Текст
ТЕХНИЧЕСКИЙ г> УНИВЕРСИТЕТ
В. К. Романко, Н. X. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
уравнениям
ВАРИАЦИОННОМУ
исчислению
Под редакцией В. К. РОМАНКО
Москва
Лаборатория Базовых Знаний
Ю11ИМЕДИАСТАЙЛ
ФИЗМАТЛИТ
2 00 2
УДК 517.9
ББК 517.2
Р69
Под редакцией В. К. Романко
Романко В. К.
Р 69 Сборник задан но дифференциальным уравнениям и вариационному ис-
числению / В. К. Романко, Н. X. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко. —
М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. - 256 с.: ил.
ISBN 5-93208-120-1
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные
уравнения и вариационные исчисления». В начале каждого параграфа приводятся ре-
шения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономиче-
ских специальностей.
УДК 517.9
ББК 517.2
Серия «Технический университет»
Учебное издание
Романко Василий Кириллович
Сборник задач по дифференциальным уравнениям
и вариационному исчислению
Художественный редактор Н. Лозинская
Технический редактор Т. Бленцева
Оригинал-макет подготовлен в пакете ГАТрХ 2е
с использованием кириллических шрифтов семейства LH
Гарнитура Computer Modern
Лицензия на издательскую деятельность № 066140
от 12 октября 1998 г.
Подписано в печать 13.03.02. Формат 70х100'/|6. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,64. Тираж 5000 экз. Заказ 1374
ООО Издательство «Лаборатория Базовых Знаний»
Адрес для переписки: 103473, Москва, а/я 9
Телефон (095)955-0398. E-mail: lbz@aha.ru
Гигиеническое заключение 77.99.2.953.П.9816.3.00 от 22.03.2000 г.
Отпечатано с готовых диапозитивов в полиграфической фирме
«Полиграфист». 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
ISBN 5-93208-120-1
© Романко В. К., Агаханов Н.Х.,
Власов В.В., Коваленко Л.И., 2002
© ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 6
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых.
Приближенное изображение интегральных кривых уравнений ... 6
Ответы к задачам §1....................................... 9
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные тра-
ектории. Однородные уравнения.............................. 10
Ответы к задачам §2..................................... 16
§ 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и
уравнения Риккати.......................................... 19
Ответы к задачам § 3..................................... 24
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множи-
тель. Замена переменных.................................... 27
Ответы к задачам §4...................................... 31
§5. Исследование задачи Коши................................ 32
Ответы к задачам § 5..................................... 42
§ 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно произ-
водной. Особые решения..................................... 44
Ответы к задачам § 6..................................... 48
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 52
§ 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка
уравнения.................................................. 52
Ответы к задачам § 7..................................... 62
§ 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффици-
ентами. Уравнения Эйлера................................... 65
Ответы к задачам § 8..................................... 78
§ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с пере-
менными коэффициентами..................................... 88
Ответы к задачам § 9..................................... 96
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи...................... 101
Ответы к задачам § 10................................... 107
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 109
§ 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными ко-
4
эффициентами........................................... 109
Ответы к задачам §11................................... 127
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами .. 150
Ответы к задачам § 12.................................. 154
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 156
§ 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений
равновесия.................................................. 156
Ответы к задачам § 13.................................. 164
§ 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положе-
ний равновесия и на всей фазовой плоскости.................. 173
Ответы к задачам § 14.................................. 177
§15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия........ 180
Ответы к задачам § 15.................................. 185
§16. Первые интегралы..................................... 186
Ответы к задачам §16................................... 191
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка 194
§ 17. Линейные однородные уравнения........................ 194
Ответы к задачам §17................................... 204
§18. Квазилинейные и нелинейные уравнения................. 211
Ответы к задачам §18................................... 218
Глава 6. Элементы вариационного исчисления 220
§ 19. Простейшая вариационная задача....................... 220
Ответы к задачам § 19.................................. 234
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи............. 237
Ответы к задачам п. 1 § 20............................. 241
Ответы к задачам п. 2 § 20............................. 245
Ответы к задачам п. 3 § 20............................. 248
§21. Изопериметрическая задача............................ 248
Ответы к задачам §21................................... 252
§ 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в
простейшей вариационной задаче.............................. 253
Ответы к задачам § 22 ................................. 255
Список литературы 256
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник составлен на основании многолетнего опыта пре-
подавания курса обыкновенных дифференциальных уравнений в Москов-
ском физико-техническом институте (государственном университете).
В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составлен-
ных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ. Значительная
часть задач сборника подготовлена авторами. Н.Х. Агаханов укомплекто-
вал задачами §6 и §13 сборника, В. В. Власов совместно с В. К. Романко
подобрали задачи §8 и §11 сборника, Л. И. Коваленко составила задачи
§ 7 и совместно с В. К. Романко подобрала задачи §§ 2—4 и § 9 сборника.
Подбор задач остальных параграфов сборника и общая редакция сборника
осуществлены В. К. Романко.
В начале каждого параграфа сборника помещены примеры решений
типовых задач. Начало решения задачи отмечается значком А, а конец
решения — значком А. В конце каждого параграфа приведены ответы к
задачам параграфа.
В сборнике предлагается большое количество задач по основным те-
мам программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Это
позволяет использовать сборник преподавателями для аудиторной работы,
для домашних заданий, для составления контрольных работ, а студентами
для самостоятельной работы.
Авторы сборника выражают глубокую благодарность коллективу ка-
федры высшей математики МФТИ, чья многолетняя творческая деятель-
ность способствовала появлению этого сборника. Авторы сборника особен-
но благодарны профессору Г. Н. Яковлеву и профессору М. И. Шабунину
за помощь при написании сборника.
Глава 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Составление уравнений заданного семейства
плоских кривых. Приближенное изображение
интегральных кривых уравнений
Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых зада-
но уравнением Ф(^,у,С) = 0, где у неявная функция х при каждом
значении параметра С. Если система уравнений
1дФ дФ , „
Д--' У ~
ох оу
Ф(т/(/, С) ~ О
позволяет исключить параметр С, то получается дифференциальное урав-
нение заданного семейства кривых.
В случае, когда семейство кривых задано уравнением Ф(.т, у, С], 6Л) —
= 0, зависящим от двух параметров Ci и С2, исключение параметров Сд,
С>2 и получение дифференциального уравнения семейства кривых дости-
гается с помощью нахождения второй производной от Ф по х.
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
tg У = Ce~xi.
А Продифференцируем по х заданное соотношение, считая у неявной
функцией х:
= -2хСе~х2.
cos2 у
Подставляя сюда найденное из заданного соотношения С = ех' tg y, полу-
чаем искомое уравнение
у1 + or sin 2у = 0. А
Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференциаль-
ного уравнения у1 = f(x,y), необходимо рассмотреть несколько изоклин
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых
7
уравнения и найти линии, на которых могут находиться точки экстремума
и точки перегиба интегральных кривых.
ПРИМЕР 2. Построить приближенно интегральные кривые уравнения
у' — у — Зх.
Д Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы существо-
вания и единственности решения задачи Коши на всей плоскости (х.у).
Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться. Изо-
клины уравнения имеют вид у — Зх = к, где k = const. При к — 0 изоклина
у = Зх делит плоскость на две части. Слева от прямой у — Зх у' > 0 и,
значит, интегральные кривые там возрастают, а справа от прямой у = Зх
у' < 0 и, значит, интегральные кривые там убывают. Следовательно, на
прямой у = Зх находятся точки максимума интегральных кривых.
Возьмем еще две изоклины. Изоклина у = Зх + 1 пересекает интеграль-
ные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ох
7Г
углы —. Изоклина у — Зх — 1 пересекает интегральные кривые в точках, в
Зтг
которых касательные к ним образуют с осью Ох углы ~.
Из уравнения найдем у" = у' — 3 = у — Зх — 3. Прямая у = Зх 4- 3
делит плоскость на две части. Слева от прямой у — Зх + 3 у" > 0 и,
8
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
значит, интегральные кривые выпуклые вниз, а справа от этой прямой
у11 < 0 и, значит, интегральные кривые выпуклые вверх. Прямая у = 3т4-3
является интегральной кривой, в чем можно убедиться подстановкой в
уравнение. Поэтому интегральные кривые не пересекают эту прямую и,
следовательно, они не имеют точек перегиба.
Проведенное исследование позволяет приближенно построить инте-
гральные кривые заданного уравнения (см. рис.). А
Составить дифференциальные уравнения семейства кривых (1—18):
1. у = Сх2 — х. 2. у = х2 4- Сх.
3. у = (х- С)2. 4. (у - су = 2х.
5. (х - С)2 4- у2 = 1. 6. я2 4- (у - С)2 = 1.
7. 2х2 + Су2 = 1. 8. с</-с)2Ц.
9. х2 + 2х — (у — С)2 = 2. 10. у = tg(T + C).
11. Сх = sin Су. 12. Су = tgCz.
13. х2 = (С + у)еу. 14. у2 4- 2Сху 4- х2 4- 2х = 0
15. у = A cos (х 4- </?). 16. У=(С^ + С2х)е*.
17. Ci ~ у= — 4- С2х. 18. у2 = Cjx2 4- С2х.
Построить приближенно интегральные кривые уравнений (19—38):
19. 1 1 II 'Л 20. ж + 1
21. , 1 — X 22. f X 4-1
У . • У - 1 У 1 - у'
23. v' = ^. X 24. у' = ^. 1 — X
25. у’ = {х- 1)у. 26. у' = х(у + 1).
27. / 2т 4-?/ У = о • т - 28. , у - 2х У = о , • 2у 4- х
29. уг ~ 2х 4- 2у 4- 1. 30. у =2х-2у ~
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых
9
31. у1 = у — х2 — 2х — 2. 32. у' = у — х2 4- 2х
33. II 1 № 1 34. ! У , 2 у =-+х. X
35. / 3 У =У~х. 36. у1 - 2ху - 2.
37. у’ = х2 + у2 - 1. 38. у1 = х2- у2- 1.
39. Пусть задано уравнение у' = f(x,y) с непрерывной функцией f(x,y)
на всей плоскости (х,у). Показать, что если это уравнение имеет
периодическое решение периода Г, то необходимо f(x.y) является
периодической функцией х периода Т.
40. Пусть у = (р(х) — решение уравнения у1 = f(x,y) с непрерывной
функцией flx^y) на всей плоскости (х,у). Показать, что:
а) при f(—x,y) = —f(x}y) функция у = х) также решение урав-
нения,
б) при f(x,—y) = —f(x,y) функция у = — <р(х) также решение урав-
нения,
в) при f(—x,—y) = f(x,y) функция у — ~<р(—х) также решение
уравнения.
41. Пусть f(x,y) — непрерывно дифференцируемая функция на всей
плоскости (х,у) и пусть f(x^y) — периодическая функция по х пе-
df(x, у)
риода Т и > 0.
ду
Доказать, что уравнение у1 = f(x,y) не может иметь более одного
периодического решения.
Ответы к задачам § 1
1. ху' — 2у = х.
3. у’2 = 4у.
5. у2 (у'2 + 1) = 1.
7. (2х2 — 1) у' = 2ху.
9. (ж2 + 2х — 2) у'2 = (х + I)2.
2. ху' ~ у = х2.
4. 2ху'2 = 1.
6. (1 — а;2) у12 = х2.
8. 4д:37//2 = 1.
10. у' = 1 + у2.
10
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
11.
1 у\/у'2 ~ 1
— = cos ——-—
13. (х2 4- еу) у1 = 2х.
15. у" 4- у = 0.
17. х2у” + ху' — у = 0.
14. х (у2 — х2 — 2х) у' = у (у2 — х2).
16. у"-2у' + у = 0.
18. х2 (уу“ + у12) = у(2ху' - у).
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными.
Ортогональные траектории. Однородные уравнения
Для решения уравнения с разделяющимися переменными
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0
необходимо уравнение сначала умножить или разделить на такое выра-
жение, чтобы в результате получилось уравнение, одна часть которого
содержит только dx и некоторую функцию х, а другая часть содержит
только dy и некоторую функцию у. При делении уравнения надо следить,
чтобы не потерять решений уравнения.
ПРИМЕР 1. Решить уравнение
(х 4- 2) (1 4- у2) dx + (х 4- l)y2dy ~ 0.
А Разделив уравнение на (т4-1) (1 4- у2), получаем уравнение с разделен-
ными переменными
При делении на (х 4- 1) можно потерять решение х = — 1. Подстановка
х = — 1 в заданное уравнение показывает, что х — — 1 действительно явля-
ется решением уравнения.
Далее имеем
где С — произвольная постоянная. Найдя интегралы, получаем
х 4- у 4- In |rr 4-1| — arctg у = С.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
11
Для получения ортогональных траекторий заданного семейства плос-
ких кривых нужно сначала составить дифференциальное уравнение се-
мейства кривых F(x, у, у1) = 0. Затем заменить в этом уравнении у1 на
(— — |. Это дает дифференциальное уравнение искомых ортогональных
У }
траекторий.
Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства кривых
у = tg(ln(7aj).
А Сначала составим дифференциальное уравнение заданного семейства
кривых. Дифференцируя по х уравнение заданного семейства и исключая
параметр С, получаем уравнение
=------27Г> ч- = - [i + ‘g2 (biCz)] =
X • cos2 (In Cx) x L J X
Заменяя в этом уравнении у' на находим дифференциальное урав-
\ У /
нение ортогональных траекторий
—х
гч , dy
Заменив у на — и решив полученное уравнение с разделенными перемен-
dx
ними, находим уравнение ортогональных траекторий Зх2 + 2у3 +6у = С. А
Однородные уравнения P(x^y)dx^Q(x, y)dy — 0 решаются с помощью
замены у = х • z, приводящей их к уравнениям с разделяющимися пере-
менными.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение 2xydx = (х2 + у2) dy.
А Замена у = xz приводит заданное уравнение к уравнению с разделяю-
щимися переменными
х (1 + z2) dz + z
1) dx — 0.
Заметим, что z = 0, ±1 — решения этого уравнения. Тогда из замены
следует, что у = 0 и у = — решения исходного уравнения. При z 0, ±1
уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде
dx ( 2z
-------------------------( ~2---Г
X \ z£ — 1
= 0.
12
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Решив это уравнение и использовав замену z = —, получаем решения
х
заданного уравнения:
х2 - у2 = Су, у = 0.
Уравнение вида (а^т 4- b^y + ci)dx + (аъх 4- Ь%у 4- cz)dy = 0 в том случае,
когда прямые aiT4-bi?/4-Ci = 0 и а2^+^2У+с2 = 0 пересекаются, приводится
к однородному уравнению с помощью переноса начала координат в точку
пересечения прямых.
Решить уравнения (1—23):
1- у' - У2 “ У-
3. ху' cos у + sin у = sin2 у.
5. 2xydx = (1 — т2) dy.
7. yyf cost = (1 — у) sinх.
9. (т2 — 1) ydx — х (т2 4-1) dy.
11. ху1 + у2 । — — Зх } = 0.
\т /
13. (х + 1)у' 4- у(у 4-1) = 0.
15. х2 (т2 4- 4) у1 = cos2 у.
17. (14- cos х}уу' =(14- у2) sinT.
2. (т2 + т) у1 — (2т 4- 1)т/ = 0.
4. у1 cost 4- ?/(1 4- у) sinT = 0.
6. x^ydy = (т — l)dx.
8. х(1-у2)у' = у(1 + у2).
10. х(у 4- l)dy = (1 — у2} dx.
12. (1 — т2)2 уу' 4- т = 0.
14. (1 4- у2) ydx = т (1 4- 2у2) dy.
16. у1 tg2 т — ctgy = 0.
18. yexdy + хеу2dx = 0.
19. т(1 4- у)у' 4- (х/т 4- 1пт) (1 4- у2) = 0.
20. (т — l)yyf 4- (х2 4- 1) (у 4-1)2 = 0. 21. x2dx 4- (1 + т6) х/1 ~ %ydy = 0.
22. y'Vl — х^ 4- т (1 4- еу) = 0. 23. у'—-------h е-ул/1 + еу = 0.
cos т
С помощью линейной замены переменных привести уравнения к уравне-
нию с разделяющимися переменными и решить их (24—27):
24. (2т 4- у 4- 2)б/т — (4т 4- 2у 4- tydy = 0.
25. (4 — т — 2y)dx — 2(1 + т 4- tyjdy = 0.
26. (2у — т 4- 1)с?т 4- (4?/ — 2т 4- 6)ф/ = 0.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
13
27. (у — Зх 4- 2)dx 4* (Зх — у — l)dy = 0.
Найти решение уравнений, удовлетворяющее заданному начальному усло-
вию (28—39):
28. 2у (1 + у2) dx + x (Зу2 4- у 4- 3) dy = 0, 2/(1) = 1.
29. х(2у - 1)у' + 4г/2 = 0, г/(-1) = -1.
30. х(1 + у)у' = г/2, 2/(1) = 1.
31. Зж(гс + 1)г/' = (ж + 2)у, г/(1) = -1.
32. (у 4- 2)г/' = зй12ж, у(0) — 1.
33. (е1 + I)2 у1 + (е2х - 1) у = 0, у(0) =
34. (х2 + х) у’ - (ж2 + х + 1) у = 0, л(1) =
35. (ж3 4- х) у1 — (Зж2 — 1) у ~ 0, г/(—1) = —4.
36. у1 4- Зг/2 = Зу, 2/(0) = |.
37. у' = (г/ 4- г/4) th ж, г/(0) = 1.
38. ху' 4- г/(1 4- у) sins? = 0, 2/(0) = 1.
39. 2у' = (г/2 - 2у) ех\ 2/(0) = 1.
Найти ортогональные траектории
(40—50):
40. у = С(х 4- 1)е-1.
42. (Ce“x2 - 1) у = 2.
44. у (1 4- Сех) = 1.
46. ех = С(1 — е~у).
48. у2 = Се"^.
50. 2ж 4-г/— 1 ^Се2у~х.
для заданных семейств плоских кривых
41. у2 = Сех2^у\
43. у = С sin х — 2.
45. у = С cos х 4- 2.
47. 1 +еу = С(1 4-ж2).
49. ху = Сеу.
51. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов, имеющих об-
щую большую ось.
14
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
52. Найти ортогональные траектории семейства гипербол, имеющих об-
щую мнимую ось.
53. Семейство кривых задано в полярных координатах уравнением
г(у?) = (7/(9?), где /(</?) — непрерывно дифференцируемая функция.
Составить дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Найти ортогональные траектории семейства кривых г — Се^.
54. Семейство кривых в полярных координатах задается уравнением
г'(у?) = г/(</?), где /(9?) — непрерывная функция. Составить диффе-
ренциальное уравнение семейства ортогональных траекторий. Найти
ортогональные траектории семейства кривых г = С cos <р.
55. Доказать, что решение задачи Коши существует и единственно при
любых начальных данных для уравнения у* — а(х)-Ь(у), где а(х), Ь(у)
заданные и непрерывные соответственно на интервалах (7, J)
функции, причем Ь(у) 0.
56. Пусть функции /(я), д(у) непрерывны на всей числовой оси, причем
1/(*)1 (1 + ^1)1+?1 0 < В(^ +
где А, В, г — положительные постоянные.
Доказать, что при любых х^, уо существует единственное, определен-
ное при — сю < х < +оо решение уравнения
у' = №) • $(?/),
удовлетворяющее условию у(х$) = Уо и имеющее конечные lim у(х),
х—>—ос
lim у(х).
Х-++00
Решить уравнения (57—78):
57. ху1 = у fl 4- In — Y
\ х/
59. xdy = (у + у/х2 + у2^ dx.
61. xdy — (у — у/х2 +у2] dx.
58. xV =
х + у
60. xydx — (х2 — у2) dy.
62. (х 4- 2y)dx 4- ydy = 0.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
15
63. (ху 4- у2) у' = у2.
65. (х3 4- у3) у' == х2у.
67. (у - х)у' = х + у.
69. х2у' ~ у2 + 2ху.
64. (2я 4- у)у' — х 4- 2у.
66. (я 4- 2у)у‘ 4- у — 0.
68. х2у' = 2у2 — ху.
70. 2хуу' 4- х2 — у2 = 0.
71. (3xdy — ydx} (ж2 4- у2) 4- x2ydy — xy2dx = 0.
72. (я 4- у 4- 1)</я 4- (х — у 4- 3)dy = 0.
73. (2х — у — 2}dx 4- (х 4- у — 4)dy = 0.
74. (х 4- 2у — 5)dx + (у — х — 4)dy — 0.
75. (х — 1)у' 4- Зя 4- 2у 4- 3 = 0. 76. (х 4- у — 2)у' 4- х — у = 0.
77. (2я 4- у — 3)у' 4- у 4- 1 — 0. 78. (х 4- 2у)у' 4- 2х 4- 5у — 1 = 0.
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданному начальному усло-
вию (79—83):
80. у' = у(1) = 0.
к х 4-2у ’
81. (у2 - Зя2) у' 4- ху = 0, г/(1) = \/б
82. хуу’ = (х - 2у)2, у(1) = 2. 83. (я - у)2у' = 4яу, у(~ 1) - 2.
Решить уравнения, приведя их с помощью замены вида у — zm к однород-
ным уравнениям (84—87):
84. (4я2 4- у4) dy — 2xydx = 0. 85. (Зя2у2 4-1) у' 4- Зяу3 = 0.
86. у' = 4х2 -
X*
87. у' = х + —.
У
88. Найти интегральные кривые уравнения
ху' = 2 (у 4- у2 — х^
проходящие через а) точку (2,5), б) точку (1,1).
89. Найти ортогональные траектории семейства окружностей, проходя-
щих через начало координат, центры которых лежат на оси абсцисс.
16
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
90. Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих
7Г
под углом ~ параболы с общей вершиной и общей осью.
91. а) Составить дифференциальное уравнение ортогональных траекто-
рий семёйства кривых
( 2 1 2\2 2
(х +у ) =аху.
б) Найти ортогональные траектории семейства кривых
/ 2 , 2\2 2
(т + у ) = а ху.
Указание. Перейти к полярным координатам.
92. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей,
имеющих центр на прямой у = х и проходящих через начало ко-
ординат.
Ответы к задачам § 2
1. у (1 -1- Сех) = 1, у = 0. 2. у = С (х2 4- ж).
3. Tsiny — (7(1 — sin?/). С cos х 4. у - ~ Л , у = 1.
5. (т2 - 1) у = С. Ci ю II Н | ь- 7 ьэ| 1 1 с н 1 to 8 + н 9 ; н II о
7. (у — 1)еу = С cos х. 8. х (у2 4-1) = Су, у = 0.
9. у2 — С (т2 — 1)2 ех2, х = 0. 10. х(у - 1) = С, у = -1.
11. 13. - 4- — = С — З.т, у ~ 0. У х (х 4- 1)у ~ С(у 4-1), у = -1. 12. у1 + —Ц = С. 14. х2 ~ Су2 (1 + у2), у = 0.
15. 11 X ^>У^ -у ~ о arctg - + (7, у = 4х о L 7Г , , „ — 4- к'к, к 6 Z.
16. 1 1 1 in I COS у 1 — ctgх — х = G, у = — Ju 4- ктг, к € Z.
17. (1 4- у2) (1 4- cos я)2 — С. 18. е"*2 4- 2(я 4- 1)е-т = С.
19. Ьу/х 4- In2 х 4- 2 arctg у 4- In (1 4- Уг) = С.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
17
20. ГЕ2 . 1 2 +ж + 1п(гг I)2 + 1п|у + 1| + ! = С, у = 1.
21. arctg х — д/(1 — 2гг)3 = С. 22. arcsinz2 + у — In (1 + еу) ~ С.
23. 2^/1 + еу — = С. 24. у + 2х + 4 = Сех~2у. Sin ГЕ
25. (ге + 2у)2 - Зх + 4у = С. 26. 2у - х + 2 = Сех+2у.
27. 2у — 6ге + 1 = Се2у~2х. 28. In ге2 + 3 In у + arctg у =
29. In (гг4у2) Ч------1-1 = 0. 30. In —I— = 1.
У У У
31. 2гг2 + (ж + 1)у3 = 0. 32. у2 + 4у 4- cos 2гг = 6.
33. ех п л хех у = о • 34. у = . (1 + ех)2 я+1
35. (1 + X2)2 1 у = - 36* У = ГЛ х 1 + е лх
37. f sinidt у У2 — ch3 х = ch х. 38. у(2е° — 1) = 1.
f et2 dt
39. у(1 + е° ) = 2.
41. х2 + Су2 = С.
43. Ce^yiJr2y = cosгс.
45. е2у-2у2 • sinгг = С.
47. ж2 + In (;г2) + 4 (у — е-у) = С.
49. (у - l)ey+ix2 = С.
51. х2 + у2 = 2а2 InCrr.
40. х2 = Сеу2~2х.
42. хеу2 + У* = С.
44. х = |у2 - |?/3 + С.
Z О
46. еу — у + х = С.
48. (у + 2)2ех~у = С.
50. (2ж + у)2 — 6ге + 2у = С
52. х2 + у2 + 2Ь2\пСу = 0.
53. f • г’ + f • г = 0, г = Се~*.
57. у = хеСх.
59. у + \/ге2 + у2 = Сх2, х — 0.
54. J • г' + г = 0, г = С sin ср.
58. Сх = (у - х)2е*.
60. у = Се .
18
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
61. у + ^/х2 4 у2 = С, х = 0.
63. х - Су + у In|у|, у = 0.
65. у = Се^.
67. х2 4- 2ху — у2 — С.
69. х2 4- ху = Су, у — 0.
62. х 4- у = Се х+у.
64. (у - х)3 = С (у 4- х), у = -х.
66. у2 4- ху = С.
68. х — у = Сх2у, у = 0.
70. х2 4- у2 ~ Сх.
71. In
4- arctg - = С, х ~ 0, у — 0. 72. х2 4- 2ху — у2 4- 2х 4- бу — С
73. у2 4 2х2 - 4у - 8х + 12 = Ce^arcts .
74. х2 + у2 4- ху — х — бу 4- 7 = £/e2v<3arctg (7+Пл/з.
75. х 4- у 4- 2 = С(х — , х = 1.
76. х2 + у2 - 2х - 2у 4- 2 = Ce~2arctg Ьт
77. (у41)(х—2)3 = С(Зх4у-5).
79. х24у2 = earctg*.
81. у3 = ЗУб • Уу2 - 2х2.
83. 2(у 4 х}3(у - Зх) = бу.
85. у2е3х2У2 = С.
87. (у - х2)2 (2у 4 х2) =С.
х4
88. а) у — — 4 1, б) у -- х2,
78. х242у243ху42у = С-----------
х 4 у 4 1
80. (х2 4 у2) earctg * =1.
2-2г
82. Зу — х = 5(у — х) • е 2 .
2х2
у2 = Се^.
х5 (у — х3) = С (у 4 4х3).
84.
86.
89. у — С (х2 4 у2) • 90. (х — 2у')у1 = х 4 2у.
91. а) х (Зу2 — х2) dx = у (Зх2 — у2) dy, б) у2 — х2 = С (х2 4 у2)2-
_х2 + 2ху - у1
х2 — 2ху ~ у2
§ 3. Линейные уравнения первого порядка
19
§ 3. Линейные уравнения первого порядка.
Уравнения Бернулли и уравнения Риккати
Для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения
у' 4- а{х)у = /(т) необходимо сначала найти общее решение соответствую-
щего линейного однородного уравнения, а затем применить метод вариа-
ции постоянной.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
ху' ~~ у ~ 2т2.
Д Найдем общее решение линейного однородного уравнения ху' = у. Для
. dy
этого, положив у — — и разделив переменные, получаем уравнение
dx
dy dx
У х '
При делении переменных потеряно решение у = 0. Отсюда находим общее
решение однородного уравнения у — Сх, где С произвольная постоян-
ная.
Для получения общего решения заданного уравнения применим ме-
тод вариации постоянной, т. е. ищем решение заданного уравнения в виде
у = С(т) • т, где С(т) — неизвестная пока непрерывно дифференцируе-
мая функция. Для определения функции (7(т) подставим у ~ С(х) • х в
исходное уравнение. Имеем
• х 4- С(т)] = С(т) • х — 2т2,
С'(х) = -2,
С(х) — — 2х 4- А,
где А — произвольная постоянная. Следовательно, общее решение задан-
ного уравнения имеет вид
у — Ах — 2т2. А
Уравнение Бернулли у' + а(х)у = Ь(т)?/т заменой z = у[~ш приводится
к линейному уравнению.
20 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Пример 2. Решить уравнение ху' + 4у — Зху2.
А Очевидно, что у = 0 — решение. При у 0, разделив уравнение на у2
и положив z = получаем линейное уравнение xz' — 4z + Зх = 0. Решив
У
это уравнение методом вариации постоянной, находим z = Сх4 + х, где
С — произвольная постоянная. Следовательно, у — 0 и - = Сх4 + х — все
У
множество решений заданного уравнения. А
Если известно какое-нибудь решение т/о(а?) уравнения Риккати
у1 + а(х)у2 + Ь(х)у + с(х) = 0, то заменой у — z + уо(х) оно сводится к
уравнению Бернулли.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение х2у' + 2х2у2 — 5ху + 4 = 0.
Д Проверкой можно убедиться, что уо(х) = — является решением задан-
1 Х
ного уравнения. После замены у == z -I— получаем уравнение Бернулли
1 Х
z' =---2z2. Замена и = - при z 0 дает линейное уравнение и' -I— = 2.
х z х
Метод вариации постоянной для этого уравнения дает решение
и =----F х, где С — произвольная постоянная. Отсюда получаем решение
х
заданного уравнения
х 1
У~ С + х2 + х'
Найти общее решение уравнений (1—31):
1- у' + у = 2ех.
3. y2dx + (ху — l)dy = 0.
5. х (4 — J?2) у' = 2х2у + 1.
7. у' = - х.
X
9. 2ж3у/ = 2х2у — 3.
11. ydx = (Зх — у2) dy.
13. (х + у2 cos у] dy = ydx,
15. у1 = - — 2х2.
X
2. ху1 — у — 2х2.
(3 \
----х I dy = 0.
У )
6. ху' = х2 + у.
8. (х + y)dx = xdy.
10. ydx — (т + у2) dy = 0.
12. у' = у + 2хех.
14. ху' = х2 + у — -.
х
16. x4dy = (2 — :r3y) dx.
§ 3. Линейные уравнения первого порядка
21
17. ydx = (2у ~ x)dy. 19. х3у' + 2х2у = 21пт. 18. dx = (2т + еу) dy. 20. (sin х — 1}у' + у cos т = sin т.
21. у' + 2ху = 2(1 + 2т2). 23. х4у' + 2т3у = 1. 22. ху' ~ 2у = 2т4. 24. х2у' + 2ту = 1.
25. ху' — Зу = 4т2. 26. х2у' + х2у = т2 — 1.
27. 4у' + 12т2?/ = Зт2. 28. ху' + (1 + х2) у + х = 0.
29. х (у — \/1 + т2 ) dx + (1 + т2) dy = 0.
30. у' + ytgx = ех cost. 31. (1 + у2) dx + (ху — у3) dy = 0.
Уравнения (32—35) искусственным приемом решаются короче, чем мето-
дом вариации постоянной. 32. ху' — у = х2. 33. (у + т3 cos т) dx — xdy = 0.
34. х2у' + ху + 1 = 0. 35. (1 + у2) dx + (2ту — l)dy = 0.
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданному начальному усло-
вию (36—45):
36. ху' + 2у = Зт, у(—1) = 1. 37. х2уг = 5ху + 6, у(1) = 1.
38. ху’ ~7у + т4, у(1) = 39. ху' = 5у + Зт2, у(-1) — -1.
40. (1 + т2) у' = 2ху — 2т, у(0) = 2. 41. у1 — у tgT = sins, у(0) = 0.
42. (ж2 + т) уг — (ж2 + х + 1) у + ж3 = 0, у(1) = 1.
43. ху' = Зу + 2т5, у(~ 1) = 1. 44. ху1 — 2у = 2а:4, у(1) — 1.
45. х2у' + у = 4, у(-1) = 5.
46. Найти ортогональные траектории семейства кривых у + х = Се~х +1.
Решить уравнения (47—72):
47. 4ху' + (4т +1)у2 — 4у = 0.
49. у' = ху2 + —.
х
48. 2ху' + 2у = х2у2.
50. 2ху' = Зу — 4ту3.
22
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
51. ху' — у 4- 2ту2 In х = 0. 52. 2ту' 4- 2ту3 = у.
53. 2т2у' 4- ту = 2у3. / У 2 55. у = у . т 57. у1 — у + 2ту3 = 0. 54. ту' 4- 4у = Зту2. 56. ху1 = 2у — 4т2у2. 58. ху1 4- Зту2 = 2у.
59. ту' — у 4- 4у3 = 0. 60. у' 4- у tg х 4- 4у2 sin т = 0.
61. ту' 4- Зу = 4т2у2. 62. ту' 4- 2ту2 = Зу.
63. у(у + 1)с/т + (т 4- l)dy — 0. 64. у' cos т 4- у sin т 4- Зу2 cos т = 0.
65. 5ту4у' = у5 4- 4. 66. у (4ту2 — 3) dx 4- 2xdy = 0.
67. 8у' 4- Зт2у (у2 — 4) =0. 69. Зт2с?т — (т3 4- у + 1) dy — 0. 71. ydx 4- (4т3 — х) dy = 0. 68. ydx 4- (2т2у — Зт) dy = 0. 70. y3dx 4- (т3 In у — ту2) dy = 0.
72. (у2 -l)dx - у[х + (у2 - 1) Уя] dy — 0.
73. Найти решение уравнения 4хуу' — Зу2 4- х2 =0, удовлетворяющее
начальному условию у(1) ~ 1.
74. Найти интегральную кривую уравнения ydx — 4 (х + у2\/х) dy = 0,
проходящую через точку (0,1).
75. Найти интегральную кривую уравнения dx — ху (1 4- ту2) dy = 0, пе-
ресекающую биссектрисы обоих координатных углов при х — 1.
Уравнения задач (76—81) искусственным приемом решаются короче, чем
методом сведения к линейному уравнению.
76. ху1 ~ у 4- ту2 = 0. 77. т3у' — х2у — у3 = 0.
78. ydx — х (ту2 4-1) dy = 0. 79. 4ту' 4- 4ту2 = 4у — у2.
80. Найти решение уравнения sin2T(y'sinT — у cost) = у2 cost, удовле-
творяющее условию у I — 1 = 1.
81. Найти решение уравнения cos2 т(у' cost + у shit) 4- y2sinT = 0, удо-
влетворяющее условию у(0) — 1.
§ 3. Линейные уравнения первого порядка
23
С помощью подбора какого-либо решения найти общее решение уравнений
(82-95):
82. 2х2у' 4- х2у2 + 4 = 2ху.
84. 4?/ = у2 4-
х£
86. х2у' — х2у2 + Зху 4- 3.
88. у' = у2 — 2ху + х2.
90. у’ + е~ху2 4 у = Зех.
92. у1 — у2 — 2у sin х + cos х + sin2
93. у' + у2 — 2у cos х + sinrc 4- cos2
94. x2yf — 5xy + x2y2 4-8 = 0.
83. x2y' 4- x2y2 4- 2xy = 2.
85. xy' = y2 4- 2(x 4- l)y + x2 4- x.
87. x2y' = y2 + 2xy — 2x2.
89. y' = y2 — 2xy 4- x2 — 3.
91. y' — exy2 4- 3y = e~x.
= 0.
95. (3a;2 4- 2y) (1 4- y)dx + (2т — a;3) dy = 0.
96. Доказать, что уравнение у1 = ку 4- /(т), где к = const 0, f(x) —
непрерывная и периодическая функция, имеет только одно периоди-
ческое решение. Найти его.
97. Доказать, что у уравнения ху1 4- ay = f(x), х > 0, где а = const 0,
f(x) — непрерывная ограниченная функция, существует только одно
решение, ограниченное при х > 0.
98. Доказать, что у уравнения ху1 4- ау = /(т), 0 < х < а, где а —
= const > 0, а > 0, f(x) — непрерывная функция при 0 < х а и
lim f(x) = /3, существует только одно решение, ограниченное при
0 < х < а и имеющее предел при х —> 4-0. Найти этот предел.
99. Доказать, что у уравнения у' — а(х)у 4- 6(х), 0 < х < 4-оо, где а(т),
Ь(х) — непрерывные при 0 х < 4-ос функции, Ь(х) — ограничена,
а(т) по = const > 0, существует только одно решение, ограниченное
при 0 < х < 4-схэ.
100. Пусть а(т), Ь(х) — непрерывные при 0 х < 4-оо функции, имею-
щие конечные lim а(т) = А > 0, lim b(x) = В. Доказать, что
х—>+оо х—>+оо
существует единственное решение ув(х) уравнения у1 = а(х)у 4- Ь(т),
О < х < 4-оо, имеющее конечный предел при х —> 4-оо.
24
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти lim уо(х).
х-^+оо
Указание. Рассмотреть ограниченное решение и доказать, что оно
имеет конечный предел при х —> +оо. Можно воспользоваться прави-
лом Лопиталя.
101. Пусть а(я), Ь(х) — непрерывные при 0 х < -Роо функции, причем
существует конечный lim а(х) ~ А > 0 и lim xb(x) = 1. Пусть
х—>+оо х-->4-оо
~~ решение уравнения у1 = а(х)у -I- 6(т), 0 < х < +оо, имеющее
конечный предел при х —> Рею. Найти lim уо(т).
Ответы к задачам § 3
1. у — Се х А ех. 2. У = Сх — 2х2.
3. ху = С + In\у\, у = 0. 4. X — C'/yC. У
5. С + In Ы У = ~ 4 — х2 • 6. У = Сх + х2.
7. у = Сх — х2. 8. У Сх -Р т1п |т|, X
9. У=СХ+^2- 10. X — Су Ау2,у = 0.
11. х = Су3 + у2, у = 0. 12. У (С + х2)ех.
13. х = у(С + sin у), у = 0. 14. У — Сх + х2 + 2х
15. у = Сх — х3. 16. У — X X'1
17. ху-у2 ~ С. 18. X — Се2у - еу.
19. С In2 х У — т2 + т2 • 20. С — cos х
У sin х — 1
21. у = Сех2 + 2х. 22. У — С 4 + X . xz
23. С X у = Д + з' 24. У = С 1 X2 + х'
25. у = Сх3 — 4а;2. 26. У = С л 1 hid 9 • X X*
= 0.
§ 3. Линейные уравнения первого порядка
25
_ 3 1 С 1
27. у = Се + J 4 28. у = —е 2 . X X
29. С + х2 30. у = (С 4- ех) cos ге.
У 2V1 + гг2
31. (Зя; - у2 4- 2) 4- у2 = С. 32. у = Сх 4- х2.
33. у = Сх + х2 sin х 4- х cos х, х = 0. 34. ху 4- In |х| = С.
35. я (1 4- у2) ~у + С. 2 36. у ~ х + хл
37. у = 2.т5 - X 38. у = — У 3
39. 2 у — —X. 40. у = х2 4- 2.
41. 1 — cos 2х 42. у = х.
У COS X
43. у = — 2х3 4- х5. 44. у = х4.
45. у = е ® +4. 46. (х 4- у 4- 1)е~у = С.
47. 1 С 2х 4-1 — 4" л “ • ух 4 48. - = Сх - ~х2. У 2
49. 1 С 1 2 - = -Х ухЗ 1 С 50. -z ~ 4- х. у^ хл
51. 1 С 1 - = 1- X In х — -х. ух 2 52 * £+х. у2 X
53. 1 1 -х ~ Сх 4- У2 X 54. - = Сх4 4- х. У
55. 1 _ С _ х у х 2' 1 С 2 56. - = ~ + х2. у xz
57. -1 = Се~2х + 2х - 1. У .о 1 С 58. — — —х 4~ х. у х£
59. 1 _ С 7,2 ~ т2 + У 1 С 60. - = 2 cos ГЕ. у COS ЯГ
61. - = Сх3 + 4х2. У 1 С X 62. - — ~з 4~ у х6 2
63. (х + 1-С)у = С. 64. (3sinх 4- С)у = cos х, у = 0.
26
65.
67.
69.
71.
72.
73.
75.
77.
79.
81.
83.
85.
87.
89.
91.
93.
95.
96.
98.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
у5 4- 4 = Сх.
у2 (е"3? 4- С*) = 4С.
я3 + у + 2 = Сеу.
х2 (4у2 4- С) = у2, х = 0.
66. у2 (z4 4* С) — х3, у = 0.
68. х(у4 + 1) = 2Су3,у = 0.
70. у2 = х2 (in2 у 4- С), х = 0.
Ъ/х - у2 - 1 4- С |у2 - 1|<, х = 0, у = ±1.
у = у 2аг2 — х2. х (2 - у2) - 1. 74. х = 4у4 In2 у.
76. у {Сх2 + 1) = 2Ся.
х2е~^ — С, у — 0. 78. X (Су3 + 1) = ЗСу, у = 0.
у {2х2 4- х 4- С) = 4х, у = 0. 80. У . 2 = sin X.
2 у = COSZ X. 82. У 2 2 = —। _ х Сх 4- х In |z[
1 16 84. 2 1 — 1
у х ' Се4х — 4х — 1 У х х{С — In |ж|)
2Сх2 у = x+i-Cx2' 86. У _ 1 2х х~^ С — х2
Зге4 у=х+с-^ 88. , 2Се2х
У 1 1 1 1 — <7е2х
у = х 2+1 + с^- 90. У ~ еХ 1 _ Се3х — е~х
Л. __ ~-х , е~Х 92. У 1 = sin ГЕ 4- — . С ~ х
У — с | С — х
1 у = cos X 4- ~ С — х 94. У - 1 2х х^ х2 + С
С(1 4*у) = {2у + х2}х.
X X
у= у J(t)dt, k>O;y = У к < 0.
+ оо —оо
100.101.0.
а А
§ 4, Уравнения в полных дифференциалах
27
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель. Замена переменных
Дифференциальное уравнение P(x,y)dx -Ь Q(x,y)dy = 0, заданное в об-
ласти D, называется уравнением в полных дифференциалах, если най-
дется такая непрерывно дифференцируемая в D функция и(х,у), что
du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Для такого уравнения решения задаются
формулой и(х,у) = С, где С — произвольная постоянная. Функция и(х,у)
ди . ди .
находится из системы уравнений — — Р(х,у), т— = Qlx^y).
дх ду
dQ дР
Если D — односвязная область и —------непрерывны в Д то до-
дх ду
статочным условием того, что уравнение является уравнением в полных
, , дР
дифференциалах, служит равенство —- = .
дх ду
Пример 1. Решить уравнение
(Зт2 + у — 1) dx + (т + 3j/2 — 1) dy — 0.
А Заданное уравнение является уравнением в полных дифференциалах,
( . dQ дР , Л
поскольку оно задано на всей плоскости (х.у) и —— = —= 1. Функцию
дх ду
и(х,у) находим из системы уравнений
(0U _ 2 , .
дх -3 У 11
ди п
—- = х + Зу2 - 1.
Из первого уравнения получаем и(х,у) = т34-т(у — 1)+<р(у), где </?(у) —
произвольная непрерывно дифференцируемая функция у. Подставляя вы-
ражение для и(х,у) во второе уравнение системы, получаем уравнение
<р'(у) — Зу2 — 1. Отсюда находим <р(у), а, значит, и функцию и(х,у). В
данном примере можно взять и(х, у) = х3 4-у3 + ху — х — у. Следовательно,
решения заданного уравнения задаются формулой
х3 + ху + у3 — х — у = С. А
Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах,
то можно пытаться найти его интегрирующий множитель. Общего мето-
да отыскания интегрирующего множителя не существует. В некоторых
28
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
случаях удается решить уравнение, применяя метод выделения полных
дифференциалов некоторых выражений и замену переменных.
Пример 2. Решить уравнение (у — 4асу3) dx = (2х2у2 + ас) dy.
Д Заметим сначала, что у = 0 — решение уравнения. Пусть у / 0. Урав-
нение запишем в следующем виде
ydx — xdy — 2у2 (x2dy + 2xydx}.
Если разделить уравнение на у2, то уравнение примет вид
d J = 2d (х2у).
Получили уравнение в полных дифференциалах, из которого находим,
что х = 2х2у2 + Су, где С — произвольная постоянная. Отметим, что
, 1
интегрирующим множителем заданного уравнения служит функция -х.
У2
Таким образом, все множество решений заданного уравнения описыва-
ется формулами х = 2х2у2 4- Су, у = 0. А
Решить уравнения (1—18):
1. (1 — Зя2 — у) dx — (х — Зу2) dy.
2. (у2 — 2а;3) dx + 2xydy = 0.
3. [(а; — у)2 — a;] dx + [у — (ас — у)2] dy = 0.
4. (у — sinac)dac 4- (х + еу) dy = 0.
5. (у — x)dx 4- (ас 4- 2е2у) dy = 0.
6. (х + y)dy = (2е2х — у) dx.
7. (у 4-sinac)dac 4-(ас 4-cosy)dy => 0.
8. (2х + у3) dx 4- 3xy2dy = 0.
9. (у2 — 2ас) dx 4- (2ху — siny)dy = 0.
Ю. (у — Зх2 4- 1) dx 4- (ас 4- lny)dy = 0.
11. (у2 4- Ina;) dx 4- (2ху — lny)dy = 0.
12. (ех 4- y)dx 4- (ас 4- 2у cos у2) dy = 0.
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах
29
/ \
13. (1 4- За?2 In у) dx 4- ( Зу2 4-J dy = О.
(Л sin2y\ , / sin2y\ ,
2ас----х— ) dx 4- ( 2у 4-----I dy = О.
хл ) у х )
(у 1 \ , /а? 1 Л ,
-х 4- - ) dx — I -х 4--F 2у ) dy = О.
х£ у J \у* х )
16. е* (1 — — dx 4- (1 4- е* dy = О.
\ xJ \ /
17. -da? 4- [1 4- In (xy)]dy = О, x > О, у > О.
/ 2х \ /1 За?2\
18. (14—7 I dx 4- ( “X----т- ) dy = О.
У У J \У У /
Найдя интегрирующий множитель или сделав подходящую замену пере-
менных, решить уравнения (19—60):
19. 2xydx 4- {у2 — a;2) dy = 0.
20. 2xydx — (а:2 — 2т/3) dy.
21. (Зу/х — у — 2а?) dx = (З^х — у — 2у) dy.
22. (у — За?2у3) dx — (х 4- т3у2) dy — 0.
23. (2а?у2 4- у) dx - (х2у 4- 2а?) dy = 0.
24. ydx = (а; — 2у3) dy.
25. x3dy 4- 2 (у — a:2) ydx = 0.
26. y2dx — (2у — е1) dy.
27. xdy — у (1 — уех) dx.
28. у’ = - 4- 2х2.
х
29. x2dy = (ху 4- у3) dx.
30. y2dx = а?(2у — x)dy.
31. x2dy = (ху — 2х2у2) dx.
32. xdy — у(2 4- 3xy)dx.
30
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
/1 \ 1 ,
33. I----у 1 ах = -dy.
\х J у
34. (2а:3?/ 4- я2?/4) dx + (а;4 4- х3у3) dy = 0.
35. (Зх2у 4- 7t/2) dx — (2х3 4- 5scy) dy = 0.
36. (2у — х2у2) dx = (х3у — х) dy.
37. (4а:31/ 4- 3t/2) dx — (2а;4 4- ху) dy = 0.
38. (3xdy — ydx) (а;2 4- у2) 4- x2ydy — xy2dx = 0.
39. (Зя2 4- 2у) (1 4- y)dx 4- (2яг — х3) dy = 0.
40. (ху3 4- 2у) dx + (х — х2у2) dy = 0.
41. 3xdy 4- ydx 4- xy3(xdy 4- ydx) — 0.
42. xy2dx 4- (я2!/ — x) dy = G.
43. x (x2 4- y2) dy 4- y(ydx - xdy) = 0.
44. (xy3 + y)dx+ (2x 4- x2y2) dy = 0.
45. 2a:4(a:da: 4- ydy) 4- (x2 4- y2)2 (xdy — 3ydx) = 0.
46. y(2ydx — xdy) 4- x2(ydx 4- 2xdy) — 0.
47. (у2 — 3a:2) dy 4- xydx = 0.
48. xdy — ydx = xy/x2 4- y2 • dx.
49. xdy — 2ydx 4- xy2(2xdy 4- ydx) — 0.
50. x2y3dx 4- (ж3!/2 4- x) dy = 0.
51. 5xdy 4- ydx 4- xy5(xdy - ydx) = 0.
52. xdy 4- ydx 4- xy2(xdy — bydx) = 0, x > 0, у > 0.
53. 2xdy 4- ydx 4- xy3(xdy 4- 2?/da;) = 0.
54. (y2 + y) dx + ^xy 4- 2x 4- dy = 0.
55. [(3a:2 4- 2) у 4- Зги] dx 4- (2x — x3) dy = 0.
56. xy' — y = 2x3e~^.
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах
31
57. 2xy3dx 4- x2y2dy = (1 — у2) dy.
58. (2a?t/2 - у) dx 4- (у2 Inj/ 4- х - у) dy = О.
59. x2yyt 4- х3 = (х2 +у2)2.
60. 4x2y2dx 4- х3(2у — l)dy = 0.
61. Найти интегральную кривую уравнения (1 - х2у) dx+x2(y—x)dy = О,
1
пересекающую прямую х = - под прямым углом.
ла
Ответы к задачам § 4
1. у3 — х3 — ху 4- х = С. „ , С X3 2. у2 = — + —, х = 0. х 2
3. 2(у - х)3 = 3 (у2 - я2) 4- С. 5. х2 4- С = 2ху 4- 2е2у. 4. ху 4- cos х 4- еу = С. 6. у2 4- 2ху = 2е2х 4- С.
7. ху — cos а; 4- sin j/ = С. о II н н 1 О 1 н II СО об
9. ху2 — х2 4- cost/ = С. 10. х(у 4-1) - х3 4- J/(lnу - 1) = С.
11. ху2 4- ж(1п х — 1) 4- £/(1 — In у) = С. 12. ех 4- ху 4- sin у2 = С.
13. х3 In у 4- х 4- у3 = С. . о 14,х2+у2+3^У=С. X
15. ^-У-у2 = С у X 16. у 4- хе* = С.
17. у\п(ху) = С. х2 1 18. х 4- = С. У* У
19. х2 4- у2 = Су, у = 0. 21. х2 — у2 = 2(х — t/)i 4- С. 23. х 4- х2у2 = Су2, t/ = 0. 20. х2 = Су-у3,у- 0. 22. х - х3у2 = Су,у = 0. 24. х = Су - у2, у = 0.
25. х2 — 2у In |я| = Су, х = 0, у = 0. 26. у2е~х = у + С.
27. х — уех 4- Су, х = 0, у = 0. х2 29. -2 + 2х = С, у = 0. У2 28. у = Сх 4- а:3. 30. у2 — ху = Сх, х = 0.
32
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
31. т — т2у = Су, у = 0.
2
X X л
33. — - - = С.
