Автор: Берже М.
Теги: математика математический анализ функциональный анализ геометрия
ISBN: 1984
Год: 1984
Текст
Часть
Часть
4
5
Квадратичные формы, ква-
квадрики и коники
Внутренняя геометрия
сферы, гиперболическая
геометрия, простран-
пространство сфер
М.БЕРЖЕ
ГЕОМЕТРИЯ
ТОМ „
ВТОРОЙ
В двух томах
Перевод
с французского
Ю.Н.Сударева,
В.В.Трофимова
Под редакцией
И.Х.Сабитова
Москва«Мир»
1984
х, =
ББК 22.161
Б 52
УДК 513
Берже М.
Б 52 Геометрия: Пер. с франц.—М.: Мир, 1984.—Т. 2. -
368 с, ил.
Книга известного французского математика охватывает широкий круг
вопросов классической геометрии в современном изложении. В ней удачно
сочетаются общие абстрактные идеи и многочисленные примеры конкретных
приложений..Издание богато иллюстрировано.
Во второй том включены выпуски 4 и 5.
Для математиков различных специальностей, а также для читателей,
интересующихся геометрией и желающих углубиться в изучение предмета.
1702040000—401
041 @1)—84
14—84, ч. 1
ББК 22.151
517
Редакция литературы по математическим наукам
Marcel Berger Geometrie
4) Formes quadratiques, quadriques et coniques
5) La sphere pour elle-meme, geometrie hyperbolique, l'espace
des spheres
CEDIC/FERNAND NATHAN
publie avec le concours du Centre National de la Recherche
Scientifique
© CEDIC, Paris 1977 © Nathan, Paris 1977
© CEDIC, Paris 1978 © Nathan, Paris 1978
© Перевод на русский язык, «Мир», 1984
Часть
4
Квадратичные формы.ква-
дрини и коники
Посвящается
Бенуа
Глава 13. Квадратичные формы
Глава 14. Проективные квадрики
Глава 15. Аффинные квадрики
Глава 16. Проективные коники
Глава 17. Евклидовы коники
Глава 13 Квадратичные формы
13.1 Определения, Примеры
13.2 Сингулярные и изотроп-
изотропные элементы, радикал,
вырожденность и сингу-
сингулярность
13.3 Ортогональность, несин-
несингулярное пополнение под-
подпространства
13.4 Ортогональные базисы.
Классификация для С и R
13.6 Одновременная ортогона-
лизация двух квадратич-
квадратичных форм
13.6 Группа квадратичной фор-
формы. Общие сведения
13.7 Теоремы Витта и Кар-
Карта на — Дьедонне
13.8 Двумерный случай: пло-
плоскости Артина, группа
0A, 1)
13.9 Упражнения
Теория евклидовых пространств зиждется на положительно
определенной квадратичном форме, с помощью которой они
и задаются. Но в математических, так же как и в механи-
механических и физических джунглях, мы встречаемся со многими
другими квадратичными формами. Как сказал Дьедонне, нет
ни одной математической теории, в которо.-i не участвовала
бы какая-нибудь билинейная форма. Упомянем здесь хотя бы
следующие примеры:
гильбертовы пространства и соболевские пространства в анализе:
квадратичная или альтернированная форма, определяющая
^-произведение на когомологиях средней размерности компакт-
компактного многообразия;
в теории чисел: разложение чисел в суммы квадратов;
в дифференциальной геометрии: риманова геометрия или гео-
геометрия лоренцевых многообразий, используемых в теории отно
сительности;
в механике: форма Лиувилля и, короче, вся бурно развиваю-
развивающаяся сейчас симплектическая геометрия а также теория
торсоров.
В этой книге кроме случая евклидовых пространств мы встре-
встретимся с квадратичными формами в главах, посвященных кони-
коническим сечениям и поверхностям второго порядка, в сфери-
сферической (гл. 20) и гиперболической (гл. 19) геометриях и не-
немного в разделе 14.5.5, посвященном проективным соотношениям.
В данной главе мы затронем лишь несколько вопросов теории
квадратичных форм, имея в виду прежде всего геометрические
приложения, о которых мы только что упомянули. Относи-
Относительно дальнейшей информации см. [4], [221], [33], [218]. (См.
также [29*], с. 776 и дальше.— Ред.)
После первого параграфа, где даются определения и примеры
и, в частности, вводятся пространства Аргина, которые мы
активно будем исполыовать в дальнейшем, в следующем § 13.2
исследуются объекты, возникающие в случае неевклидовых ква-
квадратичных форм: изотропные векторы, сингулярные подпро-
13.1 Определения. Примеры
странства. Существенную роль играет линейное отображение ф
из Е в двойственное пространство ?*, связанное с рассматри-
рассматриваемой квадратичной формой. В § 13.3 изучается обобщение
понятия ортогональности евклидовых пространств. Здесь дока-
доказывается технический результат, важный для дальнейшего:
сингулярное пополнение произвольного подпространства. В § 13.4
мы увидим, что всякой квадратичной форме отвечает ортого-
ортогональный базис; отсюда удается вывести классификацию этих
форм в случае, когда основное поле совпадает с С или R.
Параграф 13.5 посвящен важной классической задаче отыска-
отыскания главных осей квадратичной формы при заданной евкли-
евклидовой структуре. В § 13.6 вводится группа О (q) квадратичной
формы q—естественное обобщение ортогональной группы евкли-
евклидова векторного пространства. Здесь мы доказываем ряд тех-
технических результатов, касающихся пространств Артина, которые
в каком-то смысле наиболее далеки от евклидовых пространств.
В § 13.7 доказывается, что группа квадратичной формы по-
порождается симметриями относительно гиперплоскостей и что
она транзитивна на изометричных подпространствах; доказатель-
доказательства оказываются сложнее, чем в евклидовом случае. Наконец,
в § 13.8 изучается вопрос о том, во что превращаются на ве-
вещественной плоскости Артина понятия угла и ориентированного
угла, уже рассмотренные нами в случае евклидовых плоскостей.
Это первое соприкосновение с гиперболической геометрией,
которой посвящена гл„ 19.
В этой главе В — векторное пространство конечной размерно-
размерности п над полем К характеристики ф2 (см. 3.3.2). Вектор-
Векторные подпространства пространства Е называются просто под-
подпространствами.
13.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
13.1.1. определение. Квадратичной формой на векторном про-
пространстве Е называется элемент q из 3"t {E) (см. 3.3.1). Единст-
Единственная билинейная симметричная форма, порождающая q, обо-
обозначается через Р и называется формой, полярной к q. В даль-
дальнейшем мы будем также пользоваться обозначением Q (Е) = 3** (Е).
13.1.2. примечания. Таким образом, мы имеем (см. 3.3.2.1)
q(x) = P(x, х), Р(х, У) =^ ^ (х + y)—q {x)—q (у)),
Если говорить на языке дифференциального исчисле-
исчисления, то нам известно, что в случае, когда /C = R или С, отобра-
отображение q: E —+ К принадлежит классу С°° и справедливо тождество
Гп. 13. Квадратичные формы
Эйлера
так как Р(х, y)*=\-q' (x) {у).
В координатах {я,-} получаем, в частности, что
п
Р(х, У) = ^у1-^-(х1, .... х„).
Наконец,
, У).
Эти формулы справедливы потому, что q: E —*¦ К. удовлетворяет
равенству q (kx) = №q (x) (т. е. однородно степени 2) и имеет
в нуле вторую производную. Только из этих условий уже выте-
вытекает, что q—квадратичная форма. Все это следует из правил
дифференцирования (см., например, [50]), а идея состоит всего
лишь в том, чтобы продифференцировать q (кх) = k2q (x) по к.
13.1.3. ПРИМЕРЫ
13.1.3.1. Евклидовы структуры (см. 8.1.1).
13.1.3.2. В теории относительности мы встречаемся с квадратич-
квадратичной формой x2-f-i/2 + z2—Р.
13.1.3.3. Пусть ф??* (где Е*—пространство, двойственное к Е).
Тогда отображение <7 = Ф2. определяемое соотношением q(x) =
= (ф (х)J, представляет собой квадратичную форму, полярной
к которой будет Р(х, у) = ц>(х)ц>(у). Более общо, если ф, a|)g?*,
то определим q = qty соотношением q (х) = ц> (х) ty (х); тогда поляр-
полярная форма примет вид A/2) (ф (х) ij; (i/) + ф (у) г^ (а:)). Точно так же
можно определить 9 = 2&,ф*, где &,•?/( и ф,-^^*.
i
13.1.3.4. Если {в;}—базис в Е, \е)}—двойственный базис в Е*,
то мы получаем следующие квадратичные формы:
(i) q
что чаще обозначается как
i = 1
x\;
1
(ii)
\— 2
i=r+\
Если n<=2p и базис в Е имеет вид {et\i=1 PU{h(}i=i р,
а соответствующие координаты обозначены через х{, у{, то можно
рассмотреть квадратичную форму
(Hi) q = 2
13.1 Определения. Примеры
13.1.3.5. Если FcE—подпространство и q?Q(E), то сужение q\p
представляет собой квадратичную форму на F.
13.1.3.6. Выражение в координатах, матрица квадратичной формы.
Пусть {et\ — некоторый базис в Е, q?Q(E) и Р—полярная форма
к q. Известно, что Р (а значит, и q) полностью определяется
набором Р (е(, ej). Назовем матрицей квадратичной формы q
в базисе \et\ следующую квадратную матрицу п-го порядка: Л =
= (P(ei, e/)) = (al). Соответствие между квадратичной формой
и ее матрицей мы будем записывать в виде q<r->A, Если
то
fP(x, у) = >XAY = 2ацхд- = Haiixiyl + 2 atj {xtyf-\-
i. i i i < i
+ */Уд*
= '?al/xix/ = 'Zauxt + 2 2 аихгх,.
i, i i i < i
Из этих выражений видно, как найти Р по q и без выкладок,
описанных в 3.3.2.1: члены х\ следует заменить на xtyt, a xtXj —
на {\l2)(xiyj-\rx/yj).
Так, в примерах 13.1.3.4 получаем матрицы
где lt—единичная матрица порядка t.
При замене базиса ^е,}=?{е|} с матрицей перехода S
(т. е. 5—это матрица, образованная координатами е\ в базисе
\е{\, или, по-другому, S = M(f) — матрица в базисе {е^ эндомор-
эндоморфизма /, при котором f(ei)=e'i4i) выполняется соотношение
13.1.3.8.
(Матрица формы ц в базисе {е\\)= A' =zlSAS.
13.1.3.9. Обратный образ. Пусть Е, Е'—два векторных простран-
пространства (над одним и тем же полем) и заданы морфизм / g L (Е; ?")
и форма q'?Q(Ef). Обратным образом формы q' при отображе-
отображении / (обозначается через f*q') называется квадратичная форма
q ? Q (?), определяемая соотношением
10
Гп. 13. Квадратичные формы
Формой, полярной к <7> является форма P*=f*P', определяемая
соотношением
где Р'—форма, полярная к q'. В частности, линейная группа
GL (Е) действует в Q (?) посредством / н-> {д ь-> f*q\ (однако
в GL (?) нужно брать обратный групповой закон, ибо {g°f)*q=
)
При выбранных базисах {et\, {е}}, если q' <-» А1 и U —
матрица /, то справедливо соотношение
13.1.3.10.
Действительно, в силу 13.1.3.7,
(/V) (*) = (Х АХ = д' (/ (х)) =7 (X)A'f (X) = WUA'UX.
13.1.4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ; ЗАДАЧА КЛАССИФИКАЦИИ
13.1.4.1. Определения. Две квадратичные формы, q на Е и q'
на ?", называются эквивалентными, если существует отображе-
отображение / ? bom (E; Е'), при котором q = f*q'. Говорят также, что
структуры (?, q), (?', ^') изометричны (см. 8.1.5) или изоморфны.
Классифицировать квадратичные формы над полем К—это зна-
значит найти классы эквивалентности квадратичных форм на конечно-
конечномерных векторных пространствах над К (по указанному выше
отношению эквивалентности).
13.1.4.2. Задача классификации квадратичных форм над К сво-
сводится, таким образом, к нахождению орбит Q(Kn) под действием
GL (Кп) при всех размерностях п.
13.1.4.3. Примеры. Квадратичная форма называется нейтральной,
если она эквивалентна 13.1.3.4 (iii) (тогда, в частности, dim?
обязательно четна). Например, если К = С, п = 2р, то форма
п
q = ]? хГ{ нейтральна, поскольку
2р
i=\
Точно так же форма 13.1.3.4 (ii) будет нейтральной при r = s,
п = 2г.
13.1.4.4. Определение. Назовем пространством Артина любую
пару (Е, q), где форма q нейтральна. Пространство Артина раз-
размерности 2р мы часто будем обозначать через Art2p; при р=1
говорят о плоскости Артина.
Таким образом, все пространства Артина одинаковой
размерности изоморфны между собой. Иногда в литературе вместо
термина «плоскость Артина» можно встретить выражение «гипер-
11
13.2 Сингулярные и изотропные элементы
болическая плоскость». Следует избегать подобной путаницы;
понятие гиперболической плоскости совсем иное и будет изу-
изучаться в гл. 19.
13.1.4.5. В 13.4.6 и 13.4.7 мы полностью решим (простую) задачу
классификации квадратичных форм для /C = R и /С = С. В случае
произвольного К это исключительно сложная проблема, к реше-
решению которой в настоящее время едва лишь приступили. Она
решена в следующих случаях: для Q, причем решение заняло
целую главу IV в [218]; для конечных полей (см. [4], с. 194—202
русского перевода); для тел алгебраических чисел, причем здесь
ее решение заняло уже почти всю книгу (см. [181]). Следуя [221],
читатель сможет познакомиться с многочисленными элементар-
элементарными результатами, касающимися квадратичных форм. (См. также
[20*].— Ред.) Лишь общий одномерный случай оказывается лег-
легким, как мы увидим ниже.
13.1.4.6. Дискриминант. Из 13.1.3.8 видно, что det А зависит от
выбора базиса в отличие от его образа при факторизации Kl{K*Y\
этот образ обозначается discr(g) и называется дискриминантом
квадратичной формы q. Кроме того, из 13.1.3.10 вытекает, что
дискриминанты двух эквивалентных квадратичных форм равны:
discr (f*q) = discr(<7). Обратное не верно; например, при К = R
и л = 1 формы q = x'l-\- уг-\-гг-\-12 nq' = x2-\-y2—г2—/2 обладают
одним и тем же дискриминантом, но не эквивалентны в силу 13.4.7.
13.1.4.7. Если dim? = l, то эквивалентность q и q' равносильна
совпадению дискриминантов: discr (^) = discr (g'). Это немедленно
следует из 13.1.3.10.
Например, если К=С, то С/(С*J = {0, lj-и существуют
два класса квадратичных форм: ^ = 0, q = x2. Если /C = R, то
R/(R*J = ]—1, 0, 1} и существуют три класса квадратичных форм:
0, хг, —х2. Это«настный случай 13.4.6 и 13.4.7.
Отныне (Е, q) будет векторным пространством, на-
наделенным квадратичной формой q с полярной к ней
формой Р.
13.2
СИНГУЛЯРНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, РАДИКАЛ,
ВЫРОЖДЕННОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ
13.2.0. Как и в 8.1.8.1, Р индуцирует некоторое отображение
q?L(E; Е*): ф (х) (у) = Р (х, у). Если, например, {<?,-)• — базис
в ?, {е}\—двойственный базис, А — матрица формы q в базисе
{е,-}, то А совпадает в то же время с матрицей ф в базисах [et\,
{е}\, поскольку
atj = P (eit е,) = Ф (et) (<?,) = е- (Ф (et)).
Напомним, что соотношение ф € Isom (?; ?*) эквивалентно Кег ф=0
12
Гл. 13. Квадратичные формы
13.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Изотропный (или световой) конус—этс
множество q~x@). Вектор х?Е называется изотропным, если
xZq'1^); форма q называется анизотропной, если ^-1@) = 0.
Радикалом q называется множество rad (9) = Кег ф =
= \х^Е\ Р(х, у) = 0 Уу?Е\; ранг формы q совпадает с рангом
F несингулярно
F сингулярно
F несингулярно
Рис. 13.2.1
13
13.2 Сингулярные и изотропные элементы
<р: rang (q) = dim (cp (?)). Форма q называется невырожденной, если
rad(g) = O, что равносильно условию rang (q) = dim E или
Ф € Isom (Е; Е*). Форма q называется вырожденной, если rad (q) ф 0.
Для подпространства F из Е радикал F—это мно-
множество
rau(F) = rad(q\F) = {x?F: P{x, t/) = 0 Vy?F\.
Подпространство F называется несингулярным (соответственно
сингулярным), если форма q\F невырожденна (соответственно
вырожденна). Оно называется вполне сингулярным, если q\t = Q,
т. е. rad (F) = /7.
Первый чертеж на рис. 13.2.1 соответствует форме
q = x2—у2 в R2, остальные — форме q— — х2—у2 + г2 в R3. Но уже
для формы х2-\-у2—z2 —1% сделать подобный чертеж не удается;
вместо него мы изобразим лишь часть проекции соответствующего
изотропного конуса в пространство Р3 (R) (см. рис. 13.7.10
и 14.4.6).
13.2.2. ЗАМЕЧАНИЯ
13.2.2.1. Слово «изотропный» находится в полном согласии
с 8.8.6.1. Впрочем, довольно часто используется терминология,
в которой подпространства, которые мы назвали сингулярными
и вполне сингулярными, называют изотропными и вполне изо-
изотропными. Нам такая терминология кажется неудачной.
13.2.2.2. Из элементарной линейной алгебры следует, что всегда
rang (q) + dim (rad (q)) = dim E.
13.2.2.3. Обратите внимание, что анизотропия и невырожден-
невырожденность—это не эквивалентные понятия; пример: E = R2nq = x2—у2.
Разумеется, из анизотропии вытекает невырожденность. Если
/С = С (или алгебраически замкнуто), то при dim ?^2 квадра-
квадратичная форма не может быть анизотропной (это следует из 13.7.6).
13.2.2.4. В силу того что говорилось в начале § 13.2 и в 13.1.4.6,
форма q вырожденна в том и только том случае, если discr(g)=0,
и, в частности, в том и только том случае, если в некотором
базисе det A = 0.
13.2.2.5. В противоположность евклидову случаю, даже если q
невырожденна, некоторые из подпространств могут оказаться
сингулярными: см. рис. 13.2.1 или более простой пример F = Кх,
где х — изотропный вектор.
13.2.2.6. Если ? = rad(<7)G3G — прямая сумма, то q\0—невырож-
q\0—невырожденная форма (см. 13.9.1).
13.2.3. ПРИМЕРЫ
13.2.3.1. Если (Е, q) = Art2, то q~* @) состоит из двух различ-
различных прямых, принадлежащих Е и называемых изотропными пря-
прямыми. Они неразличимы без введения дополнительной структуры
(см. 13.7.10 и 13.8.2.1). Эти прямые определяют q с точностью
14
Гл. 13. Квадратичные формы
до скаляра, поскольку в направленном вдоль них базисе форма q
записывается в виде kxy.
13.2.3.2. Если q<r*A (см. 13.1.3.6), то rang (д) = rang (А). Так,
для примеров 13.1.3.4 ранг соответственно равен: г для (i);r + s
для (ii); 2р для (Hi). В частности, (iii) — всегда невырожденная
форма; (i) невырожденна в том и только том случае, если г = п,
a (ii) в том и только том случае, если r-\-s = n.
13.2.3.3. Рассмотрим снова примеры 13.1.3.4 и найдем для них
вполне сингулярные подпространства. В случае (i) при /С=С
таким будет подпространство
F = C(ei + ie2) © С (е3 + iet) © ... © С (e2p_r + ietp),
В случае (ii) при К = R вполне сингулярно подпространство
r^s, dimF = r.
Наконец, в случае (iii) при любом К такими подпространствами
, F' =*КК®..
dim F = dim/7' = p.
См. по этому поводу еще 13.7.6. А теперь мы приведем одну тех-
техническую лемму.
13.2.3.4. Лемма. Пусть (Е, д) произвольно, хфО—изотропный
вектор, x(?rad(<7). Тогда существует такая плоскость РсЕ,
что х?Р и (Р, д\р)—плоскость Артина. В частности, всякое
(?, q), где dim E = 2, a g—невырожденная и неанизотропная
форма, представляет собой плоскость Артина.
Рис. 13.2.3.4
Поскольку x(?rad (<7), отображение ср (х) ? Е* ненулевое
(см. 13.2.0). Следовательно, существует такое г, что Р (х, г) = 1.
Но тогда легко найти такое у € К* 4-Кх, что д(у) = 0; например,
у = г — (д(г)/2)х. Значит, матрица q\Ky+Kx принимает вид f j qJ,
что и требовалось.
13.2.4. СОПРЯЖЕННЫЙ ЭНДОМОРФИЗМ. Пусть задано (Е, д), где
q—невырожденная форма. Поскольку ср € Isom (?; Е*), можно
скопировать п. 8.1.8.6. Всякому отображению f?L (Е; Е) = End (E)
мы сопоставим сопряженный эндоморфизм, который обозначим
15
13.3 Ортогональность, несингулярное пополнение
через '/ и определим соотношениями
Ух, у ? ?: Р (f (x), y) = P {x, f/ (у)), или
!
13.2.4.1.
где через /* обозначено двойственное к / отображение. Пусть
заданы двойственные базисы \е{\, {е]\. Если д*-*А и U—матри-
U—матрица/в базисе {et}, то, как известно, матрицей /* в базисе {el}
будет 4J. Следовательно,
13.2.4.2.
U* = (матрица Ц в базисе {et\) = А'1 41А
В частности, det'/ = det /* = det /.
13.3 ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ, НЕСИНГУЛЯРНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ
ПОДПРОСТРАНСТВА
Следуя евклидовой модели, введем следующие определения.
13.3.1. определения. Пусть А—подмножество в Е. Положим
А*-=*\х?Е: Р(х, у)=0 Vy?A\= f] Ker (Ф (у))
yt A
и назовем Л-L ортогональным дополнением к А. Оно всегда
является векторным подпространством. Два множества А, В
ортогональны (обозначение: А _[_ В), если бсЛ-L, т. е. Р (х, г/)=0
Vx g A Vy 6 В. Отношение A J_ В симметрично. Прямая сумма
E = ($Ei называется ортогональной, если EtJ_Ef VJ=^=/; в этом
i
х
случае мы будем писать L =ф?(.. Базис {е,-} называется орто-
i
гональным, если е{ J_ е- ^1ф /, и ортонормированным, если, кро-
кроме того, g (е(-) = 1 Vi.
Например, rad (q)~E-L. Вообще говоря, dim F-^dimF-^Ф
Ф dim E для произвольного подпространства F, поскольку форма
q может быть вырожденной. Напротив, справедливы следующие
элементарные результаты, которые доказываются так же, как
8,1.8.3 с помощью 2.4.8.1.
13.3.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для всякого подмножества А выполняются
соотношения Л-1- = <Л>^ и АсА1-^. Предположим дополнительно,
что q невырожденна. Тогда для всякого подпространства FcE
получим Fi.J- = F, dimF + dimF-L = dim?', radf = F Г)/7-1. Под-
Подпространство F вполне сингулярно в том и только том случае,
если F^F1-. Следующие условия равносильны: F несингулярно
0E F(?F'i-&F1- несингулярно. Далее, для двух
16 Гл. 13. Квадратичные формы
подпространств F, F'
На приведенном рисунке вверху показаны сечения
конуса аффинными плоскостями, которые наводят на мысль
Рис. 13.3.2
о двойственности «точка — поляра точки» относительно кониче-
конического сечения. И действительно, дело обстоит именно так. Однако
мы будем двигаться в направлении, обратном историческому:
в § 14.5 мы определим двойственность относительно коники как
перенесенную в проективное пространство двойственность относи-
относительно квадратичной формы, определяющей данную конику.
13.3.3. ПРИМЕРЫ X
13.3.3.1. Если для {Е, q) имеет место разложение ? = ф?(., то
i
можно сказать, что (Е, q)— прямая сумма (?,-, q\Ej). Обратно,
если задать E=s(^Et и на каждом Et—квадратичную форму qh
с помощью полярной формы Р
(ж/, </,),
то можно определить
следующим образом:
Р
17
13.3 Ортогональность, несингулярное пополнение
где Pt—форма, полярная к q(. Тогда
?=ф?, и q\F. =
Vi.
13.3.3.2. Точно в указанном выше смысле для всякого простран-
пространства Артина Art2/, получаем
= Art,®. ..© Artj(/> членов),
полагая (в обозначениях 13.1.3.4 (Hi)) Ei = Kei^Khi Vi.
13.3.4. несингулярное пополнение. Речь идет об одном техни-
техническом приеме, простом, но играющем важную роль в дальнейшем.
13.3.4.1. Предложение. Предположим, что форма q невырожденна.
Пусть F—подпространство в Е, s = dim (rad {F)), G—произволь-
G—произвольное дополнительное к rad (F) подпространство в F и {xt\i=l s—
базис в rad(F). Тогда существуют s плоскостей Ptc:E, таких
Рис. 13.3.4
что: (Р1г q\p.) для любого i—плоскость Артина; х{?Р( для лю-
любого i; Р{ _|_ Р] для любых i=?=\ и G _]_ Р,- V/. Кроме того, орто-
ортогональная прямая сумма
х х х
представляет собой несингулярное подпространство, a (F, q\F)
изометрично G0Art2s. Такое пространство F называется несин-
несингулярным пополнением F.
Доказательство получается простой индукцией по s =
= dim (rad (F)). На первом шаге доказательство проводится сле-
следующим образом: s=l, rad (F) = Кхх, /r = G0/Cx1. В силу 13.3.2,
подпространство G-1- несингулярно. Поскольку xl$GL, можно
18
Гл. 13. Квадратичные формы
применить 13.2.3.4; существует такая плоскость Pj в Е, что
A^gPj и (/>!, q\pt)—плоскость Артина.
Относительно единственности этой конструкции см.
упражнение 13.9.3.
13.3.4.2. Следствие. Предположим, что q невырожденна. Тогда
для всякого подпространства F
dim F + dim (rad (F)) ^ n = dim E.
В частности, если F вполне сингулярно, то dim F ^ /г/2, а если
F вполне сингулярно и dim F = п,'2 = р, то с необходимостью
2p
План дальнейшего изложения состоит в следующем.
В элементарной части мы проводим классификацию квадратич-
квадратичных форм над С и R и исследуем вопрос об одновременном при-
приведении к диагональному виду двух квадратичных форм. В части,
посвященной геометрической алгебре, изучается группа О (q)
квадратичной формы q—обобщение ортогональной группы из
гл. 8. В частности, здесь мы касаемся поиска простых образую-
образующих, транзитивности на подпространствах и, наконец, свойства
простоты, которое лишь упоминается.
13.4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ. КЛАССИФИКАЦИЯ
ДЛЯ С И R
13.4.1. ЛЕММА. Для всякого (Е, q) существует по крайней мере
один ортогональный базис {et\.
Если 4 = 0, то утверждение тривиально. Если же
q—ненулевая форма, то возьмем неизотропный вектор х; тогда
ц>(х)?Е* (см. § 13.2) отлично от нуля. Следовательно, х1— гипер-
гиперплоскость и Е= Кх ®x-L. Таким образом, все свелось к х1 раз-
размерности < п, и можно применить индукцию по размерности.
13.4.2. СЛЕДСТВИЕ. Для всякого (Е, q) существует такой базис,
что q
*. Для всякого (Е, q) при К = С сущест-
вует такой базис, что
А- Для всякого (Е, q) при К = R
г r + s
существует такой базис, что q= 2 xf— 2 х\.
В самом деле, если \et\ — произвольный ортогональный
базис в (Е, q), то
Я (хо ¦¦-, х„) = Р B xfib 2 хе,) =» 2 xtxtq (e{, е) =
_ V « ill.)
= S^(e,', et).
Если q(et,
то положим k; — q(ei, et). Если /С=С, то
19
13.4 Ортогональные базисы. Классификация для С и R
заменим et на -р=ес, а если К = R, то заменяем е( на -р=е{
при Хг > 0 и на r p.t при kt < 0.
13.4.3. ПРИМЕЧАНИЕ. Ясно, что предположение /С = С можно за-
заменить другим: «К—тело, в котором из всякого элемента можно
извлечь квадратный корень», и, в частности, предположением:
«/С алгебраически замкнуто». Точно так же предположение /C = R
можно заменить условием: «К—упорядоченное тело, у которого
из каждого положительного элемента можно извлечь квадрат-
квадратный корень».
13.4.4. ПРИМЕР. Если /С = С и п = 2р, то всякая невырожденная
форма q эквивалентна нейтральной форме, т. е. (Е, q) изомет-
рично Art2/).
13.4.5. Все сказанное выше, казалось бы, означает, что вместе
с 13.4.1 классификация квадратичных форм почти закончена.
В действительности же, как сказал Артин, мы к ней и не при-
прикоснулись! Например, сейчас будет показано, что при /C =
Ч
формы х2 + у2—г2
2 — t2 не эквивалентны. Что
фр + у
касается общего случая, то мы вновь отсылаем читателя к 13.1.4.5.
Заметим теперь, что из 13.4.2 вытекает следующая теорема.
13.4.6. ТЕОРЕМА. Две квадратичные формы над С эквивалентны
в том и только том случае, если они заданы в пространствах
равной размерности п и имеют равные ранги г. Или, по-дру-
по-другому, если задано Е, то в Q (Е) число орбит группы GL (?)
равно п -\- 1; каждая из них соответствует возможным значе-
значениям ранга г = 0, 1, ..., n=dirn?. В частности, все невырож-
невырожденные квадратичные формы образуют одну орбиту.
13.4.7. ТЕОРЕМА (закон инерции Сильвестра). Две квадратичные
формы над R эквивалентны тогда и только тогда, когда они
заданы в пространствах равной размерности п и имеют совпа-
совпадающие числа г и s из 13.4.2. Это означает, что если Е задано,
то в Q (Е) имеется (п+1)(п + 2)/2 орбит группы GL (?). Пара
(г, s), которая, таким образом, зависит лишь от q, а не от
выбора базиса в 13.4.2, называется сигнатурой формы q. Кроме
того, г и s можно охарактеризовать следующим образом: г (соот-
(соответственно s) совпадает с максимальной размерностью подпро-
подпространств F в Е, таких что q\F положительно (соответственно
отрицательно) определена, т. е. (см. 8.1.1) таких, что q (х) > 0
(соответственно q (х) < 0) Vx € F \ 0.
Достаточно показать, что если q и q' эквивалентны,
то г и s у этих форм обязательно одинаковы, а это вытекает из
геометрического истолкования конечного пункта формулировки
теоремы, который мы сейчас докажем. Пусть
г' = sup {dim F: ^ |f положительно определена},
s'= sup {dim/7: q\p отрицательно определена},
20
Гл. 13. Квадратичные формы
а {е{\—базис, в котором
г r + s
Ц Zj *! Zj Л,.
1=1 l=r+l
Поскольку Re^.. .(gRe,. и Яег+1ф.. -®Rer+s подходят под
определение упомянутых подпространств F, то г'>г и s' > s.
Пусть F таково, что q\F положительно определена; положим
G= Rer+10.. .0Rer+J. По предположению Fr\G = O, откуда
dimF-fdim G <n, т. е. r' + (n—г) О, или /-'<>. Аналогично
s'<s.
13.4.8. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КА-
КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ: МЕТОД ГАУССА. Фактически речь идет о дока-
доказательстве 13.4.1 с помощью непосредственных выкладок. С прак-
практической точки зрения подобные вычисления представляют зна-
значительный интерес. Мы воспользуемся ими в дальнейшем при
конкретных подсчетах в 13.9.8. Относительно одного приложения
данного метода в дифференциальной геометрии см. [15], с. 146.
Этот метод в некотором смысле двойствен к 13.4.1, так как в нем
используются линейные формы. Он основан на индукции, и мы
поясним лишь ее начальную стадию. Читателю, не имеющему
навыка в применении данного метода, нужно обязательно испро-
испробовать его на нескольких примерах (см. 13.9.6 и 13.9.8). Пусть
q='Eauxix/.
Первый случай: существует такое i, что аи^=0; пусть это будет
^ 0. Запишем нашу форму в виде
где А (соответственно В)—линейная (соответственно квадратич-
Д2
ная) форма относительно х2, ..., хп. Таким образом, В — -у
квадратичная форма относительно х2, .. ., х„, над которой нужно
производить дальше те же манипуляции, которые мы только что
совершили, или те, которые мы изложим ниже.
Второй случай: все аи равны нулю, но (если аф§) существует
ненулевое at/; пусть это будет Я = о12. Запишем нашу форму в
виде
и заменим
Ha uv==
(u+vJ—(и—vf
-
Здесь А, В—линейные, а С—квадратичная форма от х3, ...,хп.
21
13.5 Одновременная ортогонализация двух квадратичных форм
После многократного применения подобных манипу-
манипуляций мы получим <7=2^(Ф?. Ф/€?*-
i
Этот практический метод позволяет определить ранг
квадратичной формы (см. 13.9.5).
13.5 ОДНОВРЕМЕННАЯ ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ
ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
13.5.1. Пусть q, q'—две квадратичные формы на Е. Существует
ли общий для q и q' ортогональный базис? Вообще говоря, нет,
как показывает пример q = x*—у2, q'= 2ху на ? = R2, и вот
почему. Пусть [е^—общий ортогональный базис для q и q' на Е.
Введем (см. 13.2.0) отображения ср, ср': Е —»- Е*, связанные
с этими формами, и предположим, что q невырожденна; это позво-
позволяет определить эндоморфизм / = ф-1оф': Е—+Е. Тогда et—соб-
et—собственный вектор / для любого i. В самом, деле, (ер (е,.))^) есть
по предположению гиперплоскость et "l), ^-ортогональная к eh
и (ф' (е,-)) @) = е/-<"')зе/-<*). Следовательно, линейные формы
Ф (е;), ф' (е{) удовлетворяют (см. 2.4.8.2) соотношению ф' (е;) =
= ?ф (е,-). Например, для q = x2—у2, q' =2xy матрица (в канони-
каноническом базисе) эндоморфизма ф-1оф' имеет вид
Мы получили матрицу вращения в R2, которое, как известно,
не имеет собственных векторов. Обратно, справедливо следующее
утверждение.
13.5.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если q—невырожденная форма и ф~'оф'
имеет п различных собственных чисел, то для форм q и q суще-
существует общий ортогональный базис.
Как хорошо известно, при указанных условиях в Е
существует базис {е{\, составленный из собственных векторов
преобразования ф~1оф'. В этом случае, если обозначить соб-
собственные числа через kh мы получим соотношения
Ф' (et) {ej) = 6,-ф (<?,) (<?,) = Р' (ett e,) = ktP (е„ ef).
Но в силу симметрии Р и Р'
Р' (<?,-, е,) = k,P (elt e,) = k,P (eh e,);
следовательно, P{et, ey) = 0 Vt^=/, так как ki^=k/.
13.5.3. пример. Если К алгебраически замкнуто, то пару квад-
квадратичных форм общего вида можно ортогонализовать одновре-
одновременно; при К = С вероятность такого события равна 1.
13.5.4.1. Примечание. Относительно полного исследования данной
задачи см. [147].
22
Гл. 13. Квадратичные формы
13.5.4.2. Геометрическая интерпретация. Как мы увидим в 14.5.4.1,
существование общего ортогонального базиса для q и q' геомет-
геометрически означает существование общего автополярного симплекса
для соответствующих q и q' поверхностей второго порядка (квад-
(квадрик) из Р(Е). В случае конических сечений мы дадим клас-
классификацию пар конических сечений и обнаружим таким спо-
способом, в частности, и случай, когда одновременная ортогонали-
зация невозможна (см. 16.4.10).
13.5.5. ТЕОРЕМА. Пусть Е—евклидово пространство и q —произ-
—произвольная квадратичная форма на Е. Всегда существует ортонор-
жированный базис в Е, который является ортогональным бази-
базисом для q'.
13.5.6. ПРИМЕЧАНИЯ. Этот результат имеет большую практиче-
практическую ценность; он соответствует поиску главных осей кониче-
конического сечения или поверхности второго порядка в евклидовом
пространстве. В механике или в физике из него вытекает, что
у эллипсоида инерции существуют главные оси (оси инерции) и
что всякие малые колебания обладают симметриями (гармони-
(гармонический осциллятор); он позволяет также исследовать задачи
устойчивости. Прекрасная книга на эту тему — [249].
Существуют обобщения этого результата на бесконечно-
бесконечномерный случай, а именно на гильбертовы пространства, которые
играют важную роль в анализе; мы имеем в виду существование
ортогонального базиса из собственных функций дифференциаль-
дифференциального оператора. По этому вопросу см., например, [240], с. 254.
Теорема 13.5.5 имеет свою историю, ибо она была выз-
вызвана к жизни рядом прикладных задач (см. [33], с. 527—529
русского перевода).
Методы явного нахождения таких базисов по числовым
данным—это методы отыскания собственных векторов симметрич-
симметричной матрицы; см. [151], с. 392 (или [21*], с. 351.— Ред.).
13.5.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. В классическом доказательстве исполь-
используется переход от ? к эрмитову пространству (см., например,
[85], с. 58). Поскольку мы не говорили об этих пространствах,
приведем два других доказательства.
13.5.7.1. Первое доказательство. Положим / = ср~1оср', как и
в 13.5.1, для q' и евклидовой структуры q пространства Е.
В силу 7.4.3, существует такое подпространство VcE, что f (V)c=V
и dimV=l или 2. Если dimV=l, то мы уже нашли собствен-
собственный вектор х преобразования /; если dim У =2, то у / также
существует собственный вектор. В самом деле, заметим сначала,
что матрица / симметрична во всяком ортонормированном базисе,
поскольку, в силу 13.2.0, эта матрица совпадает с А'1 А', где
А'—матрица q', a A—матрица q. Но q имеет единичную матрицу
в любом ортонормированном базисе. Значит, матрица преобразо-
преобразования / совпадает с матрицей А', которая симметрична.
23
13.6 Группа квадратичной формы. Общие сведения
Таким образом, в ортонормированном базисе в V матри-
fi (а ь\ «
ца сужения j \v имеет вид I , ), а ее собственные числа веще-
\ О С /
ственны, поскольку совпадают с корнями квадратного уравнения
X2 — (
Итак, мы получили, что у / существует по крайней мере один
собственный вектор х.
Возьмем el = xl\\x\ и рассмотрим /Z = ef; тогда
f(H)cH и dim//<dim?.
Следовательно, индукцией по размерности можно показать, что
у / в Е существует ортонормированный базис {е(\, состоящий из
собственных векторов. Отсюда вытекает, что
Р' (е„ е,) = ф' {е() (<?,) = ?<р (<?,) (ef) = kP (е„ ej) =
= k(el\e/)=0 Ч1Фи
т. е. {et\ и в самом деле ортогональный базис для q'.
13.5.7.2. Доказательство с помощью дифференциального исчисле-
исчисления. Введем единичную сферу S в Е и функцию /: ?\0—» R,
определенную соотношением
/ W НМГ2 ?'(*)•
Пусть х таково, что f (x) — sup {f (x): x?S\. Такое х существует
в силу непрерывности /; на самом деле /?С°° на ?\0. По-
Поскольку f(kx)=f(x) VX^O, Vxg E \0, наш вектор х приводит
к максимуму для / на всем ?\0 и, следовательно, f (х) — 0.
Дифференцирование f дает
) = 2lxfrl[P'(x, y)\\xf — q'{x)(x\y)\
Следовательно, в частности, Р' (х, rj=O при всех таких у, что
(x|i/) = 0. Далее мы действуем по индукции, как и ранее.
13.5.8. Полезное приложение теоремы 13.5.5 приведено в 8.2.6;
см. также упр. 8.12.1.
Во всей остальной части данной главы предпола-
предполагается, что в (?, q) форма q невырожденна.
13.6 ГРУППА КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Сейчас мы хотим распространить на общий случай многие поня-
понятия евклидовой геометрии.
13.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем группой формы q, или ортого-
ортогональной группой, для которой мы будем применять одно из обо-
обозначений О(Е, q), O(?), O(q), группу {/?GL(?): f*q = q\, со-
24 Гл. 13. Квадратичные формы
ставленную из изометрий (?, q). Положим
Группа 0A, 3) называется группой Лоренца.
13.6.2. ЗАМЕЧАНИЯ. Если (?, q), (?', q') изометричны, то соот-
соответствующие группы О (q), О (<?') изоморфны. Соотношение f ?0 (q)
эквивалентно, в силу 13.2.4, соотношению tf = f~1; в частности,
det / = ±1- Это нам дает основание ввести следующие обозначения.
13.6.3. обозначения. Положим 0±(?) = {/?О(?): det/ = ±l[;
элементы 0+ (?) называются вращениями.
В частности, 0+ (?)—нормальная подгруппа О (?),
О (?)/0+ (?) ^ Z2 и справедливы законы умножения (см. 8.2.3.2).
13.6.4. матричная запись. Если в базисе \е{\ пространства ?
имеем q<r-*A и если матрица / равна S, то из 13.1.3.10 мы по-
получаем
13.6.5.
Например, в случае О (п, К) получается соотношение tSS=I,
или S~1 = tS; см. также 13.9.12. В случае пространства Art2
подробности см. в 13.8.2.
Всегда ±Id?(;0(?), a —Idfig0+(?) в том и только
том случае, если dim E четна.
13.6.6. ИНВОЛЮЦИИ ИЗ O(q). В неевклидовом случае нельзя
пользоваться 8.2.9, 8.2.10, 8.2.11, не приняв необходимых мер
предосторожности. Сначала отметим, что, поскольку инволюции /
векторного пространства Е все имеют вид /,5== Id^, /|r = — Idr,
где ? = S©T— прямая сумма, справедливо следующее утверж-
утверждение.
13.6.6.1. Предложение. Для того чтобы некоторая инволюция f
ич GL (?) принадлежала O(q), необходимо и достаточно, чтобы
?==S0T, т.е. чтобы S было несингулярным и T = S-L. Будем
говорить тогда, что f—ортогональная симметрия, или просто
симметрия. Если S—гиперплоскость, то f называется симметрией
относительно гиперплоскости, если dimT = 2, то говорят о пере-
переворачивании (вокруг S). Всякая симметрия относительно гипер-
гиперплоскости принадлежит 0~ (?), а всякое переворачивание О* (?).
25
13.6 Группа квадратичной формы. Общие сведения
Необходимость условия несингулярности сильно ослож-
осложняет обобщение результатов 8.2.12,8.2.13, 8.2.11 и 8.2.7. Напри-
Например, утверждение 8.2.11 приобретает следующий вид.
13.6.6.2. Лемма. Пусть х, у?Е, где q(x) — q(y) и (х—у)—не-
(х—у)—неизотропный вектор. Тогда сушествует такая симметрия h от-
относительно гиперплоскости, что h(x) = y.
В силу 13.3.2, ортогональное дополнение Н = (х—у)-1
представляет собой несингулярную гиперплоскость. Пусть h —
Ч,
Рис. 13.6.6
векторная симметрия, связанная с S — H. Тогда h (y) = x, поскольку
х-{-у?Н, так как Р (х—y,x + y) — q(x) — q (у) = 0; следовательно,
«-У ,,-х+У Х~У
Таким образом, доказательство 8.2.12 не проходит как таковое.
Чтобы его исправить, мы собираемся установить ряд технических
результатов.
13.6.7. ПРИМЕРЫ ВРАЩЕНИЙ И ТЕХНИЧЕСКИЕ ЛЕММЫ ДЛЯ 0 (Art2/))
13.6.7.1. Лемма. Пусть E = Art2s, F—вполне сингулярное под-
подпространство размерности s и f?O(E), причем f(F) — F. Тогда
f€O+(E).
В силу 13.3.4, существует базис, соответствующий раз-
разложению в прямую (неортогональную!) сумму E = FQ)F', такой
что q<->A, где А = ( , q) . Матрица f в этом базисе с необходи-
необходимостью имеет вид (q tw), поскольку f(F) = F. Условие 13.6.5
запишется в виде
О \/0 /
fV
0 I\(
! ОД
U V
О W
0
tVW-\-tWV
0 /
откуда tUW = [; далее, f = (detU)(detW)=l.
13.6.7.2. Лемма. Пусть F—такое подпространство, что E
26
Гп. 13. Квадратичные формы
{несингулярному пополнению F). Тогда если f?O(E) и f\F = \AF,
mofeO+(E). l
В силу 13.3.4.1, справедливы соотношения ?=G0Art2s,
где Art29 = Иф/И', F = G-\-M и М = rad(F). По предположению
/|0=Ы0; следовательно, / (Art2js) = Art25. В силу 13.6.7.1,
/Urt2S€O+ (Art,,,,); значит,
detf = det(/|G)det(/|Art2,)= Ы=1.
13.6.7.3. Лемма. Пусть /?0(?) таково, что f(х)—х—ненуле-
f(х)—х—ненулевой изотропный вектор для всякого неизотропного х. Тогда
f ?0+(Е) и Е—пространство Аршина.
Странное предположение этой леммы объясняется сле-
следующим обстоятельством. Если мы хотим распространить дока-
доказательство 8.2.12 на общий случай, то, как показывает 13.6.6.2,
можно воспользоваться индукцией, которая пройдет, за исклю-
исключением именно того случая, когда / удовлетворяет условиям леммы.
Мы воспользуемся этим в 13.7.12.
Докажем теперь 13.6.7.3. Предположим сначала, что
п = 2. Раз Е содержит ненулевые изотропные векторы, то, в силу
13.2.3.4, ? = Art2. Мы увидим в 13.8.2, что тогда в подходящем
базисе матрица f имеет вид
либо
^
_1), либо
в первом случае det/ = l, во втором f (х-\-ky) = х-\-ky, и мы
вступаем в противоречие с предположением леммы.
Пусть теперь /г^З. Покажем сначала, что два под-
подпространства Кег (/— Id^) и Im (/—\dE) вполне сингулярны. Для
ядра это верно в силу предположения леммы. Что касается об-
образа, то мы знаем, что f(x)—х изотропно для неизотропных х\
поэтому остается исследовать случай изотропных х. Пусть х —
изотропный вектор. Применяя 13.3.4.2, мы видим, что подпро-
подпространство х1 не может быть вполне сингулярным, поскольку
п—\ > /г/2, когда п^З; следовательно, существует такое y?xL,
что q (у) ф 0. Тогда
q(x± 11\ = я{у)фЪ.
Применяя предположение леммы к трем векторам у, х + у, х—у,
получаем
q(
= 2q (f {x)~
-x) =0.
Положим U = Im (/— Id?). В силу предыдущего, U вполне син-
сингулярно. Непосредственное вычисление (такое же, как в 9.3.1)
27
13.6 Группа квадратичной формы. Общие сведения
показывает, что
Ker(/-Id?).j. Im(f-Id?)
и dim (Кег (/— \dE)) + dim (Im (/ — IdF)) = dim E,
поэтому ?M=Ker(/— \dE). В силу 13.3.2, U = U± и dimU ^
= dim E/2; следовательно, в силу 13.3.4.2, E = Art2s. Ho f(U) = U\
поэтому из 13.6.7.1 вытекает, что /?О+(?).
13.6.7.4. Этим рассуждением мы, правда, не доказали, что такие /
существуют, но в дальнейшем сам этот факт нам и не потре-
потребуется; по поводу существования /, удовлетворяющих условию
леммы, см. 13.9.15 или [221], с. 238 и дальше.
13.6.8. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ. В гл. 8 мы видели, что ортогональ-
ортогональная группа транзитивна на всех грассманианах
GE<k(k = 0, 1 dim?) (см. 8.2.7),
что О+(Е) абелева при dim ? = 2 и гомеоморфна S1 (см. 8.3.3,
8.3.6), что О(Е) порождена симметриями относительно гиперпло-
гиперплоскостей, а О+(Е) — переворачиваниями (см. 8.2.12, 8.4.6) и что
О+(?) проста по модулю своего центра при dim? = 3 или ^5.
