Действительный и функциональный анализ: университетский курс - Смолянов О.Г., Богачев В.И.

Автор: Смолянов О.Г. Богачев В.И.
Теги: теория вероятностей и математическая статистика математика математический анализ функциональный анализ прикладная математика теоретическая математика
ISBN: 978-5-93972-742-6
Год: 2009
Похожие
Задачи по функциональному анализу
Функциональный анализ
Лекции по функциональному анализу
Теоремы и задачи функционального анализа
Текст
                    '. И. * or.
.Г. ι
' Г '
Ι ίί f : !
О
:' ' ' . ί '
Τ
f · '
У Ί Ι

В. И. Богачев, О. Г. Смолянов
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ:
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС
Москва ♦ Ижевск
2009

УДК 519.2, 517.5
Интернет-магазин
yyv\5fir^5 j
http://shop.rcd.ru
Богачев В. И., Смолянов О. Г.
Действительный и функциональный анализ: университетский
КУРС· ~~ М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.
Книга содержит стандартный университетский курс
действительного и функционального анализа, рассчитанный на три семестра
и включающий весь дополнительный материал по функциональному
анализу и теории функций действительного переменного, входящий
в программу кандидатского минимума по специальности
«Математический анализ». Кроме того, в нескольких десятках разделов, набранных
более мелким шрифтом, представлена обширная коллекция ярких и
интересных фактов из разных разделов теории функций и
функционального анализа — как классических, так и современных. Все основные
результаты и понятия проиллюстрированы большим числом примеров.
Имеется более 500 упражнений. По всем разделам даны
библиографические указания, призванные помочь дальнейшему
профессиональному совершенствованию читателя в теории функций и функциональном
анализе и познакомить его с последними достижениями.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов
физико-математических, инженерно-математических и экономических специальностей,
а также на широкий круг научных работников в теоретических и
прикладных областях математики.
Библ. 606.
ISBN 978-5-93972-742-6
© В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, 2009
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009
физика
математика
биология
нефтегазовые
технологии
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru

Оглавление
Предисловие
Глава 1. Метрические и топологические пространства 13
1.1. Элементы теории множеств 13
1.2. Метрические пространства 17
1.3. Непрерывные отображения 25
1.4. Принцип сжимающих отображений 28
1.5. Теорема Бэра о категории 31
1.6. Топологические пространства 33
1.7. Компактные множества и их свойства 38
1.8. Критерии компактности 43
1.9. Дополнения и задачи 46
Направленности в топологических пространствах (46).
Теорема Тихонова (49). Счетная и секвенциальная
компактность (50). Функциональная отделимость
множеств (53). Теорема Стоуна-Вейерштрасса (59).
Канторовское множество (62). Задачи (63).
Глава 2. Основы теории меры 69
2.1. Вводные замечания 69
2.2. Алгебры и σ-алгебры 71
2.3. Аддитивность и счетная аддитивность 78
2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 85
2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса 95
2.6. Знакопеременные меры 103
2.7. Дополнения и задачи 106
Измеримость Каратеодори и продолжения мер (106).
Задачи (111).
Глава 3. Интеграл Лебега 115
3.1. Измеримые функций 115

4
Оглавление
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
Глава 4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
5.
Глава
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
Глава 6.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
Сходимость по мере и почти всюду 122
Конструкция интеграла Лебега 128
Предельный переход под знаком интеграла 135
Пространство L1 140
Признаки интегрируемости 142
Связь с интегралом Римана 145
Неравенства Гёльдера и Минковского 147
Теорема Радона-Никодима 151
Произведение пространств с мерами 155
Теорема Фубини 158
Дополнения и задачи 166
Критерий интегрируемости по Риману (166). Образ
меры при отображении (167). Равномерная
интегрируемость (169). Лифтинги (173). Задачи (174).
Связь интеграла и производной 179
Дифференцируемые функции 179
Функции ограниченной вариации 182
Абсолютно непрерывные функции 188
Формула Ньютона-Лейбница 193
Дополнения и задачи 198
Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса (198).
Сходимость рядов Фурье (199). Задачи (209).
Нормированные и евклидовы пространства 211
Нормированные пространства 211
Примеры 216
Шары в нормированных пространствах 219
Ортонорм1фованные системы, базисы и проекции 221
Выпуклые множества и теорема Шаудера 229
Дополнения и задачи 234
Шары и эллипсоиды (234). Теоремы Кадеца
и Милютина (235). Упорядоченные векторные
пространства и векторные решетки (236). Задачи (239).
Линейные операторы и функционалы 245
Норма и непрерывность оператора 245
Теорема о замкнутом графике 253
Теорема Хана-Банаха 258
Применения теоремы Хана-Банаха 264
Сопряженные к конкретным пространствам 270
Слабая и *-слабая топологии 277
Компактность в *-слабой топологии 283
Сопряженные и самосопряженные операторы 287
Компактные операторы 292

5
6.10. Дополнения и задачи 299
Образы операторов и факторизация (299). Слабая
компактность в банаховых пространствах (302). Свойство
Банаха-Сакса и равномерная выпуклость (312). Базисы,
аппроксимации и дополнения (314). Операторы на
упорядоченных векторных пространствах (321).
Векторное интегрирование (328). Интеграл Даниэля (332).
Интерполяционные теоремы (339). Задачи (340).
Глава 7. Спектральная теория 355
7.1. Спектр оператора 355
7.2. Квадратичная форма и спектр
самосопряженного оператора 362
7.3. Спектр компактного оператора 366
7.4. Альтернатива Фредгольма 368
7.5. Теорема Гильберта-Шмидта 374
7.6. Унитарные операторы 377
7.7. Непрерывные функции от самосопряженных
операторов 380
7.8. Функциональная модель 385
7.9. Проекторы и проекторнозначные меры 393
7.10. Дополнения и задачи 400
Структура спектра (400). Коммутирующие
самосопряженные операторы (403). Образы операторов
в гильбертовом пространстве (408). Операторы
Гильберта-Шмидта и ядерные операторы (412).
Интегральные операторы и теорема Мерсера (427).
Тензорные произведения (430). Фредгольмовы
операторы (431). Векторная форма спектральной
теоремы (435). Инвариантные подпространства (437).
Задачи (438).
Глава 8. Локально выпуклые пространства и обобщенные
функции 447
8.1. Локально выпуклые пространства 447
8.2. Линейные отображения 454
8.3. Отделение выпуклых множеств 459
8.4. Обобщенные функции 465
8.5. Производная обобщенной функции 469
8.6. Дополнения и задачи 473
Метризуемость и нормируемость (473). Топология
Макки (476). Индуктивные и проективные пределы (479).
Бочечные и борнологические пространства (480).
Банаховы пространства, порожденные функционалами
Минковского (481). Теорема Крейна-Мильмана (488).
Теорема об измеримом графике (490). Задачи (490).

6
Оглавление
Глава 9.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
Глава 10.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
Глава 11.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
Глава 12.
12.1.
12.2.
Преобразование Фурье и пространства Соболева
Преобразование Фурье в L1
Преобразование Фурье в L2
Преобразование Фурье в S'
Свертка
Спектр преобразования Фурье и свертки
Преобразование Лапласа
Применения к дифференциальным уравнениям
Пространства Соболева Wp'k
Описание W2'k через преобразование Фурье
Дополнения и задачи
Сингулярные интегралы (527). Теоремы вложения (531).
Теоремы Бохнера и Пэли-Винера (534). Задачи (535).
Неограниченные операторы и теория полугрупп
Графики и сопряженные
Симметричные и самосопряженные
операторы
Спектральная теорема
Унитарные инварианты самосопряженных
операторов
Полугруппы операторов
Генераторы полугрупп
Дополнения и задачи
Расширения симметричных операторов (575).
Полуограниченные формы и операторы (582). Теоремы
Чернова и Троттера f586). Математическая модель
квантовой механики (588). Задачи (596).
Банаховы алгебры
Основные определения
Идеалы
Спектры
Функциональное исчисление
Коммутативные банаховы алгебры
Структура С*-алгебр
Дополнения и задачи
Алгебры С(К) и L°° (628). Алгебры фон Неймана (630).
Задачи (631).
Бесконечномерный анализ
Дифференцируемость и производные
Свойства дифференцируемых отображений
495
495
502
504
507
511
514
516
521
526
527
539
539
545
549
552
561
568
575
599
599
605
607
613
616
623
628
633
633
641

Оглавление
7
12.3. Обратные и неявные функции 647
12.4. Производные высших порядков 654
12.5. Дополнения и задачи 658
Метод Ньютона (658). Полилинейные отображения (659).
Субдифференциалы и монотонные отображения (663).
Приближения в банаховых пространствах (665).
Накрывающие отображения (666). Задачи (668).
Комментарии 671
Литература 685
Предметный указатель
711

Предисловие
Итак, увидел я, что нет ничего лучше,
как наслаждаться человеку делами
своими: потому что это — доля его.
Экклесиаст.
Эта книга — обработанные и существенно расширенные
записи лекций по курсу действительного и функционального
анализа, который авторы многие годы читают на механико-
математическом факультете Московского государственного
университета им. М.В. Ломоносова. Курс функционального анализа
под названием «Анализ-Ш» был введен на мехмате в 40-х
годах по инициативе А.Н. Колмогорова, который стал и первым
лектором вместе с СВ. Фоминым, читавшим этот же курс на
физическом факультете. Несколько лет спустя появился
классический учебник Колмогорова и Фомина, остающийся лучшим
университетским учебником и поныне. Впоследствии курс
читали И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов и другие известные специалисты.
Анализ-Ш вобрал в себя читавшиеся прежде отдельные курсы
теории функций действительного переменного, интегральных
уравнений, а также элементы вариационного исчисления. В настоящее
время на мехмате действительный анализ (точнее говоря,
интеграл Лебега) и вариационное исчисление (оптимальное
управление) опять стали отдельными предметами (правда, существуют
и университетские программы функционального анализа,
включающие интеграл Лебега). С другой стороны, в курс
функционального анализа вошли спектральная теория самосопряженных
операторов и элементы теории пространств Соболева. Поэтому

10
Предисловие
актуальным стало и появление учебного пособия, учитывающего
произошедшие изменения. На русском языке есть очень хорошие
книги по данному предмету как учебного характера, например,
Колмогоров, Фомин [105], Люстерник, Соболев [140], Рудин [188]
и другие, перечисленные в библиографических комментариях,
так и фундаментальные монографии справочного характера,
например, Данфорд, Шварц [68], Эдварде [243], Канторович, Аки-
лов [91], но они либо не полностью охватывают программу, либо,
наоборот, содержат очень много дополнительного материала, не
отделенного от обязательного минимума, и по своему замыслу
и стилю являются скорее не учебными пособиями, а курсами
повышения квалификации для уже знакомых с предметом
читателей. Цель нашей книги — дать современное изложение всех
сведений из функционального анализа, включаемых в обязательный
трехсеместровый курс (с учетом действительного анализа) и
используемых в учебных курсах уравнений с частными
производными, оптимального управления, теории случайных процессов,
а также сведений, необходимых для сдачи аспирантского
экзамена по программе ВАК (кандидатского минимума). В книге три
уровня изложения, рассчитанные на разные категории читателей:
1) стандартный курс, принятый на математических и физических
факультетах отечественных университетов; это менее половины
всего объема книги; соответствующий материал занимает
основную часть набранных крупным шрифтом параграфов глав 1-9,
а также примерно половину задач; 2) дополнительный материал
для аспирантов, сдающих кандидатский минимум по программе
ВАК; он включает основные параграфы глав 10 и 12 и
небольшое число отдельных разделов из дополнительного материала
других глав (все дополнительные разделы набраны более мелким
шрифтом), а также некоторые задачи; 3) наконец, более
специальные сведения, не входящие в перечисленные программы, но
имеющие несомненный общий интерес и заслуживающие
внимания при углубленном знакомстве с предметом (соответствующий
материал помещен в разделах «Дополнения и задачи» всех глав).
Подчеркнем, что обязательный материал, относящийся к 1) и 2),
занимает менее 300 страниц книги, т.е. несколько менее половины
всего объема (этот материал соответствует примерно 100
лекционным академическим часам, а за час можно изложить в среднем
2-3 страницы книжного текста).
Пока нет учебного пособия для широкого пользователя,
которое бы полностью охватывало весь необходимый материал

Предисловие
11
по действительному и функциональному анализу для студентов
и аспирантов. Нашим намерением восполнить этот пробел
объясняется и название предлагаемого пособия. Конечно, как указано
в пункте 3), мы тоже выходим за формальные рамки
программы и приводим различные дополнительные полезные и
интересные факты, которые либо демонстрируют связи этого предмета
с другими областями и приложениями, либо относятся к
классике функционального анализа и допускают при этом экономное
изложение (например, приведены с доказательствами теоремы
Эберлейна-Шмульяна и Крейна-Мильмана). Однако все такие
факты помещены в разделы, набранные более мелким шрифтом,
и могут быть пропущены при первом чтении. Кроме того, эти
дополнения не используются в основной части книги и независимы
друг от друга. Естественно, некоторые вопросы изложены в
перечисленных выше справочных книгах полнее. Как явствует из
сказанного, мы и не ставили перед собой цели создания
всеобъемлющего трактата. В библиографических комментариях даны
указания для дальнейшего чтения по многим классическим и
современным направлениям, что вместе с дополнительными
разделами сделает книгу полезной и для продвинутого пользователя.
В приложении приведены типовые программы трех экзаменов по
семестровым курсам и программа кандидатского минимума по
функциональному анализу и теории функций действительного
переменного (последняя была принята много лет назад и по
нашему мнению в настоящее время нуждается в редактировании).
К каждой главе дана подборка простых упражнений
(отмеченных значком °), которые можно использовать на зачетах и для
самоконтроля, а также ряд более сложных задач, рассчитанных
на более сильных студентов. Задачи такого рода мы иногда
предлагаем на досрочных экзаменах или на аспирантских экзаменах,
когда уровень подготовки отвечающего позволяет надеяться на
успешное решение. Мы старались избегать чрезмерно трудных
задач, предпочитая сообщать некоторые полезные факты без
доказательства со ссылкой на литературу (небольшое число очень
трудных задач отмечено значком *). Некоторые задачи,
приведенные с решениями или указаниями на литературу, можно
рассматривать просто как теоремы, перенесенные в задачи для
экономии места.
Завершает книгу подробный предметный указатель, в начале
которого помещен список обозначений, упорядоченных по первой
букве названия согласно латинскому алфавиту, за исключением

12
Предисловие
символов, начинающихся с математических знаков. Термины,
содержащие несколько слов, обычно приведены в указателе по всем
значащим словам. Например, термин «банахово пространство»
дан еще и как «пространство банахово».
Параграфы нумеруются в пределах каждой главы, причем
номеру параграфа предшествует номер главы; например, второй
параграф третьей главы указывается как §3.2. Для утверждений
и формул используется тройная нумерация: номер главы, номер
параграфа, номер утверждения (причем утверждения
нумеруются подряд в пределах данного параграфа независимо от их типа,
а их номера стоят перед наименованиями утверждений).
Например, ссылка на определение 1.2.5 отсылает читателя к §1.2
главы 1, где находится «1.2.5. Определение». Следующий за этим
определением пример оформлен как «1.2.6. Пример». При такой
системе цифра 6 не означает, разумеется, что это шестой
пример в данном параграфе, а указывает лишь общий порядковый
номер в ряду выделенных утверждений параграфа. Аналогично
устроенные номера формул заключены в круглые скобки.
Мы благодарим наших коллег, аспирантов и студентов за
высказанные замечания по тексту книги; особенно мы
признательны Е.А. Алехно, проделавшему большую редакторскую
работу, а также М.Д. Авдеевой, А.В. Арутюнову, П.А. Бородину,
А.В. Горшкову, А.В. Королеву, Е.П. Круговой, А.А. Липчюсу,
О.В. Пугачеву, Н.А. Толмачеву, А.Я. Хелемскому, А.В.
Шапошникову, СВ. Шапошникову.

Глава 1
Метрические и топологические
пространства
В этой главе рассматриваются важнейшие понятия
современного анализа — метрические и топологические пространства.
Основную часть главы занимают определения и примеры
(вероятно, уже знакомые читателю из курса анализа), кроме того,
приведены необходимые для дальнейшего сведения о компактных
пространствах.
1.1. Элементы теории множеств
Мы будем считать известными простейшие
теоретико-множественные понятия и факты, но здесь мы напомним некоторые из
них для удобства последующих ссылок. Важнейшую роль в
функциональном анализе играют неопределяемые понятия множества
и отображения. Отображение / множества X в множество Υ
(обозначение: /: X —> Υ) называется инъективным или
инъекцией, если f(x) φ f(y) при χ φ у. Отображение / называется
сюръективным или сюръекцией, если f(X) = У, т.е. для
всякого у 6 Υ есть χ Ε X с f(x) = у. Если / инъективно и сюръ-
ективно, то / называется биекцией или взаимно однозначным
отображением. Через /-1(у) обозначается полный прообраз у,
т.е. /-1(у) := {х Ε Χ: f(x) = у}. Полный прообраз множества
Ε CY есть /~λ(Ε) — {χ е X: f(x) e Ε}. Для всякого А С X
множество f(A) := {/(#)·' χ Ε А} называется образом А при
отображении /. Сужение отображения / на подмножество Ε С X
обозначается через /|#.
Декартовым произведением непустых множеств X и Υ
называется совокупность ΧχΥ всех пар вида (ж, у), где χ 6 X и у Ε Υ.
Декартово произведение любого числа непустых множеств Xt,

14
Глава 1. Метрические и топологические пространства
где индекс t пробегает некоторое непустое множество Т,
определяется как совокупность всех наборов {xt}teT с χχ Ε Xt- Оно
обозначается через YltexXt·
Множества натуральных, целых, рациональных и
действительных чисел обозначаются соответственно через IN, Ζ, Q и И1.
Символ Ип обозначает n-мерное координатное пространство.
Ниже используются два теоретико-множественных понятия:
отношение эквивалентности и отношение частичного порядка.
Пусть выделено некоторое множество TZ пар элементов из
множества X, т.е. подмножество TZ С ХхХ. Говорят, что TZ
задает на множестве X отношение эквивалентности, и пишут χ ~ у
при (#, у) £ ΤΖ, если выполнены следующие условия:
(i) χ ~ χ для всех χ £ X,
(И) если χ ~ у, то у ~ х,
(Ш) если ж ~ у и у ~ 2, то χ ~ ζ.
Читатель без труда убедится на простых примерах, что эти
три условия независимы.
Отношение эквивалентности разбивает X на
непересекающиеся классы эквивалентности, состоящие из попарно
эквивалентных элементов. Например, если χ ~ у только при χ = у, то
каждый класс состоит ровно из одного элемента; если, наоборот, все
элементы эквивалентны, то получится лишь один класс
эквивалентности. Еще пример: пусть χ ~ у для х, у £ И1, если x — yEQ.
Тогда классы эквивалентности счетны. Часто бывает полезно
выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности.
Оказывается, что для осуществления этого на первый взгляд
совершенно невинного желания нужна специальная аксиома.
Аксиома выбора. Если дана совокупность непустых
попарно непересекающихся множеств, то существует множество,
содержащее ровно по одному элементу из каждого из этих
множеств.
Использование этой аксиомы существенно для многих
вопросов функционального анализа, а без этой аксиомы хотя бы для
счетных совокупностей мало что останется от непрерывной
математики вообще. Тем не менее, полезно помнить, что это
действительно аксиома, не вытекающая из основных положений так
называемой наивной теории множеств.
Говорят, что на множестве X задано отношение частичного
порядка или частичный порядок, если выделена некоторая
совокупность V пар (х, у) £ ХхХ, для которых пишут χ ^ у, причем

1.1. Элементы теории множеств
15
(i) χ ^ х, (п) если χ ^ у и у ^ ζ, то ж ^ ζ. Если ж ^ у, то пишут
также у ^ ж. Отметим, что мы не включаем равенство χ = у при
ж^уиу^жв отличие от ряда других учебников.
При этом не требуется, чтобы все элементы были попарно
сравнимы. Например, на И2 можно ввести такой частичный
порядок: χ = {хъхъ) < у = (2/1,2/2), если χι ^ й и ж2 < 2/2-
Если же все элементы X оказались попарно сравнимы, то X
называется линейно упорядоченным. Например, прямая с
обычным порядком линейно упорядочена, а указанный выше
покоординатный порядок на плоскости не является линейным. Однако
на плоскости можно ввести естественный линейный порядок: так
называемый лексикографический порядок, при котором χ < у,
если либо х\ < 2/1, либо х\ = 2/1 и Х2 < 2/2·
В частично упорядоченном множестве некоторые части
могут оказаться линейно упорядоченными. Такие части называют
цепями. Например, вещественная прямая как часть плоскости
с покоординатным порядком является цепью.
Если X — частично упорядоченное множество и Μ С X,
то элемент μ Ε Χ называется мажорантой множества М,
если га ^ μ для всех га Ε М. Если га — такая мажоранта М, что
га ^ га для всякой другой мажоранты га множества М, то га
называется точной верхней гранью М. Элемент га Ε X называется
максимальным, если нет такого элемента га7 Ε X, что га ^ га7.
При этом не требуется, чтобы все элементы X были меньше га.
Например, если χ ^ у лишь при ж = у, то каждый элемент
максимален. Аналогично определяются миноранта, точная нижняя
грань и минимальный (или наименьший) элемент.
Линейно упорядоченное множество X называется вполне
упорядоченным, если всякая непустая часть X имеет минимальный
элемент.
Например, множество натуральных чисел с естественным
порядком вполне упорядочено, а множества рациональных и
вещественных чисел — нет.
Аксиоме выбора равносильно следующее утверждение (если
его принять в качестве аксиомы, то теоремой станет аксиома
выбора); доказательство можно прочитать в [105], [124].
Теорема Цермело. Всякое непустое множество можно
вполне упорядочить.
Приведем еще одно следствие аксиомы выбора (которое также
оказывается ей эквивалентным).

16 Глава 1. Метрические и топологические пространства
Лемма Цорна. Если всякая цепь в частично упорядоченном
множестве X имеет мажоранту, то в X есть максимальный
элемент.
Еще раз напомним, что максимальный элемент не обязан быть
единственным.
Весьма характерным примером использования леммы Цорна
является доказательство существования алгебраических базисов
в линейных пространствах. Система векторов {va} в линейном
пространстве X линейно независима (или алгебраически
независима), если c\vai + Ь CnVan φ О для всех чисел с$, не равных
одновременно нулю, и всех αχ,..., ап. Такая система называется
алгебраическим базисом (базисом Гамеля) пространства X, если
всякий вектор из X является конечной линейной комбинацией
векторов να. В нулевом пространстве базисом считается нуль.
1.1.1. Предложение. Всякое вещественное или
комплексное линейное пространство обладает алгебраическим базисом.
При этом всякие два таких базиса равномощны. Кроме того,
алгебраический базис линейного подпространства можно
дополнить до алгебраического базиса всего пространства.
Доказательство. Можно считать, что данное пространство
X содержит ненулевые векторы. Тогда в X имеются системы
алгебраически независимых векторов. Обозначим совокупность
всех таких систем через Λ и введем на Λ следующее отношение
подчиненности: λχ < λ2, если λι С λ2· Ясно, что получено
отношение частичного порядка. Нам надо установить, что в
множестве Λ есть максимальный элемент, т.е. система λ алгебраически
независимых векторов, не являющаяся собственным
подмножеством никакой другой системы независимых векторов. Такая
максимальная система будет базисом, поскольку существование
вектора ν, не представимого в виде линейной комбинации векторов
из λ, означало бы, что система \Uv тоже независима вопреки
максимальности λ. Существование максимального элемента следует
из леммы Цорна, для применения которой необходимо проверить,
что всякая цепь Ло в Л имеет мажоранту. Иначе говоря, имея
такое множество Ло независимых наборов векторов, что всякие два
набора из них сравнимы (т.е. хотя бы один из двух содержится
в другом), надо найти независимую систему векторов,
содержащую все системы из Ло. В качестве таковой следует взять просто
объединение Λι всех систем из Ло- Тот факт, что полученная
система независима, ясен из следующего. Если векторы νι,...,ι;η
входят в Λι, то существуют такие системы λχ,..., λη Ε Ло, что

1.2. Метрические пространства
17
Vi Ε \i при г = 1,..., п. Поскольку системы λ* попарно сравнимы,
среди них есть наибольшая \{0. Тогда все ν\ входят в λ$0 и потому
линейно независимы.
Небольшая модификация этого рассуждения позволяет
дополнять алгебраические базисы подпространства до базиса всего
пространства: достаточно брать в качестве элементов Л
независимые системы, содержащие фиксированный базис из данного
подпространства. Кстати, эти рассуждения верны для любого поля.
Наконец, утверждение о равномощности алгебраических
базисов пространства X в случае конечномерного пространства
известно из линейной алгебры. Если же X бесконечномерно и 71
и 72 — два его алгебраических базиса, то мощность 72 не выше
мощности 7ι · В самом деле, каждому элементу υ Ε 72
сопоставим конечное множество элементов 5 С 7ь через которые он
линейно выражается. Такое конечное множество S сопоставлено
не более чем конечному числу элементов из 72 (не
превосходящему мощности 5, ибо через к векторов нельзя линейно выразить
более к линейно независимых векторов). Значит, мощность 72 не
выше мощности множества конечных подмножеств 7ъ которое
равномощно 71 (задача 1.9.26). Итак, мощность 72 не выше
мощности 7ι> причем верно и противоположное неравенство. D
1.2. Метрические пространства
Одним из самых фундаментальных понятий современного
анализа является понятие метрического пространства.
1.2.1. Определение. Множество X, наделенное функцией
d: XxX —» [0, +оо), называется метрическим пространством
с метрикой d, если
1) d(x, у) = 0 в точности при χ = у,
2) d(x}у) = d(y,χ) для всех х,у Ε X,
3) ά(χ9 ζ) < d(x, у) + d(y, ζ) для всех x,y,z Ε Χ.
Условие 3) называется неравенством треугольника.
Метрическое пространство X с метрикой d обозначается через (X, d).
На одном и том же множестве могут быть заданы разные
метрики. Когда говорится о метрическом пространстве X без указания
метрики, подразумевается, что некоторая метрика выбрана. Если
выполнены лишь условия 2) и 3), то d называют предметрикой.
Всякое подмножество метрического пространства само
является метрическим пространством относительно метрики
объемлющего пространства.

18
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.2.2. Пример, (i) Любое множество X становится
метрическим пространством с метрикой d(x, у) = 1 при χ Φ у, d(x, χ) = 0.
(ii) Множество всех ограниченных функций Β(Ω) на непустом
множестве Ω является метрическим пространством с метрикой
d(f,g) = sup\f(x)-g(x)\. (1.2.1)
Частным случаем является пространство /°° всех ограниченных
последовательностей на IN с метрикой
d{x,y) = ъщ>\хп - уп\, χ = (хп),У = (Уп).
η
(iii) Множество (7[α, b] всех непрерывных функций на отрезке
[а, 6] является метрическим пространством с метрикой (1.2.1).
(iv) Множество I2 всех таких бесконечных вещественных
последовательностей χ = (хп), что Σ™=ι Χη < °°, с метрикой
оо -,/2
<*(*>») = (Σ(χη-υη)2) .
η=1
(ν) Пусть Χ — непустое множество, (У,йу) — непустое
метрическое пространство и В(Х, У) — множество всех
отображений /: X —> У, ограниченных в следующем смысле: найдутся
такие уо € У и г > 0 (зависящие от /), что dy (/(#), Уо) ^ r для
всех ж Ε X, т.е. /(X) содержится в шаре. Тогда функция
d(f,g) ~ supdY(f(x),g(x))
хех
превращает В(Х, У) в метрическое пространство.
Проверка того, что в этих примерах получаются
метрические пространства, — обязательное упражнение. На
координатном пространстве Й1п есть много метрик, помимо обычной
евклидовой (например, метрика d(x, у) = sup^ \χι — уг\).
Для общего метрического пространства (X, d) естественным
образом определяются многие понятия, известные для прямой
или n-мерного пространства. Например, открытым шаром
радиуса г > 0 с центром в точке xq называется множество
В(хо,г) := {χ Ε X: d(x,xo) < г}.
Термин «открытый» будет ясен из дальнейшего. Замкнутый шар
радиуса г > 0 с центром в xq есть множество
{х Ε X: d(x,xo) ίζ г}.
Множество А называется ограниченным, если оно содержится
в шаре. Его диаметр есть сЦатЛ := s\ip{d(x, у): х,у Ε А}.

1.2. Метрические пространства
19
1.2.3. Определение. Последовательность точек хп в X на-
зывается сходящейся к точке х, если для всякого ε > О найдется
такой номер пе, что d(xn, χ) < ε для всех η ^ ηε. Тогда χ
называется пределом {хп\ и обозначается через lim xn.
Последовательность {хп} С X называется
фундаментальной, если для всякого ε > О найдется такой номер ηε, что имеем
d(xn, Xk) < ε для всех η, к ^ пе.
Сходящаяся последовательность фундаментальна ввиду
оценки d(xn,Xk) < d(xn,x) + d(x,Xk)· Ясно, что предел только
один. Фундаментальная последовательность ограничена, ибо
объединение шара и конечного множества ограничено.
Точка χ называется предельной для множества Μ в
метрическом пространстве X, если во всяком открытом шаре
положительного радиуса с центром χ есть точки из М, отличные от х.
Точку χ называют точкой прикосновения М, если во всяком
открытом шаре положительного радиуса с центром χ есть точки
из Μ (возможно, совпадающие с х). Возможны два случая:
1) χ Ε Μ и в некотором открытом шаре В(х,г)
положительного радиуса нет других точек Μ (тогда χ называется
изолированной точкой М), 2) существует сходящаяся к χ
последовательность различных точек из Μ.
При такой терминологии изолированные точки являются
точками прикосновения, но не являются предельными. Впрочем, это
терминологическое разделение, используемое нами лишь для
согласованности с другими учебниками, не очень принципиально;
иногда удобнее причислять изолированные точки к предельным.
Если всякий шар положительного радиуса с центром в χ
содержит несчетное множество точек из М, то χ называют точкой
сгущения или конденсации множества М.
1.2.4. Определение. Множество U в метрическом
пространстве X называется открытым, если для всякой точки
χ из U найдется такое г(х) > 0, что В(х,г(х)) С U. Пустое
множество тоже считаем открытым. Множество F в X
называется замкнутым, если его дополнение X\F открыто.
Замкнутость F равносильна тому, что F содержит все свои
предельные точки. В самом деле^ предельная точка замкнутого
множества не может быть в открытом дополнении. Если же F
содержит все свои предельные точки и X\F не открыто, то для
некоторого χ £ F во всяком шаре В(х, 1/п) есть точка хп из F,
т.е. χ — предельная точка F и потому χ 6 F, что невозможно.

20
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Легко проверить, что открытый шар В(хо,г) радиуса г > 0
открыт в смысле введенной выше терминологии, а замкнутый
шар замкнут. Сказанное не является тавтологией, ибо
непосредственно из определения ясно лишь, что сам центр хо входит в
В(хо,г) с шаровой окрестностью. Чтобы убедиться, что для
всякой точки χ Ε В(хо,г) найдется подходящий радиус г(х) > 0,
следует взять r(x) <r — d(x, xq) и воспользоваться неравенством
треугольника. Отметим, что открытый шар В(х^г) может
оказаться замкнутым множеством, отличным от замкнутого шара
{х: d(x,xo) < г}. Например, так будет в любом пространстве из
двух точек χ и у при г = d(x, у).
Ясно, что во всяком метрическом пространстве (X, d)
объединение любого набора открытых множеств открыто. Значит,
пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто.
Легко проверить, что конечные пересечения открытых множеств
открыты, а конечные объединения замкнутых множеств замкнуты.
Для всякого множества А С X пересечение всех содержащих
А замкнутых множеств называется замыканием А и
обозначается символом А. Ясно, что А — наименьшее замкнутое
множество, содержащее А. Оно совпадает с множеством всех
предельных и изолированных точек А. Действительно, все предельные
точки входят в замыкание. Если тожа ζ & А не является
предельной, то найдется открытый шар jB(2,r), не имеющий общих
точек с А. Тогда А входит в замкнутое множество X\B(z,r),
т.е. А С X\B(z, г) и ζ £ А. Точка называется внутренней для
множества, если она входит в это множество вместе с
некоторым шаром положительного радиуса с центром в данной точке.
Совокупность всех внутренних точек множества называется его
внутренностью. Ясно, что внутренность может быть пуста.
Хотя все приведенные определения совпадают с теми,
которые в начальном курсе анализа даются применительно к
множествам на прямой, общие метрические пространства по своим
свойствам заметно отличаются от прямой и JRn и их подмножеств. Мы
в этом неоднократно убедимся ниже, но сейчас заметим лишь,
что даже подмножества плоскости с обычной евклидовой
метрикой могут иметь довольно удивительные свойства. Например,
если взять три точки а, Ъ и с на плоскости так, что \а — Ъ\ = 1,
|Ь — с\ = 2 и |а — с\ = 5/2, то в полученном метрическом
пространстве шар радиуса 2 с центром в Ъ строго содержит шар большего
радиуса 9/4 с центром в а. Приведем теперь одно из основных
определений, связанных с метрическими пространствами.

1.2. Метрические пространства
21
1.2.5. Определение. Метрическое пространство X
называется полным, если всякая фундаментальная
последовательность в нем сходится.
1.2.6. Пример, (i) Полуинтервал [0,1) с обычной метрикой
не является полным пространством, так как последовательность
{1—1/п} фундаментальна, но не сходится к точке из [0,1). Однако
этот же интервал оказывается полным пространством с метрикой
d(x,y) = \tg(nx/2)-tg(iry/2)\.
(И) Пространство Β(Ω) с метрикой (1.2.1) полно.
Действительно, пусть {fn} — фундаментальная последовательность.
Ясно, что для каждого фиксированного χ числовая
последовательность {/п(#)} фундаментальна и потому сходится. Ее предел мы
обозначим через /(#). Ограниченность фундаментальной
последовательности {fn} показывает, что функция / ограничена.
Остается заметить, что {/п} сходится к / по метрике 5(Ω), а не только
поточечно. Для этого при фиксированном ε > 0 находим такое
число ηε, что |/п(#) — fk(x)\ < ε Для всех п,к^ ηε и χ еП. Если
теперь зафиксировать η ^ ηε и устремить к к бесконечности, то
получим \fn(x) - /(я)| ^ ε Для всех х Ξ Ω? Τ·Θ· d(/m /) < £·
(iii) Пространство l2 из примера 1.2.2(iv) полно: если
последовательность векторов Vj = (xj,n) £ i2 фундаментальна, то для
каждого η последовательность чисел XjjU фундаментальна и
имеет предел хп. Так как sup^ Y%L1 х\п ^ С < оо, то ]C^=i хп ^ ^
т.е. ν := (хп) Ε I2. Наконец, d{vj,v) —» 0, ибо для каждого ε > О
найдется такое je, что Y^=1(xj,n - хк,п)2 < ε2 при j, к ^ j£. При
А: -> оо находим ]C^=i(^,n - #п)2 ^ £2 при j ^ j£.
Полнота ряда других важных пространств будет установлена
ниже. Из определений ясно, что замкнутые подмножества
полных пространств полны как самостоятельные щ^етранства.
1.2.7. Определение, (i) Множество А нщы§&ется всюду
плотным в множестве В в метрическом пространстве X, если
замыкание А содержит В.
(ii) Метрическое пространство называется сепарабельным,
если в нем имеется конечное или счетное всюду плотное
множество.
(iii) Множество Е> называется нигде не плотным в
метрическом пространстве X, если во всяком непустом открытом
множестве в X имеется шар положительного радиуса,
свободный от точек М.

22
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Даже если А плотно в JB, то А П В может быть пусто.
Однако если U открыто, то U Π А = U Π А для всякого А, что легко
проверить (если жбС/иж^С/ПД то найдется открытое V Э χ
cV f)UГ\А = 0, откуда ж ^ Л, ибо С/Π V открыто).
Прямая с обычной метрикой сепарабельна: множество
рациональных чисел в ней всюду плотно. Сепарабельны и
пространства С[а, Ь] и I2. В I2 плотно множество конечных
последовательностей с рациональными компонентами. В С[а,Ь] можно взять
счетное всюду плотное множество многочленов с рациональными
коэффициентами (всякая непрерывная функция равномерно
приближается многочленами). Можно взять и множество кусочно-
линейных функций следующего вида: для каждого η разделим
[а, Ь] на 2П равных промежутков точками tn^ и разделим [—2П, 2П]
на 4П равных промежутков точками rnj·, затем возьмем функции,
принимающие в точках tn^ какие-либо из значений rnj и линейно
доопределенные между точками tn^ Пространство В (О,) с
бесконечным множеством Ω несепарабельно. Действительно, для
каждого непустого множества Ε С Ω возьмем функцию /# на Ω,
равную 1 в точках Ε и 0 во всех остальных точках, т.е. индикатор
множества Е. Множество полученных функций несчетно, а
расстояние между функциями /# и /#/ с различными множествами
Ε и Е' равно 1. Поэтому в Β(ίϊ) имеется несчетное множество
попарно непересекающихся открытых шаров. Ясно, что счетное
множество не может присутствовать во всех этих шарах. В
частности, пространство /°° несепарабельно.
Указанные в предыдущем определении свойства можно
охарактеризовать через замыкание следующим образом.
Пространство сепарабельно, если оно является замыканием конечного или
счетного множества. Множество Ε нигде не плотно, если его
замыкание не содержит шаров положительного радиуса. Проверка
этих утверждений — простое, но полезное упражнение.
1.2.8. Определение. Изометрией двух метрических про-
странств (Mi,di) и (М2,Й2) называется такое взаимно одно-
значное отображение J пространства Μι на Μ<ι, что
g?2 («/(#)> J (у)) = di(x, у) для всех х, у € М\.
1.2.9. Лемма. Пусть (M\,d\) и (Мг,^) — полные
метрические пространства, Е\ С М\ и Ε<ι С Мъ — всюду плотные
множества и J — изометрия из Е\ на Еъ. Тогда J
продолжается единственным образом до изометрии Μχ и Мг.

1.2. Метрические пространства
23
Доказательство. Всякая точка χ е Μι\Ει есть предел
последовательности {хп} С Е\. Так как J — изометрия, а М2
полно, то {J(xn)} сходится к некоторой точке из Мг, которую мы
и возьмем в качестве J(x). Всякая другая последовательность
точек уп б Μχ, сходящаяся к ж, приведет к тому же элементу J(#),
ибо {#1,уь · · · ? #п> уп,...} тоже сходится к х. Легко видеть, что J
сохраняет расстояния. Наконец, J(Mi) = М2, ибо ко всякой
точке у Ε Мг сходится последовательность точек J{xn) с хп £ Е\,
а тогда последовательность {хп} фундаментальна в Μι и потому
сходится к некоторому χ 6 Μχ, что дает J(#) = у. Из сказанного
ясна единственность изометрического продолжения. D
Многие свойства метрических пространств инвариантны
относительно изометрий. К таким свойствам относятся полнота,
сепарабельность, ограниченность. Замечательной особенностью
пространств ограниченных функций #(Ω), на первый взгляд
весьма специальных, является то, что с точностью до изометрий
они содержат вообще все метрические пространства.
1.2.10. Теорема. Всякое метрическое пространство (М, d)
изометрично части пространства В(М).
Доказательство. Считаем, что Μ непусто. Зафиксируем
элемент хо £ Μ и для каждой точки χ Ε Μ зададим функцию
fx на Μ с помощью равенства fx(y) = d{y,x) — d(y,xo).
Заметим, что в силу неравенства треугольника \fx(y)\ < d(a;,#o), т.е.
функция fx ограничена. Для фиксированных x\,x<i Ε Μ в силу
неравенства треугольника имеем
|/*ι(») - ίχ2(ν)\ = №*ι) - d(y,X2)\ < d(x1}x2),
что дает d(fXlifX2) < а(хих2)^ Поэтому d(fXl,fX2) = d(^i,a?2)
ввиду равенства |/χιΟ&ι) —/ж2(ж1)1 = d^i,^)· Итак, отображение
J: ж и /д, из Μ в JB(M) является изометрией Μ и J(M). D
В качестве применения этой теоремы установим
существование пополнения М.
1.2.11. Определение. Пополнением метрического
пространства Μ называется такое полное метрическое
пространство М, что Μ изометрично всюду плотному множеству в М.
1.2.12. Предложение. Всякое метрическое пространство
имеет единственное с точностью до изометрий пополнение.

24 Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно
рассмотреть множество Μ в пространстве Β(Ω) с Ω = Μ. Так
как В(М) полно, то искомым пополнением является замыкание
множества Μ в Β(Ω). Остается заметить, что если Mf —
некоторое пополнение М, то Μ и М' изометричны. Действительно,
имеется изометрия J' между Μ и всюду плотной частью Jf(M)
в Μ'. По доказанной выше лемме эта изометрия продолжается до
изометрии из Μ на М'. D
Приведем одно полезное свойство сепарабельных метрических
пространств (называемое свойством Линделёфа).
1.2.13. Теорема. Из всякого набора открытых множеств
в сепарабельном метрическом пространстве можно выбрать не
более чем счетный поднабор с тем же самым объединением.
Доказательство. Пусть множества Ua открыты в данном
пространстве (X,d). Возьмем в X счетное всюду плотное
множество {хп}. Для каждой точки хп имеется счетное множество
открытых шаров B(xn,rk) с центрами в хп и рациональными
радиусами rk > 0. Если В(хп,гк) входит в какое-нибудь из
множеств Ua, то мы отметим ровно одно такое множество i7n,fc· В
итоге отмечено не более чем счетное семейство множеств
(соответствующих разным η и к). Проверим, что объединение всех
отмеченных множеств совпадает с объединением всех множеств Ua.
В самом деле, пусть точка χ содержится в каком-то Ua.
Найдется такое г > 0, что В(х,г) С Ua. Возьмем точку жп, для которой
d(x,хп) < г/4. Ясно, что найдется гк < г/4 с χ Ε В{хп,гк). В
силу неравенства треугольника В(хп,гк) С В(х,г) С Ua. Так как
В(хп,гк) С Ϊ7α, то имеется отмеченное множество Un^
содержащее В(хп,гк). Итак, χ е В{хп,гк) С 1/щк. D
Свойство Линделёфа часто используется в функциональном
анализе, теории меры и топологии.
1.2.14. Предложение. Всякое подпространство сепара-
бельного метрического пространства сепарабельно
относительно метрики объемлющего пространства.
Доказательство. Пусть S — счетное всюду плотное
множество в метрическом пространстве X. Пусть Υ С. X. Каждой
точке s € 5 сопоставим пустое, конечное или счетное подмножество
Ys С Υ следующим образом. Для всякого фиксированного η Ε IN

1.3. Непрерывные отображения
25
выберем какой-нибудь элемент уп Ε У с d(yn, s) < 1/га, если
таковой имеется. Совокупность элементов всех множеств Ys, s Ε S, не
более чем счетна. Она всюду плотна в У. В самом деле^ для
всякого у Ε Υ и всякого η Ε IN найдется s(y) E S с d(y, s(y)) < 1/п.
Поскольку имеются точки из У, отстоящие от s(y) менее чем на 1/п,
то среди них нами была взята некоторая точка уп из построенного
семейства, что дает оценку d{y,yn) < 1/п. D
1.3. Непрерывные отображения
Здесь мы рассмотрим отображения метрических пространств.
1.3.1. Определение. Отображение f из метрического
пространства (X,dx) в метрическое пространство (У,dY)
называется непрерывным в точке χ Ε X, если для всякой
последовательности {хп}, сходящейся к х, последовательность {f(xn)}
сходится к f(x).
Отображение f называется непрерывным, если оно
непрерывно в каждой точке.
Ясно, что непрерывность в точке χ можно сформулировать
в (ε, 5)-терминах: для каждого ε > 0 найдется такое δ > О, что
dY (/(г), /(#)) < ε для всех таких точек ζ G X, что dx(z,χ) < δ.
В задаче 1.9.36 предлагается проверить, что непрерывность
отображения / равносильна тому, что для всякого открытого
множества V С У множество /_1(V) открыто в X (это
эквивалентно тому, что ддць всякого замкнутого множества Ζ с У
множество /-1(Ζ) замкнуто в X).
Как и в анализе на прямой, вводится более сильная
непрерывность: равномерная непрерывность.
1.3.2. Определение. Отображение f из метрического
пространства (X,dx) в метрическое пространство (Υ,άγ)
называется равномерно непрерывным, если для всякого ε > 0 найдется
такое δ > О, что dY (/(ж), f(y)) ^ ε при dx (#, у) ^ δ.
Ясно, что равномерно непрерывные отображения
непрерывны. Пусть (X,dx) и (У,^у) — метрические пространства.
1.3.3. Предложение. Пусть fn: (X,dx) —► (У,dY) —
непрерывные отображения, которые равномерно сходятся к
отображению /: (X,dx) —► (У,dY) в следующем смысле: для всякого
ε > О найдется такой номер п£, что dY(fn(x),f(x)) ^ ε для
всех η ^ п£ и χ Ε X. Тогда отображение f непрерывно.

26
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Пусть х0 е X и ε > 0. Возьмем
указанный в условии номер пе и такое δ > 0, что dY (/ηε(#)> /ηε(#ο)) < ε
при dx(x,xo) < δ. Тогда для таких χ получаем
dY(f(x)J(xo)) ^dY(f(x)Jn£(x))+dY(fn£(x)Jne(xo)) +
+ dY(fn£(xo)J(xo)) <3ε,
что показывает непрерывность / в точке х$. D
Если равномерно сходящиеся отображения /п равномерно
непрерывны, то их предел также равномерно непрерывен. Это ясно
из доказательства.
Напомним, что множество В(Х, У) всех ограниченных
отображений из метрического пространства X в метрическое
пространство У — метрическое пространство с метрикой
d(f,g) = sup dY(f (χ), д(х)).
хеХ
Здесь ограниченным считается отображение, принимающее
значения в некотором шаре из У. В приложениях часто
встречаются различные подмножества пространств такого вида,
наделенные и другими естественными метриками. Некоторые примеры
рассмотрены в задачах. Подпространство в В(Х, У), состоящее
из ограниченных непрерывных отображений, обозначается
символом Сь(Х, Υ) (оно наделяется той же метрикой, что и В(Х, У)).
Множество ограниченных непрерывных числовых функций на
метрическом пространстве X обозначается через Съ{Х).
С учетом задачи 1.9.27 получаем такой факт.
1.3.4. Следствие. Пусть X и Υ — непустые метрические
пространства, причем У полно. Тогда пространство Сь(Х,У)
полно. В частности, полны Сь(Х) и С[а,Ь].
1.3.5. Определение. Отображение /: X —» У
удовлетворяет условию Липшица с постоянной L {или липшицево с
постоянной L), если dY(f(x),f(y)) ^ Ldx(x,y) для всех ж,у 6 X.
Ясно, что липшицево отображение равномерно непрерывно.
Приведем простой пример липшицевой функции: расстояние
от точки до множества.
1.3.6. Пример. Пусть А — непустое множество в
метрическом пространстве (X, d). Расстояние от точки χ до множества А
зададим формулой
dist(ж, А) := inf{d(x,у): у Ε А}.

1.3. Непрерывные отображения
27
Тогда χ н-* dist (#, А) — липшицева с постоянной 1 функция,
причем множество ее нулей совпадает с замыканием А.
Действительно, для любых χ и ζ имеем d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) для всех у.
Поэтому dist (#, А) ^ d(x,z) + dist (г, Л), откуда следует
неравенство |dist (#, А) — dist (z, A)\ ^ d(x, z). Ясно, что dist (ж, А) = О
в точности тогда, когда либо χ Ε Л, либо есть последовательность
точек yn Ε Л, сходящаяся к ж.
Следующее простое утверждение будет использовано ниже.
1.3.7. Предложение. Пусть (X,dx) u (Y,dY) —
метрические пространства, причем Υ полно, и пусть отображение /
из множества Xq с X в пространство Υ удовлетворяет
условию Липшица с постоянной L. Тогда f единственным образом
продолжается до липшицевого с постоянной L отображения из
замыкания Xq в замыкание f(Xo) в пространстве Υ.
Доказательство. К каждой точке χ из замыкания Xq
сходится некоторая последовательность точек хп Ε Хо (не
обязательно различных). Естественно положить f{x) := lim f(xn)·
п—юо
В самом деле^ последовательность точек f(xn) фундаментальна
в Υ ввиду липшицевости / и потому сходится к некоторой
точке у Ε У. По той же причине у не зависит от выбора сходящейся
к χ последовательности. Это показывает также, что f(x) = f(x)
при жЕХо· Наконец, если х1 и х" — две различные точки из
замыкания Хо? то) взяв сходящиеся к ним последовательности {хгп}
и {<} из Х0, получаем, что dY(/«),/«)) < Ldx(x'n,x%). Это
дает оценку dY (/(#')? /(#")) ^ Ldx(x\ x"). D
Отметим, что не всегда / продолжается до липшицева
отображения на всем X. Например, если X = [0,1], Хо = Υ = {О,1}
с обычной метрикой и f(x) = χ на Хо> т0 нет даже непрерывного
продолжения на [0,1] (однако см. задачи 1.9.59, 1.9.60).
Отметим еще одно свойство липшицевых отображений.
1.3.8. Предложение. Пусть (X,dx) и (Y,dY) —
метрические пространства, причем Υ полно, и пусть отображения
Fn: X —► Υ, где η Ε IN, удовлетворяют условию Липшица с
общей постоянной L. Если для всех точек χ из некоторого
всюду плотного множества в X существует предел lim Fn(x), то
то—>оо
этот предел существует для всех χ Ε Χ и задает липшицево
с постоянной L отображение.

28
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Зафиксируем χ е X и ε > 0. По условию
найдется точка у с d(x,y) < ε, для которой последовательность
элементов {Fn(y)} сходится. Поэтому найдется такой номер ηε,
что dY (Fn(y),Ffc(y)) < ε при η, к ^ ηε. Тогда по неравенству
треугольника имеем
dY(Fn(x),Fk(x))^
^dY(Fn(x),Fn(y))+dY(Fn(y),Fk(y))+dY(Fk(y),Fk(x))^
^ Ld(x, y) + e + Ld(x, у) ^ e(2L + 1),
что доказывает фундаментальность {Fn(x)}. В силу полноты Υ
эта последовательность сходится. Липшицевость с постоянной L
предельного отображения очевидна. D
1.4. Принцип сжимающих отображений
Липшицевы отображения с постоянной L < 1 называются
сжимающими отображениями или сжатиями. В
приложениях часто используется следующий результат.
1.4.1. Теорема. (Принцип сжимающих отображений)
Всякое сжатие f непустого полного метрического
пространства X имеет единственную неподвижную точку х, т.е.
f(x) = χ. При этом d(x,xn) ^ Ln(l — L)~ld(xi,xo) для
всякого х0 е X, где хп+\ := /(яп)·
Доказательство. Пусть хо е X. Положим хп = f(xn-i),
η Ε IN. Покажем, что последовательность {f(xn)}
фундаментальна. Для этого заметим, что
d{xk+uXk) < Ld{xk,xk-i) ^ · <: Lkd(xux0).
Поэтому d(xn+m,xn) оценивается через
2) Η \rd(xn+i,Xn) ^
< Ln+m-ld(xux0) + Ln+m-2d(xux0) + ··· + Lnd(xuxo),
что дает d(xn+m,xn) ^ Ln(l — L)-1d(#i,#o)· Из этой оценки
и условия L < 1 следуют фундаментальность {хп} и
существование предела χ = lim xn. Ясно, что
п—»оо
f(x) = lim f(xn) = lim xn+i = x
n-+oo n-+oo

1.4. Принцип сжимающих отображений
29
ввиду непрерывности /. Единственность неподвижной точки
видна из того, что d(#, у) = d(/(x), f(y)) < Ld(x, у) для другой
неподвижной точки у. Ясна и оценка скорости сходимости. D
1.4.2. Следствие. Пусть X — полное метрическое
пространство и /: X —► X — такое отображение, что некоторая
его степень fn является сжимающим отображением. Тогда f
имеет неподвижную точку.
Доказательство. Существует точка χ с fn(x) = я. Тогда
fn(f(x)) = f(fn(x)) = f(x)> т.е. f{x) — также неподвижная
точка /п. Ввиду единственности неподвижной точки сжимающего
отображения имеем /(ж) = х. D
В приложениях встречаются сжимающие отображения,
зависящие от параметра. Приведем одно из простейших утверждений,
позволяющих количественно оценить такую зависимость.
1.4.3. Предложение. Предположим, что X — полное
метрическое пространство и отображения f и g из X в X липши-
цевы с постоянной λ < 1. Тогда для неподвижных точек Xf и х9
этих отображений справедливо неравенство
d(xf,xg) < (1 - ><)~1^pxeXd(f(x),g(x)).
Доказательство. Положим уп = gn(xf). Из
доказательства теоремы о неподвижной точке следует, что xq = lim yn.
п—+оо
Поэтому d(xf,xg) = lim d(xf,yn). Как и в доказательстве упо-
п—►оо
мянутой теоремы, для каждого η мы имеем
d{xf> Уп) < d(xf9 g(xfj) (1 + λ + · · · + λη) ^
< (1 - λ)-1^*/, $(*,)) = (1 - \rld(f{xf),g{xf)),
откуда вытекает наше утверждение. D
Следующий результат дает непрерывную зависимость
неподвижной точки от параметра. Кроме того, он позволяет получать
неподвижные точки отображений открытых шаров. Последнее не
всегда возможно в общем случае. Например, сжатие χ ι-* ж/2+1/2
интервала (—1,1) не имеет неподвижных точек в этом интервале.
1.4.4. Теорема. Пусть U = В(хо,г) — открытый шар
радиуса г > 0 с центром β xq β полном метрическом
пространстве (X,d), пусть Τ — метрическое пространство, и пусть

30
Глава 1. Метрические и топологические пространства
F: TxU —> X — такое отображение, что для некоторой
постоянной λ € [0,1) выполнено неравенство
d(F(t, я), F(t, xf)) ^ Xd(x, χ') Vt e Τ, Ух, χ* e U.
Кроме того, пусть
d(F(t, x0), s0) < r(l - λ) Vt e Γ.
Тогда существует такое отображение f: T -^ U, что
f(t) = F(t,f(t)) Vie Г.
При этом такое отображение f единственно.
Если же F непрерывно, то f также непрерывно (более
точно, f непрерывно в каждой точке t, в которой непрерывны все
отображения t н-* F(x, £)).
Доказательство. Заметим, что
dx (F(t, x), xQ) ^ dx (F(t, x), F(t, x0)) + dx (F(t, x0), xo) <
< \dx(x,xo) + r(l - λ) ^ r
при всех χ Ε U, т.е. F(£, χ) 6 U при всех t ЕТ и χ Ε U. В силу
предложения 1.3.7 можно считать, что отображения χ ι-* F(t,x)
продолжены на замыкание U множества С/, причем продолжения
принимают значения в U и липшицевы с постоянной λ.
Каждое из этих отображений имеет единственную неподвижную
точку /(£) Ε U. Полученная выше оценка переносится и на
продолжения, поэтому они принимают значения в самом U. В частности,
f(t) Ε U. Единственность / ясна из единственности
неподвижной точки сжимающего отображения. В доказательстве теоремы
о сжимающем отображении было установлено, что
f(t) = lim /n(t), где /η(ί) = F(t, /n-i(t)), Ш = a?0,
n—юо
и была получена оценка
dx (fn(t),fn+m(t)) < ^r(l - λ) = r\n,
означающая равномерную сходимость последовательности
отображений /п. Поэтому в случае непрерывного F отображение /
также непрерывно. Если же все отображения t н-> F(t, x)
непрерывны в точке to, то каждое fn тоже непрерывно в точке to- Это

1.5. Теорема Бэра о категории
31
легко проверяется по индукции. Если отображение /η_ι
непрерывно в точке ίο, то таково и /п. Это следует из оценки
dx(fn(t)Jn(to)) ^ dx(F(tJn.1(t)),F{tJn-1(t0))) +
+ dx(F(t, fn-i(to)),F(to,/»-i(i0))) ^
^ Adx(/n-i(t),/»-i(to)) +с«х(^(*,/»-1(*о)),^(*й,/п-1(^)))
и равенства F(tQ,x) = lira F(t,x) при всех ж. D
В качестве применения теоремы 1.4.4 мы покажем в гл. 12 (см.
теорему 12.3.1), что достаточно малые возмущения
тождественных отображений банаховых пространств локально являются
гомеоморфизмами.
1.5. Теорема Бэра о категории
Следующие две простые теоремы являются важнейшими
общими результатами теории метрических пространств.
1.5.1. Теорема. (Теорема о вложенных шарах) Пусть
X — полное метрическое пространство и {Вп} —
последовательность замкнутых шаров со стремящимися к нулю
радиусами, причем Βη+ι с Вп для всех п. Тогда Π^=ι &η непусто.
Доказательство. Возьмем хп е Вп. Ввиду вложенности
шаров и стремления их радиусов к нулю последовательность {хп}
фундаментальна. Из-за полноты X она сходится к некоторой
точке, которая входит во все шары Вп в силу их замкнутости. D
Ясно, что вместо шаров можно брать замкнутые множества
диаметров dn —> 0. Простые примеры показывают, что полнота X
и замкнутость шаров важны (см. также задачу 1.9.32). Нельзя
отказаться и от стремления к нулю их радиусов (задача 1.9.33).
1.5.2. Теорема. (Теорема Бэра о категории) Пусть X —
полное метрическое пространство, причем X = UnLi^n> где
множества Хп замкнуты. Тогда хотя бы одно из них содержит
открытый шар положительного радиуса.
Если X = Un=i Ап, где Ап — произвольные множества, то
хотя бы одно из Ап всюду плотно в некотором шаре ненулевого
радиуса, т.е. полное метрическое пространство нельзя
представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

32 Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Предположим противное. Тогда для
всякого η во всяком открытом шаре U имеется открытый шар,
свободный от точек Хп, ибо иначе U входит в Хп = Хп. Поэтому
найдется замкнутый шар В\ положительного радиуса ri,
свободный от точек Х\. В шаре В\ найдется замкнутый шар 1?2
радиуса г2 < т\/2, свободный от точек X<z. По индукции получаем
вложенные замкнутые шары Вп со стремящимися к нулю
радиусами и ВпП Хп = 0. Предыдущая теорема дает общую точку
всех Вп, не входящую в объединение Хп, — противоречие.
Последнее утверждение теоремы очевидно из первого,
применяемого к замыканиям An. D
Несмотря на тривиальность доказательств, обе эти теоремы
имеют многочисленные применения, в чем мы убедимся ниже.
При первом знакомстве с теоремой Бэра может вызвать
недоумение ее мнимое противоречие с тем фактом, что натуральный
ряд — полное пространство относительно естественной метрики
прямой — является счетным объединением точек. Никакого
действительного противоречия здесь нет: точка в таком
пространстве сама является шаром положительного радиуса.
Название теоремы Бэра связано с тем, что множества, пред-
ставимые в виде счетных объединений нигде не плотных
множеств, называют множествами первой категории, а все прочие —
множествами второй категории. В этой терминологии теорема
Бэра гласит, что полное метрическое пространство не является
множеством первой категории. Метрические пространства с
таким свойством называются бэровскими. Однако бывают и
неполные бэровские метрические пространства, например, интервал
(0,1) с обычной метрикой; в нем всякий шар — бэровское
пространство (это легко вывести из того, что прямая — бэровское
пространство).
1.5.3. Пример» (Принцип равномерной
ограниченности) Пусть X — полное метрическое пространство и
непрерывные функции /п: X —► 1R1 таковы, что для каждого χ Ε Χ
последовательность {fn(χ)} ограничена. Тогда найдется такой
замкнутый шар В положительного радиуса, что supn supxG^ \fn(x)\ < оо.
Доказательство. Пусть Xn :=f {χ ε X: supn \fn(x)\ < Ν}·
Множества замкнуты ввиду непрерывности /п. По условию
объединение Χν есть X. Согласно теореме Бэра некоторое Χχ имеет
внутренние точки и потому содержит замкнутый шар
положительного радиуса. D

1.6. Топологические пространства
33
1.6. Топологические пространства
Естественным и весьма важным расширением понятия
метрического пространства является топологическое пространство.
1.6.1. Определение. Множество X с выделенным
семейством г его подмножеств называется топологическим
пространством, если 1) 0,Хе г, 2) пересечение всяких двух
множеств из τ входит в τ, 3) объединение всякого набора множеств
из τ входит в т.
Множества из г называются открытыми, а само
семейство τ называется топологией.
База топологии — такой набор открытых множеств, что их
объединения дают все открытые множества.
Дополнения к открытым множествам называются
замкнутыми множествами. Ясно, что конечные объединения и
произвольные пересечения замкнутых множеств замкнуты. Пустое
множество и все пространство одновременно открыты и замкнуты.
1.6.2. Пример, (i) Набор (0,Х) — минимальная топология
на множестве X. (ii) Семейство 2х всех подмножеств X —
максимальная топология на X. (Ш) Открытые множества в
метрическом пространстве (X, d) (в соответствии с терминологией,
введенной для метрических пространств!) образуют топологию. Эта
топология называется топологией, порожденной метрикой d.
Топологическое пространство называется метризуемым, если его
топология порождается некоторой метрикой.
Отметим, что, хотя метрика порождает указанным выше
образом топологию, эта топология не позволяет восстановить
исходную метрику. Например, стандартная метрика прямой порождает
ту же топологию, что и ограниченная метрика |arctg# — arctgу\.
Всякая часть Хо топологического пространства становится
топологическим пространством, если в качестве топологии на Хо
взять пересечения Хо с открытыми в X множествами. Такая
топология называется индуцированной топологией из X. Иногда
открытые в этой топологии на Хо множества называют
относительно открытыми. Разумеется, такие множества не обязаны
быть открытыми в X (если само Xq не было открыто). Для
топологических пространств естественным образом определяются
аналоги многих понятий, введенных ранее для метрических
пространств. Точка χ в топологическом пространстве X
называется предельной для множества А С X, если во всяком открытом

34 Глава 1. Метрические и топологические пространства
множестве, содержащем эту точку, есть элемент множества Д
отличный от х. Если же во всяком открытом множестве,
содержащем #, имеется несчетное множество точек из А, то χ называется
точкой сгущения или конденсации множества А. Точка а Ε А —
изолированная точка множества Л, если у нее есть окрестность,
в которой нет других точек из А. Поэтому все точки А делятся на
изолированные и предельные- но могут существовать и
предельные точки Л, не входящие в А. Точка χ Ε X называется точкой
прикосновения множества Д если каждая окрестность χ
содержит хотя бы одну точку из А (возможно, саму точку х). Точки
прикосновения — это либо предельные точки для Д либо
изолированные точки А. Замыкание А множества А есть пересечение
всех замкнутых множеств, содержащих А. Ясно, что А
получается из А добавлением всех предельных точек. Если А = X, то А
называют всюду плотным в X. Пространство сепарабельно, если
в нем есть конечное или счетное всюду плотное множество.
1.6.3. Определение. Последовательность точек хп
топологического пространства называется сходящейся к точке х,
если для всякого открытого множества U, содержащего х,
найдется такой номер Ν, что χηΕΌ при η ^ N.
Ясно, что в случае метрического пространства приходим
к рассмотренной ранее сходимости. В произвольном
топологическом пространстве предел сходящейся последовательности может
не быть единственным. Например, если топология состоит лишь
из пустого множества и всего пространства, то всякая
последовательность в такой топологии сходится к каждой точке.
Следующее понятие позволяет избежать подобных явлений.
1.6.4. Определение. Топологическое пространство (Χ,τ)
называется отделимым или хаусдорфовым, если для всяких двух
различных точек х, у Ε Χ найдутся такие непересекающиеся
открытые множества U uV, что χ EU', у EV'.
Термин «хаусдорфово» воздает должное выдающемуся
немецкому топологу Ф. Хаусдорфу. Имеются и другие понятия
отделимости топологических пространств (см. [105], [246]). Если X
содержит более одной точки, то его минимальная топология не
хаусдорфова. Топология, порожденная метрикой, всегда хаусдор-
фова. Приведем один из наиболее характерных примеров немет-
ризуемых пространств, возникающих в приложениях.
1.6.5· Пример. Пусть Τ — непустое множество и Ит —
пространство всех вещественных функций на Т. Для фиксированных

1.6. Топологические пространства
35
χ G IRT, ίχ,... ,tn G Г и ε > 0 введем «базисные окрестности»
точки χ следующего вида:
UxM^tnie'={yeJRT: \y(U) - x(ti)\ < ε, i = l,...,n}. (1.6.1)
Объявим открытыми в Нг пустое множество и всевозможные
объединения окрестностей ί7α:,*1ν..,ίη,ε, где могут варьироваться #,
n, ti и ε. Полученное семейство множеств образует хаусдорфо-
ву топологию, называемую топологией поточечной сходимости.
Эта топология метризуема только в случае, когда Г не более чем
счетно. Последовательность {хп} С Иг сходится к элементу χ в
точности тогда, когда lim xn(t) = x(i) для каждого t Ε Τ.
η—»оо
Доказательство. Из трех свойств топологии единственным
не вполне очевидным свойством введенной системы множеств
является ее замкнутость относительно конечных пересечений.
Понятно, что достаточно проверить, что пересечение двух базисных
окрестностей Ux = UXlttu...9tn3ei и U2 = UX2jSl^Skie2 является
объединением набора базисных окрестностей. Для этого достаточно
убедиться, что всякая точка ζ из U\ Π Щ входит в U\ Г) U<i
вместе со своей базисной окрестностью вида U = C^,t1,...,tn,ei,...,efc,s
при достаточно малом ε > 0. В качестве такого ε надо взять
положительное число, меньшее всех чисел ε\ — \х\{Ц) — z{ti)\,
£2 — |#2($г) "~ z(si)\- При таком выборе ε для всех у G U имеем
\y(U) - xi(U)\ ^ \y(U) - z(U)\ + \z{U) - Xl(U)\ < ει.
Аналогично |у($г) — #i(si)l < £2- Итак, получена топология. Она
хаусдорфова, ибо две различные функции χ и у отличаются хотя
бы в одной точке ίχ, и потому их можно разделить окрестностями
вида t/ζ,ίι,ε и f^/,ίι,ε' Равносильность поточечной сходимости
последовательностей функций сходимости в данной топологии
очевидна: поточечная сходимость выводится из сходимости в
топологии путем использования окрестностей UXit,ei а из поточечной
сходимости следует сходимость на каждом конечном множестве,
что и есть сходимость в смысле окрестностей вида (1.6.1).
Если Τ = {tn} — счетное множество, то пространство П1т
метризуемо посредством метрики
оо
d(x,y) :=^2-птт(\х(гп)-у(гп)11). (1.6.2)
п=1
Проверка этого — задача 1.9.67. Если же Τ несчетно, то
введенную топологию нельзя задать с помощью метрики. В самом деле,

36
Глава 1. Метрические и топологические пространства
иначе для каждого η можно взять открытый шар Ι?(0, η-1) с
центром в тождественно нулевой функции χ и радиусом п-1 по
данной метрике. В этом шаре найдется окрестность вида (1.6.1),
задаваемая точками £™,..., tjjjn и числом еп > 0. Рассмотрим
функцию у, равную 1 в некоторой точке £, отличной от всех t\ (такая
существует, ибо Τ несчетно), и равную 0 во всех прочих точках.
Тогда у Ε JB(0, η-1) для всех η, откуда у = 0 — противоречие. D
1.6.6. Определение. Отображение f из топологического
пространства X в топологическое пространство Υ
называется непрерывным в точке х, если для всякого открытого
множества V в Υ, содержащего f{x), найдется такое открытое
множество U в X, содержащее х, что f(U) С V.
Отображение называется непрерывным, если оно
непрерывно в каждой точке.
Множество всех непрерывных отображений между
топологическими пространствами X и Υ обозначается символом
C(X,Y). Множество всех ограниченных непрерывных функций
на топологическом пространстве X обозначается через Сь(Х).
В задаче 1.9.36 предлагается проверить, что непрерывность
отображения / равносильна тому, что прообраз всякого
открытого в Υ множества открыт в X (что равносильно также тому,
что прообраз всякого замкнутого множества замкнут).
Аналогично предложению 1.3.3 доказывается такой факт.
1.6.7. Предложение. Если X —топологическое
пространство и непрерывные на X функции fn равномерно сходятся к f,
то функция f непрерывна. В частности, пространство Сь(Х)
с метрикой d(f,g) = sup^x \f(x) — g(x)\ полно.
Более слабым, чем непрерывность, является свойство
секвенциальной непрерывности. Отображение /: X —» Υ называется
секвенциально непрерывным, если для всякой
последовательности точек хп из X, сходящейся к х, последовательность {f(xn)}
сходится к f{x). Для метрических пространств оба понятия
равносильны. Обоснование следующего примера — задача 1.9.38.
1.6.8. Пример, (i) Пусть С[0,1] — пространство всех
непрерывных функций на [0,1] с метрикой d(f,g) = supt |/(t) — g(t)\.
Тогда на С [0,1] непрерывна функция
/: хи / sinx(t)dt.
Jo

1.6. Топологические пространства
37
(ii) Пусть X есть множество всех непрерывных функций на
отрезке [0,1], наделенное топологией поточечной сходимости, т.е.
топологией, индуцированной из Тогда функция / из (i)
секвенциально непрерывна, но разрывна в каждой точке. Всюду
разрывна и непрерывная по метрике из (i) функция
д: χ н-> / x(t)dt.
Jo
Следующее понятие придает точный смысл выражению
«топологические пространства с одинаковыми свойствами».
1.6.9. Определение. Гомеоморфизмом топологических про-
странств X и Υ называется такое взаимно однозначное
отображение h пространства X на Y, что h uh~l непрерывны. При
этом X и Υ называются гомеоморфными.
Топологическое пространство метризуемо тогда и только
тогда, когда оно гомеоморфно метрическому пространству.
Обсудим еще часто используемую конструкцию произведения
топологических пространств. Пусть Τ — непустое множество
индексов и Xt, где t Ε Τ, — непустые топологические пространства.
Произведением Πί€Γ ^* множеств Xt называется семейство всех
наборов вида (xt)teTi гДе xt € Xt при каждом t. Если все Xt
совпадают с одним и тем же пространством X, то произведение
обозначают символом и называют степенью пространства X.
Произведение топологических пространств наделяется
следующей топологией произведения: открытыми объявляются пустое
множество и всевозможные объединения произведений вида
Uten и* х Πί^Γο χ^
где множества Щ открыты в Xt и То С Τ конечно. Проверка
того, что получена топология, — задача 1.9.66. Например, если
Xt = Η1 для всех £, то получаем уже рассмотренную ранее
топологию пространства И . Если Τ бесконечно, то произведение
бесконечного числа открытых множеств Ut φ Xt уже не будет
открыто. Произведение счетного набора метрических пространств
(Xn,dn) можно снабдить метрикой
оо
d(x, у) := Σ 2"П min(dn(zn, Уп), l), x = fan), У = (Уп)· (1.6.3)
n=l
Задаваемая этой метрикой топология совпадает с топологией
произведения (проверка отнесена в задачу 1.9.68).

38 Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.7. Компактные множества и их свойства
Важнейшую роль в непрерывной математике имеет понятие
компактности.
1.7.1. Определение. Множество в хаусдорфовом
пространстве называется компактным (или компактом), если из
всякого его покрытия открытыми множествами можно
выбрать конечное подпокрытие.
Из определения ясно, что множество в хаусдорфовом
пространстве компактно в точности тогда, когда оно компактно
как самостоятельное пространство с индуцированной топологией.
Хаусдорфовость не всегда включается в определение и требуется
у нас лишь для удобства последующих формулировок.
Это отнюдь не напрашивающееся определение на первый
взгляд кажется слишком техническим по сравнению с
интуитивно убедительным свойством компактности для подмножеств
прямой, состоящим в возможности выбора сходящейся
подпоследовательности из всякой последовательности. Однако уже
столетний опыт показывает, что данное определение (не равносильное
определению в терминах последовательностей в случае общих
топологических пространств, но совпадающее с ним в метрических
пространствах) оказывается значительно более выгодным и
ведет к существенно более богатой теории. Покрытие множества
открытыми множествами называют открытым покрытием.
1.7.2. Предложение, (i) Замкнутое подмножество
компакта компактно.
(ii) Компакт в хаусдорфовом пространстве замкнут.
(Ш) Образ компакта при непрерывном отображении со
значениями в хаусдорфовом пространстве компактен.
(iv) Всякое бесконечное подмножество компакта имеет
предельную точку.
(ν) Всякое непрерывное отображение из компактного
метрического пространства в метрическое пространство
равномерно непрерывно.
Доказательство, (i) Пусть множество А замкнуто в
компакте К и семейство открытых множеств Ua покрывает А.
Добавив к этому семейству открытое дополнение Л, получим
покрытие всего К открытыми множествами. Выберем из него конечное
подпокрытие. Оно состоит из некоторых множеств Uai,...,Uan
исходного семейства и, возможно, дополнения А. Ясно, что
первые η множеств покрывают А.

1.7. Компактные множества и их свойства
39
(ii) Пусть К — компакт в хаусдорфовом пространстве X
и у Ε Х\К. Тогда для каждой точки χ Ε К найдутся окрестность
Ux точки χ и окрестность Vx точки у с Ux Π Vx = 0. Из
окрестностей Ux выберем конечное подпокрытие UXl,..., UXn компакта К.
Тогда окрестность V := VXl Π · · · Г) Ι4η точки у не пересекается
с К, ибо не пересекается с UXl U · · · U UXn. Итак, V С X\if, что
показывает открытость Х\К.
(ш) Пусть К — компакт и f(K) — его образ при
непрерывном отображении в хаусдорфово пространство Y. Для всякого
покрытия f(K) открытыми множествами Va получаем покрытие
множества К открытыми (ввиду непрерывности /)
множествами /~1(V^). Выбрав из них конечное подпокрытие К, получим
конечное покрытие f(K) соответствующими множествами Va.
(iv) Пусть дана бесконечная последовательность точек хп
в компакте К. Если никакая точка χ из К не является предельной
для {χη}ι то для всякой точки χ Ε К найдется такое открытое
множество Ux, что χ EUX и С7Ж Π {χη} конечно. Выбрав конечное
подпокрытие, получаем, что конечна последовательность {#п},
т.е. приходим к противоречию.
(ν) Пусть (X,dx) — компактное метрическое пространство,
(Y,dy) — метрическое пространство и /: X —► Υ непрерывно.
При заданном ε > О для каждой точки χ Ε Χ есть такое δχ > О,
что dY(f(y)yf(z)) < ε при dx(y,x) ^ δχ и dx(z,x) ^ 5Ж.
Открытые шары Β(χ,δχ/2) покрывают X, поэтому из них
можно выбрать конечное подпокрытие JB(xi, δΧι/2),..., Β{χη, δΧη/2).
Пусть £ := шт(5Ж1/2,... ,5Ж1/2). Пусть dx(x,y) ^ 5. Найдется я*
с <Ζχ(ζ,£ϊ) < <^/2. Тогда dx(y,Xi) < <5Ж., ибо <5 ^ δχ./2. Значит,
имеем dY (/(я), f(y)) ^ ε. Π
Как объяснено в §1.9(Ш) ниже, свойство (iv) не означает, что
из {хп} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
1.7.3. Следствие. Непрерывная вещественная функция на
компакте принимает наименьшее и наибольшее значения.
Доказательство. Непустой компакт на прямой содержит
наименьшую и наибольшую точки. Например, наибольшая
точка — точная верхняя грань (она либо входит в это множество,
либо является пределом последовательности точек из него). D
Подмножества компактов называют относительно
компактными множествами.

40 Глава 1. Метрические и топологические пространства
Компакты в метрических пространствах устроены более
просто. В этом случае появляются важные дополнительные понятия.
1.7.4. Определение, (i) Пусть А — множество в
метрическом пространстве (X,d) и ε > 0. Множество ЕсХ
называется ε-сетью для А, если для всякой точки а Е А найдется точка
е Ε Ε с d(a,e) < ε. Точки из Ε называются узлами ε-сети.
(ii) Множество А называется вполне ограниченным, если
для всякого ε > 0 оно обладает конечной ε-сетью.
Иначе говоря, вполне ограниченное множество — это
множество, которое для всякого ε > 0 можно покрыть конечным числом
открытых шаров радиуса ε. Отметим, что центры таких шаров
не обязаны лежать в А, но при этом в А можно найти
конечную 2ε-ceτъ с таким же или меньшим количеством элементов,
как и число данных шаров. Для этого в каждом из упомянутых
шаров, пересекающихся с Л, надо взять произвольный элемент
из А и воспользоваться неравенством треугольника. Для
каждого ε > 0 имеется минимально возможное число элементов ε-сети
для Л, обозначаемое через Νε. Двоичный логарифм числа Νε —
важная метрическая характеристика вполне ограниченного
множества, называемая метрической энтропией. Эта
характеристика используется в различных областях, в частности, в теории
информации. Отметим, что вполне ограниченное пространство
сепарабельно: взяв конечное число узлов l/n-сети для
каждого п, получаем не более чем счетное всюду плотное множество.
Вполне ограниченные множества называют также предкомпакт-
ными (но единообразия в терминологии здесь нет). Легко видеть,
что замыкание вполне ограниченного множества вполне
ограничено (ε-сеть для А есть 2е-сеть для А). Ограниченность
множества не означает, что оно вполне ограничено.
1.7.5. Пример, (i) Пространство IN с расстоянием 1 между
всякими различными элементами ограничено (является
замкнутым шаром радиуса 1 с центром в любой точке), но не вполне
ограничено: это пространство нельзя покрыть конечным числом
шаров радиуса 1/2. (ii) В пространстве /2 шары не являются
вполне ограниченными. Например, шар радиуса 1 с центром в
нуле содержит точки еп, у которых n-ая координата 1, а
остальные 0. Тогда d(en,efc) = \/2 при η φ к. Значит, конечное число
шаров радиуса 1/2 не может покрыть все еп.
Отметим такое свойство вполне ограниченных множеств,
очевидное из определения.

1.7. Компактные множества и их свойства
41
1.7.6. Пример. Равномерно непрерывные отображения
переводят вполне ограниченные множества во вполне
ограниченные. В частности, это верно для липшицевых отображений.
Докажем следующий критерий того, что множество вполне
ограничено, в терминах фундаментальных последовательностей.
1.7.7. Предложение. Множество А в метрическом про-
странстве X вполне ограничено в точности тогда, когда из
всякой бесконечной последовательности его элементов можно
выделить фундаментальную подпоследовательность.
Доказательство. Пусть А вполне ограничено и {хп} с А.
Покроем А конечным числом шаров радиуса 1. Хотя бы один шар
U\ этого покрытия содержит бесконечную часть {хп}. Множество
AnUi можно покрыть конечным числом шаров радиуса 1/2 и
выбрать среди них такой шар С^? что UiDU2 содержит бесконечную
часть {хп}. Продолжая по индукции, для каждого η получаем
шар Uη радиуса 1/п с тем свойством, что Vn := U\ Π · · · Π Un
содержит бесконечно много точек исходной последовательности.
Теперь можно найти попарно различные элементы х^п Ε Vn.
Ясно, что получена фундаментальная последовательность.
Обратно, пусть А обладает указанным свойством.
Предположим, что для некоторого ε > 0 в А нет конечной ε-сети. По
индукции строим последовательность точек ап Ε А с попарными
расстояниями не менее ε: в качестве а\ берем произвольный
элемент А\ если точки αϊ,..., ап уже построены, то найдется точка
αη+ι с расстояниями до всех них не менее ε, ибо иначе αχ,..., ап
образовывали бы ε-сеть. Из такой последовательности нельзя
выбрать фундаментальную подпоследовательность. D
Дадим теперь несколько равносильных описаний
компактности в метрическом пространстве. Аналогичные свойства для
топологических пространств обсуждаются в §1.9(ш).
1.7.8. Теорема. Пусть К — множество в метрическом
пространстве X. Следующие условия равносильны.
(i) Множество К компактно.
(ii) Всякая бесконечная часть К имеет предельную точку
из К.
(iii) Всякая бесконечная последовательность в К содержит
подпоследовательность, сходящуюся к точке из К.
(iv) Множество К вполне ограничено и полно.
В частности, если X полно, то компактность К
равносильна вполне ограниченности и замкнутости.

42
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Мы уже знаем, что из (i) следует (И).
Ясно, что из (и) следует (Ш), так как если последовательность {хп}
имеет предельную точку χ Ε if, то некоторая ее
подпоследовательность сходится к х. Для этого достаточно в каждом шаре
радиуса 1/п с центром в χ взять точку х^п Ε {#п}> отличную от х.
В силу предыдущего предложения из (ш) следует, что К вполне
ограничено. При этом К полно, так как всякая
фундаментальная последовательность точек из К содержит сходящуюся в К
подпоследовательность и потому сама сходится.
Докажем, что из (iv) следует (i). Пусть дано покрытие К
открытыми множествами С7а, a Ε А. Поскольку К сепарабельно
(как отмечено выше), то по теореме 1.2.13 существует не более
чем счетное его подпокрытие {Uan}. Предположим, что из
этого подпокрытия нельзя выбрать конечное. Тогда для каждого η
найдется точка хп Ε К, не входящая в U£=i Uai· Ввиду
предыдущего предложения и полноты К из последовательности {хп}
можно выбрать подпоследовательность {хПк}, сходящуюся к
точке χ Ε К. Найдется такой номер га, что χ Ε Uam. Следовательно,
для некоторого N получаем хПк Ε Uarn для всех к ^ N. Это
противоречит тому, что хПк £ U2i ^α* · О
Ясно, что свойство компактности инвариантно относительно
гомеоморфизмов. Докажем более сильное утверждение.
1.7.9. Теорема. Пусть X — компакт и f — непрерывное
взаимно однозначное отображение К на хаусдорфово
пространство Υ. Тогда /_1 таксисе непрерывно, т.е. f — гомеоморфизм.
Доказательство. Пусть g = /_1. Если Ε замкнуто в X, то
Ε компактно. Тогда компактно д~ -\Е) = f(E). Поэтому д~1{Е)
замкнуто. Это дает непрерывность д. D
Хорошей иллюстрацией использования компактности
является следующий полезный классический результат.
1.7.10. Теорема. (Теорема Дини) Пусть
последовательность непрерывных функций на компакте поточечно убывает
к непрерывной функции. Тогда она сходится равномерно. То же
самое верно в случае поточечного возрастания.
Доказательство. Пусть нам даны компакт К,
непрерывные функции fn с fn{x) ^ /η+ιΟ*0> причем известно, что функция
f(x) = lim fn(x) также непрерывна. Надо доказать, что сходи-
п-^оо
мость равномерна. Ясно, что вычитанием / мы сводим задачу

1.8. Критерии компактности
43
к случаю / = 0. Пусть ε > 0. Для каждой точки χ есть такой
номер п(х), что fn(x)(x) < ε. Ввиду непрерывности существует
такая окрестность Ux точки ж, что fn(x)(y) < ε при у Ε Ux. Эти
окрестности покрывают ЛГ, поэтому можно найти конечное
подпокрытие UXl,..., UXrn. Положим Νε := max(n(a;i),...,п(хт)).
Тогда ввиду оценки /η+ι < /п при всех п^ Νε получаем fn(y) < ε
при всех у Ε К. Отметим, что непрерывность предельной
функции существенна: функции /п(#) = хп на [0,1] убывают
поточечно, но не равномерно. Этот же пример с [0,1) вместо [0,1]
показывает существенность компактности К. D
В следующем параграфе будут получены критерии
компактности в некоторых конкретных метрических пространствах.
1.8. Критерии компактности
В стандартном координатном пространстве JRn компактные
множества — это замкнутые ограниченные множества. В
курсе анализа этот факт обычно выводится из случая η = 1,
который в свою очередь устанавливается с помощью свойств
вещественных чисел. В большинстве интересных для приложений
пространств класс компактных множеств строго содержится в
классе замкнутых ограниченных множеств. Поэтому
представляют значительный интерес критерии компактности в конкретных
пространствах. Здесь мы рассмотрим три характерных примера.
1.8.1. Теорема. Множество К в пространстве!2
компактно в точности тогда, когда оно замкнуто, ограничено и
выполнено следующее условие:
Jim sup V4 = 0·
Доказательство. Если К компактно, то оно замкнуто,
ограничено и для всякого ε > 0 имеет конечную е^сеть а1,... ,ат,
где аг = (а\, а\,...). Взяв N таким, что Σ™=ν \ап\2 < ζ2 ДО51 всех
г ^ га, получим Υ^=ν хп < 4ε2 для всякого χ Ε К, ибо найдется
г^гпс £~=1 \хп - <|2 < ε2 и х\ ^ 2\хп - <|2 + 2|<|2. Обрат-
но, если выполнено указанное условие, то множество К обладает
конечной ε-сетью для каждого ε > 0. В самом деле^ пусть N
таково, что sup^.^ Σ^=αγ+ι χη < £2/4. Множество Км точек вида
π NX := (#ι,..., χν, 0,0,...), где χ Ε К, является ε/2-сетью для К

44
Глава 1. Метрические и топологические пространства
(ибо расстояние между χ и π^χ не больше ε/2). Β Κ ν есть
конечная ε/2-сеть (которая и будет конечной ε-сетью для К), ибо
проекция Км на ШЛ ограничена из-за ограниченности К и
потому имеет конечную ε/2-сеть, которая становится ε/2-сетью для
Κν после дописывания нулевых координат с (АГ+1)-го места. D
1.8.2. Пример. Множество Ε = {χ Ε Ι2: Σί£α ап^п ^ 1}>
где αη > 0 и ап —► +оо, компактно в /2. В самом деле^ легко
проверить, что оно замкнуто и ограничено. Кроме того,
оо оо
sup У] а£ < sup sup α"1 У] <*ηχ\ ^ sup a'1 -> 0
при TV —> оо. Поэтому применима доказанная теорема.
1.8.3. Теорема. Множество К в пространстве Β(Ω)
компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено
и для всякого ε > 0 множество Ω можно разделить на
конечное число частей Ωι,..., Ωη с тем свойством, что при каждом
г = 1,... ,п имеем \f(u>) — /(u/)| < ε для всех f 6 К, ω,ω' G Ω*.
Доказательство. Как и в предыдущем доказательстве,
если множество К компактно, то оно замкнуто, ограничено и для
всякого ε > 0 имеет конечную ε-сеть /ι,..., /m. Для конечного
набора функций /χ,..., fm нужные множества Ω* существуют.
Действительно, отображение F = (/ι,..., /m): Ω —► IRm принимает
значения в ограниченном множестве Μ. Разделим Μ на
дизъюнктные части Mi диаметра менее ε и положим Ω* := F-1(Mi).
Остается заметить, что для всякой функции / 6 К при ω, ω' Ε Ω
имеем |/(α;) — /(ω')| < 3ε. В самом деле, найдется такая функция
fj из выбранной ε-сети, что d(/, fj) < ε, откуда
I/И - /(«01 < Ι/Η - /»l +1/» - W)\ + l/,V) - /(ω01·
Обратно, пусть выполнено указанное условие. Достаточно
показать, что К вполне ограничено. Пусть ε > 0. Возьмем указанные
в условии множества Ωχ,..., Ωη. Существует такое число Μ > 0,
что sup^ft |/(ω)| ^ Μ для всех / G К. Отрезок [—М,М]
разделим точками а\ = — М,..., ат = Μ на отрезки равной длины
менее ε. Рассмотрим конечное множество F всех функций / на Ω
таких, что на каждом из множеств Ω^ функция / принимает
постоянное значение из {αϊ,... ,am}. Полученное множество
является Зг-сетью для К. Действительно, для всякой функции / Ε К
можно выбрать по точке ω% в каждом Ω^, а затем взять число

1.8. Критерии компактности
45
aft) так, что f(ui) Ε [aj(i)>Oj(i)+i]· Функция д, равная а^ на Ω*,
входит в F. При этом |/(о;) — д(м)\ < 2ε для всех ω Ε Ω. В самом
деле, α; Ε Ω^ при некотором г, откуда получаем
/(ω) - 9(ω)\ < |/(α;) - /(u*)| + |/(α;<) - д(<л)\ + |»(зд) - <?М| < 2ε,
ибо |/(ω) - /(о7<)| < ε и ρ(α7<) = #(u;). D
1.8.4. Теорема. (Теорема Асколи-Арцела) Множество
К в пространстве С[а,Ь] компактно в точности тогда, когда
оно замкнуто, ограничено и равностепенно непрерывно, т.е. для
всякого ε > 0 найдется такое δ > О, что при \t — s\ < δ имеем
l/(*) — /(5)l < е для всех / e К. Аналогичное утверждение верно
в случае пространства С(Х), где X — метрический компакт.
Доказательство. Как и в предыдущей теореме,
необходимость указанного условия легко усмотреть из того, что оно
выполнено для конечных множеств. Достаточность этого условия
следует из предыдущей теоремы. Действительно, пространство
С[а,Ь] изометрично части пространства В ([a, b]). Поэтому
достаточно проверить, что К вполне ограничено как подмножество
2?([а,6]). В качестве множеств Ω$ можно взять промежутки
длины менее 5, дающие в объединении [а,Ь]. Это же рассуждение
годится для любого метрического компакта X вместо отрезка
(в качестве Ω^ надо брать части диаметра менее δ). D
Задача 1.9.45 предлагает распространить этот результат на
отображения со значениями в метрических пространствах.
Аналог для общих компактов К указан в задаче 1.9.75.
1.8.5. Замечание. Если в трех теоремах выше опустить
условие замкнутости, то получим критерии вполне ограниченности
в соответствующих пространствах. Это ясно из доказательств.
1.8.6. Следствие. Если X — метрический компакт, а
последовательность функций /n Ε С(Х) поточечно сходится и
равностепенно непрерывна, то она сходится равномерно.
Доказательство. Условия легко дают равномерную
ограниченность {fn} и единственность предельной точки в С(Х). D
1.8.7. Пример. Множество Ее всех дифференцируемых на
[0,1] функций / с |/(0)| ^Си supt \f(t)\ < С вполне ограничено
в С[0,1]. В самом деле, \f(t) — f(s)\ ^ C\t — s\ для всех / Ε Ее
по теореме о среднем, что дает равностепенную непрерывность.
Кроме того, \f(t)\ ^ |/(0)| + C\t\ ^ 2С, т.е. Ес ограничено.

46
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9. Дополнения и задачи
(i) Направленности в топологических пространствах (46). (И)
Теорема Тихонова (49). (Hi) Счетная и секвенциальная
компактность (50). (iv) Функциональная отделимость множеств (53).
(ν) Теорема Стоуна—Вейерштрасса (59). (vi) Канторовское
множество (62). Задачи (63).
1.9(i). Направленности в топологических пространствах
В отличие от случая метрических пространств, наиболее важные
свойства множеств в общих топологических пространствах нельзя
описать в терминах последовательностей. Для этого приходится
привлекать обобщенные последовательности, индексируемые несчетными
множествами.
Будем называть непустое множество Τ направленным,) если на нем
введена частичная упорядоченность (см. §1.1), удовлетворяющая
следующему условию: для всяких £, s € Τ найдется uGTct^uns^u.
В направленном множестве могут быть несравнимые элементы.
Например, на IR2 можно ввести частичный порядок (х, у) ^ (u, v)
посредством условий χ ^ и, у ^ υ. При этом не все элементы сравнимы, но
всякие два мажорируются некоторым третьим.
Направленностью в X называют набор элементов {xt}teT в X,
индексируемых направленным множеством Т. Аналогичным образом
определяется направленность множеств {Ut}teT в X· Направленность
{xt}ter называется поднаправленностью направленности {ys}seSi если
есть такое отображение π: Τ —► 5, что xt = y^t) и РРЯ всякого 5о € 5
найдется to € Τ с n(t) ^ so при всех t ^ to. Надо иметь в виду, что даже
если индексирующее множество S направленности счетно, не всякая его
счетная часть дает поднаправленность. Например, если S = Ζ с
обычным порядком, то элементы с отрицательными индексами не образуют
поднаправленность: здесь нарушено условие, что для всякого индекса
исходной направленности есть больший индекс поднаправленности.
1.9.1. Определение. Направленность {xt}teT в топологическом
пространстве X сходится к элементу х, если для всякого открытого
множества U, содержащего х, найдется такой индекс to, что xt € U
для всех t € Τ с to < ί. Обозначение: limx* = χ.
Важное отличие сходящейся направленности от сходящейся
последовательности состоит в том, что множество индексов t таких, что
t ^ £о и Xt не входит в U, может быть бесконечно. Таким образом,
выражение «все элементы направленности, начиная с некоторого,
попадают в U» имеет несколько иной смысл и не означает «все, кроме
конечного числа». Даже счетная сходящаяся направленность — не то
же самое, что сходящаяся последовательность. Например, если Τ = Ζ

1.9. Дополнения и задачи
47
с обычным порядком, xt = 1/t при t > О и xt = 1 при £ < 0, то
полученная направленность сходится к нулю. Ее часть с t < 0 лежит вне
(—1,1) и не является поднаправленностью, как пояснено выше.
1.9.2. Предложение. Пусть X uY — топологические
пространства. Отображение f:X—>Y непрерывно в точке χ в точности
тогда, когда для каждой направленности {ха}, сходящейся к х,
направленность {f{xa)} сходится к /(ж).
Доказательство. Пусть / непрерывно в точке ж, направленность
{ха} сходится к χ и V — окрестность /(ж). Возьмем такую окрестность
U точки х, что f{U) С V. Выберем индекс од с тем свойством, что
ха £ U при ао < а. Тогда f(xa) £ f(U) С V при всех таких а, т.е.
имеем f(x) = Нш/(ха).
а
Обратно, пусть выполнено указанное условие с направленностями,
и пусть V — окрестность точки /(х). Возьмем в качестве множества
индексов Τ семейство Ы всех окрестностей точки χ со следующим
отношением: XJ\ ^ 172, если Щ С U\. Ясно, что получено
направленное множество. Предположим, что для всякого U £U найдется точка
хи £ U с f(xu) & V. Полученная направленность {хи} сходится к х.
В самом деле, пусть W — окрестность х. Тогда при W ^ U мы имеем
U С W. Поэтому хи £ U С W. Наше условие дает такую
окрестность Uoj что f(xu) £ У при Uq < U, что противоречит выбору
элементов хц- Следовательно, наше предположение неверно, т.е. найдется
такая окрестность U точки я, что f{U) С V. Это доказывает
непрерывность / в точке χ. Ώ
Приведем другой пример использования направленностей.
1.9.3. Пример. Предельная точка множества А в топологическом
пространстве X является пределом некоторой направленности
элементов Л, отличных от данной точки. В самом деле, используем то же
индексное множество, что и в доказанном выше предложении. Тогда для
каждой окрестности U данной предельной точки χ существует элемент
хи £ А П [/, отличный от х. Полученная направленность сходится к х.
Отметим, что предельная точка множества, образованного всеми
элементами направленности {ж*}, может не быть пределом какой-либо
поднаправленности в {xt} (хотя и является пределом направленности,
составленной из элементов {х*}). Например, пусть Τ = Ζ с обычным
порядком, хп = 1/га при η < О, хп = η при η ^ 0. Тогда 0 — предельная
точка множества чисел хп, но в направленности {хп} нет сходящихся
к нулю поднаправленностей. Наконец, даже если направленность
содержит лишь счетное число различных точек и сходится к некоторому
пределу, может не существовать никакой сходящейся счетной
последовательности элементов этой направленности.

48 Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.4. Пример. Пусть X = [О,1]Ш с топологией поточечной
сходимости. Положим xn(t) = sinnt. Всякая окрестность U точки χ = О
содержит некоторый элемент хп. Действительно, окрестность U
содержит окрестность вида
Utlt...,tkte = {х·· \x(U)\ <ε,ί = 1,...,Λ}.
Нетрудно видеть (читателю предлагается это проверить), что при
некотором η мы имеем | sinnii| < ε при г = 1,..., к, т.е. хп £ Uq. Из
предыдущего примера следует, что существует сходящаяся к нулю
направленность, состоящая из элементов данной последовательности. С другой
стороны, легко показать, что нет такой последовательности
натуральных чисел п«, что sinnji —» 0 при всех ί, т.е. никакая
подпоследовательность в {хп} не сходится к нулю.
Все эти простые примеры и утверждения демонстрируют также
весьма характерные приемы обращения с направленностями.
Приведем еще одно полезное, но чуть более трудное утверждение похожего
типа. Будем говорить, что направленность {xt} часто бывает в
множестве Е, если для всякого ίο найдется t cto ^t и xt £ Е.
1.9.5. Предложение. Пусть направленность {xt}ter элементов
топологического пространства X и точка χ £ X таковы, что {xt}
часто бывает в каждой окрестности х. Тогда в {xt} есть поднаправ-
ленность, сходящаяся к х.
Доказательство. Решающий момент здесь — правильный выбор
индексирующего множества для поднаправленности. В качестве такого
множества S возьмем совокупность всех пар вида s = (ί, [/), где t £ Τ,
U — окрестность χ и xt £U. На множестве пар отношение частичного
порядка зададим так:
(ii, Ui) < (ί2, U2), если ti ^ ί2 и U2 С U\.
Ясно, что это действительно отношение частичного порядка. При этом
S направленно. В самом деле, поскольку Τ направленно, для всяких
s\ = {t\,U\) и 52 = (£2,^2) из S найдется ίο € Τ с ίι ^ to и t2 ^ ίο-
Положим Us = UiC\U2. По условию существует ts £ Τ с ίο < ίβ, xt3 £ Us.
Тогда элемент ss := {ts, Us) входит в 5 и мажорирует si и 52-
Теперь положим х8 := xt при s = (ί, U). Тогда χ = limxs. Действи-
8
тельно, пусть U — окрестность х. Так как {xt} часто бывает в J7, то
найдется ί0 £ Τ с xto £ 17, т.е. so := (ίο, U) £ S. Если s — (ί, V) и so < 5,
то получаем xs = xt £ V С С/, что и доказывает наше утверждение.
Наконец, не забудем проверить, что {xs} — поднаправленность
исходной направленности. Для каждого s = (t,U) £ S положим n(s) = ί.
Пусть ίο £ Т. Поскольку в качестве U можно брать и все X, то пара
s0 = (ίο, Χ) входит в S. Если s0 ^ s = (£, V) £ 5, то ίο < ί = π($), что
завершает доказательство. D

1.9. Дополнения и задачи
49
Еще раз обратим внимание на то, что для справедливости
заключения этого предложения мало предположить, что χ есть предельная
точка множества элементов xt даже в случае прямой.
Направленности будут использованы ниже в §1.9(ш) для описания
компактности в терминах сходимости.
1.9(ii). Теорема Тихонова
Приведем одну полезную характеризацию компактности.
Семейство множеств в пространстве X называется центрированным, если
каждое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение.
1.9.6. Теорема. Хаусдорфово пространство X компактно в
точности тогда, когда всякое центрированное семейство его замкнутых
подмножеств имеет непустое пересечение.
Следовательно, X компактно в точности тогда, когда всякое
центрированное семейство его произвольных подмножеств имеет
общую точку прикосновения.
Доказательство. Пусть X компактно и Τ — некоторое
центрированное семейство его замкнутых подмножеств. Если пересечение всех
множеств из Τ пусто, то дополнения множеств из Τ образуют открытое
покрытие X. Ввиду компактности из этого покрытия можно выделить
конечное подпокрытие множествами X\F\, ..., X\Fn, где Fi £ Т.
Тогда ΠΓ=ι F* пУсто вопреки условию.
Обратно, пусть X удовлетворяет указанному условию, и пусть
открытые множества {7а, о. £ А, покрывают X. Тогда замкнутые
множества X\UQ имеют пустое пересечение. Следовательно, найдется
конечный набор индексов αϊ,... ,αη, для которого множество CQ=i(X\Uai)
пусто. Это означает, что X = UILi ^<*« · ^ случае произвольных
подмножеств надо применить доказанное к их замыканиям. D
Очень важную роль в топологии и функциональном анализе, а
также в их приложениях играет следующий результат А.Н. Тихонова.
1.9.7. Теорема. (Теорема Тихонова) Пусть Τ — непустое
множество индексов и для каждого t £ Τ дано непустое
компактное пространство Kt. Тогда произведение К := Y[teTKt компактно
в топологии произведения.
Доказательство. Проверим, что всякое центрированное
семейство S подмножеств пространства К имеет общую точку
прикосновения. Тогда можно будет применить предыдущую теорему. Сначала
покажем, что данное семейство можно считать максимальным, т.е. что
нет строго содержащего его центрированного семейства. Для этого
рассмотрим множество Θ, элементы которого — всевозможные
центрированные семейства подмножеств К, содержащие данное семейство S.

50
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Оно частично упорядочено по включению, причем всякая линейно
упорядоченная часть β имеет мажоранту: объединение всех семейств этой
части. По лемме Цорна в & есть максимальный элемент, которым
молено заменить S. Из максимальности S следует, что S замкнуто
относительно конечных пересечений, ибо добавление к S всевозможных
конечных пересечений множеств из S дает центрированную систему.
Теперь, считая, что семейство S максимально, для каждого t
возьмем естественное проектирование щ: К —» Ktvi рассмотрим семейство
St := {nt(A): Л £ S} подмножеств в Kt, т.е. проекции на Kt исходных
множеств. Ясно, что это семейство также центрировано. Ввиду
компактности Kt оно имеет общую точку прикосновения. Возьмем какую-
либо из таких точек xt. Покажем, что точка χ = (xt) £ К — искомая.
По определению топологии в К всякая окрестность этой точки
содержит окрестность вида V :=Y[tUt, где для некоторого конечного набора
ti,... ,£п множества Uti — окрестности xti, а все остальные Ut
совпадают с Kt. В силу выбора xt каждая окрестность Ut пересекается со
всеми множествами семейства S^, т.е. n^l{Ut) пересекается со всеми
множествами семейства S. Ввиду максимальности S мы получаем, что
π^"1(ί7ί) Ε 5, ибо добавление 7r^~1(J7t) к S приводит к центрированной
системе. Поскольку S замкнуто относительно конечных пересечений,
получаем У € 5. Тем самым множество V пересекается с каждым
множеством из S, т.е. χ — общая точка прикосновения. D
Имеются и другие доказательства этого важного результата.
Теорема Тихонова часто используется для доказательства
компактности более специальных множеств путем вложения их в произведение
компактов и проверки замкнутости образа. Например, таким
способом ниже будет доказана важная теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки.
Следует сказать также, что всякий компакт гомеоморфен компакту
в некоторой степени отрезка (см. задачу 1.9.73).
1.9(iii). Счетная и секвенциальная компактность
В неметризуемых пространствах компактность отнюдь не всегда
характеризуется через последовательности.
1.9.8. Определение. Множество в хаусдорфовом пространстве
называется секвенциально компактным, если из всякой бесконечной
последовательности его элементов можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся к точке этого же множества.
Множество в хаусдорфовом пространстве называется счетно
компактным, если всякое счетное покрытие его открытыми
множествами имеет конечное подпокрытие.
Ясно, что компакты счетно компактны, но обратное неверно, как
мы увидим ниже. Кроме того, компакт не обязан быть секвенциально
компактным.

1.9. Дополнения и задачи
51
1.9.9. Пример. Пусть X = [-Ι,Ι]11 = {х: IR -> [-1,1]} с
топологией произведения. По теореме Тихонова X компактно, однако
последовательность элементов хп £ X вида xn(t) = sinnt не имеет
сходящихся подпоследовательностей. В самом деле, если бы в {хп}
была сходящаяся подпоследовательность {хПк}·, то это означало бы, что
последовательность sin n&£ сходится при каждом t £ К. Оставляем
читателю проверку того, что это невозможно.
Однако аналог полученной выше характеризации компактности
в метрических пространствах все же возможен, если вместо
последовательностей использовать направленности.
1.9.10. Теорема. Пусть X — хаусдорфово пространство.
Следующие условия равносильны:
(i) пространство X компактно]
(Ц) всякая бесконечная направленность в X имеет сходящуюся
поднаправленность.
Доказательство. Пусть X компактно и {xt}ter — бесконечная
направленность в X. Заметим, что существует такая точка xGl, что
{xt} часто бывает в каждой окрестности х. В противном случае для
каждой точки χ £ X найдутся ее окрестность Ux и индекс tx такие, что
xt & Ux при tx < ί. Так как множества Ux покрывают X, то некоторое
конечное их подсемейство UXl,...,UXn также покрывает X.
Найдется индекс τ £ Т, мажорирующий все tXi, г ^ п. Тогда для всякого t
cr^t получаем xt & UXl U · · · U UXn — противоречие. Теперь остается
воспользоваться предложением 1.9.5.
Пусть верно (ii), и пусть данб покрытие X открытыми
множествами [7α, α £ А. Рассмотрим множество Т, состоящее из всевозможных
конечных подмножеств А, частично упорядоченное по включению.
Ясно, что это направленное множество, ибо объединение двух конечных
множеств конечно. Предположим, что данное покрытие не имеет
конечного подпокрытия. Тогда для каждого t = {αϊ,..., αη} £ Τ имеется
точка xt £ Х\ UlLi UUi. Итак, задана направленность в X. По условия)
она имеет поднаправленность {x3}ses, сходящуюся к некоторой
точке χ £ X. Выберем ао £ А с χ £ UaQ. По построению имеется такой
элемент so £ 5, что х3 £ Uao для всех s £ S с so ^ s. Множество S
содержит элемент s\, который превосходит как so, так и элемент {ао} £ Τ
из одной точки ао- Тогда xSl £ Uao. Это ведет к противоречию, ибо sι
есть такой конечный набор {t\,... ,£&}, что xsi не входит в
объединение множеств Uat., i ^ к, но среди этих множеств есть иао из-за того,
что {αο} ^ 5ι. Итак, всякое открытое покрытие пространства X имеет
конечное подпокрытие. D
Как видим, здесь не упомянут аналог свойства (и) теоремы 1.7.8:
всякая бесконечная часть X имеет предельную точку. Оказывается, это

52 Глава 1. Метрические и топологические пространства
свойство в общих топологических пространствах слабее компактности
и равносильно свойству счетной компактности.
1.9.11. Предложение. Хаусдорфово топологическое
пространство X счетно компактно в точности тогда, когда всякая его
бесконечная часть имеет предельную точку.
Доказательство. Пусть наше пространство X счетно компактно
и {хп} — бесконечная последовательность различных точек в X. Если
она не имеет предельных точек, то для каждого η множество Fn точек
Хк с fc ^ га замкнуто. При этом Π^=ι Fn = &· Множества X\Fn
открыты и покрывают X. Значит, некоторое их конечное число покрывает X,
т.е. одно из них есть все X, что невозможно.
Пусть всякая бесконечная часть X имеет предельную точку, и пусть
открытые множества [7η, где га € IN, покрывают X. Предположим, что
для каждого га найдется точка хп, не покрытая множествами J7i,..., Un-
Множество таких точек бесконечно (иначе найдется конечное
подпокрытие) и потому имеет предельную точку х. Найдем га с χ £ Un.
Затем найдем т > га с хт £ Un (это возможно, ибо X хаусдорфово
и χ — предельная точка {хп}). Получено противоречие с тем, что хш
не покрыто множествами U\,..., Um. Π
Ясно, что в доказанном утверждении достаточно рассматривать
лишь счетные подмножества.
Из этого предложения также следует уже известный нам факт, что
всякая бесконечная часть компакта обладает предельной точкой.
Из доказанного ясно, что всякое секвенциально компактное
пространство счетно компактно. Однако обратное неверно: в примере 1.9.9
компакт не является секвенциально компактным. Приведем пример
некомпактного счетно компактного и секвенциально компактного
пространства.
1.9.12. Пример. Пусть S — множество всех функций χ на прямой
со значениями в [0,1], для которых существует счетное множество Ех,
вне которого функция χ равна нулю. Тогда с топологией поточечной
сходимости (т.е. топологией, индуцированной компактным
пространством [0,1]Ш) пространство S не является компактным, хотя счетно
компактно и даже секвенциально компактно. Действительно, если
дана последовательность функций хп £ 5, то имеется счетное множество
Ε = {tj}, вне которого все хп равны нулю. С помощью
диагонального метода можно выбрать подпоследовательность {хпк}, сходящуюся
в каждой точке tj. Легко видеть, что S всюду плотно в [0,1}ш.
Поэтому S — не компакт. Можно также и явно указать открытое покрытие,
не имеющее конечного подпокрытия. Для этого рассмотрим открытые
в S множества
Uttk := {xeS: \x(t) -t\> 1/fc}, t G [0,1], к G IN.

1.9. Дополнения и задачи
53
Всякая точка χ из S входит в одно из Ut,k (достаточно взять t φ Ο
с x(t) = 0 и к с Ι/fc < £), но никакое конечное их объединение не
исчерпывает 5.
Таким образом, счетная компактность вытекает как из
компактности, так и из секвенциальной компактности, но других импликаций
между этими тремя понятиями в общем случае нет. В метрических же
пространствах они равносильны.
1.9(iv). Функциональная отделимость множеств
Во многих приложениях общей топологии бывают важны
непрерывные функции на компактах. Пока же из наших рассмотрений никак
не вытекает, что на бесконечных компактах всегда есть непостоянные
непрерывные функции. Конечно, на метрических компактах можно
задавать такие функции с помощью метрики. Но как быть с
общими топологическими компактами? Ответ дается замечательной
теоремой П.С. Урысона, которая применима даже к более широкому
классу нормальных пространств, т.е. таких хаусдорфовых топологических
пространств, в которых для всяких непересекающихся замкнутых
множеств А и В можно найти непересекающиеся открытые множества U
nV cAcUnBcV.
1.9.13. Пример. Всякий компакт является нормальным
пространством. Кроме того, всякое метрическое пространство нормально.
Доказательство. Пусть А и В — дизъюнктные замкнутые
множества в компактном пространстве. Заметим сначала, что для всякой
точки χ вне В имеются такие открытые множества Ux и Ух, что χ Ε Ux,
В с Vx и UXC\VX = 0, т.е. χ и В разделяются открытыми множествами.
В самом деле, для каждого у Ε В найдем непересекающиеся
окрестности Wy и Sy точек а; и у. Из покрытия компакта В множествами Sy
выберем конечное подпокрытие Syi,..., SVn и положим
их = wyiη···ηwyn, vx = syiu--usyn.
Так как замкнутые множества А и В в компакте дизъюнктны, то по
доказанному для каждой точки χ е А имеются окрестность Ux точки χ
и окрестность Vx множества В с UXC\VX = 0. Покрытие А множествами
Ux имеет конечное подпокрытие UXl,..., UXn. Положим
и = иХ1 и···ииХп, ν = νχ1η···ηνΧη.
В случае метрического пространства подходят множества
U := LU^Mist(*,B)/2), V - \JxeBB(x,dist(x,A)/2),
что легко проверяется с помощью неравенства треугольника. Еще
проще сразу проверить функциональную отделимость А и В с помощью
указанной ниже формулы. D

54 Глава 1. Метрические и топологические пространства
Множества А и В в топологическом пространстве X
называются функционально отделимыми, если существует такая непрерывная
функция /: X -> [0,1], что А С /~г(0) и Б С
/"Наследующий важный результат получен П.С. Урысоном.
1.9.14. Теорема. (Теорема Урысона) В нормальном
пространстве всякие два непересекающиеся замкнутые множества
функционально отделимы. В частности, это верно для компактных и для
метризуемых пространств.
Доказательство. Трудность построения нужной функции
заключается в том, что у нас нет никакой информации о нашем
пространстве X, кроме знания о существовании разделяющих
окрестностей. Поэтому эта функция строится весьма неявно путем указания ее
множеств уровня. Пусть А и В — дизъюнктные замкнутые множества.
Найдется такое открытое множество 17, что А С U С V := Х\В.
Предположим, что для каждого двоично-рационального числа г £ [0,1], т.е.
числа вида m2~n, нам удалось указать открытое множество Ur С X
так, что С/о = U, U\ = V, Ut С Ur при t < г. Зададим функцию /
формулой
f(x) = inf{r: χ е Ur} при χ £ V, f(x) = 1 при х £ X\V.
Заметим, что f(x) = 0 для χ £ А С U. По построению В С /_1(1).
Для доказательства непрерывности / достаточно проверить
открытость множеств /_1((а,6)). Неравенство f(x) < Ь равносильно тому,
что χ £ Ur при некотором г < 6, т.е. множество /_1([0,&)) = \Jr<bUr
открыто. Неравенство f(x) > а равносильно тому, что существует
такое г > а, что χ 0 Ur. По свойствам Ur это выполнено в точности тогда,
когда при некотором q > а мы имеем χ £ Uq. Следовательно,
Г1((а,1])=ия>а(ХШ
что показывает открытость множества /_1 ((α, &)). Остается найти
множества UT для г вида г = т2~п. Применим индукцию по п. Пусть
множества Ur построены при всех г = га2~п, где m — О,...,2П. На
следующем шаге нужно найти множество Ur для каждой новой
точки — середины г отрезка [s,t] с s = m2~n, t — (m + l)2~n. Для такой
точки г множество Ur находится так: поскольку замкнутые множества
U3 и X\Ut не пересекаются, то найдутся такие открытые множества Ur
и Vr, что Us С Uг и X\Ut С К· Из последнего включения следует, что
Uг dUt, поэтому Uг подходит для наших целей. D
В случае метрического пространства нужную функцию можно
задать явно: / = /ι/(/ι + /2), где /ι(χ) — dist(x,A), f2(x) = d\st(x,B).

1.9. Дополнения и задачи
55
При этом выполнено даже более сильное условие (которого не всегда
можно добиться для общих компактов): А = /_1(0), В — /~1(1).
Близкой по духу и сфере применений является следующая теорема
Титце-Урысона о продолжении непрерывных функций.
1.9.15. Теорема. Пусть X — нормальное топологическое
пространство и Ζ — замкнутое подмножество в X. Тогда всякая
ограниченная непрерывная вещественная функция на Ζ продолжается до
непрерывной вещественной функции на всем X без изменения инфи-
мума и супремума.
В частности, это верно, если X компактно или метризуемо.
Доказательство. Без ущерба для общности можно считать, что
inf^GZ f{z) = —1, supzGZ/^) = 1. Идея построения продолжения
состоит в следующем: сначала проверим, что для всякого с > 0 и всякой
непрерывной функции φ: Ζ —> [—с, с] существует такая непрерывная
функция ψ: X —► [—с/3,с/3], что swpzeZ \φ(ζ) — φ{ζ)\ ^ 2с/3. В
самом деле, множества А := <£_1([—с, —с/3]) и В := <^_1([с/35с])
замкнуты и дизъюнктны. По теореме Урысона существует такая
непрерывная функция д: X —> [0,1], что А С <7_1(0) и В С <7_1(1). Положим
ψ(χ) = 2с(д(х) - 1/2)/3. Тогда \ψ(χ)\ ^ с/3 и \ψ(ζ) - ψ(ζ)\ ^ 2с/3 для
всех ζ £ Ζ, ибо при ζ £ А имеем φ{ζ) £ [—с, —с/3] и ψ(ζ) = —с/3,
при ζ £ В имеем φ(ζ) £ [с/3, с] и ψ(ζ) — с/3, а для прочих ζ £ Ζ
имеем \φ{ζ)\ ^ с/3 и \ψ{ζ)\ ^ с/3. Теперь по индукции находим такие
непрерывные функции /& на X, что
sup |Д(х)| < (2/3)fe-73, вир|/(*) - Σ?=ι Μ*)\ < (2/3)fe·
В качестве /ι берем построенную выше функцию ψ для функции φ = f
и с = 1. Если /χ,..., /& уже построены, то применяем доказанное выше
к функции φ = f — Σ^=ι /j на Ζ и с = (2/3)*. Равномерно сходящийся
ряд Х^х Д задает искомое продолжение. D
С функциональной отделимостью связано построение так
называемых разбиений единицы, используемых во многих вопросах.
1.9.16. Теорема. Пусть X — нормальное топологическое
пространство и {Ut}teT — его покрытие открытыми множествами,
локально конечное в следующем смысле: каждая точка обладает
окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом этих множеств.
Тогда существует семейство непрерывных функций ft: X —» [0,1] со
следующими свойствами: Y^,teT ft(x) — 1 для всех χ и ft = 0 вне Ut
для всякого t.
Доказательство. 1. Сначала покажем, что существует открытое
покрытие {Vt}ter пространства X с Vt С Ut при всех t. Пусть W —

56
Глава 1. Метрические и топологические пространства
класс всех открытых множеств в X, и пусть Τ — семейство всех таких
отображений F: Τ -» W, что \JteTF(t) = X, причем либо F(t) = Ut,
либо F(t) С Ut. Исходное покрытие дает отображение из Т. Данное
семейство Τ частично упорядочено следующим образом: F\ ^ F2, если
i<2(t) = F\(t) для всякого такого t, что Fi(t) φ Щ. Нетрудно проверить,
что действительно получен частичный порядок.
Докажем, что всякая линейно упорядоченная часть Т§ С Τ имеет
мажоранту Fo, задаваемую формулой F0(t) := PIfg^o F(t)- Для этого
надо лишь убедиться, что F0 £ Т. Ясно, что множество F0(t) либо
совпадает с Ut, либо имеет замыкание, входящее в Ut. При этом Fo{i)
открыто, ибо если F(t) Φ Ut при каких-то F £ Т§ и t £ Г, то для
всякого другого F' € Тъ мы имеем либо F'(t) — Ut, либо Ff(t) = F(t).
Это следует из того, что либо F ^ F', либо F1 ^ F ввиду линейной
упорядоченности Т§. Чтобы проверить, что X = \Jt€TF(t), возьмем
χ € X и выберем конечное множество индексов ίι,...,ί* £ Τ, для
которых χ € |Ji=i Uti и χ g Ut при ί 0 {ti,... ,ifc}. Это возможно по
условию. Если Fo(ti) = I7tt. при некотором г < А;, то проверка окончена.
Пусть F(^) ^ Uti при всех г < к. Тогда для каждого г < к найдется
Fi £ Тъ с i^(ii) 7^ C/ti · Ввиду линейной упорядоченности Тъ имеется
такое j ^ fc, что Fi ^ F, при г ^ А;, что дает χ G Fj(ti) при некотором
г < А;, ибо χ ^ -Fj'(*) ПРИ * £ {*ъ · · ·»tk) из-за того, что χ £ J7t, но при
этом χ G UteT^j(^)· Г^ак как F%(U) Φ Uti, то из сказанного выше
следует, что Fi(ti) — Fj(U) — F(U) для всех таких F £ Ро, что F(U) Φ Uti-
Следовательно, χ £ Fo(ti) — Fj(U).
По лемме Цорна в Τ есть максимальный элемент F. Покажем, что
F(t) С Щ при всех £, что и даст нужное покрытие. Допустим, что
F(t) Π (X\Uto) φ 0 при некотором to- Тогда из определения Τ
следует, что F(to) = Uto. Множество Ε := X\\Jt^to ^(0 с ^(*о) замкнуто.
Ввиду нормальности X есть такое FGW, что F с V С V С F(io)·
Отображение F', заданное формулой F'(to) = V, F'(i) = F(i) при
t φίο, входит в J7, причем F ^ F' и F φ F'. Это противоречит
максимальности F и доказывает, что F(t) С i/t при всех t.
2. Возьмем такие открытые множества Wt-> что V* С Wt и W* С i7t.
Согласно теореме Урысона для каждого Существует непрерывная
функция gt: X -» [0,1] с 0t(x) = 1 при χ £ Vt и ^t(x) = 0 при χ £ Wt.
Значит, каждая точка имеет окрестность, в которой лишь конечное
число функций gt отлично от нуля. Поэтому функция д — Y^tgt
конечна и непрерывна. Кроме того, д{х) ^ 1, ибо всякая точка χ входит
в некоторое Vt и потому gt(x) = 1. Остается положить ft := gt/9- Π
Для применений этой теоремы полезно уметь вписывать в
открытые покрытия локально конечные открытые покрытия. Это не всегда

1.9. Дополнения и задачи
57
возможно. Пространства, в которых это возможно, называются па-
ракомпактными. Ясно, что компактное пространство паракомпактно.
Следующая теорема Стоуна показывает, что метризуемые
пространства также паракомпактны.
1.9.17. Теорема. Пусть (X,d) — метрическое пространство,
{Ut}ter — его открытое покрытие. Тогда найдется локально конечное
покрытие {ys}3^s пространства X, вписанное в {Ut}teT, я*·е. всякий
его элемент входит в какой-либо элемент исходного покрытия. При
этом можно взять S состоящим из счетного числа частей Sj с тем
свойством, что для всякого j каждая точка имеет окрестность,
пересекающуюся не более чем с одним из множеств V3 с s £ Sj.
Доказательство. Превратим Τ во вполне упорядоченное
множество. Напомним, что тогда всякое непустое подмножество Τ имеет
наименьший элемент. По индукции зададим семейства V* = {Т4,г}*€Т>
г € IN, открытых подмножеств X формулой Vtt% := \JB(c, 1/2г), где
В(с,г) — открытый шар радиуса г с центром в с и объединение
берется по всем с £ X, удовлетворяющим следующим условиям: (1) t есть
наименьший элемент Т, для которого с £ Ut\ (2) с £ V3j при j < г
hsgT; (3) 5(c,3/2*)ct/t.
Ясно, что Vt,i С Ut. Пусть χ £ X. Выберем наименьшее t с χ £ J7t,
а затем такое г € IN, что £(х,3/2г) С Ut. Заметим, что либо χ £ VSlj
при некоторых j < г и s £ Τ, либо χ £ Vtt%. Итак, V := (J£i И является
открытым покрытием, вписанным в исходное.
Покажем, что при фиксированном г мы имеем d(x,x') > 1/2г,
если χ € V3ti, χ1 £ Vt,i и s φ t. Это означает, что всякий шар радиуса
1/2г+1 пересекает не более одного множества из V%. Пусть s < t. По
определению V8ii и Vtt% найдутся такие точки сие', удовлетворяющие
(1)-(3), что χ £ В{с,1/21) С VSti и х' £ Β(</,1/2*) С Vtti. Так как
с' £ U3 ввиду (1) и Б(с, 3/2*) С U3 ввиду (3), то d(c, d) ^ 3/2*. Поэтому
d{x,xf) ^ d(c,cf) — d(c,х) — d(c',x') > 1/2% что и требовалось.
Для завершения доказательства достаточно показать, что для
всяких t £ Τ и пары натуральных чисел j, к из включения f?(x, 1/2*) С Vtj
следует равенство Б(ж, 1/2J+*) Π V^ = 0 при всех i^j + kns€T.
В самом деле^ если это установлено, то для всякого χ можно выбрать
такие fc, j £ IN и ί е Г, что Б(х, 1/2*) С 14,j, а тогда шар В(х, 1/2*+*)
пересекает не более j + fc — 1 элементов V. Для обоснования
указанного утверждения заметим, что из использованного при определении V8i%
свойства (2) следует, что упомянутые там точки с не входят в Vtj, если
г^ зЛ-к. Так как В(х, 1/2*) С Vt,j, то d(x,c) > 1/2* для таких с. Ввиду
неравенств j + fc^fc+lnz^fc + l имеем В(х, 1/2'+*) Π В(с, 1/2*) = 0,
откуда В(х, 1/2'+*) Π Ум = 0. D

58 Глава 1. Метрические и топологические пространства
В терминах функциональной отделимости вводится еще один
важный класс топологических пространств. Хаусдорфово пространство X
называется вполне регулярным или тихоновским, если для каждой
точки χ £ X и каждой ее окрестности U найдется непрерывная
функция /: X —► [0,1] с f(x) = 1 и f(y) = 0 при всех у 0 U. Из
доказанного выше явствует, что нормальные пространства вполне регулярны.
В частности, компактные пространства вполне регулярны, ибо
нормальны. Бывают, однако, вполне регулярные пространства, не
являющиеся нормальными (задача 1.9.76).
Для вполне регулярных пространств имеется важная процедура
компактификации Стоуна-Чеха. Компакт βΧ называется компакти-
фикацией Стоуна-Чеха вполне регулярного пространства X, если X
гомеоморфно вложено в качестве всюду плотного множества в βΧ,
причем всякая ограниченная непрерывная функция на X продолжается до
непрерывной функции на βΧ.
1.9.18. Теорема. Всякое вполне регулярное пространство X
имеет единственную с точностью до гомеоморфизма компактификацию
Стоуна-Чеха βΧ.
Доказательство. Пусть Τ — класс всех непрерывных функций
из X в [0,1]. Пространство [0,1]^ всех функций на Τ со значениями
в [0,1] наделим топологией поточечной сходимости. Пространство X
вложено в [0,1]"^ с помощью формулы χ н-*· Фж, Φχ(φ) := φ{%), φ £ Т.
Непосредственно проверяется, что X гомеоморфно аюему образу при
этом вложении. В качестве βΧ возьмем замыкание X пространства X
в [0,1]*^ (точнее, замыкание образа при вложении). Пространство [0,1]^
компактно по теореме Тихонова, поэтому X — тоже компакт. Чтобы
продолжить ограниченную непрерывную функцию / с X на X,
достаточно сделать это в предположении, что f(X) С [0,1]. Тогда полагаем
/(Ф) := Ф(/), Φ G X, что возможно, ибо / е Т. Единственность βΧ
с точностью до гомеоморфизма — предмет задачи 1.9.79. D
1.9.19. Следствие. Если К — компакт во вполне регулярном
пространстве X, то всякая непрерывная функция f на К
продолжается до непрерывной функции g на X с supxGJr \9{χ)\ — suPxeK \f(x)\-
Доказательство. Множество К компактно и в βΧ, поэтому
применима теорема 1.9.15. D
Обсуждение компактификации см. в Энгелькинг [246]. Отметим
лишь, что компактификации Стоуна-Чеха — весьма сложный объект
даже для простых пространств. Например, компактификация Стоуна-
Чеха интервала (0,1) не есть отрезок [0,1]. Компактификация Стоуна-
Чеха /Ш натурального ряда IN отнюдь не совпадает с одноточечной
компактификацией IN U {оо}, а является несчетным неметризуемым

1.9. Дополнения и задачи
59
компактом. С пространства X на βΧ продолжаются не только
ограниченные непрерывные функции, но и любые непрерывные отображения
в компакты (см. задачу 1.9.79). Заметим еще, что мы имеем βΧ — βΥ,
если X CY CβX.
1.9(ν). Теорема Стоуна-Вейерштрасса
Из курса анализа известно, что всякая непрерывная функция на
отрезке равномерно приближается многочленами. Следующая
фундаментальная теорема Стоуна-Вейерштрасса дает весьма широкое
обобщение этого факта.
Семейство Ε вещественных функций на множестве X называют
алгеброй функций, если для всех /, д £ £ и всех λ £ Ж1 мы имеем
λ/, f+g, fg Ε £, где операции над функциями определяются поточечно.
Говорят, что семейство функций Τ разделяет точки множества X,
если для всякой пары разных точек х, у £ X найдется функция / £ Τ
с/(х)^/(»).
1.9.20. Теорема. (Теорема Стоуна-Вейерштрасса) Пусть
К — непустой компакт и £ — некоторая алгебра непрерывных
вещественных функций на К, содержащая все постоянные и
разделяющая точки. Тогда алгебра £ всюду плотна в пространстве С(К) с его
стандартной sup-метрикой.
Доказательство. Чтобы не использовать классическую теорему
Вейерштрасса, а получить ее как следствие, мы заметим, что функцию
t н-*· уД на [0,1] можно равномерно приблизить многочленами. Для
этого достаточно уметь приближать многочленами функции t н+ yjt + 1/fc,
а эти функции приближаются рядами Тейлора.
Первый этап доказательства — проверка того, что для всехфунк-
ций /,# е £ функции min(/,p) и тах(/,у) входят в замыкание ε
алгебры ε в С (К). Поскольку
mm(/,0) = i(/ + S-|/-i|), 1Шж(/,я) = |(/ + 0+|/-0|),
то ввиду линейности ε достаточно убедиться, что |/| £ £ при / Ε £.
Можно считать, что sup,p \f(x)\ ^ 1. Возьмем последовательность
многочленов Pj, равномерно сходящихся на [0,1] к функции t \-+ уД, и
положим fj(x) := Pj(/(x)2). Ясно, что функции fj входят в ε и равномерно
сходятся к |/| = \[р·. Отметим, что на этом этапе мы не использовали,
что К компактно, а ε разделяет точки. Кроме того, заметим, что ε —
также алгебра функций.
Теперь покажем, что для всяких / £ С(К) и ε > 0 найдется элемент
f€ £ ε с supa. \f(x) — Л(ж)1 < ε· Дл* каждой пары различных точек

60 Глава 1. Метрические и топологические пространства
а, Ь £ К по условию есть функция ha,b € £ с hayb(a) Φ Ь,а,ъ{Ъ). Положим
Тогда fa,b € 5 и /а,ь(о) = /(а), fa,b{b) — /(6). Множества
fo,b := {ж: /а,ь(х) < /(х) + ε} и Уа,ь := {х: /а,ь(х) > /(ж) - ε}
являются окрестностями точек а и Ь соответственно. Зафиксируем Ь.
Из покрытия компакта К множествами Ua,b выберем конечное
подпокрытие множествами 1/αι,6>···>#<*„,ь· По доказанному выше функция
fb := min(/ai)b,... ,/вп,ь) входит в 5. Ясно, что Д(х) < /(χ)+ε при всех
χ € К и /ь(х) > /(х) — ε при χ € \% := ΠΓ=ι ^α*,&· При этом множество
Η — открытая окрестность точки 6. Из полученного покрытия
компакта К выберем конечное подпокрытие множествами Vbx,.. ·, Vbm.
Наконец, положим де = тах(/ь19... ,/ьт). Ясно, что supx |/(х) - де(х)\ < ε.
Из сказанного на первом этапе доказательства следует, что де е £.
Поэтому найдется fe £ S с snpx |/(х) — /е(х)| < ε. D
Из этой теоремы следуют классические теоремы Вейерштрасса
о приближении многочленами (алгебраическими или
тригонометрическими). Например, обычные многочлены, суженные на компакт К в ГО/1,
образуют алгебру и разделяют точки. Поэтому ими приближаются все
непрерывные вещественные функции на К. Рассмотрим другой
пример.
1.9.21. Пример, (i) Если Τ — некоторый разделяющий точки
класс непрерывных вещественных функций на компакте К, то всякая
непрерывная вещественная функция на К равномерно приближается
функциями вида -Ρ(/ι,...,/η)> гДе Ρ ~ многочлен от η переменных,
Л ? · · · » fn € Т. В частности, всякая непрерывная вещественная
функция на степени отрезка [0,1]т равномерно приближается функциями
вида P(xtx,..., xt„)> где Ρ — многочлен от η переменных их*—
координатные функции.
В самом деле, функции указанного вида образуют алгебру и
разделяют точки.
(ii) Пусть Kt, где t G Τ, — некоторое семейство непустых компактов
и К = Πί6Τ Kt ~~ их произведение. Тогда всякая непрерывная
вещественная функция на К равномерно приближается функциями вида
Ρ(/ΐ(^),...,/η(Χίη)),
где Ρ — многочлен от η переменных, f\ — непрерывная функция на Kti,
U £ Τ и xt — координатные функции. Например, непрерывные
вещественные функции на произведении двух компактов К\ и Кч
равномерно приближаются функциями вида P(/i(xi),/2(x2))> где Ρ —
многочлен от двух переменных, /» — непрерывная функция на К\ и х\ —

1.9. Дополнения и задачи
61
координатные функции, г = 1,2. Действительно, здесь мы также
получаем алгебру функций, а тот факт, что она разделяет точки, следует
из теоремы Урысона.
Приведем комплексный вариант теоремы Стоуна-Вейерштрасса.
В данной нами выше формулировке она не переносится на
комплексные функции. Например, функцию \z\ на круге в С нельзя приблизить
многочленами от комплексного переменного ζ, так как она не анали-
тична в круге.
1.9.22. Теорема. Пусть К — непустой компакт и ε —
некоторая алгебра непрерывных комплексных функций на К, содержащая все
постоянные и разделяющая точки. Предположим также, что
алгебра ε замкнута относительно комплексного сопряжения. Тогда эта
алгебра всюду плотна в комплексном пространстве С(К) с его
стандартной sup-метрикой.
Доказательство. Пусть ТТ — класс всех вещественных
функций из замыкания ε в С (К). Тогда Тт является замкнутой подалгеброй
алгебры С(Г)(К) вещественных непрерывных функций на if, причем Тг
содержит вещественные постоянные. Кроме того, Тт разделяет точки.
В самом деле, пусть / £ С(К). Тогда /ι = (/ +J)/2 и /2 = (f-J)/(2i)
входят в εj а тогда ив^г. Поэтому если f(x) φ f(y) для некоторых
х,у £ К, то хотя бы одна из функций /ι и Д разделяет точки χ и у.
Значит, Тг = C(r)(if), откуда вытекает доказываемое. D
1.9.23. Пример, (i) Многочлены от ζ и ~ζ плотны в комплексном
пространстве С(К) для всякого компакта К С С.
(ii) В пространстве С2* непрерывных комплексных 27г-периодичес-
ких функций на прямой всюду плотно множество конечных линейных
комбинаций функций exp(zfci), k £ Z. В самом деле, всякой
непрерывной функции / на [0,2π] с /(0) = /(2π) соответствует непрерывная
функция g на единичной окружности в С, для которой выполнено
равенство g(exp(it)) = f(t). Приближения функции g многочленами от ζ
и ~ζ на окружности порождают приближения / многочленами от ехр(г£)
и ехр(—it). В случае вещественной функции / вещественные части
приближающих многочленов дают приближения линейными
комбинациями функций l,sin(fc£),cos(fc£).
(iii) Пусть Τ — разделяющее точки семейство непрерывных
вещественных функций на компакте К. Тогда множество линейных
комбинаций функций вида exp(zci/iH Hcnfn), где с* € IR1 и Д,..., fn £ Τ,
всюду плотно в комплексном пространстве С (К).
Теорема Стоуна-Вейерштрасса не дает способа приближения,
а лишь говорит, что приближения существуют. Построение
приближений — отдельная задача.

62 Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9(vi). Канторовское множество
В теории метрических и топологических пространств и многих их
приложениях важную роль играет канторовское множество С
(названное так в честь знаменитого немецкого математика Георга
Кантора). Это множество можно определить двумя разными способами.
Первый способ дает С как замкнутое множество в [0,1], получаемое
удалением из [0,1] последовательности открытых интервалов
следующего вида: на первом шаге удаляем открытую среднюю треть [0,1], т.е.
(1/3,2/3), на втором шаге удаляем открытые средние трети
получившихся двух отрезков и затем индуктивно продолжаем этот процесс.
Нетрудно проверить, что множество С состоит из всех точек t вида
* ~ ]CnLi^i3~n, где числа tn принимают значения 0 и 2. Отметим,
что указанное разложение на С единственно, ибо используется запись
с tn φ 1. Например, 1/3 записывается как (0,2,2,...);
неединственность представления возможна лишь из-за последовательности двоек.
Второй способ состоит в рассмотрении компактного метрического
пространства Δ := {0,1}°°, т.е. счетной степени двухточия. Это
пространство состоит из всевозможных последовательностей из 0 и 1; метрику
можно задать, например, формулой
d(x,y) = ΣΖ=ι2~η\χη -Vn\> х = (хп),У = (Уп).
Хотя эти два множества весьма различны на первый взгляд, они
идентичны как топологические пространства: отображение
h: {0,1}°° - С, (xltX2,...) н+ Σ,Ζι 2*»3-η,
является гомеоморфизмом. Это ясно из того, что оно непрерывно и
взаимно однозначно отображает Δ на С (см. теорему 1.7.9).
В разных ситуациях бывает полезно то или другое представление
канторовского множества. Например, совершенно очевидно, что
пространство Δ гомеоморфно как своему квадрату Δ2, так и счетной
степени Δ°°. Конечно, это сразу переносится и на С, что совсем не
очевидно в первом представлении. Однако удобством первого представления
является то, что с помощью него пространство Δ вкладывается
гомеоморфно как подмножество отрезка [0,1].
1.9.24. Предложение. Гомеоморфные множества Δ и С можно
непрерывно отобразить на [0,1] и на [0,1]°°.
Доказательство. Непрерывную сюръекцию ψ: Δ —► [0,1]
можно задать формулой ψ(χ) = Σ™=1 χη2~η, χ — (χη)· Поскольку Δ и Δ°°
гомеоморфны, достаточно задать сюръекцию Δ°° на [0,1]°°, что можно
сделать следующим образом: (ζη) н-+ (ψ(ζη)), (ζη) £ Δ°°. D
1.9.25. Следствие. Всякое непустое компактное метрическое
пространство является образом множества Кантора при некотором
непрерывном отображении.

1.9. Дополнения и задачи
63
Доказательство. Согласно задаче 1.9.69 непустой метрический
компакт К гомеоморфен компакту Ко в [0,1]°°. Из предложения
выше и компактности прообраза Ко при непрерывном отображении С
на [0,1]°° следует, что достаточно уметь непрерывно отображать С на
всякую его непустую компактную часть S. Заменим С гомеоморфным
множеством Ci, состоящим из точек [0,1] вида χ = ]Cfclixfc6~fe> гДе
Xk — 0 или Xk = 5 (оба множества гомеоморфны {0,1}°°). Легко
видеть, что если х,у G Ci, то (х -f у)/2 0 С\. Поэтому для непустого
компакта S\ С С\ определено отображение Λ, сопоставляющее точке
χ £ С\ ближайшую к ней точку h(x) £ S\. Это отображение
непрерывно и очевидным образом сюръективно. D
Множество Кантора не имеет изолированных точек (непустое
замкнутое множество без изолированных точек называют совершенным).
Задачи
1.9.26.° Пусть X — бесконечное множество. Доказать, что оно равно-
мощно как своей счетной степени, так и множеству всех своих конечных
подмножеств.
1.9.27.° Доказать, что пространство В(Х, Y) ограниченных
отображений из непустого множества X в полное непустое метрическое пространство
(Υ,άγ) полно относительно метрики d(f,g) := supx€X dY (f(x),g(x)).
1.9.28° Всякое ли метрическое пространство, состоящее из трех точек,
можно изометрично вложить в Нп?
1.9.29.° Верно ли, что замыкание открытого шара в метрическом
пространстве является замкнутым шаром?
1.9.30° Обосновать следующую конструкцию пополнения метрического
пространства М. Пусть Μ — пространство классов эквивалентности
фундаментальных последовательностей χ = (хп) пространства Μ, где χ = (хп)
и у = (уп) считаются эквивалентными, если фундаментальна
последовательность х\, у\,..., хп, 2/п,..., а метрика такова: d(x,у) := lim d(xny yn)· Вложе-
п—>οο
ние Μ в Μ задано формулой жи (ж, ж,...).
1.9.31.° Пусть А и В — непустые компакты в метрическом
пространстве (X, d). Доказать, что найдутся такие точки а € А и Ь £ В, что
d(a,b) = inf{d(x,y): хеА,ЪеВ}.
1.9.32° Показать, что во всяком неполном метрическом пространстве
есть последовательность вложенных замкнутых шаров с убывающими к
нулю радиусами и пустым пересечением.
1.9.33° Построить пример, показывающий, что в теореме о вложенных
шарах нельзя отказаться от стремления к нулю их радиусов.
1.9.34° Доказать, что метрическое пространство сепарабельно в
точности тогда, когда оно обладает свойством Линделёфа.

64
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.35? Пусть множество U открыто в метрическом пространстве,
множество F замкнуто, U — замыкание U и F° — множество внутренних точек F.
Доказать, что U\U и F\F° являются нигде не плотными.
1.9.36.° Показать, что непрерывность отображения / между
топологическими пространствами равносильна тому, что для всякого открытого
множества V С Υ множество f~x{V) открыто в X (это эквивалентно тому, что
для всякого замкнутого множества Ζ С Υ множество f~x{Z) замкнуто в X).
1.9.37? Доказать, что функция / на топологическом пространстве
непрерывна в точности тогда, когда для всякого с € JR1 открыты множества
1.9.38° Обосновать пример 1.6.8.
1.9.39.° Привести пример неограниченной равномерно непрерывной
вещественной функции на ограниченном полном метрическом пространстве.
1.9.40? (i) Пусть (X,dx) и (Y,dY) — метрические пространства, А С X,
В С Υ — непустые вполне ограниченные множества. Доказать, что Ах В
вполне ограничено в пространстве Χ χ Υ с метрикой, заданной формулой
d((xi,yi), (ж2,2/2))) := dx (a?i, х2) + dY (2/1,2/2).
(ii) Доказать непосредственно, что произведение двух непустых
компактных пространств компактно в топологии произведения.
1.9.41. Существует ли неполное метрическое пространство, всякое
сжимающее отображение которого имеет неподвижную точку?
1.9.42. Пусть (K,d) — компактное метрическое пространство и
отображение f:K—>K таково, что </(/(#), f(y)) < d(x, у) при хфу. Доказать, что
/ имеет неподвижную точку.
1.9.43. Распространить теорему 1.4.4 на случай, когда Τ —
топологическое пространство.
1.9.44. (i) Показать, что метрическое пространство компактно в
точности тогда, когда всякая непрерывная вещественная функция на нем
ограничена, (ii) Показать, что на некомпактном топологическом пространстве из
примера 1.9.12 всякая непрерывная функция ограничена.
1.9.45? Пусть (X, dx) — компактное метрическое пространство, (У, dY) —
метрическое пространство и пространство С(Х, Y) непрерывных
отображений из X в Υ наделено метрикой d(f, д) := sup^^ dY (/(#)> 9(χ))·
(i) Доказать, что К С С(Х, Y) вполне ограничено в точности тогда,
когда выполнены следующие условия: (а) для всякого ε > 0 найдется такое
δ > 0, что dY(f(x),f(x')) ^ ε для всех / е К при dx(x,x') ^ <5, (b)
существует такое вполне ограниченное множество Μ С У, что f(x) £ Μ при всех
/ G К и χ е X. (ii) Привести пример, показывающий, что (Ь) нельзя
заменить на равномерную ограниченность отображений из К. (iii) Показать, что
при условии (а) условие (Ь) равносильно следующему: для каждого
фиксированного χ G X множество точек {/(#): / £ К} вполне ограничено.
(iv) Показать, что компактность К равносильна замкнутости К и
выполнению условий (а) и (Ь), где множество Μ в (Ь) компактно.

1.9. Дополнения и задачи
65
1.9.46? Пусть (K,d) — метрический компакт. Доказать, что множество
F С С(К) вполне ограничено в точности тогда, когда оно ограничено и
существует такая функция ω: [0,+оо) —> (0, +оо), удовлетворяющая условию
Urn u(t) = ω(0) = О, что \f(x) - f(y)\ ^ ω(ά(χ, у)) при всех х,у е К, f G F.
1.9.47. Доказать, что метрическое пространство несепарабельно в
точности тогда, когда для некоторого ε > 0 в нем имеется несчетное множество
точек, попарные расстояния между которыми не меньше ε.
1.9.48? Пусть Ас — множество точек сгущения несчетного множества А
в метрическом пространстве. Доказать, что Ас замкнуто и не имеет
изолированных точек, а если А сепарабельно, то А\АС конечно или счетно.
1.9.49. Доказать, что непустое замкнутое множество без
изолированных точек в полном метрическом пространстве имеет мощность не менее
континуума.
1.9.50. Множество А называют множеством первой категории в точке ж,
если χ имеет окрестность U, для которой А П U есть множество первой
категории. В противном случае говорят, что А — множество второй категории
в х. Доказать, что для всякого множества А второй категории есть такой
шар С/, что А является множеством второй категории в каждой точке из U.
1.9.51. Пусть X = С[0,1], η G IN и Хп — множество таких /el, что
при некотором to G [0,1 — \/п] неравенство \f(t) — f(to)\ ^ n(t — to) верно для
всех t G [to, 1). (i) Доказать, что Хп — замкнутое нигде не плотное множество,
(ii) Доказать, что множество всех функций из X, имеющих конечную
правую производную хотя бы в одной точке, есть множество первой категории.
Вывести существование нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
1.9.52.° Пусть X — метрическое пространство. Колебанием функции
/: X —> Ш,1 на множестве Ε С X называется величина
osc (/, Е) := supX)2/Gf> \f(x) - f(y)\.
Колебанием функции / в точке хо называется величина
osc f(xo) := lim osc (/, В(хо, ε)),
где Β(χο, ε) — замкнутый шар радиуса ε с центром в х0. Доказать, что
функция / непрерывна в точке хо в точности тогда, когда osc/(xo) = 0.
1.9.53? Пусть F — компакт в С[0,1]. Доказать непрерывность функций
ψ(χ) := inf/€f f(x) и φ{χ) := s\ipfeFf(x). Доказать аналогичное
утверждение для компактов в Сь(Т), где Τ — топологическое пространство.
1.9.54. (В.Д. Ерохин) Доказать, что всякий компакт диаметра d в С[0,1]
лежит в некотором замкнутом шаре радиуса d/2.
1.9.55. Пусть X — полное метрическое пространство и /п: X —> IR1 —
такие непрерывные функции, что для каждого χ Ε Χ существует конечный
предел f(x) = lim fn(x)· Доказать, что функция / имеет хотя бы одну точку
п—юо
непрерывности. Вывести из этого, что / имеет всюду плотное множество
точек непрерывности.

66
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.56. (И. Экланд) Пусть (X,d) — полное метрическое пространство
и / — ограниченная сверху непрерывная функция на X. Доказать, что для
всякого ε > 0 найдется такая точка χε G X, что f(x) ^ f(xe) + εά(χ,χε) для
всех χ е X.
1.9.57. Пусть X и Υ — полные метрические пространства и функция
/: Χ χ Υ —► И1 непрерывна по каждому переменному отдельно при
фиксированном другом. Доказать, что существует точка непрерывности / по
совокупности переменных.
1.9.58. Дана последовательность функций /п на метрическом
пространстве, причем известно, что если хп —> х, то существует конечный предел
f(x) = lim fn(xn)- Доказать, что функция / непрерывна.
η—юо
1.9.59. Пусть (X, d) — метрическое пространство, (i) Пусть / —
ограниченная функция на множестве А С X и \f(x) — f(y)\ ^ d(x,y) для всех
х, у G А. Положим
д(х) := max{supyGA(/(y) - d(x,y)),infAf}.
Проверить, что д(х) = f(x) при χ G A, supyGX \д(у)\ = s\ipxeA |/(x)|,
|р(ж) — р(у)| ^ d(x,y) для всех ж,у G X. (ii) Доказать, что всякая
ограниченная равномерно непрерывная функция на X равномерно приближается
ограниченными липшицевыми функциями.
1.9.60.** Пусть А С !Rn и /: А —> Hfc — липшицево. Доказать, что
/ имеет липшицево с той же постоянной продолжение на Нп. Вывести из
этого, что если А С I2 и /: А —► /2 липшицево, то / продолжается на все /2
с той же постоянной Липшица.
1.9.61. Пусть (K,d) — метрический компакт и /: К -+ К. (Ϊ) Доказать,
что если / липшицево с постоянной С < 1, то f(K) φ К. (ii) Доказать, что
если d(f(x), f(y)) ^ d(x, у) и f(K) = Κ,το f — изометрия. (iii) Доказать, что
если d(f(x), f(y)) ^ d(x, у), то f(K) = К. В частности, непустой метрический
компакт не может быть изометричен своей собственной части, (iv) Доказать,
что если d(f(x),f(y)) ^ d(x,y), то / — изометрия.
1.9.62. Доказать, что множество всех изометрий метрического компакта
К является компактом в метрике из С (К, К).
1.9.63. Доказать, что компактное пространство К метризуемо в
точности тогда, когда на нем есть счетное семейство непрерывных функций /п,
разделяющих точки в следующем смысле: если χ φ у, то для некоторого η
имеем fn(x) φ fn{y). При этом в качестве метрики можно взять
d(x,y) = ΣΞ.ι 2"" min(l/»(*) - /»(у)|, 1).
1.9.64. Доказать, что компактное пространство К метризуемо в
точности тогда, когда пространство С(К) с обычной sup-метрикой сепарабельно.
1.9.65. Доказать, что компактное пространство нельзя представить в
виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
1.9.66.° Проверить, что описанная в конце §1.6 конструкция
действительно задает топологию на произведении топологических пространств.

1.9. Дополнения и задачи
67
1.9.67.° Показать, что формула (1.6.2) задает метрику, порождающую
топологию Шт для счетного Т.
1.9.68.° Пусть дано счетное множество метрических пространств Хп
с метриками dn. Показать, что формула (1.6.3) является метрикой на
произведении Хп·, причем задаваемая этой метрикой топология совпадает с
топологией произведения.
1.9.69° Доказать, что всякий метрический компакт (K,d) гомеоморфен
компакту в [0,1]°°, задав вложение К в [0,1]°° формулой h(x) = {d(xixn))n°=v
где {хп} — счетное всюду плотное множество в К,
1.9.70° Функция /: Μ —► И1 на метрическом пространстве называется
непрерывной сверху, если f(x) ^ limsupn_,^0 f(xn) при хп —► х. Показать, что
если Μ компактно, то такая функция ограничена и достигает максимума.
1.9.71° Пусть {t/α} — открытое покрытие метрического компакта К.
Доказать, что существует ε > 0 со следующим свойством: для каждого χ Ε К
найдется Ua с В(х,е) С £/<*·
1.9.72. Пусть (М, d) — метрическое пространство и Те, — множество
всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств Μ. (i) Доказать, что
dH (Ау В) := max{supaGA d(a, B)ysupbeB d(b, A)}
есть метрика (метрика Хаусдорфа) на Td, причем Μ изометрично
подмножеству одноточечных множеств, (ii) Пусть хо 6 М. Показать, что Td
изометрически вложено в Сь(М) посредством А ь-> /д, где /д(ж) *·= d(x,A) — d(x>xo).
(iii) Показать, что (Μ, dH) полно в точности тогда, когда полно (М, d). (iv)
Показать, что (М, dH) компактно в точности тогда, когда компактно (М, d).
1.9.73. Доказать, что всякий компакт гомеоморфен компакту в
некоторой степени отрезка [0,1].
1.9.74. Построить пример компактного сепарабельного топологического
пространства, имеющего несепарабельное подпространство.
Указание: рассмотреть множество функций в [0,1]^0,1^, отличных от
нуля лишь на конечных множествах.
1.9.75. (Теорема Асколи-Арцела) Пусть К — компактное
топологическое пространство. Доказать, что F С С(К) имеет компактное замыкание
в точности тогда, когда оно ограничено и равностепенно непрерывно в
следующем смысле: для каждого χ G К и каждого ε > 0 найдется такая
окрестность UXte точки х, что \f(y) — f(x)\ < ε при всех у £ UXye и всех / е F.
1.9.76. Привести пример вполне регулярного пространства, не
являющегося нормальным.
1.9.77. Пусть X — вполне регулярное пространство, К С X —
компакт и U — открытое множество, содержащее К. Доказать, что существует
непрерывная функция /: X —► [0,1] с J\k = 1 и f\x\u —
ΟΙ.9.78. Пусть X и Υ вполне регулярны, К С XxY — компакт, функция
/: К —> [0,1] непрерывна. Доказать, что для всякого ε > 0 найдется такая
функция g вида д(х,у) = ΣΓ=ι <Pi(x)1>i(v)i гДе Ψι е Съ(Х), ψί € Сь(У), что
\д(х,2/Ж 1 для всех χ е X, у G Υ и \д(х,у) - f(x, y)\^e для всех (х, у) е К.

68
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.79. Пусть X — вполне регулярное пространство, (i) Доказать, что
всякое непрерывное отображение /го I в компакт К продолжается до
непрерывного отображения из βΧ в К. (ii) Доказать, что компактификация
Стоуна-Чеха единственна с точностью до гомеоморфизма.
Указание: (i) вложить К в степень [0,1]; (и) если К — еще одна
компактификация Стоуна-Чеха, то вложения /: X —► К и д: X —> βΧ
продолжаются до непрерывных отображений βΧ —► К и К —> βΧ.
1.9.80. (i) Пусть X — нормальное пространство и {хп} — такая
последовательность в X, что для всякой ограниченной непрерывной функции / на
пространстве X последовательность {f(xn)} сходится. Показать, что
последовательность {хп} сходится в X. (ii)* Привести пример вполне регулярного
пространства, для которого (i) неверно.
Указание: (i) {xn} имеет предельные точки. Иначе можно найти такие
дизъюнктные окрестности Un точек жп, что Un содержит замыкание меньшей
окрестности Wn точки хп. Для каждого η имеется функция /п с 0 < /η ^ 1,
равная 1 в Х2п+\ и 0 вне Wbn+i. Функция /, равная /п в W2n+i и 0 вне
объединения множеств W2n+i? ограничена и непрерывна, что дает
противоречие. Это же верно для всякой подпоследовательности в {хп}· Легко
проверить, что нет разных предельных точек, (ii) Пусть ω\ — первое несчетное
порядковое число и X — произведение [0, ωι] χ (IN U {оо}) без точки (ωχ, οο);
рассмотреть точки хп = (ωι,η) (использовать [96, задача 5С, с. 225]).
1.9.81. Пусть (М, d) — непустое метрическое пространство. Множество
Ε С Μ называется множеством существования, если для каждого χ G Μ в Ε
имеется хотя бы одна ближайшая точка у е Е, т.е. d{x, Ε) = d(x, у). Если для
каждого χ G Μ существует не более одной ближайшей точки, то Ε
называется множеством единственности. Если Ε — множество существования и
единственности, то Ε называется чебышевским множеством. Привести примеры:
(i) множества единственности, не являющегося множеством существования,
(ii) множества существования, не являющегося множеством единственности,
(ш) бесконечного чебышевского множества.
1.9.82. Пусть (M,d) — метрическое пространство и Ε С Μ — непустое
множество. Если χ G Μ, уп £ Ε и d(x,yn) —> d(x,E), то {уп} называется
минимизирующей для х. Множество Ε называется аппроксимативно
компактным (термин Н.В. Ефимова и B.C. Стечкина), если в нем всякая
минимизирующая последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся
к точке из Е. (i) Привести пример некомпактного аппроксимативно
компактного множества, (ii) Доказать, что аппроксимативно компактное множество
является множеством существования.
1.9.83. Доказать, что подмножество Μ полного метрического
пространства гомеоморфно некоторому полному метрическому пространству в
точности тогда, когда Μ есть О^-множество, т.е. пересечение последовательности
открытых множеств.
1.9.84. С помощью базиса Гамеля вещественной прямой,
рассматриваемой над полем Q, построить аддитивную функцию /: Ш,1 —> Ш,1, т.е.
/(£ + s) = f(t) + f(s) при всех t,s G IR1, которая неограниченна на
каждом интервале.

Глава 2
Основы теории меры
В этой главе и следующих двух излагается лебеговская теория
меры и интеграла. Кроме того, выясняется связь между
интегрированием и дифференцированием.
2.1. Вводные замечания
Задача измерения длин, площадей и объемов восходит к
глубокой древности. Частичное ее решение, данное математиками
античности и формализованное в конце XIX века, приводит к так
называемой мере Жордана (которую правильнее называть
мерой Пеано-Жордана), определяемой следующим образом. Для
упрощения мы обсудим одномерный случай и попытаемся задать
длину λ подмножеств отрезка I = [0,1]. Для промежутка J
вида (а,Ь), [а,6), {а,6] или (а,6] полагаем X(J) = |6 — а\. Для
конечного объединения непересекающихся промежутков Ji,...,Jn
полагаем A((J^=1 Jj) = ]СГ=1 Н^г)· Такие множества будем
называть элементарными. Теперь предстоит расширить меру на
неэлементарные множества. Естественный способ состоит в том,
чтобы приближать неэлементарные множества элементарными. Но
как приближать? Восходящая к античности конструкция
такова: считать множество А С I измеримым по Жордану, если для
всякого ε > 0 найдутся такие элементарные множества 4 и Ве,
что Αε С А С Βε и Χ(Βε\Αε) < ε. Ясно, что при ε —► 0
длины Αε и Βε имеют общий предел, который и выбирается в
качестве Х(А). Мера Жордана аддитивна, т.е. Х(АиВ) = Х(А) + Х(В)
для всяких непересекающихся множеств А и В из области
определения. Более того, она счетно-аддитивна в следующем смысле:
если непересекающиеся множества Ап вместе с их объединением

70
Глава 2. Основы теории меры
А = US=i Ап измеримы по Жордану, то \{А) = Σ™=1 А(ЛП).
Однако далеко не всем множествам приписана длина после этой
процедуры. Например, множество QDI рациональных чисел отрезка
неизмеримо по Жордану: в нем нет элементарных множеств
положительной меры, а все элементарные множества, содержащие
Q П J, имеют меру 1. Это явление вызывает недоумение: ведь
множество рациональных чисел есть счетное объединение очень
простых элементарных множеств. Скажем, круг тоже составлен
из счетного числа элементарных множеств, причем более
массивных, чем точки, но измерим по Жордану. В чем дело? Проблема
в том, что класс измеримых по Жордану множества не замкнут
относительно операции счетного объединения, и ситуация с
кругом — скорее исключение, чем правило. Можно ли продолжить
λ на более широкую область определения, замкнутую
относительно счетных операций, с сохранением свойства счетной
аддитивности? Роль счетной аддитивности ясна уже из нахождения
площади круга путем приближения его объединениями
прямоугольников. Поэтому тот факт, что область определения меры по
Жордану не замкнута относительно счетных объединений,
является весьма существенным недостатком. Преодолеть его удалось
лишь в начале XX века выдающемуся французскому математику
А. Лебегу, предложившему принципиально иной способ
приближения элементарными множествами и приводящий к мере
Лебега. А именно: сначала по аналогии со старой конструкцией
вводится внешняя мера λ* для всякого множества Ad I как точная
нижняя грань сумм мер элементарных множеств, образующих
счетные покрытия А. Здесь решающим шагом является переход
к счетным покрытиям (этот шаг уже был сделан Э. Борелем).
Затем множество А называется измеримым по Лебегу, если
выполнено равенство λ* (А) + А*(/\Л) = λ(/). Равносильное описание
измеримости по Лебегу в терминах приближений элементарными
множествами: для всякого ε > 0 существует такое элементарное
множество А€, что λ*(Α Δ Α€) < е. При этом в отличие от
меры Жордана не требуется никакой вложенности множеств, т.е.
допускаются «косые приближения». Эта тонкость (вместе с
использованием счетных покрытий в определении внешней меры)
приводит к существенному расширению класса измеримых
множеств. Расширение столь велико, что ответ на вопрос о
существовании множеств, которым не приписана никакая мера, зависит от
принятия или не принятия некоторых специальных теоретико-
множественных аксиом. Класс измеримых по Лебегу множеств
замкнут относительно счетных объединений и пересечений, а не

2.2. Алгебры и σ-алгебры
71
только конечных. Внешняя мера на классе измеримых множеств
оказывается счетно-аддитивной, причем мера измеримого
множества А равна пределу мер аппроксимирующих его в указанном
выше смысле элементарных множеств. Сужать внешнюю меру
на класс измеримых множеств приходится потому, что на
совокупности всех множеств она может не быть даже аддитивной.
Итак, в подходе Лебега два идейных новшества: использование
счетных покрытий вместо конечных (эта идея в более
специальных случаях появлялась и у предшественников Лебега, в
частности, у Э. Бореля) и выделение области определения меры
условием λ* (Л) = λ(/) — А*(/\Л). Из всего сказанного явствует, что
при обсуждении мер ключевую роль играют вопросы, связанные
с областями определения и продолжениями. Поэтому следующий
параграф посвящен основным классам множеств, возникающим
как области определения мер. При этом оказывается, что
специфика длины на подмножествах прямой не играет никакой.роли,
и потому с самого начала имеет смысл говорить о мерах общего
вида. Более того, такая точка зрения становится необходимой для
рассмотрения мер на пространствах произвольной природы,
например, многообразиях или функциональных пространствах, что
весьма важно для многих разделов математики и теоретической
физики.
2.2. Алгебры и σ-алгебры
Одно из основных понятий теории меры — алгебра множеств.
2.2.1. Определение. Алгебра множеств Л — это такой
класс подмножеств некоторого фиксированного множества X
{называемого пространством), что
(i)0,Xe.A;
(ii) если А, В ε А, то А П В Ε A, A U В Ε А, А\В е А.
Вместо условия А\В Ε А достаточно иметь Х\В 6 А при
В Ε Л, ибо А\В = ЛП (Х\В). Однако условие А\В Ε А дает
остальные условия в (ii), так как А П В = А\(Л\В).
Отметим, что иногда в определении алгебры вместо
включения Χ Ε А используется следующее более широкое условие:
существует такое множество Ε Ε Л, называемое единицей
алгебры, что Α Π Ε = А при всех А Е А. Ясно, что, заменяя X на J57,
мы приходим к нашему определению на меньшем пространстве.
Следует иметь в виду, что не все приводимые ниже результаты
распространяются на указанное более широкое понятие.

72
Глава 2. Основы теории меры
2.2.2. Определение. Алгебра множеств А называется
σ-алгеброй, если UnLi Ап € А для всякой последовательности
множеств Ап из А.
2.2.3. Определение. Пара (X, А), состоящая из
множества X и некоторой σ-алгебры А его подмножеств, называется
измеримым пространством.
Иногда бывают полезны и некоторые другие классы множеств
(определяемые ниже полуалгебры, кольца, полукольца, σ-кольца
и т.п.), немного отличающиеся теми операциями, которые они
допускают. Ясно, что в определении σ-алгебры вместо
замкнутости относительно счетных объединений можно требовать
замкнутость относительно счетных пересечений. Действительно, из
формулы \J^=1An = Χ\[)™=1(Χ\Αη) и из замкнутости алгебры
относительно дополнений видно, что эти свойства равносильны.
2.2.4. Пример. Класс всех конечных объединений
промежутков вида [а,6], [а,Ь), (а,Ь], (а,Ь) из отрезка [0,1] (или только
вида [а, Ь) Π [0,1]) является алгеброй, но не σ-алгеброй.
Ясно, что множество 2х всех подмножеств фиксированного
множества X является σ-алгеброй, как и класс, состоящий лишь
из X и пустого множества. Всякая другая σ-алгебра подмножеств
в X заключена между этими двумя тривиальными примерами.
2.2.5. Определение. Пусть Τ — семейство подмножеств
пространства X. Наименьшая σ-алгебра подмножеств X,
содержащая Τ, называется σ-алгеброй, порожденной Τ, и
обозначается символом σ(Τ). Алгеброй, порожденной Т, называется
наименьшая алгебра, содержащая Τ.
Упомянутые в определении наименьшая σ-алгебра и
наименьшая алгебра действительно существуют.
2.2.6. Предложение. Пусть X — некоторое множество.
Для любого семейства подмножеств X существует
единственная порожденная им σ-алгебра. Существует и единственная
порожденная данным семейством алгебра.
Доказательство. Положим σ{Τ) = П^сд·^» гДе
пересечение берется по всем σ-алгебрам подмножеств пространства X,
содержащим систему множеств Τ (такие σ-алгебры существуют:
например, 2х). По построению Τ С &{Т). Если дана
последовательность множеств Ап Ε ст(Т), то их пересечение,
объединение и дополнения входят во всякую σ-алгебру А, содержащую J*,

2.2. Алгебры и σ-алгебры
73
а потому входят и в σ(^*), т.е. σ(Τ) — σ-алгебра. Единственность
очевидна из того, что существование σ-алгебры β, содержащей Т,
но не содержащей σ(Τ), противоречит определению σ(Τ), ибо
В Π σ(Τ) содержит Τ и является σ-алгеброй. Случай алгебры
аналогичен. D
Из определения вытекает, что дополнения множеств из класса
Τ порождают ту же самую σ-алгебру, что и Т. Счетный класс
может порождать несчетную σ-алгебру. Например, интервалы с
рациональными концами порождают σ-алгебру, содержащую все
одноточечные множества отрезка.
Алгебру, порожденную семейством множеств Т, легко
описать явным образом (см. задачу 2.7.14). Однако элементы
σ-алгебры, порожденной классом множеств Т, обычно не допускают
такого простого описания. Например, не каждое множество из
σ-алгебры, порожденной интервалами на прямой, представимо
в каком-либо конструктивном виде с помощью счетных
объединений или пересечений интервалов. Дело в том, что указанные
операции можно повторять неограниченное число раз в любом
порядке. Например, можно образовать класс Τσ счетных
объединений замкнутых множеств отрезка, затем класс Τσ§ счетных
пересечений множеств из Τσ и индуктивно продолжить этот
процесс. При этом будут все время получаться новые классы, но даже
их объединение не исчерпывает σ-алгебры, порожденной
замкнутыми множествами.
Приведем два примера, когда можно явно описать σ-алгебру,
порожденную классом множеств.
2.2.7. Пример, (i) Пусть Ло — некоторая σ-алгебра
подмножеств пространства X, и пусть множество S из X не входит в Ло-
Тогда σ-алгебра σ[Λο U {#}), порожденная Ло и множеством 5,
есть совокупность всех множеств вида
Е= (AnS)u(Bn (X\S))> ДБеЛ). (2.2.1)
(ii) Пусть X — произвольное множество. Тогда одноточечные
множества порождают σ-алгебру, состоящую из всех не более чем
счетных множеств и дополнений таких множеств.
Доказательство, (i) Все множества вида (2.2.1) входят
в σ-алгебру σ(Λο U {S}). С другой стороны, множества
указанного вида образуют σ-алгебру. Действительно,
Х\Е = ((X\A)DS)U((X\B) Π (X\S)),

74
Глава 2. Основы теории меры
ибо χ не входит в Ε в точности тогда, когда либо χ входит в 5, но
не в Л, либо χ не входит ни в 5, ни в В. Кроме того, если
множества Еп представлены в виде (2.2.1) с некоторыми Лп, Вп 6 До, то
(XLi En и U^Li En также имеют вид (2.2.1). Например, f£Li En
имеет вид (2.2.1) с А = HuLi ^n и JB = Πηΐι Д»· Наконец,
множества из Ло получаются в виде (2.2.1) при А = JB, а для получения
S надо положить Л = X, JB = 0.
(ii) Ясно, что класс Д всех не более чем счетных множеств
и их дополнений входит в σ-алгебру До, порожденную
одноточечными множествами. Для доказательства равенства Д = До
достаточно заметить, что Д — σ-алгебра. Это ясно из того, что
если множества Ап не более чем счетны, то таково и их
объединение, а если среди них есть хотя бы одно АП1 с не более чем
счетным дополнением, то Х\ |J^=i An С Х\АП1. D
В рассуждениях с σ-алгебрами часто используются
следующие непосредственно проверяемые теоретико-множественные
соотношения. Пусть (Аа)ае\ — любое семейство подмножеств
множества X, а /: Ε —► X — произвольное отображение некоторого
множества Ε в X. Тогда
*\ U А« = Π (χ\Α°)> χ\ Π Α« = U (χ\Α<*)>
α£Λ αΕΛ αΕΛ αΕΛ
/_1(U Α«) = U Γ4*α), Γ1 {(] Λα) = Π ГЧЛа).
αΕΛ α€Λ αΕΛ αΕΛ
Из этих равенств видно, что если Д — некоторая σ-алгебра
подмножеств множества X и / — произвольное отображение из
множества Ε в X, то класс /_1(Д) всех множеств вида /-1(Д),
где АеЛ, является σ-алгеброй в Е.
Кроме того, для всякой σ-алгебры множеств В в Ε класс
множеств {А С X: /~~г(А) Ε В} — σ-алгебра. Наконец, для всякого
класса множеств Τ в X имеем сг(/~1(^7)) = /~1(σ(^7)).
На простых примерах легко убедиться, что класс f(B) всех
множеств вида /(#), где В Ε В, не всегда является алгеброй.
2.2.8. Определение. Борелевской σ-алгеброй Ип
называется σ-алгебра B(1Rn), порожденная всеми открытыми
множествами. Множества из B(JRn) называются борелевскими. Для
произвольного множества Ε С IRn через В(Е) обозначим класс
множеств вида ЕГ\В, где В е. B(IRn).

2.2. Алгебры и σ-алгебры
75
Класс В(Е) есть σ-алгебра, порожденная пересечениями Ε
с открытыми в Ш,п множествами. Это ясно из того, что если
последнюю σ-алгебру обозначить через £, то класс всех таких
В 6 #(ИП), что В Π Ε Ε £, есть σ-алгебра, содержащая все
открытые множества, т.е. она совпадает с B(JRn). Множества из
В(Е) называются борелевскими множествами пространства 2£,
а В(Е) называется борелевской а-алге0рой пространства Е.
Следует иметь в виду, что такие множества могут не быть
борелевскими в IRn, если, конечно, само Ε не является борелевским в Нп.
Например, всегда Ε 6 В(Е), ибо Ε Π IT = Ε. Ясно, что B(JRn)
порождается и классом всех замкнутых множеств. Ниже мы
увидим, что не все множества борелевские.
2.2.9. Предложение. Борелевская σ-алгебра прямой
порождается любым из следующих классов множеств:
(i) множество всех интервалов;
(ii) множество всех интервалов с рациональными концами;
(Ш) множество всех лучей вида (—сю, с), где с рационально;
(iv) множество всех лучей вида (—оо,с]; где с рационально;
(у) множество всех лучей вида (с, +оо), где с рационально;
(vi) множество всех лучей вида [с,+оо); где с рационально.
Наконец, то же самое верно, если вместо рациональных чисел
брать точки какого-либо всюду плотного множества.
Доказательство. Все указанные множества являются
борелевскими, так как они либо открыты, либо замкнуты. Поэтому
порождаемые ими σ-алгебры входят в B(JR ). Поскольку каждое
открытое множество на прямой есть объединение не более чем
счетного набора интервалов, то достаточно установить, что
всякий интервал (а, Ь) входит в σ-алгебры, соответствующие
классам (i) — (vi). Это вытекает из того, что (а,Ь) есть объединение
интервалов вида (αη,6η), где ап и Ьп рациональны, а также
объединение промежутков вида [αη,6η) с рациональными концами,
а такие промежутки входят в σ-алгебру, порожденную лучами
(—оо, с), ибо записываются как разности лучей. Аналогичным
образом разности лучей вида (с, оо) дают промежутки (αη,6η], из
которых с помощью объединений строятся интервалы (а, 6). D
Ясно, что ^(И1) порождается и отрезками с рациональными
концами. Из этого, кстати, видно, что непересекающиеся классы
множеств могут порождать одну и ту же σ-алгебру. Введем еще
некоторые классы множеств, используемые в теории меры.

76
Глава 2. Основы теории меры
2.2.10. Определение, (i) Система 1Z подмножеств
множества X называется кольцом, если 0 Ε Έ, и множества АПВ,
A U В и А\В входят в К для всех А,В еТ1.
(ii) Система S подмножеств множества X называется
полукольцом, если она содержит пустое множество, А Г) В 6 S
для всех Л, В 6 S и для всякой пары множеств A,BeScAcB
множество В\А является объединением конечного числа
дизъюнктных множеств из S. Если X 6 S, то S называется
полуалгеброй.
(Ш) Кольцо называется σ-кольцом, если оно замкнуто
относительно счетных объединений. Кольцо называется δ-кольцом,
если оно замкнуто относительно счетных пересечений.
Все ограниченные множества на прямой образуют кольцо, но
не алгебру. Класс всех промежутков в отрезке дает пример
полукольца, не являющегося кольцом. Другой пример полукольца:
все промежутки вида [а, Ь) на прямой (а их пересечения с [0,1]
или с [0,1) образуют полуалгебру в [0,1] или в [0,1)
соответственно). Согласно следующей лемме класс всех конечных
объединений элементов полукольца является кольцом (называемым
кольцом, порожденным данным полукольцом). Ясно, что это —
минимальное кольцо, содержащее данное полукольцо.
2.2.11. Лемма. Для любого полукольца S совокупность
конечных объединений множеств из S образует кольцо 11. При
этом всякое множество из TZ является конечным объединением
попарно непересекающихся множеств из S. Если S — полу
алгебра, то TZ — алгебра.
Доказательство. Ясно, что класс TZ допускает конечные
объединения. Пусть А = А\ U · · · U Ап, В = В\ U · · · U В^, где
Ah Bj е S. Тогда Α П В = Ц^п^* Аг п вз е п· Кроме того,
а\в = IX*(АА(JJU Щ) - UU CS-iiAABj).
Так как Ai\Bj = Ai\(A{ Π Bj) есть конечное объединение
множеств из <S, то А\В Ε TZ. Ясно, что А можно записать в виде
дизъюнктного объединения множеств из <S ввиду замкнутости S
относительно пересечения. Если X Ε <S, то X Ε TZ. D
Отметим, что для всякой σ-алгебры В в X и всякого А С X
класс В а :={ВГ)А: В Ε В} — σ-алгебра в пространстве А.
Теперь докажем теорему о монотонных классах — весьма
полезный инструмент для работы с σ-алгебрами.

2.2. Алгебры и σ-алгебры
77
Семейство £ подмножеств множества X называется
монотонным классом, если IJnLi ЕпЕ S для каждой возрастающей
последовательности множеств Еп Ε 8 (т.е. Еп С £7η+ι) и Π^=ι·^η £ £
для каждой убывающей последовательности множеств Еп Ε £.
Для всякого класса 6 подмножеств X существует
минимальный монотонный класс, содержащий Ε и называемый
монотонным классом, порожденным £. Таким минимальным классом
является пересечение всех монотонных классов, содержащих £.
2.2.12. Теорема. Пусть А — алгебра множеств. Тогда
σ-алгебра, порожденная А, совпадает с монотонным классом,
порожденным А. Следовательно, если алгебра А входит в
некоторый монотонный класс М, то σ(Α) С М.
Доказательство. Пусть М{А) — монотонный класс,
порожденный А. Так как σ(Α) — монотонный класс, то М(А) С σ(Α).
Докажем обратное включение. Для этого покажем, что М(А)
есть σ-алгебра. Достаточно установить, что М(А) является
алгеброй. Докажем сначала, что класс М(А) замкнут относительно
взятия дополнения. Пусть
М0 ~ {В: В,Х\В Ε М{А)}.
Класс Мо является монотонным, что очевидно из монотонности
класса Л4(А) и равенств
Х\П~ г Вп = ^ЩД,), Χ\Όη=ιΒη = Γ)η=ι(Χ\Βη).
Поскольку А С Мо С М(А), то Мо = М(А).
Проверим теперь замкнутость М(А) относительно конечных
пересечений. Пусть Α Ε Μ(Α). Положим
Ма'={ВеМ{А): АПВеМ(А)}.
Если Вп Ε Μα — возрастающие множества, то мы получаем
А П (U£Li Bn) = U^Li(^ n Вп) £ М(А). Аналогично
рассматривается случай, когда Вп убывают. Поэтому Μ а — монотонный
класс. Если А Е Л, то имеем Ас Ма С М(А), откуда получаем
Ма = М{А). Пусть теперь Α Ε А и В ε М{А). Тогда В Ε Μα-
Поэтому получаем Α Π Β Ε Μ (А), что дает А Е Мв- Таким
образом, имеем включения А С Μ в С М(А). Следовательно,
М.в = М(А) при всех В Ε Μ(Α), что означает замкнутость
М(А) относительно взятия пересечения двух множеств. Из
доказанного следует, что Μ (А) — алгебра, что и требовалось. D
Близкий результат вынесен в задачу 2.7.45.

78
Глава 2. Основы теории меры
2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
Числовыми функциями будем называть функции со
значениями в (—оо,+оо). В тех случаях, когда речь пойдет о функциях
со значениями из расширенной прямой [—сю,+оо], это будет
специально оговариваться.
2.3.1. Определение. Числовая функция множества μ на
некотором классе множеств А называется аддитивной, если
Κύ^)=ί>^) (2·3·1)
г=1 г=1
для всех η и всех таких конечных наборов попарно
непересекающихся множеств Αι Ε А, что U*=i А% € А.
Функция μ называется счетно-аддитивной, если
оо оо
μ(ΐ)Αη)=Σμ(Αη) (2.3.2)
п=1 п=1
для всех таких счетных наборов попарно непересекающихся
множеств Ап из А, что U^Li An £ А. Счетно-аддитивная функция
множества, определенная на алгебре, называется мерой.
Счетно-аддитивная мера μ на σ-алгебре подмножеств
пространства X называется вероятностной, если μ
неотрицательна и μ{Χ) = 1.
Мера, определенная на борелевской σ-алгебре всего
пространства IRn или какой-либо его части, называется борелевской.
Из определения нетрудно усмотреть, что ряд (2.3.2) сходится
абсолютно (ибо его сумма не зависит от перестановок ряда).
2.3.2. Замечание. Для функций множества со значениями
в (—оо,+оо] устанавливаются естественные правила сложения:
+оо + с = +оо при с е (—оо, +оо]. Значение —сю специально
исключено во избежание неопределенности +оо + (—оо). При таком
соглашении аналогично определяют аддитивность и счетную
аддитивность функции множества μ со значениями в, (—оо,+оо],
однако при этом дополнительно требуется, чтобы μ(0) = 0, если
0 Ε А (например, если А — алгебра или кольцо). Для конечных
функций множества это требование автоматически вытекает из
аддитивности.
Мера μ со значениями в [0, +оо] на σ-алгебре Ав X
называется σ-конечной, если X = U^Li ^п, где μ(Χη) < оо. Простейшим

2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
79
примером не σ-конечной меры со значениями в [0, +оо]
является мера на множестве из одной точки а, заданная следующим
образом: μ(α) = οο, μ(0) = 0.
В том случае, когда класс Л замкнут относительно конечных
объединений, конечная аддитивность равносильна равенству
μ(Α U В) = μ{Α) + μ(Β) (2.3.3)
для всех непересекающихся множеств Д В 6 А Например,
такая равносильность имеет место, если Л — алгебра.
Аналогично, если Л — σ-алгебра, то счетная аддитивность есть
равенство (2.3.2) для всевозможных дизъюнктных
последовательностей множеств из Л. Приведенные выше формулировки удобны
по двум причинам: во-первых, справедливость соответствующих
равенств требуется проверять лишь для тех наборов множеств,
для которых обе части имеют смысл, а во-вторых, как мы
увидим далее, при естественных предположениях аддитивные (или
счетно-аддитивные) функции множества допускают аддитивные
(соответственно счетно-аддитивные) продолжения на более
широкие классы множеств, замкнутые относительно взятия
объединения соответствующего типа.
Аддитивные функции множества называют также
аддитивными мерами, но мы для упрощения терминологии мерами
будем называть только счетно-аддитивные меры на алгебрах (или
кольцах в тех весьма редких случаях, когда они будут
рассматриваться). Кроме того, счетно-аддитивные функции со
значениями в (—оо,+оо], определенные на алгебрах, мы будем называть
мерами со значениями в (—оо, +оо] (т.е. тот факт, что
допускаются бесконечные значения, будет специально оговариваться). Все
эти оговорки связаны с тем, что значительная часть основных
результатов в случае бесконечных мер требует дополнительных
условий (причем разных для разных теорем). Счетно-аддитивные
меры называют также σ-аддитивными.
Полезно рассматривать и ;рвойство субаддитивности
(называемое также полуаддитивностью):
μ(ΙΜ<)^ί>^) (2·3·4)
г=1 г=1
для всех Αι Ε Λ с (JlLi^i € ·4· Аддитивная неотрицательная
функция множества на алгебре субаддитивна (см. ниже).

80
Глава 2. Основы теории меры
2.3.3. Предложение, пусть μ — аддитивная числовая
функция множества на алгебре (или кольце) множеств А. То-
гда следующие условия равносильны:
(i) функция μ счетно-аддитивна;
(ii) функция μ непрерывна в нуле в следующем смысле: если
Ап Ε Л, Ап+\ С Ап для всех η Ε IN и Πί£=ι Αι = 0> то
lim μ(Αη) = 0; (2.3.5)
η—»οο
(iii) функция μ непрерывна снизу, т.е. если Ап Ε А таковы,
что Ап С Ап+\ для всех η Ε IN и |J£Li ^η Ε А, то
Доказательство, (i) Пусть μ счетно-аддитивна, а
множества Ап Ε А монотонно убывают к пустому множеству. Положим
Вп = Αη\Αη+\. Множества Вп входят в А и дизъюнктны, а их
объединение есть А\. Поэтому сходится ряд Υ^==ιμ(Βη). Тогда
Σ™=ν μ(Βη) стремится к нулю при N —► оо, но сумма этого ряда
есть μ(Λν), ибо \J^LNBn = An- Итак, приходим к условию (ii).
Пусть теперь выполнено (ii) и Вп Ε А — попарно
непересекающиеся множества с В := IJnli Вп Ε Л, Ап = В\ Ufc=i &k· Ясно,
что Ап Ε Α, Αη+ι с Ап, (Х?=1 Ап = 0. По условию, μ(Αη) -> 0.
Значит, lim £)£=1 μ{Β^) = μ(Β) ввиду конечной аддитивности.
η—►оо
Итак, μ счетно-аддитивна. Ясно, что (iii) следует из (ii), ибо если
множества Ап Ε А монотонно возрастают и дают в объединении
множество А Е А, то множества А\Ап Ε А монотонно убывают
к пустому множеству. Наконец, из (iii) ввиду конечной
аддитивности очевидным образом следует счетная аддитивность μ. D
Следует иметь в виду, что указанная равносильность не имеет
места для полуалгебр (задача 2.7.29).
2.3.4. Пример. Пусть А — алгебра таких множеств А С IN,
что либо А, либо JN\A конечно. Для конечных А пусть μ(Α) = 0,
а для А с конечным дополнением пусть μ (А) = 1. Тогда μ —
аддитивная, но не счетно-аддитивная функция множества.
Доказательство. Ясно, что А — действительно алгебра.
Соотношение (2.3.3) очевидно для непересекающихся множеств
А и В, если А конечно. Наконец, А и В из А не могут быть
бесконечными одновременно в силу дизъюнктности. Если бы μ была
счетно-аддитивной, то мы бы имели μ(1Ν) = Σ™=ι μ({η}) = 0· □

2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
81
Существуют и аддитивные, но не счетно-аддитивные
функции множества на σ-алгебрах (см. пример 6.4.10). Простейшая
счетно-аддитивная функция множества — тождественно нулевая.
Другой пример: пусть Χ φ 0, α 6 X и мера Дирака (или дираков-
ская мера) 6а на всяком А С X равна 1 при a £ А и 0 при а & А.
Приведем чуть менее тривиальный пример.
2.3.5. Пример. Пусть А — σ-алгебра всех подмножеств IN.
Для А = {пь} положим μ(Α) = Ση 2~nfc· Тогда μ — мера на А.
Чтобы строить более содержательные примеры (скажем,
меру Лебега), нам понадобятся вспомогательные технические
средства, обсуждаемые в следующем параграфе.
Отметим несколько простых полезных свойств аддитивных
и счетно-аддитивных функций множества.
2.3.6. Предложение. Пусть μ — неотрицательная
аддитивная функция множества на алгебре или кольце А. Тогда
(i) если А, ВеАиАсВ,то μ(Α) < μ(Β)\
(ii) если Аъ...,АпеА,то /х(0Г=1 Ai) < Σ2=ι /Φ4*);
(iii) функция μ счетно-аддитивна в точности тогда, когда
в дополнение к аддитивности она счетно-субаддитивна в
следующем смысле: для всякой последовательности {Ап} С А
с (JEli Ап € Л имеем /x(lXLi Λι) < ΣΖ=ι ΚΑη)·
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из
неотрицательности μ(Β\Α). Утверждение (ii) очевидным образом
проверяется по индукции с учетом неотрицательности μ и соотношения
μ(Α U В) = μ(Α\Β) + μ(Β\Α) + μ(Α Π Β).
Если μ счетно-аддитивна и объединение множеств Ап Ε А
также входит в А, то согласно предложению 2.3.3 имеем
сходимость μ(υΓ=ι^) -> μ(υϊι^)> что ввиду (ii) дает указанную
в (iii) оценку. Наконец, такая оценка в сочетании с аддитивностью
дает счетную аддитивность. Действительно, пусть Вп —
попарно непересекающиеся множества из Д, объединение В которых
также входит в А. Тогда для всякого η € IN имеем
η η оо
£>(Sjb) = m(U Bk) < μ(Β) < 5>(Bfc),
fc=l fc=l fc=l
откуда вытекает, что Σ£1ι μ(Βκ) = μ{Β). D

82 Глава 2. Основы теории меры
2.3.7. Предложение. Пусть Ло — полуалгебра. Тогда
всякая аддитивная функция множества μ на Ло однозначно про-
должается до аддитивной функции множества на алгебре Л,
состоящей из всевозможных конечных объединений множеств
из Ло (т.е. алгебре, порожденной Ло)- При этом продолжение
счетно-аддитивно, если μ счетно-аддитивна на Ло- Это же
верно и в случае полукольца Л и порожденного им кольца.
Доказательство. По лемме 2.2.11 класс всех конечных
объединений элементов из Ло — алгебра (или кольцо, когда Ло —
полукольцо). Всякое множество из Л имеет вид дизъюнктного
объединения элементов Ло- Положим μ(Α) = Σ™=ιμ(Α%), если
Αχ € Ло попарно не пересекаются и в объединении дают А.
Указанное продолжение очевидным образом аддитивно, но надо
проверить корректность его задания, т.е. независимость от
разбиения А на части из Ло· В самом деле, если В\,..., Вт — попарно
непересекающиеся множества из Ло? дающие в объединении Л,
то в силу аддитивности μ на алгебре Ло справедливы
равенства μ(Αί) = £™=1//(Λ Π Б,·), μ{Βά) = T,tiV(Ai n Вз)> 0ТКУ~
да вытекает требуемое. Проверим счетную аддитивность
указанного продолжения в случае счетной аддитивности на Ло- Пусть
А,Ап е Л, А = UuLi Ап> причем Лп П Л& = 0 при η φ к. Тогда
имеем А = (JjLi Bi, An = (J^ вп,и где Bj,Bnji Ε Λο- Положим
CUiij := Bnj Π Bj. Множества Cnjij дизъюнктны, причем
В3 = Un=l Ui=Tl Cn,zj> ΒηΊί = jJJ=1 Cnjj.
В силу счетной аддитивности μ на Ло имеем
оо Νη Ν
Жвз) = EE^Cw)' /*(Ам) = ^m(Ctmj).
n=l i=l j=l
Кроме того, μ(Α) = Σ^=1μ{Βό), μ(Αη) = Υ^1μ{Βη^ по
определению μ на Л. Эти соотношения дают μ(Α) = £^LX μ(Αη), ибо
обе величины равны сумме всех μ(Οη^). Законность
перестановки суммирования по η и по j очевидна из того, что ряды по η
сходятся, а суммы по j и г конечны. D
Поскольку на алгебрах бывают аддитивные, но не счетно-
аддитивные функции, следующее эффективно проверяемое
достаточное (хотя и не необходимое) условие счетной аддитивности
весьма полезно на практике.

2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
83
2.3.8. Определение. Класс множеств 1С в X называется
компактным, если из того, что Кп € К, и HuLi Kn = 0,
следует, что Πη=ι Кп = 0 пРи некотором N.
Терминология объясняется тем, что любой набор компактов
является компактным классом (см. теорему 1.9.6).
2.3.9. Теорема. Пусть μ — неотрицательная аддитивная
функция множества на некоторой алгебре множеств А,
причем существует компактный класс К, приближающий μ в
следующем смысле: для всякого А е А и всякого ε > 0 найдутся
такие Ке е /С и Αε е А, что Αε с Κε С А и μ(Α\Αε) < ε. Тогда
мера μ счетно-аддитивна.
В частности, это верно, если А содержит такой
компактный класс К, что для всякого Α Ε Λ имеем
μ{Α) = sup μ(Κ).
кса, кек
Доказательство. Пусть множества Ап £ А убывают и их
пересечение пусто. Покажем, что μ(Αη) —► 0. Пусть ε > 0.
Возьмем такие множества Кп 6 К и Вп 6 Д, что Вп С Кп С Ап
и μ(Αη\Βη) < ε2~η. Ясно, что (Х^гКп С (Χ?=ιΑη = ®·
Ввиду компактности /С найдется такое TV, что Πη=ι Кп = 0·
Тогда f)n=iBn = 0и4 = AN\f)%=1Bn = \JiU(AN\Bn) входит
в UiLi(4AB»), т.е. μ(ΑΝ) ^ Ση=ι№η\Βη) ^ Ση=ι^~η < *·
Итак, μ{Αη) —► 0, что влечет счетную аддитивность μ. D
2.3.10. Пример, (i) Пусть / — отрезок в К1, А — алгебра
конечных объединений промежутков из / (замкнутых, открытых
и полуоткрытых). Тогда обычная длина λχ, равная сумме
чисел bi — ai на конечном дизъюнктном объединении промежутков
с концами а^ и bi, счетно-аддитивна на алгебре А. Это же верно
для полуалгебры промежутков вида [а, 6) в [0,1).
(ii) Пусть I — куб в Ип вида [a, fr]n, A — алгебра конечных
объединений параллелепипедов из J, являющихся
произведениями промежутков из [a, b] (открытых, замкнутых или
полуоткрытых). Тогда обычный объем λη счетно-аддитивен на А. Будем
называть λη мерой Лебега.
Доказательство. Конечные объединения отрезков
являются компактными множествами и приближают изнутри конечные
объединения прочих промежутков. Случай куба аналогичен. D

84
Глава 2. Основы теории меры
Существуют меры, не имеющие компактных приближающих
классов, но такие меры довольно экзотичны и в реальных
приложениях не появляются. Приведем следующий результат,
показывающий, что указанное достаточное условие счетной
аддитивности носит весьма универсальный характер.
2.3.11. Теорема. Пусть μ — неотрицательная
счетно-аддитивная мера на борелевской σ-алгебре B(JRn)
пространства Ип. Тогда для всякого борелевского множества В С П1п и
всякого ε > О найдутся такие открытое множество U6 и
компактное множество Ке, что Ке С В С U€ и μ(υε\Κε) < ε.
Доказательство. Покажем, что для любого ε > О
найдется такое замкнутое множество Fe С jB, что /x(JB\F£) < ε/2. Тогда
в силу счетной аддитивности μ само Fe можно приблизить
изнутри с точностью до ε/2 компактом Fs Π С/, где U — замкнутый
шар достаточно большого радиуса. Обозначим через Λ класс всех
таких множеств А Ε B(TRn), что для всякого ε > 0 найдутся
замкнутое множество Fs и открытое множество U6, для которых
Fs С А С Ue и μ(υε\Ρε) < ε. Заметим, что всякое замкнутое
множество А входит в Д, ибо в качестве F6 можно брать само Л,
а в качестве U€ можно взять некоторую открытую ^-окрестность
А множества А, т.е. объединение всех открытых шаров радиуса δ
с центрами в точках из А (при стремлении δ к нулю открытые
множества А убывают к Д поэтому их меры стремятся к
мере А). Покажем, что Λ— σ-алгебра. Если это сделано, то теорема
доказана, так как замкнутые множества порождают борелевскую
σ-алгебру. По построению класс Λ замкнут относительно
операции дополнения. Поэтому остается проверить замкнутость Λ
относительно счетных объединений. Пусть Aj; Ε А и ε > 0. Тогда
существуют такие замкнутые множества Fj и открытые
множества Ujj что Fj С Aj С Uj и μ(Uj\Fj) < ε2~·?, j Ε IN. Множество
U = Ujli Uj открыто, а множество Ζ*. = (Jj=i Fj замкнуто для
всякого к Ε IN. Остается заметить, что Z*. С Ujli Aj С U и при
достаточно большом к имеет место оценка μ(ΙΙ\Ζ^) < ε. Действи-
тельно, /x(U£i(CA^)) < T,T=i£2~J = ε и Kb) - /*(U£i*>)
при fc^ooB силу счетной аддитивности. D
Эта теорема показывает, что измеримость можно определять
(как и делается в ряде учебников) в духе конструкции Пеано-
Жордана через внутренние приближения компактами и внешние

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
85
приближения открытыми множествами. Для этого надо сначала
задать меру открытых множеств (что определит и меру
компактов). На отрезке это легко, ибо открытое множество слагается из
дизъюнктных интервалов, что по счетной аддитивности задает
его меру через меры интервалов. Однако уже в случае квадрата
такого дизъюнктного представления открытого множества нет,
поэтому упомянутое построение здесь не столь эффективно.
Наконец, стоит сказать, что рассмотренную выше меру
Лебега на алгебре, порожденной кубами, можно сразу задать на бо-
релевской σ-алгебре равенством Хп(В) := inf Σφ=ι ^nCj)> гДе "^
берется по всем не более чем счетным покрытиям В кубами Ij. На
самом деле это и будет сделано ниже, однако обоснование того,
что указанное равенство дает счетно-аддитивную меру, не
тривиально и будет дано обходным путем с помощью конструкции
внешней меры, которой посвящен следующий параграф.
2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
Здесь показано, как продолжать счетно-аддитивные меры
с алгебр на σ-алгебры. О продолжении с колец см. §2.7(i). Мы
будем рассматривать конечные функции множества, а в конце
сделаем замечание о функциях со значениями в [0, +оо].
Для всякой неотрицательной функции множества μ, которая
определена на некотором классе Л подмножеств пространства X,
содержащем само X, формула
оо оо
μ*(Α) = ΐηί{Σμ(Αη)\Αη Ε Λ, А С (J Ап}
п=1 п=1
задает новую функцию множества, определенную уже для
каждого Ас X. Эта же конструкция применима к функциям
множества со значениями в [0, +оо]. Если X не входит в Л, то μ*
задается указанной формулой на всех множествах А, которые можно
покрыть счетной последовательностью элементов <Д, а всем
прочим множествам можно приписать бесконечное значение (иногда
им приписывают значение, равное точной верхней грани
значений μ* на содержащихся в них множествах, которые
покрываются последовательностями из Л). Функцию μ* называют внешней
мерой, хотя она не обязана быть даже аддитивной. Более
подробно внешние меры Каратеодори, не обязательно происходящие из
аддитивных функций множества, обсуждаются в [26, гл. 1]; см.
также §2.7(i) ниже.

86
Глава 2. Основы теории меры
2.4.1. Определение. Пусть μ — неотрицательная
функция множества на области определения А С 2х. Множество А
называется μ-измеримым (или измеримым по Лебегу
относительно μ), если для всякого ε > О найдется такое Ае Ε А, что
выполнено неравенство μ*(Α Δ Αε) < ε.
Класс μ-измеримых множеств обозначается через Αμ.
Нас будет интересовать случай, когда μ —
счетно-аддитивная мера на алгебре А. Определение измеримости, данное самим
Лебегом, состояло в равенстве μ* (Α) + μ*(Χ\Α) = μ(Χ) (для
отрезка X). Ниже будет показано, что для аддитивных функций
на алгебрах такое определение (возможно, интуитивно не столь
прозрачное) равносильно данному выше (см. предложение 2.4.12
и теорему 2.7.8). Кроме того, упомянутые утверждения содержат
критерий измеримости по Каратеодори, который также
равносилен данному нами определению в том случае, когда речь идет
о неотрицательных аддитивных функциях множества на
алгебрах, но гораздо более содержателен в общем случае (в частности,
когда рассматриваются меры со значениями в [0,+оо]).
2.4.2. Пример, (i) Пусть 0 € Л и μ(0) = 0. Тогда А С Αμ,
ибо при А Е А мы берем Αε = А. Кроме того, всякое множество А
с μ*(А) = 0 является μ-измеримым (можно взять Αε = 0).
(ii) Пусть А — алгебра конечных объединений промежутков
из примера 2.3.10 с обычной длиной λ. Тогда λ-измеримость А
равносильна тому, что для всякого ε > 0 можно найти
множество Е, равное конечному объединению интервалов, и множества
А'е, А» из I с А = (Е U А£\А», \*(А'е) <ζ ε, А*(Л£) < ε.
(Ш) Пусть X = [0,1], А = {0,Х}, μ(Χ) = 1, μ(0) = 0. Тогда
μ — счетно-аддитивная мера на А, причем Αμ — А.
Действительно, μ*(Ε) = 1 для всякого Ε φ 0. Поэтому из непустых множеств
лишь весь отрезок можно приблизить множеством из Л с
точностью ε < 1.
Отметим, что даже если μ — счетно-аддитивная мера на σ-ал-
гебре Л, соответствующая внешняя мера μ* может не быть
счетно-аддитивной на классе всех множеств.
2.4.3. Пример. Пусть X — двухточечное множество {0,1}
и А = {0,Х}. Положим μ(0) = 0, μ(Χ) = 1. Тогда класс А —
σ-алгебра, а μ счетно-аддитивна на Л, но μ* не является
аддитивной на σ-алгебре всех множеств, ибо μ*({0}) = 1, μ*({1}) = 1,
μ·({0}υ{1}) = 1.

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
87
2.4.4. Лемма. Пусть μ — неотрицательная функция
множества на классе Л. Тогда функция μ* счетно-субаддитивна,
т.е. справедливо неравенство *,етъс~ iJLrc4c>cAJb<?H
ζ00 \ °° <J VV
/»·(ΙΚ)<Σ"*(^) (2·4·1)
п=1 п=1
для любых множеств Ап.
Доказательство. Пусть ε > О и μ*(Αη) < оо. Для всякого
η существует такой набор {5n,fc}fcLi С Λ, что Ап С U&ii Bn,k и ^
fc=i l
Тогда U^Li An С U£Li Ufcli вщк и потому получаем
оо оо оо оо
μ*([) Ап) < £2>(Αα) < 5>*(А0 + е.
n=l n=l fc=l n=l
Ввиду произвольности ε, приходим к (2.4.1). D
2.4.5. Лемма. В ситуации предыдущей леммы для всяких
множеств А и В с μ* (В) < оо справедливо неравенство
\μ*(Α) - μ*(Β)\ ^ μ*(Α Δ Б). (2.4.2)
Доказательство. Заметим, что А с В и (Α Δ В), откуда
в силу субаддитивности μ* получаем оценку
μ*(Α)^μ*(Β) + μ*(ΑΔΒ),
т.е. μ*(Α)-μ*(Β) ^ μ*(ΑΑΒ). Оценка μ*(Β)-μ*(Л) ^ μ*(ΑΑΒ)
получается аналогично. _ z >i ^- U
2.4.6. Теорема. Пусть μ — конечная неотрицательная
счетно-аддитивная функция множества на алгебре А. Тогда
(i) Л С Λμ и внешняя мера μ* совпадает с μ на А;
(ii) совокупность Αμ всех μ-измеримых множеств является
σ-алгеброй, причем ограничение μ* на Αμ счетно-аддитивно;
(Ш) μ* — единственное неотрицательное
счетно-аддитивное продолжение μ на σ-алгебру σ(Α), порожденную А, а таксисе
единственное такое продолжение μ на Αμ.

88
Глава 2. Основы теории меры
Доказательство, (i) Уже отмечалось, что Л С Αμ. Пусть
А Ε А и А С ЦГ=1 Αι, где Ап Ε А. Тогда А = [)™=1(А Г) An).
Поэтому в силу предложения 2.3.6(iii) имеем
оо оо
μ{Α) ^ ]Г /ф4 П Ап) < J] μ(Αη),
п=1 ra=l
откуда μ(Α) ^ μ*(А). По определению, /х*(Д) ^ μ{Α). Значит,
μ(Α) = μ·(Α). ^
(ϋ) Сначала заметим, что дополнение измеримого множества
А измеримо. Это ясно из формулы (Х\А) Α (Χ\Αε) = Α Α Αε.
Далее, объединение измеримых множеств А и В измеримо.
Действительно, пусть ε > О и Дг, Дг Ε А таковы, что μ*(ΑΑΑε) < ε/2
и μ*(Β Δ Ι?ε) < ε/2. Поскольку
(A U В) А (Ае U Ве) С (Α Α Αε) U (В А Βε),
то справедливы неравенства
μ*((4υβ)Δ(4υβε))<μ*(μΔ4)υ(ΒΔβε)) < ε.
Следовательно, AuJB Ε Αμ. Кроме того, в силу уже доказанного,
А η В = Х\((Х\А) U (Х\В)) Ε Αμ. Итак, Аи — алгебра.
Теперь установим два менее очевидных свойства внешней
меры. Сначала проверим ее аддитивность на Αμ. Пусть А, В Ε Αμ,
причем ΑΠ В = 0. Зафиксируем ε > 0 и найдем такие Αε, Βε Ε Α,
что
μ*(ΑΑΑε)<ε/2 и μ*(Β ΑΒε) < ε/2.
По лемме 2.4.5 с учетом совпадения μ* на А с μ имеем
μ* (ΑΌΒ)> μ(Αε U Βε) - μ* {{Α U Β) Δ (Αε U Be)). (2.4.3)
Из включения (AUB)A (Αε U JBe) С (Α Δ Αε) U (Β Δ Βε) и
субаддитивности μ* вытекает неравенство
μ* ((A U В) Δ (Λ. у Βεγ) < μ*(Α Δ Αε) + μ*(Β Δ Ββ) < ε. (2.4.4)
Ввиду включения й£ Π Βε С (Α Δ Αε) Ι) (Β Α Βε) получаем
μ(Αε П Βε) = μ*(Αε η Ββ) < Μ* И Δ Αε) + μ*(Β Δ Βε) < ε.
Из оценок μ(.Αε) ^ μ*(Α) — ε/2 и μ(5ε) > μ*(^) — ε/2 имеем
μ(Αε U Ββ) = μ(Αε) + μ(Βε) - μ(Αε П Ββ) > μ*(Α) + μ*(Β) - 2ε.

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
89
С учетом соотношений (2.4.3) и (2.4.4) это дает
μ* (Л U В) ^ μ* (Α) + μ* (В) - 3ε.
В силу произвольности ε получаем μ*(A U В) ^ μ*(Α) + μ*(В).
Поскольку μ*(A U В) ^ μ*(Α) + μ*(В), то
μ*(ΑυΒ) = μ*(Α) + μ*(Β).
Следующий важный шаг состоит в проверке того, что счетное
объединение измеримых множеств из.мершщ. Достаточно
доказать это для непересекающихся множеств Ап Ε Αμ.
Действительно, в общем случае можно положить Вп = Ai\UI!=i^fc· Тогда
множества Вп не пересекаются, по доказанному измеримы и
имеют то же объединение, что и множества Ап. Имея дело с
непересекающимися множествами, замечаем, что ввиду конечной
аддитивности μ* на Αμ справедливы следующие соотношения:
η η оо
Σ μ* (Лк) = μ* (U Ак) ^ μ* ((J Ак) < μ(Χ)·
к=1 к=\ к=1
Итак, Σ!£=ι №*(Αΐζ) < оо. Пусть ε > 0. Выберем η так, что
оо
к=п+1
Пользуясь измеримостью конечных объединений, найдем такое
множество В Ε Л, что μ*(# Δ Ufc=i -^fc) < ε/^· Поскольку имеет
место включение В A |J£Li Ак С (В А Ц£=1 Л*) U (U£U+iЛ*)>
то получаем
оо η оо
M*(5AU^*)<A**(baU^)+M*( U Л*)^
оо
< \ + Σ ρ*(Λ*) < ε·
Итак, (JfcLi ^fc измеримо. Тем самым Αμ — σ-алгебра. Остается
заметить, что из аддитивности и счетной субаддитивности μ* на
Αμ следует счетная аддитивность (см. предложение 2.3.6).
(ш) Заметим, что σ(Α) С Αμ, ибо Αμ — σ-алгебра,
содержащая А Пусть ν — какое-нибудь неотрицательное
счетно-аддитивное продолжение μ на σ(Α). Пусть A Ε σ(Α) и ε > 0. Поскольку

90
Глава 2. Основы теории меры
Α Ε Λμ, то найдется В е Л с μ*(Α Δ Β) < ε. Это_ значит, что *
существуют такие множества Сп Ε Л, что А А В содержится
в объединении |J^=i Сп и ]CuLi Μ^η) < е- Тогда имеем
ОО ОО
|ι/(Α) - и(В)\ ζν(ΑΔΒ)^Σ и(Сп) = Σ КСп) < е.
η=1 «^ <#п:%,-гь*у ПЪ
Поскольку ν(Β) = μ(Β) = μ*(В), то окончательно получаем
\и(А) - μ*(Α)\ = ИЛ) - и{В) + μ*(Β) - μ*(Α)\ ζ
ζ \и(А) - u{B)\ + \μ*(Β) - μ*(Α)\ < 2ε.
В силу произвольности ε приходим к равенству ν'(А) = μ*(Α).
Это рассуждение дает единственность неотрицательного счетно-
аддитивного продолжения μ и на Αμ, ибо мы использовали лишь
включение A Ε Αμ (неотрицательность важна, см. ниже). D
Контрольный вопрос: где в вышеприведенном доказательстве
использовала счетная аддитивность μ? Она важна.
2.4.7. Пример. Пусть А — алгебра всех конечных
подмножеств IN и их дополнений, а функция множества μ равна 0 на
конечных множествах и 1 на их дополнениях. Тогда μ аддитивна,
одноточечные множества {п} покрывают IN и μ* (IN) = 0 < μ (IN).
Отметим, что в теореме выше μ не может иметь
знакопеременных счетно-аддитивных продолжений с Л на а(Л), что
следует из (ш) и разложения Жордана из гл. 3, но может иметь
знакопеременные продолжения на Αμ. Например, пусть X = {0,1},
Л = σ(Λ) = {0,Χ}, μ = 0, и({0}) = 1, и({1}) = -1, и{Х) = 0.
Тогда μ = ν — 0 на Д, точки 0,1 входят в Αμ и имеют нулевую
меру относительно продолжения μ на Αμ, а мера ν есть ненулевое
продолжение μ.
2.4.8. Пример. Важный частный случай, к которому
применима теорема о продолжении, описан в примере 2.3.10. Так
как σ-алгебра, порожденная кубами с ребрами, параллельными
координатным осям, есть борелевская σ-алгебра, то в
результате получаем счетно-аддитивную меру Лебега \п на борелевской
σ-алгебре куба (и даже на более широкой σ-алгебре измеримых
множеств), продолжающую элементарный объем. Эта мера более
подробно рассматривается в §2.5. По теореме 2.4.6 мера Лебега
любого борелевского (как и любого измеримого) множества В
в кубе есть λ* (#). Возникает вопрос, почему бы сразу не задать

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
91
меру на σ-алгебре борелевских подмножеств куба этой
формулой. Дело в том, что трудность состоит в проверке аддитивности
полученной функции множества. Чтобы обойти эту трудность,
приходится проверять аддитивность на более широком классе
измеримых множеств и доказывать, что он является σ-алгеброй.
С помощью доказанной теоремы можно дать новое описание
измеримых множеств.
2.4.9. Следствие. Пусть μ — неотрицательная счетно-
аддитивная функция множества на алгебре А. Множество А
является μ-измеримым в точности тогда, когда существуют
такие множества А', А" € σ(Α), что
А'с Ас А" и μ*(Α"\Α') = 0.
В качестве А! можно взять множество вида IJnLi Π^=ι An,k,
где AUjk Ε Λ, а в качестве А" множество вида HnLi UfcLi Bn,k,
где BUik Ε Λ.
Доказательство. Пусть Ае Αμ. Для всякого ε > 0 найдем
множество ΑεΕσ(Α), для которого А С Αε и μ*(Α) ^ μ*(Αε) — ε.
Действительно, по определению найдутся Ап G А с А С (Jnli Ап
и μ*(Α) ^ Σ™=ιμ(Αη) - ε. Положим Αε = IJ^Li^n· Ясно, что
Л С 4, 4 Ε &(Α) С Αμ. В силу счетной аддитивности μ* на Αμ
имеем μ*(Αε) ^ ΣίϊΙιΜΑι)· Положим А" = Γ\™=ιΑι/η· Тогда
Ас/е σ(Α) С Αμ, причем μ* (Α) = μ* (А"), ибо
μ*{Α) > μ·(Α1/η) - l/n > μ*{Α") - l/n
для всех п. Отметим, что для построения А" измеримость А не
нужна. Применим доказанное к дополнению А и найдем
содержащее Х\А множество В G σ(Α) С Αμ равной с Х\А внешней
меры. Положим А = Х\В. Тогда А' с Л, причем в силу
аддитивности μ* на σ-алгебре Αμ и включений А, В 6 Αμ имеем
μ*(Α') = μ(Χ) - μ*(Β) = μ(Χ) - μ*(Χ\Α) = μ*(Α),
что и требовалось. Обратно, пусть такие множества А' и А!1
существуют. Поскольку А является объединением А! и части А"\А\ то
достаточно проверить, что всякое множество С из А"\АГ входит
в Αμ. Это верно, ибо /х*(С) < μ*(Α"\Α') = μ*(Α") - μ*(Α') = О
ввиду аддитивности μ* на Αμ и включений A", Af Ε ст(А) С Αμ. D
Из единственности продолжения вытекает следующий
полезный результат.

92
Глава 2. Основы теории меры
2.4.10. Следствие. Для равенства неотрицательных боре-
левских мер μ и и на прямой необходимо и достаточно, чтобы
они совпадали на всех отрезках {или на всех интервалах).
Доказательство. Поскольку отрезок есть пересечение
вложенной последовательности интервалов, а интервал есть
объединение возрастающей последовательности отрезков, то в силу
счетной аддитивности совпадение μ и ν на отрезках равносильно
совпадению на интервалах и влечет равенство обеих мер на алгебре
промежутков в И1. Поскольку эта алгебра порождает ^(И1), то
ввиду единственности счетно-аддитивного продолжения с
алгебры на порожденную σ-алгебру получаем доказываемое. D
Описанное в теореме 2.4.6 счетно-аддитивное продолжение
называется лебеговским продолжением или лебеговским
пополнением меры μ, а измеримое пространство (Χ, Αμ,μ) называется
лебеговским пополнением (Χ, Α, μ). Кроме того, Αμ называют
лебеговским пополнением алгебры (или σ-алгебры) А
относительно μ. Такая терминология (обычно используемая в том случае,
когда А — σ-алгебра) связана с тем, что мера μ на Αμ является
полной в смысле следующего определения.
2.4.11. Определение. Неотрицательная
счетно-аддитивная мера μ на σ-алгебре А называется полной, если А содержит
все подмножества всякого множества из А, имеющего μ-меру
нуль. В этом случае говорят таксисе, что σ-алгебра А полна
относительно меры μ. Точно так же определяют полноту меры
на алгебре или кольце.
Из определения внешней меры ясно, что если А С В Ε Αμ
и μ(Β) = О, то Α Ε Αμ и μ(Α) = 0. Полнота ограниченной меры
μ на σ-алгебре А равносильна равенству А = Αμ (задача 2.7.31).
Примером неполной счетно-аддитивной меры на σ-алгебре
служит нулевая мера на σ-алгебре, состоящей из пустого
множества и отрезка [0,1]. Более содержательный пример: мера Лебега
на σ-алгебре всех борелевских подмножеств отрезка, построенная
с помощью примера 2.3.10. Эта мера рассматривается ниже более
подробно; мы увидим, что существуют компактные множества
нулевой меры Лебега, содержащие неборелевские подмножества.
Множества меры нуль называют пренебрежимыми.
Отметим следующий простой, но полезный критерий
измеримости множества в терминах внешней меры (представляющий
собой, как уже отмечалось, исходное определение Лебега).

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 93
2.4.12. Предложение. Пусть μ — неотрицательная счет-
но-аддитивная мера на алгебре А. Тогда множество А входит
в Λμ в том и только том случае, когда μ*(Α)+μ*(Χ\Α) = μ(Χ).
Это равносильно также тому, что μ*(ΕΓ)Α)+μ*(Ε\Α) = μ*(Ε)
для всякого Ε С X.
Доказательство. Проверим достаточность первого из укаг
занных условий (тем самым окажется достаточным и более
сильное второе). Найдем такие μ-измеримые множества В и С, что
А с В, Х\А С С, μ(Β) = μ*(Α), μ{0) = μ*(Χ\Α).
Существование таких множеств было установлено в доказательстве
следствия 2.4.9. Ясно, что D = Х\С С Л и
μ(Β) - μ{Ό) = μ(Β) + μ{0) - μ(Χ) = 0.
Следовательно, μ* (Α Δ Β) = 0, откуда вытекает измеримость А.
Теперь установим необходимость второго из упомянутых
в формулировке условий. В силу субаддитивности внешней
меры достаточно проверить, что μ*(Ε Г\А) + μ*(Ε\Α) ^ μ*(Ε) для
всякого Ε С X и всякого измеримого А. Из оценки (2.4.2)
следует, что достаточно установить это неравенство для всех А Е А.
Пусть е>0и АпеА — такие множества, что Ε С (Jn^i ^n
и μ*(Ε) > ΣΖιΚΛη) ~ ε. Тогда Ε Π Α С U~=i(^n П А)
и Е\А с []~=1(АП\А), откуда
оо оо
μ*(ΕΠΑ) + μ*(Ε\Α) ζΣμ(ΑηηΑ) + Σμ(Αη\Α) =
η=1 η=1
оо
= Σμ(Αη)^μ*(Ε)+ε.
η=\
В силу произвольности ε утверждение доказано. D
Данный критерий измеримости можно сформулировать как
равенство μ*(Α) = μ*(А), если внутреннюю меру задать
равенством
μ>(Α):=μ(Χ)-μ*(Χ\Α),
как и было фактически сделано Лебегом. Следует только иметь
в виду, что при этом нельзя пользоваться определением
внутренней меры в духе меры Жордана как точной верхней грани мер
множеств из алгебры Л, вписанных в А. Ниже в §2.7(i) мы
рассмотрим абстрактные внешние меры и увидим, что последнее

94
Глава 2. Основы теории меры
свойство в предложении 2.4.12 можно взять в качестве
определения измеримости, что приводит к весьма интересным результатам
(при этом само предложение будет распространено на конечно-
аддитивные функции множества).
2.4.13. Замечание. Всякое множество Α Ε Αμ можно
превратить в пространство с мерой, ограничив μ на класс μ-измери-
мых подмножеств А, представляющий собой σ-алгебру в А.
Полученная мера μ а (или μ|^) называется ограничением или
сужением μ на А. См. задачу 2.7.46 про сужения на любые множества.
Следует иметь в виду, что не всякая счетно-аддитивная мера
на под-а-алгебре Ло в σ-алгебре А продолжается до меры на А
(см. задачу 2.7.43).
2.4.14. Замечание, (i) Аналог теоремы 2.4.6 имеется и для
мер со значениями в [0, +оо], а также для мер на кольцах,
однако при этом вместо класса Αμ приходится брать либо класс ίΰΙμ*
множеств, измеримых по Каратеодори (см. §2.7(i)), либо
совпадающий с ΐΰΙμ* в случае счетно-аддитивной меры (см. ниже
замечание 2.7.11) класс локально измеримых множеств
А1°с := {Ас Χ: Α Г) Ε Ε Αμ для всех Ε Ε Ас μ(Ε) < оо}.
Класс Λμ из определения 2.4.1 в случае меры со значениями
в [0, +оо] может не быть σ-алгеброй. Рассмотрим такой пример:
пусть А — алгебра конечных множеств в IN и их дополнений,
и пусть μ(Α) = оо, если А Е Л непусто, μ(0) = 0. Тогда мера μ
со значениями в [0, +оо] счетно-аддитивна. При этом из
неравенства μ*(Ε) < оо следует, что Ε = 0. Поэтому Λμ совпадает с А
и не является σ-алгеброй.
(ii) Пусть конечная мера μ > 0 счетно-аддитивна на
кольце ΤΖ и σ-конечна, т.е. X = Ub=i^fc> где Rk Ε 1Ζ и /x(i?fc) < оо.
Тогда теорема 2.4.6 позволяет легко построить продолжение μ до
счетно-аддитивной меры со значениями в [0,+оо] на σ-алгебре
σ(7£), порожденной 1Ζ. В самом деле, перейдя к (J?=i^J5
можно считать, что Rk С Rk+i· Для каждого к мера μ имеет
единственное счетно-аддитивное продолжение на σ-алгебру Ak
подмножества Rk, порожденную пересечениями RCi Rk, где R Ε ΤΖ,
ибо такие пересечения образуют алгебру и μ конечна и счетно-
аддитивна на ней. Ясно, что такие продолжения согласованы, т.е.
продолжение на Ak+i на множествах из Ak дает то же, что и
продолжение на Ak- Легко проверить, что σ(ΤΖ) есть класс всех таких

2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
95
множеств Е, что EnRk € Лк для каждого к. Теперь продолжение
на σ(1Ζ) задается формулой
μ(Ε)= lim μ(Ε Π Rk),
fc-»oo
где μ(Ε Π Rk) есть значение на Ε Π Rk продолжения μ на Л/..
Полученное продолжение счетно-аддитивно. Действительно, для
дизъюнктных Aj Ε σ(Έ) множества Aj Π Rk дизъюнктны при
каждом fc, откуда μ^ Π |J£Li4?) = Z)jliM(4i n #*)· Легко
видеть, что равенство остается и в пределе к —► оо (включая
случай бесконечных значений). Той же формулой μ продолжается
и на более широкий класс fil£c.
2.5. Меры Лебега и Лебега—Стилтьеса
Вернемся к мере Лебега, рассмотренной в примерах 2.3.10
и 2.4.8. Пусть I — куб в Ип вида [а, Ь]п, Ло — алгебра
конечных объединений параллелепипедов из J с ребрами,
параллельными координатным осям. Как мы знаем, обычный объем λη
счетно-аддитивен на До и продолжается до счетно-аддитивной
меры, также обозначаемой через λη и называемой мерой Лебега
на σ-алгебре Сп(1) всех Ап-измеримых множеств в J, содержащей
борелевскую σ-алгебру. Представим Шп в виде объединения
возрастающей последовательности кубов 1к = {|#j| < fc, г = 1,..., η}
и положим
Сп := {Е С ИГ: ЕШк G Сп(1к) для всех к 6 IN}.
Ясно, что jCn — (т-алгебра. На ней формула
Хп(Е)= lim \п(ЕП1к)
к—>оо
задает σ-конечную меру λη.
2.5.1. Определение. Указанная выше мера Хп на Сп
называется мерой Лебега на IRn. Множества из Сп называются
измеримыми по Лебегу.
В тех случаях, когда подмножества Ип рассматриваются с
мерой Лебега, обычно используются термины «множество меры
нуль», «измеримое множество» и т.п. без явного упоминания
меры Лебега. Мы также будем следовать этой традиции.

