Л. М. КАЧАНОВ
ТЕОРИЯ
ПОЛЗУЧЕСТИ
ЛИЕПГОГ ГТРОВСКИЙ
	а£ a*Ut
ЕИСТСТЛ
' ивл ЙОТРЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1960

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................................. 7
Основные обозначения...................................... 9
Глава I. Ползучесть металлов.............................. И
§ 1.	Ползучесть металлов при постоянной нагрузке ... И
§ 2.	Релаксация напряжения........................... 24
§ 3.	Ползучесть при изменяющихся напряжениях .... 25
§ 4.	Влияние температуры............................. 31
§ 5.	Разрушения при ползучести....................... 32
§ 6.	О физических теориях ползучести................. 35
Глава II. Уравнения ползучести........................... 38
§ 7.	О механических уравнениях ползучести............ 38
§ 8.	Теория	течения.................................. 39
§ 9.	Теория	старения................................. 47
§ 10.	Теория	упрочнения .............................. 52
§11.	Теория	наследственности......................... 55
§ 12.	Уравнения ползучести при сложном напряженном
состоянии........................................... 59
§ 13.	Уравнения ползучести при сложном напряженном
состоянии. Дополнения............................... 70
§ 14.	Упрощенные уравнения	ползучести................. 76
Глава	III. Некоторые простейшие	задачи................ 80
§ 15.	Графическое построение кривой релаксации ....	80
§ 16.	Пример. Неустановившаяся ползучесть	стержневой
решетки...................................... 82
§ 17.	Кручение круглого вала...................... 89
§ 18.	Чистый изгиб................................ 93
§ 19.	Полый шар под дейс.вием внутреннего	давления . .	96
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а IV. Установившаяся ползучесть. Общие методы 101
§ 20.	Состояние установившейся ползучести........101
§ 21.	Принцип минимума полной мощности...........106
§ 22.	Принцип минимума дополнительного рассеяния	.	.	.	109
§ 23.	Теорема энергии............................113
§ 24.	Приближенные решения задач установившейся	пол-
зучести 	115
§ 25.	Простейшие иллюстрации приближенного метода	.	.	130
§ 26.	Схема жестко-ползучего тела................136
§ 27.	Об установившейся ползучести неравномерно нагре-
того тела........................................138
§ 28.	О квазиустановившемся течении..............140
лава V. Неустановившаяся ползучесть. Общие теоремы 143
§ 29.	Система уравнений неустановившейся ползучести . . 143
§ 30.	Принцип минимума дополнительной мощности . . . 146
§ 31.	Начальное состояние..............................154
§ 32.	О приближении к состоянию установившейся ползу-
чести ..............................................156
§ 33.	Теорема энергии..................................158
лава VI. Приближенное решение задач неустановив-
шейся ползучести..................................160
§ 34.	Неустановившаяся ползучесть при заданных на-
грузках ............................................161
§ 35.	Приближенное решение релаксационных задач . . . 171
§ 36.	Примеры .........................................175
§ 37.	Случай пластической деформации...................179
§ 38.	Определение скоростей и перемещений..............182
лава VII. Растяжение и изгиб..............................184
§ 39.	Ползучесть стержневых решеток....................184
§ 40.	Ползучесть турбинной лопатки.....................195
§ 41.	Время разрушения при растяжении..................197
§ 42.	Установившаяся ползучесть при изгибе ............207
§ 43.	Неустановившаяся ползучесть при изгибе. Стати-
чески определимые задачи............................229
§ 44.	Неустановившаяся ползучесть при изгибе. Стати-
чески неопределимые системы.........................236
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 45.	Изгиб кривых стержней.........................243
§ 46.	Релаксация в кольцевом образце................248
Глава VIII. Кручение...................................252
§ 47.	Начальное упругое состояние ................. 252
§ 48.	Установившаяся ползучесть скручиваемого стержня 256
§ 49.	Кручение тонкостенных профилей................267
§ 50.	Концентрация напряжений, вызванная мелким пазом
на поверхности скручиваемого стержня................269
§ 51.	Неустановившаяся ползучесть скручиваемого стержня 279
§ 52.	Замечание о кручении круглых стержней перемен-
ного диаметра.......................................281
§ 53.	Ползучесть и релаксация винтовых пружин .... 284
§ 54.	О времени разрушения скручиваемого вала .... 286
Глава IX. Ползучесть труб..............................291
§ 55.	Ползучесть тонкостенных труб..................291
§ 56.	Установившаяся ползучесть толстостенной трубы . . 295
§ 57.	Неустановившаяся ползучесть толстостенной трубы 298
§ 58.	Большая деформация трубы и время разрушения . . 303
§ 59.	Ползучесть овальных и разностенных труб.......311
§ 60.	Ползучесть неравномерно нагретых труб.........322
§ 61.	Изгиб кривых труб.............................329
§ 62.	Экспериментальные исследования ползучести труб 337
§ 63.	Об оценке прочности труб......................355
Глава X. Ползучесть осесимметричных пластин и без-
моментных оболочек..................................357
§ 64.	Дифференциальное уравнение скорости прогиба пла-
стины ..............................................357
§ 65.	Вариационное уравнение скорости прогиба пластины.
Примеры ............................................360
§ 66.	Приближенное разыскание минимума дополнитель-
ного рассеяния пластины. Примеры....................365
§ 67.	Неравенство для скорости прогиба под сосредото-
ченной нагрузкой....................................373
§ 68.	Приближенное решение задачи о ползучести коль-
цевых пластин. Расчет фланцев.......................375
§ 69.	Ползучесть осесимметричной безмоментной оболочки 379
§ 70.	Ползучесть полукольце&ой пластины (расчет тур-
бинной диафрагмы)...................................382
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XI. Ползучесть вращающихся дисков................391
§ 71.	Основные уравнения...........................391
§ 72.	Установившаяся ползучесть сплошного диска . . . 396
§ 73.	Ползучесть неравномерно нагретого диска перемен-
ной толщины с отверстием...........................404
§ 74.	Время разрушения диска.......................413
§ 75.	Дополнения. Ползучесть ротора. Ползучесть лопа-
точного соединения.................................418
Глава XII. Устойчивость равновесия в условиях ползу-
чести ..................................................423
§ 76.	Об устойчивости равновесия в условиях ползучести 423
§ 77.	Выпучивание сжатого стержня с начальным искри-
влением ...........................................433
г
Литература............................................. 444	П
Предметный указатель ..................................451
fe
Я
Hi
и
Ч
и
III
llij
'^il
Ц
зл
ж
я
«9
йИ
Й!
• It
"Ч
Hit
Hu
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге излагаются основы теории ползучести
металлов. Явление медленной текучести (ползучести) метал-
лов под действием нагрузки известно давно. С увеличением
температуры и напряжений скорость ползучести резко воз-
растает (грубо говоря — по экспоненциальному закону).
Поэтому с развитием энергетических установок, двигателей
и химико-технологических аппаратов, работающих при все
более высоких температурах и давлениях, стал необходим
учет явления ползучести. В новых условиях прочность деталей
и надежность их в эксплуатации главным образом определяет
ползучесть. К необходимости учета ползучести приводит и
все расширяющееся применение легких сплавов, для которых
заметные эффекты ползучести обнаруживаются при нормаль-
ной или слегка повышенной температуре. Так, с явлением
ползучести столкнулись в самолетостроении в связи с на-
гревом обшивки самолета при высоких скоростях полета.
Практические потребности привели в последние два-три
десятилетия к огромному размаху экспериментальных и тео-
ретических исследований в области ползучести. Появились
разнообразные испытательные машины, организовано много
лабораторий ползучести, возникла большая литература по
вопросам ползучести. Интенсивно развивается механика ползу-
чего тела, основной задачей которой является расчет напря-
жений и деформаций тела в состоянии ползучести. Эта задача
имеет важное практическое значение, так как детали машин
и различных агрегатов обычно работают в условиях сложного
и неоднородного напряженного состояния. Одно лишь экспери-
ментальное исследование ползучести тех или иных деталей
связано с значительными трудностями и большой потерей
времени, что несовместимо с современными темпами техни-
ческого прогресса. Кроме того, опытное изучение вне обоб-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
щающих теоретических представлений, как правило, неэф-
фективно.
Явление ползучести имеет большое значение также для
строительных материалов и пластмасс. Законы ползучести
для разных материалов различны, так как различны физи-
ческие процессы, лежащие в основе текучести. Как уже под-
черкивалось, в настоящей книге рассматриваются вопросы
ползучести металлов. Вопросы ползучести строительных
материалов (например, бетона) и пластмасс требуют специаль-
ного рассмотрения и здесь не затрагиваются, хотя многие
результаты, относящиеся к механике ползучести металлов,
переносятся и на другие материалы.
Нелинейный закон течения приводит в теории ползучести
металлов к трудным математическим задачам, точное решение
которых достижимо лишь громоздкими численными методами.
В то же время деформации ползучести очень чувствительны
к небольшим изменениям напряжений, температуры, к откло-
нениям в составе и обработке данного металлического сплава.
Это обусловливает характерный для проблемы ползучести
большой случайный разброс экспериментальных данных.
При таком положении следует предпочесть простые форму-
лировки теории и приближенные решения сложным, но,
в сущности, лишь немного более точным формулировкам и
решениям. В этой книге ползучесть рассматривается по
сравнительно простой схеме квазивязкого течения.
Теория ползучести носит ярко выраженный прикладной
характер. Поэтому в книге большое место уделено получе-
нию простых приближенных решений. Задачи, рассматривае-
мые в книге, имеют непосредственный практический интерес.
В связи с этим приведенные решения сопровождаются графи-
ками, примерами и даются указания относительно способов
реализации вычислений.
Автор приносит глубокую благодарность В. И. Розен-
блюму, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему
много ценных замечаний, а также А. Н. Грубину и Г. В. Ива-
нову, указавшим на отдельные недочеты предыдущей книги
автора [26J.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
аз»- °»/.	°z>	хху<	хуг<	xzx — компоненты	напряжения
еат. е£/.	Ег!	fxy<	lyz-	Izx — компоненты	деформации
£х<	?г‘>	'Ixy	Vyg'	^ — компоненты	скорости деформации
^°'и	+ (с?/~сг)3 + (а2—са:)3 + 6 {?пу + Tyz + та») —
интенсивность касательных напряжений
Г = у	(Е®—е2/)2+(Ег/—Ег)’2 + (Ег—Е®)2 + ту (lay+Yyz+lza:) ~~
интенсивность деформаций сдвига
^~д/~ yjX” (^—^г/)2 + (^—^г)’2 + (^г—^а»)’2 + у (^+^3+^®) —
интенсивность скоростей деформаций сдвига
т— показатель ползучести
Вг(/)—коэффициент ползучести (t — время)
— постоянное значение коэффициента ползучести во втором
периоде
в^вг
t
^i(0 = f Br(t)dt
о
т I 1	та I- 1
В (t) == 3~ B^t); B^S^Bl; В = В~^
т + 1
£2(/)=3~S1(O
Е, G — модули Юнга и сдвига
и — вектор перемещения
10
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
v — вектор скорости
V—объем тела; dV — элемент объема
S — поверхность тела; dS — элемент поверхности
J* — интеграл по объему тела
к
— интеграл по поверхности тела
.<?
П — плотность упругой потенциальной энергии
L — плотность рассеяния
Л — плотность дополнительного рассеяния
Ф — интеграл по объему тела от некоторой величины Ф, т. е.
Ф — § Ф dV (например, Л = J* Л dV — дополнительное
к \	к
рассеяние всего тела, П — упругая потенциальная энергия
всего тела и т. д.).
ГЛАВА 1
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
§ 1. Ползучесть металлов при постоянной нагрузке
1. Об экспериментальном изучении ползучести. Для
изучения ползучести металлов большей частью проводятся
опыты по растяжению стержней при постоянной нагрузке.
Испытываемые образцы помещаются в электрическую печь
и нагружаются при помощи рычажного устройства. Темпе-
ратура в печи поддерживается на необходимом уровне по-
средством регулятора. Испытания на ползучесть весьма дли-
тельны и требуют значительных усилий для достижения
непрерывной работы, поэтому лаборатории ползучести обычно
располагают десятками машин. Конструкции машин разли-
чаются размерами, компоновкой, измерительным оснащением.
Подробно машины рассматриваются в литературе, посвящен-
ной опытному изучению ползучести [7>68]. На рис. 1 приво-
дится снимок четырехсекционной машины ИП-4.
Помимо указанных относительно простых испытаний, все
большее распространение получают опыты при переменных
нагрузках и температурах, при сложном напряженном состоя-
нии, реализуемые в специальных установках. Большое вни-
мание уделяется испытаниям отдельных ответственных деталей
или их моделей. При этом электрические печи достигают
нередко значительных размеров. На рис. 2 показана уста-
новка, построенная в одной американской авиационной лабо-
ратории, для изучения потери устойчивости цилиндрической
оболочки в условиях ползучести I107].
В качестве примера подобных испытаний на рис. 3 при-
ведены заимствованные из работы Зигфрида [148] снимки
картины ползучести елочного хвостового крепления лопатки

§ 1] ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ постоянной НАГРУЗКЕ
I
газовой турбины. К лопатке было приложено усилие Р
ими тировавшее центробежную силу; испытания осуществляла
при температуре 700 С. На снимках показано одно и го ж<
соединение в разные моменты времени: а — до начала ползу
чести; б—через 6553 часа; в — через 8300 часов, г — посл<
разрушения, наступившего через 8467 часов.
Рис. 2.
Продолжительность опытов весьма различна — от не-
скольких часов (и даже минут) до нескольких лет. Длитель-
ность испытаний, температура и нагрузка обычно связаны
с теми или иными приложениями. Например, металлы, при-
меняемые в раке!ах, авиационных двигателях, авиационных
конструкциях, подвергаются, естественно, кратковременным
испытаниям, не превышающим обычно 100—200 часов. Для
изучения же ползучести и прочности металлов, используемых
в стационарных энергетических машинах (паровые котлы,
паровые и газовые турбины, двига1ели внутреннего сгорания
и т. д.) и химических установках, осуществляются весьма
14
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
(гл. I
хлительные испытания. Так, опыты Робинзона [144] по пол-
>учести стали продолжались 100 000 часов (с 27 марта 1931 г.
хо 8 октября 1942 г.). Еще более поразительна в этом отно-
пении серия экспериментов, осуществленных в Германии [87J;
>десь длительность испытаний достигала 140 000 часов (около

Рис. 3.
6 лет). Следует, впрочем, отметить, что обычно продолжи-
ельность опытов значительно меньше и редко превышает
0 000 часов; полученные данные тем или иным способом
жстраполируют на большие времена. Надежного способа
жстраполяции нет, а упомянутые выше уникальные опыты
видетельствуют об опасностях, связанных с необосиован-
юстью подобных приемов.
2. Кривая ползучести. Типичные результаты длительных
1спытаний на растяжение при посюянных нагрузке и тем-
leparype показаны па рис. 4. Здесь по оси абсцисс отло-
§ 1] ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКЕ 15
жено время t, а по оси ординат — относительное удлинение1)
Д/ .,	-	,
г	е = -т-, где ш — абсолютное удлинение, a L — первоначаль-
но
ная длина. При нагружении стержень получает мгновенную
?	деформацию е°, изображаемую отрезком ОА; в зависимости
от величины нагрузки эта деформация может быть упругой
или упруго-пластической2). Далее следует участок АВ,
характеризуемый убыванием скорости ползучести и обычно
называемый первым (или переходным) периодом ползучести',
длительность его относительно невелика. По мере прибли-
жения к точке В убывание скорости деформации замедляется
и, наконец, скорость деформации становится практически
постоянной на участке ВС, называемом вторым периодом
*) В §§ 1—11 рассматривается одноосное напряженное состоя-
ние (растяжение стержня) и для простоты записи используются
обозначения g (напряжение), е (относительное удлинение, деформа-
ция), $ (скорость деформации), ... вместо тензорных обозначений
• • •
2) В дальнейшем мы будем различать деформацию пластиче-
скую и деформацию ползучести. Пластическая деформация не свя-
зана с временем, возникает при достаточно больших касательных
напряжениях и описывается уравнениями «обычной» теории пла-
стичности. Деформация же ползучести накапливается с течением
времени, являясь результатом некоторого процесса «квазивязкого>
течения.
Пластическую составляющую условимся отличать индексом р
(plastic), например ер, £р, ...; составляющую ползучести — индек-
сом с (creep, ес, 5е, ...), упругую составляющую — индексом е
(elastic, е®, §е, ...),
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[гл. I
ползучести (или периодом квазивязкого течения). Этот
лериод минимальной скорости ползучести, обычно весьма
1лительный, переходит в участок CD, характеризуемый воз-
растанием скорости деформации. Испытание заканчивается
либо «хрупким» изломом вблизи точки С, либо «вязким»
эазрушением, сопровождаемым образованием шейки. Если
лапряжение велико (для данной температуры), то второй
лериод может быть кратковременным или даже вовсе отсут-
:твовать.
Иногда, следуя Андраде [86>68], разлагают деформацию
лолзучести ес на две составляющие (рис. 5):
Ес
«
й
Я
в
I
(1-1)
тг
Составляющая деформации накапливается в течение
юрвого периода и в дальнейшем остается постоянной; она
.арактеризует переходную ползучесть. Составляющая дефор-
1ации ец растет пропорционально времени и соответствует
:вазивязкому течению.
Необходимо отметить, что кривая, приведенная на рис. 4,
арактеризует ползучесть металлических сплавов, остающихся
тносителыю стабильными в течение опыта. Если же в ме-
алле происходят структурные изменения, обусловливаемые
ысокой температурой или другими факторами, то кривая
олзучести может заметно отличаться от идеализированной
ривой рис. 4. Анализ ползучести в подобных случаях сложен
требует специального обсуждения. С технической точки
» Я е я- Я 1. И я в > f У S
§ 1] ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКЕ
17
зрения применение недостаточно стабильных материалов для
длительно работающих установок нежелательно; с этой же
точки зрения хорошо выраженный длительный период постоян-
ной (или почти постоянной) скорости ползучести является
важным преимуществом. В дальнейшем мы будем рассматри-
вать главным образом данные достаточно длительных испы-
таний, содержащих хорошо выраженный участок постоянной
Рис. 6.
(или — почти постоянной) скоро-
сти ползучести.
Третий период ползучести,
характеризуемый возрастанием
Рис. 7.
скорости деформации, часто объясняют развивающимся умень-
шением площади поперечного сечения: при постоянной на-
грузке напряжение возрастает, вследствие чего увеличивается
скорость ползучести. Подобная точка зрения подтверждается
известными опытами Андраде [86’С8], изучавшего ползучесть
различных чистых металлов при постоянном напряжении.
Постоянство напряжения в процессе деформации достигается
при помощи различных приспособлений; простейшее из них
состоит в использовании грузов специального очертания
(гиперболоидальной формы), погружающихся в воду по мере
удлинения стержня (рис. 6). Согласно опытам Андраде уско-
ренная ползучесть при постоянном напряжении отсутствует
вплоть до момента разрушения (рис. 7).
Как показал Салли [68], для сложных сплавов,
используемых при высоких температурах, это объяснение
является недостаточным. Увеличение скорости ползучести при 2
2 Зак. 1058. Л. М. Качанов
18	ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ	[ГЛ. I
сравнительно малых деформациях, типичных для жаропрочных
сплавов, может быть связано с развитием процесса трещино-
образования, которое на известной ступени вызывает «раз-
рыхление» металла и ослабление его сопротивляемости де-
формированию.
3. Влияние напряжения. Для выяснения зависимости
скорости ползучести от напряжения проводятся опыты при
различных фиксированных нагрузках. На рис. 8 показаны
результаты опытов [93] над сталью при температуре 450° С,
длившихся свыше трех с половиной лет; по оси ординат
отложена лишь деформация ползучести ес, так как начальная
деформация г° здесь не представляет для нас интереса.	х
Аналогичный вид обычно имеют и кривые кратковремен-
ных испытаний. На рис. 9 приведены кривые ползучести
алюминиевого сплава при температуре 200° С и продолжи-
тельности опытов около 150 часов, заимствованные из работы
Джонсона [ш]. На рис. 10 показаны кривые кратковременной
(длительность до 500 минут) ползучести углеродистой стали
при температуре 450° С, полученные Нисихара и Танака [134].
Основное отличие кривых кратковременных испытаний
состоит в продолжающемся во время опыта заметном умень-
шении скорости ползучести. В этих случаях определяют
(среднюю скорость ползучести в выбранном интервале (напри-
мер, для кривых рис. 9— в интервале ЮО-г-150 часов) или
скорость ползучести в конце испытания (например, для упо-
мянутых только что кривых при t = 150 часов). Последний
прием, на наш взгляд, менее удачен, так как, в частности,
определение скорости ползучести в некоторый момент вре-
ени связано с неизбежными погрешностями.
Известно, что характеристики пластичности и прочности
Металлов (например, предел текучести) даже в условиях
нормальной температуры отличаются заметным разбросом.
Экспериментальные данные по ползучести характеризуются,
(<ак правило, более значительным разбросом, причина кото-
эого лежит в высокой чувствительности явления ползучести
|с колебаниям температуры и напряжений, к неоднородностям
металла и различным металлургическим и структурным его
изменениям !). В связи с этим данные по ползучести необходимо
I--------------
*) Влияние металлургических и структурных факторов на пол-
фчесть подробно рассмотрено в книге Салли [в8], гл. V
I'
4 1] ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКЕ
19
Рис. 8.
2*

ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[гл. I
сглаживать, что обычно достигается построением экспе-
риментальных точек в логарифмической сетке. При тако.м
построении точки ложатся более кучно, что позволяет лучше
улавливать общие закономерности.
Согласно опытам скорость ползучести во втором периоде
(обозначим ее через Вц) является монотонно возрастаю-
щей функцией напряжения а
(рис. 11):
£п = А(о).	(1-2)
причем
/»>о, /;'(°)>о. (1.3)
4. Степенная зависимость.
Рис. 11.	В значительном интервале на-
пряжений экспериментальные
точки на логарифмической сетке обычно группируются около
некоторой прямой линии. Это означает, что в рассматривае-
мом интервале напряжений имеется степенная зависимость
=	(1.4)
где Вг и т— постоянные, характерные для данного мате-
риала. Будем называть т показателем ползучести, а Вг —
\ коэффициентом ползучести. Показатель ползучести, как
правило, больше единицы и доходит иногда до 10-4-12 и
выше.
Рассмотрим пример такой обработки экспериментальных дан-
ных. Возьмем кривые ползучести, приведенные на рис. 8. Для
интервала времени 5—28 тысяч часов определяем минимальные
(скорости ползучести
с, кг/см*	914	1195	1476	1758
6ц, 1]час	0,77- 10 8	1.26-10-8	2,35 -10 8	3,17 10-8
Наносим эти точки на логарифмическую сетку (рис. 12) и про-
водим соответствующую прямую так, чтобы она занимала по воз-
можности < среднее» положение. При отсутствии специальной лога-
«5
' 18|
§ ij ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКЕ
рифмической бумаги можно для построения воспользоваться шкалой
движка логарифмической линейки.
По отношению длин катетов находим:
т = 2,3.
Коэффициент Вг определяется из соотношения
1g = 1g £ц — т 1g а,
которое применяется к точкам проведенной прямой; для последней
значение т уже найдено. Для контроля полезно сопоставить экспе-
риментальные скорости ползучести с вычисленными по формуле (1.4).
Для рассматриваемого нами примера
\ см"
-т ।
час
Следует заметить, что степенная зависимость для области
очень малых напряжений Не оправдывается, так как, со-
гласно выражению (1.4), при rn > 1	если о -> О,
22	ЙОЛЗУЧЕСТь МЁТАлЛбВ	[гл. I
что не подтверждается наблюдениями. При напряжениях,
близких к нулю, скорость деформации, вероятно, пропор-
циональна напряжению. Этот недостаток степенной зависи-
мости не имеет сколько-нибудь существенного значения, так
как области очень малых напряжений в теле слабо влияю!
на ползучесть всего тела и сами по себе не представляют
практического интереса.
Экспериментальные точки на логарифмической сетке не
всегда группируются около некоторой прямой линии; иногда
Ьни группируются около ломаной, состоящей из двух от-
резков (рис. 13), иногда — около выпуклой кривой (рис. 14).
3 таких (заметим — не частых) случаях зависимость будет
1ли степенной в соответствующих интервалах напряжений,
1ли вообще будет отличаться от степенной.
Различными исследователями предложено много аналитических
ависимостей, основанных на обработке экспериментальных данных
ли на некоторых физических соображениях. Так, во многих слу-
дях лучшее приближение, чем степенная функция (1.4), дает за-
исимость
це А, а0 — некоторые постоянные. Имеются и более сложные за-
рсимости, содержащие комбинации степенных и показательных
ункций. Краткие обзоры подобных зависимостей можно найти,
апример, в работах [зе, 41].
Следует заметить, что эти уравнения носят в общем эмпири-
еский характер, поэтому выбор того или иного «закона» ползу-
§ 1] ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКЕ
22
чести не имеет принципиального значения. Речь может идти лини
о качестве аппроксимации и больших или меньших трудностях
использования выбранной зависимости. Степенная зависимость
является наиболее распространенной.
Приведем в заключение небольшую таблицу коэффи-
циентов и показателей ползучести для некоторых металлов.
Необходимо подчеркнуть, что эти данные иллюстративны,
так как даже для одной и той же марки металла характе-
ристики ползучести изменяются в широких пределах в за-
висимости от термической обработки и особенностей техно-
логии данной партии. Поэтому выбор постоянных т, Вг по
таблицам (для «подходящего» материала) всегда связан со
значительным риском.
Таблица 1 5 * * * * * * * *
Значения т и Вг
Материал	Температура, °C	тп	Д (кг/слС^т-час
Сталь 0,3% С		400	6,9	1,8-10~ 30
Сталь 12% Сг		454	4,4	5,0- IO'23
Сталь 0,2% С		500	6,1	2,6 • 10-28
Низколегированная сталь			
12ХМФ		600	12,7	4,2-10-44
Хромоникелевая сталь с до-			
бавкой титана 1Х18Н9Т . .	650	5,9	1,5- IO"22
Хромоникелевая сталь с до-			
бавкой ниобия 1Х13Н16Б	700	5,0	7,6- Ю'20
5. Подобие кривых ползучести. Кривые ползучести
(рис. 7) часто можно рассматривать как подобные. В этом
случае они могут быть представлены в форме
ес = 2г(0А(°)-	(1-5)
Для степенной зависимости
ес =з (/) о’".	(1.6)
Функция 2Х(0 пропорциональна какой-либо из кривых
ползучести; при больших временах функция 2t(Z) близка
К линейной функции. При небольших временах эта функция
г
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. I
Хорошо аппроксимируется степенной зависимостью
Qj (t)—Ata, 0<а<1.	(1.7)
В общем случае, когда подобия кривых ползучести нет,
Последние могут быть описаны зависимостью вида
ее = Fr (a, f).	(1.8)
§ 2. Релаксация напряжения
Выше рассматривалась ползучесть стержня при условии
юстоянства нагрузки, что при малых деформациях равно-
значно условию постоянства напряжения; при этом дефор-
мация ползучести все время нарастала.
Если, наоборот, следить за состоянием стержня при
условии постоянства деформации (длина растянутого стержня
Поддерживается все время неизменной), то оказывается, что
^пряжение в стержне с течением времени убывает, про-
сходит релаксация напряжения. Это явление объясняется
азвитием в стержне деформации ползучести, вследствие
^го снижается величина упругой деформации. Кривая релак-
1ции характеризуется резким спадом напряжения в началь-
эй стадии процесса (рис. 15).
Явление релаксации можно интерпретировать в основном
1к процесс ползучести, протекающий при напряжении,
леньшающемся по определенному закону. Релаксация отри-
Зтельно сказывается на работе болтовых соединений, дета-
ли, скрепленных посредством прессовой посадки, пружин
т. д. С другой стороны, благодаря релаксации резко
§ 3] ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ
2
уменьшаются начальные и температурные напряжения в эле-
ментах конструкций. Явление релаксации непосредственнс
изучается в специальных установках — релаксационных ма-
шинах. Заметим, что по данным о релаксации можно со-
ставить представление о ползучести того же материала при
постоянной нагрузке. В частности, для этого можно вос-
пользоваться простыми наблюдениями над релаксацией на-
пряжения в разрезанном кольце (метод И. А. Одинга, см.
Различные данные и литературные указания по релак-
сации напряжений можно найти, например, в книге Я. С. Гинз-
бурга [R].
§ 3. Ползучесть при изменяющихся напряжениях
1. Ползучесть при медленно и монотонно изменяю-
щемся напряжении. Явление релаксации напряжения, рас-
смотренное в предыдущем параграфе, является частным
случаем ползучести при переменном напряжении. Изучение
ползучести при переменном напряжении важно по ряду при-
чин прикладного и принципиального характера. Так, дей-
ствующие нагрузки нередко претерпевают в процессе работы
некоторые изменения; время от времени могут происходить
полные или частичные нагрузки. Наконец, даже при по-
стоянных нагрузках напряженное состояние тела, как правило,
изменяется вследствие сглаживания в процессе ползучести
первоначального упругого поля напряжения. С другой сто-
роны, данные по ползучести при переменном напряжении
позволяют оценить степень точности исходных уравнений
ползучести.
Изучение ползучести при переменном напряжении связано
с известными трудностями, в связи с чем мы располагаем
лишь небольшим числом экспериментов в этой области.
Сюда относятся опыты при постоянной скорости изменения
нагрузки, опыты по быстрой разгрузке и повторной быстрой
нагрузке, наконец, опыты, в которых нагрузка испытывала
плавные периодические изменения.
В опытах Ш. И. Каца и Л. М. Качанова [22] свинцовые
стержни растягивались при комнатной температуре под дей-
ствием изменяющейся нагрузки; опыты продолжались соот-
ветственно 3, 6, 9 и 12 часов, причем напряжения возрастали
(или убывали) пропорционально времени от 40 до 80 кг[см2
26
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. I
(от 80 до 40 кг!см2). Изменения нагрузки осуществлялись
посредством втекания (вытекания) воды. Параллельно были
проведены обычные испытания при постоянных напряжениях
длительностью в 12 часов. Результаты опытов показаны на
рис. 16 (для ясности чертежа из него исключены кривые
трех- и девятичасовых испытаний). Вследствие разброса точек
.количественные зависимости установить не удалось, однако
(качественные выводы несомненны. Можно утверждать, что
Рис. 16.
скорости деформации при напряжениях, медленно и монотонно
Изменяющихся в некотором интервале, определяются уровнем
Напряжения в данный момент и согласуются, следовательно,
: уравнением (1.2).
В уже упоминавшихся опытах Нисихара и Танака [13Л[
ручалась кратковременная ползучесть (длительность испыта-
ний— до 500 минут) углеродистой стали при 450° С: а) при
(rfc	А
— = const J
i б) при постоянной скорости деформации = const^.
Результаты опытов представлены на рис. 17 и 18. Соответ-
;твующие кривые ползучести при постоянном напряжении
приведены на рис. 10; эти кривые хорошо аппроксимируются
'равнением
е = Atka™,
I
1	§ 3) ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ	27
где k = 0,29, /п = 6, А— некоторая постоянная. Согласно
приведенным графикам при ббльших скоростях изменения на-
1 пряжения накапливается меньшая деформация (рис. 17). При
ббльших скоростях деформации (рис. 18) накапливаемая де-
формация также меньше (при одном и том же конечном на-
|[
I
I
пряжении). К этим выводам мы вернемся позднее. Количествен-
ный анализ данных, содержащихся в работе Нисихара и Танака,
затруднителен. По известным опытам Андраде, обсуждавшимся
в § 1, скорость деформации за пределом первого периода
(вплоть до момента разрушения) определяется уровнем на-
пряжения. Это заключение подтверждает пригодность урав-
нения (1.2) при монотонно возрастающем напряжении. Сле-
дует, впрочем, подчеркнуть, что эта интерпретация в полной
мере справедлива лишь для чистых металлов.
28
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. I
2. Обратная ползучесть. Если в некоторый момент
t = произошла разгрузка, то длина стержня после раз-
грузки продолжает медленно сокращаться. Этот процесс
называется восстановлением, или обратной ползучестью
(рис. 19). Явление обратной ползучести нельзя считать до-
статочно изученным. Надежно установлено, что восста-
навливается только некоторая часть (для ряда материалов —
ббльшая часть) деформации, накопленной в первом периоде
ползучести. Восстановление наблюдается в поликристалли-
ческих металлах и связано с неоднородностью загружения
кристаллов; в монокристаллах восстановление ничтожно.
При уменьшающемся напряжении (например, в случае
релаксации) процессы ползучести и восстановления протекают
одновременно. Однако обычно можно пренебрегать эффектом
§ 3]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ
29
обратной ползучести при медленно изменяющемся напряже-
нии. При частичном сбросе нагрузки =# 0) происходит
наложение процессов прямой и обратной ползучести; вслед-
ствие этого иногда наблюдается приостановка ползучести
в течение некоторого отрезка времени. Восстановление пол-
зучести может привести к заметному эффекту в условиях
циклического изменения напряжения.
Рис. 19.
3. Ползучесть при повторном нагружении. После
сброса нагрузки материал «отдыхает», развивается некоторая
обратная ползучесть. Если после перерыва вновь нагрузить
материал до прежнего уровня напряжения, то первоначально
скорость ползучести будет несколько выше (по сравнению
со скоростью ползучести до перерыва), но затем быстро
примет «нормальное» значение (которое она имела бы при
отсутствии перерыва). Этот Процесс показан на рис. 20.
Здесь в моменты Alt Л2, нагрузка сбрасывалась и затем
некоторое время происходила обратная ползучесть; в мо-
менты Blt В2, . . . образец вновь нагружался. В рассматри-
ваемом примере деформация ползучести к некоторому мо-
менту времени при наличии перерывов мало отличается от
деформации ползучести к тому же моменту времени при
отсутствии перерывов. Однако удавалось наблюдать [3 * * * * * * * * 12°]
другую картину, когда общая деформация при ползучести
30
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[гл. I
с перерывами оказывалась больше деформации ползучести
к тому же моменту времени при отсутствии перерывов;
подобная картина схематически изображена на рис. 21.
Такие случаи связаны, по-видимому, с высоким уровнем на-
пряжения и слабо выраженной обратной ползучестью
4. Ползучесть при колебаниях нагрузки. При произ-
вольном характере изменений нагрузки исчерпывающее описа-
ние ползучести затруднительно. Описание ползучести оказы-
вается возможным при периодических колебаниях напряжения.
§ 41
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
31
В этом случае, как отмечает Кеннеди [12°], может иметь
значение эффект роста деформации ползучести вследствие
«отдыха», описанный в конце предыдущего раздела. «Отдых»
материала происходит в интервале низких напряжений.
§ 4.	Влияние температуры
1.	Зависимость от температуры. При одном и том же
напряжении минимальная скорость ползучести с увеличением
температуры возрастает по показательному закону
£ц = Се е,
(4-1)
выведенному из некоторых физических предпосылок и хорошо
подтверждаемому экспериментальными данными; здесь
С, у— постоянные, 0 — абсолютная температура. Типичные
кривые ползучести при одной и той же нагрузке, но разных
температурах, заимствованные из работы Гриффитса [14в1>
показаны на рис. 22.
Для соответствен- ес
них температур (соот-
ветственной температу-
рой называется отноше-
ние абсолютной темпера-
туры, при которой про-
изводится опыт, к абсо-
лютной температуре пла-
вления данного металла)
процессы ползучести раз-
личных металлов в ка-
чественном отношении	Рис. 22.
сходны между собой. Это
обстоятельство позволяет, например, заменить изучение
ползучести стали при высокой температуре изучением пол-
зучести свинца при комнатной температуре.
2.	Простая зависимость. При изменении температуры
меняются, вообще говоря, как коэффициент Вх, так и по-
казатель т. Иногда показатель т претерпевает заметные
изменения. Однако во многих случаях этот показатель
в известном интервале температур можно считать постоян-
ным и влияние температуры сказывается лишь на изменении
32
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[гл. 1
коэффициента Условимся тогда говорить о простой
зависимости от температуры. Эго замечание будет широко
использовано позднее.
3.	Ползучесть при колеблющейся температуре. Боль-
шой практический интерес представляет вопрос о ползучести
в условиях периодически изменяющейся температуры, так
как в тепловых машинах и различных химических установках
температура не остается неизменной, а испытывает некоторые
колебания около номинального значения. Вследствие высокой
чувствительности ползучести к изменениям температуры даже
небольшие колебания последней могут иметь существенное
значение. Этот вопрос был экспериментально изучен в ряде
работ [из, 115]
§ 5.	Разрушения при ползучести
1.	Длительная прочность. Разрушения при ползучести
имеют различный характер в зависимости от температуры,
напряжения и длительности испытания. Анализ соответствую-
щих экспериментальных данных весьма важен для выбора
надежных размеров детали и
Р ШИ»!
анега 2
j шроп,
.и лру»
..ШЖ,
й).
Эянерм
И 01 ffinpi
«о в;
реи дара
Во ®ш
толщей п|
тушения о(
ной отпет
ж» и
yisofi эксоер
I Вязкие и
о, свища«
мжения йогу
piwpajpyi
фгсгамтеид
шсдий
и фюяа
Чрззруив.
к недос
'• ойо б;
условий ее эксплуатации.
;®S ВДви.
1Я* разрад.
Наиболее существенным фактом является зависимость ’•Лобразуй
разрушающего напряжения от времени; разрушение наступает . 1
при всяком напряжении, при высоком напряжении оно про-
исходит через сравнительно короткий промежуток времени, fci
л

РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ
33
РИТЬ О lift
будете
I
№ратуре,&
РОС 0 ПОЛЗ)
‘мператуур
Mix уши
|ш вг
давнеи
(ператури!
। сущей
^изучен«у
I
I
I
i
[
I
и ползучее;
[емперапр
lOTBCTCTBp
1Р выбсг
дан.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
।
I
I
I
I
jittoro
ftyi®
ро-
saw"
I
§ 5]
при низком напряжении время до момента разрушения
оказывается значительным. В этих условиях понятие времен-
ного сопротивления (предела прочности) теряет смысл и
вводится другая характеристика— длительная прочность
(напряжение, вызывающее разрушение за данный срок
службы).
Экспериментальные точки зависимости длительной проч-
ности от напряжения обычно наносятся на логарифмическую
сетку (рис. 23). Здесь по вертикали отложен логарифм
начального напряжения 1g а, по горизонтали — логарифм
времени до разрушения 1g Л
Во многих случаях экспериментальные точки лежат на
нисходящей прямой (рис. 23, о); это означает, что время
разрушения обратно пропорционально некоторой положи-
тельной степени напряжения. В других случаях (обычно—при
достаточно длительных испытаниях) наблюдается перелом
в кривой экспериментальной зависимости (рис. 23, б).
2.	Вязкие и хрупкие разрушения. Разрушения углеро-
дистой стали (при температуре ниже 550°), ряда сплавов,
меди, свинца и т. д. носят «вязкий характер», т. е. со-
провождаются большими удлинениями и образованием шейки.
Удлинения могут достигать нескольких десятков процентов.
При этом разрушение является, в основном, следствием внутри-
кристаллических сдвигов. Полезно отметить, что при таком
типе разрушения длительность испытания в общем не сказы-
вается существенно на конечных удлинениях образца к мо-
менту разрушения.
Для теплоустойчивых материалов, отличающихся сложной
структурой и недостаточной ее стабильностью, картина раз-
рушения обычно более сложна. При высоких напряжениях
(или соответственно — малых длительностях испытаний) раз-
рушения носят вязкий характер и связаны с внутрикристал-
лическим течением. При больших временах важную роль
играет прогрессирующее трещинообразование; при этом раз-
рушения носят межкристаллический характер. Микротрещины
постепенно разрастаются и переходят в макротрещины,
наконец, образуются так называемые магистральные трещины
и наступает разрушение. Подобные хрупкие разрушения
могут происходить при малых деформациях, например при
удлинениях 1—2% и даже меньше. Перелом в кривой дли-
тельной прочности (рис. 23, б) можно связать с переходом
3 Зак. 1058. Л. М. Качанов
34
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[гл. I
от вязкого (внутрпкристаллического) разрушения к хрупкому
(межкристаллическому) разрушению. Следует иметь в виду,
что переход от одного типа разрушения к другому не
является резким и нередко разрушение
носит сложный характер — отчасти
межкристаллический, отчасти внутри-
кристаллический. Высокая температу; а
способствует развитию межкристал-
лических разрушений, охрупчиванию.
Естественно, что стали, склонные
к охрупчиванию, чувствительны к кон-
центрации напряжений.
В качестве примера вязкого разру-
шения на рис. 24 показано разруше-
ние котельной трубы под действием
внутреннего давления; пунктиром нанесены первоначальные
размеры трубы. На рис. 25, а показано хрупкое разруше-
ние хвостового крепления турбинной лопатки при темпера-
туре 700° С; для сравнения на рис. 25,6 приведен снимок
«вязкого разрушения» такого же хвостового крепления.
Рис. 25.
3.	Зависимость от температуры.^ Зависимость времени
разрушения t от температуры удовлетворительно описывается
соотношением Ларсона и Миллера [121], полученным с по-
мощью представлений теории дислокаций:
0 (С lg t) = const,	(5.1)
I
J
t
I
is
Hl
I.J
b
(Я
Cl
1
Ц
IS
II
a
4
I
( Л
mu
«I
< 6s
§6]	О ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ	35
где 0 — абсолютная температура, С—постоянная, прибли-
зительно равная 20.
4.	Усталость. При переменных нагрузках важное значе-
ние имеют усталостные явления. При высоких температурах
наиболее существенным является отсутствие предела уста-
лости. Разрушение происходит даже при низком напряже-
нии, если число циклов достаточно велико.
§ 6.	О физических теориях ползучести
1.	Общие замечания. Явления, происходящие при пол-
зучести современных сталей, очень сложны. Сколько-нибудь
полное физическое объяснение и количественное описание
этих явлений отсутствуют. Можно лишь говорить о каче-
ственном объяснении опытных данных.
Первоначальные физические теории, к числу которых
можно отнести полуэмпирическую схему Андраде [86], тео-
рию Беккера [90], использующую представление о тепловых
движениях атомов, теорию разупрочнения, предложенную
Бейли и развитую Орованом и некоторые другие схемы,
дают качественное объяснение одним наблюдениям и в то же
время не согласуются с другими опытными данными. Разви-
тие физических представлений о природе пластичности ме-
таллов, в частности развитие теории дислокаций, позволило
глубже проникнуть в сущность рассматриваемых явлений.
Однако, несмотря на достигнутые успехи, бесспорных пред-
ставлений о природе пластичности нет. Уместно здесь
упомянуть, что некоторые физики разрабатывают другую
теорию (теорию «идеального кристалла»; см., например, [77]),
исходные представления которой противоположны предста-
влениям теории дислокаций.
Изложение физических теорий ползучести выходит за
рамки настоящей книги. Здесь мы лишь бегло коснемся не-
которых физических концепций.
2.	Теория разупрочнения. Известно, что пластическое
течение приводит к упрочнению металла, следствием чего
является прекращение самого пластического течения. При
достаточно высокой температуре интенсивно протекает обрат-
ный процесс — процесс термического разупрочнения. В ре-
зультате развития этого процесса становится возможным
дальнейшее пластическое течение. Как уже указывалось,
3*
36
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[гл. I
деформацию ползучести обычно можно разложить на пере-
ходную составляющую и составляющую квазивязкого тече-
ния (рис. 4).
Можно считать, что в стадии квазивязкого течения су-
ществует равновесие между быстротой роста напряжения,
характеризуемой для данной зависимости а = а(е) модулем
упрочнения
рг _
dz'
и темпом снижения предела текучести, вызываемого терми-
ческим разупрочнением
К dt'
а именно:
Е' dz = R dt.
Отсюда скорость ползучести равна
dz_ R_
dt ’ Е'
Для объяснения переходной составляющей обычно исхо-
дят из представления о неоднородности напряжений, испы-
тываемых зернами поликристаллического металла при загру-
жении. В более напряженных зернах развивается более
интенсивное пластическое течение. Вследствие этого в ме-
талле происходит выравнивание напряженного состояния
и скорость ползучести замедляется.
Рис. 26.
3.	Дислокационная теория. Новейшие теории ползучести,
позволяющие дать качественное (а иногда и количественное)
объяснение многим экспериментальным фактам, опираются
на основные представления теории дислокаций.
§ 6]	О ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ	37
В строении кристаллической решетки могут встретиться
по тем или иным причинам различные местные дефекты. Эти
дефекты, называемые дислокациями, перемещаются, взаимо-
действуют друг с другом и вызывают различного типа сколь-
жения в металле. Простейший вид дислокации показан на
рис. 26; здесь слева изображена правильная кристаллическая
атомная решетка (о), остальные схемы иллюстрируют движе-
ние дислокации, осуществляющееся путем последовательного
единичного атомного перемещения. Результатом движения
такой единичной дислокации является сдвиг на одно меж-
атомное расстояние (г).
Энергия (так называемая энергия активации), необхо-
димая для осуществления движения дислокации, для преодо-
ления потенциального барьера, черпается в флуктуациях
теплового движения. Вероятность таких флуктуаций при по-
вышении температуры возрастает по экспоненциальному за-
кону. Напряженное состояние тела облегчает движение
дислокаций, снижая потенциальные барьеры.
Теория дислокаций позволяет дать физическое объясне-
ние многим особенностям процесса ползучести. В то же
время следует отметить, что пока еще очень далеко до
построения исчерпывающей картины ползучести металлов.
Изложение теории дислокаций и ее приложений к про-
блемам ползучести можно найти в монографиях Салли [68],
Рида [60], Коттрелла [3°], Ротерхема [146] и Стенфорда [1б0];
там же имеются многочисленные литературные указания.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
§ 7.	О механических уравнениях ползучести
1.	Феноменологический подход. Физические теории пол-
зучести позволяют в ряде случаев дать качественное объяс-
нение наблюдаемым явлениям; количественное же описание
ползучести теплоустойчивых сплавов в сколько-нибудь слож-
ных условиях оказывается весьма затруднительным. Нельзя
ожидать, что количественное описание может быть успешно
достигнуто с помощью физических схем, всегда в той или
иной мере условных. Вообще предъявление подобных тре-
бований к физике твердого тела представляется неправиль-
ным. Поэтому механика ползучего тела не может рассчиты-
вать на заимствование из физики уравнений ползучести.
Полезно при этом вспомнить, что и для более простых
сред—жидкости, упругого тела, упруго-пластического
тела — исходят, по существу, из феноменологических урав-
нений.
Поэтому, следуя обычному методу механики сплошных
сред, надлежит на основе опытных данных установить ме-
ханические уравнения состояния для ползучего тела. Эти
уравнения должны показывать, как развиваются деформации
под действием напряжений.
2.	Общие соображения. Установление механических
уравнений — трудная задача, так как явление ползучести
сложно и зависит от многих факторов. Однако при фор-
мулировке уравнений ползучести не следует стремиться
к наибольшей общности. Различного рода обобщения исход-
ных уравнений сравнительно легко реализуемы, но влекут
за собой чрезвычайно большие математические трудности
I
I
I
§ 8]	ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ	39
।	в конкретных задачах. При этом становится затруднитель-
'	ным развитие сколько-нибудь развернутой и обозримой
качественной картины и получение различных оценок. Между
тем такие сведения очень важны для проектирования и по-
' становии различных экспериментов.
1	Кроме того, необходимо иметь в виду еще два обстоя-
тельства. Во-первых, при использовании сложных уравнений
'i	неизбежно возникают трудности в определении коэффициен-
1	тов или функций, содержащихся в этих уравнениях, по
ограниченным, как правило, опытным данным. Во-вторых,
'i для явления ползучести характерен большой разброс опыт-
1 ных данных; вследствие этого вряд ли имеет смысл рас-
сматривать сложные уравнения, приводящие к труднейшим
'р,- математическим задачам и в то же время лишь приближенно
(из-за разброса) характеризующие исходные данные.
Предпочтительно стремиться к наиболее простым фор-
к	мулировкам уравнений ползучести, требуя от последних
'з-	правильного описания основных черт явления ползучести
в наиболее важных для приложений условиях нагружения,
и В технических задачах характер нагружения деталей, как
' правило, несложен. Если необходимо изучить ползучесть
1 элементов, работающих в более сложных условиях, то це-
лесообразно внести соответствующие поправки в решение
। или же рассмотреть эти конкретные задачи на основе уточ-
1	ненных уравнений.
Подобная картина развития теории является традицион-
।	ной. Достаточно упомянуть, например, о модели идеальной
1 жидкости, которая, как известно, приводит к ряду парадок-
сов; тем не менее схема идеальной жидкости образует
। основной каркас механики жидкостей.
§ 8. Теория течения
1. Уравнение ползучести. Рассмотрим ползучесть рас-
тягиваемого стержня под действием напряжения о. Полная
деформация е может быть разложена на три составляющие:
е = е® Д- е₽ Д- ес.
Отсюда следует, что полная скорость деформации имеет
ту же структуру:
£ = £е-НР-Нс.	(8-1)
40
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
Будем первоначально полагать, что напряжение не пре-
вышает предела упругости при данной температуре; тогда
&₽ = 0.
Скорость упругой деформации по закону Гука равна
*в = И’ <8-2)
где Е — модуль упругости.
Обратимся к составляющей Вс. В § 3 были приведены
экспериментальные данные по ползучести при медленно
и монотонно изменяющемся напряжении. В согласии с этими
данными можно считать, что скорость ползучести за пре-
делом первого периода описывается уравнением
Вс = Л(о).	(8.3)
Употребителен, в частности, степенной закон
^=8^™.	(8-4)
Приведенные уравнения характеризуют нелинейно-вязкое
течение (иногда используют также термин квазивязкое те-
чение). В ряде случаев (например, в задачах релаксации
и неустановившейся ползучести) первым периодом ползучести
нельзя пренебрегать.
Для приближенного описания процесса ползучести при
медленно и монотонно изменяющемся напряжении положим
(f)	(8.5)
где
В,(() = л2.(А
или
t
2х(0 = f BL(f)dt.	(8.6)
о
Здесь функция Вх(/)— положительная убывающая функ-
ция времени (рис. 27), отсчитываемого от момента начала
ползучести; Вг (/) асимптотически стремится к предельному
значению Вг. Функция 2Х(7) определена в § 1.
§ 8]
ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ
41
Заметим, что условие подобия не является существенным
и в общем случае можно полагать
?с — Ар
~
t),
где £\(о, О введено соотношением (1.8).
Итак, получаем:
Е=В1(Оо.. + 1^.
(8.7)
Подобное уравнение впервые, по-видимому, рассматривал
Дейвенпорт [94].
Это соотношение обобщает известное уравнение Макс-
велла
1 А
£ dt
(р = const),
(8.8)
которое получается из уравнения (8.7)
т— 1.
Свойства рассматриваемой среды
можно представить простой механиче-
ской моделью, состоящей из последо-
вательно соединенных упругого эле-
мента 1 и элемента вязкого трения 2
(рис. 28). Жидкость в элементе 2
при Вг (/) — const и
Рис. 28.
с течением времени густеет соответственно множителю
Д1(0 в уравнении (8.5), и вязкость ее возрастает, стремясь
к некоторому предельному значению.
Функция Вх (t) и постоянная т легко определяются
из простейших опытов; однако, как мы увидим ниже,
42	УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	[гл. и
। в вычислении В{ (t) нет необходимости; достаточно знать зави-
симость ^(О. которую можно непосредственно снимать
с кривых ползучести. Так как Bl(t')dt = dQi, то уравнение
(8.7) приводится к виду, не содержащему времени t явным
ибразом:
cfe	I 1 da
I	- - = —I--------
E dQi •
Как уже подчеркивалось, уравнение (8.7) справедливо
при некоторых ограничениях: при не слишком малых ско-
ростях ползучести и при напряжениях, изменяющихся мед-
ленно и монотонно; кроме того, начало процесса ползучести
должно протекать при достаточно больших напряженияхг)-
1 В практических задачах эти условия обычно выполняются;
локальное нарушение этих условий (например, вблизи нейт-
ральной плоскости в задаче изгиба) несущественно.
Уравнения ползучести, содержащие время в явной форме,
как заметил Ю. Н. Работнов [б2], обладают принципиальным
недостатком, поскольку такие уравнения не инвариантны
относительно изменения отсчета времени. Отметим, однако,
следующее: «первичное» уравнение
1 где Вх — постоянная, инвариантно относительно переноса
начала отсчета времени. Это уравнение, с целью улучшения
аппроксимации опытных данных, несколько усложнено заме-
ной BY на /?!(/); оно применяется при указанных выше
ограничениях. В этих условиях неинвариантность уравнения
(8.7) существенного значения не имеет.
2. Задача о релаксации напряжений. Пусть в момент
\ t = 0 стержень получил начальное удлинение е0, которому
по закону Гука отвечает напряжение
о0 = Ее0.	(8-9)
В дальнейшем при t > 0 длина стержня остается неиз-
менной, т. е.
1	е = ее ес = е0 = const,
.
Э Естественно, что уравнение пластической деформации спра-
ведливо при более значительных ограничениях, чем закон Гука.
1а
IS
Jffl
atSt
И|
§ 81
ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ
43
следовательно,
и, согласно уравнению (8.7),
Разделяя переменные, интегрируем это уравнение при
начальном условии (8.9):
/£=-“.(0.
°0
После простых вычислений получаем
Р =	1 —.	(8-Ю)
У 1 + (т — 1) е
где введены безразмерные величины
— = р; (/) а™-1 = Л	(8.11)
Так как /и > 1, а /* с течением времени неограниченно
возрастает, то напряжение в стержне падает, стремясь со
временем к нулю. Кривые релаксации по уравнению (8.10)
приведены на рис. 29 для некоторых значений т. В начале
процесса напряжение быстро спадает; релаксация напряжений
в материалах, характеризуемых большей скоростью ползу-
чести, протекает более интенсивно. При т=\ имеем урав-
нение Максвелла; тогда р =
Если известны кривые ползучести (см. рис. 4) и число т,
то построение кривой релаксации трудностей не вызывает.
Задаемся каким-нибудь значением р и по формуле (8.10)
вычисляем t* (или пользуемся для этого графиком, анало-
гичным графику на рис. 29). Берем одну из кривых ползу-
чести а — const = Oj (желательно в области напряжений,
близких к а0) и полагаем (/) = ec/cfl. По выбранной кри-
вой находим такое время, для которого
44
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[гл. И
Определение t* при дробном т осуществляется при помощи
интерполяции или вспомогательного графика, приведенного
на рис. 30.
Пример. Рассмотрим релаксацию в стали, кривые ползучести
которой приведены на рис. 8; здесь т = 2,3; Е = 1,8 • 10е кг/см2.
Пусть начальное напряжение а0 = 1500 кг/см2; найдем время, в те-
чение которого напряжение упадет на 40% (т. е. р = 0,6). Прежде
всего по вспомогательному графику находим f — 0,7. Далее, возь-
мем на рис. 8 кривую ползучести для напряжения ct — 1А76 кг/см2.
Вычисляем:
1500
~ 1,8- 106
5,6-
10~3 4.
Этому значению деформации на выбранной кривой ползучести
соответствует время / = 8500 часов.
Рис. 29.
3. Опыты по релаксации. Анализ опытных данных по
релаксации представляет значительный интерес, так как по-
зволяет оценить пригодность исходных уравнений. К сожа-
лению, имеется немного рационально поставленных опытов
по релаксации, допускающих сопоставление с опытами по
ползучести при постоянных напряжениях. Кроме того, труд-
ности точного замера весьма малых деформаций в течение
ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ
45
§ 81
длительного промежутка времени и неизбежные деформации
самих испытательных релаксационных машин вызывают
у некоторых исследователей сомнения в точности получае-
мых данных.
Воспользуемся результатами опытов Девиса [95] по пол-
зучести и релаксации красной меди при температуре 165° С.
На рис. 31 показаны кривые ползучести, на рис. 32 — кри-
вая релаксации (сплошная линия). Модуль упругости меди
£ = 0,99- 10е кг!см2, начальное напряжение с0 = 949 «г/слг2;
по вычислениям Попова [142] т=1,6. Теоретическая кривая
релаксации по уравнению (8.11) (пунктирная кривая на рис. 32)
лежит несколько ниже экспериментальной.
К аналогичному заключению пришел Дейвенпорт на осно-
вании кратковременных (8 часов) опытов по ползучести
и релаксации скручиваемых тонкостенных медных труб при
температурах 150—200° С.
Трамплер [1Б2] по экспериментальным кривым релаксации
(при разных начальных напряжениях) для специальной стали
при температуре 538е С построил кривую ползучести при
фиксированном напряжении. Построение было выполнено
графически на основе положения: «скорости деформации пол-
зучести в равные моменты времени при равных напряжениях
46
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЁСТЙ
[гл. it
Рис. 32.
§ 9]
ТЕОРИЯ СТАРЕНИЯ
47
одинаковы». Это положение согласуется с принятым нами
законом ползучести (8.5). Трамплер получил хорошее совпа-
дение вычисленной кривой ползучести (сплошная линия на
рис. 33) с экспериментальной (пунктир).
Некоторые другие экспериментальные данные по релак-
сации рассматриваются в последующих главах. Заметим, на-
конец, что при построении кривой релаксации мы исходили
из аналитического представления кривых ползучести. Разра-
ботаны графические приемы построения кривой релаксации
непосредственно по первичным кривым ползучести; удобный
графический метод излагается ниже в § 15.
§ 9. Теория старения
1. Уравнение теории старения. Теория старения исхо-
дит из зависимости между деформацией, напряжением и вре-
менем. Принимают, что деформация ползучести определяется
соотношением
ес = /(0, f).	(9.1)
Присоединяя сюда упругую составляющую деформации,
получаем уравнение, предложенное Содербергом [149]:
е = Ж 0 + ^-	(9.2)
В случае степенной зависимости и подобия к. ивых пол-
зучести имеем:
e=21(Z)a’» + -i.	(9.3)
48
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
Наконец, при развитых деформациях ползучести можно
пренебречь упругой деформацией и деформацией, накапли-
ваемой в первом периоде; тогда
е = В1/а?п.	(9.4)
В приведенные уравнения время входит как параметр;
свойства материала как бы изменяются с течением времени,
материал «стареет». Этим объясняется название теории. За-
метим, что не следует связывать эту теорию с явлением
старения в физике металлов.
Приведенные соотношения очевидны при постоянном на-
пряжении; однако часто им придают более общий характер
и полагают, что они пригодны и при медленно и монотонно
изменяющемся напряжении, что, вообще говоря, не согла-
суется с наблюдениями. В частности, выводы из изложенных
в § 3 опытов по ползучести при монотонно возрастающем
(убывающем) напряжении свидетельствуют о резком проти-
воречии опытных данных и предсказаний теории старения.
Согласно теории старения деформация в данный момент
времени определяется только значением напряжения в этот же
момент времени.
Следует все же отметить, что в случаях развитой пол-
зучести при постоянной или слабо изменяющейся нагрузке
теория старения приводит обычно к правильным качествен-
ным результатам и удовлетворительным количественным
данным.
Релаксация по теории старения рассматривается очень
(Просто; согласно выражению (9.3) имеем:
J	+ =
откуда при прежних обозначениях получаем:
1	=	(9.5)
•г. е. р стремится со временем к нулю.
Кривые релаксации, полученные по теории старения, рас-
полагаются выше кривых, полученных по теории течения,
й характеризуются более медленным спаданием напряжения.
Если построить кривую релаксации по теории старения для
§ 9]
ТЕОРИЯ СТАРЕНИЯ
49
опытной кривой релаксации.
с деформациями ползучести, то
опытных данных Девиса (построение выполняется так же,
как и в разделе 2 предыдущего параграфа, но t* вычисляется
по формуле (9.5)), то придем к кривой, нанесенной на рис. 32
точками; эта кривая близка к
Решение задач по тео-
рии старения связано
с меньшими математиче-
скими трудностями, в
связи с чем эта теория
довольно широко приме-
няется в инженерных рас-
четах. В теории старе-
ния легко осуществляется
учет начальной пласти-
ческой деформации.
2. Метод Ю. Н. Ра-
ботнова. Несколько иная
формулировка теории
старения, удобная для
расчетов, предложена
Ю. Н. Работновым [53].
Исходя из кривых пол-
зучести при постоянных
напряжениях, строят изо-
хронные кривые ползу-
чести для моментов вре-
мени 0, tr, t2, t3, ...
При этом получают се-
мейство кривых, пока-
занное на рис. 34. Эти
кривые обычно можно
приближенно рассматри-
вать как подобные. Если
можно пренебречь упру-
гими и пластическими де-
формациями по сравнению
подобие кривых в плоскости а, е является простым следствием
подобия кривых в плоскости ес, t. При наличии пластических
деформаций (как в случае, изображенном на рис. 34) подобие
кривых обычно имеет место. При сравнительно невысоких
напряжениях, когда существенны упругие составляющие
4 Зак. 1058. Л. М. Качанов
50
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
деформации, подобие кривых нередко нарушается (см. напри-
мер, изохронные кривые [103], приведенные на рис. 35).
Наличие построенных изохронных кривых позволяет не-
посредственно применять решения теории пластичности при
данной зависимости <з=а(е) к задачам теории ползучести
(независимо от того — имеется
лишь для выбранного момента
подобие или нет). Достаточно
времени взять соответствую-
щую кривую а — а (е) из
семейства изохронных кри-
вых (рис. 34).
В случае подобия объем
расчетов существенно умень-
шается, так как тогда
e = /i(o)<p(/),
и при постоянных нагруз-
ках распределение напряже-
ний не изменяется, дефор-
мации же будут пропорцио-
нальны функции времени
<р(О-
3. Уравнение Н. М. Бе-
ляева. К теории старения
обычно относят и уравне-
использованное в работах Н. Н. Мали-
Беляев исходит из уравнения теории
ние Н. М. Беляева [3],
нина [38>41]. Н. М.
упруго-пластических деформаций
e=i+^-
где ф— модуль пластичности.
Распространяя это уравнение на деформации ползучести,
Н. М. Беляев принимает (на основании некоторых сообра-
жений, на наш взгляд недостаточно четких) для ф следую-
щее выражение:
t
о
и
Ф
i
8
на
(9.6)
§
1Ё0РЙЯ СТАРЕНИЯ
51
где Вг имеет уже указанное значение (§ 1). Таким образом,
е = с
am~J dt
(9-7)
Обобщая это уравнение, Н. Н. Малинин вводит вместо Вг
функцию Bl(t)‘.
е = а
t
± + f Bi(t')am~1dt
О
(9.8)
Уравнение Н. М. Беляева по своей структуре в общем
близко к уравнению теории течения. Дифференцируя урав-
нение (9.8) по времени и исключая затем интегральный член,
получаем:
k = Bdt)^-+
е da
a dt
Для изохронной кривой ползучести отношение опре-
деляет секущий модуль
Следовательно, предыдущее уравнение можно представить
в виде
5 =	(9.9)
внешне аналогичном виду уравнения теории течения. Близость
этих уравнений можно обнаружить, рассматривая задачу
о релаксации и задачу о ползучести при напряжении, изме-
няющемся пропорционально времени.
В задаче о релаксации по уравнению Н. М. Беляева полу-
чаем дифференциальное уравнение
где а0 — начальное напряжение; по теории же течения будем
иметь
^ЕВ^с^О.
4*
52
Уёавнёния ПОлзУчёСтИ
Очевидно, что последнее уравнение приводит к несколько
большей скорости убывания напряжения, чем первое.
Если с = ct, где с >0 — постоянная, то по уравнению (9.8)
при Bl(t) = где Д1( р — постоянные, получаем
е = ct
L Е п J
где положено — п—1. По теории же течения в этом
случае будет
&= Ct
п ]
п ‘ n + lJ’
Так как, согласно (1.7), р < 0, |₽|< 1, а показатель т,
как правило, значительно превышает единицу, то величина
п
1 мало отличается от единицы, т. е. последние соотно-
шения близки друг к другу.
§ 10.	Теория упрочнения
1.	Общее соотношение. Теория упрочнения была пред-
ложена в работах Дейвенпорта [В4] и Надаи, относящихся
к 1938 г.; в последующем к этой теории обращались мно-
гие исследователи.
В теории упрочнения принимается, что существует функ-
циональная зависимость между напряжением о, суммарной
пластической деформацией епл и скоростью суммарной пла-
стической деформации Представим эту зависимость
в форме
Я
I (Я
и

в
1 *
IBI
18
я;
 '<Ц
где /(а) > 0 и g(eM)>0 — монотонно возрастающие функ-
ции. Согласно уравнению (10.1) с увеличением пластической
деформации скорость деформации при постоянном напряже-
нии уменьшается. Это обстоятельство может быть интерпре-
тировано как упрочнение металла, вызываемое растущей пла-
стической деформацией; отсюда происходит и название рассмат-
риваемой теории. Разумеется, это первоначальное физическое
толкование утратило свое значение.
В первых работах, посвященных теории упрочнения, при-
нималось, что суммарная пластическая деформация включает
§ 101
ТЕОРИЯ УПРОЧНЕНИЯ
53
мгновенную пластическую деформацию и деформацию пол-
зучести:
еПл = ес + е₽.
В последующем эквивалентность обеих составляющих
(ес и е?') опытами не подтвердилась [13]. В связи с этим теперь
под епл понимают собственно деформацию ползучести ес,
а под |пл— скорость деформации ползучести ?с.
Теория упрочнения в первоначальной формулировке
(Лпл = ес-|-еР—суммарная пластическая деформация) удобна
для приближенного анализа сравнительно кратковременной
ползучести при высоком уровне напряжения.
Теория упрочнения не содержит явно время и, следова-
тельно, свободна от недостатка, присущего теориям течения
и старения. Теория упрочнения правильно улавливает неко-
торые особенности ползучести при изменяющейся нагрузке;
она пригодна в известных условиях для описания ползучести
металлургически стабильных металлов и сплавов. Как уже
отмечалось ранее, ползучесть нестабильных сплавов сопро-
вождается структурными изменениями, усложняющими кар-
тину течения.
Развитие теории упрочнения связано с большими мате-
матическими трудностями, но представляет несомненный инте-
рес. В этом направлении удалось достигнуть существенных
результатов Ю. Н. Работнову и его сотрудникам [55’ 56’ 83’ 85].
2.	Частный закон. Из условия разделения переменных
в последующем интегрировании обычно принимают [65]:
£(ec) = (e<f
(а > 0),
(10.2)
/(о) = КехрМ (/<>0, Л>0).	(10.3)
Z1
Последнее уравнение непригодно для малых напряжений о,
так как приводит к отличной от нуля скорости ползучести.
Этого недостатка легко избегнуть, взяв для /(с) другую
зависимость (например,	но тогда переменные не
разделяются. По предложению Ю. Н. Работнова область
малых напряжений просто исключается из рассмотрения;
а именно, принимают, что с = 0 при £ • (ес)“< К.
54
Уравнения Ползучести
[гл. it
Введем безразмерные переменные:
с	Ее	Еес	]
- =	— = е-, ^-=р-,
/<(4У+^=т; s=eC+i- ]
(Ю.4)
Тогда уравнение (10.1) теории упрочнения принимает вид:
/2ра = ехр$,	(10.5)
где s = 0 при рр“<1. Здесь используется обозначение
р=^.
F dt
3.	Случай постоянного напряжения. Интегрируя урав-
нение (10.5) при s = const, находим уравнение кривой пол-
зучести
/ т \то
Р = \^)
(10.6)
где положено т = =-—.
1 + а
Полученное уравнение удовлетворительно аппроксими-
рует кривые ползучести при постоянном напряжении; согласно
уравнению (10.6) кривые ползучести подобны.
4.	Релаксация. Пусть полная деформация не изменяется,
т. е. е — const. Но
g = p_|_s = S().
Отсюда
p + s = 0.
Исключая с помощью этих соотношений р и р из уравне-
ния (10.5), находим:
5 (s0 — s)“ = — exp s.
t’t
Ч
и
It
I
01
Е»
W
Выполняя интегрирование, получаем
So
т= f (s0 — s')ae~sds.	(10.7)
S
3:
Это уравнение удовлетворительно описывает процесс ре-
лаксации в металлах.
§ 11]	ТЕОРИЯ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ	55
§ 11. Теория наследственности
1. Общее соотношение. Для более полного описания
ползучести Ю. Н. Работнов [52>53] предложил использовать
уравнение теории упругого последействия Больцмана — Воль-
терра, представив его в следующей форме:
t
=	— т)с(т)с?т,	(П-1)
о
где е — полная деформация, a K(t — т)— так называемое
ядро последействия. Последнее характеризует, в какой мере
в момент времени t ощущается влияние (последействие) на де-
формацию единичного напряжения, действовавшего в течение
единичного промежутка времени в более ранний момент т.
Так как напряжение а, вообще говоря, действует и в дру-
гие моменты времени и отлично от единицы, то происходит
наложение упомянутых влияний и интегральный член в урав-
нении (11.1) представляет их сумму. Если время t мало, то
деформация последействия мала и
0 = ? (е).
т. е. функция <р(е) характеризует кривую деформации при
быстром испытании. По уравнению (111) процесс последей-
ствия развертывается около кривой с = <р(е).
Теория наследственности (аналогично теории упрочнения
в первоначальном варианте) определяет непосредственно пол-
ную деформацию (т. е. мгновенную деформацию и дефор-
мацию ползучести).
Уравнение (11.1) является интегральным уравнением Воль-
терра относительно напряжения а; разрешая его, получаем:
t
с — — J*r(Z— т)<р(т)йт,	(П.2)
о
где Г — резольвента ядра К.
Рассмотрим ползучесть при постоянном напряжении
c = const = o0; тогда из уравнения (11.1) следует:
<Р (е) = [1 + G (П] с0.
(11.3)
56
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
где обозначено
t
Gtf) = f Ktf — x)dx.	(11.4)
о
Из выражения (11.3) вытекает, что кривые ползучести
при фиксированных напряжениях подобны.
Пусть
<р(е) = Ле“,	K(t—с) = —Цр,
tf — *)р
где А, к, k, р — некоторые положительные постоянные, при-
чем 1, р< 1. Тогда соотношение (11.3) принимает вид:
^=(1+1^/-%.
При достаточно большом времени отсюда следуют зави-
симости (1.6) и (1.7). Далее, если а=1—р, то для доста-
точно большого времени приходим к хорошо известному
степенному закону (после замены обозначений):
£ = В1сш.
2.	Релаксация. В случае релаксации деформация по-
стоянна (е = const = е0) и из выражения (11.2) получаем
о = [1—Д(О1?(ео)>
где положено
t
R(Z) = J Г tf— t)dt.
о
Если начальное растяжение образца происходило быстро,
то, согласно уравнению (11.1), т(ео) = Со> и кривая релакса-
ции имеет вид:
— =1— Rtf).	(11.5)
°о
Следовательно, кривые релаксации также подобны.
3.	Разгрузка. Необходимо различать нагружение и раз-
грузку. При нагружении деформация е возрастает и процесс
последействия развертывается около кривой а = <р(е).
§ HI
ТЕОРИЯ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ
57
При разгрузке деформация убывает (заметим,
что убывание напряжения не означает разгрузки) и процесс
последействия развивается около прямой АВ (рис. 36), парал-
лельной начальному (упругому) участку диаграммы <р, е. При
разгрузке
ср — срл = Е (е— ед),	(И.6)
где Е— модуль упругости. Таким образом, разгрузка сле-
дует схеме линейной теории последействия.
4.	Эффект обратной ползучести. Теория Ю. Н. Работ-
нова описывает эффект обратной ползучести. Пусть в ин-
тервале 0 t < t0 действовало напряжение а0, в момент
же t~t0 нагрузка полностью снимается. Деформация е — ед
складывается из мгновенной упругой деформации и дефор-
мации последействия, принимающей некоторое значение ех
к моменту t0-ЬЛ (рис. 37), т. е.
е—ед = —е1 —(11.7)
Согласно уравнению (11.1) находим:
Тд = со11 4~G(Z0)],
С
о
? = °0
58
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
В силу выражения (11.4) имеем
f К(/о+/1—т)йт=О(/0+Л) — GW-
О
Внося эти значения в уравнение (11.6), получаем
е1 = 5 [О (*о) 4- G (Д)—о (t0+Л)[.
Величина et симметрична относительно моментов времени /0,
и пропорциональна начальному напряжению с0. Эти заклю-
чения подтверждаются наблюдениями Джонсона [62].
5.	Опыты по ступенчатому нагружению. Теория на-
следственности и теория упрочнения (в начальной фор-
мулировке) согласуются с опытными данными А. М. Жу-
кова, Ю. Н. Работнова и Ф. С. Чурикова [15[ по ползучести
(Плоских образцов из красной меди при температурах
Рис. 38.
'65—270’С. В этих опытах осуществлялись постоянная
[агрузка, ступенчатое нагружение и нагружение с постоян-
юй скоростью. Отличительной особенностью испытаний
влялось наличие значительных мгновенных пластических
реформаций. Функции и постоянные, необходимые для ана-
|иза, были вычислены по серии кривых ползучести при по-
тоянных нагрузках, после чего определялись деформации
о обеим теориям для случая ступенчатого нагружения. Со-
рставление экспериментальных и теоретических данных для
емпературы 200° С приведено на рис. 38. Здесь кружками
йнесены экспериментально полученные точки при постоянных
§12]	СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ	59
(во всем интервале 0—30 часов) напряжениях о = 750 кг/см2
и с =1050 кг/см2; крестиками отмечены опытные данные
при ступенчатом нагружении (с = 750 кг/см2 в интервале
0—15 часов, с = 1050 кг]см2 после 15 часов); линии 1 —
расчетные кривые ползучести при постоянных напряжениях;
линии 2—- расчетные кривые после 15 часов при догрузке
750—> 1050 кг/см2 в момент /=15 часов.
Заметим, что при учете значительной мгновенной пласти-
ческой деформации, характерной для этих опытов, теория
течения несколько хуже, чем упомянутые теории, но в общем
также удовлетворительно аппроксимирует опытные данные.
На рис. 38 соответствующая кривая (после 15 часов), полу-
ченная по теории течения, показана точками.
Различные вопросы теории наследственности и ее прило-
жения рассмотрены в статьях Ю. Н. Работнова [51> 52] и
М. И. Розовского. Заметим, что интегральные соотношения
(несколько иного типа) нашли широкое применение в теории
ползучести бетона (см. монографию Н. X. Арутюняна ]2]).
§ 12.	Уравнения ползучести при сложном
напряженном состоянии
При формулировке уравнений ползучести для сложного
напряженного состояния необходимо исходить из основных
величин, характеризующих напряженное и деформированное
состояния, и из имеющихся экспериментальных данных. Для
читателя, знакомого с основами теории упругости и пластич-
ности, понятия тензоров напряжения, деформации, скорости
деформации не являются новыми. Поэтому мы лишь кратко
изложим их, затрагивая преимущественно те представления,
которые используются в дальнейшем. Что касается опытных
данных, то в этом параграфе приводятся лишь основ-
ные выводы; подробный анализ удобнее провести позднее
(см. гл. IX).
1.	Напряженное состояние. Напряженное состояние
характеризуется симметричным тензором напряжения, компо-
ненты которого равны
аХ’ ау> aZ’ ^Ху' Zyz’ ^zx-
Главные напряжения обозначаем через
<Д>с2>сз-	(12-1)
60
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
В сечениях, делящих пополам углы между главными
плоскостями, действуют главные касательные напряжения:
Со — Gg
ст3 — СТ1
Gi--Со
Тз== 2
(12.2)
2
~2
2
Наибольшая (по модулю) из этих величин называется
максимальным касательным напряжением ттах; при усло-
вии (12.1) тгаах = —т2.
Тела различным образом сопротивляются нормальным
и касательным напряжениям, поэтому важное значение при-
обретают величины, которыми можно охарактеризовать нор-
мальные и касательные напряжения в данной точке и которые
не зависят от выбора координатной системы. Такими вели-
чинами являются, как известно, линейный и квадратичный
инварианты тензора напряжения: среднее давление
0 — у (ах +	+ °z)
и интенсивность касательных напряжений
Г=+y=T(»l —»2)“ + («2 —^ + (0, —«1)2 =
Третий (кубический) инвариант в дальнейшем непосред-
ственно не используется, и мы его не приводим.
Как показал А. А. Ильюшин [18], интенсивность каса-
тельных напряжений Т и максимальное касательное напряже-
ние связаны неравенством
]	(12.3)
Отсюда вытекает приближенное соотношение
j	Т^1,08ттах	(12.4)
С максимальной ошибкой около 7%.
Нормальное напряжение оп и касательное напряжение
на некоторой площадке с нормалью п удобно изобра-
жать при помощи диаграммы Мора (рис. 39). В дальнейшем
>удет также полезна другая геометрическая интерпретация
§ 12]
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
61
напряженного состояния. Примем главные оси за декартову
систему координат ot, а2, а3. Тогда напряженное состояние
можно охарактеризовать вектором ОР, компоненты которого
равны о1, а2, а3:
О/-* — OjZj —а2/2 —|— а3/3,
где ip i2, i3 — соответствующие орты. Плоскость
а1 а2 4“ аз — о
(12-5)
проходит через начало координат и одинаково наклонена
к главным осям; она называется девиаторной (или окта-
эдрической) плоскостью. Пусть /г0 — нормаль к этой пло-
скости; так как сумма квадратов косинусов углов нормали
с осями равна единице, то
cos (п0, 7) = cos (п0, 2) — cos (п0, 3) =	.
Следовательно, единичный вектор нормали равен
Вектор напряжения ОР можно, очевидно, представить
в форме
ОР = ]/Зсп0-ф OQ,
где
OQ — (gj — a) ij (с2 — с) f2 -ф- (с3 — с) i3.
62
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
Легко видеть, что (OQ, п0) = 0, т. е. вектор OQ лежит
в девиаторной плоскости; длина вектора OQ пропорциональна
интенсивности касательных напряжений:
|OQ| = ]/2 7'.
Если, сохраняя главные направления, рассматривать все-
возможные значения главных напряжений, то уравнение
= -g- [(Qi — а2)2 + (а2 — °з)2+(°з — °i)2l = const (12.6)
определяет семейство коаксиальных круговых цилиндров
с осью п0 (рис. 40). След пересечения цилиндра с девиатор-
ной плоскостью представ-
Рис. 40.	Рис. 41.
В некоторых задачах выгодно вместо интенсивности
касательных напряжений Т использовать близкую к ней
величину максимального касательного напряжения ттах. Как
известно, это соответствует переходу ст кругового ци-
линдра (12.6) к вписанной правильной шестигранной призме
(рис. 41).
2.	Деформация. Деформированное состояние в некоторой
точке среды характеризуется си лметричным тензором дефор-
мации с компе-, чгами
1 1 1
ех- £</- ес> 2 I 'У' 2
§ 12]	СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
63
В случае малой деформации малы компоненты дефор-
мации и углы поворота; тогда имеют место известные со-
отношения:
	дих		диу		диг	1	1
Sz« = ф	дх ’		ду ’		г	dz	1	1
т 	 		дих	диу	ди7, т — J -4-	duz	duz	дих |	1(12.7)
1	ду ।	дх ’	ly- dz	ду '	>г£В дх 'г	dz ’ J	1
где их, иу, uz — проекции вектора смещения.
Главные удлинения будем обозначать через ер е2, е3.
Разности
Ti = e2 — ез! Ъ = ез — Еб Тз = ei — е2
называются главными сдвигами.
Линейный инвариант тензора деформации
Е ==	~|~ ег
определяет объемное расширение, а квадратичный инвариант
характеризует искажение формы элемента среды и назы-
вается интенсивностью деформаций сдвига. Между этой
величиной и максимальным сдвигом
Imax = maX ( I 11 l> I 12 |. I 13 |)
существует приближенное соотношение
Г^1,08Ттах.
(12.8)
Деформированное состояние в данной точке может быть
охарактеризовано соответствующим образом построенной
диаграммой Мора.
3.	Скорость деформации. Пусть составляющие скорости
частицы среды равны vx, vy, vz. За бесконечно малый про-
межуток времени dt среда испытывает бесконечно малую
деформацию, определяемую смещениями vx dt, vy dt, vz dt.
Компоненты этой деформации (за промежуток dt) можно
64
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[гл. п
вычислить по формулам (12.7). Разделив их на dt, приходим
к компонентам скорости деформации:
__ dvx	t __dvy	__ dvz
— дх ’	—5г—~дГ’
_dvx dvy _dvy dvz _dvz dvx
Г‘хи ду * dx ’ ^'Jz dz dy ' Т‘гж дх *” dz
(12.9)
Составляющие ^y, %z определяют скорости относитель-
ных удлинений соответственно в направлениях осей х, у, z;
составляющие т)уг, т;га.— скорости скашивания перво-
начально прямых углов х).
Через Ij, £2, В3 обозначаются главные скорости отно-
сительных удлинений, а через
li = ^2	^з>	= ^з ^i> ^з — Ч —
— главные скорости сдвигов. Максимальная скорость сдвига
равна
7lmax = max(hil. W. Из|)-
Скорость относительного изменения объема равна
5 = ^4Л-Нг-	(12.10)
Скорость изменения формы элемента среды описывается
квадратичным инвариантом тензора скорости деформации —
интенсивностью скоростей деформации сдвига'.
|	—у2+&—У2+(Вз—У2=+/"|х
Как и прежде, имеется приближенное соотношение
Н^1,08т]тах.	(12.11)
Для тензора скоростей деформации может быть построена
диаграмма Мора (рис. 42). По оси абсцисс откладывается
х) Напомним, что компонентами тензора скорости деформации
являются величины ix, £г, — уху, — "Qza-
^12]	СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ	б5
скорость относительного удлинения в данном направлении.
По оси ординат откладывается половина результирующей
скорости сдвига т]и в плоскости, перпендикулярной к дан-
ному направлению (см. А. На да и, Пластичность и разру-
шение твердых тел, гл. XI, 1954).
Аналогично тензору напряжения тензор скорости дефор-
мации также можно изображать некоторым вектором в де-
картовой системе координат В1( ?2, £3.
В случае малой деформации проекции скорости vx, vy,
vz равны частным производным по времени от проекций
смещения:
дих	диг,	диг
х dt ’ 'J dt ’ г dt
Следовательно,
~ ~dt Ea” ^y=z~dtEy' •••’	~ fit 4zx‘ (12.12)
Заметим, что главные направления скорости деформации,
вообще говоря, не совпадают с главными направлениями
деформации.
При больших деформациях таких простых соотношений
между компонентами деформации
и скорости деформации нет. Од-
нако простые формулы (12.9) для
компонентов скорости деформа-
ции справедливы и при больших
деформациях; необходимо лишь
вычислять скорости деформации
по отношению к текущей конфи-
гурации тела. Последующее ин-
тегрирование позволяет найти ко-
нечную форму тела. Рассмотрим,
например, растяжение стержня;