Наконец, в 8.4.1 мы изучили структуру произвольного отобра-
отображения / из О (?).
В случае произвольного (?, q) мы изучим только не-
некоторые из этих вопросов. Что касается более полных исследо-
исследований, то можно обратиться к элементарной, но очень приятной
работе [221], к [33], где исследование проводится в очень боль-
большой общности, к [191] и [4], где речь идет об алгебрах Клиф-
Клиффорда, и, наконец, к [76], где исследуется простота ортогональ-
ортогональных групп.
Заметим сначала, что О (Е) в общем случае не может
быть транзитивной на GEik, поскольку два подпространства оди-
одинаковой размерности, вообще говоря, не изометричны друг другу.
Например, 0A, 1) (см. 13.6.1) не может перевести прямую D,
где q \D отрицательно определена, в прямую D', где q\o- поло-
положительно определена. Поразительно ю, что условие абстрактной
изометричности F и F' оказывается достаточным для существо-
существования такого f?O(E), что / (F) = Fr; в этом состоит теорема Внтта
13.7.1. Интересный случай, где оказывается существенной ори-
ориентация,— это случай максимальных вполне сингулярных под-
подпространств.
При dim/: =2 ситуация похожа на евклидову: группа
О+ (?) всегда абелева (см. 13.8.1), но при ? = Art2 и К = R она
гомеоморфна дизъюнктной сумме RUR (см. 13.8.3).
Группа О (?) всегда порождена симметриями относи-
относительно несингулярных гиперплоскостей, но доказательство этого
факта довольно длинно (см. 13.7.12; это теорема Картана—Дье-
дсыне).
28
Гл. 13. Квадратичные формы
Вопрос о простоте О (Е) полностью решен, но иссле-
исследование занимает много места (см. [76]).
13.6.9. примечание. При исследовании более тонком, чем наше,
необходимо ввести алгебры Клиффорда, подобно тому как мы
в гл. 8 ввели кватернионы. Относительно алгебр Клиффорда,
которые можно поставить в соответствие всякой квадратичной
форме, причем не только в евклидовом случае, см. [191], [4], [33].
13.7 ТЕОРЕМЫ ВИТТА И КАРТАНА — ДЬЕДОННЕ
13.7.1. ТЕОРЕМА (Витт, 1936). Пусть F, F'—два подпростран-
подпространства в Е и f: F—>-F' — изометрия (F, q\F) на (F', q\r). Тогда
существует такое f?O{q), что j\F = f. Другими словами, орбиты
GBift под действием О (q) образованы классами подпространств,
изо метричных относительно сужений формы q.
Сначала сведем все к случаю несингулярных F, F'.
Пусть/7, F' — несингулярные пополнения подпространств F, F';
тогда, в силу 13.3.4.1,
- - х L ~, х ' L
где (е{, h{), (e'it h\)—базисы в Pt, Р\ и e'i = f{ei). Если мы рас-
расширим / до /: F —*¦ F' с помощью соотношения fifil) = h'h то по-
получим, разумеется, изометрию. Поэтому впредь мы будем считать
F, F' несингулярными подпространствами.
Предположим теперь, что dim Z7 = dim Z7'= 1; возьмем
x?F, y = f(x)(zF' и хфО. По условию q{x) = q(y). Один из
векторов х-\- у, х—у обязательно неизотропен, ибо в противном
случае q(x + y) + q(x—y) = 2q(x) + 2q (y) = 4q(y) = 0\ Пусть g —
симметрия относительно гиперплоскости (х-\-у)± или (х — t/I,
которая существует в силу 13.6.2. Тогда g(x) = ±y и, следова-
следовательно, ±gkO{q) представляет собой изометрию F на F'.
Если dim/7 произвольна, то мы проводим индукцию
по dim/7. Поскольку F несингулярно, можно взять разложение
±
/r = F10/72, где dim/7!, dimF2 < dim/7, полагая, например,
F1 = jK-x с неизотропным х. Пусть F'1 = f(F1). Тогда по предпо-
предположению индукции существует такое g?O(q), что g\Fi=f. Огра-
Ограничимся пока подпространством Z7,1. Оно содержит f(F2) и g(F2),
причем f°g~x: g{F2) —* / (F2) — изометрия. Следовательно, сущест-
существует такое h?0 (F'^, q р-Л, что h\g{Fl) = fog~1. Теперь перейдем
ко всему пространству Е, полагая / = ( Id^.-0/i jog.
13.7.2. ЗАМЕЧАНИЕ. Артин назвал теорему Витта скандальной.
Он имел в виду то обстоятельство, что пришлось так долго ждать
(до 1936 г.) ее появления, а между тем эта теорема так проста
29
13.7 Теоремы Витта и Картана — Дьедонне
по формулировке и по участвующим в ней объектам и так нужна
в различных областях математики:
в геометрии (см. ниже, например, 19.4.6.2);
в теории чисел при классификации квадратичных форм
над Q (см. [218], гл. IV).
13.7.3. СЛЕДСТВИЕ. Если два подпространства F, F' из Е изо-
метричны, то F1- и F'1- тоже изометричны.
Это следствие может показаться довольно неожидан-
неожиданным. Читателю, вероятно, будет интересно доказать его непосред-
непосредственно, чтобы освоиться с квадратичными формами.
13.7.4. ПРИМЕРЫ. Если /С = С, то орбиты GFk под действием
О (q) образованы ^-мерными подпространствами, на которых суже-
сужение q обладает заданным рангом (см. 13.4.6). В частности, О (д)
-B-я орбита) 0A-я орбита)
Рис. 13.7.4
транзитивно действует на несингулярных подпространствах оди-
одинаковой размерности.
Если /(= R, то ситуация аналогична, только сужение q
на соответствующие подпространства обладает одинаковой сигна-
сигнатурой (см. 13.4.7).
Точнее, если ? = R3 и q = x2 + y2—z\ то в GEtl = P(E)
имеются три орбиты, соответствующие сигнатурам @, б), A, 0),
@, 1). Первая состоит из прямых, принадлежащих изотропному
конусу, вторая из прямых, расположенных строго вне конуса,
а третья из прямых, лежащих строго внутри этого конуса.
Относительно 0A, 1) см. § 13.8; относительно случая
0{п— 1, 1) см. § 18.10, 19.2, 20.6.
13.7.5. следствие. Назовем максимальным вполне сингулярным
подпространством такое вполне сингулярное подпространство,
которое не содержится ни в каком вполне сингулярном подпро-
30
Гп. 13. Квадратичные формы
странстве строго большей размерности. Тогда все вполне сингу-
сингулярные максимальные подпространства имеют одинаковую раз-
размерность, которая называется индексом формы q и обозначается
ind(^). Кроме того, все они образуют одну орбиту под дейст-
действием O(q).
Пусть F, F'— максимальные вполне сингулярные под-
подпространства. Если dim F > dim F', то напишем разложение
h гДе dim /7, = dim F', и пусть / ? Isom (Fit F') (всякое
линейное отображение здесь является изометрией!). Пусть f ?0 (q),
гДе ?\Ft=f- Тогда }(F) — вполне сингулярное подпространство
и f(F)z>F'. Таким образом, мы пришли к противоречию.
ф
13.7.6. ПРИМЕРЫ. Если К=С и форма q невырожденна, то ее
п
индекс равен [п/2]. В самом деле, q эквивалентна 2 х\ (см. 13.4.6)
i=i
и подпространство F, построенное в 13.2.3.3, максимально.
Если К = R и форма q имеет сигнатуру \r, s\ и невы-
невырожденна, то ее индекс равен inf{r, s\. В самом деле, применим
13.4.7 и заметим, что подпространство F, построенное в 13.2.3.3,
максимально.
Если (Е, q) = Art 2s, то ind (q) = s, причем F из 13.2.3.3
максимально.
13.7.7. ЗАМЕЧАНИЯ. Теорема Витта может привести к неожидан-
неожиданным результатам. Например, если F вполне сингулярно, то
всякое f€GL(F) является изометрией (F, q\F) и, следовательно,
найдется такое f?O(q), что f\F=*f. Далее, О (q) транзитивна на
точках изотропного конуса, а не только на его прямых (см. так-
также рис. 13.8.4).
Естественно задаться вопросом, справедлива ли гео-
георема Витта д 1Я 0+ (q) вместо 0 (q)? Ответ оказывается почти
утвердительным; одно интересное исключение возникает при
?=Art2s и для вполне сингулярных пространств. Но зато это
исключение приводит к новым геометрическим феноменам (см.,
например, * 14.4).
13.'.8. ТЕОРЕМА (усиленная теорема Витта). Утверждение 13.7.1
остается справедливым после замены О (q) на О+ (q) при условии,
что
dim F + dim (rad (F)) < dim E.
Оно неверно, если данное условие нарушено; точнее, ни для каких
F и f о
dim F + dim (rad (F)) = dim E
и f €0" (я) не существует такого g?O+(q), что g\F=f\F,
13.7 Теоремы Витта и Картана — Дьедонне
Пусть сначала F удовлетворяет условию dim F +
+ dim (rad (F)) < dim E. Построим несингулярное пополнение/7
подпространства F (см. 13.3.4.1). Если
/ 6 Isom (F; F'),
то пусть f(tO(q) таково, что f\F=f; существование такого f сле-
следует из 13.7.1. Если f$O+(q), го все доказано; если же это не
так, то пусть g—симметрия относительно гиперплоскости х-1,
где x^F1 неизотропен. Тогда g\[.= ldF, g?O~(q), и, следова-
следовательно, fog g0+ (q) отвечает нашим требованиям.
Пусть теперь dim F + dim (rad (F)) = dim E и f ?O~ (q).
O f \ f
) q)
Если g(tO+ (q) и g\t==f \F, то отображение g~]of приводит к про-
противоречию с 13.6.7.2.
Сказанное выше еще не позволяет ответить на вопрос
об орбитах О+ (q) в GEk, Ответ содержится в следующей теореме.
13.7.9. ТЕОРЕМА. Орбиты GE%k под действием О+ (q) совпадают
с орбитами под действием б (q), за единственным исключением:
если Е = Art2s, k = s и если взято подмножество из GBi k, обра-
образованное вполне сингулярными подпространствами, то О+ (q)
обладает на этом подмножестве ровно двумя орбитами.
Пусть сначала мы находимся не в исключительной си-
ситуации. Тогда, в силу 13.3.4.2, существует неизотропный xg/•*¦.
Рис. 13.7.10
Если f 6 Isom (F; F') и если в соответствии с 13.7.1 построить
f?O(q), где f\F = f, то либо f?O+(q) и доказательство закон-
закончено, либо f?O~(q). Обозначим через h симметрию относительно
гиперплоскости х-1; тогда /o/igO+ (q) и (foh) (F) = f (h (F)) =
= f (F) = F'. Если, наконец, E=Art2su F вполне сингулярно, то,
в силу 13.6.7.1, 0+ (q) действительно обладает двумя орбитами.
13.7.10. ПРИМЕРЫ. Сначала рассмотрим ? = Art§. В силу 13.2.3.1,
максимальными вполне сингулярными подпространствами будут
две изотропные прямые, которые мы обозначим / и J. Очевидно,
32
Гп. 13. Квадратичные формы
что q'1 Ф)= IUJ инвариантно относительно O(q). Но 13.7.9
позволяет охарактеризовать О+ (q) (соответственно 0~ (q)) сле-
следующим образом: f?O+(q) (соответственно 0~ (q)), если f(f) = f
(соответственно /(/) = ,/), т. е. / оставляет инвариантной каждую
изотропную прямую (соответственно осуществляет перестановку
изотропных прямых). Это можно сопоставить с 8.8.6.4, а также
заглянуть в § 13.8.
Теперь рассмотрим случай ?=Art4; здесь мы полу-
получаем изящный результат, который сформулирован чуть ниже.
Если интерпретировать его в />(?), то именно он приводит к ут-
утверждениям о двух семействах прямых (которые иногда назы-
называют образующими) у квадрики p(q-1 @))сР(Е) (см. 14.4.1).
Приведенный выше рисунок сделан в Р (Е).
D
Рис. 13.7.11
13.7.11. СЛЕДСТВИЕ. Пусть Г—множество вполне сингулярных
плоскостей пространства ? = Art4 и П, 2— две орбиты в Г под
действием 0+ (q). Тогда:
(\) какова бы ни была изотропная прямая D из Е (т. е.
вполне сингулярная прямая), существует единственное Р?П и
единственное SgS, такие что DcP, DcS;
(ii) VPgn, VS?2: dimPn<S=l {т.е. PnS—изо-
тропная прямая);
(iii) VP, Р'€П, VS, S' €2: PnP' = 0, или Р = Р',
SnS' = 0, или S = S'.
13.7.11.1. Доказательство с помощью 13.7.9. Всякую изотропную
прямую D можно включить в Р?П или в 5?2, ибо можно
применить 13.7.8 к F = D и к любой изотропной прямой F', со-
содержащейся в некотором Р0€П или Sog2. Остается доказать
_L
единственность Р (а также S). Рассмотрим разложение D1-=D(?)G.
В силу предыдущего, G— плоскость, содержащая изотропные
векторы, например G(]P. Следовательно (см. 13.2.3.4), это озна-
зз
13.7 Теоремы Витта и Картана — Дьедонне
чает, что G — плоскость Артина; она содержит ровно две изо-
изотропные прямые (см. 13.7.10), которые, таким образом, совпадают
с Pr\G и S[)G.
Пусть />?П и Sg2 произвольны. Предположим, что
Pf\S = 0 и х?Р\0. Поскольку dimxJ- = 3, существует уфО,
у <Е S П(^х)- Плоскость Т = К -х-\- К -у вполне сингулярна. По-
Поскольку она пересекается с Р, из (i) следует, что Г(;2; анало-
аналогично Т 6 П, и мы пришли к противоречию. Что касается утверж-
утверждения (iii), то оно вытекает из (i).
13.7.11.2. Элементарное доказательство. По определению q —
= 2ху -\-2zt, где х, у, z, t — координаты в Е. Вполне сингулярные
плоскости можно найти следующим образом. Одна серия имеет вид
тогда как другая задается соотношениями
где (К, (л) Ф @, 0). Теперь утверждения (i), (ii), (iii) получаются
непосредственной проверкой.
13.7.12. ТЕОРЕМА (Картан — Дьедонне). Всякое отображение
f ? О (q) представляет собой произведение не более чем п = dim E
симметрии относительно гиперплоскостей.
Применим индукцию по п, приспосабливая соответст-
соответствующим образом доказательство из 8.2.12. Если существует не-
неизотропный вектор х, такой что f(x) = x, или если существует
такой х, что / (х)—х не изотропен, то переход от п—1 к п со-
совершается с помощью симметрии относительно гиперплоскости х1-
(см. 13.6.6.1) или с помощью 13.6.6.2.
Остается еще только случай, когда / (х)—х изотропен
для всякого неизотропного х. Но тогда, в силу 13.6.7.3, f?0+ (q)
и ?=ArtM;B частности, n = dirn?'—четное число. Пусть t $O~ (q) —
произвольная симметрия относительно гиперплоскости. Поскольку
t о f ?O~ (q), можно применить индукцию: t о f = tt.. .tk, k^.n,
откуда f = ttf...tk, и остается только показать, что k^.n—1.
Но det/ = (— 1)*+1, f€O+(q) и п четно; следовательно, равенство
k = n выполняться не может.
13.7.13. СЛЕДСТВИЕ. Если dim ? = 2, то О~ (q) состоит из сим-
симметрии относительно неизотропных прямых.
13.7.14. ПРИМЕЧАНИЯ
13.7.14.1. Можно исследовать обобщения 8.4.6: см. 13.9.14 или
[221], с. 332.
13.7.14.2. Может возникнуть желание изучить вопрос о простоте
группы О+ (q) (по модулю ее центра): см. [76]. Что касается ис-
исследования коммутаторов в О+ (q), см. [76] или [221]. В этих же
работах изучен центр группы 0+ (q) и обобщения евклидовых
подобий.
34
Гп. 13. Квадратичные формы
13.7.14.3. Обобщения результатов § 8.10 касаются, естественно,
О(п, С) и О (г, s) (см. 13.6.1). Но здесь мы не получим ничего
нового по сравнению с § 8.10, раз мы знаем, что группа О (п, С)
гомеоморфна произведению O(n)xR"(""I)/2, а О {г, s) — произве-
произведению О (г) х О (s) х Rrs. Что касается этих гомеоморфизмов, кото-
которые можно получить элементарным способом (о первом из них
см., например, [55], с. 30 русского перевода), то речь здесь идет
о частном случае общей теоремы о том, что всякая группа Ли
разлагается в топологическое произведение компактной группы Ли
и векторного пространства (см. [134], с. 235 и замечания на с. 268
русского перевода). Элементарный случай группы 0A, 1) будет
изучен в § 13.8.
13.7.14.4. Можно также поискать аналоги утверждений 8.4.5
и 8.4.6 о минимальном числе симметрии (или переворачиваний)
в разложении / (см. [221], с. 255 и 260, или [4], с. 177 русского
перевода). Как уже отмечалось в 13.6.9, при тонком исследова-
исследовании О (q) потребуются алгебры Клиффорда, которые вообще пред-
представляют собой весьма важные и современные математические
объекты (АГ-теория в алгебраической топологии, дифференциальные
операторы). Здесь можно указать работы [191], [4], [33]1); при-
приложения, обнаруженные в последнее время, можно найти в [6]
и [140], с. 147 и далее русского перевода.
13.8
ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ: ПЛОСКОСТИ АРТИНА,
ГРУППА 0A, 1)
В этом параграфе dim ? = 2 (а форма q по-прежнему
невырожденна).
13.8.1. предложение, (i) Группа О+ (Е) абелева.
(и) О~ (Е) состоит из симметрии относительно не-
неизотропных прямых.
(Hi) Для любых f € О+ (?), g g О~ (Е) справедливо соот-
соотношение gfg'1 =/~1.
Утверждение (и)—это не что иное, как 13.7.13. Пусть
f€O+(E), geO-(E); тогда g-lf^O~{E) и f = gg', где g, g' g
6O~(?). Отсюда, в силу (ii),
Далее,
l) См. также Казанова Г, Векторная алгебра: Пер, с франц.—М.: Мир,
1979,— Прим. ред.
35
13.8 Двумерный случай: плоскости Артина, группа О A, 1)
Пусть, наконец, /, /' ? О+ (Е). Выберем произвольное g
из О- (?). В силу (ш),
ff = (gf-'g-1) (gf'-'g'1) = g (Г1/') g-1 =
13.8.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть E = Art2, и пусть в Е выбран такой
базис, что матрица формы q имеет вид (j о) (см- 13.1.3.8).
Тогда матрица А отображения f в этом базисе удовлетворяет
соотношениям
0 k~l
В частности, группа О+ (q) изоморфна К*-
13.8.2.1. Обратим внимание на то, что этот изоморфизм зависит
от выбора базиса. Если мы хотим избавиться от такой зависи-
зависимости, то достаточно фиксировать одну из изотропных прямых,
что эквивалентно выбору ориентации Е в случае К = R. Связь
с ориентацией состоит в следующем: {х, у\, где xg/, а у 6 J,
является положительным базисом, если сектор между R+x и R+i/
образован лучами, на которых д>0 (см. 8.7.5.4).
Для того чтобы доказать 13.8.2, воспользуемся 13.7.10.
Если f?O+(q), то с необходимостью /(/) = / и f(J) = J. Значит,
/l = (o/t)'HO тогда h = k~1, поскольку detf = l. Если f?O~(q),
то А = (,г\) и h = k~1. Обратно, легко видеть, что эти две мат-
\К У)/
рицы удовлетворяют 13.6.5.
Теперь мы собираемся выяснить, что происходит с поня-
понятиями и результатами из § 8.6, 8.7 для Art2, когда, кроме того,
/C = R. Речь идет, таким образом, с точностью до изоморфизма
о группе 0A, 1) (см. 13.6.1). Что касается исследования 0 (q)
в двумерном случае при К ф R, см. [221], с. 271—310, или [33],
с. 421—445 русского перевода.
В остальной части этой главы (Е, а) = Art2 и К — R.
13.8.3. ТОПОЛОГИЯ ГРУППЫ О(Е). ОРТОХРОННЫЕ ВРАЩЕНИЯ. Оче-
Очевидно, что отображения
из 13.8.2 являются гомеоморфизмами на их образ. Следовательно,
О (Е) имеет четыре связные компоненты, каждая из которых гомео-
36 Гп. 13. Квадратичные формы
морфна R+. Обозначим через О++ (Е) связную компоненту единицы
группы О (Е). Назовем элементы этой подгруппы ортохронными
вращениями пространства Е. Это те элементы, матрица которых
iq с о (k ° N\ *,-. п
в таком же базисе, как в lo.o.z, имеет вид ( q ?-1 ), где b>U.
13.8.4. ОРБИТЫ. Поскольку q может принимать как положитель-
положительные, так и отрицательные значения, О (Е) не транзитивна на GEt t
(см. 13.6.8), но О+ (?), напротив, транзитивна на тех прямых,
на которых q > 0, и на тех, на которых q < 0, в силу 13.7.9 или
как это видно непосредственно в рассматриваемом сейчас простом
случае. На рис. 13.8.4 изображены орбиты О++(Е) в самом Е,
а стрелки показывают направление движения, когда k в матрице
@ k~l) изменяется от 0 до + оо в R* (все это в некотором вы-
выбранном базисе, см. 13.2.3.1 или 13.8.5). Оказывается, почти все
эти орбиты представляют собой гиперболы, что и послужило по-
поводом для названия (которым мы, однако, не будем пользоваться,
У
Рис. 13.8.4
Рис. 13.8.5
ем. 13.1.4.4) «гиперболическая плоскость». Но это же обстоятель-
обстоятельство служит основанием для того, чтобы ввести термин «гипер-
«гиперболическая геометрия» в связи с данной ситуацией или ее обобще-
обобщениями (см. 13.8.9 и всю гл. 19).
Таким образом, мы видим на рис. 13.8.4 и можем легко
доказать, что 0++(?) имеет в GBil четыре орбиты—две изотроп-
изотропные прямые, где q = 0, прямые, где д>0, и прямые, где q < 0.
На множестве лучей группа О++(Е) имеет восемь орбит, куда
37
13.8 Двумерный случай: плоскости Артина, группа О A, 1)
кроме четырех изотропных лучей входят четыре ограниченных
ими открытых квадранта. Кроме того, О+ (?) просто транзитивна
на лучах с q > 0, а О+ + (Е) просто транзитивна на лучах одного
из указанных открытых квадрантов и на прямых с <7>0.
13.8.5. углы. Таким образом, можно скопировать § 8.7 и по-
построить теорию ориентированных углов в Е между лучами или
прямыми для ортохронной группы О++(Е). Мы предоставим это
читателю. Однако аналог § 8.3 заслуживает уточнения и будет
использован в гл. 19. Мы хотим измерять в Е углы между пря-
прямыми с q~>0, т. е. найти отображение R>—»O++(?), которое
задавало бы гомоморфизм аддитивной группы R в О++ (Е). Здесь
это сделать легче, чем в § 8.3. Фиксируем в Е базис, в котором
матрица формы q имеет вид 1 j q ), или, что сводится к тому же
самому, выберем первую изотропную прямую 1, и пусть J — вто-
вторая. Тогда отображение / ? 0++ (Е) полностью определяется числом
&6R+ из матрицы (q ?-i), а искомый гомоморфизм должен быть
из R в R+, и, следовательно, мы приходим к экспоненциальному
отображению t*—.>ex> В противоположность Л из 8.3.7, получен-
полученное здесь отображение биективно.
В случае ориентированного Е назовем величиной угла
АА' между двумя прямыми с q > 0 единственное вещественное
число t, такое что Д' = /(Д), где матрица отображения / имеет
(ех 0 \ ..
вид Iq e-t) • Интересно, что эту величину можно вычислять
чисто проективным способом с помощью двойного отношения.
13.8.6. предложение. Для I, J, выбранных в соответствии
с выбором базиса, следующее соотношение справедливо для всех
прямых А, Д' с q > 0:
(величина (ДА*)) =^ log ([А, А', /, /]),
где двойное отношение вычисляется на проективной прямой Р (Е),
порожденной Е.
Как и формула Лагерра (см. 8.8.7.2), формула 13.8.6
(k Q \ R „
непосредственно вытекает из вида матрицы (q ^-i ) и из о.о.о.
13.8.7. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ РАССТОЯНИЕ И НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ
УГЛЫ. Что могло бы в данной ситуации быть аналогом неориен-
неориентированных углов из § 8.6? Следуя 8.8.7.4, положим для двух
прямых с q > 0
13.8.8.
ДА'-^Ч log ([А, А<> J'
38
Гп. 13. Квадратичные формы
Это определение, в силу 6.3.1, зависит лишь от (Е, q) и не за-
зависит от выбора /, J. Всегда ДД' = |ДД'|, и читатель проверит
сам, что ~ — это расстояние на множестве прямых с^> 0. Кроме
того, ДД'+Д'А" = ДД" в том и только том случае, если Д' лежит
между А и А" в смысле 8.7.5.2 (ср. с 6.8.1 и 8.7.5.3). Есть
и другой, более простой способ определить ДД' по аналогии
Рис. 13.8.8
с 8.6.3. Для этого мы воспользуемся гиперболической тригоно-
тригонометрией, а точнее функцией arch, определение которой мы напом-
напомнили в § 0.5. Имеет место следующее утверждение.
13.8.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Д, А'— две прямые с <? > 0. Тогда
для любых | g Д\0, I' ? Д'\0 скаляр А— }^=-
Vq(l)Vq{V)
^ 1 и справедливо равенство
оказывается
АД'= arch
Р (I. E')
Vq (I) \Tq (V)
зисе
Выберем базис, в котором q = 2xy, и пусть в этом ба-
ба(a, b), i'=(a', Ь')\ тогда
P(s, ¦') _ аЬ'+а'ь
V7W YqW) ~ 2 -\TWTF '
а эта величина с очевидностью ^ 1. Наконец, если Д'=/(Д)
(ё 0 \
и матрица f имеет вид (q e-t j , то а' =е*а,Ь' =efb и, следовательно,
(I) Vq (V)
13.9 Упражнения
13.9 УПРАЖНЕНИЯ
13.9.1. Пусть q—квадратичная форма на Е с радикалом rad(<?).
Покажите, что q определяет естественным образом квадратичную
форму на векторном факторпространстве ?/га i (q) и что эта новая
форма всегда невырожденна.
13.9.2. Исследуйте для заданного конечного семейства {ф(-} с Е*
и скаляров k( g К* ранг и радикал квадратичной формы 2 k^j.
i
13.9.3. Пусть F — подпространство в Е. Покажите, что всякое
пространство V, такое что V z> F, V не сингулярно и dirnV=:
= dimF + dim (rad (F)), имеет вид 13.3.4.1.
13.9.4. Сведите классификацию квадратичных форм к классифи-
классификации анизотропных форм.
13.9.5. Докажите, что с помощью практического метода из 13.4.8
всегда получаются линейно независимые линейные формы, число
которых равно рангу q.
13.9.6. Приведите к каноническому виду форму q = xtx2 + хгх3 +...
• ¦ • +xn-ixn ± xnxi и исследуйте ее ранг.
13.9.7. Выясните, можно ли свести 13.4.8 к доказательству из
13.4.1, и укажите точное соответствие.
13.9.8. Приведите к каноническому виду следующие квадратичные
формы на R4l
хг + у2 + 2 (г2 +12) + хг + xt + zt;
Ы* + уг -f- zx + ху + р. (х + у -+• z) t (выясните, что полу-
получится при разных i и [i)j
4х2 + 3у2 + 9z2 + 8xz + 4xy + 4yt + 8zt + kt2 (что полу-
получится при разных А.?).
Выпишите соответствующие полярные формы (см. 13.1.3.6).
13.9.9. Покажите, что при К = О. и rc = dirn?' = l существует бес-
бесконечно много неизометричных (Е, q).
13.9.10. Покажите, что если п = 1 и К конечно, то существует
ровно три класса квадратичных форм.
13.9.11. Покажите, что если К = R, п~^Ъ и две квадратичные
формы q и q' удовлетворяют соотношению q(x) -\-q' (x) > 0 УхфО,
то для них есть общий ортогональный базис.
13.9.12. Выпишите в явном виде условия, которым должны удов-
удовлетворять 16 элементов матрицы из 0C, 1).
13.9.13. Исследуйте центр групп О {q) и О+ (q).
13.9.14. Покажите, что О+^) порождена переворачиваниями.
13.9.15. Покажите, что если f^O(E) удовлетворяет условию
леммы 13.6.7.3, то с необходимостью E = A.rtip. Покажите, что
в этом случае действительно существует /, удовлетворяющее ус-
условию леммы 13.6.7.3.
13.9.16. Покажите, что О (Е) всегда некоммутативна, за единствен-
единственным исключением, когда ? = Art2 и К — поле из трех элементов.
Глава 14 Проективные квадрики
14.1 Определения, примеры
14.2 Подпространства в PQ(?);
пучки квадрик
14.3 Топологические и диф-
дифференциальные свойства
квадрик при К = R или С
14.4 Квадрики в размерности
п = 4с нейтральной фор-
формой q
14.5 Двойственность относи-
относительно собственной квад-
квадрики: полярность
14.6 Двойственность: касатель-
касательные квадрики, тангенци-
тангенциальное уравнение
14.7 Группа собственной квад-
квадрики
14.8 Упражнения
Исторически проективные поверхности второго порядка (квад-
(квадрики) возникли как проективное пополнение обычных поверхно-
поверхностей второго порядка, причем начиналось все с аффинных евкли-
евклидовых конических сечений. В нашей книге изложение ведется
в обратном порядке: проективные квадрики определяются как
объекты, связанные в некотором проективном пространстве
с квадратичной формой присоединенного векторного пространства.
Поэтому можно сказать, что в некотором смысле теория про-
проективных квадрик — это переведенная не другой язык теория
квадратичных форм, причем перевод осуществляется с помощью
некоторого словаря, который мы станем составлять по мере
изложения материала данной главы. Эта и следующая глава
содержат лишь немного трудных мест. Однако ее присутствие
оправдано тем, что одного только словаря еще недостаточно
лля непринужденного разговора на иностранном языке. Такой
результат, как 14.5.4.3, требует уже некоторой практики.
Именно поэтому данная глава довольно растянута. В гл. 16 мы
воспользуемся построенными здесь средствами, чтобы доказать
менее очевидные результаты.
Основная идея состоит в том, что в проективное пространство
можно перенести любое понятие, ведущее происхождение из
теории векторных пространств и теории квадратичных форм,
если это понятие не зависит от умножения на ненулевые ска-
скаляры. После первых определений мы сразу применяем в § 14.2
тот факт, что квадрики в проективном пространстве сами обра-
образуют проективное пространство. В частности, в гл. 16 важную
роль играет понятие пучка квадрик. В § 14.3 изучается пла-
пластическая, визуальная природа квадрик, когда основное поле
совпадает с полем вещественных или комплексных чисел, по-
подобно тому как в § 4.3 мы изучали вещественные и комплексные
проективные пространства. В § 14.4 рассматривается трехмер-
трехмерный случай и так называемые линейчатые поверхности второго
порядка, которые очень просто определяются геометрически,
Параграфы 14.5 и 14.6 посвящены вопросам двойственности.
Понятие полярности относительно квадрики играет важную роль
41
14.1 Определения, примеры
в приложениях. Фактически мы с ним уже встречались в 11.1.5
в случае выпуклых множеств.
Конические сечения будут подробнее изучены в гл. 16.
Во всей этой главе через Е обозначено векторное пространство
конечной размерности п-\-\ над полем К характеристики ф 2.
Через Р (Е) обозначено проективное пространство, порожден-
порожденное Е, а через р: Е\0 —* Р (?) — каноническая проекция. Через
Q (Е) обозначено векторное пространство квадратичных форм
на Е. Если q— квадратичная форма на Е, то соответствующая
полярная форма обозначается через Р. Мы всегда предполагаем,
что dim/5 (Е)-п^ 1.
14.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ
Пусть задана форма q€Q(E). Проекция р (q'1 {0)\0) в Р (Е) ее
изотропного конуса без 0 не изменится, если заменить q на kq,
k?K*, откуда возникает идея ввести PQ (?) = Р (Q (?)) — проек-
проективное пространство, порожденное векторным пространством Q (?).
Заметим также, что при замене q на kq не меняются ни ранг q,
ни ее индекс (см. 13.2.1 и 13.7.5), ни ее радикал. Это приводит
к следующим определениям.
14.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Назовем (проективной) квадрикой (или по-
поверхностью второго порядка *)) в Р (Е) любой элемент а из PQ (?);
образом а называется
где p(q)=a. Проективное пространство квадрик из Р (Е)—это
PQ(E). При п = 2 эти поверхности называют также кониками
(или коническими сечениями). Если p(q) = a, то q называют урав-
уравнением квадрики а или ее образа im(a). Квадрика а называется
собственной, если какое-нибудь из ее уравнений невырожденно.
Ранг а — это ранг одного из ее уравнений; аналогично опреде-
определяется индекс а. Квадрика называется вырожденной, если таково
одно из ее уравнений.
14.1.2. ПРИМЕЧАНИЕ. В дальнейшем мы не будем уточнять:
«д есть уравнение а», всегда подразумевая, что через q, q' и т. д.
обозначены уравнения квадрик а, а' и т. д.
1) В оригинале всегда употребляется только термин «квадрики», но в пере-
переводе мы предпочли использовать равноправным образом два термина:
«квадрики» и «поверхности второго порядка» (точнее надо бы говорить
«гиперповерхности»), а также «коники» и «конические сечения»; впрочем,
в проективном случае мы чаще говорим о «квадриках» и «кониках»,
а в аффинном случае — о «поверхностях» и «конических сечениях»,—
Прим. ред.
42
Гл. 14. Проективные квадрики
Ранг квадрики всегда ^ 1, поскольку форма q = 0
исключена.
14.1.3. ПРИМЕРЫ
14.1.3.1. Если q анизотропна, то im(a) = 0, как и в случае
евклидова пространства, где q = \ • f. Но это еще не причина для
того, чтобы не говорить о квадрике а и особенно о соответству-
соответствующей полярной форме Р (см. 14.5.2.0). Если, напротив, К алгеб-
алгебраически замкнуто, то im (a) Ф 0 Va g PQ (?), Vn ^ 1, например,
в силу 13.7.6.
14.1.3.2. Предложение. Пусть п = \ и а — некоторая квадрика.
Если rang (а) = 1, то im (а) состоит из одной точки; если
rang (а) = 2, то либо im(a) = 0, либо im (а) состоит из двух
ШР<Е)
im(a)
Рис. 14.1.3.2
\ Ранг 2
im(a)
-Р(Ю\
различных точек. Кроме того, если а'— другая квадрика в Р (Е)
и im(a) = im(a'), im(a)^0, то a = a'.
Для доказательства достаточно применить 13.2.3.4
и 13.2.3.1.
14.1.3.3. Наследственность. Пусть а—квадрика вР(Е) nS = p(F) —
проективное подпространство в Р (Е). Тогда если F не является
вполне сингулярным для q, то можно определить пересечение a
G S как такую квадрику a(]S, для которой уравнением является
сужение q \F. Разумеется,
im (a П S) = irn (a) fl 5.
Если же F вполне сингулярно, то S с im (а), и наоборот.
14.1.3.4. Пересечение с прямой. Объединив результаты 14.1.3.2
и 14.1.3.3, мы придем к следующему утверждению. Пусть
a€PQ(?) и D = p(F) — прямая в Р (Е). Тогда D с im(a) в том
и только том случае, если F вполне сингулярно. Пересечение
D П im (a) состоит из одной точки в том и только том случае,
если F сингулярно, но не вполне сингулярно; в противном
случае Dnirn(a) пусто или состоит из двух точек. В частности,
из # (Dflim(a))>3 следует, что D с im (a).
14.1.3.5. Определение. Подпространство St=p(F) в Р (Е) назы-
называется касательным к квадрике а, если F сингулярно для q; оно
также называется касательным подпространством к а в т для
всех mgim(a)nS. Если а собственная, то гиперплоскостью,
касательной к а в mgim(a), называется проективная гипер-
гиперплоскость р(хх), где р(х) = т (см. 13.3.1).
43
14.1 Определения, примеры
14.1.3.6. В силу 14.1.3.4, для того чтобы проективная прямая D
была касательной к а, необходимо и достаточно, чтобы карди-
кардинальное число #(Dnim(a)) либо равнялось 1, либо было ^ 3.
Когда а собственная, гиперплоскость, касательная к а в точке х,
совпадает с объединением всех прямых, касательных к а и со-
содержащих точку х. Действительно, в силу 14.1.3,4, либо
О с im (a), либо Df)Dx = \x\, и, следовательно, D[)D^^x
в обоих случаях. Таким образом, в силу 13.3.2, (DnD1I с лг-Ц
значит, <О->-иО> с л:1 и, в частности, D с x-L.
14.1.3.7. Здесь мы дадим интерпретацию 9.5.5 на языке квадрик.
Если X —аффинное евклидово пространство, то комплексифика-
ция Wc квадратичной формы, задающей норму на X, принадлежит
Q (Xе) и, следовательно, определяет квадрику из Р {Xе), которую
мы назвали омбилическим образом X. Эта квадрика собственная
и, следовательно (см. 14.1.3.1 и 14.1.3.2), когда dimX = 2, со-
состоит из двух точек, называемых круговыми точками прост-
пространства X.
14.1.3.8. Образ при изоморфизме. Пусть Е,_ Е'—два векторных
пространства, / ? Isorn (?; Е'), и пусть с / связан изоморфизм
/€ Isom (/>(?); Р (?")) (см. § 4.5) и agPQ(?). Назовем образом а
при изоморфизме f квадрику из Р(Е') с уравнением ((f)~1)*{q)
(см. 13.1.3.9), где q—уравнение квадрики а; обозначим этот
образ через /(а). По определению
В частности, проективная группа GP (Е) пространства Р (Е) дейст-
действует и в PQ (E) (причем без обращения группового закона,
в отличие от 13.1.3.9).
14.1.4. КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ, ЯВНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
14.1.4.1. Воспользуемся однородными координатами (см. 4.2.3),
отвечающими базису iet) в Е. Если А—матрица формы q
в этом базисе (см. 13.1.3.6), то irn (а) — множество таких точек
X = (x0, х, хи), что
' хп
I. I
14.1.4.2. Условие, что квадрика а собственная, равносильно
тому, что det Л =?^= 0 (в силу 13.2.2.4). Отсюда следует, что
в PQ (E) вырожденные квадрики образуют алгебраическую гипер-
гиперповерхность (я4-1)-й степени.
44
Гп. 14. Проективные квадрики
14.1.4.3. Если в заданном базисе пространства Е форма q имеет
матрицу А, а / ? GL (?) имеет матрицу S, то для образа /(а)
матрица его уравнения имеет (в силу 13.1.3.10 и 14.1.3.8) вид
«s-ms-1.
14.1.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В СЛУ-
СЛУЧАЕ /C = R ИЛИ С. Речь идет о том, чтобы найти орбиты PQ(?)
под действием группы GP(?), которое определено в 14.1.3.8.
Поскольку в 13.4.6 и 13.4.7 мы нашли орбиты группы GL (?),
действующей в Q (Е), и так как GP (F.) = GL (Е)/К* ldE (см.
4.5.9), то нам остается выяснить, как действует /С* ldE на
орбиты Q (Е). В комплексном случае, поскольку ранг инвариантен
относительно преобразования q*->kq(k ?С), в PQ (Е) орбит ока-
оказывается не меньше, чем в Q (Е). Напротив, если K = R и q
имеет сигнатуру (г, s), то сигнатура "kq при X < 0 оказывается
равной (s, г). Отсюда мы получаем следующий результат.
14.1.5.1. Теорема. При К = С квадрики из Р (Е) образуют под
действием GP (E) всего п +1 орбит, которые индексируются
с помощью ранга k, 1<1&<1я + 1. Если же /С = R, то орбиты
индексируются парами (г, s), где
в частности, существует [(п+ 1)/2] + 1 типов собственных квад-
квадрик {где [•] обозначает целую часть).
14.1.5.2. Примечания. Здесь можно сделать то же замечание,
что и в 13.4.3.
В вещественном случае, в силу 13.7.6, орбиты можно
классифицировать с помощью их ранга и индекса, поскольку
rang (q) — г + s и ind(^) = s. Из недавних работ, посвященных
классификации, см. [179].
@,1) *2 = 0
A,2)
Рис. 14.1.5.3
45
14.1 Определения, примеры
14.1.5.3. Примеры. Если К алгебраически замкнуто, то имеется
только одна орбита собственных квадрик.
В случае /C = R при п = 1 имеется три типа: @, 1),
@, 2), A, 1), которые приводят соответственно к одной точке,
пустому множеству и к двум точкам. При п = 2 возникает пять
типов: @, 1), @, 2), A, 1), @, 3), A, 2), которые приводят соот-
соответственно к прямой (которая называется двойной прямой), точке,
двум прямым, пустому множеству и собственному коническому
сечению. Если н = 3, то мы приходим к трем типам собственных
квадрик: @, 4), A, 3), B, 2), которым соответствуют пустое мно-
множество и два типа квадрик. По поводу топологии примеров A,2)
при п = 2 и A, 3), B, 2) при п=3 см. 14.3.3.
14.1.6. ТЕОРЕМА О НУЛЯХ
14.1.6.1. Отображением образа мы называем отображение im(-):
PQ (?)—»¦ 5s (P (E)), областью значений которого является мно-
множество подмножеств из Р(Е). Определение квадрики 14.1.1
приобрело бы большую ценность, если бы это отображение
оказалось инъективным: тогда алгебраическое и геометрическое
определения были бы эквивалентны. Вообще говоря, это не так.
Например, при ? = R3 поверхности (кривые) второго порядка
с уравнениями q — x2 + y2 и q' = x2-\- 2уг имеют один и тот же
образ, а именно точку с проективными координатами @, 0, 1),
тогда как эти уравнения задают две различные квадрики. Тем
не менее справедлив следующий результат.
14.1.6.2. Теорема. Если К алгебраически замкнуто, то отобра-
оюение im(-): PQ (?) —* 3s (P (?)) инъективно.
Пусть q, q' таковы, что р{я~1(Щ\^)—р[я'
В силу 14.1.3.1, существует х??\0, для которого q()
Можно считать, что q' (x) = q(x), с точностью до умножения q'
на константу. Пусть у ? ?\0 таково, что р(у)Ф р{х). Обозначим
через D проективную прямую <.р{х), р(у)У- В силу 14.1.3.2, из
равенства D(]\m(p (q)) = D f\\m(p(q')) следует, О 'О
и, в частности,
Название «теорема о нулях» (Nullstellensatz) относится к одной
общей теореме об алгебраических многообразиях, весьма частным
случаем которой является 14.1.6.2 (см., например, [102], с. 21).
По поводу случая AT = R см. 14.8.9.
14.1.7. сведение к невырожденному Случаю. В данном пункте
мы хотим описать, что дает замечание 13.2.2.6 геометрически,
если рассматриваются образы. Назовем особой точкой квадрики а
всякую точку из p(rad(<7)); множество таких точек представляет
собой проективное подпространство, которое называется радика-
радикалом квадрики а. Практически если q<r*A в некотором базисе
\es\, то речь идет о вектор-столбцах X, таких что Лл=0, т.е.
46
Гл. 14. Проективные квадрики
о собственных векторах матрицы А с собственным значением О,
или, по-другому, о решении системы 2а,-/л/ = 0 Vi, или, нако-
нец, о решении системы уравнений dq/dxj — О (см. 13.1.2).
Пусть ? = rad(g)@G— прямая сумма, А—радикал а,
т. е. А = р (rad(<7)), и В—образ квадрики с уравнением q\a в под-
Рис. 14.1.7.1
пространстве р (G) с Р (Е); А и В—подмножества пространства
Р(Е). Если 5=0, то im(a)=A. Если же б=?0, то справед-
справедливо следующее утверждение.
14.1.7.1. Предложение. Образ а представляет собой коноид
с вершиной А и основанием В, т. е. подмножество из Р (Е),
состоящее из всех проективных прямых </п, п>, т?А, п?В.
Пусть х?Е\0 таково, что р (х) gim(a), т. е. q(x) = 0.
Положим х = у-\-г, где y^rad(q) и z<~G. Тогда
О = q (х) = q (у + г) = q (у) + 2Р (у, z) + q(z) = q (г),
и, следовательно, у может быть произвольным в rad (q), а г
в <Г'(О).
14.1.7.2. Например, если dim(r(^)) = 1, то im (а) — настоящий
конус в Р (Е) с вершиной p(rad(q)), основание которого совпа-
совпадает с образом собственной квадрики В в p(G). Частный случай
этого примера: а—собственная квадрика в Р{Е), а т—точка
из im (а); мы хотим выяснить, что представляет собой квадрика
аС\Н — пересечение а с гиперплоскостью Н, касательной к а в т
(см. 14.1.3.3 и 14.1.3.5). В силу 13.3.2, радикал формы д\р~цн)
имеет размерность 1; следовательно, im(an#) есть конус в Н
с вершиной т и основанием, совпадающим с некоторой собст-
собственной квадрикой.
47
14.2 Подпространства в PQ (?); пучки квадрик
Так, если я = 2, то im (a П Н) сводится к точке т;
если п = 3, то im (a П Н) либо сводится к точке т, либо состоит
из двух различных прямых в Я, проходящих через т (все это
Г
Рис. 14.1.7.2
следует из 14.1.3.2). Два предыдущих случая реализуются на
самом деле для типов A,3) и B, 2), как это показано на
рис. 14.1.5.3.
14.2 ПОДПРОСТРАНСТВА В PQ (?); ПУЧКИ КВАДРИК
Из 13.1.3.6 следует, что dim Q (Е) = {п+ 1) (п + 2)/2 (см. также
3.7.10). Таким образом,
14.2.1.
В частности, при л = 1, 2, 3 эта размерность равна соответст-
соответственно 2, 5, 9.
14.2.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть т?Р(Е)\ тогда
представляет собой гиперплоскость.
Пусть т = р(х), a = p{q); условие m?im(a) равно-
равносильно условию q(x)=*0, которое линейно по q и нетривиально,
поскольку х =7^=0.
48
Гл. 14. Проективные квадрики
14.2.3. СЛЕДСТВИЕ. Пусть {m,-}i=i,.... л—точки в Р (Е). Тогда
множество {agPQ(?): mt? irn(a)Vi} представляет собой под-
подпространство в PQ (Е) размерности ^ " ("~т~ '—^. В частности,
через /г(п + 3)/2 точек из Р (Е) всегда проходит по меньшей мере
одна квадрика.
14.2.4. ПРИМЕРЫ. Через 5 различных точек проективной пло-
плоскости всегда проходит по крайней мере одно коническое сече-
л=1
ние; вопрос о единственности такого сечения мы рассмотрим
в 16.1.4.
Второй пример интереснее. Пусть п = 3, и пусть
D, D', D"—прямые в Р (Е). Тогда существует по крайней мере
одна квадрика а, такая что irn (a) zj D U D' U D". В самом деле,
отметим на каждой из этих прямых три различные точки. Тогда
наше утверждение следует из 14.2.3 и 14.1.3.4.
14.2.5. ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ. Не всякая гиперплоскость в PQ (?)
имеет вид 14.2.2. Мы вернемся к этому вопросу в 14.5.4.6.
Несмотря на свою простоту, изложенное ниже имеет
многочисленные геометрические приложения, как, например,
16.5.3 и § 17.5.
14.2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая из PQ (E) называется пучком
квадрик.
