
S6 ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ F67—680
667.
668.
ОТДЕЛ II
с, = C, 4,
с2==F, 8,
& = (9. 12,
а, = C, 2,
с2==B, 4,
. СИСТЕМЫ
2),
7),
Л).
5),
7),
Я,),
линейных уравнении
669. с, = C,
«2 ==G,
С3 = E,
2,
3,
1,
6),
9).
3).
6 = A. 3, 5). & = (Я,, 2, 5).
670. Пояснить ответы в задачах 665—669 с точки зрения рас-
положения данных векторов в пространстве.
671. Пользуясь задачей 657, доказать, что более чем п п-мерных
векторов всегда линейно зависимы.
672. Найти все максимальные линейно независимые подсистемы
системы векторов:
Oj = D, —1,
3,
4,
[айти все базы системы
673. с, = A. 2,
_ /1 о
675. с, =B, 1.
а2 = D, 2,
с3 = F, 3,
С4 = A, 1,
0,
3,
0,
—3,
—6
—9
1
-2).
-2).
векторов:
0),
4),
0).
. О.
. 2).
, 3).
. 1).
«2 = (8,
С4 = F,
674. а,
а2
а3
с4
676. с,
«2
«3
«4
°5
2
—2,
= A.
= B,
= C,
, — D.
= 0.
= B,
= C.
= D,
= A.
6.
8.
2,
3,
4,
5.
2,
3,
2,
з,
1,
-4).
-4).
3.
4,
5,
6,
3).
4).
3).
4).
1).
4).
5),
6).
7).
677. В каком случае система векторов обладает единственной
базой?
678. Сколько баз имеет система k-f-1 векторов ранга k, содер-
жащая пропорциональные векторы, отличные от нуля?
Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы си-
стемы, не входящие в данную базу, выразить через векторы базы:
679. с, ==E, 2, —3, 1), 680. С! = B, — 1, 3, 5),
а2 = D, 1. —2, 3), а2 = D, —3, 1, 3),
с3 = A, 1, —1. —2), «з = C. —2, 3, 4),
а4 = C, 4. —1, 2). «4 = D, —1, 15, 17),
С5 = G, —6, —7, 0).
681—682| § ю. ранг матрицы 97
681. а,=A. 2. 3, —4),
О2 = B, 3, —4, 1),
вз = B. —5, 8, —3),
с4 = E, 26, —9. —12),
а5 = C, -4, 1, 2).
682*. Пусть дана система векторов х1г х2. .... *„ одного и
того же числа измерений. Основной системой линейных соотношений
этой системы векторов называется система соотношений вида
п
^jOLijXj^O A=1, 2 S),
/=1
обладающая такими двумя свойствами:
а) эта система соотношений линейно независима, что означает
линейную независимость системы векторов
а< = (а<>1> аи2 , а,, „) (/=1. 2 s);
б) любая линейная зависимость векторов хх, лг2> • • • » х„ является
п
следствием соотношений данной системы, т. е. если У\ а;лг; = 0, то
7 = 1 ' '
вектор a = (al, a2 а„) является линейной комбинацией векто-
ров с,, с2 as. Доказать, что:
1) если JCj, х2, ... , хг — база данной системы векторов и
г
лг» = 2^г »¦*/¦• l = r-\-\, r-\-2, .... п, то одной из основных
систем линейных соотношений данной системы векторов будет систе-
т
ма соотношений xt— 2 ^i> ,-л:,- = 0 (t = r-\- 1, r + 2, ... , w);
/=i
2) все основные системы линейных соотношений содержат одина-
ковое число соотношений;
3) если какая-нибудь основная система линейных соотношений со-
держит s соотношений, то любая система s линейно независимых
линейных соотношений той же системы векторов также является
основной системой линейных соотношений;
л
4) если система соотношений 2 ai /¦*/ —0 (/== 1, 2, ... , s)
J-i -
является основной системой линейных соотношений, то система соот-
п
ношений 2 Рл jxj = 0 (i=l,2 s) будет основной системой
линейных соотношений тогда и только тогда, когда, полагая
98 отдел II. системы линейных уравнении [683—688
<*|= (а,,,. ал2 алп), /=1. 2 s, bt = (fitll. ft,2 в,)Я),
/ = 1, 2 s, будем иметь:
S
t>i = 2i\t.jBj A=1. 2 s).
где коэффициенты ty, у образуют определитель порядка s, отличный
от нуля.
Пользуясь умножением матриц, последние s векторных равенств
можно записать в виде одного матричного равенства
В = СА. где A=(alt})Stn, ? = (Рг,Д,„ и С = (^,Д.
С — невырожденная матрица порядка s.
Определив основную систему линейных соотношений для системы
линейных форм аналогично тому, как это было сделано в задаче 682
для системы векторов, найти основную систему линейных соотноше-
ний для системы линейных форм:
683. /, = 5*, —Зд:2+ 2*3 4-4л:4, 684. /, = 8*, + 7х2 + 4*3 + 5*4,
/2 = 2*,— х2-\-Зх3-\-5х4, /2 = 3^ + 2*2+ *3 4-4*4-
/3 = 4*, — 3*2 — 5*з — 7*4, /3 = 2*, + 3*2+2*з — 3*4,
/4 = *1-|-7*з+11*4. /4= *,— *2— *з + 7*4,
/5 = 5*2 + 4*3 — 17*4.
685. Л = 5*, 4- 2*2— *з4-3*44-4-*:5.
/2 = 3*! 4~ Х2 — 2*з 4~ 3*4 4~ 5*5,
/з = 6*, 4- 3*2 — 2*3 4- 4*4 4- 74,
/4 = 7*, 4- 4*2 — 3*з 4- 2*4 4- 4*5-
686. /1 = 2*! — 3*2 4-4*з — 5*4,
/г= ^ — 2*2 4-7*з —8*4,
/з=3*! — 4*2 4- *3 —2*4,
/4 = 4*! — 5*2 4- 6*з — 7*4,
/5 = 6*! —7*2— *4.
687. /, = 3*, 4-2*2 —2*з— *44-4*5'
/2 = 6*t 4- 4*2 — 4*з — 2*4 4- 8*5,
/з = 7*14-5*2 —3*з —2*44- х5,
Л = 4-^1 + 4х2 — 4*з — Зл:4+5*5.
/5 == 8*, 4~ 7*2—5*3 — 4*4 4- 2*5.
688*. Пусть дана система линейных форм:
fr=j\ahkXb (у=1. 2 5) A)
*=1
в89—697| § и. системы линейных уравнении 99
и вторая система линейных форм, линейно зависящих от форм пер-
вой системы,
Ф| = 2'у/у (/=1.2 t). B)
Доказать, что ранг системы форм B) не более ранга системы
форм A). Если s — t и определитель \сц\3 отличен от нуля, то
ранги обеих систем линейных форм совпадают.
§11. Системы линейных уравнений
Исследовать совместность и найти общее решение и одно част-
ное решение системы уравнений:
689. 2л:,+ 7д:2+3*3+ *4 = 6,
За:, + 5х2 + 2*3 + 2*4 = 4,
9*! +4*2+ *3 + 7*4 = 2.
690. 2*! —Зл:2+ 5*3 + 7л:4=1,
4л:, —6*2+ 2а:3+ За:4 = 2,
2*j 3*2 11*з 15*4=1.
691. 3*,+ 4*2+ *3+ 2*4 = 3, 692. 3*j—5*2+2*3+4*4=2,
6*,+ 8*2 + 2*з+ 5*4=7, 7*,—4*2+ *з+3*4=5,
9*, + 12*2 + 3*з + 10*4 = 13. 5*,+7*2—4*3—6*4=3.
693. 2*!+ 5*2—8*з = 8. 694. 3*, — 2*2 + 5*3 + 4*4 = 2.
4*, + 3*2 — 9*з = 9, 6*, — 4*2 + 4*з + 3*4 = 3,
2*, + 3*2 — 5*з = 7, 9*, — 6*2 + 3*3 + 2*4 = 4.
*, +8*2 —7*з=12.
695. 2*,— *2+ 3*з— 7*4 = 5,
6*! — 3*2+ *3— 4*4=7,
4*, —2*2+14*з —31*4= 18-
696. 9*! —3*2+5*з+ 6*4 ==4,
6*j 2*2 + 3*з + *4 = 5,
3*,— *2+3*з+14*4 = — 8.
697. 3*! +2*2+2*3+ 2*4 = 2,
2*! + 3*2 + 2*з+5*4 = 3,
9*]+ *2 + 4*з 5*4=1,
2*, + 2*2+3*з+4*4 = 5,
7*,+
100 ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ F98—705
698. xt + x2 -f- 3*3 — 2хА + 3*5 = 1.
2л:,+ 2*2+ 4лг3— *4 + 3*5 = 2,
3*х + 3a:2 + 5a:3 — 2*4 + 3*5 = 1,
2*! + 2*2 + 8*з — 3*4 + 9*5 = 2.
699. 2*,— *2+ *3 + 2*4-f 3*5=2,
6*, — 3*2 + 2jc3 + 4*4 + 5*5=3,
6*, — 3*2 + 4*g + 8*4 + 13*5 = 9-
4*, — 2*2 + *3 + *4 + 2*5 = 1.
700. 6хх -f 4*2 + 5*3 + 2*4 + 3*5 = 1,
2 + 4*3+ *4 +2*5 = 3.
2 ^*3 I" "^4 === *
9*, + 6*2+
701. *!+2
3*, + 6*2 + 5*3 4*4 + 3*5 = О,
*! +2*2+ 7*3 —4*4+ *5=11,
2*!
702. 6*!
4*.
4*,
2*,
703. 8*,
А у*
7*,
+ 4*2
+ 2*з
+ 3*5 = 6.
+ 2*з Н- 3*4 + 4*5 = 5,
_l_9v _1_ *-
—|— ^Лп —(~ Ло
+ 2*2
+ *2
¦+ 6*2
+ 3*2
' "J' ' ?JCn
' 'Т ' ОЛп
+ 4*2
+ 3*з
+ 7*з
+ 5*з
+ 2*з
+ 3*з
+ х3
+ 5*з
4-2*4
+ 2*4
+ 3*5 = 4,
+ jc5 = O,
+ 3*4 + 2*5=1.
+ 2*4
+ *4
+ х4
+ ^4
+ 2*4
= 21, 704.
= 10,
= 8,
= 15,
= 18.
2*,+
4*,-+
3*2+
з*и-
*3+2*4=4,
¦"•зЧ" ЛГ4==5>
5*,+11*2+3*з+2*4=2,
2*,+
*i—
5*2Н-
7*2—
¦^а~г" Х4—•>
*3+2*4=7.
705*. Доказать, что:
а) любую систему s линейных уравнений с п неизвестными, у ко-
торой матрица из коэффициентов при неизвестных имеет ранг г,
путем изменения нумерации уравнений и неизвестных можно привеети
к виду
п
%auxj = b, (i=l, 2 s), @
J= 1
Обладающему свойствами
mo=l, тхф0, т2ф0, .... тгф0, B)
•706| $ ». системы линейных уравнения у 101
•где тк — минор k-го порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы
*из коэффициентов при неизвестных системы A);
б) систему уравнений A), обладающую свойствами B), путем
!ряда вычитаний ее уравнений, умноженных на подходящие числа,
*з последующих уравнений можно привести к эквивалентной системе
л
SV/ = ^ (/=1. 2 s), C)
обладающей свойствами:
сиф0 при 1=1, 2 г, |
сц = О при j < I < г, а гакже > D)
при (>ги У=1, 2 п. )
Щели ^ = 0 при 1=г-\-\, г + 2, ..., s, то системы C) и A) сов-
чиестны, причем при г = п имеется единственное решение, а при
ж < п бесконечно много решений.
В последнем случае свободными неизвестными являются хг+1, .... хп.
%\з г-го уравнения можно выразить хг через свободные неизвестные.
^Вставляя это выражение в (г— 1)-е уравнение, найдем выражение
xr_i через свободные неизвестные и т. д.
Наконец, из первого уравнения найдем выражение хх через сво-
бодные неизвестные.
Полученные выражения хх, х2 хТ через свободные неизве-
стные хг+1 хп составляют общее решение систем C) и A). Это
означает, что при любых значениях свободных неизвестных из най-
денных выражений получим решения систем C) и A) и любое реше-
ние этих систем может быть получено таким путем при подходящих
значениях свободных неизвестных.
Если й1Ф^> хотя бы при одном значении I > г, то системы C)
^и A) несовместны.
Изложенный метод исследования и решения системы линейных
¦уравнений называется методом исключения неизвестных (сравнить с за-
.дачей 565).
Пользуясь методом исключения неизвестных, указанным в за-
.даче 705, исследовать совместность и найти общее решение систем
^уравнений (если исходная система имеет целые коэффициенты, то
а процессе исключения неизвестных можно избежать дробей):
706. а:1-|-2^2 + 3л;з+ *4 — 3«
*» + 4*2+ 5*8+ 2*4 = 2.
2хх + 9л:2 + 8лг3 + Зл:4 = 7,
3*! + 7х2 4- 7*з + 2аг4 = ! 2,
5xt + 7х2 + 9a:3 + 2*4.= 20.
102 отдел и. системы линейных уравнении [707—714-
707. 12*! + 14*2—15*3 + 23*4 + 27*5 = 5,
16*! + 18х2 — 22*3 -f- 29*4 + 37*5 = 8,
1 8а:, + 20*2 — 21 хг + 32*4 + 41 хь = 9,
10xt + 12х2 — 16*3 + 20*4 + 23 х5 = 4.
708. 10д;1 + 23а:2+17а:з+ 44а:4 = 25,
15а:1 + 35а:2 + 26а:з+ 69а:4 = 40.
25а:! + 57а:2 + 42а:3 + 1 08а:4 = 65,
30а:! + 69jc2 + 51 а:3 + 1 ЗЗа:4 — 95.
709. 45а:! —28а;2 + 34а:з —52а:4 = 9,
36a:i —23a:2 +29a:3—43а:4 = 3,
35а:! — 21 х2 + 28 а:3 — 45а:4 = 16,
4 7a:i — 32а:2 + 36а:3 — 48а:4 = — 17,
27л;! — 19л:2+ 22а:3 — 35а:4 = 6.
710. 12л:2— 16а:з + 25а:4 = 29.
27а:, + 24л:2 — 32а:3 + 47а:4 = 55,
50а:! + 51 л:2 — 68 а:3 + 95а:4 = 115,
711. 24л:,+ 14*2+ 30*3+ 40л:4+41je5=28,
36*!+ 21*2+ 45*з+ 61*4 + 62*5 = 43,
48*! + 28*2 + 60*з+82*4 + 83*5 = 58,
60*!+ 35*2+ 75*з+99*4+102*5 =69.
Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от
значения параметра К:
712. б*, —3*2+2*3+ 4*4 = 3,
4*! —2*2+3*3+ 7*4=1,
7*! — 3*2 +7*3+17*4 = Я,.
713. 3*! + 2*2+5*з+ 4*4 = 3,
г*,+ 3*2+ 6*3+ 8*4 = 5,
*! — 6*2— 9*3 — 20*4 = —11,
4*!+
714. 2*!+ 5*2+
4*!+
4*! + 14*2+ *з+7*4 =
•715—7241 §:ii. системы линейных уравнений ЮЗ
715. 1хх— *2+3*3 + 4*4 = 5,
4 хх — 2х2+5*3 + 6*4 — 7,
6л:, —Зл:2+7лг3+ 8*4 = 9,
= 11.
716.
718.
2*j
4*,
6*,
8*,
%xx
X,
+
+
+
+
+
+
6*2+3*3+4*4=
9*2+5*3+6*4 =
12*2 + 7*з + A,*4 =
*" 1 v 1 „ 1
Л2~Т~ Л3~1 Л4 *
Л*2 -f- -*з + ^4 — 1
3,
5.
7,
9.
717. Я,*,
*,
*,
+
+ ;
+
¦^2+ ^3=1.
KX2 ~|~ ^3 ==i 11
V 1 1 v 1
л 2 ™|— ЛЛ2 —— i«
719.
720.
*2 + (Л + 1) *3 =
Исследовать системы уравнений и найти общее решение в за-
шисимости от значений, входящих в коэффициенты параметров:
721. дг+ у+ 2 = 1, 722. сдг+
с*+ *у+ cz — d, x-\-by-\- 2=1,
В каком случае здесь возможны нулевые значения некоторых из
«неизвестных?
723*. сд:+ у+ 2 = с,
ЛГ +
JC+
Найти общее решение и фундаментальную (или основную) систему
решений для систем уравнений:
724. л;,+ 2лг2+ 4*3— Зд;4==0.
6дг3— 4*4 = 0,
— 2дг3+ 3*4 = 0,
i + 8дг2+24*3 — 19*4 =. 0.
104 ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ |725—733
726. 2*, —4*2 + 5л:3 + 3*4 = 0,
3*,— 6*2 + 4*3 + 2*4 = 0,
Ахх — 8*2 + 17*3 + 11 *4 = 0.
726. 3*j + 2*2 + *3 + 3*4 + 5*5 = 0,
6 л;, + 4*2 + 3*3 + 5*4 + 7хъ = 0,
л:2 + 5аг3 + 7х4 + 9х5 = 0.
727. 3jc, -f- 5д:2 + 2 д:3 = 0.
4xl -f- 7х2 + 5дг3 = 0,
xl-\- х2 — 4д:3=^0,
2*,+ 9*8+ 6*8 = 0.
728. блг, —2*2+2*з+5*4+7*5 = 0.
9*, — 3*2 + 4*3 + 8*4 + 9л:5 = 0.
6*, —
3*,—
729. *! — *з = 0, 730. *, —*з + *5 = 0,
*2 — *4 = 0, *2 *4 + -^б = 0.
— *, + *3 *5 = 0, *! *2 + *5 Х6
— Х2 ~Р ХА Х6 == 0, *2 *з + *6 == О,
731. 5*,+ 6*2 — 2*з+7
2*,+ 3*2— л:3 +4*4
7*, + 9*2 — 3*з + 5*4 + 6*5 = О,
5*, + 9*2— 3*з+ *4
732. 3*,+ 4*2+
5*!+ 7*2+
4*,+ 5
7^ + 10*2+ *3
733. Доказать, что для любой однородной системы линейных урав-
нений с рациональными (в частности, с целыми) коэффициентами мож-
но построить целочисленную фундаментальную систему решений (при
условии, что ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных).
34—7391 S II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 105
734. Доказать, что для системы уравнений
л
%аих, = 0 (t—l. 2 s) О)
фанга г < п любые п — г линейно независимых решений
.., а1п,
ап-г, 1» ®п-т, 2> • • •¦ ая-г, л
образуют фундаментальную систему решений, а общее решение мож-
представить в виде
я—г
С/= 1. 2 п). B)
«•де с,. с2 сп~т — произвольные параметры. Иными словами, дока-
гзать, что при любых значениях параметров cv c2 сп_т форму-
лы B) дают решение системы A), и любое решение системы A) мож-
¦яо получить из формул B) при подходящих значениях параметров cv
•с2, .. -, сп-гш
Для следующих систем уравнений найти общее решение вида B)
«из предыдущей задачи, где каждое неизвестное представлено одно-
родным линейным выражением от параметров с целыми коэффициен-
тами:
736. 2at,+ х2 — 4дг3 = 0, 736. 2л:,—
737.
;738.
1739.
Зл;, -f- 5лг2 — 7л;3 =
4л:, — 5лг2 — 6л;3 =
блг, -f- 4лг2 -f- 7лг3 -f-
ол;, —|— &х2 ^з i—
6л:, -f- 4лг2 -f- л:3 -f-
UAj *"™2 I 3 I
Q „ ^ | Q v |
ОЛ] ' Г *""'3 ' г
/? „ О *• I ^v 1
ОД] &Л9 —I— uaq —|—
с/лj — OA2 ~x~ "^3 r~
Зл;! -f- 5лг2 -f- 7л;3 -f-
0,
0.
2x4 +
2x4~
Ay
4^4 +
6л:4 +
5л:4 +
5л:4+
5л;4 —
5хь
9х5
Нх5
4^ — 2*2 + "
2л;,— х2-{-
о о о о
II II II II
о о о о
II II II II
о о о о
II II II II
7x3 + 5x4 = 0,
106
ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
9х4 + 6х5 = 0,
|740—743
740. 3^ + 2+3+
9^ + 8x2 + 5x3+ 6х4+ 9х5 = 0,
Зх, + 8х2+7х3+30х4 + 15х5 = 0.
6x^6x2+4x3+ 7х4+ 5х5 = 0.
741. Образуют ли строки каждой из матриц
30 —24 43 —50 —5'
9 —15 8 5 2
4
4
1
9
2
2
— 11
-15
9
2
8
9
—20
—20
13
5
—3
-3\
4
2J
фундаментальную систему решений для системы уравнений
t+ 7x5 = 0,
4x^3x2— x3— x4+llx5 = 0,
X! + 6x2 + 8x3 + 5x4 — 4x5 = 0.
742. Какие из строк матрицы
6 2 3-2—7
5 3 7—6—4
8 0—5 6 —13
4—2—7 5—7
образуют фундаментальную систему решений для системы уравнений
5х! — 8х2 + 5х3+4х4 + Зх5 = 0,
*• ___ 7 v | А. ** I О \- i С\
^ ¦>- g до ¦ г 1Л9 Г aAi -¦' ' \Jf
4х,— х2+ х3 + 2х4+Зх5 = 0.
743*. Доказать, что если в общее решение однородной системы
линейных уравнений ранга г с п неизвестными, где г < п, вместо
свободных неизвестных подставить числа поочередно из каждой стро-
ки определителя порядка п — г, отличного от нуля, и найти соот-
ветствующие значения остальных неизвестных, то получится фунда-
ментальная система решений, и, обратно, любую фундаментальную
систему решений данной системы уравнений можно получить таким
путем при подходящем выборе определителя порядка п — г, отлично-
го от нуля.
744—748] ¦¦-¦•- § п.-системы линейных уравнений
744. Пусть строки матрицы
107
А =
*12
V
а„
а
рп
образуют фундаментальную систему решений однородной системы
линейных уравнений ранга г с п неизвестными (п = г-{-р). Доказать,
что строки матрицы
Рц Pl2 • • • Pin
Р21 Р22 • • • Ргя
В =
Ppl Pp2
Vpn
тогда и только тогда также образуют фундаментальную систему реше-
ний той же системы уравнений, когда существует невырожденная
патрица р-го порядка
Yn Y12 ••• Yip
Y21 Y22 ••• Y2P
Ypi
Ypp
такая, что
ft..
2j
(/=1. 2 p, k=\, 2,
n).
Пользуясь матричным умножением, эти равенства можно записать од-
ним равенством В = СА.
746. Показать, что задача 743 является частным случаем задачи 744.
746. Доказать, что если ранг однородной системы линейных урав-
нений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения
этой системы пропорциональны, т. е. отличаются лишь числовым
множителем (быть может, равным нулю).
747. Пользуясь теорией однородных систем линейных уравнений,
решить задачу 509, т. е. доказать, что если определитель D по-
рядка п > 1 равен нулю, то алгебраические дополнения соответствую-
щих элементов двух любых строк (столбцов) пропорциональны.
748*. Доказать, что если в однородной системе линейных урав-
нений число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то
ъ качестве решения можно принять систему миноров, полученных
из матрицы коэффициентов поочередным вычеркиванием 1-го, 2-го
« т. д. столбцов, причем эти миноры берутся с чередующимися знаками.
Далее, показать, что если это решение не нулевое, то любое
решение получается из него умножением на некоторое число.
108 отдел и. системы линейных уравнений |749—758
Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти частное и общее
решения систем уравнений:
749. 5xj+3x2-|-4x3 = 0. 760. 4х1 — 6х2-г- 5х3=0,
б*,+ 5л;2 +6*3 = 0. 6x4 — 9x2+10x3 = 0.
761. 2х1 + Зх2+5х3 + 6х4 = 0,
Зх, + 4х2 + 6х3 -+- 7х4 = 0.
Зх,+ х2 + х3+4х4 = 0.
762. 8х, —5х2—6х3 + Зх4 = 0,
4х1 — х2 — Зх3 + 2х4 = 0,
t — 7х2 — 9х3 + 5х4 = 0.
763. Доказать, что для того, чтобы система линейных уравнений
с числом уравнений, на единицу ббльшим числа неизвестных, была
совместна, необходимо (но не достаточно), чтобы определитель, соста-
вленный из всех коэффициентов при неизвестных и свободных членов,
был равен нулю. Показать, что это условие будет также и достаточным,
если ранг матрицы из коэффициентов равен числу неизвестных.
764. Пусть даны: система линейных уравнений
л
^atjXj = bt A=1. 2 s),
два решения этой системы ар а2 а„ и plt р2 ря и число Я,.
Найти систему линейных уравнений с теми же коэффициентами при
неизвестных, как в данной системе, имеющую решением
а) сумму данных решений:
или
б) произведение первого из данных решений на число X:
765. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
либо сумма двух решений, либо произведение одного решения на
число К Ф 1 было снова решением той же системы линейных уравнений.
766. При каких условиях данная линейная комбинация любых
решений данной неоднородной системы линейных уравнений снов»
будет решением этой системы?
767. Какие значения могут принимать неизвестные в любых реше-
ниях совместной системы линейных уравнений, если столбцы коэф-
фициентов при всех неизвестных, кроме первого, а также столбец*
свободных членов попарно различаются лишь числовыми множителями?
768. При каких условиях в любом решении совместной системы»
линейных уравнений неизвестное xk имеет одно и то же значение?
759—766] § ii- системы линейных уравнений 109
769. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
в любом решении совместной системы линейных уравнений ft-e не-
известное было равно нулю.
760. При каких условиях в общем решении системы уравнений
ах -\-су — et = О,
Ьх -\- dy + ez = 0
за свободные неизвестные можно принять z и t?
761. Сколько независимых между собою условий должно быть
выполнено для того, чтобы система s линейных уравнений с п не-
известными была совместна и содержала г независимых уравнений,
для которых остальные уравнения являлись бы их следствиями?
762. При каких условиях система уравнений
х = by -f- cz -\-du-\- ev,
у =сг -\-du -\-ev -j- ax,
z = du-\-ev -|- ax -f- by,
и = ev -j- ax 4- by -f- cz,
v = ax -\- by -\-cz -\-du
имеет ненулевое решение?
763*. При каких условиях система линейных уравнений с веще-
ственными коэффициентами
Хх -f ay + bz + с* == О,
— bx—hy + lz -+- /f = 0,
— ex +g-y—/гг 4-^=0
имеет ненулевое решение?
Пользуясь теорией линейных уравнений, решить следующие
задачи (рассматриваются только прямоугольные декартовы системы
координат):
764. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
три точки (xt, yj, (x2, y2), (х3, Уз) лежали на одной прямой.
766. Написать уравнение прямой, проходящей через две точки
(*i. У\). (х2, у2).
766. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
три прямые
alx-\-b1y-\-cl = 0,
а2х -f- b2y -f- c2 = 0,
проходили через одну точку.
ПО ОТДЕЛ II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [767—777
767. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы п
точек плоскости (xv у{), (х2, у2) (хп> У я) лежали на одной
прямой.
768. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы п
прямых на плоскости
е, =0.
проходили через одну точку.
769. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
четыре точки плоскости (xlt у{), {х2, у2), (xs, у3), (xt, у4), не лежащие
на одной прямой, лежали на одной окружности.
770. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки
(х1г у^, (х2, Уг)> (ха> Уз)> не лежащие на одной прямой.
771. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки
A, 2), A, —2), @, —1), и найти ее центр и радиус.
772*. Доказать, что окружность, проходящая через три точки
с рациональными координатами, имеет центр в точке также с рацио-
нальными координатами.
773. Написать уравнение кривой второго порядка, проходящей
через пять точек:
(XV у,), (Х2, у2), (ДГ3, Уз). (*4. У4>. С-*^ У5>-
774. Найти уравнение и определить вид кривой второго порядка,
проходящей через пять точек:
C,0), (—3,0), (б, 6-|). (б. — 6-|), (—5, — 6-|).
776. Написать уравнение и определить положение и размеры кри-
вой второго порядка, проходящей через пять точек:
@, 1), (±2. 0) (±1, -1).
776. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
четыре точки (*,, у,, z,), {х2, у2, z2), (дг3, у3, z3). (-"V У4> zi) лежали
в одной плоскости.
777. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
A, 1. 1). B. 3, —1), C, —1. —1).
778—787] § II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И!
778. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
четыре плоскости
= О,
«з* + *зУ + 4Z + йг = 0.
о4д: + ft^ -f - c4z + ^4 — °
проходили через одну точку.
779. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы п
плоскостей atx -f- bty -\- ctz -\- dt = 0 (t = 1, 2, .... n) проходили
через одну прямую, но не сливались в одну плоскость.
780. Написать уравнение сферы, проходящей через четыре точки
(*,, yv Zi), (х2, у>2, z2), (дг3, Уз- «з)» (Х4> У4- *д> не лежащие в одной
плоскости.
781. Написать уравнение и найти центр и радиус сферы, про-
ходящей через точки: A, 1, 1), A, 1, —1), A, —1, 1), (—1, 0, 0).
782. Какая система линейных уравнений задает три различные
прямые на плоскости, проходящие через одну точку?
783. Какая система линейных уравнений задает три прямые на
плоскости, образующие треугольник?
784. Какая система линейных уравнений задает три плоскости
пространства, не имеющие общих точек, но пересекающиеся попарно?
785. Какая система линейных уравнений задает четыре плоскости
пространства, образующие тетраэдр?
786. Указать геометрическую интерпретацию системы четырех
линейных уравнений с тремя неизвестными, в которой ранги всех
матриц из коэффициентов при неизвестных трех уравнений и ранг
расширенной матрицы равны трем?
787. Рассмотреть все возможные случаи, встречающиеся при
решении систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными,
и в каждом случае дать геометрическую интерпретацию данной си-
стемы уравнений.
ОТДЕЛ III
МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 12. Действия с матрицами
Вычислить произведения матриц:
и;
788.
93
—126
70 34 —107
52 26 —68
101 50 —140
798—8091
798.
1
—5
—
5
16
§
1
—3
1
— 11
12. ДЕЙСТВИЯ
1
—4
4
— 15
Вычислить выражения:
799. /
'1
U
801. -
— 1
B
о
—4
—1
—2
Y
г
Г-
800.
802.
—1
4
—3
14
С МАТРИЦАМИ
я
/4 -1
7
11
5
22
у
U ~2/'
/cos a
\sina
—2
0
4
2
— sina\n
cosa/
3
3
3
9
4
4
0
8
ИЗ
803.
О
, где нули обозначают, что все элементы ма-
трицы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
804.
806.
1 1\"
0 1/ '
1 1 1
О 1 1
О 0 1
806.
. 1
. 1
. 1
Я, 1
О I
0 0 0
807.
1 1
О 1
О О
0 О
1 О
1 1
.о о "-1
. о о
.00
808. Вычислить
—6\_/2 3\/2 0\/ — 7 3\
—12/ Дб 7/V0 зД 5 —2/"
809.
'4
2
.4
О 0 0 0 ... О 1
(порядок данной матрицы равен п).
используя равенство
используя равенство
1 0 0\/ 0 2 —1
О 2 0 )( 1 1—1
О 0 1/\—2 —5 4,
114 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [810—820
810. Доказать, что если для матриц А к В оба произведения АВ
и В А существуют, причем АВ = ВА, то матрицы А и В — квадрат-
ные и имеют одинаковый порядок.
811. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если:
а) переставить i-ю и у-ю строки матрицы At
б) к 1-й строке матрицы А прибавить у-ю строку, умноженную
на число с?
в) переставить i-й и у-й столбцы матрицы В?
г) к i'My столбцу матрицы В прибавить у-й столбец, умножен-
ный на число с?
812. Пользуясь предыдущей задачей и неизменностью ранга при
элементарных преобразованиях (см. задачу 615), доказать, что ранг
произведения двух матриц не более ранга каждого сомножителя.
813. Доказать, что ранг произведения нескольких матриц не более
ранга каждой из перемножаемых матриц.
814. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов,
стоящих на главной диагонали. Доказать, что след АВ равен следу В А.
816. Доказать, что если А и В — квадратные матрицы одного
и того же порядка, причем АВфВА, то
а) (А + В?фА2-\-2АВ-\-В2;
б) (А-\-В)(А — В)фА* — В2.
816. Доказать, что если АВ — ВА, то
л
Здесь А и В — квадратные матрицы одинакового порядка.
817. Доказать, что любую квадратную матрицу А можно пред-
ставить, и притом единственным образом, в виде Л = В-|-С, где
В — симметрическая, а С — кососимметрическая матрицы.
818. Матрицы Л и В называются перестановочными, если
АВ = ВА. Квадратная матрица Л называется скалярной, если все
ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, а эле-
менты главной диагонали равны между собой, т. е. если А = сЕ,
где с — число, а Е— единичная матрица. Доказать утверждение: для
того чтобы квадратная матрица А была перестановочна со всеми
квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно,
чтобы матрица Л была скалярной.
819. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее
элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Доказать
утверждение: для того чтобы квадратная матрица Л была переста-
новочна со всеми диагональными матрицами, необходимо и доста-
точно, чтобы матрица А сама была диагональна.
820. Доказать, что если Л — диагональная матрица и все эле-
менты ее главной диагонали различны между собой, то любая мат-
рица, перестановочная с Л, также диагональна.
821—831| § 12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ 115
821. Доказать, что умножение матрицы Л слева на диагональную
матрицу B=[XV Я2 hn\ вызывает умножение строк Л соот-
ветственно на kv Я2, ¦ • • • ^л> умножение же Л на В справа вызы-
вает аналогичное изменение столбцов.
Найти все матрицы, перестановочные с матрицей:
822.
823.
826.
С
1°
0
—2}
1
0
0
(•
0
1
0
0
0
1
.0 0 0 0.
826. Найти все числа с, умножение на которые невырожденной
матрицы Л не изменяет ее определителя.
827. Найти значение многочлена f{x) = Ъх2—2х-\-Ъ от матрицы
A —2 3>
2 —4 1
3 —5 2)
828. Найти значение многочлена f{x) — x3—7х2-\-\Ъх — 5 от
матрицы
E 2 — 3>
1 3 —1
2 2 —1,
(а Ь\
= 1 I
(а Ь\
829. Доказать, что матрица Л = 1 I удовлетворяет уравнению
830*. Доказать, что для любой квадратной матрицы А суще-
ствует многочлен f(x), отличный от нулевого и такой, что /(Л) = 0,
причем все такие многочлены делятся на один из них, определенный
однозначно условием, что его старший коэффициент равен единице
(он называется минимальным многочленом матрицы Л).
831*. Доказать, что равенство АВ — В А =Е не выполняется
ни для каких матриц А н В.
116 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |832—84Э
832. Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен
нулевой матрице.
833*. Пусть А — матрица второго порядка и k — целое число,
большее двух. Доказать, что Л* = 0 тогда и только тогда, когда
Л2 = 0.
834. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых,
равны единичной матрице.
836. Исследовать уравнение АХ = 0, где А — данная и^ — иско-
мая матрицы второго порядка.
Найти обратные матрицы для следующих матриц:
836. /1
838
я-1
я-2
837. /3 4\
\5 7)'
839. /cos a
\sina
841.
846.
847.
849.
О 0 0 ... 1
1 0 0 0 ... О О
а 1 0 0 ... О О
О а 1 0 ... О О
О 0 а 1 ... О О
О 0 0 0 ... а 1
(порядок матрицы п -{- 1),
850-857J
860.
851.
i 12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
1 2 3 4 ... п—\ п
0 1 2 3 ... п— 2 п—\
0 0 1 2 ... п — Ъ п—2
О О О О ... 1 2
О 0 0 0 ... О 1
2—100 ... О
—1 2—1 0 ... О
О _1 2 —1 ... О
852.
864.
О О О О ... 2
1 1 1 ... 1 853.
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
1 1 1 ... О щ 111
14-fi i i •¦• i
i 14-0 1 ••• 1
1 1 l + c ... 1
866.
1 1
1 14-,
1 1
1
... 1+в
14-из ¦••
.. о
(порядок матрицы ра-
вен п).
1 1 1 ... 1+в„]
866. Показать, что вычисление матрицы, обратной к данной
матрице порядка п, можно свести к решению п систем линейных
уравнений, каждая из которых содержит п уравнений с п неизвест-
ными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу А..
Пользуясь методом задачи 856, найти обратные матрицы для*
следующих матриц:
867.
3
0
5
2
3
6
4
3
—4
1
2
3
—3
1
1
2
118
858*.
ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1 2 3 ... п~ 1 п
п 1 2 ... п — 2 п— 1
п—1 п 1 ... п — 3 п — 2
(858-868
859.
860*.
2 3
а
а-Нп— \)h
1
1
1
1
a~\-h
1
е
е2
е3
4 ...
й+Л
а
a-\-2h
1
е2
е4
е6
п
й+2Л ...
a+h ...
fl+ЗЛ ...
1 ...
е3 ...
е» ...
е9 ...
1
й+(«—2) Л
o-f(n—3)Л
й-К«-1)Л
1
еп-1
е2(л-1)
еЗ(п-1)
1
tt+(ft—1)Л
с-Н«— 2) А
а
ел-1 е2(п-1) еЗС-1) ##>
2л . . . 2л
я-де е = cos 1-1 sin —.
/i ft
Решить матричные уравнения:
/3 5\
3 —2N /—1
-4L-5
863
869—878] ' § 12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
9 7\
Х=[1 11 7
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
... 1
... 1
... 1
... 1
5 7;
1 2 3
О 1 2
О О 1
ООО
,. п
,. п — 1
.. п —2
1
., 872. Как изменится обратная матрица А ', если в данной мат-
рице А:
а) переставить /-ю и у-ю строки?
б) i-ю строку умножить на число с, не равное нулю?
в) к /-й строке прибавить у-ю, 'умноженную на число с, или со-
вершить аналогичное преобразование столбцов?
873. Целочисленная квадратная матрица называется унимодуляр-
ной, если ее определитель равен ± 1. Доказать, что целочисленная
матрица тогда и только тогда имеет целочисленную обратную матрицу,,
когда данная матрица унимодулярна.
874. Доказать, что матричное уравнение АХ = В разрешимо-
тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы
(Л, В), получаемой из А приписыванием к ней справа матрицы В.
.876. Показать, что матричное уравнение АХ ~0, где А — квад-
ратная матрица, имеет ненулевое решение тогда и только тогда,
когда | Л | = 0.
876. Пусть Л и В — неособенные матрицы одного и того же
порядка. Показать, что четыре равенства:
АВ=ВА,
А'1В'1 = В'1А~1
равносильны между собой.
877. Пусть А — квадратная матрица и f(x) и g(x) — любые-
многочлены. Показать, что матрицы f(A) и g(A) перестановочны,
т. е.
f()g() g()f()
f (jc)
878. Пусть А — квадратная матрица и г(х) = - —рациональ-
ная функция от х. Показать, что значение г (А) функции г(х)
при х = А определено однозначно тогда и только тогда, когда^
\
120 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ (879—887
I ' lEk U\
879. Найти матрицу А . обратную для матрицы j4=| 1,
где Ek и Et — единичные матрицы соответственно порядков k и /,
U — произвольная (ft, /) матрица (т. е. матрица из к строк и / столб-
цов), а все остальные элементы равны нулю.
880. k-ы косым рядом порядка п называется квадратная матрица
Jik — (htj) порядка ге, элементы которой определяются равенствами
{1 при j — I = k.
0 при J-1 + k (*=±>. ±2 ±(„-1)).
Показать, что H\ — Hk, Hk_l = H_k, если k=l, 2 re—1:
n$ = Hii = 0, если ?>n.
881. Как изменится матрица А при умножении ее слева или справа
на матрицу И1 или Н_1 предыдущей задачи?
882. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает
•свойствами:
а) (Л -f В)' = А' + В'; б) (АВ)Г = В'А';
в) ' r '{t)f \
тде с — число, а Л и В — матрицы.
883. Доказать, что если А к В симметрические квадратные
матрицы одинакового порядка, то матрица С = АВАВ ... ABA
лвляется симметрической.
884. Показать, что:
а) матрица, обратная к неособенной симметрической, будет сим-
метрической;
б) матрица, обратная к неособенной кососимметрической, будет
жососимметрической.
.885. Показать, что для любой матрицы В матрица А — ВВГ
-является симметрической.
886. Пусть А* = А' — матрица, полученная из А путем транспо-
нирования и заменой всех элементов на числа комплексно-сопряжен-
ные. Показать, что:
а) (Л -|- В)* = А* + В*; б) (АВ)* — В*А*;
в) {сА)=~сА*; г) (Л)* = (ЛТ1.
ггде с — число, а Л и В — матрицы, над которыми выполнима соот-
ветствующая операция.
887. Матрица Л называется эрмитовой, если А* = А. Показать,
¦что для любой матрицы В с комплексными или вещественными эле-
зментами матрица А —В-В* является эрмитовой.
888—8961 * и. действия с матрицами 121
888. Показать, что произведение двух симметрических матриц^
тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные
матрицы перестановочны.
889. Показать, что произведение двух кососимметрических матриц^
тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные
матрицы перестановочны.
890*. Доказать, что произведение двух кососимметрических ма-
триц А н В тогда и только тогда будет кососимметрической матри-
цей, когда АВ = — В А.
Привести примеры кососимметрических матриц, удовлетворяющих-
условию ЛВ =— ВА..
891. Квадратная матрица Л = (а,у) порядка п называется орто-
гональной, если АА' = Е, где Е — единичная матрица. Показать, что-
для ортогональности квадратной матрицы Л необходимо и достаточна
любое из следующих условий:
а) столбцы Л образуют ортонормированную систему, т. е.
п
где btj — символ Кронекера, обозначающий 1 при i = j и 0 при / Ф /;.
б) строки Л образуют ортонормированную систему, т. е.
892. Квадратная матрица А = (a,j) порядка п с вещественными
или комплексными элементами называется унитарной, если АА* = Е
(смысл обозначения А* тот же, что и в задаче 886). Показать, что
для унитарности .квадратной матрицы А необходимо и достаточно-
любое из следующих условий:
я
а) ^ак1ак1 = Ьи,
л Ф{] — символ Кронекера).
б) 2 «««;* = fy/
893. Доказать, что определитель ортогональной матрицы ра-
вен ± 1.
894. Доказать, что определитель унитарной матрицы по модулю*
равен единице.
895. Доказать, что если ортогональная матрица А имеет на глав-
ной диагонали квадратные клетки Аи А2, .... As и нули по одну
сторону от этих клеток, то все элементы по другую сторону от них
также равны нулю и все матрицы Аи А2 As ортогональны.
896. Доказать, что для ортогональности квадратной матрицы А
необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен + 1
122 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [897—909
и каждый ее элемент был равен своему алгебраическому дополнению,
взятому со своим знаком, если | А | = 1, и с противоположным, если
l
897*. Доказать, что вещественная квадратная матрица А порядка
^ 3 будет ортогональна, если каждый ее элемент равен своему алге-
браическому дополнению, и хотя бы один из элементов отличен от нуля.
898*. Доказать, что вещественная квадратная матрица А порядка
п ^> 3 будет ортогональна, если каждый ее элемент равен своему
алгебраическому дополнению, взятому с противоположным знаком,
И хотя бы один из элементов отличен от нуля.
899*. Доказать, что сумма квадратов всех миноров второго порядка,
лежащих в двух строках (или столбцах) ортогональной матрицы,
равна единице.
900*. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров вто-
рого порядка, лежащих в двух строках (или столбцах) унитарной
матрицы, равна единице.
901*. Доказать, что сумма квадратов всех миноров fc-го порядка,
лежащих в любых k строках (столбцах) ортогональной матрицы,
равна единице.
902*. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров А-го
порядка, лежащих в любых k строках (столбцах) унитарной матрицы,
равна единице.
903*. Доказать, что минор любого порядка ортогональной ма-
трицы А равен своему алгебраическому дополнению, взятому с его
знаком, если |Л|= 1, и с противоположным знаком, если М| = — 1.
904*. Пусть А — унитарная матрица, М — ее минор любого по-
рядка, МА—алгебраическое дополнение минора М в матрице А.
Доказать, что МА = \А\- М, где М — число, сопряженное с М.
905. При каких условиях диагональная матрица является ортого-
яальной? -
906. При каких условиях диагональная матрица является унитарной?
907. Проверить, что любое из трех свойств квадратной матрицы:
вещественность, ортогональность, унитарность — вытекает из двух
остальных.
908. Квадратная матрица / называется инволютивной, если Р = Е.
Показать, что каждое из трех свойств квадратной матрицы: симме-
трия, ортогональность, инволютивность — вытекает из двух остальных.
909. Проверить, что матрицы
а)
1/3
—2/3
—2/3
—2/3
1/3
—2/3
-2/3 \
-2/3 ;
1/3/
б)
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
-1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
-1/2
1/2
обладают всеми тремя свойствами предыдущей задачи.
910—9191 § '2- действия е матрицами
910. Квадратная матрица Р называется идемпотентной, если
Р2 = Р, Показать, что если Р идемпотентна, то I =.2Р — Е инво-
лютивна, и наоборот, если / инволютивна, то Р = 1/2A-\-Е) идем-
потентна.
911. Доказать, что:
а) произведение двух ортогональных матриц будет ортогональной
матрицей;
б) матрица, обратная к ортогональной матрице, ортогональна.
912. Доказать, что:
а) произведение двух унитарных матриц будет унитарной матри-
цей;
б) "матрица, обратная к унитарной матрице, унитарна.
913*. Минор матрицы А, стоящий на пересечении строк с номе-
рами iv l2, ¦ • ¦. 1р и столбцов с номерами j\, j2, .... jp будем,
обозначать через А Г.1' '.2 1А.
\]\, Ji, • • .1 Jp/
Доказать справедливость следующего выражения миноров про-
изведения С = АВ двух матриц через миноры перемножаемых матрица
h> 'й • ¦ •• 'р
U л,...,
A....,
если р не превосходит ни числа столбцов матрицы А, ни числа
строк матрицы В. В противном случае все миноры порядка р мат-
рицы С равны нулю.
914. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что ранг произ-
ведения двух матриц не более ранга каждого сомножителя.
916*. Доказать, что умножение матрицы А слева или справа на
невырожденную матрицу не изменяет ее ранга.
916. Главным минором матрицы А называется минор, стоящий
в пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Показать,
что если элементы матрицы В. вещественны, то все главные миноры
матрицы А = ВВГ неотрицательны.
917. Показать, что для любой матрицы В с комплексными или
вещественными элементами все главные миноры матрицы А = ВВ*
неотрицательны. Здесь В* = В'.
918. Показать, что если в обозначениях предыдущей задачи
А — ВВ*. то ранг А равен рангу В.
919. Доказать, что сумма главных миноров ft-ro порядка мат-
рицы АА' равна сумме квадратов всех миноров k-то порядка мат-
рицы А..
124 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [920—930
020*. Доказать, что для любых квадратных матриц А и В по-
-рядка я сумма всех главных миноров данного порядка As(l-^As-^re)
.для матриц АВ и ВА одинакова.
921*. Пусть А — вещественная матрица порядка и, В и С —
матрицы из первых k и последних я — к столбцов А, Доказать, что
|2'С'С|
922*. Пусть А = (В С) — вещественная матрица (смысл символа
(В, С) указан в задаче 874). Доказать, что | А'А |<|В'В|. \С'С\.
923*. Пусть А = (atj) — квадратная вещественная матрица по-
п п
рядка я. Доказать неравенство Адамара: \А\2-СП 2а?/г
ft-U-l
924*. Доказать, что для любой вещественной прямоугольной ма-
трицы А = (atj) с я строками и т столбцами выполняется нера-
т п
.венство | А'А|^ Д 2 aL'
925*. Пусть А = {В, С) — матрица с комплексными элементами.
.Доказать, что | А* ¦ А |< | В* • В | -1 С* ¦ С|.
926*. Пусть А = (atj) — квадратная матрица порядка п с ком-
плексными элементами, не превосходящими по модулю числа М.
п
.Доказать, что модуль определителя | А | не превосходит Мп • я2, при-
чем эта оценка является точной.
927*. Показать, что каждое элементарное преобразование матрицы
А, т. е. преобразование одного из следующих типов:
а) перестановка двух строк (столбцов);
б) умножение строки (столбца) на число с, отличное от нуля; .
в) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца),
умноженной на любое число с, может быть получено умножением
матрицы А на некоторую неособенную матрицу Р слева для пре-
образования строк и справа для преобразования столбцов.
Найти вид этих матриц.
928*. Квадратная матрица называется треугольной, если все
ее элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны
нулю. Показать, что любую квадратную матрицу можно представить
в виде произведения нескольких треугольных матриц.
929*. Показать, что любую матрицу А ранга г можно предста-
вить в виде произведения А = PRQ, где Р и Q — неособенные
матрицы, a R — прямоугольная матрица тех же размеров, что и А,
на главной диагонали которой первые г элементов равны единице,
все же остальные элементы равны нулю.
930*. Пусть А — матрица размеров т X п и ранга г, Р — (Рц) —
матрица размеров .s X "*. У которой рп = /?22 =....= pkk = 1, а все
«стальные элементы — нули, Q = (qtj) — матрица размеров п X t; у ко-
931—938) § 12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ 125
торой gll=g22= ¦. ¦ =дп= I, а все остальные элементы — нули.
Доказать неравенства:
а) ранг /М>й + г— га; б) ранг AQ;>/ -f- г — п;
в) ранг PAQ>ft + /-f-r — т — п.
931*. Обозначим ранг матрицы А через гА. Доказать, что для
ранга произведения АВ двух квадратных матриц А и В порядка п
имеет место следующее неравенство:
гА-\~гв — п-^ гАв-^ гл, гв (неравенство Сильвестера).
932. Показать, что для ранга произведения АВ прямоугольных
матриц А и В имеет место неравенство Сильвестера предыдущей
задачи при условии, что п обозначает число столбцов матрицы А
и число строк матрицы В.
933*. Показать, что любую невырожденную матрицу А элемен-
тарными преобразованиями только строк (или только столбцов) можно
привести к единичной матрице Е. Если совершенные над А элемен-
тарные преобразования в том же порядке применить к единичной
матрице Е, то в результате получится матрица А~1, обратная для А.
Пользуясь приемом предыдущей задачи, найти обратные матрицы
для следующих матриц (для удобства вычислений приписать к дан-
ной матрице А справа единичную матрицу и выполнять элементар-
ные преобразования строк, приводящие А к Е, над строками всей
написанной матрицы):
934. /12—1 —2\ 935.
936.
1
3
2
3
0
0
2
1
2
8
2
8
0
3
7
2
j
0
4
——1
1 -
1
6 -
—2
4
—3
—6
-1\
4
-I '
2 —l/
937. Пользуясь методом задачи 933, найти обратные матрицы
для матриц задач 844, 846, 847, 848, 849, 850.
938*. Доказать утверждение:
для того чтобы матрица Л из га строк и п столбцов имела ранг
единицу, необходимо и достаточно, чтобы А представлялась в виде
И = БС, где В— ненулевой столбец длины га, С — ненулевая строка
длины п.
126 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [939—946
939*. Доказать утверждение:
для того чтобы матрица А из т строк и и столбцов имела
ранг г, необходимо и достаточно, чтобы А представлялась в виде
А — ВС, где В — матрица из т строк и г линейно независимых
столбцов, а С— матрица из г линейно независимых строк и п
столбцов.
940. Показать, что если А и В — квадратные матрицы по-
рядка п и АВ = 0, то гА -f- гв -^ п. причем для любой данной ма-
трицы А матрицу В можно выбрать так, чтобы было г А -f- гв = k,
где k — любое целое число, удовлетворяющее условию гд ^ k -^ п.
941*. Показать, что если А—квадратная матрица порядка п, для
которой Л2 = ?, то гЕ+А-\-гЕ_А = п.
942. Две целочисленные матрицы называются эквивалентными,
если от одной из них к другой можно перейти путем целочислен-
ных элементарных преобразований, т. е. преобразований следующих
типов:
а) перестановка двух строк;
б) умножение строки на —1;
в) прибавление к одной строке другой, умноженной на целое
число с, и аналогичных преобразований для столбцов. Доказать, что
матрицы А и В тогда и только тогда эквивалентны, когда B = PAQ,
где Р и Q—квадратные целочисленные, унимодулярные матрицы.
943*. Прямоугольная целочисленная матрица А называется нор-
мальной, если ее элементы ап, й2г ап положительны, ап де-
лится на аг-1 j_j (i=2, 3 г), а все остальные элементы равны
нулю. Показать, что каждая целочисленная матрица эквивалентна
одной и только одной нормальной матрице; иными словами, каждый
класс эквивалентных между собой целочисленных матриц содержит
нормальную матрицу и притом только одну.
944*. Доказать, что каждую неособенную целочисленную ма-
трицу А можно представить в виде A—PR, где Р — унимодуляр-
ная, целочисленная матрица, a R — треугольная целочисленная ма-
трица, элементы которой на главной диагонали положительны, ниже
главной диагонали равны нулю, а выше главной диагонали — не-
отрицательны и меньше элементов главной диагонали того же столбца,
причем такое представление единственно.
945*. Доказать, что квадратную матрицу А порядка п и ранга г
можно представить в виде A = PR, где Р—неособенная матрица
и R — треугольная матрица, в которой первые г элементов главной
диагонали равны единице, а все элементы ниже главной диагонали
и все элементы последних п — г строк равны нулю.
946. Квадратная матрица называется верхней {нижней) треуголь-
ной, если все . ее элементы, стоящие ниже (соответственно выше)
главной диагонали, равны нулю. Показать, что следующие операции:
947—949] § 12. действия с матрицами 127
сложение двух матриц, умножение матрицы на число, умножение
двух матриц и переход к обратной матрице для неособенной ма-
трицы, примененные к верхним (нижним) треугольным матрицам, при-
водят снова к верхней (нижней) треугольной матрице.
947. Квадратная матрица называется нильпотентной, если неко-
торая ее степень равна нулю. Наименьшее целое положительное
число k, для которого Ак = 0, называется показателем нильпо-
тентности матрицы А. Показать, что треугольная матрица тогда
и только тогда нильпотентна, когда все элементы главной диагонали
равны нулю, а показатель нильпотентности треугольной матрицы не
превосходит ее порядка.
94о. Показать, что обратная матрица B = (blk) для верхней
(нижней) треугольной неособенной матрицы А = (а1к) порядка п будет
снова верхней (нижней) треугольной матрицей, причем элементы глав-
ной диагонали матрицы В определяются равенствами Ъц=—(/=1,
2 я), а остальные элементы находятся из рекуррентных соотно-
шений:
а) для элементов /-й строки верхней треугольной матрицы:
й-1
п);
б) для элементов &-го столбца нижней треугольной матрицы:
i-i
я).
Этими формулами удобно пользоваться для вычисления матриц,
обратных к треугольным матрицам.
949*. Пусть А — квадратная матрица порядка п и ранга г, причем
1 2 ... А/
Доказать, что при этих условиях матрицу А можно представить'
в виде произведения
А = ВС, B)
где В = (рф — нижняя и С — (Су) — верхняя треугольные матрицы (оп-
ределение верхней и нижней треугольных матриц дано в задаче 946).
Первым г диагональным элементам матриц В к С можно дать лю-
бые значения, удовлетворяющие условиям:
b с = (k == 1 2 ... г' d = 1) C1
ПК ПК /ft. ¦ " * * 0 /* \ J
12& ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [950—951
Задание первых г диагональных элементов матриц В и С одно-
значно определяет остальные элементы первых г столбцов матрицы В
и первых г строк матрицы С, причем эти элементы задаются фор-
мулами:
/1. 2, .... А-1.А
Л1,2,...,*-1,*Ч
VI. 2, .... k — l, i)
(/=/г+1, ft-f- 2, .... л; *=1. 2 r).
В случае г < n в последних л — г столбцах матрицы Б все эле-
менты можно положить равными нулю, а в последних п—г строках
матрицы С элементы считать произвольными или, наоборот, в по-
следних п—г столбцах матрицы В элементы считать произвольными,
а в последних п — г строках матрицы С все элементы положить
равными нулю.
Произвольные элементы не нарушат равенства B). Их можно
выбрать так, чтобы сохранить треугольный вид матриц В к С.
950. Показать, что представление B) предыдущей задачи можно
найти так: первые г элементов на главной диагонали матриц В к С
выбрать любыми, удовлетворяющими 'условиям C), а остальные эле-
менты первых г столбцов В и первых г строк С вычислить с по-
мощью рекуррентных соотношений:
ащ — 2 bUcJ*
^ п; k = \. 2 г);
i-i
ail, — 2 bVcJ*
cik= ^ , (fc = H-l.f-|-2 n; /=1,2 r).
Эти формулы позволяют найти сначала первый столбец В и пер-
вую строку С, затем, вообще зная k— 1 столбцов В и k— 1 строк С,
найти ft-й столбец В и k-ю строку С.
951*. Доказать, что любую симметрическую матрицу A = (atj)
порядка п и ранга г, удовлетворяющую условиям A) задачи 949,
можно представить в виде А = ВВ', где В — нижняя треугольная
матрица, элементы последних ri— г столбцов которой равны нулю,
а элементы первых г столбцов определяются формулами:
/1,2,. А-1.М
\1 9 ' Ь — 1 k)
bih= К'^' • ' (<==*. *+1 п; k=l, 2 г).
952—95б| § 12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ 129
962. Матрица А называется клеточной (или блочной), если ее
элементы одной или несколькими горизонтальными и вертикальными
линиями распределены по прямоугольным клеткам (блокам). Эти клетки
будем обозначать через А^-, где / — номер клеточной строки и у —
номер клеточного столбца. Показать, что умножение двух клеточных
матриц тогда и только тогда сводится к умножению клеток, рассма-
триваемых как отдельные элементы, когда вертикальное деление пер-
вой матрицы соответствует горизонтальному делению второй. Именно,
если A = (A(j)—(га, л)-матрица с делением строк на группы по га,,
га2 ms и столбцов по щ, п2, .... nt и В=^{В^) — (я, р)-ма-
трица с делением строк на группы по щ, щ nt и столбцов
по рх, р2, .... р„, то AB = C = (C[j) будет также клеточной ма-
трицей, причем
С«=2МЛ» ('=1. 2, .... s; ft=l. 2 и).
Применяя указанное правило умножения клеточных матриц, найти
клетки произведения следующих матриц при указанном подразделении
на клетки для сомножителей:
953. Показать, что для выполнимости умножения двух клеточных
квадратных матриц достаточно (но, как показывает пример преды-
дущей задачи, не необходимо), чтобы диагональные клетки были
квадратными, причем порядки соответствующих диагональных клеток
были равны между собой.
964*. Показать, что для выполнимости клеточного умножения
клеточной матрицы на себя необходимо и достаточно, чтобы все ее
диагональные клетки были квадратными.
966. Квадратная клеточная матрица A = (A(j) называется кле-
точно-треугольной, если все ее клетки на главной диагонали, т. е.
Ап, A<2i, ... квадратные, а все клетки, стоящие по одну сторону
от главной диагонали, равны нулю. Показать, что если А и В — две
клеточно-треугольные матрицы с одинаковыми порядками соответст-
вующих диагональных клеток и нулями по одну сторону от диагонали,
то их произведение АВ также будет клеточно-треугольной матрицей
с такими же порядками диагональных клеток и нулями по ту же
сторону от диагонали.
966. Показать, что клеточно-треугольная матрица тогда и только
тогда нильпотентна, когда нильпотентны все ее клетки на главной
диагонали (определение нильпотентности дано в задаче 947).
130 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [957—961
957. Пусть А = (Ац) — клеточная матрица, причем Atj—клетка
размеров тгХлу (/ = 1. 2, .... s, у = 1, 2 t). Показать, что
прибавление к /-й клеточной строке у-й строки, умноженной слева
на прямоугольную матрицу X размеров ml X rn.j, может быть полу-
чено путем умножения А слева на неособенную, квадратную клеточ-
ную матрицу Р. Точно так же прибавление к /-му клеточному
столбцу у-ro столбца, умноженного справа на прямоугольную матрицу Y
размеров n,j X ni> может быть получено путем умножения А справа
на неособенную квадратную клеточную матрицу Q. Найти вид матриц
В и Q.
(А В\
958*. Пусть R = I n I — клеточная матрица, где А — неособен-
ная квадратная матрица порядка п. Доказать, что ранг R равен и
тогда и только тогда, когда D~CA~lB.
959*. Пусть А — неособенная матрица порядка п, В — матрица
размеров п X Я> С — матрица размеров р X п. Доказать, что если
/ А В\ (Ах ВЛ
клеточную матрицу R — I ' I привести к виду /?t = I I
путем ряда элементарных преобразований строк, причем в каждом
преобразовании либо участвуют только первые п строк, либо к какой-
нибудь строке с номером, большим п, прибавляется одна из первых п
строк, умноженная на число, то Х = СА~ В.
- 960. Пусть А — неособенная матрица порядка п и Е — единич-
ная матрица того же порядка. Доказать, что если клеточную ма-
/ А Е\
I р I
трицу I р I элементарными преобразованиями, указанными в пре-
(А\ ВЛ _,
дыдущей задаче, привести к виду I „I, то X = А . Найти
B 3 5>
12
3 4
961. Пусть дана система уравнений
С21ДГ,
<*п\х\ + ап2х2 + • • • + С„„Х„ = Ьа
с неособенной матрицей коэффициентов А, В — столбец свободных
членов и Е — единичная матрица порядка ».
962—964] § »2. ДЕЙСТВИЯ G МАТРИЦАМИ 131
( A B\
Показать, что если клегочную матрицу I I преобразова-
ниями, указанными в задаче 959, привести к виду I „ , то
столбец X дает решение данной системы уравнений.
Решить этим методом систему:
Ъх~
962. Пусть А — неособенная матрица порядка л/ В — матрица
размеров лХР. Е — единичная матрица порядка п. Показать, что
I А В\
если матрицу I „ I преобразованиями, указанными в задаче 959,
Mi вл
[о х)'
привести к виду I y J, то матрица X дает решение матричного
уравнения АХ — В.
Решить этим методом указанное уравнение, если
/2 —7\ /4
Hi -4J' в=(.
963*. Пусть все пары (/, J) A=1. 2 т; j=l. 2 п)
занумерованы в некотором определенном порядке аг, а2, .... атп.
Кронекеровским (или прямым) произведением двух квадратных ма-
триц А порядка т и В порядка п называется матрица С = АХ. В
порядка тп, составленная из всевозможных произведений элементов
матриц А и В в надлежащем порядке. Именно, элемент матрицы С,
стоящий в /-й строке и у-м столбце, определяется так:
с1У=в|,Ал' ГДе (fv У = а1- (J'v Л) = аг
Доказать, что:
а) (
б)
в) (АВ) X (CD) = (А X С) (Б X D).
964*. Правым прямым произведением квадратных матриц А по-
рядка т к В — порядка п называется клеточная матрица ЛХ'^^
= С = (С,у), где Cl] = aljB (I, j= I, 2, .... m). Аналогично, левым
прямым произведением тех же матриц называется клеточная матрица
Л" X # = ? = (?,/), где Du==Abu (/, 7=1. 2 л).
Доказать, что:
а) оба введенных произведения являются частными случаями кро-
некеровского произведения, определенного в предыдущей задаче.
132 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [965—969
Найти порядок нумерации пар (I. /'), дающий правое и левое прямые
произведения;
б) AX'B = B'XA;
в) АХ \В X 'С) = (А X 'В) X 'С;
г) если Ek — единичная матрица порядка k, то ЕтX Еп = ?„Х
V 'F —Е ¦
д) если А и В—неособенные матрицы, то (А X 'В)~х = А~1 X'В~х.
Для левого произведения справедливы свойства, аналогичные в),
г). Д).
965*. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать, что
если А — матрица порядка тк В — порядка п, то | А X В \ = \ А |" X
X | В |т (см. задачу 540).
966*. Пусть А = (аГу) — квадратная матрица порядка п. Матри-
цей, взаимной с А (или присоединенной к Л), называется матрица
Л = (агу), где al] = A]l (i, j=\, 2 п). Иными словами, ма-
трица, взаимная с А, получается транспонированием матрицы, соста-
вленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Доказать, что:
а) А А = А А = | А \Е, где ?—единичная матрица;
б) {А) = \А\"~2А при га>2, (Л)=Л при п~2.
967*. Показать, что (АВ) = В • А, где А — матрица, взаимная с А,
определенная в предыдущей задаче.
968*. Матрицей, ассоциированной с квадратной матрицей А по-
рядка п, называется матрица А = (flij), где a(j — минор элемента atj
матрицы А. Доказать, что:
а) (АВ) = АВ;
б) (А)=\А\"-2А при и>2, (А) = А при л = 2.
969*. Пусть А = (atj) — квадратная матрица порядка п и пусть
все сочетания из п чисел 1, 2, ..., п по р чисел kl<C.k2<C ... < kp
занумерованы в каком-либо порядке а,, а2 aN, где N = C%.
/?-й ассоциированной с А матрицей называется матрица Лр = (аг, у; р),
составленная из надлежащим образом расположенных миноров р-го
порядка матрицы А; именно a*, j;p—A . . .1, где а( есть
V/i» Л Jpl
сочетание /, < /2 < ... < ip; а} — сочетание j\ < j2 < ... < Ур-
Доказать, что: .
970—981] § 13. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 133
б) (En)p — EN, где Еп и EN — единичные матрицы соответственно
порядков п и N;
в) если А — неособенная матрица, то (л~1)р=(Лр)~1.
970. Найти такую нумерацию сочетаний из п чисел 1, 2, .... п
по р, чтобы для треугольной матрицы А ассоциированная матрица Ар,
определенная в предыдущей-задаче, также была треугольной с нулями
по ту же сторону от диагонали.
971*. Пользуясь свойствами ассоциированных матриц, доказать,
ср-\
что если А — квадратная матрица порядка п, то |Лр| = |Л| "-*
(см. задачу 551).
972*. Пусть А — неособенная матрица порядка п и В = А~1 —
матрица, .'обратная для А. Доказать, что миноры любого порядка
обратной матрицы выражаются через миноры исходной матрицы сле-
дующим образом:
ftp ftz /
где h < h < • • • < iP вместе с /i < 4 < • ¦ • < Jn-p и fti < ft2 < ...
... < ftp вместе с fti < ?2 <C • • ¦ < ftn-p составляют полную систему
индексов 1, 2 п.
973*. Доказать, что р-я ассоциированная матрица Ар (определение
дано в задаче 969) для ортогональной матрицы А сама ортогональна.
974*. Доказать, что р-я ассоциированная матрица Ар для уни-
тарной матрицы А сама унитарна.
§ 13. Полиномиальные матрицы
Следующие Я,-матрицы привести к нормальной диагональной форме
путем элементарных преобразований:
975. /Я, 1\ 976. /Я,2—1 /,+ 1 \ 977
( ) U
978
. IX 0 \
\0 к+5/'
134 ОТДЕЛИ!. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [982—990
982./Я(Я+1) 0 0 \ 983. /1-Я Я2 Я
Я —Я
Я2 —Я2.
./Я(Я+1) 0 0 \
I О Я 0 1.
\ 0 0 (Я+1J/
984*. Инвариантными множителями Я-матрицы А порядка
п называются многочлены Ех (Я), Е2 (Я), .... Еп (Я), стоящие на глав-
ной диагонали, в нормальной диагональной форме матрицы А. Дели-
телями миноров матрицы А называются многочлены А (Я), ?2(Я), ...
.... Az 0$, где А (^) — наибольший общий делитель (взятый со
старшим коэффициентом, равным единице) миноров й-го порядка
матрицы А, если не все эти миноры равны нулю, и Dk (Я) = О
в противном случае. Доказать, -что Ек(к)ФО и Ок(к)Ф0 для
k = 1, 2, .... г, где г — ранг матрицы А, тогда как Ек (Я) = Dk (Я) = О
для k — r-\-\, , п. Далее показать, что Ek(K)= Jv
(ft=l, 2 г; D0=l).
Следующие Я-матрицы привести к нормальной диагональной
форме при помощи делителей миноров, определенных в задаче 984.
*98Б. /Я(Я—1) О О
— 2) О
О (Я—
. 986. /Я(Я—1) О О
— 2) О
О Я(Я —3).
О
(Jl-I)(Jl-2)()l-4)
О
О
988. /аЧй 0 0 0
О
О
аЫР.
где а, Ь, с, d — попарно взаимно простые многочлены от Я.
989.
уп пили
(Я(Я-
0
о
1 О Ш/'
ГД6 ^^ И ^^ — многочлены от Я.
990. / 0 0 fe\ *«. 1
I и \ гДе /• ё> " — многочлены от Я, попарно
О /А .0 I, взаимно простые и имеющие старшие
?h 0 0 / коэффициенты, равные единице.
99I—999| § 13. полиномиальные матрицы 135
991. /fg О О
О fh О
О О gh.
где /, g, h — многочлены от А, со старшими коэффициентами, рав-
ными единице, взаимно простые в совокупности, но не обязательно
попарно взаимно простые.
992. /fg О О
О fh О
О .0 gh,
где f.g.h — любые многочлены от А, со старшими коэффициентами,
равными единице.
993. /I 1 0 0\ 994.
995.
996.
999.
- 12A,-f-17
О
Я.2_бА, + 8
ЗА,2 —6А, + 3\
2А2 — ЗА.-4-1 А,—1 2А,2 — 4A.-J-2 I.
2А,2 — 2А. О 2Я2 — 4A.-J-2/
А, 1 1 ... 1
}
А,
О
1
А,
О 0 0 .-а А,
J36 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1000—1005
Выяснить, эквивалентны ли между собой матрицы:
1000. / ЗЯ+1 Я, 4Я—1 \
А = 1 1-Я2 Я—1 Я —Я2 1;
\Я2-+-Я + 2 Я Я2+2Я/
'Я-f-l Я —2 Я2 — 2Я'
2Я 2Я —3 Я2-
1
1001. /Я2 + Я+1 ЗЯ —Я2 2Я2 + Я
ЗЯ —Я2 2Я2 + Я
2Я —Я2 2А,2-|-Я
— Я2 2Я2
л-—}— ?.1
— 2Я\
— 2Я 1.
1 /
1002.
о) j J3 '
Д=1 ЗЯ2 —8Я + 5 2Я2 —4Я+1. Я2 —I
\ЗЯ3 — ЗЯ2 — 5Я + 6 2Я3 —2Я2 — Я-f-l
(ЗЯ3 — 9Я,2-|-7Я-|-1 2Я3— 6Я2-Ь7Я — 2 Я3 — ЗЯ2-Ь ЗЯ — 1
ЗЯ3—9Я2-|-9Я —5 2Я3 —6Я2 +6Я—1 Я3 — ЗЯ2-f-ЗЯ — 1
ЗЯ3—9Я2 + 5Я-|-5 2Я3 —6Я2-1-8Я —2 Я3 — ЗЯ2 + ЗЯ— 1,
(ЗЯ2 —ЗЯ-f-l Я2 —Я 0
2Я2 —Я—1 7Я —ЗЯ2 —4 Я2 —2Я+1
5Я2—7Я + 3 5Я —2Я2 —3 Я2 —2Я+1,
1003. Я-матрица называется унимодулярной, если ее определи-
тель является многочленом нулевой степени относительно Я, т. е.
константой, отличной от нуля. Найти нормальную диагональную
форму унимодулярной Я-матрицы.
1004. Доказать, что матрица, обратная к Я-матрице, тогда и только
тогда будет Я-матрицей, когда данная матрица А унимодулярна.
100Б*. Доказать утверждение: для того чтобы две прямоугольные
/,-матрицы А и В, каждая из т строк и п столбцов, были эквива-
лентны, необходимо и достаточно выполнение равенства B = PAQ,
где Р и Q — унимодулярные Я-матрицы порядков man соответст-
венно. Показать, что требуемые матрицы Р и Q можно найти так:
найдя ряд элементарных преобразований, переводящий А в В, при-
1006—1012| § 13. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 137
менить все преобразования строк в том же порядке к единичной
матрице Ет порядка т, а все преобразования столбцов в том же
порядке к единичной матрице Еп порядка п.
Для данной Я-матрицы А методом, указанным в задаче 1005,
найти унимодулярные матрицы Р, Q такие, что матрица B — PAQ
имеет нормальную диагональную форму (матрицы Р и Q опреде-
ляются не однозначно):
1006. / Я2 — Я 4-4 Я24-3 N
^^U2 —2Я4-3 Я2_-Я4-2/*
1007. /Я4-|-4Я34-4Я24-Я4-2 Я34-4Я24-4Я \
1008.
аз
к*— Я3+1 2V — Я3 — г? 2Я,4-
3—47,24
2Я3 I
-3W
Для данных Я-матриц А и В найти унимодулярные Я-матрицы Р
и Q, удовлетворяющие равенству B — PAQ (матрицы Р и Q опре-
деляются не однозначно (см. задачу 1005)):
1009.
1010.
Я3 —Я /' В==\ Я3 —Я2 2Я3 —Я2 —Я/*
1011. / Я24-^ —1 Я4-1 Я2 —2 \
/ I
I 13 I О>2 12 I 91-4-1 13_J_12 01 1 I-
\Я,34-Я2 —Я4-1 Я24-Я Я3 —2Я4-1 /
(A 1 I Q Ol I О О12 Ol Q \
Tt Л —I— О ^ Л —|— ^ Z> Л .? Л t> \
10Я4-2 5Я4-5 5Я2 —5Я —2 J.
4Я2—7Я —8 2Я2 —ЗЯ—5 2Я3 — 7Я2 + 2Я 4-8 /
1012. ( \г— Я2— Я4-1 2Я24-2Я Я34-Я2 ^
:Я,з_ зя2—ЗЯ4-2
/ Я24-2Я4-1
138
1013.
1014.
ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 11013—1019
/ Я2 + ЗЯ, —4 Я2+2Я —3 Я2 + Я,— 2
\2№ + ЪК — 5 2Я,2 + 2Я —4
/2Я,2 + 2Я,—4 ЗЯ,2 + 2Я,—5 Я2 + 2Я, —3
~\2к*+к— 3 ЗЯ,2 + Я —
/ Я,з+6Я,2 + 6Я, + 5 Я3+4Я.2 + 4Я+
= (
Я, —3\
—2 /'
/
J3==[
V Я,3 — Я,2 — Л, — 2
- — 4
2Я3 —Я2 —Я —3
Найти инвариантные множители следующих Я-матриц:
Д015. /3^2 + 2^ — 3 2Я, —1 А,2 + 2А, — 3
| 4^2 + ЗЯ, —5 3^ — 2 А,2 + ЗЯ — 4
\ Я,2 + Я —4 Я, —2 Я,—1
1016. /ЗЯ,3 — 2Л.+-1 2Я,2 +-Я, — 1 ЗХЗ + 2Л2 — 2Я,— 1
\
1017.
f 2ЛЭ — Я^
| я»4-я2н
|яз—2Я2н
(ЗЯ3— 2Я2
2Я3-
Ь2Я — 1
-Я4-1
-Я —2
4-зя—2
— 2Я
4Я+1
2Я3 — ЗЯ2
Я3 —ЗЯ2
Я3-
ЗЯ8 — 4Я2
Я2 —
ЗЯ2 + Я
4-2Я — 3
4-я—з
1-я
4-ЗЯ—4
1 - 2Я3 + Я2
— 2 5Я.З + ЗЯ2
13 93l2-4- i 9
— Я3—Я2—Я—1
2Я8—Я24-2Я— 1
2Я3—ЗЯ24-2Я—3
— 2Я,— 1 1.
— тсЛ ~~~~ 2, J
5Я8—2Я24-5Я—2
7Я3 —Я24-7Я —1
—2Я3 —Я2—2Я—1
6Я3 —ЗЯ24-6Я—3
1018.
—Я + 3
Я3 —
2Я34-Я2 —Я + 4
Лз 4- ЗЯ2—ЗЯ4-6 Я3 — ЗЯ2 4- ЗЯ — 2 2Я3 4- ЗЯ2—ЗЯ4-7 Я3 4- ЗЯ2—ЗЯ 4- 4
Л34-2Я8 —2Я4-4 Я3 —2Я24-2Я—1 2Я34Я2 — 2Я4-5 Я3 + 2Я*—2Я4-3
— Я4-5 2Я3 — К2 + К+1 4Я3 + Я2 —Я4-7 2Я34"^г — *+3
Я 1 2 3
0 Я 1 2
О О Я 1
1019.
п
п— 1
п — 2
О 0 0 0
Я j
1020-1025)
1020*.
§ 13. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Я, —а р р р ... р
0 Я —а р р ... р
0 О А, —а р ... р
139
0
0
0
0 ...Я —а
{порядок матрицы равен п).
Элементарными делителями Я-матрицы А называются многочлены ех (Я),
#2 (Я), ..., es (Я) со старшими коэффициентами, равными единице, совпадаю-
щие с наивысшими степенями неприводимых множителей, входящими в раз-
ложения инвариантных множителей Et (Я), Ег (Я), ..., Еп (Я) матрицы А на
неприводимые множители. При этом совокупность элементарных делителей
матрицы А содержит каждый многочлен ?/(Я) столько раз, сколько инва-
риантных -множителей Ek (Я) содержит его в своем разложении. Разложение
«а неприводимые множители берется над тем полем, над которым рассма-.
трнваются многочлены, являющиеся элементами матрицы А. В дальнейшем,
-если не оговорено противное, рассматриваются элементарные делители иад
полем комплексных чисел, т. е. наивысшие степени многочленов вида Л —а,
входящие в разложения инвариантных множителей матрицы А на линейные
множители.
Найти элементарные делители следующих Я-матриц:
1021. /
\2Яз— я2—;
1022. / Я3—2Я24-2Я—1 Я2—!
1О5 2 о1
ЯЗ+1 \
— Я2— Я, + 2/'
1023. / Я2+ 2 2Я4-1 А-24-1 \
\Я2 —4Я + 3 2Я—1 Я2 —4Я4-2/
1024.
A,4-f Л3 — Я— 10
Л44Я3—2Я2—ЗЯ—6
Я'+Я3—Я24^—2
102Б. / Я2 —2
I У2 I QV ,. 1 V2 I QV | о 12 .1 OV .. I I 5i 2 ] Q5 ,0
I 2Я2—4 Я24-Я44 Я24-3 2Я2 —5
\2Я24-ЗЯ—3 Я24-ЗЯ4-4 Я24-2Я4 2 2Я24-ЗЯ —4
Л2—4 Л2 —ЗЛ —10
—Я —6 Я4 + Я3 —2Я—12
Я4+Я3—2Я2—Я—2 Я4+Я3—2Я2—4Я—8
—2 Я3 + 2Я2 —Я —2 Я4+Я3 — Я2 + Я—2
Найти элементарные делители следующих Я-матриц в поле рацио-
нальных, в поле действительных и в поле комплексных чисел:
140 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 11026—1036
1026. /Я2+2 Я2+1 2Я2— 2"
I Я2+1 Я2-1-1 2Я2—2
1027. /2Я2 + 3 Я2+1 Я6 + бЯ4-1-Я2-1-2
[4Я2+11 2Я2-1-5 2Я6+12Я4+2Я2 —26
\2Я2+3 Я2+1 2Я6+12Я4+Я2 — 30
1028. / Я4+1 Я7—Я4+Я3—1 Я4 —4Я3 + 4Я —5
I 2Я4+3 2Я7—2Я4 + 4Я3—2 3Я4—10Я3+Я2 + 10Я—14
\ Я4+2 Я7—Я4+2Я3—2 2Я4—6Я34-Я2+6Я —9
Найти нормальную диагональную форму квадратной Я-матрицы,.
если известны ее элементарные делители, ранг г и порядок п:
1029. Я+1, Я+1. (^+1J. Я,—1, (Я—IJ; г = 4, п = Ъ.
1030. Я-1-2, (Я+2J, (Я-f-2K, Я —2, (Я — 2f\ r — n = 4.
1031. Я—1, Я—1, (Я—1K, Я+2, (Я + 2J; г = 4; « = 5.
1032*. Доказать, что совокупность элементарных делителей диа-
гональной Я-матрицы получается объединением (с надлежащими повто-
рениями) совокупностей элементарных делителей всех диагональных
элементов этой матрицы.
1033*. Доказать, что совокупность^ элементарных делителей
клеточно диагональной Я-матрицы равна объединению (с надлежа-
щими повторениями) совокупностей элементарных делителей всех ее
диагональных клеток.
Пользуясь задачами 1032 или 1033, найти нормальную диаго-
нальную форму следующих Я-матриц:
1034. /Я(Я—IJ 0 0 0
1035.
0
0
0
Я2 —4
0 ?
0
0
0
0
0
Я2(Я+1) 0
0
12 + S
0
0
;
^4 . Я,3—6Я2
0 Я2—1
0 0
0
>Я 0
Яз—2Я2
0 J
0
0
0
Я (Я+1K
о \
\
0 1
1
0 '
13_4Я/
0 Я3
0 Я,з + Я2-6Я
&Л-4Я + 4
0
0
0
1036.
/
о
о
о
1037-1044]
1037.
/
1
1038.
I
1
1039.
|
1
1040.
I
1
1041.