2 У
т9 Зт7
35. —g 4 g- = С, у = 0 Уь У5
32. х3у + х2 = Су, у = Q.
34. %7 у1 (7х 4- 4у3) = С.
36. хуе*1* = С, х = 0, у = 0.
37. т2 = Су • , х = 0, у = 0.
у3
38. In —
х
+ arctg — = С, х = 0, у = 0.
х
х3 4- 2хи л
39. .- У = С,у = -1.
1 + У
1
41. ху = х = 0, у = 0.
43. хеу = C\Jx2 4- т/2, у = 0.
2 3
47.--------= Су, у - 0.
х у
49. уеху2 = Сх2, х = 0.
1
51. у = Cxe*iF, х = 0, у = 0.
53. а;5?/10 = С (1 + 5ту3)3.
55. (±ху + 3)С = (2 - ж2)2, х = 0.
57. у = С (т2 + 1) у2 4- С.
1 У
40. ——h — = С, х = 0, у = 0.
х£у х
42. ху — In |г/1 = С, х = 0, у = 0.
1
44. ху = Се**1, х = 0, у = 0.
46. ху2 = Се^, х — 0.
48. хех = С (у + д/т2 4- y2>j.
50. у2ех'2у2 = С, т = 0.
52. (ту)11 = С (11ту2 — 1)6.
54. Су(ху 4-1) = у 4-1.
56. с* = х2 + С.
59. (т2 4- у2) (Сх 4- 2) = х.
58. т2 4- у(1пу — 1) — 1пу — - = С.
У
60. х4у2е* = С, у = 0.
/ п 2
61. у = х 4- д/т2 4-8 4—.
V х
§ 5. Исследование задачи Коши
Важную роль в исследовании задачи Коши играет условие Липшица.
Говорят, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по у
равномерно по т в некоторой области G плоскости R(xy), если найдет-
ся такое число L > 0, называемое постоянной Липшица, что для любых
§ 5. Исследование задачи Коши
33
(т,?/1) 6 G и (x,yz) G G выполняется неравенство
|7(я, У1) - Дя, 2/2)1 Ь|у1 - у2|-
Следующий пример дает удобные для практики достаточные условия на
обеспечивающие выполнение условия Липшица по у равномерно
по х на компакте (ограниченной замкнутой области) плоскости R^xyy
df(x у)
Пример 1. Доказать, что если функции f(x,y) и —- - непрерывны в
оу
области G плоскости R2x у^, то f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по
у равномерно по х на каждом компакте К С G.
Д Рассуждаем от противного. Пусть утверждение неверно. Тогда най-
дутся компакт Kq С G и последовательности Ln > 0, Vn G
{(^п,Уп)}^=1 С Ко, {(zn,Z/n')}S=i С Ко такие, что
1/(^п,Уп) -/(тп,Уп)1 > Ln\y'n ~Уп\-
Так как Kq — компакт, то из последовательностей точек (тп,?Д) и
(хп,у") можно выбрать сходящиеся подпоследовательности (хПк,у„к) —>
-> (то,Й) е Ко, (хПк,Упк) -> (хо,у'о) с Ко при k -> 00. Рассмотрим функ-
цию
К(т и' у"} = у' / y"
1 У , У 7 I „ и , У / У ,
У - У
в достаточно малой окрестности точки (zq, у'о, Уд)- Если у'о / т/g, то из
непрерывности f(x,y) следует ограниченность функции F(x,y\ytt) в этой
окрестности. Если же г/g = Уо = Уо> т0 из непрерывности
dfM
ду
сле-
дует выполнение условия Липшица по у равномерно по х в окрестности
точки (:eq,уд), что означает ограниченность F(z,y',7/") и в этом случае.
Но ограниченность K(z, у',у") противоречит нашему предположению о
компакте Ко при достаточно больших п^. Это доказывает утверждение
примера 1.
Пример 2. Выполнено ли условие Липшица по у равномерно по х для
функции f(x,y) в полукруге х2 + у2 < R2, у > О, R> 0, если:
а) /(z,у) = я2 sinz 4-у3, б) f(x,y) = х+ \у\, в) f(x,у) = х + y/у 7
2—1374
34 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
А В случае а) для любых двух точек (x,yi) и (х, у%) из полукруга имеем:
|/(ж,2/1) - }(х,у2)\ = |2/1 -J/ll = I.V1 “ У2\ ' bi + У1У2 + Уъ\ <
з
2^1 + У^У1 ~ У2^ 37*2|yi - 2/2I-
Значит в случае а) условие Липшица выполнено. В случае б) условие
Липшица тоже выполнено, так как
1Ж2/1) - Ж£/2)| = ||2/11 ~ |2/2|| 1.2/1 ~У2\-
Покажем, что в случае в) условие Липшица не выполняется. Рассужда-
ем от противного. Пусть это условие выполнено в полукруге с некоторой
постоянной Липшица L > 0. Тогда для точек (0,1) и (0,2/), где 0 < у < е,
€ > 0 и достаточно мало, имеем
1/(0,») - /(0,1)1 = \s/y- 1| ss L\y- 1|.
Отсюда Цу/у 4-1) > 1, что невозможно при достаточно малых у > 0.
Противоречие. Условие Липшица не имеет места. А
Пример 3. Указать какой-либо отрезок, на котором существует решение
задачи Коши, если:
а) У1 = У2+я2, 2/(0) = 0, |ж| 1, |1/| 1, б) у1 = х 4-sin (х2 4- у), 2/(0) = 0,
|т| С 1, в) у1 = |т| 4- sin у2 + cos?/2, 2/(0) = 0.
А Известно, что решение задачи Коши у' = f(x,y), 2/(^0) = 2/0, где f(x,y)
Э/(Х,У) т~г Г / \ I I I
и ——- непрерывны в прямоугольнике П = {(ж,у) : а; — то| С а, |2/—
d?/
—2/о| С /3}, всегда существует на [я?о — <5, то 4- <5], где 6 = min , М =
= max |/(т, у)| при (т, у) € П.
В случае а) имеем а = )5 = 1, М = 2и, значит, решение существует
при |т| -.
В случае б) имеем а=1,/3 = оо, М = 2и, значит, решение существует
при |т| 1.
В случае в) для всех |т| < а при любом а > 0 имеем а = а, /3 = оо,
М = 2. Следовательно, решение существует для |т| а при любом а > 0,
т. е. для всех х G (—оо,4-оо). А
§ 5. Исследование задачи Коши
35
Пример 4. Методом последовательных приближений найти решение за-
дачи Коши: у' 4- у = х + 1, у(0) = 0.
Д В нашем случае последовательные приближения задаются формулами
Уо(х) = 0, ук(х)
= I + к = 1,2,3,...
о
Методом математической индукции можно проверить, что ук(х) =
= i + (—l)*^f, к = 1,2,3,... Отсюда следует, что при |я| < а для любого
а > 0 ук(х) при к —> оо равномерно стремится к х. Значит, у = х является
решением задачи Коши. А
Пример 5. Доказать, что последовательность функций уп(х), определяе-
мая соотношениями
г/о(я) = 0, уп(х) = 2
X
1 f 9
g J n = 1,2,3,...,
1
сходится равномерно на [1,2] и не сходится равномерно на [1,8].
Д Заданная последовательность функций служит последовательными
приближениями решения задачи Коши вида
2 w2
у, = -^~-9' й(1)=0-
„ о Ь2
= М < 2 + —• и max
9
ду
Рассмотрим сначала эту задачу в области G = {(ж, у) : х G [1,2], \у
2 у2
С b, Ь > 0}. В этой области G max —-г ——
J ж2 9
= max |-= N у.
Из теоремы существования решения задачи Коши следует, что
довательные приближения сходятся равномерно на [1,1 + 5], где
8 > 0 одновременно удовлетворяет двум оценкам: 6 < —
после-
число
b
2+J’
1 9
3 < — = —. Выбирая число Ъ так, чтобы обе оценки совпали, получаем
3
b = Зу/2, 3 < —-р. Ясно, что 5=1 удовлетворяет этому неравенству.
2у2
36
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
3 3
Решая на [1,8] уравнение Риккати, получаем у = —|-------5-. Из на-
х х + Сх%
чального условия С = —2. При х —> 8 получаем у —> оо, что противоречит
равномерной сходимости. А
При исследовании зависимости решения задачи Коши от параметров
и начальных данных используются уравнения в вариациях.
Пример 6. Найти - от решения у = 1, уо) задачи Коши
дуо
у' = 2у + х3у2 - х2у3, у(1) = уо.
А Очевидно, что решением заданного уравнения при начальном условии
т/(1) = 0 является у = <р(х, 1,0) = 0.
<sta
Известно, что искомая функция и = —— должна быть решением урав-
оуо
нения в вариациях по уо
= [2 + 2т3т/ - Зт2у2]гг,
дх
где у — ip(x, 1,0) = 0, при начальном условии и |xo=i= 1-
dip
Другими словами, для нахождения функции и = —— необходимо ре-
оуо
шить задачу Коши вида
~ = 2u, и( 1) = 1.
дх
Искомым решением является и = е2^х-1\ А
(9 (1 О’)
Пример 7. Найти ------т2—-— от решения у = <р(х,tq, 1) задачи Коши
дхо
у' = У - 1 + 2ху2(у2 - 1), т/(т0) = 1.
А Очевидно, что решением заданного уравнения при начальном условии
7/(0) = 1 является у — ^(т,0,1) = 1.
eta
Известно, что искомая функция v = —— должна быть решением урав-
eta0
нения в вариациях по то
civ о
— = 1 4- 8хуА - 4ху v,
дх
где коэффициент при v берется при значении у = 1 и при начальном
условии v 1^=0= ~~[у ~ 1 + 2тт/2(т/2 - 1)]| 1=о = 0.
§ 5. Исследование задачи Коши
37
Следовательно, для нахождения функции v нужно решить задачу Ко-
ши вида
dv
— = (1 + 4t)v, -у(О) = 0.
Отсюда искомое решение v = 0. А
1. Выполнено ли условие Липшица для функции /(у), если:
a) f(y) = У2, \у\ ct > 0,
б) f(y) = Ы, |у| < си, а > 0,
в) №) = \у\ а, а > 0?
2. Доказать, что из выполнения условия Липшица для функции f(y) на
[а, /3] следует непрерывность f(y) на [а,/3].
3. Выполнено ли условие Липшица по у равномерно по х для функции
f(x,y) в круге х2 + у2 R2, R > 0, если
а) f(x,y) = х2 +у2,
б) f(x,y) = х • |у|,
в) f(%,y) = xy/jyj?
4. Доказать, что если функция f(x,y) непрерывна по х в области G
и удовлетворяет в G условию Липшица по у равномерно по х, то
f(x,y) — непрерывна в G.
5. Показать, что не дифференцируемые по у при у ~ 0 функции
fi(x,y) = |у|(1+sinт) и fz(x,y) = |y|(l+cos т) удовлетворяют условию
Липшица по у равномерно по х на всей плоскости R2xyy
6. Показать, что функция f(x,y) = а(х)у 4- 6(т) удовлетворяет условию
Липшица по у равномерно по х в полосе |т| ст, ос > 0, если только
а(т) и 6(т) — непрерывные функции при |т| а.
7. Показать, что функция /(т, у) = [1+а2(т)]у2, где а(х) — непрерывная
функция при |т| а, а > 0, не удовлетворяет условию Липшица по
у равномерно по х в полосе |т| а.
8. Доказать, что функция f(xty) = Р(т) + Q(siny, cos у), где Р(х) и
Q(iz, v) — многочлены, удовлетворяет условию Липшица по у равно-
мерно по х на всей плоскости R? х.
38
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
9. Доказать, что функция f(x, у) = х - у не удовлетворяет условию Лип-
шица по у равномерно по х на всей плоскости R2x .
10. Методом последовательных приближений найти решение задачи Ко-
ши, если:
а) Уг + у = х 4-1, у(0) = 1, б) у' + у = 2ех, т/(0) = 1,
в) У’ - У = 1 “ я, у(0) = 1, г) у1 - у = е2х, 7/(0) = 1.
11. Методом последовательных приближений найти приближения £/о(^’)>
yi(rr), У2(х) к решению задачи Коши, если:
а) у’ = У2 - я, 7/(0) = 1, б) у1 = у2 4- ж3, 7/(0) = 0,
в) у' = 2т/2 4- х, 7/(0) = 1, г) у' = х2 - 2у2, т/(0) = 0.
12. Оценить погрешность, получаемую при замене решения у(х) задачи
Коши его последовательным приближением уз(ж), если:
а) у' = у2 + 2х, 7/(0) = 0, |ж| 1, |т/| < 1,
б) У1 = У2 4- х2, ?/(0) = 0, |х| 1, |у| 1.
13. Доказать, что последовательность функций уп(т), определяемая со-
отношениями
т/о(^) = 0,
х
1 3 с
Уп(%) = е~х + -е-21 - - + у [2т/„_1 (£)e-f - y2^(t)]dt, п = 1, 2,3,...
о
сходится равномерно на [0,0.2] и не сходится равномерно на [0,1].
14. Доказать, что последовательность функций уп(х), определяемая со-
отношениями
у0(х) = 0,
х
Уп(х) = |(1 -х2) 4- /*|[(2< 4-l)yn-iW-?/n-iW]^ n= 1,2,3,...
J V
1
сходится равномерно на [1,1.1] и не сходится равномерно на [1,2].
15. Доказать, что последовательность функций уп(х), определяемая со-
отношениями
Уо(^) = 0,
§ 5. Исследование задачи Коши
39
X
уп(х) = COSх — 2 — /sint[yn-i(f) — cosi]2d£, n~ 1,2,3,...
о
сходится равномерно на [0,0.1] и не сходится равномерно на
16. Доказать, что последовательность функций уп(т), определяемая со-
отношениями
Уо(2’) = о,
х
уп(х) = х + 2 У cos (т - п = 1,2,3,...
о
сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел.
17. Доказать, что последовательность функций уп(х), определяемая со-
отношениями
Уо(х) = 0,
х
уп(х) = 5COST - 4 + 2У (1 - е*~х)уп~1(1)(11, п = 1,2,3,...
о
сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел.
18. Доказать, что последовательность функций уп(х), определяемая со-
отношениями
?/о(х) = 0,
х
уп(х) = 4 + 5 У sin (ж - t)yn-i(t)dt, п = 1,2,3,...
о
сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел.
19. Доказать, что последовательность функций уп(х}, определяемая со-
отношениями
3/oW = 0,
х
уп(х) = 5(cos х + sina;) + j [1 + 2(т — t)]yn-i(t)dt, п = 1,2,3,...
о
сходится равномерно на любом отрезке и найти ее предел.
20. Используя какое-либо достаточное условие единственности решения
задачи Коши, указать области, через каждую точку которых прохо-
40
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
дит единственная интегральная кривая уравнения:
а) у' = У2 + я4, б) у1 = х + \/у - х, в) у1 = у3 + у/х + у,
г) (х + у)у' = xlny, д) ху' = ех + ctg у, е) у’ = у + у/y ~ ^2,
ж) у1 = (у + 1)(у - 1)5.
21. Найти значения вещественных параметров а, /3 и линии на плоскости,
в каждой точке которых нарушается единственность решения урав-
нения:
а) у1 = уа(1 - у)13, б) у1 = yaln^ i, в) у'In у = yQ(l - у)&.
У
22. При каких начальных данных агсн Уо, У\ задача Коши у" = f (гс, у, у1),
у(хо) = уо, у'(хо) — У1 имеет единственное решение, если:
1 _____ I
a) f(x,y,y() = -(у' + Vy- 1), б) f(x,y,y') = — In (ту- 1),
т уу>
в) №,У,у') = -.х/у-х, г) /(т,у,у') = -(cosy'+ я2 In у'),
У1 У
Д) f(x,y,y') = — (х~ tyy' - у), е) /(т,у,у') ~ х3еу + sin(y' - т2)1.
У
23. Показать, что уравнение у" = 3(у')з при начальных условиях у(0) =
= У(0) = 0 имеет два решения. Почему это не противоречит теореме
существования и единственности решения задачи Коши?
24. Показать, что уравнение у" = 2>/|y'J при начальных условиях у(0) =
~ у'(0) = 0 имеет два решения. Почему это не противоречит теореме
существования и единственности решения задачи Коши?
25. Могут ли две интегральные кривые уравнения пересекаться в неко-
торой точке (то, уо):
а) для уравнения у' = т2 + у3? б) для уравнения у" = т2 + у3?
26. Могут ли две интегральные кривые уравнения касаться друг друга в
некоторой точке (то,Уо):
а) для уравнения у' = х2 + у3? б) для уравнения у" = х2 + у3?
в) для уравнения у'" = х2 + у3?
27. Сколько существует решений уравнения у^ — х2 4- у2 при n = 1,2,3,
удовлетворяющих одновременно двум условиям у(0) = 1, у'(0) = О?
§ 5. Исследование задачи Коши
41
28. При каких п G N уравнение у^ = f(x,y), где f(x,y) и ——-----------
dy
непрерывны на всей плоскости R2X , могут иметь среди своих реше-
ний две функции:
a) yi = т, у2 = х + т2? б) ?/1 = 1 - cos х, у2 = ^х2?
29. Найти производную по параметру А при А = 0 от решения у = tp(x, А)
задачи Коши:
а) у' = У 4- А(т2 + у2), у(0) = 0, б) у' = -у + Х(х 4- у2), у(0) = О,
в) у' - 2у 4- А(у2 - т2), у(0) = 0, г) у' = -Зу 4- А(у2 - х), у(0) = О,
Д) У1 = У ~ У2 4-А(т 4-у3), у(0) = 0, е) у' = у2 - у + А(у4 - х), у(0) = О,
ж) у' = 2ху 4- А(у4 4- 2т), у(0) = 0, з) у' = -2ху 4- А(у3 - 2т), у(0) = 0.
„ д<р(х,х0,у0)
30. Найти ----------- при уо = 0 от решения у = <р\х, xq, уо) задачи
оуо
Коши у' = f(x,y), у(х0) = уо, если:
а) у1 = 2у 4- х2у2 - у3, у (0) = у0, б) у' = у 4- 2ху2 4- у3, у(0) = у0,
в) у' = —2у 4- 2х2у2 4- у3, у(0) - уо, г) у1 = -у - у2 - т2у3, у(0) = у0.
31. Показать, что = 0 для решения у = <р(х, то, 0) задачи Коши
дх0
у1 = f(x,y), у(т0) = 0, если:
а) у' ~ У 4- х(у3 4- у2), у(0) = 0, б) у' = -у 4- 2т(у3 - у2), у(0) = О,
в) у' = 2у - т(у2 4- у4), у(0) = 0, г) у' = —2у - т2у(у2 4- 2у), у(0) = 0.
32. Найти с точностью до (Э(т, А2) решение задачи Коши:
а) у' = 2ху 4- А(2т 4- у2), у(0) = 0, б) у' = -2ху 4- А(у2 - 2т), у(0) - О,
в) У1 = У2 + У + А(1 4- т), у(0) = 0, г) у' = у2 - у 4- Ат, у(0) = О,
Д) У1 = “У2 4- у 4- Ат, у(0) = 0, е) у' = -у2 - у 4- Ат, у(0) = 0.
33. Пусть у = 9?(т, А) решение задачи Коши у' = у 4-sin у, у(0) = А. Найти
д(£»(т,0) d2(/?(T,0)
дх и ЗА2 ’
34. Пусть у = 9?(т, А) решение задачи Коши у' = А(1 — х) + у — у2, у(0) = 0.
тт д<р(х, 0) d29?(T,0)
Найти ——— и —.
дХ дХ2
35. Пусть у = (р[х,а,0) решение задачи Коши у" = ау — у2, у(0) = 1,
42 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
да др
36. Пусть у — <р(х,а,/3) решение задачи Коши у" = у 4- 3 sin у, у(0) = а,
у'(0) = Р- Найти и Эу(*’°’0).
да др
37. Пусть у(х) при х 0 удовлетворяет уравнению у' = 1 4- х 4- 100 sin у и
начальному условию у(0) = 0. Доказать, что у(х) > 0 для всех х > 0.
38. Функция у(х) при х 0 удовлетворяет уравнению у1 = 2 + х2 4- sin3 у
и начальному условию у(0) == 0. Имеет ли нули у(х) при х > 0?
39. Функция у(х) при х 0 удовлетворяет уравнению у1 — х 4- cosy.
Имеет ли у(х) асимптоту при х —» 4-оо?
40. Функция у(х) при х 0 удовлетворяет уравнению у' = х 4- -——
1 4- у2
Существует ли конечный lim у(х)?
х—>+оо
41. Доказать, что каждое решение уравнения у1 —--1---х определено
1 4- х£ 4- у
при —оо<я<4-оои имеет конечные пределы при х —> — оо и при
х —> 4-оо.
Ответы к задачам § 5
1. а) Да. б) Да. в) Нет.
3. а) Да. б) Да. в) Нет.
10. а) у — х 4- е“х. б) у ~ ех. в) у = х 4- ех. г) у = е2х.
^•2 Х^ Х^ Х^
11. а) уо(а?) s 1, у^х) = 1 4- х- у, у2(х) ^1 + :г+у“у_20-
Х^ х^ х$
б) Уо(ж) = О, У1(х) = у, у2(х) = — 4- — .
. . . . . х2 х2 8х3 4 х5
в) Уо(х) ~ 1, у^х) = 1 4- 2х 4- —, у2(х) = 14-~4- — + з;4 + тг.
£ 4 о 1U
«.3 д.3 2гг7
г) Уо(х) = О, У1 (т) = — у2(х) = — - — .
3 о Оо
12. а) |у(т) -уз(х)\ Q) ез .
§ 5. Исследование задачи Коши
43
б) |у(т) -у3(х)\
16. у = 2(т-1)ея:4-т4-2.
17. у = 2 cost 4- sin а; — ех.
18. у = | (е2х 4- е“2х) - 1 .
19. у — 4е2х 4- cos х 4- 2 sin х.
20. а) Вся плоскость (х,у). б) у / х. в) х / 0, у > — х.
г) х / -у, у > 0. д) х ^ 0, у / кл, к G Z. е) у > х2. ж) у / 1.
21. а) а< 1, у — 0и/3<1,у=1. б) а < 1, т/ = 0и^<1, у = 1.
в) а < 1, у = 0 и 0 < 2, у = 1.
22. а) т0 / 0, Уо / 1, У1 ~ любое, б) тог/о > 1, Уо / О, У1 / 0.
в) Уо / т0, / 0- г) т0 - любое, у0 / 0, уг > 0.
д) т0 — любое, уо ± 0, 2/1 / уо. е) т§ / уь уо — любое.
25. а) Нет. б) Да.
26. а) Да. б) Нет. в) Да.
27. При п = 1 нет решений, при п = 2 одно решение, при п 3 бесконечно
много решений.
29. а)
дХ оХ
8^,0) =_1е2х+1 / 2+ж+П
дх 4 2^ 27
^(д,0) = _1 -з® . 1
ЭХ 9 3 9
а<^(т,о) _ адт,о)_ _д
дх ~е х эх ~ л
а^(т,о) _ 2 адж,о)_ ?
эх } дх ~
30. а) е2х, б) ех, в) е~2х, г) е~х.
д)
44
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
32. а) у = Х(ех2 - 1) + О(х, Л2), б) у = А(е-*2 - 1) + О(х, А2),
в) у == А(2еж— х~2) +А2[4е2ж + 2еж(3 — 2х — х2) — т2-6т — Ю] + О(а?, А2),
г) у = А(е-ж + т — 1) + А2[(т2-2т — 4)е-ж — е_2ж + т2-4т4-5] + О(з;,А2),
д) у = А(еж — х — 1) + А2[(т2+ 2т — 4)ex -е-2ж + т2-+-4т + 5] + О(т, А2),
е) у = А(е_ж + т-1) + А2[(4-|-2д;-т2)е_а:-|-е_2а: — т2 + 4а?-5]+ О(а?, А2).
д<р(х,0) _ 2х #Щ0)
33. gx -2(е 1), дх2 -0.
д<р(х, 0) д2<р(т,0) „ >)
34. --ду = х, ’ = -4е* + 2х2 + 4х + 4.
fy>(ar,l,O) ЭДа:, 1,0)
35. ---~ 1 — cost, --------—------= sin ГЕ.
да др
36. = ch4x, = 1,114г.
да др 4
38. Нет.
39. Нет.
40. Нет.
§ 6. Уравнения первого порядка,
не разрешенные относительно производной.
Особые решения
Основным методом решений таких уравнений является метод введения
параметра. Кандидаты в особые решения находятся с помощью дискри-
минантных кривых, а затем для них проверяется определение особых ре-
шений.
ПРИМЕР. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать
качественную картину поведения интегральных кривых уравнения
х2[(у')2 “ у'] + 2хУУ' + У2 = 0.
Д Введем параметр р — у1. Тогда заданное уравнение эквивалентно систе-
ме уравнений
У =Р,
т2[р2 - р] + 2хур + у2 = 0.
§ 6. Уравнения первого порядка. Особые решения
45
Разрешив второе уравнение системы относительно у, получаем, что
у = — хр ± Xyjp, где р 0. Найдя отсюда dy и подставив его в равенство
dy = pdx, получаем уравнение
(2у/р Т l)(2pds + xdp) = 0.
Первая скобка может обращаться в нуль лишь при у/р = i Подставив
_ i , 1 _
у/р = - в формулу для р, получаем решение у — -х. При этом было
учтено, что в формуле для у нужно брать только знак «плюс».
Приравнивая нулю выражение второй скобки, получаем уравнение
с разделяющимися переменными. Все его решения задаются формулой
С
рх1 2 — С. где С 0. Подставляя р = — в формулу для у, в которой
Х с г~
берется только знак «плюс», получаем решение у —-F vC • signs, где
х
х ,4 0, С > 0. Кроме того, при р = 0 имеем решение у — 0.
Дискриминантные кривые находятся из системы уравнений
у — —хр ± Ху/р,
0 = —X ± —
2^р
где второе уравнение получается дифференцированием по р первого урав-
тт 1
нения. Исключая из этой системы параметр р, находим, что у = -х задает
4
дискриминантную кривую. Это единственный кандидат в особые решения
нашего уравнения. Поскольку у = -х — решение уравнения, то остается
для него проверить выполнение определения особого решения. Для этого
составляем систему уравнений относительно С:
11 С /77 •
-х —-----h vC • signs, X Ф 0,
4 х
1 С
4 “ s2*
тт 1 2
Легко видеть, что найденное из второго уравнения С = -s удовле-
творяет и первому уравнению при х /=- 0. Следовательно, оба луча прямой
у = -х, получаемые при х / 0, являются особыми решениями заданного
уравнения.
46
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Качественная картина поведения интегральных кривых уравнения по-
казана на рисунке. Из рисунка, в частности, видно, как из найденных
решений уравнения можно получать составные решения уравнения. А
Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать каче-
ственную картину поведения интегральных кривых уравнений (1—66):
1. у'3 - 4хуу’ + 8у2 = 0.
3. 8я?з/'3 = у(12у'2 - 9).
5. х3у'2 + х2уу' + 1 = 0.
7. у13 — Зх2у' + 4атг/ = 0.
9. У' = 1п-^-.
у -1
11. х3у'2 — 4х2уу' + 4ху2 + 4у'
13. 5гп/2 + 1 - уу'(1 + уу').
15. ij//2 - у' + у = 2х - 3.
17. у'2 + ху2у' + у3 = 0.
19. у® — 2уу' + 4е2х = 0.
21. 4у'2 + Зт5^ = 9т4т/.
23. у = у' + ^(х -\пу').
2. у*2 + 2гг3?/ — 4т2у = 0.
4. х2у'2 - 4х{у + 2)У + 4у{у + 2) - 0.
6. у'2 — Зхуьу' + 9г/з = 0.
8. у2у'2 + 2хуу’ -у2+ 1 = 0.
10. ху12 ~ 2уу' + 2у = 0.
0. 12. 8г/2г/'3 - Зу + 6(х - 2)у' = 0.
14. х3у2у'2 — 2х2у3у' + ху4 + 2уу' — 0.
16. у'2 — 8ху' + 8т2 + 4у = 0.
18. 2у2у'2 - 2ху'2 + 4уу' + 1 = 0.
20. х4у^ + ху' + у = 0.
22. (1 — х2}у'2 + 2хуу' + х2 = 0.
24. уу'(уу' - 1) = х - у2.
§ 6. Уравнения первого порядка. Особые решения
47
25. 4(ггз/ — 2у) = 4х2 — у'2. 26. 2уу® + гг2(г/2 + 1) + 2ху' = 0.
/ 1 \ / 1 \ 2
27. 3 1 - у - -у'2 = Ь + -у'
\ 4 / \ А /
4
/ 2D \ ®
28. 2ху = х2у' + Зт/ ( — J
29.
I 2
У - У е у
30.
, ch х 1
У = У -г—У тг--
sh х sh х
31.
33.
уу'2 — 2ху' + у = 0. 32. = §ху® +
у 4- у’2 cos4 х = у' sinх cos х, |я| < 34. (у — ху')2 = у' + 1.
Л!
36. 2ху2у® — у3у' + 1 = 0.
38. 8гс?/3 + 122/2/'2 — 9?/5 = 0.
40. у'3 — ху’ + у — 0.
35. 4у3?/2 — 4ху’ + у = 0.
37. ху13 — уу'2 +4 = 0.
39. х5у'3 + х4уу® — 1 = 0.
41. у® + 4е~3ху' + бе-3®?/ = 0.
43. 4уу' = ху'2 + х3.
45. буу® = 2ху'3 + Зя4.
47. (у + я)2 = -у'3(Зу' + 5)2.
49. у' — In У = у — я.
51. 4т/3 — Зя2у' + 4ху = 0.
53. 4хуу® — 8я2т//3 = 1.
55. 2уу' + 2у — Зя = ху®.
57. ——т + lnj/z = 1.
ху1
59. ху® = у' — ^е-2у.
61. ^у'3 - Зя4У + 6я3т/ = 0.
63. я8 + 5ху' + у® = 5у + 4я5 + 2я4т/.
65. ят/3 + Зуу® + 27у4 = 0.
42. Зт/'2 — 4е2хт/' + 4уе2х = 0.
44.^ = (1±^у.
\y-xj
46. (ху' + у)2 = -у2у'.
48. (я - у)2 = у'5(5у' - 7)2.
50. 1 + уу' + у' \пу' = ху'.
52. 4уу® — 2ху'3 — я2 = 0.
54. 2хуу® = 4я3 + (я2 + 1)т/'3.
56. 4я2т/ + у® = 2я(я2 + 1)?/.
58. ху' = ?/(1 + In у').
60. 4я6т/ — х7у' + ^у® = 0.
О
62. (ху' + у)2 + 20х2у' — 0.
64. ху*у' + Зт/5 + у'4 = 0.
66. я4 + Зяз/ + у® = Зу + 2я3 + 2я2т/.
48
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Ответы к задачам § 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
у = С(х — С)2, 27у — 4х3 — особое решение.
у = Сх2 + С2, у = — ^х4 — особое решение.
3 \ 3 з
— ] , у = ±-гс — особые решения.
40 / Z
у = —2 + 2(Сх + I)2, у = — 2 — особое решение.
С 1 2 л
у = —I- —, ху = 4 — особые решения.
х С
У = 0, у2
\ 6
— } — особое решение.
Л! /
4 X2
у = ЗСа?з — 16673, у = ±—--особые решения.
у2 = С2 + 2Сх + 1, у = ±л/1 — х2 — особые решения.
у = (х 4- С) [In (я; + С) — 1], у = — 1 — особое решение.
4г/3 = С(Згр — С)2, у = х — особое решение при х 0.
у = С — |c2rc2, 2х2у = 1 — особое решение.
у = 0, х = 2 + — ^С2г/4, 4(х — 2)3 + 9г/4 = 0 — особое решение.
20 о
х = —у2 — Су — 7С2, 4з? = у2 — особое решение.
5
2у2 + С2х2 = 2(7, ху — ±~т= — особые решения.
у = —(х — С)2 + 2С — 3, у = 2х — 2 — особое решение.
у — х2 + Сх — ~^С2, у = 2х2 — особое решение.
у = 0, Су(х — С) = 1, х2у = 4 — особое решение.
х = —^у2 — Су + ^С2, х + у2 = 0 — особое решение.
у = Се2х + у = ±2ех — особые решения.
О
§ 6. Уравнения первого порядка. Особые решения
49
20. у =-----С2, 4з:27/ = 1 — особое решение.
х
21. у = Сх3 + 4С2, у = — ^-х6 — особое решение.
16
22. у = 1(сх2-С-±
Z \ С/
, у = ±\/1 — х2 — особые решения.
23.
у = еж+с — i-C, у = 7^(я + 1 + In 2) — особое решение.
2 2
24.
(х — С2)2 4- у2 = С2, х — у2 — — особое решение.
25.
у — х2 + Сх + |с2, у = —х2 — особое решение.
8
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
1 А2
-С2 I = С2, 2у = 1 — х2 — особое решение.
2 j
у = 1 — х2 4- Сх — ^С2, у — 1 — ^х2 — особое решение.
о 41
у = 2С3х2 + —, х = ±у2 — особые решения при у 0.
80
у = СеСж, С 0, еху — — 1 — особое решение.
у = Cchx — С2, у = | ch2х — особое решение.
у = 0, х = Су2 + -7, х = ±у — особые решения при у / 0.
40
1 4 2
у = —хз + С, у = ±ггз — особые решения при х 0.
40
y = Ctgx — С2, у = j tg2 х — особое решение.
,2
34.
у = (С2 — 1)х + С, у = —х — ----особое решение.
35.
36.
37.
у = 0, х = Су4 4- -77, х — ±у2 — особые решения при у 0.
40
х = Су2 — 2С2, 8х = у4 — особое решение.
4 2
у = Сх 4- 3^2, у = 3хз — особые решения при х / 0.
О £
50
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
, к 3
/ зс V 2
у = ± I ——— , ху = ±- — особые решения.
\С — Зх J 3
С 1
у =-----1- > 4я;2г/3 — 27 — особое решение.
х О
у = Сх — С3, 27у2 — 4х3 — особое решение.
у = 4Се~2х — 6С2, у — т?е~3х ~ особое решение.
О
3
у = Сех — -С2, Зу = е2х — особое решение.
у = ^Сх4 + -7-, у — ±^гг2 — особое решение.
4 4С 2
у — С-----У = х ± 2 — особые решения.
х — С
у = Сх3 + 2,2у = ffix2 — особое решение.
18CZ
с2
у =------у = —4х — особое решение.
37 ““ Су
(х | С\
у = С — 3 ( —-— I , у = — х ± 2 — особые решения.
у 5 /
(у + С)577 = 55(з; + С)7, у = х ± 2 — особые решения.
у = ех+с — С, у = х + 1 — особое рещение.
у — In (х + С) + С, у = х — 1 — особое решение.
3 4 о X2
у — — С , у = ±—--особые решения.
у — Сх2 + > 4у = ЗяЛ — особое решение.
х = С (у — С)2, 27х = 4у3 — особое решение.
у = С(т2 + 1) + , 2г/ = 3(я2 + 1)1 — особое решение.
у = Сх2 — х + —,у = хиу = —Зх — особые решения при у 0 0.
О
у = <7(£с2 + 1) — С2, у = + I)2 — особое решение.
§ 6. Уравнения первого порядка. Особые решения
51
57. X у = С + С1п~,у = х — особое решение. О
58. у = -^еСх~\ у = х — особые решения при х / 0. С*
59. х = 2Сеу 4- 2С1 2, Зге = е2у — особое решение.
60. у = 2Сх4 — 2С2, у = ^гг8 — особое решение. £
61. у = -Сх2 — 2С3, 2у — ±ге3 — особые решения.
62. 5С2 у = h ЮС, у = —5гг — особое решение. X
63. у — -ГЕ5 4- Сх + 7С2, у = т-ге5 — у£Е2 — особое решение. 5 5 5 4
64. у = 0, уС(х 4- С)3 = —27, х4у = 256 — особое решение.
65. (ге 4- С)3у — —С, 27х2у = —4 — особое решение.
66.
1 о ~ 1 3 О 1 Q -
у — -ге + Сх + -С , у — --х 4- -ге — особое решение.
Глава 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
§ 7. Основные типы уравнений,
допускающие понижение порядка уравнения
В § 7 рассматриваются уравнения вида
=0,
где у(х) — искомая функция, х — независимая переменная, п 2.
1. Простые случаи понижения порядка уравнения. Порядок
уравнения легко понижается, если его можно преобразовать в равенство
полных производных по х от некоторых выражений.
Пример 1. Решить уравнение
У2 у" = УУ12 ~ 2у1.
Л Заметим, что у = С — решение уравнения. Пусть далее у С. Перенеся
уу12 в левую часть уравнения, разделим обе его части на у3. Получаем
уу" - у'2 _ 2у'
У2 У3' \У) \У2)
Отсюда
— = ~2 + С, уу' — 1 + Су2.
У У2
В случае С = 0 имеем
УУ' = 1, (у2)' = 2, у2 = 2х + С.
В случае С 54 0 получаем
1 + Су2 = 1’ 2С 1П I1 + Cj/2| =2; + С,°-
§ 7. Основные типы уравнений
53
Последнюю формулу можно преобразовать к виду
2х
у2 = С',+С2<Г^, Ci/0.
__ 2х
Ответ, у = С, у2 = 2т + С, у2 = С\Ч-С^е , где (7, Ci, С2 — произвольные
постоянные, при этом С\ / 0. А
В случае, когда уравнение не содержит у, порядок уравнения понижа-
ется, если сделать замену, взяв за новую неизвестную функцию производ-
ную от у наименьшего порядка, входящую в уравнение.
Пример 2. Решить уравнение
х4у"' + 2х3у" = 1.
у = Ci In |т| - ~ + С2х + С3.
А Сделаем замену у" =• z. Тогда у’п = z' и. уравнение преобразуется к виду
x2zf + 2xz = Дг. Отсюда (ЛУ = ( — — | , x2z = —i + С, z = —+ -S.
Возвращаясь к г/, имеем
„ С 1 f Ci 1 _
У “ Z2 “ 7з ’ У ~ + 9^2 + ^2’
Х£ Хл X 2Х£
Ответ, у = Cilnlrrl + С2х 4- Оз — где Ci, С2, Сз — произвольные
2х
постоянные. А
Когда уравнение не содержит х, порядок уравнения понижается, если
за новую независимую переменную взять у и ввести новую неизвестную
функцию z(y) = у1. При этом у" = z(y) • z'(y).
Пример 3. Решить уравнение
у"(у - 1) + у'(у - I)2 = у'2-
Д Заметим, что у — С — решение уравнения. Пусть далее у С. Положив
у — 1 = и, получим уравнение
uu" + u2ur = u'2.
Возьмем и за новую независимую переменную и положим u'(x) = z(u).
Тогда ufl(x) = z • zf (и) и уравнение примет вид uz • zf + u2z = z2.
Заметим, что z / 0, так как случай z — 0 дает у = С.
54
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
/ 2
UZ — Z = — U ,
и
С-и
Сократив уравнение на z, получаем
uz' — z л fz\r ч 2
---х— = —1, I — ) = —1, z ~ -и 4- Си.
и1 \и/
Отсюда иг(х) = —и2 4- Си.
В случае С — 0 и = —Ц—, а в случае 0/0 In
х 4- Со С
Полагая и == у — 1 и упростив полученное выражение, получаем ответ:
— X 4* С0.
, 1 , OiOae^1’
2/ = О, </ = 14-——=;, у = 14- .-' Л ~С'7х'
х 4- С 14- Oie^2®
где О, 01, Ог — произвольные постоянные. А
При решении задач с начальными условиями целесообразно использо-
вать заданные условия в самом процессе решения.
Пример 4. Решить задачу Коши
2(у 4- х)у" 4- у'2 -I- 2/ + -- - = 0, 1/(/2) = 1-/2
(г/ -I- ху
Д Положив и = у 4- х, преобразуем уравнение к виду
2ии,г + и'2 - 1 4- 4 = 0.
и*
у'Ь/2) = >/2 - 1.
Так как это уравнение не содержит х, то положим и'(х) = z(u). При этом
и" = z • z'{u) и уравнение примет вид 2uzz' 4- z2 — 1 4—— 0.
и2
Это уравнение Бернулли. Положив w = z2, получаем uw' + w = 1-
и2
11 10
(uw)' — 1---uw = и------Ь О, w = u'2 = 1 -I—- 4-.
и2 и и2 и
Учитывая начальные данные и равенство и' = у' 4- 1, находим, что
и'(Т2) = 72, u(V2) = 1. Тогда (7 = 0, u'2 = 1 + 4, и' =
и2 и
у/1 + и2 = х 4- С. Из условия и(л/2) = 1 следует, что 0 = 0. Тогда
/1 4- (у 4- х)2 — х. Учитывая начальные данные для у, получаем отсюда
ответ, у = /а?2 — 1 — х. А
Пример 5. Решить задачу Коши
уу" - (у'5 + у'2) thy, у(0) = 1, у'(0) = -1.
§ 7. Основные типы уравнений
55
Д Заметим, что у = С — решения уравнения, но среди них нет решений
задачи Коши, так как у' — 0. Пусть далее у / С.
Полагаем у' — z(y). Тогда у" — zz' и после сокращения на z / 0
уравнение примет вид
yz’ = z (z3 + 1) th у.
Заметим, что z — —1 — решение этого уравнения. Из замены тогда имеем
у' = -1, у = -т4-С.
Используя начальные условия, получаем решение задачи Коши
у = 1 — х. Других решений задача Коши не имеет, поскольку при у 0 0
для рассматриваемой задачи Коши выполняется теорема единственности
решения. А
Решить уравнения (1—17):
1. ху" 4- ху'2 + у1 = 0, х 0.
3.
X X X
5. у у" ~ у'2 = у'у2-
7. 5уу13у" = у'5 4- 4.
9. уу" = 2j/'2 - 4у2уг3.
И. уу"1 - у'у" = 0.
13. (1 4- у2) у" 4- 2уу'2 = у'.
15. 4ху" — у"2 = 4(у' 4-1).
17. 2уу'у" - у"2 = у'3.
2. у"3 4- у15 = (у" 4- у')у"у'2.
4. 4у"у/у ~ 1.
6. Зуу'у" - у'3 4- 2.
8. уу" - 7у^ 4- у4у'.
10. (у3 4- у) у" - (Зу2 - 1) у12 = 0.
12. у у" - 2у' 4- 2у'2.
14. (1 4- у2} у" = у (у'2 - 1).
16. 2(1 - у)у" = у12 + 1.
Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным усло-
виям (18—38):
18.
у" sin3 х —
(у1 sin2 х 4- у'2) cos х = 0, у
= 0, у'
X лл
= 1.
19. у" cos3 х + (у' cos2 х + у12) sin х = 0, у(0) = 0, у'(0) = 1.
20. (г + l)y<n) = у("-‘), п > 2, у(п"2-*) (0) = (п - 2 - к)1, к = 0,1,..., п - 2,
у(п-1)(0) = 0.
56
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
21. ху&> = yt"-1), п Z 2, у("-2-‘)(0) = (п-2- fc)!, к = 0,1,... ,п - 2,
у("->)(0) =0.
22. у" = 5уу/у, у(0) = 1,1/(0) = -2.
23. у" = у12 + (1 - у)у', у(1) = 1/(1) = 1.
24. у" + у'2 = у'е", у(0) = 0, у'(0) = |.
25. уу" - у'2 + 2 = О, у(0) = 1,1/(0) = 0.
26. уу" = у2у'3 + у'2, у(0) = 1, у'(0) = -3.
27. Зу'у" = е», у(—3) = 0, у'(-З) = 1.
28. 2уу" = у'2 (3 - 4уу'2), у(4) = 1, у'(4) = -1.
29. уу" - у'2 = у4, у(1) = 2, у'(1) = —4.
30. уу" = 5у'2 + Зу2у', у(1) = 1, у'(1) = -1.
31- уу" = (4у'4 - у'2) е», у(0) = 1, у'(0) =
32. 2у2у" = 2у'4 - уу12, у(1) = у'(1) = 1.
33. 2у2у" + у'2 = 4, у(0) = 1, у'(0) = —2.
34. Зу'у" - у'3 - у + 2 = 0, у(0) = 0,1/(0) = 1.
35. 2 (у2 + у) у" - (у2 + у + 1) у*2 + у3 = 0, у(2) = 1, у'(2) = -1.
36. 2 (е» + 1)2у" + (е2» - 1) у'2 + 1 = 0, у(1) = 0, i/(l) = 1.
37. у" + (2 + 4у2) у'3 - 2уу'2 = 0, у(0) = 1, у'(0) = |.
38. у3у" + г/'4 In у - у2у^ = 0, г/(0) = у'(0) = е.
2. Случаи однородного и однородного в обобщенном смысле
УРАВНЕНИЙ. Если уравнение является однородным относительно у и всех
производных от у, т. е. уравнение не меняется при одновременной замене
у на Ху, у№ на Ху(к\ X 0 0, k = 1,2,... , п, то порядок уравнения можно
понизить на единицу, если ввести новую неизвестную функцию z(x) по
правилу у' = yz. При такой замене у" — y{z‘ + z2).
§ 7. Основные типы уравнений
57
Пример 6. Решить уравнение
х2уу"-Ьхуу - х2у'2 = Ьу\
Д Заметим сначала, что у = 0 — решение уравнения. Пусть далее у /
/ 0. Убедившись в однородности по г/, у', у" заданного уравнения, вводим
новую функцию z с помощью равенства у' = yz. После сокращения на
у 0 0 получаем уравнение x2z' — 5xz = 6.
Общим решением этого линейного уравнения первого порядка является
z — Сх5----. Отсюда и из замены находим, что
X
yL^cx5-
у X
Решая это уравнение, получаем ответ:
У =
X
где Ci и С2 — произвольные постоянные. А
Пример 7. Решить уравнение
хуу" + ху'2 = Зуу', т / 0.
Д Данное уравнения является однородным по г/, у', у'1 и его можно решить,
понизив порядок уравнения с помощью рекомендуемой замены.
Однако уравнение можно решить и по-другому. Заметим, что у = С —
решение уравнения. Пусть далее у / С. Если иметь ввиду, что
(хуу1)' = хуу" + ху'2 4- уу’,
то заданное уравнение можно записать в виде
{хуу}' = 4уу' или {хуу'}' = (2г/2)'.
Отсюда
хуу' = 2у2 4- С или {ху2}' — 4у2 + 2(7.
Полагая у2 = и, получаем уравнение с разделяющимися переменными
хи' = 4u + 2С.
58
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Интегрируя его, получаем ответ, у2 = С\х4 4- С2, где С\ и Сг — произволь-
ные постоянные. А
Пусть теперь уравнение является однородным в обобщенном смысле,
т. е. существует такое число s, что уравнение не меняется при одновремен-
ной замене х на Ат, у на Xsy, у^ на Xs~ky(k\ где А 0, к = 1,2,..., п.
При х > 0 вводим новую независимую переменную t и новую неизвест-
ную функцию z(t) с помощью замены
х = е*, у = zest.
Тогда уравнение приводится к виду, в который не входит t. Следовательно,
порядок уравнения понижается по правилу, изложенному в п. 1.
При х < 0 полагаем х = — е1.
Пример 8. Решить задачу Коши
х2(у" + 2уу') + 2ху2 - 2у = 0, 3/(1) = 3, г/'(1) =-3.
А Подставив в уравнение Хх вместо х, Xsy вместо у, Аа-1г/ вместо у1
и Xs~2ytr вместо у", потребуем, чтобы параметр А входил в одинаковой
степени во все слагаемые. Если это возможно, то после сокращения на
множитель с такой степенью А получим опять то же уравнение. Для опре-
деления числа s имеем равенства
2 4- s — 2 = 2 4- s 4- s — 1 = 14- 2s = s,
которые выполняются при s = —1. Полагая х = е*, у = z(t)e~t, находим,
что
у'(х) = [z(t)e_t]z • е“( = (z' — z)e~2t,
y”(x) = [(zr — z)e~2t]' • — (zn — 3zf 4- 2z)e-3t.
После подстановки в уравнение выражений для х, у, у', у" и сокраще-
ния нае-*, получаем уравнение
zrr — 3zf 4- 2zz' = О,
в которое не входит t.
Заметим, что z = С — решение этого уравнения. Из замены следует, что
С „ „ п
у =-----решение исходного уравнения. При С — 3 такое решение удовле-
х
творяет заданным начальным условиям. В силу теоремы единственности
§ 7. Основные типы уравнений
59
решения задачи Коши, которая в нашем случае выполняется при z / О,
других решений заданная задача Коши не имеет.
Ответ, у = —. Л
Решить уравнения (39—53):
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
ЭД2/" - (z 4- 1)2/2/' = ® / 0.
уу" “ у'2 4- У2 sin х = 0.
^+^-^2 = 0.
Z
хуу" + УУ' - ху'2 -I- у2, х 0 0.
у2у'” - Зуу'у" 4- 2г/3 4- у3 sinz = 0.
х2уу" - (ху' 4- у)2, х / 0.
хуу" “ УУ' = 2ху®, х / 0.
У У" 4- уу' tg х 4- 2у'2 = 0.
У У" 4-2/2/' tgz = 2у'2.
я УУ' о /2
УУ ~ ТТТ = 2У •
х 4- 1
хуу" 4- 2ху'2 = 2уу', х ^0.
ХУУ" 4- ху'2 4- уу' = 0, х / 0.
У2У" ~ УУ' {у' 4- 4- - у'3 = 0.
52
53
/2
уу'у" - —— у'3 - Z3у3,
х
(z + 1)уу" 4- уу' - ху'2, X / -1.
1.
Найти решение уравнения при заданных начальных условиях (54—67):
54. уу" = (1 - z)y'2, у(1) = 1, у'(1) = 2.
55. (уу" - у'2) sinz + у2 = (sinz - cosx)yy', у (£) = У (
56. хуу" - ху'2 + у'(у' 4-г/) sinz = 0, 2/(1) = 1, у'(1) = -1.
57. 4хуу" - 4уу' 4- у'2 = 0, у(-1) = 1, 2/'(-1) = -4.
г
60 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
58. хуу" - 4ху'2 4- 4уу' = 0, у(1) = 1, у'(1) = 2.
59. 2ху2у" - 2ХУУ12 + 2ху'3 = у'у2, у(1) = у'(1) = -1.
60. (1 - sinх)уу" + г/г/'cos х = у12, ?/(0) = 2, г/'(0) = 1.
61. у2(у" - у') = у,2(у - 2ху'}, у(1) = у'(1) = е.
62. хуу" 4- я(21пж - 1)г/'2 = уу'> у(1) = 1, у'(1) = -2.
63. хуу" 4- (1 4- х2) уу' 4- ху2 = ху'2, у(1) = 1, у'(1) = -1.
64. у2у" - ^х2у2у' 4- - уу'2 = 0, у(1) = 1, у'(1) = -2.
Z о
65. х2у" 4- 2х2уу' 4- 2ху2 - 2у = 0, а) г/(1) = 2, у'(1) = 0, б) у(1) = -1,
У(1) = I-
66. х4у" - хуу’ 4- 2 (у - х2} у = 0, 7/(1) = 1, з/'(1) = i.