96
Глава 2. Теория меры
Для задания меры Лебега множества Ε Ε Сп можно
использовать и формулу
оо
Xn(E) = Y^\n(EnQj),
где Qj — попарно непересекающиеся кубы, являющиеся сдвигами
[— 1,1)п и дающие в объединении все Шп. Поскольку σ-алгебра,
порожденная параллелепипедами указанного выше вида, есть бо-
релевская σ-алгебра В{1) куба J, то все борелевские множества
в кубе J, а значит и во всем Ип, измеримы по Лебегу.
Меру Лебега можно рассматривать также на ^-кольце £% всех
множеств конечной меры Лебега.
В одномерном случае мера Лебега множества Ε есть сумма
ряда из λι(£ΊΊ(η,η+1]) по всем целым числам п.
Сдвиг множества А на вектор /i, т.е. множество всех точек
вида а + h, где а Е А, обозначим через А + h.
2.5.2. Лемма. Пусть W С / = (—1,1)п — открытое
множество. Тогда существует такое не более чем счетное
множество открытых попарно непересекающихся кубов Qj С W вида
Qj = Cjl + hj, Cj > 0, hj Ε Ι, что множество W\\J°?1 Qj имеет
лебеговскую меру нуль.
Доказательство. Воспользуемся задачей 2.7.16 и
представим W в виде W = U^LiWj'j гДе Wj — открытые кубы, ребра
которых параллельны координатным осям и имеют длины q2~p
с натуральными р, д, а центры имеют координаты вида 12~т с
целыми / и натуральными га. Затем следующим образом
реструктурируем кубы Wj. Удалим все кубы Wj, принадлежащие Wi,
и положим Qi = W\. Возьмем первый куб Wn2 из оставшихся
и внутренность множества Wn2\Qi представим в виде
конечного объединения открытых кубов $2? · · · ? Qm2 такого же вида, как
и кубы Wj, а также некоторых кусков границ этих новых
кубов. Это возможно в силу выбора исходных кубов. Затем удалим
все Wj, содержащиеся в объединении IJSaQi? возьмем первый
куб из оставшихся и измельчим указанным выше способом его
часть, выступающую за объединение ранее построенных кубов.
Продолжая описанный процесс, мы получим попарно
непересекающиеся кубы, покрывающие W с точностью до множества меры
нуль, а именно счетного объединения границ этих кубов. D

2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса 97
2.5.3. Теорема. Пусть А — измеримое по Лебегу
множество конечной меры. Тогда
(i) \п(А + К) = \п(А) для всякого вектора h 6 lRn;
(ii) Xn(U(A)) = Xn(A) для всякого ортогонального линейного
оператора U на IRn;
(Ш) \п(аА) = \а\пХп(А) для всякого вещественного числа а.
Доказательство. Из определения меры Лебега явствует,
что достаточно доказать перечисленные свойства для
ограниченных измеримых множеств.
(i) Возьмем такой куб / с центром в начале координат, что
множества А и A+h содержатся в некотором кубе внутри /. Пусть
Ао — алгебра, порожденная кубами в J с ребрами,
параллельными координатным осям. При определении внешней меры А
можно рассматривать лишь такие множества В Ε До? чт0 В + h С I.
Поскольку объемы множеств из До не меняются при сдвигах, то
множества A + h и А имеют одинаковые внешние меры. Для
каждого ε > 0 найдется множество Αε 6 До с λ* (Α Δ Αε) < ε. Тогда
\*п((А + h)A (Αε + h)) = λ*η((Α Δ Αε) + h)= λ*η(Α Δ Αε) < ε,
откуда следует измеримость А + h и доказываемое равенство.
(ii) Из определения меры Лебега ясно, что достаточно
доказать наше утверждение для множеств из Ао- Поэтому остается
показать, что для всякого замкнутого куба К с ребрами,
параллельными координатным осям, справедливо равенство
\n(U(K)) = Хп(К). (2.5.1)
Допустим, что это неверно для некоторого куба UT, т.е.
\n(U{K))=r\n{K),
где г φ 1. Покажем, что тогда для всякого шара Q С I с центром
в начале координат справедливо равенство
Xn(U(Q))=r\n(Q), если U(Q) С /. (2.5.2)
Пусть d — длина ребра К. Возьмем натуральное число ρ и
разделим куб К на рп одинаковых замкнутых кубов Kj с равными
ребрами длины d/p, пересекающихся лишь по граням или ребрам.
Кубы U(Kj) являются сдвигами друг друга и по доказанному
имеют одинаковые меры. Легко видеть, что грани любых кубов
имеют меру нуль. Поэтому Xn(U(K)) = pnXn(U(Ki)).
Следовательно, \n(U(Ki)) = rAn(uii). Тогда это верно для всякого куба

98
Глава 2. Теория меры
вида qK+h, где q — рациональное число, что дает (2.5.2) для
шара Q. В самом деле, по аддитивности это равенство переносится
на конечные объединения кубов с ребрами, параллельными
координатным осям. Далее, для всякого ε > 0 можно найти два
объединения Е\ и Ε<ι такого вида, для которых Е\ С Q С Ε<ι
и \п{Е<2\Е\) < е. Для этого надо взять такие шары Q' и Q"
с центром в начале координат, что Q1 С Q С Q" со строгими
включениями и мера Q"\Q' мала. Затем можно найти конечное
объединение Е\ кубов указанного вида с Qf С Ει С Q и
аналогичное объединение Ε<ι с Q С Ε<ι С Q". Остается заметить, что
U(Q) = Q, поэтому равенство (2.5.2) приводит к противоречию.
Утверждение (in) очевидно для множеств из Ло и потому, как
и (Н), переносится на все измеримые множества. D
Отметим, что свойство (Hi) меры Лебега является
следствием свойства (i), ибо из (i) оно следует для куба и а = 1/га, где
т € IN, затем переносится на рациональные а, что по
непрерывности приводит к общему случаю. Как видно из доказательства,
свойство (ii) также следует из (i). При этом свойство (i)
характеризует меру Лебега с точностью до множителя (см. задачу 2.7.28).
Из теоремы 2.5.3 вытекает, что мера Лебега всякого
прямоугольного параллелепипеда Pel (не обязательно с ребрами,
параллельными координатным осям) равна произведению длин его
ребер. Из этого легко получить такой результат.
2.5.4. Следствие. В предыдущей теореме для всякого ли-
нейного оператора Τ в IRn имеем Хп(Т(А)) = |detT|An(A).
Всякое счетное множество имеет лебеговскую меру нуль. Как
показывает следующий пример канторовского множества,
описанного в §1.9(vi), существуют и несчетные множества лебегов-
ской меры нуль. Для удобства напомним конструкцию.
2.5.5. Пример. Пусть I = [0,1]. Обозначим через Лд
интервал (1/3,2/3). Через 72д, 3^,2 обозначим интервалы (1/9,2/9)
и (7/9,8/9), являющиеся средними третями отрезков,
полученных после удаления интервала *7хд. Продолжим индуктивно
процесс удаления средних интервалов. На га-ом шаге получим 2п
отрезков, а на следующем шаге удалим их средние трети «7п+1,ъ
Jn+i,2>··. ,«Λι+ι,2η> после чего останется 2n+1 отрезков и процесс
продолжится. Множество С = I\ \Jnj Jnj называется канторов-
ским. Оно компактно, имеет мощность континуума, но
лебеговскую меру нуль.

2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
99
Доказательство. Множество С компактно, ибо его
дополнение до отрезка открыто. Чтобы увидеть, что С имеет мощность
континуума, запишем точки отрезка [0,1] в троичной системе, т.е.
χ = Y^jLi #j3~J, где Xj принимает значения 0,1,2. Как и для
десятичных разложений, такое представление не однозначно, ибо,
например, последовательность (0,2,2,...) соответствует тому же
числу, что и последовательность (1,0,0,...). Однако подобная
неоднозначность возможна лишь для счетного множества точек.
По индукции проверяется, что после η-го шага удаления
остаются точки #, для которых Xj = 0 или Xj = 2 при j < η (если точки
типа 1/3 записывать как (0,2,2,...)). Таким образом, С состоит
из точек, допускающих троичное разложение лишь с 0 и: 2, откуда
следует, что С равномощно множеству вещественных чисел.
Заметим, что разложение с использованием только 0 и 2 однозначно
(даже для точек, имеющих иные разложения с использованием
еще и 1). Чтобы показать, что С имеет нулевую меру, остается
проверить, что дополнение к С имеет меру 1. По индукции
проверяется, что мера множества 7пд U · · · U Jn^-\ равна 2П_13~П.
При этом Σ^ι2η~13-η = 1. ' ' D
2.5.6. Пример. Пусть ε > 0 и {гп} — множество всех
рациональных точек из [0,1]. Положим
оо
К = [0,1]\ [J (гя - ε4"η, τη + ε4"η).
η=1
Тогда К — компакт без внутренних точек с мерой Лебега не
меньше 1 — ε, ибо мера [0,1]\К не превосходит ]£uLi 2ε4~η.
Таким образом, положительность меры компактного
множества не означает, что у него есть внутренние точки.
Отметим, что всякое подмножество канторовского множества
также имеет меру нуль. Из этого вытекает, что совокупность всех
измеримых множеств имеет мощность, равную мощности
класса всех подмножеств прямой. Можно показать (см. [26, гл. 6]),
что борелевская σ-алгебра имеет мощность континуума.
Поэтому среди подмножеств канторовского множества имеются небо-
релевские измеримые множества.
Естественно возникает вопрос, сколь обширен класс
измеримых по Лебегу множеств и охватывает ли он все множества.
Оказывается, что ответ на этот вопрос зависит от привлечения
дополнительных теоретико-множественных аксиом и
принципиально не может быть дан в рамках «наивной теории множеств» без

100
Глава 2. Теория меры
аксиомы выбора. Во всяком случае, как показывает следующий
пример Витали, с помощью аксиомы выбора легко строится
пример неизмеримого по Лебегу множества.
2.5.7. Пример. Будем считать точки χ и у из [0,1]
эквивалентными, если число х—у рационально. Ясно, что полученное
отношение действительно является отношением эквивалентности,
т.е. 1) χ ~ ж, 2) у ~ χ при χ ~ у, 3) χ ~ ζ при χ ~ у и у ~ ζ.
Таким образом, возникают классы эквивалентности, объединяющие
точки, которые отличаются друг от друга на рациональное
число, причем разности между представителями различных классов
иррациональны. Выберем теперь из каждого класса ровно по
одному представителю и обозначим полученное множество через Е.
Возможность такого построения как раз и обеспечивается
аксиомой выбора. Множество Ε не может быть измеримо по Лебегу.
Действительно, если его мера равна нулю, то мера [0,1] также
равна нулю, ибо [0,1] покрывается счетным множеством сдвигов
Ε на всевозможные рациональные числа. Положительной мера
множества Ε тоже не может быть, ибо для различных
рациональных ρ и q множества E + pnE + qne пересекаются и имеют
равную меру с > 0. Так как Ε + р С [0,2] при ρ е [0,1], то [0,2]
будет иметь бесконечную меру.
Следует, однако, иметь в виду, что вместо аксиомы выбора
можно присоединить к стандартным теоретико-множественным
аксиомам такое предположение, что все подмножества прямой
окажутся измеримыми.
Заметим еще, что даже если использовать аксиому выбора, то
все равно остается такой вопрос: существует ли какое-нибудь
продолжение меры Лебега до счетно-аддитивной меры на классе всех
подмножеств отрезка? Построенный выше пример говорит лишь
о том, что такое продолжение нельзя получить с помощью лебе-
говского пополнения. Ответ на поставленный вопрос также
зависит от привлечения дополнительных теоретико-множественных
аксиом (см. §1.12(х) в книге [26]). Во всяком случае лебеговское
продолжение заведомо не является максимально возможным, ибо
по теореме 2.7.12 для каждого множества Ε С [0,1],
неизмеримого по Лебегу, можно продолжить меру Лебега до счетно-
аддитивной меры на σ-алгебре, порожденной всеми измеримыми
по Лебегу множествами в [0,1] и множеством Е.
Важным свойством измеримости по Лебегу на Ип является ее
инвариантность относительно широкого класса преобразований.

2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
101
2.5.8. Теорема. Пусть отображение /: Нп —> IRn липши-
цево на ограниченных множествах. Тогда f переводит
измеримые по Лебегу множества в измеримые.
Если же f имеет обратное, которое липшицево на
ограниченных множествах, то прообразы измеримых по Лебегу
множеств измеримы.
Доказательство. Пусть А с IRn измеримо по Лебегу.
Достаточно рассмотреть ограниченное А. Пусть С — постоянная
Липшица отображения /. Для всякого ε > 0 найдется компакт
Κε С А с \(Α\Κε) < ε. Тогда f(Ks) — компакт в f(A).
Покажем, что \*(f(A)\f(K£)) ^ 2C"V, ввиду произвольности ε это
будет означать измеримость f(A). Найдется последовательность
замкнутых шаров Bj := B(xj,rj), для которой Α\Κε С U^li^j
и ΣίΙιλ(Βί) ^ 2ε. Тогда f(A)\f(Ke) С U£i№), откуда
находим \*(f(A)\f(K£)) < Z)j1iA(/(jBj)). Остается заметить, что
f(Bj) входит в шар B(f(xj),Crj) меры CnX(Bj). Второе
утверждение теоремы следует из первого. D
Отметим, что эта теорема верна отнюдь не для всякой боре-
левской меры. Например, если мера μ на [0,1] задана формулой
μ(Α) = \(А Π [0,1/2]), А е £([0,1]), то все множества из [1/2,1]
имеют μ-меру нуль. Ясно, что при отображении χ н-> х/2
некоторые из них перейдут в неизмеримые подмножества [0,1/2].
Скажем несколько слов о мере Жордана (или Пеано-Жорда-
на, что более точно отражает историю вопроса).
2.5.9. Определение. Ограниченное множество Ε в Шп
называется измеримым по Жордану, если для всякого ε > 0
существуют множества Όε uVs, являющиеся конечными
объединениями кубов, такие, что Ue С Ε С Ve и \n(Vs\U£) < ε.
Ясно, что при ε —► 0 существует общий предел мер Ue и V^,
называемый мерой Жордана множества Е. Из определения
очевидно, что всякое измеримое по Жордану множество Ε измеримо
и по Лебегу, причем его мера Лебега совпадает с мерой Жордана.
Обратное, однако, неверно: например, множество рациональных
чисел отрезка не измеримо по Жордану. Совокупность
измеримых по Жордану множеств представляет собой кольцо (см.
задачу 2.7.30), на котором мера Жордана совпадает с мерой Лебега.
Разумеется, мера Жордана счетно-аддитивна на своей области
определения, а ее лебеговское продолжение есть мера Лебега.

102
Глава 2. Теория меры
Перейдем к рассмотрению мер Лебега-Стилтьеса. Пусть μ —
неотрицательная борелевская мера на И1. Тогда функция
tt->F(t) = μ((-οο,*))
ограничена, возрастает, непрерывна слева, т.е. F(tn) —> F(t) при
tn 1£, что вытекает из счетной аддитивности μ, причем
справедливо равенство lim F(t) = 0. Эти условия оказываются и до-
t—>—ОО
статочными для того, чтобы функция F порождалась некоторой
мерой по указанной формуле, функция F называется функцией
распределения меры μ. Отметим, что часто функцию
распределения задают формулой F(t) = μ((—сю, t]), что приводит к отличию
в точках положительной μ-меры (скачки функции F — это точки
положительной μ-меры).
2.5.10. Теорема. Пусть F — ограниченная, неубывающая
и непрерывная слева функция, причем lim F(t) = 0. Тогда су-
t—*—oo
ществует и единственна такая неотрицательная борелевская
мера на ГО,1, что F(t) = μ((—οο, £)) для всех t G К1.
Доказательство. Из курса анализа известно, что функция
F имеет не более чем счетное множество D точек разрыва.
Ясно, что в IR1\D можно выбрать счетное множество 5, которое
всюду плотно в ГО.1. Рассмотрим класс А всех множеств вида
А = UILi Ж* гДе J* ~~ промежуток одного из четырех типов (а, 6),
[а, Ь], (а, Ь] или [а, Ь), причем а и Ь либо входят в 5, либо совпадают
с —оо или +оо. Нетрудно проверить, что Л — алгебра. Зададим
функцию множества μ на Л следующим образом: если А —
промежуток с концами в α и 6, причем а ^ Ь, то μ(Α) = F(b) — F(a),
где F(—оо) = 0, F(+oo) = lim F(t), а если Л есть конечное
объединение непересекающихся промежутков J^, то μ (Л) = ^ μ (</*)·
Ясно, что функция μ корректно определена и аддитивна. Для
доказательства счетной аддитивности μ на Л достаточно
заметить, что класс конечных объединений компактных промежутков
компактен и является приближающим. Действительно, если J —
открытый или полуоткрытый промежуток, например, J = (α, Ь),
где а и Ь входят в S (или совпадают с точками +оо, — оо), то
в силу непрерывности F в точках из S имеем F(b) — F(a) =
lim [F(bi) — F(oi)]j где α* j α, bi | 6, α*, 6$ Ξ 5. Если α = —оо,
г—>оо
то это же вытекает из условия lim F(t) = 0. Продолжим μ до
t—►—оо

2.6. Знакопеременные меры
103
меры на σ-алгебре ^(Н1), которая порождается алгеброй А в
силу плотности S. Заметим, что F(t) = μ((—οο,ί)) для всех £, а не
только для t 6 «S, ибо обе функции непрерывны слева и
совпадают на 5. Единственность μ ясна из того, что F однозначно
задает значения μ на промежутках. В этом доказательстве
ввиду предложения 2.3.7 вместо Л можно было взять полуалгебру
промежутков вида (—оо, 6), [α, Ь), [а, +оо), где а, Ь Ε S. D
Мера μ, построенная выше по функции F, называется
мерой Лебега-Стилтъеса с функцией распределения F.
Аналогично с помощью функций распределения η переменных,
представляющих меры множеств (—οο,#ι)χ· · ·χ(—оо,жп), задаются меры
Лебега-Стилтьеса на Ип.
2.6. Знакопеременные меры
В этом параграфе мы рассмотрим знакопеременные меры.
Следующая теорема позволяет во многих случаях свести
знакопеременные меры к неотрицательным.
2.6.1. Теорема. (Разложение Хана) Пусть μ — счетно-
аддитивная числовая мера на измеримом пространстве (Χ, А).
Тогда существует такое множество Х~ Ε Λ, что, полагая
Х^ = Х\Х~, для всех Α Ε А получаем
μ(ΑΠΧ~)^0 и /ф4пХ+)^0.
Доказательство. Будем называть множество Ε ε А
отрицательным, если μ(Α Π Ε) ^ 0 при всех Α Ε Λ.
Аналогично определим положительные множества. Пусть α =^4η£μ(£7)>
где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам.
Пусть Еп — последовательность отрицательных множеств, для
которых lim μ(Εη) = а. Ясно, что Х~ = U^-i En — отрицатель-
n-»oo ft_
ное множество, причем μ(Χ~) = α, ибо а ^ μ(Χ~) ^ μ{Εη).
Покажем, что Х+ = Х\Х~ — положительное множество.
Предположим противное. Тогда существует такое Aq ε А, что Aq с Х+
и μ(Αο) < 0. Множество Aq не может быть отрицательным, ибо
тогда было бы отрицательным и множество Х~ U Aq, для
которого μ(Χ~ U Aq) < <*, что невозможно. Поэтому найдутся
такие множество А\ С Aq и натуральное число fci, что А\ Ε Л,
μ{Α\) ^ Ι/fci, причем к\ — наименьшее возможное из
натуральных чисел fc, для которых в Aq найдется подмножество с мерой не

104
Глава 2. Теория меры
меньше 1/к. Заметим, что μ(Αο\Α\) < 0. Повторяя рассуждение,
проведенное для Ао, применительно к Aq\A\, получаем
множество Α<ι С Aq\A\ из А, для которого μ(Α2) ^ 1/&2 с наименьшим
возможным натуральным &2- Продолжим этот процесс
индуктивно. В результате получим попарно непересекающиеся множества
А{ Ε А с таким свойством: Ап+\ С AAUlLi^i и /х(Лп) ^ l/fcn?
где fcn — наименьшее из натуральных чисел fc, для которых в
A)\U£=i А% есть подмножество меры не меньше 1/к. Заметим,
что кп —► +оо, ибо иначе в силу дизъюнктности множеств Ап мы
бы получили, что μ(Αο) = +оо. Пусть JB = -Ao\U£i -^*· Заметим,
что μ(Β) < 0, ибо μ(Α0) < 0, /*(U~i^) > 0 и Ц~1^ С А0.
Более того, В — отрицательное множество. Действительно,
если С С JB, С Ε А и /i(C) > 0, то найдется натуральное число
к с μ(0) > 1/fc, что при кп > к противоречит выбору fcn, ибо
С С AAUILi^· Таким образом, присоединив В к X",
приходим к противоречию с определением а. Следовательно,
множество Х+ положительно. D
Построенное в предыдущей теореме разложение измеримого
пространства X в дизъюнктное объединение X = Х+ U Х~
называется разложением Хана. Ясно, что разложение Хана может
быть не единственным, так как добавление множества, все
подмножества которого имеют меру нуль, не влияет на свойство
множества быть отрицательным. Однако если X = X~*~UX~ — другое
разложение Хана, то для всех А Е А имеем
μ{ΑΠΧ-)=μ(ΑηΧ-) и μ(Α ПХ+) = μ(Α Π Χ+). (2.6.1)
Действительно, всякое множество В из Л, входящее в Х~ Π Χ+
или в Х+ Π Χ~, имеет меру нуль, ибо μ(Β) одновременно
неотрицательно и неположительно.
2.6.2. Следствие. При условиях теоремы 2.6.1 положим
/х+(Л) = μ(Α Π Х+), μ'(А) = -μ(Α Π X~), Α Ε Λ. (2.6.2)
Тогда μ+ и μ~ — неотрицательные счетно-аддитивные меры,
причем μ = μ+ — μ~.
Ясно, что μ{Χ^) — наибольшее значение, принимаемое
мерой μ, а μ(Χ~) — ее наименьшее значение.
2.6.3. Следствие. Если μ: А —► IR1 — счетно-аддитивная
мера на σ-алгебре А, то множество значений μ ограничено.

2.6. Знакопеременные меры
105
2.6.4. Определение. Меры μ+ и μ~, построенные выше, на-
зываются соответственно положительной и отрицательной
частями μ. Мера
И := μ+ + μ"
называется полной вариацией μ. Величина \\μ\\ := |μ|(Χ)
называется вариацией меры μ.
Разложение μ = μ+ — μ~ называется разложением Жордана
или Жордана-Хана.
Меру |μ| не следует путать с функцией множества Α ι-* |μ(Α)|,
которая обычно ме аддитивна (например, если ||μ|| > μ(Χ) = 0).
Отметим, что меры μ+ и μ~ обладают следующим свойством,
которое можно было бы взять в качестве их определения:
μ+(Α) = sup{/*(B): ВсДВеЛ},
μ-(Α) = 8αρί-μ(Β): ВсА,ВеЛ\
для всех Α Ε А. Кроме того,
оо
\μ\(Α) = 8ηρ{Σ\μ(Αη)\}, (2.6.3)
п=1
где верхняя грань берется по всем не более чем счетным
разбиениям А на попарно непересекающиеся части из Л. Можно брать
конечные разбиения и вместо sup поставить max, ибо верхняя
грань достигается на разбиении А\ = Α Π Χ+, Л 2 = Α Π Χ".
Отметим, что ||μ|| не совпадает с величиной βιιρ{|μ(-Α)|, Α Ε Л}, если
обе меры μ+ и μ~ отличны от нуля, но справедливо неравенство
|И| < 2Βαρ{\μ(Α)\: АеЛ}^ 2\\μ\\. (2.6.4)
Все эти соотношения очевидны из разложения Хана.
2.6.5. Замечание. Из доказательства теоремы 2.6.1
видно, что она остается в силе и в том случае, когда μ — счетно-
аддитивная функция множества на Л со значениями в (—оо, +оо].
В этом случае мера μ~ ограничена, а мера μ+ принимает
значения в [0, +оо]. Таким образом, в рассматриваемом случае
ограниченность μ равносильна тому, что μ{Χ) — конечное число.
Можно ввести и комплексные меры. Пусть Л — σ-алгебра
в пространстве X. Комплексная мера μ: Λ —► С — это функция

106
Глава 2. Теория меры
вида μ = μι + ιμ^ где μ\ и μ<ι — вещественные меры на Л. Ее
вариация ||μ|| задается формулой
η
|H|:=sup{^|/i(^)|},
fc=l
где sup берется по всем конечным разбиениям X на
дизъюнктные множества Ек € Л. Так как \μ(Ε^\ ^ \μι(Ε^\ + \μ2(Ε^\, то
справедливо неравенство \\μ\\ ^ ||μι|| + ||μ2||·
2.7. Дополнения и задачи
(i) Измеримость Каратеодори и продолжения мер (106).
Задачи (111).
2.7(i). Измеримость Каратеодори и продолжения мер
В этом разделе мы обсудим построение мер с помощью так
называемых внешних мер Каратеодори. С основной идеей мы уже встречались
при продолжении счетно-аддитивной меры с алгебры на σ-алгебру, но
теперь мы не будем предполагать, что «внешняя мера» возникла из
какой-то аддитивной меры. Кроме того, будем рассматривать
функции множества с бесконечными значениями.
2.7.1. Определение. Функция множества т, заданная на
классе всех подмножеств множества X и принимающая значения в
множестве [0, +оо], называется внешней мерой на X (или внешней мерой
Каратеодори), если (i) т(0) = 0; (Н) т(А) ^ ш(В) при А С В;
(in) m(LE°=1 An) < Σ,Ζι ™(Αη) для всех Ап С X.
Важный пример внешней меры Каратеодори — функция μ*,
обсуждавшаяся в §2.4.
2.7.2. Определение. Пусть ш — функция множества со
значениями в [0, +оо]; определенная на классе всех подмножеств
пространства X, причем т(0) = 0. Множество А С X называется
измеримым по Каратеодори относительно т (или хп-измеримым по
Каратеодори), если для всякого множества Ε с X справедливо равенство
ха(Е ПА)+ т(Е\А) = т(Е). (2.7.1)
Пусть ЯЛт — класс всех ха-измеримых по Каратеодори множеств.
Таким образом, измеримое множество разбивает любое множество
согласно требованию аддитивности т. Сразу отметим, что в общем
случае измеримость не вытекает из равенства
хп(А) + т(Х\А) = ха(Х) (2.7.2)
даже в случае внешней меры с т(1) < оо (в отличие от ситуации
предложения 2.4.12). Рассмотрим следующий пример.

2.7. Дополнения и задачи
107
2.7.3. Пример. Пусть X = {1,2,3}, тп(0) = 0, ха(Х) = 2, и пусть
тп(А) = 1 для всех прочих множеств А. Легко проверить, что ш —
внешняя мера. В данном случае всякое подмножество А С X удовлетворяет
равенству (2.7.2), однако для множеств А — {1} и Ε — {1,2}
равенство (2.7.1) нарушено (левая часть равна 2, а правая 1). Из сказанного
можно усмотреть, что m-измеримы лишь 0 и X.
В этом примере класс ЯЯт всех ш-измеримых по Каратеодори
множеств меньше класса Дт из определения 2.4.1, ибо для внешней меры
τη на классе всех множеств семейство Лт и будет классом всех
множеств. Однако мы увидим, что в том случае, когда m = μ* — внешняя
мера, порожденная счетно-аддитивной мерой μ на σ-алгебре со
значениями в [0, -foo], класс 9Jtm может быть шире Λμ (задача 2.7.42).
С другой стороны, при разумных предположениях классы 2Πμ* и Λμ
равны. Ниже выделен класс внешних мер, для которых измеримость
равносильна выполнению (2.7.2). К таким внешним мерам относятся,
например, внешние меры, порожденные счетно-аддитивными мерами
на алгебрах (см. предложение 2.7.7 и теорему 2.7.8).
2.7.4. Теорема. (Теорема Каратеодори) Пусть m — функция
множества на классе всех подмножеств пространства X со
значениями в [0, -foo] и тп(0) = 0. Тогда
(i) 2rtm — алгебра, а функция m аддитивна на 9Jtm.
(ii) Если функция ш является внешней мерой на множестве X,
то класс Шт является σ-алгеброй, причем функция m со значениями
в [0, +оо] счетно-аддитивна на 9Ят. Кроме того, мера m полна на 9Нт.
Доказательство см. в [26, §1.11].
По счетно-аддитивной мере μ := тп|аят на ЯЛщ, где ш — внешняя
мера, можно построить обычную внешнюю меру μ*, как мы делали
ранее. Однако эта внешняя мера может отличаться от исходной
функции τη (разумеется, на множествах из ЭЯщ обе внешние меры
совпадают). Скажем, в примере 2.7.3 получаем μ*(Α) = 2 для всякого непустого
множества А, отличного от X.
В приложениях внешние меры часто строятся с помощью так
называемого метода I, описанного в следующем примере и уже
использованного в §2.4, где в лемме 2.4.4 была установлена счетная
субаддитивность.
2.7.5. Пример. Пусть X — какое-нибудь семейство подмножеств
множества X, причем 0 £ X. Предположим, что определена функция
г: X —► [0, -foo] с т(0) = 0. Положим
оо оо
m(A) = inf{Σ τ(Χη): Хп € X, А С (J Хп}, (2.7.3)
п=1 п=1
причем при отсутствии таких множеств Хп считаем т(А) = оо. Тогда
m — внешняя мера. Ее обозначают через г*.

108
Глава 2. Основы теории меры
Доказательство леммы 2.4.4 (где речь шла о конечных функциях)
очевидным образом применимо и здесь.
Обратим внимание на то обстоятельство, что в примере выше не
утверждается, что построенная внешняя мера продолжает функцию т.
В общем случае это и неверно. Кроме того, множества исходного
семейства X могут оказаться неизмеримыми относительно ш. Рассмотрим
соответствующие примеры. В качестве X возьмем IN, а в качестве X
семейство всех одноточечных множеств и все X. Положим т(п) = 2~п,
т(Х) = 2. Тогда xtt(X) = 1, причем X измеримо относительно πι. Если
же в качестве X взять отрезок [0,1], а в качестве г внешнюю меру
Лебега, определенную на классе X всех множеств, то построенная
функция m будет совпадать с исходной функцией т, а ш-измеримыми будут
обычные измеримые по Лебегу множества, т.е. не все множества из X.
Можно построить аналогичный пример с аддитивной функцией г на
σ-алгебре всех множеств отрезка (см. [26, задача 1.12.108]).
Выделим теперь один важный класс внешних мер.
2.7.6. Определение. Внешняя мера ха на X называется
регулярной, если для всякого множества А С X существует такое
хп-измеримое множество В, что Ad В и т(А) — ха(В).
Например, внешняя мера А*, построенная по мере Лебега на
отрезке, регулярна, так как в качестве В можно взять множество Π^=ι -^η»
где Ап измеримы, А С Ап и Х(Ап) < \*(А) -f 1/га (такое множество
является так называемой измеримой оболочкой А).
2.7.7. Предложение. Пусть ха — регулярная внешняя мера на
множестве X, причем xti(X) < оо. Тогда т-измеримость множества
Ad X равносильна равенству
ха(А) + ха{Х\А) = ха(Х). (2.7.4)
Доказательство. Если А е 97tm, то (2.7.4) верно. Обратно,
предположим, что (2.7.4) выполнено. Пусть Ε — произвольное множество
в X, С £ 9Ят, Ε С С, т(С) = хп(Е). Нам достаточно показать, что
т{Е) ^ хп(Е ПА)+ т{Е\А), (2.7.5)
ибо обратное неравенство следует из субаддитивности. Заметим, что
т(А\С) + ха((Х\А)\С) ^ ха(Х\С). (2.7.6)
В силу измеримости С имеем
хп(А) = ха(А Π С) + т(А\С)9 ха(Х\А) - ш(С Π (Χ\Α)) + т((Х\А)\С).
Эти равенства с учетом (2.7.4) дают
ха(А Π С) + ха(А\С) + хп(С Π (Х\А)) + т({Х\А)\С) = т{Х) =
= ха{С)+ха{Х\С).

2.7. Дополнения и задачи
109
Сравнивая это равенство с (2.7.6) и используя, что ш принимает
конечные значения, приходим к оценке ха(С ПА) + ха(С\А) ^ ха(С). Из
этой оценки с учетом включения Ε С С и монотонности m получаем
ха(Е Π А) + т(Е\А) ^ т(С) = tn(JE'). Итак, мы доказали (2.7.5). D
Пример 2.7.3 показывает, что метод I из примера 2.7.5 не всегда
приводит к регулярным внешним мерам. Однако если X С 97tm, то
этот метод дает регулярную внешнюю меру, ибо в данном случае при
Ап £ X имеем U^=i ^n £ 97tm· Еще один результат в этом направлении
содержится в следующей теореме (доказательство см. в [26, §1.11]).
2.7.8. Теорема. Пусть Χ, Χ, τ и ш — те о/се, что и в
примере 2.7.5. Предположим еще, что X — алгебра или кольцо, а функция г
аддитивна. Тогда внешняя мера m регулярна, причем все множества
из класса X измеримы относительно т, а если г счетно-аддитивна,
то m совпадает с τ на X. Наконец, если т(Х) < оо, mo 97tm = ХТ,
т.е. в данном случае определение измеримости по Каратеодори
равносильно определению 2.4.1.
2.7.9. Следствие. Если на кольце (или полукольце) определена
счетно-аддитивная функция множества со значениями в [0, -foo], то
она имеет счетно-аддитивное продолжение на σ-алгебру,
порожденную данным кольцом (соответственно полукольцом).
В отличие от случая алгебры упомянутое продолжение не всегда
единственно. Пример: X = {0} с нулевой мерой πι на кольце X — {0},
которую можно продолжить на X любым значением. Легко
проверить единственность продолжения σ-конечной меры г с кольца X на
порожденное им σ-кольцо. Для этого представим X в виде
объединения счетного числа множеств Хп £ X конечной меры и применим
утверждение о единственности к ограничению г на алгебру множеств
{Хп Π Ε: Ε £ X} пространства Хп. Еще раз обратим внимание на то
обстоятельство, что внешняя мера ш может отличаться от г на X, но
если функция г на алгебре X счетно-аддитивна, то построенная по ней
внешняя мера m совпадает с г на X. При этом для бесконечных мер
может случиться, что класс ХТ строго содержится в 9ЛТ* (см.
замечание 2.4.14(i)). Покажем, как предыдущее следствие можно доказать и
без конструкции Каратеодори. Определение Д^с см. в замечании 2.4.14.
2.7.10. Предложение. Пусть μ — счетно-аддитивная мера со
значениями в [0,-foo], заданная на кольце Λ. Тогда А1°с является
σ-алгеброй, содержащей А, причем функция μ* на А1°с есть счетно-
аддитивное продолжение μ. Кроме того, это продолжение полно.
Доказательство. То, что Л^с — σ-алгебра, сразу следует из
теоремы 2.4.6 применительно к ограничениям μ на множества из А
конечной меры, ибо ограничение μ* на такое множество Ε совпадает

110
Глава 2. Основы теории меры
с внешней мерой на Е, построенной по ограничению μ па, Ε (это
ясно из определения внешней меры). Эта же теорема дает равенство
(2.3.2) в случае конечной суммы ряда. Действительно, достаточно
показать, ЧТО /i*((XLl Аг) > Σ™=1 β*iAn) ДЛЯ ДИЗЪЮНКТНЫХ Ап £ Λ1μ°
(противоположное неравенство следует из определения μ* точно так
же, как и для конечной меры). Поэтому достаточно получить оценку
M*(Un=i An) > Ση=ι μ*(А„) для всех N G IN. Пусть ε > 0. Тогда
найдется такое множество Ε £ Л, что Χ^η=1 μ*(ΕΓ\ Ап) > Ση=1 μ*(Αη) — ε.
Остается заметить, что согласно теореме 2.4.6 имеет место равенство
μ*(£η|Χ=ι An) = Σ,η=ι μ* (Ε Π Αη). Если же сумма ряда в (2.3.2)
бесконечна, то нетрудно видеть, что и левая часть (2.3.2) бесконечна. D
2.7.11. Замечание. Если μ — счетно-аддитивная мера со
значениями в [0,-foo], заданная на алгебре Л, то метод Каратеодори дает
как раз класс Д^с локально измеримых множеств, описанный в
замечании 2.4.14. В самом деле, ясно, что Ш1М* С Л^с. С другой
стороны, если А С Д^с, то для всякого множества Ε с μ*(Ε) < оо
имеем μ*(Ε) = μ* (Ε Π Α) + μ*(Ε\Α) ввиду предложения 2.4.12. Если же
μ*(Ε) = оо, то хотя бы одно из чисел μ*(Ε Π А) или μ*(Ε\Α) тоже
бесконечно. Итак, 97ΐμ* = Д^с.
В завершение обсуждения продолжений отметим, что меру всегда
можно продолжить на более широкую σ-алгебру, содержащую наперед
заданное множество, если она была определена не на всех множествах.
При построении используется измеримая оболочка произвольного
множества Ε в измеримом пространстве (X, Л) с конечной
неотрицательной мерой μ. Так называется всякое множество Ε £ Л, для которого
выполнены соотношения Ε С Ε и μ(Ε) — μ*(Ε). Измеримая оболочка
существует: например, можно взять Ε — D^Li Еп, где Ε С Еп £ Л
и μ(Εη) ^ μ*(Ε) -f 1/n. Аналогично проверяется существование
измеримого ядра £", т.е. такого множества £бЛ, что
К С Ε и μ(Ε) = μ*(Ε) ~ δΐιρ{μ(Α) : А е Д, А С Е}.
Если Μ — измеримая оболочка Х\Е, то Х\М — измеримое ядро Е.
2.7.12. Теорема. Пусть μ — конечная неотрицательная мера
на σ-алгебре В в пространстве X, и пусть S — такое множество,
что μ»(5) = а < μ*(5) = β, где μ»(5) = βιιρ{μ(.Β): В С S,B £ В}.
Тогда для всякого η £ [α,/?] существует счетно-аддитивная мера ν
на σ-алгебре σ(Β U S), порожденной В и S, такая, что ν — μ на В
и справедливо равенство v(S) — η.
Доказательство отнесено в задачу 2.7.52.

2.7. Дополнения и задачи
111
Задачи
2.7.13? Доказать, что класс всех одноточечных множеств пространства
X порождает σ-алгебру, состоящую из всех множеств, которые либо не более
чем счетны, либо имеют не более чем счетные дополнения. В частности, эта
σ-алгебра меньше борелевской, если X = Ш,1.
2.7.14? Пусть Τ — некоторый класс множеств в пространстве X.
Добавим к Τ пустое множество и обозначим через Т\ совокупность всех множеств
этого расширенного набора и их дополнений. Затем через Тъ обозначим класс
всех конечных пересечений множеств из Т\. Доказать, что класс Тг всех
конечных объединений множеств из Тъ совпадает с алгеброй, порожденной Т.
2.7.15.° Пусть Τ — некоторый набор множеств в пространстве X.
Доказать, что всякое множество А из σ-алгебры σ(^Γ), порожденной Т,
содержится в σ-алгебре, порожденной некоторым не более чем счетным поднабо-
ром {Fn} С Т.
2.7.16.° Пусть W — непустое открытое множество в Ш,п. Доказать, что
W является объединением не более чем счетного набора открытых кубов,
ребра которых параллельны координатным осям и имеют длины вида p2~q,
где р, q e IN, а центры имеют координаты вида т2~к, где т G Z, к е IN.
2.7.17. Показать, что σ-алгебра ^(Н1) всех борелевских подмножеств
прямой является наименьшим классом множеств, содержащим все
замкнутые множества и допускающим счетные пересечения и счетные объединения.
2.7.18. Показать, что на прямой существует такое борелевское
множество В, что для всякого непустого интервала J множества В Π J л (Ш}\В)Г) J
имеют положительные меры Лебега.
2.7.19. Пусть μ — произвольная конечная борелевская мера на
отрезке /. Показать, что найдется такое множество Ε первой категории (т.е.
счетное объединение нигде не плотных множеств), что μ(Ι\Ε) = 0.
Указание: достаточно для всякого η найти компакт Кп без внутренних
точек с μ(Κη) > μ(Ι) — 2~Λ. Пользуясь тем, что μ имеет не более чем счетное
множество точек a,j ненулевой меры, можно найти счетное всюду плотное
множество точек Sj нулевой μ-меры. Вокруг каждой точки Sj можно описать
интервал Un,j с μ(υη,ί) < 2~j~n. Компакт Кп = J\ IJ^li Unj — искомый.
2.7.20? Доказать, что лебеговская мера всякого измеримого множества
Ε С Ип равна точной нижней грани сумм SfcLi ^n(Uk) по всем
последовательностям открытых шаров £/*, покрывающих Е.
2.7.21? Показать, что множество Ε С H измеримо по Лебегу в точности
тогда, когда для каждого ε > 0 существуют такие открытые множества U
и V, что ECU, U\E С V и X(V) < ε.
2.7.22? Пусть А С И1 — множество положительной меры Лебега.
Доказать, что найдутся такие αι,α2 £ А, что число αϊ — аг иррационально.
2.7.23. Пусть А С И1 — множество положительной меры Лебега.
Доказать, что А — А := {αϊ — αϊ: αϊ, аг £ А} содержит интервал. В частности,
найдутся такие αϊ,аг £ А, что число αϊ — аг рационально.

112
Глава 2. Основы теории меры
2.7.24. Доказать без использования гипотезы континуума, что всякое
множество положительной меры Лебега имеет мощность континуума.
2.7.25. Показать, что упомянутая в задаче 1.9.84 аддитивная функция
на прямой не ограничена на каждом множестве положительной меры.
2.7.26? Показать, что всякая бесконечная σ-алгебра несчетна.
2.7.27.° Пусть μ — ограниченная неотрицательная борелевская мера
на Нп. Доказать, что для всякого μ-измеримого множества Ε и всякого ε > О
найдется конечное объединение Εε открытых кубов с ребрами,
параллельными координатным осям, для которого μ(Ε Δ Εε) < ε.
2.7.28° Пусть μ — вероятностная борелевская мера на кубе I единичного
объема, причем μ(Α) = μ(Β) для всяких борелевских множеств А, В С /,
отличающихся лишь сдвигом. Показать, что μ совпадает с мерой Лебега λη.
2.7.29. (i) Пусть9* — полукольцо, μ: 9* —► [0, +оо) — счетно-аддитивная
функция и А, Ап G ίΚ таковы, что Ап либо возрастают, либо убывают к А.
Показать, что справедливо равенство μ(Α) = lim μ{Αη).
η—юо
(ϋ) Привести пример, показывающий, что из указанных в (i) свойств не
вытекает счетная аддитивность для неотрицательной аддитивной функции
множества на полукольце.
2.7.30. (i) Показать, что ограниченное множество Ε С Мп измеримо по
Жордану (см. определение 2.5.9) в точности тогда, когда граница Ε
(множество точек, во всякой окрестности которых есть точки из Ε и из
дополнения Е) имеет меру нуль, (ii) Показать, что совокупность всех измеримых по
Жордану множеств на отрезке (или в кубе) представляет собой кольцо.
2.7.31° Показать, что ограниченная неотрицательная мера μ на σ-ал-
гебре А полна в точности тогда, когда А = Λμ\ в частности, лебеговское
продолжение полной меры совпадает с ней самой.
2.7.32. Пусть Ε с [0,1] — множество нулевой меры Лебега. Может ли
множество Ε — Ε \— {χ — у: х,у £ Е} иметь положительную меру?
2.7.33. Привести пример σ-конечной меры на σ-алгебре, которая не
является σ-конечной на некоторой под-а-алгебре.
Указание: сузить меру Лебега на Ш,1 на под-а-алгебру множеств,
которые либо не более чем счетны, либо имеют не более чем счетные дополнения.
2.7.34. Показать, что всякое множество положительной меры Лебега
содержит неизмеримое подмножество.
2.7.35. Найти меру Лебега множества точек из [0,1], в двоичном
разложении которых на всех четных местах стоит 0.
2.7.36. Доказать, что не существует счетно-аддитивной меры,
определенной на всех подмножествах пространства X = {0,1}°°, принимающей
лишь значения 0 и 1 и равной нулю на всех одноточечных множествах.
Указание: пусть Хп = {(#0 Ε X: хп = 0}; если такая мера μ есть,
то для всякого η либо μ(Χη) = 1, либо μ(Χη) = 0; обозначим через Υη то
из двух множеств Хп и Х\Хп> которое имеет меру 1; тогда Π^=ι ^ также
имеет меру 1 и является точкой.

2.7. Дополнения и задачи
113
2.7.37° (Критерий измеримости Юнга) Пусть (Χ,Α,μ) — пространство
с конечной неотрицательной мерой. Доказать, что множество А С X входит
в Αμ в точности тогда, когда для всякого множества В, не пересекающегося
с А, справедливо равенство μ*(A U В) = μ*(Α) + μ*(В).
2.7.38. Доказать, что существует такая последовательность множеств
Ап С [0,1], что An+i С Ап, (XLi An = 0 η \*(Αη) = 1, где λ — мера Лебега.
2.7.39. Распространить теорему 2.5.8 на липшицево отображение, за-
данное лишь на некотором измеримом множестве.
2.7.40? Пусть (Χ, Α, μ) — вероятностное пространство, В — под-а-алгеб-
ра в Α, Βμ — σ-алгебра, порожденная В и всеми множествами меры нуль
из Αμ. (i) Показать, что Ε е Βμ в точности тогда, когда существует такое
множество В е В, что Ε А В е Αμ и μ(Ε Α Β) = 0.
(ii) Привести пример, показывающий, что Βμ может быть строго шире
σ-алгебры Βμ, являющейся пополнением В относительно меры μ|β.
2.7.41? Пусть Τ — некоторый класс множеств в пространстве Χ, μ и ν —
две вероятностные меры на σ{Τ), совпадающие на Т. Верно ли, что μ — ν
на σ(Γ)?
2.7.42. Пусть (Χ,Α,μ) — измеримое пространство, где А — σ-алгебра,
а μ — счетно-аддитивная мера со значениями в [0, +оо]. Обозначим через
£μ класс всех таких множеств Ε С X, для которых существуют множества
Ai,A2€Ac Аг СЕ сА2ъ μ(Α2\Αι) = 0.
(i) Показать, что £μ является σ-алгеброй, совпадает с Αμ и входит в 9ЛМ*.
(ii) Показать, что если мера μ σ-конечна, то £μ совпадает с ϋΰΙμ*.
(iii) Пусть X = [0,1], А есть σ-алгебра, порожденная всеми
одноточечными множествами, а мера μ со значениями в [0, +оо] задана так: μ(Α) есть
мощность А, А е А. Показать, что 90ΐμ* содержит все множества, но [0,1/2] £ £μ.
2.7.43. Пусть А — класс всех множеств первой категории в [0,1] (т.е.
счетных объединений нигде не плотных множеств) и их дополнений, и пусть
μ(Α) = 0, если А имеет первую категорию, μ(Α) = 1, если [0,1]\А имеет
первую категорию. Доказать, что А — σ-алгебра, мера μ счетно-аддитивна,
но не продолжается до счетно-аддитивной меры на #([0,1]).
Указание: применить задачу 2.7.19.
2.7.44. Пусть Ε — множество на окружности S, имеющее нулевую
меру относительно естественной меры Лебега на 5, причем дополнение Ε —
множество первой категории. Доказать, что всякое счетное множество в S
содержится в образе Ε при некотором вращении.
Указание: заметить, что пересечение счетного числа образов Ε при
поворотах непусто.
2.7.45. Семейство S подмножеств множества X называется
σ-аддитивным классом, если (i) X £ <S, (ii) S2\Si G S для всех Si, S2 G S с Si С S2)
(iii) U^Li Sn £ <S для попарно непересекающихся Sn £ <S. Доказать, что если
класс множеств S допускает конечные пересечения, то σ-аддитивный класс,
порожденный Ε (т.е. пересечение всех σ-аддитивных классов, содержащих £),
совпадает с σ-алгеброй, порожденной 8.

114
Глава 2. Основы теории меры
2.7.46. Пусть μ — конечная неотрицательная мера на измеримом
пространстве (X, А) и Ε С X — произвольное множество (не обязательно
измеримое). На σ-алгебре Ле множеств вида В = Ε Π А, где А Е Л, пространства
Ε зададим меру με формулой με (В) := μ(Ε Π А), где Ε — измеримая
оболочка Е. Показать, что με корректно определена (т.е. μ(ΕΓ)Αι) = μ(ΕΠ АО
при Αι Π Ε = А2С1Е) и счетно-аддитивна. Мера με называется сужением μ
на множество Е.
2.7.47. Доказать, что всякое выпуклое множество в Ш,п (т.е. множество,
которое вместе со всякой парой своих точек содержит соединяющий их
отрезок) измеримо по Лебегу, причем его граница имеет меру нуль.
2.7.48. Пусть Ε С [0,1] — множество положительной меры Лебега.
Доказать, что для всякого а < Х(Е) найдется компакт К С Ε без
внутренних и изолированных точек, для которого \(К) = а. Доказать аналогичное
утверждение для всякой безатомической борелевской меры на [0,1].
2.7.49. Доказать, что [0,1] является объединением континуума
дизъюнктных множеств внешней меры 1.
Указание: континуальное множество всех компактов положительной
меры представить в виде {Κω}ω^η0, где Ωο — множество конечных и счетных
ординалов. По трансфинитной индукции построить континуум дизъюнктных
множеств At С [0,1], каждое из которых пересекается со всеми Κω. Для этого
на шаге, отвечающем ординалу ω 6 Ωο, брать в Κω континуальное множество
Ct меры нуль (об ординалах — порядковых числах — см. [105]).
2.7.50. Если σ-алгебра А в пространстве X порождается конечным или
счетным набором множеств, то А называется счетно-порожденной.
(i) Доказать, что σ-алгебра в [0,1], порожденная всеми точками, не
является счетно-порожденной, а большая борелевская σ-алгебра является.
(ii) Доказать, что всякая счетно-порожденная σ-алгебра А имеет вид
А = {f (В): В е #([0,1])}, где /: X -► [0,1] — некоторая функция.
(Ш) Доказать, что всякая счетно-порожденная σ-алгебра имеет
мощность не более континуума, пользуясь тем, что борелевских множеств на
прямой ровно континуум.
2.7.51. Пусть μ — конечная неотрицательная мера на измеримом
пространстве (X, А). Измеримое множество Ε называется атомом μ, если
μ(Ε) > 0 и нет измеримых множеств А с 0 < μ(Α) < μ(Ε). Мера без
атомов называется безатомической. Атомы Е\ и Еъ считаются
эквивалентными, если μ(Ε\ Δ Ετ) = 0. (i) Доказать, что μ может иметь лишь конечное
или счетное число попарно неэквивалентных атомов, (ii) Доказать, что
если {Еп} — все атомы μ с точностью до эквивалентности, то ограничение μ
на Х\ U^Li En безатомично. (Ш) Доказать, что если мера μ безатомична, то
такова и всякая мера ν <С μ. (iv) Доказать, что множество значений
безатомической меры μ есть весь отрезок [0,μ(Χ)].
2.7.52. Доказать теорему 2.7.12.
Указание: см. [26, теорема 1.12.14].

Глава 3
Интеграл Лебега
В этой главе мы изучим интеграл Лебега и получим основные
результаты, относящиеся к предельному переходу под знаком
интеграла и пространствам интегрируемых функций. Кроме того,
будут доказаны очень важные для приложений теоремы Радона-
Никодима и Фубини.
3.1. Измеримые функции
В этом параграфе изучаются измеримые функции. Несмотря
на свое название, понятие измеримости функций определяется
в терминах σ-алгебр и никак не связано с мерами. Связь с
мерами возникает тогда, когда в качестве основной σ-алгебры берется
σ-алгебра всех множеств, измеримых относительно
фиксированной меры. Этот важнйй частный случай рассмотрен в конце
параграфа. Измеримые функции нужны для построения интеграла.
3.1.1. Определение. Пусть (X, А) — пространство с σ-ал-
геброй. Функция /: X —> И1 называется измеримой
относительно А (или А-измеримой), если {х: f(x) < с} Ε А для
каждого с Ε IR1.
Простейший пример Л-измеримой функции — это индикатор
Ια множества А Ε А, задаваемый так: 1а(х) = 1 при χ Ε Д
Ια(%) = 0 при х & А. Индикатор множества А называют также
характеристической функцией А или индикаторной функцией А.
Множество {х: 1а(х) < с} пусто при с < 0, равно дополнению А
при с Ε (О,1] и совпадает с X при с > 1. Ясно, что включение
А Е А является и необходимым для Д-измеримости Ια-
3.1.2. Теорема. Функция / измерима относительно
σ-алгебры А в точности тогда, когда f~1(B) E А для всех
множеств BE BiTR1).

116
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Пусть / — Л-измеримая функция.
Обозначим через Ε совокупность всех таких множеств В 6 ^(И1), что
/-1(jB) Ε Л. Покажем, что £ — σ-алгебра. Действительно, если
Вп е £, то /-χ(υ^ι Д») = \JSLif4Bn) е Л. Кроме того, при
В е 8 имеем /^(ГО^ув) = Х\/_1(Б) 6 Л. Поскольку S
содержит лучи (—оо, с), то получаем, что ^(И1) С ε, т.е. ^(И1) = £.
Обратное утверждение очевидно, так как лучи являются боре-
левскими множествами. D
Запишем / в виде / = /+ — /~, где
/+(ж) := тах(/(ж),0) и f~(x) := тах(-/(ж),0).
Заметим, что Л-измеримость / равносильна Л-измеримости
обеих функций /+ и /~. Например, при с > О имеет место равенство
{х: f(x) < с] = {х: /+(ж) < с}.
Из определения ясно, что сужение /|# всякой Л-измеримой
функции / на любое множество Ε С X измеримо относительно
σ-алгебры Ле = {Α Π Ε: Α Ε Α}.
Часто бывает полезно следующее более общее определение.
3.1.3. Определение. Пусть (Χι,Αι) и (Х21А2) —
пространства с σ-алгебрами. Отображение /: Х\ —► Х% называется
измеримым относительно пары (А^Аъ) или
{А^Аъ)-измеримым, если f~1(B) Ε А\ для всех ΒεΛ·
Если {Х24А2) = (TR1, В(Ш})), то мы приходим к
определению Лх-измеримой функции. В другом частном случае, когда Х\
и Х2 — метрические (или топологические) пространства с боре-
левскими σ-алгебрами А\ = &{Х\) и Л 2 — В{Х2), приходим к
понятию борелевского (или измеримого по Борелю) отображения.
3.1.4. Пример. Любая непрерывная функция / является бо-
релевской, поскольку в этом случае множества {х: f(x) < с}
открыты, а потому являются борелевскими.
Важный подкласс Л-измеримых функций образуют простые
функции, т.е. такие Л-измеримые функции /, которые
принимают лишь конечное множество значений. Таким образом, простая
функция / имеет вид / = ΣΖ=ι °^> гДе с» € К1, -А» е Л, т.е.
является конечной линейной комбинацией индикаторов множеств
из Л. Очевидно, что верно и обратное. Представление простой
функции в указанном виде не единственно, однако легко перейти
к представлению, в котором все числа q различны, а множества

3.1. Измеримые функции
117
Ai дизъюнктны. Для этого достаточно взять все различные
значения / и их полные прообразы.
В следующей теореме описываются основные свойства
измеримых функций.
3.1.5. Теорема. Предположим, что функции f, g, fn, где
η Ε IN, измеримы относительно σ-алгебры А. Тогда
(i) функция φ ο / измерима относительно А для всякой бо-
релевской функции φ: К1 —► ГО,1; в частности, это верно, если
функция ψ непрерывна-,
(Н) функция а/ + βρ измерима относительно А для всех
чисел α, β € El1;
(iii) функция fg измерима относительно А\
(iv) если g ф 0, то функция f/g измерима относительно Л;
(ν) если существует конечный предел fo{x) = lim fn(x) при
n—>oo
всех χ, то функция /о измерима относительно А;
(vi) если функции s\ipfn(x) и inf/п(#) конечны при всех х,
η п
то они измеримы относительно А.
Доказательство. Утверждение (i) сразу вытекает из
равенства (φ о /)-1(В) = /~1((^~1(Б)). Ввиду (i), для
доказательства (ii) достаточно рассмотреть случай а = /3 = 1и заметить,
что множество {х: f(x)+g(x) < с} = [х\ f(x) < с — д(х)}
имеет вид Urn({^: /0е) < rn}f]{x: rn < с- д(х)}у где
объединение берется по всем рациональным числам гп. Правая часть
приведенного соотношения входит в Д, ибо функции /ид
измеримы относительно А. Утверждение (iii) вытекает из равенства
fg = [(/ + д)2 — f2 — ρ2]/2, ибо квадрат измеримой функции
измерим в силу (i). Заметив, что функция φ, заданная
равенством φ(χ) = 1/х при ж/Ои φ(0) = 0, является борелевской
(несложную проверку этого оставим в качестве упражнения),
получаем (iv). Менее очевидно утверждение (ν), которое, однако,
вытекает из следующего легко проверяемого соотношения:
оо оо оо 1
{х: /oW<c} = UU Π \χ: /·»(*) <c-fc}·
k=l n=l m=n+l
Для доказательства (vi) заметим, что
supnfn(x)= lim max (/ι (ж),...,/η (ж)).

118
Глава 3. Интеграл Лебега
В силу (ν), достаточно установить измеримость max(/i,..., /п).
По индукции это сводится к η = 2. Остается заметить, что
{х: max(f1(x)J2(x)) < с} = {х: fi(x) < с} Π {ж: /2(х) < с}.
Утверждение для inf проверяется аналогично (можно
воспользоваться и тем, что inf fn = — sup(—/n)). D
3.1.6. Замечание. Для функций / со значениями в
расширенной числовой прямой IR = [—оо, +оо] мы определим Д-изме-
римость, потребовав включения /-1(—оо),/-1(+оо) 6 А и Л-из-
меримость / на /_1(Н). Это равносильно измеримости в смысле
определения 3.1.3, если на IR взять σ-алгебру B(1R), состоящую из
борелевских множеств обычной прямой с возможным
добавлением точек —оо, +оо. Тогда для функций со значениями в IR
остаются в силе утверждения (i), (v), (vi) доказанной теоремы, а для
справедливости утверждений (ii), (Ш), (iv) следует рассматривать
функции / и р, принимающие значения либо в [—оо,+оо), либо
в (—оо,+оо]. Для таких значений операции определяются
естественным образом: +оо + с = +оо при с Ε (—оо, +оо], +оо -0 = 0,
+оо · с = +оо при с > 0, +оо · с = —оо при с < 0.
3.1.7. Предложение. Предположим, что функции fug
измеримы относительно σ-алгебры А, а функция Φ непрерывна
на подмножестве плоскости, образованном значениями
отображения (/,5)· Тогда функция Ф(/, <?) измерима относительно А.
Доказательство. Пусть h:= (f,g): Χ -> И2 и Υ := h(X).
Ввиду непрерывности Φ на У для всякого с существует такое
открытое множество U С И2, что Υ Г) Ф_1((—оо,с)) = Υ Г) U.
Поэтому [χ: Ф(/(ж),р(ж)) < с} = h~l{U). Представим U в виде
объединения счетного набора открытых прямоугольников вида
Ап χ Вп, где Ап и Вп — открытые интервалы. Итак, получаем
hr4U) = \Jn=i Γ\Αη)Γ\9-\Βη) е A. D
3.1.8. Предложение. Пусть А — некоторая σ-алгебра
подмножеств пространства X. Тогда для всякой ограниченной
Α-измеримой функции f найдется последовательность
простых функций fn, сходящаяся к f равномерно на X. Можно
сделать эту последовательность возрастающей.
Доказательство. Поделив на постоянную и добавив
постоянную, можно считать, что 0 < /(ж) < 1. Для каждого η Ε IN

3.1. Измеримые функции
119
разделим [0,1) на 2П непересекающихся промежутков
/i = [0-l)2-",j2-")
длины 2~п, причем в fa включим 1. Положим Aj = f~l(Ij).
Ясно, что Aj еЛи Uj^i A? = X- Зададим функцию /п равенством
fn(x) = U — 1)2~п при χ 6 Aj. Тогда /п — простая функция,
причем sup^x \f(x) - fn(x)\ ^ 2"п, ибо / переводит Aj в /,, а /п
отображает А^ в левый конец /j, отстоящий от любой точки Ij не
более чем на 2~п. Легко проверить, что /n(#) < fn+\{x). D
3.1.9. Следствие. Предположим, что Л — ме?сошорал σ-ал-
гебра подмножеств пространства X. Тогда для всякой А-изме-
римой функции f найдется последовательность простых
функций fn, сходящаяся к f в каждой точке. Если / ^ О, то
последовательность {fn} можно выбрать возрастающей.
Доказательство. Функция g := arctg/ измерима и
принимает значения в (—π/2, π/2). Как показало выше, найдутся
простые функции дп со значениями в [—π/2, π/2), поточечно
возрастающие к д. Если / ^ 0, то их можно взять со значениями
в [0, π/2). В общем случае, отказавшись от монотонности {дп},
можно выбрать,дп со значениями в (—π/2, π/2); например,
можно переопределить каждую функцию дп значением —π/2+l/n на
множестве {х: дп(х) ^ —π/2 + 1/п}. Функции /n = tggn
обладают нужными свойствами. D
Еще раз обратим внимание читателя на то обстоятельство,
что пока при обсуждении измеримых функций не появлялись
меры. Предположим теперь, что на σ-алгебре А подмножеств
пространства X задана неотрицательная счетно-аддитивная мера μ.
Тогда Αμ — пополнение А относительно μ — может быть шире А.
3.1.10. Определение. Вещественная функция f на X
называется μ-измеримой, если она измерима относительно σ-ал-
гебры Αμ всех μ-измеримых множеств.
Будем считать μ-измеримой также всякую функцию f,
которая не определена на некотором множестве Ζ μ-меры нуль
или бесконечна на Ζ, а на Χ\Ζ является Αμ-измеримой.
Множество всех μ-измеримых функций обозначим через С0(μ).
В случае меры со значениями в [О, +оо] определение
аналогично, но вместо Αμ берется -4^с.

120
Глава 3. Интеграл Лебега
Итак, //-измеримость функции / означает, что / определена
всюду, кроме, возможно, множества меры нуль, причем для всех
с Ε IR имеем {х: f{x) < с} Ε Λμ (или Д£с в случае
бесконечной меры). Ясно, что /х-измеримых функций может быть больше,
чем Д-измеримых. Если //-измеримая функция / не определена
на множестве Ζ меры нуль, то при любом доопределении ее на Ζ
она будет Д^-измеримой. Из дальнейшего будет ясна
оправданность несколько более широкого понятия измеримой функции,
допускаемого второй частью определения. Когда в конкретных
ситуациях идет речь об измеримой функции, бывает ясно,
определена ли она всюду или лишь почти всюду, и специально это
не оговаривается. Иногда такое уточнение необходимо.
Например, если рассматривается континуум функций /а на [0,1], где
a Ε [0,1] и fa не определена в точке <*, то с формальной точки
зрения у этих функций нет ни одной общей точки области
определения. Когда ясно, о какой мере μ идет речь, //-измеримость
называют измеримостью. Имея дело с мерой Лебега на Ип,
говорят об измеримости по Лебегу или просто об~измеримости.
Для функций со значениями в {—оо, +"оо] (уже не обязательно
конечных вне множества меры нуль) //-измеримость понимается
так: /-1(—оо), /_1(+оо) Ε Αμ, а на множестве {|/| <оо} функция /
//-измерима. Такие функции мы не будем причислять к С0 (μ) (да
и вообще не будем их рассматривать); во избежание путаницы их
удобнее называть не функциями, а отображениями.
Две //-измеримые функции fug называются
эквивалентными, если они равны вне множества меры нуль. Обозначение:
f ~ д. При этом / и д называются модификациями или версиями
друг друга. Из того, что объединение двух множеств меры нуль
является множеством меры нуль, ясно, что это дает отношение
эквивалентности на С0(μ). Пространство классов
эквивалентности обозначается через L°(//).
3.1.11. Предложение. Пусть μ ^ 0 — счетно-аддитивная
мера на σ-алгебре А. Тогда для всякой μ-измеримой функции f
можно найти множество А Ε А и функцию д, измеримую
относительно А, такие, что f{x) = д(х) при χ Ε А и μ(Χ\Α) = 0.
Доказательство. Можно считать, что функция / всюду
определена и конечна. В силу следствия 3.1.9 существует
поточечно сходящаяся к / последовательность Лм-измеримых
простых функций /п. Функция fn принимает конечное число
различных значений на множествах Αχ,..., Α^ Ε Αμ. В каждое из

3.1. Измеримые функции
121
Ai можно вписать такое множество Βι из Л, что //(#*) = μ(Α^).
Рассмотрим функцию дп, совпадающую с /п на объединении
множеств Βι и равную 0 вне этого объединения. Ясно, что дп —
Д-измеримая простая функция, причем существует такое
множество Ζη 6 Л меры нуль, что /п(#) = 9п(%) при χ & Ζη.
Положим Υ = X\\J™=1 Zn. Тогда Υ Ε Ли μ(Χ\Υ) = 0. Положим
д(х) = f(x) при χ Ε Υ и д(х) = 0 в противном случае. Для всякого
χ Ε Υ имеем f(x) = lim /n(#) = Um <?n(#)· Поэтому / является
η—юо η—►οο
Л-измеримой на У, что дает Л-измеримость рнаХ. D
Из доказанного вытекает, что для ограниченной //-измеримой
функции / существуют такие Д-измеримые функции /χ и /г, что
/ι(ж) ^ /(ж) ^ /2(ж) для всех ж и μ(χ: fi(x) φ /2(2)) = 0.
Действительно, пусть /х = /2 = ρ на У. Вне У можно положить
/ι(χ) = inf/, /2 = sup/. Однако см. задачу 3.12.47.
Характеристическое свойство измеримых функций иметь
измеримые прообразы борелевских множеств не следует путать со
свойством совершенно иной природы: иметь измеримые образы
борелевских множеств. Следующий поучительный пример
следует запомнить. В нем используется функция Кантора, интересная
и в других отношениях (она понадобится ниже при обсуждении
связей между интегралом и производной).
3.1.12. Предложение. Существует такая непрерывная
неубывающая функция Со па [0,1] (функция Кантора или канто-
ровская лестница)j .что Со(0) = 0, СЬ(1) = 1 и Со = (2fc — 1)2~п
на интервале Jn^ из дополнения к множеству Кантора С из
примера 2.5.5. Кроме того, функция
f(x) = [C0(x) + x]/2
осуществляет непрерывное и взаимно однозначное отображение
отрезка [0,1] на себя, причем существует такое множество
меры нуль Ε в канторовском множестве С, что f(E)
неизмеримо по Лебегу.
Доказательство. Определенная указанным образом на
дополнении к С функция является неубывающей. Пу^ть Со(0) = 0,
Со(х) = sup{Cb(£): t & С, t < χ} при χ ЕС. Неубывающая
функция Со принимает все значения вида р2~д. Поэтому она не имеет
скачков и непрерывна на [0,1]. Ясно, что / — непрерывное и
взаимно однозначное отображение отрезка [0,1] на себя. На каждом

122
Глава 3. Интеграл Лебега
интервале дополнения к С функция / имеет вид χ/2 + const (где
const зависит от интервала) и потому переводит такой интервал в
интервал вдвое меньшей длины. Следовательно, дополнение к С
переходит в открытое множество U меры 1/2. Множество [О, \}\U
меры 1/2 имеет неизмеримое по Лебегу подмножество D. Ясно,
что Ε = /_1(D) С С имеет меру нуль и f(E) = D. D
Пусть д — функция, обратная к функции / из предыдущего
примера. Тогда множество д~1(Е) неизмеримо, хотя Ε имеет
меру нуль яд — борелевская функция. Это показывает, что в
определении измеримой по Лебегу функции требование измеримости
прообразов борелевских множеств не влечет измеримость
прообразов произвольных измеримых по Лебегу множеств.
3.2. Сходимость по мере и почти всюду
Пусть (X, Л, μ) — пространство с неотрицательной мерой μ.
Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всю-
ду (или μ-почти всюду) на X, если множество Ζ точек в X, не
обладающих этим свойством, входит в Λμ и имеет меру нуль
относительно μ, продолженной на Λμ. Дополнения множеств меры
нуль называют множествами полной меры. Мы будем
использовать следующие сокращения «почти всюду»: п.в., μ-п.в. Из
определения Λμ ясно, что существует такое множество Zq Ε Л, что
Ζ С Ζο и μ(Ζο) = 0, т.е. соответствующее свойство выполняется
вне некоторого множества из Л меры нуль. Это обстоятельство
полезно иметь в виду, имея дело с неполной мерой.
Например, можно говорить о сходимости п.в.
последовательности функций /п, о фундаментальности п.в. {/п}, о
неотрицательности п.в. некоторой функции и т.д. Ясно, что сходимость
{/п} п.в. вытекает из сходимости {/п(#)} Для каждого χ
(называемой поточечной сходимостью), а последняя следует из
равномерной сходимости {/п}· Более глубокая связь сходимости почти
всюду с равномерной сходимостью описывается следующей
теоремой замечательного русского математика Д.Ф. Егорова.
3.2.1. Теорема. (Теорема Егорова) Пусть (Χ,Α,μ) —
пространство с конечной неотрицательной мерой μ, fn —
μ-измеримые функции и μ-почти всюду существует конечный
предел f(x) = lim fn(x)· Тогда для всякого ε > 0 существует
п—юо
такое множество Χε Ε Λ, что μ(Χ\Χε) < ε и функции fn
сходятся к f равномерно на Хе.

3.2. Сходимость по мере и почти всюду
123
Доказательство. Продолжим μ на Αμ. По условию есть
такое множество L G Αμ, что μ(£) = μ(Χ), на L все функции /п
определены, конечны и сходятся к /. Поэтому утверждение
сводится к случаю, когда {/п(#)} сходится в каждой точке. Тогда
Х^:=Г\{х- 1/<(*)-/(*)1<^}бА.·
Для всех га, n е IN имеем X™ С Х^, причем Ц^ X™ = -X",
ибо при фиксированном га для всякого ж существует такой
номер п, что \fi(x) — /(#)| < 1/ш при г ^ п. Пусть ε > 0. В_силу
счетной аддитивности μ для всякого га существует номер fc(ra)
с μ(Χ\Χ^(τη)) < ε2—. Пусть Χε := f|~=1 X#m)· Тогда Χε G Лм и
оо оо оо
μ(Χ\Χε) = μ( (J (JT\J^m))) < Σ μ(*\Χ$»)) < ε Σ 2~"*·
m=l m=l m=l
Наконец, при фиксированном га для всех жб!ги всех г ^ А: (га)
имеем \fi(x) — f(x)\ < 1/га, что означает равномерную сходимость
{fn} к / на множестве Χε. Остается взять в Χε подмножество из
А равной меры, которое мы обозначим тем же символом. D
Теорема Егорова не распространяется на случай в = 0.
Например, функции fn: χ ι-* хп на (0,1) сходятся в каждой
точке к нулю, но не сходятся равномерно ни на каком множестве
Ε С (0,1) лебеговской мерь* 1, ибо во всякой окрестности точки 1
найдутся точки из Ε и потому s\ipxeEfn(x) = 1 для каждого п.
Свойство сходимости, установленное Д.Ф. Егоровым, называют
почти равномерной сходимостью.
Перейдем к рассмотрению еще одного важного вида
сходимости измеримых функций.
3.2.2. Определение. Пусть даны пространство (X, Л, μ)
с конечной мерой μ и последовательность μ-измеримых
функций fn, причем μ продолжена на Αμ.
(i) Последовательность {fn} называется фундаментальной
по мере, если для каждого с > 0 имеем
lim sup μ(χ: \fn(x) - /*(я)| > с) = 0.
(ii) Последовательность {fn} сходится по мере к μ-измери-
мой функции f, если для каждого с > 0 имеем
lim μ(χ: \f(x) - fn(x)\ > с) = 0.

124
Глава 3. Интеграл Лебега
В случае бесконечной меры μ определение сходимости по
мере удобнее модифицировать так: требуется сходимость по мере на
каждом множестве положительной меры. Это более слабое и
более удобное условие, чем полученное прямолинейным
перенесением определения.
Можно проверить, что сходимость по мере задается
некоторой метрикой (см. задачу 3.12.29).
Всякая сходящаяся по мере последовательность измеримых
функций fn фундаментальна по мере. Это вытекает из того, что
множество {х: \fn(x) — fk(x)\ ^ с} содержится в множестве
{х: \№ ~ Ш\ > с/2} U {x: \f(x) - fk(x)\ % с/2}.
Отметим еще, что если последовательность {fn} сходится по
мере к функциям / и д, то / = д почти всюду, т.е. с точностью до
переопределения функций на множестве меры нуль может
существовать лишь один предел в смысле сходимости по мере.
Действительно, для каждого с > О имеем
μ(χ: \ί{χ)-9{χ)\>ο)^μ(χ: \f(x)-fn(x)\^c/2) +
+ μ{χ: \fn(x)-g{x)\>c/2)^>0,
откуда μ{χ: \f(x) — g(x)\ > θ) = О, ибо множество точек, где
функция \f — g\ положительна, является объединением множеств
точек, где она не меньше п-1.
Выясним теперь связь между сходимостью по мере и
сходимостью почти всюду.
3.2.3. Теорема. Пусть (X, Л, μ) — пространство с
конечной мерой. Если μ-измеримые функции fn сходятся почти всюду
к функции f, то они сходятся к f и по мере.
Доказательство. Пусть Ап = Γ\ίίη{χ: 1/0*0 ~ Мх)\ < с}>
где с > 0. Множества Ап μ-измеримы и Ап с Ап+\. Ясно, что
множество UnLi An содержит все точки, в которых {/п} сходится
к /. Поэтому μ(Χ) = μ(υ™=ι Αη}. В силу счетной аддитивности
μ получаем μ(Αη) —> μ(Χ), т.е. μ(Χ\Αη) —> 0. Остается заметить,
что {я: \f(x)-fn(x)\^c}cX\An. D
Обратное к доказанной теореме утверждение неверно:
существует последовательность измеримых функций на [0,1], которая
сходится к нулю по мере Лебега, но не сходится ни в одной точке.

3.2. Сходимость по мере и почти всюду
125
V
3.2.4. Пример. Для каждого η 6 IN разделим [0,1] на 2п
промежутков 1щк = [{к - 1)2_п, к2~п), к = 1,..., 2П, длины 2~п.
ПОЛОЖИМ /Л,л(ж) = 1 при Ж 6 /n,fc И fn,k{x) = О ПРИ ж £ ^η,Λ-
Запишем функции fn^ в единую последовательность
fn = (/l,l> /l,2> /2,1» /2,2, · · ·)»
в которой функции fn+i,k следуют за функциями /nj.
Последовательность {/п} сходится к нулю по мере Лебега, ибо длина
промежутка, на котором функция /п отлична от нуля, стремится
к нулю с ростом п. Однако сходимости нет ни в одной точке #,
поскольку при фиксированном χ в последовательности {fn(x)}
бесконечно много нулей и единиц.
Следующий результат Ф. Рисса дает частичное обращение
теоремы 3.2.3.
3.2.5. Теорема. (Теорема Рисса) Пусть (Χ,Α,μ) —
пространство с конечной мерой, ^ & f
(i) Если последовательность μ-измеримых функций fn
сходится к функции / по мере μ, то существует ее
подпоследовательность {fnk}, которая сходится к / почти всюду.
(ii) Если последовательность μ-измеримых функций fn
фундаментальна по мере μ, то она сходится по мере μ к некоторой
измеримой функции /.
Доказательство. Продолжим μ на Αμ. Пусть {/п}
фундаментальна по мере. Покажем, что найдутся возрастающие к
бесконечности натуральные числа п*., для которых
μ(χ: |/ηφ-/ί(*)Ι^2-*)<2-* Vn, j > nk.
Действительно, найдем номер ηχ, для которого
μ{χ: \fn(x)-fj(x)\>2^1)^2-1 Vn,j^m.
Далее найдем номер η<ι > ηχ, для которого
μ(*: \fn(x)-fj(x)\>2-2)^2-2 Vn,j>n2.
Продолжая этот процесс индуктивно, получаем нужную
последовательность {п&}. Покажем, что последовательность {fnk}
сходится п.в. Для этого достаточно установить, что она п.в.
фундаментальна. Положим
Щ = {х: |/»J+1(s)-/»»|> 2"'}.

126
Глава 3. Интеграл Лебега
Поскольку /x(U£U#j) ^ Y%Lk2~J = 2"*+1 ^ 0 при fc -^ оо, то
множество Ζ = HfcLi [JjLk ^з имеет М~меРУ нуль. Если χ входит
в Χ\Ζ, то последовательность {fnk(x)} фундаментальна. В самом
деле^ найдется к с χ & \J?LkEj, т.е. χ & Ej при всех j ^ fc. Это
по определению означает, что \fnj+1(x) — ίηά{%)\ < 2~J при всех
j ^ к. Следовательно, для каждого фиксированного т ^ к при
всех г > j > m справедлива оценка
Ι/η,ΟΌ - /»»1 < !/«,(*) - /»*_i(«)l + Ι/η,-ιΟ*) - /п,_2(ж)| +... +
+\fnj+1(x) - /»»1 < 2-ί + 2-J'"1 + · ■ · < 2"i+1 ^ 2—,
которая означает фундаментальность \fnk(x)}. Таким образом,
{/nfe} сходится почти всюду к некоторой функции /. Тогда {fnk}
"асодится к / по мере, что дает утверждение (ii) ввиду
включения множества {х: |/(ж) — fn(x)\ > с} в объединение множеств
{х: \f(x) - fnk(x)\ > с} и {х: \fnh(x) ~ fn(x)\ > с} и
фундаментальности {/п} по мере. Утверждение (i) вытекает из того, что
сходимость по мере влечет фундаментальность по мере, причем
предел сходящейся почти всюду подпоследовательности
совпадает почти всюду с пределом {/п} по мере ввиду единственности
предела по мере с точностью до эквивалентности. D
3.2.6. Следствие. Последовательность μ-измеримых
функций сходится по конечной мере μ в точности тогда, когда
всякая ее подпоследовательность имеет дальнейшую
подпоследовательность, сходящуюся μ-η.β.
3.2.7. Следствие. Пусть μ — конечная мера, и пусть две
последовательности μ-измеримых функций fn и дп сходятся по
мере μ к функциям fug соответственно. Предположим, что
Φ — непрерывная функция на некотором множестве Υ С IR2,
причем (f(x),g(x)) Ε Υ и (fn(x),gn(x)) 6 Υ для всех х и всех п.
Тогда функции Ф(/п>Зп) сходятся по мере μ к функции Ф(/,р).
В частности, fngn —► fg и afn + Pgn —► α/ + βg по мере μ для
всех α, β Ε IR1.
Доказательство. Функции Ф(/,р) и *(/ujfti) измеримы
ввиду предложения 3.1.7. Если доказываемое утверждение
неверно, то найдутся такие с > О и подпоследовательность jn, что
μ(χ: \*(f(x),g(x)) - Φ (/,„(*), &„(*))! > с) > с (3.2.1)

3.2. Сходимость по мере и почти всюду
127
для всех га. По теореме Рисса в {jn} найдется
подпоследовательность {гп}, для которой fin(x) -> f(x) и gin(x) -> д{х) п.в. В силу
непрерывности Φ получаем ^{fin(x),9in(x)) -> Φ (/(ж)» 00е)) Π·Β·>
откуда Ф(/гп,9гп) ^ Ф(/>#) п0 мере, что противоречит (3.2.1).
Оставшиеся утверждения вытекают из доказанного
применительно к функциям Φ (ж, у) = ху и Φ (ж, у) = а# + /Зу. □
3.2.8. Лемма. Пусть К — компактное множество на
прямой, U — открытое множество, содержащее К, a f —
непрерывная функция на К. Тогда существует такая непрерывная
функция g на прямой, что g = fuaK,g = 0 вне U, причем
sup \g(x)\ = sup |/(ж)|.
хеш1 хек
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда U
ограничено. Множество U\K представляет собой конечное или
счетное объединение попарно непересекающихся открытых
интервалов. Положим g = 0 вне U, g =■ / на К, а на каждом из
упомянутых интервалов (а, Ь) доопределим g с помощью
линейной интерполяции: g(ta + (1 — t)b) = tg(a) + (1 — t)g(b). □
Строение измеримых по Лебегу функций на отрезке
проясняет следующий классический результат Н.Н. Лузина.
3.2.9. Теорема. (Теорема Лузина) Функция f на
отрезке I измерима по Лебегу в точности тогда, когда для всякого
ε > О существуют такие непрерывная функция /ε и компактное
множество Ке, что Χ(Ι\Κε) < ε и / = /е на Κε.
Доказательство. Достаточность указанного условия ясна
из того, что при его выполнении множество {х: f(x) < с} с
точностью до множества меры нуль совпадает с борелевским
множеством U^Lii^ € К\/п: fi/n(x) < с}· Проверим,необходимость
этого условия. Можно считать, что функция / ограничена,
перейдя к arctg/. Возьмем последовательность простых функций /п,
равномерно сходящуюся к /. Функция /п принимает к значений
на дизъюнктных измеримых множествах Апд,..., Ап^. Впишем
в Anj компакт Кп^ так, что сумма мер Ап^\Кп^ будет
меньше е2~п. Ограничение fn на компакт Кп := KUiiU· · -UKnjk
непрерывно из-за дизъюнктности Кп^. Поэтому непрерывно
ограничение / на компакт Ке := H^Li^n (как равномерный предел

128
Глава 3. Интеграл Лебега
непрерывных на К функций). По доказанной выше лемме /
можно продолжить с Κε до непрерывной функции /ε на I. Остается
заметить, что мера дополнения Κε не больше суммы ряда из мер
дополнений Кп, что не превосходит J^nLi ε%~η — ε· Ё
Отметим, что эта теорема вместе с приведенным
доказательством сохраняет силу для произвольной ограниченной борелев-
ской меры на отрезке.
3.2.10. Следствие. Для любой измеримой по Лебегу
функции f на отрезке I существует последовательность
непрерывных функций fn, сходящаяся к f по мере.
3.3. Конструкция интеграла Лебега
Имеется несколько равносильных определений интеграла
Лебега. Мы воспользуемся способом, при котором интеграл
определяется сначала для простых функций, а затем интеграл
неотрицательной функции задается как супремум интегралов
мажорируемых ею простых функций. После этого мы установим
эквивалентность этого способа нескольким другим, включая подход
самого Лебега (см. §3.6).
Пусть (X, Д, μ) — измеримое пространство с неотрицательной
мерой (возможно, со значениями в [0,+оо]). Как и выше, пусть
/+ = тах(/, 0), /~ = тах(-/, 0).
Пусть простая неотрицательная функция / принимает
значения Ci ^ 0 на попарно непересекающихся множествах А^ где
г = 1,..., п. Положим
Г п
/ /(χ)μ(άχ) := Vc*/*(i4»),
Jx £ί
где 0 · μ(χ: f(x) = θ) := 0 и допускается значение +оо.
Корректность данного определения ясна из аддитивности меры,
благодаря которой можно перейти к случаю, когда все с* различны.
При определении интеграла удобно использовать
расширенное понятие измеримой функции на X из определения 3.1.10 и
допускать к рассмотрению такие функции, которые определены
почти всюду (т.е., возможно, не определены на множестве меры
нуль или принимают на нем бесконечные значения).
Из определения и аддитивности меры легко усмотреть
аддитивность и неотрицательность интеграла на неотрицательных
простых функциях.

3.3. Конструкция интеграла Лебега
129
3.3.1. Определение. Пусть / — μ-измеримая функция.
Если f(x) ^ О μ-η.β., то положим
Ι /(χ)μ(άχ) :=sup< / φ(χ)μ(άχ):
φ ^ 0 — простая функция и φ(χ) < f(x) μ-η.β. >.
Будем называть f интегрируемой, если эта величина конечна.
В общем случае будем называть / интегрируемой по Лебегу
относительно μ или μ-интегрируемой, если обе функции /+ и f~
интегрируемы. При этом полагаем
Ι ί{χ)μ{άχ) := Ι /+(χ)μ(άχ)- Ι Γ(χ)μ(άχ).
Jx Jx Jx
В том случае, когда интегрирование ведется по всему
пространству X, область интегрирования иногда не указывается
и используется обозначение / / άμ. В случае меры Лебега на Ип
будем обозначать интеграл функции / также через / f(x) dx.
Легко видеть, что для простых неотрицательных функций
такое определение дает прежнее значение интеграла.
Важным свойством интеграла Лебега является то5 что по
самому определению всякая ф]ЩкЦМя^^
емойу также интегрируемая Кроме того, измеримая функция /
интегрируема тогда и только тогда, когда функция |/|
интегрируема, причем
\fxf**\<fx\f\4>. ^,^сл
Из определения очевидно также, что если / и g — такие
//-измеримые функции, что \д(х)\ ^ |/(#)| μ-п.в. и / интегрируема, то д
также интегрируема и
/ \9\άμ^ [ |/|άμ. (3.3.1)
Jx Jx
В частности, если функция / интегрируема, то для всякого
измеримого множества А функция //д также интегрируема.
Интеграл функции /Ια будем называть интегралом / по множеству А

130
Глава 3. Интеграл Лебега
и обозначать одним из двух сдедующих символов:
/ ί{χ)μ{άχ) и / /d/x.
Если f(x) ^ 0 при μ-п.в. χ 6 Л, то имеем / /d/x ^ 0.
,/А
Если / |/| d/x = 0, то / = 0 п.в., ибо иначе при некотором
Jx
η € IN получим μ{χ: \f{x)\ ^ η-1) > 0.
Простым следствием определения является следующее часто
используемое неравенство П.Л. Чебышёва.
3.3.2. Теорема. (Неравенство Чебышёва) Для всякой
μ-интегрируемой функции f и всякого R > 0 имеем
μ(χ: \f(x)\>R)<^f \ί(χ)\μ(άχ). (3.3.2)
Доказательство. Положим Ar = {χ: \f(x)\ ^ Д}. Ясно,
что R-Iar(x) ^ |/(#)| Для всех х. Следовательно, интеграл
функции R · Iar мажорируется интегралом |/|, что дает (3.3.2). D
3.3.3. Следствие. Для всякой μ-интегрируемой функции
f существует такая последовательность измеримых
множеств Ап конечной меры, что f(x) = 0 при χ $· Unli ^η·
Доказательство. Множества {χ: \f(x)\ ^ 1/n} имеют
конечные меры. D
Покажем, что для вычисления интеграла неотрицательной
измеримой функции достаточно использовать какую угодно
возрастающую к ней последовательность простых функций. Это не
вполне очевидно из определения.
/3.3.4^ Лемма. Пусть дана последовательность простых
функции fn ^ 0, fn(x) ^ fn+i(%) μ-η.β. при всех п,
причем интегралы от fn равномерно ограничены. Тогда функция
f(x) := lim /n(#) конечна μ-η.β., интегрируема, причем
/ /ф= lim / fn άμ.
J χ ri^ooJx

3.3. Конструкция интеграла Лебега
131
Доказательство. Интегралы от /п возрастают к
конечному пределу В- Для каждого R > О по неравенству Чебышёва
имеем μ(χ: fn(x) > R) ^ L/R. При η —> оо левая часть
возрастает к μ(χ: f(x)>R), поскольку множества {х: fn(x) > R}
возрастают и в объединении дают {х: f(x) > R} с точностью до
множества меры нуль (на котором {fn(x)} не является
возрастающей). Значит, μ(χ: f(x) > R) < L/R при всех R > О, откуда
следует равенство μ(χ\ f(x) = +00) = 0.
Пусть φ ^ 0 — простая функция, φ(χ) ^ f{x) μ-п.в. Покажем,
что интеграл от ψ не превосходит Р. Функции φη := min(/n, φ) —
простые и μ-п.в. возрастают к φ. Так как интеграл от ψη не
больше интеграла /п, то достаточно проверить, что интегралы
от ψη возрастают к интегралу от φ. Ввиду аддитивности
интеграла на простых функциях остается показать, что
интегралы от φηΐΕ сходятся к интегралу от ψΐβ для всякого
множества Ε вида Ε = <£-1(с). При с = 0 это очевидно. Пусть с > 0
и ε 6 (0, с/2). Множества Еп := {х € Ε: φη(χ) ^ с — ε}
возрастают и покрывают Ε с точностью до множества меры нуль, откуда
μ(Εη) —► μ(Ε). Из этого видно, что μ(Ε) < оо, ибо
/ ψη άμ ^ (с - ε)μ(Εη) -> (с - ε)μ(Ε),
Je
а левая часть не больше L. Так как ε можно взять сколь угодно
малым, интегралы от φηΐΕ сходятся к интегралу от φΐε- Π
Если / ^ 0 — //-измеримая функция, то следствие 3.1.9
дает μ-п.в. возрастающую к / последовательность простых
функций fn (которые интегрируемы, если интегрируема /).
Выясним условие интегрируемости функции со счетным
числом значений.
3.3.5. Пример. Пусть //-измеримая функция / принимает
счетное число различных значений Сп- Тогда интегрируемость /
равносильна сходимости ряда Υ^=ι ^//(я: f(x) = Сп), причем
в случае интегрируемости получаем
/ ί(χ)μ(άχ) = У^сп//(я: /(ж) = сп).
В самом деле, достаточно рассмотреть случай, когда Сп ^ 0.
Занумеруем Сп по возрастанию. Пусть fn(x) = f(x) при f(x) ^ Сп

132
Глава 3. Интеграл Лебега
и fn(x) = 0 при f(x) > Сп. Тогда /п — простые функции,
возрастающие к /. Так как интеграл от /п равен Σ£=ι °ί{χ: f(x) = q)?
то остается применить доказанное выше предложение.
В следующей теореме установлено одно из важнейших
элементарных свойств интеграла —линейность.
3.3.6. Теорема. Если функции fug интегрируемы
относительно меры μ, то для всяких чисел а и β функция af + βg
таксисе μ-интегрируема, причем
/ (α/ + βο) άμ = α / /άμ + β / ράμ.
Jx Jx Jx
Доказательство. Для простых функций доказываемое
равенство очевидным образом следует из аддитивности меры.
Случай β — О очевиден из определения. Теперь достаточно
рассмотреть случай а = β = 1. Тогда f + д = /+ + <7+ — (/" + <?~).
Поэтому достаточно доказать наше утверждение в двух
случаях: когда /^Оир^Ои когда / ^ 0 и j ^ 0. Первый из них
следует из справедливости этой теоремы для простых функций
и леммы 3.3.4, ибо, взяв п.в. возрастающие к/и j
последовательности простых неотрицательных функций /п и jn,
получаем последовательность простых функций fn + дп, п.в.
возрастающую к / + д. В оставшемся случае / ^ 0 и д ^ 0 заметим, что
IZ + ffl ^ 1/1 + Iff I И потому функция / + <7 интегрируема. При этом
f + 9=(f + 9)lE + (f + 9)1 х\е, где Е = {х: f(x) + д(х) > 0}.
Поскольку fIE = (/ + #)/s ~ 5^ и -gIx\E = Дх\я + (-/ ~ 9)Ιχ\Ε,
где все слагаемые неотрицательны (все эти соотношения
выполнены п.в.), то по доказанному имеем
/ /ΐΕ<1μ= / (f + g)IEdμ- / $/β<ϊμ,
Jx Jx Jx
- / 9ΐχ\Εάμ= / ίΙχ\Εάμ~ J (/ + ί)/^φ.
Из этих равенств с учетом тождества /# + /χ\£ = 1 получаем
доказываемое равенство. D
В частности, если функция / интегрируема и А и В —
непересекающиеся множества из Αμ, то
/ /(χ)μ(άχ)= / /(χ)μ(άχ)+ / /(χ)μ(άχ).
Jaub J a jb

3.3. Конструкция интеграла Лебега
133
3.3.7. Предложение. Всякая Αμ-измеримая ограниченная
функция f интегрируема по всякому множеству A £ Αμ
конечной меры, причем
\L
/(χ)μ(άχ)\ ^8αρ\/(χ)\μ(Α).
хеА
Доказательство. Если φ — неотрицательная простая
функция с φ(χ) < |/(#)| при п.в. χ е -А, принимающая различные
значения ci,..., Сп, то интеграл от ψίχ равен
η η
Σ
i=l " г=1
οίμ(ΑΠφ 1(cj)) ^ тахСгУ^/х(Л Π φ 1(ci)) = тахс^х(Л),
что не превосходит sup^^ 1/0*01 мС^)· Π
В следующей теореме установлено очень важное свойство
абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
3.3.8. Теорема. Пусть дана μ-интегрируемая функция /.
Тогда для каждого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
/ \f(x)\ μ(άχ) < ε, если μ(Α) < δ.
J А
Доказательство. Найдется такая простая функция ψ ^ О,
что ψ ^ |/| п.в. и рвзность интегралов от |/| и ψ меньше ε/2.
Положим δ — г(2тахж ψ(χ) + 2)-1. При μ{Α) < δ получаем
ί \ί\άμ= Ι φάμ+ [[\/\-φ]άμ^
J A J A J A
^ Βύ$φ{χ)μ{Α) + J [\f\ - φ] άμ ^ | + | = ε,
что и требовалось. D
3.3.9. Замечание. Мы не предполагали полноту меры μ, но
ясно, что в качестве А можно взять и Αμ. При замене А на Αμ
мы получим тот же класс интегрируемых функций, что очевидно
из определения. Однако если вместо σ-алгебры А взять какую-
то ее подалгебру Aq (даже порождающую Л) ив определении
интеграла рассматривать лишь простые функции,
соответствующие множествам из До? т0 запас интегрируемых функций может
столь расшириться, что потеряет содержательность. Например,
пусть Ао — алгебра промежутков в [0,1]. Возьмем такое
множество Ε С [0,1], что и Е, и его дополнение пересекают каждый

134
Глава 3. Интеграл Лебега
непустой интервал по множеству положительной меры (см.
задачу 2.7.18). Тогда всякой измеримой неотрицательной функции /,
равной нулю на J5, будет приписан нулевой интеграл при таком
классе «простых» функций (в нем лишь нулевая функция φ
удовлетворяет условию φ ^ / п.в.), хотя в смысле нашего обычного
определения интеграл этой функции может быть и бесконечным
из-за того, что он бесконечен по дополнению Е.
3.3.10. Замечание. Измеримость и интегрируемость
комплексной функции /относительно меры μ будем понимать
соответственно как измеримость и интегрируемость вещественной
Re / и мнимой Im / частей /. Положим
/ f άμ := / Re / άμ + г I Im / άμ.
Для отображений со значениями в IRn измеримость и
интегрируемость будем понимать аналогично, т.е. покоординатно. Таким
образом, интеграл отображения / = (/χ,..., /η) с интегрируемыми
компонентами fc есть вектор, координатами которого являются
интегралы от /^.
3.3.11. Замечание. Для интеграла по классической мере
Лебега на ГО,П верна формула замены переменных
/ f(Tx + a)dx = |det Tp1 / f(y) ay
JjRn JjRn
для всякого обратимого линейного оператора Τ и всякого а Е IRn.
Ввиду следствия 2.5.4, для обоснования достаточно проверить
эту формулу для простых функций с ограниченными
носителями, что сводит все к индикаторам ограниченных множеств. Ниже
в §3.12(ii) мы обсудим более общие формулы замены переменных
для меры Лебега и для абстрактных мер.
Скажем несколько слов об интеграле Лебега-Стилтьеса.
В гл. 2 были определены меры Лебега-Стилтьеса на прямой:
каждой непрерывной слева неубывающей функции F, имеющей
предел 0 на —оо и предел 1 на +оо, была сопоставлена вероятностная
борелевская мера μ с F(t) = μ((—οο,ί)). Пусть д — /i-интегриру-
емая функция. Будем называть интегралом Лебега-Стилтьеса
функции д по функции F число
Г g{t) dF{t) := f g{t) μ{Λ). (3.3.3)
J-oo JJR

3.4. Предельный переход под знаком интеграла
135
Это определение легко расширить, включив функции F вида
F = c\F\ + C2F2, где F\)F2 — функции распределения
вероятностных мер /χι и /i2, a ci,C2 — постоянные. Тогда в качестве μ
надо брать меру 0\μ\ + 02β2- Аналогично определяется интеграл
Лебега-Стилтьеса по отрезку или интервалу. В некоторых
приложениях бывает известна именно функция распределения F, а не
сама мера μ, поэтому обозначение интеграла посредством левой
части (3.3.3) оказывается довольно полезным и наглядным в
выкладках. Если д принимает конечное число значений с* на
промежутках [αι, bi) и обращается в нуль вне этих промежутков, то
fg(t)dF(t) = J2ci[F(bi)-F(ai)).
J г=1
Для непрерывных функций д на [а, Ь] интеграл Лебега-Стилтьеса
можно получить в виде предела таких сумм римановского типа
(что обычно в курсах анализа и берется за определение интеграла
Стилтьеса от непрерывной функции). В самом деле^ пусть
функция д непрерывна. Тогда она равномерно непрерывна на [а,Ь].
Значит, для всякого ε > 0 существует такое δ > О, что для любых
точек а = to < t\ < · · · < tn = b с \U — U-\\ ^ δ ступенчатая
функция Λ, равная g(ti) на (tj_i,tj (при этом h(a) = д(а)), отличается
от д не более, чем на ε. Поэтому разность интегралов от д и h
по мере μ не превосходит по абсолютной величине ε||μ||.
Отметим, что с помощью сумм римановского типа можно определять
интеграл Стилтьеса от непрерывной функции д по
возрастающей функции F, не обязательно непрерывной слева. Для этого
достаточно проверить, что при измельчении разбиений
соответствующие суммы будут сходиться к тому же значению, которое
получается, если F переопределить на счетном множестве точек
разрыва и сделать непрерывной слева.
Интеграл Лебега-Стилтьеса затрагивается также в
следующей главе при обсуждении функций ограниченной вариации.
3.4. Предельный переход под знаком интеграла
В этом параграфе приведены три основные теоремы о
сходимости интегрируемых функций, носящие имена Лебега, Беппо
Леви и Фату. Как обычно, мы предположим, что μ —
неотрицательная мера (возможно, со значениями в [0, +оо]) на измеримом
пространстве (Х,А).

136
Глава 3. Интеграл Лебега
Следующий важный результат — теорема Беппо Лёви о
монотонной сходимости.
3.4.1. Теорема. (Теорема Беппо Леви) Пусть fn —
μ-интегрируемые функции и fn{%) ^ /η+ι(#) пв- для каждого п.
Предположим, что
η
) Ι ίη{χ)μ{άχ)
Jx
sup / }η{χ)μ{άχ) < oo.
Тогда функция f(x) = lim /n(#) почти всюду конечна и инте-
п—+оо
грируема. Кроме того, справедливо равенство
Ι /(χ)μ(άχ)= lim / /η(χ)μ(άχ). (3.4.1)
J χ n^°° J χ
Доказательство. Вычитая f\ из всех функций, приходим
к случаю fn ^ 0. Интегралы от /п возрастают к некоторому
числу J. Для каждого η имеется последовательность простых
функций φη^ ^ 0, при к —> оо возрастающая к /п п.в.
Функции дп := тах(<£1,п,...,^п,п) — простые, дп ^ gn+i, поскольку
4>з,п < ¥>j>+i, и jn < /п, ибо <р^п ^ fj ^ fn при j ^ п.
Поэтому д = lim дп < / п.в. С другой стороны, д ^ ρΛ Λ при η ^ fc,
η—►оо
откуда д ^ fn п.в., т.е. д = f п.в. По лемме 3.3.4 функция #
интегрируема и ее интеграл равен пределу интегралов от grn, не
превосходящему J. Значит, интеграл от / равен J. D
Разумеется, в теореме Беппо Леви вместо возрастания /п(#)
к f(x) можно требовать убывание. yzJr* ^**~
Теорему Беппо Леви можно переформулировать так:
если ряд из интегралов неотрицательных интегрируемых
функций fn сходится, то почти всюду сходится ряд Y^Li fn(x)
и интеграл от его суммы равен сумме ряда из интегралов от /п.
Следующий часто используемый результат теории
интеграла — теорема Фату (иногда его называют леммой Фату). Он
показывает, что в случае неотрицательных /п (или хотя бы
имеющих общую интегрируемую миноранту) для интегрируемости
предельной функции / достаточно равномерной ограниченности
интегралов от /п. Правда, при этом вместо равенства (3.4.1)
гарантируется лишь некоторое неравенство.

3.4. Предельный переход под знаком интеграла
137
3.4.2. Теорема. (Теорема Фату) Пусть {/п} —
последовательность неотрицательных μ-интегрируемых функций,
которая сходится к функции / почти всюду, причем
SUP / /η(#) μ(άχ) ^ К < оо.
η J χ
Тогда функция / μ-интегрируема и I f(x) μ(άχ) ^ К.
JX
Более того, / f(x) μ(άχ) ^ liminf / fn(x) μ(άχ).
J χ η^°° Jx
Доказательство. Положим gn{x) = inik^nfk(%)· Тогда
О ^ gn < /п> 9п < 9п+1-
Поэтому функции дп интегрируемы и образуют монотонную
последовательность, а их интегралы ограничены сверху числом К.
По теореме Беппо Леви почти всюду существует конечный предел
д(х) = lim pn(^)> причем функция д интегрируема и ее интеграл,
п—+оо
равный пределу интегралов функций рп, не превосходит К.
Остается заметить, что f(x) = д{х) п.в. в силу сходимости {/η(#)} Π·Β·
Второе утверждение теоремы следует из доказанного путем
перехода к подходящей подпоследовательности. D
3.4.3. Следствие. Пусть {fn} — последовательность
μ-интегрируемых функций ид— μ-интегрируемая функция.
(i) Пусть fn^ g п.в. для каждого п, причем
liminf / /η(χ)μ(άχ)
п Jx
< оо.
Тогда функция liminf fn μ-интегрируема, причем
η—юо
/ liminf fn(χ)μ{άχ) < liminf / /η(χ)μ(άχ).
Jx η-+οο η-»οο Jx
(ϋ) Пусть fn^g п.в. для каждого п, причем
lim sup / /η(χ)μ(άχ) > —оо.
η Jx
Тогда функция lim sup fn μ-интегрируема, причем
п—юо
/ limsxip fn(x)μ(άχ) ^ limsup / fn(%)v{d%)·
Jx n-+oo n—>oo Jx

138
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство, (i) Перейдя к /п — <?, сводим утверждение
к случаю fn ^ 0. Заметим, что liminf/n(#) = lim infn>fc/n(#),
η—►оо fc-»oo '
и затем применим теорему Фату к функциям infn^fc fn(x).
Утверждение (ii) следует из (i) переходом к — /n. D
Важнейшим в теории интеграла является следующий
результат Лебега.
3.4.4. Теорема. (Теорема Лебега о мажорированной
сходимости) Пусть μ-интегрируемые функции fn сходятся
почти всюду к функции /. Если существует такая μ-интег-
рируемая функция Ф, что
\fn(x)\ ^ Φ(х) п.в. для каждого п,
то функция f интегрируема, причем
/ /(χ)μ(άχ)= lim / /η(χ)μ(άχ).
J χ n^°°Jx
Кроме того, lim / \f(x) — fn(x)\ μ{άχ) = 0.
n^°°Jx
Доказательство. Первое равенство следует из второго,
которое вытекает из утверждения (ii) предыдущего следствия. В
самом деле, для дп := |/п - /| п.в. имеем дп -> 0 и 0 ^ дп ^ 2Ф. D
3.4.5. Теорема. Теоремы Лебега и Фату остаются в силе,
если вместо сходимости почти всюду в их условиях
потребовать сходимость {fn} к f по мере μ (β случае неограниченной
меры требуется сходимость по мере на каждом множестве
конечной меры).
Доказательство. Пусть μ{Χ) < оо. Поскольку {/п} имеет
подпоследовательность, сходящуюся к / почти всюду, то сразу
получаем аналог теоремы Фату для сходимости по мере, а
также заключение теоремы Лебега для выбранной
подпоследовательности. Тогда утверждение верно и для всей
последовательности {/п}, ибо в противном случае нашлась бы такая
подпоследовательность /nfe, что / \fnk — /| άμ ^ с > 0 для всех fc, а это
Jx
невозможно в силу доказанного, ибо из {fnk} можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся п.в. В случае неограниченной
меры каждая из функций fn равна нулю вне некоторого
счетного объединения множеств конечной меры. Поэтому найдется

3.4. Предельный переход под знаком интеграла
139
счетный набор дизъюнктных множеств Ej конечной меры, вне
объединения Ε которых все /п равны нулю. Тогда / = О п.в.
вне Е. Теперь можно выделить подпоследовательность в {/п},
которая сходится почти всюду на Е. D
Рассмотрение функций fn(x) = п^(од/п](ж)? поточечно
сходящихся к нулю на (0,1], показывает, что в теореме Лебега нельзя
отказаться от наличия интегрируемой мажоранты, а в теореме
Фату не всегда можно переставлять предел и интеграл. Однако
может случиться, что интегралы от |/п —/| сходятся к нулю и без
общей интегрируемой мажоранты (задача 3.12.12(H)).
С помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости
доказывается следующее утверждение о непрерывности и
дифференцируемое™ интеграла по параметру.
3.4.6. Следствие. Пусть μ — неотрицательная мера
(возможно, со значениями в [0, +оо]) па пространстве X и функция
/: Χ χ (α, Ь) —> 1R1 такова, что при каждом а € (а, Ь) функция
χ н-* f(x,ot) интегрируема.
(i) Пусть при п.в. χ функция а ь-> /(ж, а) непрерывна, причем
существует такая интегрируемая функция Ф, что для каждого
фиксированного а п.в. имеем |/(#,<*)| < Ф(х). Тогда функция
J: аи / f(x,a) μ(άχ)
Jx
непрерывна.
(ii) Пусть для п.в. χ функция а н-* /(#, а)
дифференцируема, причем существует такая μ-интегрируемая функция Ф,
что при п.в. χ имеем \df(x,a)/da\ < Ф(х) сразу для всех а.
Тогда функция J (а) := / /(ж, α) μ(άχ) дифференцируема, причем
Jx
J{a) = L~d^~Kdx)'
Доказательство. Утверждение (i) ясно из теоремы Лебега,
(ii) Пусть а фиксировало и tn —► 0. Тогда по теореме о среднем
для п.в. χ существует такое ξ = £(ж, α,η), что
It-^/foa + t») -f(x,a))\ = \df(x,t)/da\ < Ф(х).

140
Глава 3, Интеграл Лебега
Указанное разностное отношение сходится к df(x,a)/da. По
теореме Лебега предел lim t~l(j{a + tn) — J(a)) равен интегралу
η—>оо
от df (#, а)/да. D
В задаче 3.12.21 указана модификация утверждения (ii),
дающая дифференцируемость в отдельной точке.
3.5. Пространство L1
Пусть (X, Д, μ) — измеримое пространство с неотрицательной
мерой (возможно, со значениями в [0, +оо]).
Совокупность всех μ-интегрируемых функций будем
обозначать через С1 (μ).
Часто бывает полезно не различать функции, равные почти
всюду (напомним, что такие функции называются
эквивалентными). Для этого вместо пространства С1 (μ) рассматривают
пространство Ьх(/х) (альтернативное обозначение: Ll(X, μ)),
элементами которого являются классы эквивалентности в £χ(μ),
состоящие из почти всюду равных функций. Тем самым 1/Х(/х) — это
часть £°(μ), соответствующая классам с интегрируемыми
представителями.
Здесь мы установим, что пространство интегрируемых по
Лебегу функций обладает свойством полноты, т.е.
фундаментальные в среднем последовательности сходятся в среднем (этого
важного свойства нет у интеграла Римана, см. задачу 3.12.25).
3.5.1. Определение, (i) Последовательность функций fn,
интегрируемых по мере μ {возможно, со значениями в [0, +оо]),
называется фундаментальной в среднем, если для всякого ε > 0
найдется такой номер Ν, что
[ \fn(x) ~ fk(x)\ μ№) <ε Vn, k > Ν.
Jx
(ii) Будем говорить, что последовательность
μ-интегрируемых функций fn сходится к μ-интегрируемой функции f в
среднем, если
lim / \/(χ)-/η(χ)\μ(άχ)=0.
Фундаментальность или сходимость в среднем будем таксисе
называть фундаментальностью или сходимостью в Lx(/x)
соответственно.

3.5. Пространство L1
141
Такие сходимость и фундаментальность — это просто
сходимость и соответственно фундаментальность по естественной
метрике пространства 1/1(/х), задаваемой формулой
«*(/,«) = / \ί{χ)-9{χ)\μ{άχ),
JX
где в правой части подразумеваются произвольные
представители классов эквивалентности / и д (ясно, что от их выбора
значение интеграла не зависит). Неравенство треугольника очевидно
из поточечной оценки \f(x) — h{x)\ ^ \f(x) — ff(x)\ + \q(x) ~~ h(x)\.
Эта же формула задает на С1 (μ) предметрику. Именно для того,
чтобы из условия d(/, д) = О следовало равенство / = р, и сделан
переход к пространству классов эквивалентности. Заметим еще,
что указанная метрика соответствует норме
L1
(μ) ~ / 1/0*01/i(dtf)
«/ X
на Ь1(/х), о чем подробнее говорится в гл. 5.
Легко видеть, что если последовательность интегрируемых
функций fn фундаментальна в среднем, то supn ||/η||χ,ΐ(μ) < оо.
Кроме того, если последовательность интегрируемых функций /п
сходится в метрике Ь1(/х) к функциям / и #, то f(x) = д(х) /х-п.в.
3.5.2. Теорема. Если последовательность μ-интегрируе-
мых функций fn фундаментальна в среднем, то она сходится
в среднем к некоторой μ-интегрируемой функции /. Иначе
говоря, пространство Ь1(/х) с указанной метрикой полно.
Доказательство. Найдем такую последовательность {п^},
что ||/nfc+i — /η*||ι,ΐ(μ) ^ 2~*\ Теорема Беппо Леви дает сходимость
/х-п.в. ряда Y^Li \fnk+i(x) — fnk(x)\- Значит, последовательность
{fnk(x)} имеет конечный предел f(x) для μ-п.в. х. Тогда /х-п.в.
\f{x)\ = lim \fnk{x)\· По теореме Фату функция / интегрируема.
П—+00
Наконец, для всякого ε > 0 найдется такой номер JVC, что
/,
\fn- ίπι\άμ^ε
ΐχ
при всех τι, т ^ Νε. Подставляя η = щ и еще раз применяя
теорему Фату, приходим к оценке / |/ — fm\ άμ ^ ε при т^ Νε.
Jx
Теорема доказана. и

142
Глава 3. Интеграл Лебега
3.5.3. Следствие. Если фундаментальная в среднем
последовательность μ-интегрируемых функций fn сходится почти
всюду к функции f, то функция f интегрируема и
последовательность {fn} сходится к ней в среднем.
Используя идею пополнения, можно следующим образом
определять интегрируемые функции (см., например, [26, гл. 2]).
3.5.4. Предложение. Функция f интегрируема
относительно меры μ в точности тогда, когда существует
последовательность простых функций fn, которая сходится к f почти
всюду и фундаментальна в среднем. При этом \\f — /η||^(μ) ~> 0.
Доказательство. Если такая последовательность есть, то
/ Ε С1 (μ) и ||/ — /η||^(μ) "~* 0, что вытекает из доказательства
предыдущей теоремы. Для доказательства обратного возьмем
последовательность простых функций fn так, что /п(#) —► f{x) п.в.
и |/п(#)| ^ |/(#)| Π·Β· (это легко сделать, см. доказательство
следствия 3.1.9). По теореме Лебега ||/ — fnW&fr) -* 0· Ё
В том случае, когда μ — знакопеременная мера, по
определению положим Ьх(/х) := Ιχ(\μ\)9 £х(м) := ^(Н)· Для / € £Х(Ы)
полагаем
/ ίάμ := / ί{χ)μ{άχ) := ί ί{χ)μ+{άχ) - Ι ί{χ)μ~{άχ).
Jx Jx Jx Jx
Вводя функцию ξ, равную 1 на Х+ и —1 на Х~, получаем
Ι ί{χ)μ{άχ)= [ /(χ)ξ(χ)\μ\(άχ).
Jx Jx
3.6. Признаки интегрируемости
Определение интеграла почти никогда не используется для
установления интегрируемости конкретных функций. Весьма
эффективные и часто используемые на практике достаточные
условия интегрируемости даются теоремами Беппо Леви и Фату. В
реальных задачах часто применяется и один из самых очевидных
критериев интегрируемости измеримой функции:
мажорирование по абсолютной величине заведомо интегрируемой функцией.
В настоящем параграфе из этого тривиального критерия мы
выведем ряд менее очевидных следствий и получим признаки
интегрируемости в терминах сходимости рядов или римановских
интегралов по прямой.

3.6. Признаки интегрируемости
143
3.6.1. Теорема. Пусть (Χ,Α,μ) — пространство с
конечной неотрицательной мерой и f — μ-измеримая функция.
Тогда интегрируемость функции f относительно μ равносильна
сходимости ряда
оо
Σημ(χ: n<|/(a;)|<n+l), 0-6.1)
n=l
а таксисе равносильна сходимости ряда
оо
5>(z: |/(s)|^n). (3.6.2)
п=1
Доказательство. Пусть А0 = {х: \f(x)\ < l}. Псшожим
{х: n< \f(x)\ < п+1} для η Ε IN. Множества Ап
являются μ-измеримыми, попарно не пересекаются и дают в
объединении все пространство (с точностью до множества меры нуль,
на котором / может быть не определена). Функция ду
заданная равенством д|дп = п, где η = 0,1,..., очевидным образом
μ-измерима, причем д{х) < |/(#)| ^ д(х) + 1- Следовательно,
функция ^ интегрируема в точности тогда, когда
интегрируема функция /. Согласно примеру 3.3.5 интегрируемость д
равносильна сходимости ряда (3.6.1). Остается заметить, что ряды
(3.6.1) и (3.6.2) сходятся или расходятся одновременно.
Действительно, {х: \f(x)\ ^ η} = \J^=nAkj откуда
оо
μ(χ: \f(x)\ >n) = Σμ(Α)().
k=n
Таким образом, при суммировании по η число μ(Αη) входит в
правую часть η раз. D
Рассмотрим некоторые простые применения.
3.6.2. Пример, (i) Функция /, измеримая относительно
ограниченной неотрицательной меры μ, интегрируема во всякой
степени ρ Ε (0, ро) в точности тогда, когда μ(χ: \f(x)\ > t)
убывает быстрее любой степени t при ί —► +оо. Это видно из равенства
μ(χ: |/(x)P>>t)=M(x: |/(x)| > t1'*).
(ii) Функция I lnx|p на (0,1) интегрируема по Лебегу при всех
ρ > —1, а функция ха интегрируема при а > — 1.
(iii) Функция ||#||~р на IRd интегрируема в окрестности нуля
при ρ < d.

144
Глава 3. Интеграл Лебега
Для бесконечных мер указанные признаки не годятся, так как
они не учитывают множества малых значений |/|. Их можно
модифицировать и для бесконечных мер, но вместо этого мы
приведем универсальный критерий, одно из достоинств которого
состоит в сведении проблемы к некоторому римановскому интегралу.
3.6.3. Теорема. Пусть μ — счетно-аддитивная мера со
значениями в [О, +оо] и f — μ-измеримая функция. Тогда
интегрируемость f no мере μ равносильна интегрируемости функции
t н-> μ{χ: \f{x)\ > t) на (0, +оо) по мере Лебега. При этом
[ \/(χ)\μ(άχ) = Γμ{χ: \f{x)\>t)dt. (3.6.3)
Jx Jo
Доказательство. Здесь мы докажем лишь равносильность
интегрируемости / сходимости указанного интеграла по полуоси,
а короткий вывод равенства (3.6.3) будет дан ниже с помощью
теоремы Фубини. Если / интегрируема, то множество {/ > 1} имеет
конечную меру. Интеграл от g(t) := μ{χ: \f{x)\ > t) no [1, +oo) не
превосходит сумму ряда из д(п) и потому конечен. Обратно,
сходимость этого интеграла дает интегрируемость fl{f^i}- Поэтому
можно считать, что 0 ^ / ^ 1. Аналогично предыдущей теореме
проверяется, что интегрируемость д по (0,1] равносильна
сходимости ряда из 2~ημ(χ: \f{x)\ > 2_n), которая, как легко видеть,
сводится к сходимости ряда из 2~п/х(ж: 2~п < \f(x)\ < 2~n+1),
равносильной интегрируемости //{ο^/^ΐ}· Π
Одно из исходных построений самого Лебега также может
использоваться в качестве удобного и наглядного критерия
интегрируемости.
Пусть (X, Л, μ) — пространство с конечной неотрицательной
мерой и / — //-измеримая функция. Рассмотрим лебеговские
суммы
Λ(ε) := Σ 1ζεμ(χ: ke^f(x)<(k + l)e), ε > 0. (3.6.4)
k=—oo
3.6.4. Предложение. Измеримая функция / интегрируема
по Лебегу в точности тогда, когда при некотором ε > 0 обе
части ряда (3.6.4) nok>0uk<0 сходятся. В этом случае
указанный ряд сходится при всех ε > 0, причем величины Λ (ε)
при ε —► 0 стремятся к интегралу от f.

3.7. Связь с интегралом Римана
145
Доказательство. Рассмотрим функцию /ε, равную ке на
множестве (ж: ке < /(ж) < (к + 1)ε} при всех целых к.
Ясно, что эта функция измерима, причем абсолютная сходимость
ряда (3.6.4) есть условие ее интегрируемости. В случае
сходимости сумма ряда равна интегралу от /ε. Остается заметить, что
sup^ \f(x) — /ε(#)| ^ £· Так как μ(Χ) < оо, то либо обе функции
/ и /ε интегрируемы, либо обе не интегрируемы. В случае
интегрируемости модуль разности интегралов не превосходит εμ(Χ),
откуда следуют последние два утверждения. D
3.7. Связь с интегралом Римана
Мы считаем известным определение интеграла Римана (см.
Архипов, Садовничий, Чубариков [12], Зорич [86], Рудин [187]
или Фихтенгольц [219]). Для кусочно-постоянных функций на
отрезке римановский интеграл совпадает с лебеговским.
Функция Дирихле (индикатор множества рациональных чисел) не
интегрируема по Риману, но является простой и имеет нулевой
интеграл Лебега. См. также задачи 3.12.22 и 3.12.23.
3.7.1. Теорема. Если функция f интегрируема на отрезке
I = [а, Ь] по Риману в собственном смысле, то она
интегрируема на I и по Лебегу, причем ее римановский и лебеговский
интегралы равны.
Доказательство. Можно считать, что Ь — а = 1. Для
каждого η € IN разделим отрезок I = [а, Ь] на непересекающиеся
промежутки [а, а + 2~п),..., [6 — 2~п, 6] длины 2~п,
обозначаемые через Д,..., /2п. Пусть mk = infx€lk /(ж), Мк = supxG/fe f(x).
Рассмотрим ступенчатые функции /п и дп, заданные
следующим образом: /п = тк на J&, дп = М*. на /&, к = 1,...,2П.
Ясно, что /п(ж) ^ /(ж) < 9п(х)· Кроме того, /п(ж) ^ /η+ι(ζ),
0η+ι(α) ^ 9п(х)· Поэтому существуют пределы φ(χ) = lim fn(x)>
η—>оо
<0(#) = lim <7n(#)? причем <^(ж) < /(ж) < ^(ж). Как известно из
•fl—>СХ)
курса анализа, интегрируемость / по Риману влечет равенство
рЬ рЬ
lim / fn(x)dx= lim / gn(x)dx = R(f), (3.7.1)
n->oo Ja n—oo Ja
где i?(/) обозначает римановский интеграл / (при этом мы
используем отмеченное выше совпадение римановского и лебегов-
ского интегралов для кусочно-постоянных функций). Функции φ

146
Глава 3. Интеграл Лебега
и φ ограничены и измеримы по Лебегу (как поточечные пределы
ступенчатых), поэтому они интегрируемы по Лебегу. Ясно, что
rb pb гЬ * pb
\ fn(x)dx^ / φ(χ)άχ^ / φ(χ)άχ^ / gn(x)dx
J a Ja J & J a
для всех п. Из (3.7.1) вытекает, что интегралы функций φ и φ
равны i?(/), откуда ψ{χ) = ф(х) п.в., ибо φ(χ) ^ ф(х). Поэтому
Ψ = / = Φ Π·Β·? чт0 дает доказываемое утверждение. D
Существуют несобственно интегрируемые по Риману
функции, которые не интегрируемы по Лебегу (см. задачу 3.12.24).
Однако существование абсолютного несобственного интеграла Ри-
мана влечет интегрируемость по Лебегу.
3.7.2. Теорема. Предположим, что функция /
интегрируема на промежутке I (ограниченном или неограниченном) по
Риману в несобственном смысле вместе с функцией |/|. Тогда f
интегрируема на I и по Лебегу, причем ее несобственный
римановский интеграл равен лебеговскому.
Доказательство. Мы рассмотрим случай, когда
промежуток I = (α, b] ограничен, а / интегрируема по Риману в
собственном смысле на отрезках [а + ε, Ь], ε > 0. Случай а = — оо
аналогичен, а общий случай разбивается на конечное объединение
рассматриваемых. Пусть /η = //[α+η-ι,6]· Тогда fn(x) -» f(x)
при χ Ε (α, δ]. По предыдущей теореме функции /п измеримы по
Лебегу. Значит, измерима и /. Кроме того, лебеговские
интегралы функций \fn\ равны их римановским интегралам, которые по
условию равномерно ограничены. По теореме Фату функция |/|
интегрируема по Лебегу. По теореме Лебега интегралы функций
fn по (а, Ь] стремятся к лебеговскому интегралу /, что дает его
совпадение с несобственным римановским. D
Обе доказанные теоремы остаются в силе и в многомерном
случае с аналогичными доказательствами. ,
Интеграл Лебега в Ип можно определить с помощью
некоторых обобщенных сумм римановского типа (см. §5.7 в книге [26],
посвященный интегралам Хенстока-Курцвайля и Макшейна).
Даже абсолютный несобственный римановский интеграл не
имеет свойства полноты из §3.5, т.е. может случиться, что
последовательность интегрируемых по Риману функций (даже
ступенчатых) фундаментальна в среднем, но не имеет предела среди
интегрируемых по Риману функций (см. задачу 3.12.25).

3.8. Неравенства Гёльдера и Минковского 147
3.8. Неравенства Гёльдера и Минковского
Пусть (X, Л, μ) — пространство с неотрицательной мерой μ
(конечной или со значениями в [0,+оо]) и ρ Ε (0,+оо).
Обозначим через €ρ(μ) множество всех /х-измеримых функций /, для
которых \f\p — μ-интегрируемая функция. В частности, С1 (μ) —
множество всех μ-интегрируемых функций. Как и в §3.1, через
С0(μ) обозначаем класс всех μ-п.в. конечных μ-измеримых
функций. Обозначим через ΙΡ(μ) фактор-пространство £ρ(μ) по
введенному в £°(μ) отношению эквивалентности. Итак, ΙΡ(μ) есть
множество классов эквивалентных μ-измеримых функций /, для
которых |/|р интегрируема. Эти же обозначения используются
для комплексных функций. В случае меры Лебега на Кп или
на множестве Ε С Й1п используются символы £p(IRn), Lp(IRn),
СР(Е) и LP(E) без указания меры. Вместо LP ([a, b]) и LP {[а, +оо))
пишут LP[a,b] и LP[a, +oo). Иногда бывает нужно явно указать
пространство X во введенных обозначениях, и тогда
используются символы £Р(Х, μ), ΙΡ(Χ,μ). Часто допускается сознательная
неточность обозначений в выражениях типа «функция f из LP»,
в которых следовало бы говорить «функция / из £Р» или «класс
эквивалентности функции / в LP». Обычно такое смешение не
приводит к недоразумениям, а иногда и способствует
сокращению формулировок, неявно указывая на то, что какое-либо
утверждение верно не только для отдельной функции, но и для всех
представителей ее класса.
При 1 ^ ρ < оо положим
11/11, := ИЛЬ(м) := (Jx Ι/ΓΦ)1/Ρ> / 6 σ{μ).
Эти же обозначения используются для элементов LP {μ).
Наконец, пусть £°°(μ) — множество всех ограниченных
всюду определенных μ-измеримых функций. При / Ε £°°(μ) положим
ll/IU«>M := ||/||оо := inf sup \J(x)\. Функцию / называют суще-
f~fxex
ственно ограниченной, если она μ-п.в. равна ограниченной
функции. Тогда величина ||/||оо задается, как "и выше (она не зависит
от представителя класса эквивалентности функции /).
Альтернативные обозначения: ess sup |/|, vraisup |/|. Пространство классов
эквивалентности существенно ограниченных функций
обозначается через Ι/°°(μ). Обратим внимание на то, что ||/||оо может быть
строго меньше supx€x |/(ж)|. Пространство Ζ/°°(μ) оказывается

148
Глава 3. Интеграл Лебега
метрическим с метрикой ||/ — р||ь°°(д)- Легко проверить его
полноту. Ниже вводится естественная метрика на Ι^(μ).
При этом нам понадобится следующее неравенство Гёльде-
ра, которое имеет большое самостоятельное значение: это одно
из наиболее употребительных неравенств теории интеграла.
3.8.1. Теорема. (Неравенство Гёльдера).Предположим,
что 1 < ρ < оо, q = р(р- I)"1 и / е £ρ(μ), g Ε &(μ). Тогда
/fler^till/fflli^ll/iy^m.e.
fx \ί9\άμ ^ (J \Wdl*)1/P{f Ы*Ф)1/<?· (3*8Л)
Доказательство. Функция fg определена п.в. и измерима.
Нетрудно показать (см. задачу 3.12.32), что для всех
неотрицательных а и Ь справедливо неравенство аЬ ^ ^ + ^. Тогда
1/0*01 Ш\ < ι 1/(*Ж , ι \g(x)\q
\\f\\p М\< " ρ 11/112 я № '
Правая часть этого неравенства интегрируема, причем ее
интеграл равен 1, поэтому левая часть также интегрируема и ее
интеграл не превосходит 1, что равносильно (3.8.1). D
3.8.2. Следствие. При условиях доказанной теоремы
Ιχί9άμ< (Jx \W*v)llV(Jx Ы9Ф)1/9· (3-8.2)
В задаче 3.12.33 выясняются условия равенства в
неравенстве (3.8.2).
Непосредственным следствием неравенства Гёльдера
является следующее неравенство Коши-Буняковского, которое, однако,
можно легко доказать непосредственно (см. гл. 5).
3.8.3. Следствие. Если f,g е £2(μ), то fg € С1 {μ) и
Ιχί9<1μ< (Jx I/I2^1/2<X 1Я|2Ф)1/2· (3·8·3)
3.8.4. Теорема. (Неравенство Минковского) Пусть
ρ Ε [1, +оо) w/,j€ £ρ(μ). Тогда / + g G £ρ(μ), причем
{J \f + 9?d*) '<(£ I/P^) ''+(^>rV) Ρ· (3-8.4)

3.8. Неравенства Гёльдера и Минковского
149
Доказательство. Функция f + g определена п.в. и
измерима. При ρ = 1 неравенство (3.8.4) очевидно. При ρ > 1 имеем
|/ + д\Р ^ 2Р(|/р + \д\% поэтому |/ + д\* 6 С1 {μ). Заметим, что
I/ + 9? < |/ + 9\v~l\f\ + I/ + »Г'М- (3.8.5)
Поскольку \f + g\p~l 6 σ^-ι\μ) = £*(μ), то в силу неравенства
Гёльдера
jf Ι/ + 5ΓΊ/ΙΦ < (£ \ί + 9\Ράμ)Χ/\Ιχ \ί\*άμ)1/Ρ.
Оценивая аналогичным образом интеграл от второго слагаемого
в правой части (3.8.5), приходим к оценке
/ !/ + #<*//<
JX
< (^IZ + ^^^f^l/r^)17^ (fx\9\Pάμ)1^.
Заметив, что 1 - l/g = 1/р, получаем ||/ + д\\р < ||/||р + ||#||р. □
Неравенство Минковского означает, что при 1 ^ ρ < оо
формула d(f,g) := ||/ — д\\р на ΙΡ(μ) задает метрику, ибо
\\д - h\\P = \\g-f + f- h\\p < \\д - /μ, +1|/ - %.
3.8.5. Теорема. Пространство ΙΡ{μ), где 1 ^ ρ < оо, полно
относительно метрики d(f,g) = ||/ — р||р.
Доказательство. Применим то же рассуждение, что и при
ρ = 1, взяв nfc так, что ||/nfe+1 - /nJ|£ ^ 2"Λ D
Аналогично предложению 3.5.4 получаем такой результат.
3.8.6. Предложение. Функция f входит в £ρ(μ) в
точности тогда, когда существует последовательность простых
функций fn, которая сходится к f почти всюду и
фундаментальна в LP (μ). При этом ||/ — /η||ζ,ρ(μ) —* 0.
3.8.7. Пример. Пространства 1Р[а,Ъ] и L^IR/1), p G [1,+сю),
сепарабельны. При этом в них плотны множества бесконечно
дифференцируемых функций с компактными носителями. Эти
утверждения верны и для всякой ограниченной борелевской
меры μ на Ип. Пространства L°°[a,b] и L°°(IRn) несепарабельны.

150
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Простые функции плотны во всех этих
пространствах. Для всякого множества Ε конечной меры и
всякого ε > 0 можно найти конечное объединение Εε открытых
кубов с рациональными центрами и рациональными ребрами,
параллельными координатным осям, для которого λη(Ε Δ Εε) < ε.
Значит, линейные комбинации с рациональными
коэффициентами индикаторов таких кубов плотны в I^(IRn) при 1 ^ ρ < оо.
Это же верно для всякой ограниченной борелевской меры на Жп.
Итак, получили счетное всюду плотное множество. Для
приближения функциями класса Co°(IRn) заметим, что индикатор куба
приближается в LP такими функциями (можно взять функции fj
этого класса с 0 < /j < 1, поточечно сходящиеся к индикатору
куба). Несепарабельность L°°[a,b] ясна из того, что при t φ s
расстояние между индикаторами [a, t] и [а, s] в L°° равно 1. D
Из приведенного рассуждения видно, что для
сепарабельности LP {μ) при ρ < оо достаточно, чтобы мера μ была задана
на σ-алгебре Л, порождаемой счетным набором множеств. Надо
иметь в виду, что бывают вероятностные меры μ, для которых
все пространства LP (μ) несепарабельны (например, произведение
континуума мер Лебега на [0,1]; см. §3.5 в [26] о бесконечных
произведениях мер). Из предыдущего примера следует такой факт.
3.8.8. Лемма. Если интегралы по двум ограниченным боре-
левским мерам μ и ν на Нп совпадают на С™(Шп), то μ = ζ/.
Неравенство Гёльдера помогает в доказательстве
принадлежности к LP.
3.8.9. Пример. Пусть μ — конечная неотрицательная мера.
Предположим, что μ-измеримая функция / удовлетворяет
следующему условию: существуют такие ρ Ε (Ι,οο) иМ)0, что для
всякой функции φ 6 £°°(μ) имеем /φ Ε &(μ) и
/ ίφάμ^Μ\\φ\\^{μ).
Тогда / € £%), где q = p(p- I)-1, причем ||/||l*(m) < Μ.
В самом деле, подставляя в этом неравенстве в качестве φ
функции φη := sgn/|/|«—1Jr{|yj^„}, получаем
/ |/№<м(/" |/Гф)1/Р,

3.9» Теорема Радона-Никодима
151
что дает оценку ||/*{|/|^Λ}ΙΙι,«(μ) < м, иб° 1 - 1/Р = Vi- По
теореме Фату получаем требуемое. Это же верно для бесконечных
мер, если условие выполнено для всех φ € £°°(μ) Π £ρ(μ)·
Хотя функции из пространств £ρ(μ) можно складывать
и умножать на числа (на множествах полной меры), эти
пространства не являются линейными, ибо указанные операции не
ассоциативны: например, если функция / не определена в
точке ж, то такова и / + (—/), но эта функция должна быть всюду
равна нулю, ибо в линейном пространстве лишь один нулевой
элемент. Конечно, можно взять в £ρ(μ) подмножество всюду
определенных конечных функций, которое уже является линейным
пространством, но целесообразнее перейти к пространству LP (μ).
3.9. Теорема Радона—Никодима
Пусть / — функция, интегрируемая относительно меры μ
(возможно, знакопеременной или со значениями в [0,+оо]) на
пространстве (Х,А). Тогда определена функция множества
ι/(Α) = ( ίάμ. (3.9.1)
Из теоремы Лебега вытекает, что ν счетно-аддитивна на А.
Действительно, если множества Ап Ε А попарно не пересекаются,
то ряд Υ^=ι 1ап(х)/(х) сходится для каждого χ к 1а(х)/(х), ибо
в нем лишь один из членов может быть отличен от нуля в силу
дизъюнктности Ап. При этом |]С^=1^АП (#)/(#) | < /а(я?)|/(я:)|.
Поэтому этот ряд допускает почленное интегрирование.*
Будем обозначать ν через / · μ. Функция / обозначается
символом dv/άμ и называется плотностью меры ν относительно μ
{плотностью Радона-Никодима или производной
Радона-Никодима). Мера ν абсолютно HenpepbiBHai относительно μ в смысле
следующего определения.
3.9.1. Определение. Пусть μ и и — счетно-аддитивные
меры на пространстве (X, А).
(i) Мера ν называется абсолютно непрерывной
относительно μ, если \ν\{Α) = 0 для всякого множества А с \μ\(Α) = 0.
Обозначение: ν <С μ.
(ii) Мера ν называется сингулярной относительно μ, если
существует такое множество Ω Ε А, что выполнены равенства
|μ|(Ω) = 0 и \ν\(Χ\ίϊ) = 0. Обозначение: ν Α- μ.

152
Глава 3. Интеграл Лебега
Определение имеет смысл и для мер со значениями в [0, +оо].
Отметим, что если мера ν сингулярна относительно μ, то μ
сингулярна относительно ι/, т.е. μ JL ι/. Поэтому меры μ и ν
называют взаимно сингулярными. Если г/ < μ и μ < ί/, то меры μ
и ν называются эквивалентными. Обозначение: μ ~ ν.
Следующий результат, называемый теоремой Радона-Нико-
дима, является одним из ключевых в теории меры.
3.9.2. Теорема. (Теорема Радона-Никодима) Пусть μ
и ν — конечные меры на пространстве (X, А). Мера ν абсолютно
непрерывна относительно меры μ в точности тогда, когда
существует такая μ-интегрируемая функция f, что ν задается
формулой (3.9.1).
Доказательство. Поскольку μ = /ι · |μ| и ι/ = /г*· И, где
Ι/ι 0*01 = 1/2 (#)| = 1> то достаточно доказать теорему для
неотрицательных мер μ и и. Пусть 1/<ди
Τ := I f Ε ελ(μ): / ^ 0, / f άμ ^ ν{Α) для всех Aeil.
Положим
M:=sup| / ίάμ: f Ε τ\.
Покажем, что в Т есть функция /, на которой достигается этот
супремум. Найдем последовательность функций /n Ε Т,
интегралы которых стремятся к М. Пусть дп(х) = max (/ι (ж),..., /η(#))·
Заметим, что дп Ε Т. Действительно, всякое множество А Е А
можно представить в виде А = U2=i ^fc> гДе А^ Ε А попарно не
пересекаются и дп(х) = Д(#) при χ Ε А^. Тогда
/η ρ η
0η6?μ = ^ / ρηάμ ^Y^v(Ak) = ν(Α).
1 h=ijA" k=i
Последовательность {дп} возрастает, а интегралы функций дп
ограничены числом v(X). По теореме о монотонной сходимости
функция / := lim дп интегрируема. Ясно также, что / Ε Τ
η—>оо
и интеграл / по мере μ равен М. Покажем, что /
удовлетворяет (3.9.1). В силу выбора / функция множества
η{Α)~ν{Α)- ί/άμ

3.9. Теорема Радона-Никодима
153
является неотрицательной мерой, причем ι/<μ. Нам надо
показать, что η = 0. Предположим, что это не так. Рассмотрим
знакопеременные меры η — π~1μ и возьмем для них разложения
Хана X = Х+ U Х~. Пусть Xq := fl^Li ^n- Тогда из
определения Х~ имеем η(Χ^) ^ π~1μ(Χ^) для всех п, откуда η(Χ$) = 0.
Поэтому найдется такое п, что η{Χ^) > 0, ибо в противном
случае η(Χ) = η(Χ~) для всех п и тогда η(Χ) = ^С^о") = 0. Для
всякого измеримого множества Ε С X^J" имеем π~1μ(Ε) ^ //(JE).
Поэтому, положив /&(ж) := f(x) + п~1/х-+(ж), для всякого Α Ε Λ
получим
/лф= / /d/* + n"V(4nX+)< [ /άμ + η(ΑΠΧ+) =
J A J A J A
-L
% !άμ + ν{ΑηΧ+)^ν{Α\Χ+) + ν(ΑηΧ+) = ν{Α).
А\Х+
Таким образом, h Ε Τ вопреки тому, что интеграл /i по мере μ
больше М, ибо μ(-Χ^) > 0. Итак, η = 0. D
Ясно, что функция dv/άμ определена однозначно с точностью
до множества меры нуль, ибо функция с нулевым интегралом по
каждому множеству п.в. равна нулю. В гл. 6 (пример 6.5.4) будет
приведено другое доказательство теоремы Радона-Никодима.
Отметим, что если меры μ и ν конечны и неотрицательны,
причем ι/ < μ, то ι/ ~ μ в точности тогда, когда dv/άμ > 0 п.в.
относительно μ. Легко проверить, что если даны три меры μι, μ2
и μ3, для которых μι <С μι и μ2 <С μ3, то μι <С μ3 и
άμι/άμ3 = (άμ1/άμ2)(άμ2/άμ3).
Это вытекает из следующего утверждения.
3.9.3. Предложение. Пусть на измеримом пространстве
(Х,А) заданы две ограниченные меры μ и и, причем ν <С μ.
Пусть ρ := dv/άμ. Тогда для всякой ν-интегрируемой функции /
функция fg интегрируема относительно μ и
[ fdv= [ ίράμ. (3.9.2)
Обратно, если μ-измеримая функция f такова, что fq Ε С1 (μ),
то f Ε С1 (ν) и выполнено равенство (3.9.2).

154 Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Используя разложение Хана и
определение интеграла для знакопеременных мер, можно перейти к
случаю неотрицательных мер. Кроме того, достаточно рассмотреть
неотрицательные функции /. Равенство (3.9.2) верно для
простых функций ввиду определения плотности Радона-Никодима.
С помощью равномерных приближений оно сразу переносится на
ограниченные функции. Наконец, из справедливости этого
равенства для min(/, n) следует его справедливость для / по теореме
Беппо Леви. Это рассуждение дает и обратное утверждение. D
Очевидным образом это предложение остается в силе и для
σ-конечных неотрицательных мер.
3.9.4. Пример, (i) Пусть μ — ограниченная
неотрицательная мера и мера ν задана плотностью / Ε С1 (μ) относительно μ.
Тогда мера \ν\ задается относительно μ плотностью |/|. Это ясно
из рассмотрения ν на множествах {/ < 0} и {/ ^ 0}.
(ii) Пусть μ — знакопеременная ограниченная мера и мера ν
задана плотностью / Ε С1 (μ) относительно μ. Тогда мера \ν\
задается относительно |μ| плотностью |/|. Это следует из (i), ибо
мера μ задается плотностью ξ относительно \μ\ с \ξ\ = 1.
Из теоремы Радона-Никодима можно получить следующее
разложение Лебега.
3.9.5. Теорема. Пусть μην— конечные меры на σ-алгеб-
ре А. Тогда существуют такие мера μο на А и μ-интегрируемая
функция f, что ν = / · μ + μ0, Mo J- μ·
Доказательство. Рассмотрим меру λ := |μ| + |ι/|. По
теореме Радона-Никодима получаем μ = /μ · λ, и = /„ · λ, где
/μ? U € ^1(^). Пусть Υ = {χ: ίμ{χ) φ 0}. При χ ΕΥ положим
f(x) = /ι/(χ)//μ(χ). Наконец, положим μο(Α) := i/(ifl (X\Y)).
Для ограничений μγ и νγ мер μ и ν на множество Υ очевидным
образом имеем νγ = /' · μγ. Получено искомое разложение. D
Если μ — конечная или σ-конечная неотрицательная мера на
σ-алгебре А в пространстве X, то всякая конечная измеримая
неотрицательная функция / (не обязательно интегрируемая)
задает σ-конечную меру ν := / · μ по формуле (3.9.1), ибо X —
объединение множеств конечной меры {х: f{x) $J η} Π Χη, где
μ{Χη) < оо. Ясно, что в такой форме теорема Радона-Никодима
верна и для σ-конечных мер. Для мер μ({0}) = 1, ^({0}) = оо
(или наоборот) она уже теряет силу (с конечными /).

3.10. Произведение пространств с мерами
155
3.10. Произведение пространств с мерами
Пусть (Χχ, Α ι, μι) и (Х2>Л.2>А*2) — пространства с
конечными неотрицательными мерами. На множестве Х\хХ2 рассмотрим
множества А\хА2, где Αι £ Д$, называемые измеримыми
прямоугольниками. Положим /χιχμ2{Α\ΧΑ2) := μι(Λι)μ2(Λ2)·
Распространив функцию μ\ χ //2 по аддитивности на конечные
объединения попарно непересекающихся измеримых прямоугольников,
получим конечно-аддитивную функцию на алгебре 7£,
порожденной такими прямоугольниками. Отметим, что корректность
такого определения /iiX/i2 на TZ (независимость от разбиения
множества на попарно непересекающиеся измеримые прямоугольники)
очевидна из аддитивности μι и //2· Наконец, через Α ι <8>Д2
обозначим σ-алгебру, порожденную указанными выше
прямоугольниками и называемую произведением σ-алгебр Λι и Л2-
Следующий результат является довольно типичным
применением теоремы о монотонных классах.
3.10.1. Предложение, (i) Пусть (Xl,*4i) и (Хг?^) —
измеримые пространства и Αι®Α2 ~ σ-алгебра, порожденная
всеми множествами Αι χ Α2, где Αι б Λι, Α2 Ε Л2· Тогда для
всякого множества A G *Αι®.Α2 и всякого χι Ε Χι множество
An := {х2 е Х2: (a?i,a?2) € А}
содержится в Л2· Кроме того, для всякой Л1®А2-измеримой
функции f при каждом χι Ε Χι функция Х2 »-> f(xi,X2)
является А2-измеримой.
(ii) Если на А2 задана конечная мера ν, то числовая функция
χι н-> n(AXl) является Αι-измеримой.
Доказательство, (i) Если А является произведением
множеств из AinA2-> то утверждение верно. Обозначим через £ класс
всех%множеств Α Ε Αι®Α2, для которых оно верно. Поскольку
пересечениям, объединениям и дополнениям множеств
соответствуют такие же операции над их сечениями в точке χ χ, то класс
ε очевидным образом является σ-алгеброй. Поэтому 8 = Αι®Α2·
Измеримость функции Х2 »-> /(#ъ#2) вытекает из доказанного
применительно к множествам {х2Л. /(#ι,#2) < с}.
(ii) Функция /a(#i) = v(AXl) корректно определена согласно
утверждению (i). Обозначим через £ класс множеств A G Αι<&Α2,
для которых она Дх-измерима. Этот класс содержит множества
Αι χ Α2 с Αι Ε Ai. Поэтому ε содержит все конечные
дизъюнктные объединения таких прямоугольников, т.е. порожденную ими

156
Глава 3. Интеграл Лебега
алгебру. Далее, £ — монотонный класс, что следует из теоремы
Лебега и того обстоятельства, что если множества А? возрастают
к Л, то ΑΧι возрастают к АХ1 (и аналогично с убывающими
множествами). По теореме 2.2.12 класс £ содержит Л\®Л2 и потому
совпадает с Л\ ®А2- □
3.10.2. Следствие. В ситуации утверждения (ii)
предложения выше для всякой ограниченной А\®А2-измеримой
функции / на Х\ хХ2 определена и А\-измерима функция
si »-> / /(^1,^2)1/(^2).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда /
есть индикатор множества А 6 Л10-4.2? ибо линейными
комбинациями таких индикаторов можно равномерно приблизить всякую
ограниченную Дх^Дг-измеримую функцию, причем
соответствующие интегралы будут равномерно сходиться. Таким образом,
утверждение является прямым следствием предложения. D
Применим доказанное для построения произведения мер.
3.10.3. Теорема. Функция μ\Χμ2 счетно-аддитивна на
алгебре, порожденной всеми измеримыми прямоугольниками, и
однозначно продолжается до счетно-аддитивной меры μι®//2 на
лебеговском пополнении указанной алгебры, обозначаемом
символом Αι®Α2.
Доказательство. По доказанному предложению
корректно определена функция множества
Α*-* μ2(ΑΧι)μι(άχι), A G А\<8)А2.
JXi
Она счетно-аддитивна, ибо если А = \J™=iAn, где Ап 6 Αι®Α2
дизъюнктны, то AXl = \J™=i(An)Xl,rRe (An)Xl G Λ2 дизъюнктны,
откуда //2(An) = Σ^=ι№((Ап)Х1). Это равенство можно
интегрировать почленно по мере μι, ибо частичные суммы ряда равны
β2(1)η=ι(Αη)χι) и не превосходят ^г№)· Если А = ΑιχΑ2, то
получаем ^1(^1)^2(^2), так как АХ1 = А2 при χι Ε Αι и AXl = 0
при χι & Αι. D
Полученная выше мера μι®μ2 называется произведением мер
μι и //2· По построению мера μι®//2 полна. Произведения мер
иногда называют продакт-мерами.

3.10. Произведение пространств с мерами
157
Отметим, что лебеговское пополнение σ-алгебры Αι<8Α2,
порожденной всеми прямоугольниками А±хА2, где А\ Ε Αι, Α2 Ε А2,
как правило, шире самой этой σ-алгебры. Например, если в
качестве Αι = А2 мы возьмем борелевскую σ-алгебру отрезка [0,1],
а в качестве μι = μ2 возьмем меру Лебега, то Αι®Α2 совпадет
с борелевской σ-алгеброй квадрата (всякое открытое в
квадрате множество является счетным объединением открытых
квадратов). При этом, конечно, существуют измеримые неборелевские
множества в квадрате. Не исправит положение и замена борелев-
ских σ-алгебр отрезка на σ-алгебры измеримых по Лебегу
множеств. В этом случае, как видно из предложения 3.10.1, в Αι®Α2
не будет входить неизмеримое подмножество отрезка,
рассматриваемое как подмножество квадрата (оно очевидным образом
имеет меру нуль в квадрате и входит в пополнение Αι®Α2)·
Разумеется, меру μι<8>μ2 можно рассматривать и на не обязательно
полной σ-алгебре Αι®Α2·
С помощью разложения Жордана-Хана естественно
определяется произведение знакопеременных мер (впрочем, это можно
сделать непосредственно). Пусть μ — μ+ — μ~, ν = И" — ι/~,
Χ — Χ+ U Χ~, Υ = У+ U Υ~ — разложения Жордана-Хана двух
мер μ и ν на пространствах X и Υ соответственно. Положим
μ®ι/ := μ+ ®1/+ + μ~ ®у- — μ+®ι/~ — μ~®ζ/+. Ясно, что меры
μ+®ι/+ + μ~®ν~ и μ+®ζ/~ + μ~®ι/+ взаимно сингулярны, ибо
первая сосредоточена на множестве (X+xY+) U (Х~хУ~), а вторая
сосредоточена на множестве (Х+ χ Y~) U (Х~ χ У+).
По индукции определяется произведение конечного числа мер
μη на пространствах (Хш Дп)> и- = 1,..., iV. При этом такое
произведение ассоциативно, т.е. справедливо равенство
μι®(μ2®μ3) = (μι®μ2)®μ3·
Можно определить и произведение σ-конечных неотрицательных
мер μ и ν на σ-алгебрах А и В. Пусть X является
объединением возрастающей последовательности множеств Хп конечной
μ-меры, a Y является объединением возрастающей
последовательности множеств Υη конечной г/-меры. Формула
μ®ν(Ε)= lim μ\χη®ν\γη(ΕΓ)(ΧηχΥη))
TI—+OQ
задает σ-конечную меру на А®В.
Можно было бы сразу свести дело к конечным мерам, выбрав
такие конечные меры μο и ζ/0, что μ = 9μ * μο> ν = ρν · щ, где ρμ

158
Глава 3. Интеграл Лебега
и qu — положительные измеримые функции. Тогда можно
положить μ®ν := (ρμ(>ν) -μοΦ^ο· Нетрудно проверить, что это дает ту
же меру, что и выше.
Отметим, что можно определить произведение произвольного
числа вероятностных мер (см. [26, гл. 3]).
3.10.4. Предложение. Пусть (X, А) и (Υ,Β) — измеримые
пространства и /: X —► Ж1, д: Υ —► Ж1 — измеримые функции.
Тогда отображение (/,#): XxY —» Ж2 измеримо относительно
А® В и /3(Ж2). В частности, график функции f и множества
{(я>2/): У < /0*0} ti {(я,у): У ^ f{x)} входят в А®В(Ш}).
Доказательство. Для каждого открытого прямоугольника
Π = Ix J в Ж2 множество {(ж,у): (/(#), <?(у)) £ Π} есть
произведение элементов А и В и входит в Л®β. Класс множеств
Ε Ε #(Ж2), прообразы которых относительно отображения (/, #)
входят в А<8>В, является σ-алгеброй. Так как этот класс содержит
прямоугольники указанного вида, то он содержит и порожденную
ими σ-алгебру, т.е. #(Ж2). В случае, когда (У, В) = (Ж1,В(Ж1))
и д(у) = у, получаем измеримость отображения (#, у) н-* (/(ж), у)
из ХхЖ1 в Ж2, что дает принадлежность к ΑδΒζΒΙ1) прообразов
борелевских множеств. Например, график / есть прообраз
прямой у = ху а два других указанных в формулировке множества
являются прообразами полуплоскостей. D
К этой теме примыкают также задачи 3.12.37 и 3.12.38.
3.11. Теорема Фубини
Предположим, что μ и ν — конечные неотрицателвнь!е
меры на пространствах (X, А) и (У, В) соответственно. Для всякого
множества А С XxY определены сечения
Ах = {у: (ж,у)бА}, Ау = {х: (х,у) е А}.
3.11.1. Теорема. Пусть множество А с X xY
измеримо относительно меры μ®и, т.е. входит в {Α®Β)μ^1/. Тогда
для μ-η.β. χ множество Ах и-измеримо, а функция χ н-> и(Ах)
μ-измерима, для ν-п. в. у множество Ау μ-измеримо, а функция
у ι-* μ(Αν) v-измерима, причем справедливо равенство
μ®ν(Α) = j и{Ах) μ(άχ) = f μ(Αν) v{dy). (3.11.1)

3.11. Теорема Фубйни
159
Доказательство. Из доказательства теоремы 3.10.3 видно,
что мера μ® и на Л® В совпадает с мерами
Ci(il) := / ν{Αχ)μ{άχ\ ζ2(Α) := / μ{Αν)ν{άν).
Jx Jy
Поэтому доказываемое утверждение верно для А Е Л®В. Оно
верно и для всякого множества £*, имеющего μ®ν-меру нуль.
В самом деле, найдется множество Ε 6 Л® В, которое содержит
Ε и имеет меру нуль относительно μ®ν. Тогда Ех С ЕХ} причем
v(Ex) = 0 для μ-п.в. χ в силу уже установленного равенства
/ 1/(Ёх) μ{άχ) = 0.
Jx
Аналогичным образом μ(Εν) = μ(Εν) = 0 для ζ/-π.β. у. Наконец,
всякое μ®ν-измеримое А имеет вид А = В U Е, где В Ε Л®В,
В Π Ε = 0 и μ®ν(Ε) = 0. Значит, теорема верна и для A. D
3.11.2. Следствие. Предыдущая теорема верна в случае,
когда μην— σ-конечные меры, если множество А имеет конец-
ную меру.
Доказательство. Запишем X и Υ в виде X = \J™=1Xn,
Υ = U^Li Yn> гДе Хп и Υη — возрастающие множества
конечной меры, а затем воспользуемся доказанным выше для Хп χ Υη
и теоремой Беппо Леви. D
3.11.3. Следствие. Пусть Υ = Ш1, X — мера Лебега на ГО,1,
/ ^ 0 — интегрируемая функция на пространстве (Х,Л,/х)
с σ-конечной мерой μ. Тогда
f /4μ = μ®λ({(χ,ι0: 0<у</(ж)}). (3.11.2)
Доказательство. Множество А = {(ж,у): 0 < у ^ f(x)}
измеримо относительно μ®λ в силу предложения 3.10.4. Остается
заметить, что Х(АХ) = /(ж). □
Отметим, что с помощью равенства (3.11.2) можно было бы
определять интеграл от неотрицательной функции (у Лебега это
было «геометрическим определением»). Установленные факты
приводят к следующему общему результату.

160
Глава 3. Интеграл Лебега
3.11.4. Теорема. (Теорема Фувини) Пусть μ и и —
σ-конечные неотрицательные меры и функция f интегрируема
относительно μ® г/. Тогда для μ-η.β. χ функция у ■—► /(ж, у)
интегрируема относительно и, для ν-η.β. у функция χ *—> f(x,y)
интегрируема относительно μ, функции хи I f(x,у)v(dy)
JY
и У *~~* I f(x>y)μ{άχ) интегрируемы на соответствующих
Jx
пространствах, причем
I /d(/*®i/)= / / /(χ,ν)μ(άχ)ι/(άν) =
JXxY JY J Χ
ί(χ,ν)"№)μ(άχ). (3.11.3)
JxJy
ΐχ jy
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать теорему
в случае неотрицательных функций /. Рассмотрим пространство
XxYxlR1 и меру μ®*'®λ, где λ — мера Лебега. Положим
A={(x,y,z): 0^z^f(x,y)}.
Тогда в силу следствия 3.11.3 получаем
JX:
ί<1{μ®ν) = μ®ν®\(Α).
IXxY
Применяя теорему 3.11.1 и еще раз используя следствие 3.11.3,
приходим к равенству
μ®ι/®λ(Α) = / ν®\(Αχ)μ{άχ) = ( f{x,y)v(dy)\ μ(άχ).
При этом получаем и интегрируемость всех входящих в эти
соотношения функций (их измеримость ясна из теоремы 3.11.1 и
равенства /(ж,у) = А(Л(Ж2/))). Второе равенство в (3.11.3)
доказывается аналогично. D
В задаче 3.12.39 предлагается построить примеры,
показывающие, что существование и равенство повторных интегралов
в (3.11.3) не гарантирует μ®г/-интегрируемость измеримой
функции /. Кроме того, может случиться так, что оба повторных
интеграла существуют, но не равны. Наконец, существуют и такие
измеримые функции /, что один из повторных интегралов
существует, а второй не существует. Имеется, однако, один важный

3.11. Теорема Фубини
161
частный случай, когда существование повторного интеграла
влечет интегрируемость функции на произведении.
3.11.5. Теорема. (Теорема Тонелли) Пусть f —
неотрицательная μ ® v-измеримая функция на Χ χ Υ, где μ и ν —
σ-конечные меры. Тогда f Ε Ι}(μ®ν), если
ί(χ,ν)μ(άχ)ι/(άν) < оо.
Доказательство. Достаточно доказать наше утверждение
для конечных мер. Положим /п = min(/, га). Тогда функции /п
ограничены и измеримы относительно μΘζ/, а потому
интегрируемы. Ясно, что fn —► / в каждой точке. Остается заметить, что
по теореме Фубини, применяемой к /п, справедлива оценка
J ίηά{μ®ν) = Ι (ί ίηάμλάν^ Ι Π f dy\ du,
ибо fn{%->y) ^ /(#>ί/)· По теореме Фату / интегрируема. D
Отметим, что из существования повторных интегралов
функции /наХхУне следует ее измеримость (задача 3.12.41).
Легко видеть, что теорема Фубини переносится на
знакопеременные меры, а теорема Тонелли нет.
Приведем еще одно полезное следствие теоремы Фубини.
3.11.6. Следствие. Пусть функция f на Χ χΥ измерима
относительно μ®ν, где обе меры σ-конечны. Предположим, что
для μ-η.β. χ функция у \-> /(#, у) интегрируема относительно v.
Тогда функция
Ф: жь-> / f{x,V)v(dy)
измерима относительно μ.
Доказательство. Допустим сначала, что меры μ и ν
ограничены. Пусть /я(ж,у) = f(x,y) при |/(я,у)| < п, /п(ж,у) = η
при /(я, у) ^ га, fn(x>y) = —η при /(я, у) ^ -га. Тогда функции
fn измеримы относительно μ®ν и ограничены, а потому
интегрируемы. По теореме Фубини функции
Фя(ж) = / fn(x,y)v(dy)
//-измеримы. Поскольку /п —► / поточечно и |/n| ^ |/|, то по
теореме Лебега получаем, что Фп(#) —> Φ (ж) для всех тех #, для
J γ J*

162
Глава 3. Интеграл Лебега
которых функция у ι-* |/(ж, у)\ интегрируема относительно ι/, т.е.
для μ-п.в. χ. Следовательно, Φ — μ-измеримая фикция. В общем
случае найдем такую возрастающую последовательность
измеримых множеств ΧηχΥη С XxY конечной /х®г/-меры, что мера
μ® и сосредоточена на их объединении. Затем воспользуемся
доказанным для функций Фп(#) = / f(%iy)v(dy) и заметим, что
Φη{χ) —> Ф(#) для μ-п.в. χ в силу теоремы Лебега о
мажорированной сходимости. D
В качестве применения теоремы Фубини выведем полезное
тождество, выражающее интеграл Лебега по абстрактному
пространству через интеграл Римана по полуоси и в случае ρ = 1
уже объявленное в теореме 3.6.3.
3.11.7. Теорема. Пусть f — измеримая функция на
измеримом пространстве (X, Л) с мерой μ со значениями в [0,+оо].
Пусть 1 ^ ρ < оо. Функция \f\p интегрируема по мере μ в
точности тогда, когда функция t н-> ίρ~1μ[χ: \f(x)\ > t)
интегрируема на [О, +оо) по мере Лебега, При этом
[ \/\ράμ = ρ i°°tp-^{x: \f(x)\>t)dt. (3.11.4)
Jx Jo
Доказательство. Пусть р = 1. Предположим, что
функция / интегрируема. Тогда утверждение сводится к случаю σ-κο-
нечной меры, ибо такова мера μ на множестве {/ φ 0}. Далее
с помощью теоремы о монотонной сходимости можно
ограничиться случаем конечной меры. Обозначим через λ меру Лебега на
[0,+оо) и положим S = {(ж,у) € Хх[0,+оо): у ^ |/(#)|}.
Интеграл |/| совпадает с мерой множества S относительно μ (g) λ,
как уже было показано (следствие 3.11.3). Вычислим эту меру по
теореме Фубини. При фиксированном t имеем
St = {x: (x,t)eS} = {x: t < |/(а?)|}.
Поскольку интеграл от //(St) по переменной t по [0,+оо) дает
интеграл от |/|, то приходим к (3.11.4) с {х: \f(x)\ ^ t)
вместо {х\ \f{x)\ > i). Однако при почти всех t эти два
множества имеют равные //-меры, поскольку множество таких £, что
μ (χ: \f(x)\ = t) > 0, не более чем счетно. Действительно,
если бы оно было несчетно, то для некоторого k Ε IN имелось бы

3.11. Теорема Фубини
163
бесконечное множество точек t с μ(χ: \f(x)\ = t) > fc_1, что
противоречит интегрируемости /. Обратно, если интеграл в правой
части (3.11.4) конечен, то множества (х: \f(x)\ > t) имеют
конечные меры при всех t > 0. Поэтому для каждого натурального η
функция /п, равная |/| при η-1 ^ |/| ^ η и 0 в противном случае,
интегрируема. Поскольку μ (χ: \fn(x)\ > t) ^ μ(χ: \f(x)\ > t), то
в силу уже доказанного функции /п имеют равномерно
ограниченные интегралы. По теореме Фату функция / интегрируема.
Случай ρ > 1 сводится к случаю ρ = 1 заменой переменного t = sp
ввиду равенства (х: \f(x)\p > t) = [χ: \f(x)\ > t1/?). Здесь
достаточно формулы замены переменных в интеграле Римана, но
можно применить и обсуждаемую ниже формулу замены
переменных (4.4.3) для интеграла Лебега. D
Важное применение теоремы Фубини — построение свертки.
3.11.8. Лемма. Пусть функция f на JRn измерима по
Лебегу. Тогда функция (х,у) ·-> f(x — у) измерима по Лебегу на
пространстве К2п.
Доказательство. Заметим, что f(x - у) = /о (^(#,2/)), где
/ο(#> у) — /(#) ~~ измеримая по Лебегу функция на К2п
необратимое линейное преобразование (ж, у) н-> (х—у, у). Прообразы
измеримых множеств при F измеримы (теорема 2.5.8). Π
3.11.9. Теорема, (i) Пусть /, g 6 /^(И71). Тогда функция
f * 9(х) = ί fix- УЫУ) dy, (3.11.5)
JJR,n
называемая сверткой fug, определена для почти всех χ и
интегрируема, причем
H/*ffllLi(R») < II/IIli(r»)IIpIIli(r»)· (3.U.6)
Кроме того, f * g = g * / почти всюду.
(И) Пусть f е С°°(Шп), g e Сг(Шп). Тогда функция
f * g(x) = / ί(χ - vMv) dy
определена для всех х и равномерно непрерывна, причем
H/*0lU°o(R*) < ||/||L~(Rn)ll0||l,i(Rn)· (3.11.7)
Кроме того, f * g(x) = g * /(ж).

164
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство, (i) Как мы знаем, функция
ф: (х,у)*-+ \f(x~v)g(y)\
измерима на IR2n. Поскольку
/ / \f(x-y)\\9(y)\dxdy= [ (f \f(z)\dz)\g(y)\dy <oo,
то в силу теоремы 3.11.5 функция φ интегрируема на IR2n и
ΙΜΙζ,ΐ(Β,2η) ^ Н/11ь1(ип)11а11ь1(кп)·
По теореме Фубини функция φ: χ н-> / ф(х,у) dy определена для
почти всех χ и интегрируема, а потому интегрируема и функция
/ * #, ибо |/ * д{х)\ ^ ¥>(#), а измеримость / * д вытекает из
леммы 3.11.8 и утверждения об измеримости в теореме Фубини. Для
тех х, для которых функция f(x** y)g(y) интегрируема по у,
заменой переменной ζ = χ — у (см. замечание 3.3.11) убеждаемся
в равенстве / * д(х) = д * /(ж).
(и) Оценка (3.11.7) очевидна. Равенство f*g(x) = g*f(x)
доказывается так же, как и в (i). Если функция д непрерывна и равна
нулю вне некоторого куба, то #*/ очевидным образом равномерно
непрерывна. В общем случае мы возьмем непрерывные функции
gj с ограниченными носителями так, что \\д — pj Hz,1(iRTr) ~~* 0 при
j> —► оо (пример 3.8.7). Оценка (3.11.7) дает равномерную
сходимость gj * / к д * /, откуда следует доказываемое. D
3.11.10. Следствие. Пусть д Ε £1(IRn). Если функция f
из £°°(IRn) имеет ограниченные производные до порядка к, то
такова же и функция f * g, причем
dXil ... dXim (f*g) = (dXii ... dXirn f)*g для всех m^k
и эти производные равномерно непрерывны.
Доказательство. Равенство dXi(f * g) = dXif * g следует
из теоремы о дифференцировании интеграла Лебега по
параметру (см. следствие 3.4.6). По индукции наше утверждение
распространяется на производные высших порядков, а их равномерная
непрерывность следует из доказанной выше теоремы. D
Свертку можно определить и для функций из Lp(lRn). Мы
рассмотрим два важных частных случая, а общий результат
отнесем в задачу 3.12.42.

3.11. Теорема Фубини
165
3.11.11. Предложение, (i) Пусть f e Cp(JRn), g e Cq(JRn),
sdep~1+q~1 = 1. Тогда функция f*g, заданная формулой (3.11.5),
равномерно непрерывна и ограничена, причем
H/*5||l~(]R") ^ ||/||LP(lRn)ll^l|L9(lRn)· (3.11.8)
(ii) Пусть / е Cp(JRn), g G Cx(Rn). Тогда свертка f*g
определена почти всюду, причем
II/*5||lp(]R") ^ ||/1кр(н-)1|5||ь1(1К-)· (3.11.9)
Доказательство, (i) При каждом фиксированном χ
функция у *-> f(x — у) входит в Cp(JRn). Ввиду неравенства Гель дера
I/,
f(x-y)g(y)dy
< \\f(x-e)\\bP(Wln)\\9\\L9{Win) =
= l|/||LP(lRn)||sl|L9(lRn)»
интеграл в (3.11.5) существует при всех χ и задает ограниченную
функцию. Для / Ε Co°(lRn) равномерная непрерывность f*g
очевидна. В общем случае при ρ < оо возьмем непрерывные функции
fj с ограниченными носителями, сходящиеся к / в 1^(НП)
(пример 3.8.7). Ввиду полученной оценки функции fj * g равномерно
сходятся к / * д. Случай ρ = оо, q = 1 уже был рассмотрен.
(ii) Неравенство Гёльдера применительно к мере \д\ dy дает
оценку
I/ f(x-y)9(y)dy\\ f \f(x-y)\p\9(y)\dy\\g\\%\nny
|«/]Rn I JJEin K }
Интегрируя по ж и используя оценку (3.11.6) с \f\v и \д\ вместо /
и у, находим
II/*Λ < IWI#1 1/Р* \д\ L· < IliO/Odl^c*»)·
что ввиду равенства 1 + p/q = ρ дает нужную оценку. D
С помощью свертки строят гладкие приближения функций.
3.11.12. Следствие. Пусть f G £Р(НП). Пусть функция ρ
из класса Co°(JRn) имеет интеграл 1 по пространству.
Положим ρε(χ) := ε~ηρ(χ/ε) при ε > 0. Тогда f * ρε Ε C£°(IRn),
причем f * ρε —> / β Ζ^(ΙΕΙη) при ε —> 0, если р < оо.

166
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Остается проверить сходимость в LP. Для
/ е (7ο(ΠΙη) функции /*£е имеют равномерно ограниченные
носители и сходятся к / равномерно, что дает и сходимость в LP. В
общем случае для фиксированного δ > О выберем ψ Ε Co(JRn) так,
что ||/—<p\\lp ^ δ. Затем найдем такое εο > 0, что ||y>*£ff—<ρ||ζ,ρ ^ δ
при ε < εο· Для таких ε имеем
II/ * Qe ~ f\\bP ^\\ί*9ε-ψ* Qe\\bP + \\ψ * Qe - ψ\\& + \\<Ρ - /||lp
<\\<р-Я&Ш\» + ЖМ,
ибо ||&||Li = 1. D
К рассмотрению сверток мы вернемся в гл. 9, где речь пойдет
о свертках с обобщенными функциями.
3.12. Дополнения и задачи
(i) Критерий интегрируемости по Риману (166). (ii) Образ меры
при отображении (167). (Hi) Равномерная интегрируемость (169).
(iv) Лифтинги (173). Задачи (174).
3.12(i). Критерий интегрируемости по Риману
Для удобства читателя докажем лебеговский критерий
интегрируемости по Риману, обычно включаемый в качестве дополнительного
материала в курсы математического анализа.
3.12.1. Теорема. Функция f на отрезке [а, Ь] интегрируема по
Риману в точности тогда, когда она ограничена и множество всех
точек ее разрыва имеет меру нуль.
Доказательство. Непрерывность функций / в точке χ
равносильна тому, что в этой точке равно нулю колебание функции /,
определяемое формулой
u>f(x) := lim sup{|/(x') - /(х")|: \х - х'\ <δ,\χ- χ"\ < δ).
Заметим, что для произвольной функции / при всяком ε > 0
множество We := {χ: ω/(χ) > ε} замкнуто. Поэтому множество Df всех
точек разрыва /, совпадающее с множеством {ω/ > 0}, всегда боре-
левское. Пусть функция / интегрируема по Риману. Тогда она
ограничена. Предположим, что множество Df имеет положительную меру.
Тогда при некотором δ > 0 имеет положительную меру а замкнутое
множество А := {χ: ω/(χ) ^ δ}. Если отрезок [а,Ь] разбит на
конечное число промежутков Ij равной длины, то суммарная длина тех из
них, внутри которых есть точки из А, не меньше а. Пусть /л,..., Ijk —
все такие промежутки. Тогда внутри каждого Ijk есть такие точки х'к

3.12. Дополнения и задачи
167
и х£, что |/(4) ~ /(401 > <*А т-е. либо f(x') - f(x") > ί/2, либо
/(4) "~ /(xfc) ^ ^/2- Можно считать, что по крайней мере для
половины промежутков Ijk выполнено первое неравенство. Во всех остальных
промежутках Ij возьмем середины Xj. Тогда римановские суммы,
использующие 4, отличаются от сумм, использующих 4> не менее, чем
на αί/4, что противоречит интегрируемости по Риману.
Обратно, пусть 8ирд.€[а>ц \f(x)\ <МиС/ имеет меру нуль. Пусть
ε > 0. Тогда компакт Κε := {χ: ω/(χ) ^ ε} нулевой меры можно
покрыть конечным числом интервалов суммарной длины менее ε. Пусть
даны точки а — to < t\ < · · · < tn — 6, среди которых концы всех
интервалов нашего покрытия. Измельчив разбиение, можно считать, что
|/(х') — f(x")\ ^ ε при χ',χ" е [ti,t<+i] для всякого отрезка разбиения,
не пересекающего никаких интервалов покрытия. Поэтому модуль
разности двух римановских сумм для данного разбиения не превосходит
ε(6 — α) + 2(7ε. Ввиду произвольности ε функция / интегрируема по
Риману. D
3.12(H). Образ меры при отображении
Пусть даны пространства X и Υ с σ-алгебрами Ли В и некоторое
(Л, В)-измеримое отображение /: X —> Υ. Тогда для всякой
ограниченной (или ограниченной снизу) меры μ на .А формула
μοΓ\Β) := μ(Γ4Β)), где В € В,
задает меру μ о/-1 на В, называемую образом меры μ при
отображении /. Счетная аддитивность μ о/-1 вытекает из счетной
аддитивности μ. Имеет место следующая общая формула замены переменных.
3.12.2. Теорема. Пусть μ — ограниченная неотрицательная
мера. Измеримая относительно В функция д на Υ интегрируема
относительно меры μο/_1 в точности тогда, когда функция gof
интегрируема относительно μ. При этом
[ 9(У) μοΓ\άν) = I g(f(x)) μ(άχ). (3.12.1)
Jy Jx
Доказательство. Для индикаторов множеств из σ-алгебры В
доказываемая формула (3.12.1) есть определение образа меры, поэтому
по линейности она распространяется на простые функции. С простых
функций эта формула распространяется на ограниченные β-измери-
мые, поскольку такие функции являются равномерными пределами
простых. Если g — неотрицательная β-измеримая функция, которая
интегрируема относительно μο/~χ, то для функций gn — min(^,n)
равенство (3.12.1) уже доказано. Из теоремы Беппо Леви вытекает его

168
Глава 3. Интеграл Лебега
справедливость для д, ибо интегралы функций gn°f по мере μ
равномерно ограничены. Из приведенных рассуждений вытекает и
необходимость //-интегрируемости gof для интегрируемости д ^ 0 относительно
μο/-1. В силу линейности (3.12.1) по д получаем общий случай. D
Ясно, что равенство (3.12.1) остается в силе для всякой функции д,
которая измерима относительно лебеговского пополнения меры μ о/-1
и μο/-1 -интегрируема. Это вытекает из того, что всякая такая функция
эквивалентна β-измеримой функции. Условие ^-измеримости функции
д можно заменить измеримостью относительно σ-алгебры
Af = {EcY: Г\Е)еА},
если на ней задать меру μο/-1 той же формулой, что и на В. Однако
следует иметь в виду, что σ-алгебра.Д·^ может быть строго больше
лебеговского пополнения В относительно μο/-1 (см. [26, §7.5]).
В случае знакопеременной меры μ равенство (3.12.1) остается в
силе, если функция gof интегрируема относительно μ (это ясно из
разложения Жордана для μ). Однако интегрируемость д относительно меры
μο/-1 уже не влечет интегрируемость gof (например, мера μο/-1 может
оказаться нулевой для ненулевой меры μ).
Если на X задана β-измеримая числовая функция ψ, то по
формуле (3.12.1) интеграл от ψ of представляется в виде интеграла от φ по
мере μ о/-1 на прямой. Например,
\/(χ)\'μ(άχ) = [ \ψμοΓ\&).
JlR
Введем функцию распределения функции /:
φ/(ί) := μ(χ: f(x) < *), t£ И,1. (3.12.2)
Ясно, что Ф/(£) = μο/_1((—οο,ί)), т.е. Φ/ совпадает с функцией
распределения F^f-i меры μο/-1. В том случае, когда μ — вероятностная
мера, функция Ф/ является неубывающей, непрерывна слева, имеет
пределы справа в каждой точке, причем
lim Φ At) = 0, lim Φf(t) = 1.
t->-oo J v ' t-юо J v '
Вспоминая определение интеграла Лебега-Стилтьеса по возрастающей
функции (см. формулу (3.3.3)), можно записать
/ ψ{ί{χ))μ{άχ) = [ md*f(t). (3.12.3)
Jx 7m.
Поясним связь рассмотренной общей формулы замены переменных
с формулой замены переменных в интеграле, известной из курса
анализа. Пусть Ω — открытое множество в IRn и отображение /: J7 —> IRn
непрерывно дифференцируемо и инъективно. Тогда множество /(17)
/

3.12. Дополнения и задачи
169
измеримо (оно является счетным объединением компактов), причем
для всякой интегрируемой по Лебегу функции φ на f(U) справедливо
равенство
/ tp(f(x)) |det f'(z)\ dx= f <p(y) dy. (3.12.4)
JU Jf(U)
В частности, функция <£>(/(x))|det/'(x)| интегрируема на U\ при φ — 1
получим, что объем f(U) есть интеграл от |det/'| no U. Для
обоснования достаточно рассмотреть случай, когда множества U и f(U)
ограничены (тогда общий случай следует из этого с помощью разложения
φ в разность неотрицательных функций и представления U в виде
объединения возрастающих областей с компактными замыканиями в U).
С точки зрения общей формулы замены переменных равенство (3.12.4)
означает, что отображение / переводит меру μ, заданную плотностью
|det/'| относительно меры Лебега на 17, в меру Лебега λη на f(U).
Для совпадения мер μο/_1 и λη на f(U) достаточно иметь совпадение
интегралов по этим мерам от всякой гладкой функции с компактным
носителем в f(U) (задача 3.12.43). Но это и есть факт, известный из
курса анализа.
3.12(iii). Равномерная интегрируемость
Здесь мы обсудим свойство равномерной интегрируемости, тесно
связанное со свойством абсолютной непрерывности и предельным
переходом под знаком интеграла.
Пусть (Χ,Α,μ) — измеримое пространство с конечной
неотрицательной мерой μ.
3.12.3. Определение. Множество функций Τ С С1 (μ) {или
множество Τ С £2(μ)) называется равномерно интегрируемым, если
lim sup / 1/1 <*μ = 0. (3.12.5)
Множество, состоящее лишь из одной интегрируемой функции,
равномерно интегрируемо в силу абсолютной непрерывности интеграла
Лебега. Поэтому для всякой интегрируемой функции /о множество всех
измеримых функций / с |/| ^ |/о| является равномерно
интегрируемым.
3.12.4. Определение. Множество функций Τ С С1 (μ) (или
множество Τ С ^(μ)) имеет равномерно абсолютно непрерывные
интегралы, если для всякого е > 0 существует такое δ > 0, что
|/| άμ < ε для всех / £ Т, если μ(Α) < δ.
ι

170
Глава 3. Интеграл Лебега
3.12.5. Предложение. Множество Τ С С1 (μ) равномерно
интегрируемо в точности тогда, когда оно ограничено в L1 (μ) и имеет
равномерно абсолютно непрерывные интегралы. В случае меры Лебега
на множестве X С Шп конечной меры равномерная интегрируемость
равносильна равномерной абсолютной непрерывности интегралов.
Доказательство. Предположим, что Τ равномерно
интегрируемо. Пусть ε > 0. Найдем такое С >^0, что
/ 1/1Φ <| v/ejr.
J{\f\>c] 2
Положим δ = е(2С)-1. Пусть μ(Α) < δ. Тогда для всех / € Τ имеем
[\№= ί Ι/ΙΦ+/ 1/1Ф<§ + 5 = *·
JA «МП{|/|<С} JAn{\f\>C} ^ г
Кроме того,
/ |/| άμ < Ομ(Χ) + f 1/1 άμ < Ομ(Χ) + §.
Jx J{\f\>c} 2
Предположим теперь, что множество Τ ограничено в ΐΛ(μ) и имеет
равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Пусть ε > 0. Возьмем
δ из определения равномерной абсолютной непрерывности интегралов
и заметим, что по неравенству Чебышёва существует такое С\ > 0, что
м({|/1 > С}) < C^II/IIli^) < δ при всех / <Е JF и О d. Наконец,
в случае меры Лебега на множестве X С Жп конечной меры
равномерная абсолютная непрерывность интегралов влечет ограниченность
в L1(/i), ибо для ε = 1 множество X можно разбить на конечное число
множеств (скажем, Ν(δ)) с мерой меньше соответствующего £, что дает
||/||и(д) < Ν(δ) для всех / е Т. D
Как видно из доказательства, последнее утверждение остается в
силе для всякой меры без атомов (см. задачу 2.7.51). Если μ является
вероятностной мерой в точке 0, то равномерная абсолютная
непрерывность интегралов не влечет ограниченность в Ь1^), ибо значения
функций из Τ в точке 0 могут быть сколь угодно велики.
Следующий важный результат — теорема Лебега-Витали — очень
часто применяется в теории интеграла и ее приложениях.
3.12.6. Теорема. Пусть / — μ-измеримая функция и {fn} —
последовательность μ-интегрируемых функций. Тогда следующие
утверждения равносильны:
(i) последовательность {fn} сходится к f по мере и равномерно
интегрируема;
(Н) функция / интегрируема и последовательность {fn} сходится
к / в ν·(μ).

3.12. Дополнения и задачи
171
Доказательство. Пусть выполнено условие (i). Тогда множество
{fn} ограничено в &(μ). В силу теоремы Фату, примененной к
функциям |/п|, функция / интегрируема. Для доказательства сходимости
{fn} к / в ^(μ) достаточно показать, что всякая
подпоследовательность {дп} в {/п} содержит подпоследовательность {дПк}> сходящуюся
к / в Ь1(^). В качестве {дПк} возьмем подпоследовательность {дп},
сходящуюся к / почти всюду, что возможно по теореме Рисса. Пусть
ε > 0. В силу предложения 3.12.5 существует такое δ > 0, что
/,
ΙΑ
для всякого η и всякого множества А с μ(Α) < δ. Применяя теорему
Фату, получаем, что
/,
|/| άμ^ε при μ(Α) < δ.
!А
По теореме Егорова существует такое множество А с μ (А) < £, что
сходимость {дПк} к / на Х\А равномерна. Пусть N таково, что при
к^ N выполнено неравенство sup^\ А \дПк — /| ^ ε. Тогда
/ Ιί»*-/ΙΦ<εμ(Χ)+ / \9ηΗ\*μ+ ί \/\άμ ^ е(2 + μ(Χ))9
JX JA JA
откуда вытекает сходимость {дПк} к / в пространстве Ι^1(μ).
Если выполнено условие (ii), то последовательность {fn}
ограничена в ^(μ) и сходится по мере к /. Ввиду предложения 3.12.5 остается
заметить, что последовательность {/п} имеет равномерно абсолютно
непрерывные интегралы. Это вытекает из оценки
ί\ίη\άμ< [\/η-ί\άμ+ / 1/1 φι
J A J A J A
и абсолютной непрерывности интеграла Лебега. D
Докажем теперь следующий полезный критерий равномерной
интегрируемости, принадлежащий Ш.-Ж. де ла Валле-Пуссену. Даже
применительно к семейству, состоящему из одной функции, он дает
полезное заключение об «улучшении интегрируемости».
3.12.7. Теорема. Пусть μ — конечная неотрицательная мера.
Семейство Τ μ-интегрируемых функций равномерно интегрируемо
тогда и только тогда, когда существует такая неотрицательная
возрастающая функция G на [0, +оо), что
lim ^ =оо « sup /g(|/(x)|) μ(άχ) < οο. (3.12.6)
*-*+<*> t ft? J
При этом функцию G можно взять выпуклой и возрастающей.

172
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Пусть выполнено условие (3.12.6) и число Μ
мажорирует интегралы функций G о |/|, / £ Т. Для заданного ε > О
найдем такое С, что G(t)/t > Μ/ε при t > С. Тогда для всех / £ Τ
имеем |/(х)| ^ eG(\f(x)\)/M при \f(x)\ > С. Следовательно,
/{|/1>σ} Μ У{|/|>С} м
Итак, .F равномерно интегрируемо. Докажем обратную импликацию.
Функцию G будем искать в виде
G(t)= f g(s)ds,
Jo
где д > 0 — неубывающая ступенчатая функция, #(£) —► +оо при
£ —► +оо, g(t) = αη при t £ (п,п + 1], где η = 0,1, — Чтобы подобрать
числа ап, для / £ Τ положим μη(ί) = μ(ζ· |/(#)| > η). В силу
равномерной интегрируемости Τ существует возрастающая к бесконечности
последовательность натуральных чисел Сп, для которых
sup / \/\άμ^2-η. (3.12.7)
ferJ{\f\*cn}
Заметим, что
Из (3.12.7) следует, что ΣΖ=ι Т,Т=сп /**(/) ^ 1 при / € ^. При η < Ci
положим αη = 0. При η ^ С\ положим ап — max{fc £ IN: C& ^ п}.
Ясно, что ап —> -foo. При f £ Τ интеграл от G(|/(x)|) не превосходит
αιμ(χ: 1<\/(χ)\^2) + (α1+α2)μ(χ: 2 < |/(а;)| < 3)+ ...,
где правая часть равна Σ™=ι αημη(/) = Σ™=ι ΣΤ=οη Α**(/)· Остается
заметить, что функция G неотрицательна, возрастает, выпукла, причем
G(t)/t -» +оо при t -» -foo. D
3.12.8. Пример, Пусть μ — конечная неотрицательная мера,
(i) Для всякой интегрируемой функции / найдется такая выпуклая
возрастающая положительная функция G на [0, -foo), что G(t)/t —> -boo
при t —> -foo и функция G о |/| интегрируема.
(ii) Семейство Τ С С1 (μ) равномерно интегрируемо, если
sup / |/|ln|/|d/i < оо,
ferJ
где мы полагаем 01п0 := 0. Чтобы применить критерий Валле-Пуссена,
нам следует взять функцию G(t) = t\nt при t ^ 1, G(t) — 0 при t < 1,

3.12. Дополнения и задачи
173
заметив, что G(\f\) ^ |/| In |/| + 1. Другое достаточное условие:
sup / \/\ράμ < оо при некотором ρ > 1.
ferJ
3.12.9. Пример. Пусть А1 (17) — пространство Бергмана всех
комплексных функций на открытом единичном круге U в С, которые
интегрируемы по Лебегу на U и аналитичны внутри U, т.е. представимы
рядами f(z) — Σ™=0 θη,ζη, сходящимися внутри U. Тогда всякая функция
из Аг(и) приближается в метрике Ll(U) последовательностью
многочленов от ζ.
Доказательство. Если функция / аналитична в круге большего
радиуса, то ее ряд Тейлора сходится к ней равномерно на ?7, а тогда
и в Ll(U). В общем случае равномерной сходимости ряда Тейлора нет.
Проверим, что функции f$(z) — f(0z) с θ £ (0,1) при Θ —> 1 сходятся к /
в Ll(U). Так как функция f$ аналитична в круге радиуса 1/0, то она
приближается частичными суммами ряда Тейлора на U. При каждом
ζ мы имеем fe(z) —> f(z) при 0 —> 1. Остается взять θη = 1 — 2~п и
заметить, что /#п равномерно интегрируемы. Это видно из критерия
Валле-Пуссена: взяв соответствующую функцию G для /, получаем
равномерную ограниченность интегралов от G{fen) с помощью замены
переменной. Можно и сразу проверить той же заменой, что функции
f$n обладают равномерно абсолютно непрерывными интегралами. D
3.12(iv). Лифтинги
Пусть μ — ограниченная неотрицательная мера на измеримом
пространстве (X, Л). Множество всех μ-измеримых всюду определенных
функций со значениями в IR1 является линейным пространством, а
также обладает операцией умножения. Возникает следующий вопрос:
можно ли в каждом классе μ-эквивалентности выбрать по представителю
так, чтобы алгебраические операции над ними соответствовали
операциям над классами? Такого рода выбор называется лифтингом.
Оказывается, лифтинг существует на множестве ограниченных функций,
но в нетривиальных случаях его нет на IP. Сформулируем теорему
Магарам, доказательство которой можно прочитать в [26, гл. 10].
3.12.10. Теорема. Существует отображение L, называемое
лифтингом, из £°°(μ) β £°°(μ) со следующими свойствами:
(i) для всякого элемента f £ £°°(μ) функция Lf есть
представитель класса эквивалентности /; (ii) для всех χ имеем L(l)(x) = 1;
(iii) для всех f,g £ Ι/°°(μ), α, β £ IR1 и всех χ имеем
L(af + β9)(χ) = aL(f)(x) + fiL(g)(x), L(fg) = L(f)(x)L(g)(x).

174
Глава 3. Интеграл Лебега
Задачи
3.12.11.° Пусть /п — функции, измеримые относительно сг-алгебры Л
в пространстве X. Доказать, что множество L всех тех точек χ 6 X, в
которых существует конечный предел lim fn(x), является элементом А. То же
п—юо
самое верно для множеств L~, ΙΛ тех точек, где предел равен — оо и +оо.
3.12.12.° (i) Построить последовательность неотрицательных функций
/п на [0,1], интегралы которых стремятся к нулю и которые стремятся к нулю
в каждой точке, но функция Φ (ж) = sup fn (х) не интегрируема. В частности,
η
функции fn не имеют общей интегрируемой мажоранты.
(ii) Построить последовательность функций /n ^ 0 на [0,1], интегралы
которых стремятся к нулю, но supn/n(a?) = + оо для каждого х.
3.12.13.° При каких а и β функция a?a|sinaj|^ интегрируема на [0,1]?
На[0,2тг]?
3.12.14? Последовательность неотрицательных функций fn на [0,1]
сходится к функции / в £^[0,1]. Верно ли, что vTn —*· V7 в £2[0,1]?
3.12.15.° Последовательность функций /п на [0,1] сходится к функции
/ в 1/*[0,1]. Доказать, что функции sin/n сходятся к sin/ в L2[0,1].
3.12.16.° Пусть fn ^ 0 — интегрируемые по Лебегу функции на [0,1],
fn(x) —*■ f(x) п.в. Доказать, что
J f(x)2e~f(x) dx = Jim^ f fn(x)2e~fn(x) ас.
3.12.17. Пусть fn —> / в &{μ). Доказать, что найдутся
подпоследовательность {пк} и функция Φ G С1 (μ) такие, что |/η*(#)| ^ Ф(х) при всех к
для μ-п.в. χ.
3.12.18. Пусть μ ^ 0 — конечная мера и {/п} С С1 (μ) — равномерно
интегрируемая последовательность, причем ||/η||ι,ΐ(μ) ^ δ > 0 при всех п.
Доказать, что если числа ап ^ 0 таковы, что Ση°=ιαη\Μχ)\ < °° п,в*> т0
Σ^=ι ап < °°· Вывести из этого, что если множества Еп измеримы
относительно μ, μ(Εη) ^ δ > 0 и Σ^=ι anlEn(x) < оо п.в., то Σ^=ι а* < °°-
3.12.19.° Пусть / е £χ(ΙΙη). Доказать, что
lim / \f(x + h)- f(x)\dx = 0.
3.12.20. (i) Доказать следующую теорему Юнга. Пусть три
последовательности μ-интегрируемых функций <pn,fn и ψη сходятся п.в. к μ-интегри-
руемым функциям φ, f и ψ соответственно, причем φη ^ /η ^ фп п.в. Если
интегралы от φη и ψη сходятся к интегралам от φ и ψ соответственно, то
интегралы от /п сходятся к интегралу от /.
(ii) Вывести из (i) следующий результат Витали. Если интегрируемые
функции fn ^ 0 сходятся п.в. к интегрируемой функции /, причем интегралы
от fn сходятся к интегралу от /, то {fn} сходится к / в метрике Ь1(д).

3.12. Дополнения и задачи
175
3.12.21? Пусть (Χ, Λ, μ) — пространство с неотрицательной мерой,
функция /: Хх(а,Ь) —> Ш,1 при всех t интегрируема по ж, при каждом χ
дифференцируема not в фиксированной точке to e (а,Ь) (не зависящей от х),
причем существует такая μ-интегрируемая функция Ф, что для всякого t
найдется множество Zt, для которого μ(Ζί) = О и выполнено неравенство
|/(#, t) — /(#, to)\ ^ Φ(χ)\ί — to\ при х £ Zt. Показать, что интеграл от /(ж, t)
по мере μ дифференцируем по t в точке £о, причем
3.12.22? Построить такое измеримое множество в [0,1], что всякая
функция на [0,1], почти всюду равная его индикаторной функции, разрывна почти
всюду (и не интегрируема по Риману, см. задачу 3.12.23).
Указание: взять такое множество, что оно само и его дополнение
пересекаются 'со всяким интервалом по множеству положительной меры.
3.12.23. Доказать, что функция / на [а, Ь] интегрируема по Риману
в точности тогда, когда для всякого ε > 0 найдутся такие ступенчатые
функции дик, что \f(x) — д(х)\ ^ h{x) и / h(x) dx ^ ε. Доказать аналогичное
Ψ Ja
утверждение С непрерывными дик.
Указание: применить теорему 3.7.1 и неравенство Чебышёва.
3.12.24.° Пусть J η — последовательность непересекающихся отрезков
в [0,1], сходящихся к началу координат, \Jn\ = 4~п, и пусть / = га-1 /\J2n\
на J2n, / = — гь~г/\J2n+\\ на J2n+i, а в остальных точках равна нулю.
Показать, что функция / интегрируема по Риману в несобственном смысле, но не
интегрируема по Лебегу.
^JbiSU^jK Построить фундаментальную в среднем последовательность
неотрицательных ступенчатых функций, которая сходится в среднем к
ограниченной функции, не имеющей интегрируемой по Риману модификации.
3.12.26.° Пусть / е €λ(1Είη) имеет интеграл J/ и νι,..., vk G Hn.
Доказать, что найдется χ е Нп, для которого 7/ ^ к~г J2*=1 f{x + Vi).
3.12.27.° Пусть / € С2(JR.1) и функция xf(x) также входит в ^(Н1).
Доказать, что / G £1(1R1). Получить аналог для / € СР(Ш}).
3.12.28° Пусть / € £Р(НП), где 1 ^ ρ < оо. Доказать, что при h -► 0
выполнено соотношение ||/( · + h) + /||lp —► 21'p||/||lp.
3.12.29. Пусть μ — конечная неотрицательная мера на пространстве X.
Для f,g e £°(μ) положим
do(f,9) ■= Jxl^fQ}g\d^ Mf,9) :=Ιχηήη(\/-9\,1)άμ.
Доказать, что do и d\ — метрики, относительно которых £°(μ) полно, причем
последовательность сходится по какой-либо из этих метрик в точности тогда,
когда она сходится по мере.

176
Глава 3. Интеграл Лебега
3.12.30. Показать, что сходимость почти всюду на отрезке / с мерой
Лебега нельзя задать никакой топологией, т.е. не существует такой топологии
на множестве всех измеримых функций на / (или на множестве всех
непрерывных функций на /), что последовательность функций сходится в этой
топологии в точности тогда, когда она сходится почти всюду.
Указание: воспользоваться тем, что сходимость, задаваемая
топологией, обладает следующим свойством: если элемент / таков, что всякая
подпоследовательность последовательности {/п} содержит
подпоследовательность, которая сходится к /, то /п —► /; найти последовательность
непрерывных функций, которая сходится пб мере, но не сходится ни в одной точке.
3.12.31. Пусть / G С1 [а, Ь], функция φ ограничена на (а, Ь) и возрастает.
Доказать, что существует точка ξ Ε [α, 6], для которой
/ φ(χ)/(χ)άχ = φ(α + 0) f(x) dx + <р(Ъ - 0) / f(x)dx,
J a J a J ζ
где φ(α + 0) и <p(b — 0) обозначают пределы справа и слева соответственно.
Если же φ еще и неотрицательна, то найдется такая точка η Ε [α, δ], что
/ φ(χ)/(χ) dx = <ρ(δ - 0) / f(x) dx.
J a Jη
3.12.32.° Пусть 1 < ρ < сю, ρ~λ + q~x = 1. Показать, что для всех
неотрицательных а и δ справедливо неравенство ab ^ 2- + ^-.
3.12.33° Пусть 1 < ρ < сю, р'1 + q"1 = 1, / G £ρ(μ), д G £ς(μ), причем
/0Ф = Н/ЫЫ1,>о.
/.
Доказать, что д = sgn/ · |/|p_1 п.в.
Указание: из доказательства неравенства Гёльдера и задачи 3.12.32
заключить, что \д\ = |/|р_1, откуда вытекает требуемое.
3.12.34. (Обобщенное неравенство Гёльдера) Предположим, что даны
числа 1 ^ r,pi,...,pn < оо, причем 1/ρι + ··· + 1/рп = 1/г, и функции
/ι е CPl (μ),..., fn е СРп (μ). Доказать, что /ι · · · /η <Е £г (μ) и
(f ι/ι•••/пГф)1/г ^ (^ι/ιΓάμ)1/ρι...(Jx\urф)1/Рп.
Указание: перейти к случаю г = 1, заменив рг на Рг/т*; затем
использовать индукцию по п и неравенство Гёльдера, положив 1/рг Η h 1/pn = 1/#·
3.12.35. Пусть / e ^(JR1), fh{x) := (2k)'1 / f(t)dt, h > 0. Дока-
«/χ —/ι
зать, что || fh — /||l1 —► 0 при Λ —► 0.
3.12.36. Для каждого к G IN дано разбиение ГО,П на счетное число
измеримых частей Екуг диаметра менее <5ь, причем 6 к —► 0. Для всякой функции
/ G /^(ГОЛ) положим Jk(f)(x) := АпСЕм)"1 / /Ы^у при ж G £fe,i- Дока-
зать, что \\Jk(f) - /||li -> 0.

3.12. Дополнения и задачи
177
3.12.37? Доказать, что график измеримой числовой функции на
измеримом пространстве (Χ, Α, μ) с конечной мерой — измеримое множество меры
нуль относительно μ® λ, где λ — мера Лебега.
3.12.38.° Пусть (X, Ах) и (Υ,Αγ) — измеримые пространства и / —
отображение изХвУ. Построить примеры, в которых
(i) / является (Ах, Лу)-измеримым, но график / не входит в Αχ<8>Αγ;
(ii) график / входит в Αχ<8>Αγ, но / не измеримо.
Доказать, что если множество {(у, у), у е Υ} входит в Αγ®Αγ, то график
всякого (Ах, Лу)-измеримого отображения входит в Αχ<8)Αγ.
Указание: (i) рассмотреть тождественное отображение из [0,1] с σ-ал-
геброй, порожденной одноточечными множествами, в это же пространство;
(ii) рассмотреть тождественное отображение из [0,1] со стандартной боре-
левской σ-алгеброй в [0,1] с σ-алгеброй измеримых по Лебегу множеств.
Последнее утверждение следует из измеримости отображения (х,у) >—► (f(x),y)
относительно пары (Αχ ® Αγ, Αγ <S> Αγ).
3.12.39.° Построить примеры, показывающие, что (а) существование
и равенство повторных интегралов в (3.11.3) не гарантируют μ <g>
^-интегрируемость измеримой функции /; (Ь) может случиться так, что оба
повторных интеграла существуют для измеримой функции /, но не равны; (с)
существуют такие измеримые функции /, что один из повторных интегралов
существует, а второй не существует.
3.12.40? (В. Серпинский) (i) Показать, что в квадрате существует
неизмеримое по Лебегу множество, все пересечения которого с прямыми,
параллельными координатным осям, состоят не более чем из одной точки.
(ii) Показать, что в квадрате есть также такое неизмеримое множество,
что всякая прямая пересекает его не более чем в двух точках.
Указание: см. [26, с. 284].
3.12.41. Показать, что найдется такая неизмеримая по Лебегу
ограниченная неотрицательная функция / на [0,1]х[0,1], что существуют конечные
и равные нулю повторные интегралы / / f(x, у) dxdy, I I f(x, у) dydx.
Jo Jo Jo Jo
Указание: использовать предыдущую задачу.
3.12.42. (Неравенство Юнга) Предположим, что 1 ^ ρ ^ q ^ оо, где
q'1 = г"1 + р"1 - 1. Доказать, что для всяких / е Ср(Шп) и д е Cr(lRn)
функция f*g определена почти всюду (всюду, если q = со), входит в Cq(JRn),
причем f *g = g* f почти всюду и ||/ *д\\ья(т.*) < ||/||lp(r»)||p||l*-(R»)·
Указание: см. [26, теорема 3.9.4].
3.12.43.° Доказать, что для равенства двух ограниченных борелевских
мер на Шп достаточно иметь совпадение интегралов по этим мерам от всякой
гладкой функции с компактным носителем.
3.12.44. Пусть μ — вероятностная мера на борелевской σ-алгебре В(Х)
вполне регулярного топологического пространства X, причем μ радонова,
т.е. μ(Β) = 5\χρ{μ(Κ): К С В компактно} для всех В е В(Х). Доказать, что
множество Сь(Х) ограниченных непрерывных функций плотно в £2(μ).

178
Глава 3. Интеграл Лебега
Указание: для приближения /в, где В — борелевское множество, при
ε > 0 взять компакты Κγ С В и К2 С Х\В с μ{Β\Κγ) + μ{{Χ\Β)\Κ2) < ε;
применить следствие 1.9.19 к функции /, равной 1 на К\ и 0 на К2.
3.12.45. Пусть Ω С lRn — ограниченная область с гладкой границей,
отображения f,g: Ω —> lRn непрерывно дифференцируемы в окрестности
замыкания Ω, причем /|ап = д\дп- Доказать, что
/ det Df(x) dx= det Dg(x) dx.
Указание: отображения ft(x) = tf(x) + x и gt{x) = tf(x)+x при малых
£ > 0 инъективны на Ω, причем ft(fl) = <7ί(Ω), ибо /t|an = ift|an; значит,
объемы Λ(Ω) и ^ί(Ω) равны, что дает равенство интегралов от det Dft и det Dgt,
являющихся многочленами по t; сравнить коэффициенты при tn.
3.12.46. (i) Вывести из предыдущей задачи, что не существует
отображения /, непрерывно дифференцируемого в окрестности замкнутого
шара В, для которого f(B) С дВ и f(x) = χ при χ е дВ. (Н) Вывести из (i)
теорему Боля-Брауэра: для всякого непрерывного отображения F: В —» В
существует такая точка хо, что F(xo) = xq.
Указание: (i) взять g(x) = ж, тогда det Df(x) = 0, det Dg(x) = 1.
(ii) Пусть В — единичный шар, F не имеет неподвижных точек и
непрерывно дифференцируемо в окрестности В; найдется такое ε > 0, что при
1 ^ q ^ 1 + ε уравнение F{x) — qx не имеет решений в В; пусть φ — гладкая
функция на В, (р\дв = 0, φ(χ) = (1+е)"1 при ||ж|| ^ 1-ε/4, О ^ φ ^ (1+ε)"1;
тогда д(х) = χ — φ{χ)Ρ{χ) не имеет нулей на В, f(x) = F(a?)/||F(a?)||
принимает значения в дВ и тождественно на дВ. Случай непрерывного F выводится
из рассмотренного с помощью гладких приближений.
3.12.47. Доказать, что существует такая измеримая по Лебегу
функция /: [0,1] —► И1, что ни для какой борелевской функции д: [О,1] —► И1
неравенство f(x) ^ д(х) не может быть верным сразу для всех χ £ [0,1].
Указание: использовать задачу 2.7.25 и то, что канторовское множество
есть образ прямой при взаимно однозначной борелевской функции.
3.12.48.* Пусть μ — безатомическая вероятностная мера на измеримом
пространстве (X, А). Доказать, что существует такая Л-измеримая функция
/: X -» [0,1], что μο/-1 есть мера Лебега.
Указание: см. [26, предложение 9.1.11].
3.12.49! (Теорема Ляпунова) Пусть μι,..., μη — безатомические
вероятностные меры на измеримом щюстранстве (X, А). Доказать, что существует
такая Л-измеримая функция /: X —> [0,1], что μ* о/-1 есть мера Лебега для
каждого г = 1,..., п.
Указание: см. [26, §9.12(ix)].
3.12.50. Пусть μι,..., μη — безатомические вероятностные меры на
измеримом пространстве (X, А) и числа αϊ,..., <Xk ^ О таковы, что Σ*=ι c*j = 1.
Доказать, что существуют такие множества Ai,...,Ak € Л, что μ%(Α^ = otj
для всех г = 1,..., η и j = 1,..., к.
Указание: взять / из предыдущей задачи, разделить [0,1] на
дизъюнктные промежутки Ij длины щ и положить Aj = /-1(А/).

Глава 4
Связь интеграла и производной
4.1. Дифференцируемые функции
Напомним, что функция /, определенная в окрестности
точки χ 6 И1, называется дифференцируемой в этой точке, если
существует конечный предел
„/(«+*)-/<«>,
fc-*o h
который называется производной / в точке χ и обозначается
через /'(#)· В математическом анализе и самых разных
приложениях важную роль играет задача восстановления функции по ее
производной. Основная формула анализа — формула Ньютона-
Лейбница — следующим образом выражает функцию / на [а, Ь]
через ее производную /':
f(x) = f(a)+ [Xf'(y)dy. (4.1.1)
Ja
Для непрерывно дифференцируемых функций / интеграл в
формуле (4.1.1) существует в смысле Римана, поэтому никаких
проблем с интерпретацией этого равенства не возникает. Проблемы
появляются при попытке распространить формулу Ньютона-
Лейбница на более широкий класс функций. Если
производная существует всюду или почти всюду, то возникают вопросы
о ее интегрируемости в каком-то смысле и о выполнении
равенства (4.1.1). Чтобы пояснить характер возникающих здесь
трудностей, мы рассмотрим несколько примеров. Сначала мы
построим функцию /, которая в каждой точке прямой
дифференцируема, но /' не интегрируема на [0,1] ни в смысле Лебега, ни
в несобственном смысле Римана.

180
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.1.1. Пример. Пусть f(x) = a:2sin^ при ж^Ои /(0) = 0.
Тогда функция / всюду дифференцируема, но функция /' не
интегрируема по Лебегу на [0,1].
Доказательство. Равенство /'(0) = 0 следует из
ограниченности синуса. При χ φ 0 имеем f(x) = 2#sin4? — 2jCos^.
Достаточно показать, что функция ф(х) = ^ cos 4y не
интегрируема по Лебегу на [0,1]. Предположим противное. Тогда
интегрируема и функция j cos 2jj, что проверяется с помощью
замены переменных у = у/2х. Следовательно, интегрируема функция
^(ж) = χ cos2 2Ж7' ^ак как ^(ж) = 2^(ж) — ^, то получаем
интегрируемость j, т.е. приходим к противоречию. D
В рассмотренном примере функция /' несобственно
интегрируема по Риману. Однако теперь легко испортить и это свойство.
Возьмем компактное множество К С [0,1] положительной меры
Лебега, не имеющее внутренних точек (см. пример 2.5.6).
Множество [0,1]\К имеет вид U^=i(an?bn), где интервалы (an,6n)
попарно не пересекаются. Возьмем такую гладкую функцию 0,
что 9{х) = 1 при χ ^ 1/2 и θ(χ) = 0 при χ ^ 1. Положим
д(х) = θ(χ)/(χ) при ж^Ои #(#) = 0 при χ < 0. Заметим, что
з'(°) = 37(1) = 0 и \д{х)\ ^ Сюш{ж2, (1 - х)2} при некотором С.
4.1.2. Пример. Положим F(x) = Σ%=ι$η ~ an)2g(f^).
Функция F всюду дифференцируема, а F1 не интегрируема по
Лебегу на [0,1] и разрывна в каждой точке множества К (поэтому
не интегрируема по Риману в несобственном смысле).
Доказательство. Ясно, что ряд, задающий функцию F,
сходится равномерно, так как функция д ограничена. Достаточно
показать, что Ff(x) = 0 в каждой точке χ Ε if, ибо в интервале
(а>п,Ьп) функция F равна (Ьп - ап)2д((х - ап)/(Ъп - ап)). По
построению, F(x) = 0 при χ Ε К. Пусть h > 0. Если χ + h Ε К, то
F(x + h) — F(x) = 0. Если ж + h £ К, то найдем интервал (an, 6n),
содержащий χ + h. Тогда х + h — an < h и потому
F(x + h)-F(x)\ _ \F(x + h)
h
21 \ fx + ti-an\\
= fan-On) Τ 01-Τ ) ^
ΛΙ V οη-αη /Ι
^ (δη - «η)2

4.1. Дифференцируемые функции
181
что стремится к нулю при h —► 0. Случай h < 0 аналогичен.
Очевидно, что функция F' не ограничена в правой окрестности
точки αη, ибо F на (ап,Ьп) представляет собой аффинное
преобразование д на (0,1). Следовательно, F1 имеет разрыв в каждой
точке из замыкания {ап}. Указанное замыкание совпадает с К
ввиду отсутствия внутренних точек у К. D
Таким образом, ни интеграл Лебега, ни несобственный
интеграл Римана не решают задачу восстановления всюду
дифференцируемой функции по ее производной. В главе 5 книги [26]
можно найти сведения о более общих (не абсолютных) интегралах,
решающих указанную задачу (правда, лишь в некотором
смысле). Отметим, однако, что в приложениях теории интеграла
гораздо более типичной является задача восстановления функции,
которая имеет производную лишь почти всюду. Конечно, без
дополнительных предположений такое восстановление невозможно.
Например, обсуждавшаяся выше функция Кантора
(предложение 3.1.12) почти всюду имеет производную, равную нулю, хотя и
не является постоянной. Лебегом был описан класс всех функций,
которые почти всюду дифференцируемы и восстанавливаются по
своей производной с помощью формулы Ньютона-Лейбница для
интеграла Лебега. Оказалось, что это — абсолютно непрерывные
функции. Прежде чем начать их обсуждение, мы рассмотрим
более широкий класс функций, которые также почти всюду
дифференцируемы, хотя и не обязательно являются интегралами.
При изучении производных полезно рассмотреть так
называемые производные числа функции /, которые принимают
значения из расширенной числовой прямой и определяются так:
D+f(x) = lunsuPf{X + h)-f{x)
/ι->+0
D+f(x) = liminf
D~~f(x) = limsup
D-.f(x) = liminf
h
f(x + h) -
h
f(x + h)-
h
f(x + h) -
-№
-№
Если D+f(x) = D+f(x), то f'+{x) := D+f(x) = D+f(x)
называют правой производной / в точке χ, а если D~f(x) = D-f(x), то

182
Глава 4. Связь интеграла и производной
f-{x) := D~f(x) = D-f(x) называют левой производной / в
точке х. Ясно, что существование конечной производной / в точке χ
равносильно тому, что в этой точке правая и левая
производная совпадают и конечны. Если fL(x) = /+(#) = +00, то пишут
f(x) = +00 (аналогично для —оо).
Определим также верхнюю и нижнюю производные Df(x)
и D_f(x) как, соответственно, верхний и нижний пределы
отношений [f(x + h) — f(x)]/h при h —► 0, h φ 0.
4.1.3. Лемма. Для всякой функции / на отрезке [а, Ь]
множество всех точек, в которых правая и левая производные f
существуют, но различны, конечно или счетно.
Доказательство. Пусть D := {х: f'_(x) < /+(#)}, {гп} —
множество всех рациональных чисел. Для всякого χ Ε D
существует такой наименьший номер fc, что fL(x) <г^ < f+{x). Далее,
существует такой наименьший номер га, что тт < χ и при всех
* £ (гт,х) справедливо неравенство (f(t) — f(x))/(t — x) < г&.
Наконец, существует такой наименьший номер п, что гп > χ и при
всех t Ε (ж, гп) справедливо неравенство (/(£) — f(x))/(t—x) > г&.
В силу нашего выбора тип получаем
/(£) - f(x) > rk(t - χ), если ϊφχ и ί G (rm, rn). (4.1.2)
Таким образом, каждой точке χ 6 D сопоставлена тройка
натуральных чисел (fc, га, η). При этом разным точкам отвечают
разные тройки. Действительно, пусть точкам χ и у сопоставлена
одна и та же тройка (fc,ra,n). Положим t = у в (4.1.2) и получим
f(y) "" fix) > rk(y — χ)- Если же в (4.1.2) вместо χ взять у и
положить t = ж, то получится обратное неравенство. Итак, D не более
чем счетно. Аналогично доказывается, что множество {/+ < fL}
не более чем счетно. D
4.2. Функции ограниченной вариации
4.2.1. Определение. Будем говорить, что функция f на
множестве Τ С И1 имеет ограниченную вариацию, если
η
У(/,Г) := sup£ l/fc+i) " /(*i)l < 00,
г=1
где sup берется по всем наборам t\ ^ ^2 ^ · · · ^ *η+ι ^з Т. 2?сли
Г = [а, 6], то положим V£(f) := V(/, [а, 6]).

4.2. Функции ограниченной вариации
183
Если функция / имеет ограниченную вариацию, то она
ограничена, причем для всякого to Ε Τ
sup\f(t)\^\f(t0)\ + V(f,T).
teT
Нас в основном будет интересовать случай, когда Г —
промежуток [а,Ь] или (а,Ь) (возможно, неограниченный).
Простейший пример функции ограниченной вариации — это
неубывающая на [а, Ь] функция / (в случае открытого или
неограниченного промежутка при этом требуется, чтобы пределы в
концах были конечны). Здесь V%(f) = V(/, [α, b]) = f(b) — f(a). Ясно,
что ограниченную вариацию имеет также и всякая невозраста-
ющая функция. Таковой оказывается и разность неубывающих
функций, ибо пространство BV[a, b] всех функций ограниченной
вариации линейно. При этом
*?(«/ + βΰ) < Η*?(/) + \β\ν£{0)
для любых двух функций / и д ограниченной вариации и
произвольных скаляров α и β. Это очевидно из оценки
\af(ti+i) + /fo(ti+i) - af(ti) - 09(U)\ <
^ |α| |/(<m) - f(U)\ + \β\ \g(ti+1) - д(П)\.
4.2.2. Предложение. Пусть функция f на [а,Ь] имеет
ограниченную вариацию. Тогда
(i) функции V: χ н-» V{f, [α, ж]) и U': χ н-» V(#) — /(ж) —
неубывающие на [а, 6];
(ii) функция V непрерывна в точке xq Ε [а, 6] β точности
тогда, когда в этой точке непрерывна функция /;
(Hi) для всякого с 6 (а, 6) справедливо равенство
V(f, [а, Ь}) = У(/, [а, с]) + V(/, [с, Ь]). (4.2.1)
Доказательство. Поскольку при добавлении новой точки
в разбиение [а,Ь] соответствующая сумма абсолютных величин
приращений функции не уменьшается, при вычислении Vj(/)
можно рассматривать разбиения, содержащие точку с. Тогда
V(/,[a,b])=8up[X;i/(*<+i)-/(*i)l+ Σ l/(*i+i)-/(*i)l],
i=l i=k+l
где sup берется по разбиениям с tk+i = с. Из этого равенства
получаем (4.2.1), откуда вытекает, что V — неубывающая функция.

184
Глава 4. Связь интеграла и производной
Функция V — V — j — также неубывающая, ибо при χ ^ у имеем
V(x) - V(y) = V*(f) > \f(x) - f(y)\ > f(x) - /(„).
Тогда \V(x) - V(y)\ ^ \f(x) - /(j/)|, откуда сразу вытекает
непрерывность / в точке #, если в этой точке непрерывна функция V.
Осталось проверить непрерывность V в тех точках #, где
непрерывна /. Пусть ε > 0. Выберем δο > 0 с \f(x + h) — f(x)\ ^ ε/2
при I h I ^ ^o· По определению существуют такие наборы точек
а = t\ < · · · < £n+i = xnx = si<--< sn+i = 6, что
V(/, [α,χ]) - £ |/(ti+i) - /(*ί)|| +
г=1
η
+ |η/,Μ])-Σΐ/(*+ι)-/(*)Ι
г=1
Пусть \h\ < δ := min(£o, x — tn, 52 — x) и h > 0. Тогда
η
V(s + Λ) - V(s) = V*{f) - V*+h(f) < £ \f(si+i) - f(8i)\+
»=1
+1 - *&*(/) < 1/0*0 - /(* + Л)| + \f(x + Л) - /(Ы1+
+ £ \f(si+1) - f(Si)\ + | - Vxb+h(f) < |/(ζ) - /(χ + Λ)| + I < e,
*=2
ибо |/(x + h) - f(s2)\ + Σ?=2 \f(si+1) - f(Si)\ < νς6+Λ(/). Анало-
гичная оценка имеет место при h < 0. D
Вариация функции / не всегда является аддитивной
функцией множества. Например, У(/, [0,1]) = 1 > V(f, [0,1)) = 0, если
/(ж) = 0на[0,1)и/(1) = 1.
4.2.3. Следствие. Непрерывная функция ограниченной
вариации есть разность двух непрерывных неубывающих функций.
АЛЛ. Следствие. Всякая функция ограниченной вариации
имеет не более чем счетное множество точек разрыва.
Доказательство. В силу доказанного выше нам
достаточно рассмотреть неубывающую функцию /. В этом случае точки
разрыва — это такие точки #, что lim f{x — h) < lim f(x + h).
h—+Q-\- h—>0+
Ясно, что их число не более чем счетно. D

4.2. Функции ограниченной вариации
185
В доказательстве следующей важной теоремы нам
понадобится техническая лемма, которая имеет и самостоятельный интерес.
4.2.5. Лемма. Пусть Ε — множество в (0,1).
Предположим, что задано некоторое семейство X интервалов, которое
для каждого χ Ε Ε и каждого δ > 0 содержит некоторый
интервал (х,х + h) с 0 < h < δ. Тогда для всякого ε > 0
можно выбрать конечное подсемейство дизъюнктных интервалов
/χ,..., Jfc в этом семействе таким образом, что
к к
λ(ΐ)ΐί)<λ*(Ε) + ε и X*{Ef]\Jlj)>X*(E)-e.
3=1 J=l
При этом для заданного открытого множества U,
содержащего Е, эти интервалы можно взять внутри U.
Доказательство. Найдем открытое множество G D Е, для
которого X(G) < λ*(£7)+ε. Если дано открытое U D Е, то G берем
в U. Удалив из Ί все интервалы, не содержащиеся в G, можно
считать, что с самого начала все интервалы I лежат в G. Тогда мера
их объединения не больше \*(Е) + ε. Пусть Еп — множество всех
точек χ ЕЕ, для которых в X есть интервал (#, χ + h) с h > 1/n.
Поскольку Ε есть объединение возрастающих множеств £7П, то
существует η с Х*(Еп) > \*(Ε) — ε/2. Пусть δ = ε/(2η + 2). Пусть
αχ — нижняя грань Еп. Возьмем точку х\ Ε Εη в [αχ, αχ + δ].
Пусть Ι\ = (#χ,χι + hi) El — интервал с hi > 1/n. Если
множество Еп Π (χι + /ix, 1) непусто, то пусть α<ι — его нижняя грань.
Возьмем точку х^ Ε Еп в [α2, α,2+δ] и найдем 1ъ = (я2> #2+^2) £ ^
с h% > 1/η· Продолжая этот процесс, получим к ^ η интервалов
Ij = (xjjXj + hj) с hj > 1/n, причем справа от х^ + hk нет
точек Еп, Xj Ε [aj, aj+5], где aj — нижняя грань Enn(xj-i+hj-i, 1).
Ясно, что точки из Еп, не покрытые Uj=i^> содержатся в
объединении отрезков [aj, aj + 5], j = 1,..., к. Поэтому внешняя мера
множества таких точек не превосходит ηδ < ε/2. Следовательно,
в силу субаддитивности внешней меры
к к
A*(sp| (J Ij) > Х*(Еп) - Х*(Еп\ (J Ij) > Х*(Е) - ε.
3=1 3=1
При этом a(u*=i Ij) ^ X(G) < X* (Ε) + ε. D

186
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.2.6. Теорема. Всякая функция ограниченной вариации на
отрезке почти всюду имеет конечную производную.
Доказательство. Достаточно дать доказательство для
неубывающей функции /. Пусть S = {х: D+f(x) < D+/(#)}.
Покажем, что X(S) = 0. Для этого достаточно показать, что для
всякой пары рациональных чисел и < υ множество
S(u,v) = {χ: D+f(x) <u<v< D+f(x)}
имеет меру нуль. Предположим, что λ*(£(ΐ4, ν)) = с > 0. Каждая
точка χ множества S(u,v) является левым концом сколь угодно
малых интервалов (χ, χ + К) с f(x + h) — f(x) < hu. По
лемме 4.2.5 для фиксированного ε > 0 существует такой конечный
набор попарно непересекающихся интервалов (xi,Xi + hi), что для
их объединения U справедливы оценки
\*(UnS(u,v)) >c-e, \(U) = 52itH<c+e.
Ясно, что J2i[f(xi + Ы) - f(xi)] < J2ihiu < u(c + ε)· c ДРУГ0Й
стороны, каждая точка у Ε U Π S(u, ν) является левым концом
сколь угодно малых интервалов (у, у + г) с /(у + г) — /(у) > rv.
Поэтому по той же лемме 4.2.5 можно найти конечный набор
попарно непересекающихся интервалов (у^, yj+rj), лежащих в С/,
для объединения W которых справедлива оценка
λ* (W Π S(u, ν)) >\*(Un S(u, v))-e>c- 2ε.
Тогда £V [f(jjj + rj) - f(jfj)] > ν £\ г, > v(c - 2ε). Поскольку /
не убывает, а каждый из интервалов (jjj,yj + rj) лежит в одном
из интервалов (ж*, χ χ + h%), то
Σ [/to+ri) - /(ад)! < Σ [/fa+**) - /fa)] ·
Таким образом, v(c —2ε) < u(c + e). В силу произвольности ε > 0
получаем ν ^и — противоречие. Следовательно, с = 0, и правая
производная / существует почти всюду. Аналогично
доказывается, что левая производная / существует почти всюду. При этом
множество Ε тех точек х, где /+(ж) = +оо, имеет меру нуль.
В самом деле, для всяких ε > 0 и N Ε IN найдется h(x) > 0
с f(x + h) — f(x) > Nh при 0 < h < h(x). По лемме 4.2.5
имеется конечный набор дизъюнктных интервалов {х%,х% + hi),
где hi = h(xi), общей меры L > \*(Е) — ε. Тогда интервалы

4.2. Функции ограниченной вариации
187
(f(xi),f(xi + hi)) дизъюнктны и мера их объединения не
меньше NL, откуда Х*(Е) ^ ε + L ^ ε + V(/, [a, 6])/iV. Теперь
доказываемое следует из леммы 4.1.3. D
4.2.7. Следствие. Всякая неубывающая функция / ма
отрезке [а, Ь] почти всюду на [а, Ь] имеет конечную производную f,
причем функция f интегрируема на [а, Ь] и
гь
f'(x)dx^f(b)-f(a). (4.2.2)
/
Ja
Доказательство. Положим f(x) = f(b) при χ > 6. Пусть
7 -1 *· / ч /(Ж + ^η) — /(#) гг. *·
пп = η L и /п(#) = . Тогда /п^0и п.в. имеем
/п(#) —* /'0*0· Кроме того,
г*> ι fb+k
/ fn(x)dx = — f(y)dy-— f(x)dx =
J а пп Ja+hn nn J a
ι рЪ+hn ι ra+hn
= —j f(x)dx-—j f(x)dx^f(b)-f(a),
ибо / = b на [Ь, b + hn] и / > /(α) на [α, α + /in]. Остается
воспользоваться теоремой Фату. D
4.2.8. Следствие. Для всякой функции / ограниченной
вариации на [а, Ь] производная f существует почти всюду и
интегрируема.
Функция Кантора Со (см. пример 3.1.12) показывает, что
в (4.2.2) может не быть равенства даже для непрерывных
функций. В самом деле, Cq(x) = 0 почти всюду, но Со (χ) φ const.
В следующем параграфе мы рассмотрим подкласс класса
функций ограниченной вариации, приводящий к равенству в (4.2.2).
В связи с обсуждавшимися в §2.5 мерами Лебега-Стилтьеса
здесь уместно привести следующее утверждение.
4.2.9. Предложение. Пусть μ — ограниченная борелевская
мера на отрезке [а, Ь] (возможно, знакопеременная) с функцией
распределения .FM(t) := /x([a,t)). Тогда V^(FM) =
Доказательство. Если отрезки [αϊ, δι],..., [an, bn] попарно
не пересекаются, то сумма величин |FM(6j)—FM(aj)| = μ{\α^ fy)) не

188
Глава 4. Связь интеграла и производной
превосходит ||μ||. С другой стороны, пусть Х+ и Х~ — борелев-
ские множества из разложения Хана для μ. Для заданного ε > О
можно найти компакты Κι С Х+ и^С Х~ с \μ\(Χ+\Κι) < ε
и \μ\(Χ~\Κ2) < ε. Затем можно найти такие дизъюнктные
полуинтервалы [αχ, &ι),...., [akj bk) и [afc+b &fc+i),..., [am, bm), что
к πι
μ(Κι) ^ 5^μ([θίΛ))+ε, μ(Κ2)> ^ μ([α<Λ)) - ε.
г=1 i=fc+l
Это ясно из теоремы 2.3.11. Тогда получим
|Н| = μ(Χ+) - μ(Χ") ^ /χ(ϋΓχ) - μ(Κ2) + 2ε <
га
^ 2 |ВД) - FM(a,)| + 4ε ^ ν^μ) + 4ε.
г=1
Так как ε > 0 произвольно, то ||μ|| ^ V^(FM). D
4.3. Абсолютно непрерывные функции
В этом параграфе рассматриваются функции на
ограниченных промежутках.
4.3.1. Определение. Функция f на отрезке [а, Ь]
называется абсолютно непрерывной, если для всякого ε > 0 найдется
такое δ > О, что для каждого набора попарно непересекающихся
интервалов (a^bj) в [а,6] с Σ2=ι \Ъ% — щ\ < δ справедливо
неравенство Y%=1 \f(bi) - f(ai)\ < ε.
Из определения очевидно, что абсолютно непрерывная
функция равномерно непрерывна. Обратное неверно: например,
функция / на [0,1], равная га-1 в (2п)-1, обращающаяся в нуль
в (2n + l)^1 и доопределенная по непрерывности линейным
образом между этими точками, не является абсолютно непрерывной.
Это явствует из расходимости ряда Σ^ιΙ/ί^)^1)! и
стремления к нулю величин X)^Lm[(2n)"^1 — (2n+ 1)-1].
Обозначим через АС[а, Ь] класс всех абсолютно непрерывных
функций на отрезке [а,Ь].
4.3.2. Лемма. Пусть функции /ι,..., fn абсолютно
непрерывны на отрезке [а, Ь], а функция ψ определена и удовлетворяет
условию Липшица на множестве U С IRn, причем для всех χ из

4.3. Абсолютно непрерывные функции
189
[а,Ь] имеем (/i(a;),... ,/п(ж)) G U. Тогда функция <£>(/ъ · · · >/п)
абсолютно непрерывна на отрезке [а, 6].
Доказательство. По условию при некотором С > О для
всех х, у Ε U имеем \φ(χ) — <р{у)\ ^ С\\х — у\\. Кроме того, для
заданного ε > 0 найдется такое δ > О, что при каждом j = 1,..., η
получим Σΐ=1 \fj(bi) — fj(di)\ < en~1(C+l)~1 для всякого набора
попарно непересекающихся интервалов (αχ, 6χ),..., (α&, bk) в [α, 6]
с Σί=χ 1^* — <ч| < 5. Теперь из оценки
к
Σ v(/l(M) · · · ι /n(fc)) - ¥>(/ΐ(«ί)> · · · » /n(Of))
i=l
η
^
1/2
г=1 j=l г=1 j=l
вытекает доказываемое утверждение. D
4.3.3. Следствие. Если функции fug абсолютно
непрерывны, то таковы же fg и f + g, а если g ^ с > 0, то и f/g.
4.3.4. Предложение. Всякая функция f, которая
абсолютно непрерывна на отрезке [а, 6], имеет на этом отрезке
ограниченную вариацию.
Доказательство. Возьмем £, соответствующее ε = 1 в
определении абсолютно непрерывной функции. Возьмем
натуральное Μ > \Ъ — а|<$-1. Пусть задано разбиение а = ίχ ^ · · · ^ tn = 6.
Добавим к точкам Ц все точки вида Sj = а + (Ь — a)jM-1, где
j = О,..., М. Элементы полученного разбиения обозначим
через Zi, г = 1,..., к. Тогда
Σ i/ft+i) - /fc)i < Σ ι/(«ί+ι) - /(г<)| =
Μ
= Σ Σ ι/(^+ι)-/(^)ι^μ,
J=l г: «ί+ι€(β,·-ι,β,·]
ибо сумма длин интервалов (г»,г*+1) с г^+х £ (5j-i?5j] не
превосходит 5j - Sj-ι = |δ — α|Μ_1 < 5. Итак, V(/, [a, 6]) ^ Μ. D

190
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.3.5. Следствие. Для всякой абсолютно непрерывной
функции f на [а, Ь] производная /' существует почти всюду и
интегрируема. В частности, это верно, если f липшицева.
Доказательство. Применимо следствие 4.2.8. D
4.3.6. Предложение. Пусть функция f абсолютно
непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда функция У: жь> V(/, [а, х]) таксисе
абсолютно непрерывна и потому / есть разность неубывающих
абсолютно непрерывных функций V uV — f.
Доказательство. Пусть ε > 0. Найдем такое δ > 0, что
сумма абсолютных величин приращений / на всяком конечном
наборе непересекающихся интервалов {a^bi) суммарно^ длины
менее δ оценивается через ε/2. Остается заметить, что сумма
абсолютных величин приращений V на интервалах (а$, bi)
оценивается через ε. Действительно, пусть дан такой набор из к
интервалов (a*, bi). Для каждого г можно найти такое разбиение [a*, bi]
точками a,i = t\ ^ · · · ^ tlN. = 6i, что
JVi-l
v(f,[aiM< Σ ι/(*ί-+ι)-/(4)1+ε4_ί·
3=1
Тогда
к к
£>(*) -V(ai)\ = y£v(f,[ai,bi}) <
г=1 г=1
<ΣΣι/(4+ι)-/(Φΐ + |<ε'
г=1 i=l
ибо интервалы (ft, ft+i) попаРно не пересекаются и сумма их длин
не превосходит <£. D
Для всякой интегрируемой по Лебегу функции / на [a, b] и
всякой постоянной С можно рассмотреть функцию
F(X) = C+ Γ/(ί)Λ,
Ja
которая называется неопределенным интегралом /.
Оказывается, что функции такого вида — это в точности абсолютно
непрерывные функции.