Рис. 42.
пусть в начальный мо-
мент t = 0 длина стержня была равна /0, в текущий момент t
длина равна I. Скорость деформации равна
— 1 dl
1 ~ I dt'
4.	Уравнения ползучести во втором периоде. Опытные
данные, относящиеся большей частью ко второму периоду,
5 Зак. 1058. Л. М. Качанов
66
УРАВНЕНИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
[гл. П
показывают, что ползучесть определяется касательными на-
пряжениями и протекает в общем по законам «обычной»
пластической деформации.
Следующие положения обобщают экспериментальные дан-
ные (обзор опытных данных приводится в гл. IX):
1.	Изменение объема тела является упругой деформа-
цией, т. е.
(12.13)
2.	Главные направления тензора напряжения и тензора
скорости деформации ползучести совпадают.
3.	Диаграммы Мора для напряжения и скорости дефор-
мации ползучести подобны.
4.	Процесс ползучести не зависит от гидростатического
давления; интенсивность скоростей деформаций сдвига пол-
зучести Н° является функцией интенсивности касательных
напряжений Т, характерной для данного материала при
данной температуре. Условимся записывать эту зависимость
в форме
H° = f(T)T.	(12.14)
Из подобия кругов Мора вытекает, что (индекс с опускаем)
Si —	 ^2 — £3 	— £1 _ ф
С1 — с2 с2 — с8 с3 — С1
(12.15)
где множитель пропорциональности ф— некоторая, пока
не определенная функция инвариантов напряжения и скорости
деформации; в силу второго положения индексы 1, 2, 3
в числителях и знаменателях относятся к одним и тем же
направлениям. Отметим, что в выражении (12.15) числители
суть главные скорости сдвига, а знаменатели — удвоенные
главные касательные напряжения.
Очевидно, что
Bi — Е2 = Ф(°1 — °г)>
В2 ^3 ~ Ф (°2	°з)>
^3 — = Ф (аз — а1)- •
(12.15)
Эти зависимости с помощью условия (12.13) легко при-
водятся к виду
е{ = ф(с; — а) (/=1,2,3).	(12.16)
||и.
§ 12]	СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ	67
It-
Возводя равенства (12.15) в квадрат и складывая, находим:
J	77 = 2<]Zr.
I»
В силу четвертого положения отсюда вытекает, что
J. есть функция Т, а именно:
2ф = /(Т)-	(12.17)
।	Пользуясь обычными формулами перехода, связывающими
1	компоненты напряжения в ортогональной системе коорди-
1	нат х, у, z с компонентами напряжения в системе главных
осей 1, 2, 3, получаем:
jl	—-2-/(Т’)(аа; —а), . . . |	(12.18)
'	1]a:y=z f (Т)хссу’	J
При одноосном растяжении мы исходим из степенной
зависимости (1.4); в общем случае аналогичная зависимость
имеет вид:
Н=ВТт.	(12.19)
Следовательно, здесь
f(T) = BTm~1.	(12.20)
Показатель т имеет прежнее значение, а коэффициент В
связэн с прежним коэффициентом В{ соотношением
т+1
B = 3~z~BL,	(12.21)
которое легко получается, если выписать зависимость (12.19)
для случая
одноосного растяжения	а2 = а3 = 0;
Bi=/=0; ^2 — ^з — — ~-Sf, 77 = 1^3^ и провести
сравнение с зависимостью (1.4).
Уравнения ползучести (12.18) могут быть представлены
в других, иногда более удобных формах; очевидно, что
уравнения (12.18) можно разрешить относительно компонен-
тов напряжения. Эти вопросы будут рассмотрены позднее
(гл. IV). Уравнения ползучести (12.18) суть уравнения не-
линейно-вязкого течения; они были введены Бейли [88] и
Мерином [122].
5*
68
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[ГЛ. II
5. Полные уравнения ползучести. Приведенные выше
уравнения ползучести относятся к процессу ползучести
во втором периоде при условии постоянства напряжений.
Необходимо перейти к уравнениям ползучести при перемен-
ных напряжениях и учесть первый период ползучести. В общей
постановке такая задача является очень трудной. Ограни-
чимся рассмотрением достаточно медленных (преимущественно
монотонных) изменений напряжения во времени. Будем, кроме
того, полагать, что в каждой точке реализуется простое1)
(или близкое к простому) нагружение. Наконец, будем пока
считать, что мгновенные пластические деформации отсут-
ствуют. При этих ограничениях составим полные уравнения
ползучести так же, как при простом растяжении (§ 8).
Заменим функцию f(T) функцией f(T, t), т. е. положим
H = f(T, t)T,
причем с возрастанием времени f(T,
Далее, учтем упругие деформации е®, е®, .
заниые с напряжениями законом Гука:
(12.22)
свя-
(12.23)
TrU q ...........
где G — модуль сдвига, a v — число Пуассона2 * * * * *).
Складывая скорости упругой деформации
j:e — сс	71е — т®
& dt	’ (гги dt 1
х) При простом нагружении компоненты девиатора напряжения
изменяются пропорционально одному и тому же параметру.
2) При высоких температурах коэффициент Пуассона, согласно
опытам [°8], приближается к половине; это, конечно, не означает,
что материал становится несжимаемым, так как в этих опытах
коэффициент Пуассона определялся косвенно. Из опытов вытекает,
однако, что сжимаемостью материала в задачах ползучести обычно
можно пренебрегать, так как с повышением температуры податли-
вость материала в отношении деформаций сдвига резко возрастает
ПО сравнению с податливостью объемному сжатию. В дальнейшем,
I
11
№й
i
'k
E®
I
17
L
§ 12]	СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ	69
co скоростями деформации ползучести, получаем полные
уравнения ползучести х):
= ....
Хд	+	’	(12.24)
H&y—ftT’	~^ХХу, ...
Если кривые ползучести подобны, то
f(T,	(12.25)
где j\(ty зависит только от интенсивности касательных
напряжений.
В частном случае степенной зависимости
f{T, =	(12.26)
причем
В(0 = 3-2~В1(0.	(12.27)
Подобные уравнения, обобщающие среду Максвелла,
предложены многими исследователями (Джефрис ]109], Од-
квист ]136], Мерин ]122] и др.), заменявшими B(t) постоянной
величиной. Это упрощение заметно ухудшает результаты
теории в задачах неустановившейся ползучести и вряд ли
целесообразно. Как и ранее (§ 8), уравнения (12.24) нетрудно
при помощи преобразования
B(t) dt = dQ
привести к виду, не содержащему времени t в явной форме.
Ниже (гл. IV и V) мы рассмотрим уравнения (12,24)
в более компактном представлении.
как правило, мы не будем пренебрегать сжимаемостью материала,
так как это пренебрежение не вносит сколько-нибудь значительных
упрощений в развиваемый ниже метод решения.
1) Производную по времени следует понимать как полную
(субстанциональную) производную, так как уравнения ползучести
относятся к деформации определенной частицы тела. В случае
малой деформации полные производные можно заменить частными
производными по времени.
70
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[гл. II
§ 13. Уравнения ползучести при сложном
напряженном состоянии.
Дополнения
1. Уравнения ползучести неравномерно нагретого тела.
Как уже указывалось, процесс ползучести сильно зависит от
температуры. Вследствие этого в неравномерно нагретом
теле картина течения усложняется.
Составляющие деформации следует дополнить, как и для
упругого тела, температурными расширениями аб, где 6—тем-
пература, а а — температурный коэффициент расширения.
Предполагаем, что температурное поле стационарно (или из-
меняется очень медленно). Тогда при переходе к скоростям
деформации температурные слагаемые отпадают и можно
исходить из обычных уравнений ползучести (12.24). Отличие
заключается в зависимости модуля О и характеристической
функции f от температуры, т. е.
— 2 f^Т' 6’	°) + 2G(0) dt (°ж	1
Tixy = f(T,	(7(0) ~д[ХхУ' •••
(13.1)
Зависимость от температуры заметно затрудняет решение
конкретных задач. При степенном законе (12.26) показа-
тель m и коэффициент В, вообще говоря, будут функциями
температуры. В нередко встречающемся случае простой
зависимости от температуры (§ 4) показатель т можно
полагать постоянным в рассматриваемом интервале темпе-
ратур. Тогда влияние температурного поля учитывается
только коэффициентом В(Т, 6, t}. Подобная схема исполь-
зована, в частности, в работах Бейли [88[. Ее преимущест-
вом является относительная простота. Соответствующие урав-
нения ползучести при условии подобия имеют вид:
=|в(0Д(е)7”й-1(О,-О)+^,...
у\ху = B(t)A^Tm^\xy + ^y, ....
где А (0) — некоторая функция температуры.
$ 13] СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЙ СОСТОЯНИЕ. ДОПОЛНЕНИЯ ft
’’ 2. Уравнения ползучести при пластических деформа-
циях. При высоких напряжениях в начальный момент вре-
мени возникают не только упругие, но и пластические
деформации. В процессе ползучести происходит перераспре-
деление напряжений, вследствие чего в отдельных частях
тела также могут развиться пластические деформации.
Мгновенные пластические деформации уже рассматрива-
лись при обсуждении уравнений теории упрочнения и теории
наследственности (§§ 10 и 11). Обратимся теперь к учету
мгновенных пластических деформаций в теории течения.
Уравнения теории течения, как отмечалось выше, при-
годны для приближенного описания ползучести в условиях
достаточно простого нагружения. В этих условиях для опи-
сания пластической деформации целесообразно исходить из
уравнений теории упруго-пластических деформаций, значи-
тельно более простой, чем теория пластического течения.
По теории упруго-пластических деформаций компоненты
пластической деформации пропорциональны компонентам деви-
атора напряжения:
2«’=?, т (»„-=.)........1
_	} при нагружении dT > 0. (13.3)
’^ху 1 Хху’ '	J
Полные соотношения ползучести имеют вид:

(13.4)
причем интенсивность пластических деформаций сдвига равна
Г = ^(Т)Т.
При разгрузке компоненты скорости пластической дефор-
мации равны нулю.
3.	Случай кратковременной ползучести. Во многих
современных конструкциях процесс ползучести отличается
кратковременностью. Так, срок службы авиационных двига-
телей составляет несколько десятков или сотен часов;
«жизнь» же снарядов и ракет измеряется минутами.
72	Сравнения ползучести	[гл. и
Процесс кратковременной ползучести отличается рядом
особенностей; он протекает при высоких напряжениях и
обычно сопровождается пластическими деформациями. Про-
цесс кратковременной ползучести развивается преимущест-
венно в условиях первого периода ползучести (периода
уменьшающейся скорости).
Выше рассматривались уравнения длительной ползучести,
которая протекает в основном во втором периоде и харак-
теризуется сравнительно низкими напряжениями. Опыты при
сложном напряженном состоянии частично относятся к слу-
чаю кратковременной ползучести. Прежде всего следует
упомянуть цикл работ Джонсона и его сотрудников (дли-
тельность испытаний—до 150 часов). Опыты Нисихара,
Танака, Шима продолжались 500 минут, Наместников изучал
ползучесть аустенитной стали в течение 30—100 часов.
Можно считать, что кратковременная ползучесть в наи-
более общих чертах протекает примерно так же, как и
длительная; однако в ряде случаев картина более сложна.
При высоких напряжениях Джонсон установил влияние ани-
зотропии, развивающейся в процессе деформирования. Пол-
ное описание процесса ползучести в первом периоде тре-
бует глубокого экспериментального изучения и значительного
усложнения математического аппарата. Имеются различные
теоретические работы в этом направлении; отметим здесь
использование теории упрочнения, а также применение инте-
гральных соотношений различного типа [133> 52].
Мы будем исходить из уравнений теории течения, осно-
вываясь на том, что основные законы ползучести в общем
сохраняются (независимость ползучести от гидростатического
давления, связь между интенсивностями Н и Т). Использова-
ние более сложных уравнений затруднено недостаточной
экспериментальной изученностью и большим неизбежным
разбросом опытных данных.
В кратковременных опытах обычно нет участков посто-
янной скорости ползучести. В связи с применением степен-
ного закона обратимся к определению показателя ш. Анализ
кривых ползучести (см. рис. 9 и 10) говорит о возможности
аппроксимации кривых ползучести в последнем участке диа-
граммы испытаний прямыми линиями. Тогда показатель ш
определяется обычным путем. Если прямые линии провести
нельзя, то следует применять зависимость se = 21(/)cm.
§13] СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ. ДОПОЛНЕНИЯ 73
I
fc I
г
в"
Таким образом, в случае кратковременной ползучести
мы исходим из уравнений (12.24) при мгновенных упругих
деформациях и из уравнений (13.4) при наличии пластиче-
ских деформаций.
4.	Потенциал течения. Легко убедиться в справедливости
тождеств
дТ2	— 1 дТ2	Z1QK4
°х ° -	’ ' ’ ”	дтгх •	<13-5>
Следовательно, уравнения ползучести во втором периоде
(12.18) можно представить в форме
2S ................. |
,1Т9	}	(13.6)
В главных осях эти соотношения имеют вид:
2^=/(Г)^	(/=1,2,3).	(13.7)
Обратимся теперь к геометрической интерпретации тен-
зора напряжения в системе координат Cj, а2, о3 (§ 12, рис. 40).
„ №
Производные -т— пропорциональны направляющим косинусам
нормали к цилиндрической поверхности Т2 = const. Умно-
жив В? на постоянную соответствующей размерности, можно
в том же пространстве а1э с2, а3 провести вектор, изображаю-
щий тензор скорости деформации. Уравнения (13.7) показы-
вают, что этот вектор направлен по нормали к поверхности
Т2 — const. Условимся эту поверхность называть поверх-
ностью течения.
Обобщение приведенной интерпретации позволяет легко
переходить к новым уравнениям ползучести. Достаточно
вместо цилиндрической поверхности Т2 =const ввести более
общую поверхность течения F (ах, а2, g3) = const, сохранив
«закон течения по нормали»
дР
d°i ’
(13.8)
где / — некоторая скалярная функция. Функция F (ах, а2, а3)
называется потенциалом течения.
74	УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	[гл. II
В произвольной ортогональной системе координат послед-
ние соотношения имеют вид:
=	(Z, 7 = 1, 2,3).	(13.9)
5.	Об анизотропии. Опыты показывают, что при высоких
напряжениях наблюдается развитие заметной деформационной
анизотропии. Попытки учета этой анизотропии содержатся
в цитировавшихся выше работах Джонсона. Следует отме-
тить, что формулировка уравнений ползучести, описывающих
эффект развивающейся анизотропии, затруднительна, так как
законы деформационной анизотропии изучены слабо. Для
построения соответствующих уравнений ползучести необходим
большой объем экспериментальных исследований.
Ограничимся кратким обсуждением случая, когда анизо-
тропия возникает вследствие значительных мгновенных пла-
стических деформаций и деформаций ползучести, развившихся
в начальном периоде течения. Полагаем, что нагружение не
изменяется. Тогда можно исходить из схемы среды с началь-
ной анизотропией.
Уравнение ползучести удобно формулировать при помощи
понятия о потенциале течения. Напомним, что в изотропном
теле потенциал течения F — Т2. При переходе к анизотроп-
ному случаю можно в качестве потенциала течения взять
однородную квадратичную форму
—	k, l=\, 2, 3),	(13.10)
1 где С^к1—некоторые постоянные. Выбор квадратичной формы
соответствует линейной связи между тензорами напряжения
и скорости деформации, выражаемой соотношениями (13.9).
Здесь приведена простейшая формулировка. Обобщение до-
стигается, например, введением более сложных функций f и F.
6. Уравнения теории старения. В теории старения ком-
поненты деформации связаны с компонентами напряжения.
Как и прежде, компоненты полной деформации равны:
ч
g — - g^ —|— g^	у ' — —I 
I	x a) 1 x' ' ’ ‘ ’ I zx	*zx I *zx‘
При этом компоненты упругой деформации определяются
по закону Гука (12.23).
В основе вывода уравнений для составляющих деформации
ползучести лежат основные гипотезы теории упруго-пласти-
I
I
I
1'
w
I
i
i
I
г
I
I
§ 13] СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ. ДОПОЛНЕНИЯ 75
ческих деформаций. Четыре исходных положения (§ 12, раз-
дел 4) сохраняются при условии замены скоростей дефор-
мации самими деформациями. Так, вместо зависимостей (12.14)
и (12.22) принимается:
rc = f*(T, f)T.	(13.11)
Компоненты деформации ползучести определяются зависи-
мостями
ес = 1/ (Т t)(ax — cY .
х 2	(13.12)
тс (Т,	....
*ху	7 ху'
Эти зависимости при постоянных напряжениях и малых
деформациях эквивалентны зависимостям (12.18) или (12.24)
(в последнем случае — без упругих составляющих). В част-
ности, при степенной зависимости имеем:
Д(Т, =	(13.13)
где
t
Q(t) = f	(13.14)
о
Как уже отмечалось (§ 9), уравнениям теории старения
приписывают более общий характер и используют их при
изменяющихся во времени напряжениях.
7. Уравнения теории упрочнения. Уравнения теории
упрочнения при сложном напряженном состоянии формули-
руются ]55] в общем на основе тех же гипотез, которые были
использованы при выводе уравнений теории течения (§ 12);
заменяется лишь четвертое положение.
Как и прежде,
%& = &+&........
Компоненты скорости упругой деформации вычисляются
согласно закону Гука.
Скорости деформации ползучести определяются соотно-
шениями (12.16):
Й = ф(аж — <з), ...
^у = ^у’ •••
(13.15)
76	УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	(гл. и
Скалярный множитель ф находится теперь из иных сооб-
ражений. В теории упрочнения принимается, что
Ф = Ф(Л ГД	(13.16)
где
t
г» = J Hcdt,
о
а Нс — интенсивность скоростей деформаций сдвига ползу-
чести. Конкретный вид зависимости (13.16) устанавливается
по данным простого растяжения. Заметим, наконец, что при-
веденные уравнения не описывают мгновенную пластическую
деформацию (в отличие от первоначального варианта теории
упрочнения).
§ 14. Упрощенные уравнения ползучести
Рассмотренные выше уравнения ползучести нелинейны и
имеют сложную структуру. Вследствие этого решение кон-
кретных задач связано с большими математическими труд-
ностями. С другой стороны, большой разброс опытных дан-
ных ставит под сомнение целесообразность построения
сложных «точных» решений. Эти соображения побуждают
к поискам более простых формулировок исходных уравне-
ний. Ниже рассматриваются некоторые из предложенных
упрощений; другие схемы обсуждаются в последующих главах.
1. Переход к максимальному касательному напряже-
нию. Выше принималось, что ползучесть определяется интен-
сивностью касательных напряжений Т. Это положение, как
уже отмечалось, в общем удовлетворительно подтверждается
экспериментами; иногда (как и для мгновенных пластических
деформаций) опытные точки отклоняются и ложатся между
интенсивностью Т и максимальным касательным напряже-
нием тшах, иногда лучше согласуются с последним. Так как
часто решение задач существенно упрощается при переходе
от интенсивности Т к близкой ей величине ттах, то во многих
случаях такой переход оказывается весьма целесообразным.
Для перехода к уравнениям, содержащим критерий ттах
вместо Т, удобно воспользоваться представлением о потен-
циале течения. Уравнения теории течения имеют вид (рас-
|И	§ 14]	УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	77
сматриваются составляющие деформации ползучести; индекс с
для простоты записи опущен):
l’	=	2, 3).	(14.1)
Переход к критерию ттах соответствует в рамках при-
веденной ранее геометрической интерпретации (§ 12) пере-
ходу от поверхности кругового цилиндра (рис. 41) к по-
верхности вписанной правильной шестигранной призмы.
Если а1>а2>а3, то ттах = i	— с3) и следует поло-
жить F —'(<?! — с3); заменяя, далее, f(T, t) на /(ттах, /), по-
лучаем из (14.1):
= /('max* 0.
е2 = о,
^3 = — /(\nax- 0-
(14.2)

Если Gj > а2= а3, то мы попадаем на ребро призмы; нор-
маль здесь неопределенна. Будем считать, следуя соответ-
ствующему построению Прагера в теории пластичности, что,
вращаясь вокруг ребра, нормаль может принимать любое
направление, лежащее внутри угла, образованного норма-
лями к двум смежным граням. Таким образом, единственность
течения на ребре не имеет места. Уравнения течения на ребре
можно написать, введя произвольное число О^Х^ 1 и ком-
бинируя течения слева и справа от ребра. Например, вблизи
ребра, образованного пересечением плоскостей
gx — с2 = const, Cj — а3 = const,
имеем соответственно в силу ( 4.2):
51:	: ?з= 1 : — 1 : 0;
5t: 52: 53= 1 : 0 : —1.
Умножая первую пропорцию на X, вторую на (1 —X) и
складывая их, получаем для точек на ребре:
5х: 52 : 5з= 1 : —X : —(1 —X).
78
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
[гл. и
Стало быть, на ребре будем иметь:
*1 = /(*тах- О-
е2=—х/(ттах, о,
^з--(1-Х)/(гтах, /).
(14.3)
Уравнение несжимаемости, очевидно, удовлетворяется.
Заметим, что для течения на ребре мощность деформации
определена единственным образом. В самом деле, так как
°2 — °з> т0 мощность деформации будет
з
2	= 2ттах/ (ттах, t).	(14.4)
i = 1
Если кривые ползучести подобны, то
/("max- 0 = 5*(0А(^тах).	(14.5)
Выбор функции / производится на основе опытных дан-
ных, например для случая простого растяжения. Тогда глав-
ные напряжения равны ох, 0, 0 и	<зх. По опытным
данным ^1=В1(/)с™. Сопоставляя эту формулу с первым
из соотношений (14.3) вместе с (14.5), находим:
B*(t) — B1(t),	=	(14.6)
Отметим в заключение, что постоянные отношения главных
скоростей деформаций (например, пропорции 1 : 0 : —1 для
выражений (14.2)) в общем не согласуются с наблюдениями
и должны рассматриваться как некоторое приближение1).
2. Пренебрежение упругими деформациями. Если упру-
гие деформации незначительны по сравнению с деформациями
ползучести, то можно первыми пренебрегать и исходить
из уравнений
^=у/(Л Ofe —а), ...,
~ f (Т, f)
*) О погрешности, связанной с применением приведенных урав-
нений, см. статью В. И. Розенблюма в Изв. АН СССР, ОТН,
сер. мех. и машин, № 5, 1959.
(14-7)
§ 14]	УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	79
где под %х, .... 7]za> понимаются полные скорости деформа-
ции !). Эти уравнения пригодны для изучения больших дефор-
маций ползучести, что необходимо, например, при определе-
нии времени разрушения. При этом, разумеется, напряжения
и скорости деформации должны вычисляться по отношению
к текущей конфигурации тела. Использование укороченных
уравнений (14.7) значительно упрощает анализ.
С	Пренебрежение упругими деформациями возможно и при
высоких напряжениях, когда наряду с деформациями ползу-
чести развиваются и мгновенные пластические деформации.
Вопрос о возможности пренебрежения упругими деформа-
циями в каждом конкретном случае должен решаться сопо-
ставлением ожидаемых значений упругих деформаций и дефор-
маций ползучести.
3. Схема Одквиста. Известный интерес представляет
схема, предложенная Одквистом [137]. Если при пластическом
деформировании металл не обладает заметным упрочнением
(при данной температуре), то в областях тела, где достигнут
предел текучести ts, доля деформации ползучести по сравне-
нию с пластической деформацией незначительна и первой
можно пренебречь. В областях же, где Т < т8, происходит
лишь деформация ползучести. В задачах рассматриваемого
типа напряжения высоки, поэтому можно пренебрегать также
и упругими деформациями.
Таким образом, приходим к следующим уравнениям тече-
ния тела.
В областях, где Т < т8, происходит ползучесть и
а). • • - . T\xy = f(T,	...
В областях же, где Т = ts, развивается пластическое
течение, описываемое уравнениями Сен-Венана — Мизеса ]27]:
== (С£В С)> • •  >
(И.8)
J) Уравнения (14.7) справедливы и в том случае, когда скорости
упругой деформации малы.
ГЛАВА III
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
В этой главе мы рассмотрим несколько простейших при-
меров и задач, в которых используются уравнения ползу-
чести. Решения этих задач легко обозримы и позволяют
выяснить характерные особенности процесса ползучести и
ввести новые понятия.
§16. Графическое построение кривой релаксации
1. Общие замечания. Задача о релаксации напряжения
в растянутом цилиндрическом стержне приводится к инте-
грированию дифференциального уравнения (см. § 8)
=	0,	(15.1)
где £с(а, t) — скорость деформации ползучести.
Аналитическое решение этой задачи было дано в том же
параграфе; оно основывалось на аппроксимации кривых пол-
зучести степенной зависимостью. Имеются, однако, графи-
ческие приемы непосредственного построения
кривой релаксации по первичным кривым ползучести.
Рассмотрим здесь способ, развитый В. И. Розенблюмом [61]
и пригодный даже при наличии малого числа кривых
ползучести.
2. Графическое построение. Пусть имеется k кривых
ползучести соответственно для напряжений а0, Oj.°k-i>
Лричем а0 > с1 > . . . > ак р Дифференциальное уравнение
|релаксации (15.1) интегрируем по способу Эйлера, заменив
дифференциалы конечными разностями и приняв напряже-
ние а за независимую переменную, а время t— за искомую
функцию. Интервал интегрирования разобьем на отрезки
§ 15] ГРАФИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ РЕЛАКСАЦИИ 81
Да4=::аг+1 — a-i (i — 0, 1, 2, k — 2). Для Z-го интервала
имеем следующее разностное соотношение:
Е (ai.fi)’
Для вычисления необходимо найти (<%, /;); но эта
величина равна тангенсу угла наклона касательной к кривой
ползучести для напряжения в точке с абсциссой Возь-
мем кривую ползучести а = аг (рис. 43) и в точке 1
с абсциссой t = ti отложим по вертикали вверх отрезок 1—2,
равный Де^ =-------. Очевидно, что соответствующий отре-
зок горизонтали 2— 3 равен искомой величине Д/г. Пере-
ходя последовательно от одного инте, вала Да{ к другому,
построим всю кривую релаксаций.
При малом числе кривых ползучести удобен следующий
прием графической интерполяции. Пусть при прежнем раз-
биении интервала интегрирования на отрезки Да0, Дср . ..
имеются лишь три кривые ползучести а0, аг, о3 (рис. 44).
Осуществляя начало расчетов по указанной выше схеме,
находим по кривой о0 разность Д/о = /1—10 и, далее,
по кривой Oj разность Д/1 = £2— tr. Тем самым найдено
время t2, для которого напряжение равно о2. Вследствие
отсутствия кривой ползучести для а2 применяем графическое
интерполирование. От точек пересечения вертикали t — t2
6 З^к. 1058. Л. М. Качанов
82
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[гл. III
с каждой из имеющихся кривых ползучести откладываем
.	Дсо „
вверх один и тот же отрезок Де2 —-------. Далее, проводя
горизонтальные отрезки, определяем для каждой кривой соот-
ветствующее время & tl, tf.
Для нахождения истинного значения t3 строим график,
показанный в нижней части рис. 44. Вниз по вертикали
отложим в некотором масштабе напряжения, затем нанесем
точки с координатами (/3, а0), (4, at), (4, 03) и проведем
через эти точки плавную кривую. Тогда абсцисса точки этой
кривой с ординатой <з2 определяет искомое время t3.
§ 16.	Пример. Неустановившаяся ползучесть
стержневой решетки
1.	Основные соотношения. В качестве простого при-
мера, иллюстрирующего протекание процесса ползучести,
рассмотрим ползучесть (а в конце параграфа — и релаксацию)
решетки, изображенной на рис. 45 и состоящей из трех
I
§ 16] НЕУСТАНОВИВШЛЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЕВОЙ РЕШЕТКИ 83
одинаковых стержней длины I и площади поперечного сече-
ния F. На узел О действует постоянная сила Р. Напряжение
в стержне 1 обозначим через oit в стержнях 2—.через о2;
точно так же будем отличать относительные удлинения и
скорости относительных удлинений стержней 1 и 2 (е1т е2;
Sj, ?2). Уравнение равновесия будет иметь вид:
а1-Ьа2 = 5'	(16.1)
р
где введено обозначение $ = -=-.
Г
Условие неразрывности деформаций имеет вид
гг = 2г2, или — 2?2.	(16.2)
Согласно закону ползучести (8.7):
^ = ^i(0°P + 4^	(Z=1.2).	(16.3)
2.	Начальное упругое состояние. В момент t = 0 ре-
шетка находится в упругом состоянии, определяемом зако-
ном Гука
(16.4)
Условимся соответствующие напряжения и дефо, мации
отличать одним штрихом (o', Легко видеть, что
/2	,	1
ai ~3S’ °2 "з	(16.5)
6*
84	НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ. Ill
3.	Идеально пластическое состояние. В дальнейшем
для сравнения будем рассматривать распределение напряжений
в идеально пластической решетке. Пусть материал стержней
следует закону Гука (16.4), пока не достигается предел
текучести as, после чего напряжение остается постоянным
и равно os. Упругое решение показывает, что наибольшее
напряжение развивается в стержне 7; после возникновения
пластических деформаций напряжение в стержне 1 становится
равным пределу текучести os. В оставшихся стержнях 2
напряжения возрастают с увеличением нагрузки, пока также
не достигнут максимального значения os. Следовательно, ’
в идеально пластическом состоянии напряжения во всех
стержнях одинаковы и, согласно уравнению (16.1), равны
= =	(16.6)
Предельная нагрузка равна
S = 2as.	(16.7)
4.	Состояние установившейся ползучести. Отбросим
теперь в уравнениях ползучести (16.3) скорости упругой
деформации, заменим функцию Bt (/) ее предельным значе-
нием Вг и при законе
=	(16.8)
соответствующем ползучести во втором периоде, определим
напряжения и скорости деформации (условимся отличать их
двумя штрихами: о", Внося (16.8) и (16.1) в условие
неразрывности, получаем:
=	—(16.9)
откуда вытекает
а" =  s, а"=—-—$	Y (16.10)
1	1-|-2и	2	1-4-2^ V т) к
Это решение соответствует состоянию установившейся
ползучести: напряжения и скорости деформации не зависят
от времени.
Выясним теперь, как зависит это решение от показателя
ползучести т. При т = 1 имеем упругое распределение
§ 1б) НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЕВОЙ РЕШЁТКИ 85
напряжений; при т->оо (т. е. р->0) распределение напря-
жений стремится к идеально пластическому распределе-
нию (16.6):
1 „ 1
О(т)л
Заметим, что это распределение справедливо при любом
значении усилия Р и совершенно не связано с пред-
ставлениями о пределе текучести и пре-
дельной нагрузке; в этом состоит
существенное отличие полученного
результата от решения для идеально
пластической решетки. В связи с этим
будем называть полученное предельное
решение предельным состоянием пол-
зучести. Не забывая о существующем
различии, условимся обозначать это
решение
сом (а?'
W
0.5
тем же нулевым индек-
Рис. 46.
т
Для суждения о характере стремления к предельному
состоянию ползучести преобразуем формулу для а" к виду
а2)	а=1,2),	(i6.li)
где, как легко видеть,
он_______________________________1
K==/<(w) = 3___,	(16.12)
причем
0<Ж(/п)<1.	(16.13)
На рис. 46 показан сплошной линией график коэффи-
циента К (/и). С возрастанием показателя т распределение
86	НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ	[гЛ. II!
напряжений довольно быстро стремится к предельному рас-
пределению, для которого ^ = 0. Так, при /и =10 ^=0,1
и а'' отличается от о° приблизительно на 3%.
5.	Неустановившаяся ползучесть. Вернемся к полному
уравнению ползучести (16,3) и рассмотрим общий случай.
Внося (16.3) в условие неразрывности и исключая а2 с по-
мощью уравнения равновесия, получаем дифференциальное
уравнение
^1(0«Г4-4-# = 2В1(0(5-«1)яг—4^-- (16-14)
Разделяя переменные и интегрируя от момента t = 0,
1 находим
°'
J w = ^£2‘(')’	(16л5>
I	д
где положено
Q(C) = 2(s-C)TO —С™.	(16.16)
В силу уравнения (16.9) имеем
Q«) = 0.	(16.17)
Дифференцируя, получаем
-^^- = —zn[2(s —+	(16.18)
Заметим, что	и в интервале с"<£<Са' функ-
ция Q(C) отрицательна. В точке С = о" функция Q(C) имеет
нуль первого порядка и, следовательно, интеграл в уравне-
нии (16.15) при С = а" расходится. Так как 2j(0 — возра-
1 стающая функция времени (рис. 27), то уравнение (16.15)
определяет ог как положительную монотонно убывающую
функцию, асимптотически приближающуюся к предельному
значению о". В частном случае т = 2 нетрудно найти, что
3/2+4\
— In —------),
3/2-4/
.	3 (	2 + /2-С*
И — --*п -------7=--*
4/2\	- 2 + /2+а*
§ 16] ПЕУСТЛНОВИВШЛЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЕВОЙ РЕШЕТКИ 87
где введены безразмерные величины
cj/7_ * EQi (t) Р ___
~P~~av 2F i’
Кривая, соответствующая этому уравнению, показана
на рис. 47 сплошной линией.
Итак, при фиксированной внешней нагрузке напряженное
состояние решетки монотонно изменяется от начального
упругого состояния (при / = 0) до установившегося состоя-
ния (при t—>оо). Ниже мы увидим, что в телах сложной
формы при фиксированных нагрузках картина ползучести
имеет такой же характер.
6.	Замечание о квазиустановившемся течении. При
рассмотрении установившегося течения решетки мы исхо-
дили из укороченного уравнения ползучести (16.8), где
постоянно. Будем теперь исходить из укороченных уравне-
ний вида
^ = В1(0аГ-
(16.19)
88	НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ. III
Очевидно, что при постоянной нагрузке Р распределе-
ние напряжений будет тем же самым, что и в уста-
новившемся состоянии; скорости же деформации будут
теперь изменяться с течением времени согласно уравне-
нию (16.19). Условимся такое течение называть квазиуста-
новившимся.
7.	Релаксация напряжений в решетке. Пусть в началь-
ный момент времени t = 0 нижний узел решетки 0 сме-
щается вниз на величину Див этом положении фиксируется.
Рис. 48.
Из условия неразрывности вытекает, что начальные упругие
напряжения связаны соотношением с' = 2а'. Из постоянства
смещения Д следует, что ех = 2е2 = const, т. е. E1 = 2g2=:0.
Следовательно, в каждом стержне релаксация напряжения
происходит независимо от других стержней.
Введем обозначения (см. § 8):
4=Рр	(Z=l, 2),
§ 171
КРУЧЕНИЕ КРУГЛОГО ВА.ЛД
69
Согласно решению задачи о релаксации напряжения
в стержне имеем
7* = —Ц-Гр1.-™ — 1),
« т — 1 Vг	)
или
1
Pi	1
(16.20)
Так как t\ =	то релаксация при меньшем напря-
жении протекает медленнее, т. е. для одного и того же
момента времени t > 0 всегда будет рх < р2. Легко видеть,
что при больших временах р2 —>2рР На рис. 48 кривые
релаксации для стержней 7 и 2 при т = 5 показаны сплош-
ными линиями.
§ 17. Кручение круглого вала
Рассмотрим задачу о ползучести скручиваемого круглого
вала радиуса сначала мы остановимся на состоянии уста-
новившейся ползучести, а затем
неустановившейся ползучести и
соответствующей релаксационной
задачи.
1. Установившаяся ползу-
честь. При анализе ползу-
чести стержня круглого сечения
(рис. 49), скручиваемого момен-
том М, можно, как и в упругом
случае, принимать, что попереч-
ные сечения остаются плоскими
и испытывают жесткое вращение
относительно оси. Йз всех со-
перейдем к обсуждению
Рис. 49.
ставляющих скорости деформа-
ции тогда отлична от нуля (в по-
лярных координатах г, <р) только скорость сдвига (все вели-
чины, рассматриваемые в этом разделе, относятся к состоя-
нию установившейся ползучести; штрихи для простоты
записи опускаем):
= шг,

So
НЕкОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
|гл. HI
где ы — угловая скорость кручения на единицу длины
стержня. Легко видеть, что при этом интенсивность скоро-
стей сдвига равна этой же величине:
И — ыг.
Тогда, согласно укороченным уравнениям ползучести (12.18);
отлично от нуля только касательное напряжение т„г, а интен-
сивность Т — т?2. В состоянии установившейся ползучести
имеем
Н=ВТт,
или, обратно,
Т=ВВГ (В = В^\	(17.1)
Таким образом,
^ = В(шг/.	(17.2)
Угловая скорость кручения <п определяется из условия
статической эквивалентности
а
М -= 2тг J" т^г2 dr.
о
и выполняя интегрирование, находим
Внося сюда т?г
2тгВа3+11 *	(17.3)
Следовательно,	
_ (а+н)Л! / г V1 2па3 \а ’	(17.4)
Распределение касательного напряжения имеет более
сглаженный характер (рис. 50), чем для упругого тела.
С возрастанием показателя m распределение касательного
напряжения стремится к идеально пластическому распре-
делению, но в отличие от последнего реализуется для лю-
бого значения крутящего момента 7И.
В заключение сделаем два замечания:
1)	для полого стержня (радиусы а, Ь, причем а > Ь)
имеем
Ц ш 3 = S S
_ (3 + И)А1
*=— 2тадз
1
(17.5)
h
§ 17]	КРУЧЕНИЕ КРУГЛОГО ВАЛА	91
2)	задача об установившейся ползучести скручиваемого
1 стержня допускает решение при произвольной зависимости
между касательным напряжением и скоростью сдвига т]?,.
2.	О неустановившейся ползучести при постоянном
скручивающем моменте. Кинематические гипотезы, приве-
денные выше, здесь сохраняются, но вместо выражения (17,2)
будем иметь:
1 dxa!,
причем теперь ы— неизвестная функция времени.
Напряжение т г и функция <о определяются из дифферен-
циального уравнения (17.6) и условия статической экви-
валентности. Эта нелинейная математическая задача допу-
скает лишь численное решение.
3.	Релаксация крутящего момента. Пусть стержень
закручивается при t = 0 моментом 7И0, после чего его концы
фиксируются и с течением времени происходит релаксация
крутящего момента. Так как при t > 0 угол кручения
постоянен, то <о = 0 и из (17.6) следует уравнение
1 dx^
7j dt
В(П^ = О.
92
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. III
Это уравнение аналогично обычному уравнению релак-
сации (см. § 8) и имеет решение
vz [1 + (от_1)ой(0т'7
где т'г— начальное напряжение в той же точке, вычисляе-
мое по закону Гука
, __ 2М0 г__ г
эта3 а 1 а '
2Л10
a Tj = —д3- равно максимальному касательному напряжению
при t = 0.
Крутящий момент М вычисляется согласно выраже-
нию (17.3)
1
М — Л Г Р3^Р	z.7ox
Мо ~ 4 J	г ’	<17-8)
о [1 +
где введено обозначение
/« = (b?-1)GS(/)t5»-1
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
93
§ 18]
Пусть т — 5, тогда интеграл легко вычисляется и
= А [<1+<»)'•-1]-	(17.9)
ZVIq ОГ
Кривая релаксации по этому уравнению показана на
рис. 51 сплошной линией.
§ 18. Чистый изгиб
Рассмотрим задачу о ползучести стержня, изгибаемого
парами; примем для простоты, что стержень имеет прямо-
угольное поперечное сечение. Общая задача об изгибе будет
изучена позднее [гл. VII].
1. Установившаяся ползучесть. Направим ось z по оси
стержня (рис. 52); пусть изгибающий момент действует
в плоскости yz. По соображениям симметрии плоские сече-
ния, нормальные к оси z до дефор-
мации, будут плоскими и нормаль-
ными к оси стержня и после дефор-
мации; поэтому
Вг = ky.
(18.1)
где через k обозначена установившаяся
скорость изменения кривизны оси.
Напряжения <зг должны удовлетворять
уравнению равновесия
п
bb^czydy = M,	(18.2)
о
-Zb —
Рис. 52.
где М > 0 — изгибающий момент.
По закону ползучести во втором
периоде имеем
или
где обозначено
(18.3)
(18.4)
В1 = в^-, р =
г т
94	НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ. III
Внося oz и |г, согласно выражениям (18.4) и (18.1),
в уравнение равновесия, получаем
(18.5)
где 1т — обобщенный момент инерции:
. 2bhi}v-
* т
2
При т — 1 обобщенный момент инерции
в обычный момент инерции Ilt фигурирующий
влении материалов. Согласно (18.4) находим
М 1L
а, = -г- У1-
переходит
в сопроти-
(18.6)
*7П
В область отрицательных у напряжение продолжается
нечетным образом. На рис. 53 показано распределение
Рис. 53.	рис. 54.
напряжения по сечению при разных значениях т. С возра-
станием т распределение напряжений стремится к идеально
пластическому распределению (рис. 54) с тем отличием, что
в случае ползучести эта предельная картина достигается при
любом значении изгибающего момента.
|tj. § 18j	ЧИСТЫЙ И&'ЙЁ	95
(li 2. О неустановившейся ползучести при постоянном
моменте. Соотношение (18.1) сохраняется, но скорость
изменения кривизны теперь является неизвестной функцией
Г времени. Вместо уравнения (18.3) следует взять полное
уравнение ползучести
I	+	=	(18.7)
Это уравнение вместе с условием равновесия (18.2) опре-
деляет напряжение с2 и скорость изменения кривизны k.
Полученная система допускает лишь численное решение.
3. Релаксация изгибающего момента. Пусть при t = О
стержень был изогнут моментом Л40, после чего концы балки
были жестко закреплены. Изгибающий момент М посте-
пенно релаксирует.
Вследствие независимости от координаты z конфигура-
ция стержня при t > 0 не изменяется, поэтому k — 0 и из
уравнения (18.7) вытекает дифференциальное уравнение
г	совпадающее с изученным в § 8 уравнением релаксации.
1	Следовательно,
где а'— начальное напряжение в том же волокне балки,
вычисляемое по известной формуле
а' = 0Х
г ui h ’	1 W ’
где
4
W = -^bh2
О
— момент сопротивления.
Вычисляя изгибающий момент по формуле (18.2), на-
ходим
1
М _ q Г Tpd-rj	(18.9)
’ Мо ° J	_2_’
о [1	fY»-!]’"-1
96
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[гл. 1Й
где введено безразмерное время
Г==(т— 1) ESi (0 аГ-1.
Для случая т = 4 легко получаем
(18.10)
Кривая релаксации, построенная согласно
нию, показана на рис. 55 сплошной линией.
этому реше-
§ 19.	Полый шар под действием внутреннего давления
В первой части настоящего параграфа рассматривается
ползучесть полого шара, испытывающего постоянное вну-
треннее давление р. В конце параграфа анализируется соот-
ветствующая релаксационная задача.
1.	Основные соотношения. Пусть г, ср, у— сферические
координаты; 2а, 2Ь— внутренний и наружный диаметры шара
(рис. 56); V — скорость радиального смещения. Напряже-
ния аг, о?, оу вследствие симметрии являются главными на-
пряжениями, причем о? = оу и Зо = ог-|- 2о . Интенсивность
касательных напряжений при о > 0, о,.^0 равна
Т = ^(о9 —ог).	(19.1)
§19] ПОЛЫЙ ШАР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ 9?
Напряжения аг, о должны удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению равновесия
г^ + 2(аг-с9) = 0	(19.2)
и граничным условиям:
при г = а сг— — р\ при г = Ь аг = 0.	(19.3)
2.	Начальное упругое состояние. Это состояние опи-
сывается хорошо известными формулами теории упругости:
Интенсивность касательных напряжений равна
(19.5)
3.	Состояние установившейся
несжимаемости
С+2^;=о
и известных соотношений
>// dv	^гг .//  v'
~dF ’	У	\~~r~
получаем
ползучести. Из условия
скоростей деформаций
(19-7)
ч" = ^.	(19.6)
где Cj — произвольная постоян-
ная (двумя штрихами отмечаем
величины в состоянии установив-
шейся ползучести). Интенсивность
сдвига равна:
7 Зак. 1058. Л. М. Качанов
98
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[гл. iti
Согласно зависимости (17.1) имеем
в-(2^у
Исключая теперь с помощью (19.1) разность оф — аг из
дифференциального уравнения (19.2) и интегрируя его, на-
ходим
2В /2/ЗСД*1
У Зу. \ г3 /
Определяя произвольные постоянные Ct, С2 из
условий (19.3), получаем:
а" = а" = S" [1 -|_ fo -2	,
<е х L 2	\ г / J ’
граничных
(19.8)
где положено
,, _ ра3У-
bsv-—a^
Интенсивность касательных напряжений равна
(19.9)
С возрастанием т распределение напряжений прибли-
жается к идеально пластическому распределению. Устремляя
в формулах (19.8) т—> оо и раскрывая неопределенность,
находим:
(19.10)
т. е. формулы идеально пластического распределения. Отли-
чие состоит в том, что распределение (19.10) осуществимо
§ 19] ПОЛЫЙ ШАР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ 99
при любом значении внутреннего давления. На рис. 57
показаны графики о" в зависимости от т.
В заключение заметим, что задача о неустановившейся ползу-
чести полого шара при действии постоянного внутреннего
давления приводится к системе уравнений, допускающей лишь
численное решение.
4. Релаксация. Рассмотрим следующую задачу: полость
толстостенного сферического сосуда заполнена высокопроч-
ным ядром, имеющим ббльший коэффициент теплового рас-
ширения, чем материал сосуда. При достаточно быстром
равномерном нагревании шара в нем в начальный момент
времени возникает упругое состояние, описываемое форму-
лами (19.4). Контактное давление при / = 0 равно (считаем,
что ядро несжимаемо)
(лЗ \
1 —«2)0.
где 04, «2 — температурные коэффициенты расширения ядра
и полого шара, 6 — изменение температуры.
Вследствие ползучести полого шара с течением времени
происходит релаксация контактного давления р; найдем р,
полагая, что материал сосуда также несжимаем (при k =Р О
f'
точное решение затруднительно). Тогда скорость v = —,
7*
100
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. III
а так как при г — Ь смещение постоянно, то С — 0, следо-
вательно, всюду v = Q и скорости деформации также
равны нулю. Выписывая уравнения ползучести (12.24) и вы-
читая одно из другого, находим
Д^ = 0,
' G dt
откуда
Т_______________Т'о___________
1 ’
[1	_ 1) GQ (Г)
причем
Го = (Т%~Ро = 2 V3G (а, -а2)0±.
Теперь из дифференциального уравнения равновесия (19.2)
получаем
6
cr = 2V3f^-.	(19.11)
Г .
Так как при г —а аг = —р, то
ь
Р = —	(19.12)
а
ГЛАВА IV
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ
С состоянием установившейся ползучести мы встретились
на примерах простейших задач, рассмотренных в предыду-
щей главе. Задачи установившейся ползучести, хотя и при-
водятся к нелинейным уравнениям, все же отличаются извест-
ной простотой. В следующей главе будет показано, что
состояние установившейся ползучести наступает при дефор-
мациях ползучести, заметно преобладающих над упругими
деформациями. В технических задачах это условие обычно
выполняется. По этой причине, а также вследствие упомя-
нутой простоты решения в технике большей частью ограни-
чиваются анализом установившегося течения.
Изучение состояния установившейся ползучести предста-
вляет значительный интерес как с общей точки зрения, так
и в прикладном отношении. В настоящей главе приводится
система уравнений установившейся ползучести, доказываются
вариационные принципы и рассматриваются некоторые при-
ближенные методы решения.
§ 20. Состояние установившейся ползучести
1. Система уравнений установившейся ползучести.
Рассмотрим задачу о ползучести тела, подчиняющегося усе-
ченным уравнениям ползучести
2^ = /(Т)(аш —а), .... |
... J	(20Л)
Разрешая эти уравнения относительно компонентов на-
пряжения, получаем:
—° = 2g-(H)^, ....
Zxy --- g (^0 T(Xy.........
(20.2)
102 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гл. IV
где
H=f(T)T, или T = g(H)H. (20.3)
Очевидно, что
/(T)g(H)=l.
Компоненты напряжения должны удовлетворять трем диф-
ференциальным уравнениям равновесия:
дах дъ-гн
(20’4)
где символ (х, у, z) означает, что два других уравнения
образуются круговой заменой букв х, у, z, а X, Y, Z — со-
ставляющие объемной силы. Силами инерции пренебрегаем
вследствие крайней медленности процесса ползучести.
Компоненты скорости деформации %х, ..., т;Ж2 связаны
с проекциями скорости vx, vy, vz соотношениями (12.9):
t	_ dvx . dvz
х дх ’ ’ ’ ’ ’	53 dz ' дх '
Внося в дифференциальные уравнения равновесия компо-
ненты напряжения (20.2) и исключая скорости деформации
при помощи соотношений (12.9), получим систему трех диф-
ференциальных уравнений в частных производных второго
порядка для неизвестных функций vx, vz, и о. Четвертым
уравнением служит условие несжимаемости
dvx .	dvz
^+-^ + ^ = 0-	(20.5)
дх 1 ду 1 dz	7
Пусть на части поверхности тела Sp (рис. 58) заданы
постоянные во времени поверхностные силы Хп, Yn, Zn\ на
этой части поверхности имеем:
Од. cos (и, x)4-xa.gzcos(n, _у)тжг cos (zi, z) = Xn (х, у, z)
(20.6)
На остальной части поверхности Sv — S — Sp задана по-
стоянная во времени скорость V. Наконец, объемные силы
также полагаем постоянными во времени. Изменения конфи-
гурации тела считаем малыми, поэтому все соотношения отно-
сятся к первоначальным положениям рассматриваемых частиц.
§ 201
СОСТОЯНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
103
Очевидно, что время и дифференцирование по времени
не входят ни в дифференциальные уравнения, ни в гранич-
ные условия. Следовательно, решение поставленной задачи,
характеризуемое неизменностью во времени напряжений, ско-
ростей деформации и самих скоростей, представляет собой
установившееся течение.
Если мы заменим в соотношениях (20.2) компоненты ско-
рости деформации .......ч]гх компонентами деформации
....... Тгя:’ скорости Vx,
vv, vz — смещениями их,
иу, иг, а скорости, задан-
ные на Sv, — соответствую-
щими смещениями в единицу
времени, то тем самым мы
придем к задаче теории
упруго-пластических дефор-
маций (с точностью до раз-
мерности функций f и g)
для состояния упрочне-
ния. Таким образом, реше-
ние задач установившейся
Рис. 58.
ползучести, по существу,
ничем не отличается от решения
соответствующих задач теории упруго-пластических дефор-
маций для состояния упрочнения.
Выше была рассмотрена система уравнений установив-
шейся ползучести в скоростях.
В ряде случаев удобно исходить из системы уравнений
в компонентах напряжения. Для этого необходимо
к дифференциальным уравнениям равновесия (20.4) присоеди-
нить уравнения сплошности, аналогичные уравнениям Бель-
трами — Мичеля в теории упругости. В условиях совмест-
ности Сен-Венана (выписанных для компонентов скорости
деформации)
			д^ху	
	ду*	дхч	дх ду '	
д^х 2 дудг	д Г			дг1ху ~|
	дх L	дх	1 ду	dz J
(х, у, z) (20.7)
исключим скорости деформации при помощи закона ползу-
чести (20.1); тогда мы получим искомую группу шести
104 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гл. IV
уравнений сплошности в напряжениях; в общем виде она имеет
сложный вид и здесь не выписывается. В частных задачах
уравнения сплошности проще выводить непосредственно.
2.	Рассеяние. Введем функцию скоростей деформации
я и
L = J TdH = j~ g(H)HdH.	(20.8)
о	о
Функция L равна удельной мощности деформации, рас-
сеиваемой при ползучести. По аналогии с функцией рас-
сеяния в теории вязкой жидкости назовем функцию L
рассеянием.
Функция L имеет простую геометрическую интерпрета-
цию. Пусть зависимость T = g(H)H изображена на рис. 59
кривой 00'; тогда рассеяние L численно равно площади,
заштрихованной вертикальными линиями.
Легко убедиться в том, что уравнения ползучести (20.2)
могут быть представлены в форме [26]
dL )
°-
т	I
ху ^.ту ’ ’ ‘ ’ J
(20.9)
§ 20] СОСТОЯНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	105
м
3.	Дополнительное рассеяние. Введем теперь функцию
напряжений
т	т
А = J И dT = J f(T)TdT. (20.10)
о	о
Остановимся на геометрической интерпретации Л. Легко
видеть, что
Н dT = ТН — j' Т dH=TH —L.
Следовательно, функция Л по величине равна площади*
заштрихованной на рис. 59 горизонтальными линиями и до-
полняющей площадь до прямоугольника TH. В связи с этим
будем называть функцию Л дополнительным рассеянием.
При помощи функции Л уравнения ползучести (20.1)
могут быть представлены в виде [24]
.....>=<••• <20л|>
4.	Случай степенной зависимости. В этом случае имеем:
Н=ВТт,	(20.12)
где
т+1
в = з~ вг.
Зависимость, обратную зависимости (20.12), представим
в форме
Т=~ВН'\	(20.13)
где р = — , а В — В 11. В случае степенной зависимости
f(T) = BTm~l, g(H) = BHv’~l. (20.14)
Нетрудно, далее, найти, что
'20J5>
A =	(20.16)
Заменяя в выражении (20.15) интенсивность Н, согласно
(20.12), получаем
L = mA.	(20.17)
106
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
§ 21.	Принцип минимума полной мощности
1. Исходное вариационное соотношение. Рассмотрим
установившуюся ползучесть тела под действием постоянных
во времени объемных сил X, Y, Z, поверхностных нагру-
зок Хп, Yn, Zn (на поверхности Sp, рис. 58) и скоростей
Пд,, vy, vz, заданных на поверхности Sv. Сообщим точкам
тела бесконечно малые приращения скоростей ог/д., 8^, огл,,
удовлетворяющие заданным условиям для скоростей на по-
верхности Sv (т. е. на Sv tex=bvy=bVg==Q) и уравнению
несжимаемости
=	(21.1)
дх х 1 ду У ' dz z	v 7
или в других обозначениях
^ + ^+^ = 0.
Рассмотрим мощность внутренних сил на вариациях ско-
ростей !):
“4~ • • • ~Н тгж ^гж) dV.
V
Заменяя компоненты скорости деформации %у, . .
их выражениями через проекции скорости vx, vy, vz по фор-
мулам (12.9), интегрируем по частям:
f ax%a;dV=f Л-^v^dV — f *vx^dV,
V	V	V
f Ъх ™lZxdV = f[-£- (тга, 8г»г) + (Tza, 8^)] dV —
V
!) В дальнейшем
означает интеграл по объему V,
ин-
теграл по поверхности S.
<8
§ 21] принцип минимума полной мощности	107
Преобразуем теперь первые интегралы в правых частях
по формуле Гаусса — Остроградского
J \дх ду ' dz )
V
— j* [Pcos(n, х) -\-Qxos(n, j')+ Я cos (я, z)] dS (21.2)
s
в интегралы по поверхности тела S и сложим все равенства;
после несложных преобразований получаем
(с® Н ау	~Н • • • 4~dV —
Г
j {[<5Ж COS (п, X)4-Ta.yC0S(/l, .у)+ ^005(и, 2)10^4-
S
+ 1-.-1Ч+1---1Ч} dS.
Так как напряжения удовлетворяют внутри V дифферен-
циальным уравнениям равновесия (20.4), на части поверх-
ности Sj? — условиям (20.6), а на Sv вариация скорости обра-
щается в нуль, то
J" (с®	4~ °у ^у ~4 ••• 4~ ~zx й71гх) dV— 0.3?, (21-3)
V
где через обозначена мощность заданных внешних
сил:
S’ = f (ЛЧ, 4- Yvy 4- zvj dV -4 f (А>ж 4- Ynvv 4- Znvz) ds.
v	sF
(21-4)
Предполагается, что внешние силы не зависят от скоро-
стей точек тела.
Уравнение (21.3) имеет простой механический смысл,
являясь непосредственным выражением принципа возможных
108
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ
[гл. IV
перемещений (скоростей): мощность внутренних сил на воз-
можных скоростях равна мощности внешних сил на тех же
скоростях.
2. Принцип минимума полной мощности. Для рассмат-
риваемой нами среды компоненты скорости деформации и
напряжения связаны уравнениями ползучести (20.9); с их по-
мощью легко получаем:
+	=	(21.5)
Следовательно, уравнение (21.3) принимает вид
^) = о,
(21.6)
где через
L = f LdV
v
обозначено рассеяние всего тела 1). Выражение внутри ско-
бок в выражении (21.6) условимся называть полной мощ-
ностью.
В частном случае, когда объемные силы отсутствуют,
а поверхность Sf свободна от нагрузок, 8^ = 0 и уравне-
ние (21.6) принимает более простой вид:
8£ = 0.
(21-7)
Вернемся к общему уравнению (2.16). Нетрудно пока-
зать, что для истинного движения (т. е. для истинных
скоростей vx, vv, it.) полная мощность достигает мини-
мума.
В самом деле,
Ъ"Ь dV.
v
Но
6U = 6М Т dH = ЪТ 6Я+ Т&Н.
П dV и т. д.
i) В дальнейшем для краткости письма значком ~ сверху обо-
значается интеграл по объему V от соответствующей величины,
например Л = J* Л dV; II =
к
V
§ 22] принцип минимума Дополнительного рассеяния 109
Внося сюда ЪТ, согласно уравнению Т — g (Н) Н, получаем:
~ (В//)з 4- ш
Нэ
Zn
&Н = ± { № (В^, ...) - [В (№)]2 |.
Величина внутри фигурных скобок не отрицательна.
Действительно, через Н2(Ъ^Х, ...) обозначена неотрицательная
квадратичная форма Н2 переменных В£?/, .... Вт]га.. Переходя
для простоты выкладок к главным осям, имеем
= 3“ Gi + т1з + *<з)-
После несложных преобразований находим
4
{•••} = gjya l(*ll 8*12 — *12 8*11)2 + (*|2 8*1з — *13 8*1з)2 +
“Ь (*i3 8*н — *118*1зЯ > О
т. е. Ъ2Н~^0. Для реальных материалов всегда
dT . .
dH > С > °'
Так как вариации скоростей деформации удовлетворяют условию
несжимаемости (21.1), то легко видеть, что Ь3£ может обратиться
в нуль только при всех вариациях, одновременно обращающихся
в нуль, следовательно, Б3А > 0.
Поскольку уравнения ползучести (20.9) аналогичны уравнениям
теории упруго-пластических деформаций, постольку принцип мини-
мума полной мощности в сущности аналогичен принципу минимума
полной энергии в теории упруго-пластических деформаций; это
отмечено автором в [®].
В заключение заметим, что полученный выше результат
об относительном минимуме полной мощности может быть, как
указал Хилл [80], усилен: в действительности имеет место абсолют-
ный минимум полной мощности.
§ 22. Принцип минимума дополнительного рассеяния
1. Исходное вариационное соотношение. Рассмотрен-
ный в предыдущем параграфе принцип устанавливает мини-
мальные свойства истинного поля скоростей по сравнению
со всеми кинематически возможными полями. Изучим теперь
экстремальные свойства истинного распределения напряжений.
110
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гл. IV
Рассмотрим, так же как и выше, установившуюся ползу-
честь тела под действием постоянных во времени объемных
сил X, Y, Z, поверхностных усилий Хп, Yn, Zn на SF и
скоростей vx, vy, vz, заданных на Sv. Истинные напряже-
ния Од., Оу, .. ., т2а, удовлетворяют трем дифференциальным
уравнениям равновесия (20.4) и трем условиям равновесия
(20.6) на SF; скорости точек на Sv должны иметь заданные
значения.
Сопоставим истинное распределение напряжений ах,
Су, .... т2Ж с бесконечно близкими, мыслимыми, статически
возможными распределениями напряжений
ах Н~ ^агс> ау Н~ • • • • Zzx Н- 0Tzar
Очевидно, что вследствие уравнений равновесия (20.4),
(20.6) вариации напряжений и вариации поверхностных на-
грузок (мы сообщаем бесконечно малые приращения ЪХп,
8Kn, 8Zn только поверхностным нагрузкам) уравновеши-
ваются, т. е.
^8аа; + ^8т^ + ^8т®-==0	У> <22Л)
Saccos (/г, х) ф-	cos (л,	+ отЖ2соз(п, г) = ЪХп
(х, у, z)	(22.2)
Так как мы не накладываем больше никаких условий на
вариации напряжений, то новое, мыслимое напряженное
состояние не может, вообще говоря, отвечать какой-либо
сплошной деформации. Сплошность деформации отличает, по
сути дела, истинное напряженное состояние от мыслимых
равновесных состояний.
Рассмотрим мощность вариаций напряжений на истинных
скоростях:
f	••• +W^)dlz-
v
Заменяя компоненты скорости деформации
их выражениями через проекции скорости vy, vz по
формулам (12.9), интегрируя по частям и применяя формулу
Гаусса — Остроградского (аналогично тому, как это было
f* |r
Ltl.
pi®
4l«
Rfc
f
M;
ra
§ 22] ПРИНЦИП МИНИМУМА ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ 111
сделано в предыдущем параграфе), получим благодаря урав-
нениям равновесия (22.1) и (22.2):
f (5® Цр +	+ • • • + Чгг ^®г) dV —
V
= f (vx 1Хп + vy 8 Yn + vs ZZn) dS. (22.3)
s
HI
।
г
Это уравнение справедливо для любой медленно движу-
щейся сплошной среды; из него вытекают условия нераз-
рывности скоростей деформации Сен-Венана (20.7).
2. Принцип минимума дополнительного рассеяния.
Обратимся теперь к рассматриваемому нами ползучему телу;
здесь компоненты деформации .. ., т;.сг связаны с на-
пряжениями зависимостями (20.11). Следовательно,
I ^у г>ау I • • • Н-
и уравнение (22.3) принимает вид:
8 f AdV= f (vxZXn+vylYn^vzZZn}dS. (22.4)
v	s
Пусть мощность вариаций внешних сил на истинных скоро-
стях равна нулю:

f (vx 8ХИ+ vy8Yn+vg SZn) dS = Q. (22.5)
s
Это условие выполняется, например, в случае, когда
на Sp заданы напряжения (тогда ьХп = 8Yn= &Zn = 0 на Sp),
а на Sv равны нулю скорости (t^ — vy = vz = 0). Тогда
8Д=0.	(22.6)
Из всех статически возможных напряженных состоя-
ний только истинное напряженное состояние сообщает
минимум дополнительному рассеянию тела Д,
112
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
Покажем, что достигается минимальное значение Л. Достаточно
для этого установить, что Б2Л > 0. Но
83Д = 82 | //</7 == 87 8//+//&27= (87)3
dti
dT
ф- 7/897.
Легко видеть (см. аналогичное утверждение в предыдущем
параграфе), что
837 = / 72 (Бад., ...)- [В^У3 1>0.
d Н
Для реальных материалов > 0. Пусть вариации нормальных
напряжений удовлетворяют условию
8ад. + 6а^ + 8с2 = 0.
(22.7)
Выясняя теперь условия одновременного обращения в нуль
величин 87, {...} и (22.7), нетрудно обнаружить, что 82Л может
стать нулем только, если все вариации напряжения равны нулю.
Таким образом, вариация Б2Л положительно определенная.
Рассмотрим условие (22.7); пусть оно не выполняется и близкое
состояние отличается от истинного на 8а. Из дифференциальных
уравнений равновесия вытекает, что 8а = const, а из условий на SF,
что 8а = 0. При 5^=0 задача имеет нулевое решение.
Установленный вариационный принцип можно рассматри-
вать как обобщение принципа Кастильяно.
3. Некоторые следствия. Из полученных вариационных
условий вытекают важные для приложений следствия.
Случай сосредоточенных сил. Пусть Р;(/ —
= 1, 2, 3, . . .)— сосредоточенные силы, приложенные к телу,
аг> Рь Тг — соответствующие направляющие косинусы этих
сил, г/д.;, vyi, vzi— проекции скорости точки приложения
силы Рг. Тогда, исходя из вариационного уравнения (22.4)
и полагая, что только одна сила Р; получает беско-
нечно малое приращение 8Рг, а опоры тела неподвижны,
находим:
SA =	+ ЗД) ZPi-
Но выражение внутри круглых скобок в правой части этого
уравнения есть проекция г/, скорости точки приложения
§ 23]	ТЕОРЕМА ЭНЕРГИИ	ИЗ
силы Pj на линию действия последней, следовательно,
# =	(22-8)
' т. е. частная производная от дополнительного рассеяния
] тела по величине приложенной сосредоточенной силы
® равна скорости точки приложения этой силы по напра-
влению действия последней. Обычными рассуждениями
нетрудно установить, что это утверждение справедливо и
] в отношении обобщенных сил и скоростей. Приведенная
1 теорема очень удобна для определения скоростей ползучести
в отдельных точках тела.
।	Случай «лишних неизвестных». Пусть напряжен-
ное состояние тела является функцией некоторого числа
1 параметров («лишних неизвестных») Xlt Х2, . . ., Xs. Условие
минимума дополнительного рассеяния Л приводит в этом
|( случае к системе уравнений
!*	йл
?	^ = °	(7=С 2, ..., s).	(22.9)
i	Приведенные результаты являются, по существу, обоб-
щением известных теорем Кастильяно х).
§ 23.	Теорема энергии
1.	Общее соотношение. Пусть тело занимает объем V,
ограниченный поверхностью S, причем на части SF заданы
усилия Хп, Yn, Zn, а на остальной части Sv заданы скорости
| vx, vy, vz. Рассмотрим мощность внешних сил
I
f + Yvy + ZvJ dV + f (ХЛ + Ynvy + Znvz} dS.
I	V	s
(23.1)
i	Исключая в поверхностном интеграле усилия Хп, Yn, Zn
с помощью соотношений (20.6), преобразовывая его в объем-
ный по формуле Гаусса — Остроградского и учитывая
i) Заметим, что для соотношений (14.2), (14.3) принцип (22.6)
т
шах
сохраняется, причем Л = 2	/(C)rf£.
о
8 Зак. 1058. л. м. Качанов
114
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
дифференциальные уравнения равновесия (20.4), находим
Я? = f +	+	(23.2)
г
Это соотношение справедливо для достаточно медленного
движения всякого сплошного тела. Механический смысл
выражения (23.2) ясен: мощность внешних сил равна мощ-
ности внутренних сил.
В случае установившейся ползучести имеют место фор-
мулы (20.1). Используя их, найдем (после несложных пре-
образований), что подынтегральное выражение в правой
части (23.2) равно f(T)T2, или, вследствие (20.3), просто TH.
Таким образом, в случае установившейся ползучести
= J TH dV.	(23.2)
v
2.	Случай степенной зависимости. В этом случае из
(23.2) с помощью (20.12), (20.13), (20.15) и (20.16) легко
получаем
<5’ = (/п+1)Л = (}а4-1)1.	(23.3)
3.	Принцип Сен-Венана. В тесной связи с энергетиче-
скими соотношениями находится принцип Сен-Венана. По
этому принципу систему сил, действующую на относительно
малую часть тела, можно заменить любой другой статически
эквивалентной системой усилий, так как при этом напря-
женное и деформированное состояния тела заметно изме-
няются лишь вблизи рассматриваемого места приложения
нагрузки. Принцип Сен-Венана справедлив и в теории ползу-
чести.
В самом деле, приведем рассуждения, аналогичные рассужде-
ниям Саусвелла и Гудье для упругого тела. Пусть силы, прило-
женные к упомянутой относительно малой площадке (порядок ее
размеров Л), статически эквивалентны нулю. Тогда можно принять,
что некоторый элемент этой площадки фиксирован. Пусть порядок
поверхностного напряжения на площадке равен /?; по закону ползу-
чести скорость деформации на площадке будет порядка Bipm,
3 скорость — порядка Вгрт А. Порядок мощности внешних сил
§ 24J	ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	115
gf—'P A2 • Вгрт А. Согласно (20.16) величина (тп-]-1)Л имеет поря-
док В1рт+1. Теперь из теоремы энергии (23.3) вытекает, что напря-
жения порядка р могут быть только в области, объем которой
сравним с А3.
§ 24.	Приближенные решения задач
установившейся ползучести
1.	Основная и смешанная задачи. Решение задач устано-
вившейся ползучести по сравнению с задачами неустановив-
шейся ползучести значительно проще; однако почти всегда это
нелинейные математические задачи. Поэтому достижение
результатов связано с большими трудностями. Значительный
разброс экспериментальных данных, являющийся следствием
высокой чувствительности металлов к неоднородностям и
изменению условий ползучести, также побуждает к поискам
приближенных (и притом достаточно простых) решений.
В этом параграфе излагается приближенный метод, отличаю-
щийся некоторой общностью.
Этот метод формулируется для следующих краевых задач
(возможно рассмотрение и несколько иных условий). В основ-
ной задаче на поверхности тела S заданы постоянные на-
грузки Хп, Yn, Zn. В смешанной задаче на части Sp заданы
постоянные нагрузки, на части Sv скорости vx, vy, vz равны
нулю1). Из соображений простоты объемные силы полагаем
отсутствующими.
Для указанных задач мощность вариаций внешних сил на
истинных скоростях равна нулю, и мы имеем следующее
уравнение:
Решение этого вариационного уравнения разыскивается
среди всевозможных напряженных состояний, удовлетворяю-
щих уравнениям статики. При построении приближенных
решений важно найти подходящие статически возможные
напряженные состояния.
2.	О зависимости решения от показателя т. Идеально
ползучее тело. Заметим прежде всего, что так как коэффи-
*) Заметим, что при этом точкам поверхности Sv могут быть
сообщены постоянные во времени смещения.
8*
116 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гл. IV
циент В входит в уравнения ползучести в качестве множи-
теля, то он не содержится в системе дифференциальных
уравнений основной задачи. На поверхности Sv скорость ч> = О,
следовательно, коэффициент В выпадает и из граничных
условий. Таким образом, напряжения в рассматриваемых
задачах не зависят от В, а скорости пропорциональны В.
Показатель т существенно влияет на распределение
напряжений. Некоторые особенности этой зависимости под-
Рис. 60.
щем выравнивается. При т
черкнуты при разборе про-
стейших задач, рассмотрен-
ных в предыдущей главе.
При т = 1 распределе-
ние напряжений совпадает
с распределением напряже-
ний в соответствующей за-
даче для упругого тела.
С возрастанием т распре-
деление напряжений в об-
оо в рассмотренных задачах
было получено распределение напряжений, совпадающее
с идеально пластическим распределением. Имеется, правда,
одно важное отличие: в задачах ползучести это предельное
состояние наступает при любом значении внешних
нагрузок (что связано с отсутствием фиксированного
«предела ползучести»).
В других случаях могут быть более существенные разли-
чия между рассматриваемым предельным состоянием (т —> оо) и
упруго-пластическим (или жестко-пластическим) равновесием.
Рассмотрим, например, задачу об изгибе консоли (рис. 60).
Формулы, полученные ранее (§ 18), применимы и в дан-
ной задаче, т. е.
_ М	2т / >'
> 	х \h)
1 г 2
(у > 0),
(24.2)
где W— обычный момент сопротивления. В пределе приходим
к идеально-пластической эпюре, но как бы с переменным
пределом текучести (рис. 60). Этот пример показывает, что
предельное состояние (при т~>оо), вообще говоря, не
приводится к идеально пластическому состоянию (в обычном
§ 24]	ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	117
P«nt
;
Шри
Ufl,
№
Wh
fcpi
к
t!w
р
f
Е
I
понимании). Будем полагать, что предельное состояние (при
т -* со) развивается в идеально ползучем теле-, условимся
это состояние называть предельным состоянием ползу-
чести. На некоторых особенностях этого состояния мы
остановимся несколько позднее.
3.	Приближенный метод решения. При построении при-
ближенного решения будем исходить из принципа минимума
дополнительного рассеяния Л = min; представим это уравне-
ние в виде
J?’"*1 dV = min,	(24.3)
v
гл.е.Т—Т1Т1, а 7\—-некоторое значение интенсивности
напряжений. Условимся отличать одним штрихом упругое
распределение напряжений (а'х, с', ..., а нулевым индек-
сом— напряженное состояние, отвечающее идельно ползучему
телу , о°, . . ., т° ). Считаем, что эти решения известны
и различны; кроме того, предполагаем, что предельное напря-
женное состояние о®, о°, ... не совпадает с напряженным
состоянием ни при каком конечном значении т.
Ищем решение вариационного уравнения (24.3) в форме *):
Напряжения (24.4) являются статически возможными при
любом значении параметра ^=^(/n); условимся его назы-
вать множителем К. При К = 1 имеем упругое распре-
деление напряжений, а при/< = 0 — распределение, соответ-
ствующее идеально ползучему телу. Внося выражения (24.4)
в уравнение (24.3) и выполняя интегрирование, получаем:
A = A(/<).
Значение множителя /< определяется из необходимого
условия минимума
# = 0-	(24.5)
!) Если предельное состояние неизвестно, можно исходить из
решения для достаточно большого т.
118 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ (гл. IV
Это уравнение в рассматриваемом случае степенного
закона ползучести принимает вид:
Рт (К) = f Тт~1 dV = 0.	(24.6)
v
Так как упругое решение удовлетворяет уравнению
Кастильяно, то очевидно, что
Л (0 = 0.	(24.7)
Учитывая, что
=	+	(24.8)
где положено
Л) = Л)/Л. Т_^Т_/Т1,
причем То — интенсивность напряжений о°, а°, .... а Т—
интенсивность напряжений а-—а'х — о®, с~=а'у— а°......
представим уравнение (24.6) в развернутой форме
(24.9)
При ш=\ К=1; с увеличением ш напряженное состоя-
ние тела монотонно изменяется от состояния а', а', . . ., т'
X у' ’ Х2
до состояния о®, о°, ..., т°г. Это соответствует, согласно
формулам (24.4), монотонному уменьшению К(т). Если, как
уже принималось выше, предельное состояние , с®, .. .,
не совпадает с напряженным состоянием ни при каком конеч-
ном значении ш, то можно считать, что множитель
7<(/п)>0	(24.10)
для всякого конечного т.
Решение уравнения (24.6) соответствует, как легко видеть,
минимуму Л (К). В самом деле,
|^Г = 2 У* Tm~lT\ dV+ f Tm~s dV > О,
к	v
(24.11)
так как т^-1 и каждый из интегралов положителен.
§ 241
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
119
Уравнение (24.5) определяет зависимость К=К(т). Най-
dK .
дем производную —.
д дЛ . д2А ЛК
дт дК ' дК? dm
(24.12)
Напомним, что > 0; необходимо установить знак пер-
вого члена выражения (24.12):
f Tm~l \пТ	dV.	(24.13)
дт дК J	дК
V
Как показывают вычисления в ряде примеров, эта вели-
чина при сделанных выше предположениях положительна;
в соответствии с этим можно, по-видимому, считать, что
^<0-	(24.14)
Таким образом, множитель К(т) — убывающая функция т,
стремящаяся к нулю при т-»оо (рис. 61, а).
Рис. 61.
Заметим, что в некоторых исключительных случаях, отно-
сящихся, по-видимому, к сравнительно простым системам
С конечцым чисдом обобщенных координат (решетки, рамы),
120 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
предельное напряженное состояние при т —> оо и напряжен-
ное состояние при некотором значении т = т1 совпадают.
Подобный пример содержится в § 39, п. 5. В таких случаях
имеется неоднозначная зависимость напряженного состояния
от показателя ползучести т и предыдущие заключения относи-
тельно множителя К=К(т) неверны. Тогда график К(т)
имеет вид, показанный на рис. 61,6.
Для нечетных значений т из уравнения (24.6) выте-
кает алгебраическое уравнение для множителя К- Коэффи-
циенты уравнения определяются при помощи квадратур изве-
стных функций. Если задача содержит одну лишнюю неиз-
вестную (как в случае решетки, § 16), то приближенный
метод дает точное решение. Заметим, далее, что определение
скоростей может быть осуществлено после нахождения поля
напряжений при помощи обобщенной теоремы Кастильяно.
4.	О построении зависимости К(т). Хотя реализация
упомянутых вычислений не требует, как правило, значитель-
ных усилий, тем не менее объем вычислений может быть
несколько обременительным; помимо нахождения коэффициен-
тов полинома необходимо еще вычислить подходящий корень
полинома.
Во многих случаях более удобен другой способ построе-
ния зависимости К(т). Будем исходить из соотношения (24.12),
рассматривая его как дифференциальное уравнение относи-
тельно К (т):
д /дА \
ак=^[дк)	(2415
~дК?
Для решения необходимо построить интегральную кривую
этого уравнения, удовлетворяющую начальному условию:
при т = 1 К=\.	(24.16)
Решение этой задачи удобно строить по методу Эйлера,
перейдя к конечноразностным соотношениям
K^i = Ki — (mi+1 — nti)
д дА
dm д/\
(24.17)
I
1
ш
it
kin
иц
ini
и
«I
•и
ill
'^(1
Мм
М;
Wij
§ 24]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
121
квадратуры
По значению Кг в точке вычисляется значение К)+1
в соседней точке /и,+1. В точках tnit Ki численно находятся
И Й (СМ' Ф°РМУЛЫ <24-13) и <2411))-
Так как р= i- изменяется в конечном интервале
то целесообразно перейти к переменному р. Легко видеть,
что соответствующие дифференциальное и конечноразностное
соотношения получим из уравнений (24.15) и (24.17) при
замене т на р.
Эффективным является также следующий прием. Задаем
несколько целых значений т, например /и=3, 5, 7, 9, . . .
Ожидаемые величины К {т) можно грубо оценить отноше-
нием (см. ниже). Для
сообщаем множителю К
л. 1
больших и меньших —;
т
К(/п) = 0,15; 0,30; 0,45.
Вычисляем Рт{К) для взя-
тых т и К, причем квадра-
туры, как правило, проще
находить численно. Иско-
мый корень К{т) опреде-
ляется графически (рис. 62).
Если для данного т все зна-
чения Рт {К) будут одного
знака, то нужно вычислить
дополнительную точку.
Найдя последовательно
7<(3), К (5), К{7), ....
строим кривую К (т). Имея
три-четыре точки (например,
т = 3, 5, 7, 9), можно при
этом получить надежные значения
вале 1<Сш<11~12.
5.	Аппроксимация К {tn) = т\ Множитель К {т) — убы-
вающая функция т (рис. 61, а), стремящаяся к нулю при
т —> оо. Вычисления, выполненные для ряда задач, показали,
что множитель К {т) может быть аппроксимирован степенной
каждого выбранного значения т
значений,
несколько
например.
подходящих
при т = 3
полагаем
О
Р3<5){.
Z?/5 Z7JZ7
Рис. 62.
0,45
5(3)	'~К
К(т) для всех т в интер-
122
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гл. IV
функцией !)
(24.18)
где v > 0 — некоторое число. Согласно (24.18) находим
dK\
(24.19)
Вследствие (24.12) получаем:
1
37?
0 o\ ( -
'x	°y)	---°:
У tLdV *
v
(24.20)