67. х4у" - х2уу'2 4- 2ху'у2 = у3, у(2) = 2, у'(2) = 1.
3. Разные задачи. Все задачи этого пункта можно решать методами,
изложенными в п. 1 и п. 2.
68. С помощью подстановки у = z2 решить уравнение
2х2уу" 4- 4г/2 - х2у'2 4- 2ху(у' 4- y/у), х 0.
Решить уравнения (69—87):
69. уу" — 2у'2 = 0.
71. Зуу" - 5у'2 = 0.
73. х2у" - 2у'(у -х), ж 0.
75. уу" 4- 4г/' = у'2.
70. (у2 4- у) у" - (2г/ 4- 1)г/'2 = 0.
72. 4г/г/'2г/" = г/'4 + 3.
74. ху" = у' 4- 2х2уу', х 0.
76. у"=(У-\ +2^-.
\ X } X
78. х2уу" = (ху' - 2у)2, х/0.
80. уу" 4- 2г/'2 = Зуу'.
82. 2х2уу" 4- 4г/2 = х2у'2 + 2хуу', х О
77. 2у(ху" 4- г/') = х(х 4- 2)г/'2, х 0.
79. уу" = (г/3 4- у') у1.
81. (г/4-1)г/"4-—= у12.
У 4- 1
§ 7. Основные типы уравнений
61
83. х2уу" + х2у'2 — 5хуу' 4- 4т/2 = 0, х 0.
84. х4у" — х2(ху' — у) — (ху' — у)3 = 0, х / 0.
85. у'у"’ = У"2 -(-} 86- У’У"' = Зу"2-
\х J
87. х2у'у'" — х2у"2 4- т/'2 = 0, т / 0.
Найти решение уравнения при заданных начальных условиях (88—95):
88. хуу" + у2 = ху'2 4- (х - 1)уу', т/(1) = у’(1) = 2.
89. (1 + у)у" + ху'2 = 0, 2/(1) = 0, у'(1) =
90. у (у" + у') = у'2 (ху2 - 1), 7/(0) = т/'(0) = 1.
91. (у + 2)у" + у’2 = cos 2т, 1/(0) = -2, y'(Q) = 1.
92. 2 (уу" - у'2) = (у'2 - 2у'у) ех\ у(0) = 1, у'(0) = 2.
93. х (уу" - у'2) ~ т/т/'In 7/(1) = т/'(1) = 1.
94. хут-у" = a/cosz, у = 0, у = 1, у
95. Зу"у"' - 2у"3 = 16, 1/(1) = 2, 1/(1) = 0, 1/"(1) = -2.
Найти интегральные кривые, а) касающиеся прямой у = 1, б) пересекаю-
щие прямую у = 1 под углом р = ~ или (р = —, для уравнений (96—97):
96. 2 (уу" - у'2) + Зт/т/'4 = 0.
97. 7/(1 - In у)у" + (1 + 1пт/)т/'2 = 0.
98. Для уравнения (14- т/'2) у'" = Зу'у"2 найти интегральные кривые,
пересекающие ось ординат под прямым углом и имеющие в точке
пересечения кривизну, равную а) нулю, б) единице.
Найти решение уравнения при заданных условиях (99—102):
99. у" 4- 2(1 - у)у' = 0, у'(х) 0 в (т, 1).
100. уу" - 2у'2 = 2т/4т/', 7/(2) = Ут/'(2) 0.
62
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
101. 2уу" - у'2 + 2уу'* = 0, т/(1) • т/2(1) = 1.
102. уу" + уу1 tgх - (1 - sinz)?/2, т/(0) • т/'(0) < 0.
Ответы к задачам § 7
1. еу = Ciln(C2x), у = С.
2. еу(х + Ci) = С2, (т/ + Ci)(C2 - х) = 4, у = С.
3. 2у = х2 + С, уС2 = eClX(C\x - 1) + С2.
4. 4(^ + С1)1 -1201(^ + 01)5 =С2±Зх.
5. у (1 + С2еС11) =01, у(С -х) = 1.
. ч 3
/2 V
6. yCi = -Cis + С2 + 2,у = С-х#2.
у О /
/4 \ 4 г-
7. yCi = -Ovr + 02 ) +4, у = с-х&4.
\ о }
9, у4 + Ci = у(3г + 02), у = С.
10. (1 + у2) (011 + 02) = !.
11- у + у/уг + О1 = О2еСз*, у = Ci sin (С2х + Оз), у = Cix + С2.
12. у (1 - С2еД) = О1 (1 + О2Л), arctg (Cty) + С,х = С2. у + х = С.
13. (у - Oi)2 + (О? + 1) In (у + Oi)2 = 1х + О2, у = О.
14. у + у/1 +у2 + О2 = С2е^, у = ^/О2 - 1 sin
, у = ±я 4- С.
15. у = Ciz2 — С2х — х 4- С2, Зт/ = х3 — Зх 4- С.
16. 2х — Cx(2t 4- sin2t) 4- С2, у = 1 — С\ cos21.
17. 2т/ = С2еС1Х 4- Ci, у(х 4- С) 4- 2 = 0. 18. 4т/ = 2х - тг — sin2z.
19. 4т/ = 2(г 4- sin2ic.
20. у = хп 2 + хп 3 4--------------1-1.
§ 7. Основные типы уравнений
63
21. у = Схп + хп 2 + хп 34-hl.
23. у = ех~1.
25. у — cos (ху/2).
27. х3еу + 27 = 0.
29. у(2х - 1) = 2.
31. 2у = 2 — х.
33. у = 1 - 2т.
35. 4у = (х - 4)2.
37. у = у/х + 1.
22. ?/(т + 2)4 = 16.
24. (2 - х)еу = 2.
26. у = $1 - Эх.
. V 2
/ 3 V
28. у = ^7 - -х\ .
30. ху = 1.
32. 4у = (z + I)2.
, к 3
/ 2 \ 2
34. у= 1 - I 1 - ~х 1
\ J
36. у + еу = х.
38. In ?/ = \/2т -I-1.
39. ln(Czy) = Ci(x — 1)ех, у = 0. 40. 1п(С2?/) = С\х 4- sin ж, у = 0.
41. у = €71|ж|<:72. 42. у = C'ieI|z|c'2.
43. In (Сзу) = С2Х2 -hCix - cos ж, у = 0. 44. In (С2У\^с) = Cix3, у = 0.
45. y(Ci 4- С2Х2) — 1, у = 0.
47. y(Ci + С*2 sin я) = 1, у = 0.
49. у = УС1Х3 + С2-
51. In (С2у2) = ±Vz2 + Ci, у = С.
53. г/|С1гг + Ci + 1|^Г = С2, у = Се
55. у = tg^.
Л!
57. у~ (2х + 1)2.
59. In (—у) = 2(\/х — 1).
61. In?/ = \/2х — 1.
46. у = s/Ci 4- C^smrr.
48. у [Cj + С2(х + I)2] = 1, у = 0.
50. y2 = C1ln|z| + C2.
52. In (С2у3) = ± (х2 + Сх) t у = 0
~х, у — С. 54. х In у = 2(х — 1).
56. In у = 1 — х.
58. у\/2 — х3 = х.
60. In2/ = 1п(1 4- cost) 4- tg
62. у = 1 — 21пт.
64. In т/ = 2(1 — х).
66. 7/(14- 5т3) = 6т2.
63. ху = 1.
65. а) у (1 4- 2т3) = 6т2, б) ху 4-1 = 0.
.
64
67.
69.
71.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
у = х. 68. 16у = х2 (In2 |зс| + Ci In |зс| 4- С2)2, у = 0.
y(Cix + С2) = 1, у = 0. 70. (1 - С2еС1Х) у = С2ес'х.
з /3 \ з
ф + С2|? =<?!,!/ = С. 72. С1У = I -Сц + сИ +3.
Cix arctg(Ciy) = Сгх - 1, у ^Сге~^ - 1) = Ci + 11,
у=\Тсх
1Ciaxc^(Ciy) = х2 + С2, у (1 - С2ес‘12) = (7, (1 + С2ес'12),
У (с - х2) = 2.
С\у 4- 4 = С2еС1Х, у = 4а; 4- С, у = 0.
2у 4- а;2 = 2Cix - 2С121п|а; 4- Ci| + С2, у = С.
У = С2
х
х — 2С\
Cj 2
, у = Се®, 2/ = с.
4
у = С2хз • е^7.
у2 (1 - С2еС1*) = С1С2еС1а:, у2(С -х) = 1,у = С.
у=^С!е^ + С2.
С^у + I)2 = С2еС1Х - 1, (у + I)2 = х + С.
у = С]Х2(С2 4- In |а;|)2, у = Сх2.
у2 = Cia;4 4- С2х2.
у = С\х ± х\/С2 — Ina;2, у — Сх.
у = С2еС1 (х~ 4- С3, у = Cix2 4- С2.
\ °1/
(У + СО2 = С2х + С3, у = Схх + С2.
у = С2ес^х(С1Х - 1) + С3, у = Схх2 + С2.
у = 2х.
(х 4-1) In (?/ 4-1) = х - 1.
у = ^/1п (х 4-1)2 4-1.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
65
91. у = sinx — 2.
92. у = е2ж.
93. у = е1"1.
л . 7Г . _
94. у = ~ — xsmx — 2cosх.
95. у = 2т — х2 4-1.
/3 \ з
96. а) у = 1, б) у = I -х 4- С ) .
97. а) у = 1, б) lay = 1 ± —777-
х + и
98. а) у = С, б) у — С ± %/1 - х2.
99. Ci arctg [Ci(у - 1)] = х 4- С2, (1 - у)(х 4- С) = 1, у = 1.
100. у^Зх 4- С 4-1 = 0.
101. у - + cj .
\ А )
102. у = С2
sin я — Ci
sin х 4- Ci
§ 8. Методы решения линейных уравнений
с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера
Для решения линейного однородного уравнения с постоянными (веще-
ственными) коэффициентами необходимо составить характеристическое
уравнение, найти его корни и по ним написать общее вещественное ре-
шение заданного уравнения.
ПРИМЕР 1. Решить следующие линейные однородные уравнения:
a) yIV - бу"' 4- Sy" 4- бу' - 9у = 0,
б) yIV 4- бу"' 4- 13у" 4- 12У* 4- 4у = 0,
в) yIV - Зу"' 4- 5у" - у' - 10у = 0.
А а) Составляем характеристическое уравнение
А4 - 6А3 4- 8А2 4- 6А - 9 = 0.
3—1374
66
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Легко видеть, что его корнями являются Ai = — 1, Аг = 1. Чтобы найти
остальные корни, достаточно разделить левую часть характеристического
уравнения на (А2 — 1). Тогда уравнение можно разложить на множители
следующего вида
(А2 - 1)(А2 - 6А + 9) = (А2 - 1)(А - З)2 = 0.
Таким образом получаем еще один корень Аз = 3 кратности два. Сле-
довательно, общее решение заданного уравнения имеет вид
у = Cie-1 + С2ех + (С3 + С4х)е3х,
где Ci, (?2, Сз, С4 — произвольные постоянные.
б) Нетрудно проверить, что Ai = — 1 и А2 = —2 являются корнями
характеристического уравнения
А4 + 6А3 + 13 А2 + 12А + 4 = 0.
В таком случае это уравнение можно представить в виде
(А + 1)2(А + 2)2 = 0.
Отсюда видно, что оба корня Ai = — 1, Аг = —2 кратности два. Значит,
общее решение заданного уравнения имеет вид
у = (Cl + С2х)е~х + (Сз + С4х)е~2х,
где (7i, С2, С3, С4 — произвольные постоянные.
в) Характеристическое уравнение
А4 - ЗА3 + 5А2 - А - 10 = 0
имеет корни Ai = — 1, Аг = 2. Разделив левую часть этого уравнения на
(А 4- 1) (А — 2), получаем следующее представление характеристического
уравнения
(А + 1)(А — 2)(А2 — 2А + 5) = 0.
Это дает еще два комплексно сопряженные корни A3 = 1 — 2г, А4 = 1 4- 2г.
Сдедовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид
у = С\е~х 4- Сге21 4- ех(Сз cos2a; 4- С4 sin2a;),
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
67
где Ci, С2, Сз, С4 — произвольные (вещественные) постоянные. А
Для решения линейных неоднородных уравнений с постоянными ко-
эффициентами используются чаще всего метод неопределенных коэффи-
циентов и принцип суперпозиции.
Пример 2. Решить линейное неоднородное уравнение
у'" — у" — ^у' + 4?/ = —8(cos 2х + 2 sin 2х) — Зех.
Д Сначала составляем характеристическое уравнение
А3 - А2 - 4А + 4 = 0.
Его корнями являются Ai = —2, А2 = 1, Аз = 2. Поэтому общее решение
соответствующего линейного однородного уравнения имеет вид
yQ(x) = Cie-2x + С2вх + С3е2х,
где Ci, (?2, Сз — произвольные постоянные.
Чтобы получить общее решение заданного уравнения, необходимо най-
ти какое-либо его решение у\{х) и прибавить к уже найденному общему
решению Уй{х) линейного однородного уравнения. Согласно принципу су-
перпозиции решение у\{х} = yz(x) + уз(х), где yz(x) — какое-либо решение
уравнения
уш — у" — 4у' + 4у = —8(cos 2х 4- 2sin2т),
а Уз(ж) ~ какое-либо решение уравнения
у"' -у" -4?/' + 4т/ = -Зе1.
Решение уъ^х} ищем в виде
У2(х) = a cos 2х + b sin 2т,
а решение уз(х) ищем в виде
Уз(т) = схех,
где коэффициенты а, Ь, с находим подстановкой У2(х) и уз(я) в соответ-
ствующие уравнения. Подстановка У2(х) и уз(х) в уравнения дает а = — 1,
68
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Ъ = 0, с = 1. Таким образом, yi(x) = — cos 2т 4- хех — решение исходного
уравнения. Общее решение заданного уравнения у(х) = уо(х) 4- yi(x). А
Другим методом решения линейных неоднородных уравнений с посто-
янными коэффициентами является метод вариации постоянных.
Пример 3. Методом вариации постоянных решить уравнение
Д Поскольку характеристическое уравнение А2 4-1 — 0 имеет корни Ai —
= — i, А2 = i, то общее решение линейного однородного уравнения у"+у = О
имеет вид
у = Ci cosх 4- С2 sins,
где Ci и С*2 — произвольные постоянные.
Общее решение заданного уравнения ищем в виде
у = С1(т) cost 4- Сг(т) sins,
где С\(х) и Сг(т) — неизвестные пока непрерывно дифференцируемые
функции. Согласно методу вариации постоянных для их нахождения со-
ставим систему уравнений
С{(х) cos х 4- С'2(х) sinх = О,
—С\ (т) sin я 4- Сп(т) cos х = —х—.
14 2 cos2X
Отсюда находим, что С((т) = —-—, Со(т) = — S1-z- . Интегрируя,
COST COS2T
получаем
СДт) =
cos xdx
COS2T
dsmT 1,
----г-9— = о In
1 — sinz т 2
sinT 4-1
sin т — 1
/sinTdT Г Jcost 1 _
----— — I -----— — 1_ p,
cos2t J COSZT COST
где А и В — произвольные постоянные. Подставляя найденные значения
С\(т) и Сг(т) в выражение для у, найдем общее решение заданного урав-
нения
1
4 r, • . 1 1 S1HT + 1
у = A cos т 4- В swt 4- - In —-----
2 81ПТ — 1
2
COS T — tg T.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
69
Еще один метод решения линейных уравнений с постоянными коэффи-
циентами основан на использовании преобразования Лапласа. Этод метод
называют операционным.
Пример 4. Операционным методом решить задачу Коши
у” - 4у' + Зу = 2(е‘ + e3f), t > 0, у(0) = -1, у'(0) = 1.
Д Будем считать, что при t < 0 y(t) = 0 и правая часть уравне-
ния тождественный нуль. Тогда так продолженные на всю числовую ось
t 6 (—оо, 4-оо) решение и правая часть уравнения являются оригиналами.
Если y(t) == Y(p), то в силу свойств преобразования Лапласа и начальных
условий y'(t) = рУ(р) 4-1, y"(t) = p1 2Y(p) +р — 1. Продолженная нулем
при t < 0 правая часть уравнения имеет своим преобразованием Лапласа
функцию 2 (------ 4----- | • Переходя в исходном уравнении к преобра-
\р — 1 р — 3 /
зованию Лапласа, т. е. умножая его на e~pt и интегрируя по t от нуля до
бесконечности, получаем алгебраическое уравнение для нахождения Y(р)
р2У(р) 4-р — 1 — 4[рУ(р) 4-1] 4- ЗУ (р) = 2 •
Если считать комплексный параметр р таким, что Rep > 3, то из
алгебраического уравнения находим
1 Г 2 2
У(р) = (р-1)(р-з) [^Л + ^з-Р + 5] •
Разложим правую часть на простые дроби
А . В С ( D
У(Р) " р-1 + (р-1)2 +р-3 + (р-3)2’
Приравнивая выражения для У(р), находим
А = —2, В = —1, (7 = 1, Р = 1.
Переходя к оригиналам, получаем искомое решение
y(t) = (1 + 1)е3 *‘ - (I + 2)е*. ▲
70
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Уравнение Эйлера аох2у" + aixy' + а,2у = /(ж), х > 0, заменой х = е*
сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.
Пример 5. Решить при х > 0 уравнение Эйлера
х2у" — ху' — Зу = 4т3.
Д Если положить х = ef, то у1 = e~ly't, у" = e~2t(y”t — y't). Подставляя
выражения для х, у', у" в заданное уравнение, получаем
у" - 2у' - Зу = 4е3'.
Характеристическое уравнение А2 — 2А — 3 = 0 имеет корни Ах = —1,
А2 = 3. Следовательно, общее решение полученного уравнения с постоян-
ными коэффициентами имеет вид
y(t) = Cie-t 4- C2e3t 4- ate3t,
где Ci и (?2 — произвольные постоянные, а коэффициент а находится
подстановкой функции ate3t в уравнение. Подстановка в уравнение дает
а = 1. Сделав обратную замену t = In х, получаем общее решение задан-
ного уравнения Эйлера
у(х) = — 4- С2Х3 4- х3 In х. А
х
Решить линейные однородные уравнения (1—38):
1. у" - Ьу' 4- Зу = 0. 2. у"-бу' + Зу = Ъ.
3. у" 4- Зу' 4- 2у = 0. 4. У” ~У' ~2у- 0.
5. у" 4- бу' + бу = 0. 6. у" - 4?/' + Зу = 0.
7. у" - бу' 4-1 Зу = 0. 8. у" - 2у' 4-10?/ = 0.
9. у" 4- 2у' 4- бу = 0. 10. у" + 2у' 4- 2у = 0.
11. у" - $у' 4- 4т/ = 0. 12. у" - бу' + 9у = 0.
13. у" - Зу' 4- 16г/ = 0. 14. у'" 4- 4у" — у' — 4т/ = 0.
15. У"' 4- Зу" — у' — 3у = б. 16. у"' - 7у" + 14з/' - Зу = 0
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
71
17. у'" + 4у” + бу' + 2у = 0.
19. у"' - Зу” 4- 7 у' - бу = 0.
21. у'” 4- Зу” + 4у' 4- 2у = 0.
23. yIV - у'” + 2у' = 0.
25. yIV - бу'" 4- 7у” - Зу' = 0.
27. yIV + бу”' + 9у” + 7у' 4- 2у =
29. yIV - 2у”' 4- 2у” — 2у' + у = (
31. yIV + бу'” 4- 12у” 4- 8у' = 0.
33. yIV - бу'” 4- бу” 4- бу' - бу =
35. yIV 4- 8у" 4-16г/ = 0.
37. yIV 4- 18у” + 81г/ = 0.
18. у”' 4- Зу” - 4г/ = 0.
20. у”' 4- у” 4- 4у' 4- 4г/ = 0.
22. у”'-у”-by'-у = 0.
24. yIV - 7у”' 4- 14г/" - 8у' = 0.
26. yIV - бу”' 4- 9г/" 4- 4у' - 12г/ = 0.
0. 28. yIV 4- 2у”' 4- 2у” 4- 2у' 4- у = 0.
|. 30. yIV - 2у” 4- у = 0.
32. yIV 4- 2у”' - 2у” + 2у' - Зу = 0.
0. 34. yIV 4- бу” 4- 4г/ = 0.
36. yIV + Зу” 4- 2г/ = 0.
38. у'” + Зу” 4- Зу' 4- у = 0.
Решить линейные неоднородные уравнения (39—151):
39. у” - Зу' 4- 2г/ = (1 4- х)е2х.
41. у” — у' — 2у = —9хе~х.
43. у” — у = ех cos х.
45. у” — 4у' 4- 4г/ = х2 4- 2е2х.
47. у” 4- 4г/ = 4те~21 — sin 2т.
49. у” 4- 9г/ = бте-31 — 3cos Зх.
51. у” — 4у' 4- 4г/ = 32те-21.
53. у” — у' = (4т 4- 3)ех — 2cos т.
40. у” + 2у' 4- у = т2е х.
42. у” 4- у' — бу = — 18х2е~х.
44. у” — у' + ^у = ех sinT.
46. у” -by' — 2у = 2хе~2х 4- 5sinT.
48. у” 4- 2у' — Зу = 2 cos т — 8те~3ж.
50. у” 4- бу' 4- 9г/ = З6те3ж.
52. у” -by' = (5 — 2т)е~ж — 10sin2т.
54. у” — 4у' = —8е2х cos 2т — 8т 4- 2.
55. у” — 4у' 4- 13г/ = — 9 cos 2т — 8 sin 2т. 56. у” 4- 4у' 4- 4г/ = 2е 2х.
57. у” — 2у’ 4- бу = 4 cos т 4- 2 sin т.
58. у” — 8у' 4- 20г/ = —2e3l(2cosT 4- shit). 59. у” -by' — бу = —5е-3т.
60. у” -2у' -Ьу = 2ех. 61. у” - 7у' + 12г/ = -е3х.
72
62.
64
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
86
88
90
92
93
94
96
98
99
101
103
105
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
у" — 2у' 4- Зу = 4 cos х — 2 sinz 4- 4е3х.
у" — у1 — 12у = e“2x(7cosa: — 5 sin х) — 7е
у" 4- 4у = 2 cos 2х — 8х sin 2х.
у" 4- 16у = 2 sin2 х.
у" 4- 2у' 4- у = хе~х.
у" 4- у = 2sina: • sin 2а:.
у'" - 2у" - Зу' = х 4-1.
у"1 — 2у" 4- 2у' = 5 cos х 4- 2а:.
у1" — 4у' = cos2 х.
у"' — 16j/z = sin2 2х.
у'" 4- у1 = 1 4- sin а:.
у"' — 2у" 4- Ьу' = 5х 4- 4ех.
63. у"+ 2у'-3у = (2 — Зх)е~3х
—Зх
66. у" 4- 4у = 2 cos2 х.
68. у" — 5у' 4- Gy = 10 sin х 4- е2х.
70. у" — 7у' 4- Gy = sin х 4- хех.
72. j/'" - 2у" -31/ = е~2х.
74. у"' - у" 4-у1 -у = 2cosх.
76. у"1 4- 4j/ = ch2 х.
78. у"' 4-16j/'= sh2 2а:.
80. у'" -Зу,-2у = е~х.
82. у'" 4- у1 = 4 4- 10е2х.
84. у'" + у' = —2ex(cos х 4- 3sin х) — 2 cos х
у"' — Зу" — 4у' = —Зсоза: — 5 sin х 4- 5е-х.
у'" - у” — Gy1 = cos х 4- 7 sin х - 6. 87. у"1 4- у” - 2у' = Зех.
у"' 4- 4т// = 8 cos 2х. 89. у"' 4- 2у" 4- у' = 4 cos х 4-1.
у"' — 4у’ = 2е-х (Зсоза: 4- sinх). 91. у'" 4- Gy" 4- Gy' = —4е-х.
у"1 — Ъу" 4- у' — Зу = 6 sin х — 2 cos х.
у'" — 4у" + у' — 4у = 2 cos х — 8 sin х.
у'" 4- 4у" 4- Gy' + 2у = е~2х. 95. у"' 4- 4у" 4- 4у' = —4е~2х.
у'" — Зу" 4- 4у = 6е2х. 97. у"' — у" — у' + у = е~х (3 sin х — 4 cos х).
у'" — Зу" 4- 19у' — 12у = 2е3х — 8 cos х — 36 sin х.
у"1 4- у" = е~х 4- 2 cos х.
у'" - 2у" = е2х.
у'" 4- у" — 2у' = 2 - х.
у'" — 2у" 4- 2у' = 4x4- cos х.
100. у/" — 2у" = sin х.
102. у"1 + у" - 2у' = е3х.
104. у'" 4- 2i/' = cos х.
106. j/" - IGy' = 48а:2 4- 2 cos2 2а:.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 73
107. у"' — 2у" 4- 2у‘ = 20 sin2 108. у"' 4- 4$/ = е2х — 8 sin 2х.
л»
109. у/" 4- j/' 4- 4t/ 4- 4j/ = 40sin2 x. 110. у"' 4- 2y,/ = 2e“2x.
111. у"1 — 4y" 4- 5y‘ = 15т2 — 4x 4- 8sinT.
112. — 2y" 4- 2y' = 6т2 4- 2 4- 20 cos 2x.
113. y"' — by" 4- 10j/ = 13cost 4- 10т.
114. у'" 4- 2y" 4- by1 = 2т - 17 sin 2т.
115. у’" — 2y" 4- у' = 2т 4- 2 cos т. 116. у"' — 2у" — 16 sin 2т — 12т.
117. у"' — у" 4- у1 — у = 4тех 4- 4. 118. у"' + у" 4- у' 4- у = 4те-х 4- 4.
119. у1" — у" 4- 4у' — 4у = 40 cos2 т. 120. y/v — 2у" 4- у = 1 4- т2.
121. ylv — у — ех cos т. 122. yIV 4- 2у" 4- у = т2 4- 9 sin 2т.
123. yIV 4- 8у" 4- 16 т/ = 16т2 4- 9sinT.
124. yIV 4- 18у" 4- 81 у = 64cost — 81т2.
125. yrv 4- 50i/" 4- 625y = 576cost 4- 625т2.
126. yIV — 4y'" 4- by" — 6(1 4- 5т) 4- e2x.
127. yIV 4- 2yf' 4- у = т 4- сов 2т. 128. ylv — 16у" = 64 sin2 2т.
129. yIV 4- 3y" — 4y — 10 sin 2т 4- 6e2x. 130. yIV 4- y" = sin2
131. ylv — y" — 2y = 12sin3Tcos2T — 6(e-2x 4- sin5т).
132. 4yrv - у" = 12т sh2 4- 3(8 - xe~x). 133. y/v - 4y" = 16 ch2 x - 8.
134. yIV — 2y'" 4- 2y" = 10 cos2 т 4- 5(тех — 1).
135. yIV - 24/" - Зу" = 8shT 4- Юте®.
136. yIV 4- 2y" 4- у = 18 sin2 x 4- 3 sin 2т 4- т3.
137. yrv — 2y" 4- у = 8 ch2 4- t2 — 2e“x.
138. y/v + у"' - 2y" = Зе1 + 32e2x. 139. y'v + y" = 8cos2
At
140. y™ — 3y" — 4y = 24 cos 2т 4- 20e2x. 141. yIV 4- Зу"1 — 4y" = 5 sh t.
74
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
142. yIV — у — —8(cos* + 3sin*)e2x — 4е-х.
143. yIV — у" = 4* cos* + 12 sin я — 2ех.
144. yIV — ±у"' + Зу" = 4 cos х + 8 sin х + 6.
145. yIV 4- 7у"' + 16?/" + 10?/' = —5е-х.
146. yIV — Зу'" 4- 4?/' = — cos х 4- 7 sin х 4- 4.
147. yrv 4- Зу"' 4- Зу" + у' = 2(sin* — cos х) 4- 2х 4- 6.
148. yIV — 2у" 4- у = 8ех — 4 cos х.
149. yIV — у"' — у" — у' — 2у = —бе-1.
150. yIV — у'" — Зу" + у' + 2у = — 5(cos* 4- sin х)е~х.
151. yIV — 2y"f — 2у" = 4 ch ж.
Методом вариации постоянных решить уравнения (152—171):
152. у" 1 + У= 2 • SHT X 153. у" - Зу' + 2у = — 14-е1
154. »/' ех -зу' + 2!/=1 + е1. 155. у" ёх — е~х
У у ех 4- е~х ‘
156. у" — 2у' = 5(3 — 4я)х/я. 157. у" 9ех - 2у' + Ют/ = 7-- cos 3*
158. у" - 4yf 4- 8у = 4(7 - 21* 4-18*2) &х; 159. у" 4- у = — ctg2 *.
160. у" — 4у = (15 — 16*2)\/я- 161. у" е~~2х + 4у’ + 4у = *4-1
162. у" о / 3* — 1 + Зу' = 5-. 163. у" . , . 2е2х 4?/ 4-4?/ = 1 4- *2
164. у" + у’ — 7(4 4- 3x)\fx. 165. у" е~ х + 2у +2у = . sm*
166. у" 4- 2у = 2 — 4*2sin*2. 167. у" 2е~х + 2у, + 5у=— cos 2*
168. у” 4- 2у' 4- у = (* 4- 2) ^1п х 4- П * ) 169. у" — 2у = — 2 — 4*2 cos *2
170. у” z *4-1 У = Х2 • 171. у" — 2у' = - — 2 In (е*). *
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 75
Операционным методом решить при t 0 задачу Коши (172—183):
172. у" - Зу' + 2у = е“‘, у(0) = 0, у'(0) = 1.
173. у" - у1 - 2у = 3te‘, у(0) = у'(0) = 0.
174. у" - 5у' + 4у = (10t + 1)е-‘, у(0) = у'(0) = 0.
175. у” + 5у' + 6у = e~2t, у(0) = -1, /(0) = 0.
176. у" — 2у' + у = 2/, т/(0) = 7/(0) = 1.
177. у" + 2/ + у = (t 4- 2)е~‘, т/(0) = 1, /(0) = -1.
178. у" - 2у' — Зу = 4е3* - 4е"‘, т/(0) = 2, /(0) = 0.
179. у" + у = 4cost, 7/(0) = 1, /(0) = -1.
180. у" + у = 5te2<, 7/(0) = 0, /(0) = 1.
181. у" 4- 9т/ = 6cos3t + 9sin3t, т/(0) = 1, /(0) = 0.
182. у" 4- 4т/ = 4(cos2t + sin2t), 3/(0) = 0, /(0) = 1.
183. у" + у = 2(cos t - sint), у(0) = 1, /(0) = 2.
Решить при х > 0 уравнения Эйлера (184—207):
184. х2у" + 2ху' — 12т/ = 0. 186. 4т2/' - Зу = 0. 188. х2у" 4- Ьху' 4- Зу = 0. 190. х2у" — 6т/ = 0. 192. х2у" 4- Зху' — Зу — ~~^=- 2у/х 194. х2у" — 2у = — 2т3. 185. 2т2/' — ху' — 2у = 0. 187. х2у" — 2ху' — 4у = 0. 189. 2х2у" - Зху' 4- Зу = 0. 191. 2х2у" 4- 5т/ — 2у = 0. 193. 4т2/' — 4т/ — 5т/ = — 4у/х. 195. х2у" — Зху' 4- 4у = 4т3.
196. х2у" 4- ху' + у = Ют2. 197. х2у" 4- Зт/ 4- у = -. т
198. х2у" 4- ху1 4- у = — 2 sin (In т). з 199. х2у" — 4ху' 4- 6т/ = 2т2 . т
200. х2у" 4- 2ху' —2у = In ж. 202. х2у" 4- ху' — 4т/ = —9т1пт. 201. х2у" — 6т/ = —16т21пт. 203. х2у" - 20т/ = Ют6.
76 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
3
204. х2у" + Зху' — Зу = —х. 205. s2yzz — ху' -Зу — llz3 Inх.
х
206. 2х2у" + ху' -у = 207. х2у" -2у = ^.
X хг
Решить каким-либо способом задачу Коши (208—236):
208. у" 4- у = —2 sin х, у(0) = 0, yz(0) = 1.
209. у" - у1 - 2у = -13хе~х, у(1) = бе"1, г/(1) = Зе’1.
210. 9yzz 4- у - 6 sin у(Зтг) = 0, yz (Зтг) = 1.
211. у" 4- у = cos (х - 1), у(0) = yz(0) = 0.
212. 4у" 4- у = 4 cos у(тг) = 0, у(тг) =
213. у" 4- у = 2sin (х 4-1), у(0) = yz(0) = 0.
214. у11 — 2у' + у = 2ех, у(1) = 0, у'(1) = -е.
215. у" — 3yz 4- 2у = 2хех, у(1) = е, yz(l) = 5е.
216. у" - 4у' = —8е2х cos 2х - Зх 4- 2, у(0) = 5, yz(0) = -6.
217. у" 4- 3yz 4- 2у = -2cos2z — 6sin2z — е“2х, у(0) = 3, у'(О) = —7.
218. у" — 2уг — Зу = 4 cos я — 2 sin а; 4- 4е3х, у(0) = 5, у'(О) = 7.
219. у" 4- у = sin (ж - 1), у(0) = yz(0) = 0.,
220. у" + у = —, у(0) = 0, t/(0) = 1.
COSX
221. у" + 2у' + у = —е~х, у(1) = 1/(1) = 0.
X
222. у" - 2у' + у = ie1, у(1) = у'(1) = 0.
223. y,v - 2у" + у = 1 + х2,у(0) = у'(0) = у"(0) = у"'(0) = 0.
224. х2у" + 2ху' -2у = у(1) = 0, у'(1) = 1.
X*
225. х2у" 4- 2ху' - бу = ж3, у(1) = 0, yz(l) = j.
226. х2у" + ху’ -у = 1ns, у(1) = 2, yz(l) = 1.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
77
227. 4а:2у" - Зу = Зх1, у(1) = 1,1/(1) = 2.
228. а:2у" + ху1 - у = 2х, у(1) = 0,1/(1) = 1.
229. у"' + у1 = 2х, у(0) = 0,1/(0) = 1, !/"(0) = 2.
230. у"' -!/ = 6 - Зг2, у(1) = 1/(1) = 0,1/'(1) = 3.
231. y,v + 2у" + у = О, у(0) = у"(0) = 0,1/(0) = 2, у"'(0) = -4.
232. у"' + бу" + Ну* + бу = х1 + х + 1, у(0) = }/(0) = у"(0) = 0.
233. у"' - бу" + Пу* - бу = 1, у(0) = у'(0) = у"(0) = 0.
234. y'v - 2у"' + 2у" - 2у' + у = ^ + 4cosi, у(0) = 1/(0) = 1, у"(0) = О,
у"'(0) = -3.
235. у<«) + 2у W - 2у" - у = 0, у(0) = у"(0) = у(4) (0) = у<6> (0) = 0, у'(0) = 2,
у'"(0) = 2, у<5>(0) = -1, у<7>(0) = 11.
236. у<»> - у = 0, у(0) = 1, у'(0) = у"(0) = у"'(0) = у<4>(0) = у<5>(0) =
= У(6) (0) = vm (0) = 0.
237. Найти решение уравнения у"' — 3?/ — 2у = хе~х, ограниченное при
х —> 4-оо и удовлетворяющее условиям у(0) = 1, у'(О) =0.
238. Составить линейное однородное уравнение наименьшего порядка
Ly — 0 с постоянными вещественными коэффициентами, имеющее
решения у\(х) и 2/2(я), и решить неоднородное уравнение Ly = /(ж),
если:
а) У1(х) — sins, У2{х) = е_®, f(x) = ж 4- 2е~®,
б) у\(х) = х, у2(х) — ех, f(x) = 2sinх - 2,
в) т/i (х) = cos ж, у2(х) = е®, f(x) = 2ех - х,
г) 2/1 (я) = я» У2(х) — е~®, f(x) = 2 — 2cosх.
239. Доказать, что любое решение уравнения
yv - y'v - 9у"' + у" + 20»/ +12 = О
однозначно представимо в виде суммы решений уравнений уш — у"—
-5у' - Зу = 0 и у" - 4у = 0.
78
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
240. Верно ли, что каждое решение уравнения у" — у' — 2у = 0 удовлетво-
ряет уравнению
yv - 3y,v - у'" + 1у" - 4у = 0?
Ответы к задачам § 8
1. у = Ciex + С2е3х.
3. у = (7ie"2x + С2е~х.
5. у = С1е-3х + С2е~2х.
7. у = e3l(Ci cos Зя + С2 sin Зя).
9. у = е ®(Ci cos 2х 4- С2 sin 2®).
11. у = е2х(С1х + С2).
13. 2/ = e4x(C'i®4-(72).
15. у = Cie~31 + С2е~х + (73ех.
17. у = Ge"21 + е~х(С2х + (73).
2. у = С\е2х + (72е4х.
4. у = Cre-X 4- С2е2х.
6. у = e2x((7i cos 2® 4- (72sin2®).
8. у = ех (Ci cos Зя 4- (72 sin Зя).
10. у = e~x((7i cos я 4- (72зшя).
12. у = е3х(С1х + С2).
14. у = Сге~4х 4- С2е~х 4- С3ех.
16. у = С1ех + С2е2х+С3е4х.
18. у = е~2х(С!Х 4- С2) 4- С3ех.
19
у = (71 е1 4- ех((72 cos 2® 4- (73 sin 2®).
20. у — С\ё~х 4- С2 cos 2х 4- (73 sin 2х.
21. у = С\е~х 4- e-x((72cos® 4- (73sin®).
22. у = (7i cosх 4- С2 sinх 4- (73ех.
23
у = (716 х 4- С2 4- ех((73 cos я 4- Са sin®).
24
у = (71 + С2ех 4- <73е2х + (74е4х.
25. у = (71 + ех(С2х + С3) + (74е3х.
26. у = Ge'1 + е2х(С2х + (73) + С4е3х.
27. у = Схе'2х + е~х(С2х2 + (73я 4- (74).
28
у = е x((7i® 4-<72) 4-(73 созя 4-(74 sin®.
29. у = (7i cos® 4- (72sin® 4- ех((73® 4- (74).
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
79
30. у = e~x(Cix 4- С2) 4- ех(С3х + С4).
31. у = Ci + е~2х(С2х2 + С3х + С4).
32. у = Ci cos х + С2 sin х + С3е~3х + С^ех.
33. у = Cie~x + С2ех + С3е21 + С4е3х.
34. у = Ci cos х + С*2 sin х 4- Сз cos 2х + С4 sin 2х.
35. у = (С1Ж 4- С2) сов2я 4- (С3Х 4- С4) sin2x.
36. у = Ci cos х 4- С2 sin x 4- C3 cos x\/2 4- C4 sin x>/2.
37. у = (Cix 4- C2) cos 3x 4- (С3Х 4- C4) sin Зя.
38. y = e-x(Cix2 + C2x + C3).
39. у = Ciex + C2e2x + \x2e2x.
40. у = (Ci + C2x)e~x + ^e~x.
41. у = Cie~x + Сзе21 + (x + -M] e~x.
\ £ J
42.
У = Cie2x 4- С2е 31 4- (Зя2 - я 4- е х
\ о /
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
у = Cie x 4- C2ex — ^-ex(cosx 4- 2 sin я).
5
— ( S"'* • ® \ X / ’ n \
у ~ 6 2 I Gi sin — + C2C0S —) — -e (sin a; + 2 cos я).
у = e2x(Ci + C2X 4- я2) 4- ^(2я2 4- 4я 4- 3).
о
у ~ Cie~2x 4- С2ех — ^(Зя2 4- 2я)е~21 — ^(3 sin я 4- cos я).
у = Ci сов2я 4- С28т2я 4- т(2я 4- 1)е-2х 4- ^ясоб2я.
4 4
у — Cie~3x 4- С2ех 4- т;(2я2 4- я)е-3х — ^-(2 cos я — sin я).
2 5
у — Ci cos Зя 4- С28шЗя 4- тг(3я 4- 1)е~3х — ^я sin Зя.
*7 л/
80
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
у = (С1 + С-2®)е-31 + (х - |) е31.
У V /
у = (С1 4- С2х)е2х 4- (2а; + 1)е-2®.
у = Ci + С2е~х + (х2 — Зх)е~х + cos 2х 4- 2 sin 2х.
у = Ci + С2ех 4- х(2х — 1)е® 4- cos х 4- sin ж.
у = Ci + Сге4® 4- е2® cos 2х + х2.
у = е2®(С1 cos За; + С2 sin За;) - cos 2а;.
у = e-2®(Ci 4- С2х) 4- а;2е-2®.
у = е®((?1 cos 2а; + С2 sin 2а;) 4- cos х.
у — е4® (Ci cos 2х + С2 sin 2а;) - е3® cos х.
у = Cie-3® 4- С2е2® 4- а;е-3®.
у = e®(Ci 4- С2х) 4- х2ех.
у = Cie3® + С*2б4® 4- хе3х.
у = С\€~х + Сге3® - cos х •+• а;е3®.
у = Cie-3® + Сге® + х2е~3х.
у = Cie-3® + Сге4® - е-2® cos а; + а;е~3®.
у = С\ cos 2а; + С2 sin 2а; + х2 cos 2а;.
у = Ci cos 2а; + С2 sin2а; + 1(1 + a;sin 2а;).
у = Ci cos 4а; 4- С2 sin4а; 4- ~(1 — 2а; sin4а?).
16
у = (71 е2® 4- С2е3х — аге2® 4- sin х 4- cos а;.
у = е"1(С1 + С2х) + |х3е-а:.
О
_ [ х 1 \ 1
У = <71вж 4- Сге6® - а; ( — 4- тг ) е® 4- — (7 cos а; 4- 5 sina;).
\1U Zo / 74
у — Ci cos x 4- C2 sin x 4- |a;(cosa; 4- 2sinx) + 1 cos 3a;.
□ 8
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
81
72. у = С\е~х + С2 + C3ete - ^е"2*.
73. у = С2е~х + С2 + С3е3х - ^х2 - ±х.
О У
74. у = С\ех 4- С2 cos х 4- Сз sinх — ^т(вшх 4- cos х).
&
75. у = Ci + ех(С2 cosх + Сз зшт) 4- 2cosх 4- sinT 4- х ( ~т + 1
X 1
76. у = Ci 4- С2 sin 2т 4- Сз cos 2х 4- - 4- — sh 2т.
8 32
х 1
77. ?/ = Ci 4- С2 зЬ2т 4- Сз ch 2т - - - — sin 2т.
8 32
т 1
78. у = Ci 4- С2 sin 4т 4- Сз cos 4т - — 4- зЬ4т.
32 200
т 1
79. т/ = Ci 4- С2зЬ2т 4- Сз ch2т 4- ~ — 7727-sin4т.
32 2оо
80. у = (Ci + С2х)е~х + С3е2х - —е~х.
81. у = Ci 4- C2cost 4- Сззшт 4- т — ^тзтт.
А
82. |/ = Ci 4- С2 cos т 4- Сз sinT 4- 4т 4- е2®.
1 2
83. у = Ci 4- е®(С2 cos 2т 4- Сз sin 2т) 4- ех 4- -т2 4- -х.
2 о
84. у = С\ 4- C2cost 4- Сззтт 4- 2е® cos т 4- т cos т.
85. у — Cie х 4- С2 4- Сзе4® — cos т 4- те х.
86. у = Cie~2x 4- С2 4- Сзе3® 4- cos т 4- т.
87. у = С1е-2х 4- С2 4- С3ех 4- те®.
88. у = Ci 4- С2 cos 2т 4- Сз sin 2т — т cos 2т.
89. у — С\ 4- е-ж(С2 4- Сзт) - 2 cos т 4- т.
90. у = С\е~2х 4- С2 4- Сзе2® 4- е“® cost.
91. у = Cie-® 4- С2 4- Сзе-5® 4- те-®.
92. у = Ci cosт 4- С2 sinT 4- Сзе3® 4- т cosт.
82
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
у = (7i cos х 4- (?2 sin х 4- С^х — х cos х.
у = С\е~2х 4- е-1(С2 4- С$х) 4- хе~2х.
у = e-2x((7i 4- (722:) 4- (7з 4- х2е~2х.
у = е2х(Ci 4- (7г2;) 4- Сзе“х 4- х2е2х.
у = Суе~х 4- ех(С2 4- С32;) — е~х cos х.
у = (71 ех 4- Сге31 4- Сзе4х 4- 2 cos х — хе3х.
у = (7i 4- С2Х 4- (7зе-х — cos х — sin ж 4- хе~х.
у = (71 4- С2Х 4- (7зе2х 4- 7(cosх 4- 2sins;),
о
у = С1 + С2х + С3е2х + ^-хе2х.
4
y = Cle-2x + C2 + C3ex + ±e3x.
у = Cie-2x + С2 + С3ех + 1 (ж2 - Зж).
у = Суе~2х 4- С2 4- С32; — 7(2cos2; 4- sins;).
5
у = (71 4- е-х((72 cos а; 4- Cssina;) 4- х2 4- 2х 4- 7(2cosa; 4- sins),
о
у = (71 4- Сге-4* 4- С3е4х - х3 - ~ (7х 4- - sin 4х
16 \ о
у = (71 4- ех(С*2cosх 4- С3sinх) 4- 5х — 4cosa; — 2sina;.
у = (7i 4- С*2 cos 2х 4- С3 sin2х 4- х sin2х 4- ^е2х.
16
у = (7i cos 2х 4- С2 sin2х 4- С$е~х 4- х{2 cos 2х — sin 2а;) 4- 5.
у = С\е~2х + С2 + С3х + ~хе~2х.
&
у = (71 4- е2х(С2 cos х + С3 sina;) 4- х3 4- 2х2 4- 2х 4- sinх — cos х.
у = Ci + ех(С2 cos х 4- С3 sinх) 4- х3 4- За?2 4- 4а; 4- 2 cos 2а; — sin2а;.
у = Ci 4- е3х{С2 cos х 4- С3 sina;) 4- 7а;2 4- 72? 4- 7 cos х 4- sin а;.
2 5 3
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 83
114. у = Ci 4- е~х(С2 cos 2т 4- Cssin 2а;) 4- ^т2 — ^т4- 2 sin 2т 4- i cos2а;.
5 25 2
115. у = Ci 4- (С? + Сзх)ех 4- т2 4- 4а; 4- cos х.
3
116. у = С\ 4- Съх 4- Сзе2х 4- т3 4- -х2 4- sin 2т 4- cos 2а;.
Lt
117. у — Ci е1 4- (7г cos а; 4- Сз sina; 4- (а;2 — 2т)ех — 4.
118. у = (7ie-x 4- С*2 cos х 4- Сз sin х 4- (т2 4- 2т)е~х 4- 4.
119. у = Ciex 4- С2 cos 2а; 4- С3 sin 2т — t(2cos2t 4- sin2а;) — 5.
120. у = ex(Ci 4- С2Х) 4- е-х(Сз 4- С^х) 4- х2 4- 5.
121. у = Cie~x 4- С2ех 4- Сз sina; 4- С4 cos х — ^ех cos х.
5
122. у = (Ci 4- С2Х) cos х 4- (С3 4- С4Х) sin х 4- sin 2х 4- х2 — 4.
123. у = (Ci 4- С2Х) cos 2а; 4- (С3 4- С^х) sin 2а; 4- х2 — 1 4- sin х.
4
124. у — (Ci 4- С2Х) cos За; 4- (Сз 4- С^х) sin За; 4- cos а; — т2 4- -.
У
125. у = (Ci 4- Gzx) cos 5а; 4- (Сз 4- С^х) sin5т 4- cost 4- т2 —
25
126. у = Ci 4- С2Х 4- е2х(Сз cost 4- С4 shit) 4- т2(3 4- т) 4- ^е2х.
127. у = (Ci 4- С2Т) cos т 4- (С3 4- Cjt) sin т 4- т 4- - cos 2т.
У
128. у = Ci 4- С2Т 4- Сзе-4х 4- С4б4х — т2 — cos 4т.
16
129. у = Cie~x 4- С2вх 4- С3 cos 2т 4- С4 sin 2т 4- ^е2х + cos %х-
130. у = Ci 4- С2Х 4- C3COST 4- С4 sinT 4- ^т(т + shit).
г г 3
131. у = Ci cost 4- С2 sinT 4- Сзе~х^2 4- С46х2 4- тcost — -е~2х
5
132. у = Ci 4* С2Т 4* Сзс2 4* С4С 2 4~ (х — ) сх 4“ т2(т — 12).
\ о I
133. у = Ci 4- С2Т 4- Сзе2х 4- С4в~2х 4- ^тзЬ2т.
Lt
84
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
у = Ci 4- С2Х + еж(Сз cosх + Од sinх) + i(cos 2а; 4- 2 sin2х).
8
у = 01 + Сга; 4" Озе х 4* Cte3x 4" | 4 — —х ) ех 4" хе х.
\ ** J
У = (C’l 4" С2Х) cos х 4- (О3 4- С^х) sin х — cos 2х 4- i sin 2х 4- х3 - 12а; 4- 9.
V
у = (С1 + С2х)е~х + (Сз + С4х)ех + ±х2ех + х2 + 8.
у = 01 4- С2Х 4- Сзех 4- Оде-2® 4- а;е® 4- 2е2®.
у = Ох 4- Сга; 4- Оз cos а; 4- Од sin а; 4- 2а;2 — 2а; sina;.
у = Oi cos х 4- О2 sin а; 4- Озе2® 4- Оде-2® 4- cos 2а; 4- хе2х.
у = Oi 4" С2Х 4- Сзе® 4- Оде 4ж 4- "zxex 4- —е ®.
у = С\е~х 4- Сге® 4- О3 cosх 4- Од sina; 4- е2® cos х 4- а;е-®.
у = Oi 4- С2Х 4- Озе® 4- Оде-® 4- 2а; cos х — хех.
у = Ci 4- С2Х 4- Сзе® 4- Оде3® - 2 cos х 4- х2.
у = Ci 4- Сге-® 4- е-3®(Сз cos а; 4- Од sina;) 4- хе~х.
у = Ci 4- Сге-® 4- е2ж(Сз 4- Ода;) - cos х 4- х.
у = Ci 4- е-®(Сг 4- Сзх 4- Ода;2) 4- cos х 4- а;2.
у — е-ж(С1 4- С2Х) 4- е®(Сз 4- Ода;) 4- а;2е® - cos а;.
у = Cie-® 4- Сге2® 4- Сз cos а; 4- Од sina; 4- а;е-ж.
у = е-ж(С1 4- Сгж) 4- Сзе® 4- Оде2® 4- е-® cos а;.
у = С1 + С2х + Сзе’1"^’1 + С4е<1+'/5)1 - \ех + 2е~х.
О
„ . ~ , 1. 1 4- sin х
у — Ci cos а; 4- Сг sm х 4-1 4- z In •;-:— •
2 1 —sma;
у = Сгех + Сзе21 + (е1 + ^[х - In (1 + е1)] + е* + 1
у = Cie® 4- Сге2® 4- (е® - е2®)[а: - In (1 4- е®)] - е®.