§ 13. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ
( °
' 0
0 W
\ I2—2Я+1
/ я,2+2Я,—;
' 2Я2 + 2Я —'
1 °
^ 0
(
V
^ 0
( °
' 0
Jl2_2Jl +
0
0
+2Я-
0
3 Я
Я4-2Я
2 + ^_2
1 2Я.2 + Я— 3
з + 2
1
\Я,3—2X,2-j-6A,—1 Я
0
0
0
Х34-2А24-А—4
0
0
0
Аа + А
А34-2А
0
0
2 ^ 1
^2_^_2
0
0
0
0
1 О
2_2^+5
0
0
МАТРИЦЫ
0 Я4-
2+2Я— 1
в
0
0
0
Я + 1
А,2— 1 Я2
0
0
Я2 + 2Я
5 2 J_ 1 О
Л ¦"!' Л ¦¦•¦"* ^
Я,3—Я,2— Я,-
т-2Я2—2Я,—1
0
0
0
° \
° 1
Я+2 Г
+ Я —2/
0
0
А,2 + 6Я—2
Я.2 + 5Я—7
¦2 А,3— 2Я—4
ЯЗ + Я2 — 6Я, Я2 + Я-6
0
0
А2_2А-3
А2—А—2
А2—2А+1 0
—2 0
2—3 0
0
0
0
0
А3+А2—9А—9
А3+2А2—SA—6
0
0
0
Определив эквивалентность и нормальную диагональную форму
целочисленных матриц так, как это сделано в задачах 942, 943,
найти наибольшие общие делители Dk миноров А-го порядка следую-
щих матриц путем приведения их к нормальной диагональной форме
с помощью элементарных преобразований:
1042.
0
6
0
10
2
12
4
6
4
14
14
4
— 1
5
—1
11
1043.
0
12
30
66
6
24
42
78
-9
9
45
81
—3
9
27
63
1044. Доказать, что любую ^.-матрицу ранга г элементарными:
преобразованиями одних только строк (а также одних только столб-
цов) можно привести к треугольному или трапецеидальному виду,
причем нули, по желанию, можно получить выше или ниже главной
диагонали, и отличные от нуля элементы будут находиться лишь,
в первых г строках (соответственно в первых г столбцах).
142 ОТДЕЛ HI. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1045—1051
1045*. Доказать, что каждую невырожденную ^.-матрицу А можно
представить в виде A = PR, где Р — унимодулярная ^.-матрица,
a R — треугольная ^.-матрица, элементы которой на главной диаго-
нали имеют старший коэффициент, равный единице, ниже главной
диагонали равны нулю, а выше главной диагонали имеют степень,
меньшую степени элемента главной диагонали того же столбца (или
равны нулю), причем такое представление единственно.
§ 14. Подобные матрицы. Характеристический и минимальный
многочлены. Жорданова и диагональная формы матрицы.
Функции от матриц
Все задачи этого параграфа ставятся в матричной форме. В частности,
свойства характеристических чисел матрицы и приведение матрицы к жор-
дановой форме рассматриваются вне связи со свойствами собственных век-
торов и инвариантных подпространств соответствующего линейного преобра-
зования. Эта связь (в частности, отыскание базиса, в котором матрица дан-
ного линейного преобразования имеет жордаиову форму) рассматривается
в отделе IV. Это не мешает использовать задачи данного параграфа при
изучении свойств линейных преобразований в той мере, в какой усвоена
связь линейных преобразований с их матрицами в каком-либо базисе.
1046. Матрица А называется подобной матрице В (что обозна-
чается так: А ж В), если существует невырожденная матрица Т такая,
что В — Т~1АТ. Показать, что соотношение подобия обладает сле-
дующими свойствами:
а) Л» Л; б) если Am В, то В«Л;
в) если А ял В и В fa С, то Am С.
1047. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц А, В
невырожденна, то матрицы АВ и ВА подобны.
Привести пример двух вырожденных матриц Л, В, для которых
матрицы АВ и ВА не будут подобны.
1048*. Найти все матрицы, каждая из которых подобна только
сама себе.
1049. Пусть матрица В получена из Л перестановкой /-й
и /-й строк, а также /-го и /-го столбцов. Доказать, что Л и В
подобны и найти невырожденную матрицу Т, для которой В = Т~ AT.
1050*. Показать, чта матрица Л подобна матрице В, получен-
ной из Л зеркальным отражением в ее центре.
1051. Пусть /,, 12 /„ — любая перестановка чисел 1, 2 п.
Доказать, что матрицы
Ul I й; i ... й, i
«21fl22
л
«2л
в=
ЧА,
подобны.
1052—1059] § и. подобные матрицы 143
1052. Пусть даны матрицы А и В, подобные между собой.
Показать, что совокупность всех невырожденных матриц Т, для
которых B = T~*AT, получится из соввкупности всех невырожден-
ных матриц, перестановочных с А, путем умножения этих матриц
справа на одну любую матрицу То со свойством В~Т0~1АТ0.
1653. Доказать, что если матрица А подобна диагональной
матрице, то и р-я ассоциированная с ней матрица Ар (задача 969)
также подобна диагональной матрице.
1054. Доказать, что если две матрицы А и В подобны диаго-
нальным матрицам, то их кронекеровское произведение Ау^В (зада-
ча 963) также является матрицей, подобной диагональной матрице.
1055. Доказать, что если матрицы А и В подобны, то и р-е
ассоциированные с ними матрицы Ар и Вр (взятые при любых двух
расположениях сочетаний по р из п номеров строк и столбцов)
также подобны.
1056. Доказать, что если матрицы Av Bx подобны соответ-
ственно матрицам А2, В2, то кронекеровские произведения Al X Bt
и А2у^В2 (взятые при любых двух расположениях пар индексов)
также подобны между собой.
1057. Доказать, что если квадратная ^.-матрица В представляется
в виде B = Bols + B1ls~l-\- ... -\-Bs, где Во, Вх ?5 —ма-
трицы, не зависящие от К и матрица Во невырожденна, то любую
квадратную ^.-матрицу А того же порядка, что и В, можно разде-
лить на В слева или справа, т. е. существуют правые частное Qx и
остаток /?! такие, что A =:BQl-\-Rl, и левые частное Q2 и оста-
ток R2 такие, что A = Q2B-\-R2, причем степени элементов матриц Rt
и R2 относительно Я ниже s и обе пары Qv /?x и Q2, R2 опреде-
лены однозначно.
1058. Матрицу
2Я,-)-8 1
/2 1
разделить слева на Б — ХЕ, где В = I 2 1
1059. Матрицу \2 —1
Я,2 + 2Я,—9
1 2 1
разделить справа на В — ХЕ, где В = | 3 2 3
1 2 3
144
ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1060—1066
1060*. Доказать, что если две матрицы А и В с числовыми эле-
ментами (или с элементами из некоторого поля Р) подобны, то их
характеристические матрицы А — КЕ и В — КЕ эквивалентны.
1061*. Доказать, что если характеристические матрицы А — ХЕ
и В — КЕ двух матриц А и В эквивалентны, то сами эти матрицы по-
добны. При этом показать, что если В — ХЕ = Р(А— hE)Q, где Ри
Q — унимодулярные Я,-матрицы и Ро, Qo — остатки при делении Р
слева, a Q справа на В — %Е, то В = P0AQ0 и P0Q0 = Е, т. е. матрица
Qo осуществляет подобное преобразование матрицы А в матрицу В.
1062. Доказать, что любая квадратная матрица А подобна своей
транспонированной матрице А'.
Выяснить, являются ли подобными между собой следующие
матрицы:
1063.
1064.
1065.
А =
А =
А =
1066.
А =
Пользуясь методом, указанным в задаче 1061, для данных
матриц А и В найти невырожденную матрицу Т, такую, что
В = Т~1АТ (искомая матрица Т определена не однозначно):
1067—1078| § к. подобные матрицы 145
1067*. /5 —1\ /38 — 81 \
А = {9 -l): * = U -34 )•
1068*. /17—6
1069.
1070*. Доказать, что коэффициенты характеристического много-
члена \А — КЕ\ матрицы А следующим образом выражаются через
элементы этой матрицы:
|Л-ЯЛ|=(-Я,)п + С1(-Я-)п + с2(-Я-)я-2+ ... +сл.
где ck есть сумма всех главных миноров порядка k матрицы А
(минор называется главным, если номера занимаемых им строк совпа-
дают с номерами столбцов).
1071*. Найти характеристические числа (корни характеристиче-
ского многочлена) матрицы А'А, где A — (av а2, •••. ап) и Л' —
матрица, полученная транспонированием А.
1072. Доказать, что сумма характеристических чисел матрицы А
равна ее следу (т. е. сумме элементов главной диагонали), а произ-
ведение этих чисел равно определителю | А \.
1073. Доказать, что все характеристические числа матрицы А
отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица А невырож-
денна.
1074*. Пусть р > 0 — кратность корня А,, характеристического
многочлена \А — ХЕ\ матрицы А порядка п, г—ранг и d — n—г —
дефект матрицы А — Я-цЕ. Доказать справедливость неравенств
1076. Привести примеры матриц и-го порядка, для которых
первое или второе неравенства предыдущей задачи обращаются в ра-
венство, т. е. d = 1 или d — р.
1076*. Доказать, что характеристические числа обратной матрицы
А~1 равны (с учетом их кратности) обратным величинам для харак-
теристических чисел матрицы А.
1077*. Доказать, что характеристические числа матрицы А2
равны (с учетом их кратности) квадратам характеристических чисел
матрицы А.
1078*. Доказать, что характеристические числа матрицы Ар
равны (с учетом их кратности) р-и степеням характеристических
ччсел матрицы А.
146
ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1079—1084
1079*. Пусть ц>(К)= |А — л.?|—характеристический многочлен,
А,, Аз, .... Я„ — характеристические числа матрицы А и /(X) — про-
извольный многочлен. Доказать, что определитель матрицы /(Л)
удовлетворяет равенству \f(A)\—f(l1)f(l2)...f(lJ = R(f,(p)r
где /?(/, <р) — результант многочленов / и <р. Если же определять
характеристический многочлен как <р(а) = |а? — А\, то
Напоминаем, что результантом двух многочленов
называется число
R
= «оЙ Д П («/ - Ру) =
—aj) и
- Ру) = «о Ц «¦ <«;) - (-1
Д
1080*. Доказать, что если Я,р Я-2> ¦ • • • ^п — характеристические
числа матрицы А и / (х) — многочлен, то / (a.j), / (Я,2), ..., / (Я,„)
будут характеристическими числами матрицы /(А).
1081*. Доказать, что если \, л.2, .... %п — характеристические
числа матрицы А и f(x) =
й (х)
А
рациональная функция, опреде-
ленная для значения х = А (т. е. удовлетворяющая условию
\П(А)\Ф 0), то |/D)| = / (а,) / (А2) ... /(Ая) и числа /(лД
/ (а2), . -., / (ая) будут характеристическими числами матрицы / (А).
1082*. Доказать, что если А и 5 — квадратные матрицы одина-
кового порядка, то характеристические многочлены матриц АВ и В А
совпадают.
1083*. Найти характеристические числа циклической матрицы
А =
«2
Я-1
я_1 ап
1084*. Найти характеристические числа матрицы я-ro порядка:
0—1 0 0 ... 0 0
1 0—1 0 ... О О
0 1 0 —1 ... О О
О О
О
О ... 1 О
1085—1098| $ 14. ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ 147
1085*. Жордановой матрицей называется клеточно-дйагональная
матрица с диагональными клетками вида:
а 1 0 ... 0
О а 1 ... О
о о о ...
называемыми клетками Жордана. Жордановой формой матрицы А
называется жорданова матрица Лу, подобная матрице А.
Пользуясь теоремой о том, что совокупность элементарных дели-
телей клеточно-диагональной матрицы равна объединению совокуп-
ностей элементарных делителей ее диагональных клеток (см. за-
дачу 1033), доказать, что над полем комплексных чисел (или над
любым полем, содержащим все характеристические числа матрицы А)
любая матрица Л имеет жорданову форму, и притом единственную,
с точностью до порядка клеток.
Написать жорданову форму Aj матрицы А, если даны инвариант-
ные множители Et (к) (i = 1, 2, ..., п) ее характеристической ма-
трицы А — кЕ:
% f\Q rfj С* /1 \ Г? ? 1 \ \ Т"? / Qi \ T"? f 1 \ 0 \
lUoOa Ci I А) = ColAI = 1, Со I N) — С а I Л. 1 = Л —- 1,
5() 6() + )
1087. El (к) = Е2 (к) = Е3 (к) = 1, Е4 (к) = К + 1. Е5 (Я,)=(
Е6(к)^(к-\-1)Цк — 5).
1088. Ег(к) = Е2(к) =1, Е3(к) = к — 2, Е4(к) = № — 4.
1089. Доказать, что для любой квадратной ^.-матрицы А (к) по-
рядка п, определитель которой есть многочлен от к степени п, суще-
ствует числовая матрица В порядка п такая, что матрица А (к)
эквивалентна характеристической матрице В — кЕ.
Найти жорданову форму следующих матриц:
1090.
1093.
1095.
1097.
ОТДЕЛ 111. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1099—1112
1099.
1101.
1102.
1105.
1107.
1109.
1110.
4 —8
2 —4.
порядок матрицы
равен п.
порядок матрицы равен п.
1111.
1 2 3 4 ... п
0 1 2 3 ... и—1
0 0 1 2 ... и—2
О 0 0 0 ... 1
1112.
п п— 1 п — 2 ... 1
О п и—1 ... 2
0 0 п ... 3
О О
О
... п
1113—1123]
1113.
§ 14. ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ
149
1 0 0 0 ... О*
1 2 0 0 ... О
1 2 3 0 ... О
12 3 4
п
1114.
О
О
О
О
а
а
О
О
О
О
О
а
О
О
О
О
О
а
О
О
... О
... О
... О
... а
... О
1116. Найти жорданову форму матрицы вида
а а12 с13 ... л,/
О а «23 • • • а2п
0 0 а ... с3и
0 0 0
а
при условии, что а12 а2з • • • ап-г, я "h 0.
1116. Доказать, что если характеристический многочлен \А— %Е\
матрицы А не имеет кратных корней, то А подобна диагональной
матрице (элементы матрицы Т, преобразующей А к диагональной
форме, принадлежат тому полю, которое содержит все характери-
стические числа матрицы Л).
1117. Доказать, что матрица А над данным полем Р тогда и
только тогда подобна диагональной матрице, когда последний инва-
риантный множитель Еп (К) характеристической матрицы А — %Е не
имеет кратных корней и все его корни принадлежат полю Р.
Выяснить, являются ли следующие матрицы подобными диаго-
нальным матрицам в полях рациональных, вещественных и комплекс-
ных чисел:
1118. /5 2 —3\ 1119.
1120.
1121.
-4/
1122. Доказать, что если последний инвариантный множитель Еп (X)
характеристической матрицы А — КЕ для матрицы А порядка п имеет
степень п, то все диагональные элементы различных клеток жорда-
новой формы матрицы А различны между собой.
1123. Доказать, что матрица А тогда и только тогда нильпо-
тентна (т. е. Л* = 0 при некотором натуральном К), когда все ее-
характеристические числа равны нулю.
150
ОТДЕЛ Ш. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1Й4—1137
1124. Доказать, что нильпотентная матрица, отличная от нулевой,
яе приводится преобразованием подобия к диагональной форме.
1126. Найти жорданову форму. идемпотентной матрицы А (т. е.
.матрицы, обладающей свойством А2 — А).
1126. "Доказать," что инволютивная матрица А (т. е. матрица,
обладающая свойством А2 — Е) подобна диагональной матрице и
найти вид этой диагональной матрицы.
1127. Доказать, что периодическая матрица А (т. е. матрица,
¦обладающая свойством А* = Е при некотором натуральном k) подобна
диагональной матрице и найти, вид этой диагональной матрицы.
1128. Найти минимальный полином (определение дано в за-
даче 830): а) единичной матрицы, б) нулевой матрицы.
1129. Для каких матриц минимальный многочлен имеет вид Я, — а,
где а — число? - •
1130. Найти минимальный многочлен клетки Жордана порядка п
с числом а на диагонали.
1131. Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диагональ-
ной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных мно-
гочленов ее диагональных клеток.
1132. Доказать, что минимальный многочлен матрицы А равен
последнему инвариантному множителю Еп(к) ее характеристической
матрицы А — КЕ.
1133. Доказать, что некоторая степень минимального многочлена
матрицы А делится на характеристический многочлен той же ма-
трицы.
Найти минимальные многочлены следующих матриц:
1134. /3 1 —1\ 1135. / 4—2 2
0 2 0 I. I —5 7—5
111/ V—6 6
1136. Доказать, что для подобия двух матриц необходимо (но не
достаточно), чтобы они имели одинаковые характеристический и ми-
нимальный многочлены. Привести пример двух не подобных матриц,
у которых характеристический многочлен <р(А,) и минимальный мно-
гочлен ф(Я,) одни и те же.
1137. Найти k-ю степень Л* жордановой клетки
а 1 0 0 ... 0 0
0 а 1 0 ... 0 0
0 0 а 1 ... 0 0
0
0
0
0
а
0
порядка п.
$ 14. ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ
15Г
1138-1147]
1138*. Доказать, что значение многочлена f(x) от клетки Жор-
дана Л порядка п с числом а на главной диагонали
а 1 0 ... О
О а 1 ... О
определяется формулой
О /(а)
0
/
/
0 0
"(а)
2!
'(о)
1!
... а
/'"(а)
3!
Г (а)
2!
(«)
/я-2) (а)
(и-2)!
О
О
О
О
/(а)
1139. Решить задачу 1080, пользуясь жордановой формой мат-
рицы Л.
1140. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки, на
диагонали которой стоит число а ф 0.
1141*. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки с ну-
лем на главной диагонали (нильпотентная клетка Жордана).
1142. Пусть X] — жорданова форма матрицы X. Доказать, что-
(Л -f- aE)j = Aj -f- oE, где Л — любая квадратная матрица и а — число.
1143*. Найти жорданову форму матрицы
а
0
0
0
а
0
1
0
0
0
1
0
... 0
... 0
... а
порядка
1144*. Доказать, что любую квадратную матрицу можно пред-
ставить в виде произведения ^двух симметрических матриц, одна и»
которых невырожденна.
1146*. Зная характеристические числа матрицы Л, найти харак-
теристические числа p-Vi ассоциированной с ней матрицы Ар (опре-
деление дано в задаче 969).
1146*. Зная характеристические числа двух квадратных матриц—А
порядка р и В порядка q,—найти характеристические числа их кроне-
керовского произведения А У, В (определение дано в задаче 963).
1147*. Пусть ф(Л) = (Л. — *,,/»(*, — Я,2)Г2 ... (Я,—А,/*—минималь-
ный многочлен матрицы Л степени r = rl + /-f- ... +/> Здесь rk—
кратность %ь как корня минимального многочлена ф(Я-).
Если для функции /(к) существуют числа
/(К). /'(К). ПК) f^'Hh) (ft = 1, 2 s), (l)
152 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ A143—1151
то говорят, что функция /(А) определена на спектре матрицы А
и систему чисел (I) называют системой значений функции /(А) на
спектре матрицы А. Доказать, что значения многочленов g"(A) и
А (А) от матрицы А совпадают, т. е. g (A) = h (А), тогда и только
тогда, когда совпадают значения этих многочленов на спектре матрицы А.
1148. Пусть функция / (А) определена на спектре матрицы А
•(в смысле предыдущей задачи). Доказать, что если существует
хотя бы один многочлен, значение которого на спектре матрицы А
совпадает со значениями /(А), то таких многочленов будет беско-
нечно много и среди них существует один и только один, имеющий
степень, меньшую степени минимального многочлена матрицы А.
Этот многочлен г (А) называется интерполяционным многочленом
Лагранжа — Сильвестера функции /(А) на спектре матрицы А. Его
значение от матрицы А по определению принимается за значение
функции /(А) от этой матрицы: /(Л) = г(Л).
1149. Доказать,' что если функция /(А) определена на спектре
матрицы А и характеристический многочлен | А — ХЕ | не имеет крат-
ных корней, то интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильве-
стера г (А) существует, и, значит, матрица /(А) имеет смысл. Найти
вид г (А) и /(Л).
1160. Доказать, что если функция /(А) определена на спектре
матрицы А и минимальный многочлен этой матрицы ф (А) =
= (А—At) ... (A—А5) не имеет кратных жорней, то интерполяционный
многочлен Лагранжа—Сильвестера г (К) существует, и матрица f(A)
имеет смысл. Найти выражение для вычисления /(Л).
1161*. Доказать, что если функция /(А,) определена на спектре
матрицы А, то определение матрицы f(A) (данное в задаче 1148)
имеет смысл, т. е. существует интерполяционный многочлен Лаг-
ранжа — Сильвестера г (А). Пусть ф (А) = (А — \У1 ... (X — Ks)rs —
минимальный многочлен матрицы А, где корни Я,р .... ks различны
между собой, и
ЫЪ= Ш) г (*=1. 2 s).
Показать, что
где числа <xfc>;- определяются из равенств
т. е. выражение в квадратных скобках в равенстве A) равно сумме
первых гк членов разложения в ряд Тейлора по степеням разности
X — А» для функции ^
1152—1156] $ 14. ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ 155
! 152. Пусть ф (Я,) = (К — \? (I — К2У (Я,, Ф 1^ — минимальный
многочлен матрицы А и /(Я.)—функция, определенная на спектре
этой матрицы. Написать выражение для матрицы /(А), пользуясь
предыдущей задачей.
1163. Доказать, что если матрицы Л и В подобны, причем
В = Т~1АТ и для функции /(А,) матрица /(Л) существует, то и ма-
трица /(В) существует и подобна /(Л), причем f(B) = T~1f(A)T
с той же матрицей Т.
1164*. Доказать, что если матрица Л клеточно-диагональная
О
и функция /(Я,) определена на спектре матрицы А, то
/(Л,) О
/(Л)= 2 .
О
1155. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильве-
стера г (к) и значение /(Л) функции /(Я,) для матрицы
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... 1
... 0
Для каких функций /(к) значение /(Л) имеет смысл?
1156. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для матрицы:
а 1 0 ... О О
О а 1 ... О О
О О О ... а 1
О 0 0 ... О а
154 ОТДЕЛ HI. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1157—1169
1167. Показать, что если матрица Л подобна диагональной
к
0 ¦ *„
и для функции /(А,) матрица /(Л) существует, то и /(Л) подобна
.диагональной матрице, причем
f(A) =
f-i
о
/(*-„)
•с той же матрицей Т.
1168. Доказать, что если / (kj = g (k)-\-h (к) и матрицы g (Л) и h (Л)
•существуют, то и матрица / (Л) существует, причем / (A)=g (A)~\-h (Л).
1169. Доказать, что если / (к) = g (к) h (к) и матрицы g (Л) и h (Л)
¦существуют, то и матрица /(Л) существует, причем /(Л) = g (Л) й(Л).
1160*. Показать, что функция /(А,).= -г- определена для всех не-
м i
вырожденных матриц Л и только для них, причем f(A)=^A .
1161. Доказать, что если Х1, к^ .... кп — характеристические
•числа матрицы Л и функция /(Я.) имеет смысл при к = А, то f.(kl)i
J (к2), ..., / (кп) будут характеристическими числами матрицы / (Л).
Вычислить следующие значения функций от матриц, пользуясь
интерполяционным многочленом Лагранжа — Сильвестера и задачами
1148—1152 или находя матрицу, дающую преобразование подобия
.данной матрицы к ее жордановой форме и применяя задачи 1154,
Л156. 1153:
/ 0
1162. Л100, где Л= „ _ }/ 1163. Л0", где
1164.
1166.
где Л =
где Л =
4 —2
1165.
!!67'
где
/ 1 1\
Ч-1 з)'
= 1 А.
где л==
3 —1
1168. еА. где
D 2 —5\ /4 —15 6\
6 4 —9 I. 1169. In Л, где Л = 1 1 —4 2 I.
5 3—7/ ' \1 —5 3/
1170—1178] §15. КВАДРАЖИЦНЫБ. ФОРМЫ 156-
/л—1 1 \
1170. sinA, где A = l _{ { I.
1171*. Доказать, что равенстве sin2.4 = 2sin/4 cos Л справедливо-
для любой квадратной матрицы А.
1172*. Доказать, что матрица еА существует и невырожденна для
любой квадратной матрицы А.
1173. Найти определитель матрицы еА, где А — квадратная ма-
трица порядка п.
1174*. Пусть функция /(Я.) имеет смысл при Я, = А Доказать,
что определитель матрицы /(Л) удовлетворяет равенству |/(A)| —
= / (Aq) / (Я.2) ... / (Я.„), где А.1( К2 Я.„ — характеристические
числа матрицы А (с учетом их кратности).
§ 15. Квадратичные формы*)
В этом параграфе, кроме задач на квадратичные формы, помещены за-
дачи на свойства симметрических и ортогональных матриц, связанные с тео-
рией квадратичных форм. Здесь применяется следующая терминология: под.
линейным преобразованием понимается преобразование неизвестных вида
... +9тУп
(!>¦
Л'я=в'я1У1 + 0'я2У2+ ... Ч-вяяУя.
Матрица
'Ч\\ Чи ••• Яш'
B>
' Чп\ Чп2 • • • Чпп'
составленная из коэффициентов преобразования A) в соответственном по-
рядке, называется матрицей этого преобразования. Ливейное преобразование-
называется невырожденным, если его матрица невырожденна. Две квадра-
тичвые формы называются эквивалентными, если одна из них -перево-
дится в другую посредством невырожденного линейного преобразования.
Каноническим видом данной квадратичной формы называется эквива-
лентная с ней форма, не содержащая произведений неизвестных, а нормаль-
ным видом — такой канонический вид, в котором коэффициенты при ква-
дратах неизвестных (не считая нулевых) равны ±1 для вещественной и -J-1
для комплексной области.
Найти нормальный вид в области вещественных чисел следующих:
квадратичных форм:
117К v2 -4- v2 -4- % г2 -i- Av v -i_ 9v v -i_ 9 v v
1 1 ЯП» Л* р^ *> \ 1^Л"\ \ ^Л.Лп —f~ АЛ^Лп —f~ АЛлЛпа
1176 x2 2л:2 -4- x2 -4- 2 v v -4- 4 v v -4- 9 v v
11/ /• JC-t ~~~~ oJCn а«Л| JCn ~~y~
1178.
*) Задачи на билинейные и квадратичные функции даиы в § 24.
156 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1179—1193
1I79. х\ + 2*| + х2 + 4х,х2 + 4xjX3 -f 2х,х4 -f 2х2х3 + 2х2х4 +
+ 2х3х4.
Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразова-
ние, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм
{ввиду неоднозначности искомого линейного преобразования ответ
может получиться отличным от приведенного ниже):
1180. х2 + 5х| —4х| + 2х,х2 —4х,х3.
1181. 4х2 + х| + х2 — 4x^2 + 4x^*3—Зх2х3.
1182. х^а+х^з + ХзХз.
1183. 2х2+ 18х|+ 8х|— 12x^2+ 8x^3 —27х2х3.
1184. — 12х2 — Зх2 — 12х2 + 12x^2 —24x^3 + 8X2X3.
1186. х1х2 + х2хз+х3х4 + х4х1.
1186. Зх2 _j_ 2x1 — х2 — 2х2 + 2х,х2 — 4х2х3 + 2х2х4.
Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду
с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного
преобразования с рациональными коэффициентами и найти выраже-
дие новых неизвестных через старые:
1187. 2х\ + 3x2 + 4x2 _ 2Xix2 + 4х,х3 — Зх2х3.
1188. Зх2 — 2x2 + 2х| + 4x^2 — Зх^ — х2х3.
1189. ~ х\ + 2x2 _|_ Ъх2 _ хл _j_ x^ _ %i
Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линей-
ное преобразован:::, переводящее форму / в форму g (искомое пре-
образование определсии не однозначно):
1190. / = 2х2+9x2
1191. / = 3x2+10x2 + 25x2—12x^2
г = 5у? + 6у1+12У1у8.
1192. / = 5х2 + 5x2+2x2 + 8х,х2 + 6х,х3 + 6х2х3;
Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду
и найти выражение новых неизвестных через старые (ответ не
однозначен):
п
1193. 2 в/а/Jc.jcj. где не все числа ах, а2 о„ равны нулю.
I. 7 = 1
1194—1206] § 15. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 157
л л л
1194. 2 *?+ S *i*r 119б*« S *¦*#•
j=i ' Ki ' к/ ' '
л-1
1196.
л
1198*. 2 \t — J\.xtxt.
Kj
1199*. Пусть дана квадратичная форма
где llt l2, ••-, lp. lp+\. lp+2 1р+д — вещественные линейные
формы от xv x2, .... х„. Доказать, что положительный индекс
инерции (т. е. число положительных коэффициентов в каноническом
виде) формы / не превосходит р, а отрицательный индекс инерции
не превосходит q.
1200*. Доказать, что если от каждой из двух форм f,gv. дру-
гой можно перейти каким-нибудь (необязательно невырожденным)
линейным преобразованием, то эти формы эквивалентны.
Выяснить, какие из следующих форм эквивалентны между собой
в области вещественных чисел:
1201. fl = x\ — xjcj /2 == УгУ2 — У|; /a =
1202. /t =
Д =
/а = —4zf —
1203. Показать, что все квадратичные формы от п неизвестных
можно разбить на классы так, что две формы будут эквивалентны
тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же
классу. Найти число этих классов в комплексной и в вещественной
областях.
1204. Какими значениями ранга и сигнатуры характеризуются
те классы вещественно эквивалентных квадратичных форм, для кото-
рых форма / эквивалентна форме — /.
1205. Найти число классов эквивалентности в области веществен-
ных чисел форм от п неизвестных, имеющих заданную сигнатуру s.
1206. Доказать, что для распадения квадратичной формы в про-
изведение двух линейных форм необходимо и достаточно выполнение
условий: а) в области вещественных чисел: ранг не превосходит
двух, а при ранге два сигнатура равна нулю, б) в области комплекс-
ных чисел: ранг не превосходит двух.
158 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 11207—121*
1207. Доказать, что квадратичная форма / тогда и только тогда
является положительно определенной, когда ее матрица, представляется
в виде А = С'С, где С — невырожденная вещественная матрица к,
С — матрица, транспонированная к С.
1208. Пользуясь задачами 913, 951 и 1207, доказать, что ква-
дратичная форма тогда и только тогда является положительно опре-
деленной, когда все ее угловые миноры положительны. Под угловым
минором квадратичной формы понимается минор ft-ro порядка, стоящий
в первых ft строках и первых ft столбцах ее матрицы (ft = 1, 2 га;
п — порядок матрицы).
1209. Доказать, что в положительно определенной форме все
коэффициенты при квадратах неизвестных положительны и что эта
условие не является достаточным для положительной определенности,
формы.
1210*. Доказать утверждения:
а) Для того чтобы квадратичная форма / была положительно опре-
деленной, необходимо и достаточно, чтобы все главные — а не только-
угловые (см. задачу 1208) — миноры ее матрицы были положительны.
б) Для того чтобы квадратичная форма / была неотрицательна
(т. е. / ^> 0 при любых вещественных значениях неизвестных), необ-
ходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были
неотрицательны. Показать на примерах, что (в отличие от положи-
тельно определенных форм) для неотрицательности / не достаточно.,
чтобы все угловые миноры были неотрицательны.
в) Для того чтобы вещественная симметрическая матрица А пред-
ставлялась в виде А = С'С, где С — вещественная невырожденная
матрица, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры
матрицы А были положительны.
г) Для того чтобы вещественная симметрическая матрица А пред-
ставлялась в виде А~С'С, где С—вещественная квадратная матрица,,
необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были
неотрицательны. Кроме того, если ранг А равен г, то и ранг С
равен г, и можно считать первые г строк С линейно независимыми,
а остальные — нулевыми.
1211. Доказать, что квадратичная форма / тогда и только тогда
является отрицательно определенной (т. е. / < 0 при любых вещест-
венных значениях неизвестных, не все из которых равны нулю),
когда знаки угловых миноров Dv D2 Dn чередуются, причем
?>! < 0. Здесь Dk — угловой минор порядка ft (ft=l, 2, .... га).
Найти все значения параметра К при которых положительно
определенны следующие квадратичные формы:
1212. 5*2-4-лг|4- Щ + 4ххх2 — 2хххъ — 2х2х3.
1213. 2*2 + х\-\~34 + 2Хх1х2-\- 2х1хг.
1214—1221] § 15. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 159
1214. х\ -+- х\ 4- Ьх\
1216. х\ + 4*| +
1216. 2д:2 4- 2л| 4- х\ + г^л;,, 4- 6ххх3 -\- 2х2х3.
1217*. Дискриминантом Df квадратичной формы f называется
определитель ее матрицы. Доказать, что если к положительно опре-
деленной квадратичной форме f(xx, x2 хп) прибавить квадрат
ненулевой линейной формы от тех же неизвестных, то дискриминант
формы увеличится.¦
л
1218*. Пусть /(*!, х2, .... хп)= 2 auxixi —
положительно
определенная квадратичная форма и ф (х2, х3 х„) = f @, х2 хп).
Доказать, что для дискриминантов этих форм выполняется неравен-
ство D/<a11Z?(p.
1219*. Доказать, что если неотрицательная кчадратичная форма
обращается в нуль хотя бы при одном ненулевом наборе веществен-
ных значений неизвестных, то эта форма вырожденна (т. е. ее дискри-
минант равен нулю).
1220*. Назовем композицией двух квадратичных форм
п п
/= 2 аих{х/ и g= 2 bijxix'j
I, У-l *", 7 = 1
n
квадратичную форму (/, g)~ 2 aifiijxixj-
Доказать, что:
а) если формы fug неотрицательны, то и форма (/. g) неотри-
цательна;
б) если формы / и g положительно определенны, то и форма (/, g)
положительно определенна.
1221*. Треугольным преобразованием называется линейное пре-
образование вида
у1=х1-\-с12хг+- ...
Уч Х2 4~ ^23-^3 4~ • • • 4" ^2пхп'
уп = хп.
Доказать, что;
а) треугольное преобразование невырожденно и преобразование,
обратное для треугольного, снова треугольное;
б) угловые миноры Dk(k = 1, 2, .... и) (см. задачу 1208) квадра-
та
тичной формы /= 2 auxtxj ПРИ треугольном вреобразованин не
2
изменяются.
160 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 11222—1229
1222*. Доказать, что:
а) для того чтобы квадратичную форму ранга т f= У аих;х,
I, y=i '
треугольным преобразованием можно было привести к виду
f = K?i+ ¦¦¦ +Kfr- О)
где A.ft=?0 (ft=l, 2, .... г), необходимо и достаточно, чтобы
Dk + b (ft<r), Dk = 0 (k>r). B)
где Dk(k = 1, 2 и) — угловые миноры формы / (см. задачу 1208);
б) указанный канонический вид A) определен однозначно, причем
его коэффициенты находятся по формулам
*¦* = -& (*=1. 2 r;D0=l) C)
(теорема Сильвестера).
1223. Пусть угловые миноры квадратичной формы / ранга г
удовлетворяют условиям B) предыдущей задачи. Доказать, что
положительный индекс инерции этой формы равен числу сохранений
знака, а отрицательный индекс — числу перемен знака в ряду чисел
1 = DO, Dp D2 Dr.
Выяснить, что в следующих парах квадратичных форм одна
форма является положительно определенной; найти невырожденное
линейное преобразование, приводящее эту форму к нормальному,
а другую форму той же пары к каноническому виду, и написать
этот канонический вид (линейное преобразование определено не одно-
значно):
1224. / = — ^jcj, 1226. / == х\ + 26лг| + \Qxxxv
1226. / = 8xf —284+1^2^
* = *; + 4*| + 2*§ + 2*Л.
1227. / = 2*2 -f- Xj*2 + xYx3 — 2*2*3 -f- 2*2*4,
1228. /
1229. / = x\ —
g- = x\ +' 17*| + 3*2 -f- 4*j*2 — 2*, jc3 — 14*2*3
1230—1237] § 15. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 161
1230*. Пусть дана пара форм /, g от одних и тех же неизвест-
ных, причем g > 0. Доказать, что канонический вид
получаемый для формы / при любом линейном преобразовании, при-
водящем форму g к нормальному виду (т. е. к сумме квадратов),
определяется однозначно с точностью до порядка слагаемых, причем
его коэффициенты Xj, Я^, .... "кп являются корнями так называемого
А.-уравнения пары форм /, g, а именно уравнения [А— АБ| = 0,
где А и В — соответственно матрицы форм / и g.
Можно ли следующие пары квадратичных форм привести к кано-
ническому виду одним вещественным невырожденным линейным пре-
образованием:
1231. / = х2 + 4х,х2~х|, 1232. / = х2 + хЛ — х\,
g = x\-\- бх^ + 5x2. g = x\ — 2xlx2.
1233. Пусть даны две положительно определенные формы fug
и пусть одно невырожденное линейное преобразование неизвестных
л
приводит форму / к виду 2 ^-У?> а форму g—к нормальному виду,
а второе преобразование — наоборот: форму / к нормальному виду,
п
а форму g к виду 2 V-iz\- Найти связь между коэффициентами
К К и Hi Ил-
He разыскивая линейного преобразования, найти канонический
вид данной формы /, к которому она приведется преобразованием,
приводящим другую данную форму ^>0 к нормальному виду:
1234. / = 21 х2 — 18x2 + 6х| + 4xjX2 + 28xjX3 + 6х2х3,
g = 1 1X2 + 6xf + 6х2 _ 12Xix2 + 12XjX3 — 6Х2Х3.
1236. / = 14х2 — 4х| + 17xf + 8x^2 — 40XjX3 — 26х2х3,
g- = 9xf + 6х| + 6х2 + 12x,x2 — 1 Ох^з — 2х2х3.
1236. Доказать, что две пары форм /,, gx и /2, g2, где gl и g2
положительно определенны, тогда и только тогда эквивалентны
(т. е. существует невырожденное линейное преобразование, пере-
водящее /i в /2 и g*! в g2), когда корни их ^.-уравнений | Аг — КВу | = 0
и | Л2 — КВ21 = 0 совпадают.
Выяснить, эквивалентны ли следующие пары форм, не находя
линейного преобразования одной пары в другую:
1237. /, = 2х2 + 3*2 _ х| + 2x,x2 + 2x,x3,
162 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1238—124S
/2 = 2х\ + 5x1 + 2х1 + 4*Л+ 4*Л — 2х2хъ>
g^X\ + 6x1 + ЪХ1
1238. /1 = 4х2^6л| + 21л:
g-, = 4jc| + 3x2 + б*
2 \ | -f- 3x| — 6XjX2 — 6Xj3 3
Найти невырожденное линейное преобразование, переводящее пару
квадратичных форм /р gY в другую пару /2, g2 (искомое преобразо-
вание определено не однозначно):
1239. /1 = 2х?- 7дг|+ 2x^2, /2 = — 7у\-Ъу\-
1240. /, = Ъх\ + 2д:2 — 10*^. /, = — 9у2 — 20у| — 44у,у2,
x1 -
1241. Пусть /(дсР х2 л:л) и ^(дср х2 х„) — две квад-
ратичные формы, хотя бы одна из которых положительно опре-
деленна. Доказать, что «поверхности» /=1 и g"=l в «-мерном
пространстве тогда и только тогда не пересекаются (т. е. не имеют
общих точек), когда форма / — g является определенной.
п
1242*. Доказать, что канонический вид 2 &.у2., к которому квад-
i=i
ратичная форма / приводится ортогональным преобразованием, опре-
делен однозначно, причем его коэффициенты Я,р Я,2, ..., А.„ являются
корнями характеристического уравнения \А — КЕ | = 0 матрицы А
формы /.
Найти канонический вид, к которому приводятся следующие квад-
ратичные формы посредством ортогонального преобразования, не на-
ходя самого этого преобразования:
1243.
1244. 7л:2 + 7х\
1246. х\ — 2х1х2 х1х32х2х3.
1246. Зх2+Зх2-х32-6хЛ + 4хЛ. 1247*. 2 хкхк+1.
r=i
Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие
формы к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать
этот канонический вид (преобразование определено не однозначно):
1248.
1249—1266] § 15. квадратичные формы 163
1249. 11*2 +5*|+ 2*2 + 16*1*2 + 4*1*3—20*2*3.
1260. х\ + х\ + Ьх\ — 6*,*2 — 2*,*3 + 2*2*3.
1261. х\ + *2 + *2 + 4*Л + 4*1*3 + 4*2*3.
' 1262. 17д;2+14д:2-|- 14^ — 4x^2—4х,д:3 —8*2д:з.
1263. *2 — 5*2 _|_ х^ + 4*j*2 + 2*^3 + 4*2*3.
1264. в*2 _- 7*2 + 8*2 + 8*j*2 — 2ххх3 + 8*2*3.
1266. 2*j*2 — 6*j*3 — 6*2*4+2*3*4.
1266. 5*2 + 5*2 + 5*2 +5*2—10*!*2 + 2*,*3 +
+ 6*t*4 + 6*2*3 + 2*2*4 — 10*3*4.
1267. З*2 + 8*,*2 — 3*2+4*| — 4*3*4 + *|.
1268. *2 + 2*j*2 + *2—2*2 —4*3*4 —2*2.
1269. Э*2 + 5*| + 5*|+8*2 + 8*2*3 — 4*2*4 + 4*3*4.
1260. 4*f — 4*j*2 + *2 + 5*| — 4*2 + 12*4*5 + *|.
1261. 4*2 — 4*| — 8*2*з+2*| — 5*| + 6*4*5 + 3*|.
1262. 3*2 + 8*j*2 — 3*1 + 4*| — 6*3*4 — 4*2 +
*|+4*5*6 + *2.
Найти канонический вид, к которому следующие формы приво-
дятся ортогональным преобразованием, и выразить новые неизвестные
через старые (искомое преобразование не однозначно):
п п п
1263. S*?+S*,*,. 1264. 2"'.
/-1 К] ' KJ '
1266*. Назовем две квадратичные формы ортогонально эквива-
лентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством
ортогонального преобразования. Доказать, что для ортогональной
эквивалентности двух форм необходимо и достаточно, чтобы харак-
теристические многочлены их матриц совпадали.
Выяснить, какие из следующих квадратичных форм ортогонально
Эквивалентны:
1266. / = 9*2 + 9*2+ 12*,*2+ 12*!*3 —6*2*3;
164 ОТДЕЛ III. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [1267—1275
1267. / = 1х\ + х\ + х\ — 8^х2 — Ъхххг — 16х2х3;
2,1,1,4 ,4 ,8
1268. Доказать, что любую вещественную симметрическую ма-
трицу А можно представить в виде: A — Q^BQ, где Q — ортого-
нальная и В—вещественная диагональная матрицы.
Для следующих матриц найти ортогональную матрицу Q и диа-
гональную матрицу В такие, что данная матрица представляется
в виде Q~ BQ:
1269.
1270.
1271*. Доказать, что все характеристические числа вещественной
симметрической матрицы А тогда и только тогда лежат на отрезке
[а, Ь], когда квадратичная форма с матрицей А — kCiE положительно
определенна при любом к0 < а и отрицательно определенна при лю-
бом Я-о > Ь.
1272*. Пусть А и В — вещественные симметрические матрицы.
Доказать, что если характеристические числа матрицы А лежат на
отрезке \а, Ь], а характеристические числа матрицы В—на отрезке
[с, d], то характеристические числа матрицы А-{-В лежат на отрезке
[а-{-с, b-\-d].
1273. Доказать, что невырожденную квадратичную форму тогда
и только тогда можно привести к нормальному виду ортогональным
преобразованием, когда ее матрица ортогональна.
1274. Доказать, что матрица положительно определенной квадра-
тичной формы тогда и только тогда ортогональна, когда эта форма
есть сумма квадратов. Как это положение формулировать на языке
матриц?
127Б*. Доказать, что любую вещественную невырожденную ма-
трицу А можно представить в виде А = QB, где Q — ортогональная
матрица и В — треугольная матрица вида
U U о U r> U -
О &22 ^23 • • • Ь2п
О 0 &аз ¦•• &з,
О 0 0 ... Ъ„г
1276] § 15. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 165
с положительными элементами на главной диагонали, и такое пред-
ставление единственно.
1276*. Доказать, что:
а) любую вещественную невырожденную матрицу А можно пред-
ставить как в виде А = Q1BV так и в виде А = B2Q2, где матрицы Qt
к Q2 — вещественные и ортогональные, а матрицы Вх и В2 — веще-
ственные, симметрические и с положительными угловыми минорами.
Каждое из этих представлений единственно;
б) любую комплексную невырожденную матрицу А можно пред-
ставить как в виде А = Q1BV так и в виде А = B2Q2, где матрицы Qt
и Q2 — унитарны, а матрицы В1 и В2—эрмитовы и с положитель-
ными угловыми минорами (матрица В называется эрмитовой, если
В' = В). Каждое из этих представлений единственно;
в) пусть А — симметрическая (или эрмитова) матрица с положи-
тельными угловыми минорами и В—ортогональная (соответственно
унитарная) матрица. Доказать, что:
1) произведения АВ и ВА тогда и только тогда будут симме-
трическими (эрмитовыми) матрицами с положительными угловыми ми-
яорами, когда В — единичная матрица;
2) произведения АВ и ВА тогда и только тогда будут ортого-
нальны (унитарны), когда А — единичная матрица.
ОТДЕЛ IV
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ИХ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 16. Аффинные векторные пространства
Ниже применяются следующие обозначения: векторы обозначаются ма-
лыми латинскими буквами жирного шрифта, а векторные пространства, их.
подпространства и линейные многообразия — большими латинскими буквами
жирного шрифта. Координаты вектора при обычной записи пишутся в строку,
заключенную в круглые скобки, например х=(хг, х2, ..., х„). В матричной
записи векторы базиса записываются строкой в круглых скобках, а коорди-
наты вектора — столбцом в круглых скобках.
Матрицей перехода от старого базиса е., е2,
е к новому
е%, ..., е'п называется матрица Т = (ty)", по столбцам которой стоят коор-
динаты новых базисных векторов в старом базисе. Таким образом, старый и,
новый базисы связаны матричным равенством
(е[, 4 ..., е'„) = (<?„ е2, ..., е„) • Т. A).
При таких обозначениях координаты х{, х2, ..., хп вектора х в старом
[ ''
р р
базисе связаны с координатами х[, х'2
п
зисе равенствами дг/ = 5j *1]х']> или в матричной записи
х'п того же вектора в новом ба-
х2
Линейным подпространством векторного пространства R называете»
непустое (т. е. содержащее хотя бы один вектор) множество L векторо»
из R, обладающее следующими свойствами:
1) сумма х-\-у двух любых векторов из L снова принадлежит L;
2) произведение а-х любого вектора х из L на любое число а снова
принадлежит L.
Линейным многообразием векторного пространства R называется сово-
купность Р векторов из R, полученная прибавлением ко всем векторам ка-
1277—12821 § '6. аффинные векторные пространства 167
кого-нибудь подпространства L из R одного и тою же вектора х0. Эта
«вязь L и Р будет обозначаться так: P = L-\-x0 или L = P—х0. Мы будем
говорить,- что линейное многообразие Р получено нз линейного подпро-
странства L параллельным сдвигом на вектор х0.
Размерностью линейного многообразия называется размерность того
линейного подпространства, параллельным сдвигом которого данное много-
образие получено. Корректность этого определения вытекает из утверждения
задачи 1331. Одномерные линейные многообразия будут называться прямыми,
а двумерные — плоскостями.
Суммой двух линейных подпространств Lx и L2 векторного простран-
ства R называется совокупность S = Lx + L2 всех векторов из R, каждый
из которых представляется в виде x — Xi-\-x2, где хх ?L, и x2?L2. Здесь
запись а?А обозначает: «элемент а принадлежит множеству А». Пересече-
нием двух линейных подпространств L, и L2 векторного пространства R
называется совокупность D = L\^\Li всех векторов из R, каждый из кото-
рых принадлежит как L\, так и L2.
Прямой суммой двух линейных подпространств L, и L2 векторного
-пространства R называется сумма этих подпространств при условии, что их
^пересечение состоит лишь из нулевого вектора, т. е. Z,,nz,2=0. В случае
згрямой суммы будем писать S — L, -}- L2.
и-мерное векторное пространство будет обозначаться через Rn. При
•этом если не оговорено противное, подразумевается, что за основное поле
.взято поле вещественных чисел, т. е. Rn состоит из всех я-мерных векто-
ров с любыми вещественными координатами.
Векторы ev е2 еп и х заданы своими координатами в неко-
тором базисе. Показать, что векторы ех, е2 еп сами образуют
«базис, и найти координаты вектора х в этом базисе:
1277. ^ = A. 1, 1), е2 = A, 1, 2), е3 = A, 2. 3); jc = F, 9, 14).
1278. е, = B, 1, —3). е2 = C, 2, —5). е3 = A. —1, 1);
jc = F, 2, —7).
1279. е1 = A, 2. —1, —2), е2 = B. 3, 0, —1), е3 = A, 2, 1, 3),
,е4 = A, 3, —1. 0); ж = G. 14, —1. 2).
Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом,
и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух ба-
зисах:
1280. el = (l, 2, 1), е2 = B, 3, 3), е3 = C. 7, I); е[ = C, 1, 4),
^ = E. 2, 1), е'3 = A, 1, —6).
1281. e1 = (l, U 1, 1). е2 = A, 2. 1. 1), <?3 = A, 1, 2, 1),
*4 = A. 3, 2, 3); е,' = A, 0, 3. 3), е'2 = (—2, —3, ~5. —4),
4 = B. 2, 5, 4). < = (—2, —3, —4, —4).
1282. Найти координаты многочлена
/(х) = со + а1д: + с2д:2+ ... -\-апхп
а) в базисе 1, х, х2, .... х";
б) в базисе 1, х — а, (х — аJ, .... (х — а)", выяснив, что по-
следние многочлены действительно образуют базис.
168 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА {1283—129Т
1283. Найти матрицу перехода от базиса 1, х, jc2, .... х" к базису
1, х — а, (х — аJ (х — а)" пространства многочленов степени,.
меньшей или равной п.
1284. Как изменится матрица перехода от одного базиса к дру-
гому, если:
а) поменять местами два вектора первого базиса?
б) поменять местами два вектора второго базиса?
в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
Является ли линейным подпространством соответствующего вектор-
ного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:
1285. Все векторы «-мерного векторного пространства, координаты,
которых — целые числа?
1288. Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной
из осей координат Ох и Оу?
1287. Все векторы плоскости, концы которых лежат на данной
прямой (начало любого вектора, если не оговорено противное, пред-
полагается совпадающим с началом координат)?
1288. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на
данной прямой?
1289. Все векторы трехмерного пространства, концы которых не
лежат на данной прямой?
1290. Все векторы плоскости, концы которых лежат в первой,
четверти системы координат?
1291. Все векторы из /?„, координаты которых удовлетворяют
уравнению xl~\-x2-\- ... +л;п —0?
1292. Все векторы из /?„, координаты которых удовлетворяют-
уравнению хх -f- х2 -j- • • • -f- xn — 1 ?
1293. Все векторы, являющиеся линейными комбинациями данных.
векторов: xv х2, .... xk из /?„?
1294. Перечислить все линейные подпространства трехмерного'
векторного пространства.
1295. Пусть линейное подпространство Lx содержится в линейном,
подпространстве L2. Доказать, что размерность Lx не выше размер-
ности L2, причем размерности равны тогда и только тогда, когда.
L1 = L2. Верно ли последнее утверждение для любых двух линейных
подпространств данного пространства?
1296. Доказать, что если сумма размерностей двух линейных'
подпространств «-мерного пространства больше п, то эти подпро-
странства имеют общий ненулевой вектор.
Доказать, что следующие системы векторов образуют линейные
подпространства и найти их базис и размерность:
1297. Все я-мерные векторы, у которых первая и последняя:
координаты равны между собой.
1298—1309] § 'б. аффинные векторные пространства 169
1298. Все и-мерные векторы, у которых координаты с четными
номерами равны нулю.
1299. Все и-мерные векторы, у которых координаты с четными
•номерами равны между собой.
1300. Все и-мерные векторы вида (а, р, а, р, а, р, ...), где а и
IP — любые числа.
1301. Доказать, что все квадратные матрицы порядка и с веще-
ственными элементами (или элементами из любого поля Р) образуют
векторное пространство над полем вещественных чисел (соответственно
над полем Р), если за операции взять сложение матриц и умножение
матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.
1302. Доказать, что все многочлены степени -^в от одного не-
известного с вещественными коэффициентами (или с коэффициентами
из любого поля Р) образуют векторное пространство, если за опера-
ции взять обычные сложение многочленов и умножение многочлена
ла число. Найти базис и размерность этого пространства.
1303. Доказать, что все симметрические матрицы образуют линей-
ное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка и.
Найти базис и размерность этого подпространства.
1304. Доказать, что кососимметрические матрицы образуют линей-
ное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка и.
Найти базис и размерность этого подпространства.
1305. Доказать, что если линейное подпространство L простран-
ства многочленов степени -^ и содержит хотя бы один многочлен
степени k для А = 0, 1, 2 р, но не содержит многочленов сте-
пени k > р, то оно совпадает с подпространством Lp всех много-
членов степени -< р.
1306. Пусть /—неотрицательная квадратичная форма от и неиз-
вестных ранга г. Доказать, что все решения уравнения / = 0 обра-
зуют (и—г)-мерное линейное подпространство пространства /?„.
1307. Доказать, что решения любой системы однородных линейных
уравнений с и неизвестными ранга г образуют линейное подпростран-
ство «-мерного пространства /?„ размерности d = n—г и, обратно,
для любого линейного подпространства L размерности d простран-
ства Rn существует система однородных линейных уравнений с и
«еизвестными ранга r = n — d, решения которой заполняют в точно-
сти даннее подпространство L.
1308. Найти какой-нибудь базис и размерность линейного под-
пространства L пространства /?„, если L задано уравнением
1 „
1309. Доказать, что раз( ерность линейного подпространства L,
натянутого на векторы ж,, х2 х^ (т. е. подпространство всех
линейных комбинаций данных векторов), равна рангу матрицы, со-
ставленной из координат данных векторов в каком-нибудь базисе.
170 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1310— 13Ф1
а за базис подпространства L можно взять любую максимальную-
линейно независимую подсистему системы данных векторов.
Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых,
на следующие системы векторов:
1310. с1 = A, 0, 0, —1). а2 = B, 1, 1, 0), в8 = A, 1. 1, 1).
О4 = A, 2, 3, 4), а5 = @, 1. 2, 3).
1311. О! = A. 1, 1, 1, 0), с2 = A, 1, —1, —1. —1),
О3 = B, 2, 0, 0, —1), С4 = A, 1, 5, 5, 2), С5 = A. —1, —1, 0, 0).
Найти системы линейных уравнений, задающие линейные подпро-
странства, натянутые на следующие системы векторов:
1312. О1 = A. —1. 1, 0), С2 = A, 1. 0, 1), Оз = B. 0, 1, 1).
1313. а, = A, —1. 1, —1, 1), С2 = A, 1, 0, 0, 3),
О3 = C. 1, 1. —1. 7), о4 = @. 2, —1, 1, 2).
1314. Доказать, что сумма и пересечение двух линейных подпро-
странств пространства /?„ сами являются линейными подпространствами
того же пространства.
131Б. Доказать, что сумма S — Lx-{-L2 двух линейных подпро-
странств пространства Rn равна пересечению всех линейных подпро-
странств из Rn, содержащих как Llt так и L2.
1316. Доказать, что сумма размерностей двух линейных подпро-
странств пространства Rn равна размерности суммы плюс размерность,
пересечения этих подпространств.
Найти размерность s суммы и размерность d пересечения линейных.
подпространств: Llt натянутого на векторы щ, а2 ak, и L2>
натянутого на векторы Ьи Ь2, ¦••, bt:
1317. О! = A. 2, 0, 1), С2 = A, 1, 1, 0) и &! = A, 0, 1, 0),
&2 = A, 3, 0, 1).
1318. О! = A. 1, 1, 1), С2 = A, —1, 1, —1), С3 = A, 3, 1, 3^
&! = A, 2, 0, 2), &2 = A, 2, 1, 2), &з = C. 1. 3, 1).
1319*. Пусть Lj — линейное подпространство -пространства Rn
с базисом av а2 ak и L2 — линейное подпространство того же-
пространства с базисом bv Ь2 bt.
Доказать следующие правила построения базиса суммы S=^L1-\-L2.
и базиса пересечения D = Lx fl L2:
1) Базисом суммы S служит максимальная линейно независимая
подсистема системы векторов Cj uk, bv .... bt. Его постровние
сводится к вычислению ранга матрицы из координат этой последней,
системы векторов.
2) Базис суммы S можно получить, добавляя к линейно незави-
симым векторам av .... ak некоторые из векторов bv .... bt (за-
дача 659). Меняя, если потребуется, порядок последних векторов,.
можем считать, что векторы av .... ak, Ьг bs_k образуют
базу S.
1320—1325] § 16. АФФИННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 171
Равенство
•эквивалентно системе п однородных линейных уравнений с k~{-l
неизвестными xv .... хь, yv .... yt ранга s. Так как первые s
столбцов матрицы системы линейно независимы и, значит, хотя бы
один минор порядка s в этих столбцах отличен от нуля, то за сво-
•бодные неизвестные можно принять последние k-\-l — s — d неизве-
стных ys_/l+l, .... yt. Поэтому можно найти фундаментальную систему
фешений
*ц. *в хш- Ун- Уе У« (/=1. 2 О) B)
.для системы уравнений A) такую, что
Уь s-k+i ••¦ Уы
=?0; C)
У А s-ft+1 • • • У А I
тогда базисом пересечения D является система векторов
i
«1=2 УцЬ, (* = 1. 2 d). D)
Замечание. Так как d = & -f- / — s, то этим дано второе реше-
ние задачи 1316.
Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств,
юатянутых на системы векторов ах, ..., аь и Ьх, ..., bt:
1320. О1 = A. 2, 1), С2 = A. 1, —1), О3 = A. 3. 3);
^ = B, 3, — 1), Ь2 = A, 2, 2). &3 = A. Ь —3).
1321. О! = A, 2, 1, —2), с2 = B, 3, 1, 0), С3 = A, 2, 2, —3);
41==A, 1, 1, 1), Ь2 = (\, 0. 1, — 1). &з —(!• 3, 0, —4).
1322. Cj^Cl. 1, 0. 0), с2 = @, 1, 1, 0), «з = @. 0. 1, 1);
*, = A. 0, 1, 0), &2 = @, 2, 1, 1), &з = A- 2, 1, 2).
1323. Доказать, что если размерность суммы двух линейных под-
пространств пространства Rn на единицу больше размерности их
пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств,
л пересечение с другим.
1324. Пусть L, Lv L^—линейные подпространства пространства /?„.
Доказать, что L тогда и только тогда будет прямой суммой Llf L2,
когда выполняются условия:
а) L содержит Lx и 1^;
б) каждый вектор x?L однозначно представляется в виде
JC=X1~\-X2, где JCj^Lp JC2?L2. Иными словами, сумма L = Lj + L2
тогда и только тогда является прямой суммой, когда для любого век-
тора х ? L представление х = х1 -f- х2, где JCj ? Lv x2 ? L^, однозначно.
132Б. Доказать, что сумма S линейных подпространств Lx и L2
тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один
172 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1326—133$'
вектор x?S однозначно представляется в виде jc = jc1+jc2, где
i
1326. Пусть линейное подпространство L является прямой сум-
мой линейных подпространств Lt и L2. Доказать, что размерность L.
равна сумме размерностей Lx и 1^. причем любые базисы Lx и L2
дают вместе базис L.
1327. Доказать, что для любого линейного подпространства L,
пространства Rn можно найти другое подпространство L2 такое, что
все пространство Rn будет прямой суммой Lx и Ь%.
1328. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух
линейных подпространств: Lv заданного уравнением хх-f-х2 + ...
... -f- хп — 0, и L2, заданного системой уравнений х1 = х2 = ...
... = хп. Найти проекции единичных векторов
«, = A.0,0 0), «2 = @. 1, 0 0) «„ = @. 0, 0 1)
на Lj параллельно L2 и на L2 параллельно Lv
1329. Доказать, что пространство всех квадратных матриц по-
рядка п есть прямая сумма линейных подпространств Lx—симметри-
ческих и L2 — кососимметрических матриц. Найти проекции Ах и Л2.
матрицы
1 1 ... 1
0 1 ... 1
0 0 ..: 1
на LY параллельно Ь% и на L2 параллельно Lv
1330. Доказать, что решения любой совместной системы линей-
ных уравнений с п неизвестными ранга г образуют линейное много-
образие пространства Rn размерности d — п—г и, обратно, для любого-
d-мерного линейного многообразия Р пространства Rn существует
система линейных уравнений с п неизвестными ранга r = n—d,
решения которой заполняют в точности данное многообразие Р.
1331. Пусть даны два линейных многообразия (см. введение)'
Р1 = Lj -f- jc, и Р2 = L2 -f- Хо, где Lv L2—линейные подпространства.
и JCj, х2—векторы пространства Rn. Доказать, что Р1 = Р2 тогда
и только тогда, когда LX = L2 и х1 — x2?Llt Таким образом, линей-
ное пространство, параллельным сдвигом которого получается данное
многообразие, определено однозначно.
1332. Доказать, что если P — L-{-x0, где L—линейное подпро-
странство и ж0—вектор пространства Rn, то вектор jc0 принадлежит
многообразию Р и после замены этого вектора любым вектором х?Р'
получается то же самое многообразие Р.
1333. Доказать, что если прямая имеет две общие точки с линей-
ным многообразием, то вся она содержится в этом многообразии (при-
этом точка отождествляется с вектором, имеющим те же координаты,,
т. е. идущим из начала координат в данную точку).
1334—1346] § 16. АФФИННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 173
1334*. Доказать, что любые две прямые пространства
содержатся в некотором трехмерном линейном многообразии, лежа-
щем в Rn.
133Б. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
две прямые JC = ao + a1* и x=bQ-{-bxt пространства /?„(«> 1)
лежали в одной плоскости.
1336. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы
две прямые х — ао--\-а^ и jc = b0-j~ b^t проходили через одну точку,
но не совпадали. Указать метод отыскания точки пересечения этих
прямых.
Найти точку пересечения двух прямых ао~\-а^ и
1337. «о = B. 1, 1, 3, —3), d = B, 3, 1, 1, —1);
&0 = A, 1, 2, 1, 2), »1 = A, 2, 1, 0, 1).
1338. со = C, 1, 2, 1, 3), о1 = A. О, 1, 1, 2);
fto = B. 2, —1, —1. —2), ft, = B, 1, 0, 1, 1).
1339. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
через точку, заданную вектором с, можно было провести единствен-
ную прямую, пересекающую две данные прямые x = ao-\-alt и
jc = &0-|-&i^- Указать метод построения такой прямой и точек пере-
сечения ее с данными прямыми.
Найти прямую, проходящую через точку, заданную вектором с
и пересекающую прямые jc = ао-\-ах1, x=bo-\-b1t, и найти точки
пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми:
1340. Ло = A- °- —2- !)> «i = (I. 2. —1, —5); Ь0 = @, 1, 1, —1),
&! = B. 3, —2, —4); с = (8, 9, —11, —15).
1341. ао = A, 1, 1, 1), с, = A. 2, 1, 0); &0 = B, 2, 3, 1),
&1==A, 0, 1, 3); с = D, 5, 2, 7).
1342. Доказать, что любые две плоскости пространства /?„
содержатся в линейном многообразии размерности -^ 5.
1343. Доказать, что два линейных многообразия пространства Rn
размерностей k и / соответственно содержатся в линейном многооб-
разии размерности <Г fe-}-Z-|-1.
1344. Доказать, что если два линейных многообразия — Р раз-
мерности k и Q размерности I—пространства Rn имеют общую точку,
причем h-\- / > п, то их пересечение есть линейное многообразие
размерности ~^-k-\~l—п. Какие теоремы вытекают отсюда для трех-
мерного и четырехмерного пространств?
1345. Описать все случаи взаимного расположения двух плоско-
стей лг = йо + «Л + «2^2 и х== fy>~T-^i'i~r"^2 в «-мерном про-
странстве и указать необходимые и достаточные условия для каждого
из этих случаев.
1346. Пусть
«о- «1 «а С1)
174 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ^1347—1350
— любые k-\-l векторов пространства /?„. Доказать, что все
векторы вида
х = аосо + а1о1 + ... + akak. B)
где числа а0, аг, .... aft удовлетворяют условию
образуют линейное многообразие Р. размерность которого равна
рангу системы векторов
С! — а0, .... ak — a0. D)
Р есть многообразие наименьшей размерности, содержащее все
векторы A). Роль а0 может играть любой из этих векторов. Обратно,
для любого ^-мерного линейного многообразия Р существует система
fe-f-1 векторов A) такая, что Р состоит из всех векторов вида B)
при условии C), причем система векторов D) линейно независима.
1347*. Отрезком с концами в точках, заданных векторами
Яр а2 пространства Rn, называется совокупность всех точек, задан-
ных векторами вида х — а1а1-\-а2а2, где a]-f-a2=l и 0-^а!-^1,
О -С Щ. -С 1 • Множество М точек пространства Rn называется выпук-
лым, если для любых двух точек из М весь отрезок с концами
в этих точках содержится в М. Показать, что пересечение любой
системы выпуклых множеств пространства /?„ есть выпуклое мно-
жество. Выпуклым замыканием данного множества А из Rn назы-
вается пересечение всех выпуклых множеств из Rn, содержащих А.
Доказать, что выпуклое замыкание конечной системы точек про-
странства /?„, заданных векторами alt a2, .... ak, состоит из всех
точек, заданных векторами вида x==a1ai-\-a2a2-\-•..-\-akak, где
2^=1 и 0<аг<1 (/==1. 2 k).
1348*. Найти форму тела, полученного в сечении четырехмерного
параллелепипеда (в случае прямоугольной декартовой системы коор-
динат— четырехмерного куба) |Агг|-^1 (i=l, 2, 3, 4) трехмерной
гиперплоскостью с уравнением х1 -\- х2 ~\- аг3 + хА — 0.
1349*. Найти проекцию четырехмерного тетраэдра, ограниченного
координатными трехмерными подпространствами и гиперплоскостью
х\ А~ Х2 ~\~ хз Ч~ Х4 — * • на подпространство х1 -\- х2 -\- аг3 -f- jc4 = 0
параллельно прямой х1 == х2 = х3 = хА.
1360*. Доказать, что диагональ n-мерного параллелепипеда делится
на п равных частей точками пересечения ее с (п—1)-мерными линей-
ными многообразиями, проведенными через все вершины параллелепи-
педа параллельно линейному многообразию, проведенному через концы
всех п ребер, начало которых совпадает с одним из концов данной
диагонали.
1351] § «7- ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 175
§ 17. Евклидовы и унитарные пространства
Евклидовым (соответственно унитарным) пространством /?„ называется
и-мерное векторное пространство над полем вещественных (соответственно
комплексных) чисел, в котором каждой паре векторов х, у поставлено в соот-
ветствие вещественное (соответственно комплексное) число (jc, у), называемое
скалярным произведением этих векторов, причем выполнены условия:
а) в случае евклидова пространства:
(х, у) = (у. х); A)
(*i + х2, у) = (*,, у) + (хъ у); B)
(ах, у) = а (х, у); C)
для любого вещественного числа а.
Если хфО, то. (х, х) > 0; D)
б) в случае унитарного пространства:
(х, у) = (у, X); A0
(*i + х2, у) = <*,, у) + (х2, у), B')
что совпадает с B);
(ах, у)=а(х, у) C')
для любого комплексного числа а.
Если хфО, то (х, х) > 0, D')
что совпадает с D).
Базис (или вообще система векторов) в\, е2 еп называется орто-
нормированным, если
( 1, если I = ],
1
Если нет других указаний, то координаты всех векторов предполагаются
взятыми в ортонормированном базисе.
Векторы х и у называются ортогональными, если {х, у) = 0.
Процессом ортогонализации системы векторов аи а2, ..., as называется
переход от этой системы к новой системе 6,, Ь2 bs, построенной следую-
щим образом: Ь\ = ах; Ь^^а^— 2 c'fii (k = 2, 3, ..., s), где с/ = .'afo "i>.
fTi (т. bi)
(/ = 1, 2,..., A: — 1), если бг=?0, и ct — любое число, если 6г = 0.
Значение С[ получается умножением равенства, выражающего Ь^ через
ak и bt(i=l, 2, .... k — 1), на bt при условии, что (bk, 6г) = 0.
1361. Доказать, что из свойств скалярного произведения, указан-
ных во введении, вытекают следующие свойства:
а) (х, yi-f-y2) —(•*• yi) + (*« У2) Для любых векторов евклидова
(или унитарного) пространства;
б) (jc, ay) = a(x, у) для любых векторов х, у евклидова про-
странства и любого вещественного числа а;
в) (дс, ay) = a(jc, у) для любых векторов х, у унитарного про-
странства и любого комплексного числа а;
г) (xl—x2, y) = (xv y) — (x2, у);
д) (х. 0) = 0.
176 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1352—1356
1352. Какими свойствами должна обладать билинейная форма
п
2 Для того, чтобы ее значение от координат двух любых
g 2
I. j-i
векторов
x = (xv х2 х„), у = (уг, у2 у„)
пещественного векторного пространства /?„ в некотором базисе ех,
е2 еп можно было принять за скалярное произведение этих
векторов, определяющее w-мерное евклидово пространство? Чему рав-
ны скалярные произведения векторов выбранного базиса?
п
1353. Пусть дана эрмитова билинейная форма g= У\ аих,у1.
I, 7 = 1
Черта над неизвестным уу- означает, что при замене уу- его число-
вым значением ау- следует у^- заменять комплексно сопряженным зна-
чением ау-. Пусть матрица А = (а,-у)" этой формы — эрмитова, т. е.
ац = а^A, 7=1. 2, .... п). Показать, что значения соответствую-
п
п
щей эрмитовой квадратичной формы /= "S aiiXiXj при любых
I, j=i ' '
комплексных значениях хх, х2 х„ вещественны, и если форма / по-
ложительно определенна, т. е. / > 0 при любых комплексных значе-
ниях xv х2 хп, не все из которых равны нулю, то задание ска-
п
лярного произведения равенством (х, у)— 2 аах1У1< гДе xv • • •• хп
I, /=1
и У! у„ — координаты соответственно векторов jc и у в не-
котором базисе ех, ..., еп комплексного векторного пространства /?„,
превращает это пространство в унитарное, причем любое унитарное
пространство можно получить таким путем.
1354. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов:
х = (хх, х2 хп), y = (yv y2 у„)
евклидова пространства тогда и только тогда выражается равенством
(х, у) = хм + х2у2 + ... -f х„у„.
когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормиро-
ванным.
1355. Пусть Z,, и L2—линейные подпространства евклидова (или
унитарного) пространства /?„, причем размерность Lx меньше размер-
ности L2; доказать, что в L2 найдется ненулевой вектор, ортогональ-
ный ко всем векторам из Lv
1356. Доказать, что любая система попарно ортогональных не-
нулевых векторов (в частности, любая ортонормированная система)
линейно независима.
1357—1366] § 17- ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 177
Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны,
и дополнить их до ортогональных базисов:
1367. A, —2, 2, —3), 1358. A, 1, 1, 2),
B, —3, 2, 4). A, 2, 3, —3).
Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до
ортонормированных базисов:
1QCQ /91 9 \ /11 1 1\
JIOtJEr. I ** * ^ \ | ОСА I * L * * \
U' 3' з]' i' 2* 2" 2J'
Применяя процесс ортогонализации (см. введение), построить
ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему
векторов:
1361. A, 2, 2, —1), 1362. A. 1, —1, —2),
A. 1, —5, 3), E, 8, —2, —3),
C, 2, 8, —7). C, 9, 3, 8).
1363. B, 1, 3, —1),
G, 4, 3, —3),
A. 1, —6, 0),
E, 7, 7, 8).
1364. Ортогональным дополнением подпространства L прост-
ранства Rn называется совокупность L* всех векторов из Rn,
каждый из которых ортогонален ко всем векторам из L.
Доказать, что:
а) L* является линейным подпространством пространства Rn;
б) сумма размерностей L и L* равна и;
в) пространство Rn есть прямая сумма подпространств L и L*.
1365. Доказать, что ортогональное дополнение к линейному под-
пространству пространства Rn обладает свойствами:
а) (/.*)* = L; б) (I, + Ь$ = Z-i П 1й в) (Z-i fl ?2)* =
г) R*n = O, (f = Rn.
Здесь О — нулевое подпространство, содержащее лишь нулевой
вектор 0.
1366. Найти базис ортогонального дополнения L* подпростран-
ства L, натянутого на векторы:
Oi=fl. 0, 2, 1), Оа = B, 1, 2, 3), а3 = @, 1, —2. 1).
178 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1367—1375
1367. Линейное подпространство L задано уравнениями:
2*!+ х2 + 3х3 — х4 = 0,
3*! + 2х2 — 2х4 = О,
х3— лг4 = 0.
Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение L*.
1368. Показать, что задание линейного подпространства L про-
странства /?„ и его ортогонального дополнения L* в ортонормирован-
ном базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы
линейных уравнений, задающей одно из этих подпространств, служат
координатами векторов базиса другого подпространства.
1369. Пусть L — линейное подпространство пространства /?,,.
Доказать, что любой вектор х из /?„ однозначно представляется
в виде x — y-\-z, где у принадлежит L и z ортогонален к L. у на-
зывается ортогональной проекцией вектора х на подпространство L,
a z ортогональной составляющей х относительно L. Указать прием
для вычисления у и г.
Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляю-
щую z вектора дс на линейное подпространство L:
1370. jc = D, —1, —3, 4). L натянуто на векторы
ах=(\, 1. 1, 1), «2==A, 2, 2, —1), оз = A. 0, 0, 3).
1371. я —E, 2, —2, 2). L натянуто на векторы
aj=B, 1, 1, —1), a2 = (l, I, 3, 0), a3 = (l, 2, 8, 1).
1372. jc = G, —4, —1, 2). L задано системой уравнений:
2*,+ *2 +
*3 — 9х4 = 0.
1373*. Расстоянием от точки, заданной вектором X, до
линейного многообразия P = L-\-x0 называется минимум расстояний
от данной точки до точек многообразия, т. е. минимум длин векто-
ров х — и, где и — вектор Р.
Доказать, что это расстояние равно длине ортогональной состав-
ляющей г вектора х — х0 относительно линейного подпространства L,
параллельным сдвигом которого получается многообразие Р.
1374. Найти расстояние от точки, заданной вектором х, до ли-
нейного многообразия, заданного системой уравнений:
а) х = D, 2, —5, 1); б) х = B, 4, —4, 2);
2лгх — 2х2-\- аг3 + 2аг4 = 9, х1 1
1376*. Доказать, что расстояние й от точки, заданной векто-
ром х, до линейного многообразия P = L-\-x0, где L — линейное
1376—1380] § 17. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 179
подпространство с базой ах, а2, .... ak, вычисляется с помощью
определителя Грама (см. задачу 1415) по формуле
a2, ..., аь х — х0)
G (а,, а2 ак)
1376*. Расстоянием между двумя линейными многообразиями
pl = Ll-{- JCj и Р2 = L2 -\- х2 называется минимум расстояний любых
двух точек, одна из которых принадлежит Рг, а другая Р2. Доказать,
что это расстояние равно длине ортогональной составляющей вектора
xi — Х2 относительно линейного подпространства L = L1-\- L2.
1377. Найти расстояние между двумя плоскостями дс = а1/1 +
+ «2^2 + «1 и х = a3tx -j- a4t2 + х2, где
Oi=(l. 2, 2, 2), а2 = B, —2, 1, 2),
а3 = B, 0, 2, 1), о4 = A. —2, 0, -1);
jd=D, 5, 3, 2), *2==A, —2, 1, —3).
1378*. Правильным «-мерным симплексом евклидова пространства
RAp^n) называется выпуклое замыкание (см. задачу 1347) системы
п -Ь 1 точек, находящихся друг от друга на одинаковом расстоянии.
Точки данной системы называются вершинами; отрезки, их соединяю-
щие, — ребрами, а выпуклые замыкания подсистем к + 1 точек данной
системы — fe-мерными гранями симплекса. Две грани называются про-
тивоположными, если они не имеют общих вершин и любая из п-\- 1
вершин симплекса является вершиной одной из этих граней.
Найти расстояние между двумя противоположными гранями раз-
мерностей k и п — k— 1 n-мерного симплекса с длиной ребер, рав-
ной единице, и доказать, что оно равно расстоянию между центрами
этих граней.
1379*. Пусть е — вектор длины единица евклидова (или унитар-
ного) пространства /?„. Доказать, что любой вектор х из /?„ одно-
значно представляется в виде x = ae-\-z, где (г, е) —0. Число а
называется проекцией вектора х на направление е и обозначается
через ртех.
Доказать, что:
а) pte(x-{-y) = ptex-\-prey,
б) рге (Яде) = %ртех;
в) piex^=(x, ё)\
г) для любого ортонормированного базиса ех, .... еп и любого
И
вектора х имеет место равенство х = 2 (Ргег-*0 • ^i-
1380*. Пусть ех, .... ек — ортонормированная система векторов
евклидова пространства /?„. Доказать, что для любого вектора х
180 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
из /?„ имеет место неравенство (неравенство Бесселя):
[1381 — 1385
причем это неравенство обращается в равенство (равенство Парсеваля)
для любого х из /?„ тогда и только тогда, когда k = п, т. е. система
еи .... ек является ортонормированным базисом.
1381*. Доказать неравенство Коши—Буняковского
(JC. УJ<(*. Х)(у, у)
для любых векторов х и у евклидова пространства, причем знак
равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы хиу
линейно зависимы.
1382*. Доказать неравенство Коши — Буняковского
{х, у)(у,
, х)(у, у)
для любых векторов jc и у унитарного пространства, причем знак
равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы jc и у
линейно зависимы.
1383. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, доказать
следующие неравенства:
(и \2
2 «А
г=1 /
для любых вещественных чисел ах,
2
б) ~~
.. ап; Ьх Ьп (см. задачу 503);
для любых комплексных чисел а1з ..., ап; Ьх, ..., Ьп (см. задачу 505).
1384. В бесконечномерном векторном пространстве всех веще-
ственных непрерывных на отрезке [а, Ь] функций с обычными сло-
жением функций и умножением функции на число задано скалярное
ь
произведение (/, g)= I f(x)g(x)dx. Проверить выполнение всех
а
свойств скалярного произведения евклидова пространства (см. введение)
и написать неравенство Коши — Буняковского для этого пространства.
Найти длины сторон и внутренние углы треугольников, вершины
которых заданы своими координатами:
1386. Л B, 4, 2, 4, 2), В F, 4, 4, 4, 6), С E, 7, 5, 7, 2).
1386—1399J § 17- ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 181
1386. ЛA, 2, 3, 2, 1); ВC, 4, 0, 4, 3);
1387. Доказать следующее обобщение теоремы элементарной
математики о двух перпендикулярах: если вектор jc евклидова (или
унитарного) пространства ортогонален к каждому из векторов
av a2 ak, то он ортогонален к любому вектору линейного
подпространства L, натянутого на векторы щ, а2, .... ak.
1388. Доказать, что если х = ау, то |jc| = |a|-|y|. Здесь
|jc|, | у | — длина векторов х, у.
1389*. Доказать, что квадрат диагонали прямоугольного «-мерного
параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из
одной вершины («-мерное обобщение теоремы Пифагора).
1390*. Доказать теорему о том, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
1391. Доказать теорему о том, что квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произве-
дения этих сторон на косинус угла между ними, пользуясь скалярным
умножением векторов.
1392. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, доказать-
неравенство треугольника: если р(Х, К)—расстояние между точками
А" и К, то для любых трех точек А, В и С имеем р(Л, В)-\-
-\-р(В, С)^-р(Л, С), причем равенство имеет место тогда и только
тогда, когда векторы х, проведенный из А в В, и у, проведенный,
из В в С, коллинеарны и одинаково направлены.
1393. Найти число диагоналей «-мерного куба, ортогональных
к данной диагонали.
1394. Найти длину диагонали «-мерного куба с ребром а и предел
этой длины при «—>оо.
1395. Доказать, что все диагонали «-мерного куба образуют один
и тот же угол <р„ со всеми его ребрами. Найти этот угол и его
предел при п^->оо. При каком « получим ф„ = 60°?.
1396. Найти выражение радиуса R шара, описанного около
«-мерного куба через ребро а; какая из этих величин R и а больше
при различных «?
1397. Доказать, что ортогональная проекция любого ребра,
«-мерного куба на любую диагональ этого куба по абсолютной вели-
чине равна — длины диагонали.
1398*. Доказать, что ортогональные проекции вершин «-мерного
куба на любую его диагональ делят ее на п равных частей.
1399*. Пусть х, у — ненулевые векторы евклидова простран-
ства /?„. Доказать, что:
182 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1400—1407
а) х = ау, где а > 0, тогда и только тогда, когда угол между
X а у равен нулю;
б) jc = ау, где а < 0, тогда и только тогда, когда угол между
х и у равен п.
1400*. Доказать, что из всех векторов линейного подпростран-
ства L наименьший угол с данным вектором jc образует ортогональ-
ная проекция у вектора х на L. При этом равенство cos(jc, y) =
= cos (jc, у'), где у' ? L, выполняется тогда и только тогда, когда
у' = ау, где а > 0.
1401. Найти угол между диагональю n-мерного куба и его
fe-мерной гранью.
Найти угол между вектором jc и линейным подпространством,
.натянутым на векторы ах, а2 ak:
1402. jc = B, 2, 1. 1); 1403. * = A, 0, 3, 0);
ai = C, 4, —4, —1); щ=E, 3. 4, —3);
a2 = @, 1, —1, 2). а2 = A, 1, 4, 5);
а3 = B. —1, 1. 2).
1404. Углом между двумя линейными подпространствами Lx и L2
евклидова пространства /?„, не имеющими общих ненулевых векто-
ров, называется минимум углов между ненулевыми векторами хг, х2.