V = J
F
Здесь необходимо вычислить лишь две квадратуры. Сле-
дует иметь в виду, что аппроксимация функции (24.18) иногда
дает хорошее, а иногда несколько грубое приближение.
6.	Пример: ползучесть решетки. В качестве простейшего
примера рассмотрим решетку, состоящую из трех одинаковых
стержней (см. § 16). Упругое напряженное состояние о' и
предельное состояние ползучести с9 найдены в упомянутом
параграфе. Разыскивая согласно (24.4) множитель К из усло-
вия минимума А, получаем уже известную формулу (16.2):
К=3
2.^ — 1
2^4- 1 ’
являющуюся точным решением задачи. Легко видеть, что
O-^/C-^l. График К(т) показан на рис. 45 сплошной ли-
нией. Вычисляя аппроксимацию Д'(яг) согласно (24.18), нахо-
дим К(т) = /я-0-824; соответствующая кривая, изображенная
на рис. 46 пунктиром, близка к точной кривой.
Более сложные примеры будут рассмотрены позднее.
7.	О предельном состоянии ползучести. Вопрос о на-
хождении предельного состояния ползучести не является,
вообще говоря, простым. Обратимся к выяснению некоторых
*) Показательная функция приводит к чрезмерно быстрому
убыванию.
§ 24]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
123
ft#
свойств этого состояния. Будем полагать, что усилия, задан-
ные на поверхности Sp, изменяются пропорционально одному
параметру X:
= Yn^\YnQ, Zn = \Zn(i. (24.21)
Закон ползучести представим в форме
(24.22)
где ?! — некоторое значение интенсивности касательных на-
пряжений, а коэффициент р при конечном т имеет фикси-
рованное значение; при т —> оо коэффициент р может при-
нимать любое конечное значение.
При степенном законе ползучести, согласно теореме Илью-
шина [18] имеем:
=	(24.23)
где vx0, vy0, vz0 — функции x, у, z, пропорциональные p
и зависящие от параметров 7\, т. При всяком конечном т
эти функции определены и ограничены. При т —> оо считаем
эти функции ограниченными, но определенными с точностью
до общего произвольного множителя.
Мощность внешних сил равна
ZZ — J (-^по^а;	YnOvy -ф- 2иОц2) dS. (24.24)
Sp
Подставляя выражения (24.23), получим:
J (ХЛ+ Ки0^о+ ZnOvzO) dS Хт+1^0,
Sp
причем при всяком конечном т величина ограничена и
определена; при т —> оо ограничена, но определена
с точностью до произвольного множителя. По теореме энер-
гии имеем:
Хте+1^0 = (т+1)Л,
или
(it \”»+1
= ₽	dV,	(24.25)
F 1

124 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гл. IV
Из ограниченности вытекает, что в предельном со-
стоянии в теле, вообще говоря, будут области двух типов:
1)хй = 1’
2) ХК<Е
причем области первого типа всегда должны существовать,
так как > 0.
В областях первого типа интенсивность касательных на-
пряжений постоянна:
Т = \Т1 = const,
(24.26)
но это значение пропорционально параметру внешней нагрузки.
В этих областях реализуется интенсивное течение и можно
считать, что интенсивность скоростей деформаций сдвига
положительна:	> 0. Из соотношения
—
j-(2)
T’(i)
//(2) л (2)
вытекает, что —т-. —> 0, или /7 —>0. Тогда все составляю-
щие скорости деформации равны нулю в областях второго
типа, следовательно, области второго типа испытывают жест-
кое смещение. Отсюда вытекает важное заключение:
Если в рассматриваемой задаче области жесткого
смещения невозможны, то предельное состояние ползу-
чести совпадает с идеально пластическим (с отмечав-
шимся ранее отличием).
Это утверждение может быть сформулировано еще так:
С возрастанием т распределение напряжений стре-
мится к идеально пластическому распределению, если
по же тко-пластической схеме данная задача допускает
вполне пластическое состояние.
8. Некоторые примеры. Рассмотрим несколько приме-
ров, иллюстрирующих предыдущие результаты.
Ползучесть шара. Эта задача была изучена в §
Здесь отлична от нуля только радиальная скорость v=
19.
С,
г2’
§ 24]	ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
125
9 Уз
а интенсивность Н = ——<и. Области
второго типа невоз-
можны, так как в противном случае из-за непрерывности
скорости последняя должна равняться нулю всюду. Следо-
вательно, с возрастанием т распределение напряжений стре-
мится к вполне пластическому распределению. Это обстоя-
тельство было установлено в § 19 непосредственным пре-
дельным переходом.
Осесимметричная плоская деформация. Эта
задача аналогична предыдущей, так как здесь радиальная
С
скорость г/ — — , где С — произвольная постоянная, и
2
Н — — и. Области второго типа невозможны, и при т -> оо
будет идеально пластическое распределение напряжений.
Позднее (§ 56) это будет найдено прямым путем.
Кручение. Проблема кручения подробно анализируется
в гл. VIII. Здесь мы коснемся этого вопроса лишь в рас-
сматриваемом аспекте. Отметим, что в задаче ползучести
скручиваемого стержня справедлива та же кинематическая
картина, что и в упругой области: от нуля отличны только
скорости деформаций сдвига
(Эф \	(ду .	\
где ось z направлена по оси стержня, со—угловая скорость
кручения на единицу длины стержня, а функция ср — ср (х, у)
характеризует скорость депланации поперечного сечения. Ин-
тенсивность равна
' *xz 1 *yz
Допустим, что области второго типа имеются, тогда в них
Н = 0, следовательно, t]xz = 0,	— Отсюда вытекает,
что одновременно
сР = ^+/1(5'). ? = — xy + f2(x).
где fi(y), /2(х)— произвольные функции.
Тогда
2xy = f2(x)—fi(y),
126
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
что невозможно. Итак, предельное состояние ползучести
совпадает с идеально пластическим распределением напря-
жений. Точное решение задачи кручения при ползучести
известно только для круглого стержня (§ 17). В этой послед-
ней задаче указанный факт устанавливается предельным пере-
ходом.
Изгиб консоли. Примером другого рода является
задача о ползучести консоли, изгибаемой силой на конце
(рис. 60). Здесь распределение напряжений аналогично идеально
пластическому только локально и очевидно, что область вто-
рого типа имеется. Скорость прогиба консоли равна (см. § 42)
tW=^+1L(1-t) -1+^ + HJ. (24.27)
Прогибы, построенные по этому
уравнению, показаны на
рис. 63. Прямая линия
(т —> оо) соответствует
предельному состоянию
ползучести; для этого со-
стояния характерен «шар-
нир ползучести» в за-
делке, деформация лока-
лизуется в этом шарнире.
Остальная часть балки
может рассматриваться
как квазижесткая, но
поле напряжений в этой
части вполне определен-
ное. Таким образом, кине-
матическая картина сов-
падает с картиной тече-
ния жестко-пластической
балки.
9. О нахождении приближенного минимума полной
мощности. Как и выше, будем рассматривать основную крае-
вую задачу. Поле скоростей определяется из условия мини-
мума полной мощности
L — Jg7 = min.
(24.28)
Обозначим через ч>' — вектор скорости в случае т ~ 1;
это поле соответствует решению «упругой» задачи. С воз-
§ 24|	Приближенные решения задач
127
растанием т распределение скоростей стремится к распреде-
лению, характерному для жестко-пластического тела; об этом
свидетельствуют примеры, но нельзя, разумеется, утверждать,
что всегда поля скоростей в предельном состоянии ползу-
чести и в жестко-пластическом теле идентичны. Обозначим
через ®° вектор скорости в предельном состоянии ползучести;
это поле, вообще говоря, определено с точностью до общего
множителя. Будем предполагать, что вектор v° нормирован
каким-нибудь условием, например, условием равенства v'
и ©° в некоторой точке, где направления этих векторов
совпадают.
Если на поверхности S.v скорости равны нулю, то простой
приближенный прием, неоднократно применявшийся, состоит
в разыскании решения вариационного уравнения (24.28)
в форме
с©',	(24.29/
где с — искомый параметр. В случае степенного закона
£ = Г H^+1 dV = c^+lL',
н-Н J
v
где U и от с не зависят. По условию минимума
находим
(Iх +1) V
(24.30)
Такое приближение не всегда является удовлетворитель-
ным (см. § 42, п. 7), поскольку распределения скоростей
при т = 1 и больших значениях т могут заметно разли-
чаться. Напряжения по этому методу определяются с боль-
шой погрешностью, так как при этом необходимо вычислять
производные скорости V.
Другой прием приближенного решения, обсуждавшийся
на примерах Ходжем и Венкатраманом [104], также отно-
сится к случаю, когда на поверхности Sv скорость равна
нулю, и заключается в разыскании решения вариационного
128
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ методы [гл. IV
уравнения (24.38) в форме
® =	(24.31)
Этот способ связан в более или менее сложных случаях
с трудностями, на которые указали названные авторы. Дело
в том, что поле скоростей жестко-пластического тела не
является аналитическим, вследствие чего рассеяние L может
оказаться неограниченным (например, в случаях изгиба стерж-
ней и пластин, когда рассеяние выражается через скорости
изменения кривизны). Другая трудность состоит в том, что
поле v° не удовлетворяет, вообще говоря, кинематическим
требованиям (из-за появления «шарниров ползучести»), кото-
рым должно подчиняться решение вариационного уравне-
ния (24.28) при всяком конечном т. Ходж и Венкатраман
указали для случая изгиба балок прием, позволяющий обойти
эти трудности. Этот прием допускает некоторые обобщения,
но в общем случае трудности не устраняются.
Укажем еще один прием, хотя и связанный с более слож-
ными вычислениями, но не требующий равенства нулю ско-
ростей на поверхности Sv. Будем искать решение в форме
я — я'-$-с(ф°— v').	(24.32)
Параметр с определяется по-прежнему из условия ми-
нимума полной мощности. Следует заметить, что упомяну-
тые выше трудности здесь сохраняются, поэтому мы воздер-
жимся от возможного детального развития этой схемы, имея
в виду ее ограниченный характер.
10. Общий вариационный метод решения задач уста-
новившейся ползучести. Остановимся кратко на предложен-
ном автором общем вариационном методе решения задач
теории пластичности и ползучести (Прикл. матем. и механ.,
вып. 3, 1959). Этот способ позволяет преодолеть трудности,
связанные с неквадратичностью функционалов, и строить
решения прямыми методами с необходимой точностью. В ча-
стности, решения задач теории упругости, полученные вариа-
ционными методами, легко распространить на соответствую-
щие задачи теории ползучести.
Рассмотрим применение метода к разысканию минимума
дополнительного рассеяния
8 f ЛШ/ = 0,
v

§ 24]	ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
129
где
гИОЙЙ
kiili
ftasl
I’fJS.
ks;
hmiiiii
Will
fc r
1Ц
Ы
!й
к
№
I
IS
I
Im
I
F
L
F
V
т
к = f f(T)TdT,
О
Решение строим последовательными приближениями в форме
°Й)=%о+2с^	<*=°-	2- •••)• <24-33)
8 = 1
где а^0 — частное решение уравнений равновесия, удовле-
творяющее заданным условиям на Sp, %-8 — частные реше-
ния уравнений равновесия, удовлетворяющие нулевым гра-
ничным условиям на Sp. a cks— произвольные постоянные.
Полагая f(T) = const —где
’-'о
О0 — тангенс угла наклона
касательной для начального участка кривой T — g(H)H,
находим из уравнения
г
приближение о(°), соответствующее упругой (точнее,
вязкой) задаче.
нулевое
линейно
Коэффициенты с08 определяются из системы линейных
неоднородных алгебраических уравнений. Вычисляя по най-
денным напряжениям о|Ф интенсивность Го, полагаем Gr =
и определяем первое приближение об) из условия
минимальности квадратичного функционала
о
о
/1 7"2
J_±_rfV = 0
V
и т. д. Для ft-го приближения получаем:
8
Г 1 72
J ок 2
г
(IV —О,
где
(24.34)
9 Зак. 1058. Л. М. Качанов
130 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гл. IV
Заметим, что ОА можно также представить в форме
г ___г Тк-1
где
*
T'k-l = g (^fc-i)
Вычисление переменного «модуля» Gk по соответствующей
интенсивности Нк_1 (а не по интенсивности Тк_1') существенно
улучшает сходимость !). Наличие переменного Gk в k-м приб-
лижении лишь несколько усложняет вычисление квадратур,
само же k-e приближение имеет тот же вид, что и для
упругого тела.
В представлении (24.33) целесообразно удерживать число
членов, обеспечивающее необходимую точность решения
упругой задачи. Квадратуры удобно находить численно.
При определении «секущего модуля» Gk можно исходить
непосредственно из опытной кривой Т-Н. Сохранение той же
формы решения в каждом приближении (изменяются лишь
коэффициенты ска) значительно упрощает вычисления и, в отли-
чие от других методов последовательных приближений, исклю-
чает громоздкость результатов.
Аналогичный метод применим и для разыскания минимума
полной мощности. В этом случае решение задачи D ищем
последовательными приближениями в форме
=	(* = °> ь 2’ •••)• (24-35)
8 = 1
где V* удовлетворяет заданным условиям на Sv, vs обращаются
в нуль на Sv, a cks — произвольные постоянные. В нулевом
приближении полагаем g (И) — const — Go. В k-м приближе-
нии полагаем g (И) — g (Нк_1).
§ 26. Простейшие иллюстрации приближенного метода
Некоторые примеры, иллюстрирующие приближенный ме-
тод, обсуждались в предыдущем параграфе. Здесь мы рас-
смотрим другие примеры и сопоставим приближенные реше-
ния с точными для изученных ранее простейших задач.
1) Это подчеркнуто в статье И. А. Биргера (Прикл. матем.
и мехам., т. XV, вып. 6, 1951).
§ 25] ПРОСТЕЙШИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА 131
1. Кручение круглого вала. Точное решение задачи
об установившейся ползучести скручиваемого круглого вала
приведено в § 17. В этой задаче
, 2М г n 2М 3
па? a	на3 4
Будем разыскивать минимум дополнительного рассеяния Л,
полагая
T = J> -4-А7/ — т° ).
<pz 1	\	(fz)
После ряда несложных преобразований получим уравне-
ние
/(1 + КрГр(1+р)<*Р = О (р=|-£—i).	(25.1)
-1
Выполняя интегрирование, находим уравнение для мно-
жителя К-
/ 1— к \™+1
[ Л |	(1— 7<)[(m+l)(m + 2)(l— К) —
Г+з«/
— (m+l)(m+3)(2 — 70 + (m + 2)(m + 3)] =
= [(m + l)(m + 2)(l+|/<y —(m+l)(« + 3)X
х(1 +уК)(2 —/O + (m + 2)(m + 3)(l—/о]. (25.2)
Легко видеть, что при т— 1 множитель /С=1; при
т —> оо это уравнение имеет корень К— 0. Сообщая т
целые значения, вычисляем график функции /<(т); эта кри-
вая показана на рис. 64 сплошной линией.
Приближенная зависимость К = К(т) находится согласно
выражению (24.19) очень просто. Для этого продифференци-
руем уравнение (25.1) по т:
х/з
f (1 + in (1 н-Кр) (1 + р) р rfp+
-1
Vs
+ f (1+АГрГ“1(1+р)р2^р = о.
-1
132
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
Полагая здесь т = \, /С= 1» получаем

Vs
f (1 +р)2р ln(p+ l)rfp
-i	2
7,	— 3 ’
J* p2U + p)rfp
-i
Следовательно, приближенно имеем
1М’
График этой зависимости показан на рис. 64 пунктиром.
На рис. 65 приведено сопоставление точного и прибли-
женного распределений касательного напряжения т г для
т — 3, 6, 10.
2. Чистый изгиб. Точное решение задачи об установив-
шейся ползучести при изгибе парами дано в § 18. В этой
задаче
Разыскивая минимум дополнительного рассеяния Л в виде
]ЛЗ =	—о”).	(25.3)
получим, после подстановки его в Л и приравнивания нулю
производной уравнение
1
Л/ о	\~}т / q	\
l+tf (f1!— !)] (у 71—l)rf,n = 0
о
(l = |).(25.4)
Выполняя интегрирование, находим уравнение для мно-
жителя К'-
1 _	к-
1	п 'Х /1 ________ гл \ ш + 1
1	= \	1 I	(25.5)
1 +(т-|- 1)/С	‘	4	1
§ 25] ПРОСТЕЙШИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА 133
7.0
0.7
О} г 3 4 5 6 7 8 9 70 т
Рис. 64.
134
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
§ 25] ЙРОСТЕЙШИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА 135
Легко видеть, что при /п==1 получаем К=1, а при
/и—>оо получаем /С = 0. Кривая К = К(т), вычисленная
согласно уравнению (25.5), показана на рис. 66 сплошной
линией.
Множитель К в данной задаче можно представить при»
ближенно следующим образом:
Эта зависимость изображена на том же рис. 66 пунктиром.
Распределения напряжений — точное (согласно 18.6)) и
приближенное (согласно (25.3)) — показаны на рис. 67 соот-
ветственно сплошными и пунктирными линиями.
3. Полый шар под действием внутреннего давления.
Эта задача была изучена в § 19; здесь
у/ (~\3 •	т°  &_________1
2	’	21/3 1ПА •
а
Разыскивая минимум Л в форме
Т = Т>-\-К(Т' — ТО),
получаем следующее уравнение для К(т):
(25.6)
где положено
Уравнение (25.6) имеет вид
(25.7)
где введен символ
(l+/<s)™s = 0,
(п=1, 2, ..., tn~1; т — целое число).
136
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [гЛ. IV
Интегралы sn легко вычисляются. Кривая К (tri), найден-
1
ная для случая а = показана на рис. 68 сплошной
линией. Пунктиром нанесена кривая К (tn') согласно прибли-
женному представлению (24.18), которое в настоящей задаче
имеет вид:
К
Распределение напряжений для т = 6 показано на
рис. 69 (точное — сплошной линией, приближенное — пунк-
тиром).
§ 26. Схема жестко-ползучего тела
1.	Общие замечания. В предыдущих параграфах отме-
чалась известная аналогия между решениями задач ползу-
чести при т —> оо и решениями соответствующих задач
теории пластичности. Существенным отличием является от-
сутствие предельной нагрузки в задачах ползучести, хотя
распределение напряжений может быть вполне идентичным
идеально пластическому распределению.
Для технических расчетов очень удобна приближенная
схема, позволяющая в теории ползучести ввести аналог пре-
§ 261	СХЕМА ЖЕСТКО-ПОЛЗУЧЕГО ТЕЛА	137
дельной нагрузки. В этой схеме1), в сущности говоря,
используется заброшенное ныне представление о пределе
ползучести (напряжение, ниже которого ползучесть не на-
блюдается). Следует сразу же отметить, что, говоря о пре-
деле ползучести, мы не вкладываем в это понятие какое-либо
физическое содержание; этот термин используется лишь
в рамках развиваемой ниже схемы приближенного анализа
ползучести.
2.	Схема жестко-ползучего тела. Типичная кривая за-
висимости между интенсивностями Т и Н показана на
рис. 70, а. Пусть в рассматриваемой -конкретной задаче
уровень Т (или Н) не должен превышать некоторого значе-
ния Т* (или И*). В этом интервале кривую ползучести обычно
можно аппроксимировать ломаной ОтсС; наклон прямой тсС
для достаточно высоких напряжений быстро падает с увели-
чением показателя т. Точке перелома соответствует некоторое
напряжение тс; условимся называть его пределом ползу-
чести при чистом сдвиге (предел ползучести при растяжении
сс = ]ЛЗтс). Согласно этой аппроксимации при Т < тс нет
ползучести; при Т > тс происходит интенсивное течение.
Идеализируя эту картину, переходим к схеме жестко-пол-
зучего тела, изображенной на рис. 70, б. Эта схема вполне
идентична широко распространенной схеме жестко-пласти-
ческого тела. Решения, построенные для жестко-пласти-
ческого тела, полностью переносятся на случай жестко-
!) Заметим, что эта схема была, одновременно предложен^
FL И- Розенблюмом.,,
138
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. IV
ползучего тела; необходимо лишь вместо предела текучести т8
Рис. 71.
внести предел ползучести хс.
Для жестко-ползучего тела важно представление о пре-
дельной нагрузке (соответствующей исчерпанию несущей
способности). Расчет по схеме жестко-пол-
зучего тела сводится к нахождению мето-
дами теории пластичности предельной на-
грузки. Скорость ползучести определяется
с точностью до неопределенного множи-
теля (если нет дополнительных условий).
3.	Пример. Рассмотрим в качестве иллю-
страции простейшую задачу плоской дефор-
мации— растяжение полосы, ослабленной
отверстием достаточно большого диаметра
2а (рис. 71). По жестко-пластическому ре-
шению (см., например, [27], § 48) пластиче-
ское течение локализуется в треугольных
областях слева
ответствующие
на рис. 71.
Предельная
и справа от отверстия; со-
поля скольжения показаны
нагрузка равна
=	— а)хс.
Этот результат интерпретируется следующим образом.
При Р развиваются такие скорости ползучести, ко-
торые составляют незначительную долю Н*. Если же Р > Р*,
то скорости ползучести могут достигать и превышать Н*.
Эксплуатация конструкции будет безопасна, если взят не-
который запас n> 1 к предельной нагрузке Р*, т. е.
Р <2 —
' п
Решения других жестко-пластических задач могут быть
использованы столь же просто.
§ 27. Об установившейся ползучести неравномерно
нагретого тела
1. Основные соотношения. Пусть поле температур 6
стационарно и в рассматриваемом интервале температур
можно исходить из простой зависимости от темпера-
туры (§ 13). Тогда показатель т в законе ползучести можнр
“Ши |р	§ 27]	ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТОГО ТЕЛА	139
	считать постоянным, с температурой изменяется лишь коэф- фициент В, т. е.
tents |в® 8!; fuetiih |иеал. № Wftt" ?ГО 1-	В = В (6). При условии подобия кривых ползучести уравнения установившейся ползучести имеют вид: 2^ = В(е)Тте"1(аа:~а)	 (27Л) 'Чху — В (Q)T	...
к уса fUB| и IJ8 р, > j|TE f®	Как и прежде (§ 20), эти уравнения можно представить в иной форме, если ввести рассеяние L~	H^+i n + 1 и дополнительное рассеяние т +1
ta [ В	Легко видеть, что формулы (20.9) и (20.11) сохраняются: °х °		 д^г ’	(27’2)
к Г I1 1 1 1 1 1 1 1 1	(27.3) u~xz 2. Минимальные принципы. При указанном выше введе- нии потенциалов L и Л принцип минимума полной мощности L —	= min и принцип минимума дополнительного рассеяния Л = min имеют место и для неравномерно нагретого тела. Если в данном интервале температур коэффициент В можно считать постоянным, то переменность поля темпе- ратур не сказывается на состоянии установившегося течения. Если В является функцией В = В (6), то температур- ное поле влияет на состояние ползучести только через
140
УСТАНОВИВШАЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБТЦиЁ МЕТОДЫ |гЛ. 1V
изменяющиеся значения коэффициента В; начальные же тем-
пературные расширения не влияют (в отличие от соответ-
ствующих задач теории упругости) на состояние устано-
вившейся ползучести.
Следствия из вариационных принципов и общие методы
решения, рассмотренные ранее, непосредственно переносятся
на случай неравномерно нагретого тела. Заметим кстати, что
в приближенном методе, развитом в § 24, п. 5, под «упругим
решением» а'х, а', ..., ~'xz следует понимать решение соот-
ветствующей задачи теории упругости при переменном
модуле упругости, но без слагаемых аб, учитывающих теп-
ловые расширения.
3. Замечания по поводу общего случая. Предположе-
ние о простой зависимости от температуры значительно
упрощает анализ, но не является необходимым. Можно ис-
ходить из общих соотношений
2^=/(Т, 6)(ож — о)....
6)^, . . .
и ввести следующие функции:
н	т
L = f g(H, $)HdH, A = f f(T, B)TdT,
о	о
содержащие температуру в качестве параметра. При этом
минимальные принципы и следствия из них сохраняются.
(27.4)
§ 28. О квазиустановившемся течении
1. Уравнения ползучести. В ряде случаев, как уже
отмечалось выше (§ 14), можно пренебрегать упругими
деформациями по сравнению с деформациями ползучести.
Тогда уравнения ползучести (12.24) упрощаются и, если
кривые ползучести подобны, принимают вид:
2^ = В(С/1(7')(Оа: —с)...... |
=	•••	J	( }
Нетрудно также выписать и соответствующие обратные
зависимости.
“й jl
1-
38
d
'«[J
Util
wan
рмц
РИВГ
W<);
Ж;
Р» Ч
Of!|
| м»
|йй
I
г
(28.4)
§ 28]	О КВАЗИУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ	141
Введем рассеяние Lt и дополнительное рассеяние At
следующим образом:
в	т
L^fg^HdH, A^ff^TyTdT, (28.2)
о	о
причем
Н= В (ОЛ (Т) Л Т = В (t)gl (Н) И. (28.3)
Уравнения ползучести (28.1) тогда можно представить
в форме
^=в(/)4^-.....
2. Квазиустановившееся течение. Рассмотрим основную
и смешанную краевые задачи (§ 24). Напомним, что в сме-
шанной задаче тело, занимающее объем V, ограниченный
поверхностью S, испытывает малые деформации под дей-
ствием постоянных во времени нагрузок, заданных на части
поверхности SF; скорости точек части поверхности S,; равны
нулю. При S„ = 0 имеем основную задачу.
Легко доказать, что в этих задачах вариационное урав-
нение для дополнительного рассеяния имеет вид:
Ь^А^У = 0.	(28.5)
v
Решение этого вариационного уравнения определяет
истинное напряженное состояние. Ни уравнение (28.5), ни
граничные условия для допускаемых к конкуренции напря-
женных равновесных состояний не зависят от времени. Сле-
довательно, истинное напряженное состояние тела, под-
чиняющегося закону ползучести (28.1), не зависит от времени
(для указанных краевых задач). Что же касается скоростей
деформации и скоростей точек тела, то они пропорциональны
функции B(t).
Подобное течение тела будем называть квазиустано-
вившимся.
К этому понятию можно прийти также и непосредственно,
выписывая полную систему дифференциальных уравнений и
142 установившаяся ползучесть. Общие Методы [гл. iv
краевых условий в напряжениях; функция B(t) из этой си-
стемы выпадает.
Состояние установившейся ползучести (при v = 0 на
является частным случаем квазиустановившегося течения.
Если на заданы постоянные во времени и отлич-
ные от нуля скорости, то квазиустановившегося течения не
будет.
Заметим в заключение, что квазиустановившаяся ползу-
честь точно реализуется в статически определимых системах
при действии постоянных нагрузок.

b=i
Riff®
ta । <-
pi».
ГЛАВА V
^УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 29. Система уравнений неустановившейся ползучести
1. Общие замечания. Полная система уравнений не-
установившейся ползучести содержит соотношения ползу-
чести (закон ползучести), дифференциальные уравнения равно-
весия и условия совместности деформаций.
Дифференциальные уравнения равновесия (20.4) уже при-
водились в § 20; там же выписаны и условия совместности
Сен-Венана (20.7) для компонентов скорости деформации.
Уравнение несжимаемости (20.5) в задачах неустановившейся
ползучести имеет место лишь в тех случаях, когда прене-
брегают упругим объемным сжатием. К этой системе урав-
нений необходимо присоединить граничные, а также началь-
ное условия.
Пусть на части поверхности тела Sp заданы поверхност-
ные нагрузки (Хп, Yn, Zn), а на остальной части —
скорости (Тд., vy, vz); в отличие от состояния установив-
шейся ползучести здесь эти значения могут быть заданными
функциями времени. На Sp должны выполняться граничные
условия (20.6), а на Sv скорости должны принимать пред-
писанные значения.
Так как соотношения неустановившейся ползучести (12.24)
содержат первые производные от напряжений по времени,
то система дифференциальных уравнений ползучести также
будет содержать первые частные производные по времени
от неизвестных функций. Поэтому необходимо указать зна-
чения искомых функций в начальный момент времени.
Мы не выписываем здесь системы уравнений неустано-
вившейся ползучести, так как решить ее точно крайне трудно
даже в простых частных случаях (например, в задаче чистого
144 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. V
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
изгиба). К тому же точное решение вряд ли необходимо,
если учесть разброс экспериментальных данных и связанный
с этим приближенный характер исходных соотношений.
Основное внимание уделяется энергетическим теоремам,
с помощью которых можно указать эффективный приближен-
ный метод решения задач неустановившейся ползучести.
2. Дополнительная мощность деформации. Обратимся
к соотношениям ползучести (12.24):
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
0)4-l-A(0aj
~Чху ~ f (Т, t)	ТХу, . . .
Первые слагаемые в правой части относятся к скоростям
деформации ползучести, вторые — к скоростям упругой де-
формации.
Введем упругий потенциал
(29.2)
1__2v
где k = —g------коэффициент объемного сжатия.
Согласно формулам Кастильяно компоненты упругой де-
формации равны
„ ап
-----------------------
х аоз,’ 
е <*П
(29.3)
Введем функцию напряжений и времени
т
А = f f(T, f)TdT
о
(29.4)
и условимся называть ее, как и ранее, дополнительным
рассеянием. Эта функция допускает прежнюю интерпрета-
цию (§ 20).
Общие уравнения ползучести (29.1) можно теперь пред-
ставить в следующей форме:
Up
k
а
е д (. . дП\
Еж = -5— А Ч- 1.....
дса- \	1 dt )
а . ап\
~	(л+ at ) • • •
(29.5)
§ 29] система уравнений НЕУстАновившЕЙся ползучести 145
Функцию напряжений и времени
1 dt
назовем дополнительной, мощностью деформации.
В случае подобия кривых ползучести имеем
A = B(OAlt	(29.6)
где Aj — Л1 (Т) явно от времени не зависит.
Если, кроме того, имеет место степенная зависимость, то
Л = -Д^-Ти+1.	(29.7)
т-\-1	v 7
3.	Случай неравномерно нагретого тела. Обратимся
к случаю неравномерно нагретого тела; соответствующие
уравнения ползучести (13.1) были рассмотрены в § 13. Будем
полагать, что температура 6 не зависит от времени. Тогда
формулы (29.5) сохраняются, если, подобно предыдущему,
ввести функцию
т
A^f f(T, t, &)TdT	(29.8)
о
и считать, что коэффициенты упругости в выражении
упругого потенциала являются функциями температуры.
В случае подобия кривых ползучести и простой зависи-
мости от температуры будем иметь
A = A(0)B(OAi.
4.	Уравнения ползучести при пластических деформа-
циях. В этом случае соотношения ползучести кроме со-
ставляющих упругой деформации включают еще составляю-
щие пластической деформации (см. § 13):
2^ = §г1(Т)(аж —а), . . ., ]
_	} при dT > 0.
При разгрузке полагаем — 0.
Если ввести дополнительную работу (см. ]27], § 20)
т
Ъ = / ^(T)TdT,
д'
10 Зак. 1058. JI. М. Качанод
146 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. V
то полные соотношения ползучести можно представить
в форме:
Считаем, что при разгрузке (т. е. при dT 0)	= 0.
5.	Замечание об уравнениях теории старения. В теории
старения компоненты деформации связаны с ком-
понентами напряжения. Полная деформация состоит из
упругой деформации и деформации ползучести (пластическая де-
формация ниже не учитывается). Компоненты упругой деформации
определяются законом Гука. Компоненты деформации ползучести
связаны с напряжениями формулами теории упруго-пластических
деформаций (13.12).
Введем функцию напряжений и времени
Т
R* = f fAT, t)TdT
о
и назовем ее по-прежнему дополнительной работой.
Тогда уравнения теории старения будут представлены в форме
-=^<п+«.)......
и^ху
Если кривые ползучести подобны, то
(29.10)
где явно от времени не зависит. Заметим, что при этом можно
полагать = Лх.
§ 30.	Принцип минимума дополнительной мощности
1.	Исходное вариационное соотношение. Рассмотрим
некоторое тело (рис. 58), занимающее объем V, ограничен-
ное поверхностью 5 и находящееся в состоянии ползучести.
Пусть на тело действуют объемные силы (X, Y, Z); на
части поверхности Sp заданы поверхностные нагрузки
(Л'и, Yn, Z„), а на остальной части Sv—скорости (vx, vy, vz).
В некоторый момент времени t в рассматриваемом теле
§ 30] принцип минимума Дополнительной мощности 147
•
будут напряжения ох, су, ..тгх, удовлетворяющие трем
дифференциальным уравнениям равновесия (20.4) (силами
инерции пренебрегаем вследствие крайней медленности про-
цесса ползучести) и трем условиям равновесия (20.6) на части
поверхности Sp.
Кроме того, скорости точек части поверхности S(, должны
иметь заданные значения. Напряжения, соответствующие
этому реальному состоянию ползучести, будем называть
истинными. Рассмотрим в тот же момент времени t не-
которое мыслимое распределение напряжений
—Н &0Ж’ ау Ч- • • • > Tga; ~И
бесконечно близкое к истинному и также удовлетворяющее
дифференциальным уравнениям равновесия и граничным
условиям на Sf‘, поверхностным нагрузкам Хп, Yn, Zn мы
сообщаем произвольные бесконечно малые вариации ЪХп,
bZn.
Очевидно, что вариации напряжений и поверхностных
нагрузок уравновешиваются, т. е. имеют место уравне-
ния (22.1) и (22.2).
Рассмотрим, как и в § 22, мощность вариаций напряже-
ний на истинных скоростях
f +	••• Ч-^z^z)^-
F
Выполняя преобразования, указанные в § 22, находим,
что в силу уравнений равновесия (22.1) и (22.2) справед-
ливо вариационное уравнение
f (^х Ч~ ^у ^°у Ч~ • • • Ч~ Vxz ^xz) dV =
V
= j &xtXn+vybYn + vzZZn)dS. (22.3)
s
Это уравнение имеет простой механический смысл: мощ-
ность вариаций внутренних сил (напряжений) на истинных
скоростях равна мощности вариаций внешних сил (поверх-
ностных нагрузок). При выводе уравнения (22.3) не затра-
гивались механические свойства тела, поэтому уравнение (22.3)
пригодно для любой медленно движущейся сплошной среды.
10*
148 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. V
Как уже отмечалось, из уравнения (22.3), выражающего
условие сплошности тела, можно вывести уравнения нераз-
рывности скоростей деформации Сен-Венана (20.7)
2.	Принцип минимума дополнительной мощности. Об-
ратимся к рассматриваемой нами теории ползучести; здесь
компоненты скорости деформации	. . ., т]^ связаны
с напряжениями зависимостями (29.5). Далее, в некоторый
фиксированный момент времени t мысленно сообщаем си-
стеме вариации напряжений 8аж, Ьау..и вариации
поверхностной нагрузки ЗА^, 8En, 8Zn. Эти вариации со-
вершенно не связаны с вариациями в сколь угодно близкий
момент времени t dt и во времени могут изменяться
произвольно, даже скачкообразно. Наложим теперь ограниче-
ние на характер изменения вариаций во времени, а именно
потребуем, чтобы вариации напряжений и внешних сил не
изменялись во времени. Таким образом, вариации будут
как бы застывшими в течение всего процесса. Тогда опера-
ции дифференцирования и варьирования можно менять
местами, причем
=	=	^ = ^^ = 0. (30.1)
Теперь, пользуясь соотношениями (29.5) и усло-
виями (30.1), получаем:
• • • +^^==2^+4^)’ (30'2)
причем
Таким образом, вариационное уравнение (22.3) принимает
вид:
dV= f (^SXM + ^8yTO + ^8Zw) dS. (30.3)
s
Пусть мощность вариаций внешних сил на истинных ско-
ростях равна нулю:
f (v„ оХп + vy 8 Yn Д- vz oZn) dS = 0.	(30.4)
s
§ 30] ПРИНЦИП МИНИМУМА ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ
149
Это условие !) выполняется, например, в случаях:
1)	На поверхности тела S заданы напряжения; тогда
^>Хп — %Yn = ZZn — 0 на поверхности S. Этот случай мы
будем называть основной задачей.
2)	Часть поверхности тела Sp свободна от напряжений,
на другой части Sv заданы постоянные смещения; тогда на Sv
скорости ив = т»г/ = ‘Щ. = 0. При условии равенства нулю
объемных сил задачи этого типа мы будем называть релак-
сационными задачами.
3)	На части поверхности тела Sp заданы напряжения,
а на другой части Sv — постоянные смещения {смешанная
задача).
Итак, при условии (30.4) будет
=	(30.5)1
v
Истинное распределение напряжений характеризуется:
минимумом дополнительной мощности деформации
тела [24].
Покажем, что реализуется минимум дополнительной мощ-
ности. Так как 11 = 11(0,,., ау, .... тжг) — однородная квадра-
тичная форма напряжений, то о2П является квадратичной
формой 2П(баж, ..........отд.г) от вариаций напряжений;,
но последние не изменяются во времени, следовательно,
о2 (Л-f- ~ j = 82Л. Остается напомнить, что в § 22 было
показано, что 82Л > 0 всякий раз, когда близкие статически
возможные напряженные состояния отличаются не только на:
равномерное гидростатическое давление. Этот вывод отно-
сился к уравнениям установившейся ползучести. Легко,
однако, проследить, что он справедлив и для общих зависи-
мостей между скоростями деформации ползучести и напря-
жениями.
Установленный вариационный принцип можно рассматри-
вать в некотором смысле как обобщение принципа Кастильяна,
1) Ниже различаются три сравнительно простых случая. Усло-
вие (30.4) справедливо и в более общих случаях, например, когда
на поверхности S (или на ее куске) частично заданы поверх-
ностные нагрузки (скажем, Хп), частично скорости равны нулю
{vy = vz = 0).
150 НЕУСТАНОВИВЩАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. V
(

В заключение отметим, что в случае подобия кривых
ползучести и степенной зависимости
Л= f -^Lrm+ldV.
J -J- 1
V
3, Некоторые следствия. 1) Пусть Pi (I — 1,2,3, . ..)—
сосредоточенные силы, приложенные к телу, ait — соот-
ветствующие направляющие косинусы этих сил, vyi, vzi —
проекции скорости точки приложения силы Рг. Тогда,
исходя из общего вариационного уравнения (30.3) и пола-
гая, что только одна сила Рг получает бесконечно малое
приращение ЪРг, а опоры тела неподвижны, находим:
8 + fr')=	8Pi'
Но выражение внутри круглых скобок в правой части
этого уравнения есть проекция скорости точки приложе-
ния силы Р{ на линию действия последней, следовательно,
<30-6)
т. е. частная производная дополнительной мощности дефор-
мации тела по величине любой приложенной сосредоточенной
силы равна скорости точки приложения этой силы по напра-
влению действия последней. Обычными рассуждениями не-
трудно установить, что это утверждение справедливо и
в отношении обобщенных сил и скоростей.
2) Пусть напряженное состояние тела является функцией
некоторого числа параметров («лишние неизвестные») Х1г
Х2, .... Хк. Условие минимума дополнительной мощности
деформации приводит в этом случае к системе уравнений
аМх+^)=° »=1>2...................*>• <30-7’
которая является системой дифференциальных уравнений
первого порядка относительно производных . Для опре-
деленности задачи следует к системе (30.7) присоединить
начальные условия
=	(30.8)
и
ч
31
а
"|
к
№ |f.
§ 30] ПРИНЦИП МИНИМУМА ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ мощности 151
Р крг
Значения Xi0 находятся из решения соответствующей
упругой задачи. Так как A = B(f)A1, где At явно от вре-
мени не зависит, то система (30.7) имеет вид:
ti
г
1
II
((=1.2......к).	(30.9)
о А,-	ал"- at
В качестве простого примера рассмотрим задачу о ползу-
чести решетки, рассмотренной в § 16.
При степенном законе ползучести имеем:
Л = А^[оГ‘+2(»-о,)”"]«,
ft =	[о?+2 («—».)")«•
Согласно (30.9) получаем прежнее дифференциальное
уравнение
>+1 ЕВ> (о	2 (s - »,)”] = О
.	2
при начальном условии a, |f=0 = -g-s.
Заметим, что система уравнений (30.9) относится не только
к случаю действия постоянных нагрузок, но и к релакса-
ционным задачам, когда на границах тела заданы постоян-
ные смещения. Остановимся кратко на простейшем примере
релаксации напряжения в стержне (§ 8); неизвестным здесь
является растягивающее напряжение в стержне a = a(t).
Дополнительная мощность деформации стержня равна
dt Lm+1 dt 2Е]
где I — длина стержня, F — площадь поперечного сечения.
Условие минимума дополнительной мощности приводит
к известному нам дифференциальному уравнению релаксации
-Ь (s+<)=h <o<=”+44]п=°-
4.	Случай неравномерно нагретого тела. Легко про-
следить, повторяя приведенные выше рассуждения, что
истинное распределение напряжений в неравномерно нагретом
152 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. V
теле также сообщает минимум дополнительной мощности
тела
»'=л+4?.
1 ot
где Л определяется формулой (29.8), а упругие коэффи-
циенты являются, вообще говоря, функциями температуры 6.
5.	Случай пластической деформации. При наличии пласти-
ческих деформаций следует исходить из уравнений (29.9). Тогда
 Л -|- -Л- (П ф А\) при нагружении (dT > 0),
Й7 = !
I
при разгрузке (dT -ф 0).
Вследствие малости смещения частиц критерий нагружения и
разгрузки может быть также представлен в форме
дТ п	дТ
dt	dt
Условимся обозначать дополнительную мощность при нагру-
жении через а при разгрузке — через W2.
Области нагружения и разгрузки разделяются некоторыми
поверхностями S2> •••> изменяющимися в процессе течения тела.
Рассмотрим некоторую из этих по-
верхностей в момент t (рис. 72).
Пусть с положительной стороны
dT п
поверхности —^у- >0, с отрицатель-
„ dT п
нои < 0; сама поверхность S ха-
dT п
рактеризуется уравнением = 0
и соответствует точке перехода от
нагружения к разгрузке. Вследствие
этого на поверхности Е считаем
непрерывными все компоненты на-
пряжения и деформации. Если сле-
дить за состоянием некоторой ча-
стицы тела, то в момент пересе-
чения ее движущейся поверхностью
2 скорости деформации и напряжения испытывают
разрывы.
В дальнейшем для простоты считаем, что имеется лишь одна
поверхность раздела S, разбивающая объем тела на две. части Vj
и У2.
to If
1°
№
§ 30] принцип Минимума дополнительной мощности 153
Рассмотрим дополнительную мощность тела
IF = f WrdV-Y J W2dV=W1-lrW2
V,	Va
и вычислим вариацию W, проводя, как и выше, варьирование для
_ да— д „
данного момента времени, причем В	Ъах = 0, ...
При варьировании напряженного состояния интенсивность Т
получает некоторое приращение В7; будем считать вариации такими,
что новые области разгрузки и нагружения не возникают, лишь
поверхность 2 несколько смещается в новое близкое положение S'.
По известной формуле варьирования в случае движущейся границы
(см. Гуре а, Курс математического анализа, т. I, часть I, допол-
нение) имеем: *
f WibndS,
= J 6U7r dV+
г,
BlTi
Bl?2 = J bW2dV —
W2 Bn dS,


где Bn — бесконечно малое смещение точки поверхно с ти X п
варьировании напряжений. Таким образом,
BIF = J*Bir1rfV+ J'(W1—Wr2)bndS+j'bW2dV.
В	га
Рассмотрим разность
W _ г2)2 = [л ^.(П + /?х)] - [л +	,
где индексы + и — указывают на значения W, взятые соответ-
ственно с положительной и отрицательной стороны поверхности
раздела. Так как Д = Л(Г, t), а на X напряжения непрерывны
то Л+ = Л_. Упругий потенциал П и дополнительная работа
от времени явно не зависят. Будем пренебрегать сжимаемостью,
что почти всегда приемлемо для задач, связанных преимущественно
с процессами сдвига. Тогда П^-^- Т"1 и
(Г, - щ, = [<п + W 4Р]+ - [ П- 4^] _.
где штрих означает производную по Т. Так как на поверхности
раздела — 0, то (W\—1^2)2 = 0 и
BIT = 6
I" WidV-[- J W2 dV
_Fi	П
(30.10)
154 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [гЛ. V
Мы рассматриваем вариацию W при условии (30.4), следова-
тельно,
= 0.
(30.11)
Это уравнение распространяется, очевидно, на случай боль-
шего числа областей. Таким образом, действительное напряженное
состояние сообщает минимум дополнительной мощности тела. Это
условие определяет и само положение поверхностей раздела.
В принципе для приближенного решения может быть исполь-
зована следующая схема: задаем статически возможные напряже-
ния и поверхность 2 в функции некоторого числа произвольных
параметров; последние определяются из условия минимума дополни-
тельной мощности. Следует, впрочем, отметить, что разыскание
таким способом поверхности раздела 1 не легко, так как пара-
метры поверхности S будут входить в пределы интегрирования и
будут в связи с этим определяться, как правило, из весьма слож-
ных уравнений.
6. Замечание о вариационных принципах в теории старе-
ния. Как уже отмечалось, уравнения теории старения, содержащие
время t в качестве параметра, совпадают по существу с уравнениями
теории упруго-пластических деформаций. Поэтому в теории старения
справедливы принцип минимума полной энергии и принцип мини-
мума дополнительной работы (см. р7], § 20). Последний принцип
для рассматриваемых задач и уравнений вида (29.10) предста-
вляется в форме (см. РЕ], § 70)
В J [Q(f)Ai + n]rfV=0.
V
(30.12)
Укажем здесь же, что в недавно опубликованной работе
С. А. Шестерикова [84] сформулирован вариационный принцип
в теории упрочнения. Этот принцип характеризует экстремальные
свойства истинных напряжений.
§ 31.	Начальное состояние
В начальный момент времени (при нагружении) деформа'
ции ползучести равны нулю и тело получает лишь мгновен-
ную деформацию. Эта деформация может быть упругой и
упруго-пластической.
1.	Начальное упругое состояние. Начальное упругое
состояние описывается уравнениями теории упругости. Мы не
останавливаемся на них, полагая, что эти уравнения известны
читателю. Приведем лишь формулировки минимальных прин-
ципов теории упругости, так как в дальнейшем нам необхо-
димо будет ссылаться на них.
§ 31J
НАЧАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ
155
Принцип минимума полной энергии. Форма, которую
принимает упругое тело под действием заданных сил и пере-
мещений, отличается от всех возможных (с точки зрения
наложенных геометрических связей) тем, что только истин-
ная форма равновесия тела сообщает минимум полной энер-
гии системы:
где
f HdV—Л | = 0,
v
е2
6fe
Г2
(31.1)
(31.2)
П
G
2
есть плотность упругой потенциальной энергии тела, выра-
женная в функции компонентов деформации, а
Л — J* (Айд, -|- YUy	Zuz) dV -J-
v
"4“	“Н ^п^у ~~Н	dS
S
(31.3)
есть работа внешних сил; варьируются смещения их, иу, иг,
причем внешние силы не зависят от смещений.
Принцип Кастильяно. Истинное напряженное состояние
упругого тела в отличие от мыслимых статически возмож-
ных напряженных состояний, отвечающих тем же приложен-
ным внешним силам (смещения на Su обращаются в нуль), сооб-
щает упругой потенциальной энергии тела минимум, т. е.
8 f П dV = 0	(82П > 0).	(31.4)
v
Здесь П выражено в функции напряжений, т. е.
П = |	+	(31.5)
2.	Начальное упруго-пластическое состояние. Пусть
в начальный момент времени в теле возникают упругая и
пластическая области V\ и 1/2 (ограничимся для простоты
двумя областями), разделенные поверхностью S. Тогда поле
156 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. V
напряжений и положение поверхности Е определяются мини-
мумом дополнительной работы всего тела (см. [27], § 20):
sf	pn-f-ZOdV j=0.
If,	f.	/
(31.6)
§ 32.	О приближении к состоянию
установившейся ползучести
В § 16 на примере ползучести решетки было показано,
что под действием постоянной нагрузки напряженное состоя-
ние изменяется от начального упругого к состоянию уста-
новившейся ползучести. Подобная картина вообще харак-
терна для ползучести тел под действием постоянных нагрузок.
Можно считать (строгое доказательство этого положения
отсутствует), что по прошествии известного промежутка
времени наступает состояние ползучести, близкое к устано-
вившемуся. Если этот промежуток мал по сравнению с дли-
тельностью «жизни» рассматриваемого тела, то изучение
ползучести последнего можно проводить, основываясь на
уравнениях установившейся ползучести, что значительно
проще. В задачах релаксационного типа установившееся
состояние характеризуется отсутствием напряжений и ско-
ростей деформации; общая же картина ползучести также
сводится к изменению напряженного состояния от началь-
ного упругого к установившемуся (нулевому) состоянию.
Рассмотрим основную задачу, в которой заданы постоян-
ные внешние нагрузки; напряженное состояние тела в этом
случае определяется вариационным уравнением
0.
Интегрируя это уравнение по времени от 0 до t.
по-
лучим:
АЛ-|-П(/) — 8П(0) = 0,
где П(/) — упругая потенциальная энергия тела в момент
времени t, П(0)— упругая потенциальная энергия тела
§ 32] О ПРИБЛИЖЕНИИ К УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 157
в начальный момент времени 1 = 0. Но в начальный момент
времени имеем упругое распределение напряжений, поэтому
в случае заданных внешних сил оно удовлетворяет уравне-
нию Кастильяно ВП (0) = 0; следовательно,
t
(32.1)
Основываясь на этом уравнении, можно указать крите-
рий приближения к состоянию установившейся ползучести,
если воспользоваться некоторыми соображениями, имеющими,
правда, нестрогий характер. Будем полагать, что упругая
энергия П(/) не может существенно превышать энергию П(0).
Это вытекает из постоянства действующих внешних нагру-
зок, вследствие чего в теле всегда будут конечные напря-
жения в достаточно большой части объема V при конечных
нагрузках; более того, по той же причине П(/) и A(f)
ограничены. Известно, что деформированное и напряженное
состояния упругого тела в основном определяются главными
членами в выражении упругой энергии. Подобное же поло-
жение справедливо, конечно, и в теории ползучести. Здесь
с течением времени соотношение между положительными
t	t
величинами П(/) и f A(t)df меняется, так как J* Adt воз-
о	о
растает вместе с временем. В начале процесса ползучести
(при малых t) превалирует П(/), и тогда напряженное
состояние характеризуется уравнениями теории упругости.
t
Позднее J* Adt становится более значительным по величине,
о
и тогда напряженное состояние близко к состоянию устано-
вившейся ползучести. Таким образом, состояние ползучести,
близкое к установившемуся, наступает тогда, когда деформа-
ции ползучести превышают более или менее значительно
упругие деформации, соответствующие напряженному состоя-
нию при больших t.
158 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. V
Это замечание относится лишь к случаю действия задан-
ных внешних сил (так как здесь 8П(0)=0). Заметим также,
что в статически определимых системах напряжения не изме-
няются.
§ 33.	Теорема энергии
1.	Общее соотношение. Рассмотрим ползучесть тела,
занимающего объем V и ограниченного поверхностью S.
Пусть на части поверхности Sp заданы напряжения Хп, Yn, Zn,
а на остальной части — скорости vx, vy, vz. Рассматривая
мощность внешних сил согласно (23.1) и выполняя те же
преобразования, что и в § 23, получим формулу (23.3)
v
aV^V	dV.
Это соотношение справедливо для достаточно медлен-
ного движения всякого сплошного тела. В случае ползу-
чести напряжения и компоненты скорости деформации свя-
заны формулами (29.5); с помощью последних легко на-
ходим:
Величина внутри последних круглых скобок равна
так как П — однородная квадратичная форма напряжений,
то величина внутри вторых скобок равна 2П; примем сте-
пенной закон ползучести; тогда Л — однородная функция
напряжений степени т~\~ 1 и величина внутри первых ско-
бок равна (т-|-1)Л. Таким образом,
^ = /[(m+1)A+“]dV.
V
(33.1)
§
Теорема энергии
159
Первое слагаемое в правой части есть мощность деформа-
ции ползучести, второе—скорость приращения упругой
потенциальной энергии тела.
2.	Релаксационные задачи. Рассмотрим в качестве при-
мера релаксационные задачи. В этих задачах напряжения на
поверхности 5л? равны нулю, а на заданы постоянные
смещения, следовательно, на S,, скорости vx = vy — vz — Q\
таким образом, ^ = 0, и уравнение (33.1) принимает вид:
V
(33.2)
Так как Л положительно, то из уравнения (33.2) выте-
кает, что упругая потенциальная энергия тела все время
убывает. Уравнением (33.2), как мы увидим ниже, удобно
пользоваться при рассмотрении релаксационных задач.
ГЛАВА VI
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
При нагружении тела в нем в начальный момент вре-
мени £ = 0 возникают упругие или упруго-пластические
деформации. Вследствие ползучести напряженное состояние
тела с течением времени будет изменяться, стремясь (при
постоянных внешних воздействиях на тело) к состоянию
установившейся ползучести. Можно считать, что при доста-
точно большом времени состояние тела будет близко
к установившемуся состоянию. Тем не менее, важно знать
протекание процесса неустановившейся ползучести; во-пер-
вых, потому что многие тела находятся в состоянии неустано-
вившейся ползучести в течение большей части своей «жизни»,
во-вторых, даже в случае тел, пребывающих значительную
часть своей «жизни» в состоянии установившейся ползу-
чести, часто необходимо знать темп приближения к устано-
вившемуся состоянию. Упомянем, наконец, о важном классе
релаксационных задач.	I
Точное решение задач неустановившейся ползучести
является очень трудной математической задачей даже в про-
стых случаях1). Так как для явления ползучести характерен
большой разброс экспериментальных данных, то нет смысла
искать точные решения при помощи сложных методов, тем
более, что качественная картина неустановившейся ползу-
чести проста. Ниже дано эффективное приближенное реше-
ние задач неустановившейся ползучести — основной и релакса-
ционной, основанное на принципе минимума дополнительной
мощности. Смешанные задачи можно решать тем же спо-
собом.
’) Метод численного решения излагается в статье П. С. Кура-
това и В. И. Розенблюма, Прикл. матем. и механ., т. 24, в. 1, 1960.
§ 34]
ползучесть при Заданных нагрузках
161
§ 34.	Неустановившаяся ползучесть
при заданных нагрузках
1.	Общее решение. Пусть на поверхности тела S заданы
напряжения Хп, Yn, Zn, неизменные во времени (так же как
и объемные силы X, Y, Z). Будем предполагать, что пла-
стические деформации отсутствуют. Тогда в начальный
момент времени t = 0 распределение напряжений и деформа-
ций описывается уравнениями теории упругости; соответствую-
щие величины будем отмечать одним штрихом (а'х, а',
е&, .. .); считаем, что это решение известно. На-
пряжения и скорости деформации, отвечающие состоянию
установившейся ползучести, отмечаем двумя штрихами
(а", а", ...;	...у Будем полагать, что это решение
также известно.
При заданных нагрузках картина неустановившейся ползу-
чести сводится к медленному и монотонному изменению
напряженного состояния от упругого состояния (при t = 0)
к установившемуся (при t —> оо). Это подсказывает следую-
щий способ построения приближенного решения.
Процесс неустановившейся ползучести определяется, как
мы знаем (§ 30), вариационным уравнением
8/(л+^)л'=0' <341>
V
Напомним, что здесь сопоставляются статически возможные
напряженные состояния. Будем искать приближенное реше
ние уравнения (34.1) в виде
а — s (t) а -4- х (t) а",
х v > х । v > х
х = s (t) т' -I- т (t) т" ,
XZ ' ' XZ I v > xz'
где s(Z), x(Z)— произвольные функции времени. Так как
системы напряжений о' о' .... т' и а" а" .... х" удо-
влетворяют в отдельности дифференциальным уравнениям
равновесия (20.4) и граничным условиям (20.6), то для того,
чтобы построенная система напряжений аж, .....-zxz была
статически возможной, необходимо, чтобы
s(t)= 1—х (0.
11 Зак. 1058. Л. М. Качанов
162 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ (гл. VI
Тогда
(34.2)
о — с' -4-x(t)(c" —а'),
аз аз 1 А ' \ х х)’
Функцию времени x(Z) условимся называть множителем т.
Внесем теперь эти значения в выражения упругой энер-
гии П и дополнительного рассеяния Л, причем примем для
простоты, что кривые ползучести подобны; тогда Л = В(/)ЛР
Так как напряжения а' .... т' ; а" .... т" известны,
то П и Л; будут функциями одного множителя т, т. е.
П = П(т), Л = Л1(т). Следовательно, условие минимума до-
полнительной мощности тела приводится к уравнению
4[в(/)л1(,)+4А(,)]=о,
откуда сразу вытекает дифференциальное уравнение для
множителя т(/):
W)
dAj (т) . <РП (т) dz _
dx	~	dz* dt
0.
(34.3)
Условимся отмечать черточкой снизу величины, относя-
щиеся к разностям напряжений:
ff	г	tf	t	tf	t
<з_~<з —a ; т_ =т —— т ; a_=o — o.
XXX	xz xz xz
Интенсивность
для этих величин,
касательных напряжений, вычисленную
обозначим через Т_ и т. д. Заметим, что
7'2 = 7,'2-|_tN + ?7'2_,
(34.4)
где положено
Af —-5~Г(с'— а')(с_— С-) +	6т'	-ф- ..1.1.
о х у! V аз у>	ху ху	3
Очевидно, что П(т) — положительная квадратичная функ-
ция т, и
—Я2Т) ~2 /n_rfV = 2fi_>0
(34.5)
v
§ 34]	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ЗАДАННЫХ НАГРУЗКАХ	163
и от т не зависит; при этом предполагается, что начальное
упругое состояние и состояние установившейся ползучести
тождественно не совпадают (т. е. а_ ф О, 0 одно-
временно). Вернемся теперь к уравнению (34.3). Это — урав-
нение с разделяющимися переменными; интегрируя его при
очевидном начальном условии
при / = 0 т = 0	(34.6)
(в начальный момент времени распределение напряжений
упругое), находим
т
2(0 = 2Й_/^-,	(34.7)
о
где 2 (0 имеет прежнее значение (§ 1), а
=	(34.8)
V
Напряжения а", а", .... т"г являются решением вариа-
ционного уравнения (см. § 22)
8АХ = 0.
Если искать решение этого уравнения в форме (34.2),
ТО для множителя т получим уравнение
4/а(П^Л'=о.
очевидным решением которого является т — 1. -Следовательно,
Q(l) = 0.
Заметим, что Ух (Т')	0, а есть линейная функция т.
Вычислим, далее, производную
Нетрудно видеть, что
^72
дх1
= 2Т2_
0;
^->0
ат
11*
164 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. VI
Первое неравенство очевидно. Обратимся к доказатель-
ству второго неравенства.
Согласно (12.22) и (12.25) интенсивность скоростей
деформаций сдвига ползучести равна
Нс = В (f)j\ (Т) Т.
Отсюда
ИЛИ
dfi _	1 f dHc Нс \
dT ~ В (/) Т \ dT ~ Т )'
Так как скорость ползучести резко возрастает с увели-
чением напряжения, то кривая зависимости интенсивности
скоростей деформаций сдвига Нг от интенсивности касатель-
ных напряжений Т обращена вогнутостью вверх (рис. 73);
поэтому
dHc	Нс _ АВ	АВ
dT	Т ~ ВС	~ВО > U‘
Таким образом, величина внутри квадратной скобки
dQ
в выражении для положительна и
^ < о.	(34.9) I
Итак, Q(x) — монотонно убывающая функция, положитель-
ная в интервале 0 т < 1 и обращающаяся в нуль первого
порядка при т = 1; кривая <2(т) показана на рис. 74 сплошной
линией; на оси ординат она отсекает отрезок
Q (0) = -1 fi (Г) N dV > 0.	(34.10)
В случае степенной зависимости имеем (Г) = т'”-1,
и тогда
С(’) = -7гфг^./’7'“+,‘гК	(34'"> ,'1'
Г
я
§ 34]	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ЗАДАННЫХ НАГРУЗКАХ	165
Если /и —нечетное число, то Q(x)— полипом степени т,
имеющий следующую структуру:
Q(t) = Q(0)(1—	(34.12)
где полином (т—1)-й степени
Qm-1 СО = 1 + OfC Д- о2т2 4-
•••
в интервале 0^т^1 положителен.
Вернемся теперь к уравнению (34.7); так как по дока-
занному подынтегральная функция имеет при т = 1 полюс

первого
функция
возрастает
стремясь к бесконечности по
линейному закону при t —> оо
(рис. 27). Следовательно,
уравнение (34.7) определяет
т(/) как монотонно возра-
стающую функцию времени,
асимптотически приближаю-
щуюся к значению т = 1
при t -> со (сплошная линия
на рис. 75). Согласно полученному решению состояние
ползучести с течением времени монотонно изменяется
от начального упругого состояния к состоянию устано-
вившейся ползучести.
порядка, то при т =1 интеграл расходится. Далее,
й (£) монотонно
со временем,
Рис. 75.
166 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. V1
Для простейших задач (например, для решетки с одним
лишним неизвестным, рассмотренной в §16) найденное
решение является точным.
2. Линейная аппроксимация. При нахождении множи-
теля -с (t) согласно полученному решению необходимо вы-
числить ряд квадратур от известных функций по объему
тела. Так, в простейшем случае нечетного т при помощи ква-
дратур определяются коэффициенты полинома alt а2,..., ат_г,
Q(Qi) и П_. Указанное обстоятельство заметно увеличивает
объем вычислений.
Можно, однако, рекомендовать приближенный прием,
позволяющий просто получать зависимость т(£). На рис. 74
сплошной линией нанесен график функции <?(т). Вычисления
показывают, что хорошие результаты можно получить на
основе линейной аппроксимации
Q(t) = Q(0)(1— т).	(34.13)
Эта прямая изображена на рис. 74 пунктиром.
Уравнение (34.7) в этом случае принимает вид:
откуда
т
О
«с = 1 —e~t*,
(34.14)
pllj	§ 34j	ползучесть при Заданных нагрузках	167
Mt	где введено безразмерное время
lip И1. ИН p I"4	/. = -^2(0.	(34-15) Здесь необходимо вычислить лишь две квадратуры: упру- гую энергию тела для разностей напряжений П_ и значе- ние Q(0). При степенной зависимости имеем Q (0) = — 1У T'm~lN dV.	(34.16) v
h ip Ic	График зависимости (34.14) построен на рис. 76. Более точные результаты достигаются при использовании пара- болической аппроксимации Q(t) = Q(0)(1-t)(1 + ^),	(34.17) где <7~1 + Q(0) ’(л )х=о* Но здесь необходимо вычисление уже трех квадратур II Q (0) (dQ\ и \	/т = 0 3.	О вычислениях в общем случае. Как правило, при- ближенное решение (34.14) достаточно. Остановимся также на вопросе о проведении вычислений в решении (34.7). Обо- значим Q(T) ‘ о Функцию 7(т) удобно находить из эквивалентного диф- ференциального уравнения -^- = ТГ7-Т	(34.18) ат	Q (т)	4	7 при начальном условии У(0) = 0.	(34.19) Интегральная кривая J(x) строится, например, по способу Эйлера (см. [70], т. II). Разобьем интервал	на
168 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [гл. VI
некоторое число / равных отрезков длины Д сечениями xk = kk
(k = Q, 1, 2, ...» /). Интегралы (?(tfc) находятся по тому
или иному способу численно. Переходя к конечным раз-
ностям, последовательно вычисляем:
=	(34.20)
Удобен графический вариант построения интегральной
кривой (см. [70], т. И, гл. 1).
В простых случаях (например, если т — нечетное число)
Q(x) иногда находится и без применения численных способов.
Если Q(t) — полином, то интеграл J берется; впрочем, даже
в этом случае проще строить интегральную кривую указан-
ным выше разностным методом.
После нахождения J(т) зависимость т(/) определяется
соотношением
/* = Q(0)V(T),
где безразмерное время t* введено по формуле (34.15).
4.	Случай отсутствия подобия. Изложенный выше
способ решения задач неустановившейся ползучести применим
и при отсутствии подобия кривых ползучести.
Допустим сначала, что рассматриваемое тело испытывает
ползучесть при заданных условиях на границе, причем ско-
рости деформации связаны с напряжениями укороченными
зависимостями:
2^ = /(Т, 0^ — о).......
'4jcy=zf^J'> tyxxy> • • •
Легко видеть, что соответствующее напряженное состоя-
ние сообщает минимум дополнительному рассеянию А, при-
чем Л определено согласно (29.4). Это состояние (будем его
отмечать двумя штрихами: с", а", ..., х"х^ зависит от вре-
мени как от параметра.
Обратимся теперь к общим соотношениям ползучести (29.1);
истинное напряженное состояние сообщает минимум допол-
нительной мощности тела 1F. Разыскиваем решение этой
минимальной задачи в прежней форме (34.2). Вместо (34.3)
теперь мы получим дифференциальное уравнение
#Л(т, 0+2П_-^ = 0,
dx 4	' 1 dt
§ 34]	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ЗАДАННЫХ НАГРУЗКАХ	169
tai- или
я ко	dx___ Q (***» О	(34 21)
Р	dt ~ 2П_
где положено
(S	Q(x, = f(T, t}^-dV.
\ it	v
Легко видеть, что
»	П_ > 0; Q(l, т) = 0; Q>0;	< °-
Тогда из дифференциального уравнения (34.21) вытекает,
что множитель т(£) обладает теми же общими свойствами,
что и при подобии кривых ползучести. Уравнение (34.21)
интегрируется методом Эйлера, причем квадратуры Q(yk, tk)
находятся численно.
Заметим, наконец, что если при t -> оо /(Т,
то в качестве решения с", . . ., х'^ можно использовать
решение соответствующей задачи об установившейся пол-
зучести.
5.	Случай неравномерно нагретого тела. В случае
неравномерно нагретого тела принцип минимума дополнитель-
ной мощности сохраняется (§ 30), причем Л определяется
формулой (29.8), а упругие коэффициенты являются, вообще
говоря, функциями температуры. Как и прежде, рассматри-
ваем начальное упругое состояние (с учетом температурных
расширений) и конечное установившееся (или квазиустано-
вившееся, или несколько более общее) состояние. Далее,
разыскиваем решение задачи о неустановившейся ползучести
в обычной форме (34.2).
Условие минимума дополнительной мощности приводит
к дифференциальному уравнению первого порядка для мно-
жителя т. В случае подобия кривых ползучести это будет
уравнение с разделяющимися переменными.
6.	Замечание о приближенном решении в теории старения.
Если исходить из соотношений теории старения (§ 13), то вместо
вариационного уравнения (34.1) будет справедлив вариационный
принцип (30.12):
b J]S(i)Ai +П1 dV = 0.
К
170
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. I
Воспользуемся здесь той же схемой (34.2) построения прибли-
женного решения; тогда уравнение (30.12) принимает вид:
S (/)	4-^ = 0.	(34.22)
dt dz	'	'
Начальное состояние ах...удовлетворяет уравнению Ка-
стильяно ВП = 0; если искать решение этого уравнения в той же
форме (34.12), то для множителя т получим уравнение
= 2тП_ 4- У (3fe0'a_ + -A- Np V = 0.	(34.23)
v
Очевидное решение этого уравнения есть -с = 0. Следовательно,
I' (зйа'а_ + ~ Nj dV = 0.	(34.24)
V
Поэтому
-^ = 2тП_.	(34.25)
Если теперь воспользоваться введенным выше обозначе-
нием (34.8), то уравнение (34.22) принимает вид:
й(0 = 2П_^Г).	(34.26)
По этому решению множитель т монотонно возрастает от на-
чального значения т = 0 до значения т = 1 при t -> со. Таким
образом, качественно картина осталась той же, что и раньше.
Однако по решению (34.26) множитель т стремится к предельному
значению более медленно, чем по решению (34.7); соответствующая
кривая на рис. 75 показана пунктиром.
Вычисления упрощаются, если исходить из линейной аппрокси-
мации (34.13); в этом случае
’ = ТТ4’	<34‘27>
где безразмерное время имеет прежнее значение (34.15).
7. Замечание о неустановившейся ползучести в сме-
шанной задаче. Пусть на части поверхности тела Sf заданы
постоянные напряжения, а на другой части Sv — постоянные
смещения. Тогда на Sv скорости vx —	— vs = 0. Условимся
решение соответствующей упругой задачи (при t = 0) отме-
чать, как и прежде, одним штрихом а', .... а уста-
новирщееся состояние — двумя штрихами (о", о"...........т"2).
§ 351 ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЗАДАЧ 171
Приближенное решение задачи о неустановившейся ползучести
можно искать в прежней форме (34.2). Свойства приближен-
ного решения и способы вычисления последнего остаются
прежними.
§ 35. Приближенное решение релаксационных задач
1. Общее решение. Пусть на части поверхности тела Sv
заданы фиксированные смещения, а на остальной части Sp
напряжения равны нулю; объемные силы также полагаем
равными нулю. В начальный момент времени t~Q имеем
упругое состояние </, с', . . ., t'xz. Вследствие ползучести
с течением времени напряжения уменьшаются по величине,
стремясь к нулю. Ищем приближенное решение задачи в виде
% =	....=	(35.1)
где р (Z)— произвольная функция времени (множитель ре-
лаксации). Так как а'х, . . ., тх„ удовлетворяют однородным
дифференциальным уравнениям равновесия, то <зх, ...,
также удовлетворяют им; по той же причине условия равно-
весия (20.6) на части поверхности Sp удовлетворяются.
Так как <з'х, .... x'xz известны, то, внося (35.1) в выражения
для II и Лр получаем, что II и Aj являются функциями
только р, т. е. П=П(р), Ajs^Ajfp). Тогда условие мини-
мума дополнительной мощности деформации тела (34.1) при-
нимает вид:
4.[вюа1(р)+^Д1] = о.
откуда вытекает дифференциальное уравнение для множителя
релаксации р (£):
в<'>^+^г=°-	<35-2)
В начальный момент времени имеем упругое состояние,
следовательно,
при = 0, р=1.	(35.3)
172 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. VI
Легко видеть, что Т — рТ', а
4^ = 2П'>0
и от множителя р не зависит. Интегрируя теперь уравне-
ния (35.2), находим
р
2(0 = —2П' / -4^-.	(35.4)
J dA-t
1
При р > 0 имеем
-^г = р f /ЛрТ')Г2ау>о.
v
Напомним, что Т' — интенсивность касательных напря-
жений для начального упругого состояния, П' — упругая
потенциальная энергия тела в начальный момент t — C.
В случае степенной зависимости /1(7’) = 7?”_1 и
-^ = р™ j T,m+1dV.
v
Выполняя теперь в выражении (35.4) интегрирование,
получаем
1 —•	(35.5)
]/1 + (m — 1) t:t
где введено безразмерное время
Г = хЙ(0,	(35.6)
причем
х = Д7У’ T'w+1dV>0.	(35.7)
2П v
Так как t* — монотонно возрастающая функция t, то
с течением времени множитель р (/) уменьшается, стремясь
при t -> оо к нулю. Уравнение (35.15) формально совпадает
с рассмотренным во второй главе уравнением релаксации
напряжения в стержне (8.10). Это объясняется тем, что
«та [
J P
It
f
I
§ 35] ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЗАДАЧ 173
по найденному решению (35.5) кривая релаксации при фикси-
рованном т вычисляется раз навсегда для тел любой
формы-, для каждой конкретной задачи меняется лишь отсчет
по оси времен (в зависимости от значения х). Кривые релак-
сации для целых т приведены на рис. 29. Значения р (/)
для нецелых т можно определять интерполированием или
непосредственно строить по уравнению (35.5), при этом
коэффициент х находится по одному из способов численного
интегрирования. Для упомянутой задачи о релаксации напря-
жений в растянутом стержнем (§ 8) имеем:
=	* = ^-1(1/з) т \
где а0—начальное напряжение.
Решение (35.5) для простейших задач является точным;
в более сложных задачах оно должно рассматриваться как
первое приближение (обычно достаточное для приложений),
так как по этому решению распределение напряжений в любой
момент времени подобно начальному о', У, ..., У . При
•2? у	CCZ 1
дальнейшем уточнении решения (если оно необходимо) целе-
сообразно основываться на найденном первом приближении.
2.	Замечание о приложении теоремы энергии. Диф-
ференциальное уравнение релаксации нетрудно получить
с помощью теоремы энергии (§ 39), которая в данной
задаче при степенной зависимости формулируется в виде
(т+1)Л + ^=0.
Так как
(т+1)Л = В(0рте |1 f T'm+1dV
v
и

то мы приходим к прежнему дифференциальному уравнению.
3.	Замечание о распадающихся системах. В некоторых
релаксационных задачах отдельные части системы испытывают
релаксацию независимо друг от друга. Простейшим примером
такой системы является трехстержневая решетка, изученная
в § 16; здесь релаксация в каждом стецэжне протекает изо-
лированно от всей системы.
1?4 решение задач неустановившейся йолЗучёсти [гл. vj
Условимся называть такие системы распадающимися. Для
распадающейся системы приближенный метод решения следует
применять отдельно к каждой автономной части системы.
4.	Случай отсутствия подобия кривых ползучести.
Выше предполагалось, что кривые ползучести подобны. При
отсутствии такого подобия ищем решение в прежней
форме (35.1). Теперь дифференциальное уравнение для мно-
жителя релаксации имеет вид:
-£д(р. ()+2Ц'-Й. = 0.	(35.8)
Легко видеть, что
^Л(р, t)=pf f(pT', t)T'2dV>0.
v
Следовательно,
А<0
dt ’
т. е. множитель релаксации с течением времени уменьшается.
Так как при конечной интенсивности Т и любом времени t
функция f(T, f) ограничена, то р->0 при t —> оо.
Кривая релаксации р = р (t) может быть построена по
способу Эйлера как интегральная кривая уравнения (35.8)
при начальном условии р=1 для t — Q.
5.	Случай неравномерно нагретого тела. В случае
неравномерно нагретого тела начальное упругое состояние
с/., • • • ’ опРеДеляется с учетом температурных расшире-
ний и заданных начальных смещений. Приближенное решение
соответствующей задачи минимума дополнительной мощности
ищется в прежней форме (35.1).
Если вся поверхность тела свободная, то с течением
времени происходит релаксация температурных напряжений;
тогда с/, ..., суть температурные напряжения в упругом
теле, свободном от внешних воздействий.
Решение строится так же, как и в предыдущем разделе;
нужно лишь для Л взять формулу (29.8). При простой
зависимости от температуры переменные разделяются и мы
вновь получаем уравнение (35.5); заметим, что х здесь будет
несколько иным.
§ 36]
ПРИМЕРЫ
175
§ 36.	Примеры
Приведем простые примеры, иллюстрирующие применение
развитых выше приближенных методов. Приближенные ре-
шения сравниваются с точными, если последние известны.
1.	Неустановившаяся ползучесть при постоянном
скручивающем моменте. Рассмотрим задачу о неустановив-
шейся ползучести круглого стержня, скручиваемого постоян-
ным моментом М. Состояние установившейся ползучести
было изучено в § 17.
В рассматриваемой задаче отлично от нуля только напря-
жение хфг, следовательно, Т = t^z. Тогда в силу (34.2)
Т = -4 [% + ?(() KJ,
__г _______3 -|~ р. р.	2Л1	.
где х = —, Y1 = - ^ —x —х, а т1 = -^- (максимальное
напряжение в упругом стержне). Легко находим:
Т = N = ^xY- 2П =	(1~^ х»;
Q (т) =	1Q1 (т);
Qi (х) = J [х + х (0 YJ™ Y.xdx.
О
Введем безразмерное время
/ri = 64Gx1—1А±^2(0.
Тогда множитель х определяется согласно решению (34.7)
из уравнения
т
//Ут
QZF)-	(36Л)
о
При m целом Qt(x)— полином степени т. Например,
при т = 3