у — С\е~х 4- Сге® 4- 2arctge® • ch х — 1.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
85
156. у = С\ + Сге2® + 4ж2^/ж.
157. у — е® (Ci cos За: 4- Сг sin За:) 4- e®(ln | cos За; | cos За; 4- Зх sin Зх).
158. у = e2x(Ci cos 2х 4- Сг sin 2х) 4- 9а;2 tfx.
159.
у = Ci cos х + Сг sin х + 2 — i In
1 4- cos х
1 — cos х
cos а;.
160. у— C\e 2® 4- Сге2® 4- 4а;2у/х.
161. у = е~2ж(С1 4- Сгх) 4- е~2х[(х 4-1) In |я 4-1| - а;].
162. у = Cie~3x 4- Сг 4- In |а:|.
163. у = e2x(Ci 4- Сгх) 4- е2®[2а: arctg х — In (1 4- а;2)].
164. у = Cie-® 4- Сг 4- 9а;2 \/х.
165. у = е ®(Ci cosa; 4-Czsina;) 4-е ®(ln|sina;|sina: — arcosa;).
166. у = Ci cos (x\/2) 4- Сгsin (a;\/2) 4- sina;2.
167.
у = e ® (Ci cos 2a: 4- Сг sin 2x) 4- e ®
x sin 2a; 4- In | cos 2a; | cos 2a;
168. y — e x (Ci 4- Сгх) 4- x In x.
169. у = Cie x'^2 4- Сге®1^2 -4- cos a;2.
170. у = Ci 4- Сге® 4- In |a;|.
1 3 t 4 2t
172. у = -e - -e‘ + -e21.
0 2d
174. у = -e* 4- |e4t 4- f 7 4-1^ e-t.
5 \o j
176. у = (t2 4- l)e4.
178. y= (2 4-t)e-t 4-te3*.
171. у = Ci 4- Сге2® 4- x In x.
173. у = - je-t 4- e2t - j(l 4- 2t)e'
175. у = 3e~3t 4- (t - 4)e-2*.
177.1/= (1 4-12 4- |t3 ) e-t.
\ 6 /
179. у = cost 4- (2t — 1) sint.
180.
4/ . x
у = -(cost 4- 2sint) 4-
5
181.
У =
cos3t 4-
182. у = (1 4-1) sin 2t — t cos 2t.
183. у = (1 4- t)(cost 4- sint).
86
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
184
186
188
189
191
193
195
196
197
198
199
201
203
205
207
209
211
213
215
у = С1Ж3 4- С2х 4. 185. у = С^ж2 4- х/Х
у = -^5= 4- С2Х\/х. Jx 187. у = С\х* 4- —. ж
у = —x[Ci cos (2 In ж) 4- С2 sin (2 In ж)].
xz
у = С]Хх/х 4- С2у/х. 190. у = Сц3 + Ж2
у = CiJx 4- ж2 Ci 2 192. у = + С2х+ -=. Хл у/х
~ 2 г~ ^2 1 /~ у = C\xlyjx 4- -7= 4- -уж. уж 2 у = ж2(С1 4- С2 1пж) 4- ж3. 194. у = С1Ж2 4- — - ^ж3. ж 2
у = С\ cos (In ж) 4- С*2 sin (In ж) 4- 2ж2.
У = -(Ci 4- С2 In ж) 4- In2 х. X лх 2 у = Ci — - sin3 (In ж) cos (In ж) О у = С\ ж2 4- С2х3 4- 2ж2 In ж —— 4ж У = —к + С2х3 4- ж2(41пж 4- 3). х£ У = 4- (72я5 + X* 4- С2 — i cos (2 In ж) sin (In ж). 200. у = С1Ж 4-—— ^1пж — ж2 2 4 202. у = С1Ж2 4- —у 4- 1пж 4- 2). ж2 204. у = Cix3 + Q + 4- Ж ж2
У = + С2Ж4 — ^-ж3(51пж 4- 4). 206. у = С1Ж 4- — -
хг 25 x/х х
У = — 4- С2х2 4- ж ж2 208. у = ж cos ж.
у = (Зж2 4- 2х)е~х. 210. у = (3% — ж) cos О
1 • ! • 1 • / -.ч у = - sm 1 sm ж 4- -жsm (ж — 1). л у = cos 1 sin ж — ж cos (ж 4-1). у = 8е21-1 — (ж2 4- 2ж 4- 4)е1. 212. у = (ж — 2тг) cos 214. у = е1(ж2 — Зж 4- 2). 216. у = 6 — 2е4х 4- е2х cos 2ж 4- ж2.
§ 8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
87
217. у = (х + 6)е 2х — 4е х 4- cos 2х. 218. у = (а; 4- З)е3х 4- Зе х — cos а;.
219. 1 ! • 1 / у = - cos 1 sma;—a; cos (х — у 2 2 1). 220. у = (а;4-1) sinх4-cosхIn | cosх\
221. у = (1 — х 4- х1пх)е~х. 222. у = (1 — х 4- х!пх)ех.
223. 2 г (3 5\ х у = ж 4- 5 4- 1 -х - - J е - (Ъ 5\ _х I -х 4- - ) е . \4 2J
224. 1. У=^21ПХ. 225. у = ^х2(х - 1).
226. у = 2 а? — Ina?. 227. у = х2.
228. у = xlnx. 229. у = х2 4- sina;.
230. у = а?3 4- 2 — Зе1-1. 231. ?/ = xcosa; 4- sina;.
232. 35 4 1 2 1 —2х у = х 4—х* 4—е У 54 9 6 2 - - ^е-3ж. 27
233. у = (—9а;2 — 42а; 4- 108ех 54 - 54е2х 4- 14е3х - 68).
234. 7Г у = a; cos х 4- —. Lt
235. у = ех — е х 4- ~х cos х 4- -(а;2 — 3) sin х.
8 8
1 х х 1 1
236. у = - ch —= cos —= 4- - спх 4- ~ cos х.
2 У2 >/2 4 4
( 2 \
1 - 7» ) е-х.
1о у
238. а) у'" 4- у" 4- у' 4- у = 0, у = Ci cos х 4- С2 sin х 4- Сзе~х 4- х — 1 4- хе~х,
6) у’" — у" = 0, у = Ci 4- С2Х 4- С$ех 4- sin х 4- cos х — а;2,
в) У1" ~ у” + У1 ~ У = О, У = Ci cos х 4- С2 sin х 4- С$ех 4- х 4-1 4- хех у
г) Уш + у” = 0, у = (71 4- С2Х 4- Сзе~х 4- sina; 4- cosх 4- х2.
240. Да.
88
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
§ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка
с переменными коэффициентами
Для получения общего решения линейного неоднородного уравнения вто-
рого порядка с переменными коэффициентами наиболее часто применя-
ется следующий метод. Сначала путем подбора находят какое-нибудь ре-
шение соответствующего линейного однородного уравнения и с помощью
формулы Лиувилля-Остроградского получают общее решение линейного
однородного уравнения. Затем методом вариации постоянных находят об-
щее решение заданного линейного неоднородного уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
ху" — (1 + х)у' + 2(1 — х)у = 9ж2е2ж, х > 0.
Д Рассмотрим однородное уравнение
ху" - (1 + х)у' + 2(1 - х)у = 0
и попробуем найти его решение вида еах. Подставив eQX в это уравне-
ние, находим а = 2. Следовательно, е2х — решение. Запишем формулу
Лиувилля-Остроградского для однородного уравнения:
е21 у
2ей у1
= CeJ = Схех.
Отсюда — Зе2®у = Схе®. При делении обеих частей этого уравнения
на е получаем уравнение
(—Y = Схе~3х
Отсюда находим общее решение однородного уравнения
у = Cie2x + С2(1 + Зж)е-Ж,
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Чтобы найти общее решение заданного уравнения, применим метод
вариации постоянных. Ищем решение неоднородного уравнения в таком
же виде, как общее решение однородного уравнения, но считаем С\ и С2
§ 9. Линейные уравнения второго порядка
89
не произвольными постоянными, а некоторыми непрерывно дифференци-
руемыми функциями. Для их нахождения составляем линейную систему
уравнений для С{(х) и С^х) следующего вида:
' Cfaje2* + С£(х)(1 + 3х)е~х = О,
2С[(х)е2х + С2(х)(2 - Зх)е~х = 9м2\
Из этой системы находим, что С{(х) = 14-Зх, С^х) — —е3х. Следователь-
3 1
но, Ci(a?) = А 4- х 4- -х2, Сг(ж) = В - ~е3ж, где А и В — произвольные
постоянные.
Таким образом, общее решение заданного уравнения имеет вид
А 4- х 4- -х2 ] 4- (1 4- За?)е-Х (В — -е3х I =
2» } \ о }
= Ле21 4- В(1 4- Зх)е~х 4- (е2х. ▲
Другим распространенным методом решения линейных уравнений с
переменными коэффициентами является метод замены переменных.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
х^у" 4-2х3у' -у — , х > О,
е* — 1
1
с помощью замены х = —
Д После замены уравнение принимает вид
Решая это уравнение методом вариации постоянных, находим, что
y(t) = е* (а - |е-‘ + 1 In ) + е-‘ (в + 1 In (1 - е‘)) ,
где А и В — произвольные постоянные. Полагая t = ——, после приведения
подобных членов отсюда получаем общее решение заданного уравнения
. _i _ 1 1 1 _1 ,
у = Ае * 4- Be* — — — —е * 4- sh
2 2х
1 — е *
Найти общее решение уравнений (1—66):
90
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
1. (2а;2 4- За;) у" — 6(а; 4- 1)у' + 6?/ = а;(2а; 4- З)2, х > 0.
2. х(х 4- 4)у" — (2х 4- 4)7/' 4- 2у = х 4- 4, х > 0.
3. (2а; — а;2) у" 4- (а;2 — 2) у1 4- (2 — 2а;) = (2а; — а;2)2.
. In а: 4-1 ц 1 , 1
4- 2Ы77зУ --!/+^ = (1п^+1) •
5. а;(1 4- 2а;)?/" 4- 2(1 4- х)у' — 2у = (1 4- 2а;)2 sina;, х > 0.
6. (1 - Ina;)?/" 4- -у' - -^у = (1 - Ina;)2.
х х£
х2
7. ху" - (1 4- х)у' 4- ?/ = ——, х > 0.
1 4- х
8. х2у" — 2а;(1 4- х)у' 4- 2(1 4- х)у = 2х3е2х.
9. (2х 4- 1)у" + (4® - 2)у' -8у = 4(2я 4-1)3.
10. 2ху" 4- (4а; 4-1)?/ 4- (2а; 4- 1)у = е-1, х > 0.
11. ху" — (6а; 4- 2)у' 4- (9а; 4- 6)?/ = 12а;3е3х.
12. (х — 1)у" — ху1 4- у = (а; — 1)2ех.
13. ху" — (2х 4- 1)у' 4- 2у = 16а;2е41.
14. х2у" — х(х 4- 2)?/ 4- (х 4- 2)у = х3ех.
15. (а;2 — За;) у" 4- (б — а;2) у1 4- (За; — 6)?/ = (а; — З)2.
16. ху" — (2а; 4- 1)?/' 4- (а; 4- 1)?/ = 2а;2е2х.
17. (х — 1)у" — (ж 4- 1)у' 4- 2у = (а; — 1)3ех.
18. х(2х 4- 1)у" 4- 2 (1 — 2а;2) у' — 4(я 4- 1)у = (2а; 4-1)2, х > 0.
19. х(х 4- 3)?/" 4- (12 - х2) у' — 3(а; 4- 4)?/ = (а; 4- З)2, х > 0.
20. 2а;(а; — 2)у" 4- (х2 — 8) ?/' 4- (а; — 4)?/ = (а; — 2)2, х > 2.
21. х(х — 2)?/" 4- (а;2 — 6) у' 4- 2(а; — 3)?/ = (х — 2)2, х > 2.
22. х2у" — х (а;2 4- 3) у' 4- (а;2 4- 3) у = 10а;5 sina;2.
23. (а; - 1)у" 4- (1 - 2х)у’ + ху = 1(ж - I)2.
§ 9. Линейные уравнения второго порядка
91
24. х2(х — 1)у" 4- 2ху' — 2у = х3ех.
25. ху" 4- (2 — 2х}у' 4- (х — 2}у = е2х, х > 0.
26. (1 - х2) у" 4- 2у'------^—у = (1 - а;)2(1 4- х)е~х.
х 4-1
27. х(х 4- 1)у" 4- 2у'------~тУ = (ж 4- 1)2е2х, х > 0.
х 4-1
28. х(3х 4- 2)у" 4- 3 (2 — Зге2) у' — 18(а; 4- 1)у = (За; 4- 2)2, х > 0.
29. 2а;(а; 4- 2)у" 4- (8 — ж2) у’ — (х 4- 4)?/ = (х 4- 2)2, х > 0.
2
30. гг(3гг — 2)у" 4- 3 (За;2 — 2) у' 4- 18(а; — 1)?/ = (За; - 2)2, х > -.
О
31. (Ina;)?/" - -у' 4- ~^у = In2а;.
х xz
х3
32. 2ху" - (х 4- 2)у' + у = ——, х > 0.
х 4- 2
33. ху" — (4а; — 2)у' 4- 4(а; - 1)у = е2х cos а;.
34. х2у" 4- х(—2 4- xtgx)y' 4- (2 — xtgx)y = х3ех cos а;, 0 < х < —.
35. (1 — х)у" 4- (2 — 4а;)?/' — 4а;?/ = е~2х sina;.
36. (х 4-1)?/" 4- (а; — 1)?/' — 2у = е~х(х 4-1)3.
2
37. (2а; — а;2) у" 4- 2у'---у = (2 — х)2хе~х.
38. (а; — I)2?/" — (х2 — 1) у' 4- (а; 4- 1)?/ = (а; — I)3(Зге — 2)ех.
39. (х 4-1)2?/" - 2 (а;2 4- Зх 4- 2) у' 4- 2(х 4- 2\у = -2х(х 4- 1)3е21.
40. х(х 4- 1)2^" 4- 2(х 4-1)?/' — 2у = (а; 4-1 )3ех, х > 0.
41. ху" 4- 2(х 4- 1)у' 4- (х 4- 2)у — 2 ch х, х > 0.
42. (а; — I)2?/" — 2х(х — 1)у' 4- 2ху = (х — I)4.
43. 2ху" 4- (4а; 4- 1)у' 4- (2а; 4- 1)у = — е~х Ina;.
х
44. Зху" 4- (6а; 4- 1)уг 4- (За; 4-1)?/ = а;2е“х.
45. а;2(1па; — 1)у" — ху1 4- у = a;(lna; — I)2.
92 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
46. ху" — (4х 4- 2)у' 4- (4ге 4- 4)у = х2е2х, х > 0.
(3 \
—5---------2 ) у = 2 sin2 ®, 0 < х < 7г.
sin х /
/ 1 ч » /1 , У 2Ina;
48. (х Inх)у" 4- (Ina: 4- 1)у'-:— =------, х > 1.
®ш® х
х2
49. (1 4- ®2) у" + ху' -у = - 2.
1 4- ®
50. х2у" 4- х(х — 2)у' 4- (2 — х)у = х4е~х.
51. ху11 — 2(® 4- 1)у' 4- (® 4- 2)у = Зхех.
52. х(х — 1)у" 4- (4® — 2)у' 4- 2у = е~х.
53. ®(® 4- 1)у" 4- (4® 4- 2)у' 4- 2у = 6(® 4-1).
54. (® — 1)у" — 2xi/ 4- (® 4- l)v = Зех.
55. ху" — 2(4® — 1)у' 4- 8(2® - 1)у = 2е2х.
56. (2х + 3)1/" - 2у' --^у = 3(2х + З)2.
57. (2® 4- 1)у" - 2у' - (2® 4- 3)у = 3(2® 4-1)2 • е<.
58. 2ху" — (® 4- 4)у' 4- (1 4- — ) у = ®3.
\ х /
59. ху" 4- (2® — 1)у' 4- (® — 1)1/ = 8®2еж, ® > 0.
60. ®(® — I)2?/" — 2(® — 1)у' 4- 2у = ®(® — 1)3е-ж, ® > 1.
61. (® — 2)у" — (4® — 7)у' 4- (4® — б)?/ = 4®(® — 2)2e21, ® > 2.
62. ®2(® 4- 1)у" 4- ® (®2 — 2® — 2) у1 — 2 (®2 — ® — 1) у = ®2(® 4-1)3, ® > 0.
63. х2у" — х(х 4- 3)у' 4- (2® 4- 3)у = ®4.
64. ®2(® — 3)у" — ®2(® — 2)у’ 4- 2 (®2 — 3® 4- 3) у = (® — З)2.
65. ®2(® — 1)у" 4- ® (2 — 4® 4- ®2) у’ — 2(® — 1)2а/ = ®3(® — I)2.
66. ®3(® — 4)у" — ®2(® — 2)2у' 4- 2® (®2 — 5® 4- 8) у = (® — 4)2, ® > 0.
67. Найти общее решение уравнения, если известны два его решения yi (®)
и У2(х):
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 93
ч „ , л л sina: л 7Г
а) у" — 2/tgж Ч- 2j/ = 2tgz + —у-, 0 < х < -,
COS X w
У1 = tgx, У2 = tga: 4- 2sinrr.
б) у" + 4а:у' 4- (4х1 2 4- 2) у = (4х2 4- 4х 4- 3) е®,
У1 = ех, у2 = ех + е~х2.
в) ху" — (2х 4- 1)у' 4- (х 4- l)t/ = (а; — 1)е2х, х > О,
У1 = е2х, У2 = е2х - ех.
г) ху" 4- 2j/' — ху = 2 — а:2, х > О,
ех
1/1 = х, у2 = х 4- —-
х
д) а:(2з; 4- V)y" 4- 2{х 4- 1)1/ — 2у = За:2 4- За; 4-1, х > О,
!/1 = ^(*4-1)2, i/2 = “(^2-1).
& Л»
68. Составить и решить линейное дифференциальное уравнение второго
порядка, если известны его правая часть /(а;) и фундаментальная
система решений yi(x) и у2(х) соответствующего линейного однород-
ного уравнения:
а) f(x) = 1 — a:2, J/1 = ху у2 = х2 4-1.
б) f(x) = 1,1/1= х, у2 = х2 - 1.
в) f(x) = cos 2а:, yi = sin2 х, у2 = cos2 х.
69. Решить уравнение
(1 - х2) у" - ху' + у = - \/1 - а:2, 0 < х < 1,
х
л п
с помощью замены х = cos t, 0 < t < —.
<ы
70. Решить уравнение
4 // л з t 2е®
х4у 4-2х3у - у- —-------
— 1
1
с помощью замены х = —
71. Решить уравнение
2ху" 4- у' = 2(у 4- th а:)
t2
с помощью замены х = —, t > 0.
94
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
72. Решить уравнение
у" 4- у1 tg х = 4 (?/ + cos2 х) cos2 х,
Л л
О < х < —
2
с помощью замены t = sina;.
Приведением к виду z" 4- a(x)z = f(x) решить уравнения (73—76):
73. х2у" 4- ху' 4- | х2 — 7 j у = 2х2ех.
\ *)
2
74. у" 4- -у1 4- у = 2.
х
75. (1 4- ж2)2 у" 4- 2х (1 4- х2) у' 4- у = 1 4- х2.
76. у" - -у' 4- f Ц 4- 1^) у = 0.
X \х£ /
77. Пусть функция р(х) определена и непрерывна при х 0 и пусть yi(x),
Уъ(х) — решения уравнения у" 4- р(х)у = 0, причем lim yi(x) = 0,
т-»4-оо
производные у'г(х) ограничены при ж > 0, г = 1,2. Доказать, что yi(x)
и у2(х) линейно зависимы при х 0.
78. Пусть т/I (гс), г/2(т) — два линейно независимые решения уравнения
у(п) +pi(x)y(n~^ 4------\~Рп(х)у = 0. Указать подстановку, приводящую
к линейному уравнению порядка п — 2.
79. Пусть решение у(х) уравнения х2у" 4- ху' 4- (а;2 — п2) у = 0, п > 0,
х > 0, положительно при малых х > 0 и у(4-0) = 0, Доказать, что
точка первого положительного максимума этого решения находится
от нуля на расстоянии, которое не меньше чем п.
80. Пусть а(х) — непрерывная функция при х 0. Доказать, что если
уравнение у" 4- а(х)у = 0 имеет решение у(х) такое, что lim у'(х) —
я—>+оо
= 4-оо, то оно имеет также нетривиальное решение, стремящееся к
нулю при х —> 4-оо.
81. Пусть функции а(х) и Ь(х) непрерывны на всей оси, причем а(х) —
нечетная, а Ь(х) — четная. Доказать, что решение уравнения у"+
+а(х)у' 4- Ь(х)у = 0, удовлетворяющее условию у'(0) = 0, есть четная
функция.
§ 9. Линейные уравнения второго порядка 95
82. Пусть функция q(x) непрерывна на всей оси и периодична с периодом
1. Доказать, что если нетривиальное решение уравнения у" + q(x)y =
= 0, удовлетворяет условиям т/(0) = у(1) = 0, то у(х 4- 1) = Су(х),
С = const.
83. Найти два линейно независимые решения в виде степенного ряда
уравнения у1' 4- 4ху = 0.
84. а) Найти решение уравнения ху" — у' — 4ге3?/ = 0 в виде степенного
ряда при условиях ?/(0) = 1, y"(ty = 0. Определить радиус сходимости
ряда. f
б) Решить уравнение у" — -— 4х2у = 0.
х
Указание. Найти сумму ряда в п. а).
85. а) Найти решение уравнения ху" — 2у' 4- $х5у = 0 в виде степенного
ряда при условиях у(0) = 0, y"'(Q) = 6. Определить радиус сходимости
ряда.
2
б) Решить уравнение у"---у 4- 9ж4?/ = 0.
х
Указание. Найти сумму ряда в п. а).
86. Проинтегрировать при х > 0 с помощью ряда по степеням х уравнение
Ьху" 4- 2yf 4- у = 0.
Указание. Для отыскания решения уравнения, линейно независимо-
го в решением, представимым степенным рядом, сделать в уравнении
замену у — у/х • z.
87. Найти при 0 < х < 1 общее решение уравнения 2я(1 - х)у" 4- (1-
—х)у' 4- Зу = 0 в виде ряда по степеням х.
Указание. Воспользоваться указанием к задаче 86.
88. а) Найти при 0 < х < \/2 решение уравнения
(2х 4- ж3) у" - у' - Ъху = 0
в виде степенного ряда по х. Определить радиус сходимости ряда.
б) Найти общее решение заданного уравнения в виде ряда по степеням
х.
96
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Ответы к задачам § 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3
у = Ci(x 4-1) + С2х3 4- a;3 Ina; - -х2.
At
I 1 1 Л \
у = х (С1- —4--1п —7) 4- (х 4- 2) (С2 - In (х 4- 4)).
у = С\ех 4- С2а;2 4- х3 4- 2х 4- 2.
у — С\х 4- С2а;2 Inх 4- х2 In2 х - х2 4- х2 In3 х.
6*1 1
у = -1 4. С2(х 4-1)----(sina; 4- 2cosz) - 2sina;.
x x
у = Cix 4- C2lna; 4-a;2 - |a;2lna;.
At
у = Ci(l 4-a;) 4-C2ex - (1 4-a;)ln(l 4- x) - 1.
у = C\x 4- C2a;e2x 4- fa:2 — ^a;^ e2x.
\ “ У
у = Cie~2x 4- C2 (4a;2 4-1) 4- 8a;3 - 2a; 4- 2.
У — (Ci 4- C2y/x 4- x)e~x.
у = (Ci 4- C2x3 4- 3a;4) e3x.
у = Ci a; 4- C2ex 4- (|a;2 - x ) ex.
\ At j
У = Cie2x 4- C2(2x 4-1) - e4x.
у = x (Ci 4- C2ex) 4- a;2ex.
У = C\ex 4- C2x3 4- —x — 1.
At
у = (Ci + C2x2) e1 + |(2x - l)ete.
у = Ciex + C2 (x2 + 1) + ( ix3 - x2 - x) e1.
у о /
I /= Cie21 + — — ^(x + 1).
X z
y = CieI + ^-ix-l.
хл 4
97
§ 9. Линейные уравнения второго порядка
х Со 1
20. у = Схе-2 + _ 2.
х 2
21. у = С\е~х 4- - 1.
х* о
(«2 \
Ci 4- СгеТ I 4- х (cosж2 — 2sina;2).
23. у = Ciex + С2 (х2 - 2х) <? + ^х.
(~ С2 1 дД
24. у = х I Ci 4---- 4-----е ).
у х - 1 х - 1 )
25. у = ех (Ci +О.+ -«*}.
У хх)
у-, / .ч С2х _ / 2а; \
26. у = Ci(x + 1) 4----г 4- е х ( 1 - х--- ).
а: 4-1 у а; 4-1 /
27. у = (х + 1) fci + ^+J-e2l\
У х 4х )
28. y = C1e3l + ^-|(x + l).
х* 6
х Со 1
29. у = Cid 4-------х - 2.
х 2
30. у = Cie~3x + + 1(х - 1).
х о
31. у = С\х 4- С2(1па; 4- 1) 4- -^а;2(1 - Ina;).
32. у = Ci (х 4- 2) 4- Сге^ 4- (а; 4- 2) [in (х 4- 2)2 - х - 2].
33. у = (Ci + — 4.2 sin а; 4- cos х | е2х.
У а; х /
34. у = x(Ci 4- Сгзта;) 4- ^a;(cosa; 4- sinarje®.
35. у = (Ci 4- ——^-7 4-—7 sin a; j е~2х.
У х — 1 х — 1 /
36. у = Cie~x 4- С2 (а;2 4-1) - ( |а;3 4- х2 4- х ) е~х.
\ О /
4—1374
98 Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
1 j» / о \
37. у = С\х 4- Сг----F (-----х ) е~х.
х \х )
38. у = (х - 1) (Ci + С2ех) + [х-1)( |х2 - 5ж ) ех.
39. у = (х + 1) (Ci + С2е21) - | (х3 + 1) е2х.
40. у = (х + 1) (Ci + + ^-е1.
У X / X
41. у = е~х (Сг + | (ix + i') е*.
у х J 4 у х /
42. у = (х - 1) (Ci + С2е3х) - ^х(х - I)2.
43. у = (Ci + С2у/х)е~х — ilnx(lnx + 4)е~х.
44. у = ( Ci 4- C2xi 4- ±-х3 ) е~х.
45. у = Cix 4- С2\пх + a: In а; ( i Ina; — 1Y
\ лл j
46. у = (Ci + С2х3) е2х + ^а?е21 fin х — |Y
47. у = Cisinx + С2 sin 2х 4- 2 sin2 а;(1 — х cos х).
48. у = Ci Ina; 4- 4- - In2 х.
Ina; 3
49. у = Cix 4- C2y/i~+x^ — хarctgх — 2.
50. у = х (Ci 4- С2е~х) — ^х2(х 4- 2)е~х.
51. у = ех ( Ci 4- С2х3 — ^а;2 ].
52. у = 1 (Ci +
а;у х — 1 х — 1/
53. у = i fci + + (□:+ 1)2\
а; у х 4-1 /
§ 9. Линейные уравнения второго порядка
99
54. у = ех ((71 + С2(т - I)3 - ).
\ /
55. y = eix (ci + —\ + ^-е2х.
\ х / 2х
56. у = С\Х2 4- С2 ~ * 4- 2т3 4- Зт2 In |а?|.
х
/4 \ х
57. у = Суе х 4- С2хех 4- ( х — 8а;) е».
58. у — х ((71 4- С2е а) — х ^а;2 + 2т^.
59. у = е~х (Ci 4- С2х2) 4- (2х - 1)е®.
60.
61.
С2\ х— 1 __
(71 4- — 14------е х.
х / х
у = Cie2x 4- С2(х - 2)2е2х 4- (^х4 - ^я3^ е2х.
\ лл Л J
62. у = С\х2 4- С2хе х 4- х3 4- х2 In я.
63. у = (71 (х2 4- х) 4- С2хех — х3.
64. у = Cix2 + С2— + |
х 2 х
65. у = С\ (х2 — 2т) 4- С2хе~х 4- х(х — I)2.
66. y = Cix2 + c£ + ±--\.
х* Зх х*
67. а) у = Ci sin х 4- С2 (2 — sin х • In ) 4- tg x.
\ 1 — sin x /
6)^ = (Ci4-C2T)e-l24-ea:.
в) у = (Ci 4- C2x2) ex 4- e2x.
r)y = -(C1ex^C2e-x)+x.
x
д)у = С1(х + 1) + ^- + 1-(х + 1)2.
x 2
68. a) (t2 — 1) y" — 2xy' 4- 2y = 1 — t2,
у = x I Ci 4- x 4- In
x — 1
x 4-1
) 4- (s2 4-1) ^C2 - In |t2
- 1
100
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
78.
83.
б) (ж2 4- 1) у" - 2ху' 4- 2у = 1,
y = Ci;c + C'2(x2-l) + |.
в) у" sin 2х — 2у' cos 2х = — cos 2х,
у = Ci sin2 х + С2 cos2 х + ^х.
У = Ci \Л - а;2 + С2х - ^-х In . •
* 1 — V 1 — X*
у — С\е~х + С2е* — 1 — — е~х + 2sh (
х \х J
.2
1 — е х
у = Cie2sinx + C2e"2sinx + sin2 x -
1 1 ______________________________________ 1
—7= (Ci cos x 4- C2 sin x) 4- -y/x cos Зх 4-т=^ех
y/x 2 y/x
i(Ci sina; 4- C2cos£r) 4- 2.
x
C1X 4- C2
У =
У =
У =
x /
===== In [X
у = x3(Ci cos x + C2 sina;).
_ ( y'yi ~ УУ1 Y
I / I ) •
\2/1Й “ 2/12/2/
V (—l)n4na;3n
2/1 “ + 2 • 3 • 5 • 6... (3n - l)3n’
~ (-^n^Sn+l
П=1
°° 1
84. а)у = £^х4п,Я = оо,
n=0 v '
б) у — Ci ch x2 4- C2 sh x2.
n=0 v ’
б) у = Ci sina;3 4- C2 cos a;3.
е .
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи 101
(—1)пхп
86. у = Ода + С2у2, = 1 + Е 2п:^73.з.5.4.7...п(2п_1) ’
П=1
г( X (-1)ПЖП \
У2- V I -б з . 2П • 2 • 5 • 3 • 7... п(п 4-1) Г
\ п=2 ' ' /
87. у = С1У1 + С2У2, У1 = 1 — Зге + х2 4- ^2п - l)!!^’
У2 = (1 - х)у/х.
88. a) yi = 1 + Зх2 + р + |f(-ir i(2-(.g^^| r = oq
б) у = Ciyi + С2У2, У1 см. в п. а),
з (_ 3 о '/ .11 5... (4п — 7) оп\
и = х. 1 + -х2 + зЕ(-1)п -----------•
\ п=2 /
§10. Теорема Штурма. Граничные задачи
При решении задач на теорему Штурма необходимо заданное уравнение
привести сначала к двучленному уравнению. Затем сравнить количество
нулей нетривиальных решений полученного уравнения с количеством ну-
лей нетривиальных решений соответствующим образом подобранного ли-
нейного уравнения с постоянными коэффициентами или уравнения Эй-
лера.
Пример 1. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения
у" + 2ху' + 5у = 0 на интервале (—оо, 4-оо) имеет не более 6 нулей.
—ж2
А Заменой у — е 2 • z заданное уравнение приводится к виду
z" 4- (4 — x2)z — 0. При |ж| 2 всякое нетривиальное решение полученного
уравнения имеет не более одного нуля. При |ги| 2 имеем 4 — х2 4.
Поскольку любое нетривиальное решение уравнения z" 4- 4z = 0 на от-
резке [—2,2] имеет не более трех нулей, то по теореме Штурма любое
нетривиальное решение уравнения z" 4- (4 — x2)z = 0 имеет на [—2,2]
тоже не более трех нулей. Так как число нулей любого нетривиального
решения заданного уравнения в силу замены совпадает с числом нулей
нетривиальных решений уравнения /'4-(4—x2)z = 0, то задача решена. А
Решение граничной задачи, собственные значения и собственные функ-
102
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
ции граничной задачи находятся подстановкой общего решения уравнения
в заданные граничные условия.
Пример 2. Найти решение граничной задачи
у" + У - 3 cos 2 ж, ?/(0) - -1, ?/'(7г) = 0.
Д Общим решением заданного уравнения является у = (7i cosrc + C^ sin re—
— cos 2x. Подставляя это решение в граничные условия, получаем систему
для нахождения постоянных (71 и С2:
' (7i - 1 =-1,
-с2 = о.
Отсюда (71 = С2 = 0 и, значит, решением граничной задачи является
у — — cos 2х. А
Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции гранич-
ной задачи у" = Ху, х е [0,1], т/(0) = т/(1) = 0.
Д Нетрудно видеть, что при А > 0 граничная задача имеет лишь триви-
альное решение, т. е. никакое А > 0 не может быть собственным значением
граничной задачи. Пусть А < 0. Тогда общим решением уравнения являет-
ся у = Ci cos х\/^Х 4- С2 sinxy/^X и подстановка его в граничные условия
дает уравнения для нахождения постоянных Ci и С2:
Ci — С2 sin л/^А = 0.
Так как собственными функциями являются нетривиальные решения гра-
ничной задачи, то С2 0 0. Значит, sin л/—А = 0. Отсюда находим, что
собственными значениями задачи являются числа Хп = — п27Г2, а соответ-
ствующими им собственными функциями являются Уп(я) — Спз1пп7гх,
где п — 1,2,3,..., а Сп — произвольная постоянная, отличная от нуля. А
Для нахождения функции Грина граничной задачи следует воспользо-
ваться ее определением.
1. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения у"+
+ 17^1' = 0 имеет на интеРвале (0,4-оо) бесконечное множество
нулей.
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи
103
2. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения
+77-5—тту = 0 имеет на промежутке [0, +оо) лишь конечное число
4(хг + 1)
нулей.
4.
3. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения у"+
+--------2 У — 0 имеет на промежутке [0, +оо) бесконечное число нулей.
Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у"—ху'+у = 0
на интервале (—оо, +оо) имеет не более пяти нулей.
5. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у"—(х—3)2j/+
+(ж + 1)у = 0 на интервале (—оо, +оо) имеет не более шести нулей.
6. Доказать, что любое нетривиальное решение уравнения у" + х2 у'+
+(а; + 4)з/ = 0 на интервале (-оо, +оо) имеет не более шести нулей.
7. Доказать, что решение Jo(x) уравнения Бесселя ху" + у” + ху = 0 при
0.1 < х < 10 имеет не менее трех нулей.
8. Доказать, что нетривиальное решение Уа(х) уравнения ху"+
+ у' ~ аУ ~ 0 ПРИ любом значении вещественного параметра
а имеет на интервале (1,+оо) лишь конечное число нулей.
9. Доказать, что решение Л (ж) уравнения Бесселя х2у"+ху'+{х2 — 1)у =
— 0 имеет один из нулей на интервале (3,7).
.. 2 .
10. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения у Ч—у +
х
+еху = 0 на промежутке [1, Ч-оо) имеет бесконечно много нулей a?i <
< Х2 < ... < хп < ... и при этом lim lzn — xn-i| = 0.
n—>+00
11. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения х2у"+
+2х2у' Ч- ^ж2 ~ 2^ у = 0 на интервале (0, Ч-оо) имеет не более одного
нуля.
Найти решение граничной задачи (12—24):
12. у" -у1 = 2е2х,У(0) = 2, у(1) = е2.
13. у" - у - 2 sina;, у(0) = у - 0.
104
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
14. т/" + у1 = 2, 2/(0) = 0, j/(l) = 2.
15. х2у" 4- 2ху' — 122/ = 0, 2/(1) = 1, у(х) — О (Д J при х —> 4-оо.
/
16. у" - у = е2х, 2/(0) = 2/(1) = je2.
17. у" — 4у = 4, 2/(0) = -1,2/(1) =0.
18. 2/" + 2/ = 0,2/(0) = 2/(0), У (%) + у' = 0.
19. у" 4- у = 0, 2/(0) » 2/'(0), у (£) = у1 + 2.
20. х2у" 4- 2ху' = Д 2/(1) = 1, у(е) = 0.
х
21. х2у" 4- 2xtf — бу — я3, у(х) = О(х2) при х —> 0,2/(1) =
22. х2у" 4- ху’ - у = 2х, у(1) = 0, у(2) = 2 In 2.
23. у" 4- 7г22/ = 1, 2/(0) = 2/(1) = 0.
24. у" 4- ir2y = Зтг2 sin27nE, 2/(0) = у(1) = 0.
Найти собственные значения и собственные функции граничной задачи
(25-34):
25. у" = Л2/, 2/(0) = 2/'(1) = 0.
26. у" = Ху, 2/(0) = 2/(1) = 0.
27. у11 = Ху, 2/'(0) = 2/'(1) = 0.
28. у" — Ху, 2/(0)= 2/(1), 2/,(О)=2/,(1).
29. у" — Ху, 2/(0) = 0, у(х) — 0(1) при х -> 4-оо.
30. у" = Ху, у(х) = 0(1) при х -> —оо и при х -> 4-оо.
31. х2у" ~ху' 4- 2/ = Ху, 2/(1) = 2/(2) = °.
32. х2у" ~ху{ + у — Ху, у(х) -> 0 при х -> 0, 2/(1) = 0.
33. х2у" ~ ху' + у — Ху, 2/(1) = 0, у(х) = 0(1) при х -4- 4-оо.
34. х2у" 4- Зху' 4-2/ = Ху, 2/(1) = 0, у(х) -> 0 при х -> 4-оо.
§10. Теорема Штурма. Граничные задачи
105
35. Доказать, что всякое вещественное число А является собственным
значением граничной задачи у" = Ху, у(0) — 2/(1), у'(0) = —У(1).
36. При каких значениях вещественного параметра А граничная задача
у" + Х2у = 0, ?/(0) = 0, 1/(1) = Ат/(1) имеет нетривиальные решения?
Найти эти решения.
37. Рассматривается граничная задача на собственные значения
-у" + q(x)y = Ху, у(х) £ 0,
2/(0) cos а + у'(0) sin а — у(1) cos /3 + у'(1) sin/З = 0,
где q(x) — заданная непрерывная функция на [0,1], а и /3 — задан-
ные числа. Доказать, что: а) собственные значения граничной задачи
вещественны, б) собственные функции у(х, Ai) и у(х, А2) соответству-
ющие различным собственным значениям Ai и Аг ортогональны, т. е.
1
У&, Ai) • у(х, X2)dx = 0, Ai ± А2.
о
38. Рассматривается граничная задача вида
-у" + q(x)y = Xy + f(x),
2/(0) cos а + у'(0) sin а = т/(1) cos /3 + у'(1) sin /3 = 0,
где q(x), f(x) — заданные непрерывные функции на [0,1], а и /3 —
заданные числа. Доказать, что а) если параметр А не совпадает ни с
одним собственным значением граничной задачи, то граничная зада-
ча имеет единственное решение, б) если же А — некоторое собственное
значение граничной задачи и ему соответствует собственная функция
у(х, А), то граничная задача разрешима только в том случае, когда
1
f(x)y(x,X)dx = 0.
о
39. Показать, что все собственные функции граничной задачи — у" — Ху,
у1(0) = 2/'(тг) = 0 обладают следующими свойствами: а) n-я собствен-
ная функция на [0, тг] имеет ровно п нулей, б) нули n-й и (п + 1)-й
собственных функций перемежаются.
106
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Найти функцию Грина G(x,£) граничной задачи (40—50):
40. у" 4- у = /(2), 2/(0) = 1/'(1) = 0.
41. у" 4- 4у = /(ж), т/(0) = 2/(1) = 0.
42. у" - 4у = /(т), у'(Ъ) = 0, 22/(1) = 2/'(1)-
43. у" -y, = f(x), 2/(0) = 0,2/(1)=у'(1).
44. у” ~у = /(2), 2/(0) = 2/(1) = 0.
45. х2у" 4- Зху1 - Зу = /(х), 2/(1) = 0, у(2) = 2у'(2).
46. (х2 4-1)2/" 4- 2ху‘ = f(x)> у(0) = j/'(l) = 0.
47. ху" 4- у' = f(x), 7/(1) = 2/(2) = 0.
48. х2у" + ху1 — у — f(x), 2/(1) = у'(2) - 0.
49. х2у" — ху1 — Зу = f(x), t/(0) = 0, у(х) = О ( - ] при х —> 4-сю.
50. х2у" 4- 2ху' — 12т/ = /(т), 2/(0) = 0, у(х) — 0(1) при х -4- 4-оо.
51. Пусть р(х) — непрерывная функция на [а, 6] и р* = тахр(а?) > 0 при
х G [а, Ь]. Доказать, что граничная задача у" +р(х)у — f(x), у (а) = А,
у(Ь) = В имеет единственное решение при всех А и В и для любой
непрерывной f(x) на [а, 5], если выполнено условие (Ь — а) < —=.
VP*
52. Пусть а(х) — непрерывно дифференцируемая положительная функ-
ция на всей оси и пусть yi(x), 7/2(2) — линейно независимые решения
уравнения у"+а(т)у — 0. Доказать, что нули у{ (х) и 2/2(2) перемежа-
ются.
Указание. Показать, что yi и у? удовлетворяют соотношению
2/22/" ~ 2/12/? = °-
53. Пусть на множестве D = {0 х 1, —оо < у < 4-оо} функции
/(2,2/), —q • • непрерывны и —> 0. Доказать, что граничная
ch/ оу
задача у" = /(ж, т/), 2/(0) = 2/(1) = 0 может иметь только одно решение.
Указание. Рассмотреть какому уравнению удовлетворяет разность
двух решений.
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи
107
Ответы к задачам § 10
12. е2х. , „ sh х 13. ~ sina;. 14. 2х.
shf
1 1 7т w sh 2а;
15. 16. -е2х. 17. -- 1
а;4 3 sh2
18. <7(cost + sins), С — произвольная постоянная.
19. cost + sina;. 20. i—21. ^(а;3 — х2).
х о
22. a:Ina;. 23. Нет решений.
24. CsinTra; — sin27ra;, С — произвольная постоянная.
/ 1 \ 2 / 1 \
25. Лп = —(п + -) 7Г2, уп(х) = Cn sin I п + - 17га;, Сп / 0, п = 0,1,2,...
\ Z ! у & J
( 1\2 ( 1\
26. Ап = —(п+~) я2, уп(х) = Cacos I п+ - )тга;, Сп £ 0, п = 0,1,2,...
27. Хп — —п27Г2, уп(х) — Сп созптга;, Сп 0, п = 0,1,2,...
28. Ап = -4п27Г2, уп(х) — Cln cos 2ппх + С2п sin2n7ra;, |Cin| + |C2rt| > 0,
п — 0,1,2,...
29. любое А < 0, у(х, А) — C'sinajv'^A, С / 0.
30. любое А 0, у(х. А) = Ci cos x\f-X + С2 sina;x/=A, |Ci| + IC2I > 0.
x / П7Г \2 . . „ . (П7г1па;\ ~ n _
31. An — ( —) , j/n(a;) — Cn% sin I - — j, Cn 0, w — 1,2,3,...
32. любое A 6 (—oo,l). Для A 6 (—00,0) y(x, A) = Ca;sin(x/=Alna;), C / 0,
для A = 0 y(xt A) = Ca;lna;, С/0,и для A 6 (0,1) t/(a;, A) = Cx(x^—
-x~^),C^0.
33. Нет собственных значений.
34. любое А 6 (—оо,1). Для А е (—оо,0) y(xf А) = — sin(v— Aina;), для
А = 0 у(х, А) = (7—, для А е (0,1) у(х, А) = — (х^ - х~^), С 0 0.
X X
36. Ап = ^ + 2птг, Уп(х) — Сп sinХпх, Сп /0, п = 0, ±1, ±2,...
108
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка
40. <W) = 1 — cos 1 sinrrcos (1 — 0, 0 я £ cos (1 — x) sin£, £ x 1.
41. <W) = 1 cos 2x sin (2( — 2), 0 x c,
2 cos 2 sin (2x — 2) cos 2£, £ x 1.
42. <?W) = < e2^ ch2z, 0 ж £, e2x ch2£, C x 1.
43. <W) = < ' 1 ex - e (e~ x, 0 < x < C, <-l), co<l.
44. С?(я,С) = 1 sh 1 shzsh(l —£), 0 x £, sh£sh(l — x),
45. <W) = < 1 4 1 k 4 <? X I T“i^ w н /Л /Л H H /Л /Л K> w
46. G(X,C) = < r arctgz, 0 x £, arctgC, £ x < 1.
47. G(z,C) = 1 In 2 ( In x In 1 x I ln£ln^, £ x 2.
48. G(x,C) = 1 10( *2 (x- (c2 + 4), \ XJ (c2 + 1) (x + CC*^2 \ x /
49. G(x,() = 1 T f X^ 0, 0<ж<£, 1 X < +00. *• X
50. G(x,C) = 1 7' x^ 7J' 0<X<C, c3 -4, С^ж<+оо. 1 X*
Глава 3
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§11. Методы решения линейных систем уравнений
с постоянными коэффициентами
Для решения линейных систем второго порядка уравнений с постоянны-
ми коэффициентами, как правило, удобным является метод исключения
неизвестных.
Пример 1. Найти общее решение линейной системы уравнений
х = х — 2у — 2<ег,
у = 5х — у — (2t + 6)е*.
Д Продифференцируем первое уравнение системы:
х — х — 2у — 2(t 4- 1)е*.
В полученное выражение подставим выражение у из второго уравнения
системы:
х = х - 2(t 4- 1)е‘ - 10® + 2у + 2(2t + 6)е‘ = х - 10® + 2у 4- (2t + 10)е‘.
Подставив сюда выражение 2у из первого уравнения системы, получаем
уравнение для x(t):
х 4- 9® = 10е*.
Его решением является x(t) = Cicos 32 4- C^sinSZ 4- е*, где Ci и (?2 —
произвольные постоянные. Подставив x(t) в первое уравнение системы,
находим y(t) = ^((7i — ЗС2) cos 3t 4- ^(3Ci 4- С2) sin3t — te*.
Таким образом, общее решение заданной системы уравнений имеет вид
x(t) = (71 cos 3t 4- С2 sin 3i 4- e*,
110
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
y(t) — ~ ЗС2) cos3t + i(3Ci + С2) sin3t - te*. ▲
Для решения линейных систем третьего порядка с постоянными ко-
эффициентами удобным является метод, использующий нахождение соб-
ственных значений, собственных и присоединенных векторов матрицы си-
стемы.
Пример 2. Найти общее решение линейной системы уравнений
х = х — z,
у = -2х + Зу - г,
z = 4х 4- 5z.
Д Для матрицы системы
(1 0 -1 \
—23—11
4 0 5 )
из уравнения det (А — ХЕ) — 0, где Е — единичная матрица третьего по-
рядка, находим собственное значение А = 3 кратности три. Из линейной
алгебраической системы уравнений (А — XE)h = 0, где вектор h / 0 имеет
три компоненты, находим два линейно независимые собственные векторы
Д2 =
1
1
-2
Из системы уравнений (А — XE)h$ — /12 находим присоединенный вектор
Л3 к вектору &2:
Следовательно, искомое общее решение имеет вид
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 111
где Ci, Сг, Сз — произвольные постоянные. А
Линейные системы уравнений можно решать с помощью матричной
экспоненты.
Пример 3. С помощью матричной экспоненты решить систему уравнений
х = х 4- у,
у = -х + Зу.
Д Для матрицы системы А = П
И
находим собственное значение
Л = 2 кратности два. Ему соответствуют собственный вектор hi = [ I и
присоединенный вектор h2 — I ) • В базисе из векторов hi, /12 матрица А
, 7 2 1
принимает нормальную жорданову форму J — I
\ U £
. Из определения
матричной экспоненты находим, что
etJ = e2t I 1
\0
t
1
Если через Н обозначить матрицу, у которой первый столбец hi и второй
столбец /i2, то
е,Л = Яе17Я-1 = е2‘I1 ‘
\ -t
t
14-t
Общее решение заданной системы имеет вид
2£ |
ezt
\ -t
t пел
i + t/ \с2 ’
где Ci и Сг — произвольные постоянные. А
Линейные неоднородные системы уравнений можно решать методом
вариации постоянных.
Пример 4. Методом вариации постоянных решить систему уравнений
х — х — 2у,
1
у = х - у 4- ——.
2 smt
112 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
А Линейную однородную систему < Х решаем методом исклю-
( у = х-у,
чения. Ее решение имеет вид
х — Ci cos t + (72 sin t,
У ~ “ ^2) cos t + (Ci + C2) sint],
где Ci и C2 — произвольные постоянные.
Решение заданной линейной неоднородной системы уравнений ищем в
виде
х — Ci(t) cost 4- (72(t)sint,.
У = |[(Ci(t) - C2(t)) cos t + (CHt) + C2(t)) Sint],
где (7i (t) и (72(t) — некоторые непрерывно дифференцируемые функции,
которые находятся подстановкой х и у в заданную систему уравнений. Под-
становка х и у в заданную систему уравнений дает следующую линейную
алгебраическую систему для (7i(t) и (72(^):
(71 (t) cos t 4- С2 (t) sin t = 0,
Ci(t)sint — (72(0 cost = -Д-.
k smt
Отсюда находим Ci(t) = 1, (72(t) = — ctgt и, значит, (7i(t) = t 4- (7i,
C2(t) = — In I sinf I+ C2, где (7i и (72 — произвольные постоянные. Подстав-
ляя найденные значения Ci (t) и <72(^), получим общее решение заданной
системы уравнений
х = Ci cos t -I- C2 sin t 4-1 cos t — sin t In | sin 11,
у = ^[((7i — C2)cost4-((7i4-(72)sint4-(t4-ln|sint|)cost4-(t — ln| sint|) sint].
Линейные системы уравнений можно также решать операционным мето-
дом, т. е. методом, использующим преобразование Лапласа.
Пример 5. Операционным методом решить задачу Коши при t 0:
х = Зж — у 4- 4е3*,
у = 4ж - у - 8e3t, ж(0) = 1, 1/(0) = 0.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 113
А Положим при t < 0 решение x(t), y(t) системы и свободные члены
системы тождественно равными нулю. Тогда так продолженные на всю
числовую ось t 6 (~оо, +оо) решение и свободные члены системы являют-
ся оригиналами. Пусть x(t) == Х(р), y(t) == Y(p). Тогда i(t) == рХ{р) — 1,
Переходя в заданной системе уравнений к преобразованиям Лапласа,
т. е. умножая каждое уравнение системы на e~pt и интегрируя его по t
от нуля до бесконечности, получаем линейную алгебраическую систему
уравнений для нахождения X (р) и Y (р)
(4
(р-3)Х(р) + У(р) = 1 + —,
р_я3
-4Х(р) + (р+1)У(р) = -—.