где Xi^Li, X2?L2. Если пересечение Lx П Ь2 = ОФ0, причем
ОФ1ц, ИФЬ2, то углом между Lx и L2 называется угол между
их пересечениями с ортогональным дополнением D* к пересечению D.
Если одно из данных подпространств содержится в другом (в част-
ности, если они совпадают), то угол между ними считается равным
нулю. Углом между линейными многообразиями называется угол между
соответствующими им подпространствами. Показать, что угол между
любыми подпространствами или многообразиями всегда определен
и равен нулю тогда и только тогда, когда одно из подпространств
или многообразий содержится в другом или многообразия параллельны.
1405*. Найти угол между двумерными гранями AqA^A^ и А0А3Аа
правильного четырехмерного симплекса (см. задачу 1378) A0AlA2AzAi.
1406*. Найти угол между плоскостями а0 -\- aitl -f- «2^2 и
ao = C, I, 0, 1), a,=(l, 0, 0, 0), «2 = @, 1, 0, 0),
Ь0 = B, 1. 1, 3), &! = A, 1, 1. 1), &2 = A, —1. 1. —1).
1407*. Пусть даны линейно независимая система векторов
ev e2 es и две ортогональные системы ненулевых векторов
/i» /г> • • • • fs и ffi» ^2 ft такие, что векторы fk и gk линейно
выражаются через ev е2 ek (fe=l, 2 s). Доказать, что
/ l. 2 *)- где
1408—1414] § 17. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 18$
1408*. Пусть /?„+1 — евклидово пространство, за векторы кото-
рого взяты все многочлены степени ^яс вещественными коэффи-
циентами от одного неизвестного х, а скалярное произведение поли-
+ i
номов f(x) и g(x) определено так: (/, g)= Г f(x)g(x)dx.
Доказать, что следующие полиномы, известные под названием
полиномов Лежандра:
^x2~l)k] <ft==1-2 »)•
образуют ортогональный базис пространства Rn+1.
1409. Исходя из определения полиномов Лежандра, данного-
в предыдущей задаче, найти полиномы Рк(х) для fe = 0, 1, 2, 3, 4.
Убедиться, что Рк(х) имеет степень k, и написать развернутое вы-
ражение по степеням х для Pk(x) при любом k.
1410*. Вычислить «длину» полинома Лежандра Рк(х) как вектора
евклидова пространства /?„+1 задачи 1408.
.1411*. Вычислить значение полинома Лежандра Рк(х) при аг= 1,
1412*. Доказать, что если к базису 1, х, х2, ..., х" евклидова
пространства /?„+1 задачи 1408 применить процесс ортогонализации,
то получатся многочлены fo(x), f\{x) /л(х), отличающиеся
лишь постоянными множителями от соответствующих полиномов
Лежандра. Найти эти множители.
1413. Пусть процесс ортогонализации переводит векторы ах,
а2, ..-. а„ в векторы bv b2, .... Ьп соответственно. Доказать, что
bk есть ортогональная составляющая вектора а^ относительно линей-
ного подпространства Lk_v натянутого на av .... аА,_1(А>1).
Далее доказать, что
0<|&,|<1«*1 (*=1. 2 я).
причем | bk | = 0 тогда и только тогда, когда ак линейно выражается-
через ах «*-i(&>1) или щ = 0 (k=l); \bk\ = \ak\ тогда
и только тогда, когда (ак, ау) = 0 (у'= 1. 2 к—1; &>1)
или k = 1.
+i
1414*. Доказать, что интеграл j [f(x)]2dx, где f(x) — много-
-1
член w-й степени с вещественными коэффициентами и старшим коэф-
фициентом, равным единице, достигает своего минимума, равного
2"
тогда и только тогДа. когДа / (¦*) = ~хг Рп W
Рп(х) — полином Лежандра степени и (см. задачу 1408).
184 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |1415—1421
1416. Определителем Грама векторов ах, а2, .... ак евклидова
((или унитарного) пространства Rn называется определитель
(ах, ах) (ах, а2) ... (ах, ак)
(а2, ах) (а2, а2) ... (а2, ак)
(ак, ах) (ак, а^ ... (ак, ак)
Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении
к векторам ах, .., ак процесса ортогонализации, т. е. если в ре-
зультате ортогонализации векторы ах, ..., ак перейдут в векторы
*>1 bk' ТО
• • Ьк) = (Ьх, Ъх)(Ь2, Ь2) ... {bk, bk).
Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл gify, a2) и
g(av a2, aj, предполагая векторы линейно независимыми.
1416*. Доказать, что для линейной зависимости векторов aY ak
-евклидова (или унитарного) пространства необходимо и достаточно,
чтобы определитель Грама этих векторов был равен нулю.
1417*. Два базиса ev .... е„ и /j /„ евклидова (или уни-
тарного) пространства называются взаимными, если
1
О при IФ j.
Доказать, что для любого базиса ех еп взаимный базис
существует и определен однозначно.
1418. Пусть 5 —матрица перехода от базиса ех, .... еп к базису
e'v ..., е'п. Найти матрицу Т перехода от базиса fv .... fn, взаим-
ного с е1 еп, к базису f[ f'n, взаимному с е\, .... е'п:
а) в евклидовом пространстве, б) в унитарном пространстве.
1419*. Доказать, что определитель Грама g(ax, .... ак) равен
нулю, если векторы ах, .... ак линейно зависимы, и положителен,
«ели линейно независимы.
1420. Доказать, что если линейно независимые векторы ах, .... ап
процессом ортогонализации переродятся в векторы Ьх, .... Ьп, то
|&й|2— S\4\> •¦•¦ dk) (k= 1, 2, ..., п; определитель Грама с нуле-
вым числом векторов принимается равным единице).
1421*. В пространстве многочленов степени не выше n-й от
одного неизвестного х с вещественными коэффициентами скалярное
1
^произведение задано равенством (/, g) = / (х) g (x) их.
1422—14271 § 17. евклидовы и унитарные пространства 18S
Найти расстояние от начала координат до линейного многообразия,
состоящего из всех многочленов степени п со старшим коэффициен-
том, равным единице.
1422*. Доказать, что для определителя Грама справедливо нера-
венство
причем g (flij ak) = 0 тогда и только тогда, когда векторы
Oj, .... ak линейно зависимы, и g(ax ak) = \a1\2 ... \ак\г
тогда и только тогда, когда либо векторы аг, .... ак попарно орто-
гональны, либо хотя бы один из этих векторов равен нулю.
1423. Пользуясь предыдущей задачей, доказать неравенство"
Адамара, именно, если D = | atj |" — определитель с вещественными
я
элементами, то <D2-^TT Sfl?, (см. задачу 923), причем знак равен-
ства имеет место тогда и только тогда, когда либо
п
S aibajk = 0 (i Ф j; I, j = 1, 2 n),
либо определитель D содержит нулевую строку. Как изменится утвер-
ждение для определителя с комплексными элементами?
1424*. Доказать, что определитель D* положительно определенной
я
квадратичной формы /— 2 aijxixj удовлетворяет неравенству
1426*. Доказать, что любая вещественная симметрическая ма-
трица А = (atj)" с неотрицательными главными минорами является
матрицей Грама, т. е. существует система векторов ev ..., еп евкли-
дова пространства^ такая, что (et, eJ)=^alj (I, j=l, 2 n).
1426*. Доказать, что любая эрмитова матрица А = (а.ц)" с
неотрицательными главными минорами является матрицей Грама, т. е.
существует система векторов ех еп унитарного пространства /?„.
такая, что
j—\, 2, .... п).
1427*. Определим объем n-мерного параллелепипеда, построен-
ного на линейно независимых векторах av a2,
пространства, индуктивно условиями:
1) Н!
186 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1428 1433
2) V(av .... an) — V(ar o«-i)*^n, где hn — длина орто-
гональной составляющей вектора ап относительно подпространства,
натянутого на векторы ах un-v Доказать, что
V(av .... aa) = Vg(av .... aa) = \D\.
тде D—определитель из координат данных векторов в каком-нибудь
ортонормированном базисе «-мерного пространства, натянутого на
векторы ах а„.
1428*. Доказать, что объем n-мерного параллелепипеда не пре-
восходит произведения длин его ребер, выходящих из одной вер-
шины, и равен этому произведению тогда и только тогда, когда эти
ребра попарно ортогональны, т. е. параллелепипед прямоугольный.
1429*. Доказать следующее свойство определителя Грама:
ak, Ьх
bt), A)
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда либо
(at,bj) = O (i=l. 2
ft; /=1.2 I),
B)
либо хотя бы одна из подсистем ах а( и 6, bt линейно
зависима.
1430*. Доказать следующее свойство объема параллелепипеда:
V(a2 ak; bx ^Х^^ eft)V<&i h), причем
знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда (at, Ь,) = 0
¦(/=1. 2 ft; /=1. 2 /).
1431*. Доказать, что если А — вещественная симметрическая
матрица порядка п с неотрицательными главными минорами, Ах —
матрица порядка k < п в левом верхнем углу, А2 — матрица порядка
п—k в правом нижнем углу матрицы А, то | А \^\АХ\ • | А2\
(сравнить с задачей 922).
1432*. Решить задачу, аналогичную предыдущей, если А — эрми-
това матрица с неотрицательными главными минорами.
1433*. Найти условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы C2n+i положительных чисел
Щ,
/ = 0. 1. 2 и; />/)
A)
¦были:
а) расстояниями всевозможных пар вершин некоторого «-мерного
симплекса евклидова пространства Rn (т. е. системы и-f-l точек,
не лежащих в (и— 1)-мерном линейном многообразии);
б) расстояниями всевозможных пар точек некоторой системы п-\- 1
точек евклидова пространства /?„.
1434—1435] § 18. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ' ПРОСТРАНСТВ
187"
§ 18. Линейные преобразования произвольных векторных
пространств
В этом параграфе за отдельными исключениями рассматриваются линей-
ные преобразования аффинных векторных пространств. Преобразования
евклидовых и унитарных пространств рассмотрены в следующем параграфе.
Линейные преобразования обозначаются через ф, г|) и т. д., образ век-
тора х при преобразовании ф — через флс, система векторов фаь ..., щ„—
через ф (а,, ..., а„).
Матрицей линейного преобразования ф в базисе et en называется
матрица Ау, столбцы которой составлены из координат образов базиса
ф^1 уе„ в том же базисе ех, ..., еп; иными словами, матрица т4ф опре-
деляется равенством
ф (е\ е„) — (еи ..., еп) т4ф. A>
Пусть Т — матрица перехода от базиса et, еп к базису /i, ..., fn (см.
введение к § 16), Лф и Вф — матрицы преобразования ф в первом и втором.
базисе соответственно. Тогда имеет место соотношение
В — T~lA T A\
*^ф Л Л »фЛ . y?.J
Координаты уь .... уп образа фд; вектора х при линейном преобразовании ф-
выражаются через координаты х{, ...,хп прообраза х в том же базисе при
помощи матрицы т4ф = (аф" линейного преобразования ф в том же базисе
п
следующим образом: yt = 2 aijxj (« = 1 л) или в матричной записи:
У1
Уп
Хп
C)
Суммой Ф + ф, произведением фф двух линейных преобразований ф и $ и
произведением аф числа а на линейное преобразование ф пространства Rn.
называются преобразования, определяемые соответственно равенствами:
(аф) х = а (ц,х).
для любого вектора х пространства Rn.
1434. Доказать, что поворот плоскости на угол а вокруг начала
координат является линейным преобразованием, и найти матрицу
этого преобразования в любом ортонормированном базисе, если по-
ложительное направление отсчета углов совпадает с направлением крат-
чайшего поворота, переводящего первый базисный вектор во второй..
1436. Доказать, что поворот трехмерного пространства на угол
-=- вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат урав-
нениями JCi = x2 = x3, является линейным преобразованием, и найти
матрицу этого преобразования в базисе из единичных векторов ev е2»
es осей координат.
188 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1436—1446
1436. Доказать, что проектирование трехмерного пространства
на координатную ось вектора ех параллельно координатной плоскости
векторов е2 и еъ является линейным преобразованием, и найти его
матрицу в базисе ev е2, с&.
1437. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на
координатную плоскость векторов ег, е2 параллельно оси координат
вектора е3 является линейным преобразованием, и найти его матрицу
в базисе ех. е2, еъ.
1438. Доказать, что ортогональное проектирование трехмерного
пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоуголь-
ной системы координат, является линейным преобразованием, и найти
его матрицу в базисе единичных векторов координатных осей.
1439. Пусть пространство /?„ есть прямая сумма линейных под-
пространств Lx с базисом alt .... ak и L2 с базисом ак+х, .... ап.
Доказать, что проектирование пространства на Lx параллельно L2
является линейным преобразованием, и найти матрицу этого преобра-
зования в базисе ах ап.
1440. Доказать, что существует единственное линейное преобра-
зование пространства /?„, переводящее данные линейно независимые
векторы ах, ..., ап в данные векторы Ьх, .... Ьп. Как найти ма-
трицу этого преобразования в базисе ах ая?
Выяснить, какие из следующих преобразований <р, заданных путем
задания координат вектора ц>х как функций координат вектора х,
являются линейными, и в случае линейности найти их матрицы в том
же базисе, в котором заданы координаты векторов jc и <pjf.
1441. (рх
1442. (fx=
1443. фд; = Bх1 + х2, xx-{-xw xf\.
1444. ц>х = (х1 — x2H-x3, x3, x2).
Доказать, что существует единственное линейное преобразование
трехмерного пространства, переводящее векторы а1г а2, а3 соответ-
ственно в bv b2, Ьъ, и найти матрицу этого преобразования в том же
базисе, в котором даны координаты всех векторов:
144Б. а! =
1446. а! =
3,
1.
0,
0.
¦1.
5),
2),
0);
3).
5).
2);
6j = (l, 1,
&2 = A. 1.
63= B. 1.
—: v ^ ¦ ^>
b2 = D, 5,
b* = (l. —
1).
-1).
2).
-1).
-2).
1, 1).
1447—1452] § 18. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 189
1447. Пусть линейное преобразование <р пространства /?„ перево-
дит линейно независимые векторы ах ап в векторы Ь.и .... Ьп
соответственно. Доказать, что матрицу Лф этого преобразования
в некотором базисе ех е„ можно найти из равенства A(f = BA~1,
где столбцы матриц А к В состоят из координат векторов av . . ., ап
и соответственно >,,,.., >л в базисе ех еп.
1448. Доказать, что преобразование трехмерного пространства
<jpjc = (jc, а) а, где а = A, 2, 3), является линейным преобразованием,
и найти его матрицы в ортонормированием базисе ех, е2. е3, в кото-
ром даны координаты всех векторов, и в базисе 61==A, 0, 1),
Ь2 = B, 0, —1), bz = (l, 1, 0).
1449. Показать, что умножения квадратных матриц второго по-
a b\
рядка а) слева, б) справа на данную матрицу I I являются линей-
\с а/
ными преобразованиями пространства всех матриц второго порядка, и
найти матрицы этих преобразований в базисе, состоящем из матриц:
/1 0\ /О ON /О IN /О ON
V0 О/* U О/* V0 0/' \0 \)'
1450. Показать, что дифференцирование является линейным пре-
образованием пространства всех многочленов степени <^п от одного
неизвестного с вещественными коэффициентами.
Найти матрицу этого преобразования в базисе:
а) 1, х, х2 х";
(х (Л2 (х (ЛП
б) 1, х — с, -—щ , .. •, ——t—, где с — вещественное число.
1461. Как изменится матрица линейного преобразования, если
в базисе ех, е2, • • •, еп поменять местами два вектора et, ej?
1462. Линейное преобразование ф в базисе ех, е2, с3> #4 имеет
матрицу
12 0 1
3 0—12
2 5 3 1
12 13
Найти матрицу этого же преобразования в базисе:
а) ех, е3, е2. е4;
б) е.
180 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1453—1458
1453. Линейное преобразование <р в базисе ех, е2, еъ имеет ма-
трицу
15 —11 5
Найти его матрицу в базисе
1454. Линейное преобразование ср в базисе
с, = (8, —6, 7), а2 = (—16, 7, —13), а3 = (9, —3, 7) имеет
матрицу
Найти его матрицу в базисе
6, = A. -2, 1), 62 = C. -1. 2). 63 = B, 1. 2).
1455. Доказать, что матрицы одного и того же линейного преобра-
зования в двух базисах тогда и только тогда совпадают, когда матрица
перехода от одного из этих базисов к другому перестановочна с ма-
трицей этого линейного преобразования в одном из данных базисов.
1456. Доказать, что любое линейное преобразование <р одномер-
ного пространства сводится к умножению всех векторов на одно и
то же число, т. е. <pjc = ajc для любого вектора х.
1457. Пусть преобразование ф в базисе al=^(l, 2), a2 = B, 3)
'3
имеет матрицу . Преобразование ф в базисе 6j = C, 1),
. 4 о
/4 6\
Ъ2~D, 2) имеет матрицу .
\ О У/
Найти матрицу преобразования <р + ф в базисе blt Ь2-
1458. Преобразование <р в базисе fl^ —(—3, 7), а2 = A, —2)
/2 —1\
имеет матрицу I I, а преобразование ф в базисе Ьг = F, —7),
/1 3
Ь2 = (—5, 6) имеет матрицу I
Найти матрицу преобразования <рф в том базисе, в котором даны
координаты всех векторов.
1459—1468] § 18. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 191
1459. Пусть ф—линейное преобразование пространства многочле-
нов степени -^.п с вещественными коэффициентами, переводящее
каждый многочлен в его производную. Показать, что фл+1 = 0.
1460. Пусть ф — линейное преобразование дифференцирования,
а ф — умножение на х в бесконечномерном пространстве всех много-
членов от ^ с вещественными коэффициентами. Доказать, что
<рф"_ф"ф = пф"'.
1461. Показать, что линейные преобразования «-мерного простран-
ства относительно сложения и умножения на число сами образуют
векторное пространство. Найти размерность этого пространства.
1462. Линейное преобразование ф пространства /?„ называется
невырожденным, если его матрица Др в каком-нибудь (а значит и
в любом) базисе невырожденна, т. е. |Лф|=гЬО. Доказать, что этому
определению эквивалентно каждое из следующих: линейное преобра-
зование ф невырожденно, если: а) из фд; = 0 следует jc = O; б) при
отображении ф любой базис пространства переходит снова в базис;
в) отображение ф взаимно однозначно, т. е. если хх ф х2, то q>x} Ф фХ2;
г) ф отображает пространство на все пространство, т. е. для любого
y?Rn найдется x?Rn такой, что (рх—у; д) ф обладает обратным
преобразованием ф, т. е. ф(фд;) = дс для любого x?Rn.
1463. Пусть х—собственный вектор линейного преобразования ф,
принадлежащий собственному значению X, и f (f) — многочлен. Дока-
зать, что тот же вектор х будет собственным вектором преобразо-
вания / (ф), принадлежащим собственному значению / (К). Иными сло-
вами, доказать, что из «pjc = Ajc следует / (ф) х = f (к) х.
1464*. Пусть х—собственный вектор линейного преобразования
ф, принадлежащий собственному значению X, и f (t) — функция, для
которой преобразование / (ф) имеет смысл (если ф в некотором базисе
имеет матрицу Л, то /(ф) определяется в том же базисе матрицей / (А),
причем можно доказать, что /(ф) не зависит от выбора базиса). До-
казать, что тот же вектор х будет собственным вектором преобра-
зования /(ф), принадлежащим собственному значению f(%).
Найти собственные значения и собственные векторы линейных
преобразований, заданных в некотором базисе матрицами:
1466. / 2—1 2\ 1466.
1467. /4 —5 2\ 1468.
0
4
2
1
—2
—1
1
4
1
0'
0
2,
—3
-6
-4
\
¦
/
3
13
8
192
ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[1469-1482
1469.
1471.
1470.
1472.
1473.
10 0 0
0 0 0 0
10 0 0
0 0 0 1
1474.
10 0 0'
0 0 0 0
0 0 0
1 0 0
3—10
1 1 0
3 0 5
4—13
1475. Доказать, что собственные векторы линейного преобразо-
вания, принадлежащие различным собственным значениям, линейно
независимы.
1476. Доказать, что любая квадратная матрица А, имеющая раз-
личные характеристические числа, подобна диагональной матрице (над
полем, содержащим как элементы матрицы, так и ее характеристи-
ческие числа).
1477. Доказать, что если линейное преобразование <р простран-
ства /?„ имеет п различных собственных значений, то любое линей-
ное преобразование % перестановочное с <р, обладает базисом соб-
ственных векторов, причем любой собственный вектор ф будет соб-
ственным и для i]x
1478. Доказать, что матрица линейного преобразования в неко-
тором базисе является диагональной тогда и только тогда, когда
базис состоит из собственных векторов данного преобразования.
Выяснить, какие из следующих матриц линейных преобразований
можно привести к диагональному виду путем перехода к новому ба-
зису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:
1479. / — 1 3 —1\ 1480. ^6 —5 —3'
3 —2 —2
1481.
—3 5
1
1
1
1
-3 3
1
1
J
1
—1
1.
1
J
1
—1
•
/
1
J
—1
1
1482.
4
5
6
1
— 3
— 8
—12
— 3
1
5
.8
2
2
4
5
2
1483—1490J § 18. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ
1483. 0 0 0 1
0 0 10
0 10 0
10 0 0
193
1484*. Для матрицы А —
0 0 ... 0 1
О 0 ... 1 О
О 1 ... О О
порядка п найти не-
1 0 ... О О
вырожденную матрицу Т, для которой матрица В = Т~1АТ была бы
диагональной, и найти эту матрицу В.
1485. Минимальным многочленом для вектора х относительно
линейного преобразования <р называется многочлен gx(ty со старшим
коэффициентом 1, имеющий наименьшую степень среди всех аннули-
рующих многочленов для х относительно ф, т. е. многочленов / (К)
со свойством / (ф) х = 0.
Аналогично определяется минимальный многочлен g(X) относи-
тельно линейного преобразования ф для всего пространства. Дока-
зать, что минимальный многочлен g(h) линейного преобразования ф
равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов для
векторов любого базиса пространства относительно ф.
1486*. Найти условия, при которых матрица А, имеющая на по-
бочной диагонали числа с^, a2 а„, а на остальных местах нули,
подобна диагональной матрице.
1487. Найти собственные значения и собственные векторы линей-
ного преобразования, являющегося дифференцированием многочленов
степени <<^п с вещественными коэффициентами.
1488. Пусть ф—линейное преобразование пространства Rn. Со-
вокупность всех векторов ц>х, где х — любой вектор из /?„, называется
образом Rn при преобразовании ф или областью значений ф.
Совокупность всех векторов х из /?„, таких, что фЛС = О, называется
полным прообразом нуля при преобразовании ф или ядром ф. До-
казать, что: а) область значений ф является линейным подпростран-
ством /?„, размерность которого равна рангу ф; б) ядро ф есть линей-
ное подпространство пространства /?„, размерность которого равна
дефекту ф, т. е. разности между п и рангом ф.
1489. Пусть ф — линейное преобразование и L—подпространство
пространства /?„. Доказать, что: а) образ q>L и б) полный прообраз
Ф/. подпространства L при линейном преобразовании ф снова яв-
ляются подпространствами.
1490. Доказать, что для невырожденного линейного преобразова-
ния ф пространства Rn размерность: а) образа ф? и б) полного
194 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1491 — 1499
прообраза ф/; любого линейного подпространства L равна размер-
ности L.
1491*. Обозначим через разм. L размерность линейного под-
пространства L и через деф. ф дефект линейного преобразования ф.
Доказать, что размерности образа и полного прообраза подпростран-
ства L пространства /?„ при преобразовании <р удовлетворяют нера-
венствам:
а) разм. L — деф. ф-^разм. ф?-^разм. L;
б) разм. L-^разм. ф-^-^разм. ?-|-деф. ф.
1492*. Пользуясь предыдущей задачей, доказать неравенства Силь-
вестера для ранга произведения двух квадратных матриц А и В по-
рядка п: гА-\-гв — п-<гАВ-< min(гА, гв) (см. задачу 931).
1493. Доказать, что:
а) ранг (ф+тДО-^ранг ф-(-ранг if;
б) деф. (q/ф) ^ деф. ф-|-деф. ip для любых линейных преобразо-
ваний ф и Ир пространства /?„.
1494. Найти собственные значения и собственные векторы линей-
ного преобразования ф, заданного в базисе а,, а2. а3. а4 матрицей
1 0 2—1
0 1 4—2
2—101
2—1 —1 ' 2
Показать, что подпространство, натянутое на векторы ах -\- 2а2
и а2 -f- «з Н~ 2а4> является инвариантным относительно ф.
1496*. Доказать, что число линейно независимых собственных
векторов преобразования ф*. принадлежащих одному собственному
значению Хо, не превосходит кратности Хо как корня характеристи-
ческого многочлена преобразования ф.
1496. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на лю-
бую систему собственных векторов преобразования ф, инвариантно
относительно ф.
1497. Доказать, что множество всех собственных векторов ли-
нейного преобразования ф, принадлежащих одному и тому же соб-
ственному значению к0 (вместе с нулевым вектором), является ли-
нейным подпространством, инвариантным относительно ф.
1498. Доказать, что все отличные от нуля векторы пространства
тогда и только тогда являются собственными векторами линейного
преобразования ф, когда ф — преобразование подобия, т. е. ух — ах
с одним и тем же а для любого вектора X.
1499. Доказать, что любое подпространство L, инвариантное
относительно невырожденного линейного преобразования ф, будет
инвариантно и относительно обратного преобразования ф.
1500—1505] § 18- ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 195
1500. Доказать, что: а) образ q)L и б) полный прообраз ц>~^Ь
линейного подпространства L, инвариантного относительно линейного
преобразования ф, сами будут инвариантны относительно ф.
1601. Найти все линейные подпространства пространства много-
членов от одного неизвестного степени -^ п с вещественными коэф-
фициентами, инвариантные относительно преобразования ф, переводя-
щего любой многочлен в его производную.
1602. Доказать, что матрица линейного преобразования ф и- мер-
ного пространства в базисе av a2 ап является клеточной полу-
распавшейся матрицей вида:
Mi В\
a) I I, где Ах — квадратная матрица порядка k < и, тогда
и только тогда, когда линейное подпространство, натянутое на пер-
вые k векторов базиса av ..., ak, инвариантно относительно ф;
Mi ° \
б) I I, где Аг — квадратная матрица порядка k < я, тогда
и только тогда, когда линейное подпространство, натянутое на по-
следние п—k векторов базиса ак+1, .... ап, инвариантно относи-
тельно ф;
(А, 0 \
в) матрица будет клеточной распавшейся вида I I, где Ах —
\О Л2/
квадратная матрица порядка k, тогда и только тогда, когда как под-
пространство, натянутое,на векторы ах, ..., ak, так и подпро-
странство, натянутое на векторы ak+1 а„, инвариантны относи-
тельно ф.
1603*. Пусть линейное преобразование ф n-мерного пространства
Rn в базисе av .... ап имеет диагональную матрицу с различными
элементами на диагонали. Найти все линейные подпространства, инва-
риантные относительно ф, и определить их число.
1604. Найти все подпространства трехмерного пространства, ин-
вариантные относительно линейного преобразования, заданного ма-
трицей
4—2 2'
2 0 2
—1 11.
1606. Найти все подпространства трехмерного пространства, инва-
риантные одновременно относительно двух линейных преобразований,
заданных матрицами:
5 —1 —1\ /—6 2 3'
—1 5 —1 I и I 2—3 6
—1—1 5/ V 3 6 2,
(96 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1506—1516
1606. Доказать, что любые два перестановочных линейных пре-
образования комплексного пространства имеют общий собственный
вектор.
1607. Доказать, что для любой (хотя бы и бесконечной) сово-
купности попарно перестановочных линейных преобразований ком-
плексного пространства /?„ существует вектор, собственный для всех
преобразований данной совокупности.
1508. Доказать, что корневые векторы, принадлежащие различным
собственным значениям, линейно независимы.
Найти собственные значения и корневые подпространства линейных
преобразований, заданных в некотором базисе следующими матрицами:
1509. /4 —5 2\ 1510.
1
4
6
0
1
0
—3
—7
. у
—2
1
0
4'
8
7.
\
•
/
3
-1
2
2
—1
0
1511. /2 6 —15\ 1612.
1—1 0 1
1513. Доказать, что линейное преобразование комплексного про-
странства тогда и только тогда имеет диагональную матрицу в неко-
тором базисе, когда все его корневые векторы являются собствен-
ными векторами.
1614. Доказать, что комплексное пространство тогда и только
тогда состоит сплошь из корневых векторов линейного преобразова-
ния ф, когда все собственные значения этого преобразования равны
между собой.
1515. Пусть R — бесконечномерное пространство всех веществен-
ных функций / (х), определенных и имеющих производные любого
порядка на всей числовой прямой, при обычных сложении функций
и умножении функции на число, и ф—преобразование, переводящее
любую функцию в ее производную.
Найти: а) все собственные значения и собственные векторы,
б) все корневые подпространства преобразования ф.
1616. Пространство /?„ называется циклическим относительно
линейного преобразования ф, если /?„ обладает циклическим базисом,
т. е. базисом av а2, • ¦ •, ап, для которого
фО* = а*+1 (Л=1. 2, .... п—1).
Доказать, что если /?„ — циклическое пространство относительно <р
и av а2 а„ — циклический базис, то:
1517—1523] § 18- ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 197
а) минимальный многочлен g (X) преобразования ф имеет степень п;
б) минимальный многочлен всего пространства совпадает с мини-
мальным многочленом вектора аг;
в) если фа„ = c1aiH-c2c2+ ... -\-спа„, то минимальный много-
член преобразования ф определяется равенством
1617. Доказать, что если степень минимального многочлена g(X)
линейного преобразования ф пространства Rn равна п и g(X) есть
степень многочлена, неприводимого над тем полем, над которым рас-
сматривается пространство /?„, т. е. в случае комплексного простран-
ства g (X) = (X — а)", то:
а) Rn не разложимо в прямую сумму двух подпространств, инва-
риантных относительно ф;
б) /?„ является циклическим относительно ф.
Какой вид имеет матрица преобразования ф в циклическом базисе?
1518. Пусть минимальный многочлен линейного преобразования ф
пространства /?„ имеет вид (X— а)". Доказать, что существует век-
тор а такой, что векторы (ф—ае)"**, (ф—ае)"~2а (ф—ае)а, а,
где е — тождественное преобразование, образуют базис пространства.
Какой вид имеет матрица преобразования ф в этом базисе?
1519. Доказать, что любое подпространство L комплексного про-
странства /?„, инвариантное относительно линейного преобразования ф,
содержит прямую, инвариантную относительно ф.
1520. Доказать, что любое подпространство L действительного
пространства /?„, инвариантное относительно линейного преобразова-
ния ф и имеющее нечетную размерность, содержит прямую, инва-
риантную относительно ф. Показать на примерах, что для подпро-
странства четной размерности утверждение неверно. При каких
условиях L содержит прямую, все точки которой остаются неподвиж-
ными при преобразовании ф?
1521. Доказать, что комплексное пространство, содержащее лишь
¦одну прямую, инвариантную относительно линейного преобразования ф,
неразложимо в прямую сумму двух ненулевых подпространств, инва-
риантных относительно ф.
1522. Доказать, что комплексное пространство Rn относительно
данного линейного преобразования ф распадается в прямую сумму
{одного или нескольких) инвариантных линейных подпространств,
каждое из которых содержит лишь одну инвариантную прямую
и, значит (по предыдущей задаче), далее не разложимо.
1623*. Пусть ф — линейное преобразование пространства /?„
и g(ty — минимальный многочлен ф. Доказать, что:
а) если g (Я) = h (X) k (X) и многочлены h (К) и k (X) взаимно
просты, то пространство /?„ есть прямая сумма подпространств Lv
198 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 11524—152»
состоящего из всех векторов х таких, что Л(ф)л; —0, и L2, состоя-
щего из всех векторов jc таких, что k(q>)x = 0;
б) если g (к) = hx (A.) h2 (Я,) ... hs (К) и многочлены hx (Я.), h2 (Я,), .. .
. .., ЛДЯ,) попарно взаимно просты, то пространство /?„ есть прямая
сумма подпространств L-t (i=l, 2 s), где L-t состоит из всех
векторов х таких, что /гДф)л; —0.
1524*. Линейное преобразование ф в базисе ev e2, е3 задана
матрицей
1 О (Г
1 2 1
1 0 1
Найти минимальный многочлен g(K) этого преобразования и разложе-
ние пространства в прямую сумму подпространств, соответствующее
разложению g(ty на взаимно простые множители вида (Я— а)*.
1625. Решить задачу, аналогичную предыдущей, если линейное
преобразование ф в базисе ех, е2, е3 задано матрицей
1526. Линейное преобразование ф евклидова (или унитарного)
пространства /?„ задано равенством ц>х — (jc, а) а для любого х из /?„,
причем а — данный ненулевой вектор. Найти минимальный много-
член g(h) этого преобразования и разложение пространства в прямую
сумму, соответствующее разложению g(X) на взаимно простые степени
неприводимых многочленов с вещественными коэффициентами (или
многочленов вида к — а в случае унитарного пространства).
1527. Найти жорданову форму матрицы линейного преобразова-
ния ф комплексного пространства i?n, если ф имеет с точностью
до числового множителя только один собственный вектор.
1528. Доказать, что число линейно независимых собственных век-
торов линейного преобразования ф, принадлежащих одному и тому же
собственному значению Хо, равно числу клеток с диагональным эле-
ментом Ко в жордановой форме матрицы ф.
1629*. Доказать, что базис, в котором матрица линейного пре-
образования ф комплексного векторного пространства Rn имеет жорда-
нову форму, можно построить следующим образом:
А) Если не все собственные значения ф равны между собой,
и характеристический многочлен имеет вид
/ (Я.) = {К — Я,)*" ... (X — Я,/* (Я, Ф Kj при IФ J),
15291 § 18- ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 199
то строим базис подпространства Pt всех векторов jc таких, что
(ф — Х4е)*' х = 0 (е—i ождественное преобразование) (/ = 1,2 s).
Пространство /?„ будет прямой суммой подпространств Pt. Они
инвариантны относительно ф; ф на Р1 имеет одно собственное значе-
«ие \, причем (ф—^е)*«л; = 0 для любого вектора х из Pt. В этом
построении вместо характеристического многочлена /(Я) можно взять
минимальный многочлен gift), что может понизить показатели сте-
пени kt.
Б) Пусть ф на /?„ имеет единственное собственное значение Ко
и k—наименьшее целое положительное число такое, что (ф—^е)* = 0.
Положим ф —ф— Я,ое. Высотой вектора х назовем наименьшее h
такое, что флл; = О. Через Rh обозначим подпространство всех век-
торов высоты <^Л (O-^h^k). Ro содержит только нулевой вектор;
JRk совпадает со всем пространством.
Строим базис /?р дополняем его до базиса /?2, полученный базис
дополняем до базиса /?3 и так далее, пока не построим базис Rk
{для краткости все эти базисы назовем начальными). Для каждого
вектора / высоты k начального базиса Rb строим серию векторов
J, ф/, ф2/. ..-. ф ~ / с начальным вектором /. Берем любой (напри-
мер, начальный) базис /?ft_2 и векторы высоты k— 1 всех построенных
серий. Эти векторы вместе будут линейно независимы. Дополним их до
базиса /?ft_, любыми векторами (например, из начального базиса/?й-1).
Для каждого из дополнительно взятых векторов / (если они вообще
существуют) строим новую серию: /, ф/, ф2/. • • •• Ф*~2/. и так далее.
Пусть на некотором шаге уже построены серии, в которых век-
торы высоты Л —(— 1 вместе с любым (например, начальным) базисом Rh
образуют базис Rh+V Векторы любого (например, начального) ба-
зиса /?/,_! вместе с векторами высоты h построенных серий будут
линейно независимы. Дополним их до базиса Rh любыми векторами
{например, из начального базиса /?Л). Для каждого дополнительно
взятого вектора / (если таковые существуют) строим новую серию:
./. Ф/. Ф2/- •¦•• ФЛ1/- Поступаем так до тех пор, пока векторы
всех построенных серий не образуют вместе базиса всего пространства.
Записав векторы серию за серией так, что в каждой серии векторы
взяты в обратном порядке (начальный вектор серии берется в данной
серии последним), получим искомый базис, в котором матрица пре-
образования ф имеет жорданову форму.
В) Базис, построение которого указано в пунктах А) и Б), опре-
делен не однозначно. Доказать единственность (с точностью до порядка
расположения жордановых клеток) жордановой матрицы AJt подобной
данной квадратной матрице А (и, значит, единственность жордановой
формы матрицы данного линейного преобразования ф). Именно, до-
казать, что жорданова форма Aj матрицы А порядка п определяется
200
ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[1530—1538
следующим образом. Пусть k—наивысший порядок жордановых клеток
матрицы Aj с числом Хо на диагонали, xh — число таких клеток
порядка h (й=1, 2 k), В = А — Хо?, rh — ранг матрицы Вн
(ft = 0, 1, 2 k, k-\-l). Тогда числа xh определяются фор-
мулами
(й=1. 2 к).
(а)
Замечание. Формулы (а) дают прием отыскания жордановой
формы Aj без помощи теории элементарных делителей /--матриц.
Линейное преобразование ф пространства /?„ в базисе ev .... еп
задано матрицей А. Найти базис fv . .., fn, в котором матрица этого
преобразования имеет жорданову форму AJt и найти эту жорданову
форму (искомый базис определен неоднозначно).
1530. /3 2—3
А =1 4 10 —12
\3 6—7
1532.
А=\ -
1534.
А =
0
1
2
0
1
1
1
—
1
2
1
1
3
8
14
—1
-1
1
0
3
6
-10
1
1
0
1
1531.
1533.
1535.
1 1
•3 —3
—2 —2
=
\
6
7
8
1
(Ъ 6
1 5
U 2
—9
—13
—17
—2
—1
3
2
—15
—5
—2
5 4
8 7
11 8
1 3
1536. Л =
где В =
0 1 0 ... 0
0 0 1
о
1
— клетка Жордана по-
рядка п.
0 0 0
[о о о ... о
1537*. Линейное преобразование ф пространства /?„ называется
инволютивным, если ф2 —е, где е — тождественное преобразование.
Выяснить геометрический смысл инволютивного преобразования.
1538*. Линейное преобразование ф пространства /?„ называется
идемпотентным,' если ф2 = ф. Выяснить геометрический смысл идем-
потентного преобразования.
1539—1544] § 19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 201
1539. Привести примеры линейного преобразования ф трехмерного
пространства, для которого:
а) пространство не является прямой суммой области значений Lx
и ядра L2 преобразования ф (определение дано в задаче 1488);
б) пространство является прямой суммой области значений Lj и
ядра L2 для ф, но ф не является проектированием на Lx параллельно L2.
§ 19. Линейные преобразования евклидовых и унитарных
векторных пространств
1540. Доказать, что операция перехода от линейного преобразо-
вания ф унитарного (или евклидова) пространства к сопряженному
преобразованию ф* обладает следующими свойствами:
а) (фТ = ф:
б)
в)
г)
ф
д) если ф невырожденно, то (ф) — (ф*)~ ¦
1541. Пусть ev e2 — ортонормированный базис плоскости и линей-
ное преобразование ф в базисе /х = ev f2 = ex-\-e2 имеет матрицу
С-Э
. Найти матрицу сопряженного преобразования ф* в том же
базисе /х, /2.
1542. Линейное преобразование ф евклидова пространства в базисе
из векторов /,=A, 2, 1), /2 = A, 1, 2), ^ = A, 1, 0) задано мат-
рицей
1 1 >
Найти матрицу сопряженного преобразования ф* в том же базисе,
считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонор-
мированном базисе.
1543. Найти матрицу линейного преобразования ф*, сопряженного
преобразованию ф в ортонормированном базисе ev e2, ег, если ф пе-
реводит векторы al = @, 0, 1), а2 = @, 1, 1), а3 = (Ь 1. 1) в век-
торы 61 = A. 2, 1), &2 = C, 1, 2), ЬА = G, —1, 4) соответственно,
где координаты всех векторов даны в базисе ev e2, е3.
1544. Пусть хОу — прямоугольная система координат на пло-
скости и ф — проектирование плоскости на ось Ох параллельно бис-
сектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженное преобразо-
вание ф*.
202 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1545—1554
1545*. Пусть /?„ = ?-! -j- L2—разложение евклидова (или унитар-
ного) пространства в прямую сумму двух подпространств; ф — проек-
тирование /?„ на Lx параллельно L& L\ и Lo — ортогональные дополне-
ния соответственно для Lx и L?, ф*—преобразование, сопряженное
с ф. Доказать, что Rn = 1л -j- 1Л и что ф* является проектированием
/?„ на Z.2 параллельно L\.
1546. Доказать, что если подпространство L унитарного (или
евклидова) пространства инвариантно относительно линейного пре-
образования ф, то ортогональное дополнение L* инвариантно относи-
тельно сопряженного преобразования ф*.
1547*. Доказать, что линейное преобразование ф унитарного про-
странства /?„ имеет инвариантное подпространство любого числа изме-
рений от нуля до п.
1548*. Доказать, что для любого линейного преобразования ф
унитарного пространства существует ортонор>шрованный базис, в ко-
тором матрица этого преобразования имеет треугольную форму (тео-
рема Шура).
1549. Написать уравнение плоскости, инвариантной относительно-
линейного преобразования ф, заданного в некотором ортонормиро-
ванием базисе матрицей
4 —23 17>
11 —43 30
а 5 —54 37У
1550. Доказать, что если один и тот же вектор X является соб-
ственным для линейного преобразования ф со значением кг и для
сопряженного преобразования ф* со значением Х2, то Xj = Х2.
1551. Доказать, что если линейное преобразование ф унитарного
пространства /?„ имеет собственные значения Xv к2 Хп, то соб-
ственными значениями сопряженного преобразования ф* будут сопря-
женные числа Kv A«j, .... к„.
1552. Доказать, что соответствующие друг другу коэффициенты
минимальных многочленов сопряженных между собой линейных пре-
образований сопряжены друг другу.
1553*. Пусть линейное преобразование ф унитарного (или евкли-
дова) пространства в базисе ех еп имеет матрицу А, а сопря-
женное преобразование ф* во взаимном базисе (см. задачу 1417)
/j, ..., /„ — матрицу В. Доказать, что В = А' в унитарном про-
странстве и Вг=А' в евклидовом пространстве.
1554*. Пусть скалярное произведение {х, у) в некотором базисе
задано билинейной формой / с матрицей U (иными словами, матрица U
является матрицей Грама векторов базиса). Показать, что матрица А
1555—1562| § 19- ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 203
линейного преобразования ф и матрица А1 сопряженного преобразо-
вания ф* в данном базисе связаны так:
а) A1 — U~>A'U для евклидова пространства;
б) A1 — U~ A'U для унитарного пространства.
Пусть в некотором базисе скалярное произведение задано били-
иейной формой /, а линейное преобразование ф —матрицей А. Найти
матрицу Ах сопряженного преобразования ф* в том же базисе:
1555. / = ^ З
у2 + 2х2ух + хху3 + х3ух
B 1 Г
— 1 —3 1
1 2 —Ь
Пусть U — матрица Грама некоторого базиса и А — матрица ли-
иейного преобразования ф. Найти матрицу Ах сопряженного преобра-
зования ф* в том же базисе:
1557. / 3 1 —2\ /1 2 0>
l 1 1 -1 ); А=1 2 0 3
—2 —1 2/ \0 1 ЗУ
1558. /2—1 0>
t/ = |—1 2 —1
\ 0 —1 Ь
1559. Пусть ф — линейное преобразование унитарного или евкли-
дова пространства. Доказать, что (еЧ>)* = е**. (Определение функции
от линейного преобразования дано в задаче 1464.)
1560. Доказать, что произведение двух ортогональных (соответ-
ственно унитарных) преобразований само ортогонально (унитарно).
1561. Доказать, что если линейное преобразование ф унитарного
(или евклидова) пространства сохраняет длины всех векторов, то оно
унитарно (соответственно ортогонально).
1562*. Пусть в унитарном (или евклидовом) пространстве задано
некоторое преобразование ф, в силу которого каждому вектору X
соответствует единственный вектор фх. Доказать, что если преобра-
зование ф сохраняет скалярное произведение, т. е. (флс, фу) = (х, у)
204 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1563—156&
для любых векторов jc, у пространства, то ф будет линейным и, зна-
чит, унитарным (соответственно ортогональным) преобразованием.
Показать на примерах, что сохранения скалярных квадратов всех
векторов не достаточно для линейности ф.
1563. Пусть скалярное умножение векторов пространства Rn
задано матрицей Грама U векторов некоторого базиса. Найти усло-
вие, необходимое и достаточное для того, чтобы линейное преобра
зование ф, заданное в том же базисе матрицей А, было:
а) ортогональным преобразованием евклидова пространства,
б) унитарным преобразованием унитарного пространства.
1564. Доказать, что если два вектора jc, у евклидова (или уни-
тарного) пространства имеют одинаковую длину, то существует орто-
гональное (соответственно, унитарное) преобразование ф, переводящее
jc в у-
1565. Доказать, что если две пары векторов jclf х2 и yv y2
евклидова (или унитарного) пространства обладают свойствами
| jCj | = 13»! [. j jc2 | = I З'з I и Угол мея<ду #i и х2 равен углу между
у1 и у2, то существует ортогональное (соответственно унитарное)
преобразование ф такое, что (рх1 = yv q>x2 = у2.
1566*. Пусть даны две системы векторов jcx, ..., хк и yv .. ., yk
евклидова (или унитарного) пространства. Доказать утверждение:
для того чтобы существовало ортогональное (соответственно унитар-
ное) преобразование ф такое, что фХ/=>1/ (/= 1, 2, .... k), необхо-
димо и достаточно, чтобы матрицы Грама обеих систем векторов
совпадали:
((*!¦ */))?= ((Л У/»
1567*. Пусть ф — унитарное (или ортогональное) преобразование
унитарного (соответственно евклидова) пространства Rn. Доказать,
что ортогональное дополнение L* к линейному подпространству L,
инвариантному относительно ф, также инвариантно относительно ф.
1568. Доказать, что два перестановочных унитарных преобразо-
вания унитарного пространства обладают общим ортонормированным
базисом собственных векторов.
1569*. Доказать, что для унитарного преобразования ф унитар-
ного пространства:
а) собственные значения по модулю равны единице (и, значит,
характеристические числа унитарной, в частности вещественной орто-
гональной, матрицы по модулю равны единице);
б) собственные векторы, принадлежащие двум различным собствен-
ным значениям, ортогональны;
в) если в некотором базисе матрица А преобразования ф веще-
ственна и собственный вектор, принадлежащий комплексному собст-
венному значению а —J- р/ ффО), представлен в виде x-\-yi, где
1570 — 1572] § 19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ
205
векторы х и у имеют вещественные координаты, го х к у ортого-
нальны и имеют одинаковую длину, причем:
(рх = ах — ру; ФУ = 0х+ау; A)
г) ортогональное преобразование евклидова пространства всегда
обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством.
1570*. Доказать, что:
а) для любого унитарного преобразования ф унитарного простран-
ства Rn существует ортонормированный базис, состоящий из соб-
ственных векторов преобразования ф. В этом базисе матрица ф является
диагональной с диагональными элементами, равными по модулю
единице.
Какое свойство унитарных матриц отсюда вытекает?
б) для любого ортогонального преобразования ф евклидова про-
странства Rn существует ортонормированный базис, в котором мат-
рица ф имеет канонический вид, где на главной диагонали стоят клетки
второго порядка вида
/cosv — sinv\
\sinY cosy/
и клетки первого порядка вида (±1).
Клетки какого-нибудь из этих типов могут отсутствовать. Все
остальные элементы равны нулю. Каков геометрический смысл пре-
образования? Какое свойство вещественных ортогональных матриц
отсюда вытекает?
Для ортогонального преобразования ф, заданного в ортонормиро-
ванном базисе матрицей Л, найти ортонормированный базис, в кото-
ром матрица В этого преобразования имеет канонический вид, ука-
занный в задаче 1570. Найти этот канонический вид. (Искомый базис
определен не однозначно.)
1571.
А =
_2
3
2_
3
J_
3
2_
3
_1_
2_
3
3
3
3 j
1572.
-т/5
206
1Б73.
ОТДЕЛ
— У~2
1 г~
6"'
2
3
IV. ВЕКТОРНЫЕ
0 —
— \f~2
о
1
3
ПРОСТРАНСТВА
1 г-
•g- V 2
2
т
•
11573—1579
л = -^-
Найти канонический вид В ортогональной матрицы А и ортого-
яальную матрицу Q такую, что B = Q~1AQ:
1574.
1575.
1576.
1
2
1
2
1
2
1
2
3
Т
1
т
т
1
2
1
2
1
tol
L
2
2
"
2
3
1
3
1
?
1
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
Т
1
т
3
4
-tV
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
1
' 3
-2
3
6
•
#
4-
-г- у D
2.
1577.
Л =
1
2
1
2
L
2
1
~т
1
2
1
2
1
2
1
2
L
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1578. Для данной унитарной матрицы
/4 + 3/ 41 — 6 — 2Л
Л = ^( — 4t 4 — 3/ —2 — 6/
\6H-2/ —2 — 6/ 1
лайти диагональную матрицу В и унитарную матрицу Q такие, что
1579. Доказать, что линейная комбинация самосопряженных пре-
образований с вещественными коэффициентами (в частности, сумма
двух самосопряженных преобразований) есть самосопряженное пре-
образование.
1580— 1590] § 19. линейные преобразования пространств 207
1580. Доказать, что произведение фф двух самосопряженных пре-
образований ф и f тогда и только тогда будет самосопряженным,
когда ф и i|) перестановочны.
1581. Доказать, что если ф и ф — самосопряженные преобразо-
вания, то самосопряженными будут также преобразования
фф -f- фф И I (фф 1}>ф).
1582. Доказать, что отражение ф евклидова (или унитарного)
пространства Rn в подпространстве Lx параллельно подпространству L2
тогда и только тогда будет самосопряженным линейным преобразо-
ванием, когда ?j и L2 ортогональны.
1583. Доказать, что проектирование ф евклидова (или унитарного)
пространства Rn на подпространство Lx параллельно подпростран-
ству L2 тогда и только тогда будет самосопряженным линейным пре-
образованием, когда Lx и L2 ортогональны.
1584. Доказать, что если линейное преобразование ф унитарного
(или евклидова) пространства Rn обладает любыми двумя из следую-
щих трех свойств:
1) ф — самосопряженное преобразование;
2) ф — унитарное (соответственно ортогональное) преобразование;
3) ф — инволютивное преобразование, т. е. ф2 = е — тождественное
преобразование, то оно обладает и третьим свойством. Найти все
типы преобразований, обладающих всеми этими свойствами.
Найти ортонормированный базис собственных векторов и матрицу В
в этом базисе для линейного преобразования, заданного в некотором
ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен не
однозначно):
1585.
1587.
н
1
(
1
u
I
Vo
11
2
- 8
2
2
10
-/ (Г
3 0
0 4,
-8\
10
5/
\
/
1586.
1
( 17
I 4
— 8
17
4
4
— 4
11
Для данной матрицы А найти диагональную матрицу В и унитар-
ную матрицу С такие, что В = С~1АС.
1588. / 3 2 + 2А 1589. / 3 2 — 1
А A 7
1590*. Рассмотрим га2-мерное пространство всех комплексных квад-
ратных матриц порядка п с обычными операциями сложения мат-
риц и -умножения матрицы на число. Превратим это пространство
208 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [1591 — 1594
в унитарное, считая, что скалярное произведение двух матриц А = (а^"
и В — (Ьи)" задано равенством (АВ) = ^
i.j-i
Доказать, что:
а) умножение всех матриц слева на одну и ту же матрицу С яв-
ляется линейным преобразованием;
б) унитарные матрицы как векторы указанного пространства имеют
длину У~п;
в) умножения всех матриц слева на сопряженно-транспонирован-
ные матрицы С и С вызывают сопряженные преобразования;
г) умножение слева на унитарную матрицу С вызывает унитарное
преобразование;
д) умножение на эрмитову матрицу вызывает самосопряженное
преобразование;
е) умножение на косоэрмитову матрицу вызывает кососимметри-
ческое преобразование.
1591. Пусть скалярное умножение векторов пространства Rn задано
матрицей Грама U некоторого базиса. Найти условие, необходимое
и достаточное для того, чтобы линейное преобразование ф, заданное
в том же базисе матрицей Л, было самосопряженным в случае: а) ев-
клидова, б) унитарного пространства.
1592*. Доказать, что два самосопряженных преобразования ф и if;
унитарного (или евклидова) пространства Rn тогда и только тогда
имеют общий ортонормированный базис собственных векторов обоих
преобразований, когда эти преобразования перестановочны. Какое
свойство квадратичных форм и поверхностей второго порядка отсюда
вытекает?
1593. Пусть R—евклидово пространство размерности п2, векто-
рами которого являются все вещественные матрицы порядка п с обыч-
ными сложением матриц и умножением матрицы на число, а скалярное
произведение матриц А = {atj) и В =- (pij) определено равенством
^аиЬи. Пусть, далее, Р и Q — вещественные симметрические
матрицы порядка п.
Доказать, что линейные преобразования фЛ' = РХ и tyX = XQ
(X — любая матрица из пространства R) являются перестановочными
самосопряженными преобразованиями пространства R, и найти связь
между общим ортонормированным базисом собственных векторов пре-
образований ф и ф и ортонормированными базисами собственных век-
торов матриц Р и Q.
1594. Самосопряженное линейное преобразование ф унитарного
(или евклидова) пространств Rn называется положительно определен-
ным, если (фж, д:) > 0, и неотрицательным, если (фж, х)^0 для лю-
1595—1602] § 19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 209
бого вектора хФО из Rn. Доказать, что самосопряженное преобразова-
ние ф тогда и только тогда положительно определенно (или неотри-
цательно), когда все его собственные значения положительны (со-
ответственно неотрицательны). Показать, что для любого (а не только
для самосопряженного) линейного преобразования ф из (фдс, jc) > 0
(или ^> 0) следует, что все собственные значения ф положительны
(соответственно неотрицательны). Привести пример, показывающий,
что для несамосопряженного линейного преобразования обратное ут-
верждение может быть неверно.
1595*. Доказать, что если ф = ф^ или q> = y$, где ф и ф — са-
мосопряженные линейные преобразования с положительными собствен-
ными значениями, а ^ — унитарное преобразование, то ф = ф и у.—
тождественное преобразование (см. задачу 1276, в).
1596*. Доказать, что любое невырожденное линейное преобра-
зование ф унитарного (или евклидова) пространства представляется
как в виде ф = ф,^1, так и в виде Ф —Хг^г- гле фр ф2—самосопря-
женные преобразования с положительными собственными значениями,
а Хр У.2 — унитарные (соответственно ортогональные) преобразования,
причем оба указанных представления единственны.
1597. Почему равенства
2 1\ /2 1\ /1 0\ /1 2\ /0 1
1 2} \\ 2/ \0 1/ V2 1/ U 0
не приводят к противоречию с единственностью представления, ука-
занного в предыдущей задаче.
Следующие матрицы представить в виде произведения симметри-
ческой матрицы с положительными характеристическими числами на
ортогональную матрицу:
1598. B —1\ 1599. /1 —4\ 1600. /4—2 2"
2 1/" \1 4/ 14 4 —1
V —2 4 2.
1601. Доказать, что самосопряженное линейное преобразование ф
тогда и только тогда является положительно определенным, когда
коэффициенты его характеристического многочлена X" -l-c,^"-}- • • •
... -\-сп все отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки, и не
отрицательным (т. е. с неотрицательными собственными значениями)
тогда и только тогда, когда коэффициенты со=1, сх, с2, ••¦, ск
отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки, a ck+1, .... с„ равны
нулю. Здесь k — любое число от 0 до п.
1602*. Доказать, что если ф и т]з — самосопряженные преобра-
зования и ф — положительно определенно, то собственные значения
преобразования фф вещественны.
210 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА A603—1610
1603*. Доказать, что если ф и ч|)— самосопряженные преобразо-
вания с неотрицательными собственными значениями, причем одно
из них невырожденно, то собственные значения преобразования фя]э
вещественны и неотрицательны.
1604. Доказать, что сумма двух или нескольких неотрицательных
самосопряженных преобразований (см. задачу 1594) является снова
неотрицательным самосопряженным преобразованием.
1605*. Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобра-
зование ранга г есть сумма г неотрицательных самосопряженных пре-
образований ранга 1.
1606*. Доказать, чтс линейное преобразование ф унитарного про-
странства Rn, имеющее ранг единица, тогда и только тогда будет
неотрицательным самосопряженным, когда в любом ортонормированном
базисе его матрица представляется в виде Х'Х, где X — строка п чисел.
1607*. Доказать, что если матрицы А = {а1})" и В = (bLу)" эрми-
товы и неотрицательны (т. е. имеют неотрицательные собственные
значения), то и матрица С ~ (с/;)", где Сц — a^b^ (IJ =1,2, ..., п) —
эрмитова и неотрицательна (сравнить с задачей 1220).
1608. Линейное преобразование ф евклидова (или унитарного)
пространства Rn называется кососимметрическим, если ф* = — ф, где
Ф* — преобразование, сопряженное ф. Доказать, что:
а) для того чтобы линейное преобразование ф евклидова про-
странства было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы
его матрица А в любом ортонормированном базисе была кососим-
метрической, т. е. А' = — А\
б) для того^ чтобы линейное преобразование ф унитарного про-
странства было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы
его матрица А в любом ортонормированном базисе была косоэрмито-
вой, т. е. Л' — — А.
1609*. Доказать, что ортогональное дополнение L* к линейному
подпространству L евклидова (или унитарного) пространства, инва-
риантному относительно кососимметрического преобразования ф, так-
же инвариантно относительно ф.
1610*. Доказать, что для кососимметрического преобразования ф
унитарного пространства:
а) собственные значения чисто мнимы (и, значит, характеристи-
ческие числа комплексной косоэрмитовой, в частности вещественной
кососимметрической, матрицы чисто мнимы);
б) собственные векторы, принадлежащие двум различным собствен-
ным значениям, ортогональны;
в) если в ортонормированном базисе матрица А преобразования ф
вещественна и собственный вектор, принадлежащий значению f>i ф 0
представлен в виде x-\-yi, где векторы jc и у имеют вещественные
1611 — 1614] § 19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВ 2П*
координаты, то х ну ортогональны и имеют одинаковую длину, причем
Ф* = — №, фу = Р*; A)
г) кососимметрическое преобразование евклидова пространства
всегда обладает одномерным или двумерным инвариантным подпро-
странством.
1611*. Доказать, что:
а) для любого кососимметрического преобразования ф унитарного
пространства Rn существует ортонормированный базис, состоящий
из собственных векторов преобразования ф. В этом базисе матрица ф
является диагональной с чисто мнимыми элементами на диагонали
(причем некоторые из этих элементов мбгут равняться нулю). Какое
¦свойство комплексных косоэрмитовых матриц отсюда вытекает?
б) для любого кососимметрического преобразования ф евклидова
пространства Rn существует ортонормированный базис, в котором
матрица имеет следующий канонический вид: по главной диагонали
( Л
( Л
¦стоят клетки второго порядка вида . где р^О и нуле-
\ —Р °/
вые клетки первого порядка (клетки одного из этих типов могут
отсутствовать). Каков геометрический смысл преобразования, какое
•свойство вещественных кососимметрических матриц отсюда вытекает?
1612. Доказать, что если ф — самосопряженное преобразование
унитарного пространства, то преобразование ф = /ф является косо-
симметрическим. Обратно, если ф — кососимметрическое, тоф = г'ф—
самосопряженное преобразование.
1613. Доказать, что если ф—самосопряженное преобразование
унитарного пространства, то преобразование ф —(ф— /е)~1(ф-|- ie),
где е — тождественное преобразование, существует и является уни-
тарным.
1614*. Доказать, что кососимметрические и унитарные преобра-
зования унитарного пространства (и соответственно кососимметриче-
ские и ортогональные преобразования евклидова пространства) свя-
заны следующим образом: если в равенстве
ф = (е —фХе-1-фГ1 A)
{где е — тождественное преобразование) ф—кососимметрическое пре-
образование, то ф — унитарное преобразование, не имеющее соб-
ственным значением число— 1. Обратно, если в том же равенстве A)
Ф — унитарное преобразование, не имеющее собственным значением
число—1, то ф ~ кососимметрическое преобразование. Равенство A)
определяет взаимно однозначное отображение всех кососимметриче-
ских преобразований на все унитарные преобразования, не имеюшие
собственным значением число— 1. Аналогичная связь имеется между
кососимметрическими и ортогональными преобразованиями евклидова
пространства. Какие свойства матриц отсюда вытекают?
212 ОТДЕЛ IV. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 11615—1623
1615. Показать, что равенство A) предыдущей задачи опреде-
ляет взаимно однозначное соответствие, во-первых, между всеми
невырожденными кососимметрическими преобразованиями и всеми уни-
тарными (соответственно ортогональными) преобразованиями, не имею-
щими собственных значений ±1, и, во-вторых, между всеми выро-
жденными кососимметрическими преобразованиями и всеми унитарными
(ортогональными) преобразованиями, имеющими собственные значе-
ния -|-1, но не имеющими собственного значения —1.
1616. Доказать, что если ф — кососимметрическое преобразование
унитарного (или евклидова) пространства, то преобразование е<Р
является унитарным (соответственно ортогональным). Какое свойство
матриц отсюда вытекает?
1617*. Доказать, что функция с* вызывает взаимно однозначное ото-
бражение всех самосопряженных преобразований унитарного (или евкли-
дова) пространства на все положительно определенные (т. е. самосопря-
женные с положительными собственными значениями) преобразования.
1618. Линейное преобразование ф унитарного (или евклидова) про-
странства называется нормальным, если оно перестановочно с сопря-
женным ему преобразованием ф*. Проверить, что самосопряженные,
кососимметрические и унитарные (или ортогональные) преобразования
нормальны.
1619. Доказать, что нормальное преобразование унитарного \или
евклидова) пространства тогда и только тогда является самосопря-
женным, когда все его собственные значения (соответственно все
корни его характеристического уравнения) вещественны.
1620. Доказать, что нормальное преобразование унитарного (или
евклидова) пространства тогда и только тогда является унитарным
(соответственно ортогональным), когда все его собственные значения
(соответственно все корни его характеристического уравнения) по
модулю равны единице.
1621. Доказать, что нормальное преобразование унитарного (или
евклидова) пространства тогда и только тогда является кососимме-
трическим, когда все его собственные значения (соответственно все
корни его характеристического уравнения) чисто мнимы.
1622. Доказать, что линейное преобразование ф унитарного про-
странства тогда и только тогда является нормальным, когда ф = i|%,
где ф — самосопряженное и % — унитарное преобразования, переста-
новочные между собой.
1623. Доказать, что:
а) каждое линейное преобразование ф однозначно представляется
в виде ф = ф,-|-ф2, где ф1—самосопряженное и ф2—кососимметри-
ческое преобразования;
б) для того чтобы преобразование ф было нормальным, необхо-
димо и достаточно; чтобы преобразования ф1 и ф2 в вышеуказанном
представлении были перестановочны.
1624 1633] § 'в. линейные преобразования пространств 213
1624. Доказать, что:
а) каждое линейное преобразование ф унитарного пространства
однозначно представляется в виде ф = ф1-т-/ф2, где ф, и ф2 — само-
сопряженные преобразования;
б) для того чтобы преобразование ф было нормальным, необхо-
димо и достаточно, чтобы преобразования ф1 и ф2 в вышеуказанном
представлении были перестановочны.
1625*. Доказать, что для любой (конечной или бесконечной) со-
вокупности попарно перестановочных нормальных преобразований
унитарного пространства Rn существует ортонормированный базис,
векторы которого являются собственными для всех преобразований
данной совокупности.
1626. Доказать, что из любого нормального преобразования ф
унитарного пространства Rn можно в области нормальных преобра-
зований извлечь корень /г-й степени для любого натурального числа k.
Найти число различных нормальных преобразований ф таких, что ф/е = ф.
1627*. Доказать, что если jc — собственный вектор нормального
преобразования ф унитарного (или евклидова) пространства, принад-
лежащий собственному значению X, то X является собственным век-
тором для сопряженного преобразования ф*, принадлежащим сопря-
женному (соответственно тому же самому) числу Я,.
1628*. Доказать, что собственные векторы нормального преобра-
зования, принадлежащие двум различным собственным значениям,
ортогональны.
1629*. Пусть е — собственный вектор нормального преобразо-
вания ф. Доказать, что подпространство L, состоящее из всех век-
торов пространства, ортогональных е, инвариантно относительно ф.
1630*. Доказать, что для нормальности линейного преобразова-
ния ф унитарного пространства необходимо и достаточно, чтобы
каждый собственный вектор ф был собственным и для ф*.
1631*. Доказать, что любое подпространство L унитарного про-
странства Rn, инвариантное относительно нормального преобразова-
ния ф, обладает ортонормированным базисом, состоящим из собствен-
ных векторов преобразования ф.
1632*. Говорят, что линейное преобразование ф унитарного (или
евклидова) пространства Rn обладает нормальным свойством, если
ортогональное дополнение L* для каждого подпространства L, инва-
риантного относительно ф, само инвариантно относительно ф. Дока-
зать утверждение: для того чтобы линейное преобразование ф уни-
тарного (или евклидова) пространства было нормальным, необходимо
и достаточно, чтобы ф обладало нормальным свойством.
1633*. Доказать, что для нормальности линейного преобразова-
ния ф унитарного (или евклидова) пространства необходимо и доста-
точно, чтобы каждое подпространство, инвариантное относительно ф,
было инвариантно и относительно ф*.
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 20. Группы
1634. Выяснить, образует ли группу каждое из следующих мно-
жеств при указанной операции над элементами:
1) целые числа относительно сложения;
2) четные числа относительно сложения;
3) целые числа, кратные данному натуральному числу п, отно-
сительно сложения;
4) степени данного действительного числа а, а ф 0, ±1, с це-
лыми показателями относительно умножения;
5) неотрицательные целые числа относительно сложения;
6) нечетные целые числа относительно сложения;
7) целые числа относительно вычитания;
8) рациональные числа относительно сложения;
9) рациональные числа относительно умножения;
10) рациональные числа, отличные от нуля, относительно умно-
жения;
11) положительные рациональные числа относительно умножения;
12) положительные рациональные числа относительно деления;
13) двоично-рациональные числа, т. е. рациональные числа, зна-
менатели которых — степени числа 2 с целыми неотрицательными
показателями, относительно сложения;
14) все рациональные числа, знаменатели которых равны произ-
ведениям простых чисел из данного множества М (конечного или
бесконечного) с целыми неотрицательными показателями (лишь ко-
нечное число которых может быть отлично от нуля), относительно
сложения;
15) корни га-й степени из единицы (как действительные, так и
комплексные) относительно умножения;
16) корни всех целых положительных степеней из единицы отно-
сительно умножения;
17) матрицы порядка п с действительными элементами относи-
тельно умножения;
1634] § 20. группы 215
18) невырожденные матрицы порядка п с действительными эле-
ментами относительно умножения;
19) матрицы порядка п с целыми элементами относительно умно-
жения;
20) матрицы порядка п с целыми элементами и определителем,,
равным единице, относительно умножения;
21) матрицы порядка п с целыми элементами и определителем,
равным ±1, относительно умножения;
22) матрицы порядка га с действительными элементами относи-
тельно сложения;
23) подстановки чисел 1, 2 га относительно умножения;
24) четные подстановки чисел 1, 2 п относительно умно-
жения;
-25) нечетные подстановки чисел 1, 2 га относительно умно-
жения; N
26) взаимно однозначные отображения множества N = {1, 2, 3, ...}
натуральных чисел на себя, каждое из которых перемещает лишь-
конечное число чисел, если за произведение отображений s и t при-
нято отображение st, которое получается при последовательном вы-
полнении отображений s и t;
27) преобразования множества М, т. е. взаимно однозначные-
отображения этого множества на себя, если за произведение преобра-
зований s и t принято преобразование st, которое получается при
последовательном выполнении преобразований s и t;
28) векторы га-мерного линейного пространства Rn относительно
сложения;
29) параллельные переносы трехмерного пространства /?, если за'
произведение переносов s и t принято их последовательное выпол-
нение;
30) повороты трехмерного пространства R вокруг данной точки О,
если за произведение поворотов sat принято их последовательное
выполнение;
31) все движения трехмерного пространства /?, если за произве-
дение движений s и t принято движение st, получающееся при по-
следовательном выполнении движений sat;
32) положительные действительные числа, если операция опреде-
ляется так: а * Ь = аь;
33) положительные действительные числа, если операция опреде-
лена так: a*b = a2b2;
34) действительные многочлены степени -^ га (включая нуль) от
неизвестного х относительно сложения;
35) действительные многочлены степени га от неизвестного х от-
носительно сложения;
36) действительные многочлены любых степеней (включая нуль),
от неизвестного х относительно сложения.
216 дополнение [1635—1647
1635. Доказать, что конечное множество О, в котором опреде-
лена ассоциативная алгебраическая операция и каждое из уравнений
ах = Ь, уа — Ь для любых а и Ь из О имеет в G не более одного
решения, будет группой.
1636. Доказать, что если а2 — е для любого элемента а группы О,
то эта группа абелева.
1637*. Доказать, что группа корней га-й степени из единицы
является единственной мультипликативной группой re-го порядка
с числовыми элементами.
1638*. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка:
а) 3; б) 4; в) 6. Написать таблицы умножения этих групп и пред-
ставить эти группы в виде групп подстановок.
1639*. Показать, что вращения каждого из пяти правильных
многогранников вокруг центра, совмещающие многогранник с самим
собой, образуют группу, если за умножение двух вращений принять
их последовательное выполнение. Найти порядки этих групп.
1640. Доказать, что группы 1)—4) задачи 1634 изоморфны между
собой.
1641. Доказать, что:
а) все бесконечные циклические группы изоморфны между собой;
б) все конечные циклические группы данного порядка п изо-
морфны между собой.
1642. Доказать, что:
а) группа положительных действительных чисел по умножению
изоморфна группе всех действительных чисел по сложению;
б) группа положительных рациональных чисел по умножению не
изоморфна группе всех рациональных чисел по сложению.
1643*. Доказать, что:
а) любая конечная группа порядка п изоморфна некоторой группе
подстановок п элементов;
б) любая группа изоморфна группе некоторых взаимно однознач-
ных отображений множества элементов этой группы на себя.
1644. Доказать, что для любых элементов а, Ь, с группы О:
а) элементы ab и Ьа имеют одинаковый порядок;
б) элементы abc, Ьса и cab имеют одинаковый порядок.
1645. Доказать, что если е — единица и а — элемент порядка п
группы О, то а" = е тогда и только тогда, когда k делится на п.
1646. Найти все образующие элементы аддитивной группы целых
чисел.
1647. Пусть 0~{а} — циклическая группа порядка п и Ь — а".
Доказать, что:
^элемент b тогда и только тогда будет образующим группы О,
когда числа п и k взаимно просты;
1648—1651J § я), группы 217
б) порядок элемента b равен -т, где d — наибольший общий де-
литель auk; ь
«.
в) если п и k взаимно просты, то в С? существует корень у а,
т. е. а является k-ft степенью некоторого элемента из С? и обратно;
г) в группе нечетного порядка все элементы являются квадрат-
ными.
1648*. Доказать утверждения:
а) если элементы а и b группы О перестановочны, т. е.
ab = ba, A)
и имеют конечные взаимно простые порядки г и s, то их произве-
дение ab имеет порядок rs;
б) если элементы а и b группы О перестановочны, имеют конеч-
ные порядки г и s и пересечение их циклических подгрупп содержит
лишь единицу е, т. е.
то порядок произведения ab равен наименьшему общему кратному г
и s. Показать на примерах, что для справедливости последнего
утверждения каждого из условий A) и B) в отдельности недоста-
точно и что условие A) не явчяется следствием условия B), даже
для взаимно простых порядков элементов а и Ь;
в) если порядки г и s элементов а и b взаимно просты, то усло-
вие B) выполняется;
г) показать на примере, что без условия B) порядок произведе-
ния ab не определяется однозначно порядками сомножителей а и Ь.
1649. Какие из групп задачи 1634 являются подгруппами других
из этих групп?
1650. Доказать, что:
а) если Н — конечное множество элементов группы О и произве-
дение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет
подгруппой группы О;
б) если все элементы множества Н группы О имеют конечные
порядки и произведение двух любых элементов из Н снова лежит
в Н, то Н будет подгруппой группы О.
1651. Доказать, что в любой группе подстановок, содержащей
хотя бы одну нечетную подстановку:
а) число четных подстановок равно числу нечетных;
б) четные подстановки образуют нормальный делитель;
в) все простые группы подстановок п элементов (где п > 2) со-
держатся в знакопеременной группе Ап {простой называется группа,
не имеющая нормальных делителей, кроме себя самой и единичной
подгруппы).
¦218 дополнение A652—1659
1652. Доказать, что любая бесконечная группа имеет бесконечное
число подгрупп.
1653. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, каждая
из которых изоморфна любой своей неединичной подгруппе.
1654. Найти все подгруппы:
а) циклической группы порядка 6;
б) циклической группы порядка 24;
в) четверной группы (задача 1638);
г) симметрической группы 53;
д) какие из подгрупп группы 53 являются нормальными делите-
лями?
е) доказать, что знакопеременная группа четвертой степени Л4
.не имеет подгруппы шестого порядка. Таким образом, группа О
порядка п для некоторых k. делящих п, может не иметь подгрупп
порядка k.
1655. Найти все подгруппы группы О порядка 8, все элементы
которой, кроме единицы е, имеют порядок 2.
1656. Пусть 0={а\—конечная циклическая группа порядка п.
Доказать утверждения:
а) порядок любой подгруппы группы О делит порядок п этой
группы;
б) для любого делителя d числа п существует единственная под-
группа Н. группы О, имеющая порядок й;
в) подгруппа Н порядка d содержит в качестве образующих все
I JL\
элементы порядка d группы О. В частности, Н = \ай J .
1657*. Найти все подгруппы примарной циклической группы, т. е.
циклической группы G=[a) порядка рк, где р — простое число.
1658*. Доказать утверждения:
а) симметрическая группа Sn при п > 1 порождается множеством
всех транспозиций (/, /);
б) симметрическая группа Sn при п > 1 порождается транспози-
циями: A, 2), A, 3), .... A, и);
в) знакопеременная группа Ап при п > 2 порождается множеством
всех тройных циклов (/ j k);
г) знакопеременная группа Ап при п > 2 порождается тройными
¦циклами: A 2 3), A 2 4) A 2 и).
1659, Найти смежные классы:
а) аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных
¦данному натуральному числу п;
б) аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых
чисел;
в) аддитивной группы комплексных чисел по подгруппе целых
гауссовых чисел, т. е. чисел а-\-Ы с целыми а и Ь;
1660—16671 § го. группы 219>
г) аддитивной группы векторов плоскости (выходящих из начала
координат) по подгруппе векторов, лежащих на оси абсцисс Ох:
д) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля,
по подгруппе чисел, равных по модулю единице;
е) мультипликативной группы комплексных чисел отличных от нуля,
по подгруппе положительных действительных чисел;
ж) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля,,
по подгруппе действительных чисел;
з) симметрической группы Sn по подгруппе подстановок, оставляю-
щих число п на месте.
1660*. Доказать, что:
а) подгруппа Н порядка k конечной группы О порядка 2k содер-
жит квадраты всех элементов группы О;
б) подгруппа Н индекса два любой группы О содержит квадраты
всех элементов группы О.
1661*. Доказать, что при п > 1 знакопеременная группа Ап яв-
ляется единственной подгруппой индекса два (т. е. содержащей поло-
вину всех элементов) в симметрической группе Sn. Привести пример-
конечной группы, содержащей несколько подгрупп индекса два.
1662*. Доказать, что:
а) группа тетраэдра изоморфна группе четных подстановок четы-
рех элементов;
б) группы куба и октаэдра изоморфны группе, всех подстановок
четырех элементов;
в) группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны группе четных под-
становок пяти элементов. Определение групп многогранников см.
в задаче 1639.
1663. Доказать, что любая подгруппа индекса два является нор-
мальным делителем.
1664. Доказать, что множество Z всех элементов группы G,
каждый из которых перестановочен со всеми элементами этой группы^
является нормальным делителем (центр группы С?).
1665. Элемент aba" Ъ~ называется коммутатором элементов
а и Ъ группы О. Доказать, что все коммутаторы и их произведения
(с любым конечным числом сомножителей) образуют нормальный де-
литель К группы О (коммутант данной группы).
1666. Доказать, что в группе всех движений трехмерного про-
странства элемент х~хах, сопряженный с поворотом а вокруг точки Р,
является поворотом вокруг той точки Q, в которую переходит точка Р
при движении х.
1667. Доказать, что подстановка х~1ах, сопряженная в группе
подстановок подстановке а, получается путем применения трансфор-
мирующей подстановки х ко всем числам в разложении подстановки с.
на независимые циклы.
220 дополнение A668—1680
1668*. Доказать, что:
а) четверная группа V (задача 1638) является нормальным дели-
телем симметрической группы S4;
б) фактор-группа <S4/V изоморфна симметрической группе S3.
1669*. Пользуясь задачей 1667, найти число подстановок сим-
метрической группы Sn, перестановочных с данной подстановкой s.
1670*. Доказать, что если пересечение двух нормальных делите-
лей 7/j и Н2 группы О содержит лишь единицу е, то любой эле-
мент hY ? Нх перестановочен с любым элементом Л2 ? Н2-
1671. Доказать, что:
а) элементы группы О, перестановочные с данным элементом а,
образуют подгруппу N (а) группы О (нормализатор а в G), содер-
жащую циклическую подгруппу [а) в качестве нормального делителя;
б) число элементов группы О, сопряженных с а, равно индексу
нормализатора N (а) в О.
1672. Доказать, что:
а) элементы группы О, перестановочные с данной подгруппой Н
(но не обязательно с элементами из Н), образуют подгруппу N (Н)
группы G (нормализатор подгруппы Н в О), содержащую подгруппу Н
в качестве нормального делителя;
б) число подгрупп группы О, сопряженных с Н, равно индексу
нормализатора N (Н) в О.
1673*. Доказать, что:
а) число элементов группы О, сопряженных с данным элементом;
б) число подгрупп группы О, сопряженных с данной подгруппой,
делит порядок группы G.
1674. Пользуясь задачами 1669 и 1671, найти число подстановок
симметрической группы Sn, сопряженных с данной подстановкой s.
1675*. Доказать, что центр группы G порядка р", где р—число
простое, содержит более одного элемента.
1676*. Доказать, что любой нормальный делитель Н знакопере-
менной группы Ап степени п ^- 5, содержащий хотя бы один трой-
ной цикл, совпадает с Ап.
1677*. а) Найти все классы сопряженных элементов группы икоса-
эдра (задача 1639); б) доказать, что группа икосаэдра является про-
стой (т. е. не имеет нормальных делителей, отличных от самой группы
и единичной подгруппы).
1678*. Доказать, что знакопеременная группа пятой степени
является простой.
1679. Доказать, что группа О' тогда и только тогда является
гомоморфным образом конечной циклической группы О, когда О'
также циклическая и ее порядок делит порядок группы О.
1680. Доказать; что если группа О гомоморфно отображена на
группу О', причем элемент а из G отображается на а' из G', то:
1681—16851 § 20. группы 221
а) порядок а делится на порядок а';
б) порядок О делится на порядок О'.
1681. Найти все гомоморфные отображения:
а) циклической группы {а) порядка п в себя;
б) циклической группы \а\ порядка 6 в циклическую группу \Ь\
порядка 18;
в) циклической группы [а] порядка 18 в циклическую группу {Ь}
порядка 6;
г) циклической группы [а] порядка 12 в циклическую группу [Ь]
порядка 15;
д) циклической группы [а) порядка 6 в циклическую группу {Ь}
порядка 25.
1682. Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя
гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел.
1683. Изоморфное отображение группы О на себя называется
автоморфизмом, а гомоморфное отображение в себя — эндоморфиз-
мом этой группы. Автоморфизм ф называется внутренним, если
существует элемент х из О такой, что atp = x~1ax для любого а
из О, и внешним — в противном случае. Все автоморфизмы группы О
сами образуют группу, если за произведение автоморфизмов принять
их последовательное выполнение: а(фф) = (аф)ф. Все эндоморфизмы
абелевой группы О образуют кольцо, если сложение эндоморфизмов
определить равенством a((p-\~ty) = a<p-\-aty, а умножение — так же,
как для автоморфизмов. Найти группу автоморфизмов циклической
группы [а] порядка: а) 5; б) 6.
в) Доказать, что симметрическая группа 53 имеет шесть внутрен-
них автоморфизмов и ни одного внешнего, причем группа автомор-
физмов изоморфна S3.
г) Четверная группа V (задача 1638) имеет один внутренний
автоморфизм (тождественный) и пять внешних, причем группа авто-
морфизмов изоморфна S3.
Найти кольцо эндоморфизмов циклической группы [а) порядка:
д) 5; е) 6; ж) п.
1684. Доказать, что фактор-группа симметрической группы Sn
по знакопеременной группе Ап изоморфна фактор-группе аддитивной
группы целых чисел по подгруппе четных чисел.
1685. Найти фактор-группы:
а) аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных
данному натуральному числу п;
б) аддитивной группы целых чисел, кратных 3, по подгруппе
чисел, кратных 15;
в) аддитивной группы целых чисел, кратных 4, по подгруппе
чисел, кратных 24;
г) мультипликативной группы действительных чисел, отличных
от нуля, по подгруппе положительных чисел.