176 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. VI
При /77 = 5
С?1^) = 72	+ З5’т2“1~ 175 т3-*- 4375 т4)‘
На рис. 77 сплошными линиями показаны кривые, вы-
численные по уравнению (36.1) для т = 3 и т = 5.
На том же рисунке пунктиром нанесены кривые согласно
линейной аппроксимации (jorfla (т) соответственно равно
-§g-(l—т) и -^-(1—тЙ. Очевидно, что линейная аппрок-
симация приводит к хорошим результатам.
2.	Релаксация крутящего момента. Точное решение
задачи о релаксации крутящего момента приведено в § 17.
Сравним с этим решением приближенное решение со-
гласно (35.5). Для этого необходимо вычислить коэффи-
циент х. Так как IF =7v = t1x, то легко получаем:
7 — &G 1	_________/о
/п + З 1	’ (да — 1)(/тг + 3) ’
где t° определено в § 17. Кривая релаксации для т = 5,
согласно приближенному решению (35.5), показанная на
рис. 51 пунктиром, близка к точной кривой.
§ 36]
ПРИМЕРЫ
177
3.	Неустановившаяся ползучесть при изгибе постоян-
ным моментом. Рассмотрим задачу о неустановившейся
ползучести стержня прямоугольного поперечного сечения,
изгибаемого постоянным моментом; напомним, что состояние
установившейся ползучести было изучено в § 18. Обозна-
чения § 18 здесь сохраняются
От нуля отлично только напряжение а,, причем a'g =
где а, — максимальное напряжение для упругого стержня,
а т; = y/h. Для состояния установившейся ползучести
zz _ 2 -]- U. .
о. = Cj —2“ V (по нечетности рассматриваем лишь т; > 0).
Легко видеть, что
/3 2	/3 2
Согласно (34.2) имеем:

Вычисляем далее:
1	9
п-=^4Ч.
4bhl
ЗЕ
°t_\2 (1-й)3
/3 ) 1+2и ’
(Х7П-Г1
тт) Q2(t)’
1
Q2 (О = f h + 40 У2]тУ2 d-q.
0
Введем безразмерное время

V1	г J
Тогда по приближенному решению (34.7) получаем:
0:2
(36.2)
12 Зак. 1058. Л. М. Качано^
178
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. VI
При т = 3
Q2(t)=T§5(I— t)0
I 4 _ , 188
•“ 33 Т + 2673 Т ) ‘
Соответствующая кривая т ~ т (/ж2), вычисленная по методу
Эйлера (см. § 34), показана на рис. 78 сплошной линией.
Согласно линейной аппроксимации находим:
т=1—ехр[— A-Q
Эта зависимость, показанная на рис. 78 пунктиром,
удовлетворительно аппроксимирует решение для полного
выражения Q2(T)-
4. Релаксация изгибающего момента. Точное решение
задачи о релаксации изгибающего момента, равного Л1о
в начальный момент Z — 0, дано в § 18. Обратимся теперь
к приближенному решению согласно (35.5). В рассматри-
ваемой задаче (?] > 0)
/3	2EJ
После несложных вычислений получаем:
V
эд I
§ 3fj	бЛУЧАЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИЙ	179
где безразмерное время t* определено в § 18. Для т — 4
А=.. У. -
м0 у l +
Кривая релаксации согласно этому решению нанесена на
рис. 55 пунктиром.
§ 37.	Случай пластической деформации
1.	Общие замечания. При наличии пластических дефор-
маций процесс неустановившейся ползучести при заданных
постоянных нагрузках описывается вариационным уравне-
нием (30.11):
Как и выше, ограничиваемся для простоты случаем двух
областей, разделенных поверхностью S; в части проис-
ходит нагружение, в части V2 — разгрузка.
Начальное упруго-пластическое состояние отмечаем одним
штрихом (о^., . . .), а установившееся (или квазиустановив-
шееся) — двумя штрихами (о", . .
Приближенное решение задачи о неустановившейся пол-
зучести можно искать в прежней форме:
Тогда Т2 = Т'2Д-tNД-т27^_. При т=1 Т — Т", следова-
тельно, Т" —Т'2 — N Д-7У Если в рассматриваемой точке
тела Т"—Т'<0, то N Д-Т1 < 0, т. е. N < 0; в такой
точке все время происходит разгрузка и сама точка всегда
принадлежит V2.
Если же Г'2 — Г2>0, то Д/ Д-it > 0; при 7V > 0 все
время происходит нагружение, при N < 0 первое время
(для достаточно малых т) происходит разгрузка, затем на-
ступает нагружение.
Таким образом, картина неустановившегося течения (даже
по приближенной схеме) является сложной, так как с тече-
12*
180 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. VI
нием времени области нагружения и разгрузки, вообще
говоря, изменяются. Можно, разумеется, задать поверх-
ность раздела S как функцию от некоторого числа пара-
метров м1, и2, ..., пк и определить последние и множи-
тель т из условия минимальности дополнительной мощности.
Тогда для нахождения п1, п2, . . ., пк, т мы получим систему
из k трансцендентных уравнений и одного дифференциаль-
ного уравнения первого порядка. Такой способ связан,
однако, с большими вычислительными трудностями и нет
смысла подробно останавливаться на этой схеме.
2.	Линейный случай. Картина неустановившегося тече-
ния упрощается, если интенсивность касательных напряже-
ний имеет вид:
Т = Г + т (Г" — Т').
(37.2)
Такие случаи встречаются в задаче изгиба, некоторых
задачах с осевой и центральной симметрией и т. д.
В этих случаях в точках, где Т"— Т' > 0, всегда происхо-
дит нагружение, а в точках, где Т"—Г'< 0 всегда имеет
место разгрузка. Уравнение Т"—Т' — 0 определяет фикси-
рованную поверхность раздела S; следовательно,
области Vp V2 известны и неизменны.
Считая для простоты кривые ползучести подобными,
получаем из вариационного уравнения (37.1):

или
dz
(T"—T')*dV -^- = 0.
(37.3)
Напомним, что дополнительная работа имеет вид:
т
Ri = f gAT)TdT,
О
причем интенсивность пластических деформаций сдвига равна
r₽ = g1(T)7’.
Г
§ 37]	СЛУЧАЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ	181
Следовательно,
d2Rt _
4/П — dT > U’
Положим
2П_+	—Г)МУ=/?(т)>0.	(37.4)
е/	*
V,
Теперь из (37.3) получаем:
т
(37б>
о
Заметим, что по-прежнему
Q(x) = — ^±^1, Q (1) = 0, ~-<0’
4 '	dt ’	>	dt
т. е. решение характеризуется теми же самыми свойствами,
что и при отсутствии пластических деформаций.
3.	Пренебрежение текущими пластическими деформа-
циями. В тех случаях, когда к телу прилагаются значи-
тельные (для данной температуры) нагрузки и сразу по-
являются заметные пластические деформации с упрочнением,
можно воспользоваться приближенной схемой, предложенной
Ю. Н. Работновым [65].
Примем, что при t > 0 новые пластические деформации
не происходят и в теле развиваются лишь упругие дефор-
мации и деформации ползучести. В пользу этой схемы можно
высказать следующие соображения: в наиболее напряженных
областях, испытавших пластическую деформацию при нагру-
жении, развивается более интенсивная ползучесть, обычно
происходит разгрузка и новые пластические деформации
не возникают; в менее напряженных частях тела уровень
напряжений нередко растет, но вряд ли можно в этих
областях ожидать появления сколько-нибудь значительных
пластических деформаций.
Процесс перераспределения напряжений (от начального
упруго-пластического состояния к конечному установившемуся
состоянию) может быть изучен изложенным выше общим
приближенным методом. Необходимо лишь под а' а' . . х'
3) у
i8^ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ (1'Л. V1
понимать начальное упруго-пластическое напряженное со-
стояние.
Как всегда, полные деформации складываются из дефор-
маций, полученных телом при нагружении (при / —0),
и деформаций, развивающихся со временем.
4.	Релаксационная задача при начальных упруго-
пластических деформациях. Пусть при задании смещений
в начальный момент времени t — 0 в теле возникает упруго-
пластическое распределение напряжений а'х, с', .... /
В дальнейшем развивается релаксация напряжений, вслед-
ствие чего можно принять, что при t > 0 происходят лишь
упругие деформации и деформации ползучести. Следова-
тельно, при t > 0 справедливо вариационное уравнение
приближенное решение которого ищем в прежней форме (35.1).
При этом под а'х, с'у, .... необходимо понимать началь-
ное упруго-пластическое напряженное состояние. В осталь-
ном решение остается прежним.
§ 38.	Определение скоростей и перемещений
1.	Общие замечания. По изложенному выше прибли-
женному методу находятся компоненты напряжения в функ-
ции координат и времени. Иногда необходимо, кроме того,
знать скорости и перемещения точек тела.
Составляющие их, иу, иг перемещения определяются через
составляющие vx, vy, v3 скорости следующим образом:
t	t	t
«а! = «яю+ f vxdt, иу = иу0-\-fv^dt, иг = игй-\-§vzdt,
0	0	0
(38.1)
где ux0, uy0, uz0—начальные смещения частиц тела, воз-
никающие при загружении тела в момент t = 0. Начальные
смещения находятся из решения соответствующей упругой
или упруго-пластической задачи.
Таким образом, вопрос сводится к определению ско-
ростей.
§ 38] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ	183
2.	Приложение обобщенной теоремы Кастильяно. Если
достаточно знать скорости в отдельных точках тела (на-
пример, в точках приложения нагрузок), то наиболее простым
является использование обобщенной теоремы Кастильяно (30.6).
Скорость Vi точки приложения некоторой обобщенной силы
(действительной или фиктивной) в направлении действия этой
силы равна
д
Vi ~ дРг
Дополнительная мощность известна, так как известно
напряженное состояние.
3.	Общий случай. Обратимся к общему случаю, когда
необходимо найти все поле скоростей. Согласно полным
уравнениям ползучести (12.24) вычисляем по известным на-
пряжениям компоненты скорости деформации %х, ?,..., tj^,.
Далее, необходимо определить скорости vx, vy, vz по извест-
ным скоростям деформации, т. е. решить систему уравнений:
dvx	= ^.		dvv		
дх		<?у	дх		
dvy		диУ ,	дуг		(38.2)
ду		dz	ду		
dve	=	dvz			
dz		дх 4	I" дг	~ rixz-	
Эта задача аналогична задаче определения смещений их,
иу, иг по компонентам деформации ех, .. ., ^xz, рассма-
триваемой в теории упругости (см., например, книгу
Н. И. Мусхелишвили ]42], § 15). Несущественное отличие
заключается в том, что скорости деформации %х,	.... rixz
в неустановившейся течении зависят не только от координат,
но и от времени t. Вследствие этого, решения vx, vy, vz
системы (38.2) будут содержать шесть произвольных функ-
ций времени, которые соответствуют скоростям движения
жесткого тела. В задачах установившегося течения это
будут произвольные постоянные. Для интегрируемости си-
стемы (38.2) необходимо выполнение шести условий неразрыв-
ности скоростей деформации (условий сплошности Сен-Венана).
Эти условия выполнены лишь приближенно.
ГЛАВА VII
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
§ 39.	Ползучесть стержневых решеток
1.	Введение. Рассмотрим ползучесть решеток (ферм),
стержни которых работают на растяжение или сжатие.
Обозначим напряжение в i-м стержне (длина lit площадь
сечения Z=l, 2, .... /г) через S;. Начальное и устано-
вившееся значения 5/ отмечаем соответственно одним и двумя
штрихами (S'. и S"y Лишние неизвестные (напряжения
в лишних стержнях) обозначим через X,, Х2, .... Х8; их
значения в начальном и установившемся состояниях равны
X' .... X'; X".......X".	J
1’	’ S* 1	’ S
Согласно уравнениям статики напряжение S\ можно пред-
ставить в форме
S
= +	(39.1)
где сх;> pij — некоторые коэффициенты, зависящие от кон-
фигурации системы и внешних сил. Заметим, что если на-
пряжение в k-м стержне Sk взято за лишнее неизвестное Хр,
то ак = 0,	= 0 при р ¥= У и ₽кр = 1.
Под действием нагрузок решетка может помимо упругих
деформаций и деформаций ползучести испытывать еще и
пластические деформации. Остановимся сначала на случае
отсутствия пластической деформации.
2.	Начальное упругое состояние. Если при нагружении
нет пластических деформаций, то в начальный момент вре-
мени Z —0 распределение усилий в решетке будет опре-
деляться уравнениями статики и законом Гука. Методы
нахождения упругих усилий в решетках хорошо разработаны
§ 39j
ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ РЕШЕТОК
185
и излагаются в многочисленных книгах; будем считать упру-
гое распределение напряжений А'' известным.
Упругая энергия решетки равна
п
= <39-2>
1=1
Лишние неизвестные находятся из системы линейных
уравнений
^ = 0	(7=1, 2, .... $).	(39.3)
В статически определимой решетке усилия не зависят от
свойств материала и пропорциональны нагрузкам.
3.	Состояние установившейся ползучести. Определе-
ние напряжений S", X". существенно труднее, чем для
упругого состояния. Так как напряжения в стержнях связаны
со скоростями деформации нелинейным законом
(39.4)
то нахождение лишних неизвестных приводится в конце
концов к решению некоторой системы нелинейных алге-
браических уравнений, что может быть реализовано при
более или менее значительном объеме вычислений.
Указанную систему уравнений можно получить как не-
посредственным сравнением скоростей деформации по усло-
виям сплошности, так и применением принципа минимума
дополнительного рассеяния. Пример использования первого
метода приведен в § 16. Более удобным является энергети-
ческий метод.
Дополнительное рассеяние решетки имеет вид:
п
(зэ.5)
г = 1
где S'! выражается через лишние неизвестные X" со-
гласно (39.1).
Лишние неизвестные X" находятся из системы урав-
нений
186
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
(гл. Vlt
или в развернутой форме
п
S ГД I s' Г "	= 0	(7=1.2......s).	(39.6)
После определения из этой системы лишних неизвестных
скорости могут быть вычислены по закону ползучести (39.4)
или
где
ная
с помощью обобщенной теоремы Кастильяно
^- = г.,	(39.7)
Q — обобщенная сила, a v — соответствующая обобщен-
скорость.
В качестве иллюстрации обратимся к изученной в § 16
решетке. Здесь
7 _ 2BrFl sm+1
"Н1 (1-у2'0™
Скорость перемещения узла в направлении силы Р равна
дД. 2В,1
Z= —-- == ----±---
дР м  ОРА™
(39.8)
(39.9)
4.	Приближенное решение задач установившейся пол-
зучести решеток. Ходж и Венкатраман в упомянутой выше
работе [104] предлагают принимать распределение напряжений
в жестко~пластичес1сой решетке в качестве приближения
к истинному распределению. Однако при не очень большом
показателе т могут быть заметные расхождения. Лучшие
результаты можно получить при помощи развитого в гл. IV
приближенного метода, основанного на введении множи-
теля К{т).
Будем разыскивать минимум дополнительного рассеяния
решетки (39.5) в форме (вместо S" пишем просто S0
—5°),	(39.10)
где S<—напряжение в Z-м стержне соответствующей жестко-
пластической решетки, а 5;—напряжение в упругой решетке,
т-г	дЛ „
По условию минимума -^- = 0, т. е.
В, 2 fIZi|S,r‘‘Si(S'-S?) = 0.
(39.11)
§ 39]
ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ РЕШЕТОК
187
Легко видеть, что
д*А
дК?
Уравнение (39.11) определяет множитель К(т); в случае
фермы с одним лишним неизвестным оно приводит к точ-
ному решению задачи. При целом т множитель К(т) на-
ходится из алгебраического уравнения степени т.
Если предельное состояние ползучести не совпадает
с распределением напряжений
то К(/п)>0 и монотонно
убывает с возрастанием т.
Если же совпадение имеет
место для т = то
К(Wj) = 0 и при т > т1
К(т)<0. Эти случаи по-
казаны на рис. 61.
Б. Пример. Рассмотрим
решетку, состоящую из 11
стержней одинакового по-
перечного сечения и нагру-
женную силой Р (рис. 79).
для некоторого значения т.
Рис. 79,
Для этой решетки Ходж и Венкатраман приводят значения
усилий по жестко-пластической схеме и при т—\, 7, 15.
Ферма имеет два лишних стержня (например, стержни 7
и 8, усилия в которых по симметрии равны). Приближенное
распределение напряжений можно получить, рассчитывая
ферму по жестко-пластической схеме. Предельному состоя-
нию фермы соответствует «пластическое течение» в стерж-
нях 9, 10, 11; тогда усилия в этих стержнях равны и по
условию равновесия шарнира под силой находим:
50__ qO _ qO
9-------Оц
1___р
1 + <2 F '
Напряжения в остальных стержнях легко определяем по
уравнениям статики.
Вычисления Ходжа и Венкатрамана показали, что при
т^-3 отклонения действительных напряжений в ферме от
расчетных (по жестко-пластической схеме) в среднем не
превышают 5%. Однако столь благоприятная картина имеет
188
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
(ГЛ. VII
место не всегда; в частности, для простой решетки, изучен-
ной в § 16, при т = 3 отклонения достигают ~11%.
Обратимся к подробному анализу рассматриваемой фермы
с целью выяснения некоторых ее особенностей. Примем на-
пряжение сжатия в стержнях 9, 10 за лишнее неизвест-
ное X. По уравнениям статики легко устанавливаем для
данной фермы зависимости (39.1):
1	2	6	6 2F /2	/2
s’=Se=7T7~x •sa=s>o=-*
Составляя согласно (39.5) выражение дополнительного
дЛ л
рассеяния и приравнивая нулю производную оп? —О, на-
ОЛ.
ходим после ряда преобразований уравнение
—-Л (	—	—\/Р	г \т
1 4-2 2 /№” = ^24-2 2 4- 2 2	— х] ,
Отсюда
А Р
14-/2 A F ’
(39.12)
где положено
т
При т=\ X'— 0,453Р / F; в предельном состоянии
(т —> со) Х°=0,414Р//?. Легко видеть, что и при т — 2
Х= 0.414P/F = Х°. График X в зависимости от показа-
теля т показан в верхней части рис. 80.
Таким образом, напряженные состояния фермы при т = 2
и т —>оо совпадают; другими словами, предельное состоя-
ние ползучести является в то же время решением задачи
минимума Л для т = 2.
§ 39]
ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ РЕШЕТОК
189
Разыскивая решение задачи в форме (39.10), легко обна-
руживаем, что
X — Х°
Х' — Хо-
Это будет точным решением задачи. Г рафик множи-
теля /С(т) показан в нижней половине рис. 80.
Рассмотренный пример иллюстрирует неоднозначную
зависимость напряженного состояния от показателя ползу-
чести т.
6. Неустановившаяся ползучесть решетки. Рассмотрим
неустановившуюся ползучесть решетки, следуя общему методу,
развитому в гл. VI. Дополнительная мощность решетки
имеет вид:
^ = ^(0^-4- Ай,
где
п	п
i = 1	г = 1
190
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
(гл. vn
Напряжения Si выражаются через лишние неизвестные Х^
по прежним формулам (39.1). Значения лишних неизвестных
определяются из условий минимума дополнительной мощности:
Легко видеть, что это — система обыкновенных дифферен-
циальных' уравнений первого порядка:
= ° У=Ь2...........s). (39.13)
Так как П — квадратичная функция напряжений и, сле-
довательно, квадратичная функция Xj, то производные
ат
'дХ дХ- П0СТ0ЯННЬ1« причем в силу положительной опреде-
ленности П определитель
Д =
<^П
дХкдХ^
(39.14)
dX*
Разрешая (39.13) относительно производных полу-
чаем:

dXs Вл (f) дЛл
~dt~ д~	(^=1« 2, .... s), (39.15)

где Д,;А—алгебраическое дополнение элемента
OXjOXk
ахл	дл.1
Заметим, что при —77—> 0 имеем	—> 0. Но обращение
dt	OxYfe
п	д!"	п
в нуль Yi?- = 0 эквивалентно уравнениям = 0, опреде-
оаа	ОХк
ляющим решение X”, Х"г, .... X". Сказанное свидетель-
ствует о существовании установившегося режима.
Интегрирование системы нелинейных уравнений (39.15)
затруднительно; исключение составляет случай s=l, для
которого сразу получается решение в квадратурах.
I
й
4!i
'I
§ 39]	ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ РЕШЁТОК	191
Приближенное решение задачи при действии постоян-
® них нагрузок ищем в форме
(/=1,2,.... s). (39.16)
Условие минимума W приводит к дифференциальному
уравнению для множителя т. Решение имеет вид (см. § 34):
г
|0	°
где
~	п	р 8
i=l	Lj=l
(39.17)
Это решение обладает прежними общими свойствами; при
s = 1 оно является точным.
При линейной аппроксимации (см. § 34) имеем:
-г — 1 — е_<*.
где безразмерное время равно
/*==^‘21(0* (39,18)
Нетрудно найти, что
п	_	8
=	(39.19)
42*'«
$ = 1	L J = 1
Релаксационная задача для решетки легко решается
По общему приближенному методу (§ 35). Так как отдель-
ные части решетки при заданных фиксированных смещениях
могут релаксировать независимо от остальных частей, то
приближенный метод следует применять отдельно к каждой
автономной части.
192
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
Уравнение (35.5) для множителя релаксации сохраняется;
безразмерное время теперь определяется по формуле
V I е'т+1
t* = .^.2 2 .2	(f).	(39.20)
2 W'i
Суммирование распространяется на все стержни рассма-
триваемой автономной части решетки.
7. Ползучесть неравномерно нагретых решеток ’). При
неравномерном нагреве напряжения SC в начальный момент
времени следует вычислять с учетом температурных расши-
рений. Если при этом показатель ползучести т и коэффи-
циент BY(t) можно считать одинаковым для всех стержней,
то приведенные выше решения сохраняются. Если же не-
равномерный нагрев вызывает заметные изменения величин
Br(t), т, то расчет ползучести решетки усложняется. Во мно-
гих случаях можно, однако, считать, что в рассматриваемом
интервале температур показатель т постоянен, а
вн(0 = сА(0 (Z=1, 2, .... п).
Тогда остаются приведенные выше решения, нужно лишь
в числители формул (39.19), (39.20) вместо Fi внести вели-
чины ciFi.
8. Случай пластической деформации. Пусть наряду
с деформациями ползучести решетка испытывает пластические
деформации; будем различать случаи идеально пластичного
материала и упрочняющегося материала.
Идеальная пластичность. Пусть в момент на-
гружения £ = 0 некоторые стержни решетки деформируются
упруго, а другие испытывают пластическое течение (без
упрочнения). Предположим, что при этом решетка не пре-
вращается в «пластический механизм», т. е. ее несущая спо-
собность не исчерпывается. Очевидно, что в J-м пластическом
стержне напряжение постоянно: |S'. | = %, где as — предел
текучести при данной температуре.
1) Ползучесть неравномерно нагретых стержней при растяжении
и изгибе рассмотрел Б. Ф. Шорр (Изв. АН СССР, ОТН, механ. и
машин., № 1, 1959).
§ 39]	ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖИЁВЫХ РЕШЕТОК
193
Рассмотрим, далее, установившееся состояние S". В этом
состоянии некоторые стержни (вообще говоря — иные) будут
также испытывать пластическое течение.
Решение задачи о неустановившейся ползучести ищем
в обычной форме
Si = S' + T(O(S"-S').
Так как множитель т(/)— положительная (при t > 0)
возрастающая функция, то могут встретиться стержни четы-
рех типов !):
1)	| S'| = | S" | _ <3s; такие стержни все время находятся
в состоянии пластического течения;
2)	| $'t | < aS' |	| ~ °S’ в таких стержнях напряжение все
время возрастает (по модулю);
3)	1SC | = ag, | S" | < ag; в таких стержнях напряжение все
время убывает;
4)	| S' | < og, | S" | < ag; такие стержни не испытывают
пластического течения.
Стержни первого типа заменяем усилиями + FjCs и ис-
ключаем из решетки. Остальные стержни будут испытывать
только деформацию ползучести. Для оставшейся решетки
число стержней равно п, следовательно,
= 2£ i	-^i = w_|_ 1 S •
i=l	i-1
причем
^ = «1 + 2 М>-
J = 1
где — число оставшихся лишних стержней, а Z=1, 2, ..., nY.
В рассматриваемом случае решение, приведенное в пре-
дыдущих разделах, сохраняется; нужно лишь заменить
в выражениях (39.19) и (39.20) п и s соответственно на пх
и $х. Коэффициенты а;, будут, разумеется, также дру-
гими, так как усилия ± Д4а8 в стержнях первого типа при-
числяются к внешним нагрузкам.
1) Предполагается, что при той же нагрузке знаки напряжений
S; и S4 совпадают.
13 Зак. 1058, Л. М. Качанов
194
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
{гл. VII
I
I
Упрочнение. Выше рассматривался случай, когда
можно было пренебречь упрочнением; при этом упругие
деформации учитывались наряду с пластическими. Практи-
ческий интерес представляет анализ другого крайнего слу-
чая, когда решетка нагружается весьма интенсивно, а мате-
риал ее обладает упрочнением. Подобное положение харак-
терно, в частности, для жаропрочных сплавов, обладающих
обычно низким пределом упругости. В этом случае при на-
гружении решетка получает значительные пластические
деформации и упругими деформациями можно пренебрегать.
Находим начальное пластическое состояние S' и конечное
установившееся состояние S". Способы определения S" уже
обсуждались и необходимо лишь рассмотреть вопрос о пла-
стическом состоянии S',
г
Остановимся на случае степенного упрочнения
е = В10|о|”г“-1о,
где В10, /и0— некоторые постоянные. Система уравнений,
определяющая напряжения S'it будет вполне аналогична
системе уравнений для напряжений S"; различие будет лишь
в значениях показателей т0 и т. Поэтому начальное рас-
пределение S'{ может быть найдено теми же методами, что
и установившееся распределение
Различаем стержни двух типов:
в 2> is<'i>p;i-
В стержнях первого типа при t > 0 происходят только
деформации ползучести, ибо эти стержни разгружаются.
Стержни второго типа испытывают нагружение и в них раз-
виваются одновременно пластические деформации и дефор-
мации ползучести.
Анализ неустановившейся ползучести реализуется так же,
как и ранее. Следует лишь заменить упругий потенциал П
дополнительной работой
Ла
«о+1
'w
‘‘Ц
§ 40]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТУРБИННОЙ ЛОПАТКИ
195
где суммирование распространяется на стержни второго типа
(число их равно п2).
Если показатели т0 и т мало различаются, то S', и S"
также близки и анализ переходного процесса не предста-
вляет интереса. Если показатели т0 и т достаточно велики,
то, как было установлено выше, напряжения S'. и S" будут
близки к напряжениям в соответствующей жестко-пласти-
ческой решетке. В этом случае перераспределение усилий
практически отсутствует.
§ 40. Ползучесть турбинной лопатки
1. Общий случай. Рассмотрим, следуя работе В. И. Розен-
блюма [64], ползучесть турбинной лопатки переменного сече-
ния под действием центробежных сил 4). Уравнение равно-
весия элемента лопатки dx имеет вид:
d (Fa) = — Fpw2 (a-j-x)dx,
где F = F(x) — площадь поперечного сечения, а — расстоя-
ние корневого сечения лопатки от оси вращения (рис. 81),
х — расстояние текущего сечения от корневого сечения,
— угловая скорость вращения, р— плотность материала.
В вершине лопатки при х — I на лопатку передается усилие Р
от бандажа.
Из приведенного уравнения следует, что
I
° = f F dt,.
SO
Обозначим через v = ‘u(x) скорость частиц лопатки в на-
правлении х. По закону ползучести скорость деформации
равна
e = ^ = Bi(/) о™,
dx 1v '
откуда
а>
-u=Bt (t) J
о
!) Ползучесть турбинной лопатки при одновременном изгибе
изучена Н. Н. Малининым [«].
13*
196
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
Соответствующее перемещение равно
Конец лопатки испытывает перемещение
u(;)=a,(0 /['М>1"л
о
где введено обозначение
г
1(х)=	+
Интегралы в этих формулах находятся численными
методами.
§ 41]	ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ	197
2. Лопатка постоянного сечения. Для лопатки постоян-
ного сечения при условии Р = 0 получаем формулу
/л о /л (р«2«0то	о,\
и (/) = Sj (t) - - Цт’ — I»
у m \ I /
где
График функции I (tn. приведен на рис. 82.
§ 41. Время разрушения при растяжении
1. Время разрушения. В условиях ползучести характе-
ристикой прочности стержня является то напряжение, которое
при данной температуре и данной длительности работы при-
водит к разрушению. Это напряжение обычно называется
пределом длительной прочности. Большая часть установок
в лабораториях ползучести используется обычно для получения
данных по длительной прочности различных сплавов.
В § 5 уже отмечалось, что разрушения в условиях ползу-
чести могут иметь различный характер. Нередко разрушения
происходят при значительных удлинениях (20—30% и более)
с образованием шейки, т. е. носят «вязкий» характер; само
разрушение при этом является следствием внутрикристалли-
ческих сдвигов. В другом крайнем случае разрушение проис-
ходит при малых деформациях (иногда менее 1 %, т. е.
является «хрупким», «малодеформационным»), причем реали-
зуется по границам кристаллов. Имеются, конечно, и сме-
шанные типы разрушения. Для одного и того же материала
при одной и той же температуре характер разрушения может
изменяться в зависимости от уровня напряженного состояния.
Так, при высоком напряжении (т. е. при относительно кратко-
временных испытаниях) разрушение может быть «вязкого»
типа, при снижении напряжения (т. е. при более длительных
опытах) характер разрушения может измениться.
2. Разрушение как следствие неограниченного течения.
«Вязкое», или «деформационное», разрушение можно пытаться
интерпретировать как результат неограниченного течения
198
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
металла при ползучести. С этой целью рассмотрим, следуя
работе Хоффа [105J, задачу о ползучести растягиваемого стержня
при больших деформациях. Обозначим через l0, Fo начальные
длину и площадь поперечного сечения стержня, через I, F —
текущие значения длины и площади сечения к моменту вре-
мени t. При рассмотрении значительных деформаций ползу-
чести естественно пренебрегать упругими деформациями. По
условию несжимаемости имеем:
/0F0 = /F.
Скорость деформации равна
~ I dt'
(41.1)
По закону ползучести (в задачах данного типа деформацией,
накапливаемой в первом периоде, обычно можно пренебрегать)
имеем:
1 dl
I dt
(41.2)
где Р — приложенное усилие; ~— напряжение в данный
момент времени. Как показывают опыты (например, известные
опыты Андраде [86]), обычные уравнения теории течения могут
применяться и при больших деформациях, если брать теку-
щие значения скорости деформации и напряжения.
Исключая из (41.2) при помощи (41.1) площадь F,
выполняя интегрирование и определяя произвольную постоян-
ную по условию
I--- 10 при t — О,
находим:
(1 \т
4) >	(41.3'1
р
где о0= -р-----напряжение в начальный момент времени.
‘ о
Определим время разрушения как время, для которого
площадь F обращается в нуль (или / —> оо). Согласно (41.3)
получаем:
§ 41]
ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
199
где
(41.5)

сеть скорость деформации при начальном напряжении.
Из выражений (41.3) и (41.4) следует:
(41-6)
оо при t—>tv Зави-
Заметим, что для т
симость (41.6) показана на рис. 83. Обычно показатель т
значительно больше единицы; тогда резкое уменьшение пло-
щади сечения происходит лишь в последнем периоде «жизни».
Из выражений (41.5) и (41.4) находим:
1g = lg 5i + ^lgc0,
!g h = — lgBt — tn 1g o0 — 1g m.
200
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
В логарифмических координатах эти прямые являются
зеркальным отражением друг друга относительно прямой
lg £о - — 1g т-
При этом по оси абсцисс откладываются логарифмы чис-
ленных значений скорости деформации Во и времени разру-
шения а по оси ординат — логарифм численного значе-
ния напряжения. Таким образом, по известному закону пол-
зучести можно сразу указать время разрушения. Этот вывод,
как показывает обработка экспериментальных данных, во
многих случаях хорошо подтверждается. На рис. 84 приве-
ден график, построенный по опытам Ш. Н. Каца. Опытные
точки удовлетворительно согласуются с зависимостью (41.4),
хотя и располагаются в общем несколько ниже теоретических,
а разрушение происходит при удлинениях, обычно не превы-
§ 41]	ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ	201
шающих несколько десятков процентов. Эти отклонения,
впрочем, легко объясняются с качественной стороны тем, что
разрушение наступает при конечных деформациях.
3. Время разрушения при наличии трещинообразова-
ния. Хотя некоторые другие экспериментальные данные (для
труб и дисков, см. ниже) подтверждают концепцию Хоффа,
тем не менее она имеет ограниченный характер. Так, по
схеме Хоффа процесс ползучести при кручении не может
привести к разрушению (ибо размеры круглого стержня не
меняются), что противоречит наблюдениям; в эту схему не
укладываются малодеформационные, «хрупкие» разрушения,
а также изменения характера разрушения (от «вязкого» к «хруп-
кому») при недостаточной стабильности материала. Ниже изла-
гается попытка теоретического определения времени разру-
шения с учетом охрупчивания [30].
Физическая картина разрушения очень сложна и мало
изучена. Мы будем говорить ниже о развитии трещинова-
тости; возможна, однако, более общая интерпретация, так
как в сущности речь будет идти о развитии поврежденности
металла, вызываемой некоторыми причинами.
Можно полагать, что в материале с самого начала загру-
жения происходит развитие трещиноватости. Различают ]79]
две стадии протекания разрушения:
1. Постепенное развитие трещин (стабильная стадия).
2. Значительно ускоренная (нестабильная) стадия разру-
шения.
Стабильная стадия обычно составляет основную часть
всей «жизни» образца.
Процесс разрушения будем интерпретировать как процесс
трещинообразования, развертывающийся на фоне растущих
деформаций ползучести.
Развитие трещин в условиях сложного напряженного со-
стояния изучено слабо. Как отмечает Зибель, объемное растя-
жение благоприятствует хрупкому разрушению, а объемное
сжатие — вязкому разрушению. Изучение длительной проч-
ности скручиваемых стержней, а также труб, находящихся
под действием внутреннего давления и других нагрузок,
позволяет все же подойти к формулировке общих соотноше-
ний. Можно считать, что хрупкое разрушение, связываемое
нами с развитием трещин, определяе ся максимальным растя-
гивающим напряжением [30].
202
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
Примем, что процесс развития трещин не влияет в среднем
на деформацию ползучести. В пользу этого представления
(если исключить из анализа заключительную стадию «жизни»
образца, характеризуемую заметным разрыхлением материала)
можно привести некоторые соображения. Прежде всего нужно
отметить в общем различный механизм рассматриваемых про-
цессов («хрупкие» разрушения развиваются по границам зерен,
«вязкое» течение — в зернах); с другой стороны, если влия-
ние трещин на ползучесть имеется, то кривые ползучести,
по которым устанавливаются уравнения ползучести, отражают
суммарный эффект.
Будем характеризовать поврежденность некоторым ска-
ляром ф, изменяющимся в интервале 1 ф 0; условимся
называть его сплошностью. В начальный момент при отсут-
ствии поврежденное™ сплошность ф= 1, с течением времени t
сплошность ф убывает. При малых значениях ф рассеянный
характер разрушения становится неустойчивым, в слабых
местах возникают магистральные трещины. С этой точки
зрения моменту разрушения следовало бы сопоставить неко-
торое значение ф0 > 0; условимся тогда говорить об эффекте
локализации разрушения. В основном варианте теории будем
принимать, что в момент хрупкого разрушения ф = 0. Тем
самым не рассматривается локализация трещинообразо-
вания в заключительной стадии разрушения (аналогично
в теории Хоффа игнорируется появление шейки), что допу-
стимо благодаря кратковременности этой стадии.
В соответствии с приведенными выше соображениями
примем (для простоты рассматриваем степенную зависимость)
^Ф _ _ Л ( gnmx V
dt ~	\ ф ) ’
(41.7)
где А > 0,	— некоторые постоянные. Отношение
можно интерпретировать как некоторое эффективное напря-
р
жение. При растяжении стержня напряжения =
х) При сложном напряженном состоянии под отах понимается
истинное максимальное растягивающее напряжение в данной точке.
Если имеются сжимающие напряжения, то полагаем, что величина
растягивающего напряжения не является малой по сравнению
С величинами сжимающих напряжений.
§ 41]
ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
203
Рис. 85.
а деформации определяются решением, приведенным в пре-
дыдущем разделе.
Пусть ползучесть стержня отсутствует, тогда F — Fo;
интегрируя уравнение (41.7) при начальном условии ф=1
при t ~ 0, получаем
фи+1— 1 = _ д 1)
Разрушению соответ- д
ствует значение ф — 0. По °
этому условию определяется
время «.чисто хрупкого»
разрушения-.
t' =---------(41-8)
(« + 1)Х
Вернемся теперь к об-
щему случаю. Исключая из
зависимости (41.7) площадь F при помощи решения (41.6),
разделяя переменные и выполняя интегрирование при преж-
нем начальном условии, находим:
t

п
М1 — 1 =
(41.9)
о
Заметим, что по смыслу задачи следует рассматривать
лишь времена	По экспериментальным данным с уве-
личением времени разрушения наклон кривых длитель-
ной прочности в логарифмической сетке (рис. 85) сохра-
няется или возрастает. Вследствие этого надлежит полагать
т >• п.
Пусть т > п\ вычисляя в выражении (41.9) интеграл
и полагая ф = 0, находим время разрушения t* в условиях
ползучести:
7П
Из ограничения вытекает условие
°о
(' А и -}- 1 \ т-п
т — п I
(41.П)
204
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[гл. VII
При больших напряжениях происходит вязкое разрушение
по решению Хоффа (41.4); при меньших напряжениях разру-
шение носит «хрупкий» характер, но реализуется при более
или менее значительных деформациях, которые можно найти
из выражения (41.6) при i = t*. Кривая длительной проч-
ности, соответствующая приведенному решению, показана
на рис. 85 сплошной линией. Прямые abc и de характери-
зуют вязкое и чисто хрупкое разрушения по уравнениям
(41.4) и (41.8). При напряжениях с0>а0 кривая длительной
прочности совпадает с прямым участком аЬ; при меньших
напряжениях все большее значение приобретает охрупчивание
и кривая все более приближается к прямой de. Постоянные А
и п можно определять по данным обычных испытаний на
длительную прочность (при малых деформациях) по положе-
нию линии de.
В случае п — т решение имеет вид:
=	9i=l-exp[-(-^^]<l. (41.12)
Здесь разрушение всегда «хрупкое» (т. е. определяется усло-
вием ф — 0) и происходит при одной и той же деформации
(41.13)
где I*— длина стержня при разрушении. По опытным дан-
ным (см., например, [19> 21]) отношение не обнаруживает,
по-видимому, тенденции к изменению и в общем согласуется
с значением qlt определяемым по (41.13) средней деформацией
при разрушении. Случай п = т следует относить к мате-
риалам с достаточно стабильной структурой.
4. Об эффекте локализации разрушения. Выше принима-
лось, что при разрушении ф0 = 0. Если при разрушении
ф = ф0, т0 время чисто хрупкого разрушения t" несколько
уменьшается:
/"=(1—<$+у.
А/
Время разрушения в условиях ползучести получим
при пфт из (41.10), заменив в правой части t' на t". При
Н	I
п — т имеем = д^, где
гг
qi = 1
— exp —
mBr t" 1
(тф1)Л V J
§ 41]
ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
205
Очевидно, что t* Картина на плоскости lgc0, 1g/* ана-
логична прежней картине. Для задачи растяжения равномерно
напряженного стержня эффект локализации не представляет
интереса, так как сводится, по существу, к выбору другого
значения коэффициента А. Заметим, что в случае неодно-
родного напряженного состояния также можно полагать
фо = О. Для неоднородного материала это недопустимо.
5. Пример. Время разрушения стержневой решетки.
Изложенный выше анализ позволяет определять время разру-
шения стержневых решеток.
При этом имеются в виду р" а	а "”1 .
решетки, все стержни кото-
рых растянуты; в против-................
ном случае следует исполь- N.	/
зовать некоторые дополни-	/
тельные соображения.	/
Найдем в качестве при-
мера время разрушения про-	
стейшей статически опреде-	I
лимой решетки, образе-	I
ванной двумя одинаковыми	рис'	gg
стержнями (рис. 86). На-
чальные размеры стержней обозначим через /0, Fo, текущие
значения — через I, F. В силу несжимаемости
FZ = F0/0.
Напряжение в стержнях равно
где через а0
Р
2А0
(41.14)
(41.15)
обозначено напряжение в стержнях при
206
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
о = 0. Выполняя интегрирование и полагая
'	А>_,	,д,
— JW~ J у2(т+1)
находим:
\~т /
= <41‘16)
где
/0 =—-
° тВус™
есть время «вязкого» разрушения вырожденной решетки
при а = 0.
Пусть т = 4. Тогда
1 /	1 .	4	1 \	1 /	1	4	1 \	1 t
4Х4 \	ЗХ2 2Х4 /	4).J \	ЗХ“ 2Х4/ ~ 4Х4t0 '
Разрушению соответствует X —> оо. Следовательно, время
вязкого разрушения равно

(41-17)
Эта зависимость показана на рис. 87. Очевидно, что
время разрушения решетки меньше времени разрушения
Р
стержня под действием силы . Это объясняется ббльшим
значением усилия в стержне решетки при а > 0.
§ 42]
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
207
Влияние трещинообразования на время разрушения ре-
шетки также может быть изучено по рассмотренной выше
схеме.
§ 42. Установившаяся ползучесть при изгибе
1. Основные положения. Допущения, принимаемые
в сопротивлении материалов при построении технической
теории изгиба, не связаны со свойствами материала и носят,
как это подчеркнул В. В. Новожилов [46], геометрический
характер. В стержне, длина
которого во много раз
больше размеров попереч-
ного сечения, касательные
напряжения существенно
меньше изгибных нормаль-
ных напряжений о, а давле-
ние между волокнами весьма
мало. Вследствие этих осо-
бенностей поперечные сече-
ния стержня мало искри-
вляются и можно прибли-
женно исходить из гипотезы
плоских сечений (гипотезы
Бернулли) и в случае не-
Рис. 88.
упругих деформаций *).
Ограничимся для про-
стоты изложения рассмотре-
нием установившейся ползучести стержней, сечение которых
обладает двумя осями симметрии. Общий случай может быть
изучен на основе тех же предположений, но требует введе-
ния особых «главных осей» сечения.
Обозначим через 2Ь (у) ширину профиля, через 2h —
максимальную высоту его (рис. 88). Под осью стержня
будем понимать линию, соединяющую центры тяжести попе-
речных сечений. Изгиб происходит в плоскости yz.
Пусть q (г) — интенсивность распределенной нагрузки,
Q(z) и М (г)— перерезывающая сила и изгибающий момен!
i) Заметим, что концентрация напряжений в условиях ползу-
чести в изгибаемом (или в растягиваемом) стержне при резком изме-
нении сечения может быть приближенно изучена по способу
Д. В, Верховского [6, i2j.
208
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
в некотором сечении балки (рис. 89). Эти величины связаны
известными соотношениями (теорема Журавского—'Шведлера):
-^- = — q, ~yr~ = Q.	(42.1)
dz ^ dz	’
Обозначим через k постоянную скорость изменения кри-
визны оси балки. По гипотезе плоских сечений скорость
деформации волокна балки, проходящего на расстоянии у
от оси, равна
\ = ky.	(42.2)
Согласно закону ползучести (для простоты рассматриваем
степенной закон)
£ = В1|0|7П-1а,	(42.3)
или
0 = В1|^ГЧ (В, = В^.
Напряжения а уравновешиваются изгибающим моментом,
т. е.
Л
4 J* cyb (у) dy — М.	(42.4)
о
Внося сюда о и I, получаем:
(42.5)
§ 42] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ	209
где положено
h
= ± f y1+^b(y)dy.	(42.6)
о
Эту величину условимся называть обобщенным момен-
том инерции', она зависит только от формы поперечного
сечения и показателя т. При т — 1 приходим к обычному
осевому моменту инерции, фигурирующему в сопротивлении
материалов.
2.	Распределение напряжений. С помощью выражений
(42.2) и (42.5) легко находим:
М
' =	(>>0).	(42.7)
1тп
В область отрицательных значений у напряжения про-
должаются нечетным образом. Зависимость распределения
напряжений от показателя т показана на рис. 53.
Наибольшее напряжение изгиба равно
с = М	(42 7')
max \Y/	’	j
w 7П
где Wm — обобщенный момент сопротивления, равный
U7W= А.
т ЬУ
В состоянии установившейся ползучести напряжения рас-
пределены более равномерно и наибольшее напряжение стах
соответственно ниже, чем при упругом изгибе. При больших
значениях показателя т распределение напряжений, как уже
отмечалось (§ 18), близко к эпюре напряжений в идеально
пластической балке.
3.	Некоторые формулы. Обобщенный момент инерции 1т
вычисляется по формуле (42.6). Для прямоугольного
сечения
, __ 26Л2+1Х
<42-8)
2
Посредством вычитания можно легко найти обобщенные
моменты инерции некоторых других сечений (например, прямо-
угольной трубы, двутаврового профиля и Т, д.),
]4 Зак. 1058. Л. М. Качано!}
210
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
Для круга радиуса а получаем:
1
1т = 4<73 И J 7]’ ’ И У 1 — 1]2 rfl),
о
но
1	Гг (1+П]2
Г Si/i----2s"1 И 2 Л
J 71 У ^ = 2+^~Т(?+П-’
о
где $— некоторое число, а Г( ) — гамма-функция. Таким
образом,
ГгЛц-Д')]2
г (2 -|_ р.) а 1 = б№а	(42.9)
Коэффициент q (и.) может быть быстро определен по при-
водимому графику (рис. 90).
Вычитанием находим момент
инерции кругового

Рис. 90.
кольца (внутренний ра-
диус а, внешний радиус Ь)-.
Jm = q^)(b3+^—a3+v-).
(42.10)
4.	Дифференциальное
уравнение изгиба. В слу-
чае малого прогиба можно
с достаточной точностью
полагать
k
__: (Pv
где v — скорость прогиба. Так как при положительном изги-
бающем моменте балка обращена выпуклостью вниз, то из
выражения (42.5) вытекает дифференциальное уравнение
изгиба
(42.11)
где через
обозначена обобщенная жесткость балки,
§ 421 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ	211
Граничные условия имеют обычный вид:
на шарнирно опертом конце v~0,	714 = 0;
на жестко заделанном конце v = 0,	-^- = 0;
dz
на свободном конце Л4 = 0,	Q — 0.
Общее решение уравнения (42.11) можно представить
в форме
v = — f f ^\M\m^Mdzdz + C1Z-i-C2,	(42.12)
где Cj, C2— произвольные постоянные.
Для эффективного решения уравнения изгиба можно
использовать различные приемы, применяемые в сопротив-
лении материалов *). Переход к случаю балки, находящейся
в условиях ползучести, несложен, и нет необходимости в по-
дробном рассмотрении здесь различных приемов (см. [69> 75> 41];
там же приводится литература). Укажем лишь на естествен-
ное обобщение графоаналитического метода.
5.	Графоаналитический метод. Введем фиктивную на-
грузку
q(z) = -^-\M\m~1M,	(42.13)
где Do — некоторое значение обобщенной жесткости, и при-
меним известную формулу кратного интегрирования
J J q (z) dz dz = J q(Q(z — C) dC.
оо	о
Тогда решение дифференциального уравнения изгиба можно
представить в форме
Z
Dov' (z) = - f q (С) dC + Dov' (0),
о
z
Dov (z) = — fq (Q (Д—C) d£ + Dov' (0) z + Dov (0).
о
 (42.14)
Г) Следует, однако, помнить, что кривизна не пропорциональна
изгибающему моменту, поэтому слож: ние действий отдельных нагру-
зок недопустимо.
14*
212
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[гл. Vll
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Эти формулы можно интерпретировать как формулы для
изгибающего момента M = DGv(z) и перерезывающей силы
Q = Dov'(z) для фиктивной балки, испытывающей действие
фиктивной нагрузки q(z).
Соответствие граничных условий такое же, как и в клас-
сическом случае: шарнирная опора переходит в шарнирную;
жестко заделанной опоре соответствует свободный конец
и обратно.
Рассмотрим два несложных примера.
1.	Консольная балка постоянного сечения, изгибаемая
силой Р (рис. 91). Здесь момент равен
M = — P(l — z)
и фиктивная нагрузка будет
~q(z)= — Рт (I — z)m.
Момент этой нагрузки относительно сечения z равен
Z
У Pm(l — tf\z-^& =
о
/зтГп+2 [/, z\TC+2 .	।	1
(т 4-1) (т 4- 2) LV l) +(m + 2)zJ-
Следовательно, скорость прогиба будет
рт рп+ч
V = (m4-l)(m4-2)P
Г/ _ \т I 2	_ "I
(42.15)
Скорость прогиба под силой Р равна
рт гот+2
<42-16>
2.	Шарнирно опертая б а л к а, изгибаемая моментом Мо,
приложенным на одной опоре (рис. 92). Изгибающий момент равен
'	М =	— г),
! фиктивная нагрузка
I
ч
м
-а
SIMI
яйк
чЦ!
зркт
§ 42]
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
213
Реакции опор от фиктивной нагрузки будут
п М™1
от_|_2’	(т Ц- 1) (т + 2)
Следовательно, скорости поворота концов балки равны
М™1
>1= («4-2)0 ’
Рис. 92.
6.	Вариационное уравнение скорости прогиба. Согласно
принципу минимума полной мощности (§ 21) истинная ско-
рость прогиба в состоянии установившейся ползучести должна
сообщать минимум полной мощности балки; составим соот-
ветствующее вариационное уравнение.
Введем рассеяние единицы длины балки
к
L= j' Mdk.
о"
(42.18)
214
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
Внося сюда Л1 согласно (42.5), получаем:
| d"v l^1
!х+1| dz? I
Рассеяние всей балки равно
I
L = j" L dz.
о
(42.19)
Мощность внешних сил определяется интегралом
г
qlytyudz.
о
Согласно принципу (21.6) имеем вариационное уравнение
Лг>и	[Iх '1	у
7+Т sd ~<>Н^ = 0.	(«-20)
О
которое равносильно дифференциальному уравнению изгиба
(42.11) и статическим граничным условиям. В этом нётрудно
убедиться, выполняя в выражении (42.20) варьирование и
интегрируя по частям (см. [25], § 35).
7.	О применении метода Ритца. Вариационные уравне-
ния, аналогичные уравнению (42.20), могут быть написаны
и в других задачах (например, в задачах изгиба пластин и
оболочек). Эти уравнения можно приближенно решать мето-
дом Ритца (заметим, что применение метода Галеркина к ин-
тегрированию соответствующего дифференциального уравне-
ния по существу равноценно применению метода Ритца).
Так как вследствие нелинейности закона ползучести функ-
ционалы неквадратичные, то обычно ограничиваются первым
приближением в форме с/71(х, у, z), где у, z) — из-
вестная функция, являющаяся решением соответствующей
упругой задачи, а с — произвольная постоянная, определяемая
из условия минимума полной мощности системы (§ 24, п.9).
Для оценки надежности этого приема сравним первое
приближение по Ритцу с точным решением задачи изгиба
балки. Рассмотрим изгиб консоли постоянного сечения силой,
приложенной на конце. Вариационное уравнение (42.20)
§ 42] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ	215
принимает вид:
г
D^ л Г/аЪХ^1 , п- /а п
—гт° / ттг	dz — Р&и(1) = 0.
fl + 1 J \dz2 )
0
Приближенное решение этого уравнения ищем в форме
Ч (2) = 6^(2),
где
=2D!Z2(!	3")
есть уравнение упругой линии, Dt — жесткость. Легко на-
ходим
Г(2т+ I)/!™ Dj/”'2-1
С ~ L 3m J DI ‘
Отношение скорости прогиба под силой по приближенному
решению к точному значению скорости прогиба (42.16) равно
иД/) _ /2/п + 1	/?г + 2
v{l)~\ Зт J 3 ‘
Приведем небольшую таблицу:
Таблица 2
Значение отношения скоростей	ПРИ различных т				
т	1	4	7	10
у* (Г) у(Г)	1	0,633	0,285	0,113
Таким образом, рассмотренное первое приближение при-
водит к заниженной скорости прогиба, причем погрешность
быстро возрастает с увеличением показателя т. Причиной
расхождения является значительное нарушение условий равно-
весия; легко видеть, что, согласно выражению (42.5), пер-
вому приближению отвечает изгибающий момент
Зт	47
вместо правильного значения М = Р(1— z).
216
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VI1
Целесообразно исходить из таких кинематически возмож-
ных скоростей, для которых в какой-то мере удовлетво-
ряются условия равновесия. Заметим также, что в ряде дру-
гих задач «первое приближение» приводит к значительно
меньшим расхождениям.
Надежное решение можно получить с помощью модифи-
цированного метода Ритца, изложенного в § 24, п. 10.
8.	Приложение принципа минимума дополнительного
рассеяния. В § 22 было доказано, что истинное распреде-
ление напряжений сообщает минимум дополнительному рас-
сеянию тела Л (если мощность вариаций внешних сил (22.5)
равна нулю).
Дополнительное рассеяние единицы длины балки равно
м
A = f kdM.
о
Внося сюда k согласно (42.5), получаем:
Заметим, что
Л=------~ТГ7Т |МГ+1
(т 1) D 1	1
(42.21)
Л == р£.
Дополнительное рассеяние всей балки равно
Согласно (22.6)
г
о
|Af|TO+1
(т 1) D
имеем:
dz.
(42.22)
оЛ —0.
Установившаяся скорость прогиба под сосредоточен-
ной силой Pi в направлении последней (или угловая скорость
поворота сечения ш в точке приложения сосредоточенного
момента Л10) равна
®<=^( (илиш=Д)- <42-2з>
Эти формулировки легко распространяются на случай
обобщенных сил и скоростей.
§ 42] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ	217
I
Если система статически неопределима, то лишним неиз-
вестным Xlt Х2, Х8 соответствуют обобщенные скорости,
равные нулю. Вследствие этого для определения лишних
неизвестных имеем уравнения
I	^ = °	У=1. 2.	(42.24)
9.	Примеры. 1. Рассмотрим задачу об установившейся ползу-
чести консольной балки, изгибаемой собственным весом и сосре-
। доточенной силой Р на конце; сечение балки постоянно.
Изгибающий момент равен
ш	M = P(l —	— z)2,
где у — вес единицы длины балки. Согласно выражению (42.23)
скорость прогиба под силой равна
z
1 Г ..тдМ ,
v=dJ " -дРаг-
о
Введем безразмерные величины £ и X:
/ —г=/£, ^=Х.
Тогда
1
пт /т+3 р
v =	----J (1 + К)т С1+т <К.
О
Пусть X < 1; тогда можно воспользоваться разложением
со
(1 + Х£)”г = 1 +	) Х’Ч’1.
п=1
Интегрируя почленно, находим:
л Г	со	-»
рт/т+2 1	m \ \П
V = D	т-\-2 + i ( п ) m + п + 2 ’	<42-25)
П = 1
Случай невесомой балки соответствует X — 0.
2. Рассмотрим задачу об установившейся ползучести статически
неопределимой балки, изгибаемой моментом Л40, приложенным на
Род нагрузки
Таблица 3
Скорость прогиба и скорость поворота для простейших балок
Скорость прогиба в точке А
Скорость поворота
to
оо
Г/2 V 8D	конца балки M^l 2D
ртрп+ъ V (m + 2)£)	конца балки pm^n+x “	(от-{-1)£>
pm.jm+2 tt =			 (от+ 2) 4W + 1 D	на опоре 2pmpn~\ CO = —	 (от4- l)4m+1r>
1	/ n \m v= 	!	11] pm+2 2(от+ 1) D \2/	конца балки ш =	1		12т+1 (2ot+1)D \2)
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ	[ГЛ. VII

220
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
опоре (рис. 93). Обозначим реакцию опоры через Х^ Тогда
М = М0 — Xx(Z — z).
Пусть т — 3; тогда
о
г
Условие
дЛ
уравнению
дХ±
0, определяющее Xj, приводит к кубическому
ХЗ_[^.Х’ + 5Х—| = 0,
где введено
Рис. 93.
обозначение К = yyf-' ^то УРавнение имеет лишь один
вещественный корень X = 1,61,
следовательно,
Хх = 1,61 ^2.
10.	О зависимости лиш-
них неизвестных от показа-
теля ползучести. В послед-
нем примере мы получили для
/?1 = 3 значение Хг~ 1,61 ~,
что близко к величине X' = 1,50 для упругой балки. Если
брать ббльшие показатели т, то значения Хх мало изменятся.
Вопрос о зависимости лишних неизвестных в задачах
изгиба от показателя т изучен в работе А. П. Филина [75[.
Оказалось, что в балочных статически неопределимых систе-
мах (по крайней мере, достаточно простых) лишние неиз-
вестные практически мало изменяются при изменении пока-
зателя т. Следовательно, в первом приближении для
лишних неизвестных можно принимать их значения для соот-
ветствующих упругих балочных систем.
11.	Таблица ползучести простейших балок. Приводим
для справок таблицу ползучести простейших балок, вычис-
ленную при помощи изложенных выше способов.
12.	Приближенное определение скорости прогиба на
основе схемы жестко-ползучей балки. На примере кон-
сольной балки, обсуждавшемся в § 24, было показано, что
§ 42] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ	221
форма прогиба балки при достаточно большом показателе т
близка к форме прогиба жестко-ползучей балки. При этом,
как правило, возникают «шарниры ползучести», вся же
остальная часть балки остается жесткой. Разыскание этого
предельного состояния несложно; затруднения возникают
при нахождении скоростей, так как для жестко-ползучей
балки скорость прогиба определяется с точностью до общего
произвольного множителя. Это затруднение можно преодолеть
при помощи приближенного приема, предложенного Ходжем
и Венкатраманом [104] и основанного на некоторых энерге-
тических соотношениях. Следует отметить, что точность
этого приема для балок заметно ниже, чем для решеток,
что можно объяснить локализацией деформаций в шарнирах
ползучести, затрудняющей аппроксимацию.
При больших значениях показателя т кривая прогиба
1 близка к линии прогиба жестко-ползучей балки всюду,
за исключением малой области вблизи заделки (см. рис. 63).
Можно поэтому считать, что основная часть рассеяния балки
связана с этой областью, вырождающейся в пределе в шар-
нир ползучести. В связи с этим будем приписывать шарниру
ползучести некоторую величину рассеяния, которую уста-
новим следующим образом. Рассмотрим ползучесть консоли
(рис. 91); дополнительное рассеяние консоли равно
~	рт+1 рп+2
J	Л = (zn-f- 1) (т + 2) О ’
а рассеяние L = mH. Скорость прогиба конца консоли опре-
деляется формулой (42.16); исключая с помощью формулы
(42.16) силу Р из рассеяния L, получаем:
Полагаем, далее, что эта величина рассеяния развивается
в шарнирах ползучести и для других балок.
Для вычисления *) v воспользуемся теоремой энергии (§ 23)
^ = (|x+l)L,	(42.27)
*) В работе Ходжа и Венкатрамана, предложены два приема:
1) условие минимума (в нашей терминологии) полной мощности
222
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
где 3?— мощность внешних сил. Например, в случае кон-
сольной балки 3? — Pv и формула (42.27) приводит снова
к прежнему результату (42.16).
В качестве первого примера рассмотрим ползучесть балки
с заделанными концами (рис. 94, а). По схеме жестко-ползу-
чего тела балка в предельном состоянии превращается в ме-
ханизм с тремя шарнирами (рис. 94, б). В среднем шарнире
Рис. 94.
угловая скорость сближения жестких отрезков балки в два
раза больше угловой скорости вращения в шарнирах заделки.
Поэтому скорость прогиба определяется из уравнения энергии
Pv=4(|i+ 1) Z,
где L имеет значение (42.26). Легко видеть, что скорость
прогиба под силой составляет - часть скорости прогиба
консоли.
Рассмотрим для примера ползучесть рамы [104], состоящей из
трех одинаковых стержней длины / (рис. 95); сжатием стержней
пренебрегаем.
Стойки рамы деформируются одинаково, поэтому моменты в за-
креплениях равны и рама имеет лишь одну лишнюю неизвестную —
.,	. 2Л4п
момент в заделке Д40. Введем безразмерную величину X —	.
системы:	— Jf) = O и 2) приближенное равенство
справедливое при т -> оо. Первое условие здесь эквивалентно при-
менению теоремы энергии. Второй прием, на наш взгляд, не отли-
чается существенно от первого, как это следует из выраже-
ния (42.27).
§ 421
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
223
Изгибающий момент в стойках равен М =	^1 — -j-A'j,
Pl	/ 2z \
а в горизонтальном стержне М —	(1 — X) 11---^-1, где коор-
дината z отсчитывается от узла рамы вдоль выбранного стержня.
Рис. 95.
Внося эти значения в формулу дополнительного рассеяния (42.22)
и выполняя интегрирование, получаем:
Д =	2Z	vz
(m+ l)(m + 2) D\ 2 / A
X [(1 - A)m+2 + Xm+2 + 1 (1 - A)ra + 1].
~ Лишняя неизвестная X определяется по условию минимума
дД .
= 0, которое принимает вид:
— (1 — А)то+Ч — (1 — Х)т = 0.	(42.28)
График X в зависимости от т показан на рис. 96 сплошной
линией.
Рассмотрим теперь приближенное решение этой же задачи по
схеме жестко-ползучей рамы. Для такой рамы картина течения
имеет следующий вид: образуются четыре шарнира ползучести
(рис. 95, б), и рама приобретает ромбовидную конфигурацию.
Обозначим предельное значение момента в шарнире через Л-10;
по условию равновесия стойки
находим:
1р/-2Л4о = О
v _ 2А10 _1
0 Р1 2 •
(42.29)
224
РАСТЯЖЁНИЕ и изгиб
(гл. VII
Как видно из рис. 96, точное значение X и приближенное зна-
чение Ха различаются в общем мало; в то же время Хо определяется
очень просто.
Перейдем к вычислению скорости верхнего левого узла рамы
в направлении силы Р.
г,	дХ
В точном решении v =	, причем X является корнем урав-
нения (42.28). Вводя безразмерную скорость
v	/ Р1 \т Р
vt = -, где = J
получаем:
г’ =
2т
24-тя
[(1 — хут+2 + хт+2 + -1 (1 — x)m+1 j.
(42.30)
График v* показан на рис. 96 сплошной линией.
Приближённое значение скорости по схеме жестко-ползучей
рамы определяется по уравнению энергии. Так как угловая
скорость сближения жестких отрезков во всех четырех шарнирах
одна и та же (рис. 95, б), то
Pv = 4 (р. 4- 1) Т.
Внося сюда L согласно (42.26), находим безразмерную прибли-
женную скорость
*	2 4- т
(42.31)
Заметим, что этот результат отличается от решения, приводи-
мого в статье [104]. График нанесен на рис. 96 пунктиром.
§ 42] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ	225
13. Приближенное решение задач изгиба с помощью
множителя К (tn). Введение множителя К(т) позволяет по-
лучить более точные результаты, чем использование схемы
жестко-ползучего тела. Рассмотрим статически неопредели-
мую систему, испытывающую изгиб; деформациями растяже-
ния стержней пренебрегаем по сравнению с деформациями
изгиба. Пусть Х{, Х2, ..., Xs — лишние неизвестные. Изги-
бающий момент является линейной функцией лишних неиз-
вестных:
8
Л4 = Мо+2^	(42.32)
i=l
где коэффициенты Мо, bt зависят от внешних нагрузок, кон-
фигурации системы и координаты z.
Обозначим через X.-, и Х° значения лишних неизвестных
соответственно для упругой задачи и для жестко-ползучей
системы. Ищем решение задачи о минимуме дополнительного
рассеяния Л в форме
Х{ = Х°{ + Х(т)(Х-—Х^).
Согласно условию минимума
дд Л
ддг — 0 получаем:
8
2 (X — Х°) J I м Г"1 м = о,
i=t
(42.33)
где интегрирование распространяется на все стержни си-
стемы.
При s = 1 решение является точным. Преимущество при-
ближенного метода обнаруживается для систем с несколькими
лишними неизвестными: независимо от числа лишних неиз-
вестных необходимо решить лишь одно уравнение, опреде-
ляющее множитель Л'(т).
14. Касательные напряжения при изгибе. Влияние ка-
сательных напряжений при изгибе сказывается в искривле-
нии поперечных сечений и усложнении зависимости между
напряжением а и скоростью относительного удлинения $
(из-за появления составляющей касательного напряжения т).
Первое обстоятельство учитывается при упругом изгибе
в виде поправки к «основной» кривой изгиба; эта поправка,
15 Зак. 1058. Л. М. Качанов
1	^26	РАС^ЯЖЕЙИЁ И ИЙГЙБ	[Ел. Vii
как известно, мала для длинных балок	Услож"
нением зависимости между а и £ мы сталкиваемся лишь при
пластическом изгибе, так как в законе Гука относительные
удлинения связаны только с нормальными напряжениями,
а сдвиги только с касательными напряжениями.
Выясним характер распределения касательных напряже-
ний в поперечном сечении ползучей балки, причем для про-
стоты выкладок ограничимся рассмотрением прямоугольного
поперечного сечения. Заметим, что это распределение совпа-
дает с распределением касательных напряжений в нелинейно
I упругой балке, подробно изученным А. П. Филиным [7Б].
При учете касательных напряжений вместо выражения (42.3)
будем иметь:
1	о
где
Т2 = |(02+Зг2).
Следовательно,
+	2 от (о > 0).	(42.34)
Известно, что при изгибе порядок касательных напряже-
ний по сравнению с нормальными равен 2й//. Поэтому для
длинных балок можно пренебречь вторым слагаемым в ква-
дратной скобке. Тогда £ = Вр"1 и распределение нормальных
напряжений находится независимо от касательных напряже-
ний и описывается формулой (42.7).
Касательное напряжение т вычисляется по известному нор-
мальному напряжению согласно дифференциальному уравне-
нию равновесия
дх  да _________________________ „
ду dz
и граничным условиям
Очевидно, что
С да ,
’=./
§ 42]
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
227
Внося сюда нормальное напряжение из выражения (42.7)
и выполняя интегрирование, получаем:
_ Qh.1+*
(1 + Ji) 1т
(42.35)
где Q— перерезывающая сила. В область отрицательных
значений у касательное напряжение продолжается четным
образом.
В упругой балке (р,= 1) имеем параболическое распре-
деление касательных напряжений (рис. 97, а). С возрастанием
А = z
а)
1
б)
Рис. 97.
в)
показателя ползучести т парабола становится все более за-
остренной (рис. 97,6) и в пределе (р, —>0) вырождается
в треугольный профиль (рис. 97, в).
Анализ деформаций длинного стержня (см. В. В. Новожилов [46])
показывает, что «гипотеза плоских сечений» не связана с механи-
ческими свойствами материала. Поэтому и при ползучести искри-
вление поперечных сечений можно считать незначительным. Вслед-
ствие этого обычно нет необходимости в определении дополни-
тельной скорости прогиба и1( вызываемой действием касательных
напряжений. Приближенное дифференциальное уравнение для
может быть получено так. Рассмотрим элемент балки dz. Средняя
скорость правой грани элемента относительно левой равна dvt.
Полагая, что мощность перерезывающей силы Q dvx равна мощности
касательного напряжения t, находим в силу (20.16) и теоремы
энергии (23.3):
Q dvx = dz В J" J* | т |™ 1 dx dy,
15*
228
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
ИЛИ
•^- = qQm,
dz
(42.36)
где коэффициент q для прямоугольного поперечного
равен
h
т 1-1
сечения
hl+*-
(1 + р.) im J j
О
1 + т
dy.
q
16. Об экспериментальных данных. В перечисляемых
ниже работах изучалась ползучесть стержней прямоугольного
поперечного сечения в состоянии чистого изгиба.
Опыты Мак Келлога [129]. В этих опытах испыты-
вались свинцовые балки (длина 533 мм, 2/z=190 мм,
2Ь — 54 мм) при температуре 24° С. Продолжительность
опытов доходила до 700 часов. Экспериментальные данные
согласуются с теоретическими результатами, вычисленными
согласно опытам на растяжение и сжатие. В частности, от-
клонение подсчитанного изгибающего момента от приложен-
ного момента составило для опыта одной балки 10,2%,
для другой 2,8%.
Опыты Тэпсела [1БЗ]. В опытах Тэпсела также изу-
чалась ползучесть свинцовых балок при комнатной темпера-
туре (21,5° С). Испытания продолжались около 7 суток,
причем в первом опыте балка загружалась изгибающим мо-
ментом 15 400 кгсм, во втором 19 800 кгсл/.Теория удовле-
творительно согласуется с опытными данными. Отклонения
теоретических значений моментов от приведенных выше рав-
нялись соответственно 18 и 4%.
Опыты Девиса [96]. В этих опытах изучалась ползу-
честь балочек квадратного сечения (2b — 2h = 12,7 мм) из
хромоникелевой стали при 816 и 898° С. Длительность испы-
таний составляла от 200 до 400 часов. Девис исходил из
теории упрочнения в форме
0=.Д(ес)”гДс)и,
где А, т, п — некоторые постоянные, и обнаружил хорошее
согласие между экспериментальными и теоретическими зна-
чениями.
Опыты Мерина и Свислера [128[ осуществлялись
над алюминиевыми балками при комнатной температуре; про-
§ 43]
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
229
должительность опытов 200—400 часов. Отклонения теоре-
тических результатов от опытных данных несколько больше,
чем в предыдущих опытах. Авторы объясняют это предва-
рительным характером проведенных испытаний. Следует заме-
тить, что для этих опытов характерны очень малые скорости
ползучести.
§ 43. Неустановившаяся ползучесть при изгибе.
Статически определимые задачи
1. Общие замечания. Анализ неустановившейся ползучести
балок и рам может быть проведен по общей схеме, рассмо-
тренной в гл. VI. По этой схеме уже были рассмотрены
простейшие задачи: неустановившаяся ползучесть стержня
прямоугольного поперечного сечения, изгибаемого постоян-
ными парами (§ 36), и задача о релаксации изгибающего
момента (§ 36). В случае задач статически неопределимых
прямое применение общей схемы связано с известными вычис-
лительными трудностями. Это замечание относится к основ-
ной и смешанной краевым задачам (§ 30); решение релакса-
ционных задач по общему методу реализуется сравнительно
просто.
Приближенный анализ статически неопределимых систем
осуществляется несколько иначе, в связи с чем такие системы
рассматриваются в следующем параграфе.
2. Неустановившаяся ползучесть при чистом изгибе
постоянным моментом. В этом случае решение задачи опреде-
ляется минимумом дополнительной мощности изгибаемого
стержня
h
bW==4bJ' b(y)(A-\-^dy = Q (43.1)
о
при условии постоянства момента внутренних сил
h
4 J ayb(y)dy— М.	(43.2)
о
Но в задаче изгиба отлично от нуля только напряжение а;
поэтому
П = ^,	(43.3)
230
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
Нетрудно убедиться в том, что уравнение Эйлера этой
задачи вариационного исчисления (в силу условия (43.2) мы
имеем изопериметрическую задачу) выражает так называемую
гипотезу плоских сечений Ъ — ky, где параметр k опреде-
ляется согласно уравнению равновесия (43.2). Так как необ-
ходимо применять полное уравнение ползучести (8.47),
то решение задачи неустановившегося изгиба наталкивается
на большие математические трудности и может быть достиг-
нуто лишь путем сложных вычислений. Будем поэтому искать
приближенное решение задачи в форме *)
а — а' -ф- т (/) (а" — а'),
(43.4''
где т(/)— подлежащая определению функция времени. Вве-
дем безразмерные величины
ч =	₽(Ч) = ±Ь2, а> = ^, «, = 7^. (43.5)
Заметим, что коэффициент Xj зависит лишь от формы
сечения и показателя т и всегда меньше единицы; в самом
деле,
1 / 1	\-1
/ ₽ (7j) Т]2 di} [ f ₽ (7}) TJ1 + !i dTJ j < 1 ,
0	\o	/
так ‘как	и /л > 1; хх = 1 только при т — 1. Та-
ким образом,
с*=7) + т(^)У,	(43.6)
где положено
У^тхр;!*—7].	(43.7)
Вернемся к основным уравнениям (43.1) и (43.2); уравне-
ние равновесия (43.2), очевидно, удовлетворено, а дополни-
тельная мощность V7 теперь является функцией лишь пере-
менного т. Необходимое условие минимума W выражается
dW А	. .
уравнением = 0, развертывая которое получаем диффе-
1) В этом параграфе одним штрихом мы отмечаем величины,
относящиеся к начальному упругому состоянию, двумя штрихами —
к установившемуся состоянию.
§ 43] НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
tii
nt 3;
ренциальное уравнение для искомой функции т(/):
ЕВ, (О С1 (т) - 2	= О,
где положено
(43.8)
to
L
г-
1
QiW = - f 1^ + Ч0У]тУР(у1)^,
О
1
S = f Г2₽(Т])^.
О
(43.9)

Начальное условие для т(£) имеет вид:
при t ~ 0 -с = 0.
Интегрируя дифференциальное уравнение (43.8)
условии, получаем:
t - /
х* J Q1C0’
о
где введено безразмерное время
2 I I )
при этом
(43.10)
л*
Легко видеть, что
Q1(D = 0,
^^-<0	(0<т<1).
В точке т = 1 функция (^(т) имеет нуль первого порядка,
так что интеграл в решении расходится при -с=1. Таким
образом, картина неустановившейся ползучести при изгибе
аналогична общей картине, рассмотренной в гл. VI. При
целом т функция (^(т) является полиномом степени т\ тогда
интегрирование в выражениях (43.9) легко выполняется. Кри-
вую т = т (fu) проще всего строить численным интегрированием
по методу Эйлера (см. § 34). При фиксированном т для
сечения определенной формы (например, прямоугольной) кри-
вая т = т (fb) строится раз навсегда. Значения т при дроб-
ном т можно определять интерполированием.