р-3
Если считать комплексный параметр р таким, что Rep > 3, то из получен-
ной системы уравнений находим
(р+1)(р-3)+4(р + 3) 4(7-р)
Х(Р) =-----(р-3)(р-1)2-----’ У(Р) - (р-3)(р-1)2-
Разлагая выражения для Х(р) и Y(p) на простые дроби, имеем
Y( . _ 6 5 6 _ 4 4 12
W"p-3 р-1 (р-1)2’ W"p-3 р-1 (р-1)2’
Переходя к оригиналам, получаем искомое решение
x(t) = 6e3t - (5 + 6Z)ef, y(t) = 4e3t - 4(1 + 3t)el. ▲
Решить линейные однородные системы второго порядка (1—14):
х — —5х — 6р,
у = Зх + 9р.
х = —6х + 8р,
у = -4ж + 6р.
х = —5ж — 4р,
у = Юж + 7р.
I х — Юж — 6р,
I у = 18ж — 11р.
ж = —2ж — Зр,
у — 6ж + 7р.
ж = 5ж — 6р,
у = Зж - у.
114
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
7. х = —12а; — 81/,
у = 20а; 4- 121/.
9. х = —2а; — 4у,
у — 2х + 2у.
х = 6х +у,
11. <
у = —16а; - 2у.
13.
( •
< х = -2х 4- у,
у = -4х 4- 2у.
8. х = —5а; — 101/,
у = 5а; 4- бу. к
10. < f . х = 5а; + 41/,
у = —9х - 7у.
12. < г . _ х = —5а; 4- 4т/,
У = -х - у.
14. • х = —5а; + 41/,
у - -9х + 7у.
Решить линейные однородные системы уравнений третьего порядка (15—
116):
X = —5а; — 2у — 2z, X — —х 4- 2у - 4г,
15. < У = 10а; 4- 4у 4- 2z, 16. < У — —8а; — Зу 4- 2г,
Z = 2а; 4- у 4- 3z. Z — —2х - 4у 4- 6г.
X — —2х 4- 6т/ — 4z, X = —2х 4- 2у — г,
17. < У = 9а; — Ьу 4- 6z, 18. < if = —6а; 4- 2у — 2г,
Z = 15а; — 181/ 4- 15г. Z — —6а; — 2у — г.
X — 5х 4- у - z, X = х - у - Z,
19. < У = х + Зу + z, 20. < if = -2х 4- 2у 4- г,
1 Z — 7х + 3у + z. 1 z — 4х 4- 2у 4- Зг.
X — 5а; 4- 2у 4- 2z, X = —х 4- 2у — Зг,
21. < У = х 4- 6т/ 4- 2z, 22. < У — —х 4- 4у — г,
1 Z = —5х — 7у — 3z. к z — 4х — 2у 4- 6г.
X — x + 2y — z, X — х 4- 4у 4- 4г,
23. < У — 9х — бу 4- 3z, 24. У = х 4- Зу - г,
Z = 20а; — 201/ 4- Юг. z = —Зх 4- 4у 4- 8г.
X — 8а; — 2у 4- 2г, X — х 4- у — г,
25. < У — 8а; — Зу 4- 4г, 26. < У — х - у 4- г,
Z = —2а; — 2у 4- 3z. z — х — Зу 4- Зг.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 115
Г х = —2х 4- Зу 4- 6z, x = 2a; — у 4- 3z,
27. < у = —4х 4- Ют/ + 6z, 28. < у = —2a; 4- у 4- 5z,
1 z = 4а; — 8т/ — 4z. z = — x — y + 6z.
х — х + 2у 4- 3z, x = 2x + 2y — 2z,
29. < у = 2а; + 4у 4- 6z, 30. < у — 2x 4- by - 4z,
z = Зх 4- 6т/ 4- 9z. z = —2a; — 4т/ 4- bz.
( х = х + 2у + 2z, | x = bx — 3y 4- 2z,
31. < у = 2а; 4- у 4- 2z, 32. < у — 6a; — 4y 4- 4z,
[ z — 2х 4- 2т/ 4- z. | z = 4x — 4т/ 4- bz.
х = 2х 4- у — 2z, x = 2x — 4y,
33. < у = —х 4- z, 34. < у = x + 2y + z,
z = 2х 4- 2т/ — z. z = 3y + 2z.
х = Зя — Зу 4- z, x — x 4- 2y — z,
35. < у = За; — 2т/ 4- 2z, 36. < у = -2z 4- у - 2z,
z = -х 4- 2у. z — x 4- 2т/ 4- z.
х = х — у, x — —x — y — z,
37. < у = х 4- z, 38. < у = За; -7y 4- z,
z = х 4- z. z = bx — by — 3z.
х — х — 6 т/ 4- 3z, x = —2a; - 3y 4- z,
39. < у = —8т/ 4- 6z, 40. < у = x -8y 4- Зя,
z = Зх — 12т/ 4- 7z. z — За; - 7т/.
х — -by 4- 3z, x — —bx — у 4- 3z,
41. < у = — х — 6j/ 4- bz, 42. < у — —bx - 3т/ 4- 5z,
z — x — 9т/ 4- 6z. z = —x - 3y 4- z.
x = Зх — у 4- 2z, x = x4-у,
43. < у = 2a; — 5т/ 4- 2z, 44. y=-x + z,
z — —2x — 4y — z. z = —x — у 4- 2z.
x = x + 2y + 2z, x — 7x - 4y 4- z,
45. < у = — у — 2z, 46. у = 7x -3y + z,
z = у 4- z. z = 4a; — 2т/ 4- 2z.
116
47.
49.
51.
53.
55.
57.
59.
61.
63.
65.
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 117
х = Зге — Зу 4- z,
< у = X — 2у + Z,
z — Зх — 12?/ — 5г.
(х — —х — 4у,
у = х — у 4- z,
z = Зу — z.
х = -у-Z,
< у = х 4-у,
z — 4х + у 4- 2г.
(х = — Зх 4- z,
у = -Зу + 2г,
z = Зх — 2у — 3z.
х — х 4- 2г,
< у = 2х - у 4- 2z,
Z — х — у + Z.
(х — —Зх — z,
у = —4х — 2у — 3z,
z = 4х + 2у + 3z.
48.
50.
52.
54.
56.
58.
х = х + 5?/ — 2z,
< у = X 4- 2у - Z,
z — Зх 4-9?/ — 4z.
х = 7х — 10?/ — 4z,
< у — 4ге — 7у — 4z,
z — —Зх + 7у + z.
х = 2х — Зу,
< у = х — 2z,
z = -у 4-2z.
х = —Зх 4-у — 2z,
< у = 4х 4- у,
z = 4х 4- z.
60.
62.
64.
66.
| х = Зх 4- 2z,
< у = х 4- 2у 4- z,
I z = —х — у.
(х — Зх — 2у 4- 2z,
у = 2x4- z,
z = — 2х 4- 2у — 2z.
(х = у- z,
у =—у 4-z,
Z = X — Z.
(х = —Зх — 4у 4- 9г,
у = Юге 4- 9?/ — Юг,
z = х 4- у 4- 3z.
(х = 4х — 7у — z,
у = 2х — Зу — z,
z = — 2х 4- 2у 4- 3z.
х = —х — у 4- 2z,
< у = -5х — у 4- 2z,
z = — 7х — Зу 4- 6г.
(х = х — у — 4z,
у = -2х 4- 2у 4- 12г,
z = х — у — 5z.
х = 7х + 8у — 2z,
< у — -5ге - 7у 4- Z,
z = бгг 4- Зу — z.
х = -2X 4- у,
< у = Зх — z,
z = 4у — 2z.
х = 2x4-у,
< у = 4гг 4- 2у 4- 4z,
z = —2х — у — z.
67.
69.
71.
73.
75.
77.
79.
81.
83.
85.
х — —6ге 4- Зу - 5г,
< у = -х-у - Z,
z = Зх-2у4- 2z.
х = -Зу 4- 3z,
< у = —х — 4у 4- 6г,
г = —2у 4- 2г.
х = —2у — 2г,
< у = Зх 4- 5?/ 4- Зг,
г = —х — 2у — г.
х = 2x4- 12у — Зг,
< у = —х - Зу 4- г,
z = —х — 12у 4- 4г.
(х = Зх — 7у 4- 4г,
y = x4-z,
z = —2х 4г Зу.
(х = -2х - у 4- г,
у = 2х — 5у 4- 2г,
z = 3х — 2у — 2г.
(х = 4х — у 4- г,
у = —2х 4- Зу — г,
z — —5д? 4- 4у - г.
(х = Зх — у 4- Зг,
у = -Ьх 4- у - 5г,
z = — Зх 4- 2у - 4г.
(х = —2х — у — г,
у = -4х 4- 2у - г,
г = 16ге 4- 4у 4- 6г.
х = Зге 4- 2у — 4г,
< у = х 4- 4у - г,
г = Зх 4- Зу — 4г.
68.
70.
72.
74.
76.
78.
80.
82.
84.
86.
х = —2х 4-у - z,
< у = — вх — 4у 4- Зг,
г = — 2х 4- 2у — Зг.
х = 7х 4- Зу — 2г,
< у = —5ге — 7у 4- z,
z = Зх 4- Зу — г.
(х = 4х — Зу — г,
у = -х 4- 2у 4- z,
z = 4х — 4у — г.
(х = 2ге — Зу — 8г,
у = 7х — 11?/ — 17г,
г = —Зге 4- 4у 4- 6г.
х = —2х 4- г,
< у = —х - 2у 4- Зг,
z = -y4-z.
х = 2х 4- у — z,
< у = 7х 4- 4у - г,
г = 13гг 4- 7у — Зг.
х = х 4- у — г,
< у = —х 4- 4у - 2г,
г = — 2х 4- 5у — 2г.
(х = — х 4- 2у 4- z,
у = х - у 4- z,
z = —2ге — Зу — 4г.
х = —2х 4-у - z,
< у = 4х 4- 2у - 2г,
г = 6ге 4- 7у — 6г.
х = ге 4- Зу — 2г,
< у = -ГЕ 4- Зу - 2г,
г = — 2х 4-15?/ — 6г.
118
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
87.
89.
91.
93.
95.
97.
99.
101.
103.
105.
1х = 2х 4- бу — 15z,
у = х 4- у - 5z,
z = х 4- 2у — 6z.
i = -4у,
< у = х - 4у,
z — х — 2у — 2z.
(х — 12а: — бу — 2z,
у — 18а: — 91/ — 3z,
z = 18а; — бу — 3z.
х — Зх4-2у — 3z,
< у = 4а: 4- 10?/ - 12г,
z = За: 4- бу — 7z.
' х = у,
у = —4х 4- 4у,
z = —2х 4-у + 2z.
(х = бх + у + z,
у = -бх 4-у — г,
z = —Зх — y4~2z.
х = 4х + 2у — z,
< у = -2х + у + z,
z = 2х 4-Зу 4- z.
х — х — 2у + 2z,
< у = —За: 4- 2у — 3z,
z = —бх + 3у — 3z.
х — 2а: 4-3?/ — z,
< у = -6а: - бу 4- z,
z = —4а: — 2у — 2z.
х = —х — бу + z,
< у = -х 4- Зу - z,
z = 4а: 4- бу 4- 2z.
88.
90.
92.
94.
96.
98.
100.
102.
104.
106.
х = бх — бу — 2г,
у = 18а: — 12?/ — 3z,
z = 18а; — бу — 6z.
х = 4х 4- бу — 15z,
у - х 4- Зу - 5г,
z = х 4- 2у — 4z.
х = бх + бу — 15z,
у — х 4- бу — 5г,
z — х 4- 2у — 2z.
х = х4-у - z,
у = —Зх — Зу 4- 3z,
z — —2х — 2у + 2z.
х = 7х 4- 4у — z,
у = —7х — 4у 4- 2z,
z — —бх — бу 4- 6z.
х = —2х + у — 2,
у = 2х - 2у - z,
z — Зх 4- 2у — 6z.
х = 4х — у — 2z,
у = 2х 4- у - 3z,
z = 2х — у 4- z.
х = — х — 2у 4- 2z,
у = -4х -2у- 3z,
z = —Зх 4- Зу — 6z.
х — —За; — у — z,
у = бх 4- Зу 4- z,
z = 16а: 4-41/4- бг.
х = —За: — Зу — 2z,
у — бх 4- бу 4- 2г,
z = 7х 4- 4у 4- бг.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 119
г X — —8х + Gy — 4z,
107. < У = —Зх 4- 14у — 4z,
ь Z — 4z 4- 13г/ 4- 2z.
X = —5z + 2у — 2z,
109. < У = х - Зу 4- z,
ь Z = lx — 5y + 3z.
X = —8x + y -5z,
111. if — 18x — у 4- lOz,
Z — 11ж — ly 4- lOz.
X — —3x 4- 2y — z,
113. < У == 8x 4- 4y 4- 4z,
ь Z — Gx — Gy 4- 2z.
X = 2z 4- 4y — 4z,
115. < У zz: 4x — Gy 4- 12z,
Z = —8x — 8y 4- Gz.
X — 5x — у 4- 2z,
108. У — -x 4- 3y - z,
z — —4x + 2y — z.
X — 2z 4- 4y — z,
110. < У — —2x — 7y 4- 4z,
b z = —5x — lOy 4- 4z.
X — 2x 4- 5y 4- z,
112. < if — 8x 4- 3y 4- 4z,
b z — — 14ж — 18y — 7z
X — 2x 4- у 4- z,
114. < У — 3x — Gy 4- 3z,
b z = 4x — IGy 4- 5z.
X = Gx — 3y 4- 7z,
116. < У — —3x — 2y 4- z,
z = —7x — у — 4z.
С помощью матричной экспоненты решить линейные однородные системы
уравнений (117—136):
117. 119. < < b x — 2x 4- y, у = x 4- 2y. x = —3x 4- y, у = x - Зу. 118. 120. < < ь х — х 4- 2у, у = 2х 4- у. х — -х + у, у-2х- 2у.
121. < b x — 2x — yt у - -4x 4- 2y. 122. < ь х = Зх 4- у, У = -X 4- 5у.
123. < b x = 3x — y, у = x 4- у. 124. < х — 2х — у, у-х + 4у.
125. < x = x 4- у, y--x-y. 126. < х = х — 2у, у = X - у.
127. * ж = ж 4- у, у = -Ъх - Зу. 128. < х = 2х — Зу, У = Зт 4- 2у.
120
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
129. 131. < < х = — х 4- у, 130. 132. < X = X 4- V.
II II II н г» • -2х 4- Зу. z, У, 0. z + у,
1 У = —5х + Зу. = -X- 2у, = х-3у. = х + у,
к X У X
Z [ X
133. < У — 2ж 4- 2у, 134. 1 = х~у,
к Z = Зг. 1 Z —X — Z.
X — г, 1 ® —
135. < У = х + у, 136. 1 — x-y + z
Z = Z. 1 * 0.
Решить линейные неоднородные системы уравнений (137—168):
137. < ь х = —2х — у 4- 37 sin /, у = -4х - Бу. 138. < х = Зх — Бу — 2е*, у = х - у - е\
139. х = — 2х — у 4- 36/, у = —4.x — Бу. 140. < х = lire — 8у 4- 4e7t, у = 20а: — 13у.
141. < ъ х = Бх — Зу + 30е£, у = 15а; — бу 4- 45/. 142. х = —5а: — у, у = х — Зу — 9e2t.
143. х = 5х 4- 4у 4- 7е2£, у = -9х - 7у 4-12 4-1. 144. < х = За: 4- 2у — е-*, у = —2а: — 2у — e-t.
145. < х = у, у — х 4- е* 4- e-t. 146. х = —4х — 4у 4- 2e2t, у = ба: 4- бу 4- 2t.
147. * г к х = — 6х — 10у 4- 4sin2t, у = 4х 4- бу. 148. < х — —7х 4- 2у 4- е-*, у = —15а: 4- 4у.
149. < х — —Зх — Зу 4-1 4-1, у — Qx 4- бу 4- 2t. 150. < х = —За: 4- у — e-t, у - -4х 4- у.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 121
151. < «е- н- II II Зх + 2у — 2е*, —Зх — 2у — 2et. 152. < x = 4x — y, у — x + 2y + 2e3t.
153. X = 2/ = у 4- cos 2t — 2 sin 2t, —x 4- 2y + 2 sin 2t 4- 3 cos 2t. x = x — 2y — 2te*, у = 5z - у - (2t + 6)e*.
155. < х = ?/ = x + y, 3y — 2x — 2(t 4- l)e*. 156. < x = 5x — у 4- 5 sin t, у = 4x 4- у + 3sint — cost.
157. < II II II •Н -N 2x 4- у + 5, x 4- 2y + z, -2y 4- 2z. 158. < k x = 4x 4- 3y — 3z, у = -Зх - 2y 4- 3z, z — 3x 4- 3y — 2z 4- 2e~‘t.
159. < к II II II •н -n —3x — 4y + 4z + sin t 4- cos t, 3x + 4y — 5z — sint — cost, 160. < x 4- у - 2z. x = —5x + у — 2z 4- ch t, у — —x — у 4- 2sht 4- cht, z = 6x — 2y 4- 2z — 2 ch t.
161. < к II II II •Я *N 2x — у + z + cos t, 5x — 4y 4- 3z 4- sin t, 4x — 4y 4- 3z 4- 2 sin t 162. < — 2 cos t. k x — x4- z — 2cht4-3sht, у — —2x 4- 2y 4- 2z 4- 4 sh t, z = 3a; — 2y 4- z — sh t.
163. г II II II •Н 'N 2x 4- у — 3z 4- 2e2t, 3x - 2y - 3z - 2e2*, x 4- у — 2z. 164. < k x — x — 2y — z — 2ef, y = -x + y + z + 2e*, z = x — z — e*.
165. * к II II II •Н -Ss -N -9x 4- 3y 4- 7z + 2, x 4- у - z 4- 4, — 11a; 4- 3y 4- 9z. 166. < k x — 2x — у 4- z — 2e_<, ^ = a;4-2y-z — e-t, z = x — t/ 4- 2z — 3e~l.
167. - г ь м. «г- ti- ll II II -x - у 4-t2, -y - z 4- 2t, —z +t. 168. < k x = 2x — 3y +1, у — x — 2z — 3t2, z = — у + 2z 4- 3t — 2.
Методом вариации постоянных решить линейные неоднородные системы
уравнений (169—186):
169.
170.
е*
х = -х - у 4- ——7,
1 + е1
е*
у = 2х + 2у + —
1 + е1
1
122
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
171. < х = 4sc — 8г/ + tg 4t, у = 4а; — Фу. 172. | х = 3х 6г/4- 3 , cos'3 3t у = 3х- Зу.
173. 175. 177. 179. 181. < < < < к ef ® = 3а; Фу + . ,• sin 2t у = 2х-у. х = Зх 4-г/, е* у = —4а: — у 4 У У 2у/1 e3t Х= Х iy+l+e^’ у = 2х 4- 5г/. х = —ба; + 8г/, 2 у= 4г + 6у Лй. Зе2* х = Ьх 6г/4- 3 , cosd 3t у — Зх — у. • о л 1 174. 176. 178. 180. 182. < < 1 к х — —Зх 4- у, 1 у = -4г + у + —t. х = 2а; 4- у — In t, у = —4а; — 2у + In t. e2t х = За; 2у + r 14-е1 у = Юж 4- 6?/. х = -7х 4- 2у, e~2t У = 151 + 4» + 1 + е2< х = 10а; — 6?/, Зе< р = 18а; Пу . СП or
183. к X — оХ | ±у _t, 14-е1 У = Зг 2у X “ С 184. к х = —2а; 4- у 4-1 In t, у — —4а; 4- 2у 4- 2t In t.
185. к х = —Зх — Фу, у = 20а; 4- Зу — 4 ctg 4t 186. < х = 4х — 2у, у = 8х - 4у 4- VI.
Решит 187. < 189. ь операционным методом задачу Komi х = 2а; - у, < у = За; — 2у, 188. я(0) = 2/(0) = 1- г • О/ х = х 4- у 4- eXI, у ~ -2х 4-41/4- e2t, 190. Ж(0) = 1, 1/(0) = 2. i при t 0 (187-197): х = х 4- у, у^-2х-у, а;(0) = 1, ?/(0) = -1. х == —х — 2у 4- 2е"4, у = За; 4- 4г/ 4- е_<, я(0) ~ г/(0) - -1.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 123
191. < ь» х = Зя — 4т/ 4- е *, У = х - 2у 4-е-*, я(0) = -1, 2/(0) = 1. 192. < х = 4т — у + е*, у = х + 2у + Зе*, х(0) = 2/(0) = 1.
193. < ь» х = х — 2у 4- i, У = х - у + 2, ж(0) = г/(0) = 0. 194. < ь» х = 4т + 5у 4- 4, у = -4я - 4у 4- 4t, я(0) = 0, 2/(0) = 3.
195. < T = T + 2/4-3t4-6, у = -Ют - у 4- Gt + 3, я(0) = 2/(0) = 0. 196. * х = — х — у + e2t, у = 2х 4- 2у + 2е2*, х(0) = v(0) = 1.
197. < ь» х = Зт 4- у + е*, у = -4т - 2у + tef, т(0) = 2/(0) = 0.
Решить каким-либо методом задачу Коши (198—224):
198. < ь» х = Зт 4- у 4- е*, у — -4т -2у + te*, т(0) = 2/(0) = 0. 199. < . 1 X = 2т 4- -у, у = —18т -4J/4- 18te2<, ®(0) = у(0) = 2. О
200. < т = 7т — 2у 4- 8ie-t, у - 8т - у, т(0) = 0, 2/(0) = |. 201. < х = 5т 4- Зу, у = -Зт -1/4- 9te5t, z(0) = 2/(0) = 0. О
202. < х = 11т — 2у 4- 12te-t, у = 18т - у, я(0) = у(0) =0. О 203. < к т = —5т -22/4- 24е*, У = -Зт - 41/, т(0) = 0, 2/(0) = 2.
204. < т = —2т — у 4- 6t, у = -4т - 5у, т(0) = 2, 2/(0) = 3. 205. т — —5т — у, у — х ~3у — 36e2f, т(0) = 1, у(0) = -6.
124
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
206. х = 4х — у, у = х + 2у 4- 2e3t, 207. х — —2х — у + 37 sin t, у = —4х — 5у,
*(0) = 1, 7/(0) = 2. х(0)=0, 2/(0) = -1.
х = Зх 4- 2у 4- (1 — 4£)e-t, | х = Зх — Зу — 2е4,
208. у = —2 а; — 2у 4- 2te~l, 209. [ у = х - у - е\
х(0) = 2/(0) = -1. х(0) = 2, 2/(0) = 1.
х = 2у — 2z, X = X -у 4- 2,
210. < к * । 1 з> 1 1 н н 1 II II •5» 'N 211. < у = у - х 4- 2, z — 3z — х — у,
я(0) = 3, 2/(0) = 0, 21(0) = 1. я(0) = 3, 2/(0) = 0, 2(0) = 1.
х = у - 2, X = X — 2,
212. у = -2/4-2, z — х — 2, 213. 1 э» | 4- н Зг 1 II II
ж(0) = у(0) = 0, г(0) = 1. 1(0) = У(0) = 1, г(0) = -1.
х = х — 2/, х = х — 2у 4- 2,
214. < у = х 4- 2, 2 = 14-2, 215. N- «ci- ll II « 1 1 «с2 4- 1 Jst
я(0) = 0, 2/(0) = 2(0) = 1. !(0) = у(0) = 0, г(0) = 1.
х = х — Зу 4- 2, х = 2у 4- 2,
216. < у = х - 22/, z = 2/-2, 217. < У = х 4- 2, Z = -у - 2,
я(0) = 1, 1/(0) = 0, 2(0) = -1. ж(0) =0, 2/(0) = 1, 2(0) = -1
х — —2у 4- 2z, х = х — 2у.
218. у - х - у + Z, z-y-z, 219. < у = -х - у - 2z, z = y + z,
®(0) = г(0) = 0, |/(0) = 1. а;(0)=0, 2/(0) =-1, 2(0) = 1
х — 2х — 2/4-24-8, х = 2х — 2/4-24-1 — e-t,
220. < к. У = У + %, z = —х 4-1/ 4- 2, 221. < у = 2х - у - 2z 4-1, z = — х 4-2/4- 2z — 14- e-t,
ж(0) = 2/(0) = 2(0) = 0. а;(0) = 2/(0) = 2(0) = 0.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 125
I х = х — 2у — г4-1,
223. { У = ~* + У + *’
I г = х — г 4-1,
г(0) = Z(0) = 1, у(0) = 0.
222.
224.
х = 2х — у 4- 2г,
у — х 4- 2г,
г = —2х 4- у — z 4-1,
я(0) ~ !/(°) = ^(°) = °-
х = 2х 4- у 4- е2*,
у = 2у 4- 4г — 4e-t,
г = х — г,
х(0) = 0, i/(0) = -1, г(0) = 1.
225. Найти все решения системы, стремящиеся к нулю при t —> —оо:
(х = Зге 4- у — Зг,
у = -7х -2у 4- 9г,
г = —2х — у 4- 4г.
226. Найти все решения системы, ограниченные при t —> 4-оо:
±1 = —ii 4- 2х2 4- хз — х4,
х2 = -4a;i 4- 4ж2 4- 2яз - х^,
хз = -4^1 4- 2х2 4- 4^з - х4,
х4 = —Xi 4- 2х2 4- хз - х4.
227. Показать, что решение системы уравнений ±1 = —а2х2, %2 = при
каждом из граничных условий: 1) rri(O) = 0, xi(T) = b, 2) #1(0) =
= 0, х2(Т) = Ь, 3) ж2(0) = 0, хг(Т) = Ь, 4) ж2(0) = 0, х2(Т) = h в
зависимости от выбора параметров а, 6 и Г > 0 либо существует и
единственно, либо существует и неединственно, либо не существует.
228. Найти решение системы
х — 8ж 4- yfiy = 0,
у - у/бх + 2у = 0,
удовлетворяющее начальному условию ж(0) = 1, «/(0) = г/(0) = i(0) =
= 0.
229. Найти решение системы
(х — у 4- z — 4х — 2у — 2z = sin 2t,
2х — у + z 4- 3t/ — 4z = 0,
х 4- z — 2х — у — 4z = 0,
126 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальному условию я(0) = гг(О) = у(0) = j/(0) =
= г(0) = z(0) = 0.
230. Пусть А = ( ** & Y Доказать, что etA = eat ( cos^ sin/ft \
\ -р a j \ -sinpt cos pt j
231. Пусть квадратная матрица второго порядка А имеет собственные зна-
чения Ai, Аг и Ai / Аг- Доказать, что тогда
etA = ел>‘ • Е + —--— (А - Ai £?),
Аг - Ai
где Е — единичная матрица второго порядка.
232. Пусть квадратная порядка п матрица А имеет собственное значение
Ао кратности п. Доказать, что тогда
ptA. __ Xot
С —— С*
t
В+й(Л_АоВ) + 2!(Л-Ао£;) + "
где Е — единичная матрица порядка п.
233. Пусть А — собственное значение квадратной матрицы А и пусть h —
соответствующий ему собственный вектор А. Доказать, что тогда
ел — собственное значение матрицы еА, a h — соответствующий ему
собственный вектор еА.
234. Пусть А1,Аг,...,Ап — собственные значения квадратной матрицы А
(с учетом их кратности). Доказать, что определитель |е*л| матрицы
etA удовлетворяет равенству |е*л| = е(Л1+Аз+ ’+Лп^.
235. Доказать, что матричные ряды для sin А и cos А
sinA = f
(2k + 1)! (2к)!
сходятся для любой квадратной матрицы А.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 127
Ответы к задачам § 11
= Cie2*
cos 3i + sin 3t
sin3t
+ C2e2‘
cos 3t — sin 3t
cos3t
_ c / - cos 4t — sin | / — cos 4t + sin 4t
1 \ 2cos4t + sin4i ) 2 I cos4t — 2sin4t
cos 5t + sin 5t
— cos 5t
cos5t — sin5t
sin 5t
128
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 129
5—1374
130
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
34.
^х\ / 1 \
у = Cie2< О 4- C2e2t
^zj \1/
4cost \
sint 4- (7зе*
^—3 cos 11
^—4 sint
cost
3sint
35.
= Cie’*
1
+ C2e‘
cos t — sin A
cost
l sin t j
+ Сзе‘
^cos t 4- sin t
sint
— cos t
36.
^x\
У = Cie*
^z I
/-2\
1 4- C2el
/
4 cos 3t — 3 sin 3t \
—2 cos 3t — 6 sin 3t I 4-
i 5 cos 3t /
4-CW
4 sin 3t 4- 3 cos 3t
—2 sin 3t 4- 6 cos 3t
i 5sin3t
37.
/1\
у I = C*i I 1 I 4- С2ег
\г) \ч
(— sin t\
cost 4- C^e*
cost j
^cost
sint
^sint
39.
38.
= C\e 3t
11 4- C2e-4t
w
cos 2t \
cos 2t 4- sin 2t 4-
^2 cos 2t 4- sin 2t J
( sin 2t
4- (7зе-4* I sin 2t — cos 2t
\ 2 sin 2t — cos 2t
(x\
у I = Cie“2t
1 \ I cos 3t
1 I + С2е* I cos 3t 4- sin 3t
1/ \2cos3t 4- sin3t
4-Сзе*
sin 3t
sin 3t — cos 3t
^2 sin 3t — cos 3t
40.
^x\
У = Cxe~^
\z)
(A
1 4- C2e-3t
V/
cos 2t \
cos 2t 4- sin 2t I 4-
^2 cos 2t 4- sin 2t j
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 131
I sin 2t ’
4- Сзе-3< sin 2t — cos 2t
\ 2 sin 2t — cos 2tj
41.
м
1 + C2e‘
W
cos 2t \
cos 2t 4- sin 2t 4-
^2 cos 2t 4- sin 2t J
4-C3e‘
sin 2t
sin 2t — cos 2t
^2 sin 2t — cos 2t
42.
^x\
У = Cie“3t
I
A\
1 4- C2e~2t
\4
f cos 2t 4- 3 sin 2t \
5 sin 2t I 4-
^3 cos 2t 4- 4 sin 2t J
I 3 cos 2t — sin 2t
4-Сзе-2* 5 cos 22
\ 4 cos 22 — 3 sin 2t
43.
4- C2e~2t
—3cost 4- sint
4 cos t 4- 2 sin t
10 cos t
+C3e~2t
— cos t — 3 sin t
—2 cos t 4- 4 sin t
10 sin t
44.
GA /1\
у I = I 0 I 4- С2е*
J \1J
Gint\
cos t 4- C3e*
^cos t1
(— cost
sint
sint
45.
/1\ / 2 cost \ / 2 sint
у I = C\^ I 0 I 4- C2 I —2cost I 4- C3 I —2sint
z] \oj \cost —sint/ \ cost 4-sint
46.
2/
vJ
= C^e21
/i\
2 + C2e21
\3/
' cos t — sin t \
2 cos t — sint I + <7зе2*
2 cos t у
cos t 4- sin t
cos t 4- 2 sin t
2 sin t
132
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
47.
4 cos t — 3 sin t^
2 cos t — sin t
—3cost j
(3 cos 14- 4 sin t
cos 14- 2 sin t
—3sint
48.
= Cie4
(cos t — sint \
cos t I 4- Сзе24
— cos t J
(l\
0 + C2e-‘
' 4cost \ [ —4sint
sin t 4- Сзе-4 cos t
3costy у 3sint
50.
—2 sint
2 cos t — sin t
(2 cost
cos t 4- 2 sin t
sin t — cos t
53.
= Cie’3* 3
\°J
4- C2e~3t
cost
2 cost
sint^
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 133
134
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 135
136 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 137
138
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 139
140 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
112.
110.
111.
(cos3f \ / sin3t \ / — 1
cos3t4-sin3t I + (?2 I cos3t — sin 32 I + Сзе-* I 1
2 cos 3t 4- sin 3t I \cos3t — 2sin3£ / \ 1
0 >
2 sin 5t
cos 5t 4- 2 sin 5t
rr\ / — cos4t \
у I = Cie"* I sin42 I 4- Cie~l
z J \ 3 cos 4t — sin 4t /
/ — cos St ’
4- Ci I 2 cos St
\2 cos 5t — sin St j
' sin4t \
cos 4t I 4-
cos 4t — 3 sin4t I
4-C3 I 0
\ 2
I x\ I — cos2t \ / sin2t \
113. I у I = Cie2t I -cos2t 4- sin2t I 4- Cie2t I cos2t 4- sin2t I 4-
\z J \ 3cos2t I I — 3sin2t j
+С3е~г 0
\ 2
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 141
[ — cos 3t '
= Ci I sin 32
\2cos 3t 4- 2sin3t
(sin 3t \
cos 3t I 4-Сзе*
2 cos 3t — 2 sin 3t I
(x\ / — cos4t \ [ sin4t \
У I = Cie2* I 2cos4t 4- sin4t I 4- C^e2* I cos4t — 2sin4t I 4-
zl I 2cos4i 1 \ — 2sin4£ I
/-1
+C3e~2t 2
\ 1
(яА I — cos4t \ j sin 4/ \
У I = Cie~l I sin4t I 4-(?2e_f I cos4t I 4-
z J \ cos 4t 4- sin 4t / \ cos 4t — sin 4t J
7-i\
+C3e21 1
\4
,17 М_1Л‘ + е31 е3‘-еЛ/сЛ
~ 2 ye31 - ? e3t + ef) \C2) '
fx\ _ 1 fe3t 4- e 1 e3t — e
\y) ~2\е31-е~* e3t 4- ) \C2) '
no 1 Лг4< 4-e~2‘ - е~2Л (сД
“ 2 - e~2t e"4t 4- e~2t) \ C2) '
120 ^-lf2 + e'3‘
- 3 ^2 - 2e-3( 1 + e~3t)\C2) '
191 M_lf2 + 2e« 1-eM/cA
\y J ~ 4 ^4 - 4e« 2 + 2e« J \C2 J '
142
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 143
§11-
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
/ 1
1 - е_<
к 0
О
е~*
О
А (сЛ
t °2
1/ \Сз/
х\ ы 1л / I 1 \ I 16sint - 15cost
= Cie~6t 4- Сое-* +
у J I 4 I \ 1/ (—10 sint 4-14 cost
~ J 2 cos t — sin t
= Cie1
\ cost
cos t 4- 2 sin t
sint
4-C2e*
30t - 29
28 - 24t
zn, -t I sm4t —cos4t A 4 sm4t4-cos4t\ (e7t\
= Cie 1 I t n , 14- C2e 4 л , 4- 7, .
у J I sm4t — 2cos4t J I cos4t 4-2sm4t / \e J
x\ ~ ( sm3i \ ~ ( cos3t A
= Ci |4- C2 [ 14-
y J I 2 sin 3t — cos 3t J у 2 cos 3t 4- sin 3t J
( 21e* - 15f
+ y45e* - 30t 4- 5
7e2t 4- 4t2 - 16t 4- 28
-7e2t - 5t2 4- 22t - 39
X I _. 2/ I 2 ] _f I 1 i i t I
= (71 e2* ]4- C2e 4- e 4
У/ \ 1/ \~2/ 11 —2t
4- C2e *
1 । t(e* - e *)
+ 2 I (t + l)e‘ + (t-l)e~!
(Ч+c2 M+f(1 4f)e2‘+2?+24
У J \ 3 J \ 1 J \ 6te2< - 2t2 - 3t
144
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
~ ( 5 cos 2* \ ~ I 5 sin 2*
= Ci I 4- CS I
I sin 2t — 3 cos 2t I I 3 sin 2t — cos 2t
4* cos 2t
2 2
-(1 4- 2t) sin 2* — -(1 4- 6t) cos 2*
5 5
= Cie-2t
t 1 - 5i
4-
I —15*
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 145
162.
/ cost \ / sint
+ Сге* I 2cost 1 4-Сзе* 2sint
\ —sint/ \ cost i
4- cht
163.
= Cie"2*
+ с2е^
4- С^е1
146
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
/о>
= Cie‘ 1
W
/1\
+ С2е2‘ 1
W
/А
+ Сзе3> 0 4-е1
W
2
1
2
(942 - 20t - 79>
6t2 - 19t - 46
3t2 - 164 - 30,
(3e2‘ - 4) In (1 + e-‘) - Зе4 4-
4/
3
(3e2t - 2) In (1 + e~*) - 3el + -J
~ / cos 4t 4- sin4i \ I cos 4t — sin4t
= Ci I ... I + C2 I
\ sin4t I \ cos4t
1
8
(sin 4t — cos 4t) In
— cos 4t • in
1 4- sin 4Z
1 — sin 4t
4- sin 4t
1 — sin 4t
-2
x = (Ci 4- C2) cos 3t 4- (Ci — C2) sm 3t 4- ----«-г- [2 sin 3t 4- cos Gt(sin 3t—
6 cos2 3t
Л cos6t
— cos 3t)l, у = C\ sm3t 4- C2 cos3t — -------—.
0 cos 3t
173. x
Cie<(cos2i 4- sin2Z) 4- C2ef(cos2£ — sin2£) 4- ie\sin2i—
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 147
— cos2t) 4- ie*(cos2£+ sin2£)ln|sin2£|, у — e*(Ci sin2Z 4- С2 cos2t)+
4-^е* sin 2/ In I sin2t| — te*cos2t
174. x = (Ci + C2t)e_< + te-‘(ln|t| - 1), у = Ci(2t + 1)е"‘ + 2C2e-'+
+e_<(2t In |i| + In |t| — 24).
175. x = -Ci(t + l)e‘ - C2e‘ + UVte1, у = Ci(2t + l)e‘ + 2C2e‘+
О
4- f Vt — ^t\/i) ef.
176. x = -Ci(t + l)-C2 + t + jt2- (t + |t2 ) Int, у = Ci(2t + 1) + 2C2-
3
-t - -t2 4- (t 4-12) Int
&
177. x = 2Cie*-C2e3*4-e4n(l 4-e2t)4-|e3t ln(l 4-e~2*), у = ~C1et + C2e3t-
-|e*ln(l 4-e2*) - ^e3*ln(l 4- e~2t).
178. x — ~2C\e2t - С2е* 4- 5e*ln(l 4- e*) 4- 4e2* In (1 4- e“*), у = 5Cie2t4-
+2C2e* - 10e* In (1 + e*) - lQe2t In (1 4- e”*).
179. x = 2Cie"2‘ + C2e2t 4- 2e~2t In (1 + e4t) 4- 2e2t In (1 4- e'4*), у = Cie-24
4-C2e2* 4- e~2t In (1 4- e4*) 4- 2e2t In (1 4- e~4t).
180. x = 2Cie~2* 4- C2e~* — 2e~2t — e~2t ln(l 4- e~2t) — 2e_* arctg e*,
5
у = bCie~2t 4- 3C2e-t — 6e-2t — xe~2< ln (1 + e~2t) — 6e~* arctg el.
&
181. x — (Ci 4- C2)e2<cos3Z 4- (Ci — C2)e2<sin3t 4- e2t tg3t(sin3t 4- cos3t)4-
e2t , . „ „ x - e2*cos6t
---T^“(sin3^ — cos 3t), у = C\e2t sm3i 4- C2e2* cos 3t-----—.
2 cos2 3Z cos 3t
182. x = 2Cie<4-C2e-2t4-4e* arctg e3t-2e~2t In (1 4- e6t), у = 3Cie*4-2C2e-2t4-
4-6e* arctg e3t — 4e~2t In (1 4- e6t).
183. x = -2Ci - C2el 4- 41n(l 4-e*) 4- 5efln (1 4- e-t), у = 3CX 4- C2e*-
—6 In (1 4- el) — 5e* ln(l 4- e-t).
184. x = Ci 4- C2t 4- jt2(21nt - 1), у = 2Ci 4- C2(2t 4-1) 4- |t2(21nt - 1).
148
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
185.
1 4- cos 4t
1 — cos 4t
+C2) cos 4t 4- (2Сг — Ci) sin4t 4- cos 8t 4- 2 sin8t — 1 In
4-2 sin 4t).
х = —Ci cos 4t — C% sin 4/ — sin 8/ — In
• sin 42, у = (2Ci4-
1 4- cos 4t
1 — cos 4t
(cos 4t4-
186.
2: — Ci 4- Сг^ — —t2, у — 2Ci 4- C2 (t — — zrzt2 4- -t2.
10 \ 2* } 15 О
187. x = у = e*.
188. x = cost, у = — cost — sint.
189. x = e3t 4- te2*, у = 2e3t 4- te2t.
190. x = 2e2t — e* — 2e *, у = e* 4- e * — 3e2<.
191. у = i(5e-< - 8e2<) 4- te~l, у = i(5e“* - 2e2t) 4- te"*.
О о
192. x = (2 - t)e3t - у = (3 - t)e3< - 2e*.
193. x = 3cost — sint 4-1 — 3, у = 2cost 4- sint 4-1 — 2.
194. x = 4 4- 5t — 4 cos 2t 4- 7 sin 2t, у = 6 cos 2t — 4 sin 2t — 3 — 4t.
195. x = - sin3t 4- -(1 — cos3t) 4-t, у = - sin3t 4- —(cos3t — 1) — 4t.
о о 00
196. x = 1 4- e* — e2t, у = — 1 — 2et 4- 4e2<.
197. x = |e2t + ie ‘ - ^e' - у = -|e21 - |e 1 + 2e‘ + te*.
198. x = ±e~‘ - |(2t + 7)e‘ + |e2', у = -|e-‘ + (t + 2)e‘ - |e2‘.
J. A о о о
(2\
t - 5 e2‘, у = -18te-' + 2e2'.
О /
200
x =
|e ‘ + (t - i j e3‘, у = (4t + 2)e-t + (it - e31
201. x = (3« - 2)e5t - [4t + |) e2‘, у = e5‘ - (1 + 4t)e21.
202. x = |e"‘ - (24 + l)e5i, у = (6t + 2) (e~‘ - e51).
u
203. x = —e~7t — 4e~2t 4- 5ef, у = — e~7t 4- 6e-2t — Зе*.
§11. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами 149
204
31 _б< 29 _t 29 62 _б< 29 _t Лл 14
30 5 5 ’ У 15 5 3
205. х = e2t — te 4f, у = (t Ч- 1)е 4< — 7е2*.
206. х = (1 — t — t2)e3*, у — (2 Ч-1 - t2)e3*.
207. х = 15е_< — 15 cos t Ч-16 sin t, у = — 15е“* Ч-14 cos t — 10 sin t.
208. x = (t 4- l)e 1 — 2e2<, у = e2t - 2e *.
209. x = e*(cost — 3sint 4-1), у = e*(cost — sint).
210. x = e2t 4- 2e~2<, у = ^(e2* - e-2<), z = ^(—e2t 4- 3e-2<).
211. x = 2е* 4- e2*, у = 2(e* — e2t), z = 2e* — e2t.
212. x = —e_< sint, у = e~l sint, z = e~* cos t.
213. x = (1 4- t)et, у = (1 — t)e*, z = —e*.
214. x = —e* sint, у = e* cost, z = e* cost.
215. x — te-<, у — z = e_<.
216. x = e“*(cost 4- sint), у = e~*sint, z = e~lcost.
217. x = te_<, у = e-f, z = —(t 4- 1)е-г.
218. x = — 2e~*sint, у = e~*cost, z = e“*sint.
219. x = 2te*, у = —e4, z = (1 — t)e*.
220. x — Bte1, у = 4(2te* — e2t 4-1), z = 4(2e* — e2t — 1).
221. x = z = 0, у = 1 - e~l.
222. x = у = 2(1 — cost), z = cost 4-sint — 1.
223. x = z = t + l,y = Q.
224. x = 0, у = — e2t, z = e-t.
225. x = -C2e2t - C3te2t, у = ЗС^ Ч- 4C2e2< + C3(4t - l)e2‘, z = СтеЧ
+С2е^ + C3te2<.
226. x\= x2— x$ = С, T4 = 2C.
150 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
228. х = i(3ch2t — cos 22), у = \/6(ch2t — cos 22).
&
229. х = 1 sh t + A sh3t - A sin2t, у = l(3e' - e"1) - (5e31 - e"31)-
-^(c°s2i 4-sin2t), z - ^-e"3f--^-e2i + -|-(7sin2i-9cos2i).
bo Lo oo oil zoU
§12. Линейные системы уравнений
с переменными коэффициентами
По заданной фундаментальной матрице Ф(я) линейной однородной систе-
мы у'(х) = А(х)у(х) с непрерывной на промежутке I и квадратной порядка
п матрицей Л(т) всегда можно однозначно определить матрицу Л(х), т. е.
построить линейную однородную систему.
Пример 1. По заданной фундаментальной матрице
Ф(я?) = I с srr smx । составить линейную однородную систему.
I — smx cost J
Д Неизвестная матрица А(х) находится из условия, что Ф(т) — решение
матричного уравнения Y'(x) — Л(т)У(т). Отсюда Л(т) = Ф'(т) • Ф-1(т) =
( 0 1 \ тл
= 1 о | • Искомая система имеет вид
У1 = У2, У‘2 = ~У1-
Формула Лиувилля-Остроградского позволяет по заданному решению
линейной однородной системы найти общее решение этой системы.
Пример 2. Известно, что вектор-функция — решение системы
у' — У2,
< л Найти общее решение системы.
(1 + х2)у'2 = -21/1 + 2хуг.
Д Пусть решением системы является вектор-функция с компонентами
— <р(т), у2 — 'ф(т), причем <р(0) — 1, -0(0) = 0. По формуле Лиувилля-
Остроградского имеем:
(р{х) х
V>(x) 1
1 О
О 1
f 2<;<£<х
ео1^ =1+^.
§12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 151
Отсюда <р(х) — xi/)(x) = 1 + z1 2. Подставляя выражение для <р(х) во второе
уравнение системы, получаем задачу Коши для 'ф(х)
4'(х) = -2, ^(0) = 0.
Следовательно, ip(x) = —2z, <р(х) = 1 — х2.
Тогда общее решение заданной системы имеет вид
Пример 3. Может ли система <
у{ = -z3t/i +7/2 sinz,
У2 = + еху2
иметь два огра-
ниченных на (—оо,+оо) линейно независимые решения?
Д Ответ на поставленный вопрос отрицательный, поскольку допустив
противное, получаем, что определитель Вронского этих решений является
ограниченной на (—оо, +оо) функцией и отличен от нуля. С другой сторо-
ны первообразная следа матрицы системы
(~х3 + ex)dx = -у + ех - 1
является неограниченной на (—оо, +оо) функцией. Это противоречит фор-
муле Лиувилля-Остроградского. А
1. Пусть задана линейная система у'(х) = у>(х)Ау(х), где </?(z) — непре-
рывная на промежутке I функция и А — числовая квадратная мат-
х
рица порядка п. Доказать, что замена t = J <p(C)d£ дает линейную
Яо
систему y'(t) = Ay(t).
2. Пусть Ф(я) — фундаментальная матрица линейной системы
z'(z) = B{x)z(z), где B(z) — квадратная порядка п и непрерывная
на промежутке I матрица. Показать, что замена у(х) = Ф^)я^)
в линейной системе у'(х) = А(х)у(х) с квадратной порядка п
и непрерывной на I матрицей A(z) дает линейную систему вида
z'(z) = Ф-1(г)[А(г) — B(z)^(z)z(z).
152 Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
В задачах (3—9) исследовать линейную зависимость вектор-функций на
(-оо, +оо):
/А sin2 а: \ COS2 X
6. ° , sin 2х 1, — sin 2х
\v ^2 cos 2х J ^—2 cos 2а: j
/А х\ /х2}
8. 1 , X , 1 X2
w \^х у
В задачах (10—18) по заданной фундаментальной матрице Ф(а:) найти
матрицу А(х) линейной однородной системы у'(х) = А(х)у(х).
10.
14. Ф(т) =
ех cos х
ех sin х
— sina:
cos а:
11. Ф(а:) = ( 1 1 ^.2 \—Х х2 \ 1 у
13. Ф(а:) = / ех yjre1 0 e2xJ
1 ch х sha:
15. Ф(а:) = \ sha: ch а:
/ 2 \
16. $(*)= ; ® ,ж>о.
\ 1 2x1
17. Ф(а:) =( 9 I, х > 0.
\х2 2х]
18. Ф(а:) =
В задачах (19—23) по заданному решению у(х) линейной однородной си-
стемы найти фундаментальную матрицу Ф(а:) этой системы:
( 1 \ (2гс3^ “
19. у(х) = \ J
v ' У2= ГТ + 2x3У^'
1 -t- X
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 153
20. у(х) =
, 1 ,
У1 = 1 , ъ (ХУ1 + У2),
1 Т
, ^ = ^(-1,1+ад)-
21. у(х) =
ех
ех(1 + х)
У1 = -(2ж +l)j/i + 2i/2,
k У2 = (“2а;2 ~2х + l)i/i + (2х + l)i/2.
22. у(х) =
е х
е-х(1 — х)
у[ = (1 - 2z)j/i - 2j/2,
i/2 = (2х2 - 2х - 1)^/1 + (2х - l)i/2.
23.
i/(x) =
— sin#
cos а;
У1 —У1 cos2 х + (sin х cos х ~ 1 )У2,
1/2 = (sina; cos х + 1)2/1 + У2 sin2
24. Пусть квадратная порядка п матрица А(х) непрерывна на проме-
жутке I и при всех х G I перестановочна со своей первообразной,
X X
т. е. А(х) • J A(Qd£ = f A(Qd£ • А(х), где а?о € I. Доказать, что
ХО So
тогда фундаментальной матрицей Ф(а?) линейной однородной системы
у'(х) = А(х)у(х) является матрица
/ 4КМС
Ф(а?) = ех°
25. Пусть квадратная порядка п и непрерывная на промежутке I матрица
Л(а;) = где J(x) — жорданова и непрерывна на I матрица,
а Н — числовая невырожденная порядка п матрица. Доказать, что
матрица А(х) перестановочна со своей первообразной на промежутке
I и что на I фундаментальной матрицей системы у'(х) = А(х\у{х)
является матрица
f J(<W n
Ф(ж) = Нех° Н-1, х0 G I.
Используя результат предыдущей задачи, в задачах (26—37) найти фун-
даментальные матрицы Ф(гс) линейных однородных систем.
26.
1/1 = (2ж - 1)1/1+?/2,
у12 = -2/1 + (2х + !)?/2.
27.
i/l ~ -(1 + 2ж)2/1 +2/2,
У2 = ~У1 + (1 “ 2х)у2.
154
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений
28. 30. < к к У1 = (2х + 1)2/1 4- 2/2, 29. 31. < < к У1 = (cos X -2) 1/1 4-41/2, У2 = (“3j/i 4- 5i/2) cos х. у{ = (2 4-cosx)i/i 4-1/2, У2 = -У1 4- (cos х - 1)2/2-
У2 = Vi = V2 = ~У1 + (2х - 1)у2. -(2 +sini)!/i +4у2, ~~У1 - У2 sin х.
32. < Vi = (1 - sinx)yr 4-1/2, 33. * i/i = i/i sin а; - i/2cosa;,
У2 = -У1 ~ (1 4-smz)?/2. 1/2 = — i/i cos x 4- У2 sin a?.