222 дополнение 11686—1689
1686. Пусть Оя — аддитивная группа векторов га-мерного линей-
ного пространства и Hk — подгруппа векторов /г-мерного подпро-
странства, 0-^.k-^.n. Доказать, что фактор-группа Gn/Hk изо-
морфна Gn_k.
1687. Пусть G — мультипликативная группа всех комплексных
чисел, отличных от нуля, и Н — множество всех чисел из О, лежа-
щих на действительной и мнимой осях.
а) Доказать, что И — подгруппа группы О.
б) Найти смежные классы группы О по подгруппе Н.
в) Доказать, что фактор-группа G/H изоморфна мультипликатив-
ной группе U всех комплексных чисел, равных по модулю единице.
1688*. Пусть G — мультипликативная группа комплексных чисел,
отличных от нуля, Н — множество чисел из О, лежащих на га лучах,
выходящих из нуля под равными углами, причем один из этих лучей
совпадает с положительной действительной полуосью, К—аддитивная
группа всех действительных чисел, Z — аддитивная группа целых
чисел, D—мультипликативная группа положительных чисел, U —
мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю
единице, Un — мультипликативная группа корней га-й степени из еди-
ницы. Доказать, что:
а) KJZ изоморфна U;
б) G\D » U;
в) G/U » ?>;
г) U/Un » U;
д) GjUn » О;
е) Н есть подгруппа группы G и G/H изоморфна U;
ж) HJD изоморфна Uп;
з) HjUn » D.
1689. Для мультипликативных групп невырожденных квадратных
матриц порядка га доказать утверждения:
а) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе
матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной
группе действительных чисел, отличных от нуля;
б) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе
матриц с определителем, равным ± 1, изоморфна мультипликативной
группе положительных чисел;
в) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе
матриц с положительными определителями является циклической
группой второго порядка;
г) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц
с определителями, по модулю равными единице, изоморфна мульти-
пликативной группе положительных чисел;
д) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц
с положительными определителями изоморфна мультипликативной
группе комплексных чисел, по модулю равных единице.
1690—1700] § 20. группы 223
1690. Пусть О— группа всех движений трехмерного пространства,
Н — подгруппа параллельных переносов, К — подгруппа вращений
вокруг данной точки О. Доказать, что:
а) Н является нормальным делителем группы О, а К — нет;
б) фактор-группа О/Н изоморфна К.
1691. Доказать, что нормальный делитель Н группы О, имеющий
конечный индекс j, содержит все элементы группы О, порядки кото-
рых взаимно просты с j. Показать на примере, что для подгруппы Н,
не являющейся нормальным делителем, утверждение может быть
неверным.
1692. Доказать, что фактор-группа О/Н тогда и только тогда
коммутативна, когда Н содержит коммутант К группы О (задача 1665).
1693*. Доказать, что фактор-группа некоммутативной группы G
по ее центру Z (задача 1664) не может быть циклической.
1694*. Доказать, что если порядок конечной группы О делится
на простое число р. то О содержит элемент порядка р (теорема Коши).
1696*. Пусть р — простое число. Группа О называется р-груп-
пой (в коммутативном случае — примарной группой), если порядки
всех ее элементов конечны и равны некоторым степеням числа р.
Доказать, что конечная группа О тогда и только тогда будет р-груп-
пой, когда ее порядок равен степени числа р.
1696. Доказать, что:
а) аддитивная группа векторов re-мерного линейного пространства
есть прямая сумма п подгрупп векторов одномерных подпространств,
натянутых на векторы любой базы пространства;
б) аддитивная группа комплексных чисел есть прямая сумма под-
групп действительных и чисто мнимых чисел;
в) мультипликативная группа действительных чисел есть прямое
лроизведение подгруппы положительных чисел и подгруппы чисел +1;
г) мультипликативная группа комплексных чисел есть прямое
лроизведение подгрупп положительных чисел и чисел, по модулю
равных единице.
1697. Доказать, что если G = A-\-B1=^A-\-B2 — прямые раз-
ложения абелевой группы О и если Вг содержит В2, то Вх = В2.
1698. Доказать, что подгруппа Н абелевой группы G тогда и
только тогда будет слагаемым в прямом разложении О — Н-{-К,
когда существует гомоморфное отображение G на Н, сохраняющее
на месте все элементы из Н.
1699. Доказать, что если G = А-\-В — прямое разложение
группы О, то фактор-группа О/А изоморфна В.
1700. Пусть О== А1-\-А2-\- ... -{-As—разложение абелево<»
группы О в прямую сумму подгрупп и
224 дополнение [1701—1704
— соответствующее разложение элемента х в сумму компонент.
Доказать, что:
а) группа О тогда и только тогда имеет конечный порядок п,
когда каждая подгруппа At имеет конечный порядок nt, 1= 1, 2, .... s,
причем п = п1 «2 • • ¦ п/,
б) элемент х тогда и только тогда имеет конечный порядок р,
когда каждая его компонента at имеет конечный порядок pt, i = 1,
2 s, причем р равно наименьшему общему кратному чисел
pv р2, — ps:
в) группа О тогда и только тогда является конечной цикличе-
ской, когда все прямые слагаемые At — конечные циклические группы,
причем их порядки попарно взаимно просты.
1701. Разложить в прямую сумму примарных циклических
подгрупп циклическую группу [а] порядка: а) 6; б) 12; в) 60;
г) 900.
1702*. Доказать неразложимость в прямую сумму двух ненулевых
подгрупп:
а) аддитивной группы целых чисел;
б) аддитивной группы рациональных чисел;
в) примарной циклической группы.
1703*. Пусть О — ненулевая конечная абелева группа (с аддитив-
ной записью операции). Доказать утверждения:
а) если порядки всех элементов из О делят произведение pq
взаимно простых чисел р и q, то О разлагается в прямую сумму
подгрупп А и В, где порядки всех элементов из А делят р, а из
В — делят q, причем одна из подгрупп А или В может оказаться
нулевой;
б) для группы О имеет место разложение О = А1 -\- Л2 -)-... -|- А3
в прямую сумму (ненулевых) примарных подгрупп, относящихся со-
ответственно к различным простым числам pv p2, ¦ ¦., ps. Эти под-
группы At называются примерными компонентами группы О;
в) примарная компонента At, относящаяся к простому числу pt,
состоит из всех элементов группы О, порядки которых равны сте-
пеням числа pt, что однозначно определяет разложение группы О
на примарные компоненты;
г) разложение на примарные компоненты ненулевой подгруппы Н
группы О имеет вид Н = В1 -\- В2 -\- ... -\-Bs, где В1 = Н П At,
1=1, 2 s, причем нулевые подгруппы В1 в разложении И
опускаются.
1704. Обозначим через G(nlt щ,, .... ns) прямую сумму цикличе-
ских групп порядков соответственно nv n2 ns. Из теории конеч-
ных абелевых групп известно, что каждая такая группа однозначно
(с точностью до изоморфизма) представляется в виде G(nv п2 ns),
где числа nt равны степеням простых чисел (не обязательно различ-
ных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы
1705-1707]
§ 20. ГРУППЫ
225
следующих порядков: а) 3; б) 4; в) 6; г) 8; д) 9; е) 12; ж) 16;
з) 24; и) 30; к) 36; л) 48; м) 60; н) 63; о) 72; п) 100.
1705. Разложить в прямую сумму примарных циклических и бес-
конечных циклических подгрупп фактор-Группу G/H, где О — сво-
бодная абелева группа с базой xv *2, х3 и Н — подгруппа с обра-
зующими:
а) у1== 7*1 + 2*2 + 3*3,
уя = 21*,+ 8*я+9х8.
у3 = 5*! —4*2 + 3*3;
б) >»! = 4*! + 5*2 + 3*3,
*2
в) у,=
д) >»! =
ж) У) = 6*j + 5*9 + 4*3,
г) >-! = 6*!+ 5*2+ 7*3,
*2+ *3,
*3,
е) Л = 2*!+ 6*2—2*з,
12*2 — 4*3;
=5*!+ 4*2 — 4*3;
и) ^ =
=6^+10*2+5*3;
у3 — 4*
з) у1 = *1
к) У! = 2*!+ 3*2+ 4*3,
у2==5*1+5*2+6*з,
Уз =2*!+ 6*2+ 9*3.
1706*. Доказать, что конечная абелева группа О, порядок кото-
рой равен:
а) произведению двух различных простых чисел р и q;
б) произведению различных простых чисел pv р2, ¦ ¦ ¦, ps, —
является циклической;
в) найти все подгруппы абелевой группы О, порядок которой
удовлетворяет условию пункта б), и найти число этих подгрупп;
г) доказать, что для любого делителя k порядка п конечной абе-
левой группы О существуют подгруппа и фактор-группа группы О,
имеющие порядок k.
1707*. Пусть О — ненулевая конечная абелева группа, все нену-
левые элементы которой имеют один и тот же порядок р (элемен-
тарная группа). Доказать утверждения:
а) число р является простым;
б) группа О разлагается в прямую сумму конечного числа цикли-
ческих подгрупп порядка р и имеет порядок рк, где k — число этих
слагаемых;
226 дополнение 11708—1725
в) любая ненулевая подгруппа Н группы О сама будет элемен-
тарной и является прямым слагаемым в некотором прямом разложе-
нии О = //-(- /С группы О;
г) число подгрупп порядка р1 элементарной группы О порядка рк
где k > / > 0, равно ^^-ЛЫ-Я '' 'tf-fi) '
1708*. Доказать, что конечная абелева группа О порождается ее
элементами максимального порядка.
§ 21. Кольца и поля
Выяснить, какие из следующих множеств являются кольцами
(но не полями) и какие полями относительно указанных операций.
(Если операции не указаны, то подразумеваются сложение и умно-
жение чисел.)
^ 1709. Целые числа.
1710. Четные числа.
1711. Целые числа, кратные данному числу п (рассмотреть,
в частности, случай я = 0).
1712. Рациональные числа.
1713. Действительные числа.
1714. Комплексные числа.
1715. Числа вида a-\-b\f2 с целыми о и Ь.
1716. Числа вида a-\-b\f3 с рациональными а и Ь.
1717. Комплексные числа вида а-\-Ы с целыми а и Ь.
^/1718. Комплексные числа вида а-\-Ы-с рациональными а и Ь.
1719. Матрицы порядка п с целыми элементами относительно
сложения и умножения матриц.
1720. Матрицы порядка п с действительными элементами отно-
сительно сложения и умножения матриц.
1721. Функции с действительными значениями, непрерывные на
отрезке [—1, +1] относительно обычных сложения и умножения
функций.
1722. Многочлены от одного неизвестного х с целыми коэффи-
циентами относительно обычных операций сложения и умножения.
V 1723. Многочлены от одного неизвестного х с действительными
коэффициентами относительно обычных операций.
( а Ь\
1724. Все матрицы вида с рациональными или действи-
\2Ь а}
тельными с, b относительно обычных сложения и умножения матриц.
1725*. Образуют ли кольцо все тригонометрические полиномы
п
а0 -j- 2 (ak cos kx -f- bk sin kx) с действительными коэффициентами?
1726—1733]
$ 21. КОЛЬЦА И ПОЛЯ
227
Выяснить то же для полиномов одних косинусов «о Ч~ 2 °й cos kx
п *-1
и одних синусов 2 bk sin kx.
1726*. Образуют ли кольцо числа вида a-\-bV2 с рациональ-
ными а и Ъ относительно обычных операций (для определенности
берется действительное значение корня).
1727*. Показать, что числа вида а -\- Ь V% -(- с У^4 с рациональ-
ными а, Ь и с образуют поле, причем каждый элемент этого
поля в указанном виде представляется однозначно. Найти элемент,
обратный числу ¦ 1 — у 2 -f- 2 \^4 (берется действительное значение
корня).
1728. Доказать, что числа вида а -\- Ъ ]Лэ -f- с ][2Ь с рациональ-
ными с, b и с образуют поле; найти в этом поле число, обратное
числу д; =
1729*. Пусть а — корень многочлена f (х) степени «> 1 с рацио-
нальными коэффициентами, неприводимого над полем рациональных
чисел. Доказать, что числа вида а^-^-а^а-^-а^х2-^- ... -\-an_la.n-1
с рациональными с0, ах, с2, .... ап_г образуют поле, причем ка-
ждый элемент этого поля однозначно записывается в указанном виде.
Говорят, что это поле получено присоединением числа а к полю
рациональных чисел.
1730*. В поле, полученном присоединением к полю рациональных
чисел корня а многочлена f (х) — хъ-\-4:Х2-\-2х — 6 (задача 1729)
найти число, обратное числу р = 3 — а+а2.
1731. Доказать, что все диагональные матрицы, т. е. матрицы
вида
а, 0 0 ... О
О с2 0 ... О
О О
а3 ... О
0 0 0
порядка «^2 с действительными элементами относительно обычных
сложения и умножения матриц образуют коммутативное кольцо с де-
лителями нуля.
1732. Привести примеры делителей нуля в кольце функций, не-
прерывных на отрезке [—1, -J-1].
1733. Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка п
с элементами из некоторого поля вырожденные матрицы, и только
они, являются делителями нуля.
228 дополнение [1734—1744
1734. Показать, что пары (а, Ь) целых чисел с операциями,
заданными равенствами
образуют кольцо, и найти все делители нуля этого кольца.
1735. Доказать, что поле не имеет делителей нуля.
1736. Доказать, что из равенства ах = ау для данного элемента а
и любых элементов хну кольца следует равенство х — у тогда
и только тогда, когда а не является левым делителем нуля.
1737. Показать, что матрицы порядка «^2 с элементами из не-
которого поля, в которых все строки, начиная со второй, состоят
из нулей, образуют кольцо, в котором всякий элемент, отличный
от нуля, будет правым делителем нуля. Какие матрицы в этом кольце
не будут левыми делителями нуля?
1738*. Показать, что в кольце с единицей е коммутативность
сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
1739. Проверив, что свойство нуля и делителей нуля можно
доказать, не используя коммутативности сложения, доказать, что
в кольце, содержащем хотя бы один элемент с, не являющийся дели-
телем нуля, коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом
кольца.
1740. Привести примеры колец матриц специального вида, обла-
дающих несколькими правыми или несколькими левыми единицами.
1741. Пусть дано целое число л^-0. Два целых числа а и b
называются сравнимыми по модулю п, что записывается так:
а = #(mod п), если их разность а — b делится на п (при п = 0 это
означает, что а = Ь; при п > 0 — что а и b при делении на п дают
один и тот же остаток — вычет по модулю п). Показать, что сово-
купность всех целых чисел Z разбивается на классы сравнимых
между собою чисел, не имеющих общих элементов. Определим сло-
жение и умножение классов через соответствующие операции над их
представителями, т. е. если числа a, b, a-\-b и ab принадлежат соот-
ветственно классам А, В, С и D, то положим А-\-В — С и AB = D.
Доказать, что при таких операциях множество классов является
кольцом (кольцо вычетов Zn по модулю п).
1742*. Доказать, что конечное коммутативное кольцо без дели-
телей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.
1743*. Показать, что кольцо вычетов по модулю п (задача 1741)
будет полем тогда и только тогда, когда п—число простое.
1744. Квадратная матрица называется скалярной, если ее эле-
менты на главной диагонали равны между собой, а вне главной диа-
гонали— равны нулю. Показать, что скалярные матрицы порядка п
с действительными элементами при обычных операциях образуют
поле, изоморфное полю действительных чисел.
1745—1756). § 2i. кольца и поля 229
( а Ь\
1745. Показать, что матрицы вида ( , где а и Ъ — дей-
ствительные числа, образуют поле, изоморфное полю комплексных
чисел.
I а Ъ\
1746. Доказать, что поле матриц вида [ •} с рациональными
\2Ь а/
л, Ь (задача 1724) изоморфно полю чисел вида а -\- Ъ У 2 также
•с рациональными а, Ь.
1747*. Доказать, что алгебра вещественных матриц вида
abed
— Ъ а —d с
— с d а —Ъ
— d —с b a
изоморфна алгебре кватернионов a-\-bl-\-cj-\-dk.
„ п / a-\-bi c-\-di\
1748. Доказать, что алгебра матриц вида I
\ — c-\-di а — Ы]
¦с действительными с, Ь, с, d и i = Y—* изоморфна алгебре ква-
тернионов a-\-bl-\-cJ-\-dk.
1749. Найти все автоморфизмы (т. е. изоморфные отображения
на себя) поля комплексных чисел, оставляющие неизменными дей-
ствительные числа.
1750*. Доказать, что любое числовое поле содержит в качестве
подполя поле рациональных чисел.
1751*. Доказать, что при любом изоморфизме числовых полей
подполе рациональных чисел отображается тождественно.
В частности, поле рациональных чисел допускает лишь тожде-
ственное изоморфное отображение в себя.
1752*. Доказать, что тождественное отображение является един-
ственным изоморфным отображением поля действительных чисел в себя.
1753. Пользуясь задачей 1752, найти все изоморфные отобра-
жения поля комплексных чисел в себя, переводящие действительные
числа снова в действительные.
1754. Доказать, что минимальное подполе любого поля характе-
ристики нуль изоморфно полю рациональных чисел.
1755. Доказать, что минимальное подполе любого поля характе-
ристики р изоморфно полю вычетов по модулю р.
1756. Решить систему уравнений
x-\-2z=\, y + 22 = 2, 2x-{-z—l
в поле вычетов по модулю 3 и по модулю 5.
230 дополнение J1757—1768
17Б7. Решить систему уравнений
в поле вычетов по модулю 5 и по модулю 7.
1758. Найти наибольший общий делитель многочленов
а) над полем вычетов по модулю 3;
б) над полем рациональных чисел.
1759. Найти наибольший общий делитель многочленов
а) над полем вычетов по модулю 5 (при этом каждый коэффи-
циент а надо понимать как кратное ае единицы е указанного поля
или заменить коэффициенты их наименьшими неотрицательными выче-
тами по модулю 5);
б) над полем рациональных чисел.
1760. Найти наибольший общий делитель многочленов
f(x) = x*-\-l. g(x) = x*-+-x+l
над полем вычетов по модулю: а) 3; б) 5.
1761*. а) Доказать, что если многочлены f(x) и g(x) с целыми
коэффициентами взаимно просты над полем Zp вычетов по простому
модулю р, причем хотя бы один из старших коэффициентов не де-
лится на р, то эти многочлены взаимно просты над полем рацио-
нальных чисел.
б) Показать на примере, что для любого простого числа р обрат-
ное утверждение не верно.
1762*. Доказать, что многочлены /(лг) и g(x) с целыми коэф-
фициентами тогда и только тогда взаимно просты над полем рацио-
нальных чисел, когда они взаимно просты над полем вычетов по
модулю р, где р — любое простое число, исключая, быть может,
конечное множество таких чисел.
1763. Многочлен х5-\-х3-\-х2-\-1 разложить на неприводимые
множители над полем вычетов по модулю 2.
1764. Многочлен хг-\-2х2~\-Ах-\-1 разложить на неприводимые
множители над полем вычетов по модулю 5.
1765. Многочлен х*-\-хг-\-х-\-2 разложить на неприводимые
множители над полем вычетов по модулю 3.
1766. Многочлен х4 + Зл;3~|-2л;2+л;-(-4 разложить на неприво-
димые множители над полем вычетов по модулю 5.
1767. Разложить на неприводимые множители над полем вычетов
по модулю 2 все многочлены второй степени от л;.
1768. Разложить на неприводимые множители над полем вычетов
по модулю 2 все многочлены третьей степени от х.
1769—1778] S 21. КОЛЬЦА и поля 231
1769. Найти все многочлены второй степени от jc со старшим
коэффициентом 1, неприводимые над полем вычетов по модулю 3.
1770. Найти все многочлены третьей степени от х со старшим
коэффициентом 1, неприводимые над полем вычетов по модулю 3.
1771*. Доказать, что если многочлен f(x) с целыми коэффи-
циентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим
над полем вычетов по любому простому модулю р, не делящему
старший коэффициент. Привести пример многочлена, приводимого
над полем рациональных чисел, но неприводимого над полем вычетов
по модулю р, где р делит старший коэффициент.
1772*. Доказать, что мультипликативная группа G поля Zp вы-
четов по простому модулю р является циклической.
1773*'). Существуют многочлены с целыми коэффициентами, не-
приводимые над полем рациональных чисел, но приводимые над полем
•вычетов по любому простому модулю р.
Доказать, что таким будет, например, многочлен f(x) — xA —
— 10jc2 —J— 1. Этот многочлен — многочлен наименьшей степени с це-
лыми коэффициентами, имеющий корень а = j/^2 + \fd.
1774*. Доказать, что если все элементы коммутативного кольца R
имеют общий делитель с, то это кольцо обладает единицей.
1775. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее эле-
мент а ф 0 с одним из следующих свойств:
а) а2 = 0; б) для данного целого числа п > 1 выполнены условия
а" = 0. а" Ф 0, если 0 < k < п.
1776. Пусть R—коммутативное кольцо с единицей е. Доказать, что:
а) обратимый элемент (т. е. делитель единицы) не может быть
делителем нуля;
б) обратимый элемент имеет единственный обратный элемент;
в) если 6, е обратимы, то а делится на b тогда и только тогда,
когда аЬ делится на be;
г) главный идеал (с) элемента а из R тогда и только тогда
отличен от R, когда а необратим.
1777. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей е и без де-
лителей нуля. Доказать, что:
а) элементы a, b тогда и только тогда ассоциированы, когда
каждое из них делится на другой;
б) главные идеалы (с) и (Ь) тогда и только тогда совпадают,
когда а и b ассоциированы (определение главного идеала дано
в задаче 1783).
1778. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей е и R(x) —
00
множество всех формальных степенных рядов 2 о-пхП> ап 6 Я-
п-0
') Эту задачу указал автору И. Р. Шафаревич.
232 дополнение [1779—1781
Введем обычные операции сложения и умножения 'рядов:
2 апх" + 2 Р«*" = 2 (о« + Р«) *"•
и-0 п-0 п-0
(оо \ / оо \ оо
2ая*» 2р«*" =2y»*".
и-о /\«-о / и=о
п
где Y«=2«*Pe-*-
*-о
Показать, что:
а) R(x)— коммутативное кольцо с единицей;
б) R\x) содержит подкольцо, изоморфное R;
в) если R не имеет делителей нуля, то это верно и для R{x)z
оо
г) если R — поле, то 2 апх" тогда и только тогда будет обра-
п-0
тимым элементом кольца R (jc), когда а0 ф 0.
1779*. Пусть R — множество всех чисел вида a-\~b"\f—3, где
а и Ь — целые рациональные. Показать, что R — кольцо с единицей,
в котором разложение на простые множители существует, но не одно-
значно. В частности, показать, что в двух разложениях
4 = 2 • 2 = (l+V—3)(l— V—3)
сомножители являются простыми, причем 2 не ассоциировано
1780*. Доказать, что все конечные суммы 2 ai' 2 ' с целыми
коэффициентами и неотрицательными двоично рациональными rt отно-
сительно обычных операций сложения и умножения чисел образуют
коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором
не существует разложения на простые множители.
1781. Будут ли следующие множества подгруппами аддитивной
группы, подкольцами или идеалами указанных ниже колец:
а) множество nZ чисел, кратных числу п > 1, в кольце целых
чисел Z;
б) множество Z целых чисел в кольце Z [л;) целочисленных много-
членов;
в) множество nZ\x\ многочленов, коэффициенты которых кратны
числу п > 1, в кольце Z [л;) целочисленных многочленов;
г) множество N натуральных чисел в кольце целых чисел Z;
д) множество Z целых чисел в кольце А целых гауссовых чисел»
т. е. чисел вида а~\-Ы с целыми рациональными а, Ь;
е) множество В чисел а -\- Ы, где а = Ь, в кольце А целых гаус-
совых чисел;
1782—1786) § 21. кольца и поля 233
ж) миожество С чисел вида х A -\- i) в кольце А целых гауссовых
чисел, где х пробегает всё кольцо А;
з) множество Z [л;] целочисленных многочленов в кольце- R [х]
многочленов над полем R рациональных чисел;
и) множество / многочленов, не содержащих членов с хк для всех
k < п. где и> 1. в кольце Z[x] целочисленных многочленов;
к) множество / многочленов с четными свободными членами
в кольце Z[x] целочисленных многочленов;
л) множество / многочленов с четными старшими коэффициентами
в кольце Z[x] целочисленных многочленов.
1782. Доказать, что пересечение любого множества идеалов ком-
мутативного кольца R является идеалом.
1783. Главным идеалом (с), порожденным элементом а ком-
мутативного кольца R, называется минимальный идеал, содержа-
щий с. Доказать, что идеал (а) существует для любого элемента с ? R
м состоит из всех элементов вида:
а) га, где г — любой элемент из R, если R имеет единицу;
б) га-{-па, где г —любой элемент из R, и п— любое целое
число, если R не имеет единицы.
1784. Идеалом (М), порожденным множеством М коммута-
тивного кольца R, называется минимальный идеал, содержащий М.
Если множество М состоит из конечного числа элементов а\, .... as,
то идеал (М) обозначается также через (al as). Доказать, что
идеал (Ж) существует для любого непустого множества М ? R и
состоит из всех конечных сумм вида:
а) 2 rfii', rt ? R- at ? M, если R имеет единицу;
б) 2 гга«+ 2 nfii' ri?R' at?M; nt — целые числа, если R не
имеет единицы.
1785*. Кольцом главных идеалов называется коммутативное
кольцо с единицей ш и без делителей нуля, в котором каждый идеал —
главный (см. задачу 1783). Доказать, что каждое из следующих
колец является кольцом главных идеалов:
а) кольцо Z целых чисел;
б) кольцо Р[х] многочленов от одного неизвестного х над
полем Р;
в) кольцо А целых гауссовых чисел.
1786. Суммой идеалов lv /2, ..., Ik коммутативного кольца R
называется множество / всех элементов х из R, представимых
в виде
x = Xl-\-x2-\- ... -i-xk; x^I-; i=l, 2, .... k.
Пишут / = /j4-/2-(~ ... -\-fk. Если для любого х из f указан-
ное представление единственно, то сумма / называется прямой
суммой идеалов ft. В этом случае пишут / = Ix -j- /2 4" • • • "}"'*•
234 дополнение |1787— 179в
Доказать, что:
а) сумма любого конечного числа идеалов есть идеал;
б) сумма двух идеалов тогда и только тогда будет прямой сум-
мой, когда пересечение их содержит только нуль.
1787. Доказать, что если I = Il-\-I2—прямая сумма идеалов/j, /2,
то произведение любого элемента из /t на любой элемент из 12
равно нулю.
1788. Пусть /? = /1-j-/2 — разложение коммутативного кольца R
с единицей е в прямую сумму ненулевых идеалов /j, /2.
Доказать, что если e = el-\-e2; e1^I1; е2?12, то et, е2 будут
единицами соответственно в lv /2, но не в R.
1789. Доказать, что фактор-кольцо кольца D[x] многочленов
с действительными коэффициентами по идеалу многочленов, деля-
щихся на х2 -}- 1, изоморфно полю комплексных чисел a -f- Ы с опе-
рациями сложения и умножения, определяемыми по известным из
школы правилам.
1790. Доказать, что любое гомоморфное отображение поля Р
в кольцо R является или изоморфным отображением на некоторое
поле, входящее в R как подкольцо (так называемое вложение Р в /?'),
или отображением всех элементов из Я в нуль из R.
1791. Пусть Z — кольцо целых чисел и R — любое кольцо с еди-
ницей е. Доказать, что отображение ц>, для которого <р(п) = пе, есть
гомоморфное отображение Z в R. Найди образ <p(Z) кольца Z при
этом гомоморфизме.
1792. Пусть А — кольцо целых гауссовых чисел, / — множества
всех чисел а-\-Ы с четными а и Ь. а) Показать, что / — идеал в А;
б) найти смежные классы А по /; в) в фактор-кольце А\1 найти
делители нуля и показать этим, что А\1 не является полем.
1793. Доказать, что фактор-кольцо А\1 кольца целых гауссовых
чисел по главному идеалу / = C) есть поле из девяти элементов.
1794. Доказать, что фактор-кольцо А\1 кольца целых гауссовых чи-
сел по главному идеалу / = (и) тогда и только тогда будет полем, ког-
да п—простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел.
1795. Пусть Р [х, у] — кольцо многочленов от двух неизвестных х,
у над полем Р, I — множество всех многочленов этого кольца без
свободного члена. Доказать, что:
а) / является идеалом, но не является главным идеалом;
б) фактор-кольцо Р [х, у]// изоморфно полю Р.
1796. Пусть / = (*, 2) — идеал, порожденный множеством из двух
элементов х и 2, в кольце целочисленных многочленов Z[x]. Дока-
зать, что:
а) идеал / состоит из всех многочленов с четными свободными
членами;
б) идеал / не является главным;
в) фактор-кольцо Z\x\\l изоморфно полю вычетов по модулю 2.
1797—1799J § 22. модули 235
1797. Пусть (и)—идеал, порожденный целым числом га>1
в кольце целочисленных многочленов Z[x]. Доказать, что фактор-
кольцо Z [x]fcri) изоморфно кольцу Zn [х] многочленов над кольцом
вычетов по модулю п.
1798. Пусть R — кольцо всех действительных функций f(x),
определенных на всей числовой прямой при обычных операциях сло-
жения и умножения и с — действительное число. Доказать, что:
а) отображение <р [/ (х)] = / (с) есть гомоморфное отображение
кольца R на поле D действительных чисел;
б) ядро гомоморфизма ф, т. е. множество / всех элементов
кольца R, отображающихся в число 0, есть идеал в /?;
в) фактор-кольцо /?// изоморфно полю действительных чисел D.
1799. Пусть Zp — поле вычетов по простому модулю р, f(x) —
многочлен степени п из кольца Zp[x], неприводимый над полем Zp
{из теории полей известно, что такой многочлен существует для
любого простого р и любого натурального и), / — главный идеал,
порожденный многочленом f(x) в кольце Zp[x]. Доказать, что фак-
тор-кольцо Zp[x]fl есть конечное поле, и найти число его элементов.
§ 22. Модули
Левым модулем над кольцом R называется абелева группа М (обычно
с аддитивной записью операции), для элементов которой определено умноже-
ние на элементы нз R так, что \а?М для любых %?R, а?М, причем
выполнены следующие условия, аналогичные свойствам умножения вектора
на число для линейного пространства:
1. К(а + Ь) = Ха + М, 2. (X + \i) а = %а + ра, 3. X(\ш) = (fyi)a,
где К, ц?/?, а, Ь^М.
Если, кроме того, кольцо R обладает единицей е и
4. га = а, а?М,
то М называется унитарным левым модулем над R.
Подмодулем левого модуля М над кольцом R называется подгруппа А
группы М, для которой %а?А для любых X?R, a?A.
Отображение ф левого модуля М на левый модуль М' над одним и
тем же кольцом R называется гомоморфным, если qi (a -\- b) = q>a + (jpft,
<р(Ял) = fapa для любых a, b?M, %?R.
Взаимно однозначное н гомоморфное отображение модуля М на мо-
дуль М' (над тем же кольцом) называется изоморфным (или изоморфиз-
мом), а модули М и М' называются изоморфными.
Фактор-модулем М/А левого модуля М над кольцом R по подмо-
дулю А называется фактор-группа М/А с естественным умножением на
элементы кольца R: Я (х + А) = %х + А.
Порядком О (а) (или аннулятором Ann (а)) элемента а левого мо<-
дуля М над кольцом R называется множество всех элементов K?R, для
которых Ха = 0. Если порядок элемента а содержит только нуль кольца /?,
236 дополнение [1800—180Т
то а называется свободным элементом (или элементом порядка нуль).
В противном случае а называется периодическим элементом (или элемен-
том ненулевого порядка).
Аналогично определяются правые модули М над кольцом R с умноже-
нием а\?М, а?М, h?R, и связанные с ними понятия.
Если в следующих задачах говорится просто о модуле М над кольцом R*
то М рассматривается для определенности как левый модуль над R, хотя
соответствующие свойства верны также и для правого модуля над R.
Для упрощения некоторые задачи формулированы для случая коммута-
тивного кольца, хотя они могут быть обобщены на модули над некоммута-
тивными кольцами.
1800. Привести примеры модуля М над кольцом R, где суще-
ствуют %ФО из R и а Ф 0 из М, причем А,а —0.
1801. Проверить, что любая абелева группа G (с аддитивной
записью операции) является модулем над кольцом Z целых чисел.
1802. Левый модуль М над кольцом R называется тривиальным,
если %а = 0 для любых % ? R, а?М. Доказать, что левый модуль М
над кольцом R с единицей е разлагается в прямую сумму подмоду-
лей: М=^М1-\-М2, где Мх унитарен, а М2 тривиален, причем М1
содержит все элементы а ? М, для которых га = а, и М2 — все-
элементы а ? М, для которых га = 0.
1803. Проверить, что:
а) если коммутативное кольцо R рассматривать как левый модуль
над самим собой, то подмодули этого модуля совпадают с идеалами
кольца R;
б) если некоммутативное кольцо R рассматривать как левый
(правый) модуль над самим собой, то подмодули этого модуля совпа-
дают с левыми (правыми) идеалами кольца R.
1804*. Показать, что примерную по простому числу р абелеву
группу G (задача 1695) можно рассматривать как унитарный модуль
над кольцом R рациональных чисел, знаменатели которых не
делятся на р.
1805. Циклическим подмодулем,- порожденным элементом а
левого модуля М над кольцом R, называется минимальный под-
модуль {а}, содержащий а. Доказать, что для любого а?М цикли-
ческий подмодуль [а] существует и состоит из всех элементов
модуля М, имеющих вид:
а) %а, где %?R, если М — унитарный модуль;
б) %а-{~па, где %?R и п — целое число, если Ж —любой модуль.
1806. Доказать, что и-мерное линейное пространство над полем Р
является (при тех же операциях) унитарным модулем над Р, причем
этот модуль разлагается в прямую сумму п циклических подмодулей.
1807. Пусть М — унитарный модуль над коммутативным кольцом R
с единицей е, {а} и {Ь}—циклические модули, О (а) и О{р) — по-
рядки соответственно, а и Ь.
а) Доказать, что если {а} = {?}, то О {а) = О (Ь);
1808—18131 § 22. модули 237
б) показать на примере, что условия О(а) = О (Ь) недостаточно
для равенства {а} = {?>};
в) доказать, что для равенства {а} = [Ь\ необходимо и достаточно,
чтобы было b — аа. а — $Ь, где a, в — некоторые элементы из R;
г) доказать, что для равенства [а] = {Ь} необходимо и достаточно
выполнения условий: b = аа, где а ? R и обратим по модулю О (а),
т. е. смежный класс а-\-О(а) есть обратимый элемент фактор»
кольца RjO (a).
1808*. Доказать, что всякий подмодуль А циклического модуля
М—{а\ над кольцом главных идеалов R сам будет циклическим.
1809. Пусть R — множество всех бесконечных последовательностей
целых чисел a — fat, а2, ...) со сложением и умножением по компо-
нентам. Проверить, что R — коммутативное кольцо с единицей, т. е.
циклический модуль над самим собой. Найти в этом модуле подмо-
дуль, не имеющий конечной системы образующих. Это показывает,
что подмодуль циклического модуля может не быть циклическим,
а подмодуль конечнопорожденного модуля может не быть конечно-
порожденным.
1810. Пусть М — модуль над коммутативным кольцом R.
а) Доказать, что если R не имеет делителей нуля, то множество
АаМ всех периодических элементов является подмодулем модуля М;
б) показать на примерах, что для кольца R с делителями нуля
предыдущее утверждение может быть неверно.
1811*. Пусть М — модуль над кольцом главных идеалов R, а и
Ь — периодические элементы М порядков О (а) = (а), О (р) — О),
б — наибольший общий делитель аир. Доказать, что элемент
а-\-Ь — также периодический порядка О (а-|~Ь) — (у), причем:
аВ „ аВ
а) у делит —?-; б) у кратно -ф-.
1812*. Модуль М называется периодическим, если все его эле-
менты являются периодическими. Модуль М над кольцом главных
идеалов R называется примарным, если порядки всех элементов
из М как идеалы в R порождаются степенями одного и того же
простого элемента р из R. Модуль М называется прямой суммой
системы (необязательно конечной) своих подмодулей Mt, если каждый
ненулевой элемент из М однозначно представляется в виде суммы
конечного числа ненулевых элементов, взятых по одному из неко-
торых Mt. Доказать, что любой периодический модуль М над коль-
цом главных идеалов R разлагается в прямую сумму примарных
подмодулей.
1813*. Пусть М — модуль над кольцом R. Доказать теорему:
для того чтобы в М любой подмодуль имел конечное число обра-
зующих, необходимо и достаточно, чтобы в М удовлетворялось усло-
вие максимальности для подмодулей: любая возрастающая последова-
тельность подмодулей (необязательно различных) Mt С Ж2 с: ...
238 дополнение 11814—1822
стабилизируется на конечном шаге. В частности, это верно для идеалов
кольца R, если его рассматривать как модуль над самим собой.
1814. Доказать, что если {а} и {Ь} — унитарные циклические
модули над одним и тем же кольцом R, причем порядки а и b свя-
заны включением О (а) с О (р), то существует гомоморфное отобра-
жение {а} на {Ь}.
1815. Пусть Л4={а}—унитарный циклический модуль над ком-
мутативным кольцом R с единицей е. Доказать, что:
а) порядок О (а) элемента а есть идеал в R;
б) фактор-кольцо R/O (а), рассматриваемое как модуль над R
с естественным умножением, определенным умножением в R, изо-
морфно модулю М.
1816. Пусть М = А-\-В — разложение модуля М над кольцом R
в прямую сумму подмодулей Л и В. Доказать, что фактор-модуль М/А
изоморфен как модуль над R модулю В.
1817. Модуль М называется расширением модуля А при по-
мощи модуля В, если А — подмодуль М и фактор-модуль Ж/Л изо-
морфен В (М, А, В — модули над одним и тем же кольцом R).
Доказать, что расширение конечнопорожденного модуля при помощи
конечнопорожденного есть конечнопорожденный модуль.
1818. Доказать, что если в модуле М выполнено условие макси-
мальности для подмодулей (см. задачу 1813), то это условие выпол-
нено в фактор-модуле ЩА модуля М по любому подмодулю А.
1819*. Пусть А, В — подмодули модуля М над кольцом R.
Доказать следующую теорему об изоморфизме:
1820*. Пусть М — унитарный модуль с конечным числом обра-
зующих xv х2, ¦¦•, хп над коммутативным кольцом R с единицей.
Доказать, что если условие максимальности выполнено для идеалов
в кольце R, то оно выполнено и для подмодулей в модуле М (эту
теорему можно обобщить на некоммутативные кольца с условием
максимальности для левых или правых идеалов).
§ 23. Линейные пространства и линейные преобразования
(добавления к параграфам 10, 16—19)
1821. Доказать, что для выполнения равенства ах -\~ ру = $х -f- ау
где а, р — числа и х, у — векторы, необходимо и достаточно, чтобы
было или a —(J, или х = у.
1822*. а) Не пользуясь коммутативностью сложения векторов,
доказать, что правые противоположный и нулевой элементы будут
и левыми;
б) пользуясь пунктом а), доказать, что коммутативность сложения
векторов вытекает из остальных аксиом линейного пространства.
1823—1831J § 23. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБР. 23Э
1823. Пусть D — поле действительных чисел и V — множество
всех функций, заданных и принимающих положительные значения на
сегменте [а, Ь\. Определим сложение двух функций и умножение
функции на число равенствами:
/®g = /g. «©
а) Проверить, что при указанных операциях V является линей-
ным пространством над полем D;
б) доказать, что пространство V изоморфно пространству V всех
действительных функций, заданных на сегменте [а, Ь], при обычных
операциях сложения функций и умножения функции на действитель-
ное число;
в) найти размерность пространства V.
1824. Доказать линейную независимость системы функций
е*1*, ..., еК"х, где A,j "кп — попарно различные действительные
числа.
1825*. Доказать линейную независимость системы функций
ха', .... *""• где аг а„ — попарно различные действительные
числа.
1826*. Доказать линейную независимость систем функций:
а) sin jr, cos л:;
б) 1, sin*, cos*;
в) sin л:, sin 2* sin ил:;
г) 1, cos х, cos 2*. .... cos nx;
д) 1, cos*, sin л:, cos 2*, sin 2л: cos их, sin и*.
1827*. Доказать линейную независимость систем функций:
а) 1, sin*, sin2jr, .... sin"*;
б) 1, cos x, cos2 x cos" x.
1828. Доказать линейную зависимость систем функций:
а) 1, sin*, cos*, sin2*, cos2*, .... sin"*, cos"* при и^-2;
б) sin*, cos*, sin2*, cos2*, .... sin"*, cos"* при и}>4.
1829*. Проверить, что все однородные многочлены степени k
от га неизвестных jclf *2 хп с действительными коэффициентами
(или с коэффициентами из любого поля) вместе с нулем при обыч-
ных операциях образуют линейное пространство, и найти его раз-
мерность.
1830*. Проверить, что все многочлены степени ^А от и неиз-
вестных *j, *2, ...,*„ с действительными, коэффициентами (или
с коэффициентами из любого поля) вместе с нулем при обычных
операциях образуют линейное пространство, и найти его размерность.
1831. Пусть V — линейное пространство всех многочленов от х
степени ^и, и> 1, с действительными коэффициентами.
а) Доказать, что множество L всех многочленов из V, имеющих
данный действительный корень с, является подпространством V,
б) найти размерность L;
240 дополнение [1832—1836
в) то же для множества Lk, \ -^ k <; и, всех многочленов из V.
имеющих k различных действительных корней ct ck (без учета
их кратности);
г) является ли подпространством множество V всех многочленов
из V, имеющих простой действительный корень с?
1832*. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независи-
мые системы с одинаковым числом векторов
*i xk; A)
3>i У» B)
и-мерного пространства Vn были эквивалентны (или порождали одно
и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом
базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из коор-
динатных строк векторов этих систем были пропорциональны.
1833. Доказать, что любое подпространство L и-мерного линей-
ного пространства Vn является областью значений некоторого линей-
ного преобразования <р.
1834. Доказать, что любое подпространство L и-мерного линей-
ного пространства V'„ является ядром некоторого линейного преобра-
зования ф.
1835. Доказать, что если для каждого из попарно различных
собственных значений Kv %2, .... %k линейного преобразования ф
взять линейно независимую систему собственных векторов, то си-
стема, содержащая все взятые векторы, линейно независима.
1836*. Пусть V — действительное линейное пространство (или
линейное пространство над полем Р, характеристика которого отлична
от двух) и V = L -\- М — разложение пространства V в прямую сумму
подпространств L и М. Тогда любой вектор х однозначно предста-
вляется в виде
Линейное преобразование ф, определенное условием ц>х=у, назы-
вается проектированием пространства V на L параллельно М.
По задаче 1538 проектирования совпадают с идемпотентными преобра-
зованиями, т. е. с линейными преобразованиями, обладающими свой-
ством ф2 = ф. Пользуясь этим, доказать утверждения:
а) если ф — проектирование на L параллельно М и е — тожде-
ственное преобразование, то е — ф — проектирование на М парал-
лельно L;
б) для того чтобы сумма ф —ф! + Ф2 Двух проектирований фх
и ф2 была проектированием, необходимо и достаточно условие:
«' С1)
где (о—нулевое преобразование; если % и ф2—соответственно
проектирования на LY параллельно М, и на L2 параллельно М2, при-
1837—1839] § 23. линейные пространства и линейные преобр. 241
чем выполнено условие A), то Ф = ф1+Ф2— проектирование на
L — L1-\-L2 параллельно М = Мг П М2;
в) для того чтобы разность ф = ф] — ф2 ДВУХ проектирований ц>^
и ф2 была проектированием, необходимо и достаточно выполнение
условия
Ф2: B)
если ф! и ф2 — проектирования, определенные в пункте б), причем
выполнено условие B), то ф = ф!—ф2—проектирование на L = Lx П М2
параллельно М = М1 -j- L2;
г) для того чтобы произведение ф = ф1ф2 двух проектирований щ
и ф2 было проектированием, достаточно выполнение условия
Ф1Ф2 = ФгФи C)
если ф, и ф2—проектирования, определенные в пункте б), причем
выполнено условие C), то ф = ф^ — проектирование на L = Lx П L2
параллельно М = М1 -\- М2 (здесь сумма необязательно прямая).
Показать на примере, что условие C) не является необходимым для
того, чтобы произведение проектирований ф, и ф2 было проекти-
рованием.
1837*. Доказать, что если для преобразования ф евклидова про-
странства V в себя существует сопряженное преобразование ф*,
т. е. преобразование, обладающее свойством (флс, у) = (х, цу) для
любых векторов х, j из V, то <р и ф* линейны. В частности, сим-
метрическое и кососимметрическое преобразования можно определить,
соответственно, равенствами (ц>х, у) = (х, фу) и (фдс, у) = — (х, фу)
без требования линейности.
1838. Найти расстояние между двумя плоскостями Рх: х = ао-\-
+ *1а1 + *а«*2 и Р2. х = 60Ч-'А + '2бй. r^e ао = B- Ь 0. 1),
а,=A. 1, 1, 1), с2 = A, 0, 0, 1), 60 = A. —1, —1. 0), Ьг =
= A, 1, 0, —1), &2 = A, 1, 2, 3) и координаты векторов даны в орто-
нормированном базисе.
1839. Гильбертовым пространством называется множество V всех
бесконечных последовательностей действительных чисел x=(av a2, ...),
оо
для которых сходится ряд из квадратов 2 а2- Такие последователь-
ности называются векторами (или точками) пространства V. Сло-
жение векторов, умножение вектора на число и скалярное умножение
векторов определяются обычным образом. Именно, если х = (в1, о2, ...)
и у — (bv b2, . ..) — векторы и с — число, то
...), cx = (calt ca2, ...), (*, y)==S
Доказать, что:
а) V является бесконечномерным евклидовым пространством;
242 дополнение [1840—1845
б) если L* — ортогональное дополнение к подпространству L из V
(задача 1364), то равенство V = L-\-L* верно для конечномерного L;
в) показать на примерах, что равенства V — L-\-L* и (?*)* = ?.
(см. задачи 1364, 1365) могут быть неверны для бесконечномерных
подпространств из V.
1840. Пусть Vn = L1-\- L2 — разложение и-мерного евклидова
пространства в прямую сумму двух подпространств, L\ и bl — орто-
гональные дополнения, соответственно Lx и jL2, ф — отражение V'„ в Lx
параллельно L2. Доказать, что преобразование ф*. сопряженное ф,
является отражением Vn в L-2 параллельно L\.
1841. Найти все изометрические (или ортогональные) преобразо-
вания, сохраняющие на месте нулевой вектор: а) на плоскостиг
б) в трехмерном пространстве.
1842*. Найти геометрический смысл линейного преобразования ф
трехмерного евклидова пространства, заданного в ортонормированном
базисе ех, е2, е3 матрицей
3
4
1
4
Кб
4
1
4
3
4
Vg '
4
F6
4
V6
4
1
2
1843*. Выяснить геометрический смысл кососимметрического пре-
образования ф евклидова пространства для случаев: а) прямой; б) пло-
скости; в) трехмерного пространства. Показать, что в трехмерном
пространстве ф сводится к векторному умножению всех векторов
слева на один и тот же вектор а, т. е. флс = а X *¦
1844*. Доказать утверждение: для того чтобы линейное преобра-
зование ф евклидова пространства (необязательно конечномерного)
было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы оно
переводило каждый вектор в вектор, ортогональный с ним.
§ 24. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы
(добавление к параграфу 15)
1845*. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции /(jc),
заданной в п- мерном линейном пространстве Vn, существует канониче-
ский базис, в котором эта функция записывается в каноническом виде
l{ = xv где хх — первая координата вектора х в этом базисе.
1846—1853] § 24. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ФОРМЫ 243
1846. Доказать, что ненулевая билинейная форма Ь(х. у) =
л
— 2 аах1У>1 тогда и только тогда распадается в произведение двух
I, 7 = 1
л
линейных форм b (х, у) = 1г (jc) 12 (у), где 1г (х) = 2 btxt, 12 (у) =
и
— 2 с/У/« когда ее ранг равен единице.
у = 1
1847. Доказать, что билинейная функция Ь{х, у), данная в дей-
ствительном и-мерном пространстве (или в и-мерном пространстве
иад полем характеристики, не равной двум), тогда и только тогда
является симметрической, когда она имеет канонический базис, в кото-
ром она записывается билинейной формой канонического вида:
b{x, y) = hlx1yl-\rk2x2y2-+- ... -\-lnxnyn.
1848*. Доказать, что если произведение двух линейных функций,
заданных на линейном пространстве V (необязательно конечномерном),
тождественно равно нулю, т. е. 1г (jc) l2 (х) = 0 для любого x?V,
то хотя бы одна из этих функций тождественно равна нулю.
1849*. Доказать, что если симметрическая билинейная функ-
ция Ь(х, у), заданная в линейном пространстве V (необязательно
конечномерном), распадается на две билинейные функции: Ь(х, у) =
— h i.x) h (У)* т0 она представляется в виде Ь(х. у) = %l \x) l (у),
где К—число, отличное от нуля, и 1(х) — линейная функция.
1850*. Доказать, что билинейная функция в и-мерном действи-
тельном пространстве тогда и только тогда имеет ранг 1, когда
в некотором базисе она записывается формой вида:
а) ± x^v если функция симметрическая;
б) хгу2, если функция несимметрическая.
1851*. Доказать, что ненулевая кососимметрическая функция на
линейном пространстве V (необязательно конечномерном) не может
распадаться в произведение двух линейных функций.
1852*. Пусть / (jc) — ненулевая линейная функция на линейном
пространстве V (необязательно конечномерном). Доказать, что:
а) ядро S функции 1(х), т. е. множество всех векторов х? V,
для которых /(jc) = O, есть максимальное линейное подпространство,
т. е. S не содержится в подпространстве Т, отличном от S и V;
б) для любого вектора с, не лежащего в 5, любой вектор jc
однозначно представляется в виде jc=j>-|-aa, где y?S.
1853*. Доказать, что если две линейные функции ^(х) и 12(х)
на линейном пространстве V (необязательно конечномерном) имеют
одно и то же ядро S, то ll(x) = %l2(x), где К — число, отличное от
нуля.
244 дополнение 11854—1860
1854*. Применяя метод Якоби вычисления угловых миноров, опре-
делить аффинный класс поверхностей в трехмерном пространстве:
а) х\-{-2х\ — x\ + 2x1x2-\-2xl-\-2x2 = Q;
б) x\-\-x\-{-2x1x2-{-2xlx3-{-2xl-{-\=Q.
1855. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А по-
ложительно определенна, то и квадратичная форма
а) с обратной матрицей Л;
б) со взаимной матрицей А
положительно определенна.
1856*. Пусть f(x)—квадратичная функция на и-мерном действи-
тельном линейном пространстве Vn. Вектор х0 называется изотроп-
ным, если f(xo) = O. Доказать, что если функция f(x) — знакопе-
ременная, т. е. существуют векторы xv jc2 такие, что /(.*,)> О,
/ (х2) < 0, то существует базис, состоящий из изотропных векторов.
Указать метод построения такого базиса.
1857*. Изотропным (или нулевым) конусом квадратичной
функции f(x) называется множество К всех изотропных векторов
(задача 1856). Доказать, что изотропный конус квадратичной функ-
ции / (х) на n-мерном действительном пространстве Vn тогда и только-
тогда будет подпространством, когда f(x) знакопостоянна, т. е. или
f(x)^-0 для всех х, или /(лс)-^0 для всех х.
1858*. Пусть f(x)—квадратичная функция на и-мерном действи-
тельном линейном пространстве Vn, г—ранг, рчд— положительный
и отрицательный индексы инерции этой функции. Доказать, что мак-
симальная размерность линейных подпространств, входящих в изо-
тропный конус К (задача 1857), равна:
а) min (р, д), если / (х) невырождена (т. е. г = и);
б) п — тах(р, д) = тт(р, д)-\-п—г, если f(x) — любая (вы-
рожденная или невырожденная).
1859*. Пусть f(x)—квадратичная функция с теми же свойствами,
как и в предыдущей задаче. Доказать, что максимальная размерность
линейного многообразия Р, входящего в поверхность второго по-
рядка 5, заданную уравнением f(x)—l, равна:
а) min(p—1, д), если f(x) невырождена;
б) т\п(р—1, д)-\-п — r = n — max(p, <7-f-l) в общем случае.
1860. Пользуясь задачами 1858 и 1859, найти максимальную раз-
мерность линейных многообразий, содержащихся в следующих поверх-
ностях второго порядка (если размерность пространства не указана,
она считается равной наибольшему номеру координат; размерность
пустого многообразия считается равной — 1):
а) х\~\~х\—Х1'~ 1 (однополостный гиперболоид); б) х'\ — х\ —
•—*з— 1 (двуполссгный гиперболоид); в) х\—х\—*|=0; г) ^^2=1;
1861 —1866] § 24. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ФОРМЫ 245
д) ххх2=1 (в трехмерном пространстве); е) ххх2 = 0; ж) ХуХ2 — Ъ
(в п-мерном пространстве); з) х\—х2п— 1; и) х\ — х\— ... —х2п—1;
К) Х\+... +*2_1_Л8== ,; л) Х2 + Х2_Х2_Х2= J.
1861*. Левым ядром (или левым нулевым пространством)
билинейной функции Ь {х, у), заданной на линейном пространстве V,
называется множество L'o всех векторов х ? V, для которых b (х, у) = О
для всех у ? V. Аналогично определяется правое ядро Lq-
Доказать, что а) левое и правое ядра — подпространства;
б) в п-мерном пространстве левое и правое ядра имеют одинаковую
размерность п — г, где г — ранг Ь (х, у), т. е. ранг ее матрицы
в каком-нибудь базисе.
1882. Найти базис левого и правого ядра (нулевого простран-
ства) L'o и Lq (задача 1861) для билинейной формы Ь(х, у) = х^^
-\- 2лг1у2 + 3x2yj -4- 6x2y2 и показать, что L'o Ф Lq.
1863*. а) Доказать, что для симметрической и кососимметриче-
ской билинейных функций левое ядро совпадает с правым;
б) привести пример билинейной функции в п-мерном пространстве,
которая не является ни симметрической, ни кососимметрической, но
для которой левое ядро совпадает с правым.
1864*. Доказать, что ненулевая кососимметрическая билинейная
функция в трехмерном пространстве представляется в виде Ъ (х, у) =
= а(х)Ь(у) — а(у)Ь(х), где а(х) и Ь(х) — линейные функции.
1865*. Пусть Ь(х, у) — билинейная функция и L — ^-мерное
подпространство в п-мерном пространстве Vn. Обозначим через L*
множество всех векторов у ? Vn таких, что b (х, у) — 0 для всех
x?L. Доказать, что:
а) L* — подпространство;
б) если Ь{х, у) невырождена (т. е. ранг равен п), то размер-
ность L* равна n—k;
в) если Ь (х, у) имеет ранг г < п, то размерность L* больше или
равна max(n—k, n—г).
1866*. Пусть Ь(х, у)—ненулевая кососимметрическая билинейная
функция в п-мерном линейном пространстве Vn. Доказать, что суще-
ствует базис, в котором Ь(х, у) запишется билинейной формой сле-
дующего канонического вида:
Ь(х, У) =
Найти канонический вид кососимметрической билинейной формы
(задача 1866) и невырожденное преобразование неизвестных, к нему
приводящее, для следующих форм:
246 дополнение [1867—1869
1867. Ь(х. у}==х1у2 — х2у1-\-2(х1у3 — х3у1) — х1у4-\-хлу1 —
— 3(лг2у4 — х4у2).
1868. Ь (X, у) = хгу2 — х2у, -+- 2 (х^3 — х3у,) + 4 (х2у4 — х4у2).
1889*. Пусть f(x) — квадратичная функция в n-мерном евклидовом
пространстве Vn. Доказать утверждение: для того чтобы конус К
с уравнением / (дс) = 0 (задача 1857) содержал ортонормированный
•базис пространства Vn, необходимо и достаточно, чтобы след ма-
трицы А функции f(x) в одном (а, значит, и в любом) ортонорми-
рованием базисе был равен нулю. Сформулировать соответствующее
утверждение на матричном языке.
§ 25. Аффинные (точечно-векторные) пространства
Определение1). Пусть дано множество Ж элементов А, В, С ....
называемых точками, и линейное пространство V (над полем действительных
чисел или над любым полем Р) с элементами jc, у, г, ..., называемыми
¦векторами. Пусть, далее, каждой упорядоченной паре точек А, В (различ-
ных или совпадающих) поставлен в соответствие единственный вектор
.дс = АВ, причем для этого соответствия выполняются следующие две аксиомы:
I) для любой точки А и любого вектора х существует единственная
точка В такая, что АВ — х;
II) для любых (необязательно различных) трех точек А, В, С имеет
место равенство АВ -\- ВС = АС.
Множество SI вместе с таким соответствием называется аффинным
пространством.
Если V = Vn есть и-мерное линейное пространство, то и 81 называется
.«-мерным аффинным пространством и обозначается через 81„. Если V бес-
конечномерно, то и Ж называется бесконечномерным. Если линейное прост-
ранство V является евклидовым, то и точечно-векторное пространство Ж на-
зывается евклидовым. В этом случае расстояние между точками Art В равно
длине вектора АВ и угол ABC равен углу между векторами В А и ВС.
Замечание. Любое линейное пространство V можно рассматривать
как аффинное. При этом множество 81 совпадает с V, так что векторы рас-
сматриваются также как точки. Говорят также, что вектор х задает неко-
торую точку аффинного пространства. Сопоставление упорядоченной паре
точек вектора, указанное в определении, в данном случае состоит в том,
что упорядоченной паре точек jc, j; из V соответствует вектор z = y — х.
Отсюда по ж и г однозначно определяется у, что доказывает аксиому I.
Аксиома II сводится к очевидному равенству (у — x)-\-(z—y) = z—jc.
Такое отождествление точек и векторов принято в §§ 16—19 этой книги.
Плоскостью аффинного пространства 81, проходящей через точку А
и имеющей направляющим подпространством L, называется множество я
всех точек М из Ж, для которых вектор AM принадлежит L. Размерностью
плоскости я называется размерность ее направляющего подпространства L.
') Приведенное здесь определение аффинного пространства взято (с не-
• большими изменениями) из книги Н.. В. Ефимова, Высшая геометрия,
лзд. 4, Физматгиз, 1961, § 179.
§ 25. АФФИННЫЕ (ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА 247"
Одномерные плоскости называются прямыми, а (я — 1)-мерные плоскости
n-мерного пространства — гиперплоскостями.
Две плоскости я, и эт2 называются параллельными, в символах я, ||я2,
если они не пересекаются (т. е. не имеют общих точек) и направляющее
подпространство одной из них содержится в направляющем подпространстве-
другой (или совпадают с ним).
Если выбрать некоторую начальную точку О?Ж, то любая точка М
однозначно определяется вектором ОМ и обратно. Вектор ОМ называется.
радиусом-вектором точки М. Плоскость я, проходящая через точку А и
имеющая направляющее подпространство L, состоит из всех точек М, ра-
диусы-векторы которых определяются из равенства ОМ = О А -\- х, где
x?L. Если считать точками векторы из V, то плоскость определяется из
равенства n = xo-\-L, где хв=ОА. Таким образом, в этом случае понятие
плоскости совпадает с понятием линейного многообразия из § 16. Плоскости,
проходящие через точку О, будут совпадать с подпространствами.
Аффинная система координат «-мерного аффинного пространства 81„
состоит из точки О?81№ называемой началом координат, и базиса»
еие2, .... еп соответствующего линейного пространства Vn. Координатами
точки М?Жп называются координаты ее радиуса-вектора ОМ в данном
базисе, т. е. числа хи х2, ..., хп, удовлетворяющие равенству
... +х„еп.
Пусть ^-мерная плоскость я действительного n-мерного аффинного про-
странства проходит через точку А с координатами х\, х% .... х°п и имеег
определяющее подпространство L с базисом из векторов, заданных их ко-
ординатами
*/ = («'. 4—. с'п) (' = 1.2, .... k).
Тогда координаты любой точки М?я определяются равенствами:
°} .. +f»ej<i=l, 2, .... «).
Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоско-
сти п. Параметры tu t2, ..., tf, принимают любые действительные значения.
Ту же плоскость я можно задать п — k линейно независимыми уравне-
ниями вида
п
2 а1]Х} = Ь (« = 1, 2, ..., п - k). B).
в п
Здесь *j= 2 йг./**/¦ и однородные уравнения ^jaijXj = O A=1, 2, ...
ji i
...,/»— k) задают подпространствоL.Уравнения B) будем называть общими
уравнениями плоскости п.
Уравнения прямой, проходящей через две точки А(х\, х% ..., xty и.
В (У?, у\ j?), имеют вид:
y°i-x^ (i = 1, 2 и). C>
Здесь t пробегает все действительные числа.
248 дополнение [1870—1878
Отрезком АВ называется множество точек М, координаты которых
получаются из равенств C) при условии 0-<*^1. Точка М, делящая
отрезок АВ в отношении К ф — 1. определяется в векторной форме усло-
вием AM = КМВ или в координатах
¦*< = —\л_х—' • г' •••• Пш
1870*. В аффинном пространстве даны четыре различных точки
А, В, С, D. Точки К, L, М, N делят отрезки АВ, ВС, CD, DA
в одинаковом отношении—=? — 1. Доказать, что:
п
а) если ABCD — параллелограмм, то KLMN — параллелограмм;
б) если KLMN — параллелограмм и т ф п. то и ABCL — па-
раллелограмм.
1871. Доказать, что паре совпавших точек соответствует нулевой
вектор, т. е. АА = О.
1872. Доказать, что АВ — — В А.
1873. Доказать, что любая плоскость я аффинного пространства
сама является аффинным пространством, размерность которого равна
размерности я.
1874. Доказать, что плоскость я, проходящая через точку А
с направляющим подпространством L, не зависит от выбора на ней
точки А, т. е. совпадает с плоскостью и'; проходящей через точку А'
из тс, с тем же направляющим подпространством L.
Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими
уравнениями:
1875. xl-\-x2 — 2хз+3х4=1.
хх — х2 — 4х3 + 5х4 = — 3.
1876. 2х, —
6х, — дх2 -+- 4х3 + 8х4 + 13xs = 9.
4x, — 2х2+ х3~\-х4-\- 2х5 = 1.
Найти общие уравнения плоскости, заданной параметрическими
уравнениями:
1877. хх = 2 + tx -Н2, 1878. хх =
1879—1887] § 25. АФФИННЫЕ (ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА 249
1879. Доказать, что через любые две различные точки А, В аф-
финного пространства проходит единственная прямая.
1880. Доказать, что через любые три точки А, В, С аффинного
пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная
двумерная плоскость.
1881. Доказать, что через любые k-\- 1 точек Ао, Av А2 Ак
аффинного пространства, не лежащие в (k—1)-мерной плоскости,
проходит единственная А-мерная плоскость.
1882. Указать все случаи взаимного расположения трех различ-
ных плоскостей трехмерного пространства, заданных общими урав-
нениями:
а2х -\- Ь2у+с2г — d2.
и для каждого случая дать необходимое и достаточное условие с по-
мощью понятия ранга матрицы.
1883. С помощью понятия ранга матрицы охарактеризовать все
случаи взаимного расположения двух прямых трехмерного простран-
ства, заданных общими уравнениями:
ахх -J- Ьгу -f- cxz = dv а2х + b2y -f- c2z = d2,
и
а3х-\-b3y + c3z = d3,
1884. С помощью понятия ранга матрицы описать все случаи
взаимного расположения двух двумерных плоскостей четырехмерного
пространства, заданных общими уравнениями:
4
%atjxj = bt (/ = 3. 4). B)
1885. Описать все случаи взаимного расположения двух гипер-
плоскостей n-мерного аффинного пространства, заданных общими
уравнениями:
. ал + а2х2+...+ал = с и Ьгхг + Ь2х2 -f ... + Ьпхп = d.
1886*. Доказать, что если пересечение я множества (конечного
или бесконечного) плоскостей яа аффинного пространства непусто,
то я является плоскостью.
1887. Доказать, что две плоскости я1 = а1 + ?, и эт2 = а2Ч-^2
тогда и только тогда пересекаются, когда вектор с, — с2 принадле-
жит подпространству Lx -f- L2-
250 дополнение [1888—1896
1888*. Доказать, что плоскость тс, [и-мерного аффинного простран-
ства, отличная от точки, тогда и только тогда параллельна любой
•не пересекающей ее плоскости я2, когда я, является гиперплоско-
стью (т. е. имеет размерность п—1).
1889*. Доказать, что две непересекающиеся гиперплоскости я, и
-Щ n-мерного аффинного пространства тогда и только тогда парал-
лельны, когда они лежат в плоскости я3, имеющей размерность
на единицу большую, чем большая из размерностей я, и я2.
1890*. Доказать, что через любые непересекающиеся плоскости я,
и Яг и-мерного аффинного пространства можно провести параллель-
ные гиперплоскости я[ и я?.
1891. Пусть я1 = а1-|-1,, и я2 = а2~[-?.2— непересекающиеся
плоскости конечномерного аффинного пространства. Найти плоскость
л3 наименьшей размерности, содержащую я, и параллельную я2.
1892. Доказать, что если плоскость Яо аффинного пространства
шараллельна каждой из плоскостей яа и пересечение я плоскостей яо
непусто, то я есть плоскость, параллельная я0.
1893. Выразить условие параллельности двух плоскостей п-мерного
аффинного пространства, заданных общими уравнениями, с помощью
.понятия ранга матрицы.
п
1894. Гикерплоскость, заданная общим уравнением ^
«
разбивает n-мерное аффинное пространство на два полупространства,
состоящие из точек, координаты которых удовлетворяют одному из
л в
неравенств 2 aixi «> Ъ или 2 aixi ^ Ъ. Доказать, что каждое из этих
полупространств является выпуклым множеством.
1895*г). Многогранник Р задан как выпуклое замыкание системы
точек четырехмерного аффинного пространства, заданных коорди-
натами:
О@, 0, 0. 0), ЛA, 0, 0, 0), В@. 1, 0, 0), СA 1, 0, 0),
D@, 0, 1, 0), Е@, 0, 0, 1), F@, 0, 1. 1).
а) Написать систему линейных неравенств, задающих многогран-
ник Р;
б) найти все трехмерные грани этого многогранника.
1896. Решить задачу, аналогичную предыдущей задаче, для точек:
О@, 0, 0, 0), ЛA, 0, 0, 0). В@, 1, 0. 0),
С@, 0. 1, 0). ?>A, 1, 0, 0), ЕA. 0. 1, 0),
F@. 1. 1. 0), 0A, 1, 1, 0), Я@, 0. 0. 1).
') Задачи 1895—1898 указал автору Э. Б. Винберг.
1897—18991 § 26. тензорная алгебра 25Г
1897. Найти вершины и форму многогранника Р трехмерного-
пространства, заданного системой неравенств
1898. Найти форму и вершины сечений четырехмерного куба, за-
данного в ортонормированной системе координат неравенствами
г<^1, /=1. 2, 3, 4, плоскостями:
a) xl-\-x2-\-x3-\-x4=l; б) хх~\-х2-\-ле3Н-лг4 == 2;
в) jf1-j-jc2 + Jf3=l; г) х1-\-х2=х3-\-х4=1.
1899*. В трехмерном аффинном пространстве 913 над полем Z2-
из двух элементов 0 и 1 найти: а) число всех точек; б) число всех
прямых; в) число всех плоскостей; г) число точек, лежащих на одной
прямой; д) число прямых, проходящих через одну точку; е) число-
точек, лежащих на одной плоскости; ж) число плоскостей, прохо-
дящих'через одну точку; з) число прямых, лежащих на одной плоско-
сти; и) число плоскостей, проходящих через одну прямую; к) числа
прямых, параллельных данной прямой; л) число плоскостей, парал-
лельных данной плоскости; м) число прямых, параллельных данной
плоскости; н) число плоскостей, параллельных данной прямой;.
о) число прямых, скрещивающихся с данной прямой.
§ 26. Тензорная алгебра1)
Приведем основные понятия и свойства, которые предполагаются гс>
вестными из курсов лекций. Доказательство некоторых из указанных свойств
предлагается в качестве задач в этом параграфе.
Пусть в «-мерном линейном пространстве Vn (действительном, комплекс-
ном или над некоторым полем Р) даны два базиса е1г е2 еп и е\, е'2,..., е'п.
Эти базисы связаны равенствами:
*$=4*i+4*2+"-+^«11.
или в сокращенной записи
е\ = с\еь A=1, 2 п).
') Ряд задач этого параграфа указан Н. В. Ефимовым и Л. А. Скорня-
ковым в связи с курсом «Линейная алгебра и геометрия», читавшимся ими
на механико-математическом факультете МГУ с 1964 года.
В частности, определение тензорного произведения и применение к нему
понятия свертки (см. введение и задачу 1918) взяты из курса Н. В. Ефимова.
252
ДОПОЛНЕНИЕ
Здесь и ниже по индексу, стоящему как сверху, так и снизу, предполагается
суммирование в пределах от 1 до п.
Введем матрицу перехода
¦1 „1
со .-• с;
с2
по столбцам которой стоят координаты векторов второго базиса в первом').
Тогда формулы A) в матричной форме запишутся одним равенством
(«1. 4 e«) = («i. е2 еп)С.
Координаты вектора х в первом базисе выразятся через координаты
того же вектора во втором базисе при помощи строк матрицы С по форму-
лам: Xй = cfx'', k = l, 2, ..., п. Отсюда координаты х'1 выразятся через хк
в виде:
B)
xri=dlkxk, i = l,2,...,n.
Введем матрицу D =
d»
d\ d2n...d"J
, по столбцам которой стоят коэф-
фициенты в выражениях х'1 через хк. Тогда формулы B) в матричной форме
запишутся равенством
(х'\ х'2 х'п) = (х\ х2 хп) D.
Так как, с другой стороны, (х\ х2 xn) = (xrl, x'2, ..., х'")С*, то
матрицы С и D связаны равенством
'. C)
Здесь и ниже звездочкой обозначена транспонированная матрица. Если обе
матрицы С и D писать из коэффициентов формул A) и B) не по столбцам,
а по строкам, то эти матрицы заменятся на транспонированные и равен-
ство C) не изменится.
Закон изменения, аналогичный изменению базиса по формулам A).
называется ковариантным, а закон изменения по формулам B) — контра-
вариантным. Величины (или другие объекты), связанные с базисом и
изменяющиеся коварнантно, называются ковариантными и обозначаются
нижними индексами, а изменяющиеся контравариантно называются конт-
равариантными и обозначаются верхними индексами.
Тензором в «-мерном линейном пространстве называется такое соответ-
ствие, при котором каждому базису пространства соответствуют пр+д чисел
fl»'<г.'.'." i'• отмеченных р нижними и q верхними индексами и изменяющихся
') Если матрицу перехода писать не по столбцам, а по строкам, то фор-
мулы, использующие матричное умножение, изменятся, формулы же A), B)
и другие, не использующие умножения матриц, останутся прежними.
§ 26. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 253
с изменением базиса ковариантно по нижним и контравариантно по верхним
индексам. Эти числа называются координатами тензора в данном базисе,
а число p-{-q — валентностью тензора. Говорят также, что данный тен-
зор является р раз ковариантным и q раз контравариантным, или тензором
типа (р, q).
По определению тензора его координаты в двух базисах
ек *2 *„ н е[, е2,..., еп,
связанных равенством A), сами связаны равенством
д/у, ... lq = c*,c*2 *PdlxdU ... rf V/| - \ D)
'\l2---lp 'l '2 'p 'l '2 'g Я1Я2">Яр
(«i '/» /1, ••-, /,= 1. 2 n).
Здесь, как обычно, по всем индексам ks и lt предполагается суммирование
в пределах от 1 до п.
Теизор можно определить иначе, как геометрический объект, связанный
с линейным пространством Vn. Для этого рассматривают сопряженное про-
странство V*n. Его векторами являются линейные функции <р (х), заданные
на данном пространстве Vn при обычных операциях сложения двух функций
и умножения функции на^число. Пространство V*n также «-мерно, причем каж-
дому базису еи е2 е„ пространства Vn соответствует единственный ба-
зис е1, е2, ..., еп сопряженного пространства V*n, называемый сопряженным
(или взаимным) базисом для данного базиса пространства Vn и связанный
с ним равенствами
el(ej) = 6'j (г, у =1,2 л), E)
где 6'j — символ Кронекера, равный 1 при i = / и 0 при / Ф J.
Если базис е,- преобразован по формулам A), то сопряженный базис е*
преобразуется по формулам
e'l = diek (/=1,2 «)-
Между всеми полилинейными функциями
F(xItx2 Хр;^, ф2, .... Ф9)
от р векторов из Vn и q векторов нз V*n и всеми тензорами типа' (р, q) на
Vn можно установить следующее взаимно однозначное соответствие, изо-
морфное относительно операций сложения, умножения и умножения на число.
Полилинейной функции, написанной выше, соответствует тензор, коор-
динаты которого в базисе еь ег еп пространства Vn определяются ра-
венствами:
"itt'-X9=F К* е'з %: eh-e'2 efq) F)
(«1 ip, ]\, •••> /^ = 1» 2, ..., п).
Наоборот, тензору с координатами at lt 2^'t ч в базисе ev e2 еп со-
ответствует полилинейная функция, определенная равенством
254 дополнение
где х\, х\,..., х" — координаты вектора xs в базисе еь е2, .., «, н
и\, «j. ••¦> "я — координаты вектора <р* в сопряженном базисе е\ е2,,.., е".
При этом значение полилинейной функции на данных векторах не зави-
сит от выбора сопряженных базисов в Vn и Vn.
Ввиду указанного соответствия тензоры на пространстве Vn можно опре-
делить независимо от базиса как полилинейные функции от векторов про-
странства Vn и сопряженного пространства V*n.
Пространством с квадратичной метрикой называется п-мерное дей-
ствительное линейное пространство Мп, в котором задана невырожденная
симметрическая билинейная функция g (x, у), называемая метрической функ-
цией. Если соответствующая ей квадратичная функция g (x, х) положительна
определенна, то пространство с квадратичной метрикой является евклидовым
пространством и будет обозначаться через Еп. В этом случае вместо g (x, у)
будем писать просто (х, у) и называть значение этой функции скалярным
произведением векторов х н у.
В пространстве М„ каждому базнсу еи е2, .-., еп соответствует един-
ственный взаимный базис в1, е2, ..., еп, связанный с данным базисом ра-
венствами
g {et, el) = б/ {I, j = 1, 2 п). (8>
Каждый вектор х нз пространства Мп разлагается по базисам ег и е2,.
т. е. х = xlei = xfi1. Прн изменении базнса ei по формулам A) координаты х'
в этом базисе изменяются по формулам B), т. е. контравариантно, и назы-
ваются контравариантными координатами. В то же время взаимный базис е?
преобразуется по формулам
а координаты xi в этом базисе — по формулам
! $ (« = 1. 2, .... п), A0)
т. е. ковариантно, н называются ковариантнымн координатами.
При фиксированном векторе у ? М„ функция qy (x) = g (x, у) является
линейной функцией от х, т. е. элементом сопряженного пространства Мп-
Соответствие з> -* ф« (•*) является изоморфным отображением Мп на М*.
Отождествляя элементы этих пространств, соответствующие друг другу при
этом изоморфизме, можем считать, что пространство Мп, сопряженное
с пространством с квадратичной метрикой Мт совпадает с М„. В частности,
это верно для евклидова пространства Е„.
В пространстве с квадратичной метрикой Мп одну и ту же поли-
линейную функцию от г векторов из 1Лп можно рассматривать как тензор
типа (р, д), где p-\-q = r и р = 0, 1, 2, .... г. Для этого, выбрав одно иа
возможных значений для р, определяем координаты тензора в данном
базисе в/ по формулам, аналогичным F), где е1 — взаимный базнс, связан-
ный с базисом в/ формулами (8). Обратно по данному тензору типа (р, д)
значение соответствующей полилинейной функции на данных векторах
определяется формулой, аналогичной G). Прн этом в формулах F) и G)
под «р1, <р2, ..., «р' надо понимать векторы из того же пространства Мп.
§ 26. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 255
В частности, метрической функции g(x, у) соответствуют два тензора
¦с координатами
(/,./=1,2 л); (И)
{t, j = 1, 2, ..., n), A2)
называемые соответственно коварнантным и контраварнантным метрическими
тензорами. Эти тензоры соответственно типа B, 0) и @, 2). Кроме того,
той же функции g (х, у) соответствует третий тензор типа A, 1), коорди-
наты которого определяются формулами (8) и не зависят от выбора базиса ei.
Значения метрической функции g{x, у) определяются любой из трех
формул:
( ) i' A3)
у) = gUxflj, A4)
g(x, >О = *гу'. A5)
В частности, в евклидовом пространстве аналогично вычисляется скаляр-
ное произведение (х, у).
Пусть в евклидовом пространстве рассматриваются только ортонормн-
рованные базисы. Тогда матрица С из коэффициентов формул A) ортого-
нальна, из равенства C) получаем D = С, матрицы из коэффициентов фор-
мул A) и B) будут взаимно транспонированными, взаимный базис совпадает
с исходным, ковариантные координаты совпадают с контравариантными и
матрицы метрических тензоров gy н g4 превращаются в единичную матрицу.
В этом случае все тензоры типов (р, д), соответствующие данной поли-
линейной функции от р-\-д аргументов, совпадают. Отличие ковариантных
и контравариантных валентностей тензора теряет значение. Поэтому все
индексы можно писать снизу, сохраняя нужные знаки суммирования.
Пусть в евклидовом пространстве Е„ дан любой базис е1? е2, ..., е„;
обозначим через g определитель матрицы G = (gy) ковариантного метри-
ческого тензора в данном базисе. Так как g(x, x)—положительно опреде-
ленная квадратичная функция, то g > 0.
Дискриминантным тензором (ковариантным) евклидова простран-
ства Еп называется такое соответствие, при котором каждому базису соот-
ветствует система чисел (координат тензора), заданных формулами:
e,iV..in = (-!)*/?, A6)
где s — число инверсий в перестановке /,, /2, „., /лиеп-1 =0. если
хотя бы два из индексов одинаковы. В частности, е12...я = y^g > 0.
Координаты дискрнминантного тензора при переходе к новому базису
с той же ориентацией меняются как у п раз кавариантного тензора, а прн
переходе к базису с противоположной ориентацией дополнительно меняют
знак.
Аналогично определяется контравариантный дискрнминантный тен-
зор е*1'2'"'".
Ориентированным объемом параллелепипеда Q, построенного на
векторах jc1f x2, ..., х„ пространства Е„, называется число, определен-
ное в данном базнсе ?/ формулой
Ve (дсь х2 хо) = VI • dete (*j, *2 хп),
256 дополнение
и &ete(xu x2 хп) — определитель из координат векторов
х2 хп в данном базисе. С помощью дискриминантного тензора
ориентированный объем выражается формулой
V /г г г \ р Ji Л у1 п м«
с \ 1* ™2» ¦ ¦ •, ¦*/!/ ~~— 1 i / "^* и • ¦ • * \^^/
где х\ — s-я координата вектора дсг в данном базисе.
Ориентированный объем обращается в нуль тогда и только тогда, когда
векторы Xi линейно зависимы. Для линейно независимых Xi его абсолютная
величина равна объему параллелепипеда Q и он положителен или отрица-
телен, смотря по тому, является ли система векторов дгь дс2, ..., хп оди-
наково или противоположно ориентированной с базисом е,, е2, , еп.
Тензорное произведение. Пусть V и V — два линейных про-
странства над одним н тем же полем Р. Рассмотрим упорядоченные пары хх'
векторов, где х ? V, х' ? V, и формальные конечные суммы таких пар
JCjjCj -|- ... -\~xkx'k. Определим отношение эквивалентности этих сумм по пра-
вилам: 1) две суммы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, эквива-
лентны; 2) пары (ах)х' и х(ах'), где а?Р, эквивалентны; 3) пара (х -\- у) х'
эквивалентна сумме пар хх -\-ух' и пара х (х' -\- у') эквивалентна сумме
пар jcjc' +ху'.
Две суммы эквивалентны, если от одной из них можно перейти к другой
путем применения указанных правил ко всей сумме или ее части в конеч-
ном числе. Это отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично
н транзитивно. Поэтому все суммы разбиваются на классы эквивалентных
сумм. Пусть Т—множество этих классов. Введем в Т операции сложения
н умножения на элементы поля Р через операции над представителями
классов. Суммой двух сумм называется сумма, полученная припиской к пер-
вой сумме слагаемых второй суммы. Умножение суммы на а?Р определим
как умножение на а первых элементов всех пар данной суммы. Например,
а (хх' +уУ) = (ах) х' + (а;у) у'.
Множество Т при этих операциях является линейным пространством
над полем Р. Оно называется тензорным произведением пространств V
н V' и обозначается через V X V. Если V и V конечномерны, то и V X V'
конечномерно и его размерность равна произведению размерностей V и V'.
Если еь е2, ..., еп — базис V и е[, е2, ..., е'п,—базис V1, то система клас-
сов эквивалентных сумм, содержащих упорядоченные пары
efi) (i = 1, 2, ..., п; j = 1, 2, ..., л'), A9)
является базисом пространства VX V (см- задачу 1918).
Аналогично определяется тензорное произведение любого конечного
множества линейных пространств.