232	РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ	[гл. VII
Вполне приемлемым приближением является линейная
аппроксимация
Qi(O = Qi(0)(l— т),	(43.11)
где
1
Q1 (0) = — f (т]) d^i > 0.
о
Тогда
т=1—£г-«1(о)б*.	(43.12)
Сопоставление решений согласно выражениям (43.9) и
(43.11) в случае прямоугольного сечения дано в § 36 для
т — 3.
Приведем в заключение некоторые формулы для вычисления
коэффициентов -/ч и Б. Коэффициент <?(р.) определен формулой
(42.9).
Прямоугольник (высота 2ft, ширина 26):
= 1 + 2т .1 (m-l)2fe
1 3m ’	9 m (т -|- 2) й '
К р у г (радиус а):
Х1=4?Ь’
Круговое кольцо ^внутренний радиус а, внешний радиус Ь,
3.	Изгибающий момент — функция времени. Рассмотрим
задачу о чистом изгибе моментом, являющимся заданной,
медленно изменяющейся функцией времени. В этом случае
принцип минимума дополнительной мощности остается спра-
ведливым, т. е. по-прежнему
*(х+#)=°-
Ищем приближенное решение этого уравнения в прежней
форме (43.4), причем а', о" —распределения напряжений для
текущего значения 7И. Тогда уравнения статики будут удо-

§ 43] НЕУСТЛНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ 233
влетворены. Так как напряжения а', а" пропорциональны
изгибающему моменту М, то вместо уравнения (43.8) полу-
чим дифференциальное уравнение
I	Г ’1 ЕВ. (О Q. (г) - -2 ™ St X = 0. (43.13)
Заметим, что при выводе использовано соотношение
1
У Гт]₽(т])^ = 0,	(43.14)
о
вытекающее из уравнения Кастильяно, если искать решение
упругой задачи в той же форме (43.4).
При Л4 = const вновь приходим к уравнению (43.8). Диф-
ференциальное уравнение (43.13) при заданной зависимости
M = интегрируется методом Эйлера. После нахожде-
ния множителя т (f) напряжения определяются по исходным
формулам (43.4).
4.	Неустановившаяся ползучесть в статически опре-
делимых задачах. Реакции опор в этом случае известны,
следовательно, мы имеем задачу о ползучести тела под дей-
ствием заданных постоянных нагрузок. Разыскивая решение
в той же форме (43.4), мы придем, очевидно, к прежнему
результату:
о
и нужно лишь установить конкретный вид Й- и Q(t). При-
меняя общую формулу (34.11) к изгибу, находим:
I h
Q СЙ = — JL+1 f dz f от (a" — a')b(y)dy.
(V 3 ) Q G
(43.15)
Введем безразмерные величины (43.5) и ограничимся для
простоты рассмотрением стержня постоянного поперечного
сечения. После некоторых преобразований получим:
Й- = 2Д-ЕП',
Q(t) =
8(m+ 1)/г34^
/дав1(ТгзчГ+1
Qi(t)A". (43.16)
234
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[гл. VII
где S и (^(т) заданы формулами (43.9), П' — упругая по-
тенциальная энергия балки в начальном состоянии:
i
IL'^C^dz,	(43.17)
t/
О
а Л"— дополнительное рассеяние для установившегося со-
стояния, определяемое формулой (42.22). Теперь решение
принимает вид:
ti*
Г dt
J Qi(x)’
о
(43.18)
где введено безразмерное время
/ =	------Q (/)
*	2х“ jBjLir
При линейной аппроксимации
мулу (43.12):
т = 1 —	(°)
(43.19)
имеем фор-
где Qt(O) определено в п. 2.
Полученные зависимости (43.18) и (43.12) совпадают с за-
висимостью -г от в задаче чистого изгиба. Для данного
поперечного сечения и фиксированного т кривая т — т (fu)
строится раз навсегда независимо от эпюры изгибающего
момента. В каждом конкретном случае производятся лишь
иные отсчеты по оси времен; эти отсчеты определяются фор-
мулой (43.19) и зависят, конечно, от эпюры изгибающего
момента. Влияние эпюры изгибающего момента характери-
зуется отношением дополнительного рассеяния Л" к началь-
ной упругой энергии П7.
Рассмотрим простейший пример — изгиб консоли прямоуголь-
ного поперечного сечения силой, приложенной на конце. Изгибаю-
щий момент М — Р(1 — г). Находим:
~	/Э2/3	~	рт+1 рп \ 2
П ="б£/’ Л =(m + l)(m + 2)£> ’
. _ 27тЕ (Plh\m~x h п /л
Ч* — Ym-\f \~Г) ~b 21 (0‘
§ 43]
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
235
Сопоставим переходный процесс в рассмотренной консольной
балке с переходным процессом в балке того же сечения, изгибае-
мой постоянным моментом М. — Р1. Сравнивая соответствующие
формулы для 4,., получаем:
3
(Л*)конс = (^1*)чист. пзг ' т j о 
Таким образом, в консольной балке изменение напряженного
состояния происходит медленнее, чем при чистом изгибе моментом
М = Р1. Отставание растет с увеличением показателя т.
5.	Релаксационные задачи. Пусть в момент времени
t = 0 ось балки получила в некоторых точках заданные сме-
щения и повороты, которые в последующее время t > 0 не
изменяются; предполагается, что балка свободна от нагрузок.
Релаксационные задачи этого типа решаются общим ме-
тодом (§ 35), так что вопрос сводится к вычислению а' и
коэффициента х по формуле (35.7). Легко видеть, что
^* = ^^(0.	(43.20)
где
h
fi>. = 4 f b(y)yl+mdy
о
есть обобщенный момент инерции,
i
о
— упругая потенциальная энергия балки в начальный момент
времени, а
i
р М'т'1
N^J-^Vrdz.	(43.21)
о
Для балки постоянного сечения величина N пропорцио-
нальна дополнительному рассеянию балки в начальный мо-
мент времени. Заметим, что М'— изгибающий момент в на-
чальном упругом состоянии. Вычислив Г, далее исходим из
уравнения релаксации (35.5) или соответствующего графика.
236
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
Приведенное решение справедливо и для статически не-
определимых систем.
В качестве простейшего примера рассмотрим следующую за-
дачу. Конец консоли прямоугольного поперечного сечения в мо-
мент t — 0 получил постоянное смещение Д (рис. 98). При t = О
Рис. 98.
реакция опоры равна Ро = Д; с течением времени реакция Р
р
убывает. Множитель релаксации р = — определяется по уравне-
но
нию (35.5). Найдем Р. Для этого вычисляем:
4
2 т
Следовательно,
Й' =
А*
bhz+m
pm+ipu+2
N = —5------—- , 1 = 4 bh\
(in 2) /™+1	3
12
(m 4- 2)2
(43.22)
&EI ’
t
§ 44. Неустановившаяся ползучесть при изгибе.
Статически неопределимые системы
1. О прямом приложении общего метода. Рассмотрим
неустановившуюся ползучесть статически неопределимой си-
стемы, испытывающей изгиб под действием заданных по-
стоянных нагрузок; в этом случае мы имеем смешанную
задачу (§ 30). Действительное напряженное состояние соот-
ветствует минимуму дополнительной мощности, т. е.
г h
f dzf b(y)(A-\-~^dy = 0.
о 0
(44.1)
§ 44] НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЁСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ 237
Приближенное решение задачи можно искать в прежней
форме
а = о' -|- т (£) (а" — а').
Как и ранее,
Решение задачи имеет прежнюю структуру. Отметим,
что достаточно ограничиться линейной аппроксимацией (§ 34).
Указанный способ несложен, но обладает недостаточной
механической наглядностью, так как уравнение (44.1) содер-
жит напряжение, а не изгибающий момент. Ниже излагается
приближенный прием, позволяющий устранить этот недостаток.
2. Соотношение между скоростью изменения криви-
зны оси балки и изгибающим моментом. Анализ неуста-
новившейся ползучести статически неопределимых систем
существенно упрощается и становится наглядным, если
с самого начала ввести приближенное соотношение между
скоростью изменения кривизны оси балки и изгибающим
моментом.
Скорость относительного удлинения ij некоторого волокна
балки состоит из скорости упругого удлинения се и скорости
деформации ползучести |с, т. е.
^ = ее + Вс,
причем
te 1	tc D i iJn-1
°-
По гипотезе плоских сечений при изгибе имеем:
В — Ау,
где k — скорость изменения кривизны оси балки. Примем,
что
k=^ke + kc,
причем
иб /в f-C *С
s = k у, | - k у.
Тогда
kcy = BAt)\^\m-lc. (44.2)
238	Растяжение и изТиб	[гл. vii
Умножая первое соотношение на у dF и выполняя интег-
рирование по площади поперечного сечения, находим:
где I—момент инерции поперечного сечения.
Второе соотношение аналогично уравнению установив-
шейся ползучести при изгибе (42.3); разрешая второе соот-
ношение (44.2) относительно а, умножая на у dF и интегри-
руя по площади поперечного сечения, получаем:
|	1 т
Таким образом, приближенное соотношение между ско-
ростью изменения кривизны и изгибающим моментом имеет
'i вид:
1	М,	(44.3)
I
где введено обозначение
!	(44.4)
При установившейся ползучести из уравнения (44.3) сле-
дует уравнение (42.11).
] Исходные зависимости (44.2), при помощи которых вы-
ведено приближенное соотношение между интегральными
1 величинами k и Л4, являются приближенными и их не сле-
дует использовать для восстановления напряжений по значе-
ниям изгибающего момента.
3. Пример релаксации. Для оценки полученного соот-
ношения (44.3) обратимся к задаче о релаксации при чистом
1 изгибе. В этом случае й = 0, следовательно,
I
Это уравнение, аналогичное простейшему уравнению
релаксации (§ 8), имеет прежнее решение
I
=	—1).	(44.5)
и
«п
§ 44]
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
239
м
где Р^лГо-
Л40— начальное значение изгибающего момента,
а безразмерное время

Сопоставим этот результат с точным решением (18.9);
для этого рассмотрим прямоугольное поперечное сечение
и перейдем от к t* (см. § 18). После преобразований
получаем:
_ =________ —1 -	(44.6)
т~л/~л ( 2,п + 1 \т *
V 1 +	*
Эта зависимость, показанная пунктиром на рис. 55, дает
хорошее приближение к точному решению.
Другие примеры связаны с несколько большими вычислениями.
В рассмотренном выше случае консоли (§ 43, рис. 98) следует ин-
тегрировать дифференциальное уравнение (44.3), полагая k —
и Л4 = Р(/— z). Удовлетворяя граничным условиям
л) 7 Г 1
Ч2=о = 0.	=0. Ч=1 = о,
02 Is —0
определим произвольные функции времени Cr(t), а для P(t)
получим дифференциальное уравнение
rfP.—3£Z	0	,те-1 т
dt ^m-f-2	>
„	Р
Следовательно, р = находится из уравнения релаксации
го
(44.5), а безразмерное время определяется формулой
Между кривыми релаксации, согласно выражениям (43.22)
и (44.7), имеется некоторое расхождение, увеличивающееся с ро-
стом показателя т.
4. Принцип минимума дополнительной мощности. Вы-
ведем уравнение, выражающее принцип минимума дополни-
тельной мощности для балочной системы, отвечающей при-
ближенному соотношению (44.3).
240
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VI[
Рассмотрим Z-й элемент системы (Z=l, 2,	п); обо-
значим изгибающий момент и скорость изменения кривизны
для этого элемента через Л4г и /г;. Тогда
Приращение дополнительной мощности для Z-й балки
равно
1г	li
oWi= fkibMidz^
о	о
где li — длина балки.
Считаем, как прежде, что вариации ЗЛ1; не зависят от
времени. Тогда
= a у5	+	(44.8)
о
где =	----упругая энергия единицы длины /-й балки.
Для всей системы
8Г = KWi.
i = l
Приращение дополнительной мощности 3UZ равно мощ-
ности вариаций внешних сил
ZW = 5^.
(44.9)
Но (опоры предполагаются неподвижными)
(44.10)
где рг~ pi(z) — распределенная нагрузка, Pir— сосредото-
ченные нагрузки (обобщенные), a vir— соответствующие
скорости.
Остановимся на часто встречающихся случаях нагружения.
§ 44] НЕУСТЛНОВИВШЛЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ	241
1.	Заданы постоянные нагрузки (основная за-
дача). Тогда 8/^ — 0, cPir — 0, следовательно, 8ст29 = 0.
2.	Релаксационная задача. Нагрузки отсутствуют
(Pir = 0, Pi — 0), но заданы постоянные смещения
(или повороты) в ряде точек. Тогда соответствующие ско-
рости равны нулю, поэтому 8^2=’ = 0.
3.	Смешанная задача. Заданы постоянные нагрузки
(следовательно, Ър{ — 0, ZPir = 0) и в некоторых точках
заданы постоянные смещения (или повороты). В этом случае
по-прежнему имеем (j^ — 0.
Итак, при условии 8^2=’ = 0 имеет место минимум до-
полнительной мощности:
8UZ = 0.
Введем обозначения:
(44.11)
Тогда предыдущее уравнение формулируется в обычной
форме
а(А + ^) = 0-	(44.12)
Из общего вариационного уравнения (44.9) нетрудно вы-
вести обобщенную теорему Кастильяно:
5.	Статически неопределимые системы. В случае ста-
тически неопределимой системы имеем:
= +	(44.14)
где ah bij — известные функции z, a Xj (J—1, 2, . ..,$) —
лишние неизвестные.
Условия минимума дополнительной мощности
ёй;(Л+®) = 0	(7=1.2.......s) (44.15)
16 Зак. 1058. Л. М. Качанов
242
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
приводят к системе s обыкновенных дифференциальных урав-
нений первого порядка относительно Xj. Эта система линейна
dXj
относительно производных-^- и нелинейна относительно
искомых функций Х$; интегрирование ее в общем случае
затруднительно.
6.	Приближенное решение статически неопределимых
задач при заданных нагрузках. Ищем приближенное ре-
шение задачи о минимуме дополнительной мощности в форме
*> = X' + 4t)(X"-X'y	(44.16)
Примем для простоты, что функции В°Д/) точно или
с некоторым приближением могут быть представлены в виде
В°.^) = с^\	(44.17)
где cf > 0 — некоторые постоянные. Условия (44.17) вы-
полняются точно, например, если все элементы системы из-
готовлены из одного материала и работают при одной
и той же температуре.
Тогда для множителя т(/) из (44.12) следует дифферен-
циальное уравнение
2П_^— Q(r)B°(f) — 0,	(44.18)
где положено:
г.
п	г [- s	-|2
Й- = J bij	dz >°-
i=10 Lj=l
ns
Q (0 = - S 2 f IMi Г dz-
i = 1 j = 1	0
Если искать решение установившейся задачи в той же
форме (44.16), то легко найдем:
Q(l) = 0.
Далее получаем:
п Г
= f	— Л4')2^<0.
i =1 о
§ 45]	ИЗГИБ КРИВЫХ СТЕРЖНЕЙ
243
В рассматриваемой задаче достаточно ограничиться ли-
нейной аппроксимацией
Q(x) = Q(0)(l — т),
где
г.
ns	г
<?(0) = —	(44.19)
г = 1 j = 1	О
Тогда уравнение (44.18) имеет решение
т=1—£>-**,	(44.20)
где введено безразмерное время
04.21)
причем	(
Q$(0 = f	(44.22)
о
7.	Пример. Рассмотрим неустановившуюся ползучесть стати-
чески неопределимой балки, изгибаемой моментом Л1о, приложен-
ным на опоре (см. § 42, рис. 93). Примем, что т = 3. В этом случае
п = 1, s=l и (см. § 42, п. 8)
at = A40, ftLl = —(/ — z), q = 1,
Х'=2^Р, xf=l,61^°,
Х = |м0(-14-з|), B?(0 = -^fii(0.
4	'з
По общим формулам находим:
Q (0) = 0,001375^/,
М2!
П_ =0,0121
6Е7
t„ = 0,34//3'3ЕЖ^1 (О-
§ 46.	Изгиб кривых стержней
1.	Введение. В настоящем параграфе рассматривается
ползучесть кривых стержней при изгибе. Как всегда, раз-
личаем стержни малой и большой кривизны. В первом случае
размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом
кривизны оси стержня. Более сложным является анализ ползу-
16*
244
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[гл. VH
чести стержней большой кривизны, для которых размеры
поперечного сечения и радиус кривизны — величины одного
порядка; этот вопрос рассматривается в конце параграфа.
2.	Установившаяся ползучесть стержней малой кри-
визны. Так как для стержня малой кривизны размеры по-
перечного сечения малы по сравнению с радиусом кривизны
оси стержня, то распределение напряжений в сечении кри-
вого стержня незначительно отличается от распределения
напряжений в прямом стержне. Поэтому к элементу кривого
стержня можно применять зависимости, выведенные для пря-
мого стержня. Скорости прогибов и поворотов оси стержня
в отдельных точках проще всего определять энергетическим
методом с помощью обобщенной теоремы Кастильяно (§ 22).
При этом необходимо исходить из дополнительного рассея-
ния (штрихи опускаем)
г
\М\т+1
ds,
(45.1)
где ds — дифференциал дуги оси стержня, I — длина стержня.
3.	Примеры. Рассмотрим сна-
чала простейший пример ползучести
кругового стержня постоянного сече-
ния, изгибаемого парами М (рис. 99).
В этом случае М = const, следова-
тельно,
Mm+iRa
где R — радиус оси стержня, а а — угол раствора дуги. По общей
теореме скорость изменения угла а равна
дА. MmRa
дМ~ D
(45.2)
§ 45]	ИЗГИБ КРИВЫХ СТЕРЖНЕЙ
245
В качестве другого примера рассмотрим стержень, очерчен-
ный по дуге круга и изгибаемый силой Р (рис. 100). Изгибающий
момент равен М — PR со» <р; тогда
рт +1 пт+ 2
(45.3)
где положено
*/3
N(m)— С cos’”+1<p dy.
Скорость прогиба под силой определяется по общей теореме
дЛ
VP~dP
ртдт+2
N (m).
(45.4)
D
Значения
7t
-=н- N (т) даны на рис. 101.
о Л
246
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[гЛ. Vlt
4.	Неустановившаяся ползучесть стержней малой
кривизны. Неустановившаяся ползучесть стержней малой
кривизны может быть рассмотрена общими методами,
изложенными выше. При этом начальное упругое состоя-
ние вычисляется обычными приемами сопротивления мате-
риалов.
5.	Изгиб стержней большой кривизны. Ограничимся
анализом установившейся ползучести при чистом изгибе кри-
вого стержня. Предполагаем, что ось стержня — плоская
кривая и что поперечные сечения имеют ось симметрии,
лежащую в той же плоскости; в этой же плоскости действуют
и изгибающие пары.
Приближенная теория изгиба упругих стержней большой
кривизны, рассматриваемая в курсах сопротивления мате-
риалов, легко обобщается на случай пластических деформа-
ций. Впервые это было сделано, по-видимому, в работе
Свиды.
В основе решения лежат две гипотезы:
1. Гипотеза плоских сечений (плоские попереч-
ные сечения, нормальные к оси стержня до деформации,
остаются плоскими и нормальными к оси стержня и после
изгиба). Это предположение при чистом изгибе стержня с кру-
говой осью выполняется точно.
2. Продольные волокна при изгибе не да-
вят друг на друга. Это предположение выполняется лишь
приближенно, так как дав-
ление между волокнами
имеется, но оно мало по
сравнению с нормальными
напряжениями изгиба.
Рассмотрим элемент
стержня, выделенный двумя
нормальными к оси сече-
ниями, расположенными под
бесконечно малым углом d<f
(рис. 102). Обозначим че-
рез R радиус нейтраль-
1 ной линии пп, смещенной относительно центра тяжести се-
чения. Пусть dw — скорость поворота правого сечения ас
элемента относительно левого. Легко видеть, что скорость
деформации волокна, отстоящего от нейтральной плоскости
§ 45]
ИЗГИБ КРИВЫХ СТЕРЖНЕЙ
247
на расстоянии у, равна
По закону ползучести находим напряжение
(«.6)
(/? —yF \d^ )
Сумма нормальных напряжений равна нулю, следовательно,
Г 1уГ *у b( )d = 0	(45 7)
J (/? —уЕ
где Ь(у) — ширина сечения. Так как изгибающий момент М
уравновешивается моментом напряжений, то
(45-8)
где введено обозначение
f^f~^b(y)dy- (45,9)
(я—уЕ
Интегрирование распространяется на всю площадь попе-
речного сечения; интегра-
лы находятся численно.
Радиус нейтральной
линии R определяется из
уравнения (45.7). Распре-
деление напряжений опи-
сывается формулой
а =	(45.10)
J (Я-уЕ 7
С возрастанием т
характер распределения
напряжения а в растяну-
той и сжатой областях выравнивается, а нейтральная линия
приближается к центру тяжести. В пределе (т—>оо) полу-
чаем эпюру напряжений, аналогичную эпюре для идеально
пластичного стержня (рис. 103).
248
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[ГЛ. VII
§ 46. Релаксация в кольцевом образце
1. Кольцевые образцы. Как уже отмечалось, изучение
релаксации при растяжении связано с значительными техни-
ческими трудностями. В связи с этим широкое распростра-
нение получил простой метод испытания кольцевых образцов
на релаксацию, предложенный И. А. Одингом (см. [8]).
Кольцевой образец показан на рис. 104; он состоит из
двух частей: 1) тонкой рабочей части, очерченной двумя
£4
| эксцентричными полуокружностями и приближенно обра-
1 зующей кривой брус равного сопротивления упругому изгибу;
Л	Л
эта часть охватывает половину кольца —ср ;
। 2) толстой «жесткой» части, передающей усилие.
Жесткая часть кольца разрезана; в прорезь вводится клин,
раздвигающий концы и вызывающий некоторую постоянную
деформацию (натяг). В процессе ползучести напряжения спа-
। дают. При периодическом вытаскивании кольца из печи и
' удалении клина концы кольца не возвращаются полностью
в исходное положение, образуется некоторая остаточная де-
формация. По величине остаточной деформации, можно судить
о протекании процесса релаксации.
§ 4б]
РЕЛАКСАЦИЯ В КОЛЬЦЕВОМ ОБРАЗЦЕ
249
2. Расчет релаксации в кольцевом образце. Рассмотрим
релаксацию в кольцевом образце, следуя (в несколько ином
изложении) работе В. И. Розенблюма [61].
Обозначим через а радиус осевой линии рабочей части.
Толщина 2/г рабочей части кольца равна
2Л = /2/г0УГ+ COScp.
Утолщенные концы кольца считаем недеформируемыми.
При введении клина в разрез возникают горизонтальные
усилия Р (рис. 104), вызывающие изгиб рабочей части кольца.
Эти усилия связаны с величиной начального натяга 2w0.
Найдем начальное упругое распределение напряжений
в рабочей части кольца в зависимости от натяга 2w0. Рас-
смотрим участок кольца О^ср^у (см. правую часть рис. 104).
Конец этого участка (ср = yj под действием усилия Р и
момента М0 = Ра получит некоторое горизонтальное сме-
щение А и повернется на некоторый угол у. Очевидно, что
®>о = Д +«'If-
Для определения А и у воспользуемся теоремой Кастильяно.
Упругая энергия рассматриваемой части кольца равна
п _ Г NPady
J 2EI '
о
2
где 7И — 7И0 -|- Ра cos <р — изгибающий момент, а 1 = — Ы1? —
момент инерции. Тогда
_ дП . дП
— дР + а дМ0 ~~
т/2
Следовательно,
(46.1)
6/2 л»
§5б
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ
[гл. VII
Напряжение изгиба в начальный момент (отмечаем его
одним штрихом) равно
а = — у = - у________— —- ,
I у 1 + cos tp h0
где координата у отсчитывается по нормали к осевой линии, а
„ _ ЕМ'о
10 “2/2^
есть максимальное напряжение в сечении <р = 0 в начальный
момент времени. Решение задачи о релаксации напряжений
в кольце разыскиваем в обычной форме
° = Р (О °'-
Согласно общему решению (§§ 35, 43) множитель рела-
ксации определяется зависимостью
1
V 2	у
(46.2)
(46.3)
(46.4)
1 т—1 _______________ ’
yi + (m— l)f*
причем t* — x2(Z); для задач изгиба время t* вычисляется
по формуле (43.20). После несложных выкладок получаем
•>
Сопоставляя эту формулу с решением (8.11) задачи о ре-
лаксации при растяжении (§ 8), заключаем, что кривые ре-
лаксации для кольца и растягиваемого стержня совпадают,
если начальные напряжения
со = ?сю- где
удовлетворяют условию
т-1
9= I
3
т -р 2
(46.5)
непосредственно получают зави-
Из опытов с кольцами
симость ну — Так как разгрузка происходит упруго,
то максимальное напряжение при ср —0 в текущий момент
времени равно
£й0	...
Ci — —® (/).
2]/2д2
Следовательно,
cto
я'о
(46.6)
§ 46]
РЕЛАКСАЦИЯ В КОЛЬЦЕВОМ ОБРАЗЦЕ
251
т. е. можно строить кривую релаксации при растяжении
непосредственно по опытным данным. Коэффициент q слабо
зависит от показателя т; это вытекает из следующей
таблицы:
т	2	3	5	7	10
q	0,750	0,775	0,810	0,834	0,857
Можно поэтому в некотором интервале принять для q
фиксированное значение, например ^ = 0,8. Слабая зависи-
мость q от т позволяет также считать, что полученные
соотношения применимы
и при наличии отклоне-
ний от степенного закона.
3. Опытные данные.
Изложенным способом по
опытным данным были
построены [61] кривые ре-

лаксации для четырех
марок сталей. Кроме того,
непосредственно по кри-
вым ползучести при ра-
стяжении для тех же
сталей были построены
бю -15 кг/ммг
5О ?.5О 500	1000	1500 часы
кривые релаксации гра- jl_______*__<___<__i__i__i-----।
фическим методом (§ 15).	®	1500часы
Найденные двумя различ-	рис |Og
ными способами кривые
релаксации располагаются достаточно близко друг к другу.
На рис. 105 показаны соответствующие кривые для стали
ЗОХМА при 450° С и начальных напряжениях о10 — 20 кг! мм2-,
с10= 15 кг/мм2. Сплошными линиями проведены кривые ре-
лаксации, построенные по опытам ползучести, пунктиром —
по испытаниям кольцевых образцов.
ГЛАВА VIII
КРУЧЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрим ползучесть скручиваемых
цилиндрических стержней произвольного поперечного сече-
ния. Согласно общему методу необходимо сначала рассмотреть
задачи об упругом кручении и об установившейся ползучести
скручиваемого стержня. Первая из этих задач хорошо изу-
чена, и мы приведем лишь некоторые результаты, которые
нам понадобятся в дальнейшем. К конце главы кратко рас-
сматривается кручение круглых стержней переменного диа-
метра,
§ 47.	Начальное упругое состояние
1.	Основные положения. Проведем ось z параллельно
оси стержня и закрепим нижний конец стержня (рис, 106).
При упругом кручении поперечные сечения стержня повора-
чиваются как твердое тело, но, вообще говоря, не остаются
плоскими, т. е.
их — —Qzy, Uy = ftzx, uz~ty(x, у),
где 0 — угол кручения на единицу длины стержня, а ф (х, у) —
неизвестная функция. Компоненты начальной упругой дефор-
мации
— ег —	— О’
/ dty \	п / di .	\
(47.1)
Вследствие закона Гука получаем, что от нуля отличны
только компоненты напряжения
= %- V = Gyyz.
(47.2)
§ 471
НАЧАЛЬНОЕ УПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ
253
Из трех дифференциальных уравнений равновесия остается
одно:
дх ' ду
(47.3)
Внеся в него напряжения согласно (47.1) и (47.2), най-
дем, что ф(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа. Из усло-
вия отсутствия нагрузок на боковой поверхности стержня
нетрудно получить предельное условие для функции tp(x, у).
Другая формулировка задачи основана
на введении функции напряжений F = z,
= F(jc, у):
dF	dF
~ ду ’ V ~ дх 
Теперь уравнение равновесия удовле-
творено. Из (47.1) вытекает условие
совместности деформаций
ду дх
(47.4)
Внося сюда компоненты деформации
по закону Гука, получаем дифференциаль-
ное уравнение для функции напряжений
d3F d2F
дх2 ' ду3
2G6.
(47.5)
Рис. 106.
На боковой поверхности стержня, в силу (47.2), первые
два уравнения Коши (20.6) удовлетворяются тождественно,
третье же приводится к виду
Z ' dF / ч dF
cos(n’ x)-^ — cos(n, у)-^- = 0,
где п — нормаль к контуру С поперечного сечения стержня;
так как cos(n, х) = -^г, cos {п, у) =— где dC—диф-
ференциал дуги контура, то последнее уравнение переписы-
вается в форме
^ = 0
ОС и’
254
КРУЧЕНИЕ
(ГЛ. VIII
т. е. на контуре сечения
F = const.	(47.6)
Для односвязного контура можно принять
F = 0 на С.	(47.7)
Вследствие этого крутящий момент 7И для односвязного
контура равен
Л1 = J* J* (xxyz — утх2) dx dy = 2 J" Fdxdy. (47.8)
2.	Вариационное уравнение. Задача упругого кручения
представляет собой, в общем, простую математическую задачу.
Несравненно более трудной задачей является, как мы увидим
ниже, задача об установившейся ползучести скручиваемого
стержня. Здесь более или менее общий прием приближен-
ного решения основывается на вариационном уравнении за-
дачи. При этом полезно исходить из функции напряжения
в соответствующем приближенном решении упругой задачи.
Поэтому мы кратко рассмотрим вариационное уравнение
Кастильяно в задаче кручения.
При отсутствии массовых сил уравнение Кастильяно
имеет вид:
8 f П dV = [ (их 8Х„Д- и.. 8Уп-4- uz lZn) dS.
f	IX w	th I у t и I	Ik'
r s
В задаче кручения
V
где I — длина стержня. Вычислим теперь работу вариаций
поверхностных нагрузок. На нижнем основании (2 = 0):
cos (п, x) = cos(/z, у) = 0, cos (я, z) = —1;
8Xn = — ~oF, 8Kn = -^-8F, 8Zn = 0;
n ду	n дх	n
«ж=«к=о, «2=е^(х, у).
Поэтому здесь работа вариаций поверхностных сил равна
нулю (так же, как и на боковой поверхности стержня).
§ 47]	НАЧАЛЬНОЕ УПРУГОЕ СОЙТОЙНИЕ	2бб
На верхнем основании (2 = /):
cos (я, x) = cos(/i, у) — 0, cos(n, z)=l;
axn=^8F, sfw=—sf, szn=o;
п ду ' п дх	п
их =---Bly, Uy = 6/х, uz = бф (х, у).
Следовательно,
1“ (ихоХп -}-...) dS = 26/ J* J* 8F dx dy—
s
“ez Jf Й(x 8F) + 4 (У SF>] dx dy-
Преобразуя последний интеграл в интеграл по контуру С,
получаем, что этот интеграл равен нулю, так как на контуре
8F = 0. Таким образом, вариационное уравнение кручения
имеет вид:
8/ = 8 ff { 277 О + О - 2в4 “у = О- <«.9)
3.	Приложение метода Ритца. Приближенное решение
вариационной задачи нетрудно построить с помощью
метода Ритца. Особенно просто находится «первое прибли-
жение». Возьмем за функцию напряжений F (х, у) некоторую
функцию cFj (х, у), обращающуюся в нуль на контуре и
подходящим образом имитирующую прогибы мембраны, на-
тянутой на том же контуре (см. мембранную аналогию в теории
кручения), где с — подлежащий определению параметр. Тогда
1 —	и условие экстремума / выражается уравнением
<37 п
— = 0, линейным, очевидно, относительно с.
Рассмотрим пример: кручение стержня прямоугольного попе-
речного сечения (ширина 2Ь, высота 2ft). Положим
Fx = (х2 — fts) (у2 — Д2).	(47.10)
Выполнив вычисления, получаем:
С = Т Ь2 +И2'	(47.11)
256
КРУЧЕНИЕ
[гл. VIII
Угол кручения на единицу длины 6 связан с величиной крутя-
щего момента М зависимостью (47.8); внося в нее найденную функ-
цию F = cFr и проводя вычисления, получаем:
40 b2h2
М~ 9
G0.
Найденное соотношение мало отличается от точного.
4.	Кручение круглого стержня. Эта задача имеет эле-
ментарное решение; приводим его, так как оно потребуется
нам в дальнейшем. Функция напряжений имеет вид:
_ Л4 / _ г2 \
ла2 \ а2 )
Напряжение равно
dF _ 2М
T<fZ dr па4 Г‘
§ 48.	Установившаяся ползучесть скручиваемого стержня
1.	Дифференциальное уравнение кручения. Задача
об установившейся ползучести скручиваемого стержня сов-
падает, по существу, с задачей «обычного» пластического
кручения при произвольной зависимости между напряжениями
и деформациями, если скорости vx, vy, vz заменить смеще-
ниями их, иу, uz. Известно, что картина деформации при пла-
стическом кручении та же, что и при упругом. Поэтому *)
'Па; =— ыху; Vy=iozx; ‘Уг = юф(х, у),	(48.1)
где со —угловая скорость кручения на единицу длины стержня;
условимся считать ее положительной. Вычисляя компоненты
скорости деформации, получаем:
==	== 0-
Вследствие этого из соотношений установившейся ползу-
чести вытекает, что отличны от нуля лишь компоненты напря-
1) Здесь функции 4 и F иные, чем в задаче упругого кручения;
их следовало бы различать штрихами (<!/, F' и ф", F"), но для
простоты письма штрихи опущены
§ 48]	УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЯ	257
жения tyz. Интенсивность касательных напряжений
Т = +	-4-т2
1 ' XZ 1 yz
(48.2)
Уравнение сплошности теперь имеет вид:
<Чгг Туг _	_
~д~у----=	<48-3)
Введем, как и при упругом кручении, функцию напряже-
ний F = F (х, у). Эта функция удовлетворяет тем же усло-
виям (47.6) на контуре, а крутящий момент для односвязного
контура определяется той же формулой (47.8).
Внося компоненты скорости деформации по закону пол-
зучести (20.1) в уравнение сплошности (48.3), находим диф-
ференциальное уравнение функции напряжений:
ж[^£]+^(т’зЯ+2“=0’ <48'4'
причем
I
| При f(T) = const вновь приходим к уравнению (47.5).
। В случае степенной зависимости =
Угловая скорость кручения ® определяется из условия
статической эквивалентности (47.8). При степенной зависи-
। мости функция напряжений может быть представлена в форме
со \
-g-j Fo, где Fo не зависит от ш и В. Тогда из усло-
вия статической эквивалентности следует:
7H = Do)11, D = B~^Dm,	(48.5)
где Dm зависит только от формы поперечного сечения и
показателя ползучести tn. Величину D можно называть
жесткостью при кручении.
Уравнение (48.4) впервые получил Надаи [132]; оно линейно от-
1 носительно производных второго порядка и принадлежит к эллипти-
ческому типу. Решение этого уравнения известно лишь для не-
скольких частных случаев. Вопросы существования решения изучены
1 в работах А. Кошелева ]37] и А. Лангенбаха. 17
17 Зак. 1058. Л. М Качанов
258
КРУЧЕНИЕ
(ГЛ. VIII
Элементарное решение имеет задача о кручении круглого
стержня, рассмотренная в § 17. В этом случае функция
напряжений равна
З-фр. М г /гу+р
1 -|- р- 2-ад2 [	\ а J
причем
__dF
V— dr’
2.	Вариационное уравнение. Исходим из общего ва
риационного уравнения (22.4):
3 fAdV— f(vx Ып + vy VYn+ vz dS.
V	s
В рассматриваемой нами задаче варьируется функция
напряжений F, причем вариация ZF произвольна внутри
контура поперечного сечения и равна нулю на самом кон-
туре. Нетрудно показать подобно предыдущему (§ 47), что
f (у£С8Ли-|- . ..)dS = 2o>/ J f ZFdxdy.
s
П	.В ’»+!
Далее, при степенном законе А = ——~Т
m -1
Следова-
тельно, вариационное уравнение установившейся ползучести
скручиваемого стержня имеет вид:
3/ = 8 f У* [-Tl+i — 2o)F] dx dy = 0.	(48.6)
Дифференциальное уравнение (48.4) при степенном за-
коне является уравнением Эйлера вариационной задачи (48.6).
Действительное распределение напряжений отвечает мини-
муму I. Покажем, что вторая вариация В2/ положительна. Первая
вариация

Тт — 2ыЪГ'\(1хс1у,
причем
дх дх 1 ду ду
§ 48]	УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЯ	259
Вторая вариация
в ff тт~' Ks ЙУ+(S	"+

Тт-3 (ВГ2)2 dx dy +
J J ( L дх \	дх / ду\ ду /J
— Г/ (вТт~1(ВТт -1	— 2ш11 В2Г dx dy.
Ldx\ дх) 'дух ду) Jf J
Интеграл от квадратной скобки в предпоследней строчке
преобразуется по формуле Гаусса — Остроградского в интеграл по
контуру сечения; этот интеграл равен нулю, так как на контуре
В3Г = 0. Вторая квадратная скобка равна нулю в силу дифферен-
циального уравнения (48.4). Оставшиеся интегралы положительны,
следовательно, В2/ > 0.
Крутящий момент М пропорционален величине I.
В самом деле, для односвязного контура представим /
в виде
/ = —ГТ /* f \^(T‘n~iFd^}+i-(Tm^Fdpi\dxdy~
»z-|-l J J Ld-v\ dx) 1 dy\ dy/J x
В Г Г [A (Tm-idF\,±(Tm-idF'
m-j-1 J J	dx) ' dy\ dy,
F dx dy — ц>7И.
С помощью формулы Гаусса — Остроградского первый
интеграл преобразуется в интеграл по контуру сечения; этот
интеграл равен нулю, так как на контуре F = 0. Выраже-
ние внутри квадратных скобок во втором интеграле равно
— -g-. Следовательно [25],
Л4 = — -'^-1.	(48.7)
Очевидно, что /< 0.
Из найденного соотношения вытекает, что всякое при-
ближенное решение вариационного уравнения приводит
к нижней границе крутящего момента.
Верхнюю оценку величины крутящего момента можно
получить, если исходить из принципа минимума полной мощ-
ности (см. аналогичный результат в теории пластического
кручения [26]).
17*
260
КРУЧЕНИЕ
(гл. VIII
3.	«Первое приближение» по Ритцу. Для построения
приближенного решения можно исходить из вариационного
уравнения (48.6), решая его модифицированным методом
Ритца, изложенным в § 24, п. 10. Ищем решение уравнения
(48.6) в форме F=c1F14-c2^? + • • • где ^2- • • - — коор-
динатные функции упругой задачи. Коэффициенты ср с2,. ..
определяются из последовательности линейных задач.
Грубое, «первое приближение» по Ритцу, содержащее
лишь один произвольный параметр, строится легко. Для
этого положим
F = cFv
где с — подлежащий определению параметр, a Fj(x, у) —
подходящая функция; за Ft (х, у) можно, в частности, взять
функцию напряжений в соответствующей упругой задаче,
так как искомая поверхность напряжений имеет примерно
такую же форму. Теперь 1 — является функцией одного
переменного с; условие минимума I приводит к следующему
значению с:
с» _ 2Л
В	т+!
(48.8)
Заметим, что «первое приближение» по Ритцу для по-
лучения локальных характеристик (например, напряжений)
ненадежно.
Рассмотрим пример: стержень прямоугольного се-
чения. Положим, как и ранее (§ 47),
Л1==(Лз__ 62)(у3 — Л3);
тогда
J* J* Farfx <7у = bshs.
Интеграл в знаменателе (48.8) нетрудно вычислить для значе-
ний т — 1, 3,5, 7, ... Положим = р (целое число) и введем
§ 481
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЯ
261
обозначения:
ь	h
f х2(Р-»(хЧ-brfj dx^bj, f y^tyt-htf^-fidy^hj
о	0
(J = 0, 1,2, ...,p);
тогда
p
J=0 '
Для промежуточных значений m можно пользоваться интерпо-
ляцией, Крутящий момент равен
М = ~ bshsc.
4.	Приближенный метод решения. Применим к задаче
кручения приближенный метод, развитый в § 24. Этот ме-
тод позволяет более надежно находить поле напряжений,
в частности наибольшие напряжения.
Обозначим через F' — F'(x, у) функцию напряжений
в соответствующей упругой задаче, а через F° = F°(x, у) —
функцию напряжений для задачи кручения в предельном со-
стоянии ползучести (при т—>оо). Методы нахождения F'
хорошо разработаны. В § 24 было установлено, что пре-
дельное состояние ползучести в задаче кручения совпадает
с идеально пластическим распределением напряжений. За-
дача же идеально пластического кручения имеет сравни-
тельно простое решение, так как функция F° удовлетворяет
дифференциальному уравнению
lc)F0\2 , idF0\2
+Ьу) =const’ <48-9>
характеризующему поверхность равного ската (см. [27-71] )•
Постоянная в правой части определяется по величине кру-
тящего момента.
Ограничимся рассмотрением односвязных профилей; тогда
на контуре имеем F' = 0 и Fo —о. Поверхность напряжений
2 = F° (х, у) имеет ребра (рис. 107), т. е. производные F0
разрывны. При конечном т функция напряжений F является
решением задачи Дирихле для уравнения эллиптического
262
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VIII
тина (48.4) и при отсутствии входящих углов на контуре С
обладает ограниченными и непрерывными производными
(поверхность z — F(x, у) не имеет ребер). Отсюда можно
заключить, что функция F° не является решением вариа-
ционного уравнения (48.5) ни при каком конечном значе-
нии т.
Ищем решение вариационного уравнения (48.6) в форме
F = F°-\-K(m)(F'— F°).	(48.10)
Очевидно, что уравнения статики при этом удовлетво-
ряются; множитель /<(т) определяется из необходимого
Рис. 107.
условия минимума
и учитывая, что
^т>/ = 0. Выполняя дифференцирование
2 J* J F' dx dy — 2 J* J* F° dx dy — M,
получаем уравнение для множителя К (ту.
(dF' dF°\ , dF(dF' dF^\\ , .
(48.11)
При нечетном m это уравнение будет алгебраическим
степени т. При т=1 множитель К— 1. По установленному
ранее имеем /С(иг)>0. В этом случае можно считать,
что Л”(т) монотонно убывает с возрастанием т. После
определения К напряжения легко вычисляются по форму-
лам
— Ххх + К (ухх — Ххх) >	xyz — xyz + К (тй- Т^-).
§ 48} УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЯ	263
Для нахождения угловой скорости кручения о> восполь-
зуемся обобщенной теоремой Кастильяно (22.8). Функции F', F°
пропорциональны крутящему моменту М, следовательно,
и функция F пропорциональна М.
Вычисляя дополнительное рассеяние, получаем:
Т В СГ^+1. . Мт+'
А = —г Т	dxdy = ——г N,
т-\-1 J J	m-j-i
где через N обозначена величина, не зависящая от М. Тогда
=	(48-12)
Пример. В § 25 изложенный метод был применен
к простой задаче кручения круглого стержня. В качестве
другого, более сложного примера рассмотрим кручение
стержня квадратного поперечного сечения
(рис. 107, в).
Прежде всего необходимо выписать компоненты напря-
жения для упругого состояния и предельного состояния
ползучести.
Напряжения т'хг, т' соответствующие упругой задаче,
можно было бы взять по известному решению в рядах, од-
нако для простоты вычислений будем исходить из прибли-
женного решения (см., например, [72], гл. IX)
F' = (х2 — а2) (у/2 — а2) [а0 + cq (х2 + у/2)], (48.13)
где
_ 5_ 259 Об _ 15 35 Об
“° ~ 8 277 а2 ’	~ 16 ’ 277 а* ’
При этом крутящий момент согласно (47.8) равен
М = 0,140406 (2а)4,
что лишь на 0,15% меньше точного значения 0,140606 (2а)4.
Максимальное касательное напряжение, достигаемое в се-
редине стороны квадрата, равно
ттах= 1,4006а.
Точное значение ттах = 1,3506а. Компоненты напряжения
вычисляются по формулам
, _dF’ _ dF'
xz ду ’ 'yz дх 

264
'КРУЧЁНИЁ,
1гл. Vin
Переходя к безразмерным координатам
и выражая угол 6 через крутящий момент М, получаем:
^=-4Sl’3«W-1>[1+graW-1+2P>H
=
— 8 a3Sy
(48.14)
Рассмотрим теперь предельное состояние ползучести, со-
ответствующее идеально пластическому распределению. Так
как по симметрии достаточно рассмотреть четвертую часть
квадрата, заключенную между диагоналями, то здесь
т° =0, т° =const = -f-^5
а?г	g/г	8 а3
(48.15)
(напомним, что для стержня квадратного сечения предельная
нагрузка 7И* = у rso3, где т8 — предел текучести при сдвиге I .
Следовательно,
F=ell+M>,-l)l.
(48.16)
Уравнение (48.11) после сокращения на общий множи-
тель принимает вид
1 1
J J Ф(В, тд; К, щ)^б?т]=0,	(48.17)
О о
причем в треугольнике, расположенном ниже диагонали 5 = tj,
Ф (Е. Ч; К, т) =	1	+ [ I + к (s9 _ 1)) (г> _ 1)),
т=®т.- т. = +	.
(48.18)
Ф
If
W
®1
»
ЯИ!
1=1
Ши
В.,
_ ЗМ
'хг “ №^Sx'

§ 48]
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЯ
265
В треугольнике, расположенном выше диагонали, в точках,
симметричных относительно последней, функция Ф (£, тд; К, т)
принимает те же значения, что и в нижнем треугольнике.
Сообщим т и /< ряд значений:
ти=2;	/<=0,3;	0,5;	0,7;
т = 3;	/< = 0,2;	0,4;	0,6;
тп = 5;	/< = 0,1;	0,3;	0,5;
тп = 9;	К = 0,05;	0,15;	0,30.
При этом ожидаемую величину /< оцениваем отношением —.
т
Интегралы 1т(К) находим численно1) по способу Гаусса, даю-
щему лучшие результаты при выбранном числе ординат. При че-
тырех ординатах имеем:
4	4
4» (/<)== 5 S	К, т),	(48.19)
i=l j=l
где $£, и At-, Aj — известные значения абсцисс и весов ординат
в формуле Гаусса. При четырех ординатах в промежутке (0—1):
= 0,06943; А = 0,17393;
= 0,33001; А2 = 0,32607;
= 0,66999; A3 = 0,32607;
е4 = 0,93057; Д4 = 0,17393,
т)у, Aj принимают те же значения. Вычисляя по (48.18) значения
Ф(?г> *)/, /<, т) и по (48.19) интегралы /то(4), получаем:
тп = 2; 4(0,3) = —0,1099; /2 (0,5) = — 0,0422; 4(0,7) = 0,0162;
т = 3; 4(0,2) = — 0,1178; /3 (0,4) = —0,0284; /3 (0,6) = 0,0434;
пг=5; 4(0,1) = —0,1395; /5 (0,3) = —0,0028; 4 (0,5) = 0,1009;
т = 9; 4 (0,05) = — 0,1504; /9 (0,15) = — 0,0269; /а (0,3) = 0,1176.
По вычисленным точкам строим кривые /,п(/<) для фиксиро-
ванных значений т (рис. 108); точки пересечения оси абсцисс дают
искомые значения коэффициента /<:
/71 = 2	т = 3	т = 5	т = 9
/< = 0,64;	/< = 0,48;	/< = 0,305;	/<=0,175.
По этим точкам построен график К(т), приведенный
на рис. 109. Полагая в (48.16) Е=1, 7] = 0, находим
*) Вычисления в этой и некоторых других задачах выполнил^
(4. П, Рынкевич,
266
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VIII
Рис. 108.
§ 49)	ЙВУЧЁНИЁ ТОНКОСТЕННЫЙ ПРОФИЛЕЙ	26?
максимальное касательное напряжение:
График отношения т1пах/ттах улр, где тгаахУЛр= 1,667^ —
максимальное касательное напряжение в упругой задаче, по-
казан на рис. 109.
Согласно (48.12) получаем:
1 1
ЗВ /ЗМ\т I I тт+i . ЗВ/ЗМ\т . . .
о о
Интегралы /Д/n) вычисляем по способу Гаусса (при
том же числе ординат) для найденных выше значений коэф-
фициента К'.
/Д2) = 0,795; 7,(3) = 0,801; /Д5) = 0,809; /Д9) = 0,817.
График 1*(т) приведен на рис. 109.
§ 49. Кручение тонкостенных профилей
1. Ползучесть тонкостенных открытых профилей.
В простейших случаях удается преодолеть трудности интег-
рирования нелинейного урав-
нения (48.4). Легко получить
решение задачи о скручивании
стержня узкого прямоуголь-
ного сечения (рис. ПО). С по-
мощью этого решения можно
вычислить сопротивление кру-
чению удлиненных профилей,	Рис. 110.
профилей, состоящих из уз-
ких прямоугольников, и, вообще, различных тонкостенных
незамкнутых профилей.
Для узкого прямоугольника допустимо считать, что функ-
ция напряжений F не зависит от х. Тогда дифференциаль-
ное уравнение (48.4) принимает вид:
d / | tZT7 l rf/ \ 2<q
dy \ | dy | dy)' В
(49.1)
268
кРУЧЕпик
|гл. Vni
Интегрируя это уравнение при очевидных условиях:
находим:
F =
при _у = О
при y=+h
dy
F = 0,
/2«\р й1^
\в) 1+и
Су>0).
В область отрицательных у функция F продолжается чет-
ным образом. Крутящий момент М и угловая скорость ю свя-
заны в соответствии с (47.8) соотношением
М _ /2“Г Uh***
2 + р •
Максимальное касательное напряжение равно
।	.	__I rff I __/2о>й\р-
(49.2)
(49.3)
Как уже указывалось, это решение пригодно для рас-
чета установившейся ползучести тонкостенных открытых
профилей. При этом в (49.2) вместо 2Ь следует внести
длину средней линии профиля (при h = const); максимальное
касательное напряжение вычисляется по формуле (49.3). При
медленно меняющемся h нужно исходить из уравнения (47.8).
2. Обобщение теоремы Бредта [25]. Пользуясь фор-
мулами (48.1) и условием однозначности скоростей, получаем:
/* = f rixz dx fiyz dy = 2o>Z*,
c*
где S*— площадь, ограниченная замкнутой кривой С*, ле-
жащей в сечении стержня. Так как
'Чхг — f (D ду • ^yz— f (ТУ дх •
то, с другой стороны,
/(7) ~dC\
J ' дп
следовательно,
§f(Ty^dC*=-2«S*.
с*
(49.4)
§ 50]	КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
269
3. Ползучесть тонкостенных замкнутых профилей.
На основе доказанной теоремы о циркуляции скорости
сдвига (49.4) можно рассмотреть кручение тонкостенных
замкнутых профилей. Ограничимся рассмотрением двусвяз-
ной области (рис. 111). На контурах Со и Сг функция на-
пряжений F постоянна. Вследствие малости толщины трубы 2Л
принимаем, что F меняется линейно от F = Fr на внутрен-
нем контуре до 5 —0 на внеш-
нем.
Для двусвязного контура кру-
тящий момент равен
М — 2/?121 -]- 2 J* j F dx dy.
где Ej — площадь, ограниченная
контуром Cv Отсюда для рас-
сматриваемой тонкостенной трубы
получаем
M^2F1Y,	(49.5)
где 2 — площадь, ограниченная
кривой С, проходящей п (середине
между Со и Ст. Далее,
имеем:
dF
дп
2Л ’	\2h) '
(49.6)
По теореме (4.94) получаем (при степенной зависимости)
BF™ (f —- = 2wS.
/ (2й)™
Из уравнений (49.5) и (49.6) находим Fr и ш. Танген-
циальная слагающая напряжения, как и п и упругом кру-
чении, равна
Л1	,. „
льу"	(49.7)
§ 50.	Концентрация напряжений, вызванная мелким пазом
на поверхности скручиваемого стержня
1.	Основные положения. Концентрация напряжений,
вызываемая резкими локальными изменениями формы тела,
имеет большое значение для оценки прочности в состоянии
270
КЙУЧЁНЙЁ
[гл. Уш
ползучести. Здесь мы рассмотрим [26[ концентрацию напря-
жений, вызванную мелким продольным пазом на поверхности
скручиваемого круглого стержня (рис. 112). Полученные
результаты, однако, распространимы на другие формы по-
перечного сечения и на случай кольцевой выточки. За-
Рис. 112.
метим, что ниже рассматривается со-
стояние установившейся ползучести.
В задаче кручения стержня с се-
чением, близким к круговому, удобно
исходить из уравнений, отнесенных
к полярным координатам С, ср, где
С = —— безразмерный радиус-вектор,
а—характерный размер стержня, ср—
полярный угол. В такой системе ко-
ординат (в этом параграфе мы опускаем
штрихи ")
1 1 дР, _	1 дР ..
а С ду’	а дС’ (50,
а квадрат интенсивности касательных
напряжений
Дифференциальное уравнение кручения в новых коор-
динатах проще всего получить, исходя из вариационного
принципа и пользуясь инвариантностью уравнения Эйлера.
Преобразуя функционал в (48.5) к полярным координатам
и составляя уравнение Эйлера, получаем:
‘^)+“\=0. (50.3)
2.	Кручение круглого стержня было
выше (§ 27). Функция напряжений (отмечаем
левым индексом) будет
р ___Лттах / 1 гИтА
рассмотрено
ее здесь ну-
(50.4)
§ 50]
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
271
где положено
(50.5)
_ДЗ + ц)Л4
ттах 2лй3
3.	Кручение стержня с сечением близким к круго-
вому. Пусть уравнение контура сечения имеет вид:
с = 1 Н-Хф (<р).	(50.6)
где Х^>0— малый безразмерный параметр, а ф(<р) — непре-
рывная периодическая функция, причем | ф (<р) |	1. Вос-
пользовавшись малостью параметра X, можно линеаризовать
задачу, сведя ее к ряду линейных задач. Считая X доста-
точно малым, ограничиваемся первым приближением и разы-
скиваем решение уравнения (50.3) в виде
Г (С, <р) = Г0(С)4-ХФ(С, <р),	(50.7)
где Ф = ф(С, <р) — новая неизвестная функция. Внося (50.7)
в дифференциальное уравнение (51.3), разлагая N (F) в ряд
по степеням X и отбрасывая члены разложения степени выше
первой, получаем:
= 0.
'х=о
Но Л/(То) = 0, следовательно,
= 0.
Л=0
Провеця вычисления, находим:
02Ф .	02ф
т' да
дФ
dt
dt* (?Ф _
dF0 dt ~ и'
dt
Нетрудно убедиться в том, что
d*F0
-гр- = 1.
dF0
dt
Таким образом, Ф(С, <р) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
г дФ . д2Ф . с)2Ф
(2/п	1)С	—0.
(50.8)
272
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VIII
Рассмотрим теперь условия на контуре. Мы имеем:
при С = 1 -h Хф (<р)	М0(С)-|-ХФ(С, <р) = 0.
Разлагая значения Fo (С) и Ф (С, <р) на контуре в ряд по
степеням X, получаем:
^о(1)+х[-и?)(^)с о + Ф(1. ?)]+ ...=о.
Но	X X
Fo(1) = 0,	1 =
Следовательно, функция Ф(С, <?) должна удовлетворять
граничному условию
при С = 1 Ф (С, <р) = гитахф (ср).	(50.9)
Наконец, условие статической эквивалентности имеет вид:
2тс 1+Хф (<р)	2к 1 + Хф (<р)
d<f f м0(С)С^ч-х f
0	0	0	0
но с точностью до X
1+Хф (<P)	1	3ffl
f F0(C)CriC= f /?0(С)СЛ4-Хф(Т)М0(1),
о	0
1+Хф(<р)	1	„
f Ф(С, = /ф(’, ?)^^+^(?)Ф(1. <P).
о	о
Кроме того,
2к 1
F«0) = o.
00	к
Таким образом, условие статической эквивалентности
сводится к требованию
2к 1
f dyf Ф(С, <р)(Ж^0.	(50.10)
9	9	".ft
§ 501
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
273
Будем искать решения уравнения (50.8) в виде
R (С) cos /г<р, R (С) sin пер,	(50.11)
где п>0 — целое число, а /?(С) — неизвестная функция.
Легко находим
=	(50.12)
Это уравнение имеет решение
R^ = CnCn + c'nCn.
где Сп, С'п — произвольные постоянные, а
»»• <=5-±?-±/'(Л^£-)!+и»!.	(М-13)
Очевидно, что у! < 0; так как при С=0 напряжения
должны быть ограниченными, то следует положить Сп = 0.
По той же причине следует отбросить все решения, для
которых
хп<1.	(50.14)
Заметим, что при выборе решений в форме (50.11) усло-
вие статической эквивалентности (50.10) удовлетворяется.
Так как в дальнейшем мы будем пользоваться предста-
влением
СО
,1j(t) = «o+ 5 (апCOSп<р4-bnsinп<р),	(50.15)
п = 1
где а0, ап, Ьп — коэффициенты Фурье, то нам потребуется
решение, отвечающее постоянному члену а0 ряда (50.15);
такое решение может быть получено непосредственно из
формул (50.4) и (50.5), если вместо а подставить я(14-я0Х)
и в разложении по X отбросить все члены, содержащие X
в степенях выше первой. Приводим окончательные резуль-
таты, не останавливаясь на выкладках:
а0Ф0(С) = — 2^2тах(1 —	(50.16)
Если (л=1 (этот случай соответствует упругой среде
Гука, если перейти от скоростей к смещениям), то полученные
1g Зак. 1058. Л. М. Качанов
274
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VIII
решения позволяют удовлетворить граничному условию
(50.9), в котором функция ф(<р) задана некоторым рядом
Фурье. В общем же случае р. < 1 построенное решение не
будет содержать первых членов ряда Фурье (число их опре-
деляется условием	и, следовательно, произвольному
граничному условию удовлетворить нельзя. Можно, однако,
рассматривать различные частные
задачи, интересные для приложе-
ний. Остановимся здесь на за-
даче о концентрации напряжений,
вызванной мелким продольным па-
зом на поверхности скручиваемого
стержня.
4. Кручение круглого стержня
с продольным пазом. Пусть
ф(<р) =— (cos2^>“) > (50.17)
где р, q — целые числа; q будем считать большим числом,
так что ф(<р) отлично от нуля практически только вблизи
точек ср —0, ±	, ± -у , • •  Вычисляя величину безраз-
мерного радиуса кривизны pfe кривой (50.6) при <р = 0, по-
лучаем:
Рк —
1 — ЗХ 3X2 _ хз
1-2Х + Х'--1р^Х(1-к)
$
tf
4
I
1
фП
Нас интересует случай мелкой, но резкой впадины (рис. 113),
поэтому нужно считать pzq\^> 1; тогда
2	2
т-е- <5018>
Таким образом, мы имеем задачу о кручении круглого
стержня с р малыми продольными пазами; число р мы выбе-
рем в дальнейшем. В высшей алгебре доказывается, что
функцию (50.17) можно представить суммой
ч
- cosW-EJ- = -—	£ (Д\) СОЗ W (50.19)
п=1
§ 50]	Концентрация напряжений
275
где, как обычно, обозначено
/2д\	(2g)!
\ п /	n! (2q— л)!
Число р выбираем так, чтобы удовлетворялось условие
1- Сопоставляя (50.19) и построенные решения, согласно
граничному условию (50.9), получаем:
фр. т)=-^(2;)фор>-
-^г2(Л„)г-’”’'“5п₽'р. (5о-2о>
п=1
где
yw = ]/" (Ц^)2+^2Р2--Ц^-	(50.21)
Вычислим теперь напряжения т^г, соответствующие
найденному решению ХФ(С, <р), на дне паза, т. е. при <р = 0,
С—1—X. Согласно формулам (50.1), (50.20) и (50.16) на-
ходим:
т1 =0,
TZ ’
<1
’}.=•£ (?)3"'™> '	2 (, - 4 (50-22)
п = 1
Рассмотрим *пр; так как 0	то ( 1	)2 <	>
следовательно, взяв достаточно большое р, чтобы
получим:
^np^npV'^
Таким образом,
(2/)	S. + ’-’«»«₽ ГТSv
где введены обозначения:
а	а
S - —— У ( 2/М S = 1 У п( 2д \
1	23а~1 \q—п) ’	2	23® 1 W—п)'
П=1	П=1
18*

276
кРУЧЕНИЁ
[гл. VII i
Первая сумма легко вычисляется, если fe (50.19) поло-
жить = 0:
S. = 1 —О') > О- (50-23)
Вычислим вторую сумму; рассмотрим наряду с функцией
— ф (<р) = cos2® , представленной тригонометрической сум-
мой (50.19), другую функцию:
flsin(2? —1)
X (?) = Я cos qp<f Н------------—----------
2 sin Я-
е
п cos ptllf.
п = 1
sin2q~-
2sin2-^-
Каждое слагаемое суммы S2 является произведением со-
ответствующих коэффициентов разложений функций ф(<?)
и /(ср); тогда в силу обобщенного равенства Парсеваля,
доказываемого в теории тригонометрических рядов, полу-
чаем:
тг/2
S2 = -^ [ cos2®* cos 2</*4
о
q sin (2q—1)х sin2 qx j
2 sin x 2 sin2 x J
dx,
где положено x =	; здесь первый интеграл равен [G7]
к/2
S2 =	/ cos2®* cos 2qx dx —	.
л J	ч
0
Второй интеграл легко преобразуется к виду
тг/2
Sv — — 4- S2 4- ~ I cos2®* sin 2qx • ctg x dx.
J	J
0
Но при большом q с достаточной точностью
к/2	тс/2
У cos2®* sin 2qx ctg x dx J" cos2®-2* sin 2<y* ctg * d* =
о	0
r!
Si
-ii(
I
id
Ml
я
J
13(
•и
f®

§ 50j	КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
277
Таким образом,
так
вим
S2 + S2^g,
как—очень малое число. Третий интеграл предста-
виде
тс/2
к/2
,2	if COS2®X—1 ,
dx-------/ ——-----------dx —
к .) sin2 л
о
я/2
Г cos2'fr — 1
J sin2 X
о
dx.
. Наконец, в
тригонометри-
последнем ин-
произведением
Здесь первый интеграл в правой части (интеграл Фейера)
равен (—q)\ далее, второй интеграл вычисляется посред-
ством разложения подынтегральной функции в
ческую сумму и равен
теграле подынтегральная функция является
ограниченной монотонно убывающей (по модулю) функции
COS2^JC_ 1
-—sln?x— на сильно колеблющуюся знакопеременную функ-
• , 1
цию sin^qx —	; поэтому величина этого интеграла относи-
тельно мала. Его можно оценить довольно точно, однако
за недостатком места мы на этом не останавливаемся и огра-
ничимся замечанием, что уже грубая оценка показывает, что
рассматриваемый интеграл по модулю значительно меньше
единицы и, следовательно, им можно пренебречь, так как
остальные слагаемые в S2 велики (напомним, что q — боль-
шое число). Используя приближенную формулу для факто-
риала [70]
п\пП 2е~п,
справедливую при большом п, находим
____—
223 \ Q '
следовательно,
•^2
s"
в
о
2
278
КРУШЕНИЕ
(гл. vui
В силу соотношения (50.18) у -
удерживается лишь первая степень X,
порядок X:
1	2
= — Л/ ; так как
то при pfc, имеющем
причем вторым слагаемым в скобке
соединяя основное решение (50.5),
формулу:
можно пренебречь. При-
получаем окончательную
(50.24)
Результат не зависит от числа пазов р, так как возму-
щения, вносимые малым пазом, ощутимы лишь вблизи по-
следнего. Заметим, что для случая упругого стержня (при
/п=1) Нейбер [45], пользуясь совершенно другим методом,
получил формулу
^Тгтах ^тах
Сопоставляя последние формулы, мы заключаем, что по-
строенное нами первое приближение несколько сглаживает
распределение напряжений. Основываясь на этом, можно для
технических приложений рекомендовать следующую формулу
для определения концентрации напряжений в состоянии ползу-
чести:
(50.25)
Так как 1, то концентрация напряжений при ползу-
чести ниже, чем для упругого тела.
5. Заключение. Остановимся на нескольких замечаниях.
Концентрация напряжений у малого паза зависит от. напря-
жения ттах, которое имело бы место, если бы паза не было.
Поэтому полученное решение (50.25) пригодно и для опре-
деления концентрации напряжений, вызванной мелким про-
дольным пазом на поверхности стержня произвольного про-
филя; нужно лишь взять соответствующее значение ттах.
Далее, функция напряжений F (С, ср) = Fo (С) Д- ХФ (С, ср)
нам известна, и по общему методу (§ 34) можно прибли-
§ 51]
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СТЕРЖНЯ
279
женно найти изменение во времени напряженного состояния
вблизи паза (от начального упругого к конечному устано-
вившемуся) и вычислить при помощи уравнений ползучести
(12.24) общую деформацию у паза. Так как X — малая вели-
чина, то для определения функции т(/) можно в первом
приближении не обращать внимания на наличие паза *).
Рис. 114.
Найденное значение концентрации напряжений характерно,
очевидно, для состояния чистого сдвига. Следовательно, фор-
мула (50.25) справедлива и для мелкой кольцевой выточки
на поверхности круглого скручиваемого стержня (рис. 114);
это показано в [26].
§ 51. Неустановившаяся ползучесть скручиваемого
стержня
1. Неустановившаяся ползучесть при постоянном кру-
тящем моменте. Ищем решение задачи о неустановившемся
кручении в виде (в этом параграфе одним штрихом мы отме-
чаем величины, относящиеся к задаче упругого кручения,
двумя штрихами — к задаче установившейся ползучести):
F = F' + t(0(F" —F').
(51.1)
Напряжения вычисляются по обычным формулам:
dF _ dF
dy '	dx
(51.2)
Функция напряжений F = F (x, у) удовлетворяет, оче-
видно, условию на контуре и условию статической эквива-
лентности (ограничиваемся рассмотрением односвязного кон-
1 Действительно, напряжения в зоне концентрации быстро спа-
дают и затем «следят.» за изменениями основного поля; если оно
однородно, то согласно (34.2) изменения происходят лишь в зоне
концентрации.
280
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VIII
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
тура). Задача кручения приводится к минимуму величины
Л +	—2u>F- Для решения в форме (51.1) слагаемое 2wF
выпадает и результаты § 34 сохраняются.
Воспользуемся общим решением (§ 34), ограничиваясь
линейной аппроксимацией Q(t). Тогда
1— е~**,
где введено безразмерное время
/ = -21°! й (/).
2П_
В нашем случае при степенном законе
2Й_ = ^-У У" Tldxdy,
Q(0) = — уУ f‘ T'm~lNdxdy,
где I—длина стержня, а
*7^/2	/2 I /2
7 — т -4- т ,
xz 1 yz1
Г- = (т" — т' f + ft" — т' f ,
V азз a>z) 1 \ уз yz) ’
(t" —-с' )-|-2т' (т" —т' ).
xz xz xz) 1 yz\ у? yz)
(51.3)
(51-4)
(51.5)
Таким образом, необходимо вычислить две квадратуры:
(51.3) и (51.4). Пример неустановившейся ползучести при
кручении рассмотрен в § 36.
2. Релаксация крутящего момента. Пусть в начальный
момент времени t — 0 стержень был закручен моментом Л40,
а затем верхнее основание стержня z = I было закреплено.
С течением времени при и = 0 момент М = M(f) уменьшается
по величине. Ищем решение задачи в виде
F = p(Z)F'(x, у).
(51.6)
Для р(£) мы получим, очевидно, прежнее решение (§ 35):
где Г = zS
F =(pl-иг — 1),
т — 1 хг	'
(t), причем
К
’si
•I’1
,ш
qffi
»i
Bi:
ЦК
НИИ
ffl
!«F
Ь
;и
if!W
Ц=1
V
§ 52] КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА
281
В рассматриваемой задаче
2П' = -^- J™ J* Т* dx dy,
J T'm+1 dV = lff T'm+1 dx dy.
Согласно условию статической эквивалентности получаем
=₽(')
(51.8)
Пример релаксации крутящего момента приведен в § 36.
§ 52. Замечание о кручении круглых стержней
переменного диаметра
1. Основные уравнения. В этом параграфе мы кратко
рассмотрим установившуюся ползучесть скручиваемых круг-
лых стержней переменного диаметра.
Пусть нижнее сечение стержня закре-
плено, а верхнее испытывает действие
момента М (рис. 115). Направим ось
z цилиндрических координат г, <р, z по
оси стержня, а плоскость z = 0 сов-
местим с нижним сечением стержня (верх-
нее сечение z — Г).
При упругом кручении поперечные
сечения остаются, как известно, плоскими,
но радиусы искривляются. Картина
деформации при установившейся ползу-
чести в общем аналогична картине де-
формации при упругом кручении: попе-
речные сечения остаются плоскими, но
радиусы искривляются, т. е.
vr = vz = 0;	= vv (г, 2).
Рис. 115.
Тогда компоненты скорости деформации —L = Bz = i],.z =
= 0, а
д ( v\	д (V\	/ег. п
= = <52-п
282
КРУЧЕНИЕ
(гл. viii
где введено обозначение ^ = 1/. В силу соотношений уста-
новившейся ползучести (20.1) отличны от нуля только ком-
поненты напряжения тг(р, т?г, которые должны удовлетворять
дифференциальному уравнению равновесия (см. уравнения
равновесия в цилиндрических координатах):
(r2TrJ 4-	(г2х^ = 0.	(52.2)
Этому уравнению можно удовлетворить,
напряжений:
введя функцию
2	д/'	2 dF
dz '	dr '
Боковая поверхность стержня свободна от напряжений.
Основываясь на этом, легко найти (так как от нуля отличны
лишь напряжения тГ!р, и cos(n, ср) = 0, где п— нормаль
к поверхности стержня), что на боковой поверхности
dF
_— — 0 или F — const,	(52.3)
где s— длина дуги контура меридионального сечения.
Скручивающий момент в каком-либо сечении 2 = const
равен
Л1 = 2л f xtfZr2dr = 2‘ix[F(r2, z)— F (rv z)], (52.4)
где r1( r2— соответственно внутренний и наружный радиусы
сечения (в случае полого вала).
Так как аддитивная постоянная в функции напряжений
не влияет на распределение напряжений, то всегда можно
принимать, что F (г2, г) = 0. В случае сплошного стержня
на боковой поверхности F = 0, а крутящий момент равен
7И = —2rcF(0, 2).
(52.5)
Интенсивность касательных напряжений равна
1 г/ ।
г4 [\ dr ) г" \ dz ) J ’
(52.6)
Из соотношений установившейся ползучести (20.1) иусю-
вия совместности скоростей деформации
_ (	______L ( Т|<рг *) л
dz \ г dr \ г J
§ 52] КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА
283
вытекает дифференциальное жений	уравнение	для функции	напря-
А Гу(Т’) А —1_|_ дг 1/ 1 ’ г* дг ]'		dz J	(52.7)
Это уравнение относится к уравнениям Монжа — Ампера элли-
птического типа; действительно, вычисляя обычным путем дискри-
минант D (см., например, Г у р с а, Курс математического анализа,
т. II) и предполагая, что r^const, получаем:
D
1 И dH
~ 4гв Т dT <
dH n
так как для реальных материалов > 0; следовательно, уравне-
ние (52.7) имеет лишь мнимые характеристики.
Вернемся к условиям на торцах стержня z — 0, z — l;
здесь задана функция напряжений F = F (г). Для длинных
стержней этому условию можно обычно удовлетворять ин-
тегрально, заменяя его по принципу Сен-Венана усл' вием
статической эквивалентности (52.4).
Интегрирование нелинейного уравнения (52.7) для стержня
произвольного очертания связано с большими математическими
трудностями.
Для построения приближенных решений иногда полезно
исходить из вариационного уравнения
о J" J* Nrdrdz = 0,	(52.8)
для которого уравнение (52.7) является уравнением Эйлера.
В случае стержня, форма которого не сильно отличается
от цилиндрической, задача линеаризуется и допускает инте-
ресные решения. Этим методом, в частности, можно изучить
кручение стержня с мелкой кольцевой выточкой (рис. 114).
При этом мы получаем формулу (50.24), найденную ранее
в задаче кручения цилиндрического стержня с продольным
пазом (§ 50). Линеаризованная задача рассмотрена в рабо-
тах [23.26].
2. Установившаяся ползучесть тонкостенного полого
вала переменного диаметра. Распределение напряжений
в таком стержне не зависит от материала. В самом деле,
284
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VIII
пусть r0 = r0(2) — радиус срединной поверхности вала, 2Л =
= 2Л(г)— толщина стенки по нормали к срединной поверх-
ности. Вследствие малости толщины 27г по сравнению с дру-
гими измерениями стержня можно полагать, что F меняется
линейно по толщине оболочки от
Л = О на наружной поверхности
до F — Ft на внутренней поверх-
ности и не зависит от z. Тогда
Согласно условию статической
эквивалентности имеем
М
2л
Касательное
(рис, Ц6) равно
напряжение в нормальном сечении O'N
_ М
N 4лг®4
а напряжение
(52.9)
(52.10)
т?г — тдг sin X’
Компоненты скорости деформации находятся согласно
закону ползучести.
§ 63. Ползучесть и релаксация винтовых пружин
В качестве несложного примера рассмотрим задачу о пол-
зучести и релаксации винтовой пружины круглого попереч-
ного сечения.
1. Установившаяся ползучесть пружины при постоян-
ной нагрузке. Пусть винтовая пружина находится в состоя-
нии установившейся ползучести под действием постоянной
силы Р (рис. 117). Если шаг витка невелик по сравнению
с диаметром пружины, то виток испытывает кручение, кото-
рое обычно и учитывается при определении осадки пружины.
При этом скручивающий момент 7И = Р/?, где R — радиус
пружины (рис. 118), Вывод формулы для скорости осадки
§ 53] ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
285
пружины при ползучести аналогичен выводу формулы для
осадки упругой пружины, приводимому в курсах сопроти-
вления материалов.
Рассмотрим бесконечно малый элемент пружины, выде-
ленный двумя близкими сечениями (рис. 118). Скорость угла
скручивания одного сечения от-
носительно другого равна uRda.
Внося сюда и согласно (17.3), получаем:
wRda = (-^Г - Рт Rm+1 da.
\ 2пая ) а
Полную скорость осадки пружины найдем, суммируя ско-
рости осадок для каждого элемента, т. е.
v= f wRda = (^^\m —PmRm+12^n,	(53.1)
J	\ 2,пая /а
о
где п — число витков пружины.
Максимальное напряжение найдем по формуле (17.4) при
M-—PR и г —а, т. е.
Tipz шах =	(53.2)
2. Релаксация винтовой пружины. Рассмотрим теперь
задачу о релаксации натяжения винтовой пружины, сохра-
няющей неизменную длину (рис. 119). Пусть в начальный
момент сила натяжения была равна Ро; тогда начальный
286
КРУЧЕНИЕ
[гл. V1H
скручивающий момент был равен Л40 = P0R. Значение натяжения
в момент t будем обозначать через Р. Будем исходить из
Рис. 119.
приближенного решения задачи о ре-
лаксации, приведенного в гл. VI. Тогда
-£-=₽(**).	(53.3)
Р
где множитель релаксации р = р(/*)
определяется прежним уравнением ре-
лаксации (35.5), причем в данной задаче
безразмерное время равно (см. § 36)
t* = —GS^)^"1,	(53.4)
где Tj — максимальное касательное напряжение в начальный
момент времени t = 0:
j"
If
ill
Si
№
mi
.9
_2P0R
7tas '
(53.5)
§ 54. О времени разрушения скручиваемого вала
1.	Общие замечания. В § 41 рассматривался вопрос
о времени разрушения стержня при его растяжении постоян-
ной нагрузкой. При этом развитие процесса трещинообразова-
ния рассматривалось на фоне растущих деформаций ползучести.
При высоких напряжениях (т. е. малых временах разрушения)
разрушение наступало вследствие уменьшения сечения стержня
при течении («вязкое разрушение»); при низких напряжениях
(т. е. больших временах разрушения) доминирующую роль
играло трещинообразование и разрушение было «хрупким».
Как уже указывалось, при кручении круглого вала чисто
вязкое разрушение невозможно, так как геометрические раз-
меры вала при кручении не изменяются >)• Учет явления охруп-
чивания позволяет найти время разрушения и в этом случае.
Основные обозначения, используемые ниже, те же, что
и в § 41.
|1Й
вл
вЬ
W
Ц
pa
а®
яр
И
to
•Й
•ЭД
1) Мы отвлекаемся здесь от возможной потери устойчивости,
которая может существенно осложнить картину.