4.3. Абсолютно непрерывные функции
191
4.3.7. Теорема. (Теорема Лебега) Функция f абсолютно
непрерывна на [а, 6] тогда и только тогда, когда существует
такая интегрируемая на [а, Ъ] функция д, что
f(x) = /(а) + Гg{y)dy Vx € [а,Ъ]. (4.3.1)
Ja
Доказательство. Если / имеет вид (4.3.1), то в силу
абсолютной непрерывности интеграла Лебега для всякого ε > О
найдется такое δ > О, что
/ \g{x)\dx <e
JD
для всякого множества D меры меньше δ. Остается заметить, что
f^\f(bi)-f(ai)\ = f2\[\(x)dx\^ [ \g(x)\dx<e
г=1 i=lJa* JU
для всякого объединения U = υΓ=ι[α*>&ί] попарно
непересекающихся отрезков суммарной длины меньше 5.
Докажем обратное утверждение. Достаточно доказать его для
неубывающих функций /, ибо в силу предложения 4.3.6 функция
/ есть разность неубывающих абсолютно непрерывных функций.
Пусть /(а) = 0. Согласно теореме 2.5.10 существует такая
неотрицательная борелевская мера μ на [а, 6], что f(x) = μ ([α, χ)) для
всех χ Ε [а,Ь]. Теперь достаточно установить, что мера μ
задается некоторой интегрируемой плотностью д относительно меры
Лебега λ, что в силу теоремы Радона-Никодима равносильно
абсолютной непрерывности μ относительно λ. Пусть Ε — борелев-
ское множество лебеговской меры нуль в [а, 6]. Нам надо
проверить, что μ(Ε) = 0. Зафиксируем ε > 0. По условию
существует такое δ > 0, что сумма абсолютных величин приращений /
на всяких непересекающихся отрезках суммарной длины менее δ
оценивается через ε. Найдем такое открытое множество U>
содержащее Е, что \(U) < δ. Множество U представляет собой
конечное или счетное объединение попарно непересекающихся
интервалов (αϊ,&ϊ). В силу выбора δ для каждого конечного
объединения (сц,6<) имеем μ(υΓ=ι(α*Λ)) = Σ?=ι \f(bi)-f(ai)\ < ε> откуда
ввиду счетной аддитивности μ получаем μ(ΐΙ) ^ ε.
Следовательно, μ(Ε) ^ μ(ΙΙ) ^ ε, ибо μ ^ 0. Итак, μ(Ε) = 0. D

192
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.3.8. Следствие. Если выполнено соотношение (4.3.1), то
V(f,[a,b}) = [ \g(x)\dx = \\д\\„м. (4.3.2)
Ja
Доказательство. Так как для каждого отрезка [s,£] в [а, 6]
справедливо неравенство
Ι/(ί)-/(β)Ι = I/ g(x)dx\ < J \g(x)\dx,
то У(/, [a,b]) ^ HsIIl1^]· Докажем обратное неравенство. Можно
считать, что /(а) = 0. Зафиксируем ε > 0. Пользуясь абсолютной
непрерывностью интеграла Лебега, найдем такое δ > 0, что
/ \g(x)\dx< -ε
для всякого множества D меры меньше δ. Положим
Ω+ := {х: д{х) > 0}, Ω_ := {χ: д{х) < 0}.
Затем найдем в [а, Ъ) конечный набор попарно непересекающихся
интервалов (αχ, 6χ), ... ,(αη, Ьп), для которых
η
λ(Ω+ Δ υ(«<Λ)) < S. (4.3.3)
г=1
Далее выберем в [а, Ь]\и?=х(аг>М конечный набор попарно
непересекающихся интервалов (сх,с?х), ... ,(cfc,dfc), для которых
λ(Ω-Δυ(*,4))<&
г=1
Положим Δ» := (аг>&г)\{# > 0}. Тогда
f(bi)-f{di)= g(x)dx= \g(x)\dx+ \g{x)-\g(x)\\dx =
Jai Jdi Jdi L J
= [Z\g(x)\dx-2 j \g{x)\dx.
Jai JA,
Из (4.3.3) имеем ££=х λ(Δ») < <5. Поэтому
Y^\f{bi)- f{ai)\^ ^ \g{x)\dx-\e^ [ \g(x)\dx-\e.

4.4. Формула Ньютона-Лейбница
193
* Г 1
Аналогично V} 1/Ю - /(ct)| ^ / |ff(aO|ete - οε· Итак,
ν(/, [α, 6]) > Σ Ι/β) - /(«01 + Σ Ι/(*) - Л**)! > 11»1Ьм - ε>
ί=1 г=1
что завершает доказательство. D
4.4. Формула Ньютона-Лейбница
Как мы увидим в этом параграфе, интеграл Лебега дает
формулу Ньютона-Лейбница (4.1.1) в ее естественной общности.
4.4.1. Лемма. Пусть функция f интегрируема на [а, Ъ], при-
чем / f(t)dt = 0 для всех χ Ε [а, 6]. Тогда / = О почти всюду.
J a
Доказательство. Из равенства нулю интеграла с
переменным верхним пределом вытекает, что интеграл / по любому
интервалу в [а, Ь] равен нулю, что дает равенство нулю интегралов /
по конечным объединениям интервалов. Тогда обращается в нуль
и интеграл / по множеству Ω = {χ: f(x) > 0}. Действительно,
пусть ε > 0. В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега
существует такое δ > 0, что / \f\dx < ε для всякого множества
Jd
D меры меньше δ. Найдем множество А, равное конечному
объединению интервалов, для которого λ(Ω Δ Α) < δ. Тогда
I f(x)dx^ / f(x)dx+ I \f(x)\dx^ [ f(x)dx + e = e.
Jq J a Jqaa Ja
В силу произвольности ε > 0 левая часть этого неравенства
обращается в нуль, т.е. Ω имеет меру нуль. Аналогично множество
{/ < 0} имеет меру нуль. Альтернативное обоснование: борелев-
ская мера μ := / · λ обращается в нуль на всех интервалах,
а потому и на порожденной ими σ-алгебре, т.е. на борелевской
σ-алгебре. Другими словами, интегралы / по всем борелевским
множествам равны нулю, откуда / = 0 п.в. D
4.4.2. Теорема. Пусть f е /^[α,δ]. Тогда
d_
dx
/ f(t)dt = f(x) почти всюду на [α, 6].
J a

194
Глава 4. Связь интеграла и производной
Доказательство. Положим f(x) = О при χ & [α, 6]. Пусть
F(x)= Гf(t)dt.
Ja
Предположим сначала, что \f{x)\ ^ Μ < оо. Пусть hn —► 0.
Функция F липшицева. По следствию 4.3.5 она почти всюду
дифференцируема на [а, 6]. Тогда lim h~1[F(x + hn) — F(x)] = F'(x) для
η—>oo
п.в. χ 6 [a,b]. Поскольку
|F(* + M-F(*)| II р-/(()д|<м,
I дп II /in Уд, I
то по теореме о мажорированной сходимости получаем
для каждого χ € [α,6]. Заметим, что
J a nn П>п Ja+hn nn J a
j px+hn J ra+hn
= — F{y)dy- — F(y)dy,
"Ή J χ ^n J a
что стремится к F{x) — F(a) при η —> oo в силу непрерывности F.
Итак,
F(x) = F(x) - F(a) = Г F'{y)dy,
Ja
т.е.
[X[F'(y)-f(y)]dy = 0 Vx€[a,b].
Ja
В силу леммы 4.4.1 это означает, что F'(x) — f(x) = 0 п.в. на [а, 6].
Перейдем к общему случаю. Можно считать, что / ^ 0, ибо /
есть разность неотрицательных интегрируемых функций. Пусть
/п = min(/, га). Поскольку / - /η ^ 0, то функция
Ja

4.4. Формула Ньютона-Лейбница
195
не убывает, следовательно, ее производная почти всюду
существует и неотрицательна. Таким образом,
a mdy>-£LUy)dy π·β·
Ввиду ограниченности /п и доказанного выше, получаем оценку
F'{xy^ fn(x) п.в. Значит, Ff(x) ^ f(x) п.в., откуда
гЬ гЬ
го ро
/ F'(x)dx> / f(x)dx.
J a J a
С другой стороны, в силу следствия 4.2.7 имеем
откуда
/ F'(x) dx ^ F{b) - F(a) = / f(x) dxy
J a J a
I [F'(x)-f(x)]dx = 0,
Ja
что возможно лишь при F'(x) — f(x) = О п.в. ввиду
установленного выше неравенства Fr(x) — f(x) ^ 0 п.в. D
4.4.3. Следствие. Пусть функция f интегрируема на [а, 6].
Тогда для почти всякой точки χ Ε [а, Ь] имеем
ι px+h л rx+h
Точки х сгпаким свойством называются точками Лебега
функции /.
Доказательство. Второе из этих равенств выполнено
почти всюду по доказанной выше теореме. Применив его к
функции \f(x) — c|, получаем, что для всякого рационального числа с
почти всюду имеет место равенство
Тогда при почти всех χ это равенство верно сразу для всех
рациональных чисел с. При таких χ оно остается в силе для
всякого с 6 И1: возьмем рациональные с& —► с и заметим, что
\\f(y)-Ck\-\f(y)-Cm\\ ^ \сы-Ст\. Наконец, берем с = f(x). D

196 Глава 4. Связь интеграла и производной
Если функция / абсолютно непрерывна, то, объединяя
доказанную теорему с теоремой 4.3.7, мы видим, что интегрируемая
функция д, неопределенный интеграл которой есть / — /(а),
почти всюду равна /'. Значит, мы получаем следующую формулу
Ньютона-Лейбница для абсолютно непрерывных функций.
4.4.4. Следствие. Пусть функция f абсолютно непрерывна
на [а, Ь]. Тогда ее производная существует почти всюду,
интегрируема и удовлетворяет равенству
f{x) = Да) + Г /'(*) dt, χ е [а, Ь]. (4.4.1)
Ja
Из формулы Ньютона-Лейбница вытекает следующая
формула интегрирования по частям.
4.4.5. Следствие. Пусть fug — абсолютно непрерывные
функции на отрезке [а, Ь]. Тогда
f(x)g(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)- [ f(x)g\x)dx. (4.4.2)
Ja
Доказательство. Поскольку функция fg абсолютно
непрерывна (следствие 4.3.3), то к ней применима формула Ньютона-
Лейбница. Остается заметить, что (/<?)' = ffg + fgr почти всюду
(т.е. во всех точках, где / и g дифференцируемы). D
Еще одно полезное следствие формулы Ньютона-Лейбница —
формула замены переменных.
4.4.6. Следствие. Пусть φ — монотонная абсолютно
непрерывная функция на отрезке [с, d\ w^([c,rf])c [a,b]. Тогда для
всякой функции f, интегрируемой по Лебегу на отрезке [а, Ь],
функция ί{ψ)φι интегрируема на [с, d\ и справедливо равенство
/ f(x)dx= / f(<p(y))<f/(y)dv. (4.4.3)
J<p(c) Jc
Это утверждение остается в силе и для промежутков вида
(-oo,d], [c,+oo), (-оо,+оо).
Доказательство. Можно считать, что φ не убывает,
причем а = </?(с), Ь = φ(ά). В силу интегрируемости φ1 на [с, d]
определена конечная неотрицательная борелевская мера μ — ψ1 · λ, где
λ — мера Лебега на [с,с?]. Обозначим через ν борелевскую меру
μ ο φ-1 на [а, 6], т.е. ζ/(Β) = μ[φ~~1(Β)). В силу общей формулы

4.4. Формула Ньютона-Лейбница
197
замены переменных (теорема 3.12.2) равенство (4.4.3) для всех
борелевских интегрируемых функций / равносильно тому, что
мера ν совпадает с мерой Лебега λι на [а, &]. Поэтому для
доказательства в^случае борелевских / достаточно установить
равенство значений ν и \\ на каждом отрезке [а,/?] из [а,Ь] (см.
следствие 3.5.3). Найдется такой отрезок [7,5] С [с, d], что φ(η) = <*,
φ(δ) = /?, [у, δ] = φ~ι{[α,β\). Остается заметить, что
ν([α,β])=μ{[Ί,δ]) = / φ'(υ)άυ = φ(δ)-φ(Ί) = β-α.
ϋΊ
Чтобы перенести доказанное равенство с борелевских функций
на все измеримые по Лебегу, проверим, что мера ν абсолютно
непрерывна. Это равносильно тому, что ψ~λ{Ε)^\\^\ φ'(у) > 0}
имеет лебеговскую меру нуль для всякого множества Ε лебегов-
ской меры нуль. Так как Ε покрывается борелевским множеством
лебеговской меры нуль, то можно само Ε считать борелевским.
Тогда остается применить равенство (4.4.3) к функции f = 1е-
Случай бесконечного промежутка вытекает из доказанного. Π
Формула (4.4.3) верна и для не обязательно монотонной
функции φ, если дополнительно известно, что функция /(φ)φ*
интегрируема, однако в отличие от рассмотренного случая это может
не выполняться автоматически (см. [26, задачи 5.8.63-5.8.65]).
В качестве следствия установленных фактов получаем
следующее разложение Лебега монотонной функции.
4.4.7. Предложение. Пусть F — неубывающая
непрерывная слева функция на отрезке [а,&]. Тогда F = F^ + Fs\ng, где
Fm — абсолютно непрерывная неубывающая функция и Fs\ng —
неубывающая непрерывная слева функция с i^ingW = 0 η·β· При
этом Fsing = Fa + Fc, где Fc — непрерывная неубывающая
функция и Fa — непрерывная слева неубывающая функция скачков,
т.е. Fz(t) = ]ГП: tn<t hn, где {tn} С (а, 6), hn > 0, Σ™=ι hn < оо.
Доказательство. Мы знаем, что F' существует п.в.,
Интелу
грируема, причем F(y) — F(x) ^ / Ff(t)dt при а < χ < у ^ Ъ.
Jx
Поэтому функция FS[ng(x) := F(x) — / F\t) at возрастает. Яс-
χ
но, что F^(x) = 0 п.в. Положим Fqc(x) := / F'(t) dt. Функция
Ja

198 Глава 4. Связь интеграла и производной
FSing имеет не более чем счетное множество точек разрыва £п.
Скачок в tn обозначим через hn. Положим Fa(t) := £)n: tn<thn.
Функция Fa (функция скачков) имеет в точках tn скачки
величины /in, т.е. справедливы равенства lim F&(t) = ^a(^n) + hn\
t—*tn-\-
во всех прочих точках она непрерывна. Непосредственно
проверяется, что получена возрастающая непрерывная слева функция,
причем функция Fc := Fs[ng — Fa возрастает и непрерывна. D
На разложение Лебега можно смотреть также с другой
стороны (что дает и другое его обоснование). Если F — функция
распределения ограниченной неотрицательной борелевской
меры μ на [а, Ъ] (всякая непрерывная слева возрастающая функция
имеет такой вид), то разложение Лебега для мер дает равенство
μ = Mac + Msing? где μ^ζ — абсолютно непрерывная мера, a ^Sing ~~
мера, сингулярная относительно меры Лебега. Тогда Fac и FSing —
соответствующие функции распределения. Далее в сингулярной
мере /iSing можно выделить чисто атомическую (сосредоточенную
в счетном числе точек) и безатомическую компоненты, что дает
разложение Fsing. Непрерывная монотонная функция / φ const,
для которой f'(t) = 0 почти всюду, называется сингулярной.
Применение формулы Ньютона-Лейбница к
дифференцированию по параметру см. в задаче 4.5.12.
4.5. Дополнения и задачи
(i) Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса (198). (и)
Сходимость рядов Фурье (199). Задачи (209).
4.5(i). Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса
Пусть μ и ν — ограниченные борелевские меры на интервале (а, Ь)
(возможно, неограниченном) с функциями распределения Fμ и FUJ т.е.
Fμ(t) := μ ((α, t)) и аналогично для и. Эти функции ограничены и
являются борелевскими. Поэтому они интегрируемы относительно всех
борелевских мер.
4.5.1. Теорема. Для всех а, Ь £ [—со, + со] справедливо равенство
[ ВД v(dt) = F»(b)Fu(b) - f F„(t+) μ(Λ). (4.5.1)
J(a,b) J(a,b)
Если хотя бы одна из функций FM и Fv непрерывна (или у них нет
общих точек скачков), то вместо Fu(t-\-) в этом равенстве можно
поставить Fv(t).

4.5. Дополнения и задачи
199
Доказательство. По теореме Фубини имеем
/ F^t) u(dt) = f f IM(s) μ(ά3) u(dt) =
J(a,b) * J(a,b) J(a,b)
= f v((s, b)) μ(ά3) = f [Fv(b) - F„(8+)] μ(ά8),
J(a,b) J(a,b)
что и требовалось. Последнее утверждение очевидно. D
Если F — абсолютно непрерывная функция на [а, 6], то
/ F(t) u(dt) = F(b)Fu(b) - / Fv(t)F'(t) dt,
J(a>b) J(a,b)
что следует из (4.5.1) применительно к мере μ с плотностью F'.
4.5(H). Сходимость рядов Фурье
Здесь мы обсудим поточечную сходимость рядов Фурье. В
следующей главе будет рассматриваться сходимость в среднем квадратичном
более общих ортогональных разложений. Однако специфика
тригонометрических рядов такова, что их естественнее обсуждать в главе,
относящейся к действительному анализу!
Для функции f € С1 [0,2π] и η = 0,1,... положим
-ι ρ2π -ι /»2π
ап := — I f(x) cosnxdx, bn := — I f(x) sinnxdx. (4.5.2)
π Jo π Jo
Эти числа называются коэффициентами Фурье функции /, а
формальный ряд
оо
— -f 7J [ап cos nx -f bn sin nx]
n=l
называется рядом Фурье функции / по тригонометрической системе.
Такой ряд можно рассматривать и для заданных коэффициентов ап
и 6П, не обязательно порождаемых какой-либо интегрируемой
функцией /. Тогда указанный ряд называют тригонометрическим рядом.
Можно ввести также коэффициенты
1 /*2π
Cn:=-r= f(x)e~mx dx, η £ Ζ,
\/2π Jo
приводящие к формальному ряду Y^nezCn^%nx'.
Такие ряды полезны в приложениях, так как служат удобным
средством представления или приближения функций. Поэтому возникают
вопросы о сходимости рядов Фурье, о свойствах коэффициентов Фурье
и о возможности восстановить функцию или судить о ее свойствах по
коэффициентам Фурье. Для функций на всей прямой имеется близкий

200
Глава 4. Связь интеграла и производной
объект — преобразование Фурье, изучаемое в гл. 9. Ряды и
преобразования Фурье — классика математического анализа, сохраняющая свою
актуальность. Все перечисленные вопросы оказались весьма тонкими;
в их исследование внесли большой вклад такие выдающиеся
математики, как Б. Риман, Г. Кантор, А. Лебег, Н.Н. Лузин, А.Н. Колмогоров,
Л. Карлесон. Ниже дано резюме основных достижений.
Сходимость ряда Фурье может пониматься в различных смыслах.
Во-первых, можно интересоваться сходимостью ряда Фурье в какой-то
заданной точке и (в случае сходимости) ставить вопрос о связи суммы
ряда со значением исходной функции. В этом случае разумно считать,
что имеется какая-то естественная модификация функции (иначе,
переопределив / в рассматриваемой точке, мы получим другое значение
функции, но прежний ряд Фурье). Например, такой вопрос
представляется вполне естественным для непрерывных 27г-периодических
функций. Во-вторых, можно интересоваться сходимостью ряда Фурье почти
всюду (и связью суммы с функцией / почти всюду), но не заботиться
о каких-то отдельных точках. Наконец, может быть полезна сходимость
ряда в метриках L1 (или Lp при / £ Lp). Этим не исчерпываются все
возможности; например, даже сходимость в точке можно понимать
расширительно, используя разные методы суммирования (об этом кратко
сказано ниже). Кроме того, возникают и другие вопросы. Скажем, если
дана последовательность чисел {сп} (или две последовательности {ап}
и {Ьп}), то интересно знать, когда есть функция с такими
коэффициентами Фурье. Прежде чем приводить более специальные результаты,
сразу сообщим читателю некоторые фундаментальные общие факты.
Во-первых, даже в случае 27г-периодической непрерывной функции
/ ряд Фурье может не сходиться в каких-то точках. Это будет
установлено в гл. 6 (см. пример 6.1.11). Чтобы гарантировать сходимость в
заданной точке, приходится накладывать некоторые дополнительные
условия в окрестности (например, условие Дини). Однако
суммирование по Чезаро дает сходимость для всякой 27г-периодической
непрерывной функции и позволяет равномерно приближать такие функции
тригонометрическими многочленами.
Во-вторых, как показал А.Н. Колмогоров, существует такая
функция / £ С1 [0,2π], что ее ряд Фурье расходится в каждой точке. Однако,
как мы увидим ниже, если такой ряд суммировать не в обычном
смысле, а по Чезаро или по Абелю, то почти всюду его сумма совпадет с /.
В частности, две интегрируемые функции с одними и теми же
коэффициентами Фурье равны почти всюду.
В-третьих, если функция / входит в £р[0,2π] с некоторым ρ > 1,
то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Этот факт был доказан
в 1966 г. Л. Карлесоном для ρ — 2 и затем в 1968 г. Р.А. Хантом для
всех ρ > 1. Подробное доказательство можно прочитать в Лукашенко
[137], Arias de Reyna [262], J0rboe, Mejlbro [397], Grafakos [369], Lacey
[602], Mozzochi [461]. В частности, ряд Фурье непрерывной функции /

4.5. Дополнения и задачи
201
сходится к ней почти всюду (несмотря на то, что бывают точки, в
которых сходимости нет). До появления более общего результата Кар-
лесона даже это в течение полувека оставалось открытой проблемой.
При этом для всякой функции / £ £2[0,2π] ее ряд Фурье сходится
к ней в метрике Ζ,2[0,2π], что доказывается очень просто для любого
ортонормированного базиса (см. гл. 5).
Один из простейших фундаментальных фактов содержится в
следующей теореме Римана-Лебега.
4.5.2. Теорема. Пусть f е Сг[а,Ь] и ап —> сю. Тогда
pb pb
lim / f(t) sin ant dt — lim / fit) cos ant dt = 0.
n-^oo Ja n-^oo Ja
В частности, коэффициенты Фурье интегрируемой на [0,2π] функции
стремятся к нулю.
Доказательство. Если / = I[c,d)i то равенство проверяется явно.
Оно остается в силе и для конечных линейных комбинаций
индикаторов промежутков. Наконец, что*для всякого е > 0 найдется такая
линейная комбинация индикаторов д, что интеграл функции |/ — д\ по
[а, Ь] меньше ε. Тогда интеграл от f(t) sinant отличается от
интеграла g(t) sin ant меньше, чем на ε, а последний по абсолютной величине
меньше ε при всех достаточно больших п. Для cosant аналогично. D
Далее в этом разделе при рассмотрении интегрируемых функций
на [0,2π] будем переопределять их в 2π равенством /(2π) = /(0) и
периодически продолжать на всю прямую. Для исследования
сходимости тригонометрических рядов Фурье полезно следующее
представление частных сумм, получаемое с помощью тождества
1 Λ 7 sin ^±±2
- + cos ζ + cos 2z Η h cos kz = „ . y
2 2 sm |
и элементарных преобразований:
η
Sn{x) · = ~7Γ + X^[afc coshx + bk sin kx] —
π Jo
fc=l
2π sin^±l
x + t) л . % dt. (4.5.3)
2sin§
Действительно, из равенства cos for cos fc£ -f sinfcxsinAtf = cosfc(£ — x)
находим
<№) = - / № - + V>sfc(*-x) Λ,

202
Глава 4. Связь интеграла и производной
что в силу указанного выше тождества дает представление
ад = ^/0 *«> 2sln^ Дд.Л, /(^ + W)-^nT^
Ввиду 27г-периодичности подынтегральной функции получаем нужное
равенство. Если подставить / = 1, то ап — Ьп = 0 при η ^ 1 и ао — 2,
поэтому придем к полезному тождеству
Ι /2π
Wo
sin
2n+JU
2 sm I
Функция
^ , ч lsin^hl^
£>n(*) = 2_
π 2 sin |
называется ядром Дирихле. Формула (4.5.3) лежит в основе различных
достаточных условий поточечной сходимости рядов Фурье. С помощью
27г-периодичности / и Dn и четности Dn получаем
/ f(x+t)—r\-dt= I f(x+t)—гЧ— Л= / /(ζ-*)—г4—Л.
Л sinf 7_π sin § Jo sin |
Это дает представление
1 /*π sin 2n+lt
Sn{x) = r- / [/(x + «) + f(x - t)]—г4- Я- (4.5.4)
2π J0 sin 2
4.5.3. Пример. (Условие Дини) Пусть / имеет период 2π и
интегрируема на [0,2π], причем функция ψ: t н+ t_1 [/(х-ft)—2/(х)+ /(χ—£)]
интегрируема на [Ο,π]. Тогда lim Sn(x) — /(ж). Например, это верно,
п—юо
если функция t н-*· £-1 [/(# + £) — /(ж)] интегрируема на [—δ, δ] при
некотором δ > 0, в частности, если / дифференцируема в точке х.
Действительно, равенство (4.5.4) дает следующее представление:
1 Γπ sin 2п+Ч
S„(*) - /(χ) = — / [/(χ +1) + /(χ - ί) - 2/(χ)] . 2t dt =
1 Л #, х t . 2п + 1 ,
= — / ψ{τ)-—rsin—-—tdt.
2π70 sin f 2
2
По теореме Римана-Лебега правая часть стремится к нулю при η —> оо
ввиду интегрируемости ^ и ограниченности t/sm(t/2) на [Ο,π].
Следующий гаршкаи Валле-Пуссена тоже использует (4.5.4).
4.5.4. Теорема. Пусть χ фиксировано. Предположим, что
функция φ(ί) — /(χ + t) + /(χ — t) удовлетворяет следующему условию:

4.5. Дополнения и задачи
203
на (0,7г] имеет ограниченную вариацию функция
1 Ги
ф(и) = - / tp(t) dt.
и Jo
Пусть lim ф(и) = 25. Тогда lim SJx) = 5.
и—>0 η—>οο
Доказательство. Заметим, что у?(£) = VW + ^Ч*) ПРИ почти
всех t £ [0,2π]. Можно считать, что S = 0. В силу (4.5.4) равенство
lim Sn(x) = 0 равносильно соотношению
п—>оо
lim / φίί)—:-4—Λ = 0,
n—°° Уо sln f
которое ввиду теоремы Римана-Лебега сводится к равенству
lim / фП)
п-^ooJq
sin^tl*
π
dt = 0,
ибо функция <£>(£)/ sin(i/2)r-2y?(i)/i интегрируема на [0, π] из-за
ограниченности функции l/sin(£/2)— 2/ίπψ' € /^[Ο,π]. Мы имеем ф — ф\—фъ
где ф\ и фъ возрастают. Можно считать, что tim^i(£) = lim ^2 (О = 0.
Для данного ε > 0 найдем такое η > 0, что φι(ή) < £· Тогда по второй
теореме о среднем получаем
/ tfi(*) зг—Λ = ^1(17)/ Γ—Μ = Ψι(ν) dv,
Л) * h г J(n+l/2)t v
где ξ Ε [0,77]. Поскольку функция sinv/v несобственно интегрируема
по Риману на (0, -foo), то существует такая постоянная С, что
выражение в правой части полученного равенства по абсолютной величине
оценивается через (7ε. Остается заметить, что при фиксированном η
lim /
n-*°°Jri
sin2n±lt
φχ(ί) -2 dt = 0
по теореме Римана-Лебега. Такое же рассуждение применимо ик^2,
что завершает доказательство. D
Отметим, что функция φ абсолютно непрерывна и имеет
ограниченную вариацию на каждом отрезке [ί, 2π] с δ > 0. Поэтому условие
Валле-Пуссена — это ограниченность вариации в окрестности нуля.
4.5.5. Пример, (i) (Признак Жордана) Если функция / имеет
ограниченную вариацию в окрестности точки х, то ряд Фурье /
сходится в точке χ к [f(x + 0) + f(x — 0)]/2. Если же функция / имеет
ограниченную вариацию на [0,2π] и непрерывна, то ее ряд Фурье
сходится к ней в каждой точке.

204
Глава 4. Связь интеграла и производной
Действительно, если / в окрестности χ имеет вид f\ — /2, где
функции /ι и /2 положительны и возрастают, то ч/> также имеет
ограниченную вариацию. Это следует из того, что для монотонной функции д
(мы рассмотрим g(t) := fi(x + t) — f2(x — t) и g(t) := fi(x-t)-f2(x + t))
функция
1 fx
G(x) = — / #(w) dw
также монотонна (задача 4.5.25).
(ii) (Признак Дини в терминах φ). Для сходимости ряда Фурье /
к S достаточна интегрируемость функции h(t) = φ(ϊ)/ί в окрестности
нуля. Действительно, мы имеем
ф(и) = Х(и) - - [ X(t) Л, χ(*) = / h(s) ds.
и Jo Jo
Это ясно из сказанного выше, ибо функция χ имеет ограниченную
вариацию.
Отметим, что признаки Дини и Жордана не вытекают друг из
друга. Например, если f(x) — (lnx)-1 при χ £ (0,1/2) и f(x) = 0 при
χ £ [1/2,2π), то в точке 0 выполнено условие Жордана, но не
условие Дини. Если же f(x) = у/х8ш(1/х) при χ £ (Ο,π) и f(x) = 0 при
χ £ [π,2π), то в точке 0 выполнено условие Дини, но не условие
Жордана.
Сделаем несколько замечаний о скорости убывания
коэффициентов Фурье.
(1) Если функция / удовлетворяет условию Гёльдера с показателем
а £ (0,1], т.е. \f(x + К) - f(x)\ ^ C\h\a, то
ап = 0{п-«), Ьп = 0(η"β), Сп = 0(п-<*).
Действительно, замена t = s -f π/η дает
/»2π /»2π—π/η
/ f(t) exp(-int) dt — — Ι f(s + π/η) exp(—isn) ds =
JO J-π/η
Λ2π
/(s + π/η) ехр(-гзп) ds
/о
Следовательно,
λ2τγ
JO
1 Г*
Cn = —= / [f(t) - f(t + π/η)] exp(-int) dt,
2ν2π Уо
1текает сказанное.
ϊ функция / имеет ограниченную вариацию, то
ап = Οίη"1), 6П = 0(п-х), Сп = 0(п-г).

4.5. Дополнения и задачи
205
Действительно, можно считать функцию / непрерывной слева,
переопределив ее на счетном множестве точек разрыва. По формуле
интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса имеем
I f(t)exp(—int)dt = —in~1 I exp(—int)df(t),
Jo Jo
что по абсолютной величине не превосходит n~1VQ7r(f).
(3) Если функция / абсолютно непрерывна, то
αη = ο(η~λ), Ьп = о(п~г), enjoin'1).
Это видно из предыдущего, так как после интегрирования по частям
появляется коэффициент Фурье интегрируемой функции /'.
Приведем простое достаточное условие равномерной сходимости
ряда Фурье (доказательство отнесено в задачу 4.5.23).
4.5.6. Теорема. Пусть f £ £х[0,2π] продолжена 2π-периодически,
причем для всякого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
/«l/fr + O-VM + fl-OI^. νι€,0,2π],
Jo t
т.е. функции t ь-> t~l[f{x + t) — 2f(x) + f(x — t)], x £ [0,2π], равномерно
интегрируемы. Тогда ряд Фурье сходится к f равномерно.
4.5.7. Пример. Если функция / удовлетворяет условию Гёльдера
\f(x + t) - f(x)\ ^ C\t\a, где а > 0, /(0) = /(2тг), то ряд Фурье
сходится к / равномерно. В частности, достаточно (задача 4.5.22), чтобы
функция / была абсолютно непрерывна и /' £ Lp[0,2π], где ρ > 1.
Для улучшения сходимости рядов часто используется
суммирование по Чезаро, т.е. переход от ряда с общим членом ап и частичными
суммами sn — Σ%=1 otk к последовательности ση := (s\ + · · · -f sn)/n.
Если ряд Υ^=ι<%η сходится к числу 5, то к s сходится и
последовательность ση, но указанное преобразование может дать сходящуюся
последовательность из расходящегося ряда (например, ап = (—1)п).
Еще один способ суммирования рядов называется суммированием по
Абелю. Он состоит в рассмотрении степенного ряда S(r) := Y^=1 саигп
при г £ (0,1). Если суммы S(r) определены и имеют конечный предел
s при г —► 1, то s называется суммой ряда Σαη по Абелю. Если ряд
суммируем к числу s по Чезаро, то он суммируем к s и по Абелю
(задача 4.5.13). Применительно к рядам Фурье суммирование по Чезаро
с помощью представления (4.5.3) и равенства
п-1
У^ sin(2fc + \)z = sin2 nz/ sin ζ
fc=0

206
Глава 4. Связь интеграла и производной
(оно следует из тождества 2sinζsin(2fc + l)z = cos2kz — cos2(fc + l)z)
приводит к следующим суммам Фейера:
ση{χ) := *ο(*) + -" + 3η-ι(*) = ί2π f{x + ζ)φη{ζ)^ (4 5 5)
где функция
*/ч * ^sin^^ 1 /. nz,. s\*
ν ' 2πη^ sinf 2πη\ 2 ' 2/
fe=o 2
называется ядром Фейера. Ядра Фейера неотрицательны, что
кардинально улучшает свойства сходимости.
С помощью (4.5.4) суммы Фейера можно записать в виде
*п(х) = Г[/(х + z) + f(x - ζ)]Φη(ζ) dz. (4.5.6)
./о
Для дальнейшего отметим равенства
f " Φη(ζ) dz = 1, j* Φη(ζ) dz = 1. (4.5.7)
Для этого достаточно положить / = 1 в (4.5.5) и (4.5.6).
4.5.8. Теорема. Если f — 2π-периодическая функция,
интегрируемая на [0,2π], то для всякой ее точки Лебега χ (см. следствие 4.4.3)
оо
имеем fix) = lim ση(χ) = — + lim > \an cosnx + bn sinnx]rn.
JK ' n-юо v ' 2 r-+l-£-'V J
Доказательство. Ввиду задачи 4.5.13 достаточно доказать
первое равенство. Можно считать, что f(x) = 0. Кроме того, общий
случай сводится к случаю χ = 0. Мы будем пользоваться
представлением (4.5.6). При ζ £ [0,π] мы имеем Φη(ζ) ^ η/2, Φη(ζ) <, π/(2ηζ2).
Первая оценка очевидна из того, что Фп является суммой η слагаемых,
не превосходящих по абсолютной величине 1/2, так как
| sin(s/2)| ^ \ζ\/π, \ sin(fc + l/2)z\ ^ n\z\.
Вторая оценка следует из того же неравенства для sin(z/2) и
неравенства |sin(n^/2)|2 < 1. Используя первую оценку при ζ £ [0,1/п],
а вторую при ζ > 1/п, мы получаем
jT[i/(*)i+i/(-*)i]*»(*)d*<

4.5. Дополнения и задачи
207
Первое слагаемое в правой части стремится к нулю ввиду
предположения, что χ — 0 является точкой Лебега и /(0) = 0. Второе слагаемое
с помощью интегрирования по частям с использованием функции
П*) = Г[1/(*)1 + 1/И)1]я
Jo
приводится к виду
^№)π-2 -F(n">2] + l£j(z)z-*dz.
Это выражение стремится к нулю при η —> оо. В самом деле, по
указанной выше причине F(z) ^ Ψ(ζ)ζ, где ^ ~~ ограниченная
положительная измеримая функция с lim φ(ζ) = 0. Поэтому nFin-1) —> 0,
F(2)z~3 ^ φ{ζ)ζ~2. Для данного ε > 0 найдем такое δ > 0, что ^(г) ^ ε
при 2 ^ δ. Затем подберем такое Ν > ί"1, что η-1 / φ(ζ)ζ~2 dz < ε
при всех п^ N. При таких η мы имеем
ρπ ρδ
η"1 / φ(ζ)ζ~2 dz ^ η"1 / φ(ζ)ζ~2 dz + ε < 2ε,
Λ/η Λ/η
что завершает доказательство. D
Покажем, что в случае непрерывной функции суммы Фейера
сходятся к ней равномерно на [0,2π], а в случае интегрируемой функции
сходимость имеет место в метрике L1[0,2π]. Ряд Фурье таких свойств
не имеет (см. задачу 6.10.85).
4.5.9. Теорема. Пусть f — 2π-периодическая функция,
интегрируемая на [0,2π]. Тогда
/»2π
lim / \f(x) — ση(χ)\άχ = 0.
η-*°° Jo
Если же функция f непрерывна, то lim sup \f(x) — ο·η(χ)\ = 0.
п-*°°же[0,27г]
Доказательство. Предположим сначала, что функция /
непрерывна. Оценим разность |/(х) — ση(χ)\. Из (4.5.6) и (4.5.7) находим
f(x) - ση(χ) = Γ[2/(χ) - f(x + z)- f(x - ζ)]Φη(ζ) dz.
Jo
Достаточно оценить интеграл от \2f(x) — f(x+z) — f(x — ζ)\Φη(ζ).
Положим С := s\ipye[02n] \f(v)I· Пусть ε > 0. Ввиду равномерной
непрерывности / найдется такое δ £ (0,1), что |/(х) — f(y)\ ^ ε при \х — у\ ^ δ.

208
Глава 4. Связь интегргта и производной
Поэтому интересующий нас интеграл не превосходит
2ε + / \2f(x)- f(x + z)-f(x - ζ)\Φη(ζ) dz^2e + 4C Φη(ζ) dz ^
^ 2ε + / z~2dz < 2ε +
η J δ
2тгС
ηδ '
где мы использовали оценку Φη(ζ) ^ 2~1πη~1ζ~2 из доказательства
предыдущей теоремы. При достаточно больших η правая часть не
превосходит 3ε, откуда следует равномерная сходимость ση к /. В
случае лишь интегрируемой функции для заданного ε > 0 найдем такую
непрерывную функцию д, что д(0) = д(2ж) и
\f(x)-g(x)\dx <ε.
/о
По доказанному суммы Фейера σ£ для д сходятся к д равномерно, а
потому и в метрике L1, т.е. найдется такое Ν, что
г2п
\д(х) — 0"n(x)l dx ^ε при п^ N.
/о
Осталось сравнить суммы Фейера σ£ для / с σ£. Мы имеем
/·2π /»2π /»2π
Jo
./о
/ \σζ(χ) - σ%(χ)\άχ ^ / / \f{x + ζ) -д{х + z)\$n{z)dzdx =
Jo Jo Jo
ρ2π ρ2π ρ2π
= / / \f(x + z)-g(x + z)№n{z)dxdz^e Φη(ζ)άζ = ε.
Jo Jo Jo
Используя равенство / — σζ = f — g + g — <τ%+σ% — σζ и неравенство
треугольника, оцениваем интеграл от |/ — σζ\ через 3ε при η ^ Ν. Ώ
Известно, что если тригонометрический ряд сходится всюду, кроме
не более чем счетного множества точек, к конечной интегрируемой по
Лебегу функции, то этот ряд является рядом Фурье своей суммы (см.
Харда, Рогозинский [225, с. 144]). Напомним, что ряд Фурье
интегрируемой функции может не сходиться ни в одной точке. Тем не менее,
ряды Фурье обладают следующим удивительным свойством
интегрируемости.
4.5.10. Теорема. Пусть f £ £х[0,2π]. Тогда для всякого отрезка
[о, Ь] С [0,2π] справедливо равенство
I f(x)dx= lim / Sn(x)dx.
J a n^°° J a
Таким образом, ряд Фурье интегрируемой функции можно почленно
интегрировать независимо от того, сходится он или нет.

4.5. Дополнения и задачи
209
Доказательство. Можно считать, что а = 0. Положим
F(x) = Г f(y)dy.
Jo
Функция F абсолютно непрерывна, поэтому ее можно разложить в
сходящийся ряд Фурье F(x) — Ао/2 + J^Li (Ап cos nx -f Bnsinnx).
Формула интегрирования по частям дает
1 ί2π 1 /*2π bn
Ап = — F(x) cos nx dx = / f(x)smnxdx = —-.
π J0 πη J0 η
Аналогично Вп = an/n. Итак,
oo
F(x) — Aq/2 -f 22, η_1Κ s^n nx ~~ bn cos nx).
n=l
При ж = 0 находим Ао/2 — Y^L1 bn/n. Окончательно получаем
оо
F(x) = yj п~г[ап sin nx — bn(l — cosnx)],
n=l
что совпадает с пределом интегралов от Sn по [0,х]. Поскольку это
верно для всякой точки х, то теорема доказана. D
Попутно мы установили следующий неочевидный факт.
4.5.11. Следствие. Для всякой интегрируемой на [0,2π]
функции f ряд Σ™=ι Ьп/п сходится.
Про тригонометрические и ортогональные ряды см. Ахиезер [13],
Бари [19], Зигмунд [85], Кашин, Саакян [95], Суэтин [199], Харди,
Рогозинский [225], Эдварде [244], Garsia [354], Grafakos [369], Kufher,
Kadlec [426], Olevskii [472], где можно найти дополнительные ссылки.
Задачи
4.5.12.° Пусть μ — мера на пространстве X и функция / на Χ χ [α,6]
такова, что функции χ н-> f(x,t) интегрируемы, а функции t ь-> f(x,t)
абсолютно непрерывны, причем функция df/dt интегрируема относительно /ι®λ,
где λ — мера Лебега. Доказать, что функция t»—> I /(£, χ) μ(άχ) абсолютно
г df(x,t)x
непрерывна и ее производная п.в. равна / —~—- μ(άχ).
Jx &
4.5.13. Доказать, что если ряд суммируем к числу s по Чезаро, то он
суммируем к θ и по Абелю (см. §4.5(И)).
4.5.14. Пусть Ε С IR1 — множество лебеговской меры нуль. Построить
липшицеву функцию на И1, не дифференцируемую в точках Е.

210
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.5.15.° Пусть /п — возрастающие абсолютно непрерывные функции
на [0,1], причем f(t) = J2™=i /**(*) < °°· Доказать, что функция / абсолютно
непрерывна.
4.5.16? Пусть функция / на [а, Ь] такова, что для всякого ε > 0 найдется
такое 6 > 0, что |Σ^=1[/(^) — /(«г)]| < S для каждого конечного набора
попарно непересекающихся отрезков [сц, Ьъ] в [а, Ь] с ΣΓ=ι Ι&» ~~ αλ < ε· Доказать,
что функция / абсолютно непрерывна.
4.5.17. Пусть функция / на [а, Ь] такова, что для всякого ε > 0
найдется такое 6 > 0, что для каждого конечного набора отрезков [ai,bi] в [а, Ь]
с ΣΓ=ι Ι&» — α*Ι < ε имеем ΣΓ=ι I/(&») ~~ /(а*)1 < ^ (отрезки могут
пересекаться). Доказать, что функция / липшицева.
4.5.18. Пусть функция /на [а, Ь] такова, что для всякого счетного
набора отрезков [сим] в [а,Ь] с ΣΖι \bi ~ аА < °° имеем Y^LX \f(h) - /(α*)| < оо
(отрезки могут пересекаться). Доказать, что функция / липшицева.
4.5.19? Доказать следующую теорему Хелли: из всякой равномерно
ограниченной последовательности возрастающих функций на отрезке можно
выделить поточечно сходящуюся подпоследовательность.
4.5.20? Доказать, что функция / на [0,1] имеет ограниченную вариацию
в точности тогда, когда \f(t) — f(s)\ ^ g(t) — g(s) при t > s, где д — некоторая
возрастающая функция.
4.5.21. Построить пример непрерывной возрастающей функции на [0,1]
с плотным множеством точек недифференцируемости.
4.5.22. Пусть функция / абсолютно непрерывна на [0,1] и /' е £р[0,1],
где ρ > 1. Доказать, что |/(t) - f(s)\ ^ C\t - s|a, где С = ||/'||i,p, а = 1 - 1/р.
4.5.23. Доказать теорему 4.5.6.
4.5.24. Доказать следующее неравенство Чебышёва для монотонных
функций: если φ и ф — неубывающие конечные функции на [0,1], а ρ —
вероятностная плотность на [0,1], то
/ φ(χ)φ(χ)ρ(χ)άχ^ Ι φ(χ)ρ(χ)άχ Ι φ(χ)ρ(χ)άχ.
Jo Jo Jo
Если же φ возрастает, а ф убывает, то верно противоположное неравенство.
4.5.25. Пусть функция д монотонна на [0,1]. Доказать, что функция
G(*) = - Г g{u)du
я Jo
также монотонна.
4.5.26. Пусть функция F на [0,1] имеет ограниченную вариацию и
непрерывна слева. Из предложения 4.4.7 имеем разложение F = Fac + ^sing,
где функция Fac абсолютно непрерывна и F^ing(t) = 0 п.в. Доказать, что
справедливо равенство V(F, [0,1]) = F(Fac, [0,1]) + V(Fsing, [0,1]).
4.5.27. Пусть функция / непрерывна и строго возрастает на [0,1].
Доказать, что функция /-1 абсолютно непрерывна в точности тогда, когда
множество {х: f{x) — 0} имеет меру нуль.

Глава 5
Нормированные и евклидовы
пространства
В этой главе обсуждаются основные геометрические и
топологические свойства нормированных и евклидовых пространств —
важнейших типов пространств функционального анализа.
5.1. Нормированные пространства
Из курса линейной алгебры известно понятие линейного (или
векторного) пространства.
5.1.1. Определение. Линейное пространство X надполем
вещественных или комплексных чисел называется
нормированным, если оно наделено функцией || · || —> [0, +оо), называемой
нормой и удовлетворяющей следующим условиям:
(i) ||#|| = 0 лишь при χ = О,
(и) ||α#|| = Н||ж|| для всех χ G X и всех скаляров а,
(Ш) (неравенство треугольника) ||# + у|| ^ ||#|| + ||у|| для всех
векторов х,у е X.
Из условий (i) и (Ш) ясно, что всякое нормированное
пространство оказывается метрическим пространством, если в
качестве расстояния между χ и у взять ||# — у||. Нетрудно проверить,
что отображения {х, у} н-> χ + у и {<*, х} н-> ах непрерывны.
В классе нормированных пространств имеется важный
подкласс евклидовых пространств (называемых так в честь
выдающегося античного математика Евклида).
5.1.2. Определение. Линейное пространство X над полем
вещественных или комплексных чисел называется евклидовым,
если на Χ χ X задана функция (·, ·) со значениями в
соответствующем поле скаляров и выполнены следующие условия:

212 Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
(i) (ж, х) ^ 0, причем (#, х) = О лишь при х = 0,
(и) (#,у) = (у,ж) для всея: х,у Ε Χ (в вег^есшвеммол* случае
это значит, что (х,у) = (у,#)),
(in) (ах + βy, г) = а(х, ζ) + /?(у, г) для всех x,y,z Ε Χ и всех
скаляров α, β.
Функция с указанными свойствами называется скалярным
произведением. Если (а, Ь) = 0, то пишут a J_ Ъ и называют
векторы а и Ь взаимно ортогональными.
Отметим, что в комплексном случае (х,ау) = а(#, у). В этом
случае говорят, что скалярное произведение сопряженно-линейно
по второму аргументу.
Положив ||а;|| := у/(х,х), получаем норму на евклидовом
пространстве X (называемую евклидовой нормой). Неравенство
треугольника после очевидных преобразований сводится к
неравенству Коши-Буняковского
\{х,у)\2 <(ж,ж)(»,1/),
вытекающему из того, что (х + ty,x + ty) ^ 0 при всех t 6 К1.
Комплексный случай аналогичен.
Поскольку нормированные и евклидовы пространства
оказываются метрическими пространствами, то можно говорить об их
полноте (относительно метрики, порожденной нормой).
5.1.3. Определение. Полное нормированное пространство
называется банаховым пространством. Полное евклидово
пространство называется гильбертовым пространством.
Терминология связана с именами выдающихся математиков
Стефана Банаха и Давида Гильберта.
Рассмотрим важнейшие примеры евклидовых пространств.
5.1.4. Пример, (i) Множество I2 бесконечных вещественных
последовательностей χ = (хп) таких, что Σίϋι \χη\2 < °о,
является евклидовым пространством со скалярным произведением
оо
(Ж, у) =^ХпУп-
п=1
В комплексном случае надо положить
оо
(я, у) =]Ряп2М-
п=1
Пространство I2 полно, т.е. гильбертово (а потому и банахово).

5.1. Нормированные пространства
213
(ii) Рассмотрим пример, предполагающий минимальное
знакомство с материалом глав 2 и 3. Пусть μ — неотрицательная
счетно-аддитивная мера на пространстве Ω и £2(μ) — класс экви-
валентностей квадратично-интегрируемых функций, введенный
в гл. 3. Скалярное произведение на 1?(μ) вводится по формуле
(/,5)= / ί(ω)0{ω)μ(άω),
где под интегралом фигурируют произвольные представители
классов эквивалентности. Пространство £2(μ) полно. Однако
если ограничиться лишь интегрируемыми по Риману функциями,
то получится неполное пространство. Здесь видно одно из
преимуществ интеграла Лебега.
Множества {х: \\х\\ ^ 1} и {х: \\х\\ = 1} в нормированном
пространстве называются единичным шаром и единичной сферой.
Не всякая норма может быть получена из скалярного
произведения. Простейшим примером является следующая норма на
плоскости: ||ж|| = max(|a;i|, \χ2\)- Единичный шар по этой
норме — квадрат. Имеется следующий критерий (теорема Йордана-
фон Неймана) того, что данная норма || · || на линейном
пространстве X порождается скалярным произведением: равенство
параллелограмма
1к + у||2 + 1к-у||2 = 2И2 + 2|Ы|2
должно быть выполнено для всех #, у Ε Χ. Необходимость
этого условия проверяется тривиально, а достаточность отнюдь не
очевидна (см. задачу 5.6.36).
Наличие линейной структуры позволяет рассматривать в
нормированных пространствах сходимость не только
последовательностей, но и рядов. Будем говорить, что ряд Ση£=ι χη из векторов
нормированного пространства X сходится к вектору χ Ε X, если
выполнено равенство lim IIχ — У)™ ι хп\\ — 0.
га—►оо"
5.1.5. Предложение. Полнота нормированного
пространства X равносильна тому, что из сходимости числового ряда
из норм Στιΐι 11жп|| следует сходимость ряда из векторов хп.
Доказательство. Если X полно, то ряд из таких векторов
сходится, ибо неравенство треугольника показывает
фундаментальность последовательности его частичных сумм. С другой
стороны, пусть сходимость ряда из норм влечет сходимость самого

214
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
ряда. Пусть {хп} — фундаментальная последовательность в X.
Возьмем подпоследовательность {хПк} с \\хПк — %nk+l\\ ^ 2~fc.
Тогда сходится ряд из хПк — хПк+1, что означает сходимость
последовательности хП1 —хПк- Значит, сходится и {хп}· □
5.1.6. Определение. Пополнением нормированного
пространства X называется такое банахово пространство X, что
X вложено линейно и изометрично в качестве всюду плотного
линейного подпространства в X.
Пополнением евклидова пространства X называется такое
гильбертово пространство X, что X вложено линейно с
сохранением скалярного произведения в качестве всюду плотного
линейного подпространства в X.
5.1.7. Замечание. В следующей главе (предложение 6.4.6
и замечание 6.5.2) описана простая и естественная конструкция
пополнения произвольного нормированного или евклидова
пространства. Здесь укажем, что по аналогии с известной из
анализа процедурой пополнения множества рациональных чисел (см.
задачу 1.9.30) можно взять в качестве пополнения
нормированного пространства X пространство X классов эквивалентности
всех фундаментальных последовательностей χ = (хп)
пространства X, считая χ = (хп) и у = (уп) эквивалентными, если
фундаментальна последовательность х\, yi,..., хп, уп,..., причем
линейные операции задаются покомпонентно, а норма вводится так:
|| χ || := lim \\хп\\- В случае евклидова пространства полагаем еще
п—>оо
(ж, у) := lim (хп,Уп)· Несложное обоснование предлагается в ка-
п—юо
честве задачи 5.6.16. Отметим, что пополнение в категории общих
метрических пространств еще не решает нашу задачу, ибо теперь
требуется согласование с линейной структурой.
Наименьшее линейное подпространство, содержащее
множество А в линейном пространстве X, называется линейной
оболочкой А или линейным подпространством, порожденным А.
Если X нормировало, то замкнутая линейная оболочка А — это
наименьшее замкнутое линейное подпространство, содержащее А
(оно совпадает с замыканием линейной оболочки А).
Если даны нормированные пространства -ΧΊ,...,Χη, точих
произведение Χι χ Χ2 х · · · х Хп, состоящее из всех наборов ви-
да χ = (#!,... ухп) с Χχ Ε Χι, наделяется естественной линейной

5.1. Нормированные пространства
215
структурой (с покомпонентными операциями) и нормой
м\ = ы\Х1+-~+ыХп.
Это пространство называют также прямой суммой Χχ,...,Χη
и обозначают через Χι Θ ··· ®Хп- В случае евклидовых
пространств Χχ,..., Хп на X вводятся скалярное произведение
(ж, у) := (a?i, j/i)Xi + · · · + (жп, г/п)хп и норма
INt:=(NII^+-- + KII|J1/2.
Легко проверить, что если все Χι полны, то полно и X.
Если даны нормированное пространство X и его замкнутое
линейное подпространство У, то фактор-пространство Χ/Υ",
состоящее из классов смежности [ж] = ж + У, становится
нормированным пространством относительно нормы
\\[x]\\:=mf{\\z\\: ze[x}}.
Действительно, если ||[ж]|| = 0, то найдутся векторы zn Ε [χ]
с ||гп|| -> 0. Имеем ζη = χ + уп, где уп Ε У. Поэтому уп -> -ж
и χ Ε У ввиду замкнутости У, т.е. [ж] = 0. Если ζ Ε [ж], г7 Ε [ж7],
то г + г7 6 [ж + ж']. Поэтому ||[ж] + [ж7]|| ^ ||* + zf\\ < ||*|| + ||г7||.
Значит, || [ж] + [ж7] || ^ ||[ж]|| + ||[ж7]||. Аналогично проверяем, что
1|АМ|| = |А|||[х]||.
Если X полно, то Χ/Υ также полно относительно введенной
нормы. Действительно, пусть элементы [хп] таковы, что сходится
ряд из их норм. Возьмем такие xfn Ε [жп], что Цж^Ц ^ ||[#п]|| + 2_п
при всех п. Тогда ряд из xfn сходится к некоторому ж Ε Χ. Легко
видеть, что ряд из [жп] сходится в Х/У к [ж].
Следует иметь в виду, что банахово пространство X не
обязано быть линейно гомеоморфным произведению Υχ(Χ/Υ), где У —
замкнутое линейное подпространство в X. Более того, в X может
не быть подпространств, изоморфных Х/У (см. задачу 6.10.103).
Введем также комплексификацию нормированного
пространства X и евклидова пространства Ε следующим образом.
Комплексное пространство Хс есть пространство Χ χ X, векторы
которого обозначаются посредством ж + гу, где ж, у € X,
операция сложения задана естественным образом, а умножение на
комплексные числа а + г/9, где α, β Ε И1, задано так:
(а + г/9)(ж + гу) := ах - /9у + г(ау + /9ж).
Норма на Хс задается формулой ||ж + гу\\ := ||ж|| + ||у||.

216
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
В случае евклидова пространства Ε конструкция аналогична,
но вместо указанной нормы задается скалярное произведение по
формуле
(х + гу, и + ίυ) := (χ, и) - (у, г;) + г(у, и) - г(х, г;).
Легко проверить, что Хс и Ее — нормированное и евклидово
пространства, причем они полны, если были полны X и Е.
Наконец, отметим, что если в определении нормы отказаться
от условия ||#|| > 0 при χ φ О, то получим определение
полунормы. Полунормы играют важную роль в функциональном анализе
и обсуждаются по разным поводам ниже (см. также гл. 8).
Линейное пространство X с полунормой ρ иногда называют пред-
нормированным пространством. Множество Х$ := р_1(0)
является линейным подпространством. Фактор-пространство Х/Хо
также становится нормированным пространством, если положить
ИМИ := Р(х) Для всякого класса эквивалентности [х] с
представителем #. Определение корректно, ибо ввиду неравенства
треугольника имеем р(х + ζ) = р(х) при ρ(ζ) = 0.
5.2. Примеры
Приведем список наиболее употребительных банаховых
пространств функционального анализа. Эти пространства играют
важную роль в теории. Кроме того, они используются в
приложениях для построения других пространств (либо как «блоки» для
построения более сложных объектов, либо как образцы методов
построения).
5.2.1. Пример, (i) Множество Β(Ω) всех ограниченных
вещественных (или комплексных в комплексном случае) функций
на непустом множестве Ω с поточечно заданной линейной
структурой, т.е. (/ + д)(и>) = /(а;) + д(ш), (λ/)(α;) = λ/(ω), является
банаховым пространством с нормой
||/|| = «тар |/(*)|.
(ii) При Ω = IN получаем в (i) пространство /°° ограниченных
вещественных последовательностей с нормой
||я|| =sup|a?n|.
η
(iii) Пространство cq состоит из всех вещественных
последовательностей, стремящихся к нулю, и наделяется той же нормой,
что и /°° в (ii); оно тоже банахово, ибо замкнуто в /°°.

5.2. Примеры
217
(iv) Пространство C[a,b] всех непрерывных (вещественных
или комплексных в зависимости от поля скаляров) функций на
отрезке [а,6] банахово с нормой ||/|| = suptG[a6] |/(t)|.
(ν) Пусть 1 ^ ρ < оо. Пространство 1Р бесконечных
вещественных последовательностей χ = (χι, χ<ι,..., χη,...), для
которых Σ^=ι \χη\ρ < °ο, наделенное линейной структурой
(ЖЬ Я2, · · ·) + (l/l, 1/2, · · ·) = (Xl + УЪ χ2 + У2,. . О»
λ(χχ, ^2,...) = (λχι, Аа?2? · · ·)? банахово с нормой
ОО -, /
νι = (Σι*»ιρ) ■
п=1
(vi) Пусть (Ω,,Α, μ) — пространство с неотрицательной
мерой, 1 ^ ρ < оо и LP {μ) — пространство классов эквивалентности
//-измеримых функций (вещественных или комплексных в
зависимости от поля скаляров), интегрируемых в степени р. Сложение
элементов и умножение на скаляр задаются с помощью
представителей классов эквивалентности (сумма классов
эквивалентности с представителями f ид задается представителем f+g). Тогда
ΙΡ{μ) банахово (Ь2(/х) гильбертово, см. пример 5.1.4) с нормой
ιι/ιι = (jf |/имао)1/р,
где под интегралом фигурирует произвольный представитель
класса эквивалентности /, обозначаемый тем же символом.
Обоснование сказанного — задача 5.6.13.
Приведем менее элементарный пример, показывающий, как
нормы стандартных пространств используются для построения
более сложных пространств (его частный случай уже обсуждался
в примере 3.12.9). Еще одним важным примером этого служат
пространства Соболева, обсуждаемые в главе 9.
5.2.2. Пример. Пусть Ω С С открыто, 1 ^ ρ < оо и ΑΡ(Ω) —
пространство Бергмана таких голоморфных в Ω комплексных
функций /, что |/| £ -£^(Ω), где Ω рассматривается с плоской
мерой Лебега. Тогда пространство ΑΡ(Ω) с нормой из ί^(Ω)
является банаховым (в отличие от пространства
вещественно-аналитических функций на (0,1) с нормой из 1^(0,1)), причем ^2(Ω)
гильбертово. Кроме того, пространство ΑΡ(Ω) сепарабельно, а
если Ω — круг, то многочлены плотны в ΑΡ(Ω).

218
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Доказательство. Пусть последовательность {/п}
фундаментальна в ΑΡ(Ω). Тогда она сходится в 17 (Ω) к некоторой
функции / Ε 27 (Ω). Однако нам требуется показать, что эта функция
/ имеет модификацию, голоморфную в Ω. Покажем, что на
всяком замкнутом круге К С Ω последовательность {/п}
сходится равномерно. Из этого, как известно из комплексного анализа,
следует голоморфность предела. Ясно также, что предел почти
всюду совпадает с / (ибо к / почти всюду сходится некоторая
подпоследовательность в {/г}). Возьмем замкнутый круг S С Ω
с тем же центром, что и If, но радиуса, большего на δ > О, чем
радиус К. Нужная сходимость вытекает из следующей оценки
для всякой функции φ Ε ΑΡ(Ω) при zq € К:
\<йЫ\ ^^JsMx + iy)\dxdy < π-^ί-^ΙΜΙ^η). С5·2·1)
Указанная оценка выводится из формулы Коши
2т j7r w - ζ0
где 7г ~ окружность радиуса г < ί с центром в ζ$. Записав эту
формулу в полярных координатах и умножив обе части на г > О,
приходим к оценке
г ί2π
rHzo)\<—J \φ(ζο + τβ«)\Μ,
интегрируя которую по г от 0 до 5, получаем неравенство
δ2\φ(*ο)\ < - / \<p(x + iy)\dxdy,
π JK{zo,6)
где Κ(ζο, δ) — круг радиуса δ с центром zq. Это приводит к
оценке (5.2.1), ибо Х^-норма φ на Κ(ζο,δ) по неравенству Гёльдера
оценивается через (thJ2)1-1/^^^^. Сепарабельность ΑΡ(Ω.)
ясна из того, что они являются подпространствами сепарабельных
пространств 27(Ω) (см. пример 3.8.7). Тот факт, что
многочлены плотны в AP(U) в случае, когда Ω — круг, доказывается так
же, как и в примере 3.12.9. Можно показать, что при 1 < ρ < оо
функции из AP(U), где U — единичный круг, приближаются по
норме своими рядами Тейлора, но при ρ = 1 это не так (см. Duren,
Schuster [335]). Так как £2(μ) гильбертово, то таково и ^2(Ω). D

5.3. Шары в нормированных пространствах
219
На одном и том же линейном пространстве существует
множество различных норм. Две нормы ρ и q называются
эквивалентными, если существуют такие числа с\ и С2, что
с\р(х) ^ q(x) ^ С2р(х) для всех х.
Не всякие две нормы сравнимы. В качестве примера укажем
такие две нормы на пространстве многочленов на [0,1]:
р(х) = I \x(t)\dt + |z'(0)|, q(x) = max \x(t)\.
Jo te[o,i]
Ни одна из этих норм не оценивается через другую.
Отметим, что норму можно ввести на всяком линейном
пространстве X. Для этого достаточно взять алгебраический базис
(базис Гамеля) {va} в X. С помощью аксиомы выбора в §1.1
доказано, что всякое линейное пространство обладает алгебраическим
базисом. Положим
р(х) = \ХЛ11 + · · · + \Хап | при Ж = XaiVai + · · · + Ζαη^αη.
Получаем норму на X. Правда, стоит отметить, что такие
нормы на бесконечномерных пространствах используются лишь для
построения каких-либо контрпримеров и не встречаются в
реальных приложениях.
5.3· Шары в нормированных пространствах
В следующей теореме заключено характеристическое
свойство конечномерных линейных пространств.
5.3.1. Теорема. На всяком конечномерном линейном
пространстве X все нормы эквивалентны.
Доказательство. Возьмем в X базис ei,...,en и с
помощью разложения χ = х\в\ + h жпеп введем норму
р(х) = \χι\ + ·-· + \хп\-
Пусть q — еще одна норма на X. Положим с = max* q(ei). Тогда
η
Ч{х) ^^|яг|д(ег)<ср(я).
г=1
В частности, \q(x) — q(y)\ ^ q(x — у) ^ ср(х — у), т.е. функция q
липшицева, а потому и непрерывна на X с нормой р. Легко
видеть, что единичная сфера S = {х: р(х) = 1} в X с нормой ρ

220
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
компактна. Значит, функция q достигает на этой сфере
минимума га. При этом т > 0, так как q не обращается в нуль вне нуля.
Из оценки q(x) ^ т на S следует оценка q(x) ^ тр(х) на X, ибо
q(tx) = \t\q(x) и p(tx) — \t\p{x). Итак, тр(х) ^ q(x) ^ ср(ж). D
Используя тот очевидный факт, что конечномерное
пространство с указанной в доказательстве нормой ρ полно, а его
замкнутые шары компактны, получаем ряд полезных следствий.
5.3.2. Следствие. В конечномерном линейном
пространстве замкнутые шары и замкнутые сферы компактны.
5.3.3. Следствие. Всякое конечномерное нормированное
пространство полно.
5.3.4. Следствие. Всякое конечномерное линейное
подпространство нормированного пространства замкнуто.
Иная ситуация в бесконечномерных пространствах: здесь
шары положительного радиуса не могут быть компактными. Это
вытекает из следующего результата.
5.3.5. Теорема. Пусть Хо — замкнутое линейное
подпространство в нормированном пространстве X, отличное от X.
Тогда для всякого ε > 0 найдется такой вектор χε Ε X, что
\\χε\\ = 1 и \\χε - у\\ ^ 1 - ε для всех у е Хо-
Доказательство. По условию найдется элемент ζ е Х\Хо.
Положим
<* = inf{||z-y||: yeXo}.
В силу замкнутости Хо имеем δ > 0. Выберем такое εο > 0, что
δ/(δ + εο) > 1 — ε. Возьмем у0 е Хо с \\ζ — уо\\ < δ + εο· Пусть
χε = (ζ — yo)/\\z — 2/oII- Тогда для всякого у Ε Хо получаем
1]Х£-у11 = ^=^\\\г-у°-11*-у4-у^1Т^>1~5'
ибо ν := уо + \\ζ — 2/о|| · У € Хо и потому \\ζ — ν\\ > δ. D
5.3.6. Замечание. Если подпространство Хо конечномерно,
то существует такой элемент ж, что ||#|| = 1 и ||# — у\\ ^ 1 для
всех у 6 Хо- Действительно, в изложенном доказательстве можно
воспользоваться компактностью шаров в Хо и выбрать у о так, что
\\ζ-υο\\ = δ.

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции 221
5.3.7. Следствие. Во всяком бесконечномерном
нормированном пространстве X найдется бесконечная
последовательность векторовхп с \\хп\\ = 1 « ||#n—#fc|| ^ 1 приη φ к. Значит,
все шары в X положительного радиуса некомпактны.
Доказательство. С помощью предыдущего замечания по
индукции легко построить последовательность векторов хп
единичной длины с \\хп — Xk\\ ^ 1 при η φ к. D
Отметим еще один полезный факт, идейно близкий
содержанию этого раздела. Алгебраическая сумма множеств Х\ и Χ<ι в
линейном пространстве определяется как
Х0 + Χι := {αχ + Х2: Х\ € Xl, #2 € Х2}·
5.3.8. Предложение. Пусть Хо — замкнутое линейное
подпространство в нормированном пространстве X. Тогда для
всякого конечномерного линейного подпространства Х\ в X
алгебраическая сумма Xq + Х\ замкнута.
Доказательство. Утверждение сводится к одномерному
пространству Χι, порождаемому вектором ν (n-мерный случаи
получается п-кратным применением одномерного). Можно
считать, что ν не входит в Хо. Тогда ввиду замкнутости Хо имеем
dist(v, Хо) = inf{||i; — ж||: χ Ε Хо} > 0· Пусть элементы вида
Уп = Хп + λην, где хп е Хо? сходятся к у 6 X. Заметим, что
dist(Au,X0) = |A|dist(v,X0)
для всех скаляров λ. Так как уп — Ук = (λη — ^k)v — (хк — #п)> гДе
хк ~~ хп Ε Хо, то \\уп - ук\\ ^ |λη - Afc|dist(?;,Xo). Итак,
последовательность {λη} фундаментальна и сходится к некоторому
числу λ. Тогда существует χ = lim хп Ε Хо- Значит, у = χ + λν. D
η—юо
5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
Важнейшими понятиями, относящимися к евклидовым
пространствам, являются ортогональные проекции и базисы.
5.4.1. Определение. Система взаимно ортогональных
векторов единичной длины в евклидовом пространстве X
называется ортонормированной.
Такая система {еа} называется ортонормированным
базисом в X, если для всякого χ Ε Χ найдутся не более чем счетная
подсистема {еап} С {еа} и конечный или счетный набор
скаляров {сп}, для которых χ = Ση=ι °necin> г^е Ряд сходится в X.

222
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Система векторов называется полной, если ее линейная
оболочка плотна. Ортонормированный базис — полная система.
Числа Сп, называемые коэффициентами Фурье х, однозначно
задаются равенствами
Сп = (ж, еап).
Это следует из непрерывности скалярного произведения: если
ип —> и и vn —» ν по норме в X, то (ип, vn) —► (w, г;) ввиду оценки
\{un,vn)- (щу)\ = \(un,vn) -(un,v) + (un,v)- (u,v)\ ^
<К11К-^|| + 1Н1К-«||.
Из этого же следует равенство Парсеваля:
оо
п=1
Таким образом, если ряд ]Γ^ι °η6η по ортонормированной
системе {еп} сходится по норме, то ]T)uLi \сп\2 < оо. Обратно,
сходимость последнего ряда дает фундаментальность
последовательности сумм Ση=ι °ηεη? а в случае полного Хиих сходимость.
5.4.2. Теорема. (Неравенство Бесселя) Пусть {еа} —
ортонормированная система в евклидовом пространстве X.
Тогда для каждого χ Ε Χ множество всех тех а, для которых
(#,еа) φ О, не более чем счетно, причем
Σ\(χ,βα)\2<(χ,χ). (5.4.2)
а
Доказательство. Для всякого конечного ортонормирован-
ного набора ei,..., еп имеем (х — J^LiOe, ^г)щ) -L ej для всякого
j = 1,..., п. Поэтому
η η η η
(х,^2(х,ег)ег) = (^Г(х,ег)ег,^(х>е*)е*) = Σ 1(ж>е0|2·
г=1 г=1 г=1 г=1
Левая часть оценивается через ||#|| (Σ)™=1 |(ж, е^)|2) ' в силу
неравенства Коши-Буняковского, что дает оценку
г=1
Следовательно, неравенство Бесселя верно и для всякой счетной
ортонормированной системы. В частности, для всякого
натурального числа к может существовать не более чем fc||#||2 индексов а

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции 223
с |(ж,еа)|2 ^ 1/fc. Это показывает, что отличными от нуля числа
(ж,еа) могут быть лишь для конечного или счетного семейства
индексов a, D
5.4.3. Лемма. Пусть Е$ — линейное подпространство
евклидова пространства Ε, α Ε Ε, α £ Eq. Тогда следующие
условия равносильны для вектора Ъ Ε Е$:
(i) а — Ь _L Eq, т.е. (α — 6, χ) = 0 для всех χ Ε Eq\
(ii) ||a-b||=inf{||a-z||: xeE0}.
Доказательство. Пусть a — b J_ Eq. При х Ε Eq имеем
\\а-х\\2 = \\а-Ь + Ь-х\\2 =
— (α — Ь, а — b) + 2Re (α — 6,6 — χ) + (b — ж, Ь — ж) =
= ||α-6||2 + ||6-χ||2^||α-6||2.
Пусть выполнено (ii). Предположим, что существует xq ε 2?о, для
которого (а — Ь,#о) Φ 0. Можно считать, что ||#qII = 1. Тогда
а — Ъ = Ъ + (а — b — Ь), b= (a — b> #о)#о·
Заметим, что Ь J_ а — Ъ — Ь, ибо Ъ пропорционален хо и
(ж0, α - 6 - 6) = (#о, α - 6) - (α - 6, жоХ^о, ж°) = °'
Итак, ||а-6||2 = ||Ь||2 + ||а-Ь-6||2, откуда ||а-Ь-6||2 < ||а-6||2 и
Ъ+Ь Ε Eq, т.е. мы нашли вектор в Еос меньшим расстоянием до а,
чем Ь. Полученное противоречие завершает доказательство. D
Следующий простой факт непосредственно вытекает из
доказанной леммы.
5.4.4. Следствие. Если дано конечное ортонормироеанное
семейство βχ,..., еп, то вектор X^LxOe? ег)ег является
ближайшим к χ элементом линейного подпространства, порожденного
векторами βχ,..., еп.
В случае замкнутого подпространства гильбертова
пространства доказанная лемма дает существование ортогональной
проекции и ортогонального разложения.
Для всякого множества Μ в евклидовом пространстве Ε его
ортогональное дополнение зададим равенством
М1- := {х Ε X: (ж, га) = 0 для всех т Ε Μ}.

224
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Тогда М1- — замкнутое линейное подпространство в Е.
Действительно, если векторы хп Ε Μ1- сходятся к #, то
(#, га) = lim (#n, т) — О для всех га Ε М,
п—►оо
т.е. а; 6 Μ-Ч Значит, Мх замкнуто. Аналогично проверяется
линейность М1-. Ясно также, что Μ Π Μ1- = 0, ибо т ± χ при всех
га 6 М, а; 6 М-Ч Наконец, если L — линейная оболочка М, то
ΐΑ = Μ-1, откуда следует также, что и для замкнутой линейной
оболочки L множества Μ мы имеем L = М-Ч
Следующая теорема об ортогональном разложении — одна из
важнейших в геометрии гильбертовых пространств.
5.4.5. Теорема. Пусть Xq — замкнутое линейное
подпространство в гильбертовом пространстве X. Тогда Xq- —
замкнутое линейное подпространство в X, причем X = Хо Θ Xq-,
где слагаемые ортогональны. В частности, для всякого вектора
χ Ε X существует единственный вектор хо Ε Хо с тем
свойством, что χ — хо _]_ Хо, т.е. χ — хо -L у для всех у Ε Хо- При
этом хо — ближайший к χ элемент Хо- Вектор хо
называется ортогональной проекцией вектора χ на подпространство Хо
и обозначается через Рх х.
Доказательство. Ввиду сказанного выше Xq- является
замкнутым подпространством, ортогональным Хо· Покажем, что
всякий элемент χ Ε X входит в сумму Хо θ Xq~. Пусть
S~mf{\\x-y\\: yEXoY
Найдется последовательность {уп} С Хо с \\х — уп\\ —» δ.
Покажем, что эта последовательность фундаментальна. Пусть ε > 0.
Найдется такой номер iV, что \\х — уп||2 < δ2 + ε2/4 при η ^ N.
Пусть щк^ N. Тогда ввиду равенства параллелограмма
\\Уп - Ук\\2 = 2\\х - уп\\2 + 2\\х - Ук\\2 ~ Цх ~ (Уп + Ы/2Ц2 <
^4δ2 + ε2-4δ2 = ε2.
В силу полноты X и замкнутости Хо последовательность {уп}
сходится к некоторому вектору хо Ε Хо- Легко видеть, что
выполнено равенство \\х — хо\\ = Нт \\х — уп\\ = δ. Согласно лемме
п—»оо
имеем χ — хо -L Хо· Полнота в этой теореме важна: см.
задачу 5.6.21; ясно, что достаточно иметь полноту Xq. D

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
225
5.4.6. Следствие. Пусть Хо — замкнутое линейное
подпространство в гильбертовом пространстве X. Тогда
отображение Рх : χ ·—> Рх х, называемое ортогональным проектором
на Хо, линейно и непрерывно, \\РХ х\\ < ||ж||, причем Ρχ = Рх .
Доказательство. Пусть χ е X. Для всякого скаляра λ
вектор XPXqx входит в Хо, а разность Хх — ХРХ χ ортогональна Хо-
Ввиду единственности проекции имеем Рх (Хх) = ΧΡχ0χ.
Аналогично PXq (х + у) = PXq х + PXq у, ибо мы имеем PXq χ + PXq у Ε Χο
и χ + у — Рх χ — Рх у -L Хо· Поскольку χ — Рх χ J_ Рх χ, то
IMP = \\PXok2 + \\х - J^o^ll2, откуда \\РХох\\ к \\х\\. В силу
линейности Рх получаем \\РХ χ — Рх у\\ ^ \\х — у||, что
показывает непрерывность отображения Рх . Наконец, при всех χ 6 Хо
справедливо равенство Рх χ = х. D
Ортогональный проектор называют также оператором
ортогонального проектирования.
5.4.7. Следствие. Пусть {еа} — ортонормированное
семейство в гильбертовом пространстве X. Тогда для всякого χ Ε Χ
ряд Σα(χ, еа)еа сходится и его сумма является ближайшим к χ
элементом замкнутого линейного подпространства,
порожденного векторами еа.
Доказательство. Из неравенства Бесселя следует
сходимость ряда ]Са(#,еа)еа, в котором не более чем счетное
множество членов отлично от нуля. Его сумма является проекцией χ на
упомянутое подпространство. D
5.4.8. Следствие. Пусть X — гильбертово пространство,
{еа} — ортонормированное семейство. На заданном элементе χ
неравенство Бееееля для этой системы обращается в равенство
в точности тогда, когда χ входит в замкнутую линейную
оболочку {еа}.
Доказательство. Сумма ряда из |(ж, еа)|2 равна квадрату
нормы проекции χ на замкнутую линейную оболочку {еа}.
Поэтому равенство в неравенстве Бесселя возможно лишь тогда, когда
элемент χ совпадает с указанной проекцией. D
5.4.9. Замечание. Таким образом, ортонормированная
система {еа} в гильбертовом пространстве полна тогда и только

226 Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
тогда, когда для всякого χ выполнено равенство Парсеваля по
этой системе. Последнее свойство называют замкнутостью
системы. Итак, замкнутость равносильна полноте. Ясно, что это
же равносильно тотальности системы, т.е. равенству {βα}-1- = 0.
В общем случае ортонормированная система является базисом
в замыкании своей линейной оболочки.
Из всякой конечной или счетной последовательности
векторов хп можно получить ортонормированную последовательность
с той же линейной оболочкой с помощью стандартной
процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта. Для этого, считая, что
χι φ 0, положим е\ = #ι/||#ι||, затем возьмем в {хп} первый
линейно независимый с Х\ вектор х^2 и в двумерном
пространстве, порожденном е\ и ж^2, возьмем единичный вектор б2,
ортогональный е\. Построение продолжается по индукции: если
векторы ei,...,en уже построены и их линейная оболочка Еп не
совпадает с линейной оболочкой {хп}, то возьмем первый
вектор Хкп+п не попавший в Еп, и в линейном пространстве,
порожденном Хкп+1 и Еп, найдем единичный вектор еп+χ,
ортогональный Еп. В итоге получится искомая ортонормированная система.
В сепарабельном пространстве описанная процедура позволяет
легко получить ортонормированный базис. Ниже мы увидим, что
в неполном несепарабельном евклидовом пространстве может не
быть ортогонального базиса.
5.4.10. Теорема. В каждом сепарабельном евклидовом
пространстве Ε φ 0 существует конечный или счетный
ортонормированный базис. При этом базис можно выбрать в линейной
оболочке произвольного всюду плотного счетного множества.
Доказательство. Возьмем всюду плотное счетное
множество {хп} и применим к нему процесс ортогонализации.
Полученная ортонормированная последовательность {еп} — базис.
Действительно, для всякого вектора χ и всякого ε > 0
найдется такой вектор хпу что \\х — хп\\ < е. По построению хп входит
в линейную оболочку векторов βχ,..., βχ при некотором JV < п.
Следовательно, |]# — X^=i(#, ei)ei|| ^ \\х~χη\\ < ε· Тогда при всех
к ^ N имеем \\х - Y%=i(x>ei)ei\\ < \\х ~ Σίι(χ>*)*ϊ\\ < ε, т.е.
ряд с общим членом (χ,βί)β{ сходится по норме к х. D
Из существования базиса вытекает следующий
классический результат об изоморфизме бесконечномерных сепарабель-
ных гильбертовых пространств.

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
227
5.4.11. Теорема. (Теорема Рисса-Фишера) Всякое
бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство
линейно изометрично пространству I2 (над соответствующим
полем). В частности, все бесконечномерные сепарабельные
гильбертовы пространства (над одним полем) линейно изометрич-
ны между собой.
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис
сепарабельного гильбертова пространства Н. Положим
Jx = (xn)n=i) хп = (ж, еп).
Получено линейное отображение в Z2, причем \\Jx\\ = \\х\\- Кроме
того, J(H) = I2. Действительно, для всякого элемента (хп)^=:1 из
пространства I2 ряд Σίϋΐι χη^η сходится по норме в Я, ибо
ra-ffc ..9 ra+fc
/ ^ хпеп\
η=τη п=тп
= Σ w
2
что показывает фундаментальность последовательности
частичных сумм. Для суммы χ этого ряда имеем J χ = (хп)??=1· Π
Приведем примеры ортонормированных базисов.
5.4.12. Пример, (i) Пусть Η — вещественное пространство
L2[0,2π]. Тогда тригонометрические функции
(2n)~1/2,K~1/2cos(nx),n~1/2sm(nx), где η 6 IN,
образуют ортонормированный базис. В комплексном случае
базис образуют функции (2π)~1/2 ехр(гпя), η Ε Ζ. Ортонормиро-
ванность проверяется непосредственно. Для проверки полноты
тригонометрической системы достаточно сослаться на известный
из анализа факт (доказанный в §1.9(ν)): всякая 27г-периодическая
непрерывная функция равномерно приближается конечными
линейными комбинациями этих функций, поэтому их линейная
оболочка всюду плотна ив Ι/2[0,2π].
(ii) Пусть μ — неотрицательная конечная борелевская
мера на отрезке [а, 6]. Тогда множество многочленов всюду
плотно в 1?(μ). Следовательно, процесс ортогонализации функций
1, ж, ж2,... приводит к последовательности многочленов рп
степени п, образующих базис в £2(μ). Для мер с конечным
носителем эта последовательность также конечна. Выбирая различные
отрезки и различные меры, получаем множество ортогональных

228
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
систем из полиномов. Этот способ восходит к П.Л. Чебышёву.
Например, в случае отрезка [—1,1] с мерой Лебега получаем
многочлены Лежандра Ln(x) = Сп^(^2 — 1)п, £о = 1, где Сп —
нормирующие постоянные.
(ш) В пространстве L2(y), где η — стандартная гауссовская
мера на прямой с плотностью ехр(—ж2/2)/х/2тг, ортонормирован-
ный базис образуют многочлены Чебышёва-Эрмита
Линейные оболочки {Нп} и {хп} равны. Ортонормированность
{Нп} проверяется по индукции, а полнота будет доказана в §9.1.
(iv) Функции (2π)-1/4#η(#)βχρ(—х2/4) образуют ортонорми-
рованный базис в L2(IR1). Это равносильно (Ш).
Несепарабельные гильбертовы пространства также имеют ор-
тонормированные базисы. Ниже приведен пример несепарабель-
ного гильбертова пространства.
5.4.13. Теорема. Всякое ненулевое гильбертово,
пространство обладает ортонормированным базисом.
Доказательство. Пусть В — множество всех ортонормиро-
ванных систем в гильбертовом пространстве X, частично
упорядоченное по включению. Всякая цепь Во С В имеет мажоранту,
в качестве которой можно взять объединение V всех векторов,
входящих в семейства из Во. Всякие два различных вектора χ
и у из V ортогональны, ибо χ 6 Vi 6 Во, у 6 V2 Ε Ко? причем
либо Vi С V2, либо V2 С Vi из-за линейной упорядоченности Во-
По лемме Цорна в В есть максимальный элемент, т.е. ортонор-
мированное семейство {еа}, которое не является частью большей
ортонормированной системы. Это означает, что нет ненулевых
векторов, ортогональных всем еа. Из полноты X и теоремы 5.4.5
следует, что линейная оболочка {еа} плотна в X. Значит,
всякий вектор χ является пределом последовательности линейных
комбинаций некоторого счетного набора еап. Из доказательства
теоремы 5.4.10 ясно, что тогда χ = ^nLi(#,ean)ean. ^
5.4.14. Пример. Пусть Г — несчетное множество и /2(Г) —
линейное пространство всех таких вещественных функций χ на Г,
что $^7ег 1Ж(7)|2 < °°? т-е- множество точек η G Г с х{у) Φ 0
не более чем счетно и сумма указанного ряда по таким точкам

5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера
229
конечна. Положим (ж, у) := Х)7€гж(7)у(7)· Ясно, что это
превращает ί2(Γ) в евклидово пространство, причем оно полно из-за
полноты I2 (для всякой счетной последовательности элементов
хп Ε ί2(Γ) имеется общее счетное множество, вне которого все хп
равны нулю). Функции е7 вида е7(г/) = 0 при ν φ η и βΊ(η) = 1
образуют несчетный ортонормированный базис в /2(Г). Поэтому
Ζ2(Γ) несепарабельно. Отметим, что есть вероятностные меры μ,
для которых L2(/x) несепарабельно (например, несчетная степень
меры Лебега на [0,1]).
В несепарабельном неполном евклидовом пространстве может
и не быть ортонормированного базиса.
5.4.15. Пример. Пусть Τ = [0,1], #ι = Ζ2, Я2 = /2(Г),
X := Н\ Θ #2- В I2 имеется базис Гамеля {vt} континуальной
мощности. Будем рассматривать Н\ и Ή.<ι как замкнутые
подпространства (i?i,0) и (0, H<i) в X. Возьмем в X линейное
подпространство L, являющееся линейной оболочкой множества
векторов vt + е^, где {et} — ортонормированный базис в 12(Т) из
предыдущего примера. Тогда в L нет ортонормированного базиса.
Доказательство. Возьмем в сепарабельном пространстве
Н\ ортонормированный базис {еп}. Предположим, что в L есть
ортонормированный базис {иа}. Ввиду неравенства Бесселя для
каждого п есть не более чем счетное множество векторов иа
с (вп,иа) φ 0. Поэтому существует такое счетное множество
индексов {а&}, что (еп,г*а) = 0 при всех п и а $ {&к}· Значит,
иа Ε Ή.2 для всех таких а, но в #2 нет ненулевых векторов из L
из-за линейной независимости vt и ортогональности ЩкЩ.
Значит, базис {иа} счетен, т.е. L сепарабельно. Тогда сепарабельна
и проекция L на #2, что невозможно, ибо эта проекция содержит
базис из #2 и потому плотна в Я2, а Я2 несепарабельно. D
Отметим, что фактически из наших рассуждений следует, что
евклидово пространство L несепарабельно, но в нем нет
несчетных ортонормированных систем.
5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера
В этом параграфе доказывается один из наиболее важных
результатов нелинейного анализа — теорема Шаудера о
неподвижной точке. Предварительно мы введем весьма полезное и само по
себе понятие выпуклого множества.

230 Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.5.1. Определение. Множество V в линейном
пространстве называется выпуклым, если для всяких двух элементов
х,у EV и всякого числа λ Ε [0,1] имеем \х + (1 — \)у Ε V.
Множество V называется уравновешенным, если \v Ε V для
всех ν Ε V и всех скаляров λ с \λ\ ^ 1.
Множество точек вида Хх + (1 — А)у, где λ пробегает [0,1],
называется отрезком с концами ж и у. Таким образом, выпуклое
множество содержит все отрезки с концами из этого множества.
Для всякого множества V в линейном пространстве X
имеется минимальное выпуклое множество, содержащее V
(пересечение всех выпуклых множеств, содержащих V). Это множество
называется выпуклой оболочкой V и обозначается через convV\
Нетрудно проверить (задача 5.6.30), что выпуклая оболочка V
состоит из всех сумм вида Σ%=\ ^iv^ гДе п €^, Vi EV, U Ε [0,1]
Отметим, что для образования выпуклой оболочки
недостаточно взять все отрезки с концами в точках данного множества
(например, в случае трех вершин треугольника это даст не весь
треугольник, а лишь его границу).
Пересечение всех выпуклых уравновешенных множеств,
содержащих V, называется уравновешенной выпуклой оболочкой V
и обозначается через absconvV. Она состоит (задача 5.6.30) из
всех сумм вида Σ^=1 λ^, где η Ε IN, V{ Ε V и Σ?=ι Μ < 1·
Наконец, для множества V в нормированном пространстве
пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих V',
называется замкнутой выпуклой оболочкой V, а пересечение всех
замкнутых уравновешенных выпуклых множеств, содержащих У,
называется замкнутой уравновешенной выпуклой оболочкой V.
Эти множества обозначаются через conv V и absconv V
соответственно.
5.5.2. Предложение. Замкнутая выпуклая оболочка V
равна замыканию выпуклой оболочки V, а замкнутая
уравновешенная выпуклая оболочка V равна замыканию уравновешенной
выпуклой оболочки V.
Доказательство. Достаточно проверить выпуклость
замыкания выпуклой оболочки V. Если χ и у входят в замыкание
convF, то χ = lim хПу у = lim yn, где хп,Уп £ convF. Тогда
п—>оо п—»оо
для всякого t Ε [0,1] имеем tx + (1 — t)y = lim txn + (1 — t)yn, где

5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера
231
txn + (1 — t)yn 6 conv V. Случай замкнутой абсолютно выпуклой
оболочки аналогичен. D
5.5.3. Теорема. (Теорема Шаудера) Пусть К —
выпуклый компакт в нормированном пространстве X и /: К —► К —
непрерывное отображение. Тогда существует χ € К с f(x) = χ.
Доказательство. Мы будем считать известным
конечномерный случай — теорему Боля-Брауэра. Различные
элементарные доказательства есть в задаче 3.12.46, а также в [68, с. 506],
[91, с. 615]. Покажем, что для всякого ε > 0 найдется хе 6 К
с ||/(#ε) — #ε|| ^ ε. Это дает существование неподвижной точки.
В самом деле, из {х\/п} выделим последовательность {ζη},
сходящуюся к некоторой точке χ Ε К, тогда f(zn) —> /(ж), откуда
получаем f(x) = χ, ибо мы имеем ||/(^п) — ζη\\ —> 0.
Зафиксируем ε > 0 и выберем в К какую-нибудь ε/2-сеть
#1,..., χν € К. Пусть S — выпуклая оболочка этих точек. Ввиду
выпуклости К имеем 5 С К. При г = 1,..., N положим
βι(χ) = ε—||ж—a?i|| при ||ж - х%\\ ^ ε, βι(χ) = 0 при \\х — х%\\ > ε.
Легко проверить, что функции βι непрерывны. Заметим, что
N
У^ βι(χ) > 0 при χ еК,
г=1
ибо для каждого χ Ε К найдется такой номер г, что \\х—Х{\\ ^ ε/2.
Поэтому функции
ai{x) = ш
непрерывны на К. Заметим также, что
N
0 ^ oti{x) <1и 5^аг(ж) = 1 ПРИ % ^ К.
г=1
Теперь зададим непрерывное отображение g на К формулой
N
9(х) = ^2,OLi{x)xi.
г=1
Отображение ip = gof:K^>K также непрерывно, причем
"0(5) С S ввиду выпуклости S и условия f(K) С К. В силу
упомянутой теоремы Боля-Брауэра существует ζ 6 S с ψ(ζ) = ζ.

232
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Оценим величину \\f(z) — z\\. Справедливы соотношения
ЛГ N
i=l г=1
N
<Х)о<№))||/^)-я:<||<е,
г=1
так как при \\f(z) — х%\\ > ε имеем ai{f(z)) = 0. D
5.5.4. Предложение. Выпуклая оболочка и выпуклая
уравновешенная оболочка вполне ограниченного множества в
нормированном пространстве вполне ограничены. Замкнутая
выпуклая оболочка и замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка
компакта в банаховом пространстве компактны.
Доказательство. Пусть хг,...,хп — ε-сеть множества V.
Тогда выпуклая оболочка 5 конечного множества {х\,- - - ·>χη}
является ε-сетью выпуклой оболочки V множества V.
Действительно, для всякого χ Ε V найдутся такие векторы νχ,..., ν^ Ε V
и точки ti,..., tfc € [0,1], что Σ^=1 tj = 1 и χ = ]£*=1 tjVj.
Существуют Χιά, для которых \\χιά — Vj\\ < ε. Тогда ζ = Y^j=itjXij E S
и \\x — z\\ < ε. Остается заметить, что множество 5 в
конечномерном пространстве компактно. Случай выпуклой уравновешенной
оболочки аналогичен. Второе утверждение следует из
компактности замкнутого вполне ограниченного множества в банаховом
пространстве. D
5.5.5. Следствие. Пусть V — замкнутое выпуклое
множество в банаховом пространстве X и /: V —► V — непрерывное
отображение, причем f(V) содержится в компакте. Тогда f
имеет неподвижную точку.
Доказательство. Пусть К — замыкание выпуклой
оболочки /(V). В силу условия и доказанного выше предложения К —
выпуклый компакт. При этом f(K) С К. D
Теорема Шаудера является мощным средством
доказательства разрешимости интегральных и дифференциальных
уравнений.

5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера
233
5.5.6. Пример. Пусть φ: И1 —> IR1 иф: И2 —> И1 —
ограниченные непрерывные функции. Тогда на отрезке [0,1] существует
непрерывная функция и, удовлетворяющая интегральному
уравнению
u(t) = φ(ί) + / ^(^(5)>5) ds.
Jo
Действительно, в пространстве С[0,1] зададим отображение /
формулой
/(t*)(t) = y>(t) + / ф(и(8),8)(Ь.
Jo
Множество значений / равномерно ограничено. Кроме того, это
множество равностепенно непрерывно ввиду равномерной
непрерывности φ на [0,1] и ограниченности ф:
|/(u)(t) - f(u)(t')\ ^ \ψ{ϊ) - φ(ί')\ + \t-t'\ sup \ф(х,у)\.
Итак, множество значений / содержится в компакте. В силу
очевидной непрерывности / существует неподвижная точка.
В связи с теоремой Шаудера полезно иметь в виду
следующий результат, описывающий структуру компактов в банаховых
пространствах.
5.5.7. Предложение. Пусть К — компакт в банаховом
пространстве X, Тогда К содержится в замкнутой выпуклой
оболочке некоторой последовательности, сходящейся к нулю.
Доказательство. Для каждого η найдем для К конечную
4~п_2-сеть Кп С К. Множество UuLi-^n плотно в К.
Положим S\ := 2К\. Затем при η > 1 выберем конечные
множества Sn в X следующим образом: для каждого ν G Кп
найдем элемент и Ε Кп-\ с Цг; — и|| ^ 4~п и образуем элемент
х := 2η(ν — и) Ε Χ. Множество Sn, составленное из так
образованных элементов, имеет мощность, не превосходящую
мощности Кп. Так как ||2п(г> — и)\\ < 2~п; то последовательность {жп},
полученная поочередной нумерацией точек из Si, 52,...,
сходится по норме к нулю. Заметим, что каждый элемент ν Ε Κη имеет
вид ν = 2~1#г1 Η h 2~nXin и потому лежит в уравновешенной
выпуклой оболочке {xi} = (JnLi &n- Значит, UnLi ^п входит в
замкнутую выпуклую оболочку {#n}U{—хп}· Остается вспомнить,
что К есть замыкание Ut£=i ^η· Π

234 Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Таким образом, компакты — это в точности замкнутые
подмножества замкнутых выпуклых оболочек последовательностей,
стремящихся к нулю. Задача 5.6.31 дает простое явное описание
таких замкнутых выпуклых оболочек.
Во многих задачах, связанных с выпуклыми множествами,
важную роль играют крайние точки. Точка χ множества Μ в
линейном пространстве называется крайней, если она не является
внутренней точкой никакого отрезка с концами в М, т.е.
равенство χ = tm\ + (1 — £)тп2, где t Ε [0,1] и τη\,πΐ2 £ М, возможно
лишь при т\ — ТП2 = т. В §8.6(iv) мы увидим, что выпуклые
компакты являются замкнутыми выпуклыми оболочками своих
крайних точек.
5.6. Дополнения и задачи
(i) Шары и эллипсоиды (234). (п) Теоремы Кадеца и
Милютина (235). (iii) Упорядоченные векторные пространства и векторные
решетки (236). Задачи (239).
5.6(i). Шары и эллипсоиды
В геометрии банаховых пространств есть интересный раздел,
посвященный строению конечномерных подпространств (так называемая
локальная теория). Мы приведем здесь два результата о сравнении
шаров с эллипсоидами. Банахово пространство X называется финитно
представимым в банаховом пространстве У, если для всякого ε > О
для каждого конечномерного подпространства L С X существует
такое инъективное линейное отображение Tl : L —> Υ, что
(1 - е)М ^ ||ЗД| < (1+е)||х||, χ е L.
Следующий замечательный результат получен А. Дворецким.
5.6.1. Теорема. Гильбертово пространство I2 финитно предста-
вимо во всяком бесконечномерном банаховом пространстве.
Геометрическое содержание теоремы Дворецкого состоит в том, что
для всякого ε > 0 при каждом η в X можно найти такое n-мерное
подпространство Ln с евклидовым шаром Un (в некоторых линейных
координатах), что Un и единичный шар в Ln по норме из X находятся в ε-
окрестности друг друга. Тем самым шар в X имеет «почти евклидовы»
сечения любой конечной размерности. Разумеется, в точности
евклидовых сечений может не быть. Более точная количественная оценка
состоит в следующем. Имеется абсолютная константа С > 0 с таким
свойством. Пусть на Htn дана норма || · ||х с \\х\\х < ||х||, где || · || —
обычная евклидова норма. Обозначим через θχ интеграл от ||х||х по
евклидовой единичной сфере со стандартной поверхностной мерой. Пусть

5.6. Дополнения и задачи
235
О < ε < 1/3 Hfe<n, причем к ^ Οθχη2ε2\ 1ηε| α. Тогда найдется такое
fc-мерное подпространство L С IRn, что
(1 - ε)θχ\\х\\ < ||х||х < (1 + ε)θχ ||*||, χ е L.
Если размерность X конечна, то шары по евклидовым нормам на всем
пространстве могут довольно сильно отличаться от шара по данной
норме X. Однако и здесь есть полезный положительный результат —
теорема Джона. Перед ее формулировкой отметим, что X можно
отождествить с TRn с некоторой нормой || · ||. В единичный шар U по этой
норме можно вписьюать эллипсоиды. Нетрудно проверить, что среди
них есть эллипсоид Uj максимального объема (с точки зрения lRn),
называемый эллипсоидом Джона. Эллипсоид Джона задает
евклидову норму || · || j на X.
5.6.2. Теорема. Имеет место включение U С y/nUj.
Например, если X есть IR с нормой max(|xi|, |x2|)} то единичный
шар — квадрат, а эллипсоид Джона — обычный единичный круг. Здесь
\/2 — радиус наименьшего круга, содержащего этот квадрат.
Доказательства приведенных результатов можно найти в [251, гл. 12].
5.6(H). Теоремы Кадеца и Милютина
Здесь мы приведем два глубоких результата, связанных с
классификацией банаховых пространств. Первый из них — знаменитая
теорема М.И. Кадеца — утверждает, что в категории топологических
пространств все бесконечномерные сепарабельные банаховы пространства
гомеоморфны.
5.6.3. Теорема. Всякие два бесконечномерные сепарабельные
банаховы пространства гомеоморфны. В частности, они
гомеоморфны I2.
Согласно более общему результату Андерсона-Кадеца, это же
верно для бесконечномерных сепарабельных пространств Фреше, а Торун-
чик обобщил эту теорему на пространства равного топологического
веса. Доказательства можно найти в книге Bessaga, Pelczynski [282].
Совершенно иная ситуация возникает, когда рассматриваются
только линейные гомеоморфизмы (еще более специальный случай —
линейные изометрии). В следующей главе будут приведены результаты,
позволяющие различать многие банаховы пространства с точки
зрения линейной топологической классификации. Например, привлечение
сопряженных пространств сразу показывает, что пространства С[0,1]
и L2[0,1] не являются линейно гомеоморфными. С другой стороны,
мы увидим, что всякое сепарабельное банахово пространство линейно
изометрично замкнутому линейному подпространству в С[0,1].
Следующая замечательная теорема принадлежит А.А. Милютину
(доказательство см. в книге Пелчинский [170]).

236 Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.4. Теорема. Пусть К — несчетный метрический компакт.
Тогда пространства С(К) и С[0,1] линейно гомеоморфны.
Однако изометрия между этими пространствами существует редко,
как показывает следующая теорема Банаха-Стоуна (ее доказательство
вынесено в задачу 6.10.174 в гл. 6).
5.6.5. Теорема. Пусть К\ и Кч — компактные пространства.
Пространства С{К\) и С{К2) линейно изометричны в точности
тогда, когда К\ и К^ гомеоморфны.
5.6(iii). Упорядоченные векторные пространства
и векторные решетки
Многие функциональные пространства, встречающиеся в
приложениях, обладают естественным порядком, согласованным с линейной
структурой. Здесь мы кратко обсудим этот вопрос. Пусть Ε —
вещественное линейное пространство, которое наделено частичным
порядком <, согласованным с линейной структурой в следующем смысле:
если χ < г/, то x + z^y + z для всех ζ £ Ε и \х < Ху для всех чисел
λ ^ 0. Тогда Ε называют упорядоченным векторным пространством.
Обратим внимание, что Ε лишь частично упорядочено. Часто в
определение включают антисимметричность порядка, т.е. равенство χ = у
при χ ^ у и у ^ ж, но мы этого не делаем. Ясно, что χ ^ у в точности
тогда, когда χ — у ^ 0. Положим у > х, если χ ^ у. Таким образом,
порядок однозначно определяется множеством
K:={zeE: О 0}.
Это множество называется положительным конусом. Оно обладает
следующими двумя свойствами: z\ -f Z2 £ К при z\, 22 £ К и λζ £ К при
ζ £ К и λ > 0. Обратно, всякое множество с указанными свойствами
задает порядок, согласованный с линейной структурой, если положить
χ ^ у при у — χ £ К, При К Π (—К) = 0 порядок антисимметричен.
На пространстве Β(Ω) всех вещественных функций на непустом
множестве Ω имеется естественный частичный порядок, заданный
поточечным неравенством χ(ω) ^ у(и)· Такой же порядок задан на
пространстве непрерывных функций С(Т) на топологическом
пространстве Т. На пространстве LP {μ) частичное упорядочение / ^ g задается
неравенством f(x) ^ g(x) μ-п.в. для представителей классов
эквивалентности. На пространстве Л4(Л) всех ограниченных вещественных
мер на σ-алгебре Л отношение μ ^ ν естественно задать неравенством
μ(Α) ^ ν(Α) при всех А £ Л. Конечно, всякое вещественное
векторное пространство можно снабдить тривиальным частичным порядком,
положив χ ^ у лишь при χ = у, т.е. взяв К = {0}.
Линейное подпространство упорядоченного векторного
пространства также является упорядоченным векторным пространством с тем
же самым частичным порядком.

5.6. Дополнения и задачи
237
Мажорантой множества F в частично упорядоченном множестве
(Е, ^) называется такой элемент га £ Е, что / ^ га для всех f £ F
(о частично упорядоченных множествах см. §1.1). Мажоранта га
называется точной верхней гранью F, если га ^ га для всякой другой
мажоранты га множества F. Точная верхняя грань единственна, если
порядок антисимметричен. Аналогично определяются термины миноранта
и точная нижняя грань. Частично упорядоченное множество (J5, <)
называется решеткой (или структурой), если для всяких х,у £ Ε
имеется точная верхняя грань χ У у и точная нижняя грань χ Λ у (не
обязательно единственные). Решетка Ε называется полной, если в ней
каждое множество, имеющее мажоранту, имеет и точную верхнюю грань.
Если же указанное условие выполняется для счетных множеств, то Ε
называется σ-полной решеткой. Точная верхняя грань множества F
в решетке Ε обозначается через \J F. Упорядоченное векторное
пространство с антисимметричным порядком, являющееся решеткой,
называется векторной решеткой или пространством Рисса.
5.6.6. Пример, (i) Пусть Τ — такое линейное пространство
вещественных функций на непустом множестве Ω, что тах(/,у) £ Τ
для всех /,# £ Т, где тах(/,^)(х) := тах(/(х),#(х)). Задав min(/,0)
также поточечно, получим min(/, д) = — тах(—/, —д) £ Т, т.е. Τ —
векторная решетка относительно частичного порядка, заданного
поточечным сравнением, причем мы имеем / V д(х) := тах(/(ж),^(х)),
/ Лд(х) := тт(/(ж),#(х)). Заметим также, что |/| £ Τ для всех f £Т.
Поскольку тах(/, #) = (|/ — д\ +/+#)/2, то достаточно требовать лишь
замкнутость Τ относительно взятия абсолютной величины.
(ii) Множество С0 (μ) вещественных μ-измеримых функций
является решеткой с естественным отношением порядка: / ^ #, если имеем
/0е) ^ 9(х) μ-п.в. В качестве / V д и / Λ д следует взять поточечные
тах(/,у) и min(/,y) соответственно. Решетками с тем же отношением
порядка являются классы вещественных функций £ρ(μ), ρ £ (Ο,οο],
а также пространства £ρ(μ) классов эквивалентности.
Последовательность {хп} в векторной решетке Ε называют поряд-
ково сходящейся к ж, если есть такая последовательность {уп} С Е, что
\хп - х\ ^ Уп и Уп I 0, т.е. yn+i ^ уп и inf {yn} = 0.
Приведем ряд полезных результатов о решеточных свойствах
пространств LP\ доказательства можно прочитать в книге [26, §4.7(1)].
5.6.7. Теорема. Пусть (Χ,Α,μ) — измеримое пространство
с σ-конечной мерой μ. Тогда множества С0 (μ) и Ζ/°(μ) являются
полными решетками с указанным выше отношением порядка.
Кроме того, если множество Τ С С0 (μ) имеет мажоранту h, то
существует такое не более чем счетное множество {/п} С Τ, что
f ^ supn fn^h при всех f £ Т.

238 Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.8. Следствие. Для σ-конечной меры μ множества €ρ(μ)
и Lp(/i) при всех ρ £ [О, -f оо] являются полными решетками с
указанным выше отношением порядка. Кроме того, если множество Τ
в €ρ(μ) имеет мажоранту h, то его точная верхняя грань в £ρ(μ)
совпадает с точной верхней гранью в £°(μ), причем существует
такое не более чем счетное множество {/п} С J7, что f ^ supn fn^h
при всех f £ Т.
5.6.9. Следствие. Пусть μ — σ-конечная неотрицательная мера
на пространстве (X, А) и At, t еТ, — некоторое семейство
измеримых множеств. Тогда в нем найдется такое не более чем счетное
подсемейство {Atn}, что μ(Αι\\^^1 Atn) — Q для каждого t.
Отметим, что точная верхняя грань V Τ множества Τ в £ρ(μ)
может не совпадать с поточечно определяемой функцией supyG^· f(x).
Например, пусть F — множество в [0,1]. При t £ F положим ft{s) = 1, если
s = £, ft(s) = 0, если s φ t, где з £ [0,1]. Тогда suptGF ft(s) = i>(s), хотя
точная верхняя грань семейства {ft} в £р[0,1] есть нулевая функция.
Если F — неизмеримое множество, то функция suptGF/t(s) = If(s)
вообще неизмерима. В качестве примера неполной решетки укажем
пространство С[0,1] непрерывных функций с естественным порядком.
В этой решетке множество всех непрерывных функций, равных нулю
на [0,1/2) и не превосходящих 1 на [1/2,1], имеет мажоранту 1, но не
имеет точной верхней грани. Если на множестве измеримых функций
на [0,1] вместо сравнения почти всюду (как было сделано выше)
ввести порядок, порожденный неравенством f(x) ^ g(x) для каждого х,
то также получится неполная решетка.
Укажем также, что приведенные результаты не распространяются
на произвольные бесконечные меры, хотя бывают не σ-конечные меры,
для которых они верны.
5.6.10. Следствие. Пусть μι, t £T, — некоторое семейство
вероятностных мер на σ-алгебре А, абсолютно непрерывных
относительно некоторой фиксированной вероятностной меры μ на А. Тогда
существует такое не более чем счетное множество индексов tn, что
все меры μί абсолютно непрерывны относительно меры ]CnLi 2~ημ*η.
Пространство Λ4(Χ,Α) всех ограниченных знакопеременных мер
на А также является полной решеткой. На Л4(Х, А) есть естественный
порядок: μ ^ ν тогда и только тогда, когда μ(Α) ^ ι/(Α) для всех А £ А.
Если μ, ν £ М(Х, А), то положим
μ У и := μ + (у — μ)+, μί\ν\—μ — (ν — μ)~.
Если μ и ν заданы плотностями / и g относительно некоторой
неотрицательной меры λ (например, λ = |μ| -f |ι/|), το μ V ν = max(/,#) · λ,
μΙ\ν = min (/,#)· Α. Легко видеть, что μΜν является наименьшей мерой,

5.6. Дополнения и задачи
239
мажорирующей μ и ν (т.е. точной верхней гранью μ и ν).
Действительно, если мера η такова, что μ ^ η и ν < η, то выберем неотрицательную
меру λ так, что μ = / - λ, ι/ = д\у η — h-X. Тогда h^ f и /ι ^ д λ-п.в.,
откуда h > max(/,#) λ-п.в. Итак, ΛΊ(Χ, Л) является решеткой.
5.6.11. Теорема. Решетка М(Х, А) полна.
Для векторной решетки Ε положим \х\ := χ V (—χ), ж+ := χ V О,
х+ := (—х) V 0. Верны следующие факты (задача 5.6.63).
5.6.12. Предложение. Пусть Ε — векторная решетка. Тогда
х + у = хУу + хЛу, х = х+-~ х~', \х\ = х+ + х~, \\х\ — |А||ж|,
|# + 2/| < И + \у\ при всех х,у £ X и λ Ε 1R1.
Нормированная решетка — это векторная решетка Е, снабженная
такой нормой || · ||, что \\у\\ < ||х|| при \у\ ^ |х|. Если Ε полно
относительно этой нормы, то Ε называется банаховой решеткой. Заметим,
что ||х|| = |||х[||,таккак |х| = ||х||. Пространства С(К), М(Х, Л), IP (μ)
при 1 < ρ ^ оо являются банаховыми решетками. Заметим, что
банахова решетка не обязана быть полной решеткой (например, С[0,1]).
Задачи
5.6.13? Доказать, что описанные в примере 5.2.1 пространства линейны
и полны относительно указанных норм.
5.6.14.° Доказать, что замыкание линейного подпространства
нормированного пространства является линейным подпространством.
5.6.15.° Доказать, что нормированное пространство полно в точности
тогда, когда в нем сходится каждый такой ряд Σίϋι Xn, что ||хп|| ^ 2~п.
5.6.16.° Обосновать конструкцию пополнения нормированных и
евклидовых пространств, изложенную в замечании 5.1.7.
5.6.17? Показать, что нормированное пространство сепарабельно, если
и только если его единичная сфера сепарабельна.
5.6.18? Показать, что пространства Сб(Их) и Сь((0,1)) несепарабельны.
5.6.19? Пусть Г —бесконечное множество, 1 ^ ρ < оо и 1Р(Г) —
пространство всех функций х: Г —► И1, для которых ||ж||р := (]С7ег 1ж(7)|р) < °°,
где сходимость ряда означает, что не более чем счетное число χ(η) отлично
от нуля и сумма по ним конечна. Показать, что || · ||р — норма, относительно
которой /Р(Г) полно. Проверить, что 1Р(Г) несепарабельно, если Г несчетно.
5.6.20? В пространстве I2 рассмотрим следующие два подпространства
коразмерности 1 и 2: Υί := {χ: х\ = 0}, ΥΊ := {χ: χι = Х2 = 0}. Показать,
что ΥΊ и Уг линейно изометричны, но фактор-пространства I2 /Y\ и I2/УЬ не
являются даже линейно изоморфными.

240
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.21? Пусть Ε — пространство всех векторов вида (ж ι,...,хп, 0,0,...)
со скалярным произведением из I2 и Ео := {χ Ε Ε: Σ™=ι ^_1#η = 0}.
Доказать, что Ео — замкнутое подпространство в Ε коразмерности 1, но Eq = 0.
5.6.22. Доказать, что на всяком бесконечномерном банаховом
пространстве X существует норма, не эквивалентная исходной, но также
превращающая X в полное пространство.
Указание: пусть X сепарабельно; взять в X базис Гамеля {va}
континуальной мощности и с его помощью установить линейные изоморфизмы
между X и пространствами I2 и I1 (которые не являются линейно гомео-
морфными, что будет очевидно из следующей главы). Это дает на X две
неэквивалентные нормы, относительно которых X полно. В общем случае
использовать пространства вида /2(Г) и ^(Г).
5.6.23. Доказать, что на всяком бесконечномерном банаховом
пространстве есть большая норма, относительно которой оно не полно.
5.6.24. Пусть на бесконечномерном линейном пространстве X заданы
две нормы, относительно каждой из которых X полно. Верно ли, что X полно
относительно суммы этих норм?
5.6.25? Пусть Υ — замкнутое подпространство банахова пространства X.
Показать, что X сепарабельно, если и только если Υ и Χ/Υ сепарабельны.
5.6.26? Пусть {Вп} — последовательность замкнутых шаров в банаховом
пространстве X и Вп+\ С Вп- Доказать, что их пересечение непусто.
5.6.27. Привести пример последовательности убывающих
ограниченных замкнутых выпуклых множеств в С[0,1] с пустым пересечением.
5.6.28? Пусть множества А и В в нормированном пространстве
замкнуты, причем В компактно. Доказать, что А + В замкнуто. Можно ли
отказаться от компактности В?
5.6.29.° Пусть А и В — вполне ограниченные множества в
нормированном пространстве X. Доказать, что их алгебраическая сумма А + В вполне
ограничена.
5.6.30. (i) Доказать, что выпуклая оболочка множества V в линейном
пространстве состоит из всевозможных конечных сумм вида Σ™=1 Uvi, где
η G IN, Vi £ V, U € [0,1] и Σ?=ι U = 1, а уравновешенная выпуклая оболочка
состоит из сумм вида Σ?=ι ^№, где η £ IN, υ» е V и Σ£=ι Μ ^ * (числа λ;
вещественны или комплексны в зависимости от того, каково пространство).
(ii) Показать, что выпуклая оболочка компакта в IRn компактна.
(iii) Показать, что выпуклая оболочка открытого множества
открыта. Верно ли, что выпуклая оболочка замкнутого множества на плоскости
замкнута?
5.6.31. Пусть X — банахово пространство, {хп} С X и \\хп\\ —» 0.
Доказать, что conv {xn} = {Σίϋι tnXn: tn ^ 0, Σ^=ι *« ^ 1}-
5.6.32. Пусть К — непустой выпуклый компакт в банаховом
пространстве. Доказать, что для всякого ε > 0 можно найти такой выпуклый компакт
С С К, что множество К\С непусто и имеет диаметр менее ε.

5.6. Дополнения и задачи
241
5.6.33. Привести пример замкнутого линейного подпространства L
и точки / в С[0,1] таких, что в L нет ближайшего к / элемента.
5.6.34. Пусть А — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом
пространстве Η и χ е Н.
(i) Доказать, что точка ρ £ А является ближайшей к χ точкой в А в
точности тогда, когда (а — ρ, χ — ρ) ^ 0 при всех a G А.
(ii) Доказать, что в А есть единственная ближайшая к χ точка.
5.6.35. Пусть X — вещественное нормированное пространство конечной
размерности п^ 2и a?i,.. .,#η-ι — линейно независимые векторы в X.
Доказать, что существует вектор хп £ X, для которого ||#п|| = 1 и ||жп — Хг\\ > 1
при всех г = 1,...,п — 1. Вывести из этого, что на единичной сфере X
найдутся точки ui,..., ип с \\ui — щг || > 1 при г φ j.
Указание: пусть / — линейная функция на X, равная нулю на векторах
a?i,... ,Χη-ι и имеющая максимум 1 на замкнутом единичном шаре U из Х\
кроме того, пусть д — линейная функция на X, равная 1 на а? ι,... ,χη-ι·
Взять Хп так, что д(хп) = min{g(x): \\х\\ = 1, f(x) = 1}.
5.6.36. Доказать, что из равенства параллелограмма следует, что
данная норма порождается некоторым скалярным произведением.
Указание: см. [105, гл. III, §4].
5.6.37.° Доказать, что множество {х е I2: \хп\ ^ Сп}, где Сп > 0,
компактно в I2 в точности тогда, когда (сп) £ I2.
5.6.38. Пусть Η — сепарабельное гильбертово пространство с ортонор-
мированным базисом {еп} и К С Η — компакт. Доказать, что К содержится
в компактном эллипсоиде вида Q := {х е Н: ^2^=1о^п\(х,еп)\2 ^ 1}, где
ап > 0 и ап —► +оо.
5.6.39° Доказать, что пространство
Lipo[0,1] := {/ е С[0,1]: /(0) = 0, ||/||Lip := sup^e \f(t) - f(s)\/\t - s\ < ос}
линейно изометрично пространству L^O, 1], причем в качестве изометрии
можно взять отображение
V: L1 [0,1] -+ Lipo[0,1], Vf(t) = / f(s) ds.
Jo
5.6.40. Пусть Χ — гильбертово пространство. Доказать, что существует
такая вероятностная мера μ, что X линейно изометрично £2(μ).
Указание: пусть {еа}аеА — ортонормированный базис в X. Взять в
качестве μ произведение А копий меры Лебега на [0,1] (см. [26, §3.5]).
5.6.41° Пусть 0 < а ^ 1 и На — пространство Гёльдера таких функций
φ на [0,1], что \\φ\\* := sups_^ \φ(ί) - <p(s)|/|* - s\a + sups |<p(s)| < oo.
(i) Доказать, что пространство (#a, || · ||a) банахово и несепарабельно.
(ii) Доказать, что замкнутые шары пространства (#а, || · ||а) компактны
в пространстве (Ηβ, || · \\β) при а > β.
5.6.42.° Доказать, что множество Co°(IRn) бесконечно
дифференцируемых функций с ограниченными носителями плотно в каждом пространстве
Lp(IRn) с 1 ^ ρ < сх>.

242
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.43. Многочлены Чебышёва-Лагерра задаются формулой
М*):=е'|^е-'), к = 0,1,2,...
Доказать, что функции Чебышёва-Лагерра фк($) := к\~ге~г^2Ьк{Ь) образуют
базис в L2[0,-foo).
5.6.44. Пусть μ — мера на [0, +оо) с плотностью ρ(χ) = x~lnx
относительно меры Лебега. Показать, что при η = 0,1,... функции хп входят
в Ζ/*(μ) и ортогональны функции 8ΐη(2π1ηίτ), т.е. многочлены не плотны
в L2(M).
5.6.45. Пусть θι — пространство всех вещественных
последовательностей χ = (а?п), для которых ряд Σ™=ι Χη сходится (не обязательно
абсолютно). Положим ||ж||в1 := δ11Ρη|ΣΓ=ι^|· Доказать, что || · ||в1 — норма,
относительно которой si полно.
5.6.46° Предположим, что вещественная функция / на нормированном
пространстве X равномерно непрерывна. Доказать, что найдется С ^ 0, для
которого \f(x)\ ^ 1/(0)1 + С\\х\\ при всех χ е X.
5.6.47? Доказать, что множество К С со вполне ограничено в точности
тогда, когда есть такой у е со, что \хп\ ^ \уп\ при всех η G IN и χ е К.
5.6.48.° Пусть А — всюду плотное множество в нормированном
пространстве X. Доказать, что для каждого χ € X найдутся такие а% £ А, что
χ = Σία ai и Σία ΙΙα*ΙΙ < °°> причем последнюю сумму можно сделать сколь
угодно близкой к ||χ ||.
Указание: при ε > 0 можно взять а\ е А с \\х — αι\\ < ε/2 и затем брать
си е А так, что \\х — сц сц \\ < ε2~\
5.6.49. Пусть ап —► 1, αη+ι > otn- Доказать, что в последовательности
функций fn(t) — tan всякая подпоследовательность имеет плотную линейную
оболочку в L2[0,1] и С[0,1].
5.6.50. Доказать, что всякие два ортонормированных базиса в
гильбертовом пространстве равномощны, причем их мощность равна наименьшей
возможной мощности всюду плотного множества.
5.6.51. Показать, что во всяком бесконечномерном сепарабельном
банаховом пространстве есть всюду плотное счетное множество линейно
независимых векторов.
5.6.52. Доказать, что базис Гамеля бесконечномерного банахова
пространства равномощен самому пространству.
5.6.53. В I1 рассмотрим множества Ει := {(хп)' Х2п = 0 Vn e IN},
ϋ?2 := {(#η): #2η-ι = ηχ2η Vn e IN}. Доказать, что Ει и Ek — замкнутые
линейные подпространства, но их прямая алгебраическая сумма не замкнута.
5.6.54.* Доказать, что в I2 есть незамкнутое линейное подпространство,
не являющееся множеством первой категории. Это дает пример неполного
евклидова пространства, являющегося бэровским* пространством (т.е. не пред-
ставимого в виде счетного объединения нигде не плотных множеств).

5.6. Дополнения и задачи
243
Указание: пусть {ап} С I2 — всюду плотное счетное множество линейно
независимых векторов и Г — некоторый базис Гамеля, содержащий {αη};
взять счетную часть {Ьп} С Γ\{αη} и рассмотреть линейные оболочки Lk
векторов из r\{6fc+i, bfc+2, · · ·}; заметить, что при некотором к пересечение Lk
с замкнутым единичным шаром не является множеством первой категории;
проверить, что соответствующее Lk неполно.
5.6.55. Пусть μ и ν — неотрицательные меры на X и У, F € £2(μ<Ε>^),
{φη} и {фк} — такие ортонормированные системы в £2(μ) и L2(v)
соответственно, что F входит в замкнутую линейную оболочку функций (рп(х)фк(у)
в 1?{μ®ν). Доказать, что при и-п.в. у функция жи^(ж,у) входит в
замкнутую линейную оболочку функций φη в Ζ/2(μ).
5.6.56. Пусть 1 ζ ρ <'οο и/С - ограниченное множество в Lp(JRn).
(i) (Α.Η. Колмогоров; для р = 1 А.Н. Тулайков) Доказать, что /С имеет
компактное замыкание в Lp(Hn) в точности тогда, когда
(a) sup lim / \f(x)\p dx = О,
/e/cC^<W|*|>c
(b) для каждого ε > 0 найдется такое г > О, что supj€/c ||/ — £г/||р ^ ε>
где Srf — функция Стеклова, задаваемая равенством
Srf(x) := Хп(В(х,г))-г [ f(y)dy,
В(х, г) — шар радиуса г в Нп с центром х.
(ii) (M. Рисе) Показать, что компактность замыкания К равносильна
также тому, что выполнено (а) и
(Ь') sup lim / \f(x + h) - f(x)\p dx = 0.
fete h~*° Jmn
(iii) (B.H. Судаков) Показать, что из условий (а) и (Ь) (или (а) и (Ь'))
автоматически следует ограниченность К в Lp(IRn) и потому ее можно не
требовать заранее.
Указание: (i) если /С имеет, компактное замыкание, то К ограничено
и для всякого е > О имеет конечную ε-сеть; поэтому необходимость (а) и (Ь)
следует из того, что оба условия выполнены для каждой отдельной
функции /. Для доказательства достаточности следует заметить, что Sr(1C) имеет
компактное замыкание. Действительно, Sr есть оператор свертки с
ограниченной функцией д = /в(о,г)/Ап (#(0, г)). Для всякого <5 > 0 имеется функция
gs £ Co°(IRn) с ||<7$—ρ||ι ^ <$, что ввиду неравенства Юнга сводит все к
оператору свертки с gs, а тогда функции gs */, / € /С, оказываются равностепенно
непрерывными на шарах, откуда нетрудно усмотреть, что всякая
последовательность в этом множестве имеет сходящуюся в Lp подпоследовательность.
Из (b') следует (Ь), т.е. (ii) следует из (i). Наконец, (Ш) проверено в [585].
5.6.57. Пусть функция Φ на [0,1] х [0,1] х И1 ограничена и
непрерывна. Доказать, что для всякой непрерывной функции ф на [0,1] существует
непрерывная функция χ на [0,1], удовлетворяющая уравнению
x(t) = φ(ί) + / Ф(£, s, x(s)) ds, t € [0,1].

244 Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.58.° В I2 и со построить примеры непрерывных отображений,
переводящих замкнутый шар в себя, но не имеющих неподвижных точек.
5.6.59. Мера некомпактности Куратовского ot{A) множества А в
метрическом пространстве есть точная нижняя грань чисел ε > О, для которых А
можно разбить на конечное число частей диаметра менее ε. Мера
некомпактности Хаусдорфа χ (А) есть точная нижняя грань чисел ε > 0, для которых
А имеет конечную ε-сеть. Отметим, что а (А) = χ (А) = 0 в точности тогда,
когда А вполне ограничено, (i) Показать, что χ(Α) ^ &(Α) ^ 2χ(Α), причем
для единичного шара U в бесконечномерном нормированном пространстве
имеем x(U) = 1, a(U) = 2. (ii) Пусть Ап φ 0 — замкнутые множества в
банаховом пространстве, Αη+ι СЛ„и х(Ап) —► 0. Показать, что fXLi ^ Φ 0·
5.6.60. Пусть V Φ 0 — замкнутое выпуклое множество в банаховом
пространстве, /: V —у V — непрерывное отображение, переводящее V в
ограниченное множество, (i) (Теорема Дарбо) Пусть при некотором к < 1 для всех
ограниченных множеств А С V имеем а (/(А)) ^ ка(А). Доказать, что /
имеет неподвижную точку, (ii) (Теорема Садовского) Пусть χ(f(A)) < χ{Α)
для всякого А с χ(Α) > 0. Доказать, что / имеет неподвижную точку.
Указание: (i) пусть Vn — замыкание выпуклой оболочки f(Xn-i),
причем Vo = V. Рассмотреть W := fl^Li ^n и применить теорему Шаудера.
5.6.61. (Теорема Мазура-Улама) (i) Пусть X — вещественное
нормированное пространство, х\>Х2 £ X и хо = (χι + жг)/2. Положим
Ег :={х: ||a?-o?i|| = \\х - х2\\ = ||χι - *2||/2},
Еп+1 := Еп Π {χ: dist (ж, Еп) ^ dn/2},
где dn — диаметр Еп. Доказать, что хо = f^Li Еп-
(ii) Пусть Τ — изометрия пространства X на вещественное
нормированное пространство Υ, причем Т(0) = 0. Доказать, что отображение Τ линейно.
Указание: см. [18, с. 169] или [80, с. 184].
5.6.62. Нормированное пространство X называется пространством
Ефимова-Стечкина, если в нем всякое непустое замкнутое выпуклое
множество аппроксимативно компактно (см. задачу 1.9.82). (i) Доказать, что
указанное условие равносильно следующему: если {хп} С X, ||#п|| = 1 и
существует / G X* с f(xn) —► 1, то в {хп} есть сходящаяся
подпоследовательность, (ii) Доказать, что всякое нормированное пространство Ефимова-
Стечкина полно и рефлексивно.
5.6.63. Доказать предложение 5.6.12.
5.6.64.* (Теорема Какутани) Пусть К — непустой выпуклый компакт
в нормированном пространстве. Доказать, что все изометрии h: К —► К
имеют общую неподвижную точку.
Указание: см. [88, с. 471].
5.6.65* Пусть X — банахово пространство и L — его линейное
подпространство, являющееся множеством типа Gs, т.е. счетным пересечением
открытых множеств. Доказать, что L замкнуто.
Указание: см. [343, с. 34].

Глава б
Линейные операторы и функционалы
В этой главе обсуждается одна из центральных тем курса
функционального анализа — линейные операторы. Сначала
будут установлены три важнейших результата для общих
линейных операторов: теорема Байаха-Штейнгауза, теорема Банаха об
обратном операторе и теорема о замкнутом графике. Затем мы
перейдем к рассмотрению линейных функционалов, т.е.
операторов с числовыми значениями. Главные результаты о линейных
функционалах связаны с теоремой Хала-Банаха и ее
следствиями. Рассмотрением компактных операторов завершается
основной материал этой главы.
6.1. Норма и непрерывность оператора
Пусть (X, || · ||х) и (У, || · ||у) — нормированные пространства,
А: X —► У — линейное отображение, т.е. Α(αχ+βν) = αΑχ+βΒ%).
Линейные отображения называют также линейными оператора-
ми. Если X = У, то оператор Ι: χ н-> χ называют единичным.
Линейные отображения со значениями в У = И или У = С
называют линейными функционалами. Положим
Р||:= sup \\Ax\\Y,
IMIx<i
если эта величина конечна, и будем называть \\А\\ нормой
оператора А. Например, норма линейного функционала / задается
равенством
||/||:= sup \l(x)\.
IMIx<i
Линейный оператор с конечной нормой называется ограничен-
ным. Отметим, что такая терминология не согласована с
терминологией для случая общих отображений, когда ограниченными

246
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
называются отображения с ограниченными образами. У
ограниченного линейного оператора А ограничен лишь образ шара, но
образ Ran A := А(Х) всего пространства, называемый образом
оператора А, может быть ограничен лишь тогда, когда А(Х) = 0.
Заметим, что \\А\\ есть наименьшее из таких чисел М, что
||Аг||у ^ М||#||х для всех жбХ. Ясно также, что в
определении || А || можно брать sup по единичной сфере вместо единичного
шара (если Χ φ 0).
Если Χ,Υ,Ζ — нормированные пространства, Α: У —► Ζ
и В: X —► Υ — ограниченные линейные операторы, то
линейный оператор АВ: X —► Ζ очевидным образом ограничен и
\\АВ\\ < ЦАЦ ||Б||.
Это неравенство может быть строгим; легко построить
соответствующий пример в Ж2 или С2 (например, композиция ненулевых
операторов может быть нулем).
Множество £(Х, Υ) всех ограниченных линейных
операторов, действующих из нормированного пространства X в
нормированное пространство У, само становится нормированным
пространством с операторной нормой Α ι-» \\А\\. Линейность этого
пространства очевидна из того, что алгебраическая сумма двух
ограниченных множеств ограничена и произведение
ограниченного множества на скаляр ограничено. Тот факт, что
получено нормированное пространство, сразу следует из соотношений
||(А + В)х||у ^ \\Αχ\\γ + \\Βχ\\γ и \\\Αχ\\γ = |λ| ||Лж||у. Основные
результаты этой главы связаны с операторной нормой. Особую
роль играет случай, когда У — пространство скаляров.
6.1.1. Определение. Пусть X — нормированное
пространство. Пространство X* := £(-Х, И) (или X* := С(Х, С) в
комплексном случае) всех непрерывных линейных функционалов на
пространстве X называется сопряженным (или топологически
сопряженным) к пространству X. Пространство X1 всех
линейных функций на X называется алгебраически сопряженным.
Значение линейного функционала / на векторе χ часто
обозначают через (/, х). На конкретных пространствах легко
строить явные примеры ненулевых непрерывных функционалов.
Оказывается, такие функционалы существуют на всяком отличном от
нуля нормированном пространстве. Этот неочевидный, но очень
важный для всей теории факт будет установлен ниже в §6.4 с
помощью теоремы Хана-Банаха. Алгебраические сопряженные
используются редко.

6.1. Норма и непрерывность оператора
247
6.1.2. Теорема. Для линейного оператора А: X —> Υ
следующие условия равносильны:
(i) оператор А ограничен-,
(ii) оператор А непрерывен]
(ш) оператор А непрерывен в некоторой точке.
Доказательство. Если оператор А ограничен, то имеет
место оценка \\Ах—Ау\\ < ||А||||ж—у||, т.е. отображение А
удовлетворяет условию Липшица с постоянной \\А\\ и потому непрерывно.
Пусть оператор А непрерывен в некоторой точке Xq. Из равенства
Ах = А(х — xq) + Axq следует непрерывность А в нуле. Поэтому
найдется такое г > О, что \\Ах\\ ^ 1 при ||#|| ^ г. Это дает оценку
||Лх|| ^ г'1 при \\х\\ ^ 1. Итак, ||А|| ^ г"1. Π
6.1.3. Следствие. Линейное отображение между
нормированными пространствами непрерывно в точности тогда, когда
оно переводит сходящиеся к нулю последовательности в
ограниченные последовательности.
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна,
а достаточность следует из того, что если ||#п|| < 1 и ||Агп|| —► оо,
то уп := \\Ахп\\-У2хп -> О и \\Ауп\\ = \\AxnW1'2 ^ оо. D
Согласно доказанному, линейное отображение, разрывное
в одной точке, разрывно всюду. На конечномерном
нормированном пространстве все линейные операторы непрерывны и потому
ограничены. В бесконечномерном случае положение иное.
6.1.4. Пример. На всяком бесконечномерном
нормированном пространстве существует разрывный линейный функционал.
Действительно, пусть {υα} — базис Гамеля, состоящий из
векторов единичной длины. Возьмем в этом базисе счетную часть {νη},
положим 1(νη) = η для каждого п, на остальных элементах базиса
зададим / нулем и доопределим по линейности на все
пространство. Ясно, что получен неограниченный линейный функционал.
Он разрывен в каждой точке по предыдущей теореме.
На некоторых неполных нормированных пространствах
можно явно (без использования базиса Гамеля) задать разрывные
линейные функционалы. Например, пространство непрерывных
функций на [0,1] можно наделить нормой из L2[0,1] и задать /
формулой 1(х) = х(0). Однако явных примеров неограниченных
линейных функционалов на банаховых пространствах нет.

248
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Рассмотрим несколько примеров вычисления норм
функционалов и операторов.
6.1.5. Пример, (i) Пусть X = С[0,1] с обычной нормой,
1(f) = /(0). Тогда ||/|| = 1, ибо |ί(/)| < 1 при ||/|| < 1 и /(1) = 1.
(ii) Пусть X = С[0,1] с обычной нормой, /(/) = /(0) - /(1).
Тогда ||/|| = 2, ибо |J(/)| ^ 2 при ||/|| ^ 1 и 1(f) = 2 для
функции /: t ι—> 1 — 2ί.
(iii) Пусть X = С[0,1] с обычной нормой,
'(/)= fmgWdt, (6.1.1)
Jo
где g(t) = — 1 при t < 1/2, g(t) = 1 при t > 1/2. Тогда имеем
||/|| = 1, ибо \l(f)\ ^ 1 при H/II ^ 1, а для всякого ε > 0 найдется
непрерывная функция / с \f(t)\ < 1 и /(/) > 1 — ε. Заметим,
что в этом примере не существует такого элемента / с ||/|| ^ 1,
что 1(f) = ||/||, т.е. непрерывный линейный функционал может не
достигать максимума на замкнутом шаре.
Более общим образом, для всякой интегрируемой функции д
на [0,1] для функционала (6.1.1) имеем
11*11 = 1Ы1ы = [lW)\dt.
Jo
Оценка ||/|| ^ ЦдЦь1 очевидна, а для доказательства равенства
надо заметить, что для всякого ε > 0 найдется такая ступенчатая
функция 0ε, что ||<7—<7ε||ζ,ι ^ ε. Аналогично предыдущему случаю
замечаем, что существует функция /ε Ε С[0,1] с ||/ε|| ^1и
/ fe(t)ge(t)dt>\\ge\\Li-e.
Jo
Это дает
Kfe) > [ fe(t)gs(t) dt-εΖ \\g\\Li - 3ε,
Jo
ибо H^IIl1 ^ WqWl1 ~£· ВВИДУ произвольности ε получаем оценку
(iv) X — евклидово пространство, 1(х) = (#, а), где α Ε Χ.
Тогда ||/|| = ||а||, ибо \1(х)\ ^ ||х||||а||, что дает ||/|| ^ ||а||. С другой
стороны, если а ф 0, то /(а/||а||) = ||а||.

6.1. Норма и непрерывность оператора
249
(ν) X = £2[0,1] с обычной нормой,
*(/) = f№g(t)dt,
Jo
где д е L2{0,1]. Тогда ||/|| = \\д\\#.
(vi) Χ = С[0,1], Υ = L2[0,1] с обычными нормами,
Ax(t)= (J x(s)y(s)ds\i>(t),
где у е L^O, 1], φ е L2[0,1]. Тогда \\А\\ = |МНМЬ· Это
вытекает из (iii) и равенства
\\Ах\\ = I Г
x(s)y(s) ds
\\ф\\-
(vii) Диагональный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве Η — это оператор вида
оо
х = У ^ &η\χι en)eni
п=1
где {еп} — ортонормированный базис в Я и {ап} — ограниченная
последовательность в С. При этом \\А\\ = supn |<*п|, ибо мы имеем
\\Ах\\ ^ supn \ап\ и ||Аеп|| = |<*п|, откуда ||А|| ^ supn |αη|.
Следует помнить, что согласно (iii) даже в случае линейного
функционала на бесконечномерном пространстве норма может не
достигаться на единичном шаре, т.е. не всегда sup можно
заменить на max.
Докажем теперь важный результат, согласно которому
поточечно ограниченное семейство непрерывных операторов
равномерно ограничено на шаре, т.е. ограничено по норме.
6.1.6. Теорема. (Теорема Банаха-Штейнгауза;
принцип равномерной ограниченности) Пусть дано семейство
{Аа} ограниченных линейных операторов на банаховом
пространстве X, принимающих значения в нормированном
пространстве Y. Предположим, что
sup ΙΙ-Αα^ΙΙ < сю для каждого χ Ε X.
а
Тогда sup \\Aa\\ < оо.

250
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Как и в примере 1.5.3 (можно и сразу на
него сослаться), рассмотрим множества
Мп = {х е X: \\Аах\\ ^ η для всех а}.
В силу непрерывности операторов Аа эти множества замкнуты.
По условию они покрывают X. Согласно теореме Бэра
найдется такое п, что множество Мп содержит некоторый шар U(a,r)
с центром в α и радиусом г > 0. Поскольку Ах = А(х + а) — Аа
и sup ||-Ααα|| < оо, то получаем равномерную ограниченность опе-
а
раторов Аа на шаре £/(0, г), что дает их равномерную
ограниченность на единичном шаре. D
Полнота X существенна в этой теореме (хотя требование
полноты можно ослабить до бэровости X, что очевидно из
доказательства). Например, на линейном подпространстве в С[0,1],
состоящем из функций, равных нулю в окрестности нуля (своей для
всякой функции), ограниченные функционалы /n(#) = пх(1/п)
поточечно ограничены (на каждом фиксированном элементе χ
они обращаются в нуль с некоторого номера), но их нормы не
ограничены в совокупности: ||/п|| = п. Таким же свойством
обладают функционалы 1п(х) = пхп на линейном подпространстве
в /2, состоящем из всех векторов с конечным числом ненулевых
компонент.
6.1.7. Следствие. Пусть X и Υ — банаховы пространства,
Ап: X —► Υ — непрерывные линейные операторы, причем для
каждого χ существует предел Ах — lim А^х в Y. Тогда А -
п—юо
непрерывный оператор.
Доказательство. Ясно, что А — линейное отображение. По
теореме Банаха-Штейнгауза имеем supn \\Ап\\ ^ С < оо. Тогда
||Аг|| = lim \\Апх\\ < С\\х\\, т.е. ||Л|| < С. D
п—юо
6.1.8. Следствие. В ситуации предыдущего следствия для
всякого компакта К С X имеем
lim sup \\Ax — Апх\\ = 0.
п-*°°хек
Доказательство. Мы уже знаем, что найдется такое С > 0,
что ||ЛП|| ^ С при всех η и ||Л|| ^ С. Пусть ε > 0. Найдем
в К конечную б(4С)-1-сеть αχ,..., ж* и возьмем такое Ν, что

6.1. Норма и непрерывность оператора
251
\\Axi — AnXi\\ ^ ε/2 при г = 1,..., к для всех η ^ N. Тогда для
таких η при всяком χ Ε К имеем \\Ах — Апх\\ < ε, ибо найдется
Xi с ||а; — а?»|| ^ ε(4<7)-1, что по неравенству треугольника дает
\\Ах - Апх\\ ^ \\Ах - Axi\\ + \\Axi - Αηχι\\ + \\AnXi - Апх\\ ^
<2С||я:-ж<|| + 5/2<е,
как и требовалось. D
6.1.9. Теорема. Пусть Υ — банахово пространство. Тогда
для всякого нормированного пространства X пространство one-
раторов £(Х, Y) полно относительно операторной нормы.
В частности, пространство X* полно для всякого
нормированного пространства X (не обязательно полного).
Доказательство. Пусть {Ап} с C(X,Y) —
фундаментальная последовательность. Для каждого χ € X последовательность
{Ап#} фундаментальна в У, ибо \\Апх — Акх\\ ^ \\Ап — А^||||ж||.
Поэтому существует Ах = lim Anx. Ясно, что А е C(X.Y),
п-»оо
Щ|| ^ supn||An||. Однако надо проверить, что \\А — Ап\\ —► 0.
Пусть ε > 0. Найдем такое TV, что \\Ап — Ak\\ ^ ε при щк ^ N.
При η ^ N для всякого вектора χ с единичной нормой имеем
\\Ах - Апя|| = lim \\Акх - Апх\\ ^ ε,
откуда ||Л- Αη|| ^ ε. D
Отметим, что в этой теореме и теореме Банаха-Штейнгауза
требуется полнота разных пространств. В учебных целях проще
запоминать обе теоремы, требуя полноту обоих пространств.
Однако затем легко сообразить, что в теореме Банаха-Штейнгауза
полнота Υ не нужна потому, что можно перейти к пополнению Υ
(что сохранит поточечную ограниченность), а в предыдущей
теореме не нужна полнота X, ибо можно продолжить все операторы
Ап на пополнение X, что даст фундаментальную
последовательность операторов на пополнении.
Теорема Банаха-Штейнгауза может применяться и для
получения отрицательных результатов (что иногда называют
«принципом сгущения особенностей»).
6.1.10. Пример. Пусть последовательность непрерывных
линейных операторов Ап из банахова пространства X в
нормированное пространство Υ не является ограниченной по норме.
Тогда найдется такой элемент χ Ε X, что supn ||Лпж|| = оо.

252
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.1.11. Пример. Для всякого a Ε [0,2π] найдется такая
непрерывная 27г-периодическая функция, у которой частичные
суммы ряда Фурье в точке а не являются равномерно
ограниченными, в частности, не имеют конечного предела.
Доказательство. Достаточно рассмотреть а = 0. Если бы
для каждой функции / из пространства 0<ιΈ непрерывных
функций / на [0,2π] с /(0) = /(2π) частичные суммы ряда Фурье
в нуле были бы ограничены, то в силу представления (4.5.3) для
частичных сумм была бы поточечно ограничена
последовательность функционалов
Ввиду примера 6.1.5 норма такого функционала на С2п равна
/ о ■ t \dt
Jo I 2sm| I
Поэтому
/·2π j Λ(2η+1)π j
||/я||> / |sin(n+l/2)t|-A = / |sins|-ds,
Jo t Jo s
что при η —► oo стремится к бесконечности. D
В приложениях бывает нужно приближать в каком-то
смысле или заменять бесконечномерные операторы конечномерными.
Например, без этого не обходятся никакие численные методы.
Однако здесь есть много тонкостей, связанных с характером
приближений. Например, единичный оператор в бесконечномерном
пространстве нельзя приблизить конечномерными по
операторной норме. Ниже в §6.9 мы будем обсуждать компактные
операторы, которые в хороших пространствах (например,
гильбертовом) приближаются конечномерными по норме. Но часто
хватает более слабых приближений, например, поточечных. Такое
возможно для всякого ограниченного оператора в пространстве
с базисом Шаудера; этот вопрос обсуждается в §6.10(iv). Скажем,
в гильбертовом пространстве с ортонормированным базисом {еп}
для всякого ограниченного оператора А имеем РпАх —> Ах при
всех #, где Рп — ортогональный проектор на линейную оболочку
βι?···?^η, т.е. Рпх = (ж,e\)ei + ··· + (ж, en)en. Приведем менее
тривиальный пример.

6.2. Теорема о замкнутом графике
253
6.1.12. Пример. Пусть С^ ~ пространство всех
непрерывных 27г-периодических функций на прямой с sup-нормой и ση —
оператор, сопоставляющий функции / ее сумму Фейера
an(f)(x) := / f(x + ζ)Φη(ζ) dz,
Jo
где Φη — n-oe ядро Фейера (см. (4.5.5)). Тогда по теореме 4.5.9
имеем ||/ — ση(/)|| —» 0 для всех / Ε 0<ιΉ. Следовательно, для
всякого ограниченного оператора А со значениями в CW получаем
поточечную сходимость \Ах — σηοΑχ\ —» 0. Аналогичное верно
и для пространства С[0,1]. Для этого достаточно заметить, что
пространство С[0, π] можно вложить в С^ посредством
отображения / ι-* /, где /(£) = /(—t) при t Ε [—π, 0], а затем /
продолжается периодически.
Напомним, что согласно следствию 6.1.8 из поточечной
сходимости операторов в банаховом пространстве следует равномерная
сходимость на компактах, что еще более увеличивает полезность
таких приближений.
6.2. Теорема о замкнутом графике
Следующий результат Банаха и Шаудера лежит в основе
многих важных результатов, связанных с образами операторов.
6.2.1. Лемма. Пусть X и Υ — банаховы пространства с
открытыми единичными шарами Ux uUY, и пусть А: X —» Υ —
такой непрерывный линейный оператор, что UY входит в замы-
кание A(UX). Тогда UY С A(UX). В частности, А{Х) = Υ.
Доказательство. Из условия следует, что
A(sUx) Π sUY плотно в sUY для всякого s > 0. (6.2.1)
Пусть у EUY и 0< ε < 1 - ||у||. Тогда ||(1 - е)~ху\\ < 1. Поэтому
есть вектор х\ Ε Ux, для которого ||(1 — е)~1у — Ах\\\ < ε, т.е.
(1 — е)~1у — Ах\ Ε eUY. Ввиду (6.2.1) найдется вектор Х2 Ε eUx
с ||(1 — ε)-1?/ — Ах\ — Ах^\ < ε2. По индукции с помощью (6.2.1)
находим хп Ε sn~1Ux с ||(1 -е)~1у- Ах\ — ... - Ахп\\ < еп. Тогда
у = (1—ε) Υ^=ι Ахп. Ввиду оценки ||жп|| < εη_1 и полноты X ряд
(1 — ε) X)£Lx хп сходится к некоторому χ Ε X. При этом Ах = у
и ||х|| < (Ι-ε)Ε^ι^"1 = 1. Τ·Θ· х е υχ· Итак> Uy c A(Ux). □

254
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.2.2. Замечание. Была использовала лишь полнота X.
Попутно получен такой факт: если множество 5 плотно в [7у, то
всякий yeUY имеет вид у = Σ™=1 CnSn, где sn e S, £JJLX \cn\ < 1.
Следующая важная теорема получена Банахом и Шаудером.
6.2.3. Теорема. (Теорема об открытом отображении)
Пусть X и Υ — банаховы пространства, Ае С(Х, У), А(Х) = У.
Тогда для всякого открытого в X множества V множество
A(V) открыто в пространстве Υ.
Доказательство. Пусть Ux — открытый единичный шар
в X. Поскольку Υ = (JnLi A(nUx)> т0 по теореме Бэра найдется
такое fc, что множество A(kUx) плотно в некотором открытом
шаре UY(a,r) радиуса г > О в У. Так как A(kUx) = —A(kUx),
то A(kUx) плотно и в шаре UY{—a,r). Значит, A{kUx) плотно
в шаре Όγ (О, г). В самом деле, если \\y\\Y <ги ип, vn Ε Ux таковы,
что А(кип) -> а + у и A(kvn) -> -а + у, то wn := (ип + vn)/2 е Ux
и A(kwn) —► у. Заменив А на г~гкА, можно считать, что A(UX)
плотно в открытом единичном шаре UY в Υ. По доказанной выше
лемме UY cA(Ux). Значит, UY(Ax,r)<zA(Ux(x,r)), χ Ε Χ, г > 0.
Предположим теперь, что V — непустое открытое множество
в X. Пусть у 6 А(у), т.е. у = Αχ, χ Ε V. Найдем такое ε > 0, что
Ux(x,e) С V. Тогда в силу доказанного
UY(y,e)cA(Ux(x,e))cA(V).
Итак, А(у) открыто. См. обобщение в задаче 12.5.30. D
6.2.4. Замечание, (i) Из доказательства видно, что вместо
сюръективности А достаточно, чтобы А(Х) было множеством
второй категории в Υ (тогда A(UX) будет плотно в некотором
шаре из У). Вместо полноты Υ достаточно иметь свойство Бэра
для У, но для произвольных нормированных пространств У
теорема неверна: возьмем диагональный оператор А в X = I2 с
собственными числами п"1 и У = А(Х) с нормой из I2.
(ii) Поскольку образ единичного шара из X содержит
некоторый шар Uy (0, ε) с центром в нуле, то получаем, что для всякого
у Ε У найдется такой вектор χ Ε Χ, что
Ах = у и ΙΙχΚε^ΙΜΙ.
Конечно, такой вектор не обязан быть единственным.
Важным следствием является такой результат Банаха.

6.2. Теорема о замкнутом графике
255
6.2.5. Теорема. (Теорема об обратном операторе)
Пусть А — взаимно однозначное линейное непрерывное
отображение банахова пространства X на банахово пространство Y.
Тогда обратное отображение А~1 тоже непрерывно.
Доказательство. Прообраз при отображении А~1 всякого
открытого в X множества V совпадает с A(V) ввиду взаимной
однозначности А. В силу предыдущей теоремы этот прообраз
открыт в У, что и означает непрерывность A"1. D
6.2.6. Следствие. Пусть линейное пространство X полно
относительно двух норм р\ и р%. Предположим, что найдется
такое число с, что р{{х) ^ Ф2(#) для всех χ Ε Χ. Тогда
существует такое число М, что Р2(х) ^ Мр\(х) для всех χ 6 X.
Доказательство. Ввиду условия тождественное
отображение X с нормой р\ в X с нормой р2 непрерывно. Тогда
непрерывно и обратное отображение, т.е. оно имеет конечную норму, что
и означает наличие нужного числа М. D
Для формулировки еще одного важного следствия теоремы
об открытом отображении введем новый объект.
График отображения А: X —» Υ есть множество
Г(А):={(х,Ах): xeX}cXxY.
Если при этом X и Υ — банаховы пространства, то произведение
Χ χ Υ наделяется естественной структурой линейного
пространства и естественной нормой \\(х,у)\\ := ||я|| + \\у\\. Ясно, что ΧχΥ
полно относительно этой нормы.
6.2.7. Теорема. (Теорема о замкнутом графике)
Линейное отображение А: X —► Υ между банаховыми
пространствами непрерывно в точности тогда, когда его график
замкнут в ΧχΥ.
Доказательство. Легко видеть, что график всякого
непрерывного отображения замкнут. Обратное для нелинейных
отображений неверно. В случае линейного отображения А с
замкнутым графиком замечаем, что этот график есть линейное
подпространство в ΧχΥ и потому является банаховым пространством.
При этом оператор Т: Г(А) —» X, (х, Ах) ь+ χ линеен,
непрерывен и отображает Г (А) взаимно однозначно на X. По теореме об
обратном операторе отображение χ »-> (#, Ах) непрерывно. Это
и означает непрерывность A. D

256
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.2.8. Следствие. Пусть Χ,Υ,Ζ — банаховы пространства
и у. Y —► Ζ — инъективный непрерывный линейный оператор.
Предположим, что линейное отображение А: X —> Υ таково,
что композиция jo А: X —» Ζ непрерывна, т.е.
где непрерывно сквозное отображение. Тогда А непрерывно.
Доказательство. Проверим замкнутость графика А. Пусть
хп->жв!и Ахп —» у в Ϋ. Из условия следует, что
j(Axn) -> j(y)9 j(Axn) = joA(xn) -> joA(x).
Значит, j(y) = joA(x), откуда у = Αχ. Ο
Приведем характерные примеры использования полученных
выше результатов.
6.2.9. Пример. Пусть A: L2[a,b] —> L2[a,6] — такой
непрерывный линейный оператор, что Л(£2[а, Ь]) С С[а, Ь]. Тогда
оператор А непрерывен как отображение из L2[a, 6] в С[а, Ь].
6.2.10. Пример. Пусть банахово пространство X
представлено в виде прямой алгебраической суммы своих замкнутых
подпространств Χι и ^2- Тогда операторы алгебраического
проектирования Р\: X —» Х\ и Р<1: X —> -Х2 непрерывны.
Доказательство. Рассмотрим X как банахову прямую
сумму Χ\®Χ<ι с нормой (#ι,#2) *""* ll^ill + \Х<Л- Так как верно
неравенство \х\ + хъ\ ^ 11^1 II + 11ж2||, то следствие 6.2.6 показывает,
что введенная норма эквивалентна исходной. Поскольку
проекции очевидным образом непрерывны относительно новой нормы,
то они непрерывны и относительно старой. D
Следует иметь в виду, что алгебраическая прямая сумма двух
замкнутых линейных подпространств банахова пространства не
обязана быть замкнутой (см. задачу 6.10.96). Предыдущий
пример имеет следующее интересное обобщение.
6.2.11. Предложение. Пусть Х\ и Х^ — такие замкнутые
подпространства банахова пространства X, что X = Х\ + Χ<ι
(сумма не предполагается прямой в отличие от предыдущего
примера). Тогда существует такое число с > 0, что всякий
элемент χ Ε Χ допускает представление
χ = χι + х2, где ЦягхЦ + ||х2|| < с\\х\\.

6.2. Теорема о замкнутом графике
257
Доказательство. Обозначим через Υ прямую сумму
банаховых пространств Χι и Χ<χ. Отображение Τ: Υ —> X, заданное
формулой Т(х\,Х2) = x\ + x<i, линейно, непрерывно и сюръектив-
но. Из теоремы об открытом отображении следует, что образ
единичного шара из Υ содержит шар в X некоторого радиуса г > 0.
Теперь достаточно положить c:=r~1. D
Приведем еще один полезный результат, вытекающий из
доказанного. Заметим, что если X и Υ — нормированные
пространства, то непрерывный линейный оператор А: X —> Υ с ядром
Кет А := Л-1(0) порождает инъективный линейный оператор
А: Х/КегЛ->У,
называемый факторизацией А по ядру и задаваемый формулой
А[х] := Ах, где [х] — класс эквивалентности в Х/Кет А с
представителем х. При этом А(Х/КетА) = А(Х) и ||Л|| = ||Л||. Первое
равенство очевидно, а второе проверяется следующим образом:
так как ||[#]|| ^ ||ж||, то ||Л|| ^ ||Л||. С другой стороны, если
|| [х] || = 1 и ε > 0, то найдется представитель у класса
эквивалентности^] с \\у\\ < 1 + ε, откуда \\А[х]\\ = \\Ау\\ <Д1+ е)||А||.
Значит, \\А\\ < (1 + ε)||Л|| для всех ε > 0 и потому \\А\\ ^ \\А\\.
6.2.12. Предложение. Пусть X и Υ — банаховы
пространства, А 6 C(X,Y). Если образ А имеет конечную коразмерность
в Y, то он замкнут.
Доказательство. Так как А(Х) = А(Х), где X = Х/Кет А
и Л: X —» Υ — оператор, порожденный Л, то мы можем считать,
что оператор А инъективен. По условию найдется такое
конечномерное линейное подпространство Уо в У, что Υ является
алгебраической прямой суммой Уо и А(Х). Обозначим через Χ θ Уо
банахову прямую сумму X и Уо (напомним, что конечномерные
нормированные пространства полны). Оператор В: X@Yq —> У,
(ж, у) ι—► Ах + уу непрерывен. Этот оператор инъективен, ибо мы
имеем дело с инъективным оператором А. Кроме того, оператор
В сюръективен, ибо У является алгебраической суммой А(Х)
и Уо. По теореме Банаха оператор В имеет непрерывный
обратный. Поэтому В переводит замкнутые множества в замкнутые.
В частности, замкнутое подпространство X пространства Χ θ Уо
(т.е. множество пар (ж, 0), χ Ε -X") переводится в замкнутое
множество А(Х), что и требовалось доказать. D

258
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.3. Теорема Хана—Банаха
В этом параграфе доказывается важнейший результат
линейного анализа — теорема Хана-Банаха. Этот результат имеет
многочисленные применения как в математике, так и в
приложениях, в частности, в экономике. В отличие от большинства других
утверждений данного курса, теорема Хана-Банаха нетривиальна
и в конечномерном случае.
6.3.1. Определение. Пусть X — линейное пространство.
Функция р: X —» [0,+оо) называется полунормой на X, если
р(ах) = |а|р(ж) и р(х + у) ^ р(х) + р(у)
для всех скаляров а и всех векторов х,у.
6.3.2. Определение. Пусть X — действительное линейное
пространство. Функция ρ: X —> (—оо,+оо) называется
выпуклой, если
p(tx + (1 - t)y) ^ tp(x) + (1 - t)p(y) \/х,у eX,Vte [О,1].
Функция ρ: Χ —> (—оо,+оо) называется
однородно-выпуклой, если
р(ах) = ар(х) и р(х + у) ^ р(х) + р(у)
для всех а ^ 0 и всех х, у Ε X.
Ясно, что однородно-выпуклыми являются все полунормы и
все линейные функции. Из определения следует, что однородно-
выпуклая функция ρ выпукла:
p(tx + (1 - t)y) ^ p(tx) + р((1 - t)y) = tp(x) + (1 - t)p(y)
при t Ε [О,1]. Если р(—х) = р(ж), то ρ оказывается и полунормой.
6.3.3. Теорема. (Теорема Хана-Банаха) Пусть X —
вещественное линейное пространство, ρ — однородно-выпуклая
функция на X, Хо — линейное подпространство в X uIq —
линейная функция на Хо, удовлетворяющая условию
fo(#) ^ р(%) для всех χ G Хо·
Тогда 1$ можно продолжить до линейной функции I на всем X,
удовлетворяющей условию 1{х) ^ р{х) при всех χ Ε X.

6.3. Теорема Хана-^анаха
259
Доказательство. Отметим, что эта теорема нетривиальна
даже в двумерном случае. Как мы сейчас увидим, основная
проблема состоит в продолжении функционала на большее
пространство, в котором Xq является гиперплоскостью. Предположим
сначала, что X — линейная оболочка Хо и вектора ζ, не
принадлежащего Xq. Всякий вектор χ из X имеет вид χ = xo + tz. Всякое
линейное продолжение однозначно определяется выбором числа
с = 1{ζ). Тогда 1{х) = /о(#о) + *с. Нам надо так выбрать с, чтобы
иметь оценку / ^ р. Итак, требуется выполнение неравенства
Zo(^o) + tc <ζ р(х0 + tz). (6.3.1)
При t > О это неравенство равносильно неравенству
/о(*-1#о) + с ^ р(«""1ж0 + ζ),
что можно записать в виде
с ^ p(t~lxo + ζ)- /0(£-1яо)·
Аналогично при t < О неравенство (6.3.1) равносильно оценке
с ^ -p{-t~lxo - ζ) - /о(*-1яо)·
Покажем, что существует число с, удовлетворяющее обоим этим
неравенствам при всех χ о и t. Для этого нужно, чтобы
выполнялось неравенство
с':= sup[-p(-i/-z)-/o(l/)] ^c":= inf [p(y+z)-lo(y)]· (6·3·2)
уехо νεχο
В качестве с тогда можно взять любое число между d и с".
Неравенство (6.3.2) равносильно оценке
-р(-у'- *) -Ш)<р(у" + *)-Ну") ν у',/eх0.
Эта оценка вытекает из соотношений
4y")-h{y')^p{y"-y')=p{y"+z-y'-z))^p{y"+z)+p{-y'-z).
Итак, в указанном случае теорема доказана. В общем случае
продолжение строится постепенным расширением пространства на
единицу большей размерности, что осуществляется с помощью
леммы Цорна. Обозначим через ЭЯ совокупность всевозможных
продолжений 1$ на более широкие подпространства с условием
подчиненности р. Каждое такое продолжение Г имеет линейную
область определения L7, на которой V ^ р, причем Ι'\χ0 = Ζο·
Будем считать продолжение V подчиненным продолжению Ζ",
если для соответствующих областей определения имеем V С L"
и l"\Li — V. Ясно, что получен частичный порядок. Условие цепей

260
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
выполнено: если дана цепь продолжений 1а с областями La, то
мажоранта I Ε 9Л для нее строится так. Объединение L всех La есть
линейное пространство, ибо для всяких х,у Ε L найдутся La и £,β
с χ Ε La и у Ε Ι,β, но по определению цепи либо La С L^, либо
Lp С La, т.е. в любом случае х + у Ε L. Ясно, что tx Ε L для всех
скаляров t. По этим же соображениям функция I (х) = 1а{ха) Для
х — ха корректно задана на L, т.е. 1а{х<х) — Ιβ{χβ)-> если #а = я^.
При этом I ^ ρ на L. Итак, / € 9Я — мажоранта для всех /а. По
лемме Цорна в ЯЛ есть максимальный элемент /. По
доказанному на первом этапе область определения I совпадает со всем X:
иначе I можно было бы линейно продолжить на большее
подпространство с подчинением ρ вопреки максимальности Ι. Ώ
С помощью базиса Гамеля (см. предложение 1.1.1) легко
получить линейное продолжение /, но оно не всегда подчинено р.
6.3.4. Следствие. Пусть X — вещественное или комплекс-
ное линейное пространство, ρ — полунорма на X, Хо — линейное
подпространство в X и 1о — линейная функция на Хо,
удовлетворяющая условию
\10(х)\^р(х) УхеХо-
Тогда 1о можно продолжить до линейной функции I на всем X,
удовлетворяющей условию \1{х)\ ^ р{х) при всех χ Ε X.
Доказательство. В вещественном случае утверждение
непосредственно следует из теоремы Хана-Банаха. В комплексном
случае через Xj^ обозначим овеществление X, т.е. X над полем Ш.
Применим теорему Хана-Банаха к функции Re Ιο на
овеществлении Χο,Η пространства Хо. Ясно, что |ReZo| ^ Ρ на Xo,jr-
Получим вещественную линейную функцию 1\ на Xj^ с h\x0iJR = ReZo
и l\ ^ р. Заметим, что |/i| ^ р. Положим теперь
1{х) — 1\(х) — il\(ix), χ Ε Χ,
что возможно, ибо гх Ε X, а X совпадает с Xj& как множество.
При χ Ε Хо имеем
1\{х) — il\(ix) = ReZo(#) — iRelo(ix) = ReZo(^) + ilmlo(x) = lo(x)·
Наконец, для всякого х Ε Χ найдется такое вещественное число 0,
что 1{х) = ег^|/(а;)|. Положим у = е~гвх. Тогда 1(у) = \1(х)\, т.е.
1{у) = 1\(у) и 1\{гу) = 0, ибо 1\{гу) Ε ГО,1. Значит,
\l(x)\ = l(y) = h(y)^p(y)=p(x).
Следствие доказано. D

6.3. Теорема Хана^Банаха
261
6.3.5. Следствие. Пусть Хо — линейное подпространство
нормированного пространства X (необязательно замкнутое)
и 1о — непрерывная линейная функция на Хо. Тогда Iq можно
продолжить до непрерывной линейной функции на всем X,
имеющей ту же норму, что и функционал 1$ на Х$.
Доказательство. По условию |Zo(#)| ^ 1Ко||||я|| при χ Ε -Хо·
Положим р(х) = ||/о||||ж||. Применив предыдущее следствие,
продолжим ίο до линейной функции I на X с |/| ^ р. Это дает
||/|| ^ ||/0||. Так как ||/0|| < ||/||, то ||/|| = ||/0||. Π
Приведем еще геометрическую форму теоремы Хана-Банаха,
связанную с разделением выпуклых множеств.
Пусть X — вещественное линейное пространство. Говорят, что
линейная функция I разделяет множества А, В С X, если
inf l(x) ^ supl(x).
Х^А хев
Иначе говоря, найдется такое число с, что
В С {х: 1(х) ^ с} и А С {х: l(x) ^ с}.
Геометрически это означает, что Аи В находятся по разные
стороны от аффинного подпространства /-1(с).
Если Ι φ О, то множество {х: l(x) ^ с} называют
полупространством^ а {х: 1(х) = с} называют гиперплоскостью.
Назовем алгебраическим ядром множества А в линейном
пространстве X множество всех таких точек χ Ε А, что для каждого
ν Ε X найдется число ε = ε (у) > О, для которого χ + tv Ε Α
при |t| < ε. Если Χ — нормированное пространство, то всякая
внутренняя точка А входит в алгебраическое ядро, но
алгебраическое ядро может быть шире внутренности. Например, если
в качестве X взять пространство многочленов на [0,1] с
нормой из С[0,1], то множество многочленов χ с maxt|a/(t)| < 1
не имеет внутренних точек, но совпадает со своим
алгебраическим ядром. Для произвольного бесконечномерного
нормированного пространства X множество /-1{(—1,1)}, где / — разрывная
линейная функция, также не имеет внутренних точек, но
совпадает со своим алгебраическим ядром.
Пусть V — выпуклое множество в линейном пространстве X.
Предположим, что алгебраическое ядро V содержит точку 0.
Функционал Минковского множества V есть функция
pv(x) := inf{t > 0: Г1 χ Ε V}.

262
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Предположение о том, что 0 входит в алгебраическое ядро У,
нужно лишь для того, чтобы функционал ру принимал конечные
значения.
6.3.6. Теорема. При указанных предположениях
функционал ру является однородно-выпуклым и неотрицательным.
Если множество V уравновешено (т.е. 6V С V при \θ\ ^ 1), то
ру — полунорма.
Обратно, для всякой однородно-выпуклой неотрицательной
функции ρ множество U := {х: р(х) ^ 1} выпукло, его
алгебраическое ядро есть множество {х: р(х) < 1}, причем р — ри-
Доказательство. Как уже отмечалось, 0 < ру(х) < оо.
Для всякого а > О и всякого χ Ε Χ имеем
ру(ах) = inf{£ > 0: t~xotx 6 V} =
= ainf{s > 0: s"1x Ε V} = ару(х).
Пусть х,у 6 X, Зафиксируем ε > 0 и выберем такие syt > 0, что
ру{х) < s < ру{х) + ε, ру(у) < t < ру(у) + ε. Тогда x/s e V,
y/t € V. Положим г = s +1. Тогда точка (х + у)/г = fx/s + ^y/t
принадлежит отрезку с концами в x/s и y/t, т.е. из-за выпуклости
множества V входит в V. Итак, ру((х + у)/г) ^ 1, откуда
Р(? + 1/) < г < ру(х) + ру(у) + 2ε.
В силу произвольности ε получаем ру(х + у) ^ ру(х) + ру(у)·
Наконец, если V уравновешено, то ру(вх) = ру(х) при \θ\ = 1.
Пусть ρ ^ 0 — однородно-выпуклая функция. В силу
выпуклости ρ множество U = {х: р(х) < 1} выпукло. Всякий элемент
χ 6 X с р(х) < 1 входит в алгебраическое ядро С/, ибо
р(х + ty) ^ 1 при \t\ < (1 - р(я?))/шах(р(у), 1).
Если же р(ж) ^ 1, то ж не входит в алгебраическое ядро Ϊ7, так
как
р(ж + ех) = (1 + ФИ ^ 1 + ε > 1
при всех ε > 0. Из определений ясно, что ри = Ρ- Π
6.3.7. Теорема. Пусть U uV — выпуклые множества в
вещественном линейном пространстве X, причем алгебраическое
ядро U не пусто и не пересекается с V. Тогда существует
ненулевая линейная функция, разделяющая U uV.

6.3. Теорема Хана-Банаха
263
Доказательство. Можно считать, что 0 входит в
алгебраическое ядро U (иначе можно было бы перейти к множествам
U — аиУ — а для некоторой точки а из алгебраического ядра U).
Возьмем какую-нибудь точку ^бУи положим
W = U - V + v0.
Ясно, что W — выпуклое множество, причем его алгебраическое
ядро W0 содержит 0. Кроме того, vo ^ W0, ибо
алгебраическое ядро U не пересекается с V. Обозначим через ρ функционал
Минковского множества W0. Тогда p(vq) ^ 1. На одномерном
подпространстве векторов вида tvo зададим линейную функцию
^о(^о) — tp(vo). По теореме Хана-Банаха можно продолжить Iq
до линейной функции I на X с / ^ р. Тогда l(w) ^ 1 при w e W0.
Ввиду теоремы 6.3.6 имеем l(w) ^ 1 при всех w Ε W. Так как
Kvo) = lo(vo) = р{щ) ^ 1, то I разделяет множества W и ^о-
Значит, I разделяет U — V и {0}, но тогда I разделяет U и V. D
Отметим, что в предыдущей теореме не использовалась
топология: алгебраическое ядро определялось в чисто алгебраических
терминах. Применительно к нормированным пространствам
получаем такое утверждение.
6.3.8. Следствие. Пусть выпуклые множества U uV в
вещественном нормированном пространстве X не пересекаются,
причем U открыто. Тогда существует ненулевая непрерывная
линейная функция, разделяющая U uV.
Доказательство. Заметим, что алгебраическое ядро U
совпадает с U ввиду открытости U. Поэтому существует ненулевая
линейная функция /, разделяющая U и V. Такая функция
автоматически непрерывна в случае открытого множества U. Это
следует из такого очевидного замечания: если линейная функция
I ограничена сверху или снизу на непустом открытом множестве,
то она непрерывна. В самом деле, функция I ограничена сверху
или снизу на некотором шаре радиуса г > 0. Поэтому она
ограничена сверху или снизу на шаре радиуса г с центром в нуле, что
дает ограниченность по модулю на этом шаре. D
Приведем еще один очень полезный результат.
6.3.9. Следствие. Если V — замкнутое выпуклое
множество в вещественном нормированном пространстве X и χ &V,
то существует Ι Ε X* с 1{х) > sup^y l(v). Если V линейно, то
можно взять I так, что 1(х) = 1 и 1\у = 0.

264
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Можно считать, что χ = 0. Есть
открытый шар U с центром в нуле и UDV = 0. Как мы уже знаем,
найдется ненулевой функционал Ζ Ε X* с infueuKu) ^ snPvevKv)·
Тогда infueu l(u) < 0 = Z(0), ибо иначе Ζ = 0. Если V линейно, то
1\у = 0 (иначе супремум бесконечен). D
6.4. Применения теоремы Хана—Банаха
Некоторые интересные применения теоремы Хала-Банаха мы
уже обсуждали выше: теоремы о разделении. Другим важным
применением является доказательство того заранее не
очевидного факта, что сопряженное к бесконечномерному
нормированному пространству нетривиально.
6.4.1. Теорема. Для всякого ненулевого элемента χ
нормированного пространства X найдется такой функционал I, что
||Ι|| = 1ιιΖ(χ) = |ΗΙ·
Доказательство. На одномерном пространстве,
порожденном #, положим lo(tx) = t\\x\\. Тогда Iq(x) = ||х|| и ||Zo|| = 1.
Остается продолжить Ζ на X с сохранением нормы. D
Из этой теоремы (или с помощью аналогичного рассуждения)
легко усмотреть, что в случае бесконечномерного пространства X
для всякого η найдутся такие векторы ж χ,..., χη Ε Χ и
функционалы Ζχ,..., ln Ε X*, что k(xj) = 6ц. В частности, сопряженное
пространство тоже бесконечномерно.
6.4.2. Следствие. Пусть Xq — конечномерное
подпространство нормированного пространства X. Тогда Xq топологически
дополняемо в X, т.е. существует такое замкнутое линейное
подпространство Х\, что X является прямой алгебраической
суммой Xq и Х\, а естественные алгебраические проекции Pq
и Р\ на Xq и Χχ непрерывны.
Доказательство. Как указано выше, можно найти базис
#ι,...,#η пространства Xq и элементы Zj Ε X* с 1%{xj) = <%·
Положим
η η
Χχ := Ρ| Ker Zi, Pqx := ^ k(x)xi, P\x := χ — PqX.
i=l г=1
Для всякого j имеем PqXj = Ij(xj)xj = Xj- Ясно, что Pq\xx = 0?
Xq Π Χι = {0}, Χ = Xq Θ Χχ, ибо ж — Рож € Χι ввиду равенств
lj(x — Рож) = lj(x) "" Ц(х)Ц{хз) — 0· Непрерывность Pq и Pi ясна

6.4. Применения теоремы Хана-Банаха
265
из их определения. Ясно также, что Р$ и Р\ совпадают с
алгебраическими проектированиями на Хо и Х\. D
Построим теперь изометрическое вложение нормированного
пространства X во второе сопряженное X**. Для каждого χ Ε Χ
рассмотрим функционал Jx: f ι-* f(x) на Χ*.
6.4.3. Предложение. Отображение J: χ *-> Jx является
линейным изометрическим вложением X в X**.
Доказательство. Линейность J очевидна. Поскольку
\МЛ\ = \№\ < INI при ιι/ιι < ι,
то ||«7Ж|| ^ ||ж||. С другой стороны, согласно доказанному выше,
если χ φ О, то найдется / Ε X* с ||/|| = 1 и f(x) = ||#||, т.е.
Λ(/) = Ν, откуда ||J*||>N|. Π
Если J(X) = X**, то пространство X называется
рефлексивным. Ниже будут приведены примеры рефлексивных и не
рефлексивных пространств. Следует иметь в виду, что
рефлексивность пространства X не равносильна существованию изометрии
между X и X** (в задаче 6.10.178 описан контрпример —
знаменитое пространство Джеймса); требуется, чтобы именно
каноническое отображение J было изометрией на все X**.
Сочетая это предложение с теоремой Банаха-Штейнгауза,
получаем важное утверждение об ограниченности слабо
ограниченных множеств.
6.4.4. Определение. Множество А в нормированном
пространстве называется слабо ограниченным, если
sup|Z(#)| < оо
хеА
для всякого непрерывного линейного функционала I.
В вещественном случае достаточно иметь такую оценку без
модуля, ибо — I также является непрерывным функционалом.
6.4.5. Теорема. Множество в нормированном
пространстве слабо ограничено в точности тогда, когда оно ограничено по
норме.
Доказательство. Слабая ограниченность множества А
означает, что семейство функционалов Jx, где χ Ε Д ограничено на
каждом элементе X*. Так как X* банахово, то указанное
семейство ограничено по норме в X** по теореме Банаха-Штейнгауза.

266
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Ввиду доказанного выше предложения множество А ограничено
по норме. Обратное утверждение очевидно. D
Еще одним полезным следствием существования
изометрического вложения X в X** является следующий результат.
6.4.6. Предложение. Всякое нормированное
пространство X обладает единственным пополнением, являющимся
банаховым пространством.
Доказательство. Таким пополнением является замыкание
образа X при вложении в X**. Следует заметить, что при
использовании пополнения, построенного ранее в категории общих
метрических пространств, можно получить пространство, не
являющееся линейным. D
В случае сепарабельного нормированного пространства с
помощью теоремы Хана-Банаха легко получить счетное множество
функционалов, разделяющих точки.
6.4.7. Предложение. Пусть X — сепарабельное
нормированное пространство. Тогда существует такое счетное
множество функционалов ln Ε X*, что из равенства 1п(х) = 0 при всех
η следует равенство χ = 0.
Доказательство. Пусть {хп} — некоторое счетное всюду
плотное множество в X. Считая, что Χ φ 0, для каждого η
найдем 1п € X* с 1п(хп) = \\хп\\ и ||/п|| = 1. Пусть 1п(х) = 0 при
всех п. Зафиксируем ε > 0 и найдем хгп с \\х — xm\\ ^ е. Тогда
Ikmll = Imbbn) = lm(xm ~ x) < \\хт ~ А\ < ε, откуда ||х|| ^ 2ε.
Значит, χ = 0. D
Наличие разделяющих точки функционалов будет
использовано и в доказываемой в §6.7 теореме об универсальности
пространств С {К).
С помощью теоремы Хана-Банаха мы строили функционалы,
имеющие максимум на шаре. С другой стороны, мы встречали
примеры функционалов, не достигающих максимума. По этому
поводу приведем следующий результат Бишопа-Фелпса
(доказательство можно найти, например, в книге Дистель [75, гл. 1];
усиление можно найти в книге Bollobas [287, гл. 8]).
6.4.8. Теорема. Пусть С — непустое замкнутое
ограниченное выпуклое множество в вещественном банаховом
пространстве X. Тогда множество функционалов из X*, достигающих
максимума на С, всюду плотно в X*.

6.4. Применения теоремы Хана-Банаха
267
Отметим, что для всякого нормированного пространства X
с пополнением X сопряженные X* и X совпадают в том
смысле, что всякий функционал из X* однозначно продолжается по
непрерывности до функционала из X , причем всякий элемент
X получается таким образом из своего сужения на X, Если
банаховы пространства X и Υ линейно гомеоморфны посредством
оператора J, то отображение I t—► lo J есть гомеоморфизм из Y*
на X*. Однако следует иметь в виду, что существуют
неизоморфные (линейно топологически) банаховы пространства X и Υ с
линейно гомеоморфными сопряженными. В качестве примера
укажем I1 и £х[0,1] (отсутствие линейного изоморфизма между
ними — предмет задачи 6.10.102, а изоморфность их сопряженных
Ζ°° и L°°[0,1] — теорема Пелчинского, доказательство которой
можно прочитать в книге Albiac, Kalton [251, теорема 4.3.10]).
Приведем менее очевидные примеры однородно-выпуклых
функций, с помощью которых строятся некоторые интересные
линейные функции.
6.4.9. Пример. Следующие функции ρ однородно-выпуклы:
(i) пусть X — пространство всех ограниченных вещественных
последовательностей χ = (хп) и
η
1
р(х) = inf S(x, αϊ,..., αη), S(x, αχ,..., αη) := sup - Υ] ^+tti,
где inf берется по всем натуральным η и всем конечным наборам
чисел αχ,... ,αη 6 IN;
(ii) пусть X — пространство всех ограниченных вещественных
функций на прямой и
1 п
p(f) = inf £(/,αχ,..., αη), S(/,ab ... ,αη) := sup - У]/(* + <ч),
где inf берется по всем натуральным η и всем конечным наборам
чисел αχ,..., ап 6 IR;
(in) пусть X — пространство всех ограниченных
вещественных последовательностей χ = (хп) и
1 п
р(х) = inf S(x, αχ,..., αη), S(x, αχ,..., αη) := Km sup - ^ Хк+сц,
*-°° η г=1
где inf берется по всем натуральным η и всем конечным наборам
чисел αϊ,..., ап Ε IN.

268
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из (ii), которое
мы и докажем. Ясно, что \p(f)\ < оо и p(af) = ap(f) при а ^ 0.
Пусть /,д G X и ε > 0. Найдем такие αϊ,..., αη, £>ι,..., bm, что
sup - У] /(* + α*) < Ρ(/) + ε> SUP — Σ #(* + Ы) < p(g) + ε.
Заметим, что величина sup(ran)-1 Σΐΐι X^Li(/ + <?)(* + a% + fy)
не превосходит суммы
- 771 - Π .. 71 - 771
sup — У] - У] /(* + о» + bj) + sup - 52 — 52#(* + °i + fy)·
Мы имеем η-1 Σ2=ι /С + αί + fy) ^ £(/> аЪ · · · ·> αη) при
фиксированных t и bj, откуда
- га .. η
Из аналогичной оценки для д получаем
Р(/ + 9) < 5(/,аь... ,αη) + 5(5,6Ь ... ,6m) < p(f)+p(g) + 2ε,
что в силу произвольности ε дает р(/ + д) ^ р(/) + р(з).
Доказательство утверждения (iii) совершенно аналогично. D
Теперь применим доказанное для построения некоторых
любопытных функций множества.
6.4.10. Пример. На σ-алгебре всех подмножеств IN
существует неотрицательная аддитивная функция г/, которая равна
нулю на всех конечных множествах и равна 1 на IN; в частности,
функция ν не счетно-аддитивна.
Доказательство. В пространстве X ограниченных
последовательностей с функцией ρ из пункта (iii) предыдущего
примера возьмем подпространство Xq последовательностей, имеющих
предел. Положим 1(х) — lim хп при χ Ε Хо. Тогда 1(х) = р(х),
п—>оо
ибо limsnpn~1Y^=1Xk-\-ai = um хк при всех фиксированных η
и αϊ,..., αη. Продолжим / до линейной функции / на X с Ζ ^ р.
Если χ Ε X и хп ^ 0 для всех п, то р(х) ^ 0 и потому 1{х) ^ 0.
Значит, 1{х) ^ 0, если хп > 0. Если χ = (#ι,... ,#η,0,0,...), то

6.4. Применения теоремы Хана-Банаха
269
1(х) = 1(х) = 0. Наконец, Z(l,l,...) = 1. Для каждого Ε С IN
положим v(E) := 1(1 ε)^ где 1е — индикатор Е, т.е.
последовательность, на п-м месте которой стоит 1 или 0 в зависимости от
того, входит η в Ε или нет. Конечным множествам
соответствуют конечные последовательности, поэтому на них ν обращается
в нуль. На всем IN значение ν равно 1, а аддитивность ν следует
из аддитивности / и того, что Ιεχόε2 = /ει +Ιε2 Д·7151
непересекающихся Е\ и Е<2,. Отсутствие счетной аддитивности очевидно. D
6.4.11. Пример. На пространстве X всех ограниченных
вещественных функций на прямой с ограниченными носителями
существует линейная функция L, совпадающая с интегралом
Лебега на интегрируемых функциях и имеющая следующие свой-
ства: L(f) > 0 при / > 0, \L(f)\ < supt |/(ί)|, L(/(- + Λ)) = L(f)
для всех / 6 X и h Ε Κ1, где /(· + Λ)(ί) = /(t + Λ).
Доказательство. Сначала построим такой функционал на
пространстве Х\ ограниченных функций с периодом 1. Возьмем
на Х\ функцию ρ из примера 6.4.9(ii). На подпространстве Xq
интегрируемых по периоду функций зададим L как интеграл
Лебега и заметим, что L(f) ^ р(/) при / Ε Хо ввиду задачи 3.12.26.
Продолжим L на X по теореме Хана-Банаха. Мы имеем
соотношения L(-f) = -L(f) ^ р(-/), откуда
-p(-/)<L(/)<p(/) V/eXi.
Если / ^ 0, то р(—/) ^ 0 в силу определения ρ и потому L(/) ^ 0.
Ясно, что |L(/)| < supt|/(t)|, ибо р(/) < supt|/(t)|. Покажем,
что L(/) = L(/(· + h)) для всех / G Ιι, /г € Е1. Мы положим
g(t) = f(t+h) — f(t) и проверим, что L(p) = 0. Пусть а*. = (fc— l)h
при fc = 1,..., п. Тогда Υ%=1 g(t + щ) = /(t + η/ι) - /(t), откуда
ρ(ρ) ^ S(#, αχ,..., On) = sup η-1 [/(£ + nh) - /(*)] -> 0 при η -> оо.
Итак, р(д) ^ 0. Аналогично р(—д) ^ 0, откуда L(#) = 0.
Теперь для ограниченной функции / с носителем в [—п, п) положим
L(f) := Y?jZ-nL(fj), где /j — 1-периодическое продолжение
сужения функции / на \j,j + 1). Нетрудно проверить, что получен
нужный функционал. D
Оба этих примера принадлежат Банаху.

270
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Положив ζ (А) := L(Ia) для ограниченных множеств А,
получаем аддитивную неотрицательную функцию множества,
продолжающую меру Лебега на ограниченных множествах и
инвариантную относительно сдвигов. Кстати, если в качестве Xq взять
одномерное пространство констант, то такое же рассуждение даст
еще один линейный функционал на Х\, равный 1 на 1,
неотрицательный на неотрицательных функциях и инвариантный
относительно сдвига аргумента функции. Аналогичные соображения
позволяют на всяком множестве Т, на котором действует
коммутативная группа биекций £, построить инвариантную
относительно Q неотрицательную аддитивную функцию ζ с ζ(Τ) = 1.
Таким способом Банах построил аддитивную площадь на
классе всех ограниченных множеств, совпадающую с мерой Лебега на
измеримых множествах и инвариантную относительно движений.
Однако для И3 такого продолжения не существует, что доказал
Хаусдорф. Поэтому коммутативность группы Q существенна.
Вот еще один пример применения теоремы Хана-Банаха.
6.4.12. Пример. Пусть Χ, Υ — нормированные
пространства, D С X — линейное подпространство, Τ: D —► Υ — линейное
отображение (необязательно непрерывное), / — линейная
функция на JD, причем \1(х)\ ^ ||Г#||У при х Ε D. Тогда существует
функционал / Ε У*, для которого l(x) = f(Tx) при χ Ε D.
Доказательство. Если КегГ = 0, то 10(у) = 1{Т~1у) —
линейный функционал на T(D) и |/о(у)| ^ IMIy Продолжим Iq
до функционала / Ε У*. Тогда l(x) = f(Tx) при χ Ε D. Если
KerT φ 0, то возьмем такое линейное подпространство D\ в D,
что D = КегТф£>1. По доказанному найдется / € У*, для
которого 1{х) = f(Tx) при χ Ε D\. Это верно и при χ Ε КегТ, ибо
\1(х)\ ^ ||Гж||у. Значит, это верно для всех χ Ε D. D
6.5. Сопряженные к конкретным пространствам
Здесь указаны сопряженные к важнейшим банаховым
пространствам. Начнем с теоремы Рисса об общем виде
непрерывного линейного функционала на гильбертовом пространстве.
6.5.1. Теорема. (Теорема Рисса) Пусть Η —
вещественное или комплексное гильбертово пространство. Тогда для
всякого ν Ε Η формула
lv(x) = (χ, υ)
задает непрерывный линейный функционал на Η и \\lv || = ||ν||.

6.5. Сопряженные к конкретным пространствам
271
Обратно, всякий функционал I Ε Н* задается таким способом,
а отображение уи^ является изометрией, которая линейна
в вещественном случае и сопряженно-линейна в комплексном.
Доказательство. Равенство ||Ζν|[ = \\ν\\ ясно из
неравенства |(#,ν)| ^ ΙΜΙΙΜΙ и равенства lv(v) = |М|2. Пусть / Ε Н*.
Если I = 0, то ν = 0. Будем считать, что Щ := ί_1(0) φ Η.
Возьмем единичный вектор е J. Щ и положим ν := 1(е)е. Тогда
для всех χ Ε Η имеем 1(х) = (ж, и), поскольку это верно для всех
# Ε i?o и для ж = υ ввиду равенств l(v) = |/(е)|2, (г>, ν) = |i(e)|2.
Последнее утверждение теоремы очевидно. D
Из этой теоремы следует, что всякий непрерывный линейный
функционал F на Н* имеет вид F(l) = /(α), где α Ε Η
(функционал ν ι-* F(lv) линеен), т.е. Η рефлексивно.
6.5.2. Замечание. Для всякого евклидова пространства Ε
(не обязательно полного) отображение J: Ε —► Ε*, υ ι-+ Ζν, где
Ιυ(%) == (#>ν)? сохраняет расстояния. Поскольку £7* всегда полно,
то это отображение дает пополнение Ε в категории евклидовых
пространств. Для этого надо заметить, что на замыкании J(E)
в Е* есть не только норма, но и скалярное произведение: если
/ = lim J(vn) hj= lim J(wn), то предел (f,g) := lim (wn,vn)
n—юо n-»oo u—>oo
существует, не зависит от выбора сходяыщхся
последовательностей, линеен по / и сопряженно-линеен по g (ибо мы имеем
J(^vn) = XJ(vn) и (wnjXvn) = λ(ΐϋη,ΐ;η)). Можно было бы
положить (f,g) := [||/ + #||2 - У/112 - ||5||2]/2 и с помощью υη и
^убедиться, что получено скалярное произведение. Тем самым J{E) —
гильбертово. На самом деле J(E) = £?*, ибо после
отождествления Ε с J(E) и J(£)+ с 1Щ получаем Е* = J(#)* = J(JS7).
6.5.3. Пример. Пусть D — линейное подпространство
гильбертова пространства Н, Т: D —► Η — линейное отображение,
I — линейная функция на D, причем |/(ж)| < \\Тх\\ при χ Ε D.
Тогда существует ν Ε Η, для которого 1{х) = (Τχ,ν) при χ Ε D.
Это следует из примера 6.4.12.
Выведем из теоремы Рисса теорему Радона-Никодима.
6.5.4. Пример. Пусть /х>0иг/^0- конечные меры на
пространстве (X, А) и ν <С μ. Рассмотрим меру А = μ + ι/. Всякая
функция ψ из £*(λ) входит в £χ(μ), причем ее интеграл по мере μ

272
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
не изменится при переопределении ψ на множестве λ-меры нуль.
Следовательно, линейная функция
L((p) = / φ
Jx
άμ
корректно определена на вещественном L2(X) (не зависит от
выбора представителя φ). По неравенству Коши-Буняковского
1ЭДК / Μ<*λ<ζ||%2(λ)|Μ|£2(λ).
j x
Теорема Рисса дает такую функцию ф Ε С2(λ), что
/ φάμ =
Jx JX
φφάλ (6.5.1)
для всех φ е L2(X). Будем иметь дело с ее Д-измеримой версией.
Подставив φ = /д, где А е Л, находим μ = ф · λ, ν = (1 — ф) · λ.
Докажем, что функция (1 — ф)/ф подходит в качестве dv/άμ.
Пусть Ω = {χ: ф{х) ^ 0}, Ωχ = {χ: ф(х) > 1}. Тогда Ω,Ωχ е Α
Подставив в (6.5.1) функции φ = Ιςι и <£> = J^, получаем
μ(Ω)= [ φάΧ^Ο, /χ(Ωχ)= / ^^λ>λ(Ωχ).
./Ω ^Ωι
откуда μ(Ω) = 0 и μ(Ωχ) = 0, ибо μ(Ωχ) ^ λ(Ωχ). Тогда
функция /, заданная равенством
1 _ φ(χ)
f(x) = —J\ J πρπζ^ΩϋΩχ, /(ж) = 0 πρπζΕΩϋΩχ,
φ(χ)
неотрицательна и Л-измерима. Функция / интегрируема
относительно μ. В самом деле, функции fn = ίΙ{ψ^\/η} ограничены
и возрастают поточечно к /, причем
/ ίηάμ- / 1{ф>1/п}(1 - φ) d\ = / I{^i/n}du^u(X).
J X J X J Χ
Остается воспользоваться теоремой Беппо Леви, дающей также
сходимость {fn} к / в Ζ/1(μ). Наконец, для каждого A Ε Л имеем
1а1{ф^1/п} —► Ια μ-п.в., следовательно, и г/-п.в. (лишь в этом
месте используется абсолютная непрерывность ν относительно μ).
В силу сходимости {fn} к / в ^(μ) находим
и(А) = £%о / 1а1{Ф^/п} dv = J^ / ΪαΙ^ι/π}! άμ = f άμ.

6.5. Сопряженные к конкретным пространствам
273
Приведем теперь другую теорему Ф. Рисса об общем виде
непрерывного линейного функционала на пространстве С[а,Ь].
6.5.5. Теорема. (Теорема Рисса для С) Общий вид
непрерывной линейной функции на вещественном или
комплексном пространстве С[а,Ь] таков:
1(х)= Ι χ{ί)μ{β\
J[aA
где μ — ограниченная борелевская мера на [а,Ь] (комплексная
в комплексном случае), причем \\1\\ =
Доказательство. Для упрощения формул рассмотрим
вещественный случай. По теореме Хана-Банаха всякий
непрерывный линейный функционал / на С[а, Ь] продолжается с
сохранением нормы на пространство В [а, Ь] всех ограниченных функций
на [а,Ь]. Продолжение обозначим также через /. Положим
F(s)~l(I[a<s]).
Покажем, что функция F имеет ограниченное изменение. Пусть
а = t0 < h < · · · < tn = Ь и ek := sga(F(tk) - F(tfc_i)). Тогда
Σ \F(U) - F{U-i)\ = f>(Ffo) - F(U-i)) =
t=l t=l
η η
= ife^laM ~ Wi])) < Ш^^'^и] " '[«Α-ι])| < ΙΙΊΙ.
t=l ΐ=1
ибо функция Х^^=х ei(I[aiti] ~ ^[aM-i]) может принимать лишь
значения -1,1,0. Итак, V*(F) < ||/||. Функция F имеет не более чем
счетное множество Τ точек разрыва (см. §4.2), причем эти точки
являются точками скачка. Переопределим F в этих точках так,
чтобы получить непрерывную слева функцию Fo. Легко прове-
рить, что Vb(Fo) < V*(F).
Пусть теперь χ — непрерывная на [а, Ь] функция.
Зафиксируем ε > 0 и выберем такое δ > 0, что \x(t) — x(s)\ < ε при \t — s\ ^ δ
и выполнено неравенство
гЬ п
I
Ja
<ε,
x(t)dF0(t) ~Y^x(ti)(Fo(ti) -Fo(t<-i))
i=l
если точки а = to < t\ < · · · < tn = b таковы, что \t% — t<_i| ^ δ.
Выберем такие точки вне Τ (в них Fq и F равны) и возьмем

274
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
ступенчатую функцию ψ, равную х(и) на (tj_i,£j], г = 1,...,п.
Положим ^(а) = х(а). Ясно, что ||ж — ψ\\ < ε. Поэтому получаем
\1(х) - 1(ф)\ ^ ε\\1\\. Наконец, 1(ф) = ΕΓ=ι *(*ί)(^ο(«*) - F0{U-i)),
откуда
rb ,
x(t)dF0(t)-l(x)\^e(l + \\l\\).
\[
Ввиду произвольности ε величина 1(х) есть интеграл Стилтье-
са от χ по функции Fq. Такой интеграл можно представить в
виде интеграла Лебега по борелевской мере μ, порождаемой Fo
(см. §4.2). Легко видеть, что интеграл Стилтьеса от χ по Fq не
больше Vb(F0)supt\x(t)l откуда ||/|| ^ ν*(*ο), т.е. ||/|| = V*(F).
Равенство ||μ|| = V£(Fo) доказано в предложении 4.2.9. D
На самом деле, как показано в §6.10(vii), теорема Рисса
остается в силе для всякого компакта, поэтому можно обойтись без
приведенных выше кустарных построений. Читатель может
задаться таким вопросом: нельзя ли получить искомую меру μ
сразу как действие продолжения I на индикаторы? Оказывается,
ответ отрицательный: полученная функция множества может быть
не счетно-аддитивной (задача 6.10.98).
6.5.6. Теорема, (i) Общий вид непрерывной линейной
функции на со таков:
оо
Κχ) = Σ УпХп, где у = (уп) Ε I1 и \\1\\ = ЦуЦр.
п=1
(Ц) Пусть 1 < ρ < оо. Общий вид непрерывной линейной
функции на 1Р таков:
оо
К*) = Σ УпХп, где у = (уп) G /*, l/p+1/q = 1 и \\1\\ = ||ι/||ρ.
n=l
(iii) Общий вид непрерывной линейной функции на I1 таков:
оо
Кх) = Σ УпХп, где у = (уп) е 1°° и ||/|| = ||у||/оо.
п=1
Доказательство. Ясно, что всякий элемент у Ε I1 задает
функционал ί на со по указанной формуле, причем ||/|| ^ \\у\\р.
Поскольку для вектора χ = (sgn j/i,..., sgnyn, 0,0,...) мы имеем
\\х\\ = 1 и 1{х) = Y%=1 |ifc|, то на самом деле ||/|| = ЦуЦр.
Обратно, пусть I — непрерывный линейный функционал на со-
Положим уп := Z(en), где еп — последовательность с 1 на п-ом

6.5. Сопряженные к конкретным пространствам 275
месте и 0 на остальных местах. Тогда ]СГ=1 \У%\ = Кх) ^ \\Щ Д·7151
χ = (sgn2/b...,sgnyn)0,0,...), откуда у е I1. Вектор у задает
функционал /о> совпадающий с / на конечных линейных
комбинациях векторов еп. Поскольку такие комбинации плотны в со,
а оба функционала непрерывны, то получаем равенство I = Ζο·
Это доказывает утверждение (i). Утверждения (п) и (ш)
доказываются совершенно аналогично, надо лишь воспользоваться
неравенством Σίϋι |яяуп| < NWMIj*· π
Таким образом, имеет место равенство с{$* = /°°. Это
равенство любопытно тем, что дает один из немногих известных
примеров, в которых явно вычисляется второе сопряженное
нерефлексивного пространства. Конечно, образуя прямые суммы со
с рефлексивными пространствами, можно умножить число
примеров, но без использования со обойтись трудно.
Теперь рассмотрим пространства LP.
6.5.7. Теорема. Пусть μ — неотрицательная σ-конечная
мера на измеримом пространстве (Ω,Α).
(i) Пусть 1 < ρ < оо. Общий вид непрерывной линейной
функции на вещественном или комплексном LP {μ) таков:
1{х) = / x(t)y(t) /*(<ft), где у е £«(//), 1/р + Ι/q = 1.
При этом \\1\\ = ||ι/||ι,«(μ).
(ii) Общий вид непрерывной линейной функции на
вещественном или комплексном &(μ) таков:
1(х) = I x(t)y(t) μ(άή, где у е C°°(ja).
Jo.
При этом \\1\\ = ||ί/||χ,«»(μ).
Доказательство. Для упрощения выкладок мы
рассмотрим вещественный случай. Из неравенства Гель дера ясно, что
всякая функция у Ε №(μ) задает на LP (μ) линейный
функционал, норма которого не превосходит ||ί/||χ,9(μ)· Если при ρ > 1
в качестве χ подставить функцию χ(ω) = sgny(a;)|j/(a;)|9/p, то
с учетом соотношения q/p = q — 1 получим равенства

276
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
показывающие, что ||/|| = ||г/||х/?(д)· В случае ρ = 1 положим
с := \\у\\ь°°(р)· Если с = О, то I = 0. Пусть с > 0. Рассмотрим
множества £7П := {ω: с— 1/n ^ |y(u;)| ^ с} положительной меры
и возьмем функции хп := lEnsgay^(En) с нормой 1. Тогда
*(жп) = / хп{и)у(ш)μ(άω) ^ с-1/п
и потому ||/|| ^ с — 1/п, т.е. ||/|| ^ с. Обратное неравенство
очевидно.
Пусть дан непрерывный линейный функционал / на LP {μ)-
Разбивая пространство Ω на части конечной меры, легко свести
общий случай к случаю конечной меры. Поэтому далее будем
считать, что μ(Ω) < оо. Функция
и(А):=1(1А), АеЛ,
является счетно-аддитивной мерой на Л. Если μ{Α) = 0 при
некотором А Е А, то ν{Α) = 0, т.е. мера ν абсолютно непрерывна
относительно меры μ. По теореме Радона-Никодима существует
такая μ-интегрируемая функция у, что
1(1А) = и(А) = J ΙΑ(ω)ν(ω) μ(άω), Α Ε Α.
Поэтому для всякой простой функции χ величина 1{х) равна
интегралу от ху. Следовательно,
/ х{и)у{и) μ{άω)
\Jil
^
11№11ι*(μ)- (6-5.2)
Предельным переходом распространяем эту оценку на все
ограниченные //-измеримые функции х. Пусть ρ > 1. Подставим в
качестве χ функцию χ(ω) = sg]Liy(uj)\y(uj)\q/p 1{\у\<^п}, где η 6 IN. Это
дает оценку
/
^ν(ω)\4{Μ<η}(ω) μ(άω) < ||i||||y/{W^n}ll£?M·
Итак, \\у1{\у\^п}\\1я^) < INIII^ilyl^n}!!!^), откуда ввиду
равенства q=l + q/p получаем оценку ||ΐ/*{|^η}||ι,«(μ) < Ш- По
теореме Фату ||ι/||χ,<ϊ(μ) ^ ||/||. Функция у задает на £Ρ(μ) непрерывный
линейный функционал /о? который совпадает с / на всех простых
функциях. Ввиду непрерывности обоих функционалов и
плотности множества простых функций в LP {μ) с ρ < оо получаем

6.6. Слабая и *-слабая топологии
277
равенство / = Iq. Наконец, в случае ρ = 1 из (6.5.2) получаем
неравенство
[\υ(ω)\μ(άω)^\\1\\μ(Α), А Ε Л.
J A
Оно показывает, что μ(ω: \у(ш)\ > \\1\\) = 0, т.е. ||у||г,°одо < \\%
что завершает доказательство. D
Отметим, что бывают случаи, когда сопряженное к
гильбертову пространству неудобно отождествлять с самим
пространством, несмотря на наличие естественного изоморфизма.
Скажем, так обстоит дело при рассмотрении сопряженных к
пространствам Соболева (см. гл. 9). Вот еще один характерный
пример. Пусть Ω — открытый единичный круг в комплексной
плоскости и Α2(Ω) — пространство Бергмана голоморфных в Ω
функций, входящих в £2(Ω) (см. пример 5.2.2). Для всякого λ 6 Ω
линейный функционал φ н-> φ(λ) непрерывен на Α2(Ω) (см.
оценку (5.2.1) в указанном примере). Этот функционал не записан
в виде (<р,ф), хотя, конечно, в соответствии с общей теоремой
его можно представить в таком виде с некоторым элементом
φ Ε Л2(Ω). Аналогичная ситуация возникает и для более общих
функционалов вида
<р*-> <ρ(ζ)μ(άζ),
JK
где μ — мера с компактным носителем К в Ω.
6.6. Слабая и *-слабая топологии
Пусть Ε — линейное пространство и F — некоторое
линейное пространство линейных функций на Е, разделяющее точки Ε
в следующем смысле: для всякого χ φ О найдется fEF с f(x) φ 0.
Иначе говоря, для всякой пары различных точек ж, у Ε Χ
найдется элемент / Ε F с f(x) φ f(y). В этой ситуации, когда нет
никаких норм или топологий, во многих приложениях бывает
полезно ввести сходимость на Ε следующим образом: хп —► #, если
/(#п) —► f(x) для всякого f Ε F. Аналогичным образом на F
бывает полезно рассматривать поточечную сходимость, т.е.
сходимость fn(x) —► f(x) при каждом х. Сейчас мы введем
естественную топологию, в которой сходимость последовательностей
имеет указанный вид. Следует сразу предостеречь читателя, что
топология с таким свойством не единственна. Однако вводимая

278
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
далее топология a(E,F) является естественной во многих
отношениях. Вводимые и изучаемые в этом параграфе объекты на
самом деле относятся к теории локально выпуклых пространств,
основные элементы которой обсуждаются в главе 8. Однако
специфика слабых топологий столь значительна, что предпринятое
здесь нарушение дедуктивного порядка изложения
представляется совершенно оправданным и, более того, даже полезным для
последующего знакомства с более общими понятиями.
Сначала зададим следующие базисные окрестности нуля:
0>ι,...,/»* := {χ € Е: \fi(x)\ < ε,..., \fn(x)\ < ε},
где η Ε IN, fi Ε F, ε > 0. Затем введем базисные окрестности
произвольной точки а Ε Е:
= {хеЕ: \h{x - α)Ι < ε,..., \fn(x - α)\ < ε}.
Наконец, объявим открытыми пустое множество и
всевозможные объединения окрестностей £^/ι,...,/η,ε(α)> т-е- в объединяемых
окрестностях можно варьировать как точки а, так и
функционалы fi вместе с числами η и ε. Эта топология является
ограничением известной нам топологии поточечной сходимости на IR^,
если точки Ε рассматривать как функции на F.
6.6.1. Предложение. Полученный класс множеств
является хаусдорфовой топологией, обозначаемой через a(E,F).
Последовательность {хп} сходится в этой топологии к χ
в точности тогда, когда f(xn) —> f(x) для всякого f E F.
Доказательство. Можно сослаться на пример 1.6.5, но мы
повторим рассуждения. Указанный класс содержит Ε и пустое
множество и допускает произвольные объединения. Проверим,
что он допускает конечные пересечения. Для этого достаточно
показать, что пересечение V = ^/ι,...,/η,ε(«) Π £^b...,0m,<s(&) входит
в σ(£?, F), т.е. всякая точка ν Ε V входит ъУ с окрестностью вида
^/iv..,/n,^i,...,pm,t,(t;)· Дл* этого выберем г > 0 следующим образом:
Г = 2 "г1^ ~~ '^ ~ ^''δ ~~ '*'^ ~ Ь^'
Тогда получаем u/1,...,/n,pi,...,pm,r(v) С V. Действительно, пусть
х € ^/i,...,/n,i?i,...,Pm,r(^j· Мы имеем
\fi(x - а)\ = \fi(x -v) + fi(v - α)J < г + \&(υ - а)\ < ε,

6.6. Слабая и *-слабая топологии
279
т.е. χ е I7fc,...,/n,e(a)· Аналогично χ € Ugu_i9rnis(b).
Хаусдорфовость полученной топологии следует из того, что F разделяет
точки Е: точки а ф Ь могут быть разделены простейшими
окрестностями вида UfjS(a) и UfjS(b).
Пусть последовательность {хп} сходится в топологии σ(Ε, F)
к х. Для всякого / 6 F и всякого ε > 0 найдется такой номер Ν,
что хп Ε UfjS(x) при η ^ N. Это означает, что f(xn) —> /(#)·
Обратно, если для всякого / G F выполнено это соотношение, то
во всякую окрестность ϊ//ι,...,/η,ε(#) попадают все элементы жп,
начиная с некоторого номера. D
Аналогичное утверждение верно и для направленностей.
Топология σ(Ε, F) обладает следующим замечательным
свойством.
6.6.2. Теорема. Множество всех линейных функций на Е,
непрерывных в топологии a(E,F), совпадает с F, т.е.
справедливо равенство (E,a(E,F))* = F.
Доказательство. Функции из F непрерывны на Ε по
построению топологии. Покажем, что всякая линейная функция /
на Е, непрерывная в топологии a(E,F), обязана быть
элементом F. По условию множество {х: \1(х)\ < 1} открыто и
содержит нуль. Поэтому оно содержит некоторую окрестность нуля
C^/ι,...,/η,ε· Это означает, что / обращается в нуль на пересечении
ядер функционалов /j. Покажем, что I является линейной
комбинацией fi. Воспользуемся ивдукцией по п. Пусть / =,0 на
множестве L\ = /{" (0). Если L\ = Ε, то / = /χ = 0. Если есть вектор
ν 0 Li, то получаем / = l(v)fi(v)~lfi ввиду линейности
функционалов / и /χ и того обстоятельства, что Ε является суммой
L\ и линейной оболочки v. Пусть наше утверждение верно для
некоторого η — 1 ^ 1. Рассмотрим I на ядре Ln функционала /п.
По уже доказанному существуют такие числа ci,...,^-!, что
1(х) = c\f\(x) -\ Ь Cn-ifn-i(x) при всех χ G Ln. Если Ln = Ε,
то все доказано. Если существует ν # Ln, то I = c\f\ -\ Ь Cnfn,
где Сп := /η(^)_1(ί(^) - ci/l(v) Cn-ifn-i(v)). D
Аналогичным образом определяется топология a(F, Ε) на F.
Для этого элементы Ε рассматриваются как линейные
функционалы на F, т.е. каждый χ Ε Ε порождает функционал / »-> /(ж).
Согласно доказанному выше, сходимость последовательностей в
топологии a(F,E) — это поточечная сходимость. Пространство

280
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
непрерывных линейных функций на F с топологией a(F, E)
совпадает с исходным пространством Ε в следующем смысле: всякая
непрерывная в топологии a(F, Ε) линейная функция I имеет вид
/ н-> f(x) для некоторого χ G Ε.
Рассмотрим два важных примера.
6.6.3. Пример. Пусть X — нормированное пространство.
(i) Положив Ε = X и взяв X* в качестве F, получаем слабую
топологию σ(Χ, X*) на X. При этом сопряженным к X с
топологией σ(Χ, Χ*) остается X*. Однако в случае бесконечномерного
пространства X слабая топология всегда строго слабее топологии
нормы. Это видно из того, что всякая базисная окрестность нуля
{х EX: \fi(x)\ < ε,..., |/п(я)| < £}, /i G X*, содержит линейное
подпространство H<Li /Г (О)' которое бесконечномерно в случае
бесконечномерного X. В частности, открытый шар в X не может
содержать слабо открытых множеств. Интересно, что, несмотря
на различие слабой топологии и топологии нормы, они могут
обладать одинаковыми запасами сходящихся последовательностей.
Так обстоит дело для X = I1 (задача 6.10.102).
(ii) Положив Ε = X* и взяв X в качестве F, получаем так
называемую *-слабую топологию σ(Χ*,Χ) на X*. При этом
множество непрерывных в топологии σ(Χ*,Χ) линейных функций
естественно отождествляется с X, т.е. это множество в общем
случае меньше пространства X**, как, например, происходит с
пространством X = со, где X** = 1°°.
Из доказанного в §6.4 получаем такое утверждение.
6.6.4. Предложение. Всякая слабо сходящаяся
последовательность в нормированном пространстве X ограничена по нор-
ме.
Последовательность в X*, которая сходится в *-слабой
топологии, ограничена по норме.
Особенно большое значение в приложениях имеет слабая
сходимость в гильбертовом пространстве. Поскольку здесь
сопряженное отождествимо с самим пространством, то слабую
топологию можно отождествить со *-слабой.
6.6.5. Пример. Пусть Η — сепарабельное гильбертово
пространство с ортонормированным базисом {еп}.
Последовательность векторов hk € Η слабо сходится к вектору h в точности
тогда, когда она ограничена по норме и для всякого η
последовательность чисел (hk,en) сходится к (/i,en).

6.6. Слабая и *-слабая топологии
281
Доказательство. Пусть supn \\hn\\ < оо и (hk,en) —> (/ь,еп)
для всякого п. Ясно, что тогда (hk, х) —► (/ь, ж) для всякого #,
являющегося конечной линейной комбинацией еп. Это дает
сходимость на каждом элементе ж € £Г, ибо для всякого ε > 0 найдется
конечная линейная комбинация ζ векторов базиса с \\х — ζ\\ < ε,
откуда имеем |(ΛΛ,ж) - {hk,z)\ ^ ssupn ||/in||. D
6.6.6. Пример. Последовательность функций /п Ε С[а, Ь]
слабо сходится к функции / Ε C[a,b] тогда и только тогда, когда
supn||/n|| < оо и fn(t) —> /(£) для каждого t 6 [α, 6].
Достаточность этого условия ясна из теоремы Лебега о мажорированной
сходимости и того факта, что С [а, Ь]* есть пространство
ограниченных борелевских мер на [а, Ь]. Необходимость очевидна из
рассмотрения функционалов φ н-> φ(ί) и ограниченности слабо
сходящейся последовательности.
Слабая топология в бесконечномерном случае неметризуема.
Это имеет много различных проявлений.
6.6.7. Пример. Рассмотрим векторы ип = 1п(п + 1)еп в Ζ2,
где еп — стандартный базис I2. Точка 0 входит в замыкание {ип}
в слабой топологии, но никакая подпоследовательность в {ип} не
может сходиться слабо, ибо она не ограничена. Чтобы увидеть,
что всякая слабая окрестность нуля содержит точку из {г*п},
заметим, что для каждого фиксированного конечного набора
векторов Vi = 0М, . . . , Vi j, . . .), . . . , Vm = (vm,b · · · » %j) · · ·) в ^
и всякого ε > 0 найдется номер п, удовлетворяющий условию
ΣΙ^ι К,п|2 < ε|1η(η+ 1)|~2, что очевидно из расходимости ряда
из 11п(га + 1)|~2. Тогда получаем |(νι,^η)| < ε,... ,\(vm,un)\ < ε.
Отметим следующий просто доказываемый, но неожиданный
на первый взгляд факт.
6.6.8. Теорема. Пусть А — линейное отображение между
нормированными пространствами X и Υ. Следующие условия
равносильны:
(i) отображение А непрерывно.,
(ii) отображение А непрерывно относительно слабых
топологий, т.е. как отображение А: (Χ,σ(Χ,X*)) —> (Υ,σ(Υ,Υ*));
(iii) если хп —► 0 слабо, то {Ахп} слабо сходится.
Доказательство. Пусть \\А\\ < оо. Для слабой окрестности
нуля в Υ вида V = {у G Y: \д%(у)\ < е,ди... ,дп € У*} возьмем

282
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
слабую окрестность нуля U = {х € X: \fi(x)\ < ε, г = 1, ...,η}
в X, где fi := gi о А 6 X*, что дает включение А(Е/) С7и
показывает слабую непрерывность в нуле, из которой очевидным
образом следует слабая непрерывность во всех точках. Ясно, что
(и) влечет (iii). Пусть выполнено (iii). Тогда \\А\\ < оо в силу
следствия 6.1.3, ибо если ||#п|| —► 0, то хп —> 0 слабо, а тогда {Лжп}
слабо сходится по условию (iii), откуда supn ||Аеп|| < оо. D
Уже отмечалось, что слабая топология неметризуема, если X
бесконечномерно. Поэтому для нелинейных отображений (даже
со значениями в прямой) слабая секвенциальная непрерывность
может быть строго сильнее непрерывности в слабой топологии
(см. задачу 6.10.166). Однако на шарах в I2 слабая топология
метризуема (см. §6.10(H)).
Предостережем читателя, что установленная равносильность
непрерывности в топологии нормы и слабой топологии не
распространяется на промежуточные топологии (задача 8.6.42).
Еще одним замечательным свойством слабой топологии
нормированного пространства является то, что запас выпуклых
замкнутых множеств в ней такой же, как и в исходной топологии,
хотя произвольных замкнутых по норме множеств больше, чем
слабо замкнутых (в бесконечномерном случае).
6.6.9. Теорема. Выпуклое множество V в нормированном
пространстве X замкнуто в слабой топологии в точности
тогда, когда оно замкнуто по норме. При этом V является
пересечением всех содержащих его замкнутых полупространств вида
{х: 1{х)^с}, 1еХ*.
Доказательство. Пусть V замкнуто по норме и и £ V. По
следствию 6.3.9 найдется / Ε X* с 1(и) > с := s\ipveV /(г>), т.е.
V С Π := {χ: 1(χ) < с} и и £ П, что доказывает последнее
утверждение, а из него сразу следует первое. D
Открытое по норме выпуклое множество может вообще не
иметь внутренних точек в слабой топологии (как, например,
открытый шар). Следует иметь в виду, что доказанная теорема не
переносится на *-слабую топологию в сопряженном пространстве
(см. задачу 6.10.161).
6.6.10. Следствие. Пусть последовательность элементов
хп нормированного пространства X слабо сходится к χ Ε X.
Тогда найдется последовательность векторов νη из выпуклой
оболочки {хп}, сходящаяся к χ по норме.

6.7. Компактность в *-слабой топологии
283
Доказательство. Точка χ входит в замыкание V
выпуклой оболочки последовательности {хп} в слабой топологии.
Остается заметить, что V выпукло. Действительно, пусть u,v E V,
t Ε [О,1]. Для всякой базисной окрестности нуля U в слабой
топологии найдутся точки щ, ν\ Ε conv {xn} cu — ui,v — vi E U. Тогда
tui + (l — t)v\ E conv{a;n} и tu + (l — t)v— [tu\ + (l — t)v\] Ε U.
Ввиду произвольности U получаем tu + (1 — t)v E V, что доказывает
слабую замкнутость V. D
По аналогии с топологией поточечной сходимости на
пространстве функционалов вводятся и топологии на пространстве
операторов. Пусть X и Υ — нормированные пространства. На
пространстве операторов C(X,Y) есть, конечно, слабая
топология нормированного пространства. Однако слабой операторной
топологией называется еще более слабая топология, в которой
базисные окрестности нуля имеют вид
{А Е C(X,Y): \k(Axi)\ < ε, г = 1,... ,η}, χ{ EX,kE Y*.
Если Χ = Υ — гильбертово пространство, то такие
окрестности задаются «матричными элементами» (Ащ,У{). В
бесконечномерном случае слабая операторная топология слабее топологии
σ(£(Χ),£(Χ)*), так как не всякий непрерывный функционал на
С(Х) является конечной линейной комбинацией матричных
элементов. Еще одна полезная топология на С(Х} Υ) соответствует
поточечной сходимости операторов. Она называется сильной
операторной топологией. Соответствующие окрестности нуля
имеют вид
{AeC{X,Y): ||Ac<||<e,< = l,...,n}, х{ЕХ.
Сильной и слабой операторным топологиям посвящены также
задачи 6.10.183, 7.10.117.
6.7. Компактность в *-слабой топологии
В этом разделе содержатся два важных результата,
связанных с компактностью в слабой и *-слабой топологиях.
6.7.1. Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное
пространство. Тогда из всякой ограниченной
последовательности линейных функционалов на X можно выделить *-слабо
сходящуюся подпоследовательность.