34. * y'l = yi COSX — У2 sin X, 35. = i/i sina; 4-1/2 cos x,
к У2 = —yi sin ге 4- У2 cos х. У2 ~ У1 cos £4-1/2 sin x.
36. < у! = ~2ху2, 37. < y{ - 3x2y2,
У2 = -2xyi. к yl2 = 3£21/1-
38. Может 1 У1 ли система у\ = х 1 1 4- х2 4- (1 4- X )32/2, yl2 = У1 In и - 41/2 иметь
два ограниченных на (—оо,0) линейно независимые решения?
У1
39. Может ли система у[ = ------% — ху2, у2 — i/itga; 4- Зт/2 иметь два
ограниченных на (—1,1) линейно независимые решения?
40. Пусть Ф(а;) — фундаментальная матрица линейной системы
у'{х) = А{х)у{х}, где А(х) — квадратная порядка п матрица с непре-
рывными на (—оо,+оо) элементами aij(x), причем ay(a;4-w) = а^(х),
w ___
f aij(x)dx = Qiij, i,j = l,n, w > 0. Доказать, что
о
1 1
lim - In I det Ф(а;)1 = — ац.
-»+oo X W
z=l
Ответы к задачам § 12
3. Линейно независимы.
5. Линейно независимы.
7. Линейно зависимы.
9. Линейно независимы.
4. Линейно зависимы.
6. Линейно зависимы.
8. Линейно независимы.
1 (х
10‘ Гн? (I
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами 155
,, 1 / 2т3 2х
11. ------т л
1 + х4 \ —2х 2х3
16.
cos2 х sin х cos х — 1
sin x cos x + 1 sin2 x
13.
26.
28.
29.
31.
33.
34.
30.
—x 1 + 2x
e(i-eoSI) f ch (sina:)
I — sh (sin#)
esinx f ch(l-cosx)
I — sh (1 — cost)
32. e(cosz~i)
4t
1 + 2т
— sh (sin x) \
ch (sin x) I
— sh (1 — cost)
ch (1 — cost)
35 e(i-cosx) | ch (sin x) sh(sinT)
I sh (sin t) ch (sin x)
ch x2 — sh x2
— sh x2 ch x2
37.
38. He может.
39. He может.
Глава 4
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§13. Поведение фазовых траекторий
в окрестности грубых положений равновесия
Для автономной системы второго порядка
< * = /1(м),
k ^ = /2(^,2/),
с непрерывно дифференцируемыми /1(1,у), fz(x,y) в некоторой области
G С Д(х, положение равновесия (01,02) называется грубым положением
равновесия, если матрица линеаризованной в точке (01,02) системы имеет
такие собственные значения Ai, А2, для которых Ai / А2 и ReAi / О,
Re А2 7^ 0.
В окрестности грубого положения равновесия автономной системы по-
ведение фазовых траекторий качественно одинаково с поведением фазо-
вых траекторий линеаризованной в этой точке системы.
Пример 1. Найти положения равновесия, определить их характер и на-
рисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности по-
ложений равновесия для автономной системы
х = х — у2,
у = х2 -р у2 -2.
Д Приравнивая правые части системы нулю, находим положения равно-
весия (1,1) и (1, —1).
Рассмотрим сначала точку (1,1). Для дальнейшего удобно ее преоб-
разовать в начало координат. С этой целью сделаем замену переменных
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия
157
х — 1 = и, у — 1 = и в заданной системе. Система примет вид
й = и — 2v — v2,
v = 2и + 2и 4- и2 4- v2,
для которой точка (0,0) — положение равновесия. Линеаризованная в точ-
ке (0,0) система имеет вид
й = и — 2v,
i) = 2и 4- 2v.
Находим собственные значения матрицы этой системы
1 -2
2 2
из уравнения
1 -Л -2
2 2- Л
= А2 - ЗА + 6 = 0.
Так как собственные значения А,^ = 1 (3±г\/15), то положение равновесия
является неустойчивым фокусом. Следовательно, кроме положения равно-
весия (0,0), остальными траекториями являются спирали. Для определе-
ния направления движения по спиралям при t —> 4-оо достаточно найти
вектор фазовой скорости а линеаризованной системы в какой-нибудь точ-
ке. Например, в точке (1,0) вектор скорости а имеет координаты (1,2),
Следовательно, при t —> 4-оо движение по спиралям направлено против
часовой стрелки. Поведение фазовых траекторий в этом случае схемати-
чески показано на следующем рисунке.
158
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
Для другого положения равновесия (1,-1) замена переменных х — 1 =
= и, у 4- 1 = v дает систему вида
й = и 4- 2v — гг2,
i) = 2и — 2v 4- и2 4- v2.
Линеаризация этой системы в точке (0,0) имеет вид
й = и 4- 2и,
v = 2и — 2v.
Собственные значения матрицы этой системы
( 1
\ 2
находим из уравнения
1 - А 2
2 -2-А
2
-2
= А2 4- А - 6 = 0.
Получаем Ai — —3, Аг = 2. Так как Ai и Аг разных знаков, то положение
равновесия (0,0) является седлом. Для того, чтобы нарисовать картину
поведения фазовых траекторий, осталось найти линейно независимые соб-
ственные векторы h\ и Л-г для Ai и Аг- Для Ai = —3 собственный вектор
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия
159
hi =
, а для Аг — 2 собственный вектор /гг =
. Известно, что
в случае седла траекториями являются гиперболы, для которых прямые,
определяемые векторами hi и /гг» служат асимптотами. Лучи этих прямых
тоже траектории.
Поведение фазовых траекторий в этом случае схематически показано
на следующем рисунке, где стрелки указывают направление движения по
траекториям при t —> 4-00.
определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризован-
ного уравнения в окрестности положений равновесия.
А Введя обозначение х = у, преобразуем уравнение к системе
х = У,
з ।
у = ~xJ 4-е * .
По определению положениями равновесия и фазовыми траекториями
заданного уравнения являются соответственно положения равновесия и
фазовые траектории этой системы. Приравнивая нулю правые части си-
стемы, находим положение равновесия (1,0). Перенося начало координат в
160
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
положение равновесия (1,0) с помощью замены х = и + 1, у = v, получаем
автономную систему
й = v,
v = — (и + I)3 + e-“+i.
Разлагая правую часть системы по формуле Тейлора в окрестности (0,0)
и ограничиваясь лишь линейными членами разложения, получаем линеа-
ризованную систему вида
й = v,
v = —3u — 4v.
Матрица этой системы I I имеет собственные значения Ai =
— — 1, Аг = —3. Соответствующие им линейно независимыми собственны-
ми векторами являются
Л1 =
1
-3
Положение равновесия (0,0) линеаризованной системы — устойчивый
узел. Поведение фазовых траекторий схематически показано на следую-
щем рисунке, где стрелки указывают направление движения по траекто-
риям при t —> +оо.
§13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия
161
Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фа-
зовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений рав-
новесия для автономных систем (1—52):
х = е2х+2у + х,
• / 3\
у = arccos (х — х ) — —.
X = 1п(1 - у),
у = у/х — 4у 4- х — 2.
3.
X — In (1 -I- ^/14-4?/- у3) - In 2,
. 2 ,
у = — arctg (х 4- Зт/)тг 4- 2 — у.
. 7Г
х = In (5 — 2х — 2у),
у = еху — 1.
5.
х = sh (у — х2 — ге),
у = Зх — х2 — у.
х = 2х 4- у2 — 1,
< . . 2 1
у = SHIT -7/ 4-1.
Г.
х = In (я 4-?/),
у — х3 4- у3 - 1.
х = Зге2 — ху 4- 2,
у = х2 — х — 2.
6—1374
162
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
х = х2 4- х 4- 2у2 — 2,
1 • 9
2/ = я;4-2/ .
х = ex*~v — е2х,
у = -х - 2у - у.
х = 1 - 2х - у2,
у = е-4х - 1.
х = х2 - 2/,
у = In (Зя;2 — 1) — In 2.
х = яЛ/4-2/2,
у = In (я;3 4- у) - Зу.
± = у(х-2у- 6),
у = In (я; - 2у).
х = arcsin (х2 — 2х — у),
4 / \
2/ = lnll — я;4- — |.
х = arctg (я;2 — х 4- у),
у = In (1 4- х2 4- Зя; - у).
10.
X = у2 - у - 2,
у = -ху - Зу2 - 2.
х = 2х — у — х2,
у = л/1 + ty - \/1 + 2я; + 2у2.
Г х = -3 4- 2я; 4- у,
| у = arctg (ху).
16. < х = 4 — я(32/ 4- 2) — 9я/2 . 1 + х У = 1п1-2х-
18. < х — Зхуу у = е~^ху — х.
20. < х = 5х — Зу 4- 3, *• 1 х У = 1п~. У
22. < х = e-sh(x+y) _ у = 2гг2/ + х - у.
24.
х = ех -у- 1,
у = х 4- In (1 4- у).
х = sh j/,
У = ех - 1.
26.
. / я;2
у — arcsm I я; 4- у ——
х = sh (х — у),
у = е(х+у+2ху) _ !
28.
х = 2% 4- arcsin (у2 4- 8 4- sin я;) 4- я;,
у = 2у 4- 4 — Ззтя;.
х = я 4- arctg (я;3 - 8 - tg у) - у,
у = 2х 4-12 tg у - 4.
х = е-х+4у,
( 5х2
у = arctg I 4я; - у---—
32.
х = In (я;3 — 1 — 6ew) — у,
у = 4х — 4еу — 4.
х = у/у3 — 1 — бя;2 — х,
у = у/2у — 3 — \j2x2 — 1.
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия
163
33. < х — sh(2x 4- у — х2), у = 1п(1 + Зх — х2).
35. < х = In (2 — х + у), у — х — у — е4^2-1\
37. < х = 4х 4- 2у — 4, у = —2т — ху.
39. < х = 8 + 4у - 2ху, У — х2 — 4у2.
41. х = е1-2х_3у 4- х,
< у = arctg (х2 — 1).
_х_1
43. х = е ® — х,
у = arctg (ж3 — х).
х = yi + 2х — Зу — 1,
45.
ь у = arctg 1 - 4- -х- 2у \2 о
г . о х = хл - у.
47. < 3,9
✓ у = J In (2т2 - 1).
49. х = 2 — 2^/1 4- ® 4- у,
у = eh+2y+v2 _ 1.
51. х = arcsin 2 f ^7 — 1Y
у = 1 — 4x 4- Зу.
x = arctg (x-y- 4),
04. < у = 2x — 2y — 4\/rr2 — 1.
x = 1 — 2т — j/2,
36.
у = — 1 — 6т 4- у2.
38. < х = х2 — 4у2,
у = 2 - 2у.
40. < f X = ^7х 4- у + у - 2,
у = — 1п(1 4-т). к ( 1
42. < X = -\/4 - Зу -4?J3 - 1,
у = In (т3 - 7у) 4- 2у.
44. х = 1 - е1’-»,
< у = th (2 4- х — х2).
46. х = arctg (х — у — 1),
у = узя2 + Зу - 2 - 1.
. 2
48. х = х-у\
у = arctg (1 - у2).
50. х = 1 - + 2у, у = sin (Ут -у - 1).
52.
х = 2(у/х — у — 1),
у = sh(T + у - 1).
Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фа-
зовые траектории линеаризованного уравнения в окрестности положений
равновесия для уравнений (53—82):
53. х 4- х = In (1 — Зх 4- х2 — х).
55. х + т3 = е~^.
57. х 4- 2т 4- х — 2х2 4-1 = 0.
54. х 4- х + 1 = У1 4- т 4- т2 — т.
56. х 4- Зх = In (х 4- х3).
58. х — 4х 4- 2х2 —т — 3 = 0.
164
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
59. х — (1 + х)2 + х5 = 0. 60. х — е2х — х3 = 0.
61. 2х + 5 sin х + 5/1 + 4х — 1 = 0.
62. х — arcsin (х — 2х) + 7 in (1 — х) = 0.
63. х cos х — 4 tg хл/1 — sinx + Зх = 0.
64. х — е3х~4х + 2 In (1 - х) + 1 = 0.
65. х 4- tg (2х + 6х) — 3 in (1 — х) = 0.
66. х + х5[1 + in (1 + 2х)] = (1 + 2х).
67. х + 2ех — х3 cos х = 3.
69. х = 5arctg (х — 1) + 4ех sinx.
71. х + (4х + Зх)ех2 = 0.
73. х—х —x[arctg (4х) — 2] = 1.
(5\
х — 2х 4- - I = 0.
О /
77. х + \/5х + 5х + cos х = 0.
79. х 4- Зх — 4х 4- 2х2 = 0.
81. х + 5х + 6х + 2х2 = 0.
68. х 4- (2 + х)2 arctg х 4- х3 = 1.
70. х = (Зх —2х)е±2.
72. х — (х + 4х)3 4- 2х 4-1 = 0.
74. Зх + З(х — 3) sin (2х) — 5х3 + 5 = 0.
76. х + 1п(1 — 2х) + 2 arctg х = 0.
.. „ . . 14* х
78. х = 3 arcsm х — 2 In ----.
3 — х
80. х — 5х — 6х 4- Зх2 = 0.
82. х — Зх + 4х — 4х2 = 0.
Ответы к задачам § 13
Примечание. В ответах даны координаты положений равновесия и их
тип. В случаях узла и седла указаны собственные значения Ai и Л2 и
соответствующие им линейно независимые собственные векторы hi и Л 2
для матрицы линеаризованных систем. В случае фокуса знак О означает
движение против часовой стрелки по траекториям при t —> +00, а знак О
означает движение по часовой стрелке по траекториям при t —> +00.
Данных ответов достаточно для изображения фазовых траекторий ли-
неаризованных уравнений и систем в окрестности положений равновесия.
/—1\ /2
1. (-1,1) — седло, Ai = -1, Л2 = 4, hi = I I, h2 = I
§13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия
165
2. (1,0) — устойчивый фокус, 0.
3.
(—6,2) — неустойчивый узел, Ai = 1, Аг = 4, hi =
4. (0,2) — устойчивый фокус, О;
(2,0) — седло, Ai = -2, Л2 = 2, hi =
5.
(0,0) — седло, Ai — — v3 — 1, Л2 = уЗ — 1, hi =
(1,2) — устойчивый узел, Ai — — 2+х/2, А2 = — 2—л/2, hi =
6. (0,-1) — неустойчивый фокус, О;
(0,1) — седло, Ai = — уб, А2 = уб, hi =
7.
(0,1) — неустойчивый узел, Ai = 1, А2 = 3, hi =
(1,0) — седло, Ai = ^(1 - >/13), А2 = ^(1 + У13), hi = ( ),
Z Z \ 1 т V и /
/г2 =
2
13-1
8. (—1, —5) — устойчивый фокус, О;
(2,7) — неустойчивый узел, Ai = 2, А2 = 3, hi =
9.
(-1,-1) — устойчивый фокус, О;
( 4 \
(-1,1) — седло, Ai = -2, А2 = 3, hi = I _1I, h2 =
10. (5,-1) — неустойчивый фокус, О;
166
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
(—7,2) — устойчивый узел, Л1 = —2, Аг
3, h\
11.
(0,0) — устойчивый узел, Ai = —1, Аг ~ -3, hi —
(1, -1) — седло, Ai = —е, Аг = е, hi =
12.
(0,0) — неустойчивый узел, Ai = 1, Аг ~ 3, hi =
(1,1) — седло, Ai = -i, А2 = -i, hi =
VO VO
13. (0,-1) — устойчивый фокус, О; (0,1) — седло, Ai = —4, Аг = 2,
14.
(0,3) — седло, Ai = -1, Аг = 3, hi =
, Аг — 2, hi =
— неустойчивый узел, Ai =
3
2
15. (1,1) — неустойчивый фокус, О;
(—1,1) — седло, Ai = —3, Аг = 1, hi =
16.
— устойчивый фокус, О;
— седло, Ai = —6, Аг = 6, hi =
17. (1,0)
седло, Ai — —3, Аг = 1, Л1 =
§13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 167
I з \ ( 1
18. (1,0) — устойчивый узел, Ai = —1, Аг = —3, /ii = I 1, /12 = I
19. (1,0) — устойчивый фокус, О.
(2\ /4
20. (1,1) — неустойчивый узел, Ai = 1, Аг = 3, hi = 1 |, /12 = I
21. (0,0) — седло, Ai = — v2 — 1, Аг = v 2 — 1, /ii =
5-1P2 =
-1 \
^2 + 1/
(2 — v3
1
/12 —
2 + v3
1
22. (0,0) — устойчивый фокус, О;
k / 1 \ u / -1
2’L/5-1 Н- рн
23. (-1,-2) — устойчивый узел, Ai =
fV2-l\ k (J2 + 1\
-- I 1 I 5 ^2 I -J I 5
г /М =
(0,0) — седло, Ai =-\/3-1, Аг = \/3 - 1,/11 = [ 1/-), h2 = ( L).
\ —V & / \ V /
24. (0,0) — неустойчивый фокус, О.
25. (0,0) — седло, Ai = —1, Аг = 1, hi = I \ )’ =
26.
— неустойчивый фокус, О;
/ 2 \
(0,0) — седло, Ai = —1, Аг = 3, /ii = I I, /12 ==
27. (0,0) — неустойчивый фокус, О;
168
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
(-1,-1) — седло, Ai
2,
А2
2,
hi
— устойчивый фокус, О;
(0,0) — седло, Л1 = —5, = 3, hi =
(—2тг, —2) — неустойчивый фокус, О.
(2,0) — седло, Л1 = —2, Аг = 10, hi =
(2,7г) — неустойчивый фокус, 0.
(1,2) — устойчивый узел, Ai = —1, Аг = —5, hi =
(0,0) — седло, Ai = —1, Аг = 3, hi =
(3,3) — устойчивый узел, Ai = —1, Аг = —3, hi
(-3,-7) — устойчивый фокус, О;
(3, —1) — седло, Ai = -2, Аг = 1, hi =
(1,0) — устойчивый фокус, О;
(-1, -2) — седло, Ai = -4, А2 = 2, hi =
(0, —1) — устойчивый фокус, О;
(0,1) — седло, Ai = -4, А2 = 4, hi =
(0,2) — неустойчивый фокус, О;
§ 13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия 169
(2, —2) — седло, Л1 = —2, Х2 = 4, hi =
38.
(—2,1) — устойчивый узел, Ai = —2, Х2 = —4, hi =
39.
(2,1) — седло, Ai = —2, Л2 = 4, hi =
(-2,-1) — неустойчивый фокус, О;
(4,2) — устойчивый узел, Ai = —8, А2 = —12, hi =
40. (0,1)
4
неустойчивый узел, Ai=l,A2 = -,hi =
О
седло, Ai = —3, А2 = 2, hi =
1 9
42. (1,0) — устойчивый узел, Ai = — -, А2 = —hi =
Li Li
43. (1, —1) — устойчивый фокус, 0.
44.
(—1,1) — седло, Ai = —1, А2 = 3, hi =
(2,4) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —3, hi =
41. (-1,1)
45.
i 7 ] — устойчивый фокус, 0;
2 5/
3 1
(0,0) — седло, А1 = А2 = -, hi =
Li Li
46. (1,0) — неустойчивый фокус, О;
(—2, -3) — седло, Ai = -1, А2 — 3, hi =
47. (1,1) — неустойчивый фокус, О;
170
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
(—1,1) — седло, Ai = —3, Аг = 1, hi =
48.
(1.-1)
(1.1)-
неустойчивый узел, Ai = 1, Аг = 2, hi —
седло, Ai = —2, Аг = 1, hi =
49.
3 _3\
4’ 4/
— устойчивый фокус, О;
1 3
(0,0) — седло, А1 = Аг = -, hi =
ьл и
50. (1,0) — устойчивый фокус, О.
51. (1,1)
седло, Ai = — 1, Аг = 5, =
1
-2
52. (1,0) — неустойчивый фокус, О.
53. (0,0) — устойчивый фокус, О;
(3,0) — седло, Ai = -3, Аг = 1, hi =
54.
2’ ^1
(—1,0) — устойчивый узел, Ai
(0,0) — седло, Al = i(-2 - \/7), А2 = |(-2 + л/7), hi =
О о
55.
(1,0) — устойчивый узел, Ai = —1, Аг = —3, hi =
56. (1,0) — седло, Ai = -3, Аг = 1, hi =
§13. Траектории в окрестности грубых положений равновесия
171
57. / 1 \ 1 — -,0 1 — устойчивый фокус, О; V Л 1 (1,0) — седло, А1 = -3, А2 = 1, /11 = ( 1 ), h2 = 1 Ч. \ “О / \ 1 /
58. /3 \ 1 -,0 I — неустойчивый фокус, О; (-1,0) — седло, Al = -1, А2 = 5, hl = ( 1 ], h2 = ( J | \ — 1 у \ о /
59. (1,0) — неустойчивый фокус, О.
60. (—1,0) — неустойчивый фокус, О.
61. 1 (2 \ ( 1 (0,0) — устойчивый узел, Ai = --, А2 = -2, hi = 1 , h2 = \ / \ "
62. (0,0) — седло, А1 = -4, А2 = 2, hi = ^Д^, h2 = Q.
63. (0,0) — неустойчивый узел, Ai — 1, А2 — 3, hi = | J ), h2 = ( 1 ) • \ 1 / \ о /
64. (0,0) — седло, А1 = -5, А2 = 1, hl = ^Д^, h2 = .
65. (0,0) — устойчивый узел, Ai — —1, А2 = —5, hi = ( Д J, h2 = [
66. (1,0) — неустойчивый фокус, О.
67. (-1,0) — седло, Ai = -3, А2 = 1, hi = ^Д^, h2 = ф.
68. (1,0) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 — —3, hi = ( \ ], h2 = I \ J. / \
69. (1,0) — седло, Ai = —1, Аг — 5, hi = I I, h2 =
172
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
(0,0) — неустойчивый узел, Ai = 1, Л2 = 2, hi =
(0,0) — устойчивый узел, Ai = —1, А2 = —3, hi =
— седло, Ai = —3, А2 = 4, hi =
— неустойчивый узел, Ai = 1, Аг = 2, hi =
(1,0) — седло, Ai = -1, А2 = 5, hi =
— устойчивый узел, Ai = — 1, А2 = —2, hi =
(0,0) — неустойчивый фокус, О.
— устойчивый фокус, О.
(1,0) — неустойчивый узел, Ai = 1, А2 = 2, hi —
(2,0) — устойчивый фокус, О;
(0,0) — седло, Ai = —4, Аг = 1, hi =
(0,0) — седло, Ai = —1, Аг = 6, hi =
(2,0) — неустойчивый узел, Ai = 2, Аг = 3, hi =
(-3,0)
седло, Ai = —6, Аг = 1, hi =
§ 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия
173
(0,0)
устойчивый узел, Ai = —2, А2 = —3, hi =
82. (0,0) — неустойчивый фокус, О;
(1,0) — седло, Ai = —1, Л2 = 4, hi =
§ 14. Поведение фазовых траекторий
в окрестности негрубых положений равновесия
и на всей фазовой плоскости
Для автономной системы второго порядка
У =
с непрерывно дифференцируемыми fi(x,y), /2(^,2/) в некоторой области
G С положение равновесия (01,02) называется негрубым положени-
ем равновесия системы, если матрица линеаризованной в точке (01,02) си-
стемы имеет такие собственные-значения Ai, Аг, для которых либо Ai = Аг,
либо Re Ai = 0, либо Re Аг = 0. В окрестности негрубого положения рав-
новесия фазовые траектории нелинейной автономной системы и ее линеа-
ризации могут себя вести принципиально по-разному.
Пример 1. Исследовать при всех значениях вещественного параметра о
поведение фазовых траекторий в окрестности положения равновесия (0,0)
для системы
х = — у + ах(х2 + у2),
у = х + ау(х2 + у2).
Д Точка (0,0) является центром для линеаризованной системы в точке
(0,0) при а = 0
± = -у,
У = ж,
поскольку матрица линеаризации имеет собственные значения А = ±г.
Чтобы исследовать поведение фазовых траекторий заданной системы
при а / 0, перейдем к полярным координатам x(t) — r(t) cos<p(t), y(t) =
174 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
= r(t) sin <p(t). Получаем систему вида
{г cos ip — гф sincp = —7’ sin ip + ar3 cos <p,
r sin ip + гф cos <p = r cos ip + ar3 sin ip,
откуда находим
r — ar,
гф = r.
При r = 0 имеем положение равновесия. При г>0<р = НСи<р-> +оо
при t —> +оо, а г < 0 при а < 0 и г > 0 при а > 0.
Отсюда следует, что при г > 0 траекториями системы служат спирали,
движение по которым идет против часовой стрелки, причем при а < 0
спирали закручиваются вокруг (0,0) при t —> +оо, а при а > 0 спирали
раскручиваются вокруг (0,0) при t —> +оо. ▲
При исследовании поведения фазовых траекторий на всей фазовой
плоскости необходимо находить не только положения равновесия системы,
но и предельные циклы.
Пример 2. Исследовать при всех значениях вещественного параметра а
поведение фазовых траекторий на всей фазовой плоскости для системы
х = ~У 4- ах(х2 + у2 - 1),
У = х + ау(х2 + у2 - 1).
А При a = 0 имеем линейную систему, для которой начало координат
является центром. Пусть а / 0. После перехода к полярным координатам
x(i) = r(t) cos <р(£), y(t) = r(t) sin<p(t) получаем систему уравнений
< r = ar(r2-l),
гф = г.
г = 0 дает положение равновесия (0,0), а г = 1 является решением. При
г > 0, г / 1, траекториями являются спирали. Если а < 0, то г > 0 при
0 < г < 1 и, значит спирали раскручиваются вокруг г = 0 против часовой
стрелки при t —» 4-оо и стремятся изнутри к окружности г — 1. При a < 0 и
г > 1 имеем г < 0. Спирали против часовой стрелки извне накручиваются
на окружность г = 1 при t —> 4-оо. Таким образом, при a < 0 окружность
г = 1 является устойчивым предельным циклом.
§ 14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия 175
Если а > 0, то при 0 < г < 1 спирали закручиваются вокруг г = О
при t —> +оо, а при г > 1 спирали раскручиваются вокруг окружности
при t —> 4-оо против часовой стрелки, так как <р —> 4-оо при t —> 4-оо. В
этом случае окружность г = 1 является неустойчивым предельным циклом
системы. А
Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведе-
ние фазовых траекторий в окрестности положения равновесия (0,0) для
систем (1—11):
х = — 2у 4- аху/х2 4- у2,
------------------о
у = 2х 4- ауу/х2 4- у2.
х = 4р 4- аху/х2 4- ?/2,
у = —4х 4- ауу/х2 4- у2.
х = —Зу 4- ах(х2 4- у2)2,
у - Зх + ау(х2 4- J/2)2-
5.
х = 2у 4- ах(х2 4- у2)2,
у = -2х + ау(х2 4-J/2)2.
{х = -ау 4- х(х2 4- у2),
у = ах + у(х2 + у2}.
х = ~У - аху2,
у = х + ах2у.
х = у- аху2,
2
у = -х 4- ах у.
( х = -у(х2 + у2 - а),
( У = х(х2 + у2 - а).
10.
х = у(—а 4- х2 4- у2),
у = — х(—а 4- х2 4- у2).
Исследовать при всех значениях вещественного параметра а поведение
фазовых траекторий на всей фазовой плоскости для систем (12—21):
12.
х = у 4- ах(х2 + у2 - 2),
у = -х 4- ау(х2 + у2 - 2).
13.
х ~ -2у + ах(у/х2 4- у2 — 1)(2 - у/х2 + у2),
у = 2х + ау (у/х2 + у2 - 1)(2 - у/х2 + у2).
14.
х = 2у 4- ая(1 - у/х2 4- у2)(2 — у/х2 + у2),
у = —2х + ау(1 - у/х2 Л- у2)(2 - у/х2 4- т/2).
176
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
• . /~о---о . «
х = —ay 4- x\Jx* 4- у* • sm —у.;. ,
\А2 + ?/2
у — ах + уу/х2 +у2 • sin . .
y/xz + y2
f X = [-у + ах(х2 + у2 - 1)](х2 + у2 - 1),
( у = [т 4- ау(х2 + у2 — 1)](х2 + у2 - 1).
• Л / Э-О • 9 "К
х = 2у 4- axyjx* 4- у1 • sm =,
у/х2 4- у2
у = —2т 4- ау\/х2 4- у2 • sin2 —т-=
\/х2 4- у2
18.
19.
ж = [у 4- ах(х2 + у2 — 2)](ге2 4- у2 — 2),
у - [-т 4- ау(х2 + у2 - 2)](т2 4- у2 - 2).
х — —ау 4- х(х2 4- у2 - 2),
у = ах 4- у(х2 + у2 - 2).
х = -ау 4- х(у/х2 4- у2 - 1),
у = ах 4- у(у/х2 + у2 - 1).
х = -у 4- ах(у/х2 4- у2 - I)2,
у = х 4- ау(\/х2~+~у2 - I)2.
На всей фазовой плоскости нарисовать схематически фазовые траектории
систем (22—45):
22. < X У = т3, = У- 23. X = У = х3, -у-
24. < X У = х, = у2- 25. < X = У = х, -у2-
26. < X У = ху, = х2 4- У2. 27. X — У = -2ху(х2 4- у2 х2 4- у2.
28. < X У = 2(т - у2), = У(х - у2). 29. < X = У = -т, У3^
30. < X У = У, = -2т3. 31. < ч. X — У = У2, ху.
§14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия
177
32. < х = У2, У - ~ху.
34. < х = sinrr, у = у cos X.
36. < <. • 9 X — х, у-у2- 2ху.
38. < X = ху, у = х + у2.
40. II II уГ|
42. х = Зя2 — ?/4, У = ху.
44. * ь. х = хеу, У = уеу.
33. < 35. < х = х + 1.
см ’ • н ,1е4 1 Н 51 II II II •5» -Н -51
37. < X = ху , у = х2 + у3.
39. < 51 н сч со II II •ЬЗ -5» -— '
41. < х = у2 + 2ху — х2 у = х2 + 2ху — у2
43. < 45. < . OJ О’ Н н „ СЧ 1 | н + 'З сч Н Н II II II II •Н -51 -R > v .
Ответы к задачам § 14
1. При а = 0 начало координат — центр. При а < 0 спирали против
часовой стрелки закручиваются вокруг (0,0), а при а > 0 они рас-
кручиваются от (0,0) при t -+ +оо.
2. (0,0) — центр при а = 0. При а < 0 спирали по часовой стрелке закру-
чиваются вокруг (0,0) при t —> +оо, а при а > 0 они раскручиваются
от (0,0) при t —> +оо.
3. (0,0) — центр при а = 0. При а < 0 спирали по часовой стрелке закру-
чиваются вокруг (0,0) при t —> +оо, а при а > 0 они раскручиваются
от (0,0) при t -+ +оо.
4. (0,0) — центр при а = 0. При а < 0 спирали против часовой стрелки
закручиваются вокруг (0,0) при t —> +оо, а при а > 0 они раскручи-
ваются от (0,0) при t —> +оо.
178
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
5. (0,0) — центр при а = 0. При а < 0 спирали по часовой стрелке закру-
чиваются вокруг (0,0) при t —> 4-оо, а при а > 0 они раскручиваются
от (0,0) при t —> -Ьоо.
6. При а = 0 траекториями являются радиальные лучи, по которым
движение направлено от (0,0) при t —> 4-оо. При а < 0 спирали по
часовой стрелке раскручиваются вокруг (0,0) при t —> 4-оо, а при
а > 0 они раскручиваются вокруг (0,0) при t —> 4-оо против часовой
стрелки.
7. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 (0,0) — положение равновесия и
аху = — 1 — линия положений равновесия, являющаяся траекторией.
Остальные траектории — окружности в окрестности (0,0).
8. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 (0,0) — положение равновесия и
аху = 1 — линия положений равновесия, являющаяся траекторией.
Остальные траектории — окружности в окрестности (0,0).
9. (0,0) — положение равновесия при любых а и х2 4- у2 = а — линия
положений равновесия, являющаяся траекторией, при а > 0. Другие
траектории представляют собой окружности при всех а.
10. (0,0) — положение равновесия при всех а. Траектории представля-
ют собой окружности при всех а. При а > 0 х2 4- у2 — а является
траекторией, все точки которой являются положениями равновесия.
11. При любых а (0,0) является положением равновесия, а траектории
представляют собой окружности с направлением обхода против часо-
вой стрелки.
12. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 траекториями являются спи-
рали с направлением движения по часовой стрелке при t —> 4-оо.
Окружность х2 4- у2 = 2 — устойчивый предельный цикл при а < 0 и
неустойчивый предельный цикл при а > 0.
13. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 траектории — спирали с направ-
лением движения против часовой стрелки при t —> 4-оо. Окружность
х2 4- у2 = 1 — предельный цикл, который является неустойчивым
при а > 0 и полуустойчивым при а < 0. Окружность х2 4- у2 = 2 —
§14. Траектории в окрестности негрубых положений равновесия
179
предельный цикл, который является устойчивым при а > 0 и полу-
устойчивым при а < 0.
14. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 траектории — спирали с на-
правлением движения по часовой стрелке при t —> 4-оо. Окружность
х2 4- у2 = 1 — предельный цикл, который устойчивый при а > 0 и
неустойчивый при а < 0. Окружность х2 4- у2 = 2 — предельный
цикл, который неустойчивый при а > 0 и полуустойчивый при а < 0.
15. Окружности х2 + у2 = —х, п G N, служат при а / 0 предельными
пг
циклами, причем они устойчивы при нечетном п 6 N и неустойчивы
при четном п Е N. Начало координат (0,0) — положение равновесия.
Остальные траектории при а / 0 спирали, по которым движение идет
против часовой стрелки при а > 0 и по часовой стрелке при а < 0.
16. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 окружность х2 + у2 = 1 явля-
ется полуустойчивым предельным циклом. Траектории — спирали,
по которым движение идет по часовой стрелке, если они находятся
внутри круга х2+у2 1, и по которым движение идет против часовой
стрелки, если они находятся вне круга х2 + у2 1. Точка (0,0) —
положение равновесия.
17. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 окружности х2 4- у2 — , п G N,
служат предельными циклами, которые являются полуустойчивыми,
а (0,0) — положение равновесия. Траекториями являются спирали с
направлением движения против часовой стрелки при t —> 4-оо.
18. (0,0) — центр при а = 0. При а / 0 точка (0,0) — положение равнове-
сия и окружность х2 4- у2 = 2 является полуустойчивым предельным
циклом. Траектории — спирали, по которым движение идет по ча-
совой стрелке, если они находятся внутри круга х2 4- у2 2, и по
которым движение идет против часовой стрелки, если они находятся
вне круга х2 4- у2 2.
19. (0,0) — положение равновесия при всех а. При а / 0 окружность
х2 4-J/2 = 2 — неустойчивый предельный цикл. Траектории — спирали,
по которым движение идет против часовой стрелки при а > 0 и по
часовой стрелке при а < 0.
180 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
20. (0,0) — положение равновесия при всех а. При о / 0 окружность
т2+?/2 = 1 — неустойчивый предельный цикл. Траектории — спирали,
по которым движение идет против часовой стрелки при а > 0 и по
часовой стрелке при а < 0.
21. (0,0) — центр при а = 0. При а 0 0 точка (0,0) — положение равно-
весия и окружность х2 + у2 = 1 — полуустойчивый предельный цикл.
Траектории — спирали с движением по ним против часовой стрелки
при t —> +оо.
§15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия
Пусть в области Q евклидова пространства Я” задана автономная система
уравнений
= /(т),
где f(x) — непрерывно дифференцируемая в Q вектор-функция с п ком-
понентами, и пусть О Е Q является положением равновесия автономной
системы. Разложим /(т) в окрестности х = 0 по формуле Тейлора с оста-
точным членом в форме Пеано
f(x) = Ая + о(|я|),
где матрица
ад(о)
i,j = 1,п, o(|z|) -» 0, И = Н-----------------1- -» 0.
Линейная автономная система
х = Ах
называется линеаризацией системы i(t) = f(x) в точке х = 0 или системой
первого приближения для x{t) — f(x).
Из теорем Ляпунова следует, что в случае, когда все собственные значе-
ния А имеют отрицательные вещественные части, х = 0 является асимпто-
тически устойчивым положением равновесия для системы х = f(x). Если
же хотя бы одно собственное значение А имеет положительную веществен-
ную часть, то х = 0 является неустойчивым положением равновесия для
системы х = f(x).
§15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 181
Для линейной автономной системы х = Ах эти результаты можно
уточнить.
Пример 1. Исследовать устойчивость положений равновесия с помощью
системы первого приближения автономной системы
х = 1 — 2z — у2,
у = е — 1.
к
Д Найдем сначала положения равновесия системы. Для этого необходимо
решить систему уравнений
1 - 2х - у2 = О,
е"41 -1=0.
Получаем два положения равновесия: (0,1) и (0, —1).
Исследуем устойчивость положения равновесия (0,1). С этой целью в
автономной системе сделаем замену у — 1 = yi и правые части получен-
ной системы разложим по формуле Тейлора в окрестности точки (0,0),
являющейся положением равновесия новой системы. Имеем
х = 1 - 2х - (1 4- 2/1 )2 = —2х - 2т/! - у2,
yi = -4х + о(х).
Матрица
/ -2 -2 \
\ 4 0 /
имеет собственные значения Ai = 2, Аг = —4. Следовательно, положение
равновесия (0,1) является неустойчивым.
Для исследования устойчивости второго положения равновесия (0, — 1)
в заданной системе сделаем замену у 4-1 — у\. Тогда точка (0, —1) перейдет
в точку (0,0) и можно в окрестности (0,0) разложить по формуле Тейлора
правые части новой системы. Получаем
х = 1 - 2х - (ух - I)2 = —2х 4- 2ух - у},
у\ = -4х 4- о(х).
Матрица
/ -2 2 \
\ 4 0 7
182
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
имеет собственные значения Xi = —l+iv7, Аг = — 1 — iy/7. Следовательно,
положение равновесия (0,-1) является асимптотически устойчивым. А
В тех случаях, когда вещественные части всех собственных значений
матрицы А неположительны, причем хотя бы одно собственное значение
А имеет вещественную часть равную нулю, исследование устойчивости по-
ложений равновесия нелинейной автономной системы с помощью системы
первого приближения, как правило невозможно, так как начинают влиять
нелинейные члены. В таких случаях используют метод функций Ляпунова
(второй метод Ляпунова).
Пример 2. Исследовать устойчивость положений равновесия автономной
системы
т = -з; + у* 2,
у = -ху - у3.
Д Единственным положением равновесия является точка (0,0). В этом
случае матрица
/ -1 ° \
\ 0 0 /
не позволяет воспользоваться теоремой Ляпунова об устойчивости по пер-
вому приближению. Применим второй метод Ляпунова. Если взять в ка-
честве функции Ляпунова функцию V(x,y) = х2 + у2, то ее производная
в силу автономной системы
dv
V(x,y) = — (-ас + у2) + — (-жу -у3) = 2х(-х + у2) + 2у(-ху - у3) =
аж оу
= -2(12+И)<0,
причем V(x,y) = 0 лишь при х = у = 0. По теореме Ляпунова отсюда
следует, что точка (0,0) является асимптотически устойчивым положением
равновесия системы. А
Исследовать устойчивость положений равновесия с помощью системы
первого приближения (1—15):
1.
< х = — 3 -I- 2х + у,
у = arctg (ху).
2.
X = X2 - у,
у = In (Зж2 - 1) - In 2.
§15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия
183
3.
х = 4 - х(3у + 2) - 9j/2,
, 1 +z
у — ш------—
у 1 - 2х
х — х3у + г/2,
у = In (х3 + у) - Зу.
5.
i = sh(i- г/),
£ = е2ху+х+1/ _ L
6. х + х — In (1 — Зх + х2 — х).
7.
9
х - х - у,
у — х2 + у2-2.
8.
х = 5т — Зу 4- 3,
• 1 х
У = ш—.
У
9.
X — в2х+2у + X,
у = arccos (х — х3) —
&
х = еху 4- у2 — 3,
у = arctg-.
11.
х = In (х 4- у),
у = х3 4- у3 - 1.
х — е~2~ + у2 - 3,
х
у = 4arctg -г.
13.
х = ех2 2у — е2х,
У = -х - 2у - у2.
14. х + х 4-1 = v^l 4- т + т2 — т.
15.
х ~ 2х — у — т2,
у — у/1 +4у - у/1 +2x-h 2у^.
16. При каких значениях вещественного параметра а система
х = —х 4- ау,
у-х-у.
имеет асимптотически устойчивое положение равновесия (0,0)?
17. При каких значениях вещественных параметров а и Ь система
х = ах 4- by,
у = Ьх + ау.
имеет устойчивое по Ляпунову положение равновесия (0,0)?
Исследовать устойчивость положения равновесия (0,0,0) для линейных
систем (18—27):
184
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
X = 2х — Зу, I х — -2х + у,
18. 1 У = х — 2z, 19. \ У = Зх — z,
Z — -у 4- 2z. 1 г = 4у - 2г.
X — Зх + 2z, Z X — -т - 4г/,
20. । У = x + 2y + z, 21. < У = х - у + г,
Z = -х - у. г — Зг/ - г.
22. / X = У-z, х — Зх - 8г/ 4- z,
У = -у 4- z, 23. < у = х - 2г/ 4- г,
Z = X — Z. z = Зх — 12 г/ — 5г.
X = Чх — Юг/ — 4г, IX — 7т - 4г/ 4- г,
24. < У = 4х — Чу — 4г, 25. \ У = 7т — Зг/ 4- г,
Z = —6т + Чу + z. 1 г = 4т — 2г/ 4- 2г.
X = —Зх 4- 2у 4- 2г, J х = -т 4- z,
26. < У = -Зт-г/4-г, 27. S У = -у - г,
Z — ~~х + 2у. 1 г — г/ - г.
С помощью функции Ляпунова вида V(х, у) = ах2+Ьу2 исследовать устой-
чивость точки (0,0) для автономных систем (28—36):
28. < е> «сг- н- II II -2г/ - т3, т - г/3. 29. < Z> се- н- II II г/ — 2т3, -2т - г/3.
30. т = У = -т - у2, 2 ху — т^г/. 31. X = У = -тг/2, -у - 2т2г/
32. < 1 т = у = -тг/2, —4тг/2 — 2г/3. 33. X = У = т - г/2, тг/ 4- г/3.
34. т = У = 2г/ 4-т3, —х 4- г/3. 35. < X = У = -у 4- 2т3, 2т 4- г/3.
36. < X = У = —4т2г/ — 2т3, -т2г/.
37. Рассмотрим уравнения х — — grad У (яг), описывающие движение
некоторых механических систем. Здесь х = (ti,... , тп) и У(т) — по-
§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия 185
тенциальная энергия механической системы, имеющая минимум при
х = 0. Взяв V(t) в качестве функции Ляпунова, показать, что х = 0
является устойчивым положением равновесия системы.
38. Показать, что если функция Ляпунова V(t), х = (#1,... ,тп) для
автономной системы х = f(x) определяет асимптотически устойчи-
вое положение равновесия х = 0, то У(т) для системы х = — /(т)
определяет неустойчивое положение равновесия х = 0.
39. Пусть А — матрица квадратичной формы в n-мерном веществен-
ном евклидовом пространстве. С помощью функции Ляпунова
п
V(x) = 52 xi показать, что х ~ 0 для системы х = Ах является
2=1
асимптотически устойчивым положением равновесия, если квадра-
тичная форма отрицательно определенная, и х = 0 является неустой-
чивым положением равновесия, если квадратичная форма положи-
тельно определенная.
Ответы к задачам § 15
1. (0,3) и
— неустойчивые положения равновесия.
2. (1,1) и (—1,1) — неустойчивые положения равновесия.
3.
— асимптотически устойчивое положение равновесия,
— неустойчивое положение равновесия.
4. (1,0) — неустойчивое положение равновесия.
5. (0,0) и (-1,-1) — неустойчивые положения равновесия.
6. (0,0) — асимптотически устойчивое положение равновесия,
(3,0) — неустойчивое положение равновесия.
7. (1,1) и (1,-1) — неустойчивые положения равновесия.
8. (1,1) — неустойчивое положение равновесия.
9. (—1,1) — неустойчивое положение равновесия.
186
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
10. (0,-72) — асимптотически устойчивое положение равновесия,
(0, х/2) — неустойчивое положение равновесия.
11. (0,1) и (1,0) — неустойчивые положения равновесия.
12. (0, у/2) и (0, — д/2) — неустойчивые положения равновесия.
13. (0,0) — асимптотически устойчивое положение равновесия,
(1,-1) — неустойчивое положение равновесия.
14. (0,0) — неустойчивое положение равновесия,
(1,0) — асимптотически устойчивое положение равновесия.
15. (0,0) и (1,1) — неустойчивые положения равновесия.
16. а < 1.
18. Неустойчивое.
20. Неустойчивое.
22. Устойчивое.
24. Неустойчивое.
26. Асимптотически устойчивое.
28. Асимптотически устойчивое.
30. Устойчивое.
32. Устойчивое.
34. Неустойчивое.
36. Устойчивое.
17. а + |Ь| < 0.
19. Асимптотически устойчивое.
21. Асимптотически устойчивое.
23. Асимптотически устойчивое.
25. Неустойчивое.
27. Асимптотически устойчивое.
29. Асимптотически устойчивое.
31. Устойчивое.
33. Неустойчивое.
35. Неустойчивое.
§ 16. Первые интегралы
Пусть задана автономная система х = /(я), где f(x) — непрерывно диф-
ференцируемая вектор-функция с п компонентами /1(т),..., fn(x) в неко-
торой области G евклидова пространства Н” с декартовыми прямоуголь-
ными координатами а?2,... ,хп-
§16. Первые интегралы
187
Для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция и(х), х CG,
была первым интегралом системы х = f(x), необходимо и достаточно, что-
бы ее производная в силу системы й(х) = (grad и (я),/(я)) = £ =
г=1
= 0 в области G.
Первые интегралы мДж),... ,и&(я), 1 к < п, автономной системы
называются независимыми в области Go С G, если ранг матрицы Якоби
дщ(х)
i = l,fc, j = l,n,
равен k для всех точек x € Gq.
Зная k (1 к < n) независимых первых интегралов в Go, можно в
области Gq понизить порядок автономной системы до (п—к), что позволяет
либо найти решение нелинейной автономной системы при п 2, либо во
всяком случае облегчить нахождение решения системы.
Знание первого интеграла и(х) автономной системы при п = 2 позво-
ляет нарисовать глобальный фазовый портрет системы на фазовой плос-
кости, поскольку каждая линия уровня функции и(х) является объеди-
нением непересекающихся фазовых траекторий системы. Кроме того, с
помощью и(х) можно определить центр для нелинейных автономных си-
стем.
Пример 1. Проверить, что функция и(т, у, z) = ~(х2 + у2 + z2) при х / О
является первым интегралом системы
х = 2xz,
< у = 2yz,
Z = z2 — х2 — у2.
Д Достаточно установить, что u(x,y,z) = 0 при х / 0. Имеем
х2 — у2 — z2 Л 2у . 9 9 2z
и — 2xz -------5-----F 2yz • — + (z2 - х2 - у2) • — =
х£ х х
= -[z(x2 - у2 - z2) + 2y2z + z(z2 -х2 - ?/2)] =0. ▲
X
Пример 2. Показать что функции щ(х,у,г) — i(х2 4- у2 4- z2),
188 Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
U2(x, у, z) — — являются независимыми первыми интегралами при х > О,
х
z > 0 для автономной системы примера 1.
Д Сначала проверим, что U2 — первый интеграл системы примера 1. Име-
ем
/ у \ 1
U2 = 2xz • —z-) + 2yz— = 0.
\ хг/ х
Итак, U1, иг — первые интегралы системы примера 1. Они являются неза-
висимыми при х > 0, z > 0, так как матрица Якоби
н to 1 ю 1 N ю Ъу 2z
X2 X X
У 1
т2 X 0
имеет ранг 2 при х > 0, z > 0. В самом деле, при х > 0, z > 0 определитель
из элементов второго и третьего столбцов матрицы Якоби
2у 2z
Пример 3. Найдя первый интеграл, решить систему при х > 0, z > 0
х = —х2,
у = ху- 2z2,
z = xz.
Д Перемножая крест-накрест первое и третье уравнения, получаем zx =
= — xz. Отбрасывая dt, находим отсюда, что xz = С\. Значит, и = xz —
первый интеграл. Из третьего уравнения находим z = C\t + Сг- Тогда
Ci _
х = —-——. Подставляя найденные х, z во второе уравнение системы,
СП -Ь С2
получаем уравнение для у:
y = cSc2~2^t + ^2-
Это линейное уравнение первого порядка, общим решением которого яв-
ляется
y = (Cit + C2)(C3-Cit2-2C2t). А
§ 16. Первые интегралы
189
Пример 4. Найдя два независимые первые интегралы системы, решить
при х > z > 0, у > 0 систему
х — х2 4- z2,
у = y(x-z),
z = 2xz.
Д Умножая крест-накрест первое и третье уравнения и отбрасывая dt,
получим уравнение
2xzdx = (х2 + z2)dz,
которое можно записать в виде d I — I = dz. Отсюда----z ~ С\. Значит,
\ z J z
х2
щ =-------z — первый интеграл системы. Вычтем из первого уравнения
z
третье уравнение и рассмотрим полученное уравнение со вторым уравне-
нием системы. Имеем
< х — z — (х — г)2,
у = у(х - z).
Перемножая крест-накрест эти два уравнения, сокращая на х — z 0 0 и
отбрасывая dt, получаем yd(x — z) = (х — z)dy. Отсюда х — z = С2У и,
значит, U2 = -—- — первый интеграл системы. Можно проверить, что
У
при я > z > О, у > 0 первые интегралы ui, U2 являются независимыми.
Подставляя х — z — С2У во второе уравнение исходной системы, по-
х- z- С2у,
х2 — z2 = C\z
лучаем у ~ С2У2. Отсюда y(t) = ——- —- . Из системы <
Сз — Сг^
С22у2
Civ2
находим z = ———, х = С2У + ———. Подставляя в эти формулы
Ci - 2С2у Ci - 2С2у
выражение для y(t), получаем, что
CI
(Сз - С2«)(С1С3 - CiC2t - 2C2j’
C2(CiC3 - С1С2< - С2)
(C3-C2t)(CiC3-CiC2t-2C2)'
Найдя первый интеграл, решить системы (1—17) в указанных областях:
190
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
1. 1 х = У = (ж + т/)2’ (х + уУ’ ^>0, у>0'>' 2. < X - х2у, у = ху2, (х > 0, у > 0).
_2 / . х
X х = ,
3. х — У 4. ] х - у у ,
к У = х, (х > 0, у > 0). \ У - , (т > у > 0). < X-у
X
х —
5. б. X = х — ху,
У = (а: > 0, у > 0). X У — -X + ху, (х > 0, X + у > 1).