Тензоры типа (р, q), заданные на пространстве Vn, можно рассматривать
как векторы пространства Т, являющегося тензорным произведением q
пространств Vn и р сопряженных пространств Vn. Для этого берем базис
ev e2, ..., еп в Vn и сопряженный базис е1, е2, .•., еп в V*. Тогда упоря-
доченные системы
е, е, ...е,ехе2...еР, B0)
'I '2 >q
где все индексы изменяются от 1 до р, составляют базис пространства Т.
Вектор t нз Т выражается через этот базис в виде
л J1 '9 In I 2 Я
«i'2 '"'р h h "' Jq
1900—1906]
§ 26. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
257
Его координаты, т. е. числа я/г2...*9. будут координатами тензора типа
(р, д) в базнсе еи е2, ..., еп в смысле первого определения тензора.
1900. Доказать, что для любого базиса ех, .... еп я-мерного
линейного пространства Vn существует единственный сопряженный
базис е1, .... еп сопряженного пространства Vn, т. е. базис, связан-
ный с данным базисом условиями еу (е,) = 6/(/, У=1, 2 я),
где 6/—символ Кронекера.
1901. Линейная функция q>(x) на я-мерном линейном простран-
стве Vn является ковариантным тензором, т. е. тензором типа A, 0).
а) Найти его координаты at в данном базисе et.
б) Показать, что числа at являются координатами (p(jc) как век-
тора сопряженного пространства Vn в базисе е , сопряженном
базису et пространства Vп.
1902. Координаты вектора х в данном базисе я-мерного линей-
ного пространства Vn определяют контравариантный тензор, т. е.
тензор типа @, 1). Записать этот тензор в виде полилинейной
функции.
1903. Пусть ф (х) = axxl -J- а2х2 -\- ... + апх" — линейная форма
от координат вектора x?Vn в базисе et. Показать, что коэффи-
циенты ataj(i, /e=l, 2, .... п) квадрата этой формы дают дважды
ковариантный тензор.
1904. Назовем матрицей дважды ковариантного тензора atj
в данном базисе матрицу
ап о12
О21 «22
«„
а„
Найти закон изменения матрицы А при переходе к новому базису.
1905. Назовем матрицей дважды контравариантного тензора alj
,11 /,12 „In'
в данном базисе матрицу Л =
,21
,22
г, 2л
r,nl
7я2
. Найти закон изме-
аш а"' ... а
нения матрицы А при переходе к новому базису.
1906. Пусть а{ — тензор типа A, 1) в я-мерном линейном про-
странстве Vn. Считая / номером столбца, а ]—номером строки,
258 дополнение
получим матрицу из координат этого тензора
11907—1912
a\
al
al
al...
2
O2 ...
' al...
al
al
a"
Найти закон изменения матрицы А при переходе к новому базису.
1907. а) Показать, что символ Кронекера 6/ дает во всех базисах
«-мерного линейного пространства тензор типа A, 1). б) Записать
этот тензор в виде полилинейной функции.
1908*. Пусть ац — дважды ковариантный тензор в «-мерном
пространстве. Доказать, что:
а) если матрица А тензора atj в одном базисе невырождена,
то она и в любом базисе невырождена;
б) элементы а1? матрицы, обратной для матрицы А тензора atj
(в случае, когда А невырождена), образуют дважды контравариант-
ный тензор.
1909. Пусть Ах — линейное преобразование и ц>(х)— линейная
функция на «-мерном линейном пространстве Vn. Показать, что
функция F(x; (р) = (р(Ах) есть тензор типа A, 1), матрица которого
в любом базисе совпадает с матрицей линейного преобразования Ах
в том же базисе.
1910. Доказать, что элементы матрицы билинейной функции F(x, у)
в «-мерном линейном пространстве образуют тензор типа B. 0),
т. е. дважды ковариантный.
1911. Доказать, что элементы матрицы линейного преобразования
в данном базисе образуют тензор типа A, 1).
1912. Пусть в я-мерном линейном пространстве Vn даны р век-
торов jcj, х2 х„. Выпишем координаты этих векторов в некото-
ром базисе по строкам матрицы
а) Показать, что числа
а[* а|2 ... а\р
а'' а1* ... а2р
«;• ¦«;¦•••«>
а\
а\
а\
а\
о,
р)
., /„=1. 2 п)
1913-1915]
§ 26. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
259
являются координатами р раз контравариантного тензора, т. е. тензора
типа @, р) в данном базисе. Этот тензор называется р-вектором
(при р=\ — вектор, при р — 2 — бивектор).
б) Доказать, что />-вектор тогда и только тогда равен нулю,
когда данные векторы xv x2, .... хр линейно зависимы (в частности,
при р > я все р-векторы равны нулю).
в) Доказать, что две линейно независимые системы из р-векторов
каждая тогда и только тогда эквивалентны, когда соответствующие
им р-векторы различаются множителем, отличным от нуля.
г) Показать, что «ели понимать под тензорами полилинейные
функции (см. введение к этому параграфу), то р-вектор, заданный
векторами xv х2, ¦ ¦ ¦, хр пространства Vn, можно определить как
полилинейную функцию от р векторов ф1, <р2 <рр сопряженного
пространства Vn, заданную равенством
1913. Выяснить, как изменяются координаты тензора типа (р, q)
при переходе от базиса ev .... е„ к базису ех, .... еп, получен-
ному из предыдущего путем данной подстановки я(/) = Аг (/ =
= 1, 2, .... я); это значит, что ei = en(iy A=1, 2, .... п).
1914. Найти координаты в данном базисе ех еп тензора
типа (я, я), заданного равенством
1 х„; ер1 ф") =
1915. Пусть F(xv ..., хп; ф1 ф") — полилинейная функция,
кососимметрическая как по аргументам xv .... х„, так и по аргу-
ментам ф1, ..., ф". Доказать, что ее значения через координаты в
данном базисе выражаются формулой
= det (х) det (ф) • F (ех
1 е"),
где е1 — базис, сопряженный базису et, det (x) — определитель из
координат векторов xv .... хп в базисе ех е„ и det(ф) —опре-
делитель из координат векторов ф1, .... ф" в базисе е1 е".
260 дополнение [1916—1920
1916. Пусть дан тензор типа (р, q) в виде полилинейной функции
F{xx хр; ф1, .... ф9). Его сверткой по номерам k-^p,
называется сумма
2 (i л-р i> k+iр' ф ф' ф ф)
1-Х
Показать, что свертка не зависит от базиса и является тензором типа
(р—1, q—1). Предполагается, что р, #>0.
1917. Даны симметрический тензор ац и кососимметрический тен-
зор btJ. Найти их полную свертку al} bl*.
1918*. Для изучения тензорного произведения (см. введение к это-
му параграфу) удобно использовать понятие свертки в следующем
смысле. Для простоты рассмотрим тензорное произведение двух ли-
нейных пространств: T=Vy^V, где V и V — линейные простран-
ства над одним и тем же полем Р.
Сверткой суммы jc1jc[+ ... -\-XkXk. где Xi?V, x'i?V'(t=l,
2, ..., k), с вектором <р пространства V*, сопряженного пространству
V, называется вектор ctiJCi + ...-)- акх'и ? V', где щ = ф (xi) ? Р A=
= 1, 2 k). Аналогично определяется свертка той же суммы с
вектором ф' ? V' *; она является вектором из V.
а) Доказать, что если две суммы указанного выше вида эквива-
лентны, то их свертки равны. Это позволяет определить свертку
<P(.f)?V для t?T, q>?V*.
б) Для того чтобы пара хх" была эквивалентна паре 00', где
О и 0' — нулевые векторы соответственно из V и V, необходимо и
достаточно выполнение, по крайней мере, одного из условий jc = O.
х' = 0'.
в) Если jtjjcj -|- ... + xhx'k ~ 00' и векторы х[, .... х^ линейно
независимы, то
*,= ... =л* = 0.
г) Классы эквивалентных сумм, содержащие пары ele'.(l = lt
2, .... п; J== 1, 2 я'), где ev .... еп — базис V и е\
е'п, — базис V, образуют базис Т.
1919. Доказать, что тензорные произведения линейных пространств
всех многочленов от х и всех многочленов от у с коэффициентами
из поля Р есть пространство всех многочленов от двух неизвестных
х, у с коэффициентами из Р.
1920. Доказать, что тензорное произведение пространства много-
членов / (л;) степени ^йи пространства многочленов g (у) степени -^ S
с коэффициентами из поля Р есть пространство многочленов h(x, у),
степень которых-^п по х и-^s поу, с коэффициентами из поля Р»
1921—19241 § 26. тензорная алгебра 261
1921. Доказать утверждения:
а) для любого базиса et я-мерного евклидова пространства Еп
{или пространства с квадратичной метрикой Л1Я) существует единст-
венный взаимный базис е1 пространства Еп (соответственно, Мп), свя-
занный с данным базисом равенствами (ег еЛ = 6/(/, _/ = 1,2 п)
•(соответственно, равенствами (8) из введения к этому параграфу);
б) взаимный базис выражается через данный базис по формулам
^ = glaea (l=U 2 я);
в) данный базис выражается через взаимный по формулам et =
= glaea (/=1. 2 я);
г) метрические тензоры gt. и gl> связаны равенствами gla gia — b{
</.7=1. 2 я);
д) если обозначить матрицы метрических тензоров через G = (gl\1^
и Gl=(gl')i> а определители этих матриц — через ?Г = |?Г4Л" и
?\ = \8l'\v то GGl = E, gg1==l.
1922. Доказать, что ковариантные и контравариантные коорди-
наты одного и того же вектора в данном базисе евклидова простран-
ства связаны равенствами:
а) xl — gtax?(l=\, 2 я);
б) xl = giaxtx(l=\.2 л).
1923. В прямоугольной декартовой системе координат даны два
вектора:
^ = A,0), e2 = (cosa, sin a), sina^O;
а) проверить, что эти векторы образуют базис;
б) найти ковариантный метрический тензор gtj в базисе ех, е2',
в) найти контравариантный метрический тензор gl > в базисе ev e2-
г) найти выражение векторов взаимного базиса е1, е2 через ба-
зис ev e2 и их координаты в исходной прямоугольной системе;
д) написать выражение скалярного произведения (х, у) двух век-
торов через их координаты в базисе ev e2\
е) найти дискриминантный тензор ztj в базисе ev e2;
ж) написать выражение ориентированной площади параллелограмма,
построенного на векторах х, у, через дискриминантный тензор etj и че-
рез определитель из координат в базисе ех, е2.
1924*. Пусть elt е2 — любой базис плоскости, g1' —контравариант-
ный метрический тензор и eiy- — дискриминантный тензор в этом базисе.
По данному вектору х = xlet построен вектор у = ylet, где у1 =
= gljEjkxk. Выяснить, в какой мере вектор у зависит от выбора
базиса и какова геометрическая связь векторов х и у.
262 дополнение 11925—1932
1925. В четырехмерном евклидовом пространстве дан дважды
контравариантный тензор ам. Как изменяются с изменением базиса
величины bij=^zijkiakl(i, j= I, 2, 3, 4)?
1926*. Пусть в некотором базисе «-мерного евклидова простран-
ства Еп дан тензор а,цк типа C, 0), g{j и gU — метрические тензоры.
Определим тензор alk' типа A, 2) равенствами: а'^ = glag^aa^k
(/. У, ft= 1, 2, .... я). Выразить al ,k через aj/.
1927. Трехмерное евклидово пространство определено метриче-
/1 3 П
ским тензором с матрицей! 3 10 II. Найти длины отрезков, отсе-
\1 1 6/
JC1 JC2 JC3
каемых на осях координат плоскостью -^- + -~- + -?- = 1.
1928*. Метрика трехмерного евклидова пространства задана мет-
/1 . 1\
рическим тензором ?fi;. с матрицей I 1 6 3 1. Найти площадь 5
\ 1 3 2 У
треугольника с вершинами ЛA, 0, 1), ?B, 1, 1), СC, 1, 2) и высо-
ту h, опущенную из С на АВ, если координаты и тензор даны в одном
и том же базисе.
1929*. Трехмерное евклидово пространство задано метрическим
/1 2 14
тензором gtj с матрицей 12 5 3 1. Найти основание перпендику-
\1 3 ъ!
ляра PQ, опущенного из точки Р{\, —1, 2) на плоскость
2
1936*. В четырехмерном евклидовом пространстве ЕА даны три
вектора х, у, z и построен вектор и с ковариантными координатами
ut = ецк1х*укг1 (I — 1, 2, 3, 4), где г{щ — дискриминантный тензор
в том же базисе (четырехмерный аналог векторного произведения
см! задачу 1938). Доказать, что:
а) вектор и ортогонален каждому из векторов X, у, z;
б) если векторы х, у, z линейно независимы, то длина | и \ век-
тора и равна трехмерному объему V (х, у, z) параллелепипеда, постро-
енного на х, у, z; если же х, у, z линейно зависимы, то о = 0.
1931. Найти полную свертку gijg1' метрических тензоров «-мер-
ного евклидова пространства Еп.
1932. Определим контравариантный дискриминантный тензор «-мер-
ного евклидова пространства Е„ формулами е'1'2 ¦'¦'« = (—1)*У gi»
1933—1936) § 26. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 263
где ?fj = | gU |" и s — число инверсий в перестановке iv i2,.... /я,
и e'i'2 •••'я = о, если хотя бы два из индексов lv l2 1п совпадают.
Доказать, что:
а) ориентированный объем параллелепипеда, построенного на век-
торах xv х2..... х„ (см. введение к этому параграфу), выражается
равенствами
V(*" ¦• ¦• ^ — / cf Hot I¦• ¦• *" Л с 1* 2**"' n*" v* *•
- ^Лр ло» • ¦ .» Лгп) — У S\ uci|jXit *2» • • •» лп)—с. * л Л1*Х1Л* • "^ »
' I 2 /I
где detj(Xi> Х2>.. .1 ¦*«) — определитель из ковариантных координат
векторов xv х2,..., х„ и л:^ — 1-я ковариантная координата вектора xs;
)о ct • ¦ • ct
6г,г2 ... ln — 8liaySl2a2 • • • einanE ' "•
1933. Вычислить свертку дискриминантных тензоров е/;7ге'^* трех-
мерного евклидова пространства.
1934. В базисе ех, е2, ег трехмерного действительного простран-
ства дан ковариантный метрический тензор gl* с матрицей
а) Проверить, что пространство — евклидово;
б) найти матрицу Gj контравариантного метрического тензора glJ;
в) найти контравариантные координаты единичного вектора нор-
мали к плоскости, заданной в том же базисе уравнением Зд;1-)-2д;2 —
— З*3— 5 = 0.
1935*. Доказать, что квадрат ориентированного объема парал-
лелепипеда, построенного на п векторах я-мерного евклидова прост-
ранства, равен определителю Грама этих векторов.
1936. Пусть в я-мерном евклидовом пространстве даны гипер-
плоскость я, заданная уравнением пуХ1 -f-... -f- anxn -j- b = 0, и точ-
ка M(xl лго).
а) Показать, что вектор р с ковариантными координатами av ..., ап
перпендикулярен к плоскости я;
б) расстояние d от точки М до плоскости я выражается формулой
-+
Г71
264 дополнение [1937—193$
1937*. Найти расстояние от точки М(х0, у0) на евклидовой пло-
скости до прямой ах-\-Ьу-\-с~0, если координаты даны в базисе
е1 = {1,0], е2— {cosсо. sin со}, sinco=^=0
(координаты векторов базиса даны в прямоугольной декартовой сис-
теме координат).
1938*. Пусть eljR — дискриминантный тензор трехмерного евкли-
дова пространства, х1, у1— контравариантные координаты векто-
ров х, у в некотором базисе. Доказать, что вектор г, ковариантные
координаты которого в том же базисе заданы формулами zt=-
= etafiji;a_yP(/ = ], 2, 3), является векторным произведением jc и у.
ОТВЕТЫ
Отдел I. Определители
1. I. 2. —2. 3. —I. 4. 0. 5. 0. 6. —1. 7. АаЬ. 8. —2Ь\ 9. 1.10. sin (a — Р).
11. cos(a+P). 12. 0. 13. 1. 14. 1. 15. —1. 16. 1. 17. 0. 18. ab — с2 — d».
19. {а — Ьу. 20. 0. 21. а2 + Ь* + с2 + d2. 22. * = 3; у=— 1. 23. х = Ь;
у = 2. 24. jt = -g-;y=-i. 25. * = 2; у = —3. 26. * = cos(P — a);
у = sin (Р — а). 27. х = cos a cos Р; у = cos a sin p.
28. Система неопределенна, формулы Крамера не дают верного ответа,
так как по этим формулам х и у равны j-, т. е. могут принимать произ-
вольные значения, тогда как они связаны соотношением 2х -\- Зу = 1, откуда
по значению одного неизвестного определяется единственное значение другого.
29. Система противоречива.
30. При афЬ уравнение определенно, при а = Ьфс— противоречиво,
при а = b = с — неопределенно.
31. При a = kn, где k — целое число, уравнение противоречиво, при
остальных значениях a — определенно.
82. При a = 2kn, где k — целое число, уравнение противоречиво, при
¦a = Bft -(-1) п — неопределенно, при остальных значениях a — определенно.
33. При а-\-$фкл, где k — целое число, уравнение определенно, при
¦а + р = 2кл и при а + Р = &kt -j-1) я)#а = к2я, где kt к k2 — целые числа, —
неопределенно, при а-{-р = Bй1-|-1)я, афк2п — противоречиво.
34. При а ФО система определенна, при а = Ь = О — неопределенна,
при а = 0фЬ — противоречива.
85. При ас — Ь2ф0 система определенна, при ас — 62 = О — неопреде-
ленна. Противоречивой она быть не может.
36. При аф±6 система определенна, при а = 6 — неопределенна, при
¦а== —6 — противоречива.
37. При аЬф90 система определенна, при а = 6, b = 15— неопределенна,
при ab = 90, но афб, Ьф\5 — противоречива.
39. Указание. Убедиться, что в формуле решений квадратного урав-
нения подкоренное выражение положительно.
40. Решение. Пусть данный трехчлен является полным квадратом,
т. е. ах2 -j- 2bx -f- с = (рх -\- дJ. Сравнивая коэффициенты при одинаковых
¦степенях х, находим: а — р2,Ь = рд, с = д2, откуда ас — Ь2 = р2д2 — (рдJ = 0.
Пусть, обратно, ас — Ь2 — 0.
Тогда ах2 + 2Ьх + с = - (а2х2 + 2аЪх + ас) = -^ \(ах + ЬJ+(ас—Ь2)] =
= —(ах-\-ЬJ есть полный квадрат, так как из комплексного числа —
it CL
можно извлечь квадратный корень.
266
ОТВЕТЫ
[42-84
42. Решение. Если —"^ . = q прн любом x,ioax-\-b = q (сх-(-d),
a=qc, b = qd к ad— be = 0. Обратно, если ad — be = 0, то при с=?О=?й
имеем — = -т- = 0, a = qc, b = qd. При с = 0=?й будет о = 0ц полагая
= -т, снова имеем a = qc,
qd. При с=/=О=й получим то же самое,
»(ex + rf)
= л-1—. , = q при любом х
полагая q = —. Поэтому г-г — г—т-
4 с cx-\-d cx-\-d
43. 40. 44. --3. 45. 100. 46. —5. 47. 0. 4В. 1. 49. 1. 50. 2. 51. 4.
52.-8. 53. 6. 54. 20. 55. 0. 56. ЗаЬс — а3 — Ь3 — с3. 57. а3 + Ь3 +
i- с3 — ЗаЬс. 58. 0.59. 2х3 — (л + * + «) *2 + abc. 60. (ab + be + со) х + абс.
1. 1 -f- a2 -j- р2 -f- Y2. 62. 1. 63. sin(P—Y) + sin(Y— a)-j-sin(a — Р).
64. cos2 a-f-cos2 P + cos2 y = 1. 66. —2.
67. xyz + 2 (ace — bcf+ ad/ + bde) — x(e2 +P)—y (c2+rf2) — z (л2+b2).
66. 0. 69. -^3. 70. 3i/3.
72.4. Указание. Все шесть членов определителя не могут равняться+ lt
так как тогда произведение трех членов: йп«22«зз. л12Л2зЛзь al3a2ia32 было
бы равно произведению трех остальных членов, в то время как первое из
этих произведений равно произведению всех девяти элементов определителя,
а второе — тому же произведению девяти элементов с противоположным
знаком. Далее, убедиться, что определитель отличен от 5 и что
—1 1 1
1 —1 1
1 1 —1
= 4.
73. 2. Указание. Показать, что все три- положительных члена, вхо-
дящих в определитель, не могут равняться 1, н учесть, что
0 1 1
1 0 1 =2.
1 1 О
74. лг = 3, у = —2, г = 2. 75. л: = у = г=1. 76. *=1, у = 2, г = — 1.
77. х = 2, у = —3, г = —2. 78. х = —а, у = Ь, г = с. Указание. Поло-
х , у , г
жить — = х , -4- = у ; — = г .
a be
79. х = be, y = ac, z = ab. 83. х = а, у = 2Ь, г = Зс. Указание.
х v г
Каждое из уравнений разделить на abc и положить — = х'\ ~- = у'; — = г'.
О, О С
81. jc = —~*~„ ~*~ ; у = —~*~ „ ~*~ е ; г = ———=i . Указание.
3
Эту систему можно решать по формулам Крамера. Проще сначала сложить
все уравнения, затем сложить после умножения второго уравнения на е2,
а третьего на е, и, наконец, сложить после умножения второго уравнения
на е. а третьего на е2. Использовать соотношение 1 -f- e -f- е2 = 0.
82. Система неопределенна, так как третье уравнение есть сумма двух
остальных н, значит, любое решение двух первых уравнений удовлетворяет
и третьему. Первые два уравнения имеют бесконечно много решений, напри-
мер, х и у выражаются через г так: х = Юг -j-1, у = 7г. Давая г произ-
вольное значение, найдем значения х и у.
83. Система неопределенна.
84. Система противоречива, так как если бы при некоторых числовых
значениях неизвестных все уравнения системы обращались в равенство, то,
85—141] ответы 267
вычитая первое равенство из суммы двух остальных, мы получили бы снова,
равенство. Но получается 0 = 4.
85. Система противоречива.
86. При а3ф27 система определенна, при а3 = 27— противоречива.
87. При 4л3—45й+58=?о система определенна, при Ааъ—45й+58=0 —
противоречива.
88. При аЬф 15 система определенна, при а = 3, 6 = 5—неопределенна,
при аЬ — 15, но афЗ, Ьф5 — противоречива.
89. При аЬф 12 система определенна, при л = 3, 6 = 4—неопределенна,
при й& = 12, но афЗ, ЬфА — противоречива.
99. Указание. Рассмотреть определитель, в котором первые две
строки не пропорциональны (в частности, ни одна из этих строк не должна
содержать только нули), а третья строка равна сумме первых двух, т. е. каж-
дый ее элемент равен сумме соответствующих элементов первых двух строк.
100. 0. №1. 0. 102. 0. 1СЗ. 0. 104. 0. 105. 0. 106. 0. 107. 0. 108. 0.
109. 0. Две точки (xh yt) и (х2, у г) плоскости лежат на одной прямой
с точкой, делящей отрезок между ними в данном отношении Л.
110. 0. Указание. К первой строке прибавить вторую н третью и
воспользоваться формулой Виета.
120. Указание. К третьему столбцу определителя, стоящего в левой
части . равенства, прибавить второй, умноженный на а -)- b -f- с, и вычесть
первый, умноженный на ab -f- be + са.
123. 5. 124. 8. 125. 13. 12S. 18. 127. "("~ } . 128. n(n + ]).
129. -—i-g инверсий. Перестановка четна при п, равном 4ft, 4k +1,
и нечетна прн п, равном 4ft-}-2, 4ft+ 3, где k — любое целое неотрицатель-
ное число.
ISO. „""г" ' инверсий. Перестановка четна при п = 4k, 4k -\- 3 н не-
четна при n = 4ft-f-l, 4ft+2, где ft—любое целое неотрицательное число.
131. —' ~^~ '¦ инверсий. Перестановка четна при п = 4ft, 4ft -f 1 и не-
четна при n = 4ft-f-2, 4ft -\-3, где ft — любое целое неотрицательное число.
132. —i— '- инверсий. Перестановка четна при п = 4k, 4ft -(- 3 и не-
четна при n = 4ft-f-l, 4ft + 2, где k — любое целое неотрицательное число.
133. Зп(п — 1) инверсий. Перестановка четна при любом п.
134. п (Зп — 2) инверсий. Четность перестановки совпадает с четностью п.
135. nEn-j-l) инверсий. Перестановка четная при любом п.
136. В перестановке п, п — 1, п — 2,..., 3, 2, 1. Число инверсий в ней
равно С2П=П{П~1). 137. ft —1. 138. л — ft. 139. С\.
140. Для п — 4ft, 4ft -(-1 — одинакова, а для n = 4ft -\- 2, 4ft -f-3 — про-
тивоположна. Здесь ft — любое целое неотрицательное число.
141. Решение. Берем два любых элемента щ, aj в данной переста-
новке (Z < У).
Если в данной перестановке эти элементы образуют порядок, то и в ис-
ходном расположении щ стоит раньше aj, к индексы i, j будут образовывать
порядок. Если же в данной перестановке элементы a,-, aj образуют инверсию,
то в исходном расположении а-} стоит раньше at, поэтому их индексы у", i
также образуют инверсию.
Поэтому инверсии данной перестановки взаимно однозначно соответ-
ствуют инверсиям перестановки индексов элементов при нормальном распо-
ложении этих элементов, и значит, число тех и других инверсий одинаково.
268
ОТВЕТЫ
[142—143
142. Указание. В перестановке аи а2, ..., ап элемент 6, переводим
на первое место, в полученной перестановке Ь2 переводим на второе место
н т. д.
143. Например: 2, 3, 4, ..., л, 1 илн л, 1, 2 л - 1. Указание.
При доказательстве использовать то, что одна транспозиция может умень-
шить число элементов, стоящих в перестановке правее (левее) их места
в нормальном расположении, не более чем на единицу.
144. Указание. В перестановке йь а2, ..., ап элемент bt смежными
транспозициями перевести иа первое место, в полученной перестановке эле-
мент Ь2 смежными транспозициями перевести на второе место и т. д.
145. Сп — к. 14В. — л! С^. Указание. Воспользоваться предыдущей
задачей.
147. Указание. Смежными транспозициями перевести 1 на первое
место, затем 2 на второе место и т. д. Учесть, что одна смежная транспози-
ция изменяет число инверсий на единицу.
148. Указание. Рассмотреть ряд перестановок, начинающийся с пере-
становки 1, 2, .... п, полученный следующим рядом траспозиций: сначала
единицу переводим на доследнее место, переставляя ее с каждым числом
справа, затем двойку тем же путем переставляем на предпоследнее место
и т. д., пока не придем к перестановке л, л—1, ..., 2, 1.
Утверждение можно также доказать индукцией по числу к.
149. Решение. Для вывода рекуррентного соотношения заметим, что
если в перестановке с к инверсиями число п+1 стоит на последнем месте,
то все к инверсий образуются числами 1, 2, ..., л, н таких перестановок
будет (п, к); если л + 1 стоит на предпоследнем месте, то оно образует одну
инверсию, а числа 1, 2, ..., л образуют к— 1 инверсий, и таких перестано-
вок будет (л, к— 1), н т. д.; наконец, если п+1 стоит на первом месте, то
оно образует п инверсий (это возможно лишь при ft>n), а числа 1,2, ..., п
образуют к — п инверсий, и таких перестановок будет (п, к — п).
Располагая числа (п, к) в таблице по строкам с данным п и по столб-
цам с данным к, мы из рекуррентного соотношения видим, что каждое число
(п+1)-й строки равно сумме п+1 чисел предыдущей строки, считая их
влево от числа, стоящего над искомым числом (включая и числа, равные
нулю). Выписывая для удобства отсчета мест также и нулевые значения
(п. у) при У>С^ и учитывая, что A, 0)=1, A, у) = 0 при /^3=1, получаем
таблицу значений (n, k):
\к
л \.
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
1
1
i
0
1
2
3
4
5
2
0
0
2
5
9
14
3
0
0
1
6
15
29
4
0
0
0
5
20
49
5
0
0
0
3
22
71
6
0
0
0
1
20
90
7
0
0
0
0
15
101
8
0
0
0
0
9
101
9
0
0
0
0
4
90
iO
0
0
0
0
1
71
11
0
0
0
0
0
49
12
0
0
0
0
0
29
13
0
0
0
0
0
14
14
0
0
0
0
0
5
15
0
0
0
0
0
1
150—182J ответы 269
Например, число перестановок шести элементов С семью или восемью
инверсиями равно 101.
150. Указание. Во всех перестановках заменить данное расположе-
ние на обратное.
151. A 4 2) C 5). Декремент равен 3. Подстановка нечетная.
152. A 6 3) B 5) D). Подстановка нечетная.
153. (I 8 2) C) D 6 7) E). Подстановка четная.
154. A 5) B 8 6 4) C 9 7). Подстановка четная.
155. A2 3 4 5 6 7 8 9). Подстановка четная.
156. A 4) B 5) C 6). Подстановка нечетная.
157. A 2) C 4)... Bл—I, 2л). Декремент равен л. Четность подста-
новки совпадает с четностью числа л.
158. A 3) B) D 6) E)... (Зл — 2, Зл) (Зл — 1). Декремент равен л.
Четность подстановки совпадает с четностью числа л.
159. A, 3, 5, .... 2я — 1) B, 4, 6, .... 2п). Декремент равен 2п — 2.
Подстановка четная.
160. A, 2, 3) D, 5, 6)... (Зп — 2, Зл — I, Зл). Декремент равен 2л.
Подстановка четная.
161. A, 4, 7, .... Зп —2) B, 5, 8 Зл —1) C, 6, 9, .... Зл).
Декремент равен Зл — 3. Четность подстановки противоположна четности
числа п.
162. A, А+1, 2ft+l, .... nk — k+l)B, k+2, 2ft+ 2, .... nk — k+2)...
...(?, 2k, 3k, ..., nk). Декремент равен nk — k. Подстановка четная при
четном k и при нечетных ft и я. И нечетна при k нечетном и л четном.
163. /1 2 3 4 5\ 164./1 2 3 4 5\
[5342 1/ U 5 1 4 2/
165. /12345678 9\
G41632589/
166. /12 3 4 ... 2п —1 2л \
\2 1 4 3 ... 2л 2л—1/
167. /12 3 4 ... 2л —1 2п\
\2 3 4 5 ... 2л 1 Г
168. /12 3 4 5 6... Зл —2 Зл —1 Зл \
U 1 2 6 4 5 ... Зп Зл — % Зп—lj'
169. /I 2 3 4\ 170. /1 2 3 4 5\ 171. /1 2 3 4 5\
\1 3 4 2) \3 1 2 5 4/ \1 2 3 4 5/
172. /I 2 3 4\ 173. /1 2 3 4 5\
U 4 1 2]' (,2 3 4 5 1/'
176. А. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
177. Тождественная подстановка Е. 178. Х=\ л г. с]'
\/ 1 2, о 4 о 6/
181. Указание. Расположить числа первой строки подстановки в воз-
растающем порядке и от тождественной подстановки перейти к данной
путем ряда транспозиций во второй строке.
182. Указание. Для доказательства существования разложения на
транспозиции в числе, равном декременту, умножить подстановку на
транспозицию чисел, входящих в один цикл, н использовать задачу 180.
Для доказательства минимальности числа транспозиций заметим, что при
умножении на одну транспозицию декремент не может увеличиться больше,
чем на единицу.
270 ОТВЕТЫ [183—215
183. Указание, Если Р — Р\Р2 ... Ps — любое разложение подста-
новки Р на транспозиции, то использовать равенство
р = / й,. а2, ..., ап \ р^ ^ н задачи 179 и lg2
\«1, «2 «Л/
1S4. Решение. Если X — подстановка, перестановочная с S, то SX = XS,
откуда X~lSX=S. Разложим S на циклы S=(l, 2)C,4)=ЛГ~' A, 2) ХХ~1 C,4) ЛГ.
Непосредственным вычислением убеждаемся, что Х~1{1,2)Х есть снова
цикл длины 2, полученный из цикла A, 2) заменой чисел 1 и 2 теми, кото-
рые нм соответствуют в подстановке X. Это же верно и для цикла C, 4).
Таким образом, подстановка X должна переводить циклы из S в циклы
той же длины, а в силу единственности разложения S на циклы, циклы либо
переходят каждый в себя, либо один в другой. Так как каждый цикл длины
два можно записать двумя способами: A, 2)=>B, 1), C, 4) =D, 3), то все
подстановки,.перестановочные с S, будут:
/ 1 2 3 4 \ / 1 2 3 4 \ / 1 2 3 4\ / 1 2 3 4 \
U234/' W243/' Ul34/' B143/1
/1234\ / 1 2 3 4Л /1234N /1234\
U 4 1 2 /' C421Г V4312/' 1.4 3 2 I /"
185. Искомые подстановки:
/123 4 5N /1234 5\ /1234 5\ /1234 5\
(l2345/' A432S/1 U 2 5 4 1/' 1з 4 5 2 1 /'
/1234 5\ /12 3 4 5\
\5 2 1 4 31' E412 3/-
Указание. Показать, что никакое из чисел 1, 2 т — 1 не
может перейти в нуль и разные числа переходят в разные.
187. ~ ._-__.
/1, \3, 4, 5, 6, 7, 8\
E, 1, 6, 2, 7, 3, 8, А)'
188. Входит со знаком минус. 189. Входит со знаком плюс. 190. Не
является членом определителя. 191. Входит со знаком минус. 132. Не
является членом определителя. 193. Со знаком (—1)"~'. 194. Со зна-
ком (-1)".
A)B)
198. Со знаком (-1) 2 . 196. Со знаком (-lKfI= (- I)".
197. / = 5, fc=l. 198. i = 6, fe = 2. 199.
с2
+ «14023^32^41. 200. 10х4 — 5х3. 201. Со знаком плюс. 202. Со знаком ( — 1) \
П (Я-1)
203. аца22йзз •. • апп. 204. (-1) 2 • aina2, „_, ... ani. 205. 0. 207. Кор-
нями будут числа йь й2, «з ап. Указание. Использовать утвержде-
ние, что многочлен степени п не может иметь более чем п различных кор-
ней. 208. х = 0, 1,2,..., л-1. 209. «„_*+,. n-i+i- 2*0> an-i+uп-ь+и
211. Если п четно, то число элементов на четных н нечетных местах одй*
наково и равно -=- п2. Если п нечетно, то число элементов на четных местах
Ли
равно -х- (и2 + 1), а на нечетных —— (п2 — I).
212. Определитель умножится на (—I)". 213. Определитель умножится
(!)
на (—1) 2 . 214. Определитель не изменится. 215. Определитель
216—294] ответы 271
не изменится. Указание. Данное преобразование можно заменить двумя
симметриями относительно горизонтальной и вертикальной средних линий
и симметрией относительно главной диагонали.
216. Указание. Транспонировать определитель.
217. Указание. Транспонировать определитель.
218. я = Am, где т — целое. 219. л = Am + 2, где т — целое.
221. Определитель умножится на (—1)".
222. Определитель не изменится. Указание. Рассмотреть общий
член определителя.
223. Указание. Рассмотреть сумму индексов всех элементов, входя-
щих в общий член определителя.
224. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
229. Определитель обратится в нуль.
230. Определитель обратится в нуль, если он четного порядка, и
удвоится — если нечетного. Указание. Разложить на сумму определите-
лей по каждому столбцу.
с2
231. Определитель умножится на (—1) ". 232. Определитель равен
нулю. 283. Число таких определителей равно л! Их сумма равна нулю.
234.0. 236. 8а+ 156+12с — 19а\ 237. 2а — 8b + c4-5d.
238. abed. 239. abed. 240. xyzuv. 243. 0.
244. Указание. Умножить второй столбец определителя в левой
части равенства на уг, третий столбец на хг и четвертый на ху.
245. Указание. Используя формулы Виета, преобразовать п-й
столбец.
246. Указание. Используя формулы Виета, преобразовать п-й
столбец и перевести его на (г + 1)-е место.
247. Указание. Разложить по первому столбцу.
253. Указание. Разложить по третьей строке.
256. Указание. Свести к предыдущей задаче.
257. —8. 258. —3. 259. —9. 260. 18. 261. 18. 262. 4. 263. 90.
264. 27. 265. 17. 266. —6. 267. —10. 268. 100. 269. 150. 270. 52.
271. 5. 272. 10. 273. 1. 274. 100. 275. 1.
276. -gg-. Указание. Элементы каждой строки привести к общему
знаменателю и вынести его за знак определителя.
«(!)
277. 1. 278. 9К10(КЗ —/2). 279. л! 280. л(—I)
281. *i {х2 — а12) {х3 — а23) ... (хп — й„_ь „).
282. (—1) 2 Ьф2 ... Ъп. 283. 2л +1. 284. (а0 + а, + а2 + ... + й„) х".
285. хххг ... хп (— + —+ ... +— V Указание. Из t-го столбца
\Х\ Х2 Хп I
вынести за знак определителя ^ик каждому столбцу прибавить все сле-
дующие.
286. 1. 287. л(—I)". 288. (— l)" (л—1J"~2. Указание.
Из каждой строки вычесть предыдущую, затем последний столбец прибавить
к остальным.
269. (х— 1)(х — 2) ... (лг — п + 1).
290. (—1)" (х— 1) (х — 2)... (jc — л).
291. аа{х — ai)(x — a2) ... (х— а„).
292. (х — а — Ь — с)(х — а + Ь + с)(х-1-а — Ь + с)(х + а + Ь — с).
293. \x2-l)(xi-A). ¦
294. х2г2. Указание. Переставив две первые строки и два первых
столбца, доказать, что_ определитель не изменится при замене л: на — х.
272 ответы [295-335
Проверив, что при х = 0 определитель обращается в нуль, доказать что он
делится на х2. Те же рассуждения провести для г.
п— 1
295. афп JJ (ai+lbi — а/6,-+1). Указание. Получить соотношение
5-^ V « °ЛЛз •¦• ЛП + «.Уь^З ... *„ + «2У1УЛ ... *„+...
И¦ Т,аФУзУв ¦¦¦ Уп- Указание. Получить соотношение Dn+, =
— xnL>n-t-anyly2 ... уп. Определитель можно вычислить иначе разложением
по первой строке.
+ Л1«2... л„_2— ...+(— О"^, -|_(__1)«. 299. я + 1. 300. 2n+1 — 1.
¦ЗО1.5Л+1-2"+1. 302. 9-2»+'. 303.5.2«->-4.3«-i. 304. ""^"р'.
„™ 8°о5" ^" + <а' + а2 + • • ¦ + «л) -^я~ '• Указание. Элементы, стоящие
вне главной диагонали, представить в виде аг=0 + Л/.
К япт" И е- Положить Х1 = (^ — Щ) + Щ.
„„""¦ («1 —-«i)(a2 — x2)...(an — хп) — а,а2 ...а„. Указание. Поло-
жить в левом верхнем углу 0=1—1 и представить определитель в виде
суммы двух определителей относительно первой строки.
а1^^
n?-n+2
809. (л — 1)! 310. Ьф2 ...bn. 311. (-1) 2 2(л-2)! 312. (—l)" л!
п (я+1)
313. хп + (-1)"+1 у». 314.0. 315. (-1) 2
-«, +«2-...+(-!)"««]• 327. (-1)"-1 (п-1)л:".
..n! = i«2«-i3«-2...n. 329. |] А 330.
П Л-А 332.
336—349]
33?.
338.
/=
340.
342.
К-Ьг Д с*-**).
ответы 273
Д (xi — xk). 337. (— 1)" 1! 2! ... и!
339. 1!3!5! ... Bл — 1)!
Д
К! <*<я+1
г< л+1
341. Д sin (щ-щ).
l<i<П<п
где аг — коэффициент прн х1
в многочлене /j (л:, у).
343. (-1)» Д xi Д (*,-**) У
г = 1 л>/>«>1 Гл
где
= (х — хх) (х — х2)... (х — хп). Указание. Разложить определитель по
первому столбцу.
344. (xt -\- х2 +
делитель
.. + хп)
Д
Указание. Опре-
х\
v-2
вычислить двумя способами: разложением по последней строке и как опре-
делитель Вандермонда. В обоих выражениях приравнять коэффициенты
при 2п~1.
34S.
346.
п>Ж>1Х1~Хк)'
i — *ь)' гДе сумма берется по
л; ... лс "\ Д
» 2 n-s) п>1>>
всем сочетаниям л — s чисел аь а2 «n_s из чисел 1, 2, ..., п.
347. [лг,л:2 ... хп — (л:, — 1) (х2 — 1) ... (хп — 1)] Д (х, —
Указание, f-й элемент 1-го столбца представить в виде 1 = Х[ — {x-t— 1)
и представить определитель в виде разности двух определителей.
348. \2xlx2...xn — (xl-\)(xi-l)...(xn—l)] Д (xi — xk).
>1*
Д
sin
п>1>*>
Указание. Приписать первую строку 1, 0, 0, ,.., О и первый столбец
из единиц, первый Столбец вычесть из остальных, единицу в левом верхнем
углу представить в виде 2 — 1 н представить определитель в виде разности
двух определителей относнтельно первой строки.
349. 2<«- V +
K
зоваться тем, что cos Щ выражается через cos q> в виде многочлена со стар-
шим членом 2ft~1cosft(p (это можно вывести нз формулы Муавра и равенства
1+С| + С*.. =2*-1).
sin
указание. Восполь-
274 ответы 1350—367
850. 2й <»-Ч sin ф1 sin (р2... sin <р„ П (sin Ф' + Ф* . sin JLZ^l).
Указание. Доказать, что sinkq> можно представить в виде произведения
slncp на многочлен от cosq) со старшим членом 2*"'cos* ср.
851. (a + b + c + d)(a-\-b — с— d)(a — b + c — d)(a — b — c + d).
Указание. Воспользоваться методом выделения линейных множителей.
852. {a + b + c + d + e + f + g + h){a + b + c + d—e — / — * —А)Х
858. (л: -(- fli + а2 + • • • + ап) (л: — а,) (л: — а2) ...(¦* — ап)- Указание.
Применить выделение линейных множителей или из каждой строки вычесть
предыдущую и затем к каждому столбцу прибавить все последующие.
854. О при « > 2; D1=a1 — bt; D2 = (fli — а2) (bi — b2).
855. О при « > 2; О, = 1 + дс,у,; ?>2 = (а:, — л:2) (yi — У2)-
856. О при «>1. Указание. Разложить на сумму определителей
относительно" каждого столбца.
857. 1 + 2 <«< + *«) + 2 (fl« - «*) (** - **)•
858. (-1)» 1_п_2дС|У*+ 2 <¦**-**)(У*-У*)|. Указа-
L »-1 1<!<*<л J
н и е. Применить результат задачи 355.
859. х« + х»-> Ji(ai-bi) + X"-* ^ ("i - а") (Ь - **)• у к а"
з а и и е. Разложить определитель иа сумму двух определителей относительно
каждого столбца и применить результат задачи 354.
л
860. х,х2 ... хп (l + V -^*L\. 861. (а2 — b'f. У к а з а н и е. Вывести
V ? Xl )
V ? )
рекуррентное соотношение D2n=(a2 — Ь2)Ю2п_ц.
л
862. П>^л+1-/ — Мгл+1-г)- 868.
П> Х
364. О, если « при делении иа 6 дает в остатке 2 или 5; 1, если «
делится на 6 или дает в остатке единицу; —1, если п при делении на 6
дает в остатке 3 или 4. Ответ можно записать иначе так:
Указание. Применить метод рекуррентных соотношений, разобранный во
введении к настоящему параграфу.
865. Указание. Получить рекуррентное соотношение /)„==?>„_ x
"t1 + A>"]
866. 5"+'—4"+'. 867. 't1 + (-~1>]., где l = V~^l, т. е если «
нечетное, то ?>и = 0; если « четное, то ?>„ = (—I)
368—378] ответы 275
368. |[1+ (_!)»]. 869. Dn=,±[Cla+l
1«"-4 (я2 - 4J + С^+1««-6(«2 - 4K+ ...]
+ C2_2fl"-4— ... + (— 1)" Ckn_kan-2k + ... Указание. Первое выра-
жение получается непосредственно методом рекуррентных соотношений; второе
легко доказать методом индукции, используя соотношение Срп -J- C%+1 = \
870. О„ = 1[с1+1
371. 2 cos па = B cos a)" — «B cos a)"~2 + n(~3) B cos a)"-4 —
A=0
где через -д- обозначена целая часть числа -^. Указание. Равенство
cos «a данному определителю доказать индукцией по п.
Далее, если Dn — определитель данной задачи, а ?>°—определитель
задачи 369 с заменой а на 2 cos a, то Dn = D°n — cos a D°n_v To, что коэф-
фициенты в полученном выражении cos «a через cos a будут целыми, сле-
дует из легко проверяемого равенства ——г Ckn_k~Ckn_k — Cknz\_i и из
того, что все члены, кроме последнего, содержат множитель 2, а послед-
ний член не содержит 2 cos a лишь при четном «, но тогда k = -=- и этот
член равен 2.
872. sin «a = sin a [B cos a)" — Cln_2 B cos a)" + C2 _3 B cos a)" —
И
- С3 _4 B cos a)" + ... ] = sin a J] C*_ft_! B cos a)"*-1, где
ft=0
«—1
есть целая часть числа —=—•
873. Указание. Применить метод рекуррентных соотношений.
"С-Ч _,,
874. 1+л:2 + л:4+ ... +х™. 875. (—1) 2 ^-^-«"-'.
876. (— пх)"~' a + ~о • Указание. Из каждой строки
вычесть следующую, все столбцы прибавить к последующему, к предпо-
следней строке прибавить все предыдущие и эту строку прибавить ко всем
предыдущим.
877. A—л:")"-1.
B)A)
878. Эти циркулянты различаются лишь множителем (— 1)
276 ответы C79—392
879. 1. Указание. Пользуясь равенством ( ) = ( I +1 I
\kj \ k I V* —1/
вычесть из каждого столбца предыдущий, а затем из каждой строки пре-
дыдущую.
880. 1. Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче.
381. 1. Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую.
882. 1. Указание. Из каждой строки, начиная со второй, вычесть
предыдущую, затем из каждой строки, начиная с третьей, вычесть преды-
дущую и т. д.
383. (—1) .Указание. Из каждого столбца, начиная со вто-
рого, вычесть предыдущий, затем из каждого столбца, начиная с третьего,
вычесть предыдущий и т. д. В полученном определителе то же самое про-
делать для строк.
884. 1. Указание. Воспользоваться указанием к задаче 382.
//n+nW/n + n—1\ 1т-\-п — />+1\
»*. U+lH п + 1 }-[ п + 1 ) указание. Поль.
/Р + п\/Р + п — 1\ /"+ )
U+i/l n+i г^Чп+1/
зуясь соотношением I )=-?¦•(•, )• выиести за знак определителя из
первой строки т, из второй т +1 и т. д., из последней т +«; из первого
столбца —, из второго —-т-у и т. д., из последнего —-г— . С полученным
определителем проделать аналогичные преобразования и т. д., пока ие при-
дем к определителю того же типа, что и в_ предыдущей задаче.
386. л. У к а з а н и е. Из каждой стро'ки вычесть предыдущую, разло-
жить по элементам первого столбца, в полученном определителе из первого
столбца вычесть второй, прибавить третий, вычесть четвертый и т. д. Пред-
ставить определитель в виде суммы двух определителей и показать, что
887. и. Указание. Из каждого столбца вычесть предыдущий, затем
из каждой строки вычесть предыдущую. Элемент 2 в левом верхнем углу
представить как 1 + 1 и получить соотношение Dn_1 = Dn_2-\-Dfn_v где
D'n_i — определитель того же вида, что и в задаче 379, но порядка л—1.
388. (л:— 1)". Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую и
показать, что Dn+] = (х— 1) ?>„.
889. 1! 2! 3!... (л—1)!(лг—1)". Указание. Свести к предыдущей
задаче.
890. хп —
Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, показать, что
Dn+l(xu,xu .... xn) = Dn(x,—x0, Xz—xj хп — лг„_,), и применить
метод математической индукции.
891. (— 1)п~1ху— — . Указание. Положить в правом ниж-
У
нем углу 0 = л: — х, разложить иа два определителя и либо применить ме-
тод рекуррентных соотношений, либо найти Dn из двух равенств:
l+x(-y)"-\ ?>„ =-у
892 х(а-уГ—у(а — х)п
х У
393—415] ответы 277
где /(*) = (a,-
(), где / (г) = (я, — г) (я2 - г) ... (ап — г).
395. а" + Р". 896. а" + л" + ... + а +1.
897. п!(а0лп+а,д:я-« + а2л:п-2+ ... +в„). 898.
п
899.Д(л: + п —2А + 1) или (л:2—12)(л:2 —З2) ... [л:2 — (п — IJ],
если п четное, и х (дг2 — 22) (х2 — 42) ... [л:2 — (« — IJ], если п нечетное.
Указание. К каждой строке прибавить все следующие, из каждого столбца
вычесть предыдущий и показать, что если Dn(x)—данный определитель,
то О„(*) = (л: + п— l)Dn_t(x— 1).
400. О, если «>2, ?I = а"— х; ?J = хаР (а2 — 1) A — а).
401. (-1)"
402. в]а2 ...
\ , 2 я /
408. abc.Ct... с„ (-Ц-— ... —).
п\аЬ с, а сп)
404. а A
•••H _l / i\ a )• Указание. Из каждой строки, начиная со второй,
вычесть следующую, из первой строки вычесть последнюю и получить опре-
делитель того же типа, что и в предыдущей задаче.
" „2 ~
405.
Указание. Использо-
вать результат задачи 306.
406.
407. 1— *1+*162 —6,Мз +¦••+(— l)n*i*2 ... *я- Указание.По-
лучить соотношение ?>„=1—6] ?>„_,.
408 ( lyi^ **
408. (— ly-i^ojfls... fln-r-*i*2fl3..-fln+ --- Jrblbi...bn_lan).
409. (— l)""^". Указание. Из каждой строки вычесть следующую-
410. (—Vf[(x — 1)" — Xя). Указание. Из каждой строки вычесть
предыдущую, в правом нижнем углу положить 1 = л:-г-A—л:) и предста-
вить в виде суммы двух определителей.
п
411. аохп JT (bi — щ). Указание. Умножить вторую строку на хп~1,
третью — иа xn~i и т. д., «-ю — на х. Вынести из первого столбца х", из.
второго хп~1, из третьего хп~2 и т. д., из «-го х.
Л(Я + 1)
412. мA+х + ? + ?+...+±у 418. 2 2
278 ответы J416-437
416. —^ ^- , где произведение в знаменателе
Д,
берется по всем i, к, пробегающим независимо друг от друга все значения
от 1 до п. Указание. Из каждой строки вынести за знак определителя
общий знаменатель элементов этой строки. Показать, что полученный опре-
делитель D' делится на все разности вида а( — ак и bt — ЬкAфк). Пока-
зать, что частное от деления D' на JJ [(а( — ак) (bt—bk)] есть кои-
<<
станта, для определения которой положить в D'
а\ =— Ьь а2 =— b2 ап = — Ьп.
Можно решить иначе, а именно: из каждой строки вычесть первую, а за-
тем из каждого столбца вычесть первый.
П
417. < < <пп . Указание. Воспользоваться ука-
П (¦*«-«*>
i, ft-i
занием к предыдущей задаче.
_,_ [1! 2! 3! ... («— 1)!]'
418. n!(n+1)!(n + 2), ...Bn-i)! • Лазание. Воспользоваться
результатами задачи 416.
419. а0а1а2 ... ап (—- -| 1----Ч )• Указание. Получить ре-
\ "о "I "л /
куррентное соотношение Dn = (fln_! + а„) Dn_x — fln_1Dn_2 и применить
метод математической индукции.
420. Континуанта {а1а2 ... а„) равна сумме всевозможных произведений
элементов а,, а2 «л> одно из которых содержит все эти элементы, а другие
получаются из него выбрасыванием одной или нескольких пар сомножителей
с соседними номерами. При этом член, получаемый выбрасыванием всех
сомножителей (при четном «) считается равным 1;
-f- fl3fl4fl6 + flifl4fl6 + ata2as + a,a2a3 -f- a, -|- a3 + a5,
= a,a2a3ata5ab -{- a3ata5ae -\-а1аАаъаъ + а,а2а6а6 -(- a{a2a3a6 -f-
+ a,a2a3at + fl6fl6 + a3a6 -\- a,ae -\- a3at + fl,fl4 -\- a,a2 + 1.
Указание. Проверить справедливость указанного закона для конти-
нуант 1-го и 2-го порядков и, предположив его справедливость для конти-
нуант (п — 1)-го и («— 2)-го порядков, доказать справедливость его для
континуант «-го порядка. Для этого вывести рекуррентное соотношение
421. (D
424. Указание. Показать, что число инверсий в обеих строках дан-
ной подстановки равно щ -\-а2-\-...+% + Pi + P2-j-.. .+Pft—2 A+2+.. .+*)•
425. 10. 426. 100. 427. 60. 428. 10. 429. —4. 430. —2. 431. 195.
432. 90. 438. 8. 434. 4. 485. 1000. 436. 12. 43f. (x2 — л:,) sin (Y — P) +
+ ( — Уi) sin (a — у) + (*2 — *i) sin (P — «)•
438-464] ОТВЕТЫ 279
438. Л2лг, + В*х2 + &х3 + 2ВСу, + 2СЛу2 + 2ЛВу3, где А = be' — 64
В = са' — с'в, С = ар' — в'о.
489. — (ауг + Ьхг + сху). 440. — (аа' + bb' + ее'). 441. abc —
— х (be 4- еа + лб). 442. (л:4 — л:3) [(л:3 — х2) (xt — х2) — 2 (*3—л:,) (лг4 — •*,)].
п
444. (-1)» П (х,-**J-
445. — 84. У к а з а н и е. Из второй строки вычесть удвоенную первую,
к третьей строке прибавить удвоенную четвертую.
446. —84. 447. 98. 448. 43. 449. 81. 450. 14. 451. (—1)п (пх + I) х".
452. 01ЯР2|/j_ 1 . . . 0И1 (&Ш Cin)(fl2n—1 С2И— l) • • • (аП1 Сш)-
453.ЛГ2"—л:2"-2 (а, + а2+.. -+а„у. 454. а) 0=^,^4; б) D = (— l)*JW2Af3.
455. D = (— 1) 2 MiM2 ... Mt. Правило знаков иначе можно
сформулировать так: при четном I берется знак (— 1)*, а при нечетном
k(k-i)
/ — знак (—1) 2 .
459. B*+' —1)C'+1—2г+1) —4B* —1)C' —2'). Указание. Разло-
жить по первым k строкам и применить метод рекуррентных соотношений.
460. (fl,fl2 ... а„) = (аха2 ... ак) (ak+iak+2 ... an)-}-(ala2 ... flft_i)X
X («*+2«*+3 ¦ ¦ ¦ ап). Полагая здесь n = 2k, а, = а2 = ... — ап = 1 и обозна-
чая через ы„ п-е число ряда Фибоначчи, получим u2k = «! + '4_i. T- е-
сумма квадратов двух соседних чисел ряда Фибоначчи также является чи-
слом этого ряда.
462. Указание. Рассмотреть определитель порядка 2л матрицы,
полученной из данной приписыванием снизу тех же « строк в том же
порядке.
4S8. Указание. Разложив D по 1-й, 3-й и 5-й строкам, показать,
что D = А№, где А не зависит от элементов А. Для определения А поло-
жить элементы на главной диагонали А равными 1, а вне главной диаго-
нали А равными нулю.
464. Указание. Определитель в левой части равенства разложить
на сумму определителей относительно каждой строки и представить в виде
2
i,j,k=O
где Dijk =
а1
а>
а*
Показать, что последнюю сумму можно брать лишь по всем тройкам ijk,
не содержащим равных чисел, разлагая определитель 5-го порядка в правой
части равенства по первым трем строкам, представить правую часть в виде
2 aibjekCijk гДе сумма берется по всем тройкам различных чисел ijk, изме-
няющихся от 0 до 4. Наконец, показать, что имеет место Dijk = Сук;
для этого любую тройку чисел ijk свести к случаю i < } < k перестановкой
строк и столбцов определителей и рассмотреть все десять возможных слу-
1 1 1
; —В). Но
чаев. Например, Ао, ь 3 =
Р V
рз y3
280 ответы [466
иС0,,.з=-
p
Q
0
1
1
1
6
r
Y
P2
r
V2
ОТВЕТЫ
^= (O. —r" 6
V I r
-«)(Y-«)(Y — Р), так как
/ ( + P + Y)
466. Решение. Доказательство проходит по тому же плану, как и
в теореме Лапласа. Покажем, что любой член произведения ejW,M2 ... Мр
-есть член определителя D. Пусть сначала Af, лежит в первых к строках и
первых ft столбцах, М2— в следующих I строках и следующих I столбцах
и т. д. Мр — в последних s строках и последних s столбцах. В этом случае
подстановка A) является тождественной и е = -|-1-
Берем произведение любых членов миноров Ми М2, ..., Мр в порядке
возрастания первых индексов элементов. Оно содержит по одному элементу
из каждой строки и каждого столбца и, значит, по составу элементов будет
членом D. Если во вторых индексах элементов члена минора Mi есть ty
инверсий, то знак этого произведения будет (— \)°\ + '"+0р. Но индексы эле-
ментов двух разных миноров Mt и Mj инверсий ие образуют. Значит,
<Т] + ... -j- Op есть общее число инверсий во вторых индексах элементов
взятого произведения, и оно будет членом. D также и по знаку. Пусть теперь
миноры Mi расположены произвольно. Переведем их в рассмотренное выше
положение на главной диагонали такими перестановками строк и столб-
цов D. Сначала первую строку минора Ми имеющую номер аи переводим иа
первое место, переставляя со всеми вышележащими строками D. При этом
мы совершим а( — 1 транспозиций строк, т. е. столько, сколько инверсий
образует число а, в верхней строке подстановки A) со следующими за ним
¦числами. Затем строку с номером <х2 тем же путем переводим на второе
место, совершая столько транспозиций строк, сколько инверсий образует а2
в верхней строке подстановки A) с числами, следующими за ним, и т. д.
Так же переставляем столбцы D. Если в первой строке подстановки A) а,
а во второй т инверсий, то е = (—1)а+т и всего мы совершим а-\-х транс-
позиций строк и столбцов D. Поэтому мы придем к новому определителю ?>',
для которого D = eDr. B)
По доказанному ранее любой член произведения MtM2 ... Мр будет
членом определителя D', а в силу B) любой член произведения eMiM2.. .Мр
будет членом определителя D.
Все члеиы одного и того же или двух разных произведений eAf,M2.. ,Мр
¦отличаются друг от друга по составу элементов и потому будут различными
членами определителя D. Остается доказать, что общее число членов всех
таких произведений равно «! Число миноров Мх равно С*. Если Мх уже
выбран, то миноры М2 могут лежать лишь в оставшихся «— к строках и
их число (для каждого выбора М^ равно Cln_k. При выбранных М1 и М2
число миноров М3 равно C™_k_t и т. д.; наконец, при выбранных Af(
М2, ...,iMp_, число миноров Мр равно С* = 1. Поэтому всех произведений
вида еМ,М2 ... Мр будет
/->А W гущ s>s
_ п\ (п — к)\ (n — k — l)\ s\ _ n!
~~ *!(« —ft)! * Л(л — k —1)\ m!(« — ft — / — m)! "" s! klllml...ls\'
Но число членов определителя D в каждом произведении еМtM2 ... Мр
равно к\ Л ml ...! s\. Значит, число членов во всех произведениях е,М{М2.. ,Мр
J53BHO -ггт,—г—г-г ft! Л т!...! s! = «!.
ft! Л ml ...! si
467—478] Ответы
467. Получим при умножении
281
— 1 2 —3
— 4 —7 —13
— 3 —4 —13
7 —26 13
12 —35 19
строки на строки:
строки на столбцы:
столбцы на строки:
столбцы на столбцы:
Значения данных определителей —5 и 10, а значения всех полученных"
определителей равны —50.
468. (л2 + *2 + с2 + <*2J. *69- (<г2 + 62 + с2-М2 + «2 + /2 + ?-2 + /24
470. 0 при л > 2; (х2 — Jti) (у2— У 0 при п = 2. Указание. Пр
ставить в виде произведения определителей:
— 3
— 3
4
9
13
12
1 -
1 -
7
— 35
— 47
— 37
-6
-8
1
18
24
17
ред-
а:, 0 ... О
х2 О ... О
1
О ... О
1 у, О ... О
1 у2 О ... О
1 уп 0 ... О
471. О, если п > 2, sin (а, — а2) sin фг — р2), если « = 2.
472. О, если п > 2, sin2 (oil — а2), если п = 2.
478. О, если л > 2, —sin2 (а,—а2), если п = 2.
474. JJ D —<»*)№—**)¦
475. С\С\...С"п
П
л>/>*>0
476. (—1) 2 [(л—1)!]". Указание. Элемент в 1-й строке и k-н
столбце записать в виде [< + (ft—I)]" и разложить по формуле степени
бинома или прямо воспользоваться результатом предыдущей задачи.
477. JI (Xi — xk)K 478. JJ (л:— xt) JJ (*, — xk)K У к а-
Л^/>А^1 2—1 n^l~>k'^-\
зание. Представить в виде произведеиия определителей:
1
х\
4
1
V2
¦«2
1
хп
„2
1
X
х2
„/! —1
Х2
хп
И
1
У2
х\
„л—
Л1
0
1
Х2
4
х\-Х
0
... 1
... х„
...xl
л-1
... хп
... 0
0
0
0
0
1
причем произведение составляется по строкам.
282 ответы _ D79-492
479. Указание. Данный определитель помножить на определитель
Вандермонда
и1
4 ••• «а
481.A—а")". Указание. Использовать результат задачи 479
и равенство A—<хе,) A—<хе2) ... A—<хе„) = 1—а", где е,, е2 е„ —
кории «-й степени из единицы. Проще, однако, вычислить этот определитель
как частный случай определителя задачи 325.
483.(fl + * + c + d)(fl — Ь4-с — d)(a + bi — с — di)(a — Ы — c
= а* — Ь* + с* — d* — 2аЧ2 + 2ЬЧ2 — 4a4d + U2ac — 4c4d + 4d'ac.
484
¦ ¦ ¦ ' - ¦¦" четном.
(-I)»-"" ' " "й
(l-o")» '
48В. Указание. Вычислить первый определитель, используя резуль-
тат задачи 479.
487. (—2)и-1(« — 2р), если пир взаимно просты; 0, если п и р не
взаимно просты. Указание. Использовать результат задачи 479 и свой-
ства корней «-й степени из единицы, в частности то, что при р, взаимно
простом с п, числа ef, ef, ..., е? снова являются всеми значениями у \t
-а при р, не взаимно простом с п, найдется ек Ф 1, для которого ejj! = 1.
488. [3 + (« — p)b] (a — Ь)п~1, если « и р взаимно просты; 0, если п и р
не взаимно просты. Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей
задаче.
489. 2"~2(cos"-^—1\. Указание. Положить cos-^-=-^~_f
где е, = cos 1- / sin —, использовать результат задачи 479 и то, что для
п-1
любого а имеем JJ (л — ef*) = а" — 1 и е" = —1.
ft=0
[cos 9 — cos (n -f 1) 9]" — A — cos n6)"
°" 2A—cos G) ~~
Указание. Положить е = cos \-1 sin , 11 = cos 9 -f- i sin 9 и вос-
пользоваться результатом задачи 479.
491. (-1)» 2»-2 sin" -f- [cos» (e+-f-) -cos» (e+ (n~2)fe)].
492. (-I)" (n+l)Bn+l)n2 [(n + 2)„ _ пП] y K a з a н и е. Ис.
пользовать результат задачи 479 и соотношения l2 + 22 + 32-f- ... -\-п2 =
493-499]
ОТВЕТЫ
283
e — корень n-й степени из 1, отличный от 1. Для получения последнего
равенства умножить и разделить левую часть на 1 — е.
498. / (Г|,) / (ti2) ... / (г|„), где / (л:) == а, + а2х + asx2 + ... + а„х»-1 и
Tii, ii2, ..., 1\„ — все значения корня у"—1, например, % = cos^ \-
B/i 1ч я п
4-1 sin — — . Указаиие. Данный определитель умножить на опре-
п
делитель Вандермонда, составленный из чисел rj,, тJ, .... г\„.
494. /(а,)/(а2).../(а„), где /(я) = а, + а2х + a*x* + ... +апх"-*
и а,, а2, ..., а„ — все значения корня «-й степени из z.
495. Указаиие. Обозначив корни степени 2п из 1 через tk =
= cos 1- / sin , ft = 0, 1, 2, ..., 2« — 1, показать, что числа е* с четными
п п
индексами ft дают все корни и-й степени из единицы, причем а, ¦
а числа еь с нечетными индексами ft дают все
кории «-й степени из —1, причем аг -\- ag,b -f- взЕ* + • • • + fl2ne*
" X
( +) ( (
496. Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадра-
тов четырех целых чисел, само будет суммой квадратов четырех целых
чисел. Указание. Каждый из определителей возвысить в квадрат.
497. Произведение двух чисел, каждое из которых равно значению
формы -*с3 + У3 + гь — Зхуг, при целых значениях х, у, г само будет числом
того же рода. Указание. Вычислить произведение определителей
а' Ь' с'
а
с
Ь
b
а
с
с
b
а
¦
с' а'
Ь' с'
Ь'
а'
помножая строки первого иа столбцы второго.
498. Указаиие. В произведеиии определителей
1
1
а
Ь
с
1
1
1
b
а
Ь
¦
Ь'
а'
с'
1
составленном путем умножения столбцов иа столбцы, третий столбец помно-
жить на s' = а' -\- Ь' -\- с' и множитель s' вынести из второй строки за знак
определителя. Затем из третьего столбца вычесть первый и второй.
499. Указание. Записав определитель D в виде
*. - 2*1.**
D-
fl2, *Д А, 2 fl2, kj>2, к2 ¦•¦ 2
kjm, кт
kjm,
2fl*. *«.*»¦.*«
где все суммы у-го столбца берутея по одному и тому же индексу
kj = l, 2, ..., и, разложить D в сумму пт определителей относительно
столбцов, в каждом слагаемом из у-го столбца выиести bjt k за знак опре-
делителя и показать, что ' 1
?> =
2
°i, к°% к.
...*„
C)
¦284
ОТВЕТЫ
[500—511
где индексы суммирования меняются от единицы до и независимо друг от
З A 0 k k k
д ур
друга. Заметить, что Ak
¦есть равные. Вывести
б /
дц д
k = 0, если среди индексов ku k2
k k
отсюда утверждение
i 1 <
B), а при т<;и доказать, что
i i <
р урд (), р <
для любых индексов /,, i2, • • .. «т. где 1 < it < i2 < ... < im < «, все сла-
гаемые суммы C), в которых индексы kh k2, .... km образуют любые пере-
становки чисел iu 12, ..., im, имеют сумму, равную At ^ ( ... i '&i i i •
и отсюда получить утверждение A).
500. Указание. Матрицы А а В дополнить до квадратных при
помощи т—п столбцов, состоящих из одних нулей.
501. Указание. Применить теорему задачи 499 к матрицам
„\ /с, с2 ... с„\
j U d2 ... dnV
at a2 ... а„\
b2 ... bn
503. Указание. Воспользоваться тождеством предыдущей задачи.
504. Указание. Применить теорему задачи 499 к матрицам
в, а2
Ь2
... ап\ /^ ^ ... пр\
... bj U, Ь2 ... Ьп)'
505. Указание. Воспользоваться тождеством предыдущей задачи.
506. Указание.' Перемножая D и ?>'' по строкам, показать, что
?>D' = D", откуда при D Ф 0 и следует A). При D = 0 рассмотреть случай,
когда все элементы ?> равны нулю. Если D = 0, ив хотя бы один элемент
Щ) фО, то к /-й строке D', помноженной на ву, прибавить первую строку,
помноженную на atj, 2-ю, помноженную ua,a2j, ..., и-ю, помноженную на anj,
и показать, что ayD' = 0.
Случай D = 0 можно обойти, если считать элементы D не числами,
а независимыми переменными. Тогда определитель будет многочленом, от-
личным от нуля, и мы докажем, что A) есть тождество, значит, оно верно
при любых числовых значениях переменных ву независимо от обращения D
в нуль.
507. Указание. Сначала рассмотреть случай, когда М лежит в левом
верхнем углу. Помножая по строкам D на минор М', записанный в виде
показать, что DM' = DmA и M1=Dm~xA (случай D = 0 можно обойти
аналогично тому, как указано в предыдущей задаче, т. е. считать D много-
членом от п2 неизвестных аф. Затем общее расположение М свести к рас-
смотренному перестановками строк и столбцов, для чего показать, что при
перестановке двух соседних строк (или столбцов) во взаимном определи-
теле D' происходит такая же перестановка строк (или столбцов) и, кроме
того, все элементы D' меняют знак.
508. Указание. Использовать" предыдущую задачу.
509. Указание. Использовать предыдущую задачу.
510. Указание. Применить равенство задачи 507 при т~= п — 1.
511. Указание. Применить равенство задачи 507 с заменой шнаи — т.
512—52Ц
ОТВЕТЫ
285
512. Указание. По значению взаимного определителя D' найти зна-
чение определителя D и применить равенство задачи 510. Показать, что
задача имеет и — 1 решений.
513. Указание. Первый определитель представить как квадрат опре-
делителя Вандермонда, составленного из чисел 0, хи х2, ..., хп.
514.
,= 2 ««*«*/ с /=i. я
п).
k-=l
515. Указание. Рассмотреть произведения Л Л и АЛ, где D — данный
определитель, а Д — определитель того же порядка, что и Д полученный
перестановкой t-н и j-w. строк из определителя, имеющего единицы на глав-
ной диагонали и нули вне ее.
516. Указание. Рассмотреть произведения ZM и АД где D —данный
определитель, а в А элементы главной диагонали равны 1, элемент в i-й
строке и в j-м столбце равен с, а остальные элементы равны нулю.
517. Указание. Положить q>i=ci2 — <х3; Ф2 = аз — аь фз = а1—а2-
518. Указание. Применить тождество задачи 502.
520. Определитель равен удвоенной площади треугольника MtM2M3,
если направление наименьшего поворота луча MsMt до совпадения с М3М2
совпадает с направлением наименьшего поворота от положительного напра-
вления Ох до положительного направления Оу. В противном случае он
равен удвоенной площади треугольника MtM2M3 со знаком минус.
Решение. Указанные преобразования координат выражаются фор-
мулами
х = х' cos а — у' sin а -J- хв, у = х' sin а -\- у' cos а -f- ув.
Отсюда, умножая по строкам, находим:
x\
x2
4
y\
Уг
У*
1
1
1
•
cos a
sin a
0
— sin a
cos a
0
¦*o
Уо
1
xx
x2
x3
У1
У2
Уз
Но второй определитель в левой части равенства равен 1. Этим неизменность
данного в задаче определителя при указанных преобразованиях доказана.
Перенесем начало координат в точку М3 и повернем оси так, чтобы новая
ось абсцисс пошла по M3MV Новые координаты точек Мь М2, М3 будут
х[ = M3MV Уг= ±^> гДе Л — высота треугольника М^М^^ опущенная из
вершины Ми причем выбор знака плюс или минус связан с ориентацией
треугольника указанным выше правилом, у\ = х'3 = y'z = 0. Поэтому опре-
\ 0 1
делитель принимает вид
0
У2
о
= ±-/И3Л41 • Л = ±2S, где S — площадь
треугольника М{М2М3.
521. Определитель равен площади параллелограмма, построенного на
отрезках, соединяющих начало координат с точками Mt и М2, взятой со
знаком плюс, если направление кратчайшего поворота от OMt к ОМ2 и от
Ох к Оу совпадают, и со знаком минус, если эти направления противоположны.
Определитель не меняется при повороте осей, но может меняться при пере-
носе начала. Указание. Применить результат предыдущей задачи, приняв
за третью точку начало координат.
286 ответы [522—529
522. R = —— . Указание. Центр описанного круга принять за начало
координат, воспользоваться соотношениями
Я2 - xtxj - у1У} = -1 l(xi - XjY + (у, - у,-)*] (i, j = 1, 2, 3),
а также результатом задачи 520.
523. Указание. Показать, что квадрат определителя равен 1. Для
определения знака, пользуясь непрерывностью определителя по совокупности
всех переменных щ, Р/, Y/ ('" = 1> 2, 3), показать, что при вращении фигуры
О ABC ои не изменяется.
524. Определитель равен объему параллелепипеда, построенного на
отрезках, соединяющих начало координат О с точками Mh М2, Ms, или шести
объемам тетраэдра 0MtM2Ms, взятым со знаком плюс, если ориентации
триэдров 0MtM2Ms и Охуг одинаковы, и со знаком минус, если эти ориен-
тации противоположны (при этом ориентации считаются одинаковыми, если
после совмещения путем вращения триэдра Охуг оси Ох с OMt и плоскости
хОу с 0MtM2 так, чтобы Оу и ОМ2 лежали по одну сторону от Ох, лучи Ог
и ОМ3 окажутся по одну сторону от плоскости хОу, и противоположными,
если по разные стороны). Указание. Если аь а2, а3, Pi, p2, Рз, \ь Y2.
Y3 — соответственно косинусы новых осей Ох1, Оу', Ог' со старыми, то
старые и новые координаты связаны соотношениями:
;
Пользуясь этим и результатами предыдущей задачи, доказать неизменность
определителя настоящей задачи. Для выяснения геометрического смысла
определителя повернуть систему координат Охуг так, как указано выше
при определении одинаковой и противоположной ориентации триэдров.
525. V = abc Y^l — cos2 a — cos2 p — cos2 y+2 cos a cos P cos y- Указа-
ние. Вычислить V2, пользуясь результатом предыдущей задачи.
526. Указание. Взять на лучах О А, ОВ, ОС точки mt, m2, тъ на
расстоянии 1 от начала координат и применить результат задачи 524.
527. Определитель равен шести объемам тетраэдра с вершинами Ми М2,
М3, Mt, взятым со знаком плюс, если триэдр лучей из Af4 в каждую из
точек Mi, M2, М3 имеет одинаковую ориентацию с триэдром Охуг и со
знаком минус — в противном случае. У Казание. Перенести начало коор-
динат в точку МА и применить результат задачи 524. Иначе можно посту-
пить аналогично решению задачи 520, пользуясь задачей 523. Тогда задача 524
получится как частный случай данной (аналогично тому, как было на пло-
скости в задаче 521).
528. R = у
* 2W Х
VA At где v ~
объем тетраэдра и 1ц = ljt (i, j — 1, 2, 3, 4, i Ф j) — длина ребра, соединяю-
щего вершины (х[, yi, zt) и (xj, yj, zf). В случае правильного тетраэдра
с ребром длины а получим R = —-^—. Указание. Применить результат
предыдущей задачи и соотношение
R* - Xlxj — yiyj - zizj = -i [(*, - x,Y + (у, - y;J + & — zjYl
верное в предположении, что начало координат перенесено в центр опи-
санного шара.
529. Указание. При доказательстве утверждения 2) показать, что век-
тор a,-=(efi, щ2, ..., «;„) можно представить в виде щ=аце1-\-а,12е2-{-.. .-{
530—5321
ответы
287
Далее показать, что при перестановке двух векторов функция / (а,, а2, .... ап)
меняет знак. При доказательстве этого, например, для векторов ah а2| рас-
смотреть /{d-J-аг, п\-\-а2, а3... ап).
530. Указание. Доказать, что функция f(ax, a2 ап) = \АВ\ от
строк матрицы А обладает свойствами (а) и (Р) и что /(е\. е2 еп) = \В].
531. Положим / (ец, ец, ..., е{„) = 1 при любых /ь /2 1п = I, 2, ..., п
п
{одинаковых или различных), В силу (а), полагая щ = ^
aijej> получим
/(о,, а2г..., а„)=
2 ei, /«2. <,"•••««,/ •
..'2 '„=1 ' 2
Этим функция f (а\, а2, ..., в«) определена. Очевидно, она при перестановке
векторов не меняется, т. е. в случае поля характеристики 2 меняет знак.
Поэтому (Р') выполнено, а (р), очевидно, не выполняется.
JL (я-1)(Зя-2) ?
532.
(Р
о 2 JL (я-1)(З
(—1) "/ "'и2 —I 2
определитель D сам на себя и замечая, что е*
когда k делится на п, получим:
и 0 ... О О
0 0 ... 0 п
0 0 ... и О
и2. Решение. Умножая данный
1 тогда и только тогда.
О и ... О О
(-1) "-'л"
—
n2
с2 —
откуда D=±i ""'n2 и для модуля D находим: ]D] = n2. Остается
определить аргумент. Вычисляя D как определитель Вандермонда чисел 1, е,
¦е2,..., е"~1 и полагая затем е = а2, где a=cos J— /sin —, получим:
(**-*')
П
k<n-l
(«2ft-«2/)
П
0</<ft<n-l
= П «/+* П asm {к~Лп..
0</<ft<n—1 0<5у<й<л —1 "
Для рассматриваемых значений / и k всегда 0<А — j < n и, значит,
sin- ~~ >°- Поэтому |D|= JJ 2sin ^ ~}'п = п*.D = |Р|р,
JJ а-'"*. В показатель степени при а каждое целое
" 2
где Р = i "
<
число р@<р<я — 1) войдет ровно и—1 раз: либо под видом j для
А = р+1> Р + 2,.... и —1, либо под видом k для / = 0, 1, 2, .... /> — 1.
л^ Л
Замечая, что а2 =1 (при нечетном и будет а2 = ±1, однако выбор знака
ме играет роли ввиду четности числа и — 1, что ясно из приведенных ниже
вычислений), находим:
п(п-Ц л(п-1)» я(л-
Сп-1)(Зя-2)
о
/ 2
288 ответы [533—542
Полагая Зп = 2п-\-п и используя данное выше выражение для | D |, полу-
чаем требуемое выражение для D.
533. Определитель будет помножен на B — k) 2*. Указание. Слу-
чай любых строк свести к первым. Если же выделены первые k строк, то
указанное преобразование может быть получено путем умножения данного
определителя слева на определитель того же порядка, в котором все эле-
менты главной диагонали равны 1, элементы вне главной диагонали, стоящие
в первых k строках и первых k столбцах, равны — 1, а остальные элементы
равны нулю.
534. 'D = DB-{-Sx, где DB — значение определителя D при л: = 0 и
S — сумма алгебраических дополнений всех элементов *D0.
585. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
536. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
537. Указание. В определителе задачи 534 положить х = — 1.
539. Указание. Применить метод математической индукции.
540. Указание. Все пр строк определителя D разбить на и систем
по р строк в каждой, отнеся к первой системе строки с номерами 1, п-\-\,
2и-|-1, • •.. (р — 1)я +1. ко второй — строки с номерами 2, п-\-2,2п-\-2,...
..., (р—\)п-\-2 к и-й — строки с номерами п, 2п, Зл рп. К этим
системам применить обобщенную теорему Лапласа задачи 466. Показать, что
миноры порядка р любой из указанных систем равны нулю, если хотя бы два
вторых индекса элементов 6у одинаковы и что О = /(аИ) . ...а„„) В", где
f(an, ...,апп) не зависит от элементов Ьц. Для определения f(aH, ...,а,ш)
положить 6«.= 1 для / = 1, 2, ..., и и 6у = 0 для I, /=1, 2, .... п, гф].
542. Решение. Если все Ац = 0, то можно положить
Ai = Bt = 0 (/=1, 2,..., п).
Пусть, например, алгебраические дополнения элементов последнего столбца
не все равны нулю (в случае другого столбца рассуждения аналогичны).
Так как D = 0, то алгебраические дополнения элементов двух столбцов про-
порциональны (см. задачу 509)
A/=i^= ^ Аш __ Bi ,/=1 2 п_п
~2— ^ —2 и 1 А и I)
где дробь -уг- будем считать несократимой. Отсюда
W
А В'
Aij=-7TL C=l. 2,.... и;/ = 1, 2, .... и-1). A)
' B'i
Но Ац многочлен от хь х2, ..., xs и дробь ~^- несократима. Поэтому Д„
должно делиться на С/ О" = 1, 2, ..., и — 1), а значит, и на общее наимень-
шее кратное всех С) (/=1, 2, ..., и—1). Обозначив это общее наименьшее
кратное через Вт получим:
Ain = AtBn (/ = 1, 2, .... и), B)
ту
где все Ai—многочлены от *,, хъ .... хп. Положим Bj = -^--Bj (/=1,
2,.... и—1). Все Bj — многочлены от хь х2, .... хп, причем из A) находим:
A=1, 2, .... п, /=1, 2, .... п-1). C)
Равенства B) и C)и доказывают теорему. В частности, для определителя Д
можно положить: Ах = Вх = с, А2 = Вг = — 6, А3 = В3 = а.
543—546] ОТВЕТЫ 289
543. Решение. Пусть D2n — кососимметрический определитель по-
рядка 2п. Применим индукцию по п. Для л = 1 теорема верна, ибо ?>2 «= а%2-
Предположим, что теорема верна для числа п и докажем ее для числа
п-\-\. Вычеркнув из данного определителя D2n+2 последнюю строку н
последний столбец, получим кососимметрический определитель D2n+l,
равный нулю. Его элементы можно рассматривать как многочлены от эле-
ментов, стоящих выше главной диагонали с целыми коэффициентами. По
теореме предыдущей задачи, алгебраические дополнения элементов D2n+\
имеют вид A[j = AiBj (i, j=\, 2, — 2п-\-\\ где A-t и Bj— многочлены
от тех же неизвестных. Миноры Мц и Myt в D2n+l получаются един из
другого транспонированием и изменением знаков элементов, а так как они
четного порядка 2п, то Ац = AjL. Или A-Jij = AjBL.