14.2.7. ПРИМЕРЫ
14.2.7.1. Практически (см. 4.6.7) пучок ? квадрик определяется
двумя различными квадриками a, a':<F = <a, а'>. Если u = p(q),
a'=p(q'), то {Xq + X'qr: (X, ХГ)Ф(О, 0)} есть множество урав-
уравнений квадрик из ?.
14.2.7.2. В силу 14.2.3, если {mj(i-lt .... в(в + 3>—1)_
точки из Р{Е), то множество {а ? PQ (?): m;girn(a)Vi} будет,
вообще говоря, пучком. Например, если n=s2 и через ср, -ф, |, т)
обозначить уравнения прямых <ти т2>, </п3, /л4>, (ти /п3>,
<m2, т4> (т. е. линейные формы на Е), то пучок ? конических
49
14.2 Подпространства в PQ (?); пучки квадрик
сечений, проходящих через т1} т2, т3, mt, будет определяться
уравнениями Х.фг)з + Х'^т] (см. 13.1.3.3).
14.2.7.3. Назовем базой пучка ? и обозначим base (?) подмно-
подмножество base(<F)= П im (а) в Р(Е).
т
Рис. 14.2.7.2
14.2.7.4. В силу 14.2.2 и 4.6.12, если заданы пучок ? и точка т
из Р (Е), то через т, вообще говоря, проходит какая-то квад-
квадрика из ?.
14.2.7.5. Для того чтобы найти вырожденные квадрики некото-
некоторого пучка ?, мы воспользуемся 14.1.4.2. Пусть q и q' опреде-
определяют ?, q<r-*A, q' <-> А'. Квадрика с матричным уравнением
КА-\-К'А' будет вырожденной в том и только том случае, если
det (kА + Х'А') = 0. Поскольку речь идет об однородном полиноме
степени я+1 относительно переменных (X, X'), то он либо имеет
не более п + 1 различных корней на проективной прямой Р {К2),
либо тождественно равен нулю. Таким образом, либо все квад-
квадрики из ? вырожденны, либо ? содержит не более п +1
вырожденных квадрик. Например, если К алгебраически замкнуто,
то, вообще говоря, ? содержит /г+1 вырожденных квадрик. Пол-
Полное обсуждение этого вопроса при п = 2 см. в § 16.5.
Пучок квадрик называется вырожденным, если все
входящие в него квадрики вырожденны.
14.2.8. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
14.2.8.1. Предложение. Пусть ? — пучок квадрик из D = P{E),
где п — dim Р (Е) = 1 (т. е. D—проективная прямая). Тогда ?
невырожден и принадлежит к одному из следующих двух типов:
(i) существует такое mo?D,
что
при
{a€PQ(E):
п = 1 непустой
im (а) = \т0, т\, т ? D] (напомним, что
образ определяет а; см. 14.1.3.2);
(и) существует такая инволюция f прямой D (см.
§ 6.7), что
, Vm ? Р (Е) Г) im (a): Dnirn(a) = {m, / (m)\.
50
Гп. 14. Проективные квадрики
14.3 Топологические и дифференциальные свойства квадрик
Обратно, для любой инволюции f прямой D существует такой
пучок ? квадрик из Р (Е), что
D Dim (a): Dnim(a) = {m, f(m)\.
Пусть a, a'?? обе вырождении и a=^=a'; в^ силу
14.1.3.2, можно написать а = р(ср2), а' = р(ср'2), где ср, ц>'?Е*.
Тогда ф2 + ф'2—уравнение некоторой квадрики из ?, и эта квад-
квадрика собственная. Таким образом, пучок ? не может быть
вырожденным.
Возьмем теперь а??, где а—собственная квадрика
и 1ш(а)=т^0 (существование такой квадрики а следует из 14.2.7.4).
Выберем в D такие однородные координаты (х, у), что
im(a) = {p(l, 0), р@, 1)\.
Следовательно, в этих координатах уравнение а можно записать
в виде 2ху. Пусть ах2 + 2Ьху + су2 —уравнение a'g<F, «.?=«;
можно взять, например, сфО. Достаточно изучить Dnim(P),
Pf\. Поэтому все сводится к исследованию уравнения
ах* + 2bxy + cy* + k Bху) = ах2 + 2 (Ь + >.) **/ + су2 = 0,
Поскольку с ф 0, точка @, 1) не является решением
этого уравнения. Следовательно, можно искать решения в виде
A, t), где t совпадает с корнями уравнения
Эти корни, удовлетворяющие условию tt' = a/c, переходят тем
самым друг в друга под действием инволюции /, определенной
на D соотношением f(t) = a/ct (и /@) = оо, /(оо) = 0, см. 5.2.4).
Обратно, из доказательства 6.7.3 вытекает, что в под-
подходящих однородных координатах произвольную инволюцию f
можно записать в виде f(t) = k/t, k?K*. Предыдущие выкладки
показывают, что искомый пучок ? можно определить двумя
уравнениями:
q = 2ху и q = кх2 + у2.
14.2.8.2. Примечания. В случае (ii) двойные точки нашей инво-
инволюции в точности совпадают с вырожденными квадриками из
данного пучка; следовательно, всего их 0 или 2 (см. 6.7.2).
В случае (i) всегда есть ровно одна вырожденная квадрика
с образом {то\.
14.2.8.3. Следствие (теорема Дезарга). Пусть dim? произвольна,
g-LJ.пучок квадрик из Р (Е) и D—прямая в Р(Е). Предположим,
далее, что {af]D: а??\—пучок квадрик из D, т. е. (см. 14.1.3.3)
что Va ? <F: D <? irn (a) u
Dfl
Тогда Vm ? D существует единственная квадрика am?iF, такая
что /n^im(a^), и отображение f: D —* D, определенное соотно-
соотношением im(am) = {m, f(m)\, m?D, представляет собой инволюцию
Рис. 14.2.8.3
прямой D. Ее двойными точками являются точки пересечения
с D тех а??, которые касаются D (см. 14.1.3.5); в частности,
имеется 0 или 2 квадрики из ?, касающиеся D.
14.3
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
КВАДРИК ПРИ /f=R ИЛИ С
В этом параграфе К — R или С.
Проективное пространство Р (Е) обладает естественной топологией
(§ 4.3), и, следовательно, im (a) с Р (Е) (а ? PQ (?)) имеет струк-
структуру топологического пространства. Изучим эти пространства.
14.3.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Всякий непустой образ квадрики компак-
компактен; при п J=5 2 он, кроме того, линейно связен.
Компактность доказывается так же, как и компакт-
компактность проективных пространств в 4.3.3.2. Используя введенные
там обозначения, легко видеть, что если q—уравнение квадрики
а € PQ (Е), то im (a) = р {q~l @)\0) = р (q-1 @) п 5 (?)). Но д~> @) П
f\S(E) компактно, поскольку S (Е) компактно, а q непрерывно.
Следовательно, р (q~x @) п 5 (Е)) компактно, так как Р (Е) отде-
отделимо (см. 4.3.3).
52
Гл. 14. Проективные квадрики
В случае и = 1 из 14.1.3.2 вытекает, что im (а) может
не быть связным. Пусть впредь п !> 2. Можно ограничиться
случаем собственной квадрики а, поскольку, в силу 14.1.7.1,
im (а) линейно связно, если А и В линейно связны, так как
проективная прямая линейно связна (см. 4.3.3). Но при /C = R
линейная связность im (а), где а—собственная квадрика
с \т{а)^=0, следует из 14.3.3. Если К = С и т, ngim(a),
/п=т^п, то рассмотрим произвольную проективную плоскость S,
содержащую тип. Квадрика a()S линейно связна; если она
собственная, то это следует из 14.3.6, в противном случае это
вытекает из того, что она состоит из двух прямых (см. 14.1.7.2
и 14.1.3.2).
14.3.2. ВЕЩЕСТВЕННЫЙ СОБСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ. ТОПОЛОГИЯ КВЗД-
рик благодаря 14.1.7.1 сводится к топологии собственных квадрик.
Как это ни удивительно, вещественный случай (К = R) оказы-
оказывается проще комплексного. В силу 13.4.2, можно считать, что
г r+s=n+\
уравнение q имеет вид $] А— 2 А- Обозначим через С (г, s)
(=i »=/¦+1
образ в Р" (R) определяемой этим уравнением квадрики. Тогда
имеет место следующий результат.
14.3.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Топологическое пространство С (г, s) го-
гомеоморфно факторпространству (Sr~1xSs~1)/Zi произведения
сфер Sr~1xSs~1 no подгруппе группы O(r-\-s), состоящей из
преобразований ±IdRr+s. В частности, С(п, 1) гомеоморфно S",
а С B, 2) гомеоморфно S1xS1.
Будем рассматривать R'"+5 = R"+1 как произведение
евклидовых пространств RrxR5. Тогда уравнение а запишется
\f\\f R ?R В
просто в виде q(x, у)
й 4
xf—
ур
где x?Rr, y?Rs. Восполь-
Воспольр q(, у) \\f\\yf
зуемся техникой из 4.3.3.2, примененной в 14.3.1; получим
\т(а) = р({(х,у): \\xf-\\ г/|2 = 0 и И2 + j|i/||2 = 1}).
Но это последнее множество есть не что иное, как {(*, у): \\х\\=
= 11/||= 1/1^2}, т. е. произведение сфер радиуса 1/К из Rr
и ks. Осталось изучить действие проекции р: Rr+S —»¦ Pr+S~1 (R) =
= P(Rr+s). Но если р(х, у) = р(х', у'), то это означает, что
x'=kx, y' = ky, а поскольку
то отсюда следует, что fe = ±l.
Если s=l, то сфера Ss-1 состоит из двух различных
точек а, Ь. Тогда сужение р: Sr~1x{a\—* р (Sr~1xSs~1) = \m(a)
биективно и, значит, представляет собой гомеоморфизм.
Если r = s = 2, то из 14.4.2 следует, что im (a) гомео-
гомеоморфно произведению двух проективных прямых, или, в нашем
случае, S1xSl в силу 4.3.6.
S3
14.3 Топологические и дифференциальные свойства квадрик
14.3.4. ПРИМЕРЫ: ВЕЩЕСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ. При П = 2 сущест-
существует единственный тип непустого образа, гомеоморфный окруж-
окружности S1 (см. рис. 14.1.5.3); этот гомеоморфизм можно было бы
также получить из 16.2.4.
При п = 3 существуют два типа, гомеоморфных S2 или
тору S1xS1; первый тип представлен на рис. 14.1.5.3, а второй
обнаруживается с помощью 14.4.2. Его нелегко нарисовать в аф-
аффинном случае, поскольку плоскость всегда пересекается с С B, 2)
и мы не можем изобразить С B, 2) в аффинном пространстве.
Рис. 14.3.4
Обратите внимание на зацепленность прямых, принадлежащих
одному и тому же семейству (см. 18.8.6 и рис. 14.3.4).
Любопытен случай С D, 4) с F" (Ц). В силу 8.9.8, мы
получаем здесь гомеоморфизм с группой вращений О+ D), отве-
отвечающей R4!
14.3.5. КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУЧАЙ. В случае /С = С, согласно 13.4.2,
имеется только один топологический тип собственной квадрики,
п+1
а именно тот, который задается уравнением 2 х\ в Р"(С). Обо-
значим образ этой квадрики через С (п). Здесь нет результата,
аналогичного 14.3.3, в котором топология С(п) сводилась бы
к топологии известных пространств. Справедливо лишь следую-
следующее утверждение.
14.3.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пространство С B) гомеоморфно S2, а С C)
гомеоморфно 52xS2.
Первое вытекает из 16.2.4, а второе—из 14.4.2.
14.3.7. ПРИМЕЧАНИЯ. Читатель, несомненно, догадывается, что
топология С (п) изучена и в общем случае. Изложение этого
вопроса выходит, однако, за рамки нашей книги. Исторически
первой была работа [48]. Но на самом деле легко показать
(см. 14.8.4), что С (п) гомеоморфно вещественному грассманиану
ориентированных прямых из P"(R), который отождествляется
54
Гл. 14. Проективные квадрики
с однородным пространством
О+(п + \)/О+ (п— 1)хО+ B) (см. 8.2.8).
Топология грассманианов изучена очень подробно; в частности,
она привела к «характеристическим классам» (см., например,
[140], гл. 18).
Случаи С D) и С E) допускают специальную интерпре-
интерпретацию, связанную с изоморфизмами классических групп для О E)
и 0F) (см. [191], с. 266; см. также 20.5.7).
Что касается дифференциальной геометрии, то спра-
справедливо следующее утверждение.
14.3.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть а—собственная квадрика из Р (Е).
Ее образ С = im (а) есть подмногообразие класса С° в Р (Е)
Кх ТС
Рис. 14.3.8
коразмерности 1 при К = К и 2 при /С=С. Кроме того, для
всякого т?С касательное пространство ТтС к С в точке т
естественно отождествляется с векторным факторпростран-
ством х±/Кх, где р(х) = т (см. также 14.1.3.5).
Воспользуемся 4.2.6. Поскольку карты 4.2.4.2 принад-
принадлежат классу С°°, можно действовать следующим образом. Для
того чтобы показать, что С в окрестности т = р (х) ? С есть
подмногообразие класса С°°, выберем такую карту типа 4.2.4.2
(»!, ..., vn)*-*p(vu ...,»„, 1),
что т = р @, .. ., 0, 1). Уравнение С, перенесенное в К", имеет вид
п п
/ = 2 а(/?/ + 22а/,л+Л + ал+1,„+1=°
I. i = l ? = I
(см. 14.1.4.1), а производная /'@, ...,0) задается величинами
которые не обращаются в нуль одновременно, так как
(см. 14.1.4.2). Следовательно,
ПО 0)^=0
55
14.4 Квадрики в размерности л = ( е нейтральной формой q
и С действительно является подмногообразием класса С°° (и даже
аналитическим вещественным или комплексным, см. 4.2.6). Если
говорить о касательном пространстве ТтС, то в /С" оно совпа-
п
дает с (/'@, .... О)) @), т. е. задается уравнением Ifl(,n+,i/,-=0.
Но х1- задается соотношением Рп(х, у) = 0, которое можно запи-
п
сать в виде уравнения 2 a,-, n+1f/,-+fln+1, „+1г/„+1=0, сводящегося
к предыдущему при уп+1 — 0, что соответствует факторпростран-
ству x-L/Kx (см. также 13.1.2).
Если а не является собственной, то можно воспользо-
воспользоваться 14.1.7.1 (см. также 14.8.5). Относительно использованных
здесь фактов из дифференциальной геометрии можно справиться
в [15], в частности 2.5.7 и 2.6.15 (или [18*], с. 417.—Ред.)
14.4 КВАДРИКИ В РАЗМЕРНОСТИ п — А С НЕЙТРАЛЬНОЙ
ФОРМОЙ q
Мы изучим здесь частный случай, когда (Е, g) = Art4, но К про-
произвольно. Сначала достаточно перевести на язык Р(Е) следствие
13.7.11, у которого, напомним, существует совсем элементарное
доказательство (см. 13.7.11.2).
14.4.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть C = im(a) — образ квадрики а из
Р{Е), причем d\mP(E) = 3 и уравнение q квадрики а есть нейт-
нейтральная форма (см. 13.1.4.3). Тогда С содержит два семейства
прямых Е, в, удовлетворяющих следующим условиям:
(i) Vm g С существуют и единственны такие X ? Е и
7 g в, что т$Х и т$Т;
(ii) VXgS, V7 € ®: Xf\T состоит из одной точки,
принадлежащей С;
(Hi) VX, X'gE, УТ, Г €в: Х[)Х' = 0 или Х = Х',
Т[]Т' = 0 или Т = Г.
Эти два семейства называются системами образую-
образующих квадрики а.
14.4.2. СЛЕДСТВИЕ. Существуют естественные биекции
Ф:
Р1(К)хРг(К).
Кроме того, если К = R или С, эти биекции представляют
собой гомеоморфизмы.
В самом деле, фиксируем Х0€В, Toge и положим
ср (т) = (Т (т)П Хо, Х(т)(]Т0), где через X (т) (соответственно
Т (т)) обозначена единственная образующая из S (соответственно
в), которая проходит через т g С. Это можно сделать в силу
14.4.1 (i), а из 14.4.1 (ii) видно, что ср—биекция С на произведение
Х„хТ0, которое изоморфно Р1 (К)X Р1 (К)-
56
Гп. 14. Проективные квадрики
Осталось показать, что при /C = R или С это гомео-
гомеоморфизм. Поскольку все участвующие здесь множества компактны,
достаточно доказать непрерывность ср, которая тривиально сле-
следует из формул 13.7.11.2.
ЛппТ(т)
Го п Х(т)
Рис. 14.4.2
Обратно, в любом проективном трехмерном простран-
пространстве можно геометрически построить образы квадрик с нейтраль-
нейтральными уравнениями. Это можно сделать тремя способами. Вот
первый из них.
14.4.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Р (Е) трехмерно и D,D',D"—
три попарно не пересекающиеся прямые в Р(Е). Тогда сущест-
существуют прямые, пересекающиеся одновременно с D, D', D"; объеди-
объединение таких прямых является образом некоторой квадрики
с нейтральным уравнением.
В самом деле, в силу 14.2.4, существует квадрика а,
образ которой C = im(a) содержит D\jD'\jD". Проверим сна-
сначала, что а собственная. Будем рассуждать от противного. Пусть
т € р (rad (q)), например m^D; тогда, в силу 14.1.7.1, образ С
содержит всю плоскость <m, D>. Значит, всякая прямая, прохо-
проходящая через точки прямых D', D", пересекает <m, D>, а потому
имеет с С три общие точки, т. е. целиком содержится в С (см.
14.1.3.4). Но прямые, пересекающие D' и D", заполняют все
Р(Е), и мы пришли к противоречию. Далее, поскольку q невы-
рожденна, а С содержит прямую, форма q нейтральна в силу
13.3.4.2.
Для того чтобы раскрыть два других способа, отме-
отметим сначала следующее.
14.4.4. ЛЕММА. Пусть С такое же, как в 14.4.1, и (X,.),=li 2,3,4 с Н.
Тогда двойное отношение четырех точек ТГ\Х(: [TflX,] не зави-
зависит от Т ? в. Назовем его двойным отношением прямых (Х()
и обозначим через [X,-].
Фиксируем То g в, и пусть Pi = ^X[, То>—плоскость,
порожденная Х{ и То. Но Р( П Т = Xt n Т для всякой Т g в.
Следовательно, в силу 6.5.2, [Х; п 7"] = [Р|.]) т.е. это двойное
отношение действительно не зависит от Т.
57
14.4 Квадрики в размерности и = 4 с нейтральной формой q
14.4.5. СЛЕДСТВИЕ. Пусть D, D'—две прямые в Р (Е) (где
dimP(?) = 3), такие что D n D' = 0, и пусть f g Isom (D; D')—
гомография между D и D'. Тогда {<m, /(m)>: m(tD) есть образ
некоторой квадрики с нейтральным уравнением. Пусть, двойст-
двойственным образом, f—гомография между пучком ? плоскостей,
Рис. 14.4.5
проходящих через D, и пучком плоскостей, проходящих через D';
тогда \Pf\f(P): P?gF\—образ некоторой квадрики с нейтраль-
нейтральным уравнением.
Двойственное утверждение следует из первого утверж-
утверждения и из 6.5.2. Для того чтобы доказать первое утверждение,
фиксируем три точки а, Ь, с g D с образами а' = / (а), Ь' = / (Ь), с' —
=f (с) (ED'¦ Достаточно применить 14.4.4 к квадрике, проходящей
через три прямые А = <а, а'у, Л'= <&,&'>, А" = ^с, с'> (см. 14.4.3
и 6.1.5).
14.4.6. ПРИМЕР. Пусть D, D'—две прямые в евклидовом аффин-
аффинном трехмерном пространстве X, причем D r\D' = 0, и две точки
m(t), m'(t) пробегают D, D' с постоянными скоростями. Тогда
аффинная прямая <m(t), m'(t)y при изменении t от —оо до
+ оо описывает в X аффинную поверхность второго порядка,
которая представляет собой гиперболический параболоид (см.
15.3.3.3).
58
Гл. 14. Проективные квадрики
Этот результат недавно получил важное практическое
применение: архитекторы могут легко спроектировать железо-
железобетонные своды, при условии что соответствующая поверхность
порождена прямыми (которым отвечают металлические тросы
арматуры). Разумеется, проще всего натянуть эти тросы между
Рис. 14.4.6.1
Рис. 14.4.6.2
точками, расположенными на равных расстояниях одна от дру-
другой на прямоугольных опорах (см. текст на рис. 15.3.3.3, а так-
также [142], с. 178—197). В проективном случае, как вытекает из
4.3.9.1, С не удастся изобразить полностью.
14.4.7. ПРИМЕЧАНИЯ. Если п = Ъ и К = С, то можно вновь уста-
установить, что в образе С всякой собственной квадрики содержится
много прямых. Точнее, через каждую точку т проходят две раз-
59
14.5 Двойственность относительно собственной квадрики
личные прямые, поскольку, в силу 14.1.7.2, касательная пло-
плоскость к С в точке т пересекает С по двум различным прямым.
Это находится в полном согласии с 13.1.4.3.
В обратную сторону, все вышесказанное означает в рам-
рамках 14.4.1, что касательная плоскость к С в точке т есть не что
иное, как плоскость, содержащая X (т) и Т (т).
Евклидова сфера тоже содержит прямые (!), правда
в следующем смысле. Пусть S с R3—единичная сфера; перейдя
с помощью комплексификации от R3 к С3 и от [|-[|2 к Л/с (см. 9.5.5,
14.1.3.7), мы получим комплексификацию Sc сферы 5, опреде-
определяемую соотношением Sc = {.z6C3: /Vе (г) == 1}• Это некоторая
аффинная квадрика в С3 (см. 15.1.3.2), и потому она содержит
два семейства образующих (см. 14.4.1). Назовем эти прямые (из 5е)
изотропными прямыми сферы S. Относительно приложения всех
этих понятий см. [72], с. 187—234, а также [88], с. 147, вместе
с [80], с. 144,— чтобы представить все это в должном виде.
14.5 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО СОБСТВЕННОЙ
КВАДРИКИ: ПОЛЯРНОСТЬ
В этом параграфе, если не оговорено противное, а—собст-
а—собственная квадрика, q—ее уравнение, а Р—соответствующая
полярная форма. Если в Е выбран базис, то А — матрица q
в этом базисе, и мы полагаем C=im(a).
14.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. В силу 13.2.1, квадрика а при помощи
формы q задает изоморфизм tp: Е-^ Е*, откуда получается изо-
изоморфизм -ф: Р (Е) —*¦ Р (Е*) проективных пространств. Отождест-
Отождествим, согласно 4.1.3.5, Р (?*) с Ж (Е) — множеством гиперплоско-
гиперплоскостей в Р(Е). В силу 4.5.4 и 14.1.1, отображение ф зависит лишь
от квадрики а (и не зависит от ее уравнения q). Оно называется
полярностью относительно собственной квадрики а. Если т ? Р(Е),
то -ф (т) ? Ж (Е) называется гиперплоскостью, полярной точке т,
и обозначается т1; при п = 2 чаще говорят о поляре точки т.
Более общо, Р(х,у)=0 зависит лишь от т = р(х),
п — Р(У) (но не от х, у) и лишь от а (но не от Р). В этом слу-
случае говорят, что т и га сопряжены относительно а, и обозна-
обозначают это так: т \_п\ это отношение симметрично. Для всякого
подмножества S cz Р (Е) положим S1 = \п ? Р (Е): т _]_ га Vm ? S}.
Всегда выполняется соотношение <5>1 = S1, и S-L всегда под-
подпространство. Если S, Т—два подпространства, то S^-^—S,
dim 5 + dim 5-L = dim P (E) — 1,
(SnT)i = <Siu71i>, <SU 7V = SJ-по-
SJ-поговорят, что S-i—подпространство, полярное к S; в случае когда
S—гиперплоскость, точка S1 называется полюсом S. Все ска-
60
Гп. 14. Проективные квадрики
занное выше есть не что иное, как перевод на язык Р (Е) пред-
предложения 13.3.2. Говорят также, что S и Т сопряжены (относи-
(относительно а).
14.5.2. ПРИМЕРЫ
14.5.2.0. Если Е — евклидово векторное пространство и |)-||2 —
уравнение а, то полярность относительно а есть не что иное,
как обычная ортогональность в Е. Это типичный случай, когда
полярность естественна, в то время как im(a) = 0.
14.5.2.1. Гиперплоскостью, касательной к а в пг g irn (a), является
mJ- (см. 14.1.3.5).
14.5.2.2. Если /ng/г1, то n ? m-1-, поскольку отношение «m и п
сопряжены» симметрично.
14.5.2.3. Если D = <.m, пу — прямая, гдет^/г, то Di = rain'ii.
14.5.2.4. Наследственность. Пусть Т—такое подпространство, что
(см. 14.1.3.3) поверхность af\T снова собственная. Тогда если
пг _[_п относительно а и пг, n g T, то пг _]_ п и относительно a fl Т.
14.5.2.5. Одномерный случай. Пусть D—проективная прямая и
m
Рис. 14.5.2.5
a—собственная квадрика в D с непустым образом. В силу
14.1.3.2, этот образ состоит из двух точек а, Ь. Тогда (см. 6.4.1)
пг _\_ п & [а, Ь, пг, п\ = — 1.
Для того чтобы в этом убедиться, можно, например,
выбрать в D однородные координаты (х, у), в которых уравне-
уравнение а приняло бы вид (см. доказательство 14.2.8.1) q = 2xy.
Тогда (см. 13.1.3.6) (х, у) j_ (x', у') Оху' +х'у. Поскольку
а = р(A,0)), Ь = р((О, 1)), утверждение следует из 6.2.3.
14.5.2.6. Объединяя результаты 14.5.2.4 и 14.5.2.5, мы видим,
что если прямая <т, пу пересекает С в точках а и Ь, то усло-
условие m _[_ п эквивалентно условию [a,b,m,n] = —1. Применяя
6.4.4, можно вывести отсюда показанное на рис. 14.5.2.6 геомет-
геометрическое построение гиперплоскости /п1, полярной к пг, когда С
содержит достаточное число точек.
14.5.2.7. Точки, в которых касательные к а, проходящие через
пг, касаются ira (a), — это точки множества im(a
(рис. 14.5.2.7).
61
14.5 Двойственность относительно собственной квадрики
14.5.3. ЯВНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. В силу 13.1.2 и 13.1.3.6, p{x)=tn
и р(у) = п сопряжены в том и только том случае, если
%XAY = 0, или
или
Например, полярная к х гиперплоскость будет задаваться соот-
соотношением Sa,yX;i// = 0- Для т°го чтобы найти полюс гиперпло-
m
im(a)
Рис. 14.5.2.6
скости
- = 0. необходимо вычислить матрицу, обратную к А.
Этот полюс х, в силу 13.2.0, таков, что ср {х) = | = (|1, ... Лп+1>>
следовательно, х = ц>~1{1) или
Таким образом, можно решить однородную систему из
п -f-1 линейных уравнений (см., например, 15.5.5.2).
62
Гл. 14. Проективные квадрики
Другой тип вычислительной задачи — поиск уравнения
конуса с вершиной т, описанного вокруг а, т. е., по определе-
определению, объединения всех касательных к а, проходящих через т.
Пусть т = р (х0); тогда х принадлежит этому конусу, если суже-
сужение а на прямую О = <л\,,х> вырожденно (см. 14.1.3.5). Но в базисе,
состоящем из х0 и х, матрица aflD принимает вид
Р (*о,
Я (*о)
Р(хо,х)
q(x)
Следовательно, согласно 14.1.4.2, уравнение нашего конуса имеет
вид q(xo)q(x) — (Р (х0, х)J = 0. При п=2 мы получаем множе-
множество прямых. Если понадобится, см. рис. 14.7.4 или 14.5.2.7.
14.5.4. АВТОПОЛЯРНЫЕ СИМПЛЕКСЫ, КВАДРИКИ, ГАРМОНИЧЕСКИ
ОПИСАННЫЕ ОКОЛО НЕКОТОРОЙ ДРУГОЙ КВАДРИКИ
14.5.4.1. Симплекс {т,-}1=1 „ + 1 в Р (Е)—это множество п + 1
независимых точек (см. 4.6.6); мы будем называть его вырожден-
вырожденным, если т,- не удовлетворяют условию независимости. Назо-
Назовем симплекс автополярным относительно собственной квад-
квадрики а, если
mi±_m/ Vi=?j;
если это настоящий симплекс, то полярой т; для всякого i будет
гиперплоскость
/\
<jnu ..., mh ..., tnn+1y.
Условие автополярности симплекса \mi = p(xi)\ эквивалентно
тому, что \х,-\—ортогональный базис в (E,q), Следовательно,
всегда существуют симплексы, автополярные относительно а
(см. 13.4.1). Напротив, если а, а'—две квадрики, то из § 13.5
видно, что не всегда существуют симплексы, автополярные одно-
одновременно относительно а и а'. Исчерпывающее обсуждение этого
вопроса при /i=2 см. в 16.4.10.
14.5.4.2. Теперь рассмотрим две собственные квадрики а и а'.
Обозначим через q, q' их уравнения, а через ер, ср': Е—* Е*—
соответствующие изоморфизмы (см. 14.5.1). Вполне естественно
связать с этой парой квадрик (см. 13.5.1) изоморфизм / = ф~1оф'^
glsom^) и, в частности, рассмотреть соответствующие инва-
инварианты: след, определитель и т. д. Условие, которое несомненно
имеет смысл, даже после факторизации по К*,— это Тг(/) = 0
(и то же самое для других инвариантов, кроме определителя).
Это условие имеет очень простое геометрическое толкование.
14.5.4.3. Предложение. Если существует симплекс {т:\, автопо-
автополярный относительно а и вписанный в а', т. е. m/gim(a')Vi,
то Тг(/)=0. Обратно, если К алгебраически замкнуто и Тг(/)=О,
то при любом т ? im (a')\im (a) существует симплекс {т^,
63 14.5 Двойственность относительно собственной квадрики
автополярный относительно а, вписанный в а' и такой, что
Рассуждение в одну сторону тривиально. Если ш,=
—p{ei), то q = 2Q-цА (см. 14.5.4.1). Если 9' = 2ai/X,*,, то из
условия q (е(-) = 0 вытекает, что аи = 0 Vi. Следовательно,
Тг(/) = 2Х'Ат'=0 (см. 13.2.0).
Для доказательства обратного утверждения применяем
индукцию по размерности. Пусть сначала /г = 1. Выберем такой
базис {еиег\, что т = р(е1)— рассматриваемая точка из im(a')
и п = р(е2)—точка, сопряженная к ней относительно а. Значит,
q примет вид ах2-\-су2, а </' — вид 2Ь'ху -\-с'у2. Из условия на
след, т.е. с~хс' = 0, вытекает, что c'=0, q'= 2b' ху и, следова-
следовательно,
Предположим теперь, что результат справедлив при
/г—1. Пусть точка mgim(a') и Н =/п1 — полярная к ней гипер-
т
im(a)
Рис. 14.5.4.3
плоскость относительно а. Напишем q = ^anx\, где m = pfe1),
i
q' ^^a'tjXiXj', следовательно, 0^ = 0 и уравнение Н имеет вид
Xj = 0. Таким образом, для квадрик а(]Н, а'пЯ (собственных,
поскольку m^im(a)) след связанного с ними изоморфизма равен
п+1 п+1
1=2 " " i=l
По предположению индукции в Н существуют такие {/n,j(=2i ...,„ + 1,
что /71;_]_ту. относительно aytV/ и "г,- g im (a') yi. Объединение
\m} U \mi\i-2 л + i дает искомый симплекс.
14.5.4.4. Примечания. Предложение 14.5.4.3, подобно утвержде-
утверждениям из 10.10.3 и § 16.6, показывает, что имеет место альтер-
64
Гл. it. Проективные квадрики
натива: если заданы две квадрики а и а', то либо вообще не
существует симплекса, вписанного в а' и автополярного относи-
относительно а, либо таких симплексов бесконечно много (по крайней
мере когда К замкнуто).
Если Тг(/)=0, то говорят, что а' гармонически
описана около а.
Относительно другой, на сей раз метрической, интер-
интерпретации инвариантов, связанных с двумя квадратичными фор-
формами, см. 15.6.4.
14.5.4.5. Пример. Пусть Е—трехмерное евклидово векторное
пространство, форма q' 6 Q (Е) невырожденна и образ (q')'1 @)=^=0;
в таком случае этот образ представляет собой конус в ? с вер-
вершиной 0. Положим <7 = !|-||2. Тогда симплекс из Р(Е), вписанный
в a' = p(q') и автополярный относительно a = p(q),— это (см.
14.5.2.0) множество из трех попарно ортогональных прямых ко-
конуса. Из доказательства 14.5.4.3 видно, что такие прямые суще-
существуют только тогда, когда из
q' = ах2 + а'у2 + а V + 2byz + 2b'zx + 2b"xy
следует, что а + а' +а" = 0. Обратно, если а-\-а' -{-а" = 0, то для
любой прямой D конуса существуют такие прямые D', D" этого
конуса, что DJ..D', D'±D", D"±D (см. также 14.8.9).
Рис. 14.5.4.5
14.5.4.6. Гиперплоскости из PQ(?). Теперь можно ответить, по
крайней мере в случае общего положения, на вопрос, который
мы поднимали в 14.2.5: что такое гиперплоскости в PQ (?)? В са-
самом деле, выберем в Е произвольный базис. В силу 13.1.3.6,
уравнение гиперплоскости из PQ (E) имеет вид 2fl/A/= ^> где
i < /
f^ij — заданные элементы из К. Обозначим через Л матрицу с эле-
элементами %ij = 'k/i. Условие S й/,\=0 эквивалентно условию
Тг(ЛЛ)=»0. Если К и таковы, что detA^O, то имеет место со-
65
14.5 Двойственность относительно собственной квадрики
отношение Тг(Л (Л~1)~1) = 0 и, следовательно, рассматриваемая
гиперплоскость геометрически определяется как множество квад-
квадрик, гармонически описанных около фиксированной квадрики,
уравнение которой задается с помощью Л (см. 14.8.8 и 14.8.10).
14.5.5. ИНВОЛЮТИВНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ. Полярность г|>: Р (Е) -*
—+Ж(Е), связанная с собственной квадрикой, имеет много гео-
геометрических приложений, с которыми мы встретимся в дальней-
дальнейшем. В частности, постоянно используется свойство полярности
14.5.2.2: если n?ty(m), то т?\\>{п). Поэтому естественно поис-
поискать отображения /: P(E)—+S%(E), обладающие некоторыми
свойствами из 14.5.1, например 14.5.2.2. Полный ответ на этот
вопрос см. в 14.8.12 или [101], с. 270. Здесь мы ограничимся
простым случаем, когда /: Р (Е)—>-Ж (Е) имеет вид f = g, где
gglsorn(?; ?*) (см. § 4.5). Для х?Е ортогональным дополне-
дополнением тогда служит {г/6?: g(x)(i/)=0}. Значит, мы хотим найти
такие g-?lsorn(?; ?*), что
Vx, Vy: g (х) (у) = 0 =Фg (у) (х) = 0.
Для этого удобно ввести билинейную форму (не обязательно
симметричную) Р (х, y) = g{x)(y). При х?Е\0 две линейные
формы у>—*-Р(х, у) и у>—>Р(у,х) обладают одним и тем же яд-
ядром; следовательно, они пропорциональны, т. е. 3fe(x)g/C*:
Р(х, y) = k(x)P(y, x). Рассуждая так же, как в 8.8.5.1, мы
видим, что k (х) не зависит от х, т. е. Р (х, y) = kP(y, x)Vx, y?E
(где k—подходящий элемент из К*)- Но тогда Р (х, у) = k2P (x, у).
Поскольку g—изоморфизм, найдутся такиех, у ?Е, что/5 (х, у) фЬ,
откуда & = ±1. Случай k=\ приводит к полярности относи-
относительно собственной квадрики с полярной формой Р. Случай
k = —1 для нас новый. В силу теории приведения знакочере-
знакочередующихся форм, он может реализоваться лишь при четной раз-
размерности Е. Здесь возникают интересные геометрические явления,
и удается быстро объяснить чудо тетраэдров Мёбиуса, с которыми
мы встречались в 4.9.12 (подробнее см. 14.8.12 и [101], с. 270).
14.5.6. вырожденный СЛУЧАЙ. Если квадрика а не собственная,
то всегда можно воспользоваться отображением ср:?—>?* и оп-
определить, например, /п-1 для т = р(х), полагая m-L — \p(y):
Р (х, г/) = 0}; однако при х 6 rad (q) ортогональное дополнение
mL уже не будет гиперплоскостью, а совпадет со всем Р (Е).
Кроме того, при тфп может оказаться т.-1 = п1-. Ради простоты
изложения мы не будем говорить о подобной плохой двойствен-
двойственности, но читателю стоит самому изучить ее в качестве упраж-
упражнения, поскольку она возникает вполне естественным образом.
В самом деле, в произвольном пучке квадрик чаще всего
встречаются вырожденные квадрики (см. один пример в 16.4Л0).
3 № 2861
66
Гл. 14. Проективные квадрики
14.6 ДВОЙСТВЕННОСТЬ: КАСАТЕЛЬНЫЕ КВАДРИКИ,
ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
14.6.1. Пусть а—собственная квадрика в Р(Е). Рассмотрим
в Р (Е*) — Э% (?) множество касательных к ней гиперплоскостей
{т1-: т?\т{а)\ (см. 14.5.2.1). Что представляет собой это под-
подмножество в Ж' (?)? В силу 14.5.1, это не что иное, как -ф (im (a)).
Следовательно, это образ некоторой квадрики, а именно im (a*),
где a* — собственная квадрика a* = i|)(a), поскольку из того, что
а собственная, вытекает, что
¦ф€ Isom (/>(?); Р (?*)).
Если А — матрица уравнения q квадрики а в некотором базисе
в Е, то матрица уравнения (ср)* (q) поверхности а* в двойствен-
двойственном базисе в Е*, согласно 14.1.4.3 и 13.2.0, равна tA~1AA~1 = A~1.
Р(Е)
Рис. 14.6.3
Назовем (у-1)* (q) = q* тангенциальным уравнением квадрики а;
9*(Е) = 0 — это необходимое и достаточное условие того, что
Н^) — касательная гиперплоскость к а. В координатах Е =
= (t1, ..., |„+1) это условие принимает вид 2 й^1,?у =0, где
a*j — элементы матрицы Л (см. 14.8.13).
67
14.6 Двойственность: касательные квадрики
14.6.2. определение. Квадрика из Р (?*) называется касатель-
касательной квадрикой. Касательный пучок квадрик—это прямая в PQ (?*).
14.6.3. ПРИМЕРЫ
14.6.3.1. Пусть F — некоторое векторное пространство; обозначим
через PPQ(F) множество собственных квадрик в P(F). Тогда
из 14.6.1 видно, что отображение * определяет биекцию
*: PPQ(E)-+PPQ(E*),
причем ** = IdppQ(?). Но, как будет видно из дальнейшего, это
отображение нельзя продолжить естественным образом на
все PQ(?).
ы
Л
щ
Рис. 14.6.4.1
14.6.3.2. Пусть? = Я3иа* — коническое сечение вР (?*), уравне-
уравнение которого в канонических однородных координатах (|, ц, t.)
в Р (?*) имеет вид 2gi] = 0. Сечение а* вырождается в две пря-
прямые D*, D'* с уравнениями | = 0 и т] = 0. В пространстве Р (Е)
множество прямых, соответствующих D*\jD'*, совпадает с мно-
множеством прямых, проходящих через точку A, 0, 0) или точку
@, 1, 0). Такое множество не может состоять из касательных
к какому-либо коническому сечению в Р (?) (см. 14.1.5.3).
14.6.4. Ситуацию 14.6.1, 14.6.3.1 можно обобщить следующим
68
Гл. 14. Проективные квадрики
образом. Пусть а, р принадлежат PPQ (Е). Рассмотрим подмно-
подмножество S = \mJ-: mgim(C)}, где т*- обозначает гиперплоскость,
полярную к т относительно а. Будет ли оно образом какой-
нибудь касательной квадрики? Да, а именно S = im (ipa (C)), где
Рис. 14.6.4.2
"фа: Р (Е)—>¦ Р (Е*)—-изоморфизм, связанный с а (см. 14.5.1).
К ^a (Р) &PPQ (Е*) можно применить отображение *-1 = * из
14.6.31. В итоге мы получим квадрику из PPQ (?), которая на-
называется полярой квадрики § относительно а и обозначается |3„.
y'-l
Рис. 14.6.5.2
Если А, В—матрицы а,р в некотором базисе в Е, то
матрица i|>a (P) в двойственном базисе в Е* (в силу 14.1.4.3) имеет
вид tA~1BA~1, а матрица Р„, в силу 14.6.1, равна (tA~1BA~1)~1 —
= АВ~1А.
69
14.7 Группа собственной квадрики
Справедливо соотношение (Р„)а = р. Если agim(P), то
а-1 — касательная к im (Р„) в точке Тх, где Т — гиперплоскость,
касательная к р в точке а.
14.6.5. ПРИМЕРЫ
14.6.5.1. В аффинном случае мы предоставим читателю самому
уточнить связь между тем, что здесь изложено, и 11.1.5.
14.6.5.2. Если аир представлены уравнениями
я = х* + у* — г\ q'=x2—y2 — z\
то ра = Р (рис. 14.6.5.2; на эту тему см. 14.8.14).
14.7 ГРУППА СОБСТВЕННОЙ КВАДРИКИ
14.7.1. Пусть a—собственная квадрика в Р(Е). Тогда всякое
f?O(q), где ^—уравнение а, порождает такое отображение
/ ? GP (?), что /(im (a)) = im (a). Обратное неверно: если im (a) = 0,
то всякое g?GP(E) оставляет im(a) инвариантным! Напротив,
если К алгебраически замкнуто, то, как показывает 14.1.6.2,
условие / (im (a)) = im (a) эквивалентно условию f?O(q). Все ска-
сказанное служит достаточно убедительным обоснованием следую-
следующего определения.
14.7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем группой квадрики а группу РО (а),
определяемую соотношением PO(a) = {/gGP (?): f^O(q)\, где
q—уравнение a- Говорят также, что РО(а)—проективная орто-
ортогональная группа квадрики а.
Группа РО(а) зависит только от а и не зависит от q
(это следует из § 4.5). Из 13.9.13 можно вывести, что РО (а) =
= 0 (<?)/± ЫЕ. В случае четного п + 1 можно определить РО+(а),
поскольку тогда —ldE?0+(q). Это связано с ориентируемостью
Р(Е) при /C = R.
14.7.3. Из 13.7.5 и 13.7.9 непосредственно получается следую-
следующий результат: все максимальные подпространства, содержащиеся
в im(a), имеют одинаковую размерность, равную ind^—1, и при-
принадлежат одной орбите под действием РО(а). Так же обстоит
дело и для РО+ (а), когда размерность Р (Е) нечетна, за исклю-
исключением случая нейтрального q, когда имеются две различные
орбиты. В частности, группа РО(а) и группа РО+(а) (когда она
существует) транзитивны на точках im (a).
Это применимо, например, к квадрикам из § 14.4.
14.7.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СИММЕТРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ГИПЕРПЛОСКОСТИ. Пусть a g PPQ (E) с уравнением q и f?O(q) —
симметрия относительно гиперплоскости UcE (см. 13.6.6), свя-
занная с ортогональной прямой суммой E = UQ)D. Стало быть,
D — прямая. В силу 6.4.6, можно построить / ? РО (а) геометри-
геометрически: если m = p(D) и H = p(U), то образ/(i) точки t ? Р (Е)\т
70
Гп. 14. Проективные квадрики
получается как такая точка f(t) прямой <m, ty, что
[т, <m, ty[\H, t, /(<)] = —1. Кроме того, разумеется, Н—это
не что иное, как полярная гиперплоскость т.1 к т относи-
относительно а.
Рис. 14.7.4
Если потребуется, то с помощью 14.5.2.6 можно убе-
убедиться, что im (а) в целом инвариантен относительно /. Стоит
отметить, что эти симметрии порождают РО(а), как это сле-
следует из 13.7.12.
14.8
УПРАЖНЕНИЯ
14.8.1. Покажите, что теорема 14.1.6.2 остается справедливой
при i( = R и таком q, что q(E) = R.
14.8.2. Пусть заданы точка т g Р (Е) и прямая D$m. Покажите,
что множество {a ?PQ (Е): т ? im (а) и D —касательная к а]
представляет собой подпространство. Верно ли это, если tn^D?
14.8.3. Изучите ориентируемость образов квадрик при К = Я
или С.
14.8.4. Докажите, что С (п) (см. 14.3.7) гомеоморфно грассма-
ниану ориентированных прямых из P"(R).
14.8.5. Исследуйте, может ли образ вырожденной квадрики быть
подмногообразием (К—Ц или С).
14.8.6. Пусть (F — пучок квадрик из Р (Е) и а — собственная
квадрика. Покажите, что он всегда содержит по крайней мере
одну квадрику, гармонически описанную около а, и что если
он содержит две такие квадрики, то и все квадрики данного
пучка обладают этим свойством.
71
14.8 Упражнения
14.8.7. Пусть в Р (Е) заданы п(п + 3)/2 пар точек \mh n,\. По-
Покажите, что существует по меньшей мере одна такая квадрика,
что mi_\_ni для любого i (рассмотрите все в рамках 14.5.6).
14.8.8. Исследуйте 14.5.4.6, когда detA = O.
14.8.9. Покажите, что 14.5.4.3 остается справедливым, если
К = Я, а' произвольно и irn(a) = 0.
14.8.10. Говорят, что собственная квадрика а' гармонически
вписана в а, если Тг(ф'-1оф) = 0. Истолкуйте это условие гео-
геометрически.
14.8.11. Пусть а—собственное коническое сечение и {а, Ь, с\,
{а', Ь', с \—два треугольника, автополярных относительно а.
Покажите, что шесть точек а, Ь, с, а', Ь', с' принадлежат одной
и той же конике.
14.8.12. КОРРЕЛЯЦИИ (см. [Ю1], с. 260 и дальше)
14.8.12.1. Назовем корреляцией пространства Р (Е) любую биек-
цию f: Г —*- Г множества Г его подпространств, удовлетворяю-
удовлетворяющую условию: для любых U, У?Г, где UcV, имеем f(U)z>f(V).
Покажите, что если т—точка в Р (Е), то / (т) — гиперплоскость
в Р (Е). Покажите, что существует каноническая корреляция Р (Е).
14.8.12.2. Корреляция / называется инволютивной, если
p = Idr. Пользуясь основной теоремой проективной геометрии
(см. 5.4.8), покажите, что если /—инволютивная корреляция,
то / получается с помощью отображения g: Р (Е) —+Р (Е*) одного
из следующих типов:
(i) существует билинейная кососимметричная форма Р,
такая что Vm = р (х) € Р (Е) выполняется соотношение g{tn) —
= р{{у?Е: Р(х, у) = 0\);
(п) та же конструкция, но при этом а\К—>-К — инво-
лютивный автоморфизм К, а Р полулинейна относительно а, т. е.
Р: ЕхЕ^К линейна по л: и удовлетворяет соотношению
Р(у, х) = о(Р(х, у)) Ух, у?Е.
14.8.12.3. Исследуйте необязательно инволютивные корреляции.
14.8.12.4. Покажите (см. 4.9.12), что если d\m P (Е) нечетна, то
существуют пары симплексов из Р (Е), таких что всякая вершина
первого принадлежит некоторой грани второго, а всякая вер-
вершина второго принадлежит некоторой грани первого.
14.8.12.5. Пусть $~ — торсор в евклидовом аффинном трехмерном
пространстве X (см., например, [163], гл. 4, или [38], гл. З1)).