Г д _ X
7. X = У - ху, 8. < X2 + U2 ’
У = -У + ху, (у > 0, х 4- у > 1' У - 2 1 2’ > °’ У > °)-
1 X2 + у2
. 1
X — -у, X — ,
9. | у2 10. У2
У = (х > 0, у > 0, ху < 2) X У = (х > 0, у > 0). X
f • 2 х = ху — х,
11. < У = У2,
z = z2 4- 2i/z, (х > 0, у > 0, z > 0).
X —ул, X = — х£,
12. < У = yz, 13. у = ху - 2z2,
z = — z2, (у > 0, z > 0). z — xz, (х > 0).
£ = l+z, х = (1 - т)4,
14. < У = у2е3х, 15. < у = (х - I)3,
z — (1 + z}2, (у >0, z > -1). z = z3e~v, (х > 1, z > 0).
х = х(2у 4- z), | х = х — у2,
16. < у = xez -]-у, 17. < у - у,
z = -(2у + z), (х > 0). 1 z = х + у2 + z, (у > 0).
Найдя два независимые первые интегралы системы, решить системы (18—
26) в указанных областях:
§ 16. Первые интегралы
191
18.
2
х — ху — т,
< у = -ху2,
z — z, (х > 0, у > О, z > О).
' X = Z2 - у2,
y = z,
z = -У, (у> Z> О).
20.
х = х(х + у),
< у = -у(х + у),
z = — z(x — у), (х > 0, у > 0, z > 0).
X - х(у - z),
21. < y = -y(y + z),
z — z(y + z), (x > 0, у > 0, z > 0).
f • 2 X — xz^,
22. < у = 2y(y - z2),
z = -z3, (x > 0, у > 0, z > 0).
x = xy, X = xz,
23. < y = y, 24. < у = x + yz,
z — xe~y + z, (y > 0). k Z = -z2, (z > 0).
x — x — 3x2z2, X = x2,
25. < у — 3x2y2z, 26. < у = 2т3 -xy- z,
z = z, (x > 0, у > 0, z > 0). z = xz — 2x4, (x > 0)
27. С помощью первого интеграла убедиться в том, что положение рав-
новесия (0,0) является центром для систем
2
х — -у - ху,
у = т + х2у,
а) *
б)
х - х2у + у3,
• 7 Ч
у = — ху — X
Ответы к задачам § 16
1. X = —1—^24+ Cb(l+G)2, у = -^^t + CHl + Cj)2.
1+01 1 + 01
2. х = С1(С2 - 2C1t)-1, у = (С2 - 2С14)-1.
3. х = CiC2ec>‘, у = С2еС1‘.
4. х = Ci ( ----- + С2 ), у = ---- + С2.
\Oi — 1 / 01 — 1
192
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений
х = 7^с~е C,t + 7^- V = С^еС'1 + Л'
0^02 Ci U1
= G-1 =____________С1-1
Х (Ci - l)C2e(ci~1)t 4- 1 ’ У 1 (Ci - l)C2e(<7i-1)t 4- 1 *
г Сх -1 = Сх -1
Х 1 (Ci-l^ed-^^ + l’ У +
[~2t ~ „ r~2t ~
*~yiTcf + C2’ y'c^TTcl 2’
х = \/Сх + С2е*, у = -^-е~1\/Сх 4- С2е*.
С2
1 1 1
* " 1 + С1(С2 -t) ’ y~C2-t’ г~ t-C2 + C3(t-C2)2'
х = ^(Gt + С2)3 + С3, у = C,t + С2, z =
oOi Oil -Ь О2
х= п?} y = (C1t + C2)(C3-C1t2-2C2t), z = Cxt + C2.
Clt + о2
1 1Г 2Ci(C2 - СУ)2 Cx(t + \)-C2
х ln(C2 Ci),y 2C1c3(C2-Cit)2-l’Z С2-Су ' X
X = 1 + С3(С2 - ЗС^г)-!, у = -| 1п(С2 - 3C?t),
о
1
z =
Л-гСз + ^^-зф)»
х = С1е-(2С1-С!е'+Сзе-,)> у = C2el -Cltz = 2С, - С2е' + С3е~‘.
X = СхС2е1 - C^e2t, у = С2е\ z = (C2t + C3)ef.
3 , У = e 3 ,2 = Сзе1.
Сз
x = I pl -C2- sin2(t 4- Сз)], у = y/Cx sin(Z 4- C3),
z = \/Ci"cos (t 4- Сз).
§16. Первые интегралы
193
20.
т = д/CTctg \/С1(Сз — t), у — у/Ci tg х/С1(Сз ~ 2),
-^=sm2x/G(C3-«).
2VC1
21.
-^=зт2Т^(С3-«),
!/ = \ZCrtgVCT(C3-t),
z =
х =
2 - ycTctgл/С?(Сз - t).
22. х - Cly/C3 2t, у (c.3_2i)[c.2_ln(C3_2t)]>z ^—2i'
23. x = CieC2e‘, у = Сзе*, г = C3e' - Сь
24. x = C\t + C3, у = + C3)(Cit + Сг + C3), z = .
01 Oit + O3
Сзе1 Ci + C3e3( t
25> X Ci + C33e3‘,y 1 + С2(С1+С33е3‘)’г °зе'
1 \ 1 1
26’ x = cT^t' v = C^C1 ~^~C1 + (Ci-t)2’ z = Ci-t ~ (Ci — t}3'
7—1374
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 17. Линейные однородные уравнения
(1)
Пусть Q — непустая область пространства Я3. Линейное однородное урав-
нение в частных производных первого порядка в области Q имеет вид
/ ч ди . .ди . . ди
а1(я:,7/,г)— + a2(x,y,z)— + a3(x,y,z) — =0.
В уравнении (1) коэффициенты ai(x,у,z), a,2(x,y,z) и аз(х,у,z) —
заданные непрерывно дифференцируемые функции в области Q, а
и = u(x,y,z) — искомая непрерывно дифференцируемая в Q функция.
Автономная система уравнений
x(t) = ai(x,y,z),
y(t) = a2(x,y,z),
z(t) = a3(x,y,z)
(2)
называется характеристической системой для уравнения (1). Чтобы ре-
шить уравнение (1), необходимо сначала найти два независимых первых
интеграла характеристической системы (2) щ(х,у,г), U2(x,y,z). Общим
решением уравнения (1) называется
и(х, у, z) = F[ui (ж, у, z),u2 (х, у, z)],
где F[ui,U2] — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Если S обозначает заданную уравнением g(x, y,z) =0 гладкую поверх-
ность в области Q и <р(х, у, z) — заданная на S гладкая функция, то задача
нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному усло-
вию
u\s = <p(x,y,z), (3)
§ 17. Линейные однородные уравнения
195
называется задачей Коши для уравнения (1).
Чтобы решить задачу Коши (1), (3), необходимо из системы уравнений
p(z,y,z) = О,
< Ui(x,y,z) = Cl,
u2(x,y,z) = С2
выразить х, у, z через и\, U2 и подставить найденные выражения для х, т/,
z в начальную функцию <р(т,у,г). В найденное таким образом выражение
вида Ф(щ,и2) подставляем щ(х,у,г) и u2(x,y,z). Тогда функция
и = Ф[и1 (т, у, z), и2(х, у, z)]
является искомым решением задачи Коши (1), (3).
Пример 1. При х > 0, z > 0 найти общее решение уравнения
9 ди <) <) ди . •) э. ди
3^г _ + 3у г _-(2l +«г >aJ = 0
и решить для этого уравнения задачу Коши с начальным условием и —
4.3 1
= т + xz при у — —.
х
А Найдем независимые первые интегралы характеристической системы
для заданного уравнения
х{€) = 3tj/z2,
< у(*) = з*/2А
z(t) = —(2т2 + yz3).
Перемножив крест-накрест первых два уравнения этой системы, имеем
3y2z2i(t) = 3xyz2y(t).
Сократив на Зт/z2 и отбросив di, получаем
ydx = xdy.
Отсюда у — С\х и, значит, щ = — — первый интеграл.
х
Подставив найденное значение у = С\х в первое и третье уравнения
характеристической системы, имеем
х = 3Cit2z2,
z = -(2т2 + Citz3).
196
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
Перемножая крест-накрест эти уравнения, сокращая на х и отбрасывая
dt, получаем
— (2х + C]Z3)dx = ZC\xz2dz.
Полагая Cjz3 = i, отсюда для t находим линейное уравнение первого
порядка
— = -А -2
dx х
С2
общим решением которого служит t =-------х. Подставляя Ciz3 вместо t
х
и — вместо Ci, находим еще один первый интеграл U2 = х2 + yz3.
х
Общим решением заданного уравнения является
и = F (~,х2 4- yz3} ,
/
где F(ui,U2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Чтобы решить задачу Коши, рассматриваем систему уравнений
1
У =
х
Щ = у-,
X
U2 = X2 + yz3.
Из этой системы уравнений находим, что
4 3 ^2
х* + хгл = — .
U1
Следовательно, решением задачи Коши является
X. 2 Зх Х 3 а
и = — (хг 4- угл) =-1- xz. А
У У
Пример 2. При х < 0, z > 0 найти общее решение уравнения
ди ,л о 9. ди . Л о . ди
ту— + У + У ) л— (х + 2х z + yz)^~ = Q
дх ду dz
§17. Линейные однородные уравнения
197
и решить для этого уравнения задачу Коши с начальным условием и =
при 2х 4- yz = 0.
Д Составляем характеристическую систему
x(t) = ху,
< y(t) = 2z3y + у2,
z(t) = —(х + 2z3z 4- yz).
Перемножая крест-накрест первые два уравнения системы, сокращая на у
и отбрасывая dt, получаем для у линейное уравнение первого порядка
xdy = (2х3 4- y)dx,
общим решением которого является у = С\х 4- х3. Значит, первым инте-
у 2
гралом является щ =-----х .
Х 1
Умножая первое уравнение характеристической системы на -, второе
z
уравнение на - и складывая полученные выражения с третьим уравнени-
ем, находим, 4то
х z . .
- + ~У + z = 0.
У У
Отбрасывая dt, отсюда dx 4- zdy 4- ydz = 0 или dx + d(yz) = 0. Следователь-
но, х+yz = С2, значит, U2 — х 4-уz — первый интеграл характеристической
системы.
Общим решением заданного уравнения является
_ /у 2 \
и = F I---х , х 4- yz) ,
\;е /
где F(u\,U2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Для решения задачи Коши составляем систему уравнений
2х 4- yz = 0,
< U1 = — — х2,
X
. U2 = х 4- yz.
Из этой системы находим, что
У о
- = ui 4- «о-
X
198
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
Следовательно, решением задачи Коши является
Найти общее решение уравнения и решить задачу Коши с указанным на-
чальным условием (1—100):
, ди 1 ди . 4 2ч ди 2z - х2
Е 1^-2У^ + (г + 1у)^ = 0’и = ^^ПрИ^ = “1-
_ ди ( х4\ ди ди yz5 -1
2. х— 4- Ну 4-— 4- 2z— = 0, и =-=— при xz = 1.
дх \ z ) ду oz z‘
z ди ди , о х ди 1 о
3. ----2t/z— 4- (z2 4- 2ху - 1)— - 0, и = ху - - при ху + z2 = 1.
у дх ду oz 2
, , ? ?.ди Ч'ди Л ди у z2 9 9 п
4. (х2 4- г2)— 4- 2(ху — xz*) — 4- 2xz— = 0, и =-— при х2 — z2 = 2.
дх ду dz z 2
„ du du 9, п .ди х*
5. х— + у— 4- z*(x - Зу) — = 0, и = — при 3yz = 1.
дх ду dz у
Л Л 9. ди п 9 ди 7ди п 4г3-т3 9
6. (у 4- 2z)~-4- хг — = 0, и =-------------при у 4- z2 4- yz = 0.
дх ду dz 3
з ди 9 9 ди о ди л з
7. ху* — 4- х zz — 4- у z— = 0,и = у при xz* = 1.
дх ду dz
8. х— 4- (xz 4- у)~хг~ + z~Z~ — 0, u — 1 - x при x 4- у - z = 0.
дх dy dz
9. х(х 4- z) — 4- у(х — z)—-z(x 4- г)— =0, u — x + y при z = 1, x > 0.
dx dy dz
Л , эх9й / 2ч. ди 9
10. 2у(х - у*)--(х-ул)------tyz— =0,и = ху при z = 1.
дх ду dz
,, .ди . .ди . . ди 22
11. х(х 4- у)-х-у(х + у)-х- - z(x - у)— = 0, и = х* + у* при z = 1.
дх ду dz
/ \ ди . .ди . .ди п 2
12. х(у - z)— - у(у 4- z)— 4- z(y 4- z)— =0,и = у -х при z - 1.
, Л Л ди Л ди 9 \ди п z2 2
13. 2xz— 4- 2yz— 4- (2х2 +у> — — Ъ,и = — при у = х2.
дх ду dz у
§17. Линейные однородные уравнения
199
4у
z
14. (z + 2х — 2у}^- 4- (z — 2х 4- 2у)~ — 2z^ — 0, и — xz4 при х 4- у = 0.
дх ду dz
-I- &и du . 3 2\^и л (z\2
15. xz--yz— 4- (х*у 4- х*)— = 0, и = - при у = х.
дх ду dz \у /
, v ди , . ди ди
(г-1 + 3г,)- + (г + а:-Зу)--2г-=0,и =
ди л ди . 2 .ди л 3
х— + 2у— + (ху + z)— = 0, и = я при z = х.
дхду dz
ди о ди ди
ху---х*-£- + yz-x- = 0,и = х при z — х* + у .
дх ду dz
17.
18.
19.
2х
2
при X = Z*.
Х\2
- 1 при у = Z.
z 2 ъ^ди ди ди
20. (х +у)- + 2Ху- + х2-
. v ди . . ди . о 9. ди
21. (2zz - х}— + (2j/z - у} — 4- (3z2 -3z- у — 0,u = xz при у = z.
дх ду dz
,п 9 о ч ди . у . ди . о . ди •)
22. (2xz 4- х)—----(4xyz — у)—----(4xz — z)— = 0, и — yz при x — z.
дх ду dz
. о 9 . ди . п о. ди . <? 9 . ди о
23. (хлу2 + х)— + (у - Зх2ул} — 4- (х y2z 4- z)— = 0, и — xdz при у = х.
дх ду dz
. о . ди , о „ ди , . ди 1
24. (хГу 4- 2ж)— 4- (2зиГ 4- у}-^~ - (xyz 4- 2z)— = 0, и = yz + у + -
дх ду dz у
при х = у.
чди , о. ди , ^ди и2
25. х*— 4- ^2ху - у4- (2xz - yz)-^- = 0, и = — при х = 2у.
ох оу OZ Z
ди . 9. ди ди 2
26. 2х— 4- (21/ — 3zz2)—-3z — = 0, и = у-----при xz = 2.
ох оу OZ X
ди , <) ч.ди ди у о •>
27. х— 4- (х2 4- у 4- z2)— 4- z— = 0, и = - при х2 4- z2 = z.
дх ду dz х
о. ди ди ч.ди п о л 9
28. (Зх - у2)^- 4- у-%- 4- (z 4- х - у2)— = 0, и = z - у2 при х = 31/2.
дх ду dz
лл z .ди л ди . .ди
29. (х 4- у 4- z)--2у-х- 4- (х - у 4- z) —
дх ду dz
= z.
Z
У
200
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
\ ди / \ ди / \ ди
(х - 2г) — + (2z - у)~ + (у - х) — = 0, и = х при у = 0, z > 0.
dx оу dz
. . о \ди . 2ч Л
4яг— 4- 2(z - zy) — + (у ~ z ) — = 0, и = xz при у = 0, z > 0.
ох оу dz
2 ди , ч ди 9ди
х ——F y(z — х)-т--z — = О, и = у при х = z.
дх ду dz
ди . 2 Л зч ди Л ди z3
xydi+(y -2z^-2yzdi=Q'u=^^ny=x-
ди z .ди ди 4
х— + (2ze + у)— + — = 0, u = z1 при х = у.
ох оу dz
2 ди . о. ди о ди 9 _
xz — + 2{у — z )у—-z — = 0, и = х е при у = г, z < 0.
ох оу dz
чди ,п v.du 9ди . (z - х)2
х1— + (2г - еу) — + z — = 0, и =-5— при у = 1пх
дх ду dz х1
(х + z)^ + (у + z)^ + (х + у)^- = 0, и = (1 + г)(1 —2г)2 при х + у = 1.
dx dy dz
ди ди ди <2
+ (х — + yz^ =0, и = х при у* = 2х.
2 ди 2 ди , ди _
x£z— + y£z— + (x + y)— = O)u = e 2 при х = 2у.
\ди 2 зтди .2ди
1 + z — + /е3ж— + 1 + z У —
дх ду dz
. 2 \ди ди ди п Зг2 _ . 2
z(x + y^cosy)— + yz~ + ycosy— = 0, и = — при х = 2ysiny + yz^
dx dy dz 2
,2х при у = 2(1 + z)e Зх
du .ди . ди .
z cosrr-^—Ь z(l — j/sinx)— + (I — z) sinz—- = 0, и = e (z — l) при у =
dx dy dz
. . /zx ЛА
= l + sinz I 0 < x < — I.
\ /
ди 3 ди l
_ + г e »_ = °, U = —— при г =
ди
дх
2
§17. Линейные однородные уравнения
201
44. (ху + у2) — + у2^- 4- (yz + ev)^- = 0, и = 1 4- - при х = 1/1п2, у > 0.
дх ду OZ у
, ди . .ди ди п
45. xz tg z——Ь (у — х)—----z— = 0, и = cos z — smz при х = yz
дх ду dz
/ л 7Г\
(° < г < 2/
о ди . 1 .ди п у ,
46. (ху-х£)-^+у£ — 4- (е« +yz)fa = °, и = p-j—- при у = sinz, у > 0.
ди . .ди , ди
47. х——h (z — у)——h rrzctgz— = 0, и = smi + cosх при z = ху,
дх ду dz
( тг\
(О < х < — ).
\ 4/
48. (ж 4- 2zey)~ + (х - у)уг 4- z(x - у)~ = 0, и = ех при х = 2у, z > 0.
дх ду oz
. _ , о л \ 2 л 3 2
49. (х + у* + 2z)— +у^~ + У = 0, и = ху - у при z = у*.
дх ду dz
50. х(2у 4- z)~ + (же2 4- у)~ (2г/ 4- z)= 0, u = z при у + z = 0, х > 0.
дх ду dz
51. (ж 4- у)^- 4- (2zex - у)^ 4- (ж 4- y)z^ = 0, и = z2 при 2ж 4- у = О,
дх ду dz
52.
53.
54.
55.
56.
ди ди ( _v .ди 2 / х -п
ху~ 4- у^~ 4- (же у 4- z)— = 0, и = жл при z = (у - ж)е у.
дх ду dz
.ди xz ди .ди п 2 > л
ж (1 4- xz)——I-— 4- (1 4- xz)— — 0 и = ху при xz = 1, ж > 0.
дх у ду dz
1 ди 1 ди 1 ди
4- 4- —----х- = 0, и = ж при 2 = 0.
у дх х ду х + yz dz
ди о ди . п 9 2 х ди 2
ху-£-+у ~+ {х1+у z1}—= Ъ,и = у при 2 = 0.
дх ду dz
х^ эди . 2 ,x^U / ,х
х{1~ху)~ + ху — + z(xy‘ + ху-1)— = 0, и = xz(x-l) при у = XZ,
дх ду dz
57.
. „.ди ди .л у\ди п . л.
х(у - zey)-^~ 4- y-z- 4- z(l - zey) — = 0, и = ж при у = z, (ж > 0).
дх ду dz
. 2 .-.ди 2у ди о ди п 2 1 . / 2 х
58. 1-1п(ж J/)] —-------—+xy^z— = 0, и = ж21/4-~ 1п(ж21/) при z = х^/у.
дх х ду dz у
202
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
= у(1 + х + у) при z = 0.
= 2(х — у) при х — z = 2у.
при х3
,ди п .ди /п .ди„ ez
xedi~2ye ^ + (2у-1)Э7 = 0’“ = "^приу = -1-
2же2г^ — 2е2г^ +х(1 — У)?- = 0, u = (~ + е~у при z = 0.
дх ду dz \х )
du ди . .ди п . / о . \
х cos z—-tgy • cos г——F z(tg у — u)— = 0, u = rrsinx [x + smz)
dx dy dz ' 7
при y = x (o<y < ^, 0 < z < |).
ди . ,ди 7ди „ о
xz-—F (x + yz) —-z — = 0, и = xy — x при z = 1.
dx dy dz
, 2 94 ди Л du du 7
(x + у*}— + 2xy— + e — = 0, и = e при x = 2г/, x > у > 0.
dx dy dz
. .du .du du
(1+у_г)_+(1+г)_+_
2 du n.du 7du
x + (2xy - у )-— + z£— = 0,u = yz — y — z при x = yz.
dx dy dz
. .du . .du . .du „
(у-2)^+(ж-г)^+(у-ж)-=о,и;
_ ч ди .. ч . п хди sin2z ди
2у cos х ——F (1 + у sm2a:) ——I-— =0, и = х — 1 + ctgz при
dx dy у dz
О О (/х — ТГ \
у* cos* х = 1, ^0 < х < —, 0 < z < — J.
. з Зх0гх 2 ди г/3\/1 + z2 ди Л г-----
(х3 + 2/3)^- + х2у— + ----= 0, и = z + VI + Z2
dx dy х dz
= Зг/3 In я.
/Л 2 хди п ди Л ди х2 9
(2г/ + z)— + ^ху— + 2xz— = 0, и = — при у* = z.
2 ди / ч ч 9 \ ди ди Л 9 _ _
х -т—F (х у + Z )-7— + xz— = 0, и = z при у = 0, xz > 0.
дх ду dz
ди . о 2\ ди ди
xydi~{xz +z}dTyzdT
Зди ч ди п/ 2 . ди ч х
х ---х£у— + 2(х — z)z— = 0, и = у^е при z — х.
дх ду dz
2ди х4 ди . 3\ди
х 4- -9 + (xz + z°)— = 0, и = 1 + у при х = 1.
дх z2 ду dz
У\2
— 1 при Z = X.
§17. Линейные однородные уравнения
203
Ч, \ди Ч/п \ди 2^U п — z л
74. zz(z -?/)— +/(2z - J/)— + yz2— = 0, и = ех при у = z > 0.
дх ду OZ Z
___ z ч ди пди о м ди л , л
75. х(у — х)—— + у + У* ех Ъ~ - 0» и = ?/(1 + е х) при z = 1, у > 0.
дх ду dz
, ч ч^ди , ^ди л ди п
76. (х* + z) — 4- у(х - Z)— + 2xz— = 0, и = х + z при у = z.
дх ду dz
х ди э ч ди ди п 2
77- 2 di ~ + Х VZ^ " Z~dz = °’ “ = Z ПР“ Х У = L
78. 2z(x - У2)^ + 2Уг^“ + (у2 + г2)^ = 0, и = а: + г2 при у2 = 1 - х.
дх ду dz
ди , о ч ди и ди 1 о о
79. 2ху— 4- (1 - у2 - 2xz)---— = 0, и ~ - - у2 при у2 + xz = 1.
дх ду х dz 2
( ди ди ди
80. ( х 4-) — + 2у— 4- z— = 0, и = ху при z = 1.
\ у J дх ду dz
о ди ди , . ди 1
81. x2z— ~ у— + (2у + z) — = 0, и = 1 4- — при у 4- z = 1.
дхду dz ху
. ди . о. ди ди 2 2 ч
82. (у - z3)— + (х + z3) — - z— ~ 0, и = у2 - х2 при z = 1.
дх ду dz
nr. л ди . 9Ч ди о ди ч ч ч п
83. 2ху— 4- (2х - у2)-^- 4- 4TZ— = 0, и = x2z2 при у2 = 2я.
дх ду dz
. . 9 . ди ди 2 2 ди 2 п
84. (х - 2х2у) — + у— + 2x2z2 — = 0, и = у z при х - у = 0.
дх ду dz
п^ , 'ди . 'ди п 7ди п 2
85. (у - х)— + (х + y)-z~ + 2yz= 0, и = x*z при х + у = 0.
дх ду dz
о ди о о ди ди z3
86. (х — 3x2z2)——F 3x2y2z— 4- г— = 0, и = — при х = z.
дх ду dz у
О / Q < z П. у . Q 1
87. 2x2yz— 4- (yz - у 4- (yz 4- У = 0, и = (z - у)2 при z 4- - = 0.
дх ду dz х
пп чди . п ч Ч'ди ( 1\ ди п 1
88. х2— 4- (ху — 2х2у2)—-zz 4- - — = 0, и = 2х------при z = -1.
дх ду \ у) dz у
пп чди .ди ( х2\ ди л х
89. х2— 4- (2у2 - ху)— 4- ( xz 4- — —=0, u= - при z - -1.
дх ду \ у J dz у
204
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
9 ди о . ди Л ди Л о
х ——Ь (2х — ху — z)~ + (xz — 2х ) — = 0, и = z + 2х при у = х.
дх оу * oz
ди ди ди
х4 ——Ь (x4z + х3у — 2т)-— + (2 — x3z) — = 0, и = (у + I)2 при xz = 1.
дх ду dz
. ди 2 / \ ди ди у
x(2z — x)— + 2z(z-x)— + xz— = 0, и — ---х при xz = 2, xz > 0.
дх ду dz 2 — z2-
ди ди . ди о
93. Sxyz-—Ь у——Ь z(2 + 3yz)— = 0, и = ху при х = yz, xz < 0.
дх ду dz
ди I) ди о. п ди 99 г.
2——h 2tz2 — + xz3(2yz2 — 2 — z2)—- = 0, и = x2z2 при у = 0.
дх ду dz
ди ,п . .ди л ди х7
х— + г/(3 + 4ху)— + 4яг/г— = 0, и = — при z = ху, х > 0, у > О,
дх ду dz у
z > 0.
ди 2 .ди ди п 2
yz— + y*z(l - ху)— + — = 0, и = yz при х = 0.
дх ду dz
90.
91.
92.
94.
95.
96.
, 2\ди ди . э .ди z г,
97. (х - у )— + 1/д- + (х + у2 + z)^- = 0, u = —£ при х = г/2, у > 0.
2г/2
х — еу 9
при z = х — у.
' у ’дх 1 Уду ' 1 у ' ~’dz
/Л 2 .ди ди . Л 9 ди
98. (2я + у +2)- + - + (г-2у + у)- = 0,и= 2
99. ж2?- + у(2г - у)Ч-г2?- = 0, и = 1 - - при г = 2х.
дх ду dz у
100. [(x + y-z)2 +y-z-2]^- + (z + 1)^- + (г/ — 1)^ = О,
дх ду OZ
при Z = 1, у > 1.
1
и =-----------
X + у + 1
Решить уравнение, преобразовав его к указанным новым
переменным (101—102):
dz dz
101. — + — = 0, и = х + у, v = х-у.
102. — = — + -7Г- = 0, и = х, v = х + у, t-x + z.
дх ду dz
независимым
Ответы к задачам § 17
1- и = F (ху2, - - , и = ^y2(2z - х4у2).
\ X 2 / 2
§17. Линейные однородные уравнения
205
2. u = rf4,
xyz — X
Z2
3. и = F | 2х -
\ У
ху2 + yz2 - ^у\, и = (2ху - 1) f ху + Z2 -
у Z2 \ у z2 kz2
-ч----I и = — Ч-----------------
z 2 / ’ z 2 (г2 — х2)2
(х 1 + xz — 3yz\ х(1 + xz — 3yz)
—, ----------I, и =--------------
у z J yz
и = F l у + z2,
6.
4г3 — x3 \ 4z3 — x3 a
--------+ yz I, и =----------+ у + z + yz.
О / о
7. и = F ( —, у4 — rr2z2>), и — у4 — z2z2 Ч—.
\д: / z
( ту2е l2 \ у i _iA
9. и = F ( xz, y—x----I, и — xz + z(xz + 1)--------e 2 A
I (x2 + xz)2J 'x + z
10. и = F [ж + у2, z(y2 - я?)], и - i[(z + у2)2 - z2(y2 - я;)2].
11. и = F [xy, (x + y)z], и = z2(x + y)2 — 2xy.
12. и = F [yz, x(y + z)], u = y2z2 - X^~
is. u = F(y-,
\x J y*
14. и = F [x + у + z, (x - y)z2], и = i(z - y)z2(x + у + z)2.
Al
15. и = F [ян/, z2 — rr2(l + xy)], и ~ 1 + xy 4-------------------————
16.
z2
(x + y + z)(x-3y + z)
, и =----------Z----------1-
17.
v x — 3y + z\’ z2
/ у 3z \ 3x2 + x3y — 3xz
u = F I --------xy , u-
\X£ X '
У
18. u = F^ + ^,
\ X/ z
206 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
19. u = F(v-z, У±1\и=1 + ^-
\ X ) X
я2 -у2
Z2
1 z — Z2 \ _ ху2
у + У3 J'U у2 + Z - Z2'
22. и = F — 2А\ и = У(?-^ + 2^2).
\У Z /’ 2z2
(X о Z \ ( 1 1 п \
х у, — I, u = z I-F х2у I.
у----------------------х) \х у )
/ X Х2\ XX
и = F \ xz, Н------I, и = xz + +
\ У У / У2
\ 2
у \ х — ху
z)’U=: 2z
26. и = F (x3z2, 2\XZ , и _ ^-x2z2(2y — xz2).
у 2х ) 8
97 w(Z y~^2~Z2\ y + Z-X2-Z2
27. и = г I —, ----- I, и = ---------.
\Х X J X
оя _ Z? (Х~У2 2z-x + y2\ _ (2z — х + у2)у2
2о. и Г I q , j, и 2
\ У 2у / х-у2
29. и = F[x + y-z, y(x + z)],u= +
2(х + у —
30. и = F (х + у + z, ху + z2), и = х + у + z — \/ху-\- z2.
31. u = F\y + z\ ^-z2)],n = ^^.
\/y + z2
_ _ _ /1 1 \ y{x + z)2
32. и = F I —I—, xyz I, и = —-----.
yx z J 4rrz
33. и = F (x2z, y2z - , и = 2 fl - \ + 7^-2 .
\ 2 / у x* 2яг /
34. и = F (xe~z, ye~z — z2), и = (xe~z — ye~z + z2)2.
§ 17. Линейные однородные уравнения
207
35.
36.
( z2 \ d
и = F ( xzy------2 In |z| ), и = я:2е v .
\ У /
„/1 1 2 -у A (z~ z)(ze-y -1)
u — F[--------, zAe y - z I, и = ------—----------
\x z J x
37.
и
= Г
-----------ту, (2z - X - ?/)(?/ - я) , и = (х + у + z)(x + у - 2z)2.
L (х - У Г
38.
и
39.
и
/z 2 . \ x(y2 - 2я: + 4z)
у2 - 2я: + 4zJ, и =------------
Г1 1 / ч -41
------, (x - y)e yu =
Lz У
4z
2(y - я:)2
z?/
• е г .
40.
и
—X
2
У
—х
и =
1 эх 1 +
О6 + ------
2 У
• е х
41.
и
42.
и
43.
/ \ 2
х \ X Z
— F lz — 2sin?/,----sm?/ J, и = —h —
У / У %
у — sinaA (z — l)ez
-------I, и =------;—
cos я: j y-sinx
2y _ (x-l)3e3y
z2
(z - 1 ,
------е ,
cos х
и = F (х
е
44.
45.
46.
47.
48.
49.
— 2 sin?/.
1
(x — l)ey
’ “ = ? (x - 1)2 •
У2 I
-------F I > u =
yz + e v J
\ yz
и = I4' I-----, yz — X tg z 1, и = — • cos z — sin z.
\cosz / X
u = Fp-y\ny
\ У
х
1
У
IL
ye^
yz + e*
\ xy sin x + z cos x
xy + z ctg X), и =-----------------
и = F — — In?/, Л-G/z + e®) , и =
х У
U = F(^-
xsinrr
и = F ( ze у
/ 1 2
и = F I z - -у\
\ **
/ я:2 \
T2 >. Г2'-'?’)®
xy —— + zey I, и = e2y + —-----—.
2 / z
X-3y2+2z\ 1 2\f о 2 , n \
----------), и = ~(2z - y2)(x - 3?/2 + 2г).
У J У
208
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
и = F (xez, у2 + yz + xzez), и = z + .
v ' xez
u — F (ze~x, 2xy + y2 — 2zex), и = z2 — + y)yze~x.
xe y + z\ / xy
-------- I, и — I-------
у J \x + zey
1 _L__________1
x + 2y2 2x(xz + 1) ’
(9 \ 9
у yz£ \ xz z£
—, у — z — —— I, и = x-—
x' y 2x ) у 2
XZ
u — F (xy — In |t/|, у — In |rrz|), и = (т — l)y + In — .
У
u = F(- — ey I — I и = (1 - - + ey\—e~v
U> XI C ) I I С I у (X I X j Cl C
\z I z I / \ z / z
r-. / 2 z\ x “г У “г e
и — F (x y, x + y-kez), и =--5----.
v ’ xzy
u = F(xey, xy + e^,u={xy + el}e~V.
X
и — F (x sin ?/, xy + sin z), и = x sin y(xy + sin z).
и = F (xz, yz — x), и = xz(yz — x).
§17. Линейные однородные уравнения
209
66. и = F [z — х + у, (х — у)(х — 2)], и — ——.
х у Z
67. и = F (у2 cos2 х — х, у2 cos2 х • ctgz), и = х + у2 cos2 a:(ctgz — 1).
68.
= F ye
~,3
У
X
69.
i /i i 9 3
z + v 1 4- z
, и =---------------e3y .
x
(x2 -у2 - z)y2
70.
x2 — у2 — z ), и = 2 4--------5------.
/
X ху X Z2 (X ху \2
— arctg-----х I, и = —х I — arctg-----ж
z z / X* \z z /
и
и
и
Z
)
У
71.
и
XZ
72.
/ x2 \
u = F I xy,-------In x2 I, и — у2
\ Z J
J
e * .
73. и = F ( 2x 4- у — x2
\ zl
n X — X
и = 2x - X + у 4------2---
74.
Fz2 (z2 \
= F-------z, x — I-----z ] Inz , и =
.У \У J J
z \ -/M.-
----1 ) e^-yz
У /
и
75.
У \ (я + z)y
z, ----- I, и —--------.
x — z ) z
79. и = F (- - 2z, xy2 — 77 + x2z], и = (2xz - 1) (y2 - + xz
\x 2 J \ 2
80.
xy2
z3[x (z2 — z) + y]
81.
1 n
/ । \ —h 2j/ + z — 1
и = F I y2 + yz, - + 2y + z ), и = -------------2~T--------
\ x ) уг + yz
210 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
82. и = F (х 4- y)z,
х — и — Z . . . о .
---------- , и = (х 4- у)(у - X + z - Z).
83. и = F (я:2 — ху2, 2х — у2 — Inz2), и = xz(y2 — х}еу2 2х.
1 яА 14-?/2--
-----, и =---------
- yJf i_£ + l
у *
85. и = F (х2 + 2я:?/ — у2, х + у + и = —--------------------------------------7V
\ z 7 Л ( 1 \
7 2 I х 4- у 4- - )
\ z 7
88.
X <у
--Х2,
12/
89.
, «х 1'
x(z 4-2)-----, и =
2/J
1\ 1 / х п
х J х \ у
х(ху - 1)
(z 4- 2)яя/ - 1
90.
я:
Г1/ 3 х
— (х 4- z), xy + z ,u — xy + z +
х
= 1 + ^-
X - у
(ху 4- г)3я:3
и
и
и
= F
= Г
= F
1
У
91.
(1 2/\ (1/4-я:2)2
xz + —, z + - ), и = — -----2 •
хл х 7 х z 4-1 — яг
92
93.
94
и = F \xz — z2, у + (xz — z2) In te)l, и = —-—=- 4- In —.
J xz — zl 2
u = fL3+^ ^!\u =_________.
' z ’ z 7 ’ (1 — x}z 4- yz2
~з/)e-2y, y2 -y-x2 + \ ’
\z 7 z.
и = i - i +
1 - yz*
и = F
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения
211
95.
з—\ —3 ~
X Z \ X Z
---- , и = ----
У J У
96.
1^ ех, z2 + - — х2
/ У
97.
и
z - (ж + у2) In у
У
z . i„ + З/2
, о Hl о 2
х + у* 2у£
98. u = F[(^ + .)e- (ж + !/2 + 2)е^],„ = Й!1±|О^Н.
т У "г *
99.
1 Z2 \ (х — z)(z — у)
, z j, и
х у J ху
100.
и = 7Т7—; + In 11/ + *1 - I In [(</ -1)2 - (z +1)2).
x + у — z z
101. z = F{x — j/)-
102. w = F(x + y,x + z).
§18. Квазилинейные и нелинейные уравнения
Если Q — некоторая область пространства R3, то квазилинейное уравнение
в частных производных первого порядка в области Q имеет вид
, \dz .. .dz . .
а\х,у,г}-^Л-Ь\х,у,г}— = c(z,t/,z).
(1)
В уравнении (1) коэффициенты а(х, y,z), b(x,y,z) и c(x,y,z) — заданные
непрерывно дифференцируемые в области Q функции, a z = z(x,y) —
искомая непрерывно дифференцируемая функция. Эта функция задает
в Q некоторую поверхность, называемую интегральной поверхностью (1).
Автономная система уравнений
x(t) = a(x,y,z),
< y(t) = b(x,y,z),
z(t) = c(x,y,z)
(2)
212 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
называется характеристической системой уравнения (1).
Если ui(rr,?/,z), U2(#,3/,z) — два независимые первые интегралы систе-
мы (2), то общее решение уравнения (1) записывается в неявном виде
F[ul(x,y,zYu2(x,y,z)] = О,
где F(i4i,«2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция,
допускающая нахождение z = z(x,y) как неявной функции.
Пусть 7 — некоторая гладкая кривая в области Q. Задачей Коши для
уравнения (1) называется задача нахождения интегральной поверхности
уравнения (1), проходящей через заданную кривую 7.
Пусть гладкая кривая 7 задается как пересечение двух поверхностей:
Ф1(®,2/,з) =0,
Ф2(х,у,г) = 0.
Чтобы в этом случае решить задачу Коши, необходимо из системы урав-
нений
Ф1(я,3/,г) = 0,
$2(x,y,z) = 0,
ui(t,j/,z) = ui,
u2(x,y,z} = и2
исключить х, у, z и найти связь между гц, и2. Если эта связь вида
Ф(и1,и2) — 0, то уравнение Ф[и1(я:, ?/, z), «2(^,2/^)] = 0 дает решение зада-
чи Коши для уравнения (1).
Пример 1. Найти общее решение уравнения
dz . .dz
Тх + (Х-г}д-у=у-Х
и ту интегральную поверхность этого уравнения, которая проходит через
прямую х = 1, у = z.
А Характеристическая система имеет вид
i(t) = z - 7/,
< 2/(t) = х - z,
z(t) = y-x.
§18. Квазилинейные и нелинейные уравнения
213
Сложив первые два уравнения, рассмотрим систему
X +у = X -у,
z = у — X.
Отсюда х + у + z = 0 или dx + dy + dz = 0, что дает первый интеграл
гц = х + у + z.
Если первое уравнение характеристической системы умножить на х, вто-
рое уравнение умножить на у, третье уравнение умножить на z и сложить,
то получаем хх + уу + zz = 0 или xdx 4- ydy + zdz = 0. Отсюда находим
еще один первый интеграл
и2 = х2 + у2 + z2.
Общее решение уравнения задается формулой
F(x 4- у 4- z, х2 + у2 + z2) = О,
где F(и 1,^2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Для решения задачи Коши, исключая х, у, z из системы
х = 1, y = z,
Щ = X + у + Z,
U2 = х2 + у2 + Z2,
народам, что U2 ~ 1 4- - I)2. Следовательно, решение задачи Коши
задает функция
х2 + у2 + z2 = 1 4- + у 4- z - I)2.
Если кривая 7 задана параметрически
я = У = ¥>2(т), z = <р3(т),
то из системы уравнений
ж = ¥>1(т), у = </>2(т), z = ^з('г),
< их = Ui(x,y,z),
и2 = U2(x,y,z)
214 Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
находим связь $(111,142) = 0. Тогда уравнение Ф[щ(х,у,г),и2(х,у,z)] = 0
задает искомую интегральную поверхность, проходящую через кривую 7.
Пример 2. Найти интегральную поверхность уравнения
= z - уя2 4- ?/2 4- z2,
оу
проходящую черех кривую х = т, у = т2, z = 0.
Д Составим характеристическую систему
i(Z) = х,
< y(t) = У,
z(t) = z — \/х2 + у2 + Z2.
Перемножая крест-накрест первые два уравнения системы и отбрасывая
У
dt, находим, что ydx = xdy. Отсюда гц =----первый интеграл. Умножая
х
первое уравнение на х, второе — на г/, третье — на z и складывая, имеем
хх + уу + zz = х2 + у2 + z2 — z\Jx2 + т/2 + z2.
Перемножая крест-накрест это выражение с третьим уравнением системы,
получаем после отбрасывания dt
(z — \/х2 -by2 + z2) (xdx + ydy 4- zdz) = (x2 4- y2 4- z2 — zy/ x2 + y2 + z2)dz.
Отсюда
d(x2 + y2 4- z2) = -2y/x2-by2-b z2dz.
Значит, U2 = y/x2 -by2 -b z2 4- z.
Из системы уравнений
x = т, у = т2, z = 0,
У
ui = -,
X ________________
, U2 = \/х2 -by2 -b Z2 4- z
находим, что и2 = и2 + uj. Тогда искомая интегральная поверхность зада-
ется уравнением
,__________ Ч12 ,.4
(z 4- Уж2 +?/2 4-z2)2 = — 4- . А
хл X
В задачах (1—33) найти интегральную поверхность уравнения, проходя-
щую через заданную линию.
215
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения
dz dz 2 2 9 9 ч 9 ч
1. х— + у— = Z - хг - у, X2 + у* = 1, Z = хг - 1.
ох оу
п t 9 9,dz dz
2. (х* ~ у*) — 4- ху— + xyz = 0, z = ж, у = 1.
4dz 4dz 2 2 2 1
3- XZ di+yz д-у=ху 'г = Х 'У=х-
л / 2 \dz 2dz 1
4. (хлу - X)--хул— = z, z = х,у = 1.
dx dy
„ . о 9х dz Л dz
5. (хл + у*)— + %ху— = xz, у = 1, z = х.
dx dy
„ dz dz n
6. y— - x— = x + y, x = 0, у = z.
7. (y2 4- z2 - rr2)^- - + 2zz = 0, x = 0, z = y2.
dx dy
_ . .dz . .dz
8. (z - y) — + (z - z)— — у — x, x = y = z.
dz dz 2 9
9. xz— + yz — + 4- jf = 0, x = 1, у = z.
dx dy
- Л / 2 9 9x dz Л dz
10. (x — у — z )-%- + zxy----2xz = 0, x = 0, у = shit, z = cost.
dx dy
, \dz , .dz
11. (x - y)-x- + (ж + y)-z-Z = 0, X = COST, у = SUIT, Z = T.
dx dy
dz dz
12. y*z—--xy3z— + x(x2 + y2) = 0, x = у/т, у = 1, z = >/т^ + t.
dx dy
dz dz
13. (x2 — y2 + z2}-^- 4- 2xy— = 2xz, x = 1, у = сЬт, z = shT.
dx dy
Ov dz о dz
14. (xy - x2)— +y -x- = zr 4- 2yz, у = 1, z = 2x.
dx dy
15. x(4 - x2)^- 4- (2x2y 4-1)~ = x, x = 1, у - -z.
dx dy
16. 2z34- y(2x2 - y2)^- = 1 4- z2, x = 1, у = arctgz.
dx dy
dz
17. (2x + y)— + (x + 2y)
dx
= 0, х = О, z = 2у.
216
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
э dz dz о
У dx+ yZdy = ~Z ' x~y~°^x~yz=1-
. .2dz dz _ _
(* - У) xz— = xy, x = 0, = 0.
dz dz у 2
у^+г^ = ?ж=1’г=у-
(zz + y)^- + (x + yz)^- = 1 - z2, z = 2, 2x = 3y.
ox oy
.dz dz o J
(2y - z)— + y-^ = z,y = 3z , x + z - 4y = 0.
dz dz
y-^~ + x— = x + y + z, x + 2y = 0, z = 0.
dx dy
dz dz 9Л
Xdx + ydy ~ Xy + Z,y ~ X ’ Z = 2xy'
odz . n 2^dz
-x — + (xy - 2z )— = xz, xy = 1, x + z = 0.
ox oy
dz dz
(2x + y2 + z2)— + 2y— = 2z, у - z + 1 = 0, z = 2x.
ox oy
. .dz dz n
-{x + 3yz)^ + yfy = z, X + 2?/z = 0, yz = 1.
z q 9x dz dz о
(2т/3 - x2)--^xy— sb 2z3 = 0, у = z = 1.
ox oy
z 2 2\dz dz
(z - уz)— + z— + у = О, X = 0, у = z.
ox oy
. 2 2'dz dz
(x + y + z + y^ = z, X = y = 1.
. 2 2xdz dz
(X - у + xy— + xyz - 0, z = X, у = 1.
dz . . dz 4
2z— + (y + z)— = y + z,x = y6, z = 0.
« dz t Л . dz 9 „ 7Г
+ (x + 2?/) Л- = 3cos z'^z,x + 3y = l,z=-
ox oy 4
тгх
2/
34. Найти поверхность, проходящую через окружность х2 + у2 + z2 — а2,
z = 1 и ортогональную к семейству сфер х2 + у2 4- z2 = bx.
§18. Квазилинейные и нелинейные уравнения
217
35. Решить уравнение
dz dz 2
-yte+xfy=yz'
преобразовав его к новым независимым переменным и = х2 + у2,
v = х.
36. Решить уравнение
9 dz r,dz
Xdi + y¥y=Z'
1 1
преобразовав его к новым независимым переменным и =-------,v — у.
х у
37.
В задачах (37—40) найти решение нелинейного уравнения, удовлетворяю-
щего указанному начальному условию.
du du du
х+уъ = к'ъ’и=х,у
( du\2 du
+y^=o,u=^,y=i.
38.
39.
40.
41.
du du (du \2
+ Уя~ + л- = и, и = x, у = 1.
ox оу ydx J
du f du\2 du .
x^~+ = Z-’ u = x, У = 1-
dx ydx / dy
Определить функцию z = z(x,y), удовлетворяющую одновременно
двум уравнениям
dz dz n dz n dz 2y2
x^~ + Ул~ = °’ хя~ + 2Уя~ = ' 2 ' 2-
dx dy dx dy xl + y*
42.
Определить функцию и = и(х,у), удовлетворяющую одновременно
двум уравнениям
du du n /du\3 / du\3 , ч3
л“+л" = 0’ л-) ~ = 2(x-y)3.
dx dy ydx J ydy J
218
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
Ответы к задачам § 18
1. {х1 2 + у2)2 • {х2 + у2 + z)2 = х4.
т2
2. 2 In у + -у = z2e2y 2.
У2
3. 4г5 — 5т2?/2 = — 5.
У5
4. xyz = {ху — In?/)2.
5. х2 — у2 + у = z2.
6. {х — у - z)2 = 4(т2 + у2).
7. у2{х2 + у2 + z2) = y2z + z3.
8. {х + у + z)2 = 3{ху + xz + yz).
9. х2 + 2у2 = х2{х2 + у2 + z2).
10. (х2 + у2 + z2)2 = у2 + z2.
11. х = ет cos {t + т), у = ет sin {t + т), z = teT.
т2
12. 1 + z2 + -у = {х2 + у2)2.
У
13. {х2 + у2 — z2)2 = 4(j/2 — z2).
?/2 1 / у \
14. ^.+2/ = -(з + ^-2/).
z 2 \ х /
4,. 2. л , /6 —Зт\ 4, . .
15. -(4 — т2)?/+ 4z + In ( ——— ) = - 1п|т|.
О I Д* j О
1 1 у
16. —+ arctg Z = - + = =.
4 ^/т2 — ?/2 in т
17. {у - х)3 = {х + у){у - z)2.
18. у3 - 3xyz = {yz + l)3 - 3{yz + I)2 + 3{yz + 1).
19. z2 — y2 = x2 + {z — y)2.
20. y2 + z{l — 2x) + ^x2 + (2x — x2 — 1) 1пт = i.
21. 3(t + y){z - 1) = 5(x - y){z + 1).
219
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения
22. 3z2(x-2y + z) = 2y2.
23. х2 — у2 = 3(z 4- у)2 • e~*+v.
24. x(z — ху) = у2.
25. ху + z = 1 — yj—xz.
26. (у - z)(2x -у2 - z2) = 2у2 - у(у - z).
27. ху 4- 3?/2z =
28. 3y(z — х2) — 2?/4 = 4у — Зу3 — Зх2.
29. (у 4- z)2 = 2(ж 4- у2 4- z2).
30. z2 = y(z2 +у2 — х).
-Л
зь 2^ + 1пу = 7'е2(1'’1>-
32. х = z — (z — у)3.
33. х 4- Зу = tg z.
. П . Л ( Ъ bz \ П
34. (а2 - l)z2 = ( х - - 4- — ) 4- у2.
х2 + у2 + f(x)'
-1 /1
36. z — е v • f |-----I.
У/
37. и = я(1 4- у).
38. и = х — 1пу.
39. и = х — у 4-1.
40. и = 2?еу-1 4- ^е2(у-1) —
41. z = In (1 4- ) 4- С.
\ •г‘г/
42. и = - у)2 4- С.
Л4
Глава б
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§19. Простейшая вариационная задача
Рассмотрим
ь
J(y) = / F[x,y(x),y'(x)]dx,
а
где а и b (а < Ь) заданные числа, F(x,y,p) — заданная вещественнознач-
ная дважды непрерывно дифференцируемая функция при всех х G [а, Ь],
у Е (-оо, +оо), р G (-оо, +оо).
Пусть М обозначает множество всех непрерывно дифференцируемых
функций у(х), заданных на [а, Ь] и удовлетворяющим граничным условиям
у(а) = А у(Ь) = В,
где А и В — заданные числа.
Простейшей вариационной задачей называется задача нахождения сла-
бого экстремума J(y) в классе функций у(х) € М.
Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция у(х)
является решением простейшей вариационной задачи, то она на [а, Ь] необ-
ходимо удовлетворяет уравнению Эйлера.
ду dx ду1
Всякое решение уравнения Эйлера называется экстремалью. Экстремаль,
удовлетворяющая заданным граничным условиям, будем называть допу-
стимой экстремалью.
О
В этом параграфе через <7х[а, 6] обозначается множество всех тех непре-
рывно дифференцируемых на [а, 6] функций т/(т), которые удовлетворяют
нулевым граничным условиям у(а) = у(Ь) = 0.
§ 19. Простейшая вариационная задача
221
Пример 1. Решить простейшую вариационную задачу, если
1
J(y) = У [ху2 4- х2уу' 4- (1 4- т2)(У)2]сЬ, 2/(0) = о, у(1) = 1.
о
Д Уравнение Эйлера имеет вид
[(i + ^hT = о.