§ 54] О ВРЕМЕНИ РАЗРУШЕНИЯ СКРУЧИВАЕМОГО ВАЛЛ 287
2.	О развитии разрушения при неоднородном напря-
женном состоянии. В задаче кручения напряженное состоя-
ние является неоднородным. В связи с этим необходимо кос-
нуться вопроса о развитии разрушения в случае неоднородного
напряженного состояния. Будем полагать, что соответствую-
щая задача о больших деформациях ползучести под действием
заданных нагрузок решена; в случае малой деформации тела
к моменту разрушения достаточно знать решение обычной
задачи об установившейся ползучести тела. Тогда известно
распределение максимального растягивающего напряже-
ния атах в функции времени. Следовательно, в каждой точке
тела можно найти из дифференциального уравнения (41.7)
сплошность ф.
Время хрупкого разрушения в какой-либо точке опре-
деляется соотношением
г
f	(541)
О
Пусть в момент t — ti в некоторой точке (или области)
тела возникает «хрупкое» разрушение (т. е. ф — 0). Про-
межуток 0 < t h условимся называть стадией, скрытого
разрушения. Возникшее местное разрушение с течением вре-
мени распространяется и приводит к разрушению всего тела
в момент t —1\\. Промежуток t\ < t < hi назовем стадией
распространения разрушений.
3.	Движение фронта разрушения. Пусть в интервале
0 t < tj. всюду в теле сплошность ф > 0; в этом периоде
анализ сводится к решению дифференциального уравнения для ф
в поле напряжений и деформаций, определяемом ползучестью.
При t = ti возникает разрушение, которое к моменту t > ty
захватывает область V2 (рис. 120); в области сплошность
ф > 0, а на фронте разрушения S сплошность ф = 0. С тече-
нием времени фронт S перемещается. Скорость движения
фронта S определяется соотношением
</ф\	/<)ф дф dv \
dt /£	dt
(*)
288
КРУЧЕНИЕ
(гл. УШ
В развернутой форме это уравнение имеет вид:
(“ХЛ
dt~~
(54.2)
где м — нормаль к поверхности S. В общем случае задача
о движении фронта разрушения
весьма трудна, так как форма его
неизвестна.
4. Время разрушения скручи-
ваемого вала. Обратимся теперь
к рассматриваемой нами задаче
о времени разрушения круглого
стержня (диаметр 2«0), скручивае-
мого моментом М. В результате
разрушения периферии стержня диа-
метр несущего ядра сечения к мо-
менту t равен 2о. Распределение
касательного напряжения в круглом стержне радиуса а
в состоянии установившейся ползучести описывается зависи-
мостью (17.4):
_ (3 + |л)Л4 (г\*
2адЗ \а) ’
где г — текущий радиус; заметим, что стах = тшг- В первом
периоде	сплошность ф>0 и диаметр стержня
равен 2о0; при этом согласно (41.7)
(54.3)
откуда
- 1 + фи+1 = - А (п + 1) т” (г) t. (54.4)
момент t = t[ ф = 0 для г = а0, следовательно,
dt ’ А
1
Л(П+1)г-(йо)
(54.5)
Обозначим распределение
дф,
tyi = <pi(r); производная
симостей (54.4) и (54,5).
сплошности ф в момент tx через
вычисляется с помощью зави-
§ 54] О ВРЕМЕНИ РАЗРУШЕНИЯ СКРУЧИВАЕМОГО ВАЛА
289
Во второй стадии t>tt, а < а0, причем радиус несу-
щего ядра является функцией времени a—a(t). Интегрируя
дифференциальное уравнение для сплошности ф в некоторой
точке г, лежащей к моменту t внутри несущего ядра, полу-
чаем:
t
фп+i_фп-и = _л(га_|_	<3+И)М	(54.6)
tj
Дифференцируя это уравнение по г, исключая производ-
ит
ную согласно предыдущему решению и полагая г = а,
находим значение	. Из дифференциального уравне-
\ОГ/г=а
ния (54.3) имеем
/£4\	_ лг”(Д)
\dt)r=a
Тогда согласно соотношению (*) скоро ть движения фронта
разрушения будет равна
_ 2L a~Sn+1~ £__________1____________
dt	п	~3п-^	I
а0	| а т dt
h
(54.7)
Полагая здесь а т = R, дифференцируя по времени и
исключая интегральный член, находим дифференциальное
уравнение
dR
dt
3/n-f-l	°-
(54.8)
Начальные условия имеют вид:
при t — ti а ----- а0;
dR _Зт-Ц зп + Д-
dt ~~ tt а°
Уравнение (54.8) имеет простое решение:
Зт
= Cit _|_ с2>
19 Зак. 1058 Л М Ь эчачов
290
КРУЧЕНИЕ
[гл. Vllt
где Си С2 — произвольные постоянные. Определяя послед-
ние по начальным условиям и полагая затем /? = 0, получаем
время разрушения стержня
(54.9)
Так как т обычно значительно больше единицы, то вто-
рая стадия составляет лишь малую долю первой стадии.
5. Некоторые выводы. Казалось бы, что вторая стадия
разрушения значительно короче первой не только в рассмот-
ренном примере, но и в других задачах. Однако, анализ
других задач (хрупкое разрушение толстостенной трубы под
действием внутреннего давления, изгибаемых балок, растя-
гиваемой пластины с отверстием) не подтверждает этого пред-
положения. Стадия распространения разрушений может
составлять заметную долю (до половины стадии скрытого
разрушения).
Приведенный в настоящем параграфе и в § 41 анализ по-
зволяет оценить влияние концентрации напряжения. При спо-
собности материала (для данной температуры) к значительным
деформациям распределение напряжений заметно выравнивается,
следовательно, влияние концентрации напряжений на проч-
ность будет ослабленным. Наоборот, при малых деформа-
циях должна наблюдаться повышенная чувствительность мате-
риала к концентрации напряжения. Эти выводы подтвер-
ждаются опытными данными.
Изложенная схема позволяет сравнительно просто подойти
к определению времени разрушения; полученные выводы
в общих чертах согласуются с наблюдениями.
Ии
JSfflS
raw,
ГЛАВА IX
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
§ 56.	Ползучесть тонкостенных труб
1.	Общие замечания. Рассмотрим ползучесть круглой
тонкостенной трубы под действием следующих простых на-
грузок: внутреннего давления р, осевой силы Р, крутящего
момента М. Введем (рис. 121) обозначения:
ft— a = h; -^- = р>1; с — у (а -|- ft).
Для
тонкостенной трубы у<^1.
превышает единицу.
а р незначительно
h
величин порядка —
С
точностью до
(по сравнению с единицей) напряжения по толщине трубы
распределены равномерно. Следовательно, при указанных на-
грузках в тонкостенной трубе возникает однородное напря-
женное состояние, которое сразу определяется из уравнений
статики. В связи с этим опыты по ползучести при сложном
19*
292
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
напряженном состоянии проводятся, как правило, на тонко-
стенных трубах.
Ниже выписаны формулы для различных случаев нагру-
жения.
2.	Труба под действием внутреннего давления. Пусть
длинная тонкостенная труба, закрытая донышками, испыты-
вает внутреннее давление р. С указанной выше точностью
напряжения в трубе равны (в цилиндрической системе коор-
динат):
_ л	Ра .	1 pa
о,^0;	= —<55Л>
Интенсивность касательных напряжений определяется фор-
мулой
(55.2)
Максимальное касательное напряжение равно этой же
величине, т. е. ттах — Т.
По закону ползучести (29.1) находим скорости дефор-
мации:
?г=—-|-/(л t)T, ег, ег = о. (55.3)
Напомним, что при степенной зависимости и подобии
кривых имеем:
/(Г,	=
Интенсивность скоростей деформаций сдвига в трубе
равна
Н=2|ф,	(55.4)
а скорость относительного увеличения диаметра трубы
равна 2Й?. Заметим, что согласно (55.3) ползучесть в осе-
вом направлении отсутствует.
Сопоставим ползучесть трубы с ползучестью растягивае-
мого стержня при условии, что интенсивности касательных
напряжений в трубе и стержне равны. Тогда по закону пол-
зучести должны быть равны и соответствующие интенсив-
ности скоростей деформаций сдвига. Для стержня вследствие
несжимаемости имеем
§ 551
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
293
где — скорость относительного удлинения; очевидно, что
здесь Н = /3^. Сравнивая это значение с (55.4), получаем:
= ^4=0,87^,
(55.5)
т. е. при равных интенсивностях касательных напряжений
скорость относительного увеличения диаметра трубы не-
сколько ниже, чем скорость деформации при растяжении.
3.	Труба под действием внутреннего давления и осе-
вой силы. В предыдущем случае по оси трубы действовало
усилие т.а^р, вызванное внутренним давлением на донышки.
Рис. 122.
Пусть по оси трубы действует некоторое усилие Р (рис. 122).
В этом случае главные напряжения и скорости деформации
будут иметь вид:
cr О,
Sr = —/(Т.
lz = f(T,
(55.6)
с =
9 h ’
k pa
°г ~ 2 ~h
где
Т = /4 —	+ 2/3	па^р
При k=\ возвращаемся к предыдущему случаю.
4.	Труба под действием внутреннего давления и кру-
тящего момента. В задаче о ползучести тонкостенной трубы
с донышками под действием внутреннего давления и кру-
тящего момента 7И (рис, 123) напряжения и скорости
294
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[ГЛ. IX
деформации равны:
ог О,
— тгг — 0» 1
Af . I
V — 2w?h ’
(55.7)
f (T• О °ф»	— "Чгг--- 9,
^<P	7ilfZ=/(^> 0 T<pZ-
L = 0,
(55.8)
Величина т^, представляет собой скорость угла закручи-
вания на единицу длины оси трубы.
Рис. 123.
л/
Рис. 124.
Интенсивность касательных напряжений имеет вид:
-«Л	/ М \2
Т-—1/ 1-1-1____I
2 F 1 \naSp) •
5. Труба под действием осевой силы и крутящего
момента. В этом случае (рис. 124) компоненты напряжения
и скорости деформации равны:
сг — 0,	тгг =	О,
= 0,	тг? =	О,
Р	-	м
°г ~ 2~ah '	~ 2ncfih ’
^ = —	^rz = O,
= о,
V = /(7’’ Ov-
(55.9)
(55.10)
При Р = 0 напряжение с, = Q и труба испытывает чистое
кручение.
§ 56]	УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБЫ	295
§ 56. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы
1. Основные соотношения. Рассмотрим задачу о ползу-
чести толстостенной трубы (рис. 125) с донышками, испы-
тывающей внутреннее давление; оче-
видно, что по оси трубы действует
сила Р — т:а2р.
С ползучестью труб сталкиваются
во многих технических вопросах.
Задача об установившейся ползуче-
сти труб была изучена Бейли ]88]
в одной из его ранних работ по
теории ползучести.
Нормальные напряжения аг, аа
удовлетворяют дифференциальному
уравнению равновесия
+ — =	(56-1)
(56.2)
вывод которого можно найти, на-	Рис. 125.
пример, в курсах сопротивления
материалов при изложении задачи Ламе. Граничные условия
в рассматриваемом случае имеют вид:
при г —а сг = — р\
при г = Ь аг = 0.
Обозначим через -п = г>(г) радиальную скорость частиц.
В бесконечно близких точках г, r-\-dr скорости соответ-
ственно равны v, v-\-^dr. Следовательно, скорость отно-
сительного удлинения по радиусу равна
dv
dr
Скорость относительного
радиуса г равна
увеличения длины окружности
V
г
206	ползучесть трУб	[гл. ik
2. Состояние установившейся ползучести. Так как
деформации ползучести не связаны с изменениями объема, то
=	(56.3)
Примем, что, так же как и для тонкостенных труб, пол-
зучесть в осевом направлении отсутствует, т. е.
=	(56.4)
Ниже мы увидим, что это допущение оправдывается тем,
что в этом случае по оси трубы действует сила внутреннего
давления Р; условие (56.3) позволяет упростить изложение.
Согласно выражениям (56.3) и (56.4) имеем:
dv ( v п
"dr —
откуда
где Сг — произвольная постоянная. Нетрудно теперь вычис-
лить 1Г, % и интенсивность /7:
м
Sr = -4 = ->. Н =	(56.6)	-5
Далее, из условия £г = О и соответствующего уравнения
установившейся ползучести (20.1) вытекает, что а2— а = О,
т. е.
1
°г = у(°г+о9).	(56.7)
-"I Щ
Вычисляя интенсивность касательных напряжений, полу-
чаем:
=	—М-	(56.8)
Интенсивности Т и Н связаны зависимостью (20.13):
т = вн^=
\ г2 /
В
Ill (|)i!
'Рв
<рв
* ‘ЧИ
§ 56]
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБЫ
297
Исключая теперь разность а? — аг из дифференциального
уравнения равновесия, получаем
dar __ В / 2Q Vх
dr г \ г2 /
Выполняя интегрирование и определяя произвольные по-
стоянные из граничных условий
Используя найденное зна-
чение а,, легко проверить, что
главный вектор напряжений с.
равен силе внутреннего давле-
ния на донышко трубы:
ь
2п J* с,г dr = -ксРр.
а
Заметим, что
(56.10)
На рис. 126 показаны гра-	Рис. 126.
фики аг, Сщ для разных т при
Р = 2. Для сравнения на том же графике показано распре-
деление напряжений для упругой трубы. Распределение ра-
диального напряжения сг изменяется незначительно. Танген-
циальное напряжение резко изменяется; максимум ао переме-
щается с внутренней поверхности трубы (в упругой за-
даче) на внешнюю. При /?г = 2 напряжение сш постоянно.
298
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[ГЛ. IX
С увеличением т распределение напряжений <зг, стремится
к идеально-пластическому распределению:
In —
!п-£
a<p = or+P-]kiy
(56.11)
Вернемся к общему случаю. Определяя согласно (20.13)
интенсивность Н, легко вычисляем скорости относительного
увеличения внутреннего и наружного диаметров трубы:
1	/	\1П
(М„о = ₽г(У,.1,-
(56.12)
Наибольшая скорость достигается на краю отверстия.
3. Остаточные напряжения. При снятии давления обычно
понижается температура трубы и при этом возникают оста-
точные напряжения. Последние вычисляются следующим обра-
зом: вычитаем из напряжений (56.9) напряжения по форму-
лам Ламе для упругой трубы. Приводим формулы Ламе:
где положено
1 •
(56.13)
§ 57. Неустановившаяся ползучесть толстостенной трубы
1. Общие положения. Неустановившаяся ползучесть тол-
стостенных труб рассматривается по общему методу, изло-
женному в гл. VI. Полагаем, что
° Г =с' + т(0(бг— 4).
о<р = 4 +(0 (4 — 4) ’
°г +	(4 — 4)'
(57.1)
§ 571
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБЫ
299
Здесь, как и в гл. VI, величины, относящиеся к началь-
ному состоянию, отличаются одним штрихом, а величины,
относящиеся к состоянию установившейся ползучести,—двумя
штрихами. Легко видеть, что главный вектор напряжений а_
по-прежнему равен силе внутреннего давления на до:
нышко ~а2р. Исходя из выражений (57.1), общей формулы
для Т2 и выражений для Т' и Т", нетрудно найти, что
T = T'-\-x(t)(T' — Т').	(57.2)
В дальнейшем следует различать случаи начального упру-
гого состояния и начального упруго-пластического состоя-
ния.
2. Случай начального упругого состояния. Пусть при
нагружении труба получает лишь упругие деформации. Тогда
начальное состояние описывается известными формулами Ламе
(56.13); при этом a' = s', Т' = s' (у)2 •
Согласно общему решению (§ 34)
т — 1 — е~**,
где безразмерное время
2 П_
Для толстостенной трубы
ъ
Q (0) = — 2л J* T'm (Т" — Г) г dr,
а
ъ
2II _ = 2 л f [ЗЛ5 (о" — о')2 Д- ~ (Г'— Г)2] г dr.
a	J
(57.3)
Выполнив вычисления и простые преобразования, полу-
чаем при коэффициенте Пуассона v = -|-
О
Ес
=	"0.	(57.4)
где

300
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. ik
есть деформация ползучести к моменту t при напряжении,
равном среднему тангенциальному напряжению в трубе, а
Рис. 127.
— соответствующая упругая деформация. Множитель ЧГф, т)
равен
»<₽• И) = |(И_2)(^Г)”"^.Х
(р27И _ !) (р2|Х _ -(paw+2l>-2 _ !)
У _________________m ~Г Iх 1___________ /57 ГА
(P2_l)(l —p4P-2)_m(m_2)(p2p_l)2	’
Графики этой зависимости даны на рис. 127; в дополне-
ние к ним приводим таблицу 4.
На рис. 128 показано распределение напряжений аш для
случая т = 6, р = 2, подсчитанное для различных моментов
времени. Максимум ас с те-
чением времени переме-
щается с внутренней стенки
трубы на внешнюю.
3. Случай начального
упруго-пластического со-
стояния. При высоком
уровне напряженного со-
стояния нагружение трубы
сопровождается появлением
пластических деформаций.
Будем пренебрегать сжи-
маемостью материала и счи-
тать его упрочняющимся.
Решение задачи о началь-
ном	упруго-пластическом
состоянии с', a', не-
г и г
сложно и приводится в кни-
гах по теории пластично-
установившейся ползучести
отмечаем, как и ранее, двумя штрихами.
Рассматриваемая задача относится к линейному случаю
(§ 37), когда
сти. Напряжения в состоянии
Т = Т' + т(/) (Г' —Г).
§ 57]	НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБЫ	301
Таблица 4
Значения (₽, т)
m	3	5	7	е
1,2	0,84	1,31	1,71	2,23
1,4	1,07	2,36	4,86	9,98
1,6	1,51	5,77	23,1	97,4
1.8	1,99	12,2	83,4	617
2,0	2,52	23	241	2800
Поэтому в кольцевой области сечения трубы, где
Т" — Т' > 0,
все время происходит нагружение, а в области, где
Г' —Г < 0,
всегда имеет место разгрузка. Уравнение
Т" — T' = Q
определяет фиксированную окружность, разделяющую
область нагружения (область продолжающейся пластической
деформации) и область разгрузки, в которой происходят
лишь деформации ползучести и упругие деформации.
302
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
Множитель т (/) находится согласно общему решению,
приведенному в § 37; необходимо лишь вычислить функции
Я(-с) и Q(t).
Вычисления упрощаются, если начальные пластические
деформации значительны и возможно пренебрегать упругими
деформациями при t — 0. Пусть при этом справедлив закон
степенного упрочнения
где Во, т0— некоторые постоянные.
Если показатель т0 равен показателю ползучести т, то
начальное напряженное состояние совпадает с установив-
шимся напряженным состоянием; тогда, естественно, перерас-
пределение напряжений не происходит. Отметим, что напря-
женное состояние практически не изменяется, если показатели
т0 и m несколько различаются; в этом случае сопоставле-
ние исходного и конечного напряженных состояний позво-
ляет судить о необходимости или ненужности анализа неуста-
новившейся ползучести.
Уравнение неподвижной окружности раздела Т" — Т' = 0
нетрудно привести к виду
__ mo ₽S1X° — 1	/	__ 1
~—~пг 0Slx —1	V0- ~тй
В решении (37.5) функция 7?(т) имеет вид:
г,	ъ
Я(т) = 4тг Jn_rdr+2irB0/n0 j" Т’п»-^Т" — T')zr(ir, (57.7)
а
где П_ — плотность упругой энергии, относящейся к разно-
стям напряжений о"— о', . ..; гг— радиус окружности раз-
дела; для определенности принято, что нагружение продол-
жается в кольцевой области г\ < г < Ь.
Для функции Q(t) целесообразно принять линейное пред-
ставление Q(-t) — Q(0) (1 —т), где Q(0) дано формулой (57.3).
Рассмотрим небольшой пример. Пусть 0 = 2, m = 4, mQ — 2.
Тогда уравнение (57.6) принимает вид:
- = 1,205,
Гл
(57.6)
§ 58] БОЛЬШАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРУБЫ И ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ 303
откуда
rt = 0,696.
Следовательно, при t > 0 пластическая деформация продол-
жается лишь во внешнем кольце < г Ь. Во внутреннем кольце
помимо деформаций ползучести, происходят лишь упругие
деформации.
Если же, наоборот, т = 2, а т0 = 4, то пластическая дефор-
мация продолжается лишь во внутреннем кольце
§ 58.	Большая деформация трубы и время разрушения
В ряде случаев при ползучести допустимы большие де-
формации труб, в связи с чем возникает необходимость
в анализе такого рода задач. Изучение большой деформации
трубы позволяет определить время «вязкого» разрушения.
1.	Тонкостенная труба. Большая деформация тонкостен-
ной трубы под действием внутреннего давления р может
быть изучена сравнительно просто. Обозначим через a, h
внутренний радиус и толщину стенки трубы в некоторый
момент t\ пусть начальные значения этих величин будут й0, hG.
Заметим, что h<^a.
Напряжения в трубе равны (см. § 55):
ра
„	Ра	ра ~	1
°г~0, о? , cz	Т 2
При развитых деформациях ползучести можно пренебре-
гать упругими деформациями. Вследствие этого приведенные
ранее (§ 55) формулы для скоростей деформации справед-
ливы и при больших деформациях, если исходить из теку-
щих размеров трубы. В условиях длительной ползучести
можно пренебрегать первым периодом ползучести; тогда
формулы для установившейся ползучести тонкостенной трубы
справедливы и при больших деформациях, если исходить из
текущих размеров трубы. Следовательно, при степенном
законе имеем:
ег=—l = o. (58.1)
С точностью до величин порядка —	1 условие не-
сжимаемости может быть представлено в форме
ah = afa.
(58.2)
304
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
Скорость деформации равна
t _ 1 da
Таким образом,
1 da __ В (ра \т
~а ~dF ~ ~2 \2h ) *
(58.3)
(58.4)
Исключая с помощью (58.2) толщину h, получаем
где
/ а
\flo
? dt
-tpO
(58.5)
e _ В (pa0\m
??o— 2 \2h0)
есть начальная скорость деформации (или скорость дефор-
мации при малых смещениях). Интегрируя уравнение (58.5)
при начальном условии
находим:
при t =- 0 а.= а0,
(58.6)
Полученное решение позволяет определить время вязкого
разрушения трубы Пусть труба неограниченно расши-
ряется (а —> оо); тогда из уравнения (58.6) получаем;

(58.7)
Следовательно, как и при простом растяжении (§ 41),
по данным ползучести трубы можно указать время разру-
шения. Этот вывод во многих случаях хорошо подтвер-
ждается.
Согласно выражениям (58.6) и (58.7) имеем:
fto У 4 ’
(58.8)
Таким образом, зависимость утонения стенки грубы от
времени определяется графиком, приведенным на рис. 83.
Следует лишь для показателя т брать кривую, соответ-
§ 58] БОЛЬШАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРУБЫ И ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ 305
ствующую 2m (например, случаю т — 6 отвечает на рис. 83
кривая /и =12). Отсюда мы заключаем, что для трубы по-
следний период «жизни», характеризуемый быстрым убыва-
нием толщины стенки, является еще более кратким, чем для
стержня. Это обьясняется ростом усилия в стенке трубы
вследствие увеличения ее диаметра.
Рис. 129.
На рис. 129 приведены фотографии деформационных
разрушений труб в опытах Ш. Н. Каца (а— материал ст. 20,
температура 500° С, время разрушения 1058 часов; б—мате-
риал ст. 12МХФ, температура 600° С, время разрушения
675 часов).
2.	Влияние трещинообразования. Рассмотрим, следуя
общим положениям, развитым в §§ 41 и 54, влияние трещино-
образования на время разрушения тонкостенных труб.
Основные обозначения (Л, п, ф) те же, что в упомянутых
параграфах.
20 Зак. 1058. Л. М. Качанов
306
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
Скорость убывания сплошности материала по основному
уравнению будет
dty
~dt ~~
(58.9)
Если разрушение чисто хрупкое (т. е. происходит при
малых деформациях), то
db
dt
— А
п
(58.10)
откуда после интегрирования находим время чисто хрупкого
разрушения трубы:
е = —------—
«н-i
В общем случае, когда охрупчивание происходит на фоне
значительных деформаций ползучести, из уравнения (58.9)
с помощью (58.2) и (58.8) получаем дифференциальное урав-
нение
п
' dt
1
п
т
Si
;й
|«1

Ч(
и
е
Это уравнение аналогично соответствующему уравнению
при одноосном растяжении (§ 41) и справедливо при
Разделяя переменные и выполняя интегрирование, найдем,
что время разрушения £*, отвечающее значению ф = 0 в усло-
виях ползучести, определяется зависимостью
т
т—п

ж
му
t,;
Уравнение (58.11)
следует помнить, что
Решение имеет смысл
/ j m — nt'
(58.11)
И
т
совпадает с уравнением (41.10), но
t' здесь имеют иные значения.
ПРИ	поэтому
пт- п s' От п 1 А
т — п В •
При бблыпих напряжениях происходит вязкое разруше-
ние согласно предыдущему решению. Картина на плоскости
1g °фо> t аналогична картине для простого растяжения,
приведенной на рис. 85.
«ад
§ 58| БОЛЬШАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРУБЫ И ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ 307
В случае т = п решение имеет вид:

</, = 1 —ехр
(58.12)
Разрушение происходит при конечной деформации (т. е.
является «хрупким», ф = 0) одной и той же величины (как
и в случае одноосного растяжения).
3.	Толстостенная труба. Время вязкого разрушения
толстостенной трубы под давлением определено в работе
Ш. Н. Каца [19]. Приведем здесь несколько более простой
вывод основного уравнения задачи. Пусть в начальный мо-
мент времени t - 0 труба имела размеры а0, Ьо, а в неко-
торый момент t ее размеры равны а, Ь. Введем обозначе-
ния:
Напряженное состояние трубы с размерами а, b при
установившейся ползучести описывается формулами (56.9),
а скорость деформации
^ = ~ВТ™,
(58.13)
где Т дан.  формулой (56.10).
Заметим, что£ф = у, где г» — скорость рассматриваемой
частицы трубы. Для точек, лежащих соответственно на на-
ружной и внутренней границах, имеем:
. db .
v\r^-dT’
da
"dt '
(58.14)
Легко видеть, что
d$ _ 1	6 da\
dt a \ dt a dt / '
Внося сюда	согласно (58.13) и выполняя не-
dt dt	4	7
сложные преобразования, находим:
/	_Д\™
\1 — ₽ т)
Г
— Срт dt.
20*

308
где
Положим
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
(гл. IX
( 2 \т
Ф(₽) =
t/	р
1
(58.15)
Тогда решение задачи о большой деформации трубы при-
нимает форму
Ср™/ = Ф(₽0) —Ф(₽).	(58.16)
Й
й
;'|0
s
I!
с -^рт.
Используем полученное решение для определения вре-
мени вязкого разрушения. При неограниченном расширении
трубы толщина ее уменьшается, т. е. р~>1. Так как
Ф(1) = 0, то время вязкого разрушения tx определяется
уравнением	ц
X — ф (Рр)	/го ] -7\
(58-17> J.
Это уравнение имеет такую же структуру, что и уравне-
ние (41.4):	а
tn = ~l—,
определяющее время вязкого разрушения при одноосном
растяжении. Представим уравнение (58.17) в форме
1
(58.18)

1
где введено «эквивалентное напряжение»
°экв
В1теф(₽о)р —/г^-
Для коэффициента нетрудно также получить формулу

°0
р

где /ц— время вязкого разрушения растягиваемого стержня
при начальном напряжении с0, a tx — время вязкого разру-
шения толстостенной трубы из того же материала при да-
влении р.
)'Ш(
а
-ф
fit. 1
IlfHf
!fiW
ft 1;
я> pa
йп
'fa
кпрой
< [И
Э)11тре1
I HIM
сбред
®. у
•«числе
§ 58] БОЛЬШАЯ ДЕФОРМАЦИЙ ТРУБЫ И ВРЕМЙ РАЗРУШЕНИЯ ЗОЭ
На рис. 130 показана теоретическая кривая зависимости
коэффициента kx от р(| для стали 20 при температуре 500° С.
Точками нанесены экспериментальные значения коэффи-
циента kt\ опытные и теоретические значения удовлетвори-
тельно согласуются. К аналогичному заключению приводит
сопоставление экспериментальных и теоретических значений
коэффициента k{ для труб из двух других испытанных ста-
лей [19].
При относительно невысоких напряжениях (соответствую-
щих длительной работе труб) заметную роль начинает играть
трещинообразование. Характер разрушения изменяется.
На рис. 131 приведена фотография поперечного сечения
трубы при вязком разрушении (материал — ст. 12МХФ, тем-
пература 600° С, время разрушения 3242 часа).
На рис. 132 приведены фотографии сетки трещин при
«хрупком» разрушении труб (ст. 12МХФ. 595°С), подвер-
гнутых действию внутреннего давления и дополнительного
осевого растяжения В первой трубе (ро= 1,31; аг = 0,65оф)
трещины продольные (рис. 132, а). Во второй трубе макси-
мальное растягивающее напряжение — осевое (ог = 1,17 сф;
Ро=1,55), и трещины преимущественно кольцевые (рис. 132,6).
При малых деформациях трубы теоретический анализ
трещинообразования в стадии скрытого разрушения прово-
дится легко. Уравнение движения фронта разрушения инте-
грируется численными методами.

§ 59]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ОВАЛЬНЫХ И РАЗНОСТЕННЫХ ТРУБ
311
§ 59. Ползучесть овальных и разностенных труб
1. Постановка задачи. Расчеты и экспериментальные
данные по ползучести труб относятся к правильным круглым
трубам с постоянной толщиной стенки h = b — а. В дей-
ствительности же трубы вследствие неизбежных отклонений
при изготовлении (при прокатке, сварке) оказываются оваль-
ными и разностенными. По существующим нормам допу-
скаются заметные отклонения от номинальных размеров. Так,
отклонения от номинальной толщины h допускаются в пре-
делах + 15%. а коэффициент овальности
^max ^min
^max + ^min
где 2Z>max, 2Z>min— соответственно максимальный и минималь-
ный наружные диаметры трубы, может достигать 0,02. По-
добные отклонения могут значительно усилить ползучесть
труб.
Ниже рассматривается задача о ползучести толстостен-
ной трубы, форма которой несколько отличается от круг-
лой [28]. Введем цилиндрическую систему координат г, <р, z
(59.1)
Рис. 133.
и безразмерный радиус-вектор р — пусть Pi = pi (<р).
Рг = рг(?) — радиусы-векторы соответственно внутреннего и
наружного контуров (2Х и 22). Рассмотрим три случая.
1.	Разностенная труба (рис. 133, о)
pi —	-]-Xcos<p), р2=: 1 — aXcoscp, (59.2)
312
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[ГЛ. IX
где X — малый параметр; нетрудно видеть, что вследствие
приведенных выше норм имеем Х^ 0,075 при а ^>0,5, где
а
а~~Ь'
2.	Овальная труба (рис. 133,6)
Pi = a(l+Xcos2<p), р2—1-]-aXcos2<p, (59.3)
причем здесь параметр X не превосходит 0,04.
3.	О в а л ь и о-p а з н о с т е н н а я труба (рис. 133, в)
р1 = а(1-]-Xcos2<p), р2 = 1 —j—хХ cos 2<р,	(59.4)
где х<1—некоторый параметр, а Х<^0,075. При х = а
приходим ко второму случаю, когда толщина стенки (по
радиусу) постоянна.
2.	Основные уравнения. Примем, что, так же как и
для правильной трубы, реализуется плоская деформация и
скорость деформации ползучести в осевом направлении равна
Вг = 0. Тогда из уравнений (20.1) установившейся ползучести
(неустановившаяся ползучесть может быть изучена обыч-
ным методом) вытекает, что
о II м э- р II Г! Р &• О 4- о II D* СЧ	
а компоненты скорости деформации равны	
=	о,),	
	(59.5)
	
где интенсивность касательных напряжений равна	
Т =	(аг— °?)2 + 4Д	(59.6)
В дальнейшем принимается степенной	закон ползучести
(§ 20):	
/(Г) = ВТ"’-1.	(59.7)
Дифференциальным уравнениям равновесия	
1	G у	
др । р ду ।	р	
дтг(р	1 da^	2т:г(р	п
др	р ду * р	
§ 59]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ОВАЛЬНЫХ И РАЗНОСТЕННЫХ ТРУБ
313
можно удовлетворить при помощи функции
Ф = Ф (р, <р):
, 2 _ 1 <52Ф , 1 дФ
Dar — р2 д(р2 Н- р dp
А2 __
Ь °f ~ др2 ’
<ЭР \ р df )•
напряжений
(59.8)
Компоненты, скорости деформации 5r, -jjrtp связаны
с составляющими вектора скорости в полярной системе коор-
динат и, v (рис. 134) формулами:
• с ди	и . 1 dv
tkr = д-, Ь^ =--------------д-
г ор т р 1 р ду
,	_ 1 ди , dv v 1
(59.9)
Исключая отсюда и, v и используя уравнение несжимае-
мости
^Ч-^=о,
получаем уравнение сплошности
дЦ,
д^ др др р др2 —
= <59-10)
Внося сюда ^г, 7]г? согласно	Рис. 134.
выражениям (59.5) и (59.8), полу-
чим сложное нелинейное дифференциальное уравнение для
функций напряжений Ф; оно здесь не приводится, так как
интегрирование его весьма затруднительно.
3.	Линеаризация. Наличие малого параметра X позволяет
линеаризировать задачу. Ищем решение в виде (ограничи-
ваемся первым приближением)
Ф = Ф0 + ХФ1,
(59.11)
где Ф0 = Ф0(р) — функция напряжений для правильной
трубы, а Ф1 = Ф1(р, <р) — неизвестная функция. Согласно
314
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
(гл. IX
выражению (59.11) имеем:
^=0°+х0*, e? = i°4-x^,
--Хт^р,, 7]Г|р = Хт]Г!р,
(59.12)
где индекс 0 относится к решению для правильной трубы;
соответствующие этому решению величины условимся назы-
вать основными. Это решение дано формулами (56.9):
G° = $"(l— р~2Р),
сО = у"П+(2р-1)р-211,	(5913)
о°) = |л/'р-ар.
Легко видеть, что
/(TO) = Kp-’ = S(p), К = в(^т~\ v = 2 —2р.
Вернемся к общему случаю. Внося выражения (59.12)
в (59.6) и удерживая в разложении Т лишь первую степень X,
получаем:
Т = Т^ХТ\ Г = 1(01 — С1).
Разлагая скорости деформации (59.5) в ряд по степе-
ням X, находим дополнительные скорости деформации:
<£=-?s(p)(4-<&
71лр = S (р) ТГ!р.
Дополнительные напряжения <Л, т
функцию Фх формулами
w = l^i
р2 dy2 р др ’
д24\
др2 ’
62т1 = —
гч др \ р ду /
(59.14)
выражаются через
(59.15)

§ 591
ПОЛЗУЧЕСТЬ ОВАЛЬНЫХ И РАЗНОСТЕННЫХ ТРУБ
315
Внося (59.12), (59.14) и (59.15) в уравнение сплошности
(59.10), получаем следующее линейное дифференциальное
уравнение с переменными коэффициентами для функции Ф*:
дФ,
др
. <34Ф1 .	03ф	9^Ф1 । ,,
+ (4-3^^ + ^ = °- <59-16>
При tn — 1 это уравнение переходит в бигармоническое
уравнение. Ищем решение уравнения (59.16) в форме
ФДр, ср) —/?(p)cosn<p (и— целое).
Функция /?(р) удовлетворяет уравнению Эйлера
„ i d*R d3R .	.>d4> dR . D „ ._n .
°*P	+ C3P3 + a2p2 ар + «1Р	+ a0R = 0. (59.17)
где a4, a3, a,, at, a0 — постоянные коэффициенты, равные:
1
a4=~2 m-
a3 — 2— tn,
a2 = - (2n2 + 4) + (A 4- ) /n + 4 >
й1 = (1+2^)(4-|т^4)’
10 9 1 (л I /?2\ 9 I 6/22
«0 = — 12/i24-m(4 + _Jn2_|__.
Частные интегралы (59.17) имеют вид:
для показателя k нетрудно получить характеристическое
уравнение
й4/г(/г--1)(/г —2)(£ —3)4-а3/г(/г—l)(ft —2)4-
4" ^2^ (^—1) —|—4~ 4== 0. (59,18)

316		ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ	[гл. IX
В дальнейшем ограничиваемся анализом случаев п=1,
п = 2, достаточных для рассмотрения ползучести интересую-
щих нас труб.
4.	Граничные условия. Рассмотрим граничные условия
для функции Ф1#
Нормальное напряжение ап и касательное напряжение хп -
на контуре, как известно, равны
= cr cos2 ап -ф- sin2 ап Ц-	sin 2ап,
Tyj 2	| ТГ(р COS 2сс^,
где ап — угол между нормалью п к площадке и радиу-
сом-вектором. Заметим (рис. 135), что на контуре
1	(59.19)
I
2 ‘
угол ап^=т-|-а1. на контуре й2 угол ап — а2. Угол между
радиусом-вектором и касательной к контуру at — an-\-^.
Известно [Б8], что
tg at ~	> или tg а— •— - Ц —.
’ dp/d<p	п
Пусть
Pi — а(1 —k cos/г<р), р2 = 1 —|—Хх cos(м—1,2),
где X мало; тогда, удерживая в разложении первую сте-
пень X, получаем:
at — Хм sin м<р, а2 = Хмх sin мер.	(59.20)
§ 59]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ОВАЛЬНЫХ И РАЗНОСТЕННЫХ ТРУБ
317
Внося в формулы (59.19) напряжения <зг, тг?, согласно
(59.12), полагая p — pt на 2, и р = р2 на Q2, разлагая по-
лученные выражения в ряды по X и ограничиваясь, как
всегда, лишь первой степенью X, находим:
о
ап--- аг
аХ cos пер -|- Ха£ (а),
Р = “
= — К (а) — °Г (а)] «1 — Хт^ (а)
О	I dar\	1
<3n = or(l)+ I-tt)	Xxcos/z<p + Xa,(l),
\ aV/p = i
s> = K(i)—°r(i)k+x^(i).
Но мы имеем следующие граничные
сп = — р, тп = 0 на I
сп = 0, тп = 0 на
а°(а) — —р, <5°(1) = 0.
Нетрудно, наконец, видеть, что
\ dp
(da°
I r
\ rfp/р=1
Граничные условия для Фг принимают вид:
(Cr)p=e = -Acosn?, ]
Шр = к = -А«51ППТ j
k)p=i = —4’zcosn<p, |
(ХЦ=1 = ~ A™ sin НФ J
Случай n~ 1. Разностенная
и характеристическое уравнение (59.18) имеет
условия:
= с° (а) -\-р — 2рУ'а-а1’- = Alt
р = а	V
= О0(1) = 2^"^Л-
на 2j
на 22.
на
на
2,;
22.
(59.21)
(59.22)
5.
а0 = — а1
корни:
труба.
При п — 1
2	2
1, 3.	1 —3—-
т	т
[гл. IX
318
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
При т=1 имеем двойной корень 1; при т>1 все
корни простые, и дополнительная функция напряжений
имеет вид:
Ф1 (р. <Р) = (Gp + С2Р3 + СзР1-а|1 + C4p3--av-) cos ср.
Как и в случае упругой задачи полученное решение доста-
точно лишь при усилиях, уравновешенных на каждом кон-
туре. В связи с этим решение должно быть дополнено,
вообще говоря, неоднозначным решением уравнения (59.16).
Последнее нетрудно построить, однако в нашем случае глав-
ный вектор и главный момент усилий, приложенных к каж-
дому контуру, равны нулю, как это вытекает из граничных
условий (59.21), (59.22), и необходимость в неоднозначном
решении отпадает.
При п=1 <з*sinср = cosср, и мы располагаем лишь
двумя независимыми граничными условиями. Между тем до-
полнительные компоненты напряжения содержат три произ-
вольные постоянные: С2, С3, С4. Но так как рассматривается
замкнутая труба, то должно быть однозначным поле ско-
ростей a1, vl. Из выражений (59.14) и (59.9) получаем:
=	Ш(°*-°^Р-2-^(<Р).
где Ф (ср) — произвольная функция. Определяя, далее, vl из
последнего уравнения (59.14) и внося и1 и vl в уравнение
несжимаемости, находим дифференциальное уравнение
^+W = -2p.(l-p)C4cos?.
Отсюда
Ф (ср) = Et cos ср -|- Е2 sin <р — С4р (1 — ре) ср sin ср,
где Ер Е2 — произвольные постоянные. Таким образом,
условие однозначности скоростей приводит к требованию
С4 = 0.
Теперь из граничных условий (59.21), (59.22) получаем:
с,

Г _
2 amD
D = (1 — а2*1) (а-а-ан — 1).
§ 59] ПОЛЗУЧЕСТЬ ОВАЛЬНЫХ И РАЗНОСТЕННЫХ ТРУБ 319
Вычисляя компоненты напряжения и скорости деформа-
ции, находим:
=р 12—(1—а2+2’1) р“2-а1чcos
°' = Р 16 — <1 —	<1 + “2 ' 2,i) Р’2-3Н cos ?’
= Р 12 -(1 + а3+81Ч Р~а"а!Ч Sin (Р’
^=,ф+2тах^^^-2-37±Гсо5у].
(59.23)
Анализ решения показывает, что скорость деформации
ползучести в ослабленном сечении (ср = 0) для толсто-
стенной трубы	лежит, грубо говоря, посере-
дине между скоростью деформации в трубе номинальных
размеров (диаметры 2а, 2Ь) и скоростью деформации в круг-
лой трубе (диаметры 2а-1-2а\, 2Ь) с толщиной стенки,
равной наименьшей толщине равностенной трубы.
Скорость деформации ползучести в ослабленном се-
чении (<р = 0) тонкостенной трубы равна скорости
деформации в круглой трубе при минимальной тол-
щине стенки [X—с(1Д-Х)].
В заключение заметим, что при не очень малых X по-
правочный член в формуле для скорости деформации
может быть довольно значительным. В этих случаях следует
рассматривать второе приближение Х2Ф2. Второе приближе-
ние нетрудно вычислить; оно является громоздким и здесь
не приводится.
6. Случай п = 2. Овальная труба. В этом случае корни
характеристического уравнения (59.18) находятся численно.
Паре комплексных сопряженных корней х + 1у соответ-
ствуют два решения:
ржсоэ(_у 1пр), р® sin (у In р).
Дополнительная функция напряжений имеет вид:
4
(р> <р) = 5	(р)cos (р)cos 2?-
7=1
320	Ползучесть труп	[гл. ix
Граничные условия (59.21) и (59.22) в рассматриваемом
случае легко преобразовать к виду:
Я(<х) = 0,	/?(!) = 0;	]
R' (а) = — ab2At, R' (1) = — ab2A2 J (59.24)
Эти уравнения служат для определения постоянных Cj.
Приведем значения корней характеристического уравнения для
показателей т = 4 и т = 8.
т = 4: хх = 0,441, уг = 1,467,
Хд = 3,059; у2	1,467;
т — 8:	= 0,71, уг = 1,59,
^2 = 3,04,	у2=1,71.
В результате ползучести овальность трубы уменьшается,
происходит округление трубы. По определению (59.1)
имеем:
2°^- — Ргтах Р2тт-
Отсюда
____^Р2тах ^РЗпп'п
dt dt dt '
Обозначим через радиальную скорость точек наруж-
ной поверхности правильной трубы, через wj, 4?/2— допол-
нительную радиальную скорость соответственно точек <р = 0
и <р = — наружной поверхности овальной трубы. Полагая
получаем:
Отсюда
Х = Хое-^, ш =	(59.25)
где Хо — начальное значение коэффициента овальности.
Скорости и1, V1 определяются из системы уравнений
(59.14), в которых правые части известны. Из первого
§ 59]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ОВАЛЬНЫХ И РАЗНОСТЕННЫХ ТРУБ
321
уравнения получаем:
и‘(р. ?) = — J 5(р)(о’ — o’)dpcos2<f> + ^“(<p), (59.26)
где Ф (<р) — произвольная функция. Внося теперь иЦр, <р)
в третье уравнение (59.14), находим <н1 = ‘ц1(р, <р). Под-
ставляя и1 (р, <р) и v1 (р, <р) в уравнение несжимаемости, за-
ключаем, что Ф(<р) = 0. Тогда очевидно, что =—uj,
и необходимо, стало быть, найти лишь uj. Для этого нужно
вычислить интеграл (59.26) и положить <р = 0, р=1.
Не останавливаясь на несколько громоздких вычислениях,
приведем окончательные результаты:
ш = ^(Сх^’+сХ’+Сз^+сХО.
где обозначено
дгО) = (5- -1 -v) - 2хз + 4) + у] (xj -1 +")
(^-1-А)2 + Ъ2
.,U)	^+у2—2у (1 + ^)-2(1-а)
N2J’ = ~------------2---5----- (7 = 1, 2).
Здесь Xj ± yjl — корни характеристического уравнения.
Приведем пример; пусть т = 4, а = . Тогда
хт = 0,441, х2 = 3,059, уг = у2 = 1,467.
Выполнив вычисления, находим:
-=13($р__г
где (В°)р == 1 — скорость деформации на наружной поверхности
правильной трубы. Пусть (^) =1 = 10-5 час-1. Легко ви-
деть, что через 5000 часов коэффициент овальности будет
равен Х = О,52Хо, т. е. уменьшится примерно в два раза.
Овальность менее толстостенных труб будет уменьшаться
значительно быстрее.
7. Случай п = 2. Овально-разностенная труба. Этот
случай рассматривается аналогично предыдущему. Характе-
21 Зак. 1058. Л. М. Качанов
322
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
ристическое уравнение и частные интегралы Rj(p) имеют
прежний вид; изменяются лишь правые части граничных
условий (59.24): в последнем из этих условий в правой части
будет — х/ХМ2 вместо —оА2Л2.
На подробном разборе мы не останавливаемся, так как
этот случай не представляет большого интереса. Анализ же
его связан с несколько громоздкими выкладками и прово-
дится до конца для конкретного показателя т. Вследствие
симметрии профиля можно считать, что расчет таких труб
должен проводиться по наименьшей толщине.
§ 60. Ползучесть неравномерно нагретых труб
Трубы нередко работают в условиях неравномерного
нагрева. Это существенно изменяет картину течения, так
как ползучесть сильно изменяется с температурой. Ниже
рассматриваются некоторые случаи ползучести неравномерно
нагретых труб, испытывающих внутреннее давление.
1.	Ползучесть тонкостенной трубы, неравномерно на-
гретой по окружности. Рассмотрим задачу об установив-
шейся ползучести тонкостенной трубы, неравномерно нагре-
той по окружности. Считаем, что температура 6 постоянна
по толщине и длине трубы, но изменяется вдоль окруж-
ности, т. е.
е = 0(?),
где ср— полярный угол. Пусть распределение температуры
симметрично относительно плоскости xOz, т. е. 6 (<р) — б (—ср).
Так как труба тонкостенная, то можно пренебречь ра-
диальным напряжением ог и полагать, что
„ — Р
°? — р _ г
По оси трубы действует усилие, равное ртш2. Для рав-
номерно нагретой трубы осевое напряжение oz = -i-o<p. До-
пустим, что в рассматриваемом нами случае неравномерно
нагретой трубы
0 < о2 <
Тогда о —наибольшее, а ог<^0 — наименьшее напряже-
ние, следовательно, тгоах — у Будем исходить из закона
§ 60J
ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ТРУБ
323
ползучести, основанного на критерии ттах (см. § 14). Тогда
скорость деформации в направлении среднего главного на-
пряжения аг равна нулю, следовательно,
Ег = О, =
По уравнению (14.2) в случае простой зависимости от
температуры имеем
^ = ^(6)4".	(60.1)
Полагая, что при ползучести тонкостенная труба сохра-
няет круговую форму, находим скорость относительного
увеличения наружного диаметра трубы:
(60.2)
где
7U
0
есть среднее значение коэффициента ползучести.
Можно считать, что приведенные результаты сохраняются,
если температура достаточно медленно изменяется по длине
трубы. Если нагрев носит резко местный характер, то пред-
положение о равномерном расширении трубы не оправды-
вается. В этом случае развивается местная деформация
(образуется отд ул ина).
В заключение заметим, что анализ поставленной задачи
может быть проведен также с помощью основных уравне-
ний ползучести (20.1), но значительно сложнее. В частности,
мы получим, что скорость деформации уже не будет,
вообще говоря, равняться нулю, вследствие чего согласно
решению труба будет несколько искривляться с течением
времени.
2.	Установившаяся ползучесть неравномерно нагретых
толстостенных труб. Рассмотрим задачу о ползучести не-
равномерно нагретой толстостенной трубы, испытывающей
внутреннее давление; температурное поле предполагается
осесимметричным и независящим от z. Эта задача, имеющая
важные технические приложения, была изучена Бейли в од-
ной из ранних рабит по теории ползучести [88].
21*
----------------w
324	ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ	[гл. IX
Стационарное температурное поле описывается уравне-
нием
е (r) = e(fl)4-6jn-^,	(бо.З)
где положено
е 6(6) —6(a)
* In b — In а ’
3
a 6(a), 6 (Ь) — температуры соответственно внутренней и на-
ружной поверхностей трубы.
Напряжения аг, удовлетворяют дифференциальному
уравнению равновесия
.	’I
г5 + сг~ст=°	(60.4)
5
и граничным условиям:
при г -= а	ог ——р, )
,	А I	(60.5)
при г = b сг — 0. J
Главный вектор осевых напряжений oz равен осевой на-
грузке:
ъ	-м
2к J* агг dr ~ita2p.	(60.6)
«
Скорости деформации удовлетворяют условию несжимае-
мости:
^ + 4 + ^ = 0-	(60.7) М
Как и в случае равномерно нагретой трубы (§ 56),
удобно заранее положить = 0. Тогда справедливы полу-
ченные в упомянутом параграфе соотношения:
-ipi
I	Н=2^, Т = ^(^-Ог).	'«’Ч
Здесь принято для определенности, что а?^>0, <зг<^0.
Эти условия обычно выполняются для не очень толстостен-
ных труб, испытывающих значительное внутреннее давление
при относительно небольшом температурном перепаде сна-
ружи внутрь; тогда о„ — ог > 0. Если окажется, что в не-
§ 60] ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ТРУБ 325
которой части сечения трубы cv— аг < 0, то в этой части
следует строить решение задачи, полагая Т = — -1 (а? — аг).
Интенсивности Т и Н связаны уравнением (исходим из
простой зависимости от температуры)
Я = £(б) Тт.
Внося сюда значения Н и Т, получаем:
[Ж-
Исключая теперь разность — сг из дифференциального
уравнения (60.4), выполняя интегрирование и определяя
произвольную постоянную по первому граничному условию,
находим:
_ Г [ 2Ci 'I1’- dr	, „ о
—2 J Lfi(6)r3J 7 Р'	(60’8)
а
Пусть в рассматриваемом интервале температуры
В(0) = Воес\	(60.9)
где Во, с — постоянные; тогда
/ г\с0*
BW = B*\~) ’	(60.10)
где положено
5^=5оес0(а).
Введем далее обозначение:
1г* = и(1 +ус6*)-
Внося выражение (60.10) в (60.8), вычисляя интеграл
и определяя произвольную постоянную по второму гранич-
ному условию, получаем после несложных преобразований:
/ b \2|J*
= аг 4- 2^ J
(60.11)
326
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
где 5* = ^-^—Нетрудно теперь убедиться в том, что
условие статической эквивалентности (60.6) выполняется; это
оправдывает принятое выше допущение об отсутствии осевой
деформации.
Формулы (60.11) аналогичны формулам (56.9) для рав-
номерно нагретой трубы и получаются из них заменой $, р
на s*. р*.
Скорость относительного увеличения наружного диаметра
равна
(Мг=ь = 4 В£°6* (рА)'й.	(60.12)
Пример. Рассмотрим численный пример. Пусть а = 3,1 см;
" т = 4; 0 (6) — 6 (а) = 50° С;
—Lr; а = 13-1 (Г 6 —Цг.
град	град
b = 3,8 см; р = 150 кг/см2;
£ = 2 • 106 кг/см2; с = 2,44 • 10~2
Рис. 136.
По этим данным находим:
0* = 246°С; с6* = 6; ₽= 1,225; и. = |; р* = 1.
На рис. 136 сплошными линиями показаны графики напряже-
ний сг, в состоянии установившейся ползучести. Для сравнения
§ 60] ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ТРУБ 327
г
пунктиром нанесено напряжение <^, подсчитанное для рассматри-
ваемого примера по формулам теории упругости (с учетом темпера-
турного расширения аб) и характерное для начальной стадии работы
трубы. Мы видим, что тангенциальное напряжение а<р претерпевает
существенные изменения. Радиальное напряжение меняется в про-
цессе ползучести незначительно.
Скорость ползучести стержня при температуре 6 (Ь) и при
напряжении, равном среднему тангенциальному напряжению
в трубе, будет
Р
₽-1
=	з)-”1-1
Нетрудно найти, что в нашем случае
(6<Д.= 6 = 0,32^.
Очевидно, что температурные расширения не влияют на
распределение напряжений и скоростей деформации в состоя-
нии установившейся ползучести. Неравномерный нагрев
сказывается лишь на изменении коэффициента ползучести;
в отличие от упругого состояния коэффициент теплового
расширения а в решении задачи отсутствует. Это объясняется
тем, что при ползучести любые собственные напряжения
релаксируют и в пределе стремятся к нулю.
Температурным напряжениям в трубах соответствуют, как
правило, малые деформации (например, температурным напря-
жениям порядка 2000 кг/см2 отвечают деформации порядка
0,001). Вследствие этого дополнительные деформации ползу-
чести, развивающиеся при релаксации температурных напря-
жений, незначительны и ими обычно можно пренебрегать
(кроме, быть может, тех случаев, когда имеют место
малодеформационные, хрупкие разрушения). Таким обра-
зом, температурные напряжения, существующие в началь-
ной стадии работы трубы, во многих случаях можно не
учитывать.
3.	Остаточные напряжения при сбросе нагрузки. Если
трубу, пребывающую в состоянии установившейся ползу-
чести, сравнительно быстро охладить до нормальной равно-
мерной температуры (при которой ползучесть ничтожна)
и сбросить давление, то в трубе возникнут остаточные
напряжения. Последние равны разностям соответствующих
328
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[ГЛ. IX
напряжений установившегося течения и начального упру-
гого состояния.
В частности, если давление р в трубе равно нулю, то
в установившемся состоянии напряжения равны нулю. Следо-
вательно, тогда остаточные напряжения равны по величине
и обратны по знаку начальным упругим температурным
напряжениям. Это положение иллюстрирует рис. 137. В началь-
ный момент времени (I — 0) имеем упругое распределение
напряжений, вызванное неравномерным нагревом трубы. По
Рис. 137.
Остаточные
напряжения
после остывания
истечении достаточно большого промежутка времени (условно
при t — co) температурные напряжения вследствие релакса-
ции практически равны нулю. Наконец, при быстром осты-
вании в трубе возникают остаточные напряжения, обратные
по знаку начальным.
Приведенные рассуждения верны, если при нагружении
и разгрузке происходят лишь упругие деформации.
Если при первоначальном нагружении имеет место пла-
стическая деформация, то по-прежнему остаточные напряже-
ния определяются вычитанием упругих напряжений из напря-
жений в установившемся состоянии.
Если же разгрузка также сопровождается пластическим
деформированием, то картина усложняется. Заметим, что
циклические охлаждение и нагрев, вызывающие повторяю-
ИЗГИБ КРИВЫХ ТРУБ
329
§ 61]
щиеся пластические деформации, неизбежно приводят к бы-
строму разрушению.
4.	Заключение. Выше рассматривалось установившееся
состояние. Процесс перехода от начального упругого состоя-
ния к конечному установившемуся течению может быть изучен
без большого труда изложенным ранее методом решения
задач неустановившейся ползучести (§ 35).
Если предположение о простой зависимости от темпера-
туры не оправдывается, то следует считать зависящим от
температуры и показатель ползучести т. В этом общем
случае решение может быть построено численным интегриро-
ванием.
§ 61. Изгиб кривых труб
1.	Общие замечания. Опыты по изгибу лирообразных
компенсаторов показали, что деформации компенсаторов
в несколько раз превышают значения, вытекающие из класси-
ческой теории изгиба. Карман показал [119], что причиной
этого является сплющивание труб при изгибе, и дал прибли-
женную теорию изгиба упругих тонкостенных труб с криво-
линейной осью, хорошо подтвержденную экспериментами.
Так называемый коэффициент Кармана широко применяется
в инженерных расчетах. Эта задача привлекла позднее мно-
гих исследователей ]118- 91> 34].
Теория Кармана основана на предположении об идеальной
упругости материала трубы. Однако сплющивание трубы
оказывает существенное влияние на изгиб кривых труб в усло-
виях ползучести (и при «обычном» пластическом изгибе); эта
задача рассматривается ниже, причем мы ограничиваемся
случаем установившейся ползучести.
В работе [26] была предпринята попытка анализа изгиба
кривых тонкостенных труб при деформациях ползучести,
причем решение строилось на основе принципа минимума
полной мощности; при сравнительно небольших отклонениях
от линейной зависимости между интенсивностями напряже-
ний Т и скоростей деформации Н удалось преодолеть труд-
ности, связанные с нелинейностью задачи.
Более удачным является применение другого вариацион-
ного принципа — принципа минимума дополнительного
рассеяния-, при этом удается построить решение задачи для
330
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
случаев, когда справедлив степенной закон (20.12)
Н=ВТт,
где В — постоянная, т — нечетное число [29[. Значения гиб-
кости трубы для других т могут быть получены интер-
поляцией.
2.	Основные соотношения. Рассмотрим тонкостенную
трубу (толщина h, радиус срединной линии сечения трубы о),
изогнутую по дуге круга (радиус осевой линии трубы равен /?)
и изгибаемую моментом М (рис. 138).
Положение точек трубы будем характеризовать углом ф,
углом и расстоянием С, отсчитываемым от средней линии
поперечного сечения в направлении радиуса-вектора; заме-
тим, что
0^ф<^а, 0^<р^2т, —
Нормальные напряжения в сечении ф = const уравно-
вешивают изгибающий момент:
2т.
M — a2hJ o^sin<prf<p.	(61.1)
о
Напряжение аф предполагается равномерно распределенным
по толщине трубы. Рассмотрим элементарную полоску,
§ 611
ИЗГИБ КРИВЫХ ТРУБ
331
мысленно выделенную из трубы под углом ф (рис. 139).
Легко видеть, что напряжения сф дают поперечную соста-
вляющую Сф/г dty, которую можно интерпретировать как
фиктивную вертикальную нагрузку q (рис. 140). На единицу
г. ।
длины полоски эта нагрузка равна q = -^-, гдер = /<Н-
-f-csincp — радиус кривизны полоски. Полагая здесь (и
в дальнейшем) р R, получаем:

(61.2)
Под действием нагрузки q сечение трубы сплющивается
и из кругового становится овальным. Вследствие этого ско-
рость продольной деформации и напряжение сф уменьшаются
Рис. 139.	Рис. 140.
(по сравнению с прямой трубой). При действии изгибающего
момента одной и той же величины кривая труба испытывает
большие изменения кривизны, чем прямая.
Рассмотрим кольцо единичной ширины, мысленно выделен-
ное из трубы двумя плоскостями ф = const. В сечении = const
этого кольца главный вектор внутренних сил направлен
вертикально. Обозначим величину главного вектора через Q,
а изгибающий момент в том же сечении — через Из
условий равновесия элемента кольца (рис. 141) получаем

332	полЗучёи'ь тёУб	[гл. tk
известные соотношения:
it
q    dQ   d / dLa\
dx ’ q a dy	a dy \	dx j'	s
Так как x — a cos <p, to
1 d / 1 dL^\	Bi]
q ~ dy	•	(61.3)
Из выражений (61.2) и (61.3) следует уравнение равновесия
г —JL_L( 1 dL'A	лч
ath dy \ sin <р dy / ’	( 1 • )
связывающее напряжение сы и изгибающий момент La. Заме-
тим, что
7г/2
Лр= f	(61.5)
-7г/2
®Н
как уже указывалось, исходим из принципа минимума
дополнительного рассеяния (§ 22), принимающего в случае
степенной зависимости вид:
fff тт+1 dx dy dz = min’
где интегрирование ведется по всей области, занимаемой
Z7I	dx
Рис. 141.
телом (при т = 1 и В = получаем уравнение Кастильяно).
В случае изгиба трубы учитываются только компоненты
и,1
i(!5
'.Цй
яр
"Йр8
41«
itiipi
ащ
»В1)'
i [I
М!||
ihjt
''лад
«рад
§ 611	Изгиб кривых груб	333
напряжения а^, и последнее уравнение записывается
в форме
2" W2	ст + 1
/(с?_'сЛ+сф) 2 rf’=min- (61.6)
о -л/з
Минимум дополнительного рассеяния Л! трубы единичной
длины разыскивается при условиях (61.1) — (61.3). Пусть
изгибающий момент Л1 вызывает скорость изменения угла со;
тогда в силу теоремы энергии (23.3) имеем:
ТИш = (тД l)At.
Если пренебрегать влиянием сплющивания (т. е. прене-
брегать напряжением о ), то
Л4соо — (т 1) Л10,
где <оо и Л10—соответственно скорость изменения угла и
дополнительное рассеяние (для прямой трубы). Коэффициент
гибкости кривой трубы равен
Заметим, что для прямой трубы единичной длины имеем
согласно (45.2)
Мт
шо— £) •
3.	Приближенное решение. При т~\ (этот случай
соответствует линейно-вязкому или линейно-упругому телу)
можно получить сколь угодно точное решение задачи с по-
мощью метода Ритца. При т =/= 1 задача нелинейная и можно
указать ее приближенное решение.
В сечениях ср — const напряжения с9 приводят к изгибаю-
щему моменту и нормальному усилию. Очевидно, что
нормальное усилие имеет порядок перерезывающей силы,
h „
вызываемой фиктивной поперечной нагрузкой Для тон-
кой трубы влиянием перерезывающей силы на изгиб прене-
брегают; естественно поэтому пренебречь и влиянием нор-
мального усилия. На этом основании, исходя из картины
334	ползучесть труе	(гл. IX	
напряженного состояния при изгибе прямого бруса, ищем		Ч
решение задачи в форме		
	(61.8)	(в»
где р, = —, а Ф(<р)— некоторая функция.	Тогда	411 л®
£? = /Ф(т),	(61.9)	«IJI
где положено		S11
1		-’0
j_ 2m	+т		'Я
2т + 1 1 2 /		
Введем безразмерные переменные		iiiifi
2эта2й	2~а:!	1Т, ° = М °*'	М °?’	2^£ф А1 ’	’Ж! о* ,}gts
Уравнения (61.1) и (61.4) принимают при этом вид:		s=(
Г		1Л1
1 с sin ср dy = 2т,	(61.10)	1ЙЛ1
°		
d<? \ sin <f> cfy / '	(61.11)	sfli'ipj |ф«
Рассмотрим случаи т—\, 3, 5, 7, . . грирование по С, получаем из (61.6):	. Выполняя инте-	
		ийПП
при т = 1 J (с2-|-ZfjgX2®’2) rfcp = min,	(61.12)	
о		
2к		
при т = 3 J (с44-Л32Х2с2Ф24-Л34к^)^ = т1п, (61.13) О		лрм ilUpfit
1	2к		J ifcti ЙН1 в в
при т = 5 J (об_|_^2Х2с4ЦГ2_|_^х4а2Ф’4 +	/г-6Х6ЧЕГ6) rf<p — min,	
°	(61.14)	
где		
k _ in ь _ 9 /14\2	,	3 /14\4 /г12—12, fe32_—,	,	30/22Х2 Г2 “ 7 Ш ’	
,	10/22\4	,	5 /22\с		•)W-s
К- 4 = ТГ 1	1 «	k.n 	 	 1 	 1	>2 		
14	3^5/’	'-б Н \5/ ’	Лй •	ill
§ 61]
ИЗГИБ КРИВЫХ ТРУБ
335
Ищем решение этих задач минимума в форме
с = 2 sin 6с sin Зср-ф- ...,	(61.15)
ограничиваясь выписанными слагаемыми. Легко видеть, что
условие (61.10) удовлетворяется при любом значении произ-
вольной постоянной с. Решение с одной произвольной по-
стоянной должно привести к удовлетворительным резуль-
татам, так как искомый коэффициент А пропорционален
минимизируемому функционалу напряжения определяются
при этом, разумеется, с большей погрешностью. Заметим,
что рассматриваемая схема допускает решение при сохране-
нии в ряде (61.15) нескольких произвольных постоянных,
однако объем вычислений при этом существенно возрастает.
Внося выражение (61.15) в уравнение (61.11), находим:
2VT — (1 — с) cos 2ср -|— -i- с cos 4<р —|— . . ..	(61.16)
Теперь задачи (61.12) — (61.14) приводятся к задачам
минимума той или иной алгебраической формы относительно с.
4.	Случай т = 1. Этот случай аналогичен задаче об
изгибе кривой упругой трубы. Здесь величина с определяется
из линейного уравнения
и коэффициент гибкости кривой трубы [91] равен
А 1+-9с2 |- |)2 G-2c+ | с2).
(61.18)
Графики зависимостей (61.17) и (61.18) показаны на
рис. 142 и 143. Приведенное решение, как показывает анализ
следующих приближений, удовлетворительно при Х2<10.
5.	Случай т = 3. Не останавливаясь на громоздких вычи-
слениях, приведем окончательное выражение для дополни-
тельного рассеяния Лр
л1=“(«)‘”{12<1-4с+36с2+8|с1)+
+ | W2 (4 — 22с + 79с2 — 114с3 + 63с4) +
+ Д	(1 — 4с + 7с2 — 6с3 +	с4) }.
336	ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ	[ГЛ. IX
Параметр с определяется из уравнения ^—1 = 0; легко
видеть, что в этом кубическом уравнении коэффициенты при
четных степенях с отрицательны, а при нечетных —положи-
тельны, следовательно, с > 0. Решая уравнение относи-
тельно К2, получаем:
Х2 = — Л4-/Л2 —С,	(61.19)
где обозначено:
.	18 — ИД-79с — 171с2 + 126с3
---ОС	ОО	>
—4+14с— 18с2 + ^с3
г _ 1728	—1 + 18с + 81с3
С ~ 343	. . ,.	, 33	’
—4 + 14с — 18с2 + с3
*
,all
Я
। показана на рис. 142; зависимость Д от К2, вычисленная
согласно формуле (61.7), показана на рис. 143.
Пйф:
Я()0
Им
ям
фю
-жПри
'«И
ЛИЛИ
Я II
Мвд
II jit
! aa
аШ|®
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 337
6.	Случай т = 5. Выражение для дополнительного рас-
сеяния имеет вид:
Aj =	*4 40 (1 — 9с Ч- 81с2— 162с3 4-
1	3 \2nam){	1
+ 729с4 + 729с6) +	kc2X2 (14— 156с 4- 901 с2 — 2388с3 4-
+ 4023с4 — 3942с6 + 1863с6) + ~ fe64X4 (24 — 224с +
+ 1080с2 — 2634с3 4- 3497с4 — 2430с6 + 702с6) +
4-	64412 М6 <64 ~ 384с Ч- 1128с2 — 1952с3 4-
+ 2004с4 — 1128с6 4- 269с6) j-.
Параметр с определяется из уравнения пятой степени
^ = 0,
ас
в котором, как и ранее, коэффициенты знакопеременные,
вследствие чего с > 0. Случаю X = 0 соответствует корень
с — 0,063. Относительно X2 уравнение является кубическим.
Вычисленная зависимость X2 от с показана на рис. 142,
а график коэффициента Д приведен на рис. 143.
7.	Заключение. Приведенные выше результаты позволяют
считать, что коэффициент гибкости Д резко возрастает
с увеличением показателя т. Это объясняется тем, что сплющи-
вание вызывает уменьшение скорости продольной деформации
(при фиксированном ю) и соответственное снижение напря-
жения а. Необходимое для уравновешивания заданного изги-
бающего момента 714 увеличение а требует с возрастанием
показателя т все большего прироста угловой скорости <о.
§ 62. Экспериментальные исследования
ползучести труб
1.	Общие замечания. Непосредственное изучение ползу-
чести при сложном напряженном состоянии осуществляется
главным образом в опытах деформирования тонкостенных
труб. Нагружая трубу в различных комбинациях внутренним
давлением р, осевым усилием Р и скручивающим моментом М,
22 Зак. 1058. Л. М. Качанов
338
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[ГЛ. IX
можно вызвать в стенке трубы произвольное плоское (вернее1
почти плоское) однородное напряженное состояние. Сопоста-
вляя измеренные скорости деформации с напряжениями,
судят о существующих между ними зависимостях. Вследствие
большой длительности опытов реализация их в условиях
высокой температуры связана со значительными трудностями;
в связи с этим первые опыты проводились на свинцовых
трубах при комнатной температуре. К настоящему времени
мы располагаем рядом законченных исследований. Ниже
в кратком обзоре опытов указывается, в какой мере экспери-
ментальные данные согласуются с уравнениями установив-
шейся ползучести (12.18), выведенными на основании четырех
положений, сформулированных в § 12.
Если при данной температуре металл достаточно стаби-
лен, т. е. если в нем не  развертываются фазовые превра-
щения, то вполне приемлема гипотеза об отсутствии объемных
изменений при ползучести (т. еДс=0). Фазовые превраще-
ния, как известно, могут вызвать заметные изменения плотности.
Непосредственная проверка этой гипотезы была осущест-
влена в одной из работ Джонсона [п0]. С этой целью была изу-
чена при комнатной температуре ползучесть квадратной пла-
стины из магниевого сплава, растягиваемой в двух перпенди-
кулярных направлениях. Изменяя усилия, в пластине созда-
вали напряженные состояния, отличающиеся только вели-
чиной гидростатического давления. Согласно этим опытам
гидростатическое давление не влияет на ползучесть.
Большая часть опытов с трубами реализована в условиях
простого нагружения. В этом случае главные направления
тензора напряжения и тензора скоростей деформации ползу-
чести совпадают. В подобных опытах можно лишь устано-
вить, в какой мере соблюдаются третье положение о подобии
диаграмм Мора и четвертое положение о существовании
зависимости (12.14)
Hc — f(T) т,
характерной для данного металла при данной температуре и
всевозможных напряженных состояниях.
Вопрос о совпадении главных осей тензоров напряжения
и скорости деформации может быть решен по опытам слож-
ного нагружения. К сожалению, такие опыты начали про-
водить лишь в самое последнее время.
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 339
Как и при одноосном растяжении, данные по ползучести
в сложном напряженном состоянии характеризуются большим
разбросом, объясняемым высокой чувствительностью процесса
ползучести к небольшим отклонениям в условиях опыта.
В связи с этим экспериментальные данные необходимо тем
или иным способом сглаживать или подвергать статисти-
ческой обработке. Один из приемов сглаживания состоит
в использовании логарифмической сетки. Иногда целесо-
образно оценивать отклонения в экспериментальных скоростях
по соответствующим отклонениям в напряжениях, т. е. рас-
сматривать величины
?77 /““С
* / 5ЭКСП
г ^теор
где Врксл — некоторая характерная скорость деформации,
полученная в опытах, Втеор—та же скорость согласно тео-
рии, т — показатель ползучести.
2,	Кручение труб (М-опыты). Наиболее просто осуще-
ствляются опыты по скручиванию труб. Определяя характе-
ристики ползучести по опытным данным, полученным для
растяжения, можно сравнивать экспериментальную скорость
закручивания и скорость, вычисленную по уравнениям ползу-
чести.
Опыты Джемисона [108]. Первые опыты на скручи-
вание труб были осуществлены Джемисоном в 1933 г.;
материал труб — свинец, температура 25е С. Нам не удалось
найти работу Джемисона, ио Мерин [122] и Джонсон ]117]
указывают, что экспериментальные данные в общем удовле-
творительно согласуются с теорией.
Опыты Иврета и Кларка [97]. В несколько более
поздней работе Иврета и Кларка испытывались образцы из
молибденовой стали при температурах 427 и 566° С. Дли-
тельность опытов достигала 1000—1500 часов. По свидетель-
ству Мерина [122] и Джонсона ]117], и в этих опытах имеется
удовлетворительное согласие с теорией.
В дальнейшем специальные исследования простого круче-
ния труб не ставились. Осуществлялись опыты комбиниро-
ванного кручения и растяжения (Р-|~ Л4-опыты); кручение
соответствовало крайнему случаю Р = 0.
3.	Трубы под действием внутреннего давления (р-опыты).
Цилиндрические трубы, испытывающие внутреннее давление,
22*
840
ЙОЛЗУЧЁСТь труб
[гл. 1х
являются важнейшим конструктивным элементом многих
машин и установок. Наряду с тонкостенными трубами испы-
тано значительное число относительно толстостенных труб
(до (3= 1,5 и выше). Напряжения в таких трубах можно
определить лишь теоретическим путем, например по реше-
нию (56.9).
Забегая несколько вперед, отметим, что зависимость между
интенсивностями Н и Т в общем хорошо подтверждается
опытами, но не всегда следует степенному закону. Более
заметны отклонения от условия подобия тензоров напряже-
ния и скорости деформации. Целесообразно поэтому вести
сопоставление по среднему значению интенсивности напря-
жений Т, которое м жет быть найдено с достаточной уверен-
ностью.
В относительно толстостенных трубах средние значения
напряжений равны
°® ~ р__1 ' аг = р____1 ’ аг —	2” •	(62.1)
Так как радиальное напряжение сг. монотонно изменяется
от —р на внутренней поверхности трубы до нуля на на-
ружной поверхности, мы принимаем сг. =—у.
По напряжениям (62.1) легко вычисляется средняя интен-
сивность касательных напряжений Т.
По решению (56.6) интенсивность скоростей деформации
сдвига равна
Н = 25, = 2&.
Среднее значение интенсивности
ъ
Н=-г^—з f Hr dr =	- In —-.	(62.2)
— a2 J	[fi — a2 a	'	'
a
В опытах измеряется скорость относительного увеличения
наружного диаметра трубы (^1р)г=ь = ^(Л). Из приведенных
соотношений нетрудно получить удобную приближенную
формулу для среднего значения Н —
1? = -р¥т^)-	(62-3)
§ 62] ЭКСПЕРНМЁНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 341
Здесь можно интерпретировать как скорость ползу-
чести, отнесенную к среднему диаметру трубы; формула
(62.3) дает хорошее приближение для испытанных труб при
₽< 1,75.
Согласно зависимости (12.14) равным интенсивностям
напряжения в трубе и при простом растяжении стержня должны
соответствовать равные интенсивности скоростей деформации
сдвига, т. е.
откуда
2ё? = /з^,
(62.4)
Опыты Бейли ]89]. Бейли испытывал тонкостенные
свинцовые трубы при комнатной температуре под действием
внутреннего давления и дополнительной осевой нагрузки.
В частном случае, когда дополнительная нагрузка отсутст-
вовала, была испытана одна труба. Показатель ползучести
получен равным т=11. По измерениям скорость относи-
тельного увеличения диаметра равна £?= 17,6 • 10 '5 1/час;
по формуле (56.12) имеем (^<?)>.=ь = 18,4 • 10-5 1/час.
Опыты Мура — Бетти — До линз а [13°]. В этих
опытах испытывались свинцовые трубы четырех марок при
комнатной температуре (23,3° С). Продолжительность опытов
достигала 40 000 часов. Одновременно изучалась ползучесть
растягиваемых образцов при напряжениях ср равных сред-
нему окружному напряжению в трубе
По измерениям отношение скорости к скорости ползу-
чести при растяжении изменялось в зависимости от марки
свинца от 0,86 до 0,52.
По уравнениям ползучести для тонкостенной трубы в рас-
сматриваемом случае имеем:
(62.5)
342	ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ	[гл. IX
По данным Мура — Бетти —Долинза нельзя надежно опре-
делить показатель т\ поэтому можно лишь констатировать,
что заключение о том, что скорость ползучести в трубах
меньше, чем при растяжении, согласуется с формулой (62.5).
Опыты Нортона [13°]. Более полными являются опыты
Нортона (1939 г.) по ползучести труб из молибденовой
стали (при температурах 427, 482, 566° С) и хромомолибде-
новой стали (при 649° С). Наружный диаметр труб был ра-
вен 101,6 мм, толщина стенки составляла 3,18 или 9,53 мм.
® С- МО • J3 -7,07- 123 - опыты Нортона
Рис. 144.
Всего было испытано 13 труб. Ббльшая часть опытов про-
должалась около 3000 часов; одна труба испытывалась в те-
чение 9000 часов. Не все данные Нортона являются надеж-
ными, так как в ряде опытов суммарные деформации были
очень малыми и не могли быть измерены с гарантированной
точностью. Осевая ползучесть не наблюдалась, что соответ-
ствует теоретическому предсказанию. Надежные опытные
точки нанесены на рис. 144 по критерию (62.4).
Опыты Ш. Н. Каца. Наиболее полные и надежные ре-
зультаты по ползучести труб под действием внутреннего давле-
ния получены III. Н. Кацом [20]. На рис. 145 показана схема
установки. На стальной плите 1 установлена муфельная
электрическая печь 2, в которой помещается трубчатый обра-
зец 3, укрепленный на плите при помощи шпилек. Подача
инертного газа (азота или аргона) осуществляется через
трубку 4. Измерение диаметральной ползучести производится
|Я>
0.
Я
5 И)
"Я!
вй
ДИ
jp!
ш
Яи
SMJ
Нйр
рве
1Л№
.п li
Н
ж
икр
ihpcj
"fjaji i
w к
Я
'Ц
R®
ишсюр
eCptui
b m
StRlii
ПО,
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 343
четырьмя индикаторами часового типа 4, установленными на
специальных стойках 6. Перемещения поверхности трубы при
ползучести передаются индикаторам 5 при помощи кварцевых
палочек. Осевая ползучесть также замеряется индикатором.
Испытывались тонкостенные и
толстостенные трубы с наружным
диаметром 75 мм. Скорости пол-
зучести определялись для трубы
и растягиваемых образцов в одних
и тех же интервалах времени. Всего
было испытано 10 углеродистых
(ст. 20, р= 1,119-г-1,501, темпе-
ратура 500 и 505° С) и четыре
молибденовые (ст. 15М,	1,09,
температура 510° С) трубы. Про-
должительность опытов составляла
около 2000 часов; в отдельных слу-
чаях она доходила до 4000 часов.
На рис.
тальные
личения
№ 12, ст. 15М, 6 = 510°С, р =
= 1,086, 2#=75,3 мм, />=141 атм;
В — по верхним наплавкам, Н — по
нижним наплавкам). На рис. 147
нанесены экспериментальные точки
2
5
Рис. 145.
146 приведены эксперимен-
кривые относительного уве-
диаметра трубы (труба
для труб и растягиваемых образцов из ст. 20 при 500° С
для интервала испытаний 1000—1500 часов. На рис. 144
в дополнение к точкам 11ортона нанесены значения -пара-
2Е
метра у/.-? по опытам Ш. Н. Каца.
Из приведенных графиков вытекает, что эксперименталь-
ные значения скорости ползучести несколько превышают тео-
ретические. Среднее отклонение составляет около 8%. Опыты
Ш. Н. Каца подтвердили отсутствие осевой ползучести.
Было также установлено, что временная приостановка испы-
таний с разгрузкой трубы от давления практически не влияет
на скорость ползучести.
Заметим, что аналогичные отклонения опытных данных
для труб от теоретических значений отмечались в ряде
344
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[ГЛ. IX
исследований пластической деформации труб при нормальной
температуре. Экспериментальные точки при этом располага-
лись между кривыми текучести по условиям Мизеса и Треска—
Сен-Венана.
4.	Труба под действием внутреннего давления и осе-
вой силы ((р-^/^-опыты). Подобные опыты несколько
сложнее предыдущих. Соответствующие экспериментальные
данные довольно скудны. Расчет тонкостенных труб, испыты-
вающих внутреннее давление р и осевую нагрузку Р, рас-
смотрен в § 55.
Опыты Бейли [89], осуществленные в 1935 г. над свин-
цовыми трубами при комнатной температуре, свидетельствуют
о незначительных расхождениях экспериментальных и теоре-
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 345
тических значений. На рис. 148 показаны теоретические кри-
вые для скоростей ползучести и £z и нанесены экспери-
ментальные точки.
5.	Совместное действие осевого усилия и скручиваю-
щего момента ((Р-]-М)-опыты). Имеется значительное
число исследований ползучести труб при одновременном дей-
ствии осевого усилия и крутящего момента (при различных
Рис. 148.
отношениях PfM). Из формул (55.10) вытекает, что отно-
шение скорости сдвига т^г к скорости удлинения £г равно
*=3^.	(62.6)
причем r^z~aw, где w — угловая скорость кручения на еди-
ницу длины.
Опыты Бейли [89] относятся к первым исследованиям пол-
зучести при сложном напряженном состоянии. Бейли испыты-
вал трубы (наружный диаметр 2Ь — 13,6 мм, толщина стенки
h — 0,508 мм, рабочая длина / = 203 мм) из углеродистой
стали (при 475° С) и низколегированной стали (при 480° С);
было испытано 11 труб. На рис. 149 нанесены теоретические
прямые (62.6) и соответствующие экспериментальные точки
346
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
для углеродистых (с) и низколегированных (б) труб; согла-
сие с теоретическими значениями хорошее. •
ОпытыДжонсона. В течение ряда лет Джонсон осуще-
ствил большую программу испытаний тонкостенных труб
(наружный диаметр 12,7 мм, толщина стенки 0,51—0,76 мм,
рабочая длина 51 мм) из различных металлов. Испытания
были сравнительно кратковременными (около 150 часов).
Одна из многих кривых ползучести, полученных Джонсоном,
приведена на рис. 9. Скорости ползучести определялись на
конечных участках испытаний.
В первой работе Джонсона [117], выполненной совместно
с Тэпселом, приведены испытания углеродистых труб при
температуре 455° С. Позднее Джонсон провел испытания
труб из низколегированной углеродистой стали при темпера-
турах 350, 450, 550° С ([ш’112], 1949 г.), труб из алюминие-
вого сплава при температурах 150 и 200° С ([114], 1949 г.),
труб из магниевого сплава при 20 и 50° С ([114], 1950 г.)
и труб из хромоникелевого сплава «Нимоник 75» при 550
и 650°С ([п0], 1951 г.). Некоторые итоги этих исследова-
ний обсуждены в статье Джонсона и Фроста [11Б] и статье
Джонсона [112].
Опытные данные характеризуются заметным разбросом
скоростей ползучести. Во всех случаях имеется зависимость
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 347
между интенсивностью скоростей деформации сдвига Н и ин-
тенсивностью касательных напряжений Т, характерная для
данного металла при данной температуре. В качестве иллю-
страции на рис. 150 показано расположение эксперименталь-
ных точек для низкоуглеродистых труб (а) и труб из алюми-
ниевого сплава (б); для труб из других металлов картина
примерно такая же.
Опытные данные свидетельствуют о наличии приближен-
ного подобия тензоров напряжения и скорости деформации.
Рис. 150.
На рис. 151 точками нанесены экспериментальные значения
параметров Лоде — Надаи