^ = ^j = U Bi = X-Ai (i=l, 2, .... 2n + l).
Я — рациональная функция тех же неизвестных. Далее, Al{ = A[Bt=KA2i и
по предположению Ац есть прлный квадрат. Значит, Я, = ц2, где \х — рапио-
нальная функция. Итак, Ац = {цА^2. Здесь слева стоит многочлен. Но квадрат
несократимой дроби не может быть многочленом. Значит, \xAi = а — много-
член. Применяя разложение, данное в задаче 541, находим:
2/1+1 2/1+1
?>2/1+2 = ^J Aijai, 2/1+2^2/1 + 2, / — 2Li -^'fifiit 2n+2aj, 2/1 + 2 =
t. 7-1 i, /=1
Bл+1 \ /2n + l \ /2/1+1 \2
2 Afll, 2„ + 2 2 Bju)> 2« + 2 = % S Alal- 2« + 2 =
/-1 /47 = 1 / V/-=l /
/2n + l \2
= I 2 ^lal< 2"+2 ) *
\i-=l /
Этим утверждение задачи доказано. Это доказательство не дает удобного
приема для фактического вычисления многочлена, квадрату которого равен
данный косой симметрический определитель четного порядка. Такие правила
даны в задачах 545 и 546.
544. Указание. Рассмотреть два члена, в одном из которых подста-
новка индексов имеет цикл (а^ ... ал) (Л — нечетно и больше единицы),
а в другом — цикл (аЛа/,_1 ... а2а,). Случай Л= 1 рассмотреть отдельно.
545. Указание. При доказательстве 1) по данной паре Nlt N2 при-
веденных пфаффовых произведений восстановить запись A) подстановки
искомого члена, имея в виду, что если записать этот член в виде
± %, а2аа2, а, • • • %, а,% Р2 • • ¦ %, ц,,
то Z/j состоит из элементов, занимающих в этом произведении нечетные
места, a N'2 — четные места. Например, в N1 берем элемент с первым
индексом at = 1. Второй его индекс а2 даст второй элемент первого цикла.
В N2 берем элемент, один из индексов которого есть 02. Если другой
индекс — а,, то цикл замыкается, если <х3, то это третий член цикла, и т. д.
Показать, что в полученной подстановке все циклы четной длины. При дока-
зательстве 2) заметить, что Nl = Nft и Л^ = Л^. Знак члена определить как
(—1)*, где s — число циклов соответствующей подстановки. Утверждение 3)
вывести из 1), 2) и теоремы предыдущей задачи.
546. Указание. Показать, что в каждое слагаемое агрегата р„
входит один и только один элемент и-го столбца ?>„; в каждом слагаемом рп
290 ответы [547—553
расположить элементы в порядке возрастания вторых индексов и показать,
что если вынести за скобки элемент а-1П из всех слагаемых, его содержащих,
то в скобках останется р1п со знаком (-^1)"~1~'=(—1)' *.
547. Р2 = а,\2, р^ \
6 #34^15^26 +
+ «14а35в26
alsa2ia56 + al2a$ia56.
548. 1-3-5...(я — 1).
549. Указание. Определитель
D'
— xt ... —хп 0
полученный окаймлением D, разложить по формуле задачи 541 и приравнять
к квадрату пфаффова агрегата для D', применив к нему формулу задачи 546.
В полученном равенстве положить xi = xj = 1, х^ — 0 при i Ф кф J.
550. Указание. Используя то, что произведение двух многочленов,
отличных от нуля, само отлично от нуля, показать, что если D = АВ — пред-
полагаемое разложение и какой-нибудь член многочлена А содержит аи,
то никакой член В не содержит элементов цервой строки (столбца). Вывести
отсюда, что каковы бы ни были /, /= 1, 2, .... п, найдется член в А, содер-
жащий пц, но никакой член В не содержит ац. __
551. Указание. При доказательстве 2) определить Ап_к, исходя
из нумерации, th t2 t n . сочетаний из п чисел 1, 2, .... и по и — к,
\n-k)
которая связана с нумерацией slf s2, ..., s.n., определяющей Aft так, что ti
(ft)
содержит те л — k чисел, которые не входят в S/. Если at—сумма чисел из
сочетания S/, то вынести из i-й строки и i-ro столбца (/ = 1, 2, .... | п ||
_ а V \n — k)l
определителя Д„_^ множитель (—1) '. При доказательстве пункта 4), исполь-
зуя равенства пункта 3) и неприводимость D, установленную в предыдущей
задаче, а также степень D и Д^ относительно элементов fly, показать, что
/П-1\
A^=cD , где с не зависит от элементов ац. Для определения с по-
казать, что как Д& так и ^Л*-1' содержат член (аиа22 ... впп)
с коэффициентом, равным единице.
552. Рп = Qn = 1. Указание. Показать, что Qn = Р\.
п
553. Указание. Показать, что <2у= 2 PkiPkft(*Х где Ри —те же»
что и в предыдущей'задаче.
554—586] ответы 291
Отдел II. Системы линейных уравнений
554. Xi = лг2 = 1, х3 = лт4 = — 1.
555. ЛГ| = — 2, jf2 = 0, Jfs = 1, Jf4 = — 1-
556. j^| =s= 1, лг2 = x3 = 2, -^4 = О.
557. a:! = 2, Jf2 = — 2, лг3 = 1, xt = — 1.
558. .*! = — 0,4, *2 = — 1,2, Jf3 = 3,4, xt = 1.
559. ¦* = -§¦' y = -l, *=—§-. f = 0.
560. л: = -3, y = 0, г = -1, *=-|.
561. лг = 2, у=-3, *¦=—§" <=i.
562. Система решений не имеет. 568. Система решений не имеет.
564. Изменение нумерации неизвестных вообще не переводит систему
в эквивалентную, но при решении системы оно допустимо при условии, что
после решения системы мы возвращаемся к исходной нумерации. Указа-
ние. Показать, что после преобразований типа а), б), в) любое уравнение
новой системы линейно выражается через уравнения старой системы и обратно.
567. >:,= —1, хг = 3, х3 = — 2, лг4 = 2.
568. Xi = 2, х2 = \, х3 = — 3, х4=1.
569. xi = — 2, х^ — 1, х3 = 4, х4 = а
1 Я
570. jc, =0, Jf2 = 2, -*з = -з-. -«4 = — ~2'
1 2
571. xi~y> Х2 = — -3. -*s = 2, Jf4 = —3.
572. лг, = 104у, л:2 = 7у, л:3 = —10, лг4 = 1.
578.^ = 5, лг2 = 4, Jf3 = 3, лг4 = 2, л:5=1.
574. лс, = 3, Jf2 = — 5, х3 = 4, л:4 = — 2, Jf5 = Ь
1 2 1
575. л:, = y> Jf2 = —2, л3 = 3, xt = -g, x5 = —-g. Указание.
Принять за новые неизвестные 2хь Злг4, 5л6.
576. х, =5, Jf2 = 4, *3 = — 3, лг4 = 3, xs = — 2.
3 5
577. л:, = 2, Jf2 = —у, ^3 = 4, x4 = 3, xs — -^.
578. Система неопределенна, т. е. имеет бесконечно много решений;
Xi и х2 можно выразить через xs и лг4 так: х{—6—26дсд-[- 17л:4,
л:2 = — 1-J- 7х3 — 5х4, причем х3 и хА могут принимать любые значения.
579. Система неопределенна. Общее решение: хх = -т^- F — 15jf2 — х4),
х3 = -F- A + 4лг4), где хг и х4 принимают любые значения.
580. Система противоречива, т. е. не имеет решений.
581. Система решений не имеет.
584. Если аи а2, ..., ап — все элементы поля, то многочлен /(¦*:) =
= (лт—at) (х — а2)... (х — ап) равен нулю как функция, но имеет коэффи-
циент единицу при хп.
585. / (л:) = х2 — Ьх + 3. 586. / (х) = 2х* — 5л:2 + 7.
292 ОТВЕТЫ [587—596
587. При заданном асимптотическом направлении через любые и -j-1
различные точки плоскости, из которых никакие две не лежат на прямой
асимптотического направления, можно провести параболу не выше n-й сте-
пени и притом только одну.
588. у = 3л:3 —5л:2+1- 589. х = у4 — Зу3 — 5у + 5.
590. x = ^(-a + b + c+d), у = ±(й
— l ( с —ad , c'—a'd , с"— a"d\
591. x-^\- b_a -f- v_a, + ъ„_а,.у
l (с —ad c' — a'd , c" — a"d\
У = ТГ&^ tr^r-+ b"-a")'
\(c — ad c' — a'd c" — a"d\
Z~ 2\ b—a + b' — a' b"—a" )'
1 fc — ad c' — a'd c" — a"d\
2\b — a+b' — a' + b" — a" )'
Указание. Для доказательства единственности решения показать, что
определитель системы -равен 2F — а) (Ь' — а') (Ь" — а") Ф 0. Для нахожде-
ния решения из первого, второго и третьего уравнений вычесть четвертое,
умноженное соответственно на а, а' и а".
592. x-=-fi(ap — bq — сг — ds), У =-r-(bp-\-aq — dr-\-cs),
1 --- ¦ ¦•- •.ar — bs), t = \-(dp-
где -A = a2 + b2 -\- c2 -\- d2. Указание. Воспользоваться задачей 468.
593. xk = (—1)* Pk, где Pfc — сумма всевозможных произведений по к
чисел яь а2 ап. Указание. Воспользоваться задачей 346.
._ Д""
594. Xk = ЛЭ1Л / (*)
д
где f(x) = (x — a{)(x — a2) ... (х — ап).
п
595 хъ = (—1)п+к V fy-fc*
JU (at — а,) ... (Я/ — аг_,) (а,- — а/+1) ... (а{ — ап) '
гДе //* есть сумма всевозможных произведений по и—k из л — 1 чисел
л
596. Хъ = ^ V,
(%—-e,)...(eft — flft_!)(a* — ak+l)...(ak — an) ^
где /и есть сумма всевозможных произведений по л—i из л — 1 чисел
« ап.
¦597—604] ответы ' 293
/ j\ft p
597. xk — -— " , где P,(i = l, 2, .... и — 1) есть сумма всевоз-
можных произведений по i из и чисел 1, 2, ..., и и Ро = 1.
п
598. х-— °к -1-
BOO. Решение. In (I -J- jc) = х ^-x2~\--^xs — ~ТХ*~\~ ••• Поэтому
_?
а — Ь (a —
599. Jfjj. = ТТ —. Указание. Определитель системы предста-
1фП ак~~а1
вить в виде произведения двух определителей.
-^xs — ~Т
...) ^ — Н^'-^Ч •••). откуда
|=="' Т '— "З Т —~2" "f" 3==Т* Т ' — " 2"т"~ 3 —
— Л4 = -=-,... Из первых п уравнений по правилу Крамера получим требуе-
о
*юе выражение для Л„.
602. Указание. Исходя из тождества
¦получим систему уравнений для определения 6Ь 62. bit ... Для доказатгль-
¦ства того, что 62n-i=0 ПРИ л> 1> заметить, что bt =—^- и что функция
е2-е 2
четная.
603. Указание. Используя равенства 6, = —^-, 62«-i = 0 при и > 1,
полученные в предыдущей задаче, положить Ь2п = сп и в тождестве
яриравнять коэффициенты отдельно при четных и при нечетных степенях х.
604. Указание. Для установления требуемого равенства в тождестве
(х+ 1)" = х" + CJ-V +C^"V-2+ ... 4-CJ^ + jc0
положить лг=1, 2, 3, .... й — 1 и полученные равенства сложить. В устано-
вленном равенстве заменить п на п — 1, п — 2, ..., 2, 1 и из получен-
ной системы и линейных уравнений относительно so(k), Si(k) s«-i (*)
иайти sn-i (k).
294
605.
2
"ЗГ
4
5!
6
"IT
2л
Bл 4-1)!
ОТВЕТЫ
1
1
2!
1
1Г
1
Bл —2)! B/
0
1
1
2!
1
г—4)!
... 0
... 0
... 0
1
"• 9!
Указание. Получить тождество
л3 , Xs _ х7 , ___
Х ЗТ"*" 5! 71 +
606.
/п
2
¦ЗТ
4
"ЗГ
_6_
71
:
1
"зГ
1
3!
1
5!
2л
1
1
Bл—1)! Bл —3)!
607.
1^
1!
1
Т
1
"зТ
4т 1
_i_
1!
1
Г
1
1!
1
1
1
A
,. О
.. О
. о
1
•• "ЗТ
о
о
1
я! (л —1)! (л —2)! (л—3)!
Указание. Используя тождество
1605-63»
О
О
О
1
1!
L
получить уравнения для определения аь а2, ..., ап.
608. 2. 609. 3. 610. 3. 611. 2. 612. При К = 0 ранг матрицы равен 2,
при К Ф 0 он равен 3. 613. При К = 3 ранг равен 2, при Я Ф 3 ранг равен 3.
619. 3. 620. 2. 621.. 3. 622. 2. 629. Указание. Используя линейное
выражение всех столбцов матрицы А через столбцы, проходящие через
минор el, показать, что если d = 0, то строки матрицы А, проходящие через d,
линейно зависимы.
680. Если 0 <; г <. п — 2, то г = 0. Если г = п — 1, то г = 1. Если г = щ
то г = ги Указание. Использовать задачу 509 или задачу 747.
€31—670] ответы 295
631. Решение. Докажем 1). При г = 0 все главные миноры первого
и второго порядков равны нулю. Если А = (афп, то аи = а22 = ... = апп = 0 и
для любых /, У = 1, 2, ..., и; / < у. Отсюда а,7 = 0, /, у = 1, 2, ..., п; А = 0;
ранг А равен нулю, что и нужно доказать. При г = п—1 имеем Мп_х фО,
Мп = | А | = 0, ранг А равен п — 1.
Пусть 0 < /¦¦<« — 2. Главный минор Мг Ф 0. Переставляя соответственно
¦строки и столбцы матрицы А (что не нарушит симметрии матрицы А и не
изменит ее ранга), мы можем перевести минор Мг в левый верхний угол
матрицы А. Для доказательства 1) достаточно показать, что все миноры
{r-\-l)-ro порядка, окаймляющие Мг, равны нулю.
Пусть Mij — минор, полученный из Мг окаймлением 1-й строкой и
j-м столбцом (/, у > г). По условию Mij = 0 при / == у. Пусть i ф J и
D—определитель, полученный из Мг окаймлением 1-й и у-й строками и i-м
и у-м столбцами. По условию D = 0. Пусть С — матрица определителя D.
Предположим, что Мц Ф 0. Тогда ранг С равен г -\-1 и строки матрицы С
с номерами 1, 2, ..., г, i линейно независимы. По симметрии С столбцы
с теми же номерами также линейно независимы. По задаче 629 минор Mih
¦стоящий на пересечении этих строк и столбцов, отличен от нуля, что про-
тиворечит условию. Утверждение 2) следует из 1) или прямо из задачи 629.
632. Указание. Использовать предыдущую задачу.
633. Указание. Использовать решение задачи 631.
634. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
636. A, 4, —7, 7). 637. х = @, 1, 2, —2). 638. х = A, 2, 3, 4).
639. Линейно независима. 640. Линейно зависима. 641. Линейно незави-
сима. 642. Линейно зависима. 643. Линейно зависима. 644. Линейно
независима.
651. Указание. Предположив, что 2 ^«а« = 0. где не все %i равны
нулю, и выбрав среди Я,- наибольший по модулю коэффициент Я/, показать,
что /-я координата взятой линейной комбинации отлична от нуля.
656. Указание. Предположив, что два вектора а,-, ау (/ > У) линейно
выражаются через предыдущие, найти выражение вектора Ь из выражения aj
и подставить найденное выражение в выражение а,-.
657. Указание. К системе а,, а2, ..., аг приписать впереди 6, и
вычеркнуть векторы, линейно выражающиеся через предыдущие; к получен-
ной системе приписать впереди Ь2 и снова вычеркнуть векторы, линейно
выражающиеся через предыдущие, и т. д.
Воспользоваться предыдущей задачей.
658. Указание. Использовать задачи 653 и 657.
659. Указание. Считая данную подсистему упорядоченной, приписать
после нее все векторы системы и вычеркнуть все векторы, линейно выра-
жающиеся через предыдущие.
662. Таких чисел подобрать нельзя.
664. Указание. При доказательстве 3) использовать задачу 663,
а также задачу 658, пункт в).
665. Я = 15. 666. Я — любое число. 667. Я — любое число. 668. Я не
равно 12. 669. Такого значения Я не существует.
670. В задаче 665 векторы аи а2, а3 компланарны (т. е. лежат в одной
плоскости), но не коллинеарны (т. е. не лежат на одной прямой). При
296 ответы [672—688
К = 15 вектор Ь попадает в ту же плоскость и выражается через аи а2, а3
а при К Ф 15 он не лежит в этой плоскости и не выражается через эти-
векторы. В задаче 666 векторы аи а2, а3 не компланарны и любой вектор
трехмерного пространства через них линейно выражается. В задаче 667
векторы аь а2 не коллинеарны и лежат в плоскости 4*1 — Зх2 = 0.
При любом значении А. вектор Ь лежит в той же плоскости и линейно-
выражается через аи а2.
В задаче 668 векторы ах, а2 не коллииеарны, а вектор Ь не компла-
нарен Ci, а2- При К = 12 вектор а3 компланарен Сь а2 и вектор Ь через Ci,
а2, а3 не выражается. При К Ф 12 векторы аь а2, а3 не компланарны и &•
через них выражается.
В задаче 669 векторы аи а2, а3 лежат в плоскости Злг2 — х3 = 0. С из-
менением К от — оо до -}- оо конец вектора 6 описывает прямую лг2 = 2Г
лг3 = 5, параллельную этой плоскости. Вектор Ь ни при каком значении к
не лежит в указанной плоскости и не выражается через аь а2, а3.
672. Таких систем четыре: 1) аь а3; 2) щ, at; 3) а2, с3; 4) а2, at.
878. 1) а„ а2; 2) а2> а3.
674. Любые два вектора образуют базу.
675. 1) а,, а4; 2) а2) а4; 3) а^ а4.
676. Любые три вектора, кроме Ci, а2, а5 и а3, а4, а$, образуют базу.-
677. Единственная база будет в том и только в том случае, когда либо>
вся система совпадает со своей базой, либо все векторы системы, не вхо-
дящие в ее базу, равны нулю.
678. Две базы.
679. Базу образуют, например, векторы аь с2, а4; a3 = O[—а2.
680. Одну из баз образуют векторы Ci, с2, а3; а4 = 2а\ — За2 + 4а3г
as = а, -\- 5а2 — 5а3.
681. Одну из баз образуют векторы аь а2, а6; а3 = di — a2 -f- aSr.
а4 = За, -\- 4а2 — 2а6.
п
682. Указание. При доказательстве 1) в равенство 2 ajXj = 0 под-
ставить выражения jc,-= 2 Я,уДСу (i = г-\-1, г-\-2, ..., п) и показать, что
Пользуясь этим, показать, что если <fy = (—%i, ь —Я,-,2, ...,—Я,|Г.
0, ..., 1, .... 0), / = г-}-1, r-f-2,..., п, где равная единице координата
п
занимает (r-\-i)-e место, и а = {а1, а2 а„), то и= 2 а«а<-
При доказательстве 2) — 4) использовать задачу 664.
688. 2/, - 3/2 - /3 = 0, 684. /, - 2/2 - /, = 0,
3/,-8/2-/5 = 0.
68S. Формы лииейно независимы. Основной системы линейных соотно-
шений не существует.
688. 2/, - /2 - /3 = 0, 687. 2/, - /2 -. 0,
2/i-2/2+/4-/6=o. л-л-
688. Указание. Использовать задачу 661 или 657.
'689—708] ответы 297
_„_ .. , лг3— 9х4—2 —
689. Например, общее решение Х\ = ——^ , х2 —
—.
•Частное решение xt = — 1, х2 = 1, лг3 = 0, х4 — 1.
690. Например, общее решение: xs = 22л:, — 33л:2 — 11, х4 — — 16*1 +
+ 2Ах2 -\- 8; частное решение: хх =2, х2 = 1, лг3 = лг4 = 0.
691. Общее решение: лт3=1 — 3xt—4х2, лг4 = 1; частное решение:
.JC\ = — I, х% = I, х$ = 0, х4 = 1.
692. Система несовместна.
693. Система имеет единственное решение х, = 3, х2 = 2, дг3 = 1.
694. Общее решение: лг3 = 6—15лГ[ -\- \0х2, х4 = — 7-{-18Х[ — 12лг2;
¦частное решение: хх = л:2 = хъ = 1, лг4 = — 1.
-„_ л<; Ъ\хх — 17лг2 — 29 16xi — 8х2 —16
695. Общее решение: лг3 = ! =—= , лг4 = f— •
О о
о 1 22 8
¦частное решение: хх = 2, х2 = 1, лг3 = -=-, xt = -=-.
о о
27 9 3 1
696. Общее решение: лг3 = 2 —шх1~^~Тлхь Xi~ —1 "Ь"ig"лг' —13ЛГ2'
8 11
¦частное решение: лс, = лг2 = 1, лг3 = -у=-, л:4 = —^г.
... _, _64-8лг4 1 — 13х4 15 — 6лг4 .
697. Общее решение: х{ = j , х2 = = , х3 — j ;
¦частное решение: хх= — 2, лг2 = 2, лг3=3, лг4 = — 1.
698. Система несовместна.
699. Общее решение: лг3 = — 1 — Sxi-\-4x2, л:4 = 0, лг5 == 1 + 2jCi—лг2;
-частное решение: хх = 1, лг2 = 2, х3 = — 1, лг4 = 0, лг5 = 1.
700. Общее решение: лг3=13, лг4 = 19 —3^ —2лг2, л:6 = —34; частное
решение: хх — 1, лг2 = 8, лг3 = 13, лг4 = 0, х5 = — 34.
701. Общее решение: х3 = —^ — ¦*i — 2л:2, лг4 = ^ ^i — ^Хз>
jcs = s 2лг[ — 4лг2; частное решение: хх = 1, -*т2 = — 3, лг3 = -g-1
5 _ 5
-*4 2~ • л'6 — 2 '
4 2 14 7
702. Общее решение: хъ = -^ хх -\- -^ хъ лг4 = g--*i—3-^2 — 1.
jc5 = -5- -^i Л—о -^а + 2; частное решение: ЛГ[ = лг2 = 1, лг3 = 2, лг4 = — 8, хъ = 4.
703. Система имеет единственное решение: ЛГ[ = 3, лг2 = 0, лг3 = — 5,
*4 = П.
704. Система несовместна.
705. Указание. При доказательстве минимальности числа /^— г сво-
бодных неизвестных воспользоваться связью решений неоднородной и соот-
ветствующей однородной систем уравнений и тем, что число неизвестных
•однородной системы, могущих принимать произвольные, не зависящие друг
ют друга значения, равно максимальному числу линейно независимых реше-
лнш и, значит, не зависит от выбора этих неизвестных.
„. 1 . 31 2 17
«Об. ЛГ[ = -g- лг4 -j- -g-, лг2=-д-, хъ = g- лг4 — -g-.
___ 53 .20 5 .5 5 _ 2 1
7U7. ЛГ| = Х4 щ- Хъ -\- -д-, ЛГ2 — _- Х4 -{- -g- ЛГ5 g-1 X3 — -g- Лб g *
708. Системы несовместны.
298 ответы |709—72t
709. Система имеет единственное решение: х1 = 1, х2 = 2, х3 = — 4.
л:4 = — 3.
12 176 . 4 97 „
710. х1= — -205 , -*2 = -12з+з--*:з. •*«== 205"" СЬ ^з — свободное
неизвестное.
,« 17 5 7 ,1
7fl. лг,=—-g- j2~*s —l"-*s —If ¦*& ¦*« = ~~ " ЛГб> ГДе Хз" Хзг
хв — свободные неизвестные.
712. При Я Ф 0 система несовместна. При Л = 0 она совместна, и общее
решение имеет вид
— 5jk3 — 13лг4 —3 — 7лг3 — 19лг4 — 7
-*i = 2 ' х* ~—2 *
713. При Я = 0 система несовместна. При Я Ф 0 она совместна, и общее
4 —Я 3 9Я—16 8 1
решение имеет вид хх = —=г тхь *а =—ft "я"*31 Xi==~%'
714. При Л = 1 система несовместна. При Я Ф 1 она совместна и общее
43 —8Я 9 5.1 5
решение имеет вид хх = 8_8Я — -g-^з. ^ = 4 —4Я"^'Уз' •** ~ Я—Г
715. Система совместна при любом значении К. При К = 8 общее реше-
ние имеет вид ^2 = 4 + 2^—2х4, а:3 = 3 — 2xt, где хи лг4 — свободные
неизвестные. При К Ф 8 общее решение имеет вид лГ| = 0, лг2 = 4 — 2лг4(.
л:3 = 3 — 2лг4, где лг4 — свободное неизвестное.
71В. Система совместна при любых значениях К. При Я = 8 общее реше-
Q
ние имеет вид лг3 = — 1, лг4 = 2—хх — -qx2. гДе хи хг — свободные неиз-
4 2
вестные. При кф8 общее решение имеет видл:2 = -д- — ТГ"*1' ЛГз = — ^
л:4 = 0, где. ЛГ[ — свободное неизвестное.
717. При (Л—1) (Я -f- 2) Ф 0 система имеет единственное решение.
¦*i = *2 = ха = -j—г:, • ПРИ ^ = 1 общее решение имеет вид *, = 1 —л:2—лг3,
где лг2 и лг3 — свободные неизвестные. При Я = — 2 система несовместна.
718. При (Я—\){К-\-3)фО система имеет единственное решение:
x1 = x2 = x3 = xi =, , ». При Я = 1 общее решение имеет вид хх = 1 — лг2 —
— лг3 — xit где jk2, лг3, лг4 — свободные неизвестные. При Я = —3 система
несовместна.
2 ^,2
719. При к(к-\-3)фО система имеет единственное решение: xt = ..¦,„.>
" 2Я —1 Я3 + 2Я2 —Я—1 , . , „
х2= ^n i з) ¦ ^8=—я а4-3)—" ри и При ^=~~3 система
несовместна.
720. При Я (Я+ 3)^0 система имеет единственное решение: хх =2 — Я2,
лг2 = 2Я — 1, хг = Я3 -|- 2Я2 — Я — 1. При Я = 0 общее решение имеет вид
^i = — лг2 — х3, где х2, х3 — свободные неизвестные. При Я = — 3 общее
решение имеет вид xY = лг2 = лг3, где лг3 — свободное неизвестное.
721. Если а, Ь, с — попарно различны, то система имеет единственное
решение:
(b-d)(c-d) (d-a)(d-c) (d-a)(d — b)
(b-a){c-a)- У- (b-a){b-c)' (с - а) {с - b) \
722—7241 ответы 299
Если среди чисел а, Ь, с, d имеется только два различных, причем афЬ или
ф или Ьфс, то решение зависит от одного параметра. Например: в слу-
чае й = афЬ = с общее решение имеет вид х— — = 1,
о — а
где г — свободное неизвестное, играющее роль упомянутого параметра,
определяющего решение.
Если а = b = с = d, то решение зависит от двух параметров, общее
решение имеет, например, вид х = 1 — у — г, где у, г — свободные неизвест-
ные. Если среди чисел а, Ь, с два различны и d не равно ни одному из них
или если а — Ь = с Ф d, то система несовместна.
722. При D — abc — а — b — с-\-2фО система имеет единственное
решение:
у_
х_ _ ; у_ _ ; г = _ .
В этом случае нулевые значения могут иметь какие-либо два неизвестных
одновременно, причем третье неизвестное и соответствующий параметр равны
единице. Например, л: = у = О, г = с = 1. Если D = 0, причем одно и только
одно из чисел а, Ь, с отлично от единицы, то решение зависит от одного
параметра; например, при а Ф Ь = с = 1 общее решение имеет вид х = О,
у = 1 — г. В этом случае одно или два неизвестных обязательно равны нулю.
Если а = b = с = 1, то общее решение имеет вид х = 1 — у — г, причем
одно или два из неизвестных могут равняться нулю. Если D = 0 и ни одно
из чисел а, Ь, с не равно единице, то система несовместна. Случай ?> = 0,
причем одно и только одно из чисел а, Ь, с равно единице, невозможен.
123. Если D = abc — а — b — с-\-2фО, то система имеет единственное
решение:
abc — 2bc-f-b-\-с — a abc — 2ac-\-a-\-c—b
x _ , у _ ,
abc — lab -\-a-\-b — с
Если D = 0 и только одно из чисел а, Ь, с отлично от единицы, то решение
зависит от одного параметра, например, при а Ф b = с = 1 общее решение
имеет вид х = 1, у = — г, где г — свободное неизвестное. Если а = b = с = 1,
то решение зависит от двух параметров и общее решение имеет вид х = 1 —
— y—*z, где у, г—свободные неизвестные. Если D=0, причем все числа
а, Ь, с отличны от единицы, то система несовместна. Случай D = 0 и только
одно из чисел а, Ь, с равно единице невозможен. Указание. Для дока-
зательства несовместности системы в случае D = 0 при условии, что все
числа а, Ь, с отличны от единицы, показать справедливость тождеств:
D — Dx = 2 (Ь — 1) (с — 1), D — Dy = 2 (a—\)Jc—\), D—Dz = 2 (a—I) (b—l),
где px, Dy, Dz — соответственно числители в написанных выше выражениях
для х, у, г.
724. Например, общее решение: xt = 8лг3 — 7лг4, xs = — 6лг3 -f- 5лг4.
Фундаментальная система решений:
8
—7
—6
5
ЛГ3 j Х4
. | 0
о | .
300
ОТВЕТЫ
1725—73О
5 7
725. Общее решение: ха = —к -*i + 5л:2, jk4 = -н- -
Фундаментальная система решений:
-7лг,.
1
0
х2
0
1
-«3
5
2
+5
Xi
—7
728. Общее решение: jk4 = —'¦—j*-* -, jks
Фундаментальная система решений:
-«I
1
0
0
ЛГ2
0
1
0
0
0
1
х*
9
4
3
2
2
*б
3
4
1
2"
1
727. Система имеет только нулевое решение. Фундаментальной системы
решений не существует.
728. Общее решение: лг4 =
И
11
Фундаментальная система решений:
Х1
1
0
0
х2
0
1
0
х3
0
0
1
ЛГ4
9
11
3
11
10
~П
хъ
3
~11
1
гт
4
п
729. Система имеет только нулевое решение.
730. Общее решение: ЛГ] = лг4 — лт6, х2 = лг4 — лгв, х3 = лг4.
731—750] ответы
Фундаментальная система решений:
301
хх
1
_—1
0
х2
1
0
—1
х3
1
0
0
-*4
1
0
0
х5
0
1
0
х6
0
0
1
731. Общее решение: xY =0, х2
х —
3
о
. -*4 = 0, где лг3, лг5 — сво-
бодные неизвестные. Фундаментальная система решений
Xi
0
0
Xi
1
3
2
—з"
-*з
1
0
х,
0
0
х&
0
1
732. Общее решение: лг, = — Злг3 — 5лг6, лг2 = 2лг3 + 3a;5, лг4=0, где
х5 — свободные неизвестные. Фундаментальная система решений:
Xl
—3
—5
лг2
2
Хз
1
3 | 0
Xi
0
0
0
1
= 13с,
= 4С[,
— 2сI,
l4
лг2 = 2с,
8
лг2 = с2,
лг2 = 42с2,
л:3 = 7с.
аг3 = —
х3 = Зс3,
J, x4 = Ci. — с2.
4 = — ЗС[ — с2 — 4с3, х5 — — с3.
лг4 = —Зс,+3с2 —9с3, лг5 = — 8с,
735.
736.
737.
738. t
~\- 8с2 — 10с3.
739. ЛТ[ = Ci—7с2, х2 = 2с, -f- 6с2, лг3 = С[ -f- Зс2, xt = — 4с,, *6 == — 5с2.
140. jci = 11c,, л:2 = 33с2, х3 =—24с,— 57с2, л:4 = 5с, + 5с2, лгЕ = — с,—с2.
741. Строки матрицы j4 не образуют, строки матрицы В образуют.
742. Четвертая строка вместе с любыми двумя из первых трех строк
образует фундаментальную систему, а остальные системы строк—не образуют.
«43. Указание. В первой части задачи применить результат задачи 734.
Во второй части показать, что если значения свободных неизвестных в неко-
торой системе решений дают линейно зависимые строки, то и вся система
решений линейно зависима.
748. Указание. Приписать к матрице системы сверху любую из ее
строк и определитель полученной матрицы разложить по первой строке.
Использовать задачу 746.
749. Частное решение: хх = — 2, х2 — — 6, лг3 == 7. Общее решение:
х 1 = — 2с, х2 = — 6с, xs = 7с.
750. Частное решение: Х\ = 3, лг2 = — 2, х3 = 0. Общее решение:
Xi=3c, лг2 = —2с, лг3 = 0.
302 ответы [751—765
751. Частное решение: *,= — 6, x2 = ll, х3 =— 9, х4 = 4. Общее ре-
шение: лГ[ = 6с, Х2 = —lie, x3 = 9c, Xi = — 4с.
752. Частное решение: xl=3, х2 = 0, х3 = 4, хА = 0. Общее решение:
х, = Зс, х2 = 0, ха = 4с, xt = 0.
754.
п п
а) 2 аЧх1 — 2*' (' — lf 2- • • •• s); б) 2 "'/*/ = ^*« ^ = х> 2,.... s).
755. В обоих случаях необходимым и достаточным условием является
однородность данной системы.
756. При условии, что сумма коэффициентов данной линейной комби-
нации равна единице.
757. Первое неизвестное в любом решении принимает значение, равное
нулю. Если коэффициенты при всех неизвестных, кроме первого и, например,
второго, равны нулю, то второе неизвестное принимает определенное значе-
ние, которое находится из уравнения, содержащего ненулевой коэффициент
при втором неизвестном, если отбросить там все члены с другими неизвест-
ными; в этом случае все неизвестные, начиная с третьего, могут принимать
любые значения. Если же, по крайней мере, три неизвестных (например, хи
jk2 и jk3) встречаются с ненулевыми коэффициентами, то все неизвестные,
кроме первого, могут принимать любые значения, причем их значения
в каждом решении связаны одним соотношением, полученным из любого,
уравнения системы, содержащего ненулевой коэффициент при втором неиз^
вестном, если выбросить член с первым неизвестным.
Равенство нулю всех коэффициентов при первом неизвестном или при
всех неизвестных, начиная со второго, при условиях задачи невозможно.
' 758. Необходимым и достаточным условием для этого является то,
чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных уменьшался на еди-
ницу при вычеркивании А-го столбца, иными словами, чтобы k-й столбец
не был линейной комбинацией остальных столбцов этой матрицы.
759. Ранг расширенной матрицы (из коэффициентов при неизвестных
и свободных членов) должен при вычеркивании А-го столбца уменьшаться
на единицу.
760. e = ad — bc = 0.
761. Одно условие, выражающее неравенство нулю определителя D по-
рядка г, и (s — г) (я — r-j-1) условий, выражающих равенство нулю опре-
делителей (г + 1)-го порядка, окаймляющих D.
Последние условия независимы, так как каждое содержит элемент, не
входящий в другие условия, стоящий на пересечении окаймляющих строки
и столбца и имеющий множитель D ф 0.
762. Либо, по крайней мере, два из чисел а, Ь, с, d, е равны —1, либо
ни одно из них не равно —1, но тогда
е+1
= 1.
763. К = af -\- bg + ch = 0. Указание. Сложить все уравнения, пред-
варительно помножив их соответственно на Кх, Ку, Кг, U. Получив условие
Я = 0, определитель системы можно вычислить как кососимметрический по
задаче 547.
764.
хх
х2
Уз
765.
= 0.
х
лг, у,
лг2 у2
у 1
= 0.
766—7751
766.
ОТВЕТЫ
303
= 0; это условие является достаточным, если в случае
а2 Ь2 с2
а3 Ь3 с3
трех параллельных прямых считать их общей точкой несобственную (беско-
нечно удаленную) точку данного направления. Если не допускать несоб-
ственных точек, необходимым и достаточным условием будет равенство
* b
рангов двух матриц
767. Ранг матрицы
a, Di \ .• а, о, с, \
а2 Ь2\ и I а2 Ь2 с2 I
а3 Ь3) \ а3 Ь3 с31
должен быть менее трех.
с,
768. При допущении несобственных точек ранг матрицы I Й2 2' с*
\ ап bn %.п ,
должен быть менее трех. При недопущении несобственных точек ранг при-
а\
веденной матрицы должен совпадать с рангом матрицы ' Й2 2
769.
Уз
770.
= 0.
¦*зН-3§
У2
Уз
= 0.
771. лг2 + у2 —4лг—1=0. Центр в точке B,0). Радиус равен VЪ.
772. Указание. Использовать ответ задачи 770.
778.
ху
А
А
4
У?
Уз
у\ х
774. Гипербола -т
У
х у 1
хх ух 1
Х2 У2 J
^з Уз J
4 у4 1
х5 у5 1
= 1.
= 0.
775. 2лг2 + 7у2 -|-у — 8=0. Это — эллипс с центром в точке @, ^т
15 лГ- 15
и полуосями длины -щ К 14 и -ту, причем большая ось параллельна оси
абсцисс, а малая лежит на оси ординат.
304
776.
x2
У1 *i
у2 zs
Уз г3
У4 zt
1
1
1
1
0
ОТВЕТЫ
777.
X
1
2
3
У
1
3
—1
z
1
—1
—1
1
1
1
1
[776—784"
= 0,
или
—8 = 0.
= 0.
778. Если допускать несобственные (бесконечно удаленные) точки, то
а2 b2 с2 d2
а3 b3 c3 d3
«4 *4 С4 dt
Если же не допускать несобственных точек, то ранг матрицы
а2 b2 c2 d2
а3 b3 c3 d3
а4 bt c4 d4
не должен изменяться при вычеркивании последнего столбца.
.779. Ранг матрицы
'a, bi ^ dx-
b% c2
<ап Ь„ с„ dni
равен двум и не изменяется при вычеркивании последнего столбца.
780.
х
x2
У z
Ух z\
Уз гз
У4
= 0.
781.
— х — 2 = 0. Центр находится в точке 1-~-, 0, 01.
Раднус равен -^.
782. Система трех линейных уравнений с двумя неизвестными, в кото-
рой расширенная матрица н три матрицы коэффициентов при неизвестных
для любой пары уравнений все имеют ранг 2.
783. Система трех линейных уравнений с двумя неизвестными, в ко-
торой ранги матриц из коэффициентов прн неизвестных в любой паре урав-
нений равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трем.
784. Система трех уравнений с тремя неизвестными, в которой ранги
всех матриц из коэффициентов при неизвестных любых двух, а также всех
трех уравнений равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трем.
785-796]
ОТВЕТЫ
305
785. Система четырех линейных уравнений с тремя неизвестными,
в которой ранги матриц из коэффициентов при неизвестных любых трех
уравнений равны трем, а ранг расширенной матрицы равен 4.
786. Четыре плоскости проходят через одну точку, причем никакие
три из них не проходят через одну прямую.
787. Если не рассматривать несобственные (бесконечно удаленные)
прямые н плоскости, то уравнения вида 0х-\-0у == а и Ох -(- 0y -f- 0г = а
при а, не равном нулю, не имеют геометрического смысла, а при а = О
удовлетворяются координатами любой точки плоскости или пространства.
Исключая уравнения такого вида и обозначая ранг матрицы из коэффициен-
тов прн неизвестных через г, а ранг расширенной матрицы через гх, имеем:
Для систем с двумя неизвестными:
1. г = 2, Г) = 3. Система не имеет решений. Прямые не проходят через
одну точку, причем хотя бы две прямые различны и пересекаются.
2. г = ri = 2. Система имеет единственное решение. Прямые проходят
через одну точку, причем хотя бы две прямые различны.
3. г = 1, г} = 2. Система не имеет решений. Прямые параллельны или
совпадают, причем хотя бы две прямые различны.
4. г = гх — 1. Решение зависит от одного параметра. Все прямые со-
впадают.
Для систем с тремя неизвестными:
1. г = 3, г, =4. Система не имеет решений. Плоскости не проходят
через одну точку, причем хотя бы трн нз них различны и проходят через
одну точку.
2. г = гх = 3. Система имеет единственное решение. Плоскости проходят
через одну точку, причем хотя бы трн из ннх не проходят через одну
прямую.
3. г = 2, п = 3. Система не имеет решений. Плоскости не проходят
через одну точку, причем хотя бы три плоскости различны и любые три
различные плоскости либо не имеют общей точки, либо проходят через
одну прямую.
4. г = гх = 2. Решение зависит от одного параметра. Все плоскости про-
ходят через одну прямую, причем хотя бы две из них различны.
5. г = 1, гх = 2. Система не имеет решений. Плоскости параллельны илн
совпадают, причем хотя бы две из них различны.
6. г = гх = 1. Решение зависит от двух параметров. Все плоскости со-
впадают.
Отдел III. Матрицы и квадратичные формы
788.
791.
794.
¦5 2
7 0.
789.
a$-[-bb\
¦11 —22 29>
9 —27 32
.13 —17 26-
С
795.
792. 10 17 19 23
17 23 27 35
16 12 9 20
7 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3 10
796.
306
797.
(O 2 0).
\0 0 5/
798.
ОТВЕТЫ
10 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
1797—823-
799. /13 —14
-144
—221'
800. /304 —61\ 801.
\305 —62/'
802. /cos иа —slnna\
\sinwa cos na/"
1 0\
o l)
при п
803.
1 (з J)
при и нечетном.
804. /1 n'
806.
/1 /Л 80S. /Л" иЛ"-
1о \Г \о л»
807.
1 3 6 ... -
0 13... -
О 0 1 ... ^—
0 о о ...
1 си си
о 1 си
О 0 1
где и — порядок данной матрицы.
О О
о
808. /3197 —1266\
922/'
/3197 —1
\7385 —
809.
. 1
-190 189 —189>
126 127 —126
,252 252 —251.
811. а) /-я и у-я строки произведения поменяются местами; б) к 1-я строке
произведения прибавится J-я строка, умноженная на с; в) »-й и j-й столбцы
произведения поменяются местами; г) к 1-му столбцу произведення приба-
зится /'-столбец, умноженный на с.
822. 1а
числа.
la 2b \
la 3b- \
i I, где а и b — любые числа.
\— bb a 4- 9b/
824—841]
824.
(а Ь с\
0 a b\.
0 0 a/
ОТВЕТЫ
abed
0 a b с
0 0 a b
0 0 0a
307
826. c = cos \-lsin
трицы А
827.
{ks= 0, 1, 2,.... и — 1), n — порядок ма-
828.
г 21 —23 15v 828. /0 0 Ox
f(A)=[ —13 4 10 I. 00 0 1.
V_9 22 25/ Vo 0 0/
830. Указание. Матрицы порядка п считать «'-мерными векторами.
831. Указание. Применить задачу 814.
Замечание. В задаче предполагается, что элементы матриц А и
В — числа. Для поля характеристики р фО результат неверен. Так, для ма-
триц
порядка
А —
Р
/
/
1
1
\
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
... 0
... о
... 1
... 0
и В'
0
1
0
0
0
2
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
0
0
0
р — 1 0-
имеем АВ — ВА = Е.
882. [а Ь\
[ I, где а, Ь, с — любые числа, удовлетворяющие соотиоше-
\с —а/
нию
а?-\-Ьс = 0.
833. Указание. Используя задачу 829. доказать, что если А = ( )
\с d/
то
834. ± Е или
la b\
[с -а)'
где аг + be = 1.
835. Если | А | Ф 0, то X = 0; если | А | == 0, но А Ф 0, причем отноше-
ние элементов первого столбца матрицы А к соответствующим элементам
2-го столбца = а, то Х=1 ) при любых х, у; если оба элемента
V—ал: —ау/
второго столбца матрицы А равны нулю, но хотя бы один элемент первого
столбца отличен от нуля, то X = j I с любыми х, у; если А = 0, то
X — любая матрица.
837. / 7 —4\ 838. 1 / d —Ь\
836.
.
;)•
-5
—L—( d ~b\
ad—be \—с а}'
839. / cos a sin а \
V— sin а cos а/ *
840.
/ 1 — 1 1 \ 841. /-—8 29 —11 х
| —38 41 —34 1. I —5 18—7 1.
\ 27—29 24У \ 1 — 3 1/
842.
844.
848.
,1 2 2,
2 1 -2 .
\2 —2 1/
[842-852
848.
849.
850.
851.
852.
22
yj
— 1
4
—6
5
0
—1
—26
20
2
— 5
17
—13
— 1
3
0
1
0
0
0
— a
1
0
0
0
— a
1
... 1
0
0
— a
... 0
... 0
... 0
0 0
1
— a
a2
0 0 ... 1
0 о
1 О
— а 1
1 _1 1 _1 ... (_i)«-i
О 1—1 1 ... (— I)"-2
О 0 1 —1 ... (—I)"
О 0 0 0 ... 1
и— порядок данной матрицы.
О
О
О
Г
О О
О О
О О
О О
(_й)» (-а)" (-а)" (-а)"-3.
1—2 1 0 ... О О
О 1—2 1 ... О О
О О 1 —2 ... О О
,—а 1
О 0 0 ... 1 —2
О 0 0 ... О 1
п п — \ л —2 и —3
и—1 2(л — 1) 2(и — 2) 2(и — 3)
и —2 2(л — 2) 3(и — 2) 3(и — 3)
и—3 2(л — 3) 3(л —3) 4(и— 3)
1
853-8591
853.
1
и —
1
B-п
1
1
1
2 —и
1
ОТВЕТЫ
1
1
2 —и ...
1
1
1
309'
8S4.
8S5.
857.
858.
—
7
3
41
—59
1
ns
1
1
1
5 12
— 2—5
—30 —69
43 99
-s l + s
l—s
1
— 19
8
111
—159
1
l+s
l—s
•
... 1
... 1
... 1
1
1
1
1 —и— а
l + s 1 1 ... 1 l—s
Указание. В системе уравнений для элементов ft-ro столбца обрат-
ной матрицы из каждого уравнения от первого до (и— 1)-го вычесть сле-
дующее н полученные п — 1 уравнений сложить. Все неизвестные выразить
через k-e.
859.
1
nhs
где s = ия + Л
Л — s Л + s Л ... Л h
h Л— s Л + s ... Л Л
Л Л Л —s ... Л Л
Л + s Л
"(«-D
2
Л ... Л Л — s.
— сумма элементов какой-нибудь строки (или*
столбца) данной матрицы.
310
860.
.-l
.-2
.-з
.-2
.-6
ОТВЕТЫ
1
e~3
в
(860-879
в"9 ... е*"-1»
Указание. Написать уравнения с неизвестными хи х2, .... хп для
определения элементов k-то столбца обратной матрицы. Каждое уравнение
помножить на такую степень е, чтобы коэффициент при определенном неиз-
вестном хг обратился в единицу. Полученные уравнения сложить.
861.
864.
1 -1
2 3
\ 862. /3 —2\ 863. П 2\
/" U -Л)' U А]'
F 4 5\ 865. /I 2 3\ 866. /1 1 1\
2 12. 456). ( 1 2 3 ).
3 3 3/ \7 8 9/ \2 3 1/
867. Общий вид решения:
(
2
с, сг
>. Общий вид решения:
2 —Зс,
, где С| и с2 — любые числа.
I 9-Зс, !¦""¦* " —
произвольные числа.
869. Решения не существует.
870. Общий вид решения:
/7 —Зс, 5—Зс2 7 —Зс3\
5с,-
1.
1
0
0
9
1
1
0
с2
5с2—3
1 ...
1 ...
1 ...
сз , где си с2,
5с3 —7/
1
1
1
•
— произвольные числа.
О 0 0 ... 1
872. В матрице А~1 соответственно: а) поменяются местами l-Ъ. и /-й
•столбцы; б) /-й столбец умножится на —; в) из 7-го столбца вычтется /-й,
С
умноженный на с.
При преобразовании столбцов матрицы А аналогично указанному ме-
няются строки матрицы Л.
879. ,_.
А =
881-927]
ОТВЕТЫ
31Г
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
—1
0
¦ в
881. При умножении А слева на Ht все строки А сдвигаются на одно-
место вверх, причем первая строка исчезает, а последняя заменяется нулевой.
При умножении А справа на Ht аналогичное изменение происходит со
сдвигом столбцов вправо. При умножении на Н_ i слева (справа) происходит
такой же сдвиг строк вниз (соответственно столбцов налево).
890. Условие АВ = — В А удовлетворяется, например, для матриц:
О 0 10
О 0 0 1
—1 0 0 0
0—100
Указание. При построении матриц А и В воспользоваться указание!»
к задаче 1747.
897. Указание. Использовать значение взаимного определителя (за-
дача 506) и свести задачу к предыдущей.
898. Указание. Использовать указание к предыдущей задаче.
899. Указание. Использовать тождество задачи 502 или формулу
Бинэ — Коши в задаче 499.
900. Указание. Использовать тождество задачи 504.
901. Указание. Использовать формулу Бинэ — Коши в задаче 499-
902. Указание. Использовать формулу Бинэ — Коши в задаче 499.
903. Указание. Использовать задачи 896 и 507.
904. Указание. Использовать задачу 507.
905. Диагональные элементы равны ±1.
906. Диагональные элементы по модулю равны единице.
913. Указание. Использовать формулу Бинэ — Коши, данную в за-
даче 499, или указание к той же задаче.
915. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
920. Указание. Воспользоваться задачей 913.
921. Указание. Применить теорему Лапласа, неравенство Коши —
Буняковского и формулу Бинэ — Коши (см. задачи 503 и 499).
922. Указание. Пусть л — число строк А, В, С; к — число столб-
цов В, I — число столбцов С. Проверить выполнение неравенства в случаях
k +1 > п и ранг А < к +1 < п.
Показать, что при к +1 = и задача совпадает с предыдущей. Проверить,
что неравенство обращается в равенство при к-{-1^.п и дополнительном
условии В' ¦ С = 0. Наконец, в случае, когда ранг A = k-\-l<n, дополнить
А до квадратной матрицы (A, ?>) = Р = (В, Q), где Q = (С, ?>), при помощи
и — к — / линейно независимых столбцов так, чтобы A'D = 0 (это можно-
сделать путем построения фундаментальной системы решений однородной
системы уравнений с матрицей А'), применить предыдущий случай к матри-
цам Р = {А, D) и Q — (C,D) и принять во внимание, что Р=(В, Q) и
ур
(А
0.
|
923. Указание. Несколько раз применить неравенство предыдущей
задачи.
924. Указание. Применить повторно неравенства задачи 922.
925. Указание. Применить рассуждения, аналогичные приведенным
в указании к задаче 922.
926. Указание. Повторно применить неравенство предыдущей задачи.
и использовать ответ задачи 532.
927. Перестановка i-Pi и j-Pi строк или i-го и J-ro столбцов получается
при умножении на матрицу, элементы которой рьъ = 1 дли k, не равного »', А
Рц = Pji = 1, а все остальные нули.
-312
ОТВЕТЫ
[928-943
Умножение i-Pi строки (столбца) на число с Ф 0 получается при умно-
жении на матрицу, отличающуюся от единичной лишь тем, что i-Pi элемент
главной диагонали аи равен с. Прибавление к t-й строке у-й строки, умно-
женной иа с, получается при умножении слева на матрицу, отличающуюся
от единичной лишь тем, что элемент p-tj = с.
Для аналогичного преобразования столбцов надо умножить на аналогич-
ную матрицу, у которой рц = с.
Указание. Для определения вида искомых матриц проделать данное
элементарное преобразование над единичной матрицей, порядок которой ра-
вен числу строк матрицы А в случае преобразования строк и числу столб-
цов А в случае преобразования столбцов. Проверить, что полученные ма-
трицы удовлетворяют требованиям задачи.
928. Указание. Использовать задачу 927 и показать, что преобразо-
вание типа а) можно заменить несколькими преобразованиями типов б) и в).
929. Указание. Воспользоваться задачами 617 и 927.
930. Указание. Использовать задачу 623.
931. Указание. Применить к матрице А задачу 929 и воспользо-
ваться задачами 915, 930 и 914.
933. Указание. Использовать задачу 927.
934. 24 3 —4 —8 935. /—1 2—1
938.
10 1 —2 —3
— 5 0 1 1
-7е 72 -7е
-7е -72
72 72
72 Vi
74-% »/»
74 7* -72
7е
-72
-72
•7.
-5/з
938. Указание. Для доказательства необходимости принять за В лю-
•бой ненулевой столбец матрицы А.
939. Указание. При доказательстве необходимости принять за В ма-
трицу из любых г линейно независимых столбцов матрицы А; /-й столбец
матрицы С составить из коэффициентов в выражении /-го столбца А через
• столбцы В. Использовать задачу 914.
941. Указание. Использовать задачи 626 и 931.
943. Указание. Целочисленными элементарными преобразованиями
привести данную матрицу А к нормальной матрице. Для этого, выбрав наи-
меньший по абсолютной величине из не равных нулю элементов, путем цело-
численных элементарных преобразований заменить элементы строки н столбца,
в которых стоит этот элемент, их остатками при делении на него. Повто-
рять так, пока все элементы г'-й строки н у-го столбца, кроме Щр не обра-
тятся в нуль. Если какой-то элемент аи в новой матрице не делится на ацг
то к г-й строке прибавить й-ю и вновь перейти к остатку. Повторять так,
пока все элементы некоторых р-й строки и д-го столбца, кроме apq, будут
нулями и все другие элементы будут делиться на apq. Затем перевести apq
в левый верхний угол и начать аналогичные преобразования с уменьшенной
матрицей, полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, и
т. д. Для доказательства единственности нормальной формы обозначим че-
рез d/i наибольший общий делитель всех элементов матрицы А, ранга г
¦с т строками и п столбцами при k = 1, 2, ..., г и положим dk = 0 при
s < k -^ т, п. Показать, что делители миноров d^ не изменяются при цело-
944—9491 ответы
численных элементарных преобразованиях и что элементы еь е2, ... на глав-
ной диагонали нормальной матрицы, эквивалентной Д связанной с делите-
лями мнноров равенствами dk = еь е2 ец (й <! т, л), откуда
ек = . к (k = 1, 2, ..., г) и ек = 0 для г < k < т, п.
ak—i
944. Указание. При доказательстве возможности требуемого пред-
ставления использовать задачу 927. При доказательстве единственности из
двух представлений А — Р^, = P2R2 вывести, что матрица С = Р^1Рг =
= /?2/?f1 является целочисленной, унимодулярной н треугольной, элементы
которой на главной диагонали положительны и, значит, равны единице. За-
тем, приравнивая в равенстве CRt =/?2 (й-(-1)-й, (й-(-2)-й и т. д. элементы
k-й строки, показать, что. все элементы матрицы С справа от главной диа-
гонали равны нулю, т. е. С = Е.
945. Указание. Использовать задачу 927.
949. Решение. Приведем матрицу А к верхней треугольной матрице С
следующими элементарными преобразованиями строк: an=dl Ф 0. Вычитая
первую строку, умноженную на подходящие числа из остальных строк, при-
ведем матрицу А к виду
ап а,2 ап ... а1
0
*1Л
0
так как при этом миноры, содержащие первую строку, не изменились, то
rf2 = «п«22 Ф 0, откуда: с^ ф 0. Вычитая вторую строку матрицы А1 с под-
ходящими множителями из нижележащих строк, обратим в нуль вторые эле-
менты этих строк и т. д. После г шагов обратятся в нуль все элементы пер-
вых г столбцов, стоящие ниже диагонали. Так как ранг полученной матрицы
А^ = С равен рангу А, т. е. равен г, то все элементы последних п — г строк
матрицы С равны нулю и, следовательно, С — верхняя треугольная матрица.
В силу задачи 927 С = РА, где Р—произведение ряда нижних треугольных
матриц, т. е. снова нижняя треугольная матрица А = Р~1С = ВС, где
В — Р~* — нижняя треугольная матрица. Этим существование разложения
вида B) доказано.
Пусть дано любое представление вида B). По формуле для миноров про-
изведения матриц (задача 913) имеем:
/1,2 ft-1, i\
[l, 2, ...,k-l,k)
в( 1, 2 ft-1, /\ /./„ h, ...,Л-ь Jk\
<, vi. Л h-uhl U 2, .... ft-1, к)"
Но первые к столбцов матрицы С содержат лишь один минор k-то порядка,,
отличный от нуля, поэтому:
/1, 2, .... ft-1, /\ /1, 2 ft-1, А /1, 2 ft\
U %...,*-!.*/ U Я .... *-1, к) \\,2 к)
л; ft = l, 2, ..., г), (а),
314 ответы [951—961
Полагая здесь j = ft, найдем:
dk = ЬпЬгг ... Ьккспс ckk (ft = 1, 2, ..., г). (б)
Деля (б) на аналогичное равенство с заменой ft на ft—1, получим C).
Деля (а) на (б), получим первую из формул D). Вторая формула получается
аналогично.
Пусть D — любая неособенная диагональная матрица с элементами
dltd2, ...,dn на главной диагонали. Тогда A=BC=(BD) (D~1C). Матрица BD
получается из В умножением столбцов на du d2, d3 dn. Матрица D~1C
получается из С умножением строк на D^1, D^1 D~l. Поэтому диаго-
нальные элементы В к С можно брать любыми при условиях C). В произ-
ведении ВС элементы последних п — г столбцов В умножаются на элементы
последних я— г строк С. Поэтому если одни из этих элементов положить
равными нулю, то другие можно взять любыми.
951. Указание. Применить решение задачи 949 и показать, что при
условиях bkk — ctk — l/ d fe условия C) удовлетворяются и условия D)
дают: bik = cki (l = k + l, k + 2 п, ft = 1, 2, .... г).
952. ЛВ = С = (С,7), где Сп = (^, С12 = ^~ "j, С21 = (8), С22 =
6 2 4\
9 9 6.
8 9 1/
954. Указание. Рассмотреть произведение J-й клеточной строки на г-й
клеточный столбец.
957. Р — квадратная клеточная матрица с квадратными единичными
клетками порядков /и,, т2 ms по главной диагонали, причем клетка,
стоящая на пересечении j-й клеточной строки и у-го клеточного столбца,
совпадает с матрицей X, а все остальные внедиагональные клетки равны
нулю. Аналогично Q — клеточная матрица с квадратными единичными клет-
ками порядков пи п2, ..., щ на главной диагонали, матрицей У на пересе-
чении j-й клеточной строки j-ro клеточного столбца и нулевыми клетками
на других местах.
958. Указание. Из второй клеточной строки вычесть первую, умно-
женную слева на матрицу СА~\ и, пользуясь предыдущей задачей, пока-
зать, что при этом ранг не изменится.
959. Решение. Тот же ряд элементарных преобразований, который
(А В \
переводит матрицу R в Ru переводит матрицу Т = 1 ! )
/ А в, \
в матрицу 7", = I _j 1. По предыдущей задаче ранг Т равен п.
Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы, то ранг
рангу А = п. Поэтому X — С^4-1В = 0;
У,
X
= рангу Т
= СА^В.
960.
А'1
=п и ранг
/-20
= 1 17 -
8
¦7
11
о
у 961. д: = 1, у = 2, г =
]
—2 1 1/
HI D-
962—968J ответы 315-
9
.2 3;
968. Решение. Свойства а) и б) легко следуют из определения кро-
некеровского произведения. Для доказательства в) будем писать в качестве
индексов при элементах кронекеровекого произведения не номера пар,
а сами пары (причем числа одной пары будем писать рядом и без скобок).
Положим AB = F, CD = G, FXG = H, AXC = P, BXD = Q. Тогда
h = 2 аи. А, и 2 ci,, tdt, h=
S"\ 1-1
— 21 aib"sCh, tbs. Jtdt. h= 21 Pixit,sfist, JJ,*
S,t s,t
откуда H=PQ.
964. а) Для правого прямого произведения надо взять лексикографи-
ческое расположение пар: A, 1), A, 2) A, я), B, 1), B, 2) B, я), ...
..., (т, п). Для левого —расположение A, 1), B,1), ..., (т, 1), A,2), B,2), ...
..., (т, 2), ..., (т, п), получающееся путем лексикографической записи тех же
пар, читаемых справа налево. Свойства б), в), г) непосредственно вытекают
из определения. Свойство д) следует из соотношений в) предыдущей и г>
настоящей задачи. Свойства левого произведения вытекают из соответствую-
щих свойств правого при помощи соотношений б).
965. Указание. Показать, что изменение нумерации пар не меняет
определителя \ АХВ\, н, пользуясь свойством в) задачи 963, представить
е\АХВ\ \(АЕ)Х(ЕВ)\ \АХЕ\\ЕХВ\ \АХЕ\Х
X I Ет X " |
966. У казани е. Использовать положение, что из | ^41 = 0 следует
ранг А <; 1, доказанное в задаче 630.
967. Решение. Положим АВ = С и обозначим соответственно через
Ац, By, C[j алгебраические дополнения, а через My, Ny, Рц — миноры
элементов в 1-й строке и ]-ы столбце матриц А, В, С.
Тогда, применяя выражение минора произведения двух матриц через
миноры этих матриц (задача 913), находим:
cij = CJt = (-1)'+' Рп = (-
) <r-\)k+lNkl = 2 AjkBu = 2 Я«Л*Л
Л-l ft-l * = 1
откуда С = В- А.
Для неособенных матриц А а В тот же результат получается короче
так: по предыдущей задаче Л = | А | • Л"; отсюда (АВ) = | АВ ] (АВ)~1 =
= \А | • | В | В~1А~1 = ВЛ. Для матриц с числовыми элементами случай вы-
рожденных матриц получается предельным переходом. Многочлен от Л,
равный определителю | А + КЕ |, имеет степень л и не более п корней.
Поэтому можно взять последовательность чисел: Klt Лг Нт Лд = 0
такую, что матрицы A-\-hkE и B-\-XkE будут неособенными. По доказан-
ному [(А + XkE) (В + Лй?)]~ = (B-f Лй?)" • (А-\-ХкЕ)~. Переходя к пределу
при к -» со, получим (А~В) = B"A.
968. Указание, а) Следует из задачи 913; б) доказать Для случая,
когда [А\ = 0, пользуясь задачей 747, а для \А\ Ф 0 — соотношением
316
ОТВЕТЫ
(969-980
Л=\А\-СА' ХС, где С — диагональная матрица с элементами 1, —1, 1,
—1 ... на главной диагонали.
969. Указание. Применить задачу 913.
970. Например, нумерация сочетаний в лексикографическом порядке, при
котором сочетание i, <i2 < ... <ip предшествует сочетанию jl<j2<-.. <jPt
если первая отличная от нуля разность у,—/,, у2—«2. •¦-,jp—lp положительна.
971. Указание. Доказать предложенное равенство сначала для тре-
угольной матрицы А, пользуясь тем, что изменение порядка нумерации
сочетаний не меняет определителя ассоциированной матрицы Ар, и применяя
предыдущую задачу. Общий случай свести к треугольным матрицам при
помощи задач 928 и 969.
972. Решение. В силу задачи 956 из АВ = Еп следует АрВр = EN,
где N = С^; отсюда
S
hh..;JABlh,h !р\
1, если 2 Us — ksJ — 0,
S'p (l<k<k<"'<iP<n)-
О, если ^Us — ksy>0
С другой стороны, по теореме Лапласа находим:
l1V l2 lp,
I, если
если
B)
, < ...
C)
где
вместе с
и k[<k'2< ... < k'n
n_p
вместе с kt < k2 < ... < kp составляют полную систему индексов 1, 2 пщ
Так как система линейных уравнений с неособенной матрицей Ар при
заданных свободных членах имеет единственное решение и так как правые
части равенства C) отличаются от правых частей соответствующих равенств B)
только множителем | А |, то таким же множителем должны отличаться и
-левые части, откуда и вытекают требуемые равенства A).
973. Указание. Применить теорему Лапласа и задачу 903.
974. Указание. Применить теорему Лапласа и задачу 903.
975. /1 0\ 976. /Я+1 0 \ 977. /1 0 \
\0 Я*/" \ 0 Я3 + Я2— 2Я— 2]' \0 А2 + 5Я/"
978. /Я —1 0 \ 979. /1 0 0\ 980. /Я 0 0 \
\ о (x+i)(x — IK/' (ояо). 1оя2+я о I.
\0 0 0/ \0 0 Я3+Я2/
981—992]
981.
|
/1
°
1
0
1
0 (
0
0
Я-2)
982.
317
983.
984. Указание. Доказать, что многочлены Dk (Я) не изменяются при
ментарных np=«««"««" -- — - —
формы Dk (к) = 11 Е{ (Я) (к = 1, 2, ..., и).
Д, что многочлены Dk (Я) не изменяются при
элементарных преобразованиях и что в случае нормальной диагональной
985.
986.
987.
988.
989.
—1)(Л —2)
0
о
0
0
—1)(Я —2)
0 0 Я (Я — 1)(А — 2) (Я — 3)
10 0 0
0 р 0 0
0 0 р 0
0 0 0/?
где р = (Я — 1) (Л —2) (Л —3) (А — 4).
0
0
0
0 р2
где р — произведение многочленов а, Ь, с, й,
деленное на произведение старших коэффициентов
этих многочленов.
,d(K) 0 ч
I л / W g (Я) I, где d (Я) — наибольший общий делитель
V erf(Я) J
многочленов / (Я) и g (Я), имеющий старший коэффициент, равный единице.
и с — произведение старших коэффициентов этих многочленов.
990.
991.
где а, Ъ, с — соответственно наибольшие общие делители для g и h, f и А,
fug, взятые со старшими коэффициентами, равными единице.
992.
abc
~Т
0
0
0
d^fgh
abc
0
0
о
fgh
981—992]
981.
ответы
317
/10 0 \ 982. /10
0 1 О I. 10Л2+Л
0 О (Я —2K/ \0 О
0
0
983.
(A —2K/ \0 О Я3+2Я2+А/
984. Указание. Доказать, что многочлены Dk (Я) не изменяются при
элементарных преобразованиях и что в случае нормальной диагональной
к
формы Dk (I) = IT Et (Я) {k = 1, 2, ..., л).
985.
986.
987.
988.
989.
-10 0
0 А(Я —1)(А —2) 0
.0 0 Я(А — 1)(Я — 2)
¦X 0 0 \
0 А 0 I.
. 0 0 Я (Я — 1)(А — 2) (А — 3)/
где /> = (Я — 1)(А— 2)(А — 3)(А — 4).
где р — произведение многочленов а, Ь, с, d,
деленное на произведение старших коэффициентов
этих многочленов.
g W 11 где d (Я) — наибольший общий делитель
)
erf (Я) )
многочленов / (Я) и g (А), имеющий старший коэффициент, равный единице.
и с — произведение старших коэффициентов этих многочленов.
990.
991.
где а, Ь, с — соответственно наибольшие общие делители для g и h, f и А,
fug, взятые со старшими коэффициентами, равными единице.
992.
abc
~Т
0
0
0
d*fgh
abc
0
0
о
fgh
d
318 ответы 1993—1006
где й — наибольший общий делитель /, g и Л; и а, Ъ, с — соответственно
наибольшие общие делители g и Л, / и Л, / и g, причем старшие коэф-
фициенты всех многочленов а, Ь, с, d равны единице.
0
0
1
0
0
0
0
994.
•
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Я2
0
0
0
0
Я2
0 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
о
о
о
о
О О О О /(Я)
где /(Я) =
о
о
о
0
0
0 (Я + аJ
О
О
О
о
о
Я —3
о
1
О (Я + аJ
О
О
(Я-3J
О
если Р ф 0, или
если 0 = 0.
\ 998. /X—1 О О \
I. I О К — 1 О I.
\ О О (К—1L
где п — порядок данной матрицы.
1000. Эквивалентны. 1001. Не эквивалентны.
Ю02. Матрицы А и С эквивалентны между собой и не эквивалентны
матрице В. 1008. Единичная матрица.
1005. Указание. Воспользоваться тем, что элементарное преобразо-
вание строк матрицы А сводится к умножению А слева (а столбцов справа)
на специальную унимодулярную Я-матрицу. Далее, если B = PsPs_t ...
... PtAQiQ2 ...Qt, где Pi, Qj — специальные унимодулярные Я-матрицы, то
)<. При доказательстве
положить Р = PsHs-i • ¦ ¦ Р\Ет и Q = EjQtQ2
достаточности использовать ответ задачи 1003.
1006. В-
9
я2—
; Р-
Я 2
1-Я 1я2-Я+|
1007-1024|
ОТВЕТЫ
319
1008. В:
-10 0 \ / — 2Я-
0 Я —1 0 I; Р=1 —3
<0 0 Я3 —Я2/ V 1
/ 1
<? = *
\ — А — 1
1009. Например,
Я =
—А3 + Я2 —А+1
—А4 + А3 —А2 + А+1
А« — 2
ЗЯ2 — 9Я + 4\
2а2 — 6А + 3/'
1
2
0
1
2
1
4
2А —1
— 2Л —1
')•
— Л —1
Q=(-A+2 -
V А —1
1010. Например,
-?)¦• А
1011. Например,
/1 0 0
/>=( 11А + 8 —11 О
\ 2А- 1 —2 1
1012. Например,
/>=| — ЗЯ2—2Я+1
\_6Я2—4Я+4 2Я2+2Я—1 2,
(О 1 \
)'
/°
1014. Например, Р= | — 1
\—1
1015. ?, (Я) = 1; ?2 (Я) = Я — 1; ?3 (Я) = (Я — 1) (Я2 — 1).
1016. ?, (Я) = А + 1; ?2 (А) = А2 — 1; ?3 (А) = А3 — А.
1017. ?,(А) = А2 + 1; ?2(Я) = Я3 — Я2 + Я — 1; ?3 (Я) = ?4 (Я) = 0.
1018. ?, (Я) = 1; Ег (Я) = Я^ — Я +1; ?3 (Я) = Я3 +1; ?4 (Я) = 0.
1019. ?, (Я) = ... = ?„ (Я) = 1; ?„+1 (Я) = Я«+'.
Ю20. ?,(Я)= ...=?„_, (Я) = 1; ?„(Я) = (Я — а)", если Р ф О,
?,(Я)= ... =Е„(Х) = Х — а, если 0=0.
Указание. При Р =^ 0 показать, что делитель миноров ?>n-i W = !•
Для этого убедиться, что минор, полученный вычеркиванием первого
Столбца и последней строки, не обращается в нуль при Х = а.
1021. Я+1, (Я —IJ. 1022. Я + 1, Я—1, Я—1.
1028. Элементарных делителей не существует.
1024. Я + 1, (Я—IJ, Я—1, Я + 2, Я+2, Я + 2. -
320
ОТВЕТЫ
[1025—1034
1025. Элементарных делителей не существует.
1026. В поле рациональных чисел: Я2 -j- 1, Я2 — 3; в поле действитель-
ных чисел: Я2 + 1; Я + J/Tf, Я— УЗ; в поле комплексных чисел: Я + /,
Я-;, X + V3, h — Vt.
1027. В поле рациональных чисел: Я2 — 2, (Я2 + 4J, Я2 + 4; в поле дей-
ствительных чисел: Л-|-}/1Г, Я—1^2, (Я2 + 4J, Я2+ 4; в поле комплексных
чисел: Я + УТ, Я — У~2, (Я + 2/J (Я — 2/J, Я+ 2/, Я — 2/.
1028. В поле рациональных чисел и в поле действительных чисел:
(Я—IJ, (Я+1J, Я + 1, (Я2 —Я + 1M, Я2 —Я+ 1; в поле комплексных чисел:
'-)'¦
1— iV3
Ю29.
1030.
1081.
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Я+1
0
0
0
0
Я + 2
0
0
0
Я—1
0
0
0
2
0
0
Я2 —1
>
0
0
0
0 Я4 —2Я2
0
0
0
0
Я3 + 2Я2 —4Я —
0
0
0
Я2 + Я —2
0
0
я=-+
0
0
0
+ 1 0
0
8
я6 —
2
•
12Я<
0
0
0
•
0
0
0
+ 48Я2-
•
-64
0
0
0
_Я« — 5Я3 — Я2 + 8Я — 4 0
0
0
1032. Указание. Пусть е(Я) — какой-нибудь неприводимый множи-
тель, входящий в разложение хотя бы одного диагонального элемента,
s — число диагональных элементов, отличных от нуля, и 0 ¦< at .< а2 .< ...
... .< as — совокупность показателей степени, с которыми е (Я) встречается
в этих элементах. Показать, что при к = 1, 2, .... s делитель миноров D^(Я)
делится точно на [е(Щ ' 2 k, а инвариантный множитель Яд (Я) —
точно на [е{%)\ к.
1033. Указание. Элементарными преобразованиями привести каждую
диагональную клетку к диагональной (например, к нормальной) форме ч
воспользоваться предыдущей задачей.
1034.
1
0
0
0
0
Я(Я + 1)
0 Я(
0
0
0
Я+1) (Я
0
-1)
0
0
0
Я2 (Я+1K (Я— IJ
1035—10481
1035.
103S.
1037.
1039.
1041.
ОТВЕТЫ
10 0 0
О Л3 —4Л О О
О О Л3 —4Л О
0 0 О X* — 4Л2
10 0 О
О О
/(Л) О
О [/(Я)]2
о
о
о
О'
о
321
где /(Я) =
— 6Л.
0
0
-IJ 0
(Я2—IK
1040.
*
1
0
0
0
0
0
0
Л4 —2Я2 + 1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1038.
0
0
яг + я
0
1
0
0
0
—6
0
Я—1
0
0
л2 4
0
0
Я2—1
0
0
0
-л
0
— 6
0
0
0
0
О /(Я)
о о
0 о
1 О
О Л2—1
о о
0 о
1 О О
О 1 О
О О Л2 —4 О
0 0 0 0
1 О О
О Л—1 О
О О Я2—1
0 0 О
0 0 О
1042. D] = 1 D2 = 2 D3 = 4 Dt = 320
«43. D,=3, ?>2 = 18, D3 = 324, D4=11664.
1045. Указание. При доказательстве существования представления
данного вида воспользоваться предыдущей задачей. При доказательстве
единственности из двух представлений данного вида А = PtRi = P2R2
вывести, что матрица С = P2~1Pi = R2Ri 1 является унимодулярной и тре-
угольной Я-матрицей, элементы которой на главной диагонали имеют стар-
ший коэффициент, равный единице, и, значит, сами равны единице. Затем,
приравнивая в равенстве CRt = /?2 элементы k-й строки и принимая во вни-
мание условие для степеней элементов Rt и R2, показать, что все элементы
матрицы С справа от главной диагонали равны нулю, т. е. С — единичная
матрица. Получить отсюда равенства Pt = Я2 и Rt = /?2.
/1 —2\ /2 4\
1047. Например, Л = ( л);В==1 оI
«4В. Скалярные матрицы. Указание. Показать, что если AT = ТА
для любой невырожденной матрицы Г, то это верно для всех матриц Г.
Для этого вырожденную матрицу Г представить в виде Т = (Т — аЕ) -\- аЕ,
где а^О н выбрано так, что \Т — аЕ\ Ф 0. Затем применить задачу 818.
Замечание. Указанный метод решения может оказаться непригод-
ным для матриц с элементами из конечного поля, где может не найтись
элемента а с нужными свойствами. Метод, пригодный для матриц с эле-
ментами из любого поля и не использующий задачи 818, состоит в следую-
щем: для i Ф j обозначим через Fn матрицу, отличающуюся от единичной
322 ответы [1049—1069
лишь тем, что ее элемент в 1-й строке и в /-м столбце равен единице.
В равенстве АРц = FyA приравняем элементы в 1-й строке и у-м столбце,
а затем в i-й строке и 1-м же столбце.
1049. За матрицу Г можно взять матрицу, полученную из единичной
перестановкой 1-й и /-й строк.
1050. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
/2Я+1
1O5S. А = (В — ХЕ)\ ЗЛ + 2
V Х + 2
/ Л* X lv
1059. Л=BЛ2 ЗХ 2 (В — ХЕ)+\
\ X2 X —2J \7 —5
1060. Указание. Использовать задачу 1005.
1061. Решение. Пусть Р=(В —Л?)Р,+Ро и Q = CMS —X?) + Qo.
Используя эти соотношения, равенство
B — XE = P(A — XE)Q A)
можно привести к виду
В — Л? — />0(Л — Л?)<?0 = Р(Л — lE)Qi(B — ХЕ) +
+ (В — Л?) Я, (^ — ХЕ) Q — (В — Л?) Р, (^ — Я?) Q, (В — Я,?).
Подставляя сюда на основании равенства A)
1 и (A — XE)Q = P~1(B — XE),
полупим:
В — ХЕ — Р0(А — Я?H0==
= (в — Л?) [Р^-1 + Q~lQi — Р, (>1 — XE) Q,] (В — Л?).
Выражение в квадратных скобках в правой части этого равенства
должно равняться нулю, так как иначе правая часть имела бы степень
относительно Л не ниже двух, тогда как степень левой части не выше еди-
ницы. Поэтому В — ХЕ = Р0(А — XE) Qo. Приравнивая в этом равенстве
коэффициенты при Л и свободные члены, находим: P0Q = Е и В = P0AQ0.
1063. Подобны. 1064. Подобны. 1065. Матрицы А и С подобны
между собой, но не подобны матрице В.
1066. Матрицы В и С подобны между собой, но не подобны матрице А.
(j 2 \
I. Указание. Для получения по
возможности простого ответа надо стремиться совершать наиболее простые
элементарные преобразования столбцов матриц А — ХЕ и В — ХЕ.
(О 2\
I. Указание. Для приведения матрицы
—1 10/
А — ХЕ к нормальной диагональной форме из второй строки, умноженной
на 6, вычесть первую строку, умноженную на Л -|-16, а из первого столбца,
умноженного на 6, вычесть второй столбец, умноженный на Л —17. Анало-
гично преобразовать матрицу В — ХЕ.
1069. Например.
1070—10811 ответы 323
1070. Указание. Получить с^. как сумму всех сомножителей, стоя-
щих в определителе \А — Я? | при произведениях по k элементов главной
диагонали и взятых при Я = 0.
1071. X,=ai + ^+ ••• +al. ^2= ••• = Я„ = 0. Указание. При-
менить предыдущую задачу.
1074. Указание. Применить задачу 1070 к матрице В = А — Яо? и
показать, что характеристический многочлен | В — \iE | матрицы В после
замены ц = Я — Яо переходит в характеристический многочлен | А — КЕ |
матрицы А.
1075. Для треугольной матрицы вида
О Яо
где Л/,/+i ф 0 (/= 1, 2, .... п—1) будет d=l. Для диагональной матрицы
порядка п, в которой р элементов главной диагонали равны Яр, будет d = р.
1076. Указание. Доказать, что
1077. Указание. Перемножить равенства
(Я,-Я)(Я2-?1) ... (К„-К),
и заменить Я.2 на Я.
1078. Указание. Равенство |А — Я?| = (Я, — Я)(Я2 — Я) ... (Я„ —Я)
перемножить со всеми равенствами, полученными нз него заменой Я на
2nk Ink
Яе,. Яе2, ..., Яер_1# где eft = cos \-is\n (А==1, 2, ..., р—1) и
в полученном равенстве заменить Яр на Я.
S
1079. Решение. Пусть / (Я) = л0 JJ (Я — цД кроме того, q> (Я) =
л s
= JJ (Я/ — Я). Полагая Я = А в / (Я), получим: / (Л) = л0 JJ (^4 —
Переходя от матриц к определителям, находим:
П [в« П <Л' - ¦*»[ = Ц
С другой стороны, | / (А) | = ад JJ ср (ц;) = Л (/, ср).
a
/-1
1080. Указание. Применить равенство предыдущей задачи к много-
члену g{x) = f (x) — Я, где Я — произвольное число.
1081. Указание. Применить равенство 1/(-4I= ift/лл и исполь"
•овать задачи 1079 и 1080.
324 ответы [1082—1085
1082. Указание. Если хотя бы одна из матриц А, В невырожденна,
то утверждение вытекает из подобия матриц АВ и В А (см. задачу 1047).
В общем случае можно применить задачи 920 и 1070. Для матриц над полем
с бесконечным (или достаточно большим) числом элементов из выполнения
требуемого равенства для невырожденных матриц следует его тождествен-
ное выполнение. Наконец, для матриц с числовыми элементами равенство
для вырожденной матрицы А можно получить путем предельного перехода.
Например, если Кх, К2, ..., Кп— характеристические числа вырожденной
матрицы А, то берем последовательность чисел е,, е2 такую, что1 все
они отличны от Кь К2, ..., Кп и Lira tk = 0. Матрица Ak = А — е^Е невы-
Й->оо
рожденна. Значит, | Аф — КЕ | = | BAk — КЕ |. Переходя к пределу при
А->со, получим нужное равенство.
1083. Характеристические числа (с учетом кратности) будут: Kk = / (еД
где / (х) = ах -\- а2х -\- агх -f" ¦ ¦ • + апх и eft = cos (-« sin -
(k = 0, 1, 2, ..., n — 1). Указание. Применить выражение для циркулянта
из задачи 479 к циркулянту | А — КЕ |, где К—параметр.
1084. Решение. Применяя задачу 304 к определителю \А — КЕ\,
где К— характеристическое число, положим а —|— р = — К, ар = — 1. Тогда
\А — КЕ | = a"-|-an~1p-|- ... + Р". Из ар = — 1 находим а Ф 0 и р Ф 0.
Далее а Ф р, так как из a = р и | .Л — КЕ | = 0 следовало бы a = р = 0.
ап+1 Rn+1 /a\n+1 a 2я#
Поэтому \А — КЕ\~ —^ = 0, откуда 1-^-1 = 1; -^ — cos —-pr -|-
2лй ex
sin—-j—r- (k = l, 2 n), 1гфО, так как -н-# 1. Решая это урав-
нение совместно с ар = — I, находим: a= ± ucos——г—J- г sin——--\,
P=±ncos—r—j /sin—r-rl- Здесь знаки ± надо брать для аир
\ п-\-1 п-\-1 ]
nk
совпадающими, так как ар = — 1. Отсюда К = — (a -|- P) = т 2i cos
n + 1
(k = 1, 2, ..., n). Все эти числа должны быть характеристическими. Но
nk (п 4-1 — к) я
среди них имеются равные, так как cos ——г- = — cos -—' .—-—.
Все различные числа содержатся в системе
=1, 2 п).
Но степень характеристического многочлена равна п. Значит, последняя
снстема содержит все характеристические числа, причем кратных корней нет.
1085. Указание. Доказать, что клетка Жордана порядка k с чис-
лом а на диагонали имеет единственный элементарный делитель (Л — a)ft.
Построить жорданову матрицу Aj, клетки Жордана которой находятся
в указанной связи с элементарными делителями матрицы А — КЕ, и, поль-
зуясь задачами 1033 и 1061, доказать, что матрицы А и Aj подобны. При
доказательстве единственности, пользуясь задачей 1005, убедиться, что
характеристичен кие' матрицы двух подобных жордановых матриц В и С
эквивалентны и из совпадения элементарных делителей матриц В — КЕ и
1086—1105] ответы 325
С — КЕ, снова применяя задачу 1033. убедиться, что матрицы В и С совпа-
дают с точностью до порядка клеток.
1086.
0 01
о о
о о
о о
0 0 0 0—2 О
0 0 0 0 0—2
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
1087.
—10 0 0 0 0
0—1 1 0 0 0
О 0—1 0 0 0
О 0 0—1 10
О 0 0 0—10
0 0 0 0 0 5
1088. Задача поставлена неверно. Таких инвариантных множителей
у матрицы А — КЕ четвертого порядка не может быть.
1090.
1093.
1096.
1099.
1102.
1092.
1095.
1098.
1101.
—3
0
0
0
0
0
1
0
0
' a
0
0
—3
0
0
0
1
1
0
0
a
0
D
D
l
—3/
>0 0 a>
гдее = -т±2-
одно из комплексных значений ]/"!,
1104.
/
I
0
2 + 3/
0
О
0
1105.
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
326
ОТВЕТЫ
[1106—1125
«06.
«08.
2
0
0
0
0
0
1
2
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0 0 0 1
0 0 0 0
«07.
«09.
1 1
0 1
о о
0 о
1 1
О 1
о о
о
о
—1
о
0 о
1 О
1 1
о
о
1
—1
О 0
о о
о о
О 0 0 0 ... 1 1
о о о о ... в г
«10. То же, что в задаче 1109. «И. То же, что в задаче 1109.
«12.
«14.
n
0
0
0
о
«0
0
1
n
0
0
0
0
a,
0
1
n
0
0
0 .
0 .
1 .
0 .
0 .
0 ..
0 ..
.. 0
.. 0
.. 0
.. n
.. о
. 0
. 0
0
0
0
1
n
«13.
1
0
0
0
2
0
0
0
3
... 0
... 0
... 0
0 0 a2 ... 0
т. e. ak =s a I cos ¦
О О
Ink
-f/sin
2nk
0 0 0 ... n
где do, а,, .... а„_, все значения
= 0, 1,2. .... n-1).
n n )
«15. Одна клетка Жордана с числом а на главной диагонали.
«18. В поле рациональных чисел подобна матрице
,1 0 0,
I 0 2 0 1.
\0 0 3/
I. В поле вещественных чисел подобна матрице
B0 0 \
О 1^ 0 ).
о о -Уз/
«20. В поле комплексных чнсел подобна матрице
,10 Ох
I 0 2 + 3/ О I.
\0 0 2 — 3//
1121. Не подобна диагональной матрице ни в каком поле.
1125. Диагональная матрица с элементами на главной диагонали, рав-
ными нулю или единице.
1126—1141) ответы 327
1126. Диагональная матрица с элементами ±1 на главной диагонали.
Замечание. Утверждение не верно для матриц над полем характе-
/1 1\' /1 1\
ристики 2. Например, I I = Е н матрица I I не приводится к диа-
гональной в силу единственности жордановой формы.
1127. Если п—период матрицы А, т. е. наименьшее из натуральных
чисел к, для которых Ак = Е, то диагональная матрица имеет на главной
и
диагонали некоторые из п значений корня У\. Замечание. Результат
ле верен; для матриц над полями конечной характеристики, например для
матрицы порядка <!/? над полем характеристики р:
1 1 0 ... 0>
О 1 1 ... О
VO 0 О ... 1,
справедливо равенство Ар = Е.
1128. а) К— 1; б) Я.
1129. Для скалярных матриц А = аЕ н только для них. Для данного
порядка п такая матрица только одна.
1130. G, — а)". 1134. Я2 —4Я + 4. 1135. X2 — 5А. + 6.
1136. Например, для матриц
110 0
0 10 0
0 0 11
0 0 0 1
= (Я—IL, -ф (X) = (Л,— IJ, но эти матрицы не подобны в силу един-
ственности жордановой формы любой матрицы.
1137.
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
и
У'1 C\ah-2
о
при k <: п — 1 здесь следует положить C°k = 1 и Csk = 0 для k<s.
113В. Указание. Положить А = аЕ-{-Н и в равенстве
2!
-а)*
(s — степень многочлена / (х)) положить х = А.
1140. Одна клетка Жордана с числом а2 на диагонали.
1141. Если п > 1 порядок клетки Жордана А с нулем на диагонали, то
жорданова форма матрицы А2 состоит из двух клеток с нулем иа диагонали,
п п—1 и+1
ом —^——h—
п
имеющих порядки -^ при четном п и
!фи нечетном п.
Указание. Пользуясь задачей ИЗО, найти минимальные многочлены
матриц А и А2 и показать, что клетки жордановой формы матрицы А2 имеют
л п + 1
порядки не выше -^ для четного п н —^—
для нечетного п. Проверить,
328
ОТВЕТЫ
[1143—1146
что делитель миноров D,,_2 (X) матрицы А2 — КЕ равен единице, и далее
показать, что жорданова форма матрицы А2 содержит не более двух клеток.
1143. Искомая матрнца содержит две клетки Жордана с числом а на
п п — 1 п-\-1
диагонали, имеющих порядки -^- при четном п или —=— и —^— при не-
четном п. Указание. Применить две предыдущие задачи.
'1144. Решение. Пусть А = ТВ1 \ где А — данная матрица и
в =
в2
о
О Bk)
ее жорданова форма с клетками Жордана
[ 1 0 .... О
0 h!::°
(
>0 О О ... fy
Тогда А' = Т'~1В'Т'. Пусть
7 Г
О ... О V
О ... 1 О
Л ... О 0>
и имеет тот же порядок, что В[ и
1Н,
Н-.
О Нк
Непосредственным перемножением находим: B'l=HJlBlHl и, значит,
В' =Н~1ВН. Поэтому A' = T'~lH~lBHT' =T'-lH-lT-lATHT' =^С~1АС,
где С—ТНТ'—симметрическая, невырожденная матрнца. Положим D=C~IA.
Тогда D' = А'С'~Х = С~1АСС~1 = D. Таким образом, матрица D также
симметрична и А = CD.
1145. Если К{, К2, ..., Кп — характеристические числа матрицы А (с уче-
том их кратности), то характеристические числа матрицы Ар (также с уче-
том их кратности) равны числам К{ Я; ... Ki A <; iy < i2 < ... < ip <; n),
т. е. всевозможным произведениям по р из характеристических чисел ма-
трицы А.
Указание. Выяснить, что при изменении нумерации сочетаний по р
из п чисел 1, 2. ..., п матрица Ар переходит в подобную с ней матрицу,
использовать задачу 970, перейти к жордановой форме Aj и применить
свойства ассоциированных- матриц из задачи 969.
1148. Если Я,, Я2, .... Яр—характеристические числа А и ц,, ..., \у.д—
характеристические числа В, то характеристические числа Ау^В равны
Л (/=1, 2, ..., p;j=l, 2, .... д).
1147—11511 ответы 329
Решение. Пусть кронекеровское произведение Ау^В определяется
расположением а,,а2, ..., ардпар чисел (I, J) (i = 1, 2, .... р; j=\, 2,.... q).
Транспозиция а,- и ау вызывает в матрице А X В перестановку <"-й и у-й строк
и t-ro и у-го столбцов, и, значит, переведет эту матрицу в подобную ей
(задача 1049). Так как любая перестановка сводится к ряду транспозиций,
то характеристические числа всех кронекеровских произведений А X В совпа-
дают н можно рассматривать, например, правое прямое произведение А X В
(задача 964). Пусть А равняется C~lAjC н В~ D~1BjD, где Aj и В]—
жордановы матрицы. Применяя свойство в) задачи 963, находим: А X В =
= C~lAf X 'D~lBjD = (С X О) (Aj X Bj) (С X 'D). По свойству
д) задачи 964 имеем: С X D~l — (С X D)~l. Значит, матрицы А X 'В и
Aj X Bj подобны и их характеристические числа совпадают. Но Aj X 'Bj
является треугольной матрицей с элементами Kl\ij(l = \, 2, ..., р, /=1,
2, ..., 9) на главной диагонали, что и доказывает наше утверждение.
1147. Указание. Показать, что g(A) = h(А) тогда и только тогда,
когда g (X) — Л (Я) делится на ф(Я).
1149. В данном случае минимальный многочлен совпадает с характери-
стическим (с точностью до знака), г (Я) есть обычный интерполяционный
многочлен Лагранжа.
(А-},ХЕ) ...(A-Xk_lE)(A
где Яь Я2, ..., Я„ — характеристические числа, матрицы А (по условию раз-
личные).
1150. г (Я) есть обычный интерполяционный многочлен Лагранжа
...(A — %SE)
1151. Решение. Покажем, во-первых, что если интерполяционный
многочлен Лагранжа — Сильвестера г (Я) существует, то он определяется
равенствами A) и B). Пусть
разложение дроби на простейшие. Умножая это равенство на ф (к), получим
равенство A). Для установления равенств B) умножим равенство (о) на
(Я —ЯЙ)Ч Получим:
^ = а*., + о*. , (Я - ЯА) + ... + ак, Гк (Я - Я^ + (Л—Я.*)г*ф (Я), D)
где ф (Я) — рациональная функция, имеющая смысл при Я = Яй вместе со
всеми свонмн производными. Беря от обеих частей равенства D) (/—1)-ю
производную при Я = Я^ и пользуясь тем, что значения г (Я) и / (Я) иа
спектре матрицы А совпадают, мы и получим равенства B). Во-вторых, по-
кажем, что многочлен г (Я), определенный равенствами A) и B), является
330
ОТВЕТЫ
[1152-1156
интерполяционным многочленом Лагранжа — Силызестера для функции / (к)
иа спектре матрицы А Из равенства A) видно, что степень г (к) ниже
степени ty(^). Далее, положим
Из равенств B) следует, что при к = кк значения функции <pft (к) и ее про-
изводных порядка / < rft совпадают соответственно со значениями функ-
ции ,. и ее производных того же порядка. Поэтому, полагая к = к/?
в равенстве г (X) = 2 Ф/j М ^й (*•) и равенствах, полученных из него у'-крат-
ным дифференцированием (J < rft), мы получим:
riJ)&k) = f{})(h) (/ = 0. 1. .... rt—1; *=1, 2, ..., s),
т. е. значения г (К) и /(Я) на спектре матрицы совпадают.
1152 / А) [Е + 6 (А Я?)] (Л Я?K + [?
1152.
() /
/ (А) =
(А —
где а=
— К2Е) -\-
2 f'
1
1
1154. Указание. Показать, что значения интерполяционного много-
члена Лагранжа — Сильвестера г (X) для / (к) на спектре матрицы А совпа-
дают со значениями / (Я) на спектре- каждой клетки А^, и применить
задачу 1147.
/
1155. r<A.) =
/@) /'@)
/* @)
0
! '•• (л-1)!
/@) /'@) ...
(я-2)!
0 0 0 ... /@)
/(А) имеет смысл для любой функции f (к), для которой определены зна-
чения /@), /'@) /"'"(О).
1V
1156.
(а)
0
2!
f'ltA f"(a)
1 К ' 2!
/(а) /'(а)
/«"«(а)
(п-1)!
(л-2)!
0 0 0 ... /(а)
имеет смысл'для любой функции f (к), для которой существуют значе-
ния/(а), /'(а) /«V
1160—1184] ответы 331
1160. Указание. Применить предыдущую задачу.
«62. /3.2100 — 2-3'°о 2C'°° — 2'°°)\ «63. 50/—24 25\
- \ _3C10° —210°) З10»—2101 /" (
«Е4. 1 / 7 1\ 1165. i /12
±(j
1166.
1168.
«69.
если брать вещественное значение логарифма.
Общее решение имеет вид
—15 6
2
—5. 2 + 2л*п/
(
где / = у—1 и п — любое целое число.
«70.
с ::)•
1,5 11 1
+ У У У ^
«71. Указание. Использовать задачу 1159.
1172- Указание. Использовать задачу 1159.
«73. | И | = /, где s = «и + «22 + ¦•• + о-пп — след матрицы А
«74. Указание. Использовать задачу 1161.
«75. у\Л-у1-У% «76. У?-у1-У32. «П. У?-)?
«78. У? —у1-у1-у1- «73. yf + yl-ji «ВО. ? 1
1181.
«82.
1183.
«84. у2 + у| —у2; Д;1 = _—у,
1 . 1
У+У
332 ответы [1185—1195
1185. yf — yl; -*1=У1 — У2 — Уз. -К2 =
1186. y+y^y
629 у * = -!¦ Kl5y2 - -gg- Г85у3 + -Jg- ^629у4, *3 = ~
- ^L- /629 у4, *, = -!¦ Kl5y2 - -gg- Г85 + J ^629 /85
1187. 2y:[f 10l+190yl у + У *
9 1 11
1188. Зу?— 30у1 + 530у1; у, =>:, +-д-д:2— -g-ATg, у2 = -д- л:2 — -^ хЪУ
= W ^ 1189" 2У' + 6^~€^ + 2у4- У1 = 4" *i"" Т ^2> У2 = Т ^ + 4 **'
1.1 3
+ У
1190. л:] = у 1 — Зу2 — 6у3; х2 = у2 + Зу3; х3 = у3-
1191. л:1 = 2/2"у1+/2"у2+5у3; х2 =-i-/2"y, + Уз! ^з = Уз-
1192. Xl == уз, х2 = УТу2 + уз, хг = УТу, —| УТу2 — (з + -
1198. у\, у! =«!>:,+ «г-^г + ¦ • • + апхп> У-2 = хь Уз = хз> • • •! У / -
:/-Г. У/ = -*i: У«+1 = -^i+i: ¦ • •: Уп = -^п, если «/ Ф 0.
1194. у2 + |-у1+4^ + 4
У1 = лп + " (^2 + л^з + ... +х„);
Уп = х„.
1195. у2_у2_у2__у|__у|__у2_ ... _ j^j
у|__
-2(Ху
+
Уз = ^3+^
Уя = -«и-
Указание. Свести к предыдущей задаче.
1196—1198) ответы 333
1196. Если п четно: у\ — yf-fy^ —у* + ... +у^_г—у^;
^+, (/ = lj 3> 5( _ n_3).
=(/ = 2 4> 6> ...in_2);
у„-,-
, yn = 2.
Если п нечетно: у\ — у1 + у\ — у\+ ••• + У„-2 — ^Li?
У,- *' + *'+'+*'+' (/ = 1,3 5....,«-2);
(/ = 2, 4, 6, ...,«-!);
«97. =±$±2=.у1+ ... +|-/n_2 + lyL1;
... +Хп .
^
Уп-i =х„- \ — Хп,
Уп = хп.
и . л
n-l YV.2 2
Указание. Представить форму в виде/{ = ?ixi— ~7Г У1 xixf
/=1 К]
и применить метод индукции. Другой путь состоит в следующем: совершив пре-
образование г, = хх — s; z2 = х2 — s; ...; zn_, = >:„_, — s;zn = xnи сложив
n /n-l n-l \
эти равенства, приведем форму 2 С*/ — sJ к ВИДУ: 2 ( 2 2f + 2 ^г^у) •
/=1 \/=i «<у /
Используя ответ задачи 1194, получим: 2уj + уу| + "з"Уз + ¦•• +^ZIT yn-i-
При этом связь старых и новых неизвестных получается сравнительно
сложной.
1198. (n-l)y*-yl-yi- ... _у»;
>i =" (^i +^2 + л:з+ ... +х„);
( + {+ ... +хп);
... +хп);
334 ответы [1199—1219
Обратное преобразование имеет вид: *i = yi — у2; х2 = у2 — Уз!---:
xn_i = yn~i — У/Г> -*п = У1 + Ул- У к а з а н и е. Применить преобразование
гп — хп.
1199. Указание. Доказательство' аналогично доказательству закона
инерции.
1200. Указание. Использовать предыдущую задачу.
1201. Формы /, и /3 эквивалентны между собой и не эквивалентны
форме /г-
1202. Формы /2 и /3 эквивалентны между собой и не эквивалентны
форме /|.
1203. В. комплексной области n-f-1; в вещественной области
1 + 2)
2
1204. Ранг — четное число, сигнатура равна нулю.
1205.
[——о М~ *' где l*' обозначает наибольшее целое число, не
превосходящее х.
1210. Указание. Для доказательства утверждения б) рассмотреть
форму /е = / + eg, где е > 0 и g — сумма квадратов неизвестных. При
доказательстве необходимости проверить, что /Е > 0 и что для соответ-
ствующих главных миноров D и ?>е форм / и /е имеет место: D = lim De.
е>0
При доказательстве достаточности проверить, разлагая DE по степеням е,
что Ое > 0, и показать, что для любых значений неизвестных имеет место
/ = 1im/e. Примеры. Форма f\ — —х\ или невырожденная форма
е->0
/2 = — х\-\-1хххг имеют угловые миноры неотрицательными, ио сами не
являются неотрицательными.
При доказательстве утверждения в) применить задачу 1208.
При доказательстве утверждения г) применить задачу 916 и приведе-
ние / к нормальному виду, показав, что А ~ D'BD = (ВО)' (BD), где
D — матрица преобразования, а В — матрица формы в нормальном виде.
1212. К > 2. 1213. | Я, |< ]/-§¦¦
1215. Требуемых значений % не существует.
1216. Требуемых значений X не существует.
1217. Указание. Пусть g = /-f- /2, где / = c1jc1 -f-... -|- с„хп. Меняя
порядок неизвестных, прийти к случаю сп ф 0, совершить преобразование
yt = xi {i = 1, 2, ..., n—1), уп = — и доказать, что для новых форм
Dgi = D^ -J-c^Dn_1, где Dn_1 — угловой мннор порядка п—1 формы/t.
1218. Указание. Представить форму / в виде
= в„ (лг, + -
лг, + ...+¦?*¦ хХ +/, (хъ ..., л:п),
и, пользуясь предыдущей задачей, показать, что Df = anDfi <;auDq>.
1219. Указание. Использовать канонический вид данной формы.
1220—1226] ответы 335
1220. Решение. Очевидно, что (/1+/2. g) = (fu ?) + (Л. g)- При-
Т S
водя обе формы к нормальному виду, найдем / = 2 у\ S = 2 *>» гд<5
У(, г,-— линейные формы от хи х2, ..., Jcn. В силу отмеченных свойств ком-
Т S
позиции имеем: (/, g) = 2 2 (у?> гу)-
л п
Рассмотрим одно из слагаемых (у2, г2), где У = 2 а***> г = 2 **¦**•
л л л
Тогда у2 = 2 akatxkxi; г2 = 2 ***^ft^; (У2, -г2) = 2
= B akbkxk
при любых вещественных значениях aj jcn. Отсюда
(/, g) >. О, чем утверждение а) доказано. Пусть теперь / > 0 и g > 0.
л л
Форму g приведем к нормальному виду: ?=2 У?- Где У/—2 01/*./
/-1 7-1
('=1 п) и| Q | = | ди \фО. Тогда (/, у) =2 (/• у!)' НоУ? = S liflik*?»
i-\ j, ft-i
я л
откуда (/, y^)= 2 ajk4ij4inxjxu= 2 ajk Dtjxj)^ikxk)>° в СИЛУ
7, ft — 1 7. ft —1
/ > 0. Если при некотором t берем значение Xf ф 0, то существует / такое,
что д[{ Ф 0 (иначе было бы в вертикальных чертах Q = 0). Значит, в силу
л
/ > 0 также (/, У?) = 2 ajk (<lijxj) (<7,-ft*ft) >0"(/,g)> 0.
j, ft-i
1221. Указание. При доказательстве утверждения б) рассмотреть
k
формы /* == 2 аО'-*1*У (* = J. 2. • • •. ")•
г. 7-1
1222. Указание. Необходимость условий B) следует из неизменности
угловых миноров при треугольных преобразованиях (смотри предыдущую
задачу).
Так же доказываются равенства C). Достаточность можно доказать индук-
цией по числу неизвестных п.
4
_ 1 1
"ТУ1
1225. /
1226. /i = 9y? + 9y|-9yl; ft = У?
336 ответы A227—1250
1227. /1 = У? + У2 + Уз —Зу^; #1 = У'
2 Уз 2 У4; *t — 2 У1 2
1 1
1228. /1=y?-f-2y| + 2y| —7у| ?i = У i + Уг + Уз + Уф xi = -f
9 J_ _? _? А • х =* —2-х —
1229. Д = у? + 2уг — Зу|; gt = у?+у1+Уз1 *i = yt - у2; л:2 = — У2+У3:
1230. Указание. Показать, что корни А-уравнения пары форм не
изменяются при любом невырожденном линейном преобразовании неизвестных.
1231. Нельзя, так как корни А-уравнения 1 ± -»- *.
1232. Нельзя, так как корни А-уравнения ±-к П
1233. При подходящей нумерации имеет место: Xj\il =1 (* = 1, 2, ..., п).
1234. 3yf — у\ — 5у| 1235. 5yf — у| — 2у|. 1237. Эквивалентны.
1238. Эквивалентны.
1239. xi = — 12у, — 17у2; х2 = 5у, +7у2. 1240. хх = у, +2у2;
л:2 = 3у,+2у2.
1242. Указание. Показать, что характеристический многочлен | А—%Е\
не изменяется при ортогональном преобразовании формы /.
1243. 4у?4~4У2 — 2у|. 1244. 6у\ -f- 6y| + 9у|.
1245. у\ + / 3j| - V Зу| 124В. Зу? + 0 + /17) )| + A - /17> у|
п
1247. Л. cos —-г—ру|. Указание. Рассмотреть удвоенную форму и
решать аналогично задаче 1084.
9 19 9 2
1248. Зу1+6у! + 9Уз! лг,= —yj — -д-Уг + ^о-Уз; *2 = 'з~ У1+уУ2 —
_ 1 1 2 , _2_
3 3 3 3
2 2 1 1
1249. 9у\ 4-18>| — 9у?; х, = -^ уL -f- -5- У2 —о- Уз'. -*г = ~~ "Т Уi +
.2.2 2 1,2
+ -о У2 + -о- Уз! *з = -о-У1 — -о-Уг+^Уз-
О О О О о
1250. Зу? + 6у^ - 2у32; ^ = ^=- У1 + -р- У2 + ~
У3=
yУ+1Уз; =7?y'~7f
1251—1261] ответы 337
1252. 9у?+18у| + 18у1; *, =
2 2.2.1
3" Уз; *з = -g- у, + -g- у2 + "з Уз-
1253. Зу? - 6у1; ж, = | yt + i Г 2у2 +1V 2у3; ^2 = i- У1 -1V 2у2;
1254. 9у? + 9у^ - 9у| ^ = J у, + у / 2у2 + i / 2у3; ^2 = i yt -
1255. 2у? + 4у?-2у^-4у2; х, =i
2 + у3
X (—yi+Уг+Уз — У4>; -«з = у (— У1 — У2+У3+У4); Ar4 = -g-(y,—у2+у3—у4).
1256. 4у? + Ьу\ + 12у32 - 4у2; Xl = I- (у, + у2 + у3 + у4); х2 = \ X
X (у 1 — Уг — Уз + у4); агз = j (у, + у2 — уз — у4); xt = у (у, — у2+у3 — у Л
1257. 5yf - Ъу\ + 5у| ^ = 1 / 5 Bу, + у2); дг2 = 1 /5 (ух - 2у2/,
jf. = -1 / S Bу3 + у4); а:4 = 1 К 5 (- уз + 2у4).
1258. 2у?-4у? ^^-^-Ггсу^уз); х2 = |Г5 (у, -у3);
1259. 9у? + 9у| + 9)|: х1 = yL: х2 = i (у2 + 2у3 + 2у4);
= у Bу2 + Уз - 2у4); а:4 = i Bу2 - 2у3 + у4).
1260. Ъу\ + 5у2 + 5yl - 8у2; ^ = ~ Vb ByL + у5);
3-К5(-у, + 2Уб); лг3 = у3; а:4 = — ^13 Bу2 + Зу4);
1261. 4у? + 4у| + 4у* - 6у1 - 6у1; ^ = У1; ^2 = ]- / S (у2 + 2у4);
3 + 3у5); х, = ±/10(Зу3-у5).
^)А5(-2у2 + у4); х, = -^-/16 (у3 + 3у5); х, = ±
338
ответы
A262—1275
1262. 5у? -
хг = -V 5 Byt + У2);
«68.
1264.
— 2ув).
-i-('-1)*iJ ('==2, 3 n).
П— 12 * 2 *2
взять то же, что и в предыдущей задаче.
1265. Указание. Показать, что при ортогональном преобразовании
квадратичной, формы характеристический многочлен ее матрицы не изме-
няется.
1266. Формы / и А ортогонально эквивалентны
ортогонально эквивалентны форме g.
1267. Формы g и Л ортогонально эквивалентны
ортогональио эквивалентны форме /.
-ту у„, преобразование можно
между собой, но не
между собой, ио не
1269.
1270.
" з
1
-3
В=
1271. Указание. Пользуясь указанием к задаче 1074, показать, что
характеристические числа матрицы А — Т^Е получаются вычитанием Хо из
характеристических чисел матрицы А, и применить задачу 12.42.
1272. Указание. Применить предыдущую задачу.
1274* Матрица с положительными угловыми минорами тогда и только
тогда ортогональна, когда она является единичной.
127S. Решение. Квадратичная форма / с матрицей А'А положи-
тельно определенна (задача 1207); значит, треугольным преобразованием ее
можно привести к каноническому виду с положительными коэффициентами
X,, %2 %„ (задача 1222). Если С — матрица этого преобразования,
D—диагональная матрица с элементами l^Xi, }O^, ..., V~Ki на диагонали
(причем все значения корней взяты положительными), и В = DC, то А'А =
= C'D2C = В'В, где матрица В удовлетворяет требованиям задачи.
Положим Q = АВ~\ Тогда QrQ = (АВ'1)' ¦ (АВ'1) = (В')"*1 • {А1 А) • В'1 =>
1276] ответы 339
= (Bf) -В В-В = Е, т. е. матрица Q ортогональна и А = QB; если еще
А = QiBu то матрица Q~1 ¦ Qi = В В," ортогональна и треугольна, с поло-
жительными элементами на диагонали. Значит, это единичная -матрица,
откуда Q = Qi и В = ВХ.
1276. Решение. Докажем утверждение а) для представления А = QB
требуемого вида. Матрица А'А симметрична, и квадратичная форма с этой
матрицей положительно определенна (задача 1207). Поэтому существует орто-
гональная матрица Р такая, что А'А = Р'СР, где С — диагональная матрица
с положительными элементами Хь Х2 Кп на диагонали. Пусть D—диа-
гональная матрица с элементами УК\, V~^2, .... V hn на диагонали, причем
взяты положительные значения корня. Положим В = PrDP = P~1DP. От-
сюда следует, что В — симметрическая матрица с положительными характе-
ристическими числами. Значит, квадратичная форма с матрицей В поло-
жительно определенна и угловые мнноры ее положительны. Далее А'А =
= P~1CP = P~lD2P = P~1DP-P~1DP = B2. Положим Q = AB~K Тогда
А = QB и Q'Q = (АВ'1)'-(АВ-1) = В' (А'А)-В'1 = В-'В2^ = Е. Зна-
чит, матрица Q ортогональна.
Пусть даны два представления требуемого вида: A = Q,Bl = Q2B2. Тогда
А'А = В\ = В% Обозначим через Kv 1% ¦•¦> '-л» Vi< 1*2 IV> vi» V2 vn
характеристические числа соответственно для А'А, В,, Вй расположенные
в невозрастающем порядке. Все эти числа положительны и ]ij = ki = v?
(i=l, 2, ..., «) (задача 1077). Значит, Иг=\ («=1, 2, .... п). Пусть С л
D—диагональные матрицы с элементами %{, %2, .... А„ и ц,, ц2 Ш на
диагонали. Существуют ортогональные матрицы U и V такие, что В( = U'DU,
В2 = K'DK. Значит, В\'= U'CU, В% = V'CV; откуда t/'Ct/ = К'СК, Cuv' =
= С^К'С Матрица W — (тф" == t/K' перестановочна с С. Покажем, что она
перестановочна с D. Если Я; ф Ху, то, вычисляя элемент матрицы CW = WC
в /-й строке и у-м столбце, найдем, что хюц = 0. Таким образом, если пред-
ставить матрицу С в виде клеточно диагональной матрицы с диагональными
клетками Сь С2, ..., Сц так, что в каждой клетке диагональные элементы
одинаковы, а в разных клетках — различны, то матрица W является кле-
точно диагональной с диагональными клетками W\, W2 W^ тех же по-
рядков, что и Cj, C2, ...,'Cfc. По построению матрицы D она также будет
клеточно диагональной с диагональными клетками Dx, D2 D/, тех же
порядков и равными диагональными элементами в каждой клетке. Так как
DiWi = WtDi (i = 1,2 k), то DW = WD. Отсюда DUV' = UV'D;
U'DU=V'DV, т. е. By = B2.
Пользуясь функциями от матриц, можно провести доказательство короче.
Если A — QB — представление искомого вида, то А'А = В2; В —У А'А,
причем характеристические числа В положительны. Таким образом. В является
значением функции У~Х (где берется арифметическое значение корня) при
К = А'А. Так как характеристические числа матрицы А'А положительны, то
это значение имеет смысл, определено однозначно и, как многочлен от сим-
метричной матрицы А'А, будет матрицей симметрической (задачи 1148, 1151).
Полагая Q = АВ~1, убедимся, как выше, что Q ортогональна.
Представление A=B2Q2 получается аналогично при помощи матрицы А А'.
Утверждение б) доказывается так же, как а), с заменой положительно опре-
деленных форм эрмитовыми положительно определенными формами. Утвер-
ждение в) следует из единственности представлений, указанных в а) и в б).
Оно может быть доказано также приведением матрицы В в случае 1) и
340 ответы [1277-1300
матрицы А в случае 2) к диагональному виду при помощи ортогональной
(унитарной) матрицы (см. задачу 1595). Тогда из утверждения 1) легко сле-
дует единственность представлений, указанных в а) и б).
Отдел IV. Векторные пространства и их линейные
преобразования
1277. A, 2, 3). 127В. A, 1, 1). 1279. @, 2, 1, 2).
1280. л-j = — 27л:( — 71*2 — ^х'ъ; х2 = 9х[ -f 20*2 + 9-*& хг = 4х1 +
¦fiWB» Л j &.Л- 1 —г" Л»з •"'At An — "~~ O^Vi ""f~ -Ло "^~ ?,Ло —t— Ai, Ло Л» ——• ^Д.п '
i ^"^3 -^4» •^4 — "^1 •^2 "г -^3 •^4*
1282. а) а„, а„ а2 а„; б) /(а), /'(а), ¦ 2д , .... п, •
1283. / 1 —а а2 —а3 ... (—I)"а"
О 1 —2а За2 ... (— I)" па"
О 0 0 0 ... 1
В этой матрице в (й-|-1)-м столбце стоят числа (—a)ft, C^~J(—а)*,,
С* (- а)*-2 С\ (- а), 1, 0, 0, 0, .... 0.
1284. а) Поменяются местами две строки; б) поменяются местами два
столбца; в) произойдет симметричное отражение матрицы относительно ее
центра.
1285. Не является. 128В. Не является.
1287. Является, если данная прямая проходит через начало координат,
не является в противном случае.
1288. Является. 1289. Не является. 1290. Не является. 1291. Является.
1292. Не является. 1293. Является.
1294. Все пространство; векторы, лежащие в любой плоскости, проходя-
щей через начало координат; векторы, лежащие на любой прямой, проходя-
щей через начало координат, и само начало координат, т. е. один нулевой
вектор.
1293. Не верно.
1297. Базис образуют, например, векторы A, 0, 0, ..., О, 1), @,1,0, ...,0,0),
(О, 0, 1, .... О, 0), .... (О, 0, 0 1, 0). Размерность равна п —1.
1298. Базис образуют следующие векторы: если k — номер базисного
вектора, то его координата с номером 2k — 1 равна 1, а остальные коорди-
наты равны нулю, k — \, 2 "9 —1> где М обозначает наибольшее
целое число, не превосходящее х. Размерность равна I —й?— •
1299. Базис образуют векторы, указанные как базисные в ответе пре-
дыдущей задачи, с добавлением еще одного вектора, у которого координаты
с четными номерами равны единице, а с нечетными — нулю. Размерность
равна 1 ~\-1 —5-—11.
1300. Базис образуют векторы A, 0, 1, 0, 1, 0,...) и @, 1, 0, 1, 0, 1, ...).
Размерность равна 2.
1301—13281 ответы 341
1301. Базис образуют, например, матрицы Ец (I, 7=1, 2 п), где
E-tj—матрица, элемент которой в i-й строке и jr-м столбце равен единице,
а все остальные элементы равны нулю. Размерность равна л2.
1802. Базис образуют, например, многочлены: 1, х, х2, ..., х". Размер-
ность равна п-{-1-
13Q3. Базис образуют, например, матрицы Ftj{i^J; i, 7=1, 2, ..., п),
где Fn—матрица, у которой элементы Д/ = //г = 1. а все остальные эле-
_. п (п 4-1)
менты — нули. Размерность равна ——^—-.
1304. Базис образуют, например, матрицы G^{i < j; i, 7=1, 2 п),
где Gtj — матрица, элементы которой gtj=l, gji = —1, а все остальные
элементы — нули. Размерность равна —г—=——.
1308. Базис образуют, например, векторы A, 0, 0, .... О, —1),
(О, 1, 0, .... О, —1), ..., (О, 0, 0, .... 1, —1). Размерность равна п — 1.
1310. Размерность равна 3. Базис образуют, например, векторы аи а2, а4.
1311. Размерность равна 3. Базис образуют, например, векторы аь а2, аъ.
1312. Например, хх — х3 — х4 = 0, х2-\- х3 — аг4 = 0.
1313. Например, хх — х2 — 2х3 = 0, хх — х2 + 2х, = 0, 2лг, + хг — хь — 0.
1317. s = 3, rf = 1. 1318. s = 3, rf = 2.
1319. Решение. Правило 1) доказывается легко. Докажем правило 2).
Так как числа хп, .... х1]г, уп, ..., у. удовлетворяют равенству A), то
i k
с, = 2 Уi ¦& ¦ ~ S xiM ¦¦ Поэтому векторы с{ (I = 1, 2, ..., d) принадлежат
7 = 1 7 ' j-l '
как Li, так и L2, а значит, и их пересечению Л Пусть jc — любой вектор D.
Он выражается как через базис L,, так и через базис L2. Значит, jc = а,^ +
+ ...-(-akCik = Pi^i + • • • + РА- Это означает, что строка чисел аь ..., ah,
Pi, ..., Pi есть решение системы уравнений A) и потому линейно выражается
через фундаментальную систему решений B). Пусть \„ ..., у.— коэффи-
d
циенты этого выражения. Тогда Р = 2 У^ц G=1. 2, .... /), откуда
/1
S f S vJ »7 = S v( (S у,а) = S
* =
Итак, любой вектор x?D линейно выражается через векторы D). Наконец,
система D) линейно независима, так как матрица координат этих векторов
в базисе blt ..., bi содержит минор C) порядка d, отличный от нуля.
1320. Базис суммы образуют, например, векторы аь а2, Ь\. Базис пере-
сечения состоит из одного вектора с = 1а\ -\-а2 = Ьх-\-Ь2 = C, 5, 1).
1321. Базис суммы образуют, например, векторы аи а2. «з. Ь2. Базис
пересечения, например, Ьх = — 2at -\-а2-\- а3, Ъ3 = 5а! — а2 — 2а3.
1322. Базис суммы состоит, например, из векторов аь а2, а3, Ьх. Базис
пересечения, например, из векторов ct = а, + «2 + а3 = Ьх + Ь2 = A, 2, 2, 1);
с2 = 2а, + 2а3 = 6, + Ь3 = B, 2, 2, 2).
1828. Проекция вектора ?; на Ц параллельно L2 имеет /-ю координату
———, а остальные , проекция на L3 параллельно L, имеет все коор-
п п
1
динаты равными —.
342
1829.
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
... 1
ОТВЕТЫ
0
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1
... 2
1
... у
... 0
A329—1347
1884. Указание. Рассмотреть параметрические уравнения прямых
jc — aa-\-axt, x=bo-\-bxt, где ао> аь &о. Ьх — данные векторы.
1835. Векторы а0—Ьо, ах, Ьх должны быть линейно зависимы.
1836. Искомые условия состоят в том, что векторы ах и Ьх линейно
независимы, а вектор а0—Ьо линейно выражается через ах и Ьх. Если
-Яо—bo — txax-\-t2bx, то точка пересечения задается вектором а0 — txax =
o + 2x
1337. (—2, —5, —1, 1, —1). 138В. @, 1, —1, —2, -3).
1839. Необходимые и достаточные условия состоят в том, что четверка
векторов а0 — с, Ьо — с, ах, Ьх линейно зависима, а каждая из двух троек
а0 — с, ах, Ьх и Ьо — с, ах, Ьх линейно независима. Искомая прямая имеет
уравнение x = c + dt, где й = Кх (а0 — с) -}- ^«i = ^з Фо — с) + К4ЬЬ причем
коэффициенты Xi и Х3 стличиы от нуля.
Точки пересечения эюй прямой с данными прямыми имеют вид:
J
где
= F, 7,"—8, —И); Л1, B, 2, —3, —4),
1840. x = c + dt,
М2(—4, —5, 5, 7).
1341. х = с + <«, где d = (l, 1, 0, 3); Мх B, 3, 2, 1), Af2 A, 2, 2, —2).
1344. Если две плоскости трехмерного пространства имеют общую точку,
то они имеют общую прямую. Если плоскость и трехмерное линейное много-
•образие четырехмерного пространства имеют общую точку, то они имеют
-общую прямую. Если два трехмерных линейных многообразия четырехмер-
ного пространства имеют общую точку, то они имеют общую плоскость.
1345. Для удобства классификации разных случаев введем две матрицы:
А — матрица, по столбцам которой записаны координаты векторов аь а2,
&,, Ь2, В — матрица, полученная из А приписыванием столбца координат
вектора а0 — Ьо. Пусть ранг А = гь ранг В = г2. Возможен один из шести
•случаев:
1) г, =4, г2 = 5. Плоскости не лежат в одном четырехмерном много-
образии (плоскости абсолютно скрещиваются).
2) гх = г2 = 4. Плоскости имеют одну общую точку, значит, лежат в од-
ном четырехмерном, но не лежат в одном трехмерном многообразии (пло-
скости абсолютно пересекаются).
3) гх =3, г2 = 4. Плоскости не имеют общих точек, лежат в одном четы-
рехмерном, но не лежат в одном трехмерном многообразии (плоскости скре-
щиваются параллельно прямой, именно: обе они параллельны прямой с урав-
нением axtx 4- о2г2 = bxt з + b2tt).
4) rx — гг = 3. Плоскости лежат в трехмерном пространстве и пересе-
каются по прямой.
5) гх =2, г2 — 3. Плоскости не имеют общих точек, но лежат в одном
трехмерном пространстве (плоскости параллельны).
6) гх=г2 — 2. Плоскости совпадают, г2 ;> гх *^ 2, так как обе пары век-
-lopon ax, а2 и Ьх, Ь2 линейно независимы.
1347. Указание. Вести доказательство индукцией по числу к.
1348—1373] ответы 343
1848. Октаэдр с вершинами в точках:
A, 1, -1, -1), A, -1, 1, -1), A, -1, -1, 1),
(-1, -1, 1, 1), (-1, 1, -1, 1), (-1, 1, 1, -1).
Указание. При определении коврдинат вершин учесть, что вершины иско-
мого сечеиия должны быть точками пересечения секущего подпространства
с ребрами куба, .и что вдоль каждого ребра куба три координаты равны ± 1,
а четвертая меняется от +1 до —1.
1349. Тетраэдр с . вершинами в точках: l-^-, —-г-, —-j-, —-j-\ +
/ 1 3 J_ 1\ / 1 13 1\ ( 1 1 1 3\
\ Т'Т'~4 4ГГ~4' 4' 4' ~Т)' Г?' ~"Т' ~ 4' 4Г
Указание Найти проекции вершин.
1350. Указание. Принять данный конец диагонали за начало, а ребра,
из него выходящие, — за оси координат и показать, что рассматриваемые
параллельные линейные многообразия определяются уравнениями
.. + xn = k (ft = O, I, 2, .... n),
а точка пересечения диагонали с k-м из эгнх многообразий имеет все коор-
динаты равными одному и тому же числу — {к = О, 1, 2, ..., п).
1332. Билинейная форма g должна быть симметрична, т. е. ац — ар
(/, 7=1, 2,...,п), а соответствующая ей квадратичная форма / =
л
= 2 aijxixj— положительна определенна; {pi, ej) = ay («, у = 1, 2, ..., n)_
I. 7-1
1357. Можно добавить векторы B, 2, 1, 0), E, —2, —6, —1).
1358. Можно добавить векторы A, —2, 1, 0), B5, 4, —17, —6).
/2 2 1 \
1359. Один из векторов ± -^-, —-g-, —-^-l.
\ о о о /
Например: (-1, —-1, у, —I), (-1, —1, —i-, ^-j.
1860.
1361. A, 2, 2, -1), B, 3, -3, 2), B, -1, -1, -2).
1362. A, 1, -1, -2), B, 5, 1, 3).
1363. B, 1, 3, -1), C, 2, -3, -1), A, 5, 1, 10).
1866. Например: 6, = B, —2, —1, 0), b3 = A, 1, 0, —1).
1367. Например: 6xt — 9xt — xa = 0, лг2 -{- л:4 = 0.
1369. Пусть ах, а2,..., а^ — базис L. Ищем у в виде 3'= 2 clah
Умножая это равенство скалярно на щ и замечая, что (щ, у) = (a,-, jc), по-
k
лучаем систему уравнений 2 («<". а,])С] = (ец, х) (* = 1, 2 А), которая"
по смыслу d, с2, ..., с* должна иметь единственное решение. Найдя у^
полагаем z = X — >"•
1370. y = 3at-2a2 = {l, -I, -1, 5); г=C, 0, -2, -1).
1371. у = 2ах— а2 = C, 1, —1, —2); г = B, 1, —1, 4).
1372. у = E, -5, -2, -1); г=B, 1, 1, 3).
1373. Указание. Вывести сеотношение
где у — ортогональная проекция х — jc0 на L.
344 ответы A374—1378
1374. а) 5; б) 2.
1375*. Указание. Положим х— хо=у-^-г, где y?L, z?L*. По за-
даче 1373 d2 = B, г). Пусть у = A^Ci + к2а2 + • - • + ^ft«ft- Из последнего
•столбца определителя О (а\, а2, ..., аи, х — jc0) вычесть предыдущие столбцы,
умноженные соответственно на Хи к2, ..., к^, и показать, что на месте
(Of, х — jc0) получится нуль, а на месте (х — jcOi л: — х0) будет (х — jc0, 2) =
= {г, г).
1376. Указание. Пусть Ui^Pu U2?P2, у — ортогональная лроекция
Х\—х2 на L. Вывести равенство
I «1 — «212 = I (*i — х2) — у |2 +1У + («1 — *i) — («2 — х2) р.
1377. 3.
1378. Решение. Примем одну из вершин первой грани за начало
координат. Пусть другие вершины первой грани задаются векторами xlt
-Х2,..., л*, а вершины второй грани — векторами JCft+i, ..., хп. Ищем рас-
стояние между линейными многообразиями, определенными вершинами этих
граней (задача 1346). Этн многообразия —
*,*,+ ... +xktk и (xk+i—xn)tk+i+ ... +(.xn_i—xn)tn_l+xn.
Искомое расстояние равно длине ортогональной составляющей г вектора хп
относительно подпространства L, натянутого на векторы хи .... х^.
хк+,—х„, .... xn_i—хп. Умножая равенство
Xn = Xiti+ ... +Xktk + (Xk + l—Xn)tk+l+ ... +(Xn_l—Xn)tn_l+Z
на векторы jcb ..., Xk, xk+x—xn JCn_t—xn, получим уравнения:
<.-Т-у<2+ ... +\h = Y,
1 t л-t л. 'л. l t l ¦
I'lT^t ••• +yffc = "'
2'
откуда, складывая первые k и последние я — Л — 1 уравнений, легко нахо-
дим: <!= ... = tk = k + х ; ^+i= ... =<„_,= ——-^-. Поэтому 2 =
__ fe+1-t- •¦• + «—-«i + ... -f-xk ^ Отсюда видно, что z соединяет
п — k k-\-1
центры данных граней.
Так как расстояние между многообразиями, определенными вершинами
данных граней, по доказанному равно расстоянию между центрами этих гра-
ней, то оно и будет расстоянием между этими гранями. Возводя в квадрат
выражение для г и извлекая затем корень, находим: 12 | = 1/ ^ ГГ
1379—14001 ответы 345
1379. Указание. Найти а из условия (х — ае, е) = 0. При доказа-
тельстве единственности обе части равенства щ ¦ е -f- Z\ = a2e -J- г2 умножить
скалярно на е.
1380. Указание. Рассмотреть скалярный квадрат вектора у = х —
k
— 2 aiei< где а« = (*» *Л и применить свойства в) и г) предыдущей задачи.
«=1
1381. Указание. Первый способ: рассмотреть скалярный квадрат
(x-\-ty, x-\-ty) как неотрицательный квадратный трехчлен от t. Второй
способ: при уфО представить х в виде х = ау-{-г, где (у, z) = 0, пока-
зать, что (х, х) > а2 (у, у\ причем знак равенства имеет место тогда и
только тогда, когда х = ау, и выяснить, что
(х, уJ = а2 (у, у) (у, у) < (х, х) (у, у).
Третий способ: применить неравенство задачи 503 к координатам векторов х
и у в ортонормированном базисе.
1382. Указание. Первый способ: рассмотреть скалярный квадрат
(х -{-ty, х + ty), где t — s (x, у) как неотрицательный квадратный трехчлен
от s (s — действительное). Второй способ: при у ф0 положить х = ay-f-z,
где а — комплексное число и (у, г) = 0, показать, что (х, х) >• сих (.у, у),
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда х = ау, и
выяснить, что
(х, у) (у, х) = аа (у, у) (у, у) < (л; х) (у, у).
Третий способ: применить неравенство задачи 505 к координатам векторов л:
и у в ортонормированном базисе.
I ь \2 ь ь
1384.
ff{x)g (x) dx\ < J [/ (x)Y dx- j[g (x)]' dx.
^a 'a a
1385. ЛВ = ВС = ЛС = 6; / v4 = ^ B= / C = 60°.
1386. AB = 5; ВС = 10; ЛС = 5 / 3; / j4 = 90°; ^ В = 60°; / С = 30°.
1389. Указание. Если ребра заданы векторами а1? а2 а„, то
рассмотреть выражение | at -f- c2 + • • • + °n I2-
1390. Указание. Рассмотреть выражение |х-\-у|2-f-1¦*—У\2-
1393. При нечетном п ортогональных диагоналей нет, при n = 2k иско-
мое число равно — С* = C^li-
1394. а ¦ УН; lim а Уп — со.
л->со
1395. <р„ = arccos -тт=г! Нт <р„ = -^-; (р4 = 60°.
1396. /? =fl^" . При я = I, 2, 3 ./? < а; при я == 4 /? = а, при я > 4
/?> а.
1398. Указание. Показать, что начало диагонали можно соединить
с любой другой вершиной цепочкой ребер, и воспользоваться предыдущей
задачей.
1399. Указание. Использовать задачу 1379.
1400. Решение, cosfe у)~ , (* У) , = , (* f>, =44-
(у'у )К 1*1
346 ответы [1401—1410
Знак равенства возможен тогда и только тогда, когда cos (у, у') = 1, т. е.
яо задаче 1399, когда у' = а • у при а > 0.
1401. arccos 1/ - . 1402. 60°. 1403. 30°.
2
1405. arccos -к-. Указание. Пусть щ — вектор из Ао в At (i = 1, 2, 3,4).
Рассмотреть два вектора attx -\- а4г и a3t3 + attt; показать, что квадрат коси-
луса угла между ними равен ^— 2 2 2~> и найти макси-
мум функции (tj-f-<2J при условии, что t\-\-txt2-\-t\=\.
1406. 45°. Указание. Искать минимум углов векторов второй пло-
скости с их ортогональными проекциями на первую плоскость.
1407. Указание. Показать, что каждая из систем flt ..., fk и
gl gk является базисом подпространства L^, натянутого на векторы
*х,..., С/1, что (/;, gj) =0 при I Ф j, наконец, что в равенстве g^ = Cifi -f- —
... -\-Ckfk все коэффициенты с{, с2 c^_i равны нулю.
1408. Указание. Положив (д:2 — l)fc = uk(x), проверить, что
+1
0 при j < k и, интегрируя по частям I u^(x)x^dx несколько
раз, пока под знаком интеграла ие исчезнет множитель вида Xs, показать, что
•этот интеграл равен нулю при / = 0, 1 k — 1. Вывести отсюда требуемое
+1
равенство: Г Pj (x) Pfc (x) dx = Q при j ф к.
-1
1409. Р„ (х) = 1. Ру (х) = х, Рг (х) = 1 (Зл:2 -1), Р3 (х) = 1 Eж»-3лг),
k
Pt <д) = I C5^-30^+3). Pk (x) = -^ ]g (-!)»->С{
к
*~у:—'-— *" ~ x2'~k причем в этих выражениях сле-
7,(—1)*~у—:—'-— *" ~ ¦ x2'~k, причем
/Z (*-Л!B/-*)!2»-'
дует выпустить все слагаемые с отрицательными показателями степени х.
1410. 1/ . Решение. Положим (л:2 — l)ft = uk (д:) и вычислим
скалярный квадрат (Рд, Р/,). Интегрируя по частям, находим:
+1
J k I k ) к к
•1 -1
... =(—!)* j «ft С*) 42Й> W rfjc = B*) I j A -^)ft A + *)*rfJC
-l -i
1411—1421] ответы 347
Снова интегрируя по частям, находим:
+1 +1
-1 -1
ft!
ffl I xfd.r
(ft+ 1) (ft+2)... Bft) J V-rx> ax~ Bft)!B* + l)
откуда
1 (ft!J22*+1 2
(Pft, pfc) = i Bft)! -Ш-? = —?__
22*(ft!J Bft)!Bft + l) 2ft+l
1411. Pft A) = 1. Указание. Применить к выражению Pj (x) —
• «^
[(x+!)*(*—1)*] правило Лейбница дифференцирования про-
2kk\ dx*
изведения.
Bft)! CL 1 • 3 • 5 •... • 2k — 1
1412. Pk(x) = Cufk{x), где Ск
2k ft!
старший коэффициент полинома Pk(-x) (ft = 0, 1, ..., n). Указание.
Использовать задачи 1407, 1408, 1409.
1414. Указание. Положив х" = [х" — /(х)]-f-/(x), показать, что
минимум достигается тогда и только тогда, когда / (а:) — ортогональная со-
ставляющая для х" относительно подпространства многочленов степени <; п—1
(задача 1373), и применить задачи 1410, 1412 и 1413.
1415. g (d, a2) равен квадрату площади параллелограмма, построенного
на векторах аи с2. g (fli, a2, а3) равен квадрату объема параллелепипеда,
построенного на векторах ах, а2, с3-
1416. Указание. Рассмотреть систему однородных линейных уравне-
ний с определителем ^(Ci, а2 Cft).
1417. Указание. Искать взаимный базис из соотношений
л
/У=-Цс>*«* (/=1, 2,..., и),
ft-i
1418. a) 7"=(S')~1; б) Т—(§')~1. Здесь штрих означает транспонирова-
ние, а черта — замену элементов комплексно сопряженными.
1419. Указание. Первый способ: показать, что определитель Грама
g(alt ..., Oft) равен квадрату модуля определителя из координат векторов
С],..., «ft в любом ортонормированном базисе ft-мерного подпространства,
содержащего эти векторы.
Второй способ: показать, что неотрицательная квадратичная форм»
(OiJf| -+¦ • • • + akxk, axxi 4-... + akxi,) от хх,..., xk является положительна
определенной тогда и только тогда, когда векторы аи .... аи линейно неза-
висимы.
Третий способ: пользуясь неизменностью определителя Грама при орто-
гоиализации векторов (задача 1415), показать, что если векторы Ъи ..., Ьь
получены из a.i,...,ak процессом ортогонализации, то g (аи ..., аь) =
= | Ьх Is ... | 6ft |2, и применить задачу 1413.
1481. , Указание. Первый способ: заметив, что иско-
C?nV2n+l
ыое расстояние равно длине ортогональной составляющей вектора —хп
348 ответы [1422—142®
относительно подпространства многочленов степени не выше п — 1, приме-
нить предыдущую задачу и задачу 418.
Второй способ (не использующий задачи 418): искомое расстояние дает
1
минимум интеграла I [/ (х)]2 их, где f(x) — многочлен я-й степени со старшим
о
коэффициентом, равным единице. Это позволяет изменением пределов инте-
грации свести задачу к соответствующему экстремальному свойству полинома
Лежандра (задача 1414).
1422. Указание. Применить задачи 1413 и 1415.
п п
1423. | D21 < JT 2 I aij I2- причем знак равенства имеет место тогда и
п
только тогда, когда либо 2 аи&}Ь = 0 ('" ф ]\ ', / = 1, 2, ..., п), либо опре-
к = \
делитель D содержит нулевую строку.
1424. Указание. В векторном пространстве Rn ввести скалярное
я
произведение (х, у) = 2 aiiK$г где х\- •••¦ хп и yi уя — КООРДИ"
" 1
наты соответственно х и у в некотором базисе eh ..., еп пространства ил,
показать, что Df = g {в\, ..., е„), и применить задачу 1422.
1425. Указание. Использовать задачу 1210, г).
1428. Указание. Применить свойства эрмитовых форм, аналогичные
свойствам вещественных форм, указанным в задаче 1210 (см., например,
Ф. Р. Гантмахер «Теория матриц», Гостехиздат, 1953, гл. Ю, § 3,9).
1427. Указание. Использовать рассуждения первого и третьего спо-
собов, указанных в ответе к задаче 1419.
1428. Указание. Применить задачу 1422.
1429. Решение. Пусть процесс ортогонализации переводит векторы
с,, ..., ak, &!, ..., bt в векторы с,, ..., с*, йи ..., йи а векторы 6Ь ..., bt —
в векторы е, е^. Ортогональная составляющая вектора ei относительно
подпространства L/, натянутого на сь ..., я^, Ь,, ..., &;_ь совпадает с d-t.
В самом деле, 6^ = ^ + ^, где у{ линейно выражается через bv ..., bt_v
a et ортогонален к этим векторам. et = у\ -\- г, где у\ ^ Lt, а г ортогонален
к L-t, но тогда bt = (у1 -\-у'^-\-г, где yi-^-y'i^L^ а г ортогонален Lt. Зна-
чит, по задаче 1413 z, = di и | d» | < I *» I, причем знак равенства заведомо
имеет место прн условии B), потому что et = bt — у. выражается через
Ъ,, ..., bi и, значит, ортогонален к сь ..., atf, &i &«-!• По задаче 1415
имеем:
g(ah .... ak, Ь, bI) = (|c,|2....-|cftl2)-(|rfil2-...
что доказывает неравенство A). При условии B) | dj | = | ei \ («' =1,2 /)
и неравенство A) обращается в равенство. Если с,, ..., ад. или Вь .... 6|
линейно зависимы, то правая часть неравенства A) обращается в нуль, а так
как левая часть неотрицательна, то мы снова получаем равенство.
Пусть, обратно, неравенство A) обращается в равенство. Тогда по преды-
дущему |с, |2 ..'. |cft|2-|<*iP ... |d,p = jCl|3 ... |cft|2-|*?il2 ... \ег\2, от-
куда либо существует I^k такое, что |сг|=О, т. е. ах,...,а^ линейно-
1430—14341
ОТВЕТЫ
349
зависимы, либо существует /¦</ такое, что |d«| = l«j| = O, т. е. Ь\, ..., 6j
линейно зависимы, либо |d«| = le«l (/= 1, 2, ...,/), откуда следует, что
все ей а значит, и все bi (как их линейные комбинации) ортогональны
к сь ..., аи, т. е. выполняется условие B).
1430. Указание. Применить предыдущую задачу.
1431. Указание. Применить задачи 1425 и 1429.
1432. Указание. Применить задачи 1426 и 1429.
1433. Решение, а) пусть числа системы A) являются расстояниями
всевозможных пар вершин Af0, Mlt ..., Мп я-мерного симплекса, причем
аи = MtMj (/, J = 0, 1, 2, ..., и; I > j).
B)
Обозначим через
имеем:
вектор, идущий из Мо в Mt (/ = 1, 2, ..., я). Тогда
«Jo = (ei- ei) (! = 1. 2 n);
4j = (et — er ei — ei) <'• У = 1. 2, .... я; ? > 7).
Из этих равенств находим скалярные произведения векторов еи
{e,,ei) = au (/ = 1, 2, .... я),
!*• (I, 7=1. 2, .... я; />y).
C)
D)
Применяя эти соотношения, напишем матрнцу Грама векторов еь
Ю #21 «Л0 + «10 ~*~ «Л1
2 "¦ 2
«20
«ПО+«20 «П2
«ПО + «10 «Щ
2
«ПО + «20 «Я2
2
E)
Так как точки М^ Мь..., Мп не лежат в (я—1)-мерном многообразии,
то векторы еи е2, ..., еп линейно независимы. Обозначая через D^ угловой
минор порядка k матрицы E) и применяя задачу 1419, получаем
Dk > 0 (к = 1. 2,
п).
F)
Итак, условия F) являются необходимыми для того, чтобы числа си-
стемы A) были расстояниями вершин я-мерного симплекса. Покажем, что
эти условия достаточны. При выполнении условий F) матрица E) является
й Г й й (
у р у () р
матрицей Грама линейно независимой системы векторов е,,
1352 1210 )) П D)
)
еп (см. за-
ц р р
дачу 1352 или 1210, в)). Поэтому верны равенства D), откуда вытекают
равенства C). Принимая начало координат за Мо, а конец вектора e-t за Mi
{i = 1, 2, ..., я), получим выполнение равенств B), что и требовалось.
В случае б) необходимым и достаточным условием является неотрица-
тельность всех главных (а не только угловых) миноров матрицы E). Необхо-
димость доказывается так же, как в случае а), с той разницей, что векторы
еи ..., еп могут быть линейно зависимы. Достаточность доказывается при
помощи задачи 1425 или 1210 г).
1434. /cos а —sina\
Vsin a cos a/"
350
1435.
1436.
/0 0 lx
1 0 0,
\0 1 0/
Г ° °\
10 0 0.
\о о о/
ОТВЕТЫ
если ?| переходит в е2 и
1437. /10 0
0 1 0 .
\о о о/
1438.
[1435-1450
если t
реходит
1
3
1
3
1
3"
1
3
1
тг
1
3
•2 пе-
в «,.
1
1
Т
1
3"
1439. Первые k элементов главной диагонали матрицы преобразования
равны единице, а все остальные элементы равны нулю.
1440. В /-м столбце матрицы преобразования стоят координаты век-
тора Ь; в базисе аь .... а„.
,0 1 К
1441. ф линейно. j4m = I 2 О II. 1442. q> не является линейным.
\3 -1 1/
1443. ф не является линейным. 1444. ф линейно. Ац = I
/2 —11 6n / -6 11 5\
/ 1 —741. 144S. -i-1 —12 13 10 I.
\2 —1 О/ X 6 —5 —5/
.1 2 3v
Г 2 4 6 V
\3 6 9/
—1 Ь
0 1
1 О-
1445.
В базисе еи е2, е3 матрица
в базисе Ьь Ь2, Ь3 матрица
1450. а)
20
Т
16
¦~з"
8
а) при умножении слева
а Ь О О
с d О О
О 0 а
О 0 с d
0 10 0
0 0 2 0
3
4
—2
3 6 9
5
6
б) при умножении справа
в 0 с 01
О в 0 с
Ь 0 d О
О * 0
О 0 0 3 ... О
0. О 0 0 ... и
О 0 0 0 ... О
б)
О 1 0 0 ... О
о о 1 о
0 0 0 1
.. о
.. о
О 0 0 0 ... 1
о о о о ... о
1451—1482]
ОТВЕТЫ
351
1451. В матрице переставятся /-я н /-я строки и /-й и /-й столбцы.
1452. а)
1433.
1457.
-2
1
I
1
2
-I
-3
0
4
4
3
2\
2
J
1
-8
6
4
|.
0
-7
4
7
/44 44 \
V-2972 -25Г
/109 93 \
V 34 29 Г
1461. ft2.
1484. Указание. Применить предыдущую задачу н определение функ-
ции от матрицы (задача 1148).
1465. Я| = Л2 = Л3=— 1. Собственные векторы имеют вид c(i, 1. — 1),
где сфО.
1466. Я| = Я2 = Я3 = 2. Собственные векторы имеют вид сх(\, 2, 0)+
+ Со. @, 0, 1), где С| и с2 не равны нулю одновременно.
1467. Л| = 1, Я2 = Я3 = 0. Собственные векторы для значения 1 имеют
вид сA, 1, I). а для Я = 0 —вид еA, 2, 3), где сФО.
1468. Я| = Я2 = Я3=1. Собственные векторы имеют вид сC, 1, I), где
сфО.
1469. Ai = 3, А2 = Я3 = — 1. Собственные вектора для Я = 3 имеют вид
«(I, 2, 2), а для Я= - 1 -вид сA, 2, 1), где сфО.
1470. Я| = Я2= 1, А3= — I. Собственные векторы для Я= I имеют вид
а B, I, 0) + с2A, 0, -1), а для Я= - I вид с C, 5, 6), где с{ и сг не равны
нулю одновременно и сфО.
1471. А| = 1, Я2 = 2 + Зг, А3 = 2 — 3/. Собственные векторы для Я=1
имеют вид сA, 2, 1), для Я = 2 + Зг-вид сC-3/, 5-3/, 4), для Я = 2-
— Зг-вид cC + 3i, 5 + 3/, 4).
1472. Я! =Я2= 1; Я3 = Я4 = 0. Собственные векторы для Я= 1 имеют вид
с (О, О, О, I), а для Я = 0-вид ct (О, I, 0, 0) + с2 @, 0, I. 0), где сфО н ct
и с2 не равны нулю одновременно.
1478. Я| = Я2 = 1, Аз = Я4 = 0. Собственные векторы для Я = 1 имеют вид
«,A, 0, 1, 0) + с2@, 0, 0, 1). а для Я = 0-вид с, @, 1, 0, 0)+с2@. 0, I, 0),
где числа ci и с2 не равны нулю одновременно.
1474. Я = 2. Собственные векторы имеют вид Ci A, 1, 0, 0) + с2 @, 0, 1, 1),
где С| и с2 не равны нулю одновременно. 1477. Указание. Применить
задачи 820 и 1476.
1479. а, = A.
A. 1. I).
«2 = (I. 0, 0),
a3 = (l, 0, -3);
1480. Матрица к диагональному виду не приводится.
О 2 О I.
\0 0 2/
8481. а,=
в2 =
«3 =
в4 =
A.
A,
A.
(I,
1,
0,
о,
о,
1,
о,
J
0),
0),
I).
-1);
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
— 2
1482. Матрица к диагональному виду не приводится
352
1483.
1484.
a, = A,
a2 = @,
a3 = @,
a4 = (-1
0,
1,
-1
, о
Например:
0,
1,
1),
0),
1, 0),
0, 1);
T
i —
l
0
0
1
ОТВЕТЫ
0 ..
1 ..
1 ..
0 ..
1
0
0
0
0
1
0
0
0
. \
л
1
0
0
0
—1
0
—1
0
0
1
0
0
0
—1
[1483-1491
*
»
где по второй диагонали элементы выше главной диагонали равны —1,
а ниже -|-1; при нечетном я на пересечении диагоналей может стоять как
-|Л, так и —1. Диагональная матрица В имеет на главной диагонали сверху
-jr- при четном я и
я+1
при нечетном я элементов, равных -J-1, а остальные
элементы ршны —1.
Указание. Рассмотреть линейное преобразование q> я-мерного про-
странства, имеющее матрицу А в некотором базисе, найти базис, состоящий
из собственных векторов этого преобразования, и применить задачу 1477.
1488. Любые два элемента aft и а„_^+ь равноотстоящие от концов
побочной диагонали, должны либо оба быть отличны от нуля, либо оба
обращаться в нуль.
Указание. Рассмотреть линейное преобразование <р я-мерного про-
странства, соответствующее матрице А в некотором базисе, и применить
задачи 1117, 1132, 1484.
1487. Единственное собственное значение—к=0; собственные векторы —
многочлены нулевой степени.
1491. Решение. Сначала докажем равенство
разм. L = разм. <pL -\- разм. Lo,
0)
где Lo — пересечение L с ядром ф~'О преобразования <р. Для этого базу
аь Сг «ft подпространства LB дополним векторами Ь,, Ь2, ..., 6j до
базы L (при Lo = 0 отсутствуют векторы щ, при LB — L — векторы 6,). Век-
торы <p6i, «рЬг. •••> 4>bi образуют базу q>L. В самом деле, если y?tfL, то
к I I
у = <рдг, где JC ? L. Если х = 2 a»a< + 2 Р»^»' т0 У = Vх ~ 2 Р»Ч*«' так как
<pCj = O (i=l, 2,..., k). Векторы i(bi, <pb2 <pb/ линейно независимы,
i i ik
так как из ^РгФ*!^0 следует 2Р«ь«?^о. 0ТКУДа 2 Р'Ь» = S a'a» и>
«=1 «=1 «-1 »=i
значит, р/==0 (/=1, 2,..., /).
Итак, разм. L = l-\-k = разм. <pL -j- разм. LB.
а) Из A) в силу LDc<[>~l0 находим:
разм. L = разм. <pL -j- разм. LB < разм. <pL -)- деф. <р;
разм. L — деф. <р < разм. <f L.
Далее, разм. (pL = разм. L — разм. Lo ¦< разм. L.
1492—15151 ответы 353
б) Положим <f-lL=L'. ТаккакО?/, то y-lQci<$-lL = L' и L'fL>~lO =
= <р~10. Применяя A) с заменой L на L', получим:
разм. L' = разм. <pL' + Деф. q>- B)
Так как <pL' с: L, то разм. <pL' < разм. L и по B) разм. Z/ <; разм. L -\- деф. q>,
чем доказано второе из неравенств б).
Покажем, что <pL' = Lf)yRn.
Так как «pL'ct и <pL'cq>/?n, то q>Z/С L ("| <р/?я- Если х??Пч>Лл> то
jc = <px', где je/?qr1L = L', т. е. Jc?<pZ/. Отсюда LQ(pRnC yL'.
Так как разм. (L -\- <[>Rn) ¦< я, то, используя связь размерности суммы и
пересечения подпространств (задача 1316), получим:
разм. <pZ/ = разм. (L Г) Ч>ЛЯ) = разм. L -{- разм. <р/?„ — разм. (L -\- <р/?„) :>
> разм. L -\- разм. ф#„ — п — разм. L—деф. ф.
Отсюда в силу B) находим:
разм. V — разм. iff -\- деф. q> > (разм. L — деф. ф) + деф. ф = разм. L,
чем доказано первое из неравенств б).
1492. Указание. Рассмотреть преобразования <р и ¦ф пространства Rn
с матрицами А и В и применить предыдущую задачу к подпространству L==^Rn.
1494. Единственное собственное значение к = I. Собственные векторы
имеют вид Ci (Ci-(-2с2) 4-Сг («2 + Оз + 2«4)i где с1г с2 не равны нулю одно-
временно.
1495. Указание. Рассмотреть матрицу преобразования <р в базисе,
первыми векторами которого являются линейно независимые собственные
векторы <р, принадлежащие кв. Другой путь связан с применением задачи 1074.
1501. Нулевое подпространство и подпространство L^, состоящие нз всех
многочленов степени <;& (k = 0, 1, 2, ..., я).
1503. Инвариантными подпространствами будут: нулевое подпространство
и любое подпространство, натянутое на какую угодно подсистему векторов
базиса в|. а2 ап; их число равно 2".
Указание. Применяя задачи 1495, 1502, показать, что любое ненулевое
инвариантное подпространство L имеет базис, являющийся подсистемой век-
торов Сь Ог, ..., ап.
1504. Прямая с базисным вектором Ci = B, 2, —1), любая прямая пло-
скости L с базисными векторами сг = (I, 1, 0) и а3 = A, 0, —1), т. е. пло-
скости х1—х2-\-х$ = 0, сама эта плоскость L, любая плоскость, проходящая
через вектор alt все пространство и нулевое подпространство.
1505. Прямая с базисным вектором A, —2, 1), плоскость с базисными
векторами A, 1, 1) и A, 2, 3), т. е. плоскость с уравнением ху —2х2-\-х3 = О,
все пространство и нулевое подпространство.
1509. Ki = 1, К2, з = 0. Корневые подпространства состоят из векторов
для Л.1 = 1: сA, 1, 1); для А,2,3 = 0: с,A, 1, 0) + с2A, 0, —3).
1510. Я,1=3, А2 з = — 1- Корневые подпространства состоят из векторов
для Х = 3: сA, 2, 2); для ^,s = —1: с, A, 1, 0) + с2A, 0, —1).
1511. Ai, 2, з = —1- Все пространство является корневым подпространством.
1512. Ai, 2 = 2, А3,4 = 0. Корневые подпространства состоят из векторов:
для А,,2 = 2: с,A, 0, 1, 0) + с2A, 0, 0, 1);
для А3,4 = 0: с,A, 0, 0, 0) + с2@, 1, 0, 1).
1515. а) Любое число а является собственным значением. Соответствую-
щие ему собственные векторы имеют вид сеах, где с ф 0;
б) корневое подпространство, соответствующее числу а, состоит из всех
функций вида (а0-j-axx-f- ... + а„х")еах, где а0, alt .... ап — любые числа
н я — любое целое неотрицательное число.
354 ответы [1517—1529
1517. Если минимальный многочлен g (Я) = Я" — сп^"~1— cn_A"~2—...
... — Ci, то матрица преобразования <р имеет вид
0 0 0 ... О с,
1 0 0 ... О с2
О 1 0 ... О с3
О О О ... 1 с„
151В. Жорданова клетка
а 1
О а
0 ... О
1 ... О
О О О ... a
1520. При п = 2 поворот плоскости на угол аф kn ие обладает инва-
риантными прямыми. Подпространство L тогда и только тогда содержит
прямую неподвижных точек, когда преобразование <plt индуцированное пре-
образованием <р на L, обладает собственным значением, равным единице.
1523. Указание. При доказательстве утверждения а) использовать
равенство 1 = Л, (Я) их (Я) -J- Л2 (Я) и2 (Я), где ы, (Я) и и2 (Я) — многочлены
от Я; б) вывести из а).
1524. #(Я) = (Я— 1J(Я — 2). |?3 = Lx-\-L2, где L, имеет базис fx—ex,
f2 = e2 — е3, а 1,2 — базис /3 = е2.
Указание. При отыскании g(Я) использовать задачу 1485.
1525. g (Я) = (Я — 2) (Я — 3). Ra = L\ + Lit где Lx имеет, например,
базис /(= ех -f- e2, f2 = et — е3, а L2 — базис 2ех — 5е2 — 6е3.
1528. ?(Я) = [Я—(а, а)] Я. Rn = Lx-\-L2, где Lx натянуто на вектор a
и L2 образовано всеми векторами, ортогональными к а.
1527. Если Яо — собственное значение <р, то жорданова форма состоит
из одной клетки порядка п с Яо иа диагонали.
1529. Решение. А) Положим: ft (Я) = -
я- A=1. 2,..., s).
(Я-Я,)"'
Многочлены // (Я) взаимно просты. Значит, существуют многочлены Л,- (Я)
(/ = 1, 2, ..., s) такие, что 1=2/' W ^' (^)> откУДа Для любого вектора х:
а)
где Xi = // (ф) • ht (q>) лс ^ Pt, так как (ф — Яге) l xt = f (<р) Лг (ф) х == 0 по тео-
реме Гамильтона — Кэли, в силу которой / (ф) = 0.
Единственность разложения A) достаточно доказать для х = 0. Применяя
я
к обеим частям равенства 2 xi= 0 преобразование fi (ф), получим:
i=i
fi (ф)*/ = °. так как fi (ф) *у = 0 при У Ф I. Далее, /г (Я) и (Я— Яг) ' взаимно
просты. Значит, существуют многочлены р (Я) и} (Я) такие, что
*
откуда
Р (Ч>) fi (Ч>) */ + ? (Ф) (Ф —
0.
1529] ответы 355
Этим доказано, что пространство Rn есть прямая сумма подпространств Р{
A=1, 2, ..., s), и построение искомого базиса сведено к случаю Б). В слу-
чае минимального многочлена рассуждения аналогичны (см. задачу 1523).
Б) Достаточно доказать, что указанное построение на каждом шаге воз-
можно (то есть векторы, дополняемые до базиса /?/,, линейно независимы)
и что векторы всех построенных серий образуют базис пространства Rn.
Каждой серии в матрице преобразования ty соответствует, очевидно, жорда-
нова клетка с нулем, а в матрице преобразования ф = Лое -{- ф соответствует
клетка с Ко на диагонали.
Возможность построения на каждом шаге доказывается индуктивно для
h = k, k—1, ..., 1. При h = k векторы любого базиса /?fc_i вместе с векто-
рами высоты k, начинающими серии первого шага, по построению образуют
базис Rk. Предположим, что уже построены серии с начальными векторами
высоты !>Л + 1, причем все векторы высоты Л + 1 построенных серий
Jfj, ..., х вместе с векторами yv ..., у любого базиса Л/, образуют базис Rh+i-
Покажем, что векторы высоты Л: фх(, ..., фхр построенных серий вместе
с любым базисом гь ..., гт для !?/,_i линейно независимы. Пусть
1-1 1-1
Применяя к обеим частям этого равенства преобразование ¦°tfl~x, получим
р р
•ф* 2 CiXi = 0. Поэтому вектор 2 cixi принадлежит Л/, и линейно выра-
i-i 1=1
жается через его базис ylt ..., yq. Из линейной независимости векторов
*i,..., Хр> 3>i Уд (как базиса Rh+i) вытекает, что ct = 0 (t = 1, 2, ..., р).
Поэтому из равенства B) вытекает, что dj = O G=1, 2 г); этим дока-
зано, что векторы высоты h построенных ранее серий вместе с векторами
любого базиса Rh-\ можно дополнить до базиса /?/,. Приняв дополнительные
векторы (если они существуют) за начальные векторы новых серий, мы
находим, что предположение, сделанное выше для R^+i, выполнено теперь
для /?/,, и построение можно вести дальше.
Пусть указанное построение выполнено для h = k, k — 1, ..., 1 (в дей-
ствительности базис всего пространства может получиться и раньше, чем
мы дойдем до h = 1). Так как RB не имеет базиса, то по доказанному век-
торы высоты 1 построенных серий образуют базис для J?(; значит, эти
векторы вместе с векторами высоты 2 построенных серий образуют базис R2
и так далее. Наконец, векторы высоты -<А — 1 построенных серий вместе
с векторами высоты k этих серий образуют базис R^. Иными словами, векторы
•всех построенных серий образуют базис всего пространства.
В) Пусть С = Aj — XQE. Так как матрицы Вн и СЛ подобны, то ранг
матрицы Сл равен rh (h — 0, I, ..., k, k-\-1). Каждой жордановой клетке
матрицы А} с Яо на диагонали в матрице С соответствует клетка того же
порядка с нулем на диагонали. Если D — такая клетка порядка р, то ранг
клетки Dh при Л = 0, 1, 2, ..., р равен р—Л, а при h = p, p-f-l, ..., k,
k-\-l равен нулю. Клетке с Я; ф KQ матрицы А} соответствует в матрице С
клетка с числом %i — Яо ф 0 на диагонали. Ранг любой ее степени равен ее
порядку. Ранг.матрицы Сй равен сумме рангов ее клеток. Поэтому при пере-
ходе от матрицы С*" к матрице СЛ ранг понижается ровно на число клеток
356 ОТВЕТЫ
матрицы С с нулем на диагонали, имеющих порядки
S •«* = »¦*-, —гЛ (А=1, 2
[1530—1537
. Отсюда
C)
Вычитая отсюда аналогичное равенство с заменой h на Л-}-1 (при h < k),
получим соотношения (а) для А = 1, 2, ..., А — 1. Так как клетки порядков
выше k с Яо на диагонали в матрице Л^ отсутствуют, то rfc = ''fc+1i и ПРИ
Л = 6 соотношение C) дает: xk — rn_l—/-fc = /-fc_,—2rfc + гЛ+1, то есть
соотношение (а) верно и для h = k.
1530.
1531.
1532.
1533.
1534.
1535.
1536.
/.=
/i = (l.
/2 = 0,
/з = C,
/1 = A.
/2 = A.
/з = A,
/l = F,
/*2 ~- (<J(
"f 11 /О
/i = C,'
/2 = A.
/з = E,
/i = (l.
/i = (-
/з = О,
Л = (ft
4,
0,
0,
3),
0),
1),
-3, -2).
0,
0,
6,
1,
1,
1,
0,
0,
1,
1,
1,
0,
/i = (-l.
/2 = B,
/3 = A,
/4 = C,
1,
0,
6,
0),
1),
-8),
0),
-1),
1),
0),
i);
1.1).
0, 0, 0),
0,0),
-1, 0);
-1, -1, 0),
0, 0),
0, -1),
7, l);
При четном и:
- л
- e
з. /з — еь
*,-
A
A
f«=en
0
;o
u
1
2
0
1
0
0
I
r3
u
1
0
0
0
2
0
0
0
— ll
0
0
1
3
0
1
1
0
0
1
2
0
0
/,
0
2)
0\
0
0У
1
—1
0
o>
0
3;
0
0
1
0
0
0
2
0
•
•
1
0
0
0
•
1
0
0
1
1
0
0
0
1
= <
• • • 1 fn — &n-
~2 ~2 +1
Матрица А} состоит из двух клеток Жордана порядка -~- с нулем по глав-
ной диагонали. При нечетном и:
п_|_ 1 .п 1
Матрица Aj состоит из двух клеток Жордана порядков —~— и —„—
с нулем по главной диагонали.
1537. ф является отражением пространства Rn в некотором подпро-
странстве L\ параллельно некоторому дополнительному подпространству L2.
Иными словами Rn есть прямая сумма ti и t2, причем фХ = jc, если
и «рдс ==—jc, если
1538—1562] ответы 357
Указание. Первый способ: принять за Z,j и Lg совокупности всех х,
для которых соответственно фдс = дс и фдс = — х, и положить
х = Y (х+фдс) +-g-(х — фЖ).
Второй способ: рассмотреть базис, в котором матрица Ар имеет жорда-
нову форму.
1538. ф является проектированием пространства Rn на некоторое под-
пространство L, параллельно некоторому дополнительному подпростран-
ству L2. Иными словами, Rn есть прямая сумма ?( и t2, причем ух = х,
¦если х ? Li, и флс = 0, если дс ? Z,2.
Указание. Первый способ: принять за Z-! и L2 совокупности всех х,
для которых соответственно ц>х = jc и фЖ = 0, и положить jc = ух-\-(х—фЛ).
Второй способ: рассмотреть базис, в котором матрица Ар имеет жорда-
иову форму.
1539. а) Для базиса еи е2, е3 преобразование ф определено так:
б) ф^1 = еъ ф?2 = — еи ф^3 = 0 (в случае ортонормированного базиса ф
<5удет проектированием на плоскость еь eit соединенным с поворотом этой
зх\
ллоскости на угол ^-1.
1541. /3 6\ 1542. /—36 —37 —15\ 1543.
(_1 —з)- / 30 30 14 J.
\ 26 27 9/
1544. ф* — проектирование на биссектрису второй и четвертой четверти
параллельно оси Оу.
1545. Указание. Показать, что если z?Llt u?L^, то ф*г = 0,
<р*и = а.
1547. Указание. Показать, что ортогональное дополнение к одномер-
ному подпространству, инвариантному относительно сопряженного преобра-
зования ф*, инвариантно относительно ф.
1548. Указание. Пользуясь предыдущей задачей, построить цепочку
подпространств l?nzjLn_i3 ... ZJti, где Lk — А-мерное подпространство,
инвариантное относительно ф, и применить задачу 1355.
1549. 3xt — Здг2 -)- х3 = 0.
1553. Указание. Рассмотреть равенства
(<№. fj) = («f. 4>*/у) С, У = 1, 2, ..., и).
1554. Указание. Перейти к ортонормированному базису.
1555. / 128 313 454% 1556.
А,=1 36 117 145 1. А,=\
1557. /2 3 —1\ 1558.
1562. Например, преобразование ф, переводящее вектор х ~(х\, xit..., хп),
заданный координатами в ортонормированном базисе, в вектор «рлс =
(lb x2, ..., хп), сохраняет скалярные квадраты, но не линейно.
5
—5
3
0
0
—7
5
—7
6
—4
—8
—2
3
—2
4
7
5
0
\
/
358 ответы Ц563—1570
Указание. Для доказательства утверждения о линейности ф показать,
что
(ф (ах + by) — aq>x — byy, q> (ax -f- by) — aq>x — byy) = 0.
1S63. a) UA-l = A'U; 6) UA~l = A'U.
fc-i
1566. Указание. Показать, что существует вектор x'k = xk — 2 aixi
(быть может, равный нулю), для которого (х'к, х^ = 0 (i = 1, 2,..., k — 1),
что. положив у'/1 = Ук— 2 аЛ* ПОЛУЧИМ системы векторов х1г ..., xk_l,x'tt
и У\, ..., Уь-\< У'к с равными матрицами Грама, и применить метод мате-
матической индукции.
1567. Указание. Применить задачу 1499.
1569. Решение, а) Если q>z = Яя, то (yz, <pz) = /X(z, г) = (г, г),
откуда ЯЯ. = 1 и | Я | = 1.
б_) Пусть <pz, = Я,*,, ф22 = К2г2, li Ф Я2. Тогда (ги г2) — (фг(, фг2) =
= %i%2 (гь г2\ откуда, умножая на Я2 и принимая во внимание, что К2К2 = 1,
найдем X, (гь г2) — Я2 (zh г2) и, значит, (zu z2) = 0.
в) Пусть X и Y — столбцы координат х и у. Переходя к координатам
в равенстве ф (х -f- yi) = (а + Р0 (* + 3"). получим ЛХ + ^4П = (аХ — рк) +
+ (РЛГ + аК)/, откуда, приравнивая действительные и мнимые части, находим:
АХ = аХ—рк; AY = fiX-{-aY, что доказывает равенства A). Умножая
почленно первое из равенства A) - само на себя и применяя соотношение
аг + р2 = 1, получим (фл, фХ) = (jc, х) = (а= + рг) | jc |2 = а2 [ х |2 + рг | у р _
— 2сф (х, у). Перемножая равенства (I), находим:
(Я*. Ч>У) = (х, у) = (а* + Р2) (* У) = «Р (I х |* -1 у |») + («2 - Р2) (х, у).
Таким образом, для величии |jc|2—\у\2 н (х, у) после сокращения
на р получаем систему уравнений:
) = 0; о(| х\'-\у р)-2р (х, у) = 0,
так как определитель системы отличен от нуля, то
|*12-1;у|2 = о и (*,>>) = о.
г) Если ф имеет вещественное собственное значение, то имеется одно-
мерное инвариантное подпространство. В противном случае переходим
к унитарному пространству. Именно, берем в унитарном пространстве R'n
ортонормированный базис е ,..., е . Векторы из Rfn, имеющие в этом базисе
вещественные координаты, образуют евклидово пространство Rn, вложенное
в R'n. Преобразование ф имеет в базисе еи ..., е„ вещественную ортогональ-
ную матрицу А. Эта матрица в данном базисе определяет унитарное пре-
образование ф', совпадающее с ф на Rn. Преобразование ф' имеет собственное
значение а+р/, где р фО. Если x-\-yl — соответствующий ему собственный
вектор и х, у — векторы с вещественными координатами, то выполняются
равенства A). Значит, подпространство пространства Rn, натянутое на век-
торы х и у, инвариантно относительно ф.
1570. а) Для любой унитарной матрицы А существует унитарная
матрица Q такая, что матрица В = Q'AQ диагональная с элементами диаго-
нали, равными по модулю единице.
1571—1574J
ОТВЕТЫ
359
б) Пространство Rn является прямой суммой попарно ортогональных
одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно <р.
Преобразование <р оставляет векторы одномерных подпространств неизмен-
ными или меняет их на противоположные, а на двумерном подпространстве
вызывает поворот на угол у. Для любой ортогональной матрицы А существует
ортогональная матрица Q такая, что матрица В = Q'AQ имеет канонический
вид, указанный в задаче.
Указание. Использовать задачи 1567 и 1569 и применить метод мате-
матической индукции.
1571. /,=
1
/з"
A,1,1),
в
,1 О (К
= 0 .1 0 .
\0 0 —1/
/3=WA'-2ll):
1572. /,=4 /2. 1.0),
/2 = @,0,1), В-.
1573. /,
¦(-2-/2~, -4-3/2, /2),
' /42 + 28/2
1 /,.,/т^ _2_/2, 2 —/21,
-^@, /42-28/2", /42 + 28/2");
В-
1574.
1
Ю
— 2 + 7/2
12
1/42 + 28/2
12
1/42 + 28/2 —2 + 7/2
12 12
0 0
1 /3"
2 2
—/3" 1
2 2
• Q =
•
4/з 4^ °
4/з -4/6 -4/2-
4/з -
360
1575.
В-
1576.
В =
о
J_
2
-I/a"
ОТВЕТЫ
О
2 v
J_
2
1 О О
О 1 О
О О 1
0 0 0
Q =
1/2-
-1/2
1577.
В--
1578.
1
0
0
0
1
0
.0
0
—1
0
0
0
i
0
0
0
0
—1
°\
0
-l)
0
0
1
0
о
J_
2
1
Т '
_1_
2
J_
2
О
О
1
—1
[1575-158S
О
О
— 1
2
' 2
]_
2
J_
2
1
—1
О
О
0 =
_2_
3
It
~~ 3
3
2_
3
3
1584. q> либо тождественное преобразование, либо симметрия относи-
тельно некоторого подпространства L размерности А = 0, 1, 2,..., и — 1,
т. е. ух = х для любого х из L и фдс = — х для любого дс из ортогональ-
ного дополнения L*.
1585. /, = (-?-, 4, 41 В= 0 18 о).
\0 0 —9/
1
!"/18'
/Ж' /18 ' /181
_/2' _2 М.
~\3' 3' 3J'
1587—1595]
1587. /,
ОТВЕТЫ
361
/2
1
A, -/. 0),
/2 0 Ov
!=( 0 4 О .
\О О 4/
/з = (О, О, 1);
1588. *_g J);
с =
1+L 1+1
— 2
1589.
J5==
c=
/3
1
1/3" |^6
1 12 —i
1590. Указание. Пусть Ец — матрица, у которой в t-й строке и у-м
столбце стоит единица, а на остальных местах нули. Рассмотреть матрицы
всех преобразований в ортонормированном базисе:
?ц> ^2i. ••.. Eni, Е12, Е22, ..., Еп2, ..., Епп.
1591. a) UA = A'U\ б) UA = A'U.
1592. Две вещественные квадратичные формы тогда и только тогда
приводятся к каноническому виду одним и тем же ортогональным преобра-
зованием, когда их матрицы перестановочны. Две поверхности второго
порядка тогда и только тогда имеют параллельные главные оси, когда ма-
трицы из коэффициентов при членах второй степени их уравнений переста-
новочны. Указание. Доказать, что подпространство L всех собственных
векторов преобразования q>, принадлежащих одному и тому же собственному
значению К, будет инвариантным относительно второго преобразования 1]з.
1593. Если
«/Л
и В,
hn\
<*=1, 2, ..., и) — столбцы, являющиеся ортонормированными собственными
векторами соответственно Р и Q, то и2 матриц X[j = AlBfj(t, /=1, ..., и),
где в А-й строке и /-м столбце матрицы Хц стоит произведение augbji, обра-
зуют ортонормированныи базис собственных векторов преобразований ф и -ф,
причем любой такой базис получается указанным способом из некоторых
ортонормированных базисов собственных векторов матриц Р и Q.
1594. Если, например, линейное преобразование q> плоскости в ортонор-
мированном базисе задано матрицей
/1 -8\
(о i)H
вектор JC == A, 1) задан коор-
динатами в том же базисе, то (q>jc, х) = —1.
1595. Указание. Можно использовать задачу 1276 в). Проще рас-
смотреть матрицы преобразований ф, ij), x B ортонормированном базисе соб-
ственных векторов преобразования .%.
362
ОТВЕТЫ
[1596-1610
1596. Указание. Существование доказывается, как в задаче 1276.
Единственность проще доказать, пользуясь предыдущей задачей.
1597. Собственные значения преобразования с матрицей | I равны 3»
—1, т. е. не являются оба положительными.
1598.
1599.
1600.
1602. Указание. Найти невырожденное преобразование х такое, что
3B==<р, и показать, что преобразование /"'Ч^ФХ является самосопряженным.
1603. Указание. Пусть tpt и ip( — самосопряженные преобразования
с неотрицательными собственными значениями такие, что q>\ = ф и -ф^ = i|i.
Если ф невырожденно, то, положив x = 4>i1l'i> показать, что ХХ* = Ч>Г1Фг1'ЧI-
1605. Указание. Рассмотреть матрицу преобразования в базисе соб-
ственных векторов.
1606. Указание. Рассмотреть ортонормированный базис, в котором
матрица ф диагональна, и совершить переход к новому базису.
1607. Указание. Показать дистрибутивность операции перехода
от А и В к С. Рассмотреть линейные преобразования ф, i]>, %, заданные
в некотором ортонормированном базисе унитарного пространства Rn матри-
цами А, В, С. Разбить преобразования <р и ф на суммы неотрицательных
самосопряженных преобразований ранга 1 с матрицами Ау ... Аг и В\ ...
... Bs. Пользуясь задачей 1606, показать, что преобразование с матрицей
(Ai, Aj) в том же базисе неотрицательно. Наконец, пользуясь задачей 1604,
показать, что преобразование х неотрицательно.
1609. Указание. Доказывается аналогично соответствующему свой-
ству самосопряженного преобразования.
1610. Решение. Свойства а) и б) доказываются аналогично соответ-
ствующим свойствам самосопряженного преобразования.
Доказательство свойства в): пусть X и Y — столбцы координат соответ-
ственно х и у. Переходя к координатам в равенстве ф (х -\- yi) = р/ (х + yi),
получим: АХ -}- AYi = — fiY-\-fiXi, откуда, приравнивая действительные и
мнимые части, находим: АХ = — рк, AY = рЛГ, что доказывает равенство A).
Так как матрица А вещественна, то для вещественного вектора г вектор <рг
и число (ф2, г) вещественны. Поэтому (<pz, г) = (г, — yz) — — (г, ц>г) =
= — (ф2, г) и, значит, (ф2, г) = 0. Умножая второе из равенств A) на у,
найдем: р (х, у) = (фу, у) = 0, откуда (х, у) = 0. Умножая первое из ра-
1611—16141 ответы 363
венств A) на у, а второе на х и складывая, получим ввиду вещественности
числа (фу, х) = р (х, х), что р (| * |2 — | у I2) = (ах, у) + (ф;у, х) = (фх, у) +
+ (х, фу) = (фЛ, у) — (ф*. у) = 0, откуда I х | = ] у |.
Доказательство свойства г): если преобразование ф имеет число 0 соб-
ственным значением, то имеется одномерное инвариантное подпространство.
В противном случае переходим к унитарному пространству. Именно, берем
в унитарном пространстве в!п ортонормированный базис еи ..., еп. Векторы
из tfn, имеющие в этом базисе вещественные координаты, образуют евкли-
дово пространство Rn, вложенное в R^ Преобразование ф имеет в базисе
в\, ...,еп вещественную кососимметрическую матрицу А. Эта матрица в дан-
ном базисе определяет кососимметрическое преобразование <р' унитарного
пространства R?n, совпадающее с ф на Rn. Преобразование ф' имеет соб-
ственное значение Вг =jt 0. Еслих + у;—соответствующий собственный век-
тор, где х и у — векторы с вещественными координатами, то выполняются
равенства A). Значит, подпространство, натянутое на х и у, инвариантно.
1611. а) Для любой косоэрмитовой матрицы А существует унитарная
матрица Q такая, что матрица B = Q~l AQ диагональна с чисто мнимыми
элементами на диагонали, некоторые из которых могут равняться нулю.
б) Пространство является прямой суммой ортогональных между собою
одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно ф.
Преобразование ф переводит векторы одномерных подпространств в нуль,
I °Р)
а на двумерном подпространстве, соответствующем клетке I ' I, вызы-
\—Р О/
вает поворот на угол -н-, соединенный с умножением на число —р. Для лю-
бой вещественной кососимметрической матрицы А существует вещественная
ортогональная матрица Q такая, что матрица J5 = Q~1AQ имеет канони-
ческий вид, приведенный в тексте задачи.
Указание. Использовать задачи 1609 и 1610 и применить метод
математической индукции.
1614. Если А — косоэрмитова матрица, то матрица В = (Е — А) X
Х0Е + ^)~Х — унитарная, не имеющая характеристического числа, равного
—1, и, обратно, если А — унитарная матрица, не имеющая характеристиче-
ского числа, равного —1, то матрица В — (Е — А) (Е-\-А)~1 —косоэрмитова.
Аналогичная связь имеется между вещественными кососимметрическими и
ортогональными матрицами.
Решение. Разберем лишь случай унитарного пространства. Пусть
в равенстве A) ф — кососимметрическое преобразование (ф* = — ф). Тогда
так как е + ф и (е — ф) перестановочны. Значит, 1]з — унитарно. Заметим,
что (е±ф)-1 существуют, так как числа ±1 не являются собственными
значениями ф (задача 1610, пункт а)). Далее,
(а)
и, значит, ф не имеет собственным значением числа —1. Кроме того, <р вы-
ражается через 1]з при помощи равенства, аналогичного равенству A). В са-
мом деле, из равенства (а) находим: е4-ф = 2(е + т]з)~1, <р = 2(е + ф)—е =
==2(е + 1]з)~1 — (e + il')(e+il')~1 = (e— *)(е + *ГJ- Пусть, обратно, в ра-
венстве A) <р — унитарное преобразование, не имеющее собственным
364 ОТВЕТЫ [1616—1633
значением числа—1. Тогда ¦ф*=(е+ср*)~1 (е — ср*) = (е + ф~ ')"* (е—ф~1) =
'1 1 1
^ ' (cp—e) = —(e — ф)(е-]-ф) =—я]), так как e — сри(е-
нерёстановочны. Значит, я])—кососимметрическое преобразование. Кроме
того, ф выражается через я]) при помощи равенства, аналогичного равен-
ству A). Это доказывается снова при помощи равенства (а) дословно, как
выше. Таким образом, равенство A) отображает все кососимметрические
преобразования на унитарные, не имеющие собственным значением числа
—1, и обратно, причем одно из этих отображений является обратным для
другого. Это доказывает, что оба отображения взаимно однозначны.
1616. Если матрица А — косоэрмитова (или вещественная кососнмметри-
ческая), то матрица е — унитарна (соответственно ортогональна).
1617. Решение. По задаче 1559 преобразование еч> будет самосопря-
женным. Если \\ А„ — собственные значения ф, то они вещественны и
по задаче 1161 собственные значения е^ будут е ',..., е ", т. е. е^ поло-
жительно определенно. Покажем, что различным самосопряженным преоб-
разованиям ср и ср' соответствуют различные преобразования е4" и е^ . Пусть
e<f _ еч' • ,р обладает ортонормированным базисом собственных векторов
Ci ап, где <ра; = А/аг (/=1, 2, ..., л). Пусть а' — любой собственный
я
вектор преобразования ср' со значением А'; а' = 2 xi4i- Тогда по задаче
"к" п
1464 ещ'а' = е%'а = У^е х^. С другой стороны, е^а = У^ Х1е^щ =
= ^ Х1е 'аь так как e<f а — e<fa > то Л/ = 0 для всех тех /, для которых
е1фе,ке1=е , если x-t ф 0. Так как Л; и Л' вещественны, то из
п п п
Х1ФО следует Л/ = Л'. Поэтому <ра' = 2 */фЯ/ = 2 x^iai= 2 xi^'ai ~
= У а' = ф'а'. Так как ср' обладает базисом собственных векторов и на этом
базисе совпадает с ф, то ф = ф'. Пусть я]) — любое положительно определен-
ное преобразование. Существует ортонормированный базис, в котором ма-
трица я]) диагональна с положительными элементами ць ц2. .... Цп на диа-
гонали. Положим А; = 1п|х; (/=1, 2, ..., л), где Л; — вещественное значение
логарифма, и пусть преобразование ср в том же базисе задано диагональной
матрицей с элементами Л,, ..., Л„ на диагонали. Преобразование ф — само-
сопряженное, и я]) = Л
1625. Указание. Применить задачу 1507.
1626. Если г — ранг ср, то число таких преобразований равно kr.
1627. Указание. Доказать равенство
(фл: — %х, <$х — Кх) = (<p*jc — Кх, q>*jc — AJe).
1628. Указание. Применить предыдущую задачу.
1629. Указание. Применить задачу 1627.
1630. Указание. Применить задачи 1627 и 1629.
1631. Указание. Несколько раз применить задачу 1629.
1632. Указание. При доказательстве необходимости применить две
предыдущие задачи. При доказательстве достаточности показать, что пре-
образование ф унитарного пространства, обладающее нормальным свойством,
обладает ортонормир.ованным базисом собственных векторов. Случай евкли-
дова пространства свести к случаю унитарного.
1633. Указание. Применить предыдущую задач .
1634—1638)
ОТВЕТЫ
Дополнение
365.
1634. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) нет; 7) нет; 8) да; 9) нет;
10) да; 11) да; 12) нет; 13) да; 14) да; 15) да; 16) да; 17) нет; 18) да; 19) нет;
20) да; 21) да; 22) да; 23) да; 24) да; 25) нет; 26) да; 27) да; 28) да; 29) да;
30) да; 31) да; 32) нет; 33) нет; 34) да; 35) нет; 36) да.
1637. Указание. Первый способ: показать, что | а | = 1 для любого а
из данной группы G порядка п. При п > 1 взять в G элемент b = cos i]> -f-
-j- / sin i]> с наименьшим положительным аргументом i]> и показать, что
G={1, b, Ь>, ..., bn-1}.
Второй способ: пользуясь теоремой Лагранжа, показать, что о" = 1 для лю-
бого а из G.
1638. а) Одна группа—циклическая группа третьего порядка—с элемен-
тами е, a, b и таблицей
е
а
Ь
е
е
а
Ь
а
а
Ь
е
Ь
Ь
е
а
В представлении подстановками можно положить: е — единица, я = A 2 3),
г. = A з 2).
б) Две группы: 1) циклическая группа четвертого порядка с элементами
е, а, Ь, с и таблицей
е
а
Ъ
с
е
е
а
Ь
с
а
а
Ь
с
е
b
b
с
е
а
с
с
е
а
Ь
В представлении подстановками можно положить: е — единица, а = A 2 3 4),
Ь = A 3) B 4), с = A 4 3 2);
2) четверная группа с элементами е, а, Ь, с и таблицей
е
а
b
с
е
е
а
b
с
а
а
е
с
b
b
b
с
е
а
с
с
b .
а
е
В представлении подстановками можно положить: е — единица, а = A 2) C 4),
*-A 3) B 4), с = A 4) B 3).
356
ОТВЕТЫ
11639—1643
в) Две группы: 1) циклическая группа шестого порядка с элементами
е, а, Ь, с, d, f и таблицей
е
а
b
с
d
f
е
е
а
Ь
с
d
f
а
а
Ь
с
d
f
е
b
b
с
d
f
e
a
с
с
d
f
e
a
b
d
d
f
e
a
b
с
/
f
e
a
b
с
d
В представлении подстановками можно положить: е — единица, а =
= A 2 3 4 5 6), b = A 3 5) B 4 6), с = A 4) B 5) C 6), d = A 5 3) B 6 4),
/=A 6 54 3 2);
2) симметрическая группа третьей степени с элементами е, а, Ь, с, d, f
и таблицей
I e а Ь с d f
е
а
Ь
с
d
f
е
а
Ь
с
d
f
а
Ь
е
f
с
d
b
е
а
d
f
с
с
d
f
е
а
Ь
d
f
с
b
е~
а
f
с
d
а
Ь
е
В представлении подстановками можно положить: е — единица, в = A 2 2),
Ь = {\ 3 2), с = A 2), d = B 3), /=A 3).
Указание. Показать, что если в группе G порядка п имеется мно-
жество Н из к элементов, k < n, которое само является группой при опе-
рации умножения, заданной в G, то, умножая все элементы из Н на эле-
мент х, не лежащий в Н, мы получим k новых элементов группы G. Поэтому
4. За
Н можно взять множество элементов е, а, а
где
аь = е. Например, в случае в) 2), т. е. для нециклической группы G шестого
порядка, должно быть k <: 3. Если бы было а2 = е для любого а из G, то
четыре элемента е, a, b, ab образовали бы группу, что невозможно. Значит,
существует элемент а, для которого а2 = b Ф е, но й3 = е. Умнржая эле-
менты е, а, а2 на новый элемент с, получим все шесть элементов группы G
в виде е, а, а2 = Ь, с, ас = d, аЧ = /. Надо показать, что c2 = d2 = f2 = e
и са = а2с = /. Например, если бы было са — ас, то, умножая слева сна-
чала на с, а затем на а2, получим: аЧас = fd — e, откуда fd = d2 и / = d,
что невозможно.
1639. Группа тетраэдра имеет порядок 12, куба и октаэдра —24, доде-
каэдра и икосаэдра — 60. Указание. Рассмотреть вращения, переводящие
данную вершину А в некоторую вершину В (не обязательно отличную от А),
и показать, что, порядок группы равен nk где п—число вершин и k — число
ребер, выходящих из одной вершины.
1843. Указание. Каждому элементу х данной группы G поставить
в соответствие отображение а->ах для любого элемента а из G.
1646—1658] ответы 367
1646. ± 1.
184В. Указание, а) Рассмотреть (ab)pr и (ab)ps, где р — порядок ab.
б) Рассмотреть (ab)p, где р —порядок ab, и показать, что ар=Ь~р = е.
Пример 1. Для элементов афе, Ъ = а~х условие A) выполнено,
а B) — нет. Утверждение б) не выполнено, так как порядки а и b равны
между собой и не равны единице, а порядок ab = е равен единице.
Пример 2. Элементы й = A 2), 6 = A 2 3) симметрической группы S3
имеют взаимно простые порядки 2 и 3. Условие A) не выполнено, так как
ab = (\ 3), Ьа=B 3), а B) выполнено. Утверждение б) не выполнено: а по-
рядка 2, b порядка 3, ab порядка 2.
в) Обе части равенства ак = Ь1 возвысить в степень s, равную порядку Ь.
г) Пример 3. В циклической группе {а} восьмого порядка элементы
а, а3, й5 имеют порядок 8, но ас3 = в* порядка 2, аа5 = а6 порядка 4.
«49. 2) и 3) для 1); 4) и 11) для 10); 1), 2) 3), 13). 14) для 8); 15)
для 16); 20) и 21) для 18); 20) для 21); 24) для 23); 23) и 24) для 26); 29)
и 30) для 31); 34) для 36).
1653. Бесконечная циклическая группа, все циклические группы про-
стых порядков и единичная группа.
1654. a) G = {a), {в2}, {а3}, {е};
б) G = {a), {а2}, {а3}, {а*}, {о6}, {а8}, {в'2}, {«};
в) G = {е, а, Ь, с], {а), {Ь}, {с}, {<?};
г) применяя запись подстановок в циклах, получим подгруппы:
S3, «1 2 3)}, {A 2)}, {A 3)}, {B 3)}, {е};
р\ нормальными делителями будут S3, {A 2 3)}, {е}.
е) У Р
р р уу 3 {( )} {}
е) Указание. Разложение на циклы подстановки из А4 может содер-
жать лишь циклы длины 1, два цикла длины 2 или один цикл длины 3.
Поэтому А4 не имеет циклической подгруппы шестого порядка (см. задачу
1648 а), б) ) и все ее элементы второго порядка перестановочны. Значит, Л4
не имеет подгруппы, изоморфной S3. Но любая группа шестого порядка
либо является циклической, либо изоморфна S3 (задача 1638 в)).
1655. Выбираем в G любые элементы: сначала афе, затем Ь=^=е, а,
затем сф е, й,'6, ab. Тогда остальными элементами группы G будут ab, ас,
be, abc. Группа G абелева (задача 1636). Группа G имеет следующие 16 под-
групп: {в), {е, а], {е, Ь], {е, с}, {е, ab}. {е, ас), {е, be), {e, abc}, \е, а, Ь, ab),
{е, а, с, ас), [е, Ь, с, be], [e, a, be, abc}, {e, Ъ, ас, abc}, [e, с, ab, abc},
[е, ab, ас, be}, {е, а, Ь, с, ab, ас, be, abc} = G.
1657. В аддитивной записи все подгруапы имеют вид -
Go = {а}, G, = {pa}, G2 = {р2а}, ..., Gft_, = {pk-la}, Gk = {pka} = {0}..
Они образуют убывающую цепочку подгрупп соответственно порядков: pfe»
pk-\pk~\ .... р, 1.
Указание. Использовать задачу 1656 б) или показать, что под-
группа {so), где 0 < s < pft, совпадает с подгруппой {р1а}, где s = plt,
О^Кк и / не делится на р.
1658. а) Указание. Разложить подстановку на циклы и проверить,
что (hhh • • ¦ «ft) = (hh) («Уз) • • • («Vfe).
б) Указание. Проверить равенство (It) (I/) (It) = (ij).
в) Указание. Проверить, что произведение двух транспозиций еле-
дующим образом выражается через тройные циклы:
(«/) (ik) = (Цк), (ij) (kl) = (ijk) (ilk).
г) Решение. Пусть G — подгруппа знакопеременной группы Ап, по-
рожденная множеством указанных тройных циклов, и i, j, k — различные
числа, большие двух (при п = 3 утверждение очевидно, а при и = 4 данное
368 ответы 11660—1662
ниже доказательство сокращается). Вместе с циклом A 2 /) группа G со-
держит обратный элемент (t 2 1), затем G содержит
A 2 у) A 2 0 U 2 1) = A i Л: U 2 1) (/ 2 1) A 2 У) = B / Д
При л = 4 группа G уже содержит все тройные циклы. При п > 4 она со-
держит A 2 Л) A I j) (k 2 1) = (г У Л). Значит, G содержит все тройные
циклы и по пункту в) совпадает с Ап.
1660.- Указание. Пусть К—множество всех элементов группы G,
не принадлежащих к Н, и а — любой элемент из К. Показать, что, умножая а
на все элементы из Н, получим все элементы К. Вывести отсюда, что,
умножая а на все элементы из К, получим все элементы из Н. В частности,
а2 принадлежит к И.
1661. Примером может служить четверная группа с элементами е, а, Ь, с
(см. ответ задачи 1638). Она имеет три циклические подгруппы второго по-
рядка: {а}, {Ь} и {с}.
Указание. Доказать, что при возведении в квадрат всех тройных
циклов мы получим снова все тройные циклы, и использовать задачи 1658
и 1660.
1662. а) Указание. Каждому вращению тетраэдра ABCD соответ-
ствует подстановка его вершин. Произведению двух вращений соответствует
произведение соответствующих подстановок. Двум различным вращениям s
и t соответствуют две различные подстановки, так как иначе нетожде-
ственному вращению st~l соответствовала бы тождественная подстановка,
сохраняющая все вершины на месте. По ответу задачи 1639 группа тетра-
эдра изоморфна подгруппе двенадцатого порядка симметрической группы S4.
Далее, можно либо проверить, что все подстановки, соответствующие вра-
щениям тетраэдра, четные, либо использовать задачу 1661.
б) Решение. Центры граней октаэдра являются вершинами куба.
Поэтому группы куЧ5й и октаэдра изоморфны. Каждому вращению куба- со-
ответствует подстановка его четырех диагоналей. Произведению вращений
соответствует прбй&ееДение соответствующих подстановок. Рассмотрим все
вращения куба. Это — тождественное вращение, восемь вращений вокруг
2л 4я
диагоналей на углы -я- и -к-, шесть вращении вокруг осей, проходящих
через середину противоположных ребер, на угол л и девять вращений вокруг
я
осей, проходящих через центры противоположных граней, на углы -г,
—j- и ~-. Число этих вращений: 1 -}- 8 -[- 6 -{- 9 = 24. По ответу задачи 1639
ими исчерпываются все вращения куба. Непосредственной проверкой убе-
ждаемся, что только при тождественном вращении все четыре диагонали
остаются на месте. Отсюда, как в пункте а), выводим, что группа куба изо-
морфна группе подстановок четырех элементов, имеющей порядок 24, т. е.
симметрической группе S4.
в) Решение. Центры граней додекаэдра являются вершинами ико-
саэдра. Поэтому группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны. Для каждого
ребра икосаэдра имеется одно противоположное параллельное ему ребро и
две пары перпендикулярных к нему ребер: ребра одной пары начинаются
в вершинах граней, примыкающих к данному ребру, а ребра другой пары
принадлежат граням, имеющим вершинами концы данного ребра. Ребра од-
ной из этих дар параллельны, а разных пар — перпендикулярны меж'Ду со-
бой. Таким образом, все 30 ребер делятся на пять систем по шести в каждой
системе. Ребра одной системы либо параллельны, либо перпендикулярны,
а ребра разных систем не параллельны и не перпендикулярны. С каждой
системой ребер связан октаэдр, вершинами которого служат середины ребер
1668—1675J ответы 369
дайной системы. Этим определены пять октаэдров, вписанных в икосаэдр.
Каждому вращению икосаэдра соответствует подстановка пяти указанных
систем ребер (или соответствующих им октаэдров). Произведению двух вра-
щений соответствует произведение соответствующих подстановок. Рассмо-
трим все вращения икосаэдра. Это — тождественное вращение; 24 вращения
вокруг каждой из шести осей, проходящих через противоположные вершины,
2я 4л 6я 8л о„
на углы -=-, -=-, -=- и -=-; 20 вращении вокруг каждой из десяти осей
2я 4я
проходящих через центры противоположных граней, на углы -=- и —~-;
о о
15 вращений вокруг каждой из пятнадцати осей, проходящих через середины
противоположных ребер, на угол л. Число этих вращений: 1 +24-(- 20+ 15=
= 60. По ответу задачи 1639 ими исчерпываются все вращения икосаэдра.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что для каждого нетождественного
вращения найдется ребро, переводящееся данным вращением в другое ребро,
не параллельное и не перпендикулярное к данному ребру. Поэтому только
тождественному вращению соответствует тождественная подстановка систем
ребер. Отсюда, как в пункте а), выводим, что группа икосаэдра изоморфна
подгруппе порядка 60 симметрической группы S5. По задаче 1661 эта под-
группа совпадает со знакопеременной группой Аъ.
1668. Указания, а) Применить задачу 1667. б) Показать, что каждый
смежный класс содержит точно одну подстановку, оставляющую на месте
число 4.
1669. Если в разложении данной подстановки s на независимые циклы
встречается ki циклов длины /;, /'= 1, 2 г, причем учтены все циклы,
включая и циклы длины 1, то число подстановок, перестановочных с под-
т
становкой s; равно JJ(^;)l-^f'- Считая 0!= 1, можно искомое число запи-
сать иначе. Пусть jL — число циклов длины I, входящих в разложение под-
становки s, где I = 1, 2 л, и если циклов длины I в разложении нет,
л
то положено ji = 0. Тогда искомое число равно JJ (Уг)! • ih,
1-Х
Указание. Циклы одной и той же длины /, входящие в разложе-
ние s, при трансформировании подстановкой х, перестановочной с s, могут
лишь переставляться между собой, причем первое число какого-либо цикла
может перейти в любое число любого цикла той же длины, входящего
в разложение подстановки s.
1670. Указание. Рассмотреть коммутатор hxhjt[ 1Л^ этих элемен-
тов.
1673. Указание. Использовать задачи: 1671 в случае а), 1672
в случае б).
1674. Если в разложении дайной подстановки s иа независимые циклы
встречается ki циклов длины /,-, « = 1, 2 г, причем учтены все циклы,
включая и циклы длины 1, то искомое число равно— . Это число
можно записать иначе, пользуясь другим выражением знаменателя, указан-
ным в ответе задачи 1669.
1675. Указание. Обозначить через а^ число классов сопряженных
элементов с pk элементами и, пользуясь задачей 1673, показать, что а0 + dip -f-
+ 2+"
370 ответы [1676—1677
1876. Указание. Если Н содержит цикл (а Р у) и а', Р', у' — любые
различные числа от 1 до п, то трансформировать цикл (а Р Y) подстановкой
X
(а р y 6 е ...\
[а' Р' у' 6' е' .../'
где б' и е' выбраны так, что подстановка л; четна. Использовать задачи
1667 и 1658 в).
1677. Решение, а) Все 60 вращений, составляющие группу икосаэдра,
указаны в ответе задачи 1662 в). Тождественное вращение является единицей
группы и составляет один класс. Сопряженные элементы имеют одинаковый
порядок. Элементами пятого порядка являются 24 вращения на углы —=—,
о
к = 1, 2, 3, 4, вокруг каждой из шести осей, проходящих через противопо-
ложные вершины. Под вращением вокруг вершины А на угол а будем пони-
мать вращение вокруг оси, проходящей через А и противоположную вершину,
на угол а против часовой стрелки, если смотреть вдоль оси от А к проти-
воположной вершине. У каждой вершины отметим один из плоских углов
с данной вершиной. Каждое вращение икосаэдра вполне характеризуется
указанием вершины В, в которую переходит данная вершина А (В может
совпадать с .Л), и плоского угла при В, в который переходит отмеченный
угол при А. Поэтому каждое вращение х, переводящее А в В, представляется
в виде произведения х = у г, где у переводит отмеченный угол А в отмечен-
ный угол В, а г есть вращение вокруг вершины В на угол а. Обратный эле-
мент л; =г~1у~' есть произведение вращения z~l вокруг В на угол — а и
вращения у1, переводящего отмеченный угол В в отмеченный угол А. Пусть
теперь g— вращение вокруг вершины А на угол а и х — любой элемент
группы, переводящий А в В. Представляя х в виде произведения х = уг,
как указано выше, найдем, что сопряженный элемент x~'gx = z~ly~'gyz
является поворотом снова на угол а, но уже вокруг вершины В. В частности,
если А и В — противоположные вершины, то поворот вокруг В на угол а
совпадает с поворотом вокруг А на угол 2я— а. Таким образом, все враще-
ния вокруг вершин на углы —=— и —=- принадлежат одному классу сопря-
о о
4я 6я _
женных элементов, так же как и все вращения на углы —=- и —=-. Пока-
о о
. 2я 4л
жем, что вращения gs и g2 вокруг вершины А на углы -=- и -=- принад-
о о
лежат различным классам. Если х переводит А в другую вершину В, то
x~lg\X есть вращение вокруг В и либо не будет вращением вокруг А, либо
(если В противоположна А) будет вращением вокруг А на угол —=—, т. е.
о
x~lg\x Ф g2- Если же х — вращение вокруг А, то gt и х — элементы цик-
лической (и, значит, коммутативной) подгруппы вращений вокруг А и снова
X~1giX=^gx =?g2.
Итак, все элементы пятого порядка разбиваются на два класса по 12
элементов. Аналогично, отмечая по плоскому углу каждой грани и по вер-
шине каждого ребра, убедимся, что 20 элементов третьего порядка (враще-
2л 4л
ния на углы —=- и —=- вокруг осей, проходящих через центры противопо-
о о
ложных граней) составляют один класс и 15 элементов второго порядка (вра-
щения на угол я вокруг осей, проходящих через середины противоположных
ребер) также составляют один класс.
б) Нормальный делитель должен состоять из целых классов, должен со-
держать единицу, и его порядок должен делить порядок 60 группы икосаэдра.
По пункту я)' классы сопряженных элементов содержат соответственно
1678-1701] ответы 371
1, 12, 12, 20, 15 элементов. Из этих чисел можно составить лишь две суммы,
включающие слагаемое I и делящие число 60, именно 1 и 60. Это дает лишь
два нормальных делителя — единичную подгруппу и всю группу.
1678. Указание. Применить задачи 1662 в) и 1677 б).
1681. Гомоморфизм вполне определяется образом образующего элемента а.
Ниже указаны возможные образы этого элемента:
а) любой элемент группы; число гомоморфизмов равно п,
б) е, Ь3, Ь6, Ья, bi2, bu;
в) е, Ъ, Ь\ Ь\ Ь\ Ь5;
г) е, b5, bi0; д) е.
1688. а) Циклическая группа {ср} четвертого порядка, где йф = а2;
б) циклическая группа {ф} второго порядка, где йф = й5;
д) поле вычетов по модулю 5;
е) кольцо вычетов по модулю 6;
ж) кольцо вычетов по модулю л.
1685. а) Циклическая группа порядка п;
б) циклическая группа порядка 5;
с) циклическая группа порядка 6;
г) циклическая группа порядка 2.
1688. Указания. В случаях г), д) и з) рассмотреть отображение
zn
f (z) = zn, а в случае е) — отображение g (г) = -j—^.
1691. В группе S3 подгруппа {A2)} имеет индекс 3, но не содержит
элемента A3) порядка 2.
1693. Указание. Предположив, что G/Z — циклическая группа, вы-
брать в классе, служащем для нее образующим элементом, элемент а и по-
казать, что а и Z порождают всю группу G.
1694. Решение. Применим индукцию по порядку л группы G. Для
п = 2 группа G — циклическая второго порядка, и теорема для нее верна.
Пусть теорема верна для всех групп, порядок которых меньше л, и G — группа
порядка л. Пусть сначала G коммутативна. Берем любой элемент а, отличный
от единицы е группы G. Его порядок k > 1. Если к делится на р, k = pq, то
элемент а9 имеет порядок р. Если k не делится на р, то порядок п' фактор-
группы G' = G/{a) группы G по циклической подгруппе {й} равен -г < п
ft
и делится на р. По предположению индукции G' содержит элемент Ъ' порядка р.
Пусть b — элемент группы G, входящий в смежный класс Ь'. Из Ь'р = е',
где е' — единица группы G', следует, что> Ьр содержится в подгруппе {й}, т.е.
Ьр = а1, откуда Ьрк = а!к = е. Если Ьк = е, то b'k = е' и k делится на поря-
док р элемента Ь', что невозможно. Значит, bkp = е, но bk ф е, т. е. элемент
Ьк имеет порядок р.
Пусть теперь группа G некоммутативна. Если существует подгруппа Н,
отличная от G, индекс которой не делится на р, то порядок И меньше л
и делится на р. По предположению индукции Н содержит элемент порядка р.
Если же индексы всех подгрупп группы G, отличных от G, делятся на р,
то число элементов, сопряженных любому элементу группы G, не входящему
в ее центр Z (задача 1664), делится на р (задача 1671). Так как порядок п
группы G также делится на р, то и порядок центра Z делится на р и меньше
п, так как G некоммутативна По предположению индукции Z содержит
элемент порядка р.
1695. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
!70>.аН«}=.ВД-Н2в};
3«);.
3 ||] = pSf Waft»} + {12й};
{} + {а} + {й};
{225а} + {100а} + {36а}.
372 ответы Ц702-1725
1702. Указание. В случае в) использовать задачу 1700 б).
1703. Указания, а) Принять соответственно за Ли Б множества
всех элементов а и b из G, для которых ра = 0 и qb = 0; б) рассмотреть
k к k
разложения n = p1ip22 ••• Pss порядка п группы G на простые множители
и применить а).
1704. a) G C); б) G D), G B, 2); в) G B, 3); г) G (8), G B, 4), G B, 2, 2);
д) G(9), GC, 3); е) GD, 3), G B, 2, 3); ж) GA6), GB,8), GD,4), GB,2,4),
G B, 2, 2, 2); з) G (8, 3), G B, 4, 3), G B, 2, 2, 3); и) G B, 3, 5); к) G D, 9).
G B, 2, 9), G D, 3, 3), G B, 2,3,3); л) G A6,3), G B,8,3), G D, 4,3), G B,2,4,3),
О B, 2, 2, 2, 3); м) G D, 3, 5), G B, 2, 3, 5); н) G (9, 7), G C, 3, 7); o) G (8, 9),
G B, 4, 9), G B, 2, 2, 9), G (8, 3, 3), G B, 4, 3, 3), G B, 2, 2, 3, 3); n) G D, 25),
G B, 2, 25), G D, 5, 5), G B, 2, 5, 5).
1705. Если Zfc — циклическая группа порядка k и Z — бесконечная цик-
лическая группа, то искомое прямое разложение фактор-группы G/H имеет
вид:
a) Z2 + Z2 + Z3; б) Z3 + Z4; в) Z2 + Zs + Zs; г) Z2 + Z4; д) Zt + Z;
е) Z2 + 22 + Z; ж) Z3; з) Z-\-Z; и) Z; к) G/H— нулевая группа.
Искомого разложения не существует.
1706. в) Группа G единственным образом разлагается в прямую сумму
подгрупп: G = Ai + А2 -f- ... + As, где AL—циклическая подгруппа пврядка pt.
Любая подгруппа Н группы G, отличная от нулевой, является прямой сум-
мой некоторых из подгрупп Л/. Число всех подгрупп равно 2*. Указание.
Использовать пункт б) и показать, что если h — образующая подгруппы Н,
то И является прямой суммой тех подгрупп Ah которые содержат ненулевые
компоненты элемента h.
1707. Указания, в) Для доказательства разложения G = /У-\-К
взять любой элемент в1 вне Н, затем любой элемент а2 вне {И, at} и т. д.
и положить К= {й|, а2, ...}.
г) Любая подгруппа Н порядка р1 разлагается в прямую сумму I цикли-
ческих подгрупп порядка р. Пусть это разложение имеет вид
Находим число всех систем (аь а2, ...,at), определенных указанным образом
для всех подгрупп Н порядка р1. Так как а\ Ф 0, то для а\ имеем pk — 1
возможностей. Так как а2 лежит вне циклической подгруппы {в, },Чо для а2
имеем pk — р возможностей и т. д. Аналогично находим число всех систем
(в,, в2, ••-, й/). дающих одну группу Н порядка р1. Число всех подгрупп
порядка р1 равно частному двух найденных чисел.
1708. Указание. Сначала рассмотреть случай примарной группы,
затем взять разложение группы на примарные компоненты (задача 17036))
и применить задачу 1700 6).
1709. Кольцо. 1710. Кольцо.
1711. Кольцо. При л = 0 получаем нулевое кольцо, состоящее из одного
числа 0, который будет единицей кольца и сам для себя обратным. Нулевое
кольцо не будет полем, так как поле должно содержать более одного элемента.
1712. Поле. 1713. Поле. 1714. Поле. 1715. Кольцо.
1716. Поле. 1717. Кольцо. 1718. Поле. 1719. Кольцо. 1720. Кольцо.
1721. Кольцо. 1722. Кольцо. 1723. Кольцо.
1724. Матрицы с рациональными a, b образуют поле, а с действитель-
ными а, Ъ — кольцо, но не поле.
1725. Полиномы от синусов и косинусов и полиномы от одних косинусов
образуют кольцо, а от одних синусов не образуют. Указание. Для
1726-1757) ответы 373
доказательства, что полиномы от синусов не образуют кольца, использовать
то, что произведение двух нечетных функций является функцией четной..
1726. Не образуют. Указание. Используя неприводимость многочлена
х3 — 2 над полем рациональных чисел, доказать, что J/2 • j/TT = j/7 не
принадлежит рассматриваемому множеству.
1727. -jg-E+9}/2 — VT). Указание. Для доказательства одно-
значности использовать неприводимость многочлена Xs — 2 над полем рацио-
нальных чисел. Для отыскания обратного элемента применить метод неопре-
деленных коэффициентов.
1728. *-• = ~ A9 #
1729. Указание. Использовать свойство неприводимого многочлена
быть взаимно простым с любым многочленом низшей степени.
1730. р-' = ^A01 + 37а + 4а=).
Указание. Если «р (х) = х2 — х + 3, то методом неопределенных коэф-
фициентов найти многочлены f\ (x) первой степени и % (х) второй степени,
удовлетворяющие равенству / (х) ft (x) -f- «р (х) <р, (х) = 1, и положить в этом
равенстве х = а.
1732. Например, /, (х)^™» Х<°' /.W-t*"
[х — для х>0, [0 — для
1734. Делители нуля имеют вид (а, 0), где а Ф О и (О, Ь), где b ф 0.
1737. Матрицы, в которых элемент в левом верхнем углу отличен от
нуля, не будут левыми (но будут правыми) делителями нуля.
1738. Указание. Раскрыть скобки в произведении (а-\-Ь)(е-\-е)
двумя разными способами.
1740. Матрицы порядка я>2с элементами из данного поля при усло-
вии, что все строки, начиная со второй, состоят из нулей, образуют кольцо
с несколькими левыми единицами, а при аналогичном условии для столб-
цов— с несколькими правыми единицами.
1742. Указание. Пусть а — элемент кольца, отличный от нуля.
Показать, что соответствие х -> ах, где х — любой элемент, является взаимно
однозначным отображением данного кольца на себя.
1743. Указание. Использовать задачу 1742.
1747. Указание. Найти матрицы Е, I, J, К, соответствующие еди-
ницам 1, /, /, к, и проверить таблицу умножения для них: Р = Р=К2=—Е,
// = —У/ = /С, JK = — KJ = I, KI = —IK = J.
1749. Возможны лишь два таких автоморфизма: тождественный и пере-
водящий каждое число в сопряженное.
1750. Указание. Показать, что любое числовое поле содержит число 1,
затем целые и, наконец, дробные числа.
1751. Указание. Рассмотреть образы единицы, целых и дробных чисел.
1752. Указание. Показать, что положительное число, как квадрат
действительного числа, переходит в положительное. Затем, пользуясь тем,
что между двумя различными действительными числами лежит рациональное,
и сохранением рациональных чисел, доказать неизменность любого действи-
тельного числа.
1753. Возможны лишь два таких отображения: тождественное и пере-"
водящее любое комплексное число в сопряженное.
1756. По модулю 3 система несовместна, а по модулю 5 она имеет
единственное решение х = 2, у = 3, z = 2.
1757. По модулю 5 система несовместна, а по модулю 7 она имеет един-
ственное решение х = 2, у = 6, 2 = 5.
374 ответы [1758-1773
1758. а) л:+ 2; б) 1. 1759. а) 1; б) 5л:+1. 1760. а) х2 + х + 2; б) 1.
1761. а) Решение. Предположим, что / (*) и g (х) имеют над полем
рациональных чисел общий делитель d (x) положительной степени. Тогда
f(x) = a(x)d(x), g {х) = Ь (х) d (x), где а(х), Ь(х), d (x) — многочлены
с рациональными коэффициентами. Вынося общие знаменатели и общие
наибольшие делители числителей коэффициентов и применяя лемму Гаусса
о произведении примитивных многочленов, получим: / (х) = а, (х) d, (х),
? (х) = ft, (х) d, (x), где все многочлены имеют целые коэффициенты, сте-
пень dx (*) равна степени d (x) и старший коэффициент dx (x) не делится
на р. Переходя к полю вычетов по модулю р, получим общий делитель поло-
жительной степени для f{x) и g{x) над этим полем, что невозможно.
б) Многочлены / (х) = х, g (х) — х -(- р взаимно просты над полем ра-
циональных чисел и равны х, т. е. не взаимно просты, над полем вычетов
по модулю р.
1762. Указание. Если / (х) и g (x) взаимно просты, то, получив ра-
венство / (дс) u(x)-\-g (*) v (х) = с, где и (х), v (x) — многочлены с целыми
коэффициентами и с — целое число, доказать, что f(x) и g(x) взаимно
просты над полем вычетов по любому простому р, не делящему с.
При доказательстве обратного утверждения использовать задачу 1761.
1763. (л- + IK (*2 -+- х + 1). 1764. (лг+3) (л:Ч-4л: + 2). 1765. (*2+1) (*24-
- + 2). 1766. B + +1)B + 2 + 4)
1767. /, = *2
4- х 4-1 неприводим.
1768. /1 = лЛ/2
/3 = jfl + х = х {х + IJ, /4 = х» + & = х2 (а: + 1),
/5 = а:3 + х + 1 неприводим, /в = х3 -\- х2 -\-1 неприводим.
1769. /, = л:24-1, /, = дс« + дс + 2, /3 = а:2 4" 2* 4" 2.
1770. /, = л:34-2.*4-1. Л = *3 + 2* + 2,
/7 = а:3 4- 2*2 4- х 4-1, /3 = л:3 4-2л:2 4-2а: 4-2.
1771. Указание. Применяя лемму Гаусса, из разложения /(х) на
два множителя с рациональными коэффициентами получить разложение на
два множителя с целыми коэффициентами. Многочлен / (jk) = рх2 -\- (р -\-
4-1) л:4-1 = (рх -f-1) (jc-4- 1) приводим над полем рациональных чисел, но
по модулю р равен х -\- 1 и, значит, неприводим.
1772. Указание. Предположить противное, применить разложение
группы G в прямое произведение примарных циклических подгрупп, ис-
пользовать задачу 1700 в) и теорему о том, что уравнение хп = 1 в поле Z р
имеет не более и различных корней.
1773. Решение. Сначала докажем лемму из теории групп. Если два
элемента а и b циклической группы G не являются квадратами, то их произ-
ведение является квадратом.
Множество И элементов из G, являющихся квадратами, есть подгруппа.
Фактор-группа G/H — циклическая. Если С = сН — ее образующая, то из
с2 ?// следует С2 = с2Н = Н. Значит, или Н = G, или G/H — группа второго
порядка и в^ аН • ЬН = Н, т. е. аЪ есть квадрат.
Отсюда следует, что по любому простому модулю р одно из чисел 2,
3, 6 сравнимо с квадратом. В самом деле, при /> = 2 имеем 2== О2, прн
р = 3 также 3==02. Если р > 3, то 2 и 3 можно рассматривать как элементы
мультипликативной группы "С поля вычетов по модулю р. Согласно за-
даче 1772 группа G — циклическая и по лемме, доказанной выше, если
2 и 3 — не квадраты, то 2-3 = 6 — квадрат.
1774—18091 ответы 375-
Многочлен
= л:4 — 10а:2+ 1
неприводим над полем рациональных чисел, так как линейные множители и
их произведения по два не являются многочленами с рациональными коэф-
фициентами.
Пусть Zp — поле вычетов по простому модулю р. По доказанному су-
ществует элемент а ? Zp, для которого а2 = 2, или а2 = 3, или а2 = б. Если
в2 = 2, то л-4 — 10л-2-И = (х2 + 2а* — 1)(л:2— Чах — 1); если я2 = 3, то
х* — \0х2+\ = (х2+2ах+1)(х2 — 2ах-\-\); если я2 = 6, то х* — 10л:2+1 =
= (д;2 _ 5 4- 2а) (х2 — 5 — 2а).
1774. Указание. Показать, что если в = ае, то в — единица.
1775. а) а = р в кольце вычетов по модулю р2; б) а = р в кольце вы-
четов по модулю р". Здесь р — любое целое число, большее 1.
1779. Указание. Для числа г = а -\- b Y—3 ввести норму N (г) =
= г • г = а2 -\- ЗЬ2. Доказать, что N (гх •z2) = N (zt)N (гг), для данного М > О
существует лишь конечное множество чисел г с N (z) < М, делителями еди-
ницы являются лишь ±1, делитель г с наименьшей нормой, большей 1, яв-
ляется простым.
1111!
1780. Указание. Рассмотреть разложения 2=22 -22=22 -24-24 = ...
1781. а) Идеал; б) подкольцо; в) идеал; г) не является подгруппой ад-
дитивной группы; д) подкольцо; е) подгруппа аддитивной группы; ж) идеал;
3) подкольцо; и) идеал; к) идеал; л) не является подгруппой аддитивной
группы.
1785. Указание. Показать, что любой идеал / порождается своим
элементом а, отличным от нуля и наименьшим в следующем смысле: а) по
абсолютной величине; б) по степени; в) по модулю. В каждом случае ис-
пользовать существование деления с остатком на элемент b Ф 0, причем
остаток или равен нулю, или меньше делителя в указанном выше смысле.
1791. Если пе ФО для любого пфО из Z, то ф — изоморфизм, и ф(Z)
изоморфно Z. Если пе = 0 для некоторого и Ф 0 из Z и п0 — наименьшее
положительное число, для которого пое = 0, то ф (Z) изоморфно кольцу вы-
четов по модулю и0.
1792. б) Четыре смежных класса, состоящие из чисел a-\-bi со свой-
ствами: 1) а и Ь четны; 2) а четно, a b нечетно; 3) а нечетно, a b четно;
4) а и b нечетны; в) класс В, содержащий 1 -\- i, является делителем нуля,
причем ?2 = 0. 1799. Число элементов равно р".
1800. 1. R—кольцо с делителями нуля, рассматриваемое как модуль
над самим собой, К и а — делители нуля, для которых Ля = 0. 2. G= {a} —
циклическая группа порядка и (с аддитивной записью операции), рассматри-
ваемая как модуль над кольцом целых чисел. Тогда па = 0.
1804. Указание. Применить задачу 1647 в).
1807. б) Пусть а и b — два различных элемента второго порядка чет-
верной группы (см. ответ задачи 1638 б)). Если рассматривать эту группу
как унитарный модуль над кольцом целых чисел (при обычном умножении
элементов группы на числа), то О (а) и 0F) совпадают с множеством чет-
иых чисел, но {а} Ф [Ь].
1808. Указание. Доказать, что множество / всех к ? Я, для кото-
рых XafA, есть идеал кольца /?.
1809. Множество А всех элементов с конечным числом ненулевых ком-
понент.
376 ответы {1810—1836
1810. б) Пример 1. В кольце Ze вычетов по модулю 6 как модуле
над самим собой элементы 2 и 3 являются периодическими, а их сумма 5
не является периодическим элементом.
Пример 2. Пусть /? — кольцо пар (х, у), где л: и у — целые числа,
а сложение и умножение пар производятся по компонентам (задача 1734).
Элементы а = A,0) и b = (О,1) являются делителями нуля. Если R рассматри-
вать как модуль над самим собой, то а и Ъ будут периодическими элемен-
тами, так как О (а) — множество всех пар вида @, у) к О F) — всех пар
вида (л:, о)-Но элемент а-\-Ь = A, 1) имеет порядком нулевой элемент @, 0).
1811. Указание. Положить а = а'6, C = (З'б и показать, что
«'р'б (я + Ь) = 0 и и\Ь = 0.
1812. Указание. Показать, что М есть прямая сумма ненулевых под-
модулей Mi, каждый из которых состоит из всех элементов М, порядки ко-
торых порождены степенями простого элемента р( из /?.
1813. Указание. Рассмотреть объединение модулей М^
1819. Указание. Показать, что b->А-\-b есть гомоморфное отобра-
жение В на (A -J- В)/А, и применить теорему о гомоморфизмах для модулей.
1820. Указание. Применить индукцию по п. При и = 1 применить
задачи 1815 и 1818. При и > 1 предположить, что в М существует беско-
нечная возрастающая цепь различных подмодулей Мi с М2 с ..., положить
со
^1={д:1}, ?=|1 М[, М\ — М.П А и показать, что цепь М'^ стабилизируется на
некотором М'к = А П В. Затем применить теорему об изоморфизме (см. за-
дачу 1819) и использовать то, что фактор-модуль М/А имеет и — 1 обра-
зующих.
1822. Указание. При доказательстве б) рассмотреть выражение
<1 + 1) (* + >>• "
1823. в) Пространство V бесконечномерно.
1825. Указание. Доказывать по индукции или положить в линейном
соотношении х — 1, 2, 22, .... 2".
1826. Указание. В случаях в), г), д) дифференцировать два раза и
применить индукцию.
1827. Указание. Использовать определитель Вандермонда.
1829. Размерность равна C^1n_l = C\+n_v Указание. Взять за базу
все одночлены и
ветствие строку
1830. С"
каждому
1 ...
одночлену вида
1
Oj раз
Указан
и
xtl ... \ хг...
а2 раз
е. Положить
Х1
1 .
~к
XI-
«2
Х2
.. 1
раз
1
хп.
Ус
а
хп
" П0СТЭВ1
и свести
п к преды-
Уп+\
дущеи задаче.
1831. б) Размерность L равна и; в) размерность Lk равна и—А+1;
г) L' не является подпространством.
1832. Указание. При доказательстве необходимости получить равен-
ство В = С А, где С — невырожденная матрица из коэффициентов в выра-
жениях системы B) через A). При доказательстве достаточности приписать
к матрице А снизу строку координат вектора bi и, вычисляя ранг методом
окаймления, показать., что ранг полученной матрицы равен k.
1836. г) Пусть на плоскости хОу L=0x, M= Oy, L' — любая прямая,
проходящая через начало координат и отличная от осей, <j>t — проектирова-
1837-1851] ответы 377
ние на L параллельно М, <р2 — проектирование на V параллельно М. Тогда
q)^2 = (p, ^=ф2 = ф2ф1. Условие C) не выполнено, но ф,ф2 и <p8tp, являются
проектированиями.
Указания, б) Показать, что еслн ^ и ф2 идемпотентны, то (pt -\- фг
идемпотентно тогда и только тогда, когда ф[ф2 -+- ф2ф! = 0. Умножая это ра-
венство слева и справа на ф1( доказать его эквивалентность условию A).
в) Используя а), свести в) к б), г) Из щц2х = х вывести ф^ = ф2х = х.
Затем использовать представление jc = ф2х 4-(е— (ря)х.
1837. Указание. Рассмотреть (ф (jc, 4" х2), у) и (ф (Хх), у).
1838. 4-
о
1839. Если L — подпространство всех векторов, у каждого из которых
лишь конечное число координат отлично от нуля, то L* = 0, \
**V?L
(L)V?L
1841. Пусть А — матрица преобразования в ортонормированием базисе,
а) Поворот плоскости на некоторый угол вокруг начала координат, если
| А | = -f- 1; зеркальное отражение плоскости в некоторой прямой,--проходящей
через начало координат, если \А[ =— 1. б) Поворот пространства на неко-
торый угол, вокруг оси, проходящей через начало координат, если | А | = -f- U
поворот, указанный выше, с последующим зеркальным отражением простран-
ства в плоскости, проходящей через начало и перпендикулярной к оси вра-
щения, если | А | = — 1.
1842. Поворот вокруг оси, определенной вектором/=A, 1, 0), на угол
а = 60° в отрицательном направлении. Указание. Вектор / ищем как
собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1. Угол пово-
рота а находим из условия 2cosa-[- 1 =г аи-{-а22-\-aiS, полученного иа
инвариантности следа матрицы преобразования ф. Для определения направле-
ния поворота берем вектор, не лежащий на оси вращения, например еи его
образ ф«! и вектор оси / и ищем знак определителя из координат этих трех
векторов, т. е. ориентацию тройки векторов ех, (реи /.
1843. а) Нулевое преобразование; б) поворот на угол л/2 в положи-
тельном или отрицательном направлении с последующим умножением на не-
отрицательное число; в) фХ = аXх. При афО преобразование ф сводится
к проектированию вектора дг на плоскость, перпендикулярную к вектору а,
повороту вокруг а на угол я/2 в положительном направлении и умножению
на длину а. Указание. Рассмотреть матрицу преобразования ф в орто-
@ «12 а13 \
— й12 0 й23 1 и положить а~(аи аъ а3),
— ап — я23 0 /
ГДе п\ = — «23. а2 = — Й31 = fl13i аЗ = #12-
1844. Указание. При доказательстве достаточности рассмотреть ска-
лярное произведение (ф (л -\-у), х -\-у).
1845. Указание. Найти базис е,, ег е„, для которого 1(е,)= L
Це2)= ... =/(е„) = 0.
1848. Указание. Предположить, что /, (а) Ф 0, /2 F) Ф 0, н рас-
смотреть вектор а-\-Ь.
1849. Указание. Доказать, что если b (х, у) Ф 0, то
h(x) /2СУ)
Рассмотреть произведение (/ (х) — Л/2 (jc) ) /2 (х) и применить задачу 1848.
1850. Указание. Применить задачи 1846 и 1849.
1851. Указание. Применить задачу 1848.
378 ответы [1852—1859
1852. Указание. Положить у = х — • ' ¦ а.
1853. Указание. Для ненулевых функций взять вектор а, не лежа-
аций в S, положить К = ' • * ¦ и применить задачу 1852 б).
1854. а) Однополостный гиперболоид; б) двуполостный гиперболоид.
Указание. Перейти к однородным координатам.
1856. Если еи ..., еп — нормальный базис (в котором f(x) записы-
вается квадратичной формой нормального вида), причем / (в/) = 1 (i = 1,
2,..., P);f(ej) = -\ (У = Р+1 r);f(ek) = Q (k = r+\, .... «), то за
.искомый базис можно взять, например,
+i ('==1 Р): fj = — eP + ej U = P+l г);
fk = ek (k = r+\ и).
Указание. Доказать, что векторы
Jtj=ei + ej (' = 1 Pi J = P + l г);
gij = el — ej (i= 1 р; j = p-\-\ г);
hk =e/i (k==r-\-\, ..., п) изотропны и через них выражается базис et еп.
1857. Указание. Использовать задачи 1306 и 1856.
1858. Указание. Рассмотрим случай б) при условии р<q. Взяв
запись f(x)=x\-{- ... +*р — x2p+i— ... —х2р+д формой нормального
вида, проверить, что К содержит подпространство L, заданное уравнениями
*i — Xp+i = 0. .... хр — х2р = 0, x2p+i = 0 хр+д = 0, A)
причем размерность L равна и — д. Затем предположить, что К содержит
лодпространство V размерности s > п —jq, заданное уравнениями
2 atjXj = O A = 1, 2,..., n-s), B)
добавить к ним уравнения
*, = <), .... *р=0, хр+д+1 = в, .... хп = 0 C)
* прийти к противоречию.
1859. а) Решение. Если / (jc) в подходящем базисе записать в нор-
мальном виде, то уравнение поверхности S запишется так:
4+... +4-4+1- •••-¦4=1- о)
Если р = 0, то на S нет действительных точек. При этом min (р—1, q) =—1.
Теорема верна, если считать размерность пустого множества равной —1.
Пусть р>0. Тогда на S имеются точки, например, A, 0, .... 0), т. е.
нульмерные многообразия. Пусть Р—многообразие максимальной размер-
ности к, входящее в S. Р задается системой и — к линейно независимых
равнений
2 <4jxj = h {i = 1, 2, ...,«- к). B)
j-i
Зта система не может быть однородной, так как нулевое решение не удо-
влетворяет уравнению A). Для простоты предположим, что определитель d
лорядка и — А из коэффициентов при первых и — к неизвестных отличен от
.нуля. Тогда общее решение системы B) можно записать так:
xi = ci, n-k+ixn-k+\ + • • • + сщхп + Ч, „+, (I — 1, 2, ..., п — к). C)
1860—18631 ответы 379
Рассмотрим («4-1)-мерное пространство Vn+i. Берем в нем любой базис
и считаем, что Vn натянуто на первые и векторов базиса.
Рассмотрим однородную систему уравнений
2 aljXj-*,*„+, =0 (I = 1, 2, .... п — k); D)
коэффициенты такие же, как в B). Ее общее решение имеет вид
•*/ = «/. n-k+\xn-k+i+ ••• +cin*n + ci. n+iXn+i (' = 1. 2, .... n — k) E)
такими же коэффициентами, как в C).
Затем рассмотрим конус К, заданный уравнением
Ал- ¦¦¦ +4-4+1- ••¦ -4-4+i=o. F)
Докажем, что (k -{- 1)-мерное подпространство L, заданное системой D),
лежит в конусе /С. Любое решение системы D), в котором дгп+1 = 1. после
отбрасывания хп+1 дает решение системы B), т. е. вектор из PczS. Но
такое решение удовлетворяет уравнению F) и, значит, лежит в К-
Если дг—любое решение системы D), в котором xn+i = афО, то
— х?К, откуда х?К. Пусть дг=(а, а„_й, а„_й+1) ..., а„, 0) —реше-
ние системы D) с xn+i = 0. Существует решение х1 системы D), в котором
свободные неизвестные имеют значения:
xn-k+l = an-ft+l> •¦•. хп = ат xn+\=-jT С = 1. 2, ...)•
Из формул E) ясно, что lim xl = x. По доказанному выше xl?K. Переходя
/->оо
в равенстве F) после подстановки в нем координат х1 к пределу при I ->оо
получим лс?АС.
Итак, LcK. Индексы инерции К равны р, q -\-1. По задаче 1858
1 < min (p, q+l), откуда k < min (p — 1, q).
Пусть К' — конус с уравнением
±х\± ... -4+1- ••• —4 = 0, G)
где знаки совпадают со знаками соответствующих членов уравнения A). По
задаче 1858 конус К' содержит подпространство V размерности k =
= min (p—1, q), лежащее в подпространстве с уравнением л:1=0. Возьмем
в Vn вектор а0 = A, 0, .... 0). Тогда S содержит многообразие Р' = а0 + L'
размерности k = min (p — 1, q). Утверждение а) доказано.
б) Указание. При г < п свести б) к а) в r-мерном пространстве.
1860. а) 1; б) 0; в) 1; г) 0; д) 1; е) 1; ж) и— 1; з) и —2; и) 0; к) 1.
если и > 2; 0, если п — 2; л) 1; м) целая часть —=— или -=-и— 1, если и
четно; -=¦ («—1), если и нечетно.
1861. б) Указание. Найти системы линейных уравнений, задающих
левое и правое ядро.
1862. Базис Lru образует вектор C, —1), а базис Lo — вектор B, —1).
1863. б) Указание. Пусть 1 < г ^ и. Взять функцию, матрица кото-
рой в некотором базисе имеет в левом верхнем углу квадратную невыро-
жденную клетку порядка г, не являющуюся ни симметрической, ни кососим-
метрической, а на остальных местах — нули.
380 ответы [1864—1866
1864. Указание. Использовать нулевое подпространство функции
)
Указание. Показать, что координаты всех векторов из L"
удовлетворяют матричному уравнению BAY = 0, где А — матрица b (x, у)
в некотором базисе пространства Vm В — матрица, по строкам которой стоят
координаты любого базиса подпространства L в данном базисе Vn, Y — стол-
бец координат вектора y?L* в том же базисе.
1866. Первое доказательство. Так как Ъ (х, у) Ф О, но
i(x, Jt)=O, то существуют векторы JCb x2 такие, что b(xlt x2) фЬ. Умножая
один из этих векторов на -г-. г-, получим векторы еи е2, для которых
и \ХХ, Х%)
Ь (et, е2) = 1. Векторы еи е2 линейно независимы, так как если е2 = аеи
то Ь(ех, е2) = ab (ех, ех) = 0. Пусть L\—двумерное подпространство, натя-
нутое на ви е2, и L2 — множество всех y?Vn таких, что Ь(х, у) = 0 для
любого Jf?L|. По задаче 1865 L2 — подпространство размерности >п — 2.
Пересечение Lx и L2 содержит лишь нулевой вектор, так как если х ? Ц
то jc = ахех -f- a2e2. Если jc?L2, то b (ех, jc) = b (e2, x) = О и b(eit ex) =
— Ъ (е2, е2) = 0; b (ех, е2) — — b (е2, ех) = 1, откуда щ — 0, а2 = 0, jc = 0.
По задаче 1296 размерность L2 равна и — 2 и Vn есть прямая сумма Lx
и L?_. Если на L2 еще b (х, у) Ф 0, то, как выше, существуют векторы е3,
^4 € ^-2, для которых b (e3, ei) — \ и т. д. После конечного числа шагов
придем к подпространству Ln+1, на котором Ь(х, _у) = 0. Если L^+i — не-
нулевое, то берем в нем любой базис e2k+\ еп. Векторы еи е2 еп
образуют искомый базис.
Второе доказательство1). Это доказательство дает практиче-
ский метод нахождения невырожденного линейного преобразования неиз-
вестных, приводящего данную билинейную форму к указанному в задаче
каноническому виду.
п
Пусть в некотором базисе b (x, у)= 2 а1]х1У]- За счет изменения
«. У-1
нумерации неизвестных можно считать аХ2ф0. Запишем форму в виде
и совершим невырожденное преобразование неизвестных
/ / , , / /
X1 ~— X1. Хсу ^^— it, t)Xcy —г" ... "т" *Х „. Х^з ^^~ Х?>. . . м. л „ ~~ X.,
1 I1 Z LjZ z I I lit П* о с' ' П П
и такое же преобразование для у„ Получим:
Ь (х, у) = х[у'2 — х'Ж + Ь2 (х, у).
Если 62 (х, у) не содержит х2, у'2, то поступаем с ней аналогично. Иначе
'y' где a
J')= S a'ux'iy'jt где a2k ^^ для некоторого k, 2<А^и. Совершив
невырожденное преобразование неизвестных
II I II II" I II I
х\ =Х1 Й23Х3 — • • • a2/r*-n> Х2 ~х& ••• < хп = хп
н такое же преобразование у\, получим Ь (х, у) = х\у—х у"х -\- b3 (jc, у),
тт Ь3(х, у) не содержит х"х, х2, у"х, у2. Если Ь3(х, у) Ф0, то поступаем
¦с ней аналогично.
') А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, изд. 2, Гостехиздат,
J956, стр. 217.
1867-I883J
ОТВЕТЫ
381
1867. Ь (х, у) = Uiv2 — 3l\b<utv3; l l\i,
+ 2л:3 — xit и3 — хъ, м4 = 6лг4 и такое же выражение vt через yt.
1868. * (х, у) = «if2 — u2vi -f м3»4 — «4fз! «i = -«l — 4*4. «2 = *2 + 2лг3,
«з = л:3, ut = — 8л:4 и такое же выражение »; через у[.
1869. На матричном языке получаем утверждение: для того чтобы дей-
ствительная симметрическая матрица А была ортогонально подобна матрице,
у которой все элементы главной диагонали равны нулю, необходимо и до-
статочно, чтобы след А был равен нулю.
Указание. При доказательстве достаточности применить индукцию
по и. При п> 1 взять любой ортонормированный базис /ь /2 /„. Если
он не лежит на конусе, то показать, что существуют векторы //, fj, для
которых / (fi) > 0, / (fj) < 0, и за первый вектор искомого базиса взять
вектор eit полученный нормированием вектора Л4- Я/;, где Я найдено из
условия /(/! + Я/у) = 0.
1870. Указание. Применить свойство: четыре различные точки тогда
и только тогда образуют параллелограмм, когда их радиусы-векторы удо-
влетворяют условию JCi -f- jc3 = х2 + JC4-
1875. xl= — l+3ti—4t2, x2 = 2 — tx-\-t2, xs = tu xt = t2.
1878. jc=—g- + -*i +2"^' *2 = *i. xs = 3 — 4г2, jc4 = 0, дс5 = *2-
1877. 3xj —
a:,—
1878.
= 0.
1882, Пусть г и г' — соответственно ранги матриц
0, 3*, — 5jc2 —
А =
= I «2
c3
гг/ и ггу—соответственно ранги матриц из /-й и у-й строк матриц ^4 и ^4'.
Возможны следующие пять случаев, для которых необходимы и доста-
точны указанные значения рангов:
1) три плоскости проходят через одну точку: г = г' = 3;
2) три плоскости не имеют общих точек, но попарно пересекаются по
прямым (образуют призму): г = г12 = г13 = /-23 = 2, г'=3;
3) две плоскости параллельны, а третья их пересекает: г12 = 1, г =
-= г[2 = ^13 == r23== ^i /"' = 3 и два аналогичных случая;
4) трн плоскости проходят через одну прямую: г = г12 = г13 = г2з =
' 2
' = 2.
5) трн плоскости параллельны: г = 1, rj2 = ^13 = ^23 :
1883. Пусть г и г' — соответственно ранги матриц
«1 *i
Л2 ^2 С2
tt3 63 С3
«4
64
а,
а2
а3
«4
«2
Сз
с4
Возможны четыре случая:
1) г = 3, г' = 4; прямые скрещиваются; 2) г = г' = 3; прямые пересе-
каются; 3) /¦ = 2, г' = 3; прямые параллельны; 4) г = г' = 2; прямые совпа-
дают.
382 ответы [1884—1895
1884. Пусть г и г' — соответственно ранги простой и расширенной
матриц объединенной системы уравнений A) и B). Возможны пять случаев:
1) г = г' = 4; плоскости пересекаются в одной точке; 2) г = 3, г' = 4;
плоскости скрещиваются и параллельны прямой, заданной теми тремя из
уравнений A), B), у которых левые части линейно независимы; 3) г=г'=3;
плоскости пересекаются по прямой; 4) г = 2, г' = 3; плоскости параллельны;
5) г — г' = 2; плоскости совпадают.
1885. Пусть гиг' — соответственно ранги матриц
/а, а2....а„\ laY a2...an с\
U *2 ...Ьп) И U Ьг ...Ьп dj-
Возможны три случая:
1) г = г' = 2; гиперплоскости пересекаются по (и — 2)-мерной плоскости;
гиперплоскости па-
2) г = 1, г1 = 2, т. е. ~- = 4^- = ¦ • • = 4s- =И= 4"»
раллельны; 3) г = г' = 1, гиперплоскости совпадают.
188G. Указание. Применить задачу 1874 и соответствующее свой-
ство подпространств.
1888, 1889 и 1890. Указание. Применить задачу 1887.
1891. Если Я1ЦЯ2, то я3 = Яь если я^Яг, то я3 = ах -\- (L, -{¦ L2).
1893. Пусть плоскость Я1 задана системой уравнений
О)
..+ asnxn = cs,
а плоскость я2 — системой
bnxi + ...+blnxn = du
B)
d
и пусть rj, rj и r2, i~2 — соответственно ранги матрицы из коэффициентов
при неизвестных и расширенной матрицы систем A) и B), г и г' — ранги
матрицы из коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы объ-
единенной системы, состоящей из всех уравнений систем A) и B). Чтобы
системы A) и B) задавали плоскости, необходимо и достаточно, чтобы каж-
дая из них была совместна, т. е. гх = г[ и г2 = г?. При выполнении этих
условий для параллельности данных плоскостей необходимы и достаточны
условия: г = max (гь г2), г' = г -\-1.
1895. а) Многогранник Р задается системой неравенств дс, >. О, л:г>-0,
>0 0 +<1 +<l + <l + <1
>, 4>, 1+з<, !+4< 2 + 3< 2 + 4<
б) трехмерными гранями являются четыре четырехугольных пирамиды:
OABCD с вершиной D, ОАВСЕ с вершиной Е, 0DEFA с вершиной А,
0DEFB с вершиной В, и четыре тетраэдра ACDF, ACEF, BCDF, BCEF.
Указание. Через каждые четыре точки, не лежащие в одной двумер-
ной плоскости, провести трехмерную плоскость. Если ^j aixi — b — уравне-
ние такой плоскости и для координат всех данных точек или 2Л***^*>
или ^atxi-^b,-то соответствующее неравенство входит в систему нера-
венств, задающих многогранник Р. Выпуклое замыкание всех точек, лежа-
щих в данной трехмерной плоскости, будет трехмерной гранью данного
1896—19181 ответы 383
многогранника. Например, точки О, А, В, D определяют трехмерную пло-
скость с уравнением xt — 0. Для всех данных точек х4 ^ 0. Поэтому нера-
венство xi^O входит в искомую систему. На трехмерной плоскости xt = 0
лежат пять данных точек: О, А, В, С, D. Их выпуклое замыкание есть
пирамида, являющаяся трехмерной гранью многогранника Р. Напротив,
четыре точки О. А, В, F определяют трехмерную плоскость с уравнением
Хг — х4 = 0, причем для точки D имеем я3 — *4 > 0, а для точки Е имеем
Хз~ *4<0. Значит, эта плоскость не приводит к искомому неравенству
и не содержит грани многогранника Р. Для уменьшения числа рассматри-
ваемых четверок точек надо учесть, что две четверки ОАВС и ODEF
равноправны и лежат в двумерных плоскостях.
1896. а) Многогранник Р задается системой неравенств
б) Трехмерными гранями являются куб OABCDEFG и шесть четырех-
угольных пирамид с общей вершиной Н, а именно: OBCFH, ОАСЕН,
OABDH, ADEGH, BDFGH, CEFGH.
1897. Пять вершин /1A, 1, 1), ВA, 1, -2), СA, -2, 1), D.(-2, 1, 1),
¦Е\— -q-i ~"о"' ~"о")* Многогранник имеет шесть трехугольных граней
ABC, ABD, ACD, ВСЕ, BDE, CDE и представляет собой два тетраэдра
ABCD и BCDE с общим основанием BCD.
1898. а) Тетраэдр с вершинами A, 0, 0, 0), @, 1, 0, 0), @, 0, 1, 0),
<0, 0, 0, 1);
б) октаэдр с вершинами A, 1, 0, 0), A, 0, \, 0) A, 0, 0, 1), @, 1, 1, 0),
<0, 1, 0, 1) @, 0, 1, 1);
в) трехугольная призма с основаниями в точках A, 0, 0, 0), @, 1, 0, 0),
<0, 0, 1, 0) и A, 0, 0 1) @, 1, 0, 1), @, 0, 1, 1);
г) квадрат с вершинами A, 0, 1, 0), A, 0, 0, 1), @, 1, 1, 0), @, 1, О, 1).
1899. а) 8; б) 28; в) 14; г) 2; д) 7; е) 4; ж) 7; з) 6; и) 3; к) 3; л) 1;
м) 6; н) 5; о) 12. Указание. Ввести систему координат и рассмотреть
параметрические уравнения прямой и плоскости в векторной форме.
19011 а) й/ = ф(еЛ(г= 1, 2, .... п). 1902. F(<p) = <p(x), y?V*n.
1904. А' = С*АС, где С — матрица перехода от старого базиса к новому,
записанная по столбцам.
1905. A' = D*AD, где D = (C")~1 и С — матрица перехода от старого
базиса к новому, записанная по столбцам.
1906. A'=C~1AC — D'AC, где С —матрица перехода от старого базиса
к новому, записанная по столбцам, и D = (С*)~ .
1907. б) F (ж, <р) = q) (ж), х ? Vn, ({*„/ ? V*.
1Э08. Указание, б) Взять свертку aiaba^ тензора ацЬы, где bkl — тен-
зор с координатами Ъы-=аы в одном базисе. Применить задачу 1907.
19Й- a'hh - '*" "*('!) "(У - Ч*РУ
1914. a\i2 '"'"=(— l)s+', где s —число инверсий в перестановке
i,, /г In, г t — в перестановке /ь ;2 in, если индексы сверху и снизу
различны; в противном случае указанная координата равна нулю.
1917. Инвариант, равный числу 0 во всех базисах.
1918. Указание, а) Проверить это для каждого из правил эквива-
лентности, указанных во введении к этому параграфу; б) для доказательства
необходимости при хфО взять свертку по <р со свойством у(х)ф0. Для
доказательства достаточности для пары жО' положить 0 = 0* в паре ОС;
384
ответы
в) взять свертку с <р' ? V, для которого <р' (jcQ = 1, <р'
г) использовать в).
1923.6) gn =
[1923—1938
= 0 (J ф i)>
= \, gl2 = #21 = cos а; в)^" = ^2
L *,-«, cos а) = A, -ctga),
—;
sin ее
X cos a + *2.
= 1 sin a |, е
где х =
= ем = 0; ж) S =
Д)
= | sin a |
e)
e,2 =
л:1 л:2
1924. При переходе к новому базису с той же ориентацией у не изме-
няется, а с другой ориентацией — меняет направление. Вектор у получается
л
из х поворотом на угол -^ в отрицательном направлении по отношению
к ориентации базиса elt e2. Указание. При выяснении зависимости у от
базиса использовать инвариантность тензорных уравнений. Для выяснения
геометрической связи х и у рассмотреть ортонормированный базис.
1925. При переходе к новому базису с той же ориентацией величины Ъц
изменяются как координаты дважды ковариантного тензора. При переходе
к базису с противоположной ориентацией величины Ьц дополнительно ме-
няют знак.
1926. aljk = giagJf!l4J (/, J, k = l, 2 л).
Указание. Свернуть обе части данного в задаче равенства с gfa'gjp
по / и у, использовать соотношение g^g1" = б", и после этого изменить
обозначения i, у на а, р и а', Р' на /, у".
о
1928. S = -k, h = \. Указание. Площадь искать по формуле
S —-к be sin А или использовать задачу 1935.
1929. Q (—4, 2, 0). Указание. Написать параметрические уравнения
прямой PQ в контравариантных координатах.
1930. Указание. При доказательстве б) взять ортонормированный
базис в\, в2, е3, е4, где ех направлен по и, а е2, es, et лежат в одной трех-
мерной плоскости с х, у, г и одинаково с ними ориентированы. Использо-
вать выражение ориентированного объема по формулам A7) и A8) из вве-
дения к этому параграфу.
1931. Инвариант, равный числу п в любом базисе. 1933. 6.
6—5 2
, / 2 1
в) 1тт=Г» -Гг=Г' ttwI с точностью
1934. б) G, =
—5 5 —2
2 —2 1
до знака.
1935. Указание. Первый способ: принять данные векторы за базис;
второй способ: выбрать ортонормированный базис.
sin а (ах0 -\- Ьу0 -\- с)
1937. d =
. Указание. Применить задачу 1936.
Va?-\-b2 — lab cos a
1938. Указание. Перейти к ортонормированному базису с той же
ориентацией.