Экстремали задаются равенством у = Ci arctg х 4- Сг, где Ci и Сг -
произвольные постоянные. Используя граничные условия, получаем до-
4
пустимую экстремаль у(х) = — arctg х. Проверим, действительно ли на
7Г
о
г/(т) достигается экстремум J(y). Для любой т?(т) 6 С^О, 1] имеем
1
= J(y -I- т?) - J(y) = У {х(у 4- т?)2 + х2(у 4- г})(у’ 4- Tj’)+
о
4- (1 4- х2)(у' 4- т/)2 - ху2 - х2уу' 4- (1 4- x2)(y'}2}dx =
1 1
= У \2.ху 4- x2y'}Tidx 4- j [х2у 4- х2у 4-2(1 4- х2)у']т)'dx+
о о
1
4- У [ят?2 4- (1 4- т2)^')2]^.
о
Во втором интеграле проинтегрируем по частям. Получаем
1
У[х2у 4- х2т] 4- 2(1 4- x^y^rfdx = [х2у 4- 2(1 4- т2)^]т?(а;)|^=0 +
о
+ ^х2у2(х)
1
У {[х2у 4- 2(1 4- Х2)#]^ 4- жт?2}с£г =
= - / {[х2у 4- 2(1 4- Х2)у']'у 4- T772}dx,
о
222
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
так как проинтегрированная часть обращается в нуль, поскольку tj(x) об-
ращается в нуль на концах [0,1]. Подставляя найденное выражение второго
слагаемого в AJ(y), находим
1 1
— J{2ху 4- х2у' - [х2у 4- 2(1 4- x2)y']}T)dx + j\l + x2)(rf)2dx =
о о
1 1 1
j 2[(1 4- х2)у']'^х 4- /(1 4- x2)(rf)2dx = j\l + x2)(r{)2dx > 0.
О 0 0
Здесь был использован тот факт, что у(х) — экстремаль и, значит,
1
У [(1 4- x2)y'],v)dx = 0.
о
Таким образом, допустимая экстремаль у(х} дает абсолютный мини-
мум в заданной простейшей вариационной задаче. А
Пример 2. Решить простейшую вариационную задачу, если
2
J(y) = У [6?/2 4- х2(у')2 4- 12rc3y]</rc, г/(1) = 1, у(2) - 8.
1
Д Уравнение Эйлера
х2у" 4- 2ху' — бу = 6х3
определяет семейство экстремалей
у = -4 4- С2Х2 4- гс3,
зг
где (71 и (?2 — произвольные постоянные. Используя граничные условия,
О
находим допустимую экстремаль у(х) = х3. Для всякой rj(x) 6 Сх[1,2]
§19. Простейшая вариационная задача
223
имеем
2
AJ($) = J(y 4- т}) - J(y) = у*{б(у 4- т/)2 4- х2{у‘ 4- т)')2 4- 12х\у 4- »?)-
1
2
— бу2 — х2(у')2 — 12rr3j/}cLr = У [6т?2 4- x2(v/}2]dx+
1
2 2
4- У (12$ 4- 12г3)т/б/х 4- 2 j x2(y)'Tfdx.
1 1
Проинтегрируем по частям в последнем интеграле и воспользуемся тем,
что т/(1) = rj(2) = 0. Тогда получаем
2 2
&J(y) = [[6172 4- х2(Tj')2]dx 4- [[12$ 4- 12ж3 - -^-(2x2y')]r}dx.
J J Umj
1 1
Но выражение в квадратных скобках во втором интеграле
12$ 4- 12х3 — -^~(2х2у') = —2(х2у" 4- 2х2у’ — бу — бгс3) = О
dx
на [1,2], так как у(х) — решение уравнения Эйлера. Следовательно,
2
Д«7($) = У [бту2 4- x2(rf)2]dx > 0.
1
Это значит, что у(х) дает абсолютный минимум. А
Решить простейшую вариационную задачу (1—90):
1
1. J(y) = У (у 4- y')2dx, у(0) = 0, 1/(1) = 1..
о
dx, 1/(1) = 1, у(е) = 0.
1
з
3. J(y) = У [21/ - уу' 4- ж(1/')2] dx, у(1) = 1, у(3) = 4.
1
— 4- уу' 4- х2(у')2
х
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
224
7г/4
4. Ду) = / [41/2 4- (у1)2 4- 8i/] dx, i/(0) = -1, у = 0.
о
1
5. Ду) = У [У)2 4- у2 4- 2е2ху] dx, i/(0) = 2/(1) = |е2.
о
тг/2
6. J(y) = У [(2/')2 4" 4i/2 4-21/cosa;] dx, 2/(0) = у Q) = ея.
о
4 у(-1) = 1-
10
-2
2
8- Ду) = У* [21/ 4- уу1 4- ru2(j/*)2] dx, 1/(1) = 0, 1/(2) = 1 4- In 2.
1
2
9. Ду) = У* [xy' + y]2dx, 1/(1) = 1, 1/(2) =
10. Ду) = У [(1/ 4- у)2 4- 21/sin ж] dx, 2/(0) = 0, у(л) = 1.
о
1
я3 + ^У2 + 2(v')2 dx, 2/(0) = 0, 1/(1) = 2.
о
гг
I х(у'? + ~ +
J XX
21/Ina?] _ 1п2
2
13. Ду) = [
'2 (у')2
+ + Sy dx, i/(l) = 0, 2/(2) = 81n2.
’ х
2
?,2 1
Ду')2 + — + 4?/ dx, у(1) = 0, 1/(2) = 21п2.
х
1
§ 19. Простейшая вариационная задача 225
2 15. J(y) = 1 1 2 хе. j(y) = у 1 2 17. J(y) = У 1 2 18. J(y) = У 1 2 19. J(y) = У 1 (?/')2 + - 322/In я; dx, у(1) = 3, у(2) = 4(4 In 2 + 3). х J х2(у')2 4- 2у2 4- 32х2у In ж] dx, у(1) - -5, у (2) = 4(4 In 2-5). х(у')2 "• 182/ 1пж dx, у(1) = 2,1/(2) = 2(3 In 2 4- 2). х J х(у')2 4- 21/1/'] dx, у(1) = 0, у(2) = In2. х(у')2 + УУ' + ^2/] dx, 1/(1) = 2/(2) = | - 1п2. О Z
7г/2
/ у-д(у')2 sinxdx, у
J
0.
тг/4
е
о
2
23. J(y) = [
25. J(j/)
8—1374
,21
|я(1/')2 + — - ^2 drc’ 2/t1) = 2/(е) = 2-
2 хх£
3
ех(у’)2 dx, 1/(0) = 1,2/(1) = г.
4U
Л21 1
dx, у(1) = 2, у(2) = 8-.
4U
V2! 1
х(у')2 4- — dx, 2/(1) = 2, у(2) = 2-.
х 2
dx, у(1) =2, 1/(4) = 4^.
4U
1
2
4
'2 , 2 , (»')
э I I
5 X
226
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
dx, 2/(1) = 2, 2/(4) = 1б|.
dx, у(1) = 0, 1/(2) = 1.
-1
J(y) = У [W - ®2(|/')2] dx, у(-2) = 1/(-1) = 2.
-2
1
J(y) = / [W - 2(1/')2] dx, 1/(0) = 1, 2/(1) = ch
о
тг/2
j(y) = У [to')2 + 2уу' + 41/2] dx, y(Q) = 0, у = shir,
о
1/2
Jto) = У
1/4
J(y) =
to')2
to -1)2
to')2 + ^ + 3^ 2/(1) = 1,2/(2) =Л
x* x* 4
1/2
j{y}=I dx'=11 y (1)=2-
J(y) = У Ж3to')2 4- Зху2 -
-2
dx, i/(-2) = i/(-l) = 1.
7Г/3
Jto)= У [to')2 -6j/sina;] cos2 xdx, 2/= 2/(^) = L
-7Г/3
§ 19. Простейшая вариационная задача
227
1/2
36. J(y) = У [(х2 - 1)(з/)2 - 4х3у' - 41/] dx, у = у Q) = i.
-1/2
37. J(y) = У* [ех(у' - х)2 4- 2i/] dx, 1/(0) = 1, у(1) =
о
38. J(y) = У [(y')V4-^ - 2У] dx, У(0) = 2, у(1) = х/З.
О
39. J(y) = j [ж3(з/')2 4- Зя??/2] dx, i/(—2) = у, у(-1) = 0.
-2
40.
№) = [ Г(у')2 +
•/ •*/
1
7
dx, 1/(1) =0, 1/(2) =
ал
(|/)2 | У
cos х cos2 х
dx, 3/(0) = 0, у
х2)у'] dx, 1/(1) = з/(2) = 1.
7г/4
41. J(y) = I
о
2
42. J(y) = / [(ху' + у)2
1
7г/4
43. J(i/) = У [(1/)2 cos2ж 4- х2уу' 4- ху2 - 2у' cos3z] dx, у(0) — 0, у
о
" \/2‘
2
Г Tfi/')2 I/2 1
44. 7(1/) = / 4- 2\fxyy' 4- т-т= - 2\fxy' dx, у(1) = 2, у(2) = 5.
1
о
1/(1) = 1п2.
/)2 — Аху' -+-з/з/sin2 я; 4- ^i/2sm2a; dx, з/(0) = О,
АЛ
228
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
1
J(2/) = У [(?/)2 + У2 ~ *ху\ dx, 1/(0) = 1, ?/(1) = 1 + е.
о
2
J(y) = У [4(з/')2 + У2 “ 6e*j/'] dx, y(Q) = 2, у(2) = е-1 + е2.
о
2
J(y) = У [4(з/')2 4- У2 4- 4ху\ dx, 2/(0) = 1, у(2) = е - 4.
о
7Г 3{у} = У [(г/')2 4- 81/'sin2 х 4- 4i/] dx, y(Q) = 0, 2/(тг) = тг 0 2
1 J(y) = У [(у')2 4" У2 4- х2у'] dx, 1/(0) = 1, у(1) = 1 + е-1. 0 тг j(y) = У [(у')2 + У2 - 41/sin я] dx, 1/(0) = 1,2/(тг) = ея. 0 7Г J(y) = У [(г/)2 4- у2 4- 10з/(ж 4- sin2 ж)] dx, 2/(0) = 6, у(тг) = 5 4- е-7Г. 0
1 J(y) = У [4хуу' - (у')2 - 4у2 4- (12а;2 - 4)i/] dx, у(0) = п 0, 2/(1) = I-
2 Л») = f / 20 \' (i/)2 4- 2уу' sin х 4- 1 cos x 4- i/2 4- 20x4i/ j dx, 1/(1) = -1,
у(2) = 0.
4 J(y) = 1 1 w _ 3^ _ (y/)2 _ У XX2 X dx, y(l) = 2/(4) = 4.
2 J(v) = f 1 \у'Г + ^у' + ^--«у x x dx, y(l) = 2, y(2) = - И 4 '
§ 19. Простейшая вариационная задача
229
2
57. J(y) = У [24ж3з/ - уу1 - ж2(г/)2] dx, у(\) = 1, 1/(2) = -7.
1
2
58. J(y) - У [rc2(i/')2 + yy' + Y2xy\ dx, 2/(1) = 1, 2/(2) = 5.
4
у2 4- 2уу' Inх - 4(у')2 - 101/ dx, 2/(1)
-1,
У(4) = 0. 1
2
о
2
3 2 /я2
72/ + 7? - 6 )!/ dx, 1/(0) = 5, 2/(2) = е.
4^’ V 2
61.
1
12 1 1
—УУ1 ~ 3(2/')2 dx, 1/(1) = ?/(2) = 0.
X
62.
63.
2’
j(y) = У [(г/)2 - 22/2/Z cos a; + (4 + sina;)i/2 + 4(2z2 - 3)2/] dx, 2/(0) = 2,
2/(1) = e2.
J(y) = У* e3x [(i/)2 + 4i/2] dx, 1/(0) = e10 - 1, 2/(2) = 0.
о
2"
64. J(y) = J
1/2 *-
dx, у
2/(1)= °-
2
65. J(y) - У ex [(i/')2 + 6i/2] dx, i/(-l) = 0, 2/(1) = e7 - e 3
-1
2
66. J(y)
1
dx, 2/(1) = 0, ?/(2) =
31
4 ’
230
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
1
f[|(y')2 + yy'tg^+(2+2^
i/2 + 3i/cha; dx, 2/(0) =
о
= — 1, 1/(1) = 2sh2 — ch 1.
тг/4
J(y) = / arctg z - (v')2 +
У2
2(1+я2)
о
= 0,y(I)=2sh 4+sh-.
— 9i/2 + 161/sh я dx, 1/(0) =
1
69. J(y) = У [бягг/ - у/ху
2
70. J(y) = ( [f <V')2 + ~
J Jb Jb Jb
|2 - x2Vx(y')2] dx, у
-1, V(l) = 1-
У fa, у(1) = у(2) = 0.
dx, y(l) = -2, 1/(3) = 2.
4
J(y) = У* [15\/ж?/
i
72.
+ 3x2yy' - x3(3/)2] dx, 2/(1) = 1, 2/(4) = -3.
4
Л1 1 31
aJ(i/')2 +^T/2j dx, y(l) = 0, 2/(4) = - —.
1
74. J(y) = У [4z3(1/)2 - 5x2yy' - 3i/] dx, у Q) = i, 2/(1) = £•
1/3
75.
2
У [4xyyf - x2(y')2 + 4x2y] dx, у Q) = y(2) =
1/2
1
76. J(y) = У [5z4i/ - уу1 + z5(i/')2] dx, у Q) = j, 2/(1) = 1-
1/2
§ 19. Простейшая вариационная задача
231
2
77. Ду) = I
1
Зх2уу' - £С3(1/)2 + —
X
dx, у(1) = 0, у(2) = i
о
2
78. Ду) = У [2ху2 4- 2х2уу’ 4- х2(у')2 4- 12х2у] dx, у(1) = 2, у(2) = 5.
79.
з
Ду) = У [8®!/ - х2(у’)2 - х2уу' - {х 4- 6)?/2] dx, у{1) = 0, у(3) = -6.
1
з
80. Ду) = У [х2(у')2 4- х2уу1 4- ху2 4- 4ху\ dx, у(\) = у{3) = 4.
1
4
81. Ду) = У \х2уу' 4- Зх2у - ж2(?/')2 4- (х - 2)?/2] dx, у{2) = 0, г/(4) = -8.
2
е
82. Ду) = У [ж2(?/')2 + 6у2 4- Ю0?/ж2 In ж] dx, у(1) = 0, у(е) = Зе2.
1
е
83. Ду) = У [я4(?/')2 4- 18ж2?/2 4- 90s5?/ 4- 16гг5з/] dx, у(1) = 0, у(е) = 5е2.
1
е
84. Ду) = У [я3(?/)2 4- Зху2 4- 72ух3 Inrc] dx, у(1) = 1, у(е) = Зе2.
е
85. Ду) = У [Зя5(?/)2 4- 15rc3j/2 4- Збгс4?/ - 14ж6?/] dx, 1/(1) = 1, у(е) = 2е2.
2
86. J(y) = У [Згг4(у')2 - З4х3уу' 4- Зж2?/2 - 84ж3?/] dx, у(1) = 2, у{2) = 10.
2
87. Ду) = У [х2(у')2 - Юхуу' - Зу2 - 4у] dx, у(1) = 4, у(2) = 7.
232
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
2
88. J(y) = У [я3(у')2 - Их2 у у' - Зху2 - 10гг22/] dx, у(1) = 3, у(2) = 10.
1
2
89. J(y) = j [я20/')2 - Мхуу' -у2 - 8жт/] dx, у(\) = 2, у(2) = 6.
1
4
1, 2/(4) = 8.
Найти значения вещественного параметра а, при которых на допустимой
экстремали достигается минимум (91—93):
1
91. J(y) = У [?/ - 2у' + а(з/)2] dx, 2/(0) = 0, уЩ = 1-
о
1
92. J(y) = J [(j/')2 + ая(7/')2] dx, у(0) = 0, у(1) = 1п|1 + а|.
о
1
93. J(y) = f [х + х2 +у2 + а(?/')2] dx, 2/(0) = 0, 2/(1) = 1.
о
Найти допустимые экстремали (94—101):
у yn(y')2dx, 2/(0) = 0, 2/(1) = 1-
о
95. J(y) = У [2/2(2/')2 + 9?/2] dx, 2/(°) = °, yW = “5-
о
7г/2
96. J(y) = I
к/А
1
—У
У /
-ху1 -у dx, 2/(0) = 1, 2/(1) = е
0
§19. Простейшая вариационная задача
233
2 98. J(y) = У [1п2? - Зуу' - ху'] 1 dx, i/(l) = — 1п2, 2/(2) = 0.
1/2 99. J(y) = У у + ху' - -У)3 L у J dx, у(0) =4 г/ (1) =
0 2
100. 7(1/) = j [з/'е!/ + х4(г/')3] dx 1 , У(1) = 3, У(2) = 2.
2 101. 7(2/) = У 2/'sin?/+ ^(г/')4 dx, у(1) = 0, У(2) = 3.
1
В задачах (102—105) показать, что допустимая экстремаль не дает экстре-
мум функционала:
102. J(y) =
(з/)2 - + 2У sin X
У
v3
dx, 2/(0) =0, 2/(тг) = —
4U
7Г
103. J(y) = [
о
(з/)2 - J3/2 + Щ
dx, 1/(0) = 4, 2/(?г) = 0.
104. J(y) = I
о
(з/)2 - ^У2 + №еху
У
dx, 2/(0) = 9, 2/(тг) = 9е".
It
105. J(y) = f
о
(У')2 “ т|з/2 + 50я?2/
1о
dx, 1/(0) = О, 2/(7Г) = 167Г.
Показать, что простейшие вариационные задачи (106—107) не имеют смыс-
ла:
1
106. J(y) = У [х2у‘ + 2ху\ dx, 2/(0) = 0, 2/(1) = 1-
о
2
107. 7(1/) = [ -4 [ху' - у] dx, 1/(1) = 0, у(2) = 2.
J
1
234
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
Ответы к задачам § 19
Примечание. В ответах у(х) обозначает допустимую экстремаль, абсо-
лютный минимум обозначается абс. min, а абсолютный максимум обозна-
чается абс. max.
1- у(х) sha; = ——, абс. mm. she Л . 1 - Ina: 2. y(x) = , абс. mm. X
3. у(х) Ina; = х 4- —-, абс. mm. m3 sh2a: 4. ylx) = —— 1, абс. mm. Sh2
5. у(х) = ^е2х, абс. min. 6. y(x) — e2x — 7 cos а;, абс. min. 5
7. у(х) 1 * = —т, абс. mm. X* 2 8. y(x) = Ina; 1-2, абс. min. X
9. у(х) 1 = —, абс. mm. X . sha; 1 . 10. y(x) = — -sma;, абс. mm. 7 sh7r 2
11- Л , х 2 sb- = Л, абс. min. Sh2 2 / 1\ 12. y(x) = - 1 x 1 — Ina?, абс. min. 3 \ x J
13. у(х) х3 Ina;, абс. min. 14. y(x) = a;Ina;, абс. min.
15. у(х) = а;2 (4 In а; + 3), абс. min. 16. £(aj) = x2(4 In x — 5), абс. min.
17. у(х) = х2 (3 In х + 2), абс. min. 18. y(x) = Ina;, абс. min.
19. у(х) X2 = —— Ina;, абс. min. 20. y(x) = In sin а;, абс. max.
21. у(х) = Ina: + 1, абс. min. X2 22. y(x} = 14-—, абс. min.
23. у(х) 3 1 £ — x 4—, абс. mm. X 24. y{x} = x 4- —, абс. min. X
25. у(х) 1 * = x 4—t= , абс. mm. y/x 26. y(x) = x2 4—7=, абс. min. y/X
27. у(х) Ina; = ;—абс. mm. In2 28. y(x) = 1 — —, абс. max. X
29. у(х) = ch —, абс. max. 30. y(x) — sh2a;, абс. min.
§ 19. Простейшая вариационная задача
235
31. у(х) = 4х, абс. min.
32. у(х) 3 / 2 15\ 4 = 77 Iх + -о, абс. 14 \ х ) х* min.
33. у(х) о Зя* — х + — + 1, абс. max. £» 34. у(х) 1 = —, абс. max. xz
35. у(х} 1 , — ~~о tSx + sina; + 1, абс. mm.
36. у(х) = а;2, абс. max. 37. у(х) = (1 — х)е~х + ^а;2, абс. min. 1 = —7 — а;, абс. max. хл
38. у(х) = у/4 — а;2, абс. min. 39. у(х)
40. у(х) 2 f- = х , абс. min. X
41. у(х) = ^(sina; — cos а; + 1), абс. min.
42. у(х) 1^2. = -х + 1 , абс. mm. 2 х 43. у{х) = sina;, абс. min.
44. у(х) = х2 + 1, абс. min. 45. у(х) = in(1 + а;2), абс. min.
46. у(х) = х + ех, абс. min. Я- у(х) = е“2 + ех, абс. min.
48. у(х) = 6 2 — 2х, абс. min. 49. у(х) = sin 2а; + 2х2 — тгх, абс. min.
50. у(х) = х + е~х, абс. min. 51. у(х) = ех + sina;, абс. min.
52. у(х) = е 1 + 5 + sin 2а;, абс. min.
53. у(х) = а;2, абс. max. 54. у(х} = а;6 — 2а;5, абс. min.
55. у(х) 4 х2 х = —F —— абс. max. х 4 4 56. у(х) = х2 + —7j, абс. min. х£
57. у(х) з 2 = —х Ч—, абс. max. X 58. у{х) о 2 = За; , абс. min. X
59. у(х) = х — 2а; 2, абс. max. 60. у(х) = е^ + 4 — а;2, абс. min.
61. у(х) = х2 — ^а;3, абс. max. 2 62. у(х) = е2х — х2 + 1, абс. min.
63. у{х) _ е10-4х _ ех, agc mjn 64. у(х) 1 4 . . = х , абс. mm. X
236
65.
67.
69.
71.
73.
75.
77.
79.
81.
83.
84.
85.
86.
88.
90.
92.
94.
96.
98.
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
г/(гг) = е2х+5 — е Зх, абс. min. 66. у(х) = ж3 —абс. min. xz
у(х) = 2sh2x — chх, абс. min. 68. у(х) = 2sh3a; 4- sha;, абс. max.
у(х) — 4у/х — 3, абс. max. 11 _i 70. у(х) = -х* — х 2, абс. min.
у{х) — х , абс. min. X 2 72. у(х) = —х Ч—=, абс. max. у/Х
~/ \ 1 Г А у\х\ — — у/х, абс. max. X2 5х х2 У\Х) = — абс. max. \ 1 1 йш = —х т, абс. max. х£ хл 74. у(х) = Д-, абс. min. бх д; -|“ 1 76. у(х) = —-—, абс. min. 78. у(х) = х2 4- 1, абс. min.
у(х) = х — х2, абс. max. / ч 3 80. у(х) = х 4—, абс. min. X
у(х) = 2х~ х2, абс. max. 82. у(х) — (5 Inх — 2}х2 Inх, абс. min.
у(х) = 5ж2(1 — х + rrlna;), абс. min.
у(х) = ж2(1 + 31п2 х — Inх), абс. min.
у(х) — х(2х — 1 4- 1пж), абс. min.
у(х) = х3 Ч- а:, абс. min. у(х) — 2х2 4- ж, абс. min. 87. у(х) = Зге 4-1, абс. min. 89. у(х) = х2 + х, абс. min.
у(х) = ху/х, абс. min. д.2 д. 91. у(х) = х 4- . , а > 0. 4а X sh
у(х) = In |1 4- ах), а 0. 93. у{х} — —а 0. sh —7= у/а
2 г / п \ 1 у(х) = — In 1 4- (е2 —lire . п L \ / J 95. у(х) = —у/дх2 4- 16х.
у(х) =^-^- 97. у(х) = . yj\ 4- (е2 - 1)т
у(х) = 1п^. 4U 2 з 99. у{х} - -(х 4-1)2. О
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи
237
100. у(х) = 1 + —. 101. у(х) = х2 — 1.
х
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи
1. Задача СО свободным концом и задача без ограничений. Рас-
сматривается
ь
J(y) = У у(х), y'(x)]dx,
а
где функция F(x,y,p) удовлетворяет тем же условиям, что и в преды-
дущем параграфе. В отличие от предыдущего § 1 функция у(х) должна
удовлетворять лишь одному граничному условию у(а) = А.
Задачей со свободным концом (х = Ь) называется задача нахождения
слабого экстремума J(y) в классе непрерывно дифференцируемых функ-
ций у(х), удовлетворяющих условию у (а) = А.
Если дважды непрерывно дифференцируемая функция у(х) является
решением задачи со свободным концом, то необходимо она удовлетворяет
уравнению Эйлера
__£д£_0
ду dx ду'
и граничному условию вида
9F[x, у(х), у'(аг)]
W х=Ь
Решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее условию у (а) = А и ука-
занному условию при х = Ь, называется допустимой экстремалью задачи
со свободным концом.
Задачей без ограничений называется задача нахождения слабого экс-
тремума J(y) в классе непрерывно дифференцируемых функций у(х), не
удовлетворяющих каким-либо граничным условиям при х = а и х = Ь.
Дважды непрерывно дифференцируемое решение у(х) задачи без ограни-
чений необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера и граничным услови-
ям вида
аГ[ж,у(ж),!/(д;)] = aF[a;,y(a;),yz(a;)l
W х=а ду1 х=ь
238
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
Пример 1. Решить задачу со свободным концом
2
—, . \ /* 6т 12 J - . . л
УУ - (У )2 + 8т?/ dx, 2/(1) = 0.
х
1
Д Уравнение Эйлера имеет вид
х2у" — бу = 4т2.
Экстремали задаются формулой
у(х) = Q 4- С2Х3 - х2.
х*
Граничное условие при т = 2 находим из уравнения
Г6т —12 Л ’
-------у - 2у' + 8т
т
= —21/(2) + 16 = 0.
т=2
х=2
dF
ду'
Отсюда у'(2) = 8. Это условие вместе с условием 2/(1) = 0 определяют
допустимую экстремаль у(х) = т3 — т2.
Пусть т/(т) — произвольная непрерывно дифференцируемая на [1,2]
функция, для которой 7/(1) =0. Тогда
2
Д7(Й = J(y + rf) - J(y) = У + + 7?/) “ + ^)2 +
1
4- 8т(£' 4- ?/') - ———уу' 4- (у')2 - 8т£') dx -
т 1
2
= У + У’П1 + 2у'т{ - (г/')2 4- 8тт/} dx.
Если проинтегрировать по частям слагаемые в этом интеграле, со-
держащие rf, воспользоваться уравнением Эйлера для у{х) и условиями
у'{2} = 8, 7/(1) = 0, то получим
2
i2 dx < 0.
1
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи
239
Значит, допустимая экстремаль у(х) в рассматриваемой задаче дает абсо-
лютный максимум. А
Пример 2. Решить задачу без ограничений, если
1
J(y) = / [(г/)2 + у2 + 2yex]dx.
о
Д Уравнение Эйлера у" — у = ех дает множество экстремалей задачи
у(х) = С\е~х 4- С?ет 4- 2Х&х • Граничными условиями для у(х) являются:
y'(Q) = j/(l) = 0- Определив Ci и С2 из этих граничных условий, находим
допустимую экстремаль
ех - е2 х 1
й)-----+ 2Хе-
Для всякой непрерывно дифференцируемой на [0,1] функции у(х) имеем
1
Д7(£) = J(y + 77) - J(y) = У [2у'у' 4- (у1)2 4- 2уу + у2 + 2exy]dx =
о
1 1
= 2У,(х)г1(х)\1х=0 + У ч[2У + 2еХ ~ 2y"]dx 4- У [(у1)2 4- ту2] =
о о
1
= У^')2 4-?72]drr,
о
так как проинтегрированная часть обращается в нуль в силу граничных
условий у'(0) = у'(1) = 0 и первый интеграл равен нулю в силу того,
что у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера. Поскольку из полученного ра-
венства следует Д/(£) > 0 для всех рассматриваемых у(х), то у(х) дает
абсолютный минимум. А
Решить задачу со свободным концом (1—10):
2
1. J(y) = У [2гг?/ 4- (j/')2] dx> 2/(°) = °-
о
240
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
2- J(y) = J [2«/ + 6j/z + (t/)2] dx, 2/(0) = 0.
о
3- J(y) = У [^2(г/')2 + ву2 + 2ж3!/] dx, i/(l) = j.
1
4- J(y) = У [«/ + xy' + (t/)2] dx, 2/(0) = 0.
о
2 5. J(V) = f 1 W)2 + 12y2] dx, y(l) = 97.
2 6. J(y) = 1 1 2 fo')2 . ;V1 . _ 19 x + x3 ] - 2 '
7. J(y) = У Z3(i/')2 + ЗЖ1/2] dx, 1/(2) =
1 2
8- J(y) = 1 x3(y1)2 - 8(a;2 - x)yy* + 4t/2 4- 8a;V] dx, y(2) = -7.
1 3
9. J(y) = У [8yy' Ina: - x(y')2 + багу'] dx, 2/(3) = 15. 1
2 10. J(y) = 1 1 j(»')2 - »(2) = 10-
Решить задачу без ограничений (11—12):
тг/2
11. J(y) = У [4i/2 + (у1)2 + 2t/cosa?] dx.
о
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи
241
12. J(y) =
М)! + £ + 1 <*,
X X
Найти допустимые экстремали в задаче без ограничений (13—15):
2
13. J(y) = У [2?/ 4- уу1 4- a;2(t/')2] dx.
1
2
14. J(y) = У [2у-уу'+ x(y')2]dx.
1
1
15. J(y) = У [2уу‘ 4- (t/)2] dx.
о
Ответы к задачам п. 1 § 20
1. у — —— 2а?, абс. min.
6
1 ~2 „3
1 X X
3. у = " -- z — — + —, абс. min.
у 26а;3 26 6 ’
₽ . з 96 й
5. у = х 4- —т, абс. min.
7.
1 а
у = х + -T—z, абс. min.
Заг5
9. у = 2х2 — х, абс. max.
2. у = —За;, абс. min.
4. у = — , абс. min.
&
ч з
6. у = х 4—, абс. min.
х
8. у = 1 — 2а;2, абс. min.
10. у = х3 4- х, абс. min.
Л 1 (2 ch 2х \
11. у = —- I —;-------1- cos х I, абс. mm.
5 \ sh?r /
12.
1
14-е
— In ж, абс. min.
, х In 4 4- 4
13. V = ln---------------6.
4 х
, . Л , Ina; 4- 2
14. у = х 4-1 4-
In 2
15. у = 0.
2. Функционалы, зависящие от двух функций. Рассматривается
V =
242
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
задача нахождения слабого экстремума
ь
У* F[x, yi(x)1y2(x)1y,1(x)1 y2(x)]dx,
а
где F — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция своих
аргументов, в классе непрерывно дифференцируемых пар функций yi(x),
у2(х) на [а, Ь], удовлетворяющих граничным условиям
2/1 (а) = у2(а) = Л2, yi(b) = Вь у2(Ь) = В2,
где Ai, А2, Bi, В2 — заданные числа.
Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, 6] пара функций
У1(х), у2(х) дает экстремум рассматриваемому функционалу, то необходи-
мо т/l(т), у2(х) на [а, 6] удовлетворяют системе уравнений Эйлера
d dF d dF О
дуг dxdy[ ’ ду2 dxdy'2
Всякая пара функций, удовлетворяющая системе уравнений Эйлера, назы-
вается экстремалью. Экстремаль, удовлетворяющая заданным граничным
условиям, называется допустимой экстремалью.
Пример. Исследовать на экстремум функционал, если
2
J(yi,y2) = У*[б2/1+ж2(2/!)2+(2/2)2]^, 2/1(1) = 2/2(1) = 1, 2/1(2) = 4, у2(2) = 2.
1
А Система уравнений Эйлера имеет вид
' 12^-[2^]'= О,
V? = 0.
с*2
Отсюда находим экстремали 2/1 (я) — С]Х2 4—у2(х) = С]Х 4- С2. Под-
хл
ставляя 2/1 (я), У2{х) в заданные граничные условия, получаем допустимую
экстремаль у\{х) = ж2, у2(х) = х.
Покажем, что на допустимой экстремали заданный функционал имеет
о о
абсолютный минимум. Пусть (см. §1) т]\(х) G Tft(x) G С'1[1,2].
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи
243
Тогда
+т,у2 + т) - J(yi,y2) =
2
= / [6(2yi»7i + т/?) + х2(2у,1т{1 + (т/i)2) + (2^^ + (??2)2)]^-
1
Интегрируя по частям слагаемые, содержащие т]{ и 7/2, и учитывая, что
7/1(1) = 7/1(2) = 7/2(1) = 7/2(2) = 0, отсюда находим
2 2
Д7(з/1,у2) = У[12^1 - (Zx^Yfyidx - 2у* y'2T]2dx+
1 1
2
+ / Hi + я2 W)2 + (^г)2]^-
1
Первые два интеграла равны нулю, так как yi(x) и У2(х) удовлетворяют
системе уравнений Эйлера. Поскольку последний интеграл неотрицатель-
ный, то AJ(t/i,t/2) > 0 ПРИ всех рассматриваемых 771(2) и 772(2). Значит,
пара функций 3/1(2), 3/2(2) дает абсолютный минимум функционала. А
Исследовать на экстремум функционал, если:
1
1- 7(1/1, ЗЛг) = У[(з/'i)2 + (Й)2]^, 2/1(0) = 3/2(0) = 0, 3/1(1) = з/2(1) = 1.
о
1
2. «7(з/1,3/2) = ^[У2 + (1/i)2 + (Й)2]^, 2/1(0) = 0, 3/2(0) = 1, 3/1(1) = 1,
о
3/2(1) = е.
1
3. <7(3/1,1/2) = У [Vi + У2 + (?/! )2 + (Й)2]^, 2/1(0) = з/2(О) = 1, з/1(1) =
о
= 3/2(1) = е.
2
4. J(j/1>») = /[12^1 + V2 + ®2(У1)2 + (Уз)2]^, У1(1) = 1, У2(1) = е,
3/1(2) = 8, уг(2) = е2.
244
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
Найти допустимые экстремали (5—11):
1г/2
5. «/(У1,Уг) = [ [(y'l)2+ (У2)2-^yiy2]dx, yi(0) = 1, у2(0) =-1, yi (?) =
0
= el, y2 (?) = —e^.
i
6. J(t/i,V2) = [[2yi+y2 4" (у!)2 4~ (у2)2]^*е» 2/1(0) = 0,2/2(0) = 1,2/1(1) =
J
0
2/2(1) = e-1.
ir/2
7. J(l/i,2/2) = [[2У1У2 + (yi)2 + (Уг)2]^, 2/1(0) = y2(0) = 1, yi (?) =
0
= У2 (?) =ef.
X & J
1
8- «ЛУьУг) = У[1/12/2 + y'Mdx, yi(0) = 2/2(0) = 1,2/1(1) = 2/2(1) = e.
0
it/2
9. J(yi,V2) = У [у'1У2-У1У2^х, 1/1(0) = 2/2(0) = 0, У1 (?) = У2 (?) = 1.
о
1
10- J(yi,У2) = УрУ1 + 22/12/2 + (у!)2 - (Уг)2]^} У1 (0) = у2(0) = 0, yi(l) =
о
= 2she, у2(1) = -2she.
%/2
11. j(yi,y2) = У [2yiy2-2yi + (yi)2-(y2)2]dT, У1(О) =у2(0) = 0,1/1 (^) =
о
= 1, У2 Q) = -1.
12. Показать, что задача на экстремум при
1
«^(УъУг) = У[У1У2 + У2У1]<&, У1(0) = у2(0) = 0, yi(l) = у2(1) = 1
о
не имеет смысла.
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи
245
Ответы к задачам п. 2 § 20
1. У1(х) = У2(х) — Ху абс. min.
3. yi(x) — У2(х) — еХу абс. min.
5. t/iW = ех, у2(х) = ~е~х.
7. уг(х) = у2(х) = ех.
9. У1(х) — у2(х) = sinх.
11. у\{х) = х cos х 4- sin Ху у2(х) =
2. yi(x) = Ху у2(х) = еХу абс. min.
4. у\{х) = х3у у2(х) = еХу абс. min.
х2
6- У\{х) = —у у2(х) = е х.
8. yi(x) = у2(х) = ех.
10. yi(x) = 2shxy у2(х) = —2 sha;.
xcosx — sin я.
3. Функционалы, содержащие производные второго поряд-
ка. Рассматривается задача нахождения слабого экстремума
ь
J(y) = У* Р[хуу(х)уу\х)уу"(х)](1ху
а
где F — заданная трижды дифференцируемая функция своих аргументов,
в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций у(х) на [а, Ь],
удовлетворяющих граничным условиям
y(d) = Ai, у'(а) = А2, y(b) = y'(b) = В2,
где Ai, А2у Bi, В2 — заданные числа.
Если четырежды непрерывно дифференцируемая на [а, функция
у(х) дает экстремум рассматриваемому функционалу, то у(х) необходимо
на [а, 6] удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона
dF -Q
ду dx ду1 + dx2 ду"
Всякое решение этого уравнения называется экстремалью. Экстремаль,
удовлетворяющая заданным граничным условиям, называется допустимой
экстремалью.
Пример. Исследовать на экстремум функционал, если
1
J(v) = [[(у')2 + (1/")2]Лг, у(0) = у'(0) = о, »(1) = е - 2, У'(1) = е - 1.
о
246 Глава 6. Элементы вариационного исчисления
Д Уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид
-2y" + 2ylv =0.
Экстремали задаются формулой
у = С\ех + С2е~х + С3х 4- С4.
Используя граничные условия, получаем допустимую экстремаль
у(х) = ех — х — 1.
Покажем, что у(х) дает абсолютный минимум функционала.
Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой на [0,1] функции
у(х), удовлетворяющей граничным условиям
7/(0) = т/(0) = 7/(1) = 7/'(1) = О,
имеем
1
A j(y) = J(v + у) - J($) = [Му' + (у')2 + 2у"у" + (>/')2]^-
о
Проинтегрируем по частям первое слагаемое один раз, а третье слагаемое
дважды. В силу граничных условий для т/(а?) проинтегрированная часть
обратится в нуль и получаем
1 1
Ы(у) = У [~2у" + 2yIV]ydx + У [(т/)2 + (т/")2]</т.
о о
Так как у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона, то первый инте-
грал равен нулю. Поэтому
1
АЛЙ = I К’?')2 + (’?")2]^ > 0.
о
Значит, у(х) дает абсолютный минимум функционала.
Исследовать функционал на экстремум, если:
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи 247
1
1. J(y) = [[~2ху + (y")2]dx, 2/(0) = 2/'(0) = 0,2/(1) = 2/'(1) = Л-
/ О! 1Z
о
1
2. J(y) = [[2еху - (y")2]dx, у(0) = у'(0) = 1, у(1) = е, у'(1) = 2е.
о
7Г/2
3. J(y) = у*[22/sina; + (y")2]dx, 2/(0) = 0, 2/'(0) = -1, у = -1,
о
2
1
4. J(y) = f [4(у')2 + (у")2)^, V(O) = 1/(0) = 0, 1/(1) = |(е2 - 3), у'(1) =
о
= & -1).
1
5. J(2/) = /[у2 + 2(г/')2 + (У")2№, 2/(0) = 2/'(0) = 0, 2/(1) = 2she, 2/'(1) =
о
= 2е.
тг/2ч/2
6- J(y)= У [1б2/2 + (/)2]^, 1/(0) = 2/'(0) = у = °> У' =
о
= -2\/2shf.
Найти допустимые экстремали (7—9):
71/2
7. J(y) = У [(у")2 - (y')2]dx, 2/(0) = 2/'(0) = У (^) = 0, у1 = 2 -
о
ir/4
8- J(y) = / [(y")2-4(y')2]<fc, у(0) = i/(0) = 0, у (^) = ~2, у' (^) = 0.
О
248
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
тг/2
9. J(y) = [[у2- 2(1/)2 + (у")2Ж у(0) = 1/(0) = о, у (£) = у' (£) =
о
= 1.
10. Показать, что задача на экстремум при
1
J(y) = У*[ху" + 2уу‘ + y']dx, 2/(0) = t/'(0) = 0, у(1) = г/'(1) = 1,
о
не имеет смысла.
Ответы к задачам п. 3 § 20
1 к о 2 I х
-х 4- х — х ), абс. mm.
2. у(х) = ех 4- е (ж3 — ж2), абс. max.
Л. о 7ГЖ2 .
3. у\х) = — зшж 4- ж------—абс. mm.
4. у(х) = (е2х — 2ж — 1), абс. min.
5. у(х) = 2х • зЬж, абс. min.
min.
7. у(х) = ж — sin ж 4-
8. у(х) — cos 2х — sin 2ж 4- 2х — 1.
9. у(х) = a; sin ж.
§21. Изопериметрическая задача
Изопериметрической задачей называется задача исследования слабого экс-
тремума функционала
ь
J(y) = J F[x,y(x),yl(x)]dx
а
§21. Изопериметрическая задача
249
в классе непрерывно дифференцируемых функций у(х) на [а, 6], удовле-
творяющих граничным условиям у(а) = Л, у(Ь) = В и условиям связи
вида
ь
Kj(y) = У Gj[x,y(x),y'(x)]dx = lj, j ~ Т~гъ,
а
где А, В, lj, j = 1, п — заданные числа. Здесь F и Gj — заданные дважды
непрерывно дифференцируемые функции, j — 1,п.
Пусть задано лишь одно условие связи
ь
К(у) = У G[x,y(x),y'(x)]dx = I.
а
Введем в рассмотрение функцию
L(x, у, у', А) = F(x, у, у') 4- XG(x, у, у'),
называемую лагранжианом, где параметр А Е R называется неопределен-
ным множителем Лагранжа.
Если дважды непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция у(х)
является решением изопериметрической задачи и при этом первая вариа-
О
ция <5K[i/(t),г/(т)] 0 для всех у(х) Е то у(х) необходимо на [а, 6]
удовлетворяет при некотором значении А уравнению Эйлера вида
дь __£д£_0
ду dx ду1
Решения этого уравнения называются экстремалями. Экстремали, удо-
влетворяющие граничным условиям и условию связи, называются допу-
стимыми.
Пример. Решить изопериметрическую задачу, если
1Г 1Г
J(y) = У(y'}2dx, у(0) = 1, 2/(тг) = -1, j ycosxdx =
о о
А Уравнение Эйлера для лагранжиана L = (у')2 4- Ху cos х имеет вид
2у" = A cost.
250
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
Экстремали задаются формулой у(х) — С\х + С2 — —cosя:. Используя
граничные условия и условия связи, получаем допустимую экстремаль
у{х) = cos х. Покажем, что на ней изопериметрическая задача имеет абсо-
лютный минимум.
0 г
Возьмем любую т](х) G С1 [0, тт], для которой / rjcosxdx = 0. Тогда на
о
у(х) 4- т}(х) определен функционал J(y) и можно рассмотреть
о
Интегрируя по частям первое слагаемое и учитывая, что //(О) = 7/(тг) = О,
получаем
AJ(2/) = -2 j y,,iqdx + j (r]')2dx.
о о
В силу уравнения Эйлера и условия связи для ц(х)
7Г 7Г
j y'rjdx — X J tj cos xdx = 0.
о 0
Следовательно,
О
о
1
0
и, значит, y(x) дает абсолютный минимум.
Решить изопериметрическую задачу (1—10):
7Г
= 0, з/(тг) = 7Г, jysinxdx = 0.
о
1
= 0, 2/(1) = е — 3, yexdx = 0.
о
1
= 2е + 1, 7/(1) = 2, f e~xydx = е.
о
о
о
§21. Изопериметрическая задача
251
1 1
4. J(y) = /G/)2^, 2/(0) = о, у<Х) j xydx = L
о о
5. J(i/) = У* [v2 + (у')2] dx, 2/(0) = 0, 3/(1) = -1, У ye Xdx =
о о
1 1
6. J(y) = У [у2 + (з/)2] dx, 1/(0) = 0, з/(1) = 4е, j yexdx = 1 + е2.
о о
1 1
7. J(y) = У [2жз/ + (з/)2] dx, з/(0) = 0, з/(1) = 3, j xydx = 1.
о о
2 2
8. Лу) = У x(y')2dx, з/(1) = 0, з/(2) = 12, У xydx = 9.
1 1
1Г 1Г
У [2з/ + Зу' + (з/')2] dx, 3/(0) = 0, з/(7г) = тг2, f
о о
7Г2-!.
10. 7(з/) = У [(з/')2 + У2 + 23/ cos ж] dx, з/(0) = 2, з/(тг) = -2, j у cos xdx =
о о
= 7Г.
Найти допустимые экстремали изопериметрической задачи (11—14):
1 1
11. J(y) = У [2з/з/' + (з/')2] dx, з/(0) = з/(1) = О, У[4жз/ + yy']dx = 4.
о о
1 1
12. 7(з/) = У [уу' 4- 4xy']dx, з/(0) = з/( 1) = О, j [2уу’ + (з/')2] dx = 4.
о о
1 1
13. 7(з/) = У [уу' + 2(з/')2] dx, з/(0) = з/(1) = О, f [уу' - 8xy']dx = 8.
о о
252
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
1 1
14. J(y} = У [т/t/ - Sxy']dx, i/(0) = 1/(1) = О, У
о о
15. Найти минимум J(y) = j"(y')2dx, если y(Q) = у(тг) = 0, j у2 dx = 1.
о о
1
16. Найти минимум J(y) = [j/2 4- (t/)2] dx, если y(Q) = j/(l) = О,
о
j y2dx = 1.
о
Ответы к задачам § 21
7Г2
1. у(х) = х —— sinz, абс. min.
8
2 (ех — 1)
2. у(х) = —---------- 4- (е — 1)ж, абс. min.
1 — е
3. у(х) = 2e1-z — х 4-1, абс. min.
, . 9а; — 5х3
4. у(х) —----------, абс. min.
&
5. у[х} — —а;е1-1, абс. min.
6. у{х} — 4хех, абс. min.
7. у(х) = За;, абс. min.
8. у(х) = 4 (а;2 — 1), абс. min.
х2 ттх 2
9. у{х} — — 4- — 4—sin а;, абс. min.
2 2 7Г
10. у(х) = 2 cos а;, абс. min.
11. у(х) = 6 (а;2 — х).
12. у(х) = ±2\/3 (х — а;2).
13. у(х) — б (х — а;2).
§ 22. Строгий слабый локальный экстремум
253
14. у(х) = ±2\/3 (х2 — х).
15. -1.
16. 1 + 7Г2.
§ 22. Достаточные условия строгого слабого локального
экстремума в простейшей вариационной задаче
Рассмотрим простейшую вариационную задачу:
ь
J(y) = У F[x,y(x),yt(x)]dx, у(а) = А, у(Ь) = В,
а
где функция F является трижды непрерывно дифференцируемой при всех
х е [а, Ь] и всех (у,р) 6 R2(y,p). Если у(х) — допустимая экстремаль
(см. § 1) этой задачи, то положим
Р(х) =
&F
ду12
У=У(х)
\d2F d d2F 1
ду2 dxdydy'\ у=^{х}
Говорят, что выполнено усиленное условие Лежандра, если Р(х) 0 для
всех х 6 [а, Ь].
На [а, 6] рассмотрим задачу для уравнения Якоби:
d
dx
Р(х)
du(x)'
dx
— Q(x)u(x) = 0, u(a) = 0.
Если каждое нетривиальное решение и(х) этой задачи не имеет нулей на
(а, б], то говорят, что выполнено усиленное условие Якоби.
Теорема. Если: 1) у(х) — допустимая экстремаль, 2) выполнено уси-
ленное условие Лежандра, 3) выполнено усиленное условие Якоби, то при
Р(х) > 0 на [а, 6] у(х) дает строгий слабый локальный минимум J(t/), а
при Р(х) <0 на [а, 6] у(х) дает строгий слабый локальный максимум J(y).
Пример. Исследовать на слабый экстремум, если
тг/2
J(y) = [ [у2 - (г/')2] ?/(о) = о, у (тП = 1-
J ' * '
о
254
Глава 6. Элементы вариационного исчисления
А Для нашего примера уравнение Эйлера
2у ~ 1х^~2у'^ =у" + y = Q
дает экстремали у = С^созх 4- Сгзша;. Граничные условия выделяют
допустимую экстремаль у(х) = sina;.
d2F
Усиленное условие Лежандра выполнено, поскольку Р — —? = — 2 <
ду'2
< 0. Уравнение Якоби имеет вид
d Г ^du
-2— -2u = 0.
dx
dx
Нетривиальные решения этого уравнения, удовлетворяющие условию
и(О) = 0, имеют вид и(х) = С sin а; и не обращаются в нуль при всех
(7Г1
0, — j • Следовательно, выполнено усиленное условие Якоби. Значит,
у(х) — sina; дает строгий слабый локальный максимум. А
Исследовать на экстремум (1—9):
7Г
1. J(y) = У (y')3dx, 2/(0) = 0, 2/(тг) = Й7Г, а 0 0.
о
1
2- Ду) = I W)3 + 3(2/)2 + у1] dx, 7/(0) = 0, 1/(1) = Г
о
1
/Нт
— ,у^=0, 7/(1) =1.
о
/x4dx 1 /л.
’ yW = 2’ у(2) = 2-
1
2
5. J(y) = [ у(1) = 1, у(2) = 4.
1
2
6- J(y) = У x2(y')3dx, 7/(1) = 0, 2/(2) = 1п2.
1
§ 22. Строгий слабый локальный экстремум
255
2
7- J(y) = I tfWdz, У(1) = 2, S(2) = 2j2.
1
8- J(y) = / “4"^, 2/(0) = 1, 2/(1) = e.
J У
о
2
9- J(y) = f e~2x “ У1 2] dx' У^ = e’ У&) = e2>
1
Ответы к задачам § 22
1. y(x) = ax дает строгий min при
2. y(x) = x дает строгий min.
4. у(х) = ^-х2 дает строгий min.
6. у(х) = Ina; дает строгий min.
8. у(х) = ех дает строгий min.
а > 0 и строгий max при а < 0.
3. у(х) — х дает строгий min.
5. у(х) = х2 дает строгий min.
7. у(х) = 2у/х дает строгий min.
9. у(х) - ех дает строгий min.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алге-
бры. — М.: Наука, 1984.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1976.
3. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс экстремальных задач. —
М.: Издательство МГУ, 1989.
4. Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике. —
М.: Физматгиз, 1958, т. 1; 1959, т. 2.
5. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. — М.: Наука,
1980.
6. Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Высшая шко-
ла, 1978.
7. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая шко-
ла, 1981, т. 1,2.
8. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференци-
альных уравнений. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1982.
10. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
И. Сидоров Ю. В.,Федорюк М.В., Шабунин Н. И. Лекции по теории
функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1982.
12. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз,
1959.
13. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М. И. Курс математического анали-
за. — М.: Наука, 1988.
14. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. —
М.: Наука, 1992.