Автор: Никитин Ю.П. Розенталь И.Л.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика физика высоких энергий
Год: 1976
Текст
Ю. П. НИКИТИН, И. Л. РОЗЕНТАЛЬ
ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВЕННЫХ
- ПРОЦЕССОВ
УДК 539.1.162.1268
Никитин Ю. П., Розенталь И. Л. Теория мно-
жественных процессов. М.. Атомиздат, 1976, с. 232.
Авторы рассматривают теорию множественных про
цессов образования нескольких элементарных частиц при
столкновении двух быстрых адронов. Главная идея
книги — изложение физических основ классической и кван-
товой интерпретации множественных процессов. Значи-
тельное внимание уделено сопоставлению обоих направ-
лений, выявлению их сильных и слабых сторон и поиску
путей развития теории множественных процессов
Книга рассчитана на физиков-теоретиков и экспери
мептаторов, работающих или специализирующихся в обла-
сти физики высоких энергий. Она будет полезна студен-
там старших курсов, интересующимся современными про-
блемами физики высоких энергий.
Таблиц — 2. Рисунков — 53. Списки литературы — 213
наименований.
20402—027
Н ----------
034(01)—76
27—76
© Атомиздат, 1976
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . • ' ’ ' ' о
Принятые обозначения
Глава 1. Методы описания и характеристики множествен-
ных процессов
1 1. Функция распределения
1.2. Инклюзивные процессы ........................
1.3. Двухчастичные распределения и корреляции • . 16
1.4. Кинематические переменные . . ... 20
1,5. Связь между переменными хну .... 26
1.6. Области пионизации и фрагментации .... 28
1.7. Некоторые характеристики множественных про-
цессов 31
Список литературы 35
Глава 2. Экспериментальные данные о множественных
процессах 37
2.1. Угловые и энергетические распределения 37
2.2. Распределение по поперечным импульсам . . 41
2.3. Лидирующие частицы * .' . .............45
2.4. Состав вторичных частиц и сечение взаимо-
действия . . 50
2.5. Множественность вторичных частиц 52
2.6. Двухчастичные корреляции . 53
Список литературы . . . .58
Глава 3. Кинематические свойства инклюзивных спектров 60
3.1. Подобие спектров ультрарелятивистских частиц
в различных системах отсчета.................60
3.2. Масштабная инвариантность и релятивистские
преобразования ................................... .61
3.3. Скейлииг в переменных быстроты 64
3.4. Особенности распределения по переменной г)
при т}->0 . 68
Список литературы . .75
3
Глава 4. Стастистические модели ... . . 76
4.1. Об универсальности статистического подхода 76
4.2. Статистическая модель со сжатым объемом 80
4.3. Статистическая модель с расширяющимся объемом 86
4 4 Статистическая модель с инвариантным фазовым
объемом (LIPS) . . . . 93
Список литературы 95
Глава 5. Гидродинамическая теория ... 97
5.1. Основные идеи гидродинамической теории 97
5.2. Гидродинамический разлет 99
5.3. Лидирующие частицы 104
5.4. Квазискейлинговый характер гидродинамической
теории.............................................106
5.5. О флуктуациях в гидродинамической теории . 107
5.6. О некоторых принципиальных аспектах гидро-
динамической теории . . 109
5.7 Сопоставление с экспериментальными данными 112
5.8. О путях проверки гидродинамической теории 114
5.9. Корреляции тождественных частиц и пространст- И5
веино-времеииые размеры области взаимодействия
Список литературы . 118
Глава 6. Мультипериферическая модель 121
6.1. Периферическое взаимодействие 121
6.2. Мультипериферическая модель . . 125
6.3. Физические основы мультипериферизма . . . 127
6.4. Правила вычисления мультипериферических диа-
грамм ............................................ 130
6.5. Модель обмена бесспииовыми частицами . . 132
6.6. Связь мультипериферизма с методом полюсов
Редже . 135
6.7. Пространственно-временная картина взаимо-
действия ..............................138
6.8. Мультипериферизм. Инклюзивные процессы в об-
ластях пиоиизации и фрагментации . 143
6.9. Эксклюзивные процессы в мультиреджеоииой
модели ............................150
6.10. Полное сечение п—л-взаимодействия в мульти-
периферической модели с реджезованиым пионом 153
6.11 Основные выводы мультипериферизма . 155
6.12. Об аналогиях и различиях между мультнперифе-
ризмом и гидродинамической теорией . . 155
Список литературы . . . . 159
Глава 7. Масштабная инвариантность в множественных
процессах 161
7 .1. Гипотеза предельной фрагментации и масштабная
инвариантность 161
7 .2. Предельная фрагментация и пионизация 165
7 .3. Гипотеза масштабной инвариантности 167
4
7 4. Принцип автомодельности . . . . . .
7 5 Применение принципа автомодельности к множест-
венным процессам
Список литературы .......................................
172
173
176
Глава 8. Метод комплексных моментов и инклюзивные
процессы .... 177
8 V Основы анализа инклюзивных процессов в теории
комплексных моментов................................177
8 2 Поведение инклюзивных процессов в областях
фрагментации ......................... 181
8 3. Реджевский анализ инклюзивных процессов вблизи
кинематических границ |х| ~U Трехреджеоиный
предел . ........... [86
8. 4. Реджевский анализ в области х—0 .... 190
8. 5. Двухчастичные распределения в области пиоии-
зации Jofi
Список литературы
Глава 9. Партонная модель . . . . . 197
9.1. Взаимодействия лептонов с адронами 197
9.2. Понятие о партонах . . . . 202
9.3. Время жизни партона 203
9.4. Взаимодействие партонов и электронов 206
9.5. Распределение партонов по доле продольного
импульса адрона .................................. 207
9.6. Качественное описание множественных процессов
иа основе партонной модели ....................... 210
9.7. Образование адронов с большими поперечными
импульсами .212
Список литературы 215
Дополнение 1. Аппарат статистической теории . 217
Дополнение 2. Гидродинамический разлет .... 220
Список литературы . ... . 227
Алфавитно-предметный указатель 229
ПРЕДИСЛОВИЕ
Не так давно полагали, что множественные процес-
сы — сложное и малопонятное явление. На ускорителях
предпочтение отдавалось исследованиям наиболее эле-
ментарного двухчастичного акта (упругого рассеяния),
слабого взаимодействия и систематизации частиц. Си-
туация коренным образом изменилась после запуска
больших ускорителей в Серпухове (СССР), Батавии
(США) и ЦЕРНе (Швейцария).
Множественные процессы составляют основную долю
взаимодействий адронов, исследуемых на этих ускори-
телях. Поэтому они являются сейчас основным предме-
том исследований на больших ускорителях. Им посвя-
щено значительное число симпозиумов, даже относи-
тельно частные вопросы множественных процессов —
предмет обсуждения специальных совещаний.
В результате перед авторами возникли сложные аль-
тернативы. Прежде всего: должна ли быть монография
энциклопедией по теории множественных процессов или
нужно выбрать только основные ее направления? Авторы
решительно пошли по второму пути: в книге изложены
физические основы некоторых направлений теории мно-
жественных процессов.
При отборе моделей множественных процессов сле-
дует иметь в виду, что в нашем распоряжении имеется
два «языка»: классический и квантовый. Система из
многих элементарных частиц обладает квазиклассиче-
скими свойствами; совокупность элементарных частиц —
микросистема. Поэтому a priori нельзя для описания
множественных процессов сделать выбор между этими
двумя «языками». Классическая интерпретация нашла
свое отражение в статистическо гидродинамической тео-
6
рии квантовая — в многочисленных вариантах мульти-
певиферийной модели.
Несмотря на внешне сильное различие, классический
и квантовый подходы хорошо интерпретируют основные
характеристики множественных процессов. Статистиче-
ско-гидродинамическая модель с помощью небольшого
числа параметров, которые можно оценить, как прави-
ло исходя из простых физических соображений, исполь-
зуется сейчас для интерпретации данных, полученных на
больших ускорителях. Мультипериферическая модель с
привлечением метода комплексных моментов может
объяснить основную совокупность данных о взаимодей-
ствии адронов высоких энергий.
Основная цель нашей книги — подвести итоги разви-
тия обоих направлений и попытаться сформулировать
пути подхода к выбору между классическим и кванто-
вым описаниями множественных процессов.
Возможно, что последующее развитие наших пред-
ставлений о множественных процессах приведет к треть-
ему описанию, не сводимому полностью к классическому
или полевому. Нельзя также исключить, что различные
подходы объемлют отдельные стороны множественных
процессов. Нам представляется уместной аналогия с те-
орией ядра. Атомное ядро, по видимому, более простой
объект, чем множественное образование частиц, однако
различные подходы (например, жидкостная и оболочеч-
ная модели) при описании характеристик ядер адекват-
ны. Аналогичная ситуация существует и в моделях ядер-
ных реакций.
Важным фактором при выборе между классическим и
квантовым подходами является сопоставление выводов
обоих направлений с опытом. Здесь в первую очередь
были использованы те характеристики множественных
процессов, которые связаны с принципиальными основа-
ми обоих направлений* В то же время мы по возмож-
ности избегали построений, объясняющих с помощью
многочисленных свободных параметров детали экспери-
ментальных распределений. Поэтому при отборе моде-
лей важную роль сыграло соотношение между числами
Подробное изложение экспериментальных результатов иссле-
П И НСЯпыГеС-ТВеНм'Х процессов монографию В. С. Мурзина,
-р" ’“р-
7
свободных параметров и интерпретированных характе-
ристик множественных процессов. Первостепенное зна-
чение, на наш взгляд, имеют эвристические возмож-
ности моделей. Авторы старались выбрать модели,
которые при минимальном числе параметров объясняют
наибольшее число экспериментальных фактов.
Все эти обстоятельства, а также ограниченный объ-
ем книги сделали невозможным освещение многих, под-
час интересных работ. В частности, были рассмотрены
только нуклон-нуклонные соударения и почти не затро-
нуты проблемы кластеризации и статистического бут-
страпа.
Развитие теории множественных процессов показа-
ло, что их интерпретация не может быть завершена без
привлечения гипотез, лежащих вне основных положений
современной теории поля. Поэтому основное внимание
уделено анализу теоретических построений, которые со-
держат значительный элемент постулативности. Вопросы
же, базирующиеся на принципах теории поля, изложе-
ны подробно в монографиях*.
Диапазон исследователей множественных процессов
весьма велик: от экспериментаторов, интересующихся
лишь своей работой, до теоретиков, которым более важ-
на математическая форма теории. Поэтому идейная и
формальная сторона моделей разделены и в дополнение
вынесены вопросы, связанные с аппаратом теории.
Естественно, что в столь новой и сложной области
физики, как теория множественных процессов, нет уни-
фицированной оценки значения и перспектив различных
направлений. Мы стремились дать всестороннюю и объ-
ективную оценку классического и квантового подходов.
Авторы благодарят М. Г. Рыскина и К А. Тер-Мар-
тиросяна, прочитавших рукопись и сделавших много по-
лезных замечаний.
* Итоги этого направления см. в книге Ю. В. Новожилова
«Введение в теорию элементарных частиц» (М., «Наука», 1972).
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ра — 4-импульс первичной частицы, движущейся в Л-системе
£°—энергия налетающей частицы в Л-системе
ро___3-импульс налетающей частицы в Л-системе
рь___4-импульс мишени (частицы, покоящейся в Л-системе)
рс —4-импульс вторичной частицы сорта с
£с — энергия вторичной частицы сорта с в Л-системе
рг — 3-импульс вторичной частицы в Л-системе
р — 4-импульс произвольной вторичной частицы
£ — энергия произвольной вторичной частицы в Л-системе
р—3-импульс произвольной вторичной частицы в Л-системе
О — угол вылета вторичной частицы в Л-системе
p^ —составляющая импульса, параллельная Ро, вторичной
частицы
рд_ — составляющая импульса, перпендикулярная Ра, вторич-
ной частицы (поперечный импульс)
уа — быстрота первичной частицы в Л-системе
уь — быстрота вторичной частицы в Л-системе
Те же величины со звездочкой (например, Е* —- энергия вторич-
ной частицы) относятся к /(-системе
1)=—1п tg(O*/2)
/I Р« I
ат — полное сечение
Он — сечение неупругих процессов
Су — сечение упругих процессов
N — полная множественность
Na — множественность заряженных частиц
е — плотность энергии
Sa — удельная энтропия
Рл — давление
То — начальная температура системы
Т/—конечная температура системы
m —масса пиона
М — масса нуклона
та — масса налетающей частицы
ть — масса частицы-мишени
Мы полагаем fz = c=l
9
ГЛАВА 1
МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
МНОЖЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Множественными процессами называют образование
нескольких (Л'^3) вторичных частиц при взаимодейст-
вии двух адронов высокой энергии.
Число вторичных частиц в процессах множественного
рождения сравнительно велико и медленно растет с
энергией. Среди вторичных частиц часто встречаются
релятивистские частицы с энергией Ег~^>тг — масса
вторичной частицы). Число характеристик вторичных ча-
стиц велико, а число каналов реакций с ростом энергии
первичных частиц увеличивается. Это обусловливает
сложность исследования множественных процессов и их
анализа. При обработке и анализе экспериментальных
данных используются различные системы отсчета. Вы-
бор системы координат очень существен, поскольку
многие физические эффекты по-разному проявляются в
различных системах отсчета.
Для анализа множественного процесса.
а + b с + d+ . . ,-фА (1.1)
(а и b — сталкивающиеся адроны; с, ... N — вторичные
адроны) наиболее употребительны три физически выде-
ленные системы отсчета.
Первая — лабораторная система (Л-система), в ко-
торой покоится частица-мишень Ь, т. е. 3-импульс этой
частицы Рь = О, а энергия Еъ = ть, где ть — масса покоя
мишени. Все эксперименты в адронной физике высоких
энергий до вступления в строй ускорителя (ISR) * на
встречных протон-протонных пучках проводились имен-
но в Л-системе, когда пучок частиц какого-либо сорта а
* ISR — Intersecting Storage Rings — пересекающиеся нако-
пительные кольца.
10
pt pt n, п, Л) взаимодействуете неподвижной ча-
стицей-мишенью b.
Вторая система отсчета — это система центра инер-
ции сталкивающихся частиц (//-система). В этой си-
стеме отсчета сумма 3-векторов импульсов первичных
частиц равна нулю!
р:+р;=о.
В опытах на ISR осуществляется система отсчета, близ-
кая к //-системе*.
И, наконец, третья система отсчета — это зеркальная
система, которую часто называют также проективной или
антилабораторной (Л-система). В Л-системе покоится
налетающая (в Л-системе) частица, т. е. Ра = 0.
Из приведенных выше определений систем отсчета
видно их отношение к состоянию движения первичных
частиц. В Л-системе практически вся полная энергия си-
стемы сосредоточена до столкновения на частице а, в
Л-системе — на частице Ь, в //-системе сталкивающиеся
частицы выступают равноправно.
Исследование закономерностей процессов множест-
венного рождения требует введения адекватных количе-
ственных характеристик таких процессов. В дальнейшем
будем интересоваться распределением вторичных частиц
по их энергиям и углам вылета или по другим перемен-
ным, характеризующим состояния частиц. Введем функ-
цию распределения вторичных частиц в фазовом прост-
ранстве:
р = р(М)(рс> Pdb . . Pn- pat pby (1.2)
Эта функция в общем случае зависит от 3-импульсов пер-
вичных и вторичных частиц, от их сорта, масс покоя,
внутренних квантовых чисел частиц и пропорциональна
плотности вероятности обнаружить частицы с, d, N
в элементе релятивистски инвариантного фазового объе-
ма вторичных частиц в реакции (1.1):
Д3Р д, . .
2En (2л)з 6 (Р“ + Рь — Рс~ Ра~ • ~PN),
- (1-3)
•------------------------------------------------,ПУ'1К" иа ISR пересекаются в области взаимодействия под
\ гл ОМ I э .
11
где d3pN/2 EN(2 я)3— релятивистски инвариантный эле-
мент фазового объема одной частицы; 4-мерная 6-функ-
ция выражает закон сохранения энергии и импульса в
процессе (1.1).
В силу релятивистской инвариантности плотность
распределения зависит от 4-импульсов первичных частиц
через инвариантные переменные. Если проинтегрировать
распределение (1.3) по фазовому объему всех частиц,
кроме одной (например, с), усреднить по спиновым со-
стояниям первичных частиц и просуммировать по спи-
новым состояниям вторичных частиц, то получим так
называемое одночастичное распределение по импульсам
частицы сорта с в реакции (1.1) с числом N—-1 других
частиц:
^R<^P1,Pa,Pt)-_^, (1.4)
где функция /?(|)(Ро Ра, Pb) характеризует плотность
распределения по импульсам и углам вылета вторичной
частицы с, образованной в реакции (1.1), при всех воз-
можных состояниях остальных N—1 частиц.
Очевидно, что изучать одночастичные распределения
(1.4) намного проще, чем многочастичные (1.3). В на-
стоящее время экспериментальное исследование много-
частичных распределений и их теоретическая интерпре-
тация настолько сложны, что в основном исследуются
только одночастичные распределения. Исследование су-
щественно более простых одночастичных распределений
дает все же довольно важную информацию о механиз-
мах множественных процессов. Одночастичная функция
распределения, вообще говоря, зависит от характеристик
первичных частиц и изучаемой частицы с, а также от
состояния остальной системы вторичных частиц. Про-
цессы типа (11) получили название эксклюзивных про-
цессов [1].
1.2. ИНКЛЮЗИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Исследование множественных процессов существен-
но упрощается, если ограничиться так называемыми ин-
клюзивными процессами [1]:
а 4- b -> с + X, (1.5)
где X — система недетектируемых вторичных адронов.
12
Инклюзивным распределением называется распре-
опрние получающееся в результате суммирования по
возможным каналам образования частипы с. На
Впыте построение инклюзивных распределений сводится
к следующей процедуре. Пусть при столкновении образу-
ется п частиц сорта с:
а + b -> сх + с2 + . . • -\-сп-\-Х, (1-6)
где х—система адронов, не содержащая частиц сор-
та с. Дифференциальное сечение этого процесса
где j — инвариантный поток первичных частиц; множи-
тель 1/п! появляется в силу тождественности частиц
сорта с; М(п, X)—матричный элемент реакции (1.6);
c/Qx — элемент фазового объема системы адронов X.
Проинтегрируем по фазовому объему системы X и
просуммируем полученный результат по всем возмож-
ным каналам X. Тогда получим дифференциальное сече-
ние образования п частиц сорта с с произвольным ад-
ронным сопровождением:
"°(») = Г'"’ <Р„. ......Р... Р.) ± П
(1.8)
Функция Лл> релятивистски инвариантна в силу инва-
риантности дифференциального сечения do(n) и фазо-
вого объема.
Для получения одночастичного распределения про-
интегрируем выражение (1.8) по всем импульсам частиц
сорта с, кроме одной. Тогда получается дифференциаль-
ное сечение образования произвольной частицы с, рож-
денной совместно с п—1 частицами того же сорта, при
любом возможном адронном сопровождении, не содер-
жащем уже частиц сорта с:
doc(n)=F(l} (п, рс, Ра, (1.9)
13
При построении инклюзивного распределения вклад
от реакции с числом частиц п учитывается п раз в си-
лу тождественности частиц сорта с. Дифференциальное
сечение инклюзивного процесса (1.5) получается после
суммирования по всем каналам с рождением п частиц
сорта с:
лмакс
doc (1) = £ ndac(") = (рс, Ра, (1-Ю)
Функция F(1)(pc; Ра, Рь) является релятивистски инва-
риантной функцией распределения инклюзивной части-
цы с. Распределение F0> — сумма по всем каналам пар-
циальных функций распределения Fn(ti; рс\ Ра, Ръ), взя-
тых с весами, равными множественности частиц с в
каждом канале.
Из определения (1.10) нетрудно установить норми-
ровку функции распределения Л')_ Действительно, инте-
грал
= 0 1!)
где dQr=d'ipcl'2 Е( (2л)3; о< (п) —полное сечение образо-
вания п частиц сорта с. С другой стороны, сумма сече-
ний всех каналов с образованием п частиц сорта с:
лмакс
ХаЛ«)=аст (1.12)
п=1 I
равна полному сечению взаимодействия частиц а и b
в случае, если частица с того же сорта, что и одна из
первичных. Если же частица с другого сорта, чем ча-
стицы а или Ь, тогда
лмакс
Sac(n) = aT-QT(« = 0). (1.13)
П=1
где <тт(п = 0) —полное сечение взаимодействия частиц
а и b без образования частиц сорта с.
По определению средняя множественность частиц
сорта с, образованных в ab-соударении:
_ ”макс
П = J] nW (п), (1-14)
nsi
14
где Ц7(н) = о(п)/от — вероятность образования п ча-
стиц сорта с.
Из (1.14) следует, что
•= /?от.
(1.15)
функцию
(116)
(1.17)
проинте-
(на’
J
формула (1-15) определяет нормировку функции рас-
пределения F(1)(P<-, Ра, Рь), которая называется инвари-
антным дифференциальным сечением инклюзивного про-
ЦСССС1- еуп
Удобно использовать вместо функции Л1’
с условием нормировки
Иногда используют также распределения,
грированные по одной из переменных ру или
пример, dN/dp J. Функция р<‘> называется спектраль-
ной плотностью одночастичного распределения в ин-
клюзивном процессе. В дальнейшем будут рассматри-
ваться инклюзивные функции распределения Л1) и p<L>,
которые интенсивно изучаются экспериментально на
больших ускорителях и в космическом излучении (см.
гл. 2).
Укажем на некоторые простейшие интегральные со-
отношения для функций р(‘>, следующие из
хранения [2, 3].
Средний 4-импульс одной частицы сорта
по формуле
законов co-
c находится
- _ Р P(dcc(n}
с J Щ (п)
Среднее значение суммарного импульса
инклюзивном процессе (1.5) вычисляется согласно опре-
делению по формуле
_ "макс_______
^с= X Pc(n)W(n)
П=1
(1.18)
частиц с в
(1.19)
или
= С р р(1) ——
е J d 2Ее (2л)з
(1-20)
15
Из законов сохранения Энергии и импульса в произ-
вольной реакции вытекает, что
+ . • -+&N = Ра+ РЬ, (1.21)
где — средний суммарный 4-импульс частиц сорта I.
Тогда из формул (1.20) и (1.21) следует
d3Pi _ р । р
2Et (2л)з а Г Ь'
(1.22)
В выражении (122) сумма берется по всем сортам ча-
стиц, рождающихся в множественных процессах.
Еще одно простое соотношение следует из закона со-
хранения электрического заряда:
*макс
S Чр11’,123)
1=1
где еа, eh — заряды первичных частиц, ег- — заряды вто-
ричных частиц. Аналогично могут быть получены соот-
ношения, вытекающие из других законов сохранения,
например изоспина, странности, G-четности и т. д.
Соотношения (1.17), (1.22), (1.23) и другие, полу
ченные на основе закона сохранения, часто называют
правилами сумм.
1.3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И КОРРЕЛЯЦИИ
Изучая инклюзивные распределения, можно полу-
чить важные, но далеко не исчерпывающие сведения о
механизме протекания процессов множественного рож-
дения (см. гл. 4—7). Однако это не позволяет сделать
однозначный выбор между различными моделями и да-
же между основными направлениями теории множест-
венных процессов. Поэтому в последнее время большой
интерес вызывает исследование следующих по сложно-
сти двухчастичных реакций:
а -\-Ь -* с d X,
(1-24)
где изучаются две вторичные частицы сорта с и d, а
система адронов X содержит все остальные. По всем
16
возможным каналам X производится суммирование.
Дифференциальное сечение процесса (1.24) в канале,
где число частиц сортов end составляет п^1, г>1,
после суммирования по всем возможным недетектируе-
мым каналам X, допускаемым законами сохранения,
имеет вид (c#=d)
do(n, г) = Р(П‘Г} (pci, ...» РсД Рл> • - • > Pdr’ ?а’ ?b) . . *
п Г
у 1 I d3pci 1 I ^3P(ti
* 1 2£„.(2л)з 1 1 2£rfy(2«)3
с 1 /=1
(1.25)
После интегрирования по фазовым объемам всех ча-
стиц сорта с, кроме одной, и по фазовым объемам всех
частиц сорта d, кроме одной, получаем дифференциаль-
ное сечение образования частиц сортов с и d, сопровож-
даемых (п—1) и (г—1) частицами тех же сортов и лю-
бым количеством частиц другого сорта:
do(n, г) = F(2} (п, г, рс, pd, Ра, Рь) —--(J-P"—
(1.26)
Выражение для дифференциального сечения двухча-
стичного инклюзивного процесса (1-24), просуммирован-
ного по всем каналам рождения частиц сортов end,
имеет вид
da"’ = F'='fe,pJ,P„ Рь)^&-
2£с(2л)3
—. (1.27)
2£d (2«)з
Функция Л2’(рс, ра, Ра, Рь) называется инвариант-
ным дифференциальным сечением инклюзивного двух-
частичного процесса (1.24). Установим теперь норми-
ровку этой функции. Полное сечение образования п ча-
стиц сорта сиг частиц сорта d равно интегралу
= г)- (1-28)
По определению, вероятность образования п частиц
сорта сиг частиц сорта d в ab-соударении составляет
Тогда сумма
У пго (п, г) = пг,
От ,
п, г>1
(1.30)
где пг — среднее значение произведения множественно-
стей частиц end, образовавшихся в процессе ай взаи-
модействия.
Формула (1.28) определяет нормировку функции
распределения:
С /7<2)(Рг, Ра, Pt, Pfc)—rf3pc~ • =rtWT- C1 31)
J yPc’ ld’ b,2Ec(2ny 2Ed(2n)3
Спектральная плотность распределения определяется
как
р(2)(рс> Ра, Ра, Рь) = ^(2) (Рс, Ра, Ра, Рь)!^ 0-32)
с нормировкой
fp(2)(p/., Ра Р , Ph) d3pc- —Pd - = nr- (1.33)
J P {Pc Pd ° b' 2EC (2л)3 2Ed (2л)3 V '
Если частицы end одного сорта (c = d), то норми-
ровка будет отличаться от случая c^=d. Действительно,
из п частиц, рожденных в ай-соударении, при измере-
нии дифференциального сечения инклюзивного процесса
необходимо выбрать две частицы. Выбор одной части-
цы можно сделать п способами. Вторую частицу сорта с
можно выбрать (и—1) способами. Поэтому дифферен-
циальное дважды инклюзивное сечение составит
пма>,с
^(2с) _Ун(п-1)^^-. (1.34)
dQ,dQ2 d^dO^
п>2
где под знаком суммы стоит дифференциальное сечение
рождения двух частиц С] и с2 сорта с в сопровождении
(п—2) частиц сорта с и любого числа адронов других
сортов.
После интегрирования выражения (1.34) по фазо-
вым объемам частиц С] и с2 и деления его на полное се-
чение взаимодействия по определению получаем
. "макс _______
— У п(п—1)п(п) = п(п— 1), (1.35)
П>2
18
откуда следует соотношение нормировки для двухча-
стичной спектральной функции:
_L С р(2) . /3^_. = n(n— 1). (i .36)
ат J ' 2£с1 (2л)з 2£сг (2л)»
Интерес к двухчастичным функциям распределения
обусловлен их следующим свойством.
Рассмотрим комбинацию двух- и одночастичной функ-
ций распределения в случае, когда частицы с и d раз-
ного сорта:
/2) (рс, Ра, ра, рь) = Р(2 (Рс Ра, р0, рь) ~
-р">(рс,Ра, 0-37)
Функция /(2) называется двухчастичной корреляционной
функцией. Проводя интегрирование функции (1.37) по
фазовым объемам частиц с и d, находим с учетом усло-
вий нормировки (1.17) и (1.33):
f f(2)d£2cdQd = nr —nr. (1.38)
Если частицы сортов cud испускаются в процессе
(1.24) независимо друг от друга, то среднее произведе-
ние равно произведению средних значений п и г. Тогда
из (1.38) вытекает, что
f f(2}d^lcdQd = 0. (1.39)
Распределение частиц какого-либо сорта по множествен-
ности при их независимом рождении подчиняется зако-
ну Пуассона:
W (п) = (п)п ехр (— n)/n! (1.40)
Вероятность независимого рождения п частиц сорта с
и г частиц сорта d равна произведению вероятностей
W(n, r) = W(n)W(r), (1.41)
откуда и следует результат (1.39).
При рассмотрении корреляций между двумя части-
цами одного сорта корреляционная функция определя-
ется аналогично (1.37):
/2) <РЛ, рс2, ра, Р„) = р(2) (рс1, рс2, Ра, Рь) __
-РП)(рс1> Ра, Рь)р<'Чрсг, Ра, Рь). (1.42)
19
Интегральная корреляция равна при этом, в силу усло-
вий нормировки (1.17) и (1.36)
f /'2 ’dQjdS?., = и (и — 1) — (n)2. (1.43)
В случае независимого испускания частиц сорта с,
т е. по закону (1-40), корреляционная функция имеет
вид:
j/(2)dQcldQc2==0. (1.44)
Таким образом, исследование поведения корреляци-
онных функций позволяет сделать определенные выво-
ды о механизме образования частиц при множественном
рождении и установить связи между ними.
Экспериментальные данные (см. гл. 2) противоречат
закону распределения Пуассона (1.40). Исследование
корреляций наталкивается на существенную трудность:
на них оказывают влияние тривиальные факторы (на-
пример, законы сохранения), которые не всегда позво-
ляют выделить новые динамические закономерности.
Подробное обсуждение этого вопроса проведено в гл. 2.
1.4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Для установления основных закономерностей множе-
ственных процессов экспериментальные данные необхо-
димо представлять в форме, удобной для сравнения с
теорией.
В силу релятивистской инвариантности функция
распределения pl1» (или F(1)) зависит в общем случае от
трех независимых инвариантов, составленных из 4-им-
пульсов частиц а, Ь, с. Из 4-импульсов Ра, Рь и рс
можно составить, например, такие инварианты:
rnx =(Ра+Р»-Ре)2-> tOC=(Pa~Pc)2< *Ьс =
= (Рь-Ре)2 и s = (P„ + PbY. (1.45)
Переменные tnx, tuc, tbs и $ связаны друг с другом:
s + tac + tbc - пРа + ml + т2х. (1.46)
Переменная s связана с первичной энергией сталки-
вающихся частиц:
в Л-системе:
s - тРа + nil + 2тьЕа\
(1-47)
20
в //-системе
s = (Е'а + fb)2;
(1-48)
в Л-системе:
s = m2+m2 + 2maE'b. (1.49)
Переменные tac и tbc называют квадратами передачи
4-импульса. Они зависят от импульсов первичной и вто-
ричной частиц и от угла вылета вторичной частицы. На-
пример, в Л- и /{-системах
tac = m\ + ni2c-2EaEc + 2\ Va\\pc\zac, (1.50)
где zac=cos0ac, 0ас — угол вылета частицы с по отно-
шению к направлению импульса частицы а.
В Л-системе
1ас = т2а + т2~2таЕ'с. (1.51)
Аналогично в Л-системе
Чс = т2ь + т2 — 2тьЕс.
в Ц- и А-системах
Чс== — 2EbEc + 2 | Р6 | | р£. \zbc, (1.52)
где zbc=cos'&bc, 'О'ьс — угол между импульсами Рь и рс.
Переменная т2 имеет смысл квадрата эффективной
массы адронной системы X и равна квадрату полной
энергии адронной струи X в //-системе этого сгустка.
На опыте при фиксированной первичной энергии Еа
можно непосредственно измерить продольную и попереч-
ную компоненты импульса частицы с: р± и pj1. Если
пренебречь спиновыми эффектами, то можно считать, что
инклюзивное распределение обладает аксиальной сим-
метрией и функция распределения зависит, в принципе,
от трех переменных р у, р± и Еа (набор 1) в Л-системе,
как и должно быть с учетом релятивистской инвариант-
ности. Из-за того, что переменная р изменяется при
релятивистских преобразованиях системы отсчета вдоль
оси столкновения, этот набор переменных имеет ясный
физический смысл только в Л-системе.
* Ось р || выбрана вдоль оси столкновения частиц а и b и на-
правлена вдоль вектора импульса налетающей частицы Ра.
21
При выборе релятивистски инвариантных перемен-
ных х, тх и t, описание будет релятивистски инвариант-
ным. Однако использовать инвариантные переменные
s, тх, tac (набор 2) или s, тх, thc (набор 2') также не
всегда удобно. Эти переменные обычно применяются для
описания инклюзивного распределения в том случае,
когда в Л-системе частица с самая быстрая (набор 2)
или самая медленная (набор 2'). Это так называемая
область экспериментов по «недостающей» массе тх.
В частности, такими переменными удобно описывать
процессы дифракционной диссоциации, характеризую-
щиеся тем, что квантовые числа системы адронов X со-
впадают с квантовыми числами одного из первичных
адронов а или Ь. О таком процессе можно говорить, что
первичная частица диссоциирует на группу адронов X,
обмениваясь с другой первичной частицей только 4-им-
пульсом, а не квантовыми числами; т. е. осуществляется
обмен состояниями с квантовыми числами вакуума (см.
гл. 7). Естественно, что частица с при этом должна быть
того же сорта, что и одна из первичных частиц.
Третий из наиболее распространенных наборов пере-
менных выглядит следующим образом: s, х, р± (на-
бор 3), где х = р* * / | Р* |. Этот набор удобен для описа-
ния быстрых частиц в /{-системе. Пределы изменения
переменной х очевидны. При т%, т%; | х | <1.
Переменная х называется скейлинговой переменной, так
как именно эта переменная выступает в роли масштаб-
но инвариантной переменной в весьма плодотворной и
глубокой гипотезе скейлинга [1] (см. гл. 3, 5—8).
Четвертый набор переменных $, у*, рА (набор 4),
где
ус = — In = Arsh , (1.53)
2 Ес-р\с тХс
= j/”tr?c + р'^у . Переменная у* называется быстро-
той в //-системе. Эта переменная при нерелятивистских
энергиях частицы с (р*/Е’<£1) совпадает с
продольной составляющей обычной скорости частицы с:
У‘. = (•«)
* Переменная быстроты впервые в физику множественных
процессов была введена в работе [5].
22
Набор переменных (4) удобен, как будет видно, Для
описания сравнительно медленных частиц в /(-системе,
имеющих значения хС 1.
Отметим еще одно важнейшее свойство переменной
быстроты, а именно, что при продольных преобразова-
ниях Лоренца эта переменная меняется аддитивно.
Пусть переменная быстроты у задана в некоторой
системе отсчета. В системе отсчета, движущейся относи-
тельно первоначальной со скоростью v вдоль оси z,
переменная быстроты
у' = In (Е’ + р'в )/т±.
Поскольку, согласно формулам лоренц преобразования,
Е + vp || р Ц + VE
е =---------—; р и = —- •
то получаем
у' = у + -Lln-(1+^L, (1.55)
J у 1 2 (1 — и)
откуда следует, что переменная быстроты при продоль-
ных преобразованиях меняется на аддитивную величину
ys = Yln(^ (156)
В частности, связь между у* в /(-системе и у в Л-си-
стеме имеет вид
!/ = !/*+-~-^(1 + р*)'(1—и*)), (1-57)
где v* — скорость /{ системы относительно Л-системы:
I Рй \Н.Еа + ть). (1.58)
При высоких энергиях (s^>m£, т2^ быстрота /(-си-
стемы
-yinfs/mQ. О-59)
Энергия и импульс вторичной частицы в любой про-
извольной системе отсчета, движущейся параллельно оси
соударения, выражается через быстроту по формулам:
=-mJ (.chyc.; /7||c = /n±cshzyc. (i .60)
23
Для первичных частиц в Л-системе
Еа = /пйсЬ1/а; | Р„ | = meshi/„; (1.61)
в Д-системе
Е*а = та chE*b = mb ch yb, (1.62)
в Л-системе
Ёь = mb ch y'b; | P; | = tnb sh yb. (1.63)
Установим пределы изменения переменной быстроты.
Наиболее просто это сделать в //-системе. Из определе-
ния (1.53) очевидно, что быстрота имеет наибольшее
значение, когда параллельный импульс р^ максимален
и положителен. Для фиксированного значения р± мак-
симум модуля (р*) осуществляется при максимальной
энергии £*:
. s + m?-(««„„)« 64
г-макс — „ ,— ’ ' ' '
2 / s
где тЖМ11Н— минимально возможная масса недетекти-
руемых частиц, рождающихся совместно с частицей с.
Минимальное значение у* имеет место в том случае,
когда параллельный импульс максимален по модулю и
отрицателен, т. е. р‘ = — |РцМакс|- Таким образом, в
Д-системе у изменяется в симметричных пределах:
Г
___III макс
Е 4-
макс у* < In макс
У " т
макс
(1.65)
При высоких энергиях (s » т2, т2мин , р2_)
— — In—— — In—
2 -2 * «2
(1.66)
В Л-системе, используя связь между у* и у [см. (1.57)
и 1.59)], находим границы изменения для у при высо-
ких энергиях:
In (m±c/mfc) С у С In (s//n±c/nfc). (1.67)
Размер кинематически разрешенной области измене-
ния переменной у в любой системе отсчета, движущей-
24
СЯ вдоль направления движения первичных частиц, со-
ставляет
У — In (sltn2u), С1-68)
т. е. растет с ростом энергии логарифмически.
В данной книге рассматривается только динамика
адронов с массой тс#=0, поэтому быстрота у не может
обратиться в бесконечность, как это могло бы быть при
тс=0 и рХс = 0.
Использование переменной быстроты дает несом-
ненное преимущество при описании инклюзивных про-
цессов. Рассмотрим дифференциальное распределение
вторичной частицы по переменным у и р А в некоторой
произвольной системе отсчета:
<|М>
Элемент инвариантного фазового объема в трехмер-
ном импульсном пространстве можно переписать в про-
странстве быстроты и двумерном пространстве попереч-
ных импульсов в виде
Тогда дифференциальное распределение вторичной ча-
стицы по у и
dn = p^(y, О-71)
При релятивистских преобразованиях вдоль оси
столкновения переменная остается неизменной, а бы-
строта меняется аддитивно согласно соотношению
(1-55).
В новой системе отсчета y'=y+ys, dy' = dy и распре-
деление имеет вид:
dn = p^(y'~ ys, р s) • (1-72)
Э распределение сдвинуто параллельно оси быстрот
на ys по сравнению с распределением (1.71) без изме-
нения формы распределения.
25
Таким образом, распределение по переменной бы-
строты обладает трансляционной инвариантностью при
продольных релятивистских преобразованиях. График
-4 -3 -2 -7 0 1 2 Зу
Рис. 1 Схема релятивистского
преобразования функции dN/dy
функции распределения по переменной быстроты пере-
носится вдоль оси абсцисс на расстояние у„ без измене-
ния (рис. 1).
1.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ х и у
Рассмотрим более детально различия при описании
инклюзивных распределений с помощью переменных х
и у. Выразим переменную х через величину xL = Рц/| Р„ |
в Л-системе. При высоких энергиях (Еа^>та, ть) и
больших параллельных импульсах в //-системе | р*| |
имеем для х^>2
XL—X(\ + /л2/л'25) , (1.73)
т. е. переменная х~хь при достаточно больших поло-
жительных продольных импульсах частицы с в //-систе-
ме. В этом случае распределение по х приближенно не
изменяется при переходе из //-системы в Л-систему.
Если х<0, переменная х' = pj\ Pfc | в Л-системе при
| /?’ | также просто связана с переменной х:
х’ =* х (1 ф- /nl/x®s). (1.74)
Поэтому при х<£____2т /Vs распределение по х' при
переходе в Л-систему остается таким же, как и по пере-
менной х. Таким образом, форма распределения по пе-
ременной х при продольных релятивистских преобразо-
ваниях остается неизменной (с точностью до поправок
~'m2/x2s) лишь для достаточно быстрых частиц с па-
раллельным импульсом, имеющим тот же знак, что и
скорость движения новой системы отсчета.
26
Распределение по х в области значений
__2m±.l Vs Zmsjys существенно меняется
при переходе из одной системы отсчета в другую. Кроме
того, с ростом первичной энергии [s->oo] эта область
исчезает (Ах — 4m_L/j/s ->0). В связи с этим пере-
менная х неудобна для изучения распределений в этой
области. С другой стороны, переменная быстроты у в
области | х | Ч. ItndVs меняется в достаточно ши-
роких пределах: бесконечно малому интервалу Ах->0 в
этой области отвечает конечный интервал Ар* по бы
строте. Докажем это свойство. Связь между переменны-
ми х и у* легко находится [6] из определения перемен-
ной х и соотношений (1.59), (1.62):
znj sh у*
та sh уа
(1-75)
откуда следует, что при s^>ma х->0 и Ах~2 т±/ у" $
Ар* — 1,
(1-76)
т. е. интервал Др* конечен. В силу аддитивности пере-
менной быстроты этот вывод справедлив для распреде-
ления по у в любой системе отсчета.
Следовательно, детали распределения инклюзивных
частиц будут проявляться более отчетливо, если при
х->0 изучать распределение по переменной у, а не по
х. Переменная у удобна и в том случае, когда
2mL/j/s «х^1. Вторичная частица в Д-системе при
этом имеет достаточно большой параллельный импульс:
| ^>т± и переменная |р*| велика. Тогда
р*^±1п-Ш- (1.77)
mJL
где р*>0 и р*<^0 соответственно.
Из формулы (1.77) следует, что при изменении х в
интервале 2 mjJ Jzs<Cx 1 переменная быстроты
меняется в интервале At/ — In —— , который растет ло-
гарифмически с ростом энергии, т. е. и в этом случае
использование переменной быстроты дает преимущества
в силу естественной растянутости интервала ее измене-
27
ния. Это позволяет экспериментально изучать более тон-
кие детали распределения.
Нам осталось теперь провести сравнение описания
в переменных х и у* вблизи кинематических границ,
т. е. при |х|->1. Здесь использование переменных х и
у* дает примерно одинаковые преимущества. Однако
при х->1 переменная х удобнее, чем у, поскольку функ-
ция распределения по х не меняется при продольных
преобразованиях в направлении импульса Ра.
При х->—1 переменная х тоже более удобна, так
как функция распределения по х не изменяется при
продольных преобразованиях в направлении импульса
. Однако вблизи кинематических границ это не имеет
решающего значения. Дело в том, что здесь можно ис-
пользовать несколько видоизмененные переменные бы-
строты. Вблизи верхнего предела вместо переменной
у* (или у} удобнее выбрать в качестве переменной ве-
личину (уа—у), а вблизи нижнего предела величину
(у—Уь)- Очевидно, что эти переменные не меняются при
продольных преобразованиях из-за аддитивных свойств
быстроты.
1.6. ОБЛАСТИ ПИОНИЗАЦИИ И ФРАГМЕНТАЦИИ
Всю разрешенную область изменения быстроты у
(или переменной х) можно разделить условно на три
интервала (физическую трактовку подобного разбиения
см. гл. 3, 6—7).
Область 1 (фрагментация налетающей частицы). Это
область быстрых частиц, вылетающих в переднем ко-
нусе:
в Д-системе
в Л-системе
2тjVs <^х^ 1;
У =Мп (xsltn^tn.!,)-,
х = exp (i/— i/MaKC);
= xs!2tnb.
(1-78)
(1-79)
(1-80)
(1-81)
Область 2 (пионизация) (иногда называют обла-
стью центрального плато). Это область медленных ча-
стиц в Д-системе
28
— 2/п±/j/s x C 2mj_/]/s ;
У - In (s/ml);
(1-82)
(1-83)
p и — m± J s /2mb.
(1-84)
Область 3 (фрагментация мишени). Это область
быстрых частиц, вылетающих в заднем конусе
в Д-системе
— 1 х "С — 2т±/]/s ;
у In (— mJхть\,
х = — exp(i/MIIH —«/).
(1-85)
(1-86)
(1-87)
Общепринятого определения границ, разделяющих
области фрагментации и пионизации, сейчас нет. Гра-
ницы (1.78), (1.82), (1.85) имеют условный характер.
Это обстоятельство вовсе не безобидно, поскольку по-
следствия выходят далеко за пределы определений или
соглашений терминологии. Дело в том, что разделение
кинематической области на области фрагментации и
пионизации предполагает, что в этих областях осуще-
ствляются различные механизмы процесса множествен-
ного рождения. Проверка на опыте различных физиче-
ских гипотез существенно зависит от кинематических
границ применимости этих гипотез. Приведенное выше
определение по духу близко к гипотезе предельной фраг-
ментации, сформулированной в [7] (см. гл. 7). Чтобы яс-
нее понять этот момент, перейдем к определению гра-
ниц кинематических областей на языке переменной у.
Определение, приведенное выше, как легко видеть из
формул (1.78) — (1.85), соответствует следующим гра-
ницам по быстротам в Л-системе:
область 1
-у In (s/mj) + I у t/MaiiC,
(1-88)
область 2
~ In (s/rnj — l С у < -j- In (s/ml) + I, (1.89)
29
область 3
//мин У < -у In (s/m^) — I, (1.90)
гДе //макс 1п(s/m6m±); In(tnjmby, l—l.
Однако границы областей фрагментации и пиониза
цип определяют и иначе (см., например, [8]):
область 1
//макс У //макс> О-'И)
область 2
Л С у С t/макс (1.92)
область 3
yMm^y^L, (1.93)
“У
о
Рис. 2. Схема разбиения рас-
пределения dN/dy
где постоянная £~2—3.
Последнее определение областей пионизации и фраг-
ментации более соответствует духу гипотезы скейлинга
(см. гл. 3). Более детально
различие между гипотезой
скейлинга и гипотезой пре-
дельной фрагментации об-
суждаются в гл. 7, но уже
из определений (1.88)—
(1.90) и (1.91) —(1.93) вид-
но, что область пионизации
при первом определении
остается неизменной с рос-
том энергии, в то время как
области фрагментации рас-
тет логарифмически. При втором определении логариф-
мически растет с ростом энергии область пионизации,
а области фрагментации остаются неизменными. На
рис. 2 представлены схематически границы областей.
При исследовании космического излучения ранее также
производилось аналогичное разбиение на кинематические
области, но границы, как правило, не указывались.
Иногда области вблизи кинематических границ, т. е.
когда |х|~1 и |у* | ~ -у- In У; (У~ In (s/m±)), рассмат-
ривают отдельно, называя эти области дифракционными
[9]. Во всех случаях, когда это необходимо, будем спе-
циально оговаривать, какое из определений границ об-
30
ластей имеется в виду. В области энергий Еа~ 10н4-
Ч-1012 эв Y~3-~4^ различие в определениях гра-
ниц (1.88) —(1.90) и (1.91) —(1.93) невелико, если
£_2ч-3 (см. 18]). Обычно для энергий, достигнутых на
современных ускорителях, получают, что область пиони-
зации ограничена условием |л-| С 0,054-0,1. Этот ин-
тервал значений х относительно невелик, но при энер-
гиях Еа 1012 эв в нем сосредоточена значительная
доля вторичных частиц. Существенную же часть пер-
вичной энергии, наоборот, уносят частицы, находящиеся
вне этого интервала.
Область пионизации часто отличают от областей
фрагментации следующим условием-
. (1.94)
\ dy2 ) ПИОН \ dy2 )фраг
Поэтому область пионизации иногда называют обла-
стью центрального плато распределения dNfdy.
1 7. НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
МНОЖЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Логарифмическая переменная ц. Поскольку обычно
на опыте в первую очередь измеряют углы вылета вто-
ричных частиц, целесообразно ввести квазиаддитивную
величину, являющуюся функцией углов вылета.
Предположим, что lp*| ] > pd, тогда переменная бы-
строты у* в /{-системе будет связана с углом вылета
&* в той же системе приближенной формулой
Р*----О-95)
Очевидно, что формула (1.95) неприменима в области
сравнительно больших углов вылета й* — 1 (р± | р*|( |) .
В этом случае удобно пользоваться переменной
т] = — In tg (й*/2), (1.96)
впервые введенной в физику высоких энергий в рабо-
те [11].
При высоких энергиях (s т2, /и2, пг2с, где
fnc — масса вторичных частиц) основная доля рождаю-
щихся частиц вылетает под малыми углами вперед и
31
назад: fl*<^l (или л—В этом интервале углов
При углах 0*^1 приближенное соотношение
также выполняется.
На опыте обычно измеряют распределение частиц
по т] или по у : dN/dri, dN/dy. Соотношение
dNld\\ = dN /dy (1.97)
хорошо выполняется только для малых углов вылета
частиц (при дополнительном условии р т). Дейст-
вительно, точное значение производной
dr\'dy = Е*/р*, (1.98)
поэтому при т]->-0 (й*~>л/2) формы распределений dN/dr\
и dNfdy могут существенно различаться, если ->-0
(конкретный пример см. в гл. 3).
Лидирующие частицы. Экспериментальные данные
(см. гл. 2) свидетельствуют о том, что среди вторичных
частиц почти всегда имеется энергетически выделен-
ная частица того же сорта, что и одна из сталкиваю-
щихся. Например, в нуклон-нуклонных соударениях ли-
дирующей частицей будет вторичный нуклон, в nN-co-
ударениях — л-мезон и т. д.
В Л-системе лидирующая частица, как правило, един-
ственная. Эта частица обладает наибольшей энергией
среди вторичных частиц. В Д-системе могут быть две
лидируюшие частицы, разлетающиеся в разные сто-
роны.
Для характеристики вторичных частиц в процессах
с лидирующими частицами (это, в основном, Л'ЛАвзаи-
модействия) удобно ввести так называемый коэффици-
ент неупругости К, который определяется следующим
образом:
Д = (1.99)
где Ет — суммарная энергия сталкивающихся частиц в
той системе отсчета, в которой исследуется процесс мно-
жественного рождения. Сумма в выражении (1.99) бе-
рется по всем вторичным частицам, кроме лидирующей
(или лидирующим, если речь идет о Д-системе).
Можно показать [11], что при симметричном распре-
делении вторичных частиц в Д-системе величина К ин-
вариантна относительно продольных преобразований Ло-
32
ренца. Заметим, что коэффициент неупругости К~1-
|хР|, где xe=p|)e/|Pa|, Ре —импульс лидирующей ча-
стицы.