284
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Пусть fn е X* и ||/n|| ^ С. Возьмем
в X всюду плотное счетное множество {#&}. Выделим в {/п}
подпоследовательность {/ι,η}> Для которой последовательность
{/ι,η(#ι)} сходится. Затем в {/ι,η} выделим
подпоследовательность {/2,п}? Для которой последовательность {/2,п(#2)} сходится.
Продолжая по индукции, строим вложенные последовательности
{Λ,η(#2)}? для которых сходится {/fc,n(#fc)}· Ясно, что
последовательность {/η,η} сходится на каждом элементе х^. Эта
последовательность сходится и на всяком элементе χ Ε Χ, ибо для
каждого ε > 0 найдется вектор х^, для которого ||# — #&|| ^ ε,
что дает |/п,п(я) — fn,n{xk)\ ^ С£ для всех п. Ясно, что равенство
f(x) = lim fnn(x) задает элемент X* с ||/|| ^ С. D
Доказанное свойство означает секвенциальную компактность
шара в сопряженном пространстве к сепарабельному
нормированному пространству относительно *-слабой топологии
(в §6.10(ii) проверена метризуемость этой топологии на шаре).
Это свойство не следует из обычной компактности, и без условия
сепарабельности его нельзя гарантировать. Например, из
последовательности функционалов /п(#) = Хп на 1°° нельзя выделить
поточечно сходящуюся подпоследовательность (для всякой
подпоследовательности {fnk} есть такой элемент χ Ε /°°, что {хПк}
не имеет предела). В общем случае имеет место компактность
в *-слабой топологии. Приводимое ниже доказательство
использует сведения из дополнительного материала гл. 1 и не входит
в обязательную программу. Впрочем, для большинства
приложений хватает и предыдущего элементарного результата.
6.7.2. Теорема. (Теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки)
В пространстве, сопряженном κ нормированному
пространству, замкнутые шары компактны в *-слабой топологии.
Доказательство. Достаточно рассмотреть единичный шар
S пространства А**, сопряженного к нормированному
пространству X с замкнутым единичным шаром U. Согласно теореме
Тихонова, произведение U копий отрезка [—1,1] компактно в
топологии произведения, т.е. пространство всех функций на U со
значениями в [—1,1] компактно в топологии поточечной сходимости.
Вложим S в К := [—1,1]и с помощью отображения J(l){x) = Z(#),
χ Ε U. Как легко видеть, это отображение является
гомеоморфизмом между множеством S и его образом в К. Поэтому
достаточно убедиться в замкнутости J(S) в К. Пусть у — элемент К,

6.7. Компактность в *-слабой топологии
285
являющийся предельным для J(S). Это означает (см. 1.9(i)), что
найдется такая направленность элементов уа Ε 5, что
направленность {уа(х)} сходится к у(х) при каждом χ Ε U. Ввиду
линейности всех уа сходимость имеет место для каждого χ Ε X.
Функция г, заданная формулой z(x) = limya(#), линейна на X
а
и совпадает с у на U. Поэтому ζ Ε X*. Итак, у = J{z). Конечно,
похожее рассуждение можно провести в терминах окрестностей
в *-слабой топологии, не используя направленности. D
В случае гильбертова пространства Я получаем аналогичные
утверждения для слабой топологии, ибо при каноническом
изоморфизме между Я и Я* слабую топологию на Я можно
отождествить со *-слабой на Я*.
6.7.3. Теорема. Пусть Я — гильбертово пространство.
Тогда из всякой ограниченной последовательности в Я можно
выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.
В частности, замкнутый единичный шар в Я секвенциально
компактен в слабой топологии.
Доказательство. Пусть \\hn\\ ^ С. Замыкание линейной
оболочки {hn} является сепарабельным гильбертовым
пространством. Обозначим его через Hq.B Щ по доказанному можно
выделить слабо сходящуюся подпоследовательность из {hn}. Она
будет слабо сходиться и во всем Я, ибо всякий функционал I Ε Я*
задается вектором υ Ε Я, который можно разложить в сумму
ν = у0 + у', где ν' J_ Щ. Поэтому действие I на Щ совпадает
с действием функционала, порожденного вектором vq. D
Аналогичное утверждение верно для всякого рефлексивного
банахова пространства (задача 6.10.115). Здесь мы рассмотрим
такой частный случай.
6.7.4. Теорема. При 1 < ρ < оо из всякой ограниченной
последовательности в ΙΡ(ΈΙη) можно выделить слабо сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. Мы знаем, что 1^(НП) можно
отождествить с сопряженным к Lq(]Rn), где ςΓ"1 + р~г = 1. При таком
отождествлении слабая топология LP соответствует *-слабой
топологии сопряженного. Остается применить теорему 6.7.1. D
В отличие от гильбертова пространства (и некоторых
других пространств), в общем случае слабая топология не
обладает установленным в теореме 6.7.1 свойством *-слабой топологии.

286
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Например, из последовательности функций xn(t) = tn в С[0,1]
нельзя выделить слабо сходящуюся подпоследовательность (хотя
она сама фундаментальна в слабой топологии), а из
последовательности функций xn(t) = sm(7rnt) нельзя даже выделить
подпоследовательность, которая была бы фундаментальна в слабой
топологии (т.е. значения на ней всякого непрерывного
линейного функционала давали бы фундаментальную числовую
последовательность). В §6.10(Ш) показано, что шары в нерефлексивных
пространствах никогда не являются слабо компактными.
Теперь мы может показать, что всякое банахово пространство
есть замкнутое линейное подпространство в некотором
пространстве С (К), где К —- компакт. Сепарабельное пространство можно
вложить в С[0,1]: этот факт доказан ниже в теореме 6.10.24.
6.7.5. Теорема. Всякое банахово пространство линейно изо-
метрично замкнутому линейному подпространству
пространства С (К), где К — компакт.
Доказательство. В качестве К естественно взять
замкнутый единичный шар пространства X* со *-сл#6ой топологией.
Теперь каждому χ Ε Χ сопоставим функцию фх € С (К) по
формуле фх(/) = /(ж), f е К. Тогда s\ipfeK\f(x)\ = ||ж||. Таким
образом, χ «—► фх — линейная изометрия. D
Следующая теорема Голдстайна является еще одним
примером применения теоремы Хана-Банаха.
6.7.6. Теорема. Пусть X — нормированное пространство,
Ux и Ux„ — замкнутые единичные шары в X и X**
соответственно и J: X —> X** — каноническое вложение. Тогда
множество J(UX) всюду плотно в Ux** в топологии σ(Χ**,Χ*).
Значит, J(X) всюду плотно в X** в топологии σ(Χ**,Χ*).
Доказательство. По теореме 6.7.2 шар Ux** компактен
в топологии σ(Χ**,Χ*). Пусть V — замыкание J(UX) в этой
топологии. Оно также компактно. Если V Φ Ux*«, то имеется
х** G Ux„ \V. По следствию 6.3.9 применительно к *-слабой
топологии найдется такой элемент / G X*, что x**(l) > sup^^ Ju(l).
Такая форма следствия теоремы Хана-Банаха будет доказана
в гл. 8, поэтому здесь мы непосредственно установим
существование I. Для этого, пользуясь σ(Χ**, Х*)-компактностью V, найдем
а(Х**,Х*)-окрестность нуля W в X** вида
W = {z**eX**: |***(ii)|<i,i = i,...,n}, keX\

6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы
287
для которой (ж** + W) Π V = 0. Положим Р: X** -» Ип, где
Ρζ** = (г**(/х),... ,2**(/п)). Выпуклый компакт P(V) не
содержит точку Рх**. Применив теорему Хана-Банаха к
конечномерному пространству Р(Х**), получим линейный функционал / на
Р(Х**) с f(Px**) > sup/^p^ )/(/ι). Функционал /о Ρ
задается элементом из X*, ибо представляет собой линейную
комбинацию Zi,...,Znj так как равен нулю на пересечении ядер U.
Итак, нужный функционал / Ε Χ* найден. Остается заметить,
что s\ipueUx \Ju(l)\ = s\ipueUx \l(u)\ = \\l\\ и ||ж**|| ^ 1, так что
неравенство χ**(Ι) > \\1\\ невозможно. D
С помощью этой теоремы легко доказать, что рефлексивность
банахова пространства равносильна слабой компактности его
замкнутого единичного шара (см. теорему 6.10.10).
6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы
Пусть Χ, Υ — нормированные пространства. Для всякого
оператора Τ е £(Х,У) и всякого функционала у* е Υ* функция
Т*у* на X, заданная формулой
СГу*,х):=(у*,Тх), т.е. Т*у*(х) := у*(Тх),
линейна и непрерывна на X. Полученное линейное отображение
называется сопряженным оператором. Оно непрерывно, причем
ΙΠΙ = \\П
Действительно,
||ГУИ= sup |TV(*)|= sup \у*(Тх)\<\\Т\\\\у%
ΙΙ*ΙΙ<ι ΙΜΙ^ι
ибо 11 Та; 11 ^ ||T||. С другой стороны, для всякого ε > 0 найдется
χ е X с ||#|| = 1 и ||Гж|| > ||Т|| — ε. По теореме Хана-Банаха
найдется у* е Υ* с ||у*|| = 1 и
\Т*у*(х)\ = \у*(Тх)\ = \\Тх\\>\\Т\\-е,
что дает ||Г*|| > ||Г||.
Для всех А, В Ε С{Х) имеем
(А + В)* = А* + В*, (АВ)* = В*А*, (6.8.1)
что легко проверить непосредственно.

288
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Имеется следующая связь между образом оператора и ядром
сопряженного.
6.8.1. Лемма. Пусть А е C(X>Y). Тогда
Л(Х) = {убУ: /Ы = 0 У/ЕКегЛ*}= f| Кег/.
/GKerA*
Доказательство. Пусть у = Ах и / е Кег А*. Тогда
/(у) = /(^) = (Л*/)(^) = 0.
Итак, Л(Х) входит в правую часть доказываемого соотношения.
Так как последняя замкнута, то она содержит и замыкание А(Х).
Обратно, пусть вектор у Ε Υ входит в правую часть, но не входит
в Υ\ := А(Х). По следствию 6.3.9 найдется / е Y* с /(у) = 1
и /|ух = 0. Для всякого χ Ε Χ имеем (A*f)(x) = f(Ax) = 0.
Поэтому / 6 Кег А*. Тогда /(у) = 0 ввиду нашего условия на у,
что дает противоречие. . D
В случае гильбертова пространства Η (возможно,
комплексного) для всякого оператора A G С(Н) зададим сопряженный
оператор А* равенством
(Ах9у) = (х,А*у).
Поскольку левая часть непрерывна по ж, то по теореме Рисса есть
однозначно определенный вектор А*у, удовлетворяющий
указанному равенству. Ясно, что оператор А* линеен. Отличие от случая
банахова пространства состоит в том, что сопряженный
оператор задан на том же пространстве, что и исходный. Такое
определение согласовано с общим случаем банаховых пространств:
отождествив функционал Ι: χ н-> (χ,ν) с вектором г;, получим
(А*1)(х) = 1{Ах) = (Αχ,ν) = (χ,Α*ν). Отметим, однако,
следующий нюанс, возникающий в комплексном случае: для гильбертова
пространства имеем (ХА)* = ХА*, а для банахова пространства
(ХА)* = ХА*. Таким образом, в случае комплексного гильбертова
пространства сопряженный оператор в категории гильбертовых
пространств не совпадает с сопряженным оператором в категории
банаховых пространств. Это объясняется тем, что естественная
изометрия между Н* и Η сопряженно-линейна, а не линейна.
В случае гильбертова пространства X имеет место очевидное
равенство (Л*)* = А. Поэтому здесь всякий ограниченный
оператор является сопряженным к ограниченному оператору. Для

6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы 289
общих банаховых пространств положение иное, что обсуждается
в задачах 6.10.149 и 6.10.150.
Следующее определение вводит весьма важный класс
операторов в комплексных или вещественных гильбертовых
пространствах.
6.8.2. Определение. Ограниченный линейный оператор А
в гильбертовом пространстве Η называется
самосопряженным, если А* = А, т.е. (Ах, у) = (х, Ау) для всех х,у б Н.
Иногда ограниченные самосопряженные операторы
называют эрмитовыми операторами или симметричными операторами,
но в случае неограниченных не всюду определенных операторов
приходится различать самосопряженные и симметричные
операторы (см. гл. 10), поэтому в этой главе мы не будем использовать
термин «симметричный оператор».
6.8.3. Пример, (i) Пусть Ρ — оператор ортогонального
проектирования на замкнутое линейное подпространство Но в
гильбертовом пространстве Η (см. §5.4). Тогда Ρ самосопряжен. В
самом д<еле, (Рх,у) = (Рх,Ру) = (х,Ру), ибо Рх,Ру 6 Щ и χ —
Рх ±Н0,у-Ру± Н0.
(ii) Диагональный оператор из примера 6.1.5(vii)
самосопряжен в точности тогда, когда все ап вещественны.
Если дан ограниченный оператор А в вещественном
гильбертовом пространстве if, то можно взять комплексификацию Не
пространства и задать комплексификацию Ас оператора А
формулой Ас(х + гу) := Ах + гАу, х,у Ε Н. Заметим, что оператор А
в вещественном пространстве самосопряжен в точности тогда,
когда самосопряжен оператор Ас- Действительно, если А = А*, то
(Ас(х + iy), u + iv) = (Αχ + гАу, u + iv) =
= (Ах, и) — (Ay, ν) + г(Ау, и) — г(Ах, ν) =
= (χ, Аи) - (у, Αν) + ί(ι/, Аи) - г(х, Αν) = (χ + iy, Ac(u + iv)).
Комплексификация самосопряженного оператора в
вещественном пространстве фактически является прямой суммой
двух копий этого оператора. Большинство результатов
спектральной теории справедливо для комплексных пространств, но
в случае самосопряженных операторов многие факты остаются
в силе и в вещественном случае.

290
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
В случае гильбертова пространства Η и сопряженного
оператора в смысле гильбертовых пространств лемму 6.8.1 можно
уточнить следующим образом.
6.8.4. Лемма. Пусть А е С{Н). Тогда
1(H) = (КегЛ*)^, ~ЩЩ = (КегЛ)^,
причем имеет место ортогональное разложение
Η = Л(#) Θ Кег Л* = ~ЩЩ Θ Кег Л.
Если оператор А самосопряжен, то А(Н) _1_ Кег А и
Н = ~А{Н)®КетА.
Доказательство. Из леммы 6.8.1 ясно, что
подпространства А(Н) и Кег Л* взаимно ортогональны и А(Н) = (Кег Л*)-1,
что дает также ортогональное разложение Я. Так как А** — Л,
то получаем оставшиеся равенства. D
Из этих равенств видно, чта оператор Л взаимно однозначно
отображает Л* (Я) на Л (Я), а если множества А*(Н) и А(Н)
замкнуты, то первое взаимно однозначно отображается на второе.
С помощью сопряженного оператора можно дать следующее
условие сюръективности оператора.
6.8.5. Предложение. Пусть Χ,Υ — банаховы
пространства и А е С(Х, У). Равенство А(Х) = Υ равносильно тому, что
при некотором О 0 выполнено неравенство
PVL. >Ф*||у. vy*ey*. (6.8.2)
Доказательство. Пусть А(Х) = Υ и у* е Υ*. Согласно
замечанию 6.2.4 найдется такое ε > 0, что для всякого у G Υ
имеется χ € X с Ах = у и ||ж||х ^ £-1|М1у Взяв у так, что
IMIy = 1 и \У*Ш > НуНуА получаем
PVIWNI* > \W(*)\ = lif U*)l = l2/*(2/)l £ llvly. A
откуда μνΐΐχ. >ε||ίΛ||^/2.
Обратно, пусть мы имеем (6.8.2). Ввиду леммы 6.2.1
достаточно проверить, что замыкание Л(£/χ(0,1)) содержит шар ΙΙγ(0, с).
Если это не так, то существует вектор у Ε У с ||у||у ^ с, не
входящий в указанное замыкание. Согласно следствию теоремы
Хана-Банаха есть такой функционал у* 6 У*, что |у*(у)| > 1
и \у*(Ах)\ ^ 1 при \\х\\х ^ 1. Тогда \А*у*(х)\ = \у*(Ах)\ ^ 1 при

6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы
291
\\х\\х ^ 1, т.е. PV||X# < 1. Из (6.8.2) имеем ||у*||у# ^ с"1. Так
как \\y\\Y ^ с, то |у*(у)| ^ 1 — противоречие. D
6.8.6. Следствие. Пусть Χ, У — банаховы пространства,
А G С(Х, У), (i) Множество А{Х) замкнуто в точности тогда,
когда замкнуто множество Л*(У*).
(ii) Оператор А взаимно однозначно отображает X на Υ
в точности тогда, когда А* взаимно однозначно отображает
пространство Υ* на X*.
Доказательство, (i) Пусть подпространство Ζ := А(Х)
замкнуто. Обозначим через Aq оператор Д рассматриваемый со
значениями в Z. Согласно доказанному выше предложению при
некотором с > О имеем ||Ао^*||х* ^ clk*||z·· Пусть
последовательность {у*} С Y* такова, что Л*у* —» х* в X*.
Ограничение у* на Ζ обозначим через ζ^· Заметим, что А*у^ = AqZ^ ибо
оба функционала дают уп(Ах) на векторе χ G Χ. Следовательно,
функционалы ζ^ сходятся в Ζ* к некоторому г* G Z*.
Продолжим ζ* на Υ до элемента у* 6 У*. Тогда А*у* = Α$ζ* = ж*, что
доказывает замкнутость A*(Y*). Если дана замкнутость А*(У*),
то подпространство Aq(Z*) также замкнуто. В самом деле, если
2* Ε Z* и Αοζη ~* χ*ι т0 можно продолжить ζ* до функционалов
у* 6 У*. Как и выше, имеем Л*у* = Α^ζ^. Ввиду замкнутости
Л*(У*) найдется у* 6 У* с Л*у£ —► А*у*. Тогда для ζ* := y*\z
имеем AqZ* = А*у* = lim Лд^. Оператор Л|$ инъективен, ибо
множество А(Х) плотно в Z. Так как оператор Aq имеет
замкнутый образ, то обратный к нему непрерывен. Значит, верно (6.8.2),
что дает равенство А{Х) = Ζ и замкнутость А(Х).
(ii) Если А — изоморфизм, то очевидным образом А* тоже
является изоморфизмом, ибо для всякого х* G X* функционал
у*(у) = х*(А~~1у) непрерывен и А*у* = х*. При этом А* имеет
нулевое ядро ввиду леммы 6.8.1. Если же А* — изоморфизм, то по
доказанному предложению А(Х) = У. При этом А имеет нулевое
ядро. В самом деле, если Ах = 0 и χ φ О, то имеется х* G X*
с х*(х) = 1, что для у* = (А*)~~гх* дает противоречивое равенство
1 = х*(х) = А*у*(ж) = у*(А*0 =0. D
6.8.7. Пример. (Лемма Лакса-Мильграма) Пусть Я —
вещественное гильбертово пространство, A G £(Я), с > 0,
причем (Аг, ж) ^ с(#,#). Тогда А{Н) = Я, ибо \\А*у\\ ^ с||у|| ввиду
оценки (А*у,у) = (у, Ау) ^ с(у,у).

292
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Сопряженный оператор можно определить и для не
обязательно ограниченного линейного отображения (см. гл. 10), но
такой сопряженный уже не будет определен на всем пространстве.
6.8.8. Пример. Пусть А — такое линейное отображение
банахова пространства X в банахово пространство У, что
существует линейное отображение А*: У* —► X*, для которого имеем
1(Ах) = (А*1)(х) при всех χ G X и / Ε У*. Тогда А непрерывно.
В частности, если X — гильбертово пространство и всюду
определенное линейное отображение А: X —► X таково, что при
всех ж, у Ε X мы имеем (Ах, у) = (ж, Лу), то А непрерывно.
Доказательство. График А замкнут, так как если хп —► ж
и А#п —> у, то 1(Ахп) = (А*1)(хп) —> (А*/)(ж) = ί(-Αχ) для всех
/ Ε У*, откуда /(у) = 1(Ах), т.е. Аг = у. D
6.9. Компактные операторы
В этом параграфе начинается изучение одного специального,
но весьма важного для приложений класса операторов.
6.9.1. Определение. Пусть X и Υ — банаховы
пространства. Линейный оператор К: X —► У называется компактным,
если он переводит единичный шар в множество с компактным
замыканием. Класс компактных операторов из Χ β Υ обозначим
символом /С(Х, У).
В терминах последовательностей компактность означает, что
для всякой ограниченной последовательности {хп} в X
последовательность {Кхп} должна содержать сходящуюся
подпоследовательность.
Из определения ясно, что компактный оператор ограничен.
Аналогичное определение можно дать и в случае не
обязательно полных нормированных пространств, но здесь имеется и
другое, несколько более общее определение (равносильное исходному
в случае полного У): образ единичного шара вполне ограничен.
Такие операторы называют вполне ограниченными.
Простейший пример компактного оператора — нулевой
оператор. Другой очевидный пример — ограниченный оператор с
конечномерным образом. Здесь важно то, что в конечномерном
нормированном пространстве ограниченные множества вполне
ограничены. Следует предостеречь читателя: не всякий
линейный оператор с конечномерным образом компактен, ибо бывают

6.9. Компактные операторы
293
неограниченные конечномерные операторы (например,
разрывные линейные функционалы). Простейший пример оператора, не
являющегося компактным, — тождественное отображение
бесконечномерного банахова пространства, т.е. единичный оператор.
Для дальнейшего отметим ряд элементарных свойств вполне
ограниченных множеств в нормированных пространствах.
6.9.2. Лемма, (i) Ограниченный линейный оператор
переводит вполне ограниченные множества во вполне ограниченные.
(и) Если множества АиВ в нормированных пространствах
X и Υ вполне ограничены, то Ах В вполне ограничено в ΧχΥ.
(iii) Если множества А и В в нормированном пространстве
вполне ограничены, то вполне ограничено и множество αΑ+βΒ
для всяких скаляров а и β. Если АиВ компактны, то
компактно и указанное множество.
Доказательство. Лишшщевость ограниченного линейного
оператора дает (i) (см. пример 1.7.6). Утверждение (ii) следует
из задачи 1.9.40. Первое утверждение в (iii) следует из (i) и (ii),
ибо а А и β В вполне ограничены очевидным образом, а оператор
(#, у) н-> х + у из ХхХ в X непрерывен. Это же рассуждение дает
и компактность а А + β В в случае компактных Ли В. D
Основные свойства компактных операторов собраны в
следующей теореме.
6.9.3. Теорема· Пусть Χ,Υ и Ζ — банаховы пространства.
(i) Класс K,{X,Y) — замкнутое линейное подпространство
в пространстве £(Х, Υ).
(ii) Если А е K{X,Y) и В е C(Y,Z) или если А е C(X,Y)
иВе /С(У, Z), то В А е /С(Х, Z).
(iii) Оператор К 6 C(X,Y) компактен в точности тогда,
когда компактен оператор К*: У* —► X*.
Доказательство, (i) Пусть А,В е K,(X,Y) и U —
единичный шар в X. Тогда (А + B)(U) С A(U) + B(U) и (\A)(U) =
\A(U). Остается заметить, что алгебраическая сумма двух вполне
ограниченных множеств и растяжение вполне ограниченного
множества вполне ограничены (лемма 6.9.2). Пусть Кп 6 JC(X,Y),
К Ε C(X,Y) и \\Кп — К\\ —> 0. Для всякого ε > 0 найдется
такой номер Ν, что \\Кп — К\\ ^ ε при η ^ N. Это означает, что
множество Kn(U) является ε-сетью для K(U). Тогда имеющаяся
в Kn(U) конечная ε-сеть служит 2е-сегтъю для K(U).

294
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
(и) Множество A(U) вполне ограничено в У, поэтому его
образ под действием В вполне ограничен в Z.
(Ш) Пусть К Ε /С(Х, У). Пусть V — единичный шар в У*.
Проверим, что множество K*(V) вполне ограничено в X*. Пусть дана
последовательность функционалов /η Ε V. Нам надо установить,
что из последовательности функционалов K*fn можно выделить
подпоследовательность, равномерно сходящуюся на единичном
шаре U пространства X. Для этого применим теорему Асколи-
Арцела (см. теорему 1.8.4). Так как K*fn(x) = fn(Kx), а
множество К(U) имеет компактное замыкание 5, то нужно заметить
лишь, что функции /п равномерно ограничены на S и
равномерно липшицевы, ибо ||/n|| ^ 1. Итак, из всякой последовательности
в К* (у) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, что
означает компактность К*(у).
Предположим теперь, что К* Ε /С(У*,Х*). По доказанному
χ**. χ** _^ γ** _ компактный оператор. При этом
K**J\x = J<iKx для всех χ Ε Χ,
где J\: Χ —► Χ** и J<i: У —► У** — изометрические вложения.
Действительно, для всякого / EY* имеем
(K**JlX)(f) = (J!x)(K*f) = (K*f)(x) = f(Kx) = (ЪКхШ
Ввиду изометричности вложений получаем компактность
замыкания множества K(U) в У. D
Еще одно простое свойство компактного оператора К на
пространстве X: сепарабельность К(Х), вытекающая очевидным
образом из сепарабельности образов шаров радиуса η (ибо эти
образы также вполне ограничены).
Приведем некоторые примеры компактных операторов.
6.9.4. Пример, (i) Пусть {otn} ~~ ограниченная последоваг
тельность чисел. Диагональный оператор
Л: I > I , \Хп) ·""* \°ίηχη)')
компактен в точности тогда, когда lim an = 0.
п—>оо
(ii) Пусть /С Ε С([0,1]2). Тогда оператор
Kx(t) = / fC(t, s)x(s) ds
Jo
в пространстве С[0,1] компактен.

6.9. Компактные операторы
295
(Hi) Пусть /С 6 Ь2([0,1]2). Тогда оператор
Kx(t)= / K(t,s)x(s)ds
Jo
в пространстве L2[0,1] компактен,
(iv) Оператор Волътерра
Vx{t) = / x(s) ds
Jo
компактен как оператор из Ьх[0,1] в 1^(0,1] с 1 ^ ρ < оо, а также
как оператор из 1^(0,1] в С[0,1] при ρ > 1. Однако оператор
V: I^fGj 1} —> С[0,1] не является компактным.
Доказательство, (i) Пусть lim an = 0. Рассмотрим one-
τι—кх>
раторы Кп: (хп) н-> (αι#ι,..., апяп, 0,0,...). Эти операторы
конечномерны. Кроме того, \\К — Кп\\ < supi>n |o;^| —> 0 при η —► оо.
Итак, К — компактный оператор.
Если в {ап} найдется такая подпоследовательность {ащ}, что
Ι&ηΛ ^ с > 0, то из последовательности векторов Keni = anieni,
где еп — вектор с 1 на η-месте и 0 на остальных местах, нельзя
выбрать фундаментальную подпоследовательность. Поэтому
оператор К не компактен.
(ii) Множество Μ функций Кх, где ||ж|| ^ 1, вполне
ограничено по теореме Арцела-Асколи. В самом деле, это множество ограг
ничено ввиду ограниченности функции /С. Кроме того,
множество Μ равностепенно непрерывно, ибо функция /С равномерно
непрерывна. Действительно, для всякого ε > 0 есть такое δ > 0,
что |/C(t, s) — /C(i', 5)| < ε при \t — t'\ ^ <5. ТЪгда
\Kx(t) - Kx(t')\ ^ f |/C(t, s) - £(*', 5)| \x(s)\ ds
Jo
<ε
при \t-t'\ О и ||я|| <1.
(iii) Для всякой функции χ Ε L2[0,1] функция /C(t, s)x(s)
интегрируема по s при почти всех £, ибо по теореме Фубини
/С(£, ·) Ε £2[0,1] при почти всех ί. Поэтому функция Кх
определена почти всюду. При этом в силу неравенства Коши имеем
|/JC(t,s)x(s)ds\2 ^ ί \lC(t,s)\2ds ί \x(s)\2ds,

296
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
что дает оценку
/ \Kx(t)\2dt^\\x\\2 I I \£(t,s)\2dsdt.
Jo Jo Jo
Итак, \\K\\ ^ 11/C11 £2 ([од]2)· Теперь возьмем такую
последовательность функций Кп на [О, I]2 вида /Cn(t,s) = £ij$n^j^i(*)^j(s)'
где (риф] Ε L2[0,1], что \\Кп - /C||L2([0jlj2). Операторы Кп,
заданные функциями /Сп, сходятся по операторной норме к К ввиду
полученной выше оценки. Остается заметить, что эти операторы
конечномерны: образ Кп содержится в линейной оболочке
функций φΐ9... ,φη.
(iv) Образ единичного шара U из £*[(), 1] ограничен в С[0,1].
Если {/п} С С/, то Vfn = V(/+) - V(f-). Функции V(/+) моно-
тонны и равномерно ограничены. Поэтому из них можно
выделить подпоследовательность, поточечно сходящуюся на [0,1] (см.
задачу 4.5.19). Выбрав еще одну подпоследовательность {/nfc}>
для которой всюду сходятся и монотонные функции ν(/^),
получаем равномерно ограниченную поточечно сходящуюся
последовательность {Vfnk}. По теореме Лебега о мажорированной
сходимости она сходится во всех 1^[0,1]. Это дает компактность V как
оператора со значениями в ΙΡ[0,1]. Компактности со значениями
в С[0,1] нет: последовательность У/п, где /η = η/[01/η], не
является равностепенно непрерывной, ибо сходится поточечно к
индикатору (0,1]. Наконец, при ρ > 1 оператор V: 1^[0,1] —> С[0,1]
оказывается компактным, ибо в дополнение к равномерной
ограниченности образа единичного шара из 1^[0,1] имеет место и его
равностепенная непрерывность, вытекающая из оценки
I Г1 I
\Vx(t) - Vx(t')\ ^ / \x(s)\ds\ ^ It-i'l1"1/?,
Ι Λ' I
которая выполняется по неравенству Гёльдера. D
Часто (но не всегда) для проверки компактности
оператора строятся его приближения конечномерными операторами. Во
многих конкретных пространствах класс компактных операторов
совпадает с замыканием множества конечномерных операторов.
6.9.5. Предложение. Пусть Η — гильбертово
пространство. Тогда множество К,(Н) компактных операторов
совпадает с замыканием множества ограниченных конечномерных
операторов по операторной норме. Если Η сепарабельно и {еп} —

6.9. Компактные операторы
297
ортонормированный базис, то для всякого К Ε 1С(Н) имеем
\\К — РпК\\ —► 0, где Рп — ортогональный проектор на линейную
оболочку βχ,... ,еп.
Доказательство. Нуждается в обосновании возможность
приблизить всякий оператор К Ε JC(H) конечномерными. Как
отмечено выше, образ компактного оператора сепарабелен,
поэтому можно иметь дело с сепарабельным Η и доказывать последнее
утверждение предложения. Оно вытекает из критерия
компактности в Н, ибо образ шара при отображении К входит в
компакт S, откуда \\К - PnKf ^ suPy€S ΣΖη+ι 1(»> е*)12 -О- D
Аналогичное утверждение верно для С[0,1] и вообще для
пространств с базисом Шаудера (см. §6.10(iv)). Долгое время было
неизвестно, верно ли оно для всех банаховых пространств; лишь
в 1973 г. П. Энфло опубликовал опровергающий контрпример.
Укажем простое достаточное условие некомпактности
оператора (в случае гильбертова пространства это условие является
и необходимым).
6.9.6. Пример. Пусть X и Υ — банаховы пространства,
А е £(Х, Υ). Если А(Х) содержит бесконечномерное замкнутое
подпространство, то А не является компактным. Действительно,
если Ε — замкнутое подпространство в А(Х) и U — единичный
шар в X, то по теореме Бэра есть такое η G IN, что замыкание
A(nU) Π Ε содержит шар из Е. Так как указанное замыкание
вполне ограничено, то Ε конечномерно.
Отметим, что образ замкнутого единичного шара при
компактном операторе не обязан быть замкнутым (а значит, и
компактным).
6.9.7. Пример, (i) Возьмем непрерывный линейный
функционал / на С[0,1] из примера 6.1.5(ш), который не достигает
максимума. Тогда образом замкнутого единичного шара при I
является интервал (—1,1).
(ii) Образ замкнутого единичного шара в С[— 1,1] при
операторе Вольтерра
Vx(t)= I x(s)ds
не замкнут в С[—1,1], ибо функция x(t) = \t\ входит в замыкание
этого образа, но не входит в сам образ.

298
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
С другой стороны, есть и положительный результат о
компактности образа шара.
6.9.8. Предложение. Пусть X — рефлексивное банахово
пространство (например, гильбертово пространство), Υ —
нормированное пространство и К: X —► Υ — вполне ограниченный
оператор. Тогда образ всякого замкнутого шара из X компактен
в пространстве Υ.
Доказательство. Пусть В — замкнутый шар иуп = КхП1
хп 6 В. Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что
последовательность {уп} фундаментальна. Пользуясь
рефлексивностью X, можно перейти к подпоследовательности в {хп},
которая слабо сходится к некоторому χ Ε В (см. задачу 6.10.115).
Опять считаем, что такова вся исходная последовательность.
Тогда векторы уп = Кхп слабо сходятся к Кх. Легко видеть
(задача 6.10.94), что тогда ||уп — Кх\ —> 0. D
В различных конкретных пространствах компактные
операторы могут иметь дополнительные интересные свойства.
Например, имеет место следующая теорема Даугавета.
6.9.9. Пример. Для всякого компактного оператора К
в С[0,1] справедливо равенство ||К + λ/|| = \\К\\ + |λ|, λ € С.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай λ = 1.
Сначала рассмотрим К вида Кх = j^ILi к(х)яи гДе к Ξ С[0> 1]*>
χι Ε С[0,1]. Так как \\К + λ/|| ^ ||ϋΤ|| + |λ|, то достаточно
установить противоположное неравенство. Докажем, что при
каждом ε > 0 верно неравенство \\К + λ/|| ^ |[ϋΤ|| + |λ| — ε. Найдем
функцию #, для которой ||ж|| = 1 и \\Кх\\ ^ \\К\\ — ε/3. Затем
найдем такую точку t € [0,1], что |Σ^=1 li(x)xi(t)\ = ||-К"я:||. По
теореме Рисса функционалы U имеют вид
k(x) = / ar(s)/^(cte),
Mi]
где μι — ограниченные борелевские меры на [0,1]. Заменим
взятую точку такой точкой ί, что μι(ί) = 0 при всех г (если это не
было выполнено сразу) иг:= |Σ£=χ к{%)щ{^)\ ^ ΙΙ^^ΙΙ — е/3. Пусть
Σ£=ι h(x)xi(t) = гегв, θ € К1. Теперь переопределим функцию χ
в малой окрестности t так, чтобы получить непрерывную
функцию у с ||у|| = 1, y(t) = ei0 и \k(y) - k(x)\ < e(3nmaxi \\х%\\)~г,

6.10. Дополнения и задачи
299
г = 1,..., η (считаем, что не все х% нулевые). Тогда
η
\\Ky + y\\>\^2li(y)xi(t) + y(t)\>
η η
> \j2k(x)xi(t)+y(t)\ - ς ш - к(х)\ \ы >
i=l ί=1
^ \rem + ei0\ - ε/3 = г + 1 - ε/3 ^ \\Κχ\\ + 1 - 2ε/3 ^
^||Α·|| + 1-ε.
В общем случае найдем последовательность конечномерных
операторов Кп с \\К — .ЙГП|| —> 0, что возможно ввиду компактности
К и примера 6.1.12. Тогда \\Кп\\ -> ||#|| и ||Jf„+J|| -> ||ЯЧ-J||. □
Операторы в гильбертовых пространствах такого свойства не
имеют (достаточно взять диагональный оператор с собственными
числами 0 и — 1).
Компактные операторы обсуждаются также в гл. 7.
6.10. Дополнения и задачи
(i) Образы операторов и факторизация (299). (ii) Слабая
компактность в банаховых пространствах (302). (iii) Свойство Банаха-
Сакса и равномерная выпуклость (312). (iv) Базисы,
аппроксимации и дополнения (314). (ν) Операторы на упорядоченных
векторных пространствах (321). (vi) Векторное интегрирование (328).
(vii) Интеграл Даниэля (332). (viii) Интерполяционные
теоремы (339). Задачи (340).
6.10(i). Образы операторов и факторизация
В этом разделе приведен ряд полезных результатов, связанных со
свойствами образов непрерывных линейных отображений, а также с
близким вопросом о возможности представить один из двух данных
операторов в виде композиции второго с некоторым третьим
оператором. Сначала обсудим условия, при которых данное линейное
подпространство L в банаховом пространстве X совпадает с образом какого-
нибудь оператора Τ £ C(Z, X) на банаховом пространстве Ζ. Если при
этом можно брать любые банаховы пространства Ζ, то достаточно
рассматривать лишь инъективные операторы Т, ибо T(Z) — T(Z/KerT),
где Τ — факторизация Τ по ядру, т.е. оператор на фактор-пространстве,
переводящий класс смежности [ζ] элемента ζ £ Ζ в Τ ζ. Образ Τ {Ζ)

300
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
инъективного оператора Τ можно наделить нормой
||х||т := ЦТ"1*!!,, χ€Τ(Ζ).
Тогда Τ(Ζ) с этой нормой оказывается банаховым пространством,
тождественное вложение которого в X непрерывно. Действительно, мы
имеем ||х|| ^ ||Г|| ||Τ~1χ||ζ. Если последовательность {хп} с Τ(Ζ)
фундаментальна по введенной норме, то последовательность {Т~1хп}
фундаментальна в Ζ и потому сходится к некоторому ζ Ε Ζ. Значит,
получаем хп -» Τ ζ и \\Τζ — хп\\т —> 0.
6.10.1. Определение. Линейное подпространство Ε в банаховом
пространстве X называется непрерывно вложенным банаховым
пространством, если на Ε задана норма || · \\Е, относительно которой Ε
полно, причем тождественное отображение (Е, || · \\Е) —> (Е, || · ||х)
непрерывно.
Если шар по норме || · \\Е вполне ограничен в X, то Ε называется
компактно вложенным.
Из сказанного выше следует такой вывод.
6.10.2. Предложение. Линейное подпространство L банахова
пространства X является образом некоторого непрерывного
линейного оператора из банахова пространства в точности тогда, когда L
можно наделить нормой, относительно которой оно будет
банаховым пространством, непрерывно вложенным в X.
Положение изменится, если накладывать ограничения на Ζ. В этом
случае может вообще не существовать непрерывных операторов на Ζ,
образ которых содержит L. Например, не существует непрерывного
оператора из /2 на Ζ1, ибо иначе I1 было бы линейно гомеоморфно
фактор-пространству Ζ2, т.е. гильбертову пространству (и тогда
пространство 1°° = (I1)* было бы сепарабельно). По этой же причине
L2[0,1] нельзя отобразить на С[0,1] посредством ограниченного
оператора. Однако С[0,1] можно отобразить на L2[0,1] посредством
ограниченного оператора (задача 6.10.172).
Отметим следующее свойство операторных образов или, что то же
самое, непрерывно вложенных банаховых пространств.
6.10.3. Предложение. Пусть X и Υ — банаховы пространства
и оператор А £ С(Х, Υ) имеет незамкнутый образ. Тогда
алгебраическая размерность алгебраического дополнения А(Х) в Υ несчетна.
Доказательство. В противном случае есть конечное или
счетное множество векторов ?/п, линейная оболочка которых алгебраически
дополняет А(Х). Обозначим через Еп линейную оболочку ί/ι,...,ί/η·
Ясно, что А(Х) + Еп является образом непрерывного оператора Ап,
действующего из банахова пространства Хп := X®EubY по формуле

6.10. Дополнения и задачи
301
{%·> у) *-> Αχ + у. По теореме Бэра пр» некотором η образ шара радиуса
η из Хп плотен в некотором шаре из Υ. Согласно лемме 6.2.1 это дает
равенство Ап(Хп) = Υ. Значит, А(Х) имеет конечную коразмерность.
Согласно предложению 6.2.12, образ А замкнут, что противоречит
условию предложения. D
Отметим следующий нетривиальный результат В.В. Шевчика,
доказательство которого есть в [605] (см. также задачу 6.10.164 для
случая гильбертова пространства).
6.10.4. Теорема. Пусть X — сепарабельное банахово
пространство иЕ\ф X — непрерывно вложенное в X банахово пространство,
всюду плотное в X. Тогда найдется такое непрерывно вложенное в X
сепарабельное банахово пространство Е2, что Е2 также всюду плот-
но и Е1ПЕ2 = 0.
Докажем теперь один полезный результат о факторизации.
6.10.5. Теорема. Пусть Χ,Υ,Ζ — банаховы пространства,
и пусть А: X —> Ζ и В: Υ —» Ζ — такие непрерывные линейные
операторы, что А(Х) С Β(Υ). Если КегВ = 0, то существует такой
непрерывный линейный оператор С: X —► Υ, что А = ВС.
Если оператор В не инъективен, то существует непрерывный
линейный оператор С: X —> Υ/КегВ, для которого А = ВС, где
В: У/Ker В —> Ζ — факторизация В по ядру.
Доказательство. При КегВ = 0 корректно определено
линейное отображение С: X —> У, Сх := В~1Ах. Это отображение имеет
замкнутый график: если хп —> χ и Схп —> г/, то имеем Ахп —> Ах
и Ахп = ВСхп —> By, откуда Ах = By, т.е. у = Сх. Следовательно,
оператор С непрерывен. Если же ядро В отлично от нуля, то
переходим к инъективному оператору В. Π
6.10.6. Следствие. Если β ситуации предыдущей теоремы
оператор В компактен, то А тоже компактен.
6.10.7. Пример. Так как естественное вложение С[0,1] в L2[0,1]
не является компактным оператором (достаточно рассмотреть
функции xn(t) = sin(2ttnf)), то ввиду предыдущего следствия не существует
компактного оператора в L2[0,1] с образом, содержащим С[0,1].
Следующий результат Банаха и Мазура показывает, что всякое
сепарабельное банахово пространство изоморфно некоторому фактор-
пространству ί1.
6.10.8. Теорема. Для всякого сепарабельного банахова
пространства X существует оператор А £ С(1г,Х) с А(1г) = X.

302
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Пусть {хп} — некоторое счетное множество,
плотное в единичном шаре X. Тогда задан оператор
оо
η=1
ибо ряд сходится по норме. При этом \\Αξ\\ ^ ||ξ||. Сюръективность А
следует из леммы 6.2.1, ибо образ единичного шара из Ζ1 плотен в шаре
из X по построению. D
Приведем один характерный пример использования слабой
сходимости одновременно в С [а, Ь] и L2[a, b] для установления компактности
оператора с помощью информации о его образе.
6.10.9. Пример. Пусть A: L2[a,b] —> L2[a,b] — такой
ограниченный линейный оператор, что A(L2[a,b]) С С[а,Ь]. Тогда оператор А
компактен. Это же верно, если вместо отрезка с мерой Лебега взять
произвольное топологическое пространство Τ с ограниченной борелев-
ской мерой и заменить С[а, Ь] на Сь(Т).
Доказательство. Покажем, что для всякой ограниченной в I?
последовательности {хп} из {Ажп} можно извлечь сходящуюся в L2
подпоследовательность. Как мы знаем, перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что {хп} слабо сходится к некоторому элементу χ
из L2. Ввиду следствия 6.2.8 оператор А непрерывен и как оператор со
значениями в банаховом пространстве С[а,Ь). Поэтому в силу слабой
сходимости хп —> χ последовательность {Агп} ограничена по норме и
слабо сходится в С[а, Ь] к Ах, Значит, для всякой точки t Ε [a, b] имеем
Axn(t) —> Ax(t). По теореме Лебега о мажорируемой сходимости
получаем сходимость Ахп к Ах по норме L2, что и требовалось. Ясно, что
в этом рассуждении никакой специфики отрезка мы не использовали,
поэтому оно годится для всякой ограниченной борелевской меры на
топологическом пространстве. D
Ниже в теореме 7.10.27 будет установлено еще более сильное
свойство операторов на I? с образом в С Напомним, что тождественное
вложение С[0,1] —> L2[0,1] не является компактным оператором.
6.10(H). Слабая компактность в банаховых пространствах
В гильбертовом пространстве слабая топология совпадает со *-сла-
бой при отождествлении пространства с сопряженным. В общих
банаховых пространствах (даже являющихся сопряженными) такого
явления нет. По своим свойствам слабая топология банахова пространства
может заметно отличаться от *-слабой топологии его сопряженного.
Скажем, шар в слабой топологии не обязан быть компактным.
Поскольку слабые топологии часто используются в приложениях, мы сделаем

6.10. Дополнения и задачи
303
небольшой экскурс в их теорию, остающуюся за рамками обязательных
учебных курсов. В частности, мы докажем две важнейшие теоремы
о слабых топологиях: Эберлейна-Шмульяна и Крейна-Шмульяна.
Сначала напомним, что замкнутый единичный шар банахова
пространства не всегда компактен в слабой топологии. Такой пример на
самом деле у нас уже встречался: в §6.1 был указан непрерывный
линейный функционал на С[0,1], не дсютигающий максимума на
замкнутом шаре. Оказывается, этот пример выявляет общую картину.
6.10.10. Теорема. Пусть X — банахово пространство.
Следующие утверждения равносильны:
(i) замкнутые шары в X слабо компактны;
(И) каждый непрерывный линейный функционал на X достигает
максимума на замкнутом единичном шаре;
(ш) пространство X рефлексивно.
Доказательство. Из (i) следует (И), а из (Ш) следует (i) ввиду
теоремы Банаха-Алаоглу-Бурбаки, ибо слабую топологию
рефлексивного пространства X можно отождествить со *-слабой топологией
пространства X**. Импликация (ii)=>(iii) — глубокий результат Джеймса
(см. также следующую теорему); он доказывается, например, в
книге Дистель [75, гл. 1]. Мы ограничимся доказательством элементарной
импликации (ί)=Φ(ίϋ). Она следует из теоремы 6.7.6, ибо слабая
компактность замкнутого единичного шара ϋχ в X дает его σ(Χ**,Χ*)-
компактность и потому а(Х**,Х*)-замкнутость в X**. D
6.10.11. Следствие, (i) Банахово пространство X рефлексивно
в точности тогда, когда рефлексивно X*.
(ii) Замкнутое подпространство рефлексивного банахова
пространства рефлексивно.
Доказательство, (i) Если X рефлексивно, то на X* слабая
топология совпадает со *-слабой, что ввиду теоремы Банаха-Алаоглу-
Бурбаки дает слабую компактность замкнутых шаров в X*. Если X*
рефлексивно, то по уже доказанному рефлексивно X**. Поэтому шар
[7Х** слабо компактен. Шар Ux замкнут в [7Х** по норме и потому слабо
замкнут. Значит, он слабо компактен в X**. Тогда он слабо компактен
и в X, ибо слабая топология X** сильнее слабой топологии X.
(ii) Пусть Ε — замкнутое подпространство рефлексивного
банахова пространства X. Тогда единичный шар Ε есть множество Ε Π ί7χ,
которое слабо компактно в X ввиду слабой замкнутости Ε и слабой
компактности Ux. Остается заметить, что слабая топология Ε есть
ограничение слабой топологии X на Е. Это следует из того, что всякий
элемент I £ Е* является сужением на Ε некоторого Ι Ε Χ*. D
В действительности Джеймсом доказан следующий еще более
общий факт (см. [75, с. 19]).

304
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.12. Теорема. Если В — слабо замкнутое ограниченное
множество в банаховом пространстве X, то слабая компактность В
равносильна тому, что каждый непрерывный линейный функционал
достигает на В максимума.
Для работы со слабой топологией исключительно важна
следующая теорема Эберлейна-Шмульяна.
6.10.13. Теорема. Пусть А — множество в банаховом
пространстве Е. Тогда следующие условия равносильны:
(i) множество А имеет компактное замыкание в слабой
топологии^
(ii) всякая последовательность в множестве А имеет
подпоследовательность, слабо сходящуюся в Е;
(iii) всякая бесконечная последовательность из А имеет в Ε
предельную точку в слабой топологии (т.е. точку, каждая окрестность
которой содержит бесконечно много элементов этой
последовательности).
В частности, для множеств в банаховом пространстве со
слабой топологией компактность равносильна секвенциальной
компактности и равносильна счетной компактности.
Доказательство. 1. Сначала покажем, что из бесконечной
последовательности {ап} в слабо компактном множестве А в банаховом
пространстве X можно выбрать слабо сходящуюся
подпоследовательность. Для этого отметим следующий простой факт (составляющий
содержание задачи 6.10.116): если X* содержит счетное множество {/п},
разделяющее точки X, то (Д σ(Χ,Χ*)) метризуемо. Пусть Ао —
слабое замыкание {ап} и Ε — замыкание линейной оболочки {ап}. Тогда
множество Ε слабо замкнуто (будучи выпуклым) и потому Ко слабо
компактно в Е. Это позволяет перейти к сепарабельному
пространству Е. Тогда в Е* есть счетное семейство элементов, разделяющих
точки. Поэтому (Αο,σ(Ε,Ε*)) — метризуемый компакт. Значит, в {ап}
есть подпоследовательность, слабо сходящаяся в Е, а тогда, как легко
видеть, и в X.
2. Предположим теперь, что всякая бесконечная
последовательность в А имеет предельную точку в слабой топологии. Докажем, что
А содержится в слабо компактном множестве. Нам понадобится
следующий факт: если Ζ С X** — конечномерное подпространство, то на
единичной сфере Sx* в X* найдется такое конечное множество Λ, что
||2**|| <2max{|***(f)|: I £ Λ} Vz**eZ.
Для этого, пользуясь компактностью единичной сферы Sz в Ζ по
норме, выберем в ней конечную 1/4-сеть ζ**,... ,***. Затем возьмем
элементы U £ Sx* с |2**(/»)1 > 3/4. Тогда для всякого z** £ Sz имеется

6.10. Дополнения и задачи
305
z£* со свойством ||ζ** — ζ%*\\ < 1/4, что дает
z**(lk) = z*k*(lk) + z**(lk) - z*k*{lk) > 3/4 - 1/4 = 1/2,
откуда следует нужная оценка для всех *** £ Ζ.
Заметим, что А ограничено по норме. Иначе нашелся бы такой
функционал I £ X*, что supaGA \l(a)\ — со. Это дало бы
последовательность {ап} с |/(αη)| > η, которая не может иметь предельной
точки в слабой топологии. Будем рассматривать А как множество
в X** и обозначим через В его замыкание в топологии σ(Χ**,Χ*), т.е.
*-слабой топологии пространства X** — (X*)*. По теореме Банаха-
Алаоглу-Бурбаки В компактно в указанной топологии. Наша цель —
показать, что на самом деле В С X. Тогда окажется, что А лежит
в слабо компактном множестве. Пусть х** £ В и l\ £ Sx*. Окрестность
{у** £ X**: |(х** — y**)(h)\ < 1} содержит элемент а\ £ А. Тогда
|(***-αι)(1ι)|<1.
Рассмотрим линейную оболочку Z\ векторов х** и х** —а\. Сделанное
выше наблюдение дает элементы /2,..., h2 € $х* со свойством
\\z**\\^2max{\z**(li)\: z = l,...,fc2} V*** <Ξ Ζλ.
Теперь возьмем *-слабую окрестность х**, порожденную элементами
Ji, ί2?.. ·, h2 и числом 1/2 и найдем в ней элемент а2 £ А, что дает
|0г**-а2)(1<)|<1/2, г = 1,...,*2.
Берем линейную оболочку Z2 векторов χ**,χ** — αχ,χ** — α2 и с
помощью нашего наблюдения находим функционалы ifc2+i, · · ·»h3 £ $х* со
свойством
||2**|| <2тах{|***(/<)|: г = 1,...,/с3} V*** £ Z2.
Продолжим этот процесс по индукции и получим последовательность
точек ап £ А и функционалов U £ £χ*, fcn_i < г ^ fcn, для которых
|(χ**-αη)(Ζ*)|<1/2Λ, i = l,...,fcn,
||***|| <2max{|z**(i<)|: i = l,...,b*+i} V*** e Z„,
где Zn — линейная оболочка элементов χ**, χ** —αϊ,..., χ** — αη.
Согласно нашему предположению, последовательность {ап} имеет
предельную точку χ £ X в слабой топологии. Поскольку замкнутая
линейная оболочка Ε последовательности {ап} слабо замкнута, то χ £ Ε.
В пространстве X** элемент х** — χ является предельной точкой
последовательности х**, х** — а\, х** — а2,... в *-слабой топологии и
потому входит в замыкание F линейной оболочки этой последовательности
в *-слабой топологии. По нашему построению
||***|| < 2sup |s**(l<)| (6.Ю.1)
г
для всех *** из линейной оболочки х**,х** — αϊ, ж** — а2,..., что
очевидным образом переносит (6.10.1) на все *** £ F. В частности, это

306
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
неравенство выполнено для ζ** — χ** — χ. Однако из построения {ап}
и {li} и того, что χ — слабая предельная точка {αη}> следует, что
\(х** — х)(/т)| = 0 для всех т. Итак, \\х** — х\\ = 0, что и
требовалось. D
6.10.14. Следствие. Банахово пространство рефлексивно в
точности тогда, когда рефлексивно всякое его сепарабельное замкнутое
подпространство.
Доказательство. Мы уже видели, что любые замкнутые
подпространства рефлексивных пространств рефлексивны. Пусть в X
рефлексивны сепарабельные подпространства. Тогда всякая
последовательность {хп} из шара содержится в сепарабельном замкнутом
подпространстве У, которое по условию рефлексивно, т.е. его замкнутые шары
слабо компактны. По теореме Эберлейна-Шмульяна из {хп} можно
выделить слабо сходящуюся в Υ подпоследовательность. Тогда эта
подпоследовательность слабо сходится ив1, т.е. шар в X секвенциально
компактен. Еще раз применив теорему Эберлейна-Шмульяна,
заключаем, что шар в X слабо компактен. Иное обоснование дает теорема
Джеймса. D
Следующая теорема Крейна-Шмульяна является глубоким
аналогом уже известного нам факта (см. 5.5.4) о компактности замкнутой
выпуклой оболочки компакта в банаховом пространстве.
6.10.15. Теорема. Пусть множество А в банаховом
пространстве X компактно в слабой топологии. Тогда замкнутая выпуклая
оболочка А (т.е. пересечение всех замкнутых выпуклых множеств,
содержащих А) также компактна в слабой топологии {напомним,
что замкнутая выпуклая оболочка по норме является и замкнутой
выпуклой оболочкой в слабой топологии).
Доказательство. Мы применим теорему 6.10.12, хотя имеются
и другие доказательства. Пусть V — замкнутая выпуклая оболочка по
норме, и пусть / £ X*. Ввиду компактности А существует точка а £ А
с /(а) = s\ipx€A /(x). Для применения упомянутой теоремы остается
заметить, что а £ V и sup^y f(x) = sup,pGA f(x)· ^
Теорема Эберлейна-Шмульяна весьма полезна для выяснения
условий слабой компактности и слабой сходимости в конкретных
пространствах. Приведем здесь ряд характерных результатов, доказательства
которых можно найти в §§4.7(iv), 4.7(v) гл. 4 книги [26].
6.10.16. Теорема. Пусть μ — конечная мера на измеримом
пространстве (Ω, Л) и Τ — некоторое множество μ-интегрируемых
функций. Тогда множество Τ равномерно интегрируемо в точности
в том случае, когда оно имеет компактное замыкание в слабой
топологии ^(μ).

6.10. Дополнения и задачи
307
6.10.17. Следствие. Предположим, что {fn} — равномерно
интегрируемая последовательность на пространстве с конечной
мерой μ. Тогда существует подпоследовательность {fnk}, которая
сходится в слабой топологии ί/1(μ) к некоторой функции f £ ί/1(μ).
6.10.18. Следствие. Пусть μ — ограниченная неотрицательная
мера, и пусть множество Μ С ^(μ) ограничено по норме.
Замыкание Μ в слабой топологии компактно в точности тогда, когда для
всякой последовательности μ-измеримых множеств Ап с Ап+\ С Ап
и Pl^Li Ап = 0 выполнено равенство
lim sup / |/|ίίμ = 0.
"-+<*>/ем Ли
Пусть теперь (Ω, Л) — измеримое пространство и Λ4(Ω,Α) —
банахово пространство всех вещественных счетно-аддитивных мер
ограниченной вариации с его естественной вариационной нормой μ н-*· ||μ||.
6.10.19. Теорема. Для всякого Μ С Λ4(Ω, Λ) следующие условия
равносильны.
(i) Замыкание Μ в топологии σ(Λί,Λ4*) компактно.
(п) Множество Μ ограничено по вариации и существует такая
неотрицательная мера ν £ Λ<(Ω, Л) (вероятностная при Μ ψ {0}),
что семейство Μ равномерно и-непрерывно, т.е. для всякого ε > 0
найдется δ > 0 с тем свойством, что
\μ(Α)\ < ε для всех μ G Μ, если А е Л и ι/(Α) ζ δ.
При этом меры из Μ абсолютно непрерывны относительно ν,
замыкание множества {άμ/dv: μ е М} компактно в слабой
топологии Ьг(г/), а в качестве ν можно выбрать меру X^LiAil/^nl для
некоторого конечного или счетного набора {μη} С Μ и чисел Сп > 0.
(hi) Из всякой последовательности в Μ можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся на каждом множестве из Л.
6.10.20. Следствие. Последовательность мер μη Ε ΛΊ(Ω, Λ)
сходится в топологии σ(Λ4,Λ4*) тогда и только тогда, когда она
сходится на каждом множестве из Л. Равносильное условие:
lim [ /(ω)μη(άω) = [ /(ω)μ(άω) (6.10.2)
n-*°° J Ω J X
для каждой ограниченной Л-измеримой функции /.
Рассмотрим одно применение к предельному переходу в интеграле-
6.10.21. Следствие. Предположим, что последовательность
мер μη £ Λ4(ίϊ,Λ) сходится к мере μ на каждом множестве из Л,

308
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
а последовательность Л-измеримых функций fn равномерно
ограничена, причем lim /η(ω) = /(ω) для всякого ω. Тогда справедливо сле-
п—>оо
дующее равенство:
lim / /η(ω)μη(άω)= / ί(ω)μ(άω).
Доказательство. По теореме 6.10.19 существует такая
вероятностная мера ν на Д, что меры μη и μ равномерно ^-непрерывны. Пусть
|/η(ω)| ^ С, ||μη|| ^ С и ε > 0. Найдем такое δ > 0, что из г/(Л) < 5
следует \μ\(Α) < ε и |μη|(Α) < ε при всех п. По теореме Егорова найдется
множество А с ι/(А) > 1 — 5, на котором сходимость /п —* / равномерна.
Значит, есть такое N € IN, что \fn(u) — f(u)\ ^ ε при ω £ А и п^ N.
Остается заметить, что
/ (/» - Л djJ < / |/п - /I Ф»| + / Ι/η - /I <*Ы ^ <?ε + 2<7ε
ΜΩ I ;a Jq\a
и что интегралы от / по мерам μη стремятся к интегралу от / по
мере μ. D
В случае, когда, например, Ω = [0,1] и Л — борелевская σ-алгебра,
пространство М(С1,А) по теореме Рисса совпадает с сопряженным
к С[0,1], поэтому на Λ4(Ω, Λ) есть еще и *-слабая топология. Ее не
следует путать со слабой топологией σ(Μ,Μ*). Сходимость мер μη κ μ
в *-слабой топологии означает равенство (6.10.2) для каждой
непрерывной функции /, в то время как сходимость в топологии σ(Λ/ί,Λ1*)
есть выполнение (6.10.2) для всех ограниченных борелевских
функций /. Например, дираковские меры δ\/η в точках \/п стремятся к ди-
раковской мере ίο в нуле в *-слабой топологии пространства мер, но не
в слабой топологии банахова пространства С[0,1]*. Это особенно важно
иметь в виду потому, что во многих приложениях (в частности, в
теории вероятностей и теории случайных процессов) *-слабую топологию
пространства мер называют просто слабой топологией (см., например,
[26, гл. 8]). Следствие 6.10.21 неверно для *-слабой сходимости мер.
Достаточно взять меры δ\/η и функции /п, заданные так: 0 ^ /η ^ 1,
/„(1/п) = 1, Ш = 0 при |* - 1/п| > 1/(2п).
Приведем еще несколько результатов и замечаний в связи со слабой
и *-слабой топологиями.
6.10.22. Предложение. Пусть Ε — нормированное
пространство.
(i) Пространство Ε со слабой топологией метризуемо в
точности тогда, когда Ε конечномерно.
(ii) Единичный шар Ue пространства Ε со слабой топологией
метризуем в точности тогда, когда Е* сепарабельно.

6.10. Дополнения и задачи
309
Доказательство, (i) Если топология σ(Ε,Ε*) метризуема
метрикой d и Ε бесконечномерно, то в шаре радиуса π-1 с центром в нуле
есть слабо открытое множество, которое неограничено и потому
содержит вектор хп с \\хп\\ ^ п. Тогда d(xn,0) —> 0, но {хп} не может слабо
сходиться к нулю в силу неограниченности — противоречие.
(ii) Если Е* сепарабельно, то можно взять счетное всюду плотное
множество {/п} в единичном шаре Е*. Легко проверить, что метрика
d(x,y):=EZi^n\Mx-y)\
задает слабую топологию на шаре Ό е- Обратно, пусть шар Ue мет-
ризуем в слабой топологии. Возьмем счетный набор окрестностей нуля
^/n,i,...,/n,fc„ > пересечения которых с шаром Ue дают базис окрестностей
нуля в Ue- Покажем, что линейная оболочка fUii плотна в Е*. Пусть
Υ — замыкание этой линейной оболочки. Если / е Ε*\Υ, то по
теореме Хана-Банаха существует элемент х** £ Е** с ||х**|| = 1, χ**\γ = 0
и ж**(/) = О 0. Слабая окрестность нуля V := {х £ Ue : |/(#)| < с/2}
в Uε содержит некоторое множество У/П)1,...,/П,к Π Ue- По теореме
6.7.6 имеется вектор χ £ Ue, для которого выполнены неравенства
!***(/) - f(x)\ < с/2 и \x**(fn9i) ~ /»,<(*)| < 1 при г = l,...,fcn. Так
как а?**(/П|<) = 0, то \fn,i(x)\ < 1, т.е. χ € Ufntl,...tfntkn Π UE. Однако
|/(х)| > с/2, ибо x**(f) — с. Поэтому χ $ V — противоречие. D
Сопряженное к бесконечномерному банахову пространству не
может быть метризуемым в *-слабой топологии, но сопряженное к
неполному бесконечномерному нормированному пространству со *-слабой
топологией может быть метризуемо (см. задачу 6.10.146).
6.10.23. Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное
пространство. Тогда замкнутый единичный шар U* пространства X* со
^-слабой топологией является метризуемым компактом, В качестве
метрики, задающей *-слабую топологию на шаре, можно взять
d(f,9):=En=l2-n\f(xn)-9(xn)\,
где последовательность {хп} плотна в единичном шаре из X. В
частности, в U* есть счетное множество, разделяющее точки X.
Доказательство. Это утверждение является частным случаем
утверждения из задачи 1.9.63, но его можно вывести непосредственно
из доказанного выше. Для этого сначала заметим, что из теоремы 6.7.1
легко выводится компактность шара в X* с метрикой d (тот факт, что
d — метрика, очевиден). При этом тождественное отображение из шара
с метрикой d в шар со *-слабой топологией непрерывно, ибо из
сходимости /п —> / по метрике d на шаре следует *-слабая сходимость.
Поэтому ввиду теоремы 1.7.9 это отображение — гомеоморфизм. Конечно,
нетрудно и непосредственно проверить непрерывность тождественного
отображения из *-слабой топологии в метрику. D

310
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Следующая замечательная теорема Банаха-Мазура
устанавливает универсальность С[0,1] в категории сепарабельных банаховых
пространств.
6.10.24. Теорема. Всякое сепарабельпое банахово
пространство линейно изометрично некоторому замкнутому линейному
подпространству в С[0,1].
Доказательство. В случае сепарабельного X пространство К из
доказательства теоремы 6.7.5 — единичный шар в X* со *-слабой
топологией — есть метрический компакт, как показано выше. Согласно
задаче 1.9.69, компакт К гомеоморфен компакту в [0,1]°°. Поэтому
можно считать, что К С [0,1]°°. Предложение 1.9.24 дает
непрерывную сюръекцию π множества Кантора из [0,1], обозначаемого здесь
через К\, на [0,1]°°. Пусть Ко;.— π~λ(Κ). Отображение / н-*· /οπ есть
линейная изометрия пространства С (К) в С (Ко), ибо
suP|/(tt(*))|= sup |/(x)|.
teK0 α€[0,1]°°
Остается вложить C(Kq) в С[0,1] с помощью линейной изометрии. Для
этого каждую функцию из С (Ко) продолжим до непрерывной функции
на [0,1] с помощью линейной интерполяции на каждом из дизъюнктных
интервалов дополнения Ко в [0,1]. D
Таким образом, сепарабельные нормированные пространства
можно мыслить как линейные подпространства в С[0,1].
6.10.25. Замечание. Из теоремы Банаха-Штейнгауза мы знаем,
что если последовательность непрерывных линейных функционалов fn
на банаховом пространстве X такова, что для всякого χ £ X
числовая последовательность {fn(x)} сходится, то имеется элемент f £ X*,
к которому {fn} сходится в *-слабой топологии. Тем самым
пространство X* секвенциально полно в *-слабой топологии. Можно поставить
аналогичный вопрос о слабой топологии X. Пусть последовательность
векторов хп £ X такова, что для всякого / £ X* последовательность
ifn(x)} сходится. Верно ли, что {хп} слабо сходится к некоторому
вектору χ £ X? Вообще говоря, это неверно. Например, в пространстве
со последовательность векторов хп = (1,..., 1,0,0,...), где 1 стоит на
первых η позициях, не имеет слабого предела, но для всякого
элемента / € с$ = ί1 последовательность {f(xn)} сходится. Пространство X,
в котором из сходимости {f(xn)} при каждом f£X* следует слабая
сходимость {жп}, называется слабо секвенциально полным. Из сказанного
в начале этого замечания следует, что всякое рефлексивное банахово
пространство слабо секвенциально полно, ибо его слабую топологию
можно отождествить со *-слабой топологией сопряженного. Например,
гильбертово пространство слабо секвенциально полно. Бывают и
нерефлексивные пространства с этим свойством: например, ί1 и L1(/i).

6.10. Дополнения и задачи
311
Приведем без доказательства (которое можно найти в [236, с. 193])
следующий глубокий результат Банаха-Дьедонне.
6.10.26. Теорема. Пусть пространство X банахово и
множество V С X* выпукло. Если пересечение V с каждым замкнутым
шаром радиуса η с центром в нуле замкнуто в топологии σ{Χ*,Χ),
то V также замкнуто в топологии σ(Χ*,Χ).
Если при этом X сепарабельно, то для замкнутости V в
топологии σ(Χ*,Χ) достаточно, чтобы V содержало пределы всех своих
*-слабо сходящихся последовательностей.
В задаче 8.6.68 гл. 8 обсуждается связанная с этой теоремой
топология на X*.
6.10.27. Следствие. Пусть X — банахово пространство и F —
линейная функция на X*. Тогда следующие условия равносильны:
(i) функция F непрерывна в топологии σ(Χ*,Χ);
(ii) существует χ £ X с F(l) = 1(х) для всех I Ε Х*\
(Ш) ограничение F на единичный тар ΙΙχ* из X* непрерывно в
топологии σ(Χ*, Χ);
(iv) множество F_1(0) Π Ε/χ* замкнуто в топологии σ(Χ*,Χ).
Наконец, если X сепарабельно, то это равносильно тому, что
lim F(ln) — 0 для всякой последовательности {1п} С X*, которая
п—*оо
*-слабо сходится к нулю.
Банахово пространство X называется пространством со свойством
Данфорда-Петтиса, если из сходимости хп —> 0 в слабой топологии X
и сходимости 1П —> 0 в топологии σ(Χ*,Χ**) пространства X* следует
сходимость Ιη(χη) —* 0· Например, бесконечномерное гильбертово
пространство не обладает таким свойством: достаточно взять в качестве
Хп — In ортонормированную последовательность. Пространство со
имеет свойство Данфорда-Петтиса, ибо из слабой сходимости в ί1 = (со)*
следует сходимость по норме (задача 6.10.102). Приведем чуть менее
очевидный пример.
6.10.28. Пример. Пространство С[0,1] обладает свойством
Данфорда-Петтиса.
Доказательство. Так как С[0,1]* есть пространство
ограниченных борелевских мер на [0,1], то применим следствие 6.10.21. D
Еще один пример пространства со свойством Данфорда-Петтиса —
Ζ,^Ο,Ι] (задача 6.10.176).
Надо иметь в виду, что, хотя слабая топология
бесконечномерного банахова пространства всегда строго слабее топологии нормы
(пример 6.6.3), может случиться, что запасы сходящихся
последовательностей в слабой топологии и топологии нормы совпадают. Так обстоит

312
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
дело в I1 (задача 6.10.102). Иное положение со *-слабой сходимостью,
как показывает следующая теорема Джозефсона-Ниссенцвайга (ее
доказательство имеется в книге Diestel [327, гл. XII]).
6.10.29. Теорема. Если X — бесконечномерное банахово
пространство, то найдется последовательность функционалов fn € X*
с \\fn\\ = 1? которая *-слабо сходится к нулю. Более того, ко
всякому функционалу f £ X* с ||/|| ^ 1 сходится в * -слабой топологии
некоторая последовательность элементов fn Ε X* единичной нормы.
Приведем два любопытных результата, связанных с ί1.
Доказательства и ссылки можно найти в Albiac, Kalton [251]. Первый из них
принадлежит X. Розенталю.
6.10.30. Теорема. Пусть {хп} — ограниченная
последовательность в бесконечномерном банаховом пространстве X. Тогда либо
она содержит слабо фундаментальную подпоследовательность, либо
в ней есть такая подпоследовательность {xnfc}; что отображение
Т: I1 —> X, (£ь) н-> ]CjfeLi£fc#nfc; является гомеоморфизмом из I1 на
замкнутое подпространство, порожденное {хПк}-
Следующий результат получили Э. Оделл и X. Розенталь.
6.10.31. Теорема. Сепарабельное банахово пространство X не
имеет замкнутых подпространств, изоморфных I1, в точности
тогда, когда всякий элемент х** £ X** является пределом некоторой
последовательности {хп} С X в топологии σ(Χ**,Χ*).
Все встречавшиеся нам до сих пор конкретные бесконечномерные
банаховы пространства обладают тем свойством, что содержат
подпространства, изоморфные какому-либо из простейших пространств 1Р
с 1 ^ ρ < оо или со. Долгое время был открыт вопрос о
существовании бесконечномерных пространств, не содержащих 1Р и со-
Наконец, в 1974 г. такой пример был построен ленинградским математиком
Б.С. Цирельсоном.
6.10(iii). Свойство Банаха-Сакса и равномерная
выпуклость
Будем говорить, что банахово пространство X обладает свойством
Банаха-Сакса, если из всякой ограниченной по норме
последовательности {хп} в X можно извлечь такую подпоследовательность {хПк}·,
что последовательность средних арифметических
%п\ τ · · · τ %пк
к
сходится по норме.

6.10. Дополнения и задачи
313
Нормированное пространство Ε с нормой || · || называется
равномерно выпуклым, если для всякого ε > 0 существует такое δ > 0, что
если Μ = 1, ||у|| = 1 и |£±»|>ΐ-ί, то ||ж-»||<е.
Пространства Lp(/i) при 1 < ρ < оо равномерно выпуклы
(доказательство можно прочитать в §4.7(ш) книги [26]).
6.10.32. Теорема. Все равномерно выпуклые банаховы
пространства обладают свойством Банаха-Сакса.
Доказательство см. в Дистель [75, гл. 3, §7]. Например,
пространство Ζ/Ρ(μ) при 1 < ρ < оо обладает свойством Банаха-Сакса. Наличие
этого свойства у гильбертовых пространств легко проверить
непосредственно.
6.10.33. Пример. Гильбертово пространство обладает свойством
Банаха-Сакса.
Доказательство. Переходя к подпоследовательности, мы можем
считать, что {хп} слабо сходится к некоторому х. Кроме того, можно
считать, что χ = 0. Положим п\ = 1. Поскольку (хП1,Хп) —* 0> то
найдется номер η*ι > п\ с |(#ηι>#η2)| ^ 1· Если уже выбраны номера
п\ < П2 < * * * < nk, то находим такой номер η&+ι > п&, что
K^Tlj 1Xnk+i)\ ^ Λ , J = l, ...,Λ.
Это возможно ввиду слабой сходимости {хп} к нулю. Заметим, что
supn ||xn|| = Μ < оо. Поэтому
ll*ni+"- + *nJ|2 ^ kM2 + 2-1 + -. + 2(fe-l)(fe-l)-1 ^
к* * к* *
М2 + 2
^ λ '
что показывает сходимость средних арифметических по норме. D
Пространство Ь*[0,1] свойством Банаха-Сакса не обладает, что
очевидно из рассмотрения функций га/[од/п]·
6.10.34. Теорема. Пространства со свойством Банаха-Сакса
рефлексивны.
Доказательство. Покажем, что каждый непрерывный линейный
функционал / на пространстве Ε со свойством Банаха-Сакса
достигает своего максимума на замкнутом единичном шаре U. Найдем такие
ип Ε U, что f(un) —> ||/||. Переходя к подпоследовательности, можно
считать, что элементы sn := (и\ Η Vun)/n сходятся по норме к и £ U.
Ясно, что f(sn) -> ||/||. Поэтому f(u) = \\f\\. Π

314
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Равномерно выпуклое пространство X обладает следующим
свойством: если хп —> χ слабо и ||хп|| —> ||я||, то ||ж—хп\\ —> 0- Действительно,
можно считать, что ||хп|| = \\х\\ = 1. Тогда \\хп + х\\/2 —> 1, ибо если
||х + жп||/2 < q < 1, то |/(х + яп)/2| ^ ς при ||1|| < 1. Значит, \1(х)\ ^ q,
что дает ||ж|| ^ q — противоречие. Однако указанное свойство слабее
равномерной выпуклости. В этой связи приведем следующую теорему
Кадеца-Кли (см. Дистель [75, с. 88]).
6.10.35. Теорема. Пусть X — банахово пространство с сепара-
бельным X*. Тогда на X есть эквивалентная норма, которая
дифференцируема по Фреше вне нуля, причем порождаемая ею норма || · ||*
на X* обладает следующим свойством: если fn—>fe ^-слабой
топологии и ||/п||* -» 11/11*, то \\fn - /||* -» 0.
Доказательство следующего любопытного результата можно
прочитать в Fabian и др. [343, с. 259].
6.10.36. Теорема. Пусть норма банахова пространства X
дифференцируема по Фреше вне нуля. Тогда всякое ограниченное
замкнутое выпуклое множество в X является пересечением замкнутых
шаров. В частности, это верно для гильбертова пространства.
6.10(iv). Базисы, аппроксимации и дополнения
Как мы видели, важнейшим атрибутом гильбертовых пространств
являются ортогональные базисы. Многие банаховы пространства
обладают топологическими базисами.
6.10.37. Определение. Пусть X — сепарабельное банахово
пространство. Последовательность {hn} С X называется базисом Шау-
дера или топологическим базисом, если для каждого χ £ X
имеется единственная числовая последовательность {сп(х)} такая, что
χ = Σίϋι Cn(x)hn, где ряд сходится по норме.
Ясно, что базис Шаудера является линейно независимым
множеством. В бесконечномерном банаховом пространстве топологический
базис не может быть алгебраическим базисом (базисом Гамеля), ибо
последний всегда несчетен.
Ввиду единственности разложения функционалы 1п: хи сп(х)
линейны. Оказывается, что они автоматически непрерывны! Отметим,
что k(hj) — Sij также в силу единственности разложения.
6.10.38. Предложение. Все функционалы Ιι непрерывны.
Значит, конечномерные отображения Рп: χ у-+ 5^Li к(%)Ы непрерывны.
Кроме того, норма ||х||оо ·= supn ||Ρηχ|| эквивалентна исходной норме.
Доказательство. Так как ||.Рпх|| —► ||х||, то ||х|| ^ ||χ||οο·
Покажем, что X полно с нормой || · ||оо· Тогда по теореме Банаха об

6.10. Дополнения и задачи
315
обратном операторе мы получим эквивалентность обеих норм. Это даст
ограниченность всех отображений Рп относительно исходной нормы
и оценку supn ||РП|| < оо. Из этого следует непрерывность всех /п,
ибо Рпх - Рп-\х — ln(x)hn. Пусть последовательность {xj}
фундаментальна по новой норме. Тогда она фундаментальна и по старой норме
и потому сходится по ней к некоторому χ £ X, Нужно показать, что
| \Х X j QQ —► 0. Заметим, что при фиксированном η
последовательность векторов PnXj также фундаментальна по новой норме и потому
сходится по старой норме к некоторому уп Ε X. При этом вся
последовательность {PnXj} содержится в конечномерном пространстве Хп,
порожденном /ij,...,ftn. На конечномерных подпространствах
функционалы U непрерывны, поэтому при каждом г = 1,... ,п существует
предел
к(Уп) = Ит h(PnXj) = lim h(xj) —: й,
j—юо j—>oo
не зависящий от п ввиду второго равенства. Проверим выполнение
равенства χ — Σ^! Cihi относительно исходной нормы. Для заданного
ε > 0 найдем такое п, что \\хп — хт||оо ^ £ при т^ п. Возьмем ко так,
что \\хп — ЛкХп|| ^ £ при к ^ ко. Для таких к имеем
||yfe-x||= lim \\PkXm - хт\\ <
т—юо
^ limsup11|Pfexm -Pfexn|| + \\РЬхп -хп\\ + \\хп -Хт\\] <
ζ lim sup Г \\xm - xn||oo + e + \\xn - Xm\\oo\ < 3ε.
Значит, Цг/fe — x|| —> 0. В силу единственности разложения имеем
равенство yk — PfeX. Следовательно,
\\Хп - ж||оо = SUp \\PkXn - PfeX|| < UmSUpSUp ||PfcXn - РкХщ\\ = '
= lim sup |]xn - xm||oo -> 0
m—>oo
при η —> оо. Итак, X полно с новой нормой. D
Относительно новой нормы || - ||оо проекторы Рп имеют единичные
нормы (что не всегда верно для исходной нормы).
Во многих конкретных банаховых пространствах были построены
базисы Шаудера. Например, функции Хаара χη, задаваемые
формулами χι(*) = 1,
{1 при * <Е [(2/ - 2)2-fc-x, (21 - l^-*"1),
-1 при t € ((21 - l)2-fc-x, (202-fe"1},
0 в остальных случаях,

316
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
где к — О,1,2,... и I = 1,2,..., 2fe, образуют базис Шаудера в Lp[0,1]
при 1 ^ ρ < оо. Функции Фабера-Шаудера
(£ο(*) = 1, ψη(ϊ) = / Xn{s)ds, n > 1,
./о
дают базис Шаудера в С[0,1] (эти функции были введены еще в 1910 г.
Г. Фабером, установившим, что они образуют базис). Функция φ0 = 1 —
постоянная, функция ψι(ί) = t — линейная, а следующие функции φη
имеют графики, представляющие собой равнобедренные
треугольники с высотой 1 и основанием вида β-*^1"""*], обращаясь в нуль вне
этого основания. Частичная сумма с номером η разложения / по ψ\
есть результат линейной интерполяции между значениями / в точках
0,21~п,22~п,...,1 при η ^ 1. Например, мы имеем Sof(t) = соу?о(*),
где со = /(0), 5ι/(ί) = CQipo{t) + ci</?i(£), где сг = /(1) - /(0), затем
S2f{t) = co<A)(*)+ci<M*) + <W2, где с2 = /(1/2)-/(0)/2-/(1)/2и т.д.
Из этого нетрудно усмотреть равномерную сходимость Snf к /.
В некоторых пространствах долго не удавалось построить базис.
Например, в 1974 г. СВ. Бочкарев решил поставленную еще Банахом
проблему и построил базис Шаудера в пространстве аналитических
в круге функций, непрерывных на замкнутом круге и наделенных sup-
нормой. В течение десятилетий оставался открытым вопрос о
существовании базиса Шаудера во всяком сепарабельном банаховом
пространстве. Это была одна из самых знаменитых проблем теории банаховых
пространств. Наконец, в 1973 г. шведский математик П. Энфло
опубликовал свой знаменитый контрпример. Заодно он решил и другую
трудную старую проблему о существовании сепарабельных банаховых
пространств без свойства аппроксимации. Говорят, что банахово
пространство обладает свойством аппроксимации, если для всяких
компакта К С X и ε > 0 найдется такой непрерывный конечномерный
оператор Т, что \\х — Тх\\ < ε при всех χ е К. Известно, что это
равносильно тому, что для каждого банахова пространства Ζ конечномерные
операторы плотны по норме в пространстве /C(Z, X) компактных
операторов. Если X имеет базис Шаудера {hn}, то проекторы χ н+ ]T)!Li x%hi
сходятся к единичному оператору равномерно на компактах, поэтому
X имеет и свойство аппроксимации. Однако существуют пространства
со свойством аппроксимации, но без базиса Шаудера. Известно, что
пространства без свойства аппроксимации (а потому и без базиса
Шаудера) существуют даже среди замкнутых подпространств cq и 1р с ρ > 2
(конечно, они есть и среди замкнутых подпространств универсального
пространства С[0,1]).
Если линейно независимая последовательность {hn} является
базисом Шаудера замыкания своей линейной оболочки, то она
называется базисной последовательностью. Это равносильно тому, что при

6.10. Дополнения и задачи
317
некотором С > 0 при всех η < т и всех скалярах а\,..., ат
выполнено неравенство ||ΣΓ=ι <*ihi\\ ^ ^||Σϋι а»Л*||. Действительно, если
{h>n} — базис Шаудера замыкания Υ своей линейной оболочки, то
указанная оценка с С = 1 верна для эквивалентной нормы || · ||оо. Обратно,
пусть есть такая оценка. Тогда из сходимости ряда £^Si α*^« κ НУЛЮ
следует, что все а* равны нулю. Если этот ряд сходится к ж, то
положим χι := α*. Остается заметить, что множество всех х, представимых
в таком виде, есть замкнутое подпространство. Это легко усмотреть
из оценки ΙΐΣ^ιΟ^ΙΙ ^ С7||я;||, вытекающей из условия при т —> оо.
Значит, это замкнутое подпространство и есть Υ.
Базисные последовательности есть во всех пространствах.
Следующий факт был известен еще во времена Банаха.
6.10.39. Теорема. Во всяком бесконечномерном банаховом
пространстве есть бесконечная базисная последовательность.
Доказательство. Используем следующий простой факт,
доказательство которого отнесено в задачу 6.10.83: пусть Υ —
конечномерное подпространство бесконечномерного банахова пространства X.
Тогда для всякого ε > 0 найдется такой вектор h е X с \\h\\ = 1, что
||у|| < (1 + е)\\у + ХЦ при всех у е Υ и λ е И1.
Теперь возьмем ε > 0 и такие числа еп > 0, что Π^ι(1+ε™) < 1+ε·
Пусть || hi || = 1. По индукции получаем векторы hn с
ΙΙ»ΙΚ(1+εη)||» + λΛη+ι||
для всех у из линейной оболочки hi,..., hn и всех λ € Ш,1. Легко видеть,
что {hn} — базисная последовательность и ||РП|| < 1 +ε при всех п. D
Отнюдь не всякая линейно независимая последовательность с
плотной линейной оболочкой является базисом Шаудера.
6.10.40. Пример. Функции 1, sinnt, cosnt не образуют базис
Шаудера в пространстве 27г-периодических функций С^ж» что ясно из
существования функции в С2тг с рядом Фурье, расходящимся в нуле.
Функции xn(t) — tn не образуют базис Шаудера в С[0,1] и L2[0,1]. Для
доказательства заметим, что из разложения χ = J2^Li °η{χ)χη в С[0,1]
или в L2[0,1] следует вещественная аналитичность функции χ на [0,1),
ибо сходится ряд из интегралов, т.е. ряд Σ™=1 Сп(х){п -f 1)-1, что дает
сходимость степенного ряда Σίϋι Cn{x)tn при \t\ < 1.
Можно построить базис Шаудера в С[0,1] из многочленов. Как
показал Г. Фабер еще в 1914 г., в С[0,1] нет базиса Шаудера, состоящего
из многочленов hn степени п. В 1990 г. А.А. Привалов доказал, что
если многочлены hn образуют базис Шаудера в С[0,1], то при
некотором ε > 0 для всех достаточно больших η выполняется неравенство
deghn > (1 + ε)η. При этом для всякого ε > 0 имеется базис Шаудера

318
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
{hn} с deghn ^ (1 -f έ)η. Как показала в 2001 г. М.А. Скопина, такие
многочлены можно выбрать даже ортогональными (ссылки см. в книге
Одинец, Якубсон [167]).
Следующий результат Крейна-Мильмана-Рутмана показывает
некоторую устойчивость базисов.
6.10.41. Предложение. Пусть {ип} — базис Шаудера в
банаховом пространстве X, ||г*п|| = 1 и supn ||Pn|| = К, где Рп — проектор
на линейную оболочку щ,... ,ип. Если последовательность {υη} С X
такова, что Y^Li \\un — vn\\ < К/2, то {υη} — также базис Шаудера.
Доказательство. Для χ = Υ^=1 хпип пусть Τ χ — Σ™=1 χη^η·
Так как \хп\ — \\Рпх — Pn_ix|| ^ 21f ||х||, то ряд сходится ввиду
сходимости рядов из хпип и xn(vn — Щь), причем
оо оо
||х-Тх\\ < Σ 1*»1 IK -w»ll < «11*11» «= 2ΚΣII"" ~υ«ΙΙ < 1·
η=1 η=1
Значит, ||/ — Τ\\ < 1. Поэтому Τ обратим (см. теорему 7.1.3), откуда
следует доказываемое. D
6.10.42. Следствие. Если банахово пространство имеет базис
Шаудера, то такой базис можно найти во всяком всюду плотном
множестве.
В некоторых задачах отсутствие базиса Шаудера восполняют биор-
тогональные системы и базисы Маркушевича.
6.10.43. Определение. Пусть X — банахово пространство.
Пара последовательностей {хп} С X и {1п} С X* называется биортого-
нальной, если U(xj) = δ^.
Если при этом линейная оболочка {хп} плотна в X, а
функционалы 1п разделяют точки из X, то {хп} называют базисом
Маркушевича в X,
Отметим, что если пара {хп} С X и {1п} С X* биортогональна, то
последовательность {хп} является минимальной в следующем смысле:
никакой элемент хп не входит в замыкание линейной оболочки
остальных элементов Xk, к φ η (иначе ln(xn) — 0).
Следующий результат получен А.И. Маркушевичем.
6.10.44. Теорема. Всякое сепарабельное банахово пространство
имеет базис Маркушевича. При этом такой базис можно найти во
всяком плотном линейном подпространстве.
Доказательство. Вложим данное пространство X в качестве
замкнутого подпространства в С[0,1] и возьмем в нем линейно
независимую последовательность {уп} с плотной в X линейной оболочкой.

6.10. Дополнения и задачи
319
Пусть {хп} — результат ортогонализации {уп} в L2[0,1]. Положим
In{х) = {х,Хп)ь21 х £ Х- Если 1п(х) = 0 для некоторого χ £ X при
всех п, то элемент χ ортогонален замкнутой линейной оболочке {хп}
в L2[0,1] и потому ортогонален X в L2[0,1]. Значит, (χ,χ)& = 0.
Поэтому получаем af = 0. D
Простым примером базиса Маркушевича, не являющегося
базисом Шаудера, является система функций exp(mt), η € Ζ, в
комплексном пространстве С[0,2π] непрерывных функций с х(0) — χ(2π) с sup-
нормой. В общем случае может оказаться, что supn \\хп\\ \\1п\\ = оо·
Однако известно, что для всякого ε > 0 можно найти базис Маркушевича
с supn ||жп|| \\1п\\ < 1 + ε. Вопрос о том, верно ли это при ε = 0, остается
открытым.
В конечномерном пространстве имеются биортогональные системы
(системы Ауэрбаха) со следующим свойством.
6.10.45. Предложение. В банаховом пространстве X конечной
размерности η можно найти такие векторы х\,..., хп и линейные
функционалы 1п, что ||xi|| = ||Zi|| = 1 и U(xj) — ί#.
Доказательство. Можно считать, что X — Шп с некоторой
нормой. Пусть В — замкнутый единичный шар по этой норме. Для всякого
набора векторов j/i,...,j/nG5 обозначим через V(j/i,..., уп)
определитель матрицы {уиУз)г^п, где у* = (yitU... ,у*|П). Функция V достигает
максимума на В на некотором наборе векторов χι,... ,хп £ В, Ясно,
что ||χι|| = · · · = ||хп|| = 1. Положим
k(x) := V(x\,ж2, · · ·, #«-ъ #,Xi+i, · · ·,Xn)/V(xi,..., жп).
Тогда U(xi) — 1, |i«(#)| ^ 1 при χ е В, т.е. ||ii|| = 1. Наконец, k{xj) = 0
при г φ j, ибо V(i/i,...,yn) = 0, если среди у\ есть два одинаковых
вектора. D
Еще одно важное геометрическое свойство в банаховых
пространствах связано с существованием ограниченных проекторов. Говорят,
что замкнутое подпространство Ε банахова пространства X дополняе-
мов X, если существует такое замкнутое подпространство D С X, что
X — E&D. Это дает ограниченный оператор Р: X —► Ε с Р(Х) = Ε
и Рх — χ при χ £ Е, т.е. ограниченный проектор на Е. Обратно,
наличие такого проектора дает дополнение Ε в виде D = Р""1(0). Как мы
знаем, в гильбертовом пространстве всякое замкнутое подпространство
имеет ортогональное дополнение и потому дополняемо. Оказалось, что
других пространств с таким свойством не бывает: Й. Линденштраус и
Л. Цафрири доказали, что если в банаховом пространстве X всякое
замкнутое подпространство дополняемо, то X линейно гомеоморфно
гильбертову пространству. Приведем интересный конкретный пример
недополняемого подпространства.

320
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.46. Пример. В пространстве С[0,1] есть замкнутое
подпространство Е, линейно изометричное L2[0,1]. Это подпространство недо-
полняемо.
Доказательство. Мы знаем, что С[0,1] обладает свойством Дан-
форда-Петтиса (пример 6.10.28), а Ε нет. Покажем, что если бы Ε было
дополняемо, то оно тоже имело бы свойство Данфорда-Петтиса. Пусть
Ρ — ограниченный проектор на Е. Если жп->0в слабой топологии £",
то это верно и для слабой топологии С[0,1]. Пусть 1п £ Е*, причем
1п —> 0 в топологии σ(Ε*, Ε**). Положим fn = 1поР. Тогда fn e С[0,1]*.
Пусть F £ С[0,1]**. Положим G(l) := F(loP), I е Ε**. Ясно, что
G е Е**. Тогда F(fn) = G(ln) -» 0 по предположению. Следовательно,
fn(xn) —> 0, т.е. 1п(хп) —> 0, что дает свойство Данфорда-Петтиса в Е.
Итак, получено противоречие. D
Не имеет дополнения и пространство со в /°° (задача 6.10.114).
Приведем один результат А. Собчика о продолжении поточечно
сходящейся последовательности функционалов.
6.10.47. Предложение. Пусть X — сепарабельное
нормированное пространство, Υ С X — линейное подпространство, {fn} С Y*,
причем lim fn(y) = 0 для всех у £ Υ и \\fn\\ ^ 1. Тогда существуют
п—*оо
fn £ X* с fn\y = fn, \\fn\\ <: 2 и lim fn(x) = 0 для всех χ £ Χ.
η—>οο
Доказательство. Пусть {xi} — счетное всюду плотное
множество в единичном шаре X с {я^} Γ\Υ = 0. Достаточно построить
продолжения с нормами не более 2, поточечно сходящиеся к нулю на
каждом Xi.
Это легко сделать, если доказать следующий факт: для всякого
фиксированного к и всякого е > 0 найдется такое N(k,e), что при
η > N(k,e) функционалы fn имеют такие продолжения дп £ X*, что
\\дп\\ < 2 и |<ь(#г)| ^ £ при г — 1,..., к. Обозначим через L линейную
оболочку Υ и χι,...,Xfe. Если указанный факт неверен, то в {fn} есть
подпоследовательность {fnj}, для которой все fn. не имеют
продолжений с указанными свойствами. Можно считать, что такова вся исходная
последовательность. Мы знаем, что fn имеет продолжение φη € X*
с \\φη\\ < 1· Последовательность векторов (gn(xi),·· · ,9n(xk)) £ IRfe
ограничена и потому имеет сходящуюся подпоследовательность. Опять
можно считать, что она сама сходится. Тогда предел l(x) := lim gn(x)
п-юо
существует при всех χ £ L. Ясно, что I — линейный функционал на L
и ||2|| ^ 1. Кроме того, 1\γ — 0. Продолжим I до функционала /о € X*
с IJfoll < 1· Положим ψη := fn — lo. Тогда ψη\γ = /η, ||^η|| <2и при всех
достаточно больших η мы имеем |^η(#«)| ^ε,ζ = 1,...,&, что
противоречит нашему допущению и потому завершает доказательство. D

6.10. Дополнения и задачи
321
Этот результат можно переформулировать так.
6.10.48. Следствие. Пусть X — сепарабельное нормированное
пространство, Υ С X — линейное подпространство иТ: Υ —> со —
непрерывный оператор. Тогда Τ продолжается до такого оператора
S: X-+CQ, что ||5||<2||Г||.
Следовательно, со дополняемо в каждом изометрически
содержащем его сепарабельном банаховом пространстве.
Сепарабельность здесь важна: как уже отмечалось, со не имеет
дополнения в /°° (задача 6.10.114). С точностью до изоморфизма со —
единственное сепарабельное банахово пространство, которое
дополняемо во всяком сепарабельном банаховом пространстве, в которое оно
вложено в качестве замкнутого подпространства (М. Zippin, см. [396]).
6.10(ν). Операторы на упорядоченных векторных
пространствах
В теории упорядоченных векторных пространств, кратко
затронутой в §5.6(Ш), важную роль играют положительные функционалы
и операторы. Пусть Ε — упорядоченное векторное пространство.
Говорят, что линейный функционал / на Ε является положительным
(обозначение: / ^ 0), если f(x) ^ 0 при χ ^ 0. Это равносильно тому,
что f(x) ^ f(y) при χ ^ у. Аналогично определяются положительные
операторы между упорядоченными пространствами.
Для положительных функционалов имеется ряд аналогов теоремы
Хана-Банаха.
6.10.49. Теорема. Пусть ρ — однородно-выпуклый функционал на
упорядоченном векторном пространстве Е. Если на линейном
подпространстве Eq С Ε задан линейный функционал f, удовлетворяющий
условию
f(x) ^ р(х + ζ) при всех χ Ε Eq и всех z^0, (6.10.3)
то f продолжается до линейного функционала на всем Е,
удовлетворяющего указанному условию при всех χ Ε Ε.
Доказательство. Положим q(x) = Ίηί{ρ(χ + ζ): ζ ^ 0}, χ е Ε.
Так как 0 = /(0) ^ р(0 + ζ) — ρ(ζ) при ζ ^ 0, то для ζ ^ 0 получаем
р(х + ζ) + р(—х) ^ ρ(ζ) ^ 0, т.е. q(x) ^ — р(—х) > —оо. Легко видеть,
что q(Xx) = Xq{x) при χ £ Ε, λ ^ 0. Неравенство q(x + у) ^ q(x) + q(y)
следует из того, что для всякого ε > 0 найдутся такие ζ\,Ζ2 ^ 0, что
q(x) > р(х + ζι) — ε и q(y) > p(y + z<£) — ε, ибо это дает
q(z)+q(y) >p(x+zi)+p(v+Z2)-2e'£p(x+y+z1+Z2)-2e ^ q(x+y)-2e,
ибо z\ -f Z2 ^ 0. По условию / ^ q на Е0. Остается применить теорему
Хана-Банаха к / и q. D

322
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.50. Следствие. Условие (6.10.3) необходимо и достаточно
для существования такого линейного продолжения j функции f на Е,
что f > 0 и f ^p на Е. В частности, линейный функционал f на
линейном подпространстве Ео имеет положительное линейное
продолжение на Ε в точности тогда, когда существует однородно-выпуклая
функция р, удовлетворяющая условию (6.10.3).
Доказательство. Если указанное условие выполнено, то
построенное в теореме продолжение неотрицательно, ибо при ζ ^ 0 имеем
—f(z) — f(—z) ^ p(—z) — 0. Обратно, если такое продолжение /
существует, то имеем f(x) — f(x) < f(x) -f f(z) — f(x + z) ^ p(x -f z)
при χ £ Ео и ζ ^ 0, т.е. выполнено (6.10.3). Наконец, если /
продолжается до положительного линейного функционала / на Е, то (6.10.3)
выполнено с ρ = /. D
Рассмотрим простые примеры положительных линейных
функционалов, не имеющих положительных продолжений.
6.10.51. Пример, (i) Пусть Ε — пространство всех
ограниченных вещественных функций на прямой с естественным частичным
порядком, и пусть Ео — линейная оболочка индикаторов ограниченных
промежутков. Функционал / на Ео, заданный как интеграл Римана,
линеен и положителен. Если бы он продолжался до положительного
линейного функционала / на Е, то мы бы имели а := /(1) £ Ж,1.
Поскольку Ij ^ 1 для всякого промежутка J, то /(1 — Jj) ^ 0, откуда
f(Ij) ^ а, что невозможно, если длина J больше а.
(ii) Пусть Ε — IR°° — пространство всех вещественных
последовательностей с частичным порядком, заданным покоординатным
сравнением, и пусть Ε = с — подпространство всех последовательностей
с конечным пределом. Тогда функционал f(x) := lim xn не имеет по-
п—>оо
ложительных линейных продолжений на Е. Действительно, если такое
продолжение / нашлось, то элемент χ с хп — η перешел в некоторое
число а е [0, -f оо). Возьмем натуральное к > а и элемент yzyn — k при
η ^ к и г/jf = 0 при j < к. Тогда к — f(y) ^ f(x) — а — противоречие.
Приведем два положительных результата.
6.10.52. Следствие. Пусть f — положительный линейный
функционал на линейном подпространстве Ео С Е. Предположим, что
для всякого χ Ε Ε найдется такой у е Ео, что χ ^ г/. Тогда f
продолжается до линейного положительного функционала на Е. В
частности, это верно, если есть точка алгебраического ядра
положительного конуса из Е, содержащаяся в Ео-

6.10. Дополнения и задачи
323
Доказательство. Положим U := {χ е Е0: f(x) < 1} и
W := {w £ Ε: w ^u при некотором и £ U}.
Заметим, что множество W выпукло и 0 £ W. Кроме того, для всякого
χ £ Ε найдется такое ε > 0, что ex £ W. В самом деле, по условию
найдется у £ Ео с χ ^ у. Можно взять такое ε > 0, что f{ey) < 1,
тогда εχ £ W. Возьмем в качестве ρ функционал Минковского
множества W. Из сказанного выше следует, что ρ — однородно-выпуклая
функция. Проверим условие (6.10.3). Иначе найдутся такие χ £ Ео
и ζ ^ 0, что f(x) > 1 и р(х + г) < 1. Тогда при некотором λ £ (0,1)
имеем (х + г)/А € VF, т.е. (χ + ζ)/λ ^ и, где г* € [/. Поэтому χ 4- г < Aw,
откуда χ ^ Aw. Значит, /(х) ^ А/(и) < 1 — противоречие. Применение
теоремы 6.10.49 завершает доказательство первого утверждения. Если
положительный конус имеет непустое алгебраическое ядро,
пересекающее Ео, то возьмем какую-либо точку zo € Ео этого ядра. Тогда для
всякого χ £ Ε найдется а > 0 с zo — ах ^ 0, т.е. χ < zo/ot £ Ео. □
6.10.53. Следствие. Пусть Zo входит в алгебраическое ядро
положительного конуса К. Тогда существование положительного
линейного функционала f с f(zo) = 1 равносильно тому, что —zq $ К,
Доказательство. Пусть — zo & К, На одномерном пространстве,
порожденном zo, зададим / формулой f(Xzo) — А. Если Xzo € К, то по
условию имеем А ^ 0 и потому f(Xzo) ^ 0. Теперь применимо
предыдущее следствие. Если же / уже есть, то при — zo £ К мы бы получили
/(—2о) ^ 0, т.е. f(zo) ^ 0 вопреки равенству f(zo) = 1. □
Отметим, что если упорядоченное векторное пространство Ε
наделено еще и нормой (или топологией, превращающей его в
топологическое векторное пространство), причем положительный конус
имеет внутренние точки относительно возникающей топологии, то всякий
положительный линейный функнионал оказывается непрерывным, ибо
ограничен снизу на непустом открытом множестве.
6.10.54. Пример. Ца пространствах £°°(μ) и Сь(Т), где Τ —
топологическое пространство, все положительные линейные функционалы
непрерывны.
Простым примером разрывного положительного линейного
функционала на упорядоченном нормированном пространстве является
функция /(φ) = φ(0) на пространстве всех многочленов на [0,1] (или
всех непрерывных функций), наделенном нормой из L2[0,1].
Однако наличие внутренних точек положительного конуса не
обязательно для того, чтобы все положительные линейные функционалы
на упорядоченном нормированном пространстве оказывались
автоматически непрерывными. Определение банаховой решетки см. в §5.6(ш).

324
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.55. Предложение. Всякий положительный линейный
функционал f на банаховой решетке Ε автоматически непрерывен.
Кроме того,
11/11 =sup{|/(x)|: χ > 0, \\х\\ = 1}.
В частности, это верно для LP {μ), 1 ^ ρ ^ оо. При этом в случае,
например, меры Лебега μ положительный конус в £ρ(μ) при ρ < оо
не имеет внутренних точек.
Аналогичное утверждение верно для положительных операторов
на Ε со значениями в нормированной решетке.
Доказательство. Пусть / — разрывный положительный
функционал. Тогда найдется такая последовательность элементов хп £ Е,
что ||хп|| ^ 2~п и f(xn) ^ п. Можно считать, что хп ^ 0, поскольку мы
имеем |/(х)| ^ |/(|х|)|. Пусть χ = Σ™=1χη· Тогда f(x) ^ f(xn) ^ η
для всех п, что невозможно. Утверждение о ||/|| следует из оценки
\f(x)\ ^ |/(М)|- Случай положительного оператора совершенно
аналогичен. Если мера μ не сосредоточена в конечном числе атомов,
например, является мерой Лебега на отрезке, то во всякой окрестности
всякой функции из ίρ(μ) с ρ < оо есть функция, строго
отрицательная на множестве ненулевой меры. Поэтому положительный конус не
имеет внутренних точек. D
Из этого предложения вытекает, что положительный функционал
φ ь-> φ(0) на линейном подпространстве непрерывных функций в
пространстве £2[0,1] не имеет положительных продолжений на £2[0,1].
Приведем теорему Канторовича о продолжении положительных
операторов, частным случаем которой является следствие 6.10.52.
6.10.56. Теорема. Пусть X — упорядоченное векторное
пространство с положительным конусом К, Xq С X — такое линейное
подпространство, что Xq -f К — X, и Υ — полная векторная
решетка. Тогда всякий положительный линейный оператор Т: Xq —> Υ
продолжается до положительного линейного оператора на всем X.
6.10.57. Предложение. Пусть на упорядоченном векторном
пространстве Ε заданы линейный функционал f и однородно-
выпуклый функционал р, а на линейном подпространстве Е0 С Ε
задан линейный функционал д. Тогда равносильны следующие условия:
(i) имеется линейное продолжение # функционала g на Ε с
f(z) ^ g(z) при всех ζ ^ 0 и д(х) < р(х) при всех χ £ Ε; (6.10.4)
(ii) имеется линейное продолжение *д функционала д на Ε с
]j(x) + f(z) ^ р(х + ζ) при всех ζ ^ 0 и χ £ Ε; (6.10.5)
(iii) функционал д удовлетворяет условию
9(у) + f(z) < Р(У + z) пРи всех ζ ^ 0 и у £ Е0. (6.10.6)

6.10. Дополнения и задачи
325
Доказательство. Из (i) следует (ii), так как мы имеем
р{х Λ-ζ)^ д(х + ζ) = д(х) + g(z) ^ д(х) + f(z).
Из (ii) следует (ш). Пусть выполнено (iii). Положимр\(х) := p(x)—f(x)
при χ £ Ε и gi(y) := д(у) - /(у) при у £ £Ό· Тогда в силу (6.10.5)
получаем д\{у) ^Pi(y + ζ) при у £ Ео, ζ ^ 0. По основной теореме есть
линейное продолжение </ι функционала д\ на Ε с (?ι(χ) ^ ρι(χ + ζ) при
χ £ Ε, ζ^Ο. Положим £ := #i -f /. Тогда gi — линейное продолжение д.
При ζ ^ 0 и χ £ Ε имеем д(х) + /(2) = ^i(x) + f(x) + /(2) ^ р(я + ζ).
При χ = — ζ получаем /(z) ^ g(z), а при г = 0 имеем д(х) < р(х). □
6.10.58. Следствие. Пусть на упорядоченном векторном
пространстве Ε заданы линейный функционал f и однородно-выпуклый
функционал р. Тогда необходимое и достаточное условие
существования такого линейного функционала g на Е, что д(х) ^ р(х) при χ £ Ε
и f(z) ^ g(z) при z^O, состоит в следующем: f(z) ^ p(z) при ζ ^ 0.
Доказательство. Необходимость ясна. Для проверки
достаточности возьмем Ео = {0} с g — 0 на Ео- Тогда выполнено условие (6.10.6),
поэтому g линейно продолжается на Ε так, что выполнено (6.10.4). D
Обратимся теперь к упорядоченным нормированным
пространствам. Пусть упорядоченное векторное пространство Ε наделено такой
нормой || · ||, что при некотором с > 0 выполнена оценка
||х|| < ф|| при 0 ^ χ ^ ζ. (6.10.7)
Тогда положительный конус называют нормальным. Например, в
банаховых пространствах Β(Ω) и ί/ρ(μ) (вообще в банаховых решетках) это
условие выполнено, а в пространстве Сх[0,1] непрерывно
дифференцируемых функций с его естественной нормой и поточечным частичным
порядком это условие нарушено. Сначала отметим такой факт,
который нетрудно вывести из теоремы 6.10.49.
6.10.59. Предложение. Если Ео — банахова подрешетка
банаховой решетки Е, то всякий положительный функционал на Ео
продолжается до положительного функционала на Ε с сохранением нормы.
Обсудим разложения функционалов в разности положительных.
6.10.60. Предложение. Пусть Ε — упорядоченное
нормированное пространство с нормальным положительным конусом,
удовлетворяющим условию (6.10.7). Тогда для всякого непрерывного
линейного функционала f существуют такие положительные непрерывные
функционалы f\ г* /2, что
/ = /i-/2, ll/i||<c||/||,||/a||<(l + c)||/||.
Обратно, если сказанное верно для всякого f £ Е*, то
положительный конус нормален и выполнено (6.10.7) с 2(1 -f с) вместо с.

326
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Пусть ||/|| = 1, U := {х е Е: \\х\\ < 1/с},
W :— U — К, где К — {ζ £ Ε: ζ ^ 0}. Легко видеть, что W — открытое
выпуклое множество, причем 0 £ W. При ζ £ KnW имеем ||^|| < 1, ибо
0 < ζ — и — ζ\, где ||w|| < 1/с и z\ > 0, откуда 0 ^ ζ ^ и. Ввиду (6.10.7)
это дает ||^|| ^ c||w|| < 1. Обозначим через ρ функционал Минковского
множества W. Заметим, что
f(z) < p(z) и p(-z) < -1 при ζ £ Κ.
В самом деле, положив а := ρ(ζ), при ε > 0 имеем p(z/{a -f ε)) < 1, т.е.
(α + ε)"1^ Ε W Π ϋί и по доказанному выше \\z/(a -f ε)|| < 1. Значит,
/(г) ^ \\ζ\\ ^ α. Далее, — ζ < 0 € t/, откуда — ζ £ W и потому р(—г) < 1.
Предыдущее следствие дает такой линейный функционал д < р, что
/О2) ^ p0&) ПРИ ζ Ε К. Функционал д положителен, ибо при ζ £ К
и λ > 0 имеем g(—Xz) < р(—Xz) < 1, откуда g(z) ^ —l/λ. Наконец, при
||х|| < 1 получаем х/с £ U С W, что дает д(х/с) < р(х/с) < 1. Итак,
Ij^ll ^ с. Теперь можно положить /ι := у, /2 := <7 — /·
Предположим теперь, что для всякого f £ Е* найдутся
положительные функционалы /ι и /2 с / = /ι - /2 и ||/ι|| ^ (1 + с)||/||,
H/2II ^ (1 -f с)||/||. Пусть 0 ^ χ ^ ζ. Следствие теоремы Хана-Банаха
дает f £ Е* с f(x) = \\х\\ и ||/|| = 1 (можно считать, что χ Φ 0). Взяв
упомянутые выше /ι и /2, получаем 0 < fi(x) ^ f%(z) < (1 -f с)||г||.
Значит, ||x||=/(x) = /i(x)-/2(a:)<2(l + c)|^||. D
Полезен также следующий результат о разложении функционала
в разность положительных функционалов, дающий несколько больше,
чем предложение 6.10.60.
6.10.61. Теорема. Пусть Τ — векторная решетка
ограниченных функций на множестве Ω, содержащая 1. Предположим, что
на Τ задан линейный функционал L, непрерывный относительно
нормы H/II = sup |/(х)|. Тогда L можно представить в виде L = L+ —L~,
Ω
где L+ ^ 0, L~ ^ 0 и для всех неотрицательных f £ Τ справедливы
равенства
L+(/)= stip L(g), 2Г(/) = - inilL{g). (6.10.8)
Кроме того, полагая \L\ := L+ -f L~, при / ^ 0 имеем
|L|(/)= sup \L(g)l \\L\\ = L+(l) + L"(1).
Лиологгл'чиое утверждение, за исключением последнего равенства,
справедливо для всякого непрерывного линейного функционала на
нормированной векторной решетке.

6.10. Дополнения и задачи
327
Доказательство. Для неотрицательных функций f,g е Τ и
всякой функции h £ Τ такой, что 0 ^ h ^ /+<?, можно записать h = ΛιΗ-Λ-2,
где hi, h2 £ Τ, 0 ^ h\ ^ /, 0 ^ h2 ^ 9- В самом деле, положим
hi = min(/,h), h2 = h - hi. Тогда hi, fe G J, 0 < Λι ^ / и /12 > 0.
Наконец, h2 ^ #· Действительно, если hi (χ) = h(x), то h2(x) = 0, если
h>i{x) — f{x)i то ^2(#) = h(x) — f(x) < g(x), поскольку h^ g + f.
Пусть L+ определяется равенством (6.10.8). Заметим, что
величина L+(/) конечна, поскольку \L(h)\ ^ ||L|| ||h|| < ||L|| ||/||. Ясно, что
^+(^/) = ^+(/) ДДЯ всех неотрицательных чисел ί и / > 0. Пусть
/^Оир^О входят в J7. Используя обозначения вьппе, получаем
L+(/ + <?)=sup{L(h): 0<h</ + <?} =
= sup{L(hi) + L(h2): 0 ^ hi < /, 0 < h2 < 9} = L+(/) + L+{g).
Теперь для всех / e Τ положим L+(f) = £+(/+) — L+(/"-), где /+ =
max(/, 0), /~ = — min(/, 0). Отметим, что если / = /ι—/2, где /ι, /2 ^ 0,
то £+(/) = L+(/i) — L+(/2). Действительно, /ι + /~ = /2 + /* и потому
L+(/i) + L+(/") - L+(/2) + L+(/+). Ясно, что L+(t/) - fL+(/) для
всех ί G Ε1 и / G f. Аддитивность функционала L+ вытекает из
его аддитивности на неотрицательных функциях. Действительно, для
заданных /ид имеем / = /+ — /~, д = д+ — д~, откуда находим
f + д = (/+ -f #+) — (/" + д~) и согласно сказанному выше получаем
L+(f + д) = L+(f+ + </+) - L+(/- + 5") = L+(f) + L+(g).
По определению, L+(f) ^ L(/) для неотрицательных /, поэтому
функционал L~ := L+ — L неотрицателен. Легко видеть, что L~ задается
анонсированной формулой.
Наконец, ||L|| < ||L+|| + ||L~|| = Ь+(1) + L~(l). С другой стороны,
L+(l) + L~(l) = 2L+(1) - L(l) = sup{L(2<^ - 1): 0 ^ </? ^ 1} ^
<sup{L(h): -l<fc<l}<|[L||.
Теорема доказана для Т, но эти же рассуждения применимы к любым
векторным решеткам. D
Приведем замечательный результат П.П. Коровкина о сходимости
положительных операторов, (доказательство см. в [106, гл. 1]).
6.10.62. Теорема. Пусть Тп — положительные линейные
операторы в С[0,1], т.е. Тх > 0 при χ ^ 0, причем для трех функций
Xk(t) = tk, к = 0,1,2, мы имеем \\TnXk — Хк\\ —» 0 при η —> оо. Тогда
\\Тпх — х\\ —► 0 <?лл вслиого χ G С[0,1].
Такое же утверждение верно для пространства С27Г wenpepwewwx
27r-nepiiO<?w4ecKtfi:r функций, если xi(t) = 1, ж2(£) = sin£ г* ж2(£) = cost.

328
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10(vi). Векторное интегрирование
Здесь мы кратко обсудим интеграл Лебега для векторных
отображений, называемый в этом случае интегралом Бохнера. Пусть (Ω, В) —
измеримое пространство и μ — неотрицательная мера на В. Сначала
мы предположим, что мера μ ограничена, а затем укажем небольшие
изменения, необходимые в общем случае.
Пусть Ε — вещественное или комплексное банахово пространство.
Через В(Е) обозначим σ-алгебру, порожденную открытыми в Ε
множествами. Эта σ-алгебра называется борелевской.
6.10.63. Определение. Отображение /: Ω —» Ε, определенное
μ-почти всюду, называется μ-измеримым, если для всякого В £ В(Е)
множество /_1(f?) является μ-измеримым.
Ясно, что если / — μ-измеримое отображение со значениями в
банаховом пространстве Е, то функция ω н+ ||/(ω)|| также μ-измерима
ввиду борелевости открытых шаров в Е.
6.10.64. Предложение. Пусть банахово пространство Ε сепа-
рабельно и отображение /: Ω —> Ε определено μ-почти всюду. Это
отображение μ-измеримо в точности тогда, когда для всякого I £ Е*
числовая функция I о / является μ-измеримой.
Достаточным условием μ-измеримости f является μ-измери-
мость функций 1п о /, где {1п} С Е* — такое счетное множество,
что всякий элемент в Е* есть предел подпоследовательности из {1п}
в ^-слабой топологии (такое множество существует ввиду
сепарабельности Е).
Доказательство. Рассмотрим вещественный случай.
Необходимость указанного условия ясна из того, что для всякого I £ Е* и всякого
открытого множества скаляров V множество /~1(^~1(V)) является до-
измеримым ввиду открытости 1~г(У). Покажем, что σ-алгебра Во,
порожденная полупространствами вида {х: 1(х) ^ г}, совпадает с В(Е).
Ввиду сепарабельности пространства Ε каждое открытое в нем
множество есть объединение счетного набора открытых шаров с центрами
в точках из {хп}· Пусть U — такой шар. Покажем, что U £ Во. Так
как U есть объединение последовательности замкнутых шаров с тем
же центром, то можно перейти к замкнутому шару U. Представим
его в виде пересечения счетного набора замкнутых полупространств.
Для этого для каждой точки хп £ E\U и каждого замкнутого шара
B{xn,rk) рационального радиуса гь, не пересекающего [/, найдем
такое полупространство Пп,&, что U С Пп и B(xn,rk) С Е\Цп^- Имеем
U — Пп fenn}fe. Действительно, если χ £ U, то найдутся такие хп и г&,
что χ £ В(хп,Гк) и U Π В(хп,Гк) = 0, откуда χ £ ПП)&. Итак, U £ Во,
что дает равенство Во — В(Е).

6.10. Дополнения и задачи
329
Пусть {1п} с Е* — такое счетное множество, что всякий элемент
I в Е* есть предел подпоследовательности в {1п} в *-слабой
топологии. Существование такого множества очевидно из того, что Е* есть
объединение замкнутых шаров радиуса п, каждый из которых — мет-
ризуемый компакт в *-слабой топологии (см. теорему 6.10.23). Тогда
функция I измерима относительно σ-алгебры, порожденной {1п}-
Поскольку функции 1п измеримы относительно Во, то такова и /. D
Отметим, что измеримость / равносильна измеримости функций
9п ° /, где {дп} С Е* — счетное множество, разделяющее точки в Е,
ибо в качестве {1п} можно взять множество конечных линейных
комбинаций gi с рациональными коэффициентами (пересечение этого
множества с единичным шаром в Е* плотно в этом шаре в *-слабой топологии,
что нетрудно проверить).
Для широкого класса пространств с мерами (в частности, для
отрезка с борелевской мерой) всякое измеримое отображение со
значениями в банаховом пространстве автоматически принимает значения
в некотором сепарабельном подпространстве после переопределения на
множестве меры нуль (см. следствие 6.10.16 и теорему 7.14.25 в [26]).
Как и в случае скалярных функций, мы будем называть простыми
μ-измеримые векторные отображения с конечным множеством
значений. Для такого отображения φ со значениями t/χ,..., уп на
дизъюнктных множествах Ωχ,..., Ωη интеграл Бохнера задается равенством
η
ψ(ω)μ(άω) := ]Гщ^).
2=1
Ввиду аддитивности μ это определение корректно, т.е. не зависит от
разбиения Ω на дизъюнктные части, на которых φ постоянно.
Последовательность простых отображений фп называется
фундаментальной в среднем, если для всякого ε > 0 есть такое Ν, что
/ \\φη{ω) - фк(и;)\\ μ(άω) <ε при η, к ^ N.
Заметим, что при этом последовательность интегралов от фп
фундаментальна в Е. Это ясно из оценки
II Ν
[Φη(ω) - фк(и;)} μ(άω)\\ < £ \\у? - 0?||μ(Ω*) -
/
JO,
I/'
= Ι \\Φη{ω)~φΗ{ω)\\μ{άω),
Jo.
где Ωχ,..., Ω^ν — измеримые дизъюнктные множества, выбранные при
фиксированных пик так, что ψη и фк постоянны на них (их легко
получить измельчением множеств, на которых постоянны ψη и фк)·

330
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.65. Определение. Пусть Ε — банахово пространство.
Будем называть отображение /: Ω —> Ε интегрируемым по Бохнеру,
если найдется последовательность простых Е-значных
отображений ψη, сходящаяся к f μ-почти всюду и фундаментальная в среднем.
Интегралом Бохнера от f будем называть предел интегралов от ψη
и обозначать его через Ι ί(ω)μ(άω).
Jo.
Корректность определения следует из скалярного случая, ибо для
всякого] £ Е* последовательность функций 1офп сходится почти всюду
и фундаментальна в среднем.
Интегрируемое отображение / измеримо относительно μ.
Действительно, из определения ясно, что найдется такое сепарабельное
подпространство Xq С X, что /(ω) £ Хо при μ-п.в. ω. Теперь измеримость
/ вытекает из доказанного выше предложения и измеримости предела
последовательности числовых измеримых функций.
6.10.66. Пример. Всякое ограниченное измеримое отображение
/ со значениями в сепарабельном банаховом пространстве Ε
интегрируемо по Бохнеру.
Доказательство. Зафиксируем η е IN. Пусть {хг} — счетное
всюду плотное множество в Е. Пространство Ε покрыто
последовательностью шаров BiiU := -B(x«, 2~n). Найдем такое Nn, что
μ(«\υ£ί/-1(Β*,η))<2-»
Положим Ωη,ι := /~4-Βι,η),Ωη,* ·= f~l(Bktn)\Sln,k-i,k < Νη. На
множестве Ωη>& сделаем отображение ψη равным ж&, а вне Ωη := Ufc=i &Пук
сделаем фп нулем. Получены простые отображения. При ω £ €tn,k
имеем \\ψη(ω) — /(ω)|| ^ 2~п. Значит, эта оценка выполнена на множестве
Ωη с μ(Ω\Ωη) < 2~п. Следовательно, lim φη(ω) = /(ω) для μ-почти
n-юо
всех ω. Это верно для всякого ω из множества Ω' := Пт=1 U^Lm ^n
полной μ-меры. Пусть ||/(ω)|| ^ М. Тогда ||^η(ω)|| ^М + 1. При η > к
и ω £ Ωη Π ilk имеем \\ψη{ω) - 1>к(ъ>)\\ < 21~к, откуда следует
фундаментальность {ψη} в среднем. D
6.10.67. Теорема. Пусть f — такое μ-измеримое отображение
со значениями в сепарабельном банаховом пространстве Е, что
функция ω ь-*· ||/(ω) || интегрируема относительно μ. Тогда отображение
f является μ-интегрируемым по Бохнеру.
Доказательство. Для каждого nGlN найдем такое измеримое
множество Ωη, что μ(Ω\Ωη) < 2~п и
/ ||/(α;)||μ(Λ;)<2-».
JQ\Qn

6.10. Дополнения и задачи
331
Немного уменьшая множество Ωη с сохранением этих оценок, можно
найти простые отображения *фп, для которых \\ψη{ω) — /(ω)|| < 2~п
при ω £ Ωη и ||ν>η(ω)|| ^ 11/(^)11 + 1 ПРИ почти всех ω. Это ясно из
доказательства предыдущего примера. Как и выше, получаем
сходимость последовательности {ψη} к / почти всюду и ее
фундаментальность в среднем. D
Из определения вытекает, что для всякого интегрируемого по Бох-
неру отображения / со значениями в банаховом пространстве Ε и
всякого непрерывного линейного оператора Τ из Ε в банахово
пространство Υ отображение То/ также интегрируемо по Бохнеру, причем
ί Τ(/(ω))μ(άω)=τ( ί ί(ω)μ(άω)
Совершенно аналогично скалярному случаю доказывается
следующее утверждение (задача 7.10.97).
6.10.68. Теорема. Класс £1(μ;£?) всех μ-интегрируемых по
Бохнеру отображений со значениями в банаховом пространстве Ε
является линейным пространством, на котором интеграл Бохнера
линеен. Множество классов μ-эквивалентности L1 (μ; Ε) с нормой
Шыо,;*) := /||/Μ||μ(<Μ>
Jo,
заданной посредством какого-либо представителя класса
эквивалентности, является банаховым пространством. Кроме того, при всяком
ρ £ [1,-foo) подпространство Ιβ*(μ;Ε) β ν-{μ\Ε), соответствующее
отображениям с конечной нормой
||/1кР(д;в)==(<£|1/И11рМ^)
также является банаховым пространством.
В случае бесконечной меры построение интеграла Бохнера
аналогично, но в определении простого отображения дополнительно
требуется, чтобы оно было равно нулю вне множества конечной меры.
В приложениях часто оказывается полезным более слабое понятие
скалярной интегрируемости или интегрируемости по Петтису.
Отображение / со значениями в банаховом пространстве Ε
называют скалярно интегрируемым или интегрируемым по Петтису, если
для всякого I £ Е* функция I о / интегрируема относительно μ, причем
существует такой элемент h £ Е, называемый интегралом Петтиса
от /, что интеграл функции I о / равен 1(h).
Если Ε сепарабельно, то скалярная интегрируемость влечет
измеримость /, однако в общем случае не дает интегрируемость по Бохнеру.
Например, пусть мера μ на I2 сосредоточена в точках вида пеп и —ηβ^
•

332
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
где {еп} — стандартный базис ί2, причем мера такой точки есть п~2.
Отображение f(x) = χ имеет нулевой интеграл Петтиса, ибо для
всякого у = (уп) £ I2 ряд с общим членом г/п^-1 абсолютно сходится. Однако
функция ||х|| не интегрируема относительно μ ввиду расходимости
ряда с общим членом п-1.
6.10(vii). Интеграл Даниэля
Изложенное в этой книге построение интеграла основано на
предварительном определении меры. Можно, однако, действовать и
наоборот: меры определять с помощью интегралов. В основе этого лежит
следующий результат Даниэля. В формулировке используется
понятие векторной решетки функций, т.е. такого линейного пространства
Τ вещественных функций на непустом множестве Ω, что тах(/, д) £ Τ
для всех /, £ £ Τ (это равносильно замкнутости Τ относительно
взятия абсолютной величины). Рассматриваемые здесь векторные
решетки функций являются частным случаем абстрактных векторных
решеток, упомянутых в §5.6(iii). Пусть на Τ задан неотрицательный
линейный функционал L, т.е. L(f) ^ 0 при / ^ 0, причем L(fn) —> 0 для
всякой поточечно убывающей к нулю последовательности {fn} С Т.
Такой функционал называется интегралом Даниэля. Наша
ближайшая цель — распространить L на более широкую область определения
С так, чтобы продолжение обладало основными свойствами интеграла,
т.е. для него выполнялись аналоги теорем о монотонной и
мажорированной сходимости и С было бы полно. Пример, который можно иметь
перед глазами, — продолжение интеграла Римана с множества
ступенчатых или непрерывных функций. Затем мы выясним связь интеграла
Даниэля с настоящим интегралом по мере.
6.10.69. Определение. Множество 5 С Ω назовем L-нулевым,
если найдется неубывающая последовательность неотрицательных
функций fn £ Τ, для которой supn L(fn) < оо и sup/n(x) = -f oo на S.
η
Это определение навеяно теоремой Беппо Леви.
6.10.70. Лемма, (i) Объединение счетного числа L-нулевых
множеств Sk является L-нулевым.
(Н) Множество S является L-нулевым в точности тогда,
когда для всякого ε > 0 найдется неубывающая последовательность
неотрицательных функций fn£ Τ с L(fn) < ε и s\xpfn(x) ^ 1 на S.
η
(iii) Если f £ Τ и f ^ 0 вне L-нулевого множества, mo L(f) ^ 0.
Если f,g £ Τ и f ^ g вне L-нулевого множества, то L(f) ^ L(g).
Доказательство, (i) Если {fn} с Τ — возрастающая
последовательность с указанными в определении свойствами и L(fn) < Μ,

6.10. Дополнения и задачи
333
то при заданном ε > 0 можно взять функции ε Μ 1fn. Если же
выполнено указанное в (i) условие, то при каждом к найдется
возрастающая последовательность {fk,n} С Τ с L{fk,n) ^ 2~к при всех η
и supn /fe,n ^ к на 5. Положим '#п = /ι,ι + · · · + /η,η· Тогда #n G J7,
0 ^ 9п ^ Уп+ь £(#п) ^ 1, supn#n = +оо на 5. (ii) При
фиксированном к возьмем функции Д>п € .F, η € IN, для которых L(/fe,n) ^ 2~fe
и sup Л|П(ж) = оо на Sk- Положим дп = /Χ|Λ Η h /η,η· Тогда дп G Т,
η
L{g<n) ^ 1 и ъщ>дп(х) = +оо на (JfcLi ^fc> и^° последнее верно на каж-
дом S&. (iii) Пусть 5 = {/<0}ис = L(f) < 0. Возьмем возрастающую
последовательность неотрицательных функций fn £ Τ с L(/n) ^ |c|/2
и supn fn(x) — оо при χ е S. Тогда последовательность функций / + fn
возрастает, причем ее конечный или бесконечный предел всюду
неотрицателен, ибо функция / конечна на 5 и неотрицательна вне 5. Кроме
того, L(f + fn) < -|с|/2. Положим φη = (/ + /п)". Тогда <£n G J7,
причем функции φη поточечно возрастают к нулю. Значит, L(<pn) —> 0
вопреки тому, что L(y?n) ^ L(/ -f /n) < — |с|/2. Итак, с = 0. D
Получаем такое усиление свойства непрерывности L.
6.10.71. Следствие. Пусть {/п} С Τ и fn I 0 вне некоторого
L-нулевого множества S. Тогда L(fn) I 0.
Доказательство. Положим дп — min(/i,...,/n). Тогда дп е Т.
Вне S имеем дп — fn. По лемме L(fn) — L(gn). Кроме того, {дп} всюду
убывает. Если L(gn) > с > 0 при всех п, то возьмем возрастающую
последовательность неотрицательных функций φη £ Τ с L(<pn) < с/2
и supn φη(χ) = оо при χ G 5. Тогда функции дп—<Рп € «Т7 всюду убывают
к неположительному пределу, ибо вне 5 функции gn убывают к нулю,
а на 5 мы имеем gn — ψη ^ 01 — ψη —► —оо. Функции (#п — <£п)+ £ «^
поточечно убывают к нулю, откуда L((gn — φη)+) ~» 0. Это противоречит
тому, что L((gn - y>n)+) ^ L(#n - φη) ^ с/2. D
Обозначим через £} класс всех функций /: Ω —> (—оо, -f оо], для
которых найдется такая последовательность неотрицательных функций
fn £ Τ, что вне некоторого L-нулевого множества f(x) = lim fn(x)
п—юо
и fn(x) ^ fn+i(x) при всех п, причем последовательность {L(/n)}
ограничена. Положим
L(f) := lim L(fn).
η—>οο
Предел существует, ибо из утверждения (iii) доказанной выше леммы
следует, что последовательность {L(fn)} возрастает. Следующая лемма
показывает корректность определения L на &.

334
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.72. Лемма, (i) Если {fn} и {дп} — две такие
последовательности из Т, что вне некоторого L-нулевого множества S они
возрастают и удовлетворяют условию lim fn ^ lim gn, где
допускать—->оо п—>оо
ются бесконечные пределы, то lim L(fn) ^ lim L(gn). В частности,
η—юо η—>оо
эти пределы равны, если вне S последовательности {fn} и {дп}
возрастают к общему пределу, (ii) Всякая функция из & конечна вне
некоторого L-нулевого множества.
Доказательство, (i) При фиксированном η функции fn — gk вне
S убывают к неположительному пределу. Поэтому (fn—9k)+ I 0 вне 5,
что по доказанному выше следствию дает L((fn — 0&)+) [ 0. Значит,
lim L(fn — gk) ^ 0, т.е. L(fn) < lim £(#&)» что Д^Т нужное неравен-
fe-юо fe-юо
ство. (ii) Пусть функции /n £ Τ возрастают к / вне L-нулевого
множества 5, причем L(fn) ^ С. Положим gn = max(/i,..., fn). Тогда дп £ J7,
9п <: 9п+ъ причем дп = fn вне S. Множество Ζ = {χ: supngn(x) = оо}
по определению является L-нулевым. При этом функция / конечна вне
множества S U Z. D
Из доказанного следует, что если / £ £ΐ, а функция д ^ 0
равна / на дополнении L-нулевого множества, то д £ & и L(g) = L(f).
Поэтому всякую функцию из & можно сделать всюду конечной без
изменения L(f).
Через С обозначим множество вещественных функций /, предста-
вимых в виде разности / = /χ — /2 двух всюду конечных функций
/ι, /2 € О. Для таких функций положим L(f) := £(/1) — Ц/2).
Корректность определения проверяется в следующей теореме.
На С можно ввести отношение эквивалентности, объявив
эквивалентными функции, которые не совпадают лишь на L-нулевом
множестве. Тогда множество С классов эквивалентности становится
метрическим пространством с метрикой аь(/,д) := L(\f — д\). Кроме того, С —
линейное пространство, a L естественным образом определяется на С.
Ясно, что Τ всюду плотно в С.
6.10.73. Теорема, (i) Функционал L на С {или С) корректно
определен и линеен, (ii) Если f £ С, то \f\ £ С и \L(f)\ < L(\f\).
(iii) Для L справедливы утверждения теорем Беппо Леей, Лебега
и Фату с L вместо интеграла: если fn £ С, fn —> / вне L-нулевого
множества и либо есть такая функция Φ £ С, что \fn\ ^ Φ вне
L-нулевого множества, либо {fn} возрастает вне L-нулевого
множества и s\ipnL(fn) < 00, то f £ С и lim L(fn) — L(f); если же fn ^ 0
η—>оо
и supn L(fn) < 00, то f £ С и L(fn) < liminfn L(fn).
Кроме того, пространство С полно относительно метрики аь-

6.10. Дополнения и задачи
335
Доказательство, (i) Легко видеть, что / + д е £т при f,g e £т,
причем L(f + д) = L(/) + L(g). Если /ι,/2,5ι,52 € £т и /ι - /2 =
<7ι — 02? то L(/i) -f L(^2) = £(<?ι) + Д/г)) что показьгоает корректность
определения L на £. Так как L(af) = olL{q) при / е £^ и α ) 0,
то это верно для всех / Ε £ и α Ε Е. Если /,# € С и / = /ι — /2,
д = gi- 52, где fu/2,9и92 € £т, то / + ^ = /ι + 51 - (/г + 52) € £
и L(/ + 5) = Ц/ι + 51) - Ц/2 + 52) = L(f) + L(g) по уже доказанному.
Из замкнутости класса Τ относительно операций (φ, ф) ь-> min(y?, ф)
и (у?, ^) н-*· тах(у?, ^) следует замкнутость £ί относительно этих
операций. Значит, min(/i, /2) £ tf и max(/i, /2) € £Ϊ, откуда
1/1 = |/ι -ΛΙ = max(/i,/2) -min(/b/2) e £.
Наконец, для доказательства оценки |L(/)| < L(|/|) достаточно
проверить, что L<£ ^ 0, если у? € £ и у? ^ 0. Тогда φ — ф\ — ^2, где ψι,^Ε £*
и ф>2 ^ ^ι· Поэтому можно применить утверждение (I) установленной
выше леммы.
(ii) Пусть {fn} С С возрастает вне L-нулевого множества и
последовательность {L(fn)} ограничена. Для каждого η найдем /П}& £ Т,
возрастаюпще к /п вне некоторого L-нулевого множества 5П. Пусть
дп = maxfe,m^n/m)fe. Тогда дп <= Т, {дп} возрастает и {L(gn)}
ограничена. Поэтому / = lim дп е £+ и L(/) = lim L(gn). Ясно, что
п—юо п—>оо
/п(#) —> /(#) вне L-нулевого множества и L(/) = lim L(/n), ибо
n—*oo
L{gn) ^ Ц/n) и L(/n) = lim L(/njfe). Теорема Фату выводится точ-
к—>оо
но так же, как и в случае интеграла Лебега. Пусть fn(x) —» /(ж) и
|/п(#)| ^ Ф(#) вне L-нулевого множества, где /П,Ф € £. Положим
φη(χ) := inffe^n /fc(x), ^n(x) := supfe^n Д(х). Тогда вне L-нулевого
множества имеем <Рп^ fn<: Ψη, ψη > -Φ, Ψη < Φ, <£>η Τ /, ^η 1 /· Поэтому
/ G С и L(/) = lim L(y?n) = lim L(^n), что дает L(f) = lim L(/n).
71—► OO П-ЮО 71—►OO
Пусть последовательность {/п} С С фундаментальна в метрике dj,.
Перейдя к подпоследовательности, считаем, что dL(/n,/n+i) ^ 2~п.
Как показано вьппе, ряд из \fn — /η-ι|, где /о := 0, сходится вне
некоторого L-нулевого множества S к элементу Φ 6 £. Тогда суммы
/п = Σ£=ι(/& - fk-i) сходятся к конечному пределу / вне S. Так как
|/п| < Ф, заключаем, что {/п} сходится к / в £. D
Интеграл Даниэля обладает важнейшими свойствами интеграла
Лебега, и потому возникает вопрос, нельзя ли его задать как
интеграл по счетно-аддитивной мере. Ведь некоторая мера автоматически
возникает. Действительно, обозначим через 1Zl класс всех множеств
Ε £ Ω, для которых 1е € £, и положим г/(Е) := L(Ie)· Из
доказанной теоремы сразу следует, что 1Zl является ί-кольцом и мера ν на

336
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
нем счетно-аддитивна. Однако в общем случае интеграл по этой мере
может не совпадать с L. Как показывает следующий пример, без
дополнительных предположений не всегда возможно представить L в виде
интеграла Лебега по какой-либо счетно-аддитивной мере.
6.10.74. Пример. Пусть Τ — множество всех конечных
вещественных функций / на [0,1] со следующим свойством: для некоторого
числа а = a(f) множество {t: f(t) φ α(1 -f t)} имеет первую
категорию. Положим L(f) := а. Тогда Τ — векторная решетка функций
с естественным отношением порядка из Ev0'1^, L — неотрицательный
линейный функционал на Т, причем L(fn) —> 0 для всякой поточечно
убывающей к нулю последовательности функций fn £ J7, однако даже
на подпространстве всех ограниченных функций в Τ функционал L
нельзя задать в виде интеграла по счетно-аддитивной мере.
Доказательство. Заметим, что для любой функции / £ Τ
имеется лишь одно число а с указанным свойством, ибо отрезок не
является множеством первой категории. Поэтому функция L корректно
задана. При / £ .Т7 положим Ef := {t: f(t) φ а(1-И)} для
соответствующего / числа а. Если f,g £ Τ и а = а(/), β = а(д) —
соответствующие числа, то множество Ef U Ед имеет первую категорию и вне его
f(t)+g(t) — (а+/3)(1-И). Для всякого скаляра с имеем cf(t) — ca(\+t)
вне множества 2£/.чИтак, Τ — линейное пространство. Легко видеть,
что |/| £ Τ при / £ Т. Из сказанного ясно также, что функция L
линейна. При / ^ 0 имеем L(f) ^ 0. Если функции fn£T поточечно
убывают к нулю, то объединение множеств Efn является множеством первой
категории. Поэтому найдется такая точка £, что L(fn) — fn(t)/(l -f t)
сразу для всех η, откуда lim L(fn) — 0. Предположим теперь, что
п—юо
существует мера μ на σ(^), принимающая значения в [0,+оо], такая,
что всякая ограниченная функция / из Τ входит в С1 (μ) и L(f)
совпадает с интегралом / по мере μ. Функция φ: t н-*· 1 -f-1 входит в Т,
откуда вытекает, что все открытые множества из [0,1] входят в σ{Τ).
Ввиду оценки φ ^ 1 получаем μ([0,1]) ^ Ь(ф) — 1. Таким образом,
ограничение μ на β([0,1]) является конечной мерой. Поэтому найдется
такое борелевское множество Ε первой категории, что μ([0,1]\Е) = 0.
Действительно, можно взять объединение нигде не плотных компактов
Кп с //([0,1}\Кп) < 1/п, которые строятся путем удаления достаточно
малых интервалов с центрами в точках всюду плотного счетного
множества μ-меры нуль. Рассмотрим следующую функцию /: f(t) = 0 при
t £ Ε, f{t) = l + tnpnt<£E. Ясно, что / £ Τ и L(f) = 1. С другой
стороны, интеграл / по мере μ равен нулю — противоречие. D
В этом примере мера ζ/, порожденная L на ί-кольце TZl,
тождественно равна нулю. В самом деле, здесь L-нулевые множества — это

6.10. Дополнения и задачи
337
множества первой категории, ибо если a(fn) ^ 1/3, то fn(t) ^ 2/3 вне
множества первой категории. Значит, класс С совпадает с Т.
Индикатор множества может входить в Τ лишь при а = О, т.е. IZl состоит
лишь из множеств первой категории, причем они являются нулевыми.
Следует иметь в виду, что мера ν может оказаться нулевой и в том
случае, когда L задается как интеграл по некоторой ненулевой мере μ.
Например, возьмем в качестве Τ одномерное линейное пространство,
порожденное функцией f(t) — t на (0,1), а в качестве L возьмем
интеграл Римана, т.е. L(af) = α/2. Тогда TZl состоит лишь из пустого
множества и ν = 0.
Теперь мы установим, что добавление одного просто
формулируемого условия, выполняющегося во всех приложениях, приводит к тому,
что интеграл Даниэля задается интегралом Лебега по некоторой мере.
Таким условием является условие Стоуна:
min(/, 1) £ Τ для всех / £ Т.
Это условие тривиальным образом выполнено, если решетка функций
Τ содержит 1. Содержательным примером решетки с условием Стоуна,
но без 1, является пространство непрерывных функций с
компактными носителями на IRn. Пространство Τ из предыдущего примера и его
подпространство, состоящее из ограниченных функций, очевидным
образом не удовлетворяют условию Стоуна.
6.10.75. Теорема. Пусть Τ удовлетворяет условию Стоуна и на
Τ задан неотрицательный линейный функционал L, причем L(fn) —* 0
для всякой поточечно убывающей к нулю последовательности
функций fn £ Т. Тогда на <r(F) существует такая счетно-аддитивная
мера μ со значениями в [0, +оо], что Τ С С1 (μ) и выполнено
равенство
Ш)= [ ηω)μ(άω), f£T. (6.10.9)
Кроме того, С = £χ(μ) и мера μ единственна на σ-кольце,
порожденном множествами вида {/ > с}, где f £ Τ и с > 0. Наконец, если
1 £ Т, то мера μ конечна.
Доказательство. Построенная выше мера и на J-кольце TZl
однозначно продолжается до счетно-аддитивной меры μ (со значениями
в [Ο,-f-oo]) на σ-кольце TZaL, порожденном IZl- Кроме того, она
продолжается (но уже не обязательно единственным образом) и до счетно-
аддитивной меры μ на σ-алгебре, порожденной TZl- Покажем, что
последняя совпадает с σ-алгеброй σ(£), порожденной С. Для этого
заметим, что из условия Стоуна легко вывести, что min(/, 1) £ С для всех
f £ С. Это дает включение Ес := /_1(с, +оо) £ TZl для всех с > 0
и / £ С. Действительно, достаточно проверить это для с = 1. Тогда
функции φп := min(l, nf—n min(l, /)) £ С поточечно возрастают к Ιεχ ,

338
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
причем 0 ^ φη <, 1 и φη ^ |/|, откуда Ε(φη) ^ L(\f\). Следовательно,
f~l ((α, β]) £ TIl при 0<а</3и/е£. Из этого следует, что функции
из С измеримы относительно σ-алгебры, порожденной Кь- Пусть / £ С
и 0 < / < 1. Положим fk := Ση=~ι1η2~%2^,(η+ΐ)2^]· Тогда fk £ £,
Λ -> / и Λ ^ /. Поэтому
//fed/i = L(/*)-*L(/).
./Ω
Следовательно, функция / интегрируема относительно μ, а ее
интеграл равен £(/). Теперь для всякой неотрицательной функции f £ С
мы получаем min(/, η) € L1 (μ), а интеграл min(/, η) равен L(min(/, n)),
что дает ^-интегрируемость / и равенство ее интеграла L(f) по теореме
Беппо Леви для интеграла и для L. Тогда это остается верно и для всех
f £ С. Разумеется, σ(Τ) С σ(£) и ,F С £. Единственность
представляющей меры на σ-кольце, порожденном множествами вида {/ > с},
где / 6 f и с> 0, ясна из доказательства. Наконец, если 1 £ Т, то
μ(Ω) = L(l) < оо. ' D
На о (Τ) мера μ не всегда единственна. Например, если Τ —
пространство всех конечных интегрируемых по Лебегу функций / на луче
[О, -f оо) с /(0) = 0и1- интеграл Лебега, то в качестве μ можно взять
любую меру λ + с5о, где А —- мера Лебега ис^О.
Типичные применения метода Даниэля-Стоуна связаны с
продолжением функционалов на пространствах непрерывных функций.
6.10.76. Теорема. (Теорема Рисса) Пусть К — компакт, на
С (К) задан линейный функционал L, причем L(f) ^ 0 при / > 0.
Тогда на σ-алгебре, порожденной всеми непрерывными функциями на К,
существует такая неотрицательная конечная мера μ, что
ВД = [ /(χ)μ(άχ), feC(K).
Jk
Доказательство. Из условия имеем |L(/)| ^ Ь(1)тахж |/(х)|.
Остается заметить, что если функции fn £ С(К) поточечно убывают
к нулю, то по теореме Дини тах^ |/п(#)| ^Ои потому L(fn) —> 0. D
Отметим, что мера μ однозначно продолжается до меры на боре-
левской σ-алгебре В(К) (последняя в случае неметризуемого К может
быть шире σ-алгебры Ва(К), порожденной С(К)) со следующим
свойством регулярности: μ(Β) = sup{//(C): С С В компактно} для всех
борелевских множеств В С К. Доказательство можно прочитать в [26,
гл. 7]. Если К метризуем, то В{К) = Ва(К).
Более общий пример (с возможно бесконечной мерой) получится,
если рассмотреть положительный функционал на пространстве Cq(T)

6.10. Дополнения и задачи
339
всех непрерывных функций с компактными носителями на локально
компактном пространстве Т. Например, таким способом можно
продолжать интеграл Римана до интеграла Лебега на Шп или на
многообразии. Из этого, кстати, видно, почему при определении интеграла на
С) привлекались L-нулевые множества: если брать только поточечные
пределы непрерывных функций, то не всякая интегрируемая по Лебегу
функция будет почти всюду равна какой-либо функции из
полученного класса. В заключение отметим, что если 1 € Т, то представление
(6.10.9) имеет место и без предположения о неотрицательности L. Для
этого функционал L с условием L(fn) —* 0 при fn I 0 разлагается в
разность двух неотрицательных функционалов с таким же условием (см.
теорему 6.10.61 и [26, §7.8]).
6.10(viii). Интерполяционные теоремы
Здесь мы докажем теорему М. Рисса и Торина об интерполяции —
один из важнейших результатов теории интерполяции линейных
операторов. Пусть μ и ν — неотрицательные меры на измеримых
пространствах (Ωι,Αι) и (Ω2, Лг)·
6.10.77. Теорема. Пусть Ро, <7о> Ръ #1 € [1,-foo], причем ро φ ρ\
и qo φ qi- Пусть дано линейное отображение
Г: U*(μ) Π U* (μ) -> Lqo(v) Π Lqi(v),
где пространства комплексны, причем
||Т/||м>(„) < Мо||/||ьроЫ и \\Tf\\LqiM ^ Mi||/||Lp1(M).
Тогда Τ продолжается до оператора между 1,ρ(μ) и Lq{v) с нормой
Μ ^ Μ$~ΘΜ% при условии, что 0 < θ < 1 и
1 _ 1-0 9_ 1 _ 1-0 θ__
Ρ Ро Pi' Q qo qi
Доказательство. Ясно, что Т продолжается до операторов из
LPo(//) в Lqo{v) и из LP1 (μ) в Lqi (z/) с нормами не более М0 и М\. Точка
(Р-1^-1) лежит на отрезке, соединяющем точки (Ро"1,^1) и (ρϊ"1,^"1)
в плоскости. Этим объясняется термин «интерполяция». Если мера
конечна и ро < Pi? то р~г лежит между р^1 ирр1 и потому LP {μ) лежит
между LP1 (μ) и LP0 (μ), т.е. Г можно сузить с IP0 (μ) на LP (μ). Однако не
является очевидным, что ΙΡ{μ) будет отображаться в Lq(v). Заметим,
что 1<р<оои1<<7<оо. Поэтому дальнейшие рассмотрения можно
проводить с простыми интегрируемыми функциями. При 0 ^ Re ζ ^ 1
положим
1 _ 1 — ζ ζ 1 _ 1 — ζ ζ
Ρ{ζ) Ро Pi' q'(z) q'0 q['
Ф) = \f\pMz)f/\fl Φ{ζ) = \g\Wg/\g\,

340
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
где /ид — простые интегрируемые функции на Ω ι и Ω2 соответственно,
причем ||/||lp(m) = ||0||£,'(„) = 1- Тогда функция
F(z)= [ Τφ{ζ)<ψ{ζ)άν
аналитична в открытой полосе 0 < Re ζ < 1 и непрерывна и ограничена
в ее замыкании. Непосредственные вычисления показывают, что
\ЫЩьроМ = Ы1 + Щьр1М = \№t)\\L4M = \\*(l + it)\\L<i(v) = Ι-
Ввиду условия \F(it)\ ^ M0, |F(1 + it)\ < М\. При этом F(9) есть
интеграл от (Tf)g по мере ζ/, ибо φ(θ) = /, φ{θ) = у. Так как норма Τ
как оператора из LP (μ) в Lq{v) есть точная верхняя грань F{9) по
/ид указанного вида, то для получения нужной оценки достаточно
сослаться на теорему Адамара о трех прямых из комплексного анализа,
которая дает оценку \F(9 + it)\ ^ Μΐ~θΜ% при всех t £ И. D
В вещественном случае это же верно с оценкой Μ ^ 2Mq~ Mf.
6.10.78. Пример. Если оператор Τ имел конечные нормы в
пространствах £(Ζ,ρ(μ), Lp(u)) и £(L9(/i), Lq(i/)) с ρ < q, то конечны и
нормы в £(Lr(/i), £r(z/)) crG[p, g]. Если же Т ограничен как отображение
между Σχ(μ) и ^(ι/), а также между £°°(μ) и L°°(i/), то Τ имеет
конечную норму в C(LP(ii)tLP(v)) для всех ρ £ (Ι,οο). Эта норма не
превосходит 1, если таковы были нормы на L1 и на L°° (над С).
Другие результаты, в том числе интерполяционную теорему Мар-
цинкевича, см. в Берг, Лёфстрём [20], Крейн, Петунии, Семенов [119],
Трибель [211], Bennett, Sharpley [276].
Задачи
6.10.79.° Привести пример разрывной функции /: Ш,1 —» И1 с
замкнутым графиком.
6.10.80.° Пусть Χ, Υ — нормированные пространства и lim Anx = Ах
п—юо
для всех χ е X, где А,Ап е C(X,Y). Доказать, что ||Л|| ^ limsupn_,00 ||АП||,
и привести пример, когда равенства нет.
6.10.81.° Пусть X — нормированное пространство и / G X*, ||/|| = 1.
Доказать, что для всякого χ выполнено равенство dist(#,Кег /) = |/(а?)|.
6.10.82. Пусть Υ — замкнутое подпространство банахова пространства
X и хо £ Χ\Υ. Доказать, что существует такой функционал I £ X*, что
||;Ц = 1, i\Y = 0 и l(x0) = dvst(x0,Y).
Указание: пусть d = a\st{xo,Y)\ на линейной оболочке Уижо задан
функционал 1{у + txo) = dt. Ясно, что 1\γ = 0. Так как \\у + txo\\ ^ d\t\,
то ||11| ^ 1. Возьмем {уп} С У с \\уп — хо\\ —► d, что дает нам соотношения

6.10. Дополнения и задачи
341
d = \1(хо) - 1(Уп)\ ^ ΙΚΙΙ \\хо - уп\\ -> d\\% откуда ||Z|| = 1. Теперь продолжим
функционал I на, X с сохранением нормы.
6.10.83. Пусть Υ — конечномерное подпространство бесконечномерного
банахова пространства X. Доказать, что для всякого ε > 0 найдется такой
вектор heX с \\h\\ = 1, что \\у\\ ^ (1 +е)\\у + Xh\\ при всех у е Υ и λ Ε И1.
6.10.84. Пусть на линейном пространстве Ε заданы две
неэквивалентные нормы. Доказать, что сопряженные к Ε относительно этих норм
различны как множества линейных функций.
Указание: если шар U по первой норме р\ не ограничен по второй
норме р2, то он не является слабо ограниченным в (Е,р2) и потому существует
такой непрерывный по норме рт. функционал Ζ, что supueU \l(u)\ = оо.
6.10.85.° Пусть Sn — оператор в L^O,2π], сопоставляющий функции
/ частичную сумму Sn(f) ее ряда Фурье. Доказать, что supn||5n|| = оо.
Вывести из этого, что существуют функции в С1 [0,2π], ряды Фурье которых
не сходятся в L1.
6.10.86.° Пусть X и Υ — банаховы пространства, А е С(Х, Υ), и пусть
А: Х/КетА —> У, А[х] := Ах, — индуцированный отображением А оператор
на фактор-пространстве, (i) Доказать, что ||А|| = \\А\\.
(ii) Доказать, что ||(A)VII = IHVII, У* е Y*.
6.10.87° Пусть X и Υ — нормированные пространства, Jx : X —* X** и
JY : Υ —у Υ** — канонические вложения. Доказать, что для всякого
оператора Τ е C(X,Y) верно равенство T**JX = JYT. Значит, T**JX(X) С JY(Y).
6.10.88. Доказать, что ко всякому Ζ € С[0,1]* сходится в *-слабой
топологии последовательность функционалов вида χ ь-> ]T™=i Czx(U), где t £ [0,1]
и с» — скаляры.
Указание: Ζ задается ограниченной борелевской мерой μ; разделить
[0,1] на части 1\ = [0,1/n), h = [1/п, 2/п) и т.д. и взять ί< = г/п, d = μ№).
6.10.89. Пусть С — выпуклое уравновешенное множество в
нормированном пространстве X и / — линейная функция на X, причем сужение /
на С непрерывно в нуле. Доказать равномерную непрерывность / на С.
6.10.90. Пусть X и Υ — нормированные пространства, причем X полно,
Τ е С(Х, Υ) — открытое отображение. Доказать, что Υ полно.
6.10.91. (i) Доказать, что существует разрывное линейное
отображение, которое взаимно однозначно отображает нормированное пространство
на банахово пространство и имеет замкнутый график, (ii) Доказать, что
существует разрывное линейное отображение, которое взаимно однозначно
отображает банахово пространство на нормированное пространство и имеет
замкнутый график.
6.10.92. Может ли непрерывный линейный оператор отображать
неполное нормированное пространство на полное взаимно однозначно?
6.10.93. Пусть X и Υ — банаховы пространства иТ £ C(X,Y).
Показать, что если Τ переводит всякое ограниченное замкнутое множество в
замкнутое, то Т(Х) замкнуто. Построить пример, показывающий, что
замкнутости образов замкнутых шаров может быть недостаточно для этого.

342
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.94. Пусть последовательность {хп} в нормированном пространстве
фундаментальна по норме и сходится слабо к некоторому вектору х.
Доказать, что {хп} сходится к ж по норме.
Указание: заметить, что это верно в полном пространстве, и перейти
к пополнению.
6.10.95. Пусть X — нормированное пространство, / е X*, ||/|| = 1.
Доказать, что / достигает максимума на единичной сфере в точности
тогда, когда в /_1(1) есть вектор минимальной нормы. Это равносильно также
тому, что в Кег / есть ближайший элемент к какому-либо вектору вне Кег /.
6.10.96. (i) Найти пример двух замкнутых линейных подпространств
Н\ и Η2 гильбертова пространства, для которых Η\ Π Η2 = {0}, но
алгебраическая сумма Hi и Н2 не является замкнутой (см. также задачу 5.6.53).
(И)* Доказать, что такой пример существует для всякого
бесконечномерного банахова пространства.
Указание: (i) пусть оператор Τ в I2 задан формулой Тх = (2~ηχη),
Hi — график Τ в /2ф/2, #2 := /2ф{0} С /2ф/2; тогда Hi и Я2 обладают
требуемыми свойствами, (ii) См. [33, с. 234].
6.10.97. Пусть Υ и Ζ — замкнутые подпространства банахова
пространства X и Υ Π Ζ = 0. Доказать, что сумма Υ + Ζ замкнута в точности тогда,
когда dist(5Y, Sz) > 0, где SY и Sz — единичные сферы в Υ и Ζ.
6.10.98. С помощью теоремы Хана-Банаха построить такой
непрерывный линейный функционал / на множестве всех ограниченных функций на
отрезке [0,1], что действие Ζ на непрерывных функциях совпадает с
интегралом Римана, но существует борелевское множество В, для которого 1(1 в) не
совпадает с лебеговской мерой В.
6.10.99. Пусть X и Υ — банаховы пространства и А £ £(Χ,Υ).
Доказать, что A* (Y*) — X* в точности тогда, когда А имеет нулевое ядро
и замкнутый образ.
6.10.100. Пусть X и Υ — банаховы пространства, причем X
рефлексивно. Доказать, что для всякого оператора А е C(X,Y) образ замкнутого
шара замкнут.
Указание: использовать слабую компактность шара в X.
6.10.101. Пусть на С[0,1] задана такая банахова норма, что из
сходимости по ней следует поточечная сходимость. Доказать, что эта норма
эквивалентна обычной sup-норме.
6.10.102. (Теорема Шура) Доказать, что в пространстве I1 всякая слабо
сходящаяся последовательность сходится по норме. Вывести из этого, что I1
и L1 [0,1] не являются линейно гомеоморфными.
Указание: рассмотреть случай слабой сходимости к нулю и рассуждать
от противного.
6.10.103. (i) Доказать, что в I1 нет подпространств, линейно гомеоморф-
ных I2, (ii) Пусть А: I1 —* I2 — непрерывная линейная сюръекция из
теоремы 6.10.8. Доказать, что в I1 нет подпространств, изоморфных /1/КегА.
В частности, I1 не изоморфно /2х (1г/Кет А).

6.10. Дополнения и задачи
343
Указание: в (i) использовать теорему Шура и слабую сходимость к
нулю векторов стандартного базиса в /2; вывести (ii) из (i) и того факта, что /2
изоморфно Р/КегА.
6.10.104.° Показать, что единичный шар в Ьг[0,1] не имеет крайних
точек (см. §5.4).
6.10.105. Доказать, что пространства со θ со и со изоморфны (т.е.
линейно гомеоморфны), но не изометричны.
6.10.106. Пусть X и Υ — банаховы пространства и Τ € С(Х, Υ) —
такой взаимно однозначный оператор, что Т* — изометрия. Верно ли, что
Τ — изометрия?
6.10.107. Показать, что на пространствах Lp{0,1], 1 ^ ρ < оо, не
существует линейного лифтинга, т.е. нельзя так выбрать представителя Lf из
каждого класса эквивалентности / € Lp[0,1], что L(/ -f g)(t) = Lf(t) -f Lg{t)
и L(cf) = cf(t) для всех /, ρ G Lp[0,1], всех с е IR1 и всех t е [0,1].
Указание: если L — линейный лифтинг на £р[0,1], 1 ^ ρ < оо, то для
каждого t функционал lt(f) = L(f)(t) на Lp[0,1] линеен и неотрицателен на
неотрицательных функциях, откуда согласно предложению 6.10.55 следует
его непрерывность. Поэтому функционал k задается функцией gt G Lp [0,1].
Для каждого η разделим [0,1] на η промежутков Jn,i,..., Jn>n точками к/п.
Пусть ЕП)к := {х: L(IjnJe)(x) = 1} и Еп := ULi^».*· ТогДа λ(#*0 = 1 по
свойствам лифтинга. Существует точка t e П£°=1 &*- Для каждого η имеется
j(n) с t e EnJ{n)l т.е. L(ljnjin))(t) = 1. Поскольку L{Ijnk) = Ijnk п.в., то
для всех к имеем
№..*)(*) = Г Jjn,fc(*M*)ds ^ гГ1/РЫ1^,
^0
что ведет к противоречию.
6.10.108. Пусть L — линейное подпространство нормированного
пространства X. Доказать, что всякая норма на L, эквивалентная исходной,
может быть продолжена до нормы на X, эквивалентной исходной.
Указание: пусть U — единичный шар по исходной норме, V —
единичный шар в L по эквивалентной норме. Можно считать, что U Г) L С V.
В качестве искомого продолжения взять функционал Минковского выпуклой
оболочки U U V.
6.10.109. Распространить теорему Голдстайна 6.7.6 на случай сферы:
единичная сфера банахова пространства X плотна в единичной сфере X**
в топологии σ(Χ**,Χ*).
6.10.110.° Доказать, что всякое сепарабельное банахово пространство
линейно изометрично замкнутому подпространству в 1°°.
6.10.111.° Пусть Кп е С([а,6}2) и Кп — оператор с ядром Кп в С[а,Ь].
Доказать, что Knf —► / для всякого / G С[а,Ь] в точности тогда, когда
1) Knf —► / для / из плотного множества, 2) sup max / f/Cn(a?, t)| dt < оо.
η x J a

344
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.112. Доказать, что на всяком сепарабельном банаховом
пространстве есть эквивалентная строго выпуклая норма.
Указание: вложить это пространство в качестве замкнутого
подпространства в С[0,1] и положить ||ж||о = ||ж||с[о,1] + lklli,2[o,i]·
6.10.113. Пусть X — банахово пространство и Υ — его n-мерное
подпространство. Доказать, что существует линейная проекция Ρ: X —► Υ, для
которой || Ρ|| ίζ η.
6.10.114. (Р. Филлипс) Доказать, что со не является дополняемым в /°°.
Указание: см. [251, §2.5].
6.10.115. Пусть X — рефлексивное банахово пространство. Доказать,
что из всякой ограниченной последовательности в X можно выделить слабо
сходящуюся подпоследовательность.
6.10.116. Пусть К — слабо компактное множество в банаховом
пространстве X, причем X* содержит счетное множество {/п}, разделяющее
точки К. Показать, что (Κ,σ(Χ,Χ*)) — метризуемый компакт.
Указание: можно считать, что ||/η|| ^ 1; взять стандартную метрику
d(x,y) := S^Li 2~n|/n(# — у)\ и проверить, что тождественное отображение
из (Κ,σ(Χ,Χ*)) в (K,d) непрерывно, поэтому оно — гомеоморфизм.
6.10.117. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что шар в X*
метризуем в *-слабой топологии тогда и только тогда, когда X сепарабельно.
6.10.118. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, причем
X* сепарабельно по норме, (i) Доказать, что существует слабо сходящаяся
к нулю последовательность векторов хп G X с ||жп|| = 1. (и) Доказать, что
существуют слабо сходящаяся к нулю последовательность векторов хп 6 X
с ||жп|| = 1 и *-слабо сходящаяся к нулю последовательность функционалов
in е х* с 1п(хп) = ι.
6.10.119. Пусть X — банахово пространство и С С X* — *-слабо
компактное множество, (i) Показать, что если С сепарабельно по норме, то
замыкание по норме выпуклой оболочки С также *-слабо компактно, (ii)
Показать, что без предположения о сепарабельности С заключение (i) может
быть неверно, взяв в качестве С множество дираковских мер St в С[0,1]*.
6.10.120. Пусть X — метризуемый компакт и /: X —> Υ — непрерывное
отображение, причем Υ хаусдорфово. Доказать, что компакт f(X) также
метризуем.
Указание: пространство С(Х) сепарабельно, a C(f(X)) вкладывается
в него изометрично посредством отображения φ »—► φ of. Значит, C(f(X))
тоже сепарабельно, что дает метризуемость f(X).
6.10.121. Пусть X и Υ — банаховы пространства и А, В е C(X,Y).
Доказать, что следующие условия равносильны:
(i) A*(Y*) с B*(Y*), (ii) есть такое число jfe, что ||Аг|| ^ *||Яа?||, х е X.
Указание: если такое к есть, то для всякого у* £ Y* функционал / на
В(Х), заданный формулой f(Bx) := у*(Ах), корректно определен и
ограничен, ибо \у*(Ах) ^ ||2/*|| ||Аг|| ^ &||у*|| ||-##||· По теореме Хана-Банаха он

6.10. Дополнения и задачи
345
продолжается до ζ* е Υ*. Тогда В*ζ* = А*у*, откуда А*(У*) С Β*(Υ*). Если
же дано это включение, то А* = В* С, где оператор В* : Υ */КетВ* —► X*
порожден оператором В*, а, С — некоторый непрерывный оператор (см.
теорему 6.10.5). Тогда А** = С*(В*)*, что дает нужную оценку с учетом равенств
\\А"\\ = \\А'\\ = |И|, ||(βΤ|| = ||В=|| = ||Я1 = ||В|| и задачи 6.10.86.
6.10.122. Пусть X и Υ — банаховы пространства, А, В 6 С(Х, Υ),
причем А(Х) С В(Х). (i) Доказать, что существует такое число к, что
HVII*. OIIBVL., ν*εγ*-
(ii) Показать, что А**(Х**) С £**(***)·
(iii) Показать, что если X рефлексивно, то оценка в (i) равносильна
включению А(Х) с В(Х).
Указание: (i) при тех же обозначениях, что и в указании к предыдущей
задаче, имеем А = ВС, откуда \\А*ут\\хт = ||С*£*у*|1х* ^ \\Ст\\ \\Втут\\х.
в силу задачи 6.10.86. Теперь (ii) и (iii) следуют из предыдущей задачи.
6.10.123. Пусть X и Υ — банаховы пространства, А £ C(X,Y),
причем А(Х) = Υ и Υ сепарабельно. Доказать, что в X есть такое замкнутое
сепарабельное подпространство Ζ, что Α(Ζ) = Υ.
Указание: взять счетное множество {уп}, плотное в единичном шаре
из У, с помощью замечания 6.2.4 выбрать ограниченное счетное множество
{хп} С X с Ахп = Уп и взять в качестве Ζ замыкание линейной
оболочки {хп}\ применить лемму 6.2.1.
6.10.124! Доказать, что пространство С[0,1] можно отобразить линейно
и непрерывно на со, но нельзя на I1. Вывести из этого, что Ζ1, вложенное
изометрично в С[0,1], не является дополняемым.
Указание: первое утверждение ясно из следствия 6.10.48; второе см.
в [343, с. 274]. Отметим, что всякое бесконечномерное дополняемое
замкнутое подпространство в С[0,1] содержит дополняемое подпространство,
изоморфное со (см. [343, предложение 5.6.4]. Имеется недоказанная гипотеза,
что всякое бесконечномерное дополняемое подпространство X в С[0,1]
изоморфно пространству С(К) для некоторого метрического компакта К; X. Ро-
зенталь доказал, что если X* несепарабельно, то это верно с К = [0,1].
6.10.125. (i) Доказать, что в 1/*[0,1] есть дополняемое подпространство,
изометричное I1, (ii) Доказать, что I/^O, 1], вложенное изометрично в С[0,1]
в качестве замкнутого подпространства, не является дополняемым.
Указание: (i) взять функции, постоянные на [2~1_n,2~n); (ii)
применить (i) и предыдущую задачу. Согласно недоказанной гипотезе, всякое
бесконечномерное дополняемое подпространство ΧβΙ^Ο,Ι] изоморфно либо Ζ1,
либо L1 [0,1].
6.10.126.* (i) (И. Каплански) Пусть А — множество в банаховом
пространстве X и точка χ входит в замыкание А в слабой топологии. Доказать,
что χ входит в слабое замыкание некоторого счетного подмножества в А.
(ii) Пусть А — подмножество слабо компактного множества в
банаховом пространстве X и точка χ входит в замыкание А в слабой топологии.

346
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказать, что χ является пределом некоторой последовательности {ап} С А
в слабой топологии.
Указание: см. [343, теоремы 4.49 и 4.50, с. 129-130].
6.10.127. (Е.А. Лифшиц [580]) Множество W в банаховом
пространстве X называется идеально выпуклым, если ряд Σ^=ι апХп сходится в X
для всякой ограниченной последовательности {хп} С W и всякой последовав
тельности чисел ап^0с Σίϋι ап = 1.
(i) Доказать, что в конечномерном пространстве выпуклое множество
идеально выпукло.
(ii) Привести пример выпуклого множества, не являющегося идеально
выпуклым.
(ш) Доказать, что если выпуклое множество замкнуто или открыто, то
оно идеально выпукло.
(iv) Доказать, что если множество W идеально выпукло и Τ: Ζ —► Χ —
непрерывный линейный оператор из банахова пространства Ζ, то T~X{W)
идеально выпукло.
(ν) Доказать, что если множество W идеально выпукло и ограничено,
аГ: X —у Υ — непрерывный линейный оператор в банахово пространство У,
то T(W) идеально выпукло.
(vi) Пусть множество W идеально выпукло. Доказать, что внутренность
W совпадает с внутренностью замыкания W, а также с алгебраическим
ядром W и алгебраическим ядром замыкания W.
(vii) Вывести из предыдущих результатов теорему Банаха-Штейнгауза
и теорему об открытом отображении.
6.10.128. Доказать, что формула
1 Гь
Ax(t) = τ / x(s) ds
t Jo
задает ограниченный оператор в L2[0, l].
6.10.129. (Теорема Хольмгрена) Пусть μ и ν — вероятностные меры на
пространствах Ωι и Ω2 и /С — такая μ® ^-измеримая функция, что
Ci=esssups/ |/C(s,t)| v(d£) < 00, Съ — esssupt / |/C(s,t)|/z(ds) < 00.
«/ω2 «/Ωχ
Доказать, что оператор
Kx(t)= [ Κ(8,ήχ(8)μ(ά8), Κ: £2(μ) — L2(i/),
ограничен и \\K\\ ιζ С\/2С\/2.
Указание: пусть Сч > 0 и с = Cj/2CJ1/2; для χ е £°°(μ) и у е С°°{и)
таких, что ||s||L2(/x) ^ 1 и ||у||ь2(„) ^ 1, имеем
■ 2+
I/ / К(8,t)x(s)y(t)μ(άβ) v{dt)|< f f |XJ(e,*)|[2-1c|y(*)|a
+ 2~1c-1\x(s)\2] μ(ά8) u(dt) ^ 2~1cCi + 2~1ό~101 = C\l2C\12,
откуда следует нужная оценка.

6.10. Дополнения и задачи
347
6.10.130. (Тест Шура) Пусть μ и и — неотрицательные меры на
измеримых пространствах Τ и 5, К, ^ 0 — измеримая функция на Τ χ 5, φ > О
и ^ > 0 — такие измеримые функции на Τ и S соответственно, что
/C(t, s)\j){a) i/(ds) ^ <*<p(t) μ-п.в.,
/ K,(t, s)<p(t) μ{ά£) ^ βφ(β) Ι/-Π.Β.,
где а и β — числа. Доказать, что оператор
К: L2(y) — Ζ,2(μ), ΑΓ*(ί) := / JC(t,s)x(s)u(ds),
Js
ограничен и \\K\\2 ^ α/?. Вывести из этого предыдущую задачу.
Указание: заметить, что
И**ИЬ(м) ^ JT(JsKi(t,s№(s)v(dsf) Qf/С(ММ*Г>(в)|Ч*)) μ(Λ) ^
< а!^(Ь)^К:(Ь,а)ф(а)-1\х(а)\21у(аа)^ μ(Λ) ^ а/3||я||£2(1/).
6.10.131.° Даны последовательности чисел αη > 0 и Ьп > 0, причем Ьп
убывают к нулю и {апЬп} имеет конечный предел. Оператор Т: С[0,1] —► с
задан формулой
(Тх)п := ап / s(t) Л.
./о
Доказать, что К компактен в точности тогда, когда апЬп —► 0.
6.10.132° Пусть X и У — нормированные пространства л А: X —► У —
линейное отображение, непрерывное из слабой топологии в топологию
нормы. Доказать, что А(Х) конечномерно.
6.10.133. Пусть Ε — замкнутое линейное подпространство в С[0,1],
причем Ε С С1 [0,1]. Доказать, что dim 2? < оо.
Указание: заметить, что С1 [0,1] входит в образ компактного оператора
и потому не может содержать бесконечномерных замкнутых подпространств.
6.10.134. Пусть X и У — банаховы пространства и А е С(Х,У).
Доказать, что компактность оператора А равносильна следующему условию:
найдутся такие 1п € У* с ||/п|| —> 0, что \\Ах\\ < supn |/п(ж)| при всех χ € X.
Вывести из этого, что компактность А равносильна существованию
ограниченной последовательности {fn} в X* и последовательности скаляров λη
с λη —► 0 и ||Аг|| ^ supn \Xnfn(x)\ при всех χ е X.
Указание: если А е /С(Х,У), то А* е JC(Y*,X*). Пусть W —
единичный шар в У*. Тогда i4*(W) содержится в замыкании выпуклой оболочки
последовательности 1п —► 0 (предложение 5.5.7). Поэтому для всякого χ € X
имеем
||Аг|| = sup \f(Ax)\ = sup \l(x)\ ^ sup\ln(x)\.
few ieA*(\v) η
L

348
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Обратно, если выполнено указанное условие, то S = {Zn} U {0} — компакт
в У*. Образ единичного шара U из X вполне ограничен как множество в C(S)
по теореме Арцела-Асколи, ибо |J(Ar) — 1'{Ах)\ ^ ||А|| ||£ — J'|| при ||х|| ^ 1,
что означает равномерную липшицевость элементов Ах как функций на S.
Оценка из условия показывает, что || Аг|| оценивается через норму Ах как
элемента С(5). Значит, множество A(U) вполне ограничено в Y. Второе
утверждение задачи следует из первого.
6.10.135. Пусть X и Υ — банаховы пространства, причем У сепарабель-
но. Доказать, что компактность оператора А е С(Х, Υ) равносильна
следующему условию: ||А*2/£|| —► 0 для всякой последовательности {у^} С У*,
которая *-слабо сходится к нулю.
6.10.136. Пусть X — рефлексивное банахово пространство. Доказать,
что всякий оператор А £ С(Х, I1) компактен.
6.10.137. (i) Пусть μ — неотрицательная мера на измеримом
пространстве (П,Л), и пусть (t,s) ь-> /C(£,s) — измеримая функция, причем функция
s ь-> /C(t, s) входит в С2 (μ) при μ-п.в. £, а функция
Kx(t)= f JC(t,e)a;(e)p(de)
входит в С2(μ) при всех χ G С2(μ). Доказать, что К — ограниченный
оператор в Ι/2(μ).
(ii) Обобщить (а) на случай, когда известно лишь, что для всякой
функции χ е С2(μ) функция s ь-> /С(£, s)x(s) интегрируема и Кх е С2(μ).
(iii) Показать, что если в (i) или (ii) оператор К равен нулю, то /С(£, s) = О
при μΘμ-п.в. (t, s).
(iv) Пусть μ — мера Лебега на [0,1]. Доказать, что единичный оператор
/ нельзя представить в виде, указанном в (ii).
(ν) Пусть в (ii) мера μ конечна. Доказать, что К: £2(μ) —> Ι/1(μ)
компактен, хотя и не обязан быть компактным как оператор со значениями в Ι/2(μ).
(vi) Пусть μ — мера Лебега на [0,1], 1/2 ^ а < 1 и /Са(£, s) = \t — s|~a
при t > s и JCot(t,s) = 0 при t ^ s. Доказать, что ядра /Са порождают
ограниченные операторы в L2[0,1].
Указание: в (i) и (ii) применить теорему о замкнутом графике (см.
книгу [224, с. 26]). Утверждения (iii)—(vi) см. в цитированной книге, с. 51,
с. 53, с. 101 й с. 74.
6.10.138. (i) Пусть (I С Ша — ограниченное измеримое множество и
/С(£, s) = /Со(£, s)\t—θ|"*Λ, где /Со — ограниченная измеримая функция и a < d.
Доказать, что оператор К, заданный ядром /С в £2(Ω), компактен.
(ii) Доказать, что если функция /Со непрерывна по £, то оператор К
компактен и в С'(Ω).
6.10.139.° Компактен ли оператор Ax(t) = х(уД) в С[0,1]? В L2[0,1]?
6.10.140. Пусть 0 < α < β ^ 1. Доказать, что естественное вложение
пространств Гёльдера Н^ —* Ηα из задачи 5.6.41 — компактный оператор.

6.10. Дополнения и задачи
349
6.10.141.° Дана последовательность дизъюнктных отрезков [αη,&η]
в [0,1]. Доказать, что оператор в Ьг[0,1], заданный ядром
оо
£(М) = Y^(bn - an)~lI[an,bn\ (t)I[anybn](s),
n=l
не является компактным.
6.10.142. Доказать, что всякий компактный оператор Τ в //[0,1]
задается в виде Tx(t) = / JC(t, s)x(s) ds с таким измеримым ядром К{ ·, ·), что
Jo
выполнено условие sups ||/С( ·, s)||Li < оо.
6.10.143. Пусть X и Υ — банаховы пространства. Оператор Т: X —► Υ
называется вполне непрерывным, если он переводит слабо компактные
множества в компактные, (i) Доказать, что оператор Τ е С(Х, Υ) вполне
непрерывен в точности тогда, когда он переводит слабо сходящиеся
последовательности в сходящиеся по норме, (ii) Доказать, что множество вполне
непрерывных операторов является замкнутым линейным подпространством в С(Х, Y).
(Hi) Доказать, что всякий оператор Τ G £(/*,У) вполне непрерывен. В
частности, тождественный оператор в I1 вполне непрерывен, но не компактен.
6.10.144. Пусть Υ — линейное подпространство нормированного
пространства X с сепарабельным сопряженным X*. Доказать, что У* сепара-
бельно.
6.10.145. Пусть X — такое нормированное пространство, что X* сепа-
рабельно по норме. Доказать, что X сепарабельно.
Указание: пусть счетное множество {1п} плотно в единичном шаре X*;
для всякого η выберем хп с ||жп|| = 1 и /п(#п) > 1/2· Пусть Υ — замыкание
линейной оболочки {хп}- Тогда Υ сепарабельно. Если Υ φ Χ, то найдется
I е X* с \\1\\ = 1 и 1\γ = 0. Возьмем 1п с ||/ — /п|| < 1/2. Тогда получаем
\1п(хп)\ = \(1п - 1)(хп)\ < \\1п - 1\\ < 1/2 — противоречие.
6.10.146. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство.
Доказать, что X* со *-слабой топологией не является метризуемым. Показать,
что полнота здесь существенна, рассмотрев подпространство Ε финитных
последовательностей в со (хотя Е* = I1, но σ(Ιλ,Ε) Φ σ(/1,οο)).
6.10.147. Привести пример последовательности непрерывных линейных
функционалов fn на банаховом пространстве X, которая *-слабо сходится к
нулю, но выпуклая оболочка {/п} содержится в сфере {х: \\х\\ = 1}.
6.10.148.° Пусть Η — гильбертово пространство, Ап е С(Н), причем
Апх —у 0 для всякого χ G Η. Верно ли, что А^х —► 0 для всякого х?
6.10.149. Пусть X и Υ — нормированные пространства и S: У* —► X* —
линейное отображение. Доказать, что существование оператора Τ е С(Х, У),
для которого S = Т*, равносильно непрерывности S относительно
топологий σ(Υ*,Υ) и σ(Χ*,Χ). В частности, из непрерывности S относительно
♦-слабых топологий следует непрерывность 5 по норме.
Указание: если оператор 5 непрерывен относительно *-слабых
топологий, то для каждого χ е X функционал у* ь-> Sy*(x) на У* непрерывен

350
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
в топологии σ(Υ*, Υ) и потому существует элемент Тх 6 X, для которого
верно равенство Sy*(x) = у* (Τ χ); проверить, что Τ — искомый оператор.
6.10.150. Пусть X = со и непрерывный оператор S в X* = I1 задан
формулой Sy= (Σ^=12/η,2/2,2/3,.·.),2/= (уп). Доказать, что S взаимно
однозначно отображает X* на X*, т.е. является линейным гомеоморфизмом X*,
но не является сопряженным ни для какого оператора Τ Ε С(Х).
Указание: заметить, что имеет место *-слабая сходимость еп —» 0, где
{еп} — стандартный базис Ζ1, но (5en)i = 1 для всех п, т.е. S не является
непрерывным в *-слабой топологии.
6.10.151. Пусть X и Υ — банаховы пространства, причем Υ сепара-
бельно. Пусть Se£(Y*,X*). Доказать, что существование такого оператора
Τ € С(Х, У), что Т* = 5, равносильно следующему: если у* —► 0 в *-слабой
топологии У*, то ЗДп ->0в *-слабой топологии X*.
6.10.152. Пусть X и У — банаховы пространства, Jx : X —> X** и
JY : У -> У* - канонические вложения, 5 € £(У, X*) и S* Jx (X) С JY (У).
Доказать, что 5 = Г*, где Τ е С(Х, У) задан так: Г = J~XS*JX.
6.10.153. Доказать теорему 6.10.44 индуктивным построением без
использования вложения в С[0,1] в следующей более сильной формулировке:
если даны последовательности {уп} СХи {/п} С X*, причем последняя
разделяет точки из X, то базис Маркушевича {хп} в линейной оболочке {уп}
можно выбрать так, что соответствующая последовательность {1п} С X*
найдется в линейной оболочке {/п}·
Указание: см. [343, с. 188].
6.10.154. Пусть X — бесконечномерное сепарабельное банахово
пространство. Показать, что найдутся такие последовательности {хп} С X
и {ίη} С Г, что k(xj) — Sij, линейная оболочка {хп} плотна в X, но
существует ненулевой элемент χ е X с 1п{х) = 0 при всех га.
Указание: пусть последовательность линейно независимых векторов Ог
с ||аг|| = 1 имеет плотную линейную оболочку L в X; возьмем χ € X\L.
По теореме Хана-Банаха найдутся /г € X* с ||/г|| = 1, /г (х) = 0, /г (а*) = 1
и fi(dj) = 0 при j = 1,..., г—1. Можно найти векторы хп £ L и функционалы
1п из линейной оболочки {/*} с U(xj) = &i (см. задачу 6.10.153); при этом
1п(х) — 0, ибо fi(x) = 0 при всех г.
6.10.155. Пусть X — нормированное пространство, Μ > 0, {жп} С X,
{сп} С И1. Доказать, что существование / е X* с ||/|| ^Ми /(#п) = Сп при
всех η равносильно тому, что |ΣΓ=ι ^гС*| ^ ^||ΣΓ=ι ^г#г|| при всех η и всех
λί ЕЕ1.
6.10.156. Пусть X — вещественное нормированное пространство с
замкнутым единичным шаром U, и пусть f,g е X*, причем ||/|| = \\д\\ = 1
и /_1(0) Г) U С 0-1([-ε> £])> где 0 < ε < 1/2. Доказать, что либо ||/ - ρ|| ^ 2ε,
либо Ц/ + 0Ц ^2ε.
Указание: см. [287, с. 128].

6.10. Дополнения и задачи
351
6.10.157. Доказать, что функции (га 4- 1/π)ι/2ζη образуют ортонорми-
рованный базис в пространстве Бергмана A2(U) (см. пример 5.2.2), где U —
единичный круг в С1.
6.10.158. Пусть A(U) — пространство аналитических в открытом
единичном круге U С С1 функций, которые непрерывны на замыкании U.
Наделим A(U) нормой ||у?|| = max2 |<р(я)|. Доказать, что непрерывные линейные
функционалы на A{U) имеют вид
'(*) = Σ *пи '(**). limsup i^fe)i1/fc < °°·
6.10.159. Пусть V — непустое выпуклое замкнутое множество в
рефлексивном банаховом пространстве X. Доказать, что для всякого χ е X в V
имеется ближайшая к χ точка.
6.10.160. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что следующие
условия равносильны: (i) X рефлексивно, (ii) всякое непустое замкнутое
выпуклое множество в X имеет ближайшую к нулю точку, (in) для всякого
замкнутого сепарабельного линейного подпространства Υ С X и всякого
/£У*с||/|| = 1в множестве /_1(1) есть ближайшая к нулю точка.
6.10.161. Пусть X — банахово пространство, не являющееся
рефлексивным. Доказать, что в X* есть замкнутое по норме линейное подпространство,
которое не замкнуто в *-слабой топологии.
Указание: взять F е X**, не входящий в образ X при каноническом
вложении X С X**, и рассмотреть ядро F.
6.10.162. Доказать, что для всяких бесконечномерных сепарабельяых
банаховых пространств Χι и Хч есть компактный оператор Т: Х\ —> Хъ
с нулевым ядром и плотным образом, содержащим наперед заданную
последовательность из Хт.·
Указание: если Χι = Ζ2, то можно взять разделяющую точки в Х\
последовательность {1п} С Χί с ||Jn|| ^ 1л положить (Тх)п = 2~п1п(х);
если же Х\ = Z2, то можно взять последовательность единичных векторов
У η £ Х2 с плотной линейной оболочкой, положить Tqx — EnLi 2~n#n2/n,
затем перейти к оператору То/Кег7Ь.
6.10.163. (i) Пусть ЕщЕъ — гильбертовы пространства, А е C(Ei, E2).
Предположим, что Ег сепарабельно и оператор А инъективен. Доказать, что
тогда Е\ также сепарабельно.
(ii) Распространить (i) на случай, когда Е\ и Ει — банаховы
пространства, причем Е\ рефлексивно. Привести пример, показывающий, что это
может быть неверно, если Е\ не является рефлексивным.
(ш) Показать, что если в (i) не предполагать сепарабельность Еъ, то
можно утверждать, что мощность ортонормированного базиса пространства
Е\ не выше мощности ортонормированного базиса пространства Е% и что
существует оператор В € C{Eti) с В(Е?) = Е\.
Указание: (i) множество А*{Е%) плотно в Е* в силу инъективности А;
сепарабельность Е{ влечет сепарабельность Е\. (ii) Вложить Ег инъективно
в 1/2[0,1]. (ш) Использовать плотность Л*(^5) в El и задачу 5.6.50.

352
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.164. Пусть Η — сепарабельное гильбертово пространство, (i)
Привести пример ограниченных операторов А и В в i/, для которых множества
А(Н) и В(Н) плотны в Я, но А(Н) Π В(Н) = 0.
(И) Пусть А е С(Н), причем А(Н) незамкнуто. Доказать, что найдется
такой оператор В £ £(#), что В(Н) плотно и А(Н) Г) В(Н) — 0.
6.10.165. Пусть X — банахово пространство. Последовательность
векторов хп € X называется ^-независимой, если из соотношения J^Li OnXn = О
следует, что Сп — 0 при всех п.
(i) Привести пример линейно независимой последовательности, не
являющейся (^-независимой.
(И) (В.И. Гурарий) Пусть {хп} С X и хо £ Χ, χο Φ 0, таковы, что при
некотором С > 0 и всех η выполнена оценка
EfeLn+i IK _χοΙΙ <^«ι ^« := inf|||x0 — X^fc=iafe^fc||: maxfe^n \ak\ ^ lj.
Доказать, что {хп} является (^-независимой.
(iii) Доказать, что из всякой линейно независимой последовательности
можно выделить бесконечную (^-независимую подпоследовательность.
Указание: см. [576].
6.10.166. (i) Доказать, что норма на бесконечномерном нормированном
пространстве не является непрерывной в слабой топологии.
(ii) Доказать, что норма на пространстве I1 секвенциально непрерывна
в слабой топологии, хотя и не является непрерывной.
(iii) Доказать, что функция f(x) = Σ JUL ι η~2χη на I2 со слабой
топологией секвенциально непрерывна, но не является непрерывной ни в одной
точке.
Указание: (i) заметить, что норма не ограничена на слабых
окрестностях нуля; (ii) применить теорему Шура из задачи 6.10.102; (iii)
воспользоваться компактностью оператора А: (хп) \—> (п~1хп) для проверки
слабой секвенциальной непрерывности (или равномерной сходимостью ряда на
шарах), а для проверки разрывности / в слабой топологии убедиться, что
оператор А не ограничен ни на какой слабой окрестности нуля.
6.10.167. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что всякие два
замкнутых подпространства в X коразмерности 1 линейно гомеоморфны.
Вывести из этого, что всякие два замкнутых подпространства в X равной
конечной коразмерности линейно гомеоморфны.
6.К).168. Доказать, что банахово пространство X линейно гомеоморф-
но ХфЕ1 в точности тогда, когда X линейно гомеоморфно всякой своей
замкнутой гиперплоскости.
Указание: использовать предыдущую задачу и тот факт, что X
линейно гомеоморфно if Θ И1, где Η — замкнутая гиперплоскость в X. Отметим,
что существует бесконечномерное сепарабельное банахово пространство X,
не являющееся линейно гомеоморфным никакой своей замкнутой
гиперплоскости (см. [599]).
6.10.169.* Доказать, что всякая замкнутая гиперплоскость в С[0,1]
линейно гомеоморфна С[0,1].

6.10. Дополнения и задачи
353
6.10.170. Пусть I — разрывная линейная функция на банаховом
пространстве, (i) Может ли 1~г(0) быть множеством второй категории?
(ii)** Может ли 1~г(0) быть множеством первой категории? (См. [588].)
6.10.171. (i) Показать, что замыкание выпуклой оболочки ортонормиро-
ванного базиса в I2 не имеет внутренних точек, (ii)* Показать, что замыкание
выпуклой оболочки слабо сходящейся последовательности в
бесконечномерном банаховом пространстве не имеет внутренних точек.
Указание: (И) см. [343, с. 87].
6.10.172.* Доказать, что существует непрерывная линейная сюръекция
Г: C[0,l]-+L2[0,i].
Указание: см. [343, с. 195].
6.10.173. Пусть К — компакт. Показать, что крайние точки (см. §4.6)
в единичном шаре С (К) — это функции со значениями в {1,-1}, а крайние
точки в единичном шаре С (К)* — это меры дк и — дк, к 6 К.
6.10.174! Доказать теорему 5.6.5: если Кг и Кг — компакты, то С(К\) и
С (Кг) линейно изометричны в точности тогда, когда К\ и Кг гомеоморфны.
Указание: если h: Κι —► Кг — гомеоморфизм, то J(f) := foh —
линейная изометрия С (Кг) и С (Κι). Обратно, если J: С(К\) —► С (Кг) —
линейная изометрия, то J*: С (Кг)* —► С (Кг)* — изометрия. Для всякого k £ Кг
мера J*Sk является крайней точкой единичного шара в С (Κι)*. Ввиду
задачи 6.10.173 имеем J*Sk = £fcui(fc), где h(k) е ΚΊ, £fe = 1 или Ек = — 1.
Легко проверить, что отображение к ι—► бк^н{к) непрерывно, ибо J*
непрерывно относительно *-слабых топологий. При этом функция к ь-> вк также
непрерывна, так как вк — £fc£ji(fc)(l) = J*<$fc(l) = J(l)(k). Следовательно,
непрерывно отображение h: к \-► h(k). Оно дает искомый гомеоморфизм.
О восстановлении К по С(К) см. [88, §18.2.1].
6.10.175. (Теорема Алехно-Забрейко) Пусть функции /n G L°°[0,1]
сходятся к нулю в топологии σ(Ζ/°°, (L00)*). Доказать, что fn(t) —> 0 п.в.
Указание: если Λ — лифтинг на L°°[0,1], то A(fn)(t) —► 0 для всех t.
6.10.176. Доказать, что L1 [0,1] обладает свойством Данфорда-Петтиса.
Указание: применить задачу 6.10.175.
6.10.177. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что X*
дополняемо в X***.
Указание: положить Р: X*** —► X*, P(f) := f\x+ (проекция Диксмье).
6.10.178. (Пространство Джеймса) Пусть J — линейное
подпространство в со, состоящее из всех элементов с конечной нормой
\\х\\а := sup((xi2 - χάι)2 + · · · + (xj2m - Xj2m-i)2 + (*J2m+i)2) ι
где sup берется по всем конечным наборам 1 ^ j\ < J2 < · · · < J2m+i ·
Доказать, что пространство J при каноническом вложении в J** имеет
коразмерность 1 и потому нерефлексивно, однако оно линейно изометрично J**.
Вывести из этого, что J не изоморфно Х0Х ни для какого банахова
пространства X. В частности, J не изоморфно J θ J.

354
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.179. Пусть {hn} — базис Шаудера в гильбертовом пространстве Η
и {1п} — такая последовательность функционалов на #, что h{hj) = Sij
и ||/п|| = ||Λη|| = 1. Доказать, что {hn} — ортонормированный базис.
Указание: если (foi,h2) φ О, то в линейной оболочке h\ и hi есть
единичный вектор 17 ± Ль Тогда Лг = {h2,v)v -l· (Λ2,Λι)Λι, откуда получаем
1 = l(^2,t;)|2 + |(Λ2,Λι)|2 и \(h2)v)\ < 1. Однако 1 = |Ь(Л2)| = |(Λ2,υ)| \12(ν)\,
что дает |/2(ν)| > 1. Значит, ||Ζ2|| > 1 — противоречие.
6.10.180.° Пусть {еп} — базис Шаудера в банаховом пространстве X.
Доказать, что К С X вполне ограничено в точности тогда, когда для всякого
ε > 0 есть такое пе, что виря€1С||Х)2!=п« сь(ж)еь|| < £, х = Σ£1ι Ck(x)ek.
6.10.181* Пусть X — банахово пространство с базисом Шаудера {hn}
и {In} — соответствующие координатные функционалы. Доказать, что {/п}
является базисом Шаудера в X* в точности тогда, когда линейная оболочка
{In} плотна в X*.
Указание: см. [448, с. 405].
6.10.182. Пусть Я — гильбертово пространство, А е С(Н) и \\А\\ < 1.
Доказать, что операторы Sn := п~г(I -\- А-\ Ь Ап~г) сходятся поточечно
к проектору на Кег (А — I). Более общие результаты см. в книге [420].
6.10.183. (i) Пусть Η — бесконечномерное гильбертово пространство.
Рассмотрим отображение (А, В) \-+ АВ, С(Н)хС(Н) —► £(#). Исследовать
непрерывность и секвенциальную непрерывность этого отображения при
наделении С(Н) одной из следующих операторных топологий: (а) топология
нормы, (Ь) сильная операторная топология, (с) слабая операторная
топология. Рассмотреть также разные комбинации топологий на сомножителях и на
образе, (ii) Показать, что если Η сепарабельно, то на ограниченных по норме
множествах в С(Н) слабая и сильная операторные топологии метризуемы.
6.10.184* Пусть X — банахово пространство и L С X* — линейное
подпространство, разделяющее точки в X. Верно ли, что для всякого χ е X
выполнено равенство ||ж|| = sup{J(#): I G L, ||/|| ^ 1}? Рассмотреть X = со,
L = {у = (уп) el1: ук = к'1 ΣηβΙ^η V A: G /}, где /, /ι, /2,... — бесконечные
дизъюнктные множества, дающие в объединении IN.
6.10.185! Построить пример банахова пространства X и линейного
подпространства L С X* со следующим свойством: L плотно в X* в топологии
σ(Χ*, X), однако *-слабое замыкание пересечения L с единичным шаром X*
не содержит шаров положительного радиуса.
Указание: см. [33, с. 275].
6.10.186! (i) Доказать, что существует линейное отображение А: I2 —► I1,
разрывное на каждом бесконечномерном линейном подпространстве в I2 (не
обязательно замкнутом), (ii) Доказать, что для всякого линейного
отображения А из I1 в банахово пространство Ε найдется такое бесконечномерное
линейное подпространство Lb/1, что сужение А на L непрерывно, (iii)
Доказать, что для всякого линейного отображения А: I2 —► I2 найдется такое
бесконечномерное линейное подпространство L в Z2, что сужение
отображения А на L непрерывно. Более общие факты см. в [575], [591], [606].

Глава 7
Спектральная теория
Эта глава посвящена очень важному для приложений разделу
теории операторов — спектральной теории. Более, чем какие-либо
другие разделы настоящего курса, спектральная теория обязана
своим возникновением и интенсивно продолжающимся развитием
задачам естествознания, в частности, механики, физики и химии.
7.1. Спектр оператора
Основной объект спектральной теории — спектр линейного
оператора. Пусть X — банахово пространство. Ограниченный
оператор А: X —► X называют обратимым, если он взаимно
однозначно отображает ХнаХ. По теореме Банаха обратное
отображение Α~λ автоматически непрерывно. Как и в линейной
алгебре, важную роль играет вопрос об обратимости оператора А—XI
при различных Скалярах λ, где /: жнх- единичный оператор.
7.1.1. Определение. Спектр σ(Α) ограниченного линейного
оператора А в комплексном банаховом пространстве X
состоит из всех таких λ € С, что оператор А — XI не обратим.
Для оператора в вещественном пространстве аналогично
определяется вещественный спектр. Если X = {0}, то
единственный оператор — нулевой; он имеет и нулевой обратный, поэтому
его спектр пуст. Обычно этот случай по умолчанию исключают
из рассмотрения; в дальнейшем мы тоже не всегда будем явно
оговаривать, что речь идет о ненулевых пространствах.
Дополнение спектра называют резольвентным множеством
оператора А и обозначают через д(А). Точки резольвентного
множества называются регулярными. Для всякого λ Ε ρ(Α) оператор
RX(A):=(A-XI)-1
называется резольвентой А (следует иметь в виду, что нередко

356
Глава 7. Спектральная теория
резольвенту определяют как обратный к XI — А). При λ, μ Ε ρ(Α)
верно тождество Гильберта
RX{A) - ЯМ(А) = (λ - μ)Κμ{Α)Κχ{Α),
которое легко проверяется умножением справа на (А — XI) обеих
частей, а затем умножением слева на (А — μΐ).
По теореме Банаха об обратном операторе точка λ входит
в спектр тогда и только тогда, когда либо Кег(А — XI) φ О, либо
(А - ΧΙ)(Χ) φ X, где Кег(Л - XI) := {х: Ах - Хх = 0}. В
первом случае λ — собственное число, т.е. Αν = Χυ для
некоторого вектора υ φ 0 (называемого собственным). В конечномерном
пространстве обе возможности могут осуществляться лишь
одновременно, но в бесконечномерном пространстве положение иное.
7.1.2. Пример. Оператор Ах = (0, #ι,#2>· ··) в I2 инъекти-
вен, но не сюръективен. Оператор В χ = (#2,#з> · · ·) в ^ сюръек-
тивен, но не инъективен. В обоих случаях 0 входит в спектр, но
по разным причинам. При этом А не имеет собственных чисел,
но можно проверить, что σ(Α) = {λ Ε С: |λ| ^ 1}. Оператор
Вольтерра в L2[0,1] или С[0,1] (пример 6.9.4(iv)) тоже не имеет
собственных чисел (если Vx = Хх, то x(t) = Хх (t), х(0) = 0).
Как мы увидим, спектр всякого ограниченного оператора
(в ненулевом пространстве) является непустым компактом.
Сначала установим следующий важный факт.
7.1.3. Теорема. Множество обратимых операторов в
банаховом пространстве X (комплексном или вещественном)
открыто в пространстве С(Х) с операторной нормой. Более того,
если оператор А Е С(Х) обратим и оператор D Ε С(Х) таков,
что \\D\\ < 1/||Л-1||, то оператор А + D обратим.
Доказательство. По теореме Банаха достаточно показать,
что для всякого у Ε X уравнение Ах + Dx = у однозначно
разрешимо. Это уравнение равносильно уравнению
A-1(A + D)x = A~1y,
которое можно переписать как А~гу — Α~λΌχ = χ. Положим
F(x) = A~ly — A~lDx и заметим, что F — сжимающее отоб-
ражение, ибо \\F{x)-F{z)\\ = \\Α~ιΌ{χ-ζ)\\ < р-^Щ^ЦЦж-гЦ,
где РАНИЛИ < 1. D
Из теоремы непосредственно вытекает, что резольвентное
множество открыто. Это утверждение можно уточнить.

7.1. Спектр оператора
357
7.1.4. Следствие, (i) Пусть А € С(Х). Тогда при \\\ > \\А\\
имеем λ € q{A), причем
где ряд сходится по операторной норме,
(ii) Для всякой точки λο 6 ρ(Α) при |А — Ао| < ЦДаоС^)!!-1
имеем Χ Ε ρ(Α), причем
оо
Ла(Л) = 5>-Ао)*Яа0(Л)*+\
где ряд сходится по операторной норме.
Доказательство, (i) Мы имеем А - XI = -XI + А, где
ll^ll < I'M = 1/11 (λ/)-11|. Сходимость ряда из —λ-1"*^ по
операторной норме очевидна из оценки ||A~fcAfc|| < |λ|~*||.Α||*. Прямая
проверка показывает, что для его суммы S\ справедливы
равенства 5λ(А - XI) = (А- XI)SX = I.
(ii) Сходимость ряда по норме обосновывается аналогично.
Для его суммы S\ имеем
оо
SX(A - XI) = Σ(Χ - X0)kRXo(A)M(A - X0I - (λ - λο)/) =
fc=0
оо
= Y\{\ - \o)kRxo(A)k - (λ - A0)*+1flA0(^)fe+1] = Ι-
k=0
Аналогично (A — XI) Sχ = I. D
7.1.5. Замечание. Если dim Χ < оо, то множество
обратимых операторов не только открыто, но и плотно в С(Х). В случае
I2 это не так: оператор сдвига А: (хп) н-> (0,#χ, χ<ι,...) не
приближается обратимыми. Действительно, если \А — В\ < 1, то В не
может быть обратимым, ибо ввиду равенства А*А = I имеем
||J — А*В\\ ^ ||А*|| \\А — В\\ < 1, что по теореме выше дает
обратимость А*В. Если бы В был обратим, то был бы обратим Л*, а за
ним и А. По этому поводу см. также задачи 7.10.111 и 7.10.112.
7.1.6. Теорема. Спектр всякого оператора A Ε С(Х) в
комплексном банаховом пространстве Χ Φ 0 является непустым
компактом в круге радиуса \\А\\ с центром в нуле комплексной
плоскости.

358
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Включение σ(Α) с {z e С: \ζ\ ^ \\А\\}
и замкнутость σ(Α) уже известны. Проверим непустоту σ(Α).
Предположим, что R\(A) существует для всех λ Ε С. Пусть
φ е С(Х)* и F{\) = ψ(]1\(Α)). Ввиду утверждения (ii)
предыдущего следствия функция F — целая, а ввиду утверждения (i) при
|λ| —> оо имеем \F(X)\ —> 0. По теореме Лиувилля F = 0, откуда
мы получаем R\(A) — 0, что невозможно при Χ φ 0. D
Полученную оценку радиуса круга, содержащего спектр,
можно уточнить. Спектральный радиус оператора А зададим
формулой
г(А):=Ы{\\Ап\\г'п: пеЩ.
Ясно, что г(А) < \\А\\, ибо ||АП|| < Р||п.
7.1.7. Предложение. Справедливо равенство
r(A) = lim \\Ап\\г'п.
п—+оо
Кроме того, r(A) = тах{|г|: z G &(A)}.
Доказательство. Пусть ε > 0. Пусть ρ е IN таково, что
||^4Ρ||ΐ/ρ ^ Γ(^)_|_ε> При η ^ ρ имеем η = kp+m, гдеО ^ т ^ р— 1.
Тогда
\\Ап\\ ^ \\АЦк\\Ат\\ ^ М\\АЦ\ Μ := 1 + \\А\\ + · · · + Р^Ц.
Следовательно,
г(л) ^ |μη||χ/^ ^ M^ppf/» ^ м1/п(г{А) + е)кр/п.
Поскольку Мх1п -41и кр/п —> 1 при η —> оо, то
r(A) < limsup^ \\An\\l'n < г(А) + ε.
Ввиду произвольности ε это доказывает первое утверждение.
Покажем, что при |λ| > г(А) оператор А — XI обратим.
Поделив на λ, приходим к случаю λ = 1 и г (А) < 1. В этом случае
ряд Y^LqA71 сходится по операторной норме, ибо при всех
достаточно больших η имеем \\Ап\\ ^ (г(А) + ε) , где ε > 0 таково,
что г (А) + ε < 1. Прямая проверка показывает, что сумма
указанного ряда является оператором, обратным к I — А. Остается
проверить, что на окружности радиуса г (А) есть хотя бы одна
точка спектра. В противном случае ввиду компактности спектра
нашлось бы такое г < г(Л), что все λ с |λ| > г входили бы в
резольвентное множество. Согласно доказанному выше следствию

7.1. Спектр оператора
359
это означает, что для всякого непрерывного линейного
функционала φ на С(Х) функция /(λ) := φ(ϋ\(Α)) голоморфна при
|λ| > г. При этом вне круга радиуса \\А\\ эта функция
представляется рядом Лорана — Y^L0 Х~~1~~кф(Ак). Ввиду единственности
разложения этот же ряд представляет функцию / при |λ| > г.
Зафиксируем такое λ € (г, г (Л)). Сходимость указанного ряда
Лорана для каждого φ дает оценку supfc ||A_1"fc>lfc|| ^ С < оо
ввиду теоремы Банаха-Штейнгауза. Итак, ЦА^Ц1/^ ^ C1/fcA1+1/fe,
откуда г (А) ^ λ — противоречие. D
В бесконечномерном случае весьма непохожие операторы
могут иметь равные спектры.
7.1.8. Пример. Пусть {гп} — все рациональные числа [0,1],
оператор А в I2 задан формулой Ах = (пжх, Г2#2> · · ·)> а оператор
В в £2[0,1] задан формулой Bx(t) = tx(t). Тогда оба оператора
имеют спектр [0,1], хотя у А все числа гп — собственные, а В
не имеет собственных чисел. Действительно, {гп} С сг(А),
откуда [0,1] С σ{Α) ввиду замкнутости спектра. Если λ ^ [0,1], то
существует оператор R\(A)x = ((ri — А)-1#ь (r2 — λ)-1#2, · · ·)·
Всякая точка λ Ε [0,1] входит в σ(Β), ибо нет такой функции
χ Ε L2[0y 1], что (t — X)x(t) = 1 п.в. При λ ^ [0,1] обратным к
оператору В — XI является оператор умножения на ограниченную
функцию φ(ϊ) = (t — λ)-1. Собственных чисел у оператора В нет:
равенство Xx(t) = tx(t) п.в. возможно лишь при x(t) = 0 п.в.
Для всякого оператора А в комплексном линейном
пространстве и всякого многочлена P(z) = Σ%=ο€ΐ*ζΐ6 с комплексными
коэффициентами оператор Ρ (А) зададим формулой
Р(Л) = £>Л*, А°:=1.
к=0
7.1.9. Теорема. (Теорема об отображении спектров)
Пусть А — ограниченный линейный оператор β комплексном
банаховом пространстве X. Тогда для всякого многочлена Ρ
комплексного переменного верно равенство
σ(Ρ(Α))=Ρ(σ(Α)),
т.е. спектр Ρ (А) есть образ спектра А при отображении Р.

360
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Зафиксируем λ Ε С. Пусть λχ,...,λη —
корни многочлена Ρ — λ. Тогда λ = Р(Х%) при всех г = 1,..., га,
Ρ(ζ) - X = φ - λχ) · · · (ζ - λη) и
Ρ(Α) - λ/ = С(А - ΧχΙ) ... (Α - λη/).
Пусть с φ 0 (иначе утверждение очевидно). Заметим, что
обратимость Ρ (А) — XI равносильна обратимости всех операторов
А — Х{1, ибо они коммутируют. Действительно, если все эти
операторы обратимы, то обратимо и их произведение. Если лее
некоторый оператор А — Xi0I не обратим, то либо Кет(А — Х%01) φ 0,
либо (А — Xi0I)(X) φ Χ. Поскольку из-за коммутативности
сомножителей можно поставить А — Xi0I как на последнее место,
так и на первое, то такие же соотношения выполнены и для
всего произведения. Итак, λ входит в σ(Ρ(Α)} в точности тогда,
когда найдется номер г с Х{ Ε <τ(Α). Последнее равносильно
тому, что λ Ε Ρ(σ(Α)), В самом деле, если такое г существует, то
А = P(Xi) Ε Ρ(σ(Α)). Если λ = Ρ (ζ), где ζ Ε σ(Α), το ζ — это
одно из чисел λ*, т.е. λ^ лежит в σ(Α). D
7.1.10. Замечание. Если A Ε С(Х), где X — банахово
пространство, то σ(Α) = <т(А*) ввиду следствия 6.8.6(ii) и
равенства (А — XI)* = А* — XI. Однако для гильбертова
пространства X спектр σ(Α*) есть множество {ζ: ζ Ε σ(Α)}, комплексно-
сопряженное σ(Α), ибо здесь (А — XI)* = А* — λ/, так как А*
действует в X. Отметим, что в случае гильбертова пространства
равносильность обратимости операторов В и В* очевидна из
равенства (ВС)* = С*В* и следствие 6.8.6 не требуется.
Рассмотрим следующий важный пример.
7.1.11. Пример. (Оператор умножения на функцию)
Пусть μ φ 0 — конечная неотрицательная мера на
пространстве Ω, ψ — ограниченная комплексная μ-измеримая функция.
Зададим оператор Αφ умножения на φ в £2(μ) формулой
Αφχ(ω) = φ(ω)χ(ω).
Тогда (i) Αφ есть оператор умножения на φ, спектр Αφ есть
множество существенных значений φ, т.е. множество всех таких
чисел λ Ε С, что μ(ω: \φ(ω) — λ| ^ ε) > 0 для всех ε > 0;
(π) ψ(ω) Ε σ(Αφ) для μ-п.в. ω\
(Hi) ||Ар|| = ΙΙ^ΙΙχ,οο^). Кроме того, оператор Αφ самосопряжен
в точности тогда, когда φ(ω) Ε IR1 для μ-п.в. ω.

7.1. Спектр оператора
361
Доказательство, (i) Заметим, что оператор Αφ ограничен
и || Ар|| ^ ΙΜΙζ,°°(μ)· Вид сопряженного к Αφ ясен из равенства
/ φ(ω)χ(ω)ν(ω) μ{άω) = / χ(ω)φ(ω)υ(ω) μ(άω)
JQ JO,
для всех х, у е £2(μ). Найдем спектр Αφ. Если λ не является
существенным значением φ, то при некотором ε > 0 для //-почти
всех ω имеем \φ(ω) — λ| ^ ε. Переопределив φ на множестве μ-
меры нуль, можно считать, что это неравенство верно для всех
ω Ε Ω. Тогда оператор умножения на ограниченную функцию
1/(φ — λ) является обратным к Αφ — λ · /. Обратно, пусть λ —
регулярное значение. Если λ оказалось существенным значением φ,
то множества Вп = {ω: \φ(ω) — λ| ^ 1/η} имеют положительные
меры и потому функции хп = Ιβη/^/μ(Βη) имеют единичные
нормы. При этом (Αφ — \1)хп —> О, ибо
am L Μω) ~Λ|2 "(<м * п~2ж> "(Βη)=π"2·
Тогда получаем #п = (Д^ — XI) λ(Αφ — \1)хп —► 0 вопреки
равенству ||жп|| = 1. (ii) Множество βφ существенных значений
функции φ может отличаться от множества ее фактических
значений. Например, зададим функцию φ на интервале (0,1) с мерой
Лебега так: φ(ί) = t при t Φ 1/2, φ(1/2) = 2. Тогда
принимаемое значение 2 не является существенным, а не входящее в
множество принимаемых значений число 1 является существенным
значением. Однако можно заменить φ функцией φ, которая
равна ей //-почти всюду и принимает значения во множестве
существенных значений φ. В самом деле, для каждой точки ζ Ε С,
не являющейся существенным значением φ, найдем открытый
круг U(z,r) с μ(φ~ι(υ(ζ,τ))) = 0. Из полученного покрытия
C1\<SV? выберем счетное подпокрытие кругами U(zj,rj).
Множество Ε = (J- <P~l{U(zj,rj)) имеет //-меру нуль. В частности,
имеются существенные значения (иначе μ(Ω) = 0). Вне Ε сделаем
функцию φ равной φ, а на Ε положим φ равной какому-нибудь
существенному значению. Полученная модификация принимает
значения в 5^. (ш) Ввиду доказанного в (i) осталось проверить,
что \\Αφ\\ ^ 1М1ь°°(а0· Это ясно из того, что наибольшее
существенное значение функции \φ\ есть |М1ь°°(а0· Равенство Αφ = Αφ
равносильно тому, что операторы умножения на φ и φ равны, т.е.
тому, что φ(ω) = ψ(ω) для //-п.в. ω. □

362
Глава 7. Спектральная теория
Отметим, что доказанное не распространяется на
произвольные бесконечные меры (задача 7.10.89). Важность
рассмотренного примера ясна из того, что, как мы увидим ниже, к такому
виду приводятся все самосопряженные операторы и все
унитарные операторы в сепарабельных пространствах.
Если μ — мера Лебега на [0,1] и φ(ω) = α;, то σ(Αφ) = [0,1],
причем Αφ не имеет собственных чисел (пример 7.1.8). Для
общей борелевской меры μ на [а,Ь] и φ(ω) = ω спектр Αφ есть
носитель μ, т.е. [а, Ь] без всех интервалов μ-меры нуль, причем
собственные числа — это точки положительной μ-меры.
7.2. Квадратичная форма и спектр
самосопряженного оператора
Для непрерывного линейного оператора А в комплексном
гильбертовом пространстве Η определены функции
ФА(х, у) = (Ах, у), QA(x) = (Ах, х).
Функция Qa называется квадратичной формой оператора А. Из
тождества
4ФА(я, у) = Qa(x + у) - Qa(x - у) + гЯл(х + %у) - iQA(x - %у)
следует, что функция Фа и оператор А однозначно определены
квадратичной формой Qa (в вещественном случае это неверно!).
Функция Фа* называемая билинейной формой оператора А,
линейна по первому аргументу, сопряженно-линейна по второму
и непрерывна. Обратно, с помощью такой функции можно
построить оператор.
7.2.1. Лемма. Пусть Η — комплексное гильбертово
пространство и Φ — комплексная функция на НхН, линейная по
первому аргументу, сопряженно-линейная по второму и
непрерывная по каждому переменному при фиксированном другом.
Тогда существует такой непрерывный линейный оператор А
в пространстве Н, что Ф(и,у) = (Аи, ν), и, ν 6 Я.
Доказательство. Отображение ν н-* Ф(и, ν) при
фиксированном и линейно и непрерывно. Теорема Рисса дает однозначно
определенный вектор Аи, для которого (г;, Аи) = Ф(и,у), откуда
(Аи, ν) = Ф(г*,г;). Из линейности Ф(и, ν) по и следует линейность
отображения и ь-> Аи. Если ип —► 0, то Ф(ип,у) —► 0 при всех
ν Ε Η, т.е. Аип —► 0 слабо и потому {Аип} ограничена. Значит,
оператор А непрерывен (см. теорему 6.1.3). □

7.2. Квадратичная форма и спектр
363
Для самосопряженного оператора А справедливо следующее
важное тождество:
4Re(Ar, у) = QA{x + y)- Qa(x - у)-
Для доказательства достаточно преобразовать выражение
(А(х + у), χ + у) - (А(х -у),х- у)
с учетом равенства (Ау,%) = (у, Аг).
7.2.2. Лемма. Оператор А самосопряжен в точности
тогда, когда его квадратичная форма Qa вещественна.
Доказательство. Если А = А*, то
(Αχ,χ) = (#, Ас) = (Ас,#).
Обратно, если Qa — вещественная функция, то Qa* = Qa, откуда
А = А*, ибо оператор однозначно определен квадратичной
формой (напомним, что речь идет о комплексном пространстве). D
7.2.3. Теорема. (Критерий Вейля) Число X принадлежит
спектру самосопряженного оператора А в точности тогда,
когда существует такая последовательность векторов хп, что
\\хп\\ = 1 и \\Ахп-\хп\\ ^0.
Доказательство. Если такая последовательность
существует, то λ Ε сг(Л), ибо в противном случае
Хп = (А - А/)-х(Л - \1)хп -> 0.
Пусть такой последовательности нет. Тогда
inf \\Ах - Аж|| = а > 0,
1И|=1
откуда
\\Ах — Хх\\ ^ <х\\х\\ для всех х. (7.2.1)
В частности, Кег(Л — XI) = 0. Положим Υ = (А — Х1)(Н) и
покажем, что Υ = Η. Пусть а ± У, т.е. (Ах — Аж, а) = 0 для всех ж.
Тогда (ж, Ла — λα) = 0 и потому Аа = λα. Если а ^ 0, то λ должно
быть вещественным ввиду вещественности Qa- Поэтому Аа = λα
вопреки инъективности А — XL Итак, замыкание Υ совпадает
с Я. Пусть у е Н. Выберем уп = Ахп — Ххп —► у. Из
фундаментальности {уп} и (7.2.1) следует фундаментальность {хп}· Ввиду
полноты Η существует χ = lim #n, откуда у = Ах — Хх. Итак,
п-»оо
оператор А — XI обратим. Π

364
Глава 7. Спектральная теория
7.2.4. Следствие. Если А — самосопряженный оператор
и комплексное число λ таково, что inf IIАх — \х\\ > О, то λ —
ΙΜΙ=ι
регулярное значение.
Заметим, что как критерий Вейля, так и доказанное следствие
верны и в вещественном случае (см. также задачу 7.10.96).
7.2.5. Следствие. Спектр самосопряженного оператора
лежит на вещественной оси.
Доказательство. При ||#|| = 1 для всех вещественных
чисел а и β имеем
{Αχ — αχ — ίβχ, Ах — ах — ίβχ)
= {Ах — ах, Ах — ах) — {Ах — αχ, ίβχ) — ιβ{χ, Αχ — αχ) + ίβ{χ, ίβχ)
= \\Αχ-αχ\\2 + β2\\χ\\2>β2.
Если β φ 0, то применимо предыдущее следствие. D
7.2.6. Теорема. Для всякого самосопряженного оператора А
{в ненулевом комплексном или вещественном гильбертовом
пространстве) справедливы равенства
\\А\\ = sup{|(Ar,#)|: ||#|| ^ 1} = sup{|A|: λ — точка спектра А}.
Кроме того, в спектр А входят точки
гпа— inf {Αχ, χ), Μα = sup {Αχ, χ).
IWI=i ||*||=i
Доказательство. Положим Μ = sup |(Лж, #)|. Ясно, что
ΙΜΙ^ι
Μ = Μα или Μ = -гпа. Имеем |(Ас,ж)| ^ М||ж||2 и Μ ^ \\А\\,
ибо |(Аж,ж)| ^ ЦЛЦЦжЦ2. С другой стороны,
\\А\\ = sup \\Ах\\ = sup Re{Ax,y) =
\\x\\^i 1М1,Ну№
= - sup [{A{x + y),x + y)- {A{x -y),x-y)]^
4 INMIyll^i
<± sup [M\\x + y\\2 + M\\x-y\\2] =
4 1ММ1у№
= 5 sup [M\\x\\2 + M\\y\\2]=M.
2 ИШШ

7.2. Квадратичная форма и спектр
365
Итак, Μ = ||А||. Можно считать, что Μ = Μα, так как в
случае Μ = — гпа можно перейти к оператору —А Тогда найдутся
векторы хп с \\хп\\ = 1 и (Ахп,хп) —> М. Это дает
||Асп - Мжп||2 = (Асп, Ахп) - 2М(Ахп,хп) + М2(хп,хп) ^
^ Р||2 + М2 - 2М(Ляп, хп) = 2М2 - 2М(Ляп, хп) -> 0.
По критерию Вейля получаем Μ 6 сг(Л), что завершает
доказательство первого равенства с учетом того, что спектр содержится
в круге радиуса ||Л||.
Для доказательства второго равенства заметим, что
MA+d = Μ а + с, гпа+cI = тА + с, σ(Α + cl) = σ(Α) + с
для всякого с 6 К1- Возьмем с = ||Л||. Поскольку
\(Ax,x)\<\\A\\\\xf,
то имеем 0 ^ гпа+cI ^ Ma+cI, откуда Ma+cI £ σ(Α + cl), т.е.
Μ а 6 с(А). Взяв с = —1| Л ||, с учетом равенства σ(—А) = — σ(^)
аналогично получаем тд Ε <т(Л). D
7.2.7. Замечание. Из доказательства легко усмотреть
включение
σ(Α) С [тл,Мл].
Конечно, это сразу следует и из критерия Вейля, ибо если мы
имеем \\Ахп - Ххп\\ -^0и ||жп|| = 1, то (Ахп,хп) -> λ.
Для самосопряженного оператора А в вещественном
гильбертовом пространстве Η его комплексификация Ас в комплекси-
фикации Не пространства Η действует по естественной формуле
Ac(xiiy) = (Ах, г Ay) и, как легко видеть, также является
самосопряженным оператором. Овеществлением такого оператора
(переход к полю И) является прямая сумма двух копий
оператора А. Нетрудно проверить, что спектры А и Ас равны.
Если А, В — самосопряженные операторы с (Αχ, χ) ^ (Вх, х),
то будем писать А ^ В и В ^ А. В частности, А ^ 0, если
(Αχ, χ) ^ 0 (как мы знаем, в комплексном случае эта оценка дает
и самосопряженность Л, но в вещественном случае
самосопряженность требуется дополнительно). Такой оператор
называется неотрицательным. Из доказанного выше следует, что А ^ 0
в точности тогда, когда А = А* и σ(Α) С [0, Н-оо).

366
Глава 7. Спектральная теория
7.3. Спектр компактного оператора
Спектр компактного оператора обладает особыми
свойствами. Пусть X — комплексное или вещественное банахово
пространство. Рассмотрим оператор I — К, где К компактен.
7.3.1. Лемма. Пусть К — компактный оператор в X.
(i) Ядро оператора I — К конечномерно.
(ii) Образ оператора I — К замкнут.
Доказательство, (i) На ядре оператора I — К оператор /
равен К и потому компактен, что возможно, лишь если это ядро
конечномерно.
(ii) Пусть уп = хп — Кхп —► у. Покажем, что у Ε (I — К)(Х).
Предположим сначала, что 8ΐιρη||#η|| < оо. Ввиду
компактности К из {Кхп} можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность {Кхщ}. Так как хп. = ущ + Кхщ, то сходится и {xni}·
Обозначив предел через ж, получим у = χ — Кх.
Теперь рассмотрим случай, когда последовательность {хп} не
ограничена. Положим Ζ = Кег(/ — К) и
dn = mf{\\xn-z\\: zeZ}.
Так как Ζ конечномерно, то найдутся zn Ε Ζ с \\хп — ζη\\ = dn.
Покажем, что последовательность {dn} ограничена. Предположим
противное. Можно считать, что dn —► +оо. Положим
Vn = (Χη-Ζη)/\\Χη-Ζη\\-
Так как (I — Κ)ζη = 0 и supn ||yn|| < оо, то имеем
IKII = 1, vn- Kvn = (I - К)хп/\\хп -г- zn\\ = Уп/dn -> 0.
Из {Kvn} выберем сходящуюся подпоследовательность {Kvni}.
Тогда {Ущ} сходится к некоторому ν Ε X. При этом
ν - Ку = lim (vni - Куп.) = 0,
г—>оо
т.е. у Ε Z. Однако это невозможно, ибо dist(v, Z) ^ 1, так как
\\уп - ζ\\ = —\\хп - *п- dnz\\ ^ -^ = 1 для всех zeZ, nElN.
dn an
Итак, последовательность {dn} ограничена. Теперь все сводится
к первому случаю, ибо (J — К){хп — zn) = (I — К)хп = уп. D
Конечно, лемма верна и для I + К, ибо — К тоже компактен.

7.3. Спектр компактного оператора
367
7.3.2. Теорема. Пусть К — компактный оператор в
комплексном или вещественном бесконечномерном банаховом
пространстве X. Тогда спектр К либо совпадает с точкой 0, либо
имеет вид
σ(Κ) = {0}υ{Κ},
где все кп — собственные числа К конечной кратности, т.е.
dimKer(iir — knI) < оо, причем набор {кп} либо конечен, либо
является сходящейся к нулю последовательностью.
Доказательство. Ввиду некомпактности I оператор К
необратим и потому О Ε cf{K). Пусть λ Ε сг(К) иА^О. Покажем,
что λ — собственное число. Предположим противное. Перейдя
к оператору \~1К, можно считать, что λ = 1. По лемме
подпространство Х\ = (К — 1)(Х) замкнуто в X. При этом Х\ φ Χ, ибо
иначе К — I был бы обратим. Положим
Хп = (К-1)п(Х) = (К-1)(Хп-1), й>2.
Ясно, что Хп+\ С Хп, ибо Х\ С X, откуда Χ<ι С Х\ и т.д. По
лемме получаем, что все подпространства Хп замкнуты. Они
различны ввиду инъективности К — /, ибо если
(#-!)(*„) = (Я-J)(X„_i),
то Хп = Хп-ъ откуда получаем Хп = · · · = Х\ = X.
По теореме 5.3.5 найдутся векторы хп Ε Хп с ||#п|| = 1
и dist(:rn,Xn+i) ^ 1/2. При η < т имеем
Кхп - Кхт = хп - хт + (К - 1)хп - (К - 1)хт,
где
-Хт + (К - 1)хп - (К - 1)хт Ε Хт + Хп+1 + Хт+1 С Χη+1·
Поэтому \\Кхп—Кхт\\ ^ 1/2, т.е. из {Кхп} нельзя выделить
фундаментальную подпоследовательность воцреки компактности К.
Полученное противоречие означает, что λ — собственное
значение К. По лемме dim Кег(ЛГ — XI) < оо, т.е. λ имеет конечную
кратность. Покажем, что σ(Κ) не имеет отличных от нуля
предельных точек. Предположим, что λη —► λ, где λη — собственные
числа и λ φ 0. Можно считать, что λη различны и |λη| ^ σ > 0.
Возьмем хп φ 0 с Кхп = ληα;η. Легко видеть, что векторы хп
линейно независимы. Обозначим через Хп линейную оболочку
£ΐ,...,ζη. Ясно, что К(Хп) С Хп. По теореме 5.3.5 найдутся
уп Ε Хп с ||г/п|| = 1 и dist(j/n,Xn_i) ^ 1/2, η > 1. Мы имеем
Уп = &пхп Н" zm zn £ Хп—1·

368
Глава 7. Спектральная теория
Тогда при п> т имеем
Куп - Кут = К(апхп) + Κζη - Куш = апХпхп + Κζη - Кут =
— ^η(ί/η — ^п + ^п ivZn — An il J/rn),
где -*n + λ"1^^ - X~lKym Ε Xn-u иб°
#2/m € Xm С Xn-i. Так как |λη| ^ σ и dist(yn,Xn_i) ^ 1/2, το
||ifyn — ЙГут[| ^ σ/2. Поэтому из {ifу™} нельзя выбрать
фундаментальную подпоследовательность — противоречие. D
7.3.3. Пример. Оператор Вольтерра V β L2[0,1] или С[0,1]
(пример 6.9.4(iv)) не имеет собственных чисел, т.е. a(V) = {0}.
7.3.4. Следствие. Пусть К — компактный оператор в X.
Тогда (J — К)(Х) — замкнутое подпространство конечной
коразмерности, т.е. X = (I — К)(Х)@Е, где Ε — конечномерное
линейное подпространство.
Доказательство. Замкнутость (I — К)(Х) уже доказана.
По лемме 6.8.1 это подпространство является пересечением ядер
функционалов из ядра I — К*. Так как dimKer(J — К*) < оо
ввиду компактности К* (см. теорему 6.9.3), то найдутся линейно
независимые функционалы Ζχ,..., Ιη Ε Ker(J — К*), для которых
(/ — К)(Х) = njLj Ker/j. Возьмем векторы Xi е X с h(xj) = £у.
Тогда X есть сумма (J — К)(Х) и линейной оболочки #χ,... ,χΛ.
Действительно, для всякого χ 6 X положим ζ = χ — Υ^=ι 1г{х)х%·
Это дает lj(z) = lj(x) — lj(x)lj(xj) = 0 при всех j = 1,..., п. D
Ясно, что это следствие остается в силе и для XI—К при λ φ 0,
ибо Х~гК — компактный оператор. В следующем параграфе мы
используем это соображение.
7.4. Альтернатива Фредгольма
Мы уже знаем, что если ненулевое число λ не является
собственным для компактного оператора К в банаховом
пространстве X, то оператор К — XI обратим и потому уравнение
Кх-Хх = у (7.4.1)
однозначно разрешимо для каждого у Ε X. Здесь мы уточним
это утверждение и покажем, что из одного факта разрешимости
уравнения (7.4.1) при всех у следует его однозначная
разрешимость. Иначе говоря, нетривиальность ядра К — XI означает, что
(К — XI)(Χ) φ Χ, как и в конечномерном случае.

7.4. Альтернатива Фредгольма
369
7.4.1. Теорема. (Альтернатива Фредгольма) Пусть дан
компактный оператор К в комплексном или вещественном
банаховом пространстве X. Тогда
Кег(К - I) = О <=Ф (К- 1)(Х) = Ху
т.е. либо уравнение
К χ — χ = у
однозначно разрешимо при всех у Ε X, либо для некоторого
вектора у Ε Χ оно не имеет решений и тогда однородное уравнение
Кх-х=0
имеет нетривиальные решения.
Доказательство. Если Кег(К -1) = 0, то по теореме 7.3.2
имеем 1 ^ σ(ϋΤ). Значит, (К — 1)(Х) = X. Обратно, пусть
(UT-J)(X) = X, но Кет(К-1)^0.
Как мы знаем, оператор К* в X* также компактен. Заметим, что
Кег (К* - I) = 0. В самом деле, если /бГи(Г- /)/ = 0, то
f((K - 1)х) = (К* - I)f(x) = 0 для всех χ Ε Χ.
Так как (К — 1)(Х) = X, то / = 0. По теореме 7.3.2 оператор
К*—1 обратим. Теперь возьмем ненулевой элемент а Ε Ker(K-I).
По теореме Хана-Банаха имеется / Ε X* с /(а) = 1. Пусть
g = (К* - I)~lf. Тогда (К* - I)g(a) = /(α) = 1. С другой
стороны, (К* — I)g{a) = g((K — I)a) = 0 — противоречие. Часть
приведенных рассуждений можно было бы заменить ссылкой на
следствие 6.8.6. D
7.4.2. Следствие. Альтернатива Фредгольма остается
в силе и для такого оператора К Ε С(Х), что для
некоторого η Ε ИМ оператор Кп компактен.
Доказательство. Пусть 1 Ε &(К). Ввиду компактности Кп
и равенства σ{Κη) = σ(Κ)η на единичной окружности может
быть лишь конечное число точек λχ,..., \т из σ(Κ). Увеличив п,
молено считать, что η — простое число и exp(2km/n) φ \j при
к = 1,... ,η — 1, j = 1,... ,m. Пусть θ := ехр(2т/п). Тогда вк
отлично от всех Xj при fc = 1,..., η — 1, т.е. операторы / — вкК
обратимы. Значит, обратим оператор V = (Ι—ΘΚ) · · · (Ι—θη~'1Κ).
Так как
I - кп = (I - К){1 - ΘΚ)... (/ - θ71-1 К) = (/ - K)V,

370
Глава 7. Спектральная теория
где V обратим и коммутирует с ϋΓ, то К — I и Кп — I имеют
равные ядра и равные образы. D
Ясно, что альтернатива Фредгольма остается в силе для
всякого ненулевого числа λ вместо 1, т.е. разрешимость (7.4.1) со
всякой правой частью равносильна отсутствию нетривиальных
решений уравнения
Кх - Хх = 0. (7.4.2)
В качестве применения теоремы Фредгольма докажем
следующий важный результат Вейля о поведении спектра при
компактных возмущениях.
7.4.3. Теорема. Пусть X — банахово пространство и А —
ограниченный оператор в X. Тогда для всякого компактного
оператора К в X спектры операторов А и А + К совпадают с
точностью до множеств собственных значений, т.е.
σ(Α)\σρ(Α) С σ(Α + К) и σ(Α + Κ)\σρ(Α + К) С σ{Α).
Доказательство. Пусть λ € сг(А). Нам надо показать, что
если оператор С := А + К — XI обратим, то λ — собственное
значение А. Рассмотрим равенство
А - XI = С + (А - XI - С) = С - К = С{1 - С'1 К).
Так как λ Ε сг(Л), то оператор I — С~гК не может быть
обратимым. По теореме Фредгольма (которая применима ввиду
компактности С~1К), он имеет нетривиальное ядро, т.е. существует
такой ненулевой вектор г;, что C~lKv = v. Тогда Kv = Сг>,
откуда Αν = Аг;, что и требовалось. Применяя доказанное к
операторам А+К и — К, получаем второе соотношение из формулировки
теоремы. D
Стоит отметить, что полные спектры А и А+К все-таки могут
сильно отличаться (задача 7.10.64).
Классические результаты Фредгольма были получены в
терминах интегральных уравнений. Прежде чем обратиться к их
рассмотрению, приведем еще один абстрактный результат —
также входящий в число так называемых теорем Фредгольма —
о связи между разрешимостью уравнений вида (7.4.1) и (7.4.2)
и разрешимостью аналогичных уравнений с сопряженным
оператором. Напомним, что для компактного оператора К в X
сопряженный оператор К* в X* также компактен.

7.4. Альтернатива Фредгольма
371
7.4.4. Теорема. Пусть К е К,{Х) и Χ φ 0. Уравнение (7.4.1)
разрешимо для тех и только тех у, которые входят в
множество
{zeX: f(z) = 0 V/ е Кет(К* - XI)} = f| Ker/,
feKer(K*-\I)
называемое аннулятором Ker(uf* — XI) в X. При этом
dimKer(K-XI) = dimKer(K*-XI) = codim(K-XI)(X). (7.4.3)
Доказательство. Достаточно рассмотреть λ = 1. Первое
утверждение было объяснено в доказательстве следствия 7.3.4.
При этом было показано, что есть такие векторы х\,... ,жп в X
и функционалы Ζχ,..., ln Ε Кег (К* — J), что Кег (К* — I)
совпадает с линейной оболочкой функционалов /χ,..., Ζη, выполнены
равенства 1%{xj) = 6ц, (К — 1)(Х) = Π?=ι Кег ί$, причем п-мерное
подпространство Е, порожденное #χ,...,#η, дополняет
замкнутое подпространство (К — 1)(Х) до X. Итак,
dimKer (К* - I) = dim Ε = codim (if - J)(X). .
Покажем, что dimKer (К — I) = п. Конечномерное
подпространство Хо := Кег (К — I) можно дополнить до X замкнутым
линейным подпространством Х\ (следствие 6.4.2). Если dimXo < п> то
найдем инъективный, но не сюръективный оператор К$: Xq-+E.
Записывая χ в виде χ = xq Θ #χ, xq ε Χο> χι £ Χ\> зададим
оператор Κ\\ Χ —> Χ, χ н-> ifo^o + ##· Этот оператор компактен
в силу компактности К и указанного следствия. Ядро К\ — I
тривиально: если К\х = ж, то χ — 1£ж = 1£о#о £ #> откуда
К0х0 = 0 и я0 = 0, ибо Ε П (К - J)(X) = 0 и KeriT0 = 0. Это
дает х\ — Кх\ =0иж1 =0 из-за инъективности К — / на Х\.
Кроме того, образ К\ — I отличен от X (не все Ε входит в него),
что невозможно ввиду альтернативы Фредгольма. Аналогичным
образом, если dimXo > Щ то имеется сюръективный оператор
Ко: Xq —► Ε с нетривиальным ядром. Это дает сюръективный
оператор Κι — Ι с нетривиальным ядром, что также исключается.
Итак, dimXo = п. Ввиду уже доказанного коразмерность образа
К* — / также равна п. D
Применим доказанные абстрактные результаты к тем
объектам, с которых и начиналась теория Фредгольма, —
интегральным операторам. Пусть дано комплексное
квадратично-интегрируемое ядро /С на {а, б]2 или, более общим образом, на ΩχΩ, где

372
Глава 7. Спектральная теория
(Ω, Л, μ) — пространство с неотрицательной мерой. Это ядро
задает компактный оператор
Kx(t) = J /C(t, s)x(s) ds
Ja
в комплексном пространстве £2[α, b] или аналогично
определяемый оператор в £2(μ). Как показывает непосредственное
вычисление, сопряженный оператор К* задается формулой
K*u(t) = ί JC(s9t)u(a) ds,
Ja
т.е. соответствует ядру /C*(i, s) := JC(s,t). Если ядро вещественно
и симметрично, то /С = /С*. Первый вопрос теории интегральных
уравнений — разрешимость уравнения
x(t) - ί /C(t, s)x(s) ds = y(t) (7.4.4)
Ja
с заданной правой частью. Полученные выше результаты
приводят к следующим выводам относительно (7.4.4).
(1) Множество решений уравнения (7.4.4) с у = О имеет
конечную размерность п, причем такую же размерность имеет
множество решений однородного уравнения, соответствующего ядру /С*;
(2) если щ,... ,гхп — линейно независимые решения
однородного уравнения, соответствующего /С*, то множество всех тех у,
для которых уравнение (7.4.4) разрешимо, состоит из функций у,
fb
для которых / y(t)ui(i) dt = О, г = 1,..., п.
Ja
Конечно, сказанное верно и для оператора в вещественном
пространстве, заданного вещественным ядром.
Рассмотрим аналогичный вопрос для интегрального
оператора К, заданного непрерывным вещественным ядром /С в С[а, Ь].
Такой оператор тоже компактен. Поэтому к нему применима
теорема 7.4.4. Однако эта теорема привлекает сопряженный
оператор в сопряженном пространстве С[а,Ь]*, представляющем собой
пространство мер. Возникает вопрос, нельзя ли при решении
задачи о разрешимости уравнения χ — Кх = у ограничиться
рассмотрением сопряженного оператора
K'x(t)= / K(s,t)x(s)ds
Ja
лишь на функциях из С[а, Ь] (оператор Kf есть сужение К* на
подпространство в С[а, 6]*, соответствующее мерам, заданным

7.4. Альтернатива Фредгольма
373
непрерывными плотностями). Это оказывается возможным.
Действительно, по общей теореме нам надо исследовать уравнение
σ — Κ*σ = О в С[а,Ь]*, где Κ*σ есть мера, действующая на
χ Ε С [a, b] по формуле
Κ*σ(χ)= I Kx(t)a(dt) = I I lC(t,s)x(s)dsa(dt).
J a J a J a
Это означает, что мера Κ*σ задается непрерывной плотностью
Q(t)= / K{t,s)a{ds).
J[a,b]
Поэтому наличие нетривиальных решений уравнения σ—Κ*σ = О
в С [а, 6]* равносильно существованию ненулевых решений
уравнения ρ — К1 q = О в С[а, 6].
Следует иметь в виду, что здесь была использована
непрерывность /С по обоим аргументам (точнее, здесь важно, что К*
переводит С[а,Ь]* в С[а,Ь\). Рассмотрим ядро /C(i,s) = (3/2)£s-1/2,
которое непрерывно лишь по одному аргументу, но очевидным
образом порождает компактный оператор в С[0,1] с одномерным
образом. Оператор К* в С[О,1]* также имеет одномерный образ,
а мера σ = s-1/2 ds удовлетворяет уравнению Κ*σ = σ и
порождает Кет (К* — I). По теореме 7.4.4 условие разрешимости
уравнения χ — К χ = у дается равенством
/ y{s)s-1/2ds = 0.
Jo
Если же здесь действовать по формальной аналогии с
предыдущим случаем и искать собственные векторы сопряженного ядра
лишь в С[0,1] или L2[0,1] (а не в С[0,1]*), то, убедившись, что их
нет, можно сделать неверный вывод о разрешимости уравнения
χ — Кх = у при всех у.
Отметим, что непрерывность ядра /С в случае отрезка или
его квадратичная интегрируемость в общем случае были нужны
лишь для того, чтобы просто проверить компактность К.
Теорема 7.4.4 применима также к операторам в L2[0,1] или С[0,1],
заданным сингулярными ядрами /C(i, s) = /Co(i, s)\t—s|~a, где а < 1
и измеримая функция /Со ограничена в случае L2[0,1] и
ограничена и непрерывна по t в случае С [О,1] (см. задачу 6.10.138).
Если же функция /Со непрерывна и а < 1/2, то при исследовании
разрешимости уравнения χ — Кх = у в С[0,1] тоже достаточно

374
Глава 7. Спектральная теория
анализировать уравнение ζ — К1 ζ = 0, соответствующее
сопряженному ядру, лишь в С [0,1], а не в С[0,1]*. В самом деле,
при у Ε С[0,1] разрешимость уравнения χ — К χ = у в С[0,1]
равносильна его разрешимости в L2[0,1], ибо К χ 6 С[0,1] при
χ Ε £2[0,1], что легко проверяется ввиду квадратичной
интегрируемости |s|~a при а < 1/2. Кроме того, все решения уравнения
ζ - К'ζ = 0 в L2[0,1] также входят в С[0,1].
7.5. Теорема Гильберта-Шмидта
В конечномерном пространстве всякий самосопряженный
оператор является диагональным в некотором ортонормированном
базисе. В бесконечномерном случае самосопряженный оператор
может вообще не иметь собственных векторов (например, как
оператор Ax(t) = tx(t) в L2[0,1]). Однако для компактных
самосопряженных операторов сохраняется полная аналогия с
конечномерным случаем. В этом состоит следующий замечательный
классический результат.
7.5.1. Теорема. (Теорема Гильберта-Шмидта)
Предположим, что А — компактный самосопряженный оператор в
вещественном или комплексном сепарабельном гильбертовом
пространстве Η φ 0. Тогда А имеет собственный ортонормиро-
ванный базис {еп}, т.е. Аеп = о^еП; где числа ап вещественны
и стремятся к нулю, если Η бесконечномерно.
Доказательство. Заметим, что А имеет собственные
векторы. В самом деле, по теореме 7.2.6 инфимум и супремум
функции Qa(x) = (Αχ, χ) на единичной сфере входят в спектр. Если
они равны нулю, то А = 0. Если хотя бы одно из этих чисел
отлично от нуля, то в силу компактности А оно является собственным.
Все собственные числа А вещественны. Собственные векторы,
отвечающие разным собственным числам, взаимно ортогональны.
Действительно, если Аа = аа и АЬ = /?&, то
/?(а,Ь) = (а, ЛЬ) = (Аа9Ь) = а(а,6),
откуда (а, 6) = 0 при α φ β. Следовательно, в силу
сепарабельности Η собственных чисел не более чем счетное множество.
Каждое ненулевое собственное число имеет конечную кратность
ввиду компактности А Пусть {ап} ~~ все собственные числа А.
В каждом подпространстве Нп := Кет(А—ап1) выберем ортонор-
мированный базис (для апф0 такие базисы конечны).
Объединение всех этих базисов дает ортонормированную систему {еп} в Н.

7.5. Теорема Гильберта-Шмидта
375
Остается проверить, что {еп} — базис. Обозначим через Я'
замкнутую линейную оболочку {еп}. Легко видеть, что А(Н') С Я',
ибо А(Нп) С Нп для всех п. Пусть Н" — ортогональное
дополнение Я'. Заметим, что А(Нп) С Я77. В самом деле, если и 6 Я77,
то для всякого ν Ε Я7 имеем (Ли, v) = (w, Αν) = 0, поскольку
Лг; 6 Я7. По доказанному в Я77 есть собственный вектор Л, что
ведет к противоречию, если Я" φ 0. Теорема 7.3.2 дает ап —» 0. D
7.5.2. Замечание. Аналогичное утверждение верно и для
несепарабельного пространства Я. Здесь существует такое сепа-
рабельное замкнутое подпространство Щ С Я, что Л(Яо) С Щ
и Л(Яо") = 0. В качестве Щ можно взять замыкание А(Н),
которое сепарабельно в силу компактности Л.
Имеется и другое, вариационное, доказательство этой важной
теоремы, которое не использует спектральной теории. Из
приведенного рассуждения видно, что основное — установить
наличие хотя бы одного собственного вектора. Такой вектор
можно найти, исследуя на максимум функцию Q(x) = \(Ах,х)\ на
замкнутом единичном шаре (конечно, если уже иметь теорему
Гильберта-Шмидта, то ясно, что максимум достигается на
собственных векторах, отвечающих наибольшему по модулю
собственному числу). Обозначим через q супремум этой функции и
найдем единичные векторы hn с Q(hn) —► q. Выберем из {hn}
подпоследовательность {hni}, слабо сходящуюся к некоторому
вектору /г. Последовательность {Ahn.} сходится по норме к Л/г, откуда
(Л/гп., hni) -> (Л/г, /г) и Q(h) = q. Ясно, что \\h\\ = 1, если ||Л|| > 0.
Теперь нетрудно проверить, что /г — собственный вектор. Для
этого достаточно показать, что Ah -L /г1-, ибо тогда Ah — \h.
Пусть е ± /г, ||е|| = 1. Можно считать, что (Ah, h) > 0. Тогда при
всех вещественных t имеем (1 + t2)~1Q(h + te) ^ q, т.е.
q + 2flR,e (Ah, e) + t2(Ae, e) ^q + qt2.
Это возможно лишь при Re (Л/г, е) = 0, что ввиду произвольности
е Ε h1- доказывает соотношение Ah J_ /r1-.
Отметим еще, что вместо \(Ах, х)\ можно было бы
исследовать на максимум саму функцию (Αχ,χ), если дополнительно
предположить, что она принимает хотя бы одно положительное
значение. Если же (Αχ, χ) ^ 0, то можно перейти к исследованию
минимума.

376
Глава 7. Спектральная теория
Приведенное рассуждение не только дает другое
доказательство, но и приводит к следующему полезному вариационному
принципу. Обозначим через Сп совокупность всех n-мерных
линейных подпространств в гильбертовом пространстве Н.
7.5.3. Теорема. Пусть А — компактный самосопряженный
оператор в вещественном или комплексном гильбертовом
пространстве и а\ ^ <*2 · · · > 0 — все положительные собственные
значения А, выписанные в порядке убывания с учетом кратно-
стей. Тогда справедливы следующие равенства для тех п, для
которых есть ап > 0.
(i) Вариационный принцип Куранта:
ап= min max (Αχ, χ). (7.5.1)
LeCn-χ zEL-MWHl
(ϋ) Вариационный принцип Фишера:
ап = max min (Αχ,χ). (7.5.2)
LeCn xeL,\\x\\=V
Доказательство, (i) Пусть L е £η-ι· В пространстве
Нп, порожденном ортонормированными собственными
векторами βχ,..., еп, отвечающими собственным числам αχ,..., ап, есть
вектор h _L L. Так как при χ € Нп мы имеем (Αχ,χ) ^ ап(х,х),
то тахж€£± |Ы|=1(Аж, #) ^ &п- Если взять L = Пп-\, то равенство
достигается.
(ii) Пусть L е Сп. Тогда в L есть вектор h JL #п-ъ где Нп —
те же, что и выше. Ясно, что тогда {Ah, h) ^ an(h,h). Значит,
mmxeLi\\x\\=i(Ax, χ) ^ ап. Если взять L = iin, то равенство
достигается. D
Аналогичные вариационные описания можно выписать и для
отрицательных собственных чисел (можно просто перейти к —А).
Отметим, что в бесконечномерном случае приходится
разделять положительные и отрицательные собственные числа. В
конечномерном случае указанные равенства выполнены для всех
собственных чисел, записанных в порядке убывания.
Следующий результат ясен из доказанного.
7.5.4. Следствие. Пусть А и В — компактные
самосопряженные операторы в вещественном или комплексном
гильбертовом пространстве Н, причем {Αχ, χ) ^ (Βχ,χ). Пусть {ап}
и {βη} — последовательности их положительных собственных
чисел, записанных в порядке убывания с учетом кратностей.
Тогда для каждого η выполнено неравенство ап ^ βη.

7.6. Унитарные операторы
377
7.6. Унитарные операторы
Пусть Η — комплексное гильбертово пространство и А —
ограниченный оператор в Н. Напомним, что σ{Α*) есть
множество, комплексно-сопряженное σ(Α) (замечание 7.1.10).
7.6.1. Определение. Линейный оператор U в
гильбертовом пространстве Η φ 0 называется унитарным, если он
отображает, Η на Η и сохраняет скалярное произведение, т.е.
(Ux, Uy) = (χ, у) для всех х,у 6 Н.
Унитарным изоморфизмом ненулевых гильбертовых
пространств Н\ и Н<2, называется взаимно однозначный линейный
оператор U: Hi —► Щ, сохраняющий скалярное произведение.
Равносильное определение унитарности — равенство
U~l = U*
или два равенства
UU* = U*U = I.
Отметим, что лишь одного из этих равенств недостаточно для
унитарности оператора, если не потребовать его обратимость.
Например, пусть Ux = (0, #ι, #2, - · ·) в I2· Тогда U сохраняет
скалярное произведение и [/*[/ = /, однако UU* φ Ι.
7.6.2. Пример. Пусть Αφ — рассмотренный в примере 7.1.11
оператор умножения в Ι/2(μ) на ограниченную //-измеримую
функцию ψ. Тогда условие унитарности оператора Αφ состоит в
равенстве |^(^)| = 1 Для μ-п.в. ω. В самом деле, равенство ΑφΑ*φ = I
дает соотношение φ(ω)φ(ω) = 1 для μ-п.в. ω. Обратно, из этого
соотношения ясно, что ΑφΑ?φ = Ι = Α^Αφ.
7.6.3. Лемма. Спектр унитарного оператора принадлежит
единичной окружности.
Доказательство. Пусть U — унитарный оператор. Тогда
||ί7|| = 1 и потому спектр U лежит в единичном круге. Это же
верно и для С/"*, но U* = С/-1, что исключает из спектра
внутренние точки круга: если оператор U — XI не обратим, то таков же
и J - АС/*, а потому и λ"1/ - U*. D
7.6.4. Определение. Оператор Αι в гильбертовом
пространстве Hi называется унитарно эквивалентным оператору
Аъ в гильбертовом пространстве Η<ι, если существует такой

378
Глава 7. Спектральная теория
унитарный изоморфизм J: Н\ —> Η<ι, что А\ = J lA2J, т.е.
мы имеем коммутативную диаграмму
#1 -**- Ях
Н% ► ί?2
7.6.5. Лемма. Линейная изометрия гильбертовых
пространств является унитарным изоморфизмом.
Доказательство. Пусть J: Ηι —> i?2 — линейная изомет-
рия. Тогда ||J* +Jy||2 = ||* + у||2, ||J*||2 = ||*||2, ||Jy||2 = ||у||2,
откуда (Jx,Jy) + (Jy,Jx) = (ж,у) + (у,я), т.е. Re(Jx,Jy) = Re(z,y).
Заменив а; на г# в комплексном случае, получим равенство и для
мнимых частей. Изометрия сюръективна по определению. D
Характеристики оператора, не меняющиеся при унитарной
эквивалентности, называются унитарными инвариантами.
Например, спектр и норма — унитарные инварианты.
7.6.6. Лемма. Пусть Н\ и Н% — гильбертовы
пространства, Но С Н\ — всюду плотное линейное подпространство,
U: Hq —► Η2 — линейное отображение, сохраняющее скалярное
произведение. Тогда U единственным способом продолжается
до линейного отображения из Ηι β Η<ι, сохраняющего
скалярное произведение и имеющего замкнутый образ. Если U(Ho) φ О
плотно в i?2> то продолжение является унитарным
изоморфизмом.
Доказательство. Пусть χ е Н\. Найдем хп е Н0 с Χγΐ ► X.
Тогда последовательность {Uxn} фундаментальна вЯ2И потому
сходится к некоторому у Ε Η^ Положим Ux := у. Из условия
ясно, что у не зависит от выбора сходящейся к χ
последовательности. Если ζη —► ζ, то
ах п + βζη —► αχ + β ζ и aUxn + βΌζη —> all x + βΌζ,
откуда U(ax + βζ) = aUx + βίΐζ. Итак, продолжение линейно.
Кроме того,
(Uxj Uζ) = lim (Uxnj Uzn) = lim (xn, zn) = (ж, г).
U—>00 П—>00
Поскольку Ϊ7 сохраняет норму, то множество U{H\) замкнуто.
Если оно плотно, то совпадает с H<i. D

7.6. Унитарные операторы
379
Обобщением унитарного оператора является частичная изо-
метрия. Так называется оператор J, определенный на
замкнутом линейном подпространстве Н\ гильбертова пространства Η
и отображающий его с сохранением нормы на замкнутое
подпространство #2 С Н. Ясно, что такой оператор сохраняет также
и скалярное произведение. Однако он не всегда продолжается до
унитарного оператора. Например, оператор J: (0, #ι,#2>· · ·) *-*·
(#ъ#2>···) изометрично отображает замкнутую гиперплоскость
в I2 на все пространство и не может быть продолжен до
изометрического оператора на всем /2. Всякая частичная изометрия V
имеет максимальное частично изометрическое продолжение V.
Действительно, если Hi не совпадает с £Г, но при этом V(H\) φ Η, то
возьмем ортогональные дополнения Ει := Н^ и Еъ := V(Hi)^-.
Тогда возможны следующие случаи: 1) пространства Ει и 2?2 изо-
метричны и потому V можно доопределить до унитарного
изоморфизма, 2) Ε<ι «больше» Ει, т.е. Ε<ι не изометрично Ει, но
имеет замкнутое подпространство Е'2, изометричное Ει, что
дает изометрию между Η и V(H{) Θ Е'2, 3) Ει «больше» E<ir т.е.
Ει не изометрично Е^, но имеет замкнутое подпространство Е[,
изометричное Ε<ι, что дает изометрию между Η ι Θ Е[ и Η.
Отметим некоторые свойства частичных изометрий.
Напомним, что ортогональный проектор — это оператор
ортогонального проектирования на замкнутое подпространство (см.
следствие 5.4.6).
7.6.7. Предложение. Пусть V € £(#). Следующие условия
равносильны:
(i) оператор V является частичной геометрией на
ортогональном дополнении ядра;
(и) V* V — ортогональный проектор на некоторое замкнутое
подпространство;
(Ш) V = VV*V.
При этом Кег V1- = V*V(H) и V* — также частичная
изометрия из V(H) на Ker V^, равная нулю на ν(Η)^.
Доказательство. Если оператор V изометрично
отображает Hi на V(Hi) и равен нулю на Н^, то оператор V* равен
нулю на V(Hi)1- и изометрично отображает V{H\) на Н\. В самом
деле, из равенства (Vx,y) = (x,V*y) видно, что V*y = 0 при
у ± V(Hi) = V{H). При у е V(#i), т.е. y = Vz с ζ Ε Ни имеем

380
Глава 7. Спектральная теория
V*y ± KerV, т.е. V*y Ε Нъ Тогда (Vx,y) = (χ,ζ) = (x,V*y)
при χ Ε Η\, откуда V*y = ζ. Поэтому V*V есть проектор на Hi,
откуда V = W*V\
Пусть V*V — ортогональный проектор Ρ на замкнутое
подпространство Н\. Тогда V = 0 на Я^ и V — изометрия на #χ,
ибо (Уж, Уж) = (У*У#,#) = (Ρχ,χ) = (Ρχ,Ρχ). Ясно, что
выполнено и равенство У = VV*V. Наконец, пусть для V имеет
место это равенство. Тогда V*V = (У*У)2, т.е. самосопряженный
оператор A = V*V удовлетворяет тождеству А = А2. Легко
проверить (это сделано ниже в лемме 7.9.1), что А — ортогональный
проектор. D
Из сказанного ясно, что оператор V является максимальной
частичной изометрией, доопределенной нулем на ортогональном
дополнении подпространства, на котором он изометричен, тогда
и только тогда, когда либо V*V = J, либо VV* = I (т.е. один из
операторов V или V* изометричен на всем Н).
Расширения изометрических операторов будут рассмотрены
в гл. 10 в связи с изучением расширений симметрических
операторов. В следующем параграфе частичные изометрии
используются для получения так называемого полярного разложения
оператора.
7.7. Непрерывные функции от самосопряженных
операторов
Всякий линейный оператор А в пространстве X можно
подставить в качестве аргумента многочлена / одного
переменного и получить оператор f(A). Здесь мы установим совершенно
нетривиальный факт, что самосопряженные операторы можно
подставлять в любые непрерывные функции.
7.7.1. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор
в ненулевом комплексном гильбертовом пространстве и Ρ —
многочлен с комплексными коэффициентами. Тогда
\\Р(А)\\ = max \P(t)\ ^ max \P(t)\. (7.7.1)
tea(A) *€Η|Λ||,||Α||]
Доказательство. Пусть P(t) = Y^=ock^- Тогда
Р{А)*Р(А) = £щАк £>Л* = Q(A),
k=0 k=0

7.7. Непрерывные функции от самосопряженных операторов 381
Q: t »->Ρ(ί)Ρ(ί) — многочлен, Р(А)*Р(А) самосопряжен. Значит,
||Р(Л)||2= sup (Р(А)х,Р(А)х) =
\\xHl
= sup (P(A)*P(A)x,x) = \\Р{А)*Р(А)\\ =
|И|<С1
sup |λ|= sup |P(t)P(t)| = sup |P(*)|2,
\£σ(Ρ(Α)*Ρ(Α)) tea(A) t£a(A)
где третье и четвертое равенства вытекают из теоремы 7.2.6,
а предпоследнее равенство получено из теоремы 7.1.9. D
В вещественном случае это же верно для вещественных
многочленов.
С помощью этой леммы легко определить непрерывные
функции от самосопряженного оператора. Напомним, что алгеброй
называют линейное пространство £, наделенное ассоциативным
умножением (а, 6) \-> аб, для которого (Ха)Ь = а(\Ь) = Ааб,
(а + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd при всех а, Ь, с, d Ε С и всех
скалярах λ. Алгебры более подробно обсуждаются в гл. 11.
Важнейший для нас пример — алгебра С(Н) операторов в гильбертовом
пространстве Н. Обозначим через С(К) алгебру непрерывных
комплексных функций на компакте К.
7.7.2. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор
в комплексном гильбертовом пространстве Η φ 0. Существует,
единственный гомоморфизм J алгебры С[а(А)) в алгебру С{Н),
такой, что
1) J{P) = Ρ (А) для всякого многочлена Р: 1R1 —» С,
2) || J(/)|| = sup |/(ί)| для всех f e C(a(A)),
tea(A)
3) J(/)* = J(f) для всех / е С(а(А)).
Аналогичное утверждение верно в случае вещественных
пространств Η и С(а(А)).
Доказательство. Для каждого многочлена / положим
J(f) ■■= №-
Для всякого / 6 С(а(А)) найдется последовательность
многочленов /п, равномерно сходящаяся к / на компакте σ(Α)
вещественной прямой. По лемме последовательность операторов /η(Ά)
фундаментальна в С{Н) и потому сходится по операторной норме

382
Глава 7. Спектральная теория
к некоторому оператору J(/) Ε С(Н). Важно, что этот оператор
не зависит от приближающей последовательности: если
многочлены дп также равномерно сходятся к / на σ(Α), то таковы и
многочлены /i,<7i,/2><fe>..., что доказывает наше утверждение.
Если многочлены ψη сходятся в С(а(А)) к функции φ, а
многочлены фп сходятся к функции ψ, то φ(Α)ψ(Α) есть
lim ψη{Α) lim ψη(Α) = lim φη(Α)ψη(Α) = (<ρ·φ)(Α),
η—>οο π—>οο η—»οο
ибо многочлены φηψη сходятся к функции φψ. Итак, построен
гомоморфизм. При этом ||/(А)|| = lim ||/n(A)||, что доказывает 2).
п—юо
Кроме того, J(/) = J(/)*. Из доказательства ясна
единственность гомоморфизма с указанными свойствами. D
Положив f(A) := J(/) для непрерывных функций /,
получаем равенство ||/(А)|| = sup |/(t)|.
tea(A)
7.7.3. Следствие. Пусть f G С(а(А)) и f(t) ^ 0 для всех
t Ε σ(Α). Тогда оператор f(A) самосопряжен и f(A) ^ 0.
Доказательство. Неотрицательная функция /
приближается неотрицательными на σ(Α) многочленами с
вещественными коэффициентами. Для этого достаточно приблизить y/f
вещественными многочленами /п и рассмотреть /„. D
Взяв функцию /(f) = \ft на [0, Н-оо) в случае оператора А ^ 0,
получаем оператор
у/А.
7.7.4. Следствие. Если А ^ 0; то оператор у/А
самосопряжен, неотрицателен и А= у/Ау/А.
Оператор у/А оказывается единственным неотрицательным
оператором, квадрат которого равен А (задача 7.10.73).
7.7.5. Следствие. Для всякого ограниченного оператора А
в гильбертовом пространстве Η оператор
\А\ := {А*А)1'2
определен и неотрицателен. Оператор \А\ называют
абсолютным значением А.
Доказательство. Имеем (А*Ах,х) = (Ах, Ах) ^ 0. D

7.7. Непрерывные функции от самосопряженных операторов 383
7*7.6. Пример. Пусть Αφ — рассмотренный в примере 7.1.11
оператор умножения в 1?(μ) на ограниченную μ-измеримую
функцию φ. Оператор Αφ можно подставлять в любые ограниченные
борелевские функции / на комплексной плоскости (не
обязательно непрерывные), определив /(Αφ) как оператор умножения AfQ<f
на ограниченную μ-измеримую функцию /οφ. Ясно, что для
многочлена / это дает оператор f(Ap). Более того, из теоремы 7.7.2
нетрудно усмотреть, что в случае вещественной функции φ
построенный там оператор /(Αφ) и есть оператор умножения на
функцию /οφ. Ниже, когда мы установим унитарную
эквивалентность всякого самосопряженного оператора некоторому
оператору умножения Αφ ^ это позволит легко определять борелевские
функции от самосопряженных операторов.
Следующий полезный результат выражает общие операторы
через самосопряженные операторы и частичные изометрии и
называется полярным разложением оператора.
7.7.7. Теорема. Пусть А — ограниченный оператор в ком-
плексном или вещественном гильбертовом пространстве Н.
Тогда существует частичная изометрия U на замыкании
образа \А\, равном ортогональному дополнению ядра А, для которой
A = U\A\.
Если А ф О имеет, нулевое ядро и плотный образ, то U —
унитарный оператор.
Доказательство. Положим
Uy~Ax, y = \A\xe\A\(H).
Так как
(Ах, Ах) = (А*Ах,х) = (\А\2х,х) = (\А\х, \А\х),
то при \А\х = О имеем Ах = О, что доказывает корректность
задания U. Из приведенных равенств получаем (Uy,Uy) = (у, у), т.е.
U — изометрия на |Л|(Я). Поэтому U продолжается до частичной
изометрии на замыкании |Л|(Я). Эти же равенства показывают,
что КегА = Кег|Л|. Так как \А\ — самосопряженный оператор,
то замыкание его образа есть ортогональное дополнение ядра (см.
лемму 6.8.4). Если оператор А инъективен и имеет плотный
образ, то оператор U на замыкании |Л|(Я") всюду определен и имеет
плотный образ. Поэтому он унитарен. D

384
Глава 7. Спектральная теория
Обычно бывает удобно доопределить U до оператора на всем
пространстве Н, положив и\кегА — 0. Ниже при необходимости
рассматривать U на всем Η будет предполагаться такое
доопределение. Способ доопределения не влияет на U\A\, однако при
указанном доопределении сопряженный оператор U* также
оказывается частичной изометрией. Действительно, так
продолженный оператор U равен нулю на Кет А и линейно и изометрично
отображает замкнутое подпространство
#1 :=(КегА)± = А*(Н)
на замкнутое подпространство
#2:=Л(Я) = (КегЛ*)±.
Ортогональное разложение Η = Кет А® А*(Н) = Кет Α* Θ Α(Η)
показывает, что оператор U* равен нулю на Кет А* и
отображает #2 изометрично на Н\ посредством обратного к U\hx (здесь
можно было бы сослаться на предложение 7.6.7). Значит, U*U
есть ортогональный проектор на i?i, a UU* есть ортогональный
проектор на Ή<ι. Это дает (при указанном доопределении С/,
конечно) равенство
\А\ = U* А.
О единственности полярного разложения см. задачу 7.10.86.
Полярное разложение напоминает представление
комплексного числа ζ в виде ζ = e™\z\. Правда, эта аналогия имеет свои
пределы. Скажем, не всегда \А + В\ ^ \А\ + \В\. Кроме того, не
всегда |Л| = \А*\. Например, если оператор А в I2 есть сдвиг
вправо (#ι,#2) ...)·-> (0,#ι,#2,·· ·)> то А*А = J и |Л| = J, однако
АА*х = (0,я?2,я?3,. ·.) и \А*\2 = АА* φ Ι.
Если оператор U унитарен (т.е. А инъективен и имеет
плотный образ), то W = U* также унитарен, поэтому А* = \A\W, где
W унитарен. Так как А* тоже инъективен и имеет плотный образ,
то аналогично А = |A*|V, где V унитарен. Однако в общем
случае не всегда можно разложить А в произведение А = ST
самосопряженного оператора S и унитарного оператора Г. В качестве
примера укажем рассмотренный выше сдвиг: оператор S должен
был бы иметь нулевое ядро и не плотный образ, что невозможно
для самосопряженного оператора.
Из полярного разложения и теоремы Гильберта-Шмидта
получаем следующее представление произвольного компактного
оператора в гильбертовом пространстве.

7.8. Функциональная модель
385
7.7.8. Предложение. Пусть К — компактный оператор
в комплексном или вещественном сепарабельном гильбертовом
пространстве Η φ 0. Тогда найдутся две ортонормированные
последовательности {φη} и {Ψη} и стремящаяся к нулю
последовательность вещественных чисел \п, для которых
оо
Кх = ]Г \η{χ, φη)Ψη, хеН.
п=1
Кроме того, всякий оператор указанного вида компактен.
Доказательство. Пусть К = U\K\ — полярное
разложение. Пусть {ψη} — собственный базис самосопряженного
компактного оператора \К\ и |/£|<£п = ληφη. Положим грп := \]ψη
при таких п, что Όψη Φ 0. Так как \К\х = Σί£=ι λη(χ,φη)ψη,
то после применения U к обеим частям этого равенства
приходим к нужному представлению (конечно, исключение номеров η
с ϋφη = 0 требует перенумерации φη и ψη). D
7.8. Функциональная модель
Основной результат этого параграфа показывает, что с
точностью до изоморфизма самосопряженные операторы — это
операторы умножения на вещественные функции. Это утверждение
является континуальным аналогом известного из линейной алгебры
факта о приведении симметричной матрицы к диагональному
виду. Нетривиальность обобщения состоит, в частности, в том, что
в бесконечномерном случае самосопряженный оператор может не
иметь собственных векторов. Приведение оператора к виду
умножения на функцию называют функциональной моделью
оператора. В следующем параграфе мы обсудим представление
самосопряженного оператора в виде интеграла по проекторнозначной
мере. Сначала мы рассмотрим операторы, аналогичные
конечномерным операторам без кратных собственных чисел. Аналогом
является следующее понятие.
7.8.1. Определение. Говорят, что оператор А в
нормированном пространстве X имеет циклический вектор h, если
линейная оболочка векторов Λ, Ah, A2h,... всюду плотна в X.
7.8.2. Пример. Единичный оператор в пространстве
размерности выше 1 не имеет циклических векторов. Оператор Αφ
умножения на аргумент в £2(μ), где μ — ограниченная борелевская

386
Глава 7. Спектральная теория
мера на отрезке, имеет циклические векторы. Например,
циклическим вектором является функция h(t) = 1, так как линейная
оболочка функций I,*,*2,... состоит из всех многочленов и
потому плотна в Ι/2(μ).
Будем говорить, что гильбертово пространство Η является
ортогональной суммой своих замкнутых подпространств Нп,
если Нп J_ Hk при η φ к и всякий вектор h Ε Η является суммой
ряда Y^Li Pnh>i где Рп ~ оператор ортогонального
проектирования на Нп.
7.8.3. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор в се-
парабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда Η является
ортогональной суммой замкнутых подпространств Нп, таких,
что А(Нп) С Нп и А\нп обладает циклическим вектором.
Доказательство. Рассмотрим семейство <S, элементы
которого — наборы попарно ортогональных замкнутых
подпространств Ε С i/, таких, что А(Е) сВи А\е имеет циклический
вектор. Это семейство частично упорядочено по включению.
Всякая цепь в S имеет мажоранту: объединение своих элементов.
Поэтому в S есть максимальный элемент S. Ввиду сепарабельности
Η этот элемент S состоит из конечного или счетного набора
взаимно ортогональных подпространств Нп с указанным свойством.
Линейная оболочка всех Нп всюду плотна в £Г, так как иначе
нашелся бы ненулевой вектор h J_ Нп. Тогда замыкание Ε
линейной оболочки последовательности векторов Akh, к = 0,1,...,
было бы ортогонально всем iin, переходило бы под действием
А в себя, а вектор h был бы циклическим для А\е- Однако
такое невозможно ввиду максимальности 5. Остается заметить, что
h = J2nLi Pnh для всякого h Ε Η (Ρη — проектор на iin), ибо
иначе вектор а = h — Σ?2=ι Pnh был бы ортогонален всем Нп и не
приближался векторами из линейной оболочки Нп. D
7.8.4. Замечание. Аналогично можно определить
разложение Η = φ ΗΊ с несчетным числом попарно ортогональных се-
парабельных замкнутых подпространств ΗΊ. Тогда предыдущая
лемма остается в силе и в случае несепарабельного i/, что
доказывается тем же самым рассуждением.
7.8.5. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор
с циклическим вектором в сепарабельном гильбертовом
пространстве Η φ 0. Тогда существует такая неотрицательная

7.8. Функциональная модель
387
борелевская мера μ на компакте σ(Α), что оператор А унитарно
эквивалентен оператору умножения на аргумент в £2(μ), т.е.
оператору Αφ с φ(ϊ) = t.
Доказательство, Пусть h — циклический вектор А.
Зададим функционал I на С(а(А)) формулой /(/) = (f(A)h, h). Ясно,
что получен непрерывный линейный функционал. Если / ^ О,
то 1(f) ^0 согласно доказанному в предыдущем параграфе. По
теореме Рисса найдется неотрицательная борелевская мера μ на
компакте σ(Α), для которой
'(/)=/ /(*)М(Л), feC(a(A)).
Для целых неотрицательных к положим
U(Akh):=pk, rAepk(t) = tk.
По линейности распространим U на конечные линейные
комбинации векторов Akh. Поскольку
(5>иЧЕ/^1тл) = ((Σ^^)(Σα*Λ*)Λ'Λ)=
-/σ(Λ)(Σ^(Σ^)^) =
= (Σα^'Σ^^)Ι/2(μ)'
το отображение U корректно определено при распространении по
линейности (т.е. совпадающие линейные комбинации переходят
в один и тот же элемент L2(/x)) и сохраняет скалярные
произведения. Множество значений U всюду плотно в £2(μ), так как
в Ι/2(μ) всюду плотно множество многочленов, т.е. линейная
оболочка {рк}· По лемме 7.6.6 можно продолжить U до унитарного
оператора из Η в £2(μ). По построению имеем
UA(22*kAkh)=u(22akAk+1h) =
= Σ akPk+i = Ар Σ akpk = AVU {^2 <*kAkh),
где <p(t) = t. Итак, UA = Αφυ, т.е. \ = UAU'1. □
Рассмотрим теперь общий случай спектральной теоремы.

388
Глава 7. Спектральная теория
7.8.6. Теорема. (Функциональная модель
самосопряженного оператора) Пусть А — самосопряженный оператор
в сепарабельном гильбертовом пространстве Η φ 0. Тогда на
прямой найдутся такие конечная неотрицательная борелевская
мера μ и ограниченная борелевская функция φ, что оператор
А унитарно эквивалентен оператору умножения на ψ β £2(μ).
При этом функцию ψ можно взять со значениями в сг(А).
Доказательство. Разложим Η в ортогональную сумму
замкнутых подпространств Нп, которые переходят в себя под
действием Д причем операторы А\нп имеют циклические векторы.
Ортогональную проекцию h на Нп обозначим через hn. Для
каждого η на компакте σ(Α) С [—||А||, \\А\\] найдем вероятностную
борелевскую меру μη, для которой оператор А\нп унитарно
эквивалентен умножению на аргумент в £2(μη). Можно считать,
что ||Л|| < 1, т.е. σ(Α) С [а, Ь] С (—1,1). Перенесем меру μη на
интервал Ωη = (2п — 3,2п — 1) и обозначим полученную меру
через ип (она сосредоточена на σ(Α) + 2п — 2). Ясно, что оператор
А\нп унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию
£ н-> ί — 2п + 2 в L2(un). Пусть Jn: Нп —> L2(vn) —
соответствующая унитарная эквивалентность. Положим
оо
/χ = ]Γ2-νη
п=1
и ψ(ί) = t—2n+2 при t Ε σ(Α)+2η—2. Вне этих компактов можно
как-нибудь доопределить φ до борелевской функции; например,
можно сделать равной фиксированному числу из σ(Α), что даст
функцию со значениями в σ(Α), а можно доопределить до
непрерывной периодической кусочно-линейной функции с φ(ί) = t при
t Ε [α, 6] (однако не всегда можно получить непрерывную
функцию со значениями в σ(Α)). В пространстве £2(μ) действует
оператор Αφ умножения на ψ. Зададим оператор J: Η —► Ζ/2(μ)
равенством
оо оо
J: h = Y^hn^Y^2n'2Jnhn.
п=1 га=1
Ряд в правой части сходится в £2(μ), ибо функции Jnhn имеют
носители в дизъюнктных множествах σ(Α) + 2п — 2, а интеграл
функции по мере μ равен сумме ее интегралов по мерам 2~пип.

7.8. Функциональная модель
389
Проверим, что получены искомые объекты. Для всякого h 6 Η
имеем
оо оо
\№\Ьм = Е2-П2ПИЛМ1Ьк) = Σ ИМ2 = IWI2·
п—1 п=1
Кроме того,
ОО ОО
n=l n=l
Итак, J — унитарная эквивалентность операторов А и Д^. D
7.8.7. Замечание, (i) В доказательстве построена мера на
прямой, а функция φ взята либо со значениями в а(Л), либо
непрерывной и кусочно-линейной, но легко видоизменить
конструкцию так, чтобы получить меру на интервале (можно и
просто преобразовать прямую в интервал с помощью функции arctg).
Непрерывной версии φ со значениями в спектре А может не быть,
если спектр не отрезок.
(ii) Замечание 7.8.4 позволяет получить аналог доказанной
теоремы в случае несепарабельного гильбертова пространства. Для
этого представим Η в виде ортогональной суммы инвариантных
относительно А взаимно ортогональных сепарабельных
замкнутых подпространств ΗΊ, η € Г. Сужение А на ΗΊ унитарно
эквивалентно умножению на измеримую функцию ψΊ: И1 —► σ(Α)
в L2(/x7), где μΊ — некоторая борелевская мера на прямой. Теперь
можно взять Г дизъюнктных копий прямой и в качестве μ взять
сумму мер μΊ на этих копиях (что дает счетно-аддитивную меру
со значениями в [0, +оо]; такая мера может не быть σ-конечной).
(Ш) Выбор Нп неоднозначен. Например, для оператора
умножения на аргумент в £^[—1,1] можно взять подпространство Н\
функций, равных нулю на (0,1], и подпространство i?2 функций,
равных нулю на [—1,0). Операторы А\щ и А\н2 имеют
циклические векторы. Тем более такое возможно при отсутствии
циклического вектора во всем Н. В §10.4 мы обсудим некоторые
канонические разложения, инвариантные при унитарных
изоморфизмах. Отметим также, что спектр ограничения А на Нп может
быть строго меньше σ(Α).
Приведение оператора к виду умножения на функцию
позволяет подставлять его в борелевские функции.

390
Глава 7. Спектральная теория
7.8.8. Определение. Пусть А — самосопряженный
оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Η φ 0 и f —
ограниченная борелевская функция на прямой. По доказанному А
унитарно эквивалентен посредством изоморфизма J оператору
умножения на ограниченную борелевскую функцию ψ β 1?(μ).
Определим оператор f(A) следующим образом:
f(A) := J-xAfoipX
Это определение переносится и на несепарабельный случай
путем разложения пространства, в котором действует
самосопряженный оператор, в прямую сумму инвариантных сепарабельных
подпространств.
Легко видеть, что такое определение согласовано с ранее
введенной конструкцией непрерывной функции от
самосопряженного оператора. В следующем параграфе борелевские функции от
самосопряженных операторов будут выражены через интегралы
по проекторным мерам, откуда будет следовать, что наше
определение борелевских функций от самосопряженного оператора не
зависит от выбора функциональной модели.
7.8.9. Следствие. Каждой ограниченной комплексной бо-
релевской функции f на прямой данное определение
сопоставляет оператор f(A) Ε С(Н) со следующими свойствами: если
f(t) = g(t) при t € σ(Α), то f(A) = g(A) и fn(A)x —> f(A)x при
всех χ Ε Η, если fn(t) —> f(t) при всех t G σ(Α) и \fn(t)\ < С < oo
при всех п EJN ut Ε σ{Α).
Доказательство. Приведем А к виду оператора
умножения на функцию ψ со значениями в σ(Α). Тогда первое
утверждение очевидно, а второе следует из теоремы Лебега. D
С учетом примера 7.1.11 получаем такое утверждение.
7.8.10. Следствие. Пусть А — самосопряженный оператор
и / — непрерывная комплексная функция на σ(Α). Тогда
a(f(A)) = f(a(A)).
Доказательство. Можно считать, что А есть оператор
умножения на ограниченную борелевскую функцию φ в £2(μ), где
μ — ограниченная неотрицательная борелевская мера на прямой.
При этом для μ-п.в. t число φ(ί) является точкой спектра А.
Тогда f(A) есть умножение на функцию / о φ, которая определена

7.8. Функциональная модель
391
μ-почти всюду. Если λ — существенное значение φ, то /(λ) —
существенное значение /о<£>, ибо множество f~l ({г: |/(λ) —ζ\ < г})
содержит окрестность λ для всякого г > 0. Если же точка η не
входит в компакт /(а(Л)), то она находится от него на
положительном расстоянии ε, поэтому |/(у>(*)) ~ή\^ ε Для μ-п.в. t, что
дает обратимость оператора f(A) — ηΐ. D
Важным примером функции от самосопряженного оператора
А является его преобразование Кэли
U = (A- И)(А + И)-1 = φ(Α),
где φ(ί) = (t — i)/(t + г). Поскольку \φ(ί)\ = 1, то оператор U
унитарен. Оператор А восстанавливается по U формулой
A = i(I + U)(I-U)-\
поскольку спектр U не содержит 1 в силу предыдущего
следствия. Обратно, для всякого унитарного оператора Z7, спектр
которого не содержит 1, оператор i(J + U)(I — U)~l самосопряжен,
что проверяется непосредственно. В самом деле, сопряженный
последнего есть — г{1 + U*)(I — U*)"1. При этом верно равенство
-(/ + U*)(I - и*)'1 = (I + U){I - С/)"1, ибо после умножения
обеих частей на обратимый оператор (I — U*)(I — U) с учетом
перестановочности U и U* мы приходим к верному равенству
-(I+U*)(I-U) = (I + U)(I-U*) (в обеих частях стоит С/-С/*).
Если оператор А не имеет циклических векторов, то он не
может быть унитарно эквивалентным оператору умножения на
аргумент в £2(μ) для какой-либо меры μ на отрезке, ибо такой
оператор умножения обладает циклическим вектором, а наличие
циклических векторов очевидным образом сохраняется при
унитарных изоморфизмах. Однако и в отсутствие циклических
векторов самосопряженный оператор приводится к виду умножения
на аргумент в пространстве векторных функций (cM.§7.10(viii)).
7.8.11. Замечание. Полезно сравнить теорему Гильберта-
Шмидта о диагонализации компактного самосопряженного
оператора А в сепарабельном гильбертовом пространстве Η с
теоремой о приведении к виду умножения на ограниченную
вещественную измеримую функцию φ в £2(/х), где μ — ограниченная
борелевская мера на прямой. Если оператор А не имеет кратных
собственных чисел (в том числе кратного нулевого), а
пространство Η бесконечномерно, то А унитарно эквивалентен оператору
умножения на аргумент в £2(μ), где μ — вероятностная мера,

392
Глава 7. Спектральная теория
сосредоточенная на множестве {ап} собственных чисел Л;
можно считать, что значение μ на ап равно 2~п. В случае кратных
собственных чисел можно разложить А в прямую сумму
операторов без кратных собственных значений и применить ту же
конструкцию, что и в общей теореме. С другой стороны, теорему
Гильберта-Шмидта можно вывести из общей спектральной
теоремы. Для этого достаточно проверить, что если оператор
умножения на φ в Ι/2(μ) компактен, то ограничение меры μ на
множество {t: φ(ί) Φ 0} сосредоточено в счетном числе точек (тогда их
индикаторы — собственные функции). Эта проверка — предмет
задачи 7.10.87.
Приведем пример плодотворного сочетания спектральной
теоремы и полярного разложения.
7.8.12. Предложение. Пусть А — ограниченный оператор
в гильбертовом пространстве Н.
(i) Оператор А не является компактным в точности тогда,
когда существует такое бесконечномерное замкнутое
подпространство #о С Н, что сужение А на Щ имеет ограниченный
обратный оператор, т.е. отображение А: Но —► A{Hq) взаимно
однозначно и обратное к нему непрерывно.
(ii) Оператор А компактен в точности тогда, когда
lim Pen||=0
п—юо
для каждой бесконечной ортонормированной
последовательности {еп} в Н. Это равносильно также тому, что
lim (Αψη,φη) = 0
η—юо
для всяких бесконечных ортонормированных
последовательностей {фп} и {ψη\ {см., однако, задачу 7.10.113).
Доказательство, (i) Мы уже знаем, что компактный
оператор не может быть обратим на бесконечномерном
пространстве. Предположим, что А не является компактным.
Достаточно иметь дело с сепарабельным Н. Сначала рассмотрим случай,
когда А самосопряжен и неотрицателен. Можно считать, что А
есть умножение на ограниченную неотрицательную борелевскую
функцию φ в £2(μ), где μ — некоторая борелевская
вероятностная мера на прямой. Тогда при некотором ε > 0 борелевское
множество Εε := {t: φ(ί) ^ ε} обладает тем свойством, что
подпространство #о в Ι/2(μ), состоящее из функций, равных нулю
вне Дг, бесконечномерно. В противном случае оператор А был

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
393
бы компактен, так как он является пределом (по норме)
операторов умножения на φΪΕε при ε —> 0. Ясно, что на Щ наш
оператор обратим. В общем случае возьмем полярное разложение
А = U\A\. Тогда |Л| тоже не компактен. По доказанному
имеется бесконечномерное замкнутое подпространство Щ, на котором
\А\ обратим, т.е. есть такое с > 0, что ||#|| ^ с|||А|#|| при χ Ε Щ.
Тогда имеем ||ж|| ^ с||Ас|| при χ Ε #ο·
(ii) Пусть А Ε }С(Н) и {еп} — ортонормированная
последовательность. Тогда Аеп -^0в слабой топологии, ибо для всякого
у Ε Η мы имеем (Аеп,у) = (еп,А*у) —> 0. Значит, Щеп|| -»-> 0.
Если же А £ К,(Н), то в силу (i) найдется бесконечная
ортонормированная последовательность {еп} с ||Деп|| ^ с > 0. Можно
найти также две ортонормированные последовательности {фп}
и {ψη} с \(Αφη,φη)\ ^ с > 0. Для этого заметим, что оператор
у/\А\ тоже не является компактным. Значит, можно взять
бесконечную ортонормированную последовательность {ψη} так, что
llvT^IWI ^ с > 0. Такую последовательность можно выбрать
в подпространстве
#i := Ker y/\A\L = Ker \А\± = КегА\
Положим ψη = Uipn. Это дает ортонормированную
последовательность, так как ψη Ε Ηχ, а оператор U — изометрия на Н\.
При этом также \А\фп Ε \Α\(Η) С Н\. Мы получаем
(Αψη,Ψη) = (υ\Α\ψη,υψη) = (\А\фп,фп) = HvPi^nf > с2,
что завершает доказательство. D
В заключение этого параграфа отметим, что построенные
нами представления самосопряженных операторов в виде
операторов умножения на функции оставляют открытым такой вопрос:
как по двум операторам умножения определить, эквивалентны
они или нет? Этот вопрос будет исследован в гл. 10.
7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
Ортогональным проектором в гильбертовом пространстве Η
называют оператор ортогонального проектирования на
замкнутое подпространство (см. следствие 5.4.6).
7.9.1. Лемма. Ограниченный оператор Ρ является
ортогональным проектором в точности тогда, когда Р* = Ρ = Ρ2.

394
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Если Ρ — проектор на замкнутое
подпространство #о> то Р2 = Ρ и (Рх, у) = (#, Ру), т.е. Р* = Р, что уже
отмечалось в примере 6.8.3. Обратно, если выполнены указанные
равенства, то положим
Н0 := Кег(/ - Р), Щ := Кег(Р).
Ясно, что Но и ϋ/χ замкнуты, причем Η о J- ί/ι, ибо при χ Ε Щ
и у Ε Hi мы имеем (ж, у) = (Рж, у) — (#, Ру) = 0. Так как
х-Рхе Кег(Р), Рх е Кег(/ - Р),
то для всякого вектора χ получаем разложение χ = (χ — Ρχ) + Ρχ,
где Рх 6 #о и χ — Р# 6 j&i, т.е. Я есть сумма Щ и #χ. На
подпространстве Щ оператор Ρ совпадает с тождественным, а на
Η χ равен нулю. Поэтому Ρ есть проектор на #ο· Π
Здесь мы обсудим представление самосопряженного
оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере.
7.9.2. Определение. Пусть (Ω,β) — измеримое
пространство, Η — сепарабельное гильбертово пространство.
Отображение И из В в пространство V(H) ортогональных проекторов
в Η называется проекторной мерой (или проекторнозначной
мерой), если для всяких а, 6 Ε Η комплексная функция
Па,6: В*->(ЩВ)а,Ь)
является ограниченной счетно-аддитивной мерой на В.
Отметим простейшие свойства проекторной меры П:
1) отображение Π аддитивно, т.е. Tl(B\ U B2) = Π(Ρχ) + П(Р2)
для дизъюнктных В\,В2 € В;
2) Π(Βι) ^ П(Я2), если ВЪВ2 € В и Вг с В2\
3) Π(Βι)Π(Β2) = Π(Β2)Π(Βι) = 0 для дизъюнктных Ви В2 6 В\
4) Π(Ρι)Π(Β2) = Π(Β2)Π(Βι) = U(B1DB2) для всех ВЪВ2 е В.
Свойство 1) следует из аддитивности мер На,ь· Свойство 2)
следует из равенства ΐί(Β2) = ΐΙ(Β\) + ΙΙ(Β2\Βι) с учетом того,
что Π принимает значения во множестве неотрицательных
операторов. Для доказательства 3) заметим, что из 1) и равенства
n(JBi U В2) = U(B\ U В2)2 следует равенство
Π(Βι)Π(Β2) + Π(Ρ2)Π(Βι) = 0.
Умножив его слева на II(i?i), получим
П(В1)ЩВ2) + Π(Βι)Π(Β2)Π(Βι) = 0,

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
395
т.е. Ώ(Βι)Ώ(Β2)(ΐ + Π(Βι)) = 0. Так как оператор I + Π(Βι) ^ /
обратим, то ΐΙ(Βι)Ώ(Β2) = 0. Второе равенство в 3) следует из
первого. Для всяких Βι,Β2 € В можно записать В% = С\ U D,
B2 = C2UD, где
d = Βι\(Βι П В2), С2 = В2\(В! П В2), D = Вх П В2.
Поскольку Ci,C2,D дизъюнктны, то по доказанному проекторы
II(Ci), ЩС2) и П(£>) коммутируют, причем
П(С1)П(С2) = П(Сх)П(1)) = U(C2)n(D) = 0.
Это дает равенство Π(Βι)π(Β2) = 11(D)2 = 11(D).
Так как ЩВ) — проекторы, то
Πα,α > 0, Π0,0(Ω) ίζ ||α||2.
Равенство ReIIa)6 = ^(П0+б,а+б - П0,о - Щ,ь) дает для вариации
меры Π0ι6 оценку
11ЗД < 2(||α + Ь||2 + Н2 + ||6||2) < б||а||2 + 6||Ь||2.
Для всякой ограниченной комплексной й-измеримой
функции / мы определим интеграл
[ /(и>)Ш{и>)
как такой ограниченный оператор Т, что
(Та,Ь)= I f{u)dHa^u)
для всех а, Ь Ε Η. Действительно, правая часть этого равенства
линейна по а, сопряженно-линейна по 6 и раздельно непрерывна
по α и 6, что следует из приведенной выше оценки для
вариации (достаточно также воспользоваться непрерывностью
функций Πα^(β)). Можно пойти дальше и ввести интеграл Лебега по
ii-значной мере, чтобы с помощью него задавать Та. Наконец,
можно задавать операторный интеграл с помощью сходящихся
по операторной норме частичных сумм. Мы не будем развивать
здесь эти подходы, ограничившись следующим утверждением.
7.9.3. Предложение. При каждом η можно так разбить Ω
на дизъюнктные части Ωη?ι,..., Ωη?η Ε В, что при любом выборе
точек ωη^ € Ωη^ суммы Σ2=ι /(^η^)Π(Ωη^) будут сходиться
к Τ по операторной норме.

396
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Достаточно доказать наше утверждение
для вещественных функций. Тогда оператор Τ и упомянутые
суммы являются самосопряженными операторами. Можно считать,
что 0 ^ /(а;) < 1. Разделим [0,1) на равные промежутки вида
Jnk = [(fc — 1)/п, к/п) и положим Ωη^ = f~l(Jn,k)· При любом
выборе точек ωη^ Ε Ωη^ для всякого α Ε Η с \\а\\ ^ 1 имеем
I п I
' fc=i '
In л η
Σ / /Μ <*Πα,α(ω) - Σ /Κ,^Πα,α(Ωη,*)
^
1
< Σ SUP Ι/Μ - /(ωη,*)|Πα,α(Ωη,*) ^ -·
fc=1 и)££1Пук п
Поскольку мы имеем дело с самосопряженными операторами, то
по теореме 7.2.6 получаем \\Т - Σ£=1 /(α;η,Α;)Π(Ωη^)|| ^ 1/n. D
Отметим, однако, что интеграл по проекторной мере не
является интегралом Бохнера по операторной норме.
7.9.4. Предложение. Пусть Π — проекторная мера на
σ-алгебре В в пространстве Ω, φ и ψ — ограниченные В-изме-
римые комплексные функции, А и В — интегралы от φ и ψ по
мере Π β указанном выше смысле. Тогда для всяких и, ν Ε Η
имеем
(ABu,v) = Ι ψ{ω)φ{ω)(Μ^υ{ω). (7.9.1)
Jil
Доказательство. Из предыдущего предложения ясно, что
Tl(S)B = BTl(S) для всех 5 € В. Достаточно проверить (7.9.1)
для функций с конечным числом значений, что сводится к
индикаторам множеств. В том случае, когда φ = Jsi> Φ — Js2>
предположим сначала, что SiflS2 = 0. Тогда правая часть (7.9.1) равна
нулю, а левая часть есть
UbuASi) = (Щв1)Ви, ν) = (5Π(5ι)«, г;) = (Π0&)Π(&)«, г;) =0.
Верно доказываемое равенство и в том случае, когда S\ = 52.
Общий случай следует из доказанного, ибо
Si = Mi U (Si Π S2), S2 = M2 U (Si Π S2),
где Mi, M2 и Si Π S2 попарно не пересекаются. D

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
397
Особенно важен случай, когда Ω = К — компакт на прямой
(например, [а, Ь])иВ есть борелевская σ-алгебра К. В этом случае
возникает самосопряженный оператор
А:= [ А<Ш(А). (7.9.2)
JK
Из предыдущего предложения следует, что для всякого к Ε ΊΝ
оператор Ак записывается как интеграл от \к по dH(X). Значит,
для всякого многочлена / получаем
f(A)= ί /(А)<Ш(А).
Jk
Так как две борелевские меры на компакте с одинаковыми
интегралами от многочленов равны (см. лемму 3.8.8), то приходим к
следующему выводу.
7.9.5. Следствие. Если А представлен в виде (7.9.2) по про-
екторной мере Π на К, то такая мера единственна.
Покажем теперь, что всякий самосопряженный оператор
представим в виде интеграла по проекторной мере.
7.9.6. Теорема. (Спектральное разложение
самосопряженного оператора) Пусть А — самосопряженный
оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Η φ 0.
Тогда существует и единственна такая проекторная мера Π на
^(IR1) с П(И1) = I, равная нулю вне некоторого отрезка, что
для всякой ограниченной борелевской функции f имеем
f(A)= I /(А)<Ш(А)=/ /(А)<Ш(А). (7.9.3)
В частности,
А= [ АД1(А) = [ АЛ1(А). (7.9.4)
Ja(A) JJR1
Мера Π сосредоточена на σ(Α), т.е. П(Н1\а(Л)) = 0.
Доказательство. Положим ЩВ) := 1в(А). Тогда ЩВ) —
ортогональный проектор, ибо ЩВ) ^ 0 и ЩВ)2 = ЩВ). Если А
реализован как оператор умножения на борелевскую функцию φ,
то ЩВ) есть оператор умножения на Ιβ°Ψ = Ιφ-ΐ(Β)· Мера Π
сосредоточена на σ(Α), т.е. ЩВ) = 0 при В Π σ(Α) = 0, ибо

398
Глава 7. Спектральная теория
по теореме 7.8.6 можно выбрать φ со значениями в σ(Α). Если
/ = ^м> где Μ Ε SQR1), то для всяких а, Ь е # имеем
/ IM(t)dnaib(t) = f IM(t)dnaib(t) = Uaib(M) = (1м(А)а,Ъ),
Ja(A) JJR1
т.е. равенство (7.9.3) верно для простых /. С помощью
равномерных приближений оно легко переносится на ограниченные /.
Единственность меры Π ясна из следствия выше. D
Конечно, в (7.9.3) или (7.9.4) вместо σ(Α) можно брать какой-
либо отрезок [a,b] Э &(А), например, отрезок [— \\А\\, \\А\\].
Для оператора умножения на аргумент явное вычисление
спектральной меры проведено в доказательстве: И(В) есть
умножение на 1в- Из доказательства легко усмотреть и явный вид
мер Па?& оператора умножения на φ в 1?(μ): Πα^ = (ab · μ)οφ~1
для всех α, Ь Ε 1?(μ). Например, для оператора умножения на
аргумент мера Па& задается плотностью ab относительно μ.
Если А — ортогональный проектор, то в случае А ф О и А ф I
имеем Π = (I — A)5q + Αδ\, где δο и δ\ — дираковские меры
в точках 0 и 1. Наконец, если А — самосопряженный оператор
с собственным базисом {еп} и собственными числами {αη}> т-е.
Аеп = апеп, то Π = Σ™=1 Ρηδαηι гДе рп — проектор на линейную
оболочку еп.
Из этой теоремы и предложения 7.9.3 следует, что
самосопряженный оператор А является пределом по операторной норме
последовательности конечных линейных комбинаций
ортогональных проекторов. В этом легко убедиться и с помощью теоремы
о приведении А к виду умножения на ограниченную
вещественную функцию <£>, равномерно приблизив φ простыми функциями.
Проекторнозначная функция Щ(Л) := П((—оо, λ))
называется разложением единицы. Это — очень важная характеристика
оператора А. Подобно функции распределения скалярной меры,
она обладает следующими свойствами:
(i) П0 (λ) ^ П0(μ) при λ < μ,
(ii) По(Хп)х —» Uq(X)x для всех χ Ε Η при λη j λ.
Кроме того, Π0(α) = 0 при а < — \\А\\ и По(Ь) = I при Ь > \\А\\.
Проекторные меры с равными разложениями единицы равны,
поскольку числовые меры однозначно определяются их
функциями распределения. При этом функцию По можно задать через

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
399
оператор А без использования его функциональной модели (но
используя функциональное исчисление). Для этого положим
По(Л)/ь = lim ψη(Α)1ι,
η—>оо
где непрерывные функции ψη на прямой заданы так: φη(ί) = 1
при t ^ λ — 1/n, i/>n(t) = 0 при t > λ, а на (λ— 1/?г, λ) функция фп
линейно интерполируется. Это показывает, что построенные
нами ограниченные борелевские функции от А однозначно
определяются самим оператором А (по функциональному исчислению)
и не зависят от выбора его функциональной модели
(использованной при нашем определении этих объектов). Независимость
от модели видна также из следствия 7.9.5.
По функции По с указанными выше свойствами можно
построить проекторнозначную меру аналогично тому, как числовая
мера строится по функции распределения. Прежде чем это
доказывать, отметим, что для ортогональных проекторов Р\ и Ρ<ι
в Η условие Р\ ^ Ρ<ι равносильно тому, что Р\{Н) С Р2(Н). В
самом деле, если (P\h,h) ^ (P2h)h), то для всякого h с P\h = h
имеем ||/i||2 = (P\h,h) ^ (P^h^h)^ откуда P^h — /i, так как Ρ<ι —
ортогональный проектор. Обратное очевидно.
7.9.7. Предложение. Пусть По: JR1 —» V(H) имеет
свойства (i) и (и) выше, причем По (а) = 0 и По (Ь) = I при некоторых
а < 6. Тогда существует самосопряженный оператор А со
спектром в [а, 6], для которого По есть разложение единицы.
Доказательство. Функция ПЖ}Ж: λ н-* (Πο(λ)#,χ) при
каждом χ Ε Η есть функция распределения некоторой
неотрицательной борелевской меры μχ на прямой, сосредоточенной на [а, 6],
причем \\μχ\\ ^ ||#||2· Функция Их,у: λ ι-* (По(\)х,у) для всяких
х,у Ε Η является функцией распределения комплексной
борелевской меры μχ^ на прямой, заданной через меры μχ соотношением
4//ж,у := Мж+у — μχ—y + Щх+iy ~ Щх—iy
Тогда μΧιΧ = μχ. Для всех λ имеем
М«,у((-оо,А)) = (П0(А)я,у).
Так как меры на прямой с равными функциями распределения
равны, то μχ+z.y = №х,у + Hz,y, V>ax,y = αβχ,ν и Мж,у = /%ж·
Ясно, что ||Мя,у|| < 4 при ||х|| ^ 1, \\у\\ ^ 1. Поэтому для каждого
борелевского множества В на прямой функция (х, у) ι-» μχ^υ(Β)

400
Глава 7. Спектральная теория
линейна по #, сопряженно-линейна по у и непрерывна по
каждому аргументу. Значит, найдется такой оператор Р{В) Ε £(i/),
что μΧιν(Β) = (Р(В)х,у). Так как μΧίΧ ^ 0, то Р(В) —
неотрицательный самосопряженный оператор. Проверим, что Р{В) —
ортогональный проектор. Оператор Ρ (В) = ΤΙο(β) — По (α) для
В = [α, β) — ортогональный проектор, что легко проверить с
помощью равенства ΙΙο(α)ΐΙο(β) = Πο(/?)Πο(αΟ = По(<*),
вытекающего из условия По (а) < По(/3). Из сказанного следует
равенство Р(В Π Ε) = Р(В)Р(Е) = Р(Е)Р(В) для полуинтервалов.
Пусть ж, у 6 Н. Рассмотрим две комплексные борелевские
меры Ε н-> (Р(ВГ)Е)х,Р(Е)у) и£и (Р(В)х,Р(Е)у). Если В -
полуинтервал [а,/?), то эти меры равны на полуинтервалах и
потому совпадают, т.е. Р(В Π Ε) = Р(В)Р(Е) = Ρ (Ε) Ρ (В) для
всех борелевских £7. Повторяя это рассуждение при
фиксированном борелевском £7, заключаем, что равенство остается в силе
для всех борелевских В. В частности, Р(В) = Р(В)2. Ясно, что
Πο(λ) = Р((—сю,λ)). Теперь положим
А:= [ \dP(\).
J[aM
Ввиду следствия 7.9.5 оператор А порождает проекторную меру
Ρ и имеет разложение единицы По- □
7.10. Дополнения и задачи
(i) Структура спектра (400). (Н) Коммутирующие
самосопряженные операторы (403). (Hi) Образы операторов в гильбертовом
пространстве (408). (iv) Операторы Гильберта-Шмидта и ядерные
операторы (412). (ν) Интегральные операторы и теорема Мерсе-
ра (427). (vi) Тензорные произведения (430). (vii) Фредгольмо-
вы операторы (431). (viii) Векторная форма спектральной
теоремы (435). (ix) Инвариантные подпространства (437). Задачи (438).
7.10(i). Структура спектра
Обсудим структуру спектра ограниченного оператора А в
бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Множество
σ(Α) — непустой компакт в С. При этом всякий непустой компакт
К С С есть спектр некоторого оператора А £ £(#), ибо в К можно
найти конечное или счетное всюду плотное множество точек λη, взять
ортонормированный базис {еп} в Η и с помощью формулы Аеп = Хпеп
задать ограниченный диагональный оператор в Н. Его спектр —
замыкание {λη} (задача 7.10.57), т.е. К. Как доказали Гауэрс и Морэ,

7.10. Дополнения и задачи
401
существуют бесконечномерные сепарабельные банаховы пространства,
в которых спектр всякого ограниченного оператора конечен или счетен.
Если множество (А — Х1)(Н) плотно и оператор (А — λ/)-1
непрерывен на нем, то он продолжается до ограниченного оператора,
который будет служить обратным к А — XI. Часть спектра А — это
точечный спектр, т.е множество σρ{Α) собственных значений
(которых, как мы знаем, может и не быть в бесконечномерном случае).
Остальные числа λ е &{А) попали в спектр потому, что отображение
(А — Х1)~г: (А — Х1)(Н) —> Η либо разрывно, либо определено не на
плотном множестве (хотя и непрерывно). Непрерывный спектр σ€(Α)
обычно определяют как множество всех тех λ £ σ(Α)\σρ(Α), для
которых А — XI имеет плотный образ, но обратный оператор разрывен
на нем. Тогда остаточный спектр аг(А) — это σ(Α)\(σρ(Α) U ас(А)),
т.е. совокупность тех λ, для которых образ оператора А — XI не плотен
(при этом (А — λ/)-1 может быть как ограничен на этом образе, так
и разрывен). Впрочем, в литературе встречаются и несколько другие
разбиения спектра на части. Например, можно относить к остаточному
спектру лишь те λ, для которых образ А — XI не плотен, но обратный
оператор ограничен.
Опишем структуру множества собственных значений.
7.10.1. Теорема. Пусть А — ограниченный оператор в
бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда
множество σρ(Α) всех собственных значений А является счетным
объединением компактов.
Обратно, всякое ограниченное множество, являющееся счетным
объединением компактов, служит множеством всех собственных
значений некоторого ограниченного оператора в Н.
Доказательство. Множество собственных чисел ограничено как
часть спектра. Замкнутый единичный шар U в Η со слабой
топологией — метризуемый компакт. Поэтому его открытое подмножество
ί7\{0} можно представить в виде счетного объединения замкнутых
(в слабой топологии) частей Кп С U. Множества Кп компактны в
слабой топологий. Точка λ £ С является собственным значением А в
точности тогда, когда ||Ас — Хх\\ = 0 при некотором χ £ ?7\{0}. Поэтому
σρ(Α) есть объединение проекций на С множеств
Мп:={(х,Х) €KnxD: \\Ах - Хх\\ = 0},
где D — замкнутый круг в С с центром в нуле и радиусом ||А||.
Заметим, что Мп — компакт, если Кп рассматривать со слабой топологией.
Это видно из того, что Кп х D компактно при наделении Кп слабой
топологией, а Мп замкнуто в этом произведении, ибо выделяется
условиями λ(χ,βί) = (х,А*е*), где {е*} — ортонормированный базис в Н.
Следовательно, проекция Мп на С также компактна.

402
Глава 7. Спектральная теория
Покажем, что всякое ограниченное множество Р, равное
объединению компактов Sn С С, совпадает с точечным спектром некоторого
ограниченного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Достаточно сделать это для каждого Sn в отдельности, ибо прямая
сумма равномерно ограниченных операторов Ап в гильбертовых
пространствах Нп имеет в качестве собственных чисел объединение точечных
спектров Ап. Итак, будем иметь дело с одним компактом S. Считаем,
что он непуст и содержится в D := {ζ: \ζ\ < 1}. Рассмотрим
пространство Бергмана A2(D) всех голоморфных в D функций / е L2(D), где D
наделено мерой Лебега (пример 5.2.2). Мы знаем, что A2(D) является
сепарабельным гильбертовым пространством с нормой из L2(D), т.е.
\\f\\%(D)--= I \f(x + iy)\2dxdy.
Jd
Рассмотрим оператор Τ в сопряженном к Α2(Ζ>), заданный формулой
Тф(/) := i>(zf), где (zf)(z) = zf(z). Сейчас мы не отождествляем
A2(D) с его сопряженным. Фактически Τ есть оператор,
сопряженный умножению на аргумент в A2(D). Однако у оператора Τ слишком
много собственных чисел: всякая точка λ из D оказывается
собственным числом, ибо функционал ψ\: / »-► /(λ) удовлетворяет равенству
Тф\ = Χψ\. Непрерывность этого функционала ясна из оценки (5.2.1)
в примере 5.2.2. Поэтому естественно взять в качестве Η замкнутое
линейное подпространство в A2(D)*, порожденное функционалами ф\
с λ £ S. Ясно, что Т(Н) С iJ, причем все элементы S остаются
собственными числами Т\н- Проверим, что других собственных чисел нет.
Достаточно убедиться, что оператор Τ в Η не имеет собственных чисел
на единичной окружности, а для всякого λ £ D ядро Τ — XI во всем
A2(D)* одномерно. Поскольку Τ сопряжен оператору Τι умножения
на аргумент в A2(D), то нужно проверить, что образ Τι — XI плотен
при |λ| = 1 и имеет одномерное ортогональное дополнение при |λ| < 1.
Предположим, что найдутся такие λ € |λ| = 1 и единичный вектор
д £ A2(D), что (Τι/ - Xf,g) = 0 при всех / £ A2(D), т.е.
/ (х + iy)f(x + гу)д(х + гу) dxdy = λ / f(x + гу)д{х + гу) dx dy
Jd Jd
при всех / £ A2(D). В частности, при / = д получаем в правой
части число, модуль которого равен 1. Левая часть строго меньше, ибо
|#+*2/| < 1 ПРИ #+г2/ € D. Пусть теперь |λ| < 1. Поскольку функционал
/ н-*· /(λ) непрерывен, его ядро Η χ замкнуто и имеет коразмерность 1.
При этом всякая функция из Н\ входит в образ оператора Τι — XI.
Действительно, для всякой функции f £ Н\ функция g(z) — {z — X)~1f(z)
входит в A2(D) (она голоморфна и квадратично-интегрируема в D, ибо
ДА) = 0) и удовлетворяет равенству / = (Τχ — XI)д. D

7.10. Дополнения и задачи
403
Близкие соображения дают следующий результат (см. [584]).
7.10.2. Теорема, (i) Для всякого оператора А £ С{12) множество
ас(А) является счетным пересечением открытых множеств.
(И) Пусть К С С — непустой компакт, причем К — PUCUR, где
Р, С и R попарно дизъюнктны, Ρ — счетное объединение компактов
и С — счетное пересечение открытых множеств. Тогда существует
такой оператор А е С{12), что σρ(Α) = Ρ, ас(А) = С и ar(A) = R.
7.10(H). Коммутирующие самосопряженные операторы
Класс самосопряженных операторов входит в класс нормальных
операторов, т.е. таких ограниченных операторов В на гильбертовом
пространстве, что В В* = В* В. В этот же класс входят и
унитарные операторы. Оказывается, нормальные операторы также
приводятся к виду умножения на функцию. Этот факт выведен ниже из более
общего утверждения об одновременном приведении коммутирующих
самосопряженных операторов к виду умножения на функцию.
Сначала докажем вспомогательный результат о проекторных мерах. На про-
екторные меры распространяются некоторые (но не все!) результаты
обычной теории меры.
7.10.3. Предложение. Пусть на алгебре 1Ζ в пространстве Ω
задана аддитивная функция множества Π со значениями в множестве
ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве Н.
Предположим, что для всяких а,Ъ £ Η комплексная функция
Д^Па,ь(Я):=(П(Я)а,&)
счетно-аддитивна на TZ. Тогда функция Π имеет единственное
продолжение до проекторной меры на σ-алгебре σ(1Ζ), порожденной ΤΖ.
Доказательство. Для фиксированных а,Ь £ Η функция Па}&
имеет единственное продолжение до счетно-аддитивной комплексной
меры на σ(7£), обозначаемой тоже через На,ь· В самом деле, если а = 6,
то функция Πα)α на 1Ζ счетно-аддитивна, неотрицательна и ограничена,
ибо (П(Я)а,а) < (Π(Ω)α,α). По теореме 2.4.6 она однозначно
продолжается до ограниченной меры σ(ΤΖ). Формулы
2Kb Па,ь = Па+ь,а+Ь — Πα>α — Π&}&, 21m Πα,& =? Па+гЬ,а+гЬ — Πα,α + Пь,Ь
дают продолжение Πα>& на σ(ΊΖ). При этом Па^ = Щ,а на σ(7£), ибо это
верно на 1Ζ. Следовательно, для каждого S £ сг(7^) существует
ограниченный самосопряженный оператор П(5) с (П(5)а,6) = Па}&(5) (см.
лемму 7.2.2). Из построения следует, что 0 ^ Щ£) ^ I. Покажем, что
П(5) — ортогональный проектор. Обозначим через Μ класс множеств
S £ σ(ΤΖ) с таким свойством. Тогда Μ содержит алгебру ΤΖ. Кроме того,
Μ — монотонный класс, т.е. если множества Мп из Μ либо возрастают

404
Глава 7. Спектральная теория
к М, либо убывают к М, то Μ £ ΛΊ. Действительно, в первом случае
Π(Μη+ι) = П(МП) + U(Mn+l\Mn) ^ П(МП), т.е. П(МП)
представляют собой проекторы на возрастающие замкнутые подпространства Нп
и потому Μ является проектором на замыкание объединения Нп. Во
втором случае рассуждение аналогично. D
7.10.4. Следствие. Пусть П' и П" — проекторные меры на σ-
алгебрах А! и А" в пространствах Ω' и Ω". Предположим, что П'(5')
и П"(5") коммутируют для всех S' £ А' и S" £ А". Тогда на σ-алгебре
А = Д'(8>Д" в пространстве Ω = Ω'χ Ω" имеется такая проекторная
мера П, что П(5' х S") = II'(S')II"(S") для всех S' £ А' и S" £ А".
Доказательство. Произведения вида S'xS", где S'eA', Sn£A",
представляют собой полуалгебру 7£о, на которой Π задается
равенством II(S'xS") = n'(S')II"(S"). Легко проверить, что получена
аддитивная проекторнозначная функция. Множества из алгебры 7£,
порожденной Т^о, имеют вид R = R\ U · · · U Rn, где Я* £ ΤΖο дизъюнктны.
Продолжим Π на Έ, формулой П(Д) = Π(ί?ι) Η h П(ДП). Заметим,
что U(Rl)U(Rj) = 0 при г φ j. Значит, П(Д) — ортогональный
проектор. Из предложения 2.3.7 следует, что неотрицательные числовые
меры R н-*· (П(Д)а, а) счетно-аддитивны на TZ для всех а £ Н. Это дает
счетную аддитивность комплексных мер R н-*· (П(Л)а,b), а,Ь £ Н. D
7.10.5. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор с
циклическим вектором, а самосопряженный оператор В коммутирует с А.
Тогда В является борелевской функцией от А.
Доказательство. Можно считать, что А — оператор
умножения на аргумент в 1?(μ) для некоторой меры μ на отрезке. Положим
φ = 5(1), где выбрана борелевская версия функции В(1) £ £2(μ),
и покажем, что В совпадает с оператором умножения на ψ. Сначала
проверим, что для всякой функции pk: t н+ tk имеет место равенство
Ври = ipPk- При к = О это верно. Если равенство верно при некотором
к ^ 0, то оно остается в силе и для к + 1, так как справедливы
соотношения Bpk+ι = BApk = ABpk = A(ippk) = фрк+ι· Для завершения
доказательства надо еще установить, что ψ £ L°°(/i), ибо тогда
оператор умножения на φ ограничен и можно сделать вывод, что В = ψ(Α).
По доказанному для всяких многочленов f и g имеем
|/ι/>/5Φ| = \(Bf,g)\ < ||i?|| 11/11 Ы1· (7.Ю.1)
Эта оценка с помощью равномерного приближения легко
распространяется на непрерывные функции f и д. Далее она распространяется
на функции /,# е Ζ,°°(μ), ибо для каждой функции из L°°(/i) можно
найти равномерно ограниченную и μ-почти всюду сходящуюся к ней

7.10. Дополнения и задачи
405
последовательность непрерывных функций. Оценка (7.10.1) для
функций из L°°(/i) показывает, что \φ(ί)\ < ||В|| для μ-п.в. t.
Действительно, если множество Μ = {t: \φ(ί)\ > \\В\\} имеет положительную меру,
то положим д = 1м и f = ξ/м, где функция ξ £ £°°(μ) такова, что
Ф(Ш) = №)\. Тогда
||Β||μ(Μ) < ^(*)/(*Шм(Л) < \\В\\у/^уЪ(Щ,
что дает противоречие. D
7.10.6. Лемма. Пусть самосопряженные операторы А и В β се-
парабельном гильбертовом пространстве коммутируют. Тогда для
всяких ограниченных борелевских функций φ и φ операторы φ(Α)
и ψ (В) коммутируют.
Доказательство. По задаче 7.10.78 есть такие многочлены pnj
что операторы рп(А) сходятся к φ(Α) на каждом векторе. Тогда
Βφ(Α)χ = lim Bpn(A)x = lim pn(A)Bx = φ(Α)Βχ.
п—*оо η—>οο
Итак, В коммутирует с φ(Α). Еще раз применив доказанное, получаем
равенство φ(Β)φ(Α) = φ(Α)φ(Β). D
7.10.7. Теорема. Предположим, что самосопряженные
операторы Αχ,..., Αη β сепарабельном гильбертовом пространстве Η φ 0
коммутируют. Тогда найдутся ограниченная неотрицательная боре-
левская мера μ на JRn, унитарный изоморфизм J: Η —> £2(μ) и
ограниченные борелевские функции ψι,...,φη на JRn, такие, что
операторы JAiJ~x являются операторами умножения на ψ\ при г = 1,..., п.
Доказательство. Сначала предположим, что имеется такой
единичный вектор ft, что множество конечных линейных комбинаций всех
векторов вида А*1 · · · A^n ft, ki =0,1,..., плотно в Н. Запишем Аг в
виде интегралов по проекторным мерам П* на прямой. На Шп можно
задать проекторную меру Π с помощью следствия 7.10.4 и индукции.
Заметим, что
Ai= j UdIIi(t)= I U<RI(t), г = 1,...,п.
JTR1 JTRn
Пусть μ = Hh,h- Мера μ сосредоточена на кубе ΠΓ=ι[—11^*11 > Μ*III·
Зададим отображение J: Η —> 1?(μ) формулой
J(A\X · -A^h) := pfclf...ffcn, где Pku^kn(^ · · · ,*n) = «ι1 · · ·£",
а затем распространим его по линейности на линейную оболочку таких
векторов. Заметим, что для конечной линейной комбинации указанных

406
Глава 7. Спектральная теория
векторов справедливо равенство
2
ибо ввиду соотношения (7.9.1) мы имеем
(А* · · ·Л*»Л, ^... Al-h) = (A*1+Zl · · ·4r+H,ft) =
Ун
Полученное равенство означает, что отображение J корректно
определено и сохраняет скалярное произведение. Образ J всюду плотен
в Ζ/2(μ), ибо содержит все многочлены. Поэтому J продолжается до
унитарного изоморфизма. В общем случае можно разложить Η в
ортогональную сумму замкнутых подпространств, инвариантных
относительно всех операторов Αι и обладающих указанным выше свойством.
Как и для одного оператора, это делается с помощью леммы Цорна. D
7.10.8. Следствие. Всякий нормальный оператор S в сепарабель-
ном гильбертовом пространстве Η φ 0 унитарно эквивалентен
оператору умножения на ограниченную комплексную борелевскую
функцию в пространстве £2(μ) для некоторой ограниченной
неотрицательной борелевской меры μ на С.
Доказательство. Операторы A = S + S*hB = г_1(5 - S*)
являются самосопряженными и коммутируют. При этом S — А/2 + гВ/2.
Остается одновременно привести Аи В к виду умножения. D
7.10.9. Следствие. Всякий унитарный оператор U β сепарабель-
ном гильбертовом пространстве Η φ 0 унитарно эквивалентен
оператору умножения на некоторую борелевскую функцию ζ в
пространстве ί2(μ) для некоторой ограниченной борелевской меры μ на С или
на Ж1, причем \C(t)\ = 1 для μ-η.β. t. Кроме того, имеет место
представление U = ехр(г.В); где В — самосопряженный оператор.
Доказательство. По предыдущему следствию можно считать,
что U есть умножение на ограниченную функцию ζ в Ζ/2(μ) для
некоторой борелевской меры μ на С. Тогда \ζ(ί)\ — 1 μ-п.в. Поэтому ζ можно
записать в виде ζ = ехр(г#), где g — борелевская функция со
значениями в [0,2π]. В качестве В берем оператор умножения на д. Теперь
приводим В к виду умножения на функцию на отрезке. D
Используя проекционную меру Π самосопряженного оператора В
из этого следствия, получаем оператор U в виде
v-j
ехр(гА)сЯ1(А).
σ(Β)

7.10. Дополнения и задачи
407
Теперь распространим предыдущую теорему на бесконечные
семейства коммутирующих операторов.
7.10.10. Теорема. Пусть дано счетное множество
коммутирующих самосопряженных операторов Ап в сепарабельном
гильбертовом пространстве Η φ 0. Тогда найдутся такие ограниченная
неотрицательная борелевская мера μ на [0,1]°°, унитарный
изоморфизм J: Η —» L2(/x) и ограниченные борелевские функции φη на [0,1]°°,
что JAnJ~x являются операторами умножения на φη для всех п.
Доказательство. Без ущерба для общности можно считать, что
σ(Αη) с [0,1]. Так же, как и в предыдущей теореме, на [0,1]°° строится
борелевская проекторная мера П, по которой интегралы координатных
функций дают операторы Ап. Единственное отличие состоит в том,
что в качестве начальной алгебры, на которой задана мера П,
берется объединение конечных степеней β([0,1]) (на них мера Π
определена по доказанной теореме). Как и для конечного набора операторов,
общий случай сводится к случаю, когда имеется единичный вектор h
с тем свойством, что линейная оболочка всевозможных векторов
вида Агг · · · Annh плотна в Н. В последнем случае используется тот же
изоморфизм J, что и для конечного набора. Его множество значений
состоит из многочленов от конечного числа переменных, которое всюду
плотно в £2(μ). Поэтому доказательство завершается, как и выше. D
Рассмотрим произвольные множества операторов.
7.10.11. Теорема. Пусть дан некоторый набор Τ
коммутирующих самосопряженных операторов в сепарабельном гильбертовом
пространстве Н. Тогда найдутся самосопряженный оператор А в Η
и для каждого Τ е Τ ограниченная борелевская функция ψτ на
прямой, такие, что Τ = ψτ{Α) для всех Τ Ε Т.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай счетного набора
коммутирующих самосопряженных операторов А^. По доказанному
можно считать, что операторы Ап являются операторами умножения
на ограниченные борелевские функции φ^ в £2(μ), где μ —
борелевская мера на [0,1]°°. Теперь воспользуемся таким фактом (см. [26,
следствие 6.8.8]): существует борелевский изоморфизм G между [0,1]°°
и отрезком [0,1]. Пусть ν — образ меры μ при этом изоморфизме.
Тогда операторы Ап записываются как операторы умножения на
борелевские функции ψη- = φη о G~l в L2(v) с мерой ν на отрезке, т.е.
оказываются функциями от оператора умножения на аргумент в L2(v).
В общем случае найдем в Τ счетное семейство операторов % с таким
свойством: для каждого Τ £ Τ найдется последовательность
операторов Ап е 7о, сходящаяся к Τ в слабой операторной топологии, т.е.
(Апх,у) —> (Тх,г/) для всех х, у £ Н. Это возможно, ибо, как легко

408
Глава 7. Спектральная теория
видеть, слабая операторная топология метризуема на шарах. По
доказанному выше можно считать, что все операторы из % имеют вид
умножения на функции φ о у?, где φ — ограниченные борелевские функции,
а φ — борелевская функция на отрезке, задающая оператор в L2(y),
функциями от которого являются операторы из 7ό· Можно выбрать
такую борелевскую версию у?, что норма каждого оператора из %
будет равна supx \φοφ(χ)\ для соответствующей функции ф. Пусть Τ еТ.
Найдем последовательность {Тп} с 7ό, сходящуюся к Τ в слабой
операторной топологии. Тогда {фп о φ} слабо сходится в L2(u) к
некоторому пределу д. Последовательность {Тп} ограничена по операторной
норме, что дает ограниченность {фп о у?} в L°°(v). Тогда д Ε L°°(i/),
ибо последовательность Snoip средних арифметических некоторой
подпоследовательности в {фп о φ} сходится по норме в L2(y) (см.
пример 6.10.33). Ясно, что оператор Τ задается умножением на #, но нам
надо проверить, что д = φοφ для некоторой ограниченной борелев-
ской функции ф. Перейдя к подпоследовательности, можно считать,
что Snocp —> д 1/-Π.Β. По теореме Лузина множество сходимости
содержит компакты Kj с v(Kj) —> ^([0,1]), на которых функция φ
непрерывна. Множества ip(Kj) компактны, Ε = U^=i ψ{^ά) ~ борелевское
множество, причем для каждого у £ Ε последовательность {Sn(y)}
сходится. Обозначим предел через ф(у). Вне Ε доопределим ф нулем.
Получена ограниченная борелевская функция. При χ Ε U«i Kj имеем
Φ(φ{χ)) = lim Φη(φ(χ)) = #(#)? т.е. φ(φ{χ)) = д(х) для ζ/-π.β. χ. D
η—к»
7.10.12. Следствие. Всякий нормальный оператор Τ в сепара-
бельном гильбертовом пространстве Η имеет вид Τ = f(A), где А —
самосопряженный оператор в Η и f — ограниченная комплексная
борелевская функция.
Доказательство. Так как Г = Αι + гАг, где А\ и Аъ —
коммутирующие самосопряженные операторы, то применима теорема выше
(конечно, здесь нужен ее простейший случай). D
Значит, Τ записывается в виде интеграла (7.9.3) от / по проектор-
ной мере П. Теперь Τ можно записать и как интеграл
Г- / zdP(z)
по проекторной мере Ρ на σ(Τ), заданной так: Р{В) := П(/-1(5)).
T.lO(iii). Образы операторов в гильбертовом пространстве
Покажем с помощью полярного разложения, что образ всякого
ограниченного оператора в гильбертовом пространстве совпадает с
образом некоторого самосопряженного оператора.

7.10. Дополнения и задачи
409
7.10.13. Лемма. Для всякого ограниченного оператора А в
гильбертовом пространстве Η имеем
А(Н) = \А*\(Н).
Доказательство. Пусть А* = V|A*|, где оператор V изометрич-
но отображает Ει := (Кег А*)1- на Е2 := А*(Н) и равен нулю на Кег А*.
Тогда А = \A*\V*, откуда А(Н) С \А*\(Н). С другой стороны, имеем
Кег \А*\ — Кег А*, поэтому |А*|(Я) = |А*|(£а). Так как V* изометрично
отображает Е2 на Еи то \А*\(Н) = \A*\V*(E2) = А(Е2) С А(Н). Π
В соответствии с общим результатом для банаховых пространств
из §6.10(i) линейное подпространство L гильбертова пространства Η
есть образ ограниченного оператора в Η в точности тогда, когда оно
является непрерывно вложенным в Η гильбертовым пространством.
В самом деле, фактор-пространство Η по замкнутому подпространству
Hq тоже гильбертово (его можно отождествить с Нц~). Кроме того, если
гильбертово пространство Ε непрерывно вложено в Н, то есть оператор
А £ С(Н) с А(Н) = Ε (задача 6.10.163). Следующий результат дает
более конструктивное условие.
7.10.14. Предложение. Линейное подпространство L
гильбертова пространства Η является образом ограниченного оператора в Η
в точности тогда, когда существует такая последовательность
взаимно ортогональных замкнутых подпространств Нп С Н, что
оо оо
L = {Y^xn: хпбЯп,^4п||хп||2<оо}.
П—\ 71=1
Доказательство. Если L имеет указанный вид, то L = А(Н), где
А = Σίϋι 2~прп и Рп ~ проектор на Нп.
Пусть L является образом ограниченного оператора. Как
отмечено выше, можно считать, что L — А(Н), где А — неотрицательный
самосопряженный оператор. Общий случай легко сводится к случаю
сепарабельного Η и оператора А с циклическим вектором. Поэтому
можно считать, что А есть оператор умножения на аргумент в 1?(μ)
для некоторой ограниченной борелевской меры на отрезке [0,1].
Возьмем в качестве Нп подпространство в £2(μ), соответствующее
функциям, равным нулю вне (2~п, 21_п]. Тогда Ах — Σί£=ι РпАх, РпАх £ Яп,
причем ||-Pn-АжЦ < 21-η||Ρηχ|| и потому 4η||ΡηΑχ||2 ^ 4||Рпх||2, что дает
сходящийся ряд. С другой стороны, если у — Σ^=ι У η, где уп е Нп
и Σ^ι4"Ill/nil2 < оо, то уп = Ахп, где хп е Нп и ||хп|| < 2п||г/п||, ибо
xn(t) = Γ^(ί). Значит, Σ,Ζ* Ы2 < Σ"=ι4η||2/η||2 < оо. Поэтому
ряд из попарно ортогональных векторов хп сходится к некоторому х,
причем Ах = у. Ώ

410
Глава 7. Спектральная теория
В случае гильбертовых пространств теорему 6.10.5 о факторизации
можно уточнить следующим образом (этот результат получен в
работе [596]).
7.10.15. Теорема. Пусть А и В — ограниченные операторы
в гильбертовом пространстве Н. Следующие условия равносильны:
(i) A(H) С В(Я),
(Н) А = ВС при некотором С G С{Н),
(Ш) существует такое λ ^ 0, что
(А*х, А*х) ^ \2(В*х, В*х) для хеН.
Доказательство. Равносильность условий (i) и (п) ясна из
теоремы 6.10.5, ибо в случае гильбертова пространства она дает
непрерывный линейный оператор С — В$1А из Η на (КегВ)-1-, где Во —
ограничение В на (КетВ)1- и Bq1 — алгебраически обратный. Из (ii)
сразу следует (Ш). Пусть выполнено (iii). На линейном пространстве
В*(Н) определено линейное отображение D: В*χ н-*· А*х.
Корректность определения обеспечена тем, что А*х — 0 при В*х = 0.
Кроме того, \\Dy\\ ^ λ||у|| при у £ В*(Н), поэтому D можно
продолжить до ограниченного оператора на замыкании В*(Н). Далее
продолжим D до ограниченного оператора на всем Я", сделав D нулем на
В*(Я)Х = КетВ. Тогда DB* = А*, откуда А = BD*. В части
рассуждений можно было бы сослаться на результаты §6.10(i). D
Отметим, что в (Ш) важна оценка именно на сопряженные
операторы, а не на исходные (чтобы в этом убедиться, достаточно взять А = I
и изометрию В с В(Н) φ Η). Из доказанной теоремы и следствия 7.5.4
получаем такой результат, помогающий оценивать скорость убывания
собственных чисел компактных самосопряженных операторов.
7.10.16. Следствие. Предположим, что А и В — компактные
операторы β гильбертовом пространстве Н, причем А(Н) С В(Н).
Пусть af ^ а% ^ · · · > 0 и β^ ^ β} ^ · · · > 0 — положительные
собственные числа операторов \А\ и \В\ соответственно, записанные
в порядке убывания с учетом кратностей. Тогда существует такое
Доказательство. Теорема дает оценку АА* ^ \2ВВ*. Теперь
важно то, что операторы А А* и А* А имеют одни и те же ненулевые
собственные числа (задача 7.10.65), т.е. |А*| и \А\ имеют общие
ненулевые собственные числа; то же верно для пары операторов В В* и В* В.
Согласно следствию 7.5.4 из указанной оценки вытекают неравенства
\п(АА*) ^ \2\п(ВВ*) для положительных собственных чисел
операторов А А* и В В*, записанных в порядке убывания. D

7.10. Дополнения и задачи
411
7.10.17. Пример. Пусть W2^ [0,2π] — класс всех абсолютно
непрерывных комплексных функций / на [0,2π] с /' £ L2[0,1] и /(0) = /(2π).
Если образ ограниченного оператора А в £2[0,2π] входит в W|^[0,2π],
то А — компактный оператор и для положительных собственных чисел
а+ оператора \А\, записанных в порядке убывания с учетом кратно-
стей, при некотором С > 0 имеет место оценка α+ ^ Сп~г.
Для этого заметим, что ^^[Ο^π] есть образ оператора В,
имеющего собственные функции ехр(Ш), с собственными числами &ъ = fc_1,
к φ 0, А) = 1 (задача 9.10.32).
Докажем следующую теорему фон Неймана.
7.10.18. Теорема. Пусть ограниченный оператор А в сепарабель-
ном гильбертовом пространстве имеет незамкнутый образ. Тогда
существует такой унитарный оператор U, что А(Н) Π UA(H) = 0.
Доказательство. Начнем с простого явного примера таких
операторов в L2[—π, π] с плотным образом. Пусть en(t) = etnt и А задан
посредством Аеп = е~п еп. Легко видеть, что все функции из А(Н)
вещественно-аналитичны на [—π, π]. Пусть U — оператор умножения
на sign£. Тогда образы А и UA пересекаются лишь по нулю. Этот
пример легко модифицировать так, чтобы образ А был не только плотен,
но и содержал бесконечномерное замкнутое подпространство. Для
этого достаточно взять прямую сумму счетного числа копий А.
Основной этап доказательства состоит в проверке следующего
любопытного факта: если образ А плотен, незамкнут и содержит
бесконечномерное замкнутое подпространство, то для всякого ограниченного
оператора В с незамкнутым образом найдется такой унитарный
оператор W, что WB(H) С А(Н). Для этого воспользуемся
предложением 7.10.14 применительно к L = В(Н) и возьмем указанные там
попарно ортогональные замкнутые подпространства Нп. Ввиду
незамкнутости В(Н) таких ненулевых Нп бесконечно много. Пусть IN = US ι ^* ~~
разбиение на счетное число счетных частей и Sn — та из частей Ω*,
которая содержит п. Положим Н'п := 0iGs„ Щ. Применив
цитированное предложение к попарно ортогональным подпространствам Н^
получим оператор В1 с В(Н) С В'(Н), однако все И'п уже
бесконечномерны.
Теперь применим это же предложение к А(Н) и возьмем
соответствующие ненулевые попарно ортогональные замкнутые
подпространства Еп. Заметим, что среди Еп есть хотя бы одно бесконечномерное.
Действительно, если бы все Еп были конечномерны, то мы бы
получили компактный оператор С := Σ™=χ %~пРеп с С(Н) — А(Н), как
было показано в упомянутом предложении. Однако образ компактного
оператора не может содержать бесконечномерного замкнутого
подпространства, так как покрывается счетным числом компактов. Можно

412
Глава 7. Спектральная теория
считать, что Е\ бесконечномерно. Тогда можно взять такие попарно
ортогональные бесконечномерные замкнутые подпространства Li С Е\,
что Ει = (&*LiLi· Положим Е[ := Е{ фЦ при г > 2 и Е[ := L\.
Получаем взаимно ортогональные бесконечномерные замкнутые
подпространства. Как легко видеть, для соответствующего им в
цитированном предложении оператора А! имеем А'(Н) С А(Н). Унитарный
оператор W зададим посредством унитарных изоморфизмов Щ и Е[.
Тогда В(Н) С В'^Н) С А'(Н) С А(Н). Для завершения доказательства
теоремы остается перевести А(Н) унитарным оператором W в Д)(#),
где Aq — оператор с плотным образом, причем Ао(Н) Π UoAq(H) = 0
для некоторого унитарного Uq. В качестве U берем W~lU$W. D
7.10(iv). Операторы Гильберта-Шмидта и ядерные
операторы
В этом пункте мы обсудим два важных для приложений и
интересных класса компактных операторов в гильбертовом пространстве.
Одно из нескольких равносильных определений этих классов связано
с поведением собственных чисел абсолютных значений операторов.
7.10.19. Определение. Пусть А — компактный оператор
β гильбертовом пространстве Η {вещественном или комплексном)
и {sn(A)} — собственные числа оператора \А\. Будем называть А
оператором Гильберта-Шмидта, если
оо
Y^sn(A)2 <oo.
71=1
Оператор А называется ядерным или оператором со следом, если
оо
Σβη(Α) <οο.
71=1
Класс всех операторов Гильберта-Шмидта в Η обозначают через
Н(Н) или С(2){Н). Класс всех ядерных операторов в Η обозначают
через М{Н) или С(\){Н).
Напомним, что sn(A) ^ 0. Ясно, что Λί(Η) С Н(Н) С /С(#).
Имеется следующая характеризация операторов
Гильберта-Шмидта, которую часто берут в качестве определения.
7.10.20. Теорема, (i) Оператор А £ С(Н) в сепарабельном
гильбертовом пространстве Η является оператором
Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда для некоторого ортонормированного
базиса {еп} имеем
оо
Σ \\Аеп\\2 < оо. (7.10.2)
п=1

7.10. Дополнения и задачи
413
В этом случае такой ряд сходится для всякого ортонормировапного
базиса и его сумма не зависит от базиса.
(ii) Ограниченный оператор А в сепарабельном гильбертовом про-
странстве Η является оператором Гильберта-Шмидта в точности
тогда, когда А* — оператор Гильберта-Шмидта. При этом
оо оо
£|Ие„||2 = £||Л*еп||2. (7.10.3)
71=1 71=1
Доказательство. Возьмем полярное разложение А — V\A\.
Если А £ Н(Н), то имеем (7.10.2) для собственного базиса |А|. Если же
выполнено (7.10.2), то оператор А компактен. Действительно, из
оценки ||Σ^!=ι(χ> en)^4en|| < Σ^!=ι Men||2lkll2 следует, что конечномерные
операторы χ н-*· ^2п=1(х,еп)Аеп сходятся к А по норме. Проверим, что
сумма (7.10.2) не зависит от базиса. Для этого возьмем произвольный
ортонормированный базис {φη} и запишем следующие равенства:
оо оо оо оо оо оо
Σ \\Аеп\\* = ς Σ 1Ие».«012 = Σ Σ i(*».^v*)ia=Σ πν*ιι2·
71=1 η=1 fc=l 71=1 fe=l fc=l
Если {ψη} — еще один базис, то правая часть равна Y^Li ||Λ^η||2, ибо
А** — А. Таким образом, независимость суммы от базиса установлена.
Применяя это к собственному базису {ψη} оператора \А\, получаем, что
А £ 7ί(Η). Утверждение (i) доказано. Попутно доказано и (ii). D
7.10.21. Предложение. Класс Н(Н) всех операторов
Гильберта-Шмидта в сепарабельном гильбертовом пространстве Н,
наделенный скалярным произведением
оо оо
(А,В)п := Σ(Αβη,Ββη) = Y^(B*Aen,e„),
71=1 71=1
оказывается сепарабельным гильбертовым пространством.
Соответствующая норма Гильберта-Шмидта имеет вид
оо л II
Ι|Α||„ = (Σμβ„ΙΙ2) ·
71=1
Если А £ Н{Н) иВ£ С(Н), то АВ £ ЩН), В А £ П(Н) и
справедливы неравенства \\АВ\\п < \\В\\С{н)\\А\\п, \\ВА\\п < \\В\\С{Н)\\А\\п.
Доказательство. Из (7.10.2) ясно, что Н(Н) — линейное
пространство. Кроме того, ряд, задающий скалярное произведение в Н{Н),
сходится абсолютно, ибо | (Аеп, Веп) | < || Аеп|| 2+1|Веп ||2. Проверим
полноту Н(Н). Если последовательность операторов Aj фундаментальна
в Н{Н), то она сходится по норме к некоторому оператору А £ С(Н),

414
Глава 7. Спектральная теория
поскольку ||Т||£(Н) < 11^11^· Пусть {еп} — ортонормированный базис.
Ясно, что Σ,^ι \\Аеп\\2 < sup^ Ση=ι ll^en||2 < sup, ||Α,·||£ для всех Ν,
т.е. А £ Н{Н). Проверим, что \\А — Aj\\n —► 0. Пусть ε > 0. Найдем
номер jo с \\Aj — -А»||« ^ ε при всех i,j ^ jo. Пусть т > jo· Выберем N
с Έ,™=ν+ι \\(А ~ Ат)еп\\2 <: ε, что возможно, ибо А,АШ £ Н(Н).
Наконец, Ση=ι \\(А — Ат)еп\\2 ^ ε, что получается при г —> оо из оценки
Ση=ι II№ ~~ Ат)еп\\2 ^ ε, имеющей место при г ^ jo-
Сепарабельность Ή,(Η) следует из того, что конечномерные операторы плотны
в Н(Н), ибо оператор \А\ с собственным базисом {еп} является
пределом по норме Н(Н) конечномерных операторов χ ь-> ]ζ™=1(£, е\)Ае%,
а конечномерные операторы можно приближать рациональными
линейными комбинациями операторов χ н-*· (x>Vi)vj, где {г;*} — счетное
всюду плотное множество. Если А £ Н{Н) и В £ С(Н), то ВА £ Н(Н)
и \\ВА\\п < ||i?LwM||M, ибо ||ВЛеп|| < \\В\\
с(н)\\Аеп\\- Кроме
того, АВ £ Н(Н), поскольку выполняются равенства (АВ)* = В*А*,
\\B*\\cW = \\B\\cm,\\B*\\n = \\B\\n- Π
Введенные классы являются важнейшими специальными случаями
классов Шаттена SP(H), задаваемых условием {sj(A)} С 1Р.
Полезно определить отображения Гильберта-Шмидта между
произвольными гильбертовыми пространствами.
7.10.22. Определение. Пусть Е\ иЕ^ — гильбертовы
пространства. Оператор А £ С{Е\,Е2) называется оператором Гильберта-
Шмидта, если ряд ]ζα ||Аеа||^ сходится для какого-нибудь ортонор-
мированного базиса {еа} в Е\.
Класс всех операторов Гильберта-Шмидта, действующих из Е\
в 2?2, обозначается через Н(Е\,Е2), а также через £(2)(£ι,ϋ?2)·
Как и выше, легко проверяется, что композиция непрерывных
операторов между гильбертовыми пространствами — оператор Гильберта-
Шмидта, если таковым является хотя бы один из этих операторов.
Если пространство Е\ несепарабельно, то включение А £ Н(Е\, Ε2)
означает, что А обращается в нуль на ортогональном дополнении к
некоторому сепарабельному замкнутому подпространству Ео С Е\ и
Y^Li \\Аеп\\2Е < оо для какого-либо ортонормированного базиса {еп}
в Eq. Как и выше, доказывается, что если ряд из ||Аеа||| сходится
для какого-нибудь ортонормированного базиса в £Ί, то он сходится
для всякого ортонормированного базиса и его сумма не зависит от
выбора базиса. Корень из суммы называется нормой Гильберта-Шмидта
оператора А и обозначается через ||Α||ή· Норма Гильберта-Шмидта
порождается скалярным произведением (А, В) = Y^a(Aea,Bea)B . Эта
величина не зависит от ортонормированного базиса {еа} в Е\.

7.10. Дополнения и задачи
415
Следующий результат показывает, что абстрактные операторы
Гильберта-Шмидта — это интегральные операторы в пространствах
L2 с квадратично-интегрируемыми ядрами.
7.10.23. Предложение, (i) Пусть μ — неотрицательная мера
со значениями в [0, +оо] на измеримом пространстве (Ω, Л), и пусть
/С — измеримая функция на ΩχΩ, входящая в Ζ,2(μ8μ). Тогда оператор,
заданный в £2(μ) формулой
Tx(t)= [ /C(M)x(s)/i(ds),
является оператором Гильберта-Шмидта. При этом
\\Tfn= Ι [№,3)\*μ(άί)μ(ά8) = \\Κ:\\14μ0μ).
JfiJn
(ii) Всякий оператор Гильберта-Шмидта в £2(μ) имеет такой
вид. Поэтому всякий оператор Гильберта-Шмидта унитарно
изоморфен интегральному оператору указанного вида.
Доказательство, (i) Ограниченность оператора Τ со значениями
в £2(μ) легко проверяется аналогично примеру 6.9.4(ш). Пусть {еп} —
ортонормированная последовательность в £2(μ). Тогда в силу
неравенства Бесселя, применяемого к функциям s н-► /С(£, s), получаем
|2
μ{(ϋ) <
Σ \\Теп\\2 = Σ / Ι / Κ(ΜΜ*)μ(ώ)
< I f №,8)\2μ(ά3)μ(<1ί).
Поэтому Τ — оператор Гильберта-Шмидта (в сепарабельном случае
это очевидно, в общем случае см. задачу 7.10.101). Возьмем ортонор-
мированную последовательность {еп} так, что /С входит в замкнутую
линейную оболочку функций <pn,m{t) s) := en(t)em(s). Тогда при μ-п.в. t
функция s н-*· /C(t, s) разлагается в ряд по элементам еп (задача 5.6.55).
При таких s в приведенной выше выкладке вместо неравенства стоит
равенство Парсеваля, что дает Σ£*ι \\Теп\\2 = \\£\\1*(μ&μ)·
(ii) Пусть Τ — оператор Гильберта-Шмидта в £2(μ), и пусть {еа} —
ортонормированный базис в L2(/i). Тогда имеется его не более чем
счетная часть {еп} с ||Геп|| > 0. Зададим ядро /С формулой
/C(*,s)= Σ (Ten,em)en{t)em(s).
Этот двойной ряд сходится в Ζ,2(μ£μ), ибо последовательность функций
en(t)em(s) ортонормированаи En,m>i \(Ten,em)\2 = Σ,™=ι ||Ten||2<oo.

416
Глава 7. Спектральная теория
Задаваемый ядром /С оператор Тк совпадает с Т, ибо для всякого еп
из выбранной последовательности мы имеем Теп = Т)сеп, а для всех
прочих еа мы имеем Tjcea = 0 = Теа. Наконец, абстрактный
оператор Гильберта-Шмидта унитарно эквивалентен некоторому оператору
Гильберта-Шмидта в подходящем 1>2(μ), унитарно изоморфном
исходному пространству (см. задачу 5.6.40). D
Из теоремы 7.10.15 сразу следует такой результат.
7.10.24. Предложение. Пусть Н\ и Η<ι ~ гильбертовы
пространства, А, В £ С(Н\,Н2), причем А(Н\) С В(Н\). Если В —
оператор Гильберта-Шмидта, то такое же и оператор А. Если же
Н\ = Нъ и В — ядерный оператор, оператор А — также ядерный.
Еще одна важная характеризация операторов Гильберта-Шмидта
описывает их как абсолютно суммирующие и 2-суммирующие
операторы. Ряд Y^-i x-n в банаховом пространстве называют безусловно
сходящимся, если оно сходится при всех перестановках индексов. Если же
Σ^=ι \\χη\\ < оо> то этот ряд называют абсолютно сходящимся.
7.10.25. Определение. Пусть X и Υ — банаховы пространства.
Оператор Τ £ С(Х, Υ) называется абсолютно р-суммирующим, если
для каждой слабор-суммируемой последовательности {хп} С X, т.е.
Σ~=ι \l(xn)\p < оо при всех I е X*, мы имеем ]Г~=1 \\Тхп\\^ < оо.
Оператор Τ называется абсолютно суммирующим, если он
переводит безусловно сходящиеся ряды в абсолютно сходящиеся.
Для абсолютно р-суммирующего оператора есть такое С > 0, что
оо оо
£ ||Г*„||» < С sup £ \1(хп)\* (7.10.4)
для всякой последовательности {хп} С X. Действительно, иначе для
всякого т нашлось бы конечное множество iTO)i,...,a;TO>fe, для
которого SUP|||||<1X;iLlK(«mft)|P < 2"Ш И £*=1 \\ТхтЖ > 1, Ч™ B*^T
к противоречию. Наименьшее возможное С обозначается через 7гр(Т).
Введенные классы выдерживают композиции справа и слева с
ограниченными операторами. По теореме Дворецкого-Роджерса во всяком
бесконечномерном банаховом пространстве X есть безусловно, но не
абсолютно сходящийся ряд. Если X не имеет подпространств,
изоморфных со (и только в этом случае), то безусловная сходимость ряда из хп
равносильна слабой 1-суммируемости {хп} (см. [89, гл. 3, 4]).
7.10.26. Предложение. Пусть Е\ и Ε<ι — гильбертовы
пространства. Оператор Τ £ C(E\,E2) — оператор Гильберта-Шмидта
в точности тогда, когда он является абсолютно 2-суммирующим или
абсолютно суммирующим.

7.10. Дополнения и задачи
417
Доказательство. Пусть Τ — абсолютно 2-суммирующий
оператор и {еа} — ортонормированный базис в Е\. Для всякого у £ Е\
имеем EJ(2/>e")l2 = Ы? < °°> откуда Σα \\Те<*\\2 < оо.
Предположим теперь, что Τ £ Η(Ει,Ε2) и {hn} — последовательность в Ει
с Σ^=ι К^гиУ)]2 < оо при всех у £ Е\. Можно считать, что Е\ есть
замыкание линейной оболочки векторов hn. Если Ει конечномерно, то
утверждение легко проверяется. Поэтому будем считать, что Е\
бесконечномерно, и возьмем базис {еп}. Зададим оператор S в Е\
посредством Sen = hn, т.е. Sx — Σ™=1{χ, en)hn. Этот ряд сходится слабо в £Ί,
ибо для всякого у £ Ει абсолютно сходится ряд Σ™=ι(χ> en)(h>n-> у), что
следует из сходимости рядов из |(х,еп)|2 и \(hn,y)\2. Значит,
оператор S непрерывен. Поэтому TS — оператор Гильберта-Шмидта.
Следовательно, ряд из ||Τ7ιη||2 = ||Т5еп||2 сходится. Если Τ —
абсолютно суммирующий и {еп} — ортонормированная последовательность, то
при (хп) £ I2 ряд из хпеп сходится безусловно. Тогда сходится ряд из
|жп|||Теп||, откуда {||Теп||} £ I2. Значит, Τ £ Η(Ει,Ε2). Обратное
следует из задачи 7.10.129. Заметим, что предложение верно при ρ > 0. D
7.10.27. Теорема. Пусть μ — вероятностная борелевская мера
на топологическом пространстве Ω. Тогда тождественное вложение
j: Cb(ft) —> £2(μ) является абсолютно 2-суммирующим.
То же самое верно, если в качестве Ω взять произвольное
вероятностное пространство, а вместо Сь(&) взять L°°(/i).
Доказательство. Пусть {хп} с <7*>(Ω) и Σ™=ι \Κχη)\2 < оо для
всякого I £ (7&(Ω)*. Это показывает, что последовательность операторов
Тп: Сь(&)* —> Ι2·, I ь-*· (i(xi),.. . ,/(хп),0,0,...), поточечно ограничена.
По теореме Банаха-Штейнгауза эирщц^ Y^Li \Κχη)\2 ^ С < оо.
Беря в качестве I функционалы χ н-*· x(t), получаем X^nLi. Ιχη(*)|2 ^ С
Итак, Y^=i lb(xn)||i ^ С· Случай Ζ/°°(μ) для общего измеримого
пространства сводится к случаю С(К) для компакта К. Для этого нужен
следующий факт из §11.7(i): существует такой компакт if, что алгебра
Ζ,°°(μ) линейно изометрична алгебре С (К), причем на К есть такая
вероятностная борелевская мера и, что указанный изоморфизм Ζ/°°(μ)
и С (К) задает изоморфизм между £2(μ) и L2(u). D
С учетом предложения 7.10.26 получаем такой интересный факт.
7.10.28. Следствие. Пусть Η — гильбертово пространство,
(Ω, Д,μ) — вероятностное пространство и А: Н —> £2(μ) — такой
непрерывный оператор, что А(Н) С Ζ,°°(μ). Тогда А является
оператором Гильберта-Шмидта.
Это следствие допускает важное усиление, являющееся частным
случаем одного более общего результата В.Б. Короткова.

418
Глава 7. Спектральная теория
7.10.29. Теорема. Пусть μ — вероятностная мера на
измеримом пространстве (Ω, А). Ограниченный оператор Τ на £2(μ)
является оператором Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда
существует такая неотрицательная функция Φ £ С2(μ), что для каждой
функции χ £ £2(μ) элемент Τ χ имеет модификацию, которая с
некоторым числом Сх ^ 0 удовлетворяет оценке
\Τχ(ω)\ ιζΟχΦ(ω). (7.10.5)
Доказательство. Необходимость этого условия ясна из
доказанного выше и оценки
1/2
|Γχ(ί)|^||χ||^|^,5)|2μ(^
для оператора Т, заданного ядром /С £ £2(μ®μ), ибо справа стоит
функция из С2(μ). Пусть выполнена оценка (7.10.5). Заменив Φ на Φ +1,
будем считать, что Φ ^ 1. Заметим, что в качестве Сх можно взять С||ж||
с некоторым С > 0. Действительно, ограниченный оператор S = Ф_1Т
принимает значения в £°°(μ) и потому ограничен как оператор из £2(μ)
в £°°(μ) (см. следствие 6.2.8), что дает искомое число С. Положим
Τεχ(ω) := \εΦ(ω) + 1\~1Τχ(ω)1 ε > 0.
Тогда |Γεχ(α;)| ^ (7ε_1||χ||, т.е. образ оператора Τε входит в Ζ/°°(μ).
Согласно предыдущему следствию оператор Τε является оператором
Гильберта-Шмидта. При каждом χ £ £2(μ) мы имеем lim Теж = Тх.
Поэтому достаточно установить равномерную ограниченность норм
Гильберта-Шмидта операторов Τε. Поскольку при ε —> 0 ввиду
теоремы Лебега ||Φ(εΦ + 1)_1||L2( \ —* ||Φ||ζ,2(μ)> то нам достаточно
показать, что в случае ограниченной функции Φ имеет место оценка
ΙΙ^ΊΙ?* ^ С||^11ь2(д)· Мы уже знаем, что в случае ограниченной
функции Φ оператор Τ является оператором Гильберта-Шмидта и потому
задается некоторым ядром /С £ £2(μ8μ). Значит, для каждого χ £ С2 (μ)
с \\х\\ь2(д) ^ 1 мы имеем
|Гх(*)| = / /C(MMs)Mds)
^ СФ(г) (7.Ю.6)
для μ-п.в. L· Однако соответствующее множество меры нуль может
зависеть от х. Ввиду компактности Τ имеется сепарабельное замкнутое
подпространство Я С 1?{μ) с Т(Н) С Я и T(HL) = 0. Возьмем в
единичном шаре Η счетное плотное множество {хп}· Это позволяет
перейти к случаю сепарабельного пространства L2(/i) (для чего
достаточно рассматривать меру μ на σ-алгебре, порожденной всеми
функциями хп и Ф). Тогда (7.10.6) выполнено почти всюду сразу для всех хп.

7.10. Дополнения и задачи
419
В силу выбора {хп} величина sup / /C(£,s)xn(s^(ds) есть £2-норма
функции s н-*· fC(t,s) при таких t, что эта функция входит в £2(μ).
Следовательно, при μ-п.в. t имеем / \K,{t, s)\2 μ(άβ) ^ С2Ф(*)2. Значит,
\\т\\п < Н^11ьа(д®м) < C2||$IIl2(m), что и требовалось. D
Как показывает следующая теорема А. Пича, в случае общих
банаховых пространств абсолютно 2-суммирующие операторы также
связаны с пространством L2.
7.10.30. Теорема. ПустьX uY — банаховы пространства, В* —
замкнутый единичный шар пространства X* со * -слабой
топологией, а(С(В*)) — σ-алгебра, порожденная непрерывными
функциями на компакте В*. Оператор Τ £ C(X,Y) является абсолютно
^-суммирующим в точности тогда, когда на а(С(В*)) существует
такая ограниченная неотрицательная мера μ, что
\\τχ\\ΐ< Ι ii(*)i2M(de).
JB*
Доказательство. Если такая мера есть, то при xi,...,xn e X
имеем
Σιι^ιΐν < / Ек(*г)|2/«<мя*) sup f>(*i)i2,
откуда π2(Γ) < μ{Β*). Обратно, пусть 7С2(Т) = 1. Рассмотрим
следующие подмножества в банаховом пространстве С(В*):
*\:={/€<7(2?·): eup^/fc) < 1}
и i<2, равное выпуклой оболочке множества функций / £ С (В*)
вида /(0 = 1£(#)|2> гДе ΙΙ^ΙΙν = 1· Эти множества выпуклы, причем i*\
открыто и F\ HF2 = 0, ибо К2(Т) = 1. По теореме Хана-Банаха и
теореме Рисса о представлении функционалов на С (В*) мерами существует
такая мера μ на упомянутой σ-алгебре в В*, что
sup / №μ№)<ΐΒ£ ί ί(ξ)μ(άξ).
/GFi J Β* feF* J в*
Поскольку в Fi входят все отрицательные функции, то мера μ
оказывается неотрицательной. Можно считать, что μ(Β*) — 1. Тогда
левая часть предыдущей оценки равна 1. При ЦТжЦ^ = 1 для функции
/χ(ξ) := |ξ(χ)|2 получаем fx € F2, поэтому интеграл от fx по мере μ не
меньше 1, что и означает выполнение нужного неравенства. D
Диагональные операторы определены в примере 6.1.5(vii).
Приведем одну теорему фон Неймана (см. [224, теорема 14.13]).

420
Глава 7. Спектральная теория
7.10.31. Теорема. Для всякого самосопряженного линейного
оператора А в сепарабельном гильбертовом пространстве Η и всякого
ε > 0 существуют такие диагональный самосопряженный оператор
D и самосопряженный оператор Гильберта-Шмидта S€ в Н, что
A = D + Se и \\Se\\n ^ε.
Обратимся теперь к ядерным операторам и их связи с операторами
Гильберта-Шмидта.
7.10.32. Замечание. Если А е С(Н) и есть такое С, что
оо
Σ\(Αφη,φη)\<0
71=1
для всех пар ортонормированных базисов {ψη} и {φη}, то А £ J\f(H).
Действительно, из предложения 7.8.12 следует, что оператор А
компактен. Возьмем его полярное разложение А = С/|А| и собственный базис
{Ψη} оператора \А\. В качестве {φη} возьмем дополненную до
базиса ортонормированную последовательность всех ненулевых υψη. Это
дает сходимость ряда из sn(A).
7.10.33. Теорема. Пусть Η — сепарабельное гильбертово
пространство и Ае С(Н). Следующие условия равносильны:
(i) А е ЩН); (ii) А* £ ЩН); (in) А = ΑλΑ2, где AUA2 £ Н(Н);
(iv) существуют такие последовательности векторов vk и Uk
с \\uk\\ — ||vfc|| = 1 и числовая последовательность {Хк} £ ll, что
оо
Ах = ]ГАь(х,щ>*; (7.10.7)
fc=l
(ν) есть ортонормированный базис {еп} с Y2nc>=zl ||^en|| < оо.
Доказательство. Равносильность (i) и (ii) следует из того, что
согласно задаче 7.10.65 операторы А*А и АА* имеют одни и те же
ненулевые собственные числа (для нуля это может быть неверно).
Поэтому для ненулевых собственных чисел имеем Sj(A) — Sj(A*). Если
А — ядерный, то \А\г/2 — оператор Гильберта-Шмидта, поэтому
полярное разложение А = U\A\ дает представление А — [/ΙΑΙ1/2^1/2, где
I7IAI1/2 £ Н(Н), т.е. имеем (in). Выведем (iv) из (in). Пусть дано
представление А — А\А2, где Αχ, А2 £ Н(Н). Возьмем полярное разложение
А2 = V|A2|. Оператор \А2\ имеет собственный базис {еп} и собственные
числа ап. Значит, Ах = Y^=lOLn{x,en)AiVen. При βη := ||iliVen|| > 0
положим νη := β~1AιVen. Тогда для чисел λη := ο.ηβη получаем
{λη} £ J1, что дает (7.10.7) cwn = en. Теперь предположим, что имеет
место (iv). Тогда А очевидным образом компактен. Если {ψη} и {φη} —
ортонормированные базисы, то ряд из \(Αψη,φη)\ оценивается через

7.10. Дополнения и задачи
421
двойной ряд из \Хк(Фп,ик)(Ук^п)\у мажорируемый рядом из |λ*|, ибо
|(^n,Wfc)(ufe,^n)| < [\(Фп,ик)\2 + \ίνι*,φη)\2]/2 и сумма по η в правой
части равна 1. В силу замечания 7.10.32 оператор А — ядерный. При
этом (ν) выполнено для собственного базиса \А\. Из (ν) следует (iv),
если взять λ& = ||-Αβ*||, Uk — е& и Vk = j|-Ae/b||""1-Aejb при Авк ф0. D
Отметим, что ряд в (ν) сходится для некоторого, но в общем случае
не для всякого ортонормированного базиса (задача 7.10.114). В
качестве базиса, для которого сходимость имеет место, можно взять
собственный базис \А\. Тогда в качестве разложения (7.10.7) можно взять
Ах — Y^=1 sn(A)(x, en)Uen, где учитываются только еп с Uen ф 0.
Следующий результат позволяет ввести след ядерного оператора.
7.10.34. Лемма. Пусть А £ λί(Η) и {φη} — ортонормированный
базис в Н. Если А представлен в виде (7.10.7), то
оо оо
Σ χη(νη, tin) = Σ(Αφη, φη), (7.10.8)
71=1 71=1
ряд в правой части сходится абсолютно и его сумма не зависит от
выбора базиса. В частности, Υ^=ι{Αφη,φη) — Y^=iSn{A){Uen,en),
где {еп} — собственный базис \А\.
Доказательство. Ряд в левой части сходится абсолютно, причем
оо оо оо
Y^K(vn,un) = 5^An^(vn,¥>fe)(y>fc,tin) =
n=l 7i=l fc=l
оо оо оо
= ΣΣΚ(νη,φι*)(φι*,ν<η) = ^(А<рк,<Рк),
fe=l n=l fe=l
что показывает сходимость ряда в правой части. Его абсолютная
сходимость следует из того, что сумма не меняется при перестановках членов
ряда (перестановка {ц>к} ~ ортонормальный базис). D
Следом оператора А £ N(H) называется число
оо
ίτΑ:=Υ^{Αφί^φίζ),
fe=l
где {<£fc} — ортонормированный базис. Лемма показывает корректность
определения. Отметим следующий факт.
7.10.35. Предложение. Пусть Η — комплексное гильбертово
пространство. Оператор А £ С(Н) — ядерный в точности тогда,
когда для всякого ортонормированного базиса {еп} в Η сходится
числовой ряд Y,™=i{Aen, en).

422
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Покажем, что А е N(H), если все такие ряды
сходятся. Если А > 0, то достаточно сходимости для одного базиса, ибо
тогда А1/2 оказывается оператором Гильберта-Шмидта. Если А
самосопряжен, то найдутся такие замкнутые подпространства Н\ и Щ-, что
Н\ ± #2, Η = Н\ 0 #2, Ά(#«) С Я*. Это следует из теоремы о
приведении А к виду умножения на вещественную функцию φ в £2(μ):
в качестве Н\ и Я-г можно взять подпространства функций, равных
нулю вне {φ > 0} и {φ ^ 0}. Операторы А\нх и — А\н2
неотрицательны. Возьмем ортонормированные базисы {φη} и {ψη} βΗι и #2.
Пусть еп = (£>п при нечетных η и еп = ч/>п при четных п. Тогда оба
ряда Σ™=1(Αφη, φη) и Σ^ΟΑ^η, ^η) должны сходиться по
отдельности, ибо ряд из (Аеп,еп) сходится при любых перестановках его
членов. Следовательно, ограничения А на Н\ и Яг являются
ядерными операторами, откуда А £ М(Н). Наконец, в общем случае мы
замечаем, что оператор А* удовлетворяет тому же условию, что и А.
Тогда этому условию удовлетворяют и самосопряженные операторы
В\ — Ал- А* и #2 = г(А — А*). По доказанному В\, Β<ι е Ν(Η). Значит,
А={Вг- гВ2)/2 G ЩН). Π
Отметим, что здесь может оказаться недостаточно сходимости
одного такого ряда (даже абсолютной): см. задачу 7.10.115. Для
вещественных пространств это предложение неверно (достаточно взять
некомпактный оператор А с (Αχ,χ) = 0).
7.10.36. Теорема. Пусть Η — комплексное или вещественное
гильбертово пространство, (i) Пусть А £ М{Н). Тогда
оо
tr|A| =sup£|(Atfn,¥>„)|, (7.10.9)
n=l
где sup взят по всем парам ортонормированных базисов {ψη} и {φη}.
(ii) Пусть Α Ε λί(Η). Тогда
оо
tr|i4| = mf£|An|, (7.10.10)
71=1
где inf берется по всем представлениям вида (7.10.7).
(ш) Пространство ядерных операторов на сепарабельном
гильбертовом пространстве Η является сепарабельным банаховым
относительно нормы ||А||(1) := tr \A\.
(iv) Оператор A Ε С(Н) является ядерным в точности тогда,
когда таков А*. При этом ||A||(i) = ||A*||(i) и tr Л = ΙτΑ*.
(ν) Если А £ λί{Η) иТ£ С(Н), mo AT, ТА е λί(Η), причем
ПАТЕНТА и \\АТ\\{1) < ||Г||£(Я>Р||(1).

7.10. Дополнения и задачи
423
Доказательство. Будем считать Η комплексным (вещественный
случай аналогичен), (i) Возьмем полярное разложение А = U\A\ и
собственный базис {еп} оператора \А\. Тогда Αψη = Σ°°=1 Sj(A)(t/;n, ej)Uej,
откуда Σ™=ι{Α>φη,φη) = Σ™=ι Σ^ι ^(^)(</>п,е,)(^е,,<^п), что по
абсолютной величине оценивается через tr \A\, как и в доказательстве
теоремы 7.10.33. Так как это же верно при замене еп на егвпеп с любыми
вещественными 0П, то правая часть (7.10.9) не больше левой. С другой
стороны, все ненулевые векторы Uen образуют ортонормированную
систему. Дополнив ее до базиса {φη}·> получим пару базисов, на которой
достигается равенство.
(ii) В доказательстве теоремы 7.10.33 мы видели, что сумма ряда
из sn(A) не превосходит сумму ряда из |λη| для всякого
представления (7.10.7). Равенство достигается для Ах = Y^=iSn(A)(x,en)Uen,
где А = U\A\ — полярное разложение и {еп} — собственный базис \А\.
(ш) Из утверждения (iv) теоремы 7.10.33 ясно, что Λί(Η) —
линейное пространство. Оценка (7.10.9) вместе с очевидным неравенством
||Л|| ^ ||А||(ι) показывают, что || · ||(!) — норма. Если
последовательность {Ап} фундаментальна по этой норме, то она сходится к
некоторому оператору Α έ 1С(Н) по операторной норме. Пусть А = U\A\ —
полярное разложение А и {еп} — собственный базис \А\. Положим
фп — еп и φη = Uen при Uen Φ 0. Дополним {φη} до ортонорми-
рованного базиса. Тогда мы получаем сходимость ряда из sn(A), ибо
ряд из \(Αψη,φη)\ сходится ввиду (7.10.9) и равномерной
ограниченности норм ||Αη||(!). Покажем, что ||Л — Αη||(ΐ) —> 0. Пусть ε > 0.
Найдем номер щ с \\Ат — Ап\\^ ^ ε при всех п,га ^ По- Пусть
в пространстве Η даны два ортонормированных базиса {фк} и {<fk}-
Пусть га ^ га0. Найдем N с Σ™=ν+ι \(Афк ~ АтФк, 4>k)\ < ε. Из оценки
Σ*=ι \{А0фк — Атфк, 4>к)\ ^ ε при j ^ по в пределе получаем такую же
оценку с А вместо Aj. Итак, ввиду (7.10.9) получаем \\А — Дп||(1) ^ 2ε.
Остается заметить, что всякий оператор А £ λί(Η) приближается по
норме || · ||(ΐ) конечномерными, ибо это верно для \А\ (достаточно
воспользоваться собственным базисом \А\).
Первое утверждение в (iv) ясно из того, что |А| и \А*\ имеют одни
и те же ненулевые собственные числа, что уже отмечалось выше. Это
же соображение дает равенство ||Α||(ΐ) = ||Α*||(ΐ). Последнее равенство
в (iv) очевидно.
В утверждении (ν) ядерность операторов AT и ТА очевидна из
утверждения (iv) теоремы 7.10.33 (можно использовать и связь с
операторами Гильберта-Шмидта). Оценка ||ΑΤ||(ΐ) ^ ||^||£(#)||^||(ΐ)
следует из утверждения (ii) и представления (7.10.7). Проверим равенство
следов операторов AT и ТА. Записав оператор А в виде (7.10.7), мы

424
Глава 7. Спектральная теория
приходим к следующим двум равенствам:
оо оо оо
Τ Ах = ]Р Хп(х, un)Tvn, АТх = Σ *п(Тх, un)vn = ]Р Хп(х, T*un)vn.
n=l n=l n=l
Равенство (7.10.8) говорит, что след ТА равен Σ™=ι λη(Τυη, wn), а след
AT равен Σ™^ An(vn,T*wn), т.е. тому же самому числу. D
Приведем достаточное условие ядерности оператора в L2[0,1].
7.10.37. Пример. Пусть Τ — ограниченный оператор в L2[0,1],
причем его образ содержится в множестве липшицевых функций (или,
более общим образом, существует такая функция Φ е L2[0,1], что образ
Τ входит в класс абсолютно непрерывных функций х, для которых
\x'(t)\ ^ Οχ\Φ(ί)\ п.в.). Тогда Г — ядерный оператор.
Доказательство. Сначала дополнительно предположим, что все
функции из образа Τ равны нулю в 0. Оператор Sx = (Тх)'
принимает значения в L°°[0,1]. Согласно следствию 7.10.28 оператор S
является оператором Гильберта-Шмидта. В случае второго более общего
условия применяем теорему 7.10.29. Оператор Вольтерра V
неопределенного интегрирования также есть оператор Гильберта-Шмидта.
Поэтому Τ — VS — ядерный. В общем случае заметим, что оператор Τ
непрерывен и как оператор со значениями в С[0,1]. Поэтому
функционал ί: ι и Тх(0) непрерывен. Это позволяет записать Т в виде
Тх = i(x)l-fTox, где То имеет рассмотренный в начале вид. Тогда Τ
является ядерным, ибо таковы То и одномерный оператор χ н-> l(x)l. D
Частным случаем является следующий оператор.
7.10.38. Пример. Пусть измеримая функция /С входит в С2 на
квадрате [0,1] х [0,1] и при почти каждом s функция t ι—> /С(£, s)
удовлетворяет условию Липшица с постоянной Ф($), причем функция Φ
входит в £2[0,1]. Тогда оператор
Tx(t)= J K(tys)x(s)ds
Jo
является ядерным. Это же верно при более слабом условии: при
почти каждом s функция t »-> )C(t,s) абсолютно непрерывна на [0,1]
и dK{t, s)/dt е £2([0,1] χ [0,1]).
Отметим, что непрерывности ядра /С недостаточно для ядерности
интегрального оператора с ядром /С. Т. Карлеман указал следующий
пример: /С(£, s) = F(t—s), где F — такая непрерывная функция с
периодом 1 и разложением Фурье F(t) = Y,kezcke2nikiΊ что Σ^ \ск\ = °°.
Тогда функции ek(t) = е2пгкг образуют собственный ортонормированный

7.10. Дополнения и задачи
425
базис интегрального оператора с ядром /С, причем {ck} —
последовательность соответствующих собственных чисел. Однако если
дополнительно известно, что интегральный оператор с ядром /С неотрицателен,
то он будет ядерным.
7.10.39. Пример. Пусть /С — непрерывная вещественная
функция на [0,1] х [0,1], /С(£, s) — /C(s, £), причем интегральный оператор Т,
заданный на L2[0,1] ядром /С, неотрицателен. Тогда Τ — ядерный
оператор, причем
trT= / K{t,t)dt.
Jo
В самом деле, возьмем собственный базис {еп} оператора Τ с
собственными числами λη. По доказываемой ниже теореме Мерсера 7.10.43 ряд
Σ™=ι Anen(£)en(s) сходится к /С(£, s) равномерно на квадрате. В
частности, он сходится равномерно на диагонали, что после интегрирования
дает указанное равенство. Отметим, что ядерность Τ имеет место, если
вместо непрерывности /С предположить лишь измеримость и
ограниченность (разумеется, сохранив условие Τ ^ 0). Это следует из
доказанного, ибо можно взять последовательность непрерывных ядер Кп
с sup |/Cn(£, s)\ ^ sup |/С(£, s)|, сходящихся по мере к /С и порождающих
неотрицательные операторы (см. Гохберг, Крейн [63, с. 149-151]).
Следующая теорема описывает интересную связь между ядерными
операторами и функционалами на пространствах операторов.
7.10.40. Теорема, (i) Для всякого S £ Αί(Η) функционал
K^trSK
на /С(#) имеет норму ||£||(i). Обратно, всякий непрерывный
функционал на К,(Н) допускает такое представление, т.е. пространство
К{Н)* естественно изоморфно пространству Μ{Η).
(ii) Для всякого Τ £ С(Н) функционал
S^trTS
на λί(Η) имеет норму ||Т||£(#)· Обратно, всякий непрерывный
функционал на λί(Η) допускает такое представление, т.е. пространство
Λί(Η)* естественно изоморфно пространству С(Н).
Доказательство, (i) Мы уже знаем, что норма ||Л|| указанного
функционала Л не превосходит ||5||(i). Покажем, что ||Л|| ^ ||<S||(i)·
Пусть ε > 0. Возьмем полярное разложение S — U\S\ и собственный
базис {еп} оператора \S\ с собственными числами sn. Тогда
N
ιΐ5ΐΐ(ΐ)<Σβ»+ε
71=1

426
Глава 7. Спектральная теория
при некотором iV, где sn > 0. Возьмем конечномерный оператор К ν
с KtfUen = еп, г = 1,..., JV, доопределив его нулем на ортогональном
дополнении линейной оболочки ei,... ,ejv· Тогда ||ϋΟν||£(#) = 1 и
Ν Ν
trKNS = ^2 sn(KNUen,en) = Σ3η ^ ||5||(ΐ)-ε,
что дает нужную оценку. Итак, есть изометрическое вложение
пространства М{Н) в /С(#)*. Пусть теперь Л £ К,(Н)*. Для всяких u,v £ Η
задан одномерный оператор KUyV(x) := (x,u)v. Положим
B(u,v) := A(KUtV).
Функция В линейна по г* и сопряженно-линейна по v. Непрерывность
В ясна из равенства ||ufu,t?||(i) = INI IMI (см. задачу 7.10.63).
Согласно задаче 7.2.1 существует оператор S £ С(Н) с (Su, ν) = B(u,v).
Покажем, что это искомый оператор. Для всяких бесконечномерных
ортонормированных последовательностей {фп} и {φη} и всякого
элемента (ξη) £ со ряд Σ™=1 ξηΚ·ψη,φη сходится по операторной норме
к некоторому К £ )С(Н). Ввиду непрерывности Л сходится ряд из
ξηΔ(Κιΐ>η,φη) — ^{βΨη,ψη), причем модуль его суммы не
превосходит ||А|| ||ДГ||£(#). Легко проверить, что ||^||/:(я) = supn |ξη|.
Следовательно, {(8φη,φη)} £ I1 и Σ™=ι Κδψη,ψη)] ^ ||Λ||, что дает оценку
||5||(ΐ) ^ ||Λ|| ввиду предыдущего замечания. Утверждение (ii)
доказывается аналогично. D
Из этой теоремы следует равенство К,{Н)** — С(Н).
Одним из наиболее глубоких результатов о следах операторов
является следующая теорема В.Б. Лидского. Ее довольно трудное
доказательство можно прочитать в нескольких книгах, например, см. Гох-
берг, Крейн [63, гл. Ш, §8] (наиболее короткое доказательство изложено
в книге Simon [517]).
7.10.41. Теорема. Для всякого А £ Л/"(Я) верно равенство
оо
n=l
где Хп — все собственные числа А с учетом кратностей, причем при
отсутствии собственных чисел правая часть считается нулем.
Наиболее трудная часть доказательства как раз и связана со
случаем отсутствия собственных чисел. Совершенно неочевидно, что в этом
случае след равен нулю. Отличные от нуля собственные числа
рассмотрены в задаче 7.10.105. О собственных числах компактных операторов
см. также Konig [417], Pietsch [484].

7.10. Дополнения и задачи
427
7.10(ν). Интегральные операторы и теорема Мерсера
Приведем еще несколько фактов, связанных с теоремой Гильберта-
Шмидта и полезных при исследовании интегральных уравнений. Пусть
/С G £2([0,1]х[0,1]) — комплексная функция с /С(£, s) = /C(s, t).
Рассмотрим компактный самосопряженный оператор
τκχ(ϊ) = / fC(t,s)x(s)ds
Jo
в L2[0,1]. По теореме Гильберта-Шмидта существует ортонормирован-
ный базис {еп} с Гкеп = Апеп, где λη е Ж1. Это значит, что для
каждого η мы имеем
Ken(t) = / )C(t,s)en(s)ds
Jo
при почти всех t. Поэтому при почти всех t это равенство верно сразу
для всех п. Кроме того, при почти всех t функция s н-*· /C(s, t) входит
в £2[0,1]. Пусть t обладает обоими свойствами (множество таких точек
также имеет полную меру). Тогда предыдущее равенство означает, что
Ken(t) - (/C(-,t),en),
что дает равенство
После интегрирования по t получаем
Y)\2n\en{t)\2= / \K{s,t)\2ds. (7.10.11)
n-i -70
[ия по t получаем
У>п= / / |/С(а,*)|2сЬЛ<оо.
п=1 ^ -Ό
Так как при почти всяком t мы имеем ортогональное разложение
оо оо
£(·>*) = Σ(£(·»*)ιβη)βη = Х^ ληβη(ί)βη,
71=1 71=1
ТО
оо
/C(s, *) = Σ ^β»(*Μ*)> (7.10.12)
n=l
где ряд сходится в L2([0,1]х[0,1]). Если на /С наложить дополнительные
условия, то можно уточнить сказанное.
7.10.42. Пример. Пусть есть такое число С, что
/ \JC(t, s)\2 ds ^ С почти всюду на [0,1].
Jo

428
Глава 7. Спектральная теория
Тогда Y^L1 |Anen(£)|2 ^ С п.в., причем для всякого χ £ L2[0,1] ряд
оо
TKx(t) = ^λη(ι,βη)βη(*) (7.10.13)
сходится абсолютно и равномерно на некотором множестве Ε полной
меры.
Доказательство. Первое утверждение ясно из (7.10.11) и
равенства |/С(£, s)| = |/C(s,f)|. В качестве Ε возьмем множество тех t, для
которых выполнены (7.10.11) и неравенство из условия. Теперь оценка
Σ \bn{x,en)en(t)\ < (Σ |ληβη(*)|2) (£ |(х,^)|2)
η=τη η=τη
οο
.^(Σ |(x,en)|2)
, / <
η
1/2
гь—т
доказывает второе утверждение. D
7.10.43. Теорема. (Теорема Мерсера) Пусть функция /С
непрерывна, причем оператор Тк неотрицателен, т.е. (Ткх,х) ^ 0.
Тогда функции еп, соответствующие числам \п φ 0, имеют
непрерывные модификации, причем ряды (7.10.12) и (7.10.13) сходятся
абсолютно и равномерно. Кроме того, справедливо равенство
tvTK= [ K{t,t)dt.
Jo
Доказательство. При λη Φ 0 непрерывная версия еп дается
формулой
Zn(t) = \n1 JC(t,s)en(s)ds.
Jo
Заметим, что )C(t,t) ^ 0. Для этого при фиксированном τ £ [0,1)
возьмем функции хп — η/[Τ|Τ+ι/η]-Γ[ο,ΐ]· По условию
/min(r+l/n,l) i»min(T+l/n,l)
/ /C(t, s) dt ds.
При η —> оо интеграл в правой части стремится к /С(т,т), откуда
Κ,(τ,τ) ^ 0. Применим это наблюдение к непрерывным ядрам /С — /Сп,
где
η
Мм) = Σ Vj(*)ej(*)>

7.10. Дополнения и задачи
429
задающим неотрицательные операторы, поскольку Xj > 0, причем
оо
{Ткх,х)-(ТКпх,х)= Σ А,|(*,е,)|2>0.
Итак, )Cn(t,t) < )C(t,t). Следовательно,
η
Σλ*Μ*)|2 <£(М) <M :=sup|/C(t,s)|.
j=1 Μ
Таким образом,
Кроме того, при всяком фиксированном 5 ряд Σ^=ι ^jej(i)ej(s)
сходится равномерно по £. В самом деле, при заданном ε > 0 найдем га
с Y^iLm ^j\ej(s)\2 ^ ε и п0 неравенству Коши-Буняковского получим
Σ *>м*м*)1 < (Σ **м*)12) (Σ λ>Μ*)ΐ2) < (Με)1/2.
j=m j=m j=m
Теперь можно сделать вывод, что ряд Y^Li Anen(£)en(s) сходится
к /C(i, s) в каждой точке, а не только почти всюду. Действительно,
обозначим сумму этого поточечно сходящегося ряда через Q(t, s). Из
доказанного следует, что функция Q ограничена и непрерывна по каждому
переменному отдельно. Зафиксируем 5 и покажем, что Q(t, s) = /С(£, s)
при всех t. Ввиду непрерывности обеих функций по t достаточно
проверить, что они имеют равные скалярные произведения с функциями е&.
Поскольку ряд, задающий Q, сходится равномерно по t (что показано
выше), то интеграл от Q(t,s)ek(t) no t равен А&е&(з). Этому же равен
интеграл от /С(£, s)ek(t) no t согласно выбору версий е&. Из поточечного
равенства /С(£, s) = Q(i, 5) следует, что ряд Σ™=1 An|en(£)|2 сходится
поточечно к непрерывной функции JC(t,t). По теореме Дини сходимость
равномерна. Из этого с помощью неравенства Коши-Буняковского
легко усмотреть и равномерную сходимость ряда (7.10.12). Равенство для
следа получается интегрированием этого ряда при t = s. Ώ
Обобщение см. в задаче 7.10.127.
Нетрудно проверить, что непрерывное вещественное
симметричное ядро /С на [0,1]2 задает неотрицательный (в смысле квадратичных
форм) оператор Тк в точности тогда, когда матрицы (fC(U, tj))i .<п
являются неотрицательно определенными. Поэтому условие Тк ^ 0
не следует из условия IC(t,s) ^ 0. В качестве примера укажем ядро

430
Глава 7. Спектральная теория
/С(£, s) = \t—s|, которое задает оператор, не являющийся
неотрицательным (впрочем, это легко усмотреть из формулы для следа в §7.10(iv)).
Отметим еще, что неотрицательность оператора Τ на £2(μ) в смысле
квадратичных форм не следует путать с неотрицательностью в смысле
упорядоченных пространств, т.е. с условием Τ χ ^ 0 при χ > 0 (ни одно
из этих двух условий не следует из другого).
7.10(vi). Тензорные произведения
Пусть X и У — банаховы пространства. Для каждой пары (х, у)
в Χ&Υ формула I н+ 1(х)у задает одномерный оператор из X* в У,
обозначаемый символом χ ® у. Обозначим через Χ&Υ линейное
пространство в £(Х*, У), порожденное всеми операторами х®у. Отметим,
что представление оператора в виде х\<&у\ Η \-хп^Уп не однозначно.
Например, x®(y + z) — хЩ + xQz. Линейное пространство X&Y
называется алгебраическим тензорным произведением пространств X и У.
Его можно пополнить по какой-либо норме на пространстве
конечномерных операторов. Норма ρ на X <8> У называется кросснормой, если
р(х<&у) = \\х\\ \\у\\ для всех χ £ X, у £ У. Оказывается, среди кросснорм
есть две экстремальные, которые соответствуют обычной операторной
норме на £(Х*,У) и ядерной норме. Эти две кросснормы задаются
равенствами
\\и\\оо := s\ip^2f(xi)g(yi): и = ]Рж*<8>у<, ||/||х. 0,||#||ν* < l},
г г
ii«l := inf{ΣINI imi: u=Σχ<<8>2/<}'
г г
Для всякой кросснормы ρ выполнены неравенства ||w||oo < р(и) < ||w||^
(задача 7.10.118). Термин «ядерная норма» связан с тем, что оператор
Τ G С(Х, У) называется ядерным, если он представим в виде
оо оо
Тх = ^2щ(х)Уг, где щ е X*, v< G У, ]Г ||и<|| ||ν<|| < оо.
2=1 2=1
Точная нижняя грань сумм Σ*=ι \\щ\\ \\vi\\ по всем возможным
представлениям Τ называется ядерной нормой Τ и обозначается
символом ||ΤЦ^. Пополнения Х®У по нормам || · ||^ и || · ||оо обозначаются
символами Χ&Υ и Χ&ί. Пространство Х&Г называется банаховым
тензорным произведением X и У. Всякий элемент и Ε -Х&У можно
представить в виде ряда
оо оо
и = Y^Xi®yu где ]Г ||я<|| ||у<|| < оо,
2=1 2=1
причем HiiH^ есть точная нижняя грань сумм указанного вида (это
ясно из задачи 5.6.48).

7.10. Дополнения и задачи
431
Если X и У — гильбертовы пространства, то на X&Y есть норма
Гильберта-Шмидта, что приводит к гильбертову тензорному
произведению X&2Y- Таким образом, в том случае, когда Χ — Υ = Η —
гильбертово пространство, банахово тензорное произведение Н®Н есть
пространство λί(Η) ядерных операторов, гильбертово тензорное
произведение Н&2Н есть пространство Н(Н) операторов Гильберта-Шмидта,
а тензорное произведение Н®Н есть пространство /С(#) компактных
операторов, причем введенные выше тензорные нормы как раз и
являются соответствующими операторными нормами.
7.10(vii). Фредгольмовы операторы
Пусть X и Υ — банаховы пространства.
7.10.44. Определение. Ограниченный оператор А: X —> Υ
называется фредгольмовым, если его ядро Кег А имеет конечную
размерность, а его образ Ran Л = А(Х) имеет конечную коразмерность.
Число dim Кег А — codim Ran А называется индексом оператора А
и обозначается символом Ind А.
Ввиду предложения 6.2.12 образ фредгольмова оператора замкнут.
Иногда фредгольмовы операторы называют нётеровыми, а нётеро-
вы с нулевым индексом — фредгольмовыми.
Индекс фредгольмова оператора оказывается более важной
характеристикой, чем сами размерность его ядра или коразмерность образа.
Это связано с поведением индекса при композициях и возмущениях
операторов, что будет продемонстрировано ниже.
7.10.45. Пример, (i) Всякий линейный оператор А в
конечномерном пространстве Ε является фредгольмовым с нулевым индексом, ибо
dim Кег А + dim A(E) = dim E,
(ii) Компактный оператор К: X —> Υ может быть фредгольмовым
только в том случае, когда оба пространства X я Υ конечномерны.
В самом деле, замкнутое пространство К(Х) обязано быть
конечномерным по теореме об открытом отображении (образ открытого шара
открыт, но при этом вполне ограничен). Тогда ядро К имеет конечную
коразмерность, т.е. X тоже конечномерно.
(ш) Пусть К: X —> X — компактный оператор. Тогда оператор
I + К — фредгольмов. При этом Ind (/ + К) = 0. Это было
доказано в §7.4. Как мы увидим ниже, этот пример весьма типичен. Сам
термин «фредгольмов оператор» воздает должное Фредгольму,
занимавшемуся интегральными уравнениями. Его результаты,
относящиеся к интегральным операторам, проложили дорогу для последующих
исследований Рисса и Шаудера абстрактных компактных операторов.
Доказываемая ниже теорема Никольского выявляет тесную связь
между фредгольмовыми операторами и компактными возмущениями
тождественного оператора.

432
Глава 7. Спектральная теория
(iv) Оператор Αφ: L2[0,1] —> L2[0,1] умножения на ограниченную
измеримую функцию φ является фредгольмовым в точности тогда,
когда он обратим, т.е. \φ{ί)\ > с почти всюду на [0,1] для некоторого
числа с > 0. При этом индекс Αφ равен нулю. Действительно,
множество Ζ := <£>-1(0) имеет меру нуль, ибо в противном случае
пространство функций из L2[0,1], равных нулю вне Z,
бесконечномерно. Это пространство совпадает с ядром А. Таким образом,
оператор А оказывается инъективным. Кроме того, его образ всюду плотен
в L2[0,1], так как для всякой функции / из L2[0,1] функции //#п, где
Еп ·"= {t: Μ(ί) ^ гс-1}> сходятся к / в L2[0,1], а такие функции входят
в образ А. Значит, оператор А взаимно однозначен.
(ν) Пусть U — открытый единичный круг в С и X = H(U) —
банахово пространство аналитических функций в [/, непрерывных на
замыкании [/, причем ||/|| = maxzeu \f(z)\. Положим Af(z) = znf{z).
Тогда А — фредгольмов оператор индекса п. Действительно, этот
оператор имеет нулевое ядро и образ конечной коразмерности. Функции
1,2,..., ζη~λ вместе с образом А порождают H(U), что ясно из
разложения в ряд f(z) = Σ,Τ=ο ak*k·
Рассмотрим подробнее структуру фредгольмова оператора Τ
между банаховыми пространствами X и У. Возьмем замкнутое линейное
дополнение Х\ к ядру Τ в X (см. следствие 6.4.2). Имеется также
конечномерное дополнение Yq к образу Y\ оператора Т. Оператор Τ
взаимно однозначно отображает Х\ на Υ\ и равен нулю на Xq := Кет Т.
Поскольку Χχ и Υ\ — банаховы пространства, то Т: Х\ —> Υ\ —
линейный гомеоморфизм. Из этого вытекает следующее утверждение.
7.10.46. Предложение. Пусть Χ,Υ и Ζ — банаховы
пространства иТ £ С(Х, Υ) — фредгольмов оператор. Тогда образ Τ(Ζ) всякого
замкнутого линейного подпространства Ζ С X замкнут в У.
Доказательство. Линейное подпространство Ζ\ := Ζ Π Χ\
замкнуто и имеет конечномерное линейное дополнение Ζ2 до Ζ.
Поэтому Τ(Ζ) = Τ(Ζ\) + Γ(Ζ2), где подпространство Τ(Ζ\) замкнуто ввиду
гомеоморфности Τ на Χι, а подпространство Τ(Ζ<2) конечномерно.
Согласно предложению 5.3.8 множество Τ(Ζ) замкнуто. D
Теперь с помощью приведенных выше соображений мы докажем
следующую теорему СМ. Никольского, связывающую фредгольмовы
операторы с компактными возмущениями тождественного.
7.10.47. Теорема. Пусть X и Υ — банаховы пространства,
Τ £ C(X,Y). Оператор Τ фредгольмов в точности тогда, когда
существует такой оператор S £ £(У, X), что операторы ST—Ιχ и TS—Ιγ
компактны {соответственно в X и βΥ). При этом оператор S
можно выбрать так, что указанные операторы будут даже
конечномерными.

7.10. Дополнения и задачи
433
Доказательство. Пусть Τ фредгольмов. Как и выше, возьмем
замкнутое линейное дополнение Х\ к Xq — КегТ в X. Как мы
знаем, оператор проектирования Р\: X —► Х\ непрерывен. Непрерывен
и проектор Ρ — Ιχ — Р\ на КегТ. Имеются также конечномерное
дополнение Yq к образу Y\ оператора Τ и непрерывный оператор
проектирования Q\\ Υ —> Υ\. Тогда Q ~ Ιγ — Q\ — непрерывный
оператор проектирования на УЬ- Оператор Τ взаимно однозначно
отображает Х\ на Υχ. Теорема Банаха об обратном операторе дает
отображение So £ C(Yi,Xi) с SoTx = χ при всех χ £ Χι и Τ Soy = у при
всех у £ Уь Положим S: Υ -> X, Sy = SoQiy. Тогда S £ C(Y,X)
и TSy = TSoQiy = Qiy = У — Qy Для всех у £ Υ. Кроме того, имеем
STx = S0P0Tx = S0Tx = SoTPoz = po# = x - Px при всех χ £ Χ.
Итак, операторы ST — Ιχ и TS — Ιγ конечномерны.
Обратно, пусть существует такой оператор S £ £(У,Х), что
операторы ST — Ιχ и TS — Ιγ компактны. Это дает фредгольмовость
операторов ST и Т£. Поскольку КегТ С KerST, то ядро Τ конечномерно.
Кроме того, образ TS входит в образ Т, и потому последний имеет
конечную коразмерность. D
Отметим, что оператор S («почти обратный» к фредгольмову Т)
также оказывается фредгольмовым, ибо для него выполнено условие
Никольского.
7.10.48. Теорема. Пусть Χ,Υ и Ζ — банаховы пространства,
S £ C(X,Y) и Τ е £(У, Ζ) — фредгольмовы операторы. Тогда оператор
TS £ С(Х, Ζ) также фредгольмов и Ind (TS) = Ind T + Ind S.
Доказательство. Рассмотрим конечномерное подпространство
У0 := S(X) ПКегТ в У. Ясно, что Ker(TS) = ^(KerT). Оператор S
отображает Кег (TS) на Yo, причем ядром этого отображения является
множество Кег 5. Таким образом,
dim Кег (TS) = dim Кег S + dim Y0.
Поскольку образ S конечномерен, то S(X) + КегТ обладает
конечномерным алгебраическим дополнением Y\. Ясно, что Ran T является
алгебраической суммой Ran(TS) и T(Yi). Проверим, что это —
прямая сумма. Действительно, если TSx = Тг/, где χ £ X и у £ ΥΊ, то
Sx-y £ КегТ. Тогда у £ (S(X) + КегТ) Π Уь Значит, у = 0, ибо
последнее пересечение состоит лишь из нуля. Таким образом, оператор
TS является фредгольмовым, и мы приходим к равенству
codim Ran (TS) = codim Ran Τ + dim Υλ.
В силу доказанного получаем следующее соотношение:
Ind (TS) = (dim Кег S + dimY0) - (codim Ran Τ + dim Yi).
Подпространство Уо имеет в конечномерном подпространстве КегТ
линейное дополнение Уг. Поэтому dim Кег Г = dimYb + diml^· Для

434
Глава 7. Спектральная теория
получения доказываемого соотношения остается заметить, что
codim Ran S — dim Yi + dim I2.
Это равенство следует из того, что по построению Υ есть прямая сумма
Ran S+Кег Г и Y\, причем Ran S+Кег Τ является прямой суммой Ran S
и Υ<ι ввиду того, что >2 — дополнение Ran 5 Π Кег Τ в Кег Т. D
7.10.49. Следствие. Пусть X и Υ — банаховы пространства,
Τ € C(X,Y) — фредгольмов оператор, К G K{X,Y) — компактный
оператор. Тогда оператор Τ + К также фредгольмов, причем
lnd(T + K) = IndT.
Доказательство. По теореме Никольского имеется такой
оператор S € C(Y, X), что операторы Р\ := ST - 1Х и Р2 := TS - Ιγ
конечномерны. Значит, S(T + K) = Ix+P1 + SKh(T + K)S = Iy + P2 + KS,
где операторы Р\ -f Sif и Р2 + ·Κ*£ компактны. По той же самой
теореме оператор Т + К фредгольмов. В примере 7.10.45(Ш) было отмечено,
что компактные возмущения тождественного оператора имеют нулевой
индекс. Ввиду доказанной выше теоремы это дает равенства
Ind Г + Ind S = 0 = Ind (T + K)+ Ind S,
из которых следует равенство Ind (Τ -f К) = Ind Т. D
7.10.50. Теорема. Пусть X и Υ — банаховы пространства.
Оператор Τ £ С(Х, Υ) является фредгольмовым в точности тогда, когда
сопряженный оператор Т* фредгольмов. При этом Ind Τ = —Ind T*.
Доказательство. Пусть Т фредгольмов. Тогда
dim Кег Г* = codim Ran Г, codim Ran Τ* = dim Кег Т.
Действительно, представим X в виде Хо Θ Х\, где Хо — Кег Τ
незамкнутое линейное дополнение Хо· Кроме того, представим Υ в ви-
де Υ — Υο θ Yi, где Y\ — замкнутый образ Т, a Yo — конечномерное
дополнение Υ\. В этом представлении оператор Τ записывается как
(χο,χι) н-*· (Ο,ΤχΧι), где ΤΊ: Χ\ —> Yi — обратимый оператор. Тогда
оператор Г*: Y$ ®Y{ -> XjeXf действует так: Γ*(ιβ,0ί) = (Ο,Γ^ί),
г/о € Yq\ г/ί £ Yi*. При этом оператор jT* является изоморфизмом
пространств Yi* и X*. Для конечномерных пространств имеем равенство
dimXo = dimXo и dimYo = dimY^*. Это показьгоает фредтольмо-
вость Т* и дает нужное равенство. Отметим, что сама фредгольмо-
вость Т* очевидна из теоремы Никольского и равенств (ST)* — Т*5*,
(TS)* — S*T*. Обратно, пусть оператор Τ*: Υ* —> X* фредгольмов.
Тогда Г**: X** —> У** тоже фредгольмов. Поэтому dim Кег Г < оо.
Образ Τ имеет конечную коразмерность. В самом деле, этот образ
замкнут, ибо совпадает с образом замкнутого подпространства X в X**
под действием фредгольмова оператора Т**. Следовательно, образ Τ
совпадает с аннулятором конечномерного ядра Т* (см. лемму 6.8.1). D

7.10. Дополнения и задачи
435
В задаче 7.10.119 предлагается доказать, что фредгольмов
оператор Τ имеет нулевой индекс в точности тогда, когда Τ — S + К, где
оператор S обратим, а оператор К конечномерен.
Во всех известных в настоящее время примерах
бесконечномерных банаховых пространств существуют операторы, не являющиеся ни
компактными, ни фредгольмовыми. Однако остается открытой
следующая старая проблема: существует ли такое бесконечномерное банахово
пространство X, в котором всякий ограниченный оператор имеет вид
XI -f К, где К компактен?
7.10(viii). Векторная форма спектральной теоремы
Здесь мы получим еще два функциональных представления
самосопряженных операторов, но будем использовать пространства
векторных функций. Следующее утверждение вытекает непосредственно из
доказательства теоремы 7.8.6.
7.10.51. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор в се-
парабельном гильбертовом пространстве Η φ 0. Тогда найдется
такое конечное или счетное семейство неотрицательных борелевских
мер μη на [— ||Л||, \\А\\], что оператор А унитарно эквивалентен
оператору В в пространстве ф^=! £2(μη), действующему по формуле
Β/(*) = (*/ι(*),*Λ(ί),...,*/»(*).···)> / = (Λ./2,···,/»,··0·
Эту теорему можно представить в несколько ином виде, где
оператор будет действовать не в сумме пространств L2(/in), а в
подпространстве некоторого общего пространства 1?(μ,Η)
квадратично-интегрируемых векторных функций. Сначала введем само пространство
L2(/x, if), где μ — конечная неотрицательная мера на σ-алгебре А в
пространстве Ω, а Н — сепарабельное гильбертово пространство. Будем
называть μ-измеримыми такие отображения χ со значениями в Н,
которые определены μ-п.в. и обладают тем свойством, что для некоторого
ортонормированного базиса {еп} в Η числовые функции ω ь-> (χ(ω), еп)
являются μ-измеримыми. Это свойство не зависит от выбора базиса:
если {φΐζ} — другой ортонормированный базис, то
Аналогично скалярному случаю вводится класс £2(//,J¥) всех таких
μ-измеримых отображений χ со значениями в if, что || · Ц^ £ 1^{μ),
т.е. выполнено неравенство
оо ~
Σ / \(χ(ω)'βη)Η\2μ№) < оо.
Наконец, через 1?(μ,Η) обозначим пространство классов
эквивалентности в £2(μ,#), соответствующее отношению, при котором
эквивалентными считаются μ-п.в. равные отображения (такие пространства

436
Глава 7. Спектральная теория
введены в §6.10(vi)). Как и в скалярном случае, пространство £2(μ, Η)
наделяется структурой линейного пространства с помощью операций
над представителями классов и скалярным произведением
(ж,У) : = / (χ(ω),ν(ω))Ημ(άω) =
00 г
= Σ / (χ(ω)^η)Η(ν(ω),6η)Ημ(άω),
где в правой части подразумеваются представители классов
эквивалентности. В частности, отображение χ имеет норму
\\χ\\:=^χ(ω)\\1μ(όωή
1/2
В задаче 7.10.97 предлагается проверить полноту £2(μ, Η). Выбрав ор-
тонормированные базисы {еп} в Η и {Д} в £2(μ), получаем ортонор-
мированный базис из отображений ω ь-> /&(и;)еп в £2(μ, Η).
7.10.52. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор в се-
парабельном гильбертовом пространстве Η φ 0. Тогда найдется
такая неотрицательная борелевская мера μ на [—ЦАЦ, ЦАЦ], что
оператор А унитарно эквивалентен оператору А$, заданному формулой
A0f(t) = tf(t)
в некотором замкнутом линейном подпространстве гильбертова
пространства Ζ,2(μ, Ι2).
Доказательство. Пусть \\А\\ ^ 1. Как мы знаем, оператор А
унитарно эквивалентен прямой сумме операторов умножения на аргумент
в пространствах Ζ/2(μη) с некоторыми неотрицательными борелевскими
мерами μη на Ω := σ(Α), причем μη(Ω) < 1. В качестве μ возьмем меру
μ := Σ™=1 2~ημη на Ω. Поэтому достаточно доказать наше
утверждение для этой прямой суммы. Поскольку каждая мера μη очевидным
образом абсолютно непрерывна относительно меры μ, то по теореме
Радона-Никодима она обладает плотностью ρη относительно μ, т.е.
существует такая неотрицательная μ-интегрируемая функция ρη, что
μη{Β)= ί βη{ί)μ(Λ)
для каждого борелевского множества В С Ω. Из этого равенства
следует (см. §3.9), что для всякой /хп-интегрируемой функции φ мы имеем
/ φάμη = / φρη<1μ.
Jn «/Ω

7.10. Дополнения и задачи
437
В частности, это верно для всех φ £ £2(μη). Зададим вложение J
пространства (&™=1L2fan) в L2(/i, I2) формулой
Ясно, что J линейно и сохраняет скалярное произведение, ибо для
всякого φ = {φη}??=ι из 0^°=1 £2(μη) имеем
оо * оо -
Ш\2 = Σ / Μ*)|2Λ(*)μ(Α) = Σ / lvn(*)lV(*) = IMI2·
Следовательно, образ изометрии J — замкнутое линейное
подпространство Ε в Ζ,2(μ,ί2). В общем случае это подпространство не совпадает
с £2(μ, ί2). Однако оператор умножения на аргумент действует в Ε
по формуле Ao({xn})(t) = {txn{t)} и соответствует нашему оператору
в пространстве ф^! £>2(μη) при изоморфизме J. D
7.10(ix). Инвариантные подпространства
При изучении самосопряженных операторов нам иногда бывали
полезны их инвариантные подпространства, т.е. такие замкнутые
подпространства Но, что A(Hq) С Но- Всякий самосопряженный
оператор имеет много таких подпространств (задача 7.10.91). Однако уже
несколько десятилетий открыт такой вопрос: всякий ли ограниченный
оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Η имеет
отличные от 0 и Η инвариантные замкнутые подпространства?
Аналогичный вопрос для общих сепарабельных банаховых пространств тоже
был долго открыт, но в 1981 году Энфло построил контрпример
(позже Рид построил контрпример в I1). Здесь мы приведем
замечательный результат В.И. Ломоносова, полученный еще до открытия этих
контрпримеров и усиливающий результаты фон Неймана, Ароншайна
и Смита. Доказательство являет неожиданное и красивое применение
нелинейной теоремы Шаудера к линейным операторам.
7.10.53. Теорема. Пусть К ф 0 — компактный линейный
оператор в бесконечномерном банаховом пространстве X. Тогда все
коммутирующие с К ограниченные операторы (в том числе сам К) имеют
общее нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство.
Доказательство. Предположим противное и возьмем такой от-
крытый шар U С X, что 0 не входит в выпуклый компакт S := K(U).
Рассмотрим подалгебру Л4 := {А £ С(Х): АК — К А} и линейные
подпространства М(х) := {Ах: А £ Л4} для каждого χ £ X. При χ ф 0
имеем М(х) = X, ибо замкнутое подпространство М(х) инвариантно
относительно всех А £ Μ и χ £ М(ж), так как I £ М. Поэтому для
всякого s £ S найдется А3 £ Μ с As(s) £ U. Это дает открытый шар

438
Глава 7. Спектральная теория
Vs с центром в s и AS(VS) С U. Ввиду компактности S получаем такой
конечный набор si,..., sn £ 5, что S С V3l U ... U VSn. Как показано
в §1.9(iv), найдутся функции φι £ С(К), г — 1,... ,п, такие, что φι ^ О,
Σ™=ι ψί{χ) = 1и^(х)=0 при χ $ USi. Рассмотрим отображение
η
F: S-+X, F(x) = κ(^Γφί(χ)Α8ί(χ)).
Это отображение непрерывно, причем F{S) С 5, ибо при χ £ S мы
имеем ψί(χ) Φ 0 лишь при χ £ VSiJ но тогда ASi(x) £ U, а множество
U выпукло. По теореме Шаудера имеется точка хо £ S с F(xo) = х0.
Наконец, возьмем компактный оператор Τ = Y%=1 <Pi(xo)KASi. Ясно,
что Τ £ Μ и Т(хо) — хо. Замкнутое подпространство L := Кег (Т — /)
конечномерно. Так как КТ — ТК, то K(L) С L. Значит, в L
оператор К имеет собственный вектор с некоторым собственным числом λ.
Остается заметить, что подпространство Ε = Кет (К—XI) инвариантно
относительно всех операторов, коммутирующих с К. D
Небольшая модификация этого рассуждения приводит к еще более
сильному результату В.И. Ломоносова.
7.10.54. Теорема. Пусть X — бесконечномерное банахово
пространство, оператор Т£С(Х) коммутирует с некоторым ненулевым
компактным оператором и не является кратным единичного
оператора. Тогда все коммутирующие с Τ ограниченные операторы имеют
общее нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство.
Класс операторов Т, охватываемых этой теоремой, настолько
широк, что понадобилось несколько лет, чтобы построить оператор, в него
не входящий. Об инвариантных подпространствах см. [275] и [587].
Задачи
7.10.55.° Вычислить спектры операторов в I2: (i) Ах = (0,a?i,a?2,...)»
(ii) Ax = (ж2, жз,...); (iii) Ax = (ж2/2, ж3/3,..., хп/п,...).
7.10.56.° Вычислить спектры операторов в пространстве Ζ2(Ζ)
двусторонних последовательностей: (i) {Ax)n = xn+i\ (ii) (Ax)n — 0, если η нечетно,
(Ах)п = Хп+1, если η четно; (iii) (Ах)п = xn+i/(\n\ + 1).
7.10.57° Пусть {еп} — ортонормированный базис в сепарабельном
гильбертовом пространстве Η и ограниченный оператор А задан посредством
формулы Аеп = otnen, где {ап} — ограниченная последовательность в С
Доказать, что спектр А есть замыкание {ап}·
7.10.58.° Оператор А в I2 задан формулой Ах = (γι#ι,Γ2#2, ·. ·, гпХп, ·..)>
где {гп} — некоторая нумерация рациональных чисел из [0,1]. Доказать, что
А имеет циклический вектор и спектр [0,1], однако не является унитарно
эквивалентным оператору умножения на аргумент в L2[0,1].

7.10. Дополнения и задачи
439
7.10.59° Выяснить, есть ли унитарно эквивалентные среди следующих
операторов умножения на функцию φ в L2[a, Ь], где отрезок [а, Ь] наделяется
мерой Лебега: (а) φ{ί) = t, [a,b] = [0,1], (b) φ(ί) = |ί|, [α,Ь) = [-1,1],
(с) φ{ί) = *2, [α, b] = [0,1], (d) <p(t) = *3, [α, 6] = [0,1], (e) *>(*) = ί1/2,
[α, 6] = [0,1], (f) <?(*) = sin t, [α, 6] = [0,1].
7.10.60. (i) Доказать, что линейный оператор в С1 обладает
циклическим вектором в точности тогда, когда он не имеет кратных собственных
чисел, (ii) Доказать, что компактный самосопряженный оператор в
гильбертовом пространстве обладает- циклическим вектором в точности тогда, когда
он не имеет кратных собственных чисел.
7.10.61. Пусть μ — борелевская вероятностная мера на [0,1], взаимно
сингулярная с мерой Лебега λ, не имеющая точек положительной меры,
причем μ ((α, &)) > 0 при 0 ^ α < b ^ 1. Доказать, что операторы умножения на
аргумент в Ι/2(μ) и L2(X) имеют циклические векторы, равные спектры и не
имеют собственных чисел, но не являются унитарно эквивалентными.
7.10.62° Пусть А — такой ограниченный оператор в комплексном
банаховом пространстве X, что ||А|| € σ{Α). Доказать, что ||/ -Ь А|| = 1 + \\А\\.
7.10.63° Пусть Η — гильбертово пространство, и,ν € Я и оператор
Ku,v задан формулой KUyVx := (x,u)v. Показать, что выполнены равенства
Κ^,υ = Kv,u И Ι^,υΙχ = (v,v)(x,u)u.
7.10.64.° Пусть U — сдвиг в пространстве I2 двусторонних последоваг
тельностей (zn)nez, заданный так: Uen = еп+ь Положим К ζ :— (ζ, e_i)eo·
Доказать, что спектр Ό — К совпадает с единичным кругом.
7.10.65° Пусть А и В — линейные операторы в линейном
пространстве X. Показать, что операторы АВ и В А имеют одни и те же ненулевые
собственные числа.
7.10.66.° Пусть X — комплексное банахово пространство и Л € С(Х).
Доказать, что если А2 имеет собственное число, то А тоже.
7.10.67° Построить такой ограниченный линейный оператор в
комплексном пространстве Ζ2, что его спектр состоит из двух точек 0 и 1, причем ни
одна из них не является собственным числом.
7.10.68.° Вычислить собственные числа оператора V*V для оператора
Вольтерра Vx(t) = / x(s)ds в L2[0,1].
Jo
7.10.69. Пусть Χ — банахово пространство, t ь-> At — непрерывное
по операторной норме отображение из [0,1] в С(Х), причем существует
такое С > 0, что ||ж|| ^ C||At#|| при всех χ G X и t € [0,1]. Доказать,
что обратимость Aq равносильна .обратимости Αι. В частности, операторы
Αο,Αι £ £(Х) одновременно обратимы или необратимы, если условие
выполнено для At := tAi + (1 — t)Ao, t € [0,1].
7.10.70. Пусть X — комплексное банахово пространство, А £ £(Х),
функция f(z) = ^2^LQCnZn аналитична в круге радиуса г > \\А\\ с центром
в нуле. Доказать, что σ(/(Α)) = /(σ(Α)), где f(A) := Σ^ΟπΑ".

440
Глава 7. Спектральная теория
7.10.71? Пусть А — самосопряженный оператор иА^О. Доказать, что
|И*||2 ^ \\А\\(Ах,х).
7.10.72.° Пусть А, В — самосопряженные операторы, причем А, В ^ 0
и АВ = В А. Доказать, что АВ ^ 0. Привести пример, показывающий, что
это не всегда верно, если Ал В не коммутируют.
7.10.73.° Пусть В — самосопряженный оператор, В ^ 0 и А = В2.
Доказать, что
Указание: привести В к виду умножения на функцию.
7.10.74? Пусть А — самосопряженный оператор, причем σ(Α) = K1UK2,
где Κι и Кг компактны и К\ Π Кг = 0. Доказать, что А можно представить
в виде прямой суммы операторов А\ и Аг с σ{Αχ) = К\ и а(Аг) = Кг.
7.10.75? Пусть Pi и Рг — ортогональные проекторы на подпространства
Н\ и if2· Доказать, что Р\Рг — ортогональный проектор в точности тогда,
когда Р\Рг = РгР\, причем в этом случае Р\Рг — проектор на #ι П #2-
7.10.76° Пусть Pj — ортогональные проекторы в комплексном
гильбертовом пространстве, (i) Пусть Ρ — такой ортогональный проектор, что
(PjX,x) —► (Ρχ,χ) при всех х. Доказать, что \\PjX — Рх\\ —► 0 при всех х,
заметив, что (Р/ж, у) —» (Рх, у) для всех ж, у. (п) Пусть для каждого χ
последовательность (PjX,x) возрастает (или для каждого χ убывает). Доказать,
что существует ортогональный проектор Р, для которого \\PjX — Рх\\ —► О
при всех х. (Hi) Показать, что если Ρ — такой оператор, что \\PjX — Рх\\ —► О
при всех ж, то Ρ — проектор, (iv) Привести пример оператора Р, не
являющегося проектором, для которого (PjX,y) —► (Рх,у) для всех х,у. Для этого
рассмотреть индикаторы множеств Вп С [0,1], где Вп состоит из левых
половин промежутков, полученных делением [0,1] на 2П равных частей.
7.10.77° Пусть Η — сепарабельное гильбертово пространство и Ρ —
проекторнозначная мера на борелевской σ-алгебре прямой со значениями
в V(H). (i) Доказать, что найдется такая конечная неотрицательная боре-
левская мера μ на прямой, что все меры μχ(Β) = (Ρ(Β)χ,χ) абсолютно
непрерывны относительно μ. (ϋ) Доказать, что для всякого борелевского
множества В С И1 можно найти такую последовательность множеств Bj,
являющихся конечными объединениями промежутков, что P{Bj)x —> Р(В)х
для каждого χ е Н.
7.10.78. Пусть Η — сепарабельное гильбертово пространство, оператор
A G С(Н) самосопряжен, φ — ограниченная борелевская функция. Доказать,
что найдутся такие многочлены рп, что операторы рп(А) сходятся к φ (А) на
каждом векторе.
Указание: пусть А = Af — оператор умножения в £2(μ) на
ограниченную функцию /; мера ν := μο/-1 сосредоточена на отрезке, поэтому можно
найти равномерно ограниченную последовательность многочленов рп,
которая 1/-п.в. сходится к ф\ тогда функции рп°/ равномерно ограничены и μ-п.в.
сходятся к φof, что по теореме о мажорированной сходимости для каждого
χ Ε £2(μ) дает сходимость (pnof)x к (фо/)х в £2(μ). Можно также
использовать теорему 7.9.6 и меру μ из пункта (i) предыдущей задачи.

7.10. Дополнения и задачи
441
7.10.79. Пусть An — самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве Я, (А\х,х) ^ (А2х,х) ^ ··· ^ (Апх,х) ^ ··· и supn ||АП|| < оо.
Доказать, что существует самосопряженный оператор А в Я, для которого
Ах = lim Апх при всех χ е Н.
п—*оо
7.10.80. Пусть Я — гильбертово пространство и Л 6 £(Я) —
самосопряженный оператор. Доказать, что существуют и единственны такие
самосопряженные операторы А+, А~ ^ 0, что А+А~ = А~А+ = 0 и Л = Л+ — Л~,
причем если Αι,Α2 £ £(Я) — самосопряженные операторы, для которых
О ^ Αι ^ А+, 0 ^ А2 ^ А" и Л = Аг - А2, то Аг = А+ π А2 = А~.
7.10.81. Построить пример непрерывной квадратичной формы на
банаховом пространстве, которую нельзя разложить в разность двух
неотрицательных непрерывных квадратичных форм.
Указание: построить последовательность двумерных банаховых
пространств (Хп,|| · \\п) с такими квадратичными формами Qn, что \Qn\ ^ 1
на единичном шаре Un в Хп, но положительная часть Qn принимает
значение 2П на Un\ рассмотреть пространство ограниченных последовательностей
х = (жп), где хп £ Хп, с нормой ||ж|| = sup ||жп||п (или его сепарабельное под-
п
пространство последовательностей (хп) с ||жп||п —► 0), и форму Ση°=ι n~2Qn-
7.10.82. Доказать, что из всяких двух гильбертовых пространств хотя
бы одно линейно изометрично замкнутому подпространству второго.
7.10.83. Пусть Я — гильбертово пространство и А е С(Н). Доказать,
что оператор А обратим в точности тогда, когда обратим |Л|.
7.10.84. (i) Пусть А — оператор в С[0,1], заданный формулой
Ax(t) = - / x(s)ds, Ах(0) = ж(0).
Доказать, что г(А) = 1.
(ii) Найти собственные числа оператора, заданного формулой выше
в пространствах С[0,1] и в L2[0,1] (см. задачу 6.10.128). Доказать, что в
обоих случаях он некомпактен.
7.10.85. Пусть X — банахово пространство, А 6 С(Х) и λ — граничная
точка спектра А. Доказать, что найдется последовательность векторов хп из
пространства X с ||жп|| = 1 и ||Агп — Ххп\\ —► 0.
7.10.86. Пусть Я — гильбертово пространство, А е С(Н) и А = U\A\ —
полярное разложение А. Предположим, что А = WB и В = W*A, где
В е С(Н) — неотрицательный самосопряженный оператор и W G С(Н) —
изометрия на замыкании В(Н). Доказать, что В = \А\ и W = U на
замыкании \А\(Н).
7.10.87. Пусть μ — ограниченная борелевская мера на прямой
неограниченная μ-измеримая функция. Доказать, что оператор Αφ умножения
на у? в £2(μ) компактен в точности тогда, когда ограничение μ на множество
{t: φ{ί) Φ 0} сосредоточено в конечном или счетном числе точек αη, причем
φ(θέη) —> 0, если множество этих точек бесконечно.

442
Глава 7. Спектральная теория
7.10.88. Пусть μ — ограниченная борелевская мера на прямой л φ —
ограниченная μ-измеримая функция. Когда оператор Αφ умножения на φ
в £2(μ) имеет замкнутый образ?
7.10.89. Построить бесконечную меру μ и ограниченную μ-измеримую
функцию φ, для которых спектр оператора умножения на φ в Ι/2(μ) не
совпадает со множеством существенных значений φ.
7.10.90. Пусть А — самосопряженный оператор в сепарабельном
гильбертовом пространстве и По — соответствующее разложение единицы.
Доказать, что σ(Α) совпадает с дополнением к объединению всех интервалов
постоянства По, а также с множеством таких λ, что По (λ) ф lim Πο(λη).
λη|λ
7.10.91.° Пусть А — самосопряженный оператор в бесконечномерном
гильбертовом пространстве. Доказать, что А имеет нетривиальные
замкнутые инвариантные подпространства.
7.10.92° Рассмотрим оператор сдвига Ux = (0, xi,a?2,...) в I2. Доказать,
что не существует такого компактного оператора К ф 0, что Ό К = KU.
7.10.93. Доказать, что самосопряженный оператор А ^ 0 в
гильбертовом пространстве компактен в точности тогда, когда при некотором а > О
(а тогда и при всяком а > 0) компактен оператор Аа.
7.10.94. Пусть оператор А в гильбертовом пространстве Η
самосопряжен, причем А ^ 0 и множество А(Н) замкнуто. Доказать, что множество
Аа(Н) замкнуто при всех а > 0. В случае α 6 IN доказать это же без
предположения о неотрицательности А.
Указание: здесь А является линейным изоморфизмом А(Н).
7.10.95. Пусть А и В — самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве Η и А ^ В.
(i) Доказать, что Τ AT* ^ Τ ВТ* для всякого Τ е С(Н).
(ii) Доказать, что если оператор А обратим и А ^ 0, то оператор В
обратим и В~г ^ А~г.
(ш) Доказать, что если А ^ 0, то Аа ^ Ва при a G (0,1]. Привести
пример, когда неверно, что А2 ^ В2.
7.10.96. Доказать, что теорема 7.2.3 и следствие 7.2.4 верны и для
нормальных операторов.
7.10.97. Доказать полноту пространства £2(μ, Η), введенного перед
теоремой 7.10.52. Доказать более общее утверждение теоремы 6.10.68.
7.10.98. Пусть L — линейное подпространство гильбертова
пространства, не содержащее бесконечномерных замкнутых подпространств.
Доказать, что всякий оператор А е £(#), для которого А(Н) С L, компактен.
7.10.99. Пусть Η — гильбертово пространство и А € С(Н). Доказать,
что вектор у входит в А(Н) в точности тогда, когда
sup|(x,2/)|/||A*a:|| < оо, где 0/0 := 1.
X
Указание: применить теорему 7.10.15.

7.10. Дополнения и задачи
443
7.10.100. Пусть Ап и А — самосопряженные операторы в сепарабельном
гильбертовом пространстве Я, Апх —► Ах для всех χ е Н, f e Сь (IR1).
Доказать, что f(An)x —> f{A)x для всех χ G Я.
7.10.101. Пусть А 6 £(#), где Я — гильбертово пространство.
Показать, что А — оператор Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда есть
такое число С, что ΣΓ=ι 11^е*Ц2 ^ @ Д·7131 всякого конечного ортонормирован-
ного набора ei,..., еп. При этом ||А||^ ^ С.
7.10.102. Эллипсоидом Гильберта-Шмидта в сепарабельном
гильбертовом пространстве будем называть образ единичного шара относительно
оператора Гильберта-Шмидта.
(i) Доказать, что множество V является эллипсоидом
Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда есть такие ортонормированная
последовательность {φη} и числа ап > 0 с Σίϋι α^ < °°> что
V = {χ: χ = ΣΓ=1 *«¥>«, Σ~=ι Ы<*п\* ^ 1}·
(ii) (B.H. Судаков) Доказать, что если ограниченное множество W не
содержится ни в каком эллипсоиде Гильберта-Шмидта, то найдется такая
ортонормированная последовательность {φη}, что
Er=isuP™ew 1(™><Рп)|2 = оо.
7.10.103. Пусть Я — гильбертово пространство и А, В € £(Я).
(i) Доказать, что А(Н) -f В(Н) = у/АА*' + ВВ*{Н). В частности, если
операторы А та В являются самосопряженными неотрицательными, то верно
равенство у/А + В(Н) = у/А(Н) + \/В(Н).
(ii) Пусть операторы А и β являются самосопряженными
неотрицательными и имеют замкнутые образы. Доказать, что образ А + В замкнут в
точности тогда, когда замкнуто линейное подпространство А(Н) + В(Н).
Указание: применить теорему 7.10.15.
7.10.104! Пусть Η — гильбертово пространство иДВе £(Н) — такие
операторы, что Я = А (Я) + В(Н).
(i) Доказать, что существуют замкнутые подпространства Н\ С А(Н)
и #2 С В(Н) такие, что #ι + Я2 = Я, #ι П#2 = 0 и HfnH£ = 0.
(ii) Пусть Л(Я) и В(Я) плотны. Доказать, что множество А(Я) Π Я(Я)
тоже плотно.
Указание: см. [593], [594].
7.10.105. Пусть К — компактный оператор в сепарабельном
комплексном гильбертовом пространстве Я и {λη(К)} — все его ненулевые
собственные числа, записанные в порядке убывания модулей с учетом кратностей.
(i) Доказать, что существует такая ортонормированная система {еп}, что
равенство (Кеп,еп) = λη(Κ) верно при всех п.
(ii) Пусть {sn(K)} — собственные числа \К\. Доказать, что для всякого
ρ G [Ι,οο) выполнено неравенство Вейля J^nLi |An(i^)|p ^ Σ^=ι 15™(-Ю1Р-
Отметим также, что неравенство верно при суммировании от 1 до любого
конечного N (см. [517, §1.6]).

444
Глава 7. Спектральная теория
7.10.106. Пусть Η — комплексное гильбертово пространство, А £ С(Н).
Доказать, что оператор А нормален (см. §7.10(ii)) в точности тогда, когда
|| Аг|| = \\А*х\\ при всех χ е Н.
7.10.107. Пусть Τ — ограниченный оператор в гильбертовом
пространстве Н. Доказать, что его можно представить в виде Τ = UA, где U —
унитарный оператор и А ^ 0 — самосопряженный оператор, в точности тогда,
когда Кег Τ и Кег Т* изометричны.
7.10.108. Доказать, что ограниченный оператор Τ в гильбертовом
пространстве Η нормален в точности тогда, когда он представим в виде Τ = UA,
где U — унитарный оператор, А — неотрицательный самосопряженный
оператор и выполнено равенство UA = AU.
7.10.109. Пусть ограниченный оператор Τ в гильбертовом пространстве
Η представим в виде Τ = UA, где U унитарен, А самосопряжен, А ^ О,
причем UА ф AU. Доказать, что Τ не является нормальным.
7.10.110. Доказать, что всякий ограниченный линейный оператор
A: L2[0,1] -> L2[0,1] имеет вид
ή Γ1
Ax(t) = ^т K(t, s)x(s) ds, где /С е L2([0,1] χ [0,1]).
dt Jo
Указание: композиция А и оператора Вольтерра является оператором
Гильберта-Шмидта.
7.10.111. Пусть Η — сепарабельное гильбертово пространство.
Доказать, что множество операторов, имеющих левый или правый обратный,
всюду плотно в С(Н).
7.10.112. Пусть К — компактный оператор в комплексном банаховом
пространстве X и пусть А = XI + К, где λ £ С. Доказать, что для всякого
ε > 0 найдется обратимый оператор Αε с ||Л — Ае\\ ^ ε.
7.10.113. Привести пример такого некомпактного неотрицательного
самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве, что существует
ортонормирЬванный базис {еп}, для которого lim ||Аеп|| = 0.
η—юо
7.10.114. Привести пример такого ядерного оператора Л ^ 0 в
комплексном гильбертовом пространстве, что существует ортонормированный
базис {еп}, для которого Σ™=ι \\^е^\\ = +°о.
7.10.115. Привести пример ограниченного оператора А в комплексном
пространстве I2, который не является ядерным, хотя существует такой
ортонормированный базис {еп}, что (Аеп, еп) = 0 и потому Ση°=ι \(Аеп, еп)\ < оо.
7.10.116. (i) Пусть Ε — замкнутое линейное подпространство в L2[0,1],
причем Ε С £°°[0,1]. Доказать, что dim Ε < оо.
Указание: применить следствие 7.10.28 и получить компактность
проектора на Е.
7.10.117. Пусть Η — бесконечномерное комплексное гильбертово
пространство и U{H) — множество всех унитарных операторов в Н.

7.10. Дополнения и задачи
445
(i) Выяснить, связно ли пространство Ы{Н) с операторной нормой
(связным называется пространство, которое нельзя разложить на непустые
дизъюнктные открытые части).
(ii) Найти замыкания U{H) в слабой операторной топологии и сильной
операторной топологии.
7.10.118. Пусть X и Υ — банаховы пространства и ρ — кросснорма на
тензорном произведении X<g>Y, т.е. р(х®у) = ||х|| \\у\\. Доказать неравенства
7.10.119. Пусть Χ, Υ — банаховы пространства. Доказать, что фред-
гольмов оператор Τ £ С(Х, Υ) имеет нулевой индекс в точности тогда, когда
Τ = S + К, где S обратим, а К компактен, причем К можно выбрать далее
конечномерным.
7.10.120. Пусть X и Υ — банаховы пространства, Тп £ £(Х, У),
Sn £ £(Y, X), операторы Тп сходятся поточечно к Т, операторы Sn сходятся
поточечно к S. Предположим, что SnTn — I -\~ Кщ TnSn — I ~\~ НП) где
операторы Кп и Η η равномерно компактны, т.е. если Ux — единичный шар X,
a Uγ — единичный шар У, то Kn(Ux) содержатся в общем компакте и
аналогично для Hn(UY). Доказать, что IndT = lim IndTn.
η—κχ>
Указание: см. [229, теорема 19.1.10].
7.10.121. Пусть Τ и S — ядерные операторы в сепарабельном
гильбертовом пространстве Η и А, В е С(Н) таковы, что АВ = I — Т, В А = I — S.
Доказать, что Ind A = tr S — tr Г.
Указание: см. [229, предложение 19.1.14].
7.10.122. Пусть А — ядерный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве Η и операторы PnjQn € С{Н) поточечно сходятся к I.
Доказать, что tr (PnAQn) —► tr A.
7.10.123.* Пусть V — оператор Вольтерра неопределенного
интегрирования в L2[0,1]. Пусть На — подпространство функций, равных нулю
на [0, α], α G [0,1]. Доказать, что V не имеет замкнутых инвариантных
подпространств, ОТЛИЧНЫХ ОТ На-
Указание: см. [433, с. 280].
7.10.124. (Теорема Глисона) Пусть Η — сепарабельное комплексное
гильбертово пространство, V — множество всех ортогональных
проекторов в Я и μ: V —► [0,1] — такая функция, что μ(Ρ) ^ μ(<2) при Ρ ^ Q
и Α* (Σία Ρ*) = Σ2α мС»)» если ортогональные проекторы Рг попарно
ортогональны. Доказать, что μ(Ρ) = trSP, где S — неотрицательный оператор
со следом.
7.10.125. (Теорема Вигнера) Пусть Η — сепарабельное комплексное
гильбертово пространство, V — множество всех ортогональных проекторов
в Я и ξ: V -+V — такое отображение, что ξ(Ι) = J, ξ(Ρ) ^ £(Q) при Ρ ^ Q
и для каждой последовательности попарно ортогональных проекторов Рг
проекторы ξ(Ρί) попарно ортогональны, причем ί(Σ^2Ρ<) = Σ2α£(^)·
Доказать, что ξ(Ρ) = UPU"1, где U — вещественно-линейная изометрия,
которая либо комплексно-линейна, либо сопряженно-линейна.

446
Глава 7. Спектральная теория
7.10.126. Пусть X — комплексное банахово пространство, А е С(Х)
и λο — полюс порядка т операторной функции λ ι—► R\(A) = (А — λ/)-1.
Доказать, что λο — собственное число, причем при η ^ т имеет место
разложение X = Кег (А - ΧοΙ)η θ (А - Х01)п(Х).
Указание: см. [87, гл. VIII, §8].
7.10.127. Пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство,
являющееся плотным линейным подпространством в банаховом пространстве Е,
причем тождественное отображение Я —► Ε непрерывно. Тогда
непрерывно вложение Е* —> Я* = Я, что дает так называемую тройку пространств
Е* С Я С Е.
(i) Пусть А — такой компактный самосопряженный оператор в Я, что
А(Н) С Е*, причем А компактен и как оператор со значениями в Е*.
Доказать, что разложение Ах = Σ^=ι ап(ж,еп)еп по собственному ортонормиро-
ванному базису {еп} сходится по операторной норме в С(Н,Е*).
(ii) Пусть дополнительно А продолжается до компактного оператора из
пространства Ε в Е*. Доказать, что указанное разложение сходится и по
операторной норме в С(Е,Е*).
(iii) Пусть (Ω, μ) — вероятностное пространство и К: Ωχ Ω —► И1 —
ограниченная измеримая функция, причем /С(£, s) = /C(s,£). Пусть {λ*} и {е^} —
собственные числа и собственные функции оператора Τ в Ζ/2(μ), заданного
ядром JC. Предположим, что Τ компактен как оператор из Ι/1(μ) в £°°(μ).
Доказать, что lim esssuptGi2esssup5€i2|/C(£,s) — ΣΓ=ι λΐβ<(ί)β<(β)| = 0.
Указание: см. [114, гл. Ill, §9].
7.10.128. Пусть А — самосопряженный оператор в сепарабельном
гильбертовом пространстве Я, имеющий разложение единицы По, Τ £ С(Н).
(i) Доказать, что AT = ТА в точности тогда, когда ΤΠο(λ) = Πο(λ)Τ для
всех λ G IR1. (ii) Доказать, что Τ коммутирует со всеми операторами,
коммутирующими с А, в точности тогда, когда Τ = /(А), где / — ограниченная
борелевская функция.
7.10.129? Доказать, что тождественное вложение I1 —> I2 — абсолютно
суммирующий оператор.
7.10.130. (Kalisch [600]) Рассмотрим оператор
Kx(t) = tx(t) - f x(s) ds
Jo
в вещественном L2[0,1]. Доказать, что для всякого непустого компакта S
из И1 найдется такое замкнутое подпространство Я С L2[0,1], что К(Н) С Я
и спектр К на, Η совпадает с 5 и состоит из собственных значений.
7.10.131. Пусть Ε — банахова решетка, А е С(Е) иЛ^О (см. §6.10(ν)).
(i) Показать, что г(А) е σ{Α). (ii) Доказать теорему Крейна-Рутмана: если
оператор А компактен, то его спектральный радиус г (А) — собственное
число, причем имеется собственный вектор ν ^ 0.
7.10.132! Пусть Я — комплексное гильбертово пространство, A G С(Н).
Доказать, что множество {(Αχ,χ): \\χ\\ = 1} выпукло.

Глава 8
Локально выпуклые пространства
и обобщенные функции
В этой главе мы переходим к изучению линейных пространств
более общих, чем нормированные. Для многих вопросов анализа
и приложений рамки нормированных пространств оказываются
тесны; характерный пример — пространство бесконечно
дифференцируемых функций, обладающее естественной сходимостью,
которую, однако, нельзя описать с помощью нормы. Элементы
этой теории уже встречались нам при обсуждении слабых
топологий. В этой же главе речь пойдет об обобщенных
функциях — важном инструменте теории дифференциальных уравнений
в частных производных и математической физики.
8.1. Локально выпуклые пространства
Пусть Ε — вещественное или комплексное линейное
пространство и {ра} — некоторый (непустой) набор полунорм на Е, причем
для каждого χ φ О существует такое а = а(#), что ра(%) > 0.
Простейший пример — нормированное пространство с семейством
полунорм, состоящим из его нормы.
Рассмотрим множества вида
Uau...,anAa) = ixe E: Pa<(s-a) <e,< = 1,...,п}, (8.1.1)
где ε > 0, a Ε Е, pai £ {Ра}- В случае нормированного
пространства с нормой ρ и ра = ρ такие множества — это открытые шары.
Всевозможные объединения таких множеств (объединения в
произвольном числе, где можно варьировать точки а, число п,
индексы cti и число ε) и пустое множество будем называть открытыми
в Е. Получена хаусдорфова топология в Е. Проверка
совершенно аналогична уже встречавшемуся случаю топологии a(E,F).
Действительно, по определению любые объединения введенных

448
Глава 8. Локально выпуклые пространства
нами открытых множеств открыты. Чтобы доказать, что
пересечение двух открытых множеств открыто, достаточно
установить, что пересечение всяких двух множеств U := ϊ/αι,...,αη;ε(α)
и U' := Upu.„£k;s(b) открыто. Для этого достаточно проверить,
что всякая точка χ EUПС/' обладает окрестностью
V :=υαι_αηβι<...Α,ει(χ) CUnU'
при некотором ει > 0. Включение χ eU HU' дает оценки
ραί(#-α)<ε и ρβ^χ-Ъ) < δ.
Положим εχ := min (ε — pai(χ — α), δ — ρβ.(χ — Ь)). Пусть у Ε V.
Из неравенства треугольника имеем
Pond/ ~ а) < Paiiy - х)+Рон(х -<ή<ει + pai{x - α) < ε.
Аналогичная оценка имеет место для Ρβά{ν — Ь). Хаусдорфовость
полученной топологии следует из того, что для всяких
различных χ и у найдется ра с ра(х — у) = с > 0. В силу неравенства
треугольника это дает равенство υα^β(χ) Π UayC/±(y) = 0.
8.1.1. Определение. Пространство Ε называется
локально выпуклым пространством с топологией, порожденной
семейством полунорм ра.
Непосредственно из определения ясно, что для всякой
окрестности U точки а множество U — а является окрестностью нуля,
а множество U — а + Ь — окрестностью точки Ь. Базисные
окрестности нуля (8.1.1) выпуклы и уравновешены.
Иногда бывает удобно говорить о базисе W замкнутых
выпуклых уравновешенных окрестностей нуля: здесь требуется, чтобы
всякое множество из W содержало открытую окрестность нуля
и чтобы во всякой открытой окрестности нуля имелось
множество из W. Например, в качестве W можно взять замыкания
множеств из базиса открытых выпуклых уравновешенных
окрестностей нуля (см. задачу 8.6.34).
8.1.2. Замечание. В нормированном пространстве две
эквивалентные нормы задают одну и ту же топологию. Аналогом
этого в локально выпуклом пространстве X, топология
которого задана полунормами {ρα}, является следующее утверждение:
набор полунорм {ςβ} на X задает ту же топологию в точности
тогда, когда для всякой полунормы ςβ найдутся число С β и
полунормы ραι,... ,рап с ςβ ^ Οβ{ραι + h Pan] и> наоборот, для

8.1. Локально выпуклые пространства
449
всякой полунормы ра найдутся число Са и полунормы ςβιν.. ,#/3fe
с Pa ^ Cafotfi Η + #/?J· Действительно, совпадение топологий
равносильно тому, что во всякой окрестности нуля вида (8.1.1) по
одной из двух систем полунорм должна содержаться окрестность
по второй системе. Это и есть указанное нами условие.
Рассмотрим основные примеры. Помимо нормированных
пространств, нам уже встречался важный класс примеров:
пространство Ε с топологией a(E,F). В качестве полунорм здесь
выступают функции |/|, где / 6 F. Вообще, одно из назначений
полунорм — ввести количественные характеристики какой-либо
естественной сходимости в функциональном пространстве.
8.1.3. Пример, (i) Пространство С£°(0,1) всех
вещественных бесконечно дифференцируемых функций на (0,1) с
конечными полунормами
ρΗ{ψ) := sup \<p{k){t)\.
*e(o,i)
Аналогично вводится пространство C£°(U) всех вещественных
бесконечно дифференцируемых функций на открытом
множестве U С IRn с конечными полунормами
рк(<р)~ыр\\ч?{к)(х)\\.
хеи
Сходимость в C£°(U) — это равномерная сходимость на U
производных всякого фиксированного порядка. Более широким
является пространство C°°(U) всех бесконечно дифференцируемых
функций на открытом множестве U С Жп с полунормами
Pfc,5M:=sup||^fc)(a;)||,
xes
где S — компакт в U. Сходимость в C°°(U) — это
равномерная сходимость производных всякого фиксированного порядка
на всякой компактной части С/. При этом на всем U функции
не обязаны быть даже ограниченными.
(ii) Пусть U — открытое множество в С. Комплексное
пространство Η(U) всех голоморфных в U функций наделяется
системой полунорм
РяЫ :=sup|</?(z)|,
zes
где S — компакт в U. Сходимость в H(U) — это равномерная
сходимость на компактах из С/. Из курса комплексного анализа

450
Глава 8. Локально выпуклые пространства
известно, что такая сходимость дает и равномерную сходимость
производных на компактах. Более того, если добавить к
полунормам ps еще И ПОЛуНОрМЫ Ρΐΰβίφ) = suPa:ES |М^(Ж)11> т0
ТОПОЛОГИЯ не изменится, так как для всякого компакта S С U и всякого
к б IN найдутся такие компакт S' С U и число С = С (5, t/, к) > О,
что Pk,s{^) ^ Ср&{ф) для всех ψ £ H(U). Это легко проверяется
с помощью формулы Коши.
(Ш) Пространство ^(Ю,1) состоит из всех бесконечно
дифференцируемых функций φ на И1 с конечными полунормами
рк,т(ч>):= 8ир(1 + И2)">«(Ж)|,
xeJR1
где га, к — целые неотрицательные числа. Таким образом,
пространство ^(И1) состоит из гладких функций, все производные
которых убывают на бесконечности быстрее всякой степени. Ту
же самую топологию можно задать полунормами (которые, как
и Рк,т, являются нормами)
рт(<р) := sup sup (1 + \х\2)т\<рМ(х)\.
Аналогично вводится пространство <S(lRn) функций на Кп. Здесь
вместо |<р^(ж)1 наД° брать либо норму fc-линейного отображения
ψ^\χ), где ||¥>(fc)(z)ll := sup^.^ \<p(k\x){hu... ,hk)\, либо
величину max|a|^fc \д^(р(х)1 где
θΜφ-θίΤ^.-θ^φ, a = (αϊ,..., an), \α\ ~ аг + · - · + αη.
Так как \8^ψ{χ)\ ^ |М'а'Нж)Н и |М*ЧЖ)И оценивается через
сумму \3^φ(χ)\ по всем \а\ = fc, то получаются эквивалентные
полунормы.
(iv) Пространство Pm(IR1), mGlN, состоит из всех
бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю вне [—га, га]. Оно
наделяется счетной системой полунорм (на самом деле норм)
pkfa):=max\<p№(t)\.
Вместо всех норм рк можно взять любую их счетную часть, ибо
|(^(fc)(i)| < 2ramaxt |^fc+1H*)l ВВИДУ теоремы о среднем.
Аналогично определяется пространство Ρ ([α, Ь]) всех гладких
функций на прямой, равных нулю вне [а,Ь], наделенное теми же
нормами р*;. Пространство T>m(JRn) вводится точно так же: вместо

8.1. Локально выпуклые пространства
451
[—га, га] берется шар |х| ^ га. В многомерном случае, как и в (in),
вместо производных φ^\χ) как полилинейных функций можно
использовать частные производные, положив
рк{<р) := max max \д%\ · · · dfctp(x)\.
«Η \-кп=к |ж|^га
Более того, можно взять еще более узкий набор норм
qk(<p):= sup ^ ■ ■ ■ %ηφ(χ)\.
\χ\ζτη
В самом деле, по теореме о среднем имеем
suPl |^} · · · 8&φ(χ)\ < 2msuPa; \дХ{д^\ · · · 8&φ(χ)\.
Поэтому левую часть можно оценить через (2m)dqi, где I —
наибольшее из чисел fci,..., kn и d = Υ%=ι(1 — k{).
(ν) Пространство jD^R1) состоит из всех бесконечно
дифференцируемых функций на прямой с ограниченными носителями,
т.е. Х^И1) = Ц£=1 АпСШ·1)· Оно наделяется полунормами
оо
Р{ак}(<Р)= Σ ак 'Я8* ^J^O*)!' С8·1·2)
к=—оо
где в качестве {а&} берутся всевозможные наборы целых
неотрицательных чисел afe, i; Ε Ζ. Аналогично вводится пространство
X>(IRn): вместо |<^ш)(#)| надо брать либо Ц^тНж)Н> ли6°
наибольшее из чисел \δ^φ(χ)\ с |а| = т. Конечно, χ € [fc, fc + 1]
заменяется на к ^ \х\ < А: + 1.
Как мы увидим ниже, топологии пространств из (i)-(iv)
задаются метриками, но не задаются нормами, а топология V даже
и не метризуема. В дальнейшем нам нужна будет лишь
сходимость последовательностей в Х>, поэтому мы определим ее, не
прибегая к топологии.
8.1.4. Определение. Последовательность {φ$} С Т>(Ш})
сходится κ функции φ € ©(И1) в ©(Ю.1), если все функции φ^ и φ
равны нулю вне некоторого общего компакта и для каждого
целого неотрицательного к имеет место равномерная сходимость
Аналогично вводится сходимость в Х>(ИП).
8.1.5. Замечание. Последовательность {ipj} сходится к ψ
в V(JR}) в смысле этого определения тогда и только тогда, когда

452
Глава 8. Локально выпуклые пространства
она сходится в локально выпуклой топологии г на Т>(Ш}),
порожденной указанными в (ν) полунормами. В самом делеу
сходимость в топологии г очевидным образом следует из
определенной нами сходимости, ибо ввиду равенства нулю всех (fj и φ вне
некоторого отрезка [—щп\ ряд (8.1.2) ο,ψ—ψ^ вместо ψ
превращается в конечную сумму. Обратное утверждение будет доказано,
как только мы установим наличие общего отрезка, вне
которого равны нулю функции сходящейся в топологии г
последовательности {(fj}. Можно считать, что предельная функция есть 0.
Предположим, что для всякого η найдется jn с (Pjn(tn) Φ 0, где
^п £ [кп,кп + 1], кп Ε Ъ и либо кп ^ п, либо кп ^ — η — 1.
Тогда есть такое α^η G IN, что ^η\ψύ(^η)\ > 1, и мы приходим
к противоречию. Следует предупредить читателя, что введенная
нами локально выпуклая топология — не единственная
локально выпуклая топология, порождающая указанную сходимость
последовательностей; более того, имеются и не локально выпуклые
топологии с таким же запасом сходящихся последовательностей.
Все эти тонкости, ненужные для последующего изложения,
обсуждаются в задачах 8.6.40, 8.6.76.
В §8.6(i) приведены простые критерии метризуемости и
нормируемости локально выпуклого пространства. Класс всех
полунорм на X задает сильнейшую локально выпуклую топологию.
Имеется и другой, более геометрический, способ введения
локально выпуклых топологий.
8.1.6. Определение, (i) Вещественное линейное простиран-
стпво Ε с хаусдорфовой топологией τ называется
топологическим векторным пространством, если операции Ε χ Ε —> Ε,
(χ, у) »—> х+у, Ш}хЕ —» Ε, (£, χ) н-> tx, непрерывны относительно
естественных топологий на ЕхЕ и К1 χ£7. Комплексное mono-
логическое векторное пространство определяется аналогично,
(И) Топологическое векторное пространство Ε называется
локально выпуклым, если каждая окрестность нуля содержит
выпуклую окрестность нуля.
Всякая окрестность нуля U в топологическом векторном
пространстве содержит уравновешенную окрестность нуля W.
Действительно, найдутся такие ε > 0 и окрестность нуля V, что
Χν 6 U при |λ| ^ ε и ν 6 V. Множество Wo = {Χ^^μϋ оче~
видным образом уравновешено и содержит окрестность нуля eV.
Согласно задаче 8.6.33 внутренность W множества Wo
уравновешена. Ясно, что eV С W С U.

8.1. Локально выпуклые пространства
453
Локально выпуклое пространство в смысле нашего первого
определения является локально выпуклым в смысле части (ii)
определения выше. Действительно, множества вида (8.1.1) с а = О
являются выпуклыми окрестностями нуля, причем всякая
окрестность нуля содержит множество такого вида. Непрерывность
операции сложения следует из включения
^,...,«^/2(0) + ^„....««^(О) С 1/αΐ)...,αη;ε(0),
вытекающего из неравенства треугольника. Аналогично
проверяется непрерывность умножения на скаляр. Менее очевидно, что
топология локально выпуклого пространства Ε в смысле
второго определения может быть задана посредством семейства
полунорм. Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что всякая
выпуклая окрестность нуля V содержит выпуклую
уравновешенную окрестность нуля W. Действительно, по доказанному выше
всякая выпуклая окрестность нуля U содержит уравновешенную
окрестность нуля V. Выпуклая оболочка множества V выпукла,
открыта и входит в U. Легко проверить, что она
уравновешена. Нетрудно убедиться, что функционалы Минковского таких
окрестностей W образуют семейство полунорм, задающих
исходную локально выпуклую топологию.
В топологическом векторном пространстве вводится особое
определение ограниченности (совпадающее с обычным для
нормированных пространств, но не для метрических!).
8.1.7. Определение. Множество А в топологическом
векторном пространстве Ε называется ограниченным, если для
всякой окрестности нуля U есть такое λ > 0, что А С XU'.
Подчеркнем, что если Ε метризуемо, то из ограниченности
по метрике не следует ограниченность в указанном смысле.
Например, прямую можно метризовать ограниченной метрикой, что
не делает ее ограниченным топологическим векторным
пространством. Если в Ε есть ограниченная окрестность нуля, то Ε
метризуемо (см. [236, с. 44]), а если найдется выпуклая
ограниченная окрестность нуля, то Ε нормируемо (см. теорему 8.6.3). Если
топологическое векторное пространство Ε метризуемо, то Ε
называют метрическим линейным пространством. В этом случае
метрику можно выбрать инвариантной относительно сдвигов, т.е.
d(x,y) = d(x — у, 0) (см. §8.6(i)). Полное метризуемое локально
выпуклое пространство называют пространством Фреше.
Линейное подпространство локально выпуклого пространства
является локально выпуклым с теми же полунормами.