В каждой точке т ? X рассмотрим множество прямых нулевого
момента относительно S", проходящих через т. Покажите, что
эти прямые образуют плоскость Н (т); покажите, что отображе-
отображение т.)—>Н(т) представляет собой сужение на X инволютивной
См. также Жермен П. Механика сплошных сред: Пер. с франц. — М.:
Мир, 1965, с. 370.— Прим. ред.
72
Гл. 14. Проективные квадрики
корреляции, связанной с кососимметричной формой из проектив-
проективного пополнения X пространства X (см. § 5.1).
п+ 1
14.8.13. Найдите тангенциальное уравнение квадрики 2 ?;.л;? = 0
i = i
(kt =7=0 Vi), а также квадрик из 13.9.6, 13.9.8 в случае, когда
они собственные.
14.8.14. Пусть заданы две собственные квадрики |3, у, имеющие
общий автополярный симплекс. Найдите собственные квадрики а,
такие что у = р„. Исследуйте с помощью 16.4.10 ту же задачу,
когда р, у—произвольные собственные коники.
14.8.15. Исследуйте следующую задачу: требуется найти собствен-
собственную квадрику а, касательную к п (п + 3)/2 заданным гиперпло-
гиперплоскостям в Р (Е). Разберитесь полностью со случаем п = 2
(см. 16.1.4).
14.8.16. РЕАЛИЗАЦИЯ ЖЕРАРДЕНА, ИЛИ КВАДРИКА И КОНИКА, ПО-
ПОРОЖДЕННЫЕ ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ. Пусть Е—двумерное вектор-
векторное пространство над полем К характеристики Ф 2. Обозначим
через D = P(E) соответствующую проективную прямую, через
ЕпйЕ векторное пространство всех эндоморфизмов Е и через
Р (End E) соответствующее проективное пространство. Покажите,
что отображение
det:
представляет собой квадратичную форму. Обозначим через Q (D)
соответствующую квадрику в P(EndE). Покажите, что Q (D)
имеет нейтральное уравнение. Исследуйте соответствие между
ее образующими и эндоморфизмами Е.
Изучите коническое сечение C(D), которое получается
при пересечении Q (D) с гиперплоскостью, отвечающей линейной
форме следа
Тг: End E-+K.
Всякую ли конику можно реализовать в виде С(?>)? Тот же
вопрос относительно Q (D).
Подробнее см. [106], гл. IV.
Глава 15 Аффинные квадрики
щественных и комплек-
комплексных аффинных квадрик
15.5 Полярность относительно
собственной аффинной
квадрики
15.6 Евклидовы аффинные
квадрики
15.7 Упражнения
15.1 Определения. Выражения
в координатах
15.2 Приведение аффинных ква-
квадратичных форм
15.3 Классификация аффинных
квадрик при /C=R и С
15.4 Топологические и диффе-
дифференциальные свойства ве-
За исключением описания квадрик при помощи свойства сущест-
существования диаметров по всем направлениям (см. 15.5.9) и необхо-
необходимости уметь свободно переходить от аффинного пространства
к его проективному пополнению, эта глава не содержит серьез-
серьезных трудностей. Представленные здесь понятия и результаты
сочетают в себе аналогичные понятия и результаты из гл. 3
и 14. Но объекты, которые мы получаем, а именно аффинные
квадрики очень важны с практической точки зрения, ибо это са-
самые простые после прямых и плоскостей поверхности и кривые
в трехмерном пространстве и на плоскости, которые встречаются
всюду — в математике и механике, физике и астрономии. Планеты
и кометы описывают траектории, совпадающие в первом при-
приближении с коническими сечениями. Верхушка Эйфелевой башни и
верхние этажи Монпарнасской башни описывают в ветреную по-
погоду эллипсы, у которых максимальная ось должна быть разумной
величины, чтобы это не казалось опасным. При помощи парабол
проще всего выполнить сопряжение двух прямых (см. 15.7.6).
Евклидовы коники будут отдельно изучены в гл. 17. Относитель-
Относительно дальнейших сведений, касающихся аффинных или проектив-
проективных поверхностей второго порядка, см. [88], [174], [187], [94].
(См. также [2*], [19*], [21*], [26*], [36*].— Ред.)
В этой главе мы пользуемся следующими обозначе-
обозначениями, проистекающими из гл. 5: X — аффинное пространство
конечной размерности п^\ над полем К характеристики ф2\
X—универсальное векторное пространство размерности n-fl,
связанное с X, а X = Р (X)—¦ проективное пополнение X. Име-
Имеем X = Х U оох, где <хх = Р(Х) называется бесконечно уда-
удаленной гиперплоскостью пространства X. Через Q (Х) = !Р2(Х)
обозначается (см. § 3.3) векторное пространство аффинных
квадратичных форм на X. Для формы q ? Q (X) ее символ q
принадлежит Q (X). С q связана форма q ? Q (X) (см. 3.3.14),
где q = q\x.KpoMe того, если X векторизовано в точке а и
где qa?K, qi?X*a, то q2 отождествляется с q.
74
15.1
Гл. 15. Аффинные квадрики
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ВЫРАЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ
Самое простое определение аффинной поверхности второго по-
порядка (квадрики) получится, если перенести на аффинный слу-
случай определение 14.1.1. Условие <?=^=0 выражает тот факт, что
q на самом деле имеет степень 2.
15.1.1. определение. Назовем аффинной квадрикой в X такой
элемент ag/>(Q(X)), что если a = p(q), где q?Q(X), то q^=0.
Множество квадрик обычно обозначается QA(X). При п = 2
чаще говорят о кониках. Образ а—это im (a) = q-1 @); форму q
называют уравнением а.
15.1.1.1. Примечание. В дальнейшем мы не будем постоянно
упоминать, что q-—это уравнение а. Разумеется, im (а) зависит
только от а и не зависит от q. Всякое относящееся к а поня-
понятие, которое мы будем вводить в дальнейшем, должно зависеть
лишь от a — p(q) и не зависеть от q.
15.1.2. ПРИМЕРЫ
15.1.2.1. Если Е—евклидово аффинное пространство, то сферы
S(a, r) (а?Е, г^О)
являются образами квадрик. В самом деле, достаточно взять
q — d2(a, •) — г2. Отметим, что для любого &?R уравнение
q = d2(a, •) + & определяет некоторую квадрику, но при &>0
ее образ пуст.
15.1.2.2. Пусть X, X'—два аффинных пространства, / (Е
?Isorn(X; X') и a?QA(X). Назовем образом а при изомор-
изоморфизме f и обозначим f (a) квадрику, уравнение которой имеет
вид (f)* (q) (и определяется соотношением (/"*)* (q) (х') =
= q{f~x{x'))Vx' ?X'). Тогда im (/ (a)) =/ (im (a)). В частности, на
QA (X) действует группа GA(X). Классифицировать квадрики
в X — значит найти орбиты действия этой группы (см. § 15.2 и
15.3).
15.1.3. ДРУГОЕ (ЭКВИВАЛЕНТНОЕ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ
15.1.3.1. Пусть a g QA (X) и q—уравнение а. Ему соответствует
q(tQ(X), и, следовательно, определена проективная квадрика
a = p (q) ?PQ (X), так как Xq = Xq (в силу, например, 3.3.13 или
3.3.15). Поскольку q = q\x, мы, в частности, получаем im(a) =
= im(a)nX. А что такое im (a) fl °°x? Поскольку
то im(a)n oo^ = im
имеем a = а П °°х-
где а = р (q)?PQ(X). Или, в силу 14.1.3.3,
7? 15.1 Определения. Выражения в координатах
Обратно, пусть Р (Е)—конечномерное проективное про-
пространство, Р (Н) — гиперплоскость из Р (Е) и р — квадрика в
Р(Е). Если мы хотим найти квадрику в Х = Р(Е)\Р(Н) (см.
§ 5.1), то отождествим оох с Р(Н). Пусть г—уравнение Р; тогда,
в силу предложения 3.3.14, г\х определит квадрику в X (кото-
(которую мы обозначим |3|х), при единственном условии, что г\х^=0.
Значит, рп^С^О — квадрика (см. 14.1.3.3), или, по-другому,
оох ф irn (|3). Таким образом, справедливо следующее утверж-
утверждение.
15.1.3.2. Схолия. Существует естественная биекция • между
аффинными квадриками а из X и проективными квадриками Р
из X, такими что
im(PJ>oox.
Для всякого уравнения q поверхности а выполняется соотноше-
соотношение a = p(q), и afl°°x = a (г^е a = p(q)) называется бесконечно
удаленной частью квадрики а (при п = 2 говорят о бесконечно
удаленных точках а, при п — 3— о бесконечно удаленной части
коники а). Справедливо соотношение im (a) = im (а) Л X. По
определению, a?QA(X) называется собственной, если а собст-
собственная; ранг a—это ранг а, а индекс a—это индекс а.
15.1.4. ПРИМЕЧАНИЕ. Мы предоставляем читателю убедиться
в том, что возможность im(P)r3oo^ реализуется только в двух
случаях: когда rangr=l (тогда im(P) = oox, откуда im (|3) л
ЛХ = 0) и когда rang/- = 2 (тогда im (|3) = оох и Н, где Н — ги-
гиперплоскость, отличная от оох, откуда im (P) Л X— аффинная
гиперплоскость в X).
15.1.5. На практике для a?QA(X), пользуясь определенным
методом, вводят пару (rang a, rang а). Отметим, что эта пара
остается инвариантной под действием GA (X) на QA (X)
(см. 5.2.2).
15.1.6. ВЫРАЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ. Выбрав аффинный репер в
X и пользуясь обозначениями, аналогичными 3.3.15, получаем
следующие выражения:
В соответствующих однородных координатах
15.1.6.2. J =
76 Гп. 15. Аффинные квадрики
Сопоставим q две следующие матрицы А, А:
15.1.6.3.
= (аи), А = \
А
\Ъх...Ъп с
I ranga = rang A, ranga = rang/L
15.2
ПРИВЕДЕНИЕ АФФИННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
15.2.1. Из 13.1.4.5 мы уже знаем, что в общем случае безна-
безнадежно пытаться классифицировать аффинные квадрики (см.
15.1.2.2). Однако их можно разбить на три типа следующим
образом. Пусть a = p(q), q?Q(X). В силу § 13.4, в X сущест-
вует базис, в котором q имеет вид q= 2 a,xf, где /- = ranga, если
п1фО Vi = l, ..., г.
В аффинном репере, отвечающем этому базису, получаем,
в силу 15.1.6.1, что
Я = 2 atf +2 2 М, + с, П а,- Ф 0.
1=1 i=i i=i
Делая замену xi^-^xiJrbijai, можно считать, что
q = 2 art + 2 2 btxt + с, Д а,- Ф 0.
i= I i = r+1 i=l
При г < п можно сделать замену 2 Ьгхг-1—з>- Ь„х„, откуда
i=r+\
Я = 2 art + 2bnxn + с, П at Ф 0.
Наконец, при г < п и 6„ =т= 0 можно сделать замену хп
откуда
77
15.3 Классификация аффинных квадрик при AT=R и С
Таким образом, q обязательно принадлежит к одному из сле-
следующих трех типов:
15.2.2.
I
II
q=2j
i= i
<7 =
i
III
г <п—
Следующая таблица (с учетом 15.1.5) показывает, что две квад-
квадрики разных типов не переходят одна в другую под действием
элементов GA(X):
15.2.3.
а произвольная
а собственная
Тип
I
II
III
Тип
II
III
rang a
г
г + \
г + 2
rang a
n + l
n + l
->
rang a
r
r
r
rang a
n
n — l
15.2.4. ПРИМЕЧАНИЯ. В некоторых случаях при явных выклад-
выкладках можно воспользоваться «уравнениями центра» (см. 15.5.4).
Относительно другой характеристики этих типов и
геометрических толкований такого приведения см. 15.7.4.
15.3
КЛАССИФИКАЦИЯ АФФИННЫХ КВАДРИК ПРИ AT=R И С
15.3.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если /С = С, то орбитами QA (X) под
действием GA (X) являются те и только те квадрики, которым
73
Гл. 15. Аффинные квадрики
79
15.3 Классификация аффинных квадрик при A=R и С
11@,2)
11A,1)
Рис. 15.3.3.2
в выбранном базисе соответствуют формы вида
!(/-):
;= 1
U (г): 2*?+!.
1=1
ПЦг):
В частности, есть только две орбиты, образованные
п п-\
собственными квадриками: 2 xf+l и 2 xf-\-2xn.
,-=i 1=1
Это следует непосредственно из доказательства 13.4.2.
Заметим только, что в случае /C=R можно переставить г и s
у типов I и III, благодаря тому что мы действуем в QA(X), a
не в Q (X). Для того чтобы убедиться в том, что орбиты, соот-
соответствующие приведенным ниже формам, действительно раз-
различны, нужно применить 13.4.7 к q и q.
15.3.2. предложение. Если К = R, то орбитами QA(X) под
действием GA (X) являются те и только те квадрики, которым
в выбранном базисе соответствуют формы вида
I (r, s):
[I (r, s):
III (r, s):
г
2 *?
»¦= i
г
2 x\
f — 1
г
2 -^f
r + s
— 5]
» = r+l
r + s
— 2
л+s
- 2
?=Г+ 1
Рис. 15.3.3.3.1
Из книги [202]
80
Гл. 15. Аффинные квадрики
Рис. 15.3.3.3.2
Из книги [133]
15.3 Классификация аффинных квадрик при AT=R и С
Для водонапорной башни в Федала (ныне Мухаммедия, в Марокко)
искали такую форму, которая позволяла бы изготовлять опалубку
из прямых досок и армировать конструкцию с помощью прямо-
прямолинейных предварительно напряженных стальных прутьев. Этим
требованиям идеально соответствовал однополостный гиперболоид,
имеющий два семейства прямолинейных образующих. Стальную
арматуру можно расположить вдоль двух образующих в двух на-
направлениях. Двойная армкровка предупреждала распространение
трещин в бетоне, что отвечало главному условию абсолютной
непроницаемости водонапорной башни.
Сейчас эта водонапорная башня построена. Она
имеет указанную форму однополостного гиперболоида, которая
допускает прямолинейную армировку вдоль направлений двух
семейств прямолинейных образующих этой поверхности.
Рис. 15.3.3.3.3
Гл. 15. Аффинные квадрики
Непривычная форма крыши литейного завода в Лоре явилась
результатом поисков формы, наиболее полно отвечающей требо-
требованиям производства. Для быстрого удаления газообразных
отходов производства и обеспечения достаточной вентиляции
имеются две возможности. В первом случае основной упор де-
делается на установку усовершенствованной вентиляционной си-
системы, как это широко практикуется в Соединенных Штатах.
Во втором случае, наоборот, усилия направлены на то, чтобы
обойтись без дорогостоящих специальных устройств и обеспечить
естественную вентиляцию за счет формы конструкции. Заказчик
выразил отчетливое желание обойтись без чрезмерных усовер-
усовершенствований. Так родилась форма крыши, непрерывно сужаю-
сужающаяся кверху, наподобие печной трубы, что обеспечивает хоро-
хорошую вентиляцию помещения. Эта форма была исследована
экспериментально, и результаты оправдали ожидания. Освещение
цеха ставило новую проблему. Поскольку желательным было
освещение с северной стороны, воронкообразная крыша была
сделана таким образом, чтобы на ней можно было расположить
на северо-востоке большой застекленный участок. Каждая во-
воронка имеет в горизонтальной проекции размеры 13,5x15 м.
Она покоится на четырех опорах. Она составлена из двух по-
поверхностей гиперболического параболоида, симметричных отно-
относительно некоторой плоскости, имеющих три прямолинейных
края и соединенных вдоль четвертого искривленного края.
Остекленная поверхность представляет собой наклонную пло-
плоскость. Верхняя часть воронки образует вентиляционную трубу,
форма которой близка к однополостному гиперболоиду вращения.
Нижние части воронок объединены искривленным креплением,
которое поддерживается в середине (немного впереди изгиба)
двумя диагоналями, расположенными в плоскости окна. Напря-
Напряжения, возникающие в этой конструкции, были определены
экспериментально на макете. Для этого инженер использовал
макет в 1/10 натуральной величины, на котором напряжения
определялись тензометрическим методом. Воронки бетонировались
с помощью специальной опалубки, передвигаемой по опорным
каткам. Послэ бетонирования опалубку спускали вниз и пере-
передвигали дальше, чтобы бетонировать следующую воронку. Ни-
Никакой обычный способ герметизации применить было невозможно,
поскольку угол наклона корпуса колгбался от 20 до 90°. По-
Поэтому было решено отказаться от классического способа герме-
герметизации. Опыты по герметизации с помощью специальных пласт-
пластмасс еще не закончены. Послг двух зим крыша осталась водо-
водонепроницаемой без всякого дополнительного покрытия.
83
15.3 Классификация аффинных квадрик при К=Я и С
Рис. 15.3.3.3.4.
Литейный завод в Лоре
Из книги [142]
84
Гл. 15. Аффинные квадрики
Рис. 15.3.3.3.5
15.3 Классификация аффинных квадрик при AT—R и С
a. S.
86
Гл. 15. Аффинные квадрики
Рис. 15.3.3.3.7.
Крыша павильона,
изображенного на предыдущей
фотографии, состоит из восьми
одинаковых сегментов
гиперболического параболоида.
Геометрия такого сегмента
показана на схеме
87 15.4 Топологические и дифференциальные свойства
15.3.3. ПРИМЕРЫ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
15.3.3.1. Если АГ=С и п = 2, то коника а с уравнением
А + х\ -f 1 обладает образом, гомеоморфным цилиндру R x S1.
В самом деле, « имеет образ, гомеоморфный S2 (см. 14.3.6), а
im (а) = irn (a)\[irn (a) fl °°^]> т- е- 'т (а) получается путем уда-
удаления из im (a) подмножества im(a)n°°A-> состоящего из двух
различных точек. Но сфера 52 без двух точек гомеоморфна
RxS1. Для а с уравнением х\-\-2хг образ совпадает с графиком
12 = —х\\2, и потому гомеоморфен C^R2.
15.3.3.2. Если K = R и п = 2, то собственными кониками будут
11B, 0), 11A, 1), 11@, 2), 11A,0), причем первая имеет пустой
образ. Аффинная коника типа II A, 1) (соответственно 11@, 2),
111A, 0)) называется гиперболой (соответственно эллипсом, па-
параболой).
15.3.3.3. Если AT = R и и = 3, то собственными аффинными
квадриками с непустым образом будут квадрики типа 11B, 1),
11A,2), 11@,3), 111B,0), 111A, 1), которые называются соответ-
соответственно двуполостными гиперболоидами, однополоетными гипер-
гиперболоидами, эллипсоидами, эллиптическими параболоидами и ги-
гиперболическими параболоидами. Только поверхности типа 11A, 2)
и ШA, 1) содержат аффинные прямые, поскольку только в
этих случаях форма q нейтральна (см. 13.1.4.3, § 14.4 и 14.4.6).
15.4 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ВЕЩЕСТВЕННЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ АФФИННЫХ КВАДРИК
15.4.1. Предоставим читателю в качестве упражнения исследо-
исследовать вырожденный случай и будем считать в этом параграфе, что
поверхность a ? QA (X) собственная, а К = Я или С. В комплекс-
комплексном случае легко разобраться лишь с поверхностью а типа III,
1
п—1
поскольку тогда irn (a) — график, связанный с хп=—-^ _
Xi
(см. 15.3.1), и, следовательно, образ im (a) гомеоморфен
С" s R2 ("~1). Если а принадлежит к типу II, то im(a) есть
множество
irn(a)\[irn(a)noo^J,
где im (a) совпадает с множеством С(п-\-\) из 14.3.7, топология
которого неэлементарна, а im(a)n°o^ гомеоморфно С (п) в
С(/г+1). Мы не будем более на этом останавливаться.
15.4.2. Если же /( = R, то, как мы сейчас увидим, образы собст-
собственных квадрик гомеоморфны элементарным множествам. На
рис. 15.4.3 видно, что тип 11B, 1) гомеоморфен R2x {две точки},
88
Гл. 15. Аффинные квадрики
или, что то же самое, RaxS°, где S°—сфера размерности 0 в R;
тип 11A,2) гомеоморфен RxS\ а тип 11@, 3) гомеоморфен S2.
То же самое происходит и в общем случае.
15.4.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Образ собственной аффинной квадрики
типа !!(/-, s) диффеоморфен R'xS5.
Рис. 15.4.3
Выберем базис, в котором а запишется в виде
i= i
h 2
отождествим пространство X" с Rr+5 и представим Rr+5 как про-
произведение Rr+'s= R'x R5 евклидовых пространств. Уравнение
im(a), выраженное через (*, у), примет вид J|x||2—|| i/|j2-f 1 =0,
Но отображение (х,
представляет собой диф-
диффеоморфизм / класса С°° пространства Rr+5, который переводит
пары (х, у), удовлетворяющие уравнению f|x|j2—!*/||2+1=0, в те
и только те пары (х, у), для которых ||f/||=l; следовательно,
/:(i()) RSi
/(())
15.4.4. Что касается поверхностей а типа III, то, как уже отме-
отмечалось в 15.4.1, их образы представляют собой графики и, сле-
следовательно, гомеоморфны R".
15.4.5. КВАДРИКИ КАК ПОДМНОГООБРАЗИЯ. Уравнения из 15.3.1
или 15.3.2 в собственном случае определяют, очевидно, некото-
некоторые подмногосбргзия коразмерности 1 или 2 в зависимости от
того, AT = R или С; достаточно применить, например, [15], с. 56
89
15.4 Топологические и дифференциальные свойства
(или [18*], с. 417—Ред.). Что касается пространства, касатель-
касательного к а в точке mgim(a), то оно отождествляется с гипер-
гиперплоскостью /п1, полярной к т относительной; это доказывается
так же, как в 14.3.8, но проще.
15.4.6. ВЫПУКЛОСТЬ. Рисунки из § 15.3 наводят нас на мысль,
что при некоторых значениях г и s образы поверхностей типа
II (г, s) или III (г, s) являются границами выпуклых множеств
из X. На самом деле справедливо следующее утверждение.
15.4.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Образ вещественной собственной аффинной
квадрики может быть границей выпуклого множества лишь в
двух случаях: 11@, п) и III (п—1, 0), и в этих случаях он
действительно является такой границей. В случае II (п—1, 1)
каждая из двух связных компонент образа (см. 15.4.3) является
границей некоторого выпуклого множества.
В случае III (r, s) утверждение следует из 11.8.11.2,
поскольку здесь мы имеем дело с графиками. В случае II @, п)
мы получаем единичную сферу, которая является границей вы-
пуклого множества—единичного шара
Случай
II (п—1, 1) приводит к выпуклому множеству, поскольку здесь
мы получаем объединение двух графиков, отвечающих функциям
¦-±v ж
х„ =
а эти функции выпуклы (см. 11.8.11.2). Таким образом, осталось
показать, что II (г, п — г) не может совпадать с границей вы-
выпуклого множества при 2^/-^ п—1. Для этого мы снова при-
применим 11.8.11.2, но на сей раз к локальному выражению образа,
например в точке х со всеми нулевыми координатами, кроме
хп=\, как к графику функции
,-/¦>
1=1
п-1
^- 2
1=Г+\
15.4.8. ПРИМЕЧАНИЕ. В аффинном пространстве X всякая гра-
граница выпуклого множества и всякий образ квадрики обладают
тем свойством, что их пересечение с почти всякой прямой из X
(см. 14.1.3.4), не содержащейся в рассматриваемом множестве,
состоит не более чем из двух точек. Одна очень тонкая теорема,
принадлежащая Маршо, утверждает, что верно и обратное
(см. [171]). Этот результат относится к области математики, на-
называемой «конечной геометрией»; основным источником по этому
предмету служит [130], но см. также и [189].
90
Гп. 15. Аффинные квадрики
15.5 ПОЛЯРНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО СОБСТВЕННОЙ АФФИННОЙ
КВАДРИКИ
Здесь поле К снова произвольно.
15.5.1. Пусть а-—собственная квадрика в X; назовем полярно-
полярностью относительно а полярность в X относительно а. Разу-
Разумеется, когда это возможно, мы переводим такую полярность
на язык пространства X. Например, если гиперплоскость /л-Ч
полярная к mfX относительно а, не совпадает с оох, то т-1 Г) X
будет гиперплоскостью в X, которую мы тоже называем полярой
к т и «незаконно» обозначаем т-1-.
15.5.2. ЦЕНТР. Естественно ожидать, что гиперплоскости, поляр-
полярные к точкам из оох, и полюс гиперплоскости оох играют ка-
какую-то роль и в аффинной геометрии. И в самом деле, пусть
с = оох — полюс гиперплоскости оох в X. Возможны два случая:
с?ооА, или с?Х. Предположим сначала, что с?Х, и применим
14.7.4 к Н = оох и т = с. Учитывая 6.4.2, мы видим, что сим-
симметрия X с центром в с, а именно —Id^c, принадлежит группе
квадрики а и, в частности, оставляет инвариантным im (а). Дру-
Другими словами, с — центр симметрии множества im(a). Это можно
уточнить следующим образом.
15.5.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для заданной собственной квадрики a
следующие три условия эквивалентны:
(i) a принадлежит к типу II (см. 15.2.2);
(ii)ooif(?X;
(Hi) гиперплоскость оох не касается а.
При выполнении одного из этих условий точка с =<х>х
является центром симметрии множества im(a). В этом случае
говорят, что а—центральная квадрика, а точка с = оо^ — ее
центр. Квадрики типа III называются параболоидами.
Рис. 15.5.3
91
15.5 Полярность относительно собственной аффинной квадрики
Эквивалентность условий (ii) и (Hi) следует из 14.5.2.1.
Что касается эквивалентности (i) и (ii), то можно воспользоваться
уравнениями центра, приведенными ниже в 15.5.5.2. В случае
типа II однородные координаты (х1( ..., хп, t) точки оох равны
(О, ..., О, 1), а в случае типа III мы можем положить лх равными
(О О, 1,0). Но @ 0, 1) ? X, тогда как @ 0,1, 0) g оох.
15.5.4. ПРИМЕЧАНИЕ. Можно, двигаясь в обратную сторону, ис-
использовать полярность для того, чтобы получить геометрическое
доказательство утверждений из § 15.2, но сделать это в вырож-
вырожденном случае гораздо сложнее, чем провести явные выкладки
из § 15.2, которые, кроме того, вместе с 13.4.8 позволяют прак-
практически осуществить полное приведение квадратичных форм. Что
касается практического приведения, то сначала лучше поискать
возможный центр с помощью уравнений 15.5.5.2, а уже затем
применять § 15.2 (см. 15.7.4 и 15.7.10).
15.5.5. ВЫРАЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ. Если в произвольном аф-
аффинном репере квадрика а имеет уравнение q вида 15.1.6.1, то
полярность в пространстве X в соответствующих однородных
координатах выражается указанным ниже способом (с помощью
13.1.3.6 и 14.5.3).
15.5.5.1. Поляра к (lit ..., %п, 6) имеет уравнение
2 aifliX/ + 2 b( (Qxt + tit) + cQt = 0.
Например, чтобы найти полюс гиперплоскости оох, выпишем
условия того, что этот полюс оох принадлежит полярам га точек
A, 0, ..., 0), ..., @, ..., 0, 1, 0) из оод-, порождающим оох.
В результате мы получим уравнения центра
15.5.5.2. ~^ = 2а/,-*/ + &/ = 0, » = 1, .... п.
15.5.6. ДИАМЕТРЫ. Рассмотрим теперь точку а?оох (рис. 15.5.3)
и ее поляру а1. На этот раз из 14.7.4 и 6.4.2 вытекает, что
образ а в целом инвариантен под действием аффинной симметрии
относительно аффинной гиперплоскости а1- = а1-Г\Х в X парал-
параллельно направлению прямой, для которой бесконечно удаленной
точкой служит а (если а-1 =^= °°х).
15.5.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем диаметром подмножества F аф-
аффинного пространства X всякую гиперплоскость Н, такую что в X
—>
существует направление прямых D, для которого аффинная сим-
симметрия относительно Н параллельно D оставляет F инвариантным.
15.5.8. Из предыдущего следует, что образ собственной аффинной
квадрики а имеет диаметры, т. е. обладает аффинными симметриями
относительно гиперплоскостей. На самом деле у него столько
диаметров, сколько имеется точек а ? оох, для которых а1^ °°х-
92 Гл. 15. Аффинные кзадрики
Но условие a-L = oox эквивалентно а = <х>х', поэтому здесь воз-
возможны два случая.
Первый случай. Если а — центральная квадрика с центром с,
то im (а) обладает симметриями для всех направлений прямых
и, следовательно, для всех направлений гиперплоскостей, по-
поскольку си—^а1 Г\оох—это полярное соответствие относительно
поверхности а, которая в нашем случае невырожденна (см. 15.1.3).
Кроме того, гиперплоскости симметрии все проходят через центр с.
Второй случай. Если а — параболоид, то пусть с — оох^оох—
его точка касания с бесконечно удаленной гиперплоскостью. Все
направления прямых, кроме с, являются направлениями симмет-
симметрии. Диаметры не могут охватить все направления гиперпло-
гиперплоскостей, но среди них всегда содержится направление с. Так,
в случае плоскости они все параллельны.
Естественно выяснить, характеризуются ли образы
квадрик предыдущими свойствами. В случае AT = R получается
удовлетворительный ответ.
15.5.9. ТЕОРЕМА. Пусть В—компакт в конечномерном вещест-
вещественном евклидовом аффинном пространстве, такой что для лю-
любого направления гиперплоскости у В есть диаметр, параллель-
параллельный этому направлению. Тогда В представляет собой объедине-
объединение гомотетичных квадрик с общим центром.
Для доказательства достаточно применить 2.7.5.9 и
2.7.5.10 к стабилизатору G = GAS(X) множества В в аффинной
группе пространства X. В результате мы получим, что на X сущест-
существует евклидова структура, инвариантная относительно G. Но тогда
из 8.2.9 следует, что аффинные симметрии из условия теоремы яв-
являются ортогональными симметриями относительно этой евклидо-
93
15.5 Полярность относительно собственной аффинной квадрикч
вой структуры. Поскольку это верно для всех направлений, то,
в силу 8.2.12, G = \sc (X), где с — центр В. Тогда множество В
Vx ? В должно содержать орбиту х под действием G, которая
представляет собой сферу с центром с, проходящую через х.
Существует и геометрическое доказательство этой тео-
теоремы, основанное на 11.8.10.7.
15.5.10. ПРИМЕЧАНИЕ. Читатель заметит, что некоторые вопросы
остались пока без ответа. Кроме того, можно заняться и другими
Рис. 15.5.8
проблемами, например исследованием диаметров плоских алгеб-
алгебраических кривых. По этому поводу можно обратиться к [155],
с. 150.
Теорема 15.5.9 применяется в геометрии Минковского.
Эта геометрия определяется не чем иным, как метрической струк-
структурой конечномерного вещественного векторного пространства
с метрикой d (х, у) = \\х—у[\. Существуют ли в такой геометрии
инволютивные изометрии? Теорема 15.5.9 показывает, что если
такие изометрии существуют для всех направлений, то это обя-
обязательно евклидова геометрия. Что касается метрик Минковского,
то можно рекомендовать очень приятную работу [42], с. 133
и дальше (или [18*], § 17. — Ред.).
Диаметры соединяют середины хорд поверхности im (a),
параллельных заданному направлению (см. 15.7.5). Два диаметра
94
Гл. 15. Аффинные квадрики
Н, Н' собственной аффинной квадрики а называются сопряжен-
-» ->
ними, если их направления Н, Н' удовлетворяют условию
(//)-L J_ (Я'I относительно а. В случае коник получаются простые
и хорошо известные фигуры (см. 15.7.7, а также 15.6.4).
Рис. 15.5.11
Можно определить (см. 14.5.6) полярность и относи-
относительно поверхности а, которая не является собственной
(см. в 15.7.4 интерпретацию § 15.2 с помощью этой полярности).
15.5.11. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ КОНУС, АСИМПТОТА. Можно надеяться,
что точки из im (а) Л °°у играют какую-то особую роль, так же как
95
15.6 Евклидовы аффинные квадрики
и касательные в этих точках. Назовем асимптотическим конусом
поверхности а конус с вершиной с, описанный вокруг а (см. 14.5.3).
Он представляет интерес лишь при с?Х. Если п = 2, то этот
конус или сводится к с, или состоит из двух прямых, которые
называются асимптотами а. В случае п = 2 и К = R асимптоты
существуют только у гиперболы. При п = 2> и К = R асимптоти-
асимптотический конус существует лишь у гиперболоидов II B, 1) и
III A, 2) (см. 15.7.11).
15.6
ЕВКЛИДОВЫ АФФИННЫЕ КВАДРИКИ
15.6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ. Пусть X — евклидово аффинное прост-
пространство. Теперь нужно классифицировать собственные аффинные
квадрики в X относительно действия группы Is (X), а не GA(X).
Применяя 13.5.5 и технику § 15.3, мы видим, что всегда можно
найти ортонормированный репер, в котором уравнение а примет
вид
г п
2 atx\— 2 а,¦¦*¦?+! или
1=1 1=Г+\
г п-\
2 а{х1— 2 aix\-\-2xn,
?=1 i=r+\
где а,- > О W.
Уравнения такого вида называются приведенными (см. 15.7.10).
Для того чтобы получить полную классификацию, т. е. найти
уравнения, соответствующие различным орбитам, достаточно до-
добавить условия а{ ^ a- Vi, / = 1, . .., г и V/, /==/•+ 1, ..., п — 1
или п.
15.6.2. Евклидовы коники мы подробно изучим в гл. 17. В слу-
случае произвольной размерности мы ограничимся приведенными
ниже инвариантами. Относительно других результатов см. [94].
15.6.3. Назовем эллипсоидом в аффинном пространстве X квад-
квадрику типа 11@, п), т. е. вида
где q?Q(Xa) — положительно определенная квадратичная форма
и а?Х (см. 15.3.2). Назовем множеством, сопряженным отно-
относительно $, базис {«,];=! „ в Ха, в котором q имеет
i
другими словами, \т{)—ортонормированный базис для формы q
(см. 13.3.1). Предположим еще, что X—евклидово пространство
с некоторой произвольной евклидовой структурой (не связанной со).
Обозначим, как и в 8.11.5, символом Gram(-, ..., •) определи-
определитель Грама множества векторов из Ха. Тогда справедлива сле-
следующая теорема.
96
Гл. 15. Аффинные квадрики
15.6.4. ТЕОРЕМА АПОЛЛОНИЯ- Каждому эллипсоиду в евклидовом
пространстве X отвечают такие скаляры А ($, k) (k = 1, .. ., п),
что
A(g, k)= 2 Gran^m,-,, ..., тЛ
для любого множества {/и,-}, сопряженного относительно <§.
15.6.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СКАЛЯРОВ А(&, k). В силу 13.5.5, сущест-
существует базис, ортонормированный относительно евклидовой струк-
структуры ||-j]2 и ортогональный для q; пусть q = 2 ^tA в этом базисе
{et}. Тогда множество \mt¦ — е,-/Ук{} сопряжено относительно
g = <§(q). Очевидно, что
откуда
Gram (milt ..., mik) = | mil f... \ mikf = 11/... K^1,
= 2
15.6.6. ПРИМЕРЫ. В случае произвольного п из 8.11.6 следует,
что А(?, п) равно объему параллелепипеда, построенного на
с и т{ (см. 9.12.4.2); следовательно, этот объем постоянен
(см. 11.8.9.4). Этот результат не связан с евклидовой структурой
на X (см. 2.7.4); он всего лишь геометрически выражает тот
факт, что |det/| = l, если f?O(q) (см. 13.6.2).
При произвольном п и k = 1 выполняется соотношение
п
А(<?, и) = 2
=i
Так, в случае эллипса на плоскости, кото-
рый в ортонормированном базисе задается уравнением —r~b"p
— 1=0,
всегда справедливо равенство \\m1
-\-\\m2
1
\\\2f = a2-\-b2 и
площадь (заштрихованной области на рис. 15.6.6) равна ab.
Именно в этом и состояла теорема Аполлония в первоначальной
формулировке.
При n = 3, k = 2 получим (см. 8.11.8)
Другими словами, сумма площадей трех параллелограммов, по-
построенных на базисе (т„ /п2, т3\, сопряженном относительно^,
постоянна.
15.6.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Фиксируем множество {/п,}, сопряжен-
сопряженное относительно ^ = ^~1A), и пусть В—матрица квадратичной
формы || • f в этом базисе \т,}. При другом сопряженном мно-
множестве \т'{\ матрица В' формы |] • ||г равна В'=tSBS, где *SS = /
(это следует из 13.1.3.8 и 13.6.5). Следовательно, В' =S~1BS
97 15.6 Евклидовы аффинные квадрики
остается подобной В, и потому
det (В' + М) = 2
где А (<§, k) зависят только от В, т. е. фактически от <§. Но из
линейной алгебры известно, что
2 M'h...lk ),
det(B'+b/)= 2
где Mit,,.ik—определитель матрицы, образованной элементами
b'i/, где I, j = ilt ..., ik. Но, по определению В' в 13.1,3.6,
b'ij = {m'i | mj); значит,
M'{l ... ik = Gram (mit m(k).
Рис. 15.6.6
15.6.8. ОСИ. Из 15.6.1 вытекает, что образ собственной квадрики
в евклидовом аффинном пространстве обладает осями симметрии.
Если она принадлежит к типу II, то она обладает симметриями
относительно п координатных гиперплоскостей: xtr->—xt (а осталь-
остальные х фиксированы), если же она принадлежит к типу III, то
из указанных симметрии следует исключить х„к->—хп.
98
Гл. 15. Аффинные квадрики
15.7 УПРАЖНЕНИЯ
15.7.1. Исследуйте для аффинных квадрик теорему о нулях
(Nullstellensatz).
15.7.2. Исследуйте вырожденные аффинные квадрики при п — 2
или 3 и К = R или С.
15.7.3. Изучите центры и диаметры вырожденных квадрик.
15.7.4. Определите полярность относительно произвольных аффин-
аффинных квадрик. Покажите, что типы I, II, III характеризуются
тогда следующими условиями:
тип I: оо?Шт(а)Ф 0;
тип II: | ?
тип III:
Докажите 15.2.2 геометрически.
15.7.5. Исследуйте середины хорд некоторой аффинной коники,
параллельных заданному направлению.
Рис. 15.7.5
15.7.6. Пусть C = im(a) — непустой образ собственной коники на
плоскости, т.—точка на плоскости и <m, a>, <m, by—две раз-
различные касательные к С в точках а и Ь, проходящие через т.
Покажите, что прямая D = <m, (а + Ь)/2у является диаметром a
и что касательные к а в точках С П D параллельны <a, by. По-
Покажите, что если a—парабола, то D всегда пересекает С, при-
причем в середине отрезка, соединяющего т и (а + Ь)/2. Выведите
отсюда геометрический способ построения последовательности
точек дуги параболы, если известны две ее точки и касательные
в этих точках.
Заметив, что площадь треугольника \т, а', Ь'\ на
рис. 15.7.6 равна 1/4 площади {т, а, Ь), выведите отсюда с по-
помощью предельного перехода (придуманного еще Архимедом),
что площадь заштрихованной части составляет 2/3 площади
{т, а, Ь\. Докажите это же с помощью интегрального исчисления.
15.7.7. Покажите, что, какую бы точку на эллипсе мы ни вы-
выбрали, существует параллелограмм, описанный около этого эл-
99 15.7 Упражнения
липса, у которого данная точка является одной из точек каса-
касания и все точки касания служат концами сопряженных диамет-
диаметров. Покажите, что для точек а, C на рис. 15.7.7 всегда выпол-
выполняется соотношение са = ]/~2ф. Покажите также, что для точек
а, у на этом же рисунке направления са, су сопряжены отно-
относительно а.
15.7.8. Докажите 15.6.1 со всеми подробностями.
а + Ь
15.7.9. Пусть Q—эллипсоид в трехмерном евклидовом аффинном
пространстве и х — некоторая фиксированная точка внутри Q.
Проведем через х три попарно ортогональные прямые D, E, F,
и пусть D пересекает Q в точках a, b; E—в точках с, d, а F—
в точках е, f. Докажите, что сумма
xa-xb xc-xd xe-xf
постоянна. Приведите примеры и обобщения.
100
Гп. 15. Аффинные квадрики
Теперь проведем через х три прямые D, Е, F, направ-
направления которых попарно сопряжены относительно Q, причем D
пересекает Q в точках а, Ь\ Е — в точках с, d и F—в точках е, f.
Докажите, что сумма
ха • xb 4- хс • xd + хе ¦ xf
постоянна. Приведите примеры и обобщения. См. также 17.9.12.
7
Рис. 15.7.7
15.7.10. Для квадрик из R2 и R3, уравнения которых приведены
ниже, найдите такие ортонормированные аффинные реперы, чтобы
новые уравнения приняли вид, указанный в 15.6.1. Найдите эти
новые уравнения и определите, какие именно получились квад-
квадрики. Укажите также их оси и асимптоты (если они есть). Если
уравнение содержит параметры, то выясните, как зависит резуль-
результат от значений этих параметров:
х* + {2№ + 1) {у2 + г2) —2 (yZ+zx+xy)+2ka—3№ +1 =0,
12ху + 2х + Зу + Xz + |.i = 0,
х2 -Ь Ткху + у2 —ах—by = 0,
х= + к (X 4-1) ху + ?Л/ fo — а) = 0,
ах2 — 2ху + Ру2—2рд:—2ау = 0,
(а — 1) х2 + 2fixt/— (а 4-1) г/2 + 2ах 4-2|3г/— (а 4-1) = 0.
15.7.11. Покажите, что для гиперболы на вещественной аффин-
аффинной плоскости понятие асимптоты, введенное в 15.5.11, совпадает
с аналогичным понятием для кривых, заданных параметрически.
15.7.12. Покажите, что если (невырожденный) параллелограмм
вписан в коническое сечение, то его центр совпадает с центром
этого конического сечения.
15.7.13. ОРТООПТИЧЕСКАЯ СФЕРА. Пусть Q — центральная квадрика
в трехмерном евклидовом аффинном пространстве. Покажите, что
101
15.7 Упражнения
геометрическое место вершин трехгранных углов с прямыми
плоскими углами, описанных около Q, представляет собой сферу,
которая называется ортооптической сферой поверхности Q. Ка-
Какая это сфера в случае, когда Q — параболоид?
Покажите, что сферы, гармонически описанные около Q
(см. 14.5.4.4),—это сферы, ортогональные ортооптической сфере
для Q.
Покажите, что ортооптические сферы касательного пуч-
пучка квадрик образуют пучок сфер.
Сравните это с 17.4.2.3, 17.6.1, 17.9.5 и 15.7.20.
15.7.14. Пусть Q—квадрика в трехмерном евклидовом аффинном
пространстве. Исследуйте круговые сечения Q, т. е. плоскости,
которые пересекаются с Q по окружностям, и сами эти окруж-
окружности (можно изучить, что происходит в бесконечно удаленной
плоскости в комплексификации проективного пополнения для
данного евклидова аффинного пространства, используя 14.1.3.7
и 17.4.2). Исследуйте также сферы, касающиеся Q в двух раз-
различных точках, и их пересечения с Q.
15.7.15. Пусть Q—квадрика в трехмерном евклидовом аффинном
пространстве и т—некоторая точка. Покажите, что число нор-
нормалей к Q, проходящих через т, в общем случае равно шести.
Покажите, что основания всех нормалей, опущенных из т. на Q,
лежат на некотором конусе второго порядка с вершиной в т.,
которому, кроме того, принадлежат центр Q и прямые, прохо-
проходящие через т параллельно осям Q. Сравните этот результат
с 17.5.5.6.
15.7.16. Дайте подробное обоснование способа построения квад-
квадрик в трехмерном евклидовом пространстве с помощью нити
(см. 17.2.2.5 и 17.6.4).
15.7.17. СОФОКУСНЫЕ КВАДРИКИ. Рассмотрим в R3 семейство
квадрик Q (К) с уравнениями
i
'4-
+
1-0
1 — и.
где а > b > с. Выясните, сколько квадрик Q (К) проходит через
заданную точку (х0, уд, г0). Покажите, что в случае, когда через
некоторую точку проходят три Q(^), их касательные плоскости
в этой точке попарно ортогональны (см. 17.6.3.3).
15.7.18. Рассмотрим четыре точки на вещественной аффинной
плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Заштрихуйте, пожалуйста, область, состоящую из точек, для
которых коника, проходящая через такую точку и четыре задан-
заданные, оказывается эллипсом.
15.7.19. Найдите все без исключения евклидовы симметрии (см.
9.2.4), оставляющие инвариантной некоторую данную евклидову
аффинную квадрику.
102
Гп. 15. Аффинные квадрики
15.7.20. Пусть ? — эллипсоид с центром 0 в /г-мерном евклидо-
евклидовом аффинном пространстве. Рассмотрим множества {а,},--^ i<p; „
таких точек из <В, что векторы 0 о,-попарно ортогональны. Пока-
п
жите, что сумма 2 1/@ о,-J постоянна.
Получите отсюда огибающую гиперплоскостей, содержа-
содержащих точки а,- (см. 10.13.12). Дайте таким способом новое дока-
доказательство для 15.7.13 с использованием полярности относительно
некоторой сферы с центром 0. Сравните с 15.7.9.
Глава 16 Проективные коники
16.1 Напоминания, выражения
в координатах, дополне-
дополнения
16.2 Хорошие параметриза-
параметризации, двойное отношение
четырех точек, теорема
Паскаля
16.3 Томографии и группа дан-
данной коники. Приложения
16.4 Пересечение двух коник,
Теорема Безу
16.5 Пучки коник
16.6 Большая теорема Понселе
16.7 Аффинные коники
16.8 Упражнения
Еще со времен древних греков и особенно в девятнадцатом
веке математики уделяли столько внимания коническим сече-
сечениям (или коникам) и посвятили им столько работ, что нако-
накопилось огромное число результатов об этих линиях. Система-
Систематическое изложение этих результатов можно найти в работе [94].
Не считая более или менее классических результатов, мы
в качестве примера трудной теоремы выбрали теорему Понселе
о многоугольниках, вписанных и описанных около коники.
С нашей точки зрения, это один из самых красивых класси-
классических результатов о кониках (см. § 16.6).
Среди всех квадрик коники обладают двумя преимуществами.
С одной стороны, их можно параметризовать при помощи
проективной прямой, что позволяет перенести на коники поня-
понятие двойного отношения и томографии (см. § 16.2 и 16.3).
С другой стороны, теория пересечения двух коник приводит
к теореме Безу и позволяет полностью изучить пучки коник
(см. § 16.4 и 16.5).
Во всей этой главе Р = Р(Е) — проективная пло-
плоскость над полем К, характеристики =^=2; Р* = Р (?*). Мы часто
будем не совсем законно отождествлять точку mgP и тройку
(х, у, г) ее проективных координат. Через ab = <.a, by обозна-
обозначается проективная прямая, соединяющая точки а и Ь, афЬ
(см. также 16.1.2).
Чаще всего мы будем фиксировать некоторую конику
а ? PQ (Е) и обозначать через C = im(a) ее образ, а через
q—уравнение. Исключение составляет § 16.7, где а и q соот-
соответствуют конике на аффинной плоскости X.
16.1 НАПОМИНАНИЯ, ВЫРАЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ,
ДОПОЛНЕНИЯ
16.1.1. В силу 14.1.3.2 и 14.1.7.1, коника а либо собственная,
либо ее образ С состоит из одной точки, или из одной прямой,
или из двух прямых.
104
Гл. 16. Проективные коники
16.1.2. СОГЛАШЕНИЕ. Если собственная коника задана явным
или неявным образом и a, b—две данные точки ее образа im (a)=C,
то через ab мы будем обозначать проективную прямую <а, by = ab,
когда афЬ; при а = Ь через аа обозначается касательная к а
в точке а (см. 14.1.3.5). В приводимых далее результатах мы
пользуемся этим соглашением (см., например, 16.2.2, 16.2.11),
предоставляя читателю проверить, что рассматриваемый резуль-
результат остается справедливым, когда пересекающиеся прямые пре-
превращаются в касательные. Общая закономерность, благодаря
которой это происходит, объясняется в 14.1.3.2.
16.1.3. ВЫРАЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ. В однородных координатах
(х, у, г) в Р уравнение q для коники а и соответствующую мат-
матрицу А обычно записывают в виде
q = ах2 + а'уг + а"г2 + 2Ьуг + 2Ь'гх + 2Ь"ху,
16.1.3.1. /a b" b"
A=b" a' b
\Ь' Ь а"у
Обозначим через р, q, r, s проективный репер в Р, связанный
с нашими однородными координатами, т. е. р = A, 0, 0), о=@, 1, 0),
/- = @, 0, 1), s = (l, 1, 1) (см. § 4.4). Тогда справедливы следую-
следующие утверждения.
16.1.3.2. Треугольник {р, q, r\ в том и только том случае авто-
полярен относительно а, если fr = fr' = fr" = 0 (см. 14.5.4). Треуголь-
Треугольник \р, q, r\ в том и только том случае вписан в С, если а=а' =
= а" = 0. Кроме того, s?C тогда и только тогда, когда fe + fe'-f
-f b" = 0. Для того чтобы q, r ? С и pq, рг касались С, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы уравнение а имело вид ax2 + 2byz.
Далее, условие s?C эквивалентно тому, что уравнение а имеет
вид а(х2—yz) (используется 14.5.3).
Все вышесказанное позволяет в случае коник уточнить
пп. 14.1.6 и 14.2.4.
16.1.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Через пять точек Р, никакие три из
которых не лежат на одной прямой, проходит одна и только
одна собственная коника. Пусть поле К произвольно, аа и |3—две
такие коники, что im (а) не пусто и не сводится к одной точке;
тогда из im (а) = im ф) следует, что а = р.
В силу 4.6.8, можно взять проективный репер, обра-
образованный первыми четырьмя из таких точек: {р, q, r, s\. Согласно
16.1.3.2, уравнение а в случае, если С содержит эти четыре
точки, имеет вид
by (г—х) -\-Ь'х(г—у).
Пусть (х0, yQ, zo) = t — пятая заданная точка; так как она не
лежит на прямых pq, qr, rp, ps, qs, rs, то xg, y0, г0 все различны
105
16.1 Напоминания, выражения в координатах, дополнения
и не равны нулю. Следовательно, уравнение Ьуа (г0—xo)-f-
+b'xo(zl)—yo) = 0 имеет в К единственное решение (b, b'), при-
причем ЬЬ'фО и b + b' =т^0. Значит, коника
by г +Ь'гх
собственная, поскольку det A = bb'b" =f= 0.
Пусть теперь а и р таковы, что im (а) = im ф). Пред-
Предположим сначала, что коника а вырожденна. Тогда из im (а) =»
\Р
г = @,0,1)
\ax2+a'y2+a"z'-\
Рис. 16.1.3.2.1
byz+b'zx&b"xy
Рис. 16.1.3.2.2
в-11,1,1)
Рис. 16.1.3.2.3
= im ф) следует, в силу 14.1.3, 14.1.7.1 и наших предположе-
предположений, что а = C. Если а собственная, & = #/(> 3 и СФ0, то
#С^5 5. В самом деле, если а?С, то число прямых из Р, про-
проходящих через а, равно k -j- I > 4, а прямые, отличные от каса-
касательной (число которых > 3), пересекают С в точке Фа. Следо-
Следовательно, с первой частью теоремы мы покончили. Остается
рассмотреть случай # К = 3. Предыдущие рассуждения показы-
показывают, что С содержит по крайней мере четыре точки. Взяв эти
106
Гл. 16. Проективные коники
точки в качестве проективного репера, мы выведем из предыду-
предыдущего абзаца, что если а—собственная коника, то ее уравнение
обязательно имеет вид Ъ(ху-\-уг-\-гх).
16.2 ХОРОШИЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ, ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ
ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК, ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
16.2.1. Все вышеизложенное наводит на мысль связать с каждой
прямой D, проходящей через т^С, точку Df\C. Точнее," для
т € Р обозначим через т* прямую в Р*, образованную прямыми
Рис. 16.2.1
Рис. 16.2.3
из Р, содержащими т (см. 4.1.3.5). Для собственной коники а
и т?С положим (используя 16.1.2).
16.2.2.
пт: С-.
(a)
16.2.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для всякого т?С отображение пт биек-
биективно. Для всяких т, п?С композиция ппоп^\ т* —¦ п* яв-
является голографией. Обратно, если т, п—две различные точки
в Р и f: т* —* п*—гомография, то в Р существует такая кони-
коника а, что im (а) = {Df\f(D): D€.m*\, и эта коника проходит
через т и п. Она вырождений тогда и только тогда, когда
f (тп) = тп, и в этом случае она состоит из тп и еще одной
прямой.
Утверждение о биективности следует из 14.1.3.2 и
14.1.3.5. Далее, если т, п?С, то возьмем такой проективный
репер, что т = @, 1, 0), п = @, 0, 1), а уравнение а имеет вид
х2—уг. Это всегда возможно в силу 16.1.3.2. Тогда т* состоит
из прямых D с уравнениями ?а + цг = 0, а п* — из прямых D'
с уравнениями Ух + ц'у = 0. При этом включение D П D' € С экви-
эквивалентно равенству 'k'k'=щх', которое задает томографию между
(К ц)€# и (A/, |itf
107
16.2 Хорошие параметризации
Обратно, предположим сначала, что / (тп) = тп. Тогда
наше утверждение доказано в 6.5.9. Если же это предположение
не выполнено, то применим 16.1.4 к пяти точкам т, п и D{r\f(Dt)
(i = l, 2, 3), где Dj различны и не совпадают с тп.
16.2.4. СЛЕДСТВИЕ. Если К = ? и ее—собственная коника, то
im(a) гомеоморфен Рг(С); если /( = R н a—собственная коника
с непустым образом, то im (a) гомеоморфен P1(R).
Рис. 16.2.5
Рис. 16.2.6
Рис. 16.2.7.1
Выбрав репер, как указано выше, мы увидим, что я^1
отождествляется с отображением К Э (^. Ц)|—;> (V. — Ц2> — ^2) €Л
которое непрерывно при К = R или С.
16.2.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть а—собственная коника с непустым
образом С и rri/ A = 1, 2, 3, 4)—четыре точки С, из которых
не более двух точек совпадают. Тогда двойное отношение [mm;]
четырех прямых mm, (см. § 6.5 и 16.1.2) не зависит от точки
т?С. Назовем его двойным отношением четырех точек т{, при-
принадлежащих С, и обозначим [mj или [/ге,-]с- Если совпадают три
точки, то еще можно определить для точек т( свойство находиться
в гармоническом отношении [mj = —1 (см. § 6.4).
Это утверждение следует из 16.1.4 и 6.4.1. Применяя
§ 6.5, получаем также следующее утверждение.
16.2.6. Пусть a—собственная коника, а?С и D—такая прямая,
что a^D. Тогда соответствие С$ т>-*атГ\ D ?D биективно
и сохраняет двойное отношение Примером служит стереографи-
стереографическая проекция при п—\ и К = R или п = 2 и К = С (см. 18.1.4,
18.10.7, § 20.6).
16.2.7. ПРИМЕРЫ
16.2.7.1. Пусть a—собственная коника и т, п—две различные
точки Р. Тогда множество {Df\E: D — прямая Эт, Е — прямая
Э п, D j_E} представляет собой образ некоторой коники и содер-
содержит тип.
В самом деле, в силу § 14.п, E~nDL. Но m*^D>-*-
^D-Lf mJ—гомография, так же как и /л1 Э х *—>пх б п*. Следо-
Следовательно, для завершения доказательства достаточно применить
вторую часть 16.2.3.
108
Гл. 16. Проективные коники
Примером такого геометрического места точек служит
ортооптическая окружность евклидова конического сечения
(см. 17.4.2.3).
16.2.7.2. В силу двойственности, мы можем сделать из 16.2.3
вывод, что если fi D—-f— томография между двумя прямыми
из Р, то семейство прямых <m, f(m)>, где т пробегает D, огибает
касательную конику из Р*, которая касается D и Е. Весьма
частный случай этого результата был приведен в 9.6.7.2.
16.2.7.3. Из 14.6.1 видно, что если а—собственная коника
с непустым образом, то можно определить двойное отношение
четырех касательных к а, причем двумя эквивалентными спосо-
способами: как двойное отношение четырех точек касания или как
двойное отношение четырех точек, в которых произвольная каса-
касательная пересекается с данными четырьмя касательными.
Рис. 16.2.7.3
16.2.7.4. Красивое приложение см. в 17.4.2.2.
16.2.8. ЗАМЕЧАНИЕ. В силу 16.1.3.2, всякая собственная коника
с непустым образом имеет уравнение вида х2—уг. Но тогда ото-
отображение /С2Э(^, Ц.) >¦-»• (V» ^2> Ц2)€? переносится на фактор-
фактормножества и приводит к биективному отображению f: К —+С,
которое сохраняет двойное отношение, как это на самом деле
следует из доказательства 16.2.3. Более общий результат состоит
в следующем.
16.2.9. предложение. Назовем хорошей параметризацией собст-
собственной коники с непустым образом С всякую биекцию f: К —*С,
сохраняющую двойные отношения. Для любой хорошей парамет-
параметризации существует такое g (Е 3** (К2; Е) (см. 3.3.1), что диа-
109
16.2 Хорошие параметризации
грамма
"I
к
Е
\"
Р
коммутативна, т. е. f о р = р о g. Такое g единственно с точно-
точностью до скаляра из К*. Обратно, пусть g ? Pf (/С2; Е)
и f: К —>- Р—отображение, полученное при факторизации. Тогда
если f инъективно, то его образ f(f() = C совпадает с образом
некоторой собственной коники и f—хорошая параметризация.
Для любых хороших параметризаций f, g: К —*¦ С справедливо
соотношение
Последнее утверждение следует из определения и 6.1.4.
Существование g для заданного / вытекает из существования
уже встречавшегося нам отображения g: (Х, ц)>—>(^г, k\i, цг).
Единственность является тривиальным следствием определения Pf.
Для того чтобы доказать обратное утверждение, напишем
и
V
W
и'
V'
w'
и"
V"
w"
Докажем сначала, что определитель
?=0.
Если это не так, то мы получим отображение вида
(К, ц)к-*.(аГ + %1 + Ф'г. а'№ + Ь'к\1 + с'\12).
Предоставим читателю доказать, что факторизованное перенесе-
перенесение этого отображения R—+ К не может быть инъективным, если
# К > 3. -
Отсюда мы делаем вывод, что существуют линейно
независимые ср, ц, ? € Е*, такие что № = ц>(х, у, г), Ц1=.ц(х, у, г),
\12 = ^(х, у, г). Следовательно, /(К) есть коника, уравнение кото-
которой имеет вид -ii2—ср? = О, причем это собственная коника, по-
поскольку ф, ц, ? независимы. Наконец, это хорошая параметри-
параметризация, поскольку, с точностью до томографии в К и Р, мы имеем
дело с отображением
(К, \i)-*(k2, k\i, ц2),
а это, конечно, хорошая параметризация в силу 16.2.8.
110 Гл. 16. Проективные коники
16.2.10. ПРИМЕЧАНИЕ. Доказанное выше предложение есть частный
случай —применительно к коникам—общей теоремы об уникур-
сальных кривых, а именно теоремы Люрота, которая, однако,
справедлива только в случае алгебраически замкнутого поля К.
(См., например, [239J, с. 173—175 русского перевода.)
Рис. 16.2.11
16.2.11. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ. Пусть С—оЗраз собственной коники
и а, Ь, с, d, е, f—шесть ее точек, среди которых не более трех
пар образовано совпадающими точками (см. 16.1.2). Тогда точки
abf\de, bcf\ef, cdf\fa лежат на одной прямой.
Положим x = bcf\ed, y=cdf\ef, z = ab(]de, t = aff\dc,
В силу 16.2.5 и 6.5.2, имеем
[г, х, d, e]=.[ba, be, bd, be\ = [fa, fc, fd, fe\ = [t, c, d, y]
и, следовательно, в силу 6.5.8, zt, xc, ey пересекаются в одной
точке.
16.2.12. Отметим, что в случае, когда С состоит из двух прямых, тео-
теореме Паскаля отвечает теорема Паппа (см. 5.4.1). Как сам Паскаль
доказывал свою теорему в случае окружностей, по-видимому,
неизвестно; напротив, мы знаем, что от окружностей к кони-
коническим сечениям он переходил при помощи проекции (см. 17.1.5).
Что касается других доказательств и свойств «мистической гек-
гексаграммы», см. 16.8.3—16.8.5. Очевидно, что верна и обратная
к 16.2.11 теорема, благодаря тому что прямая пересекает ко-
коническое сечение не более чем в двух точках. Мы воспользуемся
ею в 16.3.3 и 16.7.3. Из § 14.6 можно вывести следующий
результат.
16.2.13. СЛЕДСТВИЕ (Брианшон). Если шестиугольник описан
оцоло собственного конического сечения, то три его диагонали
пересекаются в одной точке.
Теоремы Паскаля и Брианшона остаются справедли-
111
16.3 Томографии и группа данной коники. Приложения
Рис. 16.2.13
выми и в некоторых вырожденных случаях (см. 16.1.2). Два таких
случая представлены на рис. 16.2.13, причем на одном из них
вырождение максимально.
16.2.14. Если а—собственная коника и (ml)i=1< 2i 3, tc:C, то
[/ (mi)]f(o = [mi\c Для любого f?GP(P).
16.3 ТОМОГРАФИИ И ГРУППА ДАННОЙ КОНИКИ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Во всем этом параграфе а—собственная коника с непустым
образом С.
16.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем гомографией коники а (или ее
образа С) любую биекцию / образа С, сохраняющую двойное
отношение. Будем говорить, что / — инволюция, если /2 = ЫС
и /=7^ЫС. Группу томографии коники а обозначим GP (С) или
GP (а).
16.3.2. В силу § 16.2, если а?С, то включение /gGP(C) равно-
равносильно тому, что
го же самое справедливо и для произвольных хороших парамет-
параметризаций. Инволюции С соответствуют инволюциям в смысле § 6.7.
Например, существует одна и только одна томография, отобра-
отображающая три заданные точки С в три другие заданные точки.
Следовательно, группа GP (С) всегда изоморфна (хотя изоморфизм
и не единствен) группе GP (К), которую мы будем также обозна-
обозначать GPA; К).
Упомянем, кроме того, совершенно другой способ
нахождения томографии а, навеянный замечанием 16.2.14. А именно,
112 Гп. 16. Проективные коники
нужно взять /?РО(а) (см. § 14.7). Как мы вскоре увидим в 16.3.8,
других томографии не бывает. А пока мы собираемся связать
томографии С со всем пространством Р.
16.3.3 ТЕОРЕМА (об оси томографии). Пусть f?GP(C); тогда
в Р существует такая прямая А, что для любых т, п € С, где
тфп, при m'=f (m) выполняется условие: n'=f (n) <=> т'п П тп' (Е А.
Прямую А называют осью томографии f. Неподвижными точка-
точками f будут множества А |~1 С.
При необходимости мы будем пользоваться соглаше-
соглашением 16.1.2. Пусть (a,-)i=i, 2,8,4, s—точки С; положим a'i=f(ai)
и sij = aia'jr\aiaj. Пусть точки alt a2, а3 различны. Обозначим
через А прямую s12sl3. В силу 6.5.8 и 16.2.5, точки s14 и s15 при-
принадлежат А. По теореме 16.2.11 (и обратной к ней, см. 16.2.12)
точка s45 принадлежит А (и обратно).
пцп'упт'п'
Рис. 16.3.3
ллгл
Рис. 16.3.6
16.3.4. замечание. Если поле К алгебраически замкнуто, то
16.3.3 можно доказать, не используя 16.2.11, а непосредственно
применяя 6.5.8. В самом деле, A = s12s13 с необходимостью пере-
пересекает С, причем в неподвижных точках /. Следовательно, А
характеризуется как прямая, соединяющая эти точки (см. 16.1.2).
113
16.3 Томографии и группа данной коники. Приложения
Теперь уже 16.2.11 тривиально следует из 16.3.3! Таким обра-
образом, при желании можно использовать алгебраическое замыка-
замыкание К и расширение а в этом замыкании. Следует иметь в виду,
что даже если im(a)=^=0, томография f может не иметь непод-
неподвижных точек (см. 16.3.5).
16.3.5. ПРИМЕР. Вращения окружности представляют собой томо-
томографии; это вытекает из 8.8.7.2, и мы еще вернемся к этому
в 17.4.2. В случае инволюций справедлив следующий результат.
16.3.6. СЛЕДСТВИЕ (Фрежье). Биекция /?GP(C) тогда и только
тогда инволютивна, когда существует такая точка б ? Р\С, что
: {/п, f{m)\=C[\bm
(см. 16.1.2).
Точка б называется точкой Фрежье инволюции f; она совпадает
с полюсом А-1- оси А гомографии /.
Прямое утверждение следует из 14.5.2.6 (см. рис.
14.5.2.6). Обратное получается из 6.7.4, откуда с учетом 16.3.3
вытекает, что б вполне определяет инволюцию с помощью соот-
соотношения {т, f (m)\ =C f\8m.
16.3.6.1. Вопрос. Если /?GP(Q уже не является инволюцией,
то можно все же выяснить, что происходит с прямой <m, / (т)>,
когда т пробегает С. Ответ см. в 16.8.8.
16.3.7. ПРИМЕР. Если С — окружность на евклидовой плоскости,
б—ее центр и а?С—произвольная точка, то инволюция, опре-
определяемая с помощью б на С, переводит друг в друга диамет-
диаметрально противоположные точки, а инволюция на а*, определяе-
определяемая с помощью ла, переводит друг в друга ортогональные пря-
прямые. Мы еще вернемся к этому в 16.3.10.2 и § 17.5.
Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный
в 16.3.2.
16.3.8. предложение. Сужение РО (а) Э gt->g\c € GP (С) биек-
биективно, и, следовательно, GP (С) естественно изоморфно РО (а).
Мы знаем, что g\g действительно принадлежит GP (С)
в силу 16.2.14. Инъективность вытекает из того, что С всегда
содержит по крайней мере четыре точки (и ни одной больше при
4?/( = 3), образующие проективный репер (см. доказательство
предложения 16.1.4). Для того чтобы убедиться в сюръектив-
ности, мы сначала с помощью 6.7.3 сведем все к случаю инво-
инволюций. Но, в силу 14.7.4, инволюция с точкой Фрежье б и осью
А = б->- есть сужение некоторого ggPO(a).
16.3.9. следствие. Если поле К алгебраически замкнуто, то для
любой собственной коники а (или любой невырожденной формы q)
имеют место следующие изоморфизмы:
114
Гп. 16. Проективные коники
Если K =
GP(R2) =
уг — г2, то
(R) = GPA; R) ^ PO (q) ^0+ B, 1).
Таким путем обнаруживаются изоморфизмы между не-
некоторыми «классическими группами». (По этому вопросу см. [76],
гл. IV.)
16.3.10. ПРИЛОЖЕНИЯ
16.3.10.1. Ось томографии известна, как только нам даны три
пары соответствующих точек Следовательно, с помощью 16.3.3
можно геометрически построить образ произвольной точки под
действием томографии. Что касается инволюций, то они опреде-
определяются при помощи своей точки Фрежье двумя парами соответ-
соответствующих точек и притом проще, чем в случае томографии обще-
общего вида.
Например, двойные точки инволюции — это точки,
в которых касательные, выходящие из б, касаются С. Пару
соответствующих точек, общих для двух инволюций, можно по-
получить, найдя точки пересечения С с прямой, соединяющей
точки Фрежье этих инволюций.
В силу 16.2.6, предыдущие построения позволяют
также решить поставленные ранее задачи на прямой D или на
пучке а* прямых (см. 16.2 3). Именно это и представлено на
рис. 16.3.10, где мы используем евклидов) аффинную плоскость X,
содержащую D, и вспомогательную окружность Г на X.
16.3.10.2. Определение осей эллипса. Пусть <§—эллипс с цент-
центром с на евклидовой аффинной плоскости X, и пусть нам изве-
известны два его сопряженных диаметра си, cv (см. рис. 16.3.10).
Этот случай очень часто встречается на практике — например,
в начертательной геометрии (см. также 16.7.3). В силу 15.7.7,
векторы си, cv, с одной стороны, и ср, cq—с другой, сопряжены
относительно а, и, следовательно, их направления находятся
в инволюции на проективной прямой с*, поскольку полярность
относительно а на оох представляет собой инволюцию (она инво-
лютивна, гомографична и не тождественна) и, кроме того, с*
естественно изоморфна сх>х.
Но отыскать оси эллипса ?—это значит найти сопря-
-?
женные относительно а и ортогональные друг другу направления.
Учитывая 16.3.7, это можно сделать с помощью построения,
представленного на рис. 16.3.10. (См. также 17.9.22.)
16.3.10.3. Задача Кастильона. Пусть на евклидовой плоскости
задана окружность Г и п точек а,-^ Г (t=l, ..., п). Требуется
найти многоугольник {mt} (i= I, . . ., п), вписанный в Г и такой,
что ai^mimi+l (i=l, ..., п). Эта задача легко решается также
для произвольной коники а с непустым образом на проективной
115
16.3 Томографии и группа данной коники. Приложения
плоскости и точек а,- из Р\С. Идея состоит в том, что т,—
неподвижная точка томографии /?GP(C), определенной соотно-
соотношением / = ср„о. . . оф1? где tf,-—инволюция С с точкой Фрежье а,-.
Рис. 16.3.10
116
Гл. 16. Проективные коники
Конкретно, мы строим сначала a'=f(a), p' = f(P), y' = f(y), где
a. P. Y— произвольные различные точки С, а затем ось А томо-
томографии f, пользуясь соотношением
Искомыми точками т1 будут точки множества А Л С. (См.
рис. 16.3.10, а также п. 10.11.4).
16.4
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ КОНИК. ТЕОРЕМА БЕЗУ
Во всей оставшейся части этой главы поле К удовлетворяет
условию # К> 5.
16.4.1. Пусть ф€^*(/С2) — однородный полином на К2 степени
п^4. Чтобы исследовать (а, Ь)?Кг, для которых ср (а, Ь) = 0,
заметим, что также и ф (/га, kb) — O. Следовательно, можно по-
поискать эти «корни» в К = Р(К2)- Отметим также, что если с точ-
точностью до скаляра из К* задано (а, Ь)=?@, 0), то со: (К, fi)i—>
¦—»- ЬХ.—a\i—единственная линейная форма на К2, такая что
со (a, b)=0. Все сказанное придает смысл следующему утверж-
утверждению.
16.4.2. ЛЕММА. Пусть ф 6 5s* (/С2) ил<4. Говорят, что т?К —
корень полинома ф, если ф (а, Ь) = 0, когда т = р(а, Ь). Мы пред-
предполагаем ниже, что ф ф 0.
(i) Для того чтобы т было корнем ф, необходимо и
достаточно, чтобы существовал такой полином tyZ^n-i (К2),
что cf) = (b'k—a\i) г|з. Назовем порядком т такое целое число со,
что ц) = (ЬХ—ац)мг|), где г|)? 3**-а(К2) и т не является корнем г|х
Обозначим через R (q>) = \(mh сог)}г=1> .., fe множество различных
корней mt полинома ц> в К, где со,—порядок mt. Если ф' g
6 3** {К2) \ 0. гпо запись R (q>) = R (ф') означает, таким образом,
что ф и ф' имеют одни и те же корни и притом одинакового
порядка.
к
(и) Если mi = p(al, bt), то всегда ф = П(ЬД—а,ц)м<я|),
i = i
где г|) принадлежит !Р* к (К2)\0 и не имеет корней; в част-
ности,
п или
(=1
(iii) Если R (ф) — R (ф')м Jo),. ==ra, mo ф' = ?ф, zdek^K*-
(iv)
117
16.4 Пересечение двух коник. Теорема Безу
(v) Если поле К алгебраически замкнуто, то Stt>/ = i
1=1
для любого ф.
Для того чтобы доказать эту лемму, желательно свести
все к случаю обычных полиномов на К со значениями в К, прини-
принимая за неизвестную К/\л = х. Правда, сделав это, мы рискуем
потерять возможный корень р(\, 0) = оо ?К. Но, поскольку
Ф=т^0, имеется лишь конечное число корней, поэтому можно при-
применить томографию К и избавиться от корня в оо. Тогда пере-
перечисленные выше свойства оказываются классическими в К[Х],
поскольку мощность К, больше или равна степени рассматри-
рассматриваемых полиномов.
16.4.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДАННОЙ КОНИКИ С НЕКОТОРОЙ СОБСТВЕННОЙ
КОНИКОЙ. Пусть a—некоторая собственная коника с непустым
образом С, а а'—другая, необязательно собственная, коника
с уравнением q . Пусть /—хорошая параметризация a, a g свя-
связано с нею, как в 16.2.9. Тогда если
где С—образ С, то q' (x) = 0. Но mfC и, следовательно, суще-
существует такое (a, b)?K2, что x = g(a, b), откуда q'(g(a, b))=0,
т. е. (q'°g)(a, 6) = 0. Но q'°g: K2—+K, очевидно, принадлежит
5*f (-K2). В дальнейшем нам потребуется явное выражение для
случая (см. 16.2.8)
g: (К, ц)^(К\ Яц, fx2),
q' = ахг + а'у2 + а"гг + 2byz + 2b'zx + 2b" xy,
откуда
16.4.4. q'og = aV + 2b"№\i + (a' + 2b') X
Отметим сначала, что из q'og = 0 вытекает q' =а' (у2—xz) = a'q;
следовательно, a'=a, так что мы мимоходом вновь доказали
конец 16.1.4. В дальнейшем мы будем предполагать, что а'=^а,
откуда будет вытекать, что q'og^O, и это позволит нам поль-
пользоваться леммой 16.4.2.
Теперь заметим, что порядок f~*(т) как корня q'°g
для mgCnC" зависит лишь от а и а' и не зависит ни от q',
такого что a' = p(q'), ни от хорошей параметризации /, выбран-
выбранной на С (в силу 16.4.2(iv) и последнего утверждения из 16.2.9).
Отсюда мы приходим к следующему определению.
16.4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если т?Сг\С, то целое число, о кото-
котором говорилось в предыдущем абзаце, называется порядком т и
обозначается ordm. Мы будем писать CQC' = {(m;, <»,•)}/= i. ...,*i
где m,- пробегает Cf\C, а со,- обозначает порядок mt. Будем
говорить, что С касается (соответственно соприкасается, сверх-
118
Гл. 16. Проективные коники
соприкасается с) С в точке т, если ord т ^ 2 (соответственно ^ 8,
= 4). Если т^С(]С, то будем говорить, что порядок т равен
нулю.
16.4.6. ЗАМЕЧАНИЯ. Из 16.4.2 и 16.4.3 следует, что # (С П С)
конечно.
Стоит подчеркнуть, что С ? С" имеет смысл лишь для
собственных С; однако если С тоже собственная, то мы увидим
в 16.4.7.4, что C'OC = CQC". Термины «касается» и «сопри-
«соприкасается» будут обоснованы в 16.4.7.3 и 16.4.12.1.
16.4.7. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОНЯТИЯ ПОРЯДКА. Поскольку порядок
инвариантен относительно хорошей параметризации, можно пред-
предполагать, что q и q' выражаются так же, как в 16.4.4. Выясним,
пользуясь этой записью, чему равен порядок точки т — р(\, 1, 0).
Так как т = /(рA, 0)), этот порядок совпадает с порядком A, 0)
как корня полинома 16.4.4. Следовательно,
ordm ^ 1 фф а = 0;
ord т !> 2 ^ф а = Ь" = 0;
16.4.7.1.
ord m = 4 фф а = Ь" = а' + 2У = > = 0.
1. Условие, что пг?С, имеет, таким образом, вид
Порядок
о = 0.
Порядок ;>2. Согласно изложенному после формул в 13.1.3.7 и
14.5.3, поляра точки (х0, у0, г0) относительно а' имеет уравнение
16.4.7.2. ахах + а'уоу+а"гог+Ь {уог +г„у)+Ь'
+ Ь" (хоу + у„х) = 0.
119
16.4 Пересечение двух коник. Теорема Безу
В частности, поляра /п1 относительно а' точки /п = A, 0, 0)
имеет вид
ах + b'z + b"y = 0.
Так как т?С, то условие Ь" = 0 выражает в точности тот факт,
что прямая г = 0, которая уже касается а в точке т, является
касательной и к а' в точке т. (обратите внимание на то, что
С может быть вырожденной).
Порядок ^3. В этом случае можно написать
q'=a'(y* —
Bby+a"z),
т. е. <7'=/?</+ фг|), где feg^ и ф, \j?g?*\O, причем ф—уравне-
ф—уравнение касательной Ф к а в точке т. И обратно, если q' — kq + 4>ty,
где ф—уравнение Ф, то ordm^3.
Порядок 4. На этот раз можно написать q' = kq-\-y2, где ф —
уравнение касательной к а в точке т, и обратно.
Итак, резюмируем все сказанное выше.
16.4.7.3. Предложение. Пусть a, a'gPQ(P), где а—собственная
коника с уравнением q и непустым образом С, a a'^a—произ-
a'^a—произвольная коника с образом С. Пусть mgCflC1' и ф — уравнение
касательной Ф к а в точке т. Тогда:
2 фф Ф касается а';
3 фф всякое уравнение а! имеет вид q =kq-\-
д ?\0 kK
ord т
ordт ^
где г|)??*\0 и k$K\
ord m = 4 фф всякое уравнение а' имеет вид q'
где k?K.
16.4.7.4. Следствие. Если С и С собственные, то СГ\С = С'П\С.
Это следствие можно доказать, исследуя таблицу, где
указаны все возможные случаи для С \Z\C (и пользуясь лем-
леммой 16.4.2).
16.4.7.5. Таблица
Тип
(а, 1)
(а, 1), Ф, 1)
(а, 2)
k
1
2
2
тс пс)
1
2
1
ord тЗэ2}
0
0
1
ord m :э= 4}
0
0
0
120
Гл. 16. Проективные коники
Продолжение
Тип
1
11
III
IV
V
С DC
(а, 1), (Ь, 1), (с, 1),
(d, 1)
(о, 2), (Ь, 1), (с, 1)
(а, 2), F, 2)
(а, 3), F, 1)
(а, 4)
ft
.= 1
4
4
4
4
4
#(СПС)
4
3
'2
2
1
ord т;з=2}
0
1
2
1
1
ord m Sj 4}
0
0
0
0
1
Целые числа в последних трех столбцах получаются,
если воспользоваться 16.4.7.3 и тем фактом, что в случае, когда
С и С собственные, результаты симметричны относительно С
и С. Эти три числа позволяют различать все строки нашей
таблицы.
16.4.8. ТЕОРЕМА. Пусть a, a', a" g PQ (Р), где а—собственная
коника с непустым образом С, а а' и а" произвольны, но отличны
от а и обладают образами С и С". Положим С ? С" =
— Umi> w,-)};=i k- Тогда:
(i)
i может принимать значения 0, 1, 2, 4;
(и) если 2 w, = 4, то соотношение С \JC =C QC"
(= 1
эквивалентно тому, что С" принадлежит пучку, определяемому
а и а' (см. 14.2.7.1);
(Hi) если F: Р—> Р'—гомография между Р и другой
проективной плоскостью Р', то
f(C)Df (C')=f{C а С) = {(/ (т,), <й,.)}(=1 *;
k
(iv) если К алгебраически замкнуто, то 2 ш,- = 4.
Утверждения (i) и (iv) следуют из предыдущего и из
16.4.2(v). Утверждение (ш) вытекает из определения 14.1.3.8.
Для того чтобы доказать (И), обозначим через q, q', q" уравне-
уравнения а, а', а", а через g—хорошую параметризацию а. Наконец,
положим ф = <7'о<?, ф' = </'°Я- Пользуясь обозначениями 16.4.2,
получим, чтоЯ(ф) = ^(ф'), если CQC'=l \JC". Но из 16.4.2(ш)
121
16.4 Пересечение двух коник. Теорема Безу
вытекает, что ф' = &ср, k?K*, следовательно, (q" — kq')og = 0.
Далее, щ"—kq =hq, h^K, в силу того, что сказано после фор-
формулы 16.4.4. А это и означает, что а" с уравнением q" = kq'-\-hq
принадлежит пучку, определяемому а и а' (см. 14.2.7.1). Обрат-
Обратное утверждение тривиально.
16.4.9. ПРИМЕЧАНИЯ. Утверждение 16.4.8(iv) есть частный слу-
случай применительно к коникам теоремы Безу, справедливой для
любой пары алгебраических кривых в Р. Трудность состоит
прежде всего в том, чтобы определить порядок, или «кратность»,
общей точки; затем нужно показать, что сумма этих кратностей
равна произведению степеней двух данных кривых (в нашем
случае 2x2 = 4). Что касается ссылок, то современное изложе-
изложение см. в [102], с. 112, а более элементарное изложение, в кото-
котором, однако, не используется достаточно систематически комму-
коммутативная алгебра, можно найти в [239], с. 130 русского перевода.
Набросок другого, более геометрического подхода дан
в 16.4.11.2.
16.4.10. ПРИМЕРЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ КОНИК. ВЫРОЖДЕННЫЕ КОНИКИ
В ПУЧКЕ. Приведем теперь примеры пяти типов, указанных
в табл. 16.4.7.5, исследуя одновременно вырожденные коники
из пучка ?, определяемого кониками а, а'.
Тип I: четыре различные точки. Пусть о, Ь, с, d—эти четыре
точки. Если ф, г|:, %, ц—уравнения прямых соответственно аЬ,
cd, be, da, то уравнение пучка коник, проходящих через данные
четыре точки, имеет вид {&фя); +/t?v): (k,h)?K\ (см. 14.2.7.2).
Пучок <F, очевидно, содержит три различные вырожденные ко-
коники, образованные прямыми \ab, cd\, {ас, db\, [ad, be). В силу
14.2.7.5, других вырожденных коник нет. В силу построения,
представленного на рис. 14.5.2.6, треугольник \p = ab f\cd, q =
= acf\db, r=ad[\bc\ автополярен относительно всех коник из ?,
и это единственный треугольник, обладающий таким свойством.
В самом деле, возьмем проективный репер {р, q, r, s\, где s
принадлежит всем коникам из ?. Следовательно, пучок ? обра-
образован кониками с уравнениями k(x2—г2) + ^(г/г — гг), (k,
фф 2
() (/ ) ( )
а коэффициенты при х2, г/2, г2 могут быть различными (откуда
вытекает единственность ортогонального базиса, т. е. автопо-
автополярного треугольника; см. 14.5.4).
Интересно такое следствие единственности автополяр-
автополярного треугольника: если а, а' имеют также четыре различные
общие касательные, то их пересечения обладают свойствами,
представленными на рис. 16.4.10.2, а именно: шесть точек пере-
пересечения этих касательных расположены на сторонах треуголь-
треугольника \р, q, г). В самом деле, мы можем воспользоваться двой-
двойственностью из § 14.6: общие касательные к а, а' являются
общими точками а*, а'*; следовательно, три прямые АА', ВВ',
122
Гл. 16. Проективные коники
СС попарно сопряжены относительно а, а', а образованный ими
треугольник автополярен относительно а и а'.
Тип II: (а, 2), (Ь, 1), (с, 1). Возьмем проективный репер, пер-
первые три точки которого обозначим а, Ь, с. Предположим, что
Рис. 16.4.10.1
уравнение общей касательной Ф в точке а к собственным кони-
коникам из ? (см. 16.4.7.3) имеет вид х-\-г. Тогда пучок ? обра-
образован коническими сечениями с уравнениями \ky(x+z)+hxz: (k, h) g
€/?}. Две вырожденные коники задаются соотношениями
y(x+z) = 0 и хг = 0;это {ab, ас} и {Ф, Ьс\. Других вырожденных
коник нет, поскольку (см. 14.1.4.2) det Л ==ft2/i/4.
Тип III: касающиеся коники. В силу 16.1.3.2, пучок <F образован
кониками с уравнением kx2 + hyz в репере, содержащем {а, Ь, с\,
где с — общая точка общих касательных, проведенных в а и Ъ.
Что касается вырожденных коник из ?, то одна из них образо-
образована парой прямых {са, cb\, а другая—единственной прямой ab
(«двойная прямая»), как это следует из соотношения det A =
№4
16.4 Пересечение двух коник. Теорема Безу
Рис. 16.4.10.7
124
Гл. 16. Проективные коники
Тип IV: соприкасающиеся коники. В силу 16.4.7, уравнения для
коник из ? можно выбрать в виде
k{y2 — z
при этом коники из ? соприкасаются с уг—хг в точке а и про-
проходят через Ъ. В пучке ? есть только одна вырожденная коника,
образ которой состоит из \ab, Ф\. Что касается геометрического
описания соприкосновения в точке а, то см. 16.4.12 (случай
/C = R). В общем случае описание, в котором используются томо-
томографии, можно найти в 16.4.13.
Тип V: сверхсоприкасающиеся коники. В силу 16.4.7, пучок ?
можно задать уравнениями вида k (у2—zx)-\-hz2. Единственная
вырожденная коника этого пучка имеет уравнение г2, а ее образ —
двойная прямая, совпадающая с касательной Ф. Построить коники
из ff, отправляясь от одной из них, можно так, как показано
на рис. 16.4.10.6. Охарактеризовать геометрически сверхсоприка-
сверхсоприкасающиеся коники трудно. В евклидовом случае они обязаны иметь
одинаковую кривизну, но этого недостаточно. Исключением служат
коники, у которых есть общая евклидова ось симметрии, прохо-
проходящая через а; в этом случае из соприкасания вытекает сверхсо-
сверхсоприкасание. На рис. 16.4.10.7 изображены окружности, соприка-
соприкасающиеся и, следовательно, сверхсоприкасающиеся к эллипсу в его
вершинах, а также показан способ построения центров этих ок-
окружностей. (В случае произвольного К см. геометрическую харак-
характеристику в 16.4.13.) Со сверхсоприкасающимися кониками мы
встретимся также в 19.6.8.3.
16.4.11. ПРИМЕЧАНИЯ
16.4.11.1. Для того чтобы найти в явном виде общие точки двух
данных коник, приходится решать уравнение четвертого порядка
(например, 16.4.4). Однако, если известна вырожденная коника
пучка, который определяется двумя данными кониками, задача
сводится к решению двух уравнений второго порядка. Но, чтобы
найти вырожденную конику из ?, нужно решить уравнение треть-
третьего порядка (см. 14.2.7.5). Отсюда мы получаем (поскольку
16.4.4—это произвольное уравнение четвертого порядка над К),
что всякое уравнение четвертого порядка сводится к некоторому
уравнению третьего порядка (и, следовательно, разрешимо в ра-
радикалах).
16.4.11.2. Изучение пяти типов в 16.4.10 показывает, что С ? С"
можно вычислить, взяв из пучка ? некоторую вырожденную ко-
конику С" и найдя точки пересечения с С образующих ее прямых,
при условии что для каждой из этих прямых точки, принадлежа-
принадлежащие обеим прямым, имеют суммарный порядок, что для точки
касания берется порядок 2, а в случае коники, вырождающейся
в одну двойную прямую, порядок удваивается (см. рис. 16.4.11).
Для того чтобы таким путем геометрически определить CQC",
125 16.4 Пересечение двух коник. Теорема Безу
I IJ
Рис. 16.4.11
нужно показать, что все, что мы получаем, не зависит от выбора
вырожденной коники (подробности см. в работе [214], гл. XII).
При этом предполагается, что К алгебраически замкнуто, дабы
гарантировать существование вырожденных коник и точек пере-
пересечения коник с прямой.
16.4.11.3. Теория касания. Для дифференцируемых кривых можно
построить теорию касания. При этом случай, когда порядок > 2,
означает, что кривые касаются, а порядок ^ 3 или 4 соответствует
нашим понятиям соприкасающихся и сверхсоприкасающихся кри-
кривых, если речь идет о кониках и /C = R. Относительно этой теории
касания см. [160], с. 74 и далее, или [80], с. 32, задача 9. (См.
также [38*], § 22.—Ред.)
16.4.12. СОПРИКАСАЮЩИЕСЯ КОНИКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕО-
ГЕОМЕТРИЯ. Пусть Р—вещественная проективная плоскость, D —
126
Гл. 16. Проективные коники
прямая на Р и X=P\D— соответствующая вещественная аффин-
аффинная плоскость (см. 5.1.3). Пусть, далее, С, С" — две собственные
коники на Р, касающиеся в точке т?СГ\С, причем tn^D.
В силу 16.7.2, коники С, С можно рассматривать как регуляр-
регулярные геометрические дуги класса С°° (относительно этого и даль-
дальнейшего материала см. [15], гл. 8). Наделим X евклидовой струк-
структурой. Тогда имеет место следующий результат.
16.4.12.1. Предложение. Коники С и С соприкасаются в точке т
в том и только том случае, если соответствующие геометри-
геометрические дуги в X имеют одинаковую кривизну.
Можно предположить, что на С, С" выбраны хорошие
параметризации, при которых образом @, 1) служит точка т,
а касательная в точке т совпадает с осью ортонормированной
системы координат; пусть для С такая параметризация имеет вид
t^(f(t),g(t)),a для С — вид t^(u(t),v(t)),rmg' @) = v'@) = 0.
Если q—уравнение С, то, как показывает определение 16.4.5
и условие (из классической алгебры) того, что полином имеет
тройной корень, коника С соприкасается с С", когда
@) = q> (m) (/' @))« + qv(m)g" @) = 0.
Но, кроме того, q(f(t), g(t)) = O V7, откуда
Из этих двух соотношений, учитывая, что g' @) = v' @), мы на-
находим, что кривизна С и кривизна С, которые равны соответ-
I g" @) I 1"" @) I ^
ственно ',, ' .2 и ¦ , "• '' , совпадают. Отсюда получается и обрат-
обратное утверждение.
16.4.13. СОПРИКАСАЮЩИЕСЯ И СВЕРХСОПРИКАСАЮЩИЕСЯ КОНИКИ
и томографии. Здесь К снова произвольно. Если заданы прямая D
на Р и точка а 6 D, то существуют такие томографии f в Р, что
/(х) = х VxgD и f(S) = S для всякой прямой S, проходящей
через о. Всякая такая томография называется элацией с осью D
и центром а. Она однозначно определяется прямой D и двумя
точками (т, f (m)), коллинеарными с а, и у нее нет других не-
неподвижных точек, кроме точек прямой D.
Для того чтобы все это доказать, достаточно отправить
D в бесконечность (см. § 5.4). В этом случае сужение / на аффин-
аффинную плоскость P\D должно представлять собой параллельный
перенос в направлении а.
В однородных координатах, в которых D имеет урав-
уравнение г = 0 и а = р(A, 0, 0)), матрица / примет вид
'1 0
127
16.5 Пучки коник
16.4.13.1. Предложение. Пусть С, С — две собственные коники,
имеющие общую точку а?С Л С" и общую касательную Т в этой
точке. Тогда для того, чтобы С и С' соприкасались в а, необ-
необходимо и достаточно, чтобы существовала элация f с центром а
и осью D, проходящей через а, такая что f (С) = С. Кроме того,
С и С сверхсоприкасаются тогда и только тогда, когда D — T.
Отметим сначала, что это предложение служит обосно-
вание.м рис. 16.4.10.5 и 16.4.10.6. Пусть f—элация с центром а
и осью D. Если D^T, то пусть b—вторая точка пересечения
Рис. 16.4.13
D(]C. Тогда, в силу свойств элации, f (С) — коника, касательная
к Т в а и проходящая через Ь. Более того, С и f (С) не имеют
других общих точек, кроме а и Ь. Следовательно, пересечение С
и f (С) в точке а принадлежит к типу IV в табл. 16.4.7.5. Если
D = T и г = 0 — уравнение D, то воспользуемся выражением q =
= а'у*-\-a!'z'1 -\-2byz-\-2b'zx (см. 16.4.7.1). Но мы знаем, что/ имеет
вид (х, у, г) I—¦ (х -+-аг, у, г); следовательно, /~1 задается соот-
соответствием (х, у, г) и->(х—аг, у, г) и уравнение f (С) принимает вид
q' = ary2 + a"z2 + 2byz + 2b'zx—2b'az2 (см. 14.1.3.8).
Значит, f(C) действительно сверхсоприкасается с С в силу 16.4.7.3.
Обратно, пусть С, С" соприкасаются в а и т, т' — их
точки пересечения с прямой, проходящей через а, причем тф т'.
Пусть, далее, D—прямая, соединяющая а с точкой b?Cf\C,
отличной от а, если С и С не являются сверхсоприкасающимися,
и D = T, если С и С сверхсоприкасаются. Тогда элация f с цент-
центром а и осью D, такая что f(tn)=m', приводит к конике С" =
= /(С), которая, в силу предыдущего и 16.4.8 (И), принадлежит
пучку, определяемому с помощью С и С. Но / (т)-т' ?Сп С',
следовательно, С" —С.
16.5
ПУЧКИ КОНИК
Все пучки коник, рассматриваемые в этом параграфе, невы-
рожденны (см. 14.2.7.5).
128
Гп. 16. Проективные коники
16.5.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Р — проективная плоскость, а —
собственная коника на Р с непустым образом С и mt (i=l, ...
..., Щ —точки С, которым соответствуют целые со,-^ 1, такие
k
что J(o, = 4. Тогда
? = {а' <Е PQ (Р): С = im (а'), CQC = \(т;, щ)\ы1 к\
представляет собой пучок коник из Р. Пучок такого вида назы-
называется полным и с ним связан один из типов I, II, III, IV, V
в соответствии с 16.4.7.5. Множество {{т(, (o,-)},-=1 k зависит
лишь от ? и не зависит от исходной собственной коники а;
в частности, тип зависит лишь от ?. Если заданы два полных
пучка ? и ?', то для того, чтобы существовало f g GP (Р), такое
что ((?) = ?', необходимо, чтобы ? и W обладали одинаковым
типом. Обратно, если ?, ?' полны и обладают одним и тем
оке типом I, II или III, то существует такое /gGP(P), что
f {?) = ?'; это же верно и в случае типов IV или V, когда К = R
или когда К алгебраически замкнуто.
Для того чтобы убедиться, что JF = {...} — пучок, до-
достаточно воспользоваться примерами 16.4.10, которые выявляют
все коники С", такие что С П С = {...}, и затем применить 16.4.8.
Из 16.4.7.4 вытекает, что тип зависит лишь от ? и не зависит
от С. Наконец, относительно последнего утверждения мы можем
заметить, что ? и / (?) обладают одинаковым типом в силу
16.4.8 (Hi). Что касается обратного утверждения в случае типов I,
II или III, то воспользуемся тем, что они характеризуются с по-
помощью {а, Ь, с, d\, {а, Ь, с, Ф\, \а, Ь, с\ и что GP (P) транзи-
тивна на этих элементах (см. 4.5.10). В случае типов IV и V
мы не можем, вообще говоря, сделать тот же вывод, поскольку
для того, чтобы определить такой пучок, необходимо задать одну
конику, а две коники, вообще говоря, не переводятся друг в друга
с помощью GP (P) (см. 13.1.4.5). Если же К алгебраически замк-
замкнуто или K = R, то мы применим 14.1.5.3, что позволит свести
дело к одной и той же конике С. Но тогда тип IV определяется
двумя точками а, Ь?С, а тип V — одной точкой. А группа коники С
(см. 16.3.1) транзитивна на тройках из С в силу 16.3.8.
16.5.2. ПРИМЕЧАНИЯ. В 16.4.10 мы привели явные уравнения для
полных пучков и нашли вырожденные коники из этих пучков.
Относительно неполных пучков, когда К = R, см. 16.8.15;
можно также воспользоваться тем, что излагается ниже.
Если ? — неполный пучок и К = R, то, в силу § 7.3 и 7.6,
можно определить пучок ?с коник из Р'~, называемый комплек-
сификацией пучка ?. После этого можно действовать в Рс с ?с.
Затем следует вернуться в Р и найти подходящую интерпретацию,
если это возможно, результатов, полученных в Рс. Примеры
применения этой техники можно найти в § 17.5.
129
16.5 Пучки коник
Рис. 16.5.1.1
130 Гл. 16. Проективные коники
Рис. 16.5.1.2
131 16.5 Пучки коник
Рис. 16.5.1.3
132 Гл. 16. Проективные коники
IV
Рис. 16.5.1.4
133 16.S Пучки коник
Рис. 16.5.1.5
134
Гл. 16. Проективные коники
16.5.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОСТИ
16.5.3.1. Пусть ?— пучок коник из Р и тgP. Тогда существует
такая точка т', что /пит' сопряжены относительно всех
коник из ?.
Здесь используется обобщение 14.5.6 понятия поляр-
полярности. Пусть q, q'—два уравнения для ? с полярными формами
П, П'. Поляра точки т относительно q (соответственно q')—это
П (х, -) = 0 (соответственно П' (х, -) = 0), если т = р(х). Следо-
Следовательно, всякая точка т' = р(х'), где U(x, х') = П (х, х') = 0,
удовлетворяет нашему требованию, поскольку полярная форма
для уравнения kq-\-hq' имеет вид kU-{-hW.
16.5.3.2. Мы видим, что когда ? принадлежит к типу I, т' един-
единственна, если только т не принадлежит стороне общего автопо-
автополярного треугольника. Отображение т>-*-т' подмножества из Р
в себя называется квадратичным преобразованием и играет важ-
важную роль (см., например, [88], с. 153, [174], с. 52, [102], с. 171
и далее).
16.5.3.3. Из 16.5.3.1 следует, что поляра точки т?Р относительно
различных коник из ? всегда проходит через т', и если она
всегда представляет собой прямую (а именно так будет в случае,
когда т не принадлежит радикалу никакой вырожденной коники
т
Рис. 16.5.3.3
из ?), то эта прямая из (т1)* связана томографией с парой
(k, h)(tR, определяющей конику kq + hq' из ?. Возьмем неко-
некоторую прямую D из Р, не проходящую ни через один из радика-
радикалов вырожденных коник из ?, и отметим две точки т, n?D.
Тогда полюс прямой D относительно kq + hq' совпадает с пере-
пересечением поляр к т и п относительно kq + hq'. Таким образом, из
всего предыдущего вместе с 16.2.3 вытекает, что множество по-
полюсов прямой D представляет собой конику в Р, проходящую
через т' и п'. В самом деле, эта коника есть образ D при «квад-
«квадратичном преобразовании», которое, следовательно, переводит
прямые в коники, откуда и его название, оправданное также
упр. 16.8.24.
135
16.5 Пучки коник
16.5.4. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА. Мы напомним здесь результат 14.2.8.3,
поскольку нам часто придется пользоваться им в дальнейшем.
Пусть ? — невырожденный пучок. Прямую D мы назовем хорошей
относительно ?, если D не содержит точек базы ? (см. 14.2.7.3)
и не содержится в образе никакой (вырожденной) коники из ?.
Тогда если D — хорошая прямая относительно ?, то существует
такая инволюция f прямой D, что im (a) n D для всех а?? имеет
вид {т, f (m)\, m?D.
16.5.5. ПРИЛОЖЕНИЯ
16.5.5.1. Коника одиннадцати точек. Пусть {а, Ъ, с, d\ — проек-
проективный репер, p = ab[)cd, q = ac()db, r = ad(]bc и D—прямая,
не содержащая ни одной из этих семи точек. Тогда существует
коника, проходящая через следующие одиннадцать точек: р, q, r;
точку и1, гармонически сопряженную к u = ab{)D относительно
а и Ь, и пять точек, аналогичным образом связанных с ас, ad,
be, bd, cd\ две двойные точки а, |3 (если они существуют) инво-
инволюции Дезарга на D, для которой пары соответствующих точек
имеют вид \abr\D, cdC\D\, \ac[\D, db[\D), \adV\D, bc(]D\.
В самом деле, достаточно ввести пучок коник, прохо-
проходящих через а, Ь, с, d, и заметить, что наши одиннадцать точек
расположены на конике, которая сопоставлялась в 16.5.3.3 пря-
прямой D по этому пучку.
16.5.5.2. Коники пучка, касательные к некоторой прямой. Если
?—пучок коник и D—хорошая относительно ? прямая (см.
16.5.4), то существуют две (или не существует ни одной) коники
из ?, касательные к D, причем точки касания совпадают с двой-
двойными точками инволюции, определенной пучком ? на D. Явное
136
Гл. 16. Проективные коники
построение можно выполнить с помощью 16.3.10.1; в частности,
можно воспользоваться вырожденными кониками из ?.
16.5.5.3. Большая теорема Понселе при га = 3. Пусть #",#"'—два
треугольника, вписанных в образ С некоторой собственной коники.
Тогда существует коника Г, касающаяся шести сторон 3~ и #".
Отсюда вытекает такое следствие: если существует треугольник S~,
вписанный в конику С и описанный около коники Г, то сущест-
существуют и другие такие треугольники с вершиной в каждой точке
а € С1, из которой выходят две различные касательные к Г. Таким
образом, если К алгебраически замкнуто, то в качестве а можно
взять любую точку С\Г, а если /C = R, то можно взять точки,
достаточно близкие к вершинам треугольника <#".
Для того чтобы доказать это (в обозначениях
рис. 16.5.5.3), достаточно иметь право применить 16.2.7.2 к двум
прямым D и Е и тем самым (в силу 6.1.4) показать, что [b, d,
е, c] = [d', b', с', е']. Но из 16.2.5 вытекает, что каждое из этих
отношений равно [b, b', с', с]с.
В 10.10.4 и 10.13.3 мы уже встречались с этим вопросом.
Ему посвящен весь § 16.6.
D
Рис. 16.5.5.3
16.5.6. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
16.5.6.1. Здесь мы находимся в рамках § 14.6. Назовем касатель-
касательным пучком коник пучок коник из Р*, т. е. прямую из PQ (/>*).
Такой пучок называется полным, если он полный в смысле 16.5.1
для Р*. Полные пучки образуют пять типов, которые мы обозна-
обозначим I*, II*, III*, IV*, V*. Три приведенных ниже рисунка выпол-
выполнены в Р, а не в />*, где они были бы по определению идентичны
рисункам для I, II, IV из Р. В Я вырожденные коники пред-
представлены парами точек {а, а'\, {b, b'\, {с, с'} в случае типа I;
остальные четыре случая мы предоставляем читателю.
16.5.6.2. Мы не изобразили типы III* и V*, поскольку при этом
получились бы те же самые картинки, что и в случаях III и V.
Для того чтобы объяснить это явление, поставим следующий
137
16.5 Пучки коник
Рис. 16.5.6.1.1
вопрос. Пусть ?—пучок из Р (не касательный!). Для невырож-
невырожденной квадрики а?? мы, в силу 14.6.1, получаем a*?PQ(E*).
Что представляет собой множество этих а*? Если в произвольной
системе координат А и В—матрицы, определяющие ?, то искомые
матрицы а* будут иметь вид (КА+цВ)'1, где К и ц таковы, что
Правило, по которому строится обратная матрица, показывает,
что коэффициенты (ХА+^В)'1 представляют собой однородные
полиномы второй степени относительно К, ц, умноженные на
[det (KA + цб)]~1. Следовательно, этот общий множитель можно
отбросить и получить те же самые коники. Итак, множество рас-
рассматриваемых а* содержится в образе некоторого отображения
/€^2* (К2; Q (?*)). Это отображение имеет вид K2U + \\kV-\-y^W,
где б, V, W—три вектора из Q (?*), и, следовательно, принимает
значения в пространстве KU + KV-{• KW. Переходя к факторпро-
странствам и применяя доказательство предложения 16.2.9, мы
138 Гл. 16. Проективные коники
Рис. 16.5.6.1.2
139 16.5 Пучки коник
IV*
Рис. 16.5.6.1.3
140
Гл. 16. Проективные коники
видим, что рассматриваемый образ в проективной плоскости из
PQ (?*) представляет собой конику или прямую. Явное вычисление
обратных матриц в случае типов I—V в координатах, введенных
в 16.4.10, показывает, что этот образ есть собственная коника
для типов I, II, IV и прямая в случае типов III и V. Отсюда
видно, что пучки типов III и V снова являются касательными
пучками (хотя вырожденные коники не те же самые) и что пучки
типов I, II и IV порождают коники из PQ(E*). Этот последний
результат представляет собой второе доказательство тео-
теоремы 16.5.3.3. Можно также сказать, что отображение *: PPQ (Е) —>
—¦ PPQ (?*), введенное в 14.6.3.1, допускает естественное продол-
продолжение вдоль некоторых прямых из PQ (?).
16.5.6.3. Теорема Плюккера. Если теорему 16.5.4 переформулиро-
переформулировать для Р*, то мы увидим, что справедлив следующий результат.
Пусть ? *—пучок коник из Я и т—точка в Р, не принадлежащая
ни одной из общих касательных к ?* и не являющаяся точкой
вырождения никакой коники из <F*. Тогда проведенные из точки т
касательные к коникам иучка ?* определяют в т* инволюцию
(см. 16.2.1).
Например (см. 16.5.5.2), через всякую подходящую
точку плоскости проходит либо две, либо ни одной коники ка-
касательного пучка (см. рис. 16.5.6.1.1—16.5.6.1.3).
16.6
БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ПОНСЕЛЕ
16.6.1. Мы хотим показать, что если для двух коник С, Г су-
существует л-угольник, вписанный в С и одновременно описанный
около Г, то существует много других аналогичных п-угольников.
Все известные доказательства этого результата достаточно длинны
и не очевидны. То доказательство, которое мы собираемся здесь
привести, тоже не лишено этих особенностей; оно принадлежит
Харту, и мы будем следовать при его изложении работе [155],
с. 116—120. В более мощных доказательствах, основанных на
идее Кэли, используется некоторая кубика, связанная с пучком.
При этом необходимо убедиться, что на этой кубике можно ввести
структуру группы (см., например, [102], с. 124), и если парамет-
параметризовать эту кривую с помощью эллиптических функций (см.,
например, [152], с. 12), то получится очень глубокое объяснение
теоремы Понселе. Совсем недавно этот вопрос был изложен в раз-
разделе I (d) работы [114]. См. также конец п. 16.6.12.4.
Другое элегантное доказательство этой теоремы при-
принадлежит Шалю и основано на понятии «многозначного алгеб-
алгебраического соответствия», в нашем случае—2-2-соответствия. О нем
стоит упомянуть, поскольку это понятие соответствия недавно
было развито в важном направлении. Однако строгое и полное
141
16.6 Большая теорема Понселе
изложение, например, следствия 16.6.11, по нашему мнению,
должно слишком затянуться. Читатель может в этом убедиться,
заглянув в работы [83], т. 1, с. 38—39, и [88], с. 158—159.
16.6.2. В противоположность обычным доказательствам, которые
проводятся для /С = С или по крайней мере для алгебраически
замкнутого К, мы будем считать поле К произвольным, хотя
и мощности ^5 в согласии с § 16.4. Все, чем мы будем поль-
пользоваться, выполняется в случае любого поля, в том числе и R:
а именно, мы будем считать известным, что через каждую точку
проходит какая-либо коника некоторого пучка, что всякая пря-
прямая, проходящая через некоторую точку коники, пересекает ее
в другой точке, а также будем применять инволюцию Дезарга
16.5.4.
16.6.3. Идея доказательства состоит в том, чтобы применить ин-
индукцию по числу п сторон многоугольника, но ее можно осущест-
осуществить только в случае более общего результата, относящегося
к вписанным в С многоугольникам, стороны которых касаются
п коник Г(, ..., Г„, образующих пучок с Г. Исходная теорема
соответствует случаю Г, = .. . =Г„. Это хороший пример резуль-
результата, который легче доказывается в более общем виде. Отныне
мы фиксируем некоторый пучок ? коник в рассматриваемой про-
проективной плоскости и какую-либо собственную конику а??
с непустым образом С. Все рассматриваемые коники из ? будут
собственными и с непустым образом, поэтому, в силу 16.1.4, их
можно отождествить с их образами, что мы и сделаем. Рас-
Рассматриваемые точки не будут принадлежать базе ?, а все рас-
рассматриваемые прямые будут хорошими относительно ? (см. 16.5.4
и 14.2.7.3).
16.6.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть точки а, Ь, с?С различны и ко-
коники Г, Г' ? ? таковы, что Г касается ab в точке а, а Г" ка-
касается ас в точке |3; положим Л = аC. Тогда существует такая
точка d?C, что Г касается cd в точке Af\cd, а Г' касается
bd в точке А П bd; кроме того, существует коника Г" ? ?, ка-
касающаяся ad в точке A ft ad и be в точке А П be.
Пусть а, Ь, с, d ? С различны и Г ?? касается ab в
точке а и cd в точке у. Тогда существует Г" ? ?, касающаяся
ас в точке ау П ас (и, следовательно, в силу первой части этого
предложения, также и bd в точке ау п ас) ¦
Пусть у—вторая точка Г п А, отличная от а, и пусть
%—пучок, определяемый Г и вырожденной коникой с образом
\ab\\j\cy\- На прямой ас два пучка ? и 3 задают одну и ту
же инволюцию, а именно инволюцию, связанную с пучками
сужений коник на ас и определяемую следующими двумя ко-
кониками: коникой с образом {а, с} и сужением Г п ас (см. 14.1.3.3;
заметим, что множество Г п ас может оказаться пустым, но Г П ас
как сужение коники на ас тем не менее определено).
142
Гл. 16. Проективные коники
Инволюция на ас, порожденная пучком Ъ, содержит
двойную точку Г"пяс = {C, Р}, и, следовательно, существует
2?$, такое что 2Г|йс = {Р, Р}. А поскольку одновременно
2nA = jt», а}, это означает, что 2—вырожденная коника с
образом ар (двойная прямая) и все коники из Ъ касаются су в
точке у. В частности, касательная к Г в точке у проходит через
Рис. 16.6.4
с. Теперь остается только положить d=-cy{\C. Применяя пре-
предыдущее рассуждение, но с заменой а, Ь, с на с, b, й, мы видим,
что Г' касается также bd в точке bdf)A. Проведем, далее, то
же рассуждение, но применительно к точке 6 = adnA и конике
Г" из iF, проходящей через 6. При этом мы покажем, что Г"
143
16.6 Большая теорема Понселе
касается ad в точке б, а затем что она касается be в точке
Afl be. Это же рассуждение доказывает последнюю часть нашего
предложения.
16.6.5. следствие. Пусть а, Ь, с?С различны и Г, Г"?<Г ка-
касаются соответственно прямой аЬ в точке у и прямой ас в
точке р. Тогда существуют ровно две коники Гг, Гг?!Г, касаю-
касающиеся прямой be, причем одна из них 1\ касаетвя этой прямой
в точке а1( такой что аи р, у коллинеарны, а вторая Г2—в
точке а2, такой что аа2, bf>, су пересекаются в одной точке.
* г,
Рис. 16.6.5
Шестерка (а, Ь, с, Г, Г', Г"), где a, b, c?G различны, а Г,
Г", Г" ? & касаются соответственно bo, ca, ab в точках а, р,
у, называется положительной, если прямые аа, Щ, су пересе-
пересекаются в одной точке.
Существование Г, вытекает из 16.6.4; существование
Г2 следует из существования 1\ и 16.5.5.2, а то, что aa2, 6p,
су пересекаются в одной точке, видно из 6.7.2 и 6.4.5.
16.6.6. Пусть задан 2/г-набор (ait . .., ап, Г1( ..., Гп), где а{^С
различны и Г, касается atai+l Vi = l, ..., п (причем ап+1 = а1).
В силу 16.6.5, можно определить по индукции F^f (г=1, ...
..., п — 3) следующим образом. Сначала мы берем положительную
шестерку (аь а2, а3, Гг, Г'и Г(), а затем положительные шестерки
(aj, a,-+1, a,+i, Г,-+1, Г-, Г;_х) Vi = 2, ..., п—3. На последнем
шаге индукции мы получим корректно определенную шестерку
(а,, а„_!, а„, Гп_1; Г„, Г;_3). Будем говорить, что 2/г-набор
(а1, .... а„, Fj, .... Г„) положителен, если положительна ше-
шестерка (а,, ап_ъ ап, Г„_,, Г„, Г^_3). При таком определении
теорема Понселе формулируется следующим образом.
144
Гл. 16. Проективные коники
1+Z
а„-
П-2
Рие. 16.6.6
16.6.7. теорема. Пусть (ait ..., ап, Г(, ..., Гп)—положительный
2п-набор, V, Ь" ?С различны и прямая Ь'Ь" касается 1\. Тогда
существует положительный 2п-набор (blt ..., bn, Fit ..., Гп),
такой что Ьг = Ь', Ь2 = Ь".
16.6.7.1. Случай п = 3. Идея состоит в том, чтобы осуществить
последовательные переходы с помощью 16.6.4. Пусть ait аг, а, —
точки касания коник Г1( Г2) Г„ соответственно с прямыми а^,
а%ая, a3alt a а'—точка касания прямой Ь'Ь" с IV В силу после-
последней части 16.6.4, существует коника 2?<F, которая касается
аф' в точке $' —агЬ' Ra^a' и Ь"а2 в точке р" = 6"а2Па1а'- В силу
первой части 16.6.4, найдется такая точка Ь'" ?С, что Гг касается
также и прямой Ь"Ь'" в точке a" =*bvb!" П Р"аг, a 2—прямой
аф'" в точке $'" =a3b'" n^Ji". Наконец, из последней части
16.6.4 вытекает, что существует коника G?<F, касающаяся пря-
прямых а3а-[ и Ь'"Ь' в точках Хва^пР'"?' и ц = Ь'"Ь' ПР'"Р'.
Теперь остается показать, что в = Г3. Это делается методом от
противного. Прямые аф', a2b",a3b'" не пересекаются в одной точке,
поскольку все они касаются 2. Применяя 5.5.1 к двум парам
треугольников {{alt at, as\, ф', р», Р"'Ц и {{C', |3", р'"}, {6',
b", b'"\\, мы видим, что ни ait a2, ^, ни а', а", jx не коллинеарны.
Так как по предположению af, a2, а3 тоже не коллинеарны, то,
в силу 16.6.5, Х = а3 и, следовательно, 0=5Г3. Но поскольку
a', a", \i не коллинеарны, отсюда вытекает, что шестерка (Ь',
Ь", Ь'", a', a", \i) положительна.
16.fi.7.2. Индукция по п. Она проводится непосредственно с по-
помощью 16.6.7.1 и построения 16.6.6. Из положительной по по-
построению шестерки (ait a2, as, Г2, Г|, Г^ мы можем получить,
в силу 16.6.7.1, положительную шестерку ф1 = Ь', b% = b", b3,
145
16.6 Большая теорема Понселе
Г2, Г;, 1\). Затем из (ait а„ а4, Г8, Fj, TJ) мы получим поло-
положительную шестерку (Ь±, bs, bit Г3, Г^, Г^) и т. д. Итоговый
2п-набор фи Ьг, Ь3, ..., bn, Fif ..., Гп) положителен по опреде-
определению.
Рис. 16.6.7
16.6.8. ПРИМЕЧАНИЕ. Если К произвольно, то не всегда суще-
существует касательная Ь'Ь" к Г(, отличная от ага2, где b', b"?С и
Ь'фЬ", и так может быть для любого заданного Ь'? С (см., на-
например, рис. 16.6.12). Однако такая касательная существует в
случае алгебраически замкнутого К- Если К = R, то, в силу не-
непрерывности, для любой точки Ь', достаточно близкой к alt
найдется касательная Ь'Ь" к 1\ с различными b', b"?C. В двух
указанных выше случаях мы получаем, таким образом, что если
существует один положительный 2п-набор, то существует и не-
несчетное семейство таких наборов.
16.6.9. Теперь следует вернуться к исходной задаче, послужи-
послужившей отправным пунктом для 16.6.7, а именно к задаче о 2п-
наборах вида (alt ..., ап, Г,..., Г), которые соответствуют
многоугольникам, вписанным в С и описанным около Г. Заме-
Заметим, что условие 1\, . . ., Fn?<F здесь автоматически выполняется
для пучка <F, определяемого как раз сечениями С и Г. Остается
проверить следующее утверждение.
146
Гл. 16. Проективные коники
16.6.10. ЛЕММА. 2п-набор (ait ..., а„, Г,..., Г) всегда положи-
положителен.
В силу 16.6.5, существует положительный 2/г-набор
ifli, ..., ап, Г, ..., Г, Г'). Если применить к этому 2/г-набору
16.6.7 при Ь' =аг, b" = as, то получится 2«-набор, который с
необходимостью имеет вид (а2, ..., а„, а1У Г, .... Г, Г'), поскольку
из одной точки к коническому сечению можно провести только
две различные касательные. Отсюда вытекает, что прямая ata2,
а также а2а3, ... касаются и Г'. Таким образом, Г и Г' имеют
п различных общих касательных a{ai+1 (i = l,..., /г), откуда
Г = Г\ как только п~^Ь (см. 16.1.4). Остается рассмотреть слу-
случаи п = Ъ и /г = 4. Первый представлен на рис. 16.2.13 (см. также
Рис. 16.6.10
16.8.2). При п = 4 по соображениям полярности имеют место
показанные на рис. 16.6.10 коллинеарности. Но это и означает,
что две шестерки (af, а^, аа, Г, Г', Г) и (ait ait ait Г, Г, Г) по-
положительны.
16.6.11. СЛЕДСТВИЕ. Пусть (flj an)—многоугольник о п раз-
различными вершинами, вписанный в некоторую конику С и опи-
описанный около другой коники Г. Тогда для любых Ь', Ь"?С,
таких что Ь' фЬ" и b'b" касается Г, существует многоугольник
(Ь', Ь", Ьа, ..., 6„), вписанный в С и описанный около Г. В ча-
частности, при К = С или R существует несчетное множество
таких многоугольников.
Относительно существования см. 16.6.12.4 и 17.6.7.
16.6.12. ЗАМЕЧАНИЯ
16.6.12.1. В 17.6.5 упоминается интересный случай софокусных
С и Г.
16.6.12.2. Если многоугольник (а,) вписан в С и описан около
Г, то из 16.6.7 вытекает, что все прямые afli+i (i = l,..., n)
являются касательными к одной и той же конике Г2 пучка ?,
определяемого кониками С и Г (доказательство проводится так
147
16.6 Большая теорема Понсепе
же, как и в 16.6.10). Подобным же образом все a;ai+3 касаются
Г ? ? и т. д. Аналогия с правильными многоугольниками и
концентрическими окружностями наводит на мысль, что рас-
рассматриваемой фигуре отвечает группа, аналогичная группе вра-
вращений вокруг центра этих окружностей. Истинная причина
Рис. 16.6.12
148
Гп. 16. Проективные коники
трудности доказательства теоремы Понселе связана с тем, что
такая группа существует, но она не соответствует никакой под-
подгруппе в ©#. Относительно этой группы см. 16.6.1.
16.6.12.3. В ряде случаев, когда некоторые а{ совпадают, мно-
многоугольники Понселе претерпевают интересные вырождения
(см. [155], с. 142, и рис. 16.6.12).
Если говорить о рис. 16.6.12, то в случае, когда Ьг
и bt принадлежат одновременно С и Г, четырехугольник (а,, а2,
а3, а4) вырождается в (bx, b2, bit b4); здесь стоит отметить также
четырехугольник, две стороны которого являются асимптотами
к Г.
16.6.12.4. Кэли сумел найти явное условие на уравнения С и Г,
обеспечивающее существование n-угольника, вписанного в С и
описанного около Г. Если А и В—матрицы, соответствующие
Си Г, то нужно разложить функцию |/*det (А -f ХВ) в формальный
ряд по степеням К:
Тогда искомое условие запишется с помощью определителей в виде
а, а, ... о„ , ,
¦+?
= 0, если п =2р,
= 0, если n = 2p-f 1.
Мы советуем читателю выписать первые из этих усло-
условий сначала для диагональных матриц А и В, что выполняется,
например, в случае софокусных коник из § 17.6, а затем для
двух окружностей и сравнить полученные результаты с 10.13.3.
Относительно доказательства формул Кэли см. [155] и совсем
недавнюю работу [115].
16.6.12.5. Относительно теоремы Понселе можно также спра-
справиться в работе [19].
16.7 АФФИННЫЕ КОНИКИ
16.7.1. УРАВНЕНИЯ. Мы пользуемся здесь обозначениями § 15.1,
причем речь пойдет об аффинной плоскости X. Уравнение ко-
коники а запишется в виде
149
16.7 Аффинные коники
16.7.1 Л. ах2 + 2Ъху + су2 + 2dx + 2еу + f.
Коника а собственная, если
a b d
bee
d e f
?=0.
Бесконечно удаленные точки коники ее находятся из условия
(см. 15.1.3.2)
ах2 + 2Ьху + су* = 0 или ст*-
где через т обозначен угловой коэффициент прямой, что очень
удобно; нужно только правильно включить и случай т — оо
(см., например, 5.2.4). Если, скажем, К = R и C = im(a)=^=0,
где а собственная, то (см. 15.3.3.2) этот образ будет эллипсом,
когда ас—Ь2 > 0, параболой, когда ас—Ь2 = 0, и гиперболой
при ас—Ь2 < 0. Центр коники 16.7.1.1 задается уравнениями
ax-\-by-\-d = 0, bx + cy + e = O в силу 15.5.5.2. Для того чтобы
найти асимптоты, можно использовать 14.5.3.
16.7.2. ХОРОШИЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ. В силу 16.2.6, такие пара-
параметризации можно получить, рассматривая пересечение С с пе-
С
Рис 16.7.2
ременной прямой D, вращающейся вокруг а?С. В К = К[}оо
подходящим параметром является угловой коэффициент т пря-
прямой D. В силу 16.2.9, результат всегда имеет вид
ит2 -\- и'т -[-и" _^ um2-\-v'm-\-v"
X~ У ~wm2 + w'm+w" '
150
Гл. 16. Проективные коники
Интересен частный случай, когда С—гипербола или парабола,
а точка а принадлежит оох п С, т. е. когда С пересекают под-
подходящие параллельные прямые. Тогда мы приходим к хорошо
известным функциям
ou-4-B
-^3
графиками которых являются параболы и гиперболы. См. также
17.7.1 и 17.8.2.
16.7.3. ПОСТРОЕНИЕ КОНИКИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ПЯТЬ ТОЧЕК-
Рисунки 16.2.11 и 16.2.13 позволяют найти Cf\D и касательную
Рис. 16.7.3.1
в этой точке к любой прямой D, проходящей через известную
точку образа С. Используя 15.5.6, можно найти диаметры С и,
следовательно, центр как пересечение двух диаметров (см.
рис. 16.7.3.1). Имея центр, две точки и касательные в них,
151
16.7 Аффинные коники
можно найти инволюцию сопряженных направлений (см. 15.6.3
и 15.7.5), откуда определяются направления осей С с помощью
построения из 16.3.10.2. Это делается для произвольной евкли-
евклидовой структуры на X, а практически для той евклидовой
Рис. 16.7.3.2
структуры, которая определяется листом бумаги, имеющимся в
распоряжении чертежника, и единицей длины на его линейке.
Зная оси (см. 15.6.8) и точку вместе с касательной, можно оп-
определить вершины и т. д., как это тривиально следует из § 17.7
и 17.8. В случае параболы достаточно двух точек и касательных
в этих точках (см. ниже).
16.7.4. ПАРАБОЛА, КАСАЮЩАЯСЯ ЧЕТЫРЕХ ПРЯМЫХ. С ПОМОЩЬЮ
16.1.4, учитывая двойственность, можно показать, что сущест-
существует единственная коника, касающаяся четырех заданных пря-
прямых D,- в X (не параллельных и не пересекающихся по три в
одной точке) и бесконечно удаленной прямой оох в X, а именно
парабола, касающаяся D(. Для того чтобы геометрически по-
построить эту параболу на евклидовой плоскости, нужно найти ее
точки касания с Dj и D2, воспользовавшись чертежом, двойствен-
двойственным к рис. 16.2.13. Далее, применяя 15.5.8, можно определить
направление оси. Заканчивается построение с помощью 17.9.18.1.
16.7.5. КОНИКА ДЕВЯТИ ТОЧЕК. Это аффинный вариант коники
16.5.5.1, который дает для а, Ь, с, d?X конику, проходящую
Гл. 16. Проективные коники
Рис. 16.7.4
через р, q, г и середины отрезков ab, ас, ad, be, bd, cd. Ее
бесконечно удаленные точки — это двойные точки инволюции
прямой оох, три пары которых имеют вид (ab, cd), (ad, be),
(ас, db) и которые легко построить геометрически (см. 16.3.10).
Рис. 16.7.5
Более того, центром такой коники будет точка (fl + b + c-f-d)/4,
как это следует из 3.4.10 и 15.7.7. В частном случае, когда
d—ортоцентр треугольника {а, Ь, с) (см. 10.11.3 и 17.5.4), по-
получается окружность девяти точек.
16.8 УПРАЖНЕНИЯ
16.8.1. Покажите, что для четырех точек а, Ь, с, d, принадле-
принадлежащих образу С собственной коники, [а, Ь, с, d\ = — 1 в том и
только том случае, если ab±_cd.
16.8.2. Докажите, что если {а, Ь, е\—треугольник, описанный
около С, причем а, р\ у—соответствующие точки касания, то
прямые аа, Ь$, су пересекаются в одной точке (см. рис. 16.2.13).
153
16.8 Упражнения
Доказательство нужно провести только с помощью аналитиче-
аналитической геометрии.
16.8.3. ШТЕЙНЕР И ПРЯМЫЕ ПАСКАЛЯ. Пусть С — собственная ко-
коника и at¦ (i = 1, . . ., 6) ее точки. Каждой шестерке точек а,- (взятых
в произвольном порядке), в силу 16.2.11, соответствует некото-
некоторая прямая, называемая прямой Паскаля этой шестерки. Пока-
Покажите, что для множества из шести заданных точек С существует
не более 60 прямых Паскаля. Приведите пример, когда имеется
ровно 60 различных таких прямых. Покажите, что некоторые
тройки этих прямых пересекаются в одной точке и что таким
образом получается 20 точек, распадающихся на 10 пар точек,
сопряженных относительно С.
16.8.4. Пусть С — непустой образ собственной коники; вложим
Р в трехмерное проективное пространство Р. Покажите, что су-
существует квадрика с нейтральным уравнением (см. § 14.4), образ
которой Q обладает тем свойством, что C = Q[]P. Пусть а, Ь,
с, d—четыре точки С, и пусть X, X'—образующие S (см. § 14.4),
проходящие через а и Ь, а Т, Т' — образующие в, проходящие че-
Рис. 16.8.4
Рис. 16.8.6
рез с, d. Покажите, что точки ac[\bd, Х[\Т', X' [}Т коллинеар-
ны. Получите отсюда доказательство теоремы Паскаля. Исполь-
Используйте также эту технику для решения предыдущей задачи.
16.8.5. Докажите теорему Паскаля, взяв проективный репер,
образованный четырьмя из шести рассматриваемых точек.
16.8.6. Пусть С—непустой образ собственной коники и точки
р, q, г таковы, что С касается pq в точке q и рт в точке г.
154
Гл. 16. Проективные коники
Покажите, что для
[q, r, m,
любых т, п?С
nfc = [pq, pr, рт,
выполняется
рп].
соотношение
Приложение см. в 17.4.2.2.
16.8.7. Покажите, что две инволюции собственной коники с не-
непустым образом коммутируют тогда и только тогда, когда их
точки Фрежье сопряжены.
16.8.8. Пусть/—неинволютивная томография, /=^=ЫС, собствен-
собственной коники с непустым образом С. Покажите, что {<m, fm>:
т?С\ есть множество касательных к некоторой собственной
конике, касающейся С, и обратно. Для двух касающихся коник
выведите из предыдущего простое доказательство результатов
§ 16.6.
16.8.9. Определите и исследуйте двойное отношение четырех ко-
коник некоторого пучка.
16.8.10. Исследуйте особенности областей на рисунках п. 16.5.6.
16.8.11. Дайте обоснование построениям, представленным на
рис. 16.4.10.5—16.4.10.7.
16.8.12. Дайте явные выражения для двойственных пучков в
16.5.6.2.
Рис. 16.8.15
1 55
16.8 Упражнения
16.8.13. Пусть п = 2р. Каким свойством обладают прямые, со-
соединяющие р вершин с другими р вершинами /г-угольника,
описанного около Т и вписанного в С?
16.8.14. Покажите, что в случае касательного пучка типа IV*
имеется соприкасание в некоторой точке.
16.8.15. КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ ПРИ К = Я. Проведите клас-
классификацию пучков коник при K = R (см. [167], с. 259).
16.8.16. Исследуйте пересечение хг—у* = 0 с ху + гг = 0 в случае,
когда К состоит из трех элементов.
16.8.17. Пусть поле К состоит из семи элементов. Покажите,
чт0 хг—у2 = 0 и 2х2 + 22—2ху — ?/г = 0 (соответственно х2 +
+ 4г/г = 0 и гг + ху = 0) обладают единственной общей точкой и
что определяемый ими пучок содержит единственную вырожден-
вырожденную конику (соответственно ни одной вырожденной коники).
16.8.18. Выведите 16.1.4 из 16.2.3.
16.8.19. Докажите теорему Паппа с помощью техники, развитой
в 16.8.4.
Рис. 16.8.19
16.8.20. Пусть D,- (г'=1, ..., 6)—шесть прямых, касательных к
одной и той же конике. Покажите, что если ср,—уравнения Dt,
то ф? линейно зависимы в Q (Е) (см. 13.1.3.3).
16.8.21. Пусть <F—*PQ(?*)—отображение, введенное в 16.5.6.2.
156
Гп. 16. Проективные коники
Исследуйте, что представляют собой образы вырожденных коник
из <F.
16.8.22. Проведите явное построение парабол, проходящих через
четыре заданные точки аффинной плоскости.
16.8.23. Может ли существовать пара коник, обладающих че-
четырьмя различными общими точками, но не имеющих четырех
различных общих касательных?
16.8.24. Дайте явное выражение в однородных координатах ка-
какого-либо простого квадратичного преобразования.
Глава 17 Евклидовы коники
17.1 Принцип Декарта
17.2 Метрические свойства:
элементарное изложение
17.3 Метрические свойства:
бельгийское изложение
17.4 Метрические свойства:
проективное изложение
Плюккера
17.5 Пучки евклидовых коник
и круговые точки
17.6 Касательные пучки коник,
софокусные коники
17.7 Особые свойства эллипса
17.8 Особые свойства гипербол
17.9 Упражнения
В настоящей главе результаты предыдущих глав применяются
к исследованию конических сечений (коник) на евклидовой
плоскости: эллипсов, гипербол, парабол. Элементарное исследо-
исследование показывает, что каждое из них (за исключением окружнос-
окружностей) можно определить как множество точек, у которых постоянно
отношение расстояний до некоторой точки (фокуса) и до не-
некоторой прямой чдиректрисы). В то же время каждое из них
можно определить (за исключением парабол) и как множество
точек, сумма (соответственно разность) расстояний которых
до двух заданных точек постоянна (§ 17.2).
Эти свойства были известны с античных времен, и естественным
было желание найти им единое и глубокое объяснение. Такое
объяснение было найдено геометрами XIX века; мы излагаем его
в § 17.4. Затем методы § 17.4 используются для того, чтобы
установить в § 17.5 и 17.6 с помощью проективных результатов
из гл. 16 многочисленные факты об евклидовых конических
сечениях. Большая теорема Понселе применяется к исследованию
многоугольников максимального периметра, вписанных в эллипс.
Поразительно, что этих многоугольников бесконечно много.
В последних параграфах (§ 17.7 и 17.8) сообщаются без дока-
доказательства свойства, характерные для эллипсов, гипербол
и равнобочных гипербол. Нам кажется, что читателю, воору-
вооруженному разнообразной техникой, накопленной в предыдущих
главах, самому будет приятно подобрать подходящий прием
для доказательства того или иного результата.
Другие результаты об евклидовых конических сечениях можно
найти в работах [94], [88], [174]. ;См. также |2*|.— Ред.)
Во всей этой главе через X обозначена евклидова аффинная
плоскость, через X.—ее проективное пополнение, через Xе —
проективная комплексификация X (см. § 7.6) и через /, J —
круговые точки X (см. 9.5.5.1). Если не оговорено противное,
то С всегда будет обозначать непустой образ собственной ко-
коники из X; в силу 16.1.4, С можно отождествлять с коникой а,
образом которой он является.
158
Гп. 17. Евклидовы коники
17.1 ПРИНЦИП ДЕКАРТА
17.1.1. В силу § 15.6 и определения 15.3.3.2, можно найти орто-
нормированный репер, в котором уравнение С имеет вид
+ -W — На > Ь) (эллипс),
17.1.2.
——|г-—1 (гипербола),
у3—2рх (парабола).
17.1.3. Отметим, что в случае эллипса при а = Ь получается
окружность. В случае гиперболы при а = Ь мы по определению
получаем равнобочную гиперболу. У этих гипербол асимптоти-
асимптотические направления взаимно перпендикулярны, а сами они, по-
подобно окружностям среди эллипсов, выделяются среди обычных
гипербол большим числом характерных свойств (см., например,
17.8.3). Точки, расположенные на осях, называются вершинами;
у эллипса четыре вершины, у гиперболы две, а у параболы одна.
17.1.4. КАСАТЕЛЬНЫЕ, ВЫПУКЛОСТЬ, НОРМАЛИ. В силу п. 15.4.6,
эллипс и парабола ограничивают выпуклое множество; в случае
гиперболы каждая из двух ее ветвей ограничивает выпуклое
множество.
Рис. 17.1.3.1
Рис. 17.1.3.2
Рис. 17.1.3.3
Рис. 17.1.3.4
159
17.2 Метрические свойства: элементарное изложение
Имеет место тождество между касательной к С
в точке т, определяемой как поляра к т (см. 14.5.2.1), как
касательное пространство к подмногообразию класса С°°, которым
является С (см. 14.3.8), как касательная к параметризованной
дуге С (см. 16.2.9) или, наконец, как единственная опорная
прямая в точке т к строго выпуклому множеству, ограниченному
связной компонентой, содержащей т (см. 11.6.4).
Назовем нормалью к С в точке т?С перпендикуляр,
проведенный в т. к касательной к С в точке т.
17.1.5. ОБОСНОВАНИЕ ТЕРМИНА «КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ». Кониче-
ские сечения, по-видимому, были известны с IV века до нашей
эры, но само название «конические сечения» дал им Аполлоний
(II век до нашей эры). Кроме прочих многочисленных резуль-
результатов он установил и тот факт, что коники действительно полу-
получаются при пересечении конусов вращения с плоскостями (см.
рис. 17.3.1, 17.3.2). Доказать это мы предоставляем читателю.
17.1.6. «ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО С ЧЕТЫРЬМЯ ПРЯМЫМИ». То, ЧТО
всякое уравнение второго порядка соответствует некоторому кони-
коническому сечению в смысле 17.1.5 или 17.1.2, является исторически
первым результатом алгебраической геометрии и принадлежит Де-
Декарту A637 г.). Уже Аполлонию были известны координаты и
уравнения 17.1.2. Но лишь Декарт сумел определить кривые п-го
порядка. Затем он продемонстрировал силу своего метода, при-
применив его к задаче, оставшейся нерешенной со времен древних
греков и известной под названием «геометрическое место с че-
четырьмя прямыми». Речь идет о том, чтобы для заданных четырех
прямых D; (i = 1, 2, 3, 4) на плоскости найти множество
{m?X:dl(m,D1)(Hm, D2)=kd{m, Ds)d{m, D4)} (ft € IQ.
Но если ф/=яО—уравнение прямой D,-, то уравнение искомого
множества имеет вид
I <Pl<P2 I
I ф3ф4 I
и, следовательно, это множество состоит из двух коник с урав-
уравнениями фгф2 ± &ф3ф4 (впрочем, сам Декарт упустил из виду
одно из них). Обратите внимание, что при переменном k эти
коники образуют пучок (см. 16.4.10). Сравните это с упр. 350
из [141], с. 367.
17.1.7. См. в 17.9.1 другое приложение этой техники.
17.2 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА: ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ
17.2.1. МОНОФОКУСНЫЕ СВОЙСТВА
17.2.1.1. Предложение. Отличные от окружностей непустые об-
образы собственных коник из X совпадают с подмножествами X
вида {т?Х: fm = e-d(m,D)\, где D—некоторая прямая в X,
a f—некоторая точка X, f^D и egR+.
160
Гл. 17. Евклидовы коники
Это следует из приведенных ниже выкладок, где
x = h—уравнение D и (с, 0)—координаты /. Наше подмножество
задается соотношением
(х—сJ + у2 = е2(х—/гJ.
Для того чтобы оно совпало с одним из уравнений 17.1.2, нужно
положить h = c/e2 при еф\, и тогда
17.2.1.2.
—1=0.
с2/е2 A—e2)
Если же е=1, то мы положим h = — с и получим
17.2.1.3. у* = — 4сх.
Обратно, уравнение вида 17.1.2 можно записать в виде 17.2.1.2,
положив р = —2с и е=\ в случае параболы; в противном случае
с = Уга2—Ь2, е = с/а и h = c/e2, если это эллипс (а>Ь), либо
с = \/Га2-\-Ь2, е = с/а и h = c/e2, если это гипербола.
17.2.1.4. Постоянная е называется эксцентриситетом С. Эллипс
(соответственно парабола, гипербола) характеризуется неравен-
неравенством е< 1 (соответственно =1, > 1). Точка / называется фо*
Рис. 17.2.1.4
161
17.2 Метрические свойства: элементарное изложение
кусом С, а прямая D—соответствующей директрисой. Преды-
Предыдущее исследование показывает, что С имеет два фокуса, распо-
расположенных на оси х (называемой большой осью в случае
эллипса, действительной осью в случае гиперболы или, в обоих
случаях, фокальной осью), если только С не парабола, которая
обладает лишь одним фокусом, расположенным на ее оси.
17.2.1.5. Соответствующие выпуклые множества (см. 17.1.4) за-
задаются соотношением {т: mf^.e'd(m,D)\.
17.2.1.6. Пусть т, п gC и p=D{\mn (если потребуется, можно про-
проводить рассуждения в X). Тогда pf—биссектриса {fm, fn} (см.
8.7 7.4). В самом деле, это следует из 10.3.8, поскольку
от d (т. D) fm j-t
-^- = ' ' ' = j—. Поэтому, переходя к пределу, можно пока-
рп
Рис. 17.2.1.6
Рис. 17.2.1.7
6 № 2861
162
Гп. 17. Евклидовы коники
зать, что касательная Т к С в точке m пересекает D в точке р,
такой, что fm, fp = я/2. Это позволяет прежде всего построить
касательную Г к С в точке т. Но отсюда вытекает также, что
если S—прямая, проходящая через /, то сопряженная к ней
прямая 5' (см. 15.5.1), проходящая через/, перпендикулярна
к S: S_|_S'. Это характеристическое свойство фокусов (см.
17.4.3). Отсюда следует, в частности, «малая теорема» Понселе:
пусть та, тЬ—касательные к С в точках а и Ъ\ тогда для
любого фокуса f коники С прямая fm совпадает о биссектри-
биссектрисой fa, fb. В самом деле, если положить p = abf]D, то, в силу
полярности, поляра pL проходит через т и /. Следовательно,
\fa,fb,fp,fm\ = —\, и утверждение вытекает из 8.7.7.5. См.
также 17.6.3.6.
17.2.1.7. Движение планет. Траектории, описываемые планетами,
в полярных координатах р = /@) задаются уравнением
const,
как это следует из закона всемирного тяготения и формул Бине
(см., например, [38], с. 54). Тогда /~1=acos0-f |3 sinЭ4-Т или,
после изменения полярной оси, f(Q) = %-,— Возвращаясь
С? COS о ~f~ у
к аффинному реперу, мы получим x2 + y* = k (х + /iJ—уравнение
коники с фокусом в полюсе полярной системы координат. Зна-
Значит, планеты, кометы, астероиды и т. д. описывают в первом
приближении коники, в фокусе которых находится солнце.
17.2.2. БИФОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
17.2.2.1. Пусть /, f и D, D'—два фокуса и две директрисы
коники С, не являющейся ни параболой, ни окружностью.
В силу 17.1.4, для любой точки т?С справедливы следующие
соотношения: d(m, D)+d(m, D')=*d(D, D), если С—эллипс, и
\d(m,D)—d(m, D')\ = d(D, D'), если С—гипербола. Отсюда,
в силу 17.2.1.1, находим, что mf-\*mf'=2a (соответственно
\mf—mf \=*2a) VmgC. Это делает правдоподобным следующее
утверждение.
17.2.2.2. Предложение. Непустые отличные от парабол образы
собственных коник из X совпадают с подмножествами X вида
{т$Х: mf + mf = 2а} (соответственно {т?Х: \mf—mf \ =*2a\),
где f, f пробегают пары точек X, причем 2а > //' (соответст-
(соответственно 2а < ff).
Нужно ясно себе представлять, что мы не дали пол-
полного доказательства прямого утверждения и что приведенные
ниже выкладки не вполне очевидны. Случай окружности, соот-
соответствующий f**f', тривиален. Разберем случай эллипса, предо-
предоставив гиперболу читателю.
163
17.2 Метрические свойства: элементарное изложение
Выберем оси координат так, чтобы /=(с, 0), /' = (—с, 0).
Тогда для т = (х, у) получаем
(mff + (mf'Y = 2 (х2 + у2 + с2), (mfJ— (mfJ = ^х
(эти две формулы вытекают также из 9.7.6). Полагая mf+mf ==
= 2а>0, находим, что mf'—mf = 2cx/a и далее mf'=a + cx/a,
D'
Рис. 17.2.2.1
mf=a—cx/a. Отсюда
или
Если а = а, то мы получаем эллипс хг/а2 + уг/Ь2— 1 =0, где
Ь2 = а2—с'1. Обратно, из соотношения
выводим, что
(cV—а8а*)(а8—а2) = 0.
Случай афа исключен, поскольку тогда х = аа/с и выполнялось
бы противоречащее условию неравенство
mf'—mf = 2a>ff'.
17.2.2.3. Соответствующие выпуклые множества (см. 17.1.4) за-
задаются соотношением {т: mf + mf <2oj для эллипса и двумя
соотношениями {пк mf'—mf^2a\ и {т: mf—mf"^2a) для
гиперболы.
17.2.2.4. Касательная. Из § 9.10 и 17.1.4 следует, что касатель-
касательная к С в точке т есть внутренняя биссектриса mf, mf в случае
гиперболы и внешняя биссектриса в случае эллипса. Обратно,
из § 9.10 видно, что всякая такая кривая, для которой либо ее
164
Гл. 17. Евклидовы ноники
165
17.2 Метрические свойства: элементарное изложение
касательная обладает указанным свойством, либо сумма mf ± mf
постоянна, имеет в качестве образа конику с фокусами /, /'.
Это еще раз делает правдоподобным 17.2.2.2 (см. также 17.6.3.5).
17.2.2.5. Построение с помощью нити. На рис. 17.2.2.5.1 пока-
показано, как нарисовать эллипс («эллипс садовника») или гиперболу
с помощью нити; в 17.7.1 указан еще один механический способ
построения эллипса. Что касается квадрик в трехмерном прост-
пространстве, то способ их построения с помощью нити представлен
на рис. 17.2.2.5.2 (подробнее см. [133], с. 27 русского перевода.
Рис. 17.2.2.5.1
Рис. 17.2.2.5.2
Рис. 17.2.2.6
166
Гп. 17. Евклидовы коники
или 15.7.16). См. также ссылки, приведенные в 17.6.4, и п. 421Ь
книги [206].
17.2.2.6. Подэра относительно фокуса. Из 17.2.2.4 и 17.2.2.2,
рассматривая точку т'=oTf, симметричную к / относительно
касательной Т к С в пг, можно установить, что подэра коники С
относительно фокуса / (см. 9.6.8) представляет собой окруж-
окружность, концентрическую с С и касательную к С в точках фокаль-
фокальной оси (так называемая главная окружность). Это верно, только
если С не парабола. В случае параболы нужно воспользоваться
17.2.1.1 и 17.2.1.6, откуда видно, что касательная Т к С в точке m
является биссектрисой угла между mf и прямой, проходящей
через m параллельно оси. Подэрой здесь является касательная
прямая к С в вершине.
17.3 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА: БЕЛЬГИЙСКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ
Возникает естественное желание доказать тождественность кони-
конических сечений, определенных Аполлонием как сечения конусов
вращения, и конических сечений, определенных при помощи
Рис. 17.3.1
Рис. 17.3.2
монофокальных или бифокальных свойств, причем элементарным
способом (т. е. без алгебраических выкладок). Это и было сде-
сделано бельгийцами Данделеном и Кетле; их решение представлено
на приведенных здесь рисунках.
167
17.4 Метрические свойства: проективное изложение
17.3.1. Рисунки 17.3.1 и 17.3.2 соответствуют бифокальным
свойствам, а рис. 17.3.3—монофокальным. При доказательстве,
представленном на рис. 17.3.3, используются следующие ключе-
ключевые идеи: (i) два отрезка касательных, проведенных из одной
точки к сфере, имеют равную длину; (П) существует по крайней
Рис. 17.3.3
мере одна сфера 2, вписанная в рассматриваемый конус Г и ка-
касающаяся секущей плоскости Р; (Hi) если через Q обозначить
плоскость, содержащую окружность, по которой 2 касается Г,
то точки конуса характеризуются условием )т> ® = const (где
константа принимает соответствующее значение); (iv) если
D = P П Q, то точки Р удовлетворяют соотношению j' ^=const.
Следует обратить внимание на соотношение из пункта (ш); без
него мы знали бы только, что С==/>ПГ входит в коническое
сечение с соответствующей директрисой D и фокусом f (точкой
касания 2 с Р). Читатель может рассматривать все это, в том
числе и бифокальный случай, в качестве упражнения или обра-
обратиться к книге [73], гл. VIII.
Можно еще вновь установить свойства касательных
17.2.1.6 и 17.2.2.4 (см. также 17.6.3.4).
17.4 МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА:
ПРОЕКТИВНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ПЛЮККЕРА
17.4.1. Как мы уже знаем из 8.8.7 и 9.5.5.2, евклидовы свой-
свойства X можно интерпретировать с проективной точки зрения; но
для этого следует сначала перейти к проективному пополнению
X пространства X, а затем к комплексификации Xе. Наконец,
нужно использовать и круговые точки /, J пространства X.
168
Гл. 17. Евклидовы коники
В силу § 7.3, 7.6, 16.7 и 16.1.4, всякой собственной
конике а с непустым образом (или всякому образу С такой ко-
коники) соответствует единственная проективная коника из Xе,
обозначаемая а, и подмножество Xе, обозначаемое С—образ а.
При исследовании евклидовых коник мы собираемся проводить
рассуждения в Xе. Хотя такой подход может показаться искус-
искусственным и, во всяком случае, довольно дорогостоящим, у него
есть два преимущества, как это часто бывает в математике при
более общем подходе. Во-первых, таким путем удается получить
глубокое и единое объяснение свойств окружностей и конических
сечений. Во-вторых, действуя подобным образом, можно обна-
обнаружить новые свойства, доказать которые элементарным способом
бывает порой не просто.
17.4.2. ОКРУЖНОСТЬ КАК КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ
17.4.2.1. Критерий. Пусть С—непустой образ собственной коники;
тогда С будет окружностью в том и только том случае, если
/, J ? С (на самом деле достаточно, чтобы I ?С, поскольку для
инволюции а в Xе (см. 7.5.1, 8.8.6.1) справедливы соотношения
о(С) = С и с (/) = /). Более общо, для произвольной коники а
из X, не обязательно собственной или с непустым образом,
условие /6 im (а) эквивалентно тому, что всякое ее уравнение q
-» -»
обладает свойством a = k\ • f, где | • ||—евклидова норма в X. Это
обобщенные окружности, с которыми мы вновь встретимся
в § 20.1.
Данное утверждение вытекает из 14.1.3.2 и 8.8.6.1.
17.4.2.2. Вписанный угол. Предыдущее утверждение позволяет,
во-первых, объяснить 10.9.4. А именно, если a, b—две точки
на окружности С, то ориентированный угол ха, xb между пря-
прямыми постоянен при х?С, и обратно. В самом деле, в Xе и на С
двойное отношение [ха, xb, xl, xJ] постоянно, откуда данное
утверждение следует в силу формулы Лагерра 8.8.7.4. Что ка-
касается соотношения 2ха, хЬ = <ла, wb, где ш—центр С, то оно
вытекает из 16.8.6.
17.4.2.3. Приложение: ортооптическая окружность. Мы ищем мно-
множество таких точек т, чтобы две касательные та, mb к конике С
были ортогональны. В силу 8.8.7.4, это равносильно тому, что
в Xе выполняется соотношение
[та, mb, ml, mJ] = —1.
Согласно 14.5.2.6, это в свою очередь эквивалентно условию
ml J_mJ (относительно С в Xе). А это условие, в силу 16.2.7.1,
169
17.4 Метрические свойства: проективное изложение
т
эквивалентно тому, что точка т принадлежит некоторой ко-
конике 5 из Xе, проходящей через / и J. Кроме того, эта коника
будет собственной в том и только том случае, если прямая //
не самосопряжена, т. е. если С не парабола, или если /, J не
являются сопряженными в Xе, т. е. С не равнобочная гипербола.
Возвращаясь к X, мы видим, что т должна принадлежать мно-
множеству Sf|X, которое представляет собой обобщенную окруж-
окружность или, в случае когда С—парабола, прямую. Нет оснований
считать, что мы получим полную окружность, поскольку две
исходящие из т касательные к С могут и не существовать.
Разобраться до конца здесь не сложно. В случае эллипса мы
получим полную окружность радиуса о2 + 6г, а в случае
параболы — всю директрису. В случае гипербол мы получим
пустое множество, если асимптоты образуют тупой угол, одну
точку — центр (соответствующую двум изотропным прямым), если
гипербола равнобочная, и, наконец, окружность без четырех
точек, если асимптоты образуют острый угол. Читатель может
170
Гп. 17. Евклидовы коники
все это доказать элементарным способом, например с помощью
14.5.3 или, напротив, геометрически.
Заметим, что если касательная коника вырождается
в две различные точки а, Ъ (см. 14.6.3.2), то ортооптической
окружностью будет окружность диаметра а, Ь.
17.4.3. ФОКУСЫ КОНИКИ И КРУГОВЫЕ ТОЧКИ
17.4.3.1. Как мы видели в 17.2.1.6, инволюция прямых, сопря-
сопряженных относительно С и проходящих через фокус / коники С,
представляет собой инволюцию ортогональных прямых. При этом
двойные радиусы совпадают, с одной стороны, с касательными,
проведенными из f к С (в силу результата, двойственного
к 14.5.2.6), а с другой—с прямым fl и /7 (в Xе) (в силу фор-
формулы Лагерра); следовательно, fl, fj—касательные к С.
17.4.3.2. Обратно, игнорируя предыдущее, можно определить
фокус коники С из X как такую точку }, для которой fl и fj
касаются С. Поскольку a(I) = J и а(С) = С (см. 17.4.2.1), воз-
возможны только три случая: либо С$ I, J ц f единственна и совпа-
совпадает с центром, либо С—парабола и / снова единственна, либо,
/=с
Рис. 17.4.3.2
171
17.4 Метрические свойства: проективное изложение
наконец, имеются четыре касательные к С из / и J, пересекаю-
пересекающиеся в четырех различных точках. Но множество таких каса-
касательных инвариантно относительно инволюции о; следовательно,
две из этих точек, скажем /, /', удовлетворяют соотношениям
©(/)=./, a(f) = f и, значит, /, /' ?Х, тогда как две другие точки
g, g' связаны соотношением a(g) = g' и потому g, g'^X, но
gg' с X. Из соображений полярности вытекает, наконец, что
прямые ff, gg1 ортогональны, поскольку [/, J, ff (] IJ,
gg' П //]=«— 1 и поскольку ff П gg'—полюс оол и, значит,
совпадает с центром С. Таким образом, ff, gg'—оси С, и мы ока-
оказываемся в ситуации, уже встретившейся нам в 17.2.1.4.
17.4.3.3. Остается проверить, что С с фокусом / и его полярой
D = fL удовлетворяет метрическому определению 17.2.1.1. Пусть
т, п$С, p=smn[)D (в X). Поскольку в Xе касательные к С,
проведенные из f, совпадают с fl, fj, из соображений поляр-
полярности видно, что если и гармонически сопряжена к р относи-
Рис. 17.4.3.3
тельно т и п, то Г/7, fj, fp, fu]= —1. Следовательно (см. 8.8.7),
в X прямые fp и fu ортогональны, a fp—биссектриса fm, fn. По-
Поэтому из сказанного в 17.2.1.6 вытекает, что fm/fn=d(tn, D)/d(n,D).
Поскольку т, п произвольны, наше утверждение доказано.
17.4.3.4. Бифокальное свойство 17.2.2.2 будет объяснено дальше,
в 17.6.3.5.
17.4.3.5. Приложение: прямая Симеона и парабола. Легко уста-
установить следующее: если три стороны треугольника {а, Ь, с\
касаются параболы, то ее фокус f лежит на окружности, опи-
описанной около {а, Ь, с\. Это непосредственно вытекает из 16.5.5.3,
17.4.2.1 и 17.4.3.2 применительно к шести точкама, Ь, с, f, I,J в Xе.
Далее, в силу 17.2.2.6, проекциями f на стороны аЪ,
be, ca служат три точки касательной, проведенной в вершине С,
которые, таким образом, коллинеарны. Следовательно, проведен-
проведенные ранее рассуждения вместе с предыдущим абзацем показы-
показывают, что три проекции некоторой точки на стороны треуголь-
треугольника {а, Ь, с\ коллинеарны тогда и только тогда, когда эта
172
Гл. 17. Евклидовы коники
Рис. 17.4.3.5
173
17.5 Пучки евклидовых коник и круговые точки
точка принадлежит окружности, описанной около {а, Ь, с}; это
утверждение есть не что иное, как 10.4.5.4.
Отсюда и из 16.7.4 вытекает следующее утверждение.
Пусть на плоскости заданы четыре прямые; тогда четыре окруж-
окружности, описанные около треугольников, которые образованы
тройками этих прямых, пересекаются в одной точке, причем
эта точка совпадает с фокусом параболы, касающейся этих че-
четырех прямых. См. также 10.13.19.
17.4.3.6. Практическое нахождение фокусов. См. 17.9.24.
17.5
ПУЧКИ ЕВКЛИДОВЫХ КОНИК И КРУГОВЫЕ ТОЧКИ
17.5.1. Назовем пучком коник из X пучок невырожденных ко-
коник из X (см. 14.2.7.5). Мы собираемся исследовать бесконечно
удаленные точки коник из X, т. е. след пучка ? на оох, или,
если потребуется, след комплексифицированного пучка ?с из
Xе на оо с (см. 16.5.2)—для того чтобы можно было восполь-
зоваться круговыми точками. Все дальнейшее, когда речь пой-
пойдет только о бесконечно удаленных точках коники a g ?, можно
получить и элементарным способом с помощью угловых коэффи-
коэффициентов и выражения 16.7.1.1, и мы очень советуем читателю
это проделать. В дальнейшем мы будем называть равнобочной
гиперболой также и пару ортогональных прямых.
17.5.2. Предположим, что оо^—хорошая прямая относительно ?
(см. 16.5.4), и рассмотрим поведение инволюции / пучка ?с на
оо с относительно круговых точек /, J, не забывая при этом,
Л
что a{l) = J, or(/) = / и что пары нашей инволюции должны
быть инвариантны относительно инволюции о из § 7.5 (которая
не является инволюцией прямой оо с). Таким образом, возможны
Л
только три случая:
случай I:
случай II:
случай Ш:
/(/) = / и f{J) = J;
f(/) = J и f (./) = /;
{/(/), f{J)\n\I, J\
0.
Если мы вспомним 6.7.2, 8.8.7, 8.7.7.5, 17.4.2 и 17.1.3, то по-
получим следующий результат.
17.5.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть пучок ? таков, что прямая оох
является хорошей относительно ?. В общем случае пучок ?
содержит единственную равнобочную гиперболу {случай III); если
он содержит две такие гиперболы, то и все его элементы пред-
представляют собой такие же гиперболы {случай I). Для того что-
чтобы ? содержал обобщенную окружность, необходимо и доста-
174
Гл. 17. Евклидовы коники
175
17.S Пучки евклидовых коник и круговые точки
точно, чтобы две коники из <F обладали одинаковыми направле-
направлениями осей (и тогда все коники из ? будут обладать теми же
направлениями осей; случай II).
РГ
РГ
-н-
оси
РГ
Рис. 17.5.3
fU)
17.5.4. приложения в СЛУЧАЕ I. Пусть заданы четыре прямые
D, D' и Е, Е', где D±D' и Е±Е' (в евклидовом базисе). Они
определяют пучок с базовыми точками D(]E=*a, D(]E'=b,
О'Г\Е~с, D'r\E'—d, в котором все коники представляют со-
собой равнобочные гиперболы. В частности, пара прямых {ad, bc\
образована ортогональными прямыми в силу 17.5.3. Тем самым
мы доказали, что высоты треугольника пересекаются в одной
точке (см. 10.2.5).
Аналогичное рассуждение показывает, что для любых
трех точек а, Ь, с, d?C, где С—равнобочная гипербола, орто-
ортоцентр {а, Ь, с\ тоже принадлежит С.
Если применить 16.5.5.1 к некоторому данному тре-
треугольнику {а, Ь, с} и его ортоцентру d, то получится в точ-
точности результат об окружности девяти точек (см. 10.11.3). Эта
окружность представляет собой геометрическое место центров
равнобочных гипербол, содержащих а, Ь, с, d. To, что центр
такой окружности именно таков, как указано в п. 10.11.3, сле-
следует из 16.7.5.
17.5.5е ПРИЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ 11
17.5.5.1. Пусть {D, D'} и {Е, Е'\—две пары прямых. Для того
чтобы четыре точки D(]E, D(]E , D'(]E, D'(]E! были коцик-
личными, т. е. принадлежали одной окружности, необходимо и
достаточно, чтобы пары {D, D'\, {E, Е'\ имели одинаковые на-
направления биссектрис. В этом случае и третья пара прямых бу-
будет обладать теми же направлениями биссектрис.
н
176
Гп. 17. Евклидовы коники
17.5.5.2. Пусть ?—пучок коник из X, содержащий окружность,
причем оох—хорошая прямая относительно ?. Тогда геометри-
геометрическое место центров коник из ? представляет собой равнобоч-
равнобочную гиперболу Н, асимптоты которой совпадают с осями двух
парабол из ?.
За исключением утверждения об асимптотах, это выте-
вытекает из 16.5.5.1. Чтобы закончить доказательство, обозначим
через и, v точки <х>х, соответствующие общим направлениям осей.
В силу построения из 16.5.3.3, если т?Н, то прямые ит, vm
сопряжены относительно коники из ? с центром т. Совпадение
т с v равносильно тому, что касательная к Я в точке и совпа-
совпадает с осью параболы, касающейся оох в точке и.
17.5.5.3. Если две параболы С, С из X порождают полный пучок
(см. 16.5.1), то для того, чтобы их оси были перпендикулярны,
т,
Рис. 17.5.5.3
необходимо и достаточно, чтобы пучок ? содержал окружность.
Кроме того, оси этих парабол проходят через центр тяжести
если
' = {(т1, со,.),=1 k\.
Это следует из 17.5.5.2 и 16.7.5. Отсюда же получается непосред-
непосредственное построение парабол, проходящих через четыре различ-
различные коцикличные точки.
Это свойство центра тяжести можно также доказать
элементарным путем с помощью диаметров, если известно 17.5.5.1,
либо с помощью координат, в которых парабола имеет вид (/г = 2рл:,
и формулы для суммы корней уравнения четвертой степени.
17.5.5.4. Соприкасающаяся окружность. Пусть С —непустой образ
собственной коники и т?С. Тогда существует единственная
окружность, которую мы обозначим ТтС, соприкасающаяся с С
в точке т в смысле 16.4.5. Эта окружность является соприка-
соприкасающейся и в смысле дифференциальной геометрии (см. [15], 8.4.15).
Мы назовем ее соприкасающейся окружностью коники С в точке т.
Если т не совпадает с вершиной, то ТтС характеризуется тем,
177
17.S Пучки евклидовых коник и круговые точки
что касается С в точке т и проходит через точку т' пересечения
с С прямой D, проходящей через т и обладающей тем свойством,
что биссектрисы D и касательной ТтС к С в т параллельны осям.
Или, по-другому, она характеризуется тем, что касается С
Рис. 17.5.5.4.1
в точке т и локально переходит с одной стороны С на другую
в окрестности точки т. Если т —вершина, то ГтС сверхсопри-
касается с С в точке т и СГ\ТпС = {т).
Все это следует из 17.5.3, 16.4.10 и соображений сим-
симметрии—в случае сверхсоприкасания или непрерывности—в слу-
случае перехода с одной стороны на другую.
Если т не совпадает с вершиной, то окружность ГтС
определяется геометрически с помощью предыдущего. В случае
параболы из 17.5.5.3 вытекает, что ось содержит точку (З/n-f- /п')/4;
это позволяет непосредственно построить ТтС, даже не находя т'.
Однако в случае вершины придется воспользоваться критерием
из 16.4.7.3 и записать, что
есть уравнение окружности, дабы найти окружность, сверхсопри-
касающуюся с С в точке (а, 0). Таким способом мы найдем
окружности, изображенные на рис. 17.5.5.4.2. В 17.7.4 мы укажем
другие способы построения центра кривизны ш в точке С.
17.5.5.5. Пример из механики. Рассмотрим простой маятник с гиб-
гибкой нитью, качающийся в фиксированной вертикальной плоско-
плоскости, или, что одно и то же, подвижную материальную точку
внутри некоторого круга. Мы выпускаем эту точку из самой
низкой точки окружности и хотим выяснить, какова должна быть
ее начальная скорость, чтобы она оторвалась от окружности,
не дойдя до высшей точки, и чтобы траектория ее дальнейшего
свободного падения попала в исходную точку.
178
Гп. 17. Евклидовы коники
Рис. 17.5.5.4.2
Для решения этой задачи заметим, что траектория
свободного падения представляет собой параболу с вертикальной
осью и что там, где наша точка отрывается от окружности, эта
парабола соприкасается с данной окружностью, поскольку и ско-
скорости и ускорения в этой точке при движении по параболе и по
окружности совпадают между собой. Но из 17.5.5.4 следует, что
179
17.5 Пучки евклидовых коник и круговые точки
парабола пересекает такую окружность в точке, которую легко
построить. А именно, пусть со—центр окружности Г, а—самая
низкая точка, т—точка отрыва и т'—точка пересечения с Г
Рис. 17.5.5.5.1
параболы, соприкасающейся с Г в т и обладающей вертикальной
осью. Из 17.5.5.4 и 8.7.2.4 находим, что соа, com' =* — Зсоа, com.
Условие того, что траектория проходит через точку а, принимает,
таким образом, вид т' =а, или 3(соа, оот)=0, откуда соа, сот=зО,
или 2л/3, или 4я/3.
Другие аналогичные вопросы см. в 17.9.2.
а
Рис. 17.5.5.5.2
180
Гл. 17. Евклидовы коники
17.5.5.6. Нормали, проведенные из точки к конике; гипербола
Аполлония. Пусть С—собственная непустая коника и а?А.
Тогда существует от одной до четырех нормалей к С, проходя-
проходящих через а. Основания этих нормалей совпадают с точками
СГ\АС где А С—равнобочная гипербола, которая полностью
Поляра к т
относительно Г
Рис 17.5.5.6
определяется точкой а и кошкой С и называется гиперболой
Аполлония коники С относительно а. Гипербола АаС геометри-
геометрически определяется следующими свойствами: ее асимптоты парал-
параллельны осям С; она содержит точку а и центр С, если С не
парабола (в этом случае одна из ее асимптот совпадает с осью С)!
ее центр находится в точке у ? ф.щ для любой окружности Г
с центром а, полное пересечение которой с С совпадает с С П Г =
= {(т„ со,)},=1 „; наконец, она содержит две точки и, v по-
поляры a-L к точке а относительно С, такие что аи, аи ортого-
ортогональны (значит, если а находится вне С, то прямые аи, av сов-
совпадают с биссектрисами касательных, проведенных из а к С).
Заметим сначала, что геометрическое место ^ центров
коник пучка ?, определяемого коникой С и обобщенной окруж-
окружностью Г с центром а, зависит лишь от а и С В самом деле, из
181
17.6 Касательные пучки коник, «офокусные коники
16 5 3.3 видно, что точка т есть центр коники из f в том и только
том случае, если параллельны ее поляры относительно С и I.
Но поляра любой точки т относительно окружности Г с центром a
ортогональна к am, и, значит, ее направление не зависит от I,
а зависит лишь от а.
Теперь, применяя 17.5.5.2, 17.5.5.3, мы получим ги-
гиперболу АаС—геометрическое место центров коник из пучка ? —
для произвольной Г с центром а (например, можно взять вырож-
вырожденную конику, образ которой сводится к а, с уравнением
da/. fl) = 0). Остается проверить, что для некоторой точки /ngc
прямая am тогда и только тогда перпендикулярна касательной ТтС
к С в точке т, когда т?АаС. Для этого достаточно восполь-
воспользоваться первым замечанием: касательная к С в точке т является
полярой т относительно С и тогда и только тогда параллельна
поляре от относительно Г, когда am \_ ТтС в евклидовом смысле!
Мы предлагаем читателю построить несколько гипербол
Аполлония при различных а, С (см. также 17.9.18.2). Обратите
внимание на любопытное следствие: когда переменная окруж-
окружность Г с фиксированным центром пересекает фиксированную
конику С в четырех различных точках, центр тяжести этих че-
четырех точек остается неподвижным.
Осталось обсудить вопрос о зависимости числа норма-
нормалей от расположения точки а; ответ см. в 17.7.4.
17.6 КАСАТЕЛЬНЫЕ ПУЧКИ КОНИК, СОФОКУСНЫЕ КОНИКИ
Теперь мы собираемся систематически применять 16.5.6.3 в случае,
когда ?*—касательный пучок в X, т. е., по определению, каса-
касательный пучок в X. Мы введем также ?*с—касательный пучок
в хс—комплексификацию пучка f (чтобы можно было восполь-
воспользоваться круговыми точками / и J в X).
17.6.1. ОРТООПТИЧЕСКИЕ ОКРУЖНОСТИ КАСАТЕЛЬНОГО ПУЧКА.
Пусть <F»—касательный пучок. С помощью комплексификации
расширим его до <F*C. Обозначим через_Г,_2 ортооптические окруж-
окружности двух коник a», P*€f- Тогда Г, S суть две коники в Xе
Пусть mgrnS. Касательные из точки т к коникам из <&
порождают инволюцию в т* (см. 16.5.6.3), для которой две пары,
связанные с Г и S, гармонически сопряжены относительно пары
{ml mJ). Значит, все ортооптические окружности В коник из &
обладают тем свойством, что т € в. В итоге эти в образуют пучок
коник в Xе и, следовательно, в образуют пучок окружностей
в X в смысле § 10.10.
17.6.2. ПРИЛОЖЕНИЯ
17 6 2 1 Если а, Ь, с, d, e, /—вершины полного четырехуголь-
четырехугольника "(см. рис. 17.6.2.1), то три окружности диаметра {а, Ь),
182
Гл. 17. Евклидовы коники
{с, d), {e, f\ принадлежат некоторому пучку. В частности, точки
(a + b)/2, (c + d)/2, (e + f)/2 коллинеарны.
Это следует из 17.6.1 и 17.4.2.3 применительно к ка-
касательному пучку коник, которые касаются четырех прямых ас,
cb, bd, da.
Рис. 17.6.2.1
17.6.2.2. Применим 17.6.1 к касательному пучку коник из X,
которые касаются трех сторон ab, be, ca заданного треугольника
и бесконечно удаленной прямой оо^ (это параболы). Ортооптиче-
Рис. 17.6.2.2
ские окружности этих коник представляют собой прямые—ди-
прямые—директрисы парабол. Но для коники, вырождающейся в точку а
и точку Ьс(]оох, указанная прямая—это прямая, ортогональная
к be и проходящая через а. Мы вновь доказали, что три высоты
треугольника {а, Ь, с\ пересекаются в одной точке. Но отсюда
183
17.6 Касательные пучки коник, софокусные коники
видно, что директриса любой параболы, касающейся сторон тре-
треугольника {а, Ь, с\, проходит через его ортоцентр. Следовательно,
четыре ортоцентра треугольников, образованных тройками из
четырех заданных прямых, лежат на одной прямой (на директ-
директрисе параболы, касающейся этих четырех прямых; см. 16.7.4
и 17.4.3.5). Другое следствие состоит в том, что если f—точка
окружности, описанной около {о, Ь, с), то точки, симметричные /
относительно трех сторон треугольника {а, Ь, с\, лежат на одной
прямой, проходящей через его ортоцентр (прямая из образов;
см. 10.13.16).
17.6.3. СОФОКУСНЫЕ КОНИКИ
17.6.3.1. Софокусными кониками называются две коники, имеющие
два одинаковых фокуса. Если /, /'—две различные заданные точки
в X, то множество коник с фокусами f, f образуют касатель-
касательный пучок ?*. Для того чтобы в этом убедиться, перейдем к Xе.
В силу 17.4.3, коника С принадлежит <F* в том и только том
случае, если С принадлежит касательному пучку коник в Xе,
касающихся четырех прямых //, fj, /'/, f'J, и ?*—сужение этого
касательного пучка на X—тоже является касательным пучком.
17.6.3.2. В этом можно убедиться и элементарным способом,
с помощью выкладок. Если / = (с, 0), /' = (—с, 0), то исследу-
исследуемые коники задаются уравнениями
17.6.3.3.
]-с2, 0[и]0, +оо[.
Тангенциальное уравнение получается с помощью матрицы
0
1A
0
0
0
— 1
/с2 + k
V о
0
к
0
0
0
— 1
о
о
оно линейно по к (см. 14.6.1 и 15.1.6). Заметим, что, когда ^ —+ 0,
предельная кривая получается различной для X—»¦ 0 -(- и ^ —>- 0 —,
в то время как касательный предел есть касательная коника,
вырождающаяся в две точки /, f (см. 14.6.3). Но в смысле 16.5.6.2
при к —»¦ 0 общим пределом является двойная прямая у = 0, ось
абсцисс.
17.6.3.4. Касательные. Пусть ? *—касательный пучок софокусных
коник с фокусами /,/' и т$Х, причем m^ff. В силу 16.5.6.3,
касательные, проведенные из т к коникам пучка ?*, порождают
инволюцию в т*, для которой двойные радиусы являются каса-
касательными в точке т к коникам из ?*, проходящим через т. Но
эта инволюция содержит пару {mf, mf'}, а если ее расширить
на Xе, то и пару {ml, mJ). Следовательно, двойные радиусы
184
Гл. 17. Евклидовы кочикм
Рис. 17.6.3.3
существуют в X; это биссектрисы прямых mf, mf (примените
8.7.7.5, 8.8.7 и 6.7.4). Таким образом, всегда существуют две
коники из ?*, проходящие через т; одна из них касается внут-
внутренней биссектрисы {mf, mf'\ (это гипербола), а другая внешней
(это эллипс).
17.6.3.5. Стоит отметить, что здесь мы не использовали 17.2.2.4.
Напротив, отправляясь от 17.4.3 и некоторой проективной ко-
коники и учитывая сказанное выше, мы вывели, что касательная
185
17.6 Касательные пучки коник, софокусные коники
д'
\
к конике с фокусами /, /' совпадает с биссектрисой {mf, mf'}.
Применяя теперь 15.4.5 и 9.10.1, мы получаем таким способом
проективное доказательство 17.2.2.2.
17.6.3.6. Теорема Понселе (малая). Полученная выше инволюция
в т* показывает, что если D, D'—две касательные, проведен-
проведенные из т к конике С с фокусами /, /', то {mf, mf) и {D, D'\
имеют одни и те же биссектрисы, которые, кроме того, касаются
коник из ?*, проходящих через т. Этот результат называют
«второй малой теоремой Понселе» (см. 17.2.1.6). Ею можно вос-
воспользоваться, в частности, для того, чтобы доказать вторую
часть 11.9.21.
17.6.4. грейвз улучшает способ садовника. Речь идет о сле-
следующем улучшении 17.2.2.5, принадлежащим Грейвзу (Graves):
пусть задан эллипс С и замкнутая нить, длина которой строго
больше длины С; тогда если охватить С нитью и натягивать
186
Гл. 17. Евклидовы коники
187
17.6 Касательные пучки коник, софокусные коники
ее с помощью иглы, то острие иглы опишет эллипс С, софо-
кусный с С.
Пусть т—точка, в которой нить натянута, и С—эл-
С—эллипс, софокусный с С и проходящий через т (см. 17.6.3.4). Тогда,
как это следует из 9.10.4 и 17.6.3, нить останется натянутой
т
Рис. 17.6.4
в любой точке С. Нужно только проверить, что других точек,
обладающих этим свойством и не принадлежащих С, не сущест-
существует. Но на каждой касательной Т к С имеется ровно две такие
точки (доказывается, скажем, из соображений непрерывности),
а касательная Т пересекает С" в двух точках (см. 14.1.3.4).
Обобщение этого утверждения на случай квадрик см. в работах
[ПО], [224], [225]; см. также 17.2.2.5.
17.6.5. ШАЛЬ ИНТЕРПРЕТИРУЕТ ПОНСЕЛЕ: МНОГОУГОЛЬНИКИ МАК-
МАКСИМАЛЬНОГО периметра, вписанные в эллипс. Речь идет о при-
принадлежащем Шалю варианте утверждения 16.6.11 применительно
к софокусным эллипсам. Но это всего лишь интерпретация, ко-
которая не позволяет дать доказательство 16.6.11 даже в этом част-
частном случае. См. также 9.4.3 и 9.14.33.
17.6.6. ТЕОРЕМА. Пусть С—эллипс и и^З—произвольное целое
число. Среди выпуклых многоугольников с п различными верши-
вершинами, вписанных в С, существует многоугольник с максималь-
максимальным периметром; на самом деле существует бесконечно много
таких многоугольников, а точнее, за одну из вершин такого
многоугольника максимального периметра (ММП) можно взять
любую точку С. Кроме того, все стороны всех ММП касаются
одного и того же эллипса С'п, софокусного с С.
17.6.6.1. Следует хорошо осознать необходимость выпуклости и
различия вершин. Например, если п четно, то вырожденный мно-
многоугольник с п/2 вершинами, совпадающими с вершиной С, ле-
лежащей на большой оси, и п/2 чередующимися вершинами, сов-
совпадающими с другой вершиной С на большой оси, имеет макси-
максимальный периметр, равный 2па (когда уравнение С имеет вид
-а+-|а-—1). Многоугольник с различными вершинами, близкий
к предыдущему, будет иметь периметр, сколь угодно мало отли-
отличающийся от 2па, тогда как периметр ММП намного меньше:
например, для п = 4 он равен 4|/а2 + 62 (см. рис. 17.6.6 и упр.
17.9.6).
17.6.6.2. Выпуклые многоугольники, вписанные в С и имеющие п
различных вершин, образуют подмножество 3* в С". Пусть Р —
многоугольник максимального периметра, принадлежащий замы-
замыканию 3" подмножества 51 в С" (см. 9.4.2.2). Покажем, что Р ? 5*
и что касательные Тт.С к С в точках mt, где (m{)i=i,.. .,„ — по-
последовательные вершины Р, являются внешними биссектрисами
для
,.!, mf/n/+1}. Пусть сначала m(=m/
. . = m,
t mt. Располагая на С точку m'i+p строго между mt и
mi+p+1, мы получили бы многоугольник Р' ? 3" с периметром,
строго большим периметра Р (см. 9.1.1.1). Теперь, поскольку все
вершины различны, биссекторное свойство следует из 9.10.5.
17.6.6.3. Поскольку для ММП выполнено биссекторное свойство,
из 17.6.3.6 вытекает, что стороны любого заданного ММП касаются
одного и того же эллипса С, софокусного с С. Учитывая 16.6.11,
мы видим, что с помощью этого ММП можно получить много-
многоугольники, вписанные в С и описанные около одного и того же
софокусного эллипса С, причем одну из вершин можно распо-
располагать в любой точке С. Но эти многоугольники имеют тот же
периметр, что и порождающий их ММП, в силу 9.10.1 примени-
применительно к каждой вершине этих многоугольников. Остается про-
проверить, что всякий ММП является одним из многоугольников
предыдущего вида. Пусть т?С—одна из его вершин,С"—эллипс,
которого касаются его стороны. Тогда существуют два /г-уголь-
ника с общей вершиной т, вписанные в С, у одного из которых
стороны касаются С, а у другого С". Если С"ФС, то можно,
например, считать, что именно С" заключен между С и С. Из
рис. 17.6.6 видно, что мы пришли к абсурду.
17.6.7. ЗАМЕЧАНИЯ. Из 17.6.6 вытекает существование «-угольни-
«-угольников, вписанных в С и описанных около коник С^ для любого
п Z2s 3. Точное значение к, при котором для заданного п и С с урав-
188
Гл. 17. Евклидовы коники
189
17.7 Особые свойства эллипса
Рис. 17.6.6
нением -^+-|з-—1 =0 коника С'п является эллипсом д2^ +
-\- J —1=0 (см. 17.6.3.3), определяется по формулам Кэли
(см. 16.6.12.4). Предлагаем читателю проверить их для п = 3и
п = 4 (см. также 17.9.6).
17.7 ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА
17.7.1. ЭЛЛИПС КАК ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ОКРУЖНОСТИ.
Ортогональная проекция окружности, лежащей в некоторой пло-
плоскости пространства, на другую плоскость представляет собой
эллипс. В той же плоскости можно из окружности х2 + уг = а1
получить эллипс
применяя аффинное преобразование (х, у)к-»> (х, — У) ¦ Отсюда
удается вывести механический способ построения эллипса при
помощи «бумажной полоски»: если две точки некоторой прямой D
Рис. 17.7.1
движутся по двум ортогональным прямым А, А', то всякая фик-
фиксированная точка D описывает эллипс с осями А, А' (см. также
17.9.14). Именно с помощью этого аффинного преобразования мы
получили построение, представленное на рис. 16.7.3.2.
17.7.2. параметризация. Сказанное выше наводит на мысль
д-2 „2
воспользоваться для эллипса —+ тг—1=0 периодическим па-
параметрическим представлением t*—>(acost, bs'mt). Эта парамет-
параметризация не является «хорошей» в смысле 16.2.9. «Хорошую па-
параметризацию» можно получить отсюда с помощью преобразования
которое в однородных координатах принимает вид 0»
2bd, 1S2)
17.7.3. пример. Если воспользоваться указанной параметризацией,
то точки mi с параметрами /,• (г = 1, 2, 3, 4) будут коциклич-
ными в том и только том случае, когда
ti + ti+ti + ti = O (mod 2я);
они будут основаниями четырех нормалей, выходящих из одной
точки, в том и только том случае, когда величины 0, = tg -^- удов-
190
Гл. 17. Евклидовы коники
191
17.8 Особые свойства гипербол
летворяют условиям
етэ2 + е.е, + е,э4 + э д + вд + ед = о и 0,9,9,9, - -1.
В частности, t1 + t2 + ts + tt = n(mod).
17.7.4. РАЗВЕРТКА. В точке т эллипса С центр кривизны есть
точка касания нормали с огибающей семейства нормалей (назы-
(называемой разверткой, или эволютой С). Если m==(acos/, ft sin 0.
то центр кривизны —это точка ^cos4, —^-sinsf]. Уравнение
Рис. 17.7.4
развертки имеет вид {ах)*'3 +(ЬхJ'3*=с*'3; оно выводится с по-
помощью аффинного преобразования астроиды (см. 9.14.34.3 F)).
Число нормалей к С, выходящих из т?Х, зависит от
положения т относительно этой развертки; оно указано на
рис. 17.7.4. Для точек внутри развертки это число равно 4, для
внешних точек и четырех точек возврата оно равно 2, а на осталь-
остальной части границы—трем.
На том же рисунке показано построение центра кри-
кривизны в точке т, не совпадающее с 17.5.5.4.
17.7.5. ПЛОЩАДЬ и ДЛИНА. Площадь области, ограниченной эллип-
эллипсом il_|_|l_l=o, равна nab (см. 11.8.9.4). Длина эллипса,
равная
2я
не выражается через простые константы. Здесь мы встречаемся
с примером эллиптических функций, которые своим названием
обязаны как раз данной ситуации.
17.7.6. Другие свойства эллипса ем. в 17.9.6, 17.9.11—17.9.15,
17.9.22.
17.8
ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛ
Гиперболу обычно изображают на чертеже вместе с ее асимпто-
асимптотами. Это удобно по многим причинам; одна из них—желание
избежать чертежей, на которых гипербола пересекалась бы с не-
Рис. 17.8.1.1
которой прямой в четырех различных точках (см. 14.1.3.4 и
рис. 17.8.1.1).
17.8.1. Если прямая D пересекает гиперболу С веточках т, т-,
а ее асимптоты—в точках и, и', то '—^— = —g—; в частности,
т _."+"' t если D касается С в точке т. Это свойство позволяет
быстро по точкам построить гиперболу, если известны ее асимп-
асимптоты и одна точка. Именно это свойство касательной использо-
использовалось в построении, представленном на рис. 16.7.3.2.
17.8.2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ. Параметризуем правую ветвь гипер-
гиперболы 4~^г~1==0 ПРИ поммци преобразования t>->(acht,
bsht), а левую—при помощи t>-*¦(— acht, bsht). Читатель
может самостоятельно исследовать аналоги 17.7.3 и 17.7.4 в слу-
случае гиперболы.
192
Гл. 17. Евклидовы коники
193
17.9 Упражнения
Рис. 17.8.1.2
17.8.3. РАВНОБОЧНАЯ ГИПЕРБОЛА (РГ)
17.8.3.1. Мы уже встречались со свойствами таких гипербол
в 17.5.4; в частности, РГ, проходящие через три точки а, Ь, с,
образуют пучок, а геометрическим местом их центров является
окружность девяти точек для треугольника $~ = {а, Ь, с).
17.8.3.2. Для того же самого треугольника $~ всякая асимптота
РГ, проходящей через а, Ь, с, является прямой Симеона для под-
подходящей точки окружности, описанной около $~ (см. 17.4.3.5
или 10.4.5.4), и обратно. Из 9.14.34.3D) вытекает тогда, что
огибающей асимптот для РГ, описанных около аГ, служит гипо-
гипоциклоида с тремя точками возврата.
17.8.3.3. Коцикличные точки. Если полное пересечение окружно-
окружности Г с равнобочной гиперболой С совпадает с множеством CQ Г=
= {(т;, a>j)\i=i, .. ..и (см. 16.5.1) и если р"—центр Г, аа—центр С, то
-У
4 -<--
Отсюда вытекают два следствия. Первое состоит в том, что если
центр Р окружности Г расположен на С и Г проходит через такую
точку т., что а = (т + Р)/2, то Г пересекает С в трех других точ-
точках, образующих равносторонний треугольник. Вторым следствием
является построение центра кривизны, показанное на рис. 17.8.3.
Для того чтобы точки (m,-)i=i 4 гиперболы С были
коцикличными, необходимо и достаточно, чтобы
Х2 „2
где А—одна из асимптот С, ——-^=1—уравнение С.
17.8.4. примечание. Относительно других свойств РГ см. [165].
Рис. 17.8.3
17.9 УПРАЖНЕНИЯ
17.9.1. фокальные ОКРУЖНОСТИ. Назовем фокальной окруж-
окружностью непустой собственной коники С с уравнением q всякую
окружность, уравнение которой имеет вид q + ky2, где ф—неко-
ф—некоторая аффинная форма. Исследуйте возможные случаи при раз-
разных ср. Для трех типов конических сечений начертите разные
7 № 2861
194
Гл. 17. Евклидовы коники
семейства фокальных окружностей. Будут ли сверхсоприкасаю-
щиеся окружности фокальными?
Покажите, что для всякой фокальной окружности Г
существуют такая прямая D (ее директриса) и такое число k, что
С = {т?Х: (степень т относительно T) = k(d(m, D))*\.
Докажите, что верно и обратное. Можно ли доказать это свой-
свойство «по-бельгийски»? Покажите, что если Г, Г'—две фокальные
окружности, то в некоторых случаях
С={т?Х: (степень т. относительно ГI/2 +
-(-(степень т относительно Г'I/2 = const}.
Можно ли доказать это свойство «бельгийским способом»?
Изучите связь между фокальными окружностями и
касательными окружностями к С.
17.9.2. КРУГЛЫЙ БИЛЬЯРД, ПОСТАВЛЕННЫЙ ВЕРТИКАЛЬНО. Тяже-
лый стальной шарик свободно движется внутри вертикального
диска, ограниченного круглым бортом. Пусть шарику сообщается
Рис. 17.9.2
некоторая начальная скорость в нижней точке круга, и пусть
отскоки идеально упруги. При какой начальной скорости движе-
движение шарика периодично? Приведите примеры.
17.9.3. Докажите 17.5.5.6 с помощью выкладок.
17.9.4. Докажите 17.5.5.1 элементарным путем.
17.9.5. Докажите, что окружность Г тогда и только тогда яв-
является гармонически описанной около коники С, когда Г орто-
ортогональна к ортооптической окружности (или прямой) для С (если
195
17.9 Упражнения
этой окружности не существует, то ортогональность понимается
в смысле гл. 20). Рассмотрите случай равнобочной гиперболы и
параболы.
17.9.6. Покажите, что существует бесконечно много прямоуголь-
прямоугольников, описанных около эллипса С и вписанных в его ортоопти-
ческую окружность Г. С помощью соображений двойственности
относительно С выведите отсюда 17.6.6 для случая /г = 4, не
используя 16.6.11.
17.9.7. Если выпуклый многоугольник с п различными верши-
вершинами, вписанный в С, является ММП (и, следовательно, описан
около С'п), то этот многоугольник имеет минимальный периметр
среди всех многоугольников, описанных около С'п.
17.9.8. Исследуйте многоугольник максимальной (соответственно
минимальной) площади среди многоугольников, вписанных в за-
заданный эллипс (соответственно описанных около него).
17.9.9. Пусть С—центральная коника, т?С и р, q—точки пе-
пересечения нормали к С в точке т с осями С. Покажите, что
отношение mp/mq постоянно, и вычислите эту константу. Дока-
Докажите обратное утверждение. Найдите из предыдущего величину
радиусов кривизны в вершинах С.
17.9.10. ТЕОРЕМА ИОАХИМСТАЛЯ. Если рассмотреть основания
четырех пересекающихся в одной точке нормалей к центральной
конике, то окружность, которая проходит через три из этих
четырех точек, пройдет также и через точку, диаметрально про-
противоположную четвертой. См., кроме того, 17.7.3.
17.9.11. ОКРУЖНОСТИ ШАЛЯ. Две точки т, т' описывают кон-
концентрические окружности с равными угловыми скоростями, но
в противоположных направлениях. Какую линию описывает сред-
ttl-\-ttir ^ тт- ^ о о ,
няя точка —^— ? Как это связано с «бумажной полоской» (см.
17.7.1)?
17.9.12. Пусть т, п—две такие точки эллипса С с центром со,
что угол com, со/г прямой (см. 15.7.20). Покажите, что величина
U)
п',
Рис. 17.9.9
Рис. 17.9.12
196
Гл. 17. Евклидовы коники
постоянна. Что представляет собой огибающая пря-
прямотJ '" (tonJ
мых тп>
Пусть а—строго внутренняя точка эллипса С с цент-
центром со, D—прямая, проходящая через а и пересекающая С в точ-
точках т, п, и р?С—такая точка, что сор параллельна D. Пока-
ат- an
жите, что отношение ——-^ постоянно.
Пусть D, D'—две прямые, ортогональные относительно
евклидовой структуры, проходящие через а и пересекающие С
в точках т, п и т', п'. Покажите, что величина 1 ;—,
постоянна. Что представляет собой огибающая прямых тт'1
См. 15.7.9.
17.9.13. Пусть заданы эллипс С и точка m(?C; изучите вид
функции х*-*хт, когда х пробегает С.
17.9.14. ТЕОРЕМА ЛАИРА. Две данные точки на прямой D опи-
описывают две произвольные фиксированные прямые А, Л'. Пока-
Покажите, что всякая фиксированная точка прямой D (кроме двух
данных) описывает эллипс.
17.9.15. Пусть т( (i=l, 2, 3, 4) — четыре коцикличные точки
эллипса С и nt—точка, где окружность, соприкасающаяся с С
в т.;, вновь пересекает С. Покажите, что точки ni тоже коци-
кличны. Сохранится ли это свойство в случае гипербол и парабол?
17.9.16. Покажите, что относительно равнобочной гиперболы с
центром со логарифмическая спираль с полюсом со является своей
собственной полярой, если она касается гиперболы (см. 14.6.4).
Pi>c. 17.9.16
197
17.9 Упражнения
17.9.17. Пусть заданы две равнобочные концентрические гипер-
гиперболы Н и Н'. Для того чтобы существовали треугольники, впи-
вписанные в Я и описанные около Н', необходимо и достаточно,
чтобы фокусы Н были расположены на директрисах Н'.
17.9.18. СВОЙСТВА ПАРАБОЛ
17.9.18.1. Поднормаль. Пусть Р — парабола и т?Р. Нормаль
к Р, проведенная в точке т, пересекает ось Р в точке s, a m
проектируется на ось в точку г. Покажите, что расстояние rs
Рис. 17.9.18
постоянно. Выведите отсюда геометрический способ построения
оси параболы, проходящей через две заданные точки т, т' и
имеющей в этих точках заданные касательные Т, Т".
17.9.18.2. Нормали, выходящие из одной точки (см. 17.5.5.4 и
17.9.10). Покажите, что нормали, проведенные в трех точках
т, т', т" параболы Р, тогда и только тогда пересекаются в
одной точке, когда центр тяжести (т-\-т' +т")/3 принадлежит
оси Р или когда окружность, проходящая через т, т', т", со-
содержит вершину Р.
17.9.18.3. Точка пересечения диагоналей четырехугольника, впи-
вписанного в окружность и описанного около параболы, принадле-
принадлежит ее директрисе.
17.9.19. Рассмотрим две поверхности вращения второго порядка
с пересекающимися осями. Их общие касательные плоскости ка-
касаются третьей поверхности вращения второго порядка, ось
которой находится в той же плоскости, что и оси первых двух
поверхностей. Шесть фокусов этих поверхностей образуют пол-
полный четырехугольник.
17.9.20. Постройте огибающую хорд коники, которые видны из
некоторой точки этой коники под постоянным углом. Разберите
случай прямого угла.
17.9.21. Окружности, которые касаются двух переменных сопря-
сопряженных диаметров эллипса и центры которых лежат на этом
эллипсе, имеют постоянный радиус.
17.9.22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА С ПОМОЩЬЮ ДВУХ СОПРЯЖЕННЫХ
ПОЛУДИАМЕТРОВ. Пусть Оа, Ob—два сопряженных полудиаметра
198
Гл. 17. Евклидовы коники
эллипса С. Покажите, что можно следующим образом найти оси С.
Проведем через а прямую, перпендикулярную Ob, и отложим на
ней по обе стороны от точки а отрезки длины Ob. Получим две
точки и, v, и биссектрисы Ои, Ov будут искомыми осями.
. ц
Рис. 17.9.22
17.9.23. В X задана окружность С и две точки a, b на ней.
Рассмотрим эллипсы Е, которые касаются С, проходят через а
и b и центры которых совпадают с серединой отрезка ab. Пока-
Покажите, что все эти эллипсы обладают одинаковым эксцентриси-
эксцентриситетом.
17.9.24. ПРАКТИЧЕСКИЙ ПОИСК ФОКУСОВ. Зададим конику С в X
ее уравнением f (х, у) = 0 в некотором ортонормированном аффин-
аффинном репере. Покажите, что координаты (а, Р) фокусов С полу-
получаются из условия F (ei, —1, р—eia) = 0, где e = ±l, i = V—1
и F (и, v, w) — 0—тангенциальное уравнение С в проективном
репере, связанном естественным образом с данным репером.
Часть
5
Внутренняя геометрия
сферы, гиперболическая
геометрия, простран-
пространство сфер
Посвящается
Г ее ноле
Глава 18. Внутренняя гео-
геометрия сферы
Глава 19. Эллиптическая и
гиперболическая
геометрии
Глава 20. Пространство
сфер
Глава 18 Внутренняя геометрия сферы
18.8
18.9
Сфера S3: сферический
вариант параллелизма
Клиффорда
Приложения параллелиз-
параллелизма Клиффорда к трех-
трехмерному евклидову про-
пространству, окружности
Вилларсо, паратаксия
18.10 Группа конформных пре-
преобразований сферы (груп-
(группа Мёбиуса)
18.11 Упражнения
18.1 Определения, некоторые
специальные размерности,
карты и проекции
18.2 Общая и алгебраическая
топология сферы
18.3 Сфера как гладкое много-
многообразие. Каноническая
мера
18.4 Внутренняя метрика на
сфере
18.5 Группа изометрий сферы
18.6 Сферические треугольники
18.7 Выпуклые сферические
многоугольники. Лемма
Коши
В евклидовом аффинном пространстве наряду с его подпростран-
подпространствами самыми простыми геометрическими объектами являются
сферы; поэтому естественно, что они встречаются всюду в ма-
математике и различных ее приложениях: навигации, астрономии,
механике. В этой главе мы хотим привести достаточно разнооб-
разнообразные примеры свойств сферы. Несколько раз мы обращаемся
к понятиям, выходящим за рамки нашего элементарного курса
и относящимся к теории интегрирования и дифференциальной
геометрии, и надеемся, что читатель сумеет найти много других
примеров, касающихся этих теорий. Представленные здесь ре-
результаты иногда элементарны, а иногда более сложны, но все они
нам кажутся довольно естественными и наглядными, за исключением
тех, которые изложены в § 18.8 и 18.10; их цель—помочь чи-
читателю перейти в высшие размерности. Упомянутые резуль-
результаты в противоположность гл. 10 касаются внутренних свойств
сферы и не зависят от ее вложения в объемлющее пространство.
Первый параграф посвящен чисто практическим задачам, таким,
как работа со сферометрами и составление карт. Для матема-
математиков здесь интересна стереографическая проекция, которая иг-
играет существенную роль в дальнейшем. Во втором параграфе
при формулировке некоторых тонких результатов о свойствах
сфер (которые сообщаются без доказательства) широко ис-
используются понятия алгебраической топологии. Нам кажется,
что мы потеряли бы многое в описании сфер, если бы не упомя-
упомянули об этих результатах, ввиду их простоты и элегантности,
В § 18.3 сфера рассматривается как гладкое многообразие.
Такая структура позволяет легко построить на сфере канони-
каноническую меру, которая в случае S2 совпадает с мерой, исполь-
используемой при обычных измерениях на поверхности Земли. Ключе-
Ключевую роль здесь играет формула Жирара, согласно которой
201
18.1 Определения, карты и проекции
площадь сферического треугольника равна уменьшенной на п
сумме всех его углов. В § 18.4 определяется внутреннее рас-
расстояние на сфере Sd, совпадающее с длиной кратчайшего пути
на сфере, а не с расстоянием в Ri + 1, не имеющим к сфере
никакого отношения. Исследуются также кратчайшие пути между
двумя точками на Sd—вполне практическая задача. Для того
чтобы работать с этим внутренним расстоянием или (что то же
самое) вычислять углы в астрономии, нужны формулы для сфе-
сферических треугольников. В § 18.6 приведен достаточно богатый
список часто встречающихся формул сферической тригонометрии,
а также упоминаются некоторые практические приложения
этих формул.
В конце главы делается больший упор на математическую сто-
сторону изучения сферы. В начале § 18.7 доказывается тонкая
лемма Коши, которая имела ключевое значение в § 12.8 при
доказательстве теоремы об однозначной определенности выпуклых
многогранников. Затем в § 18.8 проводится достаточно глу-
глубокое исследование геометрии сферы S3. Этот параграф стоило
добавить хотя бы для того, чтобы стали более наглядными сама
сфера S3 и расслоение Хопфа. Введенные здесь структуры на
S3 в действительности являются простым частным случаем более
общих структур, которые встречаются всюду в геометрии, в
дифференциальной и алгебраической топологии. Используя сте-
стереографическую проекцию, мы получаем из соответствующих
свойств сферы S3 весьма наглядные свойства торов вращения
в R3, которые, однако, не так легко доказать.
Группа Мёбиуса, введенная в § 18.10, может вызвать удивление
читателя и показаться ему искусственным объектом. В дейст-
действительности же половина гл. 19, посвященная гиперболической
геометрии, а также вся гл. 20 основана на свойствах именно
этой группы. В § 18.10 изучается естественное действие группы
Мёбиуса на сфере Sd. Помимо того что это действие имеет
собственные интересные геометрические свойства, оно оказалось
полезным средством для получения многих недавних результатов.
Всюду в этой главе S=Sd обозначает единичную сферу в
евклидовом пространстве Rd+1.
*8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ, НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНО-
РАЗМЕРНОСТИ, КАРТЫ И ПРОЕКЦИИ
18.1.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. СФЕРОМЕТРЫ. Все сферы
в евклидовых пространствах одной и той же размерности по-
подобны. Поэтому в этой главе мы будем изучать только стандарт-
стандартную сферу S = Sd в обычном евклидовом пространстве Rd+1. По-
Полученные здесь формулы и результаты легко переносятся на
случай сферы произвольного радиуса.
203
В
18.1 Определения, карты и проекции
ишпшшшшшшшшшшшиишшшпшшшни
Рис. 18.1.1.2
Из книги: Bouasse H. Appareils
de mesure (Delagrave, 1917)
Кратко упомянем важную для практики задачу отыска-
отыскания радиуса «материальной» сферы, например стального шарика
или поверхности оптической линзы. Для этой цели использу-
используется сферометр (рис. 18.1.12). Пусть его основанием служит
равносторонний треугольник со стороной длины а. Если е—рас-
е—расстояние от плоскости основания сферометра до стальной иглы,
то искомый радиус сферы равен R = (а2 -+- Зе2)/6е. Другая модель
сферометра приведена на рис. 18.1.1.3.
18.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
18.1.2.1. Пересечение сферы S с векторным подпространством
размерности k-\-\ в Rd+1 называется большой k-сферой. При
k=l ее чаще называют большой окружностью. Пусть х, у ? S
и у^=±х. Тогда существует единственная большая окружность,
содержащая точки х и у.
18.1.2.2. Пересечение сферы S с каким-нибудь аффинным под-
подпространством размерности ?+1 в Rd+1 называется малой сфе-
182
Le savant Cosinus.
Cosinus mesure, a 3 ou 4 centimetres pres, le diamelre
de I'objel. II trouve qu'il esl egal a 0",30. Sphe'roide n'a
que du dedain pour une operation qui lui semble denuee
de tout interet.
Рис. 18.1.1.3
Из книги: Christophe. L'idee fixe
du savant Cosinus (Armand Colin)
[«Ученый косинус». Косинус
измеряет диаметр предмета
с точностью до 3—4 см и
находит, что он равен 0,3 м.
Сфероид же испытывает лишь
презранне к операции, кото-
которая, ло его мнению, лишена
всякого интереса.)
204
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
рой (малой k-сферой). В случае S2 малые сферы называются
окружностями (или малыми окружностями) сферы S.
18.1.2.3. Точка п с координатами @, ..., 0, 1) называется север-
северным полюсом сферы S, а точка s с координатами @, ..., 0, —1} —
южным полюсом. Большая (d—1)-сфера— пересечение Sd с ги-
гиперплоскостью xd+1 = 0 в Rd+1—называется экватором.
18.1.2.4. Касательной плоскостью к сфере Sd в точке х называ-
называется либо векторное подпространство х-1 в Rd+1, либо аффинная
гиперплоскость, проходящая через точку х в направлении х-к
Касательная плоскость к сфере 5 обозначается TXS (см. 10.7.4
и 18.3.2), а ее элементы называются касательными векторами
к S в точке х. Угол между двумя ненулевыми, касательными
векторами к S в одной и той же точке определим как в 8.6.3.
Его значение принадлежит отрезку [0, я].
18.1.2.5. Естественной топологией сферы 5 является топология,
индуцированная из Rd+1. Других топологий мы рассматривать
не будем.
18.1.3. СФЕРЫ НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
18.1.3.1. Размерность 1. Это окружность S1. Как было пока-
показано, ее можно интерпретировать либо как мультипликативную
группу комплексных чисел, по модулю равных 1, либо как
группу вращений плоскости R2 (см. § 8.3), а еще как вещест-
вещественное проективное пространство размерности 1 (см. 4.3.6,
18.1.4.5 и рис. 8.7.7.7). Окружность снабжена естественной внут-
внутренней метрикой (см. 9.9.8 и § 18.4).
18.1.3.2. Размерность 2. С практической точки зрения такой
сферой является поверхность нашей планеты. С математической
точки зрения это в первую очередь сфера Римана — пополнение
поля комплексных чисел бесконечно удаленной точкой оо: S2seC и
U {оо}. Здесь речь идет не просто о компактификации поля С
по Александрову, а об объедте, на который распространяются
понятия голоморфных, мероморфных, ... функций (см. [51],
с. 95 русского перевода). (См. также [24*]. — Ред.) Так как в
§ 18.10 конформная группа сферы Sd будет подробно изучена
сразу для всех размерностей d, то сейчас мы не будем обсуж-
обсуждать структуру, наследуемую сферой S2 из поля С. Отож-
Отождествление S2 ^ С и \°°\ вытекает из 18.1.4.5. Это дает также
изоморфизм между S2 и проективной комплексной прямой (см.
4.3.6).
18.1.3.3. Размерность 3. Сфера Sa была уже интерпретирована
как мультипликативная группа кватернионов, по модулю рав-
равных 1. По этому поводу см. замечание в 8.9.1. Подробно сферу
Sa мы изучим в § 18.8.
18.1.3.4. Размерность 4. Сфера S4 отождествляется с одномерным
кватернионным проективным пространством (см. 4.9.7).
18.1.3.5. Размерности 6, 7, 15. Сферы этих размерностей обла-
205
18.1 Определения, карты и проекции
дают особыми свойствами благодаря существованию октав Кэли
(см. [191], с. 278, и [17], гл. 3). (См. также [18*]. — Ред.)
Сфера S7 является почти группой: она отождествляется с мно-
множеством октав, по модулю равных 1, в то время как сфера S6 —
с множеством чисто мнимых октав, по модулю равных единице.
Проективная плоскость над октавами приводит к расслоению
сферы S15 над S8 со слоем S7 — обобщению расслоения Хопфа
SS^S* со слоем S1 (см. ниже и 18.8.7).
18.1.3.6. Расслоения Хопфа. Кроме сферы S15 эти расслоения
определены для сфер S2"+1 и Sill+S. Расслоениями здесь называ-
называются отображения
Pn(C) P"(H)
образы которых — комплексные проективные пространства />"(С)
или кватернионные проективные пространства Рп(Н) (см. §4.8).
Полный прообраз каждой точки гомеоморфен S1 (соответственно
S3); его мы пишем у вертикальной стрелки, которая изображает
наше расслоение. В указанных отображениях нет ничего таин-
таинственного: в случае поля комплексных чисел С расслоение Хопфа
совпадает с отображением р: S —>¦ Р (Е), которое уже использо-
использовалось в 4.3.3.2. См. также упр. 18.11.30.
Северный полюс
"/Г*"
Южный полюс
Рис 18.1.4.1
18.1.4. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
18.1.4.1. Стереографическая проекция сферы Sd из северного
полюса п на Rd определяется следующим образом. Отождествим,
как обычно, Rd+1 с RdxR и каждой точке m?Sd\n поставим
в соответствие такую точку / (т) ? Rd, что т, п, f (т) лежат на
одной прямой. Приведенное ниже вычисление показывает, что
/ биективно, a f~x принадлежит классу С°° как отображение
206
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
Rrf —+Sd. Представим точку m?Rd+1 в виде пары (г, t), г ? Rd,
f?R. Найдем такое к?Я, что / {т) = кп-\-{\ — к) т и / (т) 6 Rd'
тогда l = t/(t—\) и
18.1.4.2.
1-
1~*
18.1.4.3. Более общо, назовем стереографической проекцией сферы S
любое отображение /: S\m —>- Я, определяемое аналогично сте-
Рис. 18.1.4.2
реографической проекции из 18.1.4.1, где т — некоторая точка S,
а Я—гиперплоскость, параллельная касательной гиперплоскости
к S в точке т и отличная от нее. Согласно 10.8.2, построенное
отображение f является сужением на сферу S некоторой ин-
инверсии пространства Rd+1 с полюсом в точке т. В частности,
всякая стереографическая проекция сохраняет углы (см точное
определение в 18.1.2.4 или 18.10.3 и 18.11.22) и переводит ма-
fnieo (d—О-сферы из S\m в сферы на гиперплоскости Н (см.
10.8.2).
18.1.4.4. Если / (соответственно g)—стереографическая проек-
проекция из северного (соответственно южного) полюса сферы S" на
R 1 то g°f 1ш. R \ 0 —>- Rd является инверсией пространства Rd
с полюсом в точке 0 и степени 1.
207
18.1 Определения, карты и проекции
18.1.4.5. Стереографическая проекция приводит к следующим
отождествлениям:
(см. 4.3.8).
КАРТОГРАФИЯ
Всюду до конца § 18.1 предполагается, что d = 2 и S =
18.1.5. КАРТЫ
18.1.5.1. Картой на сфере S называется пара (А, /), состоящая
из подмножества Лс5 и инъективного отображения f:A~> R2.
При этом / почти всегда есть гомеоморфизм А на f(A). Например,
стереографические проекции из 18.1.4.3 всегда являются кар-
картами; для них A = S\m. Можно сказать, что не существует
карты, определенной всюду на S, т. е. нельзя построить отобра-
отображение /:S->-/(S)cR2, которое является гомеоморфизмом. До-
Докажем это. Пусть x?S. Согласно предположению и 18.2.6.5,
/ (S\x) — f (S) \ f (x) — открытое подмножество плоскости R2
для любой точки x?S. Но это противоречит тому факту, что
множество f{S), будучи компактом с непустой внутренностью,
должно иметь более одной граничной точки (см., если понадо-
понадобится, 11.2.9).
18.1.5.2. Примечание. Слово «карта» используется в нескольких
смыслах; самый теоретический из них —это пара (А, /), опреде-
определенная выше, а самый практический означает просто лист бу-
бумаги, на котором отпечатана какая-нибудь черно-белая или
цветная карта.
18.1.5.3. Геоид. Сейчас мы будем работать со сферой S, но то,
что мы на самом деле имеем в виду,—это поверхность Земли!
Точнее, нужно говорить о геоиде, т. е. поверхности, которая в
каждой своей точке нормальна к направлению силы тяжести и
проходит через некоторую точку отсчета. Конечно, геоид гомео-
морфен сфере S, но мы не будем их отождествлять, поскольку
нас интересуют здесь не биекции, а такие карты, которые со-
сохраняют метрические свойства и углы на сфере S. Геоид не
изометричен (даже с точностью до некоторого скалярного мно-
множителя) сфере S с канонической метрикой, определенной в§ 18.4.
Сейчас самой подходящей аппроксимацией геоида считают эл-
эллипсоид вращения, у которого большая полуосьравнаа=6378388м,
а малая полуось b = 6 356 912 м и, следовательно, «уплощение»
(о — Ь)/а равно 1/297. Дальше мы будем работать со сферой S,
а не с геоидом. Практически, следовательно, надо будет моди-
модифицировать соответствующим образом все полученные ниже вы-
208
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
воды. Читатель сможет оценить сложность практических вычис-
вычислений в случае геоида, например, в задаче нахождения уравне-
уравнений параллелей и меридианов в поперечной проекции Меркатора
(см. 18.1.8.4).Этими вычислениями всовершенстве владел уже Гаусс.
18.1.5.4. Ссылки на работы по картографии. Изложение, данное
в [69], достаточно общее, но без деталей; в гл. II из [137] оно
уже более математическое, и, наконец, в гл. VI из [166] содер-
содержится много математических результатов о проекциях Ламберта
и MTU (см. 18.1.8.3) —и даже для геоида. (См. также [42*].—
Ред.) Наконец, см. еще [175].
18.1.6. ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ НА ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
18.1.6.1. Для произвольной точки m?S вещественное число
*, От)
называется ее широтой. Множество точек, широта которых
равна нулю,—это экватор. Широта северного (соответственно юж-
южного) полюса равная/2 (соответственно-—n/2).Y\ycTbm<zS\\n,S\;
Гринвич
тс/2
-it/2
Рис. 18.1.6.1
Из книги [15]
тогда долготой точки т называется величина ориентированного
угла 0а, От' между ориентированными прямыми 0а, От', где
а = A, 0, 0), а т' — проекция точки т на плоскость (х, у); эта
величина меняется в пределах от —я до я. Долгота ф(/п) точки
т корректно определена всюду, кроме точек большой полуок-
полуокружности Г, ограниченной полюсами n, s и проходящей через
точку (—'1, 0, 0). Точкам п и s невозможно приписать ника-
никакое значение долготы из отрезка [—я, я], а для остальных то-
точек окружности Г можно считать долготу равной либо я, либо
—я. Полуокружность Г называется линией перемены даты.
209
18.1 Определения, карты и проекции
Картой с географическими координатами называется
пара (S\F, /„), где/0(/п) = (ф(/п), 0(m))€Ra- Ее образом служит
прямоугольник ]—я, я[х]—я/2, я/2[. Отображение т = /0 за-
задается формулами
18.1.6.2. т(ф, Э) = (cos cp cos Э, sin ф cos Э, sin0)?R3.
Кривые, вдоль которых постоянна широта (соответственно дол-
долгота), называются параллелями (соответственно меридианами).
18.1.6.3. Для геоида тоже можно определить (а это, кцнечно,
необходимо) географические координаты. Определение долготы
Рис. 18.1.6.3
трудностей не вызывает. Широтой называется угол между нор-
нормалью и экватором, т. е. широта определяется линией действия
силы тяжести.
18.1.6.4. Практически почти любая карта f на сфере S (или на
земной поверхности) задается не как отображение f, а посред-
посредством отображения § = /от = /о/„-1 (см. 18.1.6.2), которое в коор-
координатах имеет вид
х = ы(Ф, Э), y = v(y, б).
18.1.6.5. Для геоида необходимо выбрать начальный меридиан,
где долгота равна нулю. В качестве такого меридиана выбран
Гринвичский меридиан (см. рис. 18.1.6.1). Одно из его преиму-
преимуществ состоит в том, что соответствующая линия перемены даты
полностью проходит в Тихом океане и тем самым уменьшается
возможность путаницы.
18.1.7. ТРЕБОВАНИЯ К КАРТАМ
18.1.7.1. Будучи занятыми не только теорией множеств, но и дру-
другими делами, например путешествиями, торговлей земельными
участками и мореходством, мы должны уметь по картам измерять
расстояния (в метрике § 18.4), площади (относительно каноничес-
канонической меры 18.3.7) и углы (ем. 18.1.2.4). Пожалуй, самой важной
является проблема измерения расстояний (ноги устают, а бен-
бензин дорожает), поэтому, естественно, мы хотели бы иметь изо-
210
Гп. 18. Внутренняя геометрия сферы
211
18.1 Определения, карты и проекции
метрические карты (с точностью до скалярного множителя),
т. е. такие карты, которые были бы изометриями множества
AcS на /(y4)t=R2, где на А рассматривается метрика, индуци-
индуцированная метрикой сферы 5, а на /(Л) —метрика, индуцирован-
индуцированная из R2. К сожалению, как мы покажем в 18.4.4, ни для
какого открытого множества А на S таких карт не существует.
18.1.7.2. Напротив, существуют конформные (равноугольные)
карты, т. е. такие, которые сохраняют углы (в случае надобно-
надобности см. точное определение в 18.10.3). В качестве примера
можно взять стереографическую проекцию (см. 18.1.4.3). Следо-
Следовательно, таких отображений много, поскольку достаточно взять
композицию стереографической проекции с некоторым локально
конформным отображением плоскости R2, скажем с любой голо-
голоморфной функцией на плоскости C = R2 (см. 9.5.4.3).
18.1.7.3. Равноугольные карты—а они и используются в боль-
большинстве случаев—это не самый худший вариант. Дело в том,
что если (А, /) —конформная карта и т?А, то все длины ин-
финитезимально умножаются на коэффициент k(m), независящий
в точке т от касательного направления. Практически чаще всего
работают с очень малыми областями А на сфере S, и если карта
не является слишком «дикой», то коэффициент искажения k мало
меняется в выбранной области А, и поэтому с необходимыми
коррекциями можно вычислять длины и площади с достаточно
хорошим приближением.
Очевидно, существуют карты, сохраняющие площади;
они называются эквивалентными (или равновеликими) Пример
дан в упр. 18.11.27.
18.1.8. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ КАРТ
18.1.8.1. Примечание. На практике все карты называют проекци-
проекциями по той простой причине, что исторически первые карты
действительно были получены как проекции сферы S на пло-
плоскость из некоторой точки пространства R3, подобно стереогра-
стереографической проекции. В этом смысле понятие проекции можно
обобщить и рассмотреть проекцию на цилиндр («цилиндрические
проекции»; см. упр. 18.11.27). Разворачивая затем цилиндр на
плоскость, мы получим карту в обычном смысле.
Мы сохраним слово «проекция», однако следует иметь
в виду, что часто речь вовсе не идет о какой-нибудь проекции
в пространстве, например для карт Меркатора, которые обсуж-
обсуждаются ниже (хотя бы потому, что в действительности надо ра-
работать с геоидом; см. 18.1.6.3).
18.1.8.2. Классическая проекция Меркатора. Проекция Меркатора
задается (конечно, с точностью до скалярного множителя) отоб-
отображением (ср, Э)|—>(ср, У(Э)) в том смысле, как это объяснялось
в 18.1.6.4, и, кроме того, требуется, чтобы указанное отображе-
отображение было конформным. Это требование однозначно определяет
функцию V. Зададим отображение F формулой
F: (и, v)>—>t;(u, W (v)),
где т — отображение из 18.1.6.2, a W =V~1. Легко проверить,
что векторы частных производных dF/ди, dF/dv удовлетворяют
условиям
~дп dvj ' ||а
Карта такого вида конформна тогда и только тогда, когда W =
= cosW. Решая это дифференциальное уравнение, получим, что
-150-120°-90°-60°-30° 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°
Рис. 18.1.8.2
Проекция Меркатора
W—функция, обратная к первообразной функции th+1/cost-
Отсюда
Другими словами, проекция Меркатора — это единственная кон-
конформная карта, в которой параллели и меридианы представля-
представляются ортогональными прямыми, а экватор отображается изо-
метрично. Там, где коэффициент k, определенный в 18.1.7.3,
меняется мало, построенная карта хорошо приспособлена к прак-
практическим нуждам, и поэтому она часто используется в морской
и воздушной навигации. Действительно, поскольку меридианы и
параллели являются ортогональными координатными линиями
и, кроме того, построенная проекция конформна, то траектория
движения судна или самолета по постоянному курсу изобразится
на нашей карте в виде прямой линии, которую легко провести
при помощи линейки. На практике судно или самолет всегда
212
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
в течение определенного времени придерживается постоянного
курса—для этого рулевой по компасу сохраняет постоянное
направление движения, указанное капитаном.
На сфере траектории такого типа (т. е. кривые, кото-
которые пересекают меридианы под постоянным углом) называются
локсодромами. В координатах (ф, Э) они задаются уравнением
Ь р (о, р € R)-
18.1.8.3. Поперечные и косые равноугольные проекции Меркатора.
Классическая карта Меркатора совершенно непригодна вблизи
полюсов, так как при приближении к полюсам коэффициент k
стремится к бесконечности и, следовательно, очень сильно меня-
меняется от точки к точке. Поэтому задача измерения с достаточной
точностью расстояний и площадей в окрестности полюсов прак-
практически неразрешима. Зато классическая карта Меркатора дает
прекрасный результат вблизи экватора, поскольку коэффициент k
достигает здесь минимума и поэтому меняется мало (изменение
любой функции вблизи экстремума мало).
Никакого труда не составляет построить проекцию Мер-
Меркатора относительно произвольной точки сферы S, поскольку
имеется вращение (и, следовательно, изометрия), переводящее
нашу точку на экватор. Ясно, что параллели и меридианы при
этом изобразятся некоторыми ужасными кривыми, однако в малых
областях они будут почти прямыми линиями. Получение класси-
классической карты Меркатора можно наглядно объяснить так. Опишем
вокруг сферы S цилиндр, касающийся ее по экватору, и спро-
спроектируем S на цилиндр, но так изменяя широту, чтобы проек-
проекция была конформной. После этого развернем цилиндр на плос-
плоскость. Аналогичным образом строится косая проекция Мерка-
Меркатора (поперечная проекция—ее частный случай). Для этого
берется цилиндр, касающийся сферы по произвольной большой
окружности, проходящей через область, карту которой мы строим.
На практике используются также карты, построенные при помощи
цилиндра, который пересекает сферу по двум малым окружно-
окружностям; тогда эти окружности изображаются изометрично. Во всех
случаях речь идет о конформных картах.
В настоящее время во всем мире наиболее употреби-
употребительной является поперечная проекция Меркатора. Она получа-
получается в том случае, если цилиндр, описанный около сферы, каса-
касается ее по меридиану. Раньше эту проекцию называли проек-
проекцией Гаусса; для нее используется сокращение MTU (по началь-
начальным буквам Mercator transverse universal). Ее применяет, напри-
например, федеральная топографическая служба Швейцарии. Если
рассмотреть цилиндр, касающийся сферы вдоль Гринвичского
меридиана (см. 18.1.6.5), то формулы 18.1.6.4 для такой карты
213
18.1 Определения, карты и проекции
Нормальная
проекция
Поперечная проекция
Косая проекция
Рис. 18.1.8.3
примут следующий вид:
18.1.8.4. х=~1п
1 +cos б sin ф
1 — cos 6 sin ф
tge
.Математические вычисления, относящиеся к проекции
MTU, можно найти в гл. II книги [137], где рассматривается
случай сферы. Более сложный, но с математической точки зре-
зрения и более интересный случай геоида изложен в гл. VI книги
[166].
18.1.8.5. Равноугольные проекции Ламберта. Идея состоит в такой
модификации классической проекции Меркатора, чтобы меридианы
и параллели оставались достаточно простыми кривыми на плос-
плоскости R2. Самой простой после ортогональной сетки параллель-
параллельных прямых является сетка из концентрических окружностей и
прямых, проходящих через их центр. Можно сказать, что мы
имеем дело с полярной системой координат (г, а) на плоскости R2.
По аналогии с формулами 18.1.6.4 проекцию Ламберта определим
по формуле
(Ф, Э)|-(г(ф, в) = 2(Э), о(Ф, 6) = 9sin0o),
где Эо—широта параллели, которую мы собираемся исследовать.
Функция S определяется из условия конформности нашей сие-
214
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
темы координат. Рассматриваемая выделенная иараллель отобра-
отображается изометрично. Используя наглядный прием п. 18.1.8.3,
можно сказать, что сфера 5 проектируется на конус, касаю-
касающийся 5 по выделенной параллели, а затем этот конус развора-
разворачивается на плоскость, причем полярный радиус регулируется
некоторой функцией; так чтобы обеспечить конформность. Мери-
Меридианы в этой проекции изображаются прямыми линиями, а па-
параллели—ортогональными им окружностями. Так же как и в
случае проекции Меркатора, можно рассматривать конусы, пере-
пересекающие сферу по двум параллелям.
Современная картография Франции основана на про-
проекциях Ламберта. Вся территория Франции покрывается тремя
картами, каждая из которых охватывает зону в три градуса.
Отношение наибольшего значения коэффициента k (см. 18.1.7.3)
к наименьшему равно 1,001. Если читатель сомневается, он
О
Рис. 18.1.8.5
может убедиться непосредственно своими глазами или при
помощи линейки, что параллели на картах Национального гео-
географического института не являются прямыми линиями.
Что касается математических вычислений, относящихся
к проекции Ламберта, то их можно найти в тех источниках,
которые были указаны в конце 18.1.8.4.
18.1.8.6. Стереографические проекции. Эти проекции использу-
используются не только математиками (см., например, 18.10.2). Они при-
215
18.1 Определения, карты и проекции
меняются при составлении карт полярных областей, а также
карт небесного свода. Стереографическая проекция—конформное
отображение. Меридианы на этой карте изображаются прямыми,
проходящими через образ полюса, а всякая большая окружность,
согласно 18.1.4.3, — в виде некоторой окружности.
Рис. 18.1.8.6
Из книги [133]
Недостаточная точность измерений, предпринятых
в свое время для получения карт Франции, так же как и воз-
возросшие в наше время требования к точности, привели к тому,
что согласование трех систем в проекциях Ламберта, о которых
сказано выше, становится все менее удовлетворительным. Встал
вопрос о том, чтобы сделать единую карту Франции с помощью
одной проекции, а именно стереографической проекции (с полю-
полюсом в Новой Зеландии!).
18.1.8.7. Другие системы. Из предыдущего вытекает, что у лю-
любой карты земной поверхности имеются те или иные недостатки.
Поперечная проекция Лорна,
развернутая на 360°
(модификация Гаммера—Аитова)
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
Экстраполяция (нормальной) Экстраполяция (нормальной)
стереэграфической проекции проекции Постеля
Поперечная стереографическая
проекция, развернутая на 360°
Поперечная проекция Пс/стеля,
развернутая на 360°
(модификация Аитова)
217
18.1 Определения, карты и проекции
Проекция Бриземейстера
Прсекция Сасэна —Флемстида Проекция Мольвейде
Проекция «Атлантика»
Бартоломью
IV проекция Эккерта
Проекция Раиса
Это дало повод для многочисленных оригинальных идей. При-
Примеры карт разного вида показаны на приведенных рисунках,
взятых из книги [69], т. 1.
218
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
Составные звездчатые проекции
Периодическая пр-екция Пирса Компенсированная проекция
Бертена
Надрезанная проекция Гуда
Надрезанная проекция Кайля
18.2 ОБЩАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ СФЕРЫ
18.2.1. предложение. Сфера Sd локально гомеоморфна Rd и, сле-
следовательно, локально связна; кроме того, она компактна. Если
d~^\, то Sd линейно связна.
Первое утверждение вытекает из существования карт:
можно взять, например, стереографическую проекцию (см. 18.1.4).
Сфера Sd компактна, так как это замкнутое и ограниченное
подмножество в Rd+1. Поскольку две произвольные точки Sd
всегда принадлежат по крайней мере некоторому двумерному
векторному подпространству в R<*+1, для доказательства линей-
линейной связности Sd достаточно вспомнить, что S1 связна (см. 8.3.8).
219
18.2 Общая и алгебраическая топология сферы
После изучения свойств связност-и (которые относятся
к общей топологии) исследуем вопрос об односвязности сферы,
т. е. фундаментальную группу я^ (Sd) (это уже алгебраическая
топология). Об этом понятии см. в [245], гл. II. (См. также
[18*], [41*], [7*], [35*].—Ред.) Имеет место следующее утверж-
утверждение.
18.2.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Группа ях (S1) изоморфна Z, а я±Eс() = 0
для всех d^2 (m. e. Sd односвязна при всех а"^2).
18.2.3. Случай d=\ и его приложения см. в книге [15], с. 289
и гл. 9, или в [51], с. 66. (См. также [18*].—Ред.) Пусть теперь
d>2 и Uu = S\n, U1 = S\s, где S—сфера Sd, a n, s—соответ-
s—соответственно северный и южный полюсы (см. 18.1.2.3). Пусть /?
С0 ([0, 1]; S)—замкнутая петля с началом и концом в точке s:
/@) = /(l) = s. Докажем, что она гомотопна нулю. Поскольку
[/„ и 0\ — открытые подмножества в S и S = ?/0(j Ult то для вся-
всякого t ?[0, 1] найдется такое множество Vt?Ot(R), что f(Vt)c
c:U0 или /(V^cl^. В силу компактности отрезка [0, 1], из них
можно выбрать конечное число открытых множеств Vt (i = l, ...
i
..., т), покрывающих /([0, 1]). Выбрасывая, кроме того, лиш-
лишние, можно считать, что если f(Vt)<=U0 (соответственно ?/х), то
f (Vt )c(/j (соответственно Uo). Отсюда получаем такой набор
точек1/,-, 0<^<^<...<^< 1, что f([t(, ti+1])<=U0 или U
при всех i. Если /([/,-, ^-+i])cf/0 или f([th ti+1])cUit но п
^i+i])> то все хорошо и мы ничего не меняем. Если же
Рис. 18.2.3
^+i]). томы заменяем /|г*. t. i новым отображением
[th ^i+i]—'¦'S. которое сейчас построим. Так как f(\th ti+i])с Uг,
то стереографическая проекция fs из южного полюса сферы
индуцирует отображение q = fs°f'- [t;, t(+i]—»-Rd. Выберем про-
произвольную точку w?Rd, отличную от q(tt), q{ti+i) и 0, причем
если 0 принадлежит прямой, проходящей через q(ti) и q(ti+i),
то позаботимся о том, чтобы точка w не принадлежала этой пря-
220
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
221
18.2 Общая и алгебраическая топология сферы
мой; спроектируем теперь q{\th tl+1\) на две полупрямые, опре-
определяемые w и q(ti), q{tl+1). При этом отображение q непрерывно
деформируется в q'\ \th ti+1]—>-Rd, такое что q ([tlt ti+1])^0.
Взяв композицию с /71, мы получим отображение f'f. \th ti+l] —>•
—»-S, которое является непрерывной деформацией /, = /|г* t. ]»
оставляющей неподвижными концы f{tj) и f{ti+i); кроме того,
f'i([t;> и+Л)^п- Собирая воедино все эти деформации, получим
отображение/': [0, 1]—>5, которое является непрерывной дефор-
деформацией отображения /, причем /'@) = /'A) = s и /'([0, 1]) ^ л.
Следовательно, можно рассмотреть образ нашего пути в Rd:
fn°f- [0> I] ~*" Rd- Но Rd односвязно, поэтому /„о/' можно
продеформировать в точку. Следовательно, возвращаясь на сферу
с помощью fn1, мы видим, что /', а вместе с ним и / непрерывно
деформируемо в точку. Это и означает, что сфера S односвязна.
18.2.4. ЗАМЕЧАНИЯ
18.2.4.1. Читатель должен понимать, что доказательство пред-
предложения 18.2.2 нельзя упростить, ибо образ пути /([0, 1]) при
/ ? С0 ([0, 1], S) может совпадать со всей сферой 5 (пример достав-
доставляет кривая Пеано). Основное, что нужно сделать, — это исклю-
исключить одну точку сферы S из образа /([0, 1]), чтобы далее с по-
помощью стереографической проекции можно было перейти к аф-
аффинному пространству. Если бы / было дифференцируемым, то
/([0, 1])=^5, так как в этом случае /([0, 1]) имело бы меру
нуль. Поэтому другой метод доказательства предложения 18.2.2
мог бы заключаться в том, чтобы аппроксимировать непрерывное
отображение / дифференцируемым (см., например, [Ш], с. 17).
18.2.4.2. Доказательство 18.2.3 на самом деле содержит в заро-
зародыше доказательство более общего результата Ван-Кампена
(см. [111], гл. II, или [245], с. 45).
Приведенный далее краткий обзор дается для общей
культуры. Читатель, который заинтересуется этими вопросами,
может обратиться к указанным в соответствующих местах источ-
источникам.
18.2.5. ГОМОЛОГИИ, СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ
18.2.5.1. Некоторым топологическим пространствам (обладающим
определенными свойствами) ставятся в соответствие так назы-
называемые группы гомологии. Это соответствие функториально по
отношению к непрерывным отображениям. Для сферы Sd все
группы гомологии tf,(Sd) тривиальны, кроме Яо (Sd) и Hd(Sd).
Последние две группы канонически изоморфны Z(d>l). В том,
что Но <Sd) ^ Z, нет ничего замечательного; этот факт выражает
только связность Sd. Зато изоморфизм Hd (Sd) ^ Z имеет много
важных приложений, так же как и эквивалентный ему (при d =
= i) изоморфизм jij (S1) ^ Z.
18.2.5.2. Пусть fdC (Sd, Sdyt это отображение, в силу функто-
риальности, индуцирует гомоморфизм групп /„ g Hom(Hd(Sd).
//d(Sd)). Поскольку группа Hd(Sd) канонически изоморфна Z,
можно написать f%(m) = km, где k, mgZ. Целое число k, сопо-
сопоставляемое отображению f?C°(Sd, Sd), называется степенью
отображения / и обозначается deg/.
Степень отображения обладает следующими свойствами:
deg (Id i) = l, deg(—Id rf)«=(—l)d+1; если /--постоянное отобра-
жение, то deg/ = 0; если f и g получаются одно из другого
непрерывной деформацией (т. е. гомотопны), то deg/ = degg; если
отображение / не является сюръективным, то deg/ = 0, и, нако-
наконец, deg(/og) = deg/degg.
18.2.5.3. Следствие. На всякой четномерной сфере Sd любое непре-
непрерывное векторное поле |: хк»| (х) ? TxSd обращается в нуль по
крайней мере в одной точке.
Докажем это утверждение от противного. Пусть \(х)Ф
=?0 для любой точки х g Sd. Нормируя |, построим непрерывное
единичное векторное поле т|:
и продеформируем отображение Id d в — Id d посредством одно-
параметрического семейства отображений
ft: xv^x cos t-\-r\ (x)s'mt, ^?[0, я].
Тогда получается, что deg (Id d)=t deg(—Id d). Но это противоре-
чит тому, что deg(Idd) = l, deg (— Id d
= —1.
18.2.5.4. Доказанное следствие допускает много разных интер-
интерпретаций. Например, оно означает, что на поверхности Земли
всегда найдется такая точка, где скорость ветра равна нулю.
Еще один пример: невозможно гладко «причесать» сферу S2 (так,
чтобы не было «макушек»).
18.2.5.5. При всех нечетных d можно построить на Sd векторное
поле без нулевых точек. Пусть d^>2n—1; достаточно положить
g {Хг, . . . , Xin) =i ( Х2, Хп Xit X3, • ¦ • , ^2ц> ^2n — l) ¦
Для п = 2 построенное таким образом векторное поле есть не что
иное, как поле скоростей вдоль орбит действия, определенного
в 1.2.9 (см. также 1.8.8.1).
18.2.5.6. Следствие. Пусть f?C°(S2n, S2"). Тогда если deg/=?
Ф— 1. то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку,
т. е, существует такая точка x?S2", что f(x) = x. Это имеет
место, s частности, тогда, когда f гомотопно тождественному
отображению (сравните с 18.2.5.3).
Доказываем от противного. Предположим, что f (x) Ф
Фх для всех x?S2:>. Тогда отображение /' = (—Id 3Jo/ обла-
222
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
223
18.3 Сфера как гладкое многообразие
дает тем свойством, что f (х)=?—х Vx?S2n. Поскольку в этом
случае существует дуга единственной большой окружности, сое-
соединяющей х с /' (х), то мы получим непрерывную деформацию
между /' и Id 2п. Следовательно, deg(/') = deg(Id .„). Но, с другой
о о
стороны, deg(/') = deg(/)deg(—Id .„), и мы пришли к против©-
речию.
18.2.5.7. Утверждение 18.2.5.6 можно получить по-другому, при-
применяя весьма общую теорему Лефшеца о неподвижных точках
непрерывного отображения; см., например, [112], с. 224. (См.
также [18*], с. 526—528.— Ред.)
18.2.5.8. Более простое изложение результатов 18.2.5 для диф-
дифференцируемых отображений можно найти, например, в [15],
с. 273. (См. также [30*].— Ред.)
18.2.6. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА—БРАУЭРА. Пусть d^l. Снова при
помощи изоморфизма Hd (Sd) se Z, но уже посредством более
тонких рассуждений можно доказать (см., например, [П2], с. 81)
следующее утверждение.
18.2.6.1. Теорема. Пусть V — подмножество сферы Sd, гомео-
морфное S1*. Тогда Sd\V имеет в точности две компоненты
связности, общая граница которых совпадает с V.
Используя стереографическую проекцию, получаем
отсюда такое следствие.
18.2.6.2. Следствие. Пусть V — подмножество в Rd, гомеоморф-
ное сфере S*. Тогда Rd\V имеет в точности две компоненты
связности, общая граница которых совпадает с V. Одна из них
относительно компактна и называется внутренней частью V.
Другая же компонента не ограничена и называется внешней
частью V.
18.2.6.3. Если d=2, то, по определению, подмножество V,
гомеоморфное S1, это простая замкнутая кривая на плоскости R2,
а утверждение 18.2.6.2 есть не что иное, как теорема Жордана.
В этом самом простом случае (когда d=2) элементарные доказа-
доказательства можно найти в [15], с. 339, или [82], с. 250 русского
перевода. (См. также [13*], [46*]. — Ред.)
18.2.6.4. Из 18.2.6.2 легко выводятся следующие фундаменталь-
фундаментальные результаты.
18.2.6.5. Теорема (об инвариантности области). Пусть U—от-
U—открытое связное подмножество в Яа и /: U —>- Rd—непрерывное
инъективное отображение. Тогда множество f (U) открыто,
а отображение f гомеоморфно (на своем образе).
18.2.6.6. Следствие. Пространства Rd и Rd' локально гомеоморф-
ны только при d=a".
18.2.6.7. Замечания. В ослабленном виде эти утверждения
элементарны. Например, пространства Rd и Rd' локально диф-
феоморфны тогда и только тогда, когда d=a" (см., например,
[15], с. 21) (или [32*], с. 104—105—Рей.). Другой пример:
случаи d=\ или d=2; если U — открытое связное подмножество
в Rd их?[/, то U\x не связно при d=\ и связно при d^2;
далее, U\x не односвязно, если d=2, и односвязно, если d ^ 3.
18.2.7. ТЕОРЕМА БОРСУКА—УЛАМА. Она утверждает, что для
любого непрерывного отображения f: Sd-~>Rd найдется по
крайней мере одна такая точка x?Sd, что f(x)=f(—х). Доказа-
Доказательство см. в [37], с. 337.
18.3 СФЕРА КАК ГЛАДКОЕ МНОГООБРАЗИЕ.
КАНОНИЧЕСКАЯ МЕРА
18.3.1. В 9.12.7 уже говорилось о том, как трудно определить
меру подмножеств «размерности k» в евклидовом пространстве
размерности п, если 2 ^ k < п. Исключением был случай выпук-
выпуклых подмножеств, но и он тем не менее оказался достаточно
деликатным. Вот почему для определения канонической меры
на S мы будем использовать результаты теории интегрирования
и теории гладких многообразий. Однако применять здесь эту
теорию во всей строгости было бы непозволительной роскошью,
тем более что каноническая мера на S используется в нашей
книге только в 12.7.3.1 при доказательстве утверждения 12.7.3,
для которого кстати в 12.7.3.2 дано другое элементарное дока-
доказательство. Вот почему дальнейшее изложено без особых подроб-
подробностей.
18.3.2. Сфера является гладким подмногообразием в Rd+1 класса С.
Действительно, она задается уравнением / = |||2—1 с производ-
производной /' (х) = 2 (х\-), которая всюду на S отлична от нуля. Следо-
Следовательно, согласно 18.1.2.4 (см. [15], с. 56 и 86), касательным
пространством к S в точке х является (f ({х}))'1 @) =х^-. (См.
также [18*], [32*].—Ред.)
18.3.3. Напомним, что TXS есть множество векторов скорости
всех кривых в Rd+1 класса С1, которые лежат на сфере S
и проходят через точку х. Примерами сферических кривых слу-
служат локсодромы, рассмотренные в 18.1.8.2, или сферические вин-
винтовые линии из 9.14.34.3Е) и [15], 8.7.12 и 9.9.6.
18.3.4. ОРИЕНТАЦИЯ. Сфера S допускает каноническую ориента-
ориентацию как граница шара Л @, 1)с Rd+\ где рассматривается кано-
каноническая ориентация пространства Rd+1 (см. [15], с. 182). (См.
также [18*]. — Ред.) По-другому ориентацию на S можно опре-
определить с помощью дифференциальных форм. Канонической формой
объема на S называется сужение на S дифференциальной формы
d+i ^^
сг=2 (—l)'~1xidx1 а ... л dxt л ... л dxd+1
»= 1
степени d, заданной в Rd+1. Дополним d векторов, касательных
к S, единственным ортогональным к ним вектором. Тогда зна-
224
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
чение формы а на заданных d векторах совпадает со значением
канонической формы объема a = dx1 л. . . Adxd+1 в Rd+1 на пост-
построенном (d-f- 1)-векторе. Для сферы S2 имеем o = xdyAdz +
+ ydz Adx-\-zdx Ady (все это можно найти в [15], с. 173). Си-
Система географических координат на сфере S2, описанная в 18.1.6.1,
•положительна х) (см. [15], с. 174) в этой ориентации, так как
18.3.5. т*ст = cos Э dtp л dQ (Э?]—я/2, я/2[).
18.3.6. Форма а является канонической потому, что она корректно
определена на S и, кроме того, инвариантна относительно группы
О (d-f- 1) = Is(S) (см. § 18.5). Впрочем, всякая дифференциальная
форма степени > 0 на S, которая инвариантна относительно Is E),
пропорциональна а.
18.3.7. КАНОНИЧЕСКАЯ МЕРА
18.3.7.1. Рассмотрим наводящие соображения. Касательное про-
пространство к сфере S в каждой ее точке является ориентирован-
ориентированным евклидовым пространством и поэтому обладает канонической
мерой. Остается лишь проинтегрировать ее в некотором подхо-
подходящем смысле. Например, пусть ft: U—^Rd+1—некоторая карта
на сфере S, а /—функция на S с носителем в (/. Определим
интеграл функции / на сфере S формулой
\ (/o/i)|/G
и
ram
dh/dud) du1 .. .dud.
где кратный интеграл берется по мере Лебега в Rd. Квадратный
корень, стоящий под-знаком интеграла, согласно 8.11.6, является
«инфинитезимальным объемом» в касательном пространстве
к сфере. Можно проверить, что так определенный интеграл ин-
инвариантен относительно замены карт. Чтобы покