Автор: Проскуряков И.В.
Теги: математика линейная алгебра сборник задач задачи по алгебре сборник задач по линейной алгебре
Год: 1966
Текст
И.В.Проскуряков
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 5 и их линейные преобразования
Предисловие ко второму изданию 6 § 16. Аффинные векторные 166
Предисловие к первому изданию 7 пространства
Отдел I. Определители 9 § 17. Евклидовы и унитарные 175
§ 1. Определители 2-го и 3-го 9 пространства
порядка § 18. Линейные преобразования 187
§ 2. Перестановки и подстановки 16 произвольных векторных
§ 3. Определение и простейшие 20 пространств
свойства определителей любого § 19. Линейные преобразования 201
порядка евклидовых и унитарных
§ 4. Вычисление определителей с 28 векторных пространств
числовыми элементами Дополнение 214
§ 5. Методы вычисления 29 § 20. Группы 214
определителей n-го порядка §21. Кольца и поля 226
§ б. Миноры, алгебраические 56 § 22. Модули 235
дополнения и теорема Лапласа § 23. Линейные пространства и 238
§ 7. Умножение определителей 63 линейные преобразования
§ 8. Различные задачи 74 (добавления к параграфам 10, 16—
Отдел II. Системы линейных 82 19)
уравнений § 24. Линейные, билинейные и 242
§ 9. Системы уравнений, 82 квадратичные функции и формы
решаемые по правилу Крамера (добавление к параграфу 15)
§ 10. Ранг матрицы. Линейная 90 § 25. Аффинные (точечно- 246
зависимость векторов и линейных векторные) пространства
форм § 26. Тензорная алгебра 251
§11. Системы линейных уравнений 99 ОТВЕТЫ
Отдел III. Матрицы и 112 Отдел I. Определители 265
квадратичные формы Отдел II. Системы линейных 291
§ 12. Действия с матрицами 112 уравнений
§ 13. Полиномиальные матрицы 133 Отдел III. Матрицы и 305
§ 14. Подобные матрицы. 142 квадратичные формы
Характеристический и Отдел IV. Векторные пространства 340
минимальный многочлены. и их линейные преобразования
Жорданова и диагональная формы матрицы. Функции от матриц § 15. Квадратичные формы 155 Дополнение 365
Отдел IV. Векторные пространства 166
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
За последние годы в содержание обязательных алгебраических курсов, читаемых на механико-математическом факультете Московского университета, внесены значительные изменения. С 1964 года на втором семестре читается курс «Линейная алгебра и геометрия», в котором изучаются n-мерное аффинное (точечно-векторное) пространство, тензорная алгебра и другие вопросы, не входившие ранее в курс высшей алгебры. С другой стороны, в курсе высшей алгебры на первом семестре рассматриваются понятия идеала, фактор-кольца и связанные с ними свойства полей и многочленов, а на третьем семестре одним из основных стало понятие модуля над кольцом.
В связи с этим в третье издание этого задачника внесены дополнения. Расширен параграф о кольцах и полях и добавлены пять новых параграфов, содержащие дополнительный материал о линейных пространствах, линейных и билинейных функциях, модулях, аффинных пространствах и тензорах.
Кроме того, заменены новыми или существенно изменены некоторые задачи или их решения, а также исправлены замеченные неточности и опечатки.
Для удобства использования третьего издания задачника наряду с прежними укажем, что в третьем издании заменены новыми или существенно изменены задачи (или их решения) с номерами: 629, 631, 1339, 1374, 1375, 1491, 1647, 1654, 1689, 1705, 1706, 1708. Все задачи, начиная с 1754, являются новыми.
Выражаю свою благодарность за предложенные задачи и ценные советы Н. В. Ефимову, И. Р. Шафаревичу, Л. А. Скорнякову, А. П. Мишиной, Э. Б. Винбергу и всем работникам кафедры высшей алгебры Московского университета.
Москва, -
7 октября 1966 года
И. Проскуряков
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании устранены замеченные опечатки и неточности формулировок первого издания. Задачи №№ 1226, 1227 и 1228 заменены новыми, более удобными для решения. Нумерация задач сохранена всюду, кроме § 20. В связи с включением в программу понятия прямой суммы абелевых групп и разложения конечной абелевой группы в прямую* сумму примарных циклических подгрупп § 20 написан заново. Ввиду значительного расширения содержания этого параграфа при сохранении общего числа задач родственные задачи объединены под литерами с общим номером. Пользуюсь случаем выразить благодарность работникам кафедры высшей алгебры МГУ за ряд полезных замечаний по предыдущему изданию.
Москва, 16 апреля 1961 года
И. Проскуряков.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
При составлении настоящего пособия автор стремился, во-первых, дать достаточное число упражнений для выработки навыков решения типовых задач (например, вычисление определителей с числовыми элементами, решение систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами и т. п.), во-вторых, дать задачи, способствующие уяснению основных понятий и их взаимной связи (например, связь свойств матриц со свойствами квадратичных форм, с одной стороны, и линейных преобразований — с другой), в-третьих, дать задачи, дополняющие лекционные курсы и содействующие расширению математического кругозора (например, свойства пфаффова агрегата кососимметрического определителя, свойства ассоциированных матриц и т. п.).
В ряде задач предлагается доказать теоремы, которые можно найти в учебниках. Помещая такие задачи, автор исходил из того, что лектор при недостатке времени дает изучить часть материала по книге самим учащимся и это можно делать по задачнику, где даны указания, помогающие самостоятельно провести доказательство, что способствует развитию начальных навыков научного исследования.
Новыми по сравнению с существующими пособиями являются (если не говорить о деталях) задачи на полиномиальные матрицы (§ 13), на линейные преобразования аффинных и метрических пространств (§§ 18, 19) и стоящее особняком дополнение, посвященное группам, кольцам и полям. В этом отделе даны задачи на самые начальные разделы теории. Тем не менее нам кажется, что его можно использовать в работе учебных просеминаров на младших курсах.
Содержание и порядок изложения материала на лекциях во многом зависят от лектора. Автор старался дать задачи, учитывающие это разнообразие изложения. Отсюда некоторый параллелизм и повторяемость материала. Так, одни и те же факты даны сначала в разделе квадратичных форм, а затем в разделе линейных преобразований, некоторые задачи формулированы так, что их можно решать как в случае вещественного евклидова, так и в случае комплексного унитарного пространства. Нам кажется, что для задачника это желательно, так как дает большую гибкость при его использовании.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В начале некэгорых параграфов помещены введения. Они содержат лишь краткие указания терминологии и обозначений в тех случаях, когда в учебниках нет полного единства в указанном отношении. Исключением является введение к § 5, где даны основные методы вычисления определителей любого порядка и приведены примеры на каждый метод. Автор считал это полезным ввиду того,что в учебниках эти указания отсутствуют, а учащиеся встречают здесь значительные трудности.
Номера задач, в ответах на которые имеются решения или указания, снабжены звездочкой. Решения даны для небольшого числа задач. Это или задачи, содержащие общий метод, применяемый затем к ряду других задач (например, задача 1151, дающая метод вычисления функции от матрицы, и задача 1529, содержащая построение базиса, в котором матрица линейного преобразования имеет жорданову форму), или задачи повышенной трудности (например, задачи 1433, 1614, 1617). Указания содержат, как правило, лишь идею или метод решения и оставляют учащимся проведение самого решения. Лишь для более трудных задач они содержат краткий план решения (например, в задачах 546, 1492, 1632).
При составлении задачника автор использовал следующие источники:
1. В. Ф. Каган, Основания теории определителей, Одесса, 1922.
2. А. М. Журавский, Сборник задач по высшей алгебре, ГТТИ, 1933.
3. Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Сборник задач по высшей алгебре, изд. 1-е — 5-е, Гостехиздат, 1945—1954.
4. А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1948.
5. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, изд. 1-е и 2-е, Гостехиздат, 1948—1951.
6. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Гостехиздат, 1953.
Ряд задач заимствован (с согласия их авторов) из числа упражнений, дававшихся на лекциях по высшей алгебре в Московском университете, или указан автору следующими лицами: И. М. Гельфандом, А. И. Узковым, Л. Я. Окуневым, А. П. Мишиной, И. Р. Шафаревичем, Е. Б. Дынкиным. Всем им автор приносит сердечную благодарность.
Москва, 20 октября 1955 г.
И. Проскуряков
ОТДЕЛ I
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка
Вычислить определители:
1.
5.
8.
10.
12.
14.
16.
5 2 7 3 2. 1 2 3 4 3. 3 8 2 5 4. 6 8 9 12 •
a2 ab 6. fl —1“ 1 fl 7 . a-\-b a — b
ab Ь2 n n— 1 a — b a-[-b
а2 + ab 4- Ь2 a2— a ,b-\-b2 9. cos a - - sin a
а-\-Ь a- -b sina cos a
sin а cos a 1 1. cos a sin a 1
sin р cosp sinp cos p 1
sina-f-sin р cos p-f-cosa 13. 2 sin ф cos ф 2 sin2<p—• 1
cosp - — cos a sin a- -sin p 2 cos2 ф - -1 2 sin <p cos <p
1— t2 2t 15. 1- -O2 2t
1-Н2 1-H2 1-H2 14-z2
— 2t 1— t2 2t (1-F02
1+f2 1-H2
1-Н2 2t 17. 1 iog6<
1 —Z2 1 — t2
1 og„ b 1
2t 14-Z2
1—Z2 1— t2
в которых i = У — 1:
Вычислить определители,
18. a c —|— di c — dl b 19. a-\- bi 2a b a— bi •
20. cosa-|-tsina 1 21. a —|— bi c —di I
1 cos a — i sina -c-\-di a — bi 1
Пользуясь определителями, решить системы уравнений:
22. 2х4-бу==1, 23. 2х — Зу = 4,
3x-f~7y = 2. 4х — 5у = 10.
24. 5х — 7у=1, 25. 4x4- 7у + 13 = 0,
х — 2у — 0. 5.v-f8y + 14 = 0.
26. х cos а — у sin а = cos р, 27. х tg а у — sin (а4- р), х sin а у cos а — sin р. х — у tg а = cos (а р),
где а ¥= у + (k — целое число).
Исследовать, будет ли система уравнений определенна (имеет единственное решение), неопределенна (имеет бесконечно много решений) или противоречива (не имеет решения):
28. 4х бу = 2, Дают ли
6х4~9у = 3. ответ?
29. Зх— 2у — 2, 6х — 4у = 3.
31. xsina= 1 4~sina.
33. xsin(a4~P) = sina4- sinp.
34. a2x — ab.
abx — b2.
36. ax4~4y = 2,
9x4- аУ = 3.
здесь формулы Крамера верный
30. (a — b)x — b— с.
32. xsina = 1 4" cos a.
36. ax 4- by — ad, bx-f- cy — bd.
37. ax — 9y = 6, lOx— by — 10.
38. Доказать, что для равенства нулю определителя второго порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны. То же верно и для столбцов (если некоторые элементы
определителя равны нулю, то пропорциональность можно понимать
в том смысле, что элементы одной строчки получаются из соответствующих элементов другой строчки умножением на одно и то же число, быть может, равное нулю).
39*. Доказать, что при действительных а, Ь, с корни уравнения
а— х b b с — х
— 0 будут действительными.
40*. Доказать, что квадратный трехчлен ах2-j-2Ьхс с комплексными коэффициентами тогда и только тогда будет полным
квадратом, если
a b I = 0.
b с
41-63] § 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО й 3-ГО ПОРЯДКА 11
41. Доказать, что при действительных a, b, с, d корни уравне-
а — х с -4- di
яия =ь0 будут действительными.
с — di b — X
42*. Показать, , ах 4-Ь что значение дроби где по крайней мере
одно из чисел с, с отлично от нуля, тогда и только тогда не зави-
• а b
сит от значения х, когда — 0.
с d
Вычислить определители 3-го порядка:
43. 2 1 3 44. 3 2 1 45. 4 — 3 5
5 3 2 253. 3 —2 3 .
1 4 3 342 1 —7 — 5
46. 3 2 — 4 47. 3 4 —5 48. 4 2 —
4 1 — -2 . 8 7 —2 . 5 3 —2 .
5 2 — -3 2 — 1 8 3 2 —1
49. 1 1 1 50. 0 1 1 51. 5 6 3
1 2 3 10 1. 0 10...
1 3 6 110 7 4 5
62. 2 0 3' 53. 1 5 25 54. 1 1 1
7 1 6 1 7 49 . 4 5 9
6 0 5 1 8 64 16 25 81
65. 1 2 3 56. а Ь с Ы. а b с
4 5 6 b с а . cab.
7 8 9 cab b с а
58. 0 а 0 59. а х х
Ъ с d х b х .
0 е 0 X х с
60. а + х х х 61. а2-}-1 ар ау
х b -|- х х . ар р2 1 ру
X х с -f- х ау РУ у2 +1
62. cos а sin а cosp sin а sinp 63. sin а cos а 1
-sin а cos аcosp cos а sinp . sinp cosp 1
0 — sinp cosp siny cosy 1
64. При каком условии справедливо равенство:
1 cos a cosp 0 cos a cosp
cos a 1 cosy = cos a 0 cosy
cosp cosy 1 cosp cosy 0
66. Показать, что определитель a2 ftsina с sin а
Z>sina 1 cos а
с sin a cos а 1
и два других определителя, полученных из данного круговой перестановкой элементов а, Ь, с и а, р, у, равны нулю, если а, Ь, с —
длины сторон треугольника и а, р, у — его углы, противолежащие соответственно сторонам а, Ь, с.
Вычислить определители 3-го порядка, в которых Z = ]/"—1:
66.
1 О 1-J-Z
О 1 I
1 — I —i 1
67.
х а-\-Ы c-fdi а — bi у
с — di е — fl z
68.
69.
70.
1 е е2
е2 1 е
е е2 1
1 1 е
1 1 е2
е2 е 1
1 ее2
1 е2 е
где
где е = cos -5- л 4-1 sin -5- я. О о
где е = cos-ч-лsin-5-л. м о
71. Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны ±1, то сам определитель будет четным числом.
72*. Найти наибольшее значение, которое может принимать опре-
делитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны ±1.
73*. Найти наибольшее значение определителя 3-го порядка при условии, что его элементы равны + 1 или 0.
Пользуясь определителями, решить системы уравнений: 74. 2х + 3у + 5д= 10, 76. 5х — 6у’4~4д = 3,
3xf-7yf-4z — 3, Зх — Зу4-2г = 2,
х-4~2у 4~2z —3. 4х — 5y^-2z—l.
76. 4х —3y4-2z-|-4 = 0, 6х —2y + 3z4-l =0, 5х — 3y + 2z4-3 = 0.
77. 5x-4-2y + 3z+ 2 = 0. 2х— 2у4~5г =0,
3x-|-4y-|-2z4- 10 = 0.
78*. J —-|-|-2 = 0. 79. 2ax — 3by + cz =0.
— —1=0, Зах—6by-j- 5cz — 2abc,
^4~у —0. 5ах — 4Ьу -\-2cz = ЗаЬс,
где abc 4= 0.
80*. 4Ьсх асу — 2abz = 0.
5bcx-\-3acy — 4abz-\- abc — G,
3bcx-4-2acy— abz — 4abc — 0, где abc + 0.
81*. Решить систему уравнений:
х-|- у -|- z = a, _
х-}- еуЦ-е2г = /?, (е—отличное от 1 значение}/1 .) х-4-е2у -|- ez — c.
Исследовать, будет система уравнений определенна, неопределенна
или противоречива:
82. 2х—Зу-Н z = 2, Зх — 5у4-бг = 3, 5х- 8y4-6z = 5.
84. 5х— бу 4- z = 4, Зх — 5у — 2^ = 3,
2х— у 4-32 = 5.
86. 2ах — 23y4-29z = 4, 7x4- ay~t~ 4z — 7, 5x4- 2у4~ az —5.
88. ах-^-4у~{- z = 0, 2y4-3z— 1 =0, Зх — bz 4-2 = 0.
83. 4х4-3у4-2г= 1, x 4~ 3y 4~ = 1, 3x4- 6y 4- 9a = 2. '85. 2x— у 4-32 = 4, 3x — 2y~\-2z — 3, 5x — 4y =2.
87. ax — 3y4-5z = 4, x — ay~j-3z = 2, 9x — 7y 4~ 8c2 = 0.
89. «x4~2z = 2, 5x 4~ 2y = 1, x — 2y 4~^2 = 3.
Путем прямого вычисления по правилу треугольников, или правилу Саррюса, доказать следующие свойства определителей 3-го порядка:
90. Если в определителе 3-го порядка поменять ролями строки и столбцы (т. е., как говорят, транспонировать его матрицу), то определитель не изменится.
91. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
92. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.
93. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то он изменит знак.
94. Если две строки (или два столбца) определителя одинаковы, то он равен нулю.
95. Если все элементы одной строки пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю (то же верно и для столбцов).
96. Если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме данной, прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые (то же верно и для столбцов).
97. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится (то же верно и для столбцов).
98. Г оворят, что одна строка определителя является линейной, комбинацией остальных строк, если каждый элемент этой строки равен сумме произведений соответствующих элементов остальных строк на некоторые числа, постоянные для каждой строки, т. е. не зависящие от номера элемента в строке. Аналогично определяется линейная комбинация столбцов. Например: третья строка определителя
°11 й12 л13
°21 а22 а23
Л31 °32 а33
будет линейной комбинацией первых двух, если существуют два числа Cj и с2 такие, что а3 j — c^ j-\~c2a2t j (/=1, 2, 3).
Доказать, что если одна строка (столбец) определителя 3-го порядка является линейной комбинацией остальных строк (столбцов).
то определитель равен нулю.
Замечание. Справедливо также обратное утверждение, но оно
вытекает из дальнейшего развития теории определителей.
99*. Пользуясь предыдущей задачей, показать на примере, что в отличие от определителей 2-го порядка (см. задачу 38) для равенства нулю определителя 3-го порядка пропорциональность двух строк (или столбцов) уже не является необходимой.
Пользуясь свойствами определителей 3-го порядка, указанными в задачах 91—98, вычислить следующие определители:
100.
sin2 а
sin2 р
sin2 у
1 cos2 а
1 cos2 р
1 cos2 у
101.
sin2 а cos 2а cos2 а sin2p cos2p cos2 р sin2 у cos2y cos2 у
102. x x' У у' z z' ax -|- bx' ay -f- by' az~\-bz' 103. (ai -|~ Z>i) Д1 -|- Ь\ (аг + ^г)2 4~ Ь2 («з -|- V d И- Ьз a^bi афч а^Ьз
104. ci -f- b c 1 105. (ах4-д-х)2 (dx—d~x)2 1
b-\~c a 1 . (ьу+ь~*)2 (by~b~y)2 1 .
c-j-a b 1 (Cz_|_c-Z)2 (cz_c-2)2 1
106. 1 e e2
e e2 1 . где e — отличное от 1 значение ]/1.
x у z
107.
108.
sin a cos а sin (а+ 6) sinf cosp sin(p~|—6) sin у cosy sin (у + 6)
—|— byl dil — q а2 “I" a2^ ^2 C2
аз И- d3i — b3 c3
где i — У—1.
109. х, yj 1
х2 у2 1 (дать геометрическое истолкование
xj + Ax2 yi-l-Ays полученного результата).
1-Н 14-А 1
ПО*, ару
Р у а , где а, р, у — корни уравнения х3 4- рх -f- q — 0.
У а р
Не развертывая определителей, доказать следующие тождества:
111. q Ьг alx-j~b1y-}-c1 q br q
a2 &2 a2X ~l~ ^2У ~Ь c2 = a2 ^2 C2 •
a3 ^3 азх И- &зУ ~Ь C3 a3 ^3 c3
112. aj-^-b^ at — bjX q at bt q
^2 ~f~ ^2^ ^2 ’— ^2*^ ^2 === ^2 ^2 ^2 •
д3 -|- b^x ds — b3x c3 a3 b$ c3
113. «1 + bj q dr bt Ci
^2 }" ^2^ ^2^—I” ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 •
a3^~\~^3 c3 a3 ^3 c3
114.
115.
116.
117.
118.
Oj 4-^ix ^2 Н— ^2'^'* a1x-{-b1 Cj #2-^ 4- ^2 ^2 = (1-х2) & &
аз + Ьзх 1 а Ьс аЗх + Ь3 с3 д3
1 Ь са 1 с ab 1 а а2 = (Ь-а)(с- — а) (с — Ь).
1 Ь Ь2 1 с с2 — (Ь — а) (с - -а) (с — Ь).
ftj Cj
Z>2 с2
^3 с3
1 1 1
b с = (а 4- b 4- с) (Ь — а) (с — а) (с — Ь).
Ь3 с3
а2 Ь2
а3 Ь3
с2
с3
— (ab 4- ас 4- М (Р — а)(с — °) (с —
119.
а а4
1 b Ь4
1 с с4
= (a2-\-b2-\-c2-\-ab-\rac-\-bc) (Ь —а) (с—а)(с—Ь).
120*.
121.
1 а Ьс
1 Ь са
1 с ab
\ а а3
1 а а2
1 Ь Ь2
1 с с2
122.
1 Ь2 Ь3 — (ab 4- Ьс 4- са)
1 с2 с3
а
Ь
с
1
1
1
а2
Ь2 .
с2
а а2
Ь Ь2 с с2
1 1 1
§ 2. Перестановки и подстановки
Определить число инверсий в перестановках (за исходное расположение всегда, если нет особых указаний, принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке):
123. 2, 3, 5, 4, 1. 124. 6, 3, 1, 2, 5, 4.
125. 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8. 126. 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2.
127. 1, 3, 5, 7. ...» 2л—1, 2, 4, 6, 8, ...» 2л.
128. 2, 4, 6...2л, 1, 3, 5, 2л—1.
В следующих перестановках определить число инверсий и указать общий признак тех чисел л, для которых эта перестановка четна, и тех, для которых она нечетна:
129. 1, 4, 7...Зл —2, 2, 5, 8.......Зл—1, 3, 6, 9.......Зл.
130. 3, 6, 9...Зл, 2, 5, 8......Зл—1, 1, 4, 7...........Зл —2.
131. 2, 5, 8, .... Зл— 1, 3, 6, 9, ..., Зл, 1, 4, 7.....Зл —2.
132. 2, 5, 8...Зл— 1, 1, 4, 7, ..., Зл —2, 3, 6, 9, ,.,, Зл.
133. 1, 5....4л —3, 2, 6........ 4л —2, 3, 7...... 4л—1.
4, 8....4л.
134. 1, 5, .... 4л —3, 3, 7..... 4л—1, 2, 6....... 4л —2,
4, 8....4л.
135. 4л, 4л —4, .... 8, 4, 4л—1, 4л- 5.......7, 3, 4л—2,
4л—6.......6, 2, 4л — 3, 4л — 7......5, 1.
136. В какой перестановке чисел 1, 2, .... л число инверсий наибольшее и чему оно равно?
137. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k-м месте перестановки?
138. Сколько инверсий образует число л, стоящее на k-м месте в перестановке чисел 1, 2, 3....л?
139. Чему равна сумма числа инверсий и числа порядков в любой перестановке.чисел 1, 2.....л?
140. Для каких чисел л четность числа инверсий и числа порядков во всех перестановках чисел 1, 2....л одинакова и для каких
противоположна?
141*. Доказать, что число инверсий в перестановке ор а2..ап
равно числу инверсий в той перестановке индексов 1, 2.......л,
которая получается, если данную перестановку заменить исходным расположением.
142*. Показать, что от одной перестановки ах, а2, ..ап к другой перестановке Ьх, Ь2....Ьп тех же элементов можно перейти
путем не более чем л — 1 транспозиций.
143*. Привести пример перестановки чисел 1, 2, 3...л, ко-
торую нельзя привести в нормальное расположение путем менее чем п— 1 транспозиций, и доказать это.
144*. Показать, что от одной перестановки ах, а2.........ап
к любой другой перестановке Ьх, Ь2, .... Ьп тех же элементов можно перейти путем не более чем — смежных транспозиций (т. е. транспозиций соседних элементов).
145*. Дано, что число инверсий в перестановке ах, а2, ... .«п-1> ап равно k. Сколько инверсий будет в перестановке сл> йл-р • •• ^2>
146*. Сколько инверсий во всех перестановках п элементов вместе?
147*. Доказать, что от любой перестановки чисел 1, 2, п, содержащей k инверсий, можно перейти к исходному расположению путем k смежных транспозиций, но нельзя перейти путем меньшего числа таких транспозиций.
148*. Доказать, что для любого целого числа k существует перестановка чисел 1, 2, 3, ..., п, число инверсий которой равно k.
149*. Обозначим через (п, k) число перестановок чисел 1, 2.п,
каждая из которых содержит ровно k инверсий. Вывести для числа (л, k) рекуррентное соотношение:
k) — (n, fe)+(«, k—1)—|—(га, k — 2)-|- ... 4-(«. k — п), где надо положить (л, /) —О при j > С2п и при j < 0. Пользуясь этим соотношением, составить таблицу чисел (л, k) для л—1, 2, 3, 4, 5, 6 и Л = 0, 1, 2. 15.
150*. Показать, что число перестановок чисел 1, 2.п, со-
держащих k инверсий, равно числу перестановок тех же чисел, содержащих С„ — k инверсий.
Следующие подстановки разложить в произведение независимых циклов и по декременту (т. е. разности между числом действительно перемещаемых элементов и числом циклов) определить их четность. Для удобства подсчета декремента можно для чисел, остающихся на месте, ввести в разложение одночленные циклы.
151. /1 2 3 4 5) 152. /123456)
\4 1 5 2 3/ \6 5 1 4 2 з/
153. /12345678) 154. /1 2 3 4 5 6 7 8 9)
\8 1 3 6 5 7 4 2/ \5 8 9 2 1 4 3 6 7/
155. /1 2345678 9) 156. / 1 2 3 4 5 6)
\2 3456789 1/ \4 5 6 1 2 3/
157. /1, 2, 3, 4..2л—1, 2л )
\2, 1, 4, 3... 2л, 2л— 1 /‘
158. /1, 2, 3, 4, 5, 6.Зл —2, Зл —1, Зл )
\3, 2, 1, 6, 5, 4. Зл, Зл—1, Зл —2/
159. / 1, 2, 3, 4.2л — 3, 2л—2, 2л—1, 2л)
^3, 4, 5, 6...2л—1, 2л 1, 2 /’
160. /1, 2, 3, 4, 5, 6.Зл —2, Зл—1, Зл )
\2, 3, 1, 5, 6, 4..Зл—1, Зл, 3n — 2j
161. /1, 2, 3, 4, 5, 6.......
\4, 5, 6. 7, 8, 9........
/ 1. 2, .... k,
162, U + 1. ^4-2..........2k,
Зп— 2, Зп—1, Зп\
1, 2, 3 )'
.... nk—k -f-1, nk—/г-|-2,
1. 2,
nk' k,
В следующих подстановках перейти от записи в циклах к записи
двумя строками:
163. (1 5)(2 3 4). 164. (1 3)(2 5>(4).
165. (7 5 3 1)(2 4 6)(8)(9).
166. (1 2)(3 4) ... (2n—1, 2п).
167. (1 2 3 4 ... 2n—1, 2п).
168. (3 2 1)(6 5 4) ... (Зп, Зп—1, Зп —2).
Перемножить подстановки:
/1 2 3 4) /1 2 3 4\
169. | 4 1 3 2/ [з 2 4 1J । •
170. | н 2 3 4 5) /1 2 3 4 5)
к2 4 5 1- з] \5 3 4 1 2) [ •
171. | и 2 3 4 5) /1 2 3 4 5)
<з 5 1 2 4/ 4 1 5 2) •
172. | /1 <2 2 3 3 4 4V 1/ 1 173. /1 \3 2 4 3 5 4 1 5\3 2/
174. Доказать, что если некоторая степень цикла равна единице.
то показатель степени делится на длину цикла. (Длиной цикла называется число его элементов.)
175. Доказать, что среди всех степеней подстановки, равных единице, наименьший показатель равен наименьшему общему кратному длин циклов, входящих в разложение подстановки.
/1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9, 10\
176*. Найти Л™. где Л = (3 5 4 1() 2 6 9 8) •
/1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9, 10\
177. Найти Л« где Л = (3> f 10, 8. J.
178. Найти подстановку X из равенства АХ В —С, где
/1 2 3 4 5 6 7) /1 2 3 4 5 6 7)
Л \7 3 2 1 6 5 4/’ 5 = \3 1 2 7 4 5 6/’
/1 2 3 4 5 6 7)
\5 1 3 6 4 7 2/
179. Доказать, что умножение подстановки на транспозицию (т. е. двучленный цикл) (а, р) слева равносильно транспозиции (т. е. перемене местами) чисел а и р в верхней строке подстановки, а умножение на ту же транспозицию справа равносильно транспозиции а и р в нижней строке подстановки.
180. Доказать, что если числа аир входят в один цикл подстановки, то при умножении этой подстановки па транспозицию (а, р) (слева или справа) данный цикл распадается на два цикла, а если числа аир входят в различные циклы, то при указанном умножении эти циклы сливаются в один.
181*. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать, что число инверсий и декремент любой подстановки имеют одинаковую четность.
182*. Доказать, что наименьшее число транспозиций, на произведение которых разлагается данная подстановка, равно ее декременту.
183*. Доказать, что наименьшее число транспозиций, переводящих перестановку а2...........ап в перестановку Ьх, Ь2.......Ьп
тех же элементов, равно декременту подстановки
Ml. #2" • • • > ап\
=V>1. ь2......bj-
184*. Найти все подстановки чисел 1, 2, 3, 4, перестановочные с подстановкой м 2 3 4\
S = G 1 4 3/’
185. Найти все подстановки чисел 1, 2, 3, 4, 5, перестановочные с подстановкой
/1 2 3 4 5\
V3 4 5 2 1/’
186*. Для любых целых чисел х и т, где пг=#О, обозначим |через г(х, т) остаток (принимаемый неотрицательным) от деления х на т. Доказать, что если т ^>2 и а — целое число, взаимно простое с т, то соответствие х—>г(ах, т), х — 1, 2..........т—1,
является подстановкой чисел 1, 2..... т— 1.
187. Написать подстановку чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, при |Которой число х переходит в остаток от деления 5х на 9.
§ 3. Определение и простейшие свойства определителей любого порядка
Задачи этого параграфа имеют целью пояснение понятия определителя любого порядка и его простейших свойств, включая равенство нулю определи-|теля, строки которого линейно зависимы, и разложение определителя по строке.
Задачи на развитие навыка вычисления определителей с числовыми элементами, на методы вычисления определителей специального вида, на тео-Е Лапласа, на умножение определителей и т. д. содержатся в следующих графах.
Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в определители соответствующих порядков и с какими знаками:
188. а43а21а35а12а54. 189. «61а2за45азва12й54-
190. Й27а36а51а74Л25а43я62- 191. fl33<Zlfi<Z72fl27a55fl61a44"
192. а12а23а34 ... ап_и nakk, 1 k п.
193. Д|2Й23 ап-\,пап1‘
194. «12Л21а34а43 ••• °2п-1, 2л°2л, 2л-1-
195. #11#2, лс3, л-1 ••• ап, 2-
196. о1зД22с3)а46а55д64 ... Лзя_2, зллзл-1, зл-1аз«. зл-2-
197. Выбрать значения I и k так, чтобы произведение
а62а75аЗЗаЛ4Я46й21
входило в определитель 6-го порядка со знаком минус.
198. Выбрать значения I и k так, чтобы произведение
fl47°63aHfl55a7fea24a31
входило в определитель 7-го порядка со знаком плюс.
199. Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие элемент а32 и входящие в определитель со знаком плюс.
200. Найти члены определителя
5х 1 2 3
X X 1 2
1 2 X 3 , содержащие х4 и х3.
X 1 2 2х
201. С каким знаком входит в определитель порядка п произведение элементов главной диагонали?
202. С каким знаком входит в определитель порядка п произведение элементов побочной диагонали?
203. Пользуясь только определением, вычислить определитель
аи 0 0 ... 0
а21 а22 0 ... 0
а31 а32 а33 ... 0
ап1 ап2 апЗ • • апп
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равные |НулЮ.
204. Пользуясь ТОЛЬКО определением, вычислить определитель
0 ... 0 0 «1п
0 ... 0 а2. п-1 «2п
0 ... а3. п-2 а3, п-1 «Зп 9
«ш ... ап, п-2 &п, п—1 &пп
в котором все элементы по одну сторону от побочной диагонали равны нулю.
205. Пользуясь только определением, вычислить определитель
«11 «12 «13 «14 «15
«21 «22 «23 «24 «25
«31 «32 0 0 0 •
«41 «42 0 0 0
«51 «52 0 0 0
206. Доказать, что если в определителе порядка п на пересечении некоторых k строк и I столбцов стоят элементы, равные нулю, причем k~V-l>n, то определитель равен нулю.
207*. Решить уравнение
1 X X2 . . х"
1 «1 «> • . а1}
1 «2 «1 • «2 = 0
1 а а2 ... а" п п п
где ор а2.....ап — различные числа.
208. Решить уравнение
1 1 1 ... 1
1 1 — X 1 ... 1
1 1 2 — х ... 1 = 0.
1 1 1 ... п — X
209. Найти элемент определителя порядка п, симметричный элементу а1к относительно побочной диагонали.
210. Найти элемент определителя порядка п, симметричный элементу alk относительно «центра» определителя.
211. Назовем место элемента alh определителя четным или нечетным, смотря по тому, будет ли сумма i k четна или нечетна. Найти число элементов определителя порядка п, стоящих на четных и на нечетных местах.
212. Как изменится определитель порядка п, если первый столбец переставить на последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение?
213. Как изменится определитель порядка п, если его строки написать в обратном порядке?
214. Как изменится определитель, если каждый его элемент заменить элементом, симметричным с данным относительно «центра» определителя.
215*. Как изменится определитель, если каждый его элемент заменить элементом, симметричным с данным относительно побочной диагонали.
216*. Определитель называется кососимметрическим, если элементы, симметрично лежащие относительно главной диагонали, отличаются знаком, т. е. alk — — ак1 для любых индексов z, k.
Доказать, что кососимметрический определитель нечетного порядка п равен нулю.
217*. Доказать, что определитель, элементы которого, симметрично лежащие относительно главной диагонали, являются сопряженными комплексными (в частности, действительными) числами, есть число действительное.
218. При каких значениях п все определители порядка п, элементы которых удовлетворяют условиям
(a) ajk — действительное число при j > k, (₽) akj = iajk при j > k (z =
будут действительными?
219. При каких п все определители порядка п, элементы которых удовлетворяют условиям (а) и (Р) предыдущей задачи, будут' чисто мнимыми?
220. Показать, что при нечетном п все определители порядка п, элементы которых удовлетворяют условиям (а) и (Р) задачи 218, имеют вид а(1 + i), где а — число действительное.
221. Как изменится определитель порядка п, если у всех его элементов изменить знак на противоположный?
222*. Как изменится определитель, если каждый его элемент aik. умножить на cl~k, где с =/= 0?
223*. Доказать, что в каждый член определителя входит четное число элементов, занимающих нечетное место; элементов же, занимающих четное место, входит четное число, если определитель четного-порядка, и нечетное число, если определитель нечетного порядка.
224*. Доказать, что определитель не изменится, если изменить знак всех элементов на нечетных местах; если же изменить знак всех элементов на четных местах, то определитель не изменится, если он четного порядка, и изменит знак, если нечетного порядка.
225. Доказать, что определитель не изменится, если к каждой строке, кроме последней, прибавить последующую строку.
226. Доказать, что определитель не изменится, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец.
227. Доказать, что определитель не изменится, если из каждой строки, кроме последней, вычесть все последующие строки.
228. Доказать, что определитель не изменится, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы.
229. Как изменится определитель, если из каждой строки, кроме последней, вычесть последующую строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку?
230*. Как изменится определитель, если к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец и в то же время к первому прибавить последний?
231. Как изменится определитель порядка п, если его матрицу повернуть на 90° вокруг «центра»?
232. Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами?
233. Найти сумму всех определителей порядка п^>2, в каждом из которых в каждой строке и каждом столбце один элемент равен единице, а остальные равны нулю. Сколько всех таких определителей?
234. Найти сумму определителей порядка п^>2:
&la, aia„ • • • ^1а_
I Z л
#2а ^2а . . . #2а
I z Л
»
апах апа2 • • • апап
где сумма берется по всем значениям ар а2..........ая, независимо
друг от друга изменяющимся от 1 до п.
235. Пусть все элементы определителя
«и «12 . . • й1л
й22 • • • а2п
«л2 -• • апп
являются целыми однозначными числами. Обозначим через число, записанное цифрами f-й строки определителя с сохранением их расположения (а1п — число единиц, о,1гП_г — число десятков и т. д.). Доказать, что значение определителя делится на наибольший общий делитель чисел N2, .... Nn.
236. Разлагая по 3-й строке, вычислить определитель
2—341
4—232
a bed
3—143
237. Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель
5 а 2 — 1 4 b 4 —3 2 с 3 —2 4 d 5 — 4 •
Вычислить определители:
238. «305 239. 1 0 2 а 240. х а b 0 с
0 b 0 2 2 0 b 0 0 у 0 0 d
1 2 с 3 • 3 с 4 5 • 0 е z 0 f
0 0 0 d d 0 0 0 g h k и I
0 0 0 0 т»
241. Пусть Мц — минор элемента atj определителя D. Показать, что если D — симметрический определитель или кососимметрический определитель нечетного порядка, то Mtj = если же D—кососимметрический определитель четного порядка, то = —Mji-
242. Пусть D—определитель порядка п>1, D' и D"—определители, полученные из D ваменой каждого элемента atj на его алгебраическое дополнение Ац для D' и на его минор Мц для D". Доказать, что D, = D',. Определитель D' называется взаимным (или. присоединенным) к D. О выражении D' через D см. задачу 506.
243. Вычислить следующий определитель, не развертывая его:
a b c 1
b c a 1
c a b 1 •
b + c 2 c-f-a 2 a-\-b 2 1
Не развертывая определителей, доказать следующие тождества:
244*. 0 x у z 0 111
x 0 z у 1 0 г2 у2
у z 0 x — 1 z2 0 x2
z у x 0 1 у2 x2 0
245*. 1 а2 ... а"~2 а"
1 «2 ... а%~2 а"
1 а а2 ... а"~2 а" п п п п
--(а1 + а2 + ••• +ап)
ах а2 ... а"~2
а2 а2 а2~2
246*.
1 а а2 ... ап~2 ап~1
п п п п
1 аг а2 ... а}-1 а{+1 ... «"
1 «, al ... al-1 a‘+1 ... aZ
£r £/ £t £,
1 «2 Л2---ЙГ1
1 «„ a2 ... a"-1 n fl fl
1
где сумма берется по всем сочетаниям из п чисел 1, 2, 3, .... п по и—I.
Пользуясь свойствами определителей, включая разложение по
строке или столбцу, доказать тождества:
247*. (X — Р . <х —|—Р п-рр COS g-1- sin g-2- COS g-1-
P—v ₽+y ₽+y cos 2 sin - COS ' =
у — a . y + « y + « cos——g— sin 2— cos- -
= i [sin (р — a) Н- sin (у — ₽) + sin (а — у)].
248. sin2 a sin a cos a cos2 a
sin2 p sin p cos p cos2 p
sin2y sin у cosy cos2 у
= sin (а — р) cos a cos р + sin (р — у) cos р cos у sin (у—a) cos у cos а.
249. (fl + *)2 c2 c2
a2 (b + c)2 a2 = 2abc {a -f- b -f- c)3
b2 b2 (c-f-fl)2
250-256J § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ и свойства определителей 27
260. 1 1 1
a-j-x « + У
1 1 1 (а — Ь) (а — с) (Ь—с) (х — у)
b -j-x * + У (a4-x)(6-)-x) (c 4-x) (a-by) (Z>4-y) (с4-у)"
1 1 1
c -|-x c + y
261. 1 1 1
a-j-x a + y a-}-z
1 I 1
b-j-x 6 + y 6 + *
1 • 1 1
c-j-x c+y c + г
(a -b) {a — c Hb- -с)(х — у)(х — г) (у—г)
(a + л) (b + x) (с + x) (a -j- у) (b + у) (с + у) (а + z) (b + z) (с + z)
262..
c2-f-(l —a2) cos<p ab(l— cosip) ас(1—cosip) ba(\ — cosip) 62-{-(1—62)cosip 6с (1— cosip) с<?(1—cosip) с6(1—cosip) с24(1—с2) cosip
— cos2 <р
при а2 b2 -f- с2 = 1.
263*.
cos tp cos ip—sin ср sin ip cos 6 —sin <p cos ip—cos <p sin ip cos 0 sin ip sin 0 cosip sin ip-f-sinip cos ip cos 0 —sin ip sin ip4-cos<p cos ip cos 0 —cos ip sin 0 sin <p sin 0 cos <p sin 0 cos 0
264. а b с d
— Ь а d — с
— с — d а Ь = (a2_|_^2_|_c2 + d2)2.
— d с — Ь а
255. 0 1 1 а
10 16
110с — а2 Ь2 -|- с2 — 2аЬ — 2Ьс — 2ас -|~ 2d.
abed
266*. — 1 1 1 1 X
1 —1 1 1 У
1 1 —1 1 Z —
1 1 1 — 1 и t
X у Z и 0
= — 4 [x2 4~ У2 H-z2 + w2 — 2(xy-^-xz ~^-xu -l-yz-^-yu-j-zu)]^
§ 4. Вычисление определителей с числовыми элементами
Вычислить определители:
257. 1 1 1 1
1 —1 1 1
1 1 —1 1 •
1 1 1 -1
259. 2 —5 1 2
—3 7 — 1 4
5 —9 2 7 •
4 —6 1 2
261. 3 —3 — 5 8
-3 2 4 — 6
2 —5 — 7 5 •
-4 3 F 6
263. 3 —3 —2 -5
2 5 4 6
5 5 8 7 •
4 4 5 6
265. 3 —5 Г 4
—3 4 — Е 3
—5 7 — 7 5 •
8 —8 Г 6
267. 7 6 3 7
3 5 7 2
5 4 3 5 •
5 6 5 4
269. 7 3 2 6
8—949
7—273
5—334
258. 0 111 •
10 11
110 1
1110
260. —3 9 3 5
—5 8 2 7
4 —5 —3 — 2
7 —8 —4 — 5
262. 2 —5 3 —4 4 3 7 5
4 —9 —3 2 8 5 —5 3
264. 3 —5 —4 7 —2 2 4 4
266. 4 —9 —: 2 —6 — 3 2 2 2 9 —8 5 10 5—858 6—547 5 7 J 2
268. 6 —5 8 4
9 7 Е 2
7 5 3 7
—4 8 -8 —2
270. 1 2 3 2 3 7 4 5 10 13
3 5 11 2—7 7 1 4 5 16 21 7 2 3 10 •
271. 3 6 5 6 4
5 9 7 8 6
6 12 13 9 7
4 6 6 5 4
2 5 4 5 3
273. 27 44 40 55
20 64 21 40
13 —20 —13 24
46 45 —55 84
275. 3 9 3 Q
2 2 2
5 8 2 7
-
3 3 3 3
4 5 1 2
3 3 1 3
7 —8 —4 —5
277. 3 о 1 С
““ Z —О
4 2
1 — 2 3 2 8
5 4 4 14 •
-- - I -
6 3 3 3
2 4 1 12
L 1 .
5 5 2 5
278.
272. 35 42 43 29 59 70 68 49 71 77 72 65 52 54 52 50 •
274. 24 И 13 17 19
51 13 32 40 46
61 11 14 50 56 .
62 20 7 13 52
80 24 45 57 70
276*. 1 3 3 - 2 3 1 7 5 ' 2 - 12 9 ’ 2 2 7 2 5 21 5 4 5 1 7 3 2 15 5 2 3 7
/Г /з- /Г /з"
/б" /2Г /10 —2 /Г
/То 2 /15 5 /Г
2 2 /б" /17 /15
§ 5. Методы вычисления определителей n-го порядка
Введение. Метод вычисления определителей с числовыми элементами, состоящий в обращении в нуль всех элементов некоторой строки {столбца), кроме одного, и последующем понижении порядка, становится весьма громоздким в случае определителей данного порядка с буквенными элементами. Этот путь в общем случае приводит к выражению, которое получается вычислением определителя прямым применением его определения.
Тем более этот метод неудобен в случае определителя с буквенными или числовыми элементами и произвольным порядком п.
Общего метода для вычисления таких определителей не существует (если не считать выражения определителя, данного в его определении). К определителям того или иного специального вида применяются различные методы вычисления, приводящие к выражениям, более простым (т. е. содержащим меньшее число действий), чем выражение определителя по определению. Мы разберем некоторые, наиболее употребительные из этих методов, затем дадим задачи на каждый из этих методов для их усвоения и задачи, где учащийся сам должен выбрать метод решения. Для удобства ориентации в материале задачи, связанные с теоремой Лапласа и умножением определителей, выделены в отдельные параграфы.
1. Метод приведения к треугольному виду. Этот метод заключается в преобразовании определителя к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю. Случай побочной диагонали путем изменения порядка строк (или столбцов) на обратный сводится на случай главной диагонали. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
Пример 1. Вычислить определитель порядка п:
1 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
1 1 1 ... о
Вычитаем первую строку из всех остальных:
1 1 I ... 1
0—1 0 ... 0
0 0 —1 ... 0
0 0 0 ... —1
= (-!)"- ’•
Пример 2. Вычислить определитель
Я] х х ... х х а? х ... х В — х х а3 ... х *
х х х ... а„
Вычитаем первую строку из всех остальных:
Я] X X ... X
х — Я[ я2 — х 0 ... 0
х — Я[ 0 Яз — х ... 0
х — Я1 0 0 ...ял — х
§ 5. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ П-ГО ПОРЯДКА 31
Из первого столбца выносим at—х, из второго а2—х, ..., из п-го — л:
«1 X X X
а, —X а2 —х а3 — х ап — х
D = (а1 — х) (а2 — х)... (ап — х) —1 1 0 0
—1 0 1 0
—1 0 0 1
Положим ——— = 1 а, —х
и все столбцы прибавим к первому:
£> == (я, —х) (а2 — х) .. • (ап — х) X
X 14- л 4- L Х X X Лз—Х 0 1 X ==
Я1— X 0 0 ап—х а2 X 1 0 ап—х 0 0
0 0 0 1
= л(я,—х)(а2 — х) .. 1 I ’ I . 1
\х —х 1 а2 — х 1 1 ап~
2. Метод выделения линейных множителей. Определитель рассматривается как многочлен от одной или нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти множители взаимно просты), и на их произведение.
Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения линейных множителей, находят частное от деления определителя на это произведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример 3. Вычислить определитель: •
О л у г
о= л0 2 У •
у г 0 л z у х О
Если к первому столбцу прибавить остальные, то обнаружится, что определитель делится на х -ф- у -f- г; если к первому столбцу прибавить второй и вычесть третий и четвертый, то выделится множитель у -ф- г — х; если к первому столбцу прибавить третий и вычесть второй и четвертый, то выделится множитель х — у -ф- г; наконец, если к первому столбцу прибавить четвертый и вычесть второй и третий, то выделится множитель х -ф- у — г. Считая х, у, z независимыми неизвестными, заключаем, что все эти четыре множителя попарно взаимно просты, и значит, определитель делится на их произведение (х -ф у -ф- г) (у -ф z — х) (х — у -|- г) (х -ф у — г).
Это произведение содержит член г4 с коэффициентом —1, а сам определитель содержит тот же член г4 с коэффициентом -ф1. Значит.
£> = — (-* + ? + *) (У + 2~ *)(-* + * — у)(* + у — г) =
= х4 у4 -ф- г4 — Чх2у2 — 2х2г2 — 2у2г2.
Пример 4. Вычислить методом выделения линейных множителей определитель Вандермонда n-го порядка:
1 хг х^ ... х“ 1
1 х2 х\ ... х%~1
Рассматривая Dn как многочлен от одного неизвестного хп с коэффициентами, зависящими от х1г ..., видим, что он обращается в нуль при хп — хь хп = х2, ..., хп = хп_1 и потому делится нах„ — xlt хп — х2, ...
*л~*я-1-
Все эти множители взаимно просты (так как xlt х2, ..., хп алгебраически независимы).
Значит, Dn делится на их произведение, т. е.
D п ~~ Я (-^ь -^2» • • •» (*л Xi) (хп х2) ... (хя —-'л—i)-
Разлагая Dn по последней строке, видим, что он является многочленом степени п — 1 относительно х„, причем коэффициент при л""1 равен определителю Вандермонда £>я_1 из неизвестных х1г х2...xn_t; так как про-
изведение скобок в правой части последнего равенства содержит х"~* с коэффициентом 1, то многочлен q (хъ х2, ..., хп) не содержит х„, и, сравнивая коэффициенты при л:"-1 в обеих частях равенства, получим = ~ Я (*!> -*2> • • •» i)» откуда Dn — Dn—i (хп л'1)(.кя— л:2)...(л:я— -^л—i)
Применяя это равенство с заменой п на п — 1, имеем:
Dn- 1 О«-2 (-^Л—I . (-Xfl—l —
Это выражение для Dn_i подставим в предыдущее выражение для Dn. Повторяя это рассуждение, мы выделим, наконец, множитель х2 — х1г после чего придем к определителю Вандермонда первого порядка Di = 1.
Таким образом,
Dn = (x2 — Л1)(х3 — *1)(*з — х2) ... (хп — х1)(хп— Х2) ... (Xn — Xn^i)^
= IT (Xl—Xj). l> J
3. Метод рекуррентных (рекурсивных, или возвратных) соотношений. Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.
Затем вычисляют непосредственно по общему виду определителя столько определителей низших порядков, сколько их было в правой части рекуррентного соотношения. Определители более высокого порядка вычисляются последовательно из рекуррентного соотношения. Если надо получить выражение для определителя любого порядка п, то, вычислив из рекуррентного соотношения несколько определителей низших порядков, стараются заметить общий вид искомого выражения, а затем доказывают справедливость этого выражения при любом п с помощью рекуррентного соотношения и метода индукции по п.
Общее выражение можно получить и другим путем. Для этого в рекуррентное соотношение, выражающее определитель л-го порядка, подставляют выражение определителя (п — 1)-го порядка из того же рекуррентного соот-
§ 5. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ n-ГО ПОРЯДКА 33 ношения с заменой л на л — 1, далее подставляют аналогичное выражение определителя (п — 2)-го порядка и т. д., пока не выяснится вид искомого общего выражения определителя л-го порядка. Можно также комбинировать оба пути, используя второй путь для обнаружения искомого выражения и доказывая затем справедливость этого выражения индукцией по п. Метод рекуррентных соотношений является наиболее сильным среди разбираемых здесь методов н применим к более сложным определителям.
Прежде чем перейти к примерам вычисления определителей методом рекуррентных соотношений, разберем один его частный случай, где рекуррентное соотношение дает алгоритм для решения задачи, исключающий элемент догадки, имеющийся в общем случае. Пусть рекуррентное соотношение имеет вид
Dn = pDn_i + qDn_2, п>2, (1)
где р, q— постоянные, т. е. не зависящие от п величины1).
При q = 0 Dn вычисляется как член геометрической прогрессии: Dn = = pn~lDl; здесь £>,— определитель 1-го порядка данного вида, т. е. элемент определителя Dn, стоящий в левом верхнем углу.
Пусть q ф 0 и а, р — корни квадратного уравнения хг — рх — q = 0. Тогда р = а-|-р, q ——ар и равенство (1) можно переписать так:
©л РОя-1 = a {Dn_i —РОЯ_2) (2)
или
aDn_ j = р (Dn_t — а£>я_2). (3)
Предположим сначала, что а =£ р.
По формуле для (л — 1)-го члена геометрической прогрессии из равенств (2) и (3) находим:
Dn-PD„_l = a"-2(D2-pDI) и Dn-aDrt_, = р”-2 (D2-аРД
_ а”-1 (£>2 — P£>i) — Ря~1 (£>2 — а£>.)
откуда Dn =------—----——-----£----— -------— или
а — р
+ „о С,— (4)
Последнее выражение для Dn легко запоминается. Оно выводилось для п > 2, но непосредственно проверяется для п = 1 и п = 2. Значение С] н С2 можно находить не из приведенных выражений (4), а из начальных условий D, = С\а-j- С2р, £>2= C^-J-CjP2.
Пусть теперь а = р. Равенства (2) и (3) обращаются в одно и то же
Dn — v-Dn_l = а (£>„_! — aD„_2), откуда
Dn-aDn_l = Ла"-2» (5)
где
А = D2 — а£>(.
Заменяя здесь п на п — 1, получим: £>я_1—аОя_2 = Ла”-3, откуда Dfi~i = а£>„_2 -|“ Ла” 3.
’) Этот метод сообщен автору Л. Я. Окуневым. Он применим также к рекуррентному соотношению Dn = PiDn~i -f-... + Pk^n-k c постоянными Pi,.... Pk и любым k, но ввиду громоздкости рассуждений мы остановимся лишь на k = 2.
Вставляя это выражение в равенство (5), найдем: Dn = a2Dn_2 -|- 2Лая-8. Повторяя тот же прием несколько раз, получим: Dn = a"~1DI -f- (n — 1) Ла”-2 или Dn — an[(n — 1)С, + С21 где C2 =-^-(здесь а #= 0, так как
9 0).
Пример 5. Вычислить методом рекуррентных соотношений определитель примера 2.
Представив элемент в правом нижнем углу в виде ап = х-{-(ап— х), мы можем определитель Dn разбить на сумму двух определителей:
flj х ... х х
х а2 ... х х
х х ... ап-1 х
х х ... х х
х ... х 0
х а2 ... х О
х х ... an_i О
х х ... х ап — х
В первом определителе последний столбец вычтем из остальных, а второй определитель разложим по последнему столбцу:
Dn = x(ai— х)(а2 — х) ... (an_t—x)-\-(an — x')Dn_l.
Это и есть рекуррентное соотношение. Вставляя в него аналогичное выражение для £>n_lt найдем:
Dn = x(ai— х)(а2 — х) ... (ал_,—х) +
+ л(а,— х)(а2 — х) ... (an_2 — x)(an — x) + Dn_2(a„_l~x)(an~x)
Повторяя то же рассуждение п—1 раз и замечая, что D1==a1=jc-f-+ («j — х), получим:
Dn = х (а, — х) (а2 — х)...(ап_, — х) х (а1 — х)... (ап_2—х) (ап—х) + ...
... + х (а2 — х) ... (ап — х) + (а,— х) (а2 — х) ... {ап—х) =
= х[а1—х){а2 — х) ... (ап —*)(— + - ... + —
\ «А> И | Л **п "" Л J
что совпадает с результатом примера 2.
Пример 6. Вычислить определитель порядка п:
D„ = 5 3 0 0 ... 0 0 2 5 3 0 ... 0 0 0 2 5 3 ... 0 0 0 0 0 0 ... 2 5
Разлагая по первой строке, найдем рекуррентное соотношение
Dn = 5Dn_l — GDn_2.
Уравнение х1 — 5х 6 = 0 имеет корни а = 2, Р = 3.
По формуле (4) D„ = C1an + C2₽n = 3n+1 — 2”+1.
4. Метод представления определителя в виде суммы определителей. Некоторые определители легко вычисляются путем разложения их в сумму определителей того же порядка относительно строк (или столбцов).
§ 5. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ л-ГО ПОРЯДКА
Пример 7. Вычислить определитель
°i + 6] а14"62 ...
аг 4“ bi а24-62 ... а2 4~ Ьп
ап 4" bi 4* 62 ... + Ьп
Этот определитель относительно первой строки разлагается на два определителя, каждый из них относительно второй строки снова разлагается на два определителя й т. д. Дойдя до последней строки, получим 2” определителей.
Если при каждом разложении за первые слагаемые принимать числа аь а за вторые числа bj, то строки полученных определителей будут либо вида а/, at, ..., а/, либо вида Ьь Ь2, Ьп. Две строки первого типа пропорциональны, а второго типа равны. При п > 2 в каждый получившийся определитель попадает, по крайней мере, две строки одного типа, и ои обратится в нуль. Итак, D„ = 0 при п > 2.
Далее,
ы
D1 = a14-61, Di =
Л1
6,
Я1
Ьг
61 62
^2 ^2
= (fii — аг) (62 — 61).
5. Метод изменения элементов определителя. Этот метод применяется в тех случаях, когда путем изменения всех элементов определителя на одно и то же число он приводится к такому виду, в котором легко сосчитать алгебраические дополнения всех элементов. Метод основан на следующем свойстве: если ко всем элементам определителя D прибавить одно и то же число х, то определитель увеличится на произведение числа х иа сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D. В самом деле, пусть
Оц ... а1п
D' —
ani • • • апп
«и4-л ... Oin4-*
ам4~х апп4"х
Разложим D’ на два определителя относительно первой строки, каждый из них на два определителя относительно второй строки и т. д.
Слагаемые, содержащие более одной строки элементов, равных х, равны нулю.
Слагаемые, содержащие одну .строку элементов, равных х, разложим
л
по этой строке. Тогда получим: D' = D 4- х 2 чт0 и требовалось.
I. 7-1
Таким образом, вычисление определителя D' сводится к вычислению определителя D и суммы его алгебраических дополнений.
Пример 8. Вычислим определитель Dn примера 2.
Вычитая из всех его элементов число х, получим определитель
«1—х 0 ... О
£)_ 0 аг—х ••• °
О 0 ... а„—х
Алгебраические дополнения элементов D, не лежащих на главной диагонали, равны нулю, а каждого элемента на главной диагонали — произведению остальных элементов главной диагонали. Поэтому
п
£>п = (О1 — х) ... (ап — х) 4- х (о, — х)... (at_х) (at + {—х)... (ап—х)=
1=1
= х(д,—х)(д2—х)...(а„—х)Ц-Ь д 1 + ... 4- 1 ).
\ Л W] х /
следующие определители
приведением к треугольному
Вычислить виду !):
279. 1 2 3 .. п
—1 0 3 .. п
—1 —2 0 ... п •
— 1 —2 —3 ... О
280. 1 2 3 ... п — 2 п— 1
2 3 4 ... п— 1 п
3 4 5 ... п п
п
п
п •
п п п . . . п п п
281. xi «12 «13 • . д1п
х2 «23 • • «2л
х2 х3 . «Зл •
Xj х2 Х3 ... Хп
282. 1 1 1 1
«1 «1 «1 — ^1 «1
«2 • • • «2 ^2 «2 «2 •
Д н " t) н ... Д л Д н Д «
л п • п п
283. 3 2 2 ... 2 284. «0 «1 д2 ... «л
2 3 2 ... 2 — X X 0 ... 0
2 2 3 ... 2 • 0 — X X ... 0
2 2 2 ... 3 0 0 0 ... X
1) Всюду, где. по виду определителя нельзя узиать его порядок, предполагается, что порядок равен п.
•285—294] § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ П -го ПОРЯДКА 37
285*. «1 6^2 °3 ап
xi *2 0 ... 0
0 х3 ... 0
0 0 0 ... х„
286. Вычислить определитель порядка п, элементы которого заданы условиями oiy = min(z, /).
287. Вычислить определитель порядка п, элементы которого за-.даны условиями = max (Z. f).
288*. Вычислить определитель порядка п, элементы которого заданы условиями atj — 11 — j |.
Вычислить следующие определители методом выделения линейных .множителей:
289. 1 2 3 ... п
1 х+ 1 3 ... п
1 2 х+1 ... п
1 2 3 ... х + 1
290. 1 1 1 1
1 2 —х 1 1
1 1 3 — х 1
1 1 1 . . . П 1 — X
:291.
°0 а\ а2
CI-q X
а0 ах х
293.
Q-q Oj • • • X
112 3
1, 2 —х2 2 3
2 3 15
2 3 1 9 —х2
— х а
а — х
b с
с b
b
с
— X
а
с b
а
— х
294*. 1 —X 1 1 1
1 1 X 1 1
1 1 1+г 1
1 1 1 1 — Z
Вычислить следующие определители ношений:
295*. аД агЬ2 а^з ... «Л
С1уЬ2 ^2^2 ^2^3 • • ^2^ л
Й^З «3^3 • ' • ^З^л
°2^л ^З^л • • • &гРп
296*. а0 аг а2 ... ап
— yj Xj 0 ... О
о — у2 х2 ... о •
методом рекуррентных соот-
0 0 0 ... хп
297. 0 1 1 ... 1 298 • 10 0 0 ... 0 1
1 ах 0 ... 0 1 «j 0 0 ... 0 0
1 0 а2 ... 0 • 1 1 а2 0 ... 0 0
. . . . . . . 1 0 1 ... 0 0
1 0 0 ... п л
10 0 0 ... 1 «л
299. 2 1 0 ... 0 300. 3 2 0 ... 0
1 2 1 ... 0 1 3 2 ... 0
0 1 2 ... 0 • 0 1 3 ... 0 •
0 0 0 ... 2 0 0 0 ... 3
301. 7 5 0 ... 0 302. 5 6 0 0 0 ... 0 0
2 7 5 ... 0 4 5 2 0 0 ... 0 0
0 2 7 ... 0 0 13 2 0 ... 0 0
0 0 13 2 ... 0 0 •
0 0 0 ... 7
0 0 0 0 0 ... 3 2
0 0 0 0 0 ... 1 3
303. 1 2 0 0 0 ... 0 0
3 4 3 0 0 ... 0 0
0 2 5 3 0 ... 0 0
0 0 2 5 3 ... 0 0
0 0 0 0 0 ... 5 3
0 0 0 0 0 ... 2 5
304—309] § б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ n-го порядка
39
304. а-4-р 1 0 а₽ а4~ 1 0 ₽ ар а-|~0 0 ... 0 ... ар ... 0 0 0 •
Вычи< 0 0 0 0 ... a-f-P :лить определители методом представле НИЯ их в виде суммы
«определи 305*. 306*. 308. Вычис 309. Т€ л -лей: X —|— Пу flg Яу X 4" я2 . «1 Я2 Пу я2 Ху а2 ... ап аг х2 ... а„ Яу а2 ... хп Ху Яу/>2 Пу^з -^2 с2^3 • Я3^2 Х3 агр2 ап^3 ить определители 12 3... га — 13 3... га — 2 5 ... п — 2 3 ... 2га — 2 3 ... га — «з я3 л 4~ йз а3 307*. • • afin .. aj)n .. a3b„ .. х„ ): 1 п 1 га 1 га 3 га 1 2га — - л л л д 1 а„ ап ап x-f-a ) 1 ’1 «1 ’2 х2 "з Х3 'п хп 7 С а X X 2 3 п 1 0 0 а3 хп ... 1 ... 0 ... 0 ... 0 ... х„ 1 0 0 0 а„ -
1) Всюду, где неясно, чему равен порядок определителя, он предполагается равным п.
310.
1 «1 «2
1
1 «1 a2-|-^2 • • • п
311.
313.
314.
315.
317.
319.
1 а2 • • • ап + Ьп
2 2 ... 2 2 1
2 2 ... 2 2 2
2 2 ... 3 2 2
2 п— 1 ... 2 2 2
п 2 ... 2 2 2
х у 0 0 ... О О
О х у 0 ... О О
О 0 х у ... О О
О О О 0 ... х у
у О О 0 ... О х
1 — п 1 1 ... 1
1 1 — п 1 ... 1
1 1 1 — п . . . 1
1 1 1 ... 1 — п
1 1 ... 1 —п
1 1 ... —п 1
1 —п ... 1 1
— п 1 ... 1 1
п 1 1 ... 1
1 п 1 ... 1
1 1 п ... 1 •
1 1 1 ... п
1 2 О 0 ... О
1 3 2 0 ... О
О 1 3 2 ... О •
О О О О ... 3
312.
316.
818.
1 п п ... п
п 2 п ... п
п п 3 ... л •
п п п ... п
О 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 •
11 1 ... О а Ь ... b Ь Ь а ... b b
Ь b ... а b b Ь ... Ь а
320. 1 Ьг 0 0 • . 0 0
— 1 1 fr2 0 . - 0 0
0 — 1 1 — &2 b3 0 0
0 0 0 0 —1 1-^
321. X «1 а2 • • ап -1 1
«1 X д2 • • ап -1 1
«1 а2 х . > -1 1 -
ai аЧ а3 . X 1
ai д3 .. . а п 1
322. Оо -1 0 0 . .. 0 0
«1 х - -1 0 . .. 0 0
о2 0 X —1 . .. 0 0 •
ап-1 0 0 0 . . А —1
ап 0 0 0 . . 0 X
323. 1 2 3 п— 1 п
— 1 х 0 • « • 0 0
0 1 X ... 0 0
0 0 0 • . . X 0
0 0 0 ... —1 X
324. п —1 0 0 . .. ) 0
п— 1 X —1 0 . .. ) 0
п— 2 0 X —1 . .. 0 0 •
2 0 0 0 . .. х —1
1 0 0 0 . .. 0 X
325. 1 X X2 JC3 хп
«и 1 X X2 ... X л-1
°21 а22 1 X ... хп~2 •
ап1 ап2 апЗ а„я . . • 1
I + ••• t_u(I+"» + x) И(Т+"»Ч-Х)
I 2o-f-x ••• u(s»4-x)
I ‘o-b* ^Ч-*) и(1»Ч-х) -le8
z_“xH-t_"x
j—„X Ч- J—i/X g—t/X—|— j— „X
“Z*4-Us* ux4-“x I +"x
I
£x4-gX ?хч-^х 1Ч-г*
|x4-gX *x-|-’x l4-lx
I
’088
I w — о
I I
I —n и
x-u^ — v) ••• t_u(l —») !_„»
„(« — »)••• „(1—0) „О -638
(l4-w) ••• z(l 4~M) I 4-a I
«8 z8 8 I
uZ • • • гЗ Z I
I • • • I I I •838
0 x • • • X X I
X o •• • X X I
• X x • • • 0 X I
X X • • • x о I
I I •• ’ I I 0 •£38
"o l-uo . lo °o
0 0 • 0 p I
0 0 • • P p I
0 0 • • • S"P I
0 I— • • T-on 1~”Э I
w9 U<S Ury • • • "p \э I *938
ice—93£|
uiraiHirairaduo *i iraffio
332. 333. 834. тде фА(х 336. тде fk(x' 336. Тде Сх = 337. 338. 1 sin <fj sin2 ф1 ... sin"-1 1 sin <p2 sln2 Ф2 • • sin"-1 1 sinq>n sin2q>„ ... sin"-1 1 COS <Pj COS2 <Pj ... cos"- 1 cos <p2 cos2 <p2 ... cos"- 1 cosq>„ cos2<pn ... cos"- 1 Ф1(*1) <P2(*1) ••• Фл-1 1 <P1(X2) ф2(Х2) ... ф„_! 1 Ф1(*п) Ф2(*л) ••• Фп-1 ) = хк 4- akxxk~l 4- aft2xft-2 4- 1 1 /1(со8ф1) /Дсовфг) .. /2(СО8ф|) /2(СО8ф2) /п-1 (COS Ф!) fn_j (COS ф2) .. = akOxk 4- «мх*-14- ak2xk~2 1 cl, cl, ... c";1 1 cl, cl, ... C"-1 i cl cl ... c;-1 n n xn x(x — 1)(л — 2) ... (x — &+1) k\ (2n—1)" (2n —2)" ... (2n—I)"-1 (2n —2)"-1 .. 2n—1 2n — 2 1 1 Xi X2 xn X, — 1 x2 — 1 ' ’ ’ xn — 1 Xj x2 ... x„ л1 л2 ’ 4 ’ Xn X?-1 X"-1 ... xn-1 i z n Ф1 Ф2 Фп 1 Ф1 1 Ф2 ХФп (•”-1) (^2) » ^n) • • • 4- 1 • /1(СО8ф„) • /г(с05ф„) . • /п-1(СО8фл) + • • • 4“ akk- • n" (2ri)n n”~l (2n)"-1 n 2n 1 1
339.
1 2 3 ... п
1 23 З3 ... и3
340.
«г at-'bi п-2.2 а\ bi ... ь?
а" а2 >,«-2а2 Д2 U2 ... ь"
341.
П Л —1д кп
Лй+1 Л«+10«+1 ^л + 1”л4-1 • • • Рл+1 sin""1 «j sin""2 «j cos ctj ... cos""1 Oj sin""1 a2 sin""2 a2 cos Oj ... cos""1 a2
sin"-1an sin"~2a„ cosan ... cos""1 an
342.
УЛ-1(хг У1)
y2fn-AX2‘ У2)
y"~lfi(xv уО
У2 {^X2' У2)
У" y"
Л(*л+1> Уп+1) Уд+i степени
I.
где ft{x, y)— однородный многочлен
уя+1) Ул+1/п-1(*п+г уя+1)•••Уй;; ОТ X, у
343*. ai Х1 х2 ... X"-1
а2 Х2 Х2 1 • • Л2
ап Хп Хп 1 • • п
344*. 1 Х! X2 .. . х""2 V"
1 Х2 X2 .. • Х2~2
1 X п * ’ а ьэ . 1 Ц Х"п
•5 — 1
.2
346.
1
2
s-1
2
.2
2
345.
1 x2
1 x|
X?
•3 у.П
'2 * * ‘ Л2
1 X2 х3 ... х" п п п
1
XS + 1
. . . X"
1
х2 п п
•5—1 д*54*1 * * п п •••
(X, — В ... х?~
347*.
1
1
2
1 ^(^л-1)
348*. 349*. 1+Л 1+х2 1+*п 1 COS ф| 1 cos <р2 + xj ... 1H-X" +x22 ... l + x2« +4 ... 1-H-x" cos 2<pj ... cos ( cos 2<p2 • • • cos ( «— 1) <P1 n— 1) <p2
1 cos (p„ COS 2<p„ ... cos (n — 1) <pn
350*. sin <pj sin 2<pj ... sin znpj 351*. abed
sin <p2 sin 2<p2 ... sin n<p2 b a d c
c d a b
sin tp„ sin 2<p„ ... sin ti(pn d c b a
352. a b c d e f g h 353*. X «1 c2 . •• an
b c d a d c d a b c b a f g h e h g h e f g f e ai X c2 X . * • • •
e f f e g h h g a b b a c d d c «1 42-2 a3 . . . X
g h e f c d a b
h g f e d c b a
354. — b ~ ^2 . a I bn
#2---О2--------^2 ^2--Ьп
an — l>i ап — Ь2 ... ап — Ьп
1 + 1+*1У2 ••• 1 + -^1Уп
1 ~Ь Х2У1 1 + х2Уг • • • 1 + х2уп
355.
1+хпУ1 1 + *лУ2 ••• 1 Н~хпУп
356. /1 (й1) /i (йг) /2 (flj) /2 (д2) • •• лш • •• f2(an)
357. /л(«1) /л(«2) fn^n) ЙГ*Ь^2 Д2-|~^1 1~Ьа2~1-Ь2
ап + Ь2
где ft (х) — многочлен сте-, пени не выше
п — 2.
й1+^п
Л2 + ^п
• 1+йп+^л
358*. хм l + ...
х2у2 ... l+x^
1 + *лУ1 1 + хпУ2 хпУп
359*. х а-i — Ь2 ... «1 —&л
а2 — Ьх а2 — Ь2-\-х ... а2 Ьп
360.
а„ — ап Ь% ••• Лп Ьп -f- х аФп
aj)^ X2 4- #2^2 • • • аФп
&rfil ^tp2 • • • Xf>~l~ atfin
361*.
a 0 ... 0 b
0 a ... b 0
0 b ... a 0
b 0 ... 0 a
(порядок определителя равен
2/г).
362.
363.
аг 0 ... 0 Ьг
0 а2 ... Ь2 0
0 ^2п-1 • • • й2л-1 О
Ь2п 0 ... О й2я
—Д-0 0 ... О О
X X2
1 4 1 О ...О О
О 1 — 4- ••• ° О х х2
364».
О о О О ... 1 у
1 1 о о ... о о
1 1 1 о ... о о
о 1 1 1 ... о о •
О 0 0 0 ... 1 1
365*. Рядом Фибоначчи1) называется числовой ряд. который начинается числами 1, 2 и в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих, т. е. ряд 1, 2. 3. 5, 8, 13, 21, ...
Доказать, что л-й член ряда Фибоначчи равен определителю
л-го порядка: 1 1 0 0 ... 0 0
—1 1 1 0 ... 0 0
0 —1 1 1 ... 0 0
0 0 0 0 ... —1 1
Вычислить определители:
366. 9 5 0 0 . 0 0 367 0 1 0 0 ... 0 0
4 9 5 0 . 0 0 1 0 1 0 ... 0 0
0 4 9 5 . • 0 0 • 0 1 0 1 ... 0 0
0 0 0 0 . 4 9 0 0 0 0 ... 1 0
368. 0 1 0 0 0 0
-1 0 1 0 0 0
0 —1 0 1 • • • 0 0 •
0 0 0 0 . - -1 0
369*. а 1 0 0 ... 0 0
1 а 1 0 ... 0 0
0 1 а 1 ... 0 0
0 0 0 0 ... 1 а
370. а 1 0 0 0 0
—1 а 1 0 . . • 0 0
0 -1 а 1 0 0
0 0 0 0 • . • -1 а
371*. Доказать равенство:
cos а 1 0 0 . .. 0 0
1 2 cos а 1 0 . .. 0 0
0 1 2 cos а 1 . .. 0 0 ~ cos ла.
0 0 0 ° . .. 1 2 cos а
*) Fibonacci — итальянский математик XIII века.
Пользуясь этим результатом и результатом задачи 369, получить
выражение cos/га через cos а.
372. Доказать равенство:
2 cos а 1 0 0 .. . 0 0
1 2 cos а 1 0 . . 0 0
sin па
sin а 0 1 2 cos а 1 .. . 0 0
0 0 0 0 .. . 1 2 cos а
где определитель имеет порядок п — 1. Пользуясь этим равенством и результатом задачи 369, представить sin/га в виде произведения sin а на многочлен от cos а.
373*. Cj Д2 0 с2 Доказать равенство, ь 0 0 ... 0 0 Ь2 0 ... 0 0 д3 Ь2 ... 0 0 е в ычисляя «1 bYc 1 а2 0 1 самих определителей: 10 0 ... 0 0 Ь2с2 0 ... 0 0 д3 Ь2с2 ... 0 0 *
0 0 Вычи< 374. 0 0 ... с„_1 ап :лить определители: 14-х2 х 0 X 1 -f- X2 X 0 х 1 -|- X2 0 0 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • • • 1
375. 1 2 3 0 0 2 3 ... 3 4 ... 4 5 ... 0 /г— 1 /г 1 /г 1 2 0 X 14-х2
376*. /г 1 2... /г — 2 /г— 1 a a -J- х д-|-2 а-\-(п— 1)х а а~\- д-Нд—2)х а-\-{п—1)х а X. . X. . . а-\-{п—2)х 1)х 3)х д-|-(/г— 2)х а-Нл—4)х 3)х •
377. X X а-{-х 1 X K-i 1 п-2 д-п-1 д-|-2х д-]-Зх... х2 ... хп~2 хп~1 х ... хл~3 хп~2 1 ... хл~4 Х""3 Д-|-(я—1)х а
X X2 х3 ... х"'1 1
378—381] § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ л-ГО порядка 49
378. Не вычисляя определителей, установить, как связаны между
собой два циркулянта:
О3 . . . <ln_j ttn
ап ау а2 ... а-п-2 ап-\ ап-1 ап а1 • • • йп-3 йл-2
О4 ... ип
ах а2 а3 ... ап_1 ап
Д2 ^3 ^4 • • ' &п
^3 ^4 ^5 • • • ^2
ап а1 а2 • • • ап-2 ап-1
построенные из одних и тех же чисел alt а2......ап применением
круговых перестановок в двух противоположных направлениях.
Вычислить определители:
382*. ! 1 1 (!) (?) - (?)
Т) (”Г) •••(”;! Л-Н) (л+2) ... (ЛН ’) .2).
1 383*. (?) (?) - (» +«\ (р+л+1\ ’) (р-(-2л)
(Л п ) \ п ) ' " -л-(-1\ //> + л-|-2\ //> + 2л+1\
л J \ л / ’ ‘' ( « / •
—{— 2п \ / р —[- 2н —|— 1 \ I p-\-3n\
384*. j П J \ п ) ' ’ • (?) (?) - (; l л J ’.)
1 rt1) m - и ;‘).
1 (Р + «\ 1р + п\ (Р-] ( 1 ) 1 2 ) 1 -г H")
385*. р //и - п \ / т \ / т р / \р+1 / \р+«> ЬП («+1\ рл-Н^ Р / \Р + 1/ " \РЧ-л,
- 386*. j [-п\ + 1т-\-п'' Р / \/> + U “ \P + «j (?) 0 0 0
1 (?) (?) » 0
1 (?) (?) (1) 0 »
1 (?) (?) (?) - C)
1 m ct1) rt1, I-Ct1)
387—390) § 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ n-ГО ПОРЯДКА 51
387*. 2 3 4 • • • п
3 6 10 • • • n(»+D 2!
4 10 20 • • п (и 4-1) (л 4-2) 3! •
л (л 4-1) л (л 4- 1) (л4-2) л(л4-1)... (2л — 2)
2! 3! (л-1)!
388*. 1 0 0 0 ... 0 1
1 (!) 0 »— 0 X
1 (?) (?) » - 0 X2
1 (!) (?) (?) - 0 X3
1 (?) (?) (?) - / л U—1 ) х"
389*.
1 0 0 0 0 1
1 11 0 0 ' 0 X
1 2 2! 0 0 X2
1 3 3-2 31 0 X3
1 4 4-3 4.3-2 4! X4
1 л л(л— 1) л (л — 1) (л — 2) п(л—1)(л — 2)(л — 3) ... Xя
390*.
52
ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |391 -398
391*. 0 х х ... х 392. а х х . X
у 0 х ... х у а х . X
у у 0 ... х • У У а . X •
У У У ••• о У У У • а
393. х х ... х 394. 0 1 1 1 ... 1
у а2 х ... х 1 а1 х А . . . X
у у а3 ... х • 1 у а л . . . X
1 У У с 3 . . . X
У У у ... а,
1 У У У ••• ап
395. а. -J- ₽ ар 0 0 .. 0 0
2 а—|— р ар 0 .. 0 0
0 1 а + Р ар .. 0 0 •
ООО 0 .. а4~Р ар
ООО 0 .. 1 «4-р
396. а 4- 1 а 0 0 .. 0 0
1 а 4 1 а 0 .. 0 0
0 1 0-4- 1 о .. 0 0 -
0 0 0 0 .. 1 о-f- 1
397. п!о0 (о 1)1 О! п, X 0 — (га — 1) (га — 2)1 о2 0 X ••• ап ... 0 ... 0 -
0 0 0 ... X
398. cosec а 1 0 0 ... 0
1 2 cosec а 1 0 ... 0
0 1 2 cosec а 1 ... 0
О О О О ... 2 cosec а
399*. X 1 0 0 ... 0 0
п— 1 X 2 0 ... 0 0
0 п — 2 X 3 ... 0 0
0 0 п — 3 X ... 0 0
0 0 0 0 ... 1 X
400. аР — х аР+1— х .. аР+п~1 — х
аРлп— х дР + П+1 — х .. аР+2п~1 — х
ap+n(n-V)— х ... ар+п*~х — х
401. 1 — х а а2 ... С""1
а а2 — х а3 ап
а2 а3 а4 — х ... ди+1 •
а""1 ап ап*г .. . а2п~2 — х
402. а0 1 1 1 ... I 403. са b 1 Ь ... ь
1 ах 0 0 ... 0 а с, С 0 ... 0
1 0 а2 0 ... 0 • а 0 с2 0 ... 0
1 0 0 0 ... ап а 0 0 0 • • сп
404*. 1 — b — Ь —ь ... -ь
1 па — 2Ь — Зй ... — (п— Y)b
1 (п— 1) с а — 3ft ... — {п — \)Ь •
1 2а а а а
405*. (xi- «if • • & Й to
а1 (Х2 а2)2 ... а2 п •
а2 ••• (Хп-«»)2
406. (Xj а^)2 а^а^ аха п
^2^1 0^2 ^2^ ^2^3 • . а2а п
^3«1 Й3Й2 (Х3—Сз)2 . . а3а 1 •
«п«1 апа2 <z„o3 . (хп — л„)2
407*. 1-д, ^2 0 0 .. . 0
— 1 1-*2 ^3 0 ... 0
0 — 1 1-^3 ^ ... 0
о О О О ... 1— ьп
408.
О а2 а3 ... а„ 1\ 0 а3 .. . а„ ... а п
^2 ^3 • • • О
409*. 1 2 1 1 1 X 3 4 . 2 3 . 1 2 . п .. п 1 .. п — 2 •
1 X X х . .. 1
411*. аохп аох «о*2 о1хя‘ Ь1 ахх * О2ХЛ“2 0 ^2
аохп~1 аохп ауХ"- ‘2 а2хп-г 1 а2хп~2
412. х + 1 X X X x-j-2 X X X х 4-3 .
410*. 1 2 3 ... п
X 1 2 ... л— 1
X X 1 ... л - 2 •
X X х ... 1
• • ап-1х а„ ..О О
..О О
• • ^-1 О
• • an-ix Ъп
х
X
X
х X X . . . X 4 п
413.
X х X ... X4-2я
414. X + 1 X X . . X
X X X
X X X •
X X X 1 п
41Б. *4-» X X X
X х~Ь~а X X
X X х+«2 •• X •
X X X . х-\-ап
416*. («i-W1 («14- Ь2) 1 . •• («14-^л)"1
(«л + ^1) («л-W* - •• («л-W1
417*. 1 1 1
*1 — ах xt —as Х1 — ап
1 1 1
ХП «1 ХП «2 хп ап
418*. 4 1 3 1 п
1 1 2 3 1 1
4 fl 1
1 1 1 1
3 4 5 «4-2
1 1 1 1
п «4-1 «4-2 • ‘ • 2«—1
419*. о04-«1 «1 0 0 ... 0 0
«1 «14“ «2 «2 0 ... 0 0
0 «2 «г4~«з «з ••• 0 0
0 0 0 0 • • «л-1 «Л-1 + «л
420*. Получить закон составления развернутого выражения для континуанты n-го порядка!):
«1 1 0 0 .. . 0 0
—1 л2 1 0 .. . 0 0
(«1«2 • ««) = 0 — 1 «3 1 .. . 0 0
0 0 0 0 .. . —1
т. е. выражения в виде многочлена от av а2, .... ап. Написать в развернутом виде континуанты 4-го, 5-го и 6-го порядка.
§ 6. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа
421. Сколько миноров k-ro порядка содержит определитель порядка п?
422. Доказать, что при определении знака алгебраического дополнения можно пользоваться суммой номеров строк и столбцов не данного минора, а дополнительного к нему. Иными словами, если М— данный минор, М'— дополнительный минор, А — алгебраическое дополнение минора М, А' — алгебраическое дополнение минора М', то из А — еМ, где е = ± 1, следует А' — еМ.
423. Показать, что разложение Лапласа определителя порядка п по любым k строкам (столбцам) совпадает с его разложением по остальным п — k строкам (столбцам).
424*. Показать, что правило знаков, связывающее алгебраическое дополнение А с дополнительным минором М' минора М. можно формулировать так: пусть сц, а2, .... ак—номера строк, рр р2. • • •.
— номера столбцов минора М в определителе D порядка п, записанные в порядке возрастания, а
+ P ®й+2’ ••••«« И Pfe + p Pfe+21 • • •• Pn соответственно номера строк и столбцов дополнительного минора М', также записанные в порядке возрастания; тогда А — М', если под-
(аР а2......а„\
I четна, и А — — М, если эта подстановка Эр ₽2......Р« /
нечетна.
Польз 425. уясь теоремой Лапласа, вычислить определители: 5 1 2 7 426. 1 1 3 4 427. 0 5 2 0 3002 2008 8354 1345' 3002' 7241' 2003 4475 0410
') Название «континуанта» объясняется связью с непрерывными дробями, которая устанавливается в задаче 53Э.
428-438J § 6. МИНОРЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 57
428. 5 2 13 2 429. 2 1 4 3 5
4 0 7 0 0 3 4 0 5 0
2 3 7 5 3 • 3 4 5 2 1.
2 3 6 4 5 1 5 2 4 3
3 0 4 0 0 4 6 0 7 0
430. 7 2 13 4 431. 1 2 3 4 5
1 0 2 0 3 0 5 0 4 1
3 0 4 0 7 2 4 1 3 5 .
6 3 2 4 5 1 3 5 2 4
5 12 2 3 0 5 0 3 2
432. 1 2 0 0 0 0 433. 12 3 4 5 3
3 4 0 0 0 0 6 5 7 8 4 2
7 6 5 4 0 0 9 8 6 7 0 0
2 3 4 5 0 0 * 3 2 4 5 0 0 •
5 12 6 7 3 3 4 0 0 0 0
2 7 5 3 4 1 5 6 0 0 0 0
434. 7 6 5 4 3 2 435. 2 3 0 0 1 — 1
9 7 8 9 4 3 9 4 0 0 3 7
7 4 9 7 0 0 4 5 1—12 4
5 3 6 10 0 ' 3r 8 3 7 6 9
0 0 5 6 0 0 1 — 10 0 0 0
0 0 6 8 0 0 3 7 0 0 0 0
436. 1 0 2 0 3 0
5 14 2 7 3
1 0 4 0 9 0
8 15 3 7 6 ’
1 0 8 0 27 0
9 15 4 3 10
437. 1 1 0 0 438. 0 0 a b с
*i х2 cos a sin а 0 0 a' b' с'
У1 у2 cosp sinfi a a' Xj уз у2 *
*х z2 cosy sin у b 1/ у3 х2 У!
С с' у2 у, х3
58 ОТДЕЛ I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [439-446
439. 0 а Ь с 440. 0 а b с 441. 1 X X X
1 х 0 0 «'100 1 а 0 0
1 0 у 0 ' Ь' 0 1 0 * 10 0 0*
1 0 0 z с' 0 0 1 10 0с
442. 1 110 0
1 2 3 0 0
0 1111 •
0 Хх х2 хз хь
0 у2 у.2 у»2 у»2 Л1 л2 л3 л4
443. аи °12 а13 • • • а1, 2л-2 а1, 2л-1 «1, 2л
0 а22 а2 ••• а2. 2п-2 а2, 2л-1 0
0 0 «33 а3, 2п —2 0 0
0 0 «2л- 2,3 • • • а2п-2, 2п-2 0 0
0 °2л-1,2 й2л- , 3 ••• й2л-1, 2л-2 й2л-1 , 2Л-1 0
«2л, 1 «2п, 2 Й2л, 3 • • С2л, 2л —2 °2л, 2л-1 а2п, 2л
444. ап 1 «12 1 ... «1я 1
1 0 1 0 ... 1 0
а 21 Х1 а22 Х2 ... «2л Хп
Х1 о х2 О h о
а31 Х1 °32 х2 • • • a3n п •
0 х| 0 ... х2 0
ап1 х?-1 ап2 1 Пл х2~1 ... ап х"~1 Л пп п
х"~ 1 0 X"-1 0 ... х"-1 0
Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить следующие определители.
предварительно преобразовав их:
446*. 2—1 3 4—5 446. 5—5—3 4 2
4 —2 7 8 —7 —4 4 3 6 3
—6 4—9—2 3 • 3—1 5—9 —5
3—2 4 1—2 —77684
—2 6 5 4 —3 5—3 2—1 —2
447—453! § 6. МИНОРЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 59'
447. 2 1 2 3 2 448. 2 —3 5 —2 1
3 —2 7 5 — 1 3 2 5 —4 —3
3 — 1 —5 —3 —2 • —2 3 — 4 2 —3 •-
5 —6 4 2 —4 6 4 7 -8 — 1
2 —3 3 1 —2 2 — 1 7 1 5
449. 5 9—2 —4 5 450. 3 4 —3 —1 2
2—3 4 —3 3 —5 6 5 2 3
-5 —7 2 4 - -2 • 4 —9 —3 7 — 5
4—5 8 —6 8 — 1 —4 1 1 —2
6—5 3 —3 7 —3 7 5 2 3
451 1 1-fx X X X X 1 f X
х 14х X X 1 4- х X
X X • 1 -+-Х 1 + X . . . X X
X X 4-2х 1 X X
х 1-+2Х .. X X . . . 1 4 х X
1 Н-2х х X X . . . X 1 х
452 >). Оц с12 . • • л -1 ат 9 0 0 bln
°21 °22 • • • а2, п -1 0 0 0 ^2, л -1 ^2n
°л1 9 .. 0 о ^л2 . . . ^л, л-1 &nn
С11 С12 • •• с1.л -1 с1п 0 0 , . . 0
С21 с22 • С2, п- -1 0 0 0 ^2. л-1 ^2n
ся1 0 . 0 0 ЬП1 ^л2 . . . ^л л-1 ^лл
453. 1 1 . .. 1 X а2 — 1 ... а л-1 — 1 О л-1
1 1 . . . X 1 0,-1 «2 ... а л-1—1 О л-1
X 1 , . 1 1 о, — 1 а 2-1 ... а Л-1 1 оя
«1 — х ах . «1 «1 -«1 — О, ... — о, х—ах
0-2 X. ..а2 «2 — «2 — 02 ... х—а2 -о2
, ап а, х х—ап -оя ... ап оя
*) Порядок определителя равен 2л.
454. В определителе D четного порядка п — 2k выделим четыре минора А!,, Л12, А13, Л14 порядка k, как показано на схеме:
Mi М2
«11 . «1* аЬ й+1 ... a,„
«*1 • • «ftft ak, k+l • • ak< n
а1г+1, 1 • • «Л+1, k ak+l, ft+1 • • • ak+i, n
«л1 • • ank an, k+l • • • ann
М3 Mt
Выразить определитель D через миноры А1Р Л12, Л13, М4 в следующих двух случаях:
а) если все элементы Л12 или Л13 равны нулю;
б) если все элементы Л1, или Л14 равны нулю.
455. Пусть в определителе D порядка п — kl выделены I миноров порядка k, расположенные вдоль второй диагонали, т. е. лежит в первых k строках и последних k столбцах. Л12 в следующих k строках и предыдущих k столбцах и т. д., наконец, М( — в последних k строках и первых k столбцах.
Выразить D через Л1р Л12, .... Mt, если все элементы D, лежащие по одну сторону от указанной цепочки миноров, равны нулю.
456. Пусть в определителе D порядка п выделены k строк и I столбцов, причем I <1 k и все элементы выделенных I столбцов, не лежащие в выделенных k строках, равны нулю. Показать, что в разложении Лапласа определителя D по выделенным k строкам нужно брать только те миноры порядка k, которые содержат выделенные I столбцов; утверждение, полученное переменой роли строк и столбцов, также верно.
457. Пользуясь теоремой Лапласа, решить задачу 206.
458. Доказать, что
Оц 0 а12 0 ... а1п 0
0 Ьп 0 Ь12 ... 0 Ь1п
«21 0 «22 0 • • • а2п 0
0 />21 0 Ь22 • • • о Ь2п
ат 0 ап2 0 ... апп 0
0 Ьп} о ьп2 ... о ьпп
ап «12 • • • а1п ^11 ^12 • • •
ап1 ап2 • • • апп Ьп1 Ьп2 • • • ^пп
459*. Вычислить определитель порядка k-\-l:
3 2 0 0 0 0 0 0
13 2 0 0 0 0 0
0 13 2 0 0 0 0 k строк.
0 ... 13 20 ... 0
0 ... 02 53 ... 0
О . о ’ о . О • 2 5 3 0
1 строк.
0 0 0 0 0 2 5 3
0 0 0 0 0 0 2 5
460 Написать разложение континуанты (сравнить с задачей 420)
порядка л
о, 10 0. 0 0
—1 а2 1 0 ... 0 0
(«р а2 ап) = 0—1 а3 1 ... 0 0
0 0 0 0 ... 1 ап
по первым k строкам. Какое свойство чисел Фибоначчи (задача 365) получается отсюда при п = 2й?
461. Не раскрывая скобок, доказать, что равенство
(ab' — a'b) (cd' — c'd) — (ас' — а'с) (bd' — b'd) -f-
-f- (ad' — a'd) (be' — b'c) = 0
справедливо при любых значениях a, b, с, d, a', b', с', d'. 462*. В матрице
Оц ... aln Oi,я+1 ...
оЛ1 ... апп ап, n+i ... ап- 2п
содержащей п строк и 2и столбцов, берем любой минор М. порядка п, содержащий, по крайней мере, половину столбцов левой половины матрицы..
Пусть а — сумма номеров столбцов минора М и пусть М'—минор порядка п, составленный из остальных столбцов матрицы. Доказать, что S(—1)аЛ1Л1' = 0, где сумма берется по всем минорам М указан-
463*. Показать, что три определителя
CjXj Ьгх , OjXr bf x2 arx3 bYx3
b2x i а2х2 b2 x2 a2x3 b2X3
Д.У1 ^у2 «1Уз Ь1У ’з
D — О2У1 Ь2У 1 Й2У2 ^гУг °гУз 3 »
2^t bjZ , axz2 bxz2 axz3 bxz3
а2гг b2z 1 a2Z2 ^2 z2 a2z3 b2z3
Xi X2 x3
6 = ai И Д = У1 Уг Уз
#2 ^2
Z1 z2 z3
связаны равенством О = б3Д21).
464*. Пусть
и
f (х) = а0 -|- о,х -j- а^х2 -j- о3х3 4 о4х4,
g (х) = Ьо -}- Ьхх -}- Ь2х2 + Ь3х3 4- А4х4, А (х) — с0 + Cj х 4- с2х2 4- с3х3 4- с4х4
(х — а) (х — р) (х — у) = х3 4- рх2 4- QX 4- г.
Показать, что:
a0 «1 o2 a3 a4
/(a) /(₽) /(Y) 1 a a2 A) ^2 ^3 b4
g(a) £(P) §(¥) =1 P ₽2 • Co Cl C2 C3 Ci
h (a) h (P) h (у) 1 у V2 r 4 P 1 0
0 r 4 P 1
465. Говорят, что определитель
Оц . . . О1я Xjj ... xlft
Сд1 ... апп xni ... х^
Ун • • У1л 0 ... О
Ум Укп 0 0
получен окаймлением при помощи k строк и k столбцов из опреде-лителя
Д =
Оц . . . О-1П
ап\ • • • апп
*) Обобщение этого свойства дано в задаче 540.
466—467] § 1- УМНОЖЕНИЕ определителей 63
Показать, что при k > п D — Q, а при k-^n D является формой (т. е. однородным многочленом) степени п — k относительно элементов atj определителя А и формой степени 2 k относительно окаймляющих элементов Хц, ytj, коэффициентами которой служат алгебраические дополнения миноров k-ro порядка в определителе А. А именно, доказать, что О = (—1)*2Лг?2... ... /fcXZi,2 ... jk, где
z... jk есть алгебраическое дополнение минора определителя А, стоящего в строках с номерами iv 12, .... 1к и в столбцах с номерами j\, j2, ...» Jk. a Xt t ., и Yj , ... j—миноры onpe-делителя D, составленные из окаймляющих элементов и лежащие в строках (соответственно столбцах) с указанными номерами. При этом сумма берется по всем комбинациям индексов, изменяющихся от единицы до п при условии, что /, < t2 < ... < ik, j\ < j2 < ... < Jk.
466*. Доказать следующее обобщение теоремы Лапласа: если строки определителя га-го порядка D разбить на р систем без общих строк, причем в первую систему входят строки с номерами aj < а2 < ... < ак. во вторую — строки с номерами aft+i<aft+2< ... < aft+l и т. д., наконец, в последнюю—строки с номерами an_J+1 < а„_5+2< • • <an> если затем в матрице первой системы строк взять минор Мг порядка k, лежащий в столбцах с номерами р, < р2 < ... < во второй матрице минор Л12 порядка I, лежащий в столбцах с номерами 0ft+1 < pft+2 < ... < pfe+l, отличными от номеров столбцов Mv и т. д., наконец, в последней матрице—минор Мр порядка s, лежащий в оставшихся столбцах с номерами p„_s+1 <p„_s+2< ... < pn, и если затем составим произведение ... Мр, где е = -f-1,
если подстановка
а, а2 ... а„ ,Р1 ₽2 • • • Рл>
(1)
четная, и е — — 1, если эта подстановка нечетная, то определитель D равен сумме всевозможных произведений такого вида. То, что это утверждение обобщает теорему Лапласа, следует из задачи 424.
§ 7. Умножение определителей
467. Перемножить определители
1 2 3 2 —3 1
3 4 2 и 1 —4 3
4 5 4 1 —5 2
всеми четырьмя возможными способами (т. е. умножая строки или столбцы первого определителя на строки или столбцы второго) и
проверить, что во всех случаях значение полученного определителя
равно произведению значений данных определителей.
468. Вычислить опр еделитель а b —b а —с —d —d с — с d а -Ь d —с Ъ а
путем возвышения его в квадрат. 469. Вычислить определитель
а b c d e f g h
—Ь a d —c f —e —h g
—с - -d a b g h —e -f
—d c —b a h —g f —e
—е - —g —h a b c d
-f e —h g —b a —d c
~g h e -/ —c d a —b
—h - -g f e —d —c b a
путем возвышения его в квадрат.
Вычислить следующие определители, представляя их в виде произведений определителей:
1 4* Х1У1 1 + • • • 1 + Х1Уп
1 4" Х2У1 1 Ч" Х2У2 • • • 1 + х2Уп
470*.
471.
472.
473.
1 + х„у} 1 4- х„у2 ... 1 4 х„уп
cos (И] —Pj) COS(d] — ₽2) ... cos(ctj —0,;) cos(a2 —₽j) cos(a2—02) ... cos(a2 —₽„)
cos(a„ — ₽j) cos (d„ — 02) ... cos (d„ - ₽„)
1 cos (a, — d2) cos (aj — d3) ... cos (d2 — art) cos (dj — a2) 1 cos (a2 — a3) ... cos (a2 — a„)
cos (сц — a3) cos (a2 — a3) 1 ... cos (a3 — d„)
cos (dj — d„) cos (d2 — d„) cos(d3 — d„) ... 1
sin 2d] sin(d]4-a2) ••• sin(di4-an) sin(d2-|-d1) sin2d2 ... sin(d24-Ид)
sin(d„4dj) sin (пл 4 <*2) ••• sin2d„
474. 1 лп!,Л 1 Cl j & j 1 —
t—« >—* Ь & & 1 — \—а%$ к cs •О -С1 в V* 1 1 г—< Т—М • •
1 —а2Ь2 1 — а2Ьп
1-«И 1~«Х i-«Z
1 — ®Л*1 1 — ОпЬ2 1 ап^п
476. («о 4~ Ь0)п («1 4* V («о+А)" («iW ... (а0+Ьп)п • • • («1 4* &я)Я
(а„4-й0)п («л+^)” ... (ал + 6л)л
476*. i"-! 2я-1 ... пп 1 ... (л4-1)"-1
1 к СО 1 с СЧ
477. 478*. л"-1 (П4-1)Я-1 $0 S1 s2 • ®1 s2 • §2 s3 s4 ’ sn-l sn sn+l • s0 S1 ®2 • • ®2 s3 • • S2 s3 S4 . . sn sn+l sn+2 • • «р ' «о Ч ? ’ 1 i • t 2 Д s Ч, • - | ; _< S "“"a • 5 а । « 7 со ft = x?4-x»4- ... 4-х*. sft=x»4-x*4--..4-x*.
479*. Доказать, что значение циркулянта определяется равенством &j ^2 ^3 • • • ^л ап а1 а2 • • • «л-1 «л-1 «л «1 • • • «л-2 = / (ei) / (ег) • • • / (ел)» «2 «3 «4 . . •
где f (х) = Cj 4- а.2х 4- asx2 4~ ... 4-«лХя-1 и Ei. е2.ел— все
значения корня n-it степени из единицы.
480. Доказать, что при обозначениях предыдущей задачи
tZj о2 аз • • ап
а2 а3 а4 • • • а1
tJg G>^ СЬ^ . • •
Од Oj o2 . . . On_j
(л-1) (л—2)
==(-1) 2 /(ej)/^) ... /(e„).
481*. Вычислить определитель
1 a a2 ... a"-1
a"-1 1 a . . . a"-2
an-2 an-l 1 . . . ал-3
a a2 a3 ... 1
482. Пользуясь результатом задачи 479, вычислить определитель
а b ... b b а ... b
b b ... а
483. Пользуясь результатом задачи 479, вычислить определитель
abed d a b с
с d b с а b d а
Вычислить определители:
484. 1 ci с2я .. ^п-1 1
1 1 ci .. —2 ' '-'Л —1 Ьд
Ьд 1 1 .. >-»л—3 • '-'Л хл fl—2 Ьд
С1 '-'л О а w • 1 1
485. 1 2а Зо2 . . . пап~}
пап- -1 1 2а ... (п — 1)оя
2а Зо2 4a3 • • . 1
486*. Доказать равенство
У — Д] У • У Дл
у — Дл у — Д1 ... у — д„_1
S • — “ ^3 • • •
= (-1)я-1(п—!)
Д] Д2 • • • ап
Д2 Д3 . .. Д]
где s — a^-1-д2+ ... —|-дл. Вычислить определители:
(р столбцов)
(п — р столбцов)
487*. — 1 —1 —1 ... —1 1 1 ... 1 1 1 —1 —1 ... —1 —1 1 ... 1 1 — 1 —1 —1 ... 1 11 ... 1 —1
(р столбцов) (п — р столбцов)
488*. д а а ... д b b ... b ь
b а а ... д а Ь ... b ь
b b д ... д а а ... ь ь
а а а ... b b b ... b а
489*.