В AW-соударениях кроме вторичных нуклонов к ли-
дирующим частицам часто относят самые быстрые пио-
ны. Число таких пионов обычно не уточняют, но пола-
гают, что оно равно единице по порядку величины. Эти
пионы иногда называют изобарными. Назовем их про-
сто быстрыми, поскольку нельзя показать строго, что
они всегда образуются в результате распада тяжелых
барионов (см. гл. 2).
Состав вторичных частиц. В процессах множествен-
ного рождения образуются частицы различных сортов.
Анализ вторичных частиц по их составу может служить
одним из критериев применимости того или иного тео-
ретического подхода к множественным процессам. В
инклюзивной реакции состав частиц характеризуется па-
раметром
6, = nt (s)/2£ ns, (1.100)
который показывает долю частиц сорта i по отношению
ко всем образовавшимся частицам. Параметр состава
частиц в инклюзивной реакции определяется через сред-
ние множественности:
Sc = nc(s)/JV(s), (1.101)
где пс — средняя множественность частиц сорта с, N —
полная множественность.
Поскольку часто измеряется множественность толь-
ко заряженных частиц, то в качестве характеристики со-
става частиц _используют иные, чем (1.101), величины,
например nc/Ns, где 7Vs(s)—средняя множественность
заряженных частиц. В рр- и ^//-соударениях множест-
венности частиц часто относят к множественности л-ме-
зонов.
Полные, парциальные и топологические сечения. Ин-
тенсивность протекания того или иного процесса харак-
теризуется полным сечением данного процесса. Эта ве-
личина релятивистски инвариантна и имеет размерность
см2. По определению Oi — Fi/F, где F,-- число реакций
типа i, происходящих за некоторое время /; F — число
первичных частиц, проходящих за то же время через
поперечное сечение пучка площадью в 1 см2.
2 Зак »Ц
33
Различают полное сечение взаимодействия
oT=So„ (1.102)
представляющее собой сумму полных сечений всех про-
цессов, включая упругое рассеяние: полное сечение упру-
гого рассеяния, т. е. сечение процесса а + Ь-^а + Ь : оу;
полное сечение неупругих процессов, когда вторичные
частицы превращаются в частицы другого сорта и (или)
порождают новые частицы различных сортов:
°н = <4— оу. (1.103)
В области энергий Еа^> 1010 эв, где уже начинают до-
минировать множественные процессы,
Оу « ~ от-
Парциальным сечением порядка п(а,1С) называют се-
чение образования п частиц определенного сорта с.
Например, сумма сечений всех процессов с образова-
нием двух пионов с любым непионным сопровождением
(О2Я):
р 4- р -* р + р + л+ + л~;
р + р -+ р N тс' + л” Л'1 + № и т. д.
Топологическим сечением ons называют сечение об-
разования ns заряженных частиц в сочетании с произ-
вольным числом нейтральных. Например
Р + Р Р + Р + + л-;
р + р -> р + р + л+ + л~ + л°.
Что касается полного сечения взаимодействия от, то
в этой книге нас будет интересовать исследование его
зависимости от энергии как одного из тестов для про-
верки моделей множественных процессов. При этом сле-
дует иметь в виду строгие результаты, полученные в
рамках общих принципов квантовой теории поля *.
В этом аспекте отметим теорему Фруассара [13], дока-
занную на основе принципов аналитичности, унитарности
и кроссинг-симметрии:
<гт < A In2 (s/s0), (1.104)
где A, So — постоянные величины.
* Методы и результаты поисков общих закономерностей на ос-
нове фундаментальных принципов квантовой теории поля изла-
гаются во многих монографиях (например, [12]).
34
Распределение по множественности. Важнейшей ха-
рактеристикой процесса множественного рождения явля-
ется средняя множественность вторичных частиц и за-
висимость ее от энергии.
Нетрудно видеть, что максимально возможная мно-
жественность вторичных частиц при заданной полной
энергии ) s в //-системе, допускаемая законами со-
хранения,
Ломакс = —та — ть)1т, (1.105)
где в качестве вторичных частиц выбраны самые лег-
кие — пионы.
Полевые и статистические теории предсказывают
различное поведение этой величины с ростом энергии
соударения (см. гл. 4, 5, 6). Строго говоря, на опыте
желательно различать сорта частиц и исследовать пове-
дение средней множественности частиц каждого сорта.
Однако при высоких энергиях (Еа^>10п эв) получение
таких сведений затруднительно, а иногда это нецеле-
сообразно. Дело в том, что, во-первых, основную до-
лю вторичных частиц (~80%) составляют пионы (см.
гл. 2); во-вторых, состав частиц относительно слабо
зависит от первичной энергии, когда она достаточно ве-
лика; в-третьих, на опыте часто возможна регистра-
ция только заряженных частиц, а нейтральные частицы
не детектируются (например, л°-мезоны). Поэтому в ре-
альных экспериментах часто измеряют зависимость от
энергии средней множественности вторичных заряжен-
ных частиц .V„(s). Интересно также изучить поведение
функции W„ (s) распределения частиц по множествен-
ности в зависимости от числа вторичных частиц и от
первичной энергии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Feynman R Р. Very High-Energy Collisions of Hadrons.—
«Phys. Rev. Lett.», 1969, v. 23, p. 1415.
2 . Biell К I., Wolf 1. Energy-Momentum Sum Rules for Single and
Multi-Particle Distribution. — «Phys. Lett.», 1971. v. 37, p. 197.
3 . De Tar C„ Friedman D, Veniziano G. Sum Rules for Inclusive
Cross Sections. — «Phys. Rev.», 1971, v. 4, p. 906.
4 Predazzi E., Veniziano G. A General Formulation of Inclusive
м m Kules ~«Lett. Nuovo cimento», 1971, v. 2, p. 749.
5 илехин Г А. К гидродинамической теории множественного
образования частиц. — «Журн эксперим. и теор. физ », 1958,
Т. OJ, С. 1 1О0.
2* 35
6. High-Energy. Multi—particle Reaction.—«Rev. Mod. Phys.»;
1972, v. 44, p. 284. Auth.: W. R. Frazer e. a.
7. Benecke J., Chou T. T., Yang C. N., Yen E. Hypothesis of Limi-
ting Fragmentaion of High-Energy Collisions.—«Phys. Re».»,
1969, v. 188, p. 2159.
8. Левин E. M., Рыскин M. Г. Процессы множественного рожде-
ния адронов при высокой энергии. — «Материалы школы
ЛИЯФ». Л., 1973.
9. Фейнберг Е. Л. Multiple Production of Hadrons at Cosmic Ray
Energy. — «Phys. Report», 1972, v. 5, p. 237.
10. Ландау Л. Д. О множественном образовании частиц при столк-
новении быстрых частиц. — «Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1953,
т. 17, с 51.
11. Мурзин В. С., Сарычева Л. И. Космические лучи и их взаимо-
действие. М., Атомиздат, 1968.
12. Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц. М.,
«Наука», 1972.
13. Froissart М. Asymptotic Behavior and Substraction in the Man-
delstam Representation. — «Phys. Rev.», 1961, v. 123, p. 1053.
ГЛАВА 2.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
О МНОЖЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССАХ
2.1. УГЛОВЫЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В этой главе представлена сводка важнейших экспе-
риментальных данных о множественных процессах.
Приведены сведения, которые можно относительно од-
нозначно трактовать с точки зрения теоретических моде-
лей, рассмотренных далее (гл. 4—8). (Более подробно
см. монографию [1]).
Исследования на Серпуховском ускорителе и в
ЦЕРНе в области больших значений величины EjEa
0,6—0,7 привели к заключению, что в интервале
энергий первичных протонов 20 \.Еа^ 70 Гэв спектры
вторичных частиц данного сорта л- и К мезонов и анти-
нуклонов при разных значениях Eai и Еа2 тождественны
в пределах экспериментальных ошибок при преобразо-
ваниях Ei/Eai-^E2/Ea2 [2]. Это свойство, названное мас-
штабной инвариантностью, весьма близко к более об-
щему и более употребительному понятию скейлинга (см.
гл. 3). Будем использовать оба термина, не делая меж-
ду ними различия.
Свойства подобия спектров исследовались в много-
численных работах и было показано, что в области до-
статочно больших отношений Е/Еа (или величины х)
свойство масштабной инвариантности хорошо выполня-
ется. По-видимому, область отношения EjEa, в которой
справедлива масштабная инвариантность, возрастает с
ростом энергии Еа.
Свойство подобия спектров первичного космического
излучения и образованных ими пионов отмечалось ра-
нее (см., например, [3]). Энергетический спектр первич-
ного космического излучения характеризуется большой
крутизной; поэтому наблюдаемое в космическом излуче-
нии подобие спектров соответствует масштабной инвари-
антности лишь в области лидирующих частиц.
37
Приведем экспериментальные данные относительно
функций распределений по переменным х и у при боль
ших энергиях первичных протонов Еа > 100 (NAL] * и
Еа 1000 Гэв [ISR]. На рис 3 представлена зависимость
Рис. 3. Измеренные на ISR зависимости инвари
антного сечения от переменной х при фиксирован-
ных значениях р
инвариантного дифференциального сечения от величины
х для различных значений р [4]. Сплошные кривые
соответствуют расчетам по гидродинамической теории
(см. гл. 5).
На рис. 4 [5] и 5 [6] представлены распределения по
логарифмической переменной ц для энергий, соответст-
вующих значению Ея~1012 эв (см. рис. 4), и различ-
ных значений энергий £*, Е* пучков ISR (см рис. 5)
National Accelerator Laboratory, Batavia, USA
38
На рис. 6 представлена зависимость сечения от быстро-
ты /при различных значениях рх [6].
На рис. 7 изображена аналогичная зависимость,
усредненная по р± при значении Еа~1,5-1012 эв [7].
Рис. 4. Распределение do di),
полученное на ISR при энер-
гии £(1~1012 эв
отн.ед.
tty ’
-1,5 -1,0 -о,5 H=lnto(e72)
Сплошная кривая также
намической теории.
представляет расчет гидроди
Рис 5. Распределение l/o-do/di] для различных энергий пуч-
ков TSR Знаком • обозначены события, полученные при раз-
личных значениях Е*а,ь встречных пучков
С увеличением энергии от нескольких десятков Гэв
[8] до Еа~ 103 Гэв увеличивается центральная область
Лр, у которой производная d2Njdy2 существенно меньше,
чем в области больших значений у Иногда этот участок
называют областью центрального плато, неявно подра-
зумевая, что для нее t/2/V/dz/2=0 В действительности же
39
(это особенно относится к области Еа < 100 Гэв) из-за
больших экспериментальных погрешностей пока не до-
казано, что на значительном участке \у при у~0 зна-
Рис. 6. Дифференциальные распределения по быстроте у
для различных значений Еа и фиксированных значений Рд_
Рис. 7. Распределение da/dy*,
полученное на ISR в инклюзив-
ной реакции (£а=1500 Гэв)
чение производной d‘2Nfdy2<^\. Тем не менее с этой ого
воркой мы будем использовать термин центральное
плато*.
* Самые последние наблюдения показали, что при энергиях
ISR центральное плато еще не достигается (см, например,
М. Jacob. Preprint CERN 74 15, 1974)
40
22 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ПОПЕРЕЧНЫМ ИМПУЛЬСАМ
Распределение вторичных частиц dN]dpr характери-
зуется рядом интересных особенностей (подробности
см. работу [9]).
1. Среднее значение р± и распределение по р±
очень слабо зависят (нельзя исключить возможности
Рис. 8. Распределение dN!dp±_ при Еа~Ю12 эв, полу-
ченное при исследовании космического излучения
полной независимости) от первичной энергии Еа и сор-
та сталкивающихся частиц.
2. Среднее значение и форма распределения по р±
зависят от массы вторичных частиц. В достаточно широ-
ком интервале значений 0,2 <р±<2 Гэв распределение
dNfdp± для пионов представляется экспонентой, а для
барионов—скорее распределением Гаусса. В области
Р- ~0,2 Гэв распределение dNjdp±_ имеет максимум.
3. Среднее значение р± уменьшается с увеличением
множественности N. Если представить распределение в
форме
dN/dpj_ = Apsp exp (— aJ_PA)
(2-1)
И, а постоянные), то для рр-столкновений [10]
41
aL = (6,54±0,05) + (0,28±0,01)4
(2.2)
(а выражено в Гэв *). Аналогично, для пионов, об-
разованных в лр-соударениях [11],
а. = 5,36 4- 0,ЗА/с.
_L — °
(2-3)
4. В области рх>2 Гэв зависимость dEfdp. пере-
стает быть экспоненциальной; в интервале 2Ср,<~
< 8 Гэв ее скорее можно аппроксимировать степенной
функцией р^“, где а ~7 -8. Это существенно, посколь-
ку возможно, что область рх 3>2 Гэв характерна так-
же и для глубоконеупругих процессов (см. гл. 9).
Экспериментальные данные относительно распреде-
ления по рх весьма многочисленны [1, 8]. Приведем наи-
более, на наш взгляд, характерные.
На рис 8 приведены данные, полученные при иссле-
довании космического излучения с энергией Еа^ 1012эе
[12]. Сплошная кривая — расчет по гидродинамической
теории.
На рис. 9 представлено распределение dN!dpt, по-
лученное в реакции Л’_р->7.л+ при энергии Ек = 14,3 Гэв.
Сплошная кривая — расчет по термодинамической тео-
рии [13] [см. гл. 5].
На рис. 10 нанесены зависимости инвариантных сече-
нии от р , измеренных на
ISR при различных значе-
ниях в реакции р + р->л4-
+ ... [6]. В широком интер-
вале энергий у/ s форма
зависимости остается при-
ближенно постоянной.
Возможная слабая за-
висимость от энергии р_1_(Еа)
представлена на рис. 11.
Сплошная кривая — расчет
по гидродинамической тео-
рии [14]. На возможное мед-
Рис. 9. Распределение dN/dp L
для пионов, образованных в
реакции Л’-р->/.л при Ек =
= 14,3 Гэв
Ю5^г- —|—I—I Т 1 1—I—| 1 ГТ I I ' I ’ 1 ’ 1 I 1 - 1 Saclay-Strasbourg Collaboration
- + р+р+Я++... Ч р^7Г-+... =:
— + х=0 + к=0
4- +
70*- ч ч — + — ч
4- ч
+ Ч 1 1 ч ++
7 - Ч \52,7ГэВ z + ++ + ++ 5Z,7 T3B=-Z 4- 4-
103 - ч Ч - ++ ч - + , +4- :
£ - Ч Ч + + + -
+ + 4- + += =
Ч ±Ы-ЛГэВ * н Ч -L. 1 “ : + МГэб +
+ 4- + +,
§ юг- ч ч - +4- Ч
4- + - + 4- -
5: + Ч ++ > + ++ -
^1% UJ ч ч ++| Ч 4- 30,-Ь ГэВ + - • + Ч30л ГэВ - + + ’ ++ + + -F
4- + .+ +
10 - + + _ 4- + _
+ 4- 4- 4-, ;
- 4- 4-4- : + Ч :
- ч + •+ + -
- +,2з,ггэб\* *ч +23,2 ГэВ Ч-
1 - ч ч • + ~ Ч — - Ч 2
- 4- - ч :
- • ч• । ч
- ч ч • + - ч
4- 1 1 1 1 +"^
0,1 -L- 1 1 1 _| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
’ 0 0,5 1 7 0,5 рк,ГэВ
Рис. 10. Зависимость инвариантного сечения от р в инклюзивной
реакции р4-р-»-л4-... при х=0
ленное возрастание р £ с увеличением Еа указано также
в работах [15—17].
На рис. 12 изображена зависимость р L от масс вто-
ричных частиц. Сплошная кривая — расчет по термоди-
намической теории (см. гл. 5) при значении температу-
Рис. 11. Зависимость р^_(Еа),
измеренная в космическом из-
лучении (значения р L при
£а>104 Гэв оценены в широ-
ких атмосферных ливнях)
I______। J ।________________। ___
О 500 1000 1500 2000 Изб
Рис. 12. Зависимость р^ от
массы вторичных частиц
О 5 10 15NS
Рис. 13. Зависимость dNIdp,
от множественности N„; по оси
ординат отложен коэффициент
ал в показателе экспоненты,
если аппроксимировать распре-
деление dNidp L экспоненци-
альной зависимостью
ры Т/=140 Мэв* [18]. Зависимость коэффициента
aL(ZVs) для реакции л+р->-л + ... при энергии первич-
ного пиона Ел ~25 Гэв и расчет по статистической тео-
рии (см. гл. 4) представлены на рис. 13 [19]. Зависи-
мость сечения от рдля больших рдана на рис. 14
[20].
* Здесь и далее полагается, что постоянная Больцмана /г=1.
44
В
1O‘lt
ю~13
\з
о 1Се^=53,4ГэО
• *^=57,4
х Я°№=30,6
* 7Г°^=^
о тгЛ5=44
й
'/К
\хх:
\ х
' X
\ X
1<Г31
\ X
\
32
10-зз
W3S
рк,Гэ6
Рис 14 Зависимость инвариантного сечения от р у при
больших значениях рj_ и различных значениях полной
энергии Кs (Гэе) в If-системе
2.3. ЛИДИРУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Много лет назад [21] при исследовании космического
излучения было установлено, что в р/4ь-столкновениях
(Аь — ядра атомов воздуха) нуклоны после столкнове-
ния представляют собой энергетически выделенные ча-
стицы. Иначе говоря, коэффициент неупругости Л~0,5.
В дальнейшем, в весьма широком интервале энер-
гий в многочисленных измерениях на ускорителях была
подтверждена энергетическая выделенность нуклонов.
45
На рис. 15 сопоставляются измеренные на ISR импульс-
ные спектры вторичных нуклонов и иных вторичных ча-
стиц £17]. Обычно полагают К(Еа) =const. К сожалению1,,
данные о прямых измерениях этой зависимости в обьга-
Рис. 15. Зависимость инвари-
антного дифференциального се-
чения от х для вторичных ча-
стиц, образованных в рр-соуда-
рениях £„ = 1500 Гэв при
фиксированном значении Pj_ =
=0.4 Гэв
кой выделенностп нуклонов,
аспекта.
сти энергий Еа'-- 10» ад;
отсутствуют.
Экспериментальные
данные сейчас недоста-
точно точны, чтобы ис-
ключить слабую зависи-
мость К(Еа) (см., напри-
мер, дискуссию в моно-
графии [9]).
Весьма косвенные дан-
ные, найденные при ис-
следовании спектров' кос-
мического излученття1„
скорее свидетельствуют о>
том, что вплоть до энер-
гии первичных частиц-
Еа~ 10124-1013 эв коэф-
фициент К медленно воз-
растает [22], а при энер-
гиях ~ 10134-1014 эв —
быстро увеличивается
[23].
На наш взгляд, суще-
ствен вопрос о физиче-
ском смысле энергетичес-
Здесь можно отметить два
Первый, относительно менее важный, сводится к не-
посредственному происхождению быстрых нуклонов;
например, образование нуклонов через распад изобар
или изменение знака электрического заряда первичных
протонов во время столкновения Из рис. 16 следует, что
с увеличением энергии Е„ вероятность перезарядки воз-
растает до энергий Еа~5-1011 эв, когда она остается
приблизительно постоянной и равной 0,4ч-0,45 [20].
Более неопределенна экспериментальная ситуация с
гипотетической возможностью происхождения вторич-
ных нуклонов через барионные резонансы. Анализ [1]
показал, что при энергиях Е„-~10 Гэв около 10% вто-
ричных нуклонов возникает при распаде изобар
46
Однако более принципиальное значение имеет дру-
гой вопрос: означает ли энергетическая выделенность
нуклонов — выделенность в статистическом смысле?
Рис. 16. Зависимость средней множественности вто-
ричных частиц различных типов от параметра s
Иначе говоря, можно ли, несмотря на разницу энергий
нуклонов и пионов, отнести их к единой статистической
системе? «Очевидный» отрицательный ответ все же
нуждается в пояснении из-за большой разницы масс
нуклонов и пионов. К этому вопросу мы вернемся в
гл. 4 и 5 Сейчас ограничимся лишь двумя замечаниями:
а) если, например, температура системы Т~т, го
полная энергия нуклонов в такой системе примерно в
четыре раза больше энергии пионов;
б) несколько иная ситуация с быстрыми вторичными
пионами и каонами. Определение, например, лидирую-
щего пиона как самого быстрого в некоторой системе
координат бессодержательно, поскольку подобная дефи-
ниция сама по себе ничего не говорит о его происхожде-
47
нии. Утверждение, что такой пион обусловлен распадом
тяжелых барионов при больших энергиях (Ел 100 Гэе),
не имеет прямых экспериментальных оснований.
Для косвенного анализа
*1,0
1,2
1,1
1,0
0,9
10 100 Еп,ГэВ
Рис. 17. Зависимость поло-
жительного избытка косми-
ческих мюонов от их энер-
гии Е^. Данные получены
с помощью различных уста-
новок, регистрирующих кос-
мические мюоны
этого вопроса целесообразно
остановиться на корреляции
знака электрического заряда
наиболее быстрого пиона (ка-
она) со знаком заряда первич-
ной (или первичных) частицы.
В лр-соударениях при Еа
С 30 Гэе подобная значитель-
ная корреляция бесспорно на-
блюдается (см. [1]). Более не-
определенная ситуация суще-
ствует в рр-столкновениях.
Первым толчком к идее
происхождения самых быст-
рых пионов в процессе распа-
Рис. 18. Зависимость дифференциального сечения от Рц для
вторичных частиц, образованных в рр-соударениях, Еа =
= 19,2 Гэе. Цифры около кривых — значения Рц_, Гэе
48
Рис. 19. Зависимость инвариантного дифференциального сечения
от скейлинговой переменной х при различных Еа. Использова-
лись данные, полученные на кольцевом ускорителе (£а = 24 Гэв)
и на ISR
да тяжелых барионов [24] оказалось наблюдение поло-
жительного избытка космических мезонов (см. итого-
вые данные [25]), представленного на рис. 17. Посколь-
ку энергетический спектр первичного космического из-
лучения имеет форму EaydEa (у=2,64-2,7), то основной
вклад в спектр вторичного космического излучения вно-
сят самые быстрые частицы, возникающие в элемен-
тарном акте (см., например, [26, 27]).
Поскольку отношение R потока положительных кос-
мических мюонов к потоку отрицательных примерно
равно 1,2, то это свидетельствует в пользу корреляции
заряда первичной частицы и заряда самого быстрого
пиона пли каона, т. е., по крайней мере частично, эти
пионы или каоны имеют изобарное происхождение [24].
Однако космические данные не отвечают на вопрос
о доле изобарного происхождения таких быстрых частиц.
На рис. 18 и 19 представлены спектры быстрых пио-
нов при различных значениях Еа= 19,2 Гэв (рис. 18;
см. [28]) и Еа ~ 2004-1500 Гэв, полученные на ускорите-
лях NAL и ISR (рис. 19; см. [6]).
49
24 СОСТАВ ВТОРИЧНЫХ ЧАСТИЦ
И СЕЧЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
На рис. 15, 18, 19 и особенно интересном рис. 16
представлены абсолютные выходы л+-, л--, /С+-, К
р- и р- частиц, образованных в рр-соударениях при раз-
личных значениях Еа. Из этих данных можно сделать
следующие заключения.
1. Зависимость среднего числа n„+(s) имеет примерно
ту же форму, что и Ns (s) (7VS— средняя множествен-
ность заряженных частиц).
2. Все остальные характеристики /г ,
возрастают гораздо быстрее. Однако при s~ 100 (Гэе)2
наступает нечто похожее на насыщение; все экспери-
ментальные точки ложатся примерно на кривые, подоб-
ные зависимостям п (S) ИЛИ TVs (s).
3. При значении э~1000 Гэв2 п.'—п и
_ __ _ _ л' л~~
п ,—п _ [более точно п ^-0,7п ), а отноше-
ния и — 0,03.
4. Число протонов при s> 100 Гэв2 остается постоян-
ным и равным примерно 1,1—1,2.
На рис. 20 представлены данные о зависимости пол-
ного сечения рр-взаимодействия ат(Еа) [20]. После ми-
нимума при Еа~20-yl00 Гэв (серпуховский эффект)
сечение возрастает; в области (Е„ ~ 200-У1500 Гэв при-
близительно по закону
о __ in2----------р о (200 Гэе). (2.4)
200 (Гэв)2 т ' '
По-видимому, упругое сечение сту в этой области
энергий также возрастает примерно на 10% [1]. Однако
более существенно, что при Еа> 30 Гэв абсолютное зна-
чение сечения оу сравнительно невелико: оу~
~ (6-5-7) мбарн, т. е. составляет около 20% полного
сечения. Поэтому кривая зависимости неупругого сече-
ния при 50^Еа=С 1000 Гэв (о„(Еа) обычно не измеряется
непосредственно на ускорителях) проходит приблизи-
тельно параллельно кривой зависимости от(Еа), но на
20% ниже последней.
50
Возникает существенный вопрос о ходе зависимости
От(Еа) ИЛИ он(Еа) При £а>2-10|2эв. Единственным
источником частиц в этой области энергий является
космическое излучение. Как уже отмечалось, спектры
вторичных частиц космического излучения чувствитель-
ны лишь к наиболее быстрым частицам, возникающим
10
бг, мбарн
¥5
РР
103 С,Гэв2
35
о Денисов и Вр. (Серпухов
° CHAPMAN е.а.}
О CHARLTON е.а. -NAL
& DA0 е. а.
v HOLDER е. а.
°° AMALDI е.а.
v AMENDOLIA е.а
ISR
30
1
10
1OZ
4Z7
Рис. 20. Зависимость полного сечения от от
энергии Еа. Данные до значений £„'<200 Гэв
получены на кольцевых ускорителях. При боль-
ших значениях Е„ использовались данные ISR
в элементарном акте. Если допустить, что спектры
вторичных частиц подобны, независимо от первичной
энергии Еп. то сечение образования частицы с заданной
величиной будет пропорционально полному сечению от
(или Он).
По-видимому, экстраполяция зависимости (2.3)
вплоть до энергий Еа~ 10174-1018 эв не согласуется с
данными о высотном ходе широких ливней. Однако эти
данные не противоречат более слабой зависимости типа
или
о„ — 1п*/г —- -J- b (2.5)
а
ои~]п1п ~Ь', (2.6)
где a, b, а1, Ь1 — константы.
51
2.5 . МНОЖЕСТВЕННОСТЬ ВТОРИЧНЫХ ЧАСТИЦ
На рис. 21 представлены экспериментальные данные
о зависимости средней множественности Ns(Ea) заря-
женных частиц, полученных на ускорителях Серпухова,
ЦЕРН и NAL [29]. Сплошная кривая-—расчет по гид-
родинамической теории, а пунктирная и штрих-пунктир-
Рис. 21. Зависимость средней
множественности Ns заряжен-
ных частиц от энергии Еа
(данные получены на разных
ускорителях)
Рис. 22. Распределение Еа)
ная кривые — расчеты по статистической теории (см.
гл. 4).
Эмпирическое фитирование экспериментальных дан-
ных удовлетворяет следующему поведению Ns(s) при
s < 200 Гэв2:
Ns — s0,345.
При s > 200 Гэв2
Ns ~ 1,651ns — 1,84.
(2.7)
(2.8)
Эту экспериментальную кривую можно также предста-
вить в более сложной форме, вытекающей из мульти-
реджевского подхода (см. [30] и гл. 7):
- (а b 1 "s ) In s + с/р s + d, (2.9)
где а, Ь, с, d — постоянные.
Значительный интерес представляют распределение
по множественности W(N, Еа) при фиксированной энер-
гии Еа. Оно близко к распределению Пуассона при ма-
52
тых £а~Ю-г-30 Гэв, а затем начинает существенно от-
личаться от этого распределения большей дисперсией.
На рис. 22 дано распределение o(N, Ea) при£а = 303Гэв
[31]- Кривая изображает 'результаты расчета в соответ-
ствии с теорией обмена несколькими реджеонами (см.
гл. 6).
______ 1______\__I__._1 1 ।----------1----------
20 30 50 100 200 Р0,ГэО
Рис. 23. Зависимость Ns/D(Ea)
Среднее значение Ns и дисперсия D = J N2S— (N)2S
удовлетворяют любопытному эмпирическому соотноше-
нию [6]:
Ns/D~2. (2.10)
На рис. 23 представлены экспериментальные данные об
отношении Ns/D [6].
2.6 ДВУХЧАСТИЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Необходимо четко различать корреляции в области
фрагментации, особенно в распределениях лидирующих
нуклонов и пионов, и в области пионизации.
Обычно исследуют корреляции в импульсно-угловых
распределениях (или в распределении по быстроте).
В этом подходе важно различать корреляции, вызванные
уже известными физическими законами и свойствами
инклюзивных процессов, и новыми динамическими кор-
реляциями. Лишь последние содержат новую информа-
цию, сравнительно с известной ранее.
Прежде всего можно отметить тривиальную причину
корреляции — законы сохранения энергии-импульса.
В качестве примера существенного влияния законов
сохранения можно привести зависимость р±(Рл) (см.
дискуссии этого вопроса в монографии [1]).
53
Рассмотрим влияние других факторов на значения
корреляции.
а. Ограниченность поперечных импульсов, которая
чрезвычайно сужает потенциальный объем в фазовом
пространстве. Например, N случайно распределенных
точек имеют существенно большую вероятность распо-
ложиться по соседству, если они размещаются в преде-
лах цилиндра, а не в сферическом объеме.
б. Малость среднего значения коэффициента неупру-
гости К, который подвержен сильным флуктуациям.
Такие флуктуации — бесспорно динамический эффект,
однако при исследовании корреляции в области ппони-
зации, например, нельзя забывать о сильном влиянии на
эти корреляции флуктуаций величины К- Так, интег-
ральные корреляции (см. (1.43)) определяются распре-
делениями по множественности.
Эти распределения существенно зависят от значений
коэффициента неупругостп К (см. гл. 4 и 5), и поэтому
результаты, полученные в соответствии с (1.43), харак-
теризуют не только корреляции в области пионизации, но
и флуктуации в значениях коэффициента неупругостп,
которые весьма велики (см. рис. 15 и 6). Практически
(если исключить пик вблизи х~1), распределение коэф-
фициента К приблизительно равномерно в интервале
0,2<ЕЛ-/Е„<0,9. Уже давно отмечалось [32], что флук-
туации коэффициента неупругостп могут существенно
отразиться на характеристиках вторичных пионов, если
полагать, что они образуют единый кластер *.
Другая причина изменения формы распределения
W(M) связана с тем, что в опыте обычно регистрируют-
ся лишь заряженные частицы. Однако возможно, что
при заданном полном числе частиц NT происходит
перераспределение между числом заряженных Ns и
числом нейтральных частиц Nn. Обе эти причины могут
существенно исказить истинное распределение IF(MS)
или W(N).
Для иллюстрации этих рассуждений мы провели
оценку распределения 1У(У5) для случая Еа=303 Гэв
при следующих предположениях: 1) Лгт=15; 2) коэф-
фициент К распределен равномерно в интервале
0,2</<<0,9; 3) полная множественность Лт зависит от
коэффициента Д в соответствии с гидродинамической
Речь шла о скорости кластера в /{-системе.
54
теорией (см. гл. 5); 4) среднее число заряженных час-
тпи 7Vs=10; 5) зависимость ЛЦХ) =const в интервале
5^Д'й.<35; 6) флуктуации полной множественности опи-
сываются законом Пуассона.
Результаты расчета приведены на рис. 24. Разу-
меется, хорошее согласие кривой, учитывающей перечис-
ленные факторы, с опытом не свидетельствует в пользу
предложенной модели. Основной результат другой: пря-
молинейное использование формул (1.38) и (1.41) для
оценки корреляций может привести к неверному резуль-
тату, если не учитывать специфику отбора регистриру-
емых частиц.
в. К числу известных возможных причин корреляций
нужно отнести также и появление резонансов, которые
очень трудно выделить при больших значениях Еа.
Более оправдано исследование двухчастичных кор-
реляций в дифференциальной форме. Однако, если не
55
интегрировать хотя бы по части переменных, то двух-
частичная функция оказывается слишком сложной (она
зависит от шести переменных: s, р р Рц2. Pjjz’Tiz.
Ф12—азимутальный угол между перпендикулярными
составляющими обоих импульсов. Поэтому выполняют
частичное интегрирование, изменяя функцию распреде-
^12 7
0,1
Рис. 25. Значения функции /?12 для различных энергий £*
встречных пучков
ления по относительным быстротам (р2—У\) или лога-
рифмическим координатам (т]2—гц). В обзоре [33] функ-
ция корреляции определена следующим образом:
^12 Oh. ’Ъ) = он
*—1. (2.11)
d^2 /
d»li
На рис. 25 представлены значения /?12 для различных
энергий встречных пучков 1SR. На этом же рисунке
проявляется уменьшение дисперсии распределения при
увеличении энергии встречных пучков. Нам представ-
ляется, что этот эффект обусловлен ростом множествен-
ности с увеличением энергии. Это, в свою очередь, умень-
шает влияние законов сохранения энергии.
Такая точка зрения подтверждается измерениями
функции распределения по ц при разных множествен-
ностях (рис. 26, [6]). Из анализа данных рис. 26 сле-
56
VCT что с увеличением множественности резко падает
ЧИСЛО чаСТИЦ С 1], бЛИЗКИМИ К Т]макс-
Иногда принято делить корреляции на короткопро-
бежные (short-range correlations) и длиннопробежные
Рис 26. Зависимость сечения —- —— для различных зна-
чений множественности при энергии Еа =15,4 Гэв. Результа-
ты получены на ISR
Из условий симметрии следует, что законы сохране-
ния особенно сильно влияют на длиннопробежные кор-
реляции. Действительно, если в Д-системе одна из
частиц имеет т]~г]макс и множественность мала, то
толжна быть частица с г]~ Цмакс-
Коротко рассмотрим явление кластеризации (см
[33, 35]). Кластеры могут, в принципе, имитироваться
следующими явлениями: а) ограниченностью р , что
приводит к распределению точек в фазовом пространстве
в очень узком цилиндре (вместо шара, кото-
рый представляет объем в фазовом пространстве
при изотропии); б) влиянием резонансов и в) превыше-
нием длины корреляции L~2 (см. рис. 25) над средним
57
расстоянием по быстротам между двумя частицами. Эти
обстоятельства приводят к значительным флуктуациям
распределения вторичных частиц по быстротам.
Весьма перспективно исследование корреляций частиц
с одинаковым зарядом (например, пар л+л+ или л-лг).
Подобный подход снижает роль резонансов в корреля-
ционных подходах и этим увеличивает шансы на нахож-
дение новых динамических закономерностей. С другой
стороны, исследование корреляций одинаковых частиц
позволяет подойти к вопросу об экспериментальном
определении пространственно-временных характеристик
области взаимодействия [36] в рамках статистическо-
гидродинамического подхода. Более подробно этот воп-
рос разобран в гл. 5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мурзин В С., Сарычева Л. И. Множественные процессы при
высоких энергиях. М., Атомиздат, 1974.
2. Бушнин Ю., Денисов С., Донской С. и др. Negative Particle
Production at the 70 GeV IHEP. — «Phys. Lett.», 1969, v. 29,
p 48.
3. Прохождение нуклонов высокой энергии через атмосферу. —
«Труды ФИАН», 1964, т 26, с. 224. Авт.: Барадзеп Л. Т., Руб-
цов В И., Смородин Ю. А. и др.
4. Muck Н. е. a. Pionisation in рр Interaction at 12 and 24 GeV.—
«Phys. Lett.», 1972, v. 39, p. 303.
5. Angular Distribution of Charged Particles Produced in pp Colli-
sions at ISR Energies.—«Phys. Lett.», 1972, v. 39, p. 654.
Auth.: M. Breidenbach, G. Charpak e. a.
6. Jakob M. High Energy Collisions Production Processes at High
Energy. — «Proc. XVI Intern. Conf. High Energy Physics»,
Batavia. 1972.
7. Kittel W. Combining Inclusive and Exclusive Data Analyses. —
Preprint CERN 72—49, 1972.
8. Гришин В. Г Исследование множественного рождения в
л р-взаимодействии при £а = 40 ГэВ. — «Труды Международно-
го семинара по глубоконеупругим и множественным процессам».
Дубна, Изд. ОИЯИ, 1973.
9. Мурзин В. С., Сарычева Л. И. Космические лучи и их взаимо-
действие. М.. Атомиздат, 1968.
10. Smith D. В., Sprafka R. е.а. Momentum Spectra of Charged
Pions Produced in Proion-Proton Interaction. — «Phys Lett.»,
1969, v. 23, p. 1064.
11. Simple Systematic Behavior in Multiple Pion Production.—
«Phys. Rev. Lett.», 1968, v. 20, p. 124. Auth : Elbert J. W. e. a.
12. Imaeda K, Avidan Y. pT-Distribution of Secondary Particles of
Cosmic Ray Jets. — ««Nuovo cimento», 1964, v. 32, p. 1497.
13. Listienne R. Some Feature of Transverse Momentum in Inclusive
58
Reactions. — «Proc. Ill Intern. Coll. Mult. Reaction». Zacopane,
1972, p. 629.
.4 Волженская В. П, Сарычева Л. И. Ноперечныи импульс.
<Лзв. АН СССР. Сер. физ.», 1966, т. 30, с. 1594.
15. Гиллер М . Вдовчик Е. Оценка среднего поперечного, импуль-
са.—«Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1969, т. 33, с. 1498.
16. Bergeson Н. Е., Keulell J. W. е. a. Investigation о! High Ener-
gy Muons. — Preprint University ol Utah, 1970.
17, Morrisson D Review ol Many-Body Interactions at High Ener
gy.—Preprint CERN 72—19, 1972.
18. Hagedorn R. Hadronic Matter Near Boiling Point.—«Nuovo Ci-
mento», 1968, v. 56A, p. 1027.
19. Фейнберг E. Л. Множественная генерация адронов и статисти-
ческая теория. — «Усп. физ. наук», 1971, т. 104, с. 539.
20. Annual Report CERN, 1972.
21. Зацепин Г. Т. К вопросу о кривой поглощения частиц космиче
ского излучения. — «Жури, эксперим. и теор. физ.», 1949,
т. 19, с. 1104.
22. Григоров Н. Л., Раппопорт И. Д, Шестоперов В. Я. Частицы
высоких энергий в космических лучах. М., «Наука», 1973.
23. Никольский С. И. Широкие атмосферные ливни и взаимодейст-
вие частиц высокой энергии. — «Изв. АН СССР. Сер. физ.»,
1969, т. 33, с. 1501.
24. Котов Ю. Д , Розенталь И Л. Происхождение космических мюо
нов и фотонов больших энергий. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1962, т. 43, с. 1411.
25. Flint R. W., Nash W. F. Survey ol Large Zenith Angle Muons
Data. — «Proc. Intern. Coni. Cosmic Rays», Hobart, 1971,
v. 4, p. 1346.
26. Зацепин Г. T. Широкие атмосферные ливни и ядерно-каскад-
ный процесс. Докт. дисс. ФИАН, 1954.
27 Бугаев Э. В, Котов Ю Д., Розенталь И Л. Космические мюо-
ны и нейтрино. М., Атомиздат, 1970.
28. Aliaby J. W. е. a. On Spectra ol Particles Generated in Multiple
Processes. Preprint CERN 70—12, 1972.
29. CERN Courier, 1972, v. 12, p. 169.
30 Левин E. M., Рыскин M. Г. Процессы множественного рождения
адронов при высокой энергии. - «Материалы школы ЛИЯФ»
Л., 1973.
31. Charlton G. е. a. Charged-Particle Multiplisity Distribution Irom
200 GeV pp-Interactions.— «Phys. Rev. Lett.», 1972, v. 29, p. 515.
32. Розенталь И. Л., Сарычева Л. И. К вопросу об асимметричных
ливнях. -«Изв. АН СССР Сер. физ.», 1967, т. 31, с. 1437.
33. Jacob М. Physics at the ISR. — «Preprint CERN TH 16 -39, 1973.
34 Morrisson D. Review ol Experimental Results on Correlations in
High Energy Interactions. «Proc III Intern. Coll. Mult Reac-
tions». Zacopane, 1972, p. 348.
35. Koba Z. Many Particle Inclusive Cross’Sections and Correlations
in Hadronic Production Processes.—«Proc. Ill Intern. Cool Mult.
Reactions». Zacopane,, 1972, p. 314.
36. Копылов Г. И., Подгорецкий М. И. Интерференционные корре-
ляции между тождественными частицами.— «Труды семинара по
глубоконеупрутим и множественным процессам». Дубна Изд
ОИЯИ, 1973, с. 483. J
ГЛАВА 3.
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ИНКЛЮЗИВНЫХ СПЕКТРОВ
3 1. ПОДОБИЕ СПЕКТРОВ УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ
ЧАСТИЦ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
Рассмотрим область асимптотически высоких энергий,
когда зависимостью распределений частиц от их масс
можно пренебречь. Пусть в некоторой системе отсчета
(для определенности будем говорить о Д-системе) из-
вестно распределение вторичных инклюзивных частиц по
импульсам р*:
dN* = р<1 > (р\, р., Р‘\ -. (3.1)
' II -L а' 2Е* (2 л)3 '
где р(1) — инвариантная спектральная плотность распре-
деления. В дальнейшем будем интересоваться ультра-
релятивистскими частицами, имеющими продольные
импульсы
|Р’,||»^- (3.2)
Перейдем к системе отсчета, движущейся со ско-
ростью v относительно Д-системы вдоль направления им-
пульса Р"о. В тривиальном случае, когда скорость v | ,
где v’ —продольная скорость частицы, спектр (3.1)
всех частиц не изменится с точностью до релятивистских
поправок (— и/| и* |). Рассмотрим противоположный
случай больших скоростей v | о* |, когда у-фактор ло-
ренц-преобразования у^>1. Тогда продольные импульсы
ультрарелятивистских частиц, движущихся в Д-системе
в переднюю полусферу, выражаются через импульсы в
новой системе отсчета следующим образом:
р\ ; I Ро I ~ (2?)-11 Р„ |- (3.3)
Точность этих соотношений —т-^/4 (р* )-'; т'^/4 | Рп |2
Спектр импульсов таких частиц в новой системе отсчета
60
описывается той же функцией р<'\ но с другими значения-
ми аргументов:
(|/ P|| n . I р* I \ d?n rf2P±
Р \ 2у ’ Р±’ 2у ) 2Е(2л)з
(3.4)
Распределение (3.4) совпадет с распределением
(3.1), если в новой системе отсчета изменить масштаб
измерения продольных импульсов в 2у раза, т. е. со-
вершить масштабное преобразование:
P^^Pv I Р« I2v I I (3.5)
Следовательно, спектры ультрарелятивистских частиц
подобны друг другу в системах отсчета, движущихся с
релятивистскими скоростями в направлении оси конуса
вторичных частиц.
Этот результат справедлив и для ультрареляти-
вистских частиц, вылетающих в заднюю полусферу, при
переходе в системы отсчета, которые движутся с у-фак-
тором у» 1 в направлении вектора Ра =Рг>.
3.2. МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
И РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Экспериментальные данные в области энергий от
нескольких десятков гигаэлектронвольт до 1500 Гэв
свидетельствуют в пользу того, что одночастичные инк-
люзивные спектры приблизительно обладают свойством
масштабной инвариантности или скейлинга* (см. гл. 2).
Оказывается, что распределение частиц по продоль-
ным импульсам в некотором приближении есть функция
отношения продольного импульса инклюзивной частицы
в /(-системе к импульсу первичной частицы в этой же
системе, т. е. функция переменной:
X = Р|| iP’l-
(3-6)
На основе теоретико-полевой партонной картины
взаимодействия адронов масштабная инвариантность
Для сильного взаимодействия была сформулирована в
* Scaling (англ.) —масштабность. По последним данным в об-
ласти пионизации скейлинг не достигается вплоть до энергий
Еа^Ю'2 эв
61
работе [1] (см. гл. 9). Масштабная инвариантность со-
ответствует соотношению
s->~
При допущении limcrT(s) = const
s->-~
limF(l)(p||, p2)/ot = p(1)(x, p±), (3.8)
s->~
где p(*)(x, p±) •—спектральная плотность распределения
частиц определенного сорта в инклюзивном процессе.
Более детально различные теоретические аргументы
в пользу масштабного поведения функции распределения
(3.7) анализируются после рассмотрения теоретических
моделей (см. гл. 5—9). Здесь же нас интересуют кине-
матические аспекты скейлинга. Если скейлинг выпол
няется, то из доказанного выше свойства подобия спект-
ров ультрарелятивистских частиц (34) следует, что
свойство скейлинга для таких частиц должно выпол-
няться во всех системах отсчета, движущихся с реля-
тивистскими скоростями (у»1) в направлении первич-
ных импульсов Ра или Pfc в /(-системе. Это означает,
что распределение вторичных частиц в указанных систе-
мах также зависит только от отношения продольного
импульса к первичному и от Остается установить,
для каких значений х это свойство имеет место. Исполь-
зуя формулы релятивистских преобразований, нетрудно
показать, что для значений х из области
2отд/У $ < х 1 (3.9)
и значений xL = р |/| Ра | из области
2m±/|V «х£^1, (3.10)
где импульсы р , Р„ измеряются в системе отсчета,
движущейся относительно //-системы с у-фактором
у» 1 в направлении импульса р :
л-^х£(! - m^sxl). (З П)
Следовательно, для значений переменных х и xL, заклю-
ченных в пределах (3.9), (3.10), с точностью до по-
62
правок порядка (m^/sx|) выполняется приближенное
равенство
р(1)(л£, Pj)^p(1)(.v, pj. (3.12)
Таким образом, свойство скейлинга наблюдается для
фрагментов налетающей частицы [см. гл. 1 и формулу
(3.9)] во всех системах отсчета, движущихся с реляти-
вистской скоростью в направлении движения нале-
тающей частицы; это свойство обусловлено преобразо-
ванием продольных импульсов ультрарелятивистских
частиц (3.5) при переходе из одной системы отсчета в
другую. Поэтому первое заключение о наблюдении по-
добия спектров быстрых частиц в опытах на Серпухов-
ском ускорителе свидетельствовало в пользу гипотезы
скейлинга в области фрагментации первичных протонов
(см. гл. 2).
Нетрудно показать, что аналогичное сохранение
свойства скейлинга имеет место для распределений
фрагментов мишени в системах, движущихся вдоль на-
правления импульса Р( с релятивистскими скоростями
Свойство скейлинга по переменной xL в системах
отсчета, движущихся в направлении импульса Р' ,
не выполняется для частиц, характеризуемых значения-
ми переменной х в //-системе в области
— 1 х< 2m±/j s (3.13)
В системах отсчета, движущихся вдоль направления
импульса Р^, скейлинга по переменной хА р' /( Р6|
не будет, если переменная х в //-системе находится в
области
— 2mL/j/s 1. (3.14)
В связи с тем, что свойство скейлинга сформулирова-
но в //-системе и не всегда сохраняется в других систе-
мах отсчета, возникает проблема ковариантной форму-
лировки масштабной инвариантности. В частности,
ожно записать переменную х через релятивистски инва-
риантные переменные, например:
^(tae~tbc)ls, (3.15)
'ДО ^ = (Ро_р^; tbc==(Pb-pby.
63
Правая часть формулы (3.15) совпадает с опреде-
лением переменной х в /(-системе с точностью — (т'а —
— ml)/] s .В произвольных системах отсчета и в разных
областях изменения кинематических переменных в этих
системах, переменная x=(ta:— tbc)/\ s имеет разный фи-
зический смысл и в общем случае не совпадает с отно-
шением продольного импульса частицы к первичному
импульсу. Ковариантной записи свойства скейлинга
можно добиться также, используя переменные быстроты
(см. п. 3.3). Другой подход к скеплингу, так называемый
принцип автомодельности, рассматривается в гл. 7.
3.3. СКЕЙЛИНГ В ПЕРЕМЕННЫХ БЫСТРОТЫ
Использование переменной быстроты у в качестве
одной из независимых переменных позволяет предста-
вить свойство скейлинга инклюзивных распределений
(3.7), (3.8) в удобном для дальнейшего анализа виде,
особенно в окрестности точки х=0. Как отмечалось в
гл. 1, переменная у обладает тем преимуществом, что
она аддитивно преобразуется при продольных лоренц-
преобразованиях системы отсчета. Это позволяет придать
скейлингу ковариантный вид в различных областях из-
менения переменной у.
В качестве независимых аргументов функции р*1*
можно было бы выбрать следующий набор переменных:
у, Р х’ У°> гДе У — быстрота вторичной частицы; р,— ее
поперечный импульс; уа — быстрота налетающей части-
цы в Л-системе. Однако этот набор не обеспечивает
явную ковариантность вида функции распределения
Для наших целей более удобен следующий набор пере-
менных:
Уа~ У = Уа~ У*' У — Уь = У*—у1- (3.16)
Использование (3.16) обеспечивает явную ковариант-
ность записи спектральной плотности распределения
да - ₽<”(£-»•, »•-%. <3J7>
ИЛИ
du* do2
^-P^^-y^y^-y^p^j—r- (3-l8>
64
Установим теперь связь между переменными |(/‘— у* | ,
। у* — у'ь\ и переменными х и s.
При высоких энергиях (s гг?а, т2ь) переменная х
приближенно равна следующей величине (см. гл. 1):
ехр(у*—уа) ——ехр(уь~У*)- (3.19)
та ' пи
Из соотношения (3.19) видно, что переменная х вы-
ражается через введенные нами переменные (3.19),
причем переменные у, уа, уь можно выбирать уже в лю-
бой системе отсчета, движущейся вдоль оси соударения.
Если имеет место масштабная инвариантность инклю-
зивных спектров, то, как следует нз соотношения (3.19),
переменные | у*а — у* | и \уь—у* |, от которых зависит
функция р(|), входят в комбинации (3.19) в один из аргу-
ментов функци р<’>.
Рассмотрим далее три предельных случая, соответ-
ствующих различным кинематическим областям по пе-
ременной у при асимптотически высоких энергиях
(s Ша’ т1' m±) и ограниченных поперечных им-
пульсах. Проведем это рассмотрение в /(-системе. В си-
лу свойства аддитивности переменной быстроты обоб-
щение на произвольные системы отсчета тривиально.
Напомним, что кинематическая область изменения пере-
менной у* в /(-системе ограничена неравенствами
___1_1пУ (3.20)
где V = sltn^ (см. гл. 1). Поскольку нас интересует об-
ласть высоких энергий и ограниченных поперечных
импульсов, верхний и нижний пределы в (3.20) примерно
одинаковы:
-1- In Y Уа — In (m±/mj,
---ЪпУ ^j/;+ln(m±/m6),
гДе Уа — In (j/s /ша); Уь — — In (|/s /ть).
Рассмотрим область переменных, где
1
3 Зак. 811
(3-21)
(3.22)
65
В этом случае первое слагаемое в формуле (3.19) су-
щественно больше второго. В этой области изменения
переменных
х mLlma exp (г/* — tfo) (3 23)
и вместо переменной х можно использовать переменную
I
Нетрудно видеть, что область (3.22) соответствует
2m |'s 1. (3.24)
В этот интервал входит область фрагментации частицы
а, согласно делению на кинематические области, про-
веденному ранее (см. гл. 1).
Итак, при выполнении свойства скейлинга (3.7),
(3.8) спектральную плотность в области (3.25) можно
рассматривать как функцию переменных (г/*—у*) и :
<wn^p<'>(</;-«Л Рх)у^г-
(3.25)
где индекс а подчеркивает, что такой вид функция р(,)
имеет в области фрагментации частицы а.
Из формулы (3.25) вытекает важное качественное
следствие: в области фрагментации частицы а функция
распределения зависит от быстроты только частицы а.
Это свойство можно трактовать следующим образом:
частица, имеющая быстроту у* в пределах области (3.22),
кинематически связана с частицей а и практически не
зависит от кинематических характеристик частицы Ь.
Далее можно предположить, что такая вторичная части-
ца не связана с частицей b и динамически, т. е. ее сос-
тояние определяется только взаимодействием с первич-
ной частицей а. Насколько далеко по шкале быстрот
простирается такая связь, из общих соображений ука-
зать невозможно. Естественно предположить, что в том
случае, когда частицы а и с значительно коррелируют
друг с другом благодаря сильному взаимодействию и
законам сохранения то функция распределения частиц
с зависит от переменной (г/* — у*) вплоть до значений
у*~1. Если же частица с слабо связана с частицей а
кинематически и ее испускание не зависит от квантовых
чисел частицы а, то зависимость р<‘> от переменной
(уа — у*) с уменьшением у* постепенно ослабевает.
66
Таким образом, в разных физических случаях можно
ожидать как сильной зависимости функции р<*> от пере-
менной (!/*—!/*) (или от У‘—У) в л1°бой системе отсче-
та) ВО всем интервале (3.22), так и слабой зависимости,
когда (уи — У*) 1-
Аналогичные вычисления можно провести и в случае,
когда
(3.26)
Эта область изменения у* соответствует области изме-
нения переменной х, равной
— 1 £х< — 2mJ\'s , (3.27)
которая включает в себя область фрагментации мишени
(см. гл. 1).
Наконец, рассмотрим область небольших значений у*
вдали от кинематических пределов при s^-oo:
— 2m /) s СхС 2m±/|/ s , — 1 ч. у* С 1, (3.28)
которая содержится целиком в области пионизации (см.
гл. 1). В этой области переменная х связана соотноше-
нием (3.19) как с переменной (Уа~ У*), так и с’ (у*—у6).
Расстояние по шкале быстрот между вторичной
частицей и первичными частицами а и b при высоких
энергиях довольно велико
I Уа — У* | - 1п (| s /т„); | yh — y* | — In(j s /ть),
поэтому вторичная частица кинематически относительно
слабо связана с первичными частицами и можно пред-
положить, что зависимость от кинематических характе-
ристик вторичных частиц практически отсутствует.
Тогда функция р<[) не будет зависеть от (у“—у*), ни от
(Уь~ У") и от переменной (х) в области (3.28):
dV <329>
Приведенные соображения о возможной независи-
мости функции р<’> от переменной быстроты в областях
значений у*, достаточно далеких от кинематических пре-
делов, носят сугубо качественный характер. Во всяком
случае, при выполнении свойства скейлинга (3.7), (3-8)
в области у* 1 должна наблюдаться зависимость толь-
3:
67
ко от разности быстрот налетающей в Л-системе части-
цы а и вторичной частицы, а при 1 — зависимость
от разности быстрот частицы-мишени b и вторичной
частицы.
Особый интерес представляет область пионизации
в окрестности точки х = 0 (или у* = 0). Здесь в зависи-
мости от динамики взаимодействия могут встретиться
различные случаи поведения функции р(1>(Х р±). Неко-
торые возможности рассмотрим как различные динами-
ческие гипотезы и модели, выходящие за рамки чисто
кинематических построений (см. гл. 5—8).
3.4. ОСОБЕННОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПО ПЕРЕМЕННОЙ г) ПРИ 1] >0
В опытах на ускорителях при очень высоких энергиях
(Еа~1012 эв) и в особенности в экспериментах с кос-
мическим излучением часто невозможно измерить
импульсы вторичных частиц. Тем не менее, как уже
указывалось в гл. 1, в таких случаях можно получить
важные сведения о процессах множественного рождения,
если использовать переменную т], весьма близкую к пе-
ременной у.
Однако поведения распределений dNjdy* и dN/dt\
вблизи точки т|-->-0 могут существенно различаться (см.
гл. 1). Поэтому необходимо исследовать особенности по-
ведения распределения dN!dt\ при т|->0 в общем виде,
так как этот вопрос представляется весьма важным,
например, с точки зрения проблемы существования ги-
потетических файерболов— сгустков адронной материи
с эффективной массой порядка нескольких гигаэлектрон-
вольт. В частности, иногда делали неправомерное ут-
верждение о наблюдении файерболов, основанное на
наблюдении провала в распределении dN)dt\ в области
т] = 0.
Рассмотрим поведение dN/dt] при независимости рас-
пределения по р± от первичной энергии и ограниченно-
сти среднего значения 0,34-0,4 Гэв. Пусть в //-сис-
теме угловое распределение вторичных частиц в среднем
симметрично относительно плоскости, перпендикулярной
к направлению движения первичных частиц. Тогда рас-
пределение по переменной т| должно быть также сим-
метричным относительно точки т)=0, т. е. быть четной
68
функцией т]. Это означает, что функция dN]dt\ имеет в
точке i] = 0 экстремум, если она не постоянна.
Докажем, что при s-^-ca этот экстремум есть мини-
мум функции dNldt\ при самых общих предположе-
ниях о поведении этой функции вблизи т| = О [2].
Ввиду симметрии углового распределения вторичных
частиц можно считать, что спектральная плотность рас-
пределения р<’> зависит от модуля импульса | Р* | вто-
ричной частицы в Д-системе и
dN = р<1) /р*, р.) C0S»*rfP*Pj_rfPj_rf(P (3.30)
r 2£* (2л)3
Учитывая, что cosft* = thr] и Е*^>т, распределение
(3.30) можно представить в виде
dN = 2S1 р<» f | р- к ДД . (3.31)
ch4n \ chi] у 2 (2л)3
После интегрирования распределения (3.31) по им-
пульсам получаем
^=^/(chrl); (3.32)
dt] ch4 т]
*
рт
/(сЬт])= [ р(1)Лр* |; Ip-) [Р-'РР- , (3.33)
J \ ch г] J 2 (2л)3
р*т— максимальное значение импульса в Д-системе,
разрешенное законами сохранения энергии и импульса.
Интеграл (3.33) практически не зависит от р*т в силу
быстрой сходимости интеграла по переменной р , эф-
фективные значения которой ограничены. Поскольку
Рл. Р±, то | р* |/ch т| х. или при Л -> 0, —| р* |эф С р±1
в то время, как р*т > р
Поведение распределения (3.32) при т]->-0 опреде-
ляется интегралом /(chr|), который является четной
функцией т).
Возможны три основных случая степенного поведе-
ния функции по переменной г] при т]-->0:
1) /(ch« 0<а<1;
2) /(ch Т|)-э-Т]-2;
69
3) /(cht])^T]-2P,
Значения р>3/г исключаются вследствие требования,
чтобы малая окрестность вблизи точки давала конечный
вклад в среднюю множественность.
Рассмотрим первый случай. Очевидно, что здесь функ-
ция распределения по г) обращается в нуль при т)->0.
Следовательно, распределение dN]d.T\ имеет в точке
i] = 0 минимум.
В третьем случае функция dNldx\ неограниченно рас-
тет при q-*0:
dN
di]
>ГЦ|
Следовательно, функция dN/dt] имеет в точке т) = 0 мак-
симум. Это означает, что вторичные частицы испуска-
ются, в основном, перпендикулярно к движению первич-
ной частицы. Однако с физической точки зрения такое
распределение частиц по углам противоречит основному
положению об ограниченности поперечных импульсов
вторичных частиц. С ростом энергии и ограниченности
рL должна расти анизотропия в угловом распределении
в направлении движения вторичных частиц, а не пер-
пендикулярно к этому направлению. Поэтому третий
случай не может осуществляться в действительности.
И, наконец, рассмотрим второй случай. В силу чет-
ности функции I (chr|) при т|-Н) эта функция во втором
случае может быть представлена в виде
I (ch 11) со (т|2 -ф бц4)-1, б = const. (3.34)
Тогда функция распределения вблизи точки т| = 0 будет
иметь вид
(3.35)
Если б<—5/6, то функция dN)dx\ при убывает и,
следовательно, имеет минимум в точке т] = 0. Если
б>5/6, то при Tj—>0 функция dN/dr\ возрастает и, сле-
довательно, имеет максимум в точке i] = 0. Случай б—
——5/6 соответствует практически постоянному поведе-
нию dN/dt] вблизи т]=0. Существенно, что параметр б,
характеризующий анизотропию в угловом распределе-
нии вторичных частиц, должен с ростом первичной энер-
70
становится все более большим и отрицательным,
т*е максимум при i] = ° должен превращаться в мини-
мум Другая возможность — постоянство dNfdq в до-
статочно широкой окрестности около точки т] = 0.
Таким образом, практически для любой приемлемой
физической точки зрения плотности распределения
при ограниченности функции р± (Еа) функция dNIdq
имеет в точке rj=O минимум или остается постоянной
в достаточно широком интервале значений гр В связи
с наличием угловой симметрии вперед —назад в распре-
делении вторичных частиц в Д-системе справа и слева
от точки ц = 0 должны симметрично располагаться два
максимума функции dNfd-ц, появление которых, как
следует из предыдущего анализа, обусловлено ограни-
ченностью поперечных импульсов и кинематическими
причинами.
Расстояние между максимумами зависит от поведе-
ния функции p(I)(l Р* |, Рд) по переменной р*. Напри-
мер, если функция р<*> имеет вид
Р(1) = А(Р*)А(Рд). (3-36)
то распределение dN/dq можно представить в следую-
щей форме:
_dN/di} = (th2т]) J А (Р±ch ц) (pjpxdpj2 (2л)3. (3.37)
В силу быстрого экспоненциального убывания функ-
ции интеграл в (3.37) сходится при значении Рд^Рд*
если А(р*) —достаточно гладкая функция. Тогда
dN/dq-м th2 т) Д (р± ch г|) (3.38)
и можно сделать следующие заключения.
1. Если функция А (р, ch 1])монотопно растет с ростом
1] вплоть до значений р*п, то расстояние между мак-
симумами Aq~d
d^ln(s/m2). (3.39)
2. Если функция A (P±chi]) постоянна или монотонно
убывает, то расстояние между максимумами
d~ 1. (3.40)
71
Физический смысл возможного появления минимума
в распределении dN)di\ довольно прост. Ограниченность
поперечных импульсов приводит к тому, что распре-
деление частиц с ростом первичной энергии вытягивается
в направлении движения вторичных частиц, а число
частиц, движущихся под большими углами в Ц-системе
Рис. 27. Зависимость dNldr\ при допущении, что рас-
пределение по продольным импульсам представляется
6 функцией ( т]=—Intg— )
(0*~л;/2), уменьшается, что и приводит к провалу
в распределении dN/d-t] при т]->0.
На рис. 27 приведены примеры распределений dN/dr\
при некоторых конкретных формах плотности распре-
деления рО) [3, 4].
Подчеркнем несколько важных факторов, сопутст-
вующих сформулированному выше результату относи-
тельно причин появления провала в распределении по гр
1. Ширина провала вблизи г] = 0 может быть весьма
мала по сравнению со всей областью изменения гр По-
этому при анализе событий, полученных в опытах с
космическим излучением при небольшой статистике,
нужно соблюдать осторожность из-за неизбежных флук-
туаций в распределении dN!dx\, обусловленных малым
количеством частиц в индивидуальном ливне (A/s~10—
—20). Небольшие флуктуации в числе медленных час-
тиц и их импульсах могут существенно изменять величи-
ну провала в распределении dNldt\ в индивидуальном
ливне [4].
72
2. В области быстрот \у* | 1 распределения dN/dty
и dN/dy* практически совпадают при высоких энергиях.
Однако в области | у* | < 1 и тем более при у*->0 (или
ситуация существенно усложняется.
Действительно (см. формулу (1.98)], распределение
по у* связано с распределением по т] при фиксирован-
ном р± формулой
dy*dp± dtidp^ |р*|- 1 '
Поэтому в распределении dN/dy* при минимума
может и не быть, даже если он имеется в распределении
dN/dr\ при т]—>0.
3. Если в /(-системе существуют медленные частицы,
продольная скорость которых о’ < V (о — скорость /(-си-
стемы относительно Л-системы), то в Л-системе эги
частицы «переходят» из заднего максимума (т]<0) в
передний (т]>0) и заполняют провал между максиму-
мами. Поэтому в Л-системе провал может исчезнуть,
если он мал, а число медленных частиц достаточно ве-
лико. Например, именно такая ситуация имеет место в
гидродинамической теории множественных процессов
[2, 3] (см. гл. 5). П[и некоторых условиях оба макси-
мума могут в Л-си( теме сохраняться. Это происходит,
когда функция p(I> (i , р±) монотонно возрастает как
функция импульса р* [2].
4. Изотропный рапад адронных кластеров. Пусть
в результате столкновения двух адронов образуется
несколько адронных сгустков (кластеров), распадаю-
щихся затем на адроны, распределенные по импульсам
в системе покоя сгустка по закону Планка и разлетаю-
щиеся в этой системе изотропно:
dN = No [exp (Е/Т) ~ 1 р1 d3p, (3.42)
где No нормировочный множитель, Т — эффективная
температура в энергетических единицах. Такая ситуация
постулируется в некоторых моделях множественного
рождения (см., например, гл. 5).
ассмотрим сгусток с некоторой конечной массой .17,
ижущийся вдоль направления столкновения первич-
v* х_>ч|с™ц в /( системе с релятивистской скоростью
м огда энергию частицы, образующейся в резуль-
73
Чате распада этого сгустка в его системе покоя, можно
выразить через переменные быстроты частицы (у*) ц
сгустка (^/лг) в Д-системе:
Е = m ± ch (у* — у^), (3.43)
т — масса частицы*, а быстрота сгустка
'/.м'~1п2^лг (3.44)
ум — лоренц-фактор Д-системы относительно системы
покоя сгустка.
Найдем распределение ультрарелятивистских частиц
в Д-системе с продольными импульсами [5, 6],
движущихся в направлении движения сгустка. Для та-
ких частиц переменная быстроты
У* 1п(2р*/щ±). (3.45)
В результате распределение (3.44) в Д-системе прини-
мает вид
^ = Дот±сь{1п(^-)}х I
xlexpf^ch(ln^F)]-1W- <3-46)
( Т \ т± Ум ] J । £
Из формулы (3.46) видно, что плотность распределения
вторичных ультрарелятивистских частиц, движущихся в
направлении движения сгустка, по продольным импуль-
сам зависит от безразмерной переменной
С = р* ГМум. (3.47)
Величина Е*м = Мум является полной энергией сгустка в
Д-системе. Если энергия сгустка составляет конечную
долю полной энергии соударения в Д-системе, т. е.
= S /2, (3.48)
где a — const, то переменная £ пропорциональна мас-
штабной переменной х.
* Для определенности считаем частицу пионом.
74
При выполнении условия (3.48) распределение про-
дуктов распада обладает масштабной инвариантностью:
dN = Nom. ch In ^1 x
J
Если в результате соударения образуются всего лишь
ва сгустка с конечными массами ЛЛ, Л72, летящие
вдоль оси столкновения в противоположных направлени-
ях, то ультрарелятивистские продукты распада, имею-
щие импульсы, направленные вдоль импульсов адрон-
ных сгустков 7^1 и J02, распределены по закону (3.49).
При этом параметр а в формуле (3.48) приблизительно
равен единице.
Масштабная инвариантность распределения ультра-
релятивистских частиц, вылетающих в /(-системе под
малыми углами к импульсам первичных частиц, имеет
место и в том случае, когда задано некоторое распреде-
ление <р(а) адронных сгустков по параметру а=
=2Ем!У s, не зависящее явно от первичной энер-
гии. Очевидно, что после усреднения выражения (3.49)
по параметру а распределение будет зависеть только от
х и рх .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Feynman R. Р. Very High-Energy Collisions of Hadrons.—
«Phys. Rev. Letters», 1969, v. 23, p. 1415.
2. Дайбог E. И., Розенталь И. Л. Об угловом распределении частиц,
образованных во множественных процессах. — «Ядерная физика»,
1971, т 14. с. 226.
3 Дайбог Е И., Розенталь И. Л. On the Existence of Fireballs —
'Acta Phvs. Hungar». 1970, v. 29. Suppl. 3, p. 267.
Да бог E. И Флуктуации числа частиц в гидродинамической тео-
P»-. божественного рождения. — «Ядерная физика», 1970, т. 12,
5 Подгорецкий М. И., Розенталь И. Л., Чернавский Д. С. О флук-
туациях при столкновении частиц высокой энергии. — «Жури
6 Мак"ерИМ’ И Теор' $из>>- 1955’ т’ 291 с 309-
нпуИМеНК° В М О кинематических характеристиках вторич-
с 7541ЭСТИЦ —«Журн. эксперим. и теор. физ », 1960, т 39,
ГЛАВА 4
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
4.1. ОБ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО
ПОДХОДА
Множественные процессы — чрезвычайно сложное
явление. В этой области физики появляются матема-
тические трудности, обусловленные возникновением мно-
гих частиц, и трудности, связанные с отсутствием после-
довательной теории сильных взаимодействий. Однако
именно эти два основных свойства множественных про-
цессов— сильное взаимодействие и возникновение боль-
шого числа частиц — наталкивают на мысль, что при
столкновении успевает установиться статистическое рав-
новесие [1—3]. Последующее развитие физики высоких
энергий опровергло простейший вариант статистической
теории [3], однако идея установления статистического
равновесия при s->-oo проходит красной нитью через
подавляющее большинство теоретических описаний
множественных процессов. В работе [3] использовалась
модель идеального газа в конфигурационном простран-
стве. В последующем развитии теории множественных
процессов эта простейшая модель усложнилась, а иногда
дополнилась существенно нестатистическими элемен-
тами.
С первого взгляда использование классической фи-
зики для описания микропроцессов кажется неожидан-
ным. Однако известно, что система с большим числом
степеней свободы является квазиклассической.
Чтобы понять привлекательность и практическую
целесообразность статистического подхода [4—6], в
рамках s-матрицы запишем общее выражение для ве-
роятности перехода двух частиц (начальное со-
стояние) в N тождественных частиц (конечное состоя-
ние) :
76
f I < f I « I i > I2 X
( N v N 1
i V"*^/
i=l ' i=l
(4-1)
гче <7|S|*’>—элемент S-матрицы для начального (i)
и конечного (f) состояний с учетом всех квантовых чи-
сел обоих состояний; фактор NI учитывает тождествен-
ность частиц; Ро=Ра+Рь\ Pq=s- Подынтегральное вы-
ражение (4.1) распадается на два множителя: квадрат
матричного элемента |<f|S|i>|2 и фазовый (статнсти-
(r ™ \ N
ро~ А I -
Основное допущение статистического подхода заклю-
чается в следующем. Поскольку фазовый множитель
обладает максимумом, острота которого возрастает с
увеличением N, то этот множитель и является опреде-
ляющим фактором в множественных процессах. Мат-
ричный же элемент подбирают из дополнительных
соображений (в том числе соображений простоты и сим-
метрии) и опыта. Наиболее простое и относительно об-
щее допущение сводится к предположению о факториза-
ции величины |<f|S|t> |2=СФ(Р0, Рь • - •> Pn) [5]:
Ф(ро, Рь . -,pw)= П Ф, Ро. р,). (4.2)
1=1
Зависимость от спинов, изотопических спинов, масс
вторичных частиц и т. д. заключена в константе С (ко-
торая, однако, не зависит от импульсов).
В работе [5] рассматривались инвариантные функции
следующего класса:
Oz(P0, р,.) = С(РоР1.Ж, (4.3)
(q, г — постоянные).
В дополнении 1 приводятся метод и результаты
вычислений интеграла (4.1) при условиях (4.2) и (4.3).
Ограничимся двумя замечаниями:
1) средняя множественность в таких моделях
<7—гЦ-1
Ne^s q+3 (4.4)
при s->oo (точнее, при условии ln/V5> 1);
77
2) поскольку специальных ограничений на фазовый
объем не было введено, то угловое распределение в та-
кого рода теориях изотропно.
При больших энергиях это условие не выполняется
(см. гл. 2). Поэтому статистические модели, которые
рассматриваются в этом разделе, можно применять к
относительно малым энергиям (£а<10п эв), когда угло-
вые распределения в грубом приближении можно счи-
тать изотропными.
До сих пор мы полагали, что статистическая модель
сводится к аппроксимации матричного элемента про-
стейшими факторизуемыми функциями (4.2; 4.3). Одна-
ко здесь возникает важный вопрос: подобный подход
сводится лишь к подходящему представлению матрич-
ного элемента или отражает установление истинного
статистического равновесия в некотором объеме V.
Рассмотрим более детально последнюю интерпретацию.
Вероятность WK осуществления равновесного состоя-
ния системы N одинаковых частиц пропорциональна
объему, которую эта система занимает в фазовом про-
странстве:
(4-5)
где V объем, занимаемый системой в конфигурацион-
ном (координатном) пространстве;
d3Pj
Е;
(4.6)
объем, занимаемый системой в импульсном пространст-
ве; CN множитель, зависящий от множественности
спинов, нзоспинов и т. д. (но не от 4-импульсов1 и
который вычисляется в соответствии со стандартными
правилами квантовой механики [6, 7].
Здесь нужно сделать одну оговорку: как упомина-
лось, в статистических теориях допускается изотропия
распределения вторичных частиц. При столкновении
одинаковых частиц a priori осуществляется симметрия и,
в частности, может иметь место изотропия лишь в Д-си-
стеме. В этом смысле Д-система является выделенной
системой. Поэтому первоначальное вычисление распре-
делений нужно вести в Д-системе, а затем в случае не-
78
обходпмости переводить распределения в другие систе-
мы координат. О технике подобной процедуры см. [6].
Поскольку далее рассматривается случай 1, заменим
показатель W—1 на N. Тогда из сопоставления (4.5) и
(4 1) легко заключить, что статистическое выражение
(4 5) 11 квантовомеханическая формула (4 1) будут
эквивалентны, если
|</|S|i>|2= СХ"1, (4.7)
где, вообще говоря,
V=Vof(s. р*, ., р„), (4.8)
|/0 — параметр модели.
Из соображений размерности следует, что функция
f должна быть безразмерной функцией от компонент
4-импульсов. Аналогия, воплощенная в выражении (4.7),
(4.8), имеет слишком общий характер, чтобы быть пло-
дотворной. Нужно конкретизировать вид функции /.
Допустим, что функция f обладает свойством фактори-
зации в соответствии с соотношениями (4.2), (4.3) и
(4.8). Константа С, равная CN, содержит произведение
масс, необходимое для обезразмеривания функции Ф.
Из этих допущений (4.9) следует эквивалентность ста-
тистического и квантовомеханического подходов. Ве-
роятность WN зависит от двух параметров — q и г.
В //-системе
(PoPt)17 (4 9)
(£*)-</
Рассмотрим более подробно термодинамику системы,
описываемой уравнением (4 8) с привлечением опреде-
лений (4 2) и (4.3), т. е. обладающей свойством факто-
ризации [8]. Будем интерпретировать функцию
Ф С
1 ' , 2r~q следующим образом,
х а)
Объем, в котором находится система, изменяется с
энергией по закону
(Ч—2г)
VeoVhS 2 . (4.10)
В об-ьеме V устанавливается статистическое равновесие.
гда можно сказать, что функция ф/ = CN (ЕУ\а про-
79
порциональна вероятности рождения i-й частицы, отне-
сенной к единице объема. По аналогии с обычным
микроканоническим распределением (см. (9]) можно вве-
сти в фазовое пространство плотность
/ л/ \ N
Е\ Н |Ч\ -^i-dVz. (4.11)
\ i=\ ' i=l
Здесь Чгг:=Ск(Е\)<1 пропорциональна вероятности рож-
дения i-й частицы.
Используя стандартные выражения статистической
физики [9], легко по аналогии ввести энтропию и темпе-
ратуру. Тогда для системы, состоящей из бозонов, рас-
пределение по числам заполнения выглядит следующим
образом [8]:
dN = ТП------и <4 12)
Е* [ехр (£* — р/7)—1] ’
где |i — химический потенциал, который для равновес-
ного состояния системы с переменным числом частиц
следует положить равным нулю. В релятивистском слу-
чае £* ~ |р* | из (4.12) можно получить следующее
уравнение состояния [8]:
рд = се, (4.13)
ц= 1/(<7 + 2), /?д —давление; е — плотность энергии.
Можно показать, что средняя множественность
N оо s(«+2)/<?+3)y1/<?+3) (4. !4)
Напомним, что в соотношении (4.2) V=V(s).
4.2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СО СЖАТЫМ
ОБЪЕМОМ
Пока мы получили весьма неоднозначные результаты
даже для простейшего вида функции Ф, выбранного в
форме (4.2) и (4.3). Так, одна из основных характе-
ристик N(s) существенно определяется зависимостью
объема от 4-импульсов р* и $ (зависимость от импуль-
сов вторичных эквивалентна неопределенности уравне-
ния состояния (4.13)). Именно поэтому первостепенное
значение приобретают физические гипотезы, положенные
в основу статистического исследования. По существу в
нашем распоряжении есть два параметра, г и q, которые
и обусловливают распределения. В связи с этим для
80
папьнейшей конкретизации нужно предложить две фи-
зические гипотезы, которые приведут к однозначным ре-
зультатам
В первую очередь нужно определить зависимость
объема от энергии s в соотношении (4.10) и уравнении
состояния (4.13). Простейшая и естественная гипотеза
о зависимости объема от энергии основывается на реля-
Рис. 28. Схемы соударений одинаковых частиц в разных моделях:
по статистической со сжатым объемом (а), с расширяющимся
объемом (б) и в гидродинамической (в)
тивистском сжатии нуклонов. В /{-системе из-за лорен-
цовского сокращения оба нуклона в продольном направ-
лении сжимаются в 244/)/$ раз. Тогда в момент столкно-
вения они сливаются в один диск, поперечный размер
которого в Е*а /М раз больше продольного [3]. В этом
диске устанавливается статистическое равновесие, кото-
рое определяет все параметры множественных процес-
сов. На рис. 28, а схематически представлено столкнове-
ние частиц в соответствии с такой гипотезой.
Теперь нужно предложить гипотезу относительно
уравнения состояния. Допустим, что
рд-=е/3. (4.15)
Это предельное уравнение состояния для релятивист-
ского газа частиц, взаимодействие которых обусловлено
электромагнитными силами. Кроме того, это же уравне-
81
ние состояния выполняется для любого релятивистского
идеального газа (см. [9]). Такой случай соответствует
общепринятому мнкроканоннческому распределению *
(4.16)
Однако нельзя доказать, что это уравнение состояния
(4.15) справедливо для газа, состоящего из реляти-
вистских сильно взаимодействующих частиц. Можно при-
вести примеры, когда сильное взаимодействие приводит
к уравнению состояния (см. (10])
Рд е. (4.17)
Тем не менее уравнение (4.15) остается самым общим
(идеальность!) и поэтому самым разработанным случа-
ем. Во всех остальных случаях надо задавать конкрет
ным видом элементарного взаимодействия. Однако такой
подход из-за большого числа параметров множествен-
ных процессов, как правило, недостаточно разработан.
По всем перечисленным причинам целесообразно при-
нять это уравнение состояния, которое соответствует
излучению черного тела и приводит сразу (полагая 2г—
—<7 = 1; <7 = 1) к известной зависимости:
7V^>s’/4 (4.18)
[сравнить с (4 14)].
Необходимо подчеркнуть одно обстоятельство. Зави-
симость (4.18) выполняется только в ультрарелятивист-
ской области (1пМ»1). Практически она начинает
осуществляться лишь при энергиях х/Л4~-Е'о>1011 эв.
При меньших энергиях нужно использовать точные
статистические формулы типа (4.6) (см. [11] и Прил. 1),
из которых следует, что если аппроксимировать (анало-
гично (4.18)) в сравнительно узких интервалах измене-
ния Еа зависимость 2V(s) степенными функциями, то в
пределе £а<10 Гэв показатель степени ~'/г, а в
интервале 10 £а<100 Гэв показатель близок к Уз-
После всех конкретизаций в теорию входит единст-
венный параметр — размер системы (или объем Vo).
* Закон сохранения 3-импульса в уравнении (4.6) играет роль
лишь при малых значениях N. При условии А'3>1 распределение
с учетом сохранения 3-импульса переходит в обычное микрокано-
ннческое распределение [9].
82
Естественно в соответствии с данными о размерах нук-
лонов (что совпадает с юкавовской моделью строения
нуклона) выбрать
7?o~W, (4.19)
что соответствует объему
у.-т-т- (4-2°)
3 т3
Для статистических моделей выбор (4.27) является
характерной особенностью. Вскоре после выхода работы
[3] была отмечена непоследовательность статистической
модели со сжатым объемом [12]. Если взаимодействие
настолько сильно, что успевает за короткое время
установиться равновесие, то в сжатом объеме должно
осуществляться взаимодействие между вторичными
частицами. Одна из возможностей устранения этого про-
тиворечия— расширение объема системы — рассмотрена
в следующем разделе. Остановимся на другой версии,
предложенной в работе [13] (см. также обзор [7]), авто-
ры которой предлагают учитывать изобары и резонансы,
полагая, что их время жизни превышает время соударе-
ния. Тогда во время соударения изобары и резонансы
играют роль частиц, и вероятность образования изобар
после окончания взаимодействия обусловливается их
статистическим весом. Такой подход нашел и свое
«микроскопическое» обоснование в постулировании ре-
зонансного взаимодействия между нуклонами и пионами.
Необходимо отметить паллиативный характер подоб-
ной модели в рамках статистической модели со сжатым
объемом. Если /V;>1, то в сжатом объеме просто нет
места для 2V реальных частиц. При малой энергии
£<i(Ea<J0 Гэв) все же можно считаться с возмож-
ностью осуществления простейшей модели [3]. Основную
роль тоже играет образование известной изобары А
(1236) со спином и изотопическим спином, равным 3/2
11 3/г соответственно.
На рис. 21 пунктиром представлены результаты
расчета V(Еп) по статистической модели с учетом изо-
бары Д (1236)*.
—--------
Зависимость N(EB) в области £„<10 Гэв в соответствии с
Ругими статистическими моделями незначительно отличается от
пунктирной кривой рис. 21 (см. п. 4.3)
83
Статистическая модель со сжатым объемом в перво-
начальной форме (3] при энергии Еа^10 Гэв приходит в
противоречие с экспериментом относительно состава
образованных частиц.
Очевидно, что в ультрарелятивистском случае
[х/Л42^> 1] отношение числа нуклон-антинуклонных пар
к числу пионов определяется исключительно соответст-
вующими изоспинами и спинами и равно 8/з (числитель
8 соответствует протону, антипротону, нейтрону, анти-
нейтрону и двум ориентациям спинов), что резко проти-
воречит эксперименту (см. рис. 16).
Уже при энергии £а~10 Гэв расхождение между
предсказаниями теории [3] о значении отношения пк/пл
отличается от экспериментального более чем в 10 раз.
Можно предложить два пути устранения наметивше-
гося противоречия.
Первый связывает эту цель с устранением дру-
гого логического противоречия модели со сжатым объе-
мом— невозможностью объяснить нахождение А^1
частиц в сжатом объеме. Чтобы избежать обоих проти-
воречий. можно считать, что сжатый объем представля-
ет собой лишь начальную фазу множественного процес-
са. Относительно малый выход тяжелых частиц объяс-
няется в этой модели тем, что их массы отличаются
от массы пиона. Этот путь подробно рассмотрен в п. 4.3
(см. также гл. 5).
Второй метод устранения противоречия с составом
подробно рассматривался в работе [14]. В этом подходе
сохраняются основные постулаты модели со сжатым
объемом, однако вводятся феноменологические констан-
ты Я, подавления вероятности рождения странных частиц
и антибарионов.
Появление феноменологических констант можно ин-
терпретировать двояким образом.
1. Взаимодействие частиц с разными массами и
квантовыми числами осуществляется в различных объе-
мах, причем эффективный объем взаимодействия умень-
шается с увеличением массы вторичных частиц. Однако
подобное представление трудно совместить с тем фактом,
что в ппеделах 20% полные сечения л.У- и ATV-взаимо-
действий совпадают. С другой стороны, сейчас нет
оснований для введения различных объемов, кроме про-
стых размерностных соображений о комптоновских дли-
нах волны частиц \/т и 1/rrij,.
84
2. Можно допустить, что равновесие в пределах
сжатого объема обусловлено сильным взаимодействием,
но не наступает по умеренно сильному взаимодействию
ц5—17]. Тогда в пределах одного супермультиплета
состав определяется не только квантовыми числами, но
и константой Я,.
Таким образом, и в рамках унитарной статистической
теории нужно ввести феноменологические константы для
объяснения доли каонов и антинуклонов. Чувство не-
удовлетворения вызывает то, что эти константы, подоб-
ранные специально для объяснения состава, трудно
связать с квантовыми числами элементарных частиц и,
прежде всего, с их основной характеристикой — массой.
Не ясна зависимость константы X от типа реакции в рам-
ках унитарной — симметричной теории [15—17].
Множитель CN в основном уравнении (4.5) вычис-
ляется с учетом унитарной симметрии SU:i. Полный ста-
тистический вес в этом случае зависит от размерности
неприводимого представления соответствующей унитар-
ной группы, определяемого двумя параметрами put.
Тогда (4.5) можно записать в виде
UMs, р, 0 = и" <Р’(4-2,>
I (2л)3 J CN
N
Здесь SN=П (2Jt + 1) — спиновый вес системы (7; — спин
i=i
t-й частицы), С2у=п„!пр !... — фактор тождественности
(«а—число частиц сорта a); uN(p, t)—унитарный ста-
тистический вес.
Полный статистический вес канала вычисляется
суммированием вероятностей переходов с весами С(р, t),
которые определяются начальным состоянием: пара-
метрами У (гиперзаряд), / (изотопический спин) и 73
(проекция изотопического спина):
W (s) = S С(Р, 0^ (s, Р, 0- (4.22)
(р. t)
Метод вычисления унитарных статистических весов
подробно изложен в [15].
Учет унитарной симметрии полезен при вычислении
абсолютных топологических сечений, поскольку число
возможных каналов в таком подходе существенно со-
кращается [17].
?5
Чтобы согласовать с опытом вероятность образова-
ния странных частиц, статистический вес умножается на
множитель V, где v—число К-мезонов. Для лМ-взаимо-
действия Х~0,06, а для
ЛТУ-аннигиляции Х = 0,034
[15]*-
В табл. 1 приведены ве-
роятности реакций в различ-
Рис. 29. Вероятность рр-анни-
гиляции с образованием пар
каонов. Сплошная кривая —
с учетом St/3-симметрии
Таблица 1
Вероятности реакций в различных
каналах реакции р -]- р - К К -|- пя
с учетом SU3- симметрии
п Т=0,6 Гэв Т=7 Гэв Г=16 Гэв
1 2,2 0,1 6 10-э
2 2,2 0,7 4 • IO-2
3 1,0 1,7 0,2
5 0 2,3 0,3
6 0 1,8 2,5
ных каналах реакции р+р^-К+К + пл ( в процентах по
отношению к сечению неупругого взаимодействия), Т—
кинетическая энергия антипротона.
На рис. 29 сопоставляются оценки вероятности анни-
гиляции с образованием К-мезонов с учетом St/з-сим-
метрии (сплошная кривая) с экспериментальными дан-
ными [17]
4.3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ С РАСШИРЯЮЩИМСЯ
ОБЪЕМОМ
Как уже отмечалось, статистическая модель со сжа-
тым объемом не безупречна. Это было замечено вскоре
[12] после появления этой теории. В соответствии с
идеями [1], развитыми для анализа одного из забытых
* Можно допустить, что константа Л, определяющая долю као-
нов, связана с константой связи умеренно сильного взаимодействия
~1/20 Однако вопрос о выборе констант для объяснения доли
частиц других сортов (например, антинуклонов) остается
86
нЫнё вариантов слабого взаимодействия, в работе [12]
была выдвинута гипотеза: сжатый вследствие большой
скорости объем — лишь начальная фаза процесса.
Вследствие сильного взаимодействия на этой стадии не
следует говорить о реальных частицах, которые об
разуются, лишь когда объем, приходящийся на одну
частицу, равен «объему» реальной свободной час-
тицы.
Следует отметить известную предопределенность
подобного выбора. В нашем распоряжении имеются
лишь два характеристических объема в координатном
пространстве: 1) сжатый объем, который использовался
в рассмотренной выше модели [3], и 2) объем Vo части-
цы в ее собственной системе координат *.
Вторая гипотеза легла в основу статистической мо-
дели с расширяющимся объемом. Согласно этой гипотезе
конечный объем системы
V = NV0,
(4.23)
в противоположность модели со сжатым объемом [ср. с
(4.10) при 2r—q= 1].
Как мы отмечали, для однозначности необходимо
дополнить выбор объема гипотезой об уравнении со
стояния. Примем, как и ранее, предельное уравнение
состояния (4.15). Тогда легко получить зависимость
N(s). Действительно, используя выражения для черного
излучения [9]**, в выбранных единицах получаем
Е | S /V
(4.24)
или
Удельная энтропия
зэ ~ЬТа (У-1,3). (4.25)
Удельная энтропия связана с концентрацией п соотно-
шением
s9 3,6/7.
(4.26)
* В этом рассуждении полагается, что «объемы» всех адронов
(или, по крайней мере, «объемы» нуклонов и пионов) одинаковы.
** С учетом того, что у пионов три степени свободы вместо двух
У фотонов.
87
Полное число частиц 7V=nV; из соотношений (4.22) —
(4.26) следует
N 3 /Г/М. (4.27)
Из соотношений (4.22) — (4.24) следует, что плотность
Рп ~ "Л (4.28)
а конечная температура
Tf~m. (4.29)
Последнее соотношение особенно существенно: в
иной форме подчеркивается, что в теорию входит основ-
ной параметр — масса пиона. Для статистической (и
гидродинамической) теории характерно введение этого
параметра. Пионы являются выделенными частицами в
двух отношениях: они составляют большинство среди
вторичных и представляют собой легчайшие адроны.
История создания статистической модели с расши-
ряющимся объемом любопытна. Вскоре после появления
работы [12] была предложена гидродинамическая теория
(ей посвящается гл. 5), в которой отмечалось, что пре-
делы применимости термодинамики и гидродинамики
одинаковы. Поэтому для описания расширения системы
нужно использовать гидродинамику, что при больших
температурах приводит к совершенно иным результатам,
чем статистическая теория с расширяющимся объемом.
Кроме того, начали накапливаться эксперименталь-
ные факты, противоречащие этой теории. К ним следует
отнести малый коэффициент неупругости и более слабую
зависимость JV(s), чем предсказывает формула (4.27).
Последний вывод был сделан на основе анализа широ-
ких атмосферных ливней, т. е. при энергиях Еа~1014 эв
[18]. Это привело к тому, что статистическая модель с
расширяющимся объемом была надолго забыта и лишь
несколько лет назад возобновился интерес к этой модели
[19] (см. также итоговую статью [20]). В работе [19]
статистическая теория с расширяющимся объемом была
существенно развита и, главное, было отмечено, что
возможные пределы ее применения ограничены по энер-
гиям Еа. Важной модификацией теории было введение
нового параметра — коэффициента неупругости К, кото-
рый полагался равным 0,4. Таким образом, допускается,
что нуклоны не входят в статистическую систему (см.
также гл. 5).
88
Рассмотрим по порядку оба допущения.
Первое: в работе [19] полагается, что статистиче-
скую модель с расширяющимся объемом следует ис-
пользовать при условии
(4.30)
Это соответствует ограничению по энергии Е'п<1011 эв
( см. рис. 21, зависимость N s (Ео) — N (Ea)j .
В работе [19] в основном анализировались столкно-
вения частиц с энергией 5СЕа^25 Гэв. Заметим, что
в статистической модели нет внутреннего четкого пара-
метра, ограничивающего пределы ее применимости.
Единственным физическим критерием, содержащимся в
пределах статистической модели с расширяющимся
объемом, является пренебрежение гидродинамическим
разлетом. Грубый расчет [19], основанный на оценке
влияния гидродинамического расширения, приводит к
неравенству (4.30).
Из простых физических соображений следует, что ве-
роятность применимости статистической модели возра-
стает, если при заданной энергии Еа первичной частицы
множественность возрастает. Этот вывод связан с тем,
что второе допущение (нуклоны не входят в статисти-
ческую систему) по существу означает грубый учет
влияния нуклонов на всю систему вторичных частиц
посредством введения феноменологического параметра
К. Ясно, что чем больше N, тем меньше коэффициент
неупругости и тем меньше возможное влияние лидирую-
щих частиц на статистическую систему, которая, как
упоминалось, не совпадает со всей системой вторичных
частиц.
Второе допущение, основанное на малости коэф-
фициента неупругости, нуждается в некотором поясне-
нии. Вернемся к вопросу о смысле утверждения о вы-
деленности нуклона. Энергетическая его выделенность
не является однозначным доводом в пользу его исклю-
чения из статистической системы. Действительно, если
то средняя полная энергия нуклона в Д-системе
равна приблизительно УИ + -|- Tf ~ 1200 Мэв. Анало-
гичное значение для пиона 350 Мэв, т. е. примерно в
•>>5 раза меньше. Это означает, что для 84-9(Еа<
89
<10!| эв) нет основания для утверждения о статисти-
ческой выделенности нуклонов.
Однако ситуация существенно изменится, если перей-
ти к более высоким энергиям, Еа>1011 эв. В этом случае
тепловая энергия нуклонов существенно меньше наблю-
денной. Поэтому при больших энергиях нуклоны не вхо-
дят в статистическую систему. Есть и более глубокие до-
воды, основанные на тождественности нуклонов, кото-
рые приводят к необходимости исключения нуклонов из
статистической системы (см. гл. 5). Поэтому целесооб-
разно в статистическом подходе рассматривать коэф-
фициент пеупругости как новый параметр теории.
Расчетная часть статистической модели с расширяю-
щимся объемом изложена в дополнении 1.
При сопоставлении выводов модели с усредненными
экспериментальными характеристиками было выбрано
значение коэффициента неупругости ^=0,4. При этом
удалось объяснить совокупность экспериментальных дан-
ных по инклюзивным спектрам и распределению по
множественности в интервале 5^.Еа^25 Гэв [19, 20].
Начнем сопоставление с характеристик, не зависящих
от параметра К.
Распределение по поперечным импульсам. Это рас-
пределение впервые было исследовано в рамках гидро-
динамической теории и является серьезным успехом
статистической концепции. Существует не только
совпадение теоретических предсказаний о среднем зна-
чении р ( с опытом, но и согласие во многих тонких
деталях.
На рис. 9 теоретические данные сопоставляются с
экспериментальными об инклюзивной реакции K~p-+fai~
при Еп = 14,3 Гэв. Сплошная кривая — результаты расче-
та [21] по термодинамической теории, которая предска-
зывает распределение dNldp{ в той же форме, что и
статистическая модель с расширяющимся объемом (см.
гл. 5).
Статистическая модель (так же, как и гидродинами-
ческая модель) предсказывает слабое увеличение зна-
чения р± с массой вторичной частицы в инклюзивной
реакции. На рис. 12 представлена эта зависимость при
Tf=m[22].
Необходимо подчеркнуть (см. дополнение 1), что и
формы распределения легких частиц с массой m~Tf
90
и тяжелых (рЗ>7у) отличаются друг от друга. Для
легких частиц распределение после максимума аппрок-
симируется экспонентой (функция Планка), а для тя-
желых частиц — функцией Гаусса* *.
Состав вторичных частиц в термодинамическом при-
ближении вычислялся давно [23, 24]. Эти вычисления
уточнялись в последнее время [19, 20, 25]**. Оказалось,
что при Tf~m отношение йл- пионов к числу
каонов и числу п~ антипротонов равно
и п _ : п- —
л+ к+ р
1 : 0,18: 0,04.
Эксперимент (см. рис. 16) в асимптотической области
Еа^ 1012 эв дает следующие отношения : /г_ =
= 1:0,1 :0,03. Хорошее согласие наблюдается при срав-
нении вероятностей появления в множественных про-
цессах d и 3Не [19]. Примечательно возрастание доли
каонов и антинуклонов с ростом s. Этот факт находит
свое объяснение в том, что при Пк<1 и «-<1 важно
возникновение в одном элементе фазового объема пары
частиц [25]. Это приводит к тому, что число каонов и
антинуклонов возрастает с числом пионов не линейно,
а квадратично, вплоть до пк ~ 1 и п- ~ 1. На рис. 30
представлены экспериментальные и теоретические зави-
симости П-.1П ) и и (п ).
р ' л / К 'л 7
Множественность. При относительно малых энергиях
£„С10д-20 Гэв статистическая модель со сжатым объе-
мом приводит примерно к той же зависимости А7(Д1),
которая следует из модели с расширяющимся объемом.
Это вытекает из сопоставления кривых на рис. 21. Пунк-
тирная кривая вычислена на основе статистической
модели со сжатым объемом [7], а штрихпунктирная — в
рамках статистической модели с расширяющимся объе-
мом [19].
[ри значении Д=0,4 получаются примерно одина-
ковые и абсолютные значения. Обе кривые согласуются
с экспериментальными данными, которые получаются
В этой и следующей главе речь идет о распределении
области р L<2 Гэв Область р L>2 Гэв относится, не ви-
димому, к области глубоконеупругих процессов (см. гл. 9).
* Для малых значений пк, когда термодинамическое прибли-
жение непригодно.
91
при аппроксимации степенной зависимости в интервале
энергий 10 < Еа<. 30 Гэв : /V (Ео)ооЕ®’4 (см. [26]).
Здесь нужно сделать одно важное замечание, а
именно: обе кривые, вычисленные в разных вариантах
статистической модели получены при различных физи-
ческих предположениях.
Рис. 30. Зависимость п- («„-) и nk— («л-). Сплошные кривые —
теоретические расчеты при различных значениях конечной темпера-
туры Tf [25]
В варианте со сжатым объемом учитывался лишь
барионный резонанс А (1236), в то время как в модели
с расширяющимся объемом резонансы не учитывались
совсем. Поскольку в варианте со сжатым объемом
температура Т, при которой происходит распад системы,
возрастает неограниченно, то уже при энергии ЕаУ 10 Гэв
вклад резонансов делается весьма значительным и их
необходимо учитывать (особенно при вычислении отно-
сительной вероятности различных каналов). Например,
при аннигиляции pN антинуклонов в покое * относи-
тельная вероятность (%) некоторых каналов, вычислен-
ная на основе унитарно-статистической модели, имела
следующие значения [27]: п~р — 4,7; —6,1; л+2л“—
—6,0; л_л°р—10,7; 2л л+л°—20,7. Однако оценки средней
множественности N для аннигиляции антинуклонов в
интервале энергий 1<Ео<50 Гэв, вычисленные без уче-
та [11] и с учетом [28] резонансов, расходятся менее чем
* Аннигиляционные процессы наиболее удобны для примене-
ния статистической модели, поскольку в этом случае в статистиче-
скую систему переходит вся энергия сталкивающихся частиц.
92
на 15—2О°/о- По-видимому, относительно небольшое раз-
личие обусловлено двумя обстоятельствами: а) преоб-
ладанием распадов резонансов на пионы и б) условием
нормировки (сумма вероятностей всех каналов равна
единице).
Расчеты зависимости N (Еа) с учетом всех возмож-
ных резонансов для ММ-столкновений не проводились.
В рамках статистической модели с расширяющимся
объемом резонансы вносят меньший вклад, поскольку
температура Tf распада не зависит от Еа и мала по
сравнению с массами резонансов. Учет резонансов для
процесса аннигиляции в этом случае увеличивает сред-
нюю множественность примерно на 10—15% [31].
В модели с расширяющимся объемом сопоставление
расчетных и экспериментальных данных о составе час-
тиц, возникших при аннигиляции в интервале энергий
£о~1—6 Гэв, также свидетельствует о согласии [28].
Средние импульсы вторичных частиц. Расчет (см.
дополнение 1) приводит к значению £ — 0,43 Гэв, а
экспериментальные данные, усредненные по большому
числу соударений, при £а~10 Гэв дают значение
£* — 0,46 Гэв [19].
В заключение отметим, что и в случае лМ-столкно-
веннй статистическая модель с расширяющимся объемом
находится в согласии с экспериментальными данными
(см. [19, 20]).
Таким образом, эта модель, включающая два пара-
метра, То и К, и уравнение состояния (4.15) объясняет
широкий круг экспериментальных данных.
4.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ С ИНВАРИАНТНЫМ
ФАЗОВЫМ ОБЪЕМОМ (LIPS)*
Много лет назад была предложена модель, в кото-
рой матричный элемент в основном соотношении (48,1)
полагался не зависящим от энергии Еа и множествен-
ности N [4]. Это соответствует значениям параметров
<7=г=0 или, в терминах статистической интерпретации,
постоянному объему 1%. Подобный выбор на языке
макроскопической физики не имеет специального обос-
нования, подобного тем, которые приводились в оправ-
* Название Lorentz-Invariant Phase Space связано с тем, что
выражение d3p/E является лоренц-инвариантом.
93
Дание рассмотренных выше двух вариантов статистиче-
ской модели. Оправдание LIPS нужно искать в мак-
симальной простоте (матричный элемент — константа) и
интуитивных представлениях, основанных на квантовой
теории поля (см. работу [29]).
Быстро движущийся нуклон окружен мезонным об-
лаком; импульсное распределение мезонов в облаке
<^d3p/E. Если во время столкновения взаимодействие
между мезонами обоих облаков слабее, чем взаимодей-
ствие между «голыми» нуклонами, то нуклоны как бы
стряхивают свои мезонные облака с теми же распреде-
лениями, которые существовали до столкновения.
Эта идея весьма консистентна квантовой электроди-
намике (метод Вейцзекера—Вильямса) и, в частности,
квантовой интерпретации тормозного излучения. Однако
здесь имеется и разница. Если в рамках квантовой элек-
тродинамики пренебрежение взаимодействием между
фотонами можно обосновать строгим расчетом, интерпре-
тация множественных процессов на основе LIPS имеет
существенный постулативный элемент. На наш взгляд,
этот элемент (при умеренных энергиях Еа С 10 Гэв)
превосходит степень произвола в двух других вариантах
статистической теории.
Даже при вычислении методом Вейцзекера—Виль-
ямса характеристик тормозного излучения при малых
энергиях электрона нужно вводить поправки, связанные
с влиянием отдачи электрона на облако фотонов.
Основное оправдание LIPS в другом. Если дополнить
основной его постулат допущением об ограниченности
р,, то приходим к одной из основных концепций мно-
жественных процессов — мультнперпферизму (см. гл. 6).
Таким образом, если статистическая модель с расширяю-
щимся объемом при больших энергиях [J's Л4-»-оо]
переходит лотчески в гидродинамическую модель, то
LIPS в мультипериферизм.
Модель LIPS соответствует значениям параметров
q = r=0 и приводит к зависимости
М.-^з1/з (4 31)
(см. формулу (4.4)). Эта зависимость при соответствую-
щей нормировке согласуется с экспериментальными дан-
ными до энергии ЕаЮ11 эв. Однако LIPS испытывает
трудности при попытках согласовать теоретические вы-
94
воды с наблюденным составом. Так, чтобы объяснить
экспериментально наблюденное значение при аннигиля-
ции антипротонов с энергией 7 Гэв, нужно выбрать
объем V~[4—8]Vo [30]. Однако это значение объема
резко противоречит наблюдениям числа каонов пк-
Оказывается, что расчетное число пк примерно на по-
рядок превышает наблюдаемое; чтобы устранить эго
расхождение, нужно для каонов вводить «свой» объем,
примерно равный 1/10 Vo.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Heisenberg W. Zur Theorie der «Schauer» in der Hohenstrah-
limg. — «Z. Phys.», 1936, Bd 101, S. 533.
2. Watagin G. Thermal Equilibrium between Elementary Particles.—
«Phys. Rev.», 1943, v. 63, p. 137.
3. Fermi E. High Energy Nuclear Events. — «Prog. Theor. Phys.»,
1950, v. 5, p. 570.
4. Srivastava P., Sudarshan G. Multiple Production of Pions in
Nuclear Collisions. — «Phys. Rev.», 1958, v. 110, p. 781.
5. Максименко В. M., Розенталь И. Л. О ковариантных статисти-
ческих теориях множественного образования частиц. — «Журн.
эксперим. и теор. физ.», 1960, т. 39, с. 754.
6. Кинематика ядерных реакций. М., Атомиздат, 1968. Авт.: Бал-
дин А. М., Гольданский В. И., Максименко В. М., Розен-
таль И. Л.
7. Статистическая теория множественного образования частиц —
«Успехи физ. наук», 1957, т. 62, с. 1. Авт.: Беленький С. 3.,
Максименко В. М., Никишов А. И., Розенталь И. Л.
8. Михайлов В. Д., Розенталь И. Л. О термодинамике множествен-
ных процессов. — В сб.: Некоторые вопросы физики элементар-
ных частиц и атомного ядра. М., Атомиздат, 1962, с. 91.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.,
«Наука», 1964.
10. Зельдович Я. Б. Уравнение состояния при сверхвысокой плот-
ности.— «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1961, т. 41, с. 1609.
11. Максименко В. М. К вопросу об аннигиляции антинуклонов.—
«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1957, т. 33, с. 232.
12. Померанчук И. Я. К теории образования многих частиц в од-
ном акте. — «Докл. АН СССР», 1951, т. 78, с. 889.
13 Беленький С. 3., Никишов А. И. О множественном образовании
мезонов,—«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1955. т. 28. с 744.
14. Барашенков В. С., Барбашов Б. М., Бубелев Е. Г. Multiple Pro-
duction of Heavy Particles in Two Nucleon Collisions.—«Nucl
Phys.», 1957, v. 5, p. 17.
15. Барашенков В. С., Зиновьев Г. М. Unitary-Symmetrical Theory
of Multiple Particle Production. — «Fortschritte Physik» 1968
Bd 16, S. 719.
16. Барашенков В. С., Бештоев X. М. Статистическая SUs-снммет-
^/п1ая теорня аннигиляции антинуклонов.— Препринт ОИЯИ
95
17. Барашенков В. С., Бештоев X. М. Статистическая теория неуп-
ругих процессов.— «Препринт ОИЯИ Р2-7187, 1973.
18. Розенталь И. Л. О ядерно-каскадпом процессе в широких ат-
мосферных ливнях. — «Докл. АН СССР», 1951, т. 80, с. 731.
19. Фейнберг Е. Л. Множественная генерация адронов и статисти-
ческая теория. — «Усп. физ. наук», 1971, т. 104, с. 539.
20. Сисакян И. Н., Фейнберг Е. Л., Чернявский Д. С. Статистичес-
кая теория взаимодействия при высоких энергиях. — «Труды
ФИАН», 1972, т. 57, с. 164
21. Listienne R. Some Features of Transfer Momentum in Inclusive
Reactions. — «Proc. Ill Intern Coll. Mult Reaction», Zacopane
1972, p. 629.
22. Hagedorn R. Hadronic Matter Near the Boiling Point. — «Nuovo
cimento», 1968, v. 56A, p. 1027.
23. Беленький С. 3. Об образовании тяжелых частиц при столкнове-
ниях с большой энергией. — «Докл. АН СССР», 1954, т. 99
с. 623.
24. Беленький С. 3., Ландау Л. Д. Гидродинамическая теория мно-
жественных образований частиц. — «Усп. физ. наук», 1955,
т. 56, с. 309.
25. Шуряк Э. В. Multiple Production of Hadrons and Landau
Theory.—«Proc. V. Int. Symp. Many Particle Hadrodynamics».
Leipzig, 1974, p. 811.
26. Толстов К. Д. Упругие и неупругие столкновения при высоких
энергиях. — «Элем, частицы и атом, ядро», 1971, т. 2 вып. 1
с. 231.
27. Бештоев X. М. Унитарно-симметричные обобщения статистиче-
ской теории. — Канд. дисс. Нальчик, 1973.
28. Щуряк Э. В. The Multibody Production at Mediate Energy.—
«Phys. Lett.», 1972, v. 42, p. 357.
29. Lewis H. W., Oppenheimer J. W„ Wouthuysen S. A. Multiple Pro-
duction of Mesons. — «Phys. Rev.», 1948, v. 73, p. 127.
30. Bar-Nir e. a. Antiproton — Proton-Annihilation Leading to Eight
and More Pions.—«Nucl. Phys.», 1970, v. 20, p. 45.
ГЛАВА 5.
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
5.1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
Гидродинамическая теория [1] является логическим
следствием статистической модели со сжатым объе-
мом. В ее основе лежат гипотезы, составляющие фун-
дамент статистической модели со сжатым объемом
(см. гл. 4): 1) в начальный момент образуется состав-
ная система, находящаяся в статистическом равнове-
сии; 2) объем системы V в начальный момент совпа-
дает с тем, который используется в статистической
теории со сжатым объемом.
Все остальные идеи, составляющие гидродинамиче-
скую теорию множественных процессов, представля-
ют собой необходимое развитие этих обоих положе-
ний. Действительно, как уже отмечалось (см. гл. 4),
нельзя понять, как взаимодействие реальных частиц
заканчивается в лоренц-сжатом объеме. Более после-
довательно полагать, что образование составной систе-
мы в сжатом диске является лишь первой фазой описа-
ния множественных процессов в рамках статистической
концепции. В качестве второй фазы необходимо учи-
тывать расширение системы. Однако (и в этом состоит
основная идея гидродинамической теории, поскольку
пределы применимости термодинамики и гидродина-
мики совпадают) для учета этой фазы нужно исполь-
зовать гидродинамику.
Это и есть существенное отличие гидродинамической
теории от статистической модели с расширяющимися
объемами. В последней допускается, что расширение
происходит изотропно. В гидродинамической теории
характеристики разлета полностью определяются на-
чальными условиями (объемом Vo, начальной темпера-
турой и плотностью энергии е0) и гидродинамическими
уравнениями.
4 Зак 811 97
Вследствие того, что начальные условия для нуклон-
нуклонных соударений обладают лишь аксиальной, но
не сферической симметрией (сжатый диск), стадия
гидродинамического разлета имеет существенно анизо-
тропный характер. При относительно малых энергиях
(при Еа<10и эв) можно ожидать, что анизотропный
гидродинамический разлет играет малую роль, и по-
этому для оценок можно использовать статистическую
модель с расширяющимся объемом. Вследствие рас-
ширения в вакуме температура Т в каждом элементе
системы уменьшается во времени, пока не достигнет
значения Т=Т/. Тогда наступает третья фаза—-распад
элемента гидродинамической системы, которая описы-
вается так же, как и распад в статистической модели
с расширяющимся объемом.
Переход к третьей стадии аналогичен фазовому
переходу в том смысле, что очень быстро изменяется со-
стояние адронного вещества: во время гидродинамиче-
ского разлета существует сильное взаимодействие. На
последней стадии возникают квазисвободные реальные
частицы.
Таким образом, в отличие от статистической в гид-
родинамической модели нет единого объема для всех
реальных частиц. Распад элемента «жидкости» зависит
от момента достижения температуры Ту; с увеличением
Еа время протекания второй стадии — гидродинамиче-
ского разлета — возрастает.
Рассмотрим более детально новые (по сравнению
'о статистической моделью) аспекты гидродинамиче-
ской теории. На первой стадии — образование диска —
полагается, что вещество внутри этого диска одно-
одно. Это допущение совпадает с предположением
атистической модели со сжатым объемом. Оно пред-
ставляет собой следствие однородности нуклонов и сов-
падения направления движения нуклонов с их центра-
ми («центральность» соударения или равенство нулю
параметра удара).
На языке гидродинамики образование сжатого
’иска можно объяснить следующим образом: в перво-
|ачальный момент соприкосновения нуклонов возника-
ют ударные волны, которые сопровождаются сжатием
нуклонного вещества. При этом система достигает
объема, совпадающего с объемом, сжатом в направле-
нии движения в 2M/]/rs раз. Затем начинается ста-
98
пия гидродинамического разлета, которая происходи^
адиабатически (см. [2]).
Наиболее принципиальный вопрос: «что движется
на стадии гидродинамического разлета? Очевидно, чтс
движутся нереальные наблюдаемые частицы, сущест-
вующие неизменно на протяжении всей этой стадии.
По-видимому, движутся «частицы», возникающие на
чрезвычайно короткое время (сравнительно со време-
нем разлета), а именно виртуальные частицы. Воз-
можно, что это «первочастицы» адронных полей (пар-
тоны? кварки?). Разумеется, нельзя исключить, чтс
обе возможности эквивалентны, отражая тем самым
бедность нашего языка, неадекватного сложности по-
ставленной задачи.
Однако (и в этом есть привлекательность статисти-
ческо-гидродинамического подхода) основные его вы-
воды нечувствительны к типу объектов, составляющих
статистическую систему во время разлета. Гидродина-
мические уравнения можно приближенно получить из
квантовой теории поля, если заменить операторы поля
флуктуирующей силой, являющейся усреднением взаи-
модействия мезонного поля с неким большим внеш-
ним термостатом [3, 4].
5.2 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАЗЛЕТ
Гидродинамический разлет описывается уравнения-
ми релятивистской гидродинамики [5]:
dTlk/dxk—0, (5.1)
где Tih — тензор энергии импульса; по индексу k про-
изводится суммирование по всем 4-компонентам 0, 1, 2,
3. В самом общем виде
Ttk = PgSik Г ««/«л + (5.2)
гДе gih — метрический тензор, определенный следую-
щим образом:
gift = 0 при i k\ gn — g22 = g33 = 1; g00 = — 1
Компонента 4-скорости ut = и,//1 —с2 , t =-= 1, 2, 3;
— компоненты обычной скорости; н0 — 1, 1 — v2 _ло
4* 9!
ренц-фактор элемента жидкости; компоненты 4-скоростй
связаны соотношением
«о" «з== 1; (5.3)
— член, учитывающий диссипативные процессы (вяз-
кость); jft— по порядку величины состоит из суммы ти-
ди ди , ,
па и uiuk, где ць— коэффициент вязкости.
Уравнения (5.1) и (5.2) при пренебрежении тензо-
ром вязкости Tift по существу являются уравнениями
переноса энергии-импульса в изолированной систе-
ме, свободно распространяющейся в вакууме. Поэтому
в данном случае в них не входят никакие характери-
стики системы, кроме начальных (и граничных) усло-
вий.
Диссипативные процессы, определяемые коэффи-
циентами тр>, уже характеризуют вещество и зависят от
его свойств.
Интуитивно кажется, что вследствие релятивизма
рассматриваемой задачи влияние вязкости невелико.
Однако здесь интуиция может подвести из-за большой
плотности вещества.
Оценки [4], сделанные на основе модельных пред-
ставлений, не убедительны. Более надежны оценки,
произведенные на основе размерности [6]. Если допу-
стить, что при асимптотически больших энергиях все
характеристические массы (и в частности масса нукло-
на М) удовлетворяют условию
М < Т, (5.4)
то коэффициент вязкости определится размерностью.
Поскольку размерность [т]ь] = ---В'асса1--. , то в вь1б_
[длина][время]
ранных нами единицах
г]йсоТ3. (5.5)
Если допустить (5.5), то оказывается, что на на-
чальной стадии, когда Т~Г0 (То—начальная темпе-
ратура), вязкость играет значительную роль. В част-
ности, зависимость 2V(s) имеет вид [7]
(5.6)
100
физически отличие соотношения (5.6) от привычной
закономерности 7V~s’/4 имеет простое объяснение. Из-
менение множественности соответствует изменению
энтропии. В статистической теории энтропия возра-
стает во время установления равновесия (релаксации).
Вязкость при гидродинамическом разлете приводит к
дополнительному возрастанию энтропии вследствие
внутреннего трения (макроскопическая терминология)
или взаимодействия вторичных частиц (микроскопиче-
ская терминология).
Для нас существенно другое. Даже в рамках до-
вольно грубых оценок можно ожидать, что вязкость
начинает сказываться при То^М (см. (5.4)), однако
даже при £а~1012 эв — Т0~М, и это значение очень
медленно увеличивается с энергией (например, при
£а~1013 эв Т0~2М).
Поэтому можно ожидать, что вязкость начнет ска-
зываться лишь при энергиях £а^10’4 эв, что должно
привести к увеличению множественности*. Таким об-
разом мы не рискуем впасть в противоречие, если
вплоть до £а~1014 эв из соображений простоты поло-
жим (так же, как это было сделано в работе [1])
т]ь=О.
Тогда гидродинамический разлет будет иметь изо-
энтропический характер (жидкость идеальная!), и пол-
ная энтропия останется неизменной после стадии про-
хождения ударных волн и возникновения релятивистски
сжатию объема. Это значит, что зависимость -V(s) бу-
деть иметь прежний характер (4.26). Угловое и энерге-
тическое распределение вторичных частиц определяется
тогда уравнениями (5.1) — (5.3) при т]ь = О. Решение
этих уравнений приводится в дополнении 2. Здесь
ограничимся качественными рассуждениями. Уравне-
ний (5.1) — (5.3) недостаточно для однозначного реше-
ния. Действительно, они содержат шесть неизвестных
Pi, е) и всего пять уравнений (5.1). Поэтому для
однозначного решения нужно задать уравнение состоя-
ния. Во всех случаях (кроме специально оговоренных)
будем использовать предельное уравнение (4.15).
Рассмотрим качественно гидродинамический раз-
лет. После образования сжатого диска немедленно на-
* К этому вопросу мы еще вернемся в п. 5.3 с несколько иных
позиций.
101
чинается истечение жидкости. Вначале оно имеет авто-
модельный и строго одномерный характер, т. е.
жидкость движется вдоль направления, перпендикуляр-
ного плоскости диска (совпадающего с направлением
движения первичной частицы; см.схему,представленную
на рис. 28,в). Автомодельность означает, что характе-
ристики движущейся жидкости определяются исключи-
тельно ее скоростью, а не координатами х и t:
x/t = f(v). (5.7)
В наших единицах функция f(v) должна быть безраз-
мерной величиной.
Соотношение (5.7) подчеркивает основное свой-
ство автомодельного движения — масштабную инва-
риантность. Если изменить одинаково масштабы про-
странства и времени, то картина останется неизмен-
ной *. Первоначальная автомодельность объясняется
строгой однородностью начальных условий внутри сжа-
того диска.
По мере расширения вследствие взаимодействия
соседних элементов жидкости автомодельность будет
нарушаться. Часть жидкости уже не будет простой вол-
ной; возникнет так называемая нетривиальная об-
ласть (нетривиальное решение). Дольше остальных со-
хранит автомодельный характер передний фронт раз-
летающейся жидкости (напомним, что наше описа-
ние соответствует жидкости, движущейся в направле-
нии Ра или против этого направления).
Таким образом, по мере движения жидкость пере-
ходит из области простой волны в нетривиальную об-
ласть**. Если бы движение продолжалось неограничен-
но, то автомодельное решение обратилось бы в нуль.
Однако гидродинамическая стадия заканчивается при
T=Tf. Поэтому в этот момент общее решение будет
состоять из суммы автомодельного и нетривиального ре-
шения. Первая область содержит относительно мало
энтропии (мало частиц), но значительную энергию
(эти частицы наиболее быстрые), вторая — нетривиаль-
ная — много медленных частиц.
* Автомодельное решение иногда называют простой волной.
** Исключение составляет жидкость с уравнением состояния
рд=е.
102
До сих пор мы говорили о гидродинамическом дви-
нии т. е. о движении элементов жидкости, как не-
ких целых и полностью однородных образований.
В действительности же, из-за нашего допущения о су-
ществовании локального теплового равновесия следует,
что внутри каждого элемента жидкость неоднородна в
том смысле, что быстроты частиц сдвинуты в соответст-
вии с тепловыми распределениями (распределение Бозе
для бозонов и —Ферми для фермионов.). Если вектор
vICn параллелен vrnn, то полная быстрота
У — Укид Утеп- G3-®)
Соответственно преобразуются и 3-импульсы р ча-
стиц Составляющие pL и р(| частиц находятся в не-
одинаковом положении. На стадии одномерного раз-
лета распределение dN)dp L определяется тепловым
движением; в момент, соответствующий T~Tf, рас-
пределение dNldpw —практически полностью гидроди-
намическим движением. Уже при Еп~1012 эв влияние
теплового движения на распределение по р\\ неве-
лико и им можно пренебречь * [8].
Если расположить частицы в соответствии с ос-
новным упорядочением (6.28), то вследствие одно-
мерности состояние i-й частицы будет в основном (но
не полностью) определяться ее соседями по этому
ряду. По прошествии некоторого времени гидродина-
мическое движение перестанет быть строго одномер-
ным; начнется боковой гидродинамический разлет, ко-
торый приведет к возрастанию р^.
В работе [1] боковой гидродинамический разлет
был оценен неточно, что привело к завышенному зна-
чению рх. В дальнейшем, в работе [9], было показа-
но, что вплоть до энергий Еа10124-1013 эв и момен-
та T=Tf можно использовать модель одномерного
движения, для которого получено строгое решение (10]
(см. также дополнение 2). Поэтому вплоть до отмечен-
ных энергий для вычисления dN!dp \_ можно исполь-
зовать исключительно термодинамические выражения,
Речь идет о средних значениях; флуктуации в положении от-
дельных частиц существенно определяются тепловым движением
(см. далее).
103
которые уже эксплуатировались в статистической тео-
рии с расширяющимся объемом. Начиная с энергий
£а>1013 эв, нужно учитывать боковой гидродинами-
ческий разлет, который приводит к очень медленному
возрастанию рх (примерно на 10—15% при измене-
нии энергии на порядок [И]).
Приведем простую аппроксимацию инклюзивного
распределения dNfdy* в //-системе [11] (см. дополне-
ние 2):
dN/dy* = N exp (— y2/2L)/]/r 2nL, (5.9)
L^0,61n(Eo/M)+ 1,6. (5.10)
При очень больших энергиях
L^0,6ln(£a/A1). (5.11)
Состав образованных частиц определяется конеч-
ной температурой Tf и совпадает с предсказаниями ста-
тистической теории с расширяющимся объемом (см.
гл. 4).
5.3. ЛИДИРУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Давно было замечено [12], что в простой волне со-
средоточена значительная доля (~0,4—0,5) полной
энергии системы; однако при Г~Г/в простой волне за-
ключено С 1 частицы. В дальнейшем оценки [12] неод-
нократно уточнялись, однако нам представляется, что
подобные уточнения имеют иллюзорный характер, по-
скольку точные количественные расчеты характери-
стик выделенной частицы противоречат духу статисти-
ческой физики *.
Подобные уточнения не существенны и по другой
причине. Нуклон почти всегда является энергетиче-
ски выделенной частицей. Однако по смыслу гидроди-
намической теории в простой волне могут находиться
как барионы, так и мезоны. Поэтому главный вопрос не
в точной оценке энергии бегущей волны, а в сорте ча-
стицы, находящейся в простой волне. Не объясняет
* Вопрос о точности гидродинамической теории рассматри-
вается в дополнении 2.
104
лпностью возникшую проблему и существенная разни-
ца в массах нуклонов и пионов (см. обсуждение
в гл. 4).
Необходимо допустить, что лидирующие частицы —
,клоны___не входят в статистическую систему, а ко-
эффициент неупругости является параметром тео-
оии* Введение этого параметра практически не ска-
зывается на следующих характеристиках: угловые и
энергетические распределения в области пионизации,
распределение по и состав. Не изменяется зависи-
мость N(s); однако несколько меняется абсолютное
значение N. Наиболее существенное влияние оказы-
вает введение этого параметра на распределения лиди-
рующих частиц, а также на флуктуации множествен-
ности.
Теперь осветим следующий важный вопрос: является
ли введение нового параметра исключительно результа-
том «давления» эксперимента или есть более глубо-
кие имманентные причины этой операции. Подробный
анализ [13] показал, что есть одно физическое обстоя-
тельство, препятствующее включению нуклонов в ста-
тистическую систему. Действительно, вследствие прин-
ципа Паули первичные нуклоны (которые в процессе
столкновения, по-видимому, сохраняют свои квантовые
числа) при £а <П012 эв, —Т<СМ будут выталкиваться
на периферию объема, в котором сосредоточивается
статистическая система. В наших единицах критерий
вырождения фермионного газа имеет вид
То< (3n)2n’z.,
(5.12)
где п0 — концентрация нуклонов в начальный момент.
Для энергий £а~1012 эв этот критерий выполняется.
Но поскольку £0—a /i0ocs'/>, то уже при энер.
гиях £а~1014 эв неравенство (5.12) перестает вы-
полняться.
Здесь мы снова встречаемся с указанием на то, что
при энергиях £а~(1013—1014 эв) можно ожидать уве-
личения множественности сравнительно с законом
согла количественных расчетах мы принимали £=0,5. Это также
как с^ется со значением £=0,4, принятым в предыдущей главе, так
ь'воды не зависят от малых изменений значений £.
105
N cos1/*. Оценка вырождения, примененная к двум
частицам, имеет грубый характер и свидетельствует о
возможности, но не необходимости вырождения.
5.4. КВАЗИСКЕЙЛИНГОВЫЙ ХАРАКТЕР
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ*
Воспользуемся инклюзивным распределением (5.9)
и перейдем от переменной // к аргументу х [см. (1.24),
(1.25)]. При Р\ >рх
Если х — piJVs , то
do/о = Ndxlx. (5.14)
при s->oo из (5.13) следует, что
А=_кехрГ (5.15)
о Г L |_ Е J х2
Эта формула заведомо выполняется, если
»Р1 Г S-M [/«; поэтому (5.15) эквивалентно
х>
du _ 1 dx
и L х2 '
(5.16)
На рис. 31 представлены распределения doldx для
двух значений )/s М, равных 30 и 100 (pj_/ ——0,01
и 0,03 соответственно). В области х^> р\ |/s обе
кривые практически совпадают. Распределения (5.13) —
(5.16) получены для области нетривиального решения.
В области простой волны (самая быстрая частица)
— cos“-^-, а — 0,05 — 0,07; ₽ —2,1. (5.17)
О X1
Таким образом [см. (5.15), (5.16)], гидродинамиче-
ская теория, строго говоря, не приводит к скейлингу.
* При изложении этого раздела следуем работе [14] (см.
также [15]).
106
По видимому (см. ГЛ. 7) это обусловлено характер-
110 „и чтой теории свойством: существованием массы
*(массДа всего статистического 1 _ \ ......
торой стремится к беско-
нечности. когда s->«>. Од-
нако отклонение от скеи-
линга весьма мало и едва
ли сейчас может быть обна-
ружено на опыте Из фор-
мулы (5.9) следует, что
в гидродинамической теории
возникает квазиплато с ши-
риной Ду-in ]zs М. При
возрастании s значение
функции do/о (у = 0) слабо
увеличивается.
кластера), значение ко-
рне. 31. Распределение da/dx,
вычисленное в соответствии с
гидродинамической теорией для
двух энергий Еа
, йб
ln-j-
йх
5.5. О ФЛУКТУАЦИЯХ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
Пусть инклюзивное распределение определяется
исключительно средними гидродинамическими скоро-
стями соответствующих элементов жидкости. Тогда
распределение (5.9) фиксирует относительные поло-
жения соседних частиц в упорядочивании (см. (6.28)).
В действительности возможны три источника флуктуа-
ций, изменяющих относительное расстояние между
соседними частицами этого ряда: 1) тепловые флуктуа-
ции в момент распада гидродинамической си-
стемы; 2) флуктуации гидродинамической скорости;
3) распады резонансов (при высоких энергиях при
анализе экспериментальных данных этот фактор обыч-
но не учитывают). Вначале ограничимся учетом первого
фактора (тепловые флуктуации), в дальнейшем очень
грубо оценим роль резонансов. Поскольку все три
фактора независимы, то наши опенки дают нижнюю
границу флуктуаций.
107
Рассмотрим ультрарелятивистский случай уг>1, т. е.
i> 1: найдем величину дисперсии D — у2. — у2. , ис-
пользуя (3.46) при T=Tf=m. Перейдем от распреде-
ления (3.46) к распределению по быстроте у, полагая,
что быстрота 1-й частицы yi задается гидродинамической
теорией (см. [16]). Тогда получаем
^макс
^мин
(5.18)
где //макс — кинематический предел, а //М11Н обусловли-
вается применимостью формулы (3.46). Подынтеграль-
ное выражение (5.18) имеет весьма резкий максимум
при yi — yv, поэтому можно положить
J (е^ + l 2) [f (yi) + f" (yi) (yi _ytf\ y2.dyi
~S
У2 = -----------------------------------------------------,
f -Vi + eVi -Vi + 2) If (,;.)+ f" (yi) (y. _ J/z)2] dy.
у,-1
(5.19)
f (y) = exp ~ [ep‘ yi + epi yi
Прямое вычисление дисперсии на основе интеграла
(5.19) приводит к соотношению
£)- 1, (5.20)
которое представляет собой нижнюю границу, т. е. в
действительности
DZ 1.
(5.21)
Оценки [16] дисперсии D для нерелятивистского
случая t~l и роли легких резонансов (т), р, со) приво-
дят также к соотношению (5.20). Среднее значение
108
Д in JL_ /TV < 1 (для Ea~ 1012— IO13 эв), no-
yi+i — Уi др /
соотношения (5.20), (5.21) позволяют сделать
Эяжное заключение: дисперсия D превышает расстоя-
е (в шкале у) между частицами. Поскольку в гидро-
динамической теории движение квазиодномерно, то
то означает, что гидродинамическая теория предска-
зывает тенденцию к кластеризации, что еще более
подчеркивается возможной ролью резонансов (см. [16]).
56 О НЕКОТОРЫХ ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ АСПЕКТАХ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ*
До сих пор мы использовали уравнение состояния
(423). Если представить уравнение состояния в обоб-
щенной форме, аналогичной (4.21), то зависимость
2V (s) имеет вид
(5.22)
аналогично (4.4). Здесь величина а имеет смысл квад-
рата скорости звука и заключена в пределах 0—1.
Можно обобщить распределение по быстротам (5.9);
оно имеет ту же форму, однако величина L зависит от
параметра а. На основе квазиодномерного приближе-
ния [9] вместо (5.11) получим:
у,____/ 1 -|- а Еа \
1 — а2 \ 2а Vom4 J
Эта формула описывает нетривиальное решение; доли
энтропии а и энергии 6. уносимых простой волной, вы-
ражаются формулами:
а — ехр(-—- (5.24)
2 2а )
6^_Ш_1ехр|_Цр2ги'|, (5.25)
где ^=ln(Tf/T0)=i/4ln(2Mm/s).
Из соотношений (5.9) — (5.23) следует, что при
уменьшении параметра а распределение стремится к
изотропии, а доля энергии 6 уменьшается [щ<0].
В изложении этого раздела следуем работе [17]
109
Рассмотрим далее полевую аналогию гидродинами-
ческой теории Ограничимся нелинейным скалярным по-
лем, описываемым лагранжианом L=Lo+LBS, где
= (т2(р2 + (5.26)
LB3-X(-<pft)2", (5.27)
<pft = d<p/dxft; X, п — постоянные. В этом случае уравнения
движения имеют вид некого закона сохранения
А Ад =о,
дх д<р*
(5.28)
откуда следует сохранение
Атъ_ <p,dQ,
(5.29)
где интегрирование производится по произвольной про-
странственно-подобной поверхности.
Основная идея следующего рассмотрения такова:
если LB3>£0, то движение полностью определяется
взаимодействием; если L0>LB3, то частицы свободны.
Момент Lt)—LBa соответствует гидродинамическому ус-
ловию T—Tf. Если L0>LB3, можно говорить о реальных
частицах.
Используя квазиодномерное приближение, можно
получить [17]
(5.30)
аналогично (5.22) при а=1/(2п—1), а распределение
по быстротам имеет форму (5.9) при
L
2л — 1 .
------- In
2(n— 1)
2п~ 1
Vo J
(5.31)
где Vo— некий параметр, имеющий размерность
объема.
Эта аналогия позволяет допустить важное заключе-
ние: гидродинамическая теория, по-видимому (по-види-
мому потому, что аналогия — не доказательство), не
соответствует общепринятой теории поля, в основу ко-
торой обычно полагают локальные и линейные лагран-
жианы. Это свидетельствует о том, что полевой аналог
110
гидроДинаМИЧеСКОИ
вые элементы.
рассмотрим дал
теории содержит существенно но-
je вопрос о пределах применимости
теории. Оговоримся сразу же, что
' ' едствие отсутствия параметра разложения в матема-
тическом аппарате теории нельзя здесь говорить о пре-
Т лах применимости в математическом смысле. Оста-
Дппимся поэтому на некоторых возможных физических
ограничениях теории.
а) Квантовые ограничения. В работе [18] было от-
мечено, что если на начальной стадии разлета раз-
бить в продольном направлении сжатый диск на п изо-
лированных слоев, то число п должно удовлетворять
условию
п2 М/т 7. (5.32,
Это условие вытекает из принципа неопределенности
примененного к подобной изолированной ячейке:
§ »(nm2E’/M)2. (5.33
Поскольку для применимости гидродинамической
теории необходимо условие п^>1, то отсюда был сде-
лан вывод, что гидродинамическое описание неприме
нимо к начальной стадии расширения. Это возражен
подробно разобрано в работах [4, 6].
Основное контрвозражение [4] сводилось к тому, чт
вследствие сильного взаимодействия само поняти»
изолированной ячейки нельзя использовать в рамка
гидродинамического описания. Такая ячейка должна
находиться в сильном взаимодействии с окружаю-
щим ее облаком частиц. Наименьшие размеры ячейки
должны определяться длиной корреляции при таком
взаимодействии, т. е. конкретным механизмом взаимо-
действия виртуальных частиц, а не принципом неопре-
деленности.
В работе [6] отмечается, что конечные выводы гид-
родинамической теории слабо (логарифмически) зави-
сят от начальных условий; поэтому даже если точка
зрения, высказанная в [18], правильна, неопределен-
ность начальных условий мало скажется на оконча-
тельных результатах кроме зависимости 7V(s).
б) Релятивистское ограничение. Если энергия Еа
мала (,Еа~м), то описание с помощью ультраре-
лятивистской гидродинамики становится непригодным,
поскольку скорость элементов жидкости может быть
существенно меньше единицы. Грубые оценки [19] цр0.
демонстрировали, что можно использовать гидродина-
мическую теорию множественных процессов при Еа >.
1011 эв.
в) Экспериментальные ограничения. Выше отмеча-
лось, что гидродинамическое описание неприменимо к
барионам. Поскольку с барионами связаны несомнен-
но самые быстрые пионы, то весьма вероятно, что
гидродинамическое описание не применимо к области
фрагментации, содержащей самые быстрые час-
тицы.
Следовательно, можно ожидать, что гидродинамиче-
ское описание тем более применимо, чем менее влия-
ние этой области. Интуитивно кажется, что при фик-
сированном значении Еа это условие выполняется тем
лучше, чем больше величины N и К.
5.7. СОПОСТАВЛЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ
ДАННЫМИ
Распределения по р и составу. Оба эти распреде-
ления обусловливаются распадом системы при Т~Т;
и поэтому описываются так же, как и в статистиче-
ской модели с расширяющимся объемом (см. гл. 4).
Эти распределения находятся в хорошем согласии
с опытом в области промежуточных энергий. На рис 8
представлены экспериментальные данные, полученные
в космических лучах при £'„~1012 эв, и расчеты в
соответствии с гидродинамической теорией. Мы ограни-
чимся далее лишь двумя замечаниями.
а) Распределение по р± было получено задолго [20]
до того, как появились многочисленные эксперимен-
тальные данные относительно этого распределения.
Нам представляется, что эвристические возможности
различных моделей, содержащих подчас много подго-
ночных параметров, имеют первостепенное значение
для определения ценности теории.
б) Гидродинамическая теория предсказывает тон-
кий эффект —очень медленное возрастание рд с Еа.
На рис. 11 представлены экспериментальные данные и
расчеты [21] в соответствии с работой [И] о зависимо-
112
~ (F } О возрастании с Еа свидетельствуют
работы (ем. гл. 2) •.
1 Множественность. На рис. 21 сплошная кривая
„„ответствует расчету Ns(Ea) в соответствии с гидро-
динамической теорией. Из рисунка видно, что статисти-
ческо-гидродинамическая теория _хорошо описывает
экспериментальную зависимость N (£„). В космиче-
„кпМ излучении получены некоторые данные [22, 23]
о том, что в области энергий 1013—-1014 эв мно-
жественность начинает расти быстрее, чем по закону
(4 27). Подтверждение этих данных представило бы
значительный интерес в связи с развитием предположе-
ний о том, что эта область энергий содержит крити-
ческий параметр Т0~М.
Учет флуктуаций коэффициента неупругости по-
зволяет также согласовать и распределение (2.9) по
множественности при фиксированном значении Еа [24].
Распределение по у и х. На рис. 3 представлены
инвариантные сечения
2Е d20
—— -------- и расчеты по гид-
17 s dxdp^
родинамической теории. На рис. 4 представлены экспе-
риментальные распределения dN/dt] и расчет по гидро-
динамической теории [14].
На рис. 7 представлены экспериментальное распре-
деление dN]dy и кривые, рассчитанные в соответствии с
гидродинамической теорией, а на рис. 32 — распределе-
1 d2a г
ния ------------для различных р, и Еа.
я dy*dp2L
Кривые рассчитаны по гидродинамической теории
[25]. Из рис. 3, 4, 7 и 32 следует, что гидродинамическая
теория хорошо описывает угловые и энергетические
распределения. Таким образом, связанные идейно ста-
тистическая и гидродинамическая теории в пределах
своей применимости с помощью очень небольшого
числа параметров (характеристическая масса т, урав-
нение состояния (4.23) и коэффициент неупругости
^=0-4—0,5) описывают широкий круг эксперимен-
тальных данных в большом интервале энергий
Еа Ю’2 Эв.
CERN ^ВДавиие исследования на ускорителях [A. Rossi е. a. Preprint
к > 1974] также продемонстрировали возрастание р, (Еа) в диа-
пазоне Ю<£а^юоо Гэв.
113
Значительное впечатление производит тот факт, что
все параметры (кроме коэффициента К) были выбраны
более 20 лет назад в основной работе {1] и не менялись
л течение столь продолжительного времени.
Рис. 32. Зависимость инвариантного сечения от быстро-
ты у при фиксированных значениях рд и различных
параметрах Еа. Кривые результатов расчетов по гид-
родинамической теории
5.8. О ПУТЯХ ПРОВЕРКИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
а) Наиболее интересным представляется проверка
зависимости N(Ea) вплоть до энергий Еа~1014 эв.
б) Измерение импульсного распределения пионов
в области х>т/М. Их существование предсказывается
114
динамикой. Однако такие пионы могут возникать
гидр )Д аспаде изобар. Поэтому исследование импульс-
Н го*1 распределения нужно вести параллельно с изуче-
нием вклада изобар.
Измерение зависимости (Д,) при Pj. < 2 Гэв
вплоть до (1012—Ю13) Эв.
г) Интересно изучение реакций
р + р-^р + ^п (5.34)
при энергиях Е- > (20 — 30) Гэв. Если правильны сооб-
ражения относительно фермиевского отталкивания нук-
лонов, то в этой реакции коэффициент К должен быть
больше, чем в реакции
р + Р -» Р + Р + /г2Л. (5.35)
Если 1, то при Е- = Ер следует ожидать
нх/п2~ 1,6—1,7. (5.36)
В этой связи интересно сопоставить значение К в реак-
ции (5.35) с соответствующей величиной в реакции
аннигиляции
р + р-э-ПзЛ. (5.37)
Целесообразно сопоставить предсказания гидроди-
намической теории с данными по столкновению реляти-
вистских сложных ядер, когда число вторичных частиц
существенно больше, чем в AW-соударениях. О пер-
спективах исследования ускоренных релятивистских
ядер см. [26].
В связи с обсуждением экспериментальных тестов
в гидродинамической теории большой интерес представ-
ляет наблюденный в Дубне кумулятивный эффект кон-
центрации почти всей энергии (до 96—99%) реляти-
вистских дейтонов на одном вторичном пионе (см. [27]).
Кумулятивный эффект предсказан на основе масштаб-
ной инвариантности [26].
5.9. КОРРЕЛЯЦИИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
И ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ РАЗМЕРЫ ОБЛАСТИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Выше отмечалось (см. гл. 2), что изучение корре-
яции частиц (в частности, пионов) с одинаковым за-
Р Дом имеет наибольшие шансы обнаружить новые за-
115
кономерности. Однако и в случае тождественных ча-
стиц имеется тривиальная причина корреляции, обус-
ловленная тождественностью — симметризация волно-
вых функций. Эффекты, связанные с тождественностью
в значительной степени определяются характеристиче-
скими размерами R области взаимодействия и време-
нем взаимодействия т; в этом смысле можно подойти
«экспериментально» к определению параметров R и
г в моделях, основанных на представлениях о конечности
характеристик области взаимодействия: типа статисти-
чески-гидродинамической теории.
В известном смысле метод анализа корреляций тож-
дественных частиц позволяет подойти к проверке при-
годности статистическо-гидродинамических методов
описания множественных процессов.
Отметим здесь важное обстоятельство: статистиче-
скую теорию можно свести к упрощенной форме мат-
ричного элемента (см. гл. 2); тогда интерференционные
корреляции тождественных частиц отсутствуют. Од-
нако, если статистический подход соответствует уста-
новлению истинного термодинамического равновесия,
разница в корреляциях одинаковых и разных пионов
весьма ощутима.
Впервые корреляция пионов с одинаковыми заряда-
ми изучалась в рр-аннигиляции [28]. Было обнару-
жено, что доля одинаковых пионов, вылетающих под
относительным углом 0>9О°, меньше, чем аналогичная
доля пионов с разными зарядами (GGLP-эффект).
Кроме того, этот эффект наблюдали и в л~р, К+р-столк-
новениях и в иных реакциях [28, 29].
Оказалось также, что GGLP-эффект уменьшается
с возрастанием энергии пионов. GGLP-эффект был ин-
терпретирован в рамках статистической теории Бозе
симметризацией волновых функций [28] тождествен-
ных частиц, однако последующее сопоставление расче-
тов и экспериментальных данных не привело к количе-
ственному согласию [30].
Можно объяснить это расхождение неудачным выбо-
ром характеристики GGLP-эффекта: о(0>9О°)/о(0<^
<90°), поскольку при углах 0>9О° симметризация иг-
рает малую роль. Недостатком подхода, развитого в ра-
боте [28], является также неучет конечной длительности
процесса испускания вторичных частиц [31]. В послед-
ней статье [31] (см. также [32, 33]) был развит полный
116
подхода к определению пространственно-времен-
МСТ° характеристик множественных процессов, основан-
нЫ* на измерении корреляции множественных частиц*.
НЫ Поясним кратко этот метод.
Если для двух ультрарелятивистских частиц (в 'част-
ности,' фотонов) выполняется условие
ОСА//? (5.38)
,0__уГ0Л между направлениями движения частиц,
X —длина волны; R — расстояние между излучателями),
то излучение независимых источников когерентно.
Разобьем конечный объем, в котором происходит
взаимодействие, на некоторые подсистемы, называемые
излучателями. Пусть излучатели характеризуются
собственными длинами волн, интенсивностью и т. д.;
совокупность этих характеристик обозначим А, р, ...
Вследствие тождественности частицы, вероятность №]2
того, что будут зарегистрированы пионы с импульсами
Pi и р2, пропорциональна выражению
Wu -1 мк (Р1) (А) + мк (р2) М» (Pl) р, (5.39)
где Мк(Р), Мц(Р)—соответственно амплитуды испускания
частицы с 4-импульсом Р, источниками Аир.
Далее необходимо допустить, что излучатели неза-
висимы. Тогда
Г12со 1 +
I Ь (Pi Рг) 1а
b(.Pi, Pi)b(p2, рг)
где
Ь(Р1, Р2) = Мк(р1)Мк(р2).
Усреднение проводится при допущении, что источники
независимы (т. е. являются функцией случайных пара-
метров) и распределены равномерно внутри некоторого
объема или по ограничивающей поверхности. Если
предположить, что этот объем имеет форму эллипсоида,
то сечение имеет относительно простую форму [29]:
4^-соГ1 + /2(р) '
dqdQ 1 +
(5.40)
* Если источники распределены равномерно по поверхности
ллипсоида, то сечение мало отличается от (5.40) (см. [31, 32]).
117
где q = Р1 — р2; Q = Ev~E2,
I (р) = 3 (sin р — р cos р)/р3, (5.43)
У1 = <2т, (5.44)
Р = 1(<7л< + (УуВу + (yzC^E, (5.45)
А, В, С — полуоси эллипсоида, параллельные осям х,
У, z.
Если эллипсоид вырождается в шар с радиусом R,
то
р = qR — pRG. (5.46)
Определяя двухмерную зависимость дифференциаль-
ного сечения от параметров q и Q, можно, в принципе,
определить пространственно-временные характеристики
R и т множественных процессов. Например, простран-
ственные параметры различных моделей множественных
процессов существенно различаются. Так, для статисти-
ческой модели со сжатым объемом характерна поверх-
ность эллипсоида при А = В — 1/т и С = М1тЕ*а.
В статистической модели с расширяющимся объе-
мом характеристическая поверхность — сфера с радиу-
сом Е^(ЕаУ/г. В гидродинамической теории (см.
дополнение 2, формулы (Д.74) и (Д.75)) характеристи-
ческие расстояния зависят от скорости вылетающих
частиц. Для медленных частиц, которые составляют
основную долю вторичных, R ~ 1 /т; однако для наи-
более быстрых частиц, расположенных вблизи перед-
него фронта (простая волна) R~E'BlmM.
Таким образом, можно высказать надежду, что ис-
следование корреляций тождественных частиц позволит
оценить степень достоверности разных вариантов стати-
стическо-гидродинамического подхода.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л. Д. О множественном образовании частиц при столк-
новении быстрых частиц. — «Изв. АН СССР Сер. физ.», 1953,
т. 17, с. 51.
2. Милехин Г. А. Гидродинамическая теория множественного об-
разования частиц. — «Труды ФИАН», 1961, т. 16, с. 50.
3. Ezawa Н., Tonwzawa Y., Umezawa Н. Quantum Statistics of
Fields and Multiple Productions of Pions.—«Nuovo cimento»,
1957, v. 5, p. 810.
118
ц Мори К., Намики Н. Условия применимости гидродина-
И30₽™ои теории’ множественного рождения. — «Труды Между-
М «пной конференции по космическим лучам». Т 1. М., Изд-во
"ш СССР I960, с. 230.
Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.»
ГИИ гл, 1954.
жойийепг Е Л. О положения в гидродинамической теории мно-
жественной генерации частиц. — «Труды ФИАН», 1965, т. 29,
4
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
1
Рм/пьянов А. А. Гидродинамическая теория множественной ге-
пепации с учетом вязкости — «Труды ФИАН», 1965, т. 29, с. 169.
Дайбог Е. И., Розенталь И Л. О множественных процессах при
очень больших энергиях. — Препринт ПКИ, 1971.
Розенталь И. Л. Квазиодномерная интерпретация гидродинами-
ческой теории множественного образования частиц. — «Журн.
эксперим. и теор. физ.», 1956, т. 31, с. 278.
Халатников И. М. Некоторые вопросы релятивистской гидроди-
намики. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1954, т. 27, с. 529.
Милехин Г. А. Уточнение гидродинамической теории множест-
венных процессов.— «Труды Международной конференции по
космическим лучам». ЛЁ, Изд-во АН СССР, 1960, с. 212.
Герасимова Н. М., Чериавский Д. С. О быстрых частицах, обра-
зованных в множественных процессах. — «Журн. эксперим. и
теор. физ.», 1955, т. 29, с. 372.
Гурвиц С. А., Дайбог Е. И., Розенталь И. Л. О некоторых ас-
пектах теории множественных процессов. — «Ядерная физика»,
1971, т. 14, с. 1268.
Дайбог Е. И., Никитин Ю. П., Розенталь И. Л. Скейлинг и
гидродинамическая теория множественных процессов. — «Изв.
АН СССР. Сер. физ.», 1973, т. 37, с. 1396.
Carruthers Р., Minh D. V. New Scaling Law Based on the Hyd-
rodinamical Model of Particle Production.—«Phys. Lett.», 1972,
v. 41, p. 597.
16. Розенталь И. Л. О флуктуациях во множественных процессах.—
«Ядерная физика», 1974, т. 19, с. 1098.
17. Милехин Г. А. Анализ возможных гидродинамических теорий
множественного образования частиц.— «Труды Международной
конференции по космическим лучам». Т. 1. М., Изд-во АН СССР,
1960, с. 223.
18. Блохинцев Д. И. Замечания о применимости гидродинамического
описания к квантовым системам. — «Журн. эксперим. и теор.
физ », 1957, т. 32, с. 350.
19. Фейнберг Е. Л. Множественная генерация адронов и статисти-
ческая теория. — «Усп. физ. наук», 1971, т. 104, с. 539.
20. Милехин Г. А., Розенталь И Л. Гидродинамическая интерпре-
тация одной характеристики больших ливней. — Журн. экспе-
рим. и теор. физ.», 1957, т. 33, с. 197.
21. Волженская В. П., Сарычева Л. И. Поперечный импульс.—
«Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1966, т. 30, с. 1954.
2. Никольский С. И. Широкие атмосферные ливни и взаимодейст-
вие частиц высокой энергии. — Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1969,
J- 33, с. 1501.
Калмыков Н. Н., Христиансен Г. Б., Фомин Ю. A. Some Argu-
Ну!*!5 *n favour of the Conventional EAS Models Revision.—
«XII Intern. Conf. Cosmic. Rays», Hobart, 1971, v. 6, p. 2074.
119
24. Шуряк Э. В. Multiple Production of Hadrons and Landau
Theory—«Proc. V. I nt. Symp. Hadrodynamics», Leipzig, 1974
p. 811.
25. Cooper F., Shonberg E. Landau’s Hydrodynamical Model and the
Inclusive Pion Spectrum from 24 to 1500 GeV. — «Phys. Rev
Lett.», 1973, v. 30, p. 880.
26. Балдин A. M. Физика многозарядных ионов высоких энергий.__
Препринт ОИЯИ Р7-5808, 1971.
27. Балдин А. М. Множественные процессы при столкновении реля-
тивистских ядер. — «Труды Международного семинара по глу-
боконеупругим н множественным процессам». Дубна, ОИЯИ
1973, с. 463.
28. Goldhaber G., Goldhaber S., Lee W., Pais A. Influence of Bose
Einstein Statistics of the Antiproton — Proton Annihilation Pro-
cess. — «Phys. Rev.», 1960, v. 120, p. 300.
29. Danytsz T. A. e. a. Annihilation Antiprotons into six or more
pions.—«Nuovo cimento», 1967, v. 51, p. 801.
30. Czyzewsky O., Steptyska M. On the Energy Dependence of the
Effect of Angular Correlations in pp-annihilations. — «Phys
Lett.», 1967, v. 25, p. 482.
31. Копылов Г. И., Подгорецкий М. И. Интерференционные корре-
ляции между тождественными частицами. — «Труды Междуна-
родного семинара по глубоконеупругим и множественным про-
цессам». Дубна, ОИЯИ, 1973, с. 483.
32. Копылов Г. И., Подгорецкий М. И. Множественные процессы и
интерференция частиц, испускаемых движущимися источника-
ми. — «Ядерная физика», 1973, т. 18, с. 656.
33. Шуряк Э. В. О корреляциях тождественных частиц в реакциях
множественного рождения.—«Ядерная физика», 1973, т. 18,
с. 1302.
ГЛАВА 6.
МУЛЬТИПЕРИФЕРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
6.1. ПЕРИФЕРИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Периферическое взаимодействие — процесс, в кото-
ром доминирует обмен одной частицы. Гипотеза одно-
пионного обмена, сформулированная давно [1], — основа
концепции периферического взаимодействия. На языке
диаграмм периферические взаимодействия можно пред-
ставить графиком (рис. 33, а). Внешние линии а и b
соответствуют первичным частицам с 4-импульсами Ра
и Рь, внешние линии с и d—вторичным частицам (или
группам частиц) с 4-импульсами Рс и Pd. Внутренняя
линия q соответствует обмену частицей с 4-импуль-
сом q, в результате которого происходит изменение
состояний первичных частиц и их превращение в ча-
стицы с и d. Инвариантная величина q2=(Pa—Рс)2
является квадратом передачи 4-импульса t от частицы
а к частице с или от частицы b к частице d.
Согласно правилам вычисления фейнмановских диа-
грамм каждой вершине диаграммы, где сходятся не-
сколько внутренних и внешних линий, сопоставляется
некоторая константа взаимодействия g *. Каждой внут-
ренней линии сопоставляется функция распространения
обменной (или виртуальной) частицы [2], которую ча-
сто называют пропагатором. В самом простом случае
обмена бесспиновой частицей пропагатор имеет
вид
£)(/)= 1/(/ — т2), (6.1)
где tn — масса покоя обмениваемой частицы (если бы
она находилась в свободном состоянии).
* В случае, когда объекты cud являются адронными Сгустка-
H. вершинная функция зависит от массы этих сгустков и от пере-
дачи 4-импульса.
121
Обменная частица в теории поля, в отличие от сво-
бодных частиц, является виртуальной в том смысле
что не наблюдается непосредственно среди продуктов
реакции, а участвует в процессе как агент, обусловли-
вающий взаимодействие между сталкивающимися ча-
Рис. 33. Диаграммы процессов с одночастичным (а) и двух-
частичным (б) обменом
стицами. Квадрат массы виртуальной частицы t не сов-
падает с квадратом массы физической свободной ча-
стицы того же сорта:
t =# /и2.
В физической области инвариант I обычно оказы-
вается отрицательным. В частности, для процесса упру-
гого рассеяния, когда частица с того же сорта, что и
частица а, а частица d — того же сорта, что и Ь:
t = 2mb (mb — Ed) < О
(E'd — полная энергия частицы b в Л-системе). По-
этому в физической области изменения переменной t
знаменатель пропагатора (6.1) не обращается в нуль.
Амплитуда рассеяния, соответствующая механизму од-
ночастичного обмена, представляется через пропагатор
и константы взаимодействия в верхней и нижней вер-
шинах диаграммы рис. 33, a ga и gb в виде
М (s> О = gagb/(t — m'2)- (6 2)
В рассматриваемом нами простейшем примере ам-
плитуда рассеяния не зависит от s. Как видно из фор-
мулы (6.2), аналитические свойства амплитуды одноча-
стичного обмена таковы, что в нефизической обла-
122
и* переменной t она имеет простой полюс при t=m2.
Гаэтой точке 4-импульс виртуальной частицы формально
повтетворяет такому же соотношению (Z=m2), как
д.импульс реальной частицы. Можно думать, что чем
б чиже полюс амплитуды (6.2) по переменной t к физи-
ческой области процесса рассеяния, тем больший вклад
дает механизм одночастичного обмена.
Среди всех адронов наименьшую массу покоя имеют
пионы; обмен пионами приводит к наименьшему удале-
нию полюса амплитуды от физической области. Поэтому
можно полагать, что доминантность однопионного об-
мена позволит описать существенные черты процесса
взаимодействия, по крайней мере, в области ма-
лых 111:
111 <. m2. (6.3)
Следующая особенность амплитуды на действитель-
ной оси комплексной плоскости обусловлена обменом
двумя пионами (рис. 33, б) и расположена при /=
=4т2. Эта особенность является корневой точкой ветв-
ления Л1(х,/)—(/— 4/п2)1/». С приближением к гра-
нице физической области по t вклад от полюсного сла-
гаемого растет, а от амплитуды с точкой ветвления
падает. Это обстоятельство оправдывает надежду, что
вклад однопионного механизма решающий. Вклад мно-
гочастичных обменов может численно и превосходить
одночастичный. Однако количественно роль многоча-
стичных обменов может быть оценена лишь на ос-
нове сугубо модельных представлений. Поэтому допу-
щение о доминирующей роли одночастичного обмена —
лишь «правдоподобная» физическая гипотеза.
Эта концепция сразу же сталкивается с трудно-
стью: константы сильного взаимодействия адронов раз-
личного сорта весьма велики (g2~ 14-10), и поэтому
пользоваться теорией возмущений здесь нельзя.
Основным критерием применимости идеи однопион-
ного обмена для описания взаимодействия при малых
передачах импульса может служить сравнение пред-
Нефизическая область по переменной t для процесса
Fo->c+d — это область, лежащая вне кинематических пределов,
Допускаемых законами сохранения энергии и импульса. Для упру-
го рассеяния a+b-+a+b переменная t всегда отрицательна,
этому физическая область соответствует /<0.
123
сказаний модели с данными опыта. Обнаружилось
что упругое нуклон-нуклонное взаимодействие не описы-
вает механизм обмена пионом в области малых |/|
даже качественно. Однако процесс AW-рассеяния
неблагоприятен для проявления механизма однопион-
ного обмена. Дело в том, что в силу закона сохране-
Рис. 34. Диаграмма процесса AW-соударения с обме-
ном пионом и испусканием адронной системы А (а) и
диаграмма МУ-соударения с обменом пионом и испу-
сканием двух адронных систем ht и h2 (б)
не реали-
(6-4)
в данном
М (s, t)
ния четности нуклон не может испустить виртуальный
псевдоскалярный мезон, не изменив направления своего
импульса. Таким образом, значение t—0
зуется. Амплитуда AW-рассеяния
| f | +
при t<^m2 оказывается малой. Поэтому
случае однопионный механизм подавлен
Более благоприятная ситуация для проявления одно-
пионного механизма складывается в множественных
процессах, когда один или оба нуклона испускают в ко-
нечном состоянии несколько реальных адронов. Ампли-
туда процесса, изображенного на рис. 34, a (h— струя
адронов), содержит в числителе множитель |^|*/2,
плитуда процесса с испусканием двух сгустков адронов
hi и h2 (рис. 34, б) вообще не имеет в числителе множи-
телей, исчезающих при |/|->0. Как показывает сравне-
ние с опытом, механизм однопионного обмена в неуп-
ругих процессах с небольшой множественностью вто-
ричных частиц, по-видимому, играет заметную роль
при небольших 111 < 10 т2 (см., например, [3]).
124
6.2. МУЛЬТИПЕРИФЕРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Основой для анализа процессов с большой множест-
енностью являются мультипериферические диаграммы
(4 51 (рис. 35), где вторичные частицы (или сгустки
частиц) с 4-импульсами /?< рождаются в узлах мульти-
периферической цепочки с
виртуальными частицами, Ра PN+1
характеризуемыми 4-им- * I
пульсами 9i- Модели подоб- '
пого рода основаны на аргу- ____
ментах, изложенных в пре- 1
дыдущем пункте. [
В рамках мультиперифе- ...
ризма получаются многие
результаты о свойствах про-
цессов множественного рож-
дения, оправдывающиеся па
опыте. Среди моделей муль-
типериферического типа
наибольшее распростране-
ние получили три класса.
1. Модель с обменом
пионами [4, 5] (рис. 36).
В узлах диаграммы могут
образовываться шг-резо-
нансы. Например, р-резо-
нансы (рис. 36, a), f-, р'-, е-, Рис. 35. Мультипериферическая
о- и другие резонансы. диаграмма
Вклад реджеонов* учиты-
вается на основе сугубо модельных представлений [3]
или ими вовсе пренебрегают {4].
2. Мультиреджеонная модель, предложенная в ра-
боте [6], развивалась многими авторами (см., напри-
* Реджеон — понятие, возникшее в методе полюсов Редже или
в теории комплексных моментов [1]. Под обменом реджеоном пони-
мают обмен некоторым адронным состояшгем, обладающим опреде-
ленными дискретными квантовыми числами (зарядом, четностью,
странностью и т.п.). Но этому состоянию нельзя приписать опреде-
ленный спин, целый, или полуцелый, как обычным виртуальным со-
стояниям. Спин реджеона a(t) — переменная величина, зависящая
01 Матричный элемент обмен реджеоном пропорционален множи-
телю s«(<) (см. также пп. 6.6 и 6.7).
125
1
Рис. 36. Мультипериферическая диаграмма множественного Рис. 37. Мультиреджеонная
рождения р-мезоиов в лл-соударениях (а) и мультипе- диаграмма с рождением пион-
риферическая диаграмма с лл-рассеянием вне массовой ных пар во внутренних узлах
поверхности во внутренних вершинах (6)
е р, 8]). В этой модели обмен осуществляется ред-
жеонами Ri различных типов (рис 37).
3 Мультифайербольная модель, когда происходит
обмен пионами, но в узлах взаимодействия виртуальных
пионов образуются адронные сгустки /д с массой (3—
5 рэв^ —так называемые файерболы [9, 10] (см. рис. 38).
6.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МУЛЬТИПЕРИФЕРИЗМА
В основе идеологии мультипериферизма лежит фун-
даментальный экспериментальный факт — ограничен-
ность (см. гл. 2). Дополняя этот факт естественны-
ми гипотезами, можно предложить следующее полуко-
личественное описание множественных процессов:
а + b -> 0 + 1 + . . . + (N + 1). (6.5)
Расположим частицы в порядке возрастания их им-
пульсов в Л-системе в виде *
Pile < Рп, < . - - < Piiyv+r (6.6)
Сформулируем далее дополнительные постулаты
[Н, 12].
а) Состояние i-й частицы в ряду (6.6) определяется
исключительно ее соседями (t—1)-й и (i'+l)-ft части-
цами.
б) Свойства вторичных частиц (или сгустков) оди-
наковы в собственной системе отсчета, т. е. в ультра-
релятивистском пределе (ЕЕ£>ГП{), который здесь рас-
сматривается, состояния частиц не зависят от начальных
частиц, их массы и внутренних квантовых чисел.
в) Отношение соседних продольных импульсов
Р||,+1/Рцг = К конечно и не растет с энергией.
В силу предположений (а) и (б) все — величины
одного порядка
(6.7)
Оговоримся, что постулаты (а) —(в) не относятся к
частицам, имеющим продольные импульсы, близкие к
кинематическим пределам.
Покажем, что при сделанных предположениях с ро-
стом первичной энергии Еа конечными остаются не
Назовем такое расположение основным упорядочением.
127
только поперечные импульсы вторичных частиц, но и
квадраты инвариантных переданных 4-х импульсов
/ N+1 \ 2
~ — Pj] пп (рис. 35). Инварианты выра-
\ /
жаются через продольные и поперечные компоненты
импульсов вторичных частиц. Поскольку мы ограничи-
ваемся ультрарелятивистскими частицами с малыми
поперечными импульсами, то энергия таких частиц при-
ближенно равна
Et ~ Рц£- + гп2^./2рп,.
(6.8)
Переменную /£ можно представить в виде:
^• = (1ЛЛ— РПлн-1 — • — A’ll.+J 1 Р J—
- mlN+,IP^+x - • • • - m\l+1/P\li+1) ~
(A'+l \2 / i \2
S Рх/ ) = X Pl/ )
;=i+i / \/=0 /
Вводя обозначения Kj = получаем (II]
ti — (i—л,дг!|_1 — — . . .—. . . • х
X (т2а — — m^Xyv+iXyv — . . . — , X
XW - • • (6-9)
Из выражения (6.9) видно, что инварианты Л зави-
сят не от самих продольных импульсов, а только от их
отношений Xj. Это означает, что если все Л3 — конечны
(не растут с энергией), инварианты tj тоже остаются
конечными.
Рассмотрим теперь другой кинематической инва-
риант — квадрат эффективной массы пары соседних ча-
стиц t-й и (г + 1)-й:
«ЛЖ = (Pt + pi+i)2;
*,Ж (1 + К) + ~ (p±f + рХ/+1)2. (6. W)
Если величина Z, конечна, то конечна и величина
$i, i+i. Большое значение квадрата эффективной массы
можно получить, если некоторое X, стремится к беско-
нечности. При этом продольные импульсы соседних ча-
128
СТИ11
иЦ В цепочке (6.6) резко различны: P|li+1 > РП,- •
Однако все инварианты tj, начиная с j>i, остаются
конечными, так как не зависят от Z, (см. 6.9). Инва-
ианты /) с /^1 в общем случае оказываются большими,
но при выполнении условия [11]
(]—X7F+1 — ХлжХд?— • • •—.-^ж)' *
(6.11)
и эти инварианты остаются конечными.
Первый случай, когда все Xj конечны и все tj и Sj, j+i
ограничены, принято называть мультипериферической
кинематикой.
Во втором случае, когда один или несколько квад-
ратов парных эффективных масс st-, i+i велики, считают,
что между «верхней» и «нижней» группами частиц про-
исходит обмен реджеоном. Из формулы (6.9) следует,
что при Zi~>oo и выполнении условия (6.11) квадрат
передачи 4-импульса t, зависит только от поперечных
импульсов tt — —Кинематика процесса с большим
числом неограниченных, растущих с ростом первичной
энергии парных эффективных масс, называется мульти-
реджеонной (см. п. 6.9). Поскольку продольные импуль-
сы в мультипериферической цепочке (6.6) отличаются
друг от друга в конечное число раз, их логарифмы раз-
личаются на величину, не зависящую от энергии.
Среднее расстояние A#,=//i+i—yi между соседними
частицами упорядочения (6.6) равно
— In (6.12)
Вследствие постулатов (а) и (б) частицы, находя-
щиеся далеко от границ ряда (6.6), испускаются прак-
тически независимо, и в среднем значения Xi практи-
чески не зависят от индекса i. Поэтому, введя непре-
рывную переменную у вдали от кинематических преде-
лов, будем иметь
dN/dy const.
(6-13)
В Л-системе вблизи кинематических границ у^
^\n(s/mamb) и y = ln(mj_ /ть). Отсюда [см. (6.13)]
средняя множественность
N — In (s/m2).
(6.14)
129
5 3«к. »ц
Из приближенной независимости
следует, что распределение
пуассоновский вид
испускания частиц
по множественности имеет
N\
(6.15)
Рассмотренная картина множественного рождения
существенно основана на фундаментальном факте огра-
ниченности среднего поперечного импульса вторич-
ных частиц и его независимости от первичной энер-
гии. При высоких энергиях (s->oo) движение вторич-
ных частиц практически одномерно. Вторичные части-
цы, с одной стороны, настолько слабо взаимодейству-
ют друг с другом, что их испускание происходит прак-
тически независимо, а с другой стороны, взаимодействие
между ними достаточно велико, чтобы установилось
статистическое равновесие в пространстве быстрот
{см. (6.13)]. В таком случае вероятность образования N
частиц определяется одномерным инвариантным фазо-
вым объемом вторичных частиц (см. гл 4). Прямым вы-
Рис. 38. Мультифайербольная
диаграмма с обменом пионами
между адронными сгустками
hi
числением тогда можно по-
казать, что средняя множе-
ственность вторичных час-
тиц растет с энергией лога-
рифмически (6.14) (см.
гл. 5). Мультипериферизм
напоминает одномерную
статистическую теорию с ин-
вариантным объемом.
6.4. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ
МУЛЬТИПЕРИФЕРИЧЕСКИХ
ДИАГРАММ
В этом разделе сформу
лируем правила вычисления
мультипериферических диа-
грамм типа «гребенка» (рис.
35), где в качестве обменных
частиц выступают либо
обычные виртуальные час-
тицы, либо реджеоны Вто-
ричные частицы с 4 импуль-
сами pt могут быть стабиль-
130
Mii /относительно сильных взаимодействий) адронами
или резонансами. Будем считать все частицы бесспи-
Н0Вд™ритм вычисления фейнмановских диаграмм со-
стоит в применении следующих правил (эти правила
прощены устранением некоторых нормировочных мно-
жителей, которые, как правило, взаимно уничтожаются
при вычислениях).
F 1 Каждой внутренней линии соответствует про-
пагатор виртуальной частицы с 4-импульсом q< или про-
пагатор реджеона, зависящий от квадрата эффективной
массы частиц, испускаемых на концах внутренней линии
(6.16)
(ДЦ! \2
Л/ — X pi )
/=i+l /
2. Каждой вершине, где сходятся три линии внут-
ренних и внешних частиц, сопоставляется вершинная
функция
Л (^-ь Р?) = (ti-x, th fi), (6.17)
где gi—безразмерная константа связи, а функция
G, (ti i, th /7) нормирована так, что на массовой по-
верхности, где р?, р\ = т],
С/(Н?_р L (6.18)
3. Инвариантная амплитуда записывается как про-
изведение факторов (6.16) и (6.17):
M,v+2(Ро, Pi, . .,p,vri; s) —
П/>г(^.[+1; /,)• 1Л.Р?)- (6.19)
»=0 4=0
4. Дифференциальное сечение мультиперифериче-
ского процесса образования (N+2) частиц выражается
через амплитуду ТИЛ-+2 и релятивистский фазовый объем
(Л/+2) частиц по формуле
= («Ы-IIs(п 2~fW)<2")*X
\ £=0 /
(.v-н \
^ + ^-VJpz). (6.20)
5-
131
В формуле (6.20) величина jab является инйарйант-
ной плотностью тока сталкивающихся частиц а и b и
вычисляется по формуле
1аЪ=\ (РаРь)2—'П^.
(6.21)
6-функция в формуле (6.20) отражает действие законов
сохранения энергии и импульса
5. Полное сечение процесса рождения (N+2) ча-
стиц вычисляется интегрированием выражения (6.20)
по всему объему фазового пространства частиц, до-
пускаемому законами сохранения.
Эти правила с небольшими модификациями и до-
полнениями применяются для вычисления большинства
конкретных мультипериферических диаграмм. Ниже
рассмотрим более детально два сорта моделей — чисто
мультипериферическую с обменом виртуальными мезо-
нами и мультиреджеонную с обменом бозонными ред-
жеонами. Нам необходимо получить все качественные
следствия мультипериферизма без количественной кон-
кретизации параметров модели. В дальнейшем (см.
п. 6.10) рассмотрим и некоторые количественные ре-
зультаты мультипериферизма
6.5. МОДЕЛЬ ОБМЕНА БЕССПИНОВЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Рассмотрим простейший вариант мультиперифериче-
ской модели. Для простоты будем считать, что все
внешние и внутренние (виртуальные) частицы ска-
лярные и обладают одинаковыми массами. Пропагатор
обменных частиц в такой модели имеет вид
A(O = ft-P2)-1- (6-22)
Вершинную функцию будем считать величиной по-
стоянной и равной
Ft = gp. (6 23)
В формулах (6 22) п (6 23) р — масса обменной
частицы, g— безразмерная константа связи*. Ис-
* Эта модель соответствует теоретико-полевой схеме с лагран-
жианом взаимодействия трех скалярных частиц вида Lint = MP3. где
Z=g|i— размерная константа взаимодействия.
132
правила вычисления сечений процесса роЖ-
№Лия^(Л,+2) частиц, сформулированные в п. 6.4, легко
Получить при s->°°
NР-1
РГ'ЙГ’П^х
1=0
d(JN
хП^-^2(2л)4б(4)
£=1
(6.24)
Элемент релятивистски инвариантного фазового объема
/-Й частицы
(PpjEi = dy^ptr- (6.25)
Далее можно заменить переменные (см. (6.9)):
Рщ -> *1
(6.26)
Основной вклад в интегралы дают области неболь-
ших значений |/г|~ц2. Это связано с достаточно быст-
рым степенным убыванием пропагаторов виртуальных
частиц с ростом |/,|. Переменная |/г| одного порядка
величины с переменной х2 (см. 6.9). Поэтому для уп-
рощения вычислений будем полагать, что
1^1 = 4 (6.27)
Из ограниченности значений следует ограничен-
ность поперечных импульсов вторичных частиц. Дейст-
вительно, из сохранения поперечных импульсов в реак-
ции множественного рождения следует, что xjv+i = 0.
Тогда |xw| =-р±л,+1> |Рхлг+1+р±лг| = |xpv-i I и т. д Из
ограниченности | хлг | вытекает ограниченность Pi_N+l ,
из ограниченности | xjv_] | — ограниченность р±ы и т д.
Однако в чисто мультипериферической модели, где убы-
вание по передачам квадратов 4-импульсов определяется
только поведением квадрата пропагатора, сходимость ин-
тегралов по поперечным импульсам только степенная.
Детальное исследование свойств интегралов по пе-
ременным yi показывает, что основной вклад в интеграл
133
(6.24) дают области значений yit удовлетворяющие
цепочке неравенств
У а, (6.28)
которую называем основным упорядочением. Имея в
виду соотношения (6.28), 6-функцию под знаком инте-
грала в (6.25) можно представить в виде
б<4> ( ра + Рь~^ Pi] = (2Р2)-1 ехр (— уа) 6 (у0 — yN+i)X
\ /=б J
X 6 [//о — In (р io/р)] 6(2) (y.N-t-1), (6.29)
где для грубой оценки мы пренебрегли всеми бы-
стротами уг по сравнению с уа и ух+\- С помощью
64-функции (6.29) проводится интегрирование в (6.24)
по переменным yjv+i, у0 и хлч-i- В результате
N
gn = (л/4) g4
(g2p2)A'exp(—2уй)Р| р
4=0
2(2л)з(х2 + М^
Пусть эффективная константа взаимодействия
g2P2
2(2n)s
<f2X;
X2
1 макс
g2«g2/16n2.
г>,
4=1
(6.30)
(6.31)
После переобозначений возникает следующее выраже-
ние для полного сечения образования (N + 2) частиц:
O-JV 4n3g'р~2р2Л ехр (—2ро) П \dtji- (6.32)
Остается только провести последовательное интег-
рирование по Уг в пределах yt+i, Q^.yN^ya-
Тогда сечение образования N новых частиц предста-
вится в виде
oN = 4n3g4p~2 [g2 In (s/p2)]" exp (— 2ya)lN! (6.33)
Полное сечение процесса взаимодействия находится
суммированием всех парциальных сечений (6.33):
сгт = 4n3g4p—2 (s'p2)®2 2. (6.34)
134
Как видно из (6.34), мультипериферическая модель
сказывает степенную зависимость сечения от энер-
пРед Постоянное сечение получается лишь в том слу-
' есл11 g2=2. Однако абсолютное значение сечения
4 чывается слишком большим, если считать, что об-
мениваемыми и рождающимися частицами являются
пионы. Действительно, при g2—2 от=16л3/и“2, в то
время как наблюдаемые полные сечения имеют порядок
величины
Из соотношений (6.33) и (6.34) вытекает, что
N g2ln(s/m2). (6.35)
Распределение частиц с по быстроте у в инклюзив-
ном процессе после суммирования ио всем каналам с
различной множественностью N (4, 8]
dN/dy = g2. (6.36)
Распределение (6.36) не зависит ни от у, ни от зна-
чения Еа. Мультипериферическая модель предсказывает
существование плато в распределении dN/dy. Ширина
этого плато увеличивается с ростом энергии логариф-
мически [//макс //мин~ 1П (s/W2)].
Постоянство распределения dN/dy нарушается
вблизи кинематических границ на расстояниях
\уа—у\ ^'\у и \уь—у\^Ьу, где Ag~l/g2 —некото-
рая величина, не зависящая от s. Количественные
оценки приводят к значению А//~ 1/2 [8]. Физический
смысл Лу — среднее расстояние между частицами
в шкале быстрот.
Таким образом, мультипериферическая модель пред-
сказывает существование большой области пиониза-
ции (ее размеры растут логарифмически с энергией)
и небольшой постоянной области фрагментации вблизи
граничных значений у. Ниже мы еще вернемся к этому
важному выводу.
6.6. СВЯЗЬ МУЛЬТИПЕРИФЕРИЗМА С МЕТОДОМ
ПОЛЮСОВ РЕДЖЕ
Метод полюсов Редже и его обобщения, учитываю-
щие точки ветвления парциальной амплитуды анниги-
ляционного /-канала — один из самых распространен-
135
ных методов описания двухчастичных и квазидвухча-
стичных процессов при высоких энергиях [17]. В по-
следние годы этот метод получил свое новое развитие
и стал одним из мощных теоретических инструментов
анализа экспериментальных данных о множественных
процессах (см. гл. 8). Еще в первых работах, посвя-
Рис. 39. «Лестничная» диаграм-
ма процесса упругого рассея-
ния
щенных мультиперифериче-
ской схеме [4], отмечалась
связь между методом полю-
сов Редже и мультиперифе-
ризмом. Расчеты [4] ампли-
туды рассеяния, отвечающей
«лестничной» диаграмме
(рис. 39), показали, что эта
амплитуда имеет реджев-
ское степенное поведение
вида
M(s, 0 (6-37)
Рассмотрим качественно
механизм возникновения
реджевского асимптотиче-
ского поведения. Обмен ред-
жеоном какого-либо сорта
можно интерпретировать
как обмен некоторой «лестницей», составленной из вир-
туальных частиц. Концепция отождествления реджеона
с «лестницей» весьма плодотворна, так как появляется
заманчивая возможность использовать простую кинема-
тику «лестницы» и ее качественные свойства при анализе
различных сложных механизмов процессов множествен-
ного рождения при высоких энергиях.
Покажем на примере вычисления Im/Mfs, t), как
возникает асимптотика вида (6.37) для «лестничной»
диаграммы [11]. Для этого рассмотрим соотношение
унитарности для амплитуды упругого рассеяния частиц
а и b при отличных от нуля передачах 4-импульса [17]:
Im М (s, t) =
СО Д'
1/2Sjn
W=2 1=0
43р,
2Et (2л)з
ХЛ<ЛМ2л)4 6(4>
(6.38)
136
д]____амплитуда перехода первичных частиц с 4-иМ-
Г^льсами Ра и Рь в N вторичных частиц с 4-импуль-
самп Р/, s М' — амплитуда перехода частиц с импуль-
сами Ра и Рь (см- Рис- 39) в W вторичных частиц
с теми же импульсами Pi. Эти амплитуды можно вы-
числить в мультипериферическом приближении (см.
рис 35). Тогда вычисление мнимой части амплитуды
рассеяния (6.38) становится эквивалентным вычисле-
нию «лестничной» диаграммы рис 39, ступеньками
которой являются уже реальные (р? = ц2), а не вир-
туальные частицы *. Эта операция графически часто
изображается как рассечение диаграммы рис. 39 вер-
тикальной чертой.
Представим амплитуды Mn и Mn на основе
правил, сформулированных в п. 6.4, в виде
АМРт, . - .,PA';s) = (^7141(//-p2)-1; (6.39)
t=l
. . .,pN; s) = (ng)2v n‘ (4-Ц2) (6.40)
i=l
rppti = (pa — J] рЛ ; t't = (p'a — у рЛ Далее
\ /=‘Ч 1 J \ /=4 + 1 /
буквально повторяются вычисления, проведенные в п. 6.5.
В результате
Im М (s, 0 = л (4ц2)-1 exp (— уп) (p2g2)2'v X
А- 2
J П («? + Р’)-11Чх - Ы= + Р’1 П tSv П
1=1 2<2Я) 1=2
(6.41)
Обозначим G2(t) значение интеграла
° (6.42)
* Техника
содержится, в
вычисления мнимых частей фейнмановских диаграмм
частности, в монографии [14].
137
Тогда формулу (6.41) Можно переписать в виде (q* —
со ЛЛ—1
Ini М (s, t) (л/4) g4P (t) exp (- Уа) £ [G (/)]2<"-2)J j j dy,
i=2
(6.43)
Последовательное вычисление интегралов по у( в пре-
делах 0 i/z =С 0 ^.yN-i =С уа приводит к выражению
Im М (s, t) = (л/4) g2G2b (0 exp [уа [G2 (0 — 1 ]}, (6.44)
где в конечном результате мы выделили индексами о
и b константу связи в верхней вершине и эффектив-
ную вершинную функцию в нижней вершине.
Итак, мнимая часть «лестничной» амплитуды имеет
реджевский вид
ImM(s, = (6.45)
где a(/)=G2(/)—1. При t—О из формулы (6.45) и опти-
ческой теоремы следует формула для <тт, доказанная
ранее (см. (6.35)). Если учесть, что G2(0)=pr2, то
сгт — s-1 Im М (s, 0) = 4n3p,-2gag* (s/jx2) ?~2.
Таким образом, «лестничная» диаграмма с характер-
ной для нее мультипериферической кинематикой дей-
ствительно приводит непосредственно к реджевской
асимптотике.
6.7. ПРОСТРАНСТВЕННО ВРЕМЕННАЯ КАРТИНА
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Проведенный анализ позволяет качественно понять,
как должна выглядеть пространственно-временная кар-
тина взаимодействия быстрых частиц [15, 11]. В рам-
ках реджевского подхода в промежуточном состоянии
должны появляться частицы с характеристиками, удов-
летворяющими мультипериферической кинематике.
Предположим, что частицы являются точечными ад-
ронами одного сорта и при этом возможен виртуальный
переход одного адрона в два *. При виртуальном пере-
ходе энергия не сохраняется. Масштаб несохранения
энергии в системе покоя распадающейся частицы со-
* Далее мы излагаем вопрос согласно [11].
138
„„от \Е~т (т — масса адрона). Согласно соот
СТрЯВЛЯс! ел '
пению неопределенности адрон может существовать
Н°виде двух виртуальных адронов в течение промежу
тка времени (Л=с=1):
(6.46)
АГ ~ т 1.
В Л-системе в результате лоренцевского сокращения
времени виртуальная пара адронов существует дольше
в у=Е„1т раз, т. е.
М — Еа1т2. (6-47)
Для грубых оценок предположим, что импульс на-
чальной частицы делится при виртуальном переходе в
два адрона примерно пополам. Время жизни каждого
виртуального адрона совпадает со временем существо-
вания такой флуктуации ,Xt~Ea/m2. Пусть одна из
виртуальных частиц существует все это время, а дру-
гая через время А//4 распадается еще на две частицы
(это время выбрано снова для упрощения изложе-
ния) с делением энергии опять пополам. Эти частицы
будут иметь время жизни вдвое меньшее, так как у-
фактор распадной частицы меньше начального в два
раза. Пусть теперь опять одна из частиц живет все
возможное время Л//2, а другая распадается через
время А//8 и т. д. После N последовательных распадов
энергии частиц в N-й паре оказываются порядка 2~NEa-
Если число делений N^log2(Ea/m)^>l, то частицы
при N-м делении становятся медленными. Для такой
флуктуации требуется время
At/4 + М/8 + ... + M/2N = Д//2. (6.48)
Медленные частицы взаимодействуют с частицей-
мишенью, после чего осуществляется процесс «собира-
ния» частиц, который происходит также за время A//2.
'-'писанный процесс соответствует мультиперифериче-
ской кинематике, когда энергия последовательно дро-
бится вдоль «лестничной» диаграммы по мере прибли-
жения к частице-мишени. Здесь возникает вопрос: по-
чему же необходимо такое дробление вплоть до
возникновения медленных частиц, которые уже взаимо-
действуют с мишенью? Дело в том, что точечные ча-
Ицы при высоких энергиях взаимодействуют с очень
'JM„Чсечснием (длина волны падает с ростом
энергии).
139
Амплитуда взаимодействия бесспиновых частиц
посредством одночастичного обмена (см. рис. 33, о)
~ (t—и2)-1, где ц —масса обменной частицы, не зави-
сит от энергии. Амплитуда взаимодействия точечных
частиц через промежуточное одночастичное состояние
в прямом канале (рис. 40)
имеет вид М ~ (s—ц2)-1 и
Рис. 40. Диаграмма процес-
са упругого рассеяния через
одночастичное промежу-
точное состояние
убывает как s~’ с ростом энергии. Для получения по-
стоянного сечения необходимо, чтобы амплитуда взаи-
модействия росла с ростом энергии по закону Л4~х.
Таким образом, быстрые частицы описанной флук-
туации не могут дать постоянное сечение. В то же
время сечение взаимодействия медленных частиц (с
ограниченными, не растущими с первичной энергией
импульсами) флуктуации с мишенью, очевидно, не за-
висит от первичной энергии налетающей частицы и
может приводить к постоянному полному сечению. Для
этого необходимо, чтобы медленные частицы возни-
кали как раз вблизи частицы-мишени (по пространст-
венным продольным координатам). Такая картина
возможна лишь в случае, когда вероятность обнару-
жить медленную частицу в смеси многочисленных
флуктуаций начинающихся и заканчивающихся в раз-
личные моменты времени, достаточно велика (близка
к единице). Ясно, что вероятность «подходящей»
флуктуации существенно зависит от константы взаи-
модействия. Если взаимодействия мало, то частица
проводит большую часть времени в нераспавшемся
состоянии. Если же распад все же произошел, то
дальнейший распад маловероятен.
Зависимость от константы связи уже демонстриро-
валась ранее при конкретном вычислении «лестничных»
диаграмм. В частности, одна из проблем состоит в
том, чтобы получить реджевский полюс с а(0) = 1,
т. е. постоянное сечение, подобрав разумные комби-
нации виртуальных частиц с подходящими констан-
тами связи.
140
Подчеркнем критичность выводов к выбору кон-
ть! Если константа слишком велика, то взаимо-
СТйствуют не только очень медленные частицы, а осу-
ществляется коллективное взаимодействие гидродина-
мического типа.
Приведем аргументы в пользу того, что вероят-
ность обнаружить медленную частицу в данный мо-
мент времени все-таки порядка единицы, что и приво-
дит к постоянству сечения взаимодействия. Взаимодей-
ствие должно быть при этом таким, чтобы вероят-
ность распада частицы на две в данный момент вре-
мени была ~*/2- Такое взаимодействие следует счи-
тать в какой-то степени оптимальным, так как время
жизни двух образовавшихся одинаковых виртуальных
частиц не может превышать половину времени жизни
нераспавшейся родительской частицы. Действитель-
но, у-фактор образовавшихся частиц в среднем вдвое
меньше, чем у родительской частицы. Вероятность
/V-актов независимых последовательных распадов, в
результате которых образуется частица с энергией
~2-кЕо, составит тогда ~2~к. С другой стороны,
в каждом акте возникали две частицы, каждая из ко-
торых могла претерпеть последующий распад, т. е. в
результате ./V-актов возникают -~27V возможностей на-
блюдения конечной медленной частицы. Тогда вероят-
ность наблюдения конечной медленной частицы поряд-
ка единицы.
Проследим развитие флуктуации в поперечной к на-
правлению импульса плоскости. При каждом акте
испускания образующаяся частица получает попереч-
ный импульс р ~т и, согласно соотношению неопре-
деленностей, смещается по поперечной координате на
расстояние Др~/ц-1. При независимых последователь-
ных актах испускания двумерные векторы приращения
прицельного параметра Др направлены хаотически, и
после /V-актов общий сдвиг в поперечной плоскости со-
ставляет р~ \rN]m. Поскольку число актов должно
быть порядка N ~\п(Е„/т), эффективный радиус взаи-
модействия (прицельный параметр) равен по порядку
величины
р ~ In1/2 (Ео1т)1т, (6.49)
т- е- р2 растет логарифмически, что характерно для ред-
жевского режима [17]. Это означает, что быстрая нале-
141
тающая частица по первоначальному предположению
точечная, на самом деле протяженная в поперечном на-
правлении и представляет собой тонкий диск с радиусом
р Полное число виртуальных частиц в этом диске
N ~\п(Еа/пг). Однако среди этих частиц имеется лишь
одна медленная частица с небольшим поперечным раз-
мером т~', способная сильно провзаимодействовать с
мишенью, когда продольная координата налетающей
частицы совпадает с координатой мишени. Полное се-
чение этого взаимодействия о~/д 2 и не зависит от
энергии.
Проведенные рассуждения и опенки [11, 15] показы-
вают, как пространственно-временные качественные ар-
гументы позволяют получить важные принципиальные
результаты без проведения сложных, но строгих расче-
тов. В частности, легко выяснить, каким может быть
максимальный радиус взаимодействия. Так, очевидно,
что для получения максимального радиуса взаимодей-
ствия последовательные смещения виртуальных частиц
в поперечной плоскости должны происходить в одном
и том же направлении, а не хаотически. Именно тогда
получится максимальный радиус взаимодействия. Пол-
ное смещение после N актов составит p~Nlm~
~\п(Еа/т). При этом максимально возможное полное
сечение взаимодействия равно
сгт — 4лр2 ~ In2 (Ejm) (6 50)
Такое поведение сечения совпадает с максимально до-
пустимым ростом, следующим из теоремы Фруассара
[16] (см. гл. 1).
Рассмотрим в рамках изложенной схемы вопрос о
свойствах точек ветвления амплитуды рассеяния по мо-
менту /. На языке комплексных моментов появление
точки ветвления у амплитуды рассеяния обусловлено
одновременным обменом двумя реджеонами. На прост-
ранственно-временном языке это означает, что в резуль-
тате процесса взаимодействия возникают две флуктуа-
ции, начинающиеся в несколько различные моменты
времени и перекрывающиеся в продольном направлении.
Каждая из этих флуктуаций содержит по одной медлен-
ной частице, способной сильно провзаимодействовать с
мишенью. Наиболее сильное взаимодействие происхо-.
тит, когда эти частицы взаимодействуют с мишенью одно-
временно. Вероятность того, что обе медленные частицы
142
один и тот же
поперечных
всей флук-
й пет иметь в поперечной плоскости
пепельный параметр, равна отношению
сечений этих частиц к поперечному сечению
туацпи.
In (Еа/т) = in-1 (EJm).
(6 51)
Поэтому вклад в полное сечение от такого перекрытия
Флуктуаций логарифмически убывает с энергией. Имен-
но такой результат следует и из строгих вычислений
[17]. -
Упомянем еще об одном красивом предсказании [18],
которое вытекает из предыдущего качественного анализа.
Как уже пояснялось, обмен реджеоном соответствует
наличию в промежуточном состоянии в среднем боль-
шого числа частин N &а\п(Еа/т), где а = const. Обмен
двумя реджеонами соответствует двум перекрывающим-
ся флуктуациям, в каждой из которых также А/~
~aln(E„/m) частищ т. е. всего ~2а1п(Еа/т) частиц.
При обмене тремя реджеонами в промежуточном состоя-
нии в среднем имеется За1п(Еа/т) частиц и т. д.
Если на опыте изучать отношение сечения образова-
ния N частиц к полному сечению On/ot в зависимости от
N, то при N—aki(Ea/m), 2а\п(Еа/т),... должны наблю-
даться максимумы, а значение этого отношения умень-
шаться, так как каждое последующее ветвление появ-
ляется с вероятностью ~ln-1 (EJm), по сравнению с
предыдущим. Такое поведение еще не наблюдалось.
Однако распределения по множественности хорошо
описываются в теории комплексных моментов с учетом
ветвлений [19] (рис. 22).
6.8. МУЛЬТИПЕРИФЕРИЗМ ИНКЛЮЗИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ОБЛАСТЯХ ПИОНИЗАЦИИ И ФРАГМЕНТАЦИИ
Рассмотрим инклюзивные процессы в рамках муль-
тппериферической модели в различных кинематических
областях, используя метод вычислений, основанный на
оптической теореме [14]. Пусть частица с с 4-импульсом
Р испускается примерно в середине мультиперифериче-
скои цепочки (рис. 41, а). Пусть энергия велика s^>m2,
ть и велики эффективные массы «1 и s2 групп адронов
и n2: si и2 , | ^ |, s2 щ2, 192 |, но при этом все
5ь «2<С8. Этот случай отвечает такой кинематике,
143
При которой быстрота частицы с Далека от кинемати-
ческих пределов, т. е. в области пионизации.
Возведем амплитуду процесса рис. 41,'о в квадрат
по модулю и выпишем выражение для инвариантного
Рис. 41. Мультипериферическая диаграмма с испуска-
нием вторичной частицы с в середине мультиперифери-
ческой цепочки (а) и диаграмма для инвариантного
дифференциального сечения инклюзивного процесса в
области пионизации (б)
дифференциального сечения образования частицы с в
этом процессе:
2£d3o(nt, Иг) (4 Г ( 2
d3P J
* П I ‘ п - иГ2 № - нТ2 X
1=1 /=1
Х(2л)4б<4)
ра + pb — Р — 2 Pt ~ Z Pi
/=1 .
(6.52)
144
g — константа связи в вершине <7i<72c; Mnt, МПз —
матричные элементы процессов q{ + a-^n{, q2 + b^i2,
е <7i и У2 — виртуальные частицы с 4-импульсами qi и
Г и массами покоя р, (для простоты массы обменивае-
мых частиц считаются одинаковыми).
Инвариантное сечение (6.52) графически может быть
представлено в виде диаграммы рис. 41, б, где все про-
межуточные частицы реальные, что отмечено пунктир-
ной вертикальной чертой. Линия, соответствующая час-
тице с, нарисована с внешней стороны диаграммы.
Верхний и нижний блоки, выделенные рамками, отве-
чают процессам qxa- и ^-рассеяния вперед через щ и
н2_частичные промежуточные состояния. Поскольку
группы адронов П] и п2 состоят из реальных частиц, то
после суммирования по всем возможным состояниям
щ и п2 и интегрирования по фазовым объемам получим
мнимые части амплитуд q\a- и ^-рассеяния вперед. При
этом необходимо учесть законы сохранения энергии и
импульса в каждом канале q\ + a-^-nx и q2 + b->n2.
В формуле (6.52) имеется только одна б4-функция,
соответствующая закону сохранения энергии и импульса
в реакции a + b^-c+щ +п2. Чтобы обеспечить закон
сохранения энергии импульса в реакции <72+Ь->п2, вве-
дем в (6.52) дополнительное интегрирование по 4-им-
пульсу q2 с нужной б<4>-функцпей
\ /=1 /
(6.53)
Если <7i + <72+P = O, то области интегрирования по
фазовым объемам групп адронов п.\ и м2 не будут вы-
ходить за пределы, допускаемые законами сохранения
энергии и импульса в исходном процессе (см. рис. 41, а).
Итак, используя формулу для мнимой части ампли-
туды рассеяния вперед, вытекающую из оптической
теоремы [14]
Im M„iO (S1, 0, q2) = 2-’ (2л)4 V | МП1 р П X
nt i=l
Xfi(4)
145
и аналогичную формулу для Im Mq2b (s2, 0, q‘~), после
суммирования в (6.52) по всем каналам щ и п2 получим
для инвариантного инклюзивного сечения выражение
F(1) /„ = 2g^2 Г 1тЛУ(^ °- 0-2, 0, gj)
(6.54)
где инвариантный поток падающих частиц подставлен
в виде jab^s/2, и инварианты si= (Po + <?i)2, s2= (Рь +
+ <7г)2, <?2 = (/7г + р)2- Мнимую часть («лестничной»)
диаграммы мы уже вычисляли (см. (6.44)). Особенность
(6.54) состоит в том, что в процессах qxa- и ^-рас-
сеяния частицы <?1, q2 — виртуальные.
Поэтому мнимые части амплитуд, в принципе, могут
зависеть также и от квадратов 4-импульсов виртуаль-
ных частиц. Будем считать, что зависимость от s2 и qj
факторизуется [3—5].
Тогда
ImM^Sp 0, <7}) = 4n3g*g2(s1/p,2)g2 ‘(fl(</?),
ImAV(s2, 0, ^) = 4л3^ь g2 (s2/p2)g2-1 ср2 (^2), (6.55)
где g2a ь — эффективные константы связи в верхней и
нижней вершинах, а функции Фг(9?) учитывают вир-
туальность частиц </1 и </2 и убывают с ростом |<?2| •
Спектральная плотность распределения представляется
в данном случае в виде
(аг « 4л3£а gl (s/p2)g2-2):
р(”(р, S) F<*’(p, s)/0T, (6.56)
, , , , ч 2 (s1s2/p2s)g2-1 ф! (<71) <р2 (?г)
Р' ‘ ’ (Р. ») = «"ft «W J ' *
Отметим, что выражение (6.57) не зависит от сорта
частиц а и Ь. Комбинация (SiS2/s), входящая в выра-
жение (6.57), не зависит от первичных 4-импульсов Ра
и Рь, если Si | <7i j, т2, s2 > | q\ |, т2 и s » т2, т2 :
s^/s 2(^PJ (q2Pb)l(PaPb)-
(6.58)
146
изменить 4-импульс Ра в 7. раз, то отношение
не изменится. Аналогично, изменение 4-импульса
n в X раз не меняет это отношение. Следовательно,
1ибинация (SiS2/s) не зависит от первичных 4-импуль-
к р н Рь, откуда вытекает, что спектральная плот-
Сость°(6.57) также не зависит от этих величин. Функция
(6 57) должна быть релятивистски инвариантной отно-
сительно продольных лоренц-преобразований. После
интегрирования в (6.57) по 4-импульсу q2 результат
зависит от поперечной компоненты р± 4-импульса р или
от triy, поскольку эти величины инвариантны относи-
тельно продольных преобразований. Поэтому спектраль-
ная плотность распределения в области пионизации
является функцией только от р±:
р(1)(р, s) -р(1)(р±).
(6.59)
В отличие от функции pW, нормированной на среднюю
множественность, плотность распределения F^(p, ?),
нормированная на величину А'от, будет масштабно
инвариантной только в том случае, если сечение <jT(s) =
= const при s—>-оо, т. е. когда эффективная константа
связи g2=2.
Докажем теперь, что скейлинг выполняется в рам-
ках мультипериферической модели и в областях фраг-
ментации. Рассмотрим, например, процесс испускания
быстрых частиц, изображенный на диаграмме рис. 42, а,
когда частица с испускается в начале мультипериферн-
ческой цепочки ц уносит значительную долю энергии
первичной частицы а. Эта кинематическая область
соответствует процессу фрагментации налетающей час-
тицы. Эффективная масса группы недетектируемых час-
тиц п, рождающихся вместе с частицей с, в рассматри-
ваемых условиях считается большой: т2х = (Ра + РЬ-
Рс)2 > т2, т2, т2, однако т2х < s. Передача
4-импульса от частицы а частице с невелика:
I lae I = I (Ра~ Pc)2 I < .
?£ле возведения матричного элемента процесса
зово ^’5.по МОДУЛЮ в квадрат, интегрирования по фа-
по вМУ °бЪеМу недетектиРУемых адронов и суммирования
сем возможным каналам реакции с образованием
147
частицы с, находим инвариантное дифференциальное
сечение
^(1)(Р, s) 1тЛ49Ь(/д2., О,/пг)(^с —р2)-2, (6 60)
где ga — константа связи в вершине acq\ р,—масса обме-
ниваемой частицы! Im Mqb (т2х, о, tac) — мнимая часть
амплитуды упругого рассеяния виртуальной частицы q
Рис. 42. Мультипериферическая диаграмма с испусканием
быстрой вторичной частицы с (а) и диаграмма для инва-
риантного дифференциального сечения инклюзивного про-
цесса в области фрагментации (б)
на мишени b на нулевой угол. Появление этой величины
в выражении (6.60) ясно из диаграммы рис. 42,6, воз-
никающей после возведения в квадрат матричного эле-
мента. Мнимая часть «лестничной» диаграммы была
вычислена ранее (6.44). Единственное отличие здесь
заключается в виртуальности частицы q, которую мы
учтем с помощью некоторой функции q>(tac), убывающей
С ростом I tac [ -
После подстановки (6.44) при значении ( = 0 в
(6.60) получаем
1 > (р. s) 4л3£2 дVs 1 (ml/p2)?2-1 <р (tac) (taC — j.t2) 2,
(6.61)
где g2— квадрат эффективной константы связи во
внутренних вершинах. Заметим, что в рассматриваемой
здесь кинематической области s->oo:
148
рпантность
функции F
{ п? = 21 • Д
taC^^a(l-x)-]-ni^l-^)~pl/x, (6.62)
m2/s — (1 — x).
Из (6.61) и (6.62) следует, что масштабная инва-
в области фрагментации имеет место для
) только при постоянном полном сечении
я спектральной плотности распределения
скейлпнг существует прп любом значении константы g2,
причем распределение не зависит от сорта частицы Ь:
р(-)(х, Рл)= 16л2?(1-хХ-1ф(^)(^.-И2)-2 (6-63)
Аналогичные вычисления можно провести и для
случая, когда частица с испускается в нижней вершине
Результат будет таким же, как (6.61) и (6 63), если за-
менить индекс а на индекс b и переменную х на — х.
Таким образом, мультипериферическая модель пред-
сказывает скейлинговое поведение инвариантных диф-
ференциальных сечений F^ инклюзивных реакций в
случае постоянства полного сечения взаимодействия при
высоких энергиях. Для спектральной функции распреде-
ления р<6 скейлинг выполняется и при степенном убыва-
нии (или росте) полного сечения с энергией, причем в
областях фрагментации распределение не зависит от
сорта мишени, а в области пионизации — и от сортов
обеих сталкивающихся частиц.
Предсказание рассматриваемой модели относительно
поведения спектров в областях фрагментации (6.63) по
переменной х требует существенного уточнения. Дело в
том, что мы считали обмениваемые частицы обычными
виртуальными мезонами. Как уже отмечалось в п. 6.3,
когда эффективная масса какой-либо пары рождаю-
щихся частиц велика, между ними происходит обмен
реджеоном — сложной системой виртуальных состояний
(см. п. 6. 7).
В дальнейшем уточним предсказания мультиперифе-
рических моделей в рамках реджевского подхода, одна-
ко качественные выводы о скейлинговом поведении
спектральной плотности распределения при этом оста-
нутся справедливыми (см. гл. 8).
В заключение заметим, что скейлинговые свойства
Дмитров были доказаны в рамках мультипериферизма.
11?° выдвижения гипотезы масштабной инвариантности
149
6.9. ЭКСКЛЮЗИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В МУЛЬТИРЕДЖЕОННОЙ МОДЕЛИ
РЬ
Рис. 43 Диаграмма про-
цесса с обменом редже-
онами
В мультиреджеонной модели предполагается, что эф.
фективные массы соседних пар частиц достаточно вели-
ки Si, i+1^>s0, где s0« 1 Гэв2 (см. п. 6.3). В отличие от
мультипериферической модели (см. п. 6.5) здесь необхо-
димо вместо пропагаторов вирту-
альных частиц использовать про-
пагаторы реджеонов
DR(s,,i+i, Q =
-бд (Q(Si.Hi/s0)a«(z-).
Здесь 0л(Л) —сигнатурный мно-
житель; an(ti) траектория ред-
жеона [17]. Предположим, что все
реджеоны /? в мультиреджеонной
графике рис. 43 одинаковы и что
траектории линейные:
%(М М°)
В рамках теории комплексных
моментов вершинные функции
взаимодействия реджеонов друг
с другом и с реальными части-
цами не предсказываются. Пред
положим, что вершины взаимо-
действия двух реджеонов с реаль-
ными частицами имеют фактори-
зованный вид, т. е.
г; (^-ь д = £,1пД(/1-
где функции ₽г(^г) нормированы следующим образом-
₽т(н2) = 1(и — масса физической частицы, лежащей на
данной траектории) и быстро убывают с ростом |/,|-
Для верхней и нижней вершин (см. рис. 43) взаимодей-
ствия двух реальных частиц с реджеоном введем обозна-
чения:
Гд^ЛЧ-1) = gnma^a (tu+1)’
= gbmt$b (Q-
Пусть для простоты массы всех вторичных частиц Щ
константы связи gi и функции РД^) одинаковы. Сечение
150
несся образования М новых частиц в рамках муль-
тиреджеонной модели представляется в виде интеграла:
Г‘ <'<- ОХ
1=0
N-+-1
X [П (2л)4 &татьГ' х
,7 1=0
X ехр (- У а) б (Уа - У N щ) 6 [% ~ In 6 (zw+1) .
(6.64)
Как уже отмечалось в п. 6.3, в случае обмена ред-
жеоном Уг+^У> и ti — ~поэтому пропагатор ред-
жеона можно представить в виде
DRi (yi+1 -Уь Ч (- х?) tny (t+v>ls^i (0> X
X exp [o'/?. (0) («/г+1 — «/,)] ехр [— v?t In (s£,/+ i/sn)] . (6.65)
Проведем интегрирование по переменным ук+\, Уо и
kn+j с помощью 6-функций в (6.64). Далее, выполним
интегрирование по поперечным переменным х£ и введем
обозначение для эффективных внутренних вершин:
G? [In (Si,l+1/s0)[ - J‘d2xz I eR (- х,)2 12 X
Л 2ct (0) \/
X ₽? (- ₽?_i (- *?) (mu R x
X exp [— 2a'R x2In (s/.z+1/Sb)] • (6-66)
Поскольку xiv+i = 0, то вершина Гп(0) =gatna\ Gb—
эффективная нижняя вершина.
Будем считать для простоты, что зависимость эф-
фективных вершин (6.66) от парных масс i+1 несу-
щественна, поскольку она имеет логарифмический ха-
рактер, и примем G? =GS~ const. Тогда полное сечение
образования N частиц будет равно
-^r^Gft2exp[2i/fl[cz/?(0)-l]]G2Wnjdf/1-. (6.67)
151
Последовательное Интегрирование (6.67) приводит
нас к окончательному результату (Уг-t yi+ly
°к = 'в’1" У"'" <6-68)
4m£ /v•
Полное сечение получается после суммирования всех пар-
циальных сечений о^-:
„2 г2
(6.69)
4т2
Аналогично вычислениям, проведенным в п 6.5,
можно показать, что средняя множественность согласно
мультиреджеонной модели растет логарифмически с
энергией:
/V = G2 In (slmam^.
Распределение по быстроте также постоянно и не за-
висит от энергии [8], т. е. dNldy=G2 Среднее расстояние
по быстроте между частицами мультиреджеонной це-
почки равно Ay = G“2. Чтобы стт(«)—>-const, s->co, необ-
ходимо условие
2^ (0) — 2 + G2 = 0. (6.70)
Поскольку G2>0, то ал(0)<1. Гипотеза существо-
вания полюса Померанчука * [17] обычно приводит к
значению ар(0) = 1. Здесь мы сталкиваемся с трудностью
при попытке объяснить постоянство сечения в рамках
мультиреджеонной модели **. В качестве возможного
(но не единственного) выхода постулировалось, что
ctp(O) очень мало отличается от 1. Так, полагалось, что
аР(0)=0,99 [22] и даже аР(0) =0,999 [10].
Другое решение заключается в допущении, что вер-
шина взаимодействия трех померанчуконов при нулевой
передаче квадрата 4-импульса обращается в нуль. Этот
подход обсуждается в гл. 7.
По-видимому, корни сформулированной проблемы
имеют весьма глубокий характер. В теории поля при
релятивистских энергиях существует единственная ха-
* В литературе также используют термины померон, вакуумный
полюс или померанчукон.
** Это обстоятельство было обнаружено давно [21].
152
актерпстическая величина, имеющая размерность длн-
Р __длина волны, которая для реальных частиц умень-
шается с возрастанием энергии. Поэтому основная поо-
бчема и состоит в том, чтобы сконструировать из набора
пин волн постоянное или квазипостоянное сечение. По-
добная конструкция была продемонстрирована качест-
венно в п. 6.7 на основе пространственно-временной
картины взаимодействия, приводящей к постоянному
сечению. К сожалению, эта картина еще не нашла
своей количественной реализации. Количественно в раз-
личных вариантах мультипериферической и мультиред-
жеонной модели постоянство сечения достигалось под-
бором узлов в лестничных диаграммах, обменных час-
тиц и констант связи. Этот подход был применен в ра-
боте [23] и нашел наиболее полное отражение в статье
[20], где учитывались обмены и рождение я-, р-, и-, f-
и Л2-мезонов.
В работе [3] на основе аналогичного подхода было
получено постоянство сечения для ля-взаимодействия в
области энергий s<exp(104) (Гэе)2. Мы здесь не имеем
возможности остановиться на деталях вычислений, по-
этому адресуем читателя к оригинальным работам.
К сожалению, в нашем распоряжении нет внутренних
физических критериев для выбора между многими ва-
риантами мультипериферической модели. В дальнейшем
(см. п. 6. 10) остановимся более подробно на наиболее
разработанной модели [3], которая при наименьшем
числе свободных параметров объясняет, по-видимому,
наибольшее число экспериментальных фактов при
Достижимых энергиях.
6.10. ПОЛНОЕ СЕЧЕНИЕ лл ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В МУЛЬТИПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
С РЕДЖЕЗОВАННЫМ ПИОНОМ
Полное сечение лл-взаимодействия в рамках мульти-
периферической модели может быть вычислено на осно-
ве диаграммы рис. 44, где в узлах излучаются пары
пионов, а обмен происходит реджеонами с пионными
вантовыми числами [3]. Верхний N-н блок этой диаг-
раммы представляет собой амплитуду процесса лд +
никнП + Л’ ГДе — пионный реджеон, а вся остальная
вапи Я^л’1асть Диаграммы — амплитуду процесса образо-
я (Д' 1) пар пионов в лдл-взаимодействии.
153
что сечения этих процессов
Рис. 44. Мультипериферическая
диаграмма для процесса мно
жествеииого рождения пионов
в лл-соудареиии в модели с
обменом пионными редже-
онами
(K-u2)-1, \t
Основная гипотеза, которая позволяет выполнить
вычисления сечения лл-взапмодействия, состоит в том,
(/'’(«ь 0 и 0^(52, о Пред-
полагаются пропорциональ-
ными сечениям физических
процессов упругого лл-рас-
сеяния и рождения (N—])
пар ппонов в лл-взаимо-
действии. Конкретно счи-
тается, что
<J(I)(Si, О (sj ехр (А^),
(6.71)
o'V-1 (s2, 0- oV-1(Si) exp (АД
(6.72)
где cr^Sj)—сечение упруго-
го лл-рассеяния и ст™-1 (s2) —
сечение уже физического
процесса л + л->2(/7—1) л,
a At и Л2 — положительные
параметры. Множители, за-
висящие от t в (6.71), объ-
единяются вместе с пропага-
тором пиона DnR (s, /)
в единую функцию
<1^1, (6,73)
" I ('о~М2)-’ exp [A (/—*„)], Н | > | /0 | ,
которая содержит два подгоночных параметра А и to-
При |^| <|М функция G(t) совпадает с пропагатором
обычного виртуального пиона (6.1). При |7|>|М функ-
ция G(t) экспоненциально убывает с ростом |/|, что
соответствует поведению пропагатора пионного реджео-
на (с точностью до слабой логарифмической зависимо-
сти от 5 под знаком экспоненты) или любого другого
реджеона. Функция G(t), по мнению авторов [3], при-
ближенно учитывает обмен не только пионом, но и бо-
лее тяжелыми мезонами. Кроме того, эта функция учи-
тывает также различие между физическим пионом и
пионным реджеоном в предположении (6.72).
Таким образом, эта модель [3] весьма экономна, так
как содержит всего два подгоночных параметра А и to-
154
qIiC пенные расчеты [3] на основе экспериментальных
анных по rar-рассеянию в нпзкоэнергетической области
и реджевской параметризации упругого сечения <Ty(.-Si)
с учетом вклада Р' и р-реджеонов при ys^l.4 Гэв
привели к следующим значениям параметров [3]: |/о| —
=0,08 (Гэв)2, Л=2,25 (Гэв) 2. Другие параметры рас-
сматриваемой модели [3] определяли независимо из дан-
ных по реакциям лМ-жл/У в области эффективных масс
пл-системы | s> 1,4 Гэв. Так, исходное асимптотическое
полное сечение лл-взаимодействия равно oT(s) = 12мбарн,
$_>оо, а полученное на основе численного решения
crT(s)«9,6 мбарн. В рамках этой модели рассчиты-
ваются парциальные сечения рождения N пар пионов
и средняя множественность пионов.
6.11 ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ МУЛЬТИПЕРИФЕРИЗМА
Мультипериферическая и мультиреджеонная модели
предсказывают и описывают многие характерные черты
множественных процессов: зависимость N(s), плато в
распределении dN/dy, скейлинг. Однако мультиперифе-
рическая модель приводит лишь к степенному убыванию
распределения dN/dpy при 1 Гэв/с, что расходится
с экспериментальными данными. Более правильно опи-
сывается это распределение в рамках мультиреджеоч-
ной модели, где, однако, для получения полного согла-
сия с экспериментом следует предположить экспонен-
циальное убывание вычета p(f).
В рамках этих моделей можно добиться постоянства
oT(s), s-+oc, но отсутствие однозначности подобной
процедуры делает эту проблему незавершенной. Качест-
венная интерпретация реджеонов на основе «лестнич-
ных» диаграмм вселяет надежду на полное обоснование
метода комплексных моментов в рамках современной
теории поля.
6.12. ОБ АНАЛОГИИ И РАЗЛИЧИЯХ МЕЖДУ
МУЛЬТИПЕРИФЕРИЗМОМ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ
ТЕОРИЕЙ [24]
Основные выводы гидродинамической теории и
ультипериферизма представлены в табл. 2 (Al~ 1 Гэв).
Вдует, пожалуй отметить одно обстоятельство:
УЩествование в рамках гидродинамики большой ха-
155
Таблица 2
Сравнение основных выводов гидродинамической теории и
мультипериферизма
Характеристика (s с») Г ид родинамическая теория Мультипе- рифериче- ская теория
N(Ea) dN/dy Ширина'плато Характеристические массы Число взаимодействующих частиц ехр [— У2/1п (S/M2)l ~ , In (s/Al2) т, s ~ N 1п Еа - const In (s/M2) М Конечно
рактеристической массы — массы всего сгустка частиц.
Отметим далее следующие обстоятельства.
Мультипериферическое направление вписывается в
современные теоретико-полевые представления, и это
наиболее сильная его сторона. Для него существует уже
готовый аппарат фейнмановских диаграмм и его обоб-
щение— реджеонные диаграммы. Гидродинамическая
теория—приближение и, быть может, довольно грубое.
Чтобы перевести ее на язык микрофизики, нужно соз-
дать новый аппарат. [Вспомним, что лагранжев аналог
гидродинамической теории имеет нелокальный или нели-
нейный характер (см. гл. 5).] В этом слабость гидроди-
намического направления, но, быть может, этим оно и
интересно. Доказательство хотя бы частичной справед-
ливости гидродинамики будет четким «эксперименталь-
ным» указанием направления, в котором современная
теория нуждается в пересмотре.
Гидродинамическая теория явно опирается на суще-
ствование локального равновесия во всем объеме, в ко-
тором происходит взаимодействие. Однако в пространст-
ве быстрот равновесие не успевает полностью устано-
виться, если в уравнении состояния (,4.13) параметр
а<1, а лишь при 0=4 (когда решение полностью авто-
модельное) устанавливается статистическое равновесие
в пространстве быстрот. При этом можно говорить о
равновесии лишь условно, потому что при а=1 энтропия
не возрастает и отсутствуют видимые причины возраста-
156
1Я числа частиц. В гидродинамической теории одна из
характеристических масс / s-+oo, если s->oo при о<1.
Поэтому, строго говоря, отсутствует скейлинг
Однако в рамках мультипериферизма в пространстве
быстрот успевает установиться равновесие в том смысле,
что среднее расстояние \у между частицами в шкале
быстрот постоянно. Сравнительно близкие физические вы-
воды классического и квантового подходов обусловлены
общей особенностью—квазиодномерностью разлета.
Если полагать, что разлет строго одномерен (т. е.
положить рх=0), а частицы вылетают со скоростями
,/^1, то состояние частицы будет характеризоваться
лишь одним параметром — ее быстротой у. Тогда при
упорядоченном расположении частиц (6.6) состояние
i'-й частицы будет определяться исключительно соседя-
ми по этому ряду: (г—1) и (г+1) частицами. Следова-
тельно,
Ус ~ <Р («/,_!. yi+i) (6.74)
Из аддитивности быстроты у и отсутствия выделен-
ное™ частиц вдали от кинематических пределов следует
равенство
У, = (У£-_! + У ,х1)/2- (6.75)
Отсюда вытекают основные выводы мультипериферизма:
Noolg(s/s0) и dN/dy=const.
В гидродинамической теории разлет имеет квазиод-
номерный характер; поэтому состояние г-й частицы в
ряду (6.6) определяется лишь в основном соседями по
этому ряду. Однако в статистически-гидродинамических
теориях матричный элемент зависит также и от первич-
ного импульса Ра. Например, в статистических теориях
(см. 4.2))
N R
| М | ОО fj (PaPi^ при Р = const. (6.76)
Z=1
В простейших же вариантах мультипериферизма
N
I М I оо П (Р/Р/+1)-'. (6.77)
i=i
ле °Днако влияние первичной энергии Еа на распреде-
НИе частиц в области пионизации в рамках гидроди-
157
Намической модели невелико. Поэтому количественные
различия между квантовым и классическим подходом
также незначительны. Отсюда следует важный вывод
о необходимости весьма прецизионных измерений пара-
метров множественных процессов (и в особенности зави-
симости 7V(s)) для выбора между обоими подхо-
дами.
До сих пор мы ограничивались выяснением причин
близости окончательных результатов мультпперифери-
ческой и статистическо-гидродпнамической моделей.
Затронем другой интересный вопрос о разграничитель-
ной полосе между основами классического и квантового
направлений. С первого взгляда кажется, что эта полоса
является непроходимой пропастью. Однако вероятно, что
оба направления описывают разные стороны множествен-
ных процессов. На такую возможность указывает энерге-
тическая выделенность нуклонов, которую в рамках гид-
родинамической теории можно трактовать как следствие
фермиевского отталкивания (см. гл. 5). Поэтому для
описания поведения нуклонов, а быть может области
фрагментации, нужен подход, отличный от статистическо-
ю. Естественно для этой цели использовать перифериче-
ские модели.
Была даже предложена периферическо-статистичес-
кая модель [25], когда кластер возникал в перифериче-
ских соударениях, а затем распадался в соответствии
со статистической теорией. В дальнейшем подобный
подход неоднократно модифицировался и усовершенство-
вался; он нашел свое нынешнее выражение в кластерном
(мультифайербольном) варианте мультипериферическо-
го подхода: в узлах диаграммы, представленной на
рис. 38, могут образовываться кластеры. Наиболее раз-
работанный вариант этой модели описан в статьях [9,
10, 26], где рассматриваются периферические диаграм-
мы, соответствующие разным множественным процессам;
чисто периферические диаграммы без участия класте-
ров; периферические диаграммы с участием кластеров
и процессы, имеющие чисто гидродинамический харак-
тер (авторы называют такие процессы центральны-
ми) .
Для описания распада кластеров используется ста-
тистическая модель с расширяющимся объемом. В изла-
гаемую модель входит относительно небольшое число
эмпирических параметров: ход полных сечений, положе
158
и вычеты Р- и /’'-траектории при /->0. С помощью
Н"их параметров удалось объяснить особенности упру-
гих и неупругих процессов вплоть до Еа =€ 70 Гэв. Таким
«пазом, в этой модели органически объединены харак-
те ные черты мультипериферической и статистической
теорий.
Представляется, что синтез обоих направлении
(классического п квантового) нуждается в глубоком
обосновании, поскольку периферический подход основан
на обычной линейной теории поля, в то время, как
статистически-гидродинамический подход (см. гл. 5), ио-
видимому, эквивалентен нелинейному лагранжиану.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Фелд Б Модели элементарных частиц. Пер. с англ. М., «Мир»,
1971.
2. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.
М., Нзд-во иностр, лит., 1963.
3. Боресков К. Г., Кандалов А. Б., Пономарев Л. А. Описание
нехпругих процессов в модели однопионного обмена.— Препринт
ИТЭФ, № 950, М.. 1972.
4 Amati D, Stanghellini A., Fubini S. Theory of High Energy
Scattering and Multiple Production.—«Nuovo cimento», 1962,
v. 26, p. 896.
5 Bertocchi L., Fubini S., Tonin M. Integral Equation for High—
Energy Pion—Pion Scattering.—«Nuovo cimento», 1962, v. 25
p. 62b
6. Тер-Мартиросян К. A. Asymptotic Behavior Very Inelastic Col-
lisions.—«Nuci. Phys.», 1965, v. 68, p. 591
7. Finkelstein J., Kajantie К Total Cross-Section for n-Partide
Production in Multi -Regge Model - :Nuovo cimento», 1968,
v. 56A, p. 659.
8. De Tar С. E. The Momentum Spectrum of Hadron Secondaries
in Multiperipheral Model.—«Phys. Rev.», 1971, v. 3, p 128.
9. Дремин И. M , Ройзен И. И., Чернявский Д. С. Роль неупру-
гих процессов при высоких энергиях и теория файерболов.—«Усп
физ. наук», 1968, т. 101, с. 385.
И). Волков Е. И и др. Мультипериферическая теория взаимодей-
ствия адронов при высоких энергиях, взаимодействие.— «Ядер-
ная физика», 1973, т. 17, с 407.
Ансельм А. А. Качественная картина сильных взаимодействий
при высоких энергиях.— «Материалы 1 й школы физики ИТЭФ»,
12 Н Атомиздат- 1973.
икитин Ю. П„ Розенталь И. Л. Мультипериферпзм и гидроди-
намическая теория множественных процессов.— Препринт инсти
тхта косм, исследований АН СССР, Пр 121, М„ 1972.
eynman R. Р. Very High-Energy Collisions of Hadrons.—«Phys.
14. Л A Lett >>’ l969’ v- 23’ P 1415-
ифшиц E' M , Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая те-
ория поля. Ч. 2. М, «Наука», 1971.
159
15. Грибов В. Н. Пространственно-временное описание взаимодейст.
вия адронов при высоких энергиях.—«/Материалы 1-й шкоды
физики ИТЭФ, вып. 1 М. Атомиздат, 1973
16. Froissart М. Asymptotic Behavior and Substraction in the Man-
delstam Representation.—«Phys. Rev.», 1961, v. 123, p. 1053.
17. Коллинз П, Сквайре Э. Полюса Редже в физике частиц. Пер
с англ М., «Мир», 1971
18. Абрамовский В. Л., Канчели О. В. Реджевские ветвления и рас-
пределение множественности адронов при высоких энергиях —
«Письма ЖЭТФ». 1972, т. 15, с. 559.
19. Тер-Мартиросян К. A Multipomeron Production of Showers at
High Energy.—«Phys. Lett.», 1973 v. 44B, p. 179.
20. Левин E. M., Рыскин M. Г. Возможность постоянного полного
сечения в мультипериферических моделях.—«Ядерная физика»
1973, т. 17, с '388
21. Тер-Мартиросян К А Асимптотика амплитуд неупругих процес-
сов.—«Жури, эксперим. и теор. физ », 1963, т. 44, с. 341.
22. Chew G. F., Snider D. R. Multiperipheral Model Suggestion of
Damped Oscillatory Component in Energy Total Cross Section —
«Phys. Lett.», 1970, v 36B, p. 75
23. Abarbanel H. D. e. a. Magnitude of High-Energy Meson-Meson
Total Cross Section.—«Phys. Lett.», 1970, v. 25, p. 1735.
24. Розенталь И. Л. Гидродинамическая теория множественных про-
цессов.—В кн.: Труды Международного семинара по глубоко-
неупругим и множественным процессам. Дубна, ОИЯИ, 1973.
25. Фейнберг Е. Л., Чернавский Д. С. О генерации частиц при столк-
новении быстрых нуклонов.—«Докл. АН СССР», 1951, т. 81,
с. 795
26. Волков Е. И. и др. Мультипериферическая теория взаимодейст-
вия адронов при высокой энергии: сравнение с экспериментом
при £о=70 Гэв.—«Ядерная физика», 1974 т. 20, с. 149.
ГЛАВА 7.
МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
В МНОЖЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССАХ
7.1 ГИПОТЕЗА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФРАГМЕНТАЦИИ
И МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
В последнее время было выдвинуто несколько гипо-
тез о поведении функций распределения в инклюзивных
процессах. На важность исследований одночастичных
распределений в неупругих столкновениях адронов в
зависимости от первичной энергии обращалось внимание
давно [1, 2] (см. также [3,4]), и в настоящее время
инклюзивные процессы стали одним из основных объек-
тов исследования в области адронной физики высоких
энергий (см. гл. 2). Рассмотрим два наиболее популяр-
ных и далеко идущих предположения относительно пове-
дения инклюзивных процессов — гипотезу предельной
фрагментации [5] и гипотезу масштабной инвариантности
[6], основанные на качественных аргументах и нагляд-
ных аналогиях. Эти гипотезы являются предметом мно-
гочисленных исследований.
В основе гипотезы предельной фрагментации лежит
допущение, что адрон представляет собой систему со
сложной внутренней структурой и имеет конечные раз-
меры. Такое представление вполне оправдано в свете
экспериментов по исследованию структуры нуклонов в
процессах упругого и глубоконеупругого взаимодейст-
вия электронов с нуклонами (см. гл. 9).
Представим себе, что адрон — шар с радиусом 7? в
собственной системе отсчета. Тогда адрон, движущийся
с релятивистской скоростью в Л-системе, превращается
в сплюснутый в направлении движения диск с продоль-
ным размером и неизменным поперечным размером
(рис. 45, а) [8]. Лоренц-фактор адрона у=Еа/та^>1.
При столкновении быстрого адрона а с покоящимся
адроном-мишенью b (рис. 45,6) налетающий адрон воз-
Уждается (рис. 45, в) и вследствие этого возбуждения
6 Зак- 811 1Я1
распадается на группу адронов А (рис. 45,г). Эти адр0-
ны уносят значительную долю первичной энергии нале-
тающей частицы а и называются фрагментами налетаю-
щей частицы. Первоначально покоившийся адрон b после
взаимодействия также оказывается возбужденным (см
рис. 45, в) и распадается на группу адронов В (см
рис. 45, г) с относительно небольшими продольными им-
а 6 в г
Рис. 45. Схема процесса соударения адронов а и Ь в Л-системе до
соударения (а), в момент соударения (б). Образование возбужден-
ных сгустков адронной материи а*, б* и d* (в) и распад возбуж-
денных сгустков (г)
пульсами, так как взаимодействие осуществлялось в ос-
новном лишь между перекрывавшимися «частями» адро-
нов (см. рис. 45,6). Адроны из группы В называются
фрагментами мишени.
Кроме групп фрагментов А и В, в процессе взаимо-
действия из перекрывающихся частей адрона может
образоваться возбужденный адронный сгусток d* (см.
рис. 45, в), распадающийся на группу адронов D (см.
рис. 45, г), продольные импульсы которых больше, чем
у частиц из группы В, но меньше чем у частиц из груп-
пы А. Такие адроны в терминах рассматриваемой модели
лежат в области пионизации.
С ростом первичной энергии растет степень сжатия
налетающего адрона, возбуждение адрона-мишени b и
отщепившегося сгустка d*. Однако с некоторой энер
гии Еа сжатие налетающего адрона и рост его энергии
практически перестают влиять на процесс возбуждения
адрона Ь. В пользу этого предположения говорит срав
нительно медленное изменение полного сечения взаимо-
162
•• вия при энергиях Еа, больших нескольких десят-
ДеПС гигаэлектронвольт, и коэффициента неупругости в
широком диапазоне энергий (см. гл. 2).
Если процесс возбуждения мишени достигает насы-
енпя то можно предположить, что продольные импуль-
ы фрагментов мишени остаются при дальнейшем росте
первичной энергии ограниченными в Л-системе, и рас-
пределение по р не зависит от Еа. Это утверждение
и составляет основное содержание гипотезы предельной
фрагментации [5].
Исторически, когда формировалась гипотеза пре-
дельной фрагментации (1969 г.), принималось, что от =
= const. При энергиях, достижимых на ISR, oT#=const
(см. гл. 2). Это показывает, что режим, соответствую-
щий гипотезе предельной фрагментации, еще полностью
не наступил. Из качественной картины взаимодействия
в рамках этой гипотезы можно предположить, что рас-
пределение фрагментов мишени не должно зависеть от
сорта налетающей частицы а, а определяется только
внутренним состоянием мишени и ее квантовыми числа-
ми,।
Проведенные рассуждения можно повторить в Л-сис-
теме, где в качестве мишени выступает частица а. Рас-
пределение фрагментов этой частицы по продольным
импульсам в Л-системе не зависит от энергии частицы
b и ее квантовых чисел.
Если наряду с процессами фрагментации при высоких
энергиях осуществляется и процесс пионизации, то рас-
пределение адронов в области пионизации, как можно
думать, не зависит от сорта сталкивающихся частиц,
поскольку взаимодействуют не сами адроны, а нх «со-
ставные части».
I ипотеза предельной фрагментации утверждает, что
инвариантное дифференциальное распределение инклю-
зивных частиц с ограниченными в Л-системе продоль-
ными импульсами р при асимптотически высоких энер-
гиях (Еа-хоо) не зависит от первичной энергии:
> Р±)- (7-1)
^нДекс Ь в формуле (.7.1) подчеркивает, что речь идет
0 области фрагментации мишени.
6* 163
Аналогично в А-системе
JimFal} (р\ , р± , | Рй |) = F"> (р\ , р±) , (7
а
где индекс а означает, что речь идет о фрагментации
частицы а.
Чтобы пояснить сущность гипотезы предельной фраг-
ментации, рассмотрим процессы в //-системе. Эта система
отсчета не является физически выделенной с позиций
рассматриваемой гипотезы, поскольку взаимодействие
осуществляется между отдельными «частями» адронов.
Центр инерции таких взаимодействующих «частей» не
совпадает с //-системой реакции. Тем не менее рассмот-
рение процесса в //-системе полезно для более глубокого
анализа соотношений (7.1) и (7.2).
В силу релятивистской инвариантности функций рас-
пределения нетрудно установить качественный характер
распределения фрагментов в //-системе. Выясним сна-
чала область изменения х, соответствующую области ог-
раниченных значений рц . При s^m2 , т2
т2^ — т'ь х2
тЬ ( |/ х2 Т — х)
(7.3)
Продольный импульс р\\ ограничен в Л-системе, если
переменная х отрицательна и заключена в пределах
— 1 2щ±/(7.4)
При выполнении неравенств (7.4)
р„ X (тьх — т2±/тьх)/2.
(7-5)
Из формулы (7.4) следует, что в //-системе фраг-
менты мишени вылетают в заднюю полусферу (х<0)
и обладают продольными импульсами
Pll Кs/2. (7-6)
Аналогичные вычисления для фрагментов налетающей
частицы, имеющих ограниченные импульсы р' в А -сис-
теме, приводят к следующей связи:
р\ = (тах ~ т2 /тах)/2. (7.7)
164
формула (7.7) справедлива, если
2m±/Jzs <хС1.
(7-8)
В /(-системе, как следует из (7.8), фрагменты час-,
тИцы а вылетают в переднюю полусферу (х>0) и име-
ют
p'l хх (Л/2. (7.9)
Области значений х, ограниченные неравенствами
(7 4), (7.8), называют соответственно областями фраг-
ментации мишени и налетающей частицы.
В Л-системе для фрагментов частицы а:
Pi~sx/2mb, т±[ s,mb^p я < s/2tnb. (7.10)
Из проведенного кинематического анализа следует,
что в областях фрагментации
2tn1J\ ' s < | х | < 1, (7.11)
11m , р±, |Р;|) = F^(x, Рл). (7.12)
У"S-*oo
Следовательно, гипотеза предельной фрагментации
эквивалентна масштабной инвариантности [6] в области
изменений |х|, ограниченных неравенствами (7.11).
7.2. ПРЕДЕЛЬНАЯ ФРАГМЕНТАЦИЯ И ПИОНИЗАЦИЯ
Нижнюю границу областей фрагментации по пере-
менной | х | однозначно указать нельзя, оставаясь в рам-
ках рассматриваемой гипотезы.
Рассмотрим два возможных случая, которые допу-
скаются соотношением (7.12) с ограничениями (7.11):
1) при асимптотических энергиях (s—>-оо) процессы
фрагментации доминируют и дают главный вклад в мно-
жественность вторичных частиц; вклад процесса пиони-
зации в множественность мал по сравнению с множест-
венностью фрагментов;
2) процесс пионизации доминирует в области высоких
энергий и дает основной вклад в множественность вто-
Р чных частиц. Вторая возможность соответствует муль-
Ипериферической модели, где предсказывается сущест-
165
вование широкого плато в распределении по у (см
гл. 6).
В первом случае, более соответствующем духу гипо?
тезы предельной фрагментации, область фрагментации
заключена в следующих пределах:
2р0/1 s ц | х | < 1,
(7.13)
где р* —некоторый постоянный импульс в //-системе
Чтобы выполнялось ограничение (7.11),
должна удовлетворять неравенству р^^т.
величина р
Область пионизации удовлетворяет неравенствам
О < | х | < 2р<У Кs-
(7-14)
Во областях фрагментации должно иметь место скей-
линговое поведение функций распределения (7.12). Это
позволяет установить зависимость средней множествен-
ности фрагментов от энергии при s->oo в предположении
о постоянстве полного сечения взаимодействия от.
Плотность распределения по х, нормированная на
среднюю множественность, равна
р<1)(х) = о-‘] Л1)(х, р )^рх/2(2л)3. (7.15)
Тогда при s->oo вклад в среднюю множественность от
областей фрагментации будет
„ 1 ~2₽о/ГГ
^фрагм(5)^ ]’ p^>(x)dx/x-f- J P^(x)dx/x, (7.16)
2Р*Л s~ -1
где функции р^£(х) соответствуют плотности распре-
деления в областях фрагментации частиц а и Ь. По-
скольку эти функции ограничены, то
^Фрагм (S) < (l/2)(K,) + pl1))ln(s/poY (7.17)
В формуле (7.17) —максимальные значения
функций p^'J, (х) в областях фрагментации.
Итак, в рамках первого предположения о размерах
областей фрагментации множественность фрагментов мо-
жет логарифмически увеличиваться с ростом энергии.
166
ках гипотезы предельной фрагментации естествен-
ноРпрМеДПОЛожение, что
lim F'
(7-18)
(*> PX’ s) = °-
че говоря, область пионизации не дает вклада
п среднюю множественность при s->oo.
Рассмотрим теперь вторую возможность. Пусть при
некоторых значениях первичной энергии область пио-
низации имеет следующие границы по переменной х:
0 г | х | <х0, (7.19)
где Хо__некоторая малая фиксированная величина,
численное значение которой зависит от динамики взаи-
модействия. Характер распределения в этой области не
предсказывается гипотезой предельной
Однако согласно гипотезе предельной
скейлинговое поведение распределения
место в области [5, 6]
фрагментации,
фрагментации
должно иметь
(7.20)
Где х0=constS>2m±/] s. Поэтому средняя множествен-
ность в области фрагментации
НшЛ^рагм(5) = j p^(x)dx/x + Г p<»(x)dv/x (7.21)
х0 —1
постоянна и не зависит от первичной энергии. Это озна-
чает, что при сверхвысоких энергиях (s->oo) процессы
фрагментации существенного вклада в среднюю мно-
жественность не дают, поскольку из опыта известно, что
N растет с ростом энергии (см. гл. 2).
Вопросы о поведении функции распределения в обла-
сти пионизации изучались в работах [1—4] на основе
общих принципов квантовой теории поля при некоторых
предположениях об аналитических свойствах амплитуд
инклюзивных процессов по угловым переменным вто-
ричной частицы. Обсуждение этих тонких вопросов выхо-
дит за рамки нашей книги.
7.3. ГИПОТЕЗА МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ
В работе [6] была выдвинута гипотеза масштабной
инвариантности процессов сильного взаимодействия при
асимптотически высоких энергиях (s->oo) во всей кине-
167
магически доступной области изменения продольных
импульсов в Д-системе. Это означает, что предельное
соотношение (7.12) выполняется для всех допустимых
значений переменной X:
— 1<х<1. (7.22)
Гипотеза масштабной инвариантности полностью
эквивалентна гипотезе предельной фрагментации в об-
ластях фрагментации сталкивающихся частиц [см
(7.11) — (7.12)]. Однако она содержит более сильное
утверждение о существовании нового типа симметрии
в физике сильных взаимодействий при асимптотических
энергиях, а именно: масштабной симметрии или скей-
линга, причем не в отдельных специфических областях
изменения кинематических переменных, а независимо от
значений кинематических переменных. Строгого обосно-
вания эта гипотеза пока не имеет, но она полностью
оправдывается в рамках мультипериферических моделей
при реджевском подходе (см. гл. 6, 8) и может быть
связана с принципом автомодельности [7, 8] (см. п. 7.4).
Гипотеза (7.12) означает, что функция ^(1)(р , р .
|РЯ|) при s-*oo инвариантна относительно одновремен-
ных масштабных преобразований продольных импульсов
в Д-системе:
РII II - (7-23)
Р« -* , (7.24)
где Z —произвольный масштабный множитель (Ра»
Действительно, пусть функция (р* , р±, |Р’|)не
меняется при преобразованиях (7.23, 7.24), тогда должно
выполняться равенство
|рд)=г">(ч рх- ’-га- <7-и’
что возможно лишь в том случае, когда функция
Л‘>(р* , р±, | Ро |) зависит от отношения вторичного и
первичного продольных импульсов (т. е. от х) и р L [см.
(7.12)]. В связи с гипотезой масштабной инвариантности
возникает целый ряд проблем, связанных с ее обоснова-
нием.
Прежде всего заметим, что свойство скейлинга по-
стулируется в Д-системе. Это сразу ставит вопрос О
168
отношении между скеилингом и релятивистской инвй-
С° нтностью. Из требования релятивистской инвариант-
РИстП следует, что инвариантность спектров относитель-
но масштабных преобразований (7.23), (7.24) может
быть только приближенной.
Как было показано в гл. 3, свойство скейлинга (7.25)
сохраняется в других системах отсчета, движущихся
вдоль направления импульсов первичных частиц вперед
или назад*, только для частиц ультрарелятивистских в
Д-системе, у которых переменная х заключена в преде-
лах 2т । / | s<^|x|^l. Движение таких частиц практи-
чески одномерное. Поэтому преобразование в другую
систему отсчета эквивалентно для этих частиц измене-
нию масштаба измерения продольных импульсов в
2 у раз, если скорость системы отсчета относительно
Д-системы (см. гл. 3)
i₽,l = 2t|p:i-
рй ;
В этом случае скейлинг может быть обоснован посредст-
вом анализа размерностей физических величин [7—12],
от которых зависит функция распределения, в предпо-
ложении о постоянстве сечения и ограниченности р± .
Действительно, рассмотрим безразмерную функцию
ф|"(р;. i₽;d=р“>(₽; • ₽х. i₽;i)/»r- <7-26)
В принципе эта функция кроме указанных перемен-
ных могла бы зависеть от масс покоя частиц, участвую-
щих в процессе взаимодействия. Однако если рассматри-
вать только такие частицы, у которых | р* | т±, то
зависимость распределения по р*. от массы должна ис-
чезать. Поскольку зависимость от р ± можно сделать
безразмерной с помощью деления на среднее значение
то остаются две размерные величины: р*^ и | Р* | .
Из-за релятивистского сжатия продольные размеры стре-
миться к нулю при s->-oo. Поэтому продольные импуль-
сы могут быть сделаны безразмерными только единст-
снным способом — делением на первичный импульс:
₽11'1 а | =х. Отсюда и следует масштабная инвариант-
ность для ультрарелятивистских частиц.
Щей Чя/аП0МНим’ что °сь z направлена вдоль импульса Ро налетаю-
‘нлицы в Л-системе
169
Скейлинг мог бы нарушаться для ультрйрелятивист-
ских частиц, если бы существовала некоторая константа
сильного взаимодействия с размерностью длины, напри
мер элементарная длина. Это привело бы к тому, ЧГо
сильные взаимодействия оказались бы нелокальными
Другая возможность для нарушения скейлинга — это
существование частиц (или сгустков частиц) с массами
неограниченно растущими с ростом Еа. Такие объекты
возникают, например, в гидродинамической теории (см
гл. 5). Наблюдаемые эффекты при доступных в настоя-
щее время энергиях, как уже указывалось, хорошо опи-
сываются как в масштабно-инвариантных теориях, так
и в рамках гидродинамического подхода [9] (см. гл. 5).
Рассмотрим теперь вопрос о соответствии скейлинга
релятивистской инвариантности в области ограниченных
В этом случае скейлинг, вообще говоря,
не сохраняется при переходе в другие системы отсчета
Действительно, в системе отсчета, движущейся относи-
тельно Д-системы со скоростью v~l, при |р‘| < т±
отношение продольного импульса вторичной частицы к
первичному импульсу примерно равно
Р/ I р« I (x + 2mx/|/s )/2,
т. е. не совпадает с переменной х. Единственный способ
сохранить свойство масштабной инвариантности в
этой области — это предположить, что при х->0 функция
Е(1>(х, р±) = const (х). В том случае, если
ИтЛ'>(л', р ) = 0 (7.27)
область пионизации при s->оо исчезает. Этот вариант
соответствует духу гипотезы предельной фрагментации
(см. (7.17)).
В распределении dNfdy* при выполнении соотноше-
ния (7.27) должен наблюдаться «провал» при
Если функция Fd)(x, /?±) не обращается в нуль при
х->-0, то в распределении dNfdy* будет наблюдаться
центральное плато (см. гл. 3, 6), размеры которого по
оси у* растут логарифмически с ростом энергии.
Рассмотрим, какой вклад в среднюю множествен-
ность дает область пионизации в случае, когда
lim (х, р L) = F(’> (р ). (7-28)
170
^0 при выполнении неравенства
кСИруем некоторое малое значение х=х0<С1, такое,
ЗаФ _,,нлппрнни непявенства
(7.29)
функция распределения
F">(x, Ра) ^f(l)(Pj ). (7-30)
При X = %0
Ip’ll = xnKs/2. (7.31)
Это означает, что с ростом s логарифмически возраста-
ет и область изменения переменной у*, соответствующая
ограничению (7.29):
[ у* [ < In (х0/s/mJ . (7.32)
Перейдя от переменной х к переменной у*, найдем
вклад области пионизации в среднюю множествен-
ность
/*2 \
Лаппой - /(1>(0) 1п р-1, (7.33)
\ /
где константа f(1} (0) = JсРр Р(|) (р ).
Таким образом, при выполнении соотношения (7.28)
область пионизации дает при s->-oo доминирующий
вклад в среднюю множественность N [6]. Область фраг-
ментации дает постоянный вклад в множественность,
т. е содержит в основном только лидирующие частицы.
Размеры областей фрагментации по переменной у со-
ставляют величину порядка Ду ^1п (-'чГ'), \y~L.
Например, если хо^-О,1, то L^2-=-3. Даже в случае
максимальных энергий встречных пучков ISR (Еа~
~ 1500 Гэв) область пионизации составляет всего
—44-5, т. е. она сравнима по размерам с областями
Фрагментации,
Существующие экспериментальные данные, по-види-
мому, не противоречат наличию плато в распределении
по переменной у (см. гл. 2), что свидетельствует в поль-
зу гипотезы скейлинга с функцией распределения
Р ) при х=0.
экспериментальные данные от нескольких десятков
игаэлектронвольт до Еп ~ 1500 Гэв также, по-видимому,
17!
не противоречат скейлингу (см. рис. 3, 6, 19), однаКо
точность недостаточно велика, чтобы говорить о полном
согласии во всем допустимом интервале значений v
7.4. ПРИНЦИП АВТОМОДЕЛЬНОСТИ [7, 8]
Метод анализа размерностей оказывается особенно
плодотворен, если он применяется совместно с некото-
рыми дополнительными физическими гипотезами, отра-
жающими суть рассматриваемого явления.
В предыдущем разделе мы уже продемонстрировали,
как можно понять свойство скейлинга для ультрареля-
тивистских частиц на основе анализа размерностей фи-
зических величин. В работах [7, 8] была выдвинута ги-
потеза, что динамика сильных взаимодействий в про-
дольном и поперечном направлениях существенно раз-
лична. Поэтому естественно измерять физические вели-
чины с размерностью длины в векторных единицах дли-
ны: продольной £ц и поперечной Ll- Векторные едини-
цы длины использовались ранее при решении многих
задач в физике и технике [12].
Основной постулат, выдвинутый в работах [7, 8]
относительно сильных взаимодействий, при асимптотиче-
ски высоких энергиях формулируется следующим обра-
зом [8]: «При высоких, энергиях не существует ни одного
фиксированного параметра, имеющего продольную раз-
мерность. Все существенные константы, такие как мас-
сы, эффективные радиусы и другие неизвестные пара-
метры имеют чисто поперечную размерность».
Этот постулат получил название принципа автомо-
дельности [7]. Из него вытекает, что при продольных
преобразованиях (7.23), (7.24) в /(-системе любая фи-
зическая величина Ф преобразуется как однородная
функция соответствующей продольной размерности:
Ф -> X.-'1 Ф,
(7.34)
где п — показатель степени продольной размерности ве-
личины Ф.
Таким образом, принцип автомодельности обобщает
метод анализа скалярных размерностей с учетом дина-
мических свойств процессов сильного взаимодействия.
При этом поперечным импульсам, массам частиц и ДРУ"
172
паниченным при s-^-oo переменным приписывается
поперечная размерность:
[р±] = [m] = £Z>, (7.35)
таким величинам, которые неограниченно растут с
энергией, приписывается соответствующая продольная
размерность:
(7.36)
[Pill = [/s'] =£/ .
Размерность любой физической величины, являющей-
ся функцией кинематических переменных и фиксирован-
ных параметров, характеризуется некоторой размер-
ностью в продольной и поперечной шкалах:
[Ф] = £Пх- (7-37)
Если физическая величина имеет чисто поперечную раз-
мерность, то при s-^oo она должна оставаться постоян-
ной
[ф] = £™ , lim Ф (s) = const. (7.38)
S->oo
Если физическая величина имеет продольную размер-
ность, то при s—>оо она зависит от энергии. Согласно
соотношению (7.34):
[Ф] = £" , lim Ф (s) == const-sri/2. (7.39)
S^-oo
В п. 7.3 мы уже анализировали методом размерно-
стей возможную зависимость инклюзивных распределе-
ний от первичных импульсов. При этом пришлось
выдвигать дополнительные аргументы относительно спо-
соба обезразмеривания поперечных импульсов. Принцип
автомодельности [7, 8] постулирует независимость вели-
чин с поперечной размерностью от энергии (7.38).
7.5 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА АВТОМОДЕЛЬНОСТИ
К МНОЖЕСТВЕННЫМ ПРОЦЕССАМ
В рамках принципа автомодельности характеристики
множественных процессов рассматриваются как функции
ннвариантных переменных, составленных из скалярных
произведений 4-импульсов частиц. Принцип автомодель-
ности применяется к анализу зависимости физических
173
величин от инвариантных переменных лишь после опое
деления характера их размерности в Д-системе. Послед
нее обстоятельство связывает принцип автомодельности
с определенной системой отсчета, выделяя ее среди
остальных инерциальных систем.
Рассмотрим некоторые примеры получения физиче-
ских результатов с помощью принципа автомодельности
1. Полное сечение адрон-адронного взаимодействия
oT(s) является величиной, характеризующей поперечные
размеры области взаимодействия. Поэтому размерность
oT(s) чисто поперечная:
К] = . (7.40)
Для выяснения зависимости сгт от энергии применим
принцип автомодельности (7.38), (7.39):
<тт (s) = от (Z2s). (7.41)
Равенство (7.41) выполняется, если
стт (s) = const. (7.42)
Этот результат не согласуется с наблюдаемым на
опыте медленным ростом сгт (см. гл. 2).
2. Следствием принципа автомодельности является
постоянство среднего поперечного импульса, так как
[р Ll = ^l‘-
3. Средний коэффициент неупругости является ве-
личиной безразмерной и поэтому не должен зависеть
от первичной энергии: К (s) ^£(/£„ const, где
I i
энергия всех вторичных частиц, за исключением лици-
рующей.
4. Средняя множественность вторичных частиц — ве-
личина безразмерная, поэтому принцип автомодельности
предсказывает, что
N (s) = const. (7.43)
Напомним, что вплоть до энергий £„~103 Гэв па;
блюдается рост средней множественности с энергией
(см. гл. 2).
Перейдем к качественному анализу поведения инва-
риантных функций распределения частиц в инклюзпв-
174
процессах в областях фрагментации и пионизации.
лекция одночастичного распределения зависит от трех
ФуНапиантных переменных s, tac, Че или от любых ли-
нейных комбинаций этих инвариантов (см. гл. 1): F<‘>=
tbc, s). По определению функция Н1’ имеет
размерность
-LI4
(7-44)
и следовательно, должна при масштабных преобразо-
ваниях (7.24) изменяться по закону (7.38).
Для применения принципа автомодельности необхо-
димо сначала выяснить размерности инвариантных пере-
менных tac и tbc в областях пионизации и фрагментации.
В области фрагментации мишени—1 < x<^—2mj\^s:tnc^
=-xs, tbc^tnl(l + х)+т: (1 +x-‘)+pl^' • т. е. размер-
ность [ZOc]=^I2> fbc=£-72- В области фрагментации нале-
тающей частицы а 2т /Д s х< 1 'Че — т2(1—х) +
г-1)—рфх-1, Чс~ —xs, т. е. размерность [/а<] =
L~2, a tbc = Lj2. В области пионизации (—2т J |/ s <
<х< 2/п± ]/ sy.taC—tbc~—mr j s, т. е. размерность [/ас]=
\Чс\ — 7- l* L7* .
Согласно принципу автомодельности в области фраг-
ментации частицы b должно выполняться равенство
F“>(U Че, s) F^y?tac, tbc, Г-s). (7.45)
Это возможно, когда функция Д(|> зависит только от
двух переменных — отношения tac!s х и tbc -х р2± :
OU™ оИ Р-46)
т. е. функция F(1> удовлетворяет масштабной инвариант-
ности
1е же рассуждения могут быть повторены для обла-
сти фрагментации частицы а. В этом случае
^pU = ^(,)(a-, Че), = pj. (7.47)
В области пионизации должно выполняться равенст-
во;
F (,)(U Чс, s) = F^(Mac, ).tbc, rs). (7.48)
175
Соотношение (7.48) возможно только, если функция ЙЧ
зависит от одной переменной tactbcls» т2± (или от р у
f (пХ = F(,) (PJ • (7.49)
Принцип автомодельности можно применять и к мно-
гочастичным функциям распределения, где также полу,
чается скейлинговое поведение [8] в различных кинема-
тических областях. Из него следуют многие предсказа-
ния, которые получаются в рамках гипотез скейлинга
или предельной фрагментации. Однако в рамках этого
принципа пока не удалось вывести слабые зависимости
наблюдаемых характеристик от энергии Еа. Кроме того
принцип автомодельности до сих пор не сформулирован
строго ковариантным образом. Являются ли эти недо-
статки принципиальными или окажется возможным
модифицировать принцип автомодельности так, чтобы
их устранить, — вопрос окончательно не решен.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Логунов А. А., Мествиришвили М. А., Нгуен Ван Хьеу. High-
Energy Behaviour of Inelastic Cross Section.—«Phys. Lett.», 1967.
v. 25B, p. 611.
2. Логунов A. A. Inclusive Processes of High Energies.—«Proc, ol
the 1972 School of Physics». Grado Italy, 1972.
3. Логунов А. А., Мествиришвили M. А., Хрусталев О. УА Ограни-
чения на поведение сечений упругих н неупругих процессов при
высоких энергиях.—«Жури, теорет. н матем. физики», 1971, т. 9,
с. 153.
4 Ежела В. В. и др. Инклюзивные процессы при высоких энергиях.
Препринт, ИФВЭ, СТФ 72-54, Серпухов, 1972.
5. Benecke J., Chou Т. Т., Yang С. N., Yen Е. Hypothesis of Limiting
Fragmentation on High-Energy Collisions.—«Phys. Rev.», 1969,
v. 188, p. 2159.
6. Feynman R. P. Very High-Energy Collisions of Hadrons.—«Phys.
Rev. Lett.», 1969, v. 23,, p. 1415.
7. Матвеев В. А., Мурадян P. M., Тавхелидзе A. H. Автомодель-
ность в сильных взаимодействиях. Сообщение ОИЯИ, Е2 5962,
Дубна, ОИЯИ, 1971.
8. Мурадян Р. М. Автомодельность в инклюзивных реакциях.—
Препринт ОИЯИ, Р2-6762. Дубна, ОИЯИ, 1972.
9. Дайбог Е. И., Никитин Ю. П., Розенталь И. Л. Скейлинг и гид-
родинамическая теория множественных процессов.— «ЯлсРнаЯ
физика», 1972, т. 16, с. 1314.
10. Джекив Р. Знакомьтесь с масштабной симметрией.— «Усп. Ф>13
наук», 1973, т. 109, с. 743.
11. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. |
«Наука», 1967.
12. Хантли Г. Анализ размерностей. М., «Мир», 1970
ГЛАВА 6.
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ
И ИНКЛЮЗИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
8 1 ОСНОВЫ АНАЛИЗА ИНКЛЮЗИВНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ
Одним из наиболее популярных и плодотворных ме-
тодов теоретического описания инклюзивных процессов
является метод комплексных моментов [1, 2, 3, 4], осно-
ванный на аналитических свойствах по моменту I
парциальных амплитуд двухчастичных процессов типа
a+b-^c + d. Для описания процессов, происходящих при
высоких энергиях, как правило, достаточно учесть вклад
лидирующих полюсов в плоскости комплексного момента
I с наибольшим для данного процесса значением поло-
жения полюса Редже ал(0) при передаче квадрата
4-импульса, равного нулю. Для не очень высоких энер-
гий существенный вклад могут давать также следующие
по степени важности полюса с ая-(0)<Д1Н(0). Свойства
основных траекторий — вакуумной траектории Р (полюс
Померанчука), второй вакуумной траектории (,Р')> Р>
(«. /42, л-мезонных траекторий, барионных траекторий
W, А и других сравнительно хорошо изучены экспери-
ментально в опытах по исследованию процессов рассея-
ния, перезарядки, рождения изобар и мезонных резо-
нансов и иных квазидвухчастичных реакций.
Аналогичным образом исследовано поведение выче-
тов в вершинах частица — реджеон — частица в зависи-
мости от квадрата 4-импульса, переносимого обменива-
емым реджеоном. Все эти сведения используются для
описания инклюзивных процессов типа
а + Ь -> с + X, (8.1)
аb с d + X (8.2)
и более сложных реакций.
Основой для применения метода комплексных момен-
ов к инклюзивным процессам [1] является обобщенная
177
Оптическая теорема [2—4] для многочастичных процеС
сов рассеяния
a + b-\-c^a^b-Yc, (g 3>
«4-6 + с + d-+a^b 1-с+Я (84j
происходящих без изменения 4-импульсов частиц в на-
чальных и конечных состояниях.
Главный результат реджевского описания процессов
типа (8.3) (8.4) сводится к следующему утверждению-
если некоторые квадраты эффективных масс частиц
участвующих в процессах многочастичного рассеяния'
велики, например
Sab = (Ра + Рь)* > (та + mfc)2, Sac= (Р„ + Рс)2 > («„ 'гШ^,
Sake = (Ра + рь + Л)2 > (та + mb + mtf,
то по этим переменным амплитуда процесса имеет сте-
пенное реджевское поведение вида
МаЬ~с = А,- (sab, s-) s
если sa~ ограничено, a sabc велико, или
Mabe = (Sab~c ’ Sbc) Sab ‘ ’ ^.5)
если Sbc ограничено, a sab велико.
Амплитуда процесса (8.3) зависит только от трех
инвариантных переменных, как и указано в соотноше-
ниях (8.5), поскольку все квадраты передаваемых 4-х
импульсов между частицами одного сорта равны нулю.
L, (Л.-ЛЛС» о, tbb о, t- о.
При асимптотически высоких значениях переменных
в суммах (8.5) остаются слагаемые с наибольшими зна-
чениями положений траекторий полюсов Редже (пере-
сечений ад£(0).
Обобщенная оптическая теорема связывает мнимую
часть амплитуды трехчастичного (или многочастичного)
процесса рассеяния на нулевые углы с инвариантными
дифференциальными сечениями инклюзивной реакции
(8.1). Здесь с помощью наглядного графического метода
поясним, как возникает связь между процессами (8-U
и (8.3).
178
Матричный элемент процесса (8.1) изображается
' паммой рис. 46,0. После возведения его в квадрат
^"модулю) и суммирования по всем возможным кана-
1 X результат условно представляется в виде диаг-
раммы РИС. 46, б, ГДе — ияггипы ПРЯЛЬ-
пые. Следовательно,
все промежуточные частицы реаль-
диаграмма рис. 46, б представляет
Рис. 46. Диаграмма одночастичного инклюзивного процесса (а),
диаграмма для инвариантного дифференциального сечения одноча
стичного инклюзивного процесса (б) (Л — промежуточные состоя
ния с реальными адронами); в — та же диаграмма, что и в случае
б, но с виртуальными адронами; г - диаграмма трехчастичного рас-
сеяния через виртуальные адронные промежуточные состояния
собой мнимую часть (или скачок па разрезе) по пере-
менной т\ от амплитуды, изображенной на рис. 46, в.
С другой стороны, диаграмма рис. 46, в соответствует
процессу трехчастичного рассеяния (8.3) (рис. 46, г),
ио при нефизических значениях переменной
тх < (i s — тс)2.
Таким образом, инвариантное дифференциальное се-
чение инклюзивного процесса (8 1)
2(2л)3 ЕсРскРр — ^(1,(Рц , Д±, «)
179
связано с мнимой частью амплитуды МаЬё (или скачком
на разрезе по переменной т^.) трехчастичного процес-
са (8.3) без изменения 4-импульсов начальных и конеч-
ных частиц соотношением
2|P;|rsF(I)(P|l . Р±, 0 = Imm2 (8.6)
X.
Формула (8.6) является аналогом оптической теоре-
мы для двухчастичного процесса. При этом необходимо
продолжить амплитуду Маьё по переменным sab7, sa~e>
Sbc в область, где эти переменные имеют уже другой
физический смысл, и взять мнимую часть. Напримео,
переменная sa«,7 в канале (8.1) равна квадрату эффек-
тивной массы системы вторичных адронов X:sab~ = (Р„ф-
+ Рь — Рс) = тх, переменные s(- и имеют смысл
квадратов передаваемых 4-импульсов от первичных ча-
стиц к частице с:
Sac = he = (Ч — Рс)2- Sbc = he = (Рb ~ Рс?-
Если в реакции (8.1) переменные Н«с I и I he I
велики, то это па диаграммном языке означает, что
между частицами в процессе (8.3) или (8.1) происходит
обмен реджеоном (с нулевым 4-импульсом /оа = 0, ^ьь=0,
ta=0), Если велика (по модулю) переменная tac, то
обмен реджеоном происходит между частицами а и с;
если велика переменная tbc, то реджеоном обмениваются
частицы b и с и т. д. (см., например, рис. 49)*.
Метод комплексных моментов предсказывает (как
будет видно) следующие характеристики инклюзивных
процессов:
1) скейлинговое поведение распределения при асимп-
тотически высоких энергиях (s—>оо);
2) степень приближения к скейлинговому поведению
спектров вторичных частиц по мере возрастания энер-
гии;
* Впервые на возможность описания многочастичных процессов
в рамках метода комплексных моментов указано в работе (5). Этот
метод получил широкое распространение благодаря его развитию на
основе обобщенной оптической теоремы [2 4] и успешному описи
нию наблюдаемых спектров вторичных частиц в рр-соудареииях
180
„ч поведение распределений вторичных частиц по пе-
енной х вблизи кинематических пределов, когда
' 4) зависимость от сортов первичных и вторичных
истиц в различных кинематических областях;
4 5) связь между спектрами частиц различного сорта
и между спектрами одинаковых частиц в различных ре-
акциях и др.
В методе комплексных моментов фигурируют эмпи-
рические параметры; некоторые из них определяются
из квазидвухчастичных процессов. При исследовании ин-
клюзивных процессов возникают новые специфические
параметры и неизвестные функции. Как будет видно,
наличие сравнительно большого числа параметров су-
щественно уменьшает однозначность количественных ре-
зультатов, но зачастую совсем не сказывается на каче-
ственных выводах. Это, пожалуй, наиболее важный мо-
мент в реджевском подходе.
В случаях, когда выводы существенно зависят от до-
полнительных предположений, сделаем необходимые
оговорки.
82. ПОВЕДЕНИЕ ИНКЛЮЗИВНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ОБЛАСТЯХ ФРАГМЕНТАЦИИ
Перейдем к конкретным приложениям метода полю-
сов Редже. Рассмотрим процесс (8.1) в области фраг-
ментации частицы-мишени Ь. В этом случае продольный
импульс частицы с должен в Д-системе составлять за-
метную долю первичного импульса (—1 С —лд), а
в Л-системе продольный импульс р и ограничен.
Механизм испускания такой частицы представлен в
виде диаграммы рис. 47, а, где в верхнем блоке испу-
скаются частицы с быстротами, большими, чем у части-
цы с, а в нижнем блоке — с меньшими быстротами. Мы
придерживаемся здесь понятий мультипериферической
кинематики, имея в виду установленную ранее связь
между мультипериферизмом и механизмом обмена
Реджеонами (см. п. 6.6). Нетрудно видеть, что эффек-
тивная масса системы частиц с большими быстротами
велика при высоких энергиях (s )> т~, tri* , nty :
т2х^тат^[уа—у),
181
где ya=\n(s/mamb), а масса системы частиц с неболь-
шими быстротами ограничена:
тх, — тьт L ехР (У)-
После возведения амплитуды процесса в квадрат по
модулю получаем результат, графически изображенный
на рис. 47,6. Согласно обобщенной оптической теореме
диаграмма рис. 47,6 после суммирования по всем воз-
Рис. 47. Диаграмма инклюзивного процесса с образованием части-
цы с в области фрагментации мишени (а); диаграмма для инвари-
антного дифференциального сечения инклюзивного процесса в об-
ласти фрагментации мишени (б); реджевский предел диаграм-
мы б (в)
можным каналам с недетектируемыми физическими час-
тицами равна мнимой части амплитуды трехчастичного
процесса рассеяния (8.3) без изменения 4-импульсов
частиц a, b и античастицы с, продолженной аналитически
в область процесса (8.1). Инвариантное дифференциаль-
ное сечение инклюзивного процесса при этом равно
F'11 (р, s) = (2 | Ра | | s )-1 М (abc -+ abc) . (8.7)
X
Поскольку суммарная эффективная масса реальных
промежуточных частиц, расположенных па рис. 47,6
между линиями частиц а и с велика и растет с энергией,
испускание таких частиц и их последующее поглощение
можно представить как обмен реджеоном R. Процесс
испускания и поглощения частиц, расположенных между
линиями частиц с и Ь, представим в виде некоторого
блока взаимодействия частиц b и с с реджеоном R
(рис. 47, в). Блок Ьс—R—Ьс соответствует вещественно»
182
пиЧйне, поскольку промежуточные частицы находи-
бе'сь на массовой поверхности. Вычисление мнимой
части этой диаграммы по переменной ту сводится к
одстановке вместо полного пропагатора реджеона R
его мнимой части, определяемой сигнатурным множи-
телем
Од, (/) = — [ 1 ± exp (— inaR Д) ]/sin (/)] .
После сделанных пояснений выпишем окончатель-
ный результат. Диаграмма рис. 47, в содержит вершину
aaR, которая берется при значении квадрата передан-
ного 4-импульса (или квадрата 4-импульса реджеоча
R) taa=(Pa—Pa)2=G. Эта вершина обозначается (0).
Мнимая часть пропагатора реджеона R равна при
L=o.
Im DR (rnx, 0) - Im 0w (0) (tnx/s0)aR <0),
где 0д(О)—сигнатурный множитель при IaQ = 0. Зави-
симость пропагатора реджеона от т2х можно понять,
рассматривая частицы b и с как одну частицу с ограни-
ченной эффективной массой tbc=(Pb—рс)2- Тогда квад-
рат полной энергии частиц а+(й+с) в Д-системе для
реакции (8.3) равен гпх- (Ра 4 Рь~рс)2.
Вместо переменной т2х можно было бы использовать
переменную tac^ (Ра—р<)2, так как в области фрагмен-
тации частицы b величины т2х и |/ас| примерно равны
ДРУГ Другу. Функция (tbc, р L), соответствующая
блоку Ьс—R—Ьс, в методе комплексных моментов невы-
числяется. Из требования релятивистской инвариантно-
сти следует, что эта функция может зависеть только от
двух переменных: tbc, р.с-
Вклад в рассматриваемый процесс могут давать
реджеоны разных сортов, обмен которыми между час-
тицей а и частицами (6 + с) не запрещен по квантовым
числам. Поэтому вклады от диаграмм с различными
обмениваемыми реджеонами следует просуммировать.
Собирая все перечисленные выше факторы, получаем
выражение для инклюзивного распределения в области
Фрагментации частицы b
FU’(P’ (О)1т0«(О)ф£(Дс, Px)(mVMa/?(0) •
(8-8)
183
Переменные tbc и rr?x в области фрагментации мишепи
следующим образом выражаются через переменные s
х, р± или через s, у* и р^.
тх ~ s 11 ~ {mJmt) ехр {у'ь — У*)] ,
или т2х — s (1 + х),
Чс — тьЛ-пг2~Ъпьт±с\\{у'ь~у*), (8.9)
или
=/п|(1 + х) + (1 + АГ-1) + (8.10)
Из формул (8.8) — (8.10) получаем выражение для
распределения в переменных s, х и р±:
1 > {х, pL , s) = s-> (0) Im 0Л (0) Ф& (х, р J X
к
X (s/s0)a«<0Hl, (8.11)
где Фь (х, PjJ = Фьс((Ьс1 Pj)(l +х)а/?(0), или в перемен-
ных s, уь — у* и p L .
F( ° (^ - У*, р±, s) = V* S ₽“ (0) 1т °Л (0) Х
К
х ф£ (Уь ~У*> Ра) (s/s0)a* (0)“ 1 , (8.12)
где
Ф* {У'ь ~У\ Ра) = Ф& {tbc, Рл) X
X [! — exp (у; — у*)] .
Из формул (.8.11), (8.12) вытекает ряд предсказаний
относительно распределений инклюзивных частиц в обла-
сти фрагментации мишени.
Во-первых, основной вклад в инклюзивный процесс
в этом случае дает обмен померанчуконом с ар(0)=1-
Поправочные (при s->oo) вклады обусловлены обменом
полюсами с ад(0)=0,5, т. е. Р'-, р-, со-, Л2-полюсами. Дру-
гие полюса (л-, т)-, В-типа) дают вклады, исчезающие
как s-1 или быстрее. Тогда формулу (8.11) можно пред-
ставить при s->oo в виде суммы
В( 1 * (X, , s) = sy1 [Ра (0) ФЬс (X, р±) +
+ РГ (0) Фь! (х, Рл) (So/S)'/sj , (8.13)
184
в них про-
знак у пе-
первое слагаемое соответствует вкладу от обмена
ГДпюсом Померанчука, а второе — вкладу от обмена
педжеонами с ая(0) =0,5
" Вклад полюса Померанчука имеет масштабно инва-
пантный характер. Вклад от остальных реджеонов не
об падает этим свойством, однако он убывает с ростом
энергии по закону s-1 2. Таким образом, реджевский
метод предсказывает не только скейлинговое поведение
функции распределения в области фрагментации мише-
ни при асимптотически высоких энергиях, но и степень
приближения к скейлинговому режиму. Эти предсказа-
ния могут быть проверены экспериментально.
Формулы (8.11) — (8 13) справедливы и в области
фрагментации налетающей частицы а, если - .........
вести замену индекса Ь->а и изменить
ременной х (х—»—х).
Сформулируем еще один вывод, который можно про-
верить на опыте. Будем нормировать распределение
(8.13) на полное сечение взаимодействия частиц а и Ъ,
которое в рамках метода Редже имеет вид
aT(s) = [§«(0)₽Г(0) + (0) (s/s0)-,/l] , (8.14)
где первое слагаемое соответствует вкладу померанчу-
кона, а второе вкладу полюсов с ав(0) =0,5.
Учитывая (8.14), находим, что при s->oo спектраль-
ная плотность распределения в области фрагментации
мишени
Р(,)(*> р±; s)=fbc(x, p±) + gabc(x, px)(So/s)1/a , (8.15)
гДе fbc(x> рх) — Фьс(х, рх)/₽Г (0), а второе слагаемое
содержит поправки, убывающие с ростом энергии. Из
формулы (8.15) следует, что распределение вторичных
частиц в области фрагментации мишени при асимптоти-
чески высоких энергиях (s->oo) зависит от сорта части-
цы с и фрагментирующей частицы b и не зависит от
сорта налетающей частицы а. Зависящие от частицы а
поправки должны убывать при s->-oo по закону s~l/2 .
Таким образом, ожидается, что независимо от сорта
налетающих частиц фрагменты, образованные на одной
I той же частице мишени, будут при s->oo иметь тож-
дественные распределения по х и р±. С другой стороны,
фрагменты налетающей частицы должны иметь одина-
185
ковые распределения по х и р± независимо от сорта ми-
шени. Эти предсказания могут быть проверены экспери-
ментально
Функция gabc(x, Р ) также может быть измерена па
опыте. Интересно проверить ее независимость от энер-
гии и универсальность при замене налетающей частицы
а и мишени b друг другом, например в рп- и пр-реак-
циях.
8.3. РЕДЖЕВСКИЙ АНАЛИЗ ИНКЛЮЗИВНЫХ ПРОЦЕССОВ
ВБЛИЗИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ГРАНИЦ (|х| ~ 1).
ТРЕХРЕДЖЕОННЫЙ ПРЕДЕЛ
Рис. 48. Диаграмма процесса образования лидирующей частицы с
с помощью обмена реджеоном R (а); диаграмма для инвариантного
дифференциального сечения образования лидирующей частицы (б);
трехреджеонный предел диаграммы б (в)
Метод комплексных моментов позволяет получить
более полную информацию о поведении инклюзивных
спектров в зависимости от переменной х в областях фраг-
ментации, если рассмотреть процесс (8.1) вблизи от гра-
ниц кинематической области по этой переменной, т. е. в
окрестности точек х= 1 и х= — 1 при больших значениях
эффективной массы адронной струи rri2x m2h , т2 , т2, ио
таких, что тх <^s(l — |х| <С 1). Так как в Д-системе при
|х| « 1 модуль импульса частицы с(р*) близок по значе-
нию к импульсу сталкивающихся частиц | P<J = I I ’
то в рамках метода комплексных моментов амплитуда
инклюзивного процесса (8.1) описывается диаграммой
с обменом реджеоном (рис. 48, а), подходящим по кван-
товым числам. При асимптотически высоких энергиях
186
-лад дают обмены одним-двумя типами реджеонов с
Б ми большими значениями ад(0). В рассматривае-
мом случае частица с — самая быстрая из вторичных
частиц в Д-системе.
Аналогично можно рассмотреть случай, когда самая
быстрая частица вылетает под малыми углами по от-
ношению к импульсу Рь (с точностью до замены индек-
са а на индекс Ь). В Л-системе частица с, испускаемая
в вершине acRi (см. рис. 48, fl), обладает наибольшей
энергией. Тип обмениваемого реджеона R[ зависит от
сортов частиц а и с. Например, если а=р (протон)
с=р или N*+ (изобара с изоспином '/2 и положительным
зарядом), то возможен обмен полюсом Померанчука.
£сли а = р, с=п+, то такой обмен невозможен. Обмени-
ваемый реджеон должен в этом случае иметь квантовые
числа нейтрона, т. е. обмен происходит барионными
траекториями с нулевой странностью и зарядом, напри-
мер Х-траекторией.
Амплитуда процесса (см. рис. 48, с) зависит в
общем случае от квадрата переданного 4-импульса от
частицы а к частице с (tac) и от квадрата эффективной
массы адронной системы X (ту). Обозначим (taC)
вершинную функцию acRi и просуммируем все ампли-
туды с обменом одним реджеоном. После возведения
суммарной амплитуды процесса в квадрат по модулю и
суммирования по всем возможным состояниям X полу-
чим результат, представленный графически на рис. 48, б.
Нижний блок этой диаграммы с реальными частицами
в адронной системе равен мнимой части амплитуды
процесса Ri+b-+R2+b при квадрате передаваемого
4-импульса Дь = 0. Подразумевается, что диаграммы
рис. 48,6 должны быть просуммированы по всем типам
реджеонов R{ и R2, дающим вклад в процесс при асимп-
тотически высоких энергиях.
Поскольку эффективная масса группы адронов X по
Условию велика, то в процессе рассеяния Ri + b-+R2+b
также доминирует обмен реджеонами R3. Из этой диаг-
раммы (рис. 48, е) видно, что инвариантное дифферен-
циальное сечение процесса (8.1) вблизи кинематическо-
го предела (1—х<1) определяется взаимодействием
тРех реджеонов в вершине RtR2Rs- Поэтому рассмат-
риваемый случай называется трехреджеонным преде-
187
Выпишем на основе рис. 48, в формулу для распре,
деления частицы с при (1—х) 1 и s^>m~x :
А( 1 > (s, tac, - s-i X ₽£ (tac) ₽«• (tar) х
Я1Л2^з
X е«. (tac) 0’ 2 (tac) у^ (toc) №3 (0) X
X Im 0Л, (0) (m2x/s0)a^(0>, (8.16)
где yRiRzR3 (tac) — трехреджеонная вершина.
В формуле (8.16) множители (s/m^)K/?‘соот-
ветствуют энергетической зависимости пропагаторов
реджеонов. Величина т2х делает безразмерной пере-
менную s, так как переменная zt, от которой зависит
амплитуда рассеяния в теории комплексных моментов
[11], при s > т2х > т2, т2, т2, | tac |
тХ I (та — ml — I (ас!) + 4/Пд I tac I ]
Зависящий от tac множитель в этой формуле отнесен к
функции ₽д/(1ас). Поэтому распределение (8.16) час-
тицы с зависит от отношения (slnty. В области
(,1—X) <1
tn2x=-s(l—x), (8.18)
tuc - (1 -%)(т2а-т2х~') -plx-> , (8.19)
откуда следует, что при х « \ taC — — р2
Выпишем окончательно формулу для инклюзивного
спектра, полагая, что реджеоны R3 являются полюсами
Померанчука и следующими по степени важности по-
люсами с ад(0)=0,5 (например, Р'-полюс). В качестве
полюсов Т?1,2 выберем самый «правый» в плоскости ком-
плексных моментов полюс, подходящий по квантовым
числам (Rt = R2=R):
^(1)(S> к, tac)^s0' [₽« (tac)]2 I 0«(Q|2 X
X (1 -хГ2“«(^ [W(U₽f (0) (1 —x) +yRRP, (taC)Y.
X ₽Г (0) (1 -x),/2(s0/s)*/!] . (8-20)
188
п лавочное слагаемое в прямых скобках (8.20), пару-
юшее скейлинг, «вымирает» с ростом s как5~1/2.
Очевидно, что в области фрагментации мишени b
имеет место то же самое выражение для спектра (8.20),
..л с заменой а-+Ь и х—>- х.
Рассмотрим возможные частные случаи поведения
1НКЛЮЗИВ1ЮГО спектра при s->oo по переменной х вбли-
зи порога при малых передачах 4-импульса tac, т. е.
прП 1—х<С1 и tac-^0, когда частица с того же сорта, что
и частица а.
1. Пусть полюса R\, R2, R3 — вакуумные (Л1,2=лз=
= Р), тогда, если уррр(0)=/=0,
lim/7<1)(s, х, tac)~ (1 — х) ' ;
s->x
х-1
2. /?!.2 = Р', R3 = Р, (0) ¥= 0:
(8-21)
х, tac) — const; (8.22)
s-*oo
л-1
3. Rl,2 = P, Rs = P', Трр/,(0)^0:
lim1 > (s, x, tac) ~ s“‘/2 (1 - x)“’/! ; (8.23)
S-*-CO
л-1
4. Ri.2.3 = P', YP.p,p,(0)^0;
limF(l) (s, x, tuc) ~ s“'/2 (1 —x)~‘/! . (8.24)
Формулы (8.21) — (8.24) предсказывают качественное
различие в поведении инклюзивного спектра в процессе
я+Ь->-й-|-Х вблизи кинематического предела (х->1) в
зависимости от той или иной гипотезы относительно
поведения трехреджеонпых вершин при /ос->-0.
Что касается трехполюсной вершины Померапчука
Vppp(/uc), т0 существуют очень веские основания думать,
что она либо очень мала, либо обращается в нуль при
ос-*0 [7]. Экспериментальные результаты, полученные
иа ISR о спектрах вторичных протонов в процессе р +
Р~^Р + Х при энергиях s = 925,5, 940 и 1995 Гэв2, сви-
189
детельствуют о том, что в области х>0,9 имеется резкий
подъем инклюзивного дифференциального сечения пр}1
фиксированных значениях р2 =0,2754-1,05 Гэв2 [8]. Все
данные удовлетворительно описываются в предположе-
нии ур,р,р (0) =#0 и уррр- (0) =#0, но не противоречат
также значению уррр(0), не обращающемуся в нуль [9]
Вопрос о поведении инклюзивных спектров при л—ур
как видно, имеет весьма важное значение для теории
комплексных моментов. Экспериментальных данных пока
недостаточно, чтобы решить эту проблему.
8.4. РЕДЖЕВСКИЙ АНАЛИЗ В ОБЛАСТИ х'О
Рис. 49. Реджеонная диаграм-
ма для инвариантного диффе-
ренциального сечения инклю-
зивного процесса в области
пионизации
В области пионизации передачи квадратов 4-импуль-
сов tac и tbc от первичных частиц к частипе с при s->co
достаточно велики по абсолютному значению, а пере-
менная х близка к нулю. Используя аргументы, основан-
ные на обобщенной оптической теореме для трехчастич-
ного процесса (8.3), приходим к выводу, что мнимая
часть амплитуды этого процесса, продолженная анали-
тически в физическую область процесса (8.1), при
|^гс|>т2, т2, \tbc\^>m2b, т2 определяется диаграм-
мой рис. 49 с обменом реджеонами Ri и R2 между части-
цами а и с и b и с (полагая, что |tac|, |6>с|<С«).
Среди факторов, входя-
щих в алгоритм вычисления
диаграммы рис. 49, имеется
один, не определяемый тео-
ретически. Это — вершина
(с/?,, cRz), где реджеоны Рл
и /?2 переносят нулевые
квадраты передач 4-импуль-
сов ttaa=tbb = ty. Эта вер-
шинная функция реляти-
вистски инвариантна отно-
сительно продольных преоб-
разований Лоренца. Единст-
венный инвариант, от кото-
рого она зависит, это по-
перечный импульс части-
цы с Обозначим эту вер-
шинную функцию fcRlR2(Pxt
где индексы с, Rit R? подчер-
кивают зависимость от сор-
190
частицы с и типа обмениваемых реджеонов. По-
^ольку в вершинах aaRi и bbR2 физические частицы
сКнача.’1ьном и конечном состояниях одинаковы и имеют
" наковые 4-импульсы, обмениваемые реджеоны могут
быть типа Р, Р'. р« и т. д.
В конкретных случаях сорт реджеонов R{ и R2 с
^вакуумными квантовыми числами определяется на
основе законов сохранения дискретных квантовых чисел
в вершинах aaR\ и bbR2. Ограничимся здесь при s->-oo
вкладами от реджеонов Р и Р' и выпишем формулу для
инвариантного дифференциального сечения в области
пионизации в окрестности точки х = 0:
р<”(^, he, ^^s-4^(°)₽n°)^(pJ(Ws20r<0) +
+ tw (°) fpP> (P±) ( lhe |/SO)“P(O) (|Ш.Г <0> +
+ ₽r (0) Pf (0) fcPP, (PX) (lhel/s0)ap'(0) WMap <0,l, (8-25)
где первое слагаемое представляет вклад от обмена
двумя полюсами Померанчука, а два других слагае-
мых— вклады от обменов полюсом Померанчука или
Р' между а и с и Р' или Р — реджеоном между b и с.
В рассматриваемой кинематической области
(8.26)
Поэтому формула (8.25) приобретает вид (аР(0) = 1,
аР-(0) =0,5)
F° > (he, he, «) = s?2 [₽£ (0) (0) (pj +
+ ₽: (0) ₽f (0)fpp. (pj +
+ ₽Г (0) (0) (p±) (So/|U)*/5J • (8-27)
Первое слагаемое в (8.27) имеет скейлинговый вид и
зависит только от поперечного импульса. Два других
слагаемых представляют собой поправки, которые при
s->oo «вымирают» довольно медленно по закону s~44,
поскольку в центре плато по у*
I he I - lhel =4 ^е- (8-28)
Таким образом, из метода комплексных моментов
г‘о дУет не только скейлинговое поведение инвариаптно-
Распределения вторичных частиц в области ппониза-
191
ции при асимптотически высоких энергиях, но и сте-
пень достижения скейлинга (~s-1/4).
В рамках метода нет никаких оснований для обра-
щения в нуль функции f'pp^pj)- Поэтому теория комп-
лексных моментов противоречит гипотезе предельной
фрагментации и соответствует гипотезе существования
центрального плато в распределении по быстроте (см
гл. 2—4, 7).
Отметим еще одно предсказание для инклюзивных
спектров в центральной области. Из формулы (8.27)
следует, что спектральная плотность распределения р(')
при s->oo не зависит от сортов сталкивающихся частиц:
limp<1)(p||, р±, s) = s-' ГРр(Рл)т1 (8.29)
s->»
и определяется целиком сортом частицы с. Поскольку
в области пионизации при s-^oo заряженные или стран-
ные частицы с и античастицы с рождаются обязательно
совместно (чтобы обеспечить сохранение электрического
заряда, барионного числа, странности и других дискрет-
ных квантовых чисел), спектры частиц и античастиц при
асимптотически высоких энергиях совпадают. Сопостав-
ление спектров частиц и античастиц при х->0 может
служить критерием достижения асимптотических энер-
гий. В опытах на ISR наблюдаемое отношение выходов
л+ и л_-мезонов в области 0,1<х<0,2 при s=2030 и
2830 Гэв2 уже довольно близко к единице [10] (см.
также рис. 15).
8.5 ДВУХЧАСТИЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ОБЛАСТИ
ПИОНИЗАЦИИ
Ниже мы рассмотрим в рамках метода комплексных
моментов двухчастичный инклюзивный процесс (8.2)
образования частиц с и d в области пионизации. В этом
случае также удобно использовать обобщенную оптиче-
скую теорему и рассмотреть процесс рассеяния четырех
частиц (8.4) с сохранением всех 4-импульсов первичных
частиц (рис. 50, а). Символы с и d в канале рассеяния
(8.4) соответствуют античастицам. Мнимая часть ампли-
туды процесса (8.4) по переменной (Ro + Рь + Рс
4- р-)2 = щ2,, продолженная в физическую область
процесса (8.2), пропорциональна инвариантному
дифференциальному сечению двухчастичной инклюзивном
192
реакции Д(2)(РС, Pj, «) (см. гл. 1) с точностью до
множителя , аналогично одночастичному случаю.
В интересующей нас кинематической области пиони-
зации частиц с и d велики переменные | tac |, | tad |, |/ос]
Рис. 50. Диаграмма процесса четырехчастичпого рассеяния (а);
реджевский предел диаграммы инвариантного сечения двухчастич-
ного инклюзивного процесса с образованием частиц с и d в обла-
сти пионизации (б); реджевский предел диаграммы б при большой
эффективной массе частиц с и d (в)
и | tbd | Поэтому при высоких энергиях основной вклад
в амплитуду процесса (8.4) обусловлен обменом реджео-
нами с нулевыми квадратами 4-импульсов между систе-
мой частиц (c+d) и первичными частицами а и b
(рис. 50, б).
Если эффективная масса системы (с + с!) невелика
(sfd~ (mc + md)2), то центральная вершина на диаграм-
ме рис. 50, б должна рассматриваться как неизвестная
функция fRtR„ которую необходимо определять из
опыта. Вследствие релятивистской инвариантности эта
вершина зависит от четырех переменных: scd, р и, pld и
(P_Lc’P±d) '
Вершины aaR{ и bbR% определяются из опытов по из-
мерению полных сечений и процессов рассеяния частиц
а и b на различных мишенях.
Двухчастичное инвариантное дифференциальное сече-
ние, вычисленное на основе диаграммы рис. 50, б, имеет
вид
F'2) (Рс, Ра, s) = 8X ₽«‘ (0) Im 0Й1 (0) Im 0Л, (0) X
R,R,
OzQC!/s0)“^<0>(Kfc</|/s0)“««(0)^«.(scd, рХс, p±d, р±с- рХ(/),
(8.30)
гДе в области пионизации частиц с и d переменные
lZ“e| и |/м| равны примерно \tac | — j sms_c' I ?ьа I ~
7 Зак 8п 193
Сумма в (8.30) берется по всем возможным обме-
ниваемым реджеонам. Оставим только главные слагае-
мые при s—>оо, соответствующие обмену полюсами По-
меранчука (Ri = R2=P)> и поправки к ним за счет обме-
на полюсами с ад(0)=0,5 (например, Ri=P, R2=P' и
R2=Р, Ri=P'):
F(2} (Рс. Рж s) = s~2 [рР (0) рР (0) mrcmrdf^p (scd) +
+ (0) Pf (0) (s0mlo/s'^y^ (scd) +
+ РГ (0) ₽6P (0) m±d (somjs'^y^ f%. (scd)] . (8.31)
Отсюда следует, что при s—>оо двухчастичное рас-
пределение в области пионизации не зависит от энергии
s; скейлинг достигается по закону s '-'4. Функция распре-
деления зависит только от поперечных импульсов вто-
ричных частиц и их эффективной массы, т. е. является
функцией четырех независимых переменных вместо
шести.
Если разделить выражение (8.31) на полное сечение
от, то спектральная плотность двухчастичного распреде-
ления р<2> окажется при s->oo, не зависящей от сортов
сталкивающихся частиц:
limp<2)(pc, ра, s) = s-' т m±d X
s->0
f'pp' (SC<1’ Pj_c, P-Ld' P±c ’ Pj_d) • (8.32)
Отмеченные предсказания можно проверить на опы-
те. Однако экспериментальные исследования двухчас-
тичных функций распределения еще только начинаются
(см. гл. 2). Метод комплексных моментов позволяет
предсказать поведение двухчастичной корреляционной
функции pd) в области пионизации [см. (1.37)].
Рассмотрим область больших эффективных масс этой
пары частиц: scd^> (тс +md)2. В этой области между
частицами cud должен осуществляться обмен реджео-
ном R3 (рис. 50, в). Вершинную функцию fcPP можно
тогда представить в виде суммы вкладов от обменивае-
мых реджеонов R3:
/Й - S й». (Ри) (ри) ™ . (8-33>
194
fi — вершинные функции блоков (cPcR3)
idPdRz), определенные ранее (см. п. 8.4). При sr(i3>
в сУмме (8.33) можно оставить только
клады от обмена полюсом Померапчука (/?3==Р) и по-
люсами с аВя(0)=0,5 (например, Р'-полюсом). Выра-
жение (8.33) при этом приобретает простую форму:
/рр = fpp (Р±с) fpp (P_Ld) (Se<JSo) + fpp’ (pj_c) f PP' (pj_d) X
X (S^/So)’7’ • (8.34)
При больших значениях Scd переменные |Zac| и | tbd | в
формуле (8.30) выражаются следующим образом через
быстроты:
I tael тати ехр (уа ~ ус); 1 (g
I tbd | mbm±dexp(yd~yb), J
а переменная
Scd^>^j_cmzdexp(yc — yd), (8.36)
где для определенности мы считали, что ус>Уа-
При s->oo и условии [Ус—Уа| 1 формула (8.32)
представляется в виде
lim р<2> (рс, pd, s) s-2 т\с m\d [?рр (р^) fdpp (pj) +
s->00
+ fap' (Р±с) fdPP' (P±d) т^У,г eXP (iPe — Pdl/2)J . (8.37)
Формула (8.37) имеет скейлинговый характер; функ-
ция р<2> зависит уже только от трех переменных: р±с,
P±dM |«/с—*/d|.
Первое слагаемое равно произведению одпочастич-
ных спектральных плотностей в области пионизации
(8.29). Поэтому двухчастичная корреляционная функция
в данном случае при s->oo равна
Р(2)(Рс, Pd) —Р(,)(Рс)Р(,)(Pd) = ('ncmd/s0),/1 X
X frPP, (р±с) fdpp. (Ри) ехР (1^ — У dll2)- (8-38)
Из вида функции (8.38) сразу следует, что корреля-
ционная длина в пространстве быстрот между двумя
частицами составляет в среднем
ЬУ = I y^Pd I « 2. (8.39)
7*
195
Это предсказание метода комплексных моментов со-
гласуется с данными опыта (см. рис. 25 и гл. 2). Повр.
дение корреляционной функции (8.38), проинтегрирован-
ной по р±с, и р±(/, имеет экспоненциальную форму-
j (р(2) _ р( I). р( ()) d2p^d ~ exp (!ус — yd|/2).
В заключение подчеркнем, что метод комплексных мо-
ментов приводит к большому числу важных качествен-
ных предсказаний, которые необходимо тщательно про-
верить на опыте. Это направление в теории сейчас наи-
более популярно ввиду простоты, универсальности и
эвристической способности в рамках единого метода,
который может быть обобщен и на случай более слож-
ных особенностей в плоскости комплексных моментов
(например, точки ветвления [6]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Caneshi L., Pignotti A. Multi—Regge Baryon Exchange and Cent-
ral Interaction.—«Phys. Rev. Lett.», 1969, v. 22, p. 1219.
2. Канчели О. В Неупругие дифференциальные сечения при высо-
ких энергиях и дуальность.— «Письма ЖЭТФ», 1970, т. 11,
с. 397.
3. Абрамовский В. А., Канчели О. В., Манджавидзе И Д. Полные
дифференциальные сечения неупругих процессов при высоких
энергиях.— «Ядерная физика», 1971, т. 13, с. 1102.
4. Mueller А. И. 0(2,1) Analysis of Single Particle Spectra at High-
Energy.—«Phys. Rev.», 1970, v. 2, p. 2963.
5. Тер-Мартиросян К. А. Асимптотика амплитуд неупругих процес-
сов.—«Журн. эксперим. и теор. фпз.», 1963, т. 44, с. 341.
6. Лисин В И., Тер-Мартиросян К. А., Шабельский Ю. М. Инклю-
зивные процессы в реджевской схеме. Теория. Интерполяционная
формула и данные опыта.—Препринт ИТЭФ, № 932,936. М,
1972.
7. Грибов В Н., Мигдал А. А. Свойства полюса Померанчука и
связанных с ним ветвлений при малых переданных импульсах.—
«Ядерная физика», 1968, т. 8, с. 1002.
8. Albrow М. G е. a. Longitudinal Momentum Distribution for Posi-
tive Particles Produced at Small Angles.—«Nucl. Phys.», 1973,
v. 5113, p. 388.
9. Кандалов А. Б. и др On Determination of lhe Triple-Pomeron
Coupling from the ISR Data.—Препринт ЛИЯФ, № 44, 1973.
10. Sens H. Results of Experiments on Inclusive Reactions at the
CERN Int. Storage Rings. — «IV Int. Conf. High Energy Phys».
Oxford, 1972.
|1. Коллинз П., Сквайре Э, Полюса Редже в физике частиц. Пер. с
англ. М., «Мир», 1971.
ГЛАВА 9
ПАРТОННАЯ МОДЕЛЬ
91 ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЛЕПТОНОВ С АДРОНАМИ
В результате исследования упругого e/V-рассеяния
было установлено, что нуклоны не являются точечными
частицами. Отличие от точечности проявляется следую-
щим образом. Рассмотрим процесс упругого еЛДрассеяния
в приближении однофотонного обмена (рис. 51, а). Диф-
ференциальное сечение этого процесса имеет вид (см.,
например, [1]):
— = • {[Ge + (Q2/4/Vl2) Gl] (1 + Q2/4M2)-i х
dQ2 Q*Ea
X cos2 0/2 -F (Q2/2M2) Gm sin2 0/2] , (9.1)
где Ea, E a —энергия электрона до и после рассеяния
на угол 0в Л-системе; GE(Q2), GM (Q2) — электрический
и магнитный форм-факторы нуклона; Q2=—q2 =
= (Ра—Ра)2. Функции Ge(Q2), Gm(Q2) можно связать
с пространственным распределением электрического за-
ряда и магнитного момента внутри нуклона (см. [1, 2]).
Если заряд и магнитный момент имели бы точечный
характер, то
Gg=l; G^ = g„; G£ = О, (9.2)
гДе ёь — статический магнитный момент нуклона (N=p
или п), индексы р и п относятся к протону или нейтро-
ну соответственно.
Опыт [1] показывает, что в широкой области значе-
нии Q2 форм-факторы зависят от Q2:
Oh - (1 + <?/0,71)-2 , (9.3)
= СЖ' • М
197
а электрический форм-фактор нейтрона GnE (Q2) величи-
на малая. В формуле (9.3) переменная Q2 выражена
в Гэв2. Этот результат означает, что среднеквадратич-
ные радиусы распределений электрического заряда и
магнитных моментов нуклонов отличны от нуля и со-
Рис. 51 Диаграмма процесса упругого еЛ^-рассеяния в од-
нофотонном приближении (а); глубоконеупругого eN-
взаимодействия с образованием системы X (б)
ставляют (Л£ лг) «0,8-10“13 см. Электроны при
этом считаются точечными частицами, поскольку ника-
ких отклонений от точечности электронов не обнару-
жено [3].
На фоне этих данных неожиданны результаты иссле-
дования процесса неупругого рассеяния электронов на
протонах и дейтонах:
е + N -> е ф X, (9.5)
где X — система недетектируемых адронов (рис. 51,6).
В так называемой глубоконеупругой области (v=
= £а~Е'аУ.
v > 2М, (9.6)
Q2 М2 и v/Q2 = const (9.7)
оказалось, что отношение сечения процесса (9.5) в
области (9.6) — (9.7) и сечения упругого еЛ'-рассеяния
на точечных нуклонах уменьшается весьма медленно
с ростом Q2 (вплоть до Q2~74-8 Гэв2) при заданном
значении отношения (см. [4, 5])
g = Q2/2Mv. (9-8)
Однако в области Q2 С М2
т2х<(3 — 4)М2, tn2x = 2Mv 4- М2 — Q2 (9-9)
198
0 же отношение резко падает с ростом Q2 (если снова
Фиксировать отношение g).
Следовательно, в области, ограниченной неравенст-
вами (9.9), процесс неупругого e/V-взаимодейст-
вия происходит на протяженных нуклонах. Однако в
глубоконеупругой области (9 6), (9.7) взаимодействие
виртуального у-кванта (рис. 51,6) происходит как бы с
точечной частицей.
Поясним это утверждение. Дифференциальное сече-
ние процесса неупругого еЛ/-взаимодействия (9.5) может
быть представлено в виде
{^2 (*• Q2)9/2 +
dvdQ2 Q9Ea
+ 2U7x(v, Q2) sin2 6/2}, (9.10)
где U^fvQ2)—структурные функции неупругого взаимо-
действия виртуального у-кванта с нуклоном (см., на-
пример, [5]). В отличие от электромагнитных форм-
факторов нуклона они зависят от двух переменных v
и Q2 и могут быть выражены через полные сечения сц
и стт взаимодействия продольно и поперечно поляризо-
ванных виртуальных у-квантов с нуклонами*
(v, Q2) = (4л2л)-> (v — Q2/2A1) о, (v, Q2); (9.11)
1Г2 (v, Q2) = (4л2Д-1 (1 + vVQ2)-1 (v — <22/2Л4) X
XfMv, Q2)+oz(v, Q2)]. (9.12)
Переменная v играет роль энергии виртуального у-кван-
та в Л-системе, а= 1/137.
На опыте было установлено [4, 5], что в глубоконе-
упругой области (9.6), (9.7), а также при менее жестких
условиях:
v>2M, (9.13)
Q2>M2 (9.14)
Функции vW2 и зависят не от двух, а только от одной
безразмерной переменной § (см. 9.8), которую можно
представить в инвариантной форме
_____ ^ = (?/2(Pbq) (9.15)
чой ВиРтУальные, фотоны кроме поперечной обладают и продоль-
199
Переменная g изменяется в пределах
(9.16)
Итак, в области (9.13), (9.14) функции \W2 и имеют
вид [4, 5]
2MW. (v, <22) = Л^); (9.17)
vF2(v, Q2) = F2(£), (9.18)
поэтому дифференциальное сечение процесса (9.5) по
Q2 при фиксированном значении § имеет точно такой
же вид, как дифференциальное сечение упругого еЛ/-рас-
сеяния на точечных нуклонах:
da 4ла2Е„
= -7^- ® cos2 0/2 + '2/И) F, (g) sin29/2} (9.19)
(сравнить с (9.1) при Ge = 1, Gm = gp) .
Таким образом, опыт непосредственно свидетельст-
вует о точечно подобной структуре нуклонов в глубоко
неупругой области. Возможность такого поведения сече-
ний лептон-адронных процессов предсказывалась теоре-
тически [6] задолго до появления первых эксперименталь-
ных данных (см. также [7, 8]).
Зависимость (9.17) — (9.18) в глубоконеупругой
области можно ожидать на основе анализа размерностей
физических величин [9] (см. также [10]). Зависимость
структурных функций vW2 лишь от одной безраз-
мерной переменной % была названа скейлингом или
масштабной инвариантностью лептон-адронных взаимо-
действий.
Далее увидим, что скейлинг в лептон-адронных вза-
имодействиях, вероятно, имеет глубокую связь с мас-
штабной инвариантностью сильных взаимодействий.
Скейлинговое поведение структурных функций было
также установлено экспериментально и для процессов
слабого взаимодействия нейтрино и антинейтрино с
нуклонами [11, 12]
V(i + JV _> р,— + X (9.20)
в глубоконеуцругой области. В совокупности с данными
об электромагнитных процессах нейтринные экспери-
менты свидетельствуют о всеобщности скейлинговых
200
. тв лептон-адронных процессов в глубоконеупругой
области [12. 131.
° Отметим еще несколько экспериментальных фактов,
относящихся к поведению структурных ............"
гЛубоконеупругой области [5]:
1 В области значении 0,08^5^0,25
функция протона постоянна, т. е.
~ 0,32.
функций в
структурная
(9.21)
В области 0,25 <5<О,5 функция плавно убывает
до значения vWp (5 = 0,5) - 0,15. При §->1 функция
уц7р стремится к нулю по закону
VI^~(1— 5)3. (9.22)
2. Отношение структурных функций нейтрона и про-
тона равно единице при 5-^0. С ростом 5 оно падает по
закону [2]
v^/vW^ = (l-5) (9.23)
вплоть до 5=0,75. При 5>0,75 это отношение либо
постоянно, либо растет до значения 0,4 при 5=1-
3. Отношение R = Gi/ot, согласно экспериментальным
данным в исследованной кинематической области со-
ставляет [5]
Не исключается
= const и v-*oo
R = 0,18 + 0,10.
(9.24)
также возможность того, что при 5 =
7?->0, что приводит к соотношению
vIF2 = 2M£W\. (9.25)
4. Интегралы от функции vW2 по переменной 5 в
измеренном на опыте интервале значений 5 равны
J vFJU5 = 0,16 +0,02,
0,08
У V^d5 =0,12 ±0,02.
0.08
(9.26)
(9.27)
Эти данные вместе с результатами нейтринных эк-
спериментов [12] используются для проверки конкретных
моделей глубоконеупругих процессов.
8 Зак 811 201
9.2. ПОНЯТИЕ О ПАРТОНАХ
1 Точечноподобное поведение структурных функций
нуклонов прежде всего можно пытаться объяснить й
рамках квантовой теории поля. Определенный прогресс
в этой области достигнут на основе исследования ком-
мутаторов электромагнитных токов в окрестности свето-
вого конуса в конфигурационном пространстве [14, 16]
а также в рамках аксиоматического подхода, основан-
ного на самых общих принципах локальной квантовой
теории поля [16, 17],
Обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоя-
щей книги. Ниже мы рассмотрим более наглядную, с
нашей точки зрения, модель, непосредственно связы-
вающую наблюдаемое точечноподобное поведение глу-
боконеупругих лептон-адронных процессов с внутренней
структурой адронов. Согласно гипотезе, выдвинутой в
[18] (см. также [19, 20]), при определенных условиях
адрон можно рассматривать как систему, состоящую
из точечных объектов, называемых партонами*. Эти
составные части адрона должны обладать специфичес-
кими свойствами. Так, партоны должны существовать
в квазисвободном состоянии достаточно долго по срав-
нению со временем поглощения виртуального фотона.
Иначе говоря, энергия, передаваемая партону, должна
быть настолько велика, чтобы можно было пренебречь
взаимодействием партонов внутри адрона за время
лептон-адронного столкновения [18—20].
С другой стороны, в процессах упругого рассеяния,
где существенны небольшие передачи энергии и импуль-
са, партоны себя не проявляют. В этих случаях надо
полагать, что взаимодействие между партонами весьма
существенно (энергия связи порядка или больше массы
покоя партона), т. е. партоны являются квазичасти-
цами, не существующими в форме реальных частиц.
В такой трактовке партоны — кванты возбуждения адро-
нов с эффективной массой, существующие лишь в глу-
боконеупругой области.
В рамках подобных представлений взаимодействие
электронов с адронами осуществляется посредством рас-
сеяния электрона на партоне через обмен виртуальным
у-квантом. При этом энергия и импульс, переданные
* От англ part — часть.
202
V поглотившему виртуальный фотон, настолько
паР -ii что партон можно считать свободным. В этом
ВеЛ'сте’ партоны можно рассматривать как «'адронные
СМс11тоны», подобные экситонам в твердом теле, которые
ЭК шкают при достаточно сильных возбуждениях.
В в работе [20] высказывается также следующая точка
оенля на понятие «партоны». Под этим объектом под-
азумеваются «голые» виртуальные частицы, на кото-
оые последовательно распадается физический адрон и
который существует в виде совокупности партонов не-
которое время, а затем партоны, собираясь вместе,
опять превращаются в физический адрон. Вероятность
обнаружить адрон в распавшемся на «голые» частицы
состоянии настолько велика при высоких энергиях и
больших передачах импульса, что взаимодействие между
электроном и адроном сводится к некогерентному вза-
имодействию электрона с партонами адрона, а взаимо-
действие адронов с адронами- к взаимодействию пар-
тонов, принадлежащих этим адронам и обладающих
небольшими относительными импульсами. Подобная
картина уже качественно рассматривалась в гл. 7, а
также [21, 22] в рамках мультипериферического подхода.
Существование «голых» сильно взаимодействующих
частиц представлялось прежде в рамках квантовой тео-
рии адронных полей практически невероятным. Из-за
большой величины константы взаимодействия все адро-
ны должны были быть окружены оболочкой из виртуаль-
ных адронов, которые, в свою очередь, также испус-
кают виртуальные адроны и тоже имеют адронную обо-
лочку.
9.3. ВРЕМЯ ЖИЗНИ ПАРТОНА
Как уже отмечалось выше, партоны существуют
внутри адрона в практически свободном состоянии до-
статочно долго по сравнению со временем электрои-
адронного взаимодействия. «Растянуть» время жизни
партонов можно в тех системах отсчета, где импульс
первичного адрона-мишени достаточно велик: [Рь[->-оо.
Для проведения конкретных оценок необходимо предпо-
ложить, что в системе покоя адрона (для определенно-
сти нуклона) его можно представить как связанное
состояние партонов с ограниченными импульсами [20].
огда в системе, где нуклон движется с релятивистской
8* 203
скоростью о~1(уМ1), поперечные импульсы парТонзд
по-прежнему остаются ограниченными. Условимся, Что
k±i С М (М — масса нуклона). Это ограничение можно
аргументировать [18—20], исходя из экспериментальных
данных об ограниченности р^.
Продольные импульсы партонов в системе отсчета
где у-фактор нуклона у«Еь/Л4»1. пропорциональны
импульсу нуклона:
I ро I > (9.28)
где I, — доля импульса нуклона, переносимая партоном.
Условие ^i = const не выполняется, когда продольные им-
пульсы партонов в движущейся системе ограничены-
(9-29)
Каждый из этих партонов переносит исчезающе малую
долю импульса нуклона при |Р|->оо;
I Ь I ~ М/ | Рй | . (9.30)
Такие партоны называют очень мягкими (wee) партона-
ми [18—20].
Оценим время жизни партонов в системе, где
|Р/>|->оо [20, 23]. Предположим, что нуклон виртуально
распадается на партон с долей продольного импульса
и некоторую систему партонов с суммарной долей про-
дольного импульса Пусть эффективная масса систе-
мы М*, масса партона Л4П, Согласно закону сохранения
импульса
^ + ^=1; (9-31)
k±i + kj.2 = 0. (9.32)
При виртуальном переходе энергия не сохраняется.
Степень несохранения энергии равна разности между
энергией виртуального состояния и энергией первичного
нуклона: ^E=Ei + E2—Еь-
Положим, что и продольный импульс партона
&li + Mi и суммарный продольный импульс
системы с эффективной массой М* также велики #||2л1
Л1_1_ = /г±2 + М*а . Следовательно,
АЕ~(ТИ1п^Г1+Л11ЧГ1-Л12)/2| PJ . (9-33)
204
Т гда время Тп жизнИ ТаКого виртуального состояния
тп~ |РЙ |/Мэ2фф, (9.34)
Л11ФФ = (Ж1п 1Г1 + Ml2 £7* - МО/2. (9.35)
Р величины §1 и §2 положительны и не слишком
малы (т- в. не рассматривается область очень мягких
партонов) и Alj.n, Mj_ ~ Л1, то и Л/эфф М.
В области очень мягких партонов AF —Л4 — М и
т Мп1 = const. Если ^i<0, то
АЕ^2\ Ы • |PJ , (9.36)
тп-~(2Ш ‘ 1М)-*> (9-37)
т. е. очень мало при |Р6|->оо.
Таким образом, вне области очень мягких партонов
направление движения партонов совпадает с первона-
чальным направлением движения нуклона. Очень мягкие
партоны могут двигаться в обоих направлениях (отно-
сительно вектора Р*), но время жизни тп таких парто-
нов не возрастает с увеличением |Рь|.
Оценим время взаимодействия электрона с партоном.
Рассмотрим процесс столкновения электрона с партоном
в /( системе Разность энергий электрона в начальном
и конечном состояниях [23]
\Е ~ (2Mv — Q2)/4 | Pt | (| Рь | = Vs/2 > Л4) . (9.38)
Время столкновения определяется разностью энергии
ДЕ:
tct~4|p;|/(2Mv-Q2). (9.39)
Сравнивая тст с временем жизни партона (9.34) в //-сис-
теме находим, что Тп^Тст, если выполняется неравен-
ство
2Mv~Q^ 4М2фф. (9.40)
Это условие выполняется в глубоконеупругой области
(9.6), (9.7), где велики не только квадраты передавае-
мых 4-импульсов, но и передаваемая адронам энергия v.
Днако значение gi не должно приближаться ни к одной
: кинематических границ. Недопустимы также слишком
тяжелые партоны с массами Ма~^>М.
205
Итак, в глубоконеупругой области не слишком мяг
кие (g->-0) и не слишком жесткие партоны можно
рассматривать как квазисвободные частицы.
9.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПАРТОНОВ И ЭЛЕКТРОНОВ
Рассмотрим столкновение быстрого электрона с то-
чечным квазисвободным партоном, переносящим ко-
Рис. 52. Диаграмма процесса
упругого рассеяния электрона
на точечном партоне в одно-
фотонном приближении
нечную долю импульса
| Рь |. Предположим, что
все партоны имеют единич-
ный электрический заряд
(в единицах заряда элек-
трона) . Тогда в области
глубокой неупругости диф-
ференциальное сечение рас-
сеяния электрона на t-м
партоне со спином нуль
можно рассчитать на основе
диаграммы рис. 52. Приве-
дем окончательный ответ:
4ла2Ел Е
где £— масштабная переменная (9.8) в глубоконеупру-
гом процессе. В случае рассеяния электрона на партоне
со спином V2 получается что
dtJi/dvdQ2 == —[Е cos2 &/2+(у/М) sin2 0/2] 6 (|—gj. (9.42)
Q4EaV
(9.41)
6-функция в формулах (9.41) и (9.42) отражает закон
сохранения энергии в процессе соударения электрона с
квазисвободным партоном. Наличие 6-функции свиде-
тельствует, что виртуальный у-квант (см. рис. 52)
поглощается только тем партоном, который обладает
долей импульса первичного нуклона равной значению
переменной § в глубоконеупругом процессе:
= I- (9-43)
Структурные факторы vW2i и 2MWu для точечного
бесспинового партона равны соответственно
vT2f- = g6Q-gz), 2A4FU 0.
(9.44)
206
гтпя партона со спином V2
vR72/ = (| -I,-), 2MFxi = 6 - ?;). (9-45)
Попустим, что число партонов достаточно
что можно ввести плотность распределения
интервал dlz^.
так
на
функция f(£i) нормирована на среднее число
внутри нуклона.
jf(y^z = 7Vn.
велико,
партонов
(9.46)
партонов
(9-47)
Тогда, умножая структурные факторы партонов
/944) и (9.45) на число партонов в интервале и
интегрируя по всему допустимому интервалу значений
t находим структурные функции нуклона. В случае
партонов со спином О
vW2 = tf®, 2MW1 = 0 (9.48)
и в случае партонов со спином '/г
л-Г2 = ТО. = (9.49)
Из (9.48) и (9.49) следует, что, во-первых, в рамках
партонной модели структурные функции нуклона в глу-
боконеупругой области имеют скейлинговое поведение
в согласии с экспериментом; во-вторых, эксперименталь-
ные измерения структурных функций vlT2, позволяют
непосредственно судить о плотности распределения пар-
тонов f(l) и, в-третьих, установить значение спинов
партонов, на которые виртуально распадается нуклон.
Из сравнения данных опыта (см. (9.24)) с предсказа-
ниями партонной модели (9.48), (9.49) следует, что
основную долю заряженных партонов внутри нуклона
Должны составлять фермионы. Примесь заряженных
партонов с нулевым спином не исключается и может со-
ставлять 20 °/0.
9.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРТОНОВ ПО ДОЛЕ
ПРОДОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА АДРОНА
Экспериментальные данные о глубоконеупругом
взаимодействии позволяют получить сведения о по-
ведении плотности распределения /(£) в области, дале-
207
кой от кинематических пределов g=0 или |=1.
следует из опыта [см. (9.21)], при 0,08<£<0,25 функция
V(B) практически постоянна. Следовательно, плотность
распределения таких партонов (назовем их мягкими)
имеет вид
/®~0,32/£. (9.50)
В рамках представления о партонах как о точечных час-
тицах такое поведение не неожиданно. В мультипери-
ферической модели с точечными (не зависящими от пере-
дач квадратов 4-импульсов) вершинами получается
именно такой спектр частиц в области пионизации
(dN ~ dy ~ dx/x).
Картина возникновения подобного распределения
может быть представлена как последовательное испус-
кание нуклоном партонов, которые в свою очередь пре-
вращаются в партоны с меньшими продольными импуль-
сами и т. д., пока не образуются очень медленные пар-
тоны (см. п. 6. 7).
Эта картина, однако, нарушается в областях очень
мягких и жестких партонов. Действительно, нельзя по-
лагать, что очень мягкие партоны — квазисвободные
частицы. Если же один из партонов приближается к ки-
нематической границе то остальные партоны будут
лежать в очень мягкой области. Поэтому распростране-
ние концепции партонов на эти области является экстра-
поляцией теории [20].
Рассмотрим вначале область (9.30) очень мягких
партонов. В этой области элемент фазового объема ра-
вен dk^d2k±IEn (Ев — энергия партона). Поскольку в
соответствии с нашими допущениями |£ц|^ МВ~М, то
фазовый объем
f = const. (9.51)
Отсюда следует, что если при £->-0 функция BfU)13
=const, то в области очень мягких партонов их число
<9-52)
О
Nn — const. (9.53)
208
п пользу постоянства gf(t) при £->0 можно привести
едуюший аргумент. Структурная функция нуклона
о’лгЦ/ непосредственно связана с полным сечением по-
ощения поперечно поляризованных виртуальных фо-
тонов [см. (9.11)]. Рассмотрим поведение oT(v, Q2) при
и фиксированном квадрате «массы» виртуального
Хотона: Q2=const. При этих условиях g=Q2/2Mv->(),
что соответствует интересующим нас значениям Вы-
ражая сечение от через функцию распределения парто-
нов f (^) согласно соотношениям (9.11) и (9.49), находим
limoT(v>Qa) = ^y(|). (9.54)
V-*-oo Ц
Если £/(c)-*const при g-»-0, то Отconst при фиксиро-
ванном Q2. Этот вывод согласуется с реджевской кон-
цепцией о постоянстве полных сечений фотоядерных
процессов при асимптотически высоких энергиях (v->oo).
В области значений 1 структурная функция ведет
себя как (1—£)3 [см. (9.22)]. Из соотношения (9.49)
следует тогда, что плотность распределения жестких
партонов (£~1) имеет вид
/®~(1-£)з. (9-55)
Такое поведение функции /(g) при |->1 согласуется с
поведением форм-факторов процессов упругого еМ-рас-
сеяния и процессов e+TV-^e+N*, где /V* — нуклонная
изобара (см., например, [24]).
Таким образом, функцию распределения партонов
по g внутри нуклона можно оценить во всей кинемати-
ческой области вплоть до окрестности точек £=0 и £=1.
Необходимо помнить, что вблизи кинематических
пределов нет оснований говорить о свободных парто-
нах, но экстраполяция партонной концепции в эту об-
ласть не противоречит опыту и конкретным теоретиче-
ским моделям. В глубоконеупругой области основной
вклад в сечение процесса eN-взаимодействия дают мяг-
че партоны с ?>Л1п/|Рь|. Среднее число мягких парто-
с°в (£<С1), спектр которых имеет вид dN=dt,fe, растет
Ростом импульса первичного нуклона:
7Vn~ln(| (9.56)
очень мягких и жестких партонов (£~1)
и не растет при |Рь|->оо.
Количество
ограничено
209
Вместо распределения партонов по | иногда удобнее
рассматривать их распределение по быстроте у в систе.
ме, где | Р/> |->оо. Области мягких партонов тогда соот-
ветствует плато в распределении по у:
dNjdy = const,
(9.57)
которое заключено в пределах
y0Sy<ln | Pft [ Е0/Л1±п, (9.58)
где ТИдл = + Л1п — М, — постоянная величина,
определяющая границу области постоянства функции
Е/(^) сверху; уо— постоянная величина, зависящая от
конкретного вида взаимодействия между партонами и
определяющая верхнюю границу области очень мягких
партонов по у, т. е.
I У I 2 Уо- (9-59)
Область жестких партонов заключена в интервале
In ( | Р* | Е0/М±п) < У < In ( | Pfc | /Л1дп) (9.60)
и размеры этой области ограничены:
\У ~ in а?1). (9.61)
9.6. КАЧЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВЕННЫХ
ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ПАРТОННОЙ МОДЕЛИ
В работе [20] партонная гипотеза применительно к
множественным процессам излагается на основе слож-
ной системы 15 постулатов.
В этой связи перед авторами возникла альтернатива:
либо буквально воспроизвести аргументацию работы [20],
либо изложить ее основные положения, рискуя при
этом, если учесть сложность и незавершенность всей
концепции, внести субъективные моменты Мы сочли I
лесообразным второй путь.
Партонная модель множественных процессов основы-
вается на следующих положениях:
а) ограниченность массы Л1п и средних поперечны
импульсов k± партонов;
б) требования масштабной инвариантности функий
распределения партонов f(%) во всей кинематическо
области;
210
, взаимодействие в основном осуществляется между
Донами с близкими значениями g (или у).
Па Качественно в //-системе процесс соударения двух
ов можно разбить на три стадии. На первой фа-
аДР сближение адронов—их можно представить как две
Зевокупности партонов, распределенных по у* в соответ-
Рис. 53. Схема распределения партонов по быстротам в
процессе адрон-адронного соударения в //-системе: а —
распределение партонов по у* в адроне а до соударения;
б — распределение партонов по у* в адроне b до соуда-
рения; в — распределение партонов по у* в процессе ав-
соударения перед фрагментацией в адроны
ствпи со схемами рис. 53,'а, б. Во время второй фазы
(столкновение партонов) образуется равновесный спектр
партонов (рис. 53, в). Из постулата (в) следует, что в
основном взаимодействуют очень мягкие партоны (за-
штрихованная часть рис. 53, в). На третьей фазе парто-
ны превращаются в реальные адроны. Для этой фазы
Формулируется еще один постулат:
г) спектр реальных адронов подобен равновесному
спектру партонов. Динамика превращения партонов в
Реальные адроны не ясна.
1з постулатов (а) — (г) следует, что распределение
°ричных адронов масштабно-инвариантно:
dN = р(1) (х, р,) п-2р . (9.62)
' 2Е(2л)3 '
211
Спектры мягких и жестких адронов подобны спект
рам мягких и жестких партонов до столкновения; вели
чина х для реальных адронов играет ту же роль, Что
и величина g для партонов. Если сопоставить эту кар-
тину с более привычными определениями, то можно
сказать, что мягкие и очень мягкие партоны ответствен-
ны за формирование области пионизации, а жесткие
партоны области фрагментации.
Заметим, что в области пионизации функция р(')(х
Pj) остается инвариантной при продольных преобразо-
ваниях Лоренца
Р(1) = Р(1,(Р1) (9.63)
(см. гл. би 7). Такое поведение р<*> приводит к появле-
нию центрального плато в распределении адронов по у.
Естественно предположить, что мягкие партоны оди-
наковы у всех адронов и поэтому распределение адронов
в области пионизации не должно зависеть от типа стал-
кивающихся адронов. Форма распределения (9.62) в об-
ластях фрагментации зависит от квантовых чисел стал-
кивающихся адронов и может быть оценена в рамках
конкретных моделей (см. гл. 8).
Выше отмечалось, что взаимодействуют по существу
лишь очень мягкие партоны. Их число ограничено и не
зависит от первичной энергии [см. (9.53)] Длина волны
таких партонов максимальна: именно они опре-
деляют сечение взаимодействия, которое в этой картине
не должно зависеть ни от энергии при s—>-оо, ни от сор
та сталкивающихся адронов (этот вывод был независи-
мо сделан в ([21, 25]). Мягкие и жесткие партоны в
процессе соударения как бы отрываются от первичных
адронов и образуют вторичные адроны со спектром,
подобным первоначальному спектру партонов*.
Описанная выше качественная картина адрон-адрон-
ного соударения относится к области ограниченных по-
перечных импульсов р .
9.7. ОБРАЗОВАНИЕ АДРОНОВ С БОЛЬШИМИ
ПОПЕРЕЧНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ
Партонная модель позволяет качественно понять, по-
чему в области больших поперечных импульсов
* Аналогично картине тормозного излучения (см. гл. 4).
212
2 Гэв) происходит изменение режима поведения
арйантных дифференциальных сечений инклюзивных
иНоЦСссов: вместо экспоненциального падения сечений
оСТОм наблюдаемого в области р<- 1 Гэв, при
2 Гэв обнаруживается замедление падения сечения
с'ростом Экспериментально наблюдается степенная
зависимость от вида (см. гл. 2 и рис. 14):
EdsGl<Tp — р ,8 Г (г), (9.64)
где F(z) — функция от безразмерной переменной г=
^2pjVs.
Область значений рх 2 Гэв представляет собой
именно ту область, где начинает проявляться партонная
структура адронов. Образование адронов с большими
р осуществляется в результате взаимодействия между
партонами, принадлежащими сталкивающимся адронам
[26]. Сечение образования адронов с большими про-
порционально сечению столкновения двух точечных
партонов с большой передачей импульса между ними.
Поскольку точечные партоны не обладают никакими
форм-факторами, обрезающими большие передачи им-
пульсов, соударения с образованием партонов с больши-
ми поперечными импульсами k± ничем не подавлены.
Дифференциальное сечение такого соударения имеет вид
do/dt =* s-2 | М |2, (9.65)
где t — квадрат передачи 4-импульса между начальны-
ми и конечными партонами; sI2 — квадрат эффективной
массы сталкивающихся партонов; М— матричный эле-
мент взаимодействия между партонами.
Поскольку после соударения поперечные импульсы
партонов велики, инвариант 8|2~&д |/|, и, следовательно,
do/dt ~ | М |2. (9.66)
Партоны с большими значениями k у будут затем пре-
вращаться в адроны с большими р . Степенная зависи-
мость от /г перейдет в степенную зависимость от •
Сравним выражения (9.64) и (9.66). Тогда для
объяснения экспериментальных данных необходимо пред-
положить, что взаимодействие между партонами осу-
213
ществляется за счет обмена скалярной частицей. В этом
случае зависимость матричного элемента взаимодейст
вия от t обусловлена пропагатором обмениваемой ска
лярной частицы:
lAlHd/l+jx2)-1 (9.67)
или
I м\*~\1\-*~1г?. (9.68)
Следовательно, da!dt~kit‘ [27], что и приводит к наблю-
даемой на опыте степенной зависимости (9.64) от р
Появление _функции F(z) от безразмерной перемен-
ной z=2pL/p s также легко объясняется в рамках пар-
тонной модели. Дело в том, что вероятность столкнове-
ния двух партонов, принадлежащих разным адронам,
зависит от произведения их плотностей распределений по
долям продольных импульсов адронов и х2, переноси-
мых сталкивающимися партонами. Процесс превращения
партонов в адроны описывается функцией от безразмер-
ной переменной у, характеризующей вероятность того,
что адрон унесет долю партонного импульса у.
Учет всех этих безразмерных факторов и приводит к
появлению в выражении (9.64) функции безразмерной
переменной z=2p±J \/ s. Эта функция учитывает веро-
ятности обнаружить внутри адронов партоны, столкно-
вение между которыми приведет к появлению больших
поперечных импульсов, а также вероятность превраще-
ния вторичных партонов в адроны с большими р .
Проведенный выше анализ механизма появления
адронов с большими р демонстрирует возможности ка-
чественного применения партонной модели к процессам
адрон-адронного взаимодействия.
В настоящее время проще задавать вопросы, касаю-
щиеся партонной гипотезы, чем отвечать на них. Инте-
ресны степень ее согласования с квантовой теорией по-
ля; механизм процесса превращения партонов в реаль-
ные частицы; характер взаимодействия партонов между
собой (и, в частности, возможность коллективных взаи-
модействий гидродинамического типа) и т. д. Весьма
важно установить физическую природу партонов.
Опыты по глубоконеупругому лептон-адронному
взаимодействию пока не противоречат тому, что партоны
214
т квантовые числа кварков [12]. Кварковая модель
11МСв0Ляет также успешно предсказать относительные
П°ходы адронов различного сорта в процессах множест-
венного рождения [28].
Несмотря на очевидную незавершенность партонной
ртины весьма вероятно, что она является существен-
ным шагом на трудном пути исследования природы
сильного взаимодействия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I Гриффи Т., Шифф Л. Электромагнитные форм-факторы.— Сб.:
Электромагнитные взаимодействия и структура элементарных
частиц. Пер. с англ. М.. «Мир», 1969.
2 Лифшиц Е. М, Питаевский Л. Н. Релятивистская квантовая
теория. Ч. 2. М., «Наука», 1971.
3 Гатто Р Анализ современных данных о применимости квантовой
электродинамики.— В сб.: Электромагнитные взаимодействия и
структура элементарных частиц. М., «Мир», 1969.
4. Breidenbach М. е. a. Observed Behavior of Highly Inelastic —
«Phys. Rev. Lett.», 1969, v. 23, p. 935.
5. Кендал Г., Папофский В. Структура протона и нейтрона.— «Усп.
физ. наук», 1972, т. 106, с. 315.
6. Марков М. А. Нейтрино. М., «Наука», 1964.
7. Bjorken J. D. Inequalities for Electron and Muon Scattering from
Nucleons.—«Phys. Rev. Lett.», 1966, v. 16, p. 408.
8. Ader S. Sum Rules Giving Tests of Local Currents.—«Commuta-
tion Relactions in High Energy Neutrino Reactions», 1966, v. 143,
p. 1144.
9 Матвеев В. А., Мурадян P. M., Тавхелидзе A. H. Об автомодель-
ном характере асимптотического поведения форм-факторов элек-
тромагнитных и слабых процессов.—Препринт ОЙЯИ, Р2-4578,
Дубна, ОИЯИ, 1969.
10. Джэкив Р. Знакомьтесь с масштабной симметрией. — «Усп. физ.
наук», 1973, т. 109, с. 743.
11. Будагов Ю. и др. Measurement of Structure Factors in Inelastic
Neutrino Scattering.—«Phys. Lett.», 1969, v. 30B, p. 364.
12. Perkins D. H. Neutrino Interactions.—In: Proc. XVI Intern Confer.
High Energy. Batavia, 1972.
13. Llewellyn Smith С. H. Neutrino Reaction at Accelerator Energi-
es.—«Phys. Rev.», 1972, v. 3c, p. 263.
14 Bjorken J. D. Asymptotic Sum Rules at Infinite Momentum —
«Phys. Rev.», 1969, v. 179, p. 1547.
15. Иоффе Б. Л. Space—Time Picture of Photon and Neutrino Scat-
tering and Electroproduction Cross Section Asymptotic.—«Phys.
Lett.», 1969, v. 30, p. 123.
° Brandt R. Electroproduction Structure Functions, Integral Repre-
sentations, and Light—Cone Commutators.—«Phys. Rev.», 1970,
v. DI, p. 2808.
' Боголюбов H. H., Владимиров В. С., Тавхелидзе А. Н. Об авто-
модельной асимптотике в квантовой теории поля.— «Журн. те-
°Рет. и матем. физики», 1972, № 12, с. 305.
215
18. Feynman R. P. What Neutrinons Can Tell us about Partons?-^j_.
Proc, of the Europhys. Confer. Neutrino, Hungary, 1972.
19. Feynman R. P. Very High-Energy Collisions of Hadrons—«рь,,.
Rev. Lett.», 1969, v. 23, p 1415. ys-
20. Feynman R. P. Photon-Hadron Interactions. Massachusetts
W. A. Benjamin, Inc., 1972; русск. перевод: «Взаимодействие фц^
тонов с адронами. Пер. с англ. М., «Мир», 1975.
21. Грибов В. Н. Пространственно-временное описание взаимодейст.
вия адронов при высоких энергиях.— «Материалы 1-й шкоды
физики ИТЭФ, вып. I. М., Атомиздат, 1973.
22. Ансельм Л. Л. Качественная картина сильных взаимодействий
при высоких энергиях.— «Материалы 1-й школы физики ИТЭФ»
вып. II. М., Атомиздат, 1973.
23. Дрелл С. Партоны и глубоконеупругие процессы при высоких
энергиях.—«Усп. физ. наук», 1972, т. 106, с. 331.
24. Bloom Е. D., Cillman F. Scaling, Duality and Behavior of Reso-
nances in Inelastic Electron—Proton Scattering.—«Phys. Rev
Lett.», 1970, v. 25, p. 1140.
25. Грибов В. И. Свойства полюса Померанчука, дифракционное
рассеяние и асимптотическое равенство полных сечений.—«Ядер-
ная физика», 1973, т. 17, с 603.
26. Berman S., Bjorken J. D., Kogut J. Inclusive Processes at High
Transverse Momentum, 1971, v D4, p. 3388.
27. Левин E. M., Рыскин M. Г. Рождение частиц с большими попе-
речными импульсами в области пионизации.—«Ядерная физика»,
1973, т. 18, с. 1105.
28. Анисович В. В., Шехтер В. М. Кварковая модель для многочас-
тичных процессов.—«Труды Международного семинара по глг-
боконеупругим и множественным процессам». Дубна. ОИЯИ.
1973.
ДОПОЛНЕНИЯ
Дополнение 1
АППАРАТ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Энергетический множитель. Для N тождественных
частиц энергетический множитель статистического веса,
соответствующий обычному микроканоническому рас-
пределению [<7 = г=1, см. (4.2), (4.3)], имеет вид:
/ n \ м
sJV = —Pa + Pb-Ур.- IFl^Px-- (Д1)
М J \ , 1
Соответственно для нерелятивистского и релятивистско-
го (т;/Е;—>-0) случаев это выражение имеет вид [1]:
(2лт)3Д(А-1) / |Р[| р у’/.(A-I )-1 ]
' 2Nm
(Д-2)
л"-1 Ио~РоГ~2 уЛ { (Eq-IPqI)' (fio+IPol)"-'
2W-2 ' I Po I Z4 N (N + x-2)! (2A-Z-2)! Л
i—o
(Д-3)
(Д-1)
[2]:
Г g0+ I Pq I _ gp-IPol 1
[2W-Z-1 A + z-1 J’
где T — полная кинетическая энергия системы;
^о—Ра+Ръ, Cn—сочетание из W по i.
Аналитическое выражение для общего случая
было получено в форме весьма сложного ряда ,_л.
более простое аналитическое приближение, основанное
на применении метода перевала, указано в работе [3].
Для вычисления статистических весов хорошо разрабо-
таны численные методы с использованием ЭВМ {4, 5].
Аналитическое выражение для общей формы матричного
217
элемента (произвольные q, г) получено в работе [А]
Термодинамика конечного состояния [7, 8]. В соот
ветствии со статистической теорией с расширяющимся
объемом, гидродинамической и термодинамической тео-
риями в момент распада элемента системы в нем уста-
навливается термодинамическое равновесие с темпера-
турой Tf~m. В системе координат, связанной с этим
элементом, частицы разлетаются изотропно с дифферен-
циальным распределением
dNt =gt (2л)-з [ехр (Zi j \ + и2) + 1J d3p, (Д.4)
где Ni — концентрация частиц t-ro сорта с массой т -
Zi=milT и u=plm\ — внутренний статистический вес
частиц, определяемый спином, изотопическим спином.
Химический потенциал полагается равным нулю.
Полная концентрация фермионов (F) и бозонов В
N^B = (l/2)giT^F-B (Д.5)
соответственно, где
= zf [ [ехр (z; i 1 + и2) + 1]—1 u2dw, (Д.6)
о
ФВ = Z? | [ехр (гг + и2) — I]-1 и2 du. (Д.7)
О
Плотность энергии щ частиц i-vo сорта:
е(- = (giftn2) 7* TF- в; (Д.8)
VF = z* J и2 |z 1 Ц- и2 [exp (z, , 1 + u2) + I]-1 du\ (Д.9)
о
¥B = zj J u2 /Г+V3 [exp (z,- ( T+1F) — I]-1 du. (Д. 10)
0
В предельных случаях
T < mi- VF=yB = z,d>F = ггФв = jexp(—г,);
7^>mt-; Фв=1,8; Фв=2,4; 1Ff=5,7; Ув=6,5;
7 = m(-; ФЛ'=1,5; Фв=1,8; ’Ff = 5,25; VB = 5,8.
218
Средняя энергия пионов в системе, связанной с
элементом (Т,=т), равна
£я = Т/¥в (1)/Фв (1)~ 0,43 Гэе. (Д.11)
Состав, отнесенный к концентрации пионов (которую
можно положить приближенно равной полной концент-
рации)
Л7/ЛГЯ=(£,/£Л)ФВ (г,)/Фв(1)
или
NilNn ~ (gz/5,4) (л/2)*/г (m,/m) /s ехр (— mz/m). (Д. 12)
Например, для каонов gi= 4 и
NK/N„ ~ °, 17. (Д.13)
Поскольку вероятность образования тяжелых частиц
обычно меньше единицы на одно столкновение, то тер-
модинамическая оценка, строго говоря, правильно опре-
деляет лишь порядок величины. Более точные подсчеты
(см., например, [8]) изменяют отношение Мк/Мя- Вблизи
энергетического порога образования частиц нужно вме-
сто термодинамических соотношений использовать точ-
ные формулы для статистических весов.
Поперечный импульс. Распределение по поперечным
импульсам вычислялось вначале для гидродинамической
теории [9] ври пренебрежении поперечным гидродина-
мическим разлетом (см дополнение 2). Это хорошее
приближение вплоть до энергий Еа~ 1012—1013 эв
описывает dNjdp в рамках статистической теории с
расширяющимся объемом 'и термодинамической модели.
Распределение по получается интегрированием вы-
ражения (Д.4) по р ц:
dNi = (2л)—3 dpxdpy [ du [ехр (г£ у “2 + Р2 + 0 ± Ч ’« (Д-14)
о
Р2= (р2 +p2y)lrri2 (знак «+» относится к бозонам, знак
«—» к фермионам).
Используя соотношение
со
( du [ехр (г у'и2 + р2 + 1) ± 1]—1 =
о
= /р2 + 1 X (± (гг/р2 + 1)
(Д.15)
219
(Ki— функция Бесселя от мнимого аргумента),
чаем
полу.
со / /---------\
_ ет (2«)-. £ (± I)'-1 К, , 1/ Al + Л At
r=l 1 ' mi
«16)
ПрИ2г=1 (ПИОНЫ)
dN'dp± ~ р± У1 + exp (— |/ 1 -|- (px/m)2 ) (Д. i7)
и р i~2,4, т~0,33 Гэв.
Если масса т^т, то [6]
dNi/dpjj ~ р±1. ехр (—p2L1./2m,Tf), (Д. 18)
рх = уГпщТfj2 .
Дополнение 2
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАЗЛЕТ
Статистические зависимости при обобщенном уравне-
нии состояния [10, 11]. Поскольку концентрация п ча-
стиц не определенна, а задается условием термодинами-
ческого равновесия (химический потенциал равен ну-
лю), термодинамический потенциал
Ф = £ + РдР + 75э; (Д.19)
е + рд= Ts3. (Д-20)
Используя
dE — — ppdV + Тds 3 (Д.21)
или
4рд = 5э47, (Д22)
получим
de = Tds3. (Д.23)
Поскольку скорость звука со—\^а удовлетворяет
условию
а = с20 = dp^de, (Д 24)
то
5Э= s3()(7/7'0)I/o, (Д.25)
е = е0(7/7’0)<,+а>/а, (Д.26)
Рд = ае (Д.27)
220
, То— постоянные интегрирования).
"одномерный разлет. Важную роль в решении задачи
0 гидродинамическом разлете играет частный одномер-
ный случай, когда все частицы движутся строго по од-
ному направлению (для определенности будем говорить
направлении Xi). Задача об одномерном разлете при-
менительно к теории множественных процессов имеет
строгое решение [12, 13]*-
Без учета диссипативных членов уравнения гидроди-
намики имеют вид:
dTlkldxk = °;
Tik = (е + рд) UiUk + pRgik,
(Д.28)
(Д.29)
где Hi— 4-скорость; gik — метрический тензор (£п =
=£22=^33=1, £44=1); Xi = xt, х2, х3, it. Вследствие адиа-
батичности движения и соотношения (Д.23) имеем
д (s3uk)/dxk = 0. (Д.30)
Уравнения (Д.28) и (Д.30) можно записать в форме
[12, 13]
dut (,++ дрл , k dxk Н^ = 0 dxt (Д-31)
и, учитывая (Д.22) д (Тщ) uk д oxk дТ dxi 0. (Д.32)
Рассмотрим далее одномерное движение, случае остаются компоненты тензоров с 1 и 4: В этом индексами
д(Ти1)/дх1 д(Ти4)/дх4. (Д.ЗЗ)
Поэтому можно написать
Та, д(р/дх1. (Д.34)
Ти4 д<р)дх4. (Д.35)
dtp = Tu4dx4 + Tujdx!. (Д.36)
Введем время t=—ixf, и0=—ш4=1/р 1—о2 ТУ У*, определяемую соотношениями и быстро-
Uj = sh у*. (Д.37)
и0 = ch у*. (Д.38)
* Простая и ударная волны в одномерной задаче исследовались
в работе [14].
221
Тогда после преобразования Лежандра получаем упав
нения для потенциала %: 'Р в-
dX У ch У* - xsh у*) dT-\-(t shy* — xdiy*)Tdy*-, (Д,39)
. dx , „ 1 ду ,
/ = —chr-y —sh^*; (Д.40)
ду_ 1
chy*. (Д.41)
Уравнение (Д.30) для одномерного случая имеет вид
5(S3UO) . 5(S3Uj)
~~дГ~ + ~^~=й <д-42)
или
1 dS3 г д
~ ’ ~дТ~[д^ (xchy*-tshy*)-(xshy*-tchy*) +
д 1
+ “^-(Zchi/* — xshi/*)j —0. (Д.43)
Используя (Д.40) и (Д.41), получаем
1 ds3 Г дх 1 д‘*х д2х 1
S3 ’ дТ I дТ Т д(у*)2 + № ] = °’ (Д-44)
что с учетом (Д.23) и (Д.24) эквивалентно уравнению
д2/ д2у ду
^-“^+<“-'’1; °- ««>
а 1п(ТТ0).
Рассмотрим конкретную задачу с начальными усло-
виями, соответствующими релятивистско-сжатому диску
толщиной Д =—--z—.Пусть значение х=0 соответствует
m Еа
плоскости, делящей диск на две равные части. Симмет-
рия задачи позволяет ограничиться рассмотрением раз-
лета в одну сторону,
В плоскости Xj =в начальный момент у*^
(среда покоится). Поэтому [см. (Д.40); (Д.41)]
=4е““ (Д46)
\ ду* J 2
' v ' у*=0
222
Q другой стороны, жидкость граничит с простой волной,
которая соответствует автомодельному решению
х=(-(ц-/а)/(1-и) а). (Д-47)
Для простой волны справедливо соотношение [15]
у* == а! \ а (Д.48)
На границе нетривиальной области к простой волне,
решения, описывающие обе области, должны сшиваться.
Используя (Д.22), (Д.23), (Д.47), (Д.48), получаем
условие сшивания решений для обеих областей: х=0
прИ у* = —а/Уа. Опуская простые, но весьма громозд-
кие вычисления (см. [12, 13, 10]), приведем окончатель-
ное выражение для потенциала:
А „ / 1 + а \ / 1 — а г-----
х'2-Т' .1 !'
— а у*
(Д-49)
где/о — функция Бесселя мнимого аргумента.
В области нетривиального решения распределение
по быстротам dNIdy* находится на основе (Д.40),
(Д.41), (Д.49):
/ d'V d'V \ ду
dS9=-sr“(-—da + a —dj/*), (Д.50)
э \ ду* да J да
Учитывая, что 2V<v>S и в момент распада системы
а = ак = 1п Т'к/Т'о, получаем
1 dN I -а 1 <Xfe/i (г)
N ' dy* ~ 4 tra [° Z’ Уга^ — а(у*)2
(Д.51)
У^г-° ОД)1 2 •
(Д.52)
Используя разложение функций Бесселя при значе-
ниях z < 1, получаем
1 . dN ~ ехр[(—t/*)2/2L)]
N dy* yr2nL
L = — | ак |. (Д.54)
2 —а
223
В важном частном случае а=1/3, соответствующе^
идеальному газу или отсутствию выделенного направле-
ния в пространстве (например, спину)
1 dN 1 Г, , Л (г)
• г * J ---- с Го- Л> (г) аК____________________________
N dy 6 , 3 - 1/3 (у*)2
(Д.55)
L=l,2|aK|. (Д.56)
Пределы применимости одномерного приближения.
Все последующие оценки проводятся при значении
<2=1/3. Для оценки применимости одномерного гидроди-
намического приближения нужно использовать послед-
ние два уравнения системы (Д.28) [16]. По порядку
величины эти уравнения записываются в форме
T02/t ~ Т22/Д, (д,57)
где R—Т02 ~ еи2дЛ ; Т22 ~ е. Следовательно,
дг ~ t/Ru2 ~%/R, l = t — x. (Д.58)
Условие применимости одномерного приближения:
tdx < R (Д.59)
или
tl < R2. (Д.60)
Покажем, что для не очень больших энергий (Еа<
<1013 эв) условия (Д.59), (Д.60) выполняются. Поэто-
му продольные составляющие импульсов вторичных
частиц в основном определяются одномерным гидроди-
намическим разлетом, а распределение по поперечным
импульсам рх—тепловым движением в соответствии с
формулами (Д.16) — (Д.18). Это приближение, назван-
ное квазиодномерным, рассмотрено в работе [17].
Остановимся на двух предельных случаях: а) а2—
— ^-2—< I (передний фронт) и б) а2— 1(медлен-
3 3
ные частицы).
Случай (а). Используя (Д.40), (Д.41), (Д.49) и
разлагая функцию Бесселя в ряд, получаем
t = utx |e~2aJ/3 +-!у-^а2
(V*)2
3
6+у*. ,
4/3 ~
/3_
64
2 <^)2
3
12 +у* Г a2 а 1 __ (</*)2Т
16/Г [ 2 + 2 + 4 6 J]
224
Простые выражения получаются для границы нетри-
виальной области и простой волны а=у*/|/3:
<3 —1 < - 2 А ехр 'У* — ' ~^(2+ Г3) \; (Д.63)
1 = G 3 + 1) А ехр 1 1со к г GS .- * Ico : (Д.64)
+ 1 t
иг = — (Д.65)
2 V 3 — i %
е е0А2//£; (Д-66)
(2 4-Уз ) (Кз 4-2) 2 Уз
(2 — Уз") (2 - Уз-) д 2-Уз"
/ з 3 — 1 \ . г—
t = ----J Ь 3 + 1)
(Д.67)
Случай (б). Для медленных частиц нужно исполь-
зовать асимптотическое разложение функций Бесселя.
Приведем окончательный результат:
е ~ е0 (Л2//!)1/’ , (Д.68)
«2~Z/|. (Д.69)
Для оценки пределов одномерной стадии выразим
параметр а через энергию Е'а. Используя равенство е0=
JV и стандартные термодинамические соотношения
Для идеального газа, получаем
1
а = — In
4
4П
£>з
(Д.70)
225
Для переднего фронта в соответствии с (Д.63), (Д 64)
и (Д.70)
ftJR* = Mw>/2T\ (Д.71)
Таким образом, для переднего фронта одномерное
приближение выполняется (fg//?<l; см. (Д.60)) вплоть
до Т ~ 1,3 т.
В этой области критерий правильности одномерного
приближения не зависит от энергии Еха. В области мед-
ленных частиц (см. Д.68), (Д.69), (Д.70):
1 (Д,)1Л'т”/2Л-1
= 4-33/г ' Т* • (Д’72)
Так, если £о~1014 эв, то температура, соответствующая
окончанию одномерной стадии, Т~2т. При уменьшении
энергии Еа температура, соответствующая окончанию
одномерной стадии, уменьшается.
Используя (Д.63) — (Д.67), можно оценить время tp
от начала разлета до момента распада элемента жидко-
сти переднего фронта:
tp = д-ГГ/2. (Д 73)
По порядку величины
tp ~ RE'JM. (Д.74)
Аналогично на основе (Д.68), (Д.69) можно получить,
что для медленных частиц
tp ~ R. (Д.75)
Трехмерная стадия. До сих пор найдены лишь приб-
лиженные решения основных уравнений (Д.28). В рабо-
те [18] было получено аналитическое трехмерное реше-
ние для произвольных значений параметра а усреднени-
ем характеристик разлета по направлениям,
перпендикулярным оси движения. К сожалению, точ-
ность использованного приближения неясна.
Численное решение уравнения (Д.28) при значении
а=1/3 применительно к множественным процессам
проведено в работе [19], в которой показано, что ква-
зиодномерное приближение дает хорошую точность.
Решение [19] основано на том, что скорость элемен-
тов жидкости почти постоянна в одномерном случае
226
[см. (Д-49)]. Можно считать, что движение в попереч-
ном направлении не изменит квазиинерциального
характера разлета по направлению оси Поэтому
была выбрана криволинейная система координат, в
которой исключалась продольная компонента скорости.
Выбором подходящей системы координат уравнения
(Д.28) удалось свести к системе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, которая решалась с точностью
в 10—15%. В результате было получено, что если в 27-
системе распределение по быстротам аппроксимировать
функцией
dN/dy* = W exp [— (y*)2/2L], (Д.76)
то
L = 0,6 In (£a/M) + 1,6. (Д.77)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Розенталь И. Л. К теории Ферми множественного образования
частиц.— «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1955, т. 28, с. 118.
2. Максименко В. М., Розенталь И. Л. Некоторые вопросы стати-
стической теории множественного образования частиц.— «Жури,
эксперим. и теор. физ.», 1957, т. 32, с. 658.
3. Fialcho G. Е. Phase Space Calculation. — «Phys. Rev.», 1955,
v. 105, p. 328.
4. Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. М., «Наука», 1970.
5. Gerulus F., Hagedorn R. A. Monte-Carlo Method to Calculate
Multiple Phase Space.—«Nuovo cimento», 1958, v. 9, Suppl. 2,
p. 646.
6. Максименко В. M., Розенталь И. Л. О ковариантных статисти-
ческих теориях множественного образования частиц.— «Журн.
эксперим. и теор. физ.», 1960, т. 39, с. 754.
7. Беленький С. 3. Об образовании тяжелых частиц при столкно-
вении с большой энергией.— «Докл. АН СССР», 1954, т. 99,
с. 523.
8. Фейнберг Е. Л. Множественная генерация адронов и статисти-
ческая теория.— «Ядерная физика», 1971, т. 13, с. 659.
9. Милехин Г. А., Розенталь И. Л. Гидродинамическая интерпре-
тация характеристик больших ливней.— «Журн. эксперим. и
теор. физ.», 1957, т. 33, с. 197.
•0. Милехин Г. А. Анализ возможных гидродинамических теорий
при обобщенном уравнении состояния,— В кн.: Труды Между-
народной конференции по космическим лучам. М., Изд-во АН
СССР, 1960, Т. 1, с. 223.
И. Carruthers Р. Heretical Models of Particle Production.—Preprint
Cornell University CLNS-219, 1973.
12. Халатников И. M. Некоторые вопросы релятивистской гидро-
динамики.— «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1954, т. 27, с. 529.
227
13. беленький С. 3., Ландау Л. Д. Гидродинамическая теория мно-
жественного образования частиц. — «Усп. физ. наук», 1955
т. 56, с. 309.
14. Станюкович К. П. К вопросу о происхождении космических лу-
чей и мезонов.— В кн.: Труды 3-го совещания по вопросам
космологии. М., Изд-во ЛИ СССР, 1954, с. 279.
15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М Механика сплошных сред. М
Гостехиздат, 1954
16. Ландау Л. Д. О множественном образовании частиц при столк-
новении быстрых частиц,—«Изв. АН СССР», 1953, т. 17, с. 51.
17. Розенталь И. Л. Квазиодномерная интерпретация гидродинами-
ческой теории множественного образования частиц.— «Журн.
эксперим. и теор. физ.», 1961, т. 31, с. 278.
18. Шуряк Э В. О множественном рождении при соударении час-
тиц высокой энергии,— «Ядерная физика», 1972, т. 16, с. 395.
19. Милехин Г. А. Уточнение гидродинамической теории множест-
венного рождения.— «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1958
Т 35, с. 1185.
АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Быстрота 22
Быстрые (изобарные) пионы 33
Гидродинамическая теория 97
Автомодельное решение 102
Вязкость 100
Начальная температура 97
Нетривиальное решение 102
Тепловое движение 103
Двухчастичный инклюзивный про-
цесс 17
Двухчастичные корреляции 19
Инклюзивные процессы 12
Инклюзивное распределение 13
Кластеризация 57
Копстанта взаимодействия 121
Корреляционная длина 196
Коэффициент неупругости 32
Логарифмическая переменная 31
Лидирующие частицы 32
Масштабная инвариантность 37
Автомодельности принцип 172
Масштабное преобразование 61
Размерность поперечная 173
Размерность продольная 173
Скейлинг 61
Скейлинговая (масштабная)
переменная х 22
Метод комплексных моментов (ме-
тод полюсов Редже) 135
Померанчукон (полюс Поме-
ранчука) 152
Рсджеон (полюс Редже) 125
Сигнатурный множитель 150
Траектория Редже 150
Трехпомеранчуковая вершина
189
Мультипериферическая модель 125
Мультипериферическая диа-
грамма 125
Мультипериферическая кине-
матика 129
Мультиреджеонная модель 125
Мультифайербольиая модель
127
Нефизическая область 123
Периферическое взаимодейст-
вие 121
Пропагатор 121
Поопагатор реджеона 131
Файербол 68
Область пионизации 28
Область фрагментации 28
Оптическая теорема для ин-
клюзивных спектров 180
Основное упорядочение 134
Партонная модель 197
Время жизни партона 203
Глубоконеупругая область 198
Жесткие партоны 208
Мягкие партоны 208
Очень мягкие партоны 204
Предельная фрагментация 161
Фрагменты мишени 162
Фрагменты налетающей части-
цы 162
Распад адронного сгустка 73
Сечения 34
Парциальное 34
Неупругое 34
Полное 34
Топологическое 34
Упругое 34
Системы координат
A-система (зеркальная) 11
//-система (лабораторная) 10
Д-система (центра инерции) 11
Состав 33
Статистические теории 76
229
Конечная температура 88
Размеры системы 82
Статистическая теория с рас
ширяющимся объемом 86
Статистическая теория со сжа-
тым объемом 80
Статистическая Теорий с ин-
вариантным фазовым объемом
(LIPS) 93
Статистических весов вычис-
ление 217
Уравнение состояния 80
Юрий Петрович Никитин
Иосиф Леонидович Розенталь
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Редактор Ф. И. Горобец
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника А. И. Шаварда
Технический редактор И. Н. Подшебякии
Корректор Н. М. Загудаева
Сдано в набор 25/VII 1975 г. Подписано к печати
26/III 1976 г. Т-03290. Формат 84ХЮ81/з2. Бумага
типографская № 2. Усл. печ. л. 12.18. Уч.-изд. л.
11,66. Тираж 2200 экз. Цена 1 D. 33 к. Зак. изд.
72163. Зак. тнп. 811.
Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, 5/7.
Московская типография № 6 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
109088. Москва,
Ж-88, Южнопортовая ул., 24.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
На базах и складах Союзкниги и Атомиздата име-
ется следующая литература:
Озерной Л. М., При л у цк ни О. Ф., Розен-
таль И. Л. Астрофизика высоких энергий. 1973 г., 245
стр., 1 р. 79 к.
Денисов Ф. П., Мехедов В. Н. Ядерные реак-
ции при высоких энергиях. 1972 г., 232 стр., 1 р. 47 к.
Заказы принимают все книжные магазины, распро-
страняющие научно-техническую литературу. В Москве
обращайтесь по адресу: 103031, Москва. К-31, ул. Пет-
ровка, 15, магазин № 8, отдел «Книга—почтой».
АТОМИЗДАТ