2°г — Дд — д3 25а —5t — 53
°1 — аз ’ Е1 — Ез
(62.7)
характеризующих взаимное расположение кругов Мора для
тензора напряжений и тензора скорости деформации. Точки
соответствуют средним значениям, полученным для ряда ис-
пытаний, за исключением точки /, нанесенной по одному
348
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
опыту. Условие подобия р, — v изображается на графике бис-
сектрисой координатного угла. При невысоких напряжениях
экспериментальные значения скоростей ползучести и
согласуются с уравнениями теории течения (55.10). При вы-
соких напряжениях возникают расхождения, связанные, по-
видимому, с большими начальными пластическими деформа-
циями, вызывающими появление заметной деформационной
о Алюминиевый сплав при ZOO ° С
Рис. 151.
анизотропии. Джонсон считает, что в последнем случае не-
обходимы более сложные уравнения и рекомендует [иБ] за-
висимости вида
=	— °j)~ Aik(pk — аД]	(f=l, 2, 3),
(62.8)
где oj — главные напряжения, Ai)t Alk — коэффициенты анизо-
тропии, а <р(/) — характерная для данного металла при дан-
ной температуре функция времени. Для углеродистой стали
при 450° С необходимы лишь три различных коэффициента
анизотропии.
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВ МШЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 349
При низких напряжениях уравнения (62.8) можно замет
нить уравнениями вида
£ = /(Л ?(')(<>»-°)	<7=1. 2, 3),	(62.9)
совпадающими с уравнениями теории течения.
Опыты Мерина, Фопла и Ху [127]. В этих опытах,
относящихся к 1950 г., испытывались трубы (внутренний
диаметр 25,4 мм, толщина стенки 2,54 мм) из алюминие-
вого сплава при комнатной температуре. Продолжительность
опытов составляла около 100 часов. Особенностью этих опы-
тов является большая деформация труб, достигавшая 30 —40 %.
Авторы построили по опытным данным истинные кривые
ползучести (т. е. для истинных деформаций и постоянных
напряжений) и определили истинные скорости ползучести.
Истинные скорости деформации и напряжения хорошо согла-
суются со значениями, получаемыми из уравнений теории
течения.
Опыты Нисихара, Танака и Шима ]134] отлича-
лись кратковременностью (до 500 минут). Трубы (наружный
диаметр 10 мм, толщина стенки 0,5 мм, рабочая длина 50 мм)
были изготовлены из углеродистой стали и испытывались
при температуре 450°С; всего было испытано 10 образцов.
Вследствие высокого уровня напряжений при загрузке образ-
цов наблюдалась мгновенная пластическая деформация. По
опытным данным интенсивность мгновенных пластических
деформаций сдвига равна
jpp__J'/Wj
а интенсивность скоростей деформации сдвига ползучести:
Н° = BTmtk,
где В1, тх, В, т, k — некоторые постоянные.
На рис. 152 показано расположение экспериментальных
точек на логарифмической сетке; точки соответствуют
различным отношениям касательного напряжения т г к осе-
вому напряжению ог.
О п ы т ы И. А. Од и н га и Г. А. Ту л я к о в а ]48]. В работе
даны результаты испытаний труб (наружный диаметр 25 мм,
толщина стенки 1,5 мм, рабочая длина 100 мм) из жаропрочной
350
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[ГЛ. IX
стали 1XI8H9T при температуре 600° С. Продолжительность
опытов доходила до 1500—2000 часов; было испытано
24 образца при различных отношениях т?г/ог.
Рис. 152.
Эксперименты удовлетворительно подтверждают наличие
функциональной зависимости между интенсивностями И и Т.
Соответствующие опытные точки нанесены на рис. 153 в ло-
гарифмической сетке. При рассмотрении графика можно от-
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 351
метить некоторое отслаивание точек чистого растяжения от
точек чистого кручения; последние, как правило, распола-
гаются несколько ниже.
На рис. 154 показаны отклонения экспериментальных
значений отношения от прямой (62.6); по мере прибли-
. 155
И и Т.
На
жения к состоянию чистого кручения отклонения возрастают.
Опыты На Местникова [43]. В этих опытах испы-
таны трубы из аустенитной стали при температурах 500 и
600° С. Продолжительность ис-
пытаний составляла 30—100 ча-
сов. Автор указывает, что между
интенсивностью деформаций пол-
ГС
и интенсивностью
касательных напряжений Т нет
зависимости, справедливой для
различных напряженных состоя-
ний. В статье не приводятся
данные о скоростях деформации.
Однако по имеющимся графикам
можно заключить, что расхож-
дения в значениях интенсивности
скоростей деформации ползуче-
сти Н при одной и той же ин-
тенсивности Т не очень велики.
О разбросе. Несмотря на
односторонние отклонения, на-
блюдавшиеся различными авто-
рами, можно считать, что опыт-
ные данные в общем удовлетво-
рительно подтверждают наличие
зависимости между интенсивност
показана картина распределения отклонений, построенная
Б. В. Зверьковым [16] по данным 209 опытов. Сюда вошли
опыты на кручение труб, кручение и растяжение труб, на
действие внутреннего давления в трубах, позволяющие про-
вести сопоставление с одноосным растяжением (опыты Ив-
рета и Кларка, Нортона, Джонсона, Мерина, Фопла и Ху,
Одинга и Тулякова, Каца). Материалы и температуры в ука-
занных опытах были весьма разнообразны (свинец, алюми-
ниевые сплавы, медь, различные стали).
352
ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ
[гл. IX
На рис. 155 по оси абсцисс отложены отклонения изме-
ренной интенсивности скоростей деформации сдвига Нэкс,
вычисленные по критерию
-7~ — 1 )• Ю0%,
*
где — интенсивность скоростей деформации сдвига в слу-
чае простого растяжения при одной и той же интенсивности
касательных напряжений.
По оси ординат отложены отклонения данной амплитуды
в процентах.
Вследствие выпадения отдельных точек экспериментальные
данные обрабатывались по группам (например, точки, от-
клонения которых лежат в интервалах (—5%-=--[-5%),
(4-5% -=—[- 15%), (—5% —------15%) и т. д.). Вычисляя про,
центное отношение числа точек в данной группе к общему
числу точек, наносим соответствующие площадки на рис. 155.
Заметим, что опытные данные для каждой группы испытаний
имеют большей частью систематические отклонения в ту или
другую сторону. Наибольшими систематическими отклоне-
§ 62] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРУБ 35$
ниями характеризуются опыты при высоких температурах
и опыты над аустенитными сталями.
Картина распределения отклонений на рис. 155 близка
к нормальной кривой распределения случайной величины.
Это позволяет считать, что в общем наблюдаемые отклоне-
ния в значительной мере можно объяснить случайным раз-
бросом. Процессы ползучести при высокой температуре и
в сложных сплавах отличаются рядом особенностей, кото-
рые приводят к тем или иным систематическим отклонениям
в каждом конкретном случае.
6.	Совместное действие внутреннего давления и скру-
чивающего момента ( (р-НИ)-опыты). Опыты Бейли [S9J
проводились на свинцовой трубе (наружный диаметр 82,5 мм,
толщина стенки 3,02 мм) при комнатной температуре. Со-
вместному действию нагрузок р и М были подвергнуты лишь
л	Т<рв 1	„
две трубы для отношения -----— v По этим опытам полу-
чено отношение 7]?г/Ц примерно на 30% больше теорети-
ческого.
Опыты Б. В. Зверькова. Испытания стальных труб
(внутренний диаметр ^23 мм, толщина стенки 2,9—3,5 мм,
материал-ст. 1Х13Н16Б, температура 700°С, продолжитель-
ность испытаний 500—1800 часов, 18 образцов) были недавно
осуществлены Б. В. Зверьковым [16]; экспериментальные данные
сравнивались с теоретическими по параметру | / ——-------.
у rlfZ теор
Экспериментальные точки располагаются в общем несколько
ниже теоретических. Осевая ползучесть в соответствии с тео-
рией отсутствует.
7.	Совместное действие внутреннего давления и изги-
бающего момента. Опыты Б. В. Зверькова. Ползучесть
труб, нагруженных внутренним давлением и изгибающим момен-
том, изучена Б. В. Зверьковым ]17] на трубах из стали 1Х13Н16Б
при температуре 700° С. Длительность испытаний составляла
600—3500 часов, испытано 19 образцов. Экспериментальные
т / *экс
данные сравнивались с теоретическими по параметру | / г-,
^теор
где k — скорость изменения кривизны оси вследствие изгиба.
Опытные точки приближенно согласуются с теорией, но
23 Зак. 1058. Л. М. Качанон
354	йолзучёсть трУь	[гл. IX
в общем располагаются несколько ниже теоретических зна-
чений.
8.	Опыты по сложному нагружению. К эксперименталь-
ному изучению ползучести при сложном нагружении обра-
тились лишь в самое последнее время. Процесс ползучести
при сложном нагружении, как и процесс «обычной» пластиче-
ской деформации, связан с ббльшим или меньшим развитием
деформационной анизотропии и, следовательно, зависит от пути
нагружения. Имеющиеся опытные данные недостаточны для
надежного построения механической теории, описывающей
ползучесть при разнообразных путях нагружения. Поэтому
кратко остановимся лишь на основных результатах экспе-
риментальных исследований.
Опыты Наместникова [44[. В этих опытах испыты-
вались трубы из аустенитной стали ЭИ-257 при температу-
рах 500 и 600° С. Продолжительность опытов составляла
100 часов. Был принят следующий способ нагружения:
в течение каждого опыта интенсивность касательных напря-
жений Т поддерживалась постоянной; в интервале времени
0—50 часов действовала одна система нагрузок
в интервале же 50—100 часов действовала другая система
Р24-7Й2. Опыты показали, что при постоянном значении
интенсивности Т первоначальное растяжение (или кручение)
не влияет на последующее кручение (или растяжение). Таким
образом, упрочнение имеет «направленный» характер. Эффект
упрочнения при смене нагрузок заметен лишь при незна-
чительном изменении вида напряженного состояния.
Сопоставление опытных данных с теоретическими свиде-
тельствует о неудовлетворительности теории упрочнения
в обычной формулировке (см. § 13). Заметим, что теория
течения также не подтверждается.
Опыты Джонсона, Гендерсона, Метура [п6]
являются развитием предыдущих исследований Джонсона.
В этих опытах испытывались трубки из низкоуглеродистой
стали (при 450° С), из алюминиевого сплава (при 150 и 200° С),
из магниевого сплава (при 20 и 50° С). Нагружение осуще-
ствлялось следующим образом; в течение каждого опыта
осевое усилие Р сохранялось постоянным, скручиваю-
щий же момент М получал приращение через опреде-
ленные промежутки времени (167 часов). Число таких сту-
пеней доходило в некоторых опытах до восьми. Скорости
§ 63]
ОБ ОЦЕНКЕ ПРОЧНОСТИ ТРУБ
355
деформации вычислялись по кривым ползучести на каждой
ступени примерно через 150 часов после догрузки. Таким
образом, интенсивность касательных напряжений возрастала
от ступени к ступени.
Экспериментальные данные сравнивались с теоретическими
по величинам суммарных деформаций ползучести. Было рас-
смотрено несколько типов уравнений ползучести. Отметим
здесь лишь следующие выводы.
Уравнения теории течения приводят к значениям дефор-
маций ползучести меньшим, чем экспериментальные значения.
Уравнения теории упрочнения, наоборот, приводят к зна-
чениям деформаций ползучести, превышающим опытные
данные.
При использовании упомянутых теорий погрешность мо-
жет иногда достигать 100% и более.
§ 63. Об оценке прочности труб
В «Нормах расчета элементов паровых котлов на проч-
ность» [47] приведены простые формулы для оценки проч-
ности труб в условиях ползучести. Эти формулы, основан-
ные на имеющихся теоретических и экспериментальных дан-
ных, представляют интерес и для других отраслей машино-
строения.
1.	Основные формулы. Исходя из формул (62.1) для
средних напряжений в трубе, получаем интенсивность каса-
тельных напряжений
т=—==£-------/р24-в+1.
2/3(р—1)	1	1
Для не слишком толстостенных труб ф < 2) приближенно
имеем:
г ТР Р
₽ —1 4 ‘
(63.1)
Сравнивая интенсивность касательных напряжений в трубе
с допустимой интенсивностью касательных напряжений при
растяжении Т = —, находим:
° доп  _ 1 р + 1
р — 2,3 р — 1 ’
, 2ар
или h = -5-5— -----,
2-3°доп-Р
(63.2)
где адоп — допускаемое напряжение при растяжении.
23*
356	ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРУБ	[гл. IX
I
Замечание. Если вместо интенсивности касательных
напряжений Т исходить из близкой ей величины максималь-
ного касательного напряжения
тшах "2 (°?	’
то нетрудно вывести формулы:
° доп  1 ₽ +1	,	2ао
р — 2 ₽ —1 ’ ИЛИ h— 2адоп-р •	(63-3>
I
2.	Допускаемое напряжение. За допускаемое напряже-
ние принимают либо
сп
; <63-4)
где ап — напряжение, соответствующее заданной допустимой
деформации ползучести за время службы трубы, иногда
условно называемое пределом ползучести, a —запас
прочности, либо
Од
°доп ——,	(63.5)
где ад — напряжение, вызывающее разрушение через задан-
ный промежуток времени, иногда называемое пределом дли-
1 тельной прочности, а —запас прочности.
Расхождение между расчетной формулой (63.2) и экспери-
ментальными данными по ползучести составляет около 8%
(см. § 62); это расхождение компенсируется соответствую-
щим увеличением запаса прочности nt.
Опытные данные по длительной прочности труб [18> 21[
лучше согласуются с формулой (63.3), основанной на исполь-
зовании критерия тгаах.
В упомянутых «Нормах» оставлена одна формула (63.2),
расхождение же с экспериментальными данными, составляю-
щее около 15%, компенсируется соответствующим выбором
запаса прочности п2.
аИ
6900
SiOll
ulaeei
dfffl!
Ьии
Mjiec
Queers
ГЛАВА X
ПОЛЗУЧЕСТЬ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПЛАСТИН
И БЕЗМОМЕНТНЫХ ОБОЛОЧЕК
В этой главе рассматриваются некоторые осесимметрич-
ные задачи о ползучести пластин и безмоментных оболочек.
В конце главы излагается приближенный анализ ползучести
полукольцевой пластины. Эта задача, не являющаяся осесим-
метричной, имеет важное прикладное значение, так как к ней
приводится расчет ползучести турбинной диафрагмы.
§ 64. Дифференциальное уравнение скорости
прогиба пластины
1. Основные положения. Рассмотрим задачу об устано-
вившейся ползучести круглой пластины (рис. 156), изгибае-
мой осесимметричной нагрузкой. Основные допущения теории
^згиба упругих пластин справедливы и при пластическом
[сформировании. Для пластин средней толщины имеем:
358
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. X
1.	Срединная плоскость пластины не удлиняется; ее точки
получают лишь вертикальные смещения.
2.	Прогибы малы по сравнению с толщиной пластины 2/г.
3.	Линейные элементы, перпендикулярные до деформации
к срединной плоскости, после деформации переходят в ли-
нейные элементы, перпендикулярные к срединной поверх-
ности.
Приведенные допущения, как показал В. В. Ново-
жилов [46], имеют геометрический характер и не связаны со
свойствами материала.
Согласно принятым допущениям компоненты скорости
деформации равны
h	d^w н z dw
^ = -z~d^’ ^ = ~77iF’
(64.1)
где w = w(r)—скорость прогиба, а г, <р, z—цилиндрические
координаты.
Вследствие несжимаемости имеем £г =— (5r~Mq>)- Компо-
ненты £ £г являются главными скоростями деформации.
2. Усилия и моменты. Интенсивность скоростей дефор-
мации сдвига равна
и о I \*Г ( d^wV2 . 1 dw dr’w . 1 I dw\" o. . ,
(64.2)
где через k обозначено положительное значение выписан-
ного корня. Обратимся теперь к закону установившейся
ползучести (20.2). Так как
За — аг а(р + °г ~ аг + °<f
то при степенной зависимости имеем:
аг = — 2SH'1'1 (2
(64.3)
cPw .1 dw \
~dr^^~7 ~dr]
2 dw
r dr
^ = —2ВН^1
В сечениях г == const, <p = const на единицу длины сре-
динной линии действуют изгибающие моменты Мг, Л4?
(рис. 156) и поперечное усилие Qr:
§ 64] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СКОРОСТИ ПРОГИБА 359
Внося сюда компоненты напряжения аг, clf и выполняя
интегрирование по толщине пластины (от —h до /г), полу-
чаем;
т	\ dr2 ' 2r dr /
7И — —	— 4-1— "I
игг dr2 -j- г dr )’
hie введена жесткость пластины
D= 2^7 (2/г)3+И-	(64.6)
Теперь компоненты напряжения можно представить
з следующем виде:
ar = DMrz^, ^ = ОМ^ (z 7-0),	(64.7)
фичем в область отрицательных значений z напряжения
фодолжаются нечетным образом, а жесткость равна
5=z(l	(64.8)
\ /
3. Дифференциальное уравнение скорости прогиба
| лас тины. Изгибающие моменты Мг, удовлетворяют
равнению равновесия (см., например, ]73])
1	А^(/.Мг)_ М?]+рг=0,	(64.9)
де р — давление, распределенное по поверхности пластины.
Перерезывающее усилие равно
! (64-iq)
Внося в (64.9) моменты Мг, 7Иф, получаем дифферен-
ральное уравнение четвертого порядка для скорости про-
тба пластины:
I J d Глаи-1-/' d”w I_1
г (dr L \ dr2 2r dr Л
— OF-1 (1-^-4-1^1—pr = 0. (64.11)
\ 2 dr2 ' r dr /J	4
360
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
{гл. к
Граничные условия в простейших случаях имеют вид:
жестко заделанный
опертый край
свободный край
„	_ dw „
край щ> = 0, — = 0;
w = 0, Д4г = 0;
7Иг = 0, Qr = 0.
(64.12)
Решение нелинейного дифференциального уравне-
ния (64.11) при тех или иных граничных условиях может
быть осуществлено трудоемкими численными методами.
В соответствующей задаче теории упруго-пластических
деформаций (при степенном упрочнении) метод численного
решения указан В. В. Соколовским (|71], § 80). Этот метод
непосредственно переносится на случай ползучести. Предло-
жены также различные приемы построения приближенного
решения. В методе, недавно развитом Ходжем и Венка-
траманом [1Ь4], используются упрощенные уравнения ползу-
чести, сформулированные на основе критерия максимального
касательного напряжения (см. § 14). При этом пластина
разбивается на ряд кольцевых областей, в каждой из которых
дифференциальное уравнение интегрируется. Границы коль-
цевых областей определяются из условий непрерывности,
что приводит к необходимости решения некоторых транс-
цендентных уравнений. Этим методом Ходж и Венкатраман
изучили ползучесть сплошной свободно опертой пластины
и сплошной пластины с зажатым краем при действии равно-
мерной нагрузки.
Н.	Н. Малининым [39] в ряде случаев был применен метод
Галеркина. Другие приближенные приемы основаны на ис-
пользовании метода последовательных приближений и энерге-
тических уравнений. Заметим, что в рассматриваемой задаче
метод Ритца и метод Галеркина в сущности эквивалентны.
§ 66. Вариационное уравнение скорости прогиба
пластины. Примеры
1.	Вариационное уравнение. Применим в задаче об
установившейся ползучести изгибаемой пластины принцип
минимума полной мощности (21.6). Внося в L значения Н
§ 651
ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ СКОРОСТИ ПРОГИБА
361
из (64.2) и выполняя интегрирование по z, получаем:
ь
S Г T^r k' ^rdr — 3^ = 0,
J НН
а
(65.1)
где вариация мощности заданных внешних сил равна:
ь
8^=2к / р (г) 8w г dr~\~ 2к [rQr 8w]*—2кГгЛ4г8 -^1 ,
J	L	jo
а
(65.2)
где Qr, Мг — поперечная сила и изгибающий момент на
краях пластины; скобки [...]& означают, что из значений
величин при г = Ь надо вычесть соответствующие значения
при г~а. В рассмотренных выше простых случаях гранич-
ных условий обе скобки равны нулю.
Мы рассмотрели случай распределенной нагрузки; если
пластина изгибается сосредоточенной силой Р, приложенной
в центре пластины, то

(65.3)
Где 8®0 — вариация скорости прогиба в центре пластины.
2.	Метод Ритца. Вариационное уравнение (65.1) можно
решать прямыми методами. Полагая, например,
W = C1W1+c2W2+ ....
где а»1, гу2, ...—подходящие функции, удовлетворяющие
однородным геометрическим граничным условиям (см. (64.12)),
3 с1г сг, ... —произвольные постоянные, разыскиваем послед-
ние из условия минимума полной мощности. Так как функ-
ционал неквадратичный, то прямое использование метода Ритца
Ц сколько-нибудь полной форме связано с вычислительными
трудностями. Удобен модифицированный метод Ритца, изло-
женный в § 24, п. 10. В данной вариационной задаче усло-
вия равновесия на контуре (Мг—0 для опертого края
а т. д.) являются естественными условиями. Им можно зара-
нее не удовлетворять, они будут выполнены в силу самого
рриационного уравнения. Следует, однако, заметить, что
362
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[гл. X
при приближенном решении вариационного уравнения (65.1),
когда ограничиваются несколькими слагаемыми по Ритцу,
полезно для увеличения точности решения удовлетворить
заранее и естественным граничным условиям. Это нетрудно
сделать, так как нам известно, как выражаются усилие Qr
и моменты Мг, через скорость прогиба w.
Если ограничиться приближением, содержащим лишь один
параметр сг, то задача имеет простое решение. В самом
деле, пусть мы подобрали подходящую функцию таЦг),
удовлетворяющую поставленным нулевым граничным усло-
виям; тогда cYwt также будет удовлетворять граничным
условиям. Согласно вариационному уравнению (65.1) необ-
ходимо найти минимум функции
A (L) 4+li— А (^) сг = min,
где A(L), Л(„§5’)—постоянные, вычисляемые в каждой задаче
по функции но тогда
г — Г г
L (1 + и) A(L) J
(65.4)
Обычно за принимают поверхность прогиба в соот-
ветствующей задаче теории упругости. Целесообразно зара-
нее удовлетворить статическим условиям на контуре. На-
пряжения выражаются через производные функции и
определяются поэтому с значительной погрешностью.
3.	Примеры. Рассмотрим несколько простых задач для
сплошной пластины (о —0), заделанной или опертой по краю
г — Ь. Введем безразмерную координату р = rjb и обозначим
интеграл в первом слагаемом уравнения (65.1) через L; не-
трудно видеть, что при О = const имеем:
«	1+r-
~ Ir.D 1	/ Г/ (f®\! । 1 dw d~w , /1 dw^i 2
pdp'
0
1
J? = 2гй2 J* p (p) w (p) p dp.
о
(65.5)
§ 65] ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ СКОРОСТИ ПРОГИБА
363
1.	Опертая пластина под
мерного давления. Здесь
действием равно-
при р = 1 но = 0, Л4г = 0.
Второе (естественное) условие может быть записано
в виде:
, d^w . 1 dw	„
прир=1 ———- = 0.
г	rfp2 1 2р др
Кроме того, очевидно, что
при р = О
dw
~dp
Этим условиям удовлетворяет полином
— 11р2+Ар4),	(65.6)
являющийся решением упругой задачи.
Внося это значение w в уравнение (65.1), находим:
с — п//г ( 5РЬ' \т
С1 ~ 12 /13 \ 12 /13 DSi / ’
где положено
о
9	28
,2—13
1+р
49 \ а ,
39) Jp‘
' Значения Sj даны на рис. 157. Скорость прогиба в центре
пластины равна w0 = c1.
При т = 3
да0 = 1,7-10~V(^-)3.
Для этого случая в книге В. В. Соколовского ([71], § 80)
фиведены результаты численного интегрирования; согласно
кому решению
I	= 1,74 •
2.	Заделанная пластина под действием
Равномерного давления. Здесь мы имеем жесткие
364
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[гл. х
граничные условия:
при Р—1 но — 0, — — О
dr
Разыскивая скорость прогиба в форме
«/ = с2(1 — р2)2,	(65.7)
находим:
с —	( рЬ* \т
2	4/13 112/13 £>S2J ’
где положено
W^-ip+^F^
о
Скорость прогиба в центре равна
w0 = w (0) = с2.
Кривая S2 = 52(p) показана на рис. 157.
V
ЭЙ
Й1в
И 2
а Н.
«Ц"
|№1
лип
от ш
л (22,1
петри
Это
Ж
ржебреп
. «й [
1
r=J
* ВДгрир
3.	Опертая пластина под действием сосре-
доточенной силы. Принимая за поверхность про-
гиба в соответствующей упругой задаче и выполняя вы-
1
§ 66] МИНИМУМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ ПЛАСТИНЫ 365
числения, находим, что скорость прогиба в центре равна
где положено
(65.8)
7 до
Кривая S3 = S3(p.) показана на рис. 157. Формула (65.8)
получена Н. Н. Малининым.
В заключение заметим, что нетрудно рассмотреть другие
нагрузки, а также ползучесть пластин с отверстием. Не-
которые случаи изучены в упомянутой статье Н. Н. Мали-
нина I39].
§ 66. Приближенное разыскание минимума
дополнительного рассеяния пластины. Примеры
1. Вариационное уравнение. Минимальные свойства на-
пряженного состояния тела характеризуются вариационным
уравнением (22.6)
оА = 0,
причем конкурируют статически возможные напряженные
состояния. Это уравнение нетрудно использовать в задаче
изгиба пластин. Так как здесь работой напряжений аг, тг2
можно пренебрегать, а 0, то интенсивность касатель-
ных напряжений равна
Т — —— У а2 -4- о2 — а а .
у 2 г Г I <Р Г f
Внося сюда напряжения (64.7), получаем:
т=—V м2г — MrMv + м2.
1/ з
(66.1)
После интегрирования по z уравнение (22.6) принимает
вид
6	т+1
f &(Mr — MrMv-pM2) 2 г dr = min, (66.2)
а
66
ползучесть пластин и оболочек
[гл. х
где введено обозначение
Д =
т -|- 1
1
I РА™ , -1-зт
"Г 2} '
Изгибающие моменты, входящие в уравнение (66.2),
должны удовлетворять дифференциальному уравнению равно-
весия (64.9) и условиям равновесия на контуре пластины.
2. Метод Ритца. Из уравнения равновесия находим:
И
njK
J
М-
ъ
(гЛ1г)~ J Pr dr-\-bQr(b),
Г
(66.3)
где Qr(b) — перерезывающее усилие на контуре г — Ь. За-
давая Мг в функции некоторого числа произвольных пара-
метров и внося Мг, Му в уравнение (66.2), разыскиваем эти
произвольные параметры из условия минимума. Функционал
в уравнении (66.2) неквадратичный, и можно говорить лишь
о более или менее удачном использовании метода Ритца
в простейшей его форме, или о применении модифициро-
ванного метода Ритца (§ 24, п. 10).
3. Пример: изгиб круглой пластины сосредоточенной
силой. Рассмотрим задачу об изгибе круглой пластины
постоянной толщины сосредоточенной силой Р, приложен-
ной в центре. Уравнение (66.2) в этой задаче имеет вид:
s т«
5 и
Ци
т+1
(Мг~МгМу-^Му) 2 р dp = min
о
(р = у). (66.4)
Пусть на контуре р = 1 пластина оперта, тогда Мг — 0
р
при р=1, a Qr^)~2^’ так как Р —6. то из выраже-
ния (66.3) получаем:
Мг — 7Иф + р
dMr
dp ~~~
Р_
2к ‘
-
.=
=
Полагая, что при р->0 разность 7ИГ — Л4ф стремится
Р
к пределу где с — некоторое число, находим:
£<>+')•
(66.5)
Н z-t
§ 66] МИНИМУМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ ПЛАСТИНЫ 367
Отсюда вытекает, что Мг имеет при р = 0 логарифми-
ческую особенность, поэтому
= —-^(l-|~c)(lnp + a0+«ip+ ...),
где а0, йр «2, . .. — коэффициенты разложения. Теперь из
уравнения равновесия находим:
А1, = -^(1 + с)(1пр + т^7+«0 + 2Д1р+ ...
Коэффициенты с, а0, av ... произвольны; их необходимо
подчинить заданному статическому условию на контуре
пластины. Тогда моменты Мг, будут статически воз-
можными, и упомянутые коэффициенты определятся из усло-
вия (66.4) минимума дополнительной мощности пластины.
Найдя коэффициенты с, а0, аг, .... вычисляем скорость
прогиба w0 под силой по обобщенной теореме Кастильяно:
да	л Г	то+1
W° =	=	~&Р J	2 Р rfP- (бб-б)
о
В случае опертой пластины при р = 1 Мг = 0, т. е.
ао Ч- °1 4“ а2 Ч~ ••=о.
В качестве простейшего приближения примем, что коэф-
фициенты
а0 = а1 = а2 = ... =0.
Тогда
Mr = —^(IH-c)lnp, ]
}	(66.7)
М — М_______—с
Параметр с определяется из условия минимума:
Im (с) == J ](1	с)2 In2 р + (1 + с) с In р с2] 2 р dp = min.
о
Если т=\, то легко видеть, что с = — 0,25; при этом
формулы (66.7) дак?т точное решение задачи об изгибе
368	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК	[гл. X
упругой пластины при коэффициенте Пуассона, равном
половине.
При т = 3, 5, 7, 9,... необходимо найти минимум
алгебраической формы /те(с) соответственно степени 4, 6,
8, 10, ... относительно параметра с. Коэффициентами алге-
браической формы являются табличные интегралы. Таким
образом, параметр с находится из алгебраического уравне-
(с) л
ния —д - -  = 0 степени т.
дс
При т — 3 имеем задачу о минимуме формы четвертой степени:
Зс4 7сз + 12с2 _|_ 9с _|_ з = min.
Следовательно,
4с3 + 7сЗ-[-8сф-3 = 0.
Нетрудно найти, что с — — 0,563.
При т = 5
150с5 ф- 720с4 + 1560с3 ф- 1719с3 ф- 972с ф- 225 = 0,
откуда находим с — — 0,690.
При т = 7
1168с7 ф- 8659с6 ф- 27 960с5 ф- 50 595с4 ф- 55 428с3 ф- 36 765сЗ ф-
ф- 13 680с ф- 2205 = 0,
откуда находим с = — 0,758.
Для найденных значений с вычисляем величины 1т(с).
Скорость прогиба под силой согласно выражению (66.6)
равна
(р \ т
£) iM.
Значения 1т(с) показаны на рис. 157 пунктиром.
4.	Приближенное решение с множителем К(т). Рас-
смотрим приближенное решение задачи минимума дополни-
тельного рассеяния (66.2) по общей схеме с множителем К(т),
изложенной в § 24. Эта схема, являющаяся, по существу,
вариантом метода Ритца, приводит к более надежным резуль-
татам, так как уравнения равновесия удовлетворяются точно,
а скорости определяются интегрированием.
Обозначим через- 7И', TH', Q' значения изгибающих
моментов и перерезывающей силы для соответствующей

g границ
.ж, во.
Фнии,
i®dl„
'МИИ,
ifniwjw
«паи
>К*)»ногруб
ЗД и
WH
скоро
§ 661 МИНИМУМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ ПЛАСТИНЫ 369
упругой задачи, а через М°, Л4^, Q°r— значения тех же
величин для идеально ползучей пластины. Будем разыскивать
решение задачи минимума в форме
мг = М° + К (от) (X — м°),
-I- К (tri) (X — ти£).
(66.8)
Очевидно, что изгибающие моменты 7ИГ, удовле-
творяют дифференциальному уравнению равновесия и ста-
тическим граничным условиям при любом значении множи-
теля /("(/ге). Последний определяется из условия минимума Л,
т. е.
Внося значения (66.8) в интеграл (66.2) и выполняя диф-
ференцирование, получаем уравнение для нахождения множи-
теля Д'(/те):
1	т-1
Рт(Ю=/	+
а
Х[(2МГ—М9)(Х—Ж”) + (2Л4Ф —МГ)(7И'—M®)]pdp = О,
(66.9)
где а. = а]Ь. Напомним, что для т — 1 имеем К= 1, так как
при этом значения Л4Г, М? являются точным решением урав-
нения (66.2).
Способы вычисления К (т) остаются прежними (§ 24). Наи-
более удобен, по-видимому, следующий прием. Пусть а фикси-
ровано. Задаем несколько целых значений т, скажем т — 3; 5;
7; 9, и для каждого из них три-четыре значения К (т). Ожидаемые
величины К (т) можно грубо оценить отношением ~. Истинные
значения К (3), К (5), ... находим графически (см. рис. 62), после
чего строим кривую К(т).
5.	Определение скорости прогиба. После нахождения
изгибающих моментов Мг, скорость прогиба w (г) опре-
деляется по зависимостям (64.5); из них нетрудно получить
24 Зак. 1058. Л. М. Качанов
370
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
1гл. X
соотношение
М2 — МГМ^ + М2 = | D2^.	(66.10)
С помощью этого соотношения исключаем из выражений
(64.5) параметр кривизны k. Исключая далее находим
дифференциальное уравнение
^- =------—	X
ar V 3 \ у3 /	4	г 1 ф/ z\
Х(2А1? —Mr)r. (66.11)
Полагая, что внешний край пластины оперт или заделан
(т. е. при r — b W — G), получаем:
т
Р
X(2MV — AIr)pdp. (66.12)
6.	Пример. Опертая пластина постоянной толщины под
действием равномерного давления. В этом случае упругое
решение имеет вид:
=	—Р2). Х =	— уР2)- (66.13)
Решение для состояния идеальной ползучести соответствует
предельному состоянию пластины при условии Мизеса. Это
<0 = ~f=
/3 \у<з
Рис. 158.
решение, однако, неудобно для использования, и мы будем
исходить из решения на основе условия текучести Треска—
§ 66] МИНИМУМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ ПЛАСТИНЫ 371
Сен-Венана (см., например, [27], § 58), близкого к условию
Мизеса. Выражая, как всегда, предел текучести через на-
грузку, получаем:
/И° = 1р£2(1 _ p2)t M° = -lp62.	(66.14)
Изгибающие моменты в «упругом» и предельном состоя-
ниях показаны на рис. 158.
Согласно выражениям (66.8) приближенное решение ищем
в форме
мг=|	[1+(щ)] (1 - р2).
| р& [ 1+4 к м (1 - зр2)] .
(66.15)
Множитель определяется из уравнения
Рт(Ю =
= f (1 + ^Р2 + ^Р4)-^ (1 + GP2 + с2р4) Р dp = 0, (66.16)
о
где введены обозначения:
Ь1 = — 1— С,
^ = -|(5 + 4.
&>=!— С + С2,
с2 = 1(5С— 1),
К(/п) =
16 t
5 3 —Г
Найдя из уравнения (66.16) величину С, определяем со-
гласно выражению (66.12) скорость прогиба в центре пла-
стины:
w0 = w*J(/n),	(66.17)
где положено
1	т—1
J (ГН) = f (1 + £1Р2 + £#)“ (1 + С3р2) р dp,
О
62 f pb" \т	. оГ
w, =	- - <-------] , е3 = 1 — 2С
/3 \ /3 (3 — О D
24*
372	ползучесть пластин й оболочек	[гл. X
Для т — 3, т = 5, т = 1 уравнение (66.16) имеет соответст-
венно вид:
А (/О = 4г (15£3 - 49С2 -j- 54 С - 14) = 0;
OU
РБ = ТЕ80(2ЖБ “1234-4 +2679’3 ~ 2943’3 +1617:—249> = 0;
А (/О =	(1 085С7 — 8 035^6 + 25 665™ — 45 899^ _|_ 49 723СЗ _
— 32 655С2 + 11 882Е — 1 276) = 0.
Отсюда находим *), что при:
т = 3
т = 5
т 7
С = 0,369, К(3) = 0,45;
С = 0,236, К (5) = 0,273;
С = 0,168, /((7) = 0,19.
Заметим, что при т = 1 имеем
С = -| и 7<(1) = 1.
art
№.
М «<1“
•икр
у (Ptyj
>4®
звиЧ
Ф
ал®
!^ИИф|
 яМ f
ж
Рис. 159.
  {
Для найденных значений С вычисляем J(т):
/(1) = 0,393, /(3) = 0,317, J (5) = 0,270, 7(7) =0,234.
Графики К (tn} и J (т) показаны на рис. 159.
———	'^кщ,ио|
*) Искомый корень легко определяется подбором, графически %
или одним из численных методов, например методом Ньютона.
§ 67|
НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ СКОРОСТИ ПРОГИБА
373
При т — 3
w0= 1,93-10
что несколько превышает значения, приведенные в § 65.
§ 67. Неравенство для скорости прогиба
под сосредоточенной нагрузкой
1. Вывод неравенства. Для установившейся скорости
прогиба под сосредоточенной нагрузкой можно указать дву-
стороннюю оценку, аналогичную соответствующей оценке
Вебера [159] в теории упругости.
Пусть на некоторое тело (подчеркнем, что доказываемое
неравенство относится к телам любой формы) действует со-
средоточенная нагрузка Р. Согласно принципу минимума
полной мощности системы (§ 21) имеем:
L* = L— Pw0 = min,
(67.1)
где w0 — скорость в направлении действия нагрузки в точке
приложения последней. Но по теореме энергии (23.3)
— (и. Д- 1) L,
следовательно,
Д* =-----г- Р -w0 — min.
т + 1 и
Если w0 — истинная скорость, то
, * _ Г *	_
L —Lmin—
Для всякого приближенного решения (отмечаем его индек-
сом 1) имеем:
z*_	/^'сч Р
L^— w+l
где w01 — приближенное значение скорости под силой; таким
образом,	Заметим, что при приближенном решении
мы получаем:

(67.2)
374
ползучесть пластин й оболочек	[гл. х
где > 0 — некоторый приближенный коэффициент; следо-
вательно,
а,
W0
рт
(67.3)
Рассмотрим теперь минимальные свойства напряженного
состояния. Здесь (см. § 22)
А* == А — Рчв0 — min,
где — истинная скорость; так как Л = Р'й'о — L, то
Л* =------ P'Wq = min.
т ф 1	0
Если Р — истинная нагрузка, соответствующая скорости w0,
то
* *	л *	/и п
А — Л1П;Ц — —
Для всякого приближенного решения имеем:
I	Л* — т j Pfli)0	Amin,
где Pt— приближенное значение нагрузки, отвечающей ско-
рости w0. Но тогда Рг^Р; так как при этом решение за-
дачи имеет вид:
Pi = W,	(67.4)
где р! > 0 — некоторый приближенный коэффициент, то
I	W„ . _1_
!	Рт ’
1 Итак, мы получили двустороннюю оценку 2

ijwur1
!ф(и
вдев1
terne к
, ф! ।
Лии
шйиар
зврвд j
фми/1,
EWfflOj
tW/jSeoi
'Шйирю
•W сяк
••
4|M non
2. Пример: изгиб опертой круглой пластины. Рассмо-
рим в качестве примера изгиб опертой круглой пластины
илой Р, приложенной в центре. Согласно приближенным
§ 68] ПОЛЗУЧЕСТЬ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН. РАСЧЕТ ФЛАНЦЕВ 375
решениям, найденным в §§ 65 и 66, имеем:
7	/	7 \т
= 12" (’48тг DS3) ’
(67.6)
(67.7)
1
Внося эти значения в
вая его. получаем:
т -|- 1
(2к)га
&2Д7т(с).
неравенство (67.5) и преобразовы-
0,505 / 0,1263 Х41 ,	(2п)т
/т(с)\ S3 ) < Рп (ш+1)Д^/т(с) < Ь
Эту оценку можно, конечно, улучшить более удачным
выбором приближений.
§ 68. Приближенное решение задачи о ползучести
кольцевых пластин. Расчет фланцев 1 *
1. Основные положения. Рассмотрим изгиб кольцевой
пластины, опертой по внешнему (или внутреннему) контуру
и свободной по внутреннему (внешнему) контуру (рис. 160).
Пластина изгибается распре-
деленной нагрузкой (напри-
мер, равномерным давле-
нием р) и усилиями Р, рас-
пределенными по одной или
по нескольким окружностям.
Если отношение °/6 не очень
/	о vl \
мало (например, у > у Ь
то при достаточно простых
нагрузках можно считать,
что поперечное сечение
Рис. 160.
кольца не деформируется, а испытывает жесткий поворот на
опоре (рис. 160). Напряжением аг, обращающимся в нуль
при г —а и г = Ь, можно пренебречь. Таким образом, мы
приходим к задаче о скручивании кольца моментами, распре-
деленными по его осевой линии. Напряженное состоя-
ние кольца одноосно (имеется только составляющая cQ,
376
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. X
вследствие чего решение упругой задачи (см. С. П. Тимо-
шенко [Г4]) легко обобщается на случай ползучести. Н. Н. Ма-
линин [40] подробно рассмотрел этот вопрос, исходя из урав-
нений Н. М. Беляева. Остановимся кратко на решении той же
задачи по теории течения.
При кручении кольца напряжения ао уравновешиваются
изгибающим моментом 7И, который нетрудно вычислить, рас-
сматривая равновесие половины кольца. Так, при действии
равномерного давления р и распределенного по внутреннему
контуру усилия Р (рис. 160) будем иметь:
М = Ра (Ь — а) + Д- р ф3 + а3 — 3a2f>).
2.	Начальное упругое состояние. Относительное
нение волокна, характеризуемого координатами г, г,
0z
(68.1)
удли-
равно
(68.2)
где 0 — угол упругого поворота при t — О. По закону Гука
находим напряжение (ниже вместо ав пишем с)
о = ^-.	(68.3)
Согласно условию равновесия получаем:
n 12М
о =-------Г-
Eh* In -
а
3.	Состояние установившейся ползучести. Скорость
относительного удлинения £ того же волокна равна
£ =	(68.4)
где <о — угловая скорость поворота сечения.
По закону ползучести напряжение равно
g = 5lt))E-lz|1X 1г.	(68.5)
Величина со определяется по условию равновесия
h ъ
£ £ az dr dz — М.	(68.6)
-Л а
§ 68] ПОЛЗУЧЕСТЬ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН. РАСЧЕТ ФЛАНЦЕВ 377
Внося сюда а, находим:
(68.7)
где
, ZB^+v-
(2 + ^(1-ц)

Скорость прогиба на внутреннем контуре равна
w(a') = (t> — а) и.
(68.8)
^Максимальное напряжение будет при г = а и |г| = Л:
° шах
4.	Неустановившаяся ползучесть. Следуя общему методу
(§ 34), при постоянном моменте М полагаем
о = с' т (f) (о" — а'),
где а' надлежит брать по формуле (68.3), а с" — по фор-
муле (68.5). В случае линейного приближения
т=1—е-**,	—
2П_	1 4
причем	п ъ
Q(0) =— 4л J1 J* с'” (а" — (j')rdrdz,
О а
h Ь
2П_ = ~ у у (а" — о')2 rdr dz.
О а
Интегралы легко вычисляются, но мы на этом не оста-
навливаемся.
б. Кольца сложного профиля. Изложенная выше схема
пригодна для расчета не только кольцевых пластин, но и
скручиваемых колец более сложного профиля. Это позволяет
рассматривать ползучесть различных фланцев, кольцевых
крышек и т. д. Согласно условиям равновесия имеем:

(68.9)
/ f -lZ^~frdZ = м’	(68.10)
378
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[гл. х
где интегрирование распространено на площадь поперечного
сечения. Первому условию можно удовлетворить надлежа-
щим выбором положения плоскости
Рис. 161.
z-О; тогда второе условие опре-
деляет угловую скорость w.
6. Расчет фланцевых соедине-
ний. На основе приведенного при-
ближенного решения можно рассчи-
тать ползучесть простых фланцевых
соединений. Рассмотрим, например,
релаксацию напряжений в свобод-
ных фланцах (рис. 161). Обозначим
через п число стягивающих болтов,
через I и F— соответственно рабо-
чую длину болта и площадь его
сечения, через — напряжение в се-
чении болта. Во фланцах имеется
кольцевое напряжение а. После за-
тяжки болтов напряжения в системе будут релаксировать.
Истинное напряженное состояние сообщает минимум допол-
нительному рассеянию системы:
h Ъ
? = 8’' ^]rdrdz+
О а
(2 \
Вц т,\-1 . д °i \
--iгс1 4~'ДТ I = ППП,
Шу ф- 1	1 dt 2ЕХ /
где характеристики Е, т, (/) относятся к металлу флан-
цев, а характеристики Ег, т1, Bn(t)— к металлу болтов.
Пусть упругие напряжения в начальный момент времени равны
I	Ч=о = °0’ с11г=о = сю-	(68.11)
Согласно общему методу (§ 35) ищем приближенное
Решение задачи минимума Л в форме
О = О0р (/), Oj = с10р (t).
Принимая для простоты В11(/)=;с51(/)_(с — постоянная),
[аходим:
!	=	Ч-Д3р'«->),	(68.12)
§ 69]
ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕЗМОМЕНТНОЙ ОБОЛОЧКИ
379
где введены обозначения:
h Ъ
= J* a^rdrdz, А3 = cnlFai^1,
О а
h Ъ
. Г Г 3 . .	. nlF а
А2 = ~ J J <jQrdrdz, Л4 = —о]0.
О а
Напомним, что
t
Qt(0 = f (О dt.
о
В уравнении (68.12) переменные разделяются. Начальное
условие имеет вид:
при Sj = 0 р=1.	(68.13)
§ 69. Ползучесть осесимметричной безмоментной
оболочки
1. Напряжения и скорости
осесимметричной безмоментной
уравнений равновесия незави-
симо от механических свойств
материала оболочки. Приведем
известные формулы:
деформации. Напряжения
оболочке определяются из
Р
~R[
Ai~rh a4 sin a = P,
(69.1)
(69.2)
по ме-
Рис. 162.
меридиональной кривой);
где Cj, а2— напряжения
ридиональным и круговым нор-
мальным сечениям (рис. 162);
Rlf Rz — главные радиусы
кривизны (А\ — радиус кривизны
радиус r = /?2sina; 27г — толщина оболочки; р—распределен-
ное давление на оболочку; Р— осевое усилие.
Интенсивность касательных напряжений равна
в

I 2
----°la2 I °2*
380
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[гл. х
По уравнениям ползучести скорости деформации в мери-
диональном и окружном направлениях равны
^1 = 4/(ЛО(2о1—о2). ^ = {/(7,0(202 — 0!). (69.3)
Для простоты упругие составляющие здесь отброшены;
заметим, что при постоянных во времени нагрузках скорости
упругой деформации равны нулю.
Условия реализации безмоментного напряженного состоя-
ния остаются теми же, что и для упругих оболочек [73].
Можно лишь отметить, что в условиях ползучести напряжения
изгиба будут в общем ниже, чем для упругих оболочек
(вследствие нелинейности закона ползучести). В этом смысле
напряженное состояние в оболочке в случае ползучести будет
несколько ближе к безмоментному состоянию.
2.	Скорости и перемещения. Обозначим через vt
соответственно составляющие скорости по нормали к поверх-
ности и по касательной к меридиональной линии. Тогда [73]
t vn  1 dvt fc 1 ,	.	.	.
«1 = -^ + -^	?2 = y(^sina + ^cosa).
Исключая отсюда vn, получаем для vt линейное диффе-
ренциальное уравнение; интегрируя последнее при условии
— 6, получаем известные формулы:
— sin а / - - -—da,
1 J sin a
ao
^ = ^2 — ctg“-
(69.4)
Внося сюда £2 из (69.3), находим скорости vt, vn. При
постоянных нагрузках и подобии кривых ползучести имеем:
где v* v* не зависят от времени.
Перемещения вследствие ползучести определяются обыч-
ным образом:
ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕЗМОМЕНТНОЙ ОБОЛОЧКИ
381
§ 691
При постоянных нагрузках и подобии кривых ползучести
имеем:
«я=й(0<, zzt=S (/)!/*.
3.	Оболочка равного сопротивления ползучести. Усло-
вимся так называть оболочку, во всех точках которой ин-
тенсивность скоростей деформации ползучести одинакова. Из
этого условия вытекает постоянство интенсивности касатель-
ных напряжений, т. е. Т= То.
Из выражений (69.1) и (69.2) вытекает, что
1 1
01 — 2й °и’ °2 — 2Л °22’
где положено
Р	D Ro
°п ~ 2яг sin а '	С22~ PRZ —	°11-
Таким образом,
Т= W^h ^с?1—сис2г+^^ Л-
Следовательно, толщина оболочки равного сопротивления
переменна и определяется соотношением
4.	Заключение. В местах резкого изменения нагрузок или
геометрических характеристик оболочки, или при закреплении
краев, не соответствующем безмоментному состоянию обо-
лочки, в последней возникают напряжения изгиба. При нали-
чии изгибающих напряжений расчет оболочек сильно услож-
няется. Состояние установившейся ползучести может быть
рассчитано методами, развитыми для анализа обычной пла-
стической деформации оболочек из упрочняющегося мате-
риала.
Сравнительно просто может быть получено приближенное
решение по методу Ритца с одной произвольной постоянной
(на основе принципа минимума полной мощности; см. § 21),
если исходить из формы прогиба в соответствующей задаче
для упругой оболочки. Этим методом В, И. Розенблюм [64J

382	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН и оболочек	[гл. X
нашел простые расчетные формулы для цилиндрической обо-
лочки при отсутствии осевого усилия.
Неустановившаяся ползучесть может быть изучена по
общему методу, изложенному в гл. VI.
§ 70. Ползучесть полукольцевой пластины
(расчет турбинной диафрагмы)
1. Исходные положения. Рассмотрим ползучесть полу-
кольцевой пластины, опертой по внешнему контуру радиуса b
(рис. 163), под действием равномерного давления. К решению
этой задачи приводится
/9 -----------------расчет ползучести тур-
.	\____-Ух. бинной диафрагмы, в
к I'	\ связи с чем указанная
задача была изучена в ра-
Х-V \ ботах В. И. Розенблюма
I 1621 и ГЬ Я. Богуслав-
ск°го 141- Исходные по-
ч/' Х ложения в этих работах
совпадают, способы же
Рис. 163.	решения различны. В ра-
боте В. И. Розенблюма
дано решение соответствующей вариационной задачи методом
Ритца; в работе П. Я. Богуславского система дифференциаль-
ных уравнений интегрируется методом последовательных
приближений и, кроме того, приводятся экспериментальные
данные. Ниже излагается приближенное решение В. И. Розен-
блюма, приводящее к простой оценке максимальной скоро-
сти прогиба.
При изгибе односторонней нагрузкой удлиненных пластин,
опертых по одному краю и свободных по противоположному
краю, можно считать в первом приближении, что поперечные
сечения не искривляются, а испытывают лишь поворот
(рис. 164). Следовательно, можно ограничиться анализом де-
формации пластины (полосы), жесткой в радиальном напра-
влении, и использовать аппарат теории кривых стержней
(Кирхгофа—Клебша) [31J. Под осевой линией пластины будем
понимать линию, соединяющую центры тяжести радиальных
сечений пластины. До деформации это будет (при постоянной
толщине) полуокружность радиуса с — (а Д- Ь). В каждой
I
,(К
Л
д!
и®
ffBJI
’я®
if
лир
‘ИТЫК
-ц
1
Ik
ймс
К:;ки|
Лм
агш
*Tai
Кй
§ 70]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПОЛУКОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ
383
точке осевой липин проводим местную систему координат х,
у, z, причем ось z направляем по касательной к осевой
линии, а ось х — вниз (рис. 163).
Напряжения в радиальных сечениях пластины можно ха-
рактеризовать изгибающим моментом Ly, крутящим момен-
том Lz и перерезывающим усилием Vx. Влиянием последнего
на прогибы, как всегда, пренебрегаем.
При анализе деформаций полосы используются зависимо-
сти между изгибающим моментом Ly,
крутящим моментом Lz и изменениями
кривизны q и кручения г оси полосы.
Для упругих полос, как известно,
Ly = Boq, Lz = Cor, (70.1)
где Во — жесткость при изгибе, Со —
жесткость при кручении. Соотношения
(70.1) взяты из решений задач об упру-
гом изгибе и кручении прямого стержня.
х
Рис. 164.
2. Зависимости между Ly, Lz п q, г для прямой по-
лосы в состоянии ползучести. Рассмотрим соотношения
|между моментами Ly, Lz и скоростями изменений кривизны q
|И кручения г для состояния установившейся ползучести пря-
мой полосы. Так как раздельное рассмотрение изгиба и кру-
чения при ползучести недопустимо, то вывод указанных за-
висимостей в общем случае затруднителен. Ограничимся
обсуждением случая стержня с поперечным сечением в виде
узкого прямоугольника (что соответствует поперечным раз-
мерам диафрагмы, рис. 165).
о84	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
|гЛ; X
Будем полагать, что на торцах действуют напряжения сг,
Тд.г, xyz\ компоненты напряжения ах, су, хху считаем равными
нулю всюду. При х—±/г txz = Q и для тонкой полосы
можно принимать, что приближенно ^ = 0 всюду. При этом
нарушаются граничные условия на узких гранях, что допу-
стимо, так как й<^Д.
Крутящий момент равен
— §§ (X'tyz y^xz) dx dy.
Известно также (см., например, I72]), что
Lz — 2 J” f x-cyzdx dy = — 2 J*J” yxxz dx dy,
t. e., отбрасывая в приближенном решении касательное на-
пряжение txz, нельзя пренебрегать моментом, ими вызываемым.
Это объясняется большим плечом (порядка Д), на котором
действуют малые напряжения тгг. Таким образом,
h
Lz = 2j" J* ту,х dx dy — 4h § xyzx dx (70.2)
-h
Изгибающий момент равен
h
Ly = —Zb j’czxdx.	(70.3)
-h
Граничные условия на широких гранях х — + h удов-
летворяются. Напряжения аг, туг считаем функциями только х;
тогда дифференциальные уравнения равновесия (20.4) также
удовлетворяются. По уравнениям установившейся ползучести
получаем:
^ = £„ = -|/(О==. £= = -5-/(0».. I (70 4)
Уху — Ухг = 0 >	Ууг = f (Т) Zyz •
где
Очевидно, что компоненты скорости деформации зависят
только от х. Тогда из условий совместности Сен-Венана
I
§ 70]	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПОЛУКОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ	385
(20.7) вытекает:
I
dx* ' dx*
Так как скорости удлинения и сдвига оси полосы равны
нулю, то
^х —	2 ^'1'^’	--СуХ,
rixy == rlxz = 0,	~t\yz = С2Х,
где С1г С2— произвольные постоянные. Интегрируя послед-
ние зависимости, находим скорости:
Ci (*2 — У2 + 2г2) — у C2yz,
1	-Uy = — Ctxy + C2xz,
I	vz=C1xz-]-^C2xy.
(Скорость изменения кривизны оси равна
— d2Vx_____(j
q~ дг*~ Ср
Скорость кручения равна
_________________	1 д / dvx	dvy\ С2
Г ~~ ~2дг\ду Дх/—Т‘
’Итак,
Вг = — qx, fiye = 2rx.	(70.5)
Обратимся теперь к уравнениям ползучести (20.2), раз-
решенным относительно напряжений:
Ог=з^(Н)ег, v=g-(H)^2,	(70.6)
причем
!	H-V^+7ye=xV 3^+ 4г2.
Из выражений (70.3) и (70.2) получаем:
л
Ly — 6Д<? f g (Н) х2 dx,
-h
h
।	Lz = 8Ar J* g {H) x2 dx.
-h
I
I 25 Зак. 1058. Л. M. Качанов
386
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[гл. X
В случае степенной зависимости имеем g (Н) = ВН* 1 и
н~1
^ = ^(3^ + 4^) 2 q,
.4
£г = |Р1(392+4г2) 2 Г,
(70.7)
где положено
, _ 12ВД 2+и
1	2 + (л
Разрешая уравнения (70.7) относительно q, г, находим:
9 =
4D:
1 т—1
а ?га+1
Ly
Dr'
3
4D*
1 т-1
2 т+1
(70.8)
3_^г
4 О,
3
С помощью формул (70.5) и ь(70.6) можно вычислить
напряжения по значениям моментов Ly, Lzz
О2 = — ЗВ^|хГЛ, x^^B^xf'x. (70.9)
Напряжения достигают наибольшего значения при х — ± h.
Соотношения (70.7), выведенные для прямолинейного
стержня, можно применять, следуя основным представлениям
теории кривых стержней Кирхгофа—Клебша, и для стер-
жней-полос с криволинейной осью.
 3. Приближенное решение задачи о ползучести тур-
бинной диафрагмы. Перейдем теперь к рассмотрению пол-
зучести полукольцевой пластины, опертой по внешнему кон-
туру (радиус Ь). Вследствие недеформируемости контура
поперечного сечения имеем:
=	(70.10)
где v — скорость прогиба точек осевой линии, а 7 — ско-
рость поворота сечения относительно оси z. Обозначим
через р скорость поворота радиального элемента полосы
относительно оси у. При деформации пластины скорости
изменения кривизны и кручения осевой линии кругового
§ 70]	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПОЛУКОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ	387
кольца равны, как известно (см., например, [31]):
7 . 1 d?v
с с2 d<p2
0i 1^1
с ' с d<f ’
(70.11)
причем
dv
d<f
= с₽,
(70.12)
а угол ср отсчитывается от плоскости симметрии полукольца.
Используя выражение (70.10), получаем:
о = _ 1 I д	Д + crfl <70131
с ~' с2 d<p2 ’	с2 d<f"
Действительное распределение скоростей должно удов-
летворять принципу минимума полной мощности (§ 21):
oL — t,^ = O.
В нашем случае
л/2
8L = 2cf (Lvbq~\-Lzir)d^,
О
7г/3
= f f pvxdS = 4p(a—-^№ У 7(cp)d<p,
о
где р — перепад давления на диафрагму. Таким образом,
вариационное уравнение задачи имеет вид:
тг/а
I f [2сад + £г8г) — 4р&(с — -|)8T]dcp = 0. (70.14)
о
Края ср — ± ~ свободны, поэтому на них произвольны
^ариации Ву и Внося в уравнение (70.14) вариации §q,
\г согласно выражениям (70.13) и интегрируя по частям,
Преобразуем уравнение (70.14) к виду
1я/2
f l...)dT+[VS]?__, + [(£±^t^A^)81] i = 0.
3 v 2
25*
388
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
[гл. х
Так как на крае ср = ~ вариации 87 и 8 ~ произвольны.
то отсюда, в частности, вытекают естественные (в нашем
случае — статические) граничные условия:
при <Р Ly = 0 иЦАА_А^ = 0. (70.15)
Используя формулы (70.7) и (70.13), выразим эти усло-
вия через угловую скорость 7:
-Й — «17 = 0, Я —«2^ = 0.	(70.16)
ау1 1	оср» 4 «у	'	'
где
Д	, 4
«1—	«2 = «1	у (1 + «i)2-
Ищем приближенное решение вариационного уравнения
70.14) по методу Ритца в форме
7 (<р) = ДФ (ср),
где Ф (ср) — аппроксимирующая функция, А — произвольная
постоянная. Заметим, что Ф(ср), вообще говоря, может не
удовлетворять естественным граничным условиям (70.16).
Для улучшения приближения потребуем, чтобы функция Ф (ср)
заранее удовлетворяла этим условиям.
Возьмем в качестве Ф (ср) функцию, характеризующую
прогибы аналогичного упругого полукольца:
Ф (ср) = 1 -|- ar ch kjcp -|- а2 ch \2<р.
где
1
Со
А
«1
Коэффициенты аг, аг определяются из граничных условий
(70.16), после чего произвольная постоянная А находится
из требования минимальности полной мощности:

§ 70] ПОЛЗУЧЕСТЬ ПОЛУКОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ	389
Не останавливаясь на промежуточных выкладках, приве-
дем формулу для максимальной скорости прогиба, которая
достигается в точках внутреннего контура (радиуса а) при
?= ±
= 2йТ (i) =	А 4 [р (-3- 2й,Д)Д . (70.17)
где обозначено
,	2 4-й/ k. = - TJ Jo 13	’ 77/2	*2 = /зф(-£), K/2 A	р.-1-l
Jo= f Ф(т)d<p. 0	fi = J (3^+~ M) 2 dcp, 6
	c r=-.r. * A
Формулу (70.17) удобно переписать в форме
^max = 2^^0.	(70.18)
где ?0 = В1а“ — скорость деформации ползучести при про-
стом растяжении с напряжением
ао
(3с~А)А^
2Й2	Р1'
Заметим, что для сечения
удлиненной формы имеем:
2
B0 = ^E№, Со^ 2,40 Д/г3.
О
Вычисления показали, что коэффициент kx практически
не зависит от т. Графики klt /г2 показаны на рис. 166 (для
С	\
отношения = 1,1].
t>o	/
Формула (70.18) не содержит параметров, относящихся
к степенному закону; для определения достаточно рас-
полагать одной кривой ползучести при напряжении а0.
Максимальный прогиб за время t равен
Wmax ^max
26 Зак. 1058 Л М Качанов
390
ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
{гл. X
Вычисление напряжений по полученному решению не-
надежно. Как указывает П. Я. Богуславский, распределение
моментов Ly, Lz в состоянии ползучести незначительно от-
личается от распределения Ly, Lz в упругой диафрагме. Это
можно объяснить простотой закрепления полукольца, обусло-
вливающей высокий «уровень статической определимости».
Поэтому напряжения в состоянии ползучести можно оценить
по формулам (70.9), используя значения моментов в упру-
гой диафрагме.
ГЛАВА XI
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
§ 71.	Основные уравнения
1.	Введение. Первое исследование ползучести вращаю-
щегося диска, по-видимому, выполнено Одквистом [136]
в 1934 г. В этой работе рассмотрен диск постоянной тол-
щины с отверстием. Одквист исходил из уравнений теории
течения (12.24) при степенном законе (12.26) с постоянным
коэффициентом ползучести В. Соответствующая система
дифференциальных уравнений была решена численным ин-
тегрированием при частном значении показателя ползучести
пг^=5.
Двумя годами позднее Содерберг [149] рассмотрел (на
основе уравнений теории старения) ползучесть диска, также
применив численное интегрирование.
Метод последовательных приближений в той или иной
форме использован в работах Попова [ш], А. П. Филип-
пова [76], Н. Н. Малинина [38,41], А. Г. Костюка [36] и дру-
гих авторов.
Метод расчета пластических деформаций диска, раз-
витый В. В. Соколовским [71], легко переносится на задачи
об установившейся ползучести диска (см. Н. Н. Малинин [38]).
Подобное замечание можно высказать и в отношении боль-
шинства других работ по расчету пластических деформаций
дисков.
Ползучесть вращающихся дисков при одновременно раз-
вивающейся пластической деформации недавно рассмотрел
Одквист I13']. исходя из уравнений теории течения. Другой
метод решения той же задачи на основе теории упрочнения
развит Ю. Н. Работновым [55].
26*
392
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[гл. XI
В упомянутых выше работах расчет дисков связан
с необходимостью выполнения более или менее зна-
чительного объема вычислений. Большие упрощения в расчет
дисков вносит переход к критерию тп1ах (см. § 14), исполь-
зованный в работах Уола [155-157]
Решение Уола, излагаемое в последующих параграфах,
не охватывает всех случаев, но отличается простотой и в об-
щем удовлетворительно описывает распределение напряжений
Рис. 167.
и скоростей. Подробный анализ других предложенных мето-
дов выходит за рамки настоящей книги. Мы ограничимся
приведенными выше краткими ссылками (обзор литературы
см. в [41[, т. III).
2.	Основные уравнения. Рассмотрим тонкий, вращаю-
щийся с постоянной угловой скоростью и диск симметрич-
ного относительно срединной плоскости профиля (рис. 167).
Как всегда, принимаем, что аг = 0, а напряжения аг,
равномерно распределены по толщине диска /г = й(г). Через
u = u(r, f) обозначим радиальное перемещение, а через
v — v(r, t)—радиальную скорость. Вследствие осевой сим-
метрии компоненты деформации ег, еф и скорости дефор-
мации £г, £ в радиальном и тангенциальном направлениях
§ 71]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
393
равны:	ди е»- —dr ’	и еу — у!	(71.1)
	г 	dv *г~дг’	?у	г	(71-2)
Исключая из последних зависимостей скорость V, полу-
чаем условие совместности скоростей деформации:
. Sy___Er___
dr ' г
(71.3)
Аналогичное соотношение имеет место для компонентов
деформации ег, еф.
Рассматривая равновесие бесконечно малого элемента
диска, приходим к известному дифференциальному уравнению
^(r/zar) —Ла? + тш2/гг2 = 0,	(71.4)
где -у — плотность материала диска.
Скорости деформации Ег, Еф и компоненты напряжения
ar. Оу при отсутствии мгновенной пластической деформации
связаны уравнениями ползучести (13.1):
6^=zr4(2a’-~M+/(7', t, в)(2аг-о<е),
1 д	<71-5)
6Ey = ^-^(2a[p--ar) + /(7'. Л 6)(2оу —ar).
где для простоты принято, что коэффициент Пуассона равен
половине. Заметим, что
ЗТг^з® —ору + 4-	(71.6)
В случае подобия кривых ползучести, степенного закона
и простой зависимости от температуры 6 имеем:
6^г = ъ (2сг — а,) + А (6) В (О Т"1'1 (2ar — Оу).
6Ч=и —°г)+л (0)в тт~1 (Ч—
(71.7)
На наружном контуре диска (г = Ь) действует равно-
мерное растяжение для диска с отверстием внутренний
394
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[гл. XI
контур (г = с) полагаем свободным. В центре сплошного
диска напряжения а,., равны.
Решение систем уравнений (71.3) — (71.5) может быть
достигнуто различными, более или менее трудоемкими, чи-
сленными методами.
При развивающихся одновременно с ползучестью пла-
стических деформациях следует исходить из более сложных
уравнений (13.4).
3.	Начальное состояние. Методы расчета начального
упругого состояния диска хорошо разработаны и подробно
изложены в ряде книг и статей. Упруго-пластическое состоя-
ние диска также изучено (соответствующие указания можно
найти в упомянутых выше работах).
4.	Состояние установившейся ползучести. Для анализа
установившейся ползучести дисков следует исходить из усе-
ченных уравнений ползучести (ограничиваемся обсуждением
простого варианта уравнений):
6^ = Д(е)ВТ"^1(2Ог — с?), |
6^ = Д(0)В7”га~1(2с<р —аг). /
(71-8)
Как уже отмечалось, имеются различные методы реше-
ния задач установившейся ползучести, связанные большей
частью с применением численного интегрирования или спо-
соба последовательных приближений. В следующих пара-
графах излагается простой приближенный способ расчета
установившейся ползучести вращающихся дисков.
б. Неустановившаяся ползучесть. Анализ неустановив-
шейся ползучести проще всего осуществляется по общему
методу, развитому в гл. VI. Напряжения в любой момент
времени t равны:
(71-9)
Как и прежде, одним штрихом (</, о') отмечены напря-
жения в начальном состоянии, а двумя штрихами (о", с')—
напряжения в установившемся состоянии. Ограничимся об-
суждением случая отсутствия пластических деформаций.
§ 711
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
395
Согласно линейному приближению (§ 34) имеем:
т(0=1 —с?-**,	(71.10)
где
а функция 2(7) была определена ранее (§ 12).
Для диска имеем:
ь
Q(0) = —к f T,m~lNh (г) г dr,
d	f
Ь	b	’
H- = <7 f T2_h(r)r	J1 a2_h(r)rdr,
a	a
причем
a_ = a" — o',
зг2=<-«+<
3N = — 6T'2-j-a" (2a' — a'f) Д- a" (2a' — a'.).
Таким образом, необходимо вычислить лишь два интег-
рала Q(0) и П_, что сравнительно просто достигается при-
менением тех или иных квадратурных формул. Напряженное
состояние упругих дисков несущественно зависит от коэф-
фициента Пуассона v, и для диска, работающего в условиях
и 1
высокой температуры, можно принимать v = у.
Приближенное решение хорошо согласуется с резуль-
татами численного интегрирования дифференциальных урав-
нений неустановившейся ползучести диска. На рис. 168
показаны графики тангенциального напряжения с, построен-
ные по результатам расчетов, выполненных М. А. Радцн-
гом [57], для диска постоянной толщины (а = 15 см, b = 50 см,
7 = 200 кг/см2, со = 3000 об) мин, v = ~ , G = 7-l О5 кг! см2,
396
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[гл. xi
показатель ползучести т = 4) для некоторого момента вре-
мени. Сплошная кривая получена методом численного интег-
рирования, пунктирная кривая — приближенным методом.
Рис. 168.
§ 72. Установившаяся ползучесть сплошного диска
В данном параграфе рассматривается ползучесть равно-
мерно нагретого сплошного диска постоянной толщины.
В конце параграфа обсуждается вопрос о диске равного
сопротивления ползучести.
1. Упрощенные уравнения ползучести. Рассмотрим
установившуюся :) ползучесть сплошного равномерно нагре-
того диска, используя схему максимального касательного
*) Заметим, что решения справедливы и в случае квази-уста-
новившейся ползучести, когда коэффициент Вг является функцией
времени.
§ 72] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СПЛОШНОГО ДИСКА 397
напряжения при соответствующем правиле течения (§ 14).
В этом случае уравнения ползучести получают различную
форму в зависимости от соотношения главных напряжений.
Для диска главное напряжение а, равно нулю. Сечение пра-
вильной шестигранной призмы Сен-Венана плоскостью oz = 0
приводит к шестиугольнику, показанному на рис. 169. Изобра-
жающая точка (аг, а?) лежит или внутри одной из сторон
шестиугольника или же в той или иной вершине его. Согласно
правилу течения последнее развивается по нормали к поверх-
ности призмы в рассматриваемой точке.
Если а,р > аг > 0, то ттах = у 0ц. а аг является промежу-
точным напряжением. Изображающая точка лежит внутри
отрезка ДиД12, нормаль к которому перпендикулярна к оси ог.
Поэтому скорость деформации в радиальном направлении
равна нулю. Течение развивается по нормали к отрезку АпА12,
и при степенном законе согласно формулам (14.2) имеем:
5г = 0,	=	—	(72.1)
Если же изображающая точка находится в вершине Д12,
то аг = а^, и течение может развиваться в любом направлении
в пределах угла, образованного нормалями к соседним сто-
ронам (рис. 169). Согласно зависимостям (14.3) получаем:
Вг=(1— Х)В10™,	—	(72.2)
где произвольная величина X лежит в интервале О^Х^ 1.
398	ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ дисков	[гл. XI
2. Случай одной зоны. Пусть радиус сплошного диска
постоянной толщины равен Ь\ введем безразмерную коорди-
нату р = у(р^ 1). В центре диска имеем аг = а^. Допустим,
что это условие справедливо в некоторой области р<^рР
Тогда в этом круге дифференциальное уравнение равновесия
(71.4) принимает вид:
।	(«= Т“2^2)>
откуда
।	= = - ~sp2-\-C1	(72.3)
1 где Сх— произвольная постоянная.
Обозначим через с0 напряжение в центре диска; тогда
I	Ог = о? = °0—у«Р2-	(72.4)
Напряженное состояние в рассматриваемой области соот-
ветствует вершине Д12. Складывая первые две зависимости
(72.2), получаем:
+ i =
dr ' г 1 г
Так как аг найдено, то
1
.а
.а
to
-V
И
311 ре
", com
ли |
ер, ч
ф
•н
л i
где С2 — произвольная постоянная. В центре скорость равна
нулю, поэтому С2 — 0 и

p
=	- f a”lPdP-
0
Из второго соотношения (72.2) вытекает, что
р
X —	— / стр dp.
» Г I)
ля
• Йр;
®И0®
4 К
iKrpeii
§ ?2] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СПЛОШНОГО ДИСКА
399
Так как в центре аг=£0, то при р —О величина Х = -^-.
Введем среднее напряжение по диаметральному сечению
диска:
ь
с = у j a4dr = q-\-^s	(72.5)
6
и положим
Тогда в области p<CPi имеем:
аг = а<р = °о(1 —-£)•	(72.6)
Внося напряжение аг в формулы для скорости v и вели-
чины К, получаем:
. Г,
(zw-l-l) р L \ 2х
(72.7)
+	<72.8)
Это решение теряет смысл при Х> 1; граница области
р = pt соответствует значению Х=1. Может случиться, что
найденное решение распространяется на весь диск (очевидно,
например, что так будет при у = 0, т. е. при х = со, когда
в диске будет равномерное напряженное состояние а,. =	==
= const = <?). Вычисления показывают, что решение распро-
страняется на весь диск при x^>xlf где xt находится из
уравнения (72.8) при Х=1, р=1:
2m + 1 _ /_____LV™
2х^	\	2у«1 /
(72.9)
от
Приводим небольшую таблицу значений хх в зависимости
показателя т\ заметим, что
= V..
2 •
Таким образом, при х > v.t ^или у > (у) ) диск пол-
ностью находится в состоянии аг = а^, соответствующем вер-
шине Л12 (рис. 169). Тогда напряжение в центре а0 опреде-
ляется из граничного условия:
при р - 1 о,. = q.
(72.10)
400
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ Дисков
|гл. xi
(п \
— | при различных т
s /г
Таблица 5
7П	2	3	4	6	10
*1	1,13	1,52	1,92	2,7	4,3
\ s Л	0,63	1,02	1,42	2,2	3,8
Отсюда получаем a0 = g-|-^-s. Скорость частиц на кон-
туре диска (р— 1) равна
На рис. 170 пунктиром показано распределение напря-
жений для этого случая при -^ = 1,5 и т = 4.
Распределение напряжений в сплошном упругом диске
описывается при v — формулами:
аг =« С1—Р2) +9-
7 /	5 2\ .
°?	16 S \	7 Р } Н- 9'
(72.12)
Для сравнения на рис. 170 при том же значении — = 1,5
точками показаны кривые, построенные по формулам (72.12).
3. Случай двух зон. При	на периферии диска
(р > pt) имеем !):
> ог > 0.
*) Случай аг > а? исключается, так как при этом ао — проме-
жуточное напряжение и, по правилу течения (§ 14), соответствую-
V
щая скорость деформации — — = 0, т. е. v = 0. При этом невоз-
можно удовлетворить условию непрерывности скорости при р = рх.
§ /2] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СПЛОШНОГО ДИСКА 40 i
Следовательно, напряженное состояние соответствует
внутренним точкам стороны ЛПЛ12 и справедливы зависи-
мости (72.1). Тогда !-г = -^- = 0, т. е.
V — const - v0.
(72.13)
Далее, ~ и
Внося это значение в
в дифференциальное уравнение равновесия (71.4) и интегри-
руя, получаем:
B.vlt 1 sr3
= + <7214>
где С3 —произвольная постоянная. Определяя С3 по гранич-
ному условию (72.10), находим:
’)—?(>-?’)•
где введено обозначение
Произвольные постоянные о0, -у0 и радиус зоны pj опре-
деляются из условий непрерывности:
при р = р„ % = °", а'г = °"’ х=1.	(72.15)
402	ползучесть вРаЩающихся дисков [гл. Xi
где одним штрихом отмечаем решение для области р < рр
а двумя штрихами — решение для периферийной зоны р > pt.
Из последнего условия (72.15) получаем:
1	2	/	2 \
l+(l + 2m)^-= 1-----------.	(72.16)
Отсюда при заданном х находим рР Из остальных усло-
вий вытекают уравнения:
V — 1 — (1 (р1 рр0 ('3 ~ 6(1 —|Л)	2(1 —(1) р1 )’
(72.17)
°о = (| + -у)	(72.18)
q
из которых последовательно определяем -у и о0.
Тангенциальное напряжение во второй 3'<не равно
Радиальное напряжение равно
(72.20)
Распределение напряжений в диске для случая т = 4
1 и -у —0,5 показано на рис. 170 сплошными линиями. Напря-
жения достигают максимума а0 в центре диска.
На рис. 171 приведены кривые зависимости отношения
максимального напряжения о0 к среднему напряжению о от
q
параметра у-; пунктирная кривая относится к случаю упру-
гого диска, напряженное состояние которого характеризуется
формулами (72.12).
В заключение отметим, что рассматриваемая задача может
1 быть сравнительно просто решена приближенно с помощью
множителя К (/«)(§ 24), если исходить из упругого распре-
деления и предельного состояния ползучести (т —> оо), соот-
ветствующего решению для идеально пластического диска.
Ья
ыкке,
'fi 3IM
йлш