л cos-
—1
(п — 1) л
cos --------—
п
2л cos — п Зл cos — . re - 2л —1 (п — 1) л
л
cos п cos п .. cos п
1 cos л п .. cos (re — 2) л п
cos 2л n 3л cos — n 4л cos — ... c< n Л Э8 /2
490*. COS0 cos 20 cos 30 cos П0
cos n0 cos 0 cos 20 ... cos (n — i) 0 •
cos 20 cos 30 cos 40 COS0
491.
sinfi sin(fi-|-A) sin(a+2A).. .sin[a+(«—1)Л]
sin (д—|—(л—1)Л] sinfi sin(fi + й).. .sin2)Л]
sin (д h) sin (д—2А) sin (а—|—ЗЛ)... sin д
492*.
Р 22 З2 ... «2
П2 I2 22 ... (П— I)2
(П— l)2 Л2 р ... (П —2)2 -
22 3242... I2
493*. Вычислить косой циркулянт (или косоциклический определитель) «т «2 аз • • • ап
ап ах а2 • •. an-i
ап-1 ап а1 ••• ап-2 ’
494. «1 а2 а2 — а3 — «з • • • ап tz4 ... ах
«„г «п-1* ai anz а2 ••• an-i а1 •• ап-2 , где z — любое число.
a2z a3z a4z ... «1
495*. Доказать, что циркулянт порядка 2п с первой строкой из
элементов alt а2....д2л-1- а2п Равен произведению циркулянта порядка п с первой строкой из элементов al-j-a„+1, a2-i~a„+2......
а„ 4“ а2п и косого циркулянта порядка п с первой строкой из элементов аг «п + 1- а2 ап+2........ап — а2п-
496*. Перемножая два определителя
Х1 х2 х3 х4 У1 У2 Уз У4
Х2 — Xj х4 х3 У2 — У1 — У4 Уз
Хз Х4 — Х1 х2 Уз У4 — У1 — У2
Х4 — Хз х2 х4 У4 — Уз У2 — У1
доказать тождество Эйлера:
(%24 Х2 + ^+^)(У?4-У14- уН =
= (-ЧУ1 + Х2У2 4- хзУз + хлу>$ 4~ (*1У2 — -«2У1 — *зУ4 + х4>’з)2 4-
4- О1У3 4- ^2>’4 — *зУ1 — *4Уг)2 4- (*1У4 — хгУ4 4* *зУ2 — *4У1)2-Какое свойство целых чисел отсюда вытекает?
497*. С помощью умножения определителей доказать тождество
(а3 4- Ьз _|_ c^—iabc) (а'3 + Ь'3 + с'3—За'Ь'с') = Д34~ ВЗ_|_Сз_3
где А = аа'-\-bc'-\-cb', В = ас'-\-bb'-\-са', C — ab'-\-ba'-\-cc'. Какое свойство целых чисел отсюда вытекает?
498*. При обозначениях предыдущей задачи доказать тождество (а2 4“ Ь2+с2 — ab — ас — Ьс) (а'2 -|- Ь'2 -|- с'2 — а'Ь' — а'с' — Ь'с') = = А2 4- В2 + С2 — А В — АС — ВС.
499*. Доказать следующее обобщение теоремы об умножении определителей. Пусть даны две матрицы
каждая из т строк и п столбцов.
Комбинируя строки одной матрицы со строками другой, п
C[j — У. alkbjk, составим определитель m-го порядка
полагая
С11 с12
С21 с22
с1т
с2т
ст\ Cm2 • • Стт
Далее обозначим через A, i , и В,- , » соответственно
* ц, t*,..., ip »2,....
миноры т-го порядка матриц А и В, составленные из столбцов этих матриц с номерами lv 12, ..., 1т в том же порядке. Тогда
D— S Al, i2,.... i Bi i..i (1)
KZ1</2<...<7m<n 12 т 1 2 т
при т^п (формула Бинэ — Коши), т. е. определитель D равен сумме произведений всех миноров порядка т матрицы А на соответствующие миноры матрицы В. При т > п
D = 0. (2)
600*. Доказать утверждение (2) предыдущей задачи, пользуясь теоремой об умножении определителей.
501*. Не производя умножения, доказать тождество Коши:
(а1с1 + а2сг+ ••• + апсп) (^1^1 + ^2 + ••• +^/А) —
(^1^1 + «2^2 + • • • + andn) Ohcl 4- Ь2С2 4- • • • + bnC^) —
1<I< k
502. He производя умножения, доказать тождество Лагранжа: (« \ / п \ f п \2
&?) —(2 ел) = 2 (afik — akbi)2.
» = 1 / V = 1 / \Z = 1 /
503*. Доказать, что для любых действительных чисел ^2.....................ап и bit b2........ bn
справедливо неравенство
(«?+4+- •+<>9(f?+ti+-+Ч)>(«,
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда одна из данных систем чисел отличается от другой лишь числовым множителем (быть может равным нулю). (Неравенство Коши — Буня-ковского.)
504*. Доказать, что для любых комплексных чисел at, а2.....ап
и dj, b2, • •. Ьп имеет место равенство
(п \ / п \ I п \ / п \
2 2 ькьь\—(2 2
fe-1 / \fe-l / \ы /\fe-l / __ ______
= 2 ^jbk — akbj) {ajbk — akb}).
505*. Доказать, что для любых двух систем комплексных чисел alt а2....ап и bv Ь2......Ьп справедливо неравенство
(п \ I п \
2 KI2 2 IM2 >
k=l / \k=\ I
п 2
2 ak^k • k=i
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда числа одной из данных систем отличаются от чисел другой лишь числовым множителем.
506*. Взаимным (или присоединенным) определителем к определителю D порядка n > 1 называется определитель D', полученный из D заменой всех его элементов на их алгебраические дополнения (с сохранением прежнего расположения).
Доказать, что
D' = Dn^- (1)
507*. Пусть М — минор порядка т определителя D, А — алгебраическое дополнение Л1, М' — минор взаимного определителя D', соответствующий минору М (т. е. составленный из алгебраических дополнений элементов определителя D, входящих в М). Доказать равенство М' ~Dm~^A.
Если условиться дополнительный минор ко всему определителю D
считать равным 1, то это равенство будет обобщением равенства предыдущей задачи (при т = п).
508*. Пусть С—минор (п — 2)-го порядка, полученный из определителя D вычеркиванием i-й и j-й строк и Л-го и 1-го столбцов, причем I < j и k < Z; Apg, как обычно, — алгебраическое дополнение
элемента ард. Доказать, что
Аи
Aji
Aik
Ajk
lDC.
= (-!)'
509*. Показать, что если определитель D равен нулю, то все строки (а также столбцы) взаимного определителя пропорциональны.
510*. Пусть aLj — элемент определителя D порядка п и Ац— алгебраическое дополнение соответствующего элемента Atj определителя D', взаимного с D. Показать, что a'ij — Dn~2aij.
511*. Пусть M— минор порядка т определителя D порядка п, М' — соответствующий М минор взаимного определителя D' и А'— алгебраическое дополнение минора Л1'. Доказать, что А' = Это — обобщение равенства предыдущей задачи.
512*. Зная миноры всех элементов определителя D, отличного от нуля, найти его элементы.
513*. Пусть
Sk — Xi -J-X2 -j- • • • Хп (Л=1, 2, 3, ...), Р = хгх2 ... x„.
Показать, что
п +1 si s2 . . • S„ n Si S2 • • • Sn-l
«1 s2 s3 . . sn+l «1 S2 s3 ... Sn
S2 s3 s4 .. sn+2 =P2 S2 S3 s4 • • • Sn+1
Sn Sn+1 sn+2 • • • S2n sn-i S„ Sn + 1 • • • S2n-2
514. Показать, что если
ап — х а12 а1п
а21 @22 X ... й2п
а\п а2п • • • апп X
то произведение О(х)-£)(—х) можно представить в виде
Лп х2 А12 ... Л1я
^21 ^22 — Х’2 - • • ^2п
*
^4д1 ^п2 ' • • ^пп X2
где все Ац не зависят от х. Найти выражение Atj через дм.
515*. С помощью умножения определителей доказать, что при перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.
516*. С помощью умножения определителей доказать, что определитель не изменяется, если к одной его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число с.
617*. Показать, что определитель
1 cos <р3 cos <р3 1
cos <р2 COs Ф1
cos <р2
cos q>j
1
равен нулю, если ф1 Ч-ф2-4-ф3 = О.
518*. Пусть Z2, Z3 и /Пр т2, т3— косинусы углов двух лучей с ортогональными осями координат и ф —угол между этими лучами. Доказать, что sin2<p = (Z1/«2 — Z2wi)2 + (^2тез—Z3/n2)2-j-(Z3/w(— Zj/n3)2.
519. Пусть Bp Pp Yp a2, fl2- Тг’> аз- Рз- Тз~ углы трех лучей £р L2, L3 с ортогональными осями координат и 'пусть углы этих лучей между собой будут Ф1=Д (Z-2, Z-3), Фг=Д (^з» й). Фз=Д(^п Доказать, что
cos cq cosa2 cosa3
COS Pi cosp2 cos₽3
cosYi 2
cosy2
COSY3
= 1 COS2 ф, COS2 ф2 COS2 Фз + 2 COS <P1 COS ф2 COS ф3.
520*. Пусть (Xp У]), (x2, y2), (x3, y3) будут прямоугольные координаты точек Жр Ж2, Л13 на плоскости. Показать, что определитель
Xi у! 1
х2 у2 1
х3 Уз 1
не изменяется при повороте осей координат и переносе начала. Пользуясь этим, выяснить его геометрический смысл.
521*. Пусть (Хр У1) и (х2, у2)— прямоугольные координаты двух точек М1 и Ж2 на плоскости. Выяснив геометрический смысл опре
делителя
X!
х2
, узнать, меняется ли он при повороте осей и
>2
при переносе начала координат?
522*. Вычислив произведение определителей
Х1 У1 R — Х1 —У1
х2 у2 R • — Х2 — у2
х3 Уз R — х3 —Уз
R
R
R
получить выражение радиуса описанного круга через стороны а, Ь, с и площадь 6’ треугольника.
523*. Пусть eq, а2, а3; р4, §2- 0з» Ti> V2. Уз— соответственно косинусы углов трех попарно ортогональных лучей ОА, ОВ, ОС с осями прямоугольной системы координат Ох, Оу, Oz. Доказать,
что определитель
«1
01
а2
02
«з
0з
причем знак плюс будет
Vi V2 Уз
в случае одинаковой ориентации триэдров О АВС и Oxyz (это означает возможность при вращении фигуры О АВС совместить О А с Ох, О В с Оу, ОС с Oz) и минус — в случае противоположной ориентации (это означает, что при совмещении ОА с Ох и ОВ с Оу лучи ОС и Oz окажутся противоположно направленными).
524*. Пусть (Хр Ур Zi), (х2, у2, z2), (х3, Уз, г3)— координаты трех точек ТИр Л12, УИ3 пространства. Показать, что определитель
%1 У!
х2 у2 z2
*з Уз гз
не меняется при повороте системы координат (которая предпола-
гается прямоугольной) и выяснить его геометрический смысл.
525*. Найти выражение объема V параллелепипеда через длины а, Ь, с его ребер, проходящих через одну вершину и углы а, р, у, образуемые этими ребрами. (Угол а образован ребрами длины b ис; р образован с и а', у образован а и Ь.)
526*. Пусть /р l2, l3; mlt т2, т3, пх, п2, п3—соответственно косинусы углов лучей ОА, ОВ, ОС с положительными полуосями прямоугольной системы координат Ох, Оу, Oz.
Доказать, что для компланарности (т. е. для расположения
в одной плоскости) лучей
выполнение условия
/1
«1
ОА, ОВ и ОС необходимо и достаточно h т2 и2
h
т3
= 0.
527*. Пусть (xz, yz, Z[) — прямоугольные координаты точки Afz пространства (д=1, 2, 3, 4). Показав, что определитель
Xi У! Zi 1
х2 у2 z2 1
Хз Уз Ч 1
х4 у4 z4 1
не меняется при переносе начала координат, выяснить его геометрический смысл.
528*. Перемножая определители
Xi У1 *1 R — X, —У1 ~Z1 R
х2 У2 *2 R — X2 — У 2 — z2 R
х3 Уз Z3 R И — хз — Уз ~z3 R
х4 У4 Z4 R — x4 — у4 — z4 R
получить выражение радиуса шара, описанного около произвольного тетраэдра, через объем и ребра тетраэдра. В частности, найти из полученного выражения радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с длиной ребра, равной а.
§ 8. Различные задачи
529*. Показать, что определитель порядка п допускает следующее аксиоматическое определение (эквивалентное обычному).
Любую строку из п чисел1) будем называть вектором и обозначать одной буквой жирного шрифта. Сложение двух векторов и умножение вектора на число определяются, как обычно, т. е. если
a = (ob а2.....д„) и Ь = (ЬХ, Ь2.....Ьп),
то
о b — («j -|- ftp a2-|-ft2,-.... an-]-ftn),
если с—число, то ca — (caIt са2......са„).
Функция /(ар а2, ..., а„) от п векторов с числовыми значениями называется линейной по каждому аргументу (или короче полилинейной), если
/(«г.....e'a^ + с''а'.....ап) =
= c'f^al.....а\.......cQ-\-c"f(ax.......а"......ап) (а)
для любых входящих сюда векторов, любых чисел с', с" и любого I = 1, 2, .... п. Далее назовем функцию обладающей свойством аннуляции, если
/(«!.....az.......Oj......ап) = 0 при af = ay; (Р)
Z, /=1, 2......п, i^J.
Пусть et(l— 1, 2, .... л)— вектор, у которого на Z-м месте стоит единица, а на всех остальных местах нули. Функция f (ap а%...ап)
называется нормированной, если
/(вр е2.....е„)= 1. (у)
*) Вместо чисел можно рассматривать также элементы любого поля Р.
Пусть дана квадратная матрица порядка п
и | А | — ее определитель в обычном смысле, т. е. ИI = 2(— 1/aUfl2i2 ... anin,
где сумма берется по всем перестановкам lv 1$, .... 1п чисел 1, 2.....п и s — число инверсий в каждой перестановке.
Показать, что
1) определитель | А | как функция строк матрицы А обладает свойствами (а), (р), (у);
2) любая функция п векторов, обладающая свойствами (а) и (р), удовлетворяет равенству f (av а2.....а„) == | А 1/(6,, е2, .... еп),
где А — матрица со строками ар а2, .... ап;
3) любая функция / (аР а2, .... ап), обладающая свойствами (а), (Р), (у), равна определителю | А | матрицы А со строками ар а2 ап. Иными словами, определитель | А | матрицы А есть
единственная полилинейная, со свойством аннуляции, нормированная функция ее строк.
530*. Пользуясь утверждением 2) предыдущей задачи, доказать теорему об умножении определителей.
531, Показать, что для функций п векторов над полем характеристики, отличной от 2, свойство (Р) при наличии свойства (а) эквивалентно знакопеременности функции, т. _е.
/(«1.............. «р • • •• «„) = — /(«!......... az. .... а„)(Р')
для любых векторов и любых I, j—\, 2, .... n, Построить пример функции п векторов над полем Р характеристики 2, обладающей свойствами (а), (Р') и (у), но не обладающей свойством (р).
532*. Вычислить определитель
1 1 1 1 ... 1
1 е е2 о П — 1 е3 ... е
1 е2 е4 Е® ... Е2'"-0 2л ... 2л , где e = cos kisin —.
1 Е3 е® & ... Е3("-1) /г 1 п
1 е"-1 е2(п-1) Е3(Л-1) ... £(Л-1)2
533*. Как изменится определитель, если в нем выделить k строк (или столбцов) и из каждой из них вычесть все остальные выделенные строки?
Б34. Определитель
°11 + Х а12~^~х ••
D = П21 + Х а22 “Ь х • • а2п~\~х
ащ + х аП2 + х .. • аг.п^Х
представить в виде многочлена, расположенного по степеням х.
535*. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя
°ц °12 • • • а1п ^21 ^22 • • • &2п
ап1 ап2 • • • апп
равна определителю
1 1 ... 1
°21 °1I й22 °12 а2п а1п
а31--аП а32--а12 ••• с3л--а1л ’
ДЛ1 С11 ап2 а12 ••• йлл а1л
536*. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя не изменится, если ко всем элементам прибавить одно и то же число.
537*. Доказать, что если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических Дополнений всех элементов определителя равна самому определителю.
538. Доказать, что кососимметрический определитель четного порядка не изменится, если ко всем его элементам прибавить одно и то же число.
539*. Установить следующую связь континуант (развернутое выражение континуанты дано в задаче 420)
«1 1 0 0 ... 0 0
— 1 4^2 1 0 ... 0 0
• «л) = 0 — 1 G3 1 ... 0 0
0 0 0 0 ... —1 ап
с непрерывными дробями:
__ (Л 1^2 • • • ^л) (а2аз ... ап)
540*. Пусть даны два определителя:
«и С]2 . .. а1п
Й21 а22 • • • а2л
П
и
Йл1 йп2 • • • ®пп
^11 ^12 • • • &1р ^21 ^22 • • • &2р
ПОрЯД'.Д
порядка р.
&р! Ьр2 ' ' ‘ Ьрр
Составим определитель порядка tip:
ЙП^11 • • • й1л^11 йп^12 • • а1п^}2 • • ' а11^1р • • • O-trfitp
Й21^И • • • a2rfi\\ й21^12 • • • а2пР\2 • • й21^1р • • • a2tfi\p
йл1^П • • • ^nrfiw йл1^12 • • • йлл^12 • • ‘ ^n'filp • • • ^nn^ip
)__ й11^21 ••• aln^21 c11^22 ••• ••• all^2p ••• aln^2p
fl21^21 • • • a2np2\ °21^22 • • • a2n^22 • • • a2\^2p • • • a2np2p
an\^2\ ••• ann^2l ап^22 апп^22 •• anl^2p •••ann^2p
anl^pl • • • ann^pi an\bp2 • • • anifip2 • • • an]bpp • • • anrfipp
Таким образом, матрица определителя D состоит из р2 клеток по п строк и п, столбцов в каждой. При этом клетка, стоящая в l-й клеточной строке и /-м клеточном столбце (для любых /,/=1,2.......р),
получается из матрицы определителя А умножением всех ее элементов на Доказать, что D— АрВп. Определитель Оказывается кронеке-ровским произведением определителей А и В (см. задачи 963, 965).
541. Доказать следующее правило разложения окаймленного определителя: если
йп й12 • • • а1п
D = a^i а22 • • а2п
®п1 йп2 • • • йпп
и Ац — алгебраическое дополнение элемента а^, то
°11 й12 • • • а1п Х1
а21 а22 • • • а2п Х2
ап1 ап2 ‘ • • апп хп
У1 У2 Уп Z
п
= Dz~ S ^их1Уг I,
542*. Пусть элементы определителя D являются многочленами от неизвестных xv х2, х3 с числовыми (или из произвольного поля Р) коэффициентами, причем D — 0. Доказать, что алгебраические дополнения элементов определителя О можно представить в виде Ац~ AtBj, I, J—1, 2, .... п, где все At и Bj— многочлены от хр х2, xs. Найти эти многочлены для определителя Д:
b с
0
0
а
0
— с
Д =
где за неизвестные приняты а, Ь, с.
543*. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать, что кососимметрический определитель четного порядка является квадратом некоторого многочлена от его элементов, стоящих выше главной диагонали.
544*. Показать, что если в общем выражении кососимметрического определителя каждый элемент ait при у > I заменить через — ац, то сократятся все члены, подстановки из индексов которых при разложении на циклы дают хотя бы один цикл нечетной длины.
545*. Пусть D — кососимметрический определитель четного порядка п с элементами а^ — — 0^(1, j~^. 2, .... п). Пфаффовым произведением определителя D называется произведение
г a. i ... a, t 12 3 4 /1 — 1* Л
в котором индексы п элементов, в него входящих, образуют перестановку /j, Z2, .... 1п чисел 1, 2, .... п‘, е = -|-1, если эта перестановка четная, и е, — — 1, если нечетная. Пфаффово произведение называется приведенным, если оно состоит только из элементов, лежащих в D выше главной диагонали (т. е. если у каждого элемента первый индекс меньше второго). Член определителя D назовем существенным, если подстановка из его индексов имеет только циклы четной длины. Пара приведенных пфаффовых произведений jVp jVj (в данном порядке) называется соответствующей данному существенному члену определителя D, если она построена по этому
члену следующим образом. Пусть подстановка из индексов данного члена записана в циклах так:
••• ah- 1ал)(Р1Р2 ••• Pg--iPg) ••• (М1Н2 ••• (1)
причем а, = 1 и каждый цикл, начиная со второго, начинается с наименьшего числа из чисел, не вошедших в предыдущие циклы. Строим пфаффовы произведения
М = еха01> aaOv с4 ... «Д. fft, f, ••• a3g_,. Bg
• • • «н,, ц2ац3, ц4 • t, U(( и
N2 = e2aO2, a3aati а. • • aafi> p5 • • • ...
• •' °b2. n3%, n6 • • • ank, Pl»
затем каждый элемент atj, где Z> J, заменяем через —ду7.
Соответственно меняется знак е, или е2, но меняется и класс перестановки, так что при каждой замене мы снова получаем пфаффово произведение. Выполнив в N[ и ЛД все указанные замены, мы и получим пару Nlt приведенных пфаффовых произведений, соответствующую данному существенному члену D.
Доказать, что:
1) Любая пара приведенных пфаффовых произведений (различных или одинаковых) соответствует одному и только одному существенному члену общего разложения определителя D. (В общем разложении Г) члены, получающиеся один из другого заменами типа atj=—а^, считаются различными.) Иными словами, установлено взаимно однозначное соответствие между всеми существенными членами и всеми парами приведенных пфаффовых произведений определителя D.
2) Каждый существенный член равен произведению приведенных пфаффовых произведений соответствующей ему пары.
3) D — р2, где р — сумма всех приведенных пфаффовых произведений, называемая пфаффовым агрегатом или пфаффианом определителя D.
Б46*. Доказать следующую рекуррентную формулу, удобную для вычисления пфаффова агрегата, определенного в предыдущей задаче. Если рп — пфаффов агрегат . кососимметрического определителя Dn—\atj\ четного порядка n>2, a pin — пфаффов агрегат определителя Dln, полученного из Dn вычеркиванием n-й и х-й строк, а также соответствующих столбцов, где I = 1, 2, .... п — 1, то
п—1
Рп ~ 2 ( D Plnaln> p2~aV2-
Показать, что р1п получается из рп_2 увеличением на 1 всех индексов элементов, больших или равных I.
547. Пользуясь формулой предыдущей задачи, вычислить пфаф-фианы р2, р4, р6.
548. Пользуясь формулой задачи 546, найти число слагаемых пфаффова агрегата рп кососимметрического определителя Dn четного порядка п, т. е. число различных приведенных пфаффовых произведений определителя Dn (произведения, различающиеся лишь порядком сомножителей, различными не считаются).
549*. Пусть D — кососимметрический определитель нечетного порядка п с элементами atj (Z, /'= 1, 2, .... и), Мц— минор элемента aZy, п+1—пфаффов агрегат минора Мп. Показать, что
Mt] = pti n+ipj,n+i (б J — !• 2....n). Далее, показать, что за
многочлены At, Bj задачи 542 (при условии, что неизвестными .... xs считаются элементы D, стоящие выше главной диаго-
нали) можно принять А[ = (—0г1Рг,п+р £/ = (—п+г
0 а b
Проверить, что для определителя
0 с
— с 0
этим путем
— Ь
получается тот же результат, что и в задаче 542 (если учесть, что в задаче 542 А1 и Bj определены с точностью до изменения знака у всех этих многочленов).
550*. Доказать, что определитель общего вида, рассматриваемый как многочлен от своих элементов, принятых за неизвестные, не разлагается на два множителя, каждый из которых есть многочлен от тех же неизвестных степени, отличной от нуля. Иными словами.
определитель является неприводимым многочленом от своих элементов и притом над любым полем.
551*. Пусть £>=|aZy|—определитель порядка и > 1, k—любое
п (n\—Ck— ni n'\k) п kl(n — k)l
из чисел 1, 2,
обозначим через
s2, .... s,n^ всевозможные сочетания из п чисел 1, 2,___ п пой,
(л)
занумерованные в произвольном, но в дальнейшем неизменном порядке (для определенности числа в каждом сочетании можно считать расположенными в порядке возрастания, хотя для дальнейшего это не существенно); —минор й-го порядка определителя D, стоящий на пересечении строк с номерами из сочетания st и столбцов
с номерами из сочетания Sj, I, J=l, 2, .... — алгебраи-
ческое дополнение минора в D. Определителем миноров й-го
(П \
I, имею-
щий вид
Н11 М-12 “С)
М21 М-22 • • • Ч’,) .
“О1
Введем еще определитель Дл порядка ( ” j, получающийся из ДА заменой каждого минора (1у его алгебраическим дополнением atJ- в D.
Доказать, что:
1) значения определителей ДА и ДА не меняются при изменении нумерации сочетаний, т. е. при перестановке сочетаний в последовательности s2........S(")’
2) Д^ = ДЛ_А. Это — обобщение утверждения задачи 242;
3) ДаДл = Г»Ка;; 4) bk = DVk-1'; 5) Дл = дА * <
552*. Вычислить определитель Рп= |Рн|, в котором ptj = 1, если I делит /, и ру = 0, если I не делит J. Найти значение определителя Qn=|?z/I« в котором qtJ равно числу общих делителей чисел I и у.
553*. Функцией Эйлера называется функция ф(п), равная числу чисел ряда 1, 2, .... п, взаимно простых с п. Пользуясь предыдущей задачей и теоремой Гаусса о том, что п = 2ф(^)> где сумма берется по всем делителям d числа п (включая 1 и само п), показать, что определитель порядка п Dy=|dy|, где dtj — наибольший общий делитель чисел I и /, равен <р(1)ф(2) ... ф(п).
ОТДЕЛ II
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 9. Системы уравнений, решаемые по правилу Крамера
Следующие системы уравнений решить по правилу Крамера:
554. 2хх + 2Xg~~^ -К'зН- Хд — 4, 555. 2Х,—[—Зх2~|" *IX3 —|—5хд — 2,
4Xj —|— Зх2”~ Х3—|—2X4 — 6, 8xj + 5х2—Зх34-4х4 =12, Зх, —Зх2—2х3-|-2х4 = 6.
556. 2х4—|— 5х24-4х34~ х4 = 20, Х|—j— Зх2 |— 2х3-1— х4 — 11, 2х,4-10х2 + 9х3Ц-7х4 = 40, ЗХ|—8х2 4~ 9х34~2х4 = 37.
xi+ хг + 5х34-2х4=1, 2х4 —х24— Зх34—2х4 =—3,
Х| —х2 —|— Зх3 —|— 4х4 - — —3.
557. Зх!-]-4х2-|- х34-2х4Ч-3 = 0, Зх1-|-5х2-]-Зх3-)-5х4-|-6 = 0. 6х4—|— 8х2-|— х34~5х4-8 = 0, 3x1-4-5x2-f-3x34-7 х44~8 = 0.
558. 7XJ-I-9X2-4-4X3-4-2X4—2 = 0, 559. 6х-|-5у—2z4~ 4*4- 4=0, 9х— y4~4z — t—13=9, 3x-}~4y-]-2z — 2t— 1=0. Зх — 9у4-2/ —11=0.
2х4 — 2x2 4~ x3—x4— 6 — 0, 5xj 4-6x24-3x34~2x4—3 = 0, 2X| 4— 3x2 —J— x34— x4 — 0.
560. 2x — y — 6z+ 3*4- 1=0, 7x — 4y4-2z— 15*4-32 = 0, x — 2y— 4z4- 9* — 5 = 0, x— y —|— 2z-— 6*4“ 8 = 0.
562. 2x— y-|-3z = 9,
3x — 5y —|— z — — 4, 4x — 7y+ z = 5.
561. 2x+ y-f-4a:-|-8/ = —1, x 4~ 3y — 6z 4- 2t = 3, 3x — 2y 4- 2z — 2t = 8, 2x— y4-2z = 4.
563. 2x —5y4-3z4- f = 5, 3x — 7y4~3z— t — — 1, 5x — 9y 4- 6z 4- 2t = 7, 4x — 6y4-3z4- Z=8.
564*. Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными (не обязательно с одним и тем же числом уравнений) называются эквивалентными, если любое решение первой системы удовлетворяет второй и обратно. (Любые две системы с одними
и теми же неизвестными, каждая из которых не имеет решений, также считаются эквивалентными.)
Показать, что любое из следующих преобразований системы линейных уравнений:
а) перестановка двух уравнений;
б) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;
в) почленное вычитание из одного уравнения другого, умноженного на любое число
переводит данную систему уравнений в эквивалентную.
Переводит ли изменение нумерации неизвестных данную систему в эквивалентную? Допустимо ли изменение нумерации неизвестных при решении системы уравнений?
565. Доказать, что любая система линейных уравнений
п
— I— 1, 2, .... s, (1)
7=1
посредством преобразований типа а), б), в) предыдущей задачи и изменения нумерации неизвестных может быть приведена к виду
п
7=1, 2.......s. (2)
удовлетворяющему одной и только одной из следующих трех групп условий:
а) c«¥=0, 7=1, 2, .... и; сгу = О для 7> j (в частности, коэффициенты при неизвестных во всех уравнениях, следующих за л-м {при $> и), равны нулю), df = 0 для i==n~|_ 1, . .$ (в этом случае говорят, что система приведена к треугольному виду);
б) существует целое число г, —1, такое, что сп =£ О,
7=1, 2.......г; с^ = 0 при 7> j\ ctj = O при 7> г и любом j,
равном 1, 2, .... и; <7г = 0 при 7 = r-j-l, г-4-2, .... s;
в) существует целое число г, 0 г п, такое, что са 4= 0 при 7=1, 2.......г; со- = 0 при 7> j; c{J = Q при 7>г и любом
/=1, 2, .... п. Существует целое число k, r-\-l такое,
что dk 4= 0.
Показать, что если в системе (2) восстановить прежнюю нумерацию неизвестных, то получится система, эквивалентная исходной системе (1). Затем показать, что в случае а) система (2) (а значит и (1)) имеет единственное решение; в случае б) система (2) имеет бесконечно много решений, причем для любых значений неизвестных уг+1..... уп существует единственная система значений остальных
неизвестных 54.....уг; в случае в) система (2) решений не имеет.
Эта теорема дает обоснование метода исключения неизвестных при решении системы линейных уравнений.
566. Показать, что если система линейных уравнений (1) предыдущей задачи имеет целые коэффициенты, то при всех преобразованиях в процессе ее приведения к виду (2) можно избежать дробных чисел, так что и система (2) будет с целыми коэффициентами.
Следующие системы уравнений решить методом исключения неизвестных:
567» Зх^—2х2~~~5х3~|— х^—3, 568# 4х^—Зд^2—1— х3—1—5*4——7===0 2х!—Зх2+ х3+5х4=—3, Xj—2х2—2х3—Зх4—3=0,
Xj—|—2х2 4х^:==: 3, ЗХ|— х2—}——1—1===:0,
Xj— х2 4х3—|”9х4=^=22. 2xj—J—3X2-|”2хз—8х4—
569. 2xj—2х2 + *4+3=0, 570. Xj+ х2—6х3—4х4=6,
2xi+3x2+x3—Зх4+6=0, Зх!— х2—6х3—4х4=2,
3Xj—|-4х2 х3—2х4 —0, 2х!+Зх2+9х3+2х4=6,
Xj—{—Зх2—|—х3 х4 2—0. —1—^*2——1—8х4==::~—7.
571. 2Xj —Зх2 + Зх34-2х4 —3 = 0, 6Xj-|-9x2—2х3— х4-|~4 = 0, IOXj-P Зх2 — Зх3— 2х4 — 3 = 0, 8Х] —6х2—Н 4~ Зх4 —|— 7 = 0.
572. X] —2х2 4~ Зх3 —9х4 = 79, Эх, 4- 13х2 4- 18х3 —|— 30х4 = 263, 2xj+ 4х2+ 11х3+ 16х4 = 146, Xj4~ 9х24~ 9х34~ 9х4 —92.
573. X] —1“ 4 "4“ 4 "4“ 4 Н- *4 = 15, х4 —1~ 2х2—р Зх3 -|- 4х4 4“ 5х5 = 35, Xj 4“ Зх2 *4~ 6х3 4“ 10х4 4" 1 5х*5 = 70, х, 4~4х24- 10х34-20х44~35х5= 126, х4 4- 5х2 4 15х3 4’ 35х4 4~ 70х5 = 210.
574. х^ 4“ 2х2 4“ Зх34- 4х4 4“ 5х3 = 2, 2xj4“3x24“ 7х34~ Юх44~ 13х5= 12, Зх14~5х2 4-11*з + 16х44~21х5= 17, 2Xj — 7х24~ 7х34 7х44~ 2х5=57, х4 4— 4х2 |~ 5х3 4“ Зх4 4— 1 И-4 == 7 575*. 6xj 4- 6х2 4- 5х3 4- 1 8х4 4- 20х5 = 14, 10X14- 9х24~ 7х34~24х44~30х5= 18, 12Xj4- 12х24- 13х34-27х44-35х5 = 32, 8xi + 6х2 + 6х3 4- 1 5х4 4- 20х5 =16, 4X1 —Н ^*4 —Н ^Х3 1 5*4 4” 1 ^"4 ==
576. Xj —|— х2 4х3—|— 4х4 + 9х3 —|— 9 = 0,
2xi -Н 2х2 + 17х3 + 1 7х4 Н- 82х5 -J- 146 = О, 2xi ~Н Зх3— х4 —|- 4х5+ 10 = 0, х2+ 4х3+12х4Ч-27х5+ 26 = 0, Xi + 2x2-|- 2х3-|-10х4 — 37 = 0.
577. 5Xj-|-2x2— 7х3+14х4 = 21,
5X1 — х2 тф- 8х3 — 1 Зх4 —]— Зх5 — 12, 10х! -1- х2— 2х3 + 7х4— х5 = 29. 15Х1--]-Зх2-|- 15х3+ 9х4-|-7х5= 130, 2xi— *2— 4х3-|- 5х4 — 7х5 = —13.
578. 2xj—7х2-]-Зх3—1~ х4==== 5, 579, 2Xj—|— Зх2— х3—]— х4=1,
хт-1- Зх2-|-5х3—2х4= 3, 8Х]-|-12х2—9хз~(-8х4=3,
x,-f- 5х2—9х3+8х4= 1, 4xi+ 6х2Ц~Зх3—2х4=3,
5xi+18x2+4x3H-5x4=12. 2х+ Зх2Ц-9х3—7х4=3.
580. 4xi — Зх2 + 2х3— х4=8, 581. 2х4— х2 + х3— х4=3, 3X1 — 2х2—|— х3—Зх4=7, 4X1 — 2х2—2х3—Зх4=2,
2Х]— х2 —5х4=6, 2Х]— х2 + 5х3—6х4=1„
5xj — Зх2+ х3—8х4=1. 2xj— х2—Зх3-|-4х4=5.
582. Показать, что многочлен степени п вполне определяется его значениями при п —1 значениях неизвестного. Точнее, показать, что для любых различных между собой чисел х0, хр х2..........х„ и лю-
бых чисел у0, Ур .... у„ существует и притом только один многочлен f (х) степени + п, для которого
/(*/) —У«> » = 0. 1. 2, ..., п.
583. Пользуясь предыдущей задачей, доказать эквивалентность двух определений равенства многочленов от одного неизвестного1) с числовыми коэффициентами (или коэффициентами из любого бесконечного поля):
1) два многочлена называются равными, если равны их коэффициенты при каждой паре членов одинаковой степени (определение, принятое в алгебре);
2) два многочлена называются равными, если они равны как функции, т. е. если равны их значения при каждом значении неизвестного (определение, принятое в анализе).
584. Показать, что для конечного поля коэффициентов определения предыдущей задачи не эквивалентны (построить пример).
*) Индукцией легко доказать аналогичное утверждение для многочленов-от любого числа неизвестных.
585. Найти квадратный многочлен f (х), зная, что
/(1) = -1; /(—1) = 9; /(2) = —3.
586. Найти многочлен 3-й степени /(х), для которого
/(-1) = 0, /(1) = 4, /(2) = 3, /(3)=16.
587. Какой геометрический смысл имеет утверждение задачи 582?
588. Найти параболу 3-й степени, проходящую через точки (0, 1), {!> —!•), (2,5), (3,37), причем асимптотическое направление параллельно оси ординат.
589. Найти параболу 4-й степени, проходящую через точки (5, 0), (—13,2), (—10,3), (—2,1), (14, —1), причем асимптотическое направление параллельно оси абсцисс.
Решить следующие системы линейных уравнений, применив в каж; дом случае наиболее подходящий прием;
590. —х -|— у —z —|- t = о, 591*. а (х —|— /) b (у —|— д) == с,
х—y-j-z-i-t — b, a'(y-\-t)-\-b'(zх)= с',
хЦ-у— z-\-t = c, a" (z -j-1) b" (х -j- у) = с",
х-j-у-1-z — t = d. х-\-у z-\-t = d,
причем а 4= b, а' =£= Ь', а" =/= Ь".
592*. ах -|- by -|- cz dt = р,
— bx ay -|- dz — ct = q, —ex — dy az -\-bt = r,
— dx -j- cy — bz-}-at = s.
593*. xn + a1xn_14-a2xn 2+ ...Ч-а^-^ + а^О, *« + a2Xn-X + Ф„-2 + • • + «ГЧ + «2 = °’
Xn + «Л-1 + Ф„-2 + • • • + + an = 0-
: где Op o2, .... an — различные числа.
594. Xj —|— x2 4“ • • • 4“ xn == К а1Х1 4~ a2x2 4~ • • • + anxn — b< Ф1 + ф2 +••• + a2nxn
o^-’xj 4- o”-!x2 4- • • • 4- a^~lxn = ьп~ 4 где Op o2, .... an — различные числа.
595. Xj + atx2 + ... -|- o"-1xn = bv
xi 4- a2x2 4- • • • 4- = Ь2’
Xl + anX2 + ‘ + ап~1хП^Ьп-
где Op o2, ..., an — различные числа.
596. X] -f- х2 4 • • • —F хп CjXj 4 а2Х2 4 • • • 4 апхп = ^2’
с«-1х14с2я-1х24— +СЧ=^
где Ср а2, , ап — различные числа.
597. X) -|~ х2-|- ... 4 хп 4~1 = О,
2х, —22х2 —)— •. • 4“ 2”х„ —I = О,
«X] -f- п2х2 4- • • 4 ппхп 4-1=0.
598. ахх 4- Ьх2 4- • • 4~ Ьхп = Ср
Ьх^ 4" СХ24~ • • * —Н Ьхп '— ^2*
1>х14~ ^24 • • • 4~ ахп — сп>
где (с — b) [а 4- (и — 1)^1 4=0.
599*. (3 2cj) Xj 4~’ (3 4- 2С2) х24~ • • • 4~(3 4~2сп) хп — 3 4~ 2£\ (14- Зс, 4- 2с2) Xj+(1 4- Зс24- 2с2) Х2 4- • •
... + (14- Зсл + 2с2) х„ = I 4- Зй 4- 2Я-«1(1 4“ Зс, 4- 2aty xj 4- с2(1 4-3c24-2c2)x24- ...
... + с„ (1 4-Зс„ 4-2с2) х„ £ (14-3Z> 4-2£2к
с«-3(1 4- 3Й1 + 2с2) X! 4- с?-3(1 4- Зс2 4- 2с2) х2 4- ...
... + сГ3(1 + Зс„ + 2а2„) х„ = ^-3(1 4- Ы 4- 2Ь\ с«-2(1 4 Зс,) Xl + с«-2(1 4- Зс2) Х2 4- ...
' ...4-с"-2(14-Зс„)хл—^-2(14-з^>
600*. Разлагая функцию |n^ 1П(14-х) ~ 1 ^2%2 АзЛ"3 4 • •
Показать, что
в степенной ряд, получим.
1 2 1 0
1 3 1 2 1
а II Д 4 1 3 1 2
О ... О
О ... О
1 ... О
1 j_ 1 1 j_
«4-1 Я л — 1 п — 2 ‘‘ 2
601. Известно, что —1-|-^-х24--^-х44-^-х®-]-..где
V VlO Л' £ \ х I ОI
^2’ «3- • • • “ еп = (2п)! — так называемые числа Эйлера, Показать, что -1-1 0 0 ... 0 1Г ~21 1 0 ... 0 6? ~4Г 2Г 1 ... 0 11111
(2л)! (2л —2)! (2л—4)1 (2л—6)1 21
602*. В разложении 'gx_\ — 1 + Ьхх 4- Ь^х2 -|- 1>зх3 4~ • • •
" (2л)! ’ ГДе В" ~ ТаК
Показать, что
называемые числа Бернулли.
1 2! 1 0 0 .. 0
1 3! 1 2! 1 0 .. 0
А» = (-1)"+1 (2«)! 1 1 1 1 а
4! 3! 21
1 1 1 1 1
(2л+1)! (2л)! (2л —1)! (2л —2)! • '• 21
Далее показать. что
1 21 1 0 0 ... 0
1 3! 1 2! 1 0 ... 0
^2л-1 — 1 1 1 А == 0
41 3! 2! 1 ... V
1 1 1 1 1
(2л)! (2л —1)! (2 л — 2)! (2л — 3)! "• 2!
при п > 1.
603*. Показать, что число Бернулли Вп, введенное в предыдущей задаче, может быть выражено следующими определителями п-го
порядка:
1 1 0 0 .. 0
3!
3 1 1 0 ... 0
51 3!
В„=1(2л)1 5 1 1 1 ., 0
7! 5! 3!
2л —1 1 1 1 1
(2« 4-1)1 (2л —1)! (2 л —3)! (2л —5)! 3!
или 1 4! 1 2! 0 0 0
2 1 1 0 .. 0
61 41 2!
В„ = 2" (2 л)! 3 1 1 1 о
8! 6! 4! 2!
п 1 1 1 1
(2л4-2)! (2л)! (2 л—2)! (2л —4)! ’ •• 41
604*. Обозначим через s„(k) сумму л-х степеней чисел натурального ряда от I до k—1, т. е. (£) = 1"-j-2" + ... 4-(А—1)я. Установив равенство
k = 1 -j-Cn Sn-1 (fl) 4~Сл sn-2 (*)+ ,.4-cUi(*)4-^(*).
показать, что
kn Х"»Л — 3 ... с\ 1
k"'1 s>n—2 Ьл_1 /п77—3 '-'Л —1 ... cLi 1
sn-l(^)~ kn~2 0 —3 Ьл_2 ... с’_2 1 •
k2 0 0 ... cl 1
k 0 0 ... 0 1
605*. Представить в виде определителя n-й коэффициент 1п разложения = 1 4~ ^х2 4- ^2-’f4 4~ • • • Ч"2//*2" + • •
606. Представить в виде определителя л-й коэффициент /„ разложения х ctg х — 1 — /j%2 — /г*4 — • • • — fnx2n — •
607*. Выразив л-й коэффициент ап разложения е~х~ 1 —щх-)-4- а2х2 — с3х3 4- ... в виде определителя, найти отсюда значения определителя.
§ 10. Ранг матрицы. Линейная зависимость векторов и линейных форм
Найти ранг следующих матриц методом окаймления миноров:
612. Найти значения Л, при которых матрица
(31 1 4\
X 4 10 1 |
1 7 17 3 I
2 2 4 3/
имеет наименьший ранг.
Чему равен ранг при найденных X и чему он равен при других значениях X?
613. Чему равен ранг матрицы
(1 X —1 2\
2—1 X 5 ]
1 10 —6 1 /
при различных значениях X?
614. Пусть А — матрица ранга г и Mk — минор /г-го порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А. Доказать, что путем перестановок строк между собой и столбцов между собой можно добиться выполнения условий: М, 0, Л12 /= 0, .... Мг =/= 0, тогда как все миноры порядка больше чем г (если они вообще существуют) равны нулю.
615. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
1) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число;
3) перестановка двух строк (столбцов).
Доказать, что элементарные преобразования не изменяют ранга; матрицы.
616. Доказать, что перестановку строк (столбцов) матрицы можно получить, выполняя преобразования строк и столбцов только типов 1), 2), указанных в предыдущей задаче.
617. Доказать, что любую матрицу ранга г элементарными преобразованиями, указанными в задаче 615, можно привести к виду, где-элементы ап = аю = ... = а„ = 1, а остальные элементы равны нулю.
618. Доказать, что элементарными преобразованиями одних строк или одних столбцов квадратную матрицу можно привести к «треугольному» виду, где все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, причем нули можно получить по желанию либо сверху, либо снизу от главной диагонали.
623. Доказать, что если матрица содержит т строк и имеет ранг г, то любые s ее строк образуют матрицу, ранг которой неменьше r-|-s—т.
624. Доказать, что приписывание к матрице одной строки (или одного столбца) либо не изменяет ее ранга, либо увеличивает его на единицу.
625. Доказать, что вычеркивание одной строки (столбца) матрицы тогда и только тогда не изменяет ранга, когда вычеркнутая строка (столбец) линейно выражается через остальные строки (столбцы).
626. Суммой двух матриц, имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов, называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц, т. е. [bij) = bij). Доказать, что ранг суммы двух матриц
не больше суммы их рангов.
627. Доказать, что любую матрицу ранга г можно представить-в виде суммы г матриц ранга единица, но нельзя представить в виде: суммы менее чем г таких матриц.
628. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от приписки к ней каждого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется от приписки к матрице А всех столбцов матрицы В.
629*. Доказать, что если ранг матрицы А равен г, то минор d, стоящий на пересечении любых г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.
630*. Пусть А — квадратная матрица порядка n> 1 и А—матрица, взаимная (присоединенная) с матрицей А. Выяснить, как изменяется ранг г матрицы А с изменением ранга г матрицы А.
631*. Доказать, что вычисление ранга симметрической матрицы сводится к вычислению одних только главных миноров, т. е. миноров, стоящих в строках и столбцах с соответственно равными номерами. Именно, доказать, что:
1) если в симметрической матрице А порядка п имеется главный минор Мт порядка г, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его главные миноры (г—[— 1)-го и (г4~2)-го порядков равны нулю, то ранг матрицы А равен г (если все главные миноры равны нулю, то можно считать главный минор нулевого порядка 7Й0 равным единице, и теорема останется верной; при г — п— 1 миноров порядка г —2 не существует, но утверждение теоремы верно, ибо ранг А равен п— 1);
2) ранг симметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
632*. Пусть А—симметрическая матрица ранга г и Mk — минор &-го порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А. (При = 0 считаем Мо = 1.) Доказать, что путем некоторой перестановки строк и соответствующей перестановки столбцов матрицы А можно добиться того, что в ряду миноров Мо — 1, ТИр М2.........Мг никакие два
соседних не равны нулю и 7ИГ #= 0, все же миноры порядка выше г (если они существуют) равны нулю.
633*. Доказать, что ранг кососимметрической матрицы определяется ее главными минорами. Именно:
1) если существует главный минор порядка г, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его главные миноры порядка г + 2 равны 0, то ранг матрицы равен г;
2) ранг кососимметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
634*. Пусть А — кососимметрическая матрица ранга г и Mk — минор k-ro порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы Л(7И0 = 1). Доказать, что путем некоторой перестановки строк и соответствующей перестановки столбцов матрицы А можно добиться того, что миноры 7И0, ТИ2, Л14, .... Мг отличны от нуля, а миноры Mlt 7И3..
и все миноры порядка выше г (если они существуют) равны нулю.
635. Доказать, -что ранг кососимметрической матрицы — число четное.
636—6451 § >0. РАНГ матрицы 93
636. Найти линейную комбинацию За1-|-5а2— а3 векторов
л1 = (4, 1. 3, —2), а2 = (1, 2, —3, 2), а3 = (16, 9, 1. —3).
637. Найти вектор х из уравнения
П4 —1~ 2а2 —I” За3 —I” 4х —= О, где
«4 = (5, —8, —1, 2), а2 = (2, —1. 4. —3), а3 = (—3, 2, —5. 4).
638. Найти вектор х из уравнения
3 —— х) —|— 2 (ДЕ2 —Н -X) = 5 (ДЕ3 —1~ х),
где
«4 = (2, 5, 1, 3), а2 = (10, 1. 5, 10), а3 = (4, 1, —1, 1).
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
639. а, =(1, а2 — (3» 2, 3), 6, 7). 640. «,=-(4. а2 = (6, —2, 6), —3, 9).
641. ^ = (2, -3, 1), v642. «4 = (5, 4. 3),
а2 ~ (3. -1. 5), а2 = (3, 3, 2),
а3 = (1. —4, 3). а3 = (8, 1, 3).
643. «4 = (4, —5, 2, 6), 644. «4 = (1, 0, 0, 2, 5),
а2 = (2, —2, 1, 3), а2 = (0, 1, 0, 3, 4),
а3 = (6, —3, 3, 9), а3 = (0, 0, 1, 4, 7),
а4 = <4> — 1, 5, 6). «4 = (2. —3, 4, 11, 12).
645. Если из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных (одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя их порядок, то получим вторую систему векторов, которую будем называть укороченной для первой системы. Первую же систему будем называть удлиненной для второй. Доказать, что любая укороченная система для линейно зависимой системы векторов сама линейно зависима, а любая удлиненная система для линейно независимой системы векторов сама линейно независима.
646. Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
647. Доказать, что система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, линейно зависима.
648. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
649. Доказать что если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
650. Доказать, что любая часть линейно независимой системы векторов сама линейно независима.
651*. Пусть дана система векторов
ai = («<,1’ а/. ...а/, п) 0 =1. 2........s; s<n).
Доказать, что если | 1 > 2 I ац | • т0 данная система векторов
линейно независима.
652. Доказать, что если три вектора av а2, а3 линейно зависимы и вектор а3 не выражается линейно через векторы а} и а2, то векторы и а2 различаются между собой лишь числовым множителем.
653. Доказать, что если векторы ар а2, ... , ak линейно независимы, а векторы ар а2, .... ак, Ь линейно зависимы, то вектор tr линейно выражается через векторы ар а2........ak.
654. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что каждый вектор данной системы векторов линейно выражается через любую линейно независимую подсистему этой системы, содержащую максимальное число векторов.
655. Доказать, что упорядоченная система векторов ар а2.аА,
отличных от нуля, тогда и только тогда линейно независима, когда ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие.
656*. Доказать, что если к упорядоченной линейно независимой системе векторов ар а2.......ак приписать впереди еще один век-
тор Ь, то не более чем один вектор полученной системы будет линейно выражаться через предыдущие.
657*. Доказать, что если векторы ар а2, ... , аг линейно независимы и линейно выражаются через векторы 6Р Ь2, .... bs, то Г S-
658*. Базой данной системы векторов называется такая ее подсистема, которая обладает следующими свойствами:
1) эта подсистема линейно независима;
2) любой вектор всей системы линейно выражается через векторы этой подсистемы.
Доказать, что:
а) все базы данной системы содержат одинаковое число векторов;
б) число векторов любой базы является максимальным числом линейно независимых векторов данной системы; это число называется рангом данной системы;
в) если данная система векторов имеет ранг г, то любые г линейно независимых векторов образуют базу этой системы,
659*. Доказать, что любую линейно независимую подсистему данной системы векторов можно дополнить до базы этой системы.
660. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой системы и обратно. Доказать, что две эквивалентные линейно независимые системы содержат одинаковое число векторов.
661. Доказать, что если векторы ах, а2.ак линейно выра-
жаются через векторы &р Ь2, ... , bt, то ранг первой системы не более ранга второй.
662. Даны векторы:
а,=х(0. 1, 0, 2, 0), а2 = (7, 4. 1. 8. 3),
а3 = (0. 3, 0. 4, 0), «1 = (1, 9. 5, 7, 1).
а5 = (°. 1, 0, 5, 0).
Можно ли подобрать числа ctj (1, 7 = 1. 2, . 5) так, чтобы
^1 “С11С1 +С12а2Н-с13Оз + с14а4 + С15С5-&2 = С210] + С22^2 4- с23®3 с24С4 4“ С25°5’ *3 =^31а1 4“ c32®2 4- с33а3 4- с34°4 4“ с35й5-&4 = с41а1 4~ С42а2 4- С43°3 4~ С44С4 4“ С45°5-^5 = С51а1 4“ с52°2 4“ с53°3 4“ С54С4 4“ С55С5
были линейно независимы?
663. Доказать, что вектор b тогда и только тогда линейно выражается через векторы ор а2.......ак, когда ранг последней си-
стемы векторов не изменяется от присоединения к ней вектора Ь.
664*. Доказать, что:
1) две эквивалентные системы векторов имеют один и тот же ранг;
2) теорема, обратная утверждению V), неверна.
Однако справедливо утверждение:
3) если две системы векторов имеют одинаковый ранг и одна из этих систем линейно выражается через другую, то эти системы эквивалентны.
Найти все значения X,, при которых вектор Ь линейно выражается
через векторы ар а2, . .., as-
665. ai = (2, 3, 5). 666. а, = (4, 4, 3).
«2 = (3. 7, 8). а2 = (7, 2, 1).
а3 = (1, —6, 1). а3 = (4. 1. 6).
& = (7, —2, *)- & —(5, 9, X).
667. ai = (3, а2 = (6, 6 = (9, 4, 8, 12, 2). 7). 1).
668. Oi = (3, 2, 5), 669. а, = (3, 2, 6),
а2 = (2, 4, С? СО II сч Q
а3 = (5, 6, JI "сл <• V
6 = (1. 3, 5). 6 = (1, 2, 5).
670. Пояснить положения данных ответы в задачах 665—669 с точки зрения рас-векторов в пространстве.
671. Пользуясь задачей 657, доказать, что более чем п п-мерных векторов всегда линейно зависимы.
672. Найти все максимальные линейно независимые подсистемы системы векторов:
«1 = (4, — 1, 3. —2), о2 = (8, —2, 6, -4).
1, 4, —2), 00 сч* 1 СО 'w* II «г -4).
Найти все базы системы векторов
673. ai = (l, 2, 0, 0), 674. «! = (!. 2, 3, 4),
a2 = (l, 2, 3. 4), со сч II o' 4, 5),
аз ~ (3. 6, 0, 0). аз— (3, 4, 5, 6).
о4 = (4. 5, 6, 7).
675. «,=(2. 1. -3, 1), 676. ai=(l, 2, 3).
а2 = (4. 2, —6, 2), с2==(2. 3, 4).
а3 = (6, 3, —9, 3), а3 = (3, 2, 3).
а4 = (1, 1, 1. 1). а4 = (4, 3, 4).
«5 = (1. К 1).
677. В каком случае система векторов обладает единственной
базой?
678. Сколько баз имеет система k -|-1 векторов ранга k, содержащая пропорциональные векторы, отличные от нуля?
Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не входящие в данную базу, выразить через векторы базы:
679. Oi = (5, 2, —з, 1). 680. С1 = (2, —1. 3, 5).
а2 = (4, 1. —2, 3). а2 = (4, —з, 1. 3).
а3 = (1, 1. —1, -2), о3 = (3, —2, з, 4).
а4 = (3, 4, —1, 2). а4 = (4, —1, 15, 17),
«5 = (7. —6, —7, 0).
681—6821 § 10. РАНГ МАТРИЦЫ 97
681. в,=(1, 2, 3, -4),
а2 = (2, 3, -4. 1),
а3 = (2, —5, 8, —3),
а4 = (5, 26, —9, —12),
а5 = (3, —4, 1, 2).
682*. Пусть дана система векторов хр х2, .... х„ одного и того же числа измерений. Основной системой линейных соотношений этой системы векторов называется система соотношений вида
п
0 (4=1,2........У),
обладающая такими двумя свойствами:
а) эта система соотношений линейно независима, что означает линейную независимость системы векторов
ах,2. •• • . а/, л) (4=1,2....у);
б) любая линейная зависимость векторов хр х2, ... , х„ является
п
следствием соотношений данной системы, т. е. если 2 ajxj — О» т0 вектор а = (ар а2, .... ап) является линейной комбинацией векторов ар а2, .... as. Доказать, что:
1) если хр х2, ... , хг — база данной системы векторов и г
Xi=2j^itjXj. Z = r-f-l, Г 4-2, .... п, то одной из основных 4-1
систем линейных соотношений данной системы векторов будет систе-г
ма соотношений xt— У Xz, ;х? = 0 (Z = г—J— 1» г+ 2, ... , п);
2) все основные системы линейных соотношений содержат одинаковое число соотношений;
3) если какая-нибудь основная система линейных соотношений содержит у соотношений, то любая система у линейно независимых линейных соотношений той же системы векторов также является основной системой линейных соотношений;
л
4) если система соотношений 2 az ,-х, — 0 (/= 1, 2, ... , у)
является основной системой линейных соотношений, то система соот-п
ношений 2 ₽/, jxj — 0 (4=1, 2.......у) будет основной системой
линейных соотношений тогда и только тогда, когда, полагая
98 ОТДЕЛ И. СИСТЕМЫ линейных уравнении [683—688
az= (az> j, az>2...a/, «)• £=1. 2, ... , s, bl = (Pl>1, PZ12, ... »₽/, л)«
1=1, 2, ... , s, будем иметь:
bi = 2 Ъ, jUj (1=1, 2, .... s),
где коэффициенты yz> j образуют определитель порядка s, отличный от нуля.
Пользуясь умножением матриц, последние s векторных равенств можно записать в виде одного матричного равенства
В = СА, где Л=(а/>у)АЛ, В = (₽г,Д,„ и C = (yZi>)s,
С — невырожденная матрица порядка $.
Определив основную систему линейных соотношений для системы линейных форм аналогично тому, как это было сделано в задаче 682 для системы векторов, найти основную систему линейных соотношений для системы линейных форм:
683. — 5xz— Зх2 4-2х3 4~ 4х4, 684, — 8xz —|—7х2 —4х3 —[~5х4,
/2 = 2х1— x2-|-3x3-j-5x4, fi~ 3xi + 2x2~j- х34-4х4,
f3 = 4xz — Зх2 — 5х3 — 7 х4, /3 = 2xz 4~ Зх24~ 2х3— Зх4,
/4 = Х1-[-7х3-|-1 1Х4. /4— Х1 Х2 х3-^~^х4’
f5 — 5х2 -}- 4х3 — 1 7х4.
685. /1 = 5х1-(-2х2— х3 + Зх4 + 4xs,
/2 = Зх1-|- х2 — 2х3-|-Зх4 + 5х5,
/з = 6xz Зх2 — 2х3 4-4х4 + 7х5,
А = 7х, + 4х2 — Зх3 + 2х4 4- 4х5. 686. Д = 2xz — Зх2 4- 4х3 — 5х4, /2= ^-2x24-7x3 — 8x4, /з=3х1 —4х24- х3—2х4, /4 = 4xz — 5х2 4- 6х3 — 7х4, /5 = 6х1 —7х2— х4.
687. /1 = Зх14~2х2 — 2х3— х44-4х5, /2 = 6xj 4- 4х2 — 4х3 — 2х4 4- 8х5, /з = 7х14~5х2 — Зх3 — 2х44~ ^5» /4 = 4xz 4- 4х2 — 4х3 — Зх4 4- 5х5, /5 == 8Х14- 7х2—5х3 — 4х4 4- 2х5.
688*. Пусть дана система линейных форм:
fr=iaj.kxil (7=1. 2, .... s)
Л = 1
(1)
689—697] § п. системы линейных уравнении gg
и вторая система линейных форм, линейно зависящих от форм первой системы,
= (i=l,2......t). (2)
7=1
Доказать, что ранг системы форм (2) не более ранга системы форм (1). Если s — t и определитель | Сц |л отличен от нуля, то ранги обеих систем линейных форм совпадают.
§11. Системы линейных уравнений
Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:
689. 2х4 —7^2 —j— Зх3 —|— х4 = 6, Зх^ —5^2 —j— 2х3 —|— 2х4 4,
9х4—j—4x2—I- x3-|-7x4 = 2.
690. 2xj — 3x2-|- 5x3-|- 7x4—1, 4x1 — 6x2-|- 2x3-}- 3x4 = 2, 2x4 — 3x2—llx3—15x4=1.
691. 3xj-|- 4x2-|- x3-j- 2x4 = 3, 692. 3xj—5x2-f-2x3-|-4x4=2, 6X|4“ 8x2-|-2x34- 5x4 7, 7xj—4x2—j- ^3—f—3x4=^5,
9xj-}- 1 2x2 -J- 3x3 + 10x4= 13. 5xj-]-7x2—4x3—6x4=3.
693. 2х4 —6x2 — 8x3 = 8, 694. 3x4 — 2x2 "4“ ^x^ —4x4 = 2,
4xj -j- 3x2 — 9x3 = 9, 6xj — 4x2 + 4x3 -|- 3x4 = 3,
2X| —I" ЗХ2 — 5x3 =—: 7, 9x, — 6X2 —I— 3x3 —j— 2x4 = 4.
Xj-j-Sxj — 7x3= 12.
695. 2xj— x2-4— 3x3— 7x4 = 5, 6x4 — 3x2-}- x3— 4x4=7, 4xj — 2x2+ 14x3 — 31x4= 18.
696. 9x4 — 3x2 -J- 5x3 4- 6x4 = 4, 6x4 — 2x2 -|- 3x3 -|- x4 = 5, 3xj — x3 —|— 3x3 —j— 1 4x4 — 8.
697. Зх4 —j— 2x3 —j— 2x3 —j— 2x4 = 2, 2xj —ЗХ2 —j— 2x3 —j— 5x4 = 3, 9x]-j- x2-|-4x3 — 5x4=1, 2X| —j— 2x3 —j— 3x3 —4x4 = 5, 7x!+ x2-|-6x3— x4 — 7.
698. х4 —Х2 4- Зх3— 2х44—Зх3— 1, 2х, + 2х2 4- 4х3 — х4 4- Зх5 = 2. Зх^ —|— 3^2 4- 5х3 — 2х4 4~ Зх3 = 1. 2х4 4- 2х2 4- 8х3 — Зх4 4~ 9хд = 2.
699. 2xj — х2 4~ хз + 2х4 •+ ^х5 = 2. 6х,— Зх2 4~ 2х3 4-4х4 4- 5х5=3, 6X1 — Зх2 ~Н 4Хз 4— 8х4 4” 13х5 9,
4xj — 2х2 4- хз 4~ х4 4~ 2х5 = 1.
700. 6xj •+ ^х2 4- 5хз 4- 2х4 4- Зх5 = 1, 3xi4-2x24-4x34- х44-2х5 —3, Зх,4-2х2 — 2х34- х4 = 7, 9xj4-6x24- х34-Зх44-2х5 = 2.
701. Xi4~2x24-3x3 — 2х44~ х5 —4, 3xi 4- 6x2 4- 5х3 — 4х4 4- Зх5 = о, Х14-2х24~7х3 — 4х4 4- х5=11, 2xj + 4х2 4- 2х3 — Зх4 4- Зх5 = 6.
702. 6xj 4- Зх2 4- 2х3 н- Зх4 4- 4х5 = 5,
4xi 4- 2x2 4” хз ~4~ 2х4 '4" Зх5 = 4,
4Xj 4- 2х2 4- Зх3 4- 2х4 4- х5 — 0,
2xi 4~ х2 7х3 4- Зх4 4~ 2х5 — 1.
703. 8xj 4-6х2 4-5х3 4-2х4 = 21, 704. 2xj4- Зх24- х34-2х4==4,
3X14” 3x2 4~ 2х3 4“ х4 = 10, 4xi-+ 3x24” *^з4" •^'4==3,
4xj 4- 2х2 4- Зх3 4- х4 —8, 5xi4-l 1х24-Зх34-2х4=2,
3xi4-5x2-|- *з4- -*4=15, 2xj4” 5х24- ^з4- х4=1>
7xi4-4x24-5x34-2x4= 18. х^— 7x2— х3—|—2х4=7.
705*. Доказать, что:
а) любую систему s линейных уравнений с п неизвестными, у которой матрица из коэффициентов при неизвестных имеет ранг г, путем изменения нумерации уравнений и неизвестных можно привести к виду
п
(Z=l, 2......s), (О
Обладающему свойствами
m0=l, /7114=0, ffi24=0, ..., mr4=0, (2)
•где тк — минор fe-ro порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы
•из коэффициентов при неизвестных системы (1);
б) систему уравнений (1), обладающую свойствами (2), путем 1ряда вычитаний ее уравнений, умноженных на подходящие числа, ®з последующих уравнений можно привести к эквивалентной системе
п ^cljXj~di (I— 1, 2, ..., s), /‘“i
обладающей свойствами:
си + 0 при Z=l, 2, .... г,
Сц = 0 при j < I г, а также
при Z > г и j — 1, 2..п.
(3)
(4)
Если dz = 0 при Z=r-|-1, г-|-2, ..., у, то системы (3) и (1) совместны, причем при г — п имеется единственное решение, а при jr < п бесконечно много решений.
В последнем случае свободными неизвестными являются хг+1, .... хп. 'Из r-го уравнения можно выразить хг через свободные неизвестные. Вставляя это выражение в (г— 1)-е уравнение, найдем выражение jcr_i через свободные неизвестные и т. д.
Наконец, из первого уравнения найдем выражение х1 через сво-•бодные неизвестные.
Полученные выражения Ху, х2............хг через свободные неизвестные хг+1.............................х„ составляют общее решение систем (3) и (1). Это
означает, что при любых значениях свободных неизвестных из найденных выражений получим решения систем (3) и (1) и любое решение этих систем может быть получено таким путем при подходящих значениях свободных неизвестных.
Если + 0 хотя бы при одном значении Z > г, то системы (3) •и (1) несовместны.
Изложенный метод исследования и решения системы линейных уравнений называется методом исключения неизвестных (сравнить с задачей 565).
Пользуясь методом исключения неизвестных, указанным в за-лаче 705, исследовать совместность и найти общее решение систем уравнений (если исходная система имеет целые коэффициенты, то ав процессе исключения неизвестных можно избежать дробей):
706. Ху —2х2 -j- Зх3 -j— х^ = 3,
Ху —4х2 -j- 5х3 —j— 2х4 == 2,
2xt -|- 9х2 + + Зх4 = 7,
Зху -|- 7х2-}“ 7х3-|-2х4 = 12,
5х| -j" 7х2 —1- 9*з —|— 2х4.= 20;
707. 12xi + 14х2—15х34-23х4-|-27х5 = 5, 16X1 + 18*2 — 22*3 + 29х4 + 37х5 = 8. 18xi + 20х2 — 21 х3 + 32х4 + 41 х5 = 9, 10xi~|- 12х2— 16х3-|-20х44-23х5 = 4.
708. 10X1 + 23х2+ 17х3+ 44х4 = 25, 15Х1~}~85х2-(-26х3-|- 69х4 —40, 25xi + 57х2+42х3 4- 108х4 = 65, ЗОХ1~}~69х2-|-51х3-|- 133х4 = 95.
709. 45xi — 28х2-|-34х3 — 52х4 = 9, 36xi — 23х2 + 29х3—43х4 = 3, 35xi — 21 х2 -}- 28х3 — 45х4 =16, 47xi — 32х2-|-36х3—48х4 =— 17, 27xi— 19х2-|-22х3 — 35х4 = 6.
710. 12х2— 16х3+25х4 = 29,
27х, + 24х2 — З2х3 + 47х4 = 55, 50xj-|-51x2 — 68х3-|-95х4= 115, 31Xj-|-21x2 — 28х3-|-46х4 = 50.
711. 24xj-|- 14х2 + 30х3 + 40х4+41х5= 28, 36xi + 21 х2 + 45х3 + 61 х4 + 62х5 = 43, 48х, 4- 28х2 + 60х3+82х4 4- 83xs = 58, 60xj-|-35x2-}-75x3-|-99x4-|- 102х5= 69.
Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра
712. 5xj —Зх2+2х3+ 4х4 = 3,
4х, — 2х2-|-Зх3-|- 7х4= 1,
8х, — 6х2 — х3 — 5х4 = 9,
7xi — 8х2 4“ 7 х3 4- 17 х4 = X.
713. 3xi4-2x2-|-5x34- 4х4 = 3, 2Х14~Зх24-6х34- 8х4 = 5, Xj — 6х2— 9х3 — 20х4 = —11, 4х,4~ х24-4х34-Лх4 = 2.
714. 2х,4- 5x2 4“ х34-Зх4 = 2,
4X14“ 6х2 4- Зх3 4~ бх4 — 4, 4Х14~14х24- х3-{-7х4 — 4, 2X1 8х2 4“ Зх3 4“ ^х4 — 7•
715. 2х,— х2+Зх3+ 4х4 = 5, 4хг— 2x2-j-5x3-j- 6х4 = 7, блд — Зх2 "4“ 7х3 ~4~ 8х4 = 9, Zxj — 4х24- 9х3-|- 10х4 = 11.
716. 2х^-j- 3x2-f- х3-|-2х4 = 3, 717. Xxj 4“ х2—|— х3=1,
4xj —6х2 -J- Зх3 —]— 4х4 = 5, Xj —Хх2 —1~ х3==1,
бХ| —|— 9х2 —5х3 —|— 6х4 - 7, Х| —I- х2-j-^^3 1 •
8-Хд —1 2х2 “I- 7х3 *4“ ^х4 === 9.
'718. Xxj “4“ х2 + Н- х4 = 1,
Х1 + 1х2-|- Х3-|- х4—1, х1-|- х2 -f- Ах3 Н~ х4=1, Ху + Х2+ Х3-}-Кх4— 1.
719. (1 +1)х1 + х2 + х3= 1, х, +(1 +Л) х2+х3 = Л, tfl+^ + U +^) Х3 = 12.
720. (X + 1) Xj -j- х2 —]— х3 = -j- ЗХ, Хг + + 1) х2 + х3 = I3 + 312. х1 + х2 Н- (X + 1) х3 = I4 -f- 313.
Исследовать системы уравнений и найти общее решение в зависимости от значений, входящих в коэффициенты параметров:
721 • х —У “4“ % == 1 • 722. ах —у -j- z == 1 •
ах+ #у+ cz — d, x + #y-f- z==1,
о2х + &2у + с22! — d2. хy-f-cz = 1.
В каком случае здесь возможны нулевые значения некоторых из гнеизвестных?
723*. ах+ у + z = а,
х + &у+ 2 — Ь, х+ УЧ~с2 = с.
Найти общее решение и фундаментальную (или основную) систему фешений для систем уравнений:
724. Х| —J— 2х2—|— 4х3— Зх4==0.
ЗХ1 + 5х2-|- 6х3— 4х4 = 0.
4X14- 5х2 — 2х3 —Зх4 = О,
3Xi + 8jf2+24*з — 19х4=0.
726. 2xj — 4х2 -|- 5х3 -f- Зх4 = 0, ЗХ| — 6х24~ 4х3 —J— 2х4 = 0, 4xj — 8x2-f- 17x3-f- 11х4 = 0.
726. 3xj —J— 2x2 —J— x3 —J— 3x4 —J— 5xg 0.
6xj —J— 4x2 —J— 3x3 4~ 5x4 4~ 7 Xg = 0. 9x! -f- 6x2 -f- 5x3 -f- 7x4 4~ 9x5 = 0, 3xj —J— 2x2 —|— 4x4 —J— 8x5 = 0.
727. 3xj —f~ 5x2-{— 2x3 = 0, 4X| —J— 7x2 —J— 5x3 = 0, Xj —x2 — 4x3 — 0, 2xj -f- 9x2 -f- 6x3 — 0.
728. 6xj — 2x2 + 2x3-f-5x4H-7x5 —0, 9xj — 3x2 4- 4x3 -f- 8x4 + 9*5 = 0. 6xj — 2x2 4- 6x3 4~ 7x4 4~ Xg = 0, 3xj— x24-4x34-4x4 Xg — 0.
729. Xj — x3 —0, 730. Xj — x34-*s = 0,
x2 — x4 — 0, x2 — x4 -j- x6 = 0.
— Xi4-x3 — x5 = 0, Xj — x2-j-Xg — x6 = 0.
— *2 ~b *4 — *6 = 9. *2 — *зН_*б~9,
— x34-x5 = 0, Xi —x44-x5 = 0.
— x44- x6 = 0.
731. 5xj 4“ 6x2— 2x3 4- 7x4 4- 4xg = 0, 2X| 4- 3x2 x3 4- 4x4 4- 2xg — 0, 7xj —I— 9x2 — 3x3 —I— 5x4 —I— 6xg — 0, 5xj4-9x2—3x34- x44-6x5 —0.
732. 3xj 4- 4x2 4- x3 4- 2x4 4- 3x5 = 0, 5xj4- 7x24~ x3 4- 3x4 4- 4xg === 0, 4Xj —I— 5x2 —I— 2x3 —I— x4 —I— ^Xg — 0. 7xj4~^0x24~ x3 4- 6x4 4~ ^*5 — 0.
733. Доказать, что для любой однородной системы линейных уравнений с рациональными (в частности, с целыми) коэффициентами можно построить целочисленную фундаментальную систему решений (при условии, что ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных).
(1)
734—739] S II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
734. Доказать, что для системы уравнений
^4ацХ, = 0 (1—1, 2, .... s) /-i
фанга г < п любые п — г линейно независимых решений ап, а12, .... а1п, а2Р а22’ • • ’ а2л’
«л—г, 1’ ®л-г, 2’ • • •• «л-r, л
•образуют фундаментальную систему решений, а общее решение мож-«ю представить в виде
*/ = 2^*; (/=1, 2.........и),
(2)
(где сг с2....ся_г — произвольные параметры. Иными словами, дока-
зать, что при любых значениях параметров ср с2, .... сп_г формулы (2) дают решение системы (1), и любое решение системы (1) мож->но получить из формул (2) при подходящих значениях параметров ср •с2. • • •» ся_г.
Для следующих систем уравнений найти общее решение вида (2) адз предыдущей задачи, где каждое неизвестное представлено однородным линейным выражением от параметров с целыми коэффициентами:
735. 2xj —х2— 4х3 •— 0, 736. 2х4— х2 —|— 5х3 —|— 7х^ — О,
3xj -f- 5х2 — 7х3 = 0, 4xj — 2х2 Ц- 7х3 4- 5х4 = О,
4xj — 5х2 — 6х3 = 0. 2xj— х24~ х3—5х4 = 0.
737. ЗХ| —{— 2х2 —j— 5х3 —|— 2х4-}— 7х3 = 0, 6х4 —4х2 4“ 7х3 —4х4 —5xg = О, ЗХ| —2х2 — х3 4~ 2х4 — 11 х3 = О, 6xj —4х2 —х3 —4х4— ISxg^^O.
738. 6xj — 2х2~t~3x3—4х4-9х3===0, 3xj— х2-|-2х3-{— 6х4~Зх5 = 0, 6х4 — 2х2 5х3 4- 20х4 4- Зх5 — О,
9xj — Зх2 4- 4х3 4- 2х4 4~ 1 б.
739. 2х4 4-7х24-4х34- ^а:44~ 8х3 = 0, 4xj 4~ 4х2 4~ 8х3 4- 5х44~ 4х5 = 0, Xj — 9х2 — Зх3— 5х4—14х5 = 0, 3xj 4~ ^а:2 4- 7х34~ бх4 4- 6х3 = 0.
740» ЗХ| 4^2 “ЗХ3 —9х44- 6х3— 0, 9х1Н-8х24-5х3-{- 6х4-\- 9х5 = 0, Зх, —8х2 4~ -^з “I- 30х4 —15хд = 0» Gxj —f- 6х2—|—4х3—f- 7х4 —5х5 = 0.
741. Образуют ли строки каждой из матриц
/30 —24 43 — 50 —5\
Л = | 9 —15 8 5 2 1*
\ 4 2 9 —20 —3/
/4 2 9 • -20 - 3\
5 = 1 1 -11 2 13 4 I
\9 -15 8 5 2/
фундаментальную систему решений для системы уравнений
3xj —4х2 4~ 2х3 —х4 —6х5— 0, 5x1-J-9x2 + 7x3-f-4x4-f- 7хд = 0, 4х1-|-Зх2— х3— х4-}-11хд = 0,
Xj —|— 6х2 4“ 8х3 4- 5х4 — 4х5 = 0
742. Какие из строк матрицы
6 2 3 —2 — 7
5 3 7 —6 — 4
8 0—5 6 —13
4 —2 —7 5 — 7
образуют фундаментальную систему решений для системы уравнений
2х,— 5х2 4-Зх3 + 2х4 + х5 = 0,
5Х| — 8х2 —5х3 4~ 4х4 4~ Зхд 0, х,— 7x2-f-4x34-2x4 =0,
4xj— х2+ х34-2х4Н-Зх5 = 0.
743*. Доказать, что если в общее решение однородной системы линейных уравнений ранга г с п неизвестными, где г < п. вместо свободных неизвестных подставить числа поочередно из каждой строки определителя порядка п — г, отличного от нуля, и найти соответствующие значения остальных неизвестных, то получится фундаментальная система решений, и, обратно, любую фундаментальную систему решений данной системы уравнений можно получить таким путем при подходящем выборе определителя порядка п — г, отличного от нуля.
744. Пусть строки матрицы
Оц а12 .. • а1п
а21 а22 ... а2„
®р2 • • •
образуют фундаментальную линейных уравнений ранга г что строки матрицы
систему решений однородной системы с п
неизвестными (л — г 4-р). Доказать,
Р11
₽21
Р12 • ’ • Р1л
Р22 • • • Рг»
В =
Ppi Рр2 • • • Ррл
тогда и только тогда также образуют фундаментальную систему решений той же системы уравнений, когда существует невырожденная патрица р-го порядка
Vn V12 • • • Yip
£ __ V21 V22 • • • V2P
Vpi Vp2 • • • Ypp такая, что
₽i,a = SY//i/a (1=1,2.....р. k=l, 2...........n).
Пользуясь матричным умножением, эти равенства можно записать одним равенством В = СА.
746. Показать, что задача 743 является частным случаем задачи 744.
746. Доказать, что если ранг однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны, т. е. отличаются лишь числовым множителем (быть может, равным нулю).
747. Пользуясь теорией однородных систем линейных уравнений, решить задачу 509, т. е. доказать, что если определитель D порядка п > 1 равен нулю, то алгебраические дополнения соответствующих элементов двух любых строк (столбцов) пропорциональны.
748*. Доказать, что если в однородной системе линейных уравнений число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то s качестве решения можно принять систему миноров, полученных мз матрицы коэффициентов поочередным вычеркиванием 1-го, 2-го м т. д. столбцов, причем эти миноры берутся с чередующимися знаками.
Далее, показать, что если это решение не нулевое, то любое решение получается из него умножением на некоторое число.
Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти частное и общее решения систем уравнений:
749. 5xj + Зх2 + 4х3 — 0, 760. 4*! — 6х2-(- 5х3 = 0,
6х1 + 5х2 + 6х3 = 0. 6*! — 9х2-|-10х3 = 0.
751. 2Х| -|- Зх2 —|- 5х3 —(- 6х4 = 0,
3xj -j- 4х2 —6х3 7х4 — О, 3xj —х2 —|- х3 —|— 4х4 = 0.
752. 8xj — 5х2—6х3-1— Зх4 = 0,
4Х| — х2 — Зх3 —2х4 — О, 12xj — 7х2 — 9х3 + 5х4 = 0.
763. Доказать, что для того, чтобы система линейных уравнений с числом уравнений, на единицу большим числа неизвестных, была совместна, необходимо (но не достаточно), чтобы определитель, составленный из всех коэффициентов при неизвестных и свободных членов, был равен нулю. Показать, что это условие будет также и достаточным, если ранг матрицы из коэффициентов равен числу неизвестных.
764. Пусть даны: система линейных уравнений
п
^ialjx} = bl (i=l, 2.........s),
два решения этой системы ар а2.....ап и ₽i> ₽2.....₽„ и числ0 Ъ>-
Найти систему линейных уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, как в данной системе, имеющую решением
а) сумму данных решений:
а1 + ₽р а2 + ₽2.....°л + Рп>
или
б) произведение первого из данных решений на число X:
Xctj, ла2...Хап.
765. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы либо сумма двух решений, либо произведение одного решения на число X ф 1 было снова решением той же системы линейных уравнений.
766. При каких условиях данная линейная комбинация любых решений данной неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?
767. Какие значения могут принимать неизвестные в любых решениях совместной системы линейных уравнений, если столбцы коэффициентов при всех неизвестных, кроме первого, а также столбец» свободных членов попарно различаются лишь числовыми множителями?
768. При каких условиях в любом решении совместной системы» линейных уравнений неизвестное xk имеет одно и то же значение?
759. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы в любом решении совместной системы линейных уравнений А-е неизвестное было равно нулю.
760. При каких условиях в общем решении системы уравнений у 4- az -f- bt — О,
— х + cz 4- dt = О, ах су — et — О, Ьх 4- dy 4- ez — О за свободные неизвестные можно принять z и t?
761. Сколько независимых между собою условий должно быть выполнено для того, чтобы система $ линейных уравнений с п неизвестными была совместна и содержала г независимых уравнений, для которых остальные уравнения являлись бы их следствиями?
762. При каких условиях система уравнений
х — by 4- cz 4- du 4- ev, у = cz 4- du 4- ev 4- ax, z = du -\-ev 4~o*4~ ^У. и = ev 4- ax 4- by 4- cz, v — ax -\~by 4- cz 4- du имеет ненулевое решение?
763*. При каких условиях система линейных уравнений с вещественными коэффициентами
"Кх 4- ау 4“ bz 4- ct = О, — ах 4- <У 4~ hz — gt — О, — Ьх — hy --f 7.z 4~ ft — О, — сх 4- gy — fz 4- — О
имеет ненулевое решение?
Пользуясь теорией линейных уравнений, решить следующие задачи (рассматриваются только прямоугольные декартовы системы координат):
764. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три точки (Xj, Vi), (х2, Уг)> (*з- Уз) лежали на одной прямой.
765. Написать уравнение прямой, проходящей через две точки (*1. У1). (*2- У2)-
766. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые
а1х4-^1У4-с1 = 0, а2х 4“ Ь*уу 4- с2 == 9. а3*4-ЛзУ4-Сз = 0 проходили через одну точку.
767. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы п точек плоскости (хр у0, (х2, у2)......(хл, у„) лежали на одной
прямой.
768. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы п прямых на плоскости
а}х 4- + Cj = О,
гг2х 4~ ^2у Н— ^2 ===
апх + />„у + с„ = 0
проходили через одну точку.
769. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы четыре точки плоскости (xlt yj, (х2, у2), (х3, у3), (х4, у4), не лежащие на одной прямой, лежали на одной окружности.
770. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки (хр У1), (х2, Уг), (х3, у3), не лежащие на одной прямой.
771. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки (1, 2), (1, —2), (0, —1), и найти ее центр и радиус.
772*. Доказать, что окружность, проходящая через три точки с рациональными координатами, имеет центр в точке также с рациональными координатами.
773. Написать уравнение кривой второго порядка, проходящей через пять точек:
(*i. У1). (х2, у2), (х3, уз), (х4, у4), (х5, у5).
774. Найти уравнение и определить вид кривой второго порядка, проходящей через пять точек:
(3,0), (—3,0), (б, 6-|), (б, —6-|), 5, — 6-|).
775. Написать уравнение и определить положение и размеры кривой второго порядка, проходящей через пять точек:
(0, 1), (±2, 0) (±1, —1).
776. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы четыре точки (хр у,, zj, (х2, у2, г2), (х3, у3, г3), (х4, у4, z4) лежали в одной плоскости.
777. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
(1, 1, 1), (2, 3, —1), (3, —1, —1).
778. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы четыре плоскости
щх ~|~ “|" c^z “I- tZj== О, Л2Х “I- Ь$У 4~ ^2^ 4“ $2 =~~ О» азх 4~ ^зУ 4" сзг Н~ = О" а4х + Ь4у 4- c4z + rf4 — О
проходили через одну точку.
779. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы п плоскостей atx 4- bty 4- ctz + dt — 0 (Z = 1, 2...n) проходили
через одну прямую, но не сливались в одну плоскость.
780. Написать уравнение сферы, проходящей через четыре точки (хР Zi), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), (х4, у4, z4), не лежащие в одной плоскости.
781. Написать уравнение и найти центр и радиус сферы, проходящей через точки: (1, 1, 1), (1, 1, —1), (1, —1, 1), (—1, 0, 0).
782. Какая система линейных уравнений задает три различные прямые на плоскости, проходящие через одну точку?
783. Какая система линейных уравнений задает три прямые на плоскости, образующие треугольник?
784. Какая система линейных уравнений задает три плоскости пространства, не имеющие общих точек, но пересекающиеся попарно?
785. Какая система линейных уравнений задает четыре плоскости пространства, образующие тетраэдр?
786. Указать геометрическую интерпретацию системы четырех линейных уравнений с тремя неизвестными, в которой ранги всех матриц из коэффициентов при .неизвестных трех уравнений и ранг расширенной матрицы равны трем?
787. Рассмотреть все возможные случаи, встречающиеся при решении систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, и в каждом случае дать геометрическую интерпретацию данной системы уравнений.
ОТДЕЛ III
МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 12. Действия с матрицами
Вычислить произведения матриц:
792.
793.
794.
2
3
5
3
5
7
6
8 /2 \4
—1 3 —4
—2 4 —3
—3 —2 1
—3 —1 2
7 —3 —4
6 —4 —5
4 —3 —2
5 —6 —1
795.
7
5
3
2
1 2
2 3
1 3
2 4
8 6 9
7 4 5
4 5 6'
1 1 2
3 4]
4 5
5 7
6 8 52-2 3
6 4—35
9 2—34
2 2 2 2
— 1—5 3 11
16 24 8 —8
8 16 0 —16
7 6—47
798—809]
798.
1
—5
5
—16
§ 12. ДЕЙСТВИЯ С
1
1
—11
МАТРИЦАМИ
7
—2
3
4
ИЗ
—3
—4
4
11
О
3
4
1
4
—3
5
4
3
О
—15
14
22
2
9
8
Вычислить выражения: 799,
1
—2\з
800,
4
—1\5
3
—4
5
—2
801
802,
cosa —sina\"
sin а
cos а
803.
X,
О
Л
0
Х2
где нули обозначают,
что
все элементы ма-
Хп
трицы, стоящие
804,
1
1
вне главной диагонали, " 806.
X
1
п
о
1
о
равны
нулю.
806,
1
1
1
1
з
807,
1
1
О
О ... о
о
/I —1
о
1
1 ... 1
о
1
1
о ... о
о
о
о
1 ... 1
о
о
1
1
о
о
О О О ... 1
о
о
о
о
о
1
(порядок
данной
матрицы равен п).
808,
Вычислить
17
35
—6 у
2 I . используя равенство
17 —6
2 3
2 О
—7 3
5 7
35 —12
О 3
5 —2
810. Доказать, что если для матриц А и В оба произведения АВ и В А существуют, причем АВ —В А, то матрицы А и В—квадратные и имеют одинаковый порядок.
811. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если:
а) переставить Z-ю и j-ю строки матрицы Л?
б) к i-й строке матрицы А прибавить j-ю строку, умноженную на число с?
в) переставить Z-й и j-й столбцы матрицы В?
г) к Z-му столбцу матрицы В прибавить /-й столбец, умноженный на число с?
812. Пользуясь предыдущей задачей и неизменностью ранга при элементарных преобразованиях (см. задачу 615), доказать, что ранг произведения двух матриц не более ранга каждого сомножителя.
813. Доказать, что ранг произведения нескольких матриц не более ранга каждой из перемножаемых матриц.
814. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Доказать, что след АВ равен следу В А.
815. Доказать, что если А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка, причем АВ Ф В А, то
а) (Л + В)2#=Л24-2ЛВ4-В2;
б) (Л + В)(Л — B)=f= Л2 — В2.
816. Доказать, что если АВ = ВА, то
(Д-|-В)” = Л”-|-М”~1В-|- Ап'2В2-^- ... +вп.
Здесь Л и В — квадратные матрицы одинакового порядка.
817. Доказать, что любую квадратную матрицу А можно представить, и притом единственным образом, в виде А = В-\-С, где В — симметрическая, а С — кососимметрическая матрицы.
818. Матрицы Л и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Квадратная матрица А называется скалярной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, а элементы главной диагонали равны между собой, т. е. если Л = сЕ, где с — число, а Е—единичная матрица. Доказать утверждение: для того чтобы квадратная матрица Л была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы матрица Л была скалярной.
819. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной дцагонали, равны нулю. Доказать утверждение: для того чтобы квадратная матрица А была перестановочна со всеми диагональными матрицами, необходимо и достаточно, чтобы матрица А сама была диагональна.
820. Доказать, что если А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с Л, также диагональна.
821. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу 12..............Х„} вызывает умножение строк А соот-
ветственно на %2.........^п, умножение же Л на В справа вызы-
вает аналогичное изменение столбцов.
Найти все матрицы, перестановочные с матрицей:
826. Найти все числа с, умножение на которые невырожденной матрицы А не изменяет ее определителя.
827. Найти значение многочлена f (х) — Зх2 — 2х + 5 от матрицы
(1 —2 3\
2 —4 1 j.
3 —5 2/
828. Найти значение многочлена /(х) = х3—7х2-|-13х — 5 от матрицы
(5 2 —3\
1 3 —1).
2 2 —1/
(а
Ь'
d,
удовлетворяет уравнению
х2 — (а-j-d) х 4- ad — Ьс — О.
830*. Доказать, что для любой квадратной матрицы А существует многочлен /(х), отличный от нулевого и такой, что f(A) = 0, причем все такие многочлены делятся на один из них, определенный однозначно условием, что его старший коэффициент равен единице (он называется минимальным многочленом матрицы А).
831*. Доказать, что равенство АВ — В А ~Е не выполняется ни для каких матриц А и В.
матрице.
порядка и k — целое число, тогда и только тогда, когда
832. Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен нулевой
833*. Пусть А — матрица второго большее двух. Доказать, что А* = О Д2 = 0.
834. Найти все матрицы второго равны единичной матрице.
835. Исследовать уравнение АХ — 0, где А — данная и X — искомая матрицы второго порядка.
Найти обратные 836.
порядка, квадраты которых.
матрицы для
2'
следующих
837.
’3
матриц:
4\
838.
839.
'cos а — sin а'
V
с
—1
— 1
1
846.
1
1
1
841
sin а
<3
—4
cos а, 5>
\3
843.
845.
847.
.2
—5
—2
2'
—2
—2
—6
1
3
4
5
7
а
2
1
2
1
1
2
1
1
1
—3
2
2
3
1
О
1
1
—1
3
1
1
1
4
2
— 1
1
1
О
О
О
1
1
1
О
1
1
О
о
о
1
1
о
о
1 ...
о
О
1
о
848.
О ... 1
с3 .
а2 .
а2
ап
й”"1
ап~2
849.
О ... 1
О
о ... о о ... о
о ... о
О
О
а
1
а
О
1
а
о
1
а
О
О
О
1
О
а
1
О
О
О
ООО О ... 1
О
О
О
1 ... О
а
О О О О ... а 1
(порядок матрицы n f- 1).
850-857] 850. 1 0 0 2 1 0 3 2 1 5 12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
4 ... 3 ... 2 ... Л—1 л—2 л—3 л л—1 л—2 •
0 0 0 0 ... 1 2
0 0 0 0 ... 0 1
851. 2 —1 0 0 . 0
1 2 —1 0 • • . 0
0 —1 2 —1 . 0 •
пт
852.
ООО 0 ... 2]
1 1 1 ... 1 853. 0 1
1 0 1 ... 1 1 0
1 1 0 ... 1 • 1 1
1 1 1 ... 0 ♦ 1 1
1 ... 1
1 ... 1
О ... 1 •
1 ... О
854. 1 —]— а 1 1 . 1
1 1 + а 1 . 1 (порядок матрицы ра-
1 1 1 + а . . 1 вен л).
1 1 1 . 1 4-о
855. 1 + Oj 1 1 1
1 1 4- а2 1 1
1 1 1 4~ о3 .. •1
1 1 1 ... 1 + ап
856. Показать, что вычисление матрицы, обратной к данной матрице порядка п, можно свести к решению п систем линейных
уравнений, каждая из которых содержит п уравнений с п неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу А.
Пользуясь методом задачи 856, найти обратные матрицы для» следующих матриц:
857. /3 3 —4 —3\
I 0 6 1 1 |
1 5 4 2 1 1
\2 3 3 2/
858*. 1 2 3 ... п— 1 п
п 1 2 ... п — 2 п— 1
п— 1 п 1 ... п — 3 п — 2
2 3 4 ... п 1
859. ! а a+h 1) Л а с+2Л ... a+h .. а-\-(п—2) h а-]-(п—3) h «4-(л—!) А\ а-\-{п— 2) Л 1 »
а h a+lh a.-\-Sh .. a-f-(n—l)h а /
860*. 1 1 1 1 ... 1
1 е е2 е3 ... ел-1
1 е2 е4 ев ... е2(л-1)
1 е3 е6 е9 ... еЗ(л-1)
1 £л-1 е2 (л-1) е3 (л-1) <е е(л-1Р
2л ... 2л
я-де е = cos — +1 sin —.
Решить матричные уравнения:
/1 2\ /3 5\ /3 —2\ /—1 2\
ГЧ Ч 862-*-(5 —4/ = \—5 б)*
/3 _п /5 б\ /14 16\
863Ч5 —2}’Х \7 8/ = \ 9 10/*
864. /1 2 —3\ /1 —3 0\
13 2 — 4 ]• X =| 10 2 7 1.
\2 —1 0/ \10 7 8/
865. /53 1\ /—8 3 0\
X I 1—3 —2 1 = 1—5 9 0 |.
\—5 2 1/ \—2 15 0/
866. /2 —3 1\ /9 7 6\ / 2 0 —2\
|4 —5 2 I • X • I 1 1 21 = 118 12 9].
\5 —7 з/ \1 1 1/ \23 15 11/
/2 — 3\ /2 3\ /3 6\ /2 4\
88Ч -вНЧ б]- вМ
$72. Как изменится обратная матрица А *, если в данной матрице А:
а) переставить l-ю и j-ю строки?
б) i-ю строку умножить на число с, не равное нулю?
в) к /-й строке прибавить J-ю, ‘умноженную на число с, или совершить аналогичное преобразование столбцов?
873. Целочисленная квадратная матрица называется унимодуляр-ной, если ее определитель равен ± 1. Доказать, что целочисленная матрица тогда и только тогда имеет целочисленную обратную матрицу,, когда данная матрица унимодулярна.
874. Доказать, что матричное уравнение АХ = В разрешимо тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы (Д, В), получаемой из А приписыванием к ней справа матрицы В.
675, Показать, что матричное уравнение АХ— О, где А — квадратная матрица, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда | А | = 0.
876. Пусть А и В — неособенные матрицы одного и того же порядка. Показать, что четыре равенства:
АВ=ВА, АВ~1 = В~ХА, А~'В = ВА~\ А~1 В~1 = В-1 Д-1
равносильны между собой.
877. Пусть А — квадратная матрица и /(х) и g(x)— любые-многочлены. Показать, что матрицы f (А) и g(A) перестановочны, т. е. f(A)g(A} = g(A)f(A).
878. Пусть А — квадратная матрица и г(х)=^^у—рациональная функция от х. Показать, что значение г (А) функции г(х) при х = А определено однозначно тогда и только тогда, когда. |^И)|¥=0.
-I • (ЕЬ и\
879. Найти матрицу А , обратную для матрицы А = | ],
\ U ^1!
тде Ek и Е[ — единичные матрицы соответственно порядков k и I, U — произвольная {k, I) матрица (т. е. матрица из k строк и I столбцов), а все остальные элементы равны нулю.
880. А-м косым рядом порядка п называется квадратная матрица = порядка п, элементы которой определяются равенствами
!1 при / — I = k, _ . , , (ft=±l, ±2.........±(п—1)).
0 при J —1 + k v v ”
Показать, что //? = //*, 7/li = //_ft, если ft=l, 2......n—1:
7/1=7/11 = 0, если k^-n.
881. Как изменится матрица А при умножении ее слева или справа на матрицу Т/j или 7/_, предыдущей задачи?
882. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает -свойствами:
а) (Л-}-//)' = А'-\-В'\ б) {АВ}' = В'А'-, в) {с А') = сЛ'; 'г) (Л ~1)' = (Л У*.
где с — число, а Л и В — матрицы.
883. Доказать, что если А и В симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица С = АВ АВ ... АВА ^является симметрической.
884. Показать, что:
а) матрица, обратная к неособенной симметрической, будет симметрической;
б) матрица, обратная к неособенной кососимметрической, будет «кососимметрической.
.885, Показать, что для любой матрицы В матрица Л = ВВ' является симметрической.
886. Пусть А* —А' — матрица, полученная из Л путем транспонирования и заменой всех элементов на числа комплексно-сопряженные. Показать, что:
а) (д В)* = Л* + В*- б) {АВ)* = В*А*\
в) (сЛ)* = сЛ*; г) (Л~1)* = (ЛУ*.
тде с — число, а Л и В — матрицы, над которыми выполнима соответствующая операция.
887. Матрица Л называется эрмитовой, если Л* = Л. Показать, что для любой матрицы В с комплексными или вещественными элементами матрица А —В-В* является эрмитовой.
888. Показать, что произведение двух симметрических матриц, тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные матрицы перестановочны.
889. Показать, что произведение двух кососимметрических матриц тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные матрицы перестановочны.
890*. Доказать, что произведение двух кососимметрических матриц А и В тогда и только тогда будет кососимметрической матрицей, когда АВ =— В А.
Привести примеры кососимметрических матриц, удовлетворяющих, условию АВ —— ВА..
891. Квадратная матрица A—(atj) порядка п называется ортогональной, если АА' — Е, где Е — единичная матрица. Показать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое из следующих условий:
а) столбцы А образуют ортонормированную систему, т. е.
п
^i^aMakj=^lp
где — символ Кронекера, обозначающий 1 при l = J и 0 при I =£ б) строки А образуют ортонормированную систему, т. е.
* п
^l^alkajk ~^1р
892. Квадратная матрица А — (а1}) порядка п с вещественными или комплексными элементами называется унитарной, если АА* — Е (смысл обозначения А* тот же, что и в задаче 886). Показать, что для унитарности .квадратной матрицы А необходимо и достаточно-любое из следующих условий: п
а) 2^ вц1аьj —
п (bjj — символ Кронекера).
б) —
893. Доказать, что определитель ортогональной матрицы равен ± 1.
894. Доказать, что определитель унитарной матрицы по модулю-равен единице.
895. Доказать, что если ортогональная матрица А имеет на главной диагонали квадратные клетки Др Л2, .... Дл и нули по одну сторону от этих клеток, то все элементы по другую сторону от них также равны нулю и все матрицы Аи Д2........Д5 ортогональны.
896. Доказать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен + 1
и каждый ее элемент был равен своему алгебраическому дополнению, взятому со своим знаком, если |Д|—1, и с противоположным, если р| = -1.
897*. Доказать, что вещественная квадратная матрица А порядка п 3 будет ортогональна, если каждый ее элемент равен своему алгебраическому дополнению, и хотя бы один из элементов отличен от нуля.
898*. Доказать, что вещественная квадратная матрица А порядка I п^-3 будет ортогональна, если каждый ее элемент равен своему алгебраическому дополнению, взятому с противоположным знаком, и хотя бы один из элементов отличен от нуля.
899*. Доказать, что сумма квадратов всех миноров второго порядка, лежащих в двух строках (или столбцах) ортогональной матрицы, равна единице.
900*. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров второго порядка, лежащих в двух строках (или столбцах) унитарной матрицы, равна единице.
901*. Доказать, что сумма квадратов всех миноров Л-го порядка, лежащих в любых k строках (столбцах) ортогональной матрицы, равна единице.
902*. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров А-го порядка, лежащих в любых k строках (столбцах) унитарной матрицы, равна единице.
903*. Доказать, что минор любого порядка ортогональной матрицы А равен своему алгебраическому дополнению, взятому с его знаком, если |Д| = 1, и с противоположным знаком, если | А | =—1.
904*. Пусть А—унитарная матрица, М—ее минор любого порядка, МА — алгебраическое дополнение минора М в матрице А. Доказать, что Л4Д = | А | • М, где М — число, сопряженное с М.
906. При каких условиях диагональная матрица является ортогональной?
906. При каких условиях диагональная матрица является унитарной?
907. Проверить, что любое из трех свойств квадратной матрицы: вещественность, ортогональность, унитарность — вытекает из двух •остальных.
908. Квадратная матрица I называется инволютивной, если Р — Е. Показать, что каждое из трех свойств квадратной матрицы: симметрия, ортогональность, инволютивность — вытекает из двух остальных.
909. Проверить, что матрицы
а) / 1/3 —2/3 —2/3 \ б) 1/2 1/2 1/2 1/2
1 —2/3 1/3 —2/3 I ; 1/2 1/2 -1/2 -1/2
\—2/3 —2/3 1/3/ 1/2 —1/2 1/2 -1/2
1/2 —1/2 -1/2 1/2
обладают всеми тремя свойствами предыдущей задачи.
919. Квадратная матрица Р называется идемпотентной, если jD2==/3. Показать, что если Р идемпотентна, то I =~1Р — Е инво-лютивна, и наоборот, если / инволютивна, то Р — -{-£) идем-
потентна.
911. Доказать, что:
а) произведение двух ортогональных матриц будет ортогональной матрицей;
б) матрица, обратная к ортогональной матрице, ортогональна.
912. Доказать, что:
а) произведение двух унитарных матриц будет унитарной матрицей;
б) "матрица, обратная к унитарной матрице, унитарна.
913*. Минор матрицы А, стоящий на пересечении строк с номерами ip i2, , ip и столбцов с номерами J2, .... Jp будем, обозначать через А г!’ 1.2..х.р].
\/i. Jt, .... Jp)
Доказать справедливость следующего выражения миноров произведения С = АВ двух матриц через миноры перемножаемых матрица
Вь ii, С Vi, Ji,
- if)
__ Vi , pi, ii, •••• ip\ _Mi. ^2. bp\
~i<*, <*2< L. <»p<n • • •’ kp> Л jp'
(h <h< ••• <ip, ji<j\< < jp).
если p не превосходит ни числа столбцов матрицы А, ни числа1 строк матрицы В. В противном случае все миноры порядка р матрицы С равны нулю.
914. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что ранг произведения двух матриц не более ранга каждого сомножителя.
916*. Доказать, что умножение матрицы А слева или справа на невырожденную матрицу не изменяет ее ранга.
916. Главным минором матрицы А называется минор, стоящий в пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Показать, что если элементы матрицы В. вещественны, то все главные миноры матрицы А = ВВ' неотрицательны.
917. Показать, что для любой матрицы В с комплексными или вещественными элементами все главные миноры матрицы А~ВВ* неотрицательны. Здесь В* = В'.
918. Показать, что если в обозначениях предыдущей задачи А — ВВ*, то ранг А равен рангу В.
919. Доказать, что сумма главных миноров k-ro порядка матрицы АА' равна сумме квадратов всех миноров А-го порядка матрицы А,.
920*. Доказать, что для любых квадратных матриц А и В ио-рядка п сумма всех главных миноров данного порядка A?(l fe-^re) для матриц АВ и ВА одинакова.
921*. Пусть А — вещественная матрица порядка п, В и С — матрицы из первых k и последних п — k столбцов А. Доказать, что
922*. Пусть А — (В, С) — вещественная матрица (смысл символа (В, С) указан в задаче 874). Доказать, что \А'А • |С'С|.
923*. Пусть А=(ац) — квадратная вещественная матрица по-л п
рядка п. Доказать неравенство Адамара: |Д|2 П2
«-г 1-1
924*. Доказать, что для любой вещественной прямоугольной матрицы А — (alf) с п строками и т столбцами выполняется нера-
.венство I А'А | П 2 °чь-
ы i-i
925*. Пусть А = (В, С) — матрица с комплексными элементами. .Доказать, что | А* • А | | В* • В | • | С* • С|.
926*. Пусть Д = (а/у)— квадратная матрица порядка п с комплексными элементами, не превосходящими по модулю числа М.
п
.Доказать, что модуль определителя | А | не превосходит Мп • п2, причем эта оценка является точной.
927*. Показать, что каждое элементарное преобразование матрицы А, т. е. преобразование одного из следующих типов:
а) перестановка двух строк (столбцов);
б) умножение строки (столбца) на число с, отличное от нуля; .
в) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число с, может быть получено умножением матрицы А на некоторую неособенную матрицу Р слева для преобразования строк и справа для преобразования столбцов.
Найти вид этих матриц.
928*. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Показать, что любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения нескольких треугольных матриц.
929*. Показать, что любую матрицу А ранга г можно представить в виде произведения А — PRQ, где Р и Q — неособенные матрицы, a R— прямоугольная матрица тех же размеров, что и А, на главной диагонали которой первые г элементов равны единице, все же остальные элементы равны нулю.
930*. Пусть А — матрица размеров т X п и ранга г, P = (Ptj)— матрица размеров .sy^m, у которой рп = р22 = ... = ркк = 1, а все остальные элементы — нули, Q — — матрица размеров в X 1; У ко
торой дп =q<n~ ... —Qu= 1. а все остальные элементы—нули. Доказать неравенства:
а) ранг РА~^ k~\~r — т\ б) ранг AQ^l-]-r—п;
в) ранг PAQ k +1 4- г—т — п.
931*. Обозначим ранг матрицы А через гд. Доказать, что для ранга произведения АВ двух квадратных матриц А м В порядка п имеет место следующее неравенство:
гл + гв — n -С глв -С гА, гв (неравенство Сильвестера).
932. Показать, что для ранга произведения АВ прямоугольных матриц А и В имеет место неравенство Сильвестера предыдущей задачи при условии, что п обозначает число столбцов матрицы А и число строк матрицы В.
933*. Показать, что любую невырожденную матрицу А элементарными преобразованиями только строк (или только столбцов) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над А элементарные преобразования в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится матрица Л-1, обратная для А.
Пользуясь приемом предыдущей задачи, найти обратные матрицы для следующих матриц (для удобства вычислений приписать к данной матрице А справа единичную матрицу и выполнять элементарные преобразования строк, приводящие А к Е, над строками всей написанной матрицы):
934. /1 2 —1 —2\ 935. /О 1 3\
| 3 8 0 —4 j 1 2 3 5 1.
I 2 2 —4 —3 Г \3 5 7/
\3 8 —1 —6/
937. Пользуясь методом задачи 933, найти обратные матрицы для матриц задач 844, 846, 847, 848, 849, 850.
938*. Доказать утверждение:
для того чтобы матрица А из т строк и п столбцов имела ранг единицу, необходимо и достаточно, чтобы А представлялась в виде А = ВС, где В — ненулевой столбец длины т, С — ненулевая строка длины П.
939*. Доказать утверждение:
для того чтобы матрица А из т строк и п столбцов имела ранг г, необходимо и достаточно, чтобы А представлялась в виде А = ВС, где В — матрица из т строк и г линейно независимых столбцов, а С — матрица из г линейно независимых строк и п столбцов.
940. Показать, что если А и В — квадратные матрицы порядка п и ДВ = 0, то + причем для любой данной ма-
трицы А матрицу В можно выбрать так, чтобы было rA~\~rB~k, где k — любое целое число, удовлетворяющее условию гд k п.
941*. Показать, что если А—квадратная матрица порядка п, для которой А2 — Е, то rE+A-j- f£_A — п.
942. Две целочисленные матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к другой можно перейти путем целочисленных элементарных преобразований, т. е. преобразований следующих типов:
а) перестановка двух строк;
б) умножение строки на —1;
в) прибавление к одной строке другой, умноженной на целое число с, и аналогичных преобразований для столбцов. Доказать, что матрицы А и В тогда и только тогда эквивалентны, когда B = PAQ, где Р и Q—квадратные целочисленные, унимодулярные матрицы.
943*. Прямоугольная целочисленная матрица А называется нормальной, если ее элементы ап, а22......агг положительны, аа де-
лится на <zz l Z1 (i—2, 3, .... г), а все остальные элементы равны нулю. Показать, что каждая целочисленная матрица эквивалентна одной и только одной нормальной матрице; иными словами, каждый класс эквивалентных между собой целочисленных матриц содержит нормальную матрицу и притом только одну.
944*. Доказать, что каждую неособенную целочисленную матрицу А можно представить в виде A = PR, где Р — унимодуляр-ная, целочисленная матрица, a R — треугольная целочисленная матрица, элементы которой на главной диагонали положительны, ниже главной диагонали равны нулю, а выше главной диагонали — неотрицательны и меньше элементов главной диагонали того же столбца, причем такое представление единственно.
945*. Доказать, что квадратную матрицу А порядка п и ранга г можно представить в виде А = PR, где Р — неособенная матрица и R — треугольная матрица, в которой первые г элементов главной диагонали равны единице, а все элементы ниже главной диагонали и все элементы последних п — г строк равны нулю.
946. Квадратная матрица называется верхней {нижней) треугольной, если все .ее элементы, стоящие ниже (соответственно выше) главной диагонали, равны нулю. Показать, что следующие операции:
947-949]
§ 12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
127
сложение двух матриц, умножение матрицы на число, умножение двух матриц и переход к обратной матрице для неособенной матрицы, примененные к верхним (нижним) треугольным матрицам, приводят снова к верхней (нижней) треугольной матрице.
947. Квадратная матрица называется нильпотентной, если некоторая ее степень равна нулю. Наименьшее целое положительное число k, для которого Д6 = 0, называется показателем нильпотентности матрицы А. Показать, что треугольная матрица тогда и только тогда нильпотентна, когда все элементы главной диагонали
равны нулю, а показатель нильпотентности треугольной матрицы не превосходит ее порядка.
943. Показать, что обратная матрица B — (bit^ для верхней (нижней) треугольной неособенной матрицы А = (а1к) порядка п будет снова верхней (нижней) треугольной матрицей, причем элементы главной диагонали матрицы В определяются равенствами йа== ~(1 = 1. 2.....п), а остальные элементы находятся из рекуррентных соотно-
шений:
а) для
элементов Z-й строки верхней треугольной матрицы:
—2 ьч
akk
.. и);
б) для элементов й-го столбца нижней треугольной матрицы:
— bJk
Ь^—^и------------- (/ = *+!. *4-2...........п).
Этими формулами удобно пользоваться для вычисления матриц, обратных к треугольным матрицам.
949*. Пусть А — квадратная матрица порядка п и ранга г, причем
/1 2
= 2. k)*° (fe==1, 2””’ Г)- (1)
Доказать, что при этих условиях матрицу А можно представить' в виде произведения
А —ВС, (2)
где B = (bij)—нижняя и С — (Сц) — верхняя треугольные матрицы (определение верхней и нижней треугольных матриц дано в задаче 946).
Первым г диагональным элементам матриц б и С можно дать любые значения, удовлетворяющие условиям:
= (А=1, 2, .... г; d0=l). (3)
Задание первых г диагональных элементов матриц В и С однозначно определяет остальные элементы первых г столбцов матрицы В и первых г строк матрицы С, причем эти элементы задаются формулами:
/1, 2, .... k — 1, /\
, . \1, 2...А — 1, k) ...
Ь» = Ькк-----------, (4)
./1,2,..., k — 1, k\
А (
\1. 2, ..., А—1, i]
ст — сы
(/ = *4-1, *4-2, .... n; k—\, 2, .... r).
В случае г < и в последних п — г столбцах матрицы В все элементы можно положить равными нулю, а в последних п—г строках матрицы С элементы считать произвольными или, наоборот, в последних п—г столбцах матрицы В элементы считать произвольными, а в последних п — г строках матрицы С все элементы положить равными нулю.
Произвольные элементы не нарушат равенства (2). Их можно выбрать так, чтобы сохранить треугольный вид матриц В и С.
950. Показать, что представление (2) предыдущей задачи можно найти так: первые г элементов на главной диагонали матриц В и С выбрать любыми, удовлетворяющими 'условиям (3), а остальные элементы первых г столбцов В и первых г строк С вычислить с помощью рекуррентных соотношений:
alk 2
bik —------}—------, (/ = *4-1, *4-2.......л; *= 1, 2.......г);
Ckk i-i alk 2 bijcjk
Cjk =--------------, (* = /4-1, ^4~ 2, л; /=1, 2, .... г).
Эти формулы позволяют найти сначала первый столбец В и первую строку С, затем, вообще зная *— 1 столбцов Ви*— 1 строк С, найти *-й столбец В и *-ю строку С.
951*. Доказать, что любую симметрическую матрицу порядка п и ранга г, удовлетворяющую условиям (I) задачи 949, можно представить в виде А = ВВ', где В — нижняя треугольная матрица, элементы последних ri— г столбцов которой равны нулю, а элементы первых г столбцов определяются формулами:
/1, 2, .... А —1, /\
k~\kl- (/ = *,*4-1...........п; *=1, 2........г).
952. Матрица А называется клеточной (или блочной), если ее элементы одной или несколькими горизонтальными и вертикальными линиями распределены по прямоугольным клеткам (блокам). Эти клетки будем обозначать через А^, где I — номер клеточной строки и j — номер клеточного столбца. Показать, что умножение двух клеточных матриц тогда и только тогда сводится к умножению клеток, рассматриваемых как отдельные элементы, когда вертикальное деление первой матрицы соответствует горизонтальному делению второй. Именно, если A = (Atj)—(т, и)-матрица с делением строк на группы по mlt т2.....ms и столбцов по nlt п2......nt и В-(В^)— (я, /^-матрица с делением строк на группы по пх, ........nt и столбцов
по р\, р2, ... ри, то АВ = С = (Сц) будет также клеточной матрицей, причем
t
Сцг—21 AijBjk G=l. 2, .... s: k— 1, 2..........u).
Применяя указанное правило умножения клеточных матриц, найти клетки произведения следующих матриц при указанном подразделении на клетки для сомножителей:
А =
953. Показать, что для выполнимости умножения двух клеточных квадратных матриц достаточно (но, как показывает пример предыдущей задачи, не необходимо), чтобы диагональные клетки были квадратными, причем порядки соответствующих диагональных клеток были равны между собой.
964*. Показать, что для выполнимости клеточного умножения клеточной матрицы на себя необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные клетки были квадратными.
955. Квадратная клеточная матрица Л = (Д<;) называется клеточно-треугольной, если все ее клетки на главной диагонали, т. е. Лп, А^, ... квадратные, а все клетки, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Показать, что если А и В — две клеточно-треугольные матрицы с одинаковыми порядками соответствующих диагональных клеток и нулями по одну сторону от диагонали, то их произведение АВ также будет клеточно-треугольной матрицей с такими же порядками диагональных клеток и нулями по ту же сторону от диагонали.
956. Показать, что клеточно-треугольная матрица тогда и только тогда нильпотентна, когда нильпотентны все ее клетки на главной диагонали (определение нильпотентности дано в задаче 947).
957. Пусть А — {Аф — клеточная матрица, причем Ац—клетка размеров mzXn; (i — L 2, .... s, J—I, 2, .... t). Показать, что прибавление к Z-й клеточной строке у-й строки, умноженной слева на прямоугольную матрицу X размеров mt X ntj, может быть получено путем умножения А слева на неособенную, квадратную клеточную матрицу Р. Точно так же прибавление к Z-му клеточному столбцу у-го столбца, умноженного справа на прямоугольную матрицу Y размеров X ni> может быть получено путем умножения А справа на неособенную квадратную клеточную матрицу Q. Найти вид матриц В и Q.
— клеточная матрица, где А — неособен
ная квадратная матрица порядка п. Доказать, что ранг R равен п тогда и только тогда, когда D — CA~lB.
959*. Пусть А — неособенная матрица порядка п, В — матрица размеров п X Я. С — матрица размеров рХп. Доказать, что если / /1 В\
клеточную матрицу R — I ' I привести к виду Rt — \ ~ О и /
/А В'
958*. Пусть R — 1
Д, ВЛ О X }
путем ряда элементарных преобразований строк, причем в каждом преобразовании либо участвуют только первые п строк, либо к какой-нибудь строке с номером, большим п, прибавляется одна из первых п строк, умноженная на число, то X — СА~1В.
960. Пусть А — неособенная матрица порядка п н Е — единич-
ная матрица того же порядка. Доказать, что если клеточную ма-/ А
Е
ТРИЧУ 0
дыдущей задаче, привести к виду
элементарными преобразованиями, указанными в пре-(Ах ВЛ О X)' 2 1 3
Этим методом обратную матрицу для А —
то
X = А \ Найти
3
2
4
5
7
4
961. Пусть дана система уравнений
СНл:1 а12Х2 +
С21-*1 4“ а22Х2 +
~Ь а1пхп — ^1»
+ а2пХп == ^2>
anlxl -Г сл2х2 + • • • + аппхп —
с неособенной матрицей коэффициентов А, В — столбец свободных членов и Е — единичная матрица порядка д.
А В — Е О ниями, указанными в задаче 959, привести к виду столбец X дает решение данной системы уравнений. Решить этим методом систему:
Зх— y + 2z = 7, -’ 4х — 3yH-2z = 4,
2х+ y-|-3z = 13.
962. Пусть А — неособенная матрица порядка п; В — матрица размеров пХр, Е — единичная матрица порядка п. Показать, что А В Е О А В. О X
уравнения АХ — В.
Решить этим методом указанное уравнение, если
Показать, что если клеточную матрицу
если матрицу
привести к виду
I преобразова-
/А вл (о X}’ т0
преобразованиями, указанными в задаче 959,
, то матрица X дает решение матричного
963*. Пусть все пары (/, j) (I — 1, 2.т; 7 = 1, 2...п)
занумерованы в некотором определенном порядке ар а2, .... атп. Кронекеровским (или прямым) произведением двух квадратных матриц А порядка т и В порядка п называется матрица С = А X В порядка тп, составленная из всевозможных произведений элементов матриц А и В в надлежащем порядке. Именно, элемент матрицы С, стоящий в Z-й строке и j'-м столбце, определяется так:
cij ~ ailJ\bi2h’ ГДе Ci’ Q“ar (Л’ А) = аг
Доказать, что:
а) (4 + В)ХС=(ЛХС) + (ВХС);
б) А Х(В + С) = (Д ХВ) + (ДХС);
в) (АВ) X (CD) = (А%С)(ВХ D).
964*. Правым прямым произведением квадратных матриц А порядка т и В — порядка п называется клеточная матрица А X В — = С — (C(j), где Ctj=aijB (I, j=\, 2, .... т). Аналогично, левым прямым произведением тех же матриц называется клеточная матрица А' X B — D = (Dlj), где Dy — АЬц (I, /=1, 2..п).
Доказать, что:
а) оба введенных произведения являются частными случаями кро-некеровского произведения, определенного в предыдущей задаче.
Найти порядок нумерации пар (Z, /), дающий правое и левое прямые произведения;
б) А X 'В = В'Х А ;
в) А X '(В X С) = (А X 'В) X 'С;
г) если Ek — единичная матрица порядка k, то Ет X 'Еп ~ЕпХ X Ет — Етп, I
д) если А нВ—неособенные матрицы, то (А X В)~1 — Л-1 X В~1.
Для левого произведения справедливы свойства, аналогичные в), г), д).
966*. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать, что если А — матрица порядка т и В — порядка п, то | А X В | — | А |" X X | В |т (см. задачу 540).
966*. Пусть A—(atj)— квадратная матрица порядка п. Матрицей, взаимной с А (или присоединенной к А), называется матрица А = (ац), где а^ = А^ (I, j—l, 2......п). Иными словами, ма-
трица, взаимная с А, получается транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Доказать, что:
а) А А = А А — | А | Е, где Е — единичная матрица;
б) (Л) — | АI”'2 А при п > 2, (Л) = Л при п — 2.
967*. Показать, что (АД) = В Л, где Л — матрица, взаимная с Л, определенная в предыдущей задаче.
968*. Матрицей, ассоциированной с квадратной матрицей Л порядка п, называется матрица Л = (огу), где ац—минор элемента atj матрицы Л. Доказать, что:
а) (АВ) = АВ;
б) (Л)=|Л|"-2Л при п > 2, (Л) = Л при п — 2.
969*. Пусть A = (a(j)—квадратная матрица порядка п и пусть все сочетания из п чисел 1,2....п по р чисел kx < k2 < <kp
занумерованы в каком-либо порядке аР а2......aN, где N — Сц.
р-Л ассоциированной с Л матрицей называется матрица Ар = (ац р), составленная из надлежащим образом расположенных миноров р-го
. . (I р г2> • • • • 1р\
порядка матрицы Л; именно ai, j-fP—A . . .1, где at есть
Vp Л.......Jp/
сочетание 1Х < 12 < ... < ip; a.j — сочетание j\ < у2 < ... < Jp-Доказать, что: .
а) (АВ)р = АрВр;
б) (Еп)р — En, где Еп и En — единичные матрицы соответственно порядков п и N',
в) если А—неособенная матрица, то (Лр)-1.
970. Найти такую нумерацию сочетаний из п чисел 1, 2......п
по р, чтобы для треугольной матрицы А ассоциированная матрица Ар, определенная в предыдущей-задаче, также была треугольной с нулями по ту же сторону от диагонали.
971*. Пользуясь свойствами ассоциированных матриц, доказать, что если А — квадратная матрица порядка п, то | Ар | ~ | А | (см. задачу 551).
972*. Пусть А — неособенная матрица порядка п и В = А~Х— матрица, .'обратная для А. Доказать, что миноры любого порядка обратной матрицы выражаются через миноры исходной матрицы следующим образом:
lv 12, /С|, ^2»
В
Р
2 (гs+ks) / k[, k'2.......k'\
(—1)4=1 A , " ₽
lP \ v *2> • ••• ‘n-p J
kp)~ Ml
(1)
где li < 1ч < ... < ip вместе c ii < 12 < • • • < in-p и ki < A2 < • ... < kp вместе c ki < A2 < ... < kn_p составляют полную систему индексов 1, 2.....n.
973*. Доказать, что p-я ассоциированная матрица Ар (определение дано в задаче 969) для ортогональной матрицы А сама ортогональна.
974*. Доказать, что p-я ассоциированная матрица Ар для унитарной матрицы А сама унитарна.
§ 13. Полиномиальные матрицы
Следующие А-матрицы привести к нормальной диагональной форме путем элементарных преобразований:
975. /А IX 976. /А2 — 1 А-f-l \ 977. /А 0 \
\0 А/ Ц+1 А2-|-2А-]-1/ \0 Х+5/
978. /А2—1 0 \ .979. / X-f-1 А2Н~1 X2 \
0 (А — I)3/ | ЗА — 1 ЗА2—1 X2 —j—2А, ]
\ А—1 А,2—1 А /
. 980,/ А2 А2 —А ЗА2 \ 981. /А—2 — 1 0 \
I А2 —А ЗА2 —А А3 Ц-4А2 —ЗА j. I 0 А—2 —1 I \А2-Ь А А24-А ЗА24-ЗА / \ 0 0 А—2/
982.
Х(Х+1) О О О
0
0
к
О (Х+1)2
983.
X2 X
X \ — X I.
— X2/
А порядка
1 —X X
1+Х2 X2
984*. Инвариантными множителями Х-матрицы
называются многочлены Е1 (X), Е2 (X), .... Еп (X), стоящие на главной диагонали, в нормальной диагональной форме матрицы А. Делителями миноров матрицы А называются многочлены А(Х), D2(k), ... .... Dn (X), где Dk (X) — наибольший общий делитель (взятый со старшим коэффициентом, равным единице) миноров А-го порядка матрицы А, если не все эти миноры равны нулю, и £)ft(X) = 0 в противном случае. Доказать, -что Ek (X) =/= О и Dk (X) =/= 0 для k = 1, 2, .... г, где г — ранг матрицы А, тогда как Ek (X) = Dk (X) = О для А = г-[-1, .... п. Далее показать, что Ek(k)---Dk
(А=1, 2.....г; D0=l).
Следующие Х-матрицы привести к нормальной форме при помощи делителей
-985. /Х(Х—1)
0
\ О
. 986. /Х(Х— 1)
О О (Х-1ДХ-2)(Х-3) О О О О b2cd О , О
п
987.
988.
a2cd
0 О
О
Dk-i (X)
О Х(Х —2)
О О Х(Х —2)
О
миноров, определенных ° \ ° Г
(X—1)(Х —2)/
° А
0 1*
Х(Х—з)7 о
(А-1)(А-2)(А-4) О О 0 \ 0 I 0 / abd2 /
диагональной в задаче 984.
О
О abc2
О
О
О (Z-l)(Z.-3)(7l-4)
О
О О О (Л-2)(А-3)(А-4).
где а, Ь, с, d — попарно взаимно простые многочлены от к. 989. //(X) О
О О gh
где /(X) и g(K)— многочлены от X.
990.
О fg fh О
О О
где /, g, h — многочлены от X, попарно взаимно простые и имеющие старшие коэффициенты, равные единице.
991. (fg 0 0 \
[ 0 fh О |,
\ О О gh)
где /, g, h— многочлены от к со старшими коэффициентами, равными единице, взаимно простые в совокупности, но не обязательно попарно взаимно простые.
992. / fg 0 0 \
I 0 fh О I, \ 0 .0 gh)
где /, g, h — любые многочлены от к со старшими коэффициентами.
995. X —1 0 0
0 X —1 0
0 0 X —1
0 0 0 X
1 2 3 4
равными единице.
996. /Х-|-а ₽ 1
| Р к—]— (X О
I О 0 Х4-а
\ О 0—0
997. /2Х2—12X-J-16 2 — к
| 0 3 — к
\ X2—6Х+7 2 — к
998. /ЗХ2 —5X-J-2 О
I 2Х2 — ЗХ-f-l к— 1
\2Х2 —2Х О
О
1 ₽
Х-|-а
2Х2 — 12X4-17 О
Я.2 — 6X4-8 ЗХ2 — 6Х4-3\ 2Х2 — 4X4-2 |. 2Х2 —4X4-2/
999. X 1 1 ... 1
0 X 1 ... 1
0 0 X ... 1
0 G 0
Выяснить, эквивалентны ли между собой матрицы:
(зхн-1
1—X2
Х2_|_Л-4-2
4Х — 1 \
X —X2 ]; Х2-]-2Х/
X
X—1
X
1000.
1001.
CX-J-1 X —2 X2 —2Х\ 2Х 2Х —3 X2 —2Х I.
— 2 1 1 /
(X2-I-X4-1 ЗХ —X2 2Х2—|—X X2
Х24-Х ЗХ —X2 2Х24-Х X2
X2 —X 2Х —X2 2Х24-Х X2
X2 — X2 2Х2 X2
(з х2-|-1 зх2 х2\
2 Х2+1 ЗХ2 X2 | 0 X2 ЗХ2 X2 г
№ —к2 2Х2 X2/ 1002.
(ЗХ3 — 6Х2-}-X-|-3 2Х3 — 4Х24-ЗХ— 1
32,2-8X4-5 2Х2 —4X4-1.
ЗХ3 —ЗХ2 — 5X4-6 2Х3 —2Х2 —Х4-1
ХЗ —2Х24-Х
Х2 —2X4-1
X3 —X2 —Х4-1
X3 —ЗХ24-ЗХ— 1
X3 — ЗХ24-ЗХ— 1
Хз — ЗХ24-ЗХ— 1
2Х3 — 6Х24-7Х — 2
X2 —X 0 \
7Х—ЗХ2 —4 X2 —2X4-1 ]. 5Х —2Х2 —3 X2 —2X4-1/ называется унимодулярной, если ее определи-
(ЗХ3 —9Х24-7Х4- 1
ЗХ3—9Х24-9Х —5 2Х3 — 6Х24-6Х — 1
ЗХ3—9Х24-5Х4-5 2Х3 —6Х24-8Х —2
(ЗХ2 —3X4-1 2Х2 —X — 1 5Х2—7X4-3 1003. Х-матрица тель является многочленом нулевой степени относительно X, т. е. константой, отличной от нуля. Найти нормальную диагональную форму унимодулярной Х-матрицы.
1004. Доказать, что матрица, обратная к Х-матрице, тогда и только тогда будет Х-матрицей, когда данная матрица А унимодулярна.
1005*. Доказать утверждение: для того чтобы две прямоугольные A-матрицы А и В, каждая из т строк и п столбцов, были эквивалентны, необходимо и достаточно выполнение равенства B — PAQ, где Р и Q— унимодулярные Х-матрицы порядков т и п соответственно. Показать, что требуемые матрицы Р и Q можно найти так: найдя ряд элементарных преобразований, переводящий А в В, при
менить все преобразования строк в том же порядке к единичной матрице Ет порядка т, а все преобразования столбцов в том же порядке к единичной матрице Еп порядка п.
Для данной Х-матрицы А методом, указанным в задаче 1005, найти унимодулярные матрицы Р, Q такие, что матрица B — PAQ имеет нормальную диагональную форму (матрицы Р и Q определяются не однозначно):
1006. / I2 — 1 + 4 12-1-3 \
Л\12 — 21-4-3 I2 —1-4-2/’
1007. /I4 4-413-4-412+1-4-2 13 + 412 + 41 \
А \14 + 513 + 812+ 51 + 2 13 + 512 + 81 + 4/’
1008.
(14 + 313—512 + 1+1 214+313— 512 + 1— 1 2144-213—412\
I4— 13+1 214 —I3 —I2 214 — 213 ].
^_|_213—412 + 1+1 214 + 213-412 + 1-1 214 + 13 —312/
Для данных 1-матриц А и В найти унимодулярные 1-матрицы Р и Q, удовлетворяющие равенству В — PAQ (матрицы Р и Q определяются не однозначно (см. задачу 1005)):
1009.
/212 — 1 + 1 312 — 21+1\ /313+71 + 2 313 + 41—1\
Л=Д212 + 1— 1 312+1 —2 /’ В=Д213 + 51+ 1 213 + 31 —1/’
1010.
/212—1—1 213+12—31\
+ I2 —1 I3 —1 )' 1011. / 12 + 1 —1
134-212
\Х3 + 12—1+ 1
/1з_Х2_|_1_1 213—12+1—2\
I3—!2 213 —I2 —1/*
1+1 I2 — 2 \
12_^_21+1 13+12 —21—1 I; 12 + 1 I3 —21+1 /
(41 + 3 21 + 2
101+2 51 + 5
4X2—71 — 8 212—31 — 5
212 — 21 — 3 \
512 — 51 — 2 j
213 —712+21 + 8/
1012. / I3—12—1+1 212 + 21 13 + 12 >
А =1 213— 312—31 + 2 512 + 51 213 + 212
\ I3 —1 12 + 1 13 + 12 /
(12 + 21+1 12+1 0
212 + 31+1 13 + 312 + 21 13 + 12
312 + 51 + 2 213 + 512 + 31 213 + 212
1013. / А24-ЗА —4 А24-2А —3 А24-А —2\
Л==\2л2 + 3^ —5 2А24~2А —4 2А24-А—3/:
/2А24~2А —4 ЗА24-2А—5 А24~2А —3\
В = \2А24-А — 3 ЗА24-А —4 А24-А —2 )'
1014.
(А34-6А24-6А4~5 1з_|_3д2_|_зд,_|_2
2 А3 4-ЗА2 4-ЗА 4-1
(Z3 + x2+X ЗА34-2А24~2А—1
Хз — Х2— А — 2
А34-4А24-4А4-3\
Хз _|_ 2Х22Х + 1 ];
2A34-2A2-]-2A /
2А3-|-А24-А—1 \
6А34-2А24~2А —4
2А3 —А2 —А —3 /
Найти инвариантные множители следующих А-матриц:
1015.
1016.
(ЗА2-}- 2А — 3 4А24~ЗА —5
А24-А—4
(ЗА3 — 2Л-}-1
2А3—2А
5А3 — 4А4-1
2А —1 Х24-2А —3\
ЗА —2 А,24-ЗА — 4 I.
А—2 А—1 /
2А24~А— 1 ЗА34-2А2 —2А—1
А2—1 ,2А34-А2 —2А—1
ЗА24-А — 2 5А34-ЗА2 — 4А — 2
1017.
2А« —А24-2А —1 2А3 —ЗА2 + 2А —3 А3 —2А24-А —2 5А3 —2А2 + 5А—2 А3 4- л2 4- А -I-1 А3 — ЗА24-А — 3 —А3—А2—А—1 7А3 —А2 + 7А —1
А3 —2А24-А —2 А3 + А 2А3—А24-2А—1 —2А3 —А2—2А—I
ЗА3 —2А2 4-ЗА—2 ЗА3 —4А2 4-ЗА—4 2А3—ЗА2 + 2А—3 6А3 — ЗА2 4-6А—3
1018.
А3 А2 — А + 3 А3 —А2 + А 2А3 + А2 —А + 4 А3 + А2 —А-]-2
А3 4- ЗА2—ЗА+6 А3 — ЗА2 + ЗА — 2 2А3 4- ЗА2—ЗА4-7 А3 + ЗА2—ЗА 4- 4 А34-2А2 —2А4-4 А3 —2А24-2А—1 2А34-2А2 — 2А4-5 А34-2А2—2А4-3 2А34-А2 —А4-5 2А3 — A2-J-А1 4A3-f-A2 — А4-7 2А34-А2 — A-J-3
А
О
О
1019.
123... п
А 1 2 ... п— 1
О А 1 ... и —2 •
О О О 0 ... А
1020*. 1 — а Р Р Р ... ₽
0 1 — а Р Р ... ₽
0 0 1 — а Р ... ₽
0 0 0 0 ... 1 — а
{порядок матрицы равен п).
Элементарными делителями Х-матрицы А называются многочлены et (1), *2 (?), es (1) с0 старшими коэффициентами, равными единицё, совпадающие с наивысшими степенями неприводимых множителей, входящими в разложения инвариантных множителей Ех (1), Е2 (X), ..., Еп (X) матрицы А на неприводимые множители. При этом совокупность элементарных делителей матрицы А содержит каждый многочлен £,(Х) столько раз, сколько инвариантных множителей Ek (X) содержит его в своем разложении. Разложение на неприводимые множители берется над тем полем, над которым рассма-, трнваются многочлены, являющиеся элементами матрицы А. В дальнейшем, -если не оговорено противное, рассматриваются элементарные делители над полем комплексных чисел, т. е. наивысшие степени многочленов вида 1— а, входящие в разложения инвариантных множителей матрицы А на линейные множители.
Найти элементарные делители следующих 1-матриц:
1021, / 13+2 134-1
\213—I2—14-3 213 — 12—1-4-2
1022.
/ I3—212-4-21—1 I2—21-4-1 \ \213— 212-4-1— 1 212—21 /’
1023. / 12Ч-2 21-4-1 12-4-1
| 12-4-41-4-4 21-4-3 12 + 41-+-3 \Х2 —41-4-3 21—1 12 — 41-4-2
1024.
X2 —21 —8 Х2+41-{-4
144-13 — 1 — 10 212 + 51-4-2
14+Х8—212—31—6 Х2 +4Х + 4 Х’4-18—Х24-1—2 X2 +1 — 2
X2— 4 X2 —ЗХ —10
ХЗ^-ЗХ2 —1 —6 144-18 —21—12 Х4+18—2Х2—1—2 144-13—212—41—8
Х84-212 — 1 — 2 144-13 — I2 4-1—2
1026. / I2 —2
I 12-4-31—1
I 212—4
\2124-31—3
12_|_1_|_3 х.2-4-2 I2 —3
12-4-314-3 12 4-21-4-1 12-4-31—2
12_|_Х-4-4 124-3 212 — 5
12-4-31-4-4 12-4-21-4-2 2124-31—4
Найти элементарные делители следующих 1-матриц в поле рациональных, в поле действительных и в поле комплексных чисел:
1026. /Х24-2 Х2-|- 1 2Х2—2\
I К2-1-1 а2-1-1 2Х2—2 I.
\х2+2 x24-i зх2—5/
1027. /2Х2Ч-3 X2-}- I X6 + 6Х4-4-X2-I-2
I 4X2-4-ll 2Х2—|—5 2Х6-}-12Х44-2X2 — 26 \2Х2Ч-3 X24-l 2Х6-4-12Х44-X2 — 30
1028. / X44-l X7—Х4-]-Х3—1 X4 —4Х3-|-4Х —5 \
I 2Х4—|—3 2Х7—2Х4-4-4Х3—2 ЗХ4—10Х3-4-Х2 4-10Х—14 I.
\ Х4-]-2 X7—Х44-2Х3—2 2Х4—6Х34-Х24-6Х —9 /
Найти нормальную диагональную форму квадратной Х-матрицы» если известны ее элементарные делители, ранг г и порядок п:
1029. Х4-1, Х-4-1. (Х-j- I)2, X—1, (X—I)2; г = 4, п = 5.
1030. Х4-2, (Х4-2)2, (X-|-2)3, X —2, (X —2)3; г = п = 4.
1031. X—1, X—1, (X—I)3, Х4-2, (X—|—2)2; г = 4; п = 5.
1032*. Доказать, что совокупность элементарных делителей диагональной Х-матрицы получается объединением (с надлежащими повторениями) совокупностей элементарных делителей всех диагональных элементов этой матрицы.
1033*. Доказать, что совокупность элементарных делителей клеточно диагональной Х-матрицы равна объединению (с надлежащими повторениями) совокупностей элементарных делителей всех ее диагональных клеток.
Пользуясь задачами 1032 или 1033, найти нормальную диагональную форму следующих Х-матриц:
1034. /Х(Х— 1)2 0 0 0 А
f 0 Х2(Х4-1) 0 о ' 1 •
1 0 0 X2 — 1 0 ।
\ 0 0 0 Х(Х4-1)з7
1035. /X2 —4 0 0 0
0 Х2 + 2Х 0 0 4Х^
0 0 X3- — 2Х2 0
\ 0 0 0 X3 —
1036. / 0 0 0 Х34-6Х2-|-9Х
0 0 Х34-Х2 —6Х 0
0 X2- -4X4-4 0 0
\Х44-Х3 —6Х2 0 0 0
1037. / 0 о о 7ji_|_2X2—2Х—1
0 0 X4- 2Х24-2Х— 1 0
0 Х2+2Х4-1 0 0
\Х2—2X4-1 0 0 0
1038. / Х24-2Х —3 Х24-Х —2 0 0 \
1039. [ 2X2-I-2X —4 2Х2 + Х— 3 1 0 0 \ 0 0 ✓ Х2—X—2 ХЗ-4-Х2—X—1 0 0 | ХЦ-1 Х4-2 Г X2—1 —2/ 0 0
1040. X2 —4 Х3 + 2Х2—X—2 0 0 \ 0 0 / 0 0 0 0 Х24-2Х Х24-6Х—2 Х2-|-Х—2 Х24-5Х—7 ХЗ—Х2—X—2 X3—2Х—4
' 0 1 X2—2X4-1 \ х3—2Х2-4-6Х— 0 X—2 1 л2—2X4-5 Х,з_|_Х.2 —6Х Х24-Х— 6 0 0 0 0
1041. 0 0 0 X2—2Х—3 Х34Х2—9Х—9
0 0 0 X2—X—2 Х3+2Х2—5Х—б
0 0 К2- -2X41 0 0 •
Х242Х —3 Х24Х—2 0 0 0
Х342Х24Х—4 Х342Х2—3 0 0 0
Определив эквивалентность и нормальную диагональную форму целочисленных матриц так, как это сделано в задачах 942, 943, найти наибольшие общие делители Dk миноров Л-го порядка следующих матриц путем приведения их к нормальной диагональной форме с помощью элементарных преобразований:
1042. 0 2 4 — 1 1043. 0 6 -9 —3
6 12 14 5 12 24 9 9
0 4 14 —1 • 30 42 45 27
10 6 —4 И 66 78 81 63
1044. Доказать, что любую Х-матрицу ранга г элементарными преобразованиями одних только строк (а также одних только столбцов) можно привести к треугольному или трапецеидальному виду, причем нули, по желанию, можно получить выше или ниже главной диагонали, и отличные от нуля элементы будут находиться лишь, в первых г строках (соответственно в первых г столбцах).
1045*. Доказать, что каждую невырожденную Х-матрицу А можно представить в виде A = PR, где Р — унимодулярная Х-матрица, a R— треугольная Х-матрица, элементы которой на главной диагонали имеют старший коэффициент, равный единице, ниже главной диагонали равны нулю, а выше главной диагонали имеют степень, меньшую степени элемента главной диагонали того же столбца (или равны нулю), причем такое представление единственно.
§ 14. Подобные матрицы. Характеристический и минимальный многочлены. Жорданова и диагональная формы матрицы. Функции от матриц
Все задачи этого параграфа ставятся в матричной форме. В частности, свойства характеристических чисел матрицы и приведение матрицы к жор-дановой форме рассматриваются вне связи со свойствами собственных векторов и инвариантных подпространств соответствующего линейного преобразования. Эта связь (в частности, отыскание базиса, в котором матрица данного линейного преобразования имеет жордаиову форму) рассматривается в отделе IV. Это не мешает использовать задачи данного параграфа при изучении свойств линейных преобразований в той мере, в какой усвоена связь линейных преобразований с их матрицами в каком-либо базисе.
1046. Матрица А называется подобной матрице В (что обозначается так: А я» В), если существует невырожденная матрица Т такая, что В — Т~*АТ. Показать, что соотношение подобия обладает следующими свойствами:
а) А я» А; б) если А sa В, то В яг А;
в) если А яг В и В яг С, то А ж С.
1047. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц А, В невырожденна, то матрицы АВ и ВА подобны.
Привести пример двух вырожденных матриц А, В, для которых матрицы АВ и ВА не будут подобны.
1048*. Найти все матрицы, каждая из которых подобна только сама себе.
1049. Пусть матрица В получена из А перестановкой /-й и у-й строк, а также z-ro и у-го столбцов. Доказать, что А и В подобны и найти невырожденную матрицу Т, для которой В = Т~1АТ.
1050*. Показать, чта матрица А подобна матрице В, полученной из А зеркальным отражением в ее центре.
1051. Пусть/р Z2./„ — любая перестановка чисел 1, 2....п.
Доказать, что матрицы
а11с12 • • • а1п
а21а22 • • • а2п
allln
подобны.
anlan2 • ' • апп
1052. Пусть даны матрицы А и В, подобные между собой. Показать, что совокупность всех невырожденных матриц Т, для которых В — Т~1АТ, получится из совокупности всех невырожденных матриц, перестановочных с А, путем умножения этих матриц справа на одну любую матрицу То со свойством В — Tq*AT0.
1053. Доказать, что если матрица А подобна диагональной матрице, то и p-я ассоциированная с ней матрица Ар (задача 969) также подобна диагональной матрице.
1054. Доказать, что если две матрицы А и В подобны диагональным матрицам, то их кронекеровское произведение А X В (задача 963) также является матрицей, подобной диагональной матрице.
1055. Доказать, что если матрицы А и В подобны, то и р-е ассоциированные с ними матрицы Ар и Вр (взятые при любых двух расположениях сочетаний по р из п номеров строк и столбцов) также подобны.
1056. Доказать, что если матрицы Лр Вх подобны соответственно матрицам Л2, В2, то кронекеровские произведения Л] X и А2 X В2 (взятые при любых двух расположениях пар индексов) также подобны между собой.
1057. Доказать, что если квадратная /.-матрица В представляется в виде B = BQ'ks-\-В^~1... 4~Х?Л< где Во, В{......Bs — ма-
трицы, не зависящие от X, и матрица Во невырожденна, то любую квадратную Х-матрицу А того же порядка, что и В, можно разделить на В слева или справа, т. е. существуют правые частное Q, и остаток Ri такие, что А == BQt -|~ Rt, и левые частное Q2 и остаток R2 такие, что A — Q2B-\-R2, причем степени элементов матриц Rt и R2 относительно К ниже s и обе пары QP Rt и Q2, R2 определены однозначно.
1058. Матрицу
( —2X2-4-5Х-4-3
— ЗХ2-]-7ХЧ- П _ Х2_|_2Х-4-8
— Х2-4-ЗХ-4-2 — Х-4-6 — ЗХ2-|-9Х-{-1 — 2Х-4-8 — 2Х2-4-5Х + 3 — Х-]-4
/2 1
разделить слева на В — кВ, где В = | 2 1
1059. Матрицу \2 —1
(_ХЗ-4- Х2-4-ЗХ-4-6 Х2-4-2Х
— 2X34-2X2 + 9X-4-8 Х2-4-6Х-4-1 ^_|_зх+5 х24-2Х—9
(1 2
3 2
1 2
—1\
2 1.
3/
Х2-|-2Х -4- б\ 2X2-4-7Х-]-8 I
Х24~5Х — 2/
1\
3 Г
3/
1060*. Доказать, что если две матрицы А и В с числовыми элементами (или с элементами из некоторого поля Р) подобны, то их характеристические матрицы А — КЕ и В — КЕ эквивалентны.
1061*. Доказать, что если характеристические матрицы А — 7.Е и В — КЕ двух матриц А и В эквивалентны, то сами эти матрицы подобны. При этом показать, что если В — КЕ = Р(А — KE)Q, где Р и Q— унимодулярные Х-матрицы и Ро, Qo — остатки при делении Р слева, a Q справа на В — ХВ, то В == P0AQ0 и P0Q0 = Е, т. е. матрица Qo осуществляет подобное преобразование матрицы А в матрицу В.
1062. Доказать, что любая квадратная матрица А подобна своей транспонированной матрице А'.
Выяснить, являются ли подобными между собой следующие
матрицы:
1063. /3 2 — 5\ /6 20 —34\
Д = | 2 6 —10 ]; В — I 6 32 —51 |.
\1 2 — 3/ \4 20 —32/
1064. /6 6 —15Х / 37 —20 — 4\
А = ( 1 5 — 5 I; 34 —17 — 4 I
\1 2 —2/ \П9 —70 —11/
1065. /4 6 —15\ /1—3 3\
А= | 13 —5 I; В = | —2 —6 13 I;
\1 2 —4/ \—1 —4 8/
1066.
А =
—70
—19
—20
14—2—7 —1
20 —2 —11 —2
19—3—9 —1
— 61 31
41—4 —26 — 7
14 —13 —91 —18
40 — 4 —25 — 8
0 0 0 1
4 10 —19 4
1 6—83
1 4—62
0—1 10
Пользуясь методом, указанным в задаче 1061, для данных матриц А и В найти невырожденную матрицу Т, такую, что В — Т~1АТ (искомая матрица Т определена не однозначно):
1067*. /5 —1\ /38 —81)
А = \9 —1 /’ V16 —34) •
1068*. /17 — Ч /14 —60)
А = \45 —1б): к 3 —13 J I •
1069. <3 —2 i\ /24 — 11 —22
А =( 2 —2 2 1; 20 — 8 —20
чЗ —6 5/ 1 12 — 6 —10
1070*. Доказать, что коэффициенты характеристического многочлена матрицы А следующим образом выражаются через
элементы этой матрицы:
|д_ХЕ|=(-Х)п + с1(-Х)п-1 + с2(-Х)п-2+ ... +с„.
где есть сумма всех главных миноров порядка k матрицы А (минор называется главным, если номера занимаемых им строк совпадают с номерами столбцов).
1071*. Найти характеристические числа (корни характеристического многочлена) матрицы А'А, где A—(alt а2, .... ап) и А' — матрица, полученная транспонированием А.
1072. Доказать, что сумма характеристических чисел матрицы А равна ее следу (т. е. сумме элементов главной диагонали), а произведение этих чисел равно определителю | А |.
1073. Доказать, что все характеристические числа матрицы А отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица А невырож-денна.
1074*. Пусть р > 0 — кратность корня Ао характеристического многочлена |Д — АД| матрицы А порядка п, г—ранг и d — n—г — дефект матрицы А — КдЕ. Доказать справедливость неравенств
1 <^d = n — г р.
1075. Привести примеры матриц n-го порядка, для которых первое или второе неравенства предыдущей задачи обращаются в равенство, т. е. d = 1 или d — р.
1076*. Доказать, что характеристические числа обратной матрицы А~1 равны (с учетом их кратности) обратным величинам для характеристических чисел матрицы А.
1077*. Доказать, что характеристические числа матрицы А2 равны (с учетом их кратности) квадратам характеристических чисел матрицы А.
1078*. Доказать, что характеристические числа матрицы Ар равны (с учетом их кратности) р-м степеням характеристических чисел матрицы А.
1079*. Пусть ц>(к) = \А— ХД|—характеристический многочлен, X], .... — характеристические числа матрицы А и /(1) — про-
извольный многочлен. Доказать, что определитель матрицы f (A) удовлетворяет равенству |/(А)| == f(Z2) ... f (кпу. = R(f, <р), где R(f, <р) — результант многочленов f и <р. Дели же определять характеристический многочлен как <р (X) = | кЕ — А |, то
|/(А)|=Я(<р, /)
Напоминаем, что результантом двух многочленов
п s
/(х) = аоП(-« — ai) и £(*) = *оП (* — ₽/)
i = l /-1
называется число
' ‘ ' Я з п S
R(f. = П(аг — Р/) = «оП* («а ^(-1)Я^ПП /(₽;)• 1=1 J-1 1=1 j=l
1080*. Доказать, что если Х2.........кп— характеристические
числа матрицы А и f (х) — многочлен, то f (ХД f (Х2), ..., / (Х„) будут характеристическими числами матрицы /(А).
1081*. Доказать, что если Xj, Х2, ..., кп— характеристические
числа матрицы А и /(я) = -777-7----рациональная функция, опреде-
Л {X)
ленная для значения х = А (т. е. удовлетворяющая условию | Л (А) | #= 0), то | f (А) | = f (М f (М ... f (Х„) и числа / (\), / (Х2), .... f (Хп) будут характеристическими числами матрицы f (А).
1082*. Доказать, что если А и В — квадратные матрицы одинакового порядка, то характеристические многочлены матриц АВ и В А совпадают.
1083*. Найти характеристические числа циклической матрицы
А = «1 «п ая-1 а2 а3 .. а2 .. •• . О & Б а а а > 1 1 КЗ И-
а2 «3 а4 . : • «1
1084*. Найти характеристические числа матрицы n-го порядка:
<0 —1 0 0 ... 0 01
1 0 —1 0 ... 0 0
А = 0 1 0 —1 ... 0 0 •
О 0 0 0 ... 1 0.
1085*. Жордановой матрицей называется клеточно-диагональная матрица с диагональными клетками вида:
/а 1 0 ... 0\
называемыми клетками Жордана. Жордановой формой матрицы А называется жорданова матрица Aj, подобная матрице А.
Пользуясь теоремой о том, что совокупность элементарных делителей клеточно-диагональной матрицы равна объединению совокупностей элементарных делителей ее диагональных клеток (см. задачу 1033), доказать, что над полем комплексных чисел (или над любым полем, содержащим все характеристические числа матрицы А) любая матрица А имеет жорданову форму, и притом единственную, с точностью до порядка клеток.
Написать жорданову форму А} матрицы А, если даны инвариантные множители Et(K) (1=1, 2, .... п) ее характеристической матрицы А — кЕ:
1086. Д1(Х) = Д2(Х)=1, Д3(Х) = Д4(Х) = Х—1,
Е5 (X)=Е6 (X) = (X - 1) (X 4- 2).
Е, (X) = Е2 (X) = Е3 (X) = 1, Е4 (X) = X 4- 1, Е5 (Х)=(Х+1)2, Е6(Х) = (Х4-1)2(Х — 5).
Д1(Х) = Д2(Х)=1, Д3(Х) = Х — 2, Д4(Х) = Х2 —4.
Доказать, что для любой квадратной Х-матрицы А (X) по-определитель которой есть многочлен от X степени п, суще-
1087.
1088.
1089.
рядка п,
ствует числовая матрица В порядка п такая, что матрица А (X) эквивалентна характеристической матрице В — %Е.
Найти жорданову форму следующих матриц:
1090. . ( ° ! 0\ 1091./2 6 - -15 \ 1092., <9—6 —2
—4 4 0 I. I ! 1 - -5 I I 18 —12 —3
<— 2 1 2/ \ 1 2 - -6 / * к18 —9 —6
1093. /4 6 —15> у 1094. . <0 —4 0\
13—5 1. 1 1-4 0 I-
11 2 —4 > U —2 —2/
1095. /12 —6 — 2\ 1096. /4 —5 2)
18 —9 — 3 Г 5—7 3
\ 18 —9 — 3/ ^6 —9 4/
1097. С4 СО ю 1098. / 1 —з : 3 \
6 —4 4 I • 1 —2 —6 13 1.
U —4 5/ к—1 —4 ( 8 /
1109.
1—1 о о ... о о
О 1—1 0 ... О О
О 0 1 —1 ... О О
О 0 0 0 ... 1 —1
О 0 0 0 ... О 1
порядок матрицы равен п.
1110. 1 1 1 1 ... г
0 1 1 1 ... 1
0 0 1 1 ... 1 , порядок матрицы равен п.
0 0 0 0 ... 1
1111. 1 2 3 4 . п 1112. п п— 1 п — 2 ... 1
0 1 2 3 . п— 1 0 п п— 1 ... 2
0 0 1 2 . п— 2 • 0 0 п 3
0 ООО . 1 0 0 0 ... п.
1113. 1 0 0 0 ... 0 1114. 0 а 0 0 ... 0
1 2 0 0 ... 0 0 0 а 0 ... 0
1 2 3 0 ... 0 • 0 0 0 а ... 0
1 2 3 4 ... п 0 0 0 0 ... а
а 0 0 0 ... 0
1115. Найти жорданову форму матрицы вида
а а12 а13 ... с1я
О а а23 • • • а2п
0 0 а ... а3п
00 0 ... а
при условии, что а12 «23 ... ая_1( я =# 0.
1116. Доказать, что если характеристический многочлен |Д — Zff матрицы А не имеет кратных корней, то А подобна диагональной матрице (элементы матрииы Т, преобразующей А к диагональной форме, принадлежат тому полю, которое содержит все характеристические числа матрицы А).
1117. Доказать, что матрица А над данным полем Р тогда и только тогда подобна диагональной матрице, когда последний инвариантный множитель Еп (X) характеристической матрицы А — кЕ не имеет кратных корней и все его корни принадлежат полю Р.
Выяснить, являются ли следующие матрицы подобными диагональным матрицам в полях рациональных, вещественных и комплексных
чисел:
1118. f 5 2 —3 1119. 15 —36
4 5 —4 8 21 —46
к 6 4 —4 <5 12 —27.
1120. 4 7 - -5\ 1121. /4 2 —5\
-4 5 ° Г 1 6 4 —9 I
1 9 - -4 / \5 3 —7/
1122. Доказать, что если последний инвариантный множитель Еп (к) характеристической матрицы А — кЕ для матрицы А порядка п имеет степень п, то все диагональные элементы различных клеток жорда-новой формы матрицы А различны между собой.
1123. Доказать, что матрица А тогда и только тогда нильпо-тентна (т. е. А* = 0 при некотором натуральном k), когда все ее-характеристические числа равны нулю.
1124. Доказать, что нильпотентная матрица, отличная от нулевой, не приводится преобразованием подобия к диагональной форме.
1125. Найти жорданову форму _ идемпотентной матрицы А (т. е. матрицы, обладающей свойством А2~А).
1126. "Доказать; что инволютивная матрица А (т. е. матрица, обладающая свойством А2 — Е) подобна диагональной матрице и найти вид этой диагональной матрицы.
1127. Доказать, что периодическая матрица А (т. е. матрица, обладающая свойством Ак == Е при некотором натуральном k) подобна диагональной матрице и найти- вид этой диагональной матрицы.
1128. Найти минимальный полином (определение дано в задаче 830): а) единичной матрицы, б) нулевой матрицы.
1129. Для каких матриц минимальный многочлен имеет вид А — а, где а — число?
ИЗО. Найти минимальный многочлен клетки Жордана порядка п с числом а на диагонали.
1131. Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов ее диагональных клеток.
1132. Доказать, что минимальный многочлен матрицы А равен последнему инвариантному множителю f„(Z) ее характеристической матрицы А — КЕ.
1133. Доказать, что некоторая степень минимального многочлена матрицы А делится на характеристический многочлен той же матрицы.
Найти минимальные многочлены следующих матриц:
1134. /3 1 —1 > I 1135. / 4 —2 2
0 2 0 |« 1 —5 7 —5
\1 1 1 / к—6 6 —4
1136. Доказать, что для подобия двух матриц необходимо (но не достаточно), чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены. Привести пример двух не подобных матриц, у которых характеристический многочлен <р(Х) и минимальный многочлен ф(Х) одни и те же.
1137. Найти k-ю степень Ак жордановой клетки
0 0
а 1 0 0
0 а 1 0
0 0 а 1
0 0
0 0
порядка п.
0 0 0 0 ... а 1
0 0 0 0 ... 0 а
1138*. Доказать, что значение многочлена f(x) от клетки Жордана А порядка п с числом а на главной диагонали
а 1 0 ... 0
' 0 а 1 ... 0
А =
О О О ... а
определяется формулой
Г (а) Г (а) /"'(«) /"-Ч (а)
j W 1! 2! 3! (п-1)!
/(Д) = 0 /(а) Г (а) 1! Г(«) 2! /п~2> (а) (п-2)!
0 0 0 0 ... /(а)
1139. Решить задачу 1080, пользуясь жордановой формой матрицы А.
1140. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки, на диагонали которой стоит число а #= 0.
1141*. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки с нулем на главной диагонали (нильпотентная клетка Жордана).
1142. Пусть Xj — жорданова форма матрицы X. Доказать, что-(Д -j- aE)j = Aj -f- аЕ, где А — любая квадратная матрица и а — число.
1143*. Найти жорданову форму матрицы
а 0 1 0 ... 0
0 а 0 1 ... 0
О 0 0 0 ... а
порядка п^>3.
1144*. Доказать, что любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения двух симметрических матриц, одна из которых невырожденна.
1145*. Зная характеристические числа матрицы А, найти характеристические числа р-П ассоциированной с ней матрицы Ар (определение дано в задаче 969).
1146*. Зная характеристические числа двух квадратных матриц—А порядка р и В порядка q,—найти характеристические числа их кроне-керовского произведения А X В (определение дано в задаче 963).
1147*. Пусть ф(Х) = (Х— Xj)r»(А, — ... минималь-
ный многочлен матрицы А степени г — r\ -f- г2 ... +гг Здесь гь— кратность как корня минимального многочлена ф(Х).
Если для функции /(X) существуют числа
№)• /'(U /" (Ч)..........(Л = 1. 2...................®), (1)
то говорят, что функция /(Л) определена на спектре матрицы А и систему чисел (1) называют системой значений функции /(X) на спектре матрицы А. Доказать, что значения многочленов g'(Z) и h (X) от матрицы А совпадают, т. е. g (А) = h (А), тогда и только тогда, когда совпадают значения этих многочленов на спектре матрицы А.
1148. Пусть функция f (X) определена на спектре матрицы А (в смысле предыдущей задачи). Доказать, что если существует хотя бы один многочлен, значение которого на спектре матрицы А совпадает со значениями /(X), то таких многочленов будет бесконечно много и среди них существует один и только один, имеющий степень, меньшую степени минимального многочлена матрицы А. Этот многочлен г (X) называется интерполяционным многочленом Лагранжа — Сильвестера функции /(X) на спектре матрицы А. Его значение от матрицы А по определению принимается за значение функции f (X) от этой матрицы: f(A) — r(A).
1149. Доказать, что если функция /(X) определена на спектре матрицы А и характеристический многочлен | А — кЕ | не имеет кратных корней, то интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестера г (X) существует, и, значит, матрица /(А) имеет смысл. Найти вид г(X) и /(А).
1150. Доказать, что если функция / (к) определена на спектре матрицы А и минимальный многочлен этой матрицы ф (X) = = (Л—Xj) ... (к—ks) не имеет кратных жорней, то интерполяционный многочлен Лагранжа—Сильвестера г (к) существует, и матрица /(А) имеет смысл. Найти выражение для вычисления /(А).
1151*. Доказать, что если функция f(k) определена на спектре матрицы А, то определение матрицы /(А) (данное в задаче 1148) имеет смысл, т. е. существует интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестера г (к). Пусть ф(Х) — (к — к^ ...(к — ks)rs — минимальный многочлен матрицы А, где корни .... различны между собой, и
Фх(М = W) г (Л=1. 2............s).
„ (X — kk)k
Показать, что
s
г(Х)= SJa*. 1 + “*, 2(*-—Ч)+ • • • +a*,rfc(^—4)rft Т] ‘ U) где числа afc ;- определяются из равенств
['CTi'lx-x ^=1’2.........г*: Л=1,2.......»)• (2)
К
т. е. выражение в квадратных скобках в равенстве (1) равно сумме первых rk членов разложения в ряд Тейлора по степеням разности 1 1 л. /W
А — Ч для функции
1152. Пусть ф (Л) = (к — XJ2 (к — Х2)3 (Z., =/= Х2) — минимальный многочлен матрицы А и f(k)—функция, определенная на спектре этой матрицы. Написать выражение для матрицы /(Д), пользуясь предыдущей задачей.
1153. Доказать, что если матрицы А и В подобны, причем В = Т~}АТ и для функции /(X) матрица f (А) существует, то и матрица f(B) существует и подобна f (Д), причем / (В) — Т~хf (А)Т с той же матрицей Т.
1154*. Доказать, что если матрица А клеточно-диагональная
О
О ' As
и функция /(X) определена на спектре матрицы А, то
/(Д) =
/ИО
/И2)
о
о
1155. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестера г (к) и значение f(A) функции f (к) для матрицы
д = 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0
Для каких функций f(k) значение f (Д) имеет смысл?
1156. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для матрицы:
Д =
а 1 0 ... О О
О а 1 ... О О
О 0 0 ... а 1
О 0 0 ... О а
1157. Показать, что если матрица
О
А подобна диагональной
О
Т '
и для функции /(X) матрица f (Л) существует, то и /(Л) подобна лиагональной матрице, причем
/(X.)
о
/И) = 7”’
/(Х2)
о
' /(Х„)
с той же матрицей Т.
1158. Доказать, что если f (X) = g (X)+ft (X) и матрицы g (Л) и h (Л) существуют, то и матрица / (Л) существует, причем f (A)—g (Л)-f-h (Л).
1159. Доказать, что если f (X) — g (X) h (X) и матрицы g (Л) и h (Л) существуют, то и матрица /(Л) существует, причем /(Л) = g (Л) Л(Л).
1160*. Показать, что функция /(X).= -i- определена для всех невырожденных матриц Л и только для них, причем /(Л) = Л-1.
1161. Доказать, что если Хр Х^, .... Х„— характеристические числа матрицы Л и функция /(X) имеет смысл при Х = Л, то /.(ХД J (Х2), .... / (Хд.) будут характеристическими числами матрицы / (Л),
Вычислить следующие значения функций от матриц, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа — Сильвестера и задачами 1148—1152 или находя матрицу, даюЩую преобразование подобия данной матрицы к ее жордановой форме и применяя задачи 1154, 1156, 1153:
1162. Л’00, где А — о со со / 1163. Л50, где Л = 1 ' 1 п к— 1 3/‘
/6 2\
1164. у Л, где Л = -1 5J |. 1165. УЛ, где ,Л = | \3 7/
4 —2\ 3
1166. еА, где Л = = 6 —3/’ 1167. еА, где Л = ( 1 1/‘
/4 2 —5\ /4 15 6\
1168. еА, где Л = 1 6 4 —9 ). 1169. In Л, где Л = 1 1 -4 2 ).
<5 3 —7/ \1 -5 3/
/л---1 1
1170. sin Л, где Л — \ — 1 л —1
1171*. Доказать, что равенство 5т2Л = 251п A cos А справедливо-для любой квадратной матрицы А.
1172*. Доказать, что матрица еА существует и невырожденна дл» любой квадратной матрицы А.
1173. Найти определитель матрицы еА, где А — квадратная матрица порядка п.
1174*. Пусть функция /(X) имеет смысл при Х = Л. Доказать, что определитель матрицы /(Л) удовлетворяет равенству |/(Л)| — ~ f (\) / (М • • f (^л)> где ^1» ^2..... Хп — характеристические
числа матрицы Л (с учетом их кратности).
§ 15. Квадратичные формы*)
В этом параграфе, кроме задач на квадратичные формы, помещены задачи на свойства симметрических и ортогональных матриц, связанные с теорией квадратичных форм. Здесь применяется следующая терминология: под. линейным преобразованием понимается преобразование неизвестных вида
-*1 —9нУ1 + 912У2 + ... + 91лУл
............................. (1>
хп — 9л1У1 + ?Л2У2+ ... 4~9ллУл-
Матрица
(911 912 ••• 91л \
921 922 ••• 92л I (2>
9л1 9л2 • • • 9дл '
составленная из коэффициентов преобразования (1) в соответственном порядке, называется матрицей этого преобразования. Ливейное преобразование-называется невырожденным, если его матрица невырожденна. Две квадра-тичвые формы называются эквивалентными, если одна из них -переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования. Каноническим видом данной квадратичной формы называется эквивалентная с ней форма, не содержащая произведений неизвестных, а нормальным видом — такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны ±1 для вещественной и -J-1 для комплексной области.
Найти нормальный вид в области вещественных чисел следующих: квадратичных форм:
1175. х? -ф- х* 4- 3*2 -|- 4х.х„ 4- 2х.х, 4~ 2х„х,.
1176. х| — 2х| 4~ 4" + 4XjX3 4- 2х2х3.
1177. х? — Зх|—2xtx2 4 2х,х3 — бх^.
1178. XjX2 4“ х1хз 4“ Х1Х4 4“ Х2Х3 4- Х2Х4 + Х3Х4-
*) Задачи на билинейные и квадратичные функции даиы в § 24.
1179. xl 4- 2х| 4- х2 4- 4xjX2 4- 4xjX3 4- 2XjX4 4- 2х2х3 4- 2х2х4 4-
4- 2х3х4.
Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм {ввиду неоднозначности искомого линейного преобразования ответ может получиться отличным от приведенного ниже):
1180. х?4-5х? — 4x^4-2х.х,— 4х.х,. 1 1 h О’ L 4 АО
1181. 4х2 4" х|4“Х| — 4х1х2-}-4х1х3— Зх2х3.
1182. х1х24-х1х34-х2х3.
1183. 2x2 4- 18х| 4 $х2— Их^-^-Бх^— 27х2х3.
1184. —12x2 — 3x2— 12х?4~ 12х.х„ — 24х.х„-\-8х„х„.
1185. XjX2 4- х2х34~ х3х4 4~x4Xi.
1186. 3x2 _|_ 2*2 — х2 — 2x2 4- 2xjX2 — 4х2х3 4- 2х2х4.
Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые:
1187. 2x2зх24х2 — 2х.х„4- 4х.х, — Зх2х„.
1188. Зх? — 2x2 4- 2х? 4- 4х.х, — Зх.х, — х„х„. 1 4 1 О* 14 1 О 4 о
1189. 4 X? 4“ 2*2 + Зх4 Х1Х2 + Х2Х3 Х3Х4-
Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразован::?, переводящее форму / в форму g (искомое преобразование определено не однозначно):
1190. / = 2x24-9x2 4-3x2 4-8х х—4Х х — 10х9х,;
g = 2у? 4- 4- 6у2 — 4У1У2 — 4у;У3 4- 8у2у3.
1191. /= Зх?4“ 10x24-25x2— 12х.х„ — 18х.х,4-40х„х
g‘ = 5y2_|-6y2 4-12y1y2.
1192. f = 5x2 5Х2 2х2 4- 8xjX2 4- 6х,х3 4- 6х2х3;
g = 4у> 4- у2 + 9у2 _ ! 2У1уз.
Следующие квадратичные формы привести к каноническому виду и найти выражение новых неизвестных через старые (ответ не однозначен): п
1193. 2 «/«/Xzx,-, где не все числа а1( а2..ап равны нулю.
I, j-i
1194. 2 4 + S х.х.. 1195*. 2 хх
1196. xtxi+l. 1197*. ^(xt-— s)2, где s = Х1+-уг+ i=»l i=s»l
1198*. 2 P — j\-xiX/. i < i
1199*. Пусть дана квадратичная форма
/ = -------------------------------------
где /р /2, •••• 1р< ^р+1> 1р+ъ.... ^p+q—вещественные линейные
формы от хР х2, .... хп. Доказать, что положительный индекс инерции (т. е. число положительных коэффициентов в каноническом виде) формы / не превосходит р, а отрицательный индекс инерции не превосходит q.
1200*. Доказать, что если от каждой из двух форм /, g к другой можно перейти каким-нибудь (необязательно невырожденным) линейным преобразованием, то эти формы эквивалентны.
Выяснить, какие из следующих форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел:
1201. /1 = х2 —х2х3; /2 = ^2 —У1; /3 = ^2 + 4
1202. /. = х2 + 4х2-|-х24-4х.х9 — 2х.х
/з = - 4zl — 4 — 4 — 4zA + 4^з + 18z2z3.
1203. Показать, что все квадратичные формы от п неизвестных можно разбить на классы так, что две формы будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же классу. Найти число этих классов в комплексной и в вещественной областях.
1204. Какими значениями ранга и сигнатуры характеризуются те классы вещественно эквивалентных квадратичных форм, для которых форма f эквивалентна форме — /.
1205. Найти число классов эквивалентности в области вещественных чисел форм от п неизвестных, имеющих заданную сигнатуру s.
1206. Доказать, что для распадения квадратичной формы в произведение двух линейных форм необходимо и достаточно выполнение условий: а) в области вещественных чисел: ранг не превосходит двух, а при ранге два сигнатура равна нулю, б) в области комплексных чисел: ранг не превосходит двух.
1207. Доказать, что квадратичная форма f тогда и только тогда является положительно определенной, когда ее матрица представляется в виде А — С'С, где С — невырожденная вещественная матрица и. \С' — матрица, транспонированная к С.
1208. Пользуясь задачами 913, 951 и 1207, доказать, что квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда все ее угловые миноры положительны. Под угловым минором квадратичной формы понимается минор k-ro порядка, стоящий в первых k строках и первых k столбцах ее матрицы (k — 1, 2....и;
п — порядок матрицы).
1209. Доказать, что в положительно определенной форме все-коэффициенты при квадратах неизвестных положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности, формы.
1210*. Доказать утверждения:
а) Для того чтобы квадратичная форма / была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные — а не только-угловые (см. задачу 1208)—миноры ее матрицы были положительны.
б) Для того чтобы квадратичная форма / была неотрицательна (т. е. /^>0 при любых вещественных значениях неизвестных), необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны. Показать на примерах, что (в отличие от положительно определенных форм) для неотрицательности / не достаточно, чтобы все угловые миноры были неотрицательны.
в) Для того чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А = С'С, где С — вещественная невырожденная матрица, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы А были положительны.
г) Для того чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А — С'С, где С— вещественная квадратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были неотрицательны. Кроме того, если ранг А равен г, то и ранг С равен г, и можно считать первые г строк С линейно независимыми, а остальные — нулевыми.
1211. Доказать, что квадратичная форма / тогда и только тогда является отрицательно определенной (т. е. / < 0 при любых вещественных значениях неизвестных, не все из которых равны нулю), когда знаки угловых миноров Dv D2.........Dn чередуются, причем
Dt < 0. Здесь Dk — угловой минор порядка k (k— 1, 2, .... ri).
Найти все значения параметра X, при которых положительно определенны следующие квадратичные формы:
1212. 5х? 4- х% кх? + 4х,х„ — 2х,х, — 2х,,х,,. 1’4’ О 14 10 4 О
1213. 2х| -J- х? -f- Зх* -j- 2XxjX2 -f- 2x,x3.
1214. х? 4- Хо + 5%2 2Хх. х, — 2х х, 4- 4х„х.,.
1216. Хд 4- 4х| 4- Х14“ 2Хх,х2 4- 1 OXjXg 4- 6х2х3.
1216. 2x2 _|_ 2Х2 _|_ х2 -|- 2XxjX2 4- 6XjX3 4- 2х2х3.
1217*. Дискриминантом Df квадратичной формы f называется определитель ее матрицы. Доказать, что если к положительно определенной квадратичной форме /(хр х2........хп) прибавить квадрат
ненулевой линейной формы от тех же неизвестных, то дискриминант формы увеличится.
п
1218*. Пусть /(хр х2, .... хп)= У aijXiXj — положительно определенная квадратичная форма и <р (х2, х3, .... х„) — f (0, х2.х„).
Доказать, что для дискриминантов этих форм выполняется неравенство О/<а11О(().
1219*. Доказать, что если неотрицательная квадратичная форма обращается в нуль хотя бы при одном ненулевом наборе вещественных значений неизвестных, то эта форма вырождении (т. е. ее дискриминант равен нулю).
1220*. Назовем композицией двух квадратичных форм
п п
/= S dijXiXj И £= У Ьцх1х/
I, i. /“1
п
квадратичную форму (/, g)~ У aifiijxixp
i.
Доказать, что:
а) если формы f и g неотрицательны, то и форма (/, g) неотрицательна:
б) если формы / и g положительно определенны, то и форма (/, g) положительно определенна.
1221*. Треугольным преобразованием называется линейное преобразование вида
У1 = Х1 4“ с12х2 4* ••• 4~С1ПХ„,
Уг — Х2 4” с23х3 4“ ’ • ' • 4“ с2пхп>
Уп — хп’
Доказать, что;
а) треугольное преобразование невырожденно и преобразование, обратное для треугольного, снова треугольное;
б) угловые миноры Dk(k— 1, 2, ..., п) (см. задачу 1208) квадра-п
тичной формы f— У йг.х,х - при треугольном вреобразованин не I.
изменяются.
1222*. Доказать, что: п
а) для того чтобы квадратичную форму ранга г f = 2 aijxixj треугольным преобразованием можно было привести к виду
/=м+ ••• О)
где =/= 0 (k—\, 2, .... г), необходимо и достаточно, чтобы
D^O (fe<r). Dk = 0 (ft>r), (2)
где Dk(k = 1, 2....n) — угловые миноры формы f (см. задачу 1208);
б) указанный канонический вид (1) определен однозначно, причем его коэффициенты находятся по формулам
К = (А=1. 2.......г;£>0=1) (3)
(теорема Сильвестера).
1223. Пусть угловые миноры квадратичной формы / ранга г удовлетворяют условиям (2) предыдущей задачи. Доказать, что положительный индекс инерции этой формы равен числу сохранений знака, а отрицательный индекс — числу перемен знака в ряду чисел
1 = Dq, Dlt D2, ..., Dr.
Выяснить, что в следующих парах квадратичных форм одна форма является положительно определенной; найти невырожденное линейное преобразование, приводящее эту форму к нормальному, а другую форму той же пары к каноническому виду, и написать этот канонический вид (линейное преобразование определено не однозначно):
1224. f = — 4xjX2, 1225. f — xf4~ 26x|4- lOXjXg,
g = x^ — 2XjX2 + 4x|. g — x\ 4- 56x? 4~ 16xjX2.
1226. f — 8xl—28x2-|- 14x?4~ 16x.x„4~ 14x.x„4-32x„x„,
g = X1 + 4x2 2x2 + 2x^3.
1227. / — 2x2 Х1А-2 XiA-3 — 2x2x3 4- 2x2x4,
g = T xi + x2 + x3 + 2x4 + 2x2x4.
1228. / = x2 4- -| x| — 2x2 4- x2 4- 2x,x2 4- 4x,x3,
g = xl + | x2 4- xl 4- x2 4- 2x2x3.
1229. f — x2 — 15x| 4- 4XjX2 — 2xtx3 4- 6x2x3, g = xl 4“ 1 ?x2 4- 3x2 4xxx2 — 2x,x3 — 14x2x3-
1230*. Пусть дана пара форм /, g от одних и тех же неизвестных, причем g > 0. Доказать, что канонический вид
/ = ••• +Мл-
получаемый для формы f при любом линейном преобразовании, приводящем форму g к нормальному виду (т. е. к сумме квадратов), определяется однозначно с точностью до порядка слагаемых, причем его коэффициенты Хр .. ., Хя являются корнями так называемого Х-уравнения пары форм /, g, а именно уравнения | Л—'кВ | = 0, где А и В — соответственно матрицы форм / и g.
Можно ли следующие пары квадратичных форм привести к каноническому виду одним вещественным невырожденным линейным преобразованием:
1231. f==xl~\~4xlx2 — х|, 1232. / — xj + хгх2 — х|,
g = + 6х,х2 + 5x2. g = x2 —2XjX2.
1233. Пусть даны две положительно определенные формы f и g и пусть одно невырожденное линейное преобразование неизвестных п
приводит форму / К виду 2 а форму g—к нормальному виду, /=1
а второе преобразование — наоборот: форму f к нормальному виду, п
а форму g к виду У, Найти связь между коэффициентами
X,.....Х„ и р,......цл.
Не разыскивая линейного преобразования, найти канонический вид данной формы /, к которому она приведется преобразованием, приводящим другую данную форму g > 0 к нормальному виду:
1234. / = 21 х| — 18х| -j- 6х^ 4xjX2 + 28xjX3 -|- 6х2х3,
g = 1 1 xf + 6x2 _|_ 6Х2- 12х,Х„-1- 12х.х, — 6х„х„.
1 X О к X * 1 О X о
1235. / — 14x2 — 4x2 + 17х|-|- SXjX?. — 40х1х3 — 26х2х3,
g — 9х? + 6x2 6x2-4- 12х.х„— Юх.х,— 2х„х,.
1236. Доказать, что две пары форм /Р gx и /2, g2, где gx и g2 положительно определенны, тогда и только тогда эквивалентны (т. е. существует невырожденное линейное преобразование, переводящее Д в /2 и gi в g2), когда корни их Х-уравнений | Ах — кВх | = 0 и | А2 — кВ21 = 0 совпадают.
Выяснить, эквивалентны ли следующие пары форм, не находя линейного преобразования одной пары в другую:
1237. /, — 2х| Зх| — х3 —|— 2XjX2 -|- 2xjX3,
Si = 3x2 2х2 х2 _ 2Х1хз>
/2 = 2x2 5х2 _|_ 2х2 4хл _|_ 4XjX3 _ 2ХгХз>
g2 = Х1 + 6х2 + ЗХ3 + 2х1х2 + 2х1х3-
1238. /. = 4x2-1-6x2-4-21x2-1-4х.х„ — 4х х—22х„х„, * 1 I1 £. 1 О' 1 £. 1 О Z О
= 4Х! + ЗХ1 + 6Х1 + 4Х1Х2 — 4Х1Х3 — 6Х2Х3-
/2 = 9x2 6х2 6х2 _ 6хл _ 6хл _|_ 12х2х3,
g2 = 9х| + Зх| Зх| — 6XjX2 — 6XjX3 -f- 2х2х3.
Найти невырожденное линейное преобразование, переводящее пару квадратичных форм /р gx в другую пару /2, g2 (искомое преобразование определено не однозначно):
1239. /! = 2x2— 7x2-]- 2х,х2, /2 = — 7y'f —Зу| — 12у1у2, gi — 2x2 4-13x2-4- lOXjXg, g2 = 13у2 -4- 25у2 _|_ Збу^
1240. Д = Зх? 4- 2x2 — 10Х1х2, /2 = _ 9yJ _ 20у| _ 44У1у2, gi = 2x2 4- 5x2 _ 6X1x2, g2 = 29у2 4у2 20^.
1241. Пусть /(хР х2......хл) и £(хр х2........х„)— две квад-
ратичные формы, хотя бы одна из которых положительно определенна. Доказать, что «поверхности» / = 1 и g = 1 в «-мерном пространстве тогда и только тогда не пересекаются (т. е. не имеют общих точек), когда форма / — g является определенной.
п
1242*. Доказать, что канонический вид 2 к которому квад-i = l
ратичная форма f приводится ортогональным преобразованием, определен однозначно, причем его коэффициенты Х2, ..., Хл являются корнями характеристического уравнения | А — кЕ | = 0 матрицы А формы /.
Найти канонический вид, к которому приводятся следующие квадратичные формы посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования:
1243. 3x2-4-Зх? —I— 4х.х„4-4х,х,— 2х„х,. Z 1 о 1 1 Z । 1 о Z <5
1244. 7x2 -|- 7x2 -|- 7x2 -|- 2х х„ 4- 2х х., 4- 2х„х„.
1245. х? — 2х.х, — 2х.х„ — 2х„х,. ж 14 1 о Z о д
1246. 3x2—|—Зх2 — х2—6х,х3-f-4х2х3. 1247*. 2 хЛ+г
Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид (преобразование определено не однозначно):
1248. 6х?4-5х?4-7х? — 4х.х,4-4х1х,. 1* 4 1 О 14* 1О
1249. Их?4-5x2-1-2x24- 1бх1х,4-4х.хч— 20х..х,.
1 ’ 4 1 О' 1 4 * 10 л о
1260. х? —I— х? 4“ 5x2 — 6х.х„ — 2х.х3 4- 2х„х„. 1*4 0 14 10' 4 О
1251. Xj —|— х2 —]— х| 4хjXg —|— 4XyXg 4“ 4х2х3.
1252. 17х?4-14х2-|- 14x2—4Х х„—4хх.— 8х„х,.
1253. Х| — 5x2 4- х2 4- 4xjX2 4~ 2xjX3 4- 4х2х3-
1264. 8х? — 7Х2 -L 8x2 t 8х, х„ — 2х.х„-|- 8х„х,.
1255. 2х,х, — 6х.х„—6х„х. 4-2х„х..
1266. 5х? 4" 5х? —|—5х?5х?— 10х1х9-|-2х.х34-1 4 1 0* 14* 10’
4- 6х,х4 4- 6х2х3 + 2х2х4 — 10х3х4.
1257. Зх? -]- 8х. х„ — 3x2 -|- 4x2 — 4х,х4 4- х1-
1258. х? 4“ 2х.х9—}—хо—2x2 — 4х„х4 — 2x2
1259. 9x2 4- 5х| -]- 5х| 4- 8x2 8х2х3 — 4х2х4 -|- 4х3х4-
1260. 4x2 — 4XjX2 4- х2 4- 5х| — 4Х2 12х4х5 -|- х|,
1261. 4x2 — 4х| — 8х2х34- 2х| — 5х| -|- 6x4xg -|- Зх|.
1262. Зх? 4- 8х. х9 — Зх? 4-4x2 — 6х,х4 — 4x2
4- 4x2 4 v х х2
• 5 1 5 6 1 6
Найти канонический вид, к которому следующие формы приводятся ортогональным преобразованием, и выразить новые неизвестные через старые (искомое преобразование не однозначно):
1263. 2 х / 4“ 2 xixr 1264. 2 xtxi-
1265*. Назовем две квадратичные формы ортогонально эквивалентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством ортогонального преобразования. Доказать, что для ортогональной эквивалентности двух форм необходимо и достаточно, чтобы характеристические многочлены их матриц совпадали.
Выяснить, какие из следующих квадратичных форм ортогонально Эквивалентны:
1266. / = 9x2-|-9x212х.х„4- 12х,х, — 6х„х,; " 4‘ 0* 14' 10 40
g- = _ Зу2 4- 6у2 4. бу2 _ 12У1у2 4- 12у 1Уз 4- 6у2у3;
Л — Hz? — 4^2-1- 11z2 4_82.z„ — 2z,z4-j-8z„z„.
1 4* 0*14 10'40
1267. / = 7х?4-х? + хч — 8*1*9—8х.х,— 16х,х ;
2,1,194 ,4 ,8
= 3 У? — -3 - -3 Уз2 - 3 У1У2 + з- У1У3 + д’ W
h = z\ — zxzy
1268. Доказать, что любую вещественную симметрическую матрицу А можно представить в виде: A — Q~lBQ, где Q — ортогональная и В — вещественная диагональная матрицы.
Для следующих матриц найти ортогональную матрицу Q и диагональную матрицу В такие, что данная матрица представляется в виде Q-1BQ:
1271*. Доказать, что все характеристические числа вещественной симметрической матрицы А тогда и только тогда лежат на отрезке [а. £], когда квадратичная форма с матрицей А — положительно определенна при любом Ло < а и отрицательно определенна при любом Zo > b.
1272*. Пусть А и В — вещественные симметрические матрицы. Доказать, что если характеристические числа матрицы А лежат на отрезке fa, b], а характеристические числа матрицы В—на отрезке [с, d\, то характеристические числа матрицы A-j-B лежат на отрезке fa-f-c, b-f-df.
1273. Доказать, что невырожденную квадратичную форму тогда и только тогда можно привести к нормальному виду ортогональным преобразованием, когда ее матрица ортогональна.
1274. Доказать, что матрица положительно определенной квадратичной формы тогда и только тогда ортогональна, когда эта форма есть сумма квадратов. Как это положение формулировать на языке матриц?
1275*. Доказать, что любую вещественную невырожденную матрицу А можно представить в виде А — QB, где Q — ортогональная матрица и В — треугольная матрица вида
^11 ^12 ^13 • •
О Ь22 Ь23 ... Ь2п
О 0 ^зз ... Ь3п
О 0 0 ... Ь„„
с положительными элементами на главной диагонали, и такое представление единственно.
1276*. Доказать, что:
а) любую вещественную невырожденную матрицу А можно представить как в виде А = QpBj, так и в виде А — B2Q2, где матрицы Q( и Q2—вещественные и ортогональные, а матрицы Вх и В2—вещественные, симметрические и с положительными угловыми минорами. Каждое из этих представлений единственно;
б) любую комплексную невырожденную матрицу А можно представить как в виде А = QYBV так и в виде А = B2Q2, где матрицы QI и Q2 — унитарны, а матрицы Вг и В2—эрмитовы и с положительными угловыми минорами (матрица В называется эрмитовой, если В' = В). Каждое из этих представлений единственно;
в) пусть А — симметрическая (или эрмитова) матрица с положительными угловыми минорами и В — ортогональная (соответственно унитарная) матрица. Доказать, что:
1) произведения АВ и ВА тогда и только тогда будут симметрическими (эрмитовыми) матрицами с положительными угловыми минорами, когда В — единичная матрица;
2) произведения АВ и ВА тогда и только тогда будут ортогональны (унитарны), когда А — единичная матрица.
ОТДЕЛ IV
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 16. Аффинные векторные пространства
Ниже применяются следующие обозначения; векторы обозначаются малыми латинскими буквами жирного шрифта, а векторные пространства, их подпространства и линейные многообразия — большими латинскими буквами1 жирного шрифта. Координаты вектора при обычной записи пишутся в строку, заключенную в круглые скобки, например x = (xt, х2, хп). В матричной записи векторы базиса записываются строкой в круглых скобках, а координаты вектора — столбцом в круглых скобках.
Матрицей перехода от старого базиса ev е? ..еп к новому «?(, е'2, .... е'п называется матрица по столбцам которой стоят коор-
динаты новых базисных векторов в старом базисе. Таким образом, старый и, новый базисы связаны матричным равенством
(^1> е2’ • • •• еп) — (₽1« е2> • • •• еп)"
(0-
При таких обозначениях координаты xt, х2, х„ вектора х в старом-базисе связаны с координатами х{, х2, ..., х'п того же вектора в новом ба-
зисе равенствами xi = 2 hjxр или в матричной записи 7=1
х,
х2
= Г
(2>
Линейным подпространством векторного пространства R называется непустое (т. е. содержащее хотя бы один вектор) множество L векторов из R, обладающее следующими свойствами:
1) сумма x-f-y двух любых векторов из L снова принадлежит L;
2) произведение а-х любого вектора х из L на любое число а снова принадлежит L.
Линейным многообразием векторного пространства R называется совокупность Р векторов из R, полученная прибавлением ко всем векторам ка
кого-нибудь подпространства L из R одного и тою же вектора х0. Эта связь L и Р будет обозначаться так: P=L-f-x0 или L = P — х0. Мы будем говорить, что линейное многообразие Р получено нз линейного подпространства L параллельным сдвигом на вектор х0.
Размерностью линейного многообразия называется размерность того линейного подпространства, параллельным сдвигом которого данное многообразие получено. Корректность этого определения вытекает из утверждения задачи 1331. Одномерные линейные многообразия будут называться прямыми, а двумерные — плоскостями.
Суммой двух линейных подпространств и Ь2 векторного пространства R называется совокупность 5 = L, 4- Д2 всех векторов из R, каждый из которых представляется в виде х = х14~х2, где Х|££, и х2££2. Здесь запись aQA обозначает: «элемент а принадлежит множеству Л». Пересечением двух линейных подпространств и L2 векторного пространства R называется совокупность £) = £1П£2 всех векторов из R, каждый из которых прйнадлежит как Llt так и £2.
Прямой суммой двух линейных подпространств Lt и L2 векторного ’пространства R называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора, т. е. £]П£2=0. В случае прямой суммы будем писать 5 == £(4-£2.
«-мерное векторное пространство будет обозначаться через R„. При этом если не оговорено противное, подразумевается, что за основное поле взято поле вещественных чисел, т. е. Rn состоит из всех n-мерных векторов с любыми вещественными координатами.
Векторы еР е2...........е„ и х заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы еР е2........еп сами образуют
<базис, и найти координаты вектора х в этом базисе:
1277. «?! = (!. 1, 1). е2 = (1, 1. 2), е3 = (1, 2, 3); х = (6, 9, 14).
1278. е, = (2, 1, —3), е2 = (3, 2. —5), е3 = (1, —1, 1); Х = (6, 2, —7).
1279. ^ = (1. 2, —1, —2), е2 = (2, 3, 0, —1), е3 = (1, 2, 1, 3). 4?4 = (1. 3, —1. 0); х = (7, 14, —1, 2).
Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:
1280. et = (l, 2, 1). е2 = (2, 3, 3), е3 = (3, 7, 1);е' = (3, 1, 4), 4?' = (5, 2, 1), е3 = (1, 1, —6).
1281. ^ = (1, 1, 1. 1). е2 = (1, 2, 1, 1), е3 = (1, 1, 2, 1), 4?4 = (1, 3, 2, 3); е{==(1, 0, 3, 3), е' = (—2, —3, —5, —4), ^' = (2. 2. 5, 4), < = (—2, —3, —4, —4).
1282. Найти координаты многочлена
/(х) = о0 + °1л: + о2х2 + ••• Ч~а„хп
а) в базисе 1, х, х2, .... х";
б) в базисе 1, х — а, (х — а)2, .... (х — а)", выяснив, что последние многочлены действительно образуют базис.
1283. Найти матрицу перехода от базиса 1, х, х2...хп к базису
1, х— а, (х— а)2......(х— а)" пространства многочленов степени,
меньшей или равной п.
1284. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:
а) поменять местами два вектора первого базиса?
б) поменять местами два вектора второго базиса?
в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:
1285. Все векторы «-мерного векторного пространства, координаты которых — целые числа?
1286. Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат Ох и Оу?
1287. Все векторы плоскости, концы которых лежат на данной прямой (начало любого вектора, если не оговорено противное, предполагается совпадающим с началом координат)?
1288. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?
1289. Все векторы трехмерного пространства, концы которых не лежат на данной прямой?
1290. Все векторы плоскости, концы которых лежат в первой, четверти системы координат?
1291. Все векторы из /?„, координаты которых удовлетворяют уравнению Xj-J-Xg-j- ... 4-х„ — 0?
1292. Все векторы из Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению X] -f- х2 -j- ... + х„ — 1 ?
1293. Все йекторы, являющиеся линейными комбинациями данных, векторов: xv х2, .... Хй из Rn?
1294. Перечислить все линейные подпространства трехмерного^ векторного пространства.
1295. Пусть линейное подпространство содержится в линейном, подпространстве £2. Доказать, что размерность не выше размерности £2, причем размерности равны тогда и только тогда, когда. £1 = £2. Верно ли последнее утверждение для любых двух линейных подпространств данного пространства?
1296. Доказать, что если сумма размерностей двух линейных подпространств «-мерного пространства больше п, то эти подпространства имеют общий ненулевой вектор.
Доказать, что следующие системы векторов образуют линейные подпространства и найти их базис и размерность:
1297. Все «-мерные векторы, у которых первая и последняя; координаты равны между собой.
1298. Все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.
1299. Все «-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой.
1300. Все «-мерные векторы вида (а, р, а, р, а, р, ...), где а и ;Р — любые числа.
1301. Доказать, что все квадратные матрицы порядка п с вещественными элементами (или элементами из любого поля Р) образуют векторное пространство над полем вещественных чисел (соответственно над полем Р), если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.
1302. Доказать, что все многочлены степени от одного неизвестного с вещественными коэффициентами (или с коэффициентами из любого поля Р) образуют векторное пространство, если за операции взять обычные сложение многочленов и умножение многочлена на число. Найти базис и размерность этого пространства.
1303. Доказать, что все симметрические матрицы образуют линейное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка п. Найти базис и размерность этого подпространства.
1304. Доказать, что кососимметрические матрицы образуют линейное подпространство пространства всех квадратных матриц порядка п. Найти базис и размерность этого подпространства.
1305. Доказать, что если линейное подпространство L пространства многочленов степени п содержит хотя бы один многочлен степени k для Л = 0, 1, 2.....р, но не содержит многочленов сте-
пени k > р, то оно совпадает с подпространством Lp всех многочленов степени р.
1306. Пусть /—неотрицательная квадратичная форма от п неизвестных ранга г. Доказать, что все решения уравнения f — 0 образуют (п—г)-мерное линейное подпространство пространства /?„.
1307. Доказать, что решения любой системы однородных линейных уравнений с п неизвестными ранга г образуют линейное подпространство «-мерного пространства Rn размерности d = n — г и, обратно, для любого линейного подпространства L размерности d пространства /?„ существует система однородных линейных уравнений с п неизвестными ранга г = п — d, решения которой заполняют в точности данное подпространство L.
1308. Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства L пространства Rn, если L задано уравнением
••• ~t~xn~ 0-
1309. Доказать, что разг еэность линейного подпространства L, -натянутого на векторы хР х2......xk (т. е. подпространство всех
линейных комбинаций данных векторов), равна рангу матрицы, составленной из координат данных векторов в каком-нибудь базисе.
а за базис подпространства L можно взять любую максимальнукх линейно независимую подсистему системы данных векторов.
Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых, на следующие системы векторов:
1310. ^ = (1, 0, 0, —1), а2 = (2, 1, 1, 0), а3 = (1, 1, 1, 1), а4 = (1, 2, 3, 4), а5 —(0, 1, 2, 3).
1311. «, = (1. 1, 1, 1, 0), а2 = (1, 1. — 1. —1. —1).
а3 —(2, 2, 0, 0, —1), а4 = (1, 1, 5, 5, 2), а5 = (1, —1, —1, 0, 0).
Найти системы линейных уравнений, задающие линейные подпространства, натянутые на следующие системы векторов:
1312. «! = (!, —1. 1, 0), а2 = (1, 1, 0, 1), а3 —(2, 0, 1, 1).
1313. «! = (!. —1, 1, —1, 1), а2 —(1, 1, 0, 0, 3), а3 —(3, 1, 1, —1, 7), а4 = (0, 2, —1, 1, 2).
1314. Доказать, что сумма и пересечение двух линейных подпространств пространства Rn сами являются линейными подпространствами того же пространства.
1315. Доказать, что сумма S~Ll-\-L2 двух линейных подпространств пространства Rn равна пересечению всех линейных подпространств из Rn, содержащих как Llt так и L2.
1316. Доказать, что сумма размерностей двух линейных подпространств пространства Rn равна размерности суммы плюс размерность, пересечения этих подпространств.
Найти размерность s суммы и размерность d пересечения линейных, подпространств: натянутого на векторы ар а2........ак, и Z,2.
натянутого на векторы blt Ь2, .... &Р
1317. «! = (!, 2, 0, 1), а2 = (1, 1, 1, 0) и &! = (!, 0, 1, 0). &2 = (1, 3, 0, 1).
1318. в1==(1, 1, 1, 1), а2 = (1, —1, 1, —1), а3 = (1, 3, 1, 3); &! = (1, 2, 0, 2), &2 = (1, 2, 1, 2), &3 = (3, 1, 3, 1).
1319*. Пусть Lx — линейное подпространство -пространства Rn с базисом ар а2......ak и L2 — линейное подпространство того же-
пространства с базисом &р Ь2......&Р
Доказать следующие правила построения базиса суммы S = L1-|-L2. и базиса пересечения D = Lx П L2.
1) Базисом суммы S служит максимальная линейно независимая подсистема системы векторов ах....ак, Ьг, .... bt. Его построение
сводится к вычислению ранга матрицы из координат этой последней, системы векторов.
2) Базис суммы S можно получить, добавляя к линейно независимым векторам ар .... ak некоторые из векторов &р .... bt (задача 659). Меняя, если потребуется, порядок последних векторов,, можем считать, что векторы ар .... ak, &t..........bs_k образую®
базу S.
Равенство
••• + xkak — У1^1 + ••• + yfii (О
•эквивалентно системе п однородных линейных уравнений с k-\-l •неизвестными хР .... xk, ур ...» yt ранга $. Так как первые s столбцов матрицы системы линейно независимы и, значит, хотя бы один минор порядка s в этих столбцах отличен от нуля, то за сво-•бодные неизвестные можно принять последние k -|-1 — s — d неизвестных y4_ft+p .... уР Поэтому можно найти фундаментальную систему решений
x[v х12.....х1к, ylv yt2.....у и (1 = 1, 2.....d) (2)
лля системы уравнений (1) такую, что
Vi, s-k+i • • Уъ i
(3)
=#0;
Уа, s-k+i • • • Уа,1
тогда базисом пересечения D является система векторов
1 (1=1. 2...............d).
7=1
(4)
Замечание. Так как d — k -|-1 — s, то этим дано второе решение задачи 1316.
Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, (натянутых на системы векторов ар ..., ак и &р ..&г:
1320. ^ = (1, 2, 1), а2 = (1, 1. —О. а3 = (1. 3, 3);
= (2, 3, —1), Ь2 = (1. 2, 2), &3 = (1, 1. —3).
1321. «! = (!, 2, 1, —2), а2 = (2, 3, 1, 0), а3 = (1, 2, 2, —3);
*1==:(1, 1, 1, 1), &2 = (1, 0, 1, —1), &3 = (1, 3, 0, —4).
1322. «! = (!, 1, 0, 0), а2 = (0, 1, 1, 0), «3 = (0, 0, 1, 1);
*, = (1, 0, 1, 0), &2 = (0, 2, 1, 1), &3 = (1, 2, 1, 2).
1323. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства Rn на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.
1324. Пусть L, Lv L2—линейные подпространства пространства Rn. Доказать, что L тогда и только тогда будет прямой суммой Lp L2, когда выполняются условия:
a) L содержит Lx и L2,
б) каждый вектор x^L однозначно представляется в виде jf=Xj + x2, где Xj£Lp х2££2. Иными словами, сумма L — Lx-{-L2 тогда и только тогда является прямой суммой, когда для любого вектора х £ L представление X — хг й- х2, где xY £ LP х2 £ L2, однозначно.
1325. Доказать, что сумма S линейных подпространств Lv и £2 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один
вектор х£$ однозначно представляется в виде x = Xj-|-x2, где Х1 € Х2 € ^2-
1326. Пусть линейное подпространство L является прямой суммой линейных подпространств Lx и £2. Доказать, что размерность L-равна сумме размерностей Lx и L2, причем любые базисы Li и L2 дают вместе базис L.
1327. Доказать, что для любого линейного подпространства £, пространства Rn можно найти другое подпространство £2 такое, что все пространство Rn будет прямой суммой и L2.
1328. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух линейных подпространств: £р заданного уравнением х1Ч~х2+ ... ... 4~ х„ — О, и £2, заданного системой уравнений хг = х2 — ... ... — хп. Найти проекции единичных векторов
«! = (!. О, 0..........0), е2 = (0, 1. о.........0)........е„ = (0, 0, 0...........1)
на Lj параллельно L2 и на £2 параллельно Lv
1329. Доказать, что пространство всех квадратных матриц порядка п есть прямая сумма линейных подпространств LY—симметрических и L2 — кососимметрических матриц. Найти проекции Д и А2.
матрицы
1 1 ... 1
0 1 ... 1
О 0 ...' 1
на Lj. параллельно L2 и на Ь2 параллельно £Р
1330. Доказать, что решения любой совместной системы линейных уравнений с п неизвестными ранга г образуют линейное многообразие пространства Rn размерности d — п—г и, обратно, для любого rf-мерного линейного многообразия Р пространства Rn существует система линейных уравнений с п неизвестными ранга г — п — d, решения которой заполняют в точности данное многообразие Р.
1331. Пусть даны два линейных многообразия (см. введение)' Pl~ £j4- X] и Р2 = L2-j-x2, где £р £2—линейные подпространства, и хр х2—векторы пространства Rn. Доказать, что РХ = Р2 тогда и только тогда, когда £j = £2 и хх — х2££Р Таким образом, линейное пространство, параллельным сдвигом которого получается данное многообразие, определено однозначно.
1332. Доказать, что если Р = £-|-х0, где £—линейное подпространство и х0—вектор пространства Rn, то вектор х0 принадлежит многообразию Р и после замены этого вектора любым вектором х £ Р получается то же самое многообразие Р.
1333. Доказать, что если прямая имеет две общие точки с линейным многообразием, то вся она содержится в этом многообразии (при этом точка отождествляется с вектором, имеющим те же координаты», т. е. идущим из начала координат в данную точку).
1334*. Доказать, что любые две прямые пространства /?„(п>-3) содержатся в некотором трехмерном линейном многообразии, лежащем в Rn.
1335. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые х = а0 + й/ и x=b0-{-blt пространства /?„(«> 1) лежали в одной плоскости.
1336. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы две прямые х — а0-\-а^ и х = bQ -]- проходили через одну точку, но не совпадали. Указать метод отыскания точки пересечения этих прямых.
Найти точку пересечения двух прямых и Ьо-\-Ь^:
1337. а0 = (2, 1. 1. 3, —3), а1 = (2, 3, 1, 1, —1);
&0 = (1, 1, 2, 1, 2), &! = (!, 2, 1, 0, 1).
1338. а0 = (3, 1, 2, 1, 3), «! = (!, О, 1, 1, 2);
&0 = (2, 2. —1, —1, —2), &! = (2, 1, 0, 1, 1).
1339. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором с, можно было провести единственную прямую, пересекающую две данные прямые х = a0-j-a1t и X— Указать метод построения такой прямой и точек пере-
сечения ее с данными прямыми.
Найти прямую, проходящую через точку, заданную вектором с и пересекающую прямые х — a0-\-axt, x=b0-\-b1t, и найти точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми:
1340. «0 = (1. °- —2- В- «, = (!. 2, —1, —5); &о = (О, 1, 1, —1), &! = (2, 3, —2, —4); с = (8, 9, —11, —15).
1341. а0 = (1, 1, 1, 1), «! = (!. 2, 1, 0); &0 = (2, 2, 3, 1), &!=(!, 0, 1, 3); с = (4, 5, 2, 7).
1342. Доказать, что любые две плоскости пространства Rn содержатся в линейном многообразии размерности 5.
1343. Доказать, что два линейных многообразия пространства Rn размерностей k и I соответственно содержатся в линейном многообразии размерности k-1-I-|- 1.
1344. Доказать, что если два линейных многообразия — Р размерности k и Q размерности I—пространства Rn имеют общую точку, причем k-[-1'> п, то их пересечение есть линейное многообразие размерности —п. Какие теоремы вытекают отсюда для трех-
мерного и четырехмерного пространств?
1345. Описать все случаи взаимного расположения двух плоскостей x = a0 + «/i + c2^2 и х = + в n-мерном про-
странстве и указать необходимые и достаточные условия для каждого из этих случаев.
1346. Пусть
а\......аь
(О
— любые k +1 векторов пространства Rn. Доказать, что все векторы вида
х = аоао 4- сца, + ... + akak, (2)
где числа а0, аР .... ак удовлетворяют условию
ао + а1+ • • • (3>
образуют линейное многообразие Р, размерность которого равна рангу системы векторов
ai — ао> • • • • ah ао- 0)
Р есть многообразие наименьшей размерности, содержащее все векторы (1). Роль а0 может играть любой из этих векторов. Обратно, для любого ^-мерного линейного многообразия Р существует система векторов (1) такая, что Р состоит из всех векторов вида (2) при условии (3), причем система векторов (4) линейно независима.
1347*. Отрезком с концами в точках, заданных векторами av а2 пространства Rn, называется совокупность всех точек, заданных векторами вида х — ауа1 4~ а2а2, где a, —<х2 = 1 и О^сц-^!, О < а2 < 1. Множество М точек пространства Rn называется выпуклым, если для любых двух точек из Л4 весь отрезок с концами в этих точках содержится в М. Показать, что пересечение любой системы выпуклых множеств пространства Rn есть выпуклое множество. Выпуклым замыканием данного множества А из Rtl называется пересечение всех выпуклых множеств из Rn, содержащих А. Доказать, что выпуклое замыкание конечной системы точек пространства Rn, заданных векторами аР а2, .... ак, состоит из всех точек, заданных векторами вида х = а1а1 -|—<х2а2 • • • 4~аА> где
к
2'0; =1 И 0<^О;С1 (/— 1, 2.........k).
1348*. Найти форму тела, полученного в сечении четырехмерного параллелепипеда (в случае прямоугольной декартовой системы координат— четырехмерного куба) | xz | С 1 (Z = 1, 2, 3, 4) трехмерной гиперплоскостью с уравнением хх 4~ х2 -f- х3 4~ х4 — 0.
1349*. Найти проекцию четырехмерного тетраэдра, ограниченного координатными трехмерными подпространствами и гиперплоскостью Хх 4“ х2 + х3 4~ х4 — 1 > На подпространство Х1 х2 4~ хз 4~ х4 — О параллельно прямой xz = х2 = х3 = х4.
1360*. Доказать, что диагональ n-мерного параллелепипеда делится на п равных частей точками пересечения ее с (п—1)-мерными линейными многообразиями, проведенными через все вершины параллелепипеда параллельно линейному многообразию, проведенному через концы всех п ребер, начало которых совпадает с одним из концов данной диагонали.
§ 17. Евклидовы и унитарные пространства
Евклидовым (соответственно унитарным) пространством Rn называется n-мерное векторное пространство над полем вещественных (соответственно комплексных) чисел, в котором каждой паре векторов х, у поставлено в соответствие вещественное (соответственно комплексное) число (х, у), называемое скалярным произведением этих векторов, причем выполнены условия:
а) в случае евклидова пространства: (х, у) = (у. х); (Xi+*2, У) = (Хь У)+ (*2. у); (ах, у) = а (х, у); (1) (2) (3)
Для любого вещественного числа а. Если х=/=0, то. (х, х) >0; (4)
б) в случае унитарного пространства: (х, у) = (у, х); (X! + х2, у) = (хь у) + (х2, у), (V) (2')
ЧТО для совпадает с (2); (ах, у) = а (х, у) любого комплексного числа а. Если х=/=0, то (х, х) > 0, (3') (4')
что совпадает с (4). Базис (или вообще система векторов) elt е2 еп называется орто-
нормированным, если
(1, если I = /, {еь = если
Если нет других указаний, то координаты всех векторов предполагаются взятыми в ортонормированном базисе.
Векторы х и у называются ортогональными, если (х, у) — 0.
Процессом ортогонализации системы векторов аь аг, .... as называется переход от этой системы к новой системе 6Ь 62.bs, построенной следую-
Л-1
щим образом: 61 = at; Ьь = аь— V cfii (А = 2, 3, ..s), где q = ffi’
(o«. bi)
(i = 1, 2,..., k — 1), если 6/=^=0, и ci — любое число,-если 6/ = 0.
Значение с/ получается умножением равенства, выражающего Ь^ через о* и &z(z=l, 2, .... k — 1), на bi при условии, что (6Й, 6,) = 0.
1351. Доказать, что из свойств скалярного произведения, указанных во введении, вытекают следующие свойства:
а) (х, У1Н-у2) —(•*• У1) + (х> Уг) для любых векторов евклидова (или унитарного) пространства;
б) (х, ау) = а (х, у) для любых векторов х, у евклидова пространства и любого вещественного числа а;
в) (х, ау) = а(х, у) для любых векторов х, у унитарного пространства и любого комплексного числа а;
г) (X!—Х2, У) = (хР У) —(х2. У)г
д) (х, 0) —0.
1352. Какими свойствами должна обладать билинейная форма п
g = 2 aijxiyj для того> чтобы ее значение от координат двух любых Ь }'•=!
векторов
х = (хр х2......х„). у = (уР у2.......у„)
вещественного векторного пространства /?„ в некотором базисе ev е2..... еп можно было принять за скалярное произведение этих
векторов, определяющее n-мерное евклидово пространство? Чему равны скалярные произведения векторов выбранного базиса?
п
1353. Пусть дана эрмитова билинейная форма 2 анх1У]'
I,
Черта над неизвестным у?- означает, что при замене у?- его числовым значением а?- следует у у заменять комплексно сопряженным значением Uj. Пусть матрица А = этой формы — эрмитова, т. е.
= J—1. 2, .... п). Показать, что значения соответствую-п
щей эрмитовой квадратичной формы /= 2 aijxixi ПРИ любых
I, 7 = 1
комплексных значениях хр х2.....х„ вещественны, и если форма f по-
ложительно определенна, т. е. f > 0 при любых комплексных значениях хР х2......х„, не все из которых равны нулю, то задание ска-
п
лярного произведения равенством (х, у) = 2 а1]х1У)> где xi> • • • • хп I,
и У!..... у„ — координаты соответственно векторов х и у в не-
котором базисе ер .... еп комплексного векторного пространства /?„, превращает это пространство в унитарное, причем любое унитарное пространство можно получить таким путем.
1354. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов:
х = (Хр х2......х„), у==(уР у2........у„)
евклидова пространства тогда и только тогда выражается равенством
(х, у) = х^! -j- х2у2 + ... + х„у„, когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормиро-ванным.
1355. Пусть и £,— линейные подпространства евклидова (или унитарного) пространства /?„, причем размерность мбньше размерности £2; доказать, что в £2 найдется ненулевой вектор, ортогональный ко всем векторам из Lv
1356. Доказать, что любая система попарно ортогональных ненулевых векторов (в частности, любая ортонормированцая система) линейно независима.
Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов:
1357. (1, (2. —2, —3, 2, —3), 2, 4). 1358. (1, (1. 1, 2, 1. 2), 3, —3).
Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до
ортонормированных базисов:
1359. (2 1 2\ 1380. (|. 1 1 1\
3 ’ 31 2 ’ 2 ’ 21
fl 2 _2\ fl 1 1 1 \
3 ’ 3? (2 ’ 2 ’ 2 ’ 21
Применяя процесс ортогонализации (см. введение), построить
ортогональный базис : подпространства, натянутого на данную систему
векторов:
1361. (1, 2, 2. -1), 1362. (1, 1, — 1, - -2).
(1. 1, - -5, 3), (5, 8, —2, - -31,
(3. 2, 8, —7). (3. 9, 3, 8).
1363. (2, 1, 3, -1),
(7. 4, 3, —3),
(1. 1, - -6, 0),
(5, 7, 7, 8).
1364. Ортогональным дополнением подпространства L пространства Rn называется совокупность L* всех векторов из Rn, каждый из которых ортогонален ко всем векторам из L.
Доказать, что:
a) L* является линейным подпространством пространства Rn\
б) сумма размерностей L и L* равна я;
в) пространство Rn есть прямая сумма подпространств L и L*.
1365. Доказать, что ортогональное дополнение к линейному подпространству пространства R,, обладает свойствами:
а) (^*) — б) (Li —|- £2) = £1 П £2; в) (£1 П £2) ~ £1 + £2; * *
г) Rn - ~O, О = Rn.
Здесь О — нулевое подпространство, содержащее лишь нулевой вектор 0.
1366. Найти базис ортогонального дополнения L* подпространства £, натянутого на векторы:
«!=(!, 0, 2, 1), о2 = (2, 1, 2, 3), а3 = (0, 1, —2, 1).
1367. Линейное подпространство L задано уравнениями:
2xj-|- x2-f-3x3— х4 = 0, 3xj + 2х2 — 2х4 = О,
3xj —|— х24~9х3— х4 = 0.
Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение L*.
1368. Показать, что задание линейного подпространства L пространства Rn и его ортогонального дополнения L* в ортонормированием базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы линейных уравнений, задающей одно из этих подпространств, служат координатами векторов базиса другого подпространства.
1369. Пусть L — линейное подпространство пространства Rn. Доказать, что любой вектор X из Rn однозначно представляется в виде x = y-\-z, где у принадлежит L и z ортогонален к L. у называется ортогональной проекцией вектора х на подпространство L, a z ортогональной составляющей х относительно L. Указать прием для вычисления у и г.
Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую z вектора х на линейное подпространство L:
1370. х = (4, —1, —3, 4). L натянуто на векторы «!=(!, 1, 1, 1), а2==(1, 2, 2, —1), а3 = (1, 0, 0, 3).
1371. х — (5, 2, —2, 2). L натянуто на векторы а!=(2, 1, 1, —1), а2 = (1, 1, 3, 0), а3 = (1, 2, 8, 1).
1372. х = (7, —4, —1, 2). L задано системой уравнений:
2xj —]— х2 —]— х3—|—Зх4 = 0, 3xj+ 2х2-|-2х3-[— х4 = 0, х^ —2х2 ”|— 2х3 — 9х4 =;== 0.
1373*. Расстоянием от точки, заданной вектором X, до линейного многообразия Р = L-\-x0 называется минимум расстояний от данной точки до точек многообразия, т. е. минимум длин векторов х — и, где и — вектор Р.
Доказать, что это расстояние равно длине ортогональной составляющей z вектора х — х0 относительно линейного подпространства L, параллельным сдвигом которого получается многообразие Р.
1374. Найти расстояние от точки, заданной вектором х, до линейного многообразия, заданного системой уравнений:
а) х = (4, 2, —5, 1); б) х = (2, 4, —4, 2);
2xj — 2х2-|- х3-|-2х4 = 9, Х! + 2х2-|-х3— х4=1,
2х4 — 4х2 —]— 2х3 —]— Зх4 = 12. х4 —|— Зх2 х3 Зх4 — 2.
1375*. Доказать, что расстояние d от точки, заданной вектором х, до линейного многообразия P = L-\-x0, где L — линейное
подпространство с базой ах, а2, ak, вычисляется с помощью определителя Грама (см. задачу 1415) по формуле
G(ci, а?...ak, х —х0)
G(ah а2....ak)
1376*. Расстоянием между двумя линейными многообразиями Рх = Д- X! и Р2 — £2 + х2 называется минимум расстояний любых двух точек, одна из которых принадлежит /Д, а другая Р2. Доказать, что это расстояние равно длине ортогональной составляющей вектора xi — х2 относительно линейного подпространства L = L1-\- L2.
1377. Найти расстояние между двумя плоскостями х = а1ДД-a2t2-\~ хг и х = a3/| a4Z2Ч-х2, где
ах={\, 2, 2, 2), а2 = (2, —2, 1, 2),
а3 = (2, 0, 2, 1), а4 = (1, —2, 0, —1);
Xj=(4, 5, 3, 2), х2 = (1, —2. 1, —3).
1378*. Правильным /г-мерным симплексом евклидова пространства Rp(p'^'ri) называется выпуклое замыкание (см. задачу 1347) системы п 4-1 точек, находящихся друг от друга на одинаковом расстоянии. Точки данной системы называются вершинами; отрезки, их соединяющие,— ребрами, а выпуклые замыкания подсистем £Д-1 точек данной системы — fe-мерными гранями симплекса. Две грани называются противоположными, если они не имеют общих вершин и любая из пД- 1 вершин симплекса является вершиной одной из этих граней.
Найти расстояние между двумя противоположными гранями размерностей k и п — k— 1 n-мерного симплекса с длиной ребер, равной единице, и доказать, что оно равно расстоянию между центрами этих граней.
1379*. Пусть е — вектор длины единица евклидова (или унитарного) пространства Rn. Доказать, что любой вектор х из Rn однозначно представляется в виде х = ае Д-г, где (г, е) —0. Число а называется проекцией вектора х на направление е и обозначается через ргсх.
Доказать, что:
а) рге(хД-у) = ргехД-ргву;
б) рге (%х) = ?.ргех;
в) ргех —(х, е);
г) для любого ортонормированного базиса .... еп и любого '* п
вектора х имеет место равенство х = 2(рге х) • z=i '
1380*. Пусть Ср .... ek— ортонормированная система векторов евклидова пространства Rn. Доказать, что для любого вектора х
из /?„ имеет место неравенство (неравенство Бесселя):
k
2(pr«*)2< |х| 2.
i=i
причем это неравенство обращается в равенство (равенство Парсеваля) для любого х из /?„ тогда и только тогда, когда k = п, т. е. система е,, .... ek является ортонормированным базисом.
1381*. Доказать неравенство Коши—Буняковского
(х, у)2<(х, х)(у, у)
для любых векторов х и у евклидова пространства, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы х и у линейно зависимы.
1382*. Доказать неравенство Коши — Буняковского
(х, у)(у, х)<(х, х)(у, у)
для любых векторов х и у унитарного пространства, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы х и у линейно зависимы.
1383. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, доказать следующие неравенства:
(л \2 я п
) i=i i=i
для любых вещественных чисел zzlt .... ап\ Ьх.Ьп (см. задачу 503);
б)
п 2 п п
|«,-|2-2 IM2
i=i z=i i=i
для любых комплексных чисел аъ .... ап; blt .... bn (см. задачу 505).
1384. В бесконечномерном векторном пространстве всех вещественных непрерывных на отрезке [a, ft] функций с обычными сложением функций и умножением функции на число задано скалярное ь
произведение (/, g} = J / (х) g(x)dx. Проверить выполнение всех а
свойств скалярного произведения евклидова пространства (см. введение) и написать неравенство Коши—Буняковского для этого пространства.
Найти длины сторон и внутренние углы треугольников, вершины которых заданы своими координатами:
1385. Д(2, 4, 2, 4, 2), В (6, 4, 4, 4, 6), С (5, 7, 5, 7, 2).
1386. Д(1. 2, 3, 2, 1); В(3, 4. 0. 4, 3);
С (1 + 4^• 2 + 4^. 3+4J/78 ; 2+-^-/78, 1 +4/78 j .
1387. Доказать следующее обобщение теоремы элементарной математики о двух перпендикулярах: если вектор х евклидова (или унитарного) пространства ортогонален к каждому из векторов йр а2 ак, то он ортогонален к любому вектору линейного,
подпространства L, натянутого на векторы ах, а2, ....
1388. Доказать, что если х = ау, то | х | == | а | • | у |. Здесь | х |. | У1 — длина векторов х, у.
1389*. Доказать, что квадрат диагонали прямоугольного «-мерного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины («-мерное обобщение теоремы Пифагора).
1390*. Доказать теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
1391. Доказать теорему о том, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, пользуясь скалярным умножением векторов.
1392. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, доказать-неравенство треугольника: если р(А", Y)—расстояние между точками X и Y, то для любых трех точек А, В и С имеем р(Л, В)Д-—р(Д, С)1>р(Д, С), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы х, проведенный из Л в В, и у, проведенный из В в С, коллинеарны и одинаково направлены.
1393. Найти число диагоналей «-мерного куба, ортогональных к данной диагонали.
1394. Найти длину диагонали «-мерного куба с ребром а и предел ЭТОЙ ДЛИНЫ при «->ОО.
1395. Доказать, что все диагонали «-мерного куба образуют один и тот же угол <р„ со всеми его ребрами. Найти этот угол и его предел при «^->оо. При каком « получим <р„ = 60°?.
1396. Найти выражение радиуса R шара, описанного около «-мерного куба через ребро а\ какая из этих величин R и а больше при различных «?
1397. Доказать, что ортогональная проекция любого ребра «-мерного куба на любую диагональ этого куба по абсолютной вели-
1
чине равна — длины диагонали.
1398*. Доказать, что ортогональные проекции вершин «-мерного куба на любую его диагональ делят ее на п равных частей.
1399*. Пусть х, у — ненулевые векторы евклидова пространства /?„. Доказать, что:
а) х — ау, где а > 0, тогда и только тогда, когда угол между X и у равен нулю;
б) х == ау, где а < 0, тогда и только тогда, когда угол между х и у равен л.
1400*. Доказать, что из всех векторов линейного подпространства L наименьший угол с данным вектором х образует ортогональная проекция у вектора х на L. При этом равенство cos(x, у) = = cos (х, у'), где у' £ L, выполняется тогда и только тогда, когда у' — ау, где а > 0.
1401. Найти угол между диагональю n-мерного куба и его fe-мерной гранью.
Найти угол между вектором х и линейным подпространством, .натянутым на векторы а2..........ак.
1402. х = (2, 2, 1, 1); 1403. х = (1, 0, 3, 0);
а,=(3, 4, —4, —1); ах=(Ь, 3, 4, —3);
а2 = (0, 1, —1, 2). а2 = (1, 1. 4, 5);
а3 = (2, —1, 1, 2).
1404. Углом между двумя линейными подпространствами и L2 евклидова пространства /?„, не имеющими общих ненулевых векторов, называется минимум углов между ненулевыми векторами хР х2, где х2£Д2. Если пересечение £1П^'2 = ^¥=0, причем
£)=/=£,, D^=L2, то углом между и £2 называется угол между их пересечениями с ортогональным дополнением D* к пересечению D. Если одно из данных подпространств содержится в другом (в частности, если они совпадают), то угол между ними считается равным нулю. Углом между линейными многообразиями называется угол между соответствующими им подпространствами. Показать, что угол между любыми подпространствами или многообразиями всегда определен и равен нулю тогда и только тогда, когда одно из подпространств или многообразий содержится в другом или многообразия параллельны.
1405*. Найти угол между двумерными гранями AQA1A2 и Л0Д3Л4 правильного четырехмерного симплекса (см. задачу 1378) Л0Л1Л2Л3Л4.
1406*. Найти угол между плоскостями о0 Ч~ ° А + й2^> и Z»o Ч- b2t2, где
а0 = (3, 1, 0, 1), а1=(1, 0, 0, 0), а2 = (0, 1, 0, 0),
60 = (2, 1, 1, 3), &! = (!, 1, 1, 1). 02 = (1. —1. 1. —1).
1407*. Пусть даны линейно независимая система векторов ех. е2, ..., es и две ортогональные системы ненулевых векторов /п А • • • fs и .......gs такие, что векторы Д и линейно
выражаются через ег, е2....ек (k = 1, 2......$). Доказать, что
Л = akgk (k =1. 2.....s), где aft=£0.
1408*. Пусть /?„+1 — евклидово пространство, за векторы которого взяты все многочлены степени п с вещественными коэффициентами от одного неизвестного х, а скалярное произведение поли-+ 1
номов /(х) и £(х) определено так: (J,g) — J / (х) g (x)dx.
Доказать, что следующие полиномы, известные под названием полиномов Лежандра:
Р0(х)=1, Pft(x) = -f-.-^[(x2-l)ft] (А=1, 2......и),
образуют ортогональный базис пространства
1409. Исходя из определения полиномов Лежандра, данного в предыдущей задаче, найти полиномы Рк(х) для fe = 0, 1, 2, 3, 4. Убедиться, что Pft(x) имеет степень k, и написать развернутое выражение по степеням х для Рк (х) при любом k.
1410*. Вычислить «длину» полинома Лежандра Рк(х) как вектора евклидова пространства /?„+1 задачи 1408.
,1411*. Вычислить значение полинома Лежандра Рк(х) при х= 1.
1412*. Доказать, что если к базису 1, х, х2, ..., х" евклидова пространства /?„+1 задачи 1408 применить процесс ортогонализации, то получатся многочлены /0(х), (х)....отличающиеся
лишь постоянными множителями от соответствующих полиномов-Лежандра. Найти эти множители.
1413. Пусть процесс ортогонализации переводит векторы ау а2, .... ап в векторы 6Р 62, .... Ьп соответственно. Доказать, что Ьк есть ортогональная составляющая вектора ак относительно линейного подпространства Lk_v натянутого на av .... ak_x(k > 1). Далее доказать, что
(fe=l, 2.....л),
причем |6fc| — 0 тогда и только тогда, когда ак линейно выражается через .......®a-i(^>1) или ^ = 0 (fe=l); | Ьк | = | ак | тогда
и только тогда, когда (aft, а^) = 0 (7=1, 2.......k—1; k > 1)
или k — 1.
+i
1414*. Доказать, что интеграл J ]/(х)]2<7х, где f (х)—много--1
член n-й степени с вещественными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, достигает своего минимума, равного
V’ тогпа и только тогда, когда / (х) = Рп (х), где (zn-f- С2л
Р„(х)— полином Лежандра степени п (см. задачу 1408).
1415. Определителем Грама векторов аР а2, .... ak евклидова или унитарного) пространства Rn называется определитель
(аР аО (ар а2) ... (аР ак)
Р(а аЛ= (а2> «1) («2- «г) ••• («2- «а) .
(а*. aj (aft, ... (ak, ak)
Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении гк векторам ар ak процесса ортогонализации, т. е. если в результате ортогонализации векторы ах........ак перейдут в векторы
£(ар .... ak) = g(bv .... bk) = (b1, b^b* b2) ... (bk, bk).
Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл g(av а2) и £(аР а2, а(), предполагая векторы линейно независимыми.
1416*. Доказать, что для линейной зависимости векторов at].ak
-евклидова (или унитарного) пространства необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама этих векторов был равен нулю.
1417*. Два базиса еР .... еп И fl.....fn евклидова (или уни-
тарного) пространства называются взаимными, если
1 при _i = j,
fj) | q ПрИ г- j
Доказать, что для любого базиса ...........еп взаимный базис
существует и определен однозначно.
1418. Пусть 5 —матрица перехода от базиса еР .... еп к базису е', .... е'п. Найти матрицу Т перехода от базиса fv .... fn, взаимного с gj.....еп, к базису ..., взаимному с е\, .... е'п:
а) в евклидовом пространстве, б) в унитарном пространстве.
1419*. Доказать, что определитель Грама g{av .... ак) равен нулю, если векторы ар .... ак линейно зависимы, и положителен, если линейно независимы.
1420. Доказать, что если линейно независимые векторы аР .... ап процессом ортогонализации переводятся в векторы bv .... bn, то
||2 = g(g|’ ‘gft\.(fe = 1, 2, .... n; определитель Грама с нуле
g(ah ..., «а-i)
вым числом векторов принимается равным единице).
1421*. В пространстве многочленов степени не выше n-й от одного неизвестного х с вещественными коэффициентами скалярное
^произведение задано равенством (/, g) = J / (х) g (х) dx. о
Найти расстояние от начала координат до линейного многообразия, состоящего из всех многочленов степени п со старшим коэффициентом, равным единице.
1422*. Доказать, что для определителя Грама справедливо неравенство
0<g-(aP .... a*)<|«il2 ... \ak\\
причем g(a1......aft) = 0 тогда и только тогда, когда векторы
аР .... ак линейно зависимы, и g(av .... ak) = \ar |2 .. . | ak |2 тогда и только тогда, когда либо векторы ар .... ak попарно ортогональны, либо хотя бы один из этих векторов равен нулю.
1423. Пользуясь предыдущей задачей, доказать неравенство-
Адамара, именно, если = — определитель с вещественными
п п
элементам^, то JJ (см. задачу 923), причем знак равен-7 = 1 /=1 7
ства имеет место тогда и только тогда, когда либо
= 0 (i±j; I, 7=1. 2.........и),
либо определитель D содержит нулевую строку. Как изменится утверждение для определителя с комплексными элементами?
1424*. Доказать, что определитель D? положительно определенной п
квадратичной формы /— У atjXtXj удовлетворяет неравенству I,
* п
^<П«77-
’ 7 = 1
1425*. Доказать, что любая вещественная симметрическая матрица А = с неотрицательными главными минорами является матрицей Грама, т. е. существует система векторов ер .... еп евклидова пространства Rn такая, что (ez, е^ = а^ (I, у= 1, 2....п).
1426*. Доказать, что любая эрмитова матрица A = (aZ;)" с неотрицательными главными минорами является матрицей Грама, т. е. существует система векторов ех....еп унитарного пространства Rn
такая, что
(еР е^аи(1, у= 1. 2, .... п).
1427*. Определим объем «-мерного параллелепипеда, построенного на линейно независимых векторах av а2........ап евклидова
пространства, индуктивно условиями:
1) I» = |«! |;
2) V(аР ...» an)~V(al........hn, где hn — длина орто-
гональной составляющей вектора ап относительно подпространства, натянутого на векторы аг......а„_Р Доказать, что
V(aP .... an) = Vg(av .... «„) = |£)|, тде D—определитель из координат данных векторов в каком-нибудь ортонормированном базисе «-мерного пространства, натянутого на векторы Oj......ап.
1428*. Доказать, что объем «-мерного параллелепипеда не превосходит произведения длин его ребер, выходящих из одной вершины, и равен этому произведению тогда и только тогда, когда эти ребра попарно ортогональны, т. е. параллелепипед прямоугольный.
1429*. Доказать следующее свойство определителя Грама:
£(«1......ak, &!......(Oi.............aft)£(bi.......bt), (1)
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда либо (аг, bj) = O (г=1,2................k; J=l,2...........I), (2)
либо хотя бы одна из подсистем аг........ak и Ьх......bt линейно
зависима.
1430*. Доказать следующее свойство объема параллелепипеда: V(aj......ak; bx......b^^V^............aft)V(&1.......&z), причем
знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда (аР Ьг) = О (Z= 1, 2......ft; 7= 1, 2.....Z).
1431*. Доказать, что если А — вещественная симметрическая матрица порядка « с неотрицательными главными минорами, Аг — матрица порядка k < « в левом верхнем углу, А2 — матрица порядка п—k в правом нижнем углу матрицы А, то | А | /Ц |. | Д2| (сравнить с задачей 922).
1432*. Решить задачу, аналогичную предыдущей, если А — эрмитова матрица с неотрицательными главными минорами.
1433*. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы Сд+1 положительных чисел
(Z, / = 0, 1, 2....n; Z> J) (1)
были:
а) расстояниями всевозможных пар вершин некоторого «-мерного симплекса евклидова пространства Rn (т. е. системы и 4-1 точек, не лежащих в (и— 1)-мерном линейном многообразии);
б) расстояниями всевозможных пар точек некоторой системы «-}- 1 точек евклидова пространства /?„.
§ 18. Линейные преобразования произвольных векторных пространств
В этом параграфе за отдельными исключениями рассматриваются линейные преобразования аффинных векторных пространств. Преобразования евклидовых и унитарных пространств рассмотрены в следующем параграфе.
Линейные преобразования обозначаются через <р, ф и т. д., образ вектора х при преобразовании <р — через <рх, система векторов <раь tpa„—
через <р (ah ..a„).
Матрицей линейного преобразования <р в базисе et...еп называется
матрица Др столбцы которой составлены из координат образов базиса .......<ре„ в том же базисе elf ..., еп; иными словами, матрица Д)( определяется равенством
ф(ei. ...,е„) = (®ь • • «п)(1)
Пусть Т — матрица перехода от базиса et, .... еп к базису /ь ..., fn (см. введение к § 16), Д(, и B<f — матрицы преобразования q> в первом и втором базисе соответственно. Тогда имеет место соотношение
В^Т-'А^Т.
(2)
Координаты уь ..., у„ образа <рх вектора х при линейном преобразовании <р-выражаются через координаты Х|, ..., хп прообраза х в том же базисе при помощи матрицы Др = (ву)" линейного преобразования <р в том же базисе л
следующим образом; у( = aijxj (i = 1......п) или в матричной записи:
/=1
(3)
Суммой <₽4-ф, произведением <рф двух линейных преобразований <р и ф и произведением ag> числа а на линейное преобразование <р пространства R„. называются преобразования, определяемые соответственно равенствами:
(<рД ф) х = срх Ц- фх, (<рф) х = <р (фх), (a<f>) х = a (<рх), для любого вектора х пространства Rn.
1434. Доказать, что поворот плоскости на угол а вокруг начала координат является линейным преобразованием, и найти матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе, если положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего первый базисный вектор во второй.
1435. Доказать, что поворот трехмерного пространства на угол 2it
вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат урав-О
нениями х1 = х2 = х3, является линейным преобразованием, и найти матрицу этого преобразования в базисе из единичных векторов elt е2„ е3 осей координат.
1436. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную ось вектора et параллельно координатной плоскости векторов е2 и е3 является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе ер е2, е3.
1437. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость векторов еь е2 параллельно оси координат вектора е3 является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе ер е2, е3.
1438. Доказать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе единичных векторов координатных осей.
1439. Пусть пространство Rn есть прямая сумма линейных подпространств Lx с базисом аР .... ak и £2 с базисом ak+l, .... ап. Доказать, что проектирование пространства на А, параллельно L2 является линейным преобразованием, и найти матрицу этого преобразования в базисе at......ап.
1440. Доказать, что существует единственное линейное преобразование пространства Rn, переводящее данные линейно независимые векторы Oj......ап в данные векторы Ьь .... Ьп. Как найти матрицу этого преобразования в базисе ах......ая?
Выяснить, какие из следующих преобразований <р, заданных путем задания координат вектора фх как функций координат вектора х, являются линейными, и в случае линейности найти их матрицы в том же базисе, в котором заданы координаты векторов х и срх.
1441. фх = (х2 —{— х3, 2х^~[— х3, 3xj х2 —|—Хз).
1442. фх = (хр х2+1, *з + 2)-
1443. фх = (2х, -j- х2, Xj-]-x3, x'ty.
1444. фх = (Xj — х2—|—х3, х3, х2).
Доказать, что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства, переводящее векторы ар а2, а3 соответственно в 6Р Ь2, Ь3, и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов:
144Б. а] = (2, 3, 5),
а2 = (0, 1. 2), а3 = (1, 0, 0);
&1 = (L 1, 1),
62 = (1. 1, -1), &3=(2, 1, 2).
1446. а! = (2, 0, 3),
а2 = (4, 1, 5), аэ = (3. 1, 2);
*1 = (1. 2, -1), &2 = (4, 5, -2), &з==(1, -1, 1).
1447. Пусть линейное преобразование <р пространства /?„ переводит линейно независимые векторы аь ..ап в векторы by .. ., Ьп соответственно. Доказать, что матрицу этого преобразования в некотором базисе ег, ..еп можно найти из равенства .4^ = ВА~1, где столбцы матриц А и В состоят из координат векторов cty . ... ап и соответственно by .... bn в базисе ег.....е„.
1448. Доказать, что преобразование трехмерного пространства <рх = (х, а) а, где а = (1, 2, 3), является линейным преобразованием, и найти его матрицы в ортонормированном базисе еъ е2, е3, в котором даны координаты всех векторов, и в базисе fe1 = (l, 0, 1), Ь2 = (2, 0, -1), &3 = (1. 1. 0)-
1449. Показать, что умножения квадратных матриц второго no-fl
, являются линей-с d)
ными преобразованиями пространства всех матриц второго порядка, и найти матрицы этих преобразований в базисе, состоящем из матриц:
рядка а) слева, б) справа на данную матрицу
1 0\ /0 0\ /0 1\ /0 0
0 0/ 0/’ \0 0/ \0 1
1450. Показать, что дифференцирование является линейным пре-.образованием пространства всех многочленов степени от одного |неизвестного с вещественными коэффициентами.
Найти матрицу этого преобразования в базисе:
а) 1, х, х2..х";
. (х— с)2 (х — с)"
б) 1, х — с, —J]-- ' —лГ-’ где с — вещественное число.
1451. Как изменится матрица линейного преобразования, если в базисе gy е2, .... еп поменять местами два вектора ег,
1452. Линейное преобразование <р в базисе ег, е2, е3, е4 имеет матрицу
(12 0 1
3 0—12
2 5 3 1’
12 13
Найти матрицу этого же преобразования в базисе:
a) gy g3, е2, е4;
б) су c1-j-e2' е2-f-е^,
1453. Линейное преобразование <р в базисе еь е2, е3 имеет матрицу
15 —11 5
20 —15 8
8—7 6
Найти его матрицу в базисе
— 2Cj 4~3с?2 Ч” ез> fi — Зе1-4-4е2Ч-Сз, Уз — <4 4- 2е2 2е3.
1454. Линейное преобразование ср в базисе
аг = (8, —6, 7), а2 —(—16, 7, —13), а3 = (9, —3, 7) имеет
матрицу
1 —18 15
— 1 —22 15
1 —25 22
Найти его матрицу в базисе
61 = (1, -2, 1), d2 = (3, -1, 2), &3 = (2, 1, 2).
1455. Доказать, что матрицы одного и того же линейного преобразования в двух базисах тогда и только тогда совпадают, когда матрица перехода от одного из этих базисов к другому перестановочна с матрицей этого линейного преобразования в одном из данных базисов.
1456. Доказать, что любое линейное преобразование ср одномерного пространства сводится к умножению всех векторов на одно и то же число, т. е. срх = ах для любого вектора х.
1457. Пусть преобразование <р в базисе aj = (l, 2), а2 = (2, 3) 3 5\
I. Преобразование ф в базисе bl=(3, 1), 4 о / /4 6
&2 = (4, 2) имеет матрицу I
Найти матрицу преобразования cp-f-ф в базисе blt Ь2-
1458. Преобразование ср в базисе а}~ (—3, 7), а2 = (1, —2) 2 —1 5 —3
/1 3 Ь2 — (—5, 6) имеет матрицу I
Найти матрицу преобразования <рф в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.
имеет матрицу
имеет матрицу
, а преобразование ф в базисе Ьг~ (6, —7),
1459. Пусть ф—линейное преобразование пространства многочленов степени п с вещественными коэффициентами, переводящее каждый многочлен в его производную. Показать, что ф”+1 — 0.
1460. Пусть ф — линейное преобразование дифференцирования, а Ф — умножение на х в бесконечномерном пространстве всех многочленов от х с вещественными коэффициентами. Доказать, что фф” — ф"ф = пф"-1.
1461. Показать, что линейные преобразования «-мерного пространства относительно сложения и умножения на число сами образуют векторное пространство. Найти размерность этого пространства-
1462. Линейное преобразование ф пространства Rn называется невырожденным, если его матрица Дф в каком-нибудь (а значит и в любом) базисе невырожденна, т. е. |Д^=/=0. Доказать, что этому определению эквивалентно каждое из следующих: линейное преобразование ф невырожденно, если: а) из фх — 0 следует х — 0; б) при отображении ф любой базис пространства переходит снова в базис; в) отображение ф взаимно однозначно, т. е. если хх ф х2, то (fXj 4= фХ2; г) ф отображает пространство на все пространство, т. е. для любого y£Rn найдется x£Rn такой, что фх — у; д) ф обладает обратным преобразованием ф, т. е. ф(фх) = х для любого x£Rn.
1463. Пусть х—собственный вектор линейного преобразования ф, принадлежащий собственному значению X, и f (/) — многочлен. Доказать, что тот же вектор х будет собственным вектором преобразования f (ф), принадлежащим собственному значению / (?.). Иными словами, доказать, что из фх = Хх следует f (ф) х = f (Z) х.
1464*. Пусть х—собственный вектор линейного преобразования ф, принадлежащий собственному значению X, и f(t) — функция, для которой преобразование f (ф) имеет смысл (если ф в некотором базисе имеет матрицу А, то / (ф) определяется в том же базисе матрицей f (Д), причем можно доказать, что /(ф) не зависит от выбора базиса). Доказать, что тот же вектор х будет собственным вектором преобразования f (ф), принадлежащим собственному значению f (X).
преобразований,
Найти собственные значения и собственные векторы линейных заданных в некотором базисе матрицами:
1465.
1467.
2 —1 2\ 1466. / 0 1 0
5 —3 3 )• —4 4 0
1 0 —2/ 2 1 2
4 —5 2' 1468. / 1 —3
5 —7 3 —2 —6
6 —9 4, 1 —4
3\
13 1.
8/
1469. /1 —3 4
4 —7 8
\6 —7 7
1470. / 7 —12 6
10 —19 10
\ 12 —24 13
1471. /4—5 7\ 1472. /1 0 0 0\
1 —4 9 ) [ 0 0 0 0
\—4 0 5/ 1 0 0 0 0 1 •
\ 1 0 0 1 /
1473. 10 0 0 1474. 3—10 0
0 0 0 0 1 1 0 0
10 0 0 3 0 5 — 3
0 0 0 1 4—13 — 1
1475. Доказать, что собственные векторы линейного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, линейно
независимы.
1476. Доказать, что любая квадратная матрица А, имеющая различные характеристические числа, подобна диагональной матрице (над полем, содержащим как элементы матрицы, так и ее характеристические числа).
1477. Доказать, что если линейное преобразование <р пространства Rn имеет п различных собственных значений, то любое линейное преобразование ственных векторов, ственным и для ф.
1478. Доказать,
тором базисе является диагональной тогда и только тогда, когда базис состоит из собственных векторов данного преобразования.
Выяснить, какие из следующих матриц линейных преобразований можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. На
1479.
ф, перестановочное с <р, обладает базисом соб-причем любой собственный вектор <р будет соб-
что матрица линейного преобразования в неко-
1481.
и этот базис и соответствующую ему матрицу:
-1 3 —1> 1480. <6 —5
-3 5 — 1 3 —2 ______
-3 3 1> <2 —2
1 1 1 1 1482. 4 — 3 1
1 1 —1 —1 5 — 8 5
1 —1 1 —1 6 —12 .8
1 —1 —1 1 1 — 3 2
3
•2
О
2
4
5
2
1483. 0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 ... 0 1
0 0 ... 1 о
1484*. Для матрицы А —
О 1 ... О О
порядка п найти не-
U 0 ... О О
вырожденную матрицу Т, для которой матрица В — Т~ХАТ была бы диагональной, и найти эту матрицу В.
1485. Минимальным многочленом для вектора х относительно линейного преобразования <р называется многочлен gx(ty со старшим коэффициентом 1, имеющий наименьшую степень среди всех аннулирующих многочленов для х относительно ф, т. е. многочленов f (X) со свойством f (ф) х = 0.
Аналогично определяется минимальный многочлен g (Z.) относительно линейного преобразования ф для всего пространства. Доказать, что минимальный многочлен g(B) линейного преобразования ф равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов для векторов любого базиса пространства относительно ф.
1486*. Найти условия, при которых матрица А, имеющая на побочной диагонали числа ар а2......а„, а на остальных местах нули,
подобна диагональной матрице.
1487. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, являющегося дифференцированием многочленов степени с вещественными коэффициентами.
1488. Пусть ф—линейное преобразование пространства Rn. Совокупность всех векторов фх, где х— любой вектор из/?„, называется образом Rn при преобразовании ф или областью значений ф. Совокупность всех векторов х из Rn, таких, что фх = 0, называется полным прообразом нуля при преобразовании ф или ядром ф. Доказать, что: а) область значений ф является линейным подпространством /?„, размерность которого равна рангу ф; б) ядро ф есть линейное подпространство пространства Rn, размерность которого равна дефекту ф, т. е. разности между п и рангом ф.
1489. Пусть ф — линейное преобразование и L—подпространство пространства Rn. Доказать, что: а) образ ф£ и б) полный прообраз Ф-1£ подпространства L при линейном преобразовании ф снова являются подпространствами.
1490. Доказать, что для невырожденного линейного преобразования ф пространства Rn размерность: а) образа ф£ и б) полного
прообраза ф-1£ любого линейного подпространства L равна размерности L.
1491*. Обозначим через разм. L размерность линейного подпространства L и через деф. ф дефект линейного преобразования <р. Доказать, что размерности образа и полного прообраза подпространства L пространства Rn при преобразовании ф удовлетворяют неравенствам:
а) разм. L — деф. ф-^разм. ф£<Сразм. L;
б) разм. L-^разм. ф-1Ь<^разм. L-j-деф. ф.
1492*. Пользуясь предыдущей задачей, доказать неравенства Сильвестера для ранга произведения двух квадратных матриц А и В порядка п: rA-]-rB— п. гАВ min (гА, гв) (см. задачу 931).
1493. Доказать, что:
а) ранг (ф-|-ф)<^ранг ф + ранг ф;
б) деф. (<рф)<1деф. ф-|-деф. ф для любых линейных преобразований ф и ф пространства Нп.
1494. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования ф, заданного в базисе аР а2, а3, матрицей
1 0 2—1
О 1 4—2
2—1 0 1
2 —1 —1 ' 2
Показать, что подпространство, натянутое на векторы a, -f- 2а2 и а2 -j- а3 + 2а4, является инвариантным относительно ф.
1495*. Доказать, что число линейно независимых собственных векторов преобразования фл принадлежащих одному собственному значению Ло, не превосходит кратности Zo как корня характеристического многочлена преобразования ф.
1496. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на любую систему собственных векторов преобразования ф, инвариантно относительно ф.
1497. Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования ф, принадлежащих одному и тому же собственному значению Ао (вместе с нулевым вектором), является линейным подпространством, инвариантным относительно ф.
1498. Доказать, что все отличные от нуля векторы пространства тогда и только тогда являются собственными векторами линейного преобразования ф, когда ф — преобразование подобия, т. е. фХ — ах с одним и тем же а для любого вектора X.
1499. Доказать, что любое подпространство L, инвариантное относительно невырожденного линейного преобразования ф, будет инвариантно и относительно обратного преобразования ф-1.
1500. Доказать, что: а) образ фЬ и б) полный прообраз ф-1£ линейного подпространства L, инвариантного относительно линейного преобразования ф, сами будут инвариантны относительно ф.
1501. Найти все линейные подпространства пространства многочленов от одного неизвестного степени п с вещественными коэффициентами, инвариантные относительно преобразования ф, переводящего любой многочлен в его производную.
1502. Доказать, что матрица линейного преобразования ф «-мерного пространства в базисе ар а2....ап является клеточной полу-
распавшейся матрицей вида:
Ai в\
I, где Aj — квадратная матрица порядка k < п, тогда U /12 /
и только тогда, когда линейное подпространство, натянутое на первые k векторов базиса av ..., ak, инвариантно относительно ф;
(Ai 0 \
б) I I, где УЦ — квадратная матрица порядка k < п, тогда \ В А2 /
и только тогда, когда линейное подпространство, натянутое на последние п—k векторов базиса ак+1, .... ап, инвариантно относительно ф;
Hi 0 \
о л,)- гдеЛ>-
квадратная матрица порядка k, тогда и только тогда, когда как подпространство, натянутое,на векторы av .... ak, так и подпространство, натянутое на векторы аА+1....а„, инвариантны относи-
тельно ф.
1503*. Пусть линейное преобразование ф «-мерного пространства Rn в базисе аР .... ап имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все линейные подпространства, инвариантные относительно ф, и определить их число.
1504. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно линейного преобразования, заданного матрицей
4 —2 2\
2 0 2.
—1 11/
а)
в) матрица будет клеточной распавшейся вида
1505. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные одновременно относительно двух линейных преобразований, заданных матрицами:
1606. Доказать, что любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор.
1507. Доказать, что для любой (хотя бы и бесконечной) совокупности попарно перестановочных линейных преобразований комплексного пространства Rn существует вектор, собственный для всех преобразований данной совокупности.
1508. Доказать, что корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.
Найти собственные значения и корневые подпространства линейных преобразований, заданных в некотором базисе следующими матрицами:
1509. /4 —5 2\ 1510. / 1 —3 4>
5 —7 3 Г 4 —7 8 1 •
\6 —9 4/ \6 —7 7?
1511. /2 6 - —15 \ 1512. /0 —2 3 2
1 1 - -5 ]. 1 1 1 -1 —1
\ 1 2 - -6 / 0 0 2 0
\ 1 — 1 0 1
1513. Доказать, что линейное преобразование комплексного пространства тогда и только тогда имеет диагональную матрицу в некотором базисе, когда все его корневые векторы являются собственными векторами.
1514. Доказать, что комплексное пространство тогда и только тогда состоит сплошь из корневых векторов линейного преобразования ф. когда все собственные значения этого преобразования равны между собой.
1515. Пусть R— бесконечномерное пространство всех вещественных функций /(х), определенных и имеющих производные любого порядка на всей числовой прямой, при обычных сложении функций и умножении функции на число, и ф—преобразование, переводящее любую функцию в ее производную.
Найти: а) все собственные значения и собственные векторы, б) все корневые подпространства преобразования ф.
1516. Пространство Rn называется циклическим относительно линейного преобразования ф, если Rn обладает циклическим базисом, т. е. базисом av а2, .... ап, для которого
фа*. —aft+[ (k— 1, 2, ..., п—1).
Доказать, что если Rn — циклическое пространство относительно ф и ах, а2....а„ — циклический базис, то:
а) минимальный многочлен g (А) преобразования ср имеет степень п;
б) минимальный многочлен всего пространства совпадает с минимальным многочленом вектора at;
в) если фап = CjOj-j-c2as+ ••• +слсп’ то минимальный многочлен преобразования ср определяется равенством
g(X) = r ——... -Ср
1617. Доказать, что если степень минимального многочлена g(k) линейного преобразования ср пространства Rn равна п и #(А) есть степень многочлена, неприводимого над тем полем, над которым рассматривается пространство R,,, т. е. в случае комплексного пространства g (к) — (А — а)", то:
a) Rn не разложимо в прямую сумму двух подпространств, инвариантных относительно ср;
б) Rn является циклическим относительно ср.
Какой вид имеет матрица преобразования ср в циклическом базисе?
1518. Пусть минимальный многочлен линейного преобразования ср пространства Rn имеет вид (X — а)п. Доказать, что существует вектор а такой, что векторы (ср—ае)"“1а, (ср—ае)"~2 а...(ср—as) а. а,
где е — тождественное преобразование, образуют базис пространства. Какой вид имеет матрица преобразования ср в этом базисе?
1519. Доказать, что любое подпространство L комплексного пространства R,,, инвариантное относительно линейного преобразования ср, содержит прямую, инвариантную относительно ср,
1520. Доказать, что любое подпространство L действительного пространства Rn, инвариантное относительно линейного преобразования ср и имеющее нечетную размерность, содержит прямую, инвариантную относительно ср. Показать на примерах, что для подпространства четной размерности утверждение неверно. При каких условиях L содержит прямую, все точки которой остаются неподвижными при преобразовании ср?
1521. Доказать, что комплексное пространство, содержащее лишь одну прямую, инвариантную относительно линейного преобразования ср, неразложимо в прямую сумму двух ненулевых подпространств, инвариантных относительно ср.
1522. Доказать, что комплексное пространство Rn относительно данного линейного преобразования ср распадается в прямую сумму {одного или нескольких) инвариантных линейных подпространств, каждое из которых содержит лишь одну инвариантную прямую и, значит (по предыдущей задаче), далее не разложимо.
1523*. Пусть ср — линейное преобразование пространства Rn и — минимальный многочлен ср. Доказать, что:
а) если g (X.) = h (к) k (к) и многочлены Л(Х.) и k(k) взаимно просты, то пространство Rn есть прямая сумма подпространств
состоящего из всех векторов х таких, что Л(ф)х = 0, и £2, состоящего из всех векторов х таких, что k(tp)x = 0;
б) если g (X) — (Z) h2 (X) ... hs (К) и многочлены hx (X), Л2 (X), .. . . .hs(k} попарно взаимно просты, то пространство Rn есть прямая сумма подпространств £t- (г—1, 2, .... s), где Lt состоит из всех векторов X таких, что йг(ф)х —0.
1524*. Линейное преобразование ф в базисе ер е2, е3 задано, матрицей
(1 0 0
1 2 1
— 1 0 1
Найти минимальный многочлен g(K) этого преобразования и разложение пространства в прямую сумму подпространств, соответствующее разложению g(k) на взаимно простые множители вида (£— а)*.
1525. Решить задачу, аналогичную предыдущей, если линейное преобразование <р в базисе е1г е2, е3 задано матрицей
1526. Линейное преобразование ф евклидова (или унитарного) пространства Rn задано равенством фх = (х, а) а для любого х из /?„» причем а — данный ненулевой вектор. Найти минимальный многочлен g(k) этого преобразования и разложение пространства в прямую сумму, соответствующее разложению g(k) на взаимно простые степени неприводимых многочленов с вещественными коэффициентами (или многочленов вида X — а в случае унитарного пространства).
1527. Найти жорданову форму матрицы линейного преобразования ф комплексного пространства Rn, если ф имеет с точностью до числового множителя только один собственный вектор.
1528. Доказать, что число линейно независимых собственных векторов линейного преобразования ф, принадлежащих одному и тому же собственному значению Хо, равно числу клеток с диагональным элементом к0 в жордановой форме матрицы ф.
1529* . Доказать, что базис, в котором матрица линейного преобразования ф комплексного векторного пространства Rn имеет жорданову форму, можно построить следующим образом;
А) Если не все собственные значения ф равны между собой» и характеристический многочлен имеет вид
/(£) = (£-£/. ... (Х-Х5Л (^#Л при i=hj).
то строим базис подпространства PL всех векторов х таких, что (ф—Х£е)**х = 0 (е—тождественное преобразование) (Z = 1, 2...s).
Пространство Rn будет прямой суммой подпространств Pt. Они инвариантны относительно ф; ф на Pt имеет одно собственное значение причем (ф—Xze)ft*x = 0 для любого вектора х из Pt. В этом построении вместо характеристического многочлена /(X) можно взять минимальный многочлен g(X), что может понизить показатели степени kt.
Б) Пусть ф на Rn имеет единственное собственное значение Хо и k—наименьшее целое положительное число такое, что (ф—\e)ft = 0. Положим ф —ф— Хое. Высотой вектора х назовем наименьшее h такое, что флХ — 0. Через Rh обозначим подпространство всех векторов высоты (О-^й-^й). Ro содержит только нулевой вектор; Rk совпадает со всем пространством.
Строим базис Rx, дополняем его до базиса /?2, полученный базис дополняем до базиса /?3 и так далее, пока не построим базис Rk {для краткости все эти базисы назовем начальными). Для каждого вектора f высоты k начального базиса Rk строим серию векторов У, ф/, ф2/, .... ф*-1/ с начальным вектором f. Берем любой (например, начальный) базис и векторы высоты k— 1 всех построенных серий. Эти векторы вместе будут линейно независимы. Дополним их до базиса любыми векторами (например, из начального базиса /?*_j). Для каждого из дополнительно взятых векторов f (если они вообще существуют) строим новую серию: /, ф/, ф2/, .... ф^-2/, и так далее.
Пусть на некотором шаге уже построены серии, в которых векторы высоты h-\- 1 вместе с любым (например, начальным) базисом Rh образуют базис Rh+X. Векторы любого (например, начального) базиса Rh_\ вместе с векторами высоты h построенных серий будут линейно независимы. Дополним их до базиса Rh любыми векторами (например, из начального базиса Rh). Для каждого дополнительно взятого вектора f (если таковые существуют) строим новую серию: /, ф/. Ф2/. .... ФЛ"7. Поступаем так до тех пор, пока векторы всех построенных серий не образуют вместе базиса всего пространства. Записав векторы серию за серией так, что в каждой серии векторы взяты в обратном порядке (начальный вектор серии берется в данной серии последним), получим искомый базис, в котором матрица преобразования ф имеет жорданову форму.
В) Базис, построение которого указано в пунктах А) и Б), определен не однозначно. Доказать единственность (с точностью до порядка расположения жордановых клеток) жордановой матрицы AJt подобной данной квадратной матрице А (и, значит, единственность жордановой формы матрицы данного линейного преобразования ф). Именно, доказать, что жорданова форма А} матрицы А порядка п определяется
следующим образом. Пусть k—наивысший порядок жордановых клеток матрицы Aj с числом Ло на диагонали, xh — число таких клеток порядка h (h~ 1, 2.....k), В — А~ К0Е, rh — ранг матрицы Bh
(ji = Q, 1, 2..k, &-|-1). Тогда числа xh определяются фор-
мулами
хл=гл-1 —2гй + гл+1 (Л=1. 2.....k). (а)
Замечание. Формулы (а) дают прием отыскания жордановой формы Aj без помощи теории элементарных делителей Л-матриц.
Линейное преобразование <р пространства /?„ в базисе е}, .... еп задано матрицей А. Найти базис fv . .., fn, в котором матрица этого преобразования имеет жорданову форму Aj, и найти эту жорданову форму (искомый базис определен неоднозначно).
1530. <3 2 —3 \ 1531. / 1 ! —! \
А = 1 4 10 —12 |. A = 1 —3 —3 3
(3 6 —7 / —2 —2 2 /
1532. <03 3 \ 1533. /6 6 —15\
А=1 — 18 6 1- А = I 5 —5
к 2 —14 —10/ \1 2 —2 /
1534. 0 1—11 1535. 6—9 5 4
— 12—11 7 —13 8 7
А = — 11 10 А = 8 —17 11 8
— 1 1 0 1 1—2 13
(0 1 0 ... 0
0 1
1536. А = В\
где В —
0 0
— клетка Жордана порядка п.
0 0 0 ... 0
1537*. Линейное преобразование ф пространства Rn называется инволютивным, если ф2 —е, где е — тождественное преобразование. Выяснить геометрический смысл инволютивного преобразования.
1538*. Линейное преобразование ф пространства /?„ называется идемпотентным; если ф2 = ф. Выяснить геометрический смысл идемпотентного преобразования.
1539. Привести примеры линейного преобразования <р трехмерного пространства, для которого:
а) пространство не является прямой суммой области значений и ядра L2 преобразования <р (определение дано в задаче 1488);
б) пространство является прямой суммой области значений L} и ядра L2 для ф, но ф не является проектированием на L, параллельно Ь2.
§ 19. Линейные преобразования евклидовых и унитарных векторных пространств
1540. Доказать, что операция перехода от линейного преобразования ф унитарного (или евклидова) пространства к сопряженному преобразованию ф* обладает следующими свойствами:
а) (ф*)* = ф;
б) (ф+Ф)* = ф*+Ф*;
в) (фф)* = ф*ф*;
г) (аф)* = Оф*;
д) если ф невырожденно, то (ф-1) — (ф*)-1.
1541. Пусть е2— ортонормированный базис плоскости и линейное преобразование ф в базисе fr — ev f2 = e1-^~ е2 имеет матрицу /1 2\
I I. Найти матрицу сопряженного преобразования ф* в том же
базисе /р /2.
1542. Линейное преобразование ф евклидова пространства в базисе из векторов fx =(1, 2, 1), /2 —(1, 1, 2), Д = (1, 1, 0) задано матрицей
(1 1 3\
0 5 —11.
2 7 —3/
Найти матрицу сопряженного преобразования ф* в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонор-мированном базисе.
1543. Найти матрицу линейного преобразования ф*. сопряженного преобразованию ф в ортонормированном базисе е2, е%, если ф переводит векторы а, —(0, 0, 1), а2 = (0, 1, 1), а3 = (1, 1, 1) в векторы &! = (!, 2, 1), 62 = (3, 1, 2), &3 = (7, —1, 4) соответственно, где координаты всех векторов даны в базисе ev е2, е%.
1544. Пусть хОу— прямоугольная система координат на плоскости и ф — проектирование плоскости на ось Ох параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженное преобразование ф*.
1545*. Пусть Rn = Lj -j- 7-2—разложение евклидова (или унитарного) пространства в прямую сумму двух подпространств; <р — проектирование R„ на £] параллельно £2; £1 и £э — ортогональные дополнения соответственно для £} и £2; ф*—преобразование, сопряженное с <р. Доказать, что Rn — £*4-£2 и что ф* является проектированием Rn на £2 параллельно £j.
1546. Доказать, что если подпространство £ унитарного (или евклидова) пространства инвариантно относительно линейного преобразования ф, то ортогональное дополнение £* инвариантно относительно сопряженного преобразования ф*.
1547*. Доказать, что линейное преобразование ф унитарного пространства Rn имеет инвариантное подпространство любого числа измерений от нуля до п.
1548*. Доказать, что для любого линейного преобразования ф унитарного пространства существует ортонормированный базис, в котором матрица этого преобразования имеет треугольную форму (теорема Шура).
1549. Написать уравнение плоскости, инвариантной относительна линейного преобразования ф, заданного в некотором ортонормированием базисе матрицей
(4 —23 17\ 11 —43 30 1.
15 —54 37/
1550. Доказать, что если один и тот же вектор X является собственным для линейного преобразования ф со значением и для сопряженного преобразования ф* со значением Х2, т0 ~ ^2-
1551. Доказать, что если линейное преобразование ф унитарного пространства Rn имеет собственные значения 7.2......Хп, то соб-
ственными значениями сопряженного преобразования ф* будут сопряженные числа Х2, .... Х„.
1552. Доказать, что соответствующие друг другу коэффициенты минимальных многочленов сопряженных между собой линейных преобразований сопряжены друг другу.
1553*. Пусть линейное преобразование ф унитарного (или евклидова) пространства в базисе е}....еп имеет матрицу А, а сопря-
женное преобразование ф* во взаимном базисе (см. задачу 1417) /1.....Л — матрицу В. Доказать, что В —А' в унитарном про-
странстве и В = А' в евклидовом пространстве.
1554*. Пусть скалярное произведение (х, у) в некотором базисе задано билинейной формой f с матрицей U (иными словами, матрица U является матрицей Грама векторов базиса). Показать, что матрица А
линейного преобразования <р и матрица /Ц сопряженного преобразования ф* в данном базисе связаны так:
a) A1—U~iAU для евклидова пространства;
б) Aa — U~xA'U для унитарного пространства.
Пусть в некотором базисе скалярное произведение задано билинейной формой /, а линейное преобразование ф —матрицей А. Найти матрицу Aj сопряженного преобразования ф* в том же базисе:
1555. f = -VjVj -|- 5х2у26х3у3 -|- 2лс1у3—|— 2_>с3у1 —|— 3_v2y3 —Зх3у2;
(0 1 — 2\
2 0—11.
3 —2 0/
1556. / = 2х1у1-|-Зх2у2-[-х3у3-|-2x^2 Д-2-*2У14“-*тУз~Ь хзУ1 + + ^2Уз + *3у2;
/ 2 i 1\
А=| — 1 —3 11.
\ 1 2 —1/
Пусть U — матрица Грама некоторого базиса и А — матрица линейного преобразования ф. Найти матрицу Aj сопряженного преобразования <р* в том же базисе:
1557. / 3 1 —2\ /1 2 0\
t/ = | I 1 —11; А-1 2 0 з].
\—2 —1 2/ \0 1 3/
1559. Пусть <р — линейное преобразование унитарного или евклидова пространства. Доказать, что (е'Р)* — е'Р*. (Определение функции от линейного преобразования дано в задаче 1464.)
1560. Доказать, что произведение двух ортогональных (соответственно унитарных) преобразований само ортогонально (унитарно).
1561. Доказать, что если линейное преобразование <р унитарного (или евклидова) пространства сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно (соответственно ортогонально).
1562*. Пусть в унитарном (или евклидовом) пространстве задано некоторое преобразование <р, в силу которого каждому вектору X соответствует единственный вектор фх. Доказать, что если преобразование ф сохраняет скалярное произведение, т. е. (фх, фу) — (х, у)
для любых векторов х, у пространства, то (р будет линейным и, значит, унитарным (соответственно ортогональным) преобразованием. Показать на примерах, что сохранения скалярных квадратов всех векторов не достаточно для линейности (р.
1563. Пусть скалярное умножение векторов пространства Rn задано матрицей Грама U векторов некоторого базиса. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы линейное преобра зование ср, заданное в том же базисе матрицей А, было:
а) ортогональным преобразованием евклидова пространства, б) унитарным преобразованием унитарного пространства.
1564. Доказать, что если два вектора х, у евклидова (или унитарного) пространства имеют одинаковую длину, то существует ортогональное (соответственно, унитарное) преобразование ср, переводящее X в у.
1565. Доказать, что если две пары векторов хр х2 и ур у2 евклидова (или унитарного) пространства обладают свойствами | л?! ] =|У] |, |х2| = |у2| и Угол между X; и хг равен углу между У1 и У2’ т0 существует ортогональное (соответственно унитарное) преобразование (р такое, что (pXj = yv <рх2 — у2.
1566*. Пусть даны две системы векторов xv ..., хк и ур .... yk евклидова (или унитарного) пространства. Доказать утверждение: для того чтобы существовало ортогональное (соответственно унитарное) преобразование tp такое, что cpxt=yt (/= 1, 2, .... k), необходимо и достаточно, чтобы матрицы Грама обеих систем векторов совпадали:
((•*)• х,))* = ((yz, у;))*.
1567*. Пусть tp — унитарное (или ортогональное) преобразование унитарного (соответственно евклидова) пространства Rn. Доказать, что ортогональное дополнение L* к линейному подпространству L, инвариантному относительно ср, также инвариантно относительно (р.
1568. Доказать, что два перестановочных унитарных преобразования унитарного пространства обладают общим ортонормированным базисом собственных векторов.
1569*. Доказать, что для унитарного преобразования (р унитарного пространства:
а) собственные значения по модулю равны единице (и, значит, характеристические числа унитарной, в частности вещественной ортогональной, матрицы по модулю равны единице):
б) собственные векторы, принадлежащие двум различным собственным значениям, ортогональны;
в) если в некотором базисе матрица А преобразования <р вещественна и собственный вектор, принадлежащий комплексному собственному значению ct —J—р/ (Р=/=0), представлен в виде x-f-yi, где
векторы х и у имеют вещественные координаты, то х и у ортогональны и имеют одинаковую длину, причем:
срх — ах — ру; еру = (Зле —J— ay; (1)
г) ортогональное преобразование евклидова пространства всегда обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством.
1570*. Доказать, что:
а) для любого унитарного преобразования ф унитарного пространства Rn существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования ф. В этом базисе матрица ф является диагональной с диагональными элементами, равными по модулю единице.
Какое свойство унитарных матриц отсюда вытекает?
б) для любого ортогонального преобразования ф евклидова пространства Rn существует ортонормированный базис, в котором матрица ф имеет канонический вид, где на главной диагонали стоят клетки второго порядка вида
cosy —siny\
(у kn)
sin у cosy/
и клетки первого порядка вида (±1).
Клетки какого-нибудь из этих типов могут отсутствовать. Все остальные элементы равны нулю. Каков геометрический смысл преобразования? Какое свойство вещественных ортогональных матриц отсюда вытекает?
Для ортогонального преобразования ф, заданного в ортонормиро-ванном базисе матрицей А, найти ортонормированный базис, в котором матрица В этого преобразования имеет канонический вид, указанный в задаче 1570. Найти этот канонический вид. (Искомый базис определен не однозначно.)
2
3
2 з •
2
3 .
|/2 -1/2 0
1571
2 з
2 з
__2 з
3
_2
3
2 з
А =
2
2
1
1572.
А —
2
2
1
2
1573. 0 —5-/2
Д = -|V2 |/2
2 1 2
3 3 3
Найти канонический вид В нальную матрицу Q такую, что
ортогональной матрицы B = Q~1AQ:
А и ортого-
1574.
2 1 2
3 3 3
2 2 1
3 3 3
1 2 -2
3 3 3 .
2 4
£
4
1575.
А =
т -4/6
4 4 ’
Т
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1577.
А =
J_ £ J_ J_
2 2 2 2
1111
2 2 2 2
1111
2 2 2 2
11 1 _1
2 2 2 2
1578. Для данной унитарной матрицы
найти диагональную матрицу В и унитарную матрицу Q такие, что
B^Q^AQ.
1579. Доказать, что линейная комбинация самосопряженных преобразований с вещественными коэффициентами (в частности, сумма двух самосопряженных преобразований) есть самосопряженное преобразование.
1580. Доказать, что произведение (рф двух самосопряженных преобразований <р и ф тогда и только тогда будет самосопряженным, когда ср и ip перестановочны.
1581. Доказать, что если ср и ф— самосопряженные преобразования, то самосопряженными будут также преобразования
фф и I (<рф — 4<р) •
1582. Доказать, что отражение (р евклидова (или унитарного) пространства Rn в подпространстве параллельно подпространству L2 тогда и только тогда будет самосопряженным линейным преобразованием, когда Lj и L2 ортогональны.
1583. Доказать, что проектирование (р евклидова (или унитарного) пространства R„ на подпространство £; параллельно подпространству L2 тогда и только тогда будет самосопряженным линейным преобразованием, когда Lx и L2 ортогональны.
1584. Доказать, что если линейное преобразование (р унитарного (или евклидова) пространства Rn обладает любыми двумя из следующих трех свойств:
1) <р — самосопряженное преобразование;
2) (р — унитарное (соответственно ортогональное) преобразование;
3) (р — инволютивное преобразование, т. е. ср2 — е — тождественное преобразование, то оно обладает и третьим свойством. Найти все типы преобразований, обладающих всеми этими свойствами.
Найти ортонормированный базис собственных векторов и матрицу В в этом базисе для линейного преобразования, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен не однозначно):
1585. / 11 2 — 8\ 1586. / 17 — 8 4\
Л=1 2 2 10 I. Л=|— 8 17 — 4|.
\— 8 10 5/ \ 4 — 4 11/
1587. /3 — I 0\
Л = 1 I 3 0 1.
\0 0 4/
Для данной матрицы А найти диагональную матрицу В и унитарную матрицу С такие, что В = С-1 АС.
1588. / 3 2А-21У 1589. / 3 2 —1\
А = А____
\2-2l 1 ] \241 7 )
1590*. Рассмотрим и2-мерное пространство всех комплексных квадратных матриц порядка п с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число. Превратим это пространство
в унитарное, считая, что скалярное произведение двух матриц А = (а^)" п
и В — задано равенством {АВ) — 2 atjbtj-
Доказать, что:
а) умножение всех матриц слева на одну и ту же матрицу С является линейным преобразованием;
б) унитарные матрицы как векторы указанного пространства имеют длину ]/~п;
в) умножения всех матриц слева на сопряженно-транспонированные матрицы С и С' вызывают сопряженные преобразования;
г) умножение слева на унитарную матрицу С вызывает унитарное преобразование;
д) умножение на эрмитову матрицу вызывает самосопряженное преобразование;
е) умножение на косоэрмитову матрицу вызывает кососимметрическое преобразование.
1591. Пусть скалярное умножение векторов пространства Rn задано матрицей Грама U некоторого базиса. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы линейное преобразование ф, заданное в том же базисе матрицей А, было самосопряженным в случае: а) евклидова, б) унитарного пространства.
1592*. Доказать, что два самосопряженных преобразования ф и ф унитарного (или евклидова) пространства R„ тогда и только тогда имеют общий ортонормированный базис собственных векторов обоих преобразований, когда эти преобразования перестановочны. Какое свойство квадратичных форм и поверхностей второго порядка отсюда вытекает?
1593. Пусть /?—евклидово пространство размерности п2, векторами которого являются все вещественные матрицы порядка п с обычными сложением матриц и умножением матрицы на число, а скалярное произведение матриц А — {а^) и В=-{Ь^) определено равенством п
{АВ) == 2 CLifiij. Пусть, далее, Р и Q — вещественные симметрические i.7-1 ‘
матрицы порядка п.
Доказать, что линейные преобразования qX = PX и фА'^Л’ф (X — любая матрица из пространства /?) являются перестановочными самосопряженными преобразованиями пространства R, и найти связь между общим ортонормированный базисом собственных векторов преобразований ф и ф и ортонормированными базисами собственных векторов матриц Р и Q.
1594. Самосопряженное линейное преобразование ф унитарного (или евклидова) пространств Rn называется положительно определенным, если (фХ, х) > 0, и неотрицательным, если (фХ, х)^>0 для лю
бого вектора х=#0 из Rn. Доказать, что самосопряженное преобразование ф тогда и только тогда положительно определенно (или неотрицательно), когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны). Показать, что для любого (а не только для самосопряженного) линейного преобразования ф из (фх, х) > 0 (или 0) следует, что все собственные значения (р положительны (соответственно неотрицательны). Привести пример, показывающий, что для несамосопряженного линейного преобразования обратное утверждение может быть неверно.
1595*. Доказать, что если ф = фу или (р — уф, где (р и ф— самосопряженные линейные преобразования с положительными собственными значениями, а у — унитарное преобразование, то ф = ф и у — тождественное преобразование (см. задачу 1276, в).
1596*. Доказать, что любое невырожденное линейное преобразование <р унитарного (или евклидова) пространства представляется как в виде cpz^^ipjyj, так и в виде ср —у2ф2, где фр ф2—самосопряженные преобразования с положительными собственными значениями, a Xi• 7.2 — унитарные (соответственно ортогональные) преобразования, причем оба указанных представления единственны.
1597. Почему равенства
2 1\ /2 П /1 0\ /1 2\ /0 1\
1 2/==(1 2/(0 1/(2 1/(1 0/
не приводят к противоречию с единственностью представления, указанного в предыдущей задаче.
Следующие матрицы представить в виде произведения симметрической матрицы с положительными характеристическими числами на ортогональную матрицу:
1598. /2 —1\ 1599. /1 —4\ 1600. /4—2 2\
(2 1) (1 4/ I 4 4—11.
\ —2 4 2 /
1601. Доказать, что самосопряженное линейное преобразование ф тогда и только тогда является положительно определенным, когда коэффициенты его характеристического многочлена V-j-CjZ"-1-}- ... ... -j-c„ все отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки, и не отрицательным (т. е. с неотрицательными собственными значениями) тогда и только тогда, когда коэффициенты с0=1, ср с2, .... ck отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки, a cft+1, ..., сп равны нулю. Здесь k — любое число от 0 до п.
1602*. Доказать, что если ф и ф — самосопряженные преобразования и ф — положительно определенно, то собственные значения преобразования фф вещественны.
1603*. Доказать, что если <р и чр— самосопряженные преобразования с неотрицательными собственными значениями, причем одно из них невырожденно, то собственные значения преобразования ф*ф вещественны и неотрицательны.
1604. Доказать, что сумма двух или нескольких неотрицательных самосопряженных преобразований (см. задачу 1594) является снова неотрицательным самосопряженным преобразованием.
1605*. Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование ранга г есть сумма г неотрицательных самосопряженных преобразований ранга 1.
1606*. Доказать, что линейное преобразование ф унитарного пространства R„, имеющее ранг единица, тогда и только тогда будет неотрицательным самосопряженным, когда в любом ортонормированном базисе его матрица представляется в виде Х'Х, где X — строка п чисел.
1607*. Доказать, что если матрицы Л = (а/;-)" и В = (Ьц)" эрмитовы и неотрицательны (т. е. имеют неотрицательные собственные значения), то и матрица С = где с/?. — (i,j =1,2, ..., п) — эрмитова и неотрицательна (сравнить с задачей 1220).
1608. Линейное преобразование ф евклидова (или унитарного) пространства Rn называется кососимметрическим, если ф* = — ф, где Ф* — преобразование, сопряженное ф. Доказать, что:
а) для того чтобы линейное преобразование ф евклидова пространства было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица А в любом ортонормированном базисе была кососимметрической, т. е. А' — — А;
б) для того, чтобы линейное преобразование ф унитарного пространства было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица А в любом ортонормированном базисе была косоэрмитовой, т. е. А' = — А.
1609*. Доказать, что ортогональное дополнение L* к линейному подпространству L евклидова (или унитарного) пространства, инвариантному относительно кососимметрического преобразования ф, также инвариантно относительно ф.
1610*. Доказать, что для кососимметрического преобразования ф унитарного пространства:
а) собственные значения чисто мнимы (и, значит, характеристические числа комплексной косоэрмитовой, в частности вещественной кососимметрической, матрицы чисто мнимы);
б) собственные векторы, принадлежащие двум различным собственным значениям, ортогональны;
в) если в ортонормированном базисе матрица А преобразования ф вещественна и собственный вектор, принадлежащий значению pi =/= 0 представлен в виде ЛС —|—гДе векторы х и у имеют вещественные
координаты, то х и у ортогональны и имеют одинаковую длину, причем фх = —Ру, фу —рх; (1)
г) кососимметрическое преобразование евклидова пространства всегда обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством.
1611*. Доказать, что:
а) для любого кососимметрического преобразования ф унитарного пространства Rn существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования <р. В этом базисе матрица ф является диагональной с чисто мнимыми элементами на диагонали (причем некоторые из этих элементов могут равняться нулю). Какое свойство комплексных косоэрмитовых матриц отсюда вытекает?
б) для любого кососимметрического преобразования ф евклидова пространства Rn существует ортонормированный базис, в котором матрица имеет следующий канонический вид: по главной диагонали
’ 0 Р\
. где р^=0 и нуле-— Р и /
стоят клетки второго порядка вида
вые клетки первого порядка (клетки одного из этих типов могут отсутствовать). Каков геометрический смысл преобразования, какое свойство вещественных кососимметрических матриц отсюда вытекает?
1612. Доказать, что если ф— самосопряженное преобразование унитарного пространства, то преобразование ф = /ф является кососимметрическим. Обратно, если <р — кососимметрическое, то ф = icp — самосопряженное преобразование.
1613. Доказать, что если ф—самосопряженное преобразование унитарного пространства, то преобразование ф —(ф— /е)-1 (tp-|- ie), где e— тождественное преобразование, существует и является унитарным.
1614*. Доказать, что кососимметрические и унитарные преобразования унитарного пространства (и соответственно кососимметрические и ортогональные преобразования евклидова пространства) связаны следующим образом: если в равенстве
Ф==(е —ф)(еДф)-1 (1)
(где е — тождественное преобразование) ф—кососимметрическое преобразование, то ф — унитарное преобразование, не имеющее собственным значением число— 1. Обратно, если в том же равенстве (1) Ф — унитарное преобразование, не имеющее собственным значением число—1, то ф — кососимметрическое преобразование. Равенство (1) определяет взаимно однозначное отображение всех кососимметрических преобразований на все унитарные преобразования, не имеющие собственным значением число— 1. Аналогичная связь имеется между кососимметрическими и ортогональными преобразованиями евклидова пространства. Какие свойства матриц отсюда вытекают?
1615. Показать, что равенство (1) предыдущей задачи определяет взаимно однозначное соответствие, во-первых, между всеми невырожденными кососимметрическими преобразованиями и всеми унитарными (соответственно ортогональными) преобразованиями, не имеющими собственных значений ±1, и, во-вторых, между всеми вырожденными кососимметрическими преобразованиями и всеми унитарными (ортогональными) преобразованиями, имеющими собственные значения —|—1, но не имеющими собственного значения —1.
1616. Доказать, что если ф— кососимметрическое преобразование унитарного (или евклидова) пространства, то преобразование является унитарным (соответственно ортогональным). Какое свойство матриц отсюда вытекает?
1617*. Доказать, что функция e't вызывает взаимно однозначное отображение всех самосопряженных преобразований унитарного (или евклидова) пространства на все положительно определенные (т. е. самосопряженные с положительными собственными значениями) преобразования.
1618. Линейное преобразование <р унитарного (или евклидова) пространства называется нормальным, если оно перестановочно с сопряженным ему преобразованием ср*. Проверить, что самосопряженные, кососимметрические и унитарные (или ортогональные) преобразования нормальны.
1619. Доказать, что нормальное преобразование унитарного (или евклидова) пространства тогда и только тогда является самосопряженным, когда все его собственные значения (соответственно все корни его характеристического уравнения) вещественны.
1620. Доказать, что нормальное преобразование унитарного (или евклидова) пространства тогда и только тогда является унитарным (соответственно ортогональным), когда все его собственные значения (соответственно все корни его характеристического уравнения) по модулю равны единице.
1621. Доказать, что нормальное преобразование унитарного (или евклидова) пространства тогда и только тогда является кососимметрическим, когда все его собственные значения (соответственно все корни его характеристического уравнения) чисто мнимы.
1622. Доказать, что линейное преобразование <р унитарного пространства тогда и только тогда является нормальным, когда <р = Фх> где ф — самосопряженное и /— унитарное преобразования, перестановочные между собой.
1623. Доказать, что:
а) каждое линейное преобразование ф однозначно представляется в виде ф = (р]-|~ф2, где ф|—самосопряженное и <р2—кососимметрическое преобразования;
б) для того чтобы преобразование <р было нормальным, необходимо и достаточно; чтобы преобразования ф] и ф2 в вышеуказанном представлении были перестановочны.
1624. Доказать, что:
а) каждое линейное преобразование <р унитарного пространства однозначно представляется в виде <Р = Ф14-1’ф2. где ф] и ф2— самосопряженные преобразования;
б) для того чтобы преобразование <р было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы преобразования cpj и <р2 в вышеуказанном представлении были перестановочны.
1625*. Доказать, что для любой (конечной или бесконечной) совокупности попарно перестановочных нормальных преобразований унитарного пространства Rn существует ортонормированный базис, векторы которого являются собственными для всех преобразований данной совокупности.
1626. Доказать, что из любого нормального преобразования ф унитарного пространства Rn можно в области нормальных преобразований извлечь корень /г-й степени для любого натурального числа k. Найти число различных нормальных преобразований ф таких, что ф/г = <р.
1627*. Доказать, что если х — собственный вектор нормального преобразования ср унитарного (или евклидова) пространства, принадлежащий собственному значению X, то х является собственным вектором для сопряженного преобразования ср*, принадлежащим сопряженному (соответственно тому же самому) числу А,.
1628*. Доказать, что собственные векторы нормального преобразования, принадлежащие двум различным собственным значениям, ортогональны.
1629*. Пусть е — собственный вектор нормального преобразования ф. Доказать, что подпространство L, состоящее из всех векторов пространства, ортогональных е, инвариантно относительно ср.
1630*. Доказать, что для нормальности линейного преобразования ф унитарного пространства необходимо и достаточно, чтобы каждый собственный вектор ф был собственным и для ф*.
1631*. Доказать, что любое подпространство L унитарного пространства Rn, инвариантное относительно нормального преобразования ф, обладает ортонормированный базисом, состоящим из собственных векторов преобразования ф.
1632*. Говорят, что линейное преобразование ф унитарного (или евклидова) пространства R„ обладает нормальным свойством, если ортогональное дополнение L* для каждого подпространства L, инвариантного относительно ф, само инвариантно относительно ср. Доказать утверждение: для того чтобы линейное преобразование ф унитарного (или евклидова) пространства было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы ф обладало нормальным свойством.
1633*. Доказать, что для нормальности линейного преобразования ф унитарного (или евклидова) пространства необходимо и достаточно, чтобы каждое подпространство, инвариантное относительно ф, было инвариантно и относительно ф*.
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 20. Группы
1634. Выяснить, образует ли группу каждое из следующих множеств при указанной операции над элементами:
1) целые числа относительно сложения;
2) четные числа относительно сложения;
3) целые числа, кратные данному натуральному числу п, относительно сложения;
4) степени данного действительного числа а, а =# 0, ±1, с целыми показателями относительно умножения;
5) неотрицательные целые числа относительно сложения;
6) нечетные целые числа относительно сложения;
7) целые числа относительно вычитания;
8) рациональные числа относительно сложения;
9) рациональные числа относительно умножения;
10) рациональные числа, отличные от нуля, относительно умножения;
11) положительные рациональные числа относительно умножения;
12) положительные рациональные числа относительно деления;
13) двоично-рациональные числа, т. е. рациональные числа, зна-менатели которых — степени числа 2 с целыми неотрицательными показателями, относительно сложения;
14) все рациональные числа, знаменатели которых равны произведениям простых чисел из данного множества М (конечного или бесконечного) с целыми неотрицательными показателями (лишь конечное число которых может быть отлично от нуля), относительно сложения;
15) корни n-й степени из единицы (как действительные, так и комплексные) относительно умножения;
16) корни всех целых положительных степеней из единицы относительно умножения;
17) матрицы порядка п с действительными элементами относительно умножения;
18) невырожденные матрицы порядка п с действительными элементами относительно умножения;
19) матрицы порядка п с целыми элементами относительно умножения;
20) матрицы порядка п с целыми элементами и определителем^ равным единице, относительно умножения;
21) матрицы порядка п с целыми элементами и определителем, равным ±1, относительно умножения;
22) матрицы порядка п с действительными элементами относительно сложения;
23) подстановки чисел 1, 2.....п относительно умножения;
24) четные подстановки чисел 1, 2......п относительно умно-
жения;
-25) нечетные подстановки чисел 1, 2.......п относительно умножения; •
26) взаимно однозначные отображения множества N — {1, 2, 3, ...} натуральных чисел на себя, каждое из которых перемещает лишь-конечное число чисел, если за произведение отображений у и t принято отображение st, которое получается при последовательном выполнении отображений s и /;
27) преобразования множества М, т. е. взаимно однозначные отображения этого множества на себя, если за произведение преобразований s и / принято преобразование st, которое получается при последовательном выполнении преобразований у и /;
28) векторы n-мерного линейного пространства Rn относительно сложения;
29) параллельные переносы трехмерного пространства R, если за: произведение переносов у и t принято их последовательное выполнение;
30) повороты трехмерного пространства R вокруг данной точки О, если за произведение поворотов у и t принято их последовательное выполнение;
31) все движения трехмерного пространства R, если за произведение движений у и t принято движение st, получающееся при последовательном выполнении движений у и t,
32) положительные действительные числа, если операция определяется так: а * b — аь\
33) положительные действительные числа, если операция определена так: а * Ь = а2Ь2;
34) действительные многочлены степени п (включая нуль) от неизвестного х относительно сложения.;
35) действительные многочлены степени п от неизвестного х относительно сложения;
36) действительные многочлены любых степеней (включая нуль), от неизвестного х относительно сложения.
1635. Доказать, что конечное множество О, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция и каждое из уравнений ах — Ь, уа = Ъ для любых а и b из О имеет в G не более одного решения, будет группой.
1636. Доказать, что если а2 = е для любого элемента а группы О, то эта группа абелева.
1637*. Доказать, что группа корней n-й степени из единицы является единственной мультипликативной группой n-го порядка с числовыми элементами.
1638*. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 3; б) 4; в) 6. Написать таблицы умножения этих групп и представить эти группы в виде групп подстановок.
1639*. Показать, что вращения каждого из пяти правильных многогранников вокруг центра, совмещающие многогранник с самим собой, образуют группу, если за умножение двух вращений принять их последовательное выполнение. Найти порядки этих групп.
1640. Доказать, что группы 1)—4) задачи 1634 изоморфны между собой.
1641. Доказать, что:
а) все бесконечные циклические группы изоморфны между собой;
б) все конечные циклические группы данного порядка п изоморфны между собой.
1642. Доказать, что:
а) группа положительных действительных чисел по умножению изоморфна группе всех действительных чисел по сложению;
б) группа положительных рациональных чисел по умножению не изоморфна группе всех рациональных чисел по сложению.
1643*. Доказать, что:
а) любая конечная группа порядка п изоморфна некоторой группе подстановок п элементов;
б) любая группа изоморфна группе некоторых взаимно однозначных отображений множества элементов этой группы на себя.
1644. Доказать, что для любых элементов а, Ь, с группы G:
а) элементы ab и Ьа имеют одинаковый порядок;
б) элементы abc, Ьса и cab имеют одинаковый порядок.
1645. Доказать, что если е — единица и а — элемент порядка п группы G, то aR~e тогда и только тогда, когда k делится на п.
1646. Найти все образующие элементы аддитивной группы целых чисел.
1647. Пусть G — {с} — циклическая группа порядка п и Ь — а11. Доказать, что:
а) элемент b тогда и только тогда будет образующим группы G, когда числа п и k взаимно просты;
б) порядок элемента b равен , где d — наибольший общий делитель п и k", к
в) если п и k взаимно просты, то в О существует корень а, т. е. а является k-Vi степенью некоторого элемента из О и обратно;
г) в группе нечетного порядка все элементы являются квадратными.
1648*. Доказать утверждения:
а) если элементы а и b группы G перестановочны, т. е.
ab — ba, (1)
и имеют конечные взаимно простые порядки г и у, то их произведение ab имеет порядок rs;
б) если элементы а и b группы О перестановочны, имеют конечные порядки г и $ и пересечение их циклических подгрупп содержит лишь единицу е, т. е.
{а}П{й} = {е}, (2)
то порядок произведения ab равен наименьшему общему кратному г и s. Показать на примерах, что для справедливости последнего утверждения каждого из условий (1) и (2) в отдельности недостаточно и что условие (1) не является следствием условия (2), даже для взаимно простых порядков элементов а и Ь;
в) если порядки г и s элементов а и b взаимно просты, то условие (2) выполняется;
г) показать на примере, что без условия (2) порядок произведения ab не определяется однозначно порядками сомножителей а и Ь.
1649. Какие из групп задачи 1634 являются подгруппами других из этих групп?
1650. Доказать, что:
а) если Н — конечное множество элементов группы О и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет подгруппой группы О;
б) если все элементы множества Н группы О имеют конечные порядки и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет подгруппой группы О.
1651. Доказать, что в любой группе подстановок, содержащей хотя бы одну нечетную подстановку:
а) число четных подстановок равно числу нечетных;
б) четные подстановки образуют нормальный делитель;
в) все простые группы подстановок п элементов (где п > 2) содержатся в знакопеременной группе Ап (простой называется группа, не имеющая нормальных делителей, кроме себя самой и единичной подгруппы).
1652. Доказать, что любая бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.
1653. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, каждая мз которых изоморфна любой своей неединичной подгруппе.
1654. Найти все подгруппы:
а) циклической группы порядка 6;
б) циклической группы порядка 24;
в) четверной группы (задача 1638);
г) симметрической группы <S3;
д) какие из подгрупп группы 53 являются нормальными делителями?
е) доказать, что знакопеременная группа четвертой степени Д4 не имеет подгруппы шестого порядка. Таким образом, группа О порядка п для некоторых k, делящих и, может не иметь подгрупп порядка k.
1655. Найти все подгруппы группы Q порядка 8, все элементы которой, кроме единицы е, имеют порядок 2.
1656. Пусть 0={а)—конечная циклическая группа порядка п. Доказать утверждения:
а) порядок любой подгруппы группы О делит порядок п этой группы;
б) для любого делителя d числа п существует единственная подгруппа Н. группы О, имеющая порядок d;
в) подгруппа Н порядка d содержит в качестве образующих все
I п)
элементы порядка d группы О. В частности, Н = \а d ) .
1657*. Найти все подгруппы примарной циклической группы, т. е. циклической группы G — [с} порядка рк, где р — простое число.
1658*. Доказать утверждения:
а) симметрическая группа Sn при п > 1 порождается множеством всех транспозиций (I, /);
б) симметрическая группа Sn при п > 1 порождается транспозициями: (1, 2), (1, 3), ..., (1, и);
в) знакопеременная группа А„ при л > 2 порождается множеством всех тройных циклов (i j k)~,
г) знакопеременная группа А„ при п > 2 порождается тройными циклами; (1 2 3), (1 2 4), .... (1 2 и).
1659, Найти смежные классы:
а) аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу п;
б) аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел;
в) аддитивной группы комплексных чисел по подгруппе целых гауссовых чисел, т. е. чисел а\~Ы с целыми а и Ь',
г) аддитивной группы векторов плоскости (выходящих из начала координат) по подгруппе векторов, лежащих на оси абсцисс Ох:
д) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе чисел, равных по модулю единице;
е) мультипликативной группы комплексных чисел отличных от нуля, по подгруппе положительных действительных чисел;
ж) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля,, по подгруппе действительных чисел;
з) симметрической группы Sn по подгруппе подстановок, оставляющих число п на месте.
1660*. Доказать, что:
а) подгруппа Н порядка k конечной группы О порядка 1k содержит квадраты всех элементов группы О;
б) подгруппа Н индекса два любой группы О содержит квадраты всех элементов группы О.
1661*. Доказать, что при п > 1 знакопеременная группа Ап является единственной подгруппой индекса два (т. е. содержащей половину всех элементов) в симметрической группе Sn. Привести пример конечной группы, содержащей несколько подгрупп индекса два.
1662*. Доказать, что:
а) группа тетраэдра изоморфна группе четных подстановок четырех элементов;
б) группы куба и октаэдра изоморфны группе, всех подстановок четырех элементов;
в) группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны группе четных подстановок пяти элементов. Определение групп многогранников см. в задаче 1639.
1663. Доказать, что любая подгруппа индекса два является нормальным делителем.
1664. Доказать, что множество Z всех элементов группы О, каждый из которых перестановочен со всеми элементами этой группы, является нормальным делителем (центр группы О).
1665. Элемент aba~'o называется коммутатором элементов а и b группы О. Доказать, что все коммутаторы и их произведения (с любым конечным числом сомножителей) образуют нормальный делитель К группы О (коммутант данной группы).
1666. Доказать, что в группе всех движений трехмерного пространства элемент x~vax, сопряженный с поворотом а вокруг точки Р, является поворотом вокруг той точки Q, в которую переходит точка Р при движении х.
1667. Доказать, что подстановка х~гах, сопряженная в группе подстановок подстановке а, получается путем применения трансформирующей подстановки х ко всем числам в разложении подстановки с. на независимые циклы.
1668*. Доказать, что:
а) четверная группа V (задача 1638) является нормальным делителем симметрической группы <S4;
б) фактор-группа SJV изоморфна симметрической группе <S3.
1669*. Пользуясь задачей 1667, найти число подстановок симметрической группы Sn, перестановочных с данной подстановкой $.
1670*. Доказать, что если пересечение двух нормальных делителей //] и /72 группы G содержит лишь единицу е, то любой элемент Л] £ Н} перестановочен с любым элементом h2 С
1671. Доказать, что:
а) элементы группы О, перестановочные с данным элементом а, образуют подгруппу N (а) группы G (нормализатор а в G), содержащую циклическую подгруппу {а) в качестве нормального делителя;
б) число элементов группы G, сопряженных с а, равно индексу нормализатора N (а) в G.
1672. Доказать, что:
а) элементы группы G, перестановочные с данной подгруппой Н (но не обязательно с элементами из Н), образуют подгруппу N (Н) группы О (нормализатор подгруппы Н в G), содержащую подгруппу Н в качестве нормального делителя;
б) число подгрупп группы G, сопряженных с //, равно индексу нормализатора N (Н) в G.
1673*. Доказать, что:
а) число элементов группы G, сопряженных с данным элементом;
б) число подгрупп группы G, сопряженных с данной подгруппой, делит порядок группы G.
1674. Пользуясь задачами 1669 и 1671, найти число подстановок симметрической группы S„, сопряженных с данной подстановкой $.
1675*. Доказать, что центр группы G порядка рп, где р — число простое, содержит более одного элемента.
1676*. Доказать, что любой нормальный делитель Н знакопеременной группы Ап степени п^-5, содержащий хотя бы один тройной цикл, совпадает с Ап.
а) Найти все классы сопряженных элементов группы икосаэдра (задача 1639); б) доказать, что группа икосаэдра является простой (т. е. не имеет нормальных делителей, отличных от самой группы и единичной подгруппы).
1678*. Доказать, что знакопеременная группа пятой степени является простой.
1679. Доказать, что группа О' тогда и только тогда является гомоморфным образом конечной циклической группы G, когда G' также циклическая и ее порядок делит порядок группы G.
1680. Доказать; что если группа О гомоморфно отображена на группу О', причем элемент а из G отображается на а' из О', то:
а) порядок а делится на порядок а';
б) порядок О делится на порядок G'.
1681. Найти все гомоморфные отображения:
а) циклической группы {а} порядка п в себя;
б) циклической группы {а} порядка 6 в циклическую группу {ft} порядка 18;
в) циклической группы {с} порядка 18 в циклическую группу {ft} порядка 6;
г) циклической группы {а} порядка 12 в циклическую группу {ft} порядка 15;
д) циклической группы {а} порядка 6 в циклическую группу {ft} порядка 25.
1682. Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел.
1683. Изоморфное отображение группы О на себя называется автоморфизмом, а гомоморфное отображение в себя — эндоморфизмом этой группы. Автоморфизм <р называется внутренним, если существует элемент х из G такой, что ац = х~}ах для любого а из G, и внешним — в противном случае. Все автоморфизмы группы G сами образуют группу, если за произведение автоморфизмов принять их последовательное выполнение: а (<рф) = (о<р) ф•. Все эндоморфизмы абелевой группы G образуют кольцо, если сложение эндоморфизмов определить равенством а (<р -{- ф) = atp -«ф, а умножение — так же, как для автоморфизмов. Найти группу автоморфизмов циклической группы {а} порядка: а) 5; б) 6.
в) Доказать, что симметрическая группа S3 имеет шесть внутренних автоморфизмов и ни одного внешнего, причем группа автоморфизмов изоморфна S3.
г) Четверная группа V (задача 1638) имеет один внутренний автоморфизм (тождественный) и пять внешних, причем группа автоморфизмов изоморфна S3.
Найти кольцо эндоморфизмов циклической группы {«} порядка: д) 5; е) 6; ж) п.
1684. Доказать, что фактор-группа симметрической группы Sn по знакопеременной группе Ап изоморфна фактор-группе аддитивной группы целых чисел по подгруппе четных чисел.
1685. Найти фактор-группы:
а) аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу п;
б) аддитивной группы целых чисел, кратных 3, по подгруппе чисел, кратных 15;
в) аддитивной группы целых чисел, кратных 4, по подгруппе чисел, кратных 24;
г) мультипликативной группы действительных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных чисел.
1686. Пусть Gn—аддитивная группа векторов «-мерного линейного пространства и Hk — подгруппа векторов /г-мерного подпространства. Доказать, что фактор-группа Gn/Hk изо-
морфна On_k.
1687. Пусть О — мультипликативная группа всех комплексных чисел, отличных от нуля, и Н — множество всех чисел из О, лежащих на действительной и мнимой осях.
а) Доказать, что Н — подгруппа группы G.
б) Найти смежные классы группы G по подгруппе Н.
в) Доказать, что фактор-группа С//7 изоморфна мультипликативной группе U всех комплексных чисел, равных по модулю единице.
1688*. Пусть G — мультипликативная группа комплексных чисел, отличных от нуля, Н — множество чисел из О, лежащих на п лучах, выходящих из нуля под равными углами, причем один из этих лучей совпадает с положительной действительной полуосью, К — аддитивная группа всех действительных чисел, Z — аддитивная группа целых чисел, D—мультипликативная группа положительных чисел, U— мультипликативная группа комплексных чисел, равных по модулю единице, Un — мультипликативная группа корней n-й степени из единицы. Доказать, что:
a) KjZ изоморфна U\
б) G/D » U;
в) G/U » D;
г) U/Un » U-
д) O/Un » О;
е) Н есть подгруппа группы G и G//7 изоморфна 67;
ж) Н/D изоморфна Uп\
з) Н/Uп » D.
1689. Для мультипликативных групп невырожденных квадратных матриц порядка п доказать утверждения:
а) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной группе действительных чисел, отличных от нуля;
б) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе матриц с определителем, равным ±1, изоморфна мультипликативной группе положительных чисел;
в) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппе матриц с положительными определителями является циклической группой второго порядка;
г) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с определителями, по модулю равными единице, изоморфна мультипликативной группе положительных чисел;
д) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с положительными определителями изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, по модулю равных единице.
1690. Пусть G — группа всех движений трехмерного пространства, Н — подгруппа параллельных переносов, К — подгруппа вращений вокруг данной точки О. Доказать, что:
а) Н является нормальным делителем группы О. а К — нет;
б) фактор-группа G[H изоморфна К.
1691. Доказать, что нормальный делитель Н группы G, имеющий конечный индекс J, содержит все элементы группы О, порядки которых взаимно просты с j. Показать на примере, что для подгруппы Н, не являющейся нормальным делителем, утверждение может быть неверным.
1692. Доказать, что фактор-группа GjH тогда и только тогда коммутативна, когда И содержит коммутант К группы О (задача 1665).
1693*. Доказать, что фактор-группа некоммутативной группы G по ее центру Z (задача 1664) не может быть циклической.
1694*. Доказать, что если порядок конечной группы О делится на простое число р, то G содержит элемент порядка р (теорема Коши).
1695*. Пусть р — простое число. Группа О называется р-груп-пой (в коммутативном случае — примарной группой), если порядки всех ее элементов конечны и равны некоторым степеням числа р. Доказать, что конечная группа G тогда и только тогда будет р-груп-пой, когда ее порядок равен степени числа р.
1696. Доказать, что:
а) аддитивная группа векторов n-мерного линейного пространства есть прямая сумма п подгрупп векторов одномерных подпространств, натянутых на векторы любой базы пространства;
б) аддитивная группа комплексных чисел есть прямая сумма подгрупп действительных и чисто мнимых чисел;
в) мультипликативная группа действительных чисел есть прямое произведение подгруппы положительных чисел и подгруппы чисел + 1;
г) мультипликативная группа комплексных чисел есть прямое произведение подгрупп положительных чисел и чисел, по модулю равных единице.
1697. Доказать, что если G = А ф- Вг — А ф- В2 — прямые разложения абелевой группы О и если Вх содержит В2, то Вх = В2.
1698. Доказать, что подгруппа Н абелевой группы G тогда и только тогда будет слагаемым в прямом разложении G = Н К, когда существует гомоморфное отображение G на Н, сохраняющее на месте все элементы из Н.
1699. Доказать, что если G — А-\- В — прямое разложение группы О, то фактор-группа G/Д изоморфна В.
1700. Пусть О = Д, + Д2ф- ... -ф-Д5—разложение абелево® группы G в прямую сумму подгрупп и
X — (1± -ф- «2 ~Ф~ • • • “Ф" Д/, I 1, 2, ...» 5,
— соответствующее разложение элемента х в сумму компонент. Доказать, что: .
а) группа G тогда и только тогда имеет конечный порядок п, когда каждая подгруппа Ах имеет конечный порядок пх, i = 1, 2.s,
причем п = пх п2 ... ns‘,
б)....элемент х тогда и только тогда имеет конечный порядок р, когда каждая его компонента ах имеет конечный порядок рх, i — 1, 2 s, причем р равно наименьшему общему кратному чисел
Др р2, .... ps\
в) группа О тогда и только тогда является конечной циклической, когда все прямые слагаемые Ах — конечные циклические группы, причем их порядки попарно взаимно просты.
1701. Разложить в прямую сумму примерных циклических подгрупп циклическую группу {д} порядка: а) 6; б) 12; в) 60; г) 900.
1702*. Доказать неразложимость в прямую сумму двух ненулевых подгрупп:
а) аддитивной группы целых чисел;
б) аддитивной группы рациональных чисел;
в) примаркой циклической группы.
1703*. Пусть G—ненулевая конечная абелева группа (с аддитивной записью операции). Доказать утверждения:
а) если порядки всех элементов из G делят произведение pq взаимно простых чисел р и q, то G разлагается в прямую сумму подгрупп А и В, где порядки всех элементов из А делят р, а из В — делят q, причем одна из подгрупп А или В может оказаться нулевой;
б) для группы G имеет место разложение G = А, -ф- А2 ф- ... -ф As в прямую сумму (ненулевых) примарных подгрупп, относящихся соответственно к различным простым числам рх, р2, .... ps. Эти подгруппы Ах называются примерными компонентами группы G;
в) примарная компонента Ах, относящаяся к простому числу рх, состоит из всех элементов группы О, порядки которых равны степеням числа рх, что однозначно определяет разложение группы G на примарные компоненты;
г) разложение на примарные компоненты ненулевой подгруппы Н группы G имеет вид Н = Вх-\-В2-\- ... -ф- Bs, где Bt = Н П Ах, 1—1, 2.......$, причем нулевые подгруппы Вх в разложении Н
опускаются.
1704. Обозначим через G(nx, п%, .... и5) прямую сумму циклических групп порядков соответственно пх, п2...ns. Из теории конеч-
ных абелевых групп известно, что каждая такая группа однозначно (с точностью до изоморфизма) представляется в виде G (пх, п2.ns),
где числа пх равны степеням простых чисел (не обязательно различных). Применяя указанное обозначение, найти все абелевы группы
следующих порядков: а) 3; б) 4; в) 6; г) 8; д) 9; е) 12; ж) 16; з) 24; и) 30; к) 36; л) 48; м) 60; н) 63; о) 72; п) 100.
1705. Разложить в прямую сумму примерных циклических и бесконечных циклических подгрупп фактор-группу G/Н, где О — свободная абелева группа с базой хр х2, х3 и И — подгруппа с образующими:
а) У| — 7Х| —]— 2х2 “Ц- Зх3, у2 — 1 8%2 —|- 9х3,
Уз = 5xj 4х2 -]- Зх3;
в) У( — 5jCj 5х2 -j- 2х3, у2= 11 Xj -j- 8х2 -j- 5х3, Уз — 17Х] + 5х2 + 8х3;
д) у1 = 4х14-5х2+ х3, у2 — 8xj + 9х2 -|- х3, Уз = 4 Xj -]- 6х2 + 2х3;
ж) yj = 6Xj + 5х2-|- 4х3, у2 = 7х1 + 6х2+9х3, Уз=5Х1 + 4х2 — 4х3;
и) yj = 4xj -]- 7х2 + Зх3. у2 = 2Х] + Зх2 + 2х3, у3 = 6xj + 10х2—|— 5х3;
б) У1 — 4Xj + 5х2 + Зх3, у2 == 5Х| —6х2 —5х3, Уз — 8xi Н- 7х2 -]- 9х3;
г) у1 = 6х1 + 5х2 + 7х3, у2 = 8Xj + 7х2 -|- 11 х3, Уз = бХ] -|- 5х2 + 11 х3;
е) yj = 2xj -j- 6х2 — 2х3, у2 — 2Х]-]- 8х2 — 4х3, Уз —4xi + 12х2—4х3;
з) У! — Х1 + 2х2 + Зх3,
У2 = 2У1,
Уз = 3у1;
к) У( = 2Х] + Зх2 + 4х3, у 2 — 5xj + 5х2 + 6х3, Уз = 2Х] + 6х2 + 9х3.
1706*. Доказать, что конечная абелева группа G, порядок которой равен:
а) произведению двух различных простых чисел р и q-,
б) произведению различных простых чисел pv р2, .... ps, — является циклической;
в) найти все подгруппы абелевой группы О, порядок которой удовлетворяет условию пункта б), и найти число этих подгрупп;
г) доказать, что для любого делителя k порядка п конечной абелевой группы G существуют подгруппа и фактор-группа группы О, имеющие порядок k.
1707*. Пусть О — ненулевая конечная абелева группа, все ненулевые элементы которой имеют один и тот же порядок р (элементарная группа). Доказать утверждения:
а) число р является простым;
б) группа G разлагается в прямую сумму конечного числа циклических подгрупп порядка р и имеет порядок рк, где k — число этих слагаемых;
в) любая ненулевая подгруппа Н группы О сама будет элементарной и является прямым слагаемым в некотором прямом разложении G — Н -\-К группы О;
г) число подгрупп порядка р1 элементарной группы О порядка р\
(/>* -1) (р*р1-1) (р1 — Г)(р1 — р)(р1 — р2) —
где k 1 > 0, равно
1708*. Доказать, что конечная абелева группа G порождается ее элементами максимального порядка.
§ 21. Кольца и поля
Выяснить, какие из следующих множеств являются кольцами (но не полями) и какие полями относительно указанных операций. (Если операции не указаны, то подразумеваются сложение и умножение чисел.)
1709. Целые числа.
1710. Четные числа.
1711. Целые числа, кратные данному числу п (рассмотреть, в частности, случай п = 0).
1712. Рациональные числа.
1713. Действительные числа.
1714. Комплексные числа.
1715. Числа вида a-j-b]/r2 с целыми а и Ь.
1716. Числа вида a-\-bY^> с рациональными а и Ь.
1717. Комплексные числа вида а-\-Ы с целыми а и Ь.
1718. Комплексные числа вида a-\-bl с рациональными а и Ь.
1719. Матрицы порядка п с целыми элементами относительно сложения и умножения матриц.
1720. Матрицы порядка п с действительными элементами относительно сложения и умножения матриц.
1721. Функции с действительными значениями, непрерывные на отрезке [—1, 4-1] относительно обычных сложения и умножения функций.
1722. Многочлены от одного неизвестного х с целыми коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения.
V 1723. Многочлены от одного неизвестного х с действительными коэффициентами относительно обычных операций.
/ а Ь\
1724. Все матрицы вида I с рациональными или действи-
\2Ь а)
тельными а, b относительно обычных сложения и умножения матриц.
1725*. Образуют ли кольцо все тригонометрические полиномы Л
а0 4- У, (oft cos kx 4- bk sin kx) с действительными коэффициентами?
k ™ 1
л
Выяснить ТО же ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ОДНИХ косинусов й0 + 2 йй COS kx п Й«1
И ОДНИХ синусов 2 ^й Sin ^Х‘
Й-1
1726*. Образуют ли кольцо числа вида a-)-try 2 с рациональными а и b относительно обычных операций (для определенности берется действительное значение корня).
1727*. Показать, что числа вида а с рациональ-
ными а, Ь и с образуют поле, причем каждый элемент этого поля в указанном виде представляется однозначно. Найти элемент, обратный числу -1 — у 2 -|- 21^4 (берется действительное значение корня).
1728. Доказать, что числа вида a-|-£]/5-|-cV25 с рациональными а, b и с образуют поле; найти в этом поле число, обратное числу х = 2 -|- 3 V5 — 25.
1729*. Пусть а — корень многочлена /(х) степени n> 1 с рациональными коэффициентами, неприводимого над полем рациональных чисел. Доказать, что числа вида а0-|-а1а-|-а2а2-|- ... 4-оп_1ап-1 с рациональными а0, av а2, .... ап_А образуют поле, причем каждый элемент этого поля однозначно записывается в указанном виде. Говорят, что это поле получено присоединением числа а к полю рациональных чисел.
1730*. В поле, полученном присоединением к полю рациональных чисел корня а многочлена / (х) = х3-|-4х2-|-2х— 6 (задача 1729) найти число, обратное числу 0 — 3— а-|-а2.
1731. Доказать, что все диагональные матрицы, т. е. матрицы вида
аг 0 0 ... О
О а2 0 ... О
О 0 а3 ... О
О 0 0 ... ап
порядка п 2 с действительными элементами относительно обычных сложения и умножения матриц образуют коммутативное кольцо с делителями нуля.
1732. Привести примеры делителей нуля в кольце функций, непрерывных на отрезке [—1, —1].
1733. Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка п с элементами из некоторого поля вырожденные матрицы, и только они, являются делителями нуля.
228 дополнение [1734—1744
1734. Показать, что пары (а, Ь) целых чисел с операциями, заданными равенствами
(Op Ь^) -1- (О2> ^2) — (с1Н-а2> “Ь fyj)’ (С1> ^1) (с2> ^2)~(а1а2' ^1^2)«
образуют кольцо, и найти все делители нуля этого кольца.
1735. Доказать, что поле не имеет делителей нуля.
1736. Доказать, что из равенства ах = ау для данного элемента а и любых элементов х и у кольца следует равенство х~ у тогда и только тогда, когда а не является левым делителем нуля.
1737. Показать, что матрицы порядка в^-2 с элементами из некоторого поля, в которых все строки, начиная со второй, состоят из нулей, образуют кольцо, в котором всякий элемент, отличный от нуля, будет правым делителем нуля. Какие матрицы в этом кольце не будут левыми делителями нуля?
1738* . Показать, что в кольце с единицей е коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
1739. Проверив, что свойство нуля и делителей нуля можно доказать, не используя коммутативности сложения, доказать, что в кольце, содержащем хотя бы один элемент с, не являющийся делителем нуля, коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
1740. Привести примеры колец матриц специального вида, обладающих несколькими правыми или несколькими левыми единицами.
1741. Пусть дано целое число п^-0. Два целых числа а и Ь называются сравнимыми по модулю п, что записывается так: а b (mod п), если их разность а — Ь делится на п (при п = 0 это означает, что а — Ь\ при п > 0 — что а и b при делении на п дают один и тот же остаток — вычет по модулю п). Показать, что совокупность всех целых чисел Z разбивается на классы сравнимых между собою чисел, не имеющих общих элементов. Определим сложение и умножение классов через соответствующие операции над их представителями, т. е. если числа a, b, а-}-b и ab принадлежат соответственно классам А, В, С и D, то положим А-^-В — С и АВ = В.
Доказать, что при таких операциях множество классов является кольцом (кольцо вычетов Z„ по модулю п).
1742* . Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.
1743*. Показать, что кольцо вычетов по модулю п (задача 1741) будет полем тогда и только тогда, когда п—число простое.
1744. Квадратная матрица называется скалярной, если ее элементы на главной диагонали равны между собой, а вне главной диагонали— равны нулю. Показать, что скалярные матрицы порядка п с действительными элементами при обычных операциях образуют поле, изоморфное полю действительных чисел.
(а Ь\
, где а и b— дей-— b а )
ствительные числа, образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.
(а Ь\
1 с рациональными 2ft а /
a, ft (задача 1724) изоморфно полю чисел вида o-|-ft|/r2 также с рациональными a, ft.
1747*. Доказать, что алгебра вещественных матриц вида
а ft с d
— Ь а — d с
— с d а — b
— d — с ft а
изоморфна алгебре кватернионов a-\-bi-\-cJ -\-dk.
(а-\-Ы с + (II \
I
— с -]- di а — bi j
•с действительными a, ft, с, d и i=Y~1 изоморфна алгебре кватернионов a-\-bl-\-cJ -\-dk.
1749. Найти все автоморфизмы (т. е. изоморфные отображения на себя) поля комплексных чисел, оставляющие неизменными действительные числа.
1750*. Доказать, что любое числовое поле содержит в качестве , подполя поле рациональных чисел.
1751*. Доказать, что при любом изоморфизме числовых полей подполе рациональных чисел отображается тождественно.
В частности, поле рациональных чисел допускает лишь тождественное изоморфное отображение в себя.
1762*. Доказать, что тождественное отображение является единственным изоморфным отображением поля действительных чисел в себя.
1753. Пользуясь задачей 1752, найти все изоморфные отображения поля комплексных чисел в себя, переводящие действительные числа снова в действительные.
1754. Доказать, что минимальное подполе любого поля характеристики нуль изоморфно полю рациональных чисел.
1755. Доказать, что минимальное подполе любого поля характеристики р изоморфно полю вычетов по модулю р.
1756. Решить систему уравнений
х-|-2.г=1, у + 2г = 2, 2x~j~z— 1
в поле вычетов по модулю 3 и по модулю 5.
1757. Решить систему уравнений
3x4-y4-2z = l, x + 2y + 3z=l, 4х-4-Зу-4-2г = 1
в поле вычетов по модулю 5 и по модулю 7.
1758. Найти наибольший общий делитель многочленов
/ (х) = х3 4~ х2 4~ 2х 4~ 2, g-(x) = x2-|-x-J- 1
а) над полем вычетов по модулю 3;
б) над полем рациональных чисел.
1759. Найти наибольший общий делитель многочленов
/(х) = 5х3-(-х2-(-5х-|-1, g-(x) = 5x2+21х-{-4
а) над полем вычетов по модулю 5 (при этом каждый коэффициент а надо понимать как кратное ае единицы е указанного поля или заменить коэффициенты их наименьшими неотрицательными вычетами по модулю 5);
б) над полем рациональных чисел.
1760. Найти наибольший общий делитель многочленов
/(х) = х44-1, g-(x) = x34-x4-l
над полем вычетов по модулю: а) 3; б) 5.
1761*. а) Доказать, что если многочлены /(х) и g(x) с целыми коэффициентами взаимно просты над полем Zp вычетов по простому модулю р, причем хотя бы один из старших коэффициентов не делится на р, то эти многочлены взаимно просты над полем рациональных чисел.
б) Показать на примере, что для любого простого числа р обратное утверждение не верно.
1762*. Доказать, что многочлены /(х) и g(x) с целыми коэффициентами тогда и только тогда взаимно просты над полем рациональных чисел, когда они взаимно просты над полем вычетов по модулю р, где р — любое простое число, исключая, быть может, конечное множество таких чисел.
1763. Многочлен х5 4-х34-х2 4- 1 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2.
1764. Многочлен х34-2х24-4х4-1 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 5.
1765. Многочлен х44-х34-х4-2 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 3.
1766. Многочлен х44-Зх34-2х24-х4-4 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 5.
1767. Разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2 все многочлены второй степени от х.
1768. Разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2 все многочлены третьей степени от х.
1769. Найти все многочлены второй степени от х со старшим коэффициентом 1. неприводимые над полем вычетов по модулю 3.
1770. Найти все многочлены третьей степени от х со старшим коэффициентом 1, неприводимые над полем вычетов по модулю 3.
1771*. Доказать, что если многочлен / (х) с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим над полем вычетов по любому простому модулю р, не делящему старший коэффициент. Привести пример многочлена, приводимого над полем рациональных чисел, но неприводимого над полем вычетов по модулю р, где р делит старший коэффициент.
1772*. Доказать, что мультипликативная группа G поля Zp вычетов по простому модулю р является циклической.
1773*!). Существуют многочлены с целыми коэффициентами, неприводимые над полем рациональных чисел, но приводимые над полем вычетов по любому простому модулю р.
Доказать, что таким будет, например, многочлен /(х) —х4— — 10х2—|— 1. Этот многочлен — многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, имеющий корень а — ]/2)ЛЗ.
1774*. Доказать, что если все элементы коммутативного кольца имеют общий делитель а, то это кольцо обладает единицей.
1775. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее элемент а =# 0 с одним из следующих свойств:
а) а2=0; б) для данного целого числа n > 1 выполнены условия ап = 0, ак =/= 0, если 0 < k < п.
1776. Пусть R—коммутативное кольцо с единицей е. Доказать, что:
а) обратимый элемент (т. е. делитель единицы) не может быть делителем нуля;
б) обратимый элемент имеет единственный обратный элемент;
в) если б, е обратимы, то а делится на Ь тогда и только тогда, когда аб делится на be;
г) главный идеал (о) элемента а из R тогда и только тогда отличен от R, когда а необратим.
1777. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей е и без делителей нуля. Доказать, что:
а) элементы а, b тогда и только тогда ассоциированы, когда каждое из них делится на другой;
б) главные идеалы (а) и (Ь) тогда и только тогда совпадают, когда а и b ассоциированы (определение главного идеала дано в задаче 1783).
1778. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей е и R{x} —
00
множество всех формальных степенных рядов 2 апх", ап €
Пш0
') Эту задачу указал автору И. Р. Шафаревич.
Введем обычные операции сложения и умножения рядов'.
СО СО СО
2 «П*” + Zj ₽nx” = S (ап + Рп) х”>
й«=0 /М «“О
(со \ / со \ со
Ем" 2jP»*n)= 2j y»*".
П“0 / \» = 0 / «=0
п
где Тп=2а*Р„_л.
Л-0
Показать, что:
a) Rix')— коммутативное кольцо с единицей;
б) Rix) содержит подкольцо, изоморфное /?;
в) если R не имеет делителей нуля, то это верно и для R (х);
СО
г) если R — поле, то У, апхп тогда и только тогда будет обра-п-0
тимым элементом кольца R(х), когда а0 =# 0.
1779*. Пусть R— множество всех чисел вида —3, где
а и b — целые рациональные. Показать, что R — кольцо с единицей, в котором разложение на простые множители существует, но не однозначно. В частности, показать, что в двух разложениях
4 = 2 • 2 = (1 Ц-}/”—3)(1 — 3)
сомножители являются простыми, причем 2 не ассоциировано 1 ± /=3.
1780*. Доказать, что все конечные суммы 2 ai ’ 2 1 с целыми коэффициентами и неотрицательными двоично рациональными гг относительно обычных операций сложения и умножения чисел образуют коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором не существует разложения на простые множители.
1781. Будут ли следующие множества подгруппами аддитивной группы, подкольцами или идеалами указанных ниже колец:
а) множество nZ чисел, кратных числу п > 1. в кольце целых чисел Z;
б) множество Z целых чисел в кольце Z [х] целочисленных многочленов;
в) множество nZ[x] многочленов, коэффициенты которых кратны числу п>1, в кольце Z[x) целочисленных многочленов;
г) множество 7V натуральных чисел в кольце целых чисел Z;
д) множество Z целых чисел в кольце А целых гауссовых чисел, т. е. чисел вида а-\-Ы с целыми рациональными а, Ь\
е) множество В чисел а-\-Ы, где а = Ь, в кольце А целых гауссовых чисел;
1782—1786] § 21. КОЛЬЦА и поля 233
ж) мио/кество С чисел вида х (1 +1) в кольце А целых гауссовых чисел, где х пробегает всё кольцо А;
з) множество Z [х] целочисленных многочленов в кольце- R [х] многочленов над полем R рациональных чисел;
и) множество / многочленов, не содержащих членов с хк для всех k < п, где и> 1, в кольце Z[x] целочисленных многочленов;
к) множество I многочленов с четными свободными членами в кольце Z[x] целочисленных многочленов;
л) множество / многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце Z[x] целочисленных многочленов.
1782. Доказать, что пересечение любого множества идеалов коммутативного кольца R является идеалом.
1783. Главным идеалом (а), порожденным элементом а коммутативного кольца R, называется минимальный идеал, содержащий а. Доказать, что идеал (о) существует для любого элемента a£R и состоит из всех элементов вида:
а) га, где г — любой элемент из R, если R имеет единицу;
б) га-\-па, где г —любой элемент из R, и п— любое целое число, если R не имеет единицы.
1784. Идеалом (А1), порожденным множеством М коммутативного кольца R, называется минимальный идеал, содержащий М. Если множество М состоит из конечного числа элементов .... as, то идеал (Ж) обозначается также через («А....as). Доказать, что
идеал (Л1) существует для любого непустого множества М £ R и состоит из всех конечных сумм вида:
а) У' rtai’ ri € ai € М если Я имеет единицу;
б) У Г[а( + 2 Щаai£M; nf- — целые числа, если R не имеет единицы.
1785*. Кольцом главных идеалов называется коммутативное кольцо с единицей t и без делителей нуля, в котором каждый идеал — главный (см. задачу 1783). Доказать, что каждое из следующих колец является кольцом главных идеалов:
а) кольцо Z целых чисел;
б) кольцо Р [х] многочленов от одного неизвестного х над полем Р‘,
в) кольцо А целых гауссовых чисел.
1786. Суммой идеалов Iv /2, ..., /л коммутативного кольца R называется множество / всех элементов х из R, представимых в виде
х = Xiх2-]- ... -т~хЬ’ i=l, 2, .... k.
Пишут f — ... Если для любого х из I указан-
ное представление единственно, то сумма I называется прямой суммой идеалов It. В этом случае пишут / = Л4_^24_ •••
Доказать, что:
а) сумма любого конечного числа идеалов есть идеал;
б) сумма двух идеалов тогда и только тогда будет прямой суммой, когда пересечение их содержит только нуль.
1787. Доказать, что если I = —прямая сумма идеалов/р /2,
то произведение любого элемента из на любой элемент из 12 равно нулю.
1788. Пусть /? = /j-j-/2 — разложение коммутативного кольца R с единицей е в прямую сумму ненулевых идеалов /р /2.
Доказать, что если е = е1-\-е2; е2£/2, то et, е2 будут
единицами соответственно в /р /2, но не в R.
1789. Доказать, что фактор-кольцо кольца D [х] многочленов с действительными коэффициентами по идеалу многочленов, делящихся на х2 -}-1, изоморфно полю комплексных чисел а -j- Ы с операциями сложения и умножения, определяемыми по известным из школы правилам.
1790. Доказать, что любое гомоморфное отображение поля Р в кольцо R является или изоморфным отображением на некоторое поле, входящее в R как подкольцо (так называемое вложение Р в R), или отображением всех элементов из Р в нуль из R.
1791. Пусть Z — кольцо целых чисел и R — любое кольцо с единицей е. Доказать, что отображение <р, для которого tp(n) — ne, есть гомоморфное отображение Z ъ R. Найти образ <p(Z) кольца Z при этом гомоморфизме.
1792. Пусть А — кольцо целых гауссовых чисел, I — множество всех чисел а-^-Ы с четными а и Ь. а) Показать, что / — идеал в А; б) найти смежные классы А по /; в) в фактор-кольце А\1 найти делители нуля и показать этим, что А\1 не является полем.
1793. Доказать, что фактор-кольцо А/I кольца целых гауссовых чисел по главному идеалу I = (3) есть поле из девяти элементов.
1794. Доказать, что фактор-кольцо А/I кольца целых гауссовых чисел по главному идеалу / = (п) тогда и только тогда будет полем, когда п—простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел.
1796. Пусть Р [х, у] — кольцо многочленов от двух неизвестных х, у над полем Р, I — множество всех многочленов этого кольца без свободного члена. Доказать, что:
а) I является идеалом, но не является главным идеалом;
б) фактор-кольцо Р [х, у]// изоморфно полю Р.
1796. Пусть/ = (х, 2)— идеал, порожденный множеством из двух элементов х и 2, в кольце целочисленных многочленов Z [х]. Доказать, что:
а) идеал I состоит из всех многочленов с четными свободными членами;
б) идеал I не является главным;
в) фактор-кольцо Z[x]/7 изоморфно полю вычетов по модулю 2.
1797. Пусть (п)—идеал, порожденный целым числом n> 1 в кольце целочисленных многочленов Z [х]. Доказать, что фактор-кольцо Z [х]/(п) изоморфно кольцу Z„ [х] многочленов над кольцом вычетов по модулю п.
1798. Пусть R — кольцо всех действительных функций /(х), определенных на всей числовой прямой при обычных операциях сложения и умножения и с — действительное число. Доказать, что:
а) отображение <р [/ (х)] = / (с) есть гомоморфное отображение кольца R на поле D действительных чисел;
б) ядро гомоморфизма <р, т. е. множество I всех элементов кольца R, отображающихся в число 0, есть идеал в R-,
в) фактор-кольцо R/I изоморфно полю действительных чисел D.
1799. Пусть Zp — поле вычетов по простому модулю р, f(x)— многочлен степени п из кольца Zp[x], неприводимый над полем Zp (из теории полей известно, что такой многочлен существует для любого простого р и любого натурального n), I — главный идеал, порожденный многочленом f (х) в кольце Zp[x|. Доказать, что фактор-кольцо Zp[x]fl есть конечное поле, и найти число его элементов.
§ 22. Модули
Левым модулем над кольцом R называется абелева группа М (обычно с аддитивной записью операции), для элементов которой определено умножение на элементы нз R так, что Ад£А1 для любых А£/?, а£М, причем выполнены следующие условия, аналогичные свойствам умножения вектора на число для линейного пространства:
1. А (д —1~ Ъ) = Ал —|— Aft, 2. (А —1~ р) а = Ал -J— рл, 3. А (рл) = (Ар) л, где А, p£ R, а, ЪЁМ.
Если, кроме того, кольцо R обладает единицей е и
4. га —а, а£М, то М называется унитарным левым модулем над R.
Подмодулем левого модуля М над кольцом R называется подгруппа А группы М, для которой Ад£Л для любых >.£R, а£А.
Отображение <р левого модуля М на левый модуль М' над одним и тем же кольцом R называется гомоморфным, если <р (л-|-6) = <рд-|-<р&, (Ал) = А<рд для любых а, Ь£М, А £ /?.
Взаимно однозначное н гомоморфное отображение модуля М на модуль М' (над тем же кольцом) называется изоморфным (или изоморфизмом), а модули М и Л1' называются изоморфными.
Фактор-модулем M/А левого модуля М над кольцом R по подмодулю А называется фактор-группа M/А с естественным умножением на элементы кольца R-. А (х -}- Л) = Ах -}- А.
Порядком 0(a) (или аннулятором Апп(д)) элемента а левого модуля М над кольцом R называется множество всех элементов ?.£R, для которых Ад = 0. Если порядок элемента а содержит только нуль кольца R,
то а называется свободным элементом (или элементом порядка нуль). В противном случае а называется периодическим элементом (или элементом ненулевого порядка).
Аналогично определяются правые модули М над кольцом R с умножением аЛ£Л4, а£М, Х£/?, и связанные с ними понятия.
Если в следующих задачах говорится просто о модуле М над кольцом R, то М рассматривается для определенности как левый модуль над R, хотя соответствующие свойства верны также и для правого модуля над R.
Для упрощения некоторые задачи формулированы для случая коммутативного кольца, хотя они могут быть обобщены на модули над некоммутативными кольцами.
1800. Привести примеры модуля М над кольцом R, где существуют X =£ 0 из R и а =£ 0 из АГ, причем Ха —0.
1801. Проверить, что любая абелева группа G (с аддитивной записью операции) является модулем над кольцом Z целых чисел.
1802. Левый модуль М над кольцом R называется тривиальным, если Ха = 0 для любых X £ R, а £ АГ. Доказать, что левый модуль М над кольцом R с единицей е разлагается в прямую сумму подмодулей: М— Afj-j- Л12, где 7И1 унитарен, а Л12 тривиален, причем содержит все элементы а£М, для которых еа — а, и Л12 — все элементы а£М, для которых еа = 0.
1803. Проверить, что:
а) если коммутативное кольцо R рассматривать как левый модуль над самим собой, то подмодули этого модуля совпадают с идеалами кольца /?;
б) если некоммутативное кольцо R рассматривать как левый (правый) модуль над самим собой, то подмодули этого модуля совпадают с левыми (правыми) идеалами кольца R.
1804*. Показать, что примерную по простому числу р абелеву группу G (задача 1695) можно рассматривать как унитарный модуль над кольцом R рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на р.
1805. Циклическим подмодулем, порожденным элементом а левого модуля М над кольцом R, называется минимальный подмодуль {а}, содержащий а. Доказать, что для любого а£М циклический подмодуль {а) существует и состоит из всех элементов модуля М, имеющих вид:
а) Ха, где Х£/?, если 7И — унитарный модуль;
б) Ха4-иа, где Х£7? и п — целое число, если М — любой модуль.
1806. Доказать, что n-мерное линейное пространство над полем Р является (при тех же операциях) унитарным модулем над Р, причем этот модуль разлагается в прямую сумму п циклических подмодулей.
1807. Пусть М — унитарный модуль над коммутативным кольцом R с единицей е, {а) и (ft)—циклические модули, О (а) и О (ft) — порядки соответственно, а и ft.
а) Доказать, что если (а) = {ft}, то О (а) ~ О (ft);
б) показать на примере, что условия О (а) = О (Ь) недостаточно для равенства {а} = {#};
в) доказать, что для равенства {а} = {£} необходимо и достаточно, чтобы было b — аа, а — fib, где а, 0 — некоторые элементы из R;
г) доказать, что для равенства [а) — {£] необходимо и достаточно выполнения условий: b = аа, где а £ R и обратим по модулю О (а), т. е. смежный класс а-|-О(а) есть обратимый элемент фактор* кольца /?/О (а).
1808*. Доказать, что всякий подмодуль А циклического модуля М=[а} над кольцом главных идеалов R сам будет циклическим.
1809. Пусть R — множество всех бесконечных последовательностей целых чисел а = (а1, а2, ...) со сложением и умножением по компонентам. Проверить, что R — коммутативное кольцо с единицей, т. е. циклический модуль над самим собой. Найти в этом модуле подмодуль, не имеющий конечной системы образующих. Это показывает, что подмодуль циклического модуля может не быть циклическим, а подмодуль конечнопорожденного модуля может не быть конечно-порожденным.
1810. Пусть М — модуль над коммутативным кольцом R.
а) Доказать, что если R не имеет делителей нуля, то множество АсМ всех периодических элементов является подмодулем модуля Л1;
б) показать на примерах, что для кольца R с делителями нуля предыдущее утверждение может быть неверно.
1811*. Пусть М — модуль над кольцом главных идеалов R, а и Ь — периодические элементы М порядков О (а) = (а), О (Ь) — (0), б— наибольший общий делитель а и 0. Доказать, что элемент а-^-Ь— также периодический порядка О (а Ь) — (у), причем: ч и0 и0
а) у делит -р; б) у кратно -р-.
1812*. Модуль М называется периодическим, если все его элементы являются периодическими. Модуль М над кольцом главных идеалов R называется примарным, если порядки всех элементов из М как идеалы в R порождаются степенями одного и того же простого элемента р из R. Модуль М называется прямой суммой системы (необязательно конечной) своих подмодулей если каждый ненулевой элемент из М однозначно представляется в виде суммы конечного числа ненулевых элементов, взятых по одному из некоторых Mt. Доказать, что любой периодический модуль М над кольцом главных идеалов R разлагается в прямую сумму примарных подмодулей.
1813*. Пусть М — модуль над кольцом R. Доказать теорему: для того чтобы в М любой подмодуль имел конечное число образующих, необходимо и достаточно, чтобы в М удовлетворялось условие максимальности для подмодулей: любая возрастающая последовательность подмодулей (необязательно различных) Мх С Л12 cz ...
стабилизируется на конечном шаге. В частности, это верно для идеалов кольца /?, если его рассматривать как модуль над самим собой.
1814. Доказать, что если {а} и {£>}— унитарные циклические модули над одним и тем же кольцом R, причем порядки а и b связаны включением О (а) с. О (Ь), то существует гомоморфное отображение {а} на {£>}.
1816. Пусть М=[а}—унитарный циклический модуль над коммутативным кольцом R с единицей е. Доказать, что:
а) порядок О (а) элемента а есть идеал в R;
б) фактор-кольцо R/О (а), рассматриваемое как модуль над R с естественным умножением, определенным умножением в R, изоморфно модулю М.
1816. Пусть M = A-j-B— разложение модуля М над кольцом R в прямую сумму подмодулей А и В. Доказать, что фактор-модуль М/А изоморфен как модуль над R модулю В.
1817. Модуль М называется расширением модуля А при помощи модуля В, если А — подмодуль Л1 и фактор-модуль М/А изоморфен В (М, А, В — модули над одним и тем же кольцом R). Доказать, что расширение конечнопорожденного модуля при помощи конечнопорожденного есть конечнопорожденный модуль.
1818. Доказать, что если в модуле М выполнено условие максимальности для подмодулей (см. задачу 1813), то это условие выполнено в фактор-модуле М/А модуля М по любому подмодулю А.
1819*. Пусть А, В — подмодули модуля М над кольцом R. Доказать следующую теорему об изоморфизме:
(Д + В)/Д^В/(ДПВ).
1820*. Пусть М — унитарный модуль с конечным числом образующих хР х2, .... хп над коммутативным кольцом R с единицей. Доказать, что если условие максимальности выполнено для идеалов в кольце R, то оно выполнено и для подмодулей в модуле М (эту теорему можно обобщить на некоммутативные кольца с условием максимальности для левых или правых идеалов).
§ 23. Линейные пространства и линейные преобразования (добавления к параграфам 10, 16—19)
1821. Доказать, что для выполнения равенства ах -f-0у = 0х -j-ау где а, 0 — числа и х, у — векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или а — 0, или х = у.
1822*. а) Не пользуясь коммутативностью сложения векторов, доказать, что правые противоположный и нулевой элементы будут и левыми;
б) пользуясь пунктом а), доказать, что коммутативность сложения векторов вытекает из остальных аксиом линейного пространства.
1823. Пусть D — поле действительных чисел и V — множество всех функций, заданных и принимающих положительные значения на сегменте [a, ft]. Определим сложение двух функций и умножение функции на число равенствами:
f®g = fg, а©/ = Л /. g£V, a£D.
а) Проверить, что при указанных операциях V является линейным пространством над полем D;
б) доказать, что пространство V изоморфно пространству V' всех действительных функций, заданных на сегменте [a, ft], при обычных операциях сложения функций и умножения функции на действительное число;
в) найти размерность пространства V.
1824. Доказать линейную независимость системы функций е^х, .... екпх, где Z,....— попарно различные действительные
числа.
1825*. Доказать линейную независимость системы функций хП|, .... х°«» где «1.....а„ — попарно различные действительные
числа.
1826*. Доказать линейную независимость систем функций:
a) sinx, cosx;
б) 1, sinx, cosx;
в) sinx, sin2x.....sinnx;
г) 1, cos x, cos 2x, .... cos nx;
д) 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x......cosnx, sinnx.
1827*. Доказать линейную независимость систем функций:
а) 1, sinx, sin2x, .... sin"x;
б) 1, cos х, cos2 x...cos" x.
1828. Доказать линейную зависимость систем функций:
а) 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, .... sin”x, cos"x при n^-2;
6) sinx, cosx, sin2x, cos2x, ..., sin"x, cos"x при n?>4.
1829*. Проверить, что все однородные многочлены степени k от п неизвестных хр х2......хп с действительными коэффициентами
(или с коэффициентами из любого поля) вместе с нулем при обычных операциях образуют линейное пространство, и найти его размерность.
1830*. Проверить, что все многочлены степени от п неизвестных хр х2, ..., х„ с действительными, коэффициентами (или с коэффициентами из любого поля) вместе с нулем при обычных операциях образуют линейное пространство, и найти его размерность.
1831. Пусть V — линейное пространство всех многочленов от х степени <^n, n> 1, с действительными коэффициентами.
а) Доказать, что множество L всех многочленов из V, имеющих данный действительный корень с, является подпространством V;
б) найти размерность L\
в) то же для множества Lk, X-^k^n, всех многочленов из V. имеющих k различных действительных корней с,.......ck (без учета
их кратности);
г) является ли подпространством множество L' всех многочленов из V, имеющих простой действительный корень с?
1832*. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов
-«!...xk; (1)
Ji....Ук (2)
n-мерного пространства Vn были эквивалентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.
1833. Доказать, что любое подпространство L «-мерного линейного пространства Vn является областью значений некоторого линейного преобразования ф.
1834. Доказать, что любое подпространство L «-мерного линейного пространства Уп является ядром некоторого линейного преобразования <р.
1835. Доказать, что если для каждого из попарно различных собственных значений Х2, .... линейного преобразования ф взять линейно независимую систему собственных векторов, то система, содержащая все взятые векторы, линейно независима.
1836*. Пусть V — действительное линейное пространство (или линейное пространство над полем Р, характеристика которого отлична от двух) и V = L Ц- М — разложение пространства V в прямую сумму подпространств L и М. Тогда любой вектор х однозначно представляется в виде
x = y + Z; Z£M.
Линейное преобразование ф, определенное условием <рх=у, называется проектированием пространства V на L параллельно М. По задаче 1538 проектирования совпадают с идемпотентными преобразованиями, т. е. с линейными преобразованиями, обладающими свойством ф2 = ф. Пользуясь этим, доказать утверждения:
а) если ф — проектирование на L параллельно М и е— тождественное преобразование, то е — ф—проектирование на Л1 параллельно L;
б) для того чтобы сумма ф —ф1+ф2 Двух проектирований ф1 и ф2 была проектированием, необходимо и достаточно условие:
Ф1Ф2 = ФЛ = «>• (В
где со — нулевое преобразование; если ф] и ф2—соответственно проектирования на параллельно Afj и на Z,2 параллельно М2, при
чем выполнено условие (1), то <Р = Ф1+ф2 — проектирование на L~L1^-L2 параллельно М — Л1, п М2;
в) для того чтобы разность <р = — <р2 двух проектирований и <р2 была проектированием, необходимо и достаточно выполнение условия
4>i<P2==4Wi==<P2: (2)
если q>! и q>2 — проектирования, определенные в пункте б), причем выполнено условие (2), то q> = qjj—<р2— проектирование на L — Lx П М2 параллельно М = Мг -|- Т-2;
г) для того чтобы произведение <р = <р1<р2 двух проектирований и q>2 было проектированием, достаточно выполнение условия
Ф1Ф2 = 4W (3)
если фх и <р2—проектирования, определенные в пункте б), причем выполнено условие (3), то q> — <pj(p2 — проектирование на L — П Ь2 параллельно М = TVfj + М2 (здесь сумма необязательно прямая). Показать на примере, что условие (3) не является необходимым для того, чтобы произведение проектирований <рх и <р2 было проектированием.
1837*. Доказать, что если для преобразования <р евклидова пространства V в себя существует сопряженное преобразование <р*, т. е. преобразование, обладающее свойством (q>x, у) = (х, <jpy) для любых векторов х, у из V, то <р и q>* линейны. В частности, симметрическое и кососимметрическое преобразования можно определить, соответственно, равенствами (срх, у) = (х, <ру) и (срх, у) = — (х, <р_у) без требования линейности.
1838. Найти расстояние между двумя плоскостями Pf х = а0-|-—ZjCXj —|—Z2CX2 И Р2: -2—&о ^1^1 “4“'^2^2* Где £Xq===(2, 1, 0, 1), а, =(1, 1. 1, 1), а2 = (1, 0, 0, 1), 60 = (1, —1, —1. 0), &! =
= (1, 1, 0, —1), 62 — (1, 1, 2, 3) и координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
1839. Гильбертовым пространством называется множество V всех бесконечных последовательностей действительных чисел х==(аР а2, ...),
СО
для которых сходится ряд из квадратов 2 а2- Такие последователь-z=i
ности называются векторами (или точками} пространства V. Сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное умножение векторов определяются обычным образом. Именно, если х = (аР а2, ...) и у — (bv b2, . ..) — векторы и с — число, то
СО
x-j-j> = (a1-|-ftp a2-j-l>2, ...), cx — (calt са2, ...), (х,
Z = 1 Доказать, что:
а) V является бесконечномерным евклидовым пространством;
б) если L* — ортогональное дополнение к подпространству L из V (задача 1364), то равенство V = L-\-L* верно для конечномерного L', в) показать на примерах, что равенства V — L L* и (А*)* = L (см. задачи 1364, 1365) могут быть неверны для бесконечномерных подпространств из V.
1840. Пусть V„ = £]-}- L2 — разложение «-мерного евклидова пространства в прямую сумму двух подпространств, Ц и Z-2— ортогональные дополнения, соответственной] и£2, <р — отражение V„ в параллельно £2. Доказать, что преобразование <р*. сопряженное <р, является отражением V„ в Li параллельно £ь
1841. Найти все изометрические (или ортогональные) преобразования, сохраняющие на месте нулевой вектор: а) на плоскости; б) в трехмерном пространстве.
1842*. Найти геометрический смысл линейного преобразования ф трехмерного евклидова пространства, заданного в ортонормированием базисе ev е2, е3 матрицей
_3 _1_ /б
4 4 4
1 3 /6
4 4 4
Кб Кб 1
4 4 2
1843*. Выяснить геометрический смысл кососимметрического преобразования <р евклидова пространства для случаев: а) прямой; б) плоскости; в) трехмерного пространства. Показать, что в трехмерном пространстве <р сводится к векторному умножению всех векторов слева на один и тот же вектор а, т. е. (рх = а%х.
1844*. Доказать утверждение: для того чтобы линейное преобразование <р евклидова пространства (необязательно конечномерного) было кососимметрическим, необходимо и достаточно, чтобы оно переводило каждый вектор в вектор, ортогональный с ним.
§ 24. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы (добавление к параграфу 15)
1845*. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции /(х), заданной в «-мерном линейном пространстве Vn, существует канонический базис, в котором эта функция записывается в каноническом виде i(x) — xv где X] — первая координата вектора х в этом базисе.
1846. Доказать, что ненулевая билинейная форма Ь(х, у) = п
— S aijxiyj тогда и только тогда распадается в произведение двух i. 1=1
п
линейных форм Ь(х, у) — 1Х(х) 12(у), где 12(у) =
п
— 2 с/У/« когда ее ранг равен единице.
1=1
1847. Доказать, что билинейная функция Ь(х, у), данная в действительном n-мерном пространстве (или в n-мерном пространстве над полем характеристики, не равной двум), тогда и только тогда является симметрической, когда она имеет канонический базис, в котором она записывается билинейной формой канонического вида: Ь(х, у) = Х,1Х1У1Ч-Х2х2у2+ ... +Х„х„у„.
1848*. Доказать, что если произведение двух линейных функций, заданных на линейном пространстве V (необязательно конечномерном), тождественно равно нулю, т. е. /1(х)/2(х) = 0 для любого x£V, то хотя бы одна из этих функций тождественно равна нулю.
1849*. Доказать, что если симметрическая билинейная функция Ь(х, у), заданная в линейном пространстве V (необязательно конечномерном), распадается на две билинейные функции: Ь(х, у) = — Л (х) h (У)> т0 она представляется в виде b (х, у) — 7Л (х) I (у), где X—число, отличное от нуля, и /(х) — линейная функция.
1850*. Доказать, что билинейная функция в n-мерном действительном пространстве тогда и только тогда имеет ранг 1, когда в некотором базисе она записывается формой вида:
а) + Xjyp если функция симметрическая;
б) Х1У2, если функция несимметрическая.
1851*. Доказать, что ненулевая кососимметрическая функция на линейном пространстве V (необязательно конечномерном) не может распадаться в произведение двух линейных функций.
1852*. Пусть /(х) — ненулевая линейная функция на линейном пространстве V (необязательно конечномерном). Доказать, что:
а) ядро $ функции / (х), т. е. множество всех векторов х £ V, для которых /(х) = 0, есть максимальное линейное подпространство, т. е. $ не содержится в подпространстве Т, отличном от S и V;
б) для любого вектора а, не лежащего в S, любой вектор х однозначно представляется в виде x—y-j-aa, где y£S.
1853*. Доказать, что если две линейные функции 1г(х) и /2(х) на линейном пространстве V (необязательно конечномерном) имеют одно и то же ядро S, то /1(х) = Х/2(х), где X — число, отличное от нуля.
1854*. Применяя метод Якоби вычисления угловых миноров, определить аффинный класс поверхностей в трехмерном пространстве:
а) х|-|-2х|— х|-|-2х1х2-|-2х1-|-2х2 = 0;
б) xj-j-xl-j-2x1x2-j-2x1x3-i-2x1-j- 1 =0.
1855. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно определенна, то и квадратичная форма
а) с обратной матрицей Л-1;
б) со взаимной матрицей А положительно определенна.
1856*. Пусть /(х)—квадратичная функция на n-мерном действительном линейном пространстве Vn. Вектор х0 называется изотропным, если /(хо) = О. Доказать, что если функция /(х)— знакопеременная, т. е. существуют векторы хР х2 такие, что /(х1)>0, / (х2) < 0, то существует базис, состоящий из изотропных векторов. Указать метод построения такого базиса.
1857*. Изотропным (или нулевым) конусом квадратичной функции f(x) называется множество К всех изотропных векторов (задача 1856). Доказать, что изотропный конус квадратичной функции f (х) на n-мерном действительном пространстве Vn тогда и только тогда будет подпространством, когда /(х) знакопостоянна, т. е. или /(х)^>0 для всех х, или /(х)<С0 для всех X.
1858*. Пусть /(х)—квадратичная функция на и-мерном действительном линейном пространстве Vn, г—ранг, р и q — положительный и отрицательный индексы инерции этой функции. Доказать, что максимальная размерность линейных подпространств, входящих в изотропный конус К (задача 1857), равна:
a) min (/?, q), если f (х) невырождена (т. е. г — п);
б) п — max(p, <7)=min(p, q)-}-n—г, если f (х) — любая (вырожденная или невырожденная).
1859*. Пусть /(х)—квадратичная функция с теми же свойствами, как и в предыдущей задаче. Доказать, что максимальная размерность линейного многообразия Р, входящего в поверхность второго порядка S, заданную уравнением /(х)=1, равна:
a) min(p—1, q), если /(х) невырождена;
б) min(p—1, q)-\-n — r = n— max(p, в общем случае.
1860. Пользуясь задачами 1858 и 1859, найти максимальную размерность линейных многообразий, содержащихся в следующих поверхностях второго порядка (если размерность пространства не указана, она считается равной наибольшему номеру координат; размерность пустого многообразия считается равной — 1):
а) xi + x2—х1'~^ (однополостный гиперболоид); б) x‘j — х| — •—х| — 1 (двуполссгный гиперболоид); в) х|—х2—г) XjX2=l;
д) Х]Х2=1 (в трехмерном пространстве); е) х^^^О; ж) XjX2 —О (в n-мерном пространстве); з) х2—х2 — 1; и) х2— х2— ... —х2 = 1;
к) -4+ ••• + х2п_г — х2 = 1; л) х2 + х2 — х| — х2 = 1; п
м)2 (-i)ft_14 = 1-
k— 1
1861*. Левым ядром (или левым нулевым пространством) билинейной функции b (х, у), заданной на линейном пространстве V, называется множество Lo всех векторов х £ V, для которых b (х, у) — О для всех y£V. Аналогично определяется правое ядро Lo-
Доказать, что а) левое и правое ядра — подпространства; б) в n-мерном пространстве левое и правое ядра имеют одинаковую размерность п—г, где г — ранг Ь(х, у), т. е. ранг ее матрицы в каком-нибудь базисе.
1862. Найти базис левого и правого ядра (нулевого пространства) Ло и i-o (задача 1861) для билинейной формы Ь(х, у) = х1у1-|--|- 2xjy2 -j- Зх2у4 4- 6х2у2 и показать, что Lq^Lq-
1863*. а) Доказать, что для симметрической и кососимметрической билинейных функций левое ядро совпадает с правым;
б) привести пример билинейной функции в n-мерном пространстве, которая не является ни симметрической, ни кососимметрической, но для которой левое ядро совпадает с правым.
1864*. Доказать, что ненулевая кососимметрическая билинейная функция в трехмерном пространстве представляется в виде b (х, у) = = а(х)Ь(у) — а(у)Ь(х), где а(х) и Ь(х) — линейные функции.
1865*. Пусть Ь(х, у) — билинейная функция и L — ^-мерное подпространство в n-мерном пространстве V„. Обозначим через L* множество всех векторов у £ V„ таких, что b (х, у) — 0 для всех x£L. Доказать, что:
a) L* — подпространство;
б) если />(х, у) невырождена (т. е. ранг равен п), то размерность L* равна п—k;
в) если b (х, у) имеет ранг г < п, то размерность L* больше или равна шах(п—k, п—г).
1866*. Пусть Ь(х, у)—ненулевая кососимметрическая билинейная функция в n-мерном линейном пространстве V„. Доказать, что существует базис, в котором д(х, у) запишется билинейной формой следующего канонического вида:
(х, у) — х4у2 x2yj -|- х3у4 х4у3 —|- ... —1~
+ Х2Л-1У2Л---х2лУ2й-р
Найти канонический вид кососимметрической билинейной формы (задача 1866) и невырожденное преобразование неизвестных, к нему приводящее, для следующих форм:
1867. b(x. j) —х^ —х2у14-2(х1у3 —ХзУ^ —х,у4+х4у1 — — 3(х2у4—х4у2).
1868. b (х, у) = хгу2 — х2у14- 2 (%!у3 — х3уt) + 4 (х2у4 — х4у2).
1869*. Пусть /(х)— квадратичная функция в «-мерном евклидовом пространстве Vn, Доказать утверждение: для того чтобы конус К с уравнением /(х) = 0 (задача 1857) содержал ортонормированный базис пространства V„, необходимо и достаточно, чтобы след матрицы А функции /(X) в одном (а, значит, и в любом) ортонормированном базисе был равен нулю. Сформулировать соответствующее утверждение на матричном языке.
§ 25. Аффинные (точечно-векторные) пространства
Определение1). Пусть дано множество 91 элементов А, В, С ..., называемых точками, и линейное пространство V (над полем действительных чисел или над любым полем Р) с элементами х, у, г, ..., называемыми векторами. Пусть, далее, каждой упорядоченной паре точек А, В (различных или совпадающих) поставлен в соответствие единственный вектор ,х = АВ, причем для этого соответствия выполняются следующие две аксиомы:
I) для любой точки А и любого вектора х существует единственная точка В такая, что АВ—х;
II) для любых (необязательно различных) трех точек А, В, С имеет место равенство АВ 4- ВС = АС.
Множество 91 вместе с таким соответствием называется аффинным п рост ранством.
Если V = Vn есть «-мерное линейное пространство, то и 91 называется .«-мерным аффинным пространством и обозначается через 91л. Если V бесконечномерно, то и 91 называется бесконечномерным. Если линейное пространство V является евклидовым, то и точечно-векторное пространство 91 называется евклидовым. В этом случае расстояние между точками А и В равно длине вектора aS и угол АВС равен углу между векторами ^ВА и ВС'.
Замечание. Любое линейное пространство V можно рассматривать как аффинное. При этом множество 9( совпадает с V, так что векторы рассматриваются также как точки. Говорят также, что вектор х задает некоторую точку аффинного пространства. Сопоставление упорядоченной паре точек вектора, указанное в определении, в данном случае состоит в том, что упорядоченной паре точек х, у из V соответствует вектор z = у — х. Отсюда по х и z однозначно определяется у, что доказывает аксиому I. Аксиома II сводится к очевидному равенству (у— х) + (г—у) = г— х. Такое отождествление точек и векторов принято в §§ 16—19 этой книги.
Плоскостью аффинного пространства 91, проходящей через точку А и имеющей направляющим подпространством L, называется множество л всех точек М из 91, для которых вектор AM принадлежит L. Размерностью плоскости те называется размерность ее направляющего подпространства L.
>) Приведенное здесь определение аффинного пространства взято (с небольшими изменениями) из книги Н. В. Ефимова, Высшая геометрия, изд. 4, Физматгиз, 1961, § 179.
Одномерные плоскости называются прямыми, а (л — 1)-мерные плоскости n-мерного пространства— гиперплоскостями.
Jipe плоскости К] и л2 называются параллельными, в символах ||л2, если они не пересекаются (т. е. не имеют общих точек) и направляющее подпространство одной из них содержится в направляющем подпространстве-другой (или совпадают с ним).
Если выбрать некоторую начальную точку О £91, то любая точка М однозначно определяется вектором ОМ и обратно. Вектор ОМ называется. радиусом-вектором точки М. Плоскость л, проходящая через точку А и имеющая направляющее подпространство L, состоит из всех точек М, радиусы-векторы которых определяются из равенства О%[ — ОА -|- х, где х££. Если считать точками векторы из V, то плоскость определяется из равенства л = х04-£, где х0 = 61. Таким образом, в этом случае понятие плоскости совпадает с понятием линейного многообразия из § 16. Плоскости, проходящие через точку О, будут совпадать с подпространствами.
Аффинная система координат «-мерного аффинного пространства 91п состоит из точки О £91,» называемой началом координат, и базиса; еъе2, ..., еп соответствующего линейного пространства V„. Координатами точки М £91п называются координаты ее радиуса-вектора О& в данном базисе, т. е. числа xh х2, ..., хп, удовлетворяющие равенству
ОМ — Х\Сх х2е2 -f- ... хпеп.
Пусть Л-мерная плоскость л действительного «-мерного аффинного пространства проходит через точку А с координатами х°, х$, .... х® и имеег определяющее подпространство L с базисом из векторов, заданных их координатами
с/ = (с‘, 4 ..., 4) (/=1, 2, .... k).
Тогда координаты любой точки М£т. определяются равенствами:
xi ~ x°i + + ••• 1> 2, •••• ”)• (1>-
Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоскости л. Параметры 1Ъ t2, ..., th принимают любые действительные значения.
Ту же плоскость л можно задать «— k линейно независимыми уравнениями вида п
у, atjXj = (i = 1, 2, ..n — k). (2)
7 = 1 n n
Здесь bt = 2 atjXj и однородные уравнения 2 aijxJ = О (1=1, 2, ... i=i y-1
..., « — k) задают подпространствоL. Уравнения (2) будем называть общими уравнениями плоскости л.
Уравнения прямой, проходящей через две точки А (4 4..., 4) и. в (4 Уг.....4). имеют вид:
Х1 = + * (Я—*г) (' = 1,2......«). (3>
Здесь I пробегает все действительные числа.
Отрезком АВ называется множество точек М, координаты которых получаются из равенств (3) при условии Точка М, делящая
отрезок АВ в отношении X =/= — 1, определяется в векторной форме условием А%1 = }.МВ или в координатах
1870*. В аффинном пространстве даны четыре различных точки А, В, С, D. Точки К, L, М, N делят отрезки АВ, ВС, CD, DA в одинаковом отношении — #=— 1. Доказать, что: п
а) если ABCD — параллелограмм, то KLMN— параллелограмм;
б) если KLMN — параллелограмм и т =/= п, то и ABCL — параллелограмм.
1871. Доказать, что паре совпавших точек соответствует нулевой вектор, т. е. АА = О.
1872. Доказать, что АВ~ — ВА.
1873. Доказать, что любая плоскость я аффинного пространства сама является аффинным пространством, размерность которого равна размерности я.
1874. Доказать, что плоскость я, проходящая через точку А с направляющим подпространством L, не зависит от выбора на ней точки А, т. е. совпадает с плоскостью я'; проходящей через точку А' из я, с тем же направляющим подпространством L.
Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими уравнениями:
1875. х^ -j- х2 — 2х3 —Зх4 = 1, х4 —2х2 — -*з “1“ 2х4 = 3, X] — х2 — 4х3 + 5х4 — — 3.
1876. 2xj — х2-|-х34-2х44-Зх5 = 2, 6xj — 3x2—1~ 2х3 —4х4 -1— 5х3 = 3, 6х, — Зх2-|-4х3-|-8х4-|- 13xs— 9, 4Xj — 2х2-|- х3-[-х4-|- 2х5 = 1.
Найти общие уравнения плоскости, заданной параметрическими уравнениями:
1877. x1 = 2--j-f1-j-t2, х2= 1 4-2^1-{-^2, х3 = — 3 -(-£] -|- 2t2, х4 — з 4~ 3fj -|-12, хъ — 1 4-3^2.
1878. Xj = 1
Х2 = 2 +^2"
Х3 :=zr 5 -j- 3^2»
Х4 = 3 -|- 2t ] t2,
xs = 1 -|- 3fj - 2t2.
1879. Доказать, что через любые две различные точки А, В аффинного пространства проходит единственная прямая.
1880. Доказать, что через любые три точки А, В, С аффинного пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная двумерная плоскость.
1881. Доказать, что через любые А-|-1 точек До, Av А2...Ak
аффинного пространства, не лежащие в (k—1)-мерной плоскости, проходит единственная Л-мерная плоскость.
1882. Указать все случаи взаимного расположения трех различных плоскостей трехмерного пространства, заданных общими уравнениями: ахх 1\у <\z — dv
а2Х Ч~ ^2У Ч~ C2Z — ^2> азх Ч- ^зУ Ч~ C3Z = ^з>
и для каждого случая дать необходимое и достаточное условие с помощью понятия ранга матрицы.
1883. С помощью понятия ранга матрицы охарактеризовать все случаи взаимного расположения двух прямых трехмерного пространства, заданных общими уравнениями:
aYx -j- bxy -|- cxz = dv а2х Ь2у Ц- c2z — d2, и
аЗх Ч~ &зУ Ч- C3Z — ^3' а4х Ч~ ^*У 4“ C4Z ~
1884. С помощью понятия ранга матрицы описать все случаи взаимного расположения двух двумерных плоскостей четырехмерного пространства, заданных общими уравнениями:
4
2вух;=»( (4=1, 2) (1)
7-1 и 4
^а1}х} = Ь1 (7 = 3,4). (2)
7-1
1885. Описать все случаи взаимного расположения двух гиперплоскостей n-мерного аффинного пространства, заданных общими уравнениями: + • • • +апхп = с и Ьххх + Ь2х2 Ч-•.. Ч~=
1886*. Доказать, что если пересечение л множества (конечного или бесконечного) плоскостей ла аффинного пространства непусто, то js является плоскостью.
1887. Доказать, что две плоскости n1 = a1-f-^i и эт2 = а2Ч~^2 тогда и только тогда пересекаются, когда вектор а}— а2 принадлежит подпространству -ф- L2.
1888*. Доказать, что плоскостью, ’«-мерного аффинного пространства, отличная от точки, тогда и только тогда параллельна любой •не пересекающей ее плоскости л2, когда л, является гиперплоскостью (т. е. имеет размерность п— 1).
1889*. Доказать, что две непересекающиеся гиперплоскости л, и =л2 и-мерного аффинного пространства тогда и только тогда параллельны, когда они лежат в плоскости л3, имеющей размерность на единицу большую, чем большая из размерностей л, и л2.
1890*. Доказать, что через любые непересекающиеся плоскости л, и л2 «-мерного аффинного пространства можно провести параллельные гиперплоскости л, и л'.
1891. Пусть л, = «,-)-£, и л2 = а24-Дг—непересекающиеся плоскости конечномерного аффинного пространства. Найти плоскость л3 наименьшей размерности, содержащую л, и параллельную л2.
1892. Доказать, что если плоскость Ло аффинного пространства параллельна каждой из плоскостей ла и пересечение л плоскостей ла непусто, то л есть плоскость, параллельная л0.
1893. Выразить условие параллельности двух плоскостей «-мерного аффинного пространства, заданных общими уравнениями, с помощью понятия ранга матрицы. п
1894. Гиперплоскость, заданная общим уравнением =
/=1
разбивает «-мерное аффинное пространство на два полупространства, состоящие из точек, координаты которых удовлетворяют одному из п п
неравенств 2 aixt Ь или У «Рч -С Доказать, что каждое из этих
«=1 «=1
полупространств является выпуклым множеством.
1895*'). Многогранник Р задан как выпуклое замыкание системы точек четырехмерного аффинного пространства, заданных координатами:
0(0, 0, 0. 0), Л(1, О, 0, 0), В(0, 1, О, 0), С(1 1, О, 0), 0(0, 0, 1, 0). Д(0, О, 0, 1), 0(0, 0, 1, 1).
а) Написать систему линейных неравенств, задающих многогранник Р-,
б) найти все трехмерные грани этого многогранника.
1896. Решить задачу, аналогичную предыдущей задаче, для точек:
0(0, 0, 0, 0), Д(1, 0, 0, 0), 0(0, 1, 0, 0),
С(0, 0, 1, 0), 0(1, 1, 0, 0), 0(1, 0, 1, 0),
0(0, 1, 1, 0), 0(1, 1, 1, 0), 0(0, О, 0, 1).
•) Задачи 1895—1898 указал автору Э. Б. Винберг.
1897. Найти вершины и форму многогранника Р трехмерного-пространства, заданного системой неравенств
1, Х2< 1, Х3< 1, Х2Н-Х3> —1, Xj-|-x3> —1. Jf!-|-X2>—1.
1898. Найти форму и вершины сечений четырехмерного куба, заданного в ортонормированной системе координат неравенствами 0-^Xj-^l, Z=l, 2, 3, 4, плоскостями:
a) x,-fx2 + x3-|-jc4= 1; б) х,4-х24-х3 + х4 = 2;
в) Xj-|-х2-|-х3= 1; г) х2 — х3= 1.
1899*. В трехмерном аффинном пространстве ?(3 над полем Z2. из двух элементов 0 и 1 найти: а) число всех точек; б) число всех прямых; в) число всех плоскостей; г) число точек, лежащих на одной прямой; д) число прямых, проходящих через одну точку; е) число-точек, лежащих на одной плоскости; ж) число плоскостей, прохо-дящих’через одну точку; з) число прямых, лежащих на одной плоскости; и) число плоскостей, проходящих через одну прямую; к) числа прямых, параллельных данной прямой; л) число плоскостей, параллельных данной плоскости; м) число прямых, параллельных данной плоскости; н) число плоскостей, параллельных данной прямой; о) число прямых, скрещивающихся с данной прямой.
§ 26. Тензорная алгебра1)
Приведем основные понятия и свойства, которые предполагаются известными из курсов лекций. Доказательство некоторых из указанных свойств предлагается в качестве задач в этом параграфе.
Пусть в n-мерном линейном пространстве Vn (действительном, комплексном или над некоторым полемР) даны два базисаег, е2.еп и еье'2,егГ
Эти базисы связаны равенствами:
е1 = с1е1 + с1е2 + • • • + с1еп> е2 = + £2е2 + • - + с"еп>
< = с^1 + ^в2+--.-+сХ
или в сокращенной записи
ei = c1ek (‘ = 1. 2.....и). (1)
’) Ряд задач этого параграфа указан Н. В. Ефимовым и Л. А. Скорняковым в связи с курсом «Линейная алгебра и геометрия», читавшимся ими на механико-математическом факультете МГУ с 1964 года.
В частности, определение тензорного произведения и применение к нему понятия свертки (см. введение и задачу 1918) взяты из курса Н. В, Ефимова.
Здесь и ниже по индексу, стоящему как сверху, так н снизу, предполагается суммирование в пределах от 1 до п.
Введем матрицу перехода
4 4.. 4
4 4.. 4
4 4... 4
по столбцам которой стоят координаты векторов второго базнса в первом '). Тогда формулы (I) в матричной форме запишутся одним равенством
(4. 4- •••• <) = («!• «2.*л)с-
Координаты вектора х в первом базисе выразятся через координаты того же вектора во втором базисе при помощи строк матрицы С по формулам: xk = cfx'1, k = l, 2, .... п. Отсюда координаты х'1 выразятся через х* в виде:
х1 = й\х\ Z = 1, 2, .... и. (2)
4 d2...di
Введем матрицу D = «СМ см см . —1 см . , по столбцам которой стоят коэф-
е е см е — е
фнциенты в выражениях хп через xk. Тогда формулы (2) в матричной форме запишутся равенством
(х'1, х'2...х,п) = (х1, х2....xn)D.
Так как, с другой стороны, (х1, х2....х") = (х'1, х'2, ,х'")С*, то
матрицы С и О связаны равенством
D = (C*)-1- (3)
Здесь и ниже звездочкой обозначена транспонированная матрица. Если обе матрицы С и D писать из коэффициентов формул (1) и (2) не по столбцам, а по строкам, то эти матрицы заменятся на транспонированные и равенство (3) не изменится.
Закон изменения, аналогичный изменению базиса по формулам (1), называется ковариантным, а закон изменения по формулам (2) — контра-вариантным. Величины (или другие объекты), связанные с базисом и изменяющиеся коварнантно, называются ковариантными и обозначаются нижними индексами, а изменяющиеся контравариантно называются конт-равариантными и обозначаются верхними индексами.
Тензором в n-мерном линейном пространстве называется такое соответствие, при котором каждому базису пространства соответствуют прлч чисел a{'i2...i4 отмеченных р нижними и q верхними индексами и изменяющихся
’) Если матрицу перехода писать не по столбцам, а по строкам, то формулы, использующие матричное умножение, изменятся, формулы же (1), (2) и другие, не использующие умножения матриц, останутся прежними.
с изменением базиса ковариантно по нижним и контравариантно по верхним индексам. Эти числа называются координатами тензора в данном базисе, а число p-\-q— валентностью тензора. Говорят также, что данный тензор является р раз ковариантным и q раз контравариантным, или тензором типа (р, q).
По определению тензора его координаты в двух базисах
®1> еп н е1’ е2’ • • •> еп<
связанных равенством (1), сами связаны равенством
«Т2
•lp ‘1 *2 'р ‘1 *2 lQ Я1В2"’ rp
(ij, ..., ip, Ji, ..., jg=\, 2, ..., n).
(4)
Здесь, как обычно, по всем индексам ks и lt предполагается суммирование в пределах от 1 до п.
Тензор можно определить иначе, как геометрический объект, связанный с линейным пространством Vn. Для этого рассматривают сопряженное пространство Vn. Его векторами являются линейные функции ф (х), заданные на данном пространстве Vn при обычных операциях сложения двух функций и умножения функции на’число. Пространство Vn также n-мерно, причем каждому базису еь е2......еп пространства У„ соответствует единственный базис е1, е2.............е" сопряженного пространства V*, называемый сопряженным
(или взаимным) базисом для данного базиса пространства Уп и связанный с ним равенствами
el (ej) = б‘- (i, j = 1, 2..п), (5)
где бу — символ Кронекера, равный 1 при i = j и 0 при I ¥= j.
Если базис е, преобразован по формулам (1), то сопряженный базис е‘ преобразуется по формулам
е'1 = dkek (z = l, 2......п).
Между всеми полилинейными функциями
F хг.......Хр, «р1, ф2, .... ф«)
от р векторов из Vn и q векторов нз V* и всеми тензорами типа’ (р, q) на У„ можно установить следующее взаимно однозначное соответствие, изоморфное относительно операций сложения, умножения и умножения на число.
Полилинейной функции, написанной выше, соответствует тензор, координаты которого в базисе еь е2......еп пространства V„ определяются ра-
венствами:
‘ч--...................
(А.....ip. J\, = K 2.....n).
Наоборот, тензору с координатами в/1/2.’’’/9 в базисе е1( е2..еп со-
ответствует полилинейная функция, определенная равенством
х2....Хр, ф>, ф2.....ф«) =
(7)
где х', х2,..., х] — координаты вектора xs в базисе еь е2, еп и и\, и2,.... — координаты вектора ф* в сопряженном базисе е1, е2,еп-
При этом значение полилинейной функции на данных векторах не зависит от выбора сопряженных базисов в У„ и Vn.
Ввиду указанного соответствия тензоры на пространстве У„ можно определить независимо от базиса как полилинейные функции от векторов пространства V„ и сопряженного пространства V„.
Пространством с квадратичной метрикой называется л-мерное действительное линейное пространство Мп, в котором задана невырожденная симметрическая билинейная функция g (х, у), называемая метрической функцией. Если соответствующая ей квадратичная функция g (х, х) положительно определенна, то пространство с квадратичной метрикой является евклидовым пространством и будет обозначаться через Еп. В этом случае вместо g (х, у) будем писать просто (х, у) и называть значение этой функции скалярным произведением векторов х и у.
В пространстве М„ каждому базису elt е2, .еп соответствует единственный взаимный базис е1, е2, .... е", связанный с данным базисом равенствами
g (et, = 2....л). (8)
Каждый вектор х из пространства М„ разлагается по базисам и е1, т. е. х = xlei = xfi1. При изменении базиса в/ по формулам (1) координаты х1 в этом базисе изменяются по формулам (2), т. е. контравариантно, и называются контравариантными координатами. В то же время взаимный базис преобразуется по формулам
е'1 = (i = 1, 2, ..л), (9)
а координаты х/ в этом базисе — по формулам
х\ = c*xft (f=l, 2, ..л), (10)
т. е. ковариантно, и называются ковариантными координатами.
При фиксированном векторе у £ Мп функция (х) = g (х, у) является линейной функцией от х, т. е. элементом сопряженного пространства Мп. Соответствие у -> <Ру (х) является изоморфным отображением Мп на Afn. Отождествляя элементы этих пространств, соответствующие друг другу при этом изоморфизме, можем считать, что пространство Мп, сопряженное с пространством с квадратичной метрикой М„, совпадает с Мп. В частности, это верно для евклидова пространства Еп.
В пространстве с квадратичной метрикой Мп одну и ту же полилинейную функцию от г векторов из Мп можно рассматривать как тензор типа (р, q), где p-{-q = r и р = 0, 1, 2, ..., г. Для этого, выбрав одно из возможных значений для р, определяем координаты тензора в данном базисе Ci по формулам, аналогичным (6), где е1 — взаимный базис, связанный с базисом Ci формулами (8). Обратно по данному тензору типа (р, q) значение соответствующей полилинейной функции на данных векторах определяется формулой, аналогичной (7). При этом в формулах (6) и (7) под <р*, ф2, ..., ф9 надо понимать векторы из того же пространства Мп.
В частности, метрической функции g(x, у) соответствуют два тензора •с координатами
gtj = g<ei. ej) glJ = g^. ei)
(4 /=1, 2,.л);
(i. J=l, 2, .... n),
(11)
(12)
«взываемые соответственно ковариантным и контраварнантным метрическими тензорами. Эти тензоры соответственно типа (2, 0) и (0, 2). Кроме того, той же функции g (х, у) соответствует третий тензор типа (1, 1), координаты которого определяются формулами (8) и не зависят от выбора базиса е/.
Значения метрической функции g(x, у) определяются любой из трех формул: (
g(x, у) = gtjXlyi, (13)
g(x, y) = g‘Jxiyj, (14)
g(x, у) = х1У1. (15)
В частности, в евклидовом пространстве аналогично вычисляется скалярное произведение (х, у»).
Пусть в евклидовом пространстве рассматриваются только ортонормн-роваииые базисы. Тогда матрица С из коэффициентов формул (1) ортогональна, нз равенства (3) получаем D = С, матрицы из коэффициентов формул (1) и (2) будут взаимно транспонированными, взаимный базис совпадает с исходным, ковариантные координаты совпадают с контравариантными и матрицы метрических тензоров gy н gli превращаются в единичную матрицу. В этом случае все тензоры типов (р, q), соответствующие данной полилинейной функции от p-\-q аргументов, совпадают. Отличне ковариантных и контравариантных валентностей тензора теряет значение. Поэтому все индексы можно писать снизу, сохраняя нужные знаки суммирования.
Пусть в евклидовом пространстве Еп дан любой базис elt е2, ..., е„; обозначим через g определитель матрицы G = (gy) ковариантного метрического тензора в данном базисе. Так как g (х, х) — положительно определенная квадратичная функция, то g > 0.
Дискриминантным тензором (ковариантным) евклидова пространства Еп называется такое соответствие, при котором каждому базису соответствует система чисел (координат тензора), заданных формулами:
е/,/2-/л = (-1)^?> (»6)
где s — число инверсий в перестановке iu i2, .... in н ег =0, если хотя бы два из индексов одинаковы. В частности, £12...П = РГ1Г > 0.
Координаты дискриминантного тензора при переходе к новому базису с той же ориентацией меняются как у п раз кавариантного тензора, а при переходе к базису с противоположной ориентацией дополнительно меняют знак.
Аналогично определяется контравариантный дискриминантный тензор е‘1<2 "1".
Ориентированным объемом параллелепипеда Q, построенного на векторах Хь х2, ..., х„ пространства Еп, называется число, определенное в данном базисе е/ формулой
Ve(xb х2....x?) = /g •dete(x11 х2.....х„), (I7)
где V~g > 0 и dete (X], х2 хп) — определитель из координат векторов X), х2...хп в данном базисе. С помощью дискриминантного тензора
ориентированный объем выражается формулой
Ve(Xi,x2.....x„) = E(jZ2...f x{ix‘2„ х'л, (18)
где Xj—s-я координата вектора х; в данном базисе.
Ориентированный объем обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы хг линейно зависимы. Для линейно независимых X/ его абсолютная величина равна объему параллелепипеда Q и он положителен или отрицателен, смотря по тому, является ли система векторов Хь х2 хп одинаково илн противоположно ориентированной с базисом еь е2 е„.
Тензорное произведение. Пусть V и V — два линейных пространства над одним н тем же полем Р. Рассмотрим упорядоченные пары хх' векторов, где х £ К х' £ V', и формальные конечные суммы таких пар XjXj —|- ... -\~xkx'k. Определим отношение эквивалентности этих сумм по правилам: 1) две суммы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, эквивалентны; 2) пары (ах)х' и х(ах'), где aQP, эквивалентны; 3) пара (x-f-y)x' эквивалентна сумме пар xx'-f-yx' и пара х(х'-)-у') эквивалентна сумме пар хх' -f-xy'.
Две суммы эквивалентны, если от одной из них можно перейти к другой путем применения указанных правил ко всей сумме или ее части в конечном числе. Это отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично н транзитивно. Поэтому все суммы разбиваются на классы эквивалентных сумм. Пусть Т—множество этих классов. Введем в Т операции сложения н умножения на элементы поля Р через операции над представителями классов. Суммой двух сумм называется сумма, полученная припиской к первой сумме слагаемых второй суммы. Умножение суммы на а£Р определим как умножение на а первых элементов всех пар данной суммы. Например, а (хх' 4-уу') == (ах) х' + (ау) у'.
Множество Т при этих операциях является линейным пространством над полем Р. Оно называется тензорным произведением пространств V н V' и обозначается через УХ V'. Если V и V' конечномерны, то и VX V' конечномерно и его размерность равна произведению размерностей V и V. Если еь е2, ..., еп — базис V и е{, е2, .... е'п, — базис V', то система классов эквивалентных сумм, содержащих упорядоченные пары
e^'j (i = 1, 2, .... п; У=1, 2, .... п'), (19)
является базисом пространства УХ V' (см. задачу 1918).
Аналогично определяется тензорное произведение любого конечного множества линейных пространств.
Тензоры типа (р, q), заданные на пространстве Vn, можно рассматривать как векторы пространства Т, являющегося тензорным произведением q пространств Vn н р сопряженных пространств Уп. Для этого берем базис elf е2, ..., еп в Vn и сопряженный базис е1, е2, еп в Vn. Тогда упорядоченные системы
...е,е'е^..еР, (20)
•Ч >2 Jq
где все индексы изменяются от 1 до р, составляют базис пространства Т. Вектор t нз Т выражается через этот базис в виде
t = a^-2 \Qe t е ,• ...е f е1ег ... е р»
ц‘2 р 'I 72 'q
Его координаты, т. е. числа а/1/2 будут координатами тензора типа 12 *р
(р, q) в базисе eh е2, ..., еп в смысле первого определения тензора.
1900. Доказать, что для любого базиса еь .... еп «-мерного линейного пространства Vn существует единственный сопряженный базис е\ .... еп сопряженного пространства Vn, т. е. базис, связанный с данным базисом условиями eJ = /=1, 2, .... я),
где б/ — символ Кронекера.
1901. Линейная функция ф(х) на «-мерном линейном пространстве Vn является ковариантным тензором, т. е. тензором типа (1, 0).
а) Найти его координаты cz в данном базисе et.
б) Показать, что числа а1 являются координатами <р(х) как вектора сопряженного пространства Vn в базисе е‘. сопряженном базису et пространства Vn.
1902. Координаты вектора х в данном базисе «-мерного линейного пространства V„ определяют контравариантный тензор, т. е. тензор типа (0, 1). Записать этот тензор в виде полилинейной функции.
1903. Пусть ф (х) = «jX1 -ф- а2х2 -ф-... -ф- апх" — линейная форма от координат вектора x£Vn в базисе et. Показать, что коэффициенты ataj{l, /«=1, 2. .... я) квадрата этой формы дают дважды ковариантный тензор.
1904. Назовем матрицей дважды ковариантного тензора в данном базисе матрицу
«и
Й21
°12
а22
ain
«2л
^л1 ^л2 • • ®лл
Найти закон изменения матрицы А при переходе к новому базису.
1905. Назовем матрицей дважды контравариантного тензора
в данном базисе матрицу А —
а11 а12 ... «1я
«21 й22 _ . . д2л
. Найти закон изме-
а"г ап2 ... апп
нения матрицы А при переходе к новому базису.
1906. Пусть а{ — тензор типа (1, 1) в «-мерном линейном пространстве V„. Считая I номером столбца, a J—номером строки,
получим матрицу из координат этого тензора
1 1
Ог . • . &п
2 2
а2 ... ап
а" а2 ... апп
Найти закон изменения матрицы А при переходе к новому базису.
1907. а) Показать, что символ Кронекера 6/ дает во всех базисах n-мерного линейного пространства тензор типа (1, 1). б) Записать этот тензор в виде полилинейной функции.
1908*. Пусть atj — дважды ковариантный тензор в п-мерном пространстве. Доказать, что:
а) если матрица А тензора в одном базисе невырождеиа, то она и в любом базисе невырождена;
б) элементы аР матрицы, обратной для матрицы А тензора atj (в случае, когда А невырождена), образуют дважды контравариант-ный тензор.
1909. Пусть Ах — линейное преобразование и <р(х)—линейная функция на n-мерном линейном пространстве Vn. Показать, что функция F (х; <р) = <р(Аг) есть тензор типа (1, 1), матрица которого в любом базисе совпадает с матрицей линейного преобразования Ах в том же базисе.
1910. Доказать, что элементы матрицы билинейной функции F(x, у) в n-мерном линейном пространстве образуют тензор типа (2, 0), т. е. дважды ковариантный.
1911. Доказать, что элементы матрицы линейного преобразования в данном базисе образуют тензор типа (1, 1).
1912. Пусть в n-мерном линейном пространстве V„ даны р векторов Хр х2......Хр. Выпишем координаты этих векторов в некото-
(1 2 п
П1 а\ ... а\
ром базисе по строкам матрицы
о| . . . 02
12 п
@-р &Р • • • &р
а) Показать, что числа
о >г
о*2 ... а^р «22 • • • а2р
Gp 12, .... 1р—1, 2, .... п)
являются координатами р раз контравариантного тензора, т. е. тензора типа (0, р) в данном базисе. Этот тензор называется р-вектором (при р=1— вектор, при р — 2 — бивектор).
б) Доказать, что р-вектор тогда и только тогда равен нулю, когда данные векторы хх, х2, .... хр линейно зависимы (в частности, при р > п все р-векторы равны нулю).
в) Доказать, что две линейно независимые системы из р-векторов каждая тогда и только тогда эквивалентны, когда соответствующие им р-векторы различаются множителем, отличным от нуля.
г) Показать, что если понимать под тензорами полилинейные функции (см. введение к этому параграфу), то р-вектор, заданный векторами xv х2, .... хр пространства V„, можно определить как полилинейную функцию от р векторов ф1, ф2.......фр сопряженного
*
пространства Vn, заданную равенством
ф1 (Х1) ф2 (хО ... фР (Xj)
F (ф1, <р2э = ф1 («г) ф2 (х2) ... фр (х2)
Ч>4хр)ч>2(хр) ...(рр(хр)
1913. Выяснить, как изменяются координаты тензора типа (р, q) при переходе от базиса ev .... еп к базису .... еп, полученному из предыдущего путем данной подстановки n(l) = kl (1 = = 1, 2 я); это значит, что ei = en(iy (1—1, 2....л).
1914. Найти координаты в данном базисе ех...еп тензора
типа (л, я), заданного равенством
F(Xi,
фЧ*1) ф2(Х,) ... ф"(Х1)
Хп- ф1.....ф") = Ф1 (х2) ф2 (х2) ... ф" (х2)
ф'(хя) Ф2^) ... Ф"(х„)
1915. Пусть F(хР ..., хя; ф1..ф") — полилинейная функция,
кососимметрическая как по аргументам хР .... хп, так и по аргументам ф1, .... фя. Доказать, что ее значения через координаты в данном базисе выражаются формулой
Р(Х!.......хп; ф1.......ф") =
— det (х) det (ф) • F (ех, еп; е1, е"),
где е1 — базис, сопряженный базису et, det (х) — определитель из координат векторов хр .... х„ в базисе ех.....еп и det(ф) —определитель из координат векторов ф1, ..., ф" в базисе е1.....е".
1916.....Пусть дан тензор типа (р, q) в виде полилинейной функции F(xx Хр, ф1.....Фв). Его сверткой по номерам k<^p, l-^q
называется сумма
2 F(xi......-Kfc-p ei< xk+i....xp'У1......в1, Фг+1.......... Ф?).
Показать, что свертка не зависит от базиса и является тензором типа (р—1, q—1). Предполагается, что р, 9>0.
1917. Даны симметрический тензор atj и кососимметрический тензор btJ. Найти их полную свертку а/у- Ь1^.
1918*. Для изучения тензорного произведения (см. введение к этому параграфу) удобно использовать понятие свертки в следующем смысле. Для простоты рассмотрим тензорное произведение двух линейных пространств: T=Vy^V, где V и V— линейные пространства над одним и тем же полем Р.
Сверткой суммы Xjx{ + ... -j-x^x'/,, где XigV, xi£V'(i=l, 2, .... А), с вектором ф пространства V *, сопряженного пространству V, называется вектор ctixj + ... -|- а*х* £ V , где а/ — ф (xj £ Р (1= = 1, 2......А). Аналогично определяется свертка той же суммы с
вектором ф' £ V *; она является вектором из V.
а) Доказать, что если две суммы указанного выше вида эквивалентны, то их свертки равны. Это позволяет определить свертку Ф(/)6У' для t£7\ ф£У*.
б) Для того чтобы пара хх' была эквивалентна паре 00', где О и О' — нулевые векторы соответственно из V и V, необходимо и достаточно выполнение, по крайней мере, одного из условий х — 0. х' = О'.
в) Если XjXj xkx'k — 00' и векторы х\......х^ линейно
независимы, то
xi = ... = xft = 0.
г) Классы эквивалентных сумм, содержащие пары ^£<(/ = 1, 2, .... я; /— 1, 2......я'), где ev .... еп — базис V и е'х, ..
е'п, — базис V, образуют базис Т.
1919. Доказать, что тензорные произведения линейных пространств всех многочленов от х и всех многочленов от у с коэффициентами из поля Р есть пространство всех многочленов от двух неизвестных х, у с коэффициентами из Р.
1920. Доказать, что тензорное произведение пространства многочленов f (х) степени п и пространства многочленов g (у) степени S с коэффициентами из поля Р есть пространство многочленов Л(х, у), степень которых п по х и $ по у, с коэффициентами из поля Р»
1921. Доказать утверждения:
а) для любого базиса et л-мерного евклидова пространства Еп {или пространства с квадратичной метрикой 7И„) существует единственный взаимный базис е1 пространства Еп (соответственно, М„), связанный с данным базисом равенствами (et, е}) = (I, J — 1, 2...я)
{соответственно, равенствами (8) из введения к этому параграфу);
б) взаимный базис выражается через данный базис по формулам е‘ — gtaea (1=1, 2......л);
в) данный базис выражается через взаимный по формулам et = = Siaea (1=1. 2......я);
г) метрические тензоры gt. и gli связаны равенствами gla gia = i>J {l,j = 1. 2....я);
д) если обозначить матрицы метрических тензоров через G — (jgt^" и Oj =(£*!){’, а определители этих матриц — через g' = |g'ij|" и ^1 = к/У|1Л' то gg^e, ggt=l.
1922. Доказать, что ковариантные и контравариантные координаты одного и того же вектора в данном базисе евклидова пространства связаны равенствами:
a) x/ = g/axa(i= 1, 2.....л);
б) х/ = ^‘“ха(1=1. 2......я).
1923. В прямоугольной декартовой системе координат даны два вектора:
е1==(1, 0), e2 = (cosa, sin a), sina=A0;
а) проверить, что эти векторы образуют базис;
б) найти ковариантный метрический тензор gtj в базисе еР е2;
в) найти контравариантный метрический тензор gl 7 в базисе еР е2>
г) найти выражение векторов взаимного базиса е1, е2 через базис ev е2 и их координаты в исходной прямоугольной системе;
д) написать выражение скалярного произведения (х, у) двух векторов через их координаты в базисе ev е2,
е) найти дискриминантный тензор Ец в базисе ev е2,
ж) написать выражение ориентированной площади параллелограмма, построенного на векторах х, у, через дискриминантный тензор Ец и через определитель из координат в базисе ev е2.
1924*. Пусть е2 — любой базис плоскости, g'i — контравариантный метрический тензор и Е/у- — дискриминантный тензор в этом базисе. По данному вектору х = xiel построен вектор у = yzez, где уг = == gl^Ejkxk. Выяснить, в какой мере вектор у зависит от выбора базиса и какова геометрическая связь векторов х и у.
1925. В четырехмерном евклидовом пространстве дан дважды контравариантный тензор аы. Как изменяются с изменением базиса величины btj — Eijkiaki (i, j = 1, 2, 3, 4)?
1926*. Пусть в некотором базисе л-мерного евклидова пространства Еп дан тензор aZ/-ft типа (3, 0), gtj и gl> — метрические тензоры. Определим тензор ар’ типа (1, 2) равенствами: ау = g^g^a^ (I, j, k—\, 2, ..я). Выразить aijk через ар.
1927. Трехмерное евклидово пространство определено метриче-/ i 3 1 \
ским тензором с матрицей! 3 10 11. Найти длины отрезков, отсе-\1 1 6/
j^2 ^3
каемых на осях координат плоскостью -к- -и- 1.
zoo
1928*. Метрика трехмерного евклидова пространства задана мет-/ 1 1 1\
рическим тензором gLj с матрицей 11 6 3 1. Найти площадь 5 \ 1 3 2 J
треугольника с вершинами Л(1. 0, 1), В(2, 1, 1), С(3, 1, 2) и высоту h, опущенную из С на АВ, если координаты и тензор даны в одном и том же базисе.
1929*. Трехмерное евклидово пространство задано метрическим / ! 2 1\
тензором gtj с матрицей 2 5 3 I. Найти основание перпендику-\1 3 3/
ляра PQ, опущенного из точки Р(1, —1, 2) на плоскость 4-2х3 + 2 = 0.
1930*. В четырехмерном евклидовом пространстве Е4 даны три вектора х, у, z и построен вектор и с ковариантными координатами ul = Eljklxiykzl (I — 1, 2, 3, 4), где — дискриминантный тензор в том же базисе (четырехмерный аналог векторного произведения см' задачу 1938). Доказать, что:
а) вектор и ортогонален каждому из векторов X, у, г;
б) если векторы х, у, z линейно независимы, то длина | и | вектора и равна трехмерному объему V (х, у, г) параллелепипеда, построенного на х, у, z; если же х, у, z линейно зависимы, то и — 0.
1931. Найти полную свертку gtjgli метрических тензоров л-мер-ного евклидова пространства Еп.
1932. Определим контравариантный дискриминантный тензор л-мер-ного евклидова пространства Еп формулами е*1'2 ,» = (—I)3У •
где gi — | gll [" и s — число инверсий в перестановке i2,...» Z и ei,ls "•in = 0, если хотя бы два из индексов /р 12.1„ совпадают.
Доказать, что:
а) ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах хР х2,... > хп (см. введение к этому параграфу), выражается равенствами
Ve (хР х2...хп) = / g) de^ (Хр х2,.... х„)=е'«’ ‘«xj ... х1п .
где det] (Хр х2,..., х„)— определитель из ковариантных координат векторов X!, х2,..., хп и xj — l-я ковариантная координата вектора х5;
б) - ‘^g^tgW* ... ...ал;
в) ^...^g^g^ ... gina^"an.
1933. Вычислить свертку дискриминантных тензоров трехмерного евклидова пространства.
1934. В базисе ev е2, е3 трехмерного действительного пространства дан ковариантный метрический тензор gli с матрицей
/110
G = (12 2
\0 2 5
а) Проверить, что пространство — евклидово;
б) найти матрицу Gj контравариантного метрического тензора g4\ в) найти контравариантные координаты единичного вектора нормали к плоскости, заданной в том же базисе уравнением Зх*-|-2х2— — Зх3—5 = 0.
1935*. Доказать, что квадрат ориентированного объема параллелепипеда, построенного на п векторах л-мерного евклидова пространства, равен определителю Грама этих векторов.
1936. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве даны гиперплоскость л, заданная уравнением ахх' -f- • • + о„х" -j- b = 0, и точка УИ(хо.....хо)-
а) Показать, что вектор рс ковариантными координатами ах, ..., ап перпендикулярен к плоскости л;
б) расстояние d от точки М. до плоскости л выражается формулой
I fl]Xo+• • •+йл*0 |
" -- Jm------------------•
1937*. Найти расстояние от точки /И(х0, у0) на евклидовой плоскости до прямой + — если координаты даны в базисе
^ = {1,0}, ₽2— {cos®, sin ®), sin®¥=0
(координаты векторов базиса даны в прямоугольной декартовой системе координат).
1938*. Пусть е/уй— дискриминантный тензор трехмерного евклидова пространства, х1, у1 — контравариантные координаты векторов х, у в некотором базисе. Доказать, что вектор Z, ковариантные координаты которого в том же базисе заданы формулами z2== — etaf5x“y₽(Z — 1, 2, 3), является векторным произведением х и у.
ОТВЕТЫ
Отдел I. Определители
1. I. 2. —2. 8. —I. 4. 0. 5. 0. 6. —1. 7. 4а Ь. 8. —2b*. 9. 1.10. sin (а — 0). 11. cos (а 4- Р). 12. 0. 18. 1. 14. 1. 15. —1. 16. 1. 17. 0. 18. ab — с2 — d2. 19. (a — b)2. 20. 0. 21. а2 + Ь2 Ц- с2 Ц- d2. 22. х = 3; у=—1. 23. х = 5;
2 1
у = 2. 24. х = -и-; у =-у. 25. х = 2; у =—3. 26. x = cos(0—а); О о
у — sin (Р — а). 27. х = cos а cos Р; у = cos а sin р.
28. Система неопределенна, формулы Крамера не дают верного ответа, , о
так как по этим формулам х и у равны т. е. могут принимать произвольные значения, тогда как они связаны соотношением 2х -f- Зу = 1, откуда по значению одного неизвестного определяется единственное значение другого.
29. Система противоречива.
80. При афЬ уравнение определенно, при а = с — противоречиво,
при а = b = с — неопределенно.
81. При а = kn, где k — целое число, уравнение противоречиво, при остальных значениях а — определенно.
82. При а — 2Лл, где k — целое число, уравнение противоречиво, при а = (2k -f-1) л — неопределенно, при остальных значениях а — определенно.
83. При а-|-0=£Лл, где k— целое число, уравнение определенно, при а 0 = 2кл и при а -f- 0 = (2Л1 -f-1) я,еа — k2x, где kA и k2 — целые числа, — неопределенно, при а-|-0 = (2Л1-|-1)я, а=£Л2л— противоречиво.
84. При а=£0 система определенна, при а — Ь = 0 — неопределенна, при а = 0фЬ — противоречива.
85. При ас — 62=£0 система определенна, при ас — b2 = G — неопределенна. Противоречивой она быть не может.
86. При а=/=+(> система определенна, при а —6 — неопределенна, при а= —6 — противоречива.
87. При ab^=90 система определенна, при а = 6, b — 15— неопределенна, при а6 = 90, но а =£6, b =£15 — противоречива.
39. Указание. Убедиться, что в формуле решений квадратного уравнения подкоренное выражение положительно.
40. Решение. Пусть данный трехчлен является полным квадратом, т. е. ах2 2bx -f- с == (рх -|- q)2. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим: a — p2,b = pq, с = q2, откуда ас — b2 = p2q2 — (pq)2 = 0. Пусть, обратно, ас — Ь2 — 0.
Тогда ах22bx-f~c (а2х2-f-2abxас) = [(ахЬ)г-\-(ас—fe2)] =
= — (ах-|- Ь)2 есть полный квадрат, так как из комплексного числа — можно извлечь квадратный корень.
42. Решение. Если ? при любом х, то ах 4- b = q (ex -|- d),
a—qc, b = qd w ad — be —О. Обратно, если ad — Ьс = О, то при c^Q4=d имеем — = — a = qc, b = qd. При c = O=/=d будет д = 0н, полагая
4 — снова имеем a = qc, b = qd. При c=£O — d получим то же самое, а „ ax4-b q(cx-\-d)
полагая q = —. Поэтому---- ' . = - — q при любом х.
43. 40. 44. —3. 45. ^00. 46. —5. 47. 0. 4В. 1. 49. 1. 50. 2. 51. 4. 52.-8. 53. 6. 54. 20. ,55. 0. 56. ЗаЬс — а3 — Ь3 — с3. 57. e34-fc3 + 4-е3 — ЗаЬс. 58. 0.59. 2х3 — (а -|- b 4- с) х2 -|- «ftc- 60. (ab Ьс -(- са) х -к abc. 61. 14~ as 4~ Р2 4~ V2- 62. 1. 63. sin (Р—y)4-sin(y — a)-|-sin(a— р). 64. cos2 a 4-cos2 рcos2 у = 1. 66. —2.
67. xyz 4- 2 (ace — bcf-\- adf bde) — x(e2 4~/2)—У (c2 4- d2) —z (a2 4- ft2). 66. 0. 69. —3. 70. 3z/3.
72. 4. Указание. Все шесть членов определителя не могут равняться 4-1. так как тогда произведение трех членов: ана22Лзз> Ли^гзвзь «13^21^32 было бы равно произведению трех остальных членов, в то время как первое из этих произведений равно произведению всех девяти элементов определителя, а второе — тому же произведению девяти элементов с противоположным знаком. Далее, убедиться, что определитель отличен от 5 и что
1 1
—1 1
1 —1
73. 2. Указание. Показать, что все тр» положительных члена, входящих в определитель, не могут равняться 1, н учесть, что
0 11
1 0 1 =2.
1 1 О
74. х = 3, у = —2, г = 2. 75. х = у = г=1. 76. х = 1, у = 2, z = — 1.
77. х = 2, у - —3, г - —2. 78. х = —а, у — Ь, г = с. Указание. Поло-х , У , z , жить — = х , 4- = у ; — = z .
a b J с
79. х — Ьс, у— ас, z = ab. 80. х = а, у = 2b, г — Зе. Указание.
Каждое из уравнении разделить на abc и положить — = х ; у = у ; — = г .
ы a -I- ft 4- с e4-fte24-ce а 4-be 4-се2 ,,
81. х = —L-g—I—; у =-1—д—1- ; г = —!- • Указание.
ООО
Эту систему можно решать по формулам Крамера. Проще сначала сложить все уравнения, затем сложить после умножения второго уравнения на е2, а третьего на е, и, наконец, сложить после умножения второго уравнения на е. а третьего на е2. Использовать соотношение 1 4~ е -|- е2 — 0.
82. Система неопределенна, так как третье уравнение есть сумма двух остальных н, значит, любое решение двух первых уравнений удовлетворяет и третьему. Первые два уравнения имеют бесконечно много решений, например, х и у выражаются через z так: х = Юг -|-1, у = 7г. Давая z произвольное значение, найдем значения х и у.
83. Система неопределенна.
84. Система противоречива, так как если бы при некоторых числовых значениях неизвестных все уравнения системы обращались в равенство, то,
вычитая первое равенство из суммы двух остальных, мы получили бы снова равенство. Но получается 0 = 4.
85. Система противоречива.
86. При а3 =£27 система определенна, при а3 = 27 — противоречива.
87. При 4а3—45л-£58 =£0 система определенна, при 4а3—45й4-58=0 — противоречива.
88. При ab =£15 система определенна, при а = 3, Ь — 5—неопределенна, при ab = 15, но а=^3, Ьф5 — противоречива.
89. При ай =£12 система определенна, при а — 3, Ь — 4—неопределенна, при й& = 12, но а=£3, й=£4— противоречива.
99. У казакие. Рассмотреть определитель, в котором первые две строки не пропорциональны (в частности, ни одна из этих строк не должна содержать только нули), а третья строка равна сумме первых двух, т. е. каждый ее элемент равен сумме соответствующих элементов первых двух строк.
100. 0. 101. 0. 162. 0. 163. 0. 104. 0. 105. 0. 106. 0. 107. 0. 108. 0.
109. 0. Две точки (ль У1) и (х2, у2) плоскости лежат на одной прямой с точкой, делящей отрезок между ними в данном отношении Л.
110. 0. Указание. К первой строке прибавить вторую н третью и воспользоваться формулой Виета.
120. Указ а н и е. К третьему столбцу определителя, стоящего в левой части . равенства, прибавить второй, умноженный на а -{- Ь 4- с, и вычесть первый, умноженный на ab-I-Ьс-4-са.
123. 5. 124. 8. 125. 13. 126. 18. 127. 128. .
Зп(п — 1) „ я, ,
129. -— инверсии. Перестановка четна при п, равном 4k, 4k -f-1, и нечетна при п, равном 4k 4- 2, 4^4-3, где k — любое целое неотрицательное число.
___ Зл(л4-1) „ „ , о
130.-----—- инверсии. Перестановка четна при п = 4k, 4k 4- 3 н не-
четна при n = 4k-f-l, 4k-j-2, где k—любое целое неотрицательное число.
131. п 1). инверсий. Перестановка четна при п = 4k, 4k 4- 1 и не-
четна при п = 4Хг —|—2. 4^4-3, где k — любое целое неотрицательное число.
132. --^2—~ инверсий. Перестановка четна при п = 4k, 4k 4- 3 и нечетна при n = 4k-f-l, 4k-j-2, где k — любое целое неотрицательное число.
133. Зп (п— 1) инверсий. Перестановка четна при любом п.
134. п (Зп — 2) инверсий. Четность перестановки совпадает с четностью п.
135. л (5л 4-1) инверсий. Перестановка четная при любом л.
136. В перестановке л, л — 1, л —2,..., 3, 2, 1. Число инверсий в ней равно С2 — п {п-~ . 137. Л —1. 138. л —Л. 139. С2.
14©. Для л = 4k, 4k -|-1 — одинакова, а для л = 4k 4- 2, 4k -|- 3 — противоположна. Здесь k — любое целое неотрицательное число.
141. Р е ш е н и е. Берем два любых элемента а(-, ау в данной перестановке (Z < j).
Если в данной перестановке эти элементы образуют порядок, то и в исходном расположении а/ стоит раньше ау, и индексы i, J будут образовывать порядок. Если же в данной перестановке элементы а,, ау образуют инверсию, то в исходном расположении ау стоит раньше а/, поэтому их индексы j, i также образуют инверсию.
Поэтому инверсии данной перестановки взаимно однозначно соответствуют инверсиям перестановки индексов элементов при нормальном расположении этих элементов, и значит, число тех и других инверсий одинаково.
142. Указание. В перестановке at, а2, ап элемент bt переводим на первое место, в полученной перестановке Ь2 переводим на второе место н т. д.
143. Например: 2, 3, 4, ..., п, 1 илн п, 1, 2.п — 1. Указание.
При доказательстве использовать то, что одна транспозиция может уменьшить число элементов, стоящих в перестановке правее (левее) их места в нормальном расположении, не более чем на единицу.
144. Указание. В перестановке йь а2, ..., ап элемент bt смежными транспозициями перевести иа первое место, в полученной перестановке элемент Ь2 смежными транспозициями перевести на второе место и т. д.
145. С2 -k. 14В. ±ntC2. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
147. Указание. Смежными транспозициями перевести 1 на первое место, затем 2 на второе место и т. д. Учесть, что одна смежная транспозиция изменяет число инверсий на единицу.
148. Указание. Рассмотреть ряд перестановок, начинающийся с перестановки 1, 2, .... п, полученный следующим рядом траспозиций: сначала единицу переводим на последнее место, переставляя ее с каждым числом справа, затем двойку тем же путем переставляем на предпоследнее место и т. д., пока не придем к перестановке п, п— 1, ..., 2, 1.
Утверждение можно также доказать индукцией по числу k.
149. Р е ш е и и е. Для вывода рекуррентного соотношения заметим, что если в перестановке с k инверсиями число п + 1 стоит на последнем месте, то все k инверсий образуются числами 1, 2, .... п, н таких перестановок будет (n. k); если п + 1 стоит на предпоследнем месте, то оно образует одну инверсию, а числа 1, 2, ..., п образуют k— 1 инверсий, и таких перестановок будет (п, k — 1), н т. д.; наконец, если п +1 стоит на первом месте, то оно образует п инверсий (это возможно лишь при k^ri), а числа 1,2, ..., п образуют k — п инверсий, и таких перестановок будет (n, k — п).
Располагая числа (n, k) в таблице по строкам с данным п и по столбцам с данным k, мы из рекуррентного соотношения видим, что каждое число (п+1)-й строки равно сумме п+1 чисел предыдущей строки, считая их влево от числа, стоящего над искомым числом (включая и числа, равные нулю). Выписывая для удобства отсчета мест также и нулевые значения (п. /) при />С^ и учитывая, что (1, 0)=1, (1, /) = 0 при /^1, получаем таблицу значений (n, k):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 1 3 5 6 5 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 1 4 9 15 20 22 20 15 9 4 1 0 0 0 0 0
6 1 5 14 29 49 71 90 101 101 90 71 49 29 14 5 1
Например, число перестановок шести элементов с семью или восемью инверсиями равно 101.
150. Указание. Во всех перестановках заменить данное расположение на обратное.
151. (1 4 2) (3 5). Декремент равен 3. Подстановка нечетная.
152. (1 6 3) (2 5) (4). Подстановка нечетная.
153. (I 8 2) (3) (4 6 7) (5). Подстановка четная.
154. (1 5) (2 8 6 4) (3 9 7). Подстановка четная.
155. (1 2 3 4 5 6 7 8 9). Подстановка четная.
156. (1 4) (2 5) (3 6). Подстановка нечетная.
157. (1 2) (3 4)...(2п—I, 2п). Декремент равен п. Четность подстановки совпадает с четностью числа п.
158. (1 3) (2) (4 6) (5)...(3п— 2, Зп) (Зп—1). Декремент равен п. Четность подстановки совпадает с четностью числа п.
159. (1, 3, 5, ..., 2п—1) (2, 4, 6, .... 2п). Декремент равен 2п—2. Подстановка четная.
160. (1, 2, 3) (4, 5, 6)...(3п— 2, Зп — I, Зп). Декремент равен 2л. Подстановка четная.
161. (1, 4, 7, ..., Зп —2) (2, 5, 8.Зп —1) (3, 6, 9, .... Зп).
Декремент равен Зп—3. Четность подстановки противоположна четности числа и.
162. (1, *4-1, 2*4-1,..., п* —*4~1)(2, *4-2, 2*4-2,..., nA —*4-2)... ...(*, 2*, ЗА, ..., п*). Декремент равен nk — k. Подстановка четная при четном k и при нечетных * и л. И нечетна при * нечетном и п четном.
163. /1 2'3 4 5\ 164./1 2 3 4 5\
(53421/ (3514 2/
165. /12345678 9 \
(741632589/
166. /1 2 3 4 ... 2п —1 2п \
(2143 ... 2п 2л—1/
167. /1 2 3 4 ... 2п — 1 2п\ (2 3 4 5 ... 2п 1 )'
168. /1 2 3 4 5 6 ... Зп —2 Зп —1 Зп \
(3 1 2 6 4 5 ... Зп Зп — 2- Зп — 1 /
169. /I 2 3 4\ 170. /1 2 3 4 5\ 171. /1 2 3 4 5\
(1342/' (3125 4/ (1234 5/
172. /I 2 3 4\ 173. /1 2 3 4 5\
(3 4 1 2/ U 3 4 5 1/'
176. Л. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
177. Тождественная подстановка Е. 178. X —
181. Указание. Расположить числа первой строки подстановки в возрастающем порядке и от тождественной подстановки перейти к данной путем ряда транспозиций во второй строке.
182. Указание. Для доказательства существования разложения на транспозиции в числе, равном декременту, умножить подстановку на транспозицию чисел, входящих в один цикл, н использовать задачу 180. Для доказательства минимальности числа транспозиций заметим, что при умножении на одну транспозицию декремент не может увеличиться больше чем на единицу.
183. Указание, Если Р = PiP2 ... Ps — любое разложение подстановки Р на транспозиции, то использовать равенство
Р = ( й|’ °2’ ” PiP2 ... Ps н задачи 179 и 182.
\ О], #2» • • •> *
1S4- Решение. Если X — подстановка, перестановочная с S, то SX = XS, откуда X-1SX=S. Разложим S на циклы S=(l, 2)(3,4)=Х-1 (1,2)ХХ~* (3,4)Х. Непосредственным вычислением убеждаемся, что Л"~1 (1, 2) X есть снова цикл длины 2, полученный из цикла (1, 2) заменой чисел 1 и 2 теми, которые нм соответствуют в подстановке X. Это же верно и для цикла (3, 4). Таким образом, подстановка X должна переводить циклы из S в циклы той же длины, а в силу единственности разложения S на циклы, циклы либо переходят каждый в себя, либо один в другой. Так как каждый цикл длины два можно записать двумя способами: (1, 2) = (2, 1), (3, 4)=(4, 3), то все подстановки,, перестановочные с S, будут:
186. Указание. Показать, что никакое из чисел I, 2, ..., т — I не может перейти в нуль и разные числа переходят в разные.
187. /1, ^3, 4, 5, 6, 7, 8\
U. L 6, 2, 7, 3, 8, 4/’
188. Входит со знаком минус. 189. Входит со знаком плюс. 190. Не является членом определителя. 191. Входит со знаком минус. 192. Не является членом определителя. 193. Со знаком (— I)"-1. 194. Со знаком (—!)”.
(п-1) (п-2)
195. Со знаком (—1) 2 . 196. Со знаком 1)^.
1^17. / — 5, £= 1. 198- / — 6, k — 2. 199- 0i 1024032043 013021032044
+ 4^23032^41* 200- 10х4 — 5х3. 201- Со знаком плюс. 202. Со знаком ( — 1) \ п (п-1)
203- О[ 1^22033 • ’ • 0/г/г- 204. (-1) 2 -ащЛг.п-! ... ап1. 205. 0. 207. Корнями будут числа rti, й2, а3, ап. Указание. Использовать утверждение, что многочлен степени п не может иметь более чем и различных корней. 208. х = 0, 1, 2, ..., п—1. 209. ап—я+i, n-i+i- 310. fln-i+i,п-л+i» 211. Если п четно, то число элементов на четных н нечетных местах оди^
1 2 Т7
наково и равно — Если п нечетно, то число элементов на четных местах
равно -5- (и2 + 1), а на нечетных —(п2 — 1).
212. Определитель умножится на (—1)п-1. 213. Определитель умножится п (п-1)
на (—1) 2 . 214. Определитель не изменится. 215. Определитель
не изменится. У казакие. Данное преобразование можно заменить двумя симметриями относительно горизонтальной и вертикальной средних линий и симметрией относительно главной диагонали.
216. Указание. Транспонировать определитель.
217. Указание. Транспонировать определитель.
218. п = 4/п, где /п — целое. 219. п === 4/п 2, где tn — целое.
221. Определитель умножится на (—1)".
222. Определитель не изменится. Указание. Рассмотреть общий член определителя.
223. У казаки е. Рассмотреть сумму индексов всех элементов, входящих в общий член определителя.
224. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
229. Определитель обратится в нуль.
230. Определитель обратится в нуль, если он четного порядка, и удвоится — если нечетного. У казакие. Разложить на сумму определителей по каждому столбцу.
231. Определитель умножится на (—1) ". 232. Определитель равен нулю. 283. Число таких определителей равно п! Их сумма равна нулю.
234. 0. 236. 8а 4-15*4-12с — 19<Л 237. Ча — 8*4-c-|-5d.
238. abed. 239. abed. 240. xyzuv. 243. 0.
244. У казаннe. Умножить второй столбец определителя в левой части равенства на yz, третий столбец на хг и четвертый на ху.
245. У казаки е. Используя формулы Виета, преобразовать п-й столбец.
246. У Казание. Используя формулы Виета, преобразовать п-й столбец и перевести его на (z'4-l)-e место.
247. У казаки е. Разложить по первому столбцу.
253. У казанне. Разложить по третьей строке.
256. Указание. Свести к предыдущей задаче.
257. —8. 258. —3. 259. —9. 260. 18. 261. 18. 262. 4. 263. 90.
264. 27. 265. 17. 266. -6. 267. —10. 268. 100. 269. 150. 270. 52.
271. 5. 272. 10. 273. 1. 274. 100. 275. 1.
276. -^=-. Указание. Элементы каждой строки привести к общему оо
знаменателю и вынести его за знак определителя.
п (л-1)
277. 1. 278. 9К10(КЗ —/2). 279. п! 280. n(—1) 2 .
281. Xi (х2 — а12) (х3 — а23) ,,. (хп — an_i, п).
п (л-1)
282- ( 1) ^1^2 • • • bn* 283» 2л -|— 1. 284. (Лд Л] #2 -f- • • • -j- Лд) хп.
285. ххх2 ... х„(— 4- — 4- • + — | • Указание. Из Z-ro столбца \Xj Х% ^п/
вынести за знак определителя Xi и к каждому столбцу прибавить все следующие.
286. 1. 287. n(—I)"-1. 288. (— I)"’1 (n— 1)2"“2. Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, затем последний столбец прибавить к остальным.
269. (х— 1)(х — 2) ... (х —п4-1).
290. (—1)" (х— 1) (х — 2)... (х — п).
291. а0(х — ai)(x — а2) ... (х— ап).
292. (х — а — b — с) (х — а 4- b -1- с) (х -а — b-I-с) (х-I-a-i-b — с).
293. (х2 —1)(х2 —4).
294. х2г2. Указание. Переставив две первые строки и два первых столбца, доказать, что определитель не изменится при замене х на — х.
Проверив, что при х = 0 определитель обращается в нуль, доказать, что он делится на х2. Те же рассуждения провести для г.
п— 1
295. atbn Ц (ai+ibi — albi+l). Указание. Получить соотношение 1 = 1
Ьп
Dn ~ ~i (ant>n-l --- an-lbn) Dn_t.
°n-l
296. ЛоЛ'^2^3 xn 4- а{у1Х2х3 ... xn 4- а2У1У2х3 ... xn ...
... +«пУ1УгУз ••• Уп- Указание. Получить соотношение Dn+\ = = хпОп4-ЛпУ1Уг ... Уп- Определитель можно вычислить иначе разложением по первой строке.
297. —d\d2...Un f--1---j- ... —|-. 296. d|Л2. * *^n — d\d2.. .dn—i 4*
\ в] d2 dn)
+ e,a2... dn_2— ...+(— + 1)". 299. n4-1. 300. 2n+1 —1.
кл+1____on+i ап+1___оп+1
301. --------—. 302. 9 — 2"+1. 303. 5-2"-1 —4-3"-1. 304. --------|----
3 ex р
805. Л» 4- («! 4- а2 4- ... 4- dn) хп~ *. Указание. Элементы, стоящие вне главной диагонали, представить в виде о; = 0 4~ о/-
80S. (xt а() (х2 d2),. ,(хп— dn) (14- ~ l~z—Ь ___а 4*- • • 1 х а )•
\ Ху —-di х2 — d2 хп—ап/
У казани е. Положить xt = (хг — а() <4.
307. («1 — Xi)(d2 — x2)...(dn — хп)— did2...dn. Указание. Положить в левом верхнем углу 0=1 — 1 и представить определитель в виде суммы двух определителей относительно первой строки.
308. (Xj — dtbi) (х2 — d2b2) .. .(х„ — dnbn) (J4- + ^-г-2 4- • • • 4- 5г2) •
п2-п+2
809. {п— 1)! 310. bib2 ...bn. 311. (—1) 2 2(п — 2)! 312. (—1)п-1и!
И (п+1)
313. х"4~(—1)"+1у”. 314.0. 315. (—1) 2 (n-f-l)""1. З16.(—1)"-1(п—1). 317. (2л—1) (и—I)"-1. 318. [а4-(п — 1)6](а — Ь)п~\ 319.1. 320. 1-821. {х—fti) (х — d2)...(x—ап). 822. a0x"4-ei-*"'-14” ••• 4~агг 323. - —1 1 324 пхП хП 1 325. ТТ (1—а^х).
(X-l)2 х—1’ Х-1 (X —I)2’
п(п + 1)
326. (-1) 2 [Ло_Л14_а2_...+(_1)пЛя]. 327. (-1)п-1(«-1)хп-2.
828. 1! 2! 3!... nl = ... п. 329.
Ski 330. П (Xl~~Хк)'
Ф» + ч>* ._Ф/~-Фл ц COS—2— sin
I > Л > 1
п(п-1)
аи. П (в/ — а/,). 332. 2 2
1<(<й<п+1 п>
п(п-1) ,
33S.2— П sln^sln^-
384. Ц (xt—xk)-п^< > ft >1
335. 2 Ль оа2>о • • Лд-ь о IX s n 2 Sin 2
1 < 1 < ft < n
33?.
1! 2! 3! ... (n — 1)! П «>£>»>!
п
337. (—1)" 1! 2! ... л!
(Xi — xk\
338. Ц 340.
xi—\ П <А* ~ х^'
1 1 п L > k 1
339. 1! 3! 5! ... (2л —1)!
(aibk — akbi).
341.
342. а.а2..,ап Ц
1 < i < k < л+1 в многочлене // (х, у).
343. -(-I)»-* Д xi
sin (а, — aft). n
где at — коэффициент при xl
Л >, 1 r" xif <A«)
где f (х)—
— п
(x; — xk). У к а з а н и e. Onpe-
= (x — Xi)(x — x2)... (x — xn). Указание. Разложить определитель по первому столбцу.
344. (Xj х2 4- ... 4~ хп) JI
n> I > /
делитель
.2 „n
•2
rn
• x2
1 х х% хп
1 хп ХП ••• лп
\ Z Z2 ... zn
вычислить двумя способами: разложением по последней строке и как определитель Вандермонда. В обоих выражениях приравнять коэффициенты при г"-1.
345. xtx2 ...xn (J-4-J-4- ... 4. _1_\ Д (Xl — xk).
Va‘ Х2 X"'n>l>k>l
346. /’2xct ха ... ха \ Ц (Xt — хк), где сумма берется по всем сочетаниям л — s чисел аь а2...an-s и3 чисел 1, 2....п.
347. {xtx2 ... хп • (х^ 1) (х2 1) ... (хп —1)] Ji (xi xk)*
n^l>Л>1
У к а з а н и е. /-й элемент 1-го столбца представить в виде 1 = X/ — (х;— 1) и представить определитель в виде разности двух определителей.
848. [2xtx2 ... xn — (xt — 1)(jc2 — 1) ... (х„— 1)] Ц (xz — xk).
I > 1
У Казани e. Приписать первую строку 1, 0, 0, ,.О и первый столбец из единиц, первый Столбец вычесть из остальных, единицу в левом верхнем углу представить в виде 2 — 1 н представить определитель в виде разности двух определителей относительно первой строки.
349. KJ sin —sin9 • У казакие. Восполь-
зоваться тем, что cos kq> выражается через cos <р в виде многочлена со старшим членом 2ft-1cosft<p (это можно вывести нз формулы Муавра и равенства 1 + с| + с|4- ... =2*-!).
350. 2" sin <]>! sin <р2 ... sin <р„ JJ f sin sin 2^—ф*.
Указание. Доказать, что sinЛ«р можно представить в виде произведения sin® на многочлен от costp со старшим членом 2*-1 cos*-1 <р.
351. (а -J- b + с -|- d) (а Ь — с — d)(a — b-\-c — d) (а — Ь — с -[- d).
Указание. Воспользоваться методом выделения линейных множителей.
352. (а + * + с + Д + е + / + ^ + Л)(а + * + с + й-е— / — g-h)X y,(a-}-b — c — d + e-\-f — g — h) (a-^-b — c—d — e — f + g-f-h) X X(a — b + c — d-j-e — / + £ — h) (a-b-\-c—d — e-}-f — g^-h)X X(a — b — c-\-d-\-e — f — g-{-h)(a — b — c-\-d — e + f + g— h).
353. {x ai a2 + ... + an) (x — at) (x — a2) ...(x — an). Указание. Применить выделение линейных множителей или из каждой строки вычесть предыдущую и затем к каждому столбцу прибавить все последующие.
354. О при п > 2; Dx = a.i — b}\ D2 — (Я] — a2) (b2 — b2).
355. О при n > 2; £>i = 1 -f- D2 — (*i —x2) (yi —y2).
356. О при n > 1. Указание. Разложить на сумму определителей относительно каждого столбца.
n
357. 1 + («/ + */) +
(ai~ ak)(bk — bt).
n
358. (—1)" 1—n—2**?*+ 2 (-*7 ~(Уг— У*) - Указа-
(at — ак) (bt — Ьк). У к a-
360. XyX2 ... xn
н и е. Применить результат задачи 355.
359. х”-|-хп-1 2 (а1~ М + *"-2 г=1 . . .
з а и и е. Разложить определитель на сумму двух определителей относительно
каждого столбца и применить результат задачи 354.
п
1 -J- V . ЗВ1. (я2 — 62)". Указание. Вывести z = l /
рекуррентное соотношение D2rl—(a2 — b2)D2n_2.
862. Д (ягя2л+1_г — bib2n+1_i). 363.
364. О, если n при делении на 6 дает в остатке 2 или 5; 1, если п делится на 6 или дает в остатке единицу; —1, если п при делении на 6 дает в остатке 3 или 4. Ответ можно записать иначе так:
С’+1-ЗС3„+1 + 9С5й+1-27С7п+1+ ...
Un~ 2п
У казанне. Применить метод рекуррентных соотношений, разобранный во введении к настоящему параграфу.
365. Указание. Получить рекуррентное соотношение Dn=Dn- i+^n-s-
366. 5”+1— 4Л+1. 367. где I = У—1, т. е если п
п
нечетное, то Dn = 0; если п четное, то Dn — (—I)2.
2
368. |[1 + (-1)я]. 869. О„ = -1-[С1„+1а’’ + СЗ+1а»-2(а2_4) + + С5„+1ал-4 (а2 - 4)2 + С’+1в"-6(а2 - 4)3 + .-] = «" - +
-|-С2_2ал_4—..• + (—1)* Ск_кап~2к-\- ... Указание. Первое выражение получается непосредственно методом рекуррентных соотношений; второе легко доказать методом индукции, используя соотношение С% 4- Cfi+1 = С„*}.
870. Dn = 1 [С*+1ая + С3„+1««-2 (а2 + 4) +... + С2к+'ап~2к (а2 + 4)4 + •] =+cLi«"“2+с2„_2ал-4 +... + cLZ'2‘+• • •
371. 2 cos ла = (2cosa)n — л (2 cos a)”~2 -]- п (2 cos а)”-4 —
[т1
__ .5>.. (2 cos а)”"6 + ... = (- D* С*_ к (2 cos а)л~2\
А=0
[Л1 , л ,, „
-g-J обозначена целая часть числа Указание. Равенство cos ла данному определителю доказать индукцией по л.
Далее, если £)„ —определитель данной задачи, а —определитель задачи 369 с заменой а на 2 cos а, то Dn = D°n — cosaD^p То, что коэффициенты в полученном выражении cos ла через cos а будут целыми, следует из легко проверяемого равенства —Ск_к=Ск_к— и из
того, что все члены, кроме последнего, содержат множитель 2, а последний член не содержит 2 cos а лишь при четном л, но тогда k — ~ н этот член равен 2.
872. sin ла = sin а [(2 cos а)”-1 — С^_2 (2 cos а)”-3 4~ С2 _3 (2 cos а)л-5 — вд
— C3_4(2cosa)"~7+ ...]= sin a C*_ft_1 (2cosa)n-2ft~i, где у—]
*=o л — 1 есть целая часть числа ——•
873. У казание. Применить метод рекуррентных соотношений.
374. 14-х24-х4+ ... 4-х2". 375. (—1) 2 iii-n'1-'.
376. (——2^—j. Указание. Из каждой строки вычесть следующую, все столбцы прибавить к последующему, к предпоследней строке прибавить все предыдущие и эту строку прибавить ко всем предыдущим.
877. (1 —х”)”-1.
(л —2)(л—1)
378. Эти циркулянты различаются лишь множителем (— 1) 2
879. 1.
вычесть из
Указание. Пользуясь равенством
(л\ /л—1\ in—1\ Л/ \ k / + (* —1)’
каждого столбца предыдущий, а затем из каждой строки пре-
дыдущую.
880. 1. Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче.
881. 1. Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую.
882. 1. Указание. Из каждой строки, начиная со второй, вычесть предыдущую, затем из каждой строки, начиная с третьей, вычесть предыдущую и т. д.
л (п+1)
383. (—1) 2 .Указание. Из каждого столбца, начиная со второго, вычесть предыдущий, затем из каждого столбца, начиная с третьего, вычесть предыдущий и т. д. В полученном определителе то же самое про-
делать для строк.
884. 1. Указание. Воспользоваться указанием к задаче 382.
(т “Ь п\1т 4“ п—Ц (т-\-п — р+Ц
— -— "+?--------- Указание. Поль-
/р+п\/р+п — Ч /л4~1\
\.п4-1/\. л 4-1 / \л-|-1/
(л\ и /л------1\
)= — -L jl. вынести за знак определителя из
первой строки т, из второй т 4- 1 и т. д., из последней т 4- л; из первого столбца —, из второго —и т. д., из последнего —:— . С полученным
Р Р4~1 Р~гп
определителем проделать аналогичные преобразования и т. д., пока не придем к определителю того же типа, что и в предыдущей задаче.
886. л. У к а з а н и е. Из каждой строки вычесть предыдущую, разложить по элементам первого столбца, в полученном определителе из первого столбца вычесть второй, прибавить третий, вычесть четвертый и т. д. Представить определитель в виде суммы двух определителей и показать, что ©л = ©п-i 4" 1-
887. л. Указание. Из каждого столбца вычесть предыдущий, затем из каждой строки вычесть предыдущую. Элемент 2 в левом верхнем углу представить как l-f-l и получить соотношение £>л1 = ©л_2 4~ ©л-1> где
£>'_!— определитель того же вида, что и в задаче 379, но порядка л—1.
388. (х— 1)" Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что Dn+i = (х— 1) £>„.
889. 1! 2! 3!... (л — 1)! (х — 1)л. Указание. Свести к предыдущей задаче.
890. хп — ( j j *n-i + ( 2) Хп~2 — ( 3) А'л_34_ • • • 4“(— 1)”хо-Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, показать, что Dn+i (хй, X|, .... xn) = Dn(xl — х0, х2— АГ1.хп — лгп-1)> и применить
метод математической индукции.
д.Л-1 _ -П-1
891. (— I)"-1ху---——------. Указание. Положить в правом ниж-
нем углу 0 = л: — х, разложить на два определителя и либо применить метод рекуррентных соотношений, либо найти Dn из двух равенств:
©л = -лг©л_,4-л:(-у)"-1, ©„ = —у ©„-14-У (—
392 а:(д —у)№—у(д —-у)"
л —у
393. xfMjf&> , Где f (z) = (a, - z) (a2 - z) ... (an - z).
394. Z — Z <У) , где f — г) (a2 — г) ... (a„ — z).
395. a" + ₽n. 396. 4- a +1.
tgn| + ctgӣ
897. n!(aox'l+a,x't-i + a!x'l-^+ ... +an). 898. ------
n
399.JJ(% + n —2Л4-1) или (x2 — l2)(x2 — 32) ... [x2 —(n — 1)2], ft-1
если n четное, и х (х2 — 22) (х2 — 42) ... [х2 — (л — I)2], если п нечетное. Указание. К каждой строке прибавить все следующие, из каждого столбца, вычесть предыдущий и показать, что если Dn(x)—данный определитель, то Dn (х) = (х-4- п — 1) £>„-i (х — 1).
Dn (х) — (х 4- п — 1) Dn_ 1 (х — 1).
400. О, если п > 2, Dj = ар —х; D2 = хар (а2 — 1) (1 — а). Г а2Л_1 -
401. (—1)" \хп — хп''—2---
а‘ — 1 1 1
402.
1
403.
»• * Cfi
Й] Й2
( Со 1 1
\ ab С1 с2
404.
cn
ап)
1
Р4 1-1 1 1 1
\а ' ь а4-6 d а 4- 26
а (а 4- Ь) (а + ЧЬ) ... [«4-(п —1)6]
• • • т а _|_ fj ) • Указание. Из каждой строки, начиная со второй, вычесть следующую, из первой строки вычесть последнюю и получить определитель того же типа, что и в предыдущей задаче.
“Л 2
405. i + V-g-^------- J
вать результат задачи 306.
~ п 2 “
406. 1 4- У Т~7------ I
_ Й х1~ 2а1х1_ I
407. 1—£14“^2 — £1£г£з4“ ••• +(—1)"b}b2 ... Ьп. Указание. Получить соотношение Dn=\ — b^Dn-\.
408. ( l)”-1 (£1в2а.з ... a„4- ...an-\- — 4" £162 ... bn^ian).
409. (— 1)л-,хя-2. У казакиe. Из каждой строки вычесть следующую.
410. (—1)” [(х— 1)" — х”]. Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, в правом нижием углу положить 1=х4-(1—х) и представить в виде суммы двух определителей.
n
n
411. аох”
2atx^. Указание. Использо-
У к а з а н и е. Умножить вторую строку на хл~*,
п
Ц(6г —аг)-
третью — иа хл~2 и т. д., п-ю — на х. Вынести из первого столбца х”, второго х"-1, из третьего хп~2 и т. д, из л-го х.
412.
414.
1
2”
из-
П [(«z— i < ft л
*»---------------------------, где произведение в знаменателе
П («г+м i, *=1
берется по всем i, k, пробегающим независимо друг от друга все значения от 1 до п. Указание. Из каждой строки вынести за знак определителя общий знаменатель элементов этой строки. Показать, что полученный определитель D' делится на все разности вида а( — ak и bt— bk(l=/=k). Показать, что частное от деления D' на JJ [(дг — ak) (bt— йА)] есть кои-
станта, для определения которой положить в D'
ai — — *1. аг = — Ь2.................ап = — Ьп.
Можно решить иначе, а именно: из каждой строки вычесть первую, а затем из каждого столбца вычесть первый.
П
417. - - ~~--<Ип------------ • У казаии е. Воспользоваться ука-
П (х1~ак) i, ы занием к предыдущей задаче. м [1! 2! 3! ... (л—I)!]3 4W- +1)| (п 2)! ... (2п _ I); • Указание. Воспользоваться
результатами задачи 416.
-+•••+-в! 1 ‘ at
419. ... ап (-----1-
\ flo
. Указание. Получить ре-
куррентное соотношение Dn = 4-дл) Dn_l — a2n_lDn_2 и применить
метод математической индукции.
420. Континуанта (а,а2 ... а„) равна сумме всевозможных произведений элементов а„ а2...ап, одно из которых содержит все эти элементы, а другие
получаются из пего выбрасыванием одной или нескольких пар сомножителей с соседними номерами. При этом член, получаемый выбрасыванием всех сомножителей (при четном л) считается равным 1;
(Л| Л2Л3Л4) = CL\CL2CL2CL± -|- Л3Л4 -|- Л|Л4 Л|а2 -|-1, (fl1«2asa4as) = Л|Л2Л3Л4Л5 -J- д3д4д5 -J- л1л4л5 -|- л(л2л5 4“ л(л2л3 -j- Л| -|- д3 д5, (Д|Д2аЗа4а5аб) — fl]fl2fl3fl4flSfl6 4* fl3fl4fl5fl6 4" 4“ fllfl2fl5fl6 4~ fllfl2fl3fl6 4~
4~ fl]fl2fl3fl4 4~ 4“ fl3fl6 4“ 4“ fl3fl4 4“ Л]Л4 4“ П!]Д2 4“ В
У к а з а н и е. Проверить справедливость указанного закона для конти-нуант 1-го и 2-го порядков и, предположив его справедливость для конти-нуант (л — 1)-го и (л — 2)-го порядков, доказать справедливость его для контипуант л-го порядка. Для этого вывести рекуррентное соотношение
{аха2 ...ап) = ап (аха2 ... Дл_))4-(л1Д2 ••• ап_2).
421. (С^.
424. Указание. Показать, что число инверсий в обеих строках данной подстановки равно щ + а2-}-. 4~ ₽i 4~ Рг4“- • -4-Pfe—2 (1-4-2-|-.. .-|-£).
425. 10. 426. 100. 427. 60. 428. 10. 429. —4. 430. —2. 431. 195. 432. 90. 433. 8. 434. 4. 435. 1000. 436. 12. 437. (х2 — хх) sin (у — ₽)4-4" (Уг — Уi) sin (а — у) 4" (г2 — г1) sin (₽ — «)•
438. Л2х, + B'Jx2 + С2х3 -|- 2ВСу! -]- 2САу2 4- 2ЛВу3, где А = Ьс' — Ь'с, В — са' — с'а, С — ab' — а'Ь.
439. —(ayzbxzсху). 440. —(аа' 4- ЬЬ' 4- сс'). 441. abc—
— х (Ьс 4- са + ab). 442. (х4 — х3) [(х3 — л2) (х4 — х2) — 2 (х3—лу) (х4 — л,)]. п
Ц (akka2n-k+l, 2п—ft+1 ак< 2n-k+l. a2n-ft+i, ft)-ft-1
444. (-1)" JI (Xi-Xky.
445. — 84. У к а з а н и e. Из второй строки вычесть удвоенную первую, к третьей строке прибавить удвоенную четвертую.
446. —84. 447. 98. 448. 43. 449. 81. 450. 14. 451. (— 1)” (пх + 1) хп.
452. blnb2,n^ 1 ... bni (а1п Cin)(«2n_] Сгл— i) • • • (ani —c«i)-
453.Л2"—л2«~2 (a} 4- л24-. . -+a„)2. 454. a) 6) D = (— 1)*Л12Л13.
ft+*V1)>
455. D = (—1) 1 MtM2... M[. Правило знаков иначе можно
сформулировать так: при четном I берется знак (— 1)*, а при нечетном ft(ft-i)
I — знак (— 1) 2
459. (2*+1 — 1) (3Z+1 —2Z+1) —4(2* — 1) (3* —2г). Указание. Разложить по первым k строкам и применить метод рекуррентных соотношений.
460. (аха2 ... ап) = (аха2 ... ak) (ak+,ak+2 ... an)~\-(ata2 ... flft_j)X X («ft+2«ft+3 • • ^л)- Полагая здесь п = 2k, а} = а2= ... = an = 1 и обозначая через ип п-е число ряда Фибоначчи, получим «2ft= Mft~h“ft-i' т- е-сумма квадратов двух соседних чисел ряда Фибоначчи также является числом этого ряда.
462. У казани е. Рассмотреть определитель порядка 2« матрицы, полученной из данной приписыванием снизу тех же п строк в том же порядке.
468. Указ а и и е. Разложив D по 1-й, 3-й и 5-й строкам, показать, что D = ЛД2, где А не зависит от элементов Д. Для определения А положить элементы на главной диагонали Д равными 1, а вне главной диагонали Д равными нулю.
464. У к а з а н и е. Определитель в левой части равенства разложить на сумму определителей относительно каждой строки и представить в виде
4 а1 Pz уг
2 aibJck Dijk, ГДе Dijk = а' & у7 .
t,j,n=o ak pft Yft
Показать, что последнюю сумму можно брать лишь по всем тройкам ijk, не содержащим равных чисел, разлагая определитель 5-го порядка в правой части равенства по первым трем строкам, представить правую часть в виде У aibiCjCiik, где сумма берется по всем тройкам различных чисел ijk, изменяющихся от 0 до 4. Наконец, показать, что имеет место D^k = С^к, для этого любую тройку чисел ijk свести к случаю i < j < k перестановкой строк и столбцов определителей и рассмотреть все десять возможных слу-
1 1
1
чаев. Например, До, >, 3 = а р
Y =(« + P4-Y)(P— «)(Y-«)(Y — Р)- Но
а3 р3
уЗ
и
Со, 1,з =
0
1
1 а а2
1 ₽ ₽2
1 Y Y2
= (а 4~ Р 4~ Y) (₽ — а) (у —а) (у — Р), так как
Р — — (а + ₽ + Y)-
466. Решение. Доказательство проходит по тому же плану, как и в теореме Лапласа. Покажем, что любой член произведения еМ^М2 ... Мр -есть член определителя D. Пусть сначала Af] лежит в первых k строках и первых k столбцах, М2— в следующих I строках и следующих I столбцах и т. д. Мр — в последних s строках и последних s столбцах. В этом случае подстановка (1) является тождественной и е = 4~1-
Берем произведение любых членов миноров Af1( Af2, ..., Мр в порядке возрастания первых индексов элементов. Оно содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца и, значит, по составу элементов будет членом D. Если во вторых индексах элементов члена минора М( есть а/
инверсий, то знак этого произведения будет (— l)ai+ • ' •+ар. Но индексы элементов двух разных миноров Mt и Mj инверсий ие образуют. Значит, <Т14- ... -j- Ср есть общее число инверсий во вторых индексах элементов взятого произведения, и оно будет членом. D также и по знаку. Пусть теперь миноры М[ расположены произвольно. Переведем их в рассмотренное выше положение на главной диагонали такими перестановками строк и столбцов D. Сначала первую строку минора Мь имеющую номер аь переводим иа первое место, переставляя со всеми вышележащими строками D. При этом мы совершим а( — 1 транспозиций строк, т. е. столько, сколько инверсий образует число в] в верхней строке подстановки (1) со следующими за ним числами. Затем строку с номером а2 тем же путем переводим на второе место, совершая столько транспозиций строк, сколько инверсий образует а2 в верхней строке подстановки (1) с числами, следующими за ним, и т. д. Так же переставляем столбцы D. Если в первой строке подстановки (1) о, а во второй т инверсий, то е = (—l)a+t и всего мы совершим а4"т транспозиций строк и столбцов D. Поэтому мы придем к новому определителю D',
для которого
D = eD'.
(2)
По доказанному ранее любой член произведения MtM2 ... Мр будет членом определителя D', а в силу (2) любой член произведения еМхМ2. . ,Мр будет членом определителя D.
Все члены одного и того же или двух разных произведений eAfiAf2.. ,Мр отличаются друг от друга по составу элементов и потому будут различными членами определителя D. Остается доказать, что общее число членов всех таких произведений равно п! Число миноров Мг равно С*. Если Мг уже выбран, то миноры Af2 могут лежать лишь в оставшихся п — k строках и их число (для каждого выбора Afj) равно Cln_k. При выбранных Мх и М2 число миноров М3 равно C™_k_t и т. д.; наконец, при выбранных Mt
М2, число миноров Мр равно С* = 1. Поэтому всех произведений
вида eAfjAf2 ... Мр будет
••• =
n! (n — А)! (n— k — 1)1 s’. _ nl
— A! (п —А)! ’ /! (n —fe —Z)! ml (n — k — l — m)l ’”7“ kill ml ...!s! *
Но число членов определителя D в каждом произведении еМ{М2 ... Мр равно kl ll ml ...! s!. Значит, число членов во всех произведениях еМ ,Af2.. ,Мр п!
равно -тхт,—;----г ll ml...! s! = nl.
kill ml.. Л si
467. Получим при умножении — 1 2 — 3
строки на строки: — 4 — 7 — 13 »
— 3 — 4 — 13
7 — 26 13
строки на столбцы: 12 — 35 19
17 — 52 27
— 3 1 - -6
столбцы на строки: — 3 1 - -8 ,
4 7 1
9 — 35 18
столбцы на столбцы: 13 — 47 24 .
12 — 37 17
Значения данных определителей — 5 и 10, а значения всех полученных
определителей равны —50.
468. (a2 + b2 + c2 + d2)i. 469. (a2 + b2 + c2 + </2 4- (Я + /2 . „2 1 /,2)4,
470. 0 при п>2‘ (х2— xft(y2- — У1) при г = 2. У казаки е. Пред*
ставить в виде произведения определителей:
1 xt 0 ... 0 1 У1 0 ... 0
1 х2 0 ... 0 и 1 у2 0 ... 0 ,
1 хп 0 ... 0 1 Уп о ... 0
471. О, если п > 2, sin (а, — а2) sin (₽j — р2), если п = 2.
472. О, если п > 2, sin2 (И| — а2), если п = 2.
478. О, если п > 2, —sin2^—а2), если л = 2.
474. JJ (аг — ак) (bt — Ьк).
П>1> k>l
475. Cj,C2 ... С" JJ (ак — aft (bt — Ьк).
l > A>0 л (л-1)
476. (—1) 2 [(n—1)!]". У казаиие. Элемент в i-й строке и й-м столбце записать в виде [*4~(Л—1)]"_ 1 и разложить по формуле степени бинома или прямо воспользоваться результатом предыдущей задачи.
*77- П (xi~xkY- 478. п п 1-1 (X—хг) JJ (Xi —X*)2. л>г>й>1 У к а-
л>1>Л>1
зание. Представить в виде 1 1 ... 1 X, х2 ... хп Г2 V2 г2 Х1 х2 ••• Хп пронзи 1 X 3? >ед< :иия определителей: 1 1 ...1 0 Xi х2 ... хп 0 Х1 х2 •хп 0
„л-1 „л-1 „л-1 Л1 *2 хп хг л2 ... хп л-1 хп И х^1 х%-1 ... хпп-1 0 0 0 ...0 1 >
причем произведение составляется по строкам.
479. У казакие. Данный Вандермонда
1
v =
1
определитель помножить на определитель
F f2 f”-1
е1 е1 ••• е1
F F2 f"-1
б2 ^2 • • • е2
Iff2 f"-1
1 ел ел • • • ел
481.(1—а”)"-1. Указание. Использовать результат задачи 479 и равенство (1—ае,) (1—ае2)...(1—ае„) = 1—а", где еь е2...е„ —
корни л-й степени из единицы. Проще, однако, вычислить этот определитель как частный случай определителя задачи 325.
' ’ ' 1 1 J' ' 1 '-с — d)(a-j-bi— с — di)(a — Ы — c4-<fr)=
— 2а2с2 4- 2b^d2 — 4a2bd 4- 4b2ac — 4c2bd 4- 4d2ac.
' 0 при -л нечетном, 2" » л четном.
I —1]»л"д" ("+)
483. (о 4* b 4“ с d) (а — b
= а4 — b* 4- с* — d* — 2а2с2 -f- 2b2d 1 С
484. [1-H-1)T = {<
435 /__пл Kn4~ 1) °"_______________
( } (1—e")2
486. Указание. Вычислить первый определитель, используя результат задачи 479.
487. (—2)”-1 (л— 2р), если п и р взаимно просты; 0, если п и р не взаимно просты. Указание. Использовать результат задачи 479 и свойства корней л-й степени из единицы, в частности то, что при р, взаимно л г_ простом с п, числа ef, ef, ..., снова являются всеми значениями у 1, а при р, не взаимно простом с п, найдется еА =/= 1, для которого = 1.
488. [3 -|- (и — р) 6] (а — 6)"-1, если пир взаимно просты; 0, если пир не взаимно просты. Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче.
489. 2"“2 (cos" ~ -
где е. == cos-Н sin —,
1 п 1 п п-1 любого а имеем JJ (а — “о
.Л- [cos 6 — cos (л 4-1)6]" — (1—созлб)"
490- ------------2(1—cos 0) -
= 2"-2sin"-2-^
\ Jn
11. Указание. Положить cos-----=
I п
использовать результат задачи 479 и
а" — 1 и е" = —1.
sin"
(п + 2)0 2
2
то, что для
, _ Л01 sin"т|-
2?t 2тт
Указание. Положить е = cos-------]-1 sin--, n = cos 0 4~ * sin 0 и вос-
л 1 л
пользоваться результатом задачи 479.
491. (—1)" 2"-2 sin"-2
cos"
(л — 2) h 2
492. ( I)"-1 (п4~1).(2и4~1)п цп_|_2)" — пп]. Указание. Использовать результат задачи 479 и соотношения 12-|-22-|-324- ... -f-n2 = д »(Д+1)(2»+0. и 1^.4е + 9е2+ ,,, + П26п-1 = _2” где
6
е — корень п-й степени из 1, отличный от 1. Для получения последнего равенства умножить и разделить левую часть на 1 — е.
498. f (!),) / (i]2) ... / (т]„), где / (х) = а, + агх + а3х2 + ... + 1 и
(2Л —1)л , ц,, 112, % — все значения корня у—1, например, ip,, = cos'---------------f-
(2Л___1) л ’ п
-f- i sin —------— . Указание. Данный определитель умножить на опре
делитель Вандермонда, составленный из чисел т],, т)2, ii„,
494. /(а,)/(а2) ... /(а„), где f (х) = а, а2х а3х* + ... 4-а„хл-1 и аь а2....ал — все значения корня п-й степени из г.
495. Указание. Обозначив корни степени 2п из 1 через =
= cos-----i sin---, k = О, I, 2, ..., In — 1, показать, что числа с», с четными
п 1 п ’ к
индексами k дают все корни п-й степени из единицы, причем а, 4- а2е^ 4* + Й3Е* + ••• + fl2nE*" 1 — (а1 + Лл+1) 4" (аг + ап+2) Ел + (аз+ап+з) Е*+ 4-... 4-(fln + a2n)eft-1’ а числа Ek с нечетными индексами k дают все корни п-й. степени из —1, причем ах-j-а2еА4“азЕ* + ••• 4“а2пЕй”_1== = (а1 —«я+1)4-(я2 —йп+г) е» + (яз_-ал+з) ел+ +(ал —а2л)Е*-1-
496. Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов четырех целых чисел, само будет суммой квадратов четырех целых чисел. Указание. Каждый из определителей возвысить в квадрат.
497. Произведение двух чисел, каждое из которых равно значению формы х3 у3 4- г3 — Зху-г, при целых значениях х, у, z само будет числом того же рода. У к а з а и и е. Вычислить произведение определителей
а Ь с а’ Ь' с'
cab b с а
с' а' Ь'
Ъ' с' а'
помножая строки первого иа столбцы второго.
498. Указание. В произведении определителей а 1 b a' b' 1
b 1 а
с 1 b
с' а' 1
Ь' с' 1
составленном путем умножения столбцов иа столбцы, третий столбец помножить на s' — а' 4~ Ь' 4- сг и миожитель s' выиести из второй строки за знак определителя. Затем из третьего столбца вычесть первый и второй.
499. У казакие. Записав определитель D в виде
Sai, ft/i, fe262,*2 ••• ^a\,kmbm,km
^lam,kbl,k} ^ат, kb2,k2 ••• ^ап‘.ктЬт, km
где все суммы /-го столбца берутся по одному и тому же индексу йу = 1, 2, .... п, разложить D в сумму пт определителей относительно столбцов, в каждом слагаемом из /-го столбца выиести b, за знак определителя и показать, что ’ 1
п
D = S bl, kb2, k ••• bm, k Ak k , .... k > <3>
*P*2....’2 m ’ 2
где индексы суммирования меняются от единицы до и независимо друг от друга. Заметить, что Ak k =0, если среди индексов kt, k2, .... km есть равные. Вывести отсюда утверждение (2), а при лг<п доказать, что для любых индексов it, i2, ..., im, где 1 < it < i2 < ... < im < n, все слагаемые суммы (3), в которых индексы kt, k2, ..., km образуют любые перестановки чисел«!,/2, .... имеют сумму, равную .4Z z z •В1 г ... I , и отсюда получить утверждение (1).
500. Указание. Матрицы А и В дополнить до квадратных при помощи т—п столбцов, состоящих из одних нулей.
501. Указание. Применить теорему задачи 499 к матрицам
А
Л
^2 •••
^2 • • •
И
с2 ... сп'
А • • • dni
А
503. Указание. Воспользоваться тождеством предыдущей задачи.
504. Указание. Применить теорему задачи 499 к матрицам
Л] а2 ... I Ol а2 .д„\
bt b2 ... bnl \ b2 ... Ьп)
505. У Казани е. Воспользоваться тождеством предыдущей задачи.
506. У к а з а н и е.' Перемножая D и ©' по строкам, показать, что DD' — Dn, откуда при D 0 и следует (1). При D = 0 рассмотреть случай, когда все элементы D равны нулю. Если D = 0, ио хотя бы один элемент aij =# Ц то к /-й строке D', помноженной на ац, прибавить первую строку, помноженную на «1у-, 2-ю, помноженную на.л2у, ..., и-ю, помноженную на anj, и показать, что aijD' =0.
Случай D = 0 можно обойти, если считать элементы D не числами, а независимыми переменными. Тогда определитель будет многочленом, отличным от нуля, и мы докажем, что (1) есть тождество, значит, оно верно при любых числовых значениях переменных яу независимо от обращения D в нуль.
507. Указание. Сначала рассмотреть случай, когда М лежит в левом верхнем углу. Помножая по строкам D на минор М', записанный в виде
-^и Ат . Д.т+1 ••• Ал
Ап1 — Ап.т+1 ••• ^тп
О ... О 1 ... о
О ... О О ... 1
показать, что DM' — DmА и М' — Dm~xА (случай ©=0 можно обойти аналогично тому, как указано в предыдущей задаче, т. е. считать D многочленом от п2 неизвестных aZy). Затем общее расположение М свести к рассмотренному перестановками строк и столбцов, для чего показать, что при перестановке двух соседних строк (или столбцов) во взаимном определителе D' происходит такая же перестановка строк (или столбцов) и, кроме того, все элементы D' меняют знак.
508. Указание. Использовать предыдущую задачу.
509. Указание. Использовать предыдущую задачу.
510. Указание. Применить равенство задачи 507 при т = п — 1.
511. Указание. Применить равенство задачи 507 с заменой т на п — т.
512. Указание. По значению взаимного определителя D' найти значение определителя D и применить равенство задачи 510. Показать, что задача имеет п — 1 решений.
513. Указание. Первый определитель представить как квадрат определителя Вандермонда, составленного из чисел 0, хь х2, ..хп.
п
514. A^j= У a^a^j (i, / = 1, 2, /г).
Л-1
515. Указание. Рассмотреть произведения О Л и АО, где D — данный определитель, а Л — определитель того же порядка, что и D, полученный перестановкой l-й и /-й строк из определителя, имеющего единицы на главной диагонали и нули вне ее.
516. Указание. Рассмотреть произведения £>Л и АО, где D —данный определитель, а в А элементы главной диагонали равны 1, элемент в t-й строке и в /-м столбце равен с, а остальные элементы равны нулю.
517. У к азан ие. Положить ф!=а2— а3; ф2 = а3— сц, ф3 = а(—а2.
518. Указание. Применить тождество задачи 502.
520. Определитель равен удвоенной площади треугольника Л1|Л12Л13, если направление наименьшего поворота луча M3Mt до совпадения с М3М2 совпадает с направлением наименьшего поворота от положительного направления Ох до положительного направления Оу. В противном случае он равен удвоенной площади треугольника MiM2M3 со знаком минус.
Решение. Указанные преобразования координат выражаются формулами
х = х' cos а — у' sin а -J- х0, у = х' sin а у' cos а -f- у0.
Отсюда, умножая по строкам, находим:
у'1 1 cos а — sin а х0
*2 У2 1 sin а cos а у0
Лз Уз 1 0 0 1
*1 У1 1
*2 у2 1
хз Уз 1
Но второй определитель в левой части равенства равен 1. Этим неизменность данного в задаче определителя при указанных преобразованиях доказана. Перенесем начало координат в точку Л13 и повернем оси так, чтобы новая ось абсцисс пошла по Новые координаты точек Мь М2, М3 будут .Xj = Af3AIi, у2= ±/г, где h — высота треугольника М}М2М3, опущенная из вершины Afb причем выбор знака плюс или минус связан с ориентацией треугольника указанным выше правилом, — х3 = у3 = 0. Поэтому опре-х{ 0 1
делитель принимает вид у'
1 = ±Л13Л1 j • h — ±2S, где S — площадь
0 0 1 треугольника AiijW2Af3.
521. Определитель равен площади параллелограмма, построенного на отрезках, соединяющих начало координат с точками Л1, и М2, взятой со знаком плюс, если направление кратчайшего поворота от OMt к ОМ2 и от Ох к Оу совпадают, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Определитель не меняется при повороте осей, но может меняться при переносе начала. У казание. Применить результат предыдущей задачи, приняв за третью точку начало координат.
522. 7? = . Указание. Центр описанного круга принять за начало
координат, воспользоваться соотношениями
/?2 — xixj — yty} = у [(л, — Х])2 + (у{— уу)2] (i, / = 1, 2, 3),
а также результатом задачи 520.
523. Указание. Показать, что квадрат определителя равен 1. Для определения знака, пользуясь непрерывностью определителя по совокупности всех переменных а/, р/, у,- (г = 1, 2, 3), показать, что при вращении фигуры О АВС ои не изменяется.
524. Определитель равен объему параллелепипеда, построенного на отрезках, соединяющих начало координат О с точками Л1,, М2, М3, или шести объемам тетраэдра ОЛ4|Л12Л13, взятым со знаком плюс, если ориентации триэдров OMiM2M2 и Oxyz одинаковы, и со знаком минус, если эти ориентации противоположны (при этом ориентации считаются одинаковыми, если после совмещения путем вращения триэдра Oxyz оси Ох с ОМ{ и плоскости хОу с ОМ ,М2 так, чтобы Оу и ОМ2 лежали по одну сторону от Ох, лучи Oz и ОМ3 окажутся по одну сторону от плоскости хОу, и противоположными, если по разные стороны). У казакие. Если аь а2, а3, Р (, р2, ₽3, уь у2, у3 — соответственно косинусы новых осей Ох', Оу', Oz' со старыми, то старые и новые координаты связаны соотношениями:
лг = а1х'-|-₽1у'-|-у12-', у = a2^' + p2y' + v2^', z = а3л' + ₽sy' + у3г'. Пользуясь этим и результатами предыдущей задачи, доказать неизменность определителя настоящей задачи. Для выяснения геометрического смысла определителя повернуть систему координат Oxyz так как указано выше при определении одинаковой и противоположной ориентации триэдров.
525. V = abc V1 — cos2 а — cos2 р — cos2 у 2 cos а cos ₽ cos у. Указание. Вычислить V2, пользуясь результатом предыдущей задачи.
526. Указание. Взять на лучах О А, ОВ, ОС точки ть т2, т3 на расстоянии 1 от начала координат и применить результат задачи 524.
527. Определитель равен шести объемам тетраэдра с вершинами Мь М2, М3, М4, взятым со знаком плюс, если триэдр лучей из М4 в каждую из точек Mi, М2, М3 имеет одинаковую ориентацию с триэдром Oxyz и со знаком минус — в противном случае. У Казание. Перенести начало координат в точку М4 и применить результат задачи 524. Иначе можно поступить аналогично решению задачи 520, пользуясь задачей 523. Тогда задача 524 получится как частный случай данной (аналогично тому, как было на плоскости в задаче 521).
2SV X
X Vr^13/14,23l2'l + 2/12/М/32/34 + 2^13^43 1^34 ~~ l13l24 ~~ 114123' ГД6 V
объем тетраэдра и lij—lji(i, /=1, 2, 3, 4, i-=f= j) — длина ребра, соединяющего вершины (xi, yi, zi) и (xj, yj, zj). В случае правильного тетраэдра , _ аУ~6 .. гг
с ребром длины а получим /? = —— .Указание. 11рименить результат предыдущей задачи и соотношение
/?2 — XtXj — ytyj — Z[Zj = [(Л/ — Xj)2 + (У/ — У,)2 4- (Z4 — Zj)2},
верное в предположении, что начало координат перенесено в центр описанного шара.
529. Указание. При доказательстве утверждения 2) показать, что вектор ai—(ан, ai2, ..., ain) можно представить в виде а,=л/1в1--}-в|-2^2+- • •+«zne«*
Далее показать, что при перестановке двух векторов функция /(а,, а2, .... ап) меняет знак. При доказательстве этого, например, для векторов at, а2, рассмотреть /(ai + а2, ai + а2, а3... ап).
530. Указание. Доказать, что функция f (ah а2........an) = I АВ | от
строк матрицы А обладает свойствами (а) и (0) и что f (ец е2.en) = |<B|.
531. Положим f (еп, ец, ..., е1п) — 1 при любых Zb i2.ln = I, 2, ..п
п
(одинаковых или различных). В силу (а), полагая ai — У, ацв], получим
f (в|, «2...ап) — 2 Я1 i а2, i • • • ап, i •
Il / = 1 1 2 п
*1’ 1п 1
Этим функция /(в|, а2.....ап) определена. Очевидно, она при перестановке
векторов не меняется, т. е. в случае поля характеристики 2 меняет знак. Поэтому (В') выполнено, а (0), очевидно, не выполняется.
с2 с2 п (л—1)(3л—2) л
532. (—1) nl "~1п2 —I 2 и2. Решение. Умножая данный
определитель D сам на себя и замечая, что е/г = 1 тогда и только тогда, когда k делится на п, получим:
п 0
0 0
0 0
о о
0 п п 0
О2 =
= (—1) "“’л",
On ... 0 0
откуда D=±Z " !л2 и для модуля D находим: |D| = n2. Остается определить аргумент. Вычисляя D как определитель Вандермонда чисел 1, е,
с2,.... ел-1 и полагая затем е = а2, где а = cos —-J-Z sin— , получим:
£)= П (е‘-еО = П («2S-a2O =
0</<й<л-1 0<>«Л<л-1
П aft+7(afc-^-a-<fi-») =
0</<*<л-1
= П а,+к П 2/sin j*--ла. 0<1У<й<л-1 П
Для рассматриваемых значений j и k всегда 0<й— J<n и, значит,
sin >0. Поэтому | D | = JJ 2sin ~п- = n%.D = |D[p,
п с2 0<7<»<л-1 п
где 0 = / “ JJ a^+ft. В показатель степени при а каждое целое
0</<*<л-1
число р(0<р<п — 1) войдет ровно п—1 раз: либо под видом J для
k — р-|-1, р4~2,.... п — 1, либо под видом k для } = 0, 1, 2.р — 1.
п п
Замечая, что а2 =1 (при нечетном п будет а2 = ±1, однако выбор знака не играет роли ввиду четности числа п — 1, что ясно из приведенных ниже вычислений), находим:
л(л-1) я(л-1)» Я(Л-1) , (л- 1)(3л — 2)
p = z 2 .
Полагая 3n = 2n-j- п и используя данное выше выражение для | D |, получаем требуемое выражение для D.
533. Определитель будет помножен на (2 — k) 2*-1. Указание. Случай любых строк свести к первым. Если же выделены первые k строк, то указанное преобразование может быть получено путем умножения данного определителя слева на определитель того же порядка, в котором все элементы Главной диагонали равны 1, элементы вне главной диагонали, стоящие в первых k строках и первых k столбцах, равны — 1, а остальные элементы равны нулю.
584. •£> = £>() + Sx, где Do — значение определителя D при х = 0 и S— сумма алгебраических дополнений всех элементов *D0.
535. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
586. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
537. Указание. В определителе задачи 534 положить х = — 1.
589. Указание. Применить метод математической индукции.
540. Указание. Все пр строк определителя D разбить на п систем по р строк в каждой, отнеся к первой системе строки с номерами 1, п -j- 1, 2п4* 1, .... (р — 1)я +1, ко второй — строки с номерами 2, п-f-2, 2п2,... ..., (р—1)zz-[-2, .... к л-й — строки с номерами л, 2л, Зл.рп. К этим
системам применить обобщенную теорему Лапласа задачи 466. Показать, что миноры порядка р любой из указанных систем равны нулю, если хотя бы два вторых индекса элементов btj одинаковы и что D = f (аХ1, ..., апп) Вп, где /(Ли, ...,апп) не зависит от элементов Ьц. Для определения f (лп, . ..,л„„) положить Ьц.= 1 для г = 1, 2, .... л и 6у = 0 для I, /=1, 2, ..., л, 1=#/.
542. Решение. Если все Ду = О, то можно положить
Д = = О (I = 1, 2, ..., л).
Пусть, например, алгебраические дополнения элементов последнего столбца не все равны нулю (в случае другого столбца рассуждения аналогичны). Так как D = 0, то алгебраические дополнения элементов двух столбцов пропорциональны (см. задачу 509)
А/ А/
Ал Ал
A»/ Bj
Апп Cj
0=1, 2,..., л-1),
(1)
-В/
где дробь -уА будем считать несократимой. Отсюда
А,В\
Ау= J (1=1, 2,.... л;/=1, 2, .... л-1).
7 B'j
Ho Ajj многочлен от xt, х2, ..., xs и дробь несократима. Поэтому А(п
должно делиться на Cj (/=1, 2, .... п—1), а значит, и на общее наименьшее кратное всех Cj (/=1, 2, ..., п—1). Обозначив это общее наименьшее кратное через Вп, получим:
Д„ = ДВ„ (1 = 1, 2, .... и), (2)
где все А[—многочлены от xt, х2, ..., хп. Положим Bj = -£—• В j (/=1, 2, ..., л—1). Все Bj — многочлены от хь х2, .... хп, причем из (1) находим: Aij = AiBj (1=1, 2, ..., л, /=1, 2, .... л —1). (3)
Равенства (2) и (3) и доказывают теорему. В частности, для определителя Д можно положить: Ах = Вх = с, А2 = В2 = — Ь, А3 = В3 — а.
543. Решение. Пусть D2n — кососимметрический определитель порядка 2л. Применим индукцию по п. Для л = 1 теорема верна, ибо £>2 = Предположим, что теорема верна для числа п и докажем ее для числа n-f-l. Вычеркнув из данного определителя D2n+2 последнюю строку н последний столбец, получим кососимметрический определитель О2л+1, равный нулю. Его элементы можно рассматривать как многочлены от элементов, стоящих выше главной диагонали с целыми коэффициентами. По теореме предыдущей задачи, алгебраические дополнения элементов £>2л+1 имеют вид Aij = AiBj (i, 7=1, 2, .... 2л-|-1), где At и Bj— многочлены от тех же неизвестных. Миноры Мц и Mji в £>2л+1 получаются един из другого транспонированием и изменением знаков элементов, а так как они четного порядка 2л, то A^ — Aji. Или AjBj — AjBi.
Bt Bj
-^- = -/- = 1; Вг = Х-Л (г = 1, 2........2n-]-l).
Al Aj
К — рациональная функция тех же неизвестных. Далее, Аи = А(В{ =КА^ и по предположению Ац есть прлный квадрат. Значит, А. = р2, где ц — рациональная функция. Итак, Ац = (рЛ;)2. Здесь слева стоит многочлен. Но квадрат несократимой дроби не может быть Многочленом. Значит, цД = q — многочлен. Применяя разложение, данное в задаче 541, находим:
2л+1 2л+1
Din+г = У Д/й«> 2П + 2а2П + 2, j — У -^lBjO-1, 2n+24j, 2п + 2 = «.;•=! »,/-1
(2л+1 \ 11п + 1 \ /2л+1 \2
2 ^1а1> 2П+2 I I 2 2Л + 2 ) “ М 2 2Л + 2 I =
{«==1 / \J=1 / \/е=1 /
(2л + 1 \2
2 ^1а1> 2Л+2 I • i«=l /
Этим утверждение задачи доказано. Это доказательство не дает удобного приема для фактического вычисления многочлена, квадрату которого равен данный косой симметрический определитель четного порядка. Такие правила даны в задачах 545 и 546.
54*. Указание. Рассмотреть два члена, в одном из которых подстановка индексов имеет цикл («|«2 ... ah) (h — нечетно и больше единицы), а в другом — цикл (адал_| ... а2а,). Случай h = 1 рассмотреть отдельно.
545. Указание. При доказательстве 1) по данной паре Nh N2 приведенных пфаффовых произведений восстановить запись (1) подстановки искомого члена, имея в виду, что если записать этот член в виде
± “aS- «3 ‘ ' S- “1S- ₽2 ’ ‘ ‘
то N-i состоит из элементов, занимающих в этом произведении нечетные места, a N2— четные места. Например, в Л/j берем элемент с первым индексом at = 1. Второй его индекс а2 даст второй элемент первого цикла. В N2 берем элемент, один из индексов которого есть а2. Если другой индекс — eq, то цикл замыкается, если а3, то это третий член цикла, и т. д. Показать, что в полученной подстановке все циклы четной длины. При доказательстве 2) заметить, что N^ = и N2 = N2. Знак члена определить как (—l)s, где s — число циклов соответствующей подстановки. Утверждение 3) вывести из 1), 2) и теоремы предыдущей задачи.
546. Указание. Показать, что в каждое слагаемое агрегата рп входит один и только один элемент n-го столбца Dn; в каждом слагаемом рп
расположить элементы в порядке возрастания вторых индексов и показать, что если вынести за скобки элемент а1п из всех слагаемых, его содержащих, то в скобках останется pin со знаком (-Й)п“1-‘=(—
547» Pi —И\2, Pt — а22а|4 — ^13^24-f-а12вз4;
Рб — fl34fl25fl16-Л24Я35Д|6 4" Л23в45а16-й34в15а23 4"
4'в14я33й26---д 13^45^26 4“ Л24®|5а3в-я14я25д3в4~
4~ Л12в46а36--а23д15й46 4* д13й25а46--й12в35д46 4~
4" в23Я14Я36--й13в24Д56 4* Я12в34Л56‘
548. 1-3-5... (и —1).
549. Указание. Определитель
вп ... вщ Xt
--&ln апп
— xt ... — х„ О
полученный окаймлением D, разложить по формуле задачи 541 и приравнять к квадрату пфаффова агрегата для D', применив к нему формулу задачи 546. В полученном равенстве положить xi — xj=l, х^ — О при i k Ф ].
550. Указание. Используя то, что произведение двух многочленов, отличных от нуля, само отлично от нуля, показать, что если D = АВ — предполагаемое разложение и какой-нибудь член многочлена А содержит а1ь то никакой член В не содержит элементов цервой строки (столбца). Вывести отсюда, что каковы бы ни были i, /= 1, 2, .... п, найдется член в А, содержащий ац, но никакой член В не содержит а,р
551. Указание. При доказательстве 2) определить An_k, исходя из нумерации, <1( t2..t п . сочетаний из п чисел I, 2, .... п по п — к,
\n-k)
которая связана с нумерацией sb s2, ..., s ., определяющей ДЛ так, что /£ (fe)
содержит те п — k чисел, которые не входят в s£. Если о;—сумма чисел из
сочетания s£, то вынести из Z-й строки и z-ro столбца [1 = 1, 2, ..., ( ” )| _ о ' ' п 11
определителя Д„_й множитель (—1) 1. При доказательстве пункта 4), используя равенства пункта 3) и неприводимость D, установленную в предыдущей задаче, а также степень D и Д^ относительно элементов пу, показать, что
(”-1)
ДЛ =££>'* 1 , где с не зависит от элементов а£у. Для определения с по-
ЛЛ-1\ /Л-1Х
казать, что как Дй, так и 17 содержат член (лиа22 ••• с коэффициентом, равным единице.
552. Рп — Q„ — 1. Указание. Показать, что Qn — Р2п. п
558. Указание. Показать, что dij— pklpk^(k), где Рц— те же, что и в предыдущей задаче.
Отдел II. Системы линейных уравнений
554. х1 = х2 = 1, х3 = х4 = — 1.
555. xt —— 2, х2 = 0, Xg=l, х4 =—1.
556. х1 = 1, х2 = х8 = 2, х4 = 0.
557. Х| = 2, х2 — 2, Xg — 1, х4 === — 1.
558. Xi = — 0,4, х2 = —1,2, х3 = 3,4, х4 = 1.
559. х = 4> У = -1. * = 4’ t==0-О Z
1 2
560. Х = —3, у=0, Х = —-7J-, <=Т5-. Z о
561. х = 2, у---3, ^ = -|,
562. Система решений не имеет. 568. Система решений не имеет.
564. Изменение нумерации неизвестных вообще не переводит систему в эквивалентную, но при решении системы оно допустимо при условии, что после решения системы мы возвращаемся к исходной нумерации. Указание. Показать, что после преобразований типа а), б), в) любое уравнение новой системы линейно выражается через уравнения старой системы и обратно.
567. Х[= — 1, х2 = 3, х3 = —2, х4 = 2.
568. X) =2, х2 = 1, х3 = — 3, х4 = 1.
569. Х| = — 2, х2 = 1, х3 = 4, х4 = 3.
1 3
570. х1=0, х2 = 2, хд = -у, х4 = —-д-.
1 2
571. х, = у, х2 = — -j, х3 = 2, х4 = —3.
6 4
572. X) = 104-у-, х2 = 7у, хд = —10, х4 = 1.
578. х^б, х2 = 4, х3 = 3, х4 = 2, х5=1.
574. X] = 3, х2 = — 5, Хд = 4, х4 = — 2, х5 = 1.
1 2 1
575. X] =77, х2 = — 2, х3 = 3, х4 = -к-, х6 = —г- Указание. Z о О
Принять за новые неизвестные 2хь Зх4, бх5.
576. Xj — 5, х2 — 4, Хд == — 3, х4 == 3, х3 === — 2.
577. х, = 2, х2 = —у, Хд = 4, х4 = 3, хг, = -|.
578. Система неопределенна, т. е. имеет бесконечно много решений; Xi и х2 можно выразить через х3 и х4 так: Х! = 6—26x3-f-17x4, х2 = — 14* 7х3 — 5х4, причем х3 и х4 могут принимать любые значения.
579. Система неопределенна. Общее решение: xt = (6 — 1бх2 — х4),
х3 = -g- (14* 4х4), где х2 и х4 принимают любые значения.
580. Система противоречива, т. е. не имеет решений.
581. Система решений не имеет.
584. Если аь а2, ..., ап — все элементы поля, то многочлен /(х) = = (х—Л|) (х — а2)... (х — ап) равен нулю как функция, но имеет коэффициент единицу при хп.
585. / (х) = х2 — 5х 4- 3. 586. / (х) = 2х3 — 5х2 4- 7.
587. При заданном асимптотическом направлении через любые п 4-1 различные точки плоскости, из которых никакие две не лежат на прямой асимптотического направления, можно провести параболу не выше п-й степени и притом только одну.
588. ------ ........ ..................
у = 3x3 —5x24-l. 589. л = у4 —3y3 —5y4-5.
л = ^-(—«4-i4-c4-d), у = ^-(« — fc4-c4-d), z = ^-(a-[-b — c + d), f = -^(a + b + c — d).
590.
591.
У =
11 f c — ad , c' — a'd , c" — a"d\
2 1 b — a b'— a' 1 b" — a" }
1 . f c — ad c' — a'd , c" — a"d\
2 । I b — a b'— a' * b" — a" J’
1 | ( c — ad , c' — a'd c" — a"d\
2 1 ^6 —a * b' — a' b" —a" j’
t
1 | f c — ad , c' — a'd , c" — a"d
2 1 b — a 1 b’ — a' ' b" — a"
а".
У Казаниe. Для доказательства единственности решения показать, что определитель системы -равен 2(Ь — а) (Ь' — а') (Ь" — а") =/= 0. Для нахождения решения из первого, второго и третьего уравнений вычесть четвертое, умноженное соответственно на а, а' и
592. х = -i- (ар — bq — сг — ds),
«Г*
У = -Jp (bp + aq — dr + csl
z = (ср -|- dq -J- ar — bs),
t = ~ (dp — cq 4- br 4- as).
где A = a2 b2 c2 d2. Указание. Воспользоваться задачей 468.
593. xk = (—1)* Pk, где P* — сумма всевозможных произведений по k чисел «ь а2...ап. Указание. Воспользоваться задачей 346.
594. х
П fib)
П («*—«») (b — ak) f (ak)
bjfik
где f(x) = (x — а1)(х — а2) ... (х — ап). п
595. хь — (_1)п+* V______________________________________________
Li (a-i — «О ... (at — at-t) (at — al+i) ... («/ — an) * Z=1
где fik есть сумма всевозможных произведений по п — k из п — 1 чисел аь • ••» ai~b ctn.
1
л
596. xk = —--------------------!---------------------V b Jki,
(ak — ai) ... (ak — ak_i)(ak — ak+l) ... (ak — an) 44
где fki есть сумма всевозможных произведений по п—i из п — 1 чисел в], ..., а^+1...ап.
597. xk — ~—’п\~Ц~ где — 2- •••• п — 1) есть сумма всевоз-
можных произведений по i из п чисел 1, 2, ..., п и Ро = 1. п
b^Ci
ЕЛА .. /«==1
598. Xk = у — (a_b) + •
599. Хь = ГТ ———. У Казание. Определитель системы предста-а^~а1
вить в виде произведения двух определителей.
600. Решение. In (1 4-х) = х—ух24--g-х3— -^-х44- ... Поэтому
1 = (1-|-Л1Х 4" Л2х2 4~ й3х3 4~ ...) (1 —-i-х4--|-х2 —-|-х44- ...j, откуда 1 1 «. , 1 1 , 1 , , . 1 1 , 1 , , 1 .
Ai=-g-» -% bi — Л2 = -д-, -g-Л]—-g-Л2 + й3 —, -^-й|— -д-Л2-g-йз — — й4 = , ... Из первых п уравнений по правилу Крамера получим требуе-
мое выражение для 1гп,
602. У к а з а н и е. Исходя из тождества
1 = (1 4~ Ь1 х -f- b2x2 4~ Ь2х$ 4" ...)
(1 + '^г + зт + ^г+ •••)’
•получим систему уравнений для определения й|( й2, й3, ... Для доказательства того, что й2л_1 =0 при п > 1, заметить, что bt = — -g- и что функция
х
ех— 1
•четная.
603. У Казани е. Используя равенства bt = —b2n~i — О ПРИ п > 1> полученные в предыдущей задаче, положить Ь2п = с„ и в тождестве
1 = (1-1х+сх2 + С2х4 + с3^+ ...) + + + ...)
приравнять коэффициенты отдельно при четных и при нечетных степенях х.
604. У казакие. Для установления требуемого равенства в тождестве
(х + if = хп + +С"-2л"“2 4- ... + С* х 4- х°
положить х=1, 2, 3, .... k — 1 и полученные равенства сложить. В установленном равенстве заменить п на п — 1, п — 2, .... 2, 1 и из полученной системы я линейных уравнений относительно s0(A), s( (А)........(й)
«айти s„_1 (А).
60S. 2
31 1 0 ... 0
4 1
5! 2! 1 ... 0
tn — 6 1 1
7! 4! 21 ... 0
2л 1 1 1
(2л 4-1)! (2л —2)! (2л—4)! 2!
Указание. Получить тождество
л3 , х5 х7 ,
+ 5! 7! *---------
_х(|- л2 , л‘ 21 1 4!
606. 2
3!
...)(1 + Лл2 + /^+ ...).
О ... О
1 ... о
4 1
5! 3!
fn 6 1
7! 51
607.
2п (2« 4-1)1
1 11
1
21
1 3!
1 - 1 1
(2п —1)1 (2п — 3)! •” 31
1 о о ... О
1 1
21 1!
О ... О
1 ... О
1
Д я — . —
" Л1 .
11111
л! (л —1)! (л —2)1 (л —3)1 •“ 1!
Указание. Используя тождество
1 = (1-а1х4-Й2х3-л3л3+ ...) (14-^-4-4+-ЗГ+
получить уравнения для определения оь а2....ап.
608. 2. 609. 3. 610. 3. 611. 2. 612. При Л = 0 ранг матрицы равен 2, при Л. ф 0 он равен 3. 618. При Л = 3 ранг равен 2, при Л 3 ранг равен 3. 619. 3. 620. 2. 621,. 3. 622. 2. 629. Указание. Используя линейное выражение всех столбцов матрицы А через столбцы, проходящие через минор d, показать, что если d = 0, то строки матрицы А, проходящие через d, линейно зависимы.
680. Если 0< г <л— 2, то г = 0. Если г = л — 1, то г — 1. Если г = л, то г = п. Указание. Использовать задачу 509 или задачу 747.
631. Решение. Докажем 1). При г = 0 все главные миноры первого и второго порядков равны нулю. Если А = (ац)„, то аи = а22 = ... = апп = 0 и
I u]l UJJ I
для любых I, j=\, 2, ..., n; i < j. Отсюда а,у- = 0, i, j = 1, 2, ..., n; A = 0; ранг А равен нулю, что и нужно доказать. При г — п— 1 имеем Л4„_1 =#0, Мп — | А | = 0, ранг А равен п — 1.
Пусть 0 < — 2. Главный минор Мг 0. Переставляя соответственно
строки и столбцы матрицы А (что не нарушит симметрии матрицы А и не изменит ее ранга), мы можем перевести минор Мг в левый верхний угол матрицы А. Для доказательства 1) достаточно показать, что все миноры (r-f-l)-ro порядка, окаймляющие Мг, равны нулю.
Пусть — минор, полученный из Мг окаймлением Z-й строкой и
J-м столбцом (Z, j > г). По условию Mtj — 0 при i — j. Пусть i ф j и D—определитель, полученный из Мг окаймлением Z-й и /-й строками и Z-м и J-м столбцами. По условию 0=0. Пусть С — матрица определителя D. Предположим, что Мц ф 0. Тогда ранг С равен г -ф-1 и строки матрицы С с номерами 1, 2.... г, i линейно независимы. По симметрии С столбцы
с теми же номерами также линейно независимы. По задаче 629 минор Мц, стоящий на пересечении этих строк и столбцов, отличен от нуля, что противоречит условию. Утверждение 2) следует из 1) или прямо из задачи 629.
632. Указание. Использовать предыдущую задачу.
633. У Казани е. Использовать решение задачи 631.
684. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
686. (1, 4, —7, 7). 637. х = (0, 1, 2, —2). 638. х = (1, 2, 3, 4).
689. Линейно независима. 640. Линейно зависима. 641. Линейно независима. 642. Линейно зависима. 648. Линейно зависима. 644. Линейно независима.
5
651. У казани е. Предположив, что 2 = 0, где не все Л/ равны
1 = 1
нулю, и выбрав среди 1/ наибольший по модулю коэффициент Ху, показать, что /-я координата взятой линейной комбинации отлична от нуля.
656. У казани е. Предположив, что два вектора ait aj (i > J) линейно выражаются через предыдущие, найти выражение вектора Ь из выражения ау и подставить найденное выражение в выражение а,.
657. Указание. К системе at, а2,..., аг приписать впереди &, и вычеркнуть векторы, линейно выражающиеся через предыдущие; к полученной системе приписать впереди Ь2 и снова вычеркнуть векторы, линейно выражающиеся через предыдущие, и т. д.
Воспользоваться предыдущей задачей.
658. Указание. Использовать задачи 653 и 657.
659. У казани е. Считая данную подсистему упорядоченной, приписать после нее все векторы системы и вычеркнуть все векторы, линейно выражающиеся через предыдущие.
662. Таких чисел подобрать нельзя.
664. У к а з а н и е. При доказательстве 3) использовать задачу 663, а также задачу 658, пункт в).
665. 1 = 15. 666. Л — любое число. 667. Л — любое число. 668. Л не равно 12. 669. Такого значения Л не существует.
670. В задаче 665 векторы п1, а2, а3 компланарны (т. е. лежат в одной плоскости), но не коллинеарны (т. е. не лежат на одной прямой). При
Л = 15 вектор Ь попадает в ту же плоскость и выражается через а2, а3 а при Л 15 он не лежит в этой плоскости и не выражается через эти-векторы. В задаче 666 векторы аь а2, а3 не компланарны и любой вектор трехмерного пространства через них линейно выражается. В задаче 667 векторы Оь а2 не коллинеарны и лежат в плоскости 4xj — 3%2 = 0.
При любом значении Л вектор Ь лежит в той же плоскости и линейно-выражается через aIt а2.
В задаче 668 векторы аь а2 не коллинеарны, а вектор Ь не компланарен аь а2. При Л = 12 вектор а3 компланарен аь а2 и вектор 6 через ah а2, а3 не выражается. При Л =/= 12 векторы аь а2, а3 не компланарны и &' через них выражается.
В задаче 669 векторы аь а2, а3 лежат в плоскости Зх2 — х3 = 0. С изменением Л от — оо до -|-оо конец вектора 6 описывает прямую х2 = 2Г х3 = 5, параллельную этой плоскости. Вектор 6 ни при каком значении к не лежит в указанной плоскости и не выражается через аь а2, а3.
672. Таких систем четыре: 1) аь а3; 2) а4; 3) а2, а3; 4) а2, а4.
678. 1) аь а2; 2) а2, а3.
674. Любые два вектора образуют базу.
675. 1) аи а4; 2) а2, а4; 3) а4.
676. Любые три вектора, кроме а2, а5 и а3, а4, а5, образуют базу.-677. Единственная база будет в том и только в том случае, когда либо> вся система совпадает со своей базой, либо все векторы системы, не входящие в ее базу, равны нулю.
678. Две базы.
679. Базу образуют, например, векторы ah а2, а4; a3 = at—а2.
680. Одну из баз образуют векторы ah а2, а3; а4 = 2at — За2 4- 4о3г Zig = О] 4“ 5tZ2 — 5Од.
681. Одну из баз образуют векторы aIt а2, а3, а3 = at — а2 4- «вг й4 = За, 4“ 4а2 — 2од.
л
682. Указание. При доказательстве 1) в равенство 2 ajXj = 0 под-/=1
г
ставить выражения х,- — к^х, (z = г 4~ 1> г4~2, ..., л) и показать, что /-1
л
а, = — 2 •' = 1- 2’ г-
i=r+l
Пользуясь этим, показать, что если a^ = (—kt, —к,, 2, ...,—к/, т*
О, ..., 1.0), i = г -J-1, г 4-2, ..., п, где равная единице координата
п занимает (r-[-z’)-e место, и а = (а,, а2.ап), то а— 2 а‘а‘-
z=r+i
При доказательстве 2) — 4) использовать задачу 664.
688. 2/, — 3/2 — /3 = 0, 684. А — 2f2 — f3 = О,
/i—з/24-/4=о. /1—з/24-/4 = 0>
3/,-8/2-/s = 0.
685. Формы линейно независимы. Основной системы линейных соотношений не существует.
686. 2/, — /2 — /3 = 0, 687. 2/, — /2 = О,
2/1-2Л + /4-/В = 0. Л - /з - Л + /в = О-
688. Указание. Использовать задачу 661 или 657.
11
689. Например, общее решение Xi = Хз , х2 — —5х3 4~*4~1~10
Частное решение xt = — 1, х2 — 1, х3 = 0, х4 — 1.
690. Например, общее решение: х3 = 22х, — 33х2 — 11, х4 = — 16xt 4--|- 24х2 8; частное решение: xL =2, х2 = 1, х3 = х4 = 0.
691. Общее решение: х3=1 — 3х1—4х2, х4 = 1; частное решение: х{ = — 1, х2 = 1, х3 = 0, х4 — 1.
692. Система несовместна.
693. Система имеет единственное решение х, =3, х2 = 2, х3 = 1.
694. Общее решение: х3 = 6 — 15х1 -|- 10х2, х4 = — 7 4~ 18xj — 12х2;
частное решение:
695. Общее
Хх — Х2 — Х3 = 1, Х4 — — 1.
34л 1 — 17x2 — 29 1 бхх — 8х2 —16
решение: х3 =------1---, х4 = ----------
5
5 о , 22 8
xi = 2, х2 = 1, х3 — -V-, х4 = -=-.
5 о
27 9 3 1
696. Общее решение: х3 = 2 —=-5- xt -4- z-5 х2, х4 — — 1 + -гг xt — 5-5 х2;
10 10 10 10
, 8 11
*1 *2 1, х3 , х4 13 •
— 6-+-8Х4 1 — 13х4 15 — 6х4
решение: х1 =------у-----, х2 —-----?---, х3 —------у----;
Хх — — 2, х2 - 2, х3 3, х4 == — 1-
частное решение:
частное решение:
-*в
697. Общее
частное решение:
698. Система несовместна.
699. Общее решение: х3 = — 1 — 8х1-|-4х2, х4 = 0, х6 = 1-]-2х1—х2; частное решение: х1 = 1, х2 = 2, х3 = — 1, х4 = 0, х5 = 1.
700. Общее решение: х3=13, х4 = 19 — 3х1 — 2х2, х6 = — 34; частное решение: xI = 1, х2 = 8, х3 = 13, х4 — 0, xs — — 34.
9 25
701. Общее решение: х3 = —— 2*2, х*=------------2-----%Xl — 4х2’
15 1
---2х1 — 4х2; частное решение: xt = 1, х2 = — 3, х3 = -%,
_ _5 __5
х4 — 2 х$ 2 *
4 2 14 7
702. Общее решение: х3 = -3 xt 4- -g- х2, х4 =--g-*i—g-*2— 1,
jcs = 4- X] В х2 -|- 2; частное решение: xI = х2 = 1, х3 = 2, х4 = — 8, х6 = 4. 0 0
703. Система имеет единственное решение: х1 = 3, х2 = 0, х3 = — 5, х4=11-
704. Система несовместна.
705. Указание. При доказательстве минимальности числа п — г свободных неизвестных воспользоваться связью решений неоднородной и соответствующей однородной систем уравнений и тем, что число неизвестных однородной системы, могущих принимать произвольные, не зависящие друг от друга значения, равно максимальному числу линейно независимых решений и, значит, не зависит от выбора этих неизвестных.
1 . 31 2 17
706. Хх =-g x44--g-, *2=3-. х3= — -2*4 — -§-•
53 , 20 5.5 5 2 ^1
707. Хх=Х4----Jg' Xs 4“ -g-, х2—-2 Х44- •g' Х3-3, х3 — -д'*
708. Системы несовместны.
709. Система имеет единственное решение: Xj = 1, х2 = 2, х3 = — 4. х, = — 3.
12 176 4 97
710. — "123 з"Хз’ х*~ 205*' Здесь хз — свободное
неизвестное.
1 7 5 7 .1
711. Xi=—--------^2"Л2 —-^^з —-gX6, л4 = 1 — — х5, где х2, х3,
xs —свободные неизвестные.
При Л Ф 0 система несовместна. При А = О она совместна, и общее имеет вид
— 5х3 — 13х4 — 3
Х1 =----2—о—2------> х2
712.
решение
— 1х3 — 19х4 — 7 2
2
713.
решение
714.
решение
715.
При A = О система несовместна. При Л 4= 0 она совместна, и общее 4 —А 3 9А —16 8 1
имеет вид Xj = -----g- Xg, х2 = —g^-------g- х3, х4 = у.
При А = 1 система несовместна. При Л 1 она совместна и общее
43 —8А 9 5.1 5
имеет вид х, = -g——g-х3, x2 = J-^+Jx3l л4 = —у.
Система совместна при любом значении Л. При А = 8 общее реше
ние имеет вид х2 = 44*2х1—2х4, х3 = 3 — 2х4, где xlt х4— свободные неизвестные. При Л =/= 8 общее решение имеет вид xt = 0, х2 — 4 — 2х4> х3 = 3— 2х4, где х4— свободное неизвестное.
716. Система совместна при любых значениях Л. При А = 8 общее реше-ние имеет вид х3 = — 1, х4 = 2—xt— ~2хъ где х?— свободные неиз-4 2
вестные. При А =£8 общее решение имеет видх2 = -д-—? хъ х3 = — 1, О о
х4 = 0, где. xt — свободное неизвестное.
717. При (А—1) (A-j- 2) 0 система имеет единственное решение.
Xi = х2 = х3 = -:—г-х . При А = 1 общее решение имеет вид xt = 1 —х2—х3, Л -j- 2.
где х2 и х3 — свободные неизвестные. При А = — 2 система несовместна.
718. При (Л—l)(A-{-3)=jfeO система имеет единственное решение:
xi = хг = хз = х4 = , о. При А = 1 общее решение имеет вид xt = 1 — х2 —
Л о
— х3 — х4> где х2, Хз, х4 — свободные неизвестные. При Л = — 3 система несовместна.
2__Л2
719- При Л (М-3) =/=0 система имеет единственное решение: xj — . .. .
л, (Л -f-o)
' 2А —1 а34-2А2 — А — 1 „ , . . „
х2 = 1 । • хз =-----, ,, , ----- При л = 0 и при Л = — 3 система
несовместна.
720. При A(A-J-3)=jtO система имеет единственное решение: Xi —2 — х2 = 2А — 1, х3 = A3 -f- 2А2 — А — 1. При А = 0 общее решение имеет вид xt = — х2 — х3, где х2, х3 — свободные неизвестные. При А = — 3 общее решение имеет вид xt = х2 = х3, где х3 — свободное неизвестное.
721. Если а, Ь, с — попарно различны, то система имеет единственное решение:
(Ь — d) (с — d) ____ (d — a)(d — с) ______ (d — a) (d — b)
(b — a) (c — a) ' У ~~ (b — a) (b — c) ’ 2 ~ (c — a)(c — b) \
Если среди чисел a, b, с, d имеется только два различных, причем афЪ или а^=с или то решение зависит от одного параметра. Например: в случае d = a=f=b = c общее решение имеет вид х — — 1, у = ~~ С- г.
b — а b — а
где z— свободное неизвестное, играющее роль упомянутого параметра, определяющего решение.
Если a — b — c — d, то решение зависит от двух параметров, общее решение имеет, например, вид х = 1 — у — г, где у, г — свободные неизвестные. Если среди чисел а, Ъ, с два различны и d не равно ни одному из них или если a — b = c=/=d, то система несовместна.
722. При D — abc — а — b — c-j-2 ф 0 система имеет единственное решение:
х~ D ' у D * О
В этом случае нулевые значения могут иметь какие-либо два неизвестных одновременно, причем третье неизвестное и соответствующий параметр равны единице. Например, х = у = 0, г = с = 1. Если D = 0, причем одно и только одно из чисел а, Ь, с отлично от единицы, то решение зависит от одного параметра; например, при а ф b = с = 1 общее решение имеет вид х — О, у = 1 — г. В этом случае одно или два неизвестных обязательно равны нулю.
Если а = b — с — 1, то общее решение имеет вид х = 1 — у — г, причем одно или два из неизвестных могут равняться нулю. Если D = 0 и ни одно из чисел а, Ь, с не равно единице, то система несовместна. Случай D — 0, причем одно и только одно из чисел а, Ь, с равно единице, невозможен.
723. Если D = abc — а — b — c-j-2 =# 0, то система имеет единственное решение:
_ abc — 2bc 4" b 4- с — a abc — 2ас 4- а 4- с — b
х , у g ,
abc — 2ab 4* а 4- b — с Z == — --- '----------,
D
Если D = 0 и только одно из чисел а, 6, с отлично от единицы, то решение зависит от одного параметра, например, при а =/= b — с = 1 общее решение имеет вид х — 1, у = — z, где z — свободное неизвестное. Если а = b — с = 1, то решение зависит от двух параметров и общее решение имеет вид х = 1 — — у —г, где у, z—свободные неизвестные. Если 0=0, причем все числа а, Ь, с отличны от единицы, то система несовместна. Случай D = 0 и только одно из чисел а, Ь, с равно единице невозможен. Указание. Для доказательства несовместности системы в случае 0 = 0 при условии, что все числа а, Ь, с отличны от единицы, показать справедливость тождеств: О — Dx = 2 (b — 1) (с — 1), О — Dy = 2 (а—1) (с—1), О—Ог = 2 (а—1) (ft—1), где рх, Dy, Dz — соответственно числители в написанных выше выражениях для х, у, г.
724. Например, общее решение: x! = 8x3— 7х4, х2 —— 6х34~&*4. Фундаментальная система решений:
*1 х2 х3 *4
8 —6 1 0
—7 5 0 1
725. Общее решение: xs = —% х‘ 4" 5-*г. х4 — у х‘ — ^Хг'
Фундаментальная система решений: х4
xi х2 х3
1 0 5 2 +1
0 1 +5 —7
726. Общее реш Фундаментальная ение: л систем *1 :4 = — а репк х2 9х,4- гний: *8 6-V2 "4" 4 Х4 Вх3 д xt 3xj ~|- 2а^2 "4" :6— 4
1 0 0 4 3^ 4
0 I 0 3 2 1 2
0 0 1 —2 1
727. Система имеет только нулевое решение. Фундаментальной системы решений не существует.
vno /ЛД -9Xi~4“3X2---10Xg --З.Х( Xg 4Xg
728. Общее решение: х4 =------- 1 , xs =------—1--------
Фундаментальная система решений:
xi Xs Хз Х4 xs
1 0 0 9 11 3 11
0 1 0 3 11 11
0 0 1 10 11 4 11
729. Система имеет только нулевое решение.
730. Общее решение: xt — х4 — х6, х2 = х4 — хв, х3 = л4.
Фундаментальная система решений:
Xi Л2 Хз х4 х5 х3
1 1 1 1 0 0
—1 0 0 0 1 0
0 —1 0 0 0 1
781. Общее решение: хг = 0, х2 бодные неизвестные. Фундаментальна» _ хз~ -2х6 V Л ~ ~ «««
3 * -А-4 v, лз, л5 VJ5V" система решений
Xi х2 Хз х4 Хз
0 1 3 1 0 0
0 1 w| ьэ 0 0 1
732. Общее решение: х, —— Зх3— 5х6, х2 — 2х3 Ц- Зх6, х4=0, где х3, х5 — свободные неизвестные. Фундаментальная система решений:
Xi х2 Хз х4 Хз
—3 2 1 0 0
—5 3 0 0 1
785. Xi = 13с, х2 = 2с, х3 = 7с.
786. х1 = 4с1, х2 = 8с2, х3 =— Зс1-|-Зс2, x4 = cL— с2.
787. х1=2с1, х2 = с2, х3 = Зс3, х4 = —3с1—с2—4с3, х5 = — с3.
788. Xi - 14сь х2 = 42с2, х3 = 42с3, х4 =—3ci-|-3c2— 9с3, х3 =— 8С(-|-8с2 — 10с3.
789. Xi = Cj—7с2, х2 = 2С]6с2, х3 = с1-{-Зс2, х4 =— 4сь хе — — 5с2.
740. Xi = llC], х2 = 33с2, х3 =—24с[—57с2, x4 = 5C]+5c2, х3 — — с1—с2.
741. Строки матрицы А не образуют, строки матрицы В образуют.
742. Четвертая строка вместе с любыми двумя из первых трех строк образует фундаментальную систему, а остальные системы строк—не образуют.
743. Указание. В первой части задачи применить результат задачи 734. Во второй части показать, что если значения свободных неизвестных в некоторой системе решений дают линейно зависимые строки, то и вся система решений линейно зависима.
748. У казание. Приписать к матрице системы сверху любую из ее строк и определитель полученной матрицы разложить по первой строке. Использовать задачу 746.
749. Частное решение: х1 = — 2, х2 — — 6, х3 = 7. Общее решение: Xi — — 2с, х2 = — 6с, х3 — 7с.
750. Частное решение: xt = 3, х2 = — 2, х3 = 0. Общее решение: xt = Зс, х2 = — 2с, х3 = 0.
751. Частное решение: xt =— 6, х2 = 11, х3 =— 9, х4 = 4. Общее решение: xt — 6с, х2 =—11с, х3 = 9с, х4 — — 4с.
752. Частное решение: xt — 3, х2 = 0, х3 = 4, х4 = 0. Общее решение: Xi = Зс, х2 = 0, х3 = 4с, х4 = 0.
754.
я п
а) 2 aijxi — 2bi (z = l, 2, ..., s); б) адх/ = М, (« = 1, 2,..., s).
7 = 1 /=1
755. В обоих случаях необходимым и достаточным условием является однородность данной системы.
756. При условии, что сумма коэффициентов данной линейной комбинации равна единице.
757. Первое неизвестное в любом решении принимает значение, равное нулю. Если коэффициенты при всех неизвестных, кроме первого и, например, второго, равны нулю, то второе неизвестное принимает определенное значение, которое находится из уравнения, содержащего ненулевой коэффициент при втором неизвестном, если отбросить там все члены с другими неизвестными; в этом случае все неизвестные, начиная с третьего, могут принимать любые значения. Если же, по крайней мере, три неизвестных (например, xt, х2 и х3) встречаются с ненулевыми коэффициентами, то все неизвестные, кроме первого, могут принимать любые значения, причем их значения в каждом решении связаны одним соотношением, полученным из любого уравнения системы, содержащего ненулевой коэффициент при втором неиз^'' вестном, если выбросить член с первым неизвестным.
Равенство нулю всех коэффициентов при первом неизвестном или при всех неизвестных, начиная со второго, при условиях задачи невозможно.
’ 758. Необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных уменьшался на единицу при вычеркивании Л-го столбца, иными словами, чтобы Л-й столбец не был линейной комбинацией остальных столбцов этой матрицы.
759. Ранг расширенной матрицы (из коэффициентов при неизвестных и свободных членов) должен при вычеркивании Л-го столбца уменьшаться на единицу.
760. e — ad — hc = O.
761. Одно условие, выражающее неравенство нулю определителя D порядка г, и (s — г) (л — г-|-1) условий, выражающих равенство нулю определителей (г -f- 1)-го порядка, окаймляющих D.
Последние условия независимы, так как каждое содержит элемент, не входящий в другие условия, стоящий на пересечении окаймляющих строки и столбца и имеющий множитель D 0.
762. Либо, по крайней мере, два из чисел a, b, с, d, е равны —1, либо ни одно из них не равно —1, но тогда
а , b , с , d , е a-f-1 + Z> + 1 * с-Н + d+1 + «4-1
763. Л = af -J- bg Ц- ch = 0. У Казани е. Сложить все уравнения, предварительно помножив их соответственно на Лх, Лу, Лг, М. Получив условие Л = 0, определитель системы можно вычислить как кососимметрический по задаче 547.
764.
Xi У1
Х2 у2
Хз Уз
1
765.
х у
Xi У1
х2 у2
1
1 =0.
1
766.
bi Cj
b2 C2
bs C3
«1
as
= 0; это условие является достаточным, если в случае
трех параллельных прямых считать их общей точкой несобственную (бесконечно удаленную) точку данного направления. Если не допускать несобственных точек, необходимым и достаточным условием будет равенство (/Zi bi \ i bi С] х
а2 b2 I и I Ь2 с2 !•
b3J \ а3 Ь3 с3 /
(Х1 У1 1
х2 у2 1
хп Уп 1
должен быть менее трех.
(а1 bt Ci \ а2 b2 < с2 j ап Ьп СП / должен быть менее трех. При недопущении несобственных точек ранг при-(ai bi х
а2 Ь2 j ап Ьп /
769. х1 + у? -«1 У1 1 770. х24-у2 х у 1
^4-у! х2 У2 1 •«14-У1 Х1 У1 1
= 0. = 0.
Хз + Уз хз Уз 1 •«24-У2 х2 У2 1
Лд + у! х4 У4 1 х1 + у1 хз Уз 1
771. х2-|-у2 — 4х—1=0. Центр в точке (2,0). Радиус равен У5.
772. У казание. Использовать ответ задачи 770.
778. х2 ху у2 х у 1
xi х1Уг У? xi У1 1
х2 Х2У2 У2 х2 Уг 1
= 0.
хз хзУз Уз хз Уз 1
Х4у4 у* х4 у4 1
х5 хзУ5 У5 х5 Уз 1
774. Гипербола — -gg- = 1.
775. 2х2 4- 7у2 4- у — 8=0. Это — эллипс с центром в точке (0,--
15 i/T7 15
и полуосями длины -gg У 14 и причем большая ось параллельна оси абсцисс, а малая лежит на оси ординат.
776. Х1 У1 Z1 1 777. X У Z 1
х2 У2 г2 1 = 0. 1 1 1 1 = 0,
Х3 Уз 2з 1 2 3 —1 1
х4 У4 Z4 1 3 —1 —1 1
или 4х + у Ц- 3z — 8 = 0.
778. Если допускать несобственные (бесконечно удаленные) точки, то
«1 bl С1 di
^2 b2 с2
«з Ьз с3 ^3
С4 d4
Если же не допускать несобственных точек, то ранг матрицы
<Zi с, d{
^2 C2 ^2
аз *з С3 d3
Ь4 £4 ^4
не должен изменяться при вычеркивании последнего столбца. .779. Ранг матрицы
^1 Ь^ Cj rfj
П-2 ^2 Cg d2
an bn cn dn
равен двум и не изменяется при вычеркивании последнего столбца.
780. х2 + У2 + г'2 х у z 1
•^i+yi + ^i У1 zi 1
•^г + Уг + ^з х2 У2 г2 1 = 0.
*3 + Уз + гз хз Уз гз 1
х4 У4 + х4 У 4 z4 1
781. x2у2г2— x — 2 = 0. Центр находится в точке 0, 0J.
Радиус равен
„ 782. Система трех линейных уравнений с двумя неизвестными, в которой расширенная матрица н три матрицы коэффициентов при неизвестных для любой пары уравнений все имеют ранг 2.
783. Система трех линейных уравнений с двумя неизвестными, в которой ранги матриц из коэффициентов прн неизвестных в любой паре уравнений равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трем.
784. Система трех уравнений с тремя неизвестными, в которой ранги всех матриц из коэффициентов при неизвестных любых двух, а также всех трех уравнений равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трем.
785. Система четырех линейных уравнений с тремя неизвестными, в которой ранги матриц из коэффициентов при неизвестных любых трех уравнений равны трем, а ранг расширенной матрицы равен 4.
786. Четыре плоскости проходят через одну точку, причем никакие три из них не проходят через одну прямую.
787. Если не рассматривать несобственные (бесконечно удаленные) прямые н плоскости, то уравнения вида 0л-|-0у = я и Ох -ф- Оу Oz = а при а, не равном нулю, не имеют геометрического смысла, а при а = О удовлетворяются координатами любой точки плоскости или пространства. Исключая уравнения такого вида и обозначая ранг матрицы из коэффициентов прн неизвестных через г, а ранг расширенной матрицы через имеем:
Для систем с двумя неизвестными:
1. г = 2, г, = 3. Система не имеет решений. Прямые не проходят через одну точку, причем хотя бы две прямые различны и пересекаются.
2. г = — 2. Система имеет единственное решение. Прямые проходят через одну точку, причем хотя бы две прямые различны.
3. г = 1, Г] — 2. Система не имеет решений. Прямые параллельны или совпадают, причем хотя бы две прямые различны.
4. г = = 1. Решение зависит от одного параметра. Все прямые совпадают.
Для систем с тремя неизвестными:
1. г = 3, г1 = 4. Система не имеет решений. Плоскости не проходят через одну точку, причем хотя бы трн нз них различны и проходят через одну точку.
2. г = = 3. Система имеет единственное решение. Плоскости проходят через одну точку, причем хотя бы трн из них не проходят через одну прямую.
3. г = 2, Г1 = 3. Система не имеет решений. Плоскости не проходят через одну точку, причем хотя бы три плоскости различны и любые три различные плоскости либо не имеют общей точки, либо проходят через одну прямую.
4. г — ri = 2. Решение зависит от одного параметра. Все плоскости проходят через одну прямую, причем хотя бы две из них различны.
5. г = 1, = 2. Система не имеет решений. Плоскости параллельны или
совпадают, причем хотя бы две из них различны.
6. г = г1 = 1. Решение зависит от двух параметров. Все плоскости совпадают.
Отдел III. Матрицы и квадратичные формы
788. /5 2\ 789. /яа-ф-бу яР-ф-W
V 0/ (,са -ф- dy + df>,
790. / 1 5 —5
1 3 10 0
\2 9 —7
791. /11 —22 29 \ 792. [10 1 7 19 23 793. 8 6 4 2
9 —27 32 ]. 17 23 27 35 5 0—5 —10
\13 —17 26/ 16 12 9 20 • 7 7 7 7
7 1 3 10 10 9 8 7
794. Ю 0\ 795. 0 0 0 0 796. /2 0\
<0 о/" 0 0 0 0 \0 3/'
0 0 0 0 •
0 0 0 0
804. /1 л\ 80S. /Л"
(о 1/ \0 Лл /
800.
1 3 6 ... —
о 1 3 ... -(--~21)и.
о О 1 ... (»-2)(«-1)
где п — порядок данной матрицы.
807.
808.
О 0 0 ... 1
1 Л1! s>n—l'
1 ъл-1 ьл-1 ьл-1 ••• ьл-1
О 1 cti ... С"~1
О О I ... с“~Л
0 0 О 0 ... 1
/3197 —1266\ 809. /190 189
\7385 — 922/' | 126 127
\252 252
811. а) l-я и j-я строки произведения поменяются местами; б) к Z-й строке произведения прибавится j-я строка, умноженная на с; в) Z-й и J-й столбцы произведения поменяются местами; г) к Z-му столбцу произведения приба-зится /-столбец, умноженный на с.
822. / а 2Ь ' \ЗЛ «4-3i,
, где а и b — любые числа.
823.
а ЗЬ' ' — 5Ь а-±-9Ь,
, где а и Ь— любые числа.
824. /а b с\ 823. fa b с d
I 0 a b ). О а b с
\О О а) О О а Ъ
ОООа
826. c = cos———|-/sin—— (6=0, 1, 2,..., п — 1), п— порядок матрицы А.
827. г 21 —23 15ч 828. /О 0 Оч
f(A) =| —13 4 10 ]. I 0 0 0 |.
\— 9 22 25/ \0 О О/
830. У казаки е. Матрицы порядка п считать «’-мерными векторами.
831. Указание. Применить задачу 814.
Замечание. В задаче предполагается, что элементы матриц А и В — числа. Для поля характеристики р =/= 0 результат неверен. Так, для матриц порядка р
имеем АВ — В А = Е.
882. !а Ь\
I I, где а> с — любые числа, удовлетворяющие соотношению a2 -f- Ьс = 0.
(tt b\
I с d]’ то А* = (a-]-d)ft_1 А.
(а Ь\
I, где а2 4- Ьс = 1.
с — а)
835. Если | А | =/= 0, то X — 0; если | А | = 0, но А 0, причем отношение элементов первого столбца матрицы А к соответствующим элементам (л у \
I при любых х, у; если оба элемента — ах — ау/
второго столбца матрицы А равны нулю, но хотя бы один элемент первого /О 0\
столбца отличен от нуля, то X = I I с любыми х, у; если А = 0, то У/
X — любая матрица.
839. I cos a sin а \ 840. \— sin а cos а/ ’
1 — 1 1ч —38 41 —34 I. 27 —29 24/
841.
—8 29
—5 18
1 — 3
—11
— 7
1
842. /—7/з 2 -7з \ 843. /1 2 2\
7з —1 -7з 1 • /в I 2 1 —2 •
\ — 2 1 1 \2 —2 1 /
844. 1 1 1 1 845. 22 —6 —26 17
74 1 1 —1 -1 —17 5 20 —13
1 —1 1 -1 • — 1 0 2 — 1
1 —1 —1 1 4 —1 — 5 3
845. 848. 1 —1 0 ... 0 0 1 —1 ... 0 0 0 1 ... 0 ООО ... 1 1 — а 0 0 0 1 — а 0 0 0 1 — а ... 0 ... 0 ... 0 347.
1-1 1 -1 ... (-I)""1 j
0 1—1 1 ... (—I)"-2
0 0 1 —1 ... (—I)"-3
0 0 0 0 ... 1
п — порядок данной матрицы.
0 ... О О
О ... О О
О ... О О
Г ... оо
(— «)л-3...— а
1
850.
(-«)" (-й)"-1 (-а)”'2
1 —2 1 0 ... 0 °)
0 1 —2 1 ... 0 0
0 0 1 —2 ... 0 0
0 0 0 0 ... 1 —2
1о 0 0 0 ... 0 1
851.
л л—1 л —2 л—3
л —1
2 (л-1)
2 (л —2)
2 (л — 3)
п — 2
2 (л —2)
3(л —2)
3(л —3)
л — 3
2 (л — 3) 3(л —3)
4 (л— 3)
1
2
3
4
1
853—8591
853.
854.
1
а (л + а)
1 1—л—а 1
1 1 1—л — а
855.
1
1 —ajS 1
«1 “1^2
1 1 — a2s
1 а2а\ «2
1 s 1 1
«Зй1 й3«2
1 1 1
апа1 апа2 апа3
1 1 1 1
а1а3 а а а а1ал
1 1™
а2°3 а • • а&п
1 — a3s 1
«з а а а aian
1 —л — а
^Л
1 —
1
1
1
. , 1 , 1 . ,1 где s=l + — + —+ ••• + — •
Ct] U>2 О'П
857. — 7 5 12 — 19
3 — 2 — 5 8
41 —30 —69 111
—59 43 99 —159
858. 11—s 1 + s 1 ... 1 1
1 1 1—s 1+s ... 1 1
ns 1 1 1 — S...1 1
где s =
«(«+!)
2
1+s 1 1 ... 1 1—s
Указание. В системе уравнений для элементов k-ro столбца обратной матрицы из каждого уравнения от первого до (л — 1)-го вычесть следующее н полученные п — 1 уравнений сложить. Все неизвестные выразить через А-е.
859. (h — s Л + s Л ... Л h
1 h h — s Л + s ... Л Л
nhs h h h — s ... h h
Л + s Л Л ... А Л — s
где s = па + Л • ” — сумма элементов какой-нибудь строки (или.
столбца) данной матрицы.
860. 1 1 1
1 е-1 е~2
£ 1 е-2 е-4
п 1 е-3 е-6
1 ... 1
е"3 ... e-f'’"1)
е-6 ... е“2(п-1)
е-9 ... е-3<л-1>
д е-(-Л-1) е-2(л-1) е-3(л—1) е-(л-1)’
Указание. Написать уравнения с неизвестными хи х2, .... хп для определения элементов Л-го столбца обратной матрицы. Каждое уравнение помножить на такую степень е, чтобы коэффициент при определенном неизвестном Xj обратился в единицу. Полученные уравнения сложить.
861. /—1 —1\ 862. /3 —2\ 863. /1 2\
\ 2 ЗЛ (б —4/’ (з 4/"
864. /6 4 5ч 865. /1 2 Зч 866. /111ч
12 12 1. | 4 5 6 j. I 1 2 3 ).
\3 3 37 \7 8 97 \2 3 17
867. Общий вид решения:
(2 -|- Зе j 3 -|" Зс2 ч
2 j, где с1 и с2 — любые числа.
Cj с» /
868. Общий вид решения:
(2 — Зс] х
С‘ ~4~\
„ „ |, где Ci и с2—произвольные числа.
У — ос. f
Сг ----
869. Решения не существует.
870. Общий вид решения:
(7 — ЗС] 5—Зс2 7 — Зс3ч
С] с2 с3 I, где С], с2, с2 — произвольные числа. 5cj — 9 5с2—3 5с3 — 7/
871. 1 1 1 ... 1
0 1 1 ... 1
0 0 1 ... 1 •
0 0 0 ... 1
872. В матрице Л"1 соответственно: а) поменяются местами l-й и J-й •столбцы; б) i-й столбец умножится на —; в) из 7-го столбца вычтется 1-й, умноженный на с.
При преобразовании столбцов матрицы А аналогично указанному меняются строки матрицы Л-1.
879. ~и\
\ О Е{ г
881. При умножении А слева на f/t все строки А сдвигаются на одно место вверх, причем первая строка исчезает, а последняя заменяется нулевой.
При умножении А справа на Ht аналогичное изменение происходит со сдвигом столбцов вправо. При умножении на Н_х слева (справа) происходит такой же сдвиг строк вниз (соответственно столбцов налево).
890. Условие АВ —— В А удовлетворяется, например, для матриц:
л= 0 10 0 —10 0 0 0 0 0 —1 0 0 1 0 Св II 0 0 10 0 0 0 1 —1 000 0—100
Указание. При построении матриц Ан В воспользоваться указанием к задаче 1747.
897. Указание. Использовать значение взаимного определителя (задача 506) и свести задачу к предыдущей.
898. Указание. Использовать указание к предыдущей задаче.
899. У Казание. Использовать тождество задачи 502 или формулу Бинэ — Коши в задаче 499.
900. У Казани е. Использовать тождество задачи 504.
901. У Казание. Использовать формулу Бинэ — Коши в задаче 499.
902. Указание. Использовать формулу Бинэ — Коши в задаче 499. 903. У Казание. Использовать задачи 896 и 507.
904. У Казание. Использовать задачу 507.
905. Диагональные элементы равны ±1.
906. Диагональные элементы по модулю равны единице.
913. У Казание. Использовать формулу Бинэ — Коши, данную в задаче 499, или указание к той же задаче.
915. У Казание. Воспользоваться предыдущей задачей.
920. У Казание. Воспользоваться задачей 913.
921. Указание. Применить теорему Лапласа, неравенство Коши — Буняковского и формулу Бинэ — Коши (см. задачи 503 и 499).
922. У казаки е. Пусть п — число строк А, В, С\ k — число столбцов В, I — число столбцов С. Проверить выполнение неравенства в случаях k Ц- / > п и ранг А < k -f- / < п.
Показать, что при k / = п задача совпадает с предыдущей. Проверить, что неравенство обращается в равенство при k -|- / п и дополнительном условии В' С — 0. Наконец, в случае, когда ранг А = k -|- / < п, дополнить А до квадратной матрицы (A, D) = P= (В, Q), где Q = (С, £>), при помощи л — k — I линейно независимых столбцов так, чтобы A'D = 0 (это можно-сделать путем построения фундаментальной системы решений однородной системы уравнений с матрицей А'), применить предыдущий случай к матрицам Р = (Л, D) и Q = (С, D) и принять во внимание, что Р = (В, Q) и ID'D |>0.
923. У Казание. Несколько раз применить неравенство предыдущей задачи.
924. У Казание. Применить повторно неравенства задачи 922.
925. У Казание. Применить рассуждения, аналогичные приведенным в указании к задаче 922.
926. Указание. Повторно применить неравенство предыдущей задачи, и использовать ответ задачи 532.
927. Перестановка z'-й и j-й строк или z-ro и J-ro столбцов получается при умножении на матрицу, элементы которой = 1 длй k, не равного I, j, Pij = pji = 1, а все остальные нули.
Умножение i-й строки (столбца) на число с =£ 0 получается при умножении на матрицу, отличающуюся от единичной лишь тем, что z'-й элемент главной диагонали лц равен с. Прибавление к i-й строке J-й строки, умноженной иа с, получается при умножении слева на матрицу, отличающуюся от единичной лишь тем, что элемент рц — с.
Для аналогичного преобразования столбцов надо умножить на аналогичную матрицу, у которой рр = с.
У казани е. Для определения вида искомых матриц проделать данное элементарное преобразование над единичной матрицей, порядок которой равен числу строк матрицы А в случае преобразования строк и числу столбцов А в случае преобразования столбцов. Проверить, что полученные матрицы удовлетворяют требованиям задачи.
92В. Указание. Использовать задачу 927 и показать, что преобразование типа а) можно заменить несколькими преобразованиями типов б) и в).
929. Указание. Воспользоваться задачами 617 и 927.
930. Указание. Использовать задачу 623.
931. Указание. Применить к матрице А задачу 929 и воспользо--ваться задачами 915, 930 и 914.
933. У казани е. Использовать задачу 927.
934. 24 3 —4 —8
-23Д —1 2 72
10 1 —2 —3
— 5 0 1 1
935.
—1 2 —1 •.
*/4-9/4 3/2|.
74 3А -72/
936. -7в 72 -7е *7з‘
-7б -72 7. -5/з
72 7г -72 1 •
72 72 -72 1
93В. Указание. Для доказательства необходимости принять за В лю-•бой ненулевой столбец матрицы А.
939. У к а з а н и е. При доказательстве необходимости принять за В матрицу из любых г линейно независимых столбцов матрицы А; i-й столбец матрицы С составить из коэффициентов в выражении z’-ro столбца А через • столбцы В. Использовать задачу 914.
941. У казани е. Использовать задачи 626 и 931.
943. У казанн е. Целочисленными элементарными преобразованиями привести данную матрицу А к нормальной матрице. Для этого, выбрав наименьший по абсолютной величине из не равных нулю элементов, путем целочисленных элементарных преобразований заменить элементы строки н столбца, в которых стоит этот элемент, их остатками при делении на него. Повторять так, пока все элементы i-й строки н /-го столбца, кроме й/у, не обра
тятся в нуль. Если какой-то элемент a^i в новой матрице не делится на
то к z’-н строке прибавить k-ю и вновь перейти к остатку. Повторять так, пока все элементы некоторых р-й строки и q-ro столбца, кроме apQ, будут нулями и все другие элементы будут делиться на apq. Затем перевести ар9 в левый верхний угол и начать аналогичные преобразования с уменьшенной матрицей, полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, и т. д. Для доказательства единственности нормальной формы обозначим через наибольший общий делитель всех элементов матрицы А ранга г с т строками и п столбцами при k — 1, 2, ..., г и положим Аг — О при г < k т, п. Показать, что делители миноров dk не изменяются при цело
численных элементарных преобразованиях и что элементы еь е2, ... на главной диагонали нормальной матрицы, эквивалентной Л, связанной с делителями мнноров равенствами dk = elt е2, .... ек (k т, п), откуда
ек — ,dk~ (k = 1, 2, ..г) и ек = 0 для г < k < tn, п.
“А-1
944. У казание. При доказательстве возможности требуемого представления использовать задачу 927. При доказательстве единственности из двух представлений А — PtRi — P2R2 вывести, что матрица С = Р^Р^ = = /?2^f1 является целочисленной, унимодулярной н треугольной, элементы которой на главной диагонали положительны и, значит, равны единице. Затем, приравнивая в равенстве CRi = R2 (ft-f-l)-ft, (й-|-2)-й и т. д. элементы ft-й строки, показать, что. все элементы матрицы С справа от главной диагонали равны нулю, т. е. С = Е.
945. У казание. Использовать задачу 927.
949. Р е ш е н и е. Приведем матрицу А к верхней треугольной матрице С следующими элементарными преобразованиями строк: a11=d1 =£ 0. Вычитая первую строку, умноженную на подходящие числа из остальных строк, приведем матрицу А к виду
а11 а12 а13 ••• ащ
Л1 _ 0 а22 а23 ••• а2я
о а\2 а1л3 ... а1пп
так как при этом миноры, содержащие первую строку, не изменились, то d2 = аиа22 0> откуда: с|2 ¥= 0. Вычитая вторую строку матрицы Л1 с подходящими множителями из нижележащих строк, обратим в нуль вторые элементы этих строк и т. д. После г шагов обратятся в нуль все элементы первых г столбцов, стоящие ниже диагонали. Так как ранг полученной матрицы Л<г> = С равен рангу А, т. е. равен г, то все элементы последних п — г строк матрицы С равны нулю и, следовательно, С — верхняя треугольная матрица. В силу задачи 927 С = РА, где Р—произведение ряда нижних треугольных матриц, т. е. снова нижняя треугольная матрица А = Р~1С = ВС, где В — Р~1— нижняя треугольная матрица. Этим существование разложения вида (2) доказано.
Пусть дано любое представление вида (2). По формуле для миноров произведения матриц (задача 913) имеем:
/1, 2....ft —1, f\_
А (1, 2, ..., k — 1, k]
_ V в ( ....*—1’ z'\ с J2’ • •• Jk-ъ Jk\
vi, A.....Jk—iiJk/ U, 2, .... ft—1, kJ'
Но первые k столбцов матрицы С содержат лишь один минор ft-го порядка,, отличный от нуля, поэтому:
А 11, 2, .... к — 1, i\_B!l, 2..k — 1, Z\ 11, 2.....ft\_
U, 2, .... ft —1, k)~B{l, 2, .... k — 1, kJ \1, 2.kJ
= *n*22 ... k-ibikCiiCaa ... C/eft (z = ft, ft +1.n\ ft = 1, 2. ..r). (a),
Полагая здесь i = k, найдем:
dk— ЬцЬ22 ... Ь^СцСгг ... Chh (A=l, 2, .(б)
Деля (б) на аналогичное равенство с заменой k на k — 1, получим (3). Деля (а) на (б), получим первую из формул (4). Вторая формула получается аналогично.
Пусть D — любая неособенная диагональная матрица с элементами di, d2, ...,dn на главной диагонали. Тогда A=BC=(BD) (D~XC). Матрица BD получается из В умножением столбцов на dit d2, d3...dn. Матрица D~XC
получается из С умножением строк на D^1, ..., D~x. Поэтому диаго-
нальные элементы В к С можно брать любыми при условиях (3). В произведении ВС элементы последних п — г столбцов В умножаются на элементы последних п — г строк С. Поэтому если одни из этих элементов положить равными нулю, то другие можно взять любыми.
951. У Казание. Применить решение задачи 949 и показать, что при условиях bbk = cbk — 1/ ,rffe условия (3) удовлетворяются и условия (4)
дают: bib = cf;i (i — k -|~ 1, k -|- 2..п, k = 1, 2......г).
/6\ /2 4\
952. АВ — С = (Си), где С11 = [ 1, С12 = /д 6/ = ^22==
/6 2 4\
= (9,1), С = ( “ ,2) = 1 9 9 6 .
\ 21 22/ \8 9 1/
954. Указание. Рассмотреть произведение /-й клеточной строки на /-й клеточный столбец.
957. Р—квадратная клеточная матрица с квадратными единичными клетками порядков mt, т2.... ms по главной диагонали, причем клетка,
стоящая на пересечении i-й клеточной строки и j-ro клеточного столбца, совпадает с матрицей X, а все остальные внедиагональные клетки равны нулю. Аналогично Q — клеточная матрица с квадратными единичными клетками порядков «1, п2, ..., nt на главной диагонали, матрицей Y на пересечении J-й клеточной строки /-го клеточного столбца и нулевыми клетками на других местах.
958. Указание. Из второй клеточной строки вычесть первую, умноженную слева на матрицу СА~\ и, пользуясь предыдущей задачей, показать, что при этом ранг не изменится.
959. Р е ш е н и е. Тот же ряд элементарных преоб[
переводит матрицу Р в Plt переводит матрицу Т =
А, В{ \
I. По предыдущей задаче ранг Т равен п.
О X— С А 1В /
Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы, то ранг 71= рангу Т = п и ранг А{= рангу А — п. Поэтому X — СА~ХВ = О; X — СА~ХВ.
зований, который А В \
— С — СА~ХВ/
в матрицу Т1 =
960. /—20 8 Их. 961. л = 1, у = 2, г = 3.
А-1 = I 17 —7 —9 I
2 1 1/
/9 8\
962. Л = 1 „ ).
\2 3/
963. Р е ш е н и е. Свойства а) и б) легко следуют из определения кро-некеровского произведения. Для доказательства в) будем писать в качестве индексов при элементах кронекеровского произведения не номера пар, а сами пары (причем числа одной пары будем писать рядом и без скобок). Положим АВ = F, CD — G, F\G — Н, Л X С = Р, By^D = Q. Тогда
т п
bhht J1J3 ^ht J А*Ji Ji ^h* h
з-I t-1
= 2 aib'sci„ tbs, jtdt, л = 2 Pith,, fist, j de s,t S,t
откуда H=PQ.
964. а) Для правого прямого произведения надо взять лексикографическое расположение пар: (1, 1), (1, 2),(1, п), (2, 1), (2, 2), (2, п), ...
..., (т, п). Для левого — расположение (1, 1), (2,1), ..., (т, 1), (1, 2), (2, 2), ... ..., (т, 2), ..., (т, п), получающееся путем лексикографической записи тех же пар, читаемых справа налево. Свойства б), в), г) непосредственно вытекают из определения. Свойство д) следует из соотношений в) предыдущей и г) настоящей задачи. Свойства левого произведения вытекают из соответствующих свойств правого при помощи соотношений б).
965. Указание. Показать, что изменение нумерации пар не меняет определителя | А X ВI, н, пользуясь свойством в) задачи 963, представить его в виде IА X В | = | (АЕт) X (ЕпВ) | = | Л X Еп I • \ЕтХВ\ = | Л‘Х£П|Х X I Ет X & | •
966. У казание. Использовать положение, что из |Л| = 0 следует ранг А < 1, доказанное в задаче 630.
967. Р е ш е н и е. Положим АВ = С и обозначим соответственно через Лу, Btj, Сц алгебраические дополнения, а через M^Ny, Рц — миноры элементов в /-й строке и /-м столбце матриц Л, В, С.
Тогда, применяя выражение минора произведения двух матриц через миноры этих матриц (задача 913), находим:
п
Сц = сл = (~l)'+i Pfi = (-1)>+/ 2 MjkNM =
п п п
= 2 (-1)7+* (-\)k+lNkl = 2 AikBki = 2
л-1 Л-1 Л-1
откуда С — В • А.
Для неособенных матриц А и В тот же результат получается короче так: по предыдущей задаче А = | Л | • Л"1; отсюда (АВ) — | АВ | (ЛВ)-1 = = | Л | • | В | В-1Л-1 = ЁА. Для матриц с числовыми элементами случай вырожденных матриц получается предельным переходом. Многочлен от А, равный определителю | А -}- А£ |, имеет степень п и не более л корней. Поэтому можно взять последовательность чисел: Аь Л2, .... Иш A* = 0 fe->oo
такую, что матрицы Л ф Zft£ и Вф Aft£ будут неособенными. По доказанному [(Л ф- Ай£) (В А*£)]'' = (В-j-Aft£)'' • (Л4-Ай£)~. Переходя к пределу при k -> со, получим (ЛВ) = В А.
968. Указание, а) Следует из задачи 913; б) доказать Для случая, когда ]Л] = 0, пользуясь задачей 747, а для ]Л] ф= 0— соотношением
Л = | A | • CA'~'C, где С — диагональная матрица с элементами 1, —1, 1, —1 ... на главной диагонали.
969. Указание. Применить задачу 913.
970. Например, нумерация сочетаний в лексикографическом порядке, при котором сочетание il<i2< ... <ip предшествует сочетанию jt <j2<... <jPi если первая отличная от нуля разность у, —z"i, j2—i2, ..., jp—ip положительна.
971. У казани e. Доказать предложенное равенство сначала для треугольной матрицы А, пользуясь тем, что изменение порядка нумерации сочетаний не меняет определителя ассоциированной матрицы Ар, и применяя предыдущую задачу. Общий случай свести к треугольным матрицам при помощи задач 928 и 969.
972. Решение. В силу задачи 956 из АВ = Еп следует АрВр = EN, где N отсюда
г'1. г2.
Ль k2.
в
р
1, если У, (Js — ksY — О,
5 = 1
р
О, если 2 (Л — > °
5=1
J < Л<Л< ... <Л><л’ , kt<k2< ... <kp^ ,
(2)
С другой стороны, по теореме Лапласа находим:
'Л. /2. • • - jp\ л ('Л) /Ч 4 • • •• k'n-P
• ; • I’ I J .t .r
.lV l2’ lp) \ll< •••< ‘n-p
P
I A |, если </'* — ksY = °> 5=1
P
О, если 2 Us — >0,
5=1
(3)
где i{ < i2 < ... < in_ вместе c < z2 < ... < ip и < k2 < ... < kn вместе c < k2 < ... < kp составляют полную систему индексов 1, 2,
Так как система линейных уравнений с неособенной матрицей Ар при заданных свободных членах имеет единственное решение и так как правые части равенства (3) отличаются от правых частей соответствующих равенств (2) только множителем | А |, то таким же множителем должны отличаться и .левые части, откуда и вытекают требуемые равенства (1).
973. Указание. Применить теорему Лапласа и задачу 903.
974. Указание. Применить теорему Лапласа и задачу 903.
975. /1 0\ 976. /Х4-1 0 \ 977. /1 0\
(о Л2/ \ 0 ЛЗ-4-А2—2Х—2/‘ \0 А.2-4-5Л./*
978. /X—1 0 \ 979. /1 0 0\ 980. /Л0 0 \
\ 0 (X-t-l)(X —I)3/’ |0Л0|. 10 Х24-Л 0 I.
\0 0 0/ \0 О Л3+Л2/
981. /1 0 0 \ 982. /1 0 ° \ 988. [х 0 0 \
|0 1 О I. IО Л2+Л О I. |0Л О I.. ко О (X —2)3/ \0 О Х3+2Х2+Х/ \0 0Х2+;Х/
984. Указание. Доказать, что многочлены Dk (X) не изменяются при элементарных преобразованиях и что в случае нормальной диагональной формы Dk (X) = JJ Et (X) (А = 1, 2, ..., и).
Z-1
985. /1 0 Ох 0 Х(Х—1)(Х —2) 0 1
986. ко 0 /X 0 0 X кО 0 Х(Х- Л (Л — 1) (X —2) / ° \ ° ) -1) (X — 2) (Л —3) /
987. 10 0 0 0 р 0 0 0 0 J3 0 , где р = (Х — 1)(Х — 2)(Х — 3) (Л — 4).
988. 0 0 0 р 10 0 0 0 р 0 0 0 0 р 0 0 0 0 р2 , где р — произведение многочленов a, b, с, d, деленное на произведение старших коэффициентов этих многочленов.
989. / d (X) 0 \
f W g W 1, где d (X) — наибольший общий делитель к ctf(X) /
многочленов f (X) и g (X), имеющий старший коэффициент, равный единице, ис — произведение старших коэффициентов этих многочленов.
990. /10 Ох
I 0 fgh О I.
\о о fgh!
991. (abc О О
О
О
fgh abc
О
О fgh
где а, Ь, с — соответственно наибольшие общие делители для g и h, f и h, fug, взятые со старшими коэффициентами, равными единице.
992. abc 0 0
0 d2fgh abc 0
О 0 4*
а
981. /1 0 0 \ 982. /1 0 0 \ 983- /1 0 0 \
(° 1 ° )• I О Л2+Л о ). |0Х О I..
\0 О (X —2)3/ \0 О Х3+2Х2+Х/ \0 0Х2-+;Х/
984. Указание. Доказать, что многочлены Dk (X) не изменяются при элементарных преобразованиях и что в случае нормальной диагональной k
формы Dk (X) = JJ Ej (X) (k = 1, 2.л).
/ = 1
985. / 1 0 ^.0 0 Х(Х —1)(Х-0 ° \ -2) 0 1. Х(Х —1) (X —2)/
986. / X 0 ° X
0 X ° Г
хо 0 Х(Х —1) (X —2)(X—3) /
987. 1 0 0 0
0 р 0 0
0 0 р 0 ’ где р = (Х — 1)(Х— 2)(Х — 3) (X — 4).
0 0 0 р
988. 1 0 0 0
0 р 0 0
о 0 р 0 ’ где р — произведение многочленов а, Ь, с, d,
деленное на произведение старших коэффициентов
0 0 0 р2 этих многочленов.
989. /d (X) 0
л f W g (X) I. где d (X) — наибольший общий делитель
cd (Е)
многочленов f (X) и g (X), имеющий старший коэффициент, равный единице, и с — произведение старших коэффициентов этих многочленов.
990. /1 0 Ох
991. ° \0 abc fgh 0 1. о fgh! 0 0
0 0 abc 9
где а, Ь, с 0 0 fgh — соответственно наибольшие общие делители для g и Л, / и Л,
f и g, взятые со старшими коэффициентами, равными единице.
992. abc 0 0
0 d*fgh abc 0
0 0 fgh d
где d— наибольший общий делитель /, g и h; и а, Ь, с — соответственно наибольшие общие делители g и h, f и Л, f и g, причем старшие коэффициенты всех многочленов a, b, с, d равны единице.
993.
99S.
996.
997.
999.
1 0 0 О
1 о о о о
1 о о о
1 о о о
1 о о
1
ООО 1 о о 0 10' о о
ООО о 10 0 о 0 10 о 0 0 1 о
994. (1
о о
1 о
0 12 о о
о о о I2
, где / (Л) = Л®-|-5Л4-j" 418 + ЗЛ2 + 211.
ООО /(1) 0 0 о
, если ₽ =# 0, или
О 0 |(14-а)’ + ₽2]2
0 0 О
10 0
если В = 0.
О (14-а)2 О
О 0 (14-а)2
О 0 \ 998. /1—1 О О
1 — 3 0 ). 10 1 — 1 О
О (1—З)2/ \ 0 0 (1—I)2
1 о о
О 1 о
о о о
о
где п — порядок данной матрицы.
1"
1000. Эквивалентны. 1001. Не эквивалентны.
Ю02. Матрицы А и С эквивалентны между собой и не эквивалентны матрице В. 1003. Единичная матрица.
1003. Указа н и е. Воспользоваться тем, что элементарное преобразование строк матрицы А сводится к умножению А слева (а столбцов справа) на специальную унимодулярную 1-матрицу. Далее, если B = PsPs_l ... ... PtAQtQi где Pb Qj — специальные унимодулярные 1-матрицы, то положить Р = PsPs_t ... Р{Ет и Q = EnQiQi • • Qt- При доказательстве достаточности использовать ответ задачи 1003.
А -|124-^1-1
1-1 112—14-у
1007.В=
7.4-2 0
, О К24-4Л4-4,
/1 0 Ох /-2Х-3 О
1008. В=1 О X —1 О 1; £=( —3 —1
\0 0 X3 —X2/ \ 1 О
— X2 —2Х \ Х34-2Х24-1/' 2X4-4
4
—1
, 1 —х34-х2—х-4-i о
q=I х —х44-х3—х24-Х4-1 о
\ —X — 1 X4 —2 1
1009. Например,
П _1
/_ЗХ2-|-9Х4-8 ЗХ2 — 9Х4-4Х 2 4
—2Х24-6Х-|-5 2Х2 —6X4-3/’ Q~ 2
° 2
1010. Например,
/1 —1\ / — Х24-Х4-1 —2Х24-Х-|-2\
(о 1 /’ X —1 2Х —1 /’
1011. Например,
/ 1 О Ох
I 11X4-8 —И 0 );
\ 2Х- I —2 1/
/ —2Х —1 —X —1 —Х24-Х
Q = [2X24-X4-2 х24-Х4-1 X3 —X2 —1
\ О О 1
1012. Например,
/ 1 0 Ох
Р = | — ЗХ2—2X4-1 Х24-Х 1 ];
\ — 6Х2—4Х-|-4 2ХЧ-2Х-1 2/
1013. Например, Р
/ — х 4-1 — х Q = I — Х4-2 —Х4-1
\ X —1 X
/—3 _5 Ох
Q=( 5 8 0).
\ 0 0 1/
-X2 X — X2 I. х24-1/
/ о
1014. Например, Р = I —1
1
1015. Ei (X) = 1; Е2 (X) = X — 1; Е3 (X) = (X — 1) (X2 — 1).
1016. £, (X) = X 4-1; Е2 (X) = X2 — 1; Е3 (X) = X3 — X.
1017. (Х) = Х24-1; £2(Х) = Х3 —Х24-Х —1; £3 (X) = £4 (X) = 0.
1018. £1(Х)=1; £2(Х) = Х2 —Х4-1; £3(Х) = Х3-1-1; £4(Х) = 0.
1019. £1 (X) = ... = £„ (X) = 1; £„+1 (X) = Хл+'.
1020. £i(X)= ... =£„_1(Х)==1; £„ (X) = (X — а)л, если ₽ =И= О, £iW= =£«(^) = ^ — а, если ₽=0.
У Казани е. При ₽ 0 показать, что делитель миноров £>n-i W = Ь
Для этого убедиться, что минор, полученный вычеркиванием первого столбца и последней строки, не обращается в нуль при Х = а.
1021. Х4-1, (X —I)2. 1022. Х4-1, X— 1, X—1.
1023. Элементарных делителей не существует.
1024. Х4-1, (X—I)2, X—1, Х4-2, Л4-2, Х4-2. '
1025. Элементарных делителей не существует.
1026. В поле рациональных чисел: Л2 -|~ 1, Л2 — 3; в поле действительных чисел: Х2-|-1; Х4-/3, Л — /3; в поле комплексных чисел:
Л •— Ц К -J" •
1027. В поле рациональных чисел: Л2 — 2, (Z2 -{- 4)2, X2 4~ 4; в поле действительных чисел: X-f-/2, X —/Т, (X2 4-4)2, Х24-4; в поле комплексных чисел: Л + /2, Л —1^2, (Л + 2г)2 (Л — 2г)2, X + 2Z, X —2г.
1028. В поле рациональных чисел и в поле действительных чисел: (X—I)2, (Х4-1)2, X-f-l, (X2 — X-f-l)2, X2 — X —J— I; в поле комплексных чисел:
(Х-i)2, (Х-Н)2. * + 1. (х—. (х-—j —)\
х-1+^1, X-
0 о
о о
X2 —1 о
О X4 —2Х2 + 1
о о
о о
Х3 + 2Х2 —4Х —§ О
1029. 1 0
о х-{-1
0 0
0 0
0 0
1030. 1 0
0 Х-4-2
0 0
0 0
1 —1/3 2
О
О
О .
О
О
О
О
о
X6 —12Х4 + 48Х2—64
1031. 1 0 0 0 0
0 X—1 0 0 0
0 0 Х2-|-Х —2 0 0
0 0 0 Xs -I- X4 — 5Х3 — X2 + 8Х — 4 0
0 0 0 0 0
1032. Указание. Пусть е (X) — какой-нибудь неприводимый множитель, входящий в разложение хотя бы одного диагонального элемента, s — число диагональных элементов, отличных от нуля, и О cq < а2 ... ... -<а5 — совокупность показателей степени, с которыми ₽(Х) встречается в этих элементах. Показать, что при k = 1, 2, .... s делитель миноров Dk (X) делится точно на [ё>(Х)| 12 «а инвариантный множитель £Й(Х)— точно на [е (X)] к.
1033. Указание. Элементарными преобразованиями привести каждую диагональную клетку к диагональной (например, к нормальной) форме и воспользоваться предыдущей задачей.
1034.
1 0 0 0
0 Х(Х-{-1) 0 0
0 0 Х(Х4-1)(Х—1) 0
0 0 0 х2 (Х4-1)3(Х—1)
1035-1048]
1035.
103S.
1037.
1039.
1041.
1 о о о
1 о о о
1 о о о
1 о о о
1 о о о о
о
X3 —4Х о о
о /(X)
о
о о
Л2—1 о о
о
о
X3 —4Х о
о
о о
Х« —4Х2
о о /(Л) о
о о о
[/(W
, где f (X) = X3 -|- X2 — 6Х.
о
1 о
о о
Л—1 о о о
О
о
X2 — 4
О
о о
(Л2 — I)2 о
о о
1 О О
о О
Л2—1 о о
о о о (Л2—I)3 1040.
1038.
1 о о о
1 о о о
о о о
X4 — 2Л2 + 1 о
о 1 о о о о о о о
о о
Л2—1 о о о о
Х2 + Л —6
о
Л—1 о о
о
о х24-х—6
о
О О о о
1042. £>, = !, £>2 = 2, £>3 = 4, £>4 = 320.
1043. £>,=3, £>2 = 18, £>3 = 324, £>4 = 11 664.
1045. Указание. При доказательстве существования представления данного вида воспользоваться предыдущей задачей. При доказательстве единственности из двух представлений данного вида А — PiRi = P2R2 вывести, что матрица С = Р^Р^ = R^R^1 является унимодулярной и треугольной Х-матрицей, элементы которой на главной диагонали имеют старший коэффициент, равный единице, и, значит, сами равны единице. Затем, приравнивая в равенстве CRt = R2 элементы £-й строки и принимая во внимание условие для степеней элементов Rt и R2, показать, что все элементы матрицы С справа от главной диагонали равны нулю, т. е. С — единичная матрица. Получить отсюда равенства Pi= Р2 н Ri= R2-
/1 —2\ /2 4\
1047. Например, Л = f I; В=1 I •
Ю4В. Скалярные матрицы. У казание. Показать, что если АТ = ТА для любой невырожденной матрицы Т, то это верно для всех матриц Т. Для этого вырожденную матрицу Т представить в виде Т = (Г — аЕ) -f- аЕ, где а 0 и выбрано так, что |Г— аЕ | =£0. Затем применить задачу 818.
Замечание. Указанный метод решения может оказаться непригодным для матриц с элементами из конечного поля, где может не найтись элемента а с нужными свойствами. Метод, пригодный для матриц с элементами из любого поля и не использующий задачи 818, состоит в следующем: для I j обозначим через Ду матрицу, отличающуюся от единичной
лишь тем, что ее элемент в i-й строке и в J-м столбце равен единице. В равенстве АРц — РцА приравняем элементы в i-й строке и /-м столбце, а затем в i-й строке и 1-м же столбце.
1049. За матрицу Т можно взять матрицу, полученную из единичной перестановкой Z-й и j-й строк.
1050. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
' 2А+1 А 1х / 1 2
1053. Л = (В —АЕ)1 ЗА + 2 ЗА 2 1-|- ( 3 1
, А-4-2 2А 1/ \2 3
/ А2 А 1 X 5 —2
1059. Л = 1 2А2 ЗА 2 ) (Е -АЕ) + 6 —3
\ А2 А —2/ 7 —5
1060. У к а з а н и е. Использовать задачу 1005.
1061. Решение. Пусть Р — (В — XE)Pt 4-Р0 и Q = Qi (В — AE)-[-Q0. Используя эти соотношения, равенство
В — ХЕ = Р(А — AE)Q (1)
можно привести к виду
В — ХЕ—Р0(А — ХЕ) С0 = Р(Л — AE)Q, (В — АЕ) + + (В —A£)Pi (Л —AE)Q —(В—АЕ) Р, (Л — АЕ) Q, (В — ХЕ).
Подставляя сюда на основании равенства (1)
Р(Л —АЕ) = (В —AE)Q-1 и (Л — AE)Q = P-1(B — АЕ),
подурим:
В — АЕ — Ро (А — АЕ) Qo =
= (В —AE)[P1P~1 + Q“1QI —Р, (Л — АЕ) QJ (В —АЕ).
Выражение в квадратных скобках в правой части этого равенства должно равняться нулю, так как иначе правая часть имела бы степень относительно А не ниже двух, тогда как степень левой части не выше еди= ницы. Поэтому В — ХЕ = Р0(А — ХЕ) Qo. Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при А и свободные члены, находим: P0Q = Е и В — PaAQ0.
1063. Подобны. 1064. Подобны. 1065. Матрицы Л и С подобны между собой, но не подобны матрице В.
1066. Матрицы Е и С подобны между собой, но не подобны матрице Л.
/ 1 —2 \
1067. Например, Т — I I. Указание. Для получения по
\ —1 з /
возможности простого ответа надо стремиться совершать наиболее простые элементарные преобразования столбцов матриц Л — АЕ и В — ХЕ.
/ 0 2\
1068. Например, 7=1 j I. Указание. Для приведения матрицы Л — АЕ к нормальной диагональной форме из второй строки, умноженной на 6, вычесть первую строку, умноженную на A -f-16, а из первого столбца, умноженного на 6, вычесть второй столбец, умноженный на А—17. Аналогично преобразовать матрицу В — ХЕ.
1069. Например.
/1 —3 Зх
7=12—31).
\1 —2 1/
1070. Указание. Получить с^. как сумму всех сомножителей, стоящих в определителе | А — ЛЕ | при произведениях по k элементов главной диагонали и взятых при Л = 0.
1071. Л, = «| + «1 + ... Л2 = ... = Л„ = 0. Указание. Применить предыдущую задачу.
1074. Указание. Применить задачу 1070 к матрице В = А — Л0Е и показать, что характеристический многочлен | В — рЕ | матрицы В после замены р = Л — Ло переходит в характеристический многочлен | А — ЛЕ | матрицы А.
1075. Для треугольной матрицы вида
/Ле «12 «и ... в,„\
Д __I О Ло «23 ... «2л I
\ О О О ... Ло J
где «/,/+1 ¥= О (1=1, 2, ..., п—1) будет d= 1. Для диагональной матрицы порядка п, в которой р элементов главной диагонали равны Ло, будет d = р.
1076. Указание. Доказать, что
| Л-1 — ЛЕ| = (— Л)"| л-1|.| л — 1е|. I Л I
1077. Указание. Перемножить равенства
|Л — ЛЕ| = (Л1 — Л)(Л2 — Л) ... (Л„ — Л),
| Л4-ЛЕ| = (Л!+Л)(Л2 + Л) ... (Л„ + Л) и заменить Л3 на Л.
1078. Указание. Равенство |Л — ЛЕ| = (Л] — Л)(Л2 — Л) ... (Л„ —Л) перемножить со всеми
Ле,. Ле2, • •., ЛСд_ р где
нз него заменой Л на
(k = 1, 2, ..., р— 1) и
в полученном равенстве
1079. Решение.
равенствами, полученными 2nk . . . 2nk е. = cos-------1- i sin--
P P
заменить Л₽ на Л. s
Пусть f (Л) = «о П (Л — рД кроме того, <р (Л) = 7-1
Л = Л в f (Л), получим: / (Л) = «0 JJ (Л — Р/Е).
Переходя от матриц к определителям, находим:
5 5 5
П
= Ц (Л/ — Л). Полагая
I/ М) I = Д (A= «<> Д <Р (Му) = < п
л
.1 /-1
!о П — Ру) I = П f
л
i-1 L 7-1 J ^-1
£
С другой стороны, | / (Л) I = «о IJ Ч> (Р л = R(f, Ч>).
7-1
1080. Указание. Применить равенство предыдущей задачи к многочлену g(x) = f(x)— К, где Л — произвольное число.
1081. Указание. Применить равенство |/(Л)I = и исполь-
жовать задачи 1079 и 1080.
1082. Указание. Если хотя бы одна из матриц А, В невырожденна, то утверждение вытекает из подобия матриц АВ и В А (см. задачу 1047). В общем случае можно применить задачи 920 и 1070. Для матриц над полем с бесконечным (или достаточно большим) числом элементов из выполнения требуемого равенства для невырожденных матриц следует его тождественное выполнение. Наконец, для матриц с числовыми элементами равенство для вырожденной матрицы А можно получить путем предельного перехода. Например, если Хь Х2, ..Хя— характеристические числа вырожденной матрицы А, то берем последовательность чисел еь е2, ..такую, что все они отличны от Хь Х2, ..Х„ и Lim е* = 0. Матрица Ak = А — е.кЕ невы-£->со
рожденна. Значит, |Л*В — X£| = |ZMft— Х£ |. Переходя к пределу при Л-»со, получим нужное равенство.
1083. Характеристические числа (с учетом кратности) будут: X* = f (еД , 2i 1 л-1 2nft , , . 2лЛ
где / (л) = а; -|- а2х -1- а-6х апх и eft = cos — --------1-i sin ——
(k — 0, 1, 2, ..., п—1). Указание. Применить выражение для циркулянта из задачи 479 к циркулянту | А — Х£ |, где X—параметр.
1084. Решение. Применяя задачу 304 к определителю IЛ — КЕ ], где X — характеристическое число, положим а-|-Р =—X, ар =— 1. Тогда ]Л — КЕ | = a"-|-a”~1p-|- ... + Р". Из ар = — 1 находим а^0 и Р 0. ” ' " " ' ' * ” ‘ 0 следовало бы а = р = 0.
n+1 . а 2лй ,
= 1: (r = C0S7F+l +
0, откуда
Р~Ь • . .
Далее а =/= р, так как из а = р и |Д — Х£ | = an+1 —fi
Поэтому | А — КЕ ] = -
2лД? сс
~Ь*sin и4- f = 2, .... п), А у=0, так как j-=/= 1. Решая это урав-
„ , ' •I nk ... nk \
пение совместно с ар — — 1, находим: a=±i cos——r + i sin——- ,
\ п +1 «+1/
р = ± Z (cos .----Z sin—Здесь знаки ± надо брать для а и Р
\ л~г 1 пт 1 /
совпадающими, так как ар = — 1. Отсюда Х =— (а Д- Р) = + 2i cos —рр
(k = 1, 2..и). Все эти числа должны быть характеристическими. Но
nk (« + 1 — k) л
средн них имеются равные, так как cos = — cos -—~—•
Все различные числа содержатся в системе
Kk = 2i cos n_|_ j (ft = 1. 2.........n).
Но степень характеристического многочлена равна п. Значит, последняя система содержит все характеристические числа, причем кратных корней нет.
1085. У казанн е. Доказать, что клетка Жордана порядка k с числом а на диагонали имеет единственный элементарный делитель (X — a)ft.
Построить жорданову матрицу Aj, клетки Жордана которой находятся в указанной связи с элементарными делителями матрицы А — КЕ, и, пользуясь задачами 1033 и 1061, доказать, что матрицы А и Aj подобны. При доказательстве единственности, пользуясь задачей 1005, убедиться, что характеристические ' матрицы двух подобных жордановых матриц В и С эквивалентны и из совпадения элементарных делителей матриц В — КЕ к
С — '/Е, снова применяя задачу 1033, убедиться, что матрицы В и С совпа-
дают с точностью до порядка клеток.
1086. 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 О’
0 0 0 0 —2 0
0 0 0 0 0 —2
1087. —1 0 0 0 0 0
0—1 1 0 0 0
0 0 —1 0 0 0
0 0 0 —1 1 0 •
0 0 0 0 —1 0
0 0 0 0 0 5
1088. Задача поставлена неверно. Таких инвариантных множителей у матрицы А — У.Е четвертого порядка не может быть.
1090. /2 0 0\ 1031. /—1 0 0\ 1092. /—3 О О
| 0 2 1 ). 10 — 1 1 |. О -3 1
\0 0 2/ \ О 0—1,' \ О 0—3
одно из комплексных значений ]/" 1,
1104. /1 0 о А 1105. 1 0 0 0
0 2 *4“ 3Z 0 • 0 1 1 0
\0 0 2 — 31J 0 0 1 1
0 0 0 1
ное. 2 1 0 01 1107. p 1 0 0] •
0 2 0 0 0 1 0 0
0 0 2 1 0 0 — 1 1
0 0 0 2 0 0 0 —1
1108. 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1109. 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ... 0 0 0 0 0 0 1 1 о 1
1110. im. 1114. Го же, что в задаче 11 п 1 0 0 ... 0 0 On 1 0 ... 0 0 0 0 п 1 ... 0 0 0 0 0 0 ... л 1 0 0 0 0 ... 0 п а0 0 0 ... 0 0 «! 0 ... 0 09. im. ms. То же, 1 0 0 2 0 0 0 0 ЧТО Е 0 ... 0 ... 3 ... 0 ... задаче 1109. 0 0 о • Л п
т. е. aft = < 0 0 а2 0 0 0 / 2nk . zlcos —4 .. 0 •• an-l -/sin n где cio, ) (* = 0, 1 а„ .... , 2, ... ал-1 Л— все значения У а”. 1).
1115. Одна клетка Жордана 1118. В поле рациональных с числом а на главной чисел подобна матрице р 0 0\ 0 2 0 1. <0 0 3/ диагонали.
1118. В поле вещественных чисел подобна матрице (2 0 0 \
0 /3 0 ).
О 0 —/3/
И2О. В поле комплексных чисел подобна матрице
(10 о \
О 2-f-3Z О ).
О 0 2—31/
1121. Не подобна диагональной матрице ни в каком поле.
1125. Диагональная матрица с элементами на главной диагонали, равными нулю или единице.
/1 1 \2
ристики 2. Например, I I — Е
1126. Диагональная матрица с элементами ±1 на главной диагонали.
Замечание. Утверждение не верно для матриц над полем характеристики 2. Например, j = Е н матрица j ) не пРив°Дится к диагональной в силу единственности жордановой формы.
1127. Если п—период матрицы А, т. е. наименьшее из натуральных чисел k, для которых Ak — Е, то диагональная матрица имеет на главной п
диагонали некоторые из п значений корня Замечание. Результат не верен; для матриц над полями конечной характеристики, например для матрицы порядка р над полем характеристики р:
1 1 0 ... О
О 1 1 ... О
О 0 0 ... 1
справедливо равенство Ар — Е.
1128. а) X—1; б) X.
1129. Для скалярных матриц А = аЕ и только для них. Для данного порядка п такая матрица только одна.
1130. (X —а)« 1134. X2 —4X4-4. 1135. X2 — 5Х + 6.
1136. Например, для матриц
10 0 0 0 10 0 0 0 11 0 0 0 1 и 110 0 0 10 0 0 0 11 0 0 0 1
<р(Х) = (Х—I)4, ф (X) = (X—I)2, но эти матрицы не подобны в силу единственности жордановой формы любой матрицы.
1137.
а* C\ak-2 С?,а*~3 ... Cnk^lak^n+1
О ак ф*"1 C|aft-2 ... q-V-”+2
0 0 0 0 ... а*
при k п — 1 здесь следует положить C°k = 1 и Csk = 0 для k < s.
1138. Указание. Положить А = аЕ-|-Н и в равенстве
f {х) =/(«) + -4^-(х —а) + ^^-(х —а)2-|- ... + ^^а).(х — аУ
(s — степень многочлена f (х)) положить х — А.
1140. Одна клетка Жордана с числом а2 на диагонали.
1141. Если п > 1 порядок клетки Жордана А с нулем на диагонали, то жорданова форма матрицы Л2 состоит из двух клеток с нулем иа диагонали, n п — 1 л-4-1
имеющих порядки -g- при четном п и ——» —g— ПРИ нечетном п.
Указание. Пользуясь задачей ИЗО, найти минимальные многочлены матриц Л и Л2 и показать, что клетки жордановой формы матрицы Л2 имеют л л 4-1 „
порядки не выше для четного л н —g— для нечетного п. Проверить,
что делитель миноров О„_2 (X) матрицы А2 — КЕ равен единице, и далее показать, что жорданова форма матрицы А2 содержит не более двух клеток.
1143. Искомая матрица содержит две клетки Жордана с числом а на п п — 1 п4-1
диагонали, имеющих порядки при четном п или —— и —g— ПРИ не~ четном п. Указание. Применить две предыдущие задачи.
'1144. Решение. Пусть А —ТВ! \ где А — данная матрица и
О В*
ее жорданова форма с клетками Жордана (Xz 1 о .... О \
О Xz 1 ... О j = 2,
О 0 0 ... Xz/
Тогда А' = Т,~1В'Т'. Пусть
(О ... О 1\
°-- 1 °]
1 ... о о/
и имеет тот же порядок, что Bz и
.. Л).
О
Hk
Непосредственным перемножением находим: В^—Н^В^Н^ и, значит, В' =Н~1ВН. Поэтому А' = Т'~ХН~ХВНТ' =T'~XH~XT~XATHT' = С-1ЛС, где С—ТНТ'—симметрическая, невырожденная матрица. Положим £>=С-1Л. Тогда D' = А'С'~Х = С-1ЛСС-1 = D. Таким образом, матрица D также симметрична и Л = CD.
1145. Если Xi, Х2, ..., Х„ — характеристические числа матрицы Л (с учетом их кратности), то характеристические числа матрицы Ар (также с учетом их кратности) равны числам Xz Х,^ ... Xt- (1 ^,i1< i2< ... <ip^n), т. e. всевозможным произведениям по р из характеристических чисел матрицы Л.
Указание. Выяснить, что при изменении нумерации сочетаний по р из п чисел 1, 2, ..., п матрица Ар переходит в подобную с ней матрицу, использовать задачу 970, перейти к жордановой форме Aj и применить свойства ассоциированных- матриц из задачи 969.
114S. Если Хь Х2, .... Хр—характеристические числа Л и рь ..., —
характеристические числа В, то характеристические числа Л X В равны Х/Р/ (Z = 1, 2, ..., р\ J = 1, 2, ..., q).
Решение. Пусть кронекеровское произведение Л X В определяется расположением аь «2, ..ар<? пар чисел (I, j) (Z = 1, 2, .... р; j — 1, 2,..q). Транспозиция а, и ау вызывает в матрице Л / В перестановку Z-й и /-й строк и i-го и /-го столбцов, и, значит, переведет эту матрицу в подобную ей (задача 1049). Так как любая перестановка сводится к ряду транспозиций, то характеристические числа всех кронекеровских произведений Л X В совпадают н можно рассматривать, например, правое прямое произведение А'УВ (задача 964). Пусть А равняется С-1ЛуС н В = D~1BjD, где Aj и В/ — жордановы матрицы. Применяя свойство в) задачи 963, находим: А X В = = С-1ЛуС X D~xBjD = (С-1 X О-1) (Ai X Bj) (С X D). По свойству д) задачи 964 имеем: С-1 X О-1 = (С X D)~l. Значит, матрицы Л X В и Aj X By подобны и их характеристические числа совпадают. Но Лу X 'By является треугольной матрицей с элементами X4py(Z = l, 2, ..., р; J—1, 2, ..., q) на главной диагонали, что и доказывает наше утверждение.
1147. Указание. Показать, что g (Л) = h (Л) тогда и только тогда, когда g (X) — h (X) делится на ф (X).
1149. В данном случае минимальный многочлен совпадает с характеристическим (с точностью до знака), г (X) есть обычный интерполяционный многочлен Лагранжа.
f _ V f \ М-^В)..-(Л-Хй_1£)(Л-Х^+1£)... (Л-Хп£) (Xft-X,) ... (Xft-Xfc_l)(Xft-Xft+1) ... (Х*-Х„) ’ ft=l
где Х|, Х2, ..., Х„ — характеристические числа, матрицы Л (по условию различные).
1150. г (X) есть обычный интерполяционный многочлен Лагранжа
f . ДХ _ V f 17. 1 (Л-х-В) ••• (Л-Х»-,£)(Л-Хй+,£) ... (Л —Хл.£) (Xft_X,) ... (Xft-Xft_,)(Xft-Xft+1) ... (Xft-Xs) •
1151. P e ш e н н e. Покажем, во-первых, что если интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестера г (X) существует, то он определяется равенствами (1) и (2). Пусть
г (К) у afe,, , гк j
£L(A-Xftp+", + (X-M
разложение дроби на простейшие. Умножая это равенство на тр (X), получим равенство (1). Для установления равенств (2) умножим равенство (3) на (X — Xfc)r*. Получим:
^^у = ak, 1 + «ft, 2 (X — X*) • 4“ ал, (X — + (^—?-ft) kff W. (4)
где <p (X) — рациональная функция, имеющая смысл при X = Xft вместе со всеми своими производными. Беря от обеих частей равенства (4) (j—1)-ю производную при X = Xfe и пользуясь тем, что значения г (X) и / (X) иа спектре матрицы Л совпадают, мы и получим равенства (2). Во-вторых, покажем, что многочлен г (X), определенный равенствами (1) и (2), является
интерполяционным многочленом Лагранжа — Сильвестера для функции f (X) иа спектре матрицы А. Из равенства (1) видно, что степень г(Х) ниже степени ф(Х). Далее, положим
<fk W — akl j + ак, 2 (х — Ч) + ••• +aft,rft(x —1-
Из равенств (2) следует, что при X = Xft значения функции <j>ft (X) и ее про-
изводных порядка j < rk совпадают
ции
/(X) Фй(Х)
и ее производных того
соответственно со значениями функ-же порядка. Поэтому, полагая X = X*
S
в равенстве г (X) = 2 Чк (^) Ф* (^) и равенствах, полученных из него у-крат-ным дифференцированием (j < г^, мы получим:
НЛ(М = /7)(М (/ = 0, 1, .... rft-l; й=1, 2, ..., s), т. е. значения г (X) и f (X) на спектре матрицы совпадают.
1152. f (Л) = [аЕ + b (Л — Хч£)] (Л — Х2£)3 + [с£ -f- d (А — Х2£) -J-+ е (Л - Х2Д)2] (Л - Х.£)2, где а = -^^)8 . Ь = - / (М +
+ (Xj—Х2)3f' (Х,)’ С = (Х^—X,)2’ d = ~ (Х2 —X,)3/(Xs) + (Х2 —Х^2 fr
3 2 11
е = (Х2 —Xj)4 f (Xs) — (Х2 — X,)3 f'(Xs) + 2Г (Х2 —ХО2 f"(Xs)’
1154. Указание. Показать, что значения интерполяционного многочлена Лагранжа — Сильвестера г (X) для f (X) на спектре матрицы Л совпадают со значениями f (к) на спектре- каждой клетки ЛА, и применить задачу 1147.
1155. г (X) = f (0) + /' (0) X + X2 + ... + Ь"’1.
/(0) /'(0) Г(0) 2! ’ у(Л-1) (0) • («-1)1
/И) = 0 /(0) /'(0) . /«-2)(0) ’ («-2)!
0 0 0 . • f (0)
/ (Л) имеет смысл для любой функции / (X), для которой определены значения /(0), /'(0), ..., /(п-1)(0).
1156. г (Х)=/ (а)+/ (а) (Х-а)+££> (Х-а)2+.. •
/(«) Г («) Г (а) 2! • ” («~1)1
f(A) = 0 /(а) /'(«) • /п-2)(а) " (п-2)!
0 0 0 • • f («)
/(Л) имеет смысл для любой функции /(X), для которой существуют значения /(а), /'(а)./<п-1)(а).
1180.
1162.
11£4.
1166.
1168.
Указание. Применить предыдущую задачу. /3.2Ю0 —2-З10» 2(3*0° — 2юо)ч ^Вз. /—24 25\
( _3(3юо _ 2юо) ЗЮ! _2Ю1 /• \—25 26/ '
7 1\ 1165. 1 /12 2\ /0 2\
19/ ±-5(з 13/’ ±\3 1/: Всего ’^“Р®
матрицы.
/4е —3 2 — 2е\ 1167. /2е2 — е2\
\6е— 6 4 — Зе/' \е2 0 /'
Зе —1 Зе
Зе—1
е
е + 3
е + 1
—Зе Ц- 1 х
—Зе— 3 I = (е — 2) Аг-\-А-\-Е.
—Зе /
1169. /3 —15 6\
11 — 5 2 1, если брать вещественное значение логарифма. \1 — 5 2/
Общее решение имеет вид 3 -)- 2л1п —15 6
1 —5 + 2л/л 2
1 —5 2 -4- 2nin
где z = V—1 ил — любое целое число.
1170. /1 —1\
\1 —1/’
1171. Указание. Использовать задачу 1159.
1172* Указание. Использовать задачу 1159.
1178. | | = es, где s = ап -|- л22 + ... 4- апп — след матрицы А.
1174. Указание. Использовать задачу 1161.
1175. у! + У2-Уу «76. у2-у|-у2. 1177. у2-у2
1178. у2 — у2 — у2 — yl 117Э. У1+у2 — у}. 1180. у24~у2 —у2;
1,5 11 1
-*! = У1—2-У2+ g-Уз, -^2=2-У2 —-g Уз. ^=-3 Уз-
1181. у2 + Уг — Уз’, xi = -§ У1 + У2, х2 = У2 + Уз> хз ~ — У2 4" Уз-
1182. у| —У2 —yj; -*1 = У1 — У2 — Уз. ^2 = У1+У2 —Уз. -*з = Уз-
1183. У2 + у1-У2; ^=1/2^—|/Зу2 + 4/ЗУз,
jr2 = - 1 /Зу2 +1 /Зу3, х3 = 1 /Зу2 +1 /Зу3.
«84. У1 + У2 —У» *1 = —|у( —-jys + y^31 х2= —уУ* + уУг-
1 , 1
^з — 2 1 2^"
1185. y\ — y}, xi=yj —y2—Уз- Х2 = У1 + У2 — Уф -*з = Уз. *4 = Уф
1186. у? + >2 —Уз —Уф *1=41/ГЗу,~ -^-^У2 + ^-/85Уз —
- -gig /629 у4> х2 = 1 /15у2 - /85у3 + g|g /629У4, х3 = ^Уз+
+ -А./629У4, х4 = А-/б29у4.
1187. 2уjЮу| 4" 190Уз, У1 = Л! —^-х24-х3, у2 = ух2--^-х3>
Уз-^-^з.
1188. Зу?—30у|4-530у|; у, = х, 4-ух2 — ух3, у2 = у х2 — х3.
Уз — 2у хз- «89. 2у14- 6у2—6У3 4~ 2Уф У1 = у -*1 — ~2 х2> у2 ~ у х2 + "g- хз-
1,1 3
Уз— q -^з Ч~ 2 *'*» У4 2
1190. Xi =У1— Зу2 — 6у3; х2 = у2 + 3Уз; *з = Уз-
1191. л:1 = 2/2’у14-/2’у24-5у3; х2 = -1 /2 у, 4- у3; х3 = у3.
1192. Х1 = у3, хг = /2у24-уз, х3=/2у!—|-/2у2—^34-|-/2 j у3.
1193. у|; У1 = «1%14-«2Х2+ +апхп; У2 = х2< Уз = хЗ> ••',У1-1=‘ *= xt_i, у/ = х,; у,+1 = хг+1; ...; у„ = хп, если at 0.
1194. у2 4-1у|4-1у|4-Ау2+ ... +2±1у2.
У, = xi 4”2 (х24-Хз4" 4“ХП);
у2 = Х2 4~ -д- (Х3 4- Xt ... 4- хп)\
Уп = хп-
мак «2 „2 „2 3 „2 4 „2 5 .,2 П—1 д.
1195. у,—у2 —у3 —-У4 —_у5_ 8 у6 — ... — 2(П_2)-У„.
у, = (Ai4~х2)4~а'з4_х44~ 4"хл.
Уз = 4(Х| — х^;
Уз=х34"2"4~х54* ••• 4*хпУ’
у4 = х44--д-(хз4-хъ4~ ••• 4"Лл)>
Ул = х„.
У казанне. Свести к предыдущей задаче.
1196. Если п четно: yz —у| + у1 —у! + ... + У®_1—Удо yz = -+£*+< (j = 1, 3, 5. ..., n — 3);
yz = -ч + ^+i (z' = 2, 4, 6, ...,n —2);
Xn—l~\~Xn <t __ xn_ i~~xn Уп-1 — g * Уп — 2 *
Если n нечетно: yf — Уг + Уз-У4 + ••• + У«-2 —Ул-i? yz xi + xi+i+xi+2. (Z = lf з 5> ..п _ 2); у. *Z-i~ *f + *'+1. (z = 2, 4, 6, ..., п — 1);
Уп = хп.
«— 12. Я — 2 21 .2 2 11 2
И97. —— У1 + п—1 Уг + +-§-Ул-г + ^Уи-Р
v Х2 + Х3 + • • • + ХП .
у 1 = х‘---------^1 ’
„ х'з + х4 + • • + хп .
У 2 — х2------------О------•
Ул—1 -- хп— 1 хп>
У п~ ХП‘ п п
П — 1 V.T 2 2
Указание. Представить форму в виде ------------7, xi— Zj xix }
П z=i i<j
и применить метод индукции. Другой путь состоит в следующем: совершив преобразование гх=хх — s',z2 = xz — s', ...; г,„_1 = хп_1 — s; zn = хп и сложив л /л—1 л—1 \
эти равенства, приведем форму 2 (xz — s)2 к ВИ«У: 21 S 2z + S zizj I • z=i \z=i t<i /
Используя ответ задачи 1194, получим: 2уj-}—|-у| —у|-р ... Ул-i-
При этом связь старых и новых неизвестных получается сравнительно сложной.
1198. (п—1)у2 —у2 —у2— ... — у2;
У1 = 2-(*1+*2 + *з+ ... +*л);
У2 = ( х1 + х2 + х3 + ... + хп)<
у3=^-(—%]—х2-|-х34- ... -}-хп);
Ул = -2-(—х1~ *2— —*л-1+-*л).
Обратное преобразование имеет вид: х1 = у1— у2; х2 = у2— у8;...; xn_i = Уп-i — Уп> хп = У1 + Уп- Указание. Применить преобразование г, =х,4-х2-|- ... -4~хл;
г2 = х2 -f- х3 + • • • 4~ хп-
гп — хп-
1199. Указание. Доказательство' аналогично доказательству закона инерции.
1200. Указание. Использовать предыдущую задачу.
1201. Формы fi и /3 эквивалентны между собой и не эквивалентны форме /2.
1202. Формы f2 и /э эквивалентны между собой и не эквивалентны форме ft.
1203. В. комплексной области n-f-l; в вещественной области (п+1)(« + 2)
2
1204. Ранг — четное число, сигнатура равна нулю.
1205. [”~2|S -] + 1, где [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х.
1210. Указание. Для доказательства утверждения б) рассмотреть форму /Е = f 4* ед, где е > О и g — сумма квадратов неизвестных. При доказательстве необходимости проверить, что fE > 0 и что для соответствующих главных миноров D и D& форм f и /е имеет место: D = lim De.
е->0
При доказательстве достаточности проверить, разлагая De по степеням е, что Ое > 0, и показать, что для любых значений неизвестных имеет место y = ]im/e. Примеры. Форма Д =—или невырожденная форма е>0
/2 = — х| 4-2.14x3 имеют угловые миноры неотрицательными, ио сами не являются неотрицательными.
При доказательстве утверждения в) применить задачу 1208.
При доказательстве утверждения г) применить задачу 916 и приведение / к нормальному виду, показав, что А — D'BD = (BD)' (BD), где D — матрица преобразования, а В — матрица формы в нормальном виде.
/"к"
1214. — 0,8 < Л < 0.
1215. Требуемых значений X не существует.
1216. Требуемых значений Л. не существует.
1217. Указание. Пусть g — /-}-I2, где I — c,xl ... -J- спхп. Меняя порядок неизвестных, прийти к случаю сп 0, совершить преобразование yz = xz (1 = 1, 2, ..., п—1), ул = — и доказать, что для новых форм
Dgi = Dfi 4-сл£>л_1, где Dn_x — угловой мннор порядка п—1 формы
1218. Указание. Представить форму f в виде
f— Й11 (Х1 Ч-хг + хл) +/1 (Х2, • Хп)>
\ . ап «и /
и, пользуясь предыдущей задачей, показать, что Df = al{Dfi ЯцОф.
«219. У Казание. Использовать канонический вид данной формы.
1220. Решение. Очевидно, что (,Л+/2, g) = (fi, #) + (А. g)- При-
Г S
водя обе формы к нормальному виду, найдем f = 2 У/. g = 5 гд“
1=1 J-1
yb gj — линейные формы от хь х2, ..., хп. В силу отмеченных свойств ком-т s
позиции имеем: (/, £)== 2 2 (£ 4)-
1-1 j-i п п
Рассмотрим одно из слагаемых (у2, г2), где у = 2 akxk< 2 — 2 bkx’> к-1 к-l
п п п
Тогда у2 = 2 ацагхкХ1; z2 = 2 bkbixkxi, (у2, г2) = 2 =
к, 1-1 к, 1=1 к, 1-1
(п \2
2 atfikXk I > 0 при любых вещественных значениях xt....хп. Отсюда
л-1 /
(/, g) 0, чем утверждение а) доказано. Пусть теперь f > 0 и g > 0. п п
Форму g приведем к нормальному виду: g = S У z. где У< — 2 Iхi i-i j-i
n n
('=1.....П) ИIQ | = I qtj |#=0. Тогда (/, g) =2 (/• ty-Ho У? — 2
i-i j, k-i
n n
откуда (/, y^) = 2 ajkchjclikxjxk— 2 ajk (dijxj)^ikxk)>° B силУ j, k—1 J, k — 1
f > 0. Если при некотором t берем значение X/ =f= 0, то существует I такое, что qu =/= 0 (иначе было бы в вертикальных чертах Q = 0). Значит, в силу п
f > 0 также (/, у?) = 2 ajk {4tjxj} (QiiSk) > 0 и (/, g) > 0. J.b-l
1221. Указание. При доказательстве утверждения б) рассмотреть k
формы fk = 2 aijxixJ (* == 1. Я • • •• ”)• i. J-i
1222. Указание. Необходимость условий (2) следует из неизменности угловых миноров при треугольных преобразованиях (смотри предыдущую задачу).
Так же доказываются равенства (3). Достаточность можно доказать индукцией по числу неизвестных п.
1224-Л = —2у|4~|у|; gl = yl + y% х} = yj + V Зу2;
х2=уУ1— Зу2.
1225. У1 = У? + у1; gi=4y?-2y^ х^-г/^ + зГгуг;
ха = -^Г2У1-у/2У2-
1226. /j = 9yf + 9у| — 9у|; £1 = У? + Уг + Уз. Х1 = У
= |- У1 ~ у 2Уз! = |- У1 — у / 2у2 + V 2у3.
1227. /1 = у?4-у?4-у? — Зуф £1 = У? + у|4-Уз + У4. Х1 = У1+ У2 4~
1 1,1 1 1 1
4- Уз4-Уфхг=Уг—Уф хз = у У1 — у Уг 4"Уз — Уф х4 = у У1 — j У2
1 . 1
—2 Уз + ^У4'
1228. Д = yf-(-2у|-(-2уз — 7у|; = У? 4* Уг 4~ Уз 4” Уф х1 = "з’Уг4"
2 1 2 4 4
4~-д’ Уз 4* У<- хг — -д- Уг-д’ Уз 4~ "д' У хз = Уз 2у4; х4 = у(.
1229. Л = У? 4- 2yi — Зу|; gj = У?+yl+у|; Х1 = У1 - у2; х2 = — Уг4-У3; хз = — Зу2-(-2уз.
1230. Указание. Показать, что корни л-уравнения пары форм не изменяются при любом невырожденном линейном преобразовании неизвестных.
1231. Нельзя, так как корни Х-уравнения 1 ± у i.
1232. Нельзя, так как корни Х-уравнения ± у i /~5.
1233. При подходящей нумерации имеет место: =1 (i = 1, 2, ..., n).
1234. Зу?— yl — Зуд. 1235. 5у?— у? — 2у?. 1237. Эквивалентны.
1238. Эквивалентны.
1289. Xi = — 12у, — 17у2; х2 — 5у, -f-7y2. 1240. х, = у] 4-2у2;
х2 = Зу 1 2у2.
1242. Указание. Показать, что характеристический многочлен | А—Х£| не изменяется при ортогональном преобразовании формы /.
1243. 4у? + 4у2-2у2. 1244. 6у? 4-6у14-9у|.
1245. у?4-/3у2-/3у|. 1249. Зу? 4-(14-/17) 4-(1 -/17) у|.
п
V1 nk 2
1247. ^coe-^qrj-y*. k-i
У к а з а н и е. Рассмотреть удвоенную форму и
решать аналогично задаче 1084.
2 12 2 2
1249. ЗУ1+6у14-9уз! Х1=д-У1—д-У24-g-Уз! х2 = ^ У14-уУ2 —
1 1 । 2 , 2
—-д-Уз! Х3 = — д’ У14-3-У24--3 УЗ-
2 2 1 1
1249. 9у? 4- 18у1 — 9у|; Х1 = -3 У14“ j У2 — -3 Уз'- х2 = - 3- У14-
4--3У24--3 Уз! хз--3У1—3-У2+-3 Уз-
1250. Зу? + бу? - 2у|; xj = У14- у2 4- у=- у3:
1 Г , 1 1 2
хг = -7=У1-7=Уг4-7=Уз; х3 =-^у.—^Уг-
1251. Syf-yi-yl; х1 = ^у1+_^.у2+_^у3; х2 = ^у1 + , 11 12
+ 7^2-7^Уз:*3~7зу,~7¥У2-
1252. 9yf4-18y| + 18y|; xt = ~ У1 — у у2+ |-у3; х2 = 1 у, — 1у2 —
2 2 2 1
— у Уз! хз — у У< + у Уг + у Уз-
1258. Зу? - бу*; х, = J У14-1 / 2уг +1/ 2у3; х2 = | У1 -1V 2уг;
хз = у У1 4~ у V 2уз — у V 2уз-
1254. 9у? + 9у| — 9у|; xi = -| У1 + 4 х? = 4 У1 —
-1/ 2у3: х3 = j у, -1 / 2у2 +1 / 2у3.
1255. 2у । 4- 4у] — 2yj — 4у|; х! = 4 (У14- У2 + Уз + У/ хг = 4 Х
X(— У14-у24-у3 — У1); х3 = ^(—у1 — у24-уз4-у4; = 4(у>—Уг+Уз—у«)-
1256. 4у* 4- 8У2 + 12у* — 4у*; xi = у (У 1 4* Уг 4~ Уз 4" У4)! хг = у X
X (У1 — Уг — Уз 4- У4); хз = 4 (У1 4- Уг — Уз — У4); х4 = у <У1 — Уг4-Уз — У?.
1257. 5у? - 5у*4- 5у3; хх = | / 5 (2У] 4- у2); х2 = | Г 5 (У1 - 2у2?; хз= у V 5 (2уа + у4); х4 = -g- | 5( —Уз4~2у4)-
1258. 2yf - 4у2; х4 = 1Г 2 (У14- у3); х2 = 1К 2 (у, - у3);
1г- 1г-
хз — "с, 2 (у2 4- у4); х4 = *2 1^ 2 (у2 — у4).
1259. 9у| 4* ®Уг ‘ Ь -*Уз: -*т = У 1: х2 = у (Уг 4" 2у3 4* 2у4);
хз = у (2уг 4- Уз — 2у4); х4 = у (2у2 — 2у3 4- у4).
1260. 5у4 4* 5у| + бУз — Ву4; л-j = -g- К 5 (2у4 4* Уб)!
хг= у V 5 (— у 1 4- 2уз); х3 = у3; х4 = -у=- ^13 (2уг 4* Зу4);
хз = -^-/ГЗ(Зу2-2у4).
1261. 4у, 4* 4у2 |- 4у3 — 6у4 — 6у3; х4 = yf, х2 = у 5 (у2 4* 2у4); хз = у V 5 (— 2уг 4- у4); х4 = /10 (у3 4- Зу5); х6 = ^-/10 (Зу3 — у5).
<262. бу? - 5у| + 5у| - 5у“ + 5^; х, = | V 5 (2У1 + у2);
= -g-V5(у!—2у2); x3 = ^Q-/10(3ys4-y4); *< —-jq-У”10 (—Уз4-3у4);,
х5 = уК5(2у54*Уб); xe = -^/ 5(у5 — 2у6).
1263. —i— У? + уУг+ ••• + ~У«> >1 —р=^(х1+-*:2+”-+л:л)' У; = 77? . • [xi 4~хг~Ь ••• 4“xZ-i — О’ — 1)хг] (*' = 2, 3, ..., п).
Я Л 1 9 1 9 1 2 1 2
1264. ——yj—уу2 — -g-yg— ... —^у„; преобразование можно
взять то же, что и в предыдущей задаче.
1265. Указание. Показать, что при ортогональном преобразовании квадратичной, формы характеристический многочлен ее матрицы не изменяется.
1266. Формы f и h ортогонально эквивалентны между собой, но не ортогонально эквивалентны форме g.
1267. Формы g и h ортогонально эквивалентны между собой, ио не ортогонально эквивалентны форме /.
<269.
3
2 _j_ з з
1 2
з з
2 2
3 3
zl 0 0\
В = I О 4 О I.
\0 0 7/
1270. 2 ^
О
Q-
3
о
-±п
2_
3
5>'5
__ 2_
3
zl О 0\
В = ( 0 1 О I.
\0 0 10/
1271. Указание. Пользуясь указанием к задаче 1074, показать, что характеристические числа матрицы А — 7.0Е получаются вычитанием Zo из характеристических чисел матрицы А, и применить задачу 12.42.
1272. Указание. Применить предыдущую задачу.
1274. Матрица с положительными угловыми минорами тогда и только тогда ортогональна, когда она является единичной.
1275. Р е ш е н и е. Квадратичная форма f с матрицей А'А положительно определенна (задача 1207); значит, треугольным преобразованием ее можно привести к каноническому виду с положительными коэффициентами ?!, Л2, .... Х„ (задача 1222). Если С — матрица этого преобразования, D—диагональная матрица с элементами ..., на диагонали
(причем все значения корней взяты положительными), и В = DC, то А' А = = C'D2C = В'В, vjig. матрица В удовлетворяет требованиям задачи. Положим Q = /В-1. Тогда Q'Q = (АВ1)' • (АВ~1) — (В1) 1 • (ЛгЛ) В"1 =
= (BZ) 1 В'В • B~l = Е, т. е. матрица Q ортогональна и А — QB; если еще А = Q1B1, то матрица Q-1 • Qi = В В]-1 ортогональна и треугольна, с положительными элементами на диагонали. Значит, это единичная -матрица, откуда Q = Q] и В = ВХ.
1276. Решение. Докажем утверждение а) для представления А = QB требуемого вида. Матрица А'А симметрична, и квадратичная форма с этой матрицей положительно определенна (задача 1207). Поэтому существует ортогональная матрица Р такая, что А’ А = Р'СР, где С — диагональная матрица с положительными элементами Ль Л2.....Лл на диагонали. Пусть D — диагональная матрица с элементами УЛь........ У).п на диагонали, причем
взяты положительные значения корня. Положим В = Р DP = P~XDP. Отсюда следует, что В — симметрическая матрица с положительными характеристическими числами. Значит, квадратичная форма с матрицей В положительно определенна и угловые миноры ее положительны. Далее А'А — = P~1CP = P~1D2P = P~1DP-P~1DP = B2. Положим Q = A'B~1. Тогда A = QB и Q'Q = (ЛВ-1)'(АВ-1')^ В'~1 (A'А)-В-1 = В-,В2.В-1 = Е. Значит, матрица Q ортогональна.
Пусть даны два представления требуемого вида: А = QtBt = Q2B2. Тогда А'А = В2 = В2. Обозначим черезЛр .... Ал; plt ц2.....рл; vp v2.....vn
характеристические числа соответственно для А'А, Вь В2, расположенные в невозрастающем порядке. Все эти числа положительны и ц2 = А(- = v? (Z =1, 2, ..., и) (задача 1077). Значит, pz = (Z — 1, 2, ..., п). Пусть С :i D—диагональные матрицы с элементами Alt Л2, .... ?.л и р2......щ на
диагонали. Существуют ортогональные матрицы U и V такие, что В( = U' DU, В2 = V’DV. Значит, в\'= U'CU, В\ = V'CV\ откуда U'CU = V'CV, CUV' = = UV'C. Матрица W — = UV' перестановочна с С. Покажем, что она
перестановочна с D. Если X; =/= у, то, вычисляя элемент матрицы CW = WC в Z-й строке и /-м столбце, найдем, что ыц = 0. Таким образом, если представить матрицу С в виде клеточно диагональной матрицы с диагональными клетками Ct, С2, ..., С* так, что в каждой клетке диагональные элементы одинаковы, а в разных клетках — различны, то матрица W является клеточно диагональной с диагональными клетками 1ГЬ 1Г2, ..., тех же порядков, что и Ср С2....’ C/g. По построению матрицы D она также будет
клеточно диагональной с диагональными клетками Dh D2......Dk тех же
порядков и равными диагональными элементами в каждой клетке. Так как D{Wi = WiDt 2.............k), то DW = WD. Отсюда DUV = UVD\
U’DU = V’DV, t. e. B{ = B2.
Пользуясь функциями от матриц, можно провести доказательство короче. Если A — QB — представление искомого вида, то А'А = В2', В = УА'А, причем характеристические числа В положительны. Таким образом. В является значением функции УА (где берется арифметическое значение корня) при А = А'А. Так как характеристические числа матрицы А'А положительны, то это значение имеет смысл, определено однозначно и, как многочлен от симметричной матрицы А'А, будет матрицей симметрической (задачи 1148, 1151). Полагая (? = ЛВ-1, убедимся, как выше, что Q ортогональна.
Представление A—B2Q2 получается аналогично при помощи матрицы А А'. Утверждение б) доказывается так же, как а), с заменой положительно определенных форм эрмитовыми положительно определенными формами. Утверждение в) следует из единственности представлений, указанных в а) и в б). Оно может быть доказано также приведением матрицы В в случае 1) и
матрицы А в случае 2) к диагональному виду при помощи ортогональной (унитарной) матрицы (см. задачу 1595). Тогда из утверждения 1) легко следует единственность представлений, указанных в а) и б).
Отдел IV. Векторные пространства и их линейные преобразования
1277. (1, 2, 3). 1278. (1, 1, 1). 1279. (0, 2, 1. 2).
1280. л-j = — 27xJ — 71^2 — 41х3; х2 — 9х{ ~|- 20х3 4* $х3’ хз = ^Х1 4-4- 12x2 - (-8х3.
1281. Xj = 2х j 4-х' — х4’ х2 = — Зх{ Х2 — 2X3 4- х4; х3 — х{ — 2х3 4* 4-2хз — х4; х4 = х4 — Х24-Х3 — х4.
1282. а) л0, в„ а2..ап\ б) /(а), /'(«), ..... ^Чт^-’
1283. / 1 —а а2 —а3 ... (—1)лал \
[ О 1 —2а За2 ... (-1)""1 ла"-1 ]
\ 0 0 0 0 ... 1 /
В этой матрице в (Л4-1)-м столбце стоят числа (—а)*, С*-1(—а)*-1,. С*-2(-а)*“2.........С\(— а), 1, 0, 0, 0, .... 0.
1284. а) Поменяются местами две строки; б) поменяются местами два столбца; в) произойдет симметричное отражение матрицы относительно ее центра.
1285. Не является. 1288. Не является.
1287. Является, если данная прямая проходит через начало координат, не является в противном случае.
1288. Является. 1289. Не является. 1290. Не является. 1291. Является.
1292. Не является. 1293. Является.
1294. Все пространство; векторы, лежащие в любой плоскости, проходящей через начало координат; векторы, лежащие на любой прямой, проходящей через начало координат, и само начало координат, т. е. один нулевой вектор.
1295. Не верно.
1297. Базис образуют, например, векторы (1, 0, 0, ...,0, 1), (0,1,0, ...,0,0), (О, 0, 1, ..., О, 0), ..., (О, 0, 0, ..., 1, 0). Размерность равна п — 1.
1298. Базис образуют следующие векторы: если k — номер базисного вектора, то его координата с номером 26 — 1 равна 1, а остальные координаты равны нулю, 6 = 1, 2......где обозначает наибольшее
Гл 4-1 1
целое число, не превосходящее х. Размерность равна —— *
1299. Базис образуют векторы, указанные как базисные в ответе предыдущей задачи, с добавлением еще одного вектора, у которого координаты с четными номерами равны единице, а с нечетными — нулю. Размерность
1 । Гп 4-11 равна 1 4- —к— •
1300. Базис образуют векторы (1, 0, 1, 0, 1, 0,..,) н (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...). Размерность равна 2.
1301. Базис образуют, например, матрицы Ец (Z, /=1, 2..л), где
Ejj—матрица, элемент которой в z-й строке и j-м столбце равен единице а все остальные элементы равны нулю. Размерность равна л2.
1302. Базис образуют, например, многочлены: 1, х, х2.хп. Размер-
ность равна л 4-1.
1303. Базис образуют, например, матрицы Fij(i^j\ i, 7=1, 2, ..., л), где Fij—матрица, у которой элементы fij — fji = \, а все остальные эле-п п (л 4*1)
менты — нули. Размерность равна ——
1304. Базис образуют, например, матрицы Gy (i < J; I, J =1, 2.л),
где Gij — матрица, элементы которой gtj—^, gjt ——1, а все остальные _ л (л — 1)
элементы — нули. Размерность равна ——---------.
1308. Базис образуют, например, векторы (1, О, 0, .... О, —1), (О, 1, 0, ..., О, —1), ..., (О, О, 0, ..., 1, —1). Размерность равна л — 1.
1310. Размерность равна 3. Базис образуют, например, векторы аь а2, а4.
1311. Размерность равна 3. Базис образуют, например, векторы аь а2, as.
1312. Например, х, — х3 — х4 = 0, х2 4~ -*з — х4 = 0.
1313. Например, xt — х2 — 2х3 = 0, х, — х2 4- 2х4 = О, 2Х] -|~ хг — х6 = 0.
1317. s = 3, d = 1. 1318. s = 3, d = 2.
1319. Решение. Правило 1) доказывается легко. Докажем правило 2). Так как числа х.р ..., x/ft, у;1, ..., у.{ удовлетворяют равенству (1), то l k
7=2*,A=2 xijOj- Поэтому векторы (1=1, 2, ..., d) принадлежат i=1 ? j == 1
как £i, так и £2, а значит, и их пересечению D. Пусть х — любой вектор D. Он выражается как через базис £,, так и через базис £2. Значит, х = а,а| 4-4- ... 4- а*ад. = ₽!&] 4~ • • • 4“ Ml- Это означает, что строка чисел а..
Р.....Р/ есть решение системы уравнений (1) и потому линейно выражается
через фундаментальную систему решений (2). Пусть уг Yd—коэффи-
d
циенты этого выражения. Тогда р. = У угУгу- (У=1> 2, .... /), откуда
{“1
I I / d X d / I \ d
= 2y,- 2У/Л-) = 2w-
/-1 ' 1 j=\\i~\ 7 1 i-1 \y-i 7 /-I
Итак, любой вектор x£D линейно выражается через векторы (4). Наконец, система (4) линейно независима, так как матрица координат этих векторов в базисе &ь ..., bi содержит минор (3) порядка d, отличный от нуля.
1320. Базис суммы образуют, например, векторы alt а2, &i- Базис пересечения состоит из одного вектора с — 2а( -J- а2 = bt 4* b2 = (3, 5, 1).
1821. Базис суммы образуют, например, векторы аь а2, а3, Ь2. Базис пересечения, например, bt = — 2а, 4~О2 4~яч. &3 = 5а1 — а2— 2а3.
1322. Базис суммы состоит, например, из векторов аъ а2, а3, Базис пересечения, например, из векторов Ci = at 4* 0.2 4“ аз — 4* b2 = 0> 2> 2, О; С2 = 2tti 4- 2о3 = bi 4- &з = (2, 2, 2, 2).
1328._____Проекция вектора на Lt параллельно Ь2 имеет z-ю координату „ ________ I __________1
, а остальные > проекция на Ls параллельно Lx имеет все коор-п----------------------п
1
динаты равными —.
1829. 1 1 1 1 1
2 ••• 2 2 "• 2
Л = 1 2 1 ••• 2 > = 1 2 0 1 ••• 2 •
1 1 1 1
2 2 ... 1 2 2 ... 0
1834. У к а з а н и е. Рассмотреть параметрические уравнения прямых jc — a0~l-aif, x=b0-j-bit, где а0, at, &0, bt— данные векторы.
1335. Векторы д0—Ъо, Дь Ьх должны быть линейно зависимы.
1386. Искомые условия состоят в том, что векторы и bt линейно независимы, а вектор а0—Ьо линейно выражается через Д] и Если -д0—Ьо — tiai-\-t2bb то точка пересечения задается вектором а0 — tial = = &о4“^2^1-
1337. (—2, —5, —1, 1, —1). 1838. (О, 1, —1, —2, -3).
1889. Необходимые и достаточные условия состоят в том, что четверка векторов а0— с, Ьо— с, at, bt линейно зависима, а каждая из двух троек а0 — с, аь bt и Ьо — с, alt bt линейно независима. Искомая прямая имеет уравнение х = с dt, где d — X] (д0 — с) + ^2«i = ?-з (&о — с) + причем .коэффициенты X] и ?.3 отличны от нуля.
Точки пересечения эюй прямой с данными прямыми имеют вид:
До+т2-®! =с+-±-а и а.
Л] Al Л3 Аз
1840. x = c-\-dt, где d = (6, 7,'—8, —11); (2, 2, —3, —4),
М2 (—4, —5, 5, 7).
1341. x — c-\-dt, где d = (l, 1, О, 3); Л4, (2, 3, 2, 1), М2 (1, 2, 2, —2).
1344. Если две плоскости трехмерного пространства имеют общую точку, то они имеют общую прямую. Если плоскость и трехмерное линейное много-•образие четырехмерного пространства имеют общую точку, то они имеют -общую прямую. Если два трехмерных линейных многообразия четырехмерного пространства имеют общую точку, то они имеют общую плоскость.
1845. Для удобства классификации разных случаев введем две матрицы: А — матрица, по столбцам которой записаны координаты векторов дь д2, &!, Ь2, В — матрица, полученная из А приписыванием столбца координат вектора д0 — &0. Пусть ранг А = гь ранг В = г2. Возможен один из шести •случаев:
1) г, =4, г2 = 5. Плоскости не лежат в одном четырехмерном многообразии (плоскости абсолютно скрещиваются).
2) Г] = г2 — 4. Плоскости имеют одну общую точку, значит, лежат в одном четырехмерном, но не лежат в одном трехмерном многообразии (плоскости абсолютно пересекаются).
3) Г] =3, г2 = 4. Плоскости не имеют общих точек, лежат в одном четырехмерном, но не лежат в одном трехмерном многообразии (плоскости скрещиваются параллельно прямой, именно: обе они параллельны прямой с уравнением aiti Дг^г = + b2tt).
4) г! — г2 = 3. Плоскости лежат в трехмерном пространстве и пересекаются по прямой.
5) =2, г2 — 3. Плоскости не имеют общих точек, но лежат в одном
трехмерном пространстве (плоскости параллельны).
6) rt = г2 — 2. Плоскости совпадают, r2^-rt^2, так как обе пары векторов дь д2 и Ьъ b2 линейно независимы.
1347. У к а з а н и е. Вести доказательство индукцией по числу k.
1348. Октаэдр с вершинами в точках:
(1, 1, —1, —1), (1, —1, 1, —1), (1, —1, —1, 1),
(—1, —1, 1, 1), (—1, 1, —1, 1), (—1, 1, 1, —1).
Указание. При определении координат вершин учесть, что вершины искомого сечения должны быть точками пересечения секущего подпространства с ребрами куба, и что вдоль каждого ребра куба три координаты равны ± 1, а четвертая меняется от +1 до —1.
1349. Тетраэдр с . вершинами в точках:
\ 4’4’ 4 4^Л 4’ 4’4’ 4/’ \ 4’ 4’ 4’4
Указание. Найти проекции вершин.
1350. У к а з а н и е. Принять данный конец диагонали за начало, а ребра, из него выходящие, — за оси координат и показать, что рассматриваемые-параллельные линейные многообразия определяются уравнениями
-*т ~Ьх2-{- +хл = ^ (* = О, 1, 2, ..., п),
а точка пересечения диагонали с А-м из эгнх многообразий имеет все коор-k
динаты равными одному и тому же числу — (А = О, 1, 2, ..., п).
1352. Билинейная форма g должна быть симметрична, т. е. а^ — ац (i, J=l, 2,..., п), а соответствующая ей квадратичная форма / =
п
~ У) aijxixj— положительна определенна; (в;, е]) = «у («, j = 1, 2, ..., л).
I. “ 1
1857. Можно добавить векторы (2, 2, 1, 0), (5, —2, —6, —1).
1358. Можно добавить векторы (1, —2, 1. 0), (25, 4, —17, —б).
(2 2 1 \
T’ —У- —"ЗГ
1360. Например: (±, -1, ±, (±, -±, —1 ±).
1381. (1, 2, 2, —1), (2, 3, —3, 2), (2, —1, —1, —2).
1362. (1, 1, —1, —2), (2, 5, 1, 3).
1363. (2, 1, 3, —1), (3, 2, —3, —1), (1, 5, 1, 10).
1366. Например: б, = (2, —2, —1, 0), Ь2 = (1, 1, 0, —1).
1367. Например: 6х, — 9х2— х3=0, х2-|~х4 = 0.
k
1369. Пусть аь аг,..., — базис L. Ищем у в виде у== 2
/-1
Умножая это равенство скалярно на а, и замечая, что (а/, у) = (а,, х), по-k
лучаем систему уравнений 2 («/. «у) Cj = {ai, х) (/ = 1, 2.А), которая,
7=1
по смыслу Ci, с2, ..., Ch должна иметь единственное решение. Найдя у, полагаем z = х — у.
1370. у» = 3а, — 2а2 = (1, —1, —1, 5); z=(3, 0, —2, —1).
1371. у = 2а, — а2 = (3, 1, —1, —2); г = (2, 1, —1, 4).
1872. у = (5, —5, —2, —1); z=(2, 1, 1, 3).
1378. У к а з а н и е. Вывести соотношение
|х —о|2==|(х—х0) —у|2 + 1у —(«—х0)|2,
где у — ортогональная проекция х — х0 на L.
1874. а) 5; б) 2.
1375*. Указание. Положим х — x0 = y-}-z, где y£L, z£L*. По задаче 1373 d2 = (z, г). Пусть у = 4-Л2а2 + ... + ^*а/г- Из последнего
•столбца определителя G (аь а2, .... ак, к— хв) вычесть предыдущие столбцы, умноженные соответственно на Xlt Z2, ..Л*, и показать, что на месте (а,, х — хв) получится нуль, а на месте (х—х0, х — х0) будет (х— х0, z) = = (z, z).
1376. Указание. Пусть и2£Р2, у — ортогональная лроекция
х1—х2 на L. Вывести равенство
I «1 — «212 = I (*| — Х2) — у I2 +1 у + («1 — хо — (я2 —х2) I2.
1377. 3.
1378. Р ешение. Примем одну из вершин первой грани за начало координат. Пусть другие вершины первой грани задаются векторами xlt х2,.... хк, а вершины второй грани — векторами х*+1, ..., хп. Ищем расстояние между линейными многообразиями, определенными вершинами этих граней (задача 1346). Эти многообразия —
Xi<i... -J-Х^ И (Хл; + 1—Xn)/fc + i-|- ... -|-(Xn_i—х„) -1 + хп-Искомое расстояние равно длине ортогональной составляющей г вектора х„ относительно подпространства L, натянутого на векторы хь .... хк, хк+1—х„, ..., х„_!—хп. Умножая равенство
хп = ... 4-x^fc-|-(Xfe+1—x„)/fe+14- ... +(x„_1—x„)1n-i+2
на векторы хь ..., хк, xk+t—хп, ..., х„_!—х„, получим уравнения:
^i+’2'^+ +'2‘^fe = '2‘;
2-Л+^+ ••• =
"2" ^2 + ••• + tk
••• +"2^л-1
jj ^+1+^+2+ ••• +'2^1-1
— ±-
- 2 ’
~ 2 ’
~ 2 ’
~2 ^k+i + 2"^+2 + ••• +^л-1=—2’
откуда, складывая первые k и последние п — k — 1 уравнений, легко находим: ti = ... = 4=-——; ffr+1= ... = ——Ау Поэтому z =
“Р ••• 4“ ^71 «^14“ ••• Ч~ ГЛ
= ———!-----j—--------. .-г-—Отсюда видно, что z соединяет
Т1 ~ к к —1
центры данных граней.
Так как расстояние между многообразиями, определенными вершинами данных граней, по доказанному равно расстоянию между центрами этих граней, то оно и будет расстоянием между этими гранями. Возводя в квадрат
выражение для г и извлекая затем корень, находим: | z | =
« + 1
2 (я—k) (/г-Н)-
1379. Указание. Найти а из условия (х— ае, е)=0. При доказательстве единственности обе части равенства «ц -е 4~£i = a2«-|-z2 умножить скалярно на е.
1380. У казание. Рассмотреть скалярный квадрат вектора у — х— k
— У, ще» где аг = (х, eft, и применить свойства в) и г) предыдущей задачи. i = l
1381. Указание. Первый способ: рассмотреть скалярный квадрат (х-|-(у, х + 00 как неотрицательный квадратный трехчлен от t. Второй способ: при у =f= 0 представить х в виде х = ау г, где (у, г) = 0, показать, что (х, х) >• а2 (у, у), причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда х — ау, и выяснить, что
(х, у)2 = а2 (у, у) (у, у) < (х, х) (у, у).
Третий способ: применить неравенство задачи 503 к координатам векторов х и у в ортонормированном базисе.
1382. Указание. Первый способ: рассмотреть скалярный квадрат (х -)- ty, х + где t = s (х, у) как неотрицательный квадратный трехчлен от s (s — действительное). Второй способ: при у =£ 0 положить х = ay г, где а — комплексное число и (у, г) = 0, показать, что (х, х) аа (у, у), причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда х = ау, и выяснить, что
(х, у) (у, х) = аа (у, у) (у, у) < (х, х) (у, у).
Третий способ: применить неравенство задачи 505 к координатам векторов х и у в ортонормированном базисе.
Gb \2 b ь
[/(-*)£ (X) dx j < | [f (л)]2 dx • J (x)]s dx.
1385. ЛВ = ВС = ЛС = 6; Z Л = /В=/С = 60°.
1386. ЛВ = 5; ВС = 10; ЛС=5/3; /Л = 90°; /_ В = 60°; /С = 30°.
1389. У казанне. Если ребра заданы векторами аь а2.......ап, то
рассмотреть выражение | a, -f- а2 + ... + ап I2-
1390. Указание. Рассмотреть выражение |х-|-у|2-f-1х—у|2.
1393. При нечетном п ортогональных диагоналей нет, прн п — 2k иско-
1 ..Ъ
мое число равно ~2<'П — Qife-i-
1394. а У~п; lim а Уп — со.
п->оо
1 л
1395. <р„ = arccos , г— ; lim <р„=—; q>4=60°.
у П л->со 2
1396. R . При п = I, 2, 3 R < а; прн п = 4 R = a, при п > 4
R > а.
1398. У казание. Показать, что начало диагонали можно соединить с любой другой вершиной цепочкой ребер, н воспользоваться предыдущей задачей.
1399. У казание. Использовать задачу 1379.
1400. Решение, cos (х, у) = — „ = XL!..
cos (х, у') = \ I 1 cos (у, у') <; -рЦ- = cos (х, у).
|х|-|у'| |х|.|у'| |х|-|у I ^’-^'^Ixl
Знак равенства возможен тогда и только тогда, когда cos (у, у') = 1, т. е. аю задаче 1399, когда у' = а-у при а > 0. ’
/~ь~
1401. arccos 1/ —. 1402. 60°. 1403. 30°.
F П
2
1405. arccos -у*-. Указание. Пусть а, — вектор из Ло в At (i = 1, 2, 3,4). Рассмотреть два вектора afi -f- a2f2 и a3t3 -|- a4f4; показать, что квадрат коси-(Л + <2)2(<з + <4)2
нуса угла между ними равен ----5— ' ...ЛЛ-.1----—, и найти макси-
4(4 + <I<2 + f2)«2 + f3<4 + f2)’
мум функции (tJ 4- <2)2 при условии, ЧТО <J -f- tJ<2 -[- <| = 1.
1406. 45°. У казакие. Искать минимум углов векторов второй плоскости с их ортогональными проекциями на первую плоскость.
1407. У казакие. Показать, что каждая из систем /1.........Л и
gi....gk является базисом подпространства Lk, натянутого на векторы
eit..., ек, что (fb gj) =0 при i j, наконец, что в равенстве gk — Ci/i 4~ — • •• 4-cfc/fc все коэффициенты сь с2...c*_i равны пулю.
1400. Указание. Положив (х2 — l)fc = ик (х), проверить, что
«5/)(±l) = 0 при j<k и, интегрируя по частям J iffl(x)xJ dx несколько
раз, пока под знаком интеграла не исчезнет множитель вида Xs, показать, что •этот интеграл равен нулю при / = 0, 1.k — 1. Вывести отсюда требуемое
+1
равенство: J Pt(x)Pk(x)dx = 0 при j ф k.
-I
1409. Ро (х) = 1, Р{ (х) = х, Р2 (х) = 1 (Зх2 -1), Р3 (х) = 1 (5х3—-Зх),
k
Л (х) = | (35х4—30х24*3). Ph (X) = £ (-1)*-i С[ ^J-k =
/=о
k
S. yJi-i 1-3-5- ... -(2/ — 1) 2/-Л
(—I) J7 , причем в этих выражениях еле-(k-J)\(2J-k)
] =«U
дует выпустить все слагаемые с отрицательными показателями степени х.
2
—j-. Решение. Положим (х2 — l)ft — ик (х) и вычислим 4-1
скалярный квадрат (Рк, Рк)- Интегрируя по частям, находим:
+1 +1
J и{к} (х) • (х) dx = — j •••
-i -1
+1 +1
... =(—!)* J ик (x) u(ft2fc) (x) dx = (2Л)! J (1 — x)ft (14- x)ft dx.
-1 -1
Снова интегрируя по частям, находим: +1 +1
J (1— х)й (l-|-x)ft6fx = y^-T J (1—x)fc-1(l+-*)ft+1^= ... -1 -1
____________*' f (1 4-х)2* dx - <ftl>222ft+1
••• (Лг-Ь 1) (Л: H-2) ... (2*) J aX ~ (2*)!(2*-|-l) ”
откуда
(P- рл —_______1 (2Л)!
' 22й(*!)2 ( ’ (2*)! (2* 4-1) 2*4-1 ’
1411. Pk (1) = 1. Указание. Применить к выражению Рк (х) = 1 fz
= -г-----— [(х -}- l)ft (•*— l)ft] правило Лейбница дифференцирования про-
2й*! 4хй
изведения.
_ (2*)! CL 1-3-5-...-2*— 1
1412. Pk (х) = Chfk (х), где Ck =---—- = -- =---------------------
V к 2й (*!)2 2й *!
старший коэффициент полинома Р^(х) (* = 0, 1,.... л). Указание. Использовать задачи 1407, 1408, 1409.
1414. У к а з а н и е. Положив х" = [х" — f (х)] -}- f (х), показать, что-минимум достигается тогда и только тогда, когда f (х) — ортогональная составляющая для х” относительно подпространства многочленов степени п—1 (задача 1373), и применить задачи 1410, 1412 и 1413.
141S. g (а1( а2) равен квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах аь а2. g (at, а2, а3) равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на векторах at, а2, а3.
1416. У казание. Рассмотреть систему однородных линейных уравнений с определителем g(ai, а2....а*).
1417. У казание. Искать взаимный базис из соотношений
п
fj = у Cjk^k (/=1,2,..., п).
fi-i
1418. a) r=(S/)-1; б) Т — (S')-1. Здесь штрих означает транспонирование, а черта — замену элементов комплексно сопряженными.
1419. У казание. Первый способ: показать, что определитель Грама g(alt ..., flfc) равен квадрату модуля определителя из координат векторов Ci,.... ak в любом ортонормированием базисе *-мерного подпространства, содержащего эти векторы.
Второй способ: показать, что неотрицательная квадратичная форма (aiXj 4“ • • • + a*xfc, aptt 4- ... 4- akxk) от xb ..., xk является положительно определенной тогда и только тогда, когда векторы at,..., ад. линейно независимы.
Третий способ: пользуясь неизменностью определителя Грама при ортогонализации векторов (задача 1415), показать, что если векторы t>t,.... получены из at, ...,.ац процессом ортогонализации, то g (alt..., а^) = = | Is ... I |2, и применить задачу 1413.
1421. . Указание. Первый способ: заметив, что иско-
С2я„/2«4-1
мое расстояние равно длине ортогональной составляющей вектора —хп
относительно подпространства многочленов степени не выше п—1, применить предыдущую задачу и задачу 418.
Второй способ (не использующий задачи 418): искомое расстояние дает I
минимум интеграла J [/ (Jt)]2 dx, где f (х) — многочлен «-й степени со старшим о
коэффициентом, равным единице. Это позволяет изменением пределов интеграции свести задачу к соответствующему экстремальному свойству полинома Лежандра (задача 1414).
1422. Указание. Применить задачи 1413 и 1415. п п
1423. | О2 | < П2 | atj |2, причем знак равенства имеет место тогда и 4 = 1 / = 1
П
только тогда, когда либо 2 aikajk = О (г ¥= J'~ А / = 1, 2, ..., п), либо опре-*=1
делитель D содержит нулевую строку.
1424. Указание. В векторном пространстве /?„ ввести скалярное
п
произведение (х, у/) = У, ai.xjyгде Xj......хп и уг, уп — коорди-
I, i-1
наты соответственно х и у в некотором базисе eh ..., еп пространства Rn, показать, что Df=g ..., еп), и применить задачу 1422.
1425. У казание. Использовать задачу 1210, г).
1428. Указание. Применить свойства эрмитовых форм, аналогичные свойствам вещественных форм, указанным в задаче 1210 (см., например, Ф. Р. Гантмахер «Теория матриц», Гостехиздат, 1953, гл. 10, § 3,9).
1427. Указание. Использовать рассуждения первого и третьего способов, указанных в ответе к задаче 1419.
1428. Указание. Применить задачу 1422.
1429. Р е ш е н и е. Пусть процесс ортогонализации переводит векторы а,, ..., ак, bi, .... b{ в векторы с,, ..., ск, dit ..., dt, а векторы Ьь .... bt — в векторы е,....et. Ортогональная составляющая вектора е, относительно
подпространства натянутого на аь ..., а*, b........ bi~i, совпадает с d,.
В самом деле, bt = у.-\-ег где у(. линейно выражается через Ь^, ..., b._v a et ортогонален к этим векторам. е{ = yt -f- z, где у; £L{, a z ортогонален к Lt, по тогда bt — (у{ -f-J/;) -f-z, где У,--|-У; £4.,-, a z ортогонален £р Значит, по задаче 1413 г(- — d(- и | ф |< |е, |, причем знак равенства заведомо имеет место прн условии (2), потому что el—bi — у. выражается через Ьъ ..., bj и, значит, ортогонален к аь ..., ак; bt, bi_t. По задаче 1415 имеем:
g (ah .... ак, bi..bi) = (| ci |2 •... -1 ck |2) • (\dt |2 •... | dt |2) <
<(|Cil2-...-|c*l2)-(l₽il2-...-|₽zl2) = (?(ai...ak)g(bi......6Z),
что доказывает неравенство (1). При условии (2) | dj | = | е,1 (Z = 1, 2, ..., I) и неравенство (1) обращается в равенство. Если ah ..., ак или 6Ь ..., t>i линейно зависимы, то правая часть неравенства (1) обращается в нуль, а так как левая часть неотрицательна, то мы снова получаем равенство.
Пусть, обратно, неравенство (1) обращается в равенство. Тогда по предыдущему | ci |2 .. •. | ck |2 • | di ]2 ... | dt |2 = 1 с, |2 ... | ck |2 • | ei |2 ... | et I2, откуда либо существует i-^k такое, что |с,|=0, т. е. аь .... ак линейно-
зависимы, либо существует /</ такое, что Id, | = | = 0, т. е. б,, bt
линейно зависимы, либо |й,| = |е/| (i = 1, 2, ..., Z), откуда следует, что все С[, а значит, и все Ь, (как их линейные комбинации) ортогональны к ах, ..., а^, т, е. выполняется условие (2).
1430. У к а з а н и е. Применить предыдущую задачу.
1431. Указание. Применить задачи 1425 и 1429.
1432. У Казание. Применить задачи 1426 и 1429.
1433. Р е ш е н и е. а) пусть числа системы (1) являются расстояниями всевозможных пар вершин Ма, Мх, ..., Мп «-мерного симплекса, причем
аи = MtMj (i, j = 0, 1, 2, ...,«; I > J). (2)
Обозначим через е, вектор, идущий из Af0 в Mt (i = 1, 2...я). Тогда
имеем:
«?о = (*/ et) V = 1. 2.я);
fib = («z—«г — (z. / = 1. 2, .... я; i > /).
Из этих равенств находим скалярные произведения векторов ех, et) = ai0 (i — 1, 2, .... я),
aiO~i~ajO— aij
(Pt, e}) =------g------- (' J = 2, ..., я; Z > J).
.... en:
Применяя эти соотношения, напишем матрицу Грама векторов ех, ..., еп:
«10
«20 + «10---«21
2
«20 + «10---' «21
2
«20
«ПО ~Ь «10- «П1
2
«ПО «20 «П2
2
«Л0 ~4~ «Ю-- «Л1 «ПО ' Ь «20--«л2
2 2
ио
Так как точки Мъ..., Мп не лежат в (я—1)-мерном многообразии, то векторы еи е2, .... еп линейно независимы. Обозначая через Dk угловой минор порядка k матрицы (5) и применяя задачу 1419, получаем
Dk > 0 (k = 1. 2, ... л).
(6)
Итак, условия (6) являются необходимыми для того, чтобы числа системы (1) были расстояниями вершин «-мерного симплекса. Покажем, что эти условия достаточны. При выполнении условий (6) матрица (5) является матрицей Грама линейно независимой системы векторов еи ..., еп (см. задачу 1352 или 1210, в)). Поэтому верны равенства (4), откуда вытекают равенства (3). Принимая начало координат за Мв, а конец вектора е, за Mi (г = 1, 2, ..., л), получим выполнение равенств (2), что и требовалось.
В случае б) необходимым и достаточным условием является неотрицательность всех главных (а не только угловых) миноров матрицы (5). Необходимость доказывается так же, как в случае а), с той разницей, что векторы ех, ..., еп могут быть линейно зависимы. Достаточность доказывается при помощи задачи 1425 или 1210 г).
1434. /cos а —sina\
\sin a cos a]'
1435. /0 0 1\ /О
11 О О I, если et переходит в е2 и [ О \0 1 0/ \1
1 °\
О 11, если пе-
0 0/ реходит в et.
1438. 1 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
«436. /1 0 ° \ 1437. / 1 0 0
I 0 0 ° г 1 ° 1 0
\0 0 0/ \о 0 0
1439. Первые k элементов главной диагонали матрицы преобразования равны единице, а все остальные элементы равны нулю.
1440. В »-м столбце матрицы преобразования стоят координаты вектора bt в базисе аь .... а„.
(О 1 К
2 0 1 1. 1442. <j> не является линейным.
3—11/
1443. <р не является линейным.
/1—11
1444. ф линейно. Яд, = I 0 0 1
\0 1 О
/2 —11 6х / -6 11 5х
1445. 11 —7 4 j. 1446. -1-1 —12 13 10 I.
\2 —1 О/ \ 6 —5 —5/
1448. В базисе et, е2, е3 матрица zl 2
( 2 4
ХЗ 6
в базисе blt b2, Ь3 матрица
20 5 -
~Г -3- 5
16 4 .
“3" Т 8—2 6
1449. а) при умножении слева
а Ь 0 0
с d 0 0
0 0 а b »
0 0 с d
1450. а) 0 10 0. .. 0
0 0 2 0. .. 0
0 0 0 3 . .. 0
б) при умножении справа а 0 с О О а 0 с b 0 d 0 ’ О Ь 0 d
б)
О 1 О о ... о о о 1 о ... о ООО 1 ... о
0. О 0 0 ... п
О 0 0 0 ... О
О О О О ... 1 о о о о ... о
1451. В матрице переставятся /-я н /-я строки и i-й и /-й столбцы.
1452. а)
1 0 2 1
2 3 5 1
3-102
1 12 3
0 1
-4 -8
4 6
3 4
О
-7
4
7
1453. /100
10 2 0 \0 0 3
1457.
1458. /109 93 \ 1461. п2.
\ 34 29/•
1484. Указание. Применить предыдущую задачу н определение функции от матрицы (задача 1148).
1465. Л1 = Л2 = х3=— 1. Собственные векторы имеют вид с (1, 1. — 1), где с=#0.
I486. Л, = Л2 = Л3 = 2. Собственные векторы имеют вид ct(l, 2, 0)+ 4- с2(0, 0, 1), где ci и с2 не равны нулю одновременно.
1467. Xi = 1, Л2 = Х3 = 0. Собственные векторы для значения 1 имеют вид с(1, 1, I). а для Л = 0 —вид с(1, 2, 3), где с=/=0.
1468. X,! = Я2 — Л3 — 1. Собственные векторы имеют вид с (3, 1, I), где •с=/=0.
1469. А,!=3, Х2 = Х3=— 1. Собственные векторы для Я, = 3 имеют вид с(1, 2, 2), а для Х = — 1 — вид с (1, 2, 1), где с=^=0.
1470. Л.1 = Л2= 1, Х3 = — 1. Собственные векторы для Л = 1 имеют вид а (2, 1, 0) + с2 (I, 0, — 1), а для Х = — I вид с (3, 5, 6), где щ и с2 не равны нулю одновременно и с=#0.
1471. Xj = 1, Х2 —2 + 3/, Л3 = 2 —3/. Собственные векторы для Л=1 имеют вид с(1, 2, 1), для Я, = 2 + 3/ —вид с (3 — 3/, 5 — 3/, 4), для Л = 2 — — 3/ — вид с (3 + 3/, 5 + 3/, 4).
1472. %1 =Л2= 1; Л3 = Л4 = 0. Собственные векторы для Л= 1 имеют вид
с (0, 0, 0, I), а для Х = 0 — вид Ci (О, I, 0, 0) + с2 (О, 0, 1, 0), где с=/=0 н щ
и с2 не равны нулю одновременно.
1473. М — Я.2 = 1, Л3 = = 0. Собственные векторы для Я, = 1 имеют вид
с((1, 0, 1, 0) + с2(0, 0, 0, 1). а для Я, = О-вид с, (0, 1, 0, 0) + сг (О, О, I, 0),
где числа Cj и с2 не равны нулю одновременно.
1474. Л = 2. Собственные векторы имеют вид щ (1, 1, 0, 0) + с2 (0, 0, 1, 1), где Ct и с2 не равны нулю одновременно. 1477. Указание. Применить [задачи 820 и 1476.
1479. а, = (1. 1, I), /I 0 0\
«2 = (1, 0, 0), |0 2 о).
а3 = (1, 0, -3); \0 0 2/
1480. Матрица к диагональному виду не приводится.
1481. а, = (1, 1, 0, 0), 2 0 0 0
«2 = (1, 0, 1, 0), 0 2 0 0
«з = (1, 0, о, 1), 0 0 2 0
«4 = (Ь - I, -1, -О; 0 0 0 -2
1482. Матрица к диагональному виду не приводится
1483. а, = (1, о, 0, 1), Й2 = (0, 1, 1, 0), а3 = (0, —1, 1, 0), а4 = (-1, 0, 0, 1);
1434. Например:
1 О
О 1
О 1
1 о
10 о о
0 10 0
0 0—1 о
0 0 0 —1
.. о —г
—1 о
.. 1 о
.. о 1
где по второй диагонали элементы выше главной диагонали равны —1, а ниже 4-1; ПРИ нечетном п на пересечении диагоналей может стоять как -|~1, так и —1. Диагональная матрица В имеет на главной диагонали сверху
»+1 2
— при четном п и
при нечетном п элементов, равных 1, а остальные
элементы р;вны —1.
Указание. Рассмотреть линейное преобразование <р «-мерного пространства, имеющее матрицу А в некотором базисе, найти базис, состоящий из собственных векторов этого преобразования, и применить задачу 1477.
I486. Любые два элемента ak и «я-*+1, равноотстоящие от концов побочной диагонали, должны либо оба быть отличны от нуля, либо оба обращаться в нуль.
У к а з а н и е. Рассмотреть линейное преобразование <р «-мерного пространства, соответствующее матрице А в некотором базисе, и применить задачи 1117, 1132, 1484.
1487. Единственное собственное значение—Л=0; собственные векторы — многочлены нулевой степени.
1491. Решение. Сначала докажем равенство
разм. L = разм. <р£ -f- разм. LB,
(1)
где Lo — пересечение L с ядром <р~ ‘0 преобразования <р. Для этого базу й|, аг...Ok подпространства дополним векторами &2, ..., 6г до
базы L (при Lo — 0 отсутствуют векторы at, при £0 — L — векторы 6г). Векторы <рб|, <pb2, 4>&z образуют базу <р£. В самом деле, если y£<fL, то
k i I
у — <рх, где х£ L. Если х = У, «(ве- + У ₽/Ьг, то у = <рх = У так как
i = l Z = 1 i-1
<р«, = 0 (z — 1, 2, .... k). Векторы <pblt <pb2.линейно независимы,
l l Ik
так как из У, Р,<рЬ/ = 0 следует откуда 2 = S а‘аг и’
i=l t=l j-1
значит, Р/ = 0 (Z =1, 2,..., /).
Итак, разм. L = / -f- k = разм. <р£ разм. £0.
а) Из (1) в силу £ос<р~'О находим:
разм. L — разм. <р£ -j- разм. Lo < разм. <р£ деф. <р;
разм. L — деф. гр < разм. <р£.
Далее, разм. <р£ = разм. £ — разм. £0 разм. £.
б) Положим <p~lL— L'. Так какО££, то <p-10c<p_1£ = L’ и £'Г)ф-1О = = q>-10. Применяя (1) с заменой L на L', получим:
разм. L' = разм. <р£' -ф деф. <₽. (2)
Так как <р£' С L, то разм. <р£'< разм. £ и по (2) разм. £'разм. £-ф деф. <р, чем доказано второе из неравенств б).
Покажем, что <р£' = £П<рЛя.
Так как <р£'с£ и <р£' с<р/?я, то <р£'С £ П <р/?я- Если х££П<р/?я, то х = <рх', где х'£гр-1£=£', т. е. х£<р£'. Отсюда £П<р/?яС <р£'.
Так как разм. (£-|-<р/?я)< я, то, используя связь размерности суммы и пересечения подпространств (задача 1316), получим:
разм. <р£' = разм. (£J] <[Rn) — разм. £ -ф разм. <р/?я — разм. (£ -ф <р/?я) >
разм. £ -ф разм. <р/?„ — п — разм. £—деф. <р. Отсюда в силу (2) находим:
разм. L' = разм. <р£' -ф- деф. <р > (разм. £ — деф. <р) ф деф. <р — разм. £, чем доказано первое из неравенств б).
1492. Указание. Рассмотреть преобразования <р и ф пространства Rn с матрицами А и В и применить предыдущую задачу к подпространству £=ф!?я.
1494. Единственное собственное значение А = I. Собственные векторы имеют вид С! (а1-ф-2а2) + С2 («2 + «з + 2»4). где с„ с2 не равны нулю одновременно.
1495. Указание. Рассмотреть матрицу преобразования <р в базисе, первыми векторами которого являются линейно независимые собственные векторы <р, принадлежащие Ао. Другой путь связан с применением задачи 1074.
1501. Нулевое подпространство и подпространство £*, состоящие нз всех многочленов степени (£ = 0, 1, 2, ..., п).
1503. Инвариантными подпространствами будут: нулевое подпространство и любое подпространство, натянутое на какую угодно подсистему векторов базиса Ар а2....ап; их число равно 2".
У Казани е. Применяя задачи 1495, 1502, показать, что любое ненулевое инвариантное подпространство £ имеет базис, являющийся подсистемой векторов аь а2,..., ая.
1504. Прямая с базисным вектором а, = (2, 2, —1), любая прямая плоскости £ с базисными векторами а2 = (I, 1, 0) и а3 — (1, 0, —1), т. е. плоскости Xi—х2-ф-*з = 0, сама эта плоскость £, любая плоскость, проходящая через вектор аь все пространство и нулевое подпространство.
1505. Прямая с базисным вектором (1, —2, 1), плоскость с базисными векторами (1, 1, 1) и (1, 2, 3), т. е. плоскость с уравнением х,—2х2-фх3 = 0, все пространство и нулевое подпространство.
1509. hi = 1, Л2, з = 0. Корневые подпространства состоят из векторов для Ai = l: с (1, 1, 1); для А2>3 = 0: с( (1, 1, 0) -ф с2 (1, 0, —3).
1510. At = 3, А2, з = —1. Корневые подпространства состоят из векторов для А = 3: с (1, 2, 2); для А2,3 =— 1: (1, 1, 0)-фс2(1, 0, — 1).
1511. Аь 2,з — —1- Все пространство является корневым подпространством.
1512. Аь 2 = 2, А3,4 = 0. Корневые подпространства состоят из векторов: для А1>2 = 2: Ci (1, 0, 1, 0)-фс2(1, 0, 0, 1);
для А3,4 = 0: С] (1, 0, 0, 0)-фс2(0, 1. 0, 1).
1515. а) Любое число а является собственным значением. Соответствующие ему собственные векторы имеют вид сеах, где С =/= 0;
б) корневое подпространство, соответствующее числу а, состоит из всех функций вида (а0-фа[Х-ф ... -ф апхп) еах, где аа, at, .... ап — любые числа н п — любое целое неотрицательное число.
1517. Если минимальный многочлен g (Л) = Л" — слЛл-1—сп-^п~2—... ... — cj, то матрица преобразования <р имеет вид
О 0 0 ... О ct
1 0 0 ... О с2
О 1 0 ... О с3 •
О О О ... 1 с„
1518. Жорданова клетка
1а 1 О ... О
О а 1 ... О
ООО ... а
1520. При п = 2 поворот плоскости на угол а kn ие обладает инвариантными прямыми. Подпространство L тогда и только тогда содержит прямую неподвижных точек, когда преобразование ф(, индуцированное преобразованием <р на L, обладает собственным значением, равным единице.
1523. У казание. При доказательстве утверждения а) использовать равенство 1 == Лj (Л) (Л) -J- Л2 (Л) и2 (Л), где и, (Л) и и2 (Л) — многочлены от Л; б) вывести из а).
1524. g (Л) = (Л — I)2 (Л — 2). /?3 = Li + L2, где L1 имеет базис /( = elf f2 = e2 — е3, a L2 — базис /3 = е2.
Указание. При отыскании g (X) использовать задачу 1485.
1525. g (Л) = (Л — 2) (Л — 3). R3 — Lt-\-L2, где Lt имеет, например, базис = /г = ^>—₽з, a L2 — базис 2е{ — 5е2 — 6е3.
1528. g(X) = [X—(а, «)] Л. /?л = £14-£2. где L1 натянуто на вектор а и L2 образовано всеми векторами, ортогональными к а.
1527. Если Ло — собственное значение <р, то жорданова форма состоит из одной клетки порядка л с к0 иа диагонали.
1529. Решение. А) Положим: ft (Л) = —ь- (1=1, 2, ..., з).
Многочлены (Л) взаимно просты. Значит, существуют многочлены А,- (Л) S
(1=1,2,..., s) такие, что 1 = 2 fl W(^)> откуда Для любого вектора х: 1=1
х=^хь (1)
(=1
где X/. = fi (ф) • hi (ф) х £ Plt так как (ф — xt = / (<р) ht (ф) х = 0 по теореме Гамильтона — Кэли, в силу которой /(ф) = 0.
Единственность разложения (1) достаточно доказать для х = 0. Применяя
к обеим частям равенства X/ = 0 преобразование ft (ф), получим: 1=1
fi (ф) xi = 0, так как (ф) Xj = 0 при j I. Далее, /г (Л) и (Л— Xz) 1 взаимно просты. Значит, существуют многочлены р (X) и q (X) такие, что
1 = 1(WH?W (Л-лД откуда
xi = Р (ф) ft (ф) Xi + q (ф) (ф — Xze) 1 xt = 0.
Этим доказано, что пространство Rn есть прямая сумма подпространств Pt (I = 1, 2, ..s), и построение искомого базиса сведено к случаю Б). В случае минимального многочлена рассуждения аналогичны (см. задачу 1523).
Б) Достаточно доказать, что указанное построение на каждом шаге возможно (то есть векторы, дополняемые до базиса /?/,, линейно независимы) и что векторы всех построенных серий образуют базис пространства Rn. Каждой серии в матрице преобразования ip соответствует, очевидно, жорданова клетка с нулем, а в матрице преобразования <р = Лое -f- ip соответствует клетка с Хо на диагонали.
Возможность построения на каждом шаге доказывается индуктивно для h = k, k — 1....1. При Л = А векторы любого базиса Rk-i вместе с векто-
рами высоты k, начинающими серии первого шага, по построению образуют базис Rk. Предположим, что уже построены серии с начальными векторами высоты причем все векторы высоты Л-|-1 построенных серий
Хр ..., хр вместе с векторами ур ..., любого базиса R^ образуют базис Rh+i-Покажем, что векторы высоты Л: ipxb ..., ipxp построенных серий вместе с любым базисом zu ..., zr для Rh-i линейно независимы. Пусть
р '
У, + S dizi = °- <2>
Z=1 /-1
Применяя к обеим частям этого равенства преобразование i]?_*, получим р р
•фй 2 cixi ~ 0- Поэтому вектор 2 cixi принадлежит Rh и линейно выра-Z = 1 Z-1
жается через его базис ylt .... yq. Из линейной независимости векторов Xi,.... Хр, yt..Уд (как базиса Rh+i) вытекает, что с{ = 0 (< = 1, 2, ..., р).
Поэтому из равенства (2) вытекает, что d?- = 0 (/=1, 2, ..., г); этим доказано, что векторы высоты h построенных ранее серий вместе с векторами любого базиса Rh-i можно дополнить до базиса Л*. Приняв дополнительные векторы (если они существуют) за начальные векторы новых серий, мы находим, что предположение, сделанное выше для /?Л+1, выполнено теперь для R/,, и построение можно вести дальше.
Пусть указанное построение выполнено для Л = k, k—1, .... 1 (в действительности базис всего пространства может получиться и раньше, чем мы дойдем до h = 1). Так как Ra не имеет базиса, то по доказанному векторы высоты 1 построенных серий образуют базис для Ri, значит, эти векторы вместе с векторами высоты 2 построенных серий образуют базис R2 и так далее. Наконец, векторы высоты — 1 построенных серий вместе с векторами высоты k этих серий образуют базис Rtf Иными словами, векторы •всех построенных серий образуют базис всего пространства.
В) Пусть С = Ар—KqE. Так как матрицы Bh и СЛ подобны, то ранг матрицы СЛ равен г (А = 0, 1, .... Л, k-1). Каждой жордановой клетке матрицы Aj с Ло на диагонали в матрице С соответствует клетка того же порядка с нулем на диагонали. Если D — такая клетка порядка р, то ранг клетки Dh при А = 0, 1, 2, .... р равен р—А, а при h = р, p-f-l, ..., k, k -f-1 равен нулю. Клетке с =/= матрицы А} соответствует в матрице С клетка с числом Л; — Ло^=О на диагонали. Ранг любой ее степени равен ее порядку. Ранг.матрицы СЛ равен сумме рангов ее клеток. Поэтому при переходе от матрицы СЛ-1 к матрице Ch ранг понижается ровно на число клеток
матрицы С с нулем на диагонали, имеющих порядки Л. Отсюда
л
2 ^i = rh-i — rh l=h
(Л = 1, 2........ k).
(3)
Вычитая отсюда аналогичное равенство с заменой h на h -}-1 (при h < k).
получим соотношения (а) для h = 1, 2, ... k—1. Так как клетки порядков
выше k с Ло на диагонали в матрице А} отсутствуют, то rfc = rfc+1, и ПРИ
h = k соотношение (3) дает: = — соотношение (а) верно и для h = k. 1530. fi = (1, 4, 3), /2 = (1,0,0), А}=\ fi = (3, 0, 1), 1531. f = (1, -3, -2). /2 = (1,0,0), л7 = /з = (1, 0, 1), ^ = ^-1—2^+ Гл+1, то есть /2 1 0х 0 2 0 1. <0 0 2/ /0 1 0\ 0 0 0 1. \0 0 0/
1532. f = (6, 6, —8), / —1 1 0 \
/2 = (3,1,0), А} = 0 —1 0 1.
/3 = (2, 1, -1), 1533. fx = (3, 1, 1), /2 = (1,0,0), А} = /з = (5, 0, 1); 1534. /,-=(!, 1, 1, 1), \ 0 0 0/ /3 1 Ох 0 3 0 ). \0 0 3/ 1 1 0 0
/2 = (-1, 0, 0, 0), /з = (1, 1, 0, 0), J /4 = (0, 0, -1, 0); 1535. f = (—1, —1, —1, 0), 0 10 0 0 0 1 1 * 0 0 0 1 2 10 0
/2 = (2, 1, 0, 0), /з = (1, 0, 0, -1), J /4 = (3, 6, 7, 1); 1536. При четном п: 0 2 0 0 0 0 2 0' 0 0 0 1
fi — /2 = ₽з, fa — •••< fп = еп 2" -1, fn = е2’ fn = ^n- T+1
Матрица А} состоит из двух клеток Жордана порядка с нулем по главной диагонали. При нечетном п;
fl ^l> fi ^3, fi ^5> • • •• f n + 1 ent f n + 1 - ^2.fn ^«-1-
~2~ ~2~+1
.. > ... П-+-1 П—1
Матрица А. состоит из двух клеток Жордана порядков —— и —=— J Z Z
с нулем по главной диагонали.
1537. <р является отражением пространства Rn в некотором подпространстве Li параллельно некоторому дополнительному подпространству £2. Иными словами Rn есть прямая сумма L{ и Ь2, причем <j>x = x, если xQLit и <рх = — х, если х £ L2-
У казание. Первый способ: принять за L\ и L2 совокупности всех х, для которых соответственно q>x = х и фх — — х, и положить
х = у (х -Н>х) +1 (х — Фх).
Второй способ: рассмотреть базис, в котором матрица Ар имеет жорданову форму.
1538. <р является проектированием пространства Rn на некоторое подпространство L] параллельно некоторому дополнительному подпространству L2. Иными словами, R„ есть прямая сумма Ц и L2. причем <рх = х, если xQLi, и <рх = 0, если xQL2.
У казание. Первый способ: принять за L} и L2 совокупности всех х, для которых соответственно фХ = X и фХ = О, и положить х — <рх —(х—<рх).
Второй способ: рассмотреть базис, в котором матрица Ар имеет жорданову форму.
1539. а) Для базиса еь е2, е3 преобразование <р определено так:
Ф^1 = е2, q>^2 = «з, <ре3 = 0;
б) (p^i = e2, <ре2 = — eh <ре3 = 0 (в случае ортонормированного базиса <р сбудет проектированием на плоскость еъ е2, соединенным с поворотом этой п \
плоскости на угол у).
1541. / 3 6\ 1542. /—36 —37 —15\ 1543. /4 —2 2х
V—1 —3/ I 30 30 14 I. 12—11).
\ 26 27 9/ \1 2 1/
1544. <р* — проектирование на биссектрису второй и четвертой четверти параллельно оси Оу.
1545. У казание. Показать, что если zQLx, uQL2, то <р г = 0, = и.
1547. У казание. Показать, что ортогональное дополнение к одномерному подпространству, инвариантному относительно сопряженного преобразования <р*, инвариантно относительно <р.
1548. Указание. Пользуясь предыдущей задачей, построить цепочку подпространств R„oZ.n_iZ3 ... 0L1, где Lk — A-мерное подпространство, инвариантное относительно ф, и применить задачу 1355.
1549. 3%! — Зх2 Ц- х3 = 0.
1553. Указание. Рассмотреть равенства
(<№. fj) = (eb q*fj) (I, У = 1, 2, ..п).
1554. У казание. Перейти к ортонормированному базису.
1555. / 128 313 454х 1556. / 5 5 Зх
Л = | 36 117 145 ). А=| —5 —7 -2 ).
\ —61 —197 —245/ \ 3 6 0/
1557. СО сч —1 \ 1558. / 0 —4 4
А = | 5 2 —! |. А = | 0 —8 7
1з 4 0/ <—7 —2 5
1562. Например, преобразование ф, переводящее вектор х =(хь х2.х„),
заданный координатами в ортонормированном базисе, в вектор <рх = = (|х1[, х2, .... хп), сохраняет скалярные квадраты, но не линейно.
Указание. Для доказательства утверждения о линейности ф показать, что
(ф (ах + by) — aq>x — bqy, ф (ax -f- by) — axfx — bqy) = 0.
1563. a) UA~l = A'U\ 6) UA~l = A'U.
fc-i
1566. Указание. Показать, что существует вектор х'к = хк — azxf
1-1
(быть может, равный нулю), для которого (x'k, х^ = 0 (7 = 1, 2, ..., k — 1), fc-i
что. положив у'к = ук— У, azyz, получим системы векторов хь xk_v x'k 1-1
и У], Уь-1’ Ук с равными матрицами Грама, и применить метод мате-
матической индукции.
1567. У казани е. Применить задачу 1499.
1569. Решение, а) Если qz=7.z, то (ifz, qz) = }X(z, z) = (z, z), откуда XX = 1 и | X | = 1.
б) Пусть Ф-г, = Х^, <fz2 = X2z2, Л] Х2. Тогда (zlt z2) = (ф^ь фг2) = = Л]Х2 (zh z2), откуда, умножая на Х2 и принимая во внимание, что Х2Х2 = 1, найдем Л, (zh а’2) = Х2(г1, z2) и, значит, (zh z2) = 0.
в) Пусть X и У — столбцы координат хну. Переходя к координатам в равенстве Ч’(х4-Уг’) = (а + ₽0(Л+У,)1 получим АХ АУ1 — (аХ— ₽У) + + (Р-Х -f- аУ) I, откуда, приравнивая действительные и мнимые части, находим: АХ = аХ—рК; АУ = рХ -J- аУ, что доказывает равенства (1). Умножая почленно первое из равенства (1) само на себя и применяя соотношение a2 -|- Р2 = 1, получим (фх, фХ) = (х, х) = (а2 Ц- Р2) | х |2 = а21 х |2 + Р21 у |2 — — 2«Р (х, у). Перемножая равенства (1), находим:
(фХ, фу) = (х, у) = (a2 + Р2) (х, у) = ар (I х I2 — I у |2) + (а2 — р2) (х, у).
Таким образом, для величии |х|2—|у|2 и (х, у) после сокращения на р получаем систему уравнений:
P(|x|2-|y|2) + 2a(x,y) = 0; a(| х|2-|у |2)-2р (х, у) = 0,
так как определитель системы отличен от нуля, то
|х|2—|у|2 = 0 и (х, у) = 0.
г) Если ф имеет вещественное собственное значение, то имеется одномерное инвариантное подпространство. В противном случае переходим к унитарному пространству. Именно, берем в унитарном пространстве Rn ортонормированный базис ......е^. Векторы из R'n, имеющие в этом базисе
вещественные координаты, образуют евклидово пространство Rn, вложенное в Rn. Преобразование ф имеет в базисе eit ..., еп вещественную ортогональную матрицу А. Эта матрица в данном базисе определяет унитарное преобразование ф', совпадающее с ф на Rn. Преобразование ф' имеет собственное значение a-ppz, где р =^0. Если x-{-yZ — соответствующий ему собственный вектор и х, у — векторы с вещественными координатами, то выполняются равенства (1). Значит, подпространство пространства Rn, натянутое на векторы х и у, инвариантно относительно ф.
1570. а) Для любой унитарной матрицы А существует унитарная матрица Q такая, что матрица В — Q'AQ диагональная с элементами диагонали, равными по модулю единице.
6) Пространство Rn является прямой суммой попарно ортогональных одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно <р. Преобразование <р оставляет векторы одномерных подпространств неизменными или меняет их на противоположные, а на двумерном подпространстве вызывает поворот на угол у. Для любой ортогональной матрицы А существует ортогональная матрица Q такая, что матрица В — Q'AQ имеет канонический вид, указанный в задаче.
У к а з а н и е. Использовать задачи 1567 и 1569 и применить метод математической индукции.
1571. /,=-±-(1, 1, 1), Г
Л = -Х‘(1,-2, 1); у ь
1572. /,=1/2(1, 1,0), /2 = (0, 0, 1), /8 = 1/2(1, -1, 0);
/10 0
I01 0
\0 0 —1
/1 0 0\
В = I 0 0 1 ].
\0 —1 0/
1573. /, = г L (-2 - /2, - 4 - 3 /2, /2 ),
/42 + 28/2
/2 = -1=-(6/2, -2-/2, 2-/2),
у 84
/84
1 0 0
в = 0 — 2 + 7/2 12 /42 + 28/2 12 •
0 /42 + 28/ 12 2 — 2 + 7/2 12
1574. 1 =£ о п-< 1 3 /6 0
5 = и 2 2 9 <3 = - 1 6 /6 --1Г2
0 — У о 1 2 2 - 1 “ 6 /6 1/2
1575. 1 0 0
В = 0 1 2 »
Л 1 VT 1
и —2 УЗ 2
-1-Г2
Q = 1/2-
0
1576. 1 0 0 0
0 1 0 0
В = 0 0 1 0 9
0 0 0 —1
2 j_ 2 J_ 2 j_ 2
1577. 1 0 0 0
0 —1 0 0
В = 0 0 0 1
0 0 —1 0
1578. /1 0 0ч
В = 0 1 0 1 »
\о 0 —1 J
1
о II 3 1 0
0
0
-y/2 о ’
0 —1
1 1 1 1
2 2 2
1 4 1
2 2 2
2. ± ±
2 2 2
1 1 1
2 2 2
0 1 0
0—10 1 0 1 '
—1 0 1
2_ 3
2_ 3
1 . з“
2 .
~з‘
2 з
4'
1584. <j> либо тождественное преобразование, либо симметрия относительно некоторого подпространства L размерности k — 0, 1, 2,п — 1, т. е. фХ = х для любого х из L и фх =— х для любого х из ортогонального дополнения L*.
9 0 Ох
0 18 0).
0 0—9/
Л=(4- -у. -4).
1585. /1 = (у, у, В =
•'3~дз’ з’ з)’
Л = ---7=->
V/18 /18
/9 0 0
В =I090
\0 0 27
f -II iv /з—\3’ 3' 3)’
1587./,=-Ь(1, — Z, 0), \ £.
/,=-^(1. I, 0),
/з = (0, 0, 1);
/5 0\
1588. £ = („
/2 0 Ох В= О 4 О 1.
\0 0 47
1 4~ * 1 + *'
Уз Уб
1 —2
Уз Уб
1589. /2 0\ 1 /2 — 1 1 \
(о 8/’ Гб ( -1 2 + 1/
1590. Указание. Пусть £/;- — матрица, у которой в i-й строке и J-м столбце стоит единица, а на остальных местах нули. Рассмотреть матрицы всех преобразований в ортонормированном базисе:
£ц, ^21> •••• Вц\> £12» ^22> •••> ^Л2> •••> Епп.
1591. a) UА = A'U\ б) UA = A'U.
1592. Две вещественные квадратичные формы тогда и только тогда приводятся к каноническому виду одним и тем же ортогональным преобразованием, когда их матрицы перестановочны. Две поверхности второго порядка тогда и только тогда имеют параллельные главные оси, когда матрицы из коэффициентов при членах второй степени их уравнений перестановочны. Указание. Доказать, что подпространство L всех собственных векторов преобразования <р, принадлежащих одному и тому же собственному значению X, будет инвариантным относительно второго преобразования ф.
1593. Если
<Z=1, 2, ..., л) — столбцы, являющиеся ортонормированными собственными векторами соответственно Р и Q, то п2 матриц Xlj = AlB'j(i, j — 1, ..., п), где в Л-й строке и Z-м столбце матрицы стоит произведение aik^ji, образуют ортонормированный базис собственных векторов преобразований ф и ф, причем любой такой базис получается указанным способом из некоторых
ортонормированных базисов собственных векторов матриц Р и Q.
1594. Если, например, линейное преобразование <р плоскости в ортонор-
мированном базисе задано матрицей
Г1 —3\
,0 1/
и вектор X— (1, 1) задан коор-
динатами в том же базисе, то (<рх, х) = —1.
1595. У Казани е. Можно использовать задачу 1276 в). Проще рассмотреть матрицы преобразований <р, ф, % в ортонормированном базисе собственных векторов преобразования %.
1596. Указание. Существование доказывается, как в задаче 1276. Единственность проще доказать, пользуясь предыдущей задачей.
1597. Собственные значения преобразования с матрицей —1, т. е. не являются оба положительными.
1 2\
.2 1/
равны 3,
1598.
_L 1<2 — /
<2rZ 2F /
4^ №
f/2 -|/2\ /|/2 —1/2\ \-^/2 5/27 Ц-/2 1/2/
1600.
14 2 4
3 3 3
<2_ 17 7
3 3 3
4 2 14
3 3 3
2 1 2
3 3 3
2. 2_ __1
3 3 3
± 2. £
3 3 3
1602. Указание. Найти невырожденное преобразование х такое, что j,2 = cp, и показать, что преобразование Х-1ффХ является самосопряженным.
1603. Указание. Пусть <j>j и ф( — самосопряженные преобразования с неотрицательными собственными значениями такие, что ф| = ф и ф; = ip. Если ф невырожденно, то, положив x = 4>i'l’i. показать, что XX* = ФГЧффц
1605. У Казани е. Рассмотреть матрицу преобразования в базисе собственных векторов.
1606. Указание. Рассмотреть ортонормированный базис, в котором матрица ф диагональна, и совершить переход к новому базису.
1607. Указание. Показать дистрибутивность операции перехода от А и В к С. Рассмотреть линейные преобразования ф, ф, х> заданные в некотором ортонормированном базисе унитарного пространства Rn матрицами А, В, С. Разбить преобразования ф и ф на суммы неотрицательных самосопряженных преобразований ранга 1 с матрицами Л, ... Аг и Bi ... ... Bs. Пользуясь задачей 1606, показать, что преобразование с матрицей (Ai, Aj) в том же базисе неотрицательно. Наконец, пользуясь задачей 1604, показать, что преобразование х неотрицательно.
1609. У Казани е. Доказывается аналогично соответствующему свойству самосопряженного преобразования.
1610. Решение. Свойства а) и б) доказываются аналогично соответствующим свойствам самосопряженного преобразования.
Доказательство свойства в): пусть X и Y — столбцы координат соответственно х и у. Переходя к координатам в равенстве ф (х ф- yi) = pi (х -f- yi), получим: АХ 4- AYI = — РУ + $Xi, откуда, приравнивая действительные и мнимые части, находим: АХ = — py, AY = рх, что доказывает равенство (1). Так как матрица А вещественна, то для вещественного вектора г вектор <fz и число (ф«, г) вещественны. Поэтому (ф«, z) — (z, — <fz) — — (z, фг) = = — (ф«, z) и, значит, (ф2, z) = 0. Умножая второе из равенств (1) на у, найдем: р (х, у) = (фу, у) = 0, откуда (х, у) = 0. Умножая первое из ра-
У) + (ФУ. Х) = (фХ, у) +
, вызы-
венств (1) на у, а второе на х и складывая, получим ввиду вещественности числа (фу, х) = ₽ (х, х), что р (| х |2 — | у I2) = (<рх, у) 4- (фу, х) = (фх, у) + + (х, ФУ) = (фх, у) — (фх, у) = 0, откуда J х | = | у |.
Доказательство свойства г): если преобразование ф имеет число 0 собственным значением, то имеется одномерное инвариантное подпространство. В противном случае переходим к унитарному пространству. Именно, берем в унитарном пространстве /?'г ортонормированный базис elt.... еп. Векторы из R'n, имеющие в этом базисе вещественные координаты, образуют евклидово пространство Rn, вложенное в Rn. Преобразование ф имеет в базисе е(, еп вещественную кососимметрическую матрицу А. Эта матрица в данном базисе определяет кососимметрическое преобразование ф' унитарного пространства R'n, совпадающее с ф на Rn. Преобразование ф' имеет собственное значение р/ 0. Если Х-}~У;—соответствующий собственный вектор, где х и у—векторы с вещественными координатами, то выполняются равенства (1). Значит, подпространство, натянутое на х и у, инвариантно.
1811. а) Для любой косоэрмитовой матрицы А существует унитарная матрица Q такая, что матрица В = Q""1 AQ диагональна с чисто мнимыми элементами на диагонали, некоторые из которых могут равняться нулю.
б) Пространство является прямой суммой ортогональных между собою одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно ф. Преобразование ф переводит векторы одномерных подпространств в нуль,
I 0 ₽’ а на двумерном подпространстве, соответствующем клетке
вает поворот на угол -5-, соединенный с умножением на число —р. Для любой вещественной кососимметрической матрицы А существует вещественная ортогональная матрица Q такая, что матрица В = Q~lAQ имеет канонический вид, приведенный в тексте задачи.
Указание. Использовать задачи 1609 и 1610 и применить метод математической индукции.
1614. Если А — косоэрмитова матрица, то матрица В = (Е — Л) X — унитарная, не имеющая характеристического числа, равного —1, и, обратно, если А — унитарная матрица, не имеющая характеристического числа, равного —1, то матрица В — (Е— A) (E-j-A)^1 —косоэрмитова. Аналогичная связь имеется между вещественными кососимметрическими и ортогональными матрицами.
Решение. Разберем лишь случай унитарного пространства. Пусть в равенстве (1) ф — кососимметрическое преобразование (ф* = — ф). Тогда
ф* = (е + ф‘Г 1 (е — ф*) = (е — ф)-1 (е + ф) = (е + ф) (е — ф)-1 = ф- *, так как e-f-ф и (е — ф)-1 перестановочны. Значит, ф— унитарно. Заметим, что (е±ф)-1 существуют, так как числа ± 1 не являются собственными значениями ф (задача 1610, пункт а)). Далее,
е+ф=(е + ф)(е + ф)-1 + (е —ф)(е + ф)"1 = 2(е-|-ф)-1 (а)
и, значит, ф не имеет собственным значением числа —1. Кроме того, ф выражается через ф при помощи равенства, аналогичного равенству (1). В самом деле, из равенства (а) находим: е ф- ф — 2 (е + ф) ~ *, ф = 2 (е ф- ф)_ 1—е = = 2(е + Ф)-1 — (е-|-ф)(е+Ф)_1 = (е—Ф)(е + Ф)"1. Пусть, обратно, в равенстве (1) ф — унитарное преобразование, не имеющее собственным
значением числа—1. Тогда Ф*=(е+ф*) 1 (е — ф*) = (еф-ф 1)“1(е—Ф ’) = = (ф+е)~1фф~1 (Ф— е) = —(е — ф) (е + Ф)-1 = —Ф. так как е — ф и (s-f-ф)-1 перестановочны. Значит, ф—кососимметрическое преобразование. Кроме того, <р выражается через ф при помощи равенства, аналогичного равенству (1). Это доказывается снова при помощи равенства (а) дословно, как выше. Таким образом, равенство (1) отображает все кососимметрические преобразования на унитарные, не имеющие собственным значением числа —1, и обратно, причем одно из этих отображений является обратным для другого. Это доказывает, что оба отображения взаимно однозначны.
1616. Если матрица А — косоэрмитова (или вещественная кососимметрическая), то матрица еА — унитарна (соответственно ортогональна).
1617. Решение. По задаче 1559 преобразование еЧ> будет самосопряженным. Если .......Х„— собственные значения ф, то они вещественны и
по задаче 1161 собственные значения е41 будут е 1, ..., е п, т. е. е'* положительно определенно. Покажем, что различным самосопряженным преобразованиям ф и ф' соответствуют различные преобразования e'f и е4*’. Пусть £<т _ еч'; обладает ортонормированным базисом собственных векторов и,....ап, где фо, = Х;О,- (г = 1, 2, .... п). Пусть а' — любой собственный
п
вектор преобразования ф' со значением X'; а' = У, x(-ot-. Тогда по задаче i-i
1464 е4' а — ек' а' — 2 е xial- С Другой стороны, е^а = У, х^а, = i=l г = 1
л X. , , ,
— У х^е ‘af, так как е41 а = е^а , то хг = О для всех тех I, для которых 1=1
е 1 =# , и е 1=ек', если х, =£ 0. Так как Хг и Л' вещественны, то из
п п п
xt #= 0 следует X,- = X'. Поэтому фо' — 2 -*W«1 — 2 x^-iai = 2 —
i = l 7 = 1 Z = 1
= Vа' = ф'а'. Так как ф' обладает базисом собственных векторов и на этом базисе совпадает с ф, то ф = ф'. Пусть ф — любое положительно определенное преобразование. Существует ортонормированный базис, в котором матрица ф диагональна с положительными элементами щ, ц2, .... цп на диагонали. Положим Х£- = 1пц/ (г = 1, 2, ..., л), где Х£-— вещественное значение логарифма, и пусть преобразование ф в том же базисе задано диагональной матрицей с элементами Х£....Х„ на диагонали. Преобразование ф—само-
сопряженное, и ф — е^.
1625. Указание. Применить задачу 1507.
1626. Если г — ранг ф, то число таких преобразований равно kr.
1627. У казание. Доказать равенство
(фх — Хх, фх — Хх) = (ф*х — Хх, ф*х — Хх).
1628. У казание. Применить предыдущую задачу.
1629. У казание. Применить задачу 1627.
1630. Указание. Применить задачи 1627 и 1629.
1631. У казание. Несколько раз применить задачу 1629.
1632. Указание. При доказательстве необходимости применить две предыдущие задачи. При доказательстве достаточности показать, что преобразование ф унитарного пространства, обладающее нормальным свойством, обладает ортонормированным базисом собственных векторов. Случай евкли-
дова пространства свести к случаю унитарного.
1633. У казание. Применить предыдущую задачу.
Дополнение
1684. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) нет; 7) нет; 8) да; 9) нет; 10) да; 11) да; 12) нет; 13) да; 14) да; 15) да; 16) да; 17) нет; 18) да; 19) нет; 20) да; 21) да; 22) да; 23) да; 24) да; 25) нет; 26) да; 27) да; 28) да; 29) да; 30) да; 31) да; 32) нет; 33) нет; 34) да; 35) нет; 36) да.
1687. Указание. Первый способ: показать, что | а | = 1 для любого а из данной группы G порядка п. При и > 1 взять в G элемент b = cos ip -f-1 sin ip с наименьшим положительным аргументом ip и показать, что
G = {1, b, Ь2, ..., Ь"-1}.
Второй способ: пользуясь теоремой Лагранжа, показать, что о" = 1 для любого а из G.
1688. а) Одна группа—циклическая группа третьего порядка—с элементами е, а, b и таблицей
е а b
1 Q о е а b а Ь е b е а
В представлении подстановками можно положить: е — единица, а — (1 2 3), b = (1 3 2).
б) Две группы: 1) циклическая группа четвертого порядка с элементами е, а, Ь, с и таблицей
| е а b с
е е а Ь с
а а b с е .
b Ь с е а
с с е а b
В представлении подстановками можно положить: е — единица, а = (1 2 3 4), b = (1 3) (2 4), с = (1 4 3 2);
2) четверная группа с элементами е, а, Ь, с и таблицей
е а Ь с
е а b с е а b с а е с b b с е а с Ь а е
В представлении подстановками можно положить: е — единица, а = (1 2) (3 4), b = (1 3) (2 4), с = (1 4) (2 3).
в) Две группы: 1) циклическая группа шестого порядка с элементами е, а, Ь, с, d, f и таблицей
I е а Ь с d f
е а b
с d f
е a b с d f
a b с d f е
bed f e a .
c d f e a b
d f e a b c
f e a b c d
В представлении подстановками можно положить: е — единица, а = = (1 2 3 4 5 6), b = (1 3 5) (2 4 6), с = (1 4) (2 5) (3 6), d = (1 5 3) (2 6 4), /=(1 6 5 4 3 2);
2) симметрическая группа третьей степени с элементами е, a, b, с, d, f и таблицей
I е а b с d f
е е a b
b
а а
е
b Ь е а с с f d d d c f f f d с
c d f d f c f c d • e b a a e' b b a e
В представлении подстановками можно положить: е — единица, л = (1 2 2), b = (1 3 2), с = (1 2), d -- (2 3), /= (1 3).
У казание. Показать, что если в группе G порядка п имеется множество Н из k элементов, k < п, которое само является группой при операции умножения, заданной в G, то, умножая все элементы из Н на элемент х, не лежащий в Н, мы получим k новых элементов группы G. Поэтому
За Н можно взять множество элементов е, а, л2........в6-1, где
аь = е. Например, в случае в) 2), т. е. для нециклической группы G шестого порядка, должно быть k 3. Если бы было а2 — е для любого а из G, то четыре элемента е, a, b, ab образовали бы группу, что невозможно. Значит, существует элемент а, для которого а2 — b Ф е, но «3 = е. Умнржая элементы е, а, а2 на новый элемент с, получим все шесть элементов группы G в виде е, а, а2 — Ь, с, ас = d, а2с = /. Надо показать, что с2 = d2 = f2 = е V. са — а2с — f. Например, если бы было са — ас, то, умножая слева сначала на с, а затем на а2, получим: а2сас = fd — e, откуда fd = d2 и f — d, что невозможно.
1689. Группа тетраэдра имеет порядок 12, куба и октаэдра —24, додекаэдра и икосаэдра — 60. Указание. Рассмотреть вращения, переводящие данную вершину А в некоторую вершину В (не обязательно отличную от А), и показать, что. порядок группы равен nk где п—число вершин и к— число ребер, выходящих из одной вершины.
1843. У казанне. Каждому элементу х данной группы G поставить в соответствие отображение а->ах ткля любого элемента а из G.
1646. ± 1.
164В. Указание, а) Рассмотреть (ab)pr и (ab)ps, где р — порядок ab. б) Рассмотреть (ab)p, где р — порядок ab, и показать, что ар=Ь~р = е.
Пример 1. Для элементов а=А=е, Ь = а~1 условие (1) выполнено, а (2) — нет. Утверждение б) не выполнено, так как порядки а и b равны между собой и не равны единице, а порядок ab = е равен единице.
Пример 2. Элементы а = (1 2), 6 = (1 2 3) симметрической группы S3 имеют взаимно простые порядки 2 и 3. Условие (1) не выполнено, так как ab = (\ 3), fc«=(2 3), а (2) выполнено. Утверждение б) не выполнено: а порядка 2, b порядка 3, ab порядка 2.
в) Обе части равенства ak = Ь1 возвысить в степень з, равную порядку Ь.
г) П р и м е р 3. В циклической группе {а} восьмого порядка элементы а, а3, а~ имеют порядок 8, но аа3 — в4 порядка 2, аа3 — а9 порядка 4.
1649. 2) и 3) для 1); 4) и 11) для 10); 1), 2) 3), 13), 14) для 8); 15) для 16); 20) и 21) для 18); 20) для 21); 24) для 23); 23) и 24) для 26); 29) и 30) для 31); 34) для 36).
1653. Бесконечная циклическая группа, все циклические группы простых порядков и единичная группа.
1654. a) G = {«}, {а2}, {а3}, {<?};
б) G = {a}, {а2}, {а3}, {а4}, {о6}, {««}. {а12}, И;
в) G = {e, а, Ь, с), {в), {*)• (с)> {^);
г) применяя запись подстановок в циклах, получим подгруппы;
S3, «1 2 3)}, {(1 2)}, {(1 3)}, {(2 3)}, Н;
д) нормальными делителями будут S3, {(1 2 3)}, {е}.
е) Указание. Разложение на циклы подстановки из А, может содержать лишь циклы длины 1, два цикла длины 2 или один цикл длины 3. Поэтому At не имеет циклической подгруппы шестого порядка (см. задачу 1648 а), б) ) и все ее элементы второго порядка перестановочны. Значит, А4 не имеет подгруппы, изоморфной S3. Но любая группа шестого порядка либо является циклической, либо изоморфна S3 (задача 1638 в)).
1655. Выбираем в G любые элементы: сначала а=/=е, затем Ь=£е, а, затем с=/= е, aib, ab. Тогда остальными элементами группы G будут ab, ас, be, abc. Группа G абелева (задача 1636). Группа G имеет следующие ^подгрупп: (а), {е, а], {е, Ь], (е, с}, (е, аЬ}, (е, ас}, (е, be], (е, abc}, {е, a, b, ab}, {е, а, с, ас}, -{е, Ь, с, be}, {е, a, be, abc}, {е, Ь, ас, abc}, (е, с, ab, abc}, {е, ab. ас, be}, {е, a, b, с, ab, ас, be, abc} = G.
1657. В аддитивной записи все подгруппы имеют вид
G0 = (a}, Gj = (pa), G2 = {p2a}, ..., Gft-i = {pfe-'a}, G* = (pM = (0}..
Они ооразуют уоываюшую цепочку подгрупп соответственно порядков: -pS pfe-l, pfe-2 !
Указание. Использовать задачу 1656 б) или показать, что подгруппа {sa}, где 0 < s < pft, совпадает с подгруппой {р1а}, где s = plt, O^Kk и t не делится на р.
1658. а) Указание. Разложить подстановку на циклы и проверить, что (iiZ2Z3 • • • 'ft) = ('10) 0’i's) • • ('i'ft).
б) Указание. Проверить равенство (It) (1/) (It) = (г/).
в) Указание. Проверить, что произведение двух транспозиций следующим образом выражается через тройные циклы:
(ij) (г/г) = (ijk), (ij) (kl) = (ijk) (ilk).
r) Решение. Пусть G — подгруппа знакопеременной группы А,г, порожденная множеством указанных тройных циклов, и I, j, k — различные числа, большие двух (при я = 3 утверждение очевидно, а при и = 4 данное
ниже доказательство сокращается). Вместе с циклом (1 2 i) группа G содержит обратный элемент (i 2 1), затем G содержит
(1 2 у) (1 2 i) (J 2 1) = (1 i j)-, (j 2 1) (z 2 1) (1 2 у) = (2 i J).
При п = 4 группа G уже содержит все тройные циклы. При п > 4 она содержит (1 2 k) (1 Z j) (£2 1) = (z j k). Значит, G содержит все тройные циклы и по пункту в) совпадает с Ап.
1660. - У Казание. Пусть К — множество всех элементов группы G, не принадлежащих к Н, и а — любой элемент из К. Показать, что, умножая а на все элементы из Н, получим все элементы К. Вывести отсюда, что, умножая а на все элементы из К, получим все элементы из Н. В частности, а2 принадлежит к Н.
1661. Примером может служить четверная группа с элементами е, а, Ь, с (см. ответ задачи 1638). Она имеет три циклические подгруппы второго порядка: {в}, {Ь} и {с}.
У казакие. Доказать, что при возведении в квадрат всех тройных циклов мы получим снова все тройные циклы, и использовать задачи 1658 и 1660.
1662. а) Указание. Каждому вращению тетраэдра ABCD соответствует подстановка его вершин. Произведению двух вращений соответствует произведение соответствующих подстановок. Двум различным вращениям s и t соответствуют две различные подстановки, так как иначе нетождественному вращению sZ-1 соответствовала бы тождественная подстановка, сохраняющая все вершины на месте. По ответу задачи 1639 группа тетраэдра изоморфна подгруппе двенадцатого порядка симметрической группы S,. Далее, можно либо проверить, что все подстановки, соответствующие вращениям тетраэдра, четные, либо использовать задачу 1661.
б) Решение. Центры граней октаэдра являются вершинами куба. Поэтому группы кубй и октаэдра изоморфны. Каждому вращению куба- соответствует подстановка его четырех диагоналей. Произведению вращений соответствует произведение соответствующих подстановок. Рассмотрим все вращения куба. Это — тождественное вращение, восемь вращений вокруг „ 2л 4п
диагоналей на углы -х- и -х~, шесть вращении вокруг осей, проходящих о о
через середину противоположных ребер, на угол л и девять вращений вокруг
С1 ЗТ
осей, проходящих через центры противоположных граней, на углы
—р и . Число этих вращений: 1 -ф- 8 -ф- 6 -ф- 9 = 24. По ответу задачи 1639 ими исчерпываются все вращения куба. Непосредственной проверкой убеждаемся, что только при тождественном вращении все четыре диагонали остаются на месте. Отсюда, как в пункте а), выводим, что группа куба изоморфна группе подстановок четырех элементов, имеющей порядок 24, т. е. симметрической группе S4.
в) Решение. Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра. Поэтому группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны. Для каждого ребра икосаэдра имеется одно противоположное параллельное ему ребро и две пары перпендикулярных к нему ребер: ребра одной пары начинаются в вершинах граней, примыкающих к данному ребру, а ребра другой пары принадлежат граням, имеющим вершинами концы данного ребра. Ребра одной из этих пар параллельны, а разных пар — перпендикулярны меж'Лу собой. Таким образом, все 30 ребер делятся на пять систем по шести в каждой системе. Ребра одной системы либо параллельны, либо перпендикулярны, а ребра разных систем не параллельны и не перпендикулярны. С каждой системой ребер связан октаэдр, вершинами которого служат середины ребер
дайной системы. Этим определены пять октаэдров, вписанных в икосаэдр. Каждому вращению икосаэдра соответствует подстановка пяти указанных систем ребер (или соответствующих им октаэдров). Произведению двух вращений соответствует произведение соответствующих подстановок. Рассмотрим все вращения икосаэдра. Это — тождественное вращение; 24 вращения вокруг каждой из шести осей, проходящих через противоположные вершины, 2л 4л 6я. 8л „„
на углы -=-, -=- и 20 вращении вокруг каждой из десяти осей
О D О О
„ 2л 4л
проходящих через центры противоположных граней, на углы -у и -у; 15 вращений вокруг каждой из пятнадцати осей, проходящих через середины противоположных ребер, на угол л. Число этих вращений: 1 —24 —20 —15= = 60. По ответу задачи 1639 ими исчерпываются все вращения икосаэдра. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для каждого нетождественного вращения найдется ребро, переводящееся данным вращением в другое ребро, не параллельное и не перпендикулярное к данному ребру. Поэтому только тождественному вращению соответствует тождественная подстановка систем ребер. Отсюда, как в пункте а), выводим, что группа икосаэдра изоморфна подгруппе порядка 60 симметрической группы S5. По задаче 1661 эта подгруппа совпадает со знакопеременной группой Л5.
1668. Указания, а) Применить задачу 1667. б) Показать, что каждый смежный класс содержит точно одну подстановку, оставляющую на месте число 4.
1669. Если в разложении данной подстановки 5 на независимые циклы встречается k( циклов длины Zt-, i — 1, 2.г, причем учтены все циклы,
включая и циклы длины 1, то число подстановок, перестановочных с под-г
становкой s; равно JJ (k.y • 1к1. Считая 0!= 1, можно искомое число запи-/=1 1
сать иначе. Пусть — число циклов длины i, входящих в разложение подстановки s, где i = 1, 2..п, и если циклов длины Z в разложении нет,
п
то положено Ji = 0. Тогда искомое число равно |J (1 • i-'t.
Указание. Циклы одной и той же длины I, входящие в разложение s, при трансформировании подстановкой х, перестановочной с s, могут лишь переставляться между собой, причем первое число какого-либо цикла может перейти в любое число любого цикла той же длины, входящего в разложение подстановки s.
1670. Указание. Рассмотреть коммутатор этих элемен-
тов.
1673. Указание. Использовать задачи: 1671 в случае а), 1672 в случае б).
1674. Если в разложении дайной подстановки s иа независимые циклы встречается k[ циклов длины I,, 1 — 1, 2, ..., г, причем учтены все циклы, 1 л!
включая и циклы длины 1, то искомое число равно —----------. Это число
1=1
можно записать иначе, пользуясь другим выражением знаменателя, указанным в ответе задачи 1669.
1675. Указание. Обозначить через число классов сопряженных элементов с рк элементами и, пользуясь задачей 1673, показать, что а04- а^р 4-+ в2р=+...=/>«.
1376. Указание. Если Н содержит цикл (а (3 у) и °'. V' — любые различные числа от 1 до п, то трансформировать цикл (а Р у) подстановкой
/а р у б е ...\
\а' Р' у' о' г' .../
где б' и е' выбраны так, что подстановка х четна. Использовать задачи 1667 и 1658 в).
1677. Решение, а) Все 60 вращений, составляющие группу икосаэдра, указаны в ответе задачи 1662 в). Тождественное вращение является единицей группы и составляет один класс. Сопряженные элементы имеют одинаковый „ 2Лл
порядок. Элементами пятого порядка являются 24 вращения на углы —g—, k = 1, 2, 3, 4, вокруг каждой из шести осей, проходяЩих через противоположные вершины. Под вращением вокруг вершины А на угол а будем понимать вращение вокруг оси, проходящей через А и противоположную вершину, на угол а против часовой стрелки, если смотреть вдоль оси от Л к противоположной вершине. У каждой вершины отметим один из плоских углов с данной вершиной. Каждое вращение икосаэдра вполне характеризуется указанием вершины В, в которую переходит данная вершина Л (В может совпадать с Л), и плоского угла при В, в который переходит отмеченный угол при Л. Поэтому каждое вращение х, переводящее А в В, представляется в виде произведения х — уг, где у переводит отмеченный угол Л в отмеченный угол В, а z есть вращение вокруг вершины В на угол а. Обратный элемент х~х = z~,y~I есть произведение вращения г~' вокруг В на угол — а и вращения у-1, переводящего отмеченный угол В в отмеченный угол А. Пусть теперь g— вращение вокруг вершины Л иа угол а и х — любой элемент группы, переводящий А в В. Представляя х в виде произведения x — yz, как указано выше, найдем, что сопряженный элемент x~'gx = z~'y~'gyz является поворотом снова на угол а, но уже вокруг вершины В. В частности, если Л и В — противоположные вершины, то поворот вокруг В на угол а совпадает с поворотом вокруг Л на угол 2л — а. Таким образом, все враще-2л 8л
ния вокруг вершин на углы и принадлежат одному классу сопря-D О
женных элементов, так же как и все вращения на углы —р- и —. Пока-о о
. 2л 4л
жем, что вращения gx и g2 вокруг вершины Л на углы -=- и принад-О о
лежат различным классам. Если х переводит Л в другую вершину В, то x~‘gtx есть вращение вокруг В и либо не будет вращением вокруг Л, либо (если В противоположна Л) будет вращением вокруг Л на угол —=—, т. е.
О
x~,glx g2. Если же х — вращение вокруг Л, то gi и х — элементы циклической (и, значит, коммутативной) подгруппы вращений вокруг Л и снова x-'gix-=gi ф g2.
Итак, все элементы пятого порядка разбиваются на два класса по 12 элементов. Аналогично, отмечая по плоскому углу каждой грани и по вершине каждого ребра, убедимся, что 20 элементов третьего порядка (вращения на углы и —вокруг осей, проходящих через центры противопо-О о
ложных граней) составляют один класс и 15 элементов второго порядка (вращения на угол л вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер) также составляют один класс.
б) Нормальный делитель должен состоять из целых классов, должен содержать единицу, и его порядок должен делить порядок 60 группы икосаэдра. По пункту а) классы сопряженных элементов содержат соответственно
1, 12, 12, 20, 15 элементов. Из этих чисел можно составить лишь две суммы, включающие слагаемое I и делящие число 60, именно 1 и 60. Это дает лишь два нормальных делителя — единичную подгруппу и всю группу.
1678. У казание. Применить задачи 1662 в) и 1677 б).
1681. Г омоморфизм вполне определяется образом образующего элемента а. Ниже указаны возможные образы этого элемента:
а) любой элемент группы; число гомоморфизмов равно и;
б) е, Ь3, Ь\ Ь9, Ь12, Ь15;
в) е, Ь, Ь2, Ь3, Ь*, Ь3;
г) е, Ь3, Ь1й‘, д) е.
1683. а) Циклическая группа {<р} четвертого порядка, где а<р = а2;
б) циклическая группа {<р} второго порядка, где а<р = а3\
д) поле вычетов по модулю 5;
е) кольцо вычетов по модулю 6;
ж) кольцо вычетов по модулю п.
1685. а) Циклическая группа порядка п;
б) циклическая группа порядка 5;
в) циклическая группа порядка 6;
г) циклическая группа порядка 2.
1688. Указания. В случаях г), д) и з) рассмотреть отображение 2п
f (г) — гп, а в случае е) — отображение g (z) = । .
1691. В группе S3 подгруппа {(12)} имеет индекс 3, но не содержит элемента (13) порядка 2.
1693. Указание. Предположив, что G/Z — циклическая группа, выбрать в классе, служащем для нее образующим элементом, элемент а и показать, что а и Z порождают всю группу G.
1694. Р е ш е н и е. Применим индукцию по порядку п группы G. Для п — 2 группа G — циклическая второго порядка, и теорема для нее верна. Пусть теорема верна для всех групп, порядок которых меньше п, и G — группа порядка п. Пусть сначала G коммутативна. Берем любой элемент а, отличный от единицы е группы G. Его порядок k > 1. Если k делится на р, k = pq, то элемент а4 имеет порядок р. Если k не делится на р, то порядок п' факторгруппы G' = G/{a} группы G по циклической подгруппе {«} равен < п и делится на р. По предположению индукции G' содержит элемент Ь' порядка р. Пусть b — элемент группы G, входящий в смежный класс Ь'. Из Ь'р = е', где е' — единица группы G', следует, что>Ьр содержится в подгруппе {«}, т. е. Ьр = а1, откуда bpk = alk = е. Если bk = е, то = е' и k делится на порядок р элемента Ь', что невозможно. Значит, bkp = е, но ф е, т. е. элемент bk имеет порядок р.
Пусть теперь группа G некоммутативна. Если существует подгруппа Н, отличная от G, индекс которой не делится на р, то порядок Н меньше п и делится на р. По предположению индукции Н содержит элемент порядка р. Если же индексы всех подгрупп группы G, отличных от G, делятся на р, то число элементов, сопряженных любому элементу группы G, не входящему в ее центр Z (задача 1664), делится на р (задача 1671). Так как порядок п группы G также делится на р, то и порядок центра Z делится на р и меньше п, так как G некоммутативна. По предположению индукции Z содержит элемент порядка р.
1695. У казание. Воспользоваться предыдущей задачей.
1701. а) {«} = {За} 4- {2а};
б) {а} = {4а} 4- {За};
в) {а} = {15а} + {20а} {12а};
г) {а} = {225а} + {100а} + {36а}.
1702. Указание. В случае в) использовать задачу 1700 б).
1703. Указания, а) Принять соответственно за А и В множества всех элементов а и b из G, для которых ра = 0 и qb = 0; б) рассмотреть разложения п = рх'рг ... pss порядка п группы G на простые множители и применить а).
1704. a) G (3); б) G (4), G (2, 2); в) G (2, 3); г) G (8), G (2, 4), G (2, 2, 2); д) G (9), G (3, 3); е) G (4, 3), G (2, 2, 3); ж) G (16), G (2,8), G (4,4), G (2,2,4), G (2, 2, 2, 2); з) G (8, 3), G (2, 4, 3), G (2, 2, 2, 3); и) G (2, 3, 5); к) G (4, 9). G (2, 2, 9), G (4, 3, 3), G (2, 2,3,3); л) G (16,3), G (2,8,3), G (4, 4,3), G (2,2,4,3), G (2, 2, 2, 2, 3); м) G (4, 3, 5), G (2, 2, 3, 5); н) G (9, 7), G (3, 3, 7); о) G (8, 9), G (2, 4, 9), G (2, 2, 2, 9), G (8, 3, 3), G (2, 4, 3, 3), G (2, 2, 2, 3, 3); п) G (4, 25), G (2, 2, 25), G (4, 5, 5), G (2, 2, 5, 5).
1705. Если Zfc — циклическая группа порядка k и Z — бесконечная циклическая группа, то искомое прямое разложение фактор-группы G/Н имеет вид:
а) -[ Z2 Z3; б) Z34~Z4; в) Z2 4" Z3 Z3; г) Z2-[-Z4; д) Z^-\-Z\ e) Z2 -\-Z2-\-Z', ж) Z3; з) Z-\-Z\ и) Z; к) G/H— нулевая группа.
Искомого разложения не существует.
1706. в) Группа G единственным образом разлагается в прямую сумму подгрупп: G = Д + -А2 4- . • + где А,-—циклическая подгруппа порядка pt. Любая подгруппа Н группы G, отличная от нулевой, является прямой суммой некоторых из подгрупп Л,-. Число всех подгрупп равно 2s. Указание. Использовать пункт б) и показать, что если h—образующая подгруппы Н, то Н является прямой суммой тех подгрупп At, которые содержат ненулевые компоненты элемента h.
1707. Указания, в) Для доказательства разложения G = Н -|- К взять любой элемент ах вне Н, затем любой элемент а2 вне {Н, at} и т. д. и положить /<={«(, а2, ...}.
г) Любая подгруппа Н порядка разлагается в прямую сумму I циклических подгрупп порядка р. Пусть это разложение имеет вид
# = {«]} 4- {й2} 4-... 4- {й/}-
Находим число всех систем (йь й2.....а;), определенных указанным образом
для всех подгрупп Н порядка р1. Так как at 0, то для имеем рк — 1 возможностей. Так как а2 лежит вне циклической подгруппы {«4,'то для й2 имеем рк — р возможностей и т. д. Аналогично находим число всех систем (в„ а2, ..., й;), дающих одну группу Н порядка р1. Число всех подгрупп порядка р1 равно частному двух найденных чисел.
1708. Указание. Сначала рассмотреть случай примерной группы, затем взять разложение группы на примерные компоненты (задача 1703 6)) и применить задачу 1700 б).
1709. Кольцо. 1710. Кольцо.
1711. Кольцо. При п — 0 получаем нулевое кольцо, состоящее из одного числа 0, который будет единицей кольца и сам для себя обратным. Нулевое кольцо не будет полем, так как поле должно содержать более одного элемента.
1712. Поле. 1713. Поле. 1714. Поле. 1715. Кольцо.
1716. Поле. 1717. Кольцо. 1718. Поле. 1719. Кольцо. 1720. Кольцо. 1721. Кольцо. 1722. Кольцо. 1723. Кольцо.
1724. Матрицы с рациональными й, b образуют поле, а с действительными а, b — кольцо, но не поле.
1725. Полиномы от синусов и косинусов и полиномы от одних косинусов образуют кольцо, а от одних синусов не образуют. У казание. Для
х — для л'<0, О — для л>-0.
доказательства, что полиномы от синусов не образуют кольца, использовать то, что произведение двух нечетных функций является функцией четной..
1726. Не образуют. Указание. Используя неприводимость многочлена х3 — 2 над полем рациональных чисел, доказать, что у 2 • ]/ 2" — |/4~ не принадлежит рассматриваемому множеству.
1727. (5 + 9 2 — l^T). Указание. Для доказательства одно-
значности использовать неприводимость многочлена Xs — 2 над полем рациональных чисел. Для отыскания обратного элемента применить метод неопределенных коэффициентов.
1728. х~' =2^ (19-^5 4-111^25).
1729. Указание. Использовать свойство неприводимого многочлена быть взаимно простым с любым многочленом низшей степени.
1780. ₽~> = (Ю1 4-37а + 4а2).
Указание. Если <р (х) == х2 — х -|- 3, то методом неопределенных коэффициентов найти многочлены /1 (х) первой степени и (х) второй степени, удовлетворяющие равенству f(x)f\ (х) 4~ S’(*) Sh (*) = 1, и положить в этом равенстве х = а.
{О — для хО х — для х^>0
1784. Делители нуля имеют вид (а, 0), где a i 0 и (О, Ь), где b 0.
1737. Матрицы, в которых элемент в левом верхнем углу отличен от нуля, не будут левыми (но будут правыми) делителями нуля.
1738. Указание. Раскрыть скобки в произведении (а Ц- Ь) (е Ц- е) двумя разными способами.
1740. Матрицы порядка л>2 с элементами из данного поля при условии, что все строки, начиная со второй, состоят из нулей, образуют кольцо с несколькими левыми единицами, а при аналогичном условии для столбцов — с несколькими правыми единицами.
1742. Указание. Пусть а — элемент кольца, отличный от нуля. Показать, что соответствие х -> ах, где х — любой элемент, является взаимно однозначным отображением данного кольца на себя.
1743. Указание. Использовать задачу 1742.
1747. Указание. Найти матрицы Е, /, J, К, соответствующие единицам 1, I, J, k, и проверить таблицу умножения для них: /2 = /2=№=—Е, IJ = — JI = K, JK = — KJ = I, KI = — IK = J.
1749. Возможны лишь два таких автоморфизма: тождественный и переводящий каждое число в сопряженное.
1750. У казаки е. Показать, что любое числовое поле содержит число 1, затем целые и, наконец, дробные числа.
1751. У казаки е. Рассмотреть образы единицы, целых и дробных чисел.
1752. У к а з а н и е. Показать, что положительное число, как квадрат действительного числа, переходит в положительное. Затем, пользуясь тем, что между двумя различными действительными числами лежит рациональное, и сохранением рациональных чисел, доказать неизменность любого действительного числа.
1758. Возможны лишь два таких отображения: тождественное и пере-' водящее любое комплексное число в сопряженное.
1756. По модулю 3 система несовместна, а по модулю 5 опа имеет единственное решение х = 2, у = 3, z = 2.
1757. По модулю 5 система несовместна, а по модулю 7 она имеет единственное решение х = 2, у = 6, z — 5.
1758. а) х-|-2; б) 1. 1759. а) 1; б) 5x4-1. 17В0. а) х24-х-|-2; б) 1.
1761. а) Решение. Предположим, что f (х) и g (х) имеют над полем рациональных чисел общий делитель d (х) положительной степени. Тогда f (х) = а (х) d (х), g(x) = b (х) d (х), где а (х), b (х), d (х) — многочлены с рациональными коэффициентами. Вынося общие знаменатели и общие наибольшие делители числителей коэффициентов и применяя лемму Гаусса о произведении примитивных многочленов, получим: f (х) = at (х) dt (х), g (х) = bj (х) dj (х), где все многочлены имеют целые коэффициенты, степень d, (х) равна степени d (х) и старший коэффициент dt (х) не делится на р. Переходя к полю вычетов по модулю р, получим общий делитель положительной степени для /(х) и g(x) Над этим полем, что невозможно.
б) Многочлены f (х) = х, g (х) = х 4- р взаимно просты над полем рациональных чисел и равны х, т. е. не взаимно просты, над полем вычетов по модулю р.
1762. У казание. Если f (х) и g (х) взаимно просты, то, получив равенство f (х) и (х) 4- g (х) v (х) = с, где ы(х), ц(х) — многочлены с целыми коэффициентами и с — целое число, доказать, что / (х) и g(x) взаимно просты над полем вычетов по любому простому р, не делящему с.
Пои доказательстве обратного утверждения использовать задачу 1761.
1763. (х4- 1)3(х24-х4- 1). 1764. (х4-3) (х2-Нх4-2). 1765. (х24-1) (х24-4-х 4-2). 1766. (х24-х4-1)(х24-2х4-4).
1767. /1 = х2, /2 = х24-1 = (х4-1)2,/3 = а:24-х = х(х4-1),/4 = х24-4- х 4- 1 неприводим.
1768. Л = х8, /2 = х«4-1 = (х4-1)(х24-х-|-1),
fa = *3 + х = х (х 4- I)2, /4 = х3 4- х2 = х2 (х -|- 1),
/5 = х3 4- х 4- 1 неприводим, /в = х3 -|- х2 -(- 1 неприводим.
/7 = х3 4- х2 4- х = х (х2 4- х 4-1), /# = х3 -}- х2 4- х 4-1 == (х 1)3.
1769. /, = х24-1, /2 = х24-х4-2, /з = х24-2х-|-2.
1770. /1 = х’4-2х4-1, /2 = х34-2х4-2,
/з = х34-х24-2, /4 = х34-2х24-1.
Л^хз + х2 + х+2, /в = х34-х24-2x4-1, /7 = х34-2х24-х4-1, /з = х34-2х24-2х4-2.
1771. Указание. Применяя лемму Гаусса, из разложения / (х) на два множителя с рациональными коэффициентами получить разложение на два множителя с целыми коэффициентами. Многочлен f (х) = рх2 4~ (Р + 4-1) х—|— 1 = (рх-J-1) (х 4- 1) приводим над полем рациональных чисел, но по модулю р равен х 4~ 1 и, значит, неприводим.
1772. Указание. Предположить противное, применить разложение группы G в прямое произведение примерных циклических подгрупп, использовать задачу 1700 в) и теорему о том, что уравнение хп = 1 в поле Z р имеет не более п различных корней.
1773. Решение. Сначала докажем лемму из теории групп. Если два элемента а и b циклической группы G не являются квадратами, то их произведение является квадратом.
Множество Н элементов из G, являющихся квадратами, есть подгруппа. Фактор-группа G/H—циклическая. Если С = сН — ее образующая, то из с2 С Я следует С2 = с2Н = Н. Значит, или Н = G, или G/H — группа второго порядка и ab £ аН • ЬН = И, т. е. ab есть квадрат.
Отсюда следует, что по любому простому модулю р одно из чисел 2, 3, 6 сравнимо с квадратом. В самом деле, при р — 2 имеем 2^02, прн р = 3 также ЗзО2. Если р > 3, то 2 и 3 можно рассматривать как элементы мультипликативной группы О поля вычетов по модулю р. „ Согласно задаче 1772 группа G — циклическая и по лемме, доказанной выше, если 2 и 3 —не квадраты, то 2-3 = 6 — квадрат.
Многочлен
/ (х) = (х-/2 -ГЗ)(л-/2 + /3) (х+/2 -/3) (л + /2 +/3) =
= х« —10х24-1 неприводим над полем рациональных чисел, так как линейные множители и их произведения по два не являются многочленами с рациональными коэффициентами.
Пусть 7.р—поле вычетов по простому модулю р. По доказанному существует элемент а £ Zp, для которого а2 = 2, или а2 = 3, или а2 = 6. Если а2 = 2, то х* — 10х2 4* 1 = (х2 -J- 2ах—1)(%2— 2ах—1); если а2 = 3, то х* — 10х24-1 = (х24-2лл4-1)(х2 — 2ах4"1)’> если я2 = 6, то х*—10х24-1 — = (х2 — 5 4- 2а) (х2 — 5 — 2а).
1774. У к а з а н и е. Показать, что если а = ае, то е — единица.
1775. а) а = р в кольце вычетов по модулю р2; 6) а — р в кольце вычетов по модулю р”. Здесь р — любое целое число, большее 1.
1779. Указание. Для числа г = а 4- b 'К—3 ввести норму М (г) = = z • z = а2 4- 3Z>2. Доказать, что N (zt • z2) = N (zx)N (z2), для данного Af > О существует лишь конечное множество чисел z с N (z) < М, делителями единицы являются лишь ±1, делитель z с наименьшей нормой, большей 1, является простым.
11111
1780. Указание. Рассмотреть разложения 2=2 2 • 2 2 =2 2 • 2 4 • 2 4 =...
1781. а) Идеал; б) подкольцо; в) идеал; г) не является подгруппой аддитивной группы; д) подкольцо; е) подгруппа аддитивной группы; ж) идеал; з) подкольцо; и) идеал; к) идеал; л) не является подгруппой аддитивной группы.
1785. У Казани е. Показать, что любой идеал / порождается своим элементом а, отличным от нуля и наименьшим в следующем смысле: а) по абсолютной величине; б) по степени; в) по модулю. В каждом случае использовать существование деления с остатком на элемент Ъ =# 0, причем остаток или равен нулю, или меньше делителя в указанном выше смысле.
1791. Если пе =# 0 для любого п =/= 0 из Z, то <р — изоморфизм, и <р (Z) изоморфно Z. Если пе = 0 для некоторого п ^/= 0 из Z и п0 — наименьшее положительное число, для которого пве = 0, то <р (Z) изоморфно кольцу вычетов по модулю пв,
1792. б) Четыре смежных класса, состоящие из чисел а-\-Ы со свойствами: 1) а и Ь четны; 2) а четно, а b нечетно; 3) а нечетно, а Ь четно; 4) а и b нечетны; в) класс В, содержащий 1 4* является делителем нуля, причем В2 = 0. 1799. Число элементов равно р”.
1800. 1.7? — кольцо с делителями нуля, рассматриваемое как модуль над самим собой, А и а — делители нуля, для которых Аа = 0. 2. G = {а} — циклическая группа порядка п (с аддитивной записью операции), рассматриваемая как модуль над кольцом целых чисел. Тогда иа = 0.
1804. У казание. Применить задачу 1647 в).
1807. б) Пусть а и b — два различных элемента второго порядка четверной группы (см. ответ задачи 1638 б)). Если рассматривать эту группу как унитарный модуль над кольцом целых чисел (при обычном умножении элементов группы на числа), то О (а) и О (Ь) совпадают с множеством четных чисел, но {а} {£>}-
1808. Указание. Доказать, что множество 7 всех А £ /?, для которых 7м (А, есть идеал кольца /?.
1809. Множество А всех элементов с конечным числом ненулевых компонент.
1810. 6) Пример 1. В кольце Ze вычетов по модулю 6 как модуле над самим собой элементы 2 и 3 являются периодическими, а их сумма 5 не является периодическим элементом.
Пример 2 Пусть R — кольцо пар (х, у), где х и у — целые числа, а сложение и умножение пар производятся по компонентам (задача 1734). Элементы а — (1,0) и Ь = (0,1) являются делителями нуля. Если R рассматривать как модуль над самим собой, то а и b будут периодическими элементами, так как О (а) — множество всех пар вида (0, у) и О (Л) — всех пар вида (х, о).Но элемент а -f- b = (1, 1) имеет порядком нулевой элемент (0, 0).
1811. У к а з а н и е. Положить а = а'6, р — р'б и показать, что а'Р'6 (а Ь) — 0 и ayb = 0.
1812. У Казани е. Показать, что М есть прямая сумма ненулевых подмодулей Л1,-, каждый из которых состоит из всех элементов М, порядки которых порождены степенями простого элемента из R.
1813. Указание. Рассмотреть объединение модулей
1819. Указание. Показать, что Ь->А^-Ь есть гомоморфное отображение В на (А-\-В)!А, и применить теорему о гомоморфизмах для модулей.
1820. У Казани е. Применить индукцию по и. При п = 1 применить задачи 1815 и 1818. При n > 1 предположить, что в М существует бесконечная возрастающая цепь различных подмодулей ЛЦ cz Мг cz ..., положить
СО
Л={х1), B=[J ММ'. = Л4.[] А и показать, что цепь M't стабилизируется на
некотором = Затем применить теорему об изоморфизме (см. задачу 1819) и использовать то, что фактор-модуль М/А имеет п — 1 образующих.
1822. У казание. При доказательстве б) рассмотреть выражение (14-1)(х + >).
1823. в) Пространство V бесконечномерно.
1825. Указание. Доказывать по индукции или положить в линейном соотношении х = 1, 2, 22, ..., 2"-1.
1826. Указание. В случаях в), г), д) дифференцировать два раза и применить индукцию.
1827. У казание. Использовать определитель Вандермонда.
1829. Размерность равна = С^{+п_1. У казани е. Взять за базу а. а„ а„
все одночлены и каждому одночлену вида х1‘х22 ... хп" поставить в соответствие строку
1 ... 1 X! 1 ... 1 Х2 ... 1 ... 1 Х„.
«j раз «2 раз раз
«30. С"+п. У к а з а н и е. Положить х(- = — и свести к преды-
дущей задаче.
1831. б) Размерность L равна и; в) размерность Lk равна п—А-[-1; г) L' не является подпространством.
1832. У казание. При доказательстве необходимости получить равенство В = СА, где С — невырожденная матрица из коэффициентов в выражениях системы (2) через (1). При доказательстве достаточности приписать к матрице А снизу строку координат вектора Ь,- и, вычисляя ранг методом окаймления, показать., что ранг полученной матрицы равен k.
1836. г) Пусть на плоскости хОу L = Ох, М — Оу, L' — любая прямая, проходящая через начало координат и отличная от осей, дч — проектирова
ние на L параллельно М, <р2— проектирование на L' параллельно М. Тогда <р1(р2 = <Р! #=ч>2 = 4’24’1 • Условие (3) не выполнено, но ф,ф2 и <p2<pj являются проектированиями.
Указания, б) Показать, что если <р, и <р2 идемпотентам, то <р2 -|-идемпотентно тогда и только тогда, когда 4>i4>2 п~ ФЗД! =0. Умножая это равенство слева и справа на Фь доказать его эквивалентность условию (1). в) Используя а), свести в) к б), г) Из <pi <р2х = х вывести <р,х — <р2х = х. Затем использовать представление х = <р2х-4-(е— <р2)х.
1837. Указание. Рассмотреть (<р (х, 4- *2). j) и (<р (Хх), у).
1838. 4-/10.
о
1839. Если L — подпространство всех векторов, у каждого из которых лишь конечное число координат отлично от нуля, то L* = 0, L-\-L*~L=/= V, (£*)*= И =#£.
1841. Пусть А — матрица преобразования в ортонормированном базисе, а) Поворот плоскости на некоторый угол вокруг начала координат, если | А | = + Г, зеркальное отражение плоскости в некоторой прямой. Проходящей через начало координат, если | А | = — 1. б) Поворот пространства на некоторый угол, вокруг оси, проходящей через начало координат, если | А | = -|-1; поворот, указанный выше, с последующим зеркальным отражением пространства в плоскости, проходящей через начало и перпендикулярной к оси вращения, если | А | = — 1.
1842. Поворот вокруг оси, определенной вектором / = (1, 1, 0), на угол а == 60° в отрицательном направлении. У казание. Вектор f ищем как собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1. Угол поворота а находим из условия 2 cos а-|- 1 = аи -|-а22 -f- «33, полученного из инвариантности следа матрицы преобразования <р. Для определения направления поворота берем вектор, не лежащий на оси вращения, например eit его образ (ре, и вектор оси f и ищем знак определителя из координат этих трех векторов, т. е. ориентацию тройки векторов eh (реь f.
1843. а) Нулевое преобразование; б) поворот на угол л/2 в положительном или отрицательном направлении с последующим умножением на неотрицательное число; в) <рх = а X х. При а #= 0 преобразование <р сводится к проектированию вектора х на плоскость, перпендикулярную к вектору а, повороту вокруг а на угол л/2 в положительном направлении и умножению на длину а. Указание. Рассмотреть матрицу преобразования <р в орто-«13
«23 о
О
— «12
— «13
нормированном базисе А —
и положить a=(alt аъ а3\
«12 о --«23
где = — а23, а2 = — а31 = &i3, а3 = — Л]2.
1844. У казани е. При доказательстве достаточности рассмотреть скалярное произведение (<р (х у), х + >).
1845. У к а з а н и е. Найти базис еи е2, ..еп, для которого I (е.) — 1. Z(e2)= ... = 1(е„) = 0.
1848. Указание. Предположить, что Ц (a) =f= 0, /2 (6) =£ 0, н рассмотреть вектор а-\-Ь.
1849. У Казани е. Доказать, что если b (х, у) =/= 0, то /1(Х) Z, (у) . ,
М*) Му)
Рассмотреть произведение (Z (х) — Л/2 (х)) /2 (х) и применить задачу 1848.
1850. У к а з а н и е. Применить задачи 1846 и 1849.
1851. У казани е. Применить задачу 1848.
I (х)
1892. У казание. Положить у = х--- а.
1(a)
1853. Указание. Для ненулевых функций взять вектор а, не лежа-
пций в S, положить Л — и применить задачу 1852 б).
*2 (а)
1854. а) Однополостный гиперболоид; б) двуполостный гиперболоид. У казание. Перейти к однородным координатам.
1856. Если Ct,..., еп — нормальный базис (в котором f(x) записывается квадратичной формой нормального вида), причем / («/) = 1 (Z = 1, 2,.... р); f(ej) = — \ (j = p-\r\...Г); /(₽*)=0 (k = r-f-1, .... п), то за
.искомый базис можно взять, например,
fi=ei + ep+i (/ = 1, ..., р); fj =—ep + ej (j = p^-\, .... r)\ fk = ek (A = rH-l, ..., и).
У казание. Доказать, что векторы
Л/= «»+«> (< = 1......р> J=p + ', •••. '•);
gtj — ei — ej (Z = 1..p; j = p +1.....r);
hk = (k — r +1, ..., n) изотропны и через них выражается базис ех.....еп.
1857. Указание. Использовать задачи 1306 и 1856.
1858. Указание. Рассмотрим случай б) при условии p^q. Взяв запись /(х)=х|-|- ... 4-Хр —Xp+i— • •• ~формой нормального вида, проверить, что К содержит подпространство L, заданное уравнениями
Xj хр+1 — 0. . . ., Хр х2р — 0, Х2р+1 — 0, . . ., Хр+д == 0, (1)
причем размерность L равна п—q. Затем предположить, что К содержит .подпространство L' размерности s > п —.q, заданное уравнениями
п
2 aijXj = 0 (Z = 1, 2,..., п — s), (2)
7-1
добавить к ним уравнения
х1 = 0....хр=0, хр+?+1 = 0, .... х„ = 0 (3)
-и прийти к противоречию.
1859. а) Решение. Если f (х) в подходящем базисе записать в нормальном виде, то уравнение поверхности S запишется так:
xf-j- ... -j-Xp — Хр+1— ... —х^ = 1. (1)
Если р = 0, то на S нет действительных точек. При этом min (р—1, q) =—1. Теорема верна, если считать размерность пустого множества равной —1.
Пусть /> > 0. Тогда на S имеются точки, например, (1, 0, ..., 0), т. е. нульмерные многообразия. Пусть Р—многообразие максимальной размерности k, входящее в S. Р задается системой п — k линейно независимых уравнений
2 aijXj = bi (Z = l, 2, .... n — k). (2)
т-i
Эта система не может быть однородной, так как нулевое решение не удовлетворяет уравнению (1). Для простоты предположим, что определитель d порядка п — А из коэффициентов при первых п — k неизвестных отличен от .нуля. Тогда общее решение системы (2) можно записать так:
xl~Cl, n-k+lxn-k+f]~ + с/л-*п + Q. л+i (^ = 1. 2,..., n — k). (3)
Рассмотрим (и 4- 1)-мерное пространство Vn+i- Берем в нем любой базис и считаем, что Vn натянуто на первые п векторов базиса.
Рассмотрим однородную систему уравнений
п
У; atjXj — btxn+1 = О (4 = 1, 2,..., п — k)\ (4)
7=1
коэффициенты такие же, как в (2). Ее общее решение имеет вид
xl= cl, n-k+lxn-k+l 4“ ••• ~i~cinxn~i~cl, n+lxn+l (j — L 2, ..., и — А) (5)
такими же коэффициентами, как в (3).
Затем рассмотрим конус К, заданный уравнением
*1 + ... +х2— х*+1 — ... — х2п — 4+1 = 0. (6)
Докажем, что (А 4" 1)-мерное подпространство L, заданное системой (4), лежит в конусе К. Любое решение системы (4), в котором x„+I = 1, после отбрасывания х„+1 дает решение системы (2), т. е. вектор из PczS. Но такое решение удовлетворяет уравнению (6) и, значит, лежит в К-
Если х—любое решение системы (4), в котором хп+1=а=^=0, то
откуда х£К. Пусть *=(«!......а„_й, а„_й+1, ..., а„, 0) —реше-
ние системы (4) с х„+1 =0. Существует решение х1 системы (4), в котором свободные неизвестные имеют значения:
хл-Л+1 = ип-й+1> • •, хп — ап> хп+1 ~ U — L 2,...).
Из формул (5) ясно, что lim х1 = х. По доказанному выше х1£К. Переходя /->со
в равенстве (6) после подстановки в нем координат х1 к пределу при I ->со получим х£К.
Итак, L cz К. Индексы инерции К равны р, q 4-1. По задаче 1858 A -j- 1 < mln (р, q -J- 1), откуда А < min (р — 1, q).
Пусть К' — конус с уравнением
±xl± ... —j^+I— ... —4 = 0, (7)
где знаки совпадают со знаками соответствующих членов уравнения (1). По задаче 1858 конус К' содержит подпространство L' размерности А = = min (р—1, q), лежащее в подпространстве с уравнением х1=0. Возьмем в Vn вектор а0 = (1, 0, .... 0). Тогда S содержит многообразие Р' = a0-\-L' размерности A=min(p—1, q). Утверждение а) доказано.
б) Указание. При г < и свести б) к а) в r-мерном пространстве.
I860, а) 1; б) 0; в) 1; г) 0; д) 1; е) 1; ж) и— 1; з) п — 2; и) 0; к) 1, если и > 2; 0, если и = 2; л) 1; м) целая часть — или — 1, если и 1 , четно; (и—1), если и нечетно.
1861. б) У казание. Найти системы линейных уравнений, задающих левое и правое ядро.
1862. Базис Lq образует вектор (3, —1), а базис Lo — вектор (2, —1).
1863. б) Указание. Пусть 1 < г и. Взять функцию, матрица которой в некотором базисе имеет в левом верхнем углу квадратную невырожденную клетку порядка г, не являющуюся ни симметрической, ни кососимметрической, а на остальных местах — нули.
1864. Указание. Использовать нулевое подпространство функции ь (X, у).
1865. У казание. Показать, что координаты всех векторов из L* удовлетворяют матричному уравнению ВАУ— О, где Л — матрица b (х, у) в некотором базисе пространства Vm В — матрица, по строкам которой стоят координаты любого базиса подпространства L в данном базисе Vn, У — столбец координат вектора у££* в том же базисе.
1866. Первое доказательство. Так как Ь (х, у) =/= 0, но Ъ{х, х)=0, то существуют векторы хь х2 такие, что b(xit х2) 4= 0. Умножая один из этих векторов на -г-.----г-, получим векторы еь е2, для которых
О (Xj, Xg)
b (еь е2) = 1. Векторы eh е2 линейно независимы, так как если е2 = aelt то b (et, е2) = ab (е„ et) = 0. Пусть Lt—двумерное подпространство, натянутое на eit е2, и £2 — множество всех y£Vn таких, что Ь (х, у) = о для любого х£Ц. По задаче 1865 L2— подпространство размерности ~^>п— 2. Пересечение В и £2 содержит лишь нулевой вектор, так как если х £ £j то х = «[С, 4- «2^2- Если х££2, то b (eh х) = b (е2, х) = 0 и Ь(еь е{)— = b (е2, е2) = 0; b (eb e2) — — b (е2, = 1, откуда а, = 0, а2 = 0, х = 0.
По задаче 1296 размерность £2 равна п — 2 и Vn есть прямая сумма В и £?. Если на £2 еще b (х, у) =# 0, то, как выше, существуют векторы е2, е4 £ £2, для которых Ь (е3, е4) — 1 и т. д. После конечного числа шагов придем к подпространству £й+1, на котором b (х, у) = 0. Если £ft+1— ненулевое, то берем в нем любой базис е2*+1, .... еп. Векторы еь е2, ..., еп образуют искомый базис..
Второе доказательство1). Это доказательство дает практический метод нахождения невырожденного линейного преобразования неизвестных, приводящего данную билинейную форму к указанному в задаче каноническому виду.
• п
Пусть в некотором базисе 6 (х, ,у) = 2 aijxiyj- За счет изменения i, j-i
нумерации неизвестных можно считать а124=0. Запишем форму в виде
b(x, J1) = xi(«12yl24- ... +«!„>„) —У! (л12х2-|- ... +alnxn)-l[-bl(x, у) совершим невырожденное преобразование неизвестных
x'i=xb х'2 = а12х2-\- ... 4-«1пх„, х'=х3...х'п=хп
такое же преобразование для у... Получим:
b (х, у) = х{у2 — х2у{4- Ь2 (х, у).
Если Ь2 (х, _у) не содержит х2, у2, то поступаем с ней аналогично. Иначе
А2(х, -У) = У a'ijxiy'j> где a2k =£0 для некоторого k, 2<A<Jn. Совершив i,
. невырожденное преобразование неизвестных
И
И
Х1 =х1—а23х3— ••• ~ Й2Л- х2=х2> Хп = Хп
н такое же преобразование у\, получим Ь(х,у)=х'[у2—х'2уj b3 (х, у), где Ь3 (х, у) не содержит xj, х2, уj, у '2. Если Ь3 (х, у) =# 0, то поступаем с ней аналогично.
‘) А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, изд. 2, Гостехиздат, 1956, стр. 217.
1867. b (x, у) = «it's — «si'i + u3v4— UtV3; ui — xl-^-3xt, u2 = x2-f-4- 2x3 — x4, u3 — x3, и4 = 6x4 и такое же выражение f/ через yz-.
1868. b (х, у) = — u2vi+ u3vt — и4ц3; u, = x, — 4x4, м2 = x2 4- 2x3,
«з = х3, ut = — 8x4 и такое же выражение vt через у/.
1869. На матричном языке получаем утверждение: для того чтобы действительная симметрическая матрица А была ортогонально подобна матрице, у которой все элементы главной диагонали равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы след А был равен нулю.
У казани е. При доказательстве достаточности применить индукцию по п. При п > 1 взять любой ортонормированный базис /1, f2...fn. Если
он не лежит на конусе, то показать, что существуют векторы fj, для которых f (f) > 0, / (fj) <0, и за первый вектор искомого базиса взять вектор е,, полученный нормированием вектора fi~\- ‘>.fj, где Л найдено из условия f (fi 4- ).fj) = 0.
1870. У казание. Применить свойство: четыре различные точки тогда и только тогда образуют параллелограмм, когда их радиусы-векторы удовлетворяют условию Xi 4~ х3 — х2 4~ х4.
1875. х, =— 1 4~ЗЛ—4/2, х2 = 2— ti 4-x3 = tit xt = t2.
1876. xj = —-2-4--2-Л+ 2"^, x2 = <i, x3 = 3 —4/2> x4 = 0, x5 = Z2.
1877. 3X[ — x2 — x3 = 8, Xt — 2x2 4- x4 = 3, 5xt — 2x2 — x5 = 7.
1878. X] —- 4x2 4~ хз 4- 2 — 0, 2X] — ЗХ2 — x4 4~ 7 ~ 0, 3xi ЗХ2 *^5 4“
4-8 = 0.
1882) Пусть г и г' — соответственно ранги матриц
(Mi bi са /М[ bi Ci
м2 b2 с2 I и A' —I а2 b2 c2 d2 I *,
m3 b3 c3/ \m3 b3 c3 d3J
rtj и r'ij—соответственно ранги матриц из i-й и у-й строк матриц А и А'.
Возможны следующие пять случаев, для которых необходимы и достаточны указанные значения рангов;
1) три плоскости проходят через одну точку: г = г' = 3;
2) три плоскости не имеют общих точек, но попарно пересекаются по прямым (образуют призму): г = г12 = ri3 = г23 = 2, г'—З;
3) две плоскости параллельны, а третья их пересекает: г12 = 1, г — — г 12 = Г13 — г23 = 2, г' — З и два аналогичных случая;
4) трн плоскости проходят через одну прямую: r = ri2 = ri3 = r23 = — г'= 2;
5) трн плоскости параллельны: г — 1, г г 12 t = Пз = ''23= г'=2
1883. Пусть г и Возможны четыре г' — соответственно Ь\ Д-2 ^2 ^2 ^2 И й3 *3 Сз ^3 Лд С4 (1^ случая: ранги матр 6] С! ^2 £2 ^2 ^3 с3 ^3 С4 ИЦ
1) г = 3, г' = 4; прямые скрещиваются; 2) г = г' = 3; прямые пересекаются; 3) г — 2, г' — З; прямые параллельны; 4) г = г' = 2; прямые совпадают.
1884. Пусть г и г' — соответственно ранги простой и расширенной матриц объединенной системы уравнений (1) и (2). Возможны пять случаев:
1) г = г' = 4; плоскости пересекаются в одной точке; 2) г = 3, г'= 4; плоскости скрещиваются и параллельны прямой, заданной теми тремя из уравнений (1), (2), у которых левые части линейно независимы; 3) г=г'=3; плоскости пересекаются по прямой; 4) г = 2, г' = 3; плоскости параллельны; 5) г = г' = 2; плоскости совпадают.
1885. Пусть гиг' — соответственно ранги матриц
Л| ZZo-* • • ^2 • •
I И I
bi b2 ... Ьп/ \b{. b2 ... bn d
Возможны три случая:
1) r = r' = 2; гиперплоскости пересекаются по (п — 2)-мерной плоскости;
2) г=1, г =2, т. е. -у-==-у-= ... =-у-у, гиперплоскости па-раллельны; 3) r — r'—l, гиперплоскости совпадают.
1886. У казание. Применить задачу 1874 и соответствующее свойство подпространств.
1888, 1889 и 1890. У казание. Применить задачу 1887.
1891. Если Л1||л2, то л3 = Л|; если л^л.,, то л3 = a, -J- (Lt -}-L2).
1893. Пусть плоскость Л1 задана системой уравнений
anxi + • • • ~t~ainxn — Ci,
+ • • • + asnxn = cs>
а плоскость л2 — системой
buxi + • • + t>inxn = di, ..............L.......... (2) t>nxi ~h • • • + t>tnxn = l't<
и пусть ri, г\ и r2, r2 — соответственно ранги матрицы из коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы систем (1) и (2), г и г' — ранги матрицы из коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы объединенной системы, состоящей из всех уравнений систем (1) и (2). Чтобы системы (1) и (2) задавали плоскости, необходимо и достаточно, чтобы каждая из них была совместна, т. е. гх = и г2 = г2. При выполнении этих условий для параллельности данных плоскостей необходимы и достаточны условия: г = max (гь г2), г'— г -|-1.
1895. а) Многогранник Р задается системой неравенств xt > 0, х2>0, *4>0, х!4-л3<1, %i+x4<1, + x2-\-xt^l;
б) трехмерными гранями являются четыре четырехугольных пирамиды: OABCD с вершиной D, ОАВСЕ с вершиной Е, 0DEFA с вершиной А, ODEFB с вершиной В, и четыре тетраэдра ACDF, ACEF, BCDF, BCEF. Указание. Через каждые четыре точки, не лежащие в одной двумерной плоскости, провести трехмерную плоскость. Если 2 aixi — Ь — уравнение такой плоскости и для координат всех данных точек или 2 alxt > Ь, или 2 aiXj < fc,- то соответствующее неравенство входит в систему неравенств, задающих многогранник Р. Выпуклое замыкание всех точек, лежащих в данной трехмерной плоскости, будет трехмерной гранью данного
многогранника. Например, точки О, А, В, D определяют трехмерную плоскость с уравнением х4 = 0. Для всех данных точек х4 0. Поэтому неравенство х4>0 входит в искомую систему. На трехмерной плоскости х4 = 0 лежат пять данных точек: О, А, В, С, D. Их выпуклое замыкание есть пирамида, являющаяся трехмерной гранью многогранника Р. Напротив, четыре точки О. А, В, F определяют трехмерную плоскость с уравнением х3 — х4 = 0, причем для точки D имеем х3 — х4 > 0, а для точки Е имеем х3 —х4<0. Значит, эта плоскость не приводит к искомому неравенству и не содержит грани многогранника Р. Для уменьшения числа рассматриваемых четверок точек надо учесть, что две четверки ОАВС и ODEF равноправны и лежат в двумерных плоскостях.
1896. а) Многогранник Р задается системой неравенств
Xi^sO, х2^0, х35г0, х4^0. xi+x4^l, х2 + х4<1, х3+х4^1.
б) Трехмерными гранями являются куб OABCDEFG и шесть четырехугольных пирамид с общей вершиной Н, а именно: OBCFH, ОАСЕН, OABDH, ADEGH, BDFGH, CEFGH.
1897. Пять вершин А (1, 1, 1), В(1, 1, -2), С(1, -2, 1), D (-2, 1, 1), „ / 1 1 1 \ „
£1—-g-, — —, — — I. Многогранник имеет шесть трехугольных граней ABC, ABD, ACD, ВСЕ, BDE, CDE и представляет собой два тетраэдра ABCD и BCDE с общим основанием BCD.
1898. а) Тетраэдр с вершинами (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), <0, 0, 0, 1);
б) октаэдр с вершинами (1, 1, 0, 0), (1, 0, 4, 0) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), <0, 1, 0, 1) (0, 0, 1, 1);
в) трехугольная призма с основаниями в точках (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), <0, 0, 1, 0) и (1, 0, 0 1) (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1);
г) квадрат с вершинами (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1).
1899. а) 8; б) 28; в) 14; г) 2; д) 7; е) 4; ж) 7; з) 6; и) 3; к) 3; л) 1; м) 6; н) 5; о) 12. Указание. Ввести систему координат и рассмотреть параметрические уравнения прямой и плоскости в векторной форме.
1901; a) nz = <p(ez)(Z= 1, 2, .... п). 1902. F(<p) = <p(x), «НУ*.
1904. А' = С*АС, где С — матрица перехода от старого базиса к новому,
записанная по столбцам.
1905. A' = D*AD, где D = (C*)-1 и С — матрица перехода от старого базиса к новому, записанная по столбцам.
1906. A’—C~lAC = D* АС, где С —матрица перехода от старого базиса к новому, записанная по столбцам, и D = (С*)-1.
1907. б) F(x, q>) = ф (х), x£Vn, Ч’а^Уп-
1908. Указание, б) Взять свертку aiaba^ тензора ацЬы, где Ьы — тен-
зор с координатами bki = aM в одном базисе. Применить задачу 1907.
«ия "(Л)я(/2)-я(М
’SIS.
1914. аЛ2 ^"= (— l)s+t, где s —число инверсий в перестановке ч’г 1п
ilt 12...in, a t — в перестановке ji, j2.jn, если индексы сверху и снизу
различны; в противном случае указанная координата равна нулю.
1917. Инвариант, равный числу 0 во всех базисах.
1918. Указание, а) Проверить это для каждого из правил эквивалентности, указанных во введении к этому параграфу; б) для доказательства необходимости при х=И=0 взять свертку по <р со свойством <р(х)У=О. Для доказательства достаточности для пары хО' положить 0 —Ох в паре 00';
в) взять свертку с <р' £ V', г) использовать в).
1928. б) ^11 = ^22 — 1,
[1923-1938
для которого q (х0 = 1, q (ху) = 0 (J ф 1)>
1
^!2 = ^21
1 ,
= -г-5—(— et cos а sin2 а
X cos а + х2у2,
= | sina|, еп=£22 = 0; ж) S = е,7х‘У = | sin а |
cos а . . -r~i— , Г) е1 sin2 а '
о,
gi2 = gn = cos а; в)
sip2 а • (*i ~ е2 cos а) = (1, — ctg а), <?2 =
); Д) (X, j) = x‘y4-(x'y2H-x2yi)X oi11 ЯЛ /
где х = xlet + х2е2, J* = y1ei + y2e2; е) е12 = — е21 =
х1 х2
yi у2 •
1924. При переходе к новому базису с той же ориентацией у не изменяется, а с другой ориентацией — меняет направление. Вектор у получается я
из х поворотом на угол в отрицательном направлении по отношению
к ориентации базиса eh е2. Указание. При выяснении зависимости у от базиса использовать инвариантность тензорных уравнений. Для выяснения геометрической связи х и у рассмотреть ортонормированный базис.
1925. При переходе к новому базису с той же ориентацией величины Ьц изменяются как координаты дважды ковариантного тензора. При переходе к базису с противоположной ориентацией величины Ьц дополнительно меняют знак.
1926. = О'- Л * = 1- 2, ..., п).
Указание. Свернуть обе части данного в задаче равенства с gia'g по i и J, использовать соотношение g^'g10 — и после этого изменить обозначения i, j на a, (3 и а', £' на i, j.
3
1928. •S = '2‘, Л = 1. Указание. Площадь искать по формуле S = — be sin А или использовать задачу 1935.
1929. Q (—4, 2, 0). Указание. Написать параметрические уравнения прямой PQ в контравариантных координатах.
1980. Указание. При доказательстве б) взять ортонормированный базис Ci, е2, е3, е4, где ех направлен по «, а е2, е3, е4 лежат в одной трехмерной плоскости с х, у, г и одинаково с ними ориентированы. Использовать выражение ориентированного объема по формулам (17) и (18) из введения к этому параграфу.
1981. Инвариант, равный
5
—2
1934. б) Gi = —5
2
числу п в любом базисе. 1988. 6.
—2 , 1
•> (у» 7п
с точностью
до знака.
1935. Указание.
второй способ: выбрать ортонормированный базис.
1987. d =
1938. Указание. Перейти к ортонормированному базису с той же ориентацией.
Первый способ: принять данные векторы за базис;
sin to (дх0 -j- 6у0 Н~_£)_ I. Указание. Применить задачу 1936. /д24~(-2 —2a6cosco I