454
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.2. Линейные отображения
Простейшие свойства линейных функционалов и операторов
в локально выпуклых пространствах аналогичны их свойствам
в нормированных пространствах.
8.2.1. Лемма. Если линейное отображение F: X —> Υ
между топологическими векторными пространствами
непрерывно в некоторой точке, то оно непрерывно в каждой точке.
Доказательство. Пусть а, Ь е X, причем F непрерывно
в точке а. Если V — окрестность F(b), то W = V — F(b) + F(a)
является окрестностью F(a). По условию найдется такая
окрестность U точки а, что F(U) С W. Тогда U — а + Ь — окрестность
точки Ь, причем
F(U - а + Ь) = F(U) - F(a) + F(b) С W - F(a) + F(b) = V,
что показывает непрерывность в точке Ъ. D
8.2.2. Теорема. Пусть X — локально выпуклое
пространство с задающим топологию набором полунорм {ра}· Линейная
функция f на X непрерывна в точности тогда, когда найдутся
конечное семейство paij- · · ,Рап в указанном наборе и число С,
для которых
при всех χ Ε X.
Доказательство. Из указанной оценки следует
непрерывность / в нуле, а тогда и во всякой другой точке. Если же
функция / непрерывна, то множество {х: \f(x)\ < 1} содержит
некоторую окрестность нуля вида {х: ра1(х) < ε,... ,рап(х) < ε}.
Следовательно, из условия ра1(х) Η ^~Рап(х) < ε следует
неравенство \f(x)\ < 1. Значит, в качестве С можно взять С = ε-1. D
В качестве задачи 8.6.35 предлагается доказать следующее
обобщение этой теоремы.
8.2.3. Теорема. Пусть X и Υ — локально выпуклые
пространства с задающими топологию наборами полунорм {ра}
и {ςβ} соответственно. Линейное отображение F: X —> Υ
непрерывно в точности тогда, когда при каждом β найдутся
конечное семейство ρβιαι,... ,Р/з,ап β наборе {ра} и число С β, для
которых
q0{F(x)) ^ Οβ\ρβιαι(χ) + · · · +рдап(*)]» х £ Х-

8.2. Линейные отображения
455
Как и в случае нормированных пространств, теорема Хана-
Банаха влечет нетривиальность сопряженного к локально
выпуклому пространству.
8.2.4. Теорема. Пусть X — локально выпуклое
пространство и Xq — его линейное подпространство. Всякий
непрерывный линейный функционал на Xq продолжается до непрерывного
линейного функционала на всем X.
Доказательство '. Для непрерывного функционала / на Xq
теорема 8.2.2 дает такие полунормы ραι,... ,ρΛη из задающего
топологию набора и число С, что |/| ^ С\ра1 -\ bPaJ на -^о- По
теореме Хана-Банаха / обладает линейным продолжением на X,
удовлетворяющим этому же неравенству на X, что дает
непрерывность продолжения. D
8.2.5. Следствие. Для всяких линейно независимых
векторов х\,...,хп в локально выпуклом пространстве X найдутся
такие непрерывные линейные функции /i,...,/n w<* X, что
выполнены равенства 1%(xj) = 6ц.
Следующий часто используемый результат говорит, что в
локально выпуклых пространствах ограниченные множества в
исходной топологии и в слабой — одни и те же.
8.2.6. Теорема. Множество А в локально выпуклом
пространстве Ε ограничено в точности тогда, когда оно
ограничено в слабой топологии, т.е.
sup|/0z)|<oo V/eJS*.
хеА
Доказательство. Ясно, что из ограниченности следует
слабая ограниченность. Обратно, пусть А слабо ограничено, и пусть
ρ — непрерывная полунорма на Е. Рассмотрим нормированное
фактор-пространство Е/Ео, где Eq = р_1(0), наделенное нормой,
порожденной ρ (см. §5.1). Нам нужно установить ограниченность
образа А при естественном отображении из Ε на Е/Е$. По
условию, для каждого с ^ 0 на А ограничен всякий линейный
функционал /, для которого |/| ^ ср. Это означает слабую
ограниченность в Е/Ео образа А. Остается применить результат, уже
известный для нормированных пространств. D
На некоторые классы топологических векторных пространств
переносятся и такие важные теоремы о линейных отображениях,

456
Глава 8. Локально выпуклые пространства
как теорема Банаха-Штейнгауза, теорема о замкнутом
графике и теорема об открытом отображении. Подробное обсуждение
этих вопросов выходит за рамки нашей книги, но мы приведем
один весьма элегантный результат П.П. Забрейко [578],
позволяющий просто и единообразно распространить упомянутые
теоремы на полные метрические линейные пространства (конечно,
можно было бы использовать и несложные модификации
рассуждений для случая банаховых пространств); см. также §8.6(iv).
8.2.7. Теорема. (Теорема Забрейко) Пусть метрическое
линейное пространство X является множеством второй
категории (например, полно) и функция ф: X —► [0, +оо) такова, что
(i) \ίτηφ(ίχ) = О для всякого χ Ε X]
(ii) ф(х + у) ^ ψ(χ) + ф(у) для всех х,у Ε X, причем
оо оо
^\Σ1χη) ^Σψ(χη)
n=l ra=l
для всякого сходящегося в X ряда с общим членом хп.
Тогда функция ψ непрерывна.
Доказательство. Рассуждение основано на модификации
доказательства Банаха теоремы об открытом отображении. Из
неравенства ф(х + у) ^ ф(х) + ф(у) следует оценка
\ф(х + h)- ф(х)\ ^ ф(К) + ф(-Ь).
Поэтому достаточно проверить непрерывность φ в нуле. Пусть
Μ(ε) :={хЕХ: ф(х) + ф(-х) ^ ε}, ε > 0.
Зафиксируем ε > 0. По условию (i) имеем X = U^Li ηΜ(ε). Так
как X есть множество второй категории, то ηΜ(ε) при
некотором η содержит шар положительного радиуса. Значит, Μ(ε)
содержит открытый шар jB(#o> г) с центром в некотором xq ε Μ(ε)
и радиусом г = г (ε) > 0. Тогда — хо Ε Μ (ε). Найдется такое
δ(ε) > 0, что хо + Β(θ,δ(ε)) С В(хо,г) (если выбрана
инвариантная относительно сдвигов метрика, то δ(ε) = г). Шар i?(0, δ(ε))
входит в Μ(2ε). В самом деле, для всякого ν Ε Β(0,δ(ε)) есть
{хп} С Μ(ε) cxn->x0 + v, откуда хп-хо -> υ и хп-хо Ε Μ(2ε).
Покажем, что ^(г;) ^ 4ε при ν Ε ί?(θ, δ(ε)). По доказанному
найдется ν\ Ε Μ (2ε) cv — vi Ε Β(θ, δ(ε/2)). Далее находим ν<ι Ε Μ (ε)

8.2. Линейные отображения
457
с ν — v\ — V2 Ε jB(0, 5(ε/4)). По индукции получаем
последовательность элементов νη Ε Μ(22_ηε) с ν — υ\ vn Ε JB(0, δ(2~ηέ)).
Значит, υ = Σ,Ζι ^ и ^(ι;) < Σ~=ι ФЫ ^ е £~=122"Λ. D
8.2.8. Теорема. Предположим, что X и Υ — метрические
линейные пространства, причем X является множеством
второй категории. Пусть последовательность непрерывных
линейных отображений Ап: X —► У такова, что для всякого χ Ε Χ
последовательность {Апх} ограничена. Тогда для всякой
окрестности нуля V C.Y найдется такая окрестность нуля U С X,
что An(U) С V при всех п.
Доказательство. Пусть d — метрика на У, инвариантная
относительно сдвигов (ее существование доказано в §8.6(i)).
Положим
ф{х) := supd(0, Αηχ), χ Ε X.
η
Так как An(tx) = tAnx, то из условия теоремы следует равенство
lim φ(ίχ) = О при всех χ Ε X. Из оценки
d(0, и + v) ^ d(0, и) + d(u, u + v)= d(0, и) + d(0, v)
следует неравенство ψ(χ + у) < ψ(χ) + ф(у). Наконец, если ряд
Σίΐι хг сходится в X к #, то для всякого η имеем
к оо
d(0, Апх) = 1^ά(θ,γ^Αηχ^ ^ Y^d^AnXi).
i=l г=1
Поэтому ф(х) ^ 10^\Ф{хг)· Итак, выполнены все условия
предыдущей теоремы, что дает непрерывность ψ, из которой следует
доказываемое. D
Отметим важный частный случай.
8.2.9. Следствие. Если в теореме выше при всех χ Ε Χ
существует Ах = lim Anx, то оператор А непрерывен.
п—►оо
Получим обобщение теоремы об открытом отображении.
8.2.10. Теорема. Предположим, что X и Υ — метрические
линейные пространства, причем X полно, α Υ является
множеством второй категории. Пусть А: X —► Υ — такое
непрерывное линейное отображение, что А(Х) = У. Тогда для всякого
открытого множества U С X множество A(U) открыто в У.

458
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Доказательство. Пусть d — метрика на X, инвариантная
относительно сдвигов. Положим
ф(у) := inf{d(0,χ): Αχ = у}, у Е Υ.
Условие (i) теоремы 8.2.7 очевидным образом выполнено, ибо если
Ах = у, то A(tx) = ty. Неравенство ф(у\ + У2) ^ Ф{У1) + Ф{У2)
следует из оценки d(0, #ι+£2) < d(0, x\)+d(0, я2). Пусть ряд Σ™=ι Уп
сходится в У к вектору у. Проверим, что ф(у) ^ X)^Li^(i/n)·
Иначе найдется такое ε > 0, что Σί£=ι ^(ί/η) < ^(ί/) ~~ ε·
Выберем вектор хп е А~1(уп) так, что d(0,#n) ^ ^(j/n) + ε4~η. Тогда
Σηΐι ^(0> жп) ^ Ф(у) — ε/2. Ввиду полноты X ряд из жп сходится
к некоторому жбХ, причем d(0, χ) < ^(ί/) — ε/2, что
противоречит определению ф(у). □
8.2.11. Следствие. Предположим, что X и Υ —
.метрические линейные пространства, причем X полно, α Υ
является множеством второй категории. Пусть А: X —> Υ — такое
непрерывное линейное отображение, что Кег А = О и А(Х) = Υ.
Тогда отображение А"1: Υ —► X непрерывно.
Как и в банаховом случае, для полных линейных метрических
пространств из теоремы об обратном операторе следует теорема
о замкнутом графике (ибо проекция графика А: X —► Υ на X
является биекцией). Однако мы выведем ее также из теоремы 8.2.7.
8.2.12. Теорема. Предположим, что X и Υ —
метрические линейные пространства, причем Υ полно, а X является
множеством второй категории. Пусть А: X —> Υ — линейное
отображение с замкнутым графиком. Тогда оно непрерывно.
Доказательство. Пусть d — метрика на У, инвариантная
относительно сдвигов. Положим
ф(х) :=d(0,Ax), х€ X.
Условие (i) теоремы 8.2.7 очевидным образом выполнено. Кроме
того, d(0,Ах\ + Ах2) < d(0,Axi) + d(0}Ax2). Если ряд Σ™=χΧη
сходится к χ е X, то оценка d(0, Αχ) ^ Σίϊΐι d(0,-Ажп)
выполнена в случае бесконечной суммы справа. Если же сумма
конечна, то ввиду полноты Υ ряд из Ахп сходится к
некоторому у Ε Υ. Замкнутость графика дает равенство Ах = у, откуда
<ί(0, Ах) = d(0, Σ~=ι Λχη) < Σ~=ι d(0, Ахп). Π

8.3. Отделение выпуклых множеств
459
8.3. Отделение выпуклых множеств
Здесь мы обсудим ряд геометрических следствий
аналитической формы теоремы Хана-Банаха, обобщающих и дополняющих
результаты, полученные ранее для нормированных пространств.
Гиперплоскостью в линейном пространстве Ε называется
множество вида а + L, где α 6 Ε и L — линейное
подпространство коразмерности 1. Иначе говоря, гиперплоскость — это
множество вида {х 6 Е: 1[х) = <*}, где I — линейная функция на Ε
и а — число. Следующая лемма показывает, что гиперплоскость
замкнута в точности тогда, когда задающая ее линейная функция
/ непрерывна.
8.3.1. Лемма. Линейная функция I на топологическом век-
торном пространстве Ε непрерывна в точности тогда, когда
множество ί_1(0) замкнуто, что равносильно замкнутости
какого-либо из множеств Ζ_1(α). Если линейная функция I
разрывна, то множество /_1(0) всюду плотно в Е.
Доказательство. Если функция I непрерывна, то все
множества 1~1(а) замкнуты. Пусть замкнуто хотя бы одно из этих
множеств /-1(<*). Покажем, что замкнуто и множество /_1(0).
В самом деле^ либо / = 0, либо найдется υ € Ε с Ι (ν) = а.
Тогда /_1(0) = l~l{ot) — υ замкнуто как сдвиг замкнутого
множества. Для доказательства непрерывности I достаточно установить
непрерывность / в нуле. Это будет сделано, если мы проверим,
что всякое множество Us = {χ: \l(x)\ < ε} при ε > 0
содержит окрестность нуля. Если Ι φ 0, то найдется элемент е Ε Ε
с /(e) = ε. В силу замкнутости /-1(0) найдется такая
уравновешенная окрестность нуля W, что (е + W) Π /_1(0) = 0. Из
этого следует, что W С Ue. Иначе нашелся бы вектор w e W
с \l(w)\ ^ ε. Тогда ν := —ewf(w)~1 6 W, откуда /(е + ν) = 0, т.е.
е + ν е (е + W) Π /-1(0), что невозможно. Наконец, если
линейная функция / разрывна, то по доказанному ее ядро не замкнуто.
Поэтому его замыкание является более широким линейным
подпространством (задача 8.6.38). Поскольку ядро имеет
коразмерность 1, то замыкание есть все пространство. D
Будем говорить, что два множества А и В в вещественном
топологическом векторном пространстве Ε разделяются замкнутой
гиперплоскостью Η вида 1~1{а), где I — непрерывная линейная
функция и а 6 Ш,1, если либо 1(х) ^ а при χ G А и l(x) ^ а при

460
Глава 8. Локально выпуклые пространства
χ Ε JB, либо 1{х) ^ а при χ Ε В и /(ж) ^ α при хеД т.е. Л и Б
находятся в разных замкнутых полупространствах, задаваемых
гиперплоскостью Н. Если жеАиВ находятся в разных открытых
полупространствах, задаваемых гиперплоскостью Н, то говорят,
что А и В строго разделяются гиперплоскостью Н. Например,
замкнутые полупространства {х: 1{х) ^ 0} и {χ: 1{χ) ^ 0}
разделяются гиперплоскостью ί_1(0), но не строго, а соответствующие
открытые полупространства строго разделяются.
Замкнутая гиперплоскость £Г, проходящая через точку
множества А, называется опорной, если А целиком лежит в одном из
двух полупространств, задаваемых Н.
8.3.2. Теорема. Пусть Ε — вещественное топологическое
векторное пространство, А и В — непустые выпуклые
множества в Е, причем множество внутренних точек А непусто
и не пересекается с В. Тогда существует замкнутая
гиперплоскость Н, разделяющая А и В.
Если при этом А и В открыты, то они строго разделяются
замкнутой гиперплоскостью.
Доказательство. Нетрудно проверить, что множество А°
всех внутренних точек А тоже выпукло. По теореме 6.3.7
существует ненулевая линейная функция Ζ, разделяющая А° и JB, т.е.
для некоторого с имеем 1{х) ^ с при χ Ε А° и 1(х) ^ с при χ Ε В.
Из ограниченности сверху на открытом множестве следует
непрерывность I. Ясно, что 1{х) < с при χ Ε А.
Если множества А и В открыты, то полученная
гиперплоскость Η = l~l(c) строго их разделяет. Действительно, если,
скажем, 1(b) = с при некотором Ь Ε В, то найдется такая окрестность
нуля U, что Ь + и <Ζ В, г, в U найдется вектор и с 1(и) < 0 (так
как Ι φ 0), откуда l(b + и) < 0, что невозможно. D
8.3.3. Следствие. Пусть Ε — вещественное
топологическое векторное пространство, V — непустое открытое
выпуклое множество в Ε и L — аффинное подпространство, причем
LC\V = 0. Тогда в Ε есть замкнутая гиперплоскость Н,
содержащая L и не пересекающая V.
Доказательство. С помощью сдвига можно перейти к
случаю, когда L — линейное подпространство. По доказанной выше
теореме V и L разделяются гиперплоскостью Η вида Η = Ζ-1 (с),
где I — ненулевая непрерывная линейная функция и с Ε И1, т.е.
1(х) ^ с при χ EV и 1(х) ^ с при χ Ε L. Поскольку мы перешли к

8.3. Отделение выпуклых множеств
461
случаю линейного подпространства, то с = 0. Как и в
доказательстве теоремы, имеем V Π Η = 0. Наконец, L С Н, ибо если χ Ε L
и Ι (χ) φ 0, то умножением на скаляр получаем вектор j/6i, для
которого 1(у) < 0. D
8.3.4. Следствие. Пусть V — замкнутое выпуклое
множество с непустой внутренностью в вещественном
топологическом векторном пространстве Е. Тогда через всякую
граничную точку множества V проходит хотя бы одна замкнутая
опорная гиперплоскость. При этом V является пересечением
замкнутых полупространств, задаваемых опорными
гиперплоскостями и содержащих V.
Доказательство. По доказанной выше теореме всякая
граничная точка χ множества V отделяется от V замкнутой
гиперплоскостью. Ясно, что эта гиперплоскость — опорная. Для
доказательства второго утверждения обозначим через W пересечение
всех замкнутых полупространств, задаваемых опорными
гиперплоскостями и содержащих V. Тогда V С W. Допустим, что есть
точка ζ 6 W\V. Возьмем какую-нибудь точку χ из
внутренности V. Отрезок [χ,ζ] содержит некоторую граничную точку у
множества V. Мы уже знаем, что через у можно провести
замкнутую опорную гиперплоскость Η для V. Тогда Η не
содержит г, ибо иначе внутренняя точка χ также бы входила в if,
что невозможно, как было показано при доказательстве теоремы.
Следовательно, ζ и V находятся в разных полупространствах,
задаваемых Н. Итак, ζ £ W — противоречие. D
8.3.5. Следствие. Пусть А и В — непустые выпуклые
множества в вещественном локально выпуклом пространстве Е,
причем А замкнуто, а В компактно. Тогда существует
замкнутая гиперплоскость, строго разделяющая А и В.
Доказательство. Мы покажем, что найдется такая
выпуклая окрестность нуля С/, что (A+U)C\(B + U) = 0. Так как A+U
и В + U открыты и выпуклы, то останется сослаться на
теорему выше. Достаточно найти такую выпуклую уравновешенную
окрестность нуля W, что А П (В + W) = 0; тогда можно взять
U = W/2. Для всякой точки Ь Ε В найдется такая выпуклая
уравновешенная окрестность нуля W&, что А П (b + W&) = 0.
Открытое покрытие компакта В множествами Ь + 4~~1W& содержит
конечное подпокрытие Ъ\ + 4-1 И^,..., Ьп + 4~1Wtn. Окрестность
W := 4"1 ΠΓ=ι Щ - искомая. D

462
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.3.6. Следствие. Всякое непустое замкнутое выпуклое
множество в вещественном локально выпуклом пространстве
есть пересечение содержащих его замкнутых полупространств.
Доказательство. По предыдущему следствию данное
множество можно отделить замкнутой гиперплоскостью от всякой
точки вне его. D
8.3.7. Следствие. В вещественном локально выпуклом
пространстве Ε замыкание всякого выпуклого множества
совпадает с его замыканием в слабой топологии σ(Ε,Ε*).
Доказательство. Замыкание выпуклого множества V в
исходной топологии выпукло и замкнуто. Ввиду предыдущего
следствия это замыкание замкнуто и в слабой топологии. С другой
стороны, замыкание в слабой топологии не меньше замыкания
в исходной топологии. D
8.3.8. Следствие. Пусть А — непустое замкнутое
выпуклое уравновешенное множество в вещественном локально
выпуклом пространстве Е. Пусть ν Ε Е\А. Тогда найдется такая
непрерывная линейная функция f на Е, что \f{x)\ ^ 1 при χ Ε Α
uf(v) > 1.
Доказательство. Ввиду следствия 8.3,5 есть такой
функционал f e Ε*, что при некотором с имеем /(#) < с для всех
χ Ε А и f(v) > с. Ввиду уравновешенности А имеем \f(x)\ ^ с
при χ Ε А. Значит, с ^ 0. Можно считать, что с > 0. Теперь
заменим / на //с. D
В случае локально выпуклого пространства следствие 8.3.4
можно перенести на выпуклые компакты (в бесконечномерном
случае не имеющие внутренних точек).
8.3.9. Следствие. Пусть С — непустое выпуклое
компактное множество в вещественном локально выпуклом
пространстве Е. Тогда для всякой замкнутой гиперплоскости Η β Ε
существует не менее одной и не более двух опорных
гиперплоскостей, являющихся сдвигами Н. При этом С является
пересечением замкнутых полупространств, задаваемых замкнутыми
опорными гиперплоскостями и содержащих С.
Доказательство. Пусть Η имеет вид Η = Ζ-1 (с), где I е Е*
и с Ε И1. Ввиду компактности С найдутся такие точки а Е С
и Ъ Ε С, что 1(a) = а := inf^eC Кх) и Z(ft) = /? := sup^^ Kx)· Ясно,

8.3. Отделение выпуклых множеств
463
что /-1(о0 и 1~ι(β) — замкнутые опорные гиперплоскости (они
могут совпадать), являющиеся сдвигами Н, причем нет других
опорных гиперплоскостей, параллельных Н.
Покажем, что С является пересечением замкнутых
полупространств, порожденных содержащими С опорными
гиперплоскостями. Согласно следствию 8.3.5 всякая точка ζ # С строго
отделяется от С замкнутой гиперплоскостью Н. Ясно, что тогда
найдется такая параллельная Η опорная гиперплоскость, что С
и ζ находятся в разных задаваемых ей полупространствах. Это
доказывает наше утверждение. D
8.3.10. Следствие. Пусть С — выпуклый компакт в
вещественном локально выпуклом пространстве Е. Тогда
с= гкчвд).
leE*
Характерной чертой приведенных выше результатов о
разделении гиперплоскостью замкнутых выпуклых множеств было
наличие у одного из них какого-либо дополнительного свойства
типа наличия внутренних точек или компактности. Покажем, что
в общем случае нельзя обойтись без дополнительных условий.
8.3.11. Пример. В банаховом пространстве I1 рассмотрим
прямую L, заданную условиями хп = 0, η > 2, а также множество
А := {х = (хп): \п3хп — п\ ^ х\Чп ^ 2}.
Легко проверить, что А замкнуто и выпукло, причем ADL = 0.
Однако А и L нельзя разделить замкнутой гиперплоскостью, ибо
множество А — L нельзя отделить от нуля замкнутой
гиперплоскостью, поскольку это множество всюду плотно. В самом деле,
всякая такая точка χ Ε I1, что хп = п~2 при η ^ по с
некоторым по, входит в А — L.
Пусть даны линейное пространство Ε и некоторое линейное
пространство F линейных функций на £7, разделяющее точки
из Е. Тогда говорят, что задана дуальная пара {E,F). Мы уже
знаем из результатов §6.6, что при наделении пространства Ε
топологией a(E,F) в качестве пространства всех непрерывных
линейных функций получается в точности пространство F.
Если эту конструкцию применить к локально выпуклому
пространству Ε (наделенному топологией т) и взять в качестве F
пространство Е* всех непрерывных в топологии τ линейных
функционалов на 2?, то мы получим более слабую топологию на Е,

464
Глава 8. Локально выпуклые пространства
однако сопряженное при этом не изменится. Возникает вопрос
о том, как устроены локально выпуклые топологии на Е, при
которых сопряженным остается Е*. Такие топологии называются
согласующимися с двойственностью. Ясно, что σ(Ε,Ε*) —
слабейшая из них. Оказывается, среди этих топологий есть и
сильнейшая — топология Макки тм- Доказываемая в §8.6(ii) теорема
Макки-Аренса дает полное описание согласующихся с
двойственностью топологий как топологий, находящихся между σ(Ε,Ε*)
и тм- Основная идея описания согласующихся с двойственностью
топологий состоит в привлечении топологий равномерной
сходимости на некоторых классах множеств. Для этого полезно ввести
поляры множеств.
Пусть дана дуальная пара (£7, F). Полярой множества А С Ε
относительно дуальной пары (£", F) называется множество
A°:={feF: \f(a)\ ζ lVa € A}.
Из определения очевидны следующие свойства поляры.
8.3.12. Лемма. Множество А° является выпуклым,
уравновешенным и замкнутым в топологии a(F,E).
Такое же рассуждение, как и в случае банаховых пространств,
дает следующий вариант теоремы Банаха-Алаоглу-Бурбаки для
локально выпуклых пространств.
8.3.13. Теорема. Пусть X — локально выпуклое
пространство. Тогда поляра всякой окрестности нуля U в X компактна
в топологии σ(Χ*,Χ).
Большое значение имеет следующая теорема о биполяре.
8.3.14. Теорема. Биполяра А°° множества А С Е, т.е.
поляра А° относительно пары (F, Е), совпадает с σ(Ε, F)
-замкнутой выпуклой уравновешенной оболочкой А.
В частности, если X — локально выпуклое пространство,
поляра А0 берется относительно (Х,Х*), а биполяра берется
относительно (Х*,Х), то А°° совпадает с замкнутой выпуклой
уравновешенной оболочкой А.
Доказательство. Ясно, что А с А°°. Пусть В — a(E,F)-
замкнутая выпуклая уравновешенная оболочка А. Если элемент
ν Ε Ε не входит в JB, то по следствию теоремы Хана-Банаха
существует такой σ(Ε, ^-непрерывный линейный функционал /,
что \f(v)\ > 1 и |/(Ь)| < 1 при всех Ь Ε В. Мы знаем, что / 6 F
(см. §6.6). Поэтому / е А°. Значит, ν £ А°°. Итак, В С А°°. D

8.4. Обобщенные функции
465
8.4. Обобщенные функции
Обобщенные функции вводятся как непрерывные линейные
функционалы на различных пространствах гладких функций.
Основная идея этой конструкции, пришедшая из физики,
состоит в том, что даже многие обычные, но достаточно разрывные
функции представляют интерес не с точки зрения их значений
в индивидуальных точках, а с точки зрения того, что они дают
после усреднения с гладкими функциями. В теории интеграла
имеется близкое по духу отождествление эквивалентных
функций, но здесь происходит более тонкое развитие этих мотивов.
8.4.1* Определение, (i) Пространство всех непрерывных
линейных функций на <S(IRn) обозначается через <S7(lRn) и
называется классом обобщенных функций умеренного роста.
(ii) Пространство всех линейных функций F на V(JEln)
таких, что F((fj) —> 0 для всякой последовательности {(fj},
сходящейся к нулю в Х>(НП); обозначается через 2}'(ГО,П). Функции
из 2У(ИП) называются обобщенными функциями на JRn.
Ясно, что пространства Sf и ТУ линейны. Отметим, что в (ii)
требуется секвенциальная непрерывность F. Мы знаем, что Ί)
неметризуемо. Поэтому возникает вопрос о совпадении V с
пространством всех непрерывных линейных функций на 2λ
Оказывается, в данном случае такое совпадение имеет место (хотя для
нелинейных функций это уже не так: задача 8.6.40!). Мы привели
определение в такой форме лишь для того, чтобы не использовать
в нем топологию (которая и не нужна для последующего
обсуждения). Однако для полноты изложения в предложении 8.4.8
ниже приведено доказательство упомянутого совпадения.
Отметим также, что линейная функция F на S входит в S'
в точности тогда, когда |^(^)| ^ Срш{ф) для некоторых Сит,
где {рт} — нормы из примера 8.1.3(ш).
8.4.2. Пример, (i) Пусть F — локально интегрируемая
функция на Мп. Формула
Ψ *-* / ψ{χ)Ρ{χ) dx
задает элемент X>'(IRn), который обозначается также через F.
(ii) Всякая борелевская мера μ на Шп, ограниченная на
каждом шаре, задает обобщенную функцию из X>'(IRn) по формуле
Ψ ·""* / φ(χ) μ(άχ).

466
Глава 8. Локально выпуклые пространства
(Ш) Формула φ ι-* ψ(0) задает обобщенную функцию,
называемую 5-функцией (или 5-функцией Дирака). Аналогично для
каждого а 6 IRn определена обобщенная функция
δα(ψ) := φ(α).
Ясно, что δα соответствует мере Дирака δα в точке а. Заметим, что
δ не задается никакой локально интегрируемой функцией F:
достаточно взять последовательность таких функций <pj £ £>(IRn),
что 4?j(Q) = 1, 0 < ^ < 1 и 4>j(%) —► 0 для каждого χ ф 0. Тогда
δ{ψί) = 15 но интеграл от ipjF должен стремиться к нулю ввиду
теоремы Лебега о мажорированной сходимости.
(iv) Обобщенная функция φ ι—> — φ'(0), φ Ε ©(И1), не
задается не только локально интегрируемой функцией, но даже и мерой,
ибо легко построить функции φ$ Ε V(JR}) с <£>'·(0) = 1, которые
равномерно ограничены и поточечно сходятся к нулю.
Функции классов Т> и <S называют пробными. Пространства S
и Vm — полные метризуемые, что дает следующий аналог
следствия теоремы Банаха-Штейнгауза (см. следствие 8.2.9).
8.4.3. Теорема. Пусть Fj € S'(]Rn), причем для всякого φ
U3S(JRn) существует конечный предел F(φ) := lim Fj(<p). Тогда
j_>oo
F Ε <S'(IRn). Аналогичное утверждение верно для V(]Rn).
С помощью этого результата легко построить еще несколько
интересных примеров обобщенных функций.
8.4.4. Пример. Для каждого φ Ε ^(И1) существует
конечный предел
V.P.i(„):=lim/ ψ*,- r-eSsbMb, (8.4Л)
задающий обобщенную функцию V.P.A. Аналогично обобщенные
функции (х + г0)-1 и (х — г0)-1 задаются равенствами
(ж + Ю)"1^)— lim / °°^-dx,
ν ) ν^ *-*+У-оо x + ie '
(z-iOrV)" "πι / °°^-dx.
Для обоснования (8.4.1) заметим, что утверждение очевидно для
функций <£>, равных нулю в окрестности нуля. Поэтому
достаточно рассмотреть функции φ Ε Т>(Ш}). Пусть φ(χ) = 0 при \х\ ^ га.

8.4. Обобщенные функции
467
Тогда функция \φ{χ) — φ(0)]/χ интегрируема на [—га, га], ибо
оценивается через supt |<£7(£)|. Значит,
х e-*OJe<\x\^m х
что доказывает наше утверждение, ибо интеграл от φ(0)/χ по
[—га, —ε] U [ε, га] равен нулю. Остальные утверждения
обосновываются аналогично.
Сходимость обобщенных функций Fj к F понимается как
сходимость Fj((p) —> F(y>) на всех пробных функциях ψ.
Хотя обобщенные функции не являются функциями точки
на прямой, к ним применимы многие конструкции и понятия,
известные для обычных функций. Здесь мы рассмотрим
умножение на функцию и понятия носителя и сингулярного носителя,
а в следующем параграфе речь пойдет о дифференцировании.
Если F Ε 2?7(IRn) и / 6 С°°(1ЕГ), то обобщенная функция fF
задается формулой (/F)(</?) := F(ftp). Ясно, что fF Ε &(Шп).
Аналогично, fF Ε <S'(lRn), если F Ε <S'(IRn) и / Ε С°°(1ЕГ),
причем для каждого к при некотором т = т(к) имеет место оценка
\\fW(x)l\Kckym(l + \x\2r.
Носитель supp/ обычной функции / — замыкание {/ Φ 0}.
8.4.5. Определение. Будем говорить, что обобщенная
функция F Ε P7(IRn) является гладкой на открытом множестве
U С Шп, если найдется такая функция g Ε C°°(U), что
Ρ{ψ) = / ψ(χ)9(χ) dx
Ju
для всех ψ Ε £>(IRn) с supp у? С U. Если при этом g = 0, то
будем говорить, что F равна нулю на U.
Дополнение к объединению всех открытых множеств, на
которых F является гладкой, называется сингулярным
носителем F и обозначается символом singsuppF.
Дополнение к объединению всех открытых множеств, на
которых F равна нулю, называется носителем F и обозначается
символом suppi1.
8.4.6. Пример. Справедливы равенства
1 1
supp δ = {0}, supp V.P.- = И1, singsuppV.P.- = {0}.
χ χ
Из определения ясно, что если F Ε £>'(IRn), φ Ε £>(IRn)
и supp F Π supp у? = 0, то F(<p) = 0.
/

468
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.4.7. Пример. Если F е £>'(1ЕГ), / е С°°(Шп) и / = 1
в открытом множестве U Э suppF, то fF = F, ибо носитель
/φ — φ не пересекается с suppF. Однако недостаточно равенства
/ = 1 на suppi1. Например, если F((p) = ^'(О) и f(x) = 1 + #, то
suppF = {0} и /(0) = 1, но fF = F + 5, что видно из следующих
равенств: (/F)fo>) = F(/V) = (JV)'(O) = *>(<)) + φ'(0).
8.4.8. Предложение. Пространство Т>'(Щ}) совпадает
с пространством непрерывных линейных функций на Х^И1)
с введенной выше топологией. Это же верно для £>'(IRn).
Доказательство. Надо показать, что всякая
секвенциально непрерывная линейная функция F на V(JR}) в
действительности непрерывна в топологическом смысле. Для этого достаточно
проверить, что найдется такая полунорма Р{ап) вида (8.1.2), что
1^(^)1 ^ Ρ{αη}(ψ) Для всех Ψ е ©(Η1). Секвенциальная
непрерывность дает непрерывность ограничения F на каждое метри-
зуемое локально выпуклое пространство DW(1R1).
Легко построить последовательность функций ζ& Ε X^IR1),
к Ε Ζ, со следующими свойствами: 0 < ζ& ^ 1, CfcO*0 = 1 при
xe[k- 1/3, к + 1/3], Ск{х) = 0 при ж 0 [к - 2/3, fc + 2/3], причем
Cfc(s) + C*+i(aO = 1 Для всех х. Тогда ΣίΐΞ-οο С*(&) = L
Для каждого А: рассмотрим функционал Fk(tp) := Ffaffi) на
©(И1). Сужение F^ на £>([& — l,fc + 1]) непрерывно, а значение
Ffc(<^) зависит лишь от сужения φ на [к — 2/3, А: + 2/3] и не
изменится при замене φ на #&<£>, где 0^ 6 ©(И1), 0fc(#) = 1 при
ж Ε [к - 2/3, fc + 2/3] и 9к(х) = 0 при χ & [к - 1, к + 1]. Применяя
теорему 8.2.2 для X>([fc — 1, к + 1]), находим такие С*, г* 6 IN, что
IFfcfoOKC* sup [|v(t)| + --- + |v(rfc)(t)|] V^eDiR1).
t€[fc-l,fc+l]
Положим ojfc := 5Zi^_i(C/ + 77). При ^ Ε X^IR1) имеем
πι +00
fc=—m fc=—00
+00
<EC* sup D^i+'-'+i^wi],
fcZri, *e[fc-i,fc+i]
откуда |-F(<^)| < P{afc}(v)· Случай η > 1 аналогичен. D

8.5. Производная обобщенной функции
469
К обобщенным функциям можно применять и многие другие
операции, которые применяются к обычным функциям.
Производная будет рассмотрена в следующем параграфе, а здесь
ограничимся замечанием, что прямое произведение обобщенных
функций F е Т>'(Шп) и G Ε V(JRk) задается как элемент F®G из
V(JRn+k)> действующий на пробные функции φ Ε Т>(Шп+к) =
V(JRnxJRk) по формуле F®G((p) := F(^), ψ(χ) := G((p(x, ·))·
Ясно, что функция ψ имеет компактный носитель. Проверка ее
гладкости и доказательство включения F®G Ε V(JRn^k)
отнесены в задачу 8.6.48.
В приложениях используются многие другие классы пробных
и обобщенных функций. Например, естественный класс
пробных функций — класс 8(lRn) всех бесконечно
дифференцируемых функций на Ип с топологией равномерной сходимости всех
производных на ограниченных множествах, т.е. соответствующие
полунормы имеют вид Рк,т{Ф) — suP|a;|^Tn |М*ЧЖ)11·
Соответствующий класс £' обобщенных функций входит в S*. Обобщенные
функции из ε' — это обобщенные функции из V с компактными
носителями.
8.4.9. Предложение. Функционал F G X>'(IRn)
продолжается до элемента ε'(IRn) (т.е. непрерывен относительно
топологии из ε (lRn)) β точности тогда, когда он имеет компактный
носитель.
Доказательство. Если F имеет носитель в шаре С/, то
продолжение на £(IRn) дается формулой F(<p) := F(9(p), где θ —
фиксированная функция из Co°(IRn), равная 1 в окрестности U.
Обратно, если F непрерывен в топологии из ε(IRn), то найдутся
такие fc, m и С, что |F(^)| ^ Cpk,m(<p) дая всех Ψ € 2>(IRn)· Это
означает, что носитель F входит в шар радиуса т (для всякой
точки а вне этого шара есть функция ψ 6 Z>(IRn) с ψ(α) = 1
и φ(χ) = 0 при |ж| ^ га). D
8.5. Производная обобщенной функции
Как известно, бывают даже непрерывные функции, не
имеющие производной ни в одной точке. В рамках теории
обобщенных функций производную можно определить не только для
таких функций, но даже для всюду разрывных локально
интегрируемых функций. Правда, эти производные будут не обычными
функциями, а обобщенными.

470
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.5.1. Определение. Пусть F G £>'(IRn). Обобщенная
частная производная dx.F обобщенной функции F определяется как
элемент V'{JRn), заданный формулой dXiF((p) := —F{dXi(p).
Аналогично полагаем
При η = 1 получаем Έ*(φ) = — F((p').
Функционал ψ ι-* —F{dXi(p) действительно является
обобщенной функцией, ибо если φj —> 0 в £>(IRn), то и дхлр$ —» 0 в £>(]Rn).
Таким образом, всякая обобщенная функция имеет
обобщенные частные производные любого порядка в указанном смысле.
В частности, обычная локально интегрируемая функция, даже
не имеющая обычной производной ни в одной точке,
бесконечно дифференцируема в смысле обобщенных функций. Правда, ее
производные — уже не обычные функции, а обобщенные.
8.5.2. Пример, (i) Пусть обобщенная функция F задается
обычной функцией /[ο,+οο) (ее называют функцией Хевисайда).
Тогда F' = δ в смысле обобщенных функций, ибо
/*оо
F'(</?) = -*V) = - / φ'(χ) dx = φ(0) = 5(0), φ Ε V(m}).
Jo
(ϋ) Пусть обобщенная функция F задается локально
интегрируемой функцией 1п|ж|. Тогда Ff = V.P.j. В самом деяе^
/+оо
<p'(x)]n\x\dx =
-ОО
Г Г φ(χ)
= — lim / φ'(х) In \x\ dx = lim / dx.
e-*°J\x\>s e-*°J\x\>s *
Как и в случае обычных функций, обобщенная функция с
нулевой производной оказывается константой, т.е. задается
постоянной обычной функцией (конечно, это не означает, что такая
обобщенная функция является постоянным линейным
функционалом: линейная функция постоянна лишь в том случае, когда
она тождественно равна нулю).
8.5.3. Предложение. Пусть F е 7У(Щ}) и F' = 0. Тогда F
задается некоторой постоянной с, т.е.
F((p) = с / φ(χ) dx.
JjR1
Если же F' = 0 на интервале U, то найдется постоянная с,
для которой указанное равенство верно для всех φ 6 C™(TJ).

8.5. Производная обобщенной функции
471
Доказательство. Пусть φο е Т>(Ш}) имеет интеграл 1 по
всей прямой. Положим с := ^(^о) и покажем, что получена
искомая постоянная. Для всех φ 6 ^(IR1) имеем φ = φ — θφο + θφο,
где θ — интеграл от φ. Положим
ф(х):= ί [<p(t)-9ip0(t)]dt.
J—oo
Заметим, что φ Ε X^IR1), ибо если обе функции φ vs. φο
обращаются в нуль вне некоторого отрезка [а, Ь], то ψ также обращается
в нуль вне [а, &], так как интеграл от φ—θφο по всей прямой равен
нулю. Ясно, что ф1 = φ — οφο· Поэтому
Ffo>) = Ftf) + 0F&O) = -¥*{ф) + св = св,
что и требовалось. Случай интервала аналогичен. D
Для функции Кантора Со из предложения 3.1.12 мы имеем
С'0(х) = 0 п.в., но Cq в V1 отнюдь не нуль, а вероятностная мера г/,
для которой г/([0, #)) = Cq(x). Более общим образом, если μ —
мера на прямой и F(x) = μ((—оо,ж)), то F1 = μ в V1 (см. §4.5(i)).
Как и локально интегрируемые функции, обобщенные
функции обладают первообразными.
8.5.4. Предложение. Для всякой обобщенной функции F
из Т>\Ш}) существует такая функция G Ε ©'(ГО,1), что G1 = F.
Если взять одну такую функцию, то всякая другая отличается
от нее на обобщенную функцию, задаваемую константой.
Доказательство. Для φ Ε X^IR1) возьмем ту же
функцию ф, что и в предыдущем доказательстве. Положим
0(ψ) := -F(tl>).
Функция G линейна на Т>(Ш}). Покажем, что она непрерывна.
Достаточно проверить, что линейное отображение φ ι-» ф
непрерывно на ©(И1). Пусть (fj —>0в Т)(Ш}). Тогда функции φ$ равны
нулю вне некоторого отрезка, а их интегралы 6j стремятся к
нулю. Функции φj — θ^φο равны нулю вне некоторого отрезка [а, 6]
и имеют нулевые интегралы. Поэтому соответствующие функции
Фз равны нулю вне [а, Ь]. Поскольку φ^ — θ^φ^ —► 0 в ©(И1), то
последовательность функций ф] также стремится к нулю в ©(И1),
что завершает наше доказательство. D
Обобщенная функция G также имеет первообразную и т.д.
Оказывается, если зафиксировать отрезок [а, 6] и сузить F на

472
Глава 8. Локально выпуклые пространства
функции с носителями в [а, 6], то через конечное число шагов мы
придем к обычной функции (непрерывной или даже непрерывно
дифференцируемой).
8.5.5. Теорема. Если F Ε V'iTR71) имеет носитель в от-
крытом шаре U, то найдутся непрерывная функция Φ на U
и число к 6 ИМ, для которых F = дХ1 · · · с?£пФ. Всякий элемент
F е S'QRn) имеет вид F = д^ ■ · ■ fl£n*, где"fc 6 ΙΝ; Φ 6 С(1ЕГ),
|Ф(ж)| ^ С + С||я||т, С, га > 0. В одномерном случае F = ф(*).
Доказательство. Пусть η = 1 и 17 = (0,1). По теореме 8.2.2
есть такие га, С 6 IN, что |F(^)| < Csupe€l/ \φ{πι){χ)1 ψ Ε V(U).
По теореме о среднем \φ^(χ)\ ^ ||p(m+1)||i,i < 11^(т+1)|1ь2. Итак,
|F(^)| ^ C||^(m+1)||L2. Теорема Рисса (пример 6.5.3) дает
функцию g e L2[0,1], для которой F{<p) = (ч>{т+х) ,g)L*{u), Ψ е V(U).
Значит, F = (—1)т+1д(ш+1). В качестве Φ можно взять
первообразную д. В многомерном случае рассуждения аналогичны.
Пусть U С (0,1)п. Как и выше, найдутся числа С и fc, для
которых |^(^)| < Cs\xpxeU \д£г · -·9%ηφ(χ)\. Заметим, что правая
часть оценивается через СЦд^1 · · · dj^VlL·2· Действительно, для
всякой функции ф Ε *D(U) мы имеем \ψ(χ)\ ^ \\дХ1 · · -dXn^\\Li,
ибо ввиду η-кратно примененной формулы Ньютона-Лейбница
ψ(χ) есть интеграл от функции дХ1 · · · дХпф по
параллелепипеду {0 < у ι ^ Xi,i = Ι,.,.,η}. Как и выше, получаем функцию
g Ε L2, для которой F = (-l)"^*1)^1 · --д^д. В качестве Φ
возьмем функцию / · · · / д(у) dy\ - · · dyn. Случай S' анало-
Уо Jo
гичен, но надо использовать оценки с Ь1-нормой и пример 6.4.12
для Υ = L1 (см. Владимиров [44, с. 97]). Отметим, что функция
—ех sin χ = (cos exy входит в «S7, но не имеет степенной оценки. D
8.5.6. Предложение. В предыдущей теореме F{ip) = 0, ее-
ли д£\и·· djj£4> = 0 на suppF при всех hi ^ к.
Доказательство. Пусть Όε — открытая ε-окрестность
компакта suppi1 и ρε(χ) = ε~ηρ(χ/ε), где ρ 6 Co°(IRn) имеет
интеграл 1 и носитель в замкнутом единичном шаре U. Гладкая
функция ζε := ρε * Ιχ2ε имеет носитель в Ще и равна 1 на U6.
Кроме того, |с?(а)£е(а;)| ^ CQs~laL Из формулы Тейлора и нашего

8.6. Дополнения и задачи
473
условия на ψ следуют оценки \д*\ ---3^φ(χ)\ ^ C\6kn kl '" fen.
Поэтому \dkY · · · 0%η(ζεφ)\ ^ (7ε, где С не зависит от ε. Можно
считать, что suppF С С/, slippy С U и Φ непрерывна на U. Таким
образом, согласно примеру 8.4.7 получаем
№φ)\ = №Ьч>)\ = |(Ф,^ •■·δ*η(ζεφ))\ < СетриМх)\К(и),
где правая часть стремится к нулю при ε —► 0. D
8.5.7. Пример. Пусть F Ε V(JRn) и suppF = {0}. Тогда
F = J2\a\^Ncad^S при некоторых са € Ю,1 и N € ΊΝ U {0}. Если
η = 1, то F = со* + ci57 + · · · + слг5(ЛГ).
Доказательство. Пусть функция С б Х>(КП) равна 1 в
единичном шаре и са := Ffex*1 · · · #£η), α = (αχ,..., αη). Положим
V> := jp - С Σ|α|<ξ*η #(α)^(Ο)^?1 · · · <η· Предыдущее предложение
дает F(^), = 0, ибо д^ф(0) = 0 при |α| ^ fcn. В случае п = 1
есть другое обоснование: так как F = ф(*), где Φ — непрерывная
функция, то существуют такие многочлены Р\ и Ρ<ι степени к— 1,
что Φ (ж) = Pi (ж) при ж > 0 и Φ (ж) = Рг(ж) при ж < 0. D
8.6. Дополнения и задачи
(i) Метризуемость и нормируемость (473). (ii) Топология Мак-
ки (476). (iii) Индуктивные и проективные пределы (479). (iv)
Бочечные и борнологические пространства (480). (ν) Банаховы
пространства, порожденные функционалами Минковского (481).
(vi) Теорема Крейна-Мильмана (488). (vii) Теорема об измеримом
графике (490). Задачи (490).
8.6(i). Метризуемость и нормируемость
8.6.1. Предложение. Локально выпуклое пространство Ε мет-
ризуемо в точности тогда, когда его топология порождается
некоторым счетным набором полунорм. В этом случае из исходного
набора полунорм {ра}, задающего топологию, можно выделить конечный
или счетный поднабор {рап} со следующим свойством: для каждого
а найдутся такие число Са и индекс η = п(а), что выполнено
неравенство ра ^ Са(ра1 Η И>а«)·
Доказательство. Если топология пространства Ε порождена
счетным набором полунорм рп, то положим
оо
d(x,y) := ^2~п min(pn(x - y),l).
n=l

474
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Легко проверить, что d — метрика. Покажем, что d задает
топологию, порождаемую полунормами {рп}. Для этого достаточно
проверить, что всякий шар К (а, г) := {х: d(x,a) < г} содержит
окрестность вида (8.1.1), а всякая такая окрестность содержит некоторый
шар К(а,г'). Найдем такое N, что 2~N < г/2. Положим ε — г/2. Тогда
^Pi,...,piv,c(a) С К(а,г). Обратно, окрестность (8.1.1), заданная
полунормами р\,... ,рп, содержит шар К(а,г') радиуса г' := 2~η~1ε.
Предположим теперь, что локально выпуклая топология Ε метри-
зуема метрикой d. Тогда каждый шар радиуса Ι/fc с центром в нуле
содержит окрестность вида (8.1.1) с а = 0 и некоторыми η, ε и а*. Тем
самым для каждого к выделен конечный набор полунорм. Обозначим
через {рап} счетное семейство, являющееся соединением всех этих
конечных наборов. Порождаемые рап множества вида (8.1.1)
представляют собой часть всех таких множеств. Чтобы убедиться в совпадении
соответствующих топологий (т.е. объединений множеств такого вида),
достаточно установить, что всякое множество вида (8.1.1) для
исходного набора содержит множество такого же вида для счетного
набора {Рап}- В свою очередь, для этого достаточно проверить последнее
утверждение доказываемого предложения. Итак, пусть а
фиксировано. По условию открытое множество U := {х: ра(х) < 1} содержит
некоторый шар V радиуса 1/fc по метрике d с центром в нуле. По
построению в этом шаре есть множество вида (8.1.1) с а* из выбранного
нами счетного множества. Пусть С = ε-1. Тогда условие Cpai(x) < 1
при всех г = 1,... ,п дает включение χ £ V С U, т.е. оценку ра(х) < 1.
Это означает, что ра ^ С(ра1 Η l· Pan )· Π
Метризуемость топологического векторного пространства
равносильна наличию счетной базы окрестностей нуля. Если при этом
пространство сепарабельно, то имеется и счетная база всей топологии.
8.6.2. Теорема. Топологическое векторное пространство X со
счетной базой окрестностей нуля можно наделить инвариантной
относительно сдвигов метрикой d (т.е. d(x,y) — d(x + z,y + z)),
задающей ту же самую топологию, причем такой, что шары с центром
в нуле уравновешены. В частности, это верно, если X метризуемо.
Доказательство. Из сказанного в §8.1 ясно, что найдется
база окрестностей нуля {Vn} со следующими свойствами: множества Vn
уравновешены и V^+i -f V^+i С Vn. Пусть D — множество всех двоично-
рациональных чисел из [0,1). Такое число г можно единственным
образом записать в виде конечной суммы г = с\(г)2~1 Η -f Cn(r)2~n,
где Ci(r) £ {0,1}. При г £ D положим А(г) := C\(r)V\ Η h Cn(r)Vn;
пусть A(r) = X при г > 1. Наконец, положим
/(х) := inf {г: χ £ A(r)}, d(x, у) := f(x - г/), х,у £ Χ.

8.6. Дополнения и задачи
475
Покажем, что выполнено следующее соотношение:
А(г) + А(з) CA(r + 5), г, s e D. (8.6.1)
По индукции проверим, что если г, s Ε D таковы, что г Ч- s < 1
и Сп(г) = Сп(5) = 0 при η > iV, то (8.6.1) верно. Для ЛГ = 1 это так.
Пусть наше утверждение верно для N — 1, где N > 1, и пусть г, 5 € D,
г + 5 < 1 и Cn(r) = Cn(s) = 0 при η > N. Тогда г = г' Ч- Cjv(r)2"N,
5 = 5' + с„(5)2-", т.е. Л(г) = A(r*)+cN(r)VN, A(s) = A{J)+cN(3)VN.
По предположению индукции A(rr) Ч- A(s') С A(r' Ч- s'). Поэтому
А(г)+А(з) С 4(г' + 5') +CAr(r)V5v +Civ(5)Viv. Если C7v(r) = cN(s) = О,
то (8.6.1) верно по предположению индукции. Поэтому достаточно
рассмотреть случаи сн(г) = 0, cn(s) = 1 и с#(т*) = с#(з) = 1. В первом из
них A(r' + s') + cN(r)VN + cN(s)VN = A(r' + s' + 2_7V) = Л(г 4- 5), что
дает (8.6.1). Во втором случае предположение индукции дает
А(г' + 5') + cN(r)VN + cN(s)VN С А(г' + У) + Vfr-i =
- A(r' + 5;) + A{2~N+1) С Л(И + 5' + 2-"+1) = 4(r + 5),
т.е. выполнено (8.6.1). Из (8.6.1) следует неравенство
f(z + v)<f(x) + f(v).
В самом деле, так как / ^ 1, то можно считать, что f(x) + f(y) < 1.
Для каждого ε > 0 найдутся такие r,s £ D, что /(ж) < г, /(г/) < 5,
г Ч- 5 < f(x) Ч- /(г/) Ч- ε. Из (8.6.1) имеем χ Ч- у G А(г Ч- θ), откуда
/(х Ч-*/) ^ г Ч- 5 < f(x) Ч- /(г/) Ч- ε. Отметим также, что f(x) — f(—x)
ввиду уравновешенности А(г), /(0) = 0 и f(x) > 0 при χ φ 0,
поскольку при χ g Vn — А(2~п) имеем f(x) > 2~п. Следовательно,
функция d есть метрика, инвариантная относительно сдвигов. Множества
β(0,ί) = {х: f(x) < δ} = IJr<5^(r) открыты и уравновешены. При
этом Β(δ,0) С V^, если £ < 2~П. Значит, шары 5(£,0) образуют базу
окрестностей нуля, что завершает доказательство. О
Естественно возникает вопрос о нормируемости локально
выпуклого пространства, т.е. о существовании одной нормы, задающей его
топологию* Из сказанного выше легко усмотреть, что таким условием
является существование среди ра такой нормы рао, что всякая другая
полунорма данного семейства оценивается через нее в виде ра ^ Сарао ·
А.Н. Колмогоров указал следующий критерий нормируемости.
8.6.3. Теорема. Локально выпуклое пространство нормируемо в
точности тогда, когда оно имеет ограниченную окрестность нуля.
Доказательство. Необходимость указанного условия очевидна,
ибо шары по норме обладают нужным свойством. Если же такая
окрестность есть, то в ней можно найти выпуклую уравновешенную
окрестность нуля W. Функционал Минковского pw дает искомую норму. D

476
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6(ii). Топология Макки
Здесь мы выясним, что локально выпуклые топологии — это
топологии равномерной сходимости на множествах, рассмотрим топологию
Макки и докажем теорему Макки-Аренса, характеризующие
топологии, согласующиеся с данной двойственностью.
Сначала опишем общую конструкцию топологии равномерной
сходимости на классе множеств. Пусть дана дуальная пара (Χ,Ϋ).
Предположим также, что /С — некоторый класс σ(Υ", Х)-ограниченных
множеств в Υ (т.е. supjeK \f(x)\ < оо для всяких К £ /С и χ £ X), причем
объединение всех множеств из /С разделяет точки в X, т.е. при χ φ у
найдется функционал I из этого объединения с 1{х) φ 1(у). Тогда
совокупность полунорм
Рк(х) := sup |/(x)|, К £ /С,
feK
задает локально выпуклую топологию на X. Сходимость направленно-
стей в этой топологии — это равномерная сходимость на каждом
множестве из /С. Полученная локально выпуклая топология называется
топологией равномерной сходимости на множествах из /С. Если класс
/С допускает умножение на скаляры и объединение двух множеств из
/С содержится в множестве из /С, то поляры множеств из /С образуют
базис замкнутых выпуклых уравновешенных окрестностей нуля в X.
Особую роль играет топология Макки тм (Χ, Υ) ~ топология
равномерной сходимости на σ(У, Х)-компактных выпуклых
уравновешенных множествах из У.
8.6.4. Определение. Множество Τ линейных отображений из
локально выпуклого пространства X в локально выпуклое
пространство Υ называется равностепенно непрерывным, если для всякой
окрестности нуля V С Υ найдется такая окрестность нуля U С X,
что T{U) CV для всех Те Т.
В частности, множество Τ С X* равностепенно непрерывно,
если для всякого ε > 0 найдется такая окрестность нуля U С X, что
\f(x)\ < ε для всех f G Τ их eU.
8.6.5. Теорема. Каждая локально выпуклая топология есть
топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных
подмножествах сопряженного пространства.
Доказательство. Мы знаем, что всякое локально выпуклое
пространство X обладает базисом нуля, состоящим из замкнутых
выпуклых уравновешенных множеств. Поляра U° каждого такого множества
U равностепенно непрерывна. Кроме того, U°° = U по теореме о бипо-
ляре, что и доказывает теорему. D
Докажем теперь следующую теорему Макки-Аренса.

8.6. Дополнения и задачи
477
8.6.6· Теорема. Пусть (Χ, У) — дуальная пара. Локально
выпуклая топология г на X согласуется с данной двойственностью,
т.е. (X, г)* = Y, в точности тогда, когда σ(Χ, У) ^ τ ^ τμ(Χ,Υ)·
При этом τ является топологией равномерной сходимости на
некоторой совокупности σ(Υ, X)-компактных выпуклых уравновешенных
множеств в Υ.
Доказательство. Если (Х,т)* = У, то г есть топология
равномерной сходимости на полярах окрестностей нуля в X. Каждая
такая поляра выпукла, уравновешенна и а(У,Х)-компактна по теореме
Банаха-Алаоглу-Бурбаки. Поэтому г ^ τμ{Χ,Υ)· Ясно также, что
σ(Χ,Υ) ^ т, ибо σ(Χ,Υ) — слабейшая локально выпуклая
топология, согласующаяся с двойственностью. Теперь покажем, что топология
Макки согласуется с данной двойственностью. Очевидно включение
Υ С (X, тм{Х, Υ)) · Докажем обратное включение. Пусть / — элемент
F := (X, тм{Х, Υ)) . По определению топологии Макки найдется такое
σ(Υ, Х)-компактное выпуклое уравновешенное множество S С У, что
S° CV:={x£X: \f(x)\ ^1}.
Тогда V° С 5°°, где поляра V берется в F, а поляра множества S°
берется в X. Компактное в топологии а(У,Х) множество S компактно
и в топологии a(F, X), ибо Υ С F.B силу теоремы о биполяре S = £°°.
Итак, мы имеем / е V° С S С У, т.е. F = Y. Π
Локально выпуклое пространство называется пространством
Макки, если его топология есть топология Макки.
Отметим, что встречаются естественные топологии равномерной
сходимости, более сильные, чем топология Макки (т.е. не обязательно
согласующиеся с двойственностью). Таким свойством может обладать
так называемая сильная топология /?(Х, У), определяемая как
топология равномерной сходимости на всех а(У, Х)-ограниченных
множествах. Например, пусть Х = /1иУ = сос естественной
двойственностью (х, у) = Y^L1 х-пУп- Тогда а(У, Х)-ограниченные множества в У —
это множества, ограниченные по обычной норме пространства со·
Поэтому сопряженным к X с топологией /?(Х, У) является /°°, а не У.
Топологии сходимости на множествах используются для топологи-
зации пространства линейных отображений. Если X и У — локально
выпуклые пространства, то для всякого класса /С ограниченных
множеств в X на пространстве £(Х, У) непрерывных линейных
отображений можно ввести полунормы
РкАТ) :=™ΡχεκΡβ(Τχ)>
где {ρβ} — система полунорм, задающая топологию У. Полученная
локально выпуклая топология на £(Х, У) называется топологией
равномерной сходимости на множествах из К,. Например, если в качестве

478
Глава 8. Локально выпуклые пространства
класса /С взять класс всех конечных множеств, то получаем топологию
поточечной сходимости.
По аналогии со случаем нормированных пространств, множество А
в топологическом векторном пространстве называется вполне
ограниченным, если для всякой окрестности нуля U найдется конечное
множество точек а1,...,ап€АсЛс 1>ΙΓ=ι (^ + α*)·
8.6.7. Теорема. Пусть Τ — равностепенно непрерывное
семейство линейных отображений между локально выпуклыми
пространствами X и Υ'. Тогда на Ύ совпадают следующие топологии:
(i) поточечной сходимости на всюду плотном множестве,
(ii) поточечной сходимости,
(Ш) равномерной сходимости на классе всех вполне ограниченных
множеств.
Доказательство. Достаточно проверить, что на Τ топология (i)
не слабее топологии (ш). Пусть А — всюду плотное множество в X,
направленность элементов Та еТ сходится к элементу ГеТна каждом
а £ А и С — вполне ограниченное множество в X. Покажем, что
сходимость равномерна на С, т.е. для всякой выпуклой уравновешенной
окрестности нуля У в У найдется такой индекс ао, что (Та—Т)(С) С V
при всех α ^ αο· По условию найдется такая окрестность нуля U С X,
что ТаШ) с V/4 и T(U) С V/4 при всех а. Поскольку А всюду
плотно, а С вполне ограничено, то найдется такое конечное множество
ai,...,an Ε А, что С С UlLi(a* + Ю· Ввиду поточечной сходимости
на А есть такой индекс ао, что (Та — T)(ai) С V/2 при всех а ^ ао
и г ^ п. Тогда (Га - T)(ai + С/) С V, откуда (Га - Г)(С) С У при всех
индексах α ^ αο· □
Теорема Макки-Аренса подсказывает, как построить пополнение
локально выпуклого пространства по аналогии с пополнением
нормированного пространства.
8.6.8. Определение. Множество А в топологическом
векторном пространстве Ε называется полным, если в нем имеет предел
всякая фундаментальная направленность элементов А, т.е. такая
направленность {ха}, что для всякой окрестности нуля V найдется
индекс ао с ха — Χβ £ V при α, β ^ ао-
Если в А сходится всякая фундаментальная счетная
последовательность, то А называется секвенциально полным.
Если Ε линейно гомеоморфно плотному линейному
подпространству в полном топологическом векторном пространстве Е, то Ε
называется пополнением Е.
8.6.9. Теорема. Всякое локально выпуклое пространство Ε
имеет пополнение, причем пополнение единственно с точностью до
линейного гомеоморфизма.

8.6. Дополнения и задачи
479
Доказательство можно прочитать в книге Робертсон, Робертсон
[185, гл. 6]. Отметим лишь, что если с помощью теоремы Макки-
Аренса мы представили X как пространство функционалов на X* с
топологией равномерной сходимости на некотором семействе А выпуклых
уравновешенных σ(Χ*, Х)-компактных множеств, то в качестве
пополнения можно взять подпространство
Ё:= f)(E + A°)
АСА
пространства (Е*)' (алгебраически сопряженного к Е*), где поляры
берутся в (2?*)', причем Ε наделяется топологией равномерной
сходимости на множествах из А.
8.6(ш). Индуктивные и проективные пределы
Пусть даны линейное пространство X и семейство локально
выпуклых пространств Ха с линейными отображениями fa: Ха -» X,
причем X = |Ja fa(Xa)· Тогда на X есть сильнейшая локально
выпуклая топология, относительно которой все отображения fa непрерывны.
Базис окрестностей нуля в этой топологии состоит из таких выпуклых
уравновешенных множеств 17, что ful(P) есть окрестность нуля в Ха
при всех а. Пространство X с указанной топологией называется
индуктивным пределом пространств Ха-
Наиболее важным специальным случаем является ситуация, когда
дана последовательность локально выпуклых пространств Хп с
топологиями тп, причем Хп — линейное подпространство Χη+ι и сужение
τη+ι на Хп совпадает с τη. Пространство X = (J^Li Хп с топологией
индуктивного предела пространств Хп с естественными вложениями
fn: Хп —> X называется строгим индуктивным пределом Хп.
Справедливы следующие утверждения (доказательства можно найти в
книгах [185], [236]).
8.6.10. Теорема. Сужение индуктивной топологии из X на Хп
есть тп. При этом линейное отображение из X в локально выпуклое
пространство Υ непрерывно в точности тогда, когда непрерывны его
сужения на все Хп.
8.6.11. Теорема. Пусть X — строгий индуктивный предел
последовательности пространств Хп, причем Хп замкнуто в Χη+ι-
Множество в X ограничено в точности тогда, когда оно содержится
и ограничено в одном из Хп.
8.6.12. Пример. Пространство X>(IRn) является строгим
индуктивным пределом пространств Vm (обоснование — задача 8.6.74).
Следует иметь в виду, что для открытости или замкнутости
множества А в строгом индуктивном пределе пространств Хп
недостаточно, чтобы все пересечения Α Π Χη были соответственно открыты или

480
Глава 8. Локально выпуклые пространства
замкнуты (см. задачу 8.6.40). В пространстве ^(Ш,1) есть даже
незамкнутое линейное подпространство, пересечения которого со всеми Vm
замкнуты (задача 8.6.76).
Пусть теперь вместо отображений fa: Ха —* X даны линейные
отображения да: X —> Ха, причем ΠαΡαΗ^) = 0. Проективной
топологией на X называется слабейшая локально выпуклая топология,
относительно которой все да непрерывны; при этом X называется про-
ективпым пределом Ха. Если топология Ха задана полунормами ρα,β·>
то топология X задается полунормами ρα,β°9α·
8.6.13. Пример. Пространство 5(НП) — проективный предел
последовательности пространств к раз непрерывно дифференцируемых
функций, для которых конечны нормы Pk,k из примера 8.1.3(ш).
8.6(iv). Бочечные и борнологические пространства
Пусть X — локально выпуклое пространство. Множество А С X
называется поглощающим, если для всякого χ £ X существует такое
число λ ^ 0, что μχ е А при μ ^ λ. Бочкой в X называется
поглощающее замкнутое выпуклое уравновешенное множество.
Пространство X называется бочечным, если всякая бочка в X
содержит окрестность нуля.
8.6.14. Пример. Всякое бэровское локально выпуклое
пространство (т.е. не являющееся множеством первой категории) бочечно.
Например, бочечны банаховы пространства и полные метризуемые
локально выпуклые пространства. В самом деле, если А — бочка, то X
есть объединение замкнутых множеств пА. Значит, некоторое пА
имеет внутренние точки, откуда ввиду выпуклости и уравновешенности А
следует, что А содержит окрестность нуля.
8.6.15. Предложение. Пусть X — бочечное локально
выпуклое пространство и {ра} — такое семейство непрерывных полунорм
на X, что р(х) := supapa(x) < оо для всех χ Ε X. Тогда ρ —
непрерывная полунорма.
Доказательство. Множество {х: р(х) ^ 1} = П<Лх: Р<*(х) ^ 1}>
как легко видеть, замкнуто, выпукло и уравновешено. Кроме того, оно
является поглощающим и потому содержит окрестность нуля. Это дает
непрерывность ρ (задача 8.6.37). D
8.6.16. Следствие. Пусть X — бочечное пространство, fn £ X*
и для каждого χ существует конечный предел f(x) = lim fn(x)· Тогда
η—кэо
функционал f непрерывен.
Пространство X бочечно в точности тогда, когда для всякого
пространства Фреше Υ всякое линейное отображение из X в Υ с
замкнутым графиком непрерывно (см. [236, с. 212]).

8.6. Дополнения и задачи
481
Рассмотрим теперь борнологические пространства. Этот класс
состоит из локально выпуклых пространств, в которых всякое выпуклое
уравновешенное множество А с тем свойством, что для каждого
ограниченного множества В найдется такое число λ > 0 с В С ХА, содержит
окрестность нуля. Пространство X борнологично в точности тогда,
когда непрерывность полунормы на X равносильна ее ограниченности на
ограниченных множествах.
8.6.17. Пример. Всякое метризуемое локально выпуклое
пространство борнологично. В самом деле, пусть полунорма ρ ограничена
на ограниченных множествах. Если ρ разрывна, то найдется такая
последовательность хп —> 0, что р(хп) —* + оо. Это невозможно ввиду
ограниченности {хп}.
8.6.18. Предложение. Пусть X — борнологическое
пространство. Линейная функция f на X непрерывна в точности тогда, когда
f(xn) -> 0 при хп —► 0.
Доказательство. Надо проверить непрерывность всякой
секвенциально непрерывной линейной функции /. Если функция / разрывна,
то разрывна и полунорма ρ — |/|. Значит, эта полунорма неограничена
на некотором ограниченном множестве В. Значит, найдутся хп £ В
такие, что Сп := |/(хп)| —► оо. Тогда с^ хп —► 0, откуда /(с^1/2жп) -> 0
вопреки равенству |/(с^ хп)\ — Сп · Π
8.6.19. Предложение. Пусть X — индуктивный предел
локально выпуклых пространств Ха. Если все Ха бочечны, то бочечно и X,
а если все Ха борнологичны, то таково и X.
Доказательство отнесено в задачу 8.6.69.
8.6.20. Пример. Пространство Т>(Шп) бочечно и борнологично.
8.6(ν). Банаховы пространства, порожденные
функционалами Минковского
В теореме 6.3.6 мы видели, что выпуклое уравновешенное
множество V порождает полунорму ру (функционал Минковского
множества V), если нуль входит в его алгебраическое ядро (определенное
перед указанной теоремой). Последнее условие всегда выполнено на
линейном подпространстве Еу, т.е. на множестве (J^Li nV·
Действительно, алгебраическим ядром V в этом подпространстве является
множество U = Ua€[o,i) ^> и^° для кажД01"0 и GU и всякого ν £ Еу найдется
такое ε > 0, что и + tv £ V при \t\ < ε. В качестве ε можно взять число
п_1(1 — λ), где η и λ £ [0,1) таковы, что и = Аг;о, ν = ηυχ, г;о, v\ £ V.
Кроме того, если предположить, что V не содержит прямых, то ру
оказывается даже нормой на Еу. Здесь мы приведем несколько полезных
результатов о свойствах пространств (Еу,ру).

482
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6.21. Теорема. Пусть V — ограниченное выпуклое
уравновешенное множество в хаусдорфовом топологическом векторном
пространстве Е, причем V секвенциально полно. Тогда пространство Еу
с нормой pv банахово, множество V — замкнутый единичный шар
в нем и топология нормы на Еу сильнее исходной топологии.
Доказательство. Из сказанного выше явствует, что ру —
действительно норма на Еу, ибо в отделимом топологическом векторном
пространстве ограниченное множество не содержит прямых. Покажем,
что V — U\ := {χ £ Еу. ру(х) ^ 1}. Ясно, что V С U\. Пусть
ру(и) — 1. Тогда существуют такие гп £ (0,1/п), что и £ (1 -f rn)V,
т.е. rn(rn -f 1)~ги £ V. Ввиду секвенциальной замкнутости V
(вытекающей из секвенциальной полноты с учетом хаусдорфовости) получаем
и £ V. Поэтому U\ С V. Из этого следует также, что топология нормы
в Еу сильнее исходной. Докажем полноту Еу. Пусть {хп} —
последовательность Коши в Еу. Тогда snpnp(xn) — к < оо, т.е. хп £ kV
для всех п. Множество kV также секвенциально полно. Поскольку
топология нормы сильнее исходной, то последовательность {хп}
фундаментальна и в топологии Ε и потому сходится к некоторому элементу
χ £ kV. Мы имеем ещт := ру(хп — %т) —> 0 при η,πι —> оо. Тогда
(хп - Хт)/еп,т € V. Положим еп := гГ1 + limsupm_00en,m. Тогда
εη —> 0. Покажем, что (χ — χη)/εη £ V. В самом деле, при
фиксированном η из ограниченной последовательности чисел ещт выделим
подпоследовательность ещта7 сходящуюся к некоторому δη < εη. Если
δη > 0, то элементы (хп - xmj)(5n + £n)mj)_1 также входят в У и
сходятся в исходной топологии к (хп — х)(п~1 + £п)· Ввиду секвенциальной
замкнутости V получаем (хп — χ){η~ι + δη) £ V. Тогда (χ — χη)/εη £ V,
так как еп ^ n"1 -f δη. Итак, ру(х — хп) ^ εη, т.е. хп —> χ в Еу. D
Характерный пример множества У, удовлетворяющего условиям
доказанной теоремы, — всякий выпуклый уравновешенный компакт.
Топология нормы на V обычно строго сильнее исходной топологии.
Например, если V компактно в Е, то компактным в Еу оно будет лишь
тогда, когда Еу конечномерно. Бывает полезно иметь более широкое
нормированное пространство pw, которое индуцирует на V исходную
топологию. Это оказывается возможным в метризуемых локально
выпуклых пространствах.
8.6.22. Теорема. Пусть V — ограниченное множество в метри-
зуемом локально выпуклом пространстве Е. Тогда в X найдется
такое ограниченное замкнутое выпуклое уравновешенное множество W,
содержащее V, что норма pw индуцирует на V ту о/се топологию,
что и Е. В частности, если множество V компактно, то оно
компактно и в нормированном пространстве Ецг · Если Ε полно и V
компактно, то W можно выбрать также компактным.

8.6. Дополнения и задачи
483
Доказательство. В силу метризуемости Ε имеется такая
последовательность выпуклых уравновешенных окрестностей нуля Un в Е,
что всякая окрестность нуля содержит хотя бы одно из множеств Un.
Можно считать, что V выпукло и уравновешенно, ибо выпуклая
уравновешенная оболочка V ограничена. Ввиду ограниченности V найдутся
такие числа ап ^ п, что V С αηί7η. Положим W := H^Li nanUn- Яс-
S, что получено уравновешенное выпуклое замкнутое множество. Это
ожество ограничено, ибо для каждого η мы имеем W С nanUn. Для
всякого ε > 0 найдется такое ηχ, что ε < 1/п\. Поэтому V С enanUn при
η ^ п\. Кроме того, при некотором га мы имеем Um С Π&1ι zkotkUk-
Следовательно, VC\Um С enanUn при всех п, т.е. VC\Um С eW. Из этого
следует, что всякая окрестность всякой точки ν £ V в топологии нормы
Pw содержит окрестность этой точки в топологии, индуцированной в V
исходной топологией Е. Действительно, пусть ν £ V. Для всякого ε > О
найдем такое га, что VnUm С eW/2. Тогда (х+Um)nV С (х +eW)nV.
Это видно из того, что если и £ Um и υ + и £ V, то и £ V — V С 2V
ввиду выпуклости и уравновешенности V. Тогда и/2 £ Vr\Um С eW/2,
т.е. и £ eW. Тем самым обе топологии совпадают на V.
Если V компактно, то оно компактно и в Ew Покажем, что если Ε
полно, то W можно выбрать компактным. Перейдя к Ew, мы сводим
это утверждение к случаю банахова пространства Е. Согласно
предложению 5.5.7, компакт V содержится в замкнутой выпуклой
оболочке некоторой сходящейся к нулю последовательности {хп}. Положим
ап := 1 + ||#n||-1/2, если хп φ 0, ап = О, если хп — 0.
Последовательность {апхп} также стремится к нулю. Пусть В — ее замкнутая
уравновешенная выпуклая оболочка. Ясно, что В — компакт и V С В.
Покажем, что V компактно в банаховом пространстве (Ев,Рв)· Мы
имеем рв(хп) —> 0, ибо рв(апхп) ^ 1. Поэтому замкнутая выпуклая
оболочка С последовательности {хп} в пространстве Ев компактна.
Тогда С компактно и в Е, откуда следует равенство С = V, ибо
множество С содержит выпуклую оболочку {хп}, которая плотна в У. D
Даже если V — выпуклый уравновешенный компакт в
гильбертовом пространстве, банахово пространство (Εγ,Ρν) не всегда сепа-
рабельно. Например, возьмем множество V — {(хп)· supn|xn| < 1}
в весовом гильбертовом пространстве
Е={х = (хп): ||х||2 ;= £~=1 η2** < оо}.
В этом случае Еу совпадает с ί°°. Однако справедливо следующее
утверждение.
8.6.23. Теорема. Пусть Ε — полное метризуемое локально
выпуклое пространство и К — компактное множество в Е. Тогда
существует такое выпуклое уравновешенное компактное множество V,
содержащее К, что банахово пространство (Εγ,Ρν) сепарабельно,
а К компактно в нем.

484
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Доказательство. С учетом полноты пространства Ε и двух
предыдущих теорем найдется такое уравновешенное выпуклое компактное
множество Wo, содержащее К, что К компактно как подмножество
банахова пространства Ew0 · Тогда линейная оболочка К в Ew0 сепара-
бельна по норме р\у0 · Замыкание Eq этой линейной оболочки по норме
Pw0 в Ецг0 дает нужное сепарабельное банахово пространство Ew>
единичным шаром которого является множество W := Wo Π Eq. D
Можно пойти еще дальше и получить следующее полезное
утверждение — теорему Дэвиса-Фигеля-Джонсона-Пелчинского.
8.6.24. Теорема. Пусть X — банахово пространство и К —
выпуклое уравновешенное слабо компактное множество в X. Тогда
существует такое ограниченное замкнутое уравновешенное выпуклое
множество W, содержащее К, что банахово пространство (Ew,Pw)
рефлексивно. Если К компактно, то W можно выбрать также
компактным, a Ew сделать сепарабельным.
Доказательство. Отметим, что множество К ограничено и
замкнуто, будучи слабо компактным и выпуклым. Для каждого η £ IN
положим Un := 2пК + 2~ηί7, где U — замкнутый единичный шар в X.
Нетрудно проверить, что множества Un замкнуты. Каждая из норм рип
эквивалентна норме в X. С помощью этих норм строится pw Пусть
W:={x€X: ΣΖιΡυΛ*)2 < l}·
Легко видеть, что W замкнуто. Поэтому пространство (Ew,Pw) полно.
Ясно, чтоpw(x)2 = Σ,Ζ=ιΡυη(χ)2!.
Пусть ν £ К. Тогда 2ην £ 2пК и потому (2п -f ε)ν £ Un при всех
достаточно малых ε > 0 (если К С J7, то при ε < 2~п). Поэтому
Ρυη{ν) < 2~п, откудаpw(v) < 1, т.е. ν £ W. Ясно, что W —
ограниченное множество в X, поэтому естественное вложение j: (Ew,Pw) —> X
непрерывно.
Покажем, что отображение j**: Еу$ —> X** является инъектив-
ным и (j**)_1(X) = Ew В самом деле, положим Хп := (Еип,рип)
и рассмотрим £2-сумму пространств Хп, т.е. банахово пространство
последовательностей
Ζ == (Ση®*«)ί2 - {* = Ы: zn e X, Ε~=ι Ы\ < оо}
с нормой \\ζ\\ζ — (Z^Li ll^llx) · Имеется очевидная линейная изо-
метрия φ между Ew и замкнутым подпространством в Z, задаваемая
формулой ψ(χ) — (χ,χ,...). Нетрудно заметить, что отображение
ψ**: Е$ -» Ζ**
переводит F £ Е$ в элемент (j**F, j**F,...) £ (]Γη φΧ**)/2.
Поскольку отображение φ сохраняет норму, то таково и ψ**. Из этого следует

8.6. Дополнения и задачи
485
инъективность j**. Кроме того, (φ**) 1(ψ(Ε\γ)) = Ew, то дает
равенство и**ГЧх) = Ew.
Проверим рефлексивность Ew Обозначим через В замкнутый
единичный шар в Eft. Заметим, что а(Х**,Х*)-замыкание множества W
в Еу$ совпадает с j**{B). Действительно, множество В компактно в
топологии а(Еуу,Ецг), a W плотно ъ В в этой топологии.
Отображение j**: Еуу —> X** непрерывно относительно топологий σ(Ε^,Ε^)
и σ(Χ**,Χ*). Значит, j**(B) — компакт в топологии σ(Χ**,Χ*). Так
как j**(W) — W, то W также плотно в компакте j**(B) в
топологии σ(Χ**,Χ*), т.е. j**(B) есть замыкание W в указанной топологии.
Все множества 2пК+2~пВ в X** замкнуты в топологии σ(Χ**, Χ*)
в силу компактности К в топологии σ(Χ,Χ*). При этом каждое из
них содержит W, что ясно из определения pw- Следовательно,
каждое из этих множеств содержит а(Х**,Х*)-замыкание W, т.е.
множество j**(B). Итак,
Г {В) С ГГ=1(2П* + 2~пВ) С fT=i(* + 2-»В) = X
Согласно доказанному выше, получаем Еу$ С (j**)~1(X) С £w, что
показывает рефлексивность (Ew,Pw)-
Если if компактно, то сначала по предыдущей теореме найдем
промежуточное банахово пространство Ewx, в котором К компактно и
замкнутый единичный шар W\ которого компактен в Е. Повторив это
построение для Wi, находим непрерьюно вложенное в X банахово
пространство Ew2 , B котором W\ компактно и единичный шар Wi
которого компактен в X. Теперь применим доказанное выше к компакту W\
в Ецг2 и найдем непрерывно вложенное в Ew2 рефлексивное банахово
пространство Ew, в котором W\ ограничено. Тогда К — компакт в Ew
Замкнутый единичный шар W пространства Ew содержится в
множестве Wb, которое компактно в X. Значит, множество W вполне
ограничено. При этом оно замкнуто, ибо выпукло и слабо компактно ввиду
слабой компактности замкнутых шаров в рефлексивном пространстве
и слабой непрерывности вложения Ew в X (см. теорему 6.6.8).
Наконец, пространство Ew можно сделать сепарабельным, заменив его
замыканием линейной оболочки К по норме pw Π
8.6.25. Следствие. В ситуации теоремы 8.6.23 банахово
пространство (Εν,ρν) можно выбрать сепарабельным рефлексивным.
Доказательство. По теореме 8.6.23 найдем сепарабельное
пространство Еу, в котором К компактно, затем по предыдущей теореме
выберем рефлексивное банахово пространство Ew, непрерывно
вложенное в Еу, в котором К также компактно. Замыкание линейной
оболочки К является искомым сепарабельным рефлексивным
пространством (на самом деле пространство Ew сразу оказывается
сепарабельным ввиду задачи 6.10.163). Π

486
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Можно ли пойти еще дальше и получить в качестве Ew
гильбертово пространство или пространство с базисом Шаудера? Ответ
оказывается отрицательным (см. [598]).
В случае компактного множества V топология пространства Еу
много сильнее исходной топологии Е. Тем не менее, как показывает
следующий результат, на Еу есть достаточно много линейных
функционалов, непрерывных относительно этой исходной топологии.
8.6.26. Предложение. Пусть V — компактное выпуклое
уравновешенное множество в локально выпуклом пространстве Е. Пусть
В* — единичный шар в сопряженном к банахову пространству Еу,
Тогда множество всех функционалов в В*, непрерывных
относительно топологии, индуцированной из Е, плотно в В* в топологии
равномерной сходимости на компактах из Еу.
Доказательство. Согласно теореме 8.6.7, достаточно проверить
плотность указанного множества F в топологии поточечной
сходимости. Пусть / G β*, и пусть даны ε > О и конечный набор элементов
vi,..., νη £ У. Надо найти такой функционал g Ε 15*, что q\ev € В*
и \f(vi) ~ 9(vi)\ < ε при всех г — 1,..., п. Будем считать, что f(v\) φ- Ο
(если f(vi) — 0 для всех г, то берем д = 0). Обозначим через L линейное
подпространство, порожденное υχ,..., νη, Рассмотрим замкнутое
аффинное подпространство iJ = Ln/~1(l + £) в L. Оно замкнуто и в Е,
ибо L конечномерно. В силу компактности V найдется такое открытое
выпуклое множество U в Е, что V С U и U Π Η = 0. По теореме
Хана-Банаха найдется замкнутая гиперплоскость Hi в Ε с Η С Hi
и Ηι Π U = 0. Эта гиперплоскость имеет вид Щ = д~г, где д £ Е*.
Поскольку V Π Н\ — 0, то \g{v)\ ^ 1 при ν е Vь т.е. g\Ev € В*. Кроме
того, Ηι Π L = if, ибо Η — гиперплоскость в L, Η С Hi и Hi Π L
отлично от L из-за того, что v% £· Н\. Следовательно, при χ £ L мы
имеем f(x) = (1 + е)д{х), откуда |/(v<) - g(vi)\ ^ s\g(vi)\ ^ ε, так как
мы имеем щ Ε V, g\Ev Ε В*. D
Выпуклая оболочка компакта может быть некомпактной даже в
гильбертовом пространстве, если оно бесконечномерно (компактность
выпуклой оболочки компакта в конечномерном пространстве —
предмет задачи 5.6.30). Так обстоит дело со сходящейся к нулю
последовательностью {п_1еп}, где {еп} — ортонормированный базис, к которой
добавлен ее предел 0. Однако справедливо следующее полезное
утверждение.
8.6.27. Предложение. Пусть дан конечный набор выпуклых
компактов в топологическом векторном пространстве X, Тогда
выпуклая оболочка и выпуклая уравновешенная оболочка их объединения
компактны, В частности, выпуклая уравновешенная оболочка
выпуклого компакта также компактна.

8.6. Дополнения и задачи
487
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать наше
утверждение для двух множеств. Множество V := К\ χ Κ^ χ 5, где
5 :={(*i,*2)GlR2: U > 0,ti + t2 = l},
компактно. Компактен и его образ W при непрерывном отображении
(х\, Χ2? £ι> £2) *-► £ι#ι + £г#2· Ясно, что VF С conv (K\ UK2). Для
доказательства обратного включения достаточно проверить выпуклость W.
Пусть и,и^1УиО<А<1. Тогда и = ίιΧχ -f £2^2, ν = s\y\ + S22/2, где
#г>Уг € Ki,U,Si > 0, ίι+ί2 = «1+52 = 1. Покажем, чтоАг*+(1—λ) г; £ W.
Если хотя бы одно из чисел t\ +s\ или £.2+^2 равно нулю, то это
очевидно. Если же оба числа отличны от нуля, то \и+(1—\)v = τζ\ -f (1 — τ)ζ<ι,
где ζχ = Ati(Ati + (1 - λ)*!)-"1*! + (1 - λ)θι(λ*ι + (1 - A)si)~V G Χι,
^2 = Ai2(Ai2 + (l-A)52)"1X2 + (l-A)52(Aii + (l-A)5i)"1y2ei(:2Hr =
Aii-f (1— A)si. Это ясно из равенства λίι + (1-λ)$ι + Xt2 + (l — X)s2 = 1.
Случай выпуклой уравновешенной оболочки аналогичен. D
Пусть К — компакт в локально выпуклом пространстве X и μ —
ограниченная мера на σ-алгебре в К, порожденной всеми
функционалами I G X*. Тогда формула
Ι(μ)(1):= ί 1(χ)μ{άχ)
jk
задает функционал на X*. Если существует \ιμ € X с 1(Κ)(μ) = 7(μ)(Ζ),
то вектор /ιμ называют интегралом Петтиса или средним меры μ.
8.6.28. Лемма. Если X секвенциально полно, а компакт К мет-
ризуем, то всякая борелевская мера на К имеет среднее в X, т.е.
существует интеграл Петтиса /(μ). При этом Ι(μ) входит в
замкнутую выпуклую оболочку К.
Доказательство. Ввиду задачи 1.9.63 найдутся такие lj e X*,
что топология К задается метрикой d(x, у) := ]C^=i 2~J"|ij(a? — y)\.
Возьмем измельчающиеся конечные разбиения К на борелевские части Кп^,
г ^ Nn, диаметра менее 2~п (по метрике d). Выберем хп^ £ Кп^ и
положим In := X^i=?1 Хп,Ф{КЩг). Покажем, что векторы 1п сходятся; тогда
их предел и будет средним μ. По условию, достаточно проверить
фундаментальность {In}- Пусть ρ — непрерывная полунорма на X и ε > 0.
Из компактности К следует, что найдется такое δ > 0, что р(х — у) ^ ε,
если х,у £ К и d(x,y) ^ δ. Пусть 2~п° < δ. Пусть т > η > по- Тогда
1п и Jm можно записать как Ιη = ^=1 αηι<μ(Ε<), Jm = Σ*=ι am^(Ei),
где {£*} — разбиение, полученное измельчением двух разбиений {Кп,г}
«т,г) < ί, το р{аЩг - am,i) ^ ε.
Поэтому р(1п - Im) ^ YJl=l p{a
п.г ат.

488
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6.29. Теорема. Замкнутая абсолютно выпуклая оболочка А
метризуемого компакта К в локально выпуклом пространстве X
метризуема, а если X секвенциально полно, то она и компактна.
Доказательство. Первое утверждение следует из второго, ибо
X имеет пополнение (которое, конечно, секвенциально полно). Пусть
X секвенциально полно. По теореме Рисса С(К)* есть пространство
борелевских мер на К. Замкнутый единичный шар U в С(К)*
компактен в *-слабой топологии. Так как С (К) сепарабельно (задача 1.9.64),
то U — метризуемый компакт в слабой топологии (задача 6.10.23).
Рассмотрим отображение J: U —> X из предыдущей леммы. Легко видеть,
что это отображение непрерывно, если U рассматривается со *-слабой
топологией, а X — со слабой. Поэтому абсолютно выпуклое множество
I(U) слабо компактно в X. Ввиду метризуемости U это множество мет-
ризуемо (задача 6.10.120). Ясно, что А С I(U), ибо К С I(U) ввиду
равенства к = /(£&), где Sk — вероятностная мера в точке к. Поэтому
А — метризуемый компакт как замкнутое подмножество метризуемого
компакта (на самом деле, как легко проверить, I(U) совпадает с Α). Ώ
С интегральными представлениями рассмотренного вида связана
важная теорема Шоке, которая дает представление точек выпуклого
компакта через средние вероятностных мер на множестве крайних
точек. Об этой теореме и ее обобщениях см. Акилов, Кутателадзе [3],
Фелпс [217], Alfsen [252], а крайние точки обсуждаются в следующем
разделе.
8.6(vi). Теорема Крейна-Мильмана
Точка υ множества V в линейном пространстве Ε называется
крайней точкой У, если ее нельзя представить в виде ta-f (1—£)Ь, где а, Ь G V
и t £ (0,1). Иначе говоря, точка υ не является внутренней точкой
никакого отрезка с концами в V.
Опорным замкнутым аффинным подпространством к выпуклому
множеству V называют всякое множество М, имеющее вид Μ = L + v,
где ν £ V, L — замкнутое линейное подпространство в X, причем если
точки а, Ь G V таковы, что ta + (1 — t)b £ Μ при некотором t £ (0,1),
то весь отрезок [а, Ь] входит в М. Если L имеет коразмерность 1, то мы
приходим к введенному ранее понятию опорной гиперплоскости.
8.6.30. Теорема. (Теорема Крейна-Мильмана) Всякий
непустой выпуклый компакт в локально выпуклом пространстве
является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек.
Доказательство. Можно считать пространство вещественным,
ибо при овеществлении рассматриваемые в теореме свойства не
меняются. Мы докажем следующее интересное и само по себе
вспомогательное утверждение:

8.6. Дополнения и задачи
489
всякая замкнутая гиперплоскость, опорная к выпуклому
компакту С в вещественном локально выпуклом пространстве, содержит
хотя бы одну крайнюю точку.
Для доказательства возьмем какую-либо опорную замкнутую
гиперплоскость Η к С, существующую согласно следствию 8.3.9.
Рассмотрим множество Л4 всех опорных замкнутых аффинных
подпространств, содержащихся в Η и частично упорядоченных по обратному
включению, т.е. М\ ^ Мг, если М\ Э Мч. Пусть {Ма} — некоторая
цепь в Л4. Множество Μ := f]a Ma непусто, ибо непусто пересечение
компактов Ма Π V ввиду компактности V и того факта, что всякое
конечное подсемейство Ма Π V содержит один из элементов этого
подсемейства по определению цепи. Легко видеть, что множество Μ
является опорным замкнутым аффинным подпространством. При этом
Ма ^ Μ для всех а, т.е. Μ — мажоранта данной цепи. По лемме Цорна
в Л4 есть максимальный элемент Мо (с точки зрения прямого
включения этот элемент минимален). Покажем, что Мо состоит из одной
точки. Тогда из определения опорного аффинного подпространства
следует, что эта точка — крайняя. Пусть Мо не одноточечно. Множество
Со := СП Мо является непустым выпуклым компактом в аффинном
подпространстве Мо. Поскольку Мо по крайней мере одномерно, то
в Мо есть замкнутая гиперплоскость Μι, опорная к Со. Покажем, что
Μι с Л4. Действительно, если а, Ь £ С и at -f (1 — t)b Ε Μχ при
некотором t £ (0,1), то at + (1 — t)b € Мо, откуда [а, Ь] С Мо, т.е. [а, Ь] С Со
и потому [а, Ь] С М\. Итак, М\ С Μ вопреки выбору Мо. Полученное
противоречие доказывает наше вспомогательное утверждение.
Перейдем к основному утверждению. Обозначим через D
замкнутую выпуклую оболочку множества крайних точек данного выпуклого
компакта С. Ясно, что D С С. Предположим, что существует
точка ζ £ C\D. По следствию теоремы Хана-Банаха существуют такие
непрерывный линейный функционал / на X и число а, что f(z) > a
и /0*0 ^ а ПРИ всех х € D· Пусть β := maxxGc/(^)· Так как ζ £ С
и D С С, то β > а. Значит, гиперплоскость Η := /~1(β) не
пересекается с D. Это ведет к противоречию, так как согласно доказанному
вспомогательному утверждению в Η имеется крайняя точка С, ибо Η
является опорной гиперплоскостью: в С есть точка χ с f(x) = β. Π
Компактность V нельзя заменить на замкнутость и
ограниченность даже в случае банахова пространства. Например, в банаховом
пространстве со замкнутый единичный шар не имеет крайних точек.
Интересен также следующий результат Д.П. Мильмана.
8.6.31. Теорема. Пусть К — такое компактное множество в
локально выпуклом пространстве X, что его замкнутая выпуклая
оболочка С компактна {что автоматически имеет место, если X
полно). Тогда всякая крайняя точка множества С входит в К.

490
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Доказательство. Пусть χ — крайняя точка С и U — выпуклая
окрестность нуля. Найдутся точки χι,..., хп в К с К С UILi(x« + ^0·
Пусть Vi — замкнутая выпуклая оболочка К Π (χι + 17). Множества Vi
входят в С и потому компактны. Значит, выпуклая оболочка их
объединения также компактна (см. предложение 8.6.27) и потому равна С.
Итак, χ = Y%=1 \%vu где Vi £ Vi, λ* ^ 0 и Σ*=χ ^* = *· Так как х —
крайняя точка С, то χ = г;* при некотором г, откуда xEXi + i/Clf-ft/.
Ввиду произвольности U и замкнутости К получаем χ £ К. D
8.6(vii). Теорема об измеримом графике
Здесь мы приведем без доказательства интересное обобщение
теоремы о замкнутом графике. Суслинское множество — это образ
полного сепарабельного метрического пространства при непрерывном
отображении. Всякое борелевское множество в полном сепарабельном
метрическом пространстве является суслинским (см. [26], т. 2, гл. 6).
8.6.32. Теорема, (i) Пусть X и Υ — сепарабельные полные мет-
ризуемые топологические векторные пространства и А: X —> Υ —
линейное отображение. Если график А является суслинским
множеством (например^ борелевским множеством), то А непрерывно.
(ii) Если Ζ — суслинское (например, борелевское) линейное
подпространство в сепарабельном полном метризуемом топологическом
векторном пространстве X, причем коразмерность Ζ конечна или
счетна, то Ζ замкнуто и имеет конечную коразмерность.
Доказательство см. в [308, гл. 5]. Из этой теоремы следует, что
ядра разрывных линейных функционалов на банаховых пространствах
не могут быть борелевскими или суслинскими множествами.
Задачи
8.6.33.° Доказать, что множество внутренних точек выпуклого
множества в топологическом векторном пространстве выпукло, а множество
внутренних точек уравновешенного множества уравновешено.
8.6.34° Доказать, что замыкание окрестности £/αι,...,αη;ε(0) вида (8.1.1)
ВХОДИТ В Uait...)CXn's(0) При 6 > £.
8.6.35? Доказать теорему 8.2.3.
8.6.36.° Пусть X и У — топологические векторные пространства,
Т: X —► Υ — линейное отображение, переводящее некоторую окрестность
нуля в ограниченное множество. Доказать, что Τ непрерывно.
8.6.37? Пусть полунорма ρ на локально выпуклом пространстве
ограничена на некотором непустом открытом множестве. Доказать
непрерывность р.
8.6.38° Доказать, что замыкание линейного подпространства в
топологическом векторном пространстве является линейным подпространством.

8.6. Дополнения и задачи
491
8.6.39. Доказать, что линейное отображение А из локально выпуклого
пространства в Нп непрерывно, если его ядро Кег А замкнуто.
8.6.40. (i) Доказать, что введенная в тексте топология τ на
пространстве ^(Н1) строго слабее топологии η на ^(Ш,1), в которой открытыми
считаются все те множества, которые дают открытые пересечения со всеми Т>п.
Для этого показать, что квадратичная функция F(<p) = ^2^=ι φ(η)φ^ (0)
разрывна в топологии т, но непрерывна в т\.
(ii) Доказать, что топология τ строго сильнее топологии тг на ^(Ш,1),
порожденной нормами ρψ(φ) = sup \φ(χ)φ^τη\χ)\, где берутся всевозможные
целые неотрицательные га и положительные локально ограниченные
функции ф. Для этого проверить, что линейная функция F(<p) = Σ JUL ι Ψ^{η)
непрерывна в топологии τ, но разрывна в топологии гг.
8.6.41. Доказать, что топологию пространств <S(IRn), H(U) и C°°(U) из
примера 8.1.3 нельзя задать нормой.
8.6.42. (i) Пусть X — нормированное пространство и τ — некоторая
локально выпуклая топология на X, промежуточная между слабой топологией
и топологией нормы. Показать, что если линейное отображение А: X —► X
непрерывно как отображение из (Х,т) в (Х,т), то оно является
ограниченным оператором.
(ii) Показать, что обратное к (i) утверждение не всегда верно, построив
унитарный оператор А в гильбертовом пространстве Я, который разрывен
как отображение из (Я, т) в (Я, т) для некоторой локально выпуклой
топологии на Я, промежуточной между слабой топологией и топологией нормы.
Указание: (i) следует из доказательства теоремы 6.6.8. В (ii) можно
взять Я = L2(IR1) и преобразование Фурье в качестве А (см. §9.2),
задав топологию τ посредством добавления к полунормам слабой топологии
χ ь-> |(ж,2/)| еще одной полунормы р(х) := |[J[0,i]#H· На подпространстве Яо
функций с носителем в^О, 1] ни при каких С > О и уг,...,уп € Ь2(Щ}) не
может быть оценки р(Ах) ^ С\р(х) +1(ж,yi)\-\ h\(x,Уп)\], поскольку р(х) = О
на Яо, р{Ах) > 0 для ненулевых χ £ Яо, ибо Ах — аналитическая функция,
причем в качестве χ можно взять функцию, ортогональную у±,..., уп.
8.6.43. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Показать,
что X со слабой топологией и X* со *-слабой топологией не являются
полными, т.е. при указанных топологиях имеют фундаментальные направленности,
которые не сходятся.
8.6.44. Доказать, что произведение пробной функции на обобщенную
(для пар (S,Sf) и (Р,!)7)) нельзя продолжить до произведения любых
обобщенных функций так, чтобы иметь (fg)h = f(gh) для всех обобщенных
функций и fg = gf совпадало с уже введенным умножением, если / или
д задается гладкой функцией.
Указание: рассмотреть произведение <$, χ и V.P.a:"1.
8.6.45.° Найти три первые производные в V' следующей функции F:
F(x) = —χ при χ < О, F(x) = χ2 при χ ^ 0.
8.6.46° Доказать, что производная 1п|ж| в V есть V.P.~.

492
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6.47? Доказать, что формула
W У|х|<1 Μ У|х|>1 Μ
задает обобщенную функцию из классов ^'(Н1) и ^'(Н1).
8.6.48? Пусть G е Х>'(Ш*), φ е P(IRnxIRfe) и ф(х) := G(^(x, ·)), я: G ΙΕΓ.
Доказать, что ^ е Z>(IRn) и F<g><3 G P'(IRn+fc), где F®G(<p) := F(^).
8.6.49. Выяснить, существует ли при t —► +оо предел в 2>'(И1)
обобщенных функций ezxt(x -f гО)-1.
8.6.50? Доказать, что если |с*| ^ акг +β, то ряд J^fcLi с*= sinte сходится
в P'pR1).
8.6.51. (i) Положим f(x) = ж при χ е [О,2π) и продолжим / на прямую
с периодом 2тг. Представить / в виде / = Y^keIt скегкх в ТУ и найти ск.
(ii) Доказать равенство Y^kezeikx = ^Y^kezS2kn в Ί?.
8.6.52.° (i) Найти первые и вторые производные в ТУ функций sin |а?|
и |sinx|. (ii) Доказать равенство | sin а:|" -Ь | sin a:| = 2j]feeZ ^*.π.
8.6.53? Без использования общих теорем доказать, что всякое решение
в ТУ уравнения F" — F' + F = О задается гладкой функцией.
8.6.54.° Решить в ТУ следующие уравнения: (i) xF = 0, (ii) xnF = О,
(iii) (sinx)F = 0, (iv) xF' = 1, (ν) F" = δ, (vi) F" - F = δ.
8.6.55. Пусть F e ТУ (IB.1). Доказать, что найдутся такие Fj G PQR1),
что Fj -► F в ^'(IR1), т.е. Fj{<p) -> F(<p) для всех у? G X^IR1).
8.6.56. Пусть F e ТУ(Ша) и F(<p) ^ 0, если φ e V(JRd) и <p ^ 0. Доказать,
что F задается неотрицательной локально ограниченной борелевской мерой.
8.6.57. Пусть μ ^ 0 — локально ограниченная борелевская мера на IRd,
F(<p) — интеграл от φ G V по мере μ. Доказать, что F продолжается до
элемента S' в точности тогда, когда μ(χ: ||ж|| ^ R) < С + CRk, где С, А; > 0.
8.6.58. Доказать, что локально выпуклое пространство секвенциально
полно в точности тогда, когда в нем сходятся все последовательности,
фундаментальные по каждой полунорме, из некоторого набора, задающего
топологию. Это равносильно также сходимости всех последовательностей,
фундаментальных по каждой непрерывной полунорме.
8.6.59. Показать, что С[0,1], со и ЬА[0,1] не являются линейно гомео-
морфными никаким пространствам, сопряженным нормированным.
Указание: в противном случае их замкнутые единичные шары были бы
выпуклыми компактами в соответствующей *-слабой топологии и по теореме
Крейна-Мильмана обладали бы достаточными запасами крайних точек.
8.6.60. Пусть В — непустое замкнутое выпуклое множество в локально
выпуклом пространстве X, К С X — непустой компакт и А С X таково, что
А + К С В + К. Доказать, что А С В. В частности, если А также непусто,
замкнуто и выпукло и А + К = В + К, то А = В.

8.6. Дополнения и задачи
493
Указание: достаточно рассмотреть случай А = {0}; тогда можно взять
к\ е К и по индукции найти такие кп е К и Ьп G В, что кп = bn + kn+i;
заметить, что η_1(6ι Η \-bn) = п~1{к\ — fcn+i) —► 0, откуда 0 е В ввиду
выпуклости и замкнутости В.
8.6.61. Доказать, что выпуклый компакт в метризуемом локально
выпуклом пространстве является замыканием выпуклой оболочки некоторой
последовательности, стремящейся к нулю.
8.6.62. Пусть А — выпуклый компакт и В — замкнутое ограниченное
выпуклое множество в локально выпуклом пространстве. Доказать, что
выпуклая оболочка A U В замкнута.
8.6.63. Доказать, что в топологическом векторном пространстве всякое
конечномерное линейное подпространство замкнуто.
8.6.64. Доказать, что топологическое векторное пространство
конечномерно, если в нем есть окрестность нуля с компактным замыканием.
Указание: пусть V — окрестность нуля с компактным замыканием V;
найдутся такие a?i,..., хп G V, что V С (ал + V/2) U · · · U (хп + V/2). Пусть
L — линейная оболочка Тогда V С L + V/2, что по индукции дает
V C_L + 2~kV для всех к. Для всякой окрестности нуля U найдется такое п,
что V С nU. Значит, V С L = L, откуда X — L.
8.6.65. Возьмем компактный эллипсоид К := {(жп): Σ^=ι V^xn ^ 1}
в /2 и точку а е К, где αη = en-1 и с > 0 таково, что Σ^ΐα с2п~3^2 = 1.
Доказать, что α — крайняя точка К, но через α не проходит никакая опорная
гиперплоскость к К.
Указание: если опорная гиперплоскость задается уравнением (ж, у) = 1,
то уп = су/пап, откуда Σ^°=ι Уп = оо.
8.6.66. Пусть К — выпуклый компакт в вещественном локально
выпуклом пространстве. Доказать, что всякий непрерывный линейный
функционал принимает минимальное и максимальное значение на К в некоторых
крайних точках К.
8.6.67. Доказать, что на Н°° нет непрерывных норм. (Согласно теореме
Бессаги-Пелчинского, всякое полное метризуемое локально выпуклое
пространство, на котором нет непрерывных норм, содержит подпространство,
изоморфное 1R°°.)
8.6.68. Пусть X — нормированное пространство. Рассмотрим
связанную с теоремой 6.10.26 топологию bw* на X*, которая задается так:
множество 6ги*-замкнуто в X*, если его пересечение с каждым замкнутым шаром
замкнуто в *-слабой топологии.
(i) Доказать, что топология bw* задается базой множеств вида
В(/о, {<»»}) = {/ € X* : |(/ - /о)К)| < lVn е IN},
где {ап} С X и ||ап\\ —► 0. В частности, эта топология локально выпукла.
(ii) Доказать, что если X бесконечномерно, то топология bw* строго
сильнее топологии σ(Χ*,Χ) и строго слабее топологии нормы. Доказать, что если
пространство X полно, то bw* не задается метрикой.

494
Глава 8. Локально выпуклые пространства
(iii) Привести пример такой локально выпуклой топологии г на X*, что
она не мажорирует σ(Χ*,Χ), но на всех ограниченных множествах
индуцирует ту же топологию, что и σ(Χ*,Χ) (значит, ту же, что и bw*); для этого
рассмотреть Со с топологией σ(ο5,£), где L — пространство финитных
последовательностей, (iv) Пусть Χ, Υ — банаховы пространства, Τ е C(X,Y).
Доказать, что оператор Τ компактен в точности тогда, когда оператор Т*
непрерывен из топологии bw* на У* в топологию нормы на X*.
Указание: см. [448, §2.7, §3.4].
8.6.69. Доказать предложение 8.6.19.
8.6.70. (Теорема Шварца о ядре) Пусть Τ: £>(ΠΓ) -> Ρ'(ΙΓ) —
непрерывное линейное отображение. Тогда существует такая обобщенная функция
Φ е £>'(IRnxIRn), что (Τφ,ψ) = Φ(φ®ψ) для всех φ,ψ е Р(НП).
8.6.71. (Теорема Петре) Доказать, что всякое линейное отображение
L: C°°(]Rn) —> C°°(IRn) с suppL/ С supp/ есть дифференциальный
оператор локально конечного порядка с гладкими коэффициентами.
8.6.72. Локально выпуклое пространство X называется пространством
Монтеля, если в нем замкнутые ограниченные множества компактны.
Доказать, что Н°°, P(IRn), <S(IRn) и пространство H{U) голоморфных функций
в открытом множестве U С С1 с топологией равномерной сходимости на
компактах являются пространствами Монтеля.
8.6.73. Доказать, что всякое локально выпуклое пространство вполне
регулярно.
8.6.74. Доказать, что 2}(IRn) является строгим индуктивным пределом
пространств 2>т, и всякое ограниченное множество лежит в некотором Dm-
8.6.75. Пусть Fj е Т>'(Ш}) и Fj(<p) -► 0 для всякого φ в Т>(Ш}).
Доказать, что найдется полунорма Р{ак} вида (8.1.2) и числа €j —► 0, для которых
выполнены неравенства |i*j(<p)| ^ £jP{ak}(<p) при всех j.
8.6.76Г* (i) Доказать, что. в пространстве ^(IR1) есть незамкнутое
счетное множество, пересечение которого с каждым подпространством Рт
замкнуто, (ii) Доказать, что в пространстве ^(Н1) есть незамкнутое линейное
подпространство, пересечение которого с каждым 2>т замкнуто.
Указание: см. [583].
8.6.77Г Пусть L — линейное подпространство в Р(НХ) конечной
коразмерности и все пересечения L Г) Т>т замкнуты. Доказать, что L замкнуто.
8.6.78Г Пусть / — такая измеримая функция на И1, что линейное
подпространство L := {φ 6 ^(IR1): /φ 6 L1(IR1)} имеет конечную
коразмерность. Доказать, что существует обобщенная функция F G ^(И1), действие
которой на φ G L есть интеграл от /<р.
Указание: рассматривая отдельно /+ и /~, можно считать, что / ^ 0;
пусть /п = min(/,n) и Ε — множество всех φ е X^IR1), для которых
существует конечный предел 1(φ) интегралов от /ηφ при η —► оо; тогда Ε —
линейное подпространство конечной коразмерности, ибо L С Е. Заметить,
что пересечения Ε Π Dm являются борелевскими множествами в 2>т;
применить к ним теорему 8.6.32, что даст их замкнутость и непрерывность /.

Глава 9
Преобразование Фурье
и пространства Соболева
В этой главе обсуждается один из самых классических
объектов анализа — преобразование Фурье, а также дается
элементарное введение в теорию пространств С.Л. Соболева, которая
играет важнейшую роль в современном анализе в самом широком
смысле этого понятия. Не будет преувеличением сказать, что про-;
странства Соболева применяются всюду, где используются
производная и интеграл. Наряду с интегралом Лебега и
пространствами Банаха пространства Соболева относятся к крупнейшим
достижениям математического анализа XX столетия,
определяющим его современный облик. Естественно, это введение не может
претендовать на роль хотя бы краткого курса теории пространств
Соболева. Фактически оно содержит лишь обсуждение основных
определений и примеров. Как мы увидим, теория пространств
Соболева тесно связана с теорией преобразования Фурье, и обе
они имеют непосредственное отношение как к теории операторов,
так и к теории обобщенных функций.
9.1. Преобразование Фурье в L1
В этом параграфе мы рассмотрим преобразование Фурье
функций: один из важнейших инструментов анализа.
9.1.1. Определение. Преобразованием Фурье функции f из
£1(ИП) {возможно, комплексной) называется комплексная
функция
3 КУ) (2тг)"/2 J^n м '
Преобразованием Фурье элемента / Ε L1(IRn) называется
функция / для любого представителя класса эквивалентности /.

496 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Необходимость проведения различия между версиями
интегрируемой функции при рассмотрении преобразования Фурье
будет ясна из дальнейшего, когда пойдет речь о восстановлении
значений / в отдельных точках по функции /. При выбранном
нами множителе преобразование Фурье функций задает
унитарный оператор в L2(IRn). Наконец, выбор знака минус в экспоненте
связан лишь с тем, что такова традиция. Как мы увидим ниже,
замена минуса на плюс дает определение обратного
преобразования Фурье.
В некоторых случаях удается явно вычислить преобразование
Фурье. Рассмотрим один из важнейших примеров.
9.1.2. Пример. Пусть а > 0. Тогда
(d_72 j^ ехрН(у) χ)] βχρ[_αΜ2] dx = —^ ехр[-^М2].
Доказательство. Вычисление этого интеграла по теореме
Фубини сводится к одномерному случаю, причем после
очевидной замены переменной достаточно рассмотреть случай а = 1/2.
В этом случае обе части доказываемого равенство являются
аналитическими функциями у, совпадающими при у = it, t б R,
что известно из курса анализа (читателю полезно воспроизвести
детали). Поэтому эти функции совпадают и при всех у 6 IR. D
9.1.3. Предложение. Пусть / 6 /^(IR71). Тогда функция f
равномерно непрерывна, причем
1/(у)1 < (2^)-"/2||/|Ь и lim/(y) = 0. (9.1.1)
|у|-юо
Доказательство. Первое соотношение в (9.1.1) очевидно.
Если / — индикатор куба с ребрами, параллельными
координатным осям, то / легко вычислить явно с помощью теоремы
Фубини (задача 9.10.12) и убедиться в справедливости второго
соотношения. Поэтому оно остается в силе для линейных
комбинаций индикаторов таких кубов. Теперь остается взять
последовательность fj указанных линейных комбинаций, сходящуюся
к / в L1(IRn), и заметить, что функции fj равномерно сходятся
к функции / ввиду первого соотношения в (9.1.1). D
Рассмотрим еще несколько полезных свойств преобразования
Фурье.

9.1. Преобразование Фурье в L1
497
9.1.4. Предложение, (i) Если непрерывно
дифференцируемая и интегрируемая функция / обладает интегрируемой
частной производной dXjf, то
9Xjf(y) =iyjf(y).
В одномерном случае /' (у) = iyf(y).
(и) Если функция f 6 £1(МП) такова, что при некотором
j 6 {1,...,п} функция gji у ι-* yjf(y) интегрируема, то
функция f непрерывно дифференцируема и
dXjf(x) = -igj(x).
В одномерном случае / (х) = — гу/(у)(ж).
Доказательство, (i) Если / имеет ограниченный носитель,
то доказываемое равенство следует из формулы интегрирования
по частям. Чтобы свести к этому общий случай, достаточно взять
последовательность гладких функций £*. на Ип со следующими
свойствами: 0 < Ск ^ 1, supfc |9^0ь| ^ С, Ск(х) = 1 при \х\ < к.
Тогда функции &/ сходятся в L1(Hn) к /, а функции dXj(Ckf)
сходятся к dXjf, ибо fdXjCk -^Ов Ll(JRn) в силу теоремы Лебега
о мажорируемой сходимости. На самом деле утверждение верно
и без непрерывности dXjf. Утверждение (ii) следует из теоремы
о дифференцируемости интеграла по параметру, которая
применима ввиду соотношения \dXj exp[i(x,y)]f(y)\ = |j/j/(j/)|. □
Комплексификацию <S(IRn) обозначим тем же символом и
будем иметь с ней дело при рассмотрении преобразования Фурье.
9.1.5. Следствие. Если f 6 <S(IRn), то / G SQRn).
Доказательство. По доказанному, для всех j = Ι,.,.,η
и к Ε 1Ν функция 8fcJ = (-i)khj)k, где hjik(y) = yjf(y),
убывает на бесконечности быстрее \х\~т при всех га. D
Ниже мы покажем, что преобразование Фурье — изоморфизм
пространства <S(IRn). Затем мы продолжим преобразование
Фурье на 1? и получим унитарный оператор.
Естественно возникает вопрос, как восстановить функцию /
по ее преобразованию Фурье, определяющему эту функцию с
точностью до модификации. Для этой цели используется обратное
преобразование Фурье, Для интегрируемой функции / обратное

498 Глава 9, Преобразование Фурье и пространства Соболева
преобразование Фурье задается формулой
/(*) = (2тгГп/2 / е*Ь*)/(у)ау.
Мы увидим, что если прямое преобразование Фурье /
интегрируемо, то его обратное преобразование дает исходную функцию /.
На самом деле это верно и без предположения об
интегрируемости /, если определить обратное преобразование Фурье для
обобщенных функций. Пока мы отложим этот вопрос, однако
приведем одно достаточное условие восстановления функции в
фиксированной точке по ее преобразованию Фурье, а затем докажем
равенство Парсеваля, служащее основой определения
преобразования Фурье обобщенных функций.
9.1.6. Теорема. Пусть функция f интегрируема на прямой,
причем в некоторой точке χ она удовлетворяет условию Дини:
функция t ь-> [f(x+t) — 2f(x) + f(x—t)]/t интегрируема в
окрестности нуля. Тогда справедлива следующая формула обращения:
/(*)= lim -±= f eixyf{y)dy. (9.1.2)
Я->+00 V27T J-R
В частности, (9.1.2) верно во всех точках дифференцируемости
функции /.
Доказательство. Положим
1 Г*
'~ \/2тг J-R
Jh:=-=/ e™Vf(y)dy,
\/2π J-R
где R > 0. По теореме Фубини получаем
Н-оо /»Д
JR = ^J_ f(z)J_ Jyix-Z)dydz =
1 Г+00.. s2ean(R(x-z)) , 1 Г+°°.. .sin(iU) J±
OO
+0°{f(x + t) + f(x-t)}S^$-dt.
Из анализа известно, что
i
Т sint
lim / dt = π.
Т-Ч-оо,

9.1. Преобразование Фурье в L1
499
Пусть ε > 0. Поскольку интеграл от sin(Rt)/t по [—Т,Т] равен
интегралу от smt/t по [—RT, ДТ], то существует такое Τχ > 0,
что при всех Τ > Т\ и R > 1 верно неравенство
гТ
< ε.
/и
М/"Ё!(«йЛ_/(х)
В силу интегрируемости / найдется такое Т2 > Γι, что
|/(a; + t) + /(g-t)|
'\*\>Ъ
I
J\t\
1*1
dt<e.
По условию теоремы функция [/(а: + t) — 2/(#) + /(ж — t)]/t
интегрируема по ί на [—Ϊ2,Γ2]. Согласно (9.1.1) существует такое
число R\ > 1, что при всех R> Ri выполнена оценка
r^ + t)-2/W+№-«)s,nW ,
-г2 * '
С учетом трех произведенных выше оценок при R > Ri получаем
С
€
jR_№fT>sj^dt
π У-г, *
i(Rt)
f(x) fT2 sin(Rt)
f(x) Г2
π J_t2
dt - f(x)
<
<\Jr
f(x) [Ti sm(Rt)
-w
dt
t2
+ e =
= ±\jy(x+t)+f(x-t)}™^dt-2j\x)
T\ sin(Rt)
dt
-00
rT2
^\f_\f(x + t)-2f(x) + nx-t)}
T2
sin(Rt)
+e<
2k\j_T2
1 1
+
t
dt
1|/* г./ ч ,/ 4,sin(.Rt) „
d [f(x + t) + f(x-t)}—γ^-dt
+ ε < 3ε.
Отметим, что есть функция / £ jC1, для которой предел в (9.1.2)
не существует ни в одной точке (пример Колмогорова), но для
/G С2 теорема Карлесона дает (9.1.2) почти всюду (см. [369]). D
9.1.7. Следствие. Пусть f е <S(IRn). Тогда
f(x) = (2π)-"/2 / e^^f(y)dy. (9.1.3)
JjRn

500 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Доказательство. Мы уже знаем, что / е <S(IRn). Поэтому
в случае η = 1 равенство (9.1.3) следует из (9.1.2). По теореме
Фубини это равенство переносится на функции на Шп. Будем
считать наше утверждение уже доказанным для η — 1 вместо п.
Для векторов и = (ίχχ,..., ип) положим й = (щ,..., ип-\). Тогда
γ2π У_оо
где упи д(х,Уп) — преобразование Фурье функции одного
переменного хп ь-> f(XjXn)' При любом фиксированном уп функция
χ *-+ д(х^Уп) входит в ^(И71-1), что легко проверить. Поэтому
д(х, уп) = (2π)"(-1) [ е« / е~^^д% yn)dzdy.
Подставляя
1 /,+0° ·
$(*, yn) = -= / eiynZnf(z, zn) dzn,
ν2π J-oo
приходим к формуле (9.1.3). D
9.1.8. Следствие. Преобразование Фурье — линейный
гомеоморфизм <S(IRn).
Доказательство. Выше было показано, что / е S(JRn) при
/ G <S(lRn) и что /(— ·) есть преобразование Фурье функции /.
Значит, преобразование Фурье — линейный изоморфизм 5(ΙΙη).
Проверим непрерывность Τ в <S(IRn). Для этого воспользуемся
соотношением
y2rnf(k)iy) = (-i)*y*»F(a*f)(y) = (-г)к+2тГ[д^(хк^)](у).
Функция d%m(Xjf) — конечная сумма функций вида xljd£.f. При
этом их Х^-нормы не превосходят chsupx(l + |a?|2)n+i|c^./(a:)|, где
Сп — интеграл (1 + |#|2)~n no JRn. Согласно теореме 8.2.3
отображение Τ непрерывно в 5(НП). D
Следующий простой факт часто применяется.
9.1.9. Теорема. Для всех ψ, φ Ε L1(IRn) верны равенства
/ φφάχ — / φφάχ, ι φφάχ = / ψφ dx. (9.1.4)
Jnn Jnn JJRn Jw1

9.1. Преобразование Фурье в L
501
Доказательство. Применив теорему Фубини к равенству
/ φ(χ)φ(χ)άχ = . [ [ e^x>v)(p(y)tl>(x)dydx,
получим первую формулу, а вторая следует из нее ввиду
тождества ψ = ψ. D
Применив комплексное сопряжение ко второму равенству,
получим еще одну полезную формулу:
/ φφάχ = / φφάχ.
JjRn JJRn
Следующий факт — один из важнейших в этой главе.
9.1.10. Следствие. Пусть ψ Ε Ζ^(ΙΕΙη). Тогда для всякой
функции ψ Ε S(JRn) справедливо равенство Парсеваля
/ φ(χ)ψ(χ)άχ = Ι ф{у)ф{у)ау. (9.1.5)
Доказательство. Функция / := ψ входит в <S(IRn).
Остается применить формулу обращения ψ = /. D
9.1.11. Следствие. Пусть / 6 £χ(ΙΙη) и fe C^BJ1). Тогда
функция f имеет непрерывную модификацию /о, причем
/о(ж) = {2π)-η'2 [ e^^f{y)dy V* <Ξ IR".
JJRn
В частности, если / = 0, то f(x) = 0 почти всюду.
Доказательство. По условию функция g := /
интегрируема. Поэтому ее обратное преобразование Фурье /о непрерывно.
Проверим, что / = /о почти всюду. Для этого достаточно
показать, что для всякой гладкой вещественной функции φ с
ограниченным носителем выполнено равенство
/ ίψάχ = / ίοφάχ.
В силу равенства Парсеваля имеем I ftpdx = I f φάχ. С другой
стороны, I g<pdx= Ι /οφάχ, откуда вытекает доказываемое. D

502 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Применим преобразование Фурье для доказательства
полноты системы функций Эрмита (см. пример 5.4.12(iv)).
9.1.12. Теорема. Предположим, что функция f Ε /^(К1)
такова, что
/+оо
tkf(t) exp(-t2/2) dt = 0 для всех к = 0,1,....
-оо
Тогда f(t) = 0 п.в.
Доказательство. Функция
/+оо
f(t)exp(itz-t2/2)dt
-оо
определена и аналитична в комплексной плоскости, ибо для
каждого R > 0 функция /(£) exp(R\t\—t2 /2) интегрируема ввиду того,
что функция ехр(Д|£| — t2/2) входит в ^(Kl1). Из условия
следует, что все производные g в нуле равны нулю (включая
значение g в нуле). Значит, g(z) = 0. Поэтому интегрируемая функция
f(t) ехр(—£2/2) имеет нулевое преобразование Фурье и потому
почти всюду равна нулю. D
9.2. Преобразование Фурье в L2
С помощью равенства Парсеваля для интегралов Фурье
преобразование Фурье распространяется на функции из L2(JRn).
9.2.1. Определение. Преобразованием Фурье в L2(JRn)
называется унитарный оператор в L2(IRn); который с помощью
равенства (9.1.5) и леммы 7.6.6 продолжает преобразование
Фурье с <S(IRn). Преобразование Фурье элемента / Ε L2(IRn)
обозначается через Tf или /.
Отметим, что указанная лемма применима, поскольку
пространство ^(Ш/1) плотно в L2(JRn) и переходит в себя под
действием преобразования Фурье, причем последнее на 5(ΙΙη)
сохраняет скалярное произведение в силу равенства (9.1.5). Данное
определение означает, что для нахождения преобразования
Фурье элемента / Ε L2(JRn) мы берем последовательность функций
fj Ε <S(IRn), сходящуюся к / в L2(IRn), и полагаем / := lim /^,

9,2, Преобразование Фурье в L2
503
где имеется в виду предел в L2 (который существует ввиду
фундаментальности {fj} в L2 и равенства \\fj - fi\\2 = \\fj - /ilb)·
Из определения ясно, что на <S(IRn) оператор Τ задается
обычным преобразованием Фурье. Однако если функция / из
L2(JRn) не входит в L1(IRn), то функцию Tf уже нельзя задать
как лебеговский интеграл от (2π)~η/2βχρ[—г(#,у)]/(у). С другой
стороны, для всех / Ε L2 Π L1 данное определение согласовано
с имеющимся для интегрируемых функций.
9.2.2. Лемма. Если / Ε L2(lRn)nL1(IRn); то преобразование
Фурье функции / в L2(IRn) задается ее преобразованием Фурье
/в ^(ЯП-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Tf — преобразование Фурье
функции / в L2(lRn) и / — ее преобразованием Фурье в L1(lRn).
Покажем, что Tf = / п.в. Достаточно проверить, что для всякой
вещественной функции φ Ε £>(МП) функции (Τ/)φ и f(p имеют
равные интегралы. Пусть ф — обратное преобразование Фурье φ.
Тогда ф Ε S(JRn) и ф = φ. В силу равенства Парсеваля имеем
/ f(x)<p(x) dx = / /(х)ф(х) dx.
С другой стороны, взяв сходящуюся к / в L2(TRn)
последовательность функций fj Ε <S(IRn), получаем
/ Τ/(χ)φ(χ) dx = lim / Τ^(χ)φ(χ)άχ =
= lim / fj(x)ip(x)dx = lim / ^(χ)φ(χ)άχ =
3-*°° JjRn i"*00 ^lRn
= / !(χ)φ(χ)άχ,
что доказывает наше утверждение. D
Отметим, что преобразования Фурье функций из L1 не имеют
конструктивного описания (см., например, задачу 9.10.31).
Теперь легко доказать следующую теорему Планшереля,
которую часто используют (особенно в старых учебниках) как
способ задать преобразование Фурье в L2.

504 Глава 9» Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.2.3. Теорема. Пусть / Ε L2(fRn). Тогда функции
9R := гп W2 / exp(-i(x,y))f(y)dy
(27Γ)η/2 J\X\^R
сходятся в L2(IRn) при R —► +оо к определенному выше
преобразованию Фурье функции f в L2(IRn).
Доказательство. Пусть fR := fI{\x\^R}> Ясно, что fR -> /
в L2(IRn) при R -► +оо. Поэтому ^/я -► J*/ в L2(IRn). Наконец,
в силу доказанной выше леммы T$r = /# = ##. □
Таким образом,
f(x) = lim /2 / exp(-i{x,y))f(y)dy
д_>+00 (2π)ί1/^ У|я|^д
в смысле сходимости в L2. Возникает вопрос о сходимости почти
всюду. Разумеется, сходимость в L2 позволяет найти
последовательность gRj с Rj; —► оо, сходящуюся почти всюду. При η = 1
известно, что сходимость имеет место почти всюду, но
доказательство этого факта весьма трудно (см. Grafakos [369, гл. 10]).
При η > 1 вопрос открыт (если шары заменить на кубы [—R, R]n,
то и здесь ответ положительный). Дополнительные сведения
о преобразовании Фурье есть в книгах Бохнер [30], Винер [42],
Титчмарш [203], Duoandikoetxea [334], Grafakos [369], Katznelson
[410], Petersen [479], Pinsky [483], Stein [524], Strichartz [527].
9.3. Преобразование Фурье в S'
Равенство Парсеваля, использованное выше для определения
преобразования Фурье в L2, а также формула (9.1.4)
подсказывают, как продолжить его и на обобщенные функции.
9.3.1. Определение. Пусть F Ε <S'(IRn). Положим
FF{<p) := Ρ(φ) := F{(p)9 где ψ Ε <S(lRn),
и назовем функционал TF = F на S(JRn) преобразованием Фурье
обобщенной функции F.
Поскольку отображение φ *—> φ — линейный гомеоморфизм
пространства <S(IRn), toFe <S'(IRn), причем преобразование
Фурье оказывается взаимно однозначным линейным оператором на
пространстве <S'(IRn).

9,3» Преобразование Фурье в S'
505
Если обобщенная функция F задана посредством обычной
интегрируемой функции i*o, т.е.
F(<p)= I F0(xMx)dx,
то F задается обычной функцией Fq, ибо по формуле (9.1.4) для
всех φ Ε <S(IRn) имеем
F(<p) = F((p)= [ F0{x)(f(x)dx= Ι Τ0{χ)φ{χ)άχ.
Отметим, что если действие обычной функции как обобщенной
задавать через скалярное произведение в L2, т.е. в интеграле
ставить φ вместо φ, то для согласованности обобщенного и обычного
преобразований Фурье на интегрируемых функциях следует
положить FF{<p) = F(,F~V)·
Вычислим преобразования Фурье некоторых типичных
обобщенных функций.
9.3.2. Пример, (i) Справедливы равенства
1 = (2<κ)η'2δ, δ = (2π)~η/2.
Действительно, для всякой функции φ Ε <S(IRn) имеем
ΐ(φ)= ί φ{χ)άχ = (2π)η/2£(0) = {2π)η'2δ(φ).
JJRn
Из этой же формулы для φ вместо φ получаем второе равенство,
ибо Τ2φ{χ) = φ(—χ).
(ii) Для функции Хевисайда χ := /[ο,+οο) на прямой имеем
~( \ l l
\/2лх-г0'
Для этого положим χε := €~εχΙ^+00^ ε > 0. Для всех φ Ε ^(IR1)
имеем χ(φ) = Ит\^(<р). Так как χ^(χ) = (2n)~1f2(x — ίε)_1, то
указанное равенство верно по определению (х — ДО)-1.
(ш) Пусть μ — ограниченная борелевская мера на Ю/Ч Тогда
μ(χ) = (2тг)-"/2 / βχρ[-ΐ(χ,ν)]μ(άν).

506 Глава 9, Преобразование Фурье и пространства Соболева
В самом деле, для всех φ 6 <S(lRn) с помощью теоремы Фубини
получаем
μ(φ) = / ф(у) μ(άν) =
JJEC1
= (2π)-"/2 / f / </>(*)ехр[-г(я,у)} dx) μ(άυ) =
«/]Rn \«/]Rn /
= (2π)~η/2 [ φ(χ)( ί βχρ[-ί(χ,υ)]μ(άυ))άχ,
JJEC1 \JJEC1 /
что доказывает наше утверждение.
(iv) Для функции f(x) = ехр(—а\х\) на прямой, где а > 0,
непосредственным вычислением находим
а2'
γ, . _ 1 / 1 1 \ _ V5 α
л/27г^а-гу α + iy/ у/тгу2 +
Поэтому для функции з(у) = (у2 + а2)-1 получаем
Если в случае (in) взять в качестве μ меру Дирака δα в точке а,
то получаем равенство
£(ж) - (2π)-η/2βχρΗ(^,α)].
Это же равенство можно получить непосредственно аналогично
случало (i). Кроме того, для функции еа(х) = ехр[г(#,а)] имеем
еа = (2π)~η/2δα.
С помощью этого равенства легко найти преобразования Фурье
обобщенных функций, задаваемых функциями sin χ и cos x.
Посредством дифференцирования и умножения на многочлены
запас явно вычисляемых преобразований Фурье можно расширить,
поскольку для всех F 6 «S^IR1) мы имеем
d^F = ixjF, dXjF = -гщР (9.31)
ввиду аналогичных соотношений для функций из 5(И1).
9.3.3. Пример. Пусть функционал F G <S'(IRn)
продолжается до элемента £7(IRn), т.е. непрерывного функционала на
пространстве Ε (IRn) всех бесконечно дифференцируемых функций

9.4. Свертка
507
с топологией равномерной сходимости всех производных на
ограниченных множествах. Тогда F задается гладкой функцией ф,
где ф(х) = F(ex), ex(y) := ехр[-г(я,у)].
Доказательство. Для упрощения выкладок разберем
случай η = 1. Пусть φ е Т)(Ш}) имеет носитель в [а, Ь]. Надо
показать, что Ρ(φ) есть интеграл от φφ. Нетрудно убедиться в
гладкости ф. Например, непрерывность φ ясна из того, что eXj —> ех
в ε(IR1) при ау —> ж. Интеграл от </^ есть предел римановских
сумм ]Cj=1 <f(tj№(tj)Aj) соответствующих разбиениям [а, Ь] на 2*
равных промежутков. Такая сумма есть результат применения
F к функции gk(y) := S*=i^(*j)etj(l/)^j· Как нетрудно
проверить, функции #fc сходятся в ^(К1) κ φ. Например, сходимость
9к(у) —> ψ(ν) есть просто сходимость римановских сумм к
интегралу (надо еще заметить, что она равномерна по у из всякого
отрезка, причем аналогичное верно и для производных).
Следовательно, F(gk) —> F((p) = F(cp). D
Имеются другие классы обобщенных функций, для которых
можно определить преобразование Фурье. Например, в рамках «S7
не определено преобразование Фурье функции F(x) = ехря2.
Если взять в качестве пространства пробных функций совокупность
преобразований Фурье функций из Р, то равенство F((p) := F(p)
позволяет задать F как функционал на этом пространстве.
Такая схема приводит уже не к паре пространств «основные
функции и обобщенные фушщт»? а к четверке пространств: класс
V пробных функций, класс TV преобразований Фурье пробных
функций и пространства функционалов V' и {TV)1 на этих
классах. Тогда преобразование Фурье элемента F 6 V1 есть элемент
F e (TV)f, задаваемый формулой F(Jp) = F((p).
Преобразование Фурье обобщенных функций играет важную
роль в теории уравнений с частными производными.
9.4. Свертка
В этом параграфе известная нам из §3.11 свертка
интегрируемых функций будет распространена на случай, когда одна из
двух функций — обобщенная. Свертка связана с
преобразованием Фурье; она имеет многочисленные применения в анализе,
алгебре, дифференциальных уравнениях.

508 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.4.1. Теорема. Если f,g Ε С1^), то
J7g{y) = (2п)п'2?{у)Ш (9.4.1)
Доказательство. Мы знаем, что /*р е L1(lRn). По теореме
Фубини имеем
(2π)"η/2 / / e~^/(z - z)g(z) dzdx =
= (2π)"η/2/ / e-i^u^e-i^^f(u)g(z)dzdu,
что дает (9.4.1). См. также задачу 9.10.17. D
9.4.2. Пример. (Теорема Титчмарша) Пусть f,g Ε £1(IR1)
равны нулю на луче (—оо,0] и / * д = 0. Тогда либо / = 0 п.в.,
либо д = 0 п.в. В самом деле, /и j продолжаются голоморфно
в нижнюю полуплоскость П, ограничены на ней и непрерывны на
вещественной оси. Так как /<? = 0 на И1, то /# = 0 в П, откуда
либо / = 0, либо (7 = 0 в П, что дает требуемое.
Обсудим теперь свертку / * F обычной и обобщенной
функций. Мы рассмотрим лишь два случая: / Ε £>(IRn), F Ε X>'(IRn)
и / € <S(IRn), F Ε 5;(Κη). Наша цель — так определить
свертку / * F, чтобы она совпадала с классической для обобщенных
функций F, задаваемых интегрируемыми функциями. Для
этого запишем действие свертки интегрируемых функций / и F на
функцию φ Ε S(JRn) следующим образом:
/ f*F(x)(p(x)dx= / / f(x-y)F(y)(p(x)dydx =
= / f{x~ yMx)F(y) dxdy= /(-·)* ψ(υ)Ρ(υ) */,
JJRn JW1 JJRn
где /(— ·) обозначает функцию х н-> /(—ж).
Это подсказывает такое определение. Пусть либо / Ε £>(IRn)
и F Ε Р'(ЕГ), либо / Ε S(JRn) и F Ε <S'(IRn). Положим
/*F(V):=F(/(-·)*¥>).
Заметим, что в первом случае /(— ·) *φ Ε X>(IRn) при ψ Ε X>(IRn),
а во втором случае /(—·)* φ ε <S(IRn) при φ Ε <S(lRn). Последнее
легко усмотреть из того, что преобразование Фурье сверки двух
функций из <S(IRn) есть произведение двух элементов из <S(IRn),

9.4. Свертка
509
причем преобразование Фурье переводит <S(IRn) в <S(IRn). Таким
образом, нами корректно определена свертка с нужным
свойством согласованности. Оказывается, она задается гладкой
функцией. Ниже указаны другие случаи существования свертки.
9.4.3. Предложение. Если либо / € £>(1Г) и F Ε Ρ'(ΙΙη),
либо f 6 <S(IRn) и F G S'(JRn), mo f * F задается бесконечно
дифференцируемой функцией.
Доказательство. Руководствуясь выписанным выше
выражением для действия свертки, положим
g(x) = F(fx), fx(v):=f(x-y).
Определение корректно, ибо fx входит в тот же класс, что и /.
Покажем, что g — искомая функция.
Проверим, что функция g имеет частные производные,
причем dXjg = F((dXjf)x). Из этого по индукции будет следовать
бесконечная дифференцируемость д. Зафиксируем точку х.
Ввиду непрерывности F достаточно проверить, что разностные
отношения t~l(fx+tej — fx) сходятся при t —► 0 к (dXjf)x в
смысле сходимости пространства Т>(Шп) или <S(IRn) соответственно.
В случае V ясно, что эти разностные отношения равны нулю вне
некоторого общего куба и сходятся равномерно ввиду теоремы
о среднем. Аналогично проверяется равномерная сходимость их
производных любого порядка. Рассмотрим случай S. Заметим,
что t-l(fx+tej(y)-fx(yj\ = ^_1(ехр(-г^)-1)/а;(у). Правая часть
сходится в S к -iyjfx(y) = ~dyjfx{y) = (dXjf)x(y) ввиду оценки
\exp(-ityj)-l\ ^ \tyj\. Следовательно, t"*1(/B+tei - fx) -► (9Xjf)x
в S при t —► 0. Покажем, что д задает действие / * F. Нам надо
проверить, что
/ Ρ(φ(χ)ώ = Ρ(/(-.)*ν), (9.4.2)
т.е. что F можно поменять местами с интегралом. Если φ имеет
носитель в кубе Q, то интеграл от gip равен пределу римановских
сумм вида Y^=1g{x^{xk)K{Qk) = Y%=iF{fxk№{xk)K{Qk),
что можно записать как FQ^fcLi fXk4?(xk)Xn(Qk))?
соответствующих измельчающимся разбиениям куба Q на кубы Qk- Заметим,
что суммы Фт(у) := Σ™=1 fxk(y)<p(xk)K(Qk) при каждом
фиксированном у стремятся к интегралу функции χ ь-+ f(x — у)ч?(х)

510 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
по Q, т.е. к функции /(— · )*<£>(у). Более того, эта сходимость
имеет место в V или в S при соответствующем /. В самом деле, при
/ Ε V есть равномерная сходимость Фш, причем производные Фш
имеют похожий вид (равны аналогичным суммам с
производными от / вместо /). Случай / Ε S аналогичен, ибо
преобразование Фурье от Фш есть /(- ')(у)Т^Т=1ех^[-^х^У)\^к)К(Як),
где правая часть сходится в 5 к функции (2π)η/2/(— · )φ. Ввиду
непрерывности F приходим к равенству (9.4.2) для φ с
носителем в Q. В случае f Ε S функция д растет не быстрее некоторой
функции С(1 + |#|2)т. В самом д<але, ввиду непрерывности F
существуют такие числа С, т и fc, что имеет место оценка
IFfoOl < CsuPy(i + м2гЫу)\ + \6Ь<рШ + ··· + \9%Му)\)-
Если подставить <£>(у) = (1 + |#|2)~т/ж(у)> то правая часть оце-
нится через C's\ipy[(l + |z|2)"m(l + \х-у\2)-т(1 + |y|2)m], где С"
не зависит от х. Получаем равномерно ограниченное по χ Ε Ktn
выражение. Следовательно, функция (1 + |#|2)~Ш|.Р(/Ж)|
ограничена. Теперь для обоснования (9.4.2) при φ Ε S достаточно взять
последовательность из £>, сходящуюся к φ в <S. D
Отметим легко проверяемое равенство
dXi(f*F) = (dXif)*F = f*(dXiF).
Имеются и другие случаи, когда определена свертка обычной
и обобщенной функции или даже двух обобщенных функций (см.
Владимиров [44]). Например, если F,G EV' и G имеет
компактный носитель, то свертка G*D определена: как и выше, положим
F*Gfo>):=G(F(-· )*¥>),
где F(— ·) * φ(χ) = F(y>{ · — χ)) — гладкая функция, как показано
выше. Если функция F Ε Sf такова, что ее преобразование Фурье
F есть обычная функция, причем Ρψ Ε S при всех ψ Ε <S, то для
каждой обобщенной функции G Ε Sf можно задать обобщенную
функцию F · G Ε <S', что с помощью обратного преобразования
Фурье позволяет определить F * G. Можно также применить
теорему 8.5.5: если F = д^ · · · #£пФ, G = д™ · · · д££Ф, то положим
F*G := д£+т · · · д*£"ш(Ф*Ф), если свертка F*G имеет смысл в V
(например, если G имеет компактный носитель). Однако свертку
/*F на SxSf нельзя продолжить до коммутативной
ассоциативной свертки на S'xS' (см. задачу 8.6.44).

9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки
511
9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки
Поскольку преобразование Фурье является унитарным
оператором в то возникает вопрос о его спектре. Заметим, что
квадрат преобразования Фурье есть оператор замены аргумента
на противоположный, т.е. Т2/(х) = /(—ж). Это равенство
следует из формулы обращения при / Ε <S(lRn) и потому остается
справедливым для всех / Ε L2(JRn). Значит, Т^ — единичный
оператор. Поэтому при возведении спектра Τ в четвертую степень
получается число 1. Это сразу показывает, что Τ имеет конечный
спектр, входящий в множество {1, —1, г, —г}, причем все числа из
спектра — собственные. В частности, оператор Τ имеет
собственный базис. Но как найти собственные функции и выяснить, какие
именно точки указанного множества входят в спектр и с какой
кратностью? Пусть η = 1. Пока мы знаем лишь одну собственную
функцию оператора Т\ гауссовская функция ехр(—1#|2/2)
совпадает со своим преобразованием Фурье. Оказывается, отправляясь
от этой собственной функции, можно указать целый
собственный базис. Для этого заметим, что линейная оболочка функций
ехр(—|ж|2/2),жехр(—1#|2/2),... ,хкехр(—\х\2/2) переводится
оператором Τ в себя. В самом деле, пусть /о(#) = ехр(—|х|2/2),
fm(x) = хтехр(-\х\2/2). Тогда
Ffm{x) = ^й^^Ш = рт(х)ео(х),
где Рт — многочлен степени га. Более внимательное
рассмотрение этой формулы приводит к выводу, что инвариантной
является линейная оболочка L^ четырех функций /4fc, /4^+1 > /4fc+2> /4fc+3
при любом к = 0,1,..., что ввиду взаимной ортогональности
собственных функций унитарного оператора подсказывает взять
вторую собственную функцию в виде е\(х) = хео(х), ибо е\ J_ ео-
При этом Те\ = — гв\. Затем находим собственную функцию
б2 вида в2(х) = (х2 — с)ео(ж), где с выбрано так, что б2 1 ео.
Ясно, что б2 1 ei и Те^ — —в2. Наконец, ез находим в виде
е3(#) = (х3 — ах)ео{х), подобрав а так, что ез J- е\. При этом
Те$ = ie$. Отметим, что с = 1/2, а = 3/2. Итак, каждое из
указанных выше четырех чисел является собственным. Если
догадаться искать собственные функции среди функций Эрмита
dk
Ek{t) = cfcexp(f2/2)-rexp(-i2),

512 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
образующих базис в L2(IR1) ввиду примера 5.4.12(iv) при
подходящем выборе нормирующих множителей с&, то сначала нужно
получить соотношение
Ek(t) = akGk, Gk(t) := (ί - ^)*/ο(*), (9.5.1)
которое после применения преобразования Фурье дает
FEk(s) = <*k(i-^ ~ is) Ffo(s) = (-i)kak(s - —) /0(β) =
= (-i)kEk(s).
Для обоснования формулы (9.5.1) воспользуемся индукцией по к.
При к = О эта формула верна. Пусть она верна для некоторого
натурального к > 0. Легко убедиться, что функции G& имеют
вид Gk{t) — Pfc(i)/o(t), где Р& — многочлен степени fc, причем для
нечетного к этот многочлен включает только нечетные степени £,
а для четного к — только четные. Кроме того, коэффициент при
tk в Pk(t) равен 2к. Чтобы осуществить шаг индукции, следует
проверить, что функция Gfc+i ортогональна всем Gj с j ^ fc.
Ввиду формулы интегрирования по частям имеем
Cy-i)Gk(t)Gi(t)dt=
Г+оо /»-foo
/+оо /»-НХ>
tGk(t)Gj(t) dt+ Gk{t)G'j{t) dt =
-oo J—oo
/+CX) /»+00
2tGk(t)Gj(t)dt- Gk(t)[tGj(t) -G'j(t)]dt =
-oo J—oo
/+00 f+OO
2tGk {t)Gj (t) dt- Gk (t)Gj+1 (t) dt.
-oo J— oo
Если j < к — 1, то правая часть написанного выше соотношения
равна нулю в силу предположения индукции. Если j = к — 1, то
в правой части стоит интеграл функции Gk(t)[2tGk-i(t) — Gfc(£)],
который также равен нулю в силу предположения индукции, ибо
2tGk-i(t) — Gk(t) = Q(t)fo(t), где Q — многочлен степени к — 1.
Наконец, функция Gk+iGk нечетна и потому имеет нулевой
интеграл. Это дает равенство (Gk+i,Gk)L2 = 0·
Изложим теперь другой способ нахождения спектра Τ (см.
Дирак [74, с. 50]). Этот способ основан на следующих очевидных

9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки
513
алгебраических соотношениях:
Введем операторы
p0:=I(/ + eF + ^2 + ^), р1:=1(/_^_^ + #*),
Общая формула такова:
^^ιΣΗ)^"' 3 =0,1,2,3.
fc=0
Отметим также, что указанные четыре оператора получаются
перемножением каких-либо трех из четырех операторов Τ—/, Τ+Ι,
Τ — г/, Τ Л- г/. Мы не будем обсуждать, как можно догадаться
использовать эти операторы. Прямая проверка показывает, что
P* = Pj, P} = Pj, TPj=VPj, PjPk = 0nimj^k.
Итак, Pj — проекторы на попарно ортогональные
подпространства, на которых Τ действует как умножение на Р. При этом
Р0 + Р1 + Р2 + Рз = L
Положим Hj := Pj(H), где Я = L2(JR}). Тогда Я
оказывается прямой суммой попарно ортогональных замкнутых
подпространств Hj, и Тщ есть умножение на г·7. В каждом
подпространстве Hj любой ортогональный базис является собственным
для Т. Конечно, для полноты картины еще следует проверить,
что подпространства Hj бесконечномерны.
В случае η > 1 собственный базис Τ образован
произведениями функций Эрмита по разным переменным, т.е. функциями
вида
Eku...,kn(xu ... ,я?я) := Ekl(xi) · · · Екп(хп), к{ > 0.
Функции Эрмита вводят и на бесконечномерных пространствах.
Вычислим теперь спектр оператора свертки
8φψ{χ) = ψ * ψ{χ)

514 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
в L2(IRn), где ψ Ε L^IR71). Мы знаем (см. теорему 3.12.42), что
φ * φ Ε L2(IRn). Положим / = Ρψ. После применения
преобразования Фурье получаем (см. теорему 9.4.1 и задачу 9.10.17)
Τβφψ = (2π)η/2Ρψ · Τφ,
т.е. имеет место равенство
ГБфТ-1 = (2K)n/2Af,
где Af — оператор умножения на ограниченную непрерывную
функцию /. Спектр последнего оператора нам известен: это
множество существенных значений /, т.е. замыкание множества
значений / ввиду непрерывности /. Если функция / вещественна, то
спектр Бф — отрезок вещественной прямой. Обратим внимание на
то, что оператор свертки некомпактен (в отличие от
интегральных операторов из примера 6.9.4 в L2 на отрезке).
9.6. Преобразование Лапласа
Еще одно важное интегральное преобразование, близкое
преобразованию Фурье, называется преобразованием Лапласа. Оно
также определяется на разных классах функций. Положим
£/(*):=-L Ге-*У/(у)ау, (9.6.1)
νπ Jo
если указанный интеграл существует в смысле Лебега. Отметим,
что если при некоторых постоянных С и 7 мы имеем
l/(l/) I < Сехр(7У) для всех у ^ 0,
то функция Cf определена и аналитична в полосе Re χ > η
комплексной плоскости.
Преобразование Лапласа можно задать и на L2[0, +oo).
9.6.1. Определение. Преобразование Лапласа комплексной
функции / Ε L2[0,+оо) определяется формулой
1 Г°°
Cf(s):=~ / e-stf(t)dt, 5>0.
v71" Jo
9.6.2. Теорема. Функция Cf входит в L2[0,+оо), причем
справедливо неравенство HAflh ^ II/II2·
Доказательство. Отметим, что в отличие от случая
преобразования Фурье указанный интеграл существует в обычном
смысле при каждом фиксированном s > 0, ибо функции £*->/(£)

9.6. Преобразование Лапласа
515
и t ь-> e~st входят в L2[0,+оо). Предположим сначала, что /
обращается в нуль в некоторой окрестности нуля. По неравенству
Коши-Буняковского имеем
π Jo Jo
= ^fe""l/(t)|2iV2<tt·
Интегрируя это неравенство по s на [0,+оо), меняя порядок
интегрирования и используя то, что интеграл от e~sttl/2s~ll2 по 5
равен π, получаем Ц^С/Щ ^ II/Hi· Общий случай следует с
помощью приближения / функциями указанного вида.
Действительно, если функции fj сходятся к / в L2[0, +oo), причем
каждая из них обращается в нуль на некотором отрезке [0, а^], то
в силу уже доказанного последовательность функций Cfj
фундаментальна в L2[0,+оо) и потому сходится к некоторой функции
h Ε £2[0, +оо). При каждом фиксированном s > 0
последовательность Cfj(s) сходится к £/(s). Следовательно, Cf(s) = h(s) п.в.
При этом \\Cfjh < H/jlh, откуда \\h\\2 ^ ||/||2. □
Норма преобразования Лапласа С в L2[0, +oo) равна в
точности 1 (задача 9.10.22). Кроме того, Кег£ = 0 (задача 9.10.21), но
0 Ε σ(£), ибо С не сюръективно, так как |£/(£)|2 ^ (2π)~1||/||2^~1.
Преобразование Лапласа можно определить и для некоторых
обобщенных функций. Пусть Ί?+σ — класс таких обобщенных
функций F Ε ©'(IR1), что suppF С [0, +оо) и имеет место
включение Fa := exp(—ax)F Ε S'CBl1) при все* α > σ, причем Fa
задается обычной функцией. Преобразование Лапласа обобщенной
функции F определяется как обычная функция CF в
полуплоскости Re 2 > σ, заданная формулой
CF(p + iq):=V2Fp(q).
Ясно, что если обобщенные функции Fa задаются
интегрируемыми функциями, то приходим к формуле типа (9.6.1).
Преобразование Лапласа определено для некоторых таких функций
(обычных или обобщенных), что для них не определено преобразование
Фурье. Как объяснено в следующем параграфе, это
оказывается весьма полезным при решении линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.

516 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.7. Применения к дифференциальным уравнениям
В этом разделе кратко обсуждается использование
преобразований Фурье и Лапласа, а также свертки для решения
дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим лишь общую схему
и несколько характерных примеров.
Пусть L — дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами ajb...,jfc, j% = 1,..., η, к = О,..., га, на JRn вида
LF= Σ а31^зЛа1-'дХакК
Заметим, что как для функций F из <S(IRn), так и для
обобщенных функций F из <S'(IRn) справедливо равенство
^= Σ aiiv..j*-(feji)---(^jJ^·
Многочлен
Ρ(*) = Σ «Λν-Λ-ί^ίι)··'^)
называется символом дифференциального оператора L\ часто
пишут L = P(—iD). Таким образом, задача решения уравнения
LF = G
в классе <S'(IRn) (можно рассматривать его и в других классах)
сводится к задаче решения уравнения
PF = G.
Формально решение дается выражением Τ~λ(^ψΤΟ). Конечно,
здесь возникает вопрос о корректности произведенных операций.
Имеется простой, но важный случай, когда никаких проблем не
возникает: это случай, когда Р(х) ^ с > 0. Тогда для всякого
элемента G Ε S' имеем TG Ε <S', откуда ^TG 6 S1 и потому
существует T~\^TG) 6 S'.
9.7.1. Пример. Пусть LF = AF — F. Уравнение LF = G
относительно F однозначно разрешимо в S'(JRn) для любой правой
части G 6 «S'(IRn), причем решение дается формулой
F = F-1[(l + \x\2)-1FG\.
Если G Ε L2(IRn), toFe L2(Mn).

9.7. Применения к дифференциальным уравнениям 517
Фундаментальным решением (фундаментальной функцией)
для дифференциального оператора L называют решение Φ
уравнения ЬФ = δ в соответствующем классе обобщенных функций
(например, в ТУ или S'). В случае S* преобразование Фурье
сводит это уравнение к алгебраическому тождеству PF = (2π)~η/2,
т.е. мы приходим к задаче о делении на ненулевой многочлен.
В этом направлении есть следующие два важных результата.
9.7.2. Теорема. Пусть L — дифференциальный оператор
с постоянными коэффициентами и символом Р^О β IRn.
(i) (Теорема Мальгранжа-Эренпрайса) Для всякого
G Ε Τ>'(ΈΙη) уравнение LF = G имеет решение в 2У(КП). В част-
ности, оператор L имеет фундаментальное решение в X>'(IRn).
(Η) (Теорема Хёрмандера-Лоясевича) Для всякого
G Ε <S'(lRn) уравнение LF = G имеет решение в S'(!Rn). В част-
ностиj оператор L имеет фундаментальное решение в с?'(ГО,п).
Еще один близкий результат — задача 9.10.45. Отметим, что
уравнение LF = G может иметь решения в 2У, не входящие в Sf.
Например, уравнение F' — F = 0 имеет лишь нулевое решение
в S', но имеет решение ех в ТУ. Если Ε — фундаментальное
решение в ТУ или S* и G Ε ТУ имеет компактный носитель, то свертка
F := Ε * G определена и дает решение уравнения LF = G.
Если всякое решение в V уравнения LF = G при G G С°°
также задается функцией класса С°°, то оператор L называется
гипоэллиптическим. Это условие равносильно тому, что
singsuppLF = singsuppi1 для всех F G X>'(IRn).
Последнее равенство принимается в качестве определения гипо-
эллиптичности для общих дифференциальных операторов; оно
означает, что если F Ε ТУ таково, что LF в некоторой
области U задается функцией класса (7°°(ί7), то и F в U задается
функцией этого класса. Для операторов с постоянными
коэффициентами Хёрмандером найден следующий алгебраический
критерий гипоэллиптичности: равенство lim\y^00VP(y)/P(y) = 0;
другое равносильное условие: Шп^^оо Р(у + v)/P(y) = 1 при
всех ν Ε IRn. Например, оператор Лапласа Δ гипоэллиптичен,
а д\ — нет. Для операторов с постоянными коэффициентами ги-
поэллиптичность равносильна существованию
фундаментального решения Ф, задаваемого функцией класса C°°(IRn\0) (при этом
все фундаментальные решения таковы). Эти вопросы подробно
изложены в книгах Трев [207, §§18-20], Шилов [238, гл. 3].

518 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Отметим, что для Ρ φ const уравнение LF = О в Vf всегда
имеет ненулевое решение ехр(г(ж,£)), где £ G Cn и Ρ(ξ) = 0.
Выше мы обсуждали уравнения на всем пространстве, но
в приложениях часто приходится иметь дело с краевыми
задачами, когда заданы еще и граничные значения. Например, можно
решать уравнение с постоянными коэффициентами
/(«)+Cl/("-1) + ... + c„/ = 5
на [0, +оо) с начальными условиями /W = а&, к = 0,..., η — 1.
Преобразование Фурье непосредственно здесь применить нельзя
по двум причинам: решения определены лишь на полуоси и могут
не входить в «S7 даже при доопределении нулем на (—оо, 0)
(например, для уравнения /' — / = 0, /(0) = 1, с решением f(x) = ех).
Здесь и оказывается полезным преобразование Лапласа. Сначала
рассмотрим случай η = 1. Считая, что д Ε ^[Ο,+οο), применим
к уравнению преобразование Лапласа и с помощью
интегрирования по частям найдем
xCf{x) + 4=/(0) + ciCf{x) = Сд(х).
Значит, Cf(x) = (χ + с\)~1{Сд{х) — ao/y/π). Отсюда в принципе
можно найти / с помощью обратного преобразования Лапласа.
Для этого надо продолжить Cf на мнимую ось и найти по ней
интеграл от (2n-1/2i)-1estCf(s), см. [76], [132], [547], где
обсуждаются формулы обращения преобразования Лапласа. В общем
случае η > 1 аналогичным образом приходим к уравнению
η
Ф(ж) + ^Cn-kxkCf(x) = Сд{х),
к=0
где Φ — многочлен, появившийся после η интегрирований по
частям (коэффициенты Φ находятся по числам а&). Теперь
решение дается обратным преобразованием Лапласа от функции
[Сд(х) — Φ (χ)] (Y^k=QCn-k%k) · Мы не будем обсуждать
технические условия, при которых это возможно. Поясним лишь связь
найденного ответа с тем, который получится применением
преобразования Фурье к функции /, продолженной нулем на (—оо, 0),
если / Ε «S^IR1). Тогда начальное значение исчезнет, но само
уравнение изменится из-за искусственно возникшего скачка
решения в нуле. Например, при η = 1 мы получим уравнение
f + f(0)S + Clf = g.

9.7. Применения к дифференциальным уравнениям
519
Преобразование Фурье дает ixF f(x)+ao/ у/2к+с\Р f(x) = Fg{x)·
Так как формально Cf(x) = у/2Т/(гх), то имеется полное
согласие между полученными соотношениями. Этим формальным
манипуляциям можно придать строгий смысл, продолжив
преобразования Фурье и Лапласа в комплексную область. Аналогичная
картина имеется для уравнений η-го порядка. Эти соображения
лежат в основе так называемого операционного исчисления, более
подробно обсуждаемого в [76], [132, гл. VI].
Рассмотрение преобразования Фурье оказывается полезным
и для уравнений с переменными коэффициентами, хотя для них
нет таких явных формул для решений. Если дана функция σ на
пространстве KnxlRn1 то положим
LF{x) := Т-^х, .)FF{-)]{x),
т.е. при фиксированном χ преобразование Фурье F (как
функция аргумента у) умножается на функцию σ(χ, у), а затем берется
значение обратного преобразования Фурье в точке х. Оператор L
называется псевдодифференциальным оператором с символом σ.
При соответствующих предположениях относительно F и σ
(которые мы не будем уточнять) можно записать
LF{x) = (2π)"η / ίе*х*-^а{х,у)Р(г)<1г<1у.
Если σ(#, у) = а(у) есть многочлен от у, то получаем
дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Если
*(ж, У) = Σ aju...Jk(x) iyh · · · iyjh,
ίΐι—J к
TO
LF(x)= Σ aii,-dk(x)dxh'-dxJkF(x)'
Аналогично можно рассмотреть задачу Коши для эволюционного
уравнения
%-»
с начальным условием F(0, χ) = Fq(x), где L —
дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Применение
преобразования Фурье сводит это уравнение к обыкновенному

520 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
дифференциальному уравнению
^ = p(vm,y)
для Ф(£,у) = [FF{t, -)\{y)·, где преобразование Фурье берется по
второму аргументу. Решение этого уравнения с начальным
условием Фо(у) = FFoiy) дается формулой
Фо(у)ехр(*Р(у)).
Поэтому формальное выражение
JF-1 [ф0 exp(tP(y))] (t, χ) = (2тг)-п/2*Ъ * T~x [exp(tP(y))] (t, χ)
дает «решение» исходного уравнения. Конечно, как и выше,
возникает вопрос об условиях, при которых можно обосновать эти
формальные манипуляции (например, при Ρ < 0 и Fq £ L2).
9.7.3. Пример. Пусть L = Δ. Тогда Ρ (у) = — \у\2. Положим
Gt(x) = (ШГ^ехр^)-1^2].
Для каждого Fq ε L2(JRn) функция
F(t,x) = F0 * Gt(x) = (47rt)"n/2 / ехр^Г V]*o0* - y)dy
«/]Rn
является решением задачи Коши
^j^l = AF(i,y), F(0,x)=F0(x)
в следующем смысле (помимо поточечного равенства): для
каждой функции φ Ε <S(lRn) при всех t ^ 0 выполняется равенство
/ F(t}x)<p(x)dx = / F0(#)<£(#)da; +
+ ί F(s,x)kip{x)dxdt. (9.7.1)
JO JlRn
Действительно, пусть ^ = Τ~λφ, и пусть у *-> Ф(з,у) —
преобразование Фурье функции ж *-> F(t,x). Ввиду равенства Парсеваля
и соотношения Αφ(χ) = ΑΤψ(χ) = Τ[—\ · |2^](ж) левая часть
доказываемого равенства (9.7.1) совпадает с
/ Ф(^уЩу)ау,

9.8. Пространства Соболева WPyk
521
а правая часть равна
/ Ф(0,у)ф^)ау- I [ Ф(8,у)\у\2ф^)ау(И.
J]Rn JO JJRn
Поскольку Ф(в,у) = Ф(0, у)ехр(—i|y|2), то рассматриваемые
части равны. Аналогичное представление решения задачи Коши
остается в силе и в классе S' для начального условия Fq 6 «S7,
если свертку Fq * Gt понимать в смысле обобщенных функций.
Для задачи Коши
?*№>. = Lf{t,x) + g(t,x), №x) = Mx)
с краевым условий М/ = 0 в области Ω С IRn, где L и Μ —
дифференциальные операторы на Ω и #Ω, применяется
преобразование Лапласа, но на этот раз по переменной ί. На формальном
уровне это дает такое уравнение для \f(s,#) = CF( · ,#)(s), где
взято преобразование Лапласа по первому аргументу:
βΦ(β, χ) + /(О, χ) = L*(e, ж) + £$(·, ж)(в).
При этом M*(s, ж) = 0 на 9Ω. Таким образом, при каждом s надо
решить краевую задачу на Ω с оператором si — L. Такая задача
может оказаться проще исходной начально-краевой задачи.
Найденные явные формулы для решений эллиптических и
параболических уравнений с оператором Лапласа оказываются
чрезвычайно полезными при анализе общих эллиптических и
параболических уравнений с переменными коэффициентами.
9.8. Пространства Соболева Wp,k
Здесь мы приступаем к обсуждению одного из важнейших
в функциональном анализе классов пространств — пространств
С.Л. Соболева.
Пусть Ω — открытое множество в Ип, ρ Ε [1, +оо), к Ε IN.
9.8.1. Определение. Обозначим через Wp,k(Q) класс всех
таких функций / Ε LP{U), что для всякого т < к и каждого
мультииндекса ίχ,..., гш с ij Ε {1,..., η} обобщенная
производная dXi ---dXimf является функцией из LP{Q). Класс Wp,k(Q)
наделяется Соболевской нормой
и»* := иль + Σ Σ ^■■■д^пьр.
ra^fc ti,...,im^ft

522 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Как и в случае пространств LP(U), почти всюду равные
функции считаются одним и тем же элементом, т.е. Wp,k(Q) есть
пространство классов эквивалентности. Можно также сказать, что
WPik(Q) есть подпространство в LP(U), состоящее из элементов
с конечной нормой || · ||р^. Ясно, что Wp,k(JRn) — линейное
подпространство в LP (Ω).
9.8.2. Пример. Функция / входит в класс W1'1(1R1) в
точности тогда, когда она интегрируема и имеет абсолютно
непрерывную версию с интегрируемой на И1 производной.
Доказательство. Если / интегрируема и абсолютно
непрерывна, причем /' Ε L1(IR1), то формула интегрирования по
частям для абсолютно непрерывных функций показывает, что /'
служит обобщенной производной. Обратно, пусть / имеет
обобщенную производную д Ε L1(IR1). Положим
/X
g(t)dt.
-оо
Для всякой функции φ Ε Cq^IR1) имеем
/+оо /Ч-оо /»+оо
φ\ϊ)№ dt = - <p(t)g(t) dt = 4>'{t)fQ{t) dt.
-oo J—oo J—oo
Как показано в §8.5, из этого следует, что функция / — /о почти
всюду равна некоторой постоянной С. Эта постоянная равна
нулю, ибо д(х) —> 0 при χ —> — оо и ввиду интегрируемости / можно
выбрать хп —> —оо с f(xn) = /о(#п) + С так, что f(xn) —► 0. Π
9.8.3. Лемма. Пространство Wv'h{£l) полно относительно
указанной нормы.
Доказательство. Если последовательность {fj}
фундаментальна по норме || · ||p5fc, то все частные производные функций fj
до порядка к включительно образуют фундаментальные
последовательности и потому сходятся в LP(U). Легко видеть, что
полученные пределы являются обобщенными частными
производными соответствующего порядка для предела {fj} в LP(U). D
9.8.4. Лемма. Пусть f G Wp>k(Q) ηζ€ С%°(П). Тогда
имеем С/ £ Wp,k(Q), причем обобщенные частные производные ζf
до порядка к вычисляются формальным применением правила
Лейбница. Например, dXi(Cf) = CdXif + fdx£.

9.8. Пространства Соболева Wp>
523
Доказательство. Произведение гладкой функции на
обобщенную дифференцируется по правилу Лейбница. При этом
соответствующие производные оказываются элементами Ι^(Ω). О
Следующий результат дает характеризацию Wp,k(JRn) через
пополнение по соболевской норме.
9.8.5. Теорема. Пространство Wp,k(JRn) совпадает с
пополнением Со°(Щ,п) по соболевской норме || · ||р^.
Доказательство. Ввиду полноты Wp,k(JRn) упомянутое
пополнение входит в Wp,k(lRn). Покажем, что всякая функция /
из WPik(JRn) приближается гладкими финитными функциями по
соболевской норме. Заметим, что / приближается в WPik(JRn)
функциями с ограниченными носителями. Для этого достаточно
взять последовательность гладких функций ζ? 0*0 = C(x/j), где
С е C£°(IRn), 0 < С < 1, СО*) = 1 при Μ < h ζ[χ) = О при |х| ^ 2.
Тогда по лемме Qjf 6 Wp>k(1Rn) и производные вычисляются по
правилу Лейбница. При этом
дХн ■ ■ ■ aXim (Qf) - aXii ■ · · dXim f в щи),
что следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и
того факта, что Cj(x) = 1 и dXiCj(x) = 0 при \х\ < j. Например,
в равенстве
$«,&/) = (ад/+№«/
первое слагаемое стремится к нулю, а второе — к dXif.
В случае, когда / имеет носитель в шаре радиуса R с центром
в нуле, в качестве приближений берем свертки fj := / * φ$, где
<Pj (χ) = jd(p{jx) и φ — гладкая вероятностная плотность с
носителем в единичном шаре. Ясно, что fj E Co°(IRn). Заметим, что
&xifj = dXif * ψ у Для этого достаточно проверить, что функции
i^dxifj и ipdXif * φj имеют равные интегралы для всякой
функции ф Ε Co°(IRn). По определению обобщенной производной для
каждого фиксированного χ имеем
/ дУЛу)<Рэ(х -y)dy = - f(y)dyi(pj(x - у) dy.
Умножив обе части этого равенства на ф(х) и проинтегрировав
по ж, с учетом теоремы Фубини и равенства
дуМ(х ~У) = -dXi<pj{x - у)

524 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
получаем следующие соотношения:
/ dXif * <pj(x)i/>(x) dx = - / f(y)dyi<pj(x - уШх) dydx =
= f(v)dxiVj(x-v№(x)dxdy =
JmrJw1
= - / / f(y)<Pj(x ~ У)дхЖх) dxdy =
JlRnJlEln
= — / / * (Pj(x)9x^(x) dx = dXi(f * φ^(χ)φ(χ) dx.
JJRn JJRn
По индукции получаем dXil · · · dXifn (/* ^j) = ^ * * * 9х^*Ч>э W1*
всех т ^ к и ij ^ п. Ввиду следствия 3.11.12 это дает сходимость
/ * φ$ к / по соболевской норме. D
Приведем еще один полезный близкий результат.
9.8.6. Теорема. Пусть 1 < ρ < оо. Пусть
последовательность {fj} С Wp'fc(IRn) ограничена по соболевской норме || · ||р^.
Тогда некоторая ее подпоследовательность {fjt} слабо сходится
в 1^(ИП) к функции из Wp>k(JRn), причем обобщенные частные
производные функций fjt до порядка к слабо сходятся в ί^(Κη)
κ соответствующим частным производным предельной
функции.
Доказательство. Достаточно с помощью теоремы 6.7.4
выделить из {fj} такую слабо сходящуюся в Lp(IRn)
подпоследовательность, что ее обобщенные частные производные до порядка
к также слабо сходятся в 17 (Hn). D
Для ρ = 1 доказанное утверждение теряет силу. Например,
к индикатору [—1,1] сходится в L1 ограниченная в W1,1
последовательность функций /j, где fj(t) = 1 при t 6 [—1,1], fj(t) = 0
при \t\ > 1 + 1/j и fj линейна на [—1 — 1/j, —1] и [1,1 + 1/j].
9.8.7. Теорема. Пусть f Ε Wp,1(IRn) и функция φ на
прямой удовлетворяет условию Липшица, причем ψ(0) = 0. Тогда
Доказательство. Сначала предположим, что^ е C°°(IRn).
Возьмем функции fj € C£°(IRn), сходящиеся к / в WPjl(JRn).
Заметим, что ψ(^) е С?(Пп). При этом Щ/з)-ф(/)\ ^ C\fj - /|,

9.8. Пространства Соболева Wp,k
525
где С — постоянная Липшица функции ф. Поэтому ift(fj) —> Φ{ί)
в Ι7(ΠΙη). Кроме того, dXiip(fj) = ijj'(fj)dXifj. Перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что fj —► f почти всюду.
Тогда, как легко видеть, tl/(fj)dXif -> ^f{f)dxJ в LP(JRn).
Поскольку ^'{fj)dXifj — ф'(^)дх./ —» 0 в ί^(Κη) из-за равномерной
ограниченности ф\ получаем сходимость i/>(fj) к ф(/) в Wp,1(IRn).
В общем случае можно найти последовательность гладких
функций г/jj с i/)j(0) = 0, сходящихся поточечно κ φ и равномерно
липшицевых. Тогда φ^{ί) —» V>(/) в ί^(ΙΙη), ибо
НМ/)-<К/)КС|/|
с некоторой постоянной С и |^(/) — Ф(/)\ ~* 0 поточечно. Если
ρ > 1, то ввиду соотношений |9ж<^(/)| = Ι^(/)^/Ι ^ c\dXif\
мы получаем включение / Ε И^Р,1(Ю,П) в силу теоремы 9.8.6.
Случай ρ = 1 отнесен в задачу 9.10.37. D
При η — 1 всякая функция из класса Соболева WPfl имеет
непрерывную модификацию. При η > 1 это уже не так.
9.8.8. Пример, (i) Функция f(x) = φ(χ)]η\χ\ на И2, где
φ Ε Cq°(IR2) имеет носитель в единичном круге, φ > 0 и φ = 1
в окрестности нуля, входит в WP,1(H2) при 1 ^ ρ < 2, но не
имеет ограниченной модификации. Действительно, / 6 1^(К2)
при всех ρ < оо. Функции
д*г/(ж) = ¥>0Фг|я|-2 + 9Χίφ(χ)1η N
определены вне нуля и входят в 27* (IR2) при ρ < 2. С помощью
формулы интегрирования по частям непосредственно
проверяется, что они служат обобщенными частными производными /.
(ii) Аналогично f(x) = φ(χ)\τι(— 1п|ж|) входит в W2,1(IR2).
(Ш) Функция /(ж) = ^(я)|я|-1 на И2, где ψ Ε C^°(1R2) πφ=1
в окрестности нуля, входит в WP,1(JR2) при 1 ^ ρ < 3/2, но не
имеет ограниченной модификации. Это проверяется аналогично.
(iv) С помощью указанных функций / строится функция вида
д(х) = ^jLi 2~if(x — ajj), где {xj} — всюду плотное множество.
Эта функция входит в соответствующее Wp,1(]Rn), но не имеет
модификации, ограниченной хотя бы в некоторой окрестности.
Несмотря на наличие таких примеров, имеются важные
положительные результаты о дополнительной регулярности
Соболевских функций. Краткое обсуждение см. в §9.10(ii).

526 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.9. Описание W2yk через преобразование Фурье
В случае ρ = 2 пространства Соболева Wp,k оказываются
гильбертовыми, что при рассмотрении многих вопросов приводит
к заметным упрощениям. В качестве примера мы дадим описание
классов W2,k через преобразование Фурье.
9.9.1. Теорема. Пространство W2jk(JRn) состоит из всех
таких / € L2(lRn); что функция у н-* \y\kf(y) входит в L2(JRn).
Доказательство. Пусть / е W2>k(JRn). Тогда для
обобщенных производных имеем dk.f Ε L2(IRn), что дает
квадратичную интегрируемость функций ykf(y). Поэтому входит в L2(IRn)
и функция \y\kf(y). Обратно, пусть функции / и \y\kf(y)
квадратично-интегрируемы. Тогда для всяких неотрицательных целых
чисел fci,..., kn с k\ + ... + kn = т ^ к функция
9k1,...,kn(y)--=(i)myi1---yknnf(y)
входит в L2(IRn). Обозначим через /fclv..,fcn обратное
преобразование Фурье функции д^ ... кп- Покажем, что /fcj... £ является
обобщенной производной дк\ · · · dkr^f. Для этого зафиксируем
вещественную функцию φ Ε X>(IRn) и обозначим через ψ ее
преобразование Фурье. В силу равенства Парсеваля имеем
/ Кх)д%.~д£ф)<ь= [ Ky){-i)mykxl---y^i>{y)dy =
= (-l)m/ 9ки..,кп(уШу)<1у = (-1Г f fkl,...,kn(xMx)dx,
что доказывает наше утверждение. D
9.9.2. Пример. Для всякой функции g 6 L2(IRn) существует
единственное решение / 6 W2'2(IRn) уравнения Δ/ — f = д. Это
решение определяется равенством /(у) = (1 + |у|2)-1<?(у)·
Из доказанной теоремы вытекает следующий частный случай
теоремы вложения (общий случай см. в §9.10(H)).
9.9.3. Пример. Пусть / е W2>k(JRn), где к > п/2. Тогда /
имеет ограниченную непрерывную версию.
Доказательство. Верно даже более сильное утверждение:
/ 6 L1(IRn). В самом деле, по предыдущей теореме функция

9.10. Дополнения и задачи
527
9(У) = \у\кШ входит в L2(IRn). Имеем |/(у)| ^ |р(у)| \y\~K
Правая часть интегрируема по множеству |у| ^ 1 в силу
неравенства Коши-Буняковского, ибо по этому множеству интегрируемы
функции |з(у)|2 и \у\~2к при 2к > п, что очевидно в полярных
координатах. По множеству \у\ < 1 функция / тоже интегрируема,
так как она входит в L2(IRn). D
9.9.4. Замечание. Из сказанного вытекает, что при 2к > η
существует такое число С(к,п), что
ll/IU~<Ci(fc,n)ll/llw™.
Действительно, левая часть не превосходит (2π)~η/2||/||^ι, что
оценивается через Ci(fc, n) ]£<Li II^/IIl2? κάκ нетрудно усмотреть
из обоснований теоремы и примера. Если к = 2га четно, то имеет
место оценка
ll/l|L-<Ci(fc,n)||(/-Ar/||x».
С помощью преобразования Фурье можно ввести и дробные
классы Соболева ii2'r(]Rn) с г 6 (—оо, +оо), состоящие из таких
обобщенных функций / € <S'(IRn), что (1 + |у|г)/(») 6 L2(IRn).
В приложениях оказываются полезны и дробные классы Wp'r,
а также другие обобщения или аналоги классов Соболева
(например, классы Бесова). Этим вопросам посвящены книги [24],
[142], [196], [197], [198], [242], [250], [567].
9.10. Дополнения и задачи
(i) Сингулярные интегралы (527). (И) Теоремы вложения (531).
(iii) Теоремы Бохнера и Пэли-Винера (534). Задачи (535).
9.10(i). Сингулярные интегралы
Термин «сингулярные интегралы» традиционно прилагается к
кругу вопросов на стыке действительного анализа, гармонического
анализа, теории операторов и теории интегральных уравнений,
использующих объекты следующих двух типов.
1. Последовательности интегральных ядер Фп(х,у), задающих
интегральные операторы
Tnf(x):= Jf(v)*n(x,v)dy,
которые в каком-либо смысле сходятся (например, по мере или в Lp)
к оператору Т/, например, к Т/ = /.

528 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
2. Интегральные ядра Φ (χ, г/), задающие операторы вида
Tf{x) = J /(у)Ф(х,у)ау,
где, однако, интеграл не существует в обычном смысле, а требует для
своего определения каких-то дополнительных приемов (регуляризация,
сходимость в смысле главного значения и т.д.). В приложениях часто
возникают ядра вида Ф(х,у) = Ф(х — г/), где функция Φ не
обязательно является интегрируемой. Ниже мы рассмотрим важный пример —
преобразование Гильберта, в котором Ф(г) = 1/ζ.
Нередко интегралы второго вида появляются посредством
интегралов первого вида, поэтому разграничение двух случаев весьма
условно. Характеристика «сингулярный» подчеркивает наличие особенности
(«сингулярности») ядра Ф, не позволяющей во втором случае
непосредственно задать интегральный оператор, а в первом случае указывает
на то, что предельный объект может уже не задаваться в
интегральном виде (как, например, происходит с оператором Τ = I). Сам термин
не является формализуемым. Скажем, глава X книги Натансона [162],
посвященная сингулярным интегралам, имеет дело с первым случаем,
а в главе II книги Стейна [197] изучается второй случай. Цель этого
раздела — привести несколько характерных результатов о
сингулярных интегралах. На самом деле весьма содержательные примеры (во
многом послужившие источником возникновения современной теории)
уже встречались у нас: это преобразование Фурье в L2(lRn), задаваемое
как сингулярный интегральный оператор с ядром (2π)~η/2βχρζ(χ, г/),
и приближение функций тригонометрическими многочленами с
помощью сумм Фурье и Фейера, что приводит к интегральным операторам
с ядрами Дирихле Dn и ядрами Фейера Фп.
9.10.1. Пример, (i) Пусть ρ £ £1(IR1) имеет интеграл 1 по прямой.
Положим ρη(χ) = (τ~1ρ(χ/ση), где ση > 0 и lim ση — 0. Тогда для
η—кх>
всякой ограниченной непрерывной функции / на прямой имеем
/4-оо
f{y)Qn(x~y)dy.
-оо
Действительно, по формуле замены переменных имеем
/4-оо г+оо
f(y)Qn(x ~y)dy = f(x) - f(x- υ)ρη(ύ) du =
-oo J—оо
-оо «/— оо
г+оо /*+оо
/+00 /*+00
f(x - σην)ρ{ν) dy= [f(x) - f(x - any)]Q(y) dy.
-oo J—oo
Интеграл в правой части стремится к нулю при η —> оо согласно
теореме Лебега о мажорируемой сходимости, ибо величины f(x) — f(x — апу)
равномерно ограничены и стремятся к нулю.

9.10. Дополнения и задачи
529
(ii) Если / — ограниченная измеримая функция и ρ локально
ограничена, то доказанное равенство выполняется в каждой точке Лебега
функции / (см. [26, теорема 5.8.4]).
(Ш) Если / £ L^H1), где 1 ^ р < оо, то / * ρη -► / в Ьр(Шг), что
выводится из (i) с помощью приближения непрерывными функциями
и неравенства Гёльдера.
Аналогичные вопросы возникают и для более общих ядер.
Характерным примером другого типа является преобразование
Гильберта, задаваемое сингулярным интегралом
Hf(x) := - Г°° ^^ dy (9.10.1)
π J-oo У
для функций из LP(IR ). Здесь в качестве ядра выступает функция
G(z) — l/z. Пусть sign у = 1 при у^Ои sign у — —1 при у < 0.
9.10.2. Теорема. Преобразование Гильберта (9.10.1) в L2(TR}),
понимаемое как предел в L2(JR}) интегральных операторов
π J<\v\>e\ У
'{\v\>*}
существует и является ограниченным оператором. При этом
оператор Η унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию
£(у) '·— ~i sign у и потому сам является унитарным оператором.
Доказательство. Положим θε := /iRi\[_eje]. Оператор Ηε
имеет вид свертки / * he, где функция he(y) — (тгу)~1в€(у) квадратично-
интегрируема. Вычислим ее преобразование Фурье. Достаточно
найти преобразование Фурье в смысле обобщенных функций. Поскольку
Tryh>£(y) — в€(у), то in(^Fhey — Τθε. Преобразование Фурье функции θε
в ^'(ГО,1) легко вычислить явно, ибо θε — 1 — /[-е,ф где Т\ — у/2ж5,
ΤΙ[-ε^ε]{χ) — y/2/πχ'1 sin(sx). Таким образом,
ίπ(Ρ1ιε)' = у/2тг5 - ι/2/πχ"1 sin(sx) = v"V/2(sign:r)' - у/2/кх~г sin(ex).
Следовательно, найдется такая постоянная С£, что
\р2жТЬ,е{х) — —i sign x — г—1 dy + С€.
π Jo У
Так как h£(—χ) — —h£(x), то Τ\ιε — нечетная функция, откуда С£ = 0.
Функция
[х siney [εχ smu
φε(χ) := / dy = / du
Jo У Jo и

530 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
равномерно ограничена по χ и ε, ибо
fR sinu _ fR costt _ cosi? n
/ du — I —5- du —h cos R.
Л и Ji и2 R
При этом lim ψε(χ) — 0 для каждого х. Следовательно, для каждого
ε—>0
φ £ L2(1R}) имеем (\/2πΤΗε)φ —► —i(signx)<p в L2(JR}). Итак,
преобразование Фурье осуществляет унитарный изоморфизм между
оператором Не и оператором умножения на ограниченную измеримую
функцию y/2nPh£(x) — —г sign χ — 2ίπ~ι,ψε(χ). Ввиду унитарности
преобразования Фурье получаем сходимость Hef к T~xA^Tj в L2(IR1), где
Αξ — оператор умножения на ξ(χ) — —г sign x. D
9.10.3. Замечание. Возможно и другое обоснование
существования преобразования Гильберта. Для этого рассмотрим свертки
Функция 9е{у) := (к)~гу(у2 + ε2)-1 входит в L2(TR}). Ее
преобразование Фурье имеет вид Рде(х) — i[FG£(x)]', где Ge{y) = (ж)~г(у2 + ε2)"1.
Ввиду равенства TGe{x) — (2π)~1/2ε~1β~εΙχΙ (см. пример 9.3.2(iv))
получаем
JbtTge{?) = -ie"e|x|signx.
Ограниченные операторы умножения на эти функции сходятся на
каждом элементе из L2(IR1) к оператору умножения на —г sign x.
Более тонкий анализ показывает, что преобразование Гильберта
7ί продолжается до ограниченного оператора в каждом пространстве
L^IR1) при 1 < ρ < оо, причем HEf -» Hf при ε -> 0 по норме LP(TR})
и почти всюду для каждой функции / £ L^IR1). Изложим
принадлежащее М. Риссу доказательство ограниченности Η в ЬР(Щ}).
9.10.4. Теорема. Для всякого ρ £ (1,оо) существует такое
число Ср, что \{Ни\\р < Cp||w||p для всех и £ LP(JR}).
Доказательство. Мы можем ограничиться случаем ρ = 2fc, где
к £ IN, ибо ввиду интерполяционной теоремы 6.10.77 это охватит все
ρ > 2, а затем, с учетом равенства Н* = —Н, и веер £ (1,2). Достаточно
найти общее Ср для всех вещественных и £ С™(Ш}). Положим
πι JjR t - ζ
Функция / аналитична в верхней полуплоскости и оценивается через
С(гл)|^|-1 вне некоторого круга. Используя ограниченность отношения

9.10. Дополнения и задачи
531
\u(t) — ιι(ξ)\/\ί — ξ\ на прямой и финитность ti, нетрудно проверить,
что функция / ограничена и при приближении к вещественной оси
стремится к и + гг;, где ν = Ни. Функция f2k аналитична в верхней
полуплоскости и имеет нулевой интеграл по контуру, состоящему из
отрезка [—Д, R] -f is и полуокружности радиуса i? над отрезком. При
R —> оо интеграл по полуокружности стремится к нулю ввиду оценки
\f(z)\2k < C(u)2k\z\~2k. При ε —► 0 получаем, что интеграл от функции
(и + iv)2fc по И1 равен нулю. Так как для всякого δ > 0 верно
неравенство ulv2k~l < Sv2k + £~2feti2fe, 1 < ί < 2fc — 1, то интеграл от v2fe
оценивается через интеграл от 2k5v2k -f MkU2k, где М& зависит лишь
от А;. При £ = (4fc)_1 это дает нужную оценку с С^к — (2Мк)г^2к^ D
Если / е L1(IR1), то конечный предел lim H£f(x) существует почти
ε—>0
всюду, но он уже не обязан входить в L1(IR1) (достаточно найти Hf для
/ = 1[а,ь])· Заметим, что оператор Q в L2[0, +оо) с ядром (t + s)_1 тоже
непрерывен, ибо Q = £2, где С — преобразование Лапласа. О более
общих ядрах с особенностями см. Стейн [197] и Torchinsky [536].
9.10(H). Теоремы вложения
В теории пространств Соболева и в ее приложениях важную роль
играют так называемые теоремы вложения, которые утверждают, что
при определенных условиях нар, & и η пространство Wp,k(lRn) состоит
из непрерывных функций и вложено в некоторое Lq(lRn). Простейший
пример: пространство W1»1^1) вложено в пространство ограниченных
непрерывных функций. В многомерном случае положение более
сложное, но тем более замечательно, что и здесь имеются просто
формулируемые теоремы вложения. Мы ограничимся доказательством самого
характерного и важного результата и формулировками других.
9.10.5. Теорема, (i) Если ρ > η или ρ = η — 1, то имеет место
вложение Wp^(JRn) С Cb(lRn) = C(TRn) Π L°°(IRn). При этом
существует такое число С(р, п) > 0, что
ll/IU-iR-^CCp.rOH/llwrp.i, / € W^iW1). (9.10.2)
(И) Если ρ е [Ι,η), то W^OR") С LnP^n-^(Mn). При этом
существует такое число С(р, п) > 0, что
C(p,n)\\f\\WP,i, feW^(JRn). (9.10.3)
Доказательство. Случай р = η = 1 тривиален. Пусть р > η > 1.
Достаточно установить оценку
8ирИ*)| < C(p,n)\\<p\\WP.i, φ € C5°(Itw).
Χ

532 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
В свою очередь, достаточно показать, что \φ(0)\ ^ С(р,n)\\ip\\WPA при
всех φ е Co°(IRn). Это будет сделано, если мы найдем такое число С,
что \φ(0)\ ^ C||V(^>||lp для всех φ с носителем в единичном шаре U.
Действительно, возьмем функцию ζ Ε C°°(IRn) с ζ(0) = 1 и носителем
в U. Тогда для всех и £ Co°(IRn) получим
|<(0М0)| < C||V(C^)||lp < C[max[|C(x)| + |VC(*)|] 1Мк»д·
Χ
Для всякого единичного вектора и формула Ньютона-Лейбница дает
-φ(0)= [ (V<p{tu),u)dt.
Jo
Проинтегрируем это равенство по единичной сфере S по стандартной
поверхностной мере ση_ι и получим
-φ(0) = an(S)-1 f I (V?(ttt),u)Aan-i(Ai).
JS Jo
В правой части легко узнать записанный в сферических координатах
интеграл по U. По формуле замены переменных находим
-φ(0) = ση(5)"1 / \χ\1'η(\7φ(χ)9\χ\'1χ)άχ.
Ju
По неравенству Гёльдера получаем
а\ (р-1)/г>
\xfi-n)/{p-D άή =C(n,p)||VV||LP,
ибо интеграл от |#|p(1-n)/(p_1) по U конечен. Это проверяется
возвратом к сферическим координатам, что с точностью до множителя
приводит к степени интеграла от ta по [0,1], где а = (1 - п)/(р — 1) > —1.
(ii) Достаточно установить оценку (9.10.3) для φ £ Co°(IRn). Для
каждого j ^п из формулы Ньютона-Лейбница находим
/+оо
\3νάφ(χλ,...,у0,...,хп)\ау0.
-оо
Функцию под интегралом обозначим через |9yiy?|. Тогда
г+оо ч 1/(п-1)
™ / /·+οο \ J
\φ(χ)\»Ί»-» ^Щ]_^ \3νίφ\άνή
Проинтегрируем это неравенство последовательно по х\,..., хп,
применяя после каждого интегрирования обобщенное неравенство Гёльдера
\\Φι ·"Фп-iWl^ < II^i||l«-i · ·· H^n-ilU»-!·

9.10. Дополнения и задачи
533
Это даст оценку
IMIl./o.-d < {ft J^ MM**} < C(n)||V^|Ui.
Итак, получено неравенство (9.10.3) при ρ — 1. Ясно, что оно остается
в силе и для |<£>|а, где а — (п — 1)р/(п — р) > 1 в случае ρ > 1. Значит,
llMlL./(„-« ^(nHllvMvHL ^("HM^IUIIvhIL·,,
Остается заметить, что ап/(п — 1) = пр/(п —р) и (а — 1)// = пр/(п — р),
откуда
IIM1U.-., = iMi£;Krp), им-чн^ = 11И1Й7#&-р).
что завершает доказательство. D
При ρ = 1 неравенство (9.10.3) называется неравенством Гальярдо-
Ниренберга; оно показывает, что интегрируемая функция на IRn с
интегрируемым градиентом на самом деле входит в Ln^n_1)(IRn).
Функция из Wn,1(lRn) не обязана быть локально ограниченной (см.
пример 9.8.8(ii)), но на каждом шаре U она входит во все Lr(U).
Из доказанного можно вывести следующие утверждения.
9.10.6. Следствие. Имеют место следующие вложения.
(i) Если кр < п, то Wp>k(TRn) С £"*>/("-**>)(Щ,п).
(и) Если кр > п, то W*>>k(lRn) С С(Жп) Π L°°(IRn).
(iii) W^n(lRn) C C(JRn) Π L°°(IRn).
Аналогичные утверждения верны и для областей с достаточно
регулярными границами, но постоянные будут зависеть и от областей.
В отличие от всего пространства, для ограниченной области Ω
имеются включения Lp(ft) С ΖΛ(Ω) при р> г. Это приводит к более
широкому спектру теорем вложения. Сформулируем основные результаты
для шара Ω = В(а, г) С Шп. Положим Wq>° := L*.
9.10.7. Теорема, (i) Если кр <п, п — кр <п, то
Η^+*(Ω) С Wq>j(fy, J = 0,1,..., q <
пр
п — кр
(ii) Если кр = п, то W™+k(ty С W™(0), j = 0,1,..., q < oo.
#а/ш при этом р = 1, mo W^n^(Q) С Οζ(Ω).
(iii) Если кр > η, то W™+k{9) С С#(П), j = 0,1,...
Кроме того, эти вложения, кроме случая (i) с q = пр/(п — кр),
являются компактными операторами.
При fc = 1 соболевские функции можно описать через поведение на
прямых следующим образом.

534 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.10.8. Теорема. Функция f £ Lp(lRn) входит в WPtl{JRn) в
точности тогда, когда она имеет такую модификацию д, что при
фиксированном г для почти всякого (j/i,... ,yi^i,yi+i,- · · ,уп) £ Шп~г
функция Хг н-> д{у\,...,yi-i,Xi,yi+\, · · · ,уп) абсолютно непрерывна на
всех отрезках, а функция дх.д (существующая почти всюду) входит
в класс ЩЖп).
Доказательство. Для упрощения формул рассмотрим случай
η = 2, ρ — 1. Если такая версия g есть, то с помощью одномерной
формулы интегрирования по частям легко убедиться, что функции dXig
служат обобщенными частными производными /. Пусть / е Wlyl(JR2).
Возьмем функции φ$ £ Co°(IR2), сходящиеся к / в W1*1 (В2). Перейдя
к подпоследовательности, можно считать, что \\φ^ι — V^jllvr1'1 ^ 2~J,
причем {<fj} сходится почти всюду. Зададим версию g функции / как
предел {<Pj(x)}, где он существует. При фиксированном Х2 положим
hjfa) = / [\<Pj+l(xi,X2) - <Pj(xi,X2)\ +
JJR1
+ \9Χιφί+ι(χι,Χ2) —dXl(pj(xi,X2)\] dx\.
Тогда ряд из интегралов от hj сходится, т.е. Σ^χ hj(x2) < оо при
почти всех Х2- Кроме того, при почти каждом х^ есть точка #ι, в которой
СХОДЯТСЯ фунКЦИИ фХ2^ I t Ι-> ψ^Χ2)- ПОЭТОМУ ДЛЯ ПОЧТИ ВСЯКОГО Х2
последовательность функций i>X2,j сходится в некоторой точке и
фундаментальна в W1'1^1); По формуле Ньютона-Лейбница это влечет ее
сходимость на всей прямой к локально абсолютно непрерывной
функции из W1,l(TR}). Итак, функция g обладает нужным свойством по х\.
Ясно, что так же обстоит дело и с Х2- □
Отметим, что не всегда можно найти версию, непрерывную по
каждой переменной отдельно (задача 9.10.38).
9.10(iii). Теоремы Бохнера и Пэли-Винера
Здесь мы приведем теорему Бохнера, описывающую
преобразования Фурье неотрицательных мер, и две теоремы Пэли-Винера,
характеризующие преобразования Фурье основных и обобщенных функций
с компактными носителями. Функция φ: JRn —> С называется
положительно определенной, если Σ*,ι=ι <4^ψ(Χί ~ xj) ^ О ДДЯ всех k £ IN,
ci,...,Cfe £ С, хь...,зд € !Rn.
9.10.9. Теорема. Функция φ: lRn —> С является
преобразованием Фурье неотрицательной борелевской меры на JRn в точности
тогда, когда она непрерывна и положительно определена.
Доказательство см. в [26, §3.10(v), §7.13].

9.10. Дополнения и задачи
535
9.10.10. Теорема. Преобразование Фурье функции f из V(lRn)
с носителем в шаре Br = {χ: \х\ ^ R} продолжается до целой
аналитической функции g наСп, для которой при каждом N > 0
существует такое число Cn, что
\g{z)\ ^ CN(1 + И)-*ехр(Я|1т2|), ζ е Сп.
Обратно, всякая целая функция g на Сп, удовлетворяющая
указанному условию, является голоморфным продолжением преобразования
Фурье функции из V(JRn) с носителем в шаре Br.
9.10.11. Теорема. Преобразование Фурье обобщенной функции F
из <S'(IRn) с носителем в шаре Br — {χ: \х\ ^ R} продолжается до
целой аналитической функции G наСп, для которой при некоторых
числах С, N > 0 выполнено неравенство
\G(z)\ ^ С(1 + \z\)Nехр(Я|1т*|), ζ G Сп.
Обратно, всякая целая функция G на Сп, удовлетворяющая
указанному условию, является голоморфным продолжением преобразования
Фурье обобщенной функции из <S'(IRn) с носителем в шаре Br.
Доказательства см. в Рид, Саймон [180, §1Х.З], Рудин [188, гл. 7].
Задачи
9.10.12? Вычислить преобразование Фурье индикатора
параллелограмма [αι,6ι]χ···χ[θη,δη] С ШЛ
9.10.13? Привести пример функции / 6 L^IR1), преобразование Фурье
которой не входит ни в L1(H1), ни в L2(1R1), а также пример функции g
из L2(H1), преобразование Фурье которой не входит в L1(1R1).
9.10.14.° Найти преобразование Фурье следующих обобщенных
функций класса S'(IR1): (i) signx, (ii) V.P. #_1, (iii) (ж + гО)""1, (iv) 9(x)sinx1 где
θ = /[ο,+οο) — функция Хевисайда, (ν) \х\, (vi) F{x) = —χ при χ < 0, F(x) = χ2
при χ ^ 0, (vii) F(x) = 0 при х < 0, F(x) = sin ж при χ ^ 0, (viii) F(x) = χ
при χ < 0, F(x) = sin ж при χ ^ 0, (ix) F(x) = sin(#2), (x) F(x) = ж-1 sin ж.
9.10.15? Доказать, что J*(V.P.|aj|_1)(2/) = ci+C2ln|y|, где ci,C2 — числа,
а обобщенная функция V.P.|x|_1 задана в задаче 8.6.47. С помощью этого
равенства вычислить преобразование Фурье In \x\ в ^'(Ш,1).
9.10.16? Доказать, что уравнение F* = F не имеет ненулевых решений
в S'QR1).
9.10.17.° Из теоремы 9.4.1 вывести равенство / * g = (2π)η^2/ρ, если
/ е £2(ПГ) и g е С2(Шп) шшде tfQEC1).
9.10.18. С помощью преобразования Лапласа решить
дифференциальное уравнение /"(ж) + f(x) = χ с начальными условиями /(0) = 1, /'(0) = 0.

536 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.10.19.° Пусть / е С1^1) и / = 0. Доказать, что / = 0 п.в. так:
/(· -f t) = 0, откуда Fh = 0, где Fh(y) — интеграл f(y +1) по t e [О, h], h > 0.
9.10.20. Пусть / е ^(IR1) и /^ 0. Доказать, что /е Ь1^1^ причем
для всякой точки Лебега χ функции / верно равенство
/(χ)=(2π)-1/2/ e^f{y)dy.
J — ОО
9.10.21. Пусть f,g G £*[0, +оо) продолжены нулем на (—оо,0). (i)
Доказать, что £(/ * д) = y/nCf - Сд, где £ — преобразование Лапласа.
(Н) Пусть f е С1 [0, +оо) и £/ = 0. Доказать, что / = 0 п.в.
(ш) Доказать утверждения (i) и (ii) для функций из £2[0, -f-oo).
9.10.22. (i) Проверить, что оператор С2 в L2[0, +oo), где С —
преобразование Лапласа, задается ядром /С(£, s) = π~τ(ί + θ)-1.
(ii) Доказать, что норма преобразования Лапласа в 1/2[0, -|-оо) равна 1.
Указание: (ii) показать, что С2 имеет норму 1, рассмотрев функции
Фа,ь(1) = t~1/2I[a,b], где α -> О, Ь -+ +оо.
9.10.23. Пусть де(х) = ехр(—ε|#|2) или де(х) = ехр(—ε\χ\), где ε > 0.
Доказать, что для всякой функции / G £1(Н1) функции
/»+оо ^
/.(*) = (2πΓ1/2 / eix«f(y)ge(v)dy
J — OO
сходятся к / в L1(H1) при ε —► 0.
9.10.24. Пусть F(z) = зесЦжд/яУЗ), где sech(x) = 2(ех + е-*)-1.
Доказать, что F = F.
9.10.25. Доказать формулу суммирования Пуассона:
{2жГ>2 J2kez„ f(2nk) = £fc6Z„ /(*). / € 5(Rn).
9.10.26. Пусть f'OR1*) — пространство обобщенных функций с
компактными носителями. Оно является алгеброй относительно свертки. Доказать,
что эта алгебра не имеет ненулевых делителей нуля, т.е. если F * G = 0, где
F,G e £'(Ш/*), то хотя бы один из элементов F или G равен нулю.
9.10.27. Пусть / е L2(1R}). Доказать неравенство Гейзенберга:
/ /»+оо ч 2 /»+оо /·+οο ^
(/ \f(x)fdx) <S4/ x2\f(x)\2dx y2\f(y)\2dy.
J — oo J—oo J—oo
Указание: для / e Со°(Ш(}) имеем
ι/Ηΐ2=Γ f\t)W)dt+Г mW)dt,
J — oo J—oo
[нтегрирования по частям дает
/+oo г+оо
xf'(x)f(x)dx+ / xf(x)f'(x)dx.
-OO J—OO

9.10. Дополнения и задачи 537
Применить к правой части неравенство Коши-Буняковского и заметить, что
интеграл от \f'(x)\2 равен интегралу от \f'(y)\2, а последний есть интеграл от
\yf(y)\2- Другой способ: положить Df = if и Af(x) = xf(x), использовать
равенство (AD — DA)f = if и симметричность Avl D.
9.10.28. Пусть ρ — абсолютно непрерывная вероятностная плотность
на И1. Доказать неравенство
Г°° χ2ρ(χ) dx Г°° Щ^- dx > 1.
Интеграл от функции χ2ρ(χ) называется вторым моментом ρ, а интеграл от
\ρ'(χ)\2/ρ(χ) называется информационным количеством Фишера ρ.
9.10.29. (i) Доказать, что φ есть преобразование Фурье функции из
L1(IRn) в точности тогда, когда φ — ф\ * ^2? где ψ\, ψ2 G L2(IRn). (ii)
Доказать, что комплексная функция φ равна преобразованию Фурье
неотрицательной абсолютно непрерывной меры в точности тогда, когда существует
такая комплексная функция ψ Ε L2(IRn), что
φ(χ) = / ψ(χ + у)ф(у) dy.
9.10.30. Доказать, что при 1 < р < 2 преобразование Фурье
продолжается до непрерывного оператора из Lp(IRn) в Lq(IRn), где 1/р + \jq = 1.
Указание: применить теорему 6.10.77.
9.10.31. Доказать, что существует равномерно непрерывная функция /
на И1, которая удовлетворяет условию Ит^^оо f(x) = 0, однако не является
преобразованием Фурье никакой функции из L1(IR1).
Указание: в противном случае преобразование Фурье Τ было бы биек-
цией между L1(IR1) и пространством Ε ограниченных равномерно
непрерывных комплексных функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Так как
Ε банахово с sup-нормой, а Т непрерывно со значениями в^с этой нормой,
то по теореме Банаха об обратном операторе отображение Т~х тоже было
бы непрерывно. Однако это неверно: можно взять четные гладкие функции
fj с носителем в [—1,1] и 0 ^ /,· ^ 1 так, что fj(x) —► f(x) = ί"[_ι,ι](χ)
поточечно. Последовательность функций gj = fj не ограничена в L1, ибо f £ L1.
При этом gj = Τ~λ fj, где последовательность {fj} ограничена в Е.
9.10.32. Доказать, что пространство W%£^2tt] всех абсолютно
непрерывных комплексных функций / на [0,2π] с /' G L2[0,2π] и /(0) = /(2π)
есть образ оператора В в Ζ/2[0,2π], имеющего собственные функции ехр(Ш)
с собственными числами βο = 1, β^ = А;-1 при к ф 0.
Указание: если / е W2;1 [0,2тг] и f(t) = ЕЙИ-оо с* ехр(Ш), то f'(t) =
i5^^_00fccfeexp(iA;i); обратно, если для коэффициентов Фурье Ск функции
/ ряд из |fccfc|2 сходится, то легко проверить, что / € W2^ [0,2π].
9.10.33. Доказать, что при некотором С > 0 для всякой нечетной
функции / е Сг(Ш}) имеем I I s~Yf{s)dsL· C\\f\\Li при t ^ 0.

538 Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.10.34. Пусть / G £1(Н1). Доказать, что / восстанавливается по /
с помощью суммирования по Чезаро в следующем смысле:
для почти всех х, включая все точки непрерывности функции /.
9.10.35. Пусть / G £1(Н1). Доказать, что для всех ξ верно равенство
Г* 1 fT είξν - 1 -
/ f(x)dx=-= lim / f(v)dy.
Jo V 2π T—+°° J-t W
9.10.36. Пусть/е^1Д(1ап). Доказать, что / обращается в нуль почти
всюду на множестве {х: V/(a?) = 0}.
9.10.37. Доказать теорему 9.8.7 при ρ = 1.
9.10.38. Привести пример функции / G W1'1(IR2), не имеющей
модификации, непрерывной по каждому переменному отдельно.
9.10.39. Пусть U — полупространство {х: х\ > 0} в Нп. Доказать, что
каждой функции / £ WP,1(U) можно сопоставить функцию Т/ 6 WPil(JRn)
так, что оператор Τ линеен и непрерывен, причем Tf = /, если / есть
сужение на U гладкой функции, четной относительно переменной х\.
9.10.40. Выяснить, компактно ли вложение W1'1((0,1)) в С(0,1).
9.10.41. (С.Н. Бернштейн) Для всякого мультииндекса а = (αϊ,...,ап)
есть такое С(п, а) > 0, что если / е £°°(IRn) и / в смысле <S'(IRn) является
функцией с носителем в единичном шаре, то ||9^/lk°° ^ С(п,,αί)||/||Γ,°°-
Указание: / = / *д, где д е «S(]Rn), д имеет носитель в шаре радиуса 2
и равняется (2π)~η^2 на единичном шаре.
9.10.42.* (Харди и Литтлвуд) (i) Если измеримая функция / на прямой
такова, что функция |/(ж)|9|ж|9-2, где q > 2, входит в /^(IR1), то / G /^(IR1)
и / е СЯ(Ш}). (ii) Если / е СР(Ш}), где 1 < ρ < 2, то функция |ж|р-2|/(ж)|р
входит в ^(Н1).
9.10.43! (Титчмарш) Пусть 0<а^1и/е£р(Е1),где1<р^2. Если
||/( · + ft) - /||lp = 0(h") при ft -> 0, то / е Ьг(Шг) при Ί^ΓΪ < τ ζ ^.
9.10.44! Обобщенная функция F € T>f(JRn) называется однородной
степени d, если (F, φ(\·)) = Ad(F, у?) для всех φ G V(JRn) и λ > 0. Доказать, что
в этом случае F e Sf(JRn).
9.10.45? Пусть Ρ ф 0 — многочлен на Нп и L — порожденный им
дифференциальный оператор. Пусть Ω — ограниченная область в Нп. Доказать
неравенство Хёрмандера ||/||ι,2(Ω) ^ C(P,ft)\\Lf\\L2W, f e Ι/2(Ω). Вывести
из него, что для всякого G е £2(Ω) найдется F e L2(Q) с LF = (?в смысле
обобщенных функций.
Указание: см. [44, с. 207].

Глава 10
Неограниченные операторы и теория
полугрупп
Эта глава посвящена основам спектральной теории
неограниченных самосопряженных операторов и элементам теории
операторных полугрупп. Главные приложения этих теорий
связаны с дифференциальными уравнениями в частных производных
и математической физикой, в частности, квантовой механикой,
но имеются важные применения и во многих других областях
математики, например, в теории случайных процессов и
геометрии. Рассматриваемые в этой главе пространства считаются
комплексными, если не оговорено противное.
10.1. Графики и сопряженные
Как мы уже знаем, на всяком бесконечномерном
нормированном пространстве существуют разрывные линейные
функционалы. Однако теория неограниченных самосопряженных
операторов имеет дело с неограниченностью другого рода:
характеристической чертой этих операторов является то, что их область
определения не совпадает со всем пространством. Типичный
пример — дифференциальный оператор, считающийся оператором
на пространстве L2, хотя его область определения меньше.
10.1.1. Определение. Пусть X и Υ — банаховы
пространства. Линейное отображение Τ из плотного линейного
подпространства Э(Т) С X, называемого областью определения Т,
в пространство Υ называется плотно определенным линейным
оператором в X.
Оператор Τ с областью определения 2)(Т) называется
замкнутым, если в Χ χ Υ замкнут его график
T{T):={{x,Tx}eXxY: жеЭ(Г)}.

540 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Отметим, что ядро КегГ замкнутого оператора Τ всегда
замкнуто, несмотря на возможную незамкнутость 2)(Г).
Действительно, если хп е 2)(Г), хп —> χ и Тхп = 0, то χ G 2)(Г) и Гж = 0.
Множество значений линейного отображения Г, заданного на
линейной области определения 2), обозначим через Ran Г, т.е.
RanT:=T(2>).
Согласно теореме о замкнутом графике всякий замкнутый
оператор, заданный на всем банаховом пространстве, ограничен.
Поэтому всякий неограниченный всюду определенный оператор
служит примером плотно определенного незамкнутого линейного
оператора. Приведем пример неограниченного плотно
определенного замкнутого оператора. Далее до §10.4 включительно в целях
упрощения изложения мы будем обсуждать только операторы в
гильбертовых пространствах. Лишь в §§10.5-10.6 в связи с
полугруппами мы вернемся к общим банаховым пространствам.
10.1.2. Пример. Пусть Я = I2. Положим
оо
Я)(Г) = Ixel2: ^п2х2п<оо\ Гж=(ж1,2ж2,3ж3,---)·
п=1
Если векторы хк = (х%) сходятся к ж, а векторы Тхк сходятся
к у, то ясно, что χ 6 2)(Г) иТх = у.
10.1.3. Определение. Говорят, что оператор (£,5)(£))
является продолжением оператора (Т, 2)(Т)); если
2)(Г)СФ(5) и 5Ь(Г)=Г.
Обозначение: Τ С S.
Для неограниченных операторов область определения
является не менее важной характеристикой, чем сам способ задания
оператора на этой области. Операторы, заданные одним и тем
же выражением на разных областях, являются различными
операторами и, как мы увидим ниже, могут обладать совершенно
разными свойствами.
10.1.4. Определение. Плотно определенный линейный
оператор Τ называется замыкаемым, если он имеет замкнутое
продолжение.
Если оператор Τ замыкаем, то замыкание 2)(Т) его графика
является графиком оператора, называемого замыканием Τ и
обозначаемого символом Г.

10.1. Графики и сопряженные
541
Область определения 5)(Т) оператора Τ в гильбертовом
пространстве Я можно наделить скалярным произведением
(х,у)т:=(х,у) + (Тх,Ту).
Полученное евклидово пространство обозначим через Дг· Норма
оказывается эквивалентной норме, индуцированной из Я, только
в том случае, когда оператор Τ ограничен.
10.1.5. Лемма. Плотно определенный оператор Τ замкнут
в точности тогда, когда пространство Dt гильбертово.
Доказательство. Отображение χ ι-* {χ,Τχ} — изометрия
пространств Dt и Г (Г). D
Приведем пример оператора, у которого нет замыкания.
10.1.6. Пример. Пусть Я = L2[0,1], 2)(Г) = С[0,1],
ra;(t) = a;(l)-l(t),
где 1 — функция, тождественно равная 1. Оператор Τ не имеет
замыкания. Действительно, пусть xn(t) = tn. Тогда хп Ε 3)(Г),
хп —> 0 в Я, но Тхп = 1.
Для рассмотрения графиков операторов в гильбертовом
пространстве Я введем в Я χ Я унитарные операторы
U: НхН^НхН, U{x,y} = {y,x},
V: НхН^НхН, V{x,y} = {-y,x}.
Операторы U и V удовлетворяют равенствам
U2 = J, V2 = -/, UV = -VU.
Отметим следующее соотношение, справедливое для всякого
множества Ε С НхН:
(VE^ = V{EA') = V'1^). (10.1.1)
Первое равенство следует из того, что унитарный оператор
перестановочен с ортогональным проектированием, а второе вытекает
из равенств V2 = — I и Е1- = — Е-1.
10.1.7. Предложение. Пусть плотно определенный
оператор Τ в гильбертовом пространстве Я имеет плотный образ
и КегГ = {0}. Тогда замкнутость Τ равносильна замкнутости
оператора Г-1 с областью определения 2)(Т-1) = Ran Т.
Доказательство. Надо заметить, что Г(Т-1) = Е/Г(Г). Π

542 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.1.8. Определение. Пусть оператор Τ в гильбертовом
пространстве Η имеет плотную область определения 3)(Т).
Зададим оператор Г* следующим образом: у Ε Ί)(Τ*), если
найдется такой элемент Т*у := ζ Ε Η, что
(Тх,у) = (ж, ζ) для всех χ 6 Ί)(Г).
По теореме Рисса вектор у входит в 5)(Т*) в точности тогда,
когда функционал χ ι-» (Т#, у) на 3)(Г) непрерывен относительно
нормы из Н.
График Т* связан с графиком Τ следующим образом.
10.1.9. Предложение. Пусть Τ — плотно определенный
оператор в гильбертовом пространстве Н, Тогда
г(г*) = [ντ(τ)]-1,
где ортогональное дополнение берется в НхН. В частности,
оператор Т* замкнут.
Доказательство. По определению {у, ζ} е Г(Г*) в
точности тогда, когда (Тж, у) = (ж, ζ) для всех χ Ε Ί)(Τ), что можно
записать как ортогональность {—Гж, х} и {у, ζ} в НхН.
Последнее и есть ортогональность {у, ζ} подпространству VT(T). D
10.1.10. Следствие. Если Τ — замкнутый плотно
определенный оператор в Н, то НхН является ортогональной суммой
замкнутых подпространств VT(T) и Г(Т*); т.е.
яхя = уг(г)ег(г*).
В частности, для всякой пары векторов ж, у Ε Η существует
единственная пара векторов и Ε 2)(Т), ν ε 2)(Г*);
удовлетворяющая равенствам
х = -Ти + ν, у = гх + Γ*ν,
H^il2 н- llirll* = ll^lla и- Н^^Н3 н- Н«11а н- ||5Г*«||а.
Ясно, что О Ε 2)(Г*) для всякого плотно определенного
оператора Т. Однако может случиться, что 2)(Т*) не содержит
ненулевых элементов.
10.1.11. Пример. Достаточно построить оператор вЯ = 12,
график которого всюду плотен в Н®Н. Для этого возьмем
линейно независимое всюду плотное счетное множество В\ = {Ъ\} в Н,
добавим к нему всюду плотное счетное множество Β<ι = {&п}?
линейно независимое с 2?χ, и продолжим по индукции. Получим

10.1. Графики и сопряженные
543
счетный набор всюду плотных счетных множеств Bk = {&£},
которые в совокупности линейно независимы. Дополним
построенное счетное линейно независимое множество до базиса Гамеля
и положим АЬ% = Ь\, а на добавленных векторах базиса
определим А нулем. По линейности распространим А на Н. График
А всюду плотен в Η χ Η: ввиду линейности графика достаточно
проверить, что всякий вектор вида {Ь^,Ь£} входит в замыкание
графика, а для этого надо взять последовательность Ь*. —> 6^.
10.1.12. Предложение. Пусть Τ — оператор с плотной
областью определения 3)(Т) в гильбертовом пространстве Н.
Тогда
(i) (Г + В)* = Т* + В* для всех В Е_С{Н),
(ii) (AT)* = XT* u(T + XI)* =Т* + Х1 для всех λ € С.
Доказательство, (i) Очевидны равенства Ί)(Τ+Β)=2)(Т),
2>(Т* + В*) = 2>(Т*). При у Ε Э(Г*), х Ε 2>(Т) имеем
(Га; + Вх, у) = (я:, Т*у) + (я:, В*у) = (ж, Т*у + В*»),
т.е. Т* + Б* С (Γ+jB)*. Применяя доказанное к операторам Т+В
и — JB, получаем обратное включение.
(ii) Первое равенство очевидно, а второе следует из (i). D
Между образом оператора и ядром сопряженного имеется
такая же связь, как и для ограниченных операторов.
10.1.13. Предложение. Пусть Τ — линейный
оператор с плотной областью определения 2) (Г) β гильбертовом
пространстве Н. Тогда замкнутые подпространства Ran Г
и Кег Г* взаимно ортогональны, причем Η = Ran Г θ КегТ*.
Кроме того, для всякого Χ Ε С имеем
Η = Ran (Τ- XI) Θ Кег (Τ* -XI).
Доказательство. Подпространство КегТ* замкнуто ввиду
замкнутости Т*. Включение у Ε КегТ* равносильно тому, что
(Тх,у) = 0 для всех χ Ε Σ)(Τ). Последнее есть в точности
условие у J_ Ran Т. Следовательно, для всякого и Ε Η мы получаем
элемент ν в RanT, являющийся ортогональной проекцией и на
это замкнутое подпространство, а также элемент w := и — ν,
ортогональный RanT, т.е. входящий в КегТ* согласно сказанному
выше. Последнее утверждение предложения следует из первого
применительно к оператору Τ — XI. D

544 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.1.14. Предложение, (i) Если оператор Τ допускает
замыкание, то (Г)* = Т*.
(ii) Пусть оператор Τ плотно определен. Оператор Т*
плотно определен в точности тогда, когда Τ замыкаем. При
этом Т** = Т.
(Hi) Пусть Τ — такой оператор, что множества Э(Т)
и Ran Τ плотны и КегТ = {0}. Тогда оператор (Т*)-1 плотно
определен, причем (Г*)-1 = (Т-1)*, где ©(Т-1) = RanT.
Доказательство, (i) Мы имеем Г(Т*) = [УГ(Г)]Х. Если Г
замыкаем, то Г (Г) = Г (Г), поэтому
[νΤ(Τ)]-1 = [VTCF)]-1 = Г(Т*).
(ii) Пусть Τ плотно определен и замыкаем. Согласно (i) мы
имеем Т* = (Т)*. Поэтому можно считать, что Τ замкнут. Если
у J_ 2)(Т*), то {у,0} ± Г(Г*), что ввиду следствия 10.1.10 дает
включение {у, 0} Ε Г(Г). Значит, у = 0.
Обратно, пусть оператор Т* плотно определен. Оператор Т**
замкнут. При этом Τ С Т**, что дает замыкаемость Г и
включение Г С Г**. Покажем, что на самом деле здесь равенство. Ясно,
что достаточно установить равенство Τ = Τ** для замкнутого
оператора Т. Это равенство следует из соотношений
г(т**) = [νιχτ*)^, г(г) = ^([ΐχΓ*)]^)
и равенства (10.1.1).
(ш) Плотность образа Τ дает равенство КегТ* = 0.
Поэтому оператор (Г*)-1 определен на образе Г*. Сравним графики
операторов (Г*)-1 и (Г-1)*. Имеют место равенства
Г((Г*)"1) = иГ(Т*) = [/([УГХГ)]^),
Г((Г"1)*) = [νΐχτ-1)]-1 = [У[/Г(Г)]Х.
Их правые части совпадают, ибо операторы U и V
перестановочны с ортогональным проектированием и C/F = —VU. D
Для неограниченных операторов также полезно ввести
понятие регулярной точки. Пусть Г — замкнутый оператор. Число
λ 6 С называется регулярным для Г, если Τ — XI имеет
ограниченный обратный на области Ran(T — λ/), т.е. для некоторого
О 0 выполнено неравенство
||(Г - М)х\\ > с\\х\1 χ е 2>(Т). (10.1.2)

10.2. Симметричные и самосопряженные операторы
545
Положим dT(X) ~ dim (Ran (Τ- XI)) , λ 6 С. Число dT(X)
называется дефектом оператора Τ — XL
10.1.15. Предложение. Пусть Τ — замкнутый оператор в
гильбертовом пространстве и X — его регулярная точка. Тогда
существует открытый круг с центром в X, состоящий из
регулярных точек, причем функция άτ постоянна на этом круге.
Доказательство. Если дано (10.1.2) и |λ - μ\ < с, то
\\(Τ-μΙ)χ\\^(β-\Χ-μ\)\\χ\1 х€Э(Г).
Оператор Τ — XI замкнут, ибо если
хп е Σ)(Τ), хп —► χ и Тхп - Ххп —► у,
то Тхп —> Хх+у, откуда χ G 2)(Г) и Тх = Хх+у, т.е. (Г—Х1)х = у.
Поэтому можно считать, что λ = 0. Тогда из (10.1.2) следует, что
образы Τ и Τ — μΐ замкнуты. Покажем, что άτ(0) < άτ(μ). Если
dr(0) > Φτ(μ), то Εμ := (Ran(Г- μΐ)) конечномерно, причем
найдется ненулевой элемент ζ 6 (RanΤ)-1, ортогональный Εμ.
Значит, ζ Ε Ran (Г - μΐ), т.е. ζ = (Τ- //J)y, у G 3)(Т), у ^ 0. Так
как ζ J_ Ran Г, то (г, Ту) = 0. Поэтому
(Ту,Гу) = м(у,ГуК/1||у||||Ту||,
откуда \\Ту\\ < м||у||. Следовательно, у = 0 — противоречие.
Поэтому с?г(0) < άτ{μ). Аналогично rfr(0) ^ άτ{μ)- □
10.2. Симметричные и самосопряженные
операторы
Весьма важный для приложений класс операторов
составляют неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве.
10.2.1. Определение. Оператор А с плотной областью
определения в гильбертовом пространстве называется
самосопряженным, если А* = А.
Равенство операторов подразумевает, конечно, и равенство их
областей определения. Поэтому для неограниченных операторов
самосопряженность сильнее, чем симметричность.
10.2.2. Определение. Оператор А с плотной областью
определения Ί) (А) в гильбертовом пространстве называется
симметричным, если
(Ах, у) = (ж, Ау) для всех х, у € ЗЭ(А).

546 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
В примере 6.8.8 мы видели, что всюду определенный
симметричный оператор в гильбертовом пространстве обязательно
непрерывен. Поэтому неограниченный симметричный оператор
не может быть продолжен на все пространство с сохранением
симметричности. Следующий пример оператора
дифференцирования является классическим в теории операторов во многих
отношениях. В частности, он дает простой пример симметричного
оператора, не являющегося самосопряженным. Пусть ЛС[0,1] —
класс всех абсолютно непрерывных функций на [0,1].
10.2.3. Пример. (Оператор дифференцирования) (i) Пусть
Η = L2[0,1]. На множестве Ί)(Α) = Cq°(0, 1) всех бесконечно
дифференцируемых комплексных функций с носителем в
открытом интервале (0,1) зададим оператор А формулой
Au(t) = iu'(t).
Этот оператор плотно определен. Для всех щ ν Ε *Ό(Α) имеем
(Au,v) = i f u\t)v{f)dt= f u(t)iv'(t)dt = (u,Av)
Jo Jo
по формуле интегрирования по частям. Итак, оператор А
симметричен. Однако он не является самосопряженным, ибо не является
замкнутым. Действительно,, пусть и — непрерывно
дифференцируемая, но не бесконечно дифференцируемая функция на [0,1]
с w(0) = и(1) = 0. Легко видеть, что найдется такая
последовательность функций ип Ε Cq°(0, 1), что ип —► и и и'п —► и' в £2[0,1].
(ii) Покажем, что
Ώ(Α*) = {иЕ ЛС[0,1]: и' Е L2[0,1]}, А*и = ш'.
То, что всякая абсолютно непрерывная функция и с и' Ε £2[0,1]
входит в Q(A*) и А*и = ги\ ясно из приведенной выше формулы
интегрирования по частям с г; € Со°(0, 1). Это также показывает,
что *Ό(Α*) не совпадает с 2)(А). Пусть и Ε Σ)(А*), т.е. существует
такая функция w Ε £2[0,1], что для всех ν Ε Cq°(0, 1) имеем
/ w{t)v{€)dt = (w,v) = (A*u,v) = (и, Αν) = / u{t)iv'{t)dt.
Jo Jo
Положим uo(t) = —г / w(s)ds. Для вещественных ν Ε Cq°(0, 1)
Jo
формула интегрирования по частям и равенство выше дают
/ u0(t)v'(t)dt = i I w(t)v(t)dt= I u(t)v'(t)dt.
Jo Jo Jo

10.2. Симметричные и самосопряженные операторы 547
Для всякой функции h из L2[0,1] с нулевым интегралом
можно найти такую последовательность функций vn G Со°(0,1), что
v'n —> кв L2[0,1]. Поэтому функция и — щ ортогональна всем
таким h. Значит, она почти всюду равна константе — своему
интегралу. Таким образом, вместе с щ абсолютно непрерывной
функцией с квадратичной производной является и и. Наконец, ясно,
что А*и = ш7. Отметим, что оператор Л* не является
симметричным.
(Ш) Опишем теперь замыкание А. Покажем, что
2>(Л**) = {ие ЛС[0,1]: и' 6 L2[0,1],ti(0) = ti(l) = О}, А**и = iu*.
Указанная в качестве ответа область очевидным образом входит
в Ί)(А**) ввиду формулы интегрирования по частям. Как и выше,
основное — доказать обратное включение. Пусть и е 2)(А**). Из
уже доказанного следует, что и — абсолютно непрерывная
функция с и' Ε L2[0,1], причем Л**гх = ш'. Теперь, однако, в нашем
распоряжении все гладкие функции ν на [0,1], а не только с
носителем в (0,1). Поэтому равенство
/ iu\t)v(t)dt = (A**u,v) = (u,A*v) = -г [ u{t)v\t)dt
Jo Jo
для гладких вещественных функций ν дает новое соотношение
г*(1)г;(1) = г*(0)?;(0), откуда г*(0) = г*(1) = 0. Оператор А**
замкнут, как всякий сопряженный. Ввиду утверждения (ii)
предложения 10.1.14 оператор А** совпадает с замыканием А. В
частности, А** оказывается симметричным замкнутым, но не
самосопряженным оператором, ведь (Л**)* = А = А* отличен от А**.
(iv) Оператор А имеет самосопряженные расширения
(являющиеся также расширениями Л), причем все эти расширения
имеют вид Л#, где
Ъ(Ав) = {иеАС[0,1]: ti/€L2[0,l],ti(l)=iti(0)}, |β| = Ι,
Aqu = iu'.
Действительно, если А — самосопряженное расширение Л, то
А = А* С Л*, т.е. 3)(Л) С V(А*) и Аи = ш'. Условие
симметричности А приводит к требованию гх(0)г;(0) = u(l)v(l) для всех
и, ν Ε 3)(Л). Поскольку А не является самосопряженным, то 3)(Л)
шире Ί)(Л), т.е. найдется функция и Ε Ί)(Л), для непрерывной
версии которой имеем и(0) φ 0. Можно считать, что г*(0) = 1.

548 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Тогда положим θ = u(l) и при ν = и получим |0|2 = 1. При этом
для всех ν Ε ^(А) получим ν(0) = θν(1), т.е. υ(0) = θν(1).
Обратно, оператор Aq на 1D(Ao) симметричен и расширяет А. Поэтому
Α*θ С Л*, т.е. для всех и Ε 2>(А£) имеем и Ε АС[0,1] и и' Ε L2[0,1].
Поэтому для всех и Ε *Ό(Αβ), ν Ε %)(Ао) получаем
/ iu\t)v{fydt = (i4S«> ν) = (τι, 4*ν) = / u(t)iv'(t)dt,
Jo Jo
что приводит к условию u(Q)0v(l) = u(l)v(l). Поскольку
можно взять ν с v(l) = 1, то и(0) = 0u(l). Итак, ©(i4J) = 2)(^),
а оператор Α# самосопряжен.
Следующий пример также важен для общей теории. Ниже мы
установим, что к такому виду приводится всякий
самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве.
10.2.4. Пример. Пусть μ — конечная неотрицательная мера
на измеримом пространстве (Ω, В), и пусть φ — вещественная
μ-измеримая функция (не обязательно ограниченная). Зададим
оператор Αφ на области
Ώ{Αφ) = {хЕ Σ2(μ): φ · χ Ε £2(μ)}
формулой Αφχ(ω) = φ(ω)χ(ω). Тогда оператор Αφ самосопряжен.
В самом деле, множество Ί){Αφ) плотно в £2(μ), ибо для всякого
χ Ε £2(μ) оно содержит все xlnn, где Ωη := {α;: \φ(ω)\ ^ η}.
Оператор Αφ симметричен на этой области. Пусть и Ε 3)(Л£).
Тогда найдется w E £2(μ) с
/ υ,(ω)φ(ω)ν(ω) μ(άω) = / ίυ(ω)υ(ω) μ(άω)
Jq Jn
для всех вещественных υ Ε *5){Αφ). Беря в качестве ν
индикаторы измеримых подмножеств множеств Ωη, получаем для μ-п.в. ω,
что w{ui) = φ(ω)η(ω). Итак, 2>(-А£) = Ί>{Αφ), а оператор Αφ
самосопряжен.
10.2.5. Пример. Пусть Η — гильбертово пространство и Π —
проекторная мера на В(Ш}) со значениями в С{Н). Положим
V(A):= IxEH: J \2(ШХуХ(Х) < ool, Ax ~ i\dUx(X),

10.3. Спектральная теорема
549
где интеграл понимается как предел в Η интегралов по
отрезкам [—п, п] (существующих, как мы видели в §7.9). Тогда
оператор А самосопряжен. В самом деле, легко видеть, что Ί) (А) —
линейное пространство. Оно плотно, ибо для всякого χ Ε Η
векторы хп := П([—η, п])ж, сходящиеся к ж, входят в 5)(Л). При этом
Ахп = Апх= XdHx(X)1
Jl—η,η]
где ограниченный самосопряженный оператор Ап задается
сужением проекторной меры Π на [—га, п] (см. §7.9). Если к > п, то
\\Апх - Акх\\2 = ((An - Ак)2х, х) = Ι X2 <ШЖ>Ж(А),
Λι<|λ|^Α;
откуда следует фундаментальность {Агп} по норме и
существование Ах = lim Апх. Покажем, что А* = А. Пусть у 6 *Ό(Α*).
η-*ΌΟ
Значит, \(Ах, у)\ ^ \\А*у\\ \\х\\ при χ G %)(А). Из этого следует, что
у Ε ©(^4), ибо иначе с^ := ||Апу|| —> оо, что невозможно ввиду
соотношения
\\Апу\\ = ^(Апу.Апу) = с-^Ап^у,?/) = c-H^Unj/,*/) ^ ||А*у||,
вытекающего из оценки Нс"1^^ ^ 1. Так как оператор А
симметричен и 2)(Л*) = 2)(А), то А* = Л.
10.3. Спектральная теорема
Здесь мы установим, что неограниченные самосопряженные
операторы также приводятся к виду умножения на функцию, т.е.
предыдущий пример имеет универсальный характер. Сначала
перенесем преобразование Кэли на неограниченные
самосопряженные операторы.
10.3.1. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве Η φ 0. Тогда операторы А + И
и А — И инъективны, а их образы совпадают с Н. Кроме того,
оператор U = (А — И)(А + г/)-1 является унитарным.
Доказательство. Имеем Кет(А-И) = Ker(A-il) = 0, ибо
если Ах = гх, то (Αχ,χ) = г(ж, х) иж = 0, так как {Ах, χ) Ε И1.
Аналогично для A+il. Образ Α+iI плотен, ибо если у Ε Η таков,
что (Ах + ix,y) = 0 для всех χ G *Ό(Α), то у G Ί)(Α*) = 2)(Л),
откуда (#, Ау — гу) = 0, т.е. Ау = гу и у = 0. Заметим, что
\\Ах + гх\\2 = ||Аг||2 + ||ж||2 = \\Ах - гх\\2 \/х е 2>(Л),

550 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
так как (Αχ,ίχ) = —i(Ax,x) = —i(x,Ax). Поэтому существует
линейная изометрия U между всюду плотными линейными
подпространствами (A + iI)(H) и (А — И)(Я), задаваемая формулой
U(Ax + гх) = Ах — гх, χ е Ώ(Α).
Ввиду инъективности А + И оператор U на (А + И)(Н) можно
записать в виде U = (А — И)(А + г/)-1. Этот оператор
единственным образом продолжается до унитарного оператора,
обозначаемого также через U. Покажем, что (А + ϋ)(Ί)(Α)) = Η.
Пусть у Ε Η. Найдем хп Ε 5)(Я"), для которых Ахп + гхп —► у.
Тогда Ахп — гхп = U(Axn + гхп) —> Uy, что дает сходимость
{хп} к некоторому χ 6 Η. Ввиду замкнутости А мы получаем
χ е Ί)(Α) и Ах = у. Аналогично (А - И)(р(А)) = Н. D
Унитарный оператор U из этой леммы назовем
преобразованием Кэли оператора А.
10.3.2. Лемма. Предположим, что самосопряженные
операторы А и В в Η обладают равными преобразованиями Кэли.
Тогда А = В. Кроме того, если U — преобразование Кэли А, то
оператор U — I иньективен и выполнены соотношения
Ъ(А) = (U - /)(#), Ах = г{1 + U){I - U)~lx.
Доказательство. Пусть у е Н. По доказанному найдется
х б %)(А) с у = Ах +лх. Тогда Uy> — Ах — гх и у — Ό у = 2гх.
Поэтому Кег(С7 - I) = 0. Кроме того, (U - 1)(Н) = 2)(Л), ибо
для любого χ Ε 2)(Л) можно взять у = Ах + гх. Следовательно,
если U есть общее преобразование Кэли операторов А и Б, то
2) (А) = S)(JB) и для всякого χ из этой общей области получаем
Ах = г(/ + [/)(/ - и)~гх = Вя,
что завершает доказательство. D
10.3.3. Теорема. Всякий самосопряженный оператор А в се-
парабельном гильбертовом пространстве Η φ 0 унитарно
эквивалентен некоторому оператору Αψ умножения на функцию ψ
из примера 10.2.4 с некоторой вероятностной мерой μ.
Доказательство. Пусть U — преобразование Кэли
оператора А. Согласно следствию 7.10.9 можно считать, что U есть
оператор умножения в L2(/x) на //-измеримую функцию φ с \ψ\ = 1,
где μ — некоторая вероятностная мера на пространстве Ω. Так
как U — преобразование Кэли Л, то оператор U — I инъективен,

10.3. Спектральная теорема
551
т.е. ψ(ω) φ 1 для μ-п.в. ω. Положим φ = г(1 + ψ)(1 — ψ)~ι.
Непосредственно проверяется, что преобразование Кэли оператора Αφ
есть оператор Αψ = U. По предыдущей лемме А = Д^,. D
В качестве μ здесь можно взять некоторую вероятностную бо-
релевскую меру на прямой, а в качестве φ — некоторую борелев-
скую функцию. С помощью замечания 7.8.7 эту теорему можно
распространить на несепарабельные пространства. Есть и аналог
теоремы 7.10.11, в котором перестановочность неограниченных
операторов означает перестановочность их проекторных мер.
Как и для ограниченных операторов, с помощью
функциональной модели легко определять борелевские функции от
самосопряженных операторов и строить проекторные меры. Пусть
А — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве и / — комплексная борелевская функция на
прямой. Зададим оператор f(A) так: приведем А к виду умножения
на //-измеримую вещественную функцию φ и положим
©(/(Л)) := {χ Ε L2(p): (fo<p) ■ χ € L2(M)}, f(A)x := (fotp) ■ x.
Если функция / вещественна, то оператор f(A) самосопряжен.
Если функция / ограничена, то ограничен и оператор f(A).
Если / — индикаторная функция борелевского множества JB, то
П(В) := 1в (А) является ортогональным проектором, а
отображение В ь-> n(JB) представляет собой проекторную меру. Эта мера
порождает комплексные скалярные меры IlXiy(B) = (П(В),#,у).
Аналогично теореме 7.9.6 имеют место следующие соотношения;
их можно получить как следствие упомянутой теоремы и
примера 10.2.5, если представить А как прямую сумму счетного набора
ограниченных операторов умножения на функции φΙ{]αζφ<]ς+ι}·
10.3.4. Теорема. Справедливо равенство
А= I АсШ(А), где5)(А) = \х: Ι Χ2άΠΧιΧ(Χ) < ооI,
Ja(A) I Ja(A) ' J
понимаемое как тождество
(Ах,у)= \nx,y(d\), χ е 2>(Л), у е Η.
Ja(A)
Кроме того, для всякой борелевской функции f выполнено
аналогично понимаемое равенство
f(A)= [ f(\)dn(X).

552 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.4. Унитарные инварианты самосопряженных
операторов
В гл. 7 уже отмечалось, что построенные там представления
самосопряженных операторов не дают способа установить
эквивалентность или неэквивалентность двух таких операторов.
Конечно, в некоторых случаях неэквивалентность можно усмотреть
непосредственно по таким характеристикам, как спектр или
наличие и отсутствие циклических векторов. Но даже для
операторов с циклическими векторами равенство спектров не влечет
эквивалентность операторов. В конечномерном случае
собственные числа и их кратности определяют оператор с точностью до
унитарной эквивалентности. Что может служить аналогом
этого в бесконечномерном случае? Ясно, что надо как-то различать
меры, использованные в наших представлениях. Первым шагом
в этом направлении является следующий результат.
10.4.1. Теорема. Пусть μην — две неотрицательные боре-
левские меры на отрезке I и Αμ и Αν — операторы умножения
на аргумент в Ь2(/х) и L2(v) соответственно. Эти операторы
унитарно эквивалентны в точности тогда, когда эквивалентны
меры μ и и.
Доказательство. Пусть μ и ν эквивалентны и ρ = dv/άμ.
Напомним (см. гл. 3), что эквивалентные меры обладают
одинаковыми запасами измеримых функций, причем измеримая
функция ψ интегрируема относительно и в точности тогда, когда
функция φρ интегрируема относительно μ. При этом
¥>(t) ι/(Λ) = ίφ(ί)ρ(ί)μ(άί).
Зададим оператор U: L?{y) —► £2(μ) равенством
u/(t) = уШ№.
Тогда
WfWW) = /ΐ/(*)Ι2β(*)μ(Λ) = fm)\2v{dt) = ||/|||2(ι/),
т.е. U — изометрия. При этом оператор U сюръективен, ибо для
всякой функции g Ε 1?(μ) функция ρ-1/2<7 входит в L2(i/).
Наконец,
Αμυ№ = ty/Щт = у/Щгт = iM„/(t).
/

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов 553
Предположим теперь, что операторы Αμ и Αν унитарно
эквивалентны и U: L2(v) —► Ι/2(μ) — соответствующая изометрия.
Положим φ := U1 и Pk(t) := tfc. Тогда
C7pfc(i) = CM„pfc-i(t) = tC7pfc_i(t),
что дает равенство Upk(t) = ^φ(ί). Для всякого многочлена /
получаем Uf(t) = /(ί)φ(ί). Ввиду унитарности С/ имеем
jf |/(t)|2 КЛ) = jf |V(i)l2l/(*)l ам(Л).
Пусть теперь JB — борелевское множество в J. Обращаясь к мере
μ + ζ/, находим такую равномерно ограниченную
последовательность многочленов /п, что /п(£) —► ^в(^) для почти всех t
относительно обеих мер. По теореме Лебега предыдущее соотношение
дает равенство
1/(5)= ( \ф{1)\2μ{άΙ),
Jb
означающее, что ν <С μ и dv/άμ = l^l2. Ввиду симметричности
ролей обеих мер они оказываются эквивалентными. D
В случае разложения на подпространства с циклическими
векторами ситуация усложняется. Например, оператор
умножения на аргумент в L2[0,1] можно разложить в сумму
операторов умножения на аргумент на промежутках [0,1/2] и (1/2,1].
Как избежать появления таких «лишних» слагаемых? С другой
стороны, надо как-то учитывать кратности в суммах нескольких
экземпляров оператора умножения на аргумент. В
конечномерном случае это сводится к тому, что мы учитываем кратность
каждого собственного значения, но собственные значения берем
различными (например, собственное значение кратности 2 мы не
рассматриваем как два собственных значения кратности 1). При
этом в случае кратности 1 соответствующее подпространство
оказывается одномерным, и его уже нельзя как-то разложить
далее. В бесконечномерном случае аналогом оператора с простым
спектром является оператор с циклическим вектором, но, как
показывает приведенный выше пример, такой оператор может не
иметь какого-то «минимального» канонического разложения. По
этой причине для получения унитарно инвариантных
представлений в бесконечномерном пространстве приходится отказаться
от конечномерной картины Сп = Η = Н\г φ Η\2 Θ · · · Θ Н\к, где

554 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
λχ,..., Afc — все различные собственные числа А и H\i —
отвечающие им Πϊ-мерные собственные подпространства. Этой картине
соответствует жорданова форма
'λχΙηι
Здесь Xjlrij означает блок, состоящий из rij-мерной единичной
матрицы, умноженной на \j. Вместо этого рассматривается
другая картина, полученная некоторой перестройкой предыдущей.
В ней собственные числа упорядочиваются по возрастанию
кратности: п\ < П2 ^ · * * ^ Пк- Пусть оказалось N различных крат-
ностей 77ii < ™>2 < · · · < mpf. Тогда создаются такие блоки:
(М \ /λι \
Si =
Аг
где Αχ =
\ V V V
число λ/ — последнее кратности т\ и А\ берется т\ раз, затем
<А2
В2 =
\
А2)
(h
+1
где А2 =
λί+2
V
\
V
причем блок А2 берется Ш2 раза (он использует числа λ^, у
которых кратности равны Ш2, т.е. λ2 появляется в нем только в
случае П2 > πι), и далее появляются блоки Лз,..., An возрастающей
кратности. Эта процедура представляет оператор А в виде
прямой суммы N блоков J3i,..., Д/у, где каждый Bj является
прямой суммой rrij копий оператора Aj с простым спектром
(спектры Aj дизъюнктны). Таким образом, алгоритм следующий:
берем собственное число наименьшей кратности т\ и отщипываем
часть стандартной жордановой формы, составленную из блоков
Ailmi ? · · · > A/Imi, что исключает собственное число наименьшей
кратности (или несколько собственных чисел равной с ним
кратности). Затем проделываем то же самое с оставшейся частью.
10.4.2. Определение. Самосопряженный оператор
называется оператором однородной кратности т, где т 6 EST U {оо};
если он унитарно эквивалентен прямой сумме т экземпляров

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов 555
оператора умножения на аргумент в пространстве £2(/х) для
некоторой неотрицательной σ-конечной борелевской меры μ на
прямой.
Понятно, что ограниченные операторы однородной кратности
соответствуют мерам с ограниченными носителями.
В описанном выше конечномерном примере операторы Bj
являются операторами однородной кратности. Оказывается, такая
форма представления уже имеет разумный бесконечномерный
аналог. В окончательной классификации используются понятия
эквивалентности и взаимной сингулярности мер. Напомним, что
меры μ и ν эквивалентны (μ ~ г/), если они задаются
плотностями относительно друг друга; меры μ и ν взаимно
сингулярны (μ ± ζ/), если они сосредоточены на непересекающихся
множествах. Эти понятия распространяются и на классы мер: два
класса мер Μ и L эквивалентны, если μ ~ Л для всех μ Ε Μ
и λ G L; два класса мер М и L взаимно сингулярны, если μ _1_ λ
для всех μ G Μ и λ G L. Пусть (μ) — класс эквивалентности μ.
Сначала покажем, что для операторов однородной кратности
га полным унитарным инвариантом является тип меры.
10.4.3. Теорема, (i) Пусть μ — неотрицательная σ-конеч-
ная борелевская мера на прямой, не равная тождественно нулю.
Если прямая сумма га экземпляров оператора умножения на
аргумент в пространстве £2(μ) унитарно эквивалентна прямой
сумме η экземпляров этого оператора, где га, η G [1,..., оо], то
имеем т = п.
(ii) Два оператора с однородными кратностями тип
унитарно эквивалентны в точности тогда, когда га = η и
эквивалентны меры, порооюдающие эти операторы.
Доказательство, (i) Пусть U: (L2(/i))m -> (L2(μ))η —
унитарный изоморфизм рассматриваемых операторов An и Amj
причем η < га ^ оо. Изоморфизм операторов дает равенство
IB(An)U = UIB(Am)
для всех борелевских множеств В. Проекторы 1в(Ап) и 1в{Аш)
представляют собой операторы умножения на /#. Возьмем боре-
левское множество Ε с 0 < μ(Ε) < оо и рассмотрим п+1 векторов
ψι> · · · j ψη+ι из прямой суммы га копий £2(μ), заданных так:
компонента с номером j элемента tpj есть /#, а остальные компоненты
равны нулю. Положим
Φί '=υφό = (rf>j,i,...,rf>j,n)·

556 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Для каждого борелевского множества В С Ε мы имеем
г п
(JB(j4m)Pi,¥>j) = {1в{Ап)фифа) = / V^t,fc(*)^i,*(*)M(rf*)·
Левая часть равна μ(Β)δ^. Поскольку это верно при всех В С Е,
то для фиксированных г, j получаем
η
Σ ΨιΛ^ΨύΛ1)= *« при μ-π·Β· * ^ я.
Λ=1
Тогда это равенство верно //-почти всюду на Ε сразу для всех
индексов i,j = l,...,n+l. Поэтому найдется точка t, в которой
указанное равенство выполнено при всех г, j = 1,... ,га + 1. Это
ведет к противоречию, ибо дает п+1 линейно независимый вектор
в n-мерном пространстве.
(ii) Пусть операторы Αμ^η и А^т с однородными кратностя-
ми η и га, порожденные мерами μ и г/, оказались унитарно
эквивалентны. Тогда /χ ~ ζ/, ибо проекторы /в(Д^п) и /в(Д/,т)
также унитарно эквивалентны, причем /^(Лм?п) = 0 в точности
тогда, когда μ(Β) == 0, и аналогично для второго оператора.
Согласно предыдущей теореме операторы Αμ^η и А^п эквивалентны.
Утверждение (i) дает равенство η— т. D
Пусть Η — сепарабельное гильбертово пространство. Помимо
идеи рассматривать операторы однородной кратности, в
доказательстве структурной спектральной теоремы используется
анализ мер /хж, χ Ε Н, задаваемых формулой
μχ(Β) = UXiX(B) = (П(В)х,х),
где Π — проекторная мера, порожденная оператором Л.
Будем говорить, что χ Ε Η — вектор максимального типа
в Н, если μυ <^С μχ для всех у Ε Η. Естественным образом
определяется вектор максимального типа в подпространстве Hf С Н.
Пусть Нх — замыкание линейной оболочки векторов Н(В)х,
где В Ε ^(К1). Для ограниченного оператора А
подпространство Нх равно замыканию линейной оболочки
последовательности {#, Ах у А2х,...}; см. задачу 10.7.34.
10.4.4. Лемма, (i) Если у Ε Нх, то μυ <С μχ.
(ii) Если μχ _L /iy; mo Hx _L Ну и μχ+ρ — μχ Η- //у.
(iii) Существуют векторы максимального типа. Более того,
для всякого υ Ε Η существует такой вектор χ максимального
типа, что υ Ε Ηχ.

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов 557
Доказательство, (i) Пусть борелевское множество В
таково, что μχ(Β) = 0, т.е. (П(В)х, ЩВ)х) = (ЩВ)х,х) = 0. Тогда
Il(B)z = 0 для всякого вектора ζ вида ζ = И(Е)х, где £7 е ^(К1),
ибо П(В)П(Я)ж = ЩЕЩВ)х. Равенство U(B)z = 0 остается
в силе для всех ζ из замыкания линейной оболочки векторов
П(Е)х, т.е. для ζ € Нх. Итак, П(Я)у = 0, μυ(Β) = (ЩВ)у,у) = 0
при у е Нх. Так как (П(Б)я, у) = 0, то μχ+2/ = /хж + μν.
(ii) Найдутся такие борелевские множества Si и 52, что
5ιΠ52 = 0, SiU^H1, μ*№) = 0, ^(Si) = 0.
Для всякого В е В(Ш}) имеем Ώ(Β Π 52)ж = П(Б П Si)y = 0, ибо
U(B Π S2) ^ П(52) и ||Π(52)χ|| = 0, и аналогично для П(Я Π Si)y.
Тогда для всяких Βχ, JB2 £ ^(IR1) получаем
П(Вх)ж = Π(Βχ Π 5х)ж + Π(Βχ Π S2)z = Π(Βχ Π 5х)ж 6 U(Si)(H)
и П(Я2)у = П(Я2 Π S2)y Ε П(52)(Я). Так как Si П 52 = 0, то
Π(£ι)(//") 1_ П(52)(Я") (см. свойства проекторных мер).
(iii) Достаточно рассмотреть единичный вектор v. Возьмем
множество 9Я, элементы которого — всевозможные семейства мер
μχ с χ φ 0, которые попарно ортогональны друг другу (в
пределах каждого семейства) и мере μυ. Оно частично упорядочено по
включению. Лемма Цорна дает максимальное семейство, которое
ввиду сепарабельности Η состоит из некоторого счетного набора
мер μυη (для каждого семейства соответствующие
подпространства Нх взаимно ортогональны ввиду утверждения (ii)). В
качестве искомого вектора возьмем χ = ν0 + Σ™=ι °ηνη, где νο = ν,
Cn := n~2||vn||-1. Поскольку меры μυη и μυ взаимно сингулярны,
существуют такие попарно непересекающиеся борелевские
множества JBn, η = 0,1,..., что каждая из мер μυη сосредоточена
на Вп. Действительно, для каждой пары разных чисел п,к
найдем борелевские множества Вп^ с /iVfe(£n,fc) = βνη(^\Βη&) = 0>
а затем положим Вп := Пл^п·^»,*· Это доказывает включение
νο = П(Д))^о = ЩВо)х € Ηχ- Проверим, что χ — вектор
максимального типа. Если это не так, то найдется такой вектор и е Н,
что мера μη не является абсолютно непрерывной относительно μχ.
Это означает, что для некоторого борелевского множества В мы
имеем μχ(Β) = 0 и μη(Β) > 0. Положим ζ := ЩВ)и. Тогда
μζ(Β) = μη(Β) > 0 и /^(К1^) = (П(^}\В)ЩВ)и, ζ) = 0, ибо
ЩВ^ЩВ) = 0. Так как μχ = μνο + Σ^=ι <%V>vn, το μζ J_ μνη
при всех п ^ 0 вопреки максимальности взятого семейства. D

558 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.4.5. Лемма. Пусть χ Ε Η и мера μχ представлена в виде
суммы μχ = J^^Li/Xn попарно взаимно сингулярных
неотрицательных борелевских мер. Тогда найдутся такие попарно
ортогональные векторы хп Ε Нх, что
оо оо
х = / ^ χη·> βχη = βηι -"ж == ^J7 χη·
η=1 η=1
Если мера ν > 0 такова, что ν <С Hx,x, то ν — Ну,у, где у 6 Нх.
Доказательство. Как и в предыдущей лемме, разобьем
прямую на такие попарно непересекающиеся борелевские
множества Яп, что μη сосредоточена на Вп. Пусть хп := Т1(Вп)х.
Поскольку мера μ сосредоточена на объединении Вп, имеем
оо оо
χ = n(|J BnJx = Y^xn.
n=l n=l
Векторы хп попарно ортогональны из-за дизъюнктности Вп. По
этой же причине при каждом η мера μΧη сосредоточена на Вп.
Кроме того, μΧη = μη, ибо для каждого В 6 ^(И1) ввиду
равенства ЩВ Π Вп) = ЩВЩВп) = ЩВп)ЩВ) имеем
оо оо
μχ(Β) = (П(В)х, χ) = Σ {ЩВПВп)х, х) = ^{ЩВ)ЩВп)х, х) =
п—1 п=1
оо оо
= ^(ЩВ)П(Вп)х,ЩВп)х) = Σ»*η(Β).
п=1 п=1
Далее, по предыдущей лемме HXn JL HXk при η φ к. Для всякого
В е B(JR}) имеем U(B)xn = ЩВ)ЩВп)х = Р(Я Π Яп)я 6 Яж,
т.е. ЯЖп С Нх. С другой стороны, Т1(В)х = Σ^ΐχ П(ЯПЯп)ж
входит в 0^Li Яп. Итак, 0^ Нп = Яж. Наконец, пусть г/ < Пж,ж,
||ж || = 1 и А — самосопряженный оператор в Яж, порожденный П.
Приведем А к виду умножения на аргумент в Ι/2(μ), μ = ΤΙχ,χ.
Тогда ι/ = /·μ,/Εΐ1(μ), т.е. можно взять у = fll2 € £2(μ). □
Следующий фундаментальный результат дает полную
классификацию самосопряженных операторов.
10.4.6. Теорема. Для всякого самосопряженного оператора
А в сепарабельном гильбертовом пространстве Я существует
разложение Я в прямую сумму Я = Н\ θ Я2 Θ · · · Θ Hqq взаимно
ортогональных замкнутых подпространств Нт {некоторые из
них могут отсутствовать) со следующими свойствами:

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов 559
(i) A(Hm) С Нт и оператор А\нш является оператором од-
породной кратности т при всех т Ε [1,2,..., оо];
(ii) классы мер (/im), отвечающие операторам А\нт, взаимно
сингулярны при разных т.
При этом классы эквивалентности мер μτη образуют
полный набор унитарных инвариантов оператора, т.е. операторы
с одинаковыми наборами унитарно эквивалентны.
Доказательство. Фактически мы найдем унитарные
инварианты проекторной меры оператора, а по ним получим
нужные инварианты оператора. Установим существование
разложения указанного вида. Сначала покажем, что найдется такое
конечное или счетное множество единичных векторов νη, что
н = (BHvm μοη+ι < μνη-
η
Естественно взять единичный вектор ν\ максимального типа,
затем в ортогональном дополнении Н^ подпространства HVl взять
единичный вектор υ2 максимального типа для этого дополнения
и т.д.: на η-ом шаге берем единичный вектор vn максимального
типа в ортогональном дополнении Ηυι Θ · · ·θΑ"νη-ι· Заметим, что
HV2 JL HVl, ибо для всяких В, С Ε ^(И1) мы имеем
(ЩВ)уъЩС)у2) = (U(C)U(B)vuv2) = (ЩСПВ)уиу2) = 0,
так как П(С Π Β)υι Ε HVl. Поэтому получаем взаимно
ортогональные подпространства HVn в конечном или счетном числе
(например, если вектор v\ оказался циклическим, то HVl = Η).
Хотелось бы получить в виде суммы HVn все Н, но это не всегда так.
Например, если А — тождественный оператор и {еп} — ортонор-
мированный базис в Н, то можно в результате нашего построения
получить ei, ез, е5 и т.д. Чтобы избежать такой неприятности,
надо несколько модифицировать построение. Взяв базис {еп}, мы
возьмем vi так, что е\ Ε Ηνι, что возможно по лемме. Если
оказалось, что в2 имеет ненулевую проекцию ψ2 на Н^, то г;2 выбираем
так, что ψ2 Ε HV2. Поэтому ei, е2 Ε HVl @HV2. На η-ом шаге берем
Vn Ε HVl θ · · · θ HVri_x так, что в HVn попадает проекция еп на
ортогональное дополнение Ηυι φ· · >®HVn_1. В результате прямая
сумма Нп содержит все еп и потому совпадает с Н.
Теперь перестроим полученное разложение. Для каждого η
мера μνη имеет вид μνη = ρη · μνι, где ρη — борелевская
плотность Радона-Никодима меры μυη относительно μυι. Ввиду
соотношений /xVn+i ^ μυη> эти плотности можно выбрать так, что

560 Глава 10: Неограниченные операторы и теория полугрупп
множества Sn := {t: Qn(t) > 0} будут убывать. Убывание не
обязано быть строгим, так как Sn может совпадать с 5п+ъ если μυη+1
и μνη эквивалентны. Сужение меры μνι на Sn-i\Sn, где So := К1,
обозначим через μη, а сужение μνι на Sqo '·= D^Li &п обозначим
через /Xoq. Ясно, что полученные меры попарно ортогональны и
в сумме дают μυι. Для каждого η мера μυη эквивалентна мере
μη ® βη+\ Θ · · · Θ μοο·
Предположим теперь, что оператор А ограничен. Тогда νη —
циклический вектор ограничения А на HVn, причем это
ограничение унитарно эквивалентно умножению на аргумент в L2
относительно меры (μη Θ μη+ι θ · · · θ μοο)> что можно записать как
прямую сумму операторов умножения на аргумент в
пространствах L2(//n),L2(//n+i),... ,L2(/Xoo). Ясно, что получено искомое
разложение.
Если оператор А не является ограниченным, то мы
сначала представим его в виде прямой суммы ограниченных
операторов Afc, каждый из которых уже разложен в сумму однородных
степени η операторов с помощью мер //fc>n, сосредоточенных на
некотором ограниченном борелевском множестве Вь, где В^
попарно не пересекаются. Можно считать, что μ^η(Ι11) ^ 2~п~к.
Затем для каждого т возьмем меру μτη := ΣίΚ=ι Mfc,™·
Перейдем к доказательству унитарной инвариантности
найденных объектов: присутствующих кратностей η и типов мер μη.
Из теоремы 10.4.1 ясно, что два разложения указанного вида
с μη ~ μ!η унитарно эквивалентны. Предположим, что два
оператора А\ и Α<ι такого вида, соответствующие наборам мер {μη}
и {^п}> унитарно эквивалентны. Допустим, что при некотором
η G БЧи{оо} меры μη и νη не эквивалентны. Можно считать, что
имеется борелевское множество В с μη(Β) = 0 и 0 < νη(Β) < оо.
Попарно ортогональные меры щ сосредоточены на некоторых
дизъюнктных ббрелёвскйх множествах В^ Тогда vn{BC\Bn) > 0
и Vk(BP[Bn) = 0 при к φ п. Значит, оператор А21впвп{М),
представляющий собой прямую сумму η экземпляров оператора
умножения на аргумент в пространстве £2(^п|впвп), отличен от нуля и
имеет однородную кратность п. Это противоречит теореме 10.4.3,
ибо операторы ΑιΙβπβΛ^ι) и ^2^впвп(^2) унитарно
эквивалентны, причем по нашему построению ΑιΪΒηΒη(Αι) = 0. D
Поясним, как эта теорема исключает появление «лишних»
компонент типа упомянутого выше разложения L2[0,1] в прямую

10.5. Полугруппы операторов
561
сумму £2[0,1/2] 0 L2(l/2,1] при рассмотрении оператора
умножения на аргумент. В этой сумме оба слагаемых хоть и
порождены взаимно сингулярными мерами, но имеют одинаковую
кратность 1, что запрещено в теореме.
Отметим еще, что даже в случае операторов с простым
спектром эквивалентность порождающих мер нельзя в общем случае
усмотреть из равенства спектров. Например, оператор
умножения на аргумент в L2(X) с мерой Лебега λ имеет такой же спектр
[0,1], как и оператор умножения на аргумент в L2(/x) с любой
сингулярной мерой μ, для которой отрезок [0,1] является
минимальным замкнутым множеством меры 1 (т.е. положительной на
всех интервалах в (0,1)).
10.5. Полугруппы операторов
Пусть X — вещественное или комплексное банахово
пространство. В этом параграфе изучаются семейства операторов,
которым в конечномерном случае соответствуют полугруппы вида
exp(tA). Основной особенностью бесконечномерного случая
является то, что в качестве А обычно не может фигурировать
ограниченный оператор. Поэтому, как и в предыдущих параграфах,
здесь возникают операторы, области определения которых не
совпадают со всем пространством. Генераторы полугрупп — одни из
наиболее характерных примеров неограниченных операторов.
10.5.1. Определение. Семейство ограниченных операторов
{Tt}t^o в X называется непрерывной операторной полугруппой
(или Co-полугруппой), если
(ii) lim \\Ttx - х\\ = 0, χ Ε Χ.
Из определения следует непрерывность всех отображений
t н-» Ttx, χ Ε Χ,
на всей полуоси (а не только в нуле), так как выполнено
неравенство \\Tt+sx - Ttx\\ < \\Tt\\ \\Tsx - ж||.
Положим
ад:-{«еХ:эйН!£р*},
Ttx — χ
Lx := lim — , χ e S)(L).
t-+o t

562 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Оператор L с указанной областью определения 3)(£) называется
генератором или производящим оператором полугруппы (Tt)t^o·
Из теоремы Банаха-Штейнгауза следует равномерная
ограниченность операторов Tt с t G [0,1], т.е. suptG[01] \\Tt\\ < С < оо.
Поскольку Тп = Ту и Tt = ТэдТг, где [£] — целая часть £, а г —
дробная часть £, то приходим к оценке
||Γ*||<σ||Γι||Μ<σΛ (ιο.δ.ΐ)
где β — некоторая постоянная.
Заметим, что операторы St = e~^Tt также образуют сильно
непрерывную полугруппу, но равномерно ограничены. При этом
генератор полугруппы {St}t^o равен L — /?/, где L — генератор
полугруппы
{7*Дополученная оценка позволяет рассмотреть операторы Дд,
заданные при Re λ > β формулой
/•оо
Rxx= / e-XsTsxds. (10.5.2)
Jo
Указанный интеграл существует как предел по норме интегралов
по [0, N] при N —► оо, а интегралы по отрезкам существуют как
римановские интегралы от непрерывной векторнозначной
функции (т.е. как пределы обычных римановских сумм).
10.5.2. Пример. Пусть L — ограниченный оператор и
оо
Tt = exp(tL):=J2tnLn/nl
п=0
Тогда указанный ряд сходится по операторной норме и задает
сильно непрерывную полугруппу, генератор которой совпадает
с оператором L.
Доказательство. Сходимость ряда по норме ясна из
оценки ||Ln|| < \\Ц\п. Перемножив ряды для exp(tL) и exp(sL),
нетрудно убедиться, что при Lm стоит коэффициент (t + s)m/m\> ибо
так обстоит дело для числовых разложений. Наконец, равенство
lim£-1[exp(£L) — I] = L следует из равенства
оо
t'^expitL) -1] - L = ^tn-lLn/n\
п=2
и сходимости ряда с общим членом ||L||n/n!. D

10.5. Полугруппы операторов
563
10.5.3. Пример. Пусть А — самосопряженный (возможно,
неограниченный) оператор в гильбертовом пространстве Н.
Тогда унитарные операторы exp(ilA), t Ε И1, образуют сильно
непрерывную группу с генератором г А.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай сепара-
бельного Н. Можно считать, что А есть оператор умножения
в £2(μ) на вещественную измеримую функцию φ и
D(A) = {хе £2(μ): φ · х Ε L2(/x)}.
Тогда exp(itA) — оператор умножения на βχρ(ϋφ). Ясно, что
получена сильно непрерывная группа. Пусть L — ее генератор.
Тогда %)(&) С 10(A) и Lx = ιψ · χ при χ G £)(L), ибо из
сходимости t~l [βχρ(ίίφ)χ — x] —► Lx в Ι/2(μ) следует сходимость
ί~1[6χρ(ϋηφ(ω))χ(ω) — χ(ω)] —> Lx(uj) μ-п.в. для некоторой
последовательности tn —> 0, а левая часть сходится к ίφ(ω)χ(ω).
С другой стороны, для всякого χ G 2)(А) имеет место сходимость
г-1[ехр(г£<£)а; — х] —> г<£ж в £2(μ). Это следует из теоремы
Лебега о мажорируемой сходимости, ибо есть поточечная сходимость
и оценка
\t~x [βχρ(ϋφ(ω))χ(ω) — χ(ω)] | < 2\φ(ω)χ(ω)\.
Итак, L = iA.B частности, V(L) = Ί)(Α). D
Аналогично обосновывается следующий пример.
10.5.4. Пример. Пусть А — самосопряженный (возможно,
неограниченный) оператор в гильбертовом пространстве Н,
причем А ^ 0. Тогда операторы ехр(—tA), £ ^ 0, образуют сильно
непрерывную полугруппу с генератором —Л.
Для определенности будем рассматривать ниже комплексные
пространства, но все результаты этого параграфа остаются в силе
и для вещественных пространств. Пусть β удовлетворяет (10.5.1).
10.5.5. Предложение. Для всякого λ с Re λ > β имеем
ЯА(Х) С 2>(L), (\I-L)RX = I,
причем
lim XR\x = χ для всех х Ε Χ.
λ—»οο

564 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Доказательство. Заметим, что
/»оо /»оо
t'1^ - I)Rxx = Г1 / e-XsTtTsxds - Г1 / e~XsTsxds =
Jo Jo
poo poo
= Г1 / e~XsTt+sx ds - Г1 I e~XsTsx ds =
Jo Jo
/•OO pOO
= t~xeXi I e~XsTsx ds - Г1 I e~XsTsx ds.
Jt Jo
Правую часть можно представить в виде
/оо pt
e~XsTsx ds - Г1 / e~XsTsx ds =
= «-1(вА*-1)(Ллж- / e~XsTsxds\ -Г1 f e~XsTsxds.
В силу непрерывности функции s н-> e~~XsTsx заключаем, что при
t —► 0+ полученное выражение стремится к A.R\# — ж. Итак, мы
установили, что R\x Ε ?0(L) и Li2># = АЯл# — ж. Для
доказательства второго утверждения заметим, что
/»оо
\R\x - χ = А / e~As(7> - ж) ds.
Jo
Кроме того,
/•ОО /«ОО
А / e~Xs\\Tsx -х\\аз^\ e~Xs{Ce^ + 1)\\х\\ds,
Jfi+ι J/3+i
что стремится к нулю при А —► оо. Так как \\Т8х — ж|| —> 0 при
s —► 0, то для всякого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
/»£ /*00
А / e~Xs\\Tsx - х\\ ds^eX e~Xsds = ε
Jo Jo
для всех λ > β. Наконец, интеграл от \e~Xs\\Tsx — х\\ по [5, /3+1]
при А —► оо стремится к нулю по теореме Лебега, ибо Ae~As —► 0
при s > 0, причем Ae~As ^ \e~5x. D
10.5.6. Теорема. Для всякой непрерывной полугруппы
операторов {Tt}t^o справедливы следующие утверждения:
(i) оператор L — генератор полугруппы — является плотно
определенным и замкнутым;

10.5. Полугруппы операторов
565
(ii) для всякого χ € 2)(Ь) верны равенства
—Ttx = LTtx = TtLx;
at
(iii) для всякого χ Ε X верно равенство
/ Τ —1\
Ttx— limexpit— )#,
ε—►Ο \ ε /
причем сходимость равномерна на отрезках в [0, +оо).
Доказательство, (i) Положим А€ := ε_1(Τε - J). Тогда
exp(tAe) = exp(-t/e) βχρ^ε"1^) = exp(-t/e) £ -^f,
n=0
поскольку операторы 2$ ограничены. Из непрерывности
отображения t*-*Ttx следует существование векторного интеграла
1 /*
:= τ / T^rds,
ί Уо
Дж:= 7 / Tsxds, t >0.
* Уо
Заметим, что из (10.5.1) следует оценка
||ВД| < £(е* - 1).
Поэтому при каждом t оператор Βχ ограничен. Покажем, что
справедливо тождество
AsBt = AtBe, ε > 0, t > 0. (10.5.3)
Действительно, справедливы соотношения
είΑεΒχχ = / (Ге - J)rszds = / (Γδ+ε - Ts)xds =
Jo Jo
rt+ε ηε
= / Tsx ds — Tsx ds,
Jt Jo
είΑχΒεχ = Ι (Tt-I)Tsxds= I {Ts+t - Ts)x ds =
Jo Jo
/ί+ε /»ε
Tsxds- I Tsxds.

566 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Далее, из непрерывности Ttx по ί следует, что Btx —► χ при t —► 0.
В силу (10.5.3) это дает равенства
lim ΑεΒχχ = ^ lim Βεχ = А^я.
ε—►Ο ε—►()
Отсюда следует, что i?t# Ε 3)(L) при всех £ > 0 и что LBfX = А^ж.
Множество элементов вида i?t# всюду плотно в X, ибо мы имеем
lim Вфх = ж для всякого жЕ1.
Покажем теперь, что оператор L замкнут. Пусть {хп} С 3)(L),
жп^хи L#n -^j/βΙ при η —► оо. Поскольку операторы Τχ и Ts
коммутируют, то операторы Ае и Bt тоже коммутируют. Поэтому
из (10.5.3) следуют равенства
BtLu = Bt lim Aeu = lim BsAtu = Atu, и e 3)(ΙΛ, ε > 0, £ > 0.
ε—>0 ε—►Ο
Значит, Atxn = BtLxn, откуда Atx = JBti/. Так как lim Bty = у, то
ж 6 2)(Ь) и Lx = у. Итак, оператор L замкнут,
(ii) Пусть χ € £)(L). При ί > 0 имеем
lim AeTtx = lim Tt Αεχ = Г*1,ж.
ε-*0 ε->0
Значит, Ttz G 3)(L) и
LTtx = TtLx.
Доказанное выше равенство BtLx = Atx можно записать в виде
t
TsLxds = Ttx — χ.
Ввиду непрерывности подынтегральной функции это завершает
доказательство (ii).
(iii) Пусть сначала χ Ε 3)(L). Согласно утверждению (ii) при
0 < s < t имеем
— [exp((t - s)^)7>] = exp((t - s)A€)Ts(Lx - A€x),
что после интегрирования по 5 по отрезку [0, t] дает равенство
Ttx — ехр(£Ае)ж = / exp((t — s)As)Ts(Lx — Αεχ)ds.
Jo
ι

10.5. Полугруппы операторов
567
Из (10.5.1) вытекает следующая оценка:
00 tn
|| exp(Me)|| < eM-t/ε) £ ~^\\ТПе\\ ^
Л с #4.
п=0
00 ±П л.
< Cexp(-t/e)£—й«Р(/&») = Сехр(-(7£ - 1)),
п—0
где 7 ·= е^. При 0 < ε ^ 1 получаем
||ехр(а,)||<Се^.
В результате приходим к оценке
\\Ttx - exp(tAs)x\\ ^ C2\\Lx - Αεχ\\ [ e^^e^ds <
Jo
^ de^WLx - Аех\\, (10.5.4)
где С\ — некоторая постоянная. Зафиксируем теперь хо Ε X,
отрезок [0, г] и δ > 0. Положим Μ := Се^т + Се7Т. Выберем
χ е 3)(L) с ||ж - жо|| ^ δ/Μ. С помощью (10.5.4) при t e [0,т]
получаем
||Г4ж0-ехр(^)жо|| <
^ \\Ttx - exp(tA£)x\\ + \\Tt - ехр(*Л)|| ll*o - ж|| <
^C1e)(T\\Lx-A€x\\ + 6.
При всех достаточно малых ε правая часть оценивается через 2£,
ибо ||L# — Лгж|| —> 0 при ε —> 0. D
10.5.7. Следствие. Яри Re λ > β, где β удовлетворяет
неравенству (10.5.1), оператор R\ является обратным к оператору
XI — L и отображает X взаимно однозначно на S)(L).
Доказательство. Согласно предложению 10.5.5 имеет
место равенство (\I — L)R\ = I. Покажем, что R\(\I — L)x = χ при
χ Ε *O(L). Полугруппа St = e~xtTt имеет генератор L — XL Это
дает равенство
e~xtTtx - χ = / e~XsTs{L - \I)xds, t > 0.
Jo
При t -> +oo получаем e~XtTtx -> 0, ибо ||e-AiTt|| ^ Ce^"^', где
Re (β - λ) < 0. Итак, #λ(£ - λ7> = -ж. D

568 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Таким образом, имеет место следующее представление при
всех λ с достаточно большой вещественной частью (если ||Т^|| ^ 1,
то для всех λ с Re λ > 0):
/»оо
(XI-L)-1x= / e~XsTsxds. (10.5.5)
./о
Это представление лежит в основе многих дальнейших
результатов теории операторных полугрупп. Приведем без
доказательства (которое можно найти в [94, с. 622] или [476, с. 85])
следующую теорему Троттера.
10.5.8. Теорема. Пусть L и Ln, где η Ε IN, — генераторы
сильно непрерывных полугрупп (Tt)t^o и (Т^)^о на банаховом
пространстве X, причем существуют такие числа С, u; Ε И1,
что ||7$ || ^ Сё*1, ||7}|| ^ Сё*1. Предположим, что при
некотором X с Re λ > ω имеем lim (XI — Ln)~1x = (XI — L)~lx для
η—»οο
каждого χ Ε Χ. Тогда это верно для всех X с Re λ > ω и при
η —> оо для каждого χ Ε X имеем Т^х —> TfX равномерно по t
из всякого отрезка.
Обратно, если Т^х —> Ttx для всех χ Ε X и t ^ 0, то при
каждом X с Re λ > ω имеем (XI — Ln)~1x —► (XI — L)~1x для всех
χ Ε Χ.
Имеется также условие сходимости полугрупп в терминах
самих генераторов (см. [476, с. 88]).
10.5.9. Теорема. Поточечная сходимость полугрупп в
ситуации предыдущей теоремы имеет место, если вместо
сходимости резольвент наложено следующее условие:
существуют плотное линейное подпространство в пересечении областей
определения L и Ln и X с Re λ > ω такие, что Lnx —► Lx при
всех χ Ε D и (XI — L)(D) плотно в X.
10.6. Генераторы полугрупп
Здесь мы докажем важную теорему Стоуна о генераторах
унитарных групп в гильбертовых пространствах, а также
теорему Хилле-Иосиды, дающую описание всех генераторов. Сначала
заметим, что генератор однозначно определяет полугруппу.
10.6.1. Предложение. Пусть сильно непрерывные
полугруппы операторов (Tt)t^o и (St)t^o β банаховом пространстве
имеют равные генераторы. Тогда Tt = St при всех t ^ 0.

10.6. Генераторы полугрупп
569
Доказательство. Пусть L — общий генератор данных
полугрупп. Тогда ввиду доказанного выше равенства (λ—L)~l = R\
для всякого λ с достаточно большой вещественной частью имеем
/»оо /»оо
/ e-xtTtxdt= / e~xtStxdt.
Jo Jo
Пусть leX* , ψ{ϊ) = е-^/(ВД, φ(ί) = е-ЩБгх), где η := Re λ.
Предыдущее равенство означает, что φ и φ имеют равные
преобразования Фурье (φ = ψ = 0 на (—оо,0)). Значит, φ(ί) = ^(ί),
что ввиду произвольности / дает равенство Ttx = Stx. □
Докажем теперь следующую теорему Стоуна.
10.6.2. Теорема. Пусть {Ut}teJR — сильно непрерывная
группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве Н.
Тогда ее генератор L имеет вид L = г А с некоторым
самосопряженным оператором A uUt = exp(itA).
Доказательство. При / е Cg^IR1) и φ е Η положим
/+оо
№ut<pdt,
-оо
где интеграл понимается в смысле Римана. Пусть D —
множество конечных линейных комбинаций элементов cpf с f E С^(Ш})
и φ Ε Η. Линейное подпространство D плотно в Н, ибо для
всякого φ Ε Η можно взять элементы ψβε с θε(ί) = ε-10(ί/ε), где Θ —
гладкая вероятностная плотность с носителем в [0,1]. Тогда при
ε —► 0 имеем
Г+оо
^ sup \\Щ<р-<р\\^0
te[o9e]
/+оо
es(t)[Ut<p-<p]dt\
-oo I
ввиду сильной непрерывности полугруппы. При s —► 0 находим
/+оо
f(t)[Ut+8-Ut]<pdt =
-ОО
= Г+°° /(г-s)- /(τ)υ^άτ ^ _ Г+~ητ)ϋτψάτ = φ_^
J—oo s J—oo
поскольку разностные отношения 5_1[/(r — s) — /(г)] сходятся
к —/'(τ) равномерно на некотором отрезке, вне которого они
равны нулю. Положим
Αφ$ := —ιψ-ft = —г lim s~1(Us — Ι)φ/-

570 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Тем самым оператор А задан на D. Заметим, что Ut(D) С .D,
A(D) С D и ЩАф = Αϋιφ при φ G D, что проверяется на
векторах ^ = <^у. Кроме того, если /,р G Co°(IR1) и φ,ψ G ii, то
(Aipf^g) = lim τ-(ϋβν/ - ¥>/> V>p) = lin* 7l(^/> ^-^ - Vfc)
S—►U ZS S—►U %S
= (^rV-pO = (<Р/9Афд).
Итак, А — симметричный оператор на Z>. Покажем, что он
существенно самосопряжен. Предположим, что и G Ί)(Α*) и Л*-и = ш.
Тогда для всякого φ G D имеем
—(t/t^,u) = (iAUt(p,u) = -z(C7t^, А*гх) = -г({7*^,ш) = (J7t^»w)·
Итак, комплексная функция £(£) = (i/t^p, гг) удовлетворяет
уравнению C'(t) = ζ, т.е. £(*) = се*. Поскольку |£(t)| < ||<^|| ||it||, то
с = 0, т.е. (<£, w) = 0. Ввиду плотности D получаем, что и = 0.
Аналогично проверяем, что если и G 2)(А*) и А*и = —ш, то г* = 0.
По доказываемому ниже следствию 10.7.11 замыкание А
оператора А самосопряжено. Пусть Vt = exp(itA). Остается показать, что
Щ = VJ. Достаточно проверить, что Ut<p = Vt<p для всех φ G D
ввиду плотности D. Итак, пусть φ G D. Поскольку D С 2)(А),
то согласно примеру 10.5.3 и теореме 10.5.6 имеем Vt<p G *Ό(Α)
и О^У = i-AVt^. С другой стороны, Ut<p G D и (t/t^)' = iAUty),
ибо (Ut4>)' = f/i(f4¥?)/|s=o = iUtAip. Положим ги(£) := С7^(^ — Vty>.
Тогда
w'(£) = iAUt<p - iAVt(p = гАю(£).
Следовательно,
— (ti7(t),ti7(i)) = -i(Aw{t),w{t)) +i(w(t),Aw(t)) = 0.
Поскольку гу(0) = 0, то ги(£) = 0 при всех £, что и требовалось. D
10.6.3. Теорема. Пусть {Tt}t^o — сильно непрерывная
полугруппа самосопряженных операторов в гильбертовом
пространстве Н, причем \\Tt\\ ^ 1. Тогда ее генератор L является
самосопряженным оператором, причем L ^ 0.
Обратно, если оператор L самосопряжен и L ^ 0, то
операторы Τχ — exp(iL) образуют сильно непрерывную полугруппу
самосопряженных операторов с генератором L и \\Tt\\ ^ 1.

10.6. Генераторы полугрупп
571
Доказательство. Оператор L замкнут и симметричен. Для
всякого χ Ε 3)(Ь) имеем
jt(Ttx,Ttx) = 2(TtLx,Ttx).
При этом (Ttx,Ttx) ^ (х,х) и (ТохуТох) = (ж,ж).
Следовательно, (Lx, χ) ^ 0, ибо иначе при достаточно малых t ^ 0 мы бы
имели 2(TtLx,Ttx) > 0 и тогда (Ttx,Ttx) > (χ,χ). Как показано
в §10.7(ii), L обладает неположительным самосопряженным
расширением G. Это расширение на самом деле совпадает с L, ибо
оба оператора L — I и G — I имеют ограниченные обратные.
Обратное утверждение ясно из того, что в сепарабельном
случае L можно привести к виду умножения на неположительную
функцию, что позволяет непосредственно проверить наше
утверждение. Несепарабельный случай сводится к сепарабельному
путем разложения Η в прямую сумму инвариантных относительно
L сепарабельных подпространств. D
Теперь мы докажем общую теорему Хилле-Иосиды о
генераторах сжимающих полугрупп, т.е. полугрупп {7t}t^o c ||2t|| ^ 1.
10.6.4. Теорема, (i) Пусть L — генератор сильно
непрерывной сэюимающей полугруппы {Tt}t^o в банаховом
пространстве X. Тогда всякое вещественное число λ > 0 входит в
резольвентное множество L, причем
\\Rx\\ = \W-L)-i\\^. (10.6.1)
(ii) Обратно, пусть L — линейный оператор с плотной
областью определения S)(L); причем для всякого вещественного
числа λ > 0 оператор XI — L имеет ограниченный обратный
R\: X —> Ί)(Χ), удовлетворяющий условию (10.6.1). Тогда L
является генератором сильно непрерывной сэюимающей
полугруппы {Tt}t}>o в X.
Доказательство. Следствие 10.5.7 и равенство (10.5.5)
дают (i), где (10.6.1) следует из того, что интеграл от e~Xt по (0, +оо)
есть λ-1. Для доказательства (ii) положим
Ln := n2Rn -ηΐ, η G IN.
Поскольку LRn = nJRn — J, то Ln = nLRn. Идея состоит в том,
чтобы приблизить L операторами Ln. Поскольку оператор Ln

572 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
ограничен, то с помощью обычной экспоненты он порождает
полугруппу Tj := exp(£Ln). Покажем, что
lim nRnX = х, xeX. (10.6.2)
Если χ € 3)(Ь), то это верно ввиду соотношений nRnX—x = RnLx
и ЦЛпХ/^И ^ n_1||La;||. Так как S)(L) плотно в X и ||ηβη|| ^ 1, то
(10.6.2) верно для всех χ Ε X. Поскольку при χ Ε 2)(Ь) мы имеем
Lnx = nLRnX = nRnLx, то из (10.6.2) следует равенство
lim Lnx = Lx, χ Ε 3)(L). (10.6.3)
η—к»
Из определения Ln получаем
ОО -
||Г/П)|| = ||exp(iLn)|| =e-"t||exp(n2J?n)|| < е-*£^(»А)*||Я*||
к=0
°° 1
< e~nt Σ Ь^кп~к = e~nteUt = L
fc=ofc'
Итак, построенные полугруппы — сжимающие.
Покажем теперь, что эти полугруппы сходятся. Для этого
оценим величину ||Т^ # — Т/ 'ж|| при χ Ε ?D(L). Легко видеть, что
(к)
оператор Ln коммутирует с Ttv \ Из этого следует соотношение
Ввиду оценки ||ΐ£ ;|| ^ 1 норма правой части не превосходит
\\LkX — Lnx\\. Следовательно,
\\Т^х-Т^х\\К41пх-1кх\\.
Вместе с (10.6.3) это показывает существование предела
причем равномерно на каждом отрезке. Из равномерной
ограниченности Т^ получаем существование предела для всех χ 6
Ясно также, что {Tt} — непрерывная полутруппа и ||7}|| ^ 1.
Ttx := lim Tf>x, χ Ε 2>(L),
η—»oo
яерно на ι
ченности Tt получаем существование предела для всех χ Ε Χ.

10.6. Генераторы полугрупп
573
Осталось показать, что L совпадает с генератором {Ϊ*}.
Переходя к пределу в равенстве
Tt{n)x-x = / T^Lnxds
Jo
при η —► οο, для всякого χ Ε 5)(L) с учетом (10.6.3) находим
Ttx-x= [ TsLxds.
Jo
Обозначим генератор {Tt} через G. Предыдущее равенство
показывает (после деления на t и устремления t к нулю), что 2)(£)
входит в S)(G) и Lx = Gx при χ Ε S)(L). Итак, G расширяет L.
Однако это расширение не может быть собственным, ибо
операторы L — I и G — I имеют ограниченные обратные (первый —
по условию, а второй — как генератор сжимающей полугруппы).
Поэтому L — G. D
10.6.5. Следствие. Замкнутый плотно определенный
оператор L в банаховом пространстве X является генератором
сильно непрерывной полугруппы операторов в точности тогда,
когда найдутся такие числа С ^ 0 и β Ε К1, что всякое
вещественное число λ > β входит в резольвентное множество L,
причем при всех η Ε IN выполнено неравенство
ΙΚλί-^ΓΊΚ^τ^Γ· (ю.б.4)
Доказательство. Если L является генератором
непрерывной полугруппы, то имеет место оценка (10.5.1). Сначала
предположим, что β = 0. Тогда можно ввести новую норму
||ж||о:=8ир||Г«я:||,
которая эквивалентна старой: ||х|| ^ ||ж||о ^ С||#||· Нормы
операторов на X, соответствующие новой норме, также будем
обозначать через || · ||о· Относительно новой нормы операторы Tt
удовлетворяют оценке ||2}||о ^ 1- Значит, точки λ с
положительными вещественными частями регулярны и ||(AJ—L)_1||o ^ |λ|_1.
Поэтому ||(λ/ — L)~n||o ^ |λ|~η, откуда следует нужная оценка,
ибо ||Л||о ^ С\\А\\ для всех А Е С(Х). В общем случае
рассмотрим полугруппу операторов 5* := e~tf3Tt с генератором L — βΐ.

574 Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Для нее ||5t|| ^ С, поэтому в силу уже доказанного получаем
регулярность чисел λ с Re λ > β и выполнение оценки (10.6.4).
Обратно, пусть L удовлетворяет указанным условиям. Опять
сначала рассмотрим случай β = 0. При μ > 0 положим
\\χ\\μ:=8ηρ{\\μη(μΙ-1)-η\\: η = 0,1,2,...}.
Эта норма эквивалентна исходной, ибо ||х|| < ||χ||μ ^ С||#||. Для
соответствующей операторной нормы имеем \\μ(μΙ — L)_1||M ^ 1.
Более того, справедливо следующее неравенство:
IKAJ-L)-1^^, 0<λ<μ. (10.6.5)
Для доказательства из тождества R\ — Β,μ = (μ — λ)ΙΙ\Ιίμ для
резольвент получаем
ΙΙΗχΙΙμ < ΙΙ^.Κμ + ||(м- А)ЛлЛм1и < γ, +^\\RxL·
μ μ
что дает А||Яд||м ^ 1, как и требовалось. Теперь для всякого
η 6 IN ввиду (10.6.5) при 0 < λ ^ μ получаем
||A»(A7-L)-»*|| ^ ||A»(A/-L)-»*||M < \\\(\1-Ь)-%Ыг < ||χ||μ.
Следовательно, \\х\\\ ^ ||#||μ при 0 < λ ^ μ. Теперь введем норму
||я?||0:=8ир||ж||м= lim \\χ\\μ.
μ>0 Μ"'00
Ясно, что ||х|| ^ \\х\\о ^ С\\х\\. Так как в силу (10.6.5) мы имеем
||(λ/ — 1)~ιχ\\μ ^ λ-1||#||μ при 0 < λ ^ μ, то при μ —> оо
получаем IKAJ-Lj-^Ho < А^ИжНо, т.е. \\{\1 - L)~% ^ λ"1. По
теореме Хилле-Иосиды оператор L является генератором
некоторой непрерывной полугруппы {Т$} с ||Т1||о ^ 1. Тогда имеют
место неравенства \\Ttx\\ < ||Г^||0 < ||х||о < С||ж||, т.е. ||Tt|| ^ С.
В случае произвольного β применим доказанное к оператору
Lo = L — βΐ. Он является генератором некоторой непрерывной
полугруппы {St}t^o· Полугруппа операторов 2$ := e^St имеет
генератор L. D
Есть еще одно полезное описание генераторов сжимающих
полугрупп. Плотно определенный оператор (L,3)(L)) в
банаховом пространстве X называют диссипативным, если для
всякого и 6 £>(!/) с ||и|| = 1 найдется такой I G X* с ||/|| = 1, что
1(и) = 1 и Rel(Lu) ^ 0. Если X гильбертово, то это означает,

10.7. Дополнения и задачи
575
что Re (и, Lu) ^ 0. Диссипативность равносильна тому, что для
всех λ > 0 и и е 2>(Ь) мы имеем \\Хи — Lu\\ > λ||ιι|| (см.
задачу 10.7.41). Значит, генератор сжимающей полугруппы дисси-
пативен. С учетом теоремы Хилле-Иосиды это дает следующий
результат Люмера-Филлипса.
10.6.6. Теорема. Пусть (L,S)(L)) — диссипативный
оператор в банаховом пространстве. Его замыкание является
генератором сильно непрерывной сжимающей полугруппы в точности
тогда, когда множество (XI — L)(V(L)) плотно для некоторого
(а тогда и для всякого) λ > 0.
10.7. Дополнения и задачи
(i) Расширения симметричных операторов (575). (ii)
Полуограниченные формы и операторы (582). (iii) Теоремы Чернова и Трот-
тера (586). (iv) Математическая модель квантовой механики (588).
Задачи (596).
10.7(i). Расширения симметричных операторов
В этом разделе мы подробнее обсудим вопрос о симметричных и
самосопряженных расширениях симметричных операторов.
В примере 10.2.3 мы видели, что замкнутый симметричный
оператор может не быть самосопряженным, но иметь при этом
самосопряженные расширения. Рассмотрим пример замкнутого симметричного
оператора, у которого нет самосопряженных расширений.
10.7.1. Пример. Пусть Н — L2[0,+oo). Положим
D(Ao) = Cg°(0, +оо), Aqu = iur,
Оператор Aq симметричен, его замыкание А является замкнутым
и симметричным оператором, но не имеет самосопряженных
расширений. Действительно, аналогично примеру 10.2.3 доказывается, что
множество 5)(Aq) = Ί)(Α*) состоит из таких функций и G L2[0,-foo),
что и абсолютно непрерывна на конечных отрезках hu'g L2[0,-foo).
При этом AqU — iu. Отметим, что непрерывная версия всякой функции
и £ 2)(Aq) имеет нулевой предел на бесконечности. В самом деле,
\u(t)\2 = \и(0)\2 + / [и\8)Щ + и(8)ТЩ<Ь.
Jo
Правая часть имеет предел на бесконечности ввиду квадратичной
интегрируемости и и υ!. Ясно, что этот предел может быть лишь нулевым.

576 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Из включения Aq С Aq следует, что Aq* С Aq. Тогда для всех
и е D(^3*) и ν е 1)(Aq) имеем
/ iu'(t)v(t)dt= / u(t)iv'{t)dt,
Jo Jo
что ввиду формулы интегрирования по частям и стремления и и υ
к нулю на бесконечности дает соотношение u(0)v(0) — 0.
Следовательно, и(0) — 0. Обратно, если u e ©(Ag) и гл(0) = 0, то имеем u G ©(Ag*)
и Aq*w = ш. Итак, /Ό(Α£*) состоит из таких и € 3D(^o)> что w(0) = 0.
Заметим, что Aq* = А = Д), ибо оператор Лд* замкнут, а его график
содержит замыкание графика Aq-
Пусть теперь В — самосопряженный оператор с А С В. Тогда
А С В = В* с А*. Однако Ί)(Α) имеет коразмерность 1 в D(A*), т.е.
множество 1)(В) должно совпадать с 35(A) или ©(А*), что невозможно,
ибо А не является самосопряженным.
Какова причина того, что внешне весьма похожие симметричные
операторы столь различны по отношению к существованию
самосопряженных расширений? Оказывается, дело здесь в различных индексах
дефекта, возникающих в случае конечного и бесконечного
промежутков.
10.7.2. Определение. Пусть Τ — замкнутый
симметричный оператор β гильбертовом пространстве Я. Размерности П-(Т)
и п+(Т) (возможнот бесконечные) ортогональных дополнений
подпространств Ran (Г + И) = Кег (Г* - И) и Ran (Г - И) = Кег (Г* + И)
называются индексами дефекта оператора Т.
В терминах введенного в конце §10.1 дефекта άτ(λ) можно записать
п_(Г) = dr(-i)> n+(T) = dT(i).
Введем преобразование Кэли плотно определенного симметричного
оператора Т. Как и для самосопряженного оператора, операторы Т+г/
и Τ — И инъективны. Однако теперь их образы не обязаны быть всюду
плотными.
10.7.3. Предложение. Пусть Τ — плотно определенный
симметричный оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда
(i) имеет место тождество
\\Тх + гх\\2 = ||Гх||2 + ||х||2 = \\Тх - гх||2, χ <= S(T).
(ii) Оператор Τ замкнут в точности тогда, когда
подпространства Ran (Τ + И) и Ran (Τ — И) замкнуты,
(iii) Существует линейная изометрия U между линейными
подпространствами Ran (Τ -f И) и Ran (Τ — ii), задаваемая формулой
U(Tx + ix) =Tx-ix, χ e D(T).
Отображение U называется преобразованием Кэли оператора Т.

10.7. Дополнения и задачи
577
Доказательство. Утверждение (i) проверяется непосредственно.
(ii) Пусть Г замкнут, хп £ ®(Г) и Тхп 4- гхп —> у. Из (i) следует
фундаментальность {хп}. Значит, хп —> χ е Η. Тогда
последовательность {Тхп} сходится к некоторому ζ £ X. Ввиду замкнутости Τ имеем
χ £ 35 (Т) и ζ — Тх, откуда у — Τ χ -f ix. Аналогично получаем
замкнутость Ran (Г — И).
Обратно, пусть подпространство Ran (Τ -f г7) замкнуто.
Предположим, что хп £ D(T), хп —► χ и Τχη -> ί/. Тогда Тхп + гхп -> ί/ + гх.
Замкнутость Ran (Τ + И) дает г* € 35 (Т) с г/ -f гх = Τ и -f ш. Поэтому
Т(хп — м) + г(хп — и) —> 0, что согласно (i) дает сходимость хп — и —> 0.
Итак, χ — и£ 35(Т) и г/ = Тх. Утверждение (iii) следует из (i). D
10.7.4. Следствие. Плотно определенный симметричный
оператор Τ обладает замкнутым симметричным расширением.
Доказательство. Из (i) следует, что оператор Τ замыкаем. Его
замыкание Τ симметрично, так как для всяких х,у £ 35(Т) по
определению найдутся две такие последовательности векторов хп,уп £ S(T),
что Тхп —> Тх и Туп —> Ту. Поэтому
(Тх,у) = lim (Txn,t/n) = lim (xn,Tyn) = (х,Тг/).
η—>οο п—юо
По построению оператор Τ замкнут (см. предложение 10.1.9). D
10.7.5. Следствие. Пусть Τ — замкнутый симметричный
оператор. Для всякого А € С с ImA ^ 0 имеет место ортогональное
разложение
Η = Ran (Г - XI) 0 Ker (Г* - XI).
Доказательство. Следует из предложения 10.1.13 в силу
замкнутости Ran (Г -XI). D
10.7.6. Теорема. Преобразование Кэли устанавливает
взаимнооднозначное соответствие между симметричными операторами Τ
в Η и изометрическими операторами V', для которых S(V) —
линейное подпространство в Η и Ran (V — I) = Η. При этом замкнутость
Τ равносильна тому, что 2)(V) — замкнутое подпространство.
Доказательство. Мы уже знаем, что если оператор Τ
симметричен, то его преобразование Кэли V изометрично отображает линейное
подпространство Ran (Τ -f И) на подпространство Ran (Τ — г/), причем
замкнутость Τ равносильна замкнутости указанных подпространств.
Покажем, что образ V — I плотен в Н. Действительно, пусть элемент
у £ Η таков, что
(Vz-zyy) = 0> z = (T + iI)x, x£l)(T).

578 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Так как V{T + il)x = (Τ — г/)х, то это означает, что (х, у) = 0 для всех
χ £ 2)(Т), т.е. у — 0. Обратно, пусть оператор У обладает указанными
свойствами. Заметим, что отображение V—I инъективно.
Действительно, пусть Ух—χ = 0 для некоторого χ £ Σ) (У). Тогда для всех у £ 2) (У)
имеем
(Ух, (I - V)у) = (Ух, у) - (Ух, Уу) = (Ух,») - (х, у) - 0,
что дает равенство χ = 0, ибо образ V — I плотен. Теперь положим
2)(T):=Ran(y-J), Ту = -г(У + /)х при г/= (У -/)х.
Оператор Τ плотно определен. При этом
(Ту, у) = -г(Ух + х, Ух - х)
= -г[(Ух,х) - (Ух,х) + (х,Ух) - (х,х)] = -211е(Ух,х),
что показывает вещественность формы (Τχ,χ). Итак, оператор Τ
симметричен. Поскольку
Ty + iy= —гУх — гх + гУх — гх = —2гх,
то Ran(T -f il) — 5)(У). Замкнутость этого подпространства дает
замкнутость Т. Наконец, преобразование Кэли Ό оператора Τ совпадает
с У, ибо Ran(T + И) = 2)(У), т.е. £>([/) = ®(У), причем
U(Ty + гу) =Ту~гу = -2гУх, U(Ty + гу) = U(-2ix) = -2г[/х
для всех χ € 2)(У). D
Преобразование Кэли сводит задачу расширения симметричного
оператора к задаче продолжения линейной изометрии, которая легко
решается.
10.7.7. Предложение. Если симметричный оператор Τ
является расширением симметричного оператора Т, то преобразование Кэли
оператора Τ — расширение преобразования Кэли оператора Т.
Обратно, если Τ — симметричный оператор с преобразованием
Кэли V и V — изометрический оператор, расширяющий V, то V
является преобразованием Кэли некоторого симметричного
оператора Т, который расширяет Т.
Доказательство. Первое утверждение очевидно из включения
Ran (Т+г/) С Ran (Т+г/). Второе утверждение следует из предыдущей
теоремы, которая дает симметричный оператор Τ с преобразованием
Кэли У. При этом
D(T) = Ran (У - /) С Ran (У - J) = J)(f)
и на Ί)(Τ) операторы Τ и Τ равны, что ясно из формулы, задающей Τ
по У (см. предыдущее доказательство). D

10.7. Дополнения и задачи
579
10.7.8. Лемма. Пусть Ηχ и Н% — замкнутые линейные
подпространства в гильбертовом пространстве Η φ 0 и U: Ηχ —> Нъ —
линейная изометрия с U{H\) — Η<ι. Отображение U можно
продолжить до изометрии на всем Η со значениями в Η в точности тогда,
когда dirnH^- ^ dimff^. В случае равенства этих двух размерностей
U продолжается до унитарного оператора.
Доказательство. При выполнении указанного условия мы
можем взять линейное изометрическое вложение V: Ηχ- —> Н^ (которое
в случае равенства размерностей этих подпространство можно сделать
сюръективным) и положить
U(x + u) = Ux + Vu, хеНъие tfj1-.
Обратно, если U имеет изометрическое расширение U на if, то
получаем ϋ(Ηχ-) С Н£, ибо U сохраняет ортогональность. D
10.7.9. Теорема. Пусть Τ — замкнутый симметричный
оператор и п-(Т), п+(Т) — его индексы дефекта. Тогда
(i) самосопряженность оператора Τ равносильна равенству
п_(Г) = п+(Т)=0;
(ii) существование самосопряженных расширений Τ равносильно
равенству п_(Г) = п+(Т);
(Ш) отсутствие собственных симметричных расширений Τ
равносильно равенству нулю хотя бы одного из индексов дефекта;
(iv) если п-(Т) = п+(Т) — оо, mo T имеет симметричные
расширения с наперед заданной парой индексов дефекта.
Доказательство. Утверждения теоремы вытекают из
установленного выше соответствия между симметричными операторами Τ и их
преобразованиями Кэли V с учетом того обстоятельства, что индексы
дефекта п-(Т) и п+(Т) совпадают с размерностями ne(V) и щ(у)
ортогональных дополнений подпространств Щ = 5) (V) и Ηχ = Ran V.
Если ne(V) φ rii(V), то V нельзя продолжить до унитарного
оператора, а если ne(V) = пДУ), то можно. Если ne(V) — rii(V) — оо, то для
заданной пары чисел п, га из {0,1,..., оо} можно взять в Hq- и Ηχ-
замкнутые бесконечномерные подпространства Eq и £Ί, имеющие в Hq-
и Ηχ- коразмерности η и га соответственно. Теперь можно расширить
оператор V с помощью изометрии, отображающей Εχ на Е<ь. □
10.7.10. Следствие. Все симметричные расширения
замкнутого симметричного оператора Τ с индексами дефекта n+ = rt- = 1
являются самосопряженными.
Эти расширения описываются комплексным параметром θ с |0| = 1
следующим образом: единичный вектор и одномерного пространства

580 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Ώ(ν)"1 переводится изометрическим расширением V в вектор θν, где
ν — единичный вектор одномерного пространства (RanУ)1·.
Из доказанного вытекает следующий критерий того, что замыкание
симметричного оператора А является самосопряженным оператором.
Такой оператор А называется существенно самосопряженным.
10.7.11. Следствие. Плотно определенный симметричный
оператор А является существенно самосопряженным, т.е. имеет
самосопряженное замыкание, в точности тогда, когда уравнения А*и = ги
и А*и = —ш имеют только нулевые решения в S3 (А*).
Приведем более точное описание симметричных расширений.
10.7.12. Теорема. Пусть оператор Τ замкнут и симметричен.
(i) Для всякого X с Im λ φ 0 имеет место равенство
5>(Т*) = ©(Г) + Кег (Г* - XI) + Кег (Г* - XI),
где стоит прямая алгебраическая сумма.
(И) Пусть D0 С Кег (Г* - XI) и До С Кег (Г* - λ J) - замкнутые
линейные подпространства одинаковой размерности щ (возможно,
оба бесконечномерные), и пусть Vo — некоторая изометрия Do на Rq.
Тогда формулой
J)(f) := S)(T) + (V0 - I)(D0) (10.7.1)
задается область определения некоторого замкнутого
симметричного расширения Τ оператора Т, где Т(х -f Vo#o — #о) —Тх — гх0 — iVoXo
при χ £ ?D(T), xo £ Do- Обратно, всякое замкнутое симметричное
расширение Τ имеет указанный вид.
Доказательство, (i) Ввиду симметричности оператора Τ правая
часть доказываемого равенства содержится в левой. Пусть у £ Э(Т*).
Так как
Я = Ran (Г - XI) Θ Кег (Г* - XI)
согласно следствию 10.7.5, то получаем представление
Т*у -Ху = (Т- Х1)х + (X - Х)щ где χ G 2)(Г), и G Кег (Г* - λ/).
С учетом равенства Т*х = Тх это дает (Т*у — Х1)(у — χ — и) = 0,
т.е. у — χ — и £ Кег(Т* — XI). Проверим, что сумма трех указанных
пространств является прямой. Пусть χ + и + υ — 0, где и £ %)(Т),
(Г* - Х1)и = 0 и (Г* - λί> = 0. Применяя Г* - XI и учитывая, что
Т*х = Тх, получаем (Т* — XI)x -f (λ — Χ)ν — 0. Еще раз используя
ортогональность Ran (Τ — XI) и Кег (Т* — XI), получаем χ = 0 и υ = 0.
(ii) Из утверждения (i) следует, что (Vo — I)(Dq) Π Ί)(Τ) = {0},
ибо Vo(D0) С До С Кег (Г* - λ/), D0 С Кег (Г* - XI). Без ущерба
для общности можно считать, что X = г. Пусть V — преобразование

10.7. Дополнения и задачи
581
Кэли Τ; Η является ортогональной суммой замкнутых подпространств
Ran (Г + И) — 5)(V) и Кег(Г* + И). Поэтому Do входит в
ортогональное дополнение 5)(V). Аналогично До входит в ортогональное
дополнение Ran (Г — И) — Ran V. Итак, с помощью Vo получаем
изометрическое продолжение V оператора V. Выше было показано, что
Э(Т) = Ran (У—/). Поэтому V соответствует симметричному
расширению Г оператора Т, удовлетворяющему (10.7Λ). При этом ТсТ* СТ*,
значит, Тх — гх и TVox — —гVox при χ £ Do. Так как
симметричные расширения Τ получаются указанным способом из изометрических
расширений У, то мы описали все замкнутые симметричные
расширения Г. D
При рассмотрении расширений полезно включить индексы дефекта
в параметрическое семейство άτ(λ) (см. конец §10.1). Как мы знаем из
предложения 10.1.15, функция άχ локально постоянна на множестве
регулярных точек. Применительно к симметричным операторам это
приводит к следующим выводам.
10.7.13. Предложение. Пусть Τ — замкнутый симметричный
оператор. Если Im λ φ 0, то оператор Τ — XI имеет ограниченный
обратный на области Ran(T — λ/); т.е. λ — регулярное значение.
Кроме того, число άτ(λ) постоянно в каждой из полуплоскостей
ImA >0 tilmA < 0.
Доказательство. Положим \ = а + ίβ. Ввиду вещественности
(Τχ,χ) при χ £ 3D (Г) получаем
|| (Г - Х1)х\\2 = || СЗГ — ai>||2 + β2\\χ\\2 + 2Re ((A - al)x, ιβχ) =
= \\(Τ-αΙ)χ\\2 + β\\χ\\2>β2\\χ\\2,
что доказывает первое утверждение. Второе утверждение очевидно из
предложения 10.1.15. D
10.7.14. Следствие. Если у замкнутого симметричного
оператора Τ есть вещественная регулярная точка, то его индексы дефекта
равны. Значит, Τ имеет самосопряженные расширения.
10.7.15. Следствие. Пусть Τ — такой замкнутый
симметричный оператор, что при некотором т Ε ГО,1
(Тх9х) ^ га(х,х) Vx e D(T).
Тогда луч (—оо, т) входит в множество регулярных точек и индексы
дефекта Τ равны. Значит, Τ имеет самосопряженные расширения.
В следующем разделе мы подробнее обсудим ситуацию из этого
следствия и увидим, что есть расширения с такой же оценкой.

582 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
10.7(H). Полуограниченные формы и операторы
В этом разделе изучаются симметричные операторы,
квадратичные формы которых оцениваются снизу через const||х||2. Такие
операторы часто возникают в приложениях (особенно важны
операторы с неотрицательными формами). Они обладают максимальными
(в уточняемом ниже смысле) ограниченными снизу самосопряженными
расширениями: так называемыми расширениями по Фридрихсу.
Пусть в комплексном гильбертовом пространстве Η заданы
плотное линейное подпространство 35 (Q) и функция
Q:JD(<?)x ©(<?)-> С,
которая линейна по первому аргументу и сопряженно-линейна по
второму. Ей соответствует квадратичная форма χ ι—> Q(x,x) на 5)(<2). Эта
форма называется полуограниченной снизу, если существует такое
вещественное число га, что
Q(x,χ) > т(х, χ), χ £ 2)(<2).
Если га можно взять неотрицательным, то форма называется
неотрицательной, а если га можно взять строго положительным, то форма
называется положительно определенной или положительной.
Наибольшее возможное т называется точной нижней границей формы Q.
Мы будем рассматривать формы, порожденные симметричными
операторами по формуле
Q{x,x) := (Αχ,χ), χ е 5)(А).
Введенная терминология переносится с форм на операторы. В
частности, симметричный оператор называется полуограниченным снизу,
если такова его квадратичная форма; если форма неотрицательна или
положительна, то и оператор называется неотрицательным
(соответственно положительным). В приложениях часто первичным объектом
выступают как раз квадратичные формы, а по ним строят
порождающие их операторы, исследуют их области определения,
самосопряженность и т.д. Вот типичный пример: по заданной неотрицательной
борелевской мере μ на IRn в пространстве £2(μ) вводится форма
Дирихле
ε(ψ, Ψ) = ί (V<p(*)> VV(x)) μ(άχ), φ € С0°°(1ЕГ).
JJRn
Возникает вопрос: можно ли эту форму задать самосопряженным
оператором? Скажем, если μ — мера Лебега, то форма S порождается
оператором Лапласа Δ. Уже в этом примере видно, что порожденная
оператором форма может иметь естественную область определения,
более широкую, чем область определения порождающего ее
оператора. Например, естественная область определения оператора Лапласа
Δ в L2(TRn) — класс Соболева W2y2(lRn), в то время как порождаемая

10.7. Дополнения и задачи
583
им градиентная форма Дирихле естественно определена на более
широком классе Соболева W2il(lRn). Как мы увидим, это явление весьма
типично.
Предположим сначала, что форма Q положительно определена.
Тогда 5)(<2) можно наделить скалярным произведением
(*> y)Q :=z Q(x> у)> χ>ν £ ®{Я)'
Если 2)(<2) гильбертово относительно (·, · )Q, то форма Q называется
замкнутой,
10.7.16. Теорема, (i) Пусть А — положительный
самосопряженный оператор. Тогда он порождает замкнутую форму
Qa(x,x) := (л/Аг, >/Ах), ЩЯа) := ®(л/А).
При этом Qa — единственная положительная форма Q,
удовлетворяющая условиям
Ъ(А) с S)(Q), (Ас,») = Q(x9y) для всех χ £ ®(А),г/ <Е S(Q). (10.7.2)
(ii) Обратно, всякая плотно определенная замкнутая
положительная форма Q получается из некоторого положительного
самосопряженного оператора указанным способом, причем такой оператор
только один.
Доказательство, (i) Замкнутость формы Qa следует из
замкнутости самосопряженного оператора у/А. Далее, пусть положительная
форма Q удовлетворяет условиям (10.7.2). Тогда Qa(#, у) — Q(x,y)
при х,г/ £ Э(А). Для доказательства равенства форм Qa и Q
проверим, что 5)(А) плотно в гильбертовых пространствах D(Qa) и D(Q)
с их нормами || · ||д и || · ||Q. Если у е 5)(Q) и Q(x,y) = 0 для всех
χ £ 5)(А), то ввиду (10.7.2) вектор у ортогонален в Η множеству Ran A,
которое плотно, ибо А самосопряжен. Поэтому у = 0. Это доказывает
плотность 1)(А) в 5)(Q). Такое же рассуждение применимо и к 5)(Qa)·
(ii) Для и£ Η рассмотрим на гильбертовом пространстве S(Q) со
скалярным произведением (·, · )Q функционал 1и(у) ·"= {и, г/). Тогда
M»)KIHIIIy||<»n-1/2IMIIIylU·
По теореме Рисса существует единственный элемент ν £ 5)(Q), для
которого lu(y) = Q(^, у) при всех у £ 5)(<2). Ясно, что элемент ν линейно
зависит от и. Положим Ви := v. Тогда
Q(Bu,y) = (u,y), ye*D(Q).
Так как \\Bu\\2Q = (и,Ви) ^ ||u|| \\Ви\\ ^ m"1/2!^!! \\Bu\\Q, то получаем
||f?w||Q ^ m-1/2||ti||, т.е. В — непрерывный оператор из ii в 2)(<2) с
нормой || · || Q. Поэтому В непрерывен из Η в Н. Поскольку при у = Ви
мы имеем (щВи) = Q(Bu,Bu), то В самосопряжен. Этот оператор

584 Глава 10. Неограниченные операторы и полутруппы
инъективен. В самом деле, пусть Ви = 0. Тогда {у, и) = 0 для всех
у £ S(Q), откуда и — 0. Поэтому определен самосопряженный
оператор А := В~х на области D(A) := Ran Б С D(Q)· Получен искомый
оператор. В самом деле, при и = Αχ, χ е Ί)(А), имеем
(Ах, у) = Q(x, у), хеЪ{А),уе 2)(Q).
Согласно доказанному в (i) форма Qa совпадает с Q. Проверим
единственность А. Предположим, что имеется еще один самосопряженный
оператор Αχ, порождающий форму Q. Тогда
©(g) = v{Va)= ό (VaT).
Поэтому для всякого у £ Э(Αι) имеем
(х, Агу) = Q(x, у) = (у/Ах, у/Ау), χ е D(Q).
Это равенство означает, что
>/Ayev((VA)*)=Q(VA) и (yfA)*VAy = Aiy,
т.е. у £ 53(A) и Ау = А\у. Итак, А\ С А, Аналогично А С Αχ. D
Пусть теперь Τ — полуограниченный снизу симметричный
оператор. Как мы знаем, он имеет замыкание, являющееся замкнутым
симметричным оператором. Это замыкание тоже оказывается
полуограниченным снизу оператором, ибо для всякого χ £ Ί)(Τ) найдется такая
последовательность {хп} С ®(Т), что хп —> χ и Тхп —> Тх. Поэтому
из оценки (Тхп,хп) ^ т(хп,хп) следует оценка (Τχ,χ) ^ т(х,х).
Значит, оператор Τ имеет самосопряженные расширения. Описанная выше
связь с квадратичными формами позволяет построить
полуограниченное снизу самосопряженное расширение. Для этого будем иметь дело
с замыканием Τ и заменим Τ положительным оператором То := Τ + XI
для какого-нибудь λ > га. Рассмотрим положительно определенную
форму Q(x) = (Tqx,x).
10.7.17. Лемма. Пусть Q — положительно определенная
квадратичная форма на плотном линейном подпространстве D(Q) в Н.
Предположим, что выполнено следующее условие:
(С) если последовательность {хп} С S(Q) фундаментальна по
норме || · ||Q и \\хп\\ -> 0, то Q(xn,y) —► 0 при всех у £ 3D(Q).
Тогда форма Q замыкаема обследующем смысле: имеется такая
замкнутая квадратичная форма Q с областью определения 1)(Q) в Н,
что Э(<2) есть пополнение 5)(Q) по норме \\ · ||Q и Q|s)(Q) = Q·
Доказательство. Пусть последовательность {хп} из D(Q)
фундаментальна по норме || · ||Q. Тогда она фундаментальна в Η и потому
сходится в Η к некоторому χ Ε Η, Пусть S(Q) состоит из всех так
полученных элементов в Н. Положим Q(x,x) = lim Q(xn,Xn)- Покажем,

10.7. Дополнения и задачи
585
что S(Q) можно отождествить с пополнением 5)(Q). Для этого надо
убедиться в следующем: если две фундаментальные
последовательности {хп} и {уп} из D(Q) сходятся в пополнении к разным элементам,
то и в Я их пределы различны. Если бы оказалось, что у них общий
предел а; в Я, то мы бы получили фундаментальную по норме || · ||Q
последовательность zn := хп — уп, которая сходится к нулю в Н. По
условию (С) имеем Q(zn,y) —> 0 для всех у G 2)(<Э). Ввиду
плотности 3)(Q) в пополнении, это означает, что {zn} сходится в пополнении
к нулю, вопреки тому, что мы предположили {хп} и {уп}
сходящимися к разным элементам пополнения. Нетрудно видеть, что получено
искомое замыкание. D
Итак, форму Q можно замкнуть. При этом замыкание тоже будет
положительно определенным. Согласно доказанному, существует
положительный самосопряженный оператор То, порождающий замыкание
нашей формы. Этот оператор называется расширением Фридрихса
оператора Τ -f λ/, а оператор То — XI называют расширением Фридрихса
оператора Т.
10.7.18. Пример. Пусть оператор А = —dfifdt2 задан на области
S>(A)=Cg°(0,l). Тогда
(Αφ,φ)= f \<p'(t)\2dt>0.
Jo
Пополнение Ί)(Α) по норме ((Αφ, φ) -f (φ, φ)) совпадает с
пространством Соболева №£'г[0у1] всех абсолютно непрерывных функций φ
с φ(0) = φ(1) = 0 и φ' £ L2[0,1]. Расширение Фридрихса
оператора А есть неотрицательный самосопряженный оператор А = —cP/dt2
на области ®о = {φ £ W2,2[0,1]: φ(0) = φ(1) = 0}. Однако А имеет
и другие неотрицательные самосопряженные расширения: например,
Аг = -dP/dt2 на области 2) ι = {φ ё W2'2[0,1]: <f/(Q) = ^(1) = 0}.
Кроме того, есть и самосопряженные расширения оператора А, не
являющиеся неотрицательными: например, Ач = —d?/dt2 на области
2>! = {φ е W2,2[0,1]: у/(0) = ¥>(0),у>'(1) = φ(1)}. Отметим, что
оператор А не является существенно самосопряженным (его замыкание
определено на функциях φ G W2,2[0,1] с φ(0) = φ(1) = у/(0) = φ'(1) = 0),
благодаря чему имеются различные ограниченные снизу
самосопряженные расширения (задача 10.7.32).
Доказательство следующего утверждения о свойствах расширения
Фридрихса — задача 10.7.35.
10.7.19. Теорема. Предположим, что А — ограниченный снизу
плотно определенный симметричный оператор с расширением
Фридрихса A u*OQ — область определения замыкания формы,
порожденной оператором А.

586 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
(i) Пусть А\ — такое самосопряженное расширение А, что
D(Ai) С DQ. Тогда Аг = А.
(Н) Пусть Αχ — ограниченное снизу самосопряженное
расширение А и Qi — соответствующая форма. Тогда 2)q С SQi и Q\ — Q
на Dq.
Как видно из предыдущего примера, расширение Фридрихса может
быть не единственным самосопряженным расширением, ограниченным
снизу. Описание ограниченных снизу расширений см. в [14, §109].
lO.T(iii). Теоремы Чернова и Троттера
Здесь мы приведем два интересных результата, связанных с
приближением операторных полугрупп. Первый — теорема Чернова — на
самом деле был получен позже теоремы Троттера, которую мы
получим ниже как следствие. Сначала установим один вспомогательный
результат.
10.7.20. Лемма. Пусть L и Ln, где η £ IN, — генераторы
сильно непрерывных сжимающих полугрупп в банаховом пространстве X
и D С 5)(Ь) П(ПП>1 ®С^п)) ~" такое линейное подпространство, что
(XI — L)(D) плотно в X. Предположим, что Lnx —> Lx при η —> оо
для всякого χ £ D. Тогда для всякого χ £ X при Re λ > 0 имеем
{\I-Ln)-lx-+(\I-L)-lx.
Доказательство. Пусть φ = (XI — L)<^, φ £ D. Напомним, что
IKAJ-LnJ-^KIAI"1. Поэтому
||(A/-Ln)-V-(A/-L)-Vll =
= ||(λ/ - LnJ-^AJ - Ln)<p - (Μ - Lnyl(Ln - L)<p - φ\\ =
= \\(XI - Ln)-\Ln - L)V\\ ^ \Χ\-λ\№η - 1)φ\\.
Итак, лемма верна для всех ψ из плотного множества. С учетом оценок
||(λ/ - Ьп)-г\\ ^ 1 и \\(Х1 - Ь)-г\\ ^ 1 это дает требуемое. D
10.7.21. Теорема. Пусть X — банахово пространство,
отображение F: [0, +оо) —» С(Х) непрерывно на каждом векторе, F(0) = I,
\\F(t)\\ ^ eat с некоторой постоянной а £ К1, причем есть такое
плотное линейное подпространство D с X, что при всех χ £ D
существует предел F'(0)x := limt~1[F(t)x — х]. Предположим, что
F'(0) на D обладает замыканием С, являющимся генератором
сильно непрерывной полугруппы (Tt)t^o- Тогда для всякого χ £ X имеем
F(t/n)nx —> Ttx при η —> оо равномерно по t из всякого отрезка.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда а — 0 и
(Tt)t^o — сжимающая полугруппа (умножив F(t) на e~tC с достаточно

10.7. Дополнения и задачи
587
большим С > 0). Отметим следующий факт, если Τ G С(Х) и ||Т|| ^ 1,
то операторы ехр(£(Т — /)) образуют сжимающую полугруппу, причем
| [ехр(п(Т - /)) - Г»]*| < п^2\\(Т - 1)х\\.
В самом деле, ||exp(i(T - /))|| < е"* ££L0 il\\T\\k < L Кроме того,
| [ехр(п(Г - /)) - Тп]х|| = ||е-п ]Г ^-{Тк - Тп)ж| ^
fc=0
00 к
fc=o κ·
00 к °° \U \ к
fe=o κ· fe=o κ·
что оценивается через ηχ/2||(Τ — /)ж||, ибо
оо оо 1/2 °° 1/2
Σ \к - п\пк/к\ ^ (J2 \к ~ n\2nk/kty (X)nfe/fc!) ^ {nen)l'2enl2
fc=0 fc=0 fc=0
ввиду легко проверяемого равенства Y^Lq \k — п\2пк/к\ — пеп.
Зафиксируем г > 0 и положим Τ := F(r/n), Ln := ητ~χ {F(r / ri)—l). Согласно
доказанному выше утверждению оператор Τ — I порождает
сжимающую полугруппу ехр[£(Т — /)]. Поэтому оператор Ln также порождает
сжимающую полугруппу exp(£Ln). Согласно нашим условиям и
теореме 10.5.8 имеет место поточечная сходимость последовательности
операторов exp[n(F(r/n) — /)] = exp(rLn) к Тт. Пусть χ G D. Еще раз
применив упомянутое утверждение, при η —> оо получаем
|| exp(rLn) - F{r/n)nx\\ < п^Ц^т/п) - 1)х\\ =
= ^1К_1№Л*)-'ИНо.
Таким образом, при χ G D имеем F(r/n)nx —> Тгх. Тогда это же
остается в силе для всех χ G X, ибо D плотно и ||F(r/n)|| ^ 1в
рассматриваемом случае. Анализ доказательства показывает, что сходимость
равномерна по г из каждого отрезка. D
10.7.22. Следствие. Пусть А и В — генераторы сильно
непрерывных сжимающих полугрупп exp(L4) и ехр(Ш) в X, множество
D(A) Π £) (В) плотно, причем оператор А + В на нем обладает
замыканием С, являющимся генератором сглльно непрерывной сжимающей
полугруппы ехр(£С). Тогда exp(tC)x = lim (exp(tA/ri)exp(tB/n)) x
n-юо
для всякого х G X равномерно not из каждого отрезка.

588 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Доказательство. Достаточно положить F(t) = ex.p(tA) exp(tB).
Тогда
—— χ = t~1[exp(tA)(exp(tBx — χ) + (exp(tA)x — χ)] —> Βχ -f Ax
при х Ε D(A) Π 2)(-B), что позволяет применить теорему. D
10.7.23. Пример. Пусть (Tt)t^o — сильно непрерывная
сжимающая полугруппа с генератором L на банаховом пространстве X. Тогда
lim (I - Ы-гЬ)-пх = Ttx, x G X.
п—юо
Для этого положим
лоо
F(t):=(J-tL)-1= / e-3Tstds
Jo
и заметим, что F'(0) = L на S)(L).
Отметим, что в теореме Чернова оператор F'(0) автоматически
замыкаем, если он плотно определен. Для этого достаточно рассмотреть
случай а — 0; в этом случае оператор F'(0) очевидным образом дисси-
пативен (ибо l(F(t)x) ^ 1 при \\1\\ = ||х|| = ί), следовательно, замыкаем,
см. задачу 10.7.42. Поэтому основное условие состоит в том, что
множество (/ — F'(0))(D) плотно. Оно не вытекает из диссипативности:
достаточно взять неположительный симметричный оператор, не
являющийся существенно самосопряженным.
10.7(iv). Математическая модель квантовой механики
Используемая в настоящее время математическая модель
квантовой механики описывается набором аксиом, сформулированных на
языке теории операторов в гильбертовом пространстве в книге фон
Неймана [163], вышедшей на немецком языке в 1932 году. Фактически эта
модель фон Неймана является формализацией модели, введенной в книге
Дирака [74], первое английское издание которой вышло в 1930 году.
Стоит отметить, что через год после выхода книги фон Неймана была
опубликована (также сначала на немецком языке) книга А.Н.
Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей». Можно считать, что
книги фон Неймана и Колмогорова вместе дают решение шестой
проблемы Гильберта (одной из 23 проблем, поставленных в его докладе
на втором Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900
году) об аксиоматическом построении теории вероятностей и
механики. Основные математические объекты, используемые при построении
описьюаемой модели, — комплексное сепарабельное гильбертово
пространство и самосопряженные операторы в нем. Основные физические
объекты — квантовая система (исследуемый физический объект,
например, элементарная частица, семейство таких частиц или квантовый
компьютер), ее наблюдаемые (физические величины, которые можно

10.7. Дополнения и задачи
589
измерять) и состояния. Состояния бывают чистые и смешанные.
Состояние квантовой системы называется чистым, если оно не является
вероятностной смесью отличных от него состояний. Всякое смешанное
состояние совпадает с вероятностной смесью чистых состояний.
Теперь приведем аксиомы и комментарии к ним.
Аксиомы. 1. Каждой квантовой системе сопоставлено
комплексное сепарабельное гильбертово пространство Н, назьюаемое ее
пространством состояний. Наблюдаемым сопоставляются
самосопряженные операторы в Η (которые в рамках рассматриваемой модели часто
сами называются наблюдаемыми). Чистым состояниям
сопоставляются ортогональные проекторы на одномерные подпространства в Я. Так
как проектор можно отождествить с его образом, то можно сказать,
что чистые состояния задаются одномерными подпространствами в Η
(т.е. элементами проективного гильбертова пространства). Кроме того,
чистые состояния бывает удобно представлять векторами,
порождающими соответствующие одномерные подпространства (их можно
считать нормированными). Эти векторы называются векторами
состояний квантовой системы; именно поэтому Η называется пространством
состояний. Если всякий вектор из пространства Η задает некоторое
(чистое) состояние, то говорят, что в квантовой системе нет правил
суперотбора (правила суперотбора обсуждаются в комментарии 9).
Аксиомы. 2. Временная эволюция вектора состояния квантовой
системы описывается однопараметрической группой унитарных
операторов U(t). Это означает, что если ψ(ί\) — вектор состояния
квантовой системы в момент t\, то ее вектор состояния в момент t^
определяется равенством ф^) — Ufa — ti)ip(ti). Согласно теореме Стоуна,
U(t) = ехр(—г|#), где h постоянная Планка, а Н —
самосопряженный оператор, называемый гамильтонианом системы; он
соответствует (^является) наблюдаемой, называемой энергией. При этом обычно
предполагается, что оператор Η — неотрицательно определенный или
хотя бы полуограниченный (снизу), так как считается, что энергия
физической системы не может уменьшаться неограниченно.
Комментарии. 1. Справедливо равенство ίΗψ'ζί) = Hij)(t),
назьюаемое уравнением Шредингера.
Аксиомы. 3. Если А\, Аъ,..., Ап — попарно коммутирующие
наблюдаемые, то существует эксперимент, позволяющий одновременно
измерить эти наблюдаемые, каково бы ни было состояние системы.
При этом, если φ — вектор, задающий состояние квантовой системы
и Tlj,j = 1,2,...,η, — проекторные меры для Aj (см. §§7.9, 7.10(ii)),
то вероятность того, что измеренные значения наблюдаемых Aj будут
содержаться в борелевских множествах Bj С IR при j — 1,..., га, равна
величине ЦП^В,) · · · Пп(Вп)ф\\2/\\ф\\2.

590
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Комментарии. 2. Математическое ожидание результатов
измерения наблюдаемой А в чистом состоянии, задаваемом вектором ψ, равно
(Α^,^/ΙΙ^ΙΙ2 (если правая часть определена). Аксиома 3 в свою
очередь может быть выведена (при некоторых естественных
предположениях) из этого утверждения.
Аксиомы. 4. Эксперимент по измерению наблюдаемой А с
дискретным спектром можно провести таким образом, что если исходное
состояние было чистым и представлялось вектором φ, причем в
качестве результата измерения было получено число λ, то сразу после
измерения система окажется в чистом состоянии, представляющем
собой проекцию вектора φ на собственное подпространство, отвечающее
собственному значению λ. Переход от вектора φ к его проекции
называется редукцией вектора состояния.
Комментарии. 3. Эта аксиома — усиление первоначальной
аксиомы фон Неймана (по которой размерность соответствующего
собственного подпространства равна единице), называемое иногда постулатом
Людерса; до сих пор в литературе обсуждается правомерность
принятия этого постулата. Отметим еще, что в известном учебнике Ландау
и Лифшица отрицается и первоначальная аксиома фон Неймана.
Комментарии. 4. Чтобы распространить аксиому о редукции
вектора состояния на случай наблюдаемых с непрерывным спектром, надо
расширить описываемую модель, воспользовавшись теорией
обобщенных функций. Фактически это сделал еще сам Дирак (до появления
аксиоматики фон Неймана), но на эвристическом уровне строгости.
Комментарии. 5. Таким образом, существуют два типа эволюции
квантовых систем: описываемая аксиомой 2 (она называется
унитарной или гамильтоновой) и описываемая аксиомой 4 редукция вектора
состояния. В первом случае будущее состояние системы однозначно
определяется ее начальным состоянием; во втором случае будущее
состояние зависит от начального только вероятностным образом. До сих
пор активно обсуждается вопрос о том, в какой мере второй тип
эволюции можно свести к первому. Стоит подчеркнуть, что эволюция первого
типа происходит в изолированной системе (такие системы называются
замкнутыми); эволюция второго типа является результатом
взаимодействия системы с другой системой — измерительным аппаратом.
Аксиомы. 5. Если квантовая система с гильбертовым
пространством Η состоит из двух подсистем с гильбертовыми
пространствами Hi и i?2 соответственно, то предполагается, что Η можно
отождествить с гильбертовым тензорным произведением пространств Ηχ и Нъ
(см. §7.10(vi); здесь гильбертово тензорное произведение мы будем
обозначать символом НхФЩ) или с одним из его подпространств: с
замыканием подпространства симметричных тензоров или замыканием
пространства антисимметричных тензоров (первый вариант используется
при описании частиц, называемых бозонами, а второй — при описании

10.7. Дополнения и задачи
591
частиц, называемых фермионами). Предполагается, что если
квантовые системы Н\ и Нъ находятся в чистых состояниях, представляемых
векторами х\ и х^ соответственно, то состояние объединенной системы
также является чистым и представляется вектором χι0Χ2· Кроме того,
если Αχ и Ач — наблюдаемые соответствующих подсистем, то их
измерение — это то же самое, что измерение наблюдаемых Αχ072 и ДфАг
в объединенной системе; здесь и далее Д, /г — тождественные
отображения соответствующих пространств. Квантовые системы с
гильбертовыми пространствами Hi и i?2, рассматриваемые как подсистемы их
объединения, называются открытыми.
Комментарии. 6. Верна следующая теорема. Пусть объединенная
система находится в чистом состоянии, представленном вектором
φ £ Η = #i(g)iJ2· Тогда существует такой неотрицательный
ядерный оператор Т* в Hi с trT^ = 1, что для каждого ограниченного
самосопряженного оператора А в Hi имеем tr (AT*) = (Α®ΐ2ψ,φ)Η.
В самом деле, пусть {е£} — ортонормированный базис в Нъ\ тогда
соотношение (Τ*χ,ζ)Ηι = М\-2Т^1(х®е1>(Р)н(г®е1,<р)н, x,ze Яь
однозначно задает Т^.
Оператор Т* называется оператором плотности (порождаемым
состоянием φ объединенной системы); говорят, что он определяет
смешанное состояние системы с гильбертовым пространством Hi
(порождаемое чистым состоянием объединенной системы). Можно показать
(упражнение), что каждый неотрицательный ядерный оператор с
единичным следом может быть получен таким образом. Конечно, все
сказанное верно и для системы с гильбертовым пространством Н^.
Комментарии. 7. В рамках рассматриваемой модели оператором
плотности в гильбертовом пространстве К называется произвольный
неотрицательный ядерный оператор со следом 1. Пусть Lf(K) —
множество таких операторов. Говорят, что оператор Τ Ε Lf(K) задает
смешанное состояние; если система находится в таком состоянии, то
среднее значение результатов измерений наблюдаемой А равно tr AT
(если выражение справа определено; например, это верно для
ограниченных А). Чистые состояния являются частным случаем смешанных;
а именно: чистое состояние, задаваемое нормированным вектором у?,
задается также оператором плотности φ 0 φ (который действует по
формуле φ®φ: χ ι—> φ(χ^φ)). Если состояние объединенной системы
с гильбертовым пространством Η = #ι ®#2 само является смешанным
и задается оператором плотности 5, то существуют оператор плотности
Tg в Hi и оператор плотности Т$ в Щ такие, что для всех
ограниченных наблюдаемых Αι в Hi и Аъ в Щ имеем tr(AijT|) = tr [(Αι® J2)S]
и tr (A2TJ) = tr [(/i0A2)5]. Состояния Tj и Т| называются
редукциями состояния 5; говорят также, что Тд — частичный след оператора S

592 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
относительно Щ, а Т% — частичный след оператора S относительно Н\;
эти частичные следы обозначаются символами tr#2£ и tr^S
соответственно; так же обозначаются и обычные следы в тех же пространствах.
Таким образом, Ьтн1(^н2^) = trS = tr^fa^S).
Подчеркнем, что по состояниям Tj и Т| подсистем, являющимся
редукциями состояния 5 объединенной системы, это последнее можно
восстановить только в случае, когда оба состояния Tj и Т| — чистые
(тогда S = Т|(8>Т|). Однако в общем случае это равенство может не
выполняться. Так будет, если состояние S — чистое, а Т$ и Т% —
смешанные. Таким образом, в квантовой механике, в отличие от
механики классической, состояния подсистем могут не определять состояние
объединенной системы (но, как только что было показано, состояние
объединенной системы определяет состояния подсистем).
Однопараметрическая группа U(t) унитарных операторов из
аксиомы 2 определяет однопараметрические сильно непрерывные группы
(называемые также динамическими) F(t) и G(t) непрерывных
отображений, соответственно, банахова пространства ядерных операторов
в себя и банахова пространства ограниченных наблюдаемых в себя
следующим образом:
F(t)T = U(t)TU(t)*, G(t)A = U(t)*AU(t).
Для каждого t отображение F(t) является продолжением по
непрерывности отображения конечных линейных комбинаций чистых
состояний, являющегося в свою очередь продолжением по линейности
отображения U(t). Каждое из отображений G(t) является сопряженным к
соответствующему отображению F(t); при определении сопряженного
отображения используется теорема 7.10.40, по которой пространство
всех непрерывных линейных операторов в гильбертовом пространстве
можно отождествить с сопряженным к пространству всех ядерных
операторов (непрерывный линейный оператор А отождествляется с
функционалом Τ ι-> tr AT). При этом функции t ι-» F(t)T Hi и G{t)A
являются решениями задачи Коши для уравнений
f'(t) = г[Н, f(t)]/fi, g'(t) = i\g(t), Н]/П
с начальными условиями Τ й А соответственно. Обычно эти уравнения
называются уравнениями Гейзенберга, хотя первое из них
называется иногда уравнением Шредингера, а второе — уравнением Лиувилля.
Говорят, что каждая из групп U(t), F(t) и G(t), а также каждое из
уравнений Гейзенберга и уравнение Шредингера определяет гамильто-
нову динамику квантовой системы. Если 17#(£) — однопараметрическая
группа унитарных преобразований if, определяющая динамику
квантовой системы, то, каково бы ни было состояние Τ объединенной
системы, функция Т, задаваемая равенством f(t) = trH2U(t)TU(t)*,
определяет динамику первой подсистемы, порождаемую динамикой этой

10.7. Дополнения и задачи
593
объединенной системы. Разумеется, функция Τ не обязана быть даже
однопараметрической полугруппой. Уравнение, которому она
удовлетворяет, называется управляющим (в английской литературе — master
equation). Тем не менее, для описания так называемой марковской
аппроксимации динамики квантовых систем, взаимодействующих с
квантовыми полями, оказывается полезным использовать пределы
некоторых семейств функций типа функции Т, зависящих от параметра,
характеризующего взаимодействие (см. Accardi, Lu, Volovich [249]). Эти
предельные функции уже оказываются однопараметрическими
полугруппами и удовлетворяют уравнениям, аналогичным обратному
уравнению Колмогорова из теории диффузионных процессов.
Комментарии. 8. По аналогии с проекторными мерами вводятся
более общие борелевские меры Ε на IR со значениями в множестве
неотрицательных ограниченных операторов в Η с Е(Ж) = I. По
теореме Наймарка (см. [14, §110]), такая мера есть композиция проекции на
Η с проекторной мерой со значениями в некотором большем
гильбертовом пространстве, подпространством которого является Н. Поэтому
такие более общие разложения единицы также описывают некоторые
физически реализуемые эксперименты, которые полезны, в частности,
тогда, когда требуется получить максимально возможную
информацию о состоянии системы (см. Холево [232]). Оказывается, что иногда
измерения над большей системой могут доставить больше
информации о состоянии подсистемы, чем эксперименты над одной этой
подсистемой (для неквантовых систем такая ситуация невозможна). Для
описания результатов такого эксперимента проекторную меру в
объемлющем пространстве можно явно не использовать: оказывается, что,
если состояние первоначальной (под)системы представлено оператором
плотности 5, то вероятность того, что в эксперименте, описываемом
таким разложением единицы Е, значение измеряемой величины будет
принадлежать борелевскому множеству .В, равно tr[E(B)S].
Комментарии. 9. Правила суперотбора (если они есть) задаются
некоторой проекторной мерой П. При этом считается, что физически
допустимыми являются лишь наблюдаемые, коммутирующие с
каждым из операторов ЩВ). Если мера Π сосредоточена на конечном или
счетном множестве, то аналогично предыдущему физически
допустимыми являются лишь состояния, представляемые операторами
плотности, коммутирующими с каждым из операторов П(В). При этом
множество векторов, представляющих физически допустимые чистые
состояния, совпадает с объединением образов всех проекторов П({^}),
j = 1,2,... Если в квантовой системе нет правил суперотбора, то
всякая линейная комбинация векторов, представляющих (чистые)
состояния, снова является вектором, представляющим некоторое чистое
состояние; этот факт, именуемый принципом суперпозиции, отражает
так называемые волновые свойства квантовых систем. Именно принцип

594 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
суперпозиции определяет фундаментальное отличие квантовых систем
от классических.
Комментарии. 10. Всякое смешанное состояние может быть
получено как вероятностная смесь чистых. А именно: пусть ν — такая
вероятностная мера на К, что ^({0}) = 0. Тогда математическое
ожидание результатов измерений ограниченной наблюдаемой А в
предположении, что эта мера определяет вероятностное распределение чистых
состояний, равно / (Az,z)K\\z\\~2v(dz). Из теоремы 7.10.40 вытека-
JK
ет, что на К существует такой ядерный положительно определенный
оператор 5, что для каждой ограниченной наблюдаемой А справедли-
во равенство / (^№4*) = tr(AS) (теорема да^ равенство
JK
сначала на компактных операторах, но затем оно распространяется на
все операторы поточечным приближением). Из этого равенства в свою
очередь следует, что в качестве меры ν (которая определяется им
отнюдь не однозначно) может быть взята мера, являющаяся
произведением функции ζ ь-> || 21|2 и другой вероятностной меры μ. Это означает,
что / (Αζ,ζ)κ μ(άζ) = tr(AS), так что в качестве μ подходит любая
вероятностная мера с нулевым средним и с корреляционным
оператором S (среди таких мер существует ровно одна гауссовская мера).
Таким образом, каждое смешанное состояние можно получить
двумя принципиально различными способами: как вероятностную смесь
чистых состояний и как состояние, порождаемое чистым состоянием
некоторой большей системы.
Комментарии. 11. Приведенная система аксиом, конечно, не
является полной, так как существуют неизоморфные квантовые
системы. Хотя согласно известной теореме Гёделя все достаточно богатые
аксиоматические системы неполны, это утверждение не является
бессодержательным: как принято в разделах математики, не связанных
с математической логикой, эта система аксиом была введена в
рамках и на языке теории множеств, и под полнотой так введенной
системы аксиом понимается существование единственной ее реализации
именно в рамках теории множеств. Однако различные модели самой
теории множеств нельзя различить, оставаясь внутри нее, т.е.
пользуясь только ее аксиомами (именно благодаря этому можно построить
так называемый нестандартный анализ). Большой класс систем
получается путем применения процедуры квантования к гамильтоновым
системам классической механики. Напомним, что симплектическое
локально выпуклое пространство — это пара (#,/), где Ε —
вещественное локально выпуклое пространство и 7 — линейное отображение в Ε
сопряженного к Ε пространства Ε*, наделенного топологией,
согласующейся с двойственностью между Е* и Е, такое, что I* = —I. Если

10.7. Дополнения и задачи
595
/ид — числовые (комплексные или вещественные) функции на Е, то
их скобкой Пуассона называется функция на Е, обозначаемая
символом {/, д} и определяемая равенством {/, д}(х) = /'(х) (/((?'(х))). Далее
предполагается, что Ε = QxP(= Q0P), где Q — локально выпуклое
пространство, Ρ — его сопряженное, наделенное топологией,
согласующейся с двойственностью между Ρ и Q. При этом пространство Ε
отождествляется с пространством линейных функционалов на нем с
помощью отображения, сопоставляющего элементу (q,p) € Ε линейный
функционал на Е, обозначаемый символом (р, q) и заданный
формулой {(p,q),(q',pf)) = q(pf) -f q'(p)· Отображение 7 определяется так:
1{Р->0) = {<!·>— р)- Линейное пространство гладких числовых функций
на Ε с операцией умножения, задаваемой скобкой Пуассона,
образует алгебру Ли Ре] ее подалгебра Рс, порождаемая линейными
функциями, является центральным расширением коммутативной алгебры
Ли, представляющей собой локально выпуклое пространство Е*(= Е)
с тривиальным умножением (алгебра Рс называется алгеброй Гейзен-
берга, порожденной Е). Отображение алгебры Ли Рс в множество
самосопряженных операторов^ в гильбертовом пространстве Н, такое, что
для всяких к, д £ Рс, а, Ь £ IR справедливы равенства F(ak -f Ьд) —
aF(k) + bF(g) и iF({k,g}) = [F(k),F(g)] (= F(k)F(g) - F(g)F(k)), на-
зывается представлением в Н канонических коммутационных
соотношений (ККС) в форме Гейзенберга; унитарное представление
центрального расширения Ее коммутативной группы, являющейся аддитивной
группой Ε = Е* (это расширение называют группой Гейзенберга или
группой Вейля), называется представлением ККС в форме Вейля.
Гамильтоновой системой называется набор (£?, /,W), где (Е, I) —
симплектическое локально выпуклое пространство, называемое
фазовым пространством, и Η — вещественная функция на 2£, называемая
функцией Гамильтона. Уравнение Гамильтона — это следующее
уравнение относительно функции / вещественного аргумента,
интерпретируемого как время, принимающей значения в фазовом пространстве:
f>(t) = I(H'(f(t)).
Если пространство Q конечномерно, то это уравнение совпадает со
стандартной системой уравнений Гамильтона. Примером
бесконечномерного уравнения Гамильтона является уравнение Шредингера (в
случае бесконечномерного пространства Η квантовой системы).
Действительно, пусть Ε — овеществление if, 7 — оператор в Е,
порожденный умножением на мнимую единицу в Η и Н{х) = —-^(Ηχ,χ). Тогда
(2£, 7, Н) — гамильтонова система, причем соответствующее ей
уравнение Гамильтона совпадает с уравнением Шредингера.
Проквантовать гамильтонову систему означает определить
оператор H(F(p),F(q)) в Я, где F — представление ККС в форме
Гейзенберга. Так как операторы F(q) и F(p) не коммутируют, не существует

596 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
единственного «естественного» определения оператора H(F(q),F(p))]
к тому же в бесконечномерном случае и представление ККС не
является единственным. Если пространство Q конечномерно, то
привилегированную роль играет так называемое представление Шредингера.
Для каждого ρ £ Ρ обозначим через F(p) действующий в пространстве
L>2{Q) оператор умножения на линейный функционал q ι-» р(<?); для
каждого q Ε Q через F(q) обозначим действующий в том же
пространстве оператор д ι-» —ihg'q; F(q) — оператор импульса в направлении q.
Если при этом H(q,p) = V(q) -f |(f?p,p), где В — линейный
оператор в Q, то в результате применения только что описанного метода
квантования получится стандартное уравнение Шредингера (с
потенциалом V и «анизотропной массой», характеризуемой оператором В),
Именно такой вид имеет гамильтониан введенной выше гамильтоно-
вой системы, для которой в качестве уравнения Гамильтона
получается уравнение Шредингера. Квантование этой гамильтоновой системы
называется вторичным квантованием; такое название объясняется тем,
что в типичной ситуации исходное уравнение Шредингера также
получается с помощью квантования. При этом, если пространство Ε
бесконечномерно, то на нем нет разумного аналога меры Лебега (на
бесконечномерном локально выпуклом пространстве нет ненулевых
инвариантных относительно сдвигов σ-конечных локально конечных счетно-
аддитивных борелевских мер); однако вместо нее можно использовать
подходящую гауссовскую меру (пространство функций на Q,
квадратично интегрируемых по этой мере, называют пространством Винера-
Сигала-Фока).
Задачи
10.7.24? Пусть Τ — плотно определенный оператор в гильбертовом
пространстве Я, причем Т* плотно определен и непрерывен. Доказать, что Τ
также непрерывен и продолжается до ограниченного оператора на Н,
10.7.25? Пусть S и Τ — плотно определенные операторы в гильбертовом
пространстве Я, причем S С Т. Доказать, что Т* С 5*.
10.7.26? Пусть S и Τ — плотно определенные операторы в гильбертовом
пространстве Я, причем S С Т. Доказать, что если оператор Τ замыкаем, то
S тоже замыкаем, причем S С Т.
10.7.27. Пусть S и Τ — плотно определенные замкнутые операторы в
гильбертовом пространстве Я, причем множество D := 2) (5) ΠΊ)(Τ) плотно.
(i) Верно ли, что оператор S + Τ на D замыкаем?
(ii) Если S + T замыкаем на D, то верно ли, что (S + Т)* = S* + Т* на
2)(5*) Π 2)(Т*)? Верно ли, что £>(£* + Т*) = £>(£*) П2>(Т*)?
10.7.28. Пусть То — замкнутый оператор в гильбертовом пространстве
Я и Τ — такой оператор, что То С Т, причем 2)(То) имеет конечную
коразмерность в 2)(Т). Доказать, что Τ замкнут.

10.7. Дополнения и задачи
597
10.7.29. Исследовать самосопряженные расширения оператора φ \—> ιφ'
на области определения, состоящей из гладких финитных функций в
пространствах L2(IR1) и L2[0, +oo).
10.7.30. Исследовать самосопряженные расширения оператора φ »-> φ"
на области определения, состоящей из гладких финитных функций в
пространствах Ь2(Щ}) и L2[0, +oo).
10.7.31. (i) Пусть ограниченный снизу симметричный оператор А имеет
конечные индексы дефекта. Доказать, что всякое самосопряженное
расширение А ограничено снизу (возможно, величиной, меньшей исходной нижней
границы), (ii) Построить пример ограниченного снизу симметричного
оператора, имеющего самосопряженное расширение, не являющееся
ограниченным снизу.
10.7.32. Пусть ограниченный снизу симметричный оператор А не
является существенно самосопряженным. Доказать, что А имеет ограниченные
снизу самосопряженные расширения, отличные от расширения Фридрихса.
10.7.33.* Пусть А — замкнутый плотно определенный оператор.
Положим
Ъ(А*А) := {х е !D(A): Ах е Я (А*)}, А* Ах := А* {Ах).
Доказать, что А* А самосопряжен.
10.7.34. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор в сепара-
бельном гильбертовом пространстве Я, χ G Η и Нх — замыкание линейной
оболочки векторов П(В)х, где В € ЩИ1). Доказать, что Нх равно
замыканию линейной оболочки последовательности {ж, Ах, А2х, ...}.
Указание: для А = Αφ в Ι/2(μ) замкнутые подпространства,
порожденные функциями Ιβ°Ψ и функциями /о<р, где / — многочлены, равны.
10.7.35. Доказать теорему 10.7.19.
10.7.36? Построить пример самосопряженного оператора в сепарабель-
ном гильбертовом пространстве, не являющегося генератором никакой
сильно непрерывной полугруппы.
10.7.37.° Построить пример двух различных сильно непрерывных
полугрупп на сепарабельном гильбертовом пространстве, генераторы которых
совпадают на плотном подпространстве.
10.7.38. Пусть А — генератор сильно непрерывной сжимающей
полугруппы (7t)t^o в гильбертовом пространстве Η и D С &(А) — такое плотное
в Η линейное подпространство, что Tt(D) С D при всех t. Доказать, что
оператор Л на!) существенно самосопряжен, т.е. А есть замыкание А\в-
10.7.39. Пусть А — плотно определенный симметричный оператор
в гильбертовом пространстве и В — ограниченный самосопряженный
оператор. Доказать, что индексы дефектов операторов А и A -f В равны.
Указание: см. [14, с. 352].
10.7.40. Пусть Τιφ{χ) = φ(χ + t)> φ € I^QR1), 1 < ρ < οο. (i)
Доказать, что получена сильно непрерывная полугруппа, (ii) Доказать, что при
ρ = 1 полугруппа операторов Tt* в L°°(1R1) = (L^H1))* не является сильно
непрерывной.

598 Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
10.7.41. (i) Доказать, что оператор А на Ί)(А) диссипативен в точности
тогда, когда \\Хх — Ах\\ ^ ||ж|| при всех χ £ Ί)(Α) и λ > 0.
(ii) Пусть А — диссипативный оператор в банаховом пространстве X.
Доказать, что неравенство Hel(Ax) ^ 0 выполнено при всех χ £ ?D(A) и всех
I е X* таких, что 1{х) = ||ж[|2 = ||/||2 (а не только при некотором I с таким
свойством).
Указание: (i) если А диссипативен, χ е &(А), \\х\\ = 1 и / —
соответствующий функционал, то \\Хх —Ах\\ ^ Rel(Xx-Ax) ^ λ при λ > 0. Обратно,
пусть выполнено (ii), \\х\\ = 1, Ιχ G X*, Ιχ(Χχ - Ах) = ||/а||2 = ||Аа? — Аг||2.
Пусть Д = ίλ/||/λ||. Тогда Re Д(Аг) ζ 0, ибо
А|И| ^ \\Хх - Ах\\ = fx(Xx - Ах) = ARe Д(ж) -Refx(Ax) ζ
^X\\x\\-Refx(Ax).
Кроме того, Re Д(χ) > ||ж|| -f A_1Re/n(Ar). Ввиду *-слабой компактности
шара в X* последовательность /п имеет предельную точку /. Ясно, что
Ref(Ax) 0и Ref(x) ^ ||ж||, откуда f(x) = ||я|| = 1. (ii) Используя
сжимающую полугруппу Ti, порожденную А, находим |/(Tt#)| ^ \\1\\ \\х\\ = ||#||2,
откуда Rel(Ttx — χ) = Rel(Ttx) — \\х\\2 ^ 0. Деля на t и устремляя t к нулю,
получаем Hel(Ax) ^ 0.
10.7.42. Пусть А — плотно определенный диссипативный оператор в
банаховом пространстве. Доказать, что А замыкаем, причем его замыкание
также диссипативно.
Указание: пусть хп £ Ф(^), χη —► 0 и Ахп —► у* Для всякого вектора
ζ е £>(А) при λ > 0 имеем ||χη + λ^|| ^ \\χη + Χζ — Χ(χη + Χζ)\\, что дает оценку
\\λζ\\ ^ \\Χ(ζ — у) — λ2Αζ||, откуда ||г|| ^ \\ζ — у — ΧΑζ\\. При λ —► 0 получаем
\\ζ\\ ^ \\ζ — у\\. Взяв zn € 2)(Л) с ζη —► 2у, находим у = 0, т.е. оператор А
имеет замыкание. Диссипативность А ясна из задачи 10.7.41.
10.7.43. Пусть А — диссипативный оператор в банаховом
пространстве X. (i) Доказать, что замкнутость А равносильна замкнутости образа
XI — А при некотором λ > 0 (тогда и при всех λ > 0). (ii) Доказать, что если
образ XI — А есть X при некотором λ > 0, то это верно при всех λ > 0.
Указание: см. [100, §3.3].
10.7.44. Пусть А — плотно определенный диссипативный оператор
в банаховом пространстве X. Доказать равносильность следующих свойств.
(i) Оператор А* в X* диссипативен; (ii) оператор А* в X* т-диссипативен
(т.е. диссипативен, причем при λ > 0 операторы А* — XI сюръективны);
(Hi) оператор А т-диссипативен; (iv) образ XI—А плотен при некотором λ > 0
(а тогда и при всех λ > 0).
Указание: см. [100, §3.3].
10.7.45. Пусть А — плотно определенный диссипативный оператор в баг
наховом пространстве X. Доказать, что А является генератором
непрерывной сжимающей полугруппы в точности тогда, когда Кег(А/ — А*) = 0 для
некоторого λ > 0 (а тогда и для всякого λ > 0).

Глава 11
Банаховы алгебры
В этой главе дается краткое введение в теорию банаховых
алгебр. Как и теория операторов, эта теория имеет важные
приложения в физике. Одна из важнейших банаховых алгебр — алгебра
операторов. Рассмотрения этой главы проливают новый свет на
некоторые уже встречавшиеся нам объекты, а также дополняют
полученные ранее результаты.
11.1. Основные определения
Сначала мы рассмотрим чисто алгебраические понятия,
связанные с банаховыми алгебрами. В этой главе мы будем иметь
дело с комплексными пространствами.
11.1.1. Определение. Линейное пространство Α Φ О
называется алгеброй, если оно наделено ассоциативным
умножением, согласованным с линейной структурой, т.е. каждой паре
элементов (а, Ъ) € Α χ А сопоставлено их произведение аЬ Ε А,
причем (ab)c = а(Ьс), (а + Ь)с = ас + Ъс, а(Ъ + с) = ab + ас,
(Ха)Ь = Х(аЬ) = а(ХЬ) для всех а, 6, с € Л и всех скаляров X.
Алгебра А называется унитальной, если она обладает
единицей, т.е. таким элементом 1, что Ια = αϊ = а для всех
элементов а Е А.
Легко видеть, что в алгебре может быть лишь одна
единица. Простой и важный пример алгебры — алгебра многочленов
V[t] с комплексными коэффициентами от формальной
переменной t. Для функционального анализа особо интересны и важны
алгебра Сь(Т) ограниченных непрерывных комплексных
функций на топологическом пространстве Г, наделенная естественной
операцией умножения fg(t) = /(£)#(£), а также алгебра С(Х) всех
ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве X

600
Глава 11. Банаховы алгебры
(традиционно обозначаемая также символом ЩХ)) с операцией
обычного умножения операторов. Все эти алгебры унитальны.
Характерный пример алгебры без единицы — алгебра
непрерывных функций на прямой, стремящихся к нулю на бесконечности.
Ниже в примере 11.1.8 перечислены типичные банаховы алгебры.
Алгебра Л называется коммутативной, если аЪ = Ьа для всех
элементов а, 6 € Л.
Ясно, что V[t] и Съ(Т) коммутативны, а С(Х) — нет, если X —
банахово пространство с dimX > 1.
Элементы унитальной алгебры можно подставлять в
многочлены с комплексными переменными: для произвольных α Ε Λ
И p(z) = CnZn + Cn-\Zn~X Л h C\Z + Co ПОЛОЖИМ
p(a) = Cnan + Cn-ia4'1 + h c\a + cqI
и будем называть p{a) многочленом от α. Вводимые ниже
банаховы алгебры позволяют подставлять их элементы и во многие
другие функции.
Для функционального анализа особо важны алгебры,
наделенные топологиями, согласованными с алгебраическими
структурами. Важный частный случай — банаховы алгебры.
11.1.2. Определение. Банаховой алгеброй называется ал-
зебра Л, наделенная нормой, относительно которой она полна
и удовлетворяет неравенству
И|| < |Н| ||6||, а,ЬеЛ.
Примерами банаховых алгебр являются коммутативные
алгебры С (К) и L1(IRn) (с операцией свертки) и некоммутативные
алгебра С(Х) ограниченных операторов в банаховом
пространстве X и алгебра fC(X) компактных операторов в X, наделенные
операторной нормой.
Поскольку алгебры дополнительно к линейной структуре
обладают еще и умножением, то естественные отображения между
ними — это мультипликативные операторы.
11.1.3. Определение. Линейный оператор φ: Λ —► В
ду двумя алгебрами называется гомоморфизмом, если
у>(а6) = <р(а)(р(Ь) для всех а, 6 Ε Л.
Если при этом обе алгебры унитальны и <р(1л) = 1#> то φ на-
зывается унитальным гомоморфизмом.
Гомоморфизм φ: Л —► С называется характером алгебры Л.
Изоморфизмом банаховых алгебр Л и В называется взаимно
однозначный непрерывный гомоморфизм Л на В.

11.1. Основные определения
601
Если алгебра Л имеет единицу 1, то для всякого ненулевого
характера χ имеем χ(1) = 1, ибо для α Ε Λ с χ(α) φ 0 получаем
χ(α) = χ(1)χ(α).
Читатель, уже привыкший к тому, что в бесконечномерном
случае всегда приходится оговаривать непрерывность линейных
функционалов, будет приятно удивлен тем, что характеры
банаховых алгебр автоматически непрерывны.
11.1.4. Предложение. Всякий характер χ банаховой
алгебры Л непрерывен, причем \\χ\\ ^ 1. Если алгебра Л имеет
единицу 1 единичной нормы и ||χ|| > 0, то \\χ\\ = 1.
Доказательство. В противном случае найдется такой
элемент а Е Л, что χ(α) = 1 и ||а|| < 1. Ввиду оценки ||αη|| ^ ||а||п
и полноты Л ряд 2t»Liа?г сходится к некоторому Ъ Ε А Из
непрерывности умножения следует, что а + аЬ = а+ lim а^)?=1 ак = Ъ.
п—>оо
Тогда 1 + х(Ь) = χ(α + ab) = х(Ь), что невозможно.
Если χ φ 0, то найдется а Е Л с χ (α) = 1. Тогда получаем
равенство χ(1) = χ(1)χ(α) = χ(α) = 1, откуда ||χ|| > 1. D
Имеется стандартная конструкция расширения алгебры Л без
единицы до алгебры Л\ с единицей. В качестве Л\ возьмем
линейное пространство Л®С с операцией умножения
(а, а)(Ь, /3) := (ab +ab + /За, а/3).
Непосредственно проверяется, что получена алгебра с единицей
(0,1) (коммутативная, если таковой была Л), причем
отображение а н-> (а, 0) является изоморфизмом между Л и подалгеброй
в Л\ коразмерности 1. Если Л — банахова алгебра, то Л\ также
оказывается банаховой алгеброй с естественной нормой
(α, α) н-> ||а|| + |а|,
причем образ Л при указанном выше изоморфизме замкнут в А\,
а единица в Л\ имеет единичную норму.
Мультипликативное неравенство для нормы в банаховой
алгебре вводится для удобства и может быть получено надлежащей
перенормировкой, как показывает следующий результат.
11.1.5. Предложение. Пусть Л — банахово пространство,
являющееся алгеброй с единицей, отличной от нуля, причем
отображения χ ■—► ах и χ »—> χα непрерывны. Тогда на Л
существует эквивалентная норма, относительно которой Л
является банаховой алгеброй, а единица имеет единичную норму.

602
Глава 11. Банаховы алгебры
Доказательство. Рассмотрим представление алгебры Л
непрерывными линейными операторами на Л по формуле
Та(х) = αχ, α Ε А,х € Л.
Ясно, что отображение аиТа линейно и Таь = ТаТь- Введем
новую норму по формуле ||а||о := ||Га||, где справа стоит норма
оператора. Для исходной нормы || · || выполнена оценка
И = ||α1|| < ЦГ.Ц ||1|| = ||а||о||1||.
С другой стороны, отображение (а, х) н-> ах раздельно
непрерывно. Поэтому оно непрерывно по совокупности переменных и
имеет место оценка ||αζ|| ^ Μ||α|| ||ж|| с некоторой постоянной Μ
(см. §12.5). Это означает, что ||Γα|| ^ Λί|Μ|. Итак, новая норма
эквивалентна старой. Ясно, что ΤΊ — единичный оператор,
поэтому ||1||о = 1 (именно для этого нужно условие Л φ 0). Ясно,
что И||о = НГоьН = ||ГаГ6|| < ||а||о||6||0. D
Это предложение позволяет переходить к случаю единицы
с единичной нормой (что иногда включается в определение).
Некоторые банаховы алгебры (называемые инволютивными)
обладают еще одной очень важной операцией — инволюцией. Так
называется операция а »—> а* со следующими свойствами:
(i) (α + b)* = α* + b* для всех a,be Л,
(ii) (λα)* = λα* для всех λ € С и всех α € Л,
(iii) (ab)* = 6*а* для всех а, 6 € Л,
(iv) (а*)* = а для всех а Е Л.
Элемент а называется эрмитовым или самосопряженным,
если а* = а. Если а*а = аа*, то элемент а называется нормальным.
11.1.6. Предложение. Пусть Л — алгебра с инволюцией,
а Е Л. Тогда
(i) элементы а*а, а + а* и г(а* — а) эрмитовы;
(ii) существуют и единственны такие эрмитовы элементы
и, ν € Л, что а = и + щ
(iii) если Л унитальна, то ее единица эрмитова.
Доказательство. Утверждение (i) очевидно и дает
искомые элементы ииипо формуле и = (а + а*)/2, ν = г(а* — а)/2.
Если и' и ν' — эрмитовы и а = и1 + ivf, то положим w = ν' — v.
Тогда w и iw эрмитовы, откуда iw = (iw)* = — iw* = — zw.
Значит, w = 0, т.е. ν = г/ и г* = и'. Утверждение (iii) следует из (i),
ибо 1* = 1*1 — эрмитов элемент и потому 1* = (1*)* = 1. D

11.1. Основные определения
603
11.1.7. Определение, (i) Банахова алгебра Л с инволюцией
называется звездной алгеброй, если ||а*|| = ||а|| для всех а € А.
(ii) Звездная банахова алгебра Л называется С*-алгеброй,
если \\а*а\\ = \\а\\2 для всех α Ε А.
Из равенства (ii) следует равенство (i), ибо \\а*а\\ ^ ||а*|| ||а||,
откуда |Н| ^ ||а*||, причем ||а*|| < ||(а*)*|| = ||а||.
Важнейшими примерами С*-алгебр являются коммутативная
алгебра С(К) непрерывных комплексных функций на компакте
К с естественной операцией сопряжения и некоммутативная
алгебра В(Н) непрерывных линейных операторов на гильбертовом
пространстве Η с операцией инволюции А «—► А*. Как мы увидим
ниже, эти два примера в некотором смысле универсальны.
Приведем теперь ряд модельных примеров.
11.1.8. Пример, (i) Алгебра Сь(Т) ограниченных
непрерывных комплексных функций на топологическом пространстве Т,
наделенная обычной sup-нормой и естественной операцией
поточечного умножения fg(t) = f(t)g(t), является коммутативной
банаховой С*-алгеброй с единицей.
(ii) Алгебра С(Х) = В(Х) всех ограниченных линейных
операторов на банаховом пространстве X с операторной нормой
и операцией обычного умножения операторов —
некоммутативная банахова алгебра с единицей. Если X гильбертово, то
сопряжение А н-> А* превращает ее в С*-алгебру.
(ш) Важный пример алгебры без единицы — комплексное
пространство L1(IRn) классов эквивалентности интегрируемых
функций, в котором произведение / и g есть свертка / * д. Эта
алгебра коммутативна, а обычное комплексное сопряжение
является инволюцией.
(iv) Дискретный аналог L1(H1) — алгебра /1(Z) двусторонних
последовательностей ζ = (zn)nez с ее естественной ^-нормой
\\ζ\\ = ΣπεΖ \ζη\ и произведением
(χ * у)п := Σ хкУп-к, х = (sn), У = («η)·
кеъ
Непосредственно проверяется, что /1(Ζ) — коммутативная
банахова алгебра. Она имеет единицу — элемент (..., 0,0,1,0,0,...),
у которого 1 стоит на месте с номером 0. Инволюцию можно
задать как (х*)п ·= %^п или как (х*)п := #^·

604
Глава 11. Банаховы алгебры
(ν) Алгебру последовательностей ΖΧ(Ζ) можно отождествить
с алгеброй W всех 27Г-периодических непрерывных комплексных
функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье, т.е. W состоит
из функций / вида
/w = Σ^/)^' ii/iiw:= Σ μ/)ι < °°.
где
2π
1 Γζπ
Умножение в W — обычное поточечное умножение функций.
Конечно, здесь надо проверить неравенство \\fg\\w < H/H^NIw
Ввиду абсолютной сходимости рядов Фурье для / и </ мы имеем
1 Γ2π
^Γ(Σ-(/)^)(Σ.(^)β-,ί =
Σ ck(f)ci(g) = Σ ck(f)cn-k(g)·
k,leZ: k+l=n кеЪ
Таким образом,
Σμ/*)ι<ΣΣι*(λιι*ι-*(0)ι =
= Σ Σ i*(/)i i<*-*fo)i = Σ Ι*(ΛΙ Σ i<*»-*fo)i.
fcGZ rtGZ fceZ nGZ
что и требовалось. Ясно, что отображение / н-> (сп(/))п=1
является линейной изометрией между W и /1(Z), сохраняющей
произведения, т.е. оказывается изоморфизмом этих двух алгебр.
Не всякая звездная банахова алгебра является С*-алгеброй.
Например, алгебра Сг[0,1] комплексных непрерывно
дифференцируемых функций на [0,1] с поточечным умножением, нормой
||ж||1|00 :=mm\x(t)\+max\xf(t)\

11.2. Идеалы
605
и инволюцией χ* = χ является звездной банаховой алгеброй (что
легко проверяется). Однако она не может быть топологически
изоморфной какой-либо С*-алгебре, ибо обладает
последовательностью элементов хп = х*п с ||#п|| ^ 1 и ||ж^|| —► 0 (достаточно
взять хп с 0 ^ xn(t) ^ Ι/η, χ'η(ϋ) = 1, \x'n(t)\ ^ С).
11.2. Идеалы
В теории алгебр важную роль играют идеалы.
11.2.1. Определение. Пусть А — алгебра. Линейное
подпространство В в А называется подалгеброй, если ab Ε В для
всех а,Ь ЕВ.
Подалгебра 1 β Λ называется идеалом (точнее,
двусторонним идеалом), если ab Ε Χ иЬа Ε Χ для всех а € А иЪ € X.
11.2.2. Пример, (i) В алгебре £(СП) линейных операторов
на Сп класс всех операторов вида XI — подалгебра, но не идеал
при η > 1 (здесь нет нетривиальных идеалов — задача 11.7.15).
(ii) В алгебре Сь(Т) подпространство всех функций, равных
нулю на заданном множестве Го С Г, является идеалом.
(iii) Пусть X — банахово пространство. Класс )С(Х) всех
компактных операторов в X является идеалом в С(Х). Кроме того,
является подалгеброй (но не обязательно идеалом) класс Τ всех
операторов вида XI + К, где К Ε К,(Х). Уже долго остается
открытым вопрос, для всех ли бесконечномерных пространств Τ
строго меньше, чем С(Х).
(iv) Если А — коммутативная алгебра с единицей 1 и а$ Ε Α —
фиксированный элемент, то а$ · Α := {α$α: α Ε А} — идеал.
Всякий идеал X в алгебре А порождает фактор-пространство
А/Т, состоящее из классов смежности α + Χ, α Ε X. Два элемента
попадают в один класс, если их разность входит в X. Это фактор-
пространство можно превратить в алгебру (линейным
пространством оно является как фактор-пространство линейного
пространства по его подпространству), положив (а+Т)(Ь+Т) := ab+T.
Это определение корректно, ибо X — идеал. Если алгебра X имеет
единицу 1, то 1 +Х оказывается единицей в А/Т.
Приведем пример классической банаховой алгебры, в которой
мало замкнутых идеалов.

606
Глава 11. Банаховы алгебры
11.2.3. Теорема. Пусть Η — сепарабелъное гильбертово
пространство. В алгебре ограниченных операторов С(Н)
единственным замкнутым идеалом, отличным от нуля и С{Н),
является алгебра компактных операторов.
Доказательство. Пусть X — нетривиальный идеал в С(Н)
и А 6 X — ненулевой элемент. Покажем, что в X входят все
одномерные операторы вида Ра,ьх — {%·> а)Ь- Для этого возьмем такой
вектор и € Я, что ν := Аи φ 0. Можно считать, что (ν, ν) = 1.
Тогда
PVjbAPajUx = (x,a)PVjbAu = (x,a)PVjbv = (x,a)b = Ра,ьх-
Так как X — двусторонний идеал, то Ра$ € X. Значит, в X
входят все ограниченные конечномерные операторы, а тогда ввиду
замкнутости X и все компактные операторы.
Предположим, что X содержит некомпактный оператор А.
Пусть А = U\A\ — полярное разложение А. Тогда \А\ = U*A Ε Χ.
Оператор \А\ самосопряжен, неотрицателен и не компактен. Из
теоремы 7.8.6 следует, что найдется такое замкнутое
бесконечномерное подпространство Щ в Н, что |Л|(Яо) = Ηо и верно
неравенство || \A\h\\ ^ ε||/ι|| при некотором ε > 0 и всех h 6 Hq.
Например, если оператор \А\ приведен к виду умножения на
ограниченную неотрицательную функцию ψ в £2(μ), то в качестве #о
можно взять подпространство функции, равных нулю вне
множества {t: ψ{ϊ) ^ ε} при достаточно малом ε. Существует линейная
изометрия V всего Η на Щ (ибо оба подпространства
являются бесконечномерными сепарабельными гильбертовыми). Ввиду
предложения 7.6.7 оператор V* изометрично отображает Щ на Η
и обращается в нуль на ортогональном дополнении Щ. Поэтому
V*\A\V(H) = V*\A\(H0) = V*(H0) = Η.
Кроме того,
||ΠΑ|ν*|| = II \A\Vx\\ > e\\Vx\\ = ε\\χ\\, χ € Η.
Итак, оператор V*|i4|V 6 Χ обратим. Поэтому I EX, откуда
вытекает равенство X = С(Н). D
Рассмотрим пример банаховой алгебры, в которой много
замкнутых идеалов.
11.2.4. Пример. Пусть К — непустой компакт и С(К) —
алгебра непрерывных комплексных функций на К. Тогда для
всякого множества S С К (его можно считать замкнутым) класс Xs

11.3. Спектры
607
всех функций из С (К), равных нулю на 5, является замкнутым
идеалом. Обратно, всякий замкнутый идеал в С (К) имеет вид Is
с некоторым замкнутым множеством S. Всякий замкнутый идеал
коразмерности 1 имеет вид {х: х(к) = 0} при некотором к Ε К.
Доказательство. Первое утверждение очевидно.
Предположим, что X — замкнутый идеал. Положим
5:= {ке К: x(k) = 0VxEX}.
Тогда множество S замкнуто и J С Xs- Пусть χ Ε Xs- Покажем,
что χ Ε 1. Ввиду замкнутости X достаточно проверить, что для
всякого ε > 0 найдется χε € X с \\х — χε\\ ^ ε. Заметим, что
для всякого к Ε К найдется хк Ε Χ с Хк{к) = х{к).
Действительно, если к Ε 5, то берем хк = 0. Если к & S, то найдется
щ Ε X с щ(к) φ 0, поэтому есть и нужный элемент хк.
Положим Uk := {t: \x(t) — Xk(t)\ < ε}. Это дает открытое покрытие
компакта К. Выберем конечное подпокрытие С/^,..., Ukn·
Возьмем подчиненное ему разбиение единицы (см. теорему 1.9.16),
т.е. функции fi Ε С(К), г = 1,...,п, для которых 0 < /< < 1,
Efei Λ = 1 и fi(t) = 0 при tt Uki. Тогда хе := £?=1 Λ**, € X,
ибо X — идеал. Остается заметить, что
η η
Μ*) - x(t)| ^ J^fi(t)\xki(t) - x(t)\ ζ £>(*)ε = ε'
i=l г=1
ибо число fi(t)\xki(t) — x(t)\ есть 0 при t & U^ и не превосходит
efi(t) upntEUki.
Если замкнутый идеал X имеет коразмерность 1, то
соответствующее множество S не может содержать разных точек. D
Ниже мы увидим, что в коммутативной банаховой алгебре
имеется взаимно однозначное соответствие между ненулевыми
характерами и идеалами коразмерности 1, причем на С*-алгебрах
есть богатый запас характеров. В некоммутативном случае
характеры не играют такой роли; их может и не быть вообще
(например, для £(СП) и £(/2), см. задачу 11.7.16).
11.3. Спектры
Особую роль играют обратимые элементы унитальной
алгебры — аналоги обратимых операторов. С помощью них
определяются спектры любых элементов, что важно для построения
функционального исчисления.

608
Глава 11. Банаховы алгебры
Говорят, что элемент а унитальной алгебры А имеет левый
обратный а[~ Ε Д, если а^а = 1. Аналогично, элемент а"1
называют правым обратным для а, если аа~1 = 1.
Если а имеет левый обратный а^1 и правый обратный а"1, то
они совпадают, ибо
а^1 = αγχ{αα~ι) = (а^а)^1 = а"1.
В этом случае элемент aj"1 = α"1 называется обратным к α и
обозначается символом а-1, а сам элемент α называется обратимым.
Например, в алгебре Сь(Т) единицей является функция,
тождественно равная 1, а обратимые элементы — это функции /
с infteT \f(t)\ > 0. В алгебре операторов С(Х) единица — это
тождественный оператор, а обратимые элементы — это
обратимые операторы. Заметим, что если X бесконечномерно, то
оператор А может иметь левый обратный (или даже много левых
обратных), но не иметь правого обратного и потому не быть
обратимым. В алгебре V[t] обратимы лишь ненулевые скаляры.
Произведение двух обратимых элементов обратимо:
очевидно, что 6-1а-1 является обратным к аЬ для всех обратимых
элементов α и 6. Следовательно, произведение обратимых элементов
αχ,... , αη всегда обратимо. Как мы видели на примере
операторов, произведение необратимых элементов может быть единицей,
т.е. обратимым элементом. Однако если элементы αχ,..., ап
перестановочны и их произведение обратимо, то каждый из элементов
αχ,..., ап обратим. В самом деле^ положив Ь = (ец · · · αη)-1,
получаем, что элемент а% имеет левый обратный Ъа\ · · · αι-ιαι+ι · · · ап
и правый обратный αχ · · · а^-хбц+х · · · ^тА что очевидно из
перестановочности αχ,..., αη.
Заметим, что если А имеет единицу, то никакой собственный
идеал Τ в Л не содержит единицу (иначе X = А) и потому не
имеет обратимых элементов.
11.3.1. Определение. Пусть А — унитальная алгебра.
Комплексное число λ называется регулярной точкой элемента
а € А, если элемент а — XI обратим. В противном случае λ
называется сингулярной точкой а.
Множество сингулярных точек элемента а называется его
спектром и обозначается символом σ(α).
В случае А = С{Х) эти понятия сводятся к введенным ранее
для операторов.

11.3. Спектры
609
11.3.2. Пример, (i) Спектр элемента / Ε Съ{Т) совпадает
с замыканием /(Г) в С. В частности, все точки λ, для которых
|λ| > supiGT |/(t)|, регулярны.
(ii) Рассмотрим алгебру Сх всех комплексных функций на
непустом множестве X, наделив ее поточечным умножением.
Тогда спектр элемента / есть множество значений /.
Следующие свойства спектров уже встречались нам в
операторном случае.
11.3.3. Теорема. Пусть Л — унитальная алгебра, а,Ь G Λ
up — многочлен с комплексными коэффициентами.
(i) Если σ(α) φ 0, то
σ(ρ(α)) =ρ(σ(α)) := {ρ(ζ): ζ € σ(α)}.
(ϋ) Если элемент а обратим, то
а(а~1) = {\еС: Х~г Εσ(α)}.
Кроме того, для всякого Ь Ε Λ имеем
a(ab) = σ(6α).
Доказательство, (i) Применимо то же рассуждение, что и
в случае операторов. Будем считать, что ρ не является
постоянной, ибо иначе наше утверждение тривиально (но здесь важно,
что спектр а непуст). Пусть λ € С. Многочлен ρ — X имеет корни
λι,..., λη и записывается в виде ρ{ζ) — λ = c(z — λι) · · · (ζ — λη),
где сфО. Легко проверить, что тогда
р(а) — XI = с(а — λχΐ) · · · (α — λη1).
Как отмечалось выше, ввиду перестановочности а — АД элемент
р(а) — XI обратим в точности тогда, когда обратимы все а — АД.
Значит, включение A G σ(ρ(α)) равносильно тому, что λ* € σ(α)
хотя бы для одного Х{. Это выполнено тогда и только тогда, когда
λ Ε ρ(σ(α)), ибо р(Хг) = А и других корней нет.
(ii) Очевидно, что спектры а и а-1 не содержат нуля.
Заметим, что при λ φ 0 выполнено равенство
а-1 - А1 = -Аа_1(а - А_11),
из которого вытекает первое утверждение. Для доказательства
последнего утверждения заметим, что Ьа—XI = a~l(ab—Al)a. D

610
Глава 11. Банаховы алгебры
Отметим еще ряд важных свойств, связанных с обратимостью
в банаховых алгебрах. Эти свойства также встречались при
изучении операторов.
11.3.4. Теорема. Пусть Л — унитальная банахова алгебра.
Тогда верны следующие утверждения.
(i) Для каждого α Ε Λ с \\а\\ < 1 элемент 1 — а обратим,
причем
оо
(ΐ-β)-1 = ι + 5>η·
п=1
(И) Множество Ιην Л всех обратимых элементов Л
открыто, а отображение а н-> а~1 является его гомеоморфизмом.
(Ш) Спектр всякого элемента а € Л — непустой компакт
в С, лежащий в круге {ζ: \ζ\ ^ ||α||}.
Доказательство, (i) Ряд в правой части указанного
равенства сходится по норме, ибо ||αη|| < ||α||η· Обозначим его сумму
через Ь. Непосредственно проверяется, что
(1 - а)Ь = 6(1 - а) = 1,
что и доказывает наше утверждение.
(и) Пусть α Ε Ιην Л, Ъ € Л и ||6|| < Цел-1 И-1. Тогда ||α~16|| < 1.
Согласно (i) элемент 1 + а~1Ъ обратим. Отсюда следует
обратимость а + b — α(1 + α_16). Итак, Ιην Л — открытое
множество. Проверим непрерывность отображения h: а н-> а-1 на Ιην Л.
Непрерывность в единице следует из утверждения (i), так как при
||а|| < 1 имеем
||l-(l-a)-i<f;||a|r = J!iL.
Отсюда получаем непрерывность во всякой точке а € Ιην Л, ибо
(а - б)"1 - а"1 = (1 - а"^)-^"1 - а"1
при всех достаточно малых по норме Ъ Ε Л.
(Hi) Замкнутость σ(α) следует из того, что для всякого
регулярного числа достаточно близкие к нему числа также
регулярны ввиду открытости Ιην Л. Если |λ| > ||α||, то элемент a — λΐ =
λ(λ_1α — 1) обратим в силу оценки ||λ_1α|| < 1. Менее очевидна
непустота спектра. Но и здесь рассуждение не отличается от того,

11.3. Спектры
611
которое было дано в случае операторов. А именно: для
регулярного значения λ положим R(X) ~ (а — А1)-1. Тогда для любых
регулярных значений λ и μ справедливо следующее тождество
Гильберта:
R(X) - ВД = (λ - /х)Д(//)Д(А).
Для доказательства достаточно заметить, что при умножении
обеих частей слева на α — μΐ и справа на а — XI получаем (λ — μ)1.
Из тождества Гильберта следует, что для всякого ограниченного
линейного функционала φ: Л —> С функция /^: λ н^ <^(Я(А))
голоморфна на множестве регулярных значений. Действительно,
при λ Φ μ имеем
/у(Л|~Ш=у(ДМД(А)),
л — μ
что при μ —► λ стремится к <ρ(#(λ)2). Если бы спектр а был
пуст, то все функции }φ были бы целыми. Поскольку функция
/φ ограничена ввиду оценки
ΙΚο-λΐ^κίληκλ-^-ΐ)-1!!
и стремления ||(λ_1α — 1)_1|| к ||1|| при |λ| —► оо, то все эти
функции тождественно равны нулю по теореме Лиувилля.
Значит, R{X) = 0, что невозможно, ибо 1 ф О в силу условия Л Φ 0.
Полученное противоречие доказывает непустоту спектра. D
Как и в случае операторов, последнее утверждение можно
уточнить, введя спектральный радиус элемента а банаховой уни-
тальной алгебры по формуле
г(а):=М{\\ап\\^п: η Ε 1Ν}.
Те же рассуждения, что и в предложении 7.1.7, приводят к
следующему.
11.3.5. Предложение. Справедливо равенство
r(a) = ton IKH1/".
η—юо
Кроме того,
г(а) = тах{|г|: ζ € сг(а)}.
Из доказанного получаем следующую теорему Гельфанда-
Мазура.

612
Глава 11. Банаховы алгебры
11.3.6. Теорема. Унитальная банахова алгебра, в которой
все ненулевые элементы обратимы, изоморфна как алгебра
полю С.
Доказательство. По предыдущей теореме для всякого
элемента а Е А найдется такой скаляр λ € С, что элемент а — XI
необратим. Тогда а — XI = 0, т.е. а = λΐ. Значит, имеет место
равенство Α = {λΐ: λ Ε С}, откуда следует доказываемое. D
Для инволютивных алгебр имеется полезная связь спектра
с инволюцией.
11.3.7. Предложение. Пусть А — инволютивная банахова
алгебра с единицей. Тогда
σ(α*) = σ(α), α Ε Α.
Кроме того, если А — С*-алгебра и а = а*, то σ(α) С 1R1.
Доказательство. Напомним, что 1* = 1. Поэтому элемент
Ъ = а — XI обратим тогда и только тогда, когда обратим элемент
Ь* = а* — λΐ. Обратным к Ь* является (Ь-1)*.
Пусть а* = аиА = а + г/?€ σ(α), где а,/? Е IR1. Покажем,
что /3 = 0. Для всякого η Ε IR1 имеем α + ί(β + j) Ε σ(α + ryl).
Поэтому \а + ί(β + 7)1 ^ ΙΙα + нМ\· Следовательно,
ο? + {β + Ί? ^ \\α + ίΊ42 = ||(α + «71)·(α + ί7ΐ)ΙΙ = ΙΙ«2 + 721||,
что не превосходит ||α2|| + η2, откуда а2 + β2 + 2βη ^ ||α2|| при
всех 7 € 1R1· Это возможно лишь при /3 = 0. Π
Приведем еще один полезный для дальнейшего результат,
связанный со спектрами. Подмножество Μ инволютивной алгебры
называется нормальным, если
α* Ε Μ и ab = ba при всех а, Ъ Ε Μ.
11.3.8. Предложение. Пусть А — инволютивная банахова
алгебра с единицей и В — нормальное подмножество, не
содержащееся в других нормальных множествах, отличных от Λ.
Тогда В является замкнутой коммутативной подалгеброй в А,
причем спектр всякого элемента Ь Ε В не зависит от того,
рассматривается ли Ъ как элемент А или В.
Доказательство. Заметим, что В содержит всякий такой
элемент χ Ε А, что хх* = х*х и ху = ух при всех у Ε В. В
самом деле, в этом случае ввиду нормальности В имеем ху* = у*х

11.4. Функциональное исчисление
613
и х*у = ух* для всех у Ε В. Поэтому BU{x, x*} также нормально,
что в силу максимальности В доказывает сказанное.
Из доказанного следует, что суммы и произведения элементов
В входят в В, т.е. В — коммутативная подалгебра. Пусть теперь
Ьп Ε В и Ьп —> 6. Так как Ьпх = xbn при всех χ Ε В и умножение
непрерывно, то Ьх = хЬ. Поэтому b*x = (#*&)* = (bx*)* = xb* при
χ Ε В. В частности, b*bn = bnb*, откуда 6*6 = 66*. Значит, Ь ЕВ,
что доказывает замкнутость В. Отметим, что мы не предполагали
непрерывность инволюции.
Из сказанного следует также, что В содержит единицу.
Покажем, что если элемент Ь Ε В обратим в Л, то он обратим и в В.
Элемент 6* обратим в Л, причем (б*)-1 = (б-1)*. Из этого следует
нормальность б-1. Кроме того, Ь~гх = хЬ~г для всех χ Ε В, ибо
хЬ = Ьх. Следовательно, б-1 Ε β, т.е. элемент 6 обратим в В. D
В общем случае спектр элемента в подалгебре не всегда равен
его спектру во всей алгебре (задача 11.7.12).
11.4. Функциональное исчисление
Выше уже говорилось, что элементы банаховой алгебры с
единицей можно подставлять в многочлены. Более общим образом,
если Q — такая рациональная функция на С, что ее полюса не
входят в спектр σ(α) элемента а унитальной банаховой алгебры Л,
то мы можем записать
Q(\) = Ρ(λ) + ex (λ - αχ)"*1 + ... + Сп(\- αη)"4
где Ρ — многочлен и щ 0 σ(α), что позволяет задать элемент
Q{a) := Р{а) + ClRka\ + · · · + CnR*£ Ε Λ,
где R\ = (α — λΐ)-1. Здесь мы пойдем еще дальше и определим
действие на а функций, аналитических в окрестности σ(α). Это
будет сделано с помощью теоремы Коши. Если η — кривая в С,
параметризуемая точками отрезка с помощью кусочно-гладкого
отображения, и F — непрерывное на η отображение со
значениями в Л, то интеграл
I F{z)dz
определяется так же, как и для комплексных функций. Он
совпадает с интегралом Бохнера, кратко обсуждавшимся в §6.10(vi),
но для целей этого раздела достаточно римановского интеграла;
если 7 задается кусочно-гладким отображением а: [0,1] —► С, то

614
Глава 11. Банаховы алгебры
указанный интеграл можно определить как римановский
интеграл от F(a(t))af(t) по [0,1], что совпадает с интегралом от F
относительно меры, равной образу меры a'(t)dt при
отображении а. Для всякого непрерывного линейного функционала / на
Л результат применения / к интегралу от F есть интеграл
непрерывной комплексной функции hF по контуру у. Идея построения
функционального исчисления видна из следующей леммы.
Будем говорить, что кусочно-гладкий контур 7? лежащий
в области Ω, охватывает компакт if, если в каждой компоненте
связности Ω контур 7 ограничивает связную область,
содержащую замыкание пересечения К с рассматриваемой компонентой.
Напомним, что отображение ζ *-> (zl — а)~1 непрерывно на
дополнении спектра а. Поэтому можно интегрировать такие
отображения, умноженные на непрерывные функции.
11.4.1. Лемма. Пусть рациональная функция Q голоморфна
в области Ω, содержащей σ(α), и пусть кусочно-гладкий контур
7 С Ω охватывает σ(α) в указанном смысле. Тогда
Q(a) = ~JQ(z)(zl-a)-1dz.
8 частности, при а & σ(α) имеем
(αϊ - а)п = -^ [(а - z)n(zl - α)"1 <fe, η € Ζ,
27гг J1
если контур η в С\{а} охватывает σ(α).
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать последнее
утверждение. Пусть η = 0. Покажем, что
-ί-: I (zl - a)~l dz = 1.
Если 7о ~~ окружность радиуса г > ||а||, то ряд
оо
(zl-a)-1 = J2z-k-1ak
k=o
сходится на 7о по норме. Интегрируя этот ряд по 7о> получаем
интеграл от 2-11, т.е. 2πϋ. По теореме Коши интеграл не
изменится при замене 7о на 7 (здесь достаточно теоремы Коши для
скалярных функций, ибо к рассматриваемым интегралам можно

11.4. Функциональное исчисление
615
применять произвольные непрерывные линейные функционалы
на Л).
Если η φ О, то обозначим интеграл в правой части
доказываемого равенства через Jn. Покажем, что имеет место соотношение
Jn+i = (al-a)Jn.
Тогда общий случай сведется к случаю η = 0. Заметим, что
(*1 - а)'1 = (αϊ - а)'1 + (а- ζ)(αϊ - α)_1(^1 - α)"1.
Умножив на (α — ζ)η и проинтегрировав по 7? Mbi получим
указанное выше соотношение, ибо интеграл от (а — z)n по η равен
нулю из-за того, что а находится вне области, ограниченной
контуром 7· Π
Теперь для заданной области Ω С С рассмотрим алгебру
Η(Ω) всех функций, голоморфных в Ω, и семейство элементов
Λςι := {α Ε Α: σ(α) С Ω}.
Пусть / Ε Η (Ω). Для каждого α Ε Λςι возьмем кусочно-гладкий
контур 7 С Ω, охватывающий σ(α), и положим
/(α):=2^//(*)(*1-αΓΐ</*·
Интеграл существует ввиду непрерывности на η отображения
ζ «—► f(z)(zl — α)-1. Это определение не зависит от выбора
контура с указанными свойствами. Обозначим через Η(Ω)
совокупность всех Л-значных отображений / на Λςι вида
/:а*-> /(α), где а Ε Λςι и / Ε #(Ω).
11.4.2. Теорема. Отображение f н-> / есть изоморфизм
алгебры Η(Ω) ма алгебру Η(Ω). Если последовательность функций
fn 6 Η (Ω) сходится к функции f равномерно на компактах в Ω,
то
lim /Λ(α) = /(α), α Ε Αϊ-
η—κχ>
Кроме того, если f(z) = zu g(z) = 1 β Ω, mo f(a) = au g(a) = 1
при α Ε .Λω.
Доказательство. Последнее утверждение вытекает из
леммы. Ясно, что отображение / «—► / линейно. Если
последовательность {/п} С Η(Ω) сходится к / равномерно на компактах в Ω, то
для всякого α Ε Λςι можно взять обыщи для всех /п и / контур 7,

616
Глава 11. Банаховы алгебры
охватывающий σ(α) в Ω. Ввиду ограниченности на η функции
ζ н-> ||(г1 — а)-11| получаем сходимость /η(α) κ /(α).
Покажем теперь, что если f,g Ε Η (Ω) и h = fg, то при всех
α Ε Λςι мы имеем h{a) = f(a)g(a). Для рациональных функций
это следует из леммы. В общем случае можно применить теорему
Рунге из комплексного анализа, согласно которой найдутся две
последовательности рациональных функций fn и дп,
голоморфных в Ω и сходящихся соответственно к / и д равномерно на
компактах в Ω. Тогда рациональные функции fngn сходятся к h
равномерно на компактах в Ω, что завершает доказательство
ввиду установленной выше непрерывности соответствия /·—>/. □
11.4.3. Предложение. Пусть Л — униталъная банахова
алгебра с непрерывной инволюцией и а € Λ — такой эрмитов
элемент, что его спектр не содержит (—сю, 0]. Тогда
существует такой эрмитов элемент Ъ, что Ъ2 = а.
Доказательство. Пусть Ω — дополнение в С к лучу (—оо, 0]
вещественной оси и / — ветвь квадратного корня вОс/(1) = 1.
Найдется последовательность многочленов Рп от г, сходящаяся
к / равномерно на компактах в Ω. Такие многочлены можно
выбрать с вещественными коэффициентами: взяв какие-нибудь
многочлены Qn, сходящиеся к / равномерно на компактах в Ω (что
возможно по теореме Рунге), и заметив, что f(z) = /(2),
перейдем к многочленам Pn{z) = [Qn(z) + Qn{z)]/2. Положим теперь
Ъп := Рп(а). Элементы Ьп эрмитовы. По доказанной выше теореме
они сходятся по норме к некоторому элементу b = f(a).
Поскольку мы предполагаем непрерывность инволюции, то предельный
элемент эрмитов. Наконец, Ь^ = Рп(а)Рп(а) = Рп(а) ~~> а-> и^о
Рп(%) —> z равномерно на компактах в Ω. Значит, Ъ2 = a. D
Отметим, что можно и не предполагать непрерывность
инволюции, но тогда доказательство становится несколько длиннее
(см. теоремы 11.20 и 11.26 в Рудин [188]). Ниже в предложении
11.6.5 этот результат уточнен для случая С*-алгебр.
11.5. Коммутативные банаховы алгебры
Здесь мы обсудим преобразование Гельфанда, позволяющее
отождествить коммутативные С*-алгебры с алгебрами
непрерывных комплексных функций на компактах.

11.5. Коммутативные банаховы алгебры
617
Пусть Δ — множество всех ненулевых характеров
коммутативной банаховой алгебры А (напомним, что все характеры
непрерывны). Далее мы увидим, что Δ φ 0. Формула
«(Χ) '·= Χ(α), Χ Ε Δ,
сопоставляет каждому элементу а Е А функцию α: Δ —► С.
Эта функция называется преобразованием Гельфанда элемента а.
Пусть А — множество всех таких функций а при α Ε Λ.
Топологией Гельфанда на Δ называется слабейшая топология,
относительно которой все функции из А непрерывны.
Идеал алгебры называется собственным, если он отличен от
самой алгебры.
11.5.1. Предложение. Пусть А — коммутативная
банахова алгебра с единицей и 1 — замкнутый собственный идеал
в ней. Тогда банахово фактор-пространство А/1 имеет
естественную структуру банаховой алгебры с единицей, а фактор-
отображение π: А —► А/1 является непрерывным
гомоморфизмом алгебр.
Доказательство. Умножение на А/1 вводится формулой
π(α)π(6) := π(α6), α, 6 Ε Α
Это определение корректно, ибо при α — а' € I и Ь - Ь1 El мы
имеем а'Ъ' — ab = (а7 — а)У + α(ί/ — 6), откуда a!br — abEl. Легко
убедиться, что А/1 становится алгеброй, а π оказывается
непрерывным гомоморфизмом (заметим, что ||π(α)|| ^ ||α||)· Покажем,
что
||π(α)π(6)||<||π(α)||||7Γ(6)||.
Пусть ε > 0. По определению фактор-нормы банахова
пространства А/1 (см. §5.1) найдутся такие г*, ν Ε Χ, что
||а + и||<Иа)||+е, \\b + v\\^ ||π(6)|| +ε.
Так как (α + и)(Ь + ν) — ab El, то
||π(α6)|| < ||(β+«)(6+«)|| ^ ||a+tt|| ||ft+v|| < (||π(α)||+ε)(||π(6)||+ε),
откуда ввиду произвольности ε вытекает нужное неравенство.
Ясно, что π(1) есть единица фактор-алгебры. D
Максимальным идеалом называется собственный идеал, не
содержащийся ни в каком большем собственном идеале. Важную
роль играет следующая теорема, связывающая характеры с
максимальными идеалами.

618
Глава 11. Банаховы алгебры
11.5.2. Теорема. Пусть Л — коммутативная банахова
алгебра с единицей и Δ — множество всех ненулевых
характеров Л. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) Каждый идеал в Л содержится хотя бы в одном
максимальном идеале.
(ii) Всякий максимальный идеал замкнут.
(ш) Всякий максимальный идеал есть ядро некоторого
характера из А, а ядро всякого характера из Δ есть
максимальный идеал.
Доказательство, (i) Семейство 9Я всех собственных
идеалов, содержащих данный, частично упорядочено по включению.
Всякая цепь в нем имеет мажоранту: объединение всех
элементов этой цепи (которое, как легко видеть, также входит в 9Я). По
лемме Цорна в 9tt есть максимальный элемент.
(ii) Пусть Μ — максимальный идеал иМ- его замыкание.
Без труда проверяется, что Μ — идеал. Так как Л4 С Μ и Л4 —
максимальный идеал, то достаточно проверить, что Μ не
совпадает с Л. Поскольку М. не содержит обратимых элементов,
а множество Ы обратимых элементов открыто, то и замыкание
Μ лежит в дополнении к W, что завершает доказательство.
(in) Пусть Μ — максимальный идеал. По доказанному он
замкнут. Поэтому фактор-алгебра Л/Μ является банаховой.
Выберем элемент а £ М. Тогда
J := {ab + с: 6 € Л, с € М}
является идеалом, строго содержащим ΛΊ (ибо содержит а).
Значит, имеем J = А. Поэтому существуют такие Ь Ε Л и с Ε ΛΊ,
что ab+c = 1. Для фактор-отображения π: Л —» Л/Μ получаем
7τ(α)π(6) = 7г(1). Это означает, что все ненулевые элементы
алгебры Л/Μ обратимы. По теореме Гельфанда-Мазура существует
изоморфизм h: Л/Μ —► С. Положим χ := h о π. Тогда χ € Δ
и Μ — ядро χ.
Обратно, если χ 6 Δ, то χ_1(0) — идеал в Л коразмерности 1,
т.е. максимальный идеал. D
11.5.3. Пример, (i) Пусть Л = С(К), где К — компакт.
Из примера 11.2.4 и доказанной выше теоремы следует, что все
характеры Л имеют вид χ н-> х(к), где к Ε К.
(ii) Пусть Л = ίχ(Ζ) (см. пример 11.1.8(iv)). Для всякого ζ € С
с \ζ\ = 1 положим ψζ{χ) := ΣηβΖΧηΖη- ®το Дает гомоморфизм,

11.5. Коммутативные банаховы алгебры
619
ибо справедливы следующие равенства:
Ψζ{χ * У) = Σ(χ * y)nZn = Σ ^2хкУп-к^П =
= ^2xkzk^2yn-kzn-k = <pz(x)<pz(y).
kez nez
С другой стороны, если дан мультипликативный функционал φ
на /1(Ζ), то он задается некоторой ограниченной
последовательностью чисел θη = у>(еп), где еп — элемент с 1 на месте η и 0 на
остальных местах. Положим ζ := θ\. Если ψ Φ О, то \φ\ = 1, как
показано выше. Так как еп * е& = en+fc, то получаем Qn — zn. При
этом
1*1 = Ш)\ < ||ei|| = 1, Ν"1! = k(e-i)| < ||e_i|| = 1,
что дает \z\ — 1, т.е. φ = yv
(iii) Из предыдущего пункта и примера 11.1.8 (ν) следует, что
ненулевые характеры алгебры W абсолютно сходящихся рядов
Фурье имеют вид / н-> /(£), t € [0,2π].
(iv) Можно показать (задача 11.7.24), что ненулевые
характеры сверточной алгебры L1(IR1) имеют вид
f*-+ [ e-itsf{s)ds, telR1.
(v) Если Л — коммутативная банахова алгебра и ао ф О —
необратимый элемент (по теореме 11.3.6 такие элементы имеются,
если dim Л > 1), причем существует а € Л с ода Φ О, то ао · Л —
нетривиальный идеал. Значит, этот идеал входит в некоторый
максимальный идеал, т.е. найдется ненулевой характер, равный
нулю на ао · Л. Для общих банаховых алгебр может случиться,
что нет ненулевых идеалов: например, пусть Л = С(Сп). Такого
не может случиться для коммутативных С*-алгебр.
Спектр элемента можно связать с его преобразованием Гель-
фанда.
11.5.4. Предложение. Пусть Л — коммутативная
банахова алгебра с единицей и Δ — пространство ее максимальных
идеалов. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) Элемент а 6 Л обратим в точности тогда, когда
функция а не имеет нулей. Это равносильно также тому, что а не
содержится ни в каком собственном идеале.

620
Глава 11. Банаховы алгебры
(ii) Точка λ входит в σ(α) в точности тогда, когда
существует такой характер χ Ε Δ, что χ(α) = λ, т.е. σ{α) — α(Δ).
При этом
max|a(x)|=r(a)< ||α||,
xeA
где г (а) — спектральный радиус а.
Доказательство, (i) Если элемент а обратим, то
χ(α)χ(α-1) = χ(1) = 1.
Поэтому χ(α) φ 0. Если же а не является обратимым, то
множество 1 := {ab: Ь € А} представляет собой идеал, не
содержащий единицу. Поэтому I содержится в некотором
максимальном идеале и потому входит в ядро некоторого характера χ, т.е.
α (χ) = χ(α) = 0. Остается вспомнить, что обратимый элемент не
может содержаться в собственном идеале.
(ii) Достаточно применить (i) к α—λΐ и воспользоваться
предложением 11.3.5. D
11.5.5. Теорема. Пусть А — коммутативная банахова
алгебра с единицей и Δ — пространство ее максимальных идеалов.
Тогда справедливы следующие утверждения.
(г) Пространство Δ хаусдорфово и компактно.
(ii) Преобразование Гельфанда есть гомоморфизм из А на
подалгебру А алгебры С(А), причем его ядро совпадает с
пересечением всех максимальных идеалов А.
Доказательство, (i) Пусть К — замкнутый единичный
шар пространства Л*, сопряженного к банахову пространству А.
По теореме Банаха-Алаоглу-Бурбаки множество К компактно
в *-слабой топологии. Так как ||χ|| ^ 1, то Δ С К. Топология
Гельфанда представляет собой сужение на Δ топологии σ(Α*,Α).
Поэтому достаточно проверить замкнутость Δ в К в *-слабой
топологии. Пусть элемент χο € К входит в замыкание К в
указанной топологии. Нам надо проверить, что χο — ненулевой
мультипликативный функционал, т.е.
Хо(аЬ) = Хо(а)Хо(Ъ) при а, 6 Ε Л и χ0(1) = 1.
Имеется сходящаяся к χο направленность элементов χα Ε Δ.
Поскольку для них указанные соотношения верны, то они верны
и для χο· Утверждение (ii) проверяется непосредственно. D

11.5. Коммутативные банаховы алгебры
621
11.5.6. Замечание. Если ||а2|| = ||а||2 для всех а Е Л, то
преобразование Гельфанда оказывается изометрией. Это видно
из проверяемого по индукции соотношения \\а2 || = ||α||2 ,
дающего равенство ||а||оо = г (а) = \\а\\.
Теперь мы можем доказать следующий важный результат.
11.5.7. Теорема. (Теорема Гельфанда-Наймарка)
Пусть Л — коммутативная С*-алгебра с единицей 1
единичной нормы и А — пространство ее максимальных идеалов.
Тогда преобразование Гельфанда является изометрическим
изоморфизмом между Л и С (А), причем а* = а.
Доказательство. Пусть а Е Л — такой элемент, что а* = а.
Покажем, что функция а вещественна, т.е. χ(α) € IR1 для всякого
элемента χ Ε Δ. Для вещественных t положим ζ = a+itl. Записав
χ(α) = а + ιβ, где <*, β Ε IR1, получаем
χ{ζ) = α + %{β +1), ζζ* =α2 + t2l,
откуда находим
α2 + (β +1)2 = \χ(ζ)\2 < ||2||2 = ||«·|| < ||α||2 + t\
что возможно лишь при /3 = 0.
Каждый элемент а Е Л можно представить в виде а = и + iv,
где и = г**, ν = ν*, положив и := (а + а*)/2. При этом имеем
а* = гх — гг>. По доказанному функции г? и гГ вещественны, что
дает соотношение а* = а.
Таким образом, алгебра А замкнута относительно
комплексного сопряжения. По теореме Стоуна-Вейерштрасса она плотна
в С (А). Осталось показать, что она замкнута и что
преобразование Гельфанда — изометрия. Достаточно проверить лишь
последнее. Пусть а Ε Л и Ь = аа*. Тогда 6* = 6, откуда ||62|| = ||6||2.
Как указано в замечании 11.5.6, это дает ||Ь||с(А) = Г(Ь) — 11^11-
Из доказанного выше следует, что Ь = |а|2, откуда
H\2C{A) = \\4c(A) = \\b\\ = \\aa*\\ = \\af.
Итак, получена изометрия. Π
Рассмотрим три простых случая, в которых преобразование
Гельфанда описывается явно.

622
Глава 11. Банаховы алгебры
11.5.8. Пример, (i) Пусть К — компакт и Л = С{К). Мы
знаем, что ненулевые характеры Л имеют вид χ *—> x(k), где
к € К. Поэтому пространство Гельфанда Δ естественно
отождествляется с К.
(ii) Все ненулевые характеры алгебры Л = 11{Ъ) имеют вид
Ψζ'· fan) »-» ΣηΕΖ^2η, где г € С и \ζ\ = 1. Поэтому здесь Δ
можно отождествить с единичной окружностью в С: отображение
ζ *—> φζ является гомеоморфизмом, ибо оно непрерывно и взаимно
однозначно.
(Ш) На сверточной алгебре L1(IR1) без единицы характеры
имеют вид / н-> у/2тгf(t), где / — преобразование Фурье
функции / и t Ε IR1 (задача 11.7.24). Поэтому преобразование
Гельфанда элемента / можно отождествить с \/27г/.
Как мы видели, банахову алгебру без единицы можно
представить как замкнутую подалгебру коразмерности 1
(являющуюся двусторонним идеалом) в банаховой алгебре с единицей,
причем если исходная алгебра была коммутативной или С*-алгеброй,
то и расширение наследует эти свойства (в случае С*-алгебры
нужно еще правильно выбрать норму на расширении, см.
задачу 11.7.19). Поэтому всякая коммутативная С*-алгебра
реализуется как замкнутый двусторонний идеал коразмерности 1 в
алгебре £?(Δ), где Δ — компакт. Как показано в примере 11.2.4, такой
идеал имеет вид {χ: χ(δ) = 0} для некоторой точки δ Ε Δ.
Из доказанного выше следует, что алгеброй непрерывных
функций является такая коммутативная С*-алгебра, как Ζ,°°(μ),
где μ — вероятностная мера на измеримом пространстве (Ω, В).
Этот пример кажется особенно удивительным, ведь на Ω
вообще нет никакой топологии. Даже в случае меры Лебега λ
на отрезке соответствующее пространство Δ довольно сложно
устроено; например, оно неметризуемо, ибо пространство L°°(A)
несепарабельно. При изоморфизме алгебр £°°(μ) и С(А) класс
эквивалентности индикатора измеримого множества Ε переходит
в некоторую непрерывную функцию ψΕ, удовлетворяющую
тождеству ψ2Ε = ψΕ- Поэтому эта функция принимает лишь два
значения 0 и 1, т.е. является индикатором некоторого множества Е.
Ввиду непрерывности φ оба множества <^-1(0) и у>_1(1)
оказываются одновременно открытыми и замкнутыми. Значит,
множество Ε открыто. Поскольку линейные комбинации простых
функций плотны в L°°(/i), то в С (А) плотны линейные комбинации

11.6. Структура С*-алгебр
623
функций с конечным множеством значений. Из этого следует,
что в Ω есть база топологии, состоящая из открыто-замкнутых
множеств. См. также §11.7(i).
11.6. Структура С*-алгебр
Основной результат этого параграфа характеризует униталь-
ные С*-алгебры как подалгебры в алгебрах ограниченных
операторов на гильбертовых пространствах. Важную роль в
доказательстве играют положительные функционалы. Линейный
функционал / на банаховой алгебре Л с инволюцией называется
положительным, если
f(xx*)^0 Ухе А.
11.6.1. Пример. Пусть Ω — непустой компакт. Линейный
функционал / на комплексной или вещественной банаховой
алгебре C(Q) положителен в смысле банаховых алгебр в точности
тогда, когда он задается неотрицательной радоновской мерой μ
на Ω по формуле
/0*0 = / χ(ω)μ(όω).
JK
Доказательство. Так как χ*χ(ω) = |ζ(α;)|2 ^ 0, то мера
μ ^ 0 задает положительный функционал. Обратно, если
функционал / положителен в смысле банаховых алгебр, то, как
показано ниже, он непрерывен. По теореме Рисса этот функционал
задается мерой Радона μ, которая неотрицательна, ибо
принимает неотрицательные значения на всех неотрицательных
функциях у? Ε (7(Ω), что ясно из равенства φ = φ1/2 φ1/2, где φιΙ2 € <7(Ω)
и (pi/*)* = φ1/2. Π
Заметим также, что для всякого топологического
пространства Г положительность линейного функционала на
вещественном пространстве Сь(Т) в смысле положительности на квадратах
элементов равносильна его положительности в смысле
упорядоченных векторных пространств.
Отметим ряд простых свойств положительных
функционалов.
11.6.2. Предложение. Пусть f — положительный
функционал на унитальной банаховой алгебре с непрерывной
инволюцией. Тогда
(i) /(#*) = f(x) для всех χ € Л;

624
Глава 11. Банаховы алгебры
(ii) \f(xy*)\2 < f(xx*)f(yy*) для всех х,у € А;
(in) \f(x)\2 ^ f(l)f(xx*) ^ f(l)2r(xx*) для всех χ е Л;
(iv) функционал f непрерывен.
Доказательство. При #, у € Л положим
a = f(xx*), /? = /(уу*), 7 = /(*</*), S = f(yx*).
Поскольку f[(x + \у)(х* + Ау*)) ^ 0 при всех λ Ε С, то
α + λ^ + λδ+\λ\2β^0.
Из этого соотношения с λ = 1 и λ = i следует, что оба числа
7 + δ и τ(δ — у) вещественны. Значит, δ = у. При у = 1 получаем
утверждение (i). Возьмем такое θ Ε И1, что el9j = |^у |. Пусть
λ = te~ie, где t Ε К1. Тогда ί2β + 2\y\t + а ^ 0, что дает (ii).
Первое из неравенств в (iii) есть (ii) с у — 1. Для доказательства
второго зафиксируем t > г(хх*). Тогда a(tl — хх*) содержится
в открытой правой полуплоскости. В силу предложения 11.4.3
существует такой эрмитов элемент Ъ Ε Л, что Ъ2 = tl — хх*.
Поэтому
tf(l)-f(xx*) = f(b2)>0,
откуда получаем f(xx*) ^ f(l)r(xx*). Поскольку мы
предположили, что инволюция непрерывна, то существует такая
постоянная С, что ||ж*|| < С\\х\\. Поэтому г(хх*) ^ \\хх*\\ ^ С||^||2, что
показывает непрерывность /. D
Отметим, что доказанное предложение справедливо и без
предположения о непрерывности инволюции (см. теорему 11.31
в Рудин [188]).
11.6.3. Теорема. Для всякого элемента ζ в С*-алгебре Л
с единицей единичной нормы существует такой
положительный функционал f на Л, что
/(***)-IN2, /(i) = i.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а = zz*. Элемент а эрмитов.
Рассмотрим замкнутую подалгебру Ло С Л, порожденную
элементами α и 1. Ясно, что эта подалгебра коммутативна и замкнута
относительно инволюции. По теореме Гельфанда-Наймарка
преобразование Гельфанда устанавливает изометрический изоморфизм
между алгеброй Ло и алгеброй С(А) непрерывных комплексных
функций на компактном пространстве Δ максимальных
идеалов Ло· Пусть ξ Ε Δ — такая точка, что |а(£)| = ||а||с(д) = \\а\\·

11.6. Структура С*-алгебр
625
Ясно, что функционал /о: жи χ (£) является положительным,
переводит 1 в 1 и равен ||а|| на а. Заметим, что ||/о|| = 1. По
теореме Хана-Банаха этот функционал можно продолжить с
сохранением нормы на всю алгебру А. Обозначим продолжение через /
и покажем, что f(xx*) ^ 0 для всякого χ Ε А. Зафиксируем χ Ε А
и положим Ь := хх*. Как и выше, имеется замкнутая подалгебра
Αι в *Д, порожденная элементами Ь и 1 и замкнутая относительно
инволюции. По теореме Гельфанда-Наймарка она изометрически
изоморфна алгебре С(А\) непрерывных комплексных функций
на компакте Δχ — пространстве максимальных идеалов А\,
причем положительным функционалам соответствуют
положительные функционалы (ввиду равенства а* = а в теореме 11.5.7).
Поэтому достаточно проверить, что всякий функционал д на ό(Δχ)
с единичной нормой и д(1) = 1 положителен. Как указано в
примере 11.6.1, нужно проверить неотрицательность д на
неотрицательных функциях. Пусть φ € C(Ai) и 0 ^ φ ^ 1. Положим
д{ф) = α+ίβ. Тогда \д((р)\ О и \1-д((р)\ = \g(l-ip)\ ^ 1, что дает
а > 0. Кроме того, при всех вещественных t имеем |<?(eliv?)| ^ 1.
Это возможно лишь при β = 0, ибо g(elt(p) = 1 + itg[^p) + o(t). D
11.6.4. Теорема. (Теорема Гельфанда-Наймарка)
Пусть А — С*-алгебра с единицей единичной нормы. Тогда
существуют гильбертово пространство Η и изометрический
изоморфизм j алгебры А на замкнутую подалгебру в С(Н), для
которого j(a*) = j(a)*.
Доказательство. Сначала покажем, что для всякого
ненулевого h E А найдутся такие гильбертово пространство Н^ и
гомоморфизм Th: А —» C(Hh), что для всех χ Ε А имеем
ад = /, надц = \\h\\, ад) = (ад)·, падки.
В предыдущей теореме показано, что существует такой
положительный функционал / на Л, что /(1) = 1 и f(hh*) = \\h\\2. С
помощью этого функционала мы зададим скалярное произведение.
Для этого введем линейное пространство
L := {у Ε A: f(xy) = 0 при всех χ Ε Α}.
Из непрерывности / следует замкнутость L. На
фактор-пространстве A/L зададим скалярное произведение формулой
(а,Ь) := f(b*a),

626
Глава 11. Банаховы алгебры
где а и Ъ — произвольные представители классов эквивалентности
оиб. Определение корректно, т.е. не зависит от выбора
представителей классов, ибо f(b*a) = О, если хотя бы один из элементов
а или Ъ входит в L. Если α Ε I, то это ясно из определения L,
а если Ь € L, то в силу утверждения (i) предложения 11.6.2 имеем
f(b*a) = f(a*b) = 0. Линейность (α, b) по первому аргументу
очевидна (по второму аргументу эта функция сопряженно-линейна).
Наконец, f(a*a) > 0, причем в силу утверждения (ii)
упомянутого предложения равенство f(a*a) = 0 означает, что а € L.
В качестве Η возьмем пополнение пространства A/L с
введенным скалярным произведением. Искомый оператор зададим на
A/L равенством
Т(х)у := ху.
Вектор h фиксирован, поэтому зависимость Τ от h не
указывается. Нетрудно проверить, что это определение корректно (не
зависит от выбора представителя класса). Ясно также, что
отображение Τ линейно, переводит единицу в единичный оператор
и Т{х\Х2) = Т(х\)Т{х2). Покажем, что
1№)||< И, хел.
Из этой оценки будет вытекать, что Г единственным образом
продолжается до непрерывного оператора на if с нужными
свойствами. Мы имеем
||Г(я)у||2 = (£y,Sy) = f(y*x*xy).
При фиксированном у функционал φ\ х\-+ f(y*xy) положителен.
Согласно утверждению (iii) предложения 11.6.2 имеем
\φ&χ)\<φ(1)\\χ\\2 = \\ν\\4*\\2,
т.е. ||Г(х)у||2 ^ ||у||2|И2· Итак, ||Г(яг)|| < ||х||. Так как
||ϊ||2 = /(1*1) = /(1) = 1,
то при этом имеем
\\hf = f(h*h) = \\T(h)lf^\\T(h)f,
что дает равенство ||Τ(^)|| = ||Λ||. Наконец, соотношения
(Т(х*)а,Ь) = (£*£,&) = f(b*x*a) = f((xb)*a) = {a,xb) =
= (a,T(x)b) = (Т(х)*а,Ъ)

11.6. Структура С*-алгебр
627
показывают, что Т(х*)а = Т(х)*а при всех а Ε Λ/L. Поскольку
A/L плотно в Н, то доказанное равенство переносится на все
элементы Н.
Теперь для каждого ненулевого элемента h Ε Л мы
возьмем соответствующие гильбертово пространство Н^ и оператор
Т^ на Н^. В качестве Η возьмем прямую сумму всех таких
пространств Нь, т.е. пространство всех таких наборов ν = {vh}heA\{o}
с υ^ Ε Нь, что не более чем счетное число Vh отлично от нуля и
NI2 := Σ Ык < °°-
h
Линейная структура вводится покомпонентно, скалярное
произведение задается формулой
(u,v)H := Y^(uh,vh)Hh.
h
Каждому элементу а Е Л сопоставим оператор В (а) Е С(Н) по
формуле
(B(a)v)h:=Th(a)vh,
где Т^ — построенный выше оператор на Н^. Описанная
конструкция называется ГНС- конструкцией по именам Гельфанда,
Наймарка и Сигала. Поскольку ||ТХ(а)|| < ||а|| = ||Га(а)||, то
||Б(а)||=8ир||Гд(а)|( = ||а||,
h
что завершает доказательство. D
Вложение С*-алгебры в алгебру операторов имеет не только
принципиальное общетеоретическое значение, но и бывает
полезно для доказательства многих технических утверждений,
которые могут быть доказаны и непосредственно, но более длинно.
Приведем пример, дополняющий предложение 11.4.3.
11.6.5. Предложение. Пусть Л — С*-алгебра с единицей.
Пусть α Ε Λ — эрмитов элемент со спектром в [О, +оо). Тогда
существует такой эрмитов элемент Ъ со спектром в [0,+оо),
что Ъ2 = а. Кроме того, для всякого и Ε Λ элемент и*и эрмитов
со спектром в [0,+оо).
Наконец, элемент и Ε Λ является эрмитовым с
неотрицательным спектром в точности тогда, когда 1{и) ^ 0 для всякого
неотрицательного функционала I.

628
Глава 11. Банаховы алгебры
Доказательство. В случае алгебры операторов на
гильбертовом пространстве Η эти утверждения очевидны, ибо в
качестве Ь можно взять γ/α, а оператор и*и неотрицателен.
Последнее утверждение о характеризации неотрицательных операторов
следует из того, что для всякого вектора h € Η функционал
А н-> (Α/ι, К) является неотрицательным, причем если (77ι, К) ^ О
при всех /ι, то оператор Τ является неотрицательным
самосопряженным. Ясно, что при инволютивном изоморфизме
рассматриваемые свойства сохраняются. D
11.6.6. Замечание. Построенный выше элемент Ь можно
взять в качестве определения у/а. Затем для всякого α Ε Λ
можно положить \а\ := у/а*а по аналогии со случаем операторов.
Тогда изоморфизм j из предыдущей теоремы сохраняет абсолютные
значения, т.е. j(\a\) = |j(a)|, где \j(a)\ = \/j(a)*j(a).
Действительно, j(a*a) = j(a)*j(a) на основании установленных свойств j. По
нашему определению \а\ есть как раз j~l (у/j{a)*j(a))· В случае
алгебр £°°(μ) и Сь(Т) такой модуль совпадает с поточечно
определяемым модулем функции.
Отметим, что сепарабельную С*-алгебру можно вложить
в алгебру операторов £(/2) (задача 11.7.18). Однако
фактор-алгебра С(/2) = £(/2)//С(/2), называемая алгеброй Калкина, этим
свойством не обладает (задача 11.7.25).
11.7. Дополнения и задачи
(i) Алгебры С (К) и L°° (628). (ii) Алгебры фон Неймана (630).
Задачи (631).
11.7(i). Алгебры С(К) и L°°
Пусть (П,Д, μ) — вероятностное пространство и £°°(μ) —
комплексное банахово пространство классов эквивалентности
ограниченных //-измеримых функций. Это пространство с естественным
умножением, соответствующим поточечному умножению представителей
классов, является коммутативной С*-алгеброй с единицей (роль которой
выполняет функция 1). По теореме Гельфанда-Наймарка
преобразование Гельфанда — изометрический изоморфизм между £°°(μ) и С(А),
где Δ — пространство максимальных идеалов, являющееся компактом
в топологии Гельфанда. Обозначим преобразование Гельфанда / ·-> /
через j. Поскольку j(f) = j(/), то при / ^ 0 имеем j(f) ^ 0 в том

11.7. Дополнения и задачи
629
смысле, что в классе эквивалентности j(f) есть поточечно
неотрицательный представитель. Это видно из того, что j(f) имеет
вещественного представителя и j(f) = Jif^^jif1^2)- Кроме того, если φ ^ 0, то
ί~1(φ) ^ 0. Изоморфизм j позволяет также перенести меру μ на Δ.
11.7.1. Предложение. На σ-алгебре в А, порожденной С (А),
существует единственная вероятностная мера ν, для которой
выполнено равенство
ί /(ω)φ)μ(άω) = [ /(и;)|ЙК«М V/,<? G С°°(й). (11.7.1)
При этом пространства £2(μ) и L2{v) изометричны.
Доказательство. Рассмотрим функционал
Α: φ^ / Γι(φ){ω)μ{άω),
Jo,
где под интегралом стоит какая-нибудь версия элемента j_1(<^).
Ясно, что этот функционал непрерывен и по теореме Рисса (см.
теорему 6.10.76) представляется в виде интеграла φ по некоторой
неотрицательной мере ν на σ-алгебре в Δ, порожденной С(А). Заметим, что
Л(1) = 1 и Α(φ) ^ 0 при φ ^ 0. Поэтому мера ν оказывается
вероятностной. Ясно, что равенство (11.7.1) выполнено при / = д. Ввиду
линейности j оно выполнено для всех f,g £ £°°(μ). Поскольку £°°(μ)
плотно в £2(μ) и С (А) плотно в L2(v), то j однозначно продолжается по
непрерывности до изометрии £2-пространств. Единственность ν
следует из того, что преобразование Гельфанда отображает £°°(μ) на С(Д),
а мера на σ-алгебре, порожденной С(А), однозначно определяется
интегралами от элементов С (A). D
11.7.2. Замечание. Меру ν можно однозначно продолжить до
регулярной борелевской меры, т.е. меры, удовлетворяющей равенству
v{B) = s\xp{i/(K): К С В компактно} для всех борелевских В. В этом
случае С (А) также плотно в соответствующем L2 (задача 3.12.44).
Для iz-измеримых функций оказывается справедливой следующая
усиленная версия теоремы Лузина, не имеющая места для большинства
борелевских мер на метрических пространствах.
11.7.3. Следствие. Пусть ν — мера из предыдущей теоремы.
Тогда всякая ограниченная и-измеримая функция ν-η.β. равна некоторой
непрерывной функции.
Доказательство. Достаточно рассмотреть вещественные
функции. Пусть / G C°°(i/) и — Μ ^ f(s) ^ Μ для i/-n.B. s. Найдется
последовательность {/п} С С(А), сходящаяся к / в L2(i/). Перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что fn(s) —* f(s) для ιζ-п.в. s. Возьмем

630
Глава 11. Банаховы алгебры
функцию θ: IR1 —► [—Μ, Μ], для которой θ(ί) = t при |t| < Μ, 0(£) = Μ
при t > Μ, 0(ί) = —Μ при £ < —Μ. Тогда θο/η —>· f ι/-π.β. По
теореме Лебега получаем и сходимость в L2(v). Значит, j_1(0°/n) —» Э if)
в £2(μ). При этом последовательность функций j-1(0o/n)
ограничена по норме L°°(/i) числом М, ибо |0o/n(s)| < М. Следовательно,
Ρ := j_1(/) € £°°(μ), что дает равенство j(g) = / в £2(μ), т.е. j(g) = f
ιζ-п.в. Остается вспомнить, что j(g) £ С (A). D
Приведем пример использования изоморфизма j: L°°fa) —> <7(Δ).
11.7.4. Пример. Пусть последовательность {/п} слабо сходится
к нулю в L°°(/i). Тогда {\fn\} также слабо сходится к нулю.
Доказательство. В обозначениях из предыдущих рассуждений
мы имеем j(\f\) = \j(f)\ при / G L°°fa) (см. замечание 11.6.6).
Поскольку j — линейная изометрия, то слабая сходимость элементов φη
в £°°(μ) равносильна слабой сходимости элементов ί(φη) в С (А). Из
сказанного явствует, что теперь достаточно проверить, что из слабой
сходимости элементов фп £ С(А) к нулю следует слабая сходимость
\ψη\ к нулю. Нужная импликация очевидна из того, что слабая
сходимость в С(А) равносильна поточечной сходимости в сочетании с
равномерной ограниченностью (см. пример 6.6.6, остающийся в силе для
любых компактов). D
11.7(H). Алгебры фон Неймана
Пусть Л — инволютивная алгебра и Μ — ее подмножество.
Множество
М' :={аеЛ: аЪ = Ъа\/ЪеМ}
называется коммутантом М. Ясно, что М' — подалгебра в Л. Если Μ
замкнуто относительно инволюции, то М' оказывается инволютивной
алгеброй (а если Л — С*-алгебра, то такова и алгебра М'). Алгебру
Μ" = (Μ')' называют бикоммутантом М. Инволютивная
подалгебра Μ алгебры С(Н) всех ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве Η называется алгеброй фон Неймана, если Μ — Μ".
Например, вся алгебра С(Н) является алгеброй фон Неймана, ибо
ее коммутант состоит из операторов вида XI. Идеал )С(Н) компактных
операторов не является алгеброй фон Неймана в случае
бесконечномерного Я, так как К(Н)' — £(Н)'.
Приведем следующую теорему Сакаи.
11.7.5. Теорема. С*-алгебра Л является ^-изоморфной
некоторой алгебре фон Неймана в точности тогда, когда банахово
пространство Л является сопряженным к некоторому банахову
пространству.

11.7. Дополнения и задачи
631
Коммутативные алгебры фон Неймана описываются следующей
его теоремой.
11.7.6. Теорема. Всякая коммутативная алгебра фон Неймана
изометрически ^-изоморфна L°°(/i) для некоторой меры μ.
Алгебру фон Неймана Μ называют фактором, если МпМ' состоит
только из операторов XI. Факторы играют важную роль при изучении
алгебр фон Неймана и являются интересным объектом исследования.
Задачи
11.7.7? Пусть Л — банахова алгебра с единицей. Доказать равенство
σ(α&)\{0} = σ(6α)\{0}, α, b e Л.
11.7.8.° Пусть Л — банахова алгебра и а, Ь £ Л. Показать, что аЬ и Ьа
имеют равные спектральные радиусы.
11.7.9? Комплексное пространство 1Р с 1 ^ ρ < оо наделим
покоординатным умножением (ху)п = ХпУп- Показать, что получена банахова алгебра.
11.7.10? Пусть Л — С*-алгебра. Показать, что ||а|| = ||о*|| и ||ао*|| = ||а||2
при всех α G Л.
11.7.11? Пусть М(Шп) — пространство всех комплексных борелевских
мер на Нп ограниченной вариации с нормой ||μ|| = |μ|(ΙΒ,η) и сверткой в
качестве умножения:
μ * и{В) := [ J 1в(х + у) μ(άχ) μ(άν), В е B(JRn).
Показать, что Λ4(ΈΙη) — коммутативная банахова алгебра с единицей, роль
которой выполняет вероятностная мера, сосредоточенная в нуле.
11.7Л2. Рассмотрим сверточную алгебру Л = 1г(%») и ее подалгебру
В := {(хп) £ Л: хп = 0 при η < 0}. Показать, что элемент е\ имеет разные
спектры в Ли В.
11.7.13? Пусть Л = C{U) — алгебра непрерывных комплексных
функций на единичном круге U в С с нормой / ь-> maxzeu \f(z)\, поточечным
умножением и инволюцией f*(z) := f(z). Показать, что ||/*|| = ||/||, но Л не
является С*-алгеброй.
11.7.14. Показать, что сверточные алгебры L^IR/1), M(JRn) и 1Х(Ъ)
не являются С*-алгебрами относительно инволюции, заданной либо как
x*(t) := х(—ί), либо как х* := #, хотя ||ж*|| = ||ж|[.
11.7.15? Доказать, что в ДС1) нет нетривиальных идеалов.
11.7.16? (i) Доказать, что на ДС1) нет ненулевых характеров. (И)
Доказать, что на С(12) нет ненулевых характеров. (Ш) Доказать, что на алгебре
операторов вида XI + К, где К е /C(Z2), есть ненулевые характеры.

632
Глава 11. Банаховы алгебры
11.7.17? Пусть А — С*-алгебра и h: А —► С — гомоморфизм. Показать,
что (i) h(a) е И1 при а = α*, (Η) h(a*) = h(a) и ίι(α*α) ^ 0 при всех а е А.
11.7.18.° Пусть А — сепарабельная С*-алгебра с единицей. Показать,
что существует изометрический *-гомоморфизм из Л в С{12).
11.7.19. Пусть А — С*-алгебра без единицы и А — ее стандартное
расширение до алгебры с единицей, состоящее из пар вида (а, а), где а е А
и а е С, с умножением (α,α)(6,/3) := (ab + ab + βα,αβ). Показать, что на
А есть единственная норма, превращающая А в С*-алгебру и совпадающая
с исходной нормой на алгебре А, рассматриваемой как подпространство в А.
Указание: для ζ = (а,а) положить ||z|| := ||L*||, где оператор Lz на А
задан формулой Lzx := ах + αχ, χ е А-
11.7.20. Доказать, что ненулевые характеры алгебры A(U) всех
функций, голоморфных в единичном круге U С С и непрерывных на U,
наделенной sup-нормой, имеют вид φ ι-*· φ(ζ), где ζ G U. При этом Δ с топологией
Гельфанда гомеоморфно U.
11.7.21. Доказать, что пространство Соболева Wp,1(]Rn) с ρ > η
является банаховой алгеброй относительно поточечного умножения.
Указание: использовать вложение Wp,1(JRn) С L°°(lRn).
11.7.22. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство.
Превратим его в банахову алгебру, положив ху = 0. Пусть {va} — базис Гаме-
ля в Χ, {νη} — его счетная часть и ||vn|| = 1. Зададим инволюцию j так:
j(v2n-i) = ri~1V2n, j(v2n) = nv2n-i, j(va) = va для остальных индексов,
а затем продолжим j по линейности. Показать, что получена разрывная
инволюция.
11.7.23. Доказать, что алгебра I^QR") с операцией свертки не имеет
единицы.
Указание: использовать преобразование Фурье.
11.7.24. Доказать, что все ненулевые характеры сверточной алгебры
L1(1R1) имеют вид
/_> / e~itsf(s)ds, ten1.
Угол
11.7.25. Рассмотрим алгебру Калкина C(l2) = £(Z2)//C(Z2). Пусть Ε —
некоторое гильбертово пространство и π: C(l2) —► С(Е) — изометрический
♦-гомоморфизм. Доказать, что Ε несепарабельно.
11.7.26. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что единичный
оператор — крайняя точка единичного шара в С(Х). Вывести из этого, что
единица банаховой алгебры А — крайняя точка единичного шара в А.
Указание: пусть \\1 - ГЦ < 1 и \\1 + ГЦ ^ 1, где Г е С(Х). Тогда
||/-Г*|| ^ 1 и \\1 + Г\\ ^ 1, откуда \\1-Т*1\\ ^ 1, Ц1 + ТЧЦ ^ 1 при I e Х%
\\1\\ ^ 1, что дает Г* = I, если I — крайняя точка единичного шара в X*. Из
♦-компактности шара в X* и теоремы Крейна-Мильмана получаем Г* = О,
т.е. Г = 0.

Глава 12
Бесконечномерный анализ
В этой главе обсуждаются основы дифференциального
исчисления в бесконечномерных пространствах и некоторые
близкие вопросы. В конечномерном случае есть два различных
типа дифференцируемости: дифференцируемость в точке,
основанная на рассмотрении приращений функции, а также глобальная
дифференцируемость, основанная на рассмотрении производной
как некоторого самостоятельного объекта (как это делается в
теории обобщенных функций и в теории пространств Соболева).
Похожая, но более сложная картина наблюдается и в
бесконечномерном случае. Здесь мы рассмотрим лишь первый тип
дифференцируемости, хотя в последние годы второй играет все более
заметную роль в исследованиях и приложениях. В настоящее
время основы дифференциального исчисления в бесконечномерных
пространствах обычно не входят в курс функционального
анализа, а изучаются в курсе оптимального управления или
вариационного исчисления. Однако мы решили включить этот короткий
раздел как для более полного представления об основных
направлениях функционального анализа, так и из-за его идейных связей
с линейной теорией.
12.1. Дифференцируемость и производные
Аналогично случаю функции двух вещественных переменных
можно рассматривать частные производные функции на
линейном пространстве, а можно задавать производную в духе
классической «главной линейной части приращения функции». Начнем
с дифференцируемости по направлениям. Пусть даны
вещественные линейные пространства X и Υ и отображение F: X —> Υ.

634
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Предположим, что Υ наделено некоторой сходимостью
(например, является локально выпуклым пространством, как это и
будет всюду ниже).
Пусть xq Ε X и h Ε Χ. Будем говорить, что F имеет частную
производную вдоль h (или по направлению К), если в Υ
существует предел
л ev \ τ F(*o + th) ~ F(*o)
UF(*0) := Jm j .
Даже если для каждого h Ε Χ частная производная dhF(xo)
существует, отображение h н-> dhF(xo) может не быть линейным
(см. пример ниже). Часто бывает полезна не только линейность
этого отображения, но возможность приблизить им F «с
точностью до малых более высокого порядка».
Различные типы дифференцируемости могут быть описаны
следующей простой схемой дифференцируемости относительно
класса множеств М. Пусть Χ, Υ — локально выпуклые
пространства и М. — некоторый класс непустых подмножеств X.
12.1.1. Определение. Отображение F: X —► У
называется дифференцируемым относительно М. в точке х, если
существует такое секвенциально непрерывное линейное
отображение из Χ β Υ', обозначаемое через DF(x) или F'{x) и называемое
производной F в точке х, что равномерно по h из каждого
фиксированного множества Μ 6 Μ имеем
}™F{X + th)t-F{X)=DF{x)h. (12.1.1)
Взяв в качестве Л4 совокупность всех конечных множеств,
получаем дифференцируемость по Гато.
Таким образом, дифференцируемость по Гато отличается от
наличия частных производных dhF(x) тем, что дополнительно
требуется линейность отображения h н-> d^F^x), а также его
секвенциальная непрерывность.
Если Л4 — класс всех компактных подмножеств, приходим
к дифференцируемости по системе компактных множеств,
которая для нормированных пространств называется дифференци-
руемостью по Адамару. Используют также дифференцируемость
по системе секвенциально компактных множеств (для
нормированных пространств она совпадает с дифференцируемостью по
Адамару).

12.1. Дифференцируемость и производные
635
Наконец, если Χ, Υ — нормированные пространства и ΛΊ
состоит из всех ограниченных множеств, то получаем
определение дифференцируемости по Фреиле (конечно, такое
определение можно рассматривать и в случае локально выпуклых
пространств; тогда полученная дифференцируемость
называется ограниченной дифференцируемостъю).
Основная идея дифференцируемости — локальное
приближение отображения F линейным отображением, т.е. представление
F(x + h) = F{x) + DF(x)h + r(x, h),
где отображение h «—► r(x,h) является в определенном смысле
«малым более высокого порядка» по сравнению с h. В случае
нормированных пространств дифференцируемость по Фреше
придает следующий смысл этому понятию малости:
llftll-o \\h\\
Символически это обозначают как r(x,h) = o(h). В более общем
случае дифференцируемости относительно М. малость означает
равномерное по h из каждого фиксированного Μ Ε Μ
соотношение
t-o t K J
Нетрудно заметить, что это равносильно (12.1.1), если положить
r(x, h) := F(x + h) — F(x) — DF(x)h. Конечно, понятию малости
можно придать какой-нибудь иной смысл, что приведет к
другому виду дифференцируемости. Таким образом, как и для
функций на прямой, производная выполняет роль некоторого
касательного отображения.
12.1.2. Пример. Пусть X — гильбертово пространство,
f(x) = (#, х). Тогда /'(#) = 2х. Действительно,
(х + h, χ + К) — (ж, х) = 2(#, h) + (h, h) и (Л, h) = o(h).
Ясно, что для отображений прямой дифференцируемости Га-
то, Адамара и Фреше совпадают. В пространстве JRn с η > 1
определение Адамара эквивалентно определению Фреше и
строго сильнее, чем определение Гато.
12.1.3. Пример, (i) Пусть функция /: И2 —> И1 задана
формулой
f(x) = г cos Зу>, χ = (г cos <р, r sin y>), /(0) = 0

636
Глава 12. Бесконечномерный анализ
в полярных координатах. В точке хо = 0 частные производные
dhf(%o) = limt_1/(t/i) = λ cos 3α
существуют при всех h = (λ cos α, λ sin α) Ε К,2, однако
отображение h н-> dhf(xo) не является линейным. Для этого достаточно
взять векторы (1,0) и (0,1).
(ii) Зададим функцию /: И2 —► Et1 следующим образом:
-/ ν fl, если χ = (жх,Ж2), где Х2 = х^ к х\ > 0,
^ ' \θ в остальных случаях.
В точке χ = 0 производная Гато существует и равна нулю, ибо
для всякого /г 6 IR2 мы имеем limt_1/(t/i) = 0 из-за того, что
f(th) = 0 при |t| ^ 6(h), где 5(/г) > 0. Дифференцируемости по
Фреше в нуле нет, так как f(h) = 1 при h = (ί,ί2)·
Для локально липшицевых (т.е. липшицевых в окрестности
всякой точки) отображений нормированных пространств
дифференцируемости Гато и Адамара совпадают.
12.1.4. Теорема. Пусть X и Υ — нормированные
пространства и отображение F: X —► Υ локально липшицево. Если
отображение F в точке χ дифференцируемо по Гато, то в этой
точке F дифференцируемо и по Адамару, причем
соответствующие производные равны.
Доказательство. Пусть К — компакт в X и ε > 0. Пусть F
удовлетворяет условию Липшица с постоянной L в шаре В(х,г)
с г > 0, К содержится в шаре В(0, R) и М:= max(L, i?, ||DF(a;)||).
Найдем конечную ε-сеть hi,..., hm в К. Существует такое число
δ Ε (0, r/R), что при |t| < δ для каждого г = 1,..., т мы имеем
\\F{x + thi) - F(x) - tDF(x)(hi)\\ ^ e\t\.
Тогда при \t\ < δ для всякого h Ε К получаем
\\F(x + th) - F(x) - tDF(x)(h)\\ ^ e\t\ + 2Me\t\,
ибо найдется hi с \\h — Ы\\ ^ ε, откуда
\\F(x + th)-F(x + thi)\\ <M\\th-thi\\ < Afe|t|
и \\WF(x)h — WF(x)hi\\ ^ Με|ί|. Итак, F дифференцируемо в х
по Адамару. Ясно, что производная Адамара служит и
производной Гато, ибо последняя единственна. D

12.1. Дифференцируемость и производные
637
В бесконечномерных банаховых пространствах
дифференцируемость по Фреше строго сильнее дифференцируемости по Ада-
мару.
12.1.5. Пример. Функция
/: ^[0,1] ->Β.\ /(ж)= / smx(s)ds (12.1.3)
Jo
всюду дифференцируема по Адамару, но нигде не
дифференцируема по Фреше. То же самое справедливо для отображения
F: L2[0,1] -> L2[0, l], F(x)(s) = sinx(s). (12.1.4)
Доказательство. При доказательстве
дифференцируемости отображения часто бывает полезно найти кандидата на
производную, что делается путем вычисления частных производных.
Для функции / имеем следующее равенство:
(х + th)= [
Jo
f(x + th)= / sin[z(s) + th(s)] ds.
Jo
Его можно продифференцировать note помощью теоремы
Лебега о мажорируемой сходимости, что дает
dhf(x) = / h(s) cos x(s) ds.
Jo
Ясно, что производная Гато существует и дается функционалом
Df(x)h = / h(s) cos x(s) ds.
Jo
Поскольку ||D/(a;)|| < 1, то с помощью теоремы о среднем для
функций на прямой заключаем, что функция / липшицева
(конечно, это можно проверить непосредственно). По теореме 12.1.4
получаем дифференцируемость по Адамару. Для отображения
F рассуждения аналогичны. Здесь мы имеем операторы DF(x)
в £2[0,1], причем
(DF(x)h)(s) = (cos x(s))h(s).
Выясним, дифференцируемы ли / и F по Фреше. Пусть χ = 0.
Тогда f(x) = 0. Нам надо посмотреть, верно ли соотношение
f(h) — Df(0)h = ο(||/ι||). Левая часть равна
[sin h(s) — h(s)] ds.
ι
Jo

638
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Поскольку тейлоровское разложение sin h(s) — h(s) начинается
с h3, а наше пространство — L1, то возникает предположение, что
дифференцируемости Фреше здесь нет. Чтобы убедиться в
правильности этого предположения, начинаем брать в качестве h
такие элементы единичного шара, на которых f(th) — tDf(0)h не
будет равномерно o(t). А именно: пусть hk(s) = к при 0 ^ s ^ 1/к
и hk(s) = О при s > 1/к. Тогда
f(thk) - tDf(0)hk = AT1 sin kt -1.
Эта величина не является o(t) равномерно по к: достаточно
положить t = fc_1, что даст t(sin 1 — 1). Для произвольной точки χ
рассуждение аналогично. Зафиксируем версию ж. Рассматриваем
выражение
Функции cosx(s) и sina;(s) имеют общую точку Лебега so Ε (0,1).
Для всякого ε эта точка является точкой Лебега и для функции
sin(#(s) + ε) — sin#(s) — ecosx(s). Выберем ε Ε (0,1) так, что
sin(#(so) + ε) — sin#(so) — ecosx(so) Φ 0. Положим hk = fcJ#fc, где
■Ek = («о — fc_1,5o + fc_1). При ί = ε&-1 получаем величину
/ f sin(#(s) + ε) — sin#(s) — ε cos x(s)) ds
JΕ к
порядка малости Lk~l = L~H, где L φ 0 — некоторое число,
ибо предел этой величины, умноженной на fc/2, при к —» оо равен
sin(#(so)+£)—sin#(so)—£cos#($o) / 0. Похожие оценки работают
и в случае F. D
Интересно отметить, что если функцию / рассматривать не
на JL· , а на то она станет дифференцируемой по Фреше.
12.1.6. Пример. Функция /, заданная формулой (12.1.3) на
пространстве L2[0,1], всюду дифференцируема по Фреше.
Отображение F, заданное формулой (12.1.4) на С[0,1], всюду
дифференцируемо по Фреше.
Доказательство. Нюанс, различающий свойства / на L1
и L2, состоит в том, что величина \f(x + h) — f(x) — Df(x)h\ с
помощью неравенства | sin(# + К) — sin χ — h cos x | ^ h2 оценивается

12.1. Дифференцируемость и производные
639
через интеграл от h2, который равен квадрату ХЛнормы
(бесконечной для некоторых h из L1).
Аналогичное рассуждение применимо к отображению F на
пространстве С[0,1]. Здесь \\F(x + h) — F(x) — DF(x)h\\
оценивается через \\h\\2 в случае sup-нормы, но не в случае £2-нормы,
когда указанная оценка приводит уже к интегралу от /ι4. D
Рассмотрим еще один поучительный бесконечномерный
пример. В нем используется нередко встречающаяся в приложениях
функция — расстояние до множества.
12.1.7. Пример. Пусть X — бесконечномерное
нормированное пространство и К — компактное множество. Положим
/(a;) = dist(a;,K) = inf{||a:-y||: у G К}.
Тогда функция / удовлетворяет условию Липшица, но не
дифференцируема по Фреше в точках К.
Если при этом К таково, что аК С К при |<*| < 1, а
множество Un^=i пК ВС1ОДу плотно в X, то / имеет нулевую
производную Гато в точке О Ε К. Например, в качестве К можно взять
эллипсоид
K=\(xn)ei2: f>24o}
^ n=l '
в гильбертовом пространстве Z2.
Доказательство. Пусть χ е К. Тогда f(x) = 0.
Предположим, что в χ существует производная Фреше /7(ж). Эта
производная может быть лишь нулевой, ибо для каждого ненулевого
вектора h функция t ь-> f(x + th) имеет минимум при t = 0. Мы
приведем наше предположение к противоречию, если покажем,
что f(x+h)—f(x)—f'(x)h = f(x+h) не представляет собой о(||/г||).
Для каждого η Ε IN мы найдем такой вектор /ιη, что \\hn\\ ^ 1/п
и шар радиуса ||/ιη||/4 с центром в x+hn не пересекается с К. Это
даст оценку f(x+hn) ^ ||/ιη||/4. Компактное множество К
покрывается конечным числом шаров радиуса (4п)-1 с центрами в
точках αχ,..., α&. Пусть L — конечномерное линейное пространство,
порожденное этими центрами. Найдется вектор hn с \\hn\\ = 1/п
и dist (hn,L) = 1/п. Этот вектор — искомый. В самом ββπβ^ если
бы существовал вектор у € Kr\B{x-\-hni Ц/^Ц/4), то мы получили
бы следующее разложение: χ = и + h, у = ν + fa, где /ι, 1<ι € L,

640
Глава 12. Бесконечномерный анализ
\\и\\ ^ (4η)"1, ΙΜΙ ^ (4η)"1 и \\x + hn-y\\ ^ \\hn\\/4.
Следовательно, справедливо неравенство
\\hn-(h-h) + u-v\\^(4n)-\
и потому \\hn — (I2 — h)\\ ^ 3(4n)_1 вопреки выбору hn, так как
мы имеем 1<ι — l\ Ε L.
Предположим теперь, что К удовлетворяет указанным
дополнительным условиям. Покажем, что в точке 0 Ε К производная
Гато существует и равна нулю. Для этого надо проверить, что
при фиксированном h Ε Χ выполнено равенство lim£_1/(i/i) = 0.
Пусть ε > 0. По условию найдется такой вектор ν Ε ηΚ, что
||/ι — ν|| ^ ε. Поскольку tvE К при \t\ ^ п-1 ввиду условия,
то f(tv) = 0 для таких t. Значит, |t_1/(t/i)| ^ ε ввиду оценки
\f(th) — f(tv)\ ^ ||ίΛ —ίν|| ^ |ί|ε, имеющей место в силу липшице-
вости /. D
В задаче 12.5.18 предлагается проверить, что если множество
К еще и выпукло, то / имеет нулевую производную Гато во всех
точках Uo$t<itK·
Для нормированных пространств можно рассмотреть
строгую дифференцируемость, еще более сильную, чем дифференци-
руемость Фреше.
12.1.8. Определение. Пусть X и Υ — нормированные
пространства, U — окрестность точки xq Ε Χ и отображение
/: U —> Υ дифференцируемо в xq no Фреше. Если для
всякого ε > 0 найдется такое δ > 0, что при \\χι — χο\\χ ^ δ
и \\х2 — Хо\\х ^ δ имеем
1№ι) - /(яг) - f'(xo)(xi ~ Χ2)\\γ < еЦжх - х2\\х,
то f называется строго дифференцируемым в точке х$.
Заметим, что строго дифференцируемое в хо отображение
непрерывно не только в самой точке хо, но и в некотором шаре
с центром в #о, ибо из определения и неравенства треугольника
следует, что в шаре радиуса δ с центром в xq отображение /
удовлетворяет условию Липшица с постоянной ||/7(#о)|| + £· Поэтому
даже для числовых функций на прямой строгая
дифференцируемость не сводится к дифференцируемое™ по Фреше.
Если Ε — линейное подпространство в X, наделенное
некоторой более сильной локально выпуклой топологией, то можно
определить дифференцируемость вдоль Ε (в соответствующем

12.2. Свойства дифференцируемых отображений
641
смысле) в точке χ как дифференцируемость в h = 0 отображения
h н-> F(x + h) из Ε в Υ в соответствующем смысле. Производная
вдоль Ε обозначается символом DEF. Когда Ε одномерно, это
дает обычную частную производную dhF.
12.2. Свойства дифференцируемых отображений
К важнейшим свойствам дифференцируемых отображений
относятся теоремы о среднем и цепное правило, т.е. правило
дифференцирования композиции. Основную роль в получении
многомерных или бесконечномерных версий классических результатов
играют соответствующие утверждения для прямой. Однако есть
здесь и ряд тонкостей, особенно в бесконечномерном случае,
требующих некоторой осторожности.
Сначала мы обсудим дифференцируемость композиции.
Предположим, что Χ, Υ и Ζ — локально выпуклые пространства,
а отображения
F: X^Y и G: Υ -> Ζ
дифференцируемы в каком-то смысле. Будет ли отображение
G о F: X —> Ζ дифференцируемым в том же смысле? Ответ
зависит от вида дифференцируемое™. Например, композиция
дифференцируемых по Гато отображений не обязана быть
дифференцируемой по Гато.
12.2.1. Пример. Зададим отображение д: И2 —> И2
формулой д: (#ι,#2) *-* (хих2)- Возьмем функцию /: И2 —» И1 из
примера 12.1.3(ii). Тогда композиция fog: ]R2 —► IR1 не
дифференцируема по Гато в точке χ = 0. Более того, эта
композиция не имеет в нуле частных производных по направлениям (1,1)
и (1, —1). В самом деле,
если χι = |^21 > 0,
в остальных случаях.
№*)) = {о
Отметим, что в этом примере внутренняя функция даже
дифференцируема по Фреше. Оказывается, если внешняя функция
дифференцируема по Фреше (или по Адамару), то положение
становится лучше.
12.2.2. Теорема. Пусть Χ, Υ и Ζ — нормированные
пространства, отображение Ф: X —► Ζ является композицией
отображений F: X —> Υ и G: Y^>Z,XoeXuyo = F(x0).