§ 72] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СПЛОШНОГО ДИСКА 403
4. Диск равного сопротивления. Задача о равномерно
нагретом диске (сплошном и с отверстием) равного сопро-
тивления при упруго-пластических деформациях изучена
Ю. Н. Работновым [ь4]. Это решение легко переносится на
случай установившейся ползучести диска.
Рис. 171.
Задача о сплошном диске равного сопротивления имеет
элементарное решение. Здесь можно потребовать, чтобы во
всем диске напряжения аг и с? были равными и постоянными:
ar —	— const = ат.
(72.21)
При этом во всем диске будут постоянными как интен-
сивность касательных напряжений, так и максимальное каса-
тельное напряжение. Из дифференциального уравнения равно-
весия (71.4) при условии (72.21) получаем:
откуда
1 dh
h dp
s
P’
In /г
s рг
am 2
404	ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ	[гл. XI
Произвольная постоянная С определяется, например, зада-
нием толщины диска у обода:
при r — b h — h^.	(72.22)
Тогда
Л^ехр^а— Р2)].	(72.23)
Профиль диска не зависит от закона ползучести.
б. Неравномерно нагретый диск равного сопротивления.
Если диск неравномерно нагрет, то допускаемое напряже-
ние ат зависит от температуры. Температуру диска можно
считать известной, поэтому ат является некоторой заданной
функцией радиуса:
Or = c<p = aTO(p)-
Положим har — Q; тогда из дифференциального уравне-
ния равновесия получаем:
d? чт(р)^~и-
Отсюда при условии (72.22) находим:
Г 1 * *	1
/г = /г ^mglexp s Г -ЦЦ- .	(72.24)
°т(Р) н J °ТО(Р)	4 * *	7
L р	J
I
§ 73. Ползучесть неравномерно нагретого диска
переменной толщины с отверстием
1. Постановка задачи. Рассмотрим установившуюся пол-
зучесть неравномерно нагретого диска переменной толщины
с отверстием (рис. 167). Толщина диска Л==Л(г); для опре-
деленности полагаем
h = h0 (k < 0).
При k = 0 приходим к диску постоянной толщины h0.
1 Принимаем далее, что имеет место простая зависимость
от температуры (§ 4). Граничные условия имеют вид:
при г —а аг = 0,	(73.1)
при r — b ar — q,	(73.2)
где q—равномерное растяжение у обода диска.
Сгу
иш
Сш;
i'jipt
ifiM
ЯШ
iiiiffflei
прра
<1И,
яоа
fl!
'«№(
fmai
й.л,
§ 73]
ПОЛЗУЧЕСТЬ НАГРЕТОГО ДИСКА С ОТВЕРСТИЕМ
405
В рассматриваемой задаче справедливы приведенные выше
уравнения равновесия (71.4), уравнение сплошности (71.3)
и уравнения ползучести (72.1) или (72.2).
В зависимости от соотношения главных напряжений аг,
о¥ следует различать три случая.
Случай а). Во всем диске напряжения > аг > 0
(рис. 172, а). В этом простейшем случае во всей области
а<^р<^1, где а=у, справедливы уравнения (72.1).
Рис. 172.
Случай б). В диске имеются две зоны (рис. 172,6):
внутренняя зона
внешняя зона
и^Ср<Р1, в которой > аг > 0,
Р1<^Р<С1- В которой С?=:Ог>0.
Случай в). В диске имеются три зоны (рис. 172, в):
внутренняя зона а<^р<рг, в которой оф > о,. > 0,
средняя зона pt р р2, в которой о? = ог>0,
внешняя зона р2 < р 1, в которой <з!р>ог>0.
Напряжение не может быть меньше аг (см. предыду-
щий параграф).
Заметим, что при произвольном распределении темпера-
туры возможно, вообще говоря, и большее число зон. Обычно
температура монотонно возрастает с удалением от центра,
и достаточно ограничиться разбором указанных трех случаев.
2. Случай одной зоны (рис. 172, а). Здесь во всем диске
► z,	du г-,	,
t,r — 0, т. е. —— = 0, следовательно, и = const = zm, а
dr	и
^ = ^ = ^(г)0-
(73.3)
27 Зак. 1058. Л. М. Качанов
406
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[гл. XI
где fit(r)— функция радиуса г, определяющая значения коэф-
фициента ползучести в зависимости от температурного поля
диска. Из выражения (73.3) получаем:
=	(73.4)
Внося с в дифференциальное уравнение равновесия (71.4)
и выполняя интегрирование при граничном условии (73.1),
находим:
Г	г
rhar = I hc^dr—J hr2 dr. (73.5)
а	а
Произвольная постоянная г/0 определяется из второго гра-
ничного условия (73.2):
ъ	ъ
bhlq = f ha^dr—— J hr2 dr,	(73.6)
a	a
где ht— толщина диска при r = b. Интеграл
ъ
It=f hr2dr
a
представляет собой момент инерции поперечного сечения
диска относительно оси вращения.
Обозначим через
ъ
F — J* h dr
а
площадь поперечного сечения диска (по одну сторону оси).
Среднее тангенциальное напряжение
ь
c^yfh^dr	(73.7)
а
определяется внешними нагрузками. Согласно условию (73.6)
имеем:
1 /	о \
0 =	(73.8)
§ 73] ПОЛЗУЧЕСТЬ НАГРЕТОГО ДИСКА С ОТВЕРСТИЕМ 407
Если же в выражение (73.7) внести (73.4), то
ъ
— /*__________
I B1(r) r~^h dr.
а
(73.9)
Из последних двух соотношений находим v0.
Пусть температура диска постоянна или мало меняется.
Тогда Вг (г) = const = Bv Обозначим напряжение при
г —а через Из приведенных выше формул нетрудно
найти:
а / q . 1 — а*+3 \ k 4 1
Т — Vs “1	£ + 3 / 1 — а«:+1 ’
<J<pa _ k' 1 — a^+1
Й4-1 a'1(l —aft') ’
(73.10)
где положено
k' = k 4-1 — p.
Тогда формулы для напряжений принимают вид:
1 Г(рА-'_а*')(1_4+1)
a pfr+1 (1 — 4') (/г 4-1)
рЗ + fc— a3 + 7c '
(3 + fe)y .
(73.11)
В случае постоянной толщины имеем k = 0, а k' = 1 — р.
Распределение напряжения — для диска постоянной толщины
О
при = 6 и разных показателях т изображено на рис. 173.
Соответствующее напряжение (при q ~ 0) для упругого
диска показано пунктиром.
Решение (73.11) справедливо, если 0<4°—< 1; для вы-
яснения предела применимости полученного решения разыски-
а,-
ваем максимум отношения —, приравнивая нулю производ-
— |. Анализ показывает, что для дисков постоянной
)
ную
27*
408
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[гл. xi
толщины найденное решение справедливо для всех зна -
чений —	4 при т > 2 независимо от величины У-
11	s '
В других случаях при данных т и — величина — не должна
Д	S
превышать некоторого
таблицу значений J
1
(а \
—) . Приводим небольшую
Ь г- Ь
для — = 6 и — = 10:
а	а
Таблица 6
(л \
— ) при различных — и т
s /1	д
т b \ д	2	3	4	в	10
6	1,81	5,07	СО	СО	СО
10	0,35	1,49	3,4	14	со
„	а
При больших значениях -у следует различать несколько
зон (рис. 172, б, в), что усложняет анализ.
В качестве примера диска переменной толщины рассмо-
.	1 b
трим случай k — — -g-, — = 4; при этом толщина диска на
наружном диаметре равна половине толщины диска у отвер-
стия. На рис. 174 показано распределение тангенциального
напряжения ~ при разных т. Для рассматриваемого диска
а
решение (73.11) справедливо при
Если исходить из уравнений установившейся ползучести
(71.8) в обычной формулировке, то решение задачи о диске
достигается численным интегрированием. Для диска—= 4,8,
h = const = /г0 при разных показателях т такое численное
интегрирование было выполнено Уолом [1Ба]. При этом

4io
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[гл. xi
выяснилось, что распределение напряжения о? практически мало
отличается от распределения (73.11). Так, отношение —
а
отличается от значения (73.11) приблизительно на 5—6%.
Ползучесть стальных дисков при ^- = 4,8 (а = 31,75 мм,
b — 152,4 мм, т — 6) при температуре 538° С и 15 000 об/мин
была изучена в опытах Уола, Сенки, Менжойна и Шумей-
кера [158]. На рис. 175 сравниваются перемещения ползучести
Рис. 175.
на внутреннем и наружном контурах дисков по опытам и по
приведенному приближенному решению. Экспериментальные
точки расположены в заштрихованных полосах; теоретиче-
ские зависимости показаны сплошными линиями.
Условие постоянства скорости v = vQ удовлетворительно
подтверждается опытами, за исключением небольших областей
вблизи внутреннего и наружного диаметров.
3. Случай двух зон (рис. 172, б). Здесь при а^р<р!
напряжения <з? > аг > 0, а при Pi<Cp<Cl напряжения
= аг > 0. Во внутренней зоне скорость деформации = 0
и справедливы соотношения (73.4) и (73.5) предыдущего
пункта. Во внешней зоне следует исходить из решений, по-
лученных в предыдущем параграфе. Интегрируя дифферен-
циальное уравнение равновесия (71.4) при Л = йор/ь и
1<зг == <з? и удовлетворяя граничному условию (73.2), получаем
§ 73]
ПОЛЗУЧЕСТЬ НАГРЕТОГО ДИСКА С ОТВЕРСТИЕМ
411
для внешней зоны р > рх:
°г _ °<р _ / Я 1 — P3+fc \ _к
~s~ s \s '	2-^-k )?
Дальнейшие выкладки приведем для случая B1(r)=const = Bj.
Приравнивая значения а? на границе зон (р = р1), находим:
(73.12)
-------------I
k + 2 /
(73.13)
Решения для аг, во внутренней зоне должны совпадать
при р = pt; из этого условия вытекает, что
q 1 —P?+fc k'	р3 + к — а3 + к
- =-------------1--------r-------------гй----jt- (73.14)
S	fe + 2 ft + 3 [(p — k)pk — ak ] pl1"1
Из выражений (73.13) и (73.14) при заданных а, т, k, pt
q
вычисляем — и vn.
s °
На рис. 176 показано распределение напряжений в диске по-
стоянной толщины при ~ = 8> т = 2, — = 2,35. На рис. 177 по-
казано распределение напряжений в диске переменной толщины
(k = —при = 6, т = 3, -у = 0,97.
Рассмотренное решение справедливо при условии, что во
внешней зоне величина X лежит в интервале 0 < X < 1. В этой
зоне (см. § 72)
Но при p = pj скорость v = v0, следовательно,
412	ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ	[гл. XI
где аг1 — напряжение при р = рх. Определяя численным путем X,
можно выяснить, лежит ли X в необходимом интервале.
Как указывает Уол, при обычных значениях параметров
[~ Gr/O
диска это условие выполняется. При нарушении его необхо-
димо рассмотреть более сложную схему трех зон (рис. 172, в).
На разборе случая рис. 172,в мы не останавливаемся.
В работах Уола приведены многочисленные графики
распределения напряжений в различных случаях.
§ ?4)
ВРЁМЯ РАЗРУШЕНИЯ ДЙСКА
413
4. Замечание о диске равного сопротивления. Для
диска с отверстием нельзя удовлетворить условиям постоян-
ства компонентов напряжения аг, надлежащим выбором
толщины h. В этом случае диском равного сопротивления
будем считать диск, в котором интенсивность касательных
напряжений равна заданной постоянной величине (для равно-
мерно нагретого диска). Решение этой задачи дано Ю. Н. Ра-
ботновым [541 для упруго-пластического диска. Как уже
указывалось, это решение непосредственно переносится
на случай установившейся ползучести диска. Отметим, что
профиль диска не зависит от закона ползучести. По мере
удаления от отверстия профиль диска равного сопротивле-
ния все более приближается к профилю сплошного диска
равного сопротивления (72.22).
В случае неравномерно нагретого диска следует полагать,
что интенсивность касательных напряжений — заданная функ-
ция радиус-вектора: Т = Т (г). Очевидно, что интенсивность
скоростей деформации также будет заданной функцией:
Н = Н(г). В этом случае решение будет нескол! ко более
сложным.
§ 74. Время разрушения диска
1. Основные уравнения. Рассмотрим, следуя работе
В. И. Розенблюма I65], время «вязкого» (см. § 41) разру-
шения диска постоянной толщины с отверстием. Для этого
необходимо изучить ползучесть диска при больших дефор-
мациях. Обозначим через а0, £0, Ло соответственно началь-
ные (в недеформированном состоянии) внутренний и наруж-
ный радиусы и толщину диска, а через a, b, h — текущие
значения соответствующих размеров диска. Радиусы а, b
являются функциями времени t, а толщина h = h(r, /),
где г — текущая координата частицы
г = г0+«.
(74.1)
причем г0 — начальная координата частицы, а и = и(г, t} —
мгновенное значение радиального перемещения частицы.
Скорость движения частицы равна
du ди/, . ди\
= д/О + дг)-
(74.2)
414
ПОЛЗУЧЁСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ дисков
[ГЛ. XI
деформации
(74.3)
Текущие значения компонентов скорости
равны
е __ dv р ______ у f _____ 1 dh
r~ dr ’	r •	^ — -h~dF-
Уравнение несжимаемости материала имеет вид:
ди	.	у	,	1 dh ____
dr	'	г	'	h dt	'
Дифференциальное уравнение равновесия имеет прежний
вид (71.4):
— (hrar) = hc!<f—sh^	(74.5)
ьо
при условии, что рассматриваются «истинные» напряже-
ния ог, а^, отнесенные к текущим размерам диска, a s — -\<s>2bc,.
Внутренний и наружный края диска свободны, т. е.
при r = o ог = 0,	(74.6)
при г = Ь аг = 0.	(74.7)
Будем пренебрегать, как обычно в задачах о больших
деформациях ползучести, составляющими упругой дефор-
мации. Тогда по уравнениям ползучести (14.7) имеем:
= 2g (Н, t) (2В,- + tf), о, = 2g (Н, t) (2^ 4- U, (74.8)
где
77 = 2	+	+ Й .
При степенной зависимости получим:
g(H, t) — В {f) Hv'~l.
2. Решение. Интегрирование приведенной системы урав-
нений связано с большими трудностями. Задача существенно
упрощается если перейти к критерию максимального каса-
тельного напряжения при соответствующем правиле течения
(см. §§ 14 и 72).
Пусть > аг > 0; тогда скорость деформации в напра-
влении промежуточного главного напряжения аг равна нулю1):
5, = ^ = 0.	(74.9)
I_______________
1	*) В работе [с-5] условие (74.9) интерпретируется как следствие
Экспериментальных данных; в связи с этим постоянная С и коэф-
фициент /?! имеют несколько иные значения.
§ 741
ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ ДИСКА
415
следовательно, v = а также u~u(t). Далее, согласно
формулам (14.2), имеем:
(0 °™,	= — В! (/) а™.	(74.10)
В силу соотношения (74.9) уравнение несжимаемости
принимает вид:
4<ГЛ) = °.
откуда
г/г — const = г0Л0.	(74.11)
С помощью этого соотношения приведем уравнение равно-
весия к координатам исходного состояния:
ir ('•оМ =	°? — 4- го (''о + «)•
vt0	'III и	Оу
Внося сюда согласно (74.10), получаем:
д .	.	»"о о /л Г 1 du I1*’ s г । х
Интегрируя это уравнение по г0 от д0 до Ь(} и учитывая
граничные условия (74.6) и (74.7), находим:
Вх W (4?Т f--------r°d'\-+ =4 1 (Ло + «) r0 dr0.
1 \dt / J (r0 4- «)1+'x b2J	°
«о	Ц
Вычисляя интегралы, получаем:
где положено
V / ух (РЧ-*)1"	(1+*)|Х
рз—1	02—1 ’
3 Х 2
Y_ « р _	bo_	J_ __ Г	;л(1—p.)s
ао	’ Р	а0 ’	с L ₽2	J
(74.12)
Разделяя в уравнении (74.12) переменные и интегрируя,
находим;
е1^)=сФ(£)’ (74-13)
416	ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ	[гл. XI
где
Ф(х) = f Хт(х) dx.
о
Соотношение (74.13) определяет зависимость радиального
перемещения и от времени. Полагая и — со, находим время
разрушения диска t9 из уравнения
21(и = сФ(оо)-	(74.14)
Интеграл Ф(х) находится численными методами.
При больших сроках службы диска функция £21(/)^==:^
(см. § 1) и из выражений (74.13), (74.14) следует:
1 КО;
На рис. 178 показана зависимость перемещения — от
flo
времени t/t* для случая (3 = 8 и нескольких значений пока-
зателя ползучести т. Согласно приведенным кривым пере-
мещение резко возрастает лишь в последний период жизни
диска (напомним, что такое положение типично и для дру-
гих задач, рассмотренных в предыдущих главах), что под-
тверждает возможность оценки срока службы диска време-
нем (при отсутствии, конечно, интенсивного трещинооб-
разования).
3. Сопоставление с временем разрушения при растя-
жении. Время вязкого разрушения^ растягиваемого цилинд-
!И И
11ж
а со
Hfin
ал
кф
В?
ш
V
8ииа
чъ
191 IM
1м, 21
-i’ ы),
в врос
Ьиищ
’ «ан®
йриов
417
§ 74]
ВРЕМЯ РАЗРУШЕНИЯ ДИСКА
рического образца определяется формулой (41.4):

1
Формулу (71.4) можно представить в аналогичном виде:
BtL =------U— ,
т
где через о0 обозначено начальное среднее тангенциальное
напряжение в диске:
А
1 С , S , 1 , 1 \
°° b0 — a0 J ^“'0— з -Г р
О0
а коэффициент kL имеет значение
_ 3(1 —и) 1_______1_
1	1 + Р + Р и1+^(оо)’
Вычисления показывают, что коэффициент практи-
чески не зависит от р; график приведен на рис. 179.
Итак, время разрушения вращающегося диска с отвер-
стием совпадает с временем разрушения растягиваемого
цилиндрического образца при условии, что начальное напря-
жение в стержне а0 и на-
чальное среднее напряжение ft .
в диске а0 связаны соотно- \
шением	X
о0 = М>- (74.16)
В опытах В. А. Раби- '	———
новича [60] изучено время 10-
разрушения для дисков по- 1	।	1	1	1	1	1
стоянной толщины (2а0 =	7 2 О 6 От
= 70 мм, 2£о = 280 мм,
Ло = 22 мм), изготовлен-	Рис. 179.
ных из жаропрочных ста-
лей. Испытания проводились при температурах 650 и 750°С,
время испытания дисков доходило до 100 часов при
числе оборотов от 18 до 24 тысяч в минуту. Разруше-
ния происходили при значительных деформациях; показатель
418	ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ	[гл. XI
ползучести был ^12 для одной марки стали и ^26 — для
другой. Автор пришел к выводу, что время разрушения
испытанных дисков может быть определено по условию
равенства среднего напряжения а° напряжению а0. Следова-
тельно, по опытам получаем	Теоретические значе-
ния (см. рис. 179) в этом случае близки к единице.
В заключение заметим, что время «хрупкого» (малодефор-
мационного) разрушения дисков может быть определено по
изложенной в 41 и 54 схеме, основанной на рассмотре-
нии трещинообразования в стадии скрытого разрушения и
последующего движения фронта разрушения.
§ 75. Дополнения. Ползучесть ротора.
Ползучесть лопаточного соединения
В настоящем параграфе кратко рассматриваются два
вопроса, относящихся к проблеме ползучести вращающихся
деталей: ползучесть длинных вращающихся цилиндров (рото-
ров) и ползучесть лопаточного соединения елочного типа.
1. Ползучесть роторов. В случае длинных вращающихся
цилиндров со свободными торцами можно считать, что
поперечные сечения цилиндра остаются плоскими (конечно,
в некотором отдалении от концов). Следовательно, скорость
деформации в осевом направлении постоянна: '^ = —с, где
с > 0 — постоянная. Из уравнения несжимаемости
dv . v
получаем:
v = -^ + ±cr,	(75.1)
где С\— произвольная постоянная.
Для сплошного ротора скорость ползучести
д
в центре равна нулю, поэтому С1 — 0. Тогда v = -^cr и
ь.	С «.	Ct-
:=	-г '
Из уравнений установившейся ползучести (20.2) выте-
кает, что
= Ог = 9г-Д(/3)1+,У.	(75.2)
§ 75]	ДОПОЛНЕНИЯ. ПОЛЗУЧЕСТЬ РОТОРА
419
Теперь из известного дифференциального уравнения рав-
новесия
и граничного условия (поверхность ротора свободна)
при г = Ь ~г - О
получаем:
с
= (1 —Р2) (Р = г/&).	(75.4)
Постоянная с определяется по условию отсутствия осе-
вого усилия:
ь
2л J*azr dr = 0.
о
Внося сюда ог, находим
Таким образом, в некотором отдалении от торцов имеем:
с
= —(75.5)
Распределение напряжений не зависит от показателя
ползучести т и совпадает с упругим распределением при
коэффициенте Пуассона, равном половине.
Легко видеть, что случай, когда при г = Ь напряжение
ar = q, рассматривается столь же просто.
Для ротора с отверстием Сх #= 0. Внося компо-
ненты скорости деформации
е —__е —_____________________с
г2 ’ 2 ’ т — г2 >2 ’	с
в закон ползучести (20.2), получаем:
°r = a + 2g-(W)Br,
0?=:a+2g-(H)^,
cg = a^-2g (Н)^.
42U
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[гл. х1
Вторые слагаемые в правых частях этих соотношений —
известные функции г, €\, с. Внося компоненты напряже-
ния аг, в уравнение равновесия (75.3), получаем диффе-
ренциальное уравнение для среднего давления:
—	14- 4£(я>с1
dr dr	rS b2 >
откуда
o = -2g(H)feWLar—^+c*
с определяются по гра-
и по условию отсут-
соединения елочного
У
/7
Рис. 180.
Произвольные постоянные Clt С2,
ничным условиям при г —а, г = Ь
ствия осевого усилия.
2. О ползучести лопаточного
типа. Наиболее распространенной конструкцией соединения
лопаток газовой турбины
с диском является так назы-
ваемый елочный замок. На
приведенных ранее фотогра-
фиях (рис. 3) показаны раз-
личные стадии ползучести
елочного замка.
Подробный теоретиче-
ский анализ ползучести елоч-
ного замка развит в ряде
работ А. Н. Грубина [1Ch 11112]
и его сотрудников. Рас-
смотрим кратко основную
схему приближенного рас-
чета напряжений в зубце
соединения. Зубец(рис. 180)
испытывает действие равно-
мерной нагрузки р на верх-
ней грани. Компоненты на-
пряжения ах, ау, хху (осталь-
ные компоненты равны нулю для случая плоского напряжен-
ного состояния) удовлетворяют дифференциальным уравне-
ниям равновесия:
I	___ р дхху [ дау_____
дх ' ду ' дх ' ду
(75.6)
§ 75]
ДОПОЛНЕНИЯ. ПОЛЗУЧЕСТЬ РОТОРА
421
По нагрузке р вычисляем изгибающий момент AI и пе-
ререзывающую силу Q:
X tg а	X tg а
М = j' axydy, Q = f ixydy.
-ietgP	-jctgp
Заметим, что
JCtga
J аж<У = О.
-cctgP
Ищем напряжение ax в форме
ca.= -^(xtg<p-|-_y)n	(xtg<f + J>0),	(75.7)
Jn
где n — произвольный параметр; в область отрицательных
значений х tg ср у напряжение ах продолжается нечетным
образом. Далее находим:
a?tg«
4 = 2 f (xtgcp + _y)”+1
-CBtgP
(tg g + tg P)n+a xw + 2
y 2n+1 (n + 2)
Медиана 00' является нейтральной осью.
Внося ах в первое дифференциальное уравнение равно-
весия, интегрированием находим и удовлетворяем гра-
ничным условиям:
при у = х tg а
при у = —х tg р
^ху — ах tg ]
^ху == ах tg Р  /
(75.8)
Подставляя т.ху во второе уравнение равновесия, находим
интегрированием ау и удовлетворяем граничным условиям:
при j = xtga a!/ = Ta.!/tga—р, 1
при у = — xtgp а„ = —T^tg₽. I
(75.9)
Таким образом, напряжения ах, ау, хху (мы их не выпи-
сываем) при произвольном п удовлетворяют дифференциаль-
ным уравнениям равновесия (75.6) и граничным условиям
(75.8) и (75.9) на гранях АВ, CD. Граничные условия
422
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
[ГЛ. XI
на грани ВС также выполняются. Вдоль AD имеет место
заделка.
Произвольный параметр п определяется из условия ми-
нимума дополнительного рассеяния зубца:
« -	т+1
8 fJ	°к+ Зт^) 2 dxdy=°-
(75.10)
Интегрирование здесь распространяется на область ABCD.
При упругих деформациях параметр п определяется
с помощью принципа Кастильяно. Неустановившаяся ползу-
честь анализируется на основе общего решения, изложен-
ного в § 34. В зонах перехода A, D имеются небольшие
закругления. Концентрация напряжений в этих зонах в состоя-
нии ползучести изучена А. Н. Трубиным [12] приближенным
методом кривых сечений А. В. Верховского.
Заметим, наконец, что распределение усилий по зубцам
и напряжения в теле хвостовика находятся отдельным рас-
четом.
ГЛАВА XII
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
§ 76.	Об устойчивости равновесия
в условиях ползучести
1.	Общие замечания. Деформация ползучести суще-
ственно влияет на процесс потери устойчивости равновесия.
Это обстоятельство было обнаружено в опытах и объяснено
на простых моделях Россом, Фрейденталем [1ои], Мерином [126],
А. Р. Ржаницыным [59] и другими авторами. В последние
годы в этой области выполнено много экспериментальных
и теоретических исследований. Укажем здесь на работы
Шенли [147], Хоффа [107-81], Одквиста [138], В. И. Розен-
блюма [63], Джерарда [101>102], Ю. Н. Работнова и С. А. Ше-
стерикова [56]. Подробные ссылки на соответствующие
американские исследования  приведены в одной из работ
Хоффа [82].
Наиболее существенным фактом при потере устойчивости
является отсутствие определенной критической нагрузки
в условиях ползучести. Потеря устойчивости наступает при
нагрузке, меньшей чем эйлерова нагрузка, через более или
менее значительный промежуток времени. При наличии
ползучести малые начальные искривления сжимаемого стержня
постепенно нарастают, пока не произойдет разрушение
стержня с хлопком [81]. Вместо критической нагрузки здесь
следует говорить о критическом времени.
В связи с важностью проблемы потери устойчивости
(особенно для тонкостенных авиационных конструкций) ве-
дутся интенсивные экспериментальные исследования этого
явления в области ползучести. Ранее уже приводилась фото-
графия (рис. 2) большой электрической печи для изучения
424 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в условиях ползучести [гл. XII
устойчивости тонкостенных элементов при наличии ползу-
чести.
На рис. 181 показаны тонкостенные трубки из алюми-
ниевого сплава, испытывавшиеся при температуре 343° С и
Рис. 181.
потерявшие устойчивость через несколько десятков часов.
Наверху (о) дана фотография трубки до и после опыта
на сжатие, внизу (б) — до и после опыта на скручивание.
Теоретический анализ явления потери устойчивости на-
талкивается на большие трудности, связанные с отсутствием
§76]	ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ
425
надежного и в то же время удобного критерия устойчи-
вости при пластических деформациях. Обычный прием ана-
лиза устойчивости в условиях ползучести состоит в изучении
ползучести рассматриваемого элемента (например, сжатого
стержня) при наличии малых начальных искривлений. При-
менение этой схемы к пластинам и оболочкам связано со
значительными трудностями. Другой метод предложили не-
давно Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков. Они рассматри-
вают потерю устойчивости идеально правильной [конструк-
ции, причем закон ползучести линеаризуется. Применение
этих методов ниже иллюстрируется на простой модели, исполь-
зованной впервые, по-видимому, Шенли.
Заметим, наконец, что имеющиеся экспериментальные
данные обобщены главным образом посредством полуэмпи-
рической схемы «критической деформации».
2.	Выпучивание при начальном искривлении. Рассмот-
рим
механизм выпучивания в условиях ползучести на про-
стой модели полужесткого сжатого
стержня. Эта модель, показанная на
рис. 182, состоит из жесткой части
длиной I — h и двух малых одина-
ковых деформируемых стержень-
Рис. 182.
|ков 1, 2 (длиной h и площадью поперечного сечения FI2),
отстоящих друг от друга на расстоянии h. Стойка сжи-
мается силой Р. До нагружения верхняя точка О стойки
28 Зак. 1058. Л. М. Качанов
426 устойчивость равновесия в условиях ползучести [гл. хи
отклонена от вертикали на расстояние и0 («начальное ис-
кривление»); в некоторый момент времени t это отклонение
равно и(0- Напряжения в стерженьках 1, 2 обозначим соот-
ветственно через ах, а2, деформации стерженьков — через
Д< До	<
=	е2= ~h~ ’ а скорости деформации — через £lt £2.
Среднее сжимающее напряжение равно а = -^-. Уравнения
равновесия жесткой части стойки имеют вид:
°1_Ь а2 — 2а,	(76.1)
а2_ а1=4а-^.	(76.2)
Очевидно, что
=	=	•	(76.3)
Следовательно,
^2 — ^1-у.	(76.4)
где v —	----скорость точки О. С другой стороны, по за-
кону ползучести (полагаем, что о,, а2 — сжимающие напря-
жения; считаем их положительными) имеем:
^44г+В1^°™’	(76.5)
Нагрузка Р не изменяется, а деформации малы, поэтому
из соотношений (76.1) и (76.2) получаем:
4г + ^ = °-	(76.6)
4г->=4°4-	<76-7>
Внося значения (76.5) и (76.7) в уравнение (76.4) и
выражая при помощи (76.1) и (76.6) с2 и через и
cfc,	. .
получаем дифференциальное уравнение
(4 - 4г)	н* - (2° -	=°- (76-8)
§ 76]	ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ	427
В случае упругих стерженьков имеем Вх (/) — О
и при выпучивании должно быть
откуда определяется эйлерово напряжение:
Eh
Перейдем согласно зависимостям (76.1) и (76.2) к пере-
мещению и:

/ и 1 \
U < 2 Л
Тогда дифференциальное уравнение (76.8) принимает вид:
_____________________= [ат Вх (t)dt
(1+2
Отсюда
и
du
т
т
(76.9)
и0
Заметим, что при нечетном т полученное решение спра-
и 1
ведливо и при — >	.
г h l
Введем деформацию ползучести сжимаемого стержня
8° = ^ (0 а™
и положим « —4-х, «0 = -^-х0. Тогда уравнение (76.9)
примет форму
1г/	\	2/
7(х, х0) =
*с(0
1- —
%
(76.10)
28*
428 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в условиях ползучести [гл. XII
где
J{x, х0
dx
(1	— (1 — л)те
Устремим прогиб и к бесконечности (т. е. х —> оо);
при т > 1 интеграл J(x, х0) сходится и равен некоторому
положительному числу. Следовательно, неограниченному
возрастанию прогиба соответствует конечное значение дефор-
мации ползучести ес(£), т. е. существует конечное время
для которого прогиб и обращается в бесконечность. Время
называется критическим временем, a ec(Q — критической
деформацией.
С приближением напряжения сжатия а к эйлерову напря-
жению аэ критическое время падает. Выпучивание произой-
дет при любом малом напряжении с, если стойка будет
работать достаточно долгое время.
1 X
При m=l J(x, х0) = -н-1п —, следовательно, прогиб
Z х0
может неограниченно возрасти только через бесконечный
промежуток времени.
Отметим также, что при х0—>0 интеграл ./(со, х0) не-
ограниченно возрастает, т. е. выпучивание не может произойти
в конечный промежуток времени. Этот вывод не подтвер-
ждается опытными данными; он объясняется тем, что в рас-
сматриваемой схеме игнорируется уменьшение жесткости
сжатых элементов с течением времени.
3.	Метод малых возмущений. Новый метод анализа
устойчивости в условиях ползучести предложили Ю. Н. Ра-
ботное и С. А. Шестериков [5в]. Здесь рассматривается устой-
чивость прямого стержня. Покажем применение этого
метода на той же простой модели Шенли (рис. 182); при
этом следует считать ио — О. До потери устойчивости стер-
жень испытывает равномерное сжатие
ci = 0	(/=1,2).	(76.11)
Сообщим стержню в некоторый момент т бесконечно малое
возмущение (отклонение от прямолинейной формы или импульс)
и выясним характер последующего движения стержня. Напря-
§ 76]
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ
429
жения, деформации и их скорости получат бесконечно малые
приращения. Эти вариации оа;, 8ег, 8ег — 8£г, За* связаны
законом ползучести. Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков
исходят из теории упрочнения (§ 10)
Ф(сг. Pi. Pi) = 0,
(76.12)
где Ф —некоторая заданная функция, рг — ег-----g- — вели-
„	<	" dpi
чина пластической деформации, pi = —^.
Из уравнения (76.12) находим:
между вариациями:
<ЭФ 5	. дФ *	. дФ J •	„
8Pi = 0.
oai	°Рг	dpi
Обозначая выписанные частные производные от Ф соот-
ветственно через а, р, -у х) и заменяя вариации 8/?.;, 8/^ их раз-
вернутыми выражениями —-^-8ог,	---L 8<3г. получаем
л	с.
искомые соотношения между вариациями для
ков 1, 2:
(Еа — р) 8а, — -у 8ог 4- Е (р 8ех -|- -у 8^) = 0,
(Еа — р) 8а2— -у 8а24- Е (Р 8е2 + -у 8£2) = 0.
стержень-
(76.13)
Пусть масса стержня М сосредоточена в точке О и
стержень совершает малые колебания вблизи исходного
состояния равновесия при фиксированной нагрузке Р. С точ-
ностью до малых высшего порядка имеем:
8с1-|-оа2 —0 и Soj-j- 8а2 — 0.
Согласно выражению (76.3) имеем:
и—/(ое2 — 04) и u — l(Z^2—8Bj).
х) Скорость ползучести растет с увеличением напряжения и
с уменьшением деформации, поэтому — <0, -у->0.
430 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в условиях ползучести [гл. XII
Вычитая одно уравнение (76.13) из другого и используя
последние зависимости, получаем:
2 (Да — ₽) 8с, — 27 8о\ — ~ (₽rz + 7«) = 0.	(76.14)
Дифференциальное уравнение движения жесткой части
стержня имеет вид:
M/« = Pu+-1E.8O1.
(76.15)
Дифференцируя это уравнение по времени и применяя
соотношение (76.14), находим уравнение для возмущения «:
₽ — Еа •• . / EFh
------U -4- -77-
7	\ 4/
Р(₽-а
= 0.	(76.16)
1
Для упругого стержня по закону Гука
Baj = Е Bcj,
откуда 8сх =
нимает вид:
Ей
21 ’
и уравнение движения (76.15) при-
1	/ EFh	п\ „
11	+	\ 4i	Pju — 0.
Условие ограниченности возмущения и имеет вид:
EFh ____р > о
4/
Отсюда определяется критическая нагрузка (эйлерова
рила):
=	(Л, = Еаэ).
Теперь дифференциальное уравнение (76.16) можно пере-
писать в форме
I Р +	«' + (Рэ-Р) ~ + [(/’а - Р) ₽ + <*ЕР]	- 0.
(76.17)
§ 76]	об устойчивости равновесий
431
Условимся рассматривать движение в достаточно малом
интервале времени; тогда коэффициенты этого уравнения
можно считать постоянными. Необходимым условием ограни-
ченности возмущения и является положительность коэф-
фициентов уравнения (76.17). Так как коэффициенты при
...	₽ — Еа
и и и положительны (ибо-----— >0, Р < Рэ), то должно
быть
(Рэ —Р)₽ + аЕР>0.
Уравнение границы устойчивости
(Рэ —Р)₽ + аЕР = 0,
(при этом ни один из корней характеристического уравнения
не имеет положительной вещественной части) определяет кри-
тическую нагрузку
Р*=—(76.18)
При заданной критической нагрузке Р, из условия (76.18)
определяется критическая деформация (и соответствующее
критическое время).
По изложенному методу изучена стойчивость сжатого
стержня и сжатой пластинки [56].
Метод малых возмущений, как отметил Г. В. Иванов,
приводит лишь к частичному решению задачи о критерии
устойчивости. При Р < Р* возмущения не возрастают, потеря
устойчивости не происходит. Однако, знание границы Р* не
решает вопроса полностью.
Рассмотрим, в частности, линейный закон деформации
аз —|—Р/? —= 0, причем -у(р — Еа)>0. Граница опреде-
ляется, очевидно, тем же условием (76.18). В случае уравне-
ния Максвелла (§ 8) р = 0 и из условия (76.18) вытекает
тривиальное условие устойчивости Р* = 0. Если исходить
из уравнения теории течения (8.7) и применить линеаризацию,
получим также Р* = 0.
При Р = РЭ происходит 'мгновенное выпучивание. При
Р* < Р <РВ возмущения нарастают с течением времени, но
432 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в условиях ползучести {гл. xii
остается неясным — для какого конечного момента
времени прогибы достигнут «опасного», критического зна-
чения. Этот вопрос является важным для процесса ползучести,
развертывающегося во времени.
4. Полуэмпирические способы определения критиче-
ского времени. Трудности теоретического анализа явле-
ний неустойчивости в состоянии ползучести побудили к по-
искам полуэмпирических способов определения критического
времени.
Один из таких приемов, предложенный Шенли [147] и
Карлсоном [92], состоит в следующем. Рассмотрим изохрон-
ные кривые «напряжение — деформация» (рис. 34). При
данном напряжении а вычисляется касательный модуль Е' = -^
в разные моменты времени tlt t2, t3, ... Этот модуль вно-
сится в решение задачи упругой устойчивости вместо модуля
упругости Е. Например, для сжатой стойки с опертыми
концами критическая нагрузка (для данного времени)
равна
р тРЕ'I
Результаты, получаемые этим способом, не всегда хорошо
согласуются с опытными данными.
Другой прием предложен Джерардом [101]. Джерард рас-
сматривает стержни, пластинки и оболочки совершенной
формы; под действием ползучести их жесткость падает,
и в критический момент времени происходит быстрое выпу-
чивание. Джерард полагает, что выпучивание определяется
достижением некоторой критической деформации, величина
которой находится из решения соответствующей упругой
(или пластической) задачи устойчивости. Пусть найдена кри-
тическая нагрузка (следовательно, и критическое напряжение)
для упругой задачи; тогда по закону Гука при = у вы-
числяется критическая деформация. Таким образом, крити-
ческое время выпучивания в условиях ползучести опреде-
ляется как время, необходимое для накопления критической
деформации. При сложном напряженном состоянии крити-
ческая деформация оценивается величиной интенсивности де-
формаций сдвига. Опыты проведенные Джерардом, удовле-
творительно подтверждают эту гипотезу.
§ 77]
ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
433
§ 77. Выпучивание сжатого стержня
с начальным искривлением
1. Выпучивание стержня идеального профиля. Задача
сжатого стержня,
ряде работ. Во
трудностей рас-
двутавровым се-
о выпучивании в условиях ползучести
имеющего начальную погибь, изучена в
многих из них вследствие математических
сматривается стержень с идеализированным
чением (рис. 183). Рассмот-
рим простейшее из решений
такого типа, принадлежащее
Хоффу [81].
Обозначим через и =
= u(z,f) прогиб стержня;
кривизна оси стержня равна
---Введем, далее, без-
размерные величины
r	z	2
Q = — ,	-w	= — и.
I	h
Скорость изменения кри-
визны равна
,г —.w. (77 и
2/2 dz* O'U
k
' • dw \
< д/ /
С другой стороны,
*=!«-у.
Рис. 183.
где В2—скорости деформации соответственно выпуклого
и вогнутого фланцев профиля (рис. 183). Следовательно,
Но по закону ползучести (упругими деформациями прене-
брегаем)
С1 — 7?^!, а2 —
434 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в условиях ползучести [гл. XII
Осевое усилие Р уравновешивается напряжениями at,
т- е.
Р =	+	(77.3)
Изгибающий момент 714 равен
$),	(77.4)
где F— площадь поперечного сечения стержня. Введем без-
размерные усилие и момент:
2Р	4AI
q - ——, п - -=------.
BrF	B^Fh
Из формул (77.3) и (77.4) находим:
£. = ^-(?+»У’.	=	(77.5)
Изгибающий момент в некотором сечении равен
7И = Ри или п - qw.
Следовательно,
^i = (f) +	^=(т) (1 —(77.6)
Теперь дифференциальное уравнение (77.2) легко преоб-
разуется к виду
+ w	— (1 — wf] = 0,	(77.7)
где положено
Граничные условия для опертого стержня имеют вид:
при С —о и С==1 те» = 0-	(77.8)
1
1'1
pl
Sfii
И1
«К1
ь!1[
fia
ИИ
И;
>®и
'Bly
§ 77	ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ	435
В начальный момент / = 0 задана начальная погибь.
Точное решение нелинейного уравнения (77.7) затр дни-
тельно. Ищем приближенное решение в форме
w = А (/) sin
для случая т — Ъ. Тогда из (77.7) получаем дифференциаль-
ное уравнение для A (t):
^ = -^.(4Д + ДЗ),
откуда
А
.	2л3 Г dA л3 Л3 4 + А2
Зсо J Л(4ф-Л3) — 12со П /3 4ф-Л3 ’
прогиба А к бесконечности, нахо-
А.
Рис. 184
где Ао — начальный прогиб.
Устремляя амплитуду
дим критическое время
12о> л3 "
Характер зависимости
прогиба от времени показан
на рис. 184. Согласно по-
лученному решению началь-
ное искривление в извест-
ных пределах мало влияет
на критическое время t*.
Так как величина ш про-
порциональна qm, то кри-
тическое время очень чув-
ствительно к величине среднего сжимающего напряжения;
с уменьшением q время быстро возрастает.
2. Вариационное уравнение выпучивания сжатого
стержня. Пусть стержень имеет малое начальное искривле-
ние u0 = u0(z). При сжатии силой Р стержень получает
дополнительный мгновенный прогиб	(г). С течением
времени прогиб будет возрастать вследствие ползучести и
к моменту времени t будет равен и =и (z, t).
436 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ [гл. XII
стержня имеют вид:
u+h
Концы стержня оперты:
О12=о = "(г- Ч=1 = °.	(77.9)
Поперечное сечение стержня считаем симметричным отно-
сительно плоскостей xz, yz (рис. 88), а сжимающее напря-
жение а — положительным.
Уравнения равновесия части
14+л
2 J" b(y)ady = P, 2
к—Л	u—h
где 2Ь(у)— ширина профиля, a 2h— наибольшая высота
его.
Вводя новую координату +; = у — и, отсчитываемую
от центра тяжести сечения, получаем:
h	h
2 fab dT] = P, 2 fabf]dii = — Pu. (77.11)
—h	—h
По гипотезе плоских сечений имеем:
е = — хт]-|-е0,	(77.12)
где е0 — относительное удлинение по оси стержня, а
— кривизна оси. Скорость деформации по теории течения
равна (см. § 12)
+	(77-13)
dt Е dt 7 (y/з ) уз
Точное решение системы (77.11) — (77.13) может быть
построено лишь численными методами.
Рассмотрим, следуя работе В. И. Розенблюма [63[, при-
ближенное решение задачи на основе вариационного урав-
нения.
Сопоставим истинное состояние стержня в момент /:
a = c(2, 7j, f). u = u(z, f)
§ 77]	ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
437
с близким ему состоянием
+ $?
0О,

удовлетворяющим граничным условиям (77.9) и уравнениям
статики
h	h
2 J* (a  Sc) b = Р, 2 J" (с -]- Sc) /ng di] = — Р (и -]- Ви).
-h	-h
(77.14)
Очевидно, что вариации напряжения Вс и смещения Ви удо-
влетворяют условиям:
Ви |з=0 = Ви |_=г = 0;	(77.15)
h
2 J" BcZ? dt\ — О,
—1г
h
-h
(77.16)
Как и ранее (§ 30), вариации Вс и Ви считаем не зави-
сящими от времени.
Рассмотрим приращение дополнительной мощности дефор-
мации стержня:
z h
ZW = Z<fdz f^bdT].	(77.17)
О -h
Подставляя сюда В согласно (77.12) и
ния равновесия (77.16), получаем:
учитывая уравне-
I
= Р У ^Zudz.
J at
о
В силу независимости вариаций от времени имеем:
I
lW = -P^-tf^udz.	(77.18)
б
438 устойчивость Равновесий в условиях ползучести [гл. хП
Выполняя интегрирование по частям и учитывая гранич-
ные условия, находим:
•I
а
11
С другой стороны, согласно (29.5):
I h
J J \	' dt I 1
О -7г
где
с/УГ
с2	/*
п=^-, Л = J f(k, t)ldk.
о
Сравнивая оба выражения для 8IF, получаем:
ja___£ / о Г / z/ л I \ j j Р d Г (du\2 , 	~
ЬФ == 6{ 2 /	Ь[А-\- -^т- dr] dz---5- -s- / hr I dz У - 0.
I J J \	' dt ) *	2 dt J \dzl
l о -li	о	J
(77.19)
Истинное распределение напряжения а и смещения и
в стержне при его выпучивании характеризуется стационар-
ностью величины Ф. Полагая Л = 0 и выполняя интегриро-
вание по времени, придем к известному энергетическому
уравнению для определения критической нагрузки упру-
гого стержня.
Вариационное уравнение (77.19) удобно для построения
приближенного решения по способу Ритца. Для этого необ-
ходимо задать подходящие выражения для напряжения а и
прогиба и, содержащие некоторое число произвольных па-
раметров, и определить последние из требования минималь-
ности Ф.
is
га
и
§ 77]	ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ	439
Рассмотрим приближенное решение уравнения (77.19)
с одним произвольным параметром. Пусть
и0 (2) = ию sin ,	(77.20)
где ию—некоторая постоянная. Тогда в момент нагруже-
ния (т. е. при t = 0) имеем согласно известному решению
для упругого стержня
М1(2)+«о(2) = —^-sin^^M(2, 0),	(77.21)
где
—	14
есть эйлерова сила, I — момент инерции. Введем обозна-
чение
«о.	
1—ту
Ищем приближенное решение задачи о выпучивании
в условиях ползучести в форме
u{z, f) = s[f)u(z, 0),	|
о(2, т], O = a0(z, 0 + -^°i(2. 0, J (77-22)
где s(f)— искомая функция времени, a a0(z, f), c1(z, t)
находятся из уравнений равновесия (77.11). Легко видеть, что
Р	Р ..... 7t2
а0=~р>	а1 =----у-«01^(0 Sin -г,
где F— площадь поперечного сечения.
тл	дФ п
Из условия — 0 получаем:
г
<РП ds \ J)
|2 dz — О,
о
440 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в условиях ползучести [гл, XII
Вычислим отдельные слагаемые:
дЛ.	а \ с Р . tzz
(hT-w" —
l h
2 Г	‘
J J ds2 ‘	El 2
о -h
Следовательно, функция s(t) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
l h
0 — h	'
(77.23)
при начальном условии
4=o=L
(77.24)
При произвольном виде функции f решение нелинейного
уравнения (77.23) может быть достигнуто численным инте-
грированием (например по способу Эйлера).
В случае степенного закона ползучести уравне-
ние (77.23) интегрируется. Тогда
/(Jf. Л = 3^(0lop-1,
\ у о /
и уравнение (77.23) принимает вид:
^LZ(P3 —Р)^- = В1(0ЧЧ«),	(77.25)
где положено
I h
'F(s) =— 2 У b | с |"1-1 ат] sin^ di] dz.
О -fl
§ 77]
ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
441
Вычислим Ф($) для нечетных показателей т; в этом
случае
I h
Ф (s) — — 2 J С sin d'f] dz.
0 -h
Внося сюда значение о по (77.22), получаем:
к h
Ф($) —— а’и £[1—arts sin С]”гт) sin C rivj dZ,
0 — h
где положено
Jtz _ r	u01F _
I	I —°-
Развертываем квадратную скобку в строку бинома Нью-
тона. При интегрировании по tj слагаемые, содержащие
нечетные степени т;, обращаются в нуль вследствие симмет-
рии сечения.
Дальнейшие вычисления проведем для случая прямо-
угольного сечения, когда b — const; легко находим:
ф (s)=- [си (^-) -j+cu 4 + • • •
... —
где введено обозначение
Sk — J sinft+1CdC.
о
Заметим, что все числа С^п, Sk положительны, поэтому
Ф(s) > 0 при s > 0. Таким образом, уравнение (77.25)
определяет монотонно возрастающую функцию s(t). Внося Ф(в)
в дифференциальное уравнение (77.25), разделяя перемен-
ные и интегрируя, получаем:
™oi Рэ — Р Г ds _Q ,	(77.26)
4£ а^Л2 J Фх(5)	1W'
Устремим прогиб (а следовательно, и s) к бесконечности.
При т > 1 интеграл в левой части (77.26) остается
29 Зак. 1058. Л. ДО. Качаноа
442 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в условиях ползучести [гл. XII
ограниченным. Поэтому существует некоторое конечное
критическое время t*, для которого прогиб обращается
в бесконечность.
Положим
Jim,
\ и
со
тш01 f ds
i
Тогда критическое время определяется из соотношения

(77.27)
правая часть которого равна величине деформации ползу-
чести в момент при напряжении а0:
Итак,
ДГ") ~ е° (°0’
(77.28)
На рис. 185 сплошными линиями показаны графики
функции J (т, Для различных значений —.
Для выяснения картины нарастания прогибов стержня
найдем время tx, для которого максимальный прогиб стержня
равен h. Момент времени tx определяется, как нетрудно
§ 77]
ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
443
видеть, из зависимости
EF
где положено
ds
Графики /Цт, -~-j показаны на рис. 185 пунктиром.
Соответствующие кривые J и весьма близки друг к другу.
Следовательно, большую часть времени в интервале t <
прогибы остаются незначительными (во всяком случае меньше h\
заметим, что zz01<^/z). Таким образом, как уже отмечалось
ранее, быстрый рост прогибов наблюдается при временах t,
приближающихся к критическому времени
29*
ЛИТЕРАТУРА»)
1.	Альфрей Т., Механические свойства высокополимеров, Гос-
техиздат, 1952.
2.	Арутюнян Н. Х„ Некоторые вопросы теории ползучести,
Гостехиздат, 1953.
3.	Б е л я е в Н. М., Применение теории пластических деформаций
к расчетам на ползучесть деталей при высоких температурах,
Изв. АН СССР, ОТН, № 7, 1943.
4.	Богуславский П. Я., Ползучесть полукольцевых пластин,
Теплоэнергетика, № 2, 1958.
5.	В а н и Прагер, Влияние ползучести и нагрева в упрочняю-
щихся упруго-пластических телах, Сб. перев. «Механика»,
№ 2, 1955.
6.	В е р х о в с к и й А. В., Определение напряжений в деталях
сложной формы, Физматгиз, 1958.
7.	Г и н ц б у р г Я. С., Испытания металлов при повышенных тем-
пературах, Машгиз, 1954.
8.	Г и н ц б у р г Я. С., Релаксация напряжений в металлах, Маш-
гиз, 1957 (библ. 205 назв.).
9.	Г о л ь д е н б л а т И. И., Введение в теорию ползучести строитель-
ных материалов, Стройиздат, 1952.
10.	Груб ин А. Н., Пробл.ма анализа напряженного состояния
в замковых соединениях лопаток газовых турбин, Труды
ВВМИОЛУ, сб. 20, 1957.
11.	Г рубин А. Н., Анализ напряженного состояния елочного
замка лопаток газовых турбин в стадии неустановившейся
ползучести, Труды ВВМИОЛУ, сб. 28, 1958.
12.	Г рубин А. Н., Концентрация напряжения в елочном замке
лопаток газовых турбин, Труды ВВМИОЛУ, сб. 28, 1958.
13.	Даниловская В. И., Иванова Г. М., Р а б о т н о в Ю. Н.,
Ползучесть и релаксация хромомолибденовой стали, Изв.
АН СССР, ОТН, № 5, 1955.
[4. Данюшевский А. Э. и Качанов Л. М., Ползучесть труб,
Советское котлотурбостроение, № 10, 1940.
I
I
х) Список литературы не претендует на полноту и, кроме цити-
рованной литературы, включает лишь некоторые книги и обзорные
|татьи.
литература
445
15.	Жуков А. Н., Работнов Ю. Н„ Чуриков Ф. С.,
Экспериментальная проверка некоторых теорий ползучести,
Инжен. сб., т. 17, 1953.
16.	3 в е р ь к о в Б. В , Ползучесть труб, нагруженных внутренним
давлением и крутящим моментом, Теплоэнергетика, № 6, 1959.
17.	3 в е р ь к о в Б. В., Ползучесть труб, нагруженных внутренним
давлением и изгибающим моментом, Энергомашиностроение,
№ 6, 1959.
18.	Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, 1948.
19.	Кац Ш. Н., Ползучесть и разрушение труб под действием
внутреннего давления, Изв. АН СССР, ОТН, № 10, 1957.
20.	Кац Ш. Н., Ползучесть труб, Вести, машиностроения, № 12,
1953.
21.	Кац Ш. Н., Разрушение аустенитных труб под действием
внутреннего давления в условиях ползучести, Энергомашино-
строение, № 2, 1957.
22.	К а ч а н о в Л. М. и К а ц Ш. Н , О теориях ползучести, Котло-
турбостроение, № 1, 1950.
23.	К а ч а н о в Л. М., Пластическое кручение круглых стержней
переменног диаметра, Прикл. матем. и механ., т. XII, вып. 4,
1948.
24.	К а ч а н о в Л. М., К теории неустановившейся ползучести,
Прикл. матем. и механ., т. XIII, вып. 4, 1949.
25.	К а ч а н о в Л. М., Механика пластических сред, Гостехиздат,
1948.
26.	Качанов Л. М„ Некоторые вопросы теории ползучести, Гос-
техиздат, 1949.
27.	Качанов Л. М., Основы теории пластичности, Гостехиздат,
1956.
28.	К а ч а н о в Л. М„ Ползучесть овальных и разностенных труб,
Изв. АН СССР, ОТН, № 7, 1956.
29.	К а ч а н о в Л. М., О пластическом изгибе кривых тонкостен-
ных труб, Изв. АН СССР, ОТН, № 5, 1957
30.	К а ч а н о в Л. М., О времени разрушения в условиях ползу-
чести, Изв. АН СССР, ОТН, № 8, 1958.
31.	К а ч а н о в Л. М„ О приложении теории Кирхгофа — Клебша,
Ученые записки ЛГУ, сер. матем. наук, вып. 17, 1949.
32.	Качанов Л. М., К теории пластического кручения, Ученые
записки ЛГУ, сер. матем. наук, вып. 21, 1950.
33.	Кларк К., Жаропрочные сплавы, Металлургиздат, 1957.
34.	К л а р к К. и Рейсснер Э., Изгиб трубы с криволинейной
осью, Сб. статей «Проблемы механики», ИЛ, 1955.
35.	К о т т р е л л А., Дислокации и пластическое течение в кристал-
лах, Металлургиздат, 1958.
36.	К о с т ю к А. Г., Напряжения во вращающемся диске при пол-
зучести. Инжен. сб., т. 15, 1953.
37.	Кошелев А. И., Существование обобщенного решения упруго-
пластической задачи кручения, Докл. АН СССР, т. 99, № 3,
1954.
38.	Малинин Н. Н., Основы расчетов на ползучесть, Машгиз,
1948.
446
ЛИТЕРАТУРА
39.	М а л и н и н Н. Н., Установившаяся ползучесть круглых сим-
метрично нагруженных пластин, Труды МВТУ, выл. 26, Маш-
гиз, 1953.
40.	М а л и н и н Н. Н., Ползучесть кольца прямоугольного попе-
речного сечения, Труды МАИ, вып. 17, Оборонгиз, 1952.
41.	Малинин Н. Н., Расчеты на ползучесть (Раздел IV в книге
Пономарев С. Д. и др., Расчеты на прочность в машино-
строении, т. 2, Машгиз, 1952, стр. 813—953; гл. II —III, т. 3,
Машгиз, 1959, стр. 56—204).
42.	М у с х е л и ш в и л и Н. И., Некоторые основные задачи теории
упругости, Изд. АН СССР, 1954.
43.	Наместников В. С., О ползучести при постоянных нагрузках
в условиях сложного напряженного состояния, Изв. АН СССР,
ОТН, № 4, 1957.
44.	Н а м е с т н и к о в В. С., О ползучести при переменных нагрузках
в условиях сложного напряженного состояния, Изв. АН СССР,
ОТН, № 10, 1957.
45	Нейбер Г., Концентрация напряжений, Гостехиздат, 1947.
46.	Новожилов В. В„ Основы нелинейной теории упругости,
Гостехиздат, 1948.
47.	Нормы расчета элементов паровых котлов на прочность, Маш-
гиз, 1956.
48.	Одинг И. А. и Туляков, Ползучесть аустенитной стали
при сложнонапряженном состоянии, Изв. АН СССР, ОТН,
№ 1, 1958.
49.	П р а г е р В. и X о д ж Ф., Теория идеально пластических тел,
ИЛ, 1956.
50.	Рабинович В. П., Исследование конструкционной прочности
турбинных дисков, Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 1959.
51.	Работнов Ю. Н., Равновесие упругой среды с последействием,
Прикл. матем. и механ., т. XII, вып. 1, 1948.
52.	Р а б о т н о в Ю. Н., Некоторые вопросы теории ползучести,
Вести. МГУ, № 10, 1948.
53.	Р а б о т н о в Ю. Н., Расчет деталей машин на ползучесть,
Изв. АН СССР, ОТН, № 6, 1948.
54.	Р а б о т н о в Ю. Н., О диске равного сопротивления, Прикл.
матем. и механ., т. XII, вып. 4, 1948.
55.	Р а б о т н о в Ю. Н., О некоторых возможностях описания
неустановившейся ползучести с приложением к исследованию
ползучести роторов, Изв. АН СССР, ОТН, № 5, 1957.
56.	Работнов Ю. Н. и Шестериков С. А. Устойчивость
стержней и пластинок в условиях ползучести, Прикл. матем.
и механ.. т. XXI, вып. 3, 1957.
57.	Радциг М. А., Расчет турбинного диска с учетом ползучести,
сб. «Прочность элементов паровых турбин», Машгиз, 1951.
58.	Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, ГТТИ,
1938.
59.	Р ж а и и ц ы н А. Р., Некоторые вопросы механики систем, де-
формирующихся во времени, Гостехиздат, 1949.
60.	Рид В., Теория дислокаций, Металлургиздат, 1957.
ЛИТЕРАТУРА
447
61.	Розен б л юм В. И., О релаксационных испытаниях металлов,
Теплоэнергетика, № 10, 1954.
62.	Розенблюм В. И., Расчет ползучести турбинных диафрагм
ступеней высокого давления, Инжен. сб., т. XX, 1954.
63.	Р о з е и б л ю м В. И„ Устойчивость сжатого стержня в условиях
ползучести, Инжен. сб., т. VIII, 1954.
64.	Р о з е н б л ю м В. И., Расчеты некоторых деталей турбин
в условиях ползучести, Котлотурбостроение, № 4, 1951.
65.	Розенблюм В. И., Время до разрушения вращающегося
диска в условиях ползучести, Прикл. матем. и механ., т. XXI,
вып. 3, 1957.
66.	Р о з о в с к и й М. И., О некоторых процессах деформирования
материалов, Изв. АН АрмССР, т. 8, № 3, 1955.
67.	Рыжик И. М., Таблицы интегралов, Гостехиздат, 1948.
68.	Салли А., Ползучесть металлов и жаропрочные сплавы,
Оборонгиз, 1953 (библ. 200 назв.).
69.	С е р е н с е н С. В. и др., Несущая способность и расчеты де-
талей машин, Машгиз, 1954.
70.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, Гостехиздат, 1954.
71	Соколовский В. В., Теория пластичности, Гостехиздат, 1950.
72.	Т и м о ш е н к о С. П„ Теория упругости, ОНТИ, 1937.
73.	Т и м о ш е н к о С. П., Пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1948.
74.	Т и м о ш е н к о С. П., Сопротивление материалов, Гостехиздат,
1946.
75.	Ф и л и н А. П„ К вопросу определения усилий в статически
неопределимых системах при нелинейной зависимости между
напряжениями и деформациями, Труды ЛИИВТ, вып. XXV,
1958.
76.	Филиппов А. П., Напряжения во вращающихся дисках турбо-
машин, Инжен. сб., т. IX, 1951.
77.	Ф ренкель Я. И., Успехи физических наук, т. 33, № 3, 1947.
78.	Фридман Я- Б., Механические свойства металлов, Оборонгиз,
1952.
79.	Фридман Я. Б„ Оценка опасности разрушения машинострои-
тельных материалов, Теорет. основы конструирования машин,
сб. 1, Машгиз, 1957.
80.	Хилл Р., Новые горизонты в механике сплошных сред,
Сб. перев. «Механика', № 2, 1958.
81.	Хофф Н., Продольный изгиб и устойчивость, ИЛ, 1955.
82.	Хофф Н., Выпучивание при высокой температуре, Сб. перев.
«Механика>, № 5, 1958 (библ. 47 назв.).
83.	Ч у р и к о в Ф. С., К вопросу о напряжениях и деформациях
при высоких температурах, Вести. МГУ, № 2, 1949.
84.	Ш е с т е р и к о в С. А., Об одном вариационном принципе
в теории ползучести, Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 1957.
85.	Щетинин Н. Н., Чистый изгиб стержней при условии пол-
зучести материала, Изв. АН СССР, ОТН, № 8, 1956.
86.	Andrade Е. N. da С., Proc. Roy. Soc., А-84, 1, 1910.
87.	Archiv f. Eisenhuttenwesen, May — June, 1957.
88.	Bailey R., The ulilization of creep test data in engineering design,
Proc. Inst. Meeh. Eng., t. 131, 1935, стр. 131.
448
ЛИТЕРАТУРА
89.	В a i 1 е у R., Creep relationships and their application to pipes,
tubes, and cylindrical parts under internal pressure, The Inst’
Meeh, Eng-s Proc., t. 164, 4, 1951.
90.	Becker R., Physik. Zst, t. 26, 1925, стр. 919.
91.	Beskin L., Bending of curved thin tubes, Journ. Appl. Meeh,
t. 12, 1, 1945.
92.	Car Icon R„ Time-dependent tangent modulus applied to column
creep buckling, Journ. Appl. Meeh., t. 23, 3, 1956.
93.	Creep data, Published by ASTM a. ASME, 1938.
94.	Davenport, Correlation of creep and relaxation properties
of copper, Journ. Appl. Meeh., t. 5, 2, 1938.
95.	D a v i s E , Creep and relaxation of oxygen-free copper, Journ.
Appl. Meeh., t. 10, 2, 1943.
96.	Davis E., Creep of metals at high temperatures in bending,
Trans. ASME, t. 59, A-29, 1937.
97.	E v e r e 11 E. a. Clark C., Report on torsion creep tests for
comparison with tension creep tests on a carbon-molybdenum
steel, Proc. ASTM, t. 39, 1939, 215 — 225.
98.	E v e r e 11 a. M i 11 о w i t z, Poissons ratio at high temperatures,
Journ. Appl. Phys., t. 15, 8, 1944.
99.	F h i 11 i p s A., Introduction to plasticity, N.-Y., 1956.
100.	Freudenthal A, Inelastic behavior of engineering materials
and structures, N.-Y., 1950.
101.	Gerard G., A creep buckling hypothesis, Journ. Aeronaut.
Sci., t. 23, 9, 1956.
102.	Gerard G., A critical strain approach to creep buckling of pla-
tes a. shells, Journ. Aero’Space Sci., t. 25, 7, 1958.
103.	Goldin R., Thermal creep design criteria, Aeronaut. Eng-g
Rev., Dec., 1957.
, 104. Hodge P. a. Venka tra m an B., Approximate solutions
1	of some problems in steady creep, Memorie symposium la plasti-
i	cita nella scienza delle costruzioni in onore d. A. Danusso,
| Bologna, 1956.
। 105- Hoff N., The necking a. the rupture of roads subjected to
' constante tensile loads, Journ. Appl. Meeh., t. 20, 1,
।	1953.
106.	Hoff N., Rapid creep in structures, Journ. Aeronaut. Sci., t. 22,
1	10, 1955.
107.	Hoff N„ Creep buckling, The Aeronaut. Quart., t. 7, 1956.
, 108. Jameison J., Ph. D. Thesis, Univ, of Michigan, 1933.
109.	Jeffreys, On plasticity and creep in solids, Proc. Roy. Soc.
। London, A-138, 1932, стр. 283.
, 110. Johnson A., Creep under complex stress systems at elevated
1 temperatures, The Inst. Meeh. Eng-s Proc., t. 164, 4, 1951.
, 111. Johnson A., The plastic, creep and relaxation properties
' of metals, Aircraft Eng-g, t. 21, 239, 1949.
। 112. Johnson A., Creep under complex stress systems at high
1 temperatures, Aircraft Eng-g, t. 24, 275, 1952.
113.	Johnson A., Creep properties of steels for power plants,
1 Eng-g, t. 175, №№ 4536, 4537, 4543, 1953.
Литература
449
114.	Johnson A., The creep of a nominally isotropic aluminum
alloy under combined stress systems at elevated temperatures,
Metallurgia, t. 40, 1949, стр. 125—139.
115.	Johnson A. a. Frost N., Reology of metals at elevated
temperature, Journ. Meeh. a. Physics of Solids, t. 1, 1, 1952.
116.	J о h n s о n A., M a t h u г V. a. Henderson J., Creep under
changing complex stress systems, The Eng-r, № 5350—5352,1958.
117.	Johnson A. a Tapsell, Creep under combined tension
a. torsion, Eng-g, t. 150, July—Aug., 1940.
118.	Karl H., Biegung gekrummter, diinnwandiger Rohre, Zst. angew.
Math. Meeh., t. 23, 6, 1943.
119.	Karman Th., Ueber die Formanderung diinnwandiger Rohre,
insbesondere federnder Ausgleichrohre, Zst. VDI, 1911, стр. 1889.
120.	Kennedy A., The creep of metals under interrupted stressing,
Proc. Roy. Soc., A-213, 1115, 1952.
121.	Larson E. a. Miller J., A time — temperature relationship
for rupture and creep stresses, Trans. ASME, t. 74, 5, 1952.
122.	Marin J., Mechanical properties of materials and design,
NY—London, 1942.
123.	Marin J., Interpretation of creep and long-time test data, Proc.
Soc. Exp. Stress Anal., t. 11, 2, 1954.
124.	Marin J., A theory for combined creep strain-stress relations
for materials with different tension a. compression properties,
Journ. AppL Meehan., t. 18, 3, 1951.
125.	Marin J., A survey of recent research on creep of engineering
materials, Appl. Meeh. Rev., t. 4, 12, 1951.
126.	Marin J., Creep deflections of columns, Journ. Appl. Phys.,
t. 18, 1, 1947.
127.	Marin J, F a u p e 1, Hu, Combined tension-torsion creep-time
relations for aluminum alloy 2S-O, Proc. ASTM. m. 50, 1950.
128.	Marin J. a. Zwissler, Creep of aluminum subjected to ben-
ding at normal temperatures, Pros. ASTM, 1940.
129.	Me. C u 11 о u g h, An experimental and analytical investigation
of creep in bending, Trans. ASME, t. 55, 1935, стр. 55.
130.	Moore, Betty, Dollins, Investigation of creep and fracture
of lead, Univ, of Illinois Eng. Exp. Stat. Bull., № 306, 1938.
131.	Nadai A., The influence of time upon creep, S. Timoshenko
Anniversary Volume, N.-Y., 1938.
132.	Nadai A., The creep of metals under various stress conditions,
Th. v. Karman Anniversary Volume, 1941.
133.	Nishihara, Taira, Tanaka, Yoshizumi, Creep pheno-
mena of mild steel, Proc. 4 Japan Nat. Congr. Appl. Meeh.,
1954.
134.	Nishihara, Tanaka, Tension and creep tests on mild steel,
Proc. 5 Japan Nat. Congr. Appl. Meeh., 1955. См. также
Nishihara, Tanaka, Shim a, Creep under tension and
torsion, там же.
135.	Norton F., Creep in tubular pressure vessels, Trans. ASME,
Apr., 1939.
450
ЛИТЕРАТУРА
136.	О d q V i s t F„ Creep stresses in a rotating disc, Proc. Fourth
Int. Congr. Appl. Meeh., 1934.
137.	О d q v i s t F„ Influence of primary creep on stresses in structural
parts, Acta Polytechnica, 125, t. 2, 9, 1953.
138.	О d q v i s t F., Recent advances in theories of creep of engi-
neering materials, Appl. Meeh. Rev., t. 7, 12, 1954.
139.	О d q v i s t F„ Engineering theories of metallic creep, Memorie
symposium la plasticita nella scienza della costruzioni in onore
d. A. Danusso, Bologna, 1956.
140.	Orowan E., Journ. West Scot. Iron and Steel Inst., t. 54, 1947.
141.	Popov E., Stresses in turbine disks at higt temperatures, Journ.
Franklin Inst., May, 1947.
142.	Popov E., Correlation of tension tests with relaxation tests,
Journ. Appl. Meeh., к 14, 2, 1947.
143.	Prager W„ Total creep under varying loads, Journ. Aeronaut,
Sci., t. 24, 2, 1957.
144.	R о bJ n s о n E., 100.000 hour creep test, Meehan. Eng-g, March,
145.	Ross A., Structural Engr, t. 24, 1946, стр. 421.
146.	Rotherham L., Creep of metals, London, 1951.
147.	Shanley F., Weight.-Strength analysis of aircraft structures,
NY — London, 1952.
148.	Siegfried W., Note sur 1’emploi des acier soumis a des cont-
raintes triaxiales a haute temperature, R. de Metallurgie, 3, 1955.
149.	Soderberg R., The interpretation of creep tests for machine
design, Trans. ASME, t. 58, 8, 1936.
150.	Stanford E., The creep of metals and alloys, London, 1949.
151.	Trifan D., On the plastic benging of circular plates under
uniform tranverse loads, Quarterly Appl. Mathem, t. 6, 4, 1949.
152.	T rum pier, Relaxation of metals at high temperatures, Journ.
Appl. Phys., t. 12, 3, 1941.
153.	T a p s e 11 H., An investigation of the nature of creep under
stresses produced by pure flexure, J. Inst. Metals, Aug., 1935.
154.	Venkatraman a. Hodge, Creep behaviour of circular
plates, Journ. Appl Meeh., t. 25, 1, 1958.
155.	Wahl A., Analysis of creep in rotating disks based on the
Treska criterion and associated flow rule, Journ. Appl. Meeh.,
t. 23, 2, 1956.
156.	Wahl A., Stress distribution in rotating disks subjected to creep
at elevated temperature, Journ. Appl. Meeh., t. 24, 2, 1957.
157.	Wahl A., Further studies of stress distribution in rotating disks
and cylinders under elevated-temperature creep conditions, Journ.
Appl. Meeh., t. 25, 2, 1958.
158.	Wahl A., Sankey, G„ M a n j о i n e M., S h о e m a k e r E ,
Creep tests of rotating disks at elevated temperature and com-
parison with theory, Trans. ASME, t. 76, 1954, стр. 225—235.
159.	Weber C., Veranschaulichung und Anwendung der Minimal-
satze der Elastizitatszheorie, Z. ang. Math. u. Meeh. t. 18, 1938.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропия деформационная 74
Балка консольная 217
— статически неопределимая 217
Беляева уравнение 50
Больцмана — Вольтерра уравне-
ние 55
Бредта теорема 268
Вал 89, 283
Вебера оценка 373
Восстановление 28
Время критическое 423, 428, 432
— разрушения 197, 201, 203
----вала 286, 288
---- диска 413
---- трубы 304
Выпучивание 425, 433
Выточка стержня кольцевая 277
Г аусса — Остроградского фор-
мула 107
Гипотеза об отсутствии давле-
ний 246
----— объемных изменений
338
—	плоских сечений 246
Гука закон 68
Давление среднее 60
Деформация критическая 425,
428, 432
—	малая 63
— мгновенная 15
— пластическая 15, 53, 152, 179
— плоская осесимметрическая
125
— ползучести 15, 16, 53
—	упругая 15
—	упруго-пластическая 15
Диаграмма Мора 60
Диафрагма турбинная 382
Диск вращающийся 391, 392
—	неравномерно нагретый 404
—	равного сопротивления 403,
413
— сплошной равномерно на-
гретый 396
Дислокация 37
Жесткость при кручении 257
Жидкость идеальная 39
Зависимость ползучести от тем-
пературы простая 32, 70
Задача изопериметрическая 230
— основная 115,	141,	149,
241
— релаксационная 149, 171, 235,
241
— смешанная 115,	141, 149,
241
—	статически определимая 233
Закон Гука 68
—	ползучести 22
—	течения по нормали 73
Изгиб консоли 116, 234
—	кривых труб 329
—	прямоугольного стержня 177
—	чистый 132, 228
Излом хрупкий 16
Инвариант тензора деформаций
квадратичный 63
—	линейный 63
---напряжений квадратичный
60
		линейный 60
—	—скорости деформации квад-
ратичный 64
452
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интеграл Фейера 277
Интенсивность деформаций сдви-
га 63
— напряжений касательных 60
— скоростей деформации сдвига
64
Интерполяция графическая 81
Испытания кратковременные 18
Кармана теория 329
Кастильяно принцип 112, 155
— теорема обобщенная 150, 183,
241
— уравнение вариационное 254
Кольцо сложного профиля 377
Концентрация напряжений 269,
278, 290
Коэффициент гибкости кривой
трубы 333, 335, 337
— Кармана 329
— овальности 311, 320
— ползучести 20, 23
— сжатия объемного 144
Кривая ползучести 14, 16
----- идеализированная 16
----- истинная 349
-----при постоянном напряже-
нии 54
— прочности длительной 204
— релаксации 24
Кручение 252
— круглого вала 89, 131
— стержня 125, 175
----- квадратного 263
-----круглого 256, 271
-------с продольным пазом 274
----- переменного диаметра 281
-----прямоугольного 255, 260
----- с кольцевой выточкой 283
— тонкостенных замкнутых про-
филей 267
----- открытых профилей 269
Линия пластины осевая 382
Лоде — Надаи параметры 347
Лопатка турбинная 195
Макротрещины 33
Максвелла уравнение 41
Материал стабильный 17
Машина релаксационная 25
Метод вариационный общий 128
— малых возмущений 428
— Работнова 49
— Ритца 214, 225, 260, 333, 361,
366
---модифицированный 128,
216, 366
— Эйлера 231
Механизм пластический 192
Микротрещины 33
Минимум дополнительного рас-
сеяния 128, 365
—	полной мощности 126
-------абсолютный 109
------- относительный 109
Множитель релаксации 171, 236
Модуль пластичности 50
—	сдвига 68
—	секущий 51, 130
—	упрочнения 36
—	упругости 40
Момент изгибающий 232
— инерции 406
---обобщенный 235
Монжа — Ампера уравнение 283
М-опыты 339
Мощность вариаций напряжений
147
— деформации дополнительная
144, 145
— полная 108
— сил внешних 114, 123
--- внутренних 114
Нагрев неравномерный 327
Нагружение повторное 29
—	простое 68
—	сложное 354
—	ступенчатое 58
Нагрузка критическая 432
— предельная 136, 138
Направления главных скоростей
деформации 65
—	деформации главные 65
Напряжение критическое 432
— максимальное растягивающее
202
—	нормальное 60
— основное 314
— остаточное 327
— эквивалентное 308
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
453
Напряжение эффективное 202
Напряжения главные 59
-----касательные 60
— дополнительные 314
— допускаемые 356
— истинные 147
— касательные 60, 226
-----максимальные 60, 76
Нейбера формула 276
Область жесткого смещения
124
— интенсивного течения 124
— нагружения 301
— разгрузки 301
Оболочка безмоментная 379
— равного сопротивления пол-
зучести 381
Образец кольцевой 248
Одквиста схема 79
Округление трубы 320
Окружность раздела 302
Охрупчивание 34
Оценка Вебера 373
Параметры Лоде — Надаи 347
Период квазивязкого течения 16
— ползучести втооой 15
-----первый (переходный) 15
----- третий 17
— постоянной скорости ползу-
чести 17
Пластина 363, 364, 370
— кольцевая 375
— круглая 366, 374
— почукольцевая 382
Пластичность идеальная 192
Плоскость главная 60
девиаторная 61
— октаэдрическая 61
Плотность упругой потенциаль-
ной энергии тела 155
р-опыты 339
(Р 7И)-опыты 345, 353
(р Р)-опыты 344
Поверхность раздела фиксиро-
ванная 180
— течения 73
Подобие кривых ползучести
23
Показатель ползучести 20, 23
Ползучесть кратковременная 71
— металлов 11
— неустановившаяся 161, 170,
----- при кручении 277
— обратная 28, 57
— при переменном напряжении
25
— установившаяся 101, 156
Последействие 55
Потенциал течения 73, 74
— упругий 144
Предел длительной прочности
197
— ползучести 356
----- длительной 356
-----при растяжении 137
-------- сдвиге 137
— усталости 35
Принцип Кастильяно 112, 155
— минимума 139
----- дополнительного рассея-
ния 111, 139, 329
------- дополнительной мощности
148, 239
-------- работы 154
-----полной мощности 108, 139
-------- энергии 155
— Сен-Венана 114
Производная дополнительного
рассеяния 113
— полная (субстанциональная)
69
Процесс трещинообразования 18,
20, 286
Прочность длительная 33
— труб 355
Пружина 284, 285
Пуассона число 68
Работа дополнительная 145
Разгрузка 56
Разрушение внутрикристалличе-
ское 34
— вязкое 16, 33, 204
— межкристаллическое 34
— ускоренное (нестабильное)
201
— хрупкое 33, 201, 202, 287
— чисто хрупкое 204
«Разрыхление» металла 18
454	ПРЕДМЕТНЫЙ
Разупрочнение термическое 35,
Рама 222
Распределение касательных на-
пряжений 226
—	напряжений мыслимое 147
Рассеяние 104
—	дополнительное 105, 144
Растяжение полосы с отверстием
138
Расширение объемное 63
Резольвента ядра 55
Релаксация 54, 56
—	в кольцевом образце 249
—	давления в полом шаре 99
—	изгибающего момента 95, 178
—	крутящего момента 176, 280
—	напряжений 24
—	при чистом изгибе 238
Решетка 82, 122, 184, 186
—	неравномерно нагретая 192
Розенблюма способ 80
Ротор 418
Сдвиг главный 63
—	максимальный 63
Сен-Венана — Мизеса уравнение
Система распадающаяся 173
—	статически неопределимая 236
Скорость деформации ползуче-
сти 20, 53, 63
—	дополнительная 314
— относительного изменения
объема 64
— прогиба 359, 373
Скорости сдвигов главные 64
------ максимальные 64
—	скашивания прямых углов 64
—	удлинений 64
	-главные 64
Соединение лопаточное 418, 420
— фланцевое 378
Состояние деформированное 62
— напряженное 59
------ истинное 141
------сложное 59
—	начальное упругое 154
------упруго-пластическое 155
—	ползучести предельное 85,
117, 122
УКАЗАТЕЛЬ
Сплошность 202
Способ Розенблюма 80
Стадия распространения разру-
шений 287, 290
— скрытого разрушения 287, 290
Стержень большой кривизны 243,
246
— кривой 243
— малой кривизны 243, 246
Схема Одквиста 79
Таблица ползучести 220
Тело жестко-пластическое 137
— жестко-ползучее 137
— идеально-ползучее 115, 117
— неравномерно нагретое 151,
169, 174
Температура соответственная 31
Тензор деформации 62
— напряжения 59, 73
-	скоростей деформации 64, 73
Теорема Бредта 268
—	Кастильяно обобщенная 150,
183, 241
—	энергии 158, 173
Теория дислокации 35, 36
—	Кармана 329
—	«идеального кристалла» 35
—	наследственности 55
—	разупрочнения 35
—	старения 47, 146, 154, 169
—	течения 39
—	упрочнения 52
—	упруго-пластических дефор-
маций 71
Течение внутрикристаллическое
33
—	вязкое 202
— квазивязкое 16, 36, 40
— квазиустановившееся 88, 141
— нелинейно-вязкое 40
— пластическое 187
— установившееся 103
Точка изображающая 397
Треска — Сен-Венана условие
текучести 370
Трещинообразование 33, 201, 305
Трещины магистральные 33
Труба овальная 312, 319
— овально-разностепная 312, 321
—- разностенная 311, 314
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
455
Труба толстостенная 295,298, 307,
319
----неравномерно нагретая 322
— тонкостенная круглая 291,303,
----неравномерно нагретая 322
Удлинение абсолютное 15
—	главное 63
—	относительное 15
Упрочнение 193
Уравнение Беляева 50
—	Больцмана — Вольтерра 55
—	Кастильяно вариационное 254
—	Максвелла 41
—	Монжа — Ампера 283
— ползучести 39, 69
----в компонентах напряжения
103
---- нагретого тела 70
----при пластических дефор-
мациях 71
----установившееся 101
-------- в скоростях 103
— Сен-Венана — Мизеса 79
—	теории старения 47, 74
---- упрочнения 75
—	Эйлера 283
Условия совместности Сен-Ве-
нана 103
Условия текучести Треска —
Сен-Венана 370
Усталость 35
Устойчивость равновесия 423
Участок постоянной скорости
ползучести 17
Фейера интеграл 277
Формула Гаусса — Остроград-
ского 107
—	Нейбера 276
Фронт разрушения 287
Характер разрушения вязкий 197
Число Пуассона 68
Шар 124, 135
Шарнир ползучести 126, 221
Шейка 16
Эйлера уравнение 283
Энергия активации 37
—	упругая потенциальная 235
Эффект локализации разруше-
ния 202, 204
Ядро несущее 288
—	последействия 55