642
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Предположим, что отображение G дифференцируемо по Адама-
ру в точке уо· Если отображение F дифференцируемо в точке хо
либо по Гато, либо по Адамару, то отображение Φ
дифференцируемо в хо в таком же смысле, причем
Ф'Ы = G'(y0)F'(x0). (12.2.1)
Если же в точке хо отображение F дифференцируемо по Фреше,
a G дифференцируемо в уо тоже по Фреше, mo u Φ
дифференцируемо в хо по Фреше, причем выполнено (12.2.1).
Доказательство. Заметим сначала, что если F имеет
частную производную dhF в жо, то существует и частная производная
dh*(xQ) = G'(yo)dhF(x0).
В самом деле,
F(x0 + th) = F(x0) + tdhF(x0) + r(t) = y0 + tdhF(x0) + r(t),
где ||r(t)/t|| —> 0 при t —» 0. Кроме того,
G(y0 + u)- G(y0) = G\yo)u + s(u),
где lim£-1s(fax) = 0 равномерно по и из всякого фиксированного
компакта. Поэтому
Ф(я0 + th) - Ф(ж0) = G\yo)[tdhF{xo) + r(t)] + s(tdhF(x0) + r(t)),
где
lim t-1 [&(yo)r(t) + s{tdhF(x0) + r(t))] = 0
в смысле сходимости по норме в Z.
Из доказанного вытекает дифференцируемость по Гато
отображения Φ в случае дифференцируемого по Гато отображения F.
Пусть отображение F дифференцируемо по Адамару в #о,
а отображение G дифференцируемо по Адамару в уо· Для
каждого фиксированного компакта К С X имеем
F(x0 + h) = F(x0) + F'{xo)h + г(Л),
где lim sup |ft_1r(t/i)|| = 0. Следовательно,
*-*° heK
Ъ(х0 + Λ) - Ф(ж0) - Gf(yo)F,(x0)h =
= G'(yo)[Ff(x0)h + r(h)] - G'{yo)F'{xo)h + s(F'(x0)h + r(h)) =
= G'(y0)r(h) + s(F'(xo)h + r(h)),

12.2. Свойства дифференцируемых отображений 643
где lim sup Wt^G' (yo)r(th)\\ = 0 и выполнено равенство
*-*° Нек
lim swp\\rls(tF'(xo)h + r(th)) \\ = 0.
Последнее равенство вытекает из того, что для всякой
последовательности tn —► 0 и всякой последовательности {hn} С К
последовательность векторов F*(xo)hn+t~lr(tnhn) содержится в
компакте F\xQ){K) + {{t-4{tnK)}^{0}) ввиду того, что t-lr{tnhn) -> 0
по определению дифференцируемое™ по Адамару.
Наконец, в случае дифференцируемости по Фреше применимо
это же рассуждение с шаром вместо компакта. D
Анализ доказательства позволяет модифицировать его для
отображений локально выпуклых пространств.
12.2.3. Теорема. Пусть Χ, Υ и Ζ — локально выпуклые
пространства, отображение Φ: X —► Ζ является композицией
отображений F: X —► Υ и G: Υ —► Ζ, xq 6 X и уо = F(xq).
Предположим, что отображения F и G дифференцируемы по
системе компактных множеств в точках xq и уо
соответственно, причем оператор Fr(xo) переводит компакты в
компакты. Тогда Φ дифференцируемо в xq no системе компактных
множеств, причем
Ф'(*о) = G'(yo)F'(x0).
Аналогичное утверждение верно, если оба отображения
дифференцируемы по системе ограниченных множеств, а оператор
F (хо) переводит ограниченные множества в ограниченные.
Наконец, если отображение F дифференцируемо в Хо по Га-
то, а отображение G дифференцируемо в уо по системе
компактных множеств, то Φ дифференцируемо в хо по Гато,
причем справедлива указанная выше формула для Ф7(#о)·
Доказательство. Рассуждения аналогичны приведенным
выше. Поясним лишь роль тех дополнительных ограничений на
отображение F'(xq), которые автоматически выполнены в случае
нормированных пространств. Мы имеем следующее
представление:
Ф(ж0 + Λ) - Ф(ж0) - G'(y0)F'(x0)h =
= G'(yo)r(h) + s(F'(xQ)h + r(h))y

644
Глава 12. Бесконечномерный анализ
и нужно показать, что для каждого фиксированного множества
К из того класса, относительно которого дифференцируемо F,
для всякой последовательности {hn} С К и всякой
последовательности чисел tn —► 0 мы имеем
lim t-1G\y0)r(tnhn) + t-h(tnF\x0)hn + tnt-1r(tnhn))=0.
Поэтому нам надо обеспечить принадлежность
последовательности F'(xo)hn + tnlr(tnfin) к некоторому множеству из того
класса /С, относительно которого дифференцируемо внешнее
отображение G. Для этого последовательность векторов Е'(хо)1гп
должна входить в класс /С, ибо последовательность t~lr(tnhn) сходится
к нулю и добавление ее не влияет на принадлежность к классам
ограниченных или компактных множеств. D
Аналогичное утверждение верно в случае дифференцируемо-
сти по системе секвенциально компактных множеств, поскольку
F'(xq) секвенциально непрерывно (здесь не требуется, чтобы
оператор F'(xq) переводил компакты в компакты).
12.2.4. Пример. Пусть отображение F: X —> Υ
нормированных пространств дифференцируемо в точке х$ либо по Гато,
либо по Адамару, либо по Фреше, и пусть G: Υ —► Ζ —
непрерывный линейный оператор со значениями в нормированном
пространстве Ζ. Тогда композиция G о F дифференцируема в
точке xq в том же смысле, что и F.
Аналогично обстоит дело для дифференцируемости
отображений локально выпуклых пространств по Гато, системе
компактных множеств, системе секвенциально компактных множеств
или системе ограниченных множеств, если оператор G линеен
и секвенциально непрерывен.
С теоремой о производной композиции связана следующая
теорема, характеризующая дифференцируемость по Адамару.
12.2.5. Теорема. Отображение F: X —> Υ нормированных
пространств дифференцируемо в χ ο Ε Χ по Адамару в точности
тогда, когда существует такое непрерывное линейное
отображение L: X —► Υ, что для всякого дифференцируемого в нуле
отображения φ: И1 —> X с φ(0) = Xq композиция Fo<p: IR1 —► Υ
дифференцируема в точке 0 и (F о φ)'(0) = L(p'(0).
Доказательство. Если F дифференцируемо, то по
доказанному дифференцируема и композиция. Предположим, что
даны числа tn —► 0 и векторы hn —► h. Отображение φ: IR1 —» Χ

12.2. Свойства дифференцируемых отображений
645
зададим так: <p(tn) = xo + hntn и ip(t) = xo + th при t $ {tn}. Тогда
φ(0) = χο и £-1[<^(£) — φ(0)] —> /ь при £ —» О, ибо это разностное
отношение равно hn при ί = ίη и равно /г при прочих ί. При этом
F(^o + tnfen)-F(^0) F(y(tn))-F(y(0))
= > L<£ (0) = Lh
при η —> оо, что доказывает дифференцируемость F по Адамару
в точке xq. D
Отметим, что если F и G дифференцируемы в а; по Гато,
Адамару или Фреше, то, как легко видеть, F + G дифференцируемо
в χ в том же смысле, причем (F + G) (х) = F'(x) + G'(x).
Перейдем к теоремам о среднем. Напомним, что если
функция / дифференцируема в окрестности отрезка [а, &], то
f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)
для некоторой точки с € (а, Ь). На многомерные отображения
(даже на отображения из И1 в IR2) это утверждение в таком виде
не распространяется. Например, пусть
f(x) = (sina;,cos#), χ € IR1.
Тогда /(2π) = /(0), хотя производная / не обращается в нуль ни
в одной точке. Правильный многомерный аналог теоремы о
среднем дается переходом либо к неравенствам, либо к выпуклым
оболочкам множеств значений. Напомним, что символы convA
и conv А обозначают соответственно выпуклую оболочку и
замкнутую выпуклую оболочку множества А в локально выпуклом
пространстве. Символом [а, Ь] будем обозначать отрезок с
концами в точках а и Ь линейного пространства, т.е. множество всех
векторов вида а + t(b — α), t € [0,1]. Аналогично определяется
интервал (α, b).
12.2.6. Теорема. Пусть X и Υ — локально выпуклые
пространства, U — открытое выпуклое множество в X, а
отображение F: U —► Υ дифференцируемо по Гато в каждой точке
из U. Тогда для всяких а, Ь € U имеет место включение
F(6)-F(a)econv{F7(c)(a-b): cE(a,6)}. (12.2.2)
Доказательство. Обозначим через Ε множество в правой
части. Пусть I € У*. Функция φ: t«—► l(F{a + tb — ta)) определена

646
Глава 12. Бесконечномерный анализ
в окрестности [0,1] согласно условию. Кроме того, она
Дифференцируема в окрестности [0,1]. По классической теореме о среднем
найдется такая точка t € (0,1), что
l(F(b)) - l{F(a)) = ψ{ΐ) - φ(0) = <pf{t) = l{F'(c)(b - α)) <
<sup|Z(y)|,
yeE
где с = а + t(b — а) е U. По следствию теоремы Хана-Банаха
заключаем, что F(6) — F(a) ЕЕ. □
Приведем ряд важных следствий.
12.2.7. Следствие. Пусть в ситуации доказанной
теоремы задано секвенциально непрерывное линейное отображение
Л: X —> У (например, Л = F'(a)). Тогда для ваяяод а,Ь Ε U
имеет место включение
F(6)-F(a)-A(6-a)€conv{[F'(c)-A](a-6): се(а,6)}. (12.2.3)
Доказательство. Достаточно применить доказанную
теорему к отображению F — Λ. □
12.2.8. Следствие. Пусть X и Υ — нормированные
пространства, U — открытое выпуклое множество в Xf а
отображение F: U —► У дифференцируемо по Гато в каждой точке
из U. Тогда для всяких а, Ь € U справедливо неравенство
\\F{b) - F(a)\\ < sup ||F'(c)|| \\a - b\\. (12.2.4)
c£(a,b)
Доказательство. Для каждого с € U мы имеем
||^(с)(Ь-а)||<||^(с)||||Ь-а||,
что ввиду (12.2.2) дает (12.2.4). Π
12.2.9. Следствие. Пусть в ситуации предыдущего
следствия задано непрерывное линейное отображение Λ: Χ —► у.
Тогда для всяких а, 5 Ε {/ справедливо неравенство
\\F(b) - F(a) - Λ(6 - а)Н sup ||F'(c) - Λ|| \\α - b\\. (12.2.5)
cE(a,6)
12.2.10. Следствие. Пусть X и Υ — нормированные
пространства, U — открытое выпуклое множество в Ху а
отображение F: U —> Υ дифференцируемо по Гато в каждой точке

12.3. Обратные и неявные функции
647
из U. Предположим, что отображение χ t—► F'(x) из U в
пространство операторов С(Х, Y) с операторной нормой
непрерывно в некоторой точке χ о € U. Тогда отображение F
дифференцируемо в точке хо по Фреше. Более того, F строго
дифференцируемо в хо-
Доказательство. Пусть ε > 0 таково, что Β(χ0,ε) с U. По
доказанному для всех h с ||/ι|| < ε имеем
\\F(x0 + h)- F(x0) - F'(x0)(h)\\ ^ sup ||F'(c) - F'(x0)\\ \\h\\.
ceB(xo,e)
В силу непрерывности Ff в х0 имеем
lim sup \\F'(c)-F'(x0)\\=0,
ε^°€£Β(χο,ε)
что дает дифференцируемость по Фреше. Строгая дифференци-
руемость следует из (12.2.5). D
Если производная отображения F непрерывна по
операторной норме в области Ω, то F называется (^-отображением в Ω.
12.3. Обратные и неявные функции
В этом параграфе речь идет о локальной обратимости
нелинейных отображений и о существовании функциональной
зависимости у = у(х) между решениями уравнений типа F(x, у) = 0.
Такого рода результаты называются соответственно теоремами об
обратной функции и неявной функции. В настоящее время
существует весьма развитая теория, охватывающая подобные задачи,
но мы ограничимся здесь простейшими бесконечномерными
аналогами известных из конечномерного анализа фактов. Впрочем,
даже эти простейшие теоремы имеют немало интересных и
важных приложений. Все приводимые здесь результаты не
используют никакой изысканной техники и представляют собой
применения теоремы о сжимающем отображении или аналогичных
соображений. Однако способ применения элегантен и
поучителен. Его идея состоит в том, что заданное отображение локально
приближается более простым (в каком-то смысле) отображением.
В качестве более простого в этом параграфе фигурируют
тождественное отображение и линейные обратимые операторы.
Начнем с рассмотрения липшицевых гомеоморфизмов.

648
Глава 12. Бесконечномерный анализ
12.3.1. Теорема. Пусть U = В(а,г) — открытый шар
радиуса г > О с центром β точке α β банаховом пространстве X
и F: U —» X — такое отображение, что
\\F(x)-F(y)\\^X\\x-y\\ Ух,уеи,
где λ Ε [0,1) — постоянная. Тогда существует такая открытая
окрестность V точки а, что отображение Ф: жиж + F{x) ~
гомеоморфизм V и открытого шара W := Б(Ф(а), г(1 — λ)). При
этом обратное отображение Ф-1: W —► V удовлетворяет
условию Липшица с постоянной (1 — λ)-1.
Если, кроме того, ||^(а)|| < г(1 — λ)/2, то Φ является
гомеоморфизмом некоторой окрестности точки а и открытого
шара В(а,г(1-Х)/2).
Доказательство. Заменив отображение F на F — F(a) + α,
можно считать, что F(a) = α. Применим теорему 1.4.4 к
пространству Г = W и отображению (w, χ) н-> w — F(x) из W x U
в X. Все необходимые условия выполнены. В частности, имеем
||и; - F(a) - а\\ = \\w - Φ(α)|| < r(l - λ) при w € W. Значит,
существует такое непрерывное отображение /: W —► С/, что мы
имеем /(w) = к; — F(f(w)) для всех к; Ε W, т.е. Φ (/(к;)) = w.
Покажем, что / есть гомеоморфизм W на f(W). Ясно, что
/ — инъективное отображение. Отображение Φ на U также инъ-
ективно, ибо из равенства Ф(гхх) = Ф(г*2) следует, что
IN - tell = 1№ι) - F(u2)\\ < λ||«χ - «2||.
Последнее возможно лишь при щ = u<i. Таким образом,
отображение Φ есть гомеоморфизм множества V := f(W) на W",
обратный /. При этом множество V = Ф_1(И^) открыто в силу
непрерывности Ф. Кроме того, а 6 V, ибо Ф(а) — центр W.
Липшицевость / с постоянной (1 — λ)-1 ясна из равенства
/И - /К) = «;-«/ + F(f(w>)) - F(f(w)),
которое дает оценку \\f(w)-f(w')\\ < \\w-v/\\ + \\\f(w) —f(v/)\\,
T.e.\\f(w)-f(u/)\\^(l-X)-1\\w-v/\\.
Если дополнительно дано, что ||.F(a)|| < r(l — λ)/2, то шар
B(a,r(l - λ)/2) входит в W. О
Теперь мы применим доказанное к дифференцируемым
отображениям. Сначала выясним условие дифференцируемое™
обратного отображения к дифференцируемому гомеоморфизму.

12.3. Обратные и неявные функции
649
12.3.2. Предложение. Пусть X и Υ — банаховы
пространства, U С X uV CY — открытые множества и F: U —» V —
гомеоморфизм, дифференцируемый по Фреше в некоторой
точке а Ε U. Для дифференцируемости по Фреше отображения
G = F~l: V —► U в точке Ь = F(a) необходимо и достаточно,
чтобы оператор F'(a) отображал X взаимно однозначно на Υ.
Доказательство. Если отображение G дифференцируемо
по Фреше в точке 6, то по правилу дифференцирования
произведения имеем G'{b)F'(a) = Ιχ и F*(a)GP(b) = /у.
Предположим теперь, что оператор Λ := F'(a) обратим.
Перейдя к отображению А-1!*1, мы сводим утверждение к случаю
X = Υ и F'(a) = J. Кроме того, можно считать, что а = О
и F(a) = 0. Нам надо показать, что G'(0) = /, т.е. что
G(y) - у = о(\\у\\) при||у||-0.
Мы имеем
F(x) = x+ \\χ\\φ{χ), Km \\φ(χ)\\ = 0. (12.3.1)
\\х\\->0
Поскольку F — гомеоморфизм, то у = F(x), где χ = G(y), для
всех у в некоторой окрестности нуля, причем для
соответствующих χ выполнено (12.3.1). Итак,
G(y) = x = y- \\χ\\φ(χ).
Нам надо показать, что ||ж||^(ж) = о(||у||). Найдем такую
окрестность нуля С/о? что 11^(ж)|| < 1/2 при ж Ε 17ο· Тогда ||х|| ^ 2||у|| для
таких χ и у = F(#), т.е. ||х|| ||<£>(#)|| < 2||у|| ||^(ж)||. Остается
заметить, что при ||у|| —> 0 мы имеем ||х|| —> 0 ввиду непрерывности
отображения G и потому у>(#) —» 0. Π
12.3.3. Теорема. Пусть F — непрерывно
дифференцируемое отображение открытого шара U = #(#о,г) β банаховом
пространстве X в банахово пространство У. Предположим,
что оператор А := F\xq) взаимно однозначно отображает X
на все Y, Тогда F взаимно однозначно отображает некоторую
окрестность V точки хо на некоторую окрестность W
точки F(xo), причем отображение G := F~lu. W —► V непрерывно
дифференцируемо и выполнено равенство
G'(y) = [F'(F-\y))]-\ yeW.

650
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Доказательство. Утверждение сводится к случаю Υ — X
и F'(xo) = J, если перейти к отображению Λ-1ί\ Кроме того,
можно считать, что Хо = 0 и F(xq) = 0. Имея в виду
применить теорему 12.3.1, запишем F в виде F(x) = χ + Fq(x), где
Fq(x) = F(x) —x. В силу непрерывности производной в #о, най~
дется такой шар В(0, г), что \\F,(x) — I\\c(x) ^ 1/2 при χ G В(0, г).
По теореме о среднем отображение Fq на JB(0, r) липшицево с
постоянной 1/2 (нам подошла бы липшицевость с любой
постоянной, меньшей 1). При этом Fo(0) = 0. По упомянутой теореме
в шаре W = JB(0,r/2) задано обратное к F непрерывное
отображение G, переводящее этот шар в некоторую окрестность нуля V,
Из предложения 12.3.2 следует дифференцируемость G в нуле
по Фреше и равенство G'(0) = /. Отметим, что пока была
использована лишь непрерывность производной в нуле. Поскольку
мы предположили непрерывность производной во всех точках С/,
то в окрестности xq эта производная обратима, что
показывает дифференцируемость обратного отображения в окрестности
точки F(xo)- Наконец, непрерывность отображения у н-> Gf(y)
в этой окрестности следует из формулы G'(y) = [F'(G(y))]~ ,
непрерывности G и непрерывности отображения А н-> А~1 на
множестве обратимых операторов. D
Получим теперь критерий диффеоморфности.
12.3.4. Следствие. Пусть F — С1-отображение
открытого множества U в банаховом пространстве X в банахово
пространство У. Для того, чтобы F было С1-диффеоморфизмом
множества U на открытое множество в Υ, необходимо и
достаточно, чтобы F было иньективно и производная F'(x) при
всех χ € U была обратимым оператором из X на У.
Доказательство. Необходимость этих условий ясна.
Докажем их достаточность. Мы уже знаем, что каждая точка χ из
U обладает такой окрестностью Ux С £7, что F является С1-
диффеоморфизмом Ux на некоторый открытый шар Vx с центром
в F(x). Поэтому множество F(U) = \JxeU Vx открыто. Из
сказанного ясно, что обратное отображение F-1: V —» U непрерывно
дифференцируемо. D
Мы уже обращали внимание на то, что в теореме 12.3.3
существование и дифференцируемость G в нуле нами фактически
получены при более слабых условиях. А именно: нам нужно было,

12.3. Обратные и неявные функции
651
чтобы (в предположении, что х$ = О и F(x0) =5 0)
вспомогательное отображение Fq(x) = F'(0)~1F(x) — х было сжимающим
в окрестности нуля. Это условие, конечно, слабее непрерывности
производной в нуле, и оно очевидным образом вытекает из
строгой дифференцируемое™ F в нуле, которая дает представление
FW^Fix) - F'iO^Fiy) - χ + у = \\х - у\\ф(х,у)
с lim ψ(Χ) у) = 0, означающее липшицевость Fq со сколь угодно
малой постоянной в подходящей окрестности нуля.
Сформулируем полученное утверждение.
12.3.5. Теорема. Пусть отображение F открытого шара
U = B(xq, г) β банаховом пространстве X в банахово
пространство Υ строго дифференцируемо в точке х$, причем оператор
D := F'(xq) взаимно однозначно отображает X на все Y. Тогда
F гомеоморфно отображает некоторую окрестность V точки
Хо на некоторую окрестность W точки F(xo), причем
отображение G := F~l: W —► V дифференцируемо по Фреше в точке
y0 = F{x0) uG'(y0) = D-\
12.3.6. Пример. Пусть X — гильбертово пространство,
F(x) = Ах + В(х, #), где А — обратимый линейный оператор в X
и В: Χ χ X —> X — непрерывное отображение, линейное по
каждому аргументу. Тогда F'(x)h = Ah + B(x,h) + B{h,x), ибо
\\B(h,h)\\ ^ ί?|/ι|2, что легко вывести из ограниченности В на
некотором шаре с центром в нуле. Значит, Ff(0) = А.
Следовательно, F диффеоморфно отображает некоторую окрестность
нуля на окрестность нуля.
Перейдем к теореме о неявной функции. Пусть даны три
банаховых пространства Χ, Υ и Ζ, и пусть дано непрерывно
дифференцируемое отображение F из открытого множества U С XxY
в Z. Предположим, что для некоторой точки (а, Ь) Ε U мы
имеем F(a,b) = 0. Нас интересуют другие решения (#, у) уравнения
F(x,y) = 0, достаточно близкие к (а, Ь). При этом мы хотели бы
представить (локально) множество решений в виде поверхности
у = /(#). Оказывается, для этого нужно лишь одно условие.
12.3.7. Теорема. Предположим, что β описанной выше
ситуации производная Fy{a^b) отображения F вдоль Υ в точке
(а, 6) является линейным изоморфизмом Υ и Ζ. Тогда
найдутся окрестность Va точки а в X, окрестность Wb точки Ь в Υ

652
Глава 12. Бесконечномерный анализ
и непрерывно дифференцируемое отображение f: Va —» У со
следующими свойствами: Va x Wb CU и условия
(x,y)eVaxWb и F(x,y)=0
равносильны условиям
X€Va U у = f(x).
В частности, /(а) = Ь. Таким образом, β области VaxWb
решения уравнения F(x, у) = 0 задаются формулой у = f(x).
Доказательство. Мы сведем эту теорему к теореме об
обратной функции. Для этого рассмотрим вспомогательное
отображение
Fi: U^XxZ, (x,y)*->(x,F(x,y)).
Легко видеть, что это отображение непрерывно
дифференцируемо, причем
F[(x,y)(u,v) = (u,F'x(x,y)u + F{r{x,y)v), ueX,veY.
Поскольку Fy(a, b) — линейный изоморфизм У и Ζ, то F[(a, b) —
изоморфизм ΧχΥ и XxZ. В самом деле, для заданных h € X
и к Ε Ζ однозначно находятся и = h и затем
v=[i^(aJb)]-1(fc-i^(a>b)fc)
с ίχ(α, b)(u,v) = (h,k). По доказанному ранее найдется
окрестность С/о точки (а,Ь), которую F\ диффеоморфно отображает на
некоторую окрестность W точки (a, F(a, 6)) = (а, 0). В С/о можно
взять меньшую окрестность вида VaxWb, где Va — окрестность а
и Wb — окрестность 6. Пусть Wo = Fi(VaxWb). Обратный к F\
диффеоморфизм имеет вид (#, z) t—► (#, </?(#, ζ)), где отображение
(ж, а;) н-> у?(ж, ζ) со значениями в У определено в окрестности
точки (а?0) в XxZ. Положим f(x) = φ(χ,0) и покажем, что
получено искомое отображение. Действительно, это отображение
непрерывно дифференцируемо. Кроме того, условия (х, у) 6 Va x Wb
и F(x,y) = 0 равносильны условиям (#,0) € Wo и ψ(χ,0) = у
ввиду взаимной однозначности отображения ί\ на Va x Wb·
Множество V'a \— {χ: (#,0) € Wq} является открытой окрестностью
точки а. Заменив Va меньшей окрестностью Va Π V^', мы получим
нужные свойства /. Фактически мы доказали даже больше: для
всех ζ в некоторой окрестности нуля решения (#, у) уравнения
F(x,y) = г, попадающие в достаточно малую окрестность (а, Ь),
имеют параметрическое представление у = <^(#, ζ). D

12.3. Обратные и неявные функции
653
Дифференцируя тождество F(x,f(x)) = 0, находим
f(z) = -[Ftr(x,f(x))]-1F'x{x,f{z))
в окрестности а. В частности,
f'(a) = -{F^a,b)]-1F'x(a,b).
Из доказательства ясно, что полученное представление
охватывает все решения (#, у) из достаточно малой окрестности (а, 6).
Но это утверждение не следует понимать в том смысле, что в
достаточно малой окрестности а нет других дифференцируемых
отображений / с F(x,f(x)) = 0: речь идет лишь о таких /, что
у = f(x) попадают в малую окрестность 6. Например, для
уравнения х2 + у2 = 1 на плоскости в любой окрестности точки а = 0
на прямой есть две дифференцируемые функции Д (х) = \/1 — х2
и /г(ж) = —у/1 — х2, для которых x2 + fi(x)2 = 1 и #2 + /2(#)2 = 1.
При этом /ι однозначно задает решения из окрестности точки
(0,1), а /2 однозначно описывает решения из окрестности
точки (0,-1).
Из сказанного явствует, что отображение / единственно в
следующем смысле: если отображение /о из окрестности точки а
в множество W& удовлетворяет равенству F(x,fo(x)) = 0, то /о
совпадает с / в некоторой окрестности точки а.
Если сравнить доказанную нами теорему о неявной функции
с теоремами об обратной функции, то легко заметить, что она
соответствует теореме 12.3.3, но не теореме 12.3.5. Можно получить
и аналог последней.
12.3.8. Теорема. Пусть дано отображение F из
окрестности U С XxY точки (а, Ь) в пространство Ζ, причем F(a, b) = 0
и lim F(x, b) = 0. Предположим, что F дифференцируемо вдоль
х—+а
пространства Υ в (а, Ь) и для всякого ε > 0 есть такое δ > 0,
что
\\F(x, щ) - F{x, у2) - ί£(α, Ь)(ъ - у2)|| < е\\щ - tftll
при \\х — а\\ ^ δ, ||ί/ι — 6|| < δ, \\у2 — Ь\\ ^ δ (например,
производная Fy существует и непрерывна в С7). Пусть оператор Fy(a, b)
из Υ на Ζ обратим. Тогда существует отображение f со
значениями в Z, заданное в некоторой окрестности Va точки а и
обладающее следующими свойствами: /(а) = b и F(x,f(x)) = 0
для всех χ € Va.

654
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Доказательство. Без ущерба для общности мы можем
считать, что а = 0 и Ъ = 0. Перейдя к отображению Fy(a, b)~1F,
можно также считать, что Ζ = Υ и Fy (α, b) = J. Найдем такое г о > 0,
что U содержит шар радиуса го с центром в нуле. Для
каждого χ € Б(0,го) рассмотрим отображение ФЖ: у н-> у — F(x,y).
По условию найдется такое г € (0,го), что при j/i,j/2 € ^(0?^)?
ж € JB(0,r) выполнено неравенство
\\F(x,yi)-F(x,y2) - (yi-y2)\\ ^ illyi -Ы·
Значит, при χ € В(0,г) отображение ФЖ на шаре Б(0, г)
удовлетворяет условию Липшица с постоянной 1/2. По условию
найдется такое δ € (0,г), что ||F(#,0)|| < г/2 при ||#|| < 5. При таких ж
имеем ||Фа.(0)|| = ||F(a:,0)|| < r/2. Таким образом, мы
оказываемся в условиях теоремы 1.4.4, дающей отображение /: В(0,δ)—>У
с /(ж) = /(ж) — F(x,f(x)) при всех а: € 5(0,5). Итак, для таких
точек χ имеем F{x^f{x)) = 0. D
12.3.9. Замечание. Если в ситуации доказанной теоремы
отображение F дифференцируемо по Фреше и его производная
непрерывна в точке (а, Ь), то построенное выше отображение /
дифференцируемо в точке а, причем
f'(a) = -[Fir(a,b)]-1F'x(a,b)-
Это доказывается так же, как и в теореме 12.3.7.
12.4. Производные высших порядков
Если отображение F: X —► Υ между локально выпуклыми
пространствами дифференцируемо, то возникает новое
отображение F': хи F'(x) со значениями в пространстве линейных
отображений из X в У. Наделяя это пространство какой-либо
локально выпуклой топологией, можно ставить вопрос о диффе-
ренцируемости F1 и его производную (в соответствующем
смысле) обозначать через F".
Применительно к случаю дифференцируемости по Фреше
в нормированных пространствах это приводит к рассмотрению
производной F': X —» C(X,Y), χ н-> Ff(x),
дифференцируемого по Фреше отображения F: X —► Υ нормированных
пространств. Пространство операторов С(Х, Υ) является
нормированным с операторной нормой, поэтому F' оказывается
отображением в нормированное пространство и можно говорить о его

12.4. Производные высших порядков
655
дифференцируемости по Фреше в точке ж. Если F' имеет
производную Фреше в #, то она обозначается через F"(x) или D2F(x).
При этом F"{x) e C(X,C(X,Y)).
Напомним (см. обсуждение в §12.5), что пространство
операторов С{Х, С(Х, У)) можно канонически отождествить с
пространством Съ{Х, Χ,Υ) билинейных непрерывных отображений
изХхХвУ. Для этого каждому оператору Л € С(Х,С(Х,Υ))
сопоставляется билинейное непрерывное отображение Л по
формуле
A(u,v) = [A(u)](v).
Если Л = F"(x), то значение Л на паре (и, ν) вычисляется по
формуле
A(u,v) = dvduF(x).
Обратно, каждому непрерывному билинейному отображению В
из ХхХ в Υ сопоставляется линейное отображение Л из X в
пространство линейных отображений из X в Υ по формуле
[A(u)](v)~B(u,v).
При этом Л е С(Х, ЦХ, У)) и А = В.
12.4.1. Пример. Пусть X — гильбертово пространство.
Положим f(x) = (ж,ж). Тогда f(x) = 2х и /"(#) = 2/.
Дифференцируемость высших порядков определяется по
индукции: отображение F в точке xq имеет производную порядка
к > 1, если в некоторой окрестности хо существуют
производные DF(x),... ,Dk~~lF(x), причем отображение χ н-> Dk~1F(x)
дифференцируемо в х$.
Производную Фреше DkF(xo) порядка к удобно отождествить
с непрерывным к-линейным отображением из пространства Хк
в У (см. §12.5(Н)), т.е. считать, что DkF(x0) € Ck(Xk,Y).
12.4.2. Пример. Пусть X и У — нормированные
пространства и φ: X —► У — непрерывный однородный многочлен
степени fc, порожденный непрерывным симметрическим fc-линейным
отображением Ф^. Тогда отображение φ бесконечно
дифференцируемо по Фреше, причем
Όφ(χ)1ι = &**:(#>..., ж, /ι).

656
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Для доказательства распишем *&(# + h,..., χ + h) — Φ&(#,..., χ),
используя аддитивность Φ& по каждому аргументу. Получим
слагаемое k&k(x, · · · >χ, h) и сумму слагаемых, в которые h входит
аргументом в Ф& хотя бы дважды. Поэтому эта сумма есть о(||Л||),
что доказывает сказанное.
12.4.3. Теорема. Пусть отображение F между
нормированными пространствами X и Υ имеет производную порядка к
в точке #о· Тогда полилинейное отображение DkF(xo) является
симметрическим. В частности, при к = 2 имеем
D2F(x0)(u,v) = D2F(x0)(v,u).
Доказательство. Достаточно проверить это утверждение
для числовых функций, рассматривая композиции / о F, где / —
элемент Y*. При этом все сводится к известному из курса анализа
случаю X = IR/\ Например, при к = 2 нужно взять функцию
f(tu t2) := F(x0 + *iw + hv) на И2. Тогда
nrfih, t2) = ХН^жо + hu + t2v)(u),
oil
откуда D2F(xq)(u,v) = ^-^p/|il=t2=o· Аналогичное равенство
с переставленными частными производными по t\ и ί2 верно для
величины D2F(x0)(v,u). D
12.4.4. Теорема. (Формула Тейлора) Пусть U —
открытое множество в нормированном пространстве X и
отображение F: X —> У со значениями в нормированном пространстве Υ
имеет в U производные Фреше до порядка η — 1.
(i) Если в точке хо Ε U существует производная Фреше
DnF(xo), то при \\h\\ —» 0 имеем
\\F(x0+h)-F(x0)-DF(x0)h ±DnF(xo)(h,..., Λ)|| = ο(||Λ||η).
(η) Если в U существует производная Фреше DnF(x),
причем \[DnF{x)^ < Μ, то для всякого χ € U и всякого h € X
такого, что отрезок с концами в χ и χ + h лежит в U, имеем
F(x + h) = F{x) + DF(x)h + ···+ , l ^D^FixXh,..., Λ)+
(ra-1)!
ι ri
+ 7 -^ / (l-t)n-lDnF(x + th)(h,...,h)dt. (12.4.1)
(n - 1)! J0

12.4. Производные высших порядков
657
При этом справедливо следующее соотношение:
\\F(x + ft) - F(x) - DF{x)h
Dn-1F(x)(h,...,h)\\^M
(n-1)! v /v ' '' '" ^ n! '
Доказательство, (i) Применим индукцию по п. При η = 1
наше утверждение верно по определению производной Фреше.
Пусть оно верно при некотором η = к. Если отображение F имеет
в xq производную Dk+1F(xo), то отображение
G: h\-* F(x0 + ft) - F(x0) - DF{xQ)h
дифференцируемо в окрестности нуля. Согласно примеру 12.4.2
находим
DG(h)v = DF(x0 + h)v-DF(xo)v ^2?*+1^(ж0)(Л,... Λ ν),
А:!
что может быть записано как
DG(h) = Ф(я0 + h) - Ф(ж0) - DV(x0)v ^-DkV(x0)(h ..., Λ),
где Ф (ж) := DF(x). Применяя предположение индукции к
отображению Ф, получаем, что ||DG(/i)|| = o(||/i||fc). Так как G(0) = О,
то \\G(h)\\ ^ supo^! \\DG(th)\\ · ||λ|| = o(\\h\\M) ввиду теоремы
о среднем, что доказывает наше утверждение при η = к + 1.
(п) При доказательстве (12.4.1) можно считать, что
пространство У сепарабельно, ибо на отрезке с концами в χ и χ + h
отображение F непрерывно и потому принимает значения в сепара-
бельном подпространстве Υ. Кроме того, можно перейти к
пополнению пространства Υ и считать его банаховым (тогда интеграл
в (12.4.1) окажется элементом исходного пространства). При этом
У-значное отображение t н-> (1 — t)n~1DnF(x + th)(h,..., h)
измеримо и ограничено по условию и потому интегрируемо по Лебегу
(см. пример 6.10.66). Достаточно проверить совпадение обеих
частей рассматриваемого равенства при действии на них элементов
из У*. Это сводит наше утверждение к скалярным функциям на
отрезке, если перейти к отображению φ(ί) = F(x + th). Второе
утверждение в (ii) является простым следствием первого. D

658
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Как и в случае числовых функций на прямой, в
приложениях наиболее полезны и употребительны первые две производные.
С этими производными связано поведение функции в
окрестности точки локального экстремума.
12.4.5. Теорема. Пусть U — открытое множество в
нормированном пространстве X и /: X —► И1 —
дифференцируемая по Гато функция.
(i) Если f имеет минимум в точке хо € Ό\ то Df(xo) = 0.
(ii) Если функция f дважды дифференцируема по Фреше
в точке Хо Ε U и имеет в ней минимум, то D2f(xo)(h,h) ^ 0
при всех h € X.
(iii) Пусть функция f дважды дифференцируема по Фреше
в U, а хо Ε U — такая точка, что Df(xo) = 0 и при некотором
λ > 0 имеем D2f(xo)(h,h) ^ λ||/ι||2 при всех h Ε X. Тогда хо
является точкой строгого локального минимума.
Доказательство. Утверждения (i) и (ii) следуют из
одномерного случая применительно к функции t »-> f(x + th), а
утверждение (iii) следует из части (i) предыдущей теоремы, дающей
оценку f(xo + h) — f(xo) ^ λ||/ι||2/2 при малых \\h\\. D
Условие D2f(xo)(h, h) >0V/i^0 здесь недостаточно.
Например, для f(x) = £nLi(n~3a;n~4) на '2 ПРИ χο = 0 оно выполнено,
но хо не является точкой локального минимума.
12.5. Дополнения и задачи
(i) Метод Ньютона (658). (ii) Полилинейные отображения (659).
(iii) Субдифференциалы и монотонные отображения (663).
(iv) Приближения в банаховых пространствах (665). (ν)
Накрывающие отображения (666). Задачи (668).
12.5(i). Метод Ньютона
Известный метод Ньютона решения уравнения f(x) = 0 с
гладкой функций / на отрезке [а, Ь] состоит в использовании
рекуррентных приближений χη+ι := хп — /(#η)//'(χη)> #0 = а. Можно показать,
что если f'(x) φ 0 на [а, Ь] и х* — единственный корень этого
уравнения, то хп —> х*. В бесконечномерном случае имеется
модифицированный метод Ньютона — метод Ньютона-Канторовича,
разработанный Л.В. Канторовичем. Мы приведем один характерный результат,
отсылая за подробным обсуждением к [91, гл. XVDI]. Пусть Χ,Υ —
банаховы пространства и отображение F: X —> Υ дифференцируемо

12.5. Дополнения и задачи
659
по Фреше в шаре В = В(хо,г), причем его производная F'
удовлетворяет условию Липшица с показателем L, т.е. \\F'(x)—F'(y)\\ ^ L||x—у||.
Предположим, что оператор Ff(xo) обратим. Тогда можно положить
Xn+i := хп ~ [^'Ы]"1 [F(xn)\ ·
Эти модифицированные приближения обладают худшими свойствами
сходимости, но зато используют производную только в точке хо. Пусть
Μ := \\[F'(x0)]-% к Н|[^(*о)]~Ч^(*о))||, h := MkL ntQ- меньший
корень уравнения ht2 —£ + 1=0.
12.5.1. Теорема. Если h < 1/4, то β шаре {х: \\х — хо\\ ^ kto}
уравнение F(x) = 0 имеет единственный корень х*, х* = lim xn,
п—юо
причем \\х* — хп\\ ^ kqn/(l — q), где q — kto < 1/2.
Доказательство. Перейдя к отображению [F,(xo)]~1F, можно
считать, что X = У, F'(xo) = J, Μ = 1. Кроме того, можно считать,
что хо = 0. Положим Ф(х) = х — F(x). Так как производная
отображения жиж- F(x) + F(0) равна I — F'{x), то по теореме о среднем
||Ф(*)|| = Ik - F(x) + F(0) - F(0)\\ < ||x - F(x) + F(0)|| + k <
< sup \\I-F\y)\\\\x\\+k^L\\x\\2 + k^Lk2tl + k = kto
llvlKlkll
при \\x\\ ^ kto, т.е. Φ переводит шар В = {χ: \\х\\ ^ kto} в него же.
В этом шаре Φ — сжатие, ибо
||Ф'(*)|| = II * - *"(*)Н < Ц\х\\ < Lkto = (1 - VT^4h)/2 = q<l/2
ввиду равенств h = Lk и to = (2/ι)_1(1 — y/1 — 4/i) в нашем случае.
Остается заметить, что χη+ι = Ф(#п)> и применить теорему 1.4.1 с
полученной в ней оценкой скорости сходимости. D
12.5(H). Полилинейные отображения
Напомним, что к-линейным называется такое отображение
Ф: XiX...xXfe-+y
из произведения линейных пространств Χι в линейное пространство У,
что при фиксированных к — 1 аргументах Φ линейно по оставшемуся
аргументу. Полилинейным назьюают отображение, которое к-линейно
при некотором к. Если Х\ = · · · = Хк — Х-, то такое отображение
порождает отображение фк(х) ·= Ф(#, ...,х) из X в У, называемое
однородным степени к. Ясно, что фь порождается также fc-линейным
отображением, полученным из Φ произвольной перестановкой
переменных. Поэтому разные fc-линейные отображения могут задавать одно
и то же однородное отображение. Однако если Φ симметрично, т.е.
инвариантно относительно перестановок аргументов, то оно однозначно

660
Глава 12. Бесконечномерный анализ
восстанавливается по фк, что будет показано ниже. Симметризацией
отображения Φ на Хк называется отображение
^: х^~к\ Σ φ(*σ(ΐ)>···>*σ(*))>
где суммирование ведется по всем перестановкам σ набора {1,..., к}.
Ясно, что симметризация к-линейного отображения Φ на Хк
порождает то же самое однородное степени к отображение, что и Ф. Таким
образом, однородное отображение всегда можно задать симметричным
полилинейным.
Отображение ψ: Χ—>У называют многочленом (полиномом), если
Ф{х) = Фп(х) + --- + ψι(χ) + Ψο,
где ψο — постоянный элемент Уи^- однородное степени к
отображение из X в У, 1 ^ к ^ п. Иначе говоря, существуют такие fc-линейные
отображения Ф&, что ф(х) = Фп(#> · · · > х) Η Ι- Φχ(#) + ψο- Будем
говорить, что ψ имеет степень не выше п, а точной степенью φ будем
называть наименьшее fc, для которого φ имеет степень не выше к.
Однородные многочлены *фь называются однородными компонентами ψ.
Следующий результат показывает, что однородные компоненты
однозначно определяются по многочлену, а однородный многочлен
однозначно задает симметрическое полилинейное отображение, его
порождающее. Для произвольного отображения φ: X —> Υ и всякого h £ X
зададим отображение Απφ · X —> Υ формулой
(ΑΗφ)(χ) := φ(χ + h) - φ(χ).
Если fti,/i2 € X, то положим Ah2Ah^ ·= Δ/ι2(^ι^)· Так как
Ah2Ahlip{x) = φ(χ + hi + h2) - φ(χ + /ΐχ) - φ(χ + h2) + φ(χ),
то Ah2Ah^ = Δ^Δ/^ί/?. По индукции положим
Δλ»Δλ„.ι * * * Δ^φ := A^JA^., · · · ΔΗιφ).
Можно заметить, что A/lnA/ln_1 · · · Α^φ является суммой 2П функций
вида χ ι-» (—1)η~ρφ(χ + 1цх Η h /iip), где i\ < · · · < ip — индексы из
{0,..., η}, причем при гр = 0 полагаем Λ*ρ =0. По индукции легко
проверить, что Δ/1ηΔ/1η_1 · · · Α^φ(χ) является симметрической функцией
аргументов Λχ,..., hn.
12.5.2. Теорема. Пусть ψ = ψη Η h -^χ -f фо · Χ —> ^ —
многочлен степени не выше п. Пусть Фп — n-лгшейное симметрическое
отображение с Фп(#> · · · >#) = Ψη(χ), η ^ 1· Тогда
(i) Λ/ιλ всякого h £ X отображение Α^,ψ — многочлен степени
не выше η — 1; (ii) прг* фиксированных /ΐχ,..., /ιη € X отображение
Ahn · · · Α^ψ есть постоянная, равная η!Φη(Λχ,..., hn).
Доказательство отнесено в задачу 12.5.22.

12.5. Дополнения и задачи
661
12.5.3. Следствие. Однородные компоненты многочлена φ
определены однозначно. Если φ — однородный многочлен степени к, то
порождающее его симметрическое k-линейное отображение
однозначно определяется соотношением Φ&(#ι,..., Хк) = η^*ι * * * &Хкф(а), где
правая часть постоянна по а.
Теперь мы рассмотрим полиномиальные отображения
нормированных пространств. Как и в случае линейных отображений, здесь особо
важны непрерывные многочлены. Следующее утверждение показывает
равносильность нескольких естественных условий непрерывности.
Ниже произведение Х\ χ · · · хХк нормированных пространств наделяется
нормой (xi,...,xfe)i-> ||xi||Xl +--- + \\хк\\хк-
Доказательства следующих двух теорем — задача 12.5.23.
12.5.4. Теорема. Пусть X и Υ — нормированные пространства
и φ = фп -\ + ψο — полиномиальное отображение, где однородная
компонента фк порождается симметрическим k-линейным
отображением Ф&. Следующие условия равносильны: (i) все Ф&
непрерывны; (ii) все однородные компоненты фк непрерывны; (iii) φ непрерывно;
(iv) φ непрерывно в некоторой точке; (ν) φ ограничено на некотором
шаре положительного радиуса; (vi) φ ограничено на всяком шаре.
12.5.5. Теорема. Пусть Xi,...,Xk,Y — нормированные
пространства и Φ: Х\Х · · -хХк —» Υ — к-линейное отображение. Следующие
условия равносильны: (i) Φ непрерывно; (ii) Φ непрерывно в некоторой
точке; (iii) Φ ограничено в окрестности некоторой точки; (iv) Φ
ограничено на каждом ограниченном множестве в Х\ χ · · -хХ&; (ν) есть
такое Μ ^ 0, что ||Ф(хь... ,xfe)ll < Af||xi||Xl ··· |l*fc||jrfc·
Оценка (ν) подсказывает введение нормы непрерывного
полилинейного отображения Φ по формуле
||Ф||:=8ир{||¥(*ь...,а*)||: |М|Х< < l}.
Линейное пространство £&(Χι,... ,Х&,У) всех непрерывных
к-линейных отображений из Х\ χ · · · χ Хк в Υ является нормированным
пространством с указанной нормой (банаховым, если банахово Υ).
Непрерывные полилинейные отображения можно отождествить
с операторами следующим образом. Если Φ — билинейное непрерывное
отображение из Χι χ Χ% в У, то сопоставим ему оператор
Лф G C(X2,C(XUY)), ΛΦ(χ2)(*ι) := *(*ι,*2).
Нетрудно проверить, что ||Λψ|| = ||Φ||. Обратно, каждый оператор
Лф из класса C(X2,C(Xi,Y)) по указанной формуле порождает
элемент С2(Х\,Х2,У)· Описанное соответствие взаимно однозначно и
является линейной изометрией. Аналогичным образом каждому элементу

662
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Φ G Ck{Xu · · ·,Хк,У) сопоставляется оператор
А^еСк:=С(Хк,Ск^)), ((Афк))---)(х1):=Щхи...,Хк),
где С1 := £(Хх,У). Это соответствие является линейной изометрией,
т.е. справедливо равенство
||Лф||= sup ||Ф(хь...,х*)11·
IkilKi Ця?*И<1
Оно было использовано нами в §12.4 при обсуждении кратно
дифференцируемых отображений.
Полиномиальные отображения банаховых пространств обладают
дополнительными свойствами.
12.5.6. Теорема. Если пространства Χι,...,Х& банаховы, то
непрерывность полилинейного отображения Φ: Χι χ · · -xXfc —> У
равносильна раздельной непрерывности по каждому аргументу.
Доказательство. Для каждого χ χ е Χι с ||#i||Xl < 1
рассмотрим полилинейное отображение ФЖ1: ХгХ * * -xXfc —> У, заданное
формулой ФЖ1(х2,··· >#fc) = Φ(χι,Χ2> ···,#&)· Если к ^ 2, то по
индукции можно считать, что уже известна непрерьюность каждого
отображения ФЖ1. Семейство этих отображений поточечно ограничено: если
#2, · · ·,Хк фиксированы, то величина βιιρ{||ΦΧι(:Γ2> · · · >#fc)|| · ||#ι|| ^ l}
конечна в силу непрерывности и линейности по х\. Поэтому
достаточно иметь такой аналог теоремы Банаха-Штейнгауза для полилинейных
отображений: если Χι,..., Χ&, Υ — банаховы пространства и семейство
непрерывных полилинейных отображений Та: Х\ χ · · · χ Х& —> Υ
поточечно ограничено, то оно равномерно ограничено на произведении
единичных шаров. Но этот аналог сразу следует из описанного выше
изометрического отождествления полилинейных отображений и
операторов (а также просто доказывается тем же рассуждением, что и для
операторов). D
Для неполных пространств эта теорема может оказаться неверной.
Например, если пространство X всех многочленов на [0,1] наделить
нормой из L1 [0,1], то билинейная функция
Ф(х,г/)= / x(t)y(t)dt
Jo
разрывна, хотя и непрерывна по каждому аргументу раздельно.
Выше мы определили многочлены с помощью однородных
компонент. Ясно, что сужение такого многочлена на каждую прямую
является обычным многочленом, т.е. для всяких а, Ь £ X числовое
отображение фа,ь: 11-> ψ(α -f tb) есть многочлен от t вида Cntn Η h со, где
с& £ Υ. Это дает еще один способ определения многочлена.

12.5. Дополнения и задачи
663
12.5.7. Теорема, (i) Пусть отображение φ: Χ —> У между
линейными пространствами таково, что для всяких а,Ь £ X
отображение фауь вещественного переменного является многочленом
степени не выше п. Тогда φ — многочлен степени не выше п.
(ii) Пусть X и Υ — банаховы пространства и φ: X —> Υ —
такое непрерывное отображение, что для всякиха,Ь € X отображение
фа,ь есть многочлен. Тогда степени таких многочленов ограничены
в совокупности, значит, φ —многочлен.
Доказательство — задача 12.5.24 (утверждение (ii) нетривиально!).
12.5.8. Следствие. Отображение ф; X —> Υ между линейными
пространствами является многочленом степени не выше η в
точности тогда, когда для всякой линейной функции I на Υ композиция
Ι ο φ — многочлен степени не выше п. Если Υ — нормированное
пространство, то достаточно брать непрерывные линейные функции I.
12.5.9. Следствие. Пусть X и Υ — банаховы пространства
иф: X —> Υ — такое непрерывное отображение, что для всяких
элементов а, 6 G X и всякого непрерывного линейного функционала I на Υ
функция I о фаЪ есть многочлен. Тогда φ —многочлен.
Доказательство. Из предыдущей теоремы ясно, что функция
(х, I) «-► 1{ф(х)) — многочлен на X х У*, поэтому степени
многочленов Ι ο φ равномерно ограничены. D
Нетрудно убедиться, что без предположения о непрерывности φ
теорема теряет силу: достаточно взять базис Гамеля {να} в X,
выделить в нем счетную часть {υαη} и положить ф(х) = Σ™=1 #η» гДе
χ = Y2nXnVan + Σαα{αη\ xotVa- Она может не выполняться и в
случае неполного пространства, хотя, как видно из доказательства,
вместо полноты достаточно потребовать бэровость X. На неполном
пространстве всех финитных последовательностей χ — (χι,...,χη,0,0,...)
с нормой из I2 функция ф(х) = X^Lj ^t#n непрерывна, является
многочленом на каждом конечномерном подпространстве, но не является
многочленом на всем пространстве.
12.5(iii). Субдифференциалы и монотонные отображения
Геометрическая интерпретация производной функции как
касательной к графику приводит к очень важному понятию
субдифференциала выпуклой функции. Пусть Ε — вещественное локально
выпуклое пространство, U С Ε — непустое открытое выпуклое множество
и /: Ζ7 —> IR1 — непрерывная выпуклая функция. Линейный
функционал I € X* называется субградиентом функции / в точке хо £ U,
если
f(x)-f(xo) >l(x-xo)

664
Глава 12. Бесконечномерный анализ
для всех χ € U. Субдифференциалом f в xq называется множество
df(xo) всех субградиентов /вхо·
Ясно, что множество df(xo) выпукло. Покажем, что, кроме того,
оно непусто. Действительно, ввиду выпуклости и открытости надгра-
фика Gf := {(χ,ί): t > f(x)} точку (хо>/(#о)) можно отделить от G/
замкнутой гиперплоскостью в Ε χ IR1 вида
{(x,t): l(x) + at = c}, I e E*,a,c e H1.
При этом α^Ο, поэтому можно считать, что а = 1 и что 1(х) + с <t
при (х,£) £ (?/, т.е. l(xo) + t > l(x) -f /(хо) при всех t > /(χ),
откуда 1(хо) -f /(#) ^ ί(χ) + /(χο)> что и требуется. Если функция /
дифференцируема в хо по Гато, то производная Гато будет
единственным элементом df(xo). Из важнейших результатов о
субдифференциалах следует в первую очередь упомянуть теоремы Моро-Рокафеллара
и Дубовицкого-Милютина. Для непрерывных выпуклых функций
первая из них дает равенство d(f -f g)(x) — df(x) + dg(x), а вторая —
равенство 9max(/,p)(x) = conv (df(x) Udg(x)). Для упрощения
технических деталей мы привели эти определения и результаты не в самой
большей общности.
Субдифференциал выпуклой функции доставляет важнейший
пример многозначного монотонного отображения. Чтобы не выходить за
рамки однозначных отображений, мы сформулируем частный случай
общего определения. Пусть X — локально выпуклое пространство.
Отображение F: X —> X* называется монотонным, если
(F(x)-F(y),x-y)>0 Vx,t/GX
Например, если выпуклая функция / дифференцируема по Гато, то
отображение χ ι-» f{x) монотонно.
Монотонные отображения играют важную роль в приложениях.
Математические модели многих реальных явлений приводят к
дифференциальным и интегральным уравнениям с монотонными
отображениями. Из наиболее известных результатов о монотонных
отображениях приведем следующие два.
12.5.10. Теорема. Пусть монотонное отображение F: Η —> Η
в гильбертовом пространстве Η непрерывно на конечномерных
подпространствах, причем lim ||F(x)|| = оо. Тогда F(H) = Η.
||*||-к»
Заметим, что для всякого монотонного отображения F: Η —» if,
которое непрерывно на конечномерных подпространствах,
отображение F + XI при λ > 0 удовлетворяет условиям сформулированной
теоремы и потому сюръективно. В самом деле,
\\F(x) + Хх\\ > \\F(x) - F(0) + λχ|| - ||F(0)|| >
> {F(x)-F(0) + Xx,x\\x\\-1) - ||F(0)|| >λ||*|| - ||F(0)||.

12.5. Дополнения и задачи
665
При этом F + XI еще и инъективно ввиду неравенства
(F(x) - F(y) +Хх-Ху,х-у)> Х\\х - у||2.
Таким образом, всюду определены обратные отображения
Jx:=(F + XI)-\
Отображения F\ := λ-1(/ — J\) называются приближениями Иосиды
отображения F.
12.5.11. Теорема. Пусть F: Η —» Η — монотонное
отображение, непрерывное на конечномерных подпространствах. Отображения
F\ обладают следующими свойствами:
(i) F\ монотонно и липшицево с постоянной λ-1;
(ii) при всех λ, μ > 0 имеем ^\)μ = F\^;
(iii) при всех χ при λ —> 0 имеем
\\Fx(x)\\ Τ ||F(x)|| и \\Fx(x)-F(x)\\^0.
Доказательство несколько более общей теоремы можно прочитать
в книге Brezis [292, гл. 2]. Отметим еще следующий факт.
12.5.12. Теорема. Пусть отображение F: Η —> Η
гильбертова пространства Η непрерывно на конечномерных подпространствах.
Следующие условия равносильны: (i) F монотонно, (ii) F монотонно
и (F + 1)(Н) = Н, (iii) для всякого λ > 0 отображение I -\-X~1F
является биекцией Η и (I + X~1F)~1 — сжатие.
12.5(iv). Приближения в банаховых пространствах
Сделаем несколько замечаний о приближении
дифференцируемыми отображениями в бесконечномерных пространствах. Пусть X — се-
парабельное банахово пространство с замкнутым единичным шаром U.
Всякая равномерно непрерывная вещественная функция / на U
равномерно приближается липшицевыми функциями,
дифференцируемыми по Адамару. Однако на пространстве С[0,1] даже норма не
приближается равномерно на U функциями, дифференцируемыми по
Фреше. На гильбертовом пространстве равномерно непрерывная
функция приближается равномерно функциями с ограниченными и
непрерывными вторыми производными Фреше, однако на I2 есть липшице-
ва функция, которая не приближается равномерно на U функциями
с равномерно непрерывными вторыми производными. Таким образом,
даже в случае гильбертова пространства граница между
положительными и отрицательными результатами проходит, между
непрерывностью и равномерной непрерывностью ограниченных вторых
производных приближающих функций.
Положение с приближением бесконечномерных отображений еще
более сложное. Существуют равномерно непрерывные отображения из

666
Глава 12. Бесконечномерный анализ
сепарабельных банаховых пространств в ί2, которые нельзя
равномерно приблизить липшицевыми отображениями. Однако равномерно
непрерывные отображения между гильбертовыми пространствами
обладают равномерными липшицевыми приближениями с ограниченными
производными Фреше. Задачи построения различных приближений
бывают связаны с существованием гладких функций с ограниченными
носителями. Упомянем несколько любопытных фактов.
12.5.13. Теорема, (i) На С[0,1] нет ненулевых
дифференцируемых по Фреше функций с ограниченными носителями.
(ii) Если на банаховом пространстве X и на его сопряженном
есть ненулевые функции с ограниченными носителями и локально
липшицевыми производными, то X гильбертово.
(Ш) Существование ненулевых функций с ограниченными
носителями и липшицевыми производными равносильно существованию
эквивалентной нормы с липшицевой производной на единичной сфере.
(iv) На со есть ненулевая С°°-функция с ограниченным носителем
(на со есть даже эквивалентная норма, вещественно-аналитическая
вне нуля).
(ν) Если X обладает ненулевой Ск-функцией с ограниченным
носителем, то X содержит, изоморфную копию либо со, либо lk.
Более подробно с этим направлением можно познакомиться по
книгам Benyamini, Lindenstrauss [278], Deville, Godefroy, Zizler [324] и
статьям Немировский, Семенов [581], Царьков [586], Bogachev [590].
12.5(ν). Накрывающие отображения
Здесь мы обсудим ряд интересных понятий и результатов,
относящихся к таким элементарным объектам, как липшицево отображение
и неподвижная точка, но открытых совсем недавно. Эти понятия и
результаты могли быть обсуждены еще в самых первых параграфах
первой главы, но мы приберегли их для завершения наших рассмотрений,
полагая, что, как и нам, читателю будет приятно узнать напоследок,
что и сейчас в самых базовых вещах удается открыть нечто простое
и яркое. Главным объектом является введенное А.А. Милютиным
понятие α-накрывающего отображения. Основные результаты были
получены в работах Левитин, Милютин, Осмоловский [579], Дмитрук,
Милютин, Осмоловский [577] и эффектно усилены в недавней
работе Арутюнов [574], которой мы и следуем. Шары в метрических
пространствах X и Υ будем обозначать символами Вх (х, г) и Βγ (χ, г); при
X = Υ указание пространства будем опускать.
12.5.14. Определение. Пусть X и Υ — метрические
пространства. Отображение Ф: X —> Υ называется накрывающим с
постоянной а > 0 или α-накрывающим, если для всякого шара Вх (л,г)с!
мы имеем Βγ (Ф(х), аг) С Ф(#х (х, г)).

12.5. Дополнения и задачи
667
Отметим, что α-накрывающее отображение сюръективно, ибо
объединение шаров Βγ (Φ(χο),αη) с фиксированным xq есть все Y.
Основным результатом этого раздела является следующая
замечательная теорема из [574].
12.5.15. Теорема. Пусть Ф: X —> Υ непрерывно и является
α-накрывающим с некоторым а > 0, а Ф: X —> Υ удовлетворяет
условию Липшица с постоянной β < а. Предположим, что X полно.
Тогда существует такая точка ξ 6 X, что Φ (ξ) = Φ (ξ). Более того,
для всякого xq Ε X найдется такая точка ξ = £(хо)? что Φ (ξ) = Φ(ξ)
ηάχ(χ0,ξ) ^ (а-/?)-Чг(Ф(х0),ФЫ).
Доказательство. Заменив dY на dY /α, можно перейти к случаю
β < а — 1. Найдется точка х\ £ X с Φ(χι) = Ф(хо) и
dx (хо, xi) ^ dY (Ф(хо), Ф(яо))·
По индукции можно построить такие хп, что
Ф(хп) = Ф(яп_1), dx(xn,xn_i) ^ /9dx(arn_i,xn_2). (12.5.1)
В самом деле, если хо,..., хп уже найдены, то имеется точка χη+ι, для
которой Φ(χη+ι) = Φ(#η-ι) и
dx(xn+i,xn) ^ <ίν(Φ(χη),Φ(χη)) = άγ(Φ(χη-ι),Φ(χη)) ^
^ /3dx(xn_i,xn).
Из (12.5.1) и формулы для суммы прогрессии легко получить
оценку dx(xn,xo) ^ (1 — β)~1άγ(βί(χο),Φ(χο))' Полнота X дает предел ξ
последовательности {хп}, удовлетворяющий нужным условиям. D
Покажем, как из этой теоремы можно получить некоторые
известные результаты.
12.5.16. Пример, (i) Пусть X — Υ полно, f(x) =? χ и g —
сжимающее отображение. Тогда получаем неподвижную точку #, взяв а = 1
и β < 1 — постоянную Липшица для д.
(ii) (Теорема Милютина) Пусть X — полное метрическое
пространство, Υ — нормированное пространство, Φ: X —> Υ — α-накрывающее
непрерывное отображение и Ф: X —> Υ удовлетворяет условию
Липшица с показателем β < α. Тогда Ф+Ф является (а—/?)-накрывающим.
В самом деле, надо показать, что если хо € X и г/о € Υ, то найдется
ξ <Ξ X с dx(*0,0 ^ (α-β)-1^ и Ф(0+Ф(0 = ФЫ+ФЫ+г/о. Для
этого положим Фо(#) := Φ(#ο) + Φ(#ο) + ί/ο — Ф(х). Ясно, что Фо липши-
цево с постоянной β. Доказанная теорема дает точку ξ с Φ (ξ) = Φο(£),
что и требовалось.
Из этой теоремы легко получить и теорему 12.3.1.

668
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Задачи
12.5.17? Пусть
F(x)(t) = / V(x(s),s,t) ds, где Φ е C^IR3).
Jo
Доказать, что отображение F из L2[0,1] в С[0,1] дифференцируемо по Фре-
ше, и вычислить его производную.
12.5.18. Пусть в ситуации примера 12.1.7 множество К компактно,
выпукло и уравновешено, причем U^Li n^ плотно в X. Показать, что / имеет
нулевую производную Гато во всех точках Uo<t<i ^·
12.5.19.° Пусть Л — банахова алгебра (например, алгебра всех
ограниченных операторов на банаховом пространстве). Доказать, что отображение
α ι—► еа, Л—► Л дифференцируемо по Фреше, и найти его производную в нуле.
12.5.20? Пусть Η — гильбертово пространство I2 двусторонних
последовательностей χ = (хп), η е Ζ, {еп} — его естественный базис и Τ — изометрия
с Теп = еп-ь Рассмотрим полиномиальное второго порядка отображение
f{x) = Τ (χ + ε(ΐ - (χ, x))eo), ε e (0,1/2).
Показать, что / переводит замкнутый единичный шар U в U и является
диффеоморфизмом (т.е. / — диффеоморфизм некоторых окрестностей U и
гомеоморфизм U), но не имеет неподвижных точек.
12.5.21. Доказать, что функция φ на Hd является многочленом, если
φ — многочлен по каждому аргументу.
Указание: применим индукцию по d. Для этого допустим, что d > 1
и что для размерности d — 1 утверждение верно. Элементы JRd будем писать
в виде (х, у), где χ G JRd_1 и у е 1R1. Для каждого χ G IR^-1 функция
у ι—► ^(а:, у) — многочлен некоторой степени. По теореме Бэра найдутся такие
η £ IN и множество Μ С Ша~г, плотное в некотором шаре В, что для каждого
χ е Μ и всех у имеем ф{х,у) = ап{х)уп + · · · + а\(х)у + ао(#), где а·, —
некоторые функции на Hd_1. Подставим у = 0,1,2,... ,п, что даст η + 1
многочленов ф(х, к), к = 0,1,..., п, на Hd_1. При каждом χ е Μ мы имеем
?г + 1 равенство ф(х, к) = ап(х)кп Л Ь ai(#)fc + ао(х). Найдутся числа dj,
где i,j = 0,1,..., η, не зависящие от х, для которых
afe(x) = Скоф(х,0) + Скгф(х, 1) Н hСкпф(х,п),
ибо определитель указанной системы относительно α&(#) (определитель Ван-
дермонда) отличен от нуля. Рассмотрим многочлены рк(х) := Σ£=ο с^Ф(х,з)
и многочлен <р(х,у) := UCJ^oPfcOOif*· **РИ ж е ^ функции 2/ ·-♦ Ф{х,у)
и у ·—► φ{χ·>ν) являются многочленами степени η и совпадают в η + 1 точке
2/ = 0,1,..., п. Значит, они совпадают при всех у. Таким образом, функция ф
совпадает с многочленом на множестве MxIR1, т.е. ф — φ = 0 на этом
множестве. По предположению индукции при всяком фиксированном у функция
χ ι-* ф(х,у) — φ(#, у) — многочлен. Поскольку этот многочлен равен нулю
на множестве М, плотном в шаре, то он тождественно равен нулю. Значит,
ф(х,у) = φ(χ^) при всех (х,у).

12.5. Дополнения и задачи
669
12.5.22. Доказать теорему 12.5.2 индукцией по п.
12.5.23. Доказать теоремы 12.5.4 и 12.5.5.
Указание: каждое из утверждений (i)-(iv) влечет следующее, а из (vi)
следует (ν). Покажем, что из (ν) следует (i) (а тогда и (vi)) индукцией по п.
При η = 1 это верно, ибо φι = Φι — линейное отображение. Пусть
рассматриваемая импликация верна при некотором η — 1 ^ 1. По условию имеется
шар В(а,г) с г > 0, на котором ||^(ж)|| не превосходит некоторого М. Мы
знаем, что η!Φη(/&ι, · · ·, hn) = Δ/ц · · · Δ^ηψ(α) есть сумма 2П слагаемых вида
(—1)п~рф(а-\-Ы1-\ Vhip), где ή < · · · < гр —индексы из {1,... ,п} и Ыр = О
при ρ = 0. Если при этом брать hi с \\Ы || ^ r/щ тоа + ЫхЛ h Ыр G В(а, г).
Поэтому ||ΦΛ(Λι,...,Λη)|| ^ 2пМ при \\Ы\\ ^ г/п. Отсюда следует оценка
||Фп(#1,...,Жп)|| ^ 2nM(nR/r)n при ||жг|| ^ Я, которая дает непрерывность
Фп в нуле. Ввиду аддитивности Фп по каждому аргументу получаем
непрерывность Фп всюду. Доказательство теоремы 12.5.5 аналогично.
12.5.24. Доказать теорему 12.5.7 и следствие 12.5.8.
Указание: (i) Если X = lRfe, то утверждение легко проверяется
индукцией по к с помощью того факта, что φ является многочленом по каждому
переменному. Значит, ограничение φ на всякое конечномерное пространство —
многочлен степени не выше п. Отсюда по ранее доказанному следует, что
отображение Фп: (а?ι,..., хп) ь+ АЖ1 · · · АХпф(0) полилинейно, причем
сужение отображения ф{х) — Фп(ж,..., ж) на всякую прямую есть многочлен
степени не выше п— 1. Используя индукцию по п, получаем доказываемое, (ii)
Покажем, что степени многочленов фа,ь ограничены в совокупности. В случае
IRd это верно даже без предположения о непрерывности ф, что можно
вывести из теоремы Бэра (задача 12.5.21). В бесконечномерном случае мы тоже
воспользуемся теоремой Бэра, но по-другому. Для каждого η £ IN введем
множество
Ми := {(а,Ь) £ Χ χ Χ: фа>ь имеет степень не выше п}.
По условию, объединение всех Мп есть Χ χ Χ. По теореме Бэра какое-то
МП1 плотно в некотором шаре U радиуса г > 0 с центром в (uo,vo). Тогда
U С МП1- Действительно, пусть (un,vn) —► (и, ν) в U, причем (un,vn) £ Μηχ.
Ввиду непрерывности φ для всех t е И1 имеем φ (и + tv) = lim ф(ип + tvn).
n—*oo
Нетрудно проверить, что поточечный предел многочленов степени не выше
п\ на вещественной прямой также является многочленом степени не выше щ.
Итак, (и, v) G МП1. Перейдя к функции χ ь-> ф{х — α), можно считать, что
а = 0. Итак, при \\и\\ ζ г n \\v — νο\\ ζ г все функции φη,ν — многочлены
степени не выше d. Из этого следует, что таким свойством обладают вообще
все функции ψη,ν В самом деле, пусть даны ui,vi. Рассмотрим сужение φ на
трехмерное пространство Е, порожденное ui, v\ и vq. Можно считать, что
Ε = И3, vi = ei, и\ = β2, νο = ез, где е* — векторы стандартного базиса
(если вектор υο попал в двумерное пространство, порожденное «ι и vi, то
задача еще проще). Нам дана функция ф, являющаяся многочленом на
каждой прямой, причем при и из шара с центром в нуле и г; из шара с центром
в ез многочлены φν,,ν имеют степень не выше п. Мы уже знаем, что такая
функция есть многочлен. Поэтому ясно, что его степень не выше п. Для
доказательства следствия 12.5.8 заметим, что если для всякой линейной функции

670
Глава 12. Бесконечномерный анализ
I композиция Ι ο ψ есть многочлен степени не выше п, то для всяких а, Ь £ X
имеем 1(ψ(α + tb)) = Сп(а,Ь,1)Ьп -f ·· · -Ь со(а,М), гДе функции Ζ ι-*- Cfe(a,6,Z)
линейны. Поэтому существуют такие элементы Vk(a,b) из второго
алгебраического сопряженного к У, что ф{а + tb) = vn(a,6)tn -f · · · + vo(a,6) при
всех t £ IR1. Подставляя t = 0,1,..., η, получаем, что элементы Vfc(a, 6)
являются линейными комбинациями элементов ψ(α -f fc6) G К, ибо определитель
соответствующей линейной системы отличен от нуля (это так называемый
определитель Вандермонда). Итак, ν* (α, Ь) е У, поэтому применима докаг
занная выше теорема. Ясно, что в случае нормированного пространства У
это же рассуждение проходит с непрерывными функционалами на У.
12.5.25. Пусть μ — неотрицательная мера и ρ е (1,+оо). Доказать,
что отображение F: χ »—► \χ\ρ из £ρ(μ) в ^(μ) дифференцируемо по Фреше
nDF(x)h = p\x\p-1h.
12.5.26. Доказать, что норма на I1 нигде не дифференцируема.
12.5.27. Пусть Η — гильбертово пространство и F: Η —> Η. Доказать,
что отображение F монотонно в точности тогда, когда для всякого λ > 0
и всех х,у е Η выполнено неравенство \\х — у\\ ^ \\х — у + XF(x) — XF(y)\\.
12.5.28. Пусть Η — гильбертово пространство hF: Η —► Η —
монотонное отображение, непрерывное на конечномерных подпространствах.
Доказать, что для всякого ν е Η функция χ ь-> (F(aj),v) непрерывна. Привести
пример, когда само F не является непрерывным.
12.5.29. Пусть X — гильбертово пространство и {Tt} — однопараметри-
ческая группа линейных операторов в X с ||Tt|| = 1, причем для некоторого
h g X выполнена оценка ||Tt^ — h>\\ ^ СЩ при t £ [—1,1]. Доказать, что
отображение F: t \-+Tth непрерывно дифференцируемо на 1R1 и липшицево
с постоянной ||F'(0)|| ^ С.
12.5.30. Пусть X, У — метрические пространства, X полно, F: X —» У
непрерывно и для всякого ε > 0 есть такое δ > 0, что замыкание F(U(x,e))
содержит U(F(x),S) для всех χ е X, где U{a,r) — открытый шар радиуса г
с центром а. Доказать, что F переводит открытые множества в открытые.
Указание: см. [449, с. 17, лемма 3.9].
12.5.31. (J. Vanderwerff) Пусть X — бесконечномерное банахово
пространство. Показать, что на X есть непрерывная выпуклая функция, не
являющаяся ограниченной на замкнутом единичном шаре.
Указание: взять *-слабо сходящиеся к нулю fn £ X* с ||/п|| = 1 и
положить / = Σ^=ι ψη(/η), где φ η — четные непрерывные выпуклые функции
на прямой с <pn(t) = 0 при t e [0,1/2] и φη(1) = η.
12.5.32? Доказать, что на I2 существует бесконечно дифференцируемая
по Фреше функция /, которая ограничена на замкнутом единичном шаре,
но не достигает на нем максимума.
12.5.33.* Доказать, что на I2 есть такая бесконечно дифференцируемая
по Фреше функция /, что f{x) = 0 при ||ж|| ^ 1, но f{x) ф 0 при ||ж|| < 1.

Комментарии
Функциональный анализ — сравнительно молодой учебный
предмет университетского курса математики. Моложе его лишь некоторые
дисциплины прикладной или компьютерной направленности. Как
самостоятельное направление функциональный анализ оформился
совсем незадолго до введения его в университетскую программу: такое
выделение в отдельную область принято связывать с публикацией
монографии Стефана Банаха [18], появившейся в начале тридцатых
годов сначала на польском, затем на французском, а вскоре и на
английском языках (русский перевод по каким-то причинам
задержался на 70 лет; правда, в 1948 году вышел украинский перевод [17]).
Далее беглый взгляд на оглавление этого выдающегося труда
показывает, сколь близок он современному учебнику, точнее, сколь большая
часть современного курса взята из книги Банаха (о жизни Банаха см.
Kamza [407]). Несмотря на это, следует сказать, что на самом деле
функциональный анализ как анализ в пространствах функций,
кривых и т.п. (причем нелинейный анализ!) возник гораздо раньше в
задачах вариационного исчисления: Ньютон, Эйлер, Бернулли, а позже
и другие классики имели дело с кривыми как самостоятельными
объектами и изучали функции на множествах кривых в связи с весьма
нетривиальными прикладными задачами. Этот нелинейный
функциональный анализ, возникший даже раньше линейного, стал одним из
важнейших источников современного функционального анализа, хотя
многие его составляющие теперь ушли в самостоятельные науки:
вариационное исчисление, оптимальное управление. Впрочем, элементы
вариационного исчисления и ныне нередко включаются в
университетские курсы функционального анализа. Среди тех, кто внес
существенный вклад в становление нелинейного функционального анализа,
следует упомянуть А. Пуанкаре, Д. Гильберта, Ж. Адамара, В. Воль-
терра, М. Фреше. Вторым важным источником возникновения
функционального анализа явились теория интегральных уравнений и теория
дифференциальных уравнений с частными производными. Особо надо
выделить первую четверть XX века, когда одновременно с развитием

672
Комментарии
общей (и уже в большой мере абстрактной) теории происходило
накопление важных частных примеров и конкретных результатов, имевших
происхождение в математической физике и заставлявших двигать
вперед теорию. Здесь можно назвать имена тех же А. Пуанкаре и Д.
Гильберта, а также Ф. Рисса, Г. Вейля, Э. Шмидта, А. Лебега, И. Радона,
Т. Карлемана, И. Фредгольма. Конец этого периода был ознаменован
появлением квантовой механики и попытками создания адекватного
математического аппарата на базе теории теперь уже неограниченных
линейных операторов. Особую роль сыграли работы И. фон Неймана,
М. Стоуна и Ф. Рисса. Параллельно с прогрессом в теории операторов с
двадцатых годов XX века шло развитие линейной теории пространств,
в которых действуют эти операторы, а вместе с тем и абстрактных
пространств. В первую очередь в этой связи надо назвать уже упомянутого
С. Банаха, но нельзя не отметить и значительного вклада других
исследователей (Г. Хана, Э. Хелли, С. Мазура, Ю. Шаудера, Н. Винера).
Заметную роль сыграла знаменитая Львовская школа. Конечно, более
пристальное рассмотрение вопроса выявляет важные поднаправления
в этом мощном потоке исследований, например, зарождение
линейного и выпуклого анализа (Г. Минковский, Г. Хан, Э. Хелли, С. Банах),
общая теория меры и интеграла (заложенная Лебегом в начале века и
развитая И. Радоном, Ф. Риссом, М. Фреше, К. Каратеодори, Н.Н.
Лузиным, П. Даниэлем, Н. Винером, О. Никодимом, А.Н. Колмогоровым,
И. фон Нейманом, А.Д. Александровым, Ю.В. Прохоровым). Тогда же
начался новый этап развития нелинейного функционального анализа
(Н.Н. Боголюбов, Н.М. Крылов, Ю. Шаудер, А.Н. Тихонов, Ж. Ле-
ре). Нельзя забыть и о таких близких областях, как общая топология
(Ф. Хаусдорф, П.С. Александров, П.С. Урысон, А.Н. Тихонов) и
теория экстремальных задач (Л.В. Канторович, Л.С. Понтрягин). Тесным
переплетением всех этих направлений и стал современный
функциональный анализ. Идеи, заложенные в первые годы его становления,
привели к созданию совершенно новых направлений уже в ближайшее
время. Например, теория пространств Соболева, возникшая в
основном в результате работ С.Л. Соболева в 30-х годах, и дополнившая
ее после исследований Л. Шварца в конце 40-х-начале 50-х теория
обобщенных функций стали одним из мощнейших средств
современной теории дифференциальных уравнений с частными производными
и математической и теоретической физики. Другой пример — теория
банаховых алгебр, заложенная И.М. Гельфандом и развивавшаяся
исследователями многих стран (упомянем лишь М. А. Наймарка, Г.Е.
Шилова и И. Сигала). Укажем еще теорию упорядоченных пространств
и векторных решеток (Ф. Рисе, Л.В. Канторович, М.Г. Крейн).
Многие мотивы первых лет бурного развития функционального анализа
20-30-х годов XX века вдохновляли и продолжают вдохновлять
поколения исследователей. Один из таких мотивов — геометрия и
топология банаховых пространств. Многие фундаментальные открытия

Комментарии
673
в этом направлении были сделаны уже Банахом и другими
представителями Львовской школы в 30-е годы XX века. В последующие годы
заметный вклад внесли М.Г. Крейн, Д.П. Мильман, В.Л. Шмульян,
Б.Дж. Петтис, Н. Данфорд, Р.С. Филлипс, У.Ф. Эберлейн, А.А.
Милютин, А. Гротендик, М.И. Кадец, А. Пелчинский, Й. Линденштраус,
П. Энфло, У. Гауэрс. Конечно, этот список можно расширить,
упомянув ряд авторов решений долго стоявших проблем и особо известных
примеров и контрпримеров (многие из которых упоминаются в
тексте). Под влиянием теории банаховых пространств и теории
обобщенных функций приобрела большую популярность теория локально
выпуклых пространств. Отдельные важные результаты были получены
еще до войны А.Н. Колмогоровым, А.Н. Тихоновым, И. фон
Нейманом, Ж. Лере, но как ярко выраженное самостоятельное направление
она оформилась в 50-е годы. Среди внесших большой вклад в эту
теорию — Л. Шварц, Ж. Дьедонне, Дж. Макки, Р.Ф. Арене, А.
Гротендик, Г. Шоке. Некоторое время теория локально выпуклых пространств
была одним из самых модных направлений функционального
анализа; обширные ее разделы включались в учебники (в этой книге тоже
отдана ей дань). Моды проходят, но популярность этой теории была
небеспочвенной, и сейчас основные ее положения по-прежнему имеют
значение как для общего функционального анализа, так и для
разнообразных приложений. Теория банаховых пространств и теория
локально выпуклых пространств включают изучение линейных операторов
в таких пространствах, но под теорией линейных операторов принято
подразумевать другую крупную составляющую современного
функционального анализа, выросшую из упоминавшихся выше исследований
по интегральным уравнениям и дифференциальным операторам.
Характерными чертами этого направления, отличающими его от
проблематики геометрии и топологии абстрактных банаховых или локально
выпуклых пространств, являются интерес к конкретным операторам,
конкретным уравнениям и особая роль неограниченных операторов.
Разумеется, четкого разграничения провести нельзя, ибо
перечисленные области активно взаимодействуют. Наконец, следует сказать, что
многие из этих «линейных» направлений имеют «нелинейные»
ответвления. Нелинейные пространства, нелинейные операторы, нелинейные
уравнения являются настолько всеобъемлющими и характерными
объектами естествознания, что само выделение подраздела «нелинейный
анализ» в общем функциональном анализе наряду с перечисленными
«линейными» направлениями, вполне подходящими на роль
специальных частей нелинейной науки, может вызывать сомнения.
Можно много говорить о значении функционального анализа для
приложений. Ограничимся лишь одним примером. Когда при
создании ядерного оружия в 40-х годах XX века понадобилось решать
совершенно новые и весьма трудные задачи, связанные с расчетом
и моделированием сложных процессов, в помощь физикам к делу были

674
Комментарии
привлечены крупные специалисты по нелинейному анализу, в
частности, в США это были И. (Дж.) фон Нейман и С. Улам, а в нашей
стране, поначалу отстававшей в этой области, — А.Н. Тихонов, С.Л.
Соболев, И.Г. Петровский, И.М. Гельфанд, Л.В. Канторович, Н.Н.
Боголюбов, М.В. Келдыш и многие другие (см., например, Тихонова,
Тихонов [206]). В результате героических усилий больших научных
коллективов, среди которых математики играли заметную роль, отставание
было ликвидировано и была создана система обороны, благодаря
которой Москву пока не постигла участь Белграда и Багдада. Однако
важную прикладную задачу нельзя решить раз и навсегда, в отличие
от какой-либо чисто математической проблемы. Поэтому остается
весьма актуальным дело подготовки новых поколений квалифицированных
математиков, которым будут по плечу вызовы времени.
Кале уже отмечалось, книга Банаха [18] стала первым учебником
по функциональному анализу и моделью для многих последующих
учебников вплоть до настоящего времени. Правда, некоторые
элементы современного курса, связанные с гильбертовыми пространствами,
излагались в книге Vitali [542]. Примерно одновременно с книгой
Банаха вышла монография Стоуна [525], также весьма существенно
повлиявшая на вхождение новой дисциплины в учебные программы и
на формирование ее современного облика. На русском языке первое
основательное изложение функционального анализа дано В.И.
Смирновым [192]; эта книга, написанная на основе свежих работ
первооткрывателей и хорошо передающая дух зарождающейся области, до
сих пор остается в списках рекомендованной литературы для
аспирантов, хотя в техническом отношении изложение в ней многих
вопросов уже устарело. Наконец, упомянем классический учебник Рисе,
Секефальви-Надь [183], выдержавший более чем за полвека много
изданий на разных языках. Весьма удачным оказалось первое на
русском языке учебное пособие по функциональному анализу для
студентов, написанное Колмогоровым и Фоминым [105] и расширенное
в последующих изданиях. Это пособие выросло из лекций А.Н.
Колмогорова [104] на механико-математическом факультете Московского
университета, а также лекций СВ. Фомина на физическом
факультете. Основанный Колмогоровым курс «Анализ-Ш» (ныне
«Функциональный анализ») впоследствии читали И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов
и другие известные специалисты. По нашему мнению, эта книга
является одним из лучших университетских учебников функционального
анализа для студентов (несмотря на отсутствие подробного
изложения спектральной теории); она остается самым популярным пособием.
Прежде чем перечислять другие учебники, отметим три книги
энциклопедического характера и большого объема: Данфорд, Шварц [68],
Канторович, Акилов [91] и Эдварде [243] (обзор результатов есть
также в справочнике Крейн [118]). Возвращаясь к книгам учебного
характера, укажем известные пособия для углубленного изучения Рид,

Комментарии
675
Саймон [179] и Рудин [188], а также гораздо более элементарные
вводные курсы Люстерник, Соболев [140], [141], [194] и краткое изложение
Босс [29] (в последнем не следует читать раздел о теории
интегрирования). Имеются сотни курсов на разных языках, ориентированные на
разные составы слушателей и весьма разнящиеся глубиной содержания,
объемом, стилем и методикой изложения. Мы приведем обширный
список (впрочем, не претендующий на абсолютную полноту) тех книг на
русском, английском, французском и немецком языках (и небольшого
числа на испанском и итальянском языках), которые нам встретились
в библиотеках более чем ста университетов и математических
институтов по всему миру. Не повторяя уже указанных книг, начнем с более
полных курсов:
Антоневич, Радыно [9], Березанский, Ус, Шефтель [21],
Данилин [67], Иосида [87], Кадец [88], Князев [101], Кованько, Соколов
[102], Кутателадзе [128], Лаврентьев, Савельев [131], Морен [157],
Наймарк, Мартынов [161], Порошкин [175], Пугачев [177],
Садовничий [189], Треногий [209], Федоров [215], Хелемский [228], Alt [257],
Amann, Escher [258], Appell, Vath [261], Avanissian [269], Bachman,
Narici [270], Baggett [271], Bass [273], Berberian [279], Bertrandias [281],
Brezis [293], Brown, Page [295], Brown, Pearcy [296], Cheney [303],
Choudhary, Nanda [307], Conway [311], Cotlar, Cignoli [315], DeVito
[325], DiBenedetto [326], Eidelman, Mihrian, Tsolomitis [339], Epstein
[342], Folland [349], Fuchssteiner, Laugwitz [352], Garnir, De Wilde,
Schmets [353], Goffman, Pedrick [360], Griffel [371], Grossmann "
Ha [376], Heine [379], Heuser [383], Hille [385], Hirsch, Lacombe
Hirzebruch, Scharlau [387], Jain, Ahuja, Ahmad [392], Kantorovitz
373
386
408
Komornik [416], Korevaar [418], Kreyszig [422], Krishnan [423], Lahiri
[430], Lang [431], Larsen [432], Lax [433], Lelong [434], Limaye [437],
Losch [439], Maddox [442], Mathieu [445], Meise, Vogt [449], Miranda
[454], Mukherjea, Pothoven [462], Nair [465], Naylor, Sell [467], Oden,
Demkowicz [470], Pedersen [477], Pflaumann, Unger [480], Pryce [490],
Rao [491], Reddy [493], Roman [498], Ruckle [500], Rynne, Youngson
[502], Samuelides, Touzillier [504], Schechter [508], Schroder [510], Siddiqi
[515], Somasundaram [522], Storch, Wiebe [526], §uhubi [529], Sunder
[530], Swartz [531], Taylor [534], Triebel [540], Werner [546], Wilansky
[548], Wloka [550], Wouk [553].
Отдельно перечислим пособия, содержащие элементы курса
функционального анализа (например, в виде краткого курса или части
курса математического анализа): Вайнберг [38], Вейц [41], Вулих [48],
Дьедонне [79], Ефимов, Золотарев, Терпигорева [81], Заманский [83],
Кудрявцев [120], Кузнецова, Кузнецов [122], Макаров [144], Решетняк
[178], Свиридюк, Якупов [191], Терпугов [202], Фаге [214], Халилов
[221], Шерстнев [235], Шилов [237], [239], Amerio [259], Artemiadis

676
Комментарии
[264], Bobrowski [285], Воссага [286], Bollobas [287], Bonic [288], Bridges
[294], Burg, Haf, Wille [298], Davis [319], Egle [338], Fichera [346], Giles
[358], Gopfert, Riedrich [367], Gostiaux [368], Groetsch [372], Hansen
[377], Hengartner, Lambert, Reischer [381], Hunter, Nachtergaele [390],
Jantscher [394], Jost [400], Kubrusly [424], Kuhner, Lesky [427], Marie,
Pilibossian [443], Michel, Herget [451], Mlak [456], Maurin [447], Moore
[458], Nachbin [464], Orlicz [473], Packel [474], Panzone [475], Phillips
[482], Ponnusamy [489], Ray [492], Royden [499], Saxe [506], Segal,
Kunze [513], Skandalis [520], Simmons [516], Sohrab [521], Sonntag [523],
Torchinsky [537], Tricomi [539], Wagschal [543], Wong [552], Young
[554], Zaanen [555], Zaidman [556], Zimmer [568].
Мы намеренно не стали проводить какую-либо более мелкую
классификацию перечисленных пособий, ибо это привело бы к слишком
широкому спектру с размытыми границами переходов. Даже по объему
некоторые из этих книг отличаются более чем в десять раз. Непросто
было бы разбить весь список на группы и по соответствию
университетской программе: некоторые краткие пособия охватывают широкую
программу, хотя и без подробностей, а другие при существенно
большем объеме и более глубоком изложении выпускают некоторые
разделы стандартной программы. В ряде пособий рассматриваются только
гильбертовы пространства и операторы в них. Зарубежные учебники
вообще не ориентируются на какие-либо установленные стандарты
просто ввиду их отсутствия. Однако нам представляется, что для
разработки своей программы всякому серьезному лектору чрезвычайно
полезно ознакомиться с большим числом совершенно разных пособий.
Даже дефекты изложения, имеющиеся во многих из них, бывают весьма
поучительны. Кроме того, важен и опыт изложения, ориентированного
на какие-либо специальные категории слушателей, например, физиков,
механиков, инженеров, экономистов, специалистов по вычислительной
математике и т.д. Для этого нами и представлена собранная за долгие
годы библиография. Интересно отметить, что наличие современных
электронных баз данных и изощренных поисковых систем не делает
задачу составления такой библиографии тривиальной, хотя и помогает
ее решению. Многие из книг этого списка имеют не очень
характерные названия и не улавливаются при электронном поиске; некоторые
книги, видимо, вообще пока не попали в общедоступные базы данных.
Многие из перечисленных книг содержат обширные подборки задач
и упражнений, но имеются и собственно задачники (по всему курсу или
его разделам): Абросимов и др. [1], Андреев, Андреева, Шурыгин [7],
Антоневич, Князев, Радыно [8], Березин и др. [22], Владимиров [45],
Гельбаум, Олмстед [51], Глазман, Любич [58], Городецкий, Нагнибида,
Настасиев [61], Грибанов [65], Гуревич, Зеленко [66], Дерр [72], До-
роговцев [77], Кириллов, Гвишиани [98], Кудрявцев и др. [121],
Леонтьева, Панферов, Серов [135], Люлько, Максимова, Ляпидевский [138],
Макаров и др. [145], Мартиросян [147], Очан [168], [169], Теляковский

Комментарии
677
[201], Треногий, Писаревский, Соболева [210], Ульянов и др. [213],
Фет [218], Халмош [223], Ширяев [240], Abramovich, Aliprantis [248],
Aliprantis, Burkinshaw [256], Ansel, Ducel [260], Arino, Delode, Genet
[263], Benoist, Salinier [277], Bouyssel [290], Capinski, Zastawniak [299],
Costara, Popa [314], Gelbaum [356], George [357], Gonnord, Tosel [366],
Kaczor, Nowak [401], Kubrusly [425], Lacombe, Massat [429], Letac [435],
Samuelides, Touzillier [505], Sonntag [523], Wagschal [543], Zuily [569].
Мы не приводим библиографии по теории меры и интеграла (курс
действительного анализа), поскольку она также весьма обширна и
хорошо представлена в [26] (где только книг более 300 наименований).
Отметим лишь следующие хорошо известные книги: Натансон [162],
Сакс [190], Халмош [222], Bruckner, Bruckner, Thomson [297], Dudley
[332], Hewitt, Stromberg [384], Royden [499], Stromberg [528].
Разнообразная дополнительная информация по геометрии
банаховых пространств представлена в следующих книгах: Вахания, Тарие-
ладзе, Чобанян [40], Дистель [75], Дэй [80], Кадец, Кадец [89], Мушта-
ри [158], [159], Одинец, Якубсон [167], Пич [172], Albiac, Kalton [251],
Beauzamy [274], Benyamini, Lindenstrauss [278], Bessaga, Peiczynski
[282], Carothers [301], Casazza, Shura[302], Defant, Floret [321], Deville,
Godefroy, Zizler [324], Diestel [327], Diestel, Uhl [328], van Dulst [333],
Effros, Ruan [337], Fabian и др. [343], Guerre-Delabriere [375], Morrison
[460], Pelant, Zizler [343], Fleming, Jamison [348], Johnson, Lindenstrauss
[396], Lacey [428], Li, Queffelec [436], Lindenstrauss, Tzafriri [438],
Marti [444], Megginson [448] (удачное современное введение), Milman,
Schechtman [453], Pietsch [485], Pietsch, Wenzel [486], Pisier [487], [488],
Ryan [501], Semadeni [514], Singer [518], Tomczak-Jaegermann [535],
Wojtaszczyk [551]. Различным специальным пространствам и
операторам в них посвящены книги Гофман [62], Красносельский, Рутицкий
[116], Кусис [125], Duren, Schuster [335], Fetter, Gamboa de Buen [345],
Hedenmalm, Korenblum, Zhu [378], Nikolski [468].
По теории операторов и спектральной теории имеется богатая
литература, на которую можно выйти по электронным базам данных и
через следующие книги: Ахиезер, Глазман [14], Бирман, Соломяк [25],
Гохберг, Крейн [63], [64], Данфорд, Шварц [68]-[70], Като [94], Крейн
[117], Маслов [148], Пич [172], Плеснер [173], Рид, Саймон [180]-[182],
Фридрихе [220], Abramovich, Aliprantis [247], Arveson [265], Aupetit
[268], Brown, Pearcy [296], Carl, Stephani [300], Conway [312], [313],
Davies [318], Dowson [331], Gohberg, Goldberg [361], Gohberg, Goldberg,
Kaashoek [362], [363], Gohberg, Goldberg, Krupnik [364], Goldberg [365],
Helmberg [380], Istratescu (391], Miiller [463], Ringrose [495], Stone [525],
Vasilescu [541], Weidmann [545], Zhu [566].
Приведем ориентировочную библиографию еще по ряду разделов.

678
Комментарии
Интегральные операторы и интегральные уравнения: Бухвалов и
др. [35], Забрейко и др. [82], Коротков [107], Краснов [108], Краснов,
Киселев, Макаренко [109], Красносельский и др. [114], Михлин [153],
[154], Михлин, Морозов, Паукшто [156], Прёсдорф [176], Edmunds,
Kokilashvili, Meskhi [336], Fenyo, Stolle [344], Jorgens [398], Kress [421],
Mikhlin, Prossdorf [452], OHkiolu [471].
Полугруппы операторов: Голдстейн [59], Клемент и др. [100], Рид,
Саймон [180], Хилл [230], Хилле, Филлипс [231], Brezis [292], Davies
[317], Engel, Nagel [340], [341], Pazy [476].
Банаховы и операторные алгебры: Браттели, Робинсон [31], [291],
Гамелин [50], Гельфанд, Райков, Шилов [53], Диксмье [73],
Луговая, Шерстнев [136], Мёрфи [149], Наймарк [160], Хелемский [227],
Blackadar [283], Blecher, Le Merdy [284], Bonsall, Duncan [289], Connes
[310], Douglas [330], Eflros, Ruan [337], Fillmore [347], Gillman, Jerison
[359], Kadison, Ringrose [402]-[405], Rickart [494], Sakai [503], Takesaki
[533], Zelazko [564].
Топологические векторные пространства: Бурбаки [33],
Канторович, Акилов [90], Пич [171], Робертсон, Робертсон [185], Шефер
[236], Эдварде [243], Choquet [305], Garsoux [355], Grothendieck [374],
Horvath [389], Jarchow [395], Kalton, Peck, Roberts [406], Kelley,
Namioka [411], Kote [419], Narici, Beckenstein [466], Perez Carreras,
Bonet [478], Rolewicz [497], Treves [538].
Обобщенные функции: Агранович [2], Антосик и др. [10], Бремер-
ман [32], Владимиров [43], [44], Гельфанд, Виленкин [52], Гельфанд,
Шилов [55], [56], Дрожжинов, Завьялов [78], Земанян [84], Кеч,
Теодореску [97], Микусинский, Сикорский [151], Шварц [233], [234],
Шилов [238], Barros-Neto [272], Choquet-Bruhat [306], Friedlander [351],
Garsoux [355], Herve [382], Jantscher [393], Kanwal [409], Mitrovic, Zub-
rinio [455], Schwartz [512], Strichartz [527], Walter [544], Zemanian [565].
Пространства Соболева: Бесов, Ильин, Никольский [24], Гольд-
штейн, Решетняк [60], Мазья [142], Мазья, Шапошникова [143],
Михлин [155], Никольский [164], Соболев [195], [196], Стейн [197], Стейн,
Вейс [198], Трибель [211], [212], Эванс, Гариепи [242], Adams [250],
Mitrovio, 2hibrini£ [455], Ziemer [567].
Материал по обобщенным функциям и пространствам Соболева
есть и во многих книгах по уравнениям с частными производными
и псевдодифференциальным операторам, см. Мизохата [150], Тейлор
[200], Трев [207], [208], Хёрмандер [229], Шубин [241], Petersen [479].
Упорядоченные векторные пространства, векторные решетки,
положительные линейные и нелинейные операторы: Акилов, Кутате-
ладзе [3], Бухвалов и др. [35], Вулих [47], Канторович, Вулих, Пин-
скер [92], Кусраев [126], Шефер [236], Aliprantis, Burkinshaw [254],
Luxemburg, Zaanen [441], Meyer-Nieberg [450], Schaefer [507].

Комментарии
679
Нелинейный анализ, выпуклый анализ и функциональные аспекты
теории экстремальных задач: Авербух, Смолянов [570], [571],
Алексеев, Тихомиров, Фомин [6], Ахмеров и др. [15], Богачев [27], Вайн-
берг [36], [37], Галеев [49], Гирсанов [57], Канторович, Акилов [91],
Картан [93], Кларк [99], Красносельский [110], [111], Красносельский
и др. [112], Красносельский, Забрейко [113], Красносельский, Лиф-
шиц, Соболев [115], Кусраёв, Кутателадае [127], Кутателадае,
Рубинов [129], Левин [134], Мисюркеев [152], Ниренберг [165], Обен, Эк-
ланд [166], Половинкин, Балашов [174], Рокафеллар [186], Смолянов
[193], Экланд, Темам [245], Aliprantis, Border [253], Berger [280], Brezis
[292], Cioranescu [309], Deimling [322}, Denkowski, Migorski, Papageorgi-
ou [323], Deville, Godefroy, Zizler [324], Granas, Dugundji {370], Holmes
[388], Joshi, Bose [399], Kesavan [413], Khatskevich, Shoiykhet [414]
Kirk, Sims [415], Mordukhovich [459], Phelps [481], Schirotzek [509],
Schwartz [511], Singh, Watson, Srivastava [519], Takahashi [532], Zeidler
[557]-[561]. Из классических курсов вариационного исчисления
отметим Гельфанд, Фомин [54], Лаврентьев, Люстерник [139].
Функциональный анализ в теории приближений: Ахиезер [13], Да-
угавет [71], Коровкин [106], Тихомиров [204], Singer [518].
Различные приложения (конечно, приложениям уделено
внимание и во многих указанных выше книгах): Балакришнан [16], Варга
[39], Ворович, Лебедев [46], Коллатц [103], Кшевецкий [130],
Лебедев [133], Тихонов, Арсенин [205], Хатсон, Пим [226], Atkinson, Han
[266], Aubin [267], Сгуег [316], Debnath, Mikusinski [320], Kesavan [412],
Mordukhovich [459], Nowinski [469], Rolewicz [496], Zeidler [557]-[563].
Идеи и методы функционального анализа стали неотъемлемой
частью математической физики, см. Березин, Шубин [23], Боголюбов и
др. [28], Владимиров [43], [44], Макки [146], Михлин [155], Нейман
[163], Рид, Саймон [182], Рихтмайер [184], Шварц [233], [234].
Общая топология: Александров [4], Александрии, Мирзаханян [5],
Архангельский, Пономарев [11], Бурбаки [34], Келли [96], Куратовский
[123], Федорчук, Филиппов [216], Энгелькинг [246], Simmons [516],
Wilansky [549].
По истории развития функционального анализа см. Данфорд,
Шварц [68], Birkhoff, Kreyszig [589], Dieudonne [329], Lutzen [440],
Mauldin [446], Monna [457], Narici [603], Pietsch [485]. Кроме того,
разнообразные исторические, биографические и библиографические
сведения приведены во многих из перечисленных выше книг, в частности,
в Рид, Саймон [180]-[182], Эдварде [243], Saxe [506], Werner [546].
Отметим, что в книге нет ссылок на оригинальные статьи,
результаты которых уже вошли в книги; упоминаются лишь избранные
статьи, использованные в дополнительных разделах или задачах.

680
Экзаменационные программы
Экзаменационные программы
Программа курса «Действительный анализ», 4 семестр
1. Кольца, алгебры и σ-алгебры множеств; существование σ-алгебры,
порожденной классом множеств. Структура открытых множеств на
прямой. Борелевская σ-алгебра. §2.2.
2. Функции, измеримые относительно σ-алгебры. Свойства измеримых
функций. §3.1.
3. Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Свойство счетной
полуаддитивности. Критерий счетной аддитивности. §2.3.
4. Компактные классы. Счетная аддитивность меры, имеющей
приближающий компактный класс. §2.3.
5. Внешняя мера. Определение измеримого множества. Теорема Лебега
о счетной аддитивности внешней меры на σ-алгебре измеримых
множеств. Единственность продолжения. §2.4.
6. Построение меры Лебега на прямой и в Rn. Основные свойства меры
Лебега. §2.5.
7. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. §3.2.
8. Сходимость по мере и ее связь со сходимостью почти всюду.
Фундаментальность по мере. Теорема Рисса. §3.2.
9. Теорема Лузина. §3.2.
10. Интеграл Лебега: определение и основные свойства (линейность,
монотонность). §3.3.
11. Неравенство Чебышёва. Абсолютная непрерывность интеграла
Лебега. §3.3.
12. Предельный переход в интеграле Лебега: теорема Лебега-Б. Леви
о монотонной сходимости, теорема Фату, теорема Лебега о
мажорируемой сходимости. §3.4.
13. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Лебега по
параметру. §3.4.
14. Признаки интегрируемости по Лебегу. §3.6.
15. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и
несобственным). §3.7.
16. Неравенство Гёльдера. Неравенство Минковского. §3.8.
17. Пространства 1/ρ(μ) и их полнота. Связь различных видов
сходимости измеримых функций. §§3.5, 3.8.
18. Теорема Радона-Никодима. §3.9.
19. Произведение пространств с мерами. Теорема Фубини. §§3.10, 3.11.
20. Свертка интегрируемых функций. §3.11.
21. Функции ограниченной вариации. Абсолютно непрерывные
функции. Абсолютная непрерывность неопределенного интеграла. Связь
абсолютно непрерывных функций с неопределенными интегралами
интегрируемых функций (без доказательства). Формула
Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по частям для абсолютно непрерывных
функции. §§4.1-4.4.

Экзаменационные программы
681
Программа курса «Функциональный анализ», 5 семестр
1. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Полнота и
сепарабельность. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. §§1.2,1.3.
2. Нормированные пространства. Примеры: пространства
непрерывных функций, интегрируемых функций и пространства
последовательностей. Изометричность метрического пространства Μ части банахова
пространства В(М) и существование пополнения Μ. §§5.1, 5.2, 1.2.
3. Топологические пространства. Компактные множества и их
свойства. §§1.4, 1.5.
4. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности
в терминах фундаментальных последовательностей. §§1.5, 1.6.
5. Равносильность различных определений компакта в метрическом
пространстве. §§1.5, 1.6.
6. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве.
Некомпактность шара в бесконечномерном нормированном пространстве. §5.3.
7. Критерий компактности в В(М). Теорема Ариела. §1.6.
8. Теоремы о неподвижных точках: теорема о сжимающих
отображениях и теорема Шаудера. §1.3, 5.5.
9. Евклидовы и гильбертовы пространства. Ортонормированные
системы и базисы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. §§5.1, 5.2, 5.4.
10. Существование ортогональной проекции и ортогонального
разложения в гильбертовом пространстве. §5.1, 5.2, 5.4.
11. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном
евклидовом пространстве. Примеры базисов. Теорема Рисса-Фишера.
Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. §5.4.
12. Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора
и непрерывность оператора. §6.1.
13. Теорема Банаха-Штейнгауза. §6.1.
14. Теорема об открытом отображении. §6.2.
15. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом
графике. §6.2.
16. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Сопряженное пространство.
Отделение выпуклых множеств (без доказательства). §§6.3, 6.4.
17. Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного
функционала на гильбертовом пространстве. Явный вид сопряженных к
конкретным пространствам (без доказательства). §6.5.
18. Изометрическое вложение нормированного пространства во второе
сопряженное. Ограниченность слабо ограниченных множеств. §6.4.
19. Топология σ(Ε, F) и равенство (Ε, σ{Ε, F)) = F. Слабая и *-слабая
топологии. §6.6.
20. Теорема о *-слабой компактности шара в сопряженном
пространстве (без доказательства). Выделение *-слабо сходящейся
подпоследовательности из ограниченной последовательности функционалов на
сепарабельном нормированном пространстве. Слабая сходимость и
слабая компактность в гильбертовом пространстве. §6.7.

682
Экзаменационные программы
21. Компактные операторы и их свойства. Примеры компактных
и некомпактных операторов. §6.9.
Программа курса «Функциональный анализ», 6 семестр
1. Спектр оператора. Открытость множества обратимых операторов.
Замкнутость спектра. §7.1.
2. Теорема об отображении спектров для многочленов и общих
операторов. §7.1.
3. Спектр компактного оператора. §7.3.
4. Альтернатива Фредгольма (Кет(1-К) = 0 <£=> (1-К)Х = X). §7.4.
5. Норма и спектр оператора умножения на функцию. Циклические
векторы. §§7.1, 7.8.
6. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве.
Самосопряженный оператор и его квадратичная форма. Критерий Вейля и
вещественность спектра самосопряженного оператора. §7.2.
7. Равенства
||А|| =sup{\(Ax,x)\: \\х\\ ^ 1} = sup{|A|: λ - точка спектра А}. §7.2.
8. Теорема Гильберта-Шмидта. §7.5.
9. Непрерывные функции от самосопряженных операторов и равенство
||/(A)||=suPt€(T(A)|/(i)|.§7.7.
10. Унитарные операторы и унитарная эквивалентность операторов.
Эквивалентность самосопряженного оператора оператору умножения
на функцию (случай оператора с циклическим вектором и общий
случай). §§7.6, 7.8.
11. Проекторы и проекторнозначные меры. Представление
самосопряженного оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере.
Явное вычисление спектральной меры для оператора умножения на
аргумент и для проектора. §7.9.
12. Понятие о локально выпуклом пространстве. Примеры.
Пространства V и S и сходимость в них. Плотность V в L2(RX). §8.1.
13. Обобщенные функции классов V и S1. Производная обобщенной
функции. Носитель и сингулярный носитель. §8.4.
14. Преобразование Фурье интегрируемых функций и его свойства.
Формула обращения. §9.1.
15. Преобразование Фурье в S и его непрерывность. §9.1.
16. Равенство Парсеваля для интегралов Фурье. Полнота системы
функций Эрмита. Преобразование Фурье в 5'. §§9.1, 9.3.
17. Преобразование Фурье в L2(R1) и теорема Планшереля. §9.2.
18. Свертка интегрируемых функций. Свертка обычной и обобщенной
функций. Использование преобразования Фурье и свертки для
решения дифференциальных уравнений. §§9.4, 9.7.
19. Спектр оператора преобразования Фурье и спектр оператора
свертки. §9.5.

Экзаменационные программы
683
20. Пространства С.Л. Соболева WPyk и их характеризация через
пополнение по соболевской норме. Описание W2>k через преобразование
Фурье. Теоремы вложения в Lq и С (без доказательства). §§9.8, 9.9.
Программа-минимум кандидатского экзамена
по специальности 01.01.01 «Математический анализ»
(действительный анализ и функциональный анализ)
Меры, измеримые функции, интеграл. Аддитивные функции
множества (меры), счетная аддитивность мер. Конструкция лебегов-
ского продолжения. Измеримые функции. Сходимость функций по
мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебега.
Предельный переход под знаком интеграла. Сравнение интегралов Лебега
и Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини. Гл. 2, 3.
Неопределенный интеграл Лебега и теория
дифференцирования. Дифференцируемость монотонной функции почти
всюду. Функции с ограниченным изменением (вариацией). Производная
неопределенного интеграла Лебега. Задача восстановления функции по
ее производной. Абсолютно непрерывные функции. Теорема Радона-
Никодима. Интеграл Стилтьеса. Гл. 3, 4.
Пространства суммируемых функций и ортогональные
ряды. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства Lp, их
полнота. Полные и замкнутые системы функций. Ортонормированные
системы в 1,2 и равенство Парсеваля. Ряды по ортогональным системам;
стремление к нулю коэффициентов Фурье суммируемой функции в
случае равномерно ограниченной ортонормированной системы. Гл. 3, 5.
Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье.
Условие сходимости ряда Фурье. Представление функции сингулярными
интегралами. Единственность разложения функции в
тригонометрический ряд. Преобразование Фурье интегрируемых и
квадратично-интегрируемых функций. Свойство единственности для преобразования
Фурье. Теорема Планшереля. Преобразование Лапласа.
Преобразование Фурье-Стилтьеса. Гл. 4, 5, 9.
Метрические и топологические пространства. Сходимость
последовательностей в метрических пространствах. Полнота и
пополнение метрических пространств. Сепарабельность. Принцип сжимающих
отображений. Компактность множеств в метрических и
топологических пространствах. Гл. 1.
Нормированные и топологические линейные пространства.
Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые
функционалы, теорема Хана-Банаха. Отделимость выпуклых множеств.
Нормированные пространства. Критерии компактности в пространствах С
и Lp. Евклидовы пространства. Топологические линейные
пространства. Гл. 5, 8.

684
Экзаменационные программы
Линейные функционалы и линейные операторы.
Непрерывные линейные функционалы. Общий вид линейных ограниченных
функционалов на основных функциональных пространствах.
Сопряженное пространство. Слабая топология и слабая сходимость.
Линейные операторы и сопряженные к ним. Пространство линейных
ограниченных операторов. Спектр и резольвента. Компактные (вполне
непрерывные) операторы. Теоремы Фредгольма. Гл. 6, 7.
Гильбертовы пространства и линейные операторы в них.
Изоморфизм сепарабельных бесконечномерных гильбертовых
пространств. Спектральная теория ограниченных операторов в
гильбертовых пространствах. Функциональное исчисление для
самосопряженных операторов и спектральная теорема. Диагонализация компактных
самосопряженных операторов. Неограниченные операторы. Гл. 5, 7,10.
Дифференциальное исчисление в линейных
пространствах. Дифференцирование в линейных пространствах. Сильный
и слабый дифференциалы. Производные и дифференциалы высших
порядков. Экстремальные задачи для дифференцируемых функций.
Метод Ньютона. Гл. 12.
Обобщенные функции. Регулярные и сингулярные обобщенные
функции. Дифференцирование, прямое произведение и свертка
обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста; их
преобразование Фурье. Преобразование Лапласа обобщенных функций
(операционное исчисление). Структура обобщенных функций с компактным
носителем. Гл. 8, 9.

Литература
[1] Абросимов А.В., Калягин В.Α., Рябинин А.А., Филиппов В.Н.
Упражнения по функциональному анализу. Изд-во Нижегородского гос.
унта, Нижний Новгород, 1992; 78 с.
[2] Агранович М.С. Обобщенные функции. МЦНМО, М., 2008; 128 с.
[3] Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные
пространства. Наука, Новосибирск, 1978; 368 с.
[4] Александров П.С. Введение в общую топологию и теорию множеств.
Наука, М., 1977; 368 с.
[5] Александрян Р.Α., Мирзаханян Э.А. Общая топология. Высш. шк.,
М., 1979; 336 с.
[6] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин СВ. Оптимальное
управление. Наука, М., 1979; 432 с.
[7] Андреев В.И., Андреева Т.В., Шурыгин В.К. Сборник задач по
функциональному анализу. Ч. 2: Последовательности в метрических
пространствах. Норма линейного оператора. РГУ им. И. Канта,
Калининград, 2006; 188 с.
[8] Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по
функциональному анализу. Высш. шк., Минск, 1978; 205 с.
[9] Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и
интегральные уравнения. БГУ, Минск, 2003; 431 с.
[10] Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных
функций. Секвенциальный подход. Мир, М., 1976.
[11] Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в
задачах и упражнениях. Наука, М., 1974; 423 с.
[12] Архипов Г.И., Садовничий В.Α., Чубариков В.Н. Лекции по
математическому анализу. Высш. шк., М., 2000; 696 с.
[13] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Наука, М., 1965; 406 с.
[14] Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в
гильбертовом пространстве. 2-е изд. Наука, М., 1966; 544 с.
[15] Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е.,
Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Наука,
Новосибирск, 1986; 265 с.
[16] Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. Наука, М.,
1980; 384 с
[17] Банах С. Курс функционального анашзу. Ряд. шк., Киев, 1948; 216 с.

686
Литература
[18] Банах С. Теория линейных операций. НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», Ижевск, 2001; 262 с (1-е фр. изд.: Warszawa, 1932).
[19] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, М., 1961; 936 с.
[20] Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение.
Мир, М., 1980; 264 с.
[21] Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ.
Выща школа, Киев, 1990; 600 с
[22] Березин Ф.А., Гвишиани А.Д., Горин Е.А., Кириллов А.А. Сборник
задач по функциональному анализу. Изд-во Моск. ун-та, М., 1977; 99 с.
[23] Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. Изд-во Моск.
унта, М., 1983; 392 с.
[24] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский СМ. Интегральные
представления функций и теоремы вложения. Наука, М., 1975; 480 с.
[25] Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных
операторов в гильбертовом пространстве. Изд-во ЛГУ, Л., 1980; 264 с.
[26] Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1, 2. 2-е изд. РХД, Москва -
Ижевск, 2006; 584 с, 680 с.
[27] Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна.
РХД, Москва - Ижевск, 2008; 544 с.
[28] Боголюбов Н.Н., Логунов Α.Α., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие
принципы квантовой теории поля. Наука, М., 1987; 616 с.
[29] Босс В. Лекции по математике. Т. 5. Функциональный анализ. УРСС,
М., 2005; 214 с.
[30] Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. ГИФМЛ, М., 1962; 360 с.
[31] Браттели У, Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая
статистическая механика. Мир, М., 1982; 512 с.
[32] Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и
преобразования Фурье. Мир, М., 1968; 276 с.
[33] Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. ИЛ, М., 1959;
410 с.
[34] Бурбаки Н. Общая топология. Вып. 3. Наука, М., 1975; 408 с.
[35] Бухвалов А.В., Короткое В.Б., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С,
Макаров Б.М. Векторные решетки и интегральные операторы. Наука,
Новосибирск, 1992; 215 с.
[36] Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных
операторов. ГИТТЛ, М., 1956; 344 с.
[37] Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов.
Наука, М., 1972; 416 с.
[38] Вайнберг М.М. Функциональный анализ. Просвещение, М., 1979;
128 с.
[39] Варга Р.С. Функциональный анализ и теория аппроксимации в
вычислительном анализе. Мир, М., 1974; 126 с.
[40] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные
распределения в банаховых пространствах. Наука, М., 1984; 368 с.
[41] Вейц Б.Е. Избранные вопросы функционального анализа.
Мурманский гос. педагог, ун-т, Мурманск, 1992; 106 с.
[42] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. ГИФМЛ, М.,
1963; 256 с.
[43] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 4-е изд. Наука,
М., 1981; 512 с.

Литература 687
[44] Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. 2-е
изд. Наука, М., 1979; 320 с.
[45] Владимиров B.C. (ред.) Сборник задач по уравнениям
математической физики. 3-е изд. Физматлит, М., 2001; 288 с.
[46] Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его
приложения к механике сплошной среды. Вуз. кн., М., 2000; 316 с.
[47] Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.
ГИФМЛ, М., 1961; 408 с.
[48] Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. Наука, М., 1967;
416 с.
[49] Галеев Э.М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи. УРСС, М., 2002;
302 с.
[50] Гамелин Т. Равномерные алгебры. Мир, М., 1973; 334 с.
[51] Гельбаум В., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Мир, М., 1967;
252 с.
[52] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. В. 4.
Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы
пространства. ГИФМЛ, М., 1961; 465 с.
[53] Гельфанд И.М., Райков Д.Α., Шилов Г.Е. Коммутативные
нормированные кольца. Физматлит, М., 1960; 316 с.
[54] Гельфанд И.М., Фомин СВ. Вариационное.исчисление. Физматгиз,
М., 1961; 228 с.
[55] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над
ними. В. 1. 2-е изд. ГИФМЛ, М., 1959; 472 с.
[56] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над
ними. В. 2. Пространства основных и обобщенных функций. ГИФМЛ,
М., 1958; 308 с.
[57] Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных
задач. Изд-во МГУ, М., 1970; 119 с.
[58] Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. Наука,
М., 1969; 475 с.
[59] Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения.
Вища школа, Киев, 1989; 348 с.
[60] Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с
обобщенными производными и квазиконформные отображения. Наука, М.,
1983; 285 с.
[61] Городецкий В.В., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Методы решения
задач по функциональному анализу. Выща школа, Киев, 1990; 479 с.
[62] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. ИЛ, М.,
1963; 312 с.
[63] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов. Наука, М., 1965; 448 с.
[64] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в
гильбертовом пространстве и ее приложения. Наука, М., 1967; 508 с.
[65] Грибанов Ю.И. Функциональный анализ в упражнениях и задачах.
Ч. I. Метрические пространства. Казанский гор. у-т, Казань, 1970; 54 с.
[66] Гуревич А.П., Зеленко Л.Б. Сборник заданно функциональному анаг
лизу. Изд-во Саратовского гос. ун-та, Сайтов, 1987; 108 с.
[67] Данилин А.Р. Функциональный анализ. Йзд-во Уральского ун-та,
Екатеринбург, 2007; 187 с.

688
Литература
Данфорд Η., Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория. ИЛ,
М., 1962; 896 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. П. Спектральная
теория. Мир, М., 1966; 1063 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. III. Спектральные
операторы. Мир, М., 1974; 663 с.
Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Изд-во ЛГУ,
Л., 1977; 184 с.
Дерр В.Я. Теория функций действительной переменной. Лекции и
упражнения. Высш. шк., М., 2008; 384 с.
Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. Наука, М., 1974; 400 с.
Дирак П. Принципы квантовой механики. Наука, М., 1979; 480 с.
Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Вища школа, Киев,
1980; 216 с.
Диткин В.Α., Прудников А.П. Операционное исчисление. 2-е изд.
Высш. шк., М., 1975; 408 с.
Дороговцев А.Я. Математический анализ. Сборник задач. Вища
школа, Киев, 1987; 408 с.
Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Введение в теорию обобщенных
функций. Лекционные курсы НОЦ. Матем. Ин-т РАН им. В.А. Стек-
лова, М., 2006; 162 с.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. Мир, М., 1964; 431 с.
Дэй М.М. Нормированные линейные пространства. ИЛ, М., 1961;
233 с.
Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М. Математический
анализ (специальные разделы). Ч. 2: Применение некоторых методов
математического и функционального анализа. Высш. шк., М., 1980;
295 с.
Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г.,
Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (Справочная
математическая библиотека.) Наука, М., 1968; 448 с.
Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ. Наука, М.,
1974; 487 с.
Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.
Наука, М., 1974; 400 с.
Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. Мир, М., 1965; 616 с,
538 с.
Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1, 2. Наука, М., 1981, 1984;
544 с, 640 с.
Иосида К. Функциональный анализ. Мир, М., 1967; 624 с.
Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьковский нац. ун-т,
Харьков, 2006; 608 с.
Кадец В.М., Кадец М.И. Перестановки рядов в пространствах Банаха.
Тартуский гос. ун-т, Тарту, 1988; 196 с. (англ. пер.: Birkhauser, 1997).
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах. Физматгиз, М., 1959; 684 с.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, М.,
1977; 744 с.
Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ
в полуупорядоченных пространствах. Гостехиздат, М.-Л., 1950; 548 с.

Литература
689
[93] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы. Мир, М., 1971; 392 с.
[94] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. Мир, М., 1972; 740 с.
[95] Кашин Б.С, Саакян А.А. Ортогональные ряды. Наука, М., 1984; 496 с.
[96] Келли Дж.Л. Общая топология. Наука, М., 1968; 384 с.
[97] Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с
приложениями в технике. Мир, М., 1978; 520 с.
[98] Кириллов А.А., Гвипшани А.Д. Теоремы и задачи функционального
анализа. Наука, М., 1979; 384 с.
[99] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. Наука, М., 1988; 280 с.
[100] Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С, Дуйт К. ван, Пахтер Б. де.
Однопараметрические полугруппы. Мир, М., 1992; 352 с.
[101] Князев П.Н. Функциональный анализ. 2-е изд. Едиториал УРСС, М.,
2003; 208 с.
[102] Кованько А.С., Соколов И.Г. Теория функций действительного
переменного и основы функционального анализа. Изд. Львовского ун-та,
Львов, 1961; 404 с.
[103] Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.
Мир, М., 1969; 447 с.
[104] Колмогоров А.Н. Лекции по курсу «Анализ-Ш». МГУ, М., 1946-1947.
[105] Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и
функционального анализа. 4-е изд. Наука, М., 1976; 544 с.
[106] Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. ГИФМЛ,
М., 1959; 212 с.
[107] Короткое В.Б. Интегральные операторы. Наука, Новосибирск, 1983;
224 с.
[108] Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. 2-е изд.
КомКнига, М., 2006; 304 с.
[109] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные
уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. 4-е изд. КомКнига,
М., 2007; 192 с.
[110] Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных
интегральных уравнений. ГИТТЛ, М., 1956; 392 с.
[111] Красносельский М.А. Положительные решения операторных
уравнений. ГИФМЛ, М., 1962; 396 с.
[112] Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б.,
Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений.
Наука, М., 1969; 456 с.
[113] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы
нелинейного анализа. Наука, М., 1975; 512 с.
[114] Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И.,
Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых
функций. Наука, М., 1966; 500 с.
[115] Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные
линейные системы: метод положительных операторов. Наука, М., 1985;
256 с.
[116] Красносельский М.А., Рутицкий М.А. Выпуклые функции и
пространства Орлича. ГИФМЛ, М., 1958; 272 с.
[117] Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. Наука,
М., 1971; 104 с.

690 Литература
118] Крейн С.Г. (ред.) Функциональный анализ. (Справочная
математическая библиотека.) 2-е изд. Наука, Физматлит, М., 1972; 544 с.
119] Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных
операторов. Наука, М., 1978; 400 с.
120] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 3: Гармонический
анализ. Элементы функционального анализа. 5-е изд. Дрофа, М.,
2006; 351 с.
121] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник
задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких
переменных. 2-е изд. Физматлит, М., 2003; 469 с.
122] Кузнецова Т.Α., Кузнецов В.Н. Функциональный анализ и
полугруппы операторов. Саратов, гос. техн. ун-т, Саратов, 2001; 143 с.
123] Куратовский К. Топология. Т. 1. Мир, М., 1966; 595 с.
124] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд. Наука, М., 1973; 400 с.
125] Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением
доказательства Волффа теоремы о короне. Мир, М., 1984; 364 с.
126] Кусраев А.Г. Мажорируемые операторы. Наука, М., 2003; 620 с.
127] Кусраев А.Г., Кутателадзе СС Субдифференциальное исчисление.
Теория и приложения. Наука, М., 2005; 529 с.
128] Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа. 5-е изд. Изд-во
Ин-та математики, Новосибирск, 2006; xii+356 с.
129] Кутателадзе С.С, Рубинов A.M. Двойственность Минковского и ее
приложения. Наука, Новосибирск, 1976; 256 с.
130] Кшевецкий СП. Численные методы и введение в функциональный
анализ. Изд-во Рос. гос. ун-та им. И. Канта, Калининград, 2007; 209 с.
131] Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные
задачи. Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 1999; 702 с.
132] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. 5-е изд. Наука, М., 1987; 688 с.
133] Леоедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика.
4-е изд. Наука. Физматлит, М., 2005; 296 с.
134] Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций
и его применение в математике и экономике. Наука, М., 1985; 352 с.
135] Леонтьева Т.А., Панферов B.C., Серов B.C. Задачи по теории
функций действительного переменного. Изд-во МГУ, М., 1997; 208 с.
136] Луговая Г.Д., Шерстнев А.Н. Функциональный анализ: специальные
курсы. Изд-во ЛКИ, М., 2008; 256 с.
137] Лукашенко Т.П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций,
суммируемых с квадратом. Изд-во МГУ, М., 1978; 111 с.
138] Люлько Н.А., Максимова О.Д., Ляпидевский В.Ю. Функциональный
анализ. Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2005; 136 с.
139] Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления.
2-е изд., перераб. Гостехиздат, М.-Л., 1950; 296 с.
140] Люстерник Л.Α., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.
2-е изд. Наука, М., 1965; 520 с.
141] Люстерник Л.Α., Соболев В.И. Краткий курс функционального
анализа. Высш. шк., М., 1982; 272 с.
142] Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985; 416 с.
143] Мазья В.Г., Шапошникова Т. Мультипликаторы в пространствах
Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1986; 404 с.

Литература 691
144] Макаров А.П. Введение в функциональный анализ. Череповец, гос.
ун-т, Череповец, 2005; 116 с.
145] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин Α.Α., Подкорытов А.Н.
Избранные задачи по вещественному анализу. Наука, М., 1992; 432 с. (2-е изд.:
Невский диалект, С-Петербург, 2004; 624 с).
146] Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики.
Мир, М., 1965; 222 с.
147] Мартиросян P.M. Дополнительные главы математического анализа.
Элементы функционального анализа в задачах. Ч. I, П. Изд-во
Ереванского ун-та, Ереван, 1980, 1983; 155 с, 296 с.
148] Маслов В.П. Операторные методы. Наука, М., 1973; 544 с.
149] Мёрфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. Факториал, М., 1997;
336 с.
150] Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. Мир, М.,
1977; 504 с.
151] Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных
функций. Вып. I, П. ИЛ, М., 1959, 1963; 79 с, 69 с.
152] Мисюркеев И.В. Введение в нелинейный функциональный анализ.
Пермский гос. ун-т, Пермь, 1968; 308 с.
153] Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Физ-
матгиз, М., 1959; 232 с.
154] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
уравнения. Физматгиз, М.-Л., 1962; 256 с.
155] Михлин С.Г. Курс математической физики. Наука, М., 1968; 576 с.
156] Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения
в теории упругости. Изд-во С.-Петербургского ун-та, С.-Петербург,
1994; 272 с.
157] Морен К. Методы гильбертова пространства. Мир, М., 1965; 571 с.
158] Муштари Д.Х. Вероятности и топологии в банаховых пространствах.
Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1989; 152 с.
159] Муштари Д.Х. Избранные теоремы теории банаховых пространств.
Казанское матем. об-во, Казань, 2002; 100 с.
160] Наймарк М.А. Нормированные кольца. 2-е изд. Наука, М., 1968; 664 с.
161] Наймарк М.А., Мартынов В.В. Функциональный анализ: лекции для
студентов 3 курса. МФТИ, Долгопрудный, 1970; 268 с.
162] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. ГТТИ,
М.-Л., 1950; 399 с. (3-е изд.: Наука, М., 1974; 480 с.)
163] Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. Наука,
М., 1964; 368 с.
164] Никольский СМ. Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения. Наука, М., 1977; 456 с.
165] Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.
Мир, М., 1977; 232 с.
166] Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. Мир, М.,
1988; 510 с.
167] Одинец В.П., Якубсон М.Я. Проекторы и базисы в нормированных
пространствах. 2-е изд. УРСС, М., 2004; 152 с.
168] Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций
действительного переменного. Просвещение, М., 1965; 231 с.

692 Литература
69] Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Просвещение,
М., 1981; 271 с.
70] Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их
применения к линейной топологической классификации пространств
непрерывных функций. Мир, М., 1970; 144 с.
71] Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. Мир, М., 1967;
266 с.
72] Пич А. Операторные идеалы. Мир, М., 1982; 536 с.
73] Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. Наука, М.,
1965; 624 с.
74] Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно
выпуклого анализа. Физматлит, М., 2004; 416 с.
75] Порошкин А.Г. Функциональный анализ. 2-е изд. Вуз. книга, М., 2007;
432 с.
76] Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. Мир, М.,
1979; 495 с.
77] Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. Изд-во МАИ, М.,
1996; 744 с.
78] Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч. П. Кн. 2. Изд-во
Ин-та матем. им. С.Л. Соболева, Новосибирск, 2001; 444 с.
79] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1.
Функциональный анализ. Мир, М., 1977; 359 с.
80] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2.
Гармонический анализ. Самосопряженность. Мир, М., 1978; 396 с.
81] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3.
Теория рассеяния. Мир, М., 1982; 445 с.
82] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4.
Анализ операторов. Мир, М., 1982; 430 с.
83] Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.
М., 1954 (2-е изд.: Мир, М., 1979; 589 с; 1-е франц. изд.: Budapest,
1952).
84] Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. 1.
Мир, М., 1982; 486 с.
85] Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные
пространства. Мир, М., 1967; 258 с.
86] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Мир, М., 1973; 470 с.
87] Рудин У. Основы математического анализа. Мир, М., 1976; 320 с.
88] Рудин У. Функциональный анализ. Мир, М., 1975; 445 с.
89] Садовничий В.А. Теория операторов. Высш. шк., М., 1999; 368 с.
90] Сакс С. Теория интеграла. ИЛ, М., 1949; 495 с.
91] Свиридюк Г.Α., Якупов М.М. Дополнительные главы
функционального анализа. Ч. I. Магнитогорский гос. ун-т, Магнитогорск, 2002; 78 с.
92] Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. Гостехиздат, М.-Л.,
1947; 584 с. (2-е изд. М., 1959).
93] Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и
его приложения. МГУ, М., 1979; 86 с.
94] Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического
анализа. Наука, М., 1968; 288 с.
95] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике. Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962; 255 с.

Литература
693
[196] Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. Наука, М., 1974;
808 с.
[197] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства
функций. Мир, М., 1973; 344 с.
[198] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах. Мир, М., 1974; 332 с.
[199] Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. Наука, М.,
1976; 328 с.
[200] Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. Мир, М., 1985; 472 с.
[201] Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного
переменного. Наука, М., 1980; 112 с.
[202] Терпугов А.Ф. Функциональный анализ. Томский гос. ун-т, Томск,
1982; 167 с.
[203] Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ГИТТЛ, М.-Л.,
1948; 479 с.
[204] Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. Изд-во
МГУ, М., 1976; 306 с.
[205] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.
3-е изд. Наука, М., 1986; 288 с.
[206] Тихонова А.А., Тихонов Н.А. Андрей Николаевич Тихонов. Собрание,
М., 2006; 240 с.
[207] Трев Ф. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с
постоянными коэффициентами. Мир, М., 1965; 296 с.
[208] Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и
интегральных операторов Фурье. Т. 1, 2. Мир, М., 1984; 360 с, 400 с.
[209] Треногий В.А. Функ1ЩОнальный анализ. 3-е изд., Физматлит, М., 2002;
488 с.
[210] Треногий В.Α., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и
упражнения по функциональному анализу. Наука, М., 1984; 256 с.
[211] Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства,
дифференциальные операторы. Мир, М., 1980; 664 с.
[212] Трибель X. Теория функциональных пространств. Мир, М., 1986;
448 с.
[213] Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И., Казарян К.С, Сифуэн-
тес П. Действительный анализ в задачах. Физматлит, М., 2005; 416 с.
[214] Фаге М.К. Теория линейных операторов. Изд-во Новосиб. гос. ун-та,
Новосибирск, 1972; 184 с.
[215] Федоров В.М. Курс функционального анализа. Лань, СПб., 2005;
352 с.
[216] Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные
конструкции. Изд-во МГУ, М., 1988; 252 с.
[217] Фелпс P.P. Лекции о теоремах Шоке. Мир, М., 1968; 112 с.
[218] Фет А.И. Задачи по функциональному анализу. Изд-во НГУ,
Новосибирск, 1968; 34 с.
[219] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Т. 1-3. 7-е изд. Наука, М., 1970.
[220] Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом
пространстве. Мир, М., 1969; 232 с.
[221] Халилов З.И. Основы функционального анализа. Изд. Азерб. гос.
унта, Баку, 1949; 169 с.

694
Литература
Халмош П. Теория меры. ИЛ, М., 1954; 292 с.
Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Мир, М., 1970; 352 с.
Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в
пространствах L2. Наука, М., 1985; 159 с.
Харда Г.Г., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. Физматгиз, М., 1959; 156 с.
Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории
операторов. Мир, М., 1983; 432 с.
Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая
теория, представления, гомологии. Наука, М., 1989; 464 с.
Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. МЦНМО, М.,
2004; 552 с.
Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с
частными производными. Т. 1-4. Мир, М., 1986-1988; 464 с, 456 с,
696 с, 448 с.
Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ, М., 1951; 635 с.
Хилле Э., Филлипс Р.С. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ,
М., 1962; 829 с.
Холево А.С. Статистическая структура квантовой теории. РХД,
Москва - Ижевск, 2003; 192 с.
Шварц Л. Применение обобщенных функций к изучению элементарых
частиц в релятивистской квантовой механике. Мир, М., 1964; 181 с.
Шварц Л. Математические методы для физических наук. Мир, М.,
1965; 412 с.
Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. Уни-
пресс & Казанское матем. об-во, Казань, 1998; 489 с.
Шефер X. Топологические векторные пространства. Мир, М., 1975;
359 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. Физматлит,
М., 1961; 436 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.
Наука, М., 1965; 328 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного.
Ч. 3. Наука, М., 1970; 352 с.
Ширяев А.Н. Задачи по теории вероятностей. МЦНМО, М., 2006;
416 с.
Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная
теория. Наука, М., 1978; 280 с.
Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций.
Науч. книга, Новосибирск, 2002; 206 с.
Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. Мир, М.,
1969; 1071 с.
Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1, 2. Мир, М.,
1985; 262 е., 400 с.
Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.
Мир, М., 1979; 400 с.
Энгелькинг Р. Общая топология. Мир, М., 1986; 752 с.
Abramovich Υ.Α., Aliprantis CD. An invitation to operator theory. Amer.
Math. Soc, Providence, Rhode Island, 2002; xiv-|-530 p.
[248] Abramovich Y.A., Aliprantis CD. Problems in operator theory. Amer.
Math. Soc, Providence, Rhode Island, 2002; xii+386 p.

Литература 695
[249] Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. Quantum theory and its stochastic
limit. Springer, New York, 2002; 493 p.
[250] Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975; 268 p.
(2nd ed.: Adams R.A., Fournier J.J.F. Academic Press, New York, 2003;
xiii+305 p.)
[251] Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach space theory. Springer, New
York, 2006; xii+373 p.
[252] Alfsen E.M. Compact convex sets and boundary integrals. Springer-
Verlag, Berlin - New York, 1971; 210 p.
[253] Aliprantis CD., Border K.C. Infinite-dimensional analysis. A hitchhiker's
guide. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 1999; xx+672 p.
[254] Aliprantis CD., Burkinshaw O. Locally solid Riesz spaces with
applications to economics. 2nd ed. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode
Island, 2003; xii+344 p.
[255] Aliprantis C.D., Burkinshaw O. Positive operators. Academic Press,
Orlando, Florida, 1985; xvi+367 p.
[256] Aliprantis CD., Burkinshaw O. Problems in real analysis. A workbook
with solutions. 2nd ed. Academic Press, San Diego, California, 1999;
viii+403 p.
[257] Alt H.W. Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte
Einfiihrung. 5e Aufl. Springer, Berlin, 2006; xiv+431 S.
[258] Amann H., Escher J. Analysis III. Birkhauser, Basel - Boston - Berlin,
2001; 480 S.
[259] Amerio L. Analisi matematica con elementi di analisi funzionale. V. III.
Methodi matematici e applicazioni. Parte I. Unione Tipografico - Editrice
Torinese, Turin, 1981; viii+418 p.
[260] Ansel J.-P., Ducel Y. Exercices corriges en theorie de la mesure et de
Pintegration. Ellipses, Paris, 1995; 126 p.
[261] Appell J., Vath M. Elemente der Funktionalanalysis. Vektorraume,
Operatoren und Fixpunktsatze. Vieweg, Wiesbaden, 2005; xvi-f 349 S.
[262] Arias de Reyna J. Point wise convergence of Fourier series. Lecture Notes
in Math. V. 1785. Springer-Verlag, Berlin, 2002; xviii+175 p.
[263] Arino O., Delode C, Genet J. Mesure et integration exercices et problemes
avec solutions. Vuibert, Paris, 1976; 239 p.
[264] Artemiadis N.K. Real analysis. Southern Illinois University Press, Car-
bondale; Feffer & Simons, London - Amsterdam, 1976; xii+581 p.
[265] Arveson W. A short course on spectral theory. Springer-Verlag, New York,
2002; x+135 p.
[266] Atkinson K., Han W. Theoretical numerical analysis. A functional analysis
framework. 2nd ed. Springer, New York, 2005; xviiiH-576 p.
[267] Aubin J.-P. Applied functional analysis. With exercises by Bernard Cornet
and Jean-Michel Lasry. 2nd ed. Wiley-Interscience, New York, 2000;
xviii-f 495 p.
[268] Aupetit B. A primer on spectral theory. Springer-Verlag, New York, 1991;
xii+193 p.
[269] Avanissian V. Initiation a Panalyse fonctionnelle. Presses Universitaires
de France, Paris, 1996; xiv+546 p.
[270] Bachman G., Narici L. Functional analysis. Academic Press, New York -
London, 1966; xiv+530 p.

696
Литература
[271] Baggett L.W. Functional analysis. A primer. Marcel Dekker, New York,
1992; xii+267 p.
[272] Barros-Neto J. An introduction to the theory of distributions. Marcel
Dekker, New York, 1973; ix+221 p.
[273] Bass J. Cours de mathematiques. T. Ill: Topologie, integration,
distributions, equations integrates, analyse harmonique. Masson et Cie, Paris,
1971; 405 p.
[274] Beauzamy B. Introduction to Banach spaces and their geometry. 2nd ed.
North-Holland, Amsterdam, 1985; xv+338 p.
[275] Beauzamy B. Introduction to operator theory and invariant subspaces.
North-Holland, Amsterdam, 1988; xiv+358 p.
[276] Bennett C, Sharpley R. Interpolation of operators. Academic Press,
Boston, 1988; xiv+469 p.
[277] Benoist J., Salinier A. Exercices de calcul integral: avec rappels de cours.
Masson, Paris, 1997; ix+212 p.
[278] Benyamini Y., Lindenstrauss J. Geometric nonlinear functional analysis.
Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, 2000; 488 p.
[279] Berberian S.K. Lectures in functional analysis and operator theory.
Springer-Verlag, New York - Heidelberg, 1974; ix+345 p.
[280] Berger M.S. Nonlinearity and functional analysis. Lectures on nonlinear
problems in mathematical analysis. Academic Press, New York - San
Francisco - London, 1977; xix+417 p.
[281] Bertrandias J.-P. Mathematiques pour l'informatique. 1: Analyse
fonctionnelle. Librairie Armand Colin, Paris, 1970; 230 p.
[282] Bessaga C, Pelczynski A. Selected topics in infinite-dimensional topology.
Polish Scientific Publ., Warszawa, 1975; 353 p.
[283] Blackadar B. Operator algebras. Theory of C*-algebras and von Neumann
algebras. Springer-Verlag, Berlin, 2006; xx+517 p.
[284] Blecher D.P., Le Merdy C. Operator algebras and their modules — an
operator space approach. Oxford Science Publications, The Clarendon
Press, Oxford University Press, Oxford, 2004; x+387 p.
[285] Bobrowski A. Functional analysis for probability and stochastic
processes. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge, 2005;
xii+393 p.
[286] Boccara N. Functional analysis. An introduction for physicists. Academic
Press, Boston, 1990; xiv+327 p.
[287] Bollob&s B. Linear analysis. An introductory course. 2nd ed. Cambridge
University Press, Cambridge, 1999; xii+240 p.
[288] Bonic R.A. Linear functional analysis. Gordon and Breach Science Publ.,
New York - London - Paris, 1969; xiv+124 p.
[28Q] Bonsall F.F., Duncan J. Complete normed algebras. Springer-Verlag, New
г York - Heidelberg, 1973; x+301 p.
[290] Bouyssel M. Integrate de Lebesgue. Mesure et integration. Exercices avec
* solutions et rappels de cours. Cepadues-editions, Toulouse, 1997; 383 p.
[291] Bratteli O., Robinson D.W. Operator algebras and quantum statistical
^ mechanics. V. 2. 2nd ed. Springer, Berlin, 1997; xiv+519 p.
[2f92] Brezis H. Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de
contractions dans les espaces de Hilbert. North-Holland, Amsterdam-
London; American Elsevier, New York, 1973; vi+183 p.

Литература 697
[293] Brezis H. Analyse fonctionnelle. Theorie et applications. Masson, Paris,
1983; xiv+234 p.
[294] Bridges D.S. Foundations of real and abstract analysis. Springer-Verlag,
New York, 1998; xiv+322 p.
[295] Brown A.L., Page A. Elements of functional analysis. Van Nostrand
Reinhold, London - New York - Toronto, 1970; xi+394 p.
[296] Brown Α., Pearcy C. Introduction to operator theory. I. Elements of
functional analysis. Springer-Verlag, New York - Berlin - Heidelberg,
1977; xiv+474 p.
[297] Bruckner A.M., Bruckner J.B., Thomson B.S. Real analysis. Prentice-Hall,
1997; 713 p.
[298] Burg K., Haf H., Wille F. Hohere Mathematik fur Ingenieure. B. V:
Funktionalanalysis und partielle DifFerentialgleichungen. B.G. Teubner,
Stuttgart, 1991; xviii+446 S.
[299] Capinski M., Zastawniak T. Probability through problems.
Springer-Verlag, New York, 2001; viii+257 p.
[300] Carl В., Stephani I. Entropy, compactness and the approximation of
operators. Cambridge University Press, Cambridge, 1990; x-h277 p.
[301] Carothers N.L. A short course on Banach space theory. Cambridge
University Press, Cambridge, 2005; xii+184 p.
[302] Casazza P.G., Shura T.J. TsirePson's space. Lecture Notes in Math.
V. 1363. Springer-Verlag, Berlin, 1989; viii+204 p.
[303] Cheney W. Analysis for applied mathematics. Springer-Verlag, New York,
2001; viii+444 p.
[304] Chernoff P.R. Product formulas, nonlinear semigroups, and addition of
unbounded operators. Mem. Amer. Math. Soc, N 140. Amer. Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 1974; v+121 p.
[305] Choquet G. Lectures on analysis. V. I: Integration and topological vector
spaces. W.A. Benjamin, New York - Amsterdam, 1969; xx-f360-fxxi p.
[306] Choquet-Bruhat Y. Distributions. Masson et Cie, Paris, 1973; x+232 p.
[307] Choudhary В., Nanda S. Functional analysis with applications. John
Wiley & Sons, New York, 1989; xii+344 p.
[308] Christensen J.P.R. Topology and Borel structure. North-Holland,
Amsterdam - London, Amer. Elsevier, New York, 1974; 133 p.
[309] Cioranescu I. Geometry of Banach spaces, duality mappings and nonlinear
problems. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1990; xiv+260 p.
[310] Connes A. Noncommutative geometry. Academic Press, London, 1994;
xiv+661 p.
[311] Conway J.B. A course in functional analysis. 2nd ed. Springer-Verlag, New
York, 1990; xvi+399 p.
[312] Conway J.B. The theory of subnormal operators. Amer. Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 1991; xvH-436 p.
[313] Conway J.B. A course in operator theory. Amer. Math. Soc., Providence,
Rhode Island, 2000; xvi+372 p.
[314] Costara C, Popa D. Exercises in functional analysis. Kluwer Academic
Publ., Dordrecht, 2003; x+451 p.
[315] Cotlar M., Cignoli R. An introduction to functional analysis. North-
Holland, Amsterdam - London; 1974; xiv-f 585 p.
[316] Cryer C.W. Numerical functional analysis. The Clarendon Press, Oxford
University Press, New York, 1982; iv+417+151 p.

698
Литература
[317] Davies E.B. One-parameter semigroups. Academic Press, London - New
York, 1980; viiiH-230 p.
[318] Davies E.B. Linear operators and their spectra. Cambridge University
Press, Cambridge, 2007; xii+451 p.
[319] Davis M. A first course in functional analysis. Gordon and Breach, New
York - London - Paris, 1966; xii+110 p.
[320] Debnath L., Mikusinski P. Introduction to Hubert spaces with
applications. 2nd ed. Academic Press, San Diego, California, 1999; xx+551 p.
[321] Defant Α., Floret K. Tensor norms and operator ideals. North-Holland,
Amsterdam, 1993; xii+566 p.
[322] Deimling K. Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1985;
xiv+450 p.
[323] Denkowski Z., Migorski S., Papageorgiou N.S. An introduction to
nonlinear analysis: theory. Kluwer Academic Publ., Boston, 2003; xvi+689 p.
[324] Deville R., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renormings in Banach
spaces. Longman Scientific & Technical, Harlow; John Wiley & Sons, New
York, 1993; xii+376 p.
[325] DeVito C.L. Functional analysis and linear operator theory. Addison-
Wesley Publishing Company, Redwood City, CA, 1990; x+358 p.
[326] DiBenedetto E. Real analysis. Birkhauser, Boston, 2002; xxiv+485 p.
[327] Diestel J. Sequences and series in Banach spaces. Springer, Berlin - New
York, 1984; xi+261 p.
[328] Diestel J., Uhl J.J. Vector measures. Amer. Math. Soc., Providence, 1977;
xiii+322 p.
[329] Dieudonne J. History of functional analysis. North-Holland, Amsterdam
- New York, 1981; vi+312 p.
[330] Douglas R.G. Banach algebra techniques in operator theory. 2nd ed.
Springer-Verlag, New York, 1998; xvi+194 p.
[331] Dowson H.R. Spectral theory of linear operators. Academic Press, London
- New York, 1978; xii+422 p.
[332] Dudley R.M. Real analysis and probability. Wadsworth & Brooks, Pacific
Grove, California, 1989; xii+436 p.
[333] Dulst D. van. Reflexive and superreflexive Banach spaces. Mathematisch
Centrum, Amsterdam, 1978; v+273 p.
[334] Duoandikoetxea J. Fourier analysis. American Math. Soc, Providence,
Rhode Island, 2001; xviii+222 p.
[335] Duren P., Schuster A. Bergman spaces. Amer. Math. Soc, Providence,
Rhode Island, 2004; x+318 p.
[336] Edmunds D.E., Kokilashvili V., Meskhi A. Bounded and compact integral
operators. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2002; xvi+643 p.
[337] Effros E.G., Ruan Z.-J. Operator spaces. Clarendon Press, Oxford, 2000;
xvi+363 p.
[338] Egle K. Elemente der Funktionalanalysis. Verlag Anton Hain, Konigstein,
1980; 187 S.
[339] Eidelman Y., Milman V., Tsolomitis A. Functional analysis. An
introduction. Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, 2004; xvi+323 p.
[340] Engel K.-J., Nagel R. A short course on operator semigroups. Springer,
New York, 2006; x+247 p.
[341] Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution
equations. Springer-Verlag, New York, 2000; xxii+586 p.

Литература
699
[342] Epstein В. Linear functional analysis. Introduction to Lebesgue
integration and infinite-dimensional problems. W.B. Saunders, Philadelphia -
London - Toronto, 1970; x+229 p.
[343] Fabian M., Habala P., Hajek P., Montesinos Santalucia V., Pelant J.,
Zizler V. Functional analysis and infinite-dimensional geometry. Springer-
Verlag, New York, 2001; x-f 451 p.
[344] Fenyo S., Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen.
B. 1-4. Birkhauser, Basel, 1982-1984; 328 S., 376 S., 548 S., 708 S.
[345] Fetter H., Gamboa de Buen B. The James forest. With a foreword
by Robert d James and a prologue by Bernard Beauzamy. Cambridge
University Press, Cambridge, 1997; xii+255 p.
[346] Fichera G. Lezioni sulle trasformazioni lineaxi. V. I. Introduzione all'analisi
lineare. Istituto Matematico, University, Trieste, 1954; xvii-f 502-fiv p.
[347] Fillmore P.A. A user's guide to operator algebras. John Wiley & Sons,
New York, 1996; xiv+223 p.
[348] Fleming R.J., Jamison J.E. Isometries on Banach spaces: function spaces.
Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2003; x-f 197 p.
[349] Folland G.B. Real analysis: modern techniques and their applications. 2nd
ed. Wiley, New York, 1999; xiv+386 p.
[350] Fremlin D. Measure theory. V. 1-5. University of Essex, Colchester, 2003.
[351] Friedlander F.G. Introduction to the theory of distributions. Cambridge
University Press, Cambridge, 1982; vii-f 157 p.
[352] Fuchssteiner В., Laugwitz D. Funktionalanalysis. Bibliographisches Insti-
tut, Mannheim - Vienna - Zurich, 1974; 219 S.
[353] Garnir H.G., De Wilde M., Schmets J. Analyse fonctionnelle. Τ. Ι-ΙΙΙ.
Birkhauser Verlag, Basel-Stuttgart, 1968,1972,1973; 562 p., 287 p., 375 p.
[354] Garsia A.M. Topics in almost everywhere convergence. Markham Publ.,
Chicago, 1970; x+154 p.
[355] Garsoux J. Espaces vectoriels topologiques et distributions. Dunod, Paris,
1963; xiii+324 p.
[356] Gelbaum B. Problems in real and complex analysis. Springer, New York,
1992; x+488 p.
[357] George C. Exercises in integration. Springer-Verlag, Berlin - New York,
1984; 550 p.
[358] Giles J.R. Introduction to the analysis of normed linear spaces. Cambridge
University Press, Cambridge, 2000; xiv+280 p.
[359] Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. Van Nostrand,
Princeton - New York, I960; ix-f 300 p.
[360] Goffman C, Pedrick G. First course in functional analysis. Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, 1965; xi-f 282 p.
[361] Gohberg I., Goldberg S. Basic operator theory. Birkhauser, Boston, 1981;
xiii+285 p.
[362] Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M.A. Basic classes of linear operators.
Birkhauser Verlag, Basel, 2003; xviii+423 p.
[363] Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M.A. Classes of linear operators. V. I,
II. Birkhauser Verlag, Basel, 1990, 1993; xiv+468 p., x+552 p.
[364] Gohberg I., Goldberg S., Krupnik N. Traces and determinants of linear
operators. Birkhauser Verlag, Basel, 2000; x-f 258 p.
[365] Goldberg S. Unbounded linear operators: Theory and applications.
McGraw-Hill, New York - Toronto - London, 1966; viii-f 199 p.

700
Литература
Gonnord S., Tosel N. Topologie et analyse fonctionnelle. Themes d'analyse
pour l'agregation. Ellipses, Paris, 1996; 160 p.
Gopfert Α., Riedrich Th. Funktionalanalysis. 4e Aufl. B. G. Teubner
Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 1994; 136 S.
Gostiaux B. Cours de mathematiques speciales. Tome 3: Analyse
fonctionnelle et calcul differentiel. Presses Universitaires de France, Paris,
1993; viii+443 p.
Grafakos L. Classical and modern Fourier analysis. Pearson/Prentice Hall,
2004; 859 p.+appendices.
Granas Α., Dugundji J. Fixed point theory. Springer, New York, 2003;
xv+690 p.
Griffel D.H. Applied functional analysis. Rev. repr. of the 1985 ed. Dover
Publications, Mineola, New York, 2002; 390 p.
Groetsch Ch.W. Elements of applicable functional analysis. Marcel
Dekker, New York, 1980; x+300 p.
Grossmann S. Funktionalanalysis. Β. Ι,ΙΙ: Im Hinblick auf Anwendungen
in der Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main, 1970;
xv+158 S., xi+157 S.
Grothendieck A. Topological vector spaces. Gordon and Breach, New York
- London - Paris, 1973; x+245 p.
Guerre-Delabriere S. Classical sequences in Banach spaces. Marcel Dekker,
New York, 1992; xvi+207 p.
Ha D.M. Functional analysis. V. 1: a gentle introduction. Matrix Editions,
Ithaca, New York, 2006; xvi+640 p.
Hansen V.L. Functional analysis. Entering Hilbert space. World Scientific
Publ., Hackensack, New Jersey, 2006; x+136 p.
Hedenmalm H., Korenblum В., Zhu K. Theory of Bergman spaces.
Springer-Verlag, New York, 2000; x+286 p.
Heine J. Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten
Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, Miinchen, 2002; x-f 745 S.
Helmberg G. Introduction to spectral theory in Hilbert space. North-
Holland, Amsterdam - London; John Wiley & Sons, New York, 1969;
xiii+346 p.
Hengartner W., Lambert M., Reischer C. Introduction a l'analyse
fonctionnelle. Presses de l'Universite du Quebec, Montreal, 1981; v+538 p.
Herve M. Transformation de Fourier et distributions. Presses
Universitaires de France, Paris, 1986; 182 p.
Heuser H. Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 3e Aufl., B.G.
Teubner, Stuttgart, 1992; 696 S.; англ. пер/. Functional analysis. John
Wiley & Sons, Chichester, 1982; xv+408 p.
Hewitt E., Stromberg K. Real and abstract analysis. Englewood Springer,
Berlin - New York, 1975; x+476 p.
Hille E. Methods in classical and functional analysis. Addison-Wesley,
Reading, 1972; ix+486 p.
Hirsch F., Lacombe G. Elements d'analyse fonctionnelle. Masson, Paris,
1997; x+340 p.; англ. пер.: Elements of functional analysis. Springer-
Verlag, New York, 1999; xiv+393 p.
Hirzebruch F., Scharlau W. Einfuhrung in die Funktionalanalysis. Reprint
of the 1971 original. B.I.-Hochschultaschenbucher Bibliographisches
Institut, Mannheim, 1991; 178 S.

Литература 701
Holmes R.B. Geometric functional analysis and its applications. Springer-
Verlag, New York - Heidelberg, 1975; x+246 p.
Horvath J. Topological vector spaces and distributions. V. I. Addison-
Wesley, Reading - London - Don Mills, 1966; xii+449 p.
Hunter J.K., Nachtergaele B. Applied analysis. World Scientific Publ.,
River Edge, New Jersey, 2001; xiv+439 p.
Istrajescu V.I. Introduction to linear operator theory. Marcel Dekker, New
York, 1981; xii+579 p.
Jain P.K., Ahuja O.P., Ahmad Kh. Functional analysis. New Age
International, New Delhi, 1995; x+326 p.
Jantscher L. Distributionen. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1971;
367 S.
Jantscher L. Hilbertraume. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden,
1977; 294 S.
Jarchow H. Locally convex spaces. B.G. Teubner, Stuttgart, 1981; 548 p.
Johnson W.B., Lindenstrauss J. (ed.) Handbook of the geometry of Banach
spaces. V. I, II. North-Holland, Amsterdam, 2001, 2003; x+1005 p.,
xii+1007-1866 p.
J0rboe O.G., Mejlbro L. The Carleson-Hunt theorem on Fourier series.
Lecture Notes in Math. V. 911. Springer, Berlin - New York, 1982; 123 p.
Jorgens K. Linear integral operators. Pitman, Boston - London, 1982;
x+379 p.
Joshi M.C., Bose R.K. Some topics in nonlinear functional analysis. Wiley
Eastern, New Delhi, 1985; 311 p.
Jost J. Postmodern analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1998; xviii+353 p.
Kaczor W.J., Nowak M.T. Problems in mathematical analysis III:
integration. Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, 2003; 356 p.
Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the theory of operator
algebras. V. I. Elementary theory. Reprint of the 1983 original. Amer.
Math. Soc, Providence, Rhode Island, 1997; xvi+398 p.
Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the theory of operator
algebras. Vol. II. Advanced theory. Corrected reprint of the 1986 original.
Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, 1997; i-xxii+676 p.
Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the theory of operator
algebras. Vol. III. Special topics. Elementary theory - an exercise
approach. Birkhauser Boston, Boston, 1991; xiv+273 p.
Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the theory of operator
algebras. Vol. IV. Special topics. Advanced theory - an exercise approach.
Birkhauser Boston, Boston, 1992; i-xv+586 p.
Kalton N.J., Peck N.T., Roberts J.W. An F-space sampler. Cambridge
University Press, Cambridge, 1984; xii+240 p.
Kahiza R. The life of Stefan Banach. Through a reporter's eyes. Birkhauser
Boston, Boston, 1996; x+137 p.
Kantorovitz S. Introduction to modern analysis. Oxford University Press,
New York, 2003; xii+434 p.
Kanwal R.P. Generalized functions. Theory and applications. 3d ed.
Birkhauser Boston, Boston, 2004; xviii+476 p.
Katznelson Y. An introduction to harmonic analysis. 2nd ed. Dover Publ.,
New York, 1976; xiv+264 p.
Kelley J.L., Namioka I. Linear topological spaces. 2nd ed. Springer-Verlag,
New York - Heidelberg, 1976; xv+256 p.

702
Литература
[412] Kesavan S. Topics in functional analysis and applications. John Wiley &
Sons, New York, 1989; xii+267 p.
[413] Kesavan S. Nonlinear functional analysis. A first course. Hindustan Book
Agency, New Delhi, 2004; x+176 p.
[414] Khatskevich V., Shoiykhet D. Differentiable operators and nonlinear
equations. Birkhauser, Basel, 1994; x+280 p.
[415] Kirk W.A., Sims B. (eds.) Handbook of metric fixed point theory. Kluwer
Academic PubL, Dordrecht, 2001; xiv+703 p.
[416] Komornik V. Precis d'analyse reelle. T. 2: Analyse fonctionnelle, integrate
de Lebesgue, espaces fonctionnels. Ellipses, Paris, 2002; viii-f 248 p.
[417] Konig H. Eigenvalue distribution of compact operators. Birkhauser Verlag,
Basel, 1986; 262 p.
[418] Korevaar J. Mathematical methods. V. I: linear algebra, normed spaces,
distributions, integration. Academic Press, London, 1968; x+505 p.
[419] Kothe G. Topological vector spaces. V. I, II. Springer-Verlag, New York,
1969, 1979; xv+456 p., xii+331 p.
[420] Krengel U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin - New York,
1985; 357 p.
[421] Kress R. Linear integral equations. 2nd ed. Springer, New York, 1999;
xiv-f 365 p.
[422] Kreyszig E. Introductory functional analysis with applications. John Wiley
& Sons, New York, 1989; xvi+688 p.
[423] Krishnan V.K. Textbook of functional analysis. A problem-oriented
approach. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2001; x-f 394 p.
[424] Kubrusly C.S. Elements of operator theory. Birkhauser Boston, Boston,
2001; xiv+527 p.
[425] Kubrusly C.S. Hilbert space operators. A problem solving approach.
Birkhauser Boston, Boston, 2003; xvi+149 p.
[426] Kufner Α., Kadlec J. Fourier series. Iliffe Books, London, 1971; 13+358 p.
[427] Kuhner E., Lesky P. Grundlagen der Funktionalanalysis und Approxima-
tionstheorie. Vandenhoeck & Ruprecht, Gottingen, 1977; 216 S.
[428] Lacey H.E, The isometric theory of classical Banach spaces. Springer-
Verlag, Berlin - New York, 1974; x+270 p.
[429] Lacombe G., Massat P. Analyse fonctionnelle. Exercices corriges. Dunod,
Paris, 1999; 356 p.
[430] Lahiri B.K. Elements of functional analysis. 6th ed. World Press, Calcutta,
2005; xvi+559 p.
[431] Lang S. Real and functional analysis. 3d ed. Springer, New York, 1993;
xiv+580 p.
[432] Larsen R. Functional analysis: an introduction. Marcel Dekker, New York,
1973; xii+497 p.
[433] Lax P.D. Functional analysis. John Wiley & Sons, New York, 2002;
xx+580 p.
[434] Lelong P. Introduction a. l'analyse fonctionnelle. I: Espaces vectoriels
topologiques. Les cours de Sorbonne. Centre de Documentation
Universitaire, Paris, 1971; ii+230 p.
[435] Letac G. Exercises and solutions manual for "Integration and probability"
by Paul Malliavin. Springer-Verlag, New York, 1995; viii-fl42 p.
[436] Li D., Queffelec H. Introduction a. Petude des espaces de Banach. Soc.
Math, de France, Paris, 2004; xxiv+627 p.

Литература
703
[437] Limaye B.V. Functional analysis. 2nd ed. New Age International Publ.,
New Delhi, 1996; x+612 p.
[438] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V. 1,11. Springer,
Berlin - New York, 1977, 1979; xiii+190 p., x+243 p.
[439] Losch F. Hohere Mathematik: eine Einfuhrung fur Studierende und
zum Selbststudium (von H. Mangoldt, K. Knopp). B. 4: Mengenlehre,
Lebesguesches Man* und Integral, Topologische Raume, Vektorraume,
Funktionalanalysis, Integralgleichungen. 4e Aufl. S. Hirzel Verlag,
Stuttgart, 1990; xv+612 S.
[440] Liitzen J. The prehistory of the theory of distributions. Springer-Verlag,
New York - Berlin, 1982; viii+232 p.
[441] Luxemburg W.A.J., Zaanen A.C. Riesz spaces. V. I, II. North-Holland,
Amsterdam - London; American Elsevier, New York, 1971, 1983;
xi+514 p., xi+720 p.
[442] Maddox I.J. Elements of functional analysis. 2nd ed. Cambridge
University Press, Cambridge, 1988; xii+242 p.
[443] Marie Ch.-M., Pilibossian Ph. Analyse fonctionnelle. Ellipses, Paris, 2004;
134 p.
[444] Marti J.T. Introduction to the theory of bases. Springer-Verlag, New York,
1969; xii+149 p.
[445] Mathieu M. Funktionalanalysis: ein Arbeitsbuch. Spektrum, Akad. Verl.,
Heidelberg, 1998; vii+393 S.
[446] Mauldin R.D. (ed.) The Scottish Book. Mathematics from the Scottish
Cafe. Birkhauser, Boston, 1981; xiii-f268 p.
[447] Maurin K. Analysis. Part П. Integration, distributions, holomorphic
functions, tensor and harmonic analysis. Reidel, Dordrecht, 1980; xvii+829 p.
[448] Megginson R.E. An introduction to Banach space theory. Springer-Verlag,
New York, 1998; xx+596 p.
[449] Meise R., Vogt D. Einfuhrung in die Funktionalanalysis. Friedr. Vieweg
& Sohn, Braunschweig, 1992; x+416 S.; англ. пер.: Introduction to
functional analysis. The Clarendon Press, Oxford University Press, New
York, 1997; x-f 437 p.
[450] Meyer-Nieberg P. Banach lattices. Springer-Verlag, Berlin, 1991;
xvi+395 p.
[451] Michel A.N., Herget Ch.J. Applied algebra and functional analysis. Corr.
repr. of the 1981 original. Dover Publ., New York, 1993; x+484 p.
[452] Mikhlin S.G., Prossdorf S. Singular integral operators. Springer-Verlag,
Berlin, 1986; 528 p.
[453] Milman V.D., Schechtman G. Asymptotic theory of finite dimensional
normed spaces. With an appendix by M. Gromov: Isoperimetric
inequalities in Riemannian manifolds. Lecture Notes in Math. V. 1200.
Springer-Verlag, Berlin - New York, 1986; viii+156 p.
[454] Miranda С Istituzioni di analisi funzionale lineare. V. 1,11. Pitagora
Editrice, Bologna, 1978, 1979; iii+596 p., 748 p.
[455] Mitrovte D., 2ubrini£ D. Fundamentals of applied functional analysis.
Distributions - Sobolev spaces - nonlinear elliptic equations. Longman,
Harlow, 1998; x+399 p.
[456] Mlak W. Hilbert spaces and operator theory. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht; PWN - Polish Scientific Publ., Warsaw, 1991; xii+290 p.

704
Литература
Monna A.F. Functional analysis in historical perspective. John Wiley &
Sons, New York - Toronto, 1973; viii+167 p.
Moore R.E. Computational functional analysis. Ellis Horwood, Chichester;
Halsted Press [John Wiley & Sons], New York, 1985; 156 p.
Mordukhovich B.S. Variational analysis and generalized differentiation. I.
Basic theory. II, Applications. Springer-Verlag, Berlin, 2006; xxii+579 p.,
xxii+610 p.
Morrison T.J. Functional analysis. An introduction to Banach space
theory. John Wiley & Sons, New York, 2001; xiv+359 p.
Mozzochi C.J. On the pointwise convergence of Fourier series. Lecture
Notes in Math. V. 199. Springer-Verlag, Berlin, 1971; vii+87 p.
Mukherjea Α., Pothoven K. Real and functional analysis. Plenum Press,
New York, 1978; x+529 pi
Miiller V. Spectral theory of linear operators and spectral systems in
Banach algebras. Birkhauser, Basel, 2003; x+381 p.
Nachbin L. Introduction to functional analysis: Banach spaces and
differential calculus. Marcel Dekker, New York, 1981; ix+166 p.
Nair M.T. Functional analysis. A first course. Prentice-Hall of India, New
Delhi, 2005; 448 p.
Narici L., Beckenstein E. Topological vector spaces. Marcel Dekker, New
York, 1985; xii+408 p.
Nay lor Α., Sell G. Linear operator theory in engineering and science. 2nd
ed. Springer-Verlag, New York - Berlin, 1982; xv+624 p.
Nikolski N.K. Operators, functions, and systems: an easy reading. V. 1,2.
Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2002; xiv-f461 p., xiv-|-439 p.
Nowinski J.L. Applications of functional analysis in engineering. Plenum
Press, New York, 1981; xv+304 p.
Oden J.T., Demkowicz L.F. Applied functional analyis. CRC Press, Boca
Raton, Florida, 1996; xiv+653 p.
Okikiolu G.O. Aspects of the theory of bounded integral operators in Lp-
spaces. Academic Press, London - New York, 1971; ix-|-522 p.
Olevskii A.M. Fourier series with respect to general orthogonal systems.
Springer-Verlag, New York - Heidelberg, 1975; viii+136 p.
Orlicz W. Linear functional analysis. World Scientific Publ., River Edge,
New Jersey, 1992; xvi+246 p.
Packel E.W. Functional analysis. A short course. Corrected reprint of
the 1974 original. Robert E. Krieger Publ., Huntington, New York, 1980;
xvii+172 p.
Panzone R. Lecciones preliminaxes de anaMisis funcional. Universidad
Nacional del Sur, Instituto de Matematica, Bahia Blanca, 1983; v-l-196 p.
Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial
differential equations. Springer-Verlag, New York, 1983; viii+279 p.
Pedersen M. Functional analysis in applied mathematics and engineering.
Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2000; x+298 p.
Perez Carreras P., Bonet J. Barrelled locally convex spaces. North-
Holland, Amsterdam, 1987; xvi+512 p.
Petersen B.E. Introduction to the Fourier transform & pseudodifferential
operators. Pitman, Boston, 1983; xi+356 p.

Литература 705
[480] Pflaumann Ε., Unger Η. Funktionalanalysis. I, П. Bibliographisches
Institut, Mannheim - Vienna - Zurich, 1968, 1974; 240 S., 338 S.
[481] Phelps R.R. Convex functions, monotone operators and differentiability.
2nd ed. Lecture Notes in Math. V. 1364. Springer-Verlag, Berlin, 1993;
xii+117 p.
[482] Phillips E.R. An introduction to analysis and integration theory. Dover
Publications, New York, 1984; xxviii-h452 p.
[483] Pinsky M. A. Introduction to Fourier analysis and wavelets. Pacific Grove,
Brooks/Cole, California, 2002; xviii+376 p.
[484] Pietsch A. Eigenvalues and s-numbers. Cambridge University Press,
Cambridge, 1987; 360 p.
[485] Pietsch A. History of Banach spaces and linear operators. Birkhauser
Boston, Boston, 2007; xxiv+855 p.
[486] Pietsch Α., Wenzel J. Orthonorma! systems and Banach space geometry.
Cambridge University Press, Cambridge, 1998; x+553 p.
[487] Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry.
Cambridge University Press, Cambridge, 1999; xv+250 p.
|488] Pisier G. Introduction to operator space theory. Cambridge University
Press, Cambridge, 2003; vii+478 p.
[489] Ponnusamy S. Foundations of functional analysis. Alpha Science
International, Pangbourne, 2002; xvi+457 p.
[490] Pryce 3.Ό. Basic methods of linear functional analysis. Hutchinson,
London, 1973; 320 p.
[491] Rao K.-C. Functional analysis. 2nd ed. Narosa, New Delhi, 2006; 282 p.
[492] Ray W.O. Real analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1988; xii+307 p.
[493] Reddy B.D. Introductory functional analysis. With applications to
boundary value problems and finite elements. Springer-Verlag, New York,
1998; xiv+471 p.
[494] Rickart Ch.E. General theory of Banach algebras. Van Nostrand,
Princeton - New York, I960; xi+394 p.
[495] Ringrose J.R. Compact non-self-adjoint operators. Van Nostrand
Reinhold, London, 1971; vi+238 p.
[496] Rolewicz S. Functional analysis and control theory. Linear systems.
Reidel, Dordrecht; PWN - Polish Sci. Publ., Warsaw, 1987; xvi+524 p.
[497] Rolewicz S. Metric linear spaces. 2nd ed. Reidel, Dordrecht; PWN - Polish
Sci. Publ., Warsaw, 1985; xii+459 p.
[498] Roman P. Some modern mathematics for physicists and other outsiders.
An introduction to algebra, topology, and functional analysis. V. 2:
Functional analysis with applications. Pergamon Press, New York, 1975; 288 p.
[499] Roy den H.L. Real analysis. 3d ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1988; 444 p. (1st ed.: Macmillan, 1963).
[500] Ruckle W.H. Modern analysis. Measure theory and functional analysis
with applications. PWS-Kent Publ., Boston, 1991; xv+265 p.
[501] Ryan R.A. Introduction to tensor products of Banach spaces. Springer-
Verlag London, London, 2002; xiv+225 p.
[502] Rynne B.P., Youngson M.A. Linear functional analysis. 2nd ed. Springer-
Verlag London, London, 2008; x-f 324 p.
[503] Sakai S. C*-a!gebras and W*-algebras. Springer, Berlin, 1971; xii+253 p.

706 Литература
[504] Samuelides M., Touzillier L. Analyse fonctionnelle. Collection La Che-
veche, Cepadues Editions, Toulouse, 1989; iv+289 p.
[505] Samuelides M., Touzillier L. Problemes d'analyse fonctionnelle et d'ana-
lyse harmonique. Collection La Cheveche, Cepadues Editions, Toulouse,
1993; vi+392 p.
[506] Saxe K. Beginning functional analysis. Springer-Verlag, New York, 2002;
xii+197 p.
[507] Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators. Springer-Verlag,
New York - Heidelberg, 1974; xi+376 p.
[508] Schechter M. Principles of functional analysis. 2nd ed. Amer. Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 2002; xxii+425 p.
[509] Schirotzek W. Nonsmooth analysis. Springer, Berlin, 2007; xii+373 p.
[510] Schroder H. Funktionalanalysis. 2e Aufl.> Verlag Harri Deutsch, Thun,
2000; viii+384 S.
[511] Schwartz J.T. Nonlinear functional analysis. Notes by H. Fattorini, R.
Nirenberg and H. Porta. With an additional chapter by Hermann Karcher.
Gordon and Breach Sci. Publ., New York - London - Paris, 1969; 236 p.
[512] Schwartz L. Theorie des distributions. Τ. Ι,ΙΙ. Hermann & Cie, Paris, 1950,
1951; 148 p., 169 p. (2e ed.: Hermann, Paris, 1966; xiii+420 p.)
[513] Segal I., Kunze R.A. Integrals and operators. 2nd ed. Springer, Berlin -
New York, 1978; xiv+371 p.
[514] Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. V. I. Polish Sci. Publ.,
Warszawa, 1971; 584 p.
[515] Siddiqi A.H. Functional analysis with applications. Tata McGraw-Hill,
New Delhi, 1986; xv+308 p.
[516] Simmons G.F. Introduction to topology and modern analysis. McGraw-
Hill, New York - London, 1963; xv+372 p.
[517] Simon B. Trace ideals and their applications. 2nd ed. Amer. Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 2005; viiiH-150 p.
[518] Singer I. Bases in Banach spaces. I, II. Springer-Verlag, New York - Berlin,
1970, 1981; viii+668 p., viii+880 p.
[519] Singh S., Watson В., Srivastava P. Fixed point theory and best
approximation: The KKM-map principle. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht, 1997; x+220 p.
[520] Skandalis G. Topologie et analyse fonctionnelle: mathematiques pour la
licence. Cours et exercices avec solutions. Dunod, Paris, 2000; xi+323 p.
[521] Sohrab H.H. Basic real analysis. Birkhauser Boston, Boston, 2003;
xiv-f559 p.
[522] Somasundaram D. First course in functional analysis. Narosa, New Delhi,
2006; ix+399 p.
[523] Sonntag Y. Topologie et analyse fonctionnelle. Cours de licence avec 240
exercices et 30 problemes corriges. Ellipses, Paris, 1998; 512 p.
[524] Stein E.M. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and
oscillatory integrals. Princeton University Press, Princeton, New Jersey,
1993; xiii+695 p.
[525] Stone M.H. Linear transformations in Hilbert space and their applications
to analysis. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., V. 15, New York, 1932;
viii-h622 p.; Reprint: Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, 1990.

Литература 707
[526] Storch U., Wiebe Η. Lehrbuch der Mathematik. В. 4: Analysis auf
Mannigfaltigkeiten, Funktionentheorie, Funktionalanalysis. Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, 2001; 889 S.
[527] Strichartz R.S. A guide to distribution theory and Fourier transforms.
CRC Press, Boca Raton, Florida, 1994; x+213 p.
[528] Stromberg K. An introduction to classical read analysis. Wadsworth,
Belmont, 1981; ix+575 p.
[529] §uhubi E.S. Functional analysis. Kluwer Academic Publ., Dordrecht,
2003; xii+691 p.
[530] Sunder V.S. Functional analysis. Spectral theory. Birkhauser, Basel, 1997;
x+241 p.
[531] Swartz Ch. An introduction to functional analysis. Marcel Dekker, New
York, 1992; xiv+600 p.
[532] Takahashi W. Nonlinear functional analysis. Fixed point theory and its
applications. Yokohama Publ., Yokohama, 2000; iv+276 p.
[533] Takesaki M. Theory of operator algebras. V. I—III. Springer-Verlag, Berlin,
1979, 2003; vii+415 p., xxii+518 p., xxii+548 p.
[534] Taylor А.Б. Introduction to functional analysis. John Wiley & Sons, New
York; Chapman & Hall, London, 1958; xvi+423 p.
[535] Tomczak-Jaegermann N. Banach-Mazur distances and finite-dimensional
operator ideals. Longman Scientific & Technical, Harlow; John Wiley &
Sons, New York, 1989; xii+395 p.
[536] Torchinsky A. Real variable methods in harmonic analysis. Academic
Press, New York, 1986; 462 p.
[537] Torchinsky A. Real variables. Addison-Wesley, New York, 1988; 403 p.
[538] Treves F. Topological vector spaces, distributions and kernels. Academic
Press, New York - London, 1967; xvi+624 p.
[539] Tricomi F.G. Istituzioni di analisi superiore (metodi matematici della
fisica). 2 ed. CEDAM, Padua, 1970; ix+472 pp.
[540] Triebel H. Hohere Analysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
Berlin, 1972; 704 S.; англ. пер.: Higher analysis. Johann Ambrosius Barth
Verlag, Leipzig, 1992; 473 p.
[541] Vasilescu F.H. Analytic functional calculus and spectral decompositions.
Reidel, Dordrecht, 1982; xiv+378 p.
[542] Vitali G. Geometria nello spazio Hilbertiano. N. Zanichelli, Bologna, 1929;
283 p.
[543] Wagschal C. Topologie et analyse fonctionnelle. Exercices corriges.
Hermann, Paris, 2003; iv+526 p.
[544] Walter W. Einfuhrung in die Theorie der Distributionen. 3e Aufl. Bibliogr.
Inst., Mannheim, 1994; xiv+240 S.
[545] Weidmann J. Linear operators in Hubert spaces. Springer, New York,
1980; xiii+402 p.
[546] Werner D. Funktionalanalysis. 4e Aufl. Springer-Verlag, Berlin, 2002;
xiii+503 S.
[547] Widder D.V. The Laplace transform. Princeton Univ. Press, New Jersey,
1946; x+406 p.
[548] Wilansky A. Functional analysis. Blaisdell - Ginn, New York - Toronto
- London, 1964; xvi+293 p.

708
Литература
[549] Wilansky A. Topology for analysis. Ginn, Waltham - Toronto - London,
1970; xiii+383 p.
[550] Wloka J. Funktionalanalysis und Anwendungen. Walter de Gruyter,
Berlin - New York, 1971; 291 p.
[551] Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. Cambridge University Press,
Cambridge, 1991; xiv+382 p.
[552] Wong Y.-C. Some topics in functional analysis and operator theory.
Science Press, Beijing, 1993; vi+327 p.
[553] Wouk A. A course of applied functional analysis. John Wiley & Sons, New
York, 1979; xvii+443 p.
[554] Young N. An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press,
Cambridge, 1988; x+239 p.
[555] Zaanen A.C. Linear analysis. Measure and integral, Banach and Hilbert
space, linear integral equations. Interscience, New York; North-Holland,
Amsterdam; NoordhofF, Groningen, 1953; vii-|-601 p.
[556] Zaidman S. Functional analysis and differential equations in abstract
spaces. Chapman L· Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 1999; vH-226 p.
[557] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. I. Fixed-point
theorems. Springer-Verlag, New York, 1986; xxi+897 p.
[558] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/A. Linear
monotone operators. Springer-Verlag, New York, 1990; xviiiH-467 p.
[559] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/B.
Nonlinear monotone operators. Springer-Verlag, New York, 1990;
xvi+734 p.
[560] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. III.
Variational methods and optimization. Springer-Verlag, New York, 1985;
xxii+662 p.
[561] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. IV.
Applications to mathematical physics. Springer-Verlag, New York, 1988;
xxiv+975 p.
[562] Zeidler E. Applied functional analysis. Main principles and their
applications. Springer-Verlag, New York, 1995; xvH-404 p.
[563] Zeidler E. Applied functional analysis. Applications to mathematical
physics. Springer-Verlag, New York, 1995; xxx+479 p.
[564] Zelazko W. Banach algebras. Elsevier, Amsterdam - London - New York;
PWN-Polish Scientific PubL, Warsaw, 1973; xi+182 p.
[565] Zemanian A.H. Distribution theory and transform analysis. An
introduction to generalized functions, with applications. 2nd ed. Dover,
New York, 1987; xii+371 p.
[566] Zhu K. Operator theory in function spaces. 2nd ed. Amer. Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 2007; xvi+348 p.
[567] Ziemer W. Weakly differentiable functions. Springer-Verlag, New York -
Berlin, 1989; xvi+308 p.
[568] Zimmer R.J. Essential results of functional analysis. University of Chicago
Press, Chicago, 1990; x+157 p.
[569] Zuily С Distributions et equations aux derivees partielles. Exercices
corriges. Hermann, Paris, 1986; 245 p.

Литература
709
Статьи:
[570] Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных
топологических пространствах. Успехи матем. наук. 1968. Т. 22, №6.
С. 200-260.
[571] Авербух В.И., Смолянов О.Г. Различные определения производной в
линейных топологических пространствах. Успехи матем. наук. 1968.
Т. 23, №4. С. 67-116.
[572] Алехно Е.А. Некоторые свойства слабой топологии в пространстве
Loo· Изв. Нац. АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2006. №3. С. 31-37.
[573] Алехно Е.А., Забрейко П.П. О слабой непрерывности оператора
суперпозиции в пространстве Loo· Известия Нац. АН Беларуси. Сер.
физ.-матем. наук. 2005. №2. С. 17-23.
[574] Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических
пространствах и неподвижные точки. Докл. РАН. 2007. Т. 416, №2. С. 151-155.
[575] Богачев В.И., Смолянов О.Г., Шахермайер В. Непрерывные сужения
линейных отображений. В сб. «Математика сегодня'92», с. 115-126.
Киев, Вища школа, 1992.
[576] Гурарий В.И. Счетно линейно-независимые последовательности в
банаховых пространствах. Успехи матем. наук. 1981. Т. 36, №5.
С. 171-172.
[577] Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерни-
ка и теория экстремума. Успехи матем. наук. 1980. Т. 35, №6. С. 11-
46.
[578] Забрейко П.П. Об одной теореме для полуаддитивных функционалов.
Функц. анал. и прил. 1969. Т. 3, №1. С. 86-88.
[579] Левитин Е.С., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Условия высших
порядков локального минимума. Успехи матем. наук. 1978. Т. 33, №6.
С. 85-148.
[580] Лифшиц Е.А. Идеально выпуклые множества. Функц. анал. и прил.
1970. Т. 4, №4. С. 76-77.
[581] Немировский А.С., Семенов СМ. О полиномиальной аппроксимации
функций на гильбертовом пространстве. Матем. сб. 1973. Т. 92, №2.
С. 257-281.
[582] Никольская Л.Н. Строение точечных спектров линейных
операторов. Матем. заметки. 1974. Т. 15, №1. С. 149-158.
[583] Смолянов О.Г. Почти замкнутые подмножества счетных
произведений локально выпуклых пространств. Труды Моск. матем. об-ва.
1975. Т. 32. С. 61-76.
[584] Смолянов О.Г., Шкарин С.А. О структре спектров операторов в
банаховых пространствах. Матем. сб. 2001. Т. 192, №4. С. 99-114.
[585] Судаков В.Н. К вопросу о критериях компактности в
функциональных пространствах. Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, №3. С. 221-224.
[586] Царьков И.Г. Сглаживание гильбертово-значных равномерно
непрерывных отображений. Изв. РАН. 2005. Т. 69, №4. С. 149-160.
[587] Abramovich Υ.Α., Aliprantis CD., Burkinshow O. The invariant subspace
problem: some recent advances. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 1998. №29.
P. 3-79.

710
Литература
Arias de Reyna J. Dense hyperplanes of first category. Math. Ann. 1980.
B. 249, №2. S. 111-114.
Birkhoff G., KreyszigE. The establishment of functional analysis. Historia
Math. 1984. V. 11, №3. P. 258-321.
Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and
approximations in infinite dimensional spaces. Acta Math. Univ.
Caxolinae, Math, et Phys. 1990. V. 31, №2. P. 9-23.
Bogachev V.I., Kirchheim В., Schachermayer W. On continuous
restrictions of linear mappings between Banach spaces. Acta Math. Univ.
Caxolinae, Math, et Phys. 1989. V. 30, №2. P. 5-9.
Chernoff P.R. Note on product formulas for operator semigroups. J.
Funct. Anal. 1968. V. 2, №2. P. 238-242.
Dixmier J. Sur les varietes J d'un espace de Hilbert. J. Math. Pures
Appl. (9). 1949. V. 28. P. 321-358.
Dixmier J. Etude sur les varietes et les operateurs de Julia, avec quelques
applications. Bull. Soc. Math. France. 1949. V. 77. P. 11-101.
Dixmier J., Foias C. Sur le spectre ponctuel d'un operateur. Hilbert
Space Operators Operator Algebras (Proc. Internat. Conf., Tihany,
1970). Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai 5, pp. 127-133. North-Holland,
Amsterdam, 1972.
Douglas R.G. On majorization, factorization, and range inclusion of
operators on Hilbert space. Proc. Amer. Math. Soc. 1966. V. 17. P. 413-
415.
Fillmore P.Α., Williams J.P. On operator ranges. Advances in Math. 1971.
V. 7. P. 254-281.
Fonf V.P., Johnson W.B., Pisier G., Preiss D. Stochastic approximation
properties in Banach spaces. Studia Math. 2003. V. 159, №1. P. 103-119.
Gowers W.T. A solution to BanachJs hyperplane problem. Bull. London
Math. Soc. 1994. V. 26. P. 523-530.
Kalisch G.K. On operators on separable Banach spaces with arbitrary
prescribed point spectrum. Proc. Amer. Math. 1972. V. 34, №1. P. 207-
208.
Kaufman R. Representation of Souslin sets by operators. Integral Equat.
Oper. Theory. 1984. V. 7, №6. P. 808-814.
Lacey M.T. Carleson's theorem: proof, complements, variations. Publ.
Mat. 2004. V. 48, №2. P. 251-307.
Narici L. On the Hahn-Banach theorem. Advanced courses of
mathematical analysis. II, 87-122, World Sci. Publ., Hackensack, New
Jersey, 2007 (http://at.yorku.ca/p/a/a/o/58.htm).
Odell E., Schlumprecht Th. A universal reflexive space for the class of
uniformly convex Banach spaces. Math. Ann. 2006. B. 335, №4. S. 901-
916.
Shevchik V.V. On subspaces of a Banach space that coincide with the
ranges of continuous linear operators. Rev. Roumaine Math. Pures Appl.
1986. V. 31, №1. P. 65-71.
Shkarin S.A. Continuous restrictions of linear operators. Infin. Dimens.
Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2001. V. 4, №1. P. 121-136.

Предметный указатель
Обозначения
АС[а,Ъ], 188
А, 20, 34
И|, 245
Αμ, 86
Л£с, 94
Αι®Α2, 155
а ± 6, 212
absconv V, 230
absconv V, 230
£(Ω), 18, 21, 216
ОД П 26
В(Е), 74
£(IRn), 74
Ва, 76
С(Х,У),36
С[о,Ь], 18, 217
С1, 647
Сь(Х), 26
Cb(X,Y), 26
conv V, 230
conv V, 230
со, 216
X>(IRn), 451
V'(lRn), 465
2>m(lRn), 451
diamA, 18
dv/άμ, 151
£(IRn), 469
£'(IRn), 469
esssup, 147
f{A), 13
ГЧ-А), 74
ГЧу). 13
/+, Г, 116
f\E, 13
/* 0,163
/л, 115
Ker A, 257, 356
ДС(Х,У), 292
Ζ,°(μ), 120
C° (μ), 119, 237
^(μ), 140
С1 (μ), 140
Ι^ΡΓ,μ), Ι40
£2(μ), 213
Lp(£), 147
£ρ(μ), 147, 217
£ρ(μ), 147
£°°(μ), 147
£°°(μ), 147
/2, 18, 21, 212
Ζ2(Γ), 228
Ζρ, 217
Γ°, 18, 216
Μχ, 223
R\(A), 355
Ran Τ, 246, 540
r(A), 358
<S(lRn), 450
S'(]Rn), 465
singsupp, 467
supp, 467
Wp'fe, 521
K?(A 182
V.P. ±, 466
vraisup, 147
X+, X", 103, 104
X*, 246
XxY, 13
Χιθ···ΘΧη, 215
χ V у, х А у, 237
(a? + t0)_1, (ж-tO)"1, 466
9Ят, 106
βΧ, 58
J«, 81
μ+, μ", 104
μ*, 85
μ*, 93
μ α, 94
μ|Λ, 94
μι Χμ2, 156
μ ο/-1, 167
ι/ < μ, 151
ι/ JL μ, 151
ι/ ~ μ, 152
σ(Α), 355

712
Предметный указатель
σ{Τ), 72
a(E,F), 278
σ(Χ,Χ*)9 280
σ(Χ",Χ), 280
ntGT*t, 14
VF, 237
||μ||, 105
/Α/(*)μ(ώ0,129
/Α /Φ, 129
JAf{x)dx, 129
II/IIli^), 141
II/IUpm, 147
ll/IU-ы, 147
ΙΙ/ΙΙρ, 147
A
Адамара производная, 634
Асколи-Арцела теорема, 45, 67
Ауэрбаха система, 319
абсолютная непрерывность
- интеграла Лебега, 133
- мер, 151
- функций, 188
абсолютно непрерывная
функция, 188
абсолютно суммирующий
оператор, 416
аддитивная функция
множества, 78
аддитивность конечная, 78
аддитивность счетная, 78
аксиома выбора, 14
алгебра, 599
- С*-, 603
- банахова, 600
- звездная, 603
- инволютивная, 602
- Калкина, 628
- коммутативная, 600
- множеств, 71
- порожденная классом
множеств, 72
- унитальная, 599
- фон Неймана, 630
- функций, 59
алгебраическая сумма
множеств, 221
алгебраически независимая
система, 16
алгебраически сопряженное, 246
алгебраический базис, 16
алгебраическое тензорное
произведение, 430
алгебраическое ядро, 261
альтернатива Фредгольма, 369
аннулятор, 371
атом меры, 114
Б
Банах С, 212
Банаха теорема
- об обратном операторе, 255
- о замкнутом графике, 255
Банаха-Алаоглу-Бурбаки
теорема, 284
Банаха-Дьедонне теорема, 311
Банаха-Сакса свойство, 312
Банаха-Шаудера теорема об
открытом отображении, 254
Банаха-Штейнгауза теорема, 249,
456, 457
Беппо Леви теорема, 136
Бергмана пространство, 173, 217
Бесселя неравенство, 222
Боля-Брауэра теорема, 178, 231
Бохнера интеграл, 329, 330
Бохнера теорема, 534
база топологии, 33
базис
- Гамеля, 16
- Маркушевича, 318
- Шаудера, 314
- алгебраический, 16
- ортонормированный, 221
- топологический, 314
банахова алгебра, 600
банахова решетка, 239
банахово пространство, 212
банахово тензорное
произведение, 430
безатомическая мера, 114
биекция, 13
бикоммутант, 630
билинейная форма оператора, 362
биортогональная система, 318
биполяра, 464
борелевская σ-алгебра, 74
борелевская функция, 116

Предметный указатель
713
борелевское множество, 74
борелевское отображение, 116
борнологическое
пространство, 481
бочечное пространство, 480
бочка, 480
бэровское пространство, 32
В
Валле-Пуссена признак, 202
Валле-Пуссена теорема, 171
Вигнера теорема, 445
Витали пример, 100
Вольтерра оператор, 295
вариационный принцип
- Куранта, 376
- Фишера, 376
вариация меры, 105
вариация функции, 182
вероятностная мера, 78
версия функции, 120
верхняя грань, 15, 237
взаимная сингулярность мер, 151
внутренность множества, 20
внутренняя мера, 93
внутренняя точка, 20
внешняя мера, 85, 106
- Каратеодори, 106
- регулярная, 108
вполне ограниченное
множество, 40
вполне ограниченный
оператор, 292
вполне регулярное
пространство, 58
вполне упорядоченное
множество, 15
всюду плотное множество, 21, 34
выпуклая оболочка, 230
выпуклая функция, 258
Г
Гальярдо-Ниренберга
неравенство, 533
Гамеля базис, 16
Гато производная, 634
Гёльдера неравенство, 148
Гельфанда
- преобразование, 617
- топология, 617
Гельфанда-Мазура теорема, 612
Гельфанда-Наймарка
теорема, 621, 625
Гильберт Д., 212
Гильберта преобразование, 529
Гильберта тождество, 356, 611
Гильберта-Шмидта теорема, 374
Глисона теорема, 445
ГНС-конструкция, 627
Голдстайна теорема, 286
Грамма-Шмидта
ортогонализация, 226
гильбертово пространство, 212
гильбертово тензорное
произведение, 431
гиперплоскость, 261, 459
- опорная, 460
гипоэллиптический оператор, 517
гомеоморфизм, 37
гомеоморфные пространства, 37
гомоморфизм, 600
график отображения, 255, 539
д
J-кольцо множеств, 76
J-функция Дирака, 466
Даниэля интеграл, 332
Даугавета теорема, 298
Дворецкий Α., 234
Джеймса пространство, 353
Джона эллипсоид, 235
Дини
- теорема, 42
- условие, 202, 498
Дирака 5-функция, 466
Дирака (дираковская) мера, 81
Дэвиса-Фигеля-Джонсона-
Пелчинского теорема, 484
декартово произведение, 13
дефект оператора» 545
диагональный оператор, 249
диаметр множества, 18
дифференцируемость, 634
- по Адамару, 634
- по Гато, 634
- по Фреше, 635
- по системе множеств, 634
- порядка fc, 655
дуальная пара, 463
Ε
ε-сеть, 40

714
Предметный указатель
Егорова теорема, 122
евклидово пространство, 211
единица алгебры, 599
единица алгебры множеств, 71
единичная сфера, 213
единичный оператор, 245
единичный шар, 213
Ж
Жордана
- измеримость, 69
- мера, 69, 101
- признак, 203
- разложение, 105
Жордана-Хана разложение, 105
3
Забрейко теорема, 456
замена переменных, 196
замкнутая выпуклая оболочка, 230
замкнутая линейная оболочка, 214
замкнутая система, 226
замкнутое множество, 19, 33
замкнутый шар, 18
замыкание, 20, 34
- оператора, 540
звездная алгебра, 603
знакопеременная мера, 103
И
Иосиды приближение, 665
идеал, 605
- максимальный, 617
идеально выпуклое
множество, 346
измеримая оболочка, 108, 110
измеримая функция
- относительно меры, 119
- относительно σ-алгебры, 115
измеримое множество, 86
- по Каратеодори, 106
- по Лебегу, 86
измеримое отображение, 116
— по Борелю, 116
— относительно μ, 86
измеримое пространство, 72
измеримость
- Каратеодори, 106
- Лебега, 70
- Жордана, 69, 101
- критерий, 93
измеримый прямоугольник, 155
изолированная точка, 19, 34
изометрия,22
инвариант унитарный, 378
инволютивная алгебра, 602
инволюция, 602
индикатор множества, 115
индикаторная функция, 115
индуктивный предел, 479
- строгий, 479
индуцированная топология, 33
интеграл
- Бохнера, 329, 330
- Даниэля, 332
- Лебега, 129
- Лебега-Стилтьеса, 134
- Петтиса, 331
- комплексной функции, 134
- неопределенный, 190
- отображения в IRn, 134
интегрирование по частям, 196
- в интеграле Стилтьеса, 198
интегрируемая функция, 129
интегрируемость по Риману, 166
интерполяционная теорема, 339
инъекция, 13
й
Йордана-фон Неймана
теорема, 213
К
Кадец М.М., 235
Калкина алгебра, 628
Кантор Г., 62
Кантора
- множество, 62, 98
- функция, 121
Каратеодори
- внешняя мера, 106
- измеримость, 106
- теорема, 107
Карлесон Л., 200
Колмогоров А.Н., 200, 475
Коши-Буняковского
неравенство, 148, 212
Крейна-Мильмана теорема, 488
Крейна-Шмульяна теорема, 306
Куранта вариационный
принцип, 376

Предметный указатель
715
канторовская функция, 121
канторовское множество, 62, 98
квадратичная форма
оператора, 362
класс монотонный, 77
колебание функции, 65
кольцо множеств, 76
коммутант, 630
коммутативная алгебра, 600
компакт, 38
компактификация
Стоуна-Чеха, 58
компактное пространство, 38
компактность, 38
- в С[а,6], 45
- в Lp, 243
- в Z2, 43
- секвенциальная, 50
- счетная, 50
компактный оператор, 292
комплексификация, 215, 289
конечно-аддитивная функция, 78
конус положительный, 236
коэффициент Фурье, 199, 222
крайняя точка, 234
критерий
- измеримости, 93
- интегрируемости по
Риману, 166
- нормируемости, 475
Л
Лакса-Мильграма лемма, 291
Лапласа преобразование, 514
Лебега
- мера, 83, 90, 95
- измеримое множество, 86, 95
- измеримость, 86
- интеграл, 129
- разложение, 154
— монотонной функции, 197
- теорема о мажорированной
сходимости, 138
- теорема, 191
- точка, 195
Лебега-Витали теорема, 170
Лебега-Стилтьеса интеграл, 134
Лебега-Стилтьеса мера, 103
Лежандра многочлен, 228
Линделёфа свойство, 24
Липшица условие, 26
Лоясевича теорема, 517
Лузина теорема, 127
лебеговское пополнение меры, 92
лебеговское продолжение меры, 92
лексикографический порядок, 15
лемма
- Лакса-Мильграма, 291
- Цорна, 15
линейная независимость, 16
линейная оболочка, 214
линейная упорядоченность, 15
линейно упорядоченное
множество, 15
линейный оператор, 245
линейный порядок, 15
линейный функционал, 245
- разрывный, 247
липшицево отображение, 26
лифтинг, 173
локально выпуклое
пространство, 448
- полное, 478
- секвенциально полное, 478
локально измеримое
множество, 94
Μ
μ-измеримая функция, 119
μ-измеримое множество, 86
μ-измеримость, 86
μ-интегрируемая функция, 129
μ-почти всюду, 122
μ-п.в., 122
Макки
- пространство, 477
- топология, 476
Макки-Аренса теорема, 477
Мальгранжа-Эренпрайса
теорема, 5ί7
Маркушевича базис, 318
Милютин Α.Α., 235
Минковского
- неравенство, 148
- функционал, 261
Монтеля пространство, 494
Моро-Рокафеллара теорема, 664
максимальный элемент, 15
мажоранта, 15, 237
максимальный идеал, 617

716
Предметный указатель
мера
- σ-конечная, 78
- Дирака (дираковская), 81
- Жордана, 69, 101
- Лебега, 83, 90, 95
- Лебега-Стилтьеса, 103
- Пеано-Жордана, 69, 101
- абсолютно непрерывная, 151
- безатомическая, 114
- борелевская, 78
- вероятностная, 78
- внешняя, 85, 106
— Каратеодори, 106
— регулярная, 108
- внутренняя, 93
- знакопеременная, 103
- полная, 92
- сингулярная, 151
- счетно-аддитивная, 78
меры вариация, 105
меры полная вариация, 105
метризуемое топологическое
пространство, 33
метрика, 17
- Хаусдорфа, 67
метрическая энтропия, 40
метрическое пространство, 17
- полное, 21
миноранта, 15, 237
многочлен, 660
- Лежандра, 228
- Чебышёва-Эрмита, 228
множество
- μ-измеримое, 86
- Кантора, 62, 98
- борелевское, 74
- вполне ограниченное, 40
- вполне упорядоченное, 15
- всюду плотное, 21 $ 14
- второй категории, 32
- замкнутое, 19, 33
- идеально выпуклое, 346
- измеримое, 86
— по Жордану, 69, 101
— по Каратеодори, 106
— - по Лебегу, 70, 86, 95
- канторовское, 62, 98
- компактное, 38
- линейно упорядоченное, 15
- локально измеримое, 94
- направленное, 46
- неизмеримое, 100
- нигде не плотное, 21
- ограниченное, 18, 453
- открытое, 19, 33
- относительно компактное, 39
- первой категории, 32
- поглощающее, 480
- предкомпактное, 40
- пренебрежимое, 92
- равномерно
интегрируемое, 169
- резольвентное, 355
- слабо ограниченное, 265
- совершенное, 63
- существенных значений, 360
- частично
упорядоченное, 14, 237
- упорядоченное, 14, 15, 237
- уравновешенное, 230
модификация, 120
монотонное отображение, 664
монотонный класс, 77
Η
Неймана фон
- алгебра, 630
- теорема, 411, 420
Никольского теорема, 432
Ньютона-Лейбница формула, 196
направленное множество, 46
направленность, 46
- сходящаяся, 46
независимость алгебраическая, 16
независимость линейная, 16
неизмеримое множество, 100
неопределенный интеграл, 190
неотрицательный оператор, 365
непрерывное отображение, 25, 36
непрерывность меры в нуле, 80
непрерывный спектр, 401
неравенство
- Бесселя, 222
- Гальярдо-Ниренберга, 533
- Гёльдера, 148
- Коши-Буняковского, 148, 212
- Минковского, 148
- Чебышёва, 130
- Юнга, 177
- треугольника, 17, 211

Предметный указатель
717
нигде не плотное множество, 21
нижняя грань, 15, 237
норма, 211
- оператора, 245
нормальное пространство, 53
нормальный оператор, 403
нормированное пространство, 211
носитель
- обобщенной функции, 467
— сингулярный, 467
О
область определения
оператора, 539
обобщенная производная, 470
обобщенная функция, 465
- умеренного роста, 465
оболочка
- выпуклая, 230
- замкнутая выпуклая, 230
- замкнутая линейная, 214
- замкнутая уравновешенная
выпуклая, 230
- измеримая, 108, 110
- линейная, 214
- уравновешенная
выпуклая, 230
образ меры, 167
образ оператора, 246, 540
обратимый оператор, 355
обратимый элемент, 608
обратный оператор, 255, 458
обратный элемент, 608
ограничение меры, 94
ограниченное множество, 18, 453
ограниченное отображение, 18
ограниченность слабая, 265
ограниченный оператор, 245
однородно-выпуклая
функция, 258
оператор
- Вольтерра, 295
- абсолютно суммирующий, 416
- вполне ограниченный, 292
- гипоэллиптический, 517
- диагональный, 249
- единичный, 245
- компактный, 292
- линейный, 245
- неотрицательный, 365
- нормальный, 403
- обратимый, 355
- обратный, 255, 458
- ограниченный, 245
- ортогонального
проектирования, 225
- самосопряженный, 289, 545
- симметричный, 545
- сопряженный, 287
— в гильбертовом
пространстве, 288
- унитарный, 377
- эрмитов, 289
оператора
- график, 255, 539
- квадратичная форма, 362
- норма, 245
- область определения, 539
- образ, 246, 540
- собственное число, 356
- собственный вектор, 356
- спектр, 355,
- ядро, 257
опорная гиперплоскость, 460
ортогонализация
Грамма-Шмидта, 226
ортогональная Сумма, 386
ортогональное дополнение, 223
ортогональность векторов, 212
ортогональный проектор, 225
ортонормированная система, 221
- замкнутая, 226
- полная, 222
- тотальная, 226
ортонормированный базис, 221
остаточный спектр, 401
отделимое пространство, 34
открытое множество, 19, 33
открытый шар, 18
относительно компактное
множество, 39
отношение эквивалентности, 14
отображение
- α-накрывающее, ббб
- борелевское, 116
- дифференцируемое, 634
— по Адамару, 634
— по Гато, 634
— по Фреше, 635
— по системе множеств, 634

718
Предметный указатель
- измеримое, 116
— по Борелю, 116
- липшицево, 26
- монотонное, 664
- ограниченное, 18
- полилинейное, 328
- непрерывное, 25, 36
- равномерно непрерывное, 25
- сжимающее, 28
- строго
дифференцируемое, 640
Π
Парсеваля равенство, 222, 501
Пеано-Жордана
- измеримость, 69, 101
- мера, 69
Петре теорема, 494
Петтиса интеграл, 331
Пича теорема, 419
Планшереля теорема, 504
Пуассона формула, 536
паракомпактное пространство, 57
плотность Радона-Никодима, 151
поглощающее множество, 480
подалгебра, 605
поднаправленность, 46
полилинейное отображение, 328
полином, 660
полная σ-алгебра, 92
полная вариация меры, 105
полная мера, 92
полная решетка, 237
полная система, 222
полное локально выпуклое
пространство, 478
полное метрическое
пространство, 21, 26, 141, 149
положительный
- конус, 236
- функционал, 321, 623
полуаддитивность, 79
полу алгебра множеств, 76
полукольцо множеств, 76
полупространство, 261
поляра, 464
пополнение σ-алгебры, 92
пополнение евклидова
пространства, 214, 271
пополнение локально выпуклого
пространства, 478
пополнение меры, 92
пополнение метрического
пространства, 23
пополнение нормированного
пространства, 214, 214, 266
порожденная σ-алгебра, 72
порожденная алгебра, 72
порядок
- лексикографический, 15
- линейный, 15
- частичный, 14
последовательность
- сходящаяся, 19, 34
— по мере, 123
— почти всюду, 122
- фундаментальная, 19
— по мере, 123
--bL1, 140
— в среднем, 140
полунорма, 216, 258
почти всюду, 122
предел индуктивный, 479
- строгий, 479
предел последовательности, 19
предел проективный, 480
предельная точка, 19, 33
предкомпактное множество, 40
предметрика, 17
пренебрежимое множество, 92
преобразование
- Гельфанда, 617
- Гильберта, 529
- Лапласа, 514
- Фурье
--bL\495
— - в L2, 502
--в5', 504
приближение Иосиды, 665
признак Валле-Пуссена, 202
признак Дини, 202
признак Жордана, 203
пример Витали, 100
принцип
- Куранта вариационный, 376
- Фишера вариационный, 376
- равномерной
ограниченности, 32, 249
- сжимающих отображений, 28

Предметный указатель
719
- сгущения особенностей, 251
пробная функция, 466
продолжение меры, 92
проективный предел, 480
проектор ортогональный, 225
произведение σ-алгебр, 155
произведение декартово, 13
произведение мер, 156
производная, 179, 634
- Адамара, 634
- Гато, 634
- Радона-Никодима, 151
- Фрепге, 635
- обобщенной функции, 470
- обобщенная, 470
- по системе множеств, 634
- порядка к, 655
промежуток, 69
простая функция, 116
пространство
-С[а,Ъ], 18, 217
- Съ(Х), 26
- Х>(НП), 451
- 2У(НП), 465
-Z>m(IRn), 451
- £(1ЕГ), 469
- £'(IRn), 469
- Lp, 147, 217
- Р\ 217
- <S(lRn), 450
- S'QEC1), 465
- Wp'fc, 521
- Бергмана, 173, 217
- Джеймса, 353
- Макки, 477
- Монтеля, 494
- Рисса, 237
- Соболева, 521
- Фреше, 453
- банахово, 212
- борнологическое, 481
- бочечное, 480
- бэровское, 32
- векторное упорядоченное, 236
- вполне регулярное, 58
- гильбертово, 212
- евклидово, 211
- измеримое, 72
- компактное, 38
- локально выпуклое, 448
— полное, 478
— секвенциально полное, 478
- метрическое, 17
— - полное, 21, 26, 141, 149
- нормальное, 53
- нормированное, 211
- отделимое, 34
- паракомпактное, 57
- равномерно выпуклое, 312
- рефлексивное, 265
- сепарабельное, 21, 34
- слабо секвенциально
полное, 310
- сопряженное, 246
— алгебраически, 246
- тихоновское, 58
- топологическое, 33
- топологическое векторное, 452
- финитно представимое, 234
- хаусдорфово, 34
прямая сумма пространств, 215
прямоугольник измеримый, 155
п.в., 122
Ρ
Радона-Никодима
- теорема, 152, 271
- плотность, 151
- производная, 151
Римана-Лебега теорема, 201
Рисса теорема, 125, 270, 273, 338
Рисса пространство, 237
Рисса-Фишера теорема, 227
Рисса М. и Торина теорема, 339
равенство Парсеваля, 222, 501
равенство параллелограмма, 213
равномерная сходимость, 25
равномерно
- выпуклое пространство, 312
- интегрируемое множество, 169
- непрерывное отображение, 25
радиус спектральный, 358, 611
разделяющее точки семейство
функций, 59
разделение множеств, 261, 459
разделяющая линейная
функция, 261
разложение
- Жордана, 105

720
Предметный указатель
- Жордана-Хана, 105
- Лебега, 154
— монотонной функции, 197
- Хана, 103, 104
- единицы, 398
разрывный линейный
функционал, 247
регулярная внешняя мера, 108
регулярное число, 355, 544
резольвента, 355
резольвентное множество, 355
рефлексивное пространство, 265
решетка, 237
- σ-полная, 237
- банахова, 239
ряд в нормированном
пространстве, 213
ряд тригонометрический, 199
ряд Фурье, 199
С
С*-алгебра, 603
σ-адцитивная функция, 78
σ-алгебра, 72
- борелевская, 74
- полная относительно μ, 92
- порожденная классом
множеств, 72
σ-кольцо множеств, 76
σ-конечная мера, 78
σ-полная решетка, 237
♦-слабая топология, 280
Соболева пространство, 521
Стоуна теорема, 57, 569
Стоуна условие, 337
Стоуна-Вейерштрасса теорема, 59
Стоуна-Чеха
компактафикация, 58
самосопряженный
- оператор, 2&9, 545
- элемент, 602
свертка
- интегрируемых функций, 163
- обобщенных функций, 508
свойство
- Банаха-Сакса, 312
. - Линделёфа, 24
- аппроксимации, 316
секвенциальная компактность, 50
секвенциально полное
пространство, 478
семейство функций
- разделяющее точки, 59
- центрированное, 49
сепарабельное пространство, 21, 34
сжатие, 28
сжимающее отображение, 28
сильная операторная
топология, 283
сильная топология, 477
симметричный оператор, 545
сингулярная мера, 151
сингулярная функция, 198
сингулярный носитель, 467
система
- Ауэрбаха, 319
- алгебраически
независимая, 16
- биортогональная, 318
- линейно независимая, 16
- ортонормированная, 221
— замкнутая, 226
- полная, 222
- тотальная, 226
скалярное произведение, 212
слабая операторная
топология, 283
слабая топология, 280
слабо ограниченное
множество, 265
слабо секвенциально полное
пространство, 310
собственное число, 356
собственный вектор, 356
совершенное множество, 63
сопряженное пространство, 246
- алгебраически, 246
- топологически, 246
сопряженно- лилейное
отображение, 212
сопряженный оператор, 287
- в гильбертовом
пространстве, 288
спектр, 355, 608
- непрерывный, 401
- остаточный, 401
- точечный, 401
спектральная теорема, 388, 435, 550
спектральное разложение, 397
спектральный радиус, 358, 611

Предметный указатель
721
строго дифференцируемое
отображение, 640
субаддитивность, 79
- счетная, 81
субградиент, 658
субдифференциал, 658
сужение меры, 94, 114
сумма Фейера, 206
сумма множеств
алгебраическая, 221
сумма пространств прямая, 215
- ортогональная, 386
существенно ограниченная
функция, 147
существенное значение, 360
сходимость
- μ-почти всюду, 122
-вР, 451
-bL1, 140
- в среднем, 140
- обобщенных функций, 467
- по мере, 123
сходящаяся
- направленность, 46
- последовательность, 19, 34
счетная аддитивность, 78
счетная компактность, 50
счетная субаддитивность, 81
счетно-аддитивная мера, 78
счетно-аддитивная функция, 78
сюръекция, 13
Τ
Тейлора формула, 656
Титчмарша теорема, 508
Тихонова теорема, 49
Тонелли теорема, 161
тензорное произведение
- алгебраическое, 430
- банахово, 430
- гильбертово, 431
теорема
- Асколи-Арцела, 45, 67
- Банаха-Алаоглу-Бурбаки, 284
- Банаха-Дьедонне, 311
- Банаха-Шаудера, 254, 456, 457
- Банаха-Штейнгауза, 249, 457
- Беппо Леви, 136
- Боля-Брауэра, 178, 231
- Бохнера, 534
- Бэра о категории, 31
- Валле-Пуссена, 171
- Вигнера, 445
- Гельфанда-Мазура, 612
- Гельфанда-Наймарка, 621, 625
- Гильберта-Шмидта, 374
- Глисона, 445
- Голдстайна, 286
- Даугавета, 298
- Дворецкого, 234
- Дини, 42
- Дубовицкого-Милютина, 664
- Дэвиса-Фигеля-Джонсона-
Пелчинского, 484
- Егорова, 122
- Забрейко, 456
- Йордана-фон Неймана, 213
- Кадеца, 235
- Каратеодори, 107
- Карлесона, 200
- Крейна-Мильмана, 488
- Крейна-Шмульяна, 306
- Лебега, 191
- Лебега о мажорированной
сходимости, 138
- Лебега-Витали, 170
- Лузина, 127
- Макки-Аренса, 477
- Мальгранжа-Эренпрайса, 517
- Милютина, 235
- Моро-Рокафеллара, 664
- фон Неймана, 411, 420
- Никольского, 432
- Петре, 494
- Пича, 419
- Планшереля, 504
- Радона-Никодима, 152, 271
- Римана-Лебега, 201
- Рисса, 125, 270, 273, 338
- Рисса-Фишера, 227
- Рисса М. и Торина, 339
- Стоуна, 57, 569
- Стоуна-Вейерштрасса, 59
- Титчмарша, 508
- Тихонова, 49
- Тонелли, 161
- Урысона, 54
- Фату, 136
- Фубини, 160

722
Предметный указатель
- Хана-Банаха, 258
- Ханта, 200
- Хёрмандера-Лоясевича, 517
- Хольмгрена, 346
- Цермело, 15
- Шаудера, 231
- Шварца о ядре, 494
- интерполяционная, 339
- о биполяре, 464
- о вложенных шарах, 31
- о замкнутом графике, 255,
456, 458, 480
- о монотонных классах, 77
- о неподвижных точках для
сжимающих отображений, 28
- о неявной функции, 651
- об обратной функции, 649
- об обратном
операторе, 255, 458
- об открытом
отображении, 254, 456, 457
- об отображении спектров, 359
- спектральная, 388, 435, 550
тихоновское пространство, 58
тождество Гильберта, 356, 611
топологически сопряженное, 246
топологический базис, 314
топологическое векторное
пространство, 452
топологическое пространство, 33
- метризуемое, 33
топология, 33
- *-слабая, 280
- Гельфанда, 617
- Макки, 476
- индуцированная, 33
- порожденная метрикой, 33
- поточечной сходимости, 35
- произведения, 37
- сильная, 477
- сильная операторная, 283
- слабая, 280
- слабая операторная, 283
тотальная система, 226
точечный спектр, 401
точка
- Лебега, 195
- внутренняя, 20
- изолированная, 19, 34
- конденсации, 19, 34
- крайняя, 234
- предельная, 19, 33
- прикосновения, 19, 34
- сгущения, 19, 34
У
Урысона теорема, 54
унитарный инвариант, 378
унитарный оператор, 377
упорядоченное
- векторное пространство, 236
- множество, 14, 15, 237
уравновешенная выпуклая
оболочка, 230
уравновешенное множество, 230
условие Дини, 202, 498
условие Липшица, 26
условие Стоуна, 337
Φ
Фату теорема (лемма), 136
Фейера сумма, 206
Фишера вариационный
принцип, 376
Фредгольма альтернатива, 369
Фреше производная, 635
Фреше пространство, 453
Фубини теорема, 160
Фурье
- коэффициент, 199, 222
- преобразование
--β^,495
- - в L2, 502
-в5', 504
- ряд,199
факторизация по ядру, 257
финитная представимость, 234
форма билинейная оператора, 362
форма квадратичная
оператора, 362
формула
- Ньютона-Лейбница, 196
- Пуассона, 536
- Тейлора, 656
- замены переменных, 167, 169,
196
- интегрирования по частям, 196
фундаментальная
последовательность, 19
фундаментальность

Предметный указатель
723
-bL\ 140
- в среднем, 140
- по мере, 123
функции эквивалентные, 120, 140
функционал
- Минковского, 261
- линейный, 245
- положительный, 623, 321
функция
- δ Дирака, 466
- μ-интегрируемая, 129
- Кантора, 121
- Хевисайда, 470, 505
- абсолютно непрерывная, 188
- борелевская, 116
- выпуклая, 258
- измеримая
— относительно меры, 119
— относительно
σ-алгебры, 115
— по Борелю, 116
- индикаторная, 115
- интегрируемая по Лебегу, 129
- канторовская, 121
- ограниченной вариации, 182
- однородно-выпуклая, 258
- обобщенная, 465
- пробная, 466
- простая, 116
- распределения, 102
- сингулярная, 198
- скачков, 198
- со значениями в [0, -f-oo], 118
- существенно
ограниченная, 147
- характеристическая
множества, 115
- числовая, 78
функция множества
- σ-аддитивная, 78
- аддитивная, 78
- конечно-аддитивная, 78
- полуаддитивная, 79
- счетно-аддитивная, 78
- счетно-субаддитивная, 81
- субаддитивная, 79
X
Хана разложение, 103, 104
Хана-Банаха теорема, 258
Хаита теорема, 200
Хаусдорф Ф., 34
Хаусдорфа метрика, 67
Хевисайда функция, 470, 505
Хёрмандера-Лоясевича
теорема, 517
Хольмгрена теорема, 346
характер, 600
характеристическая функция, 115
хаусдорфово пространство, 34
Ц
Цермело теорема, 15
Цорна лемма, 15
центрированное семейство, 49
цепь, 15
Ч
Чебышёва неравенство, 130
Чебышёва-Эрмита многочлен, 228
частичный порядок, 14
число регулярное, 355, 544
число собственное, 356
числовая функция, 78
Ш
Шаудера
- базис, 314
- теорема, 231
Шварца теорема о ядре, 494
шар замкнутый, 18
шар открытый, 18
Э
эквивалентности отношение, 14
эквивалентность мер, 151
эквивалентность функций, 120, 140
эквивалентные меры, 151
эквивалентные нормы, 219
элемент максимальный, 15
эллипсоид Джона, 235
энтропия метрическая, 40
эрмитов оператор, 289
эрмитов элемент, 602
Ю
Юнга неравенство, 177
Я
ядро Фейера, 206
ядро алгебраическое, 261
ядро оператора, 257

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. (499) 135-54-37
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Вогачев Владимир Игоревич
Смоляное Олег Георгиевич
Действительный
и функциональный анализ:
университетский курс
Технический редактор A. J5. Широбоков
Корректор Г. Г. Тетерина
Подписано в печать 27.04.2009. Формат 60 χ 84%6.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 42,08. Уч.-изд. л. 43,12.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1. Заказ №22.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295
Переплет выполнен в ГУЛ УР «Ижевский полиграфический комбинат»
426039, г. Ижевск, Боткинское шоссе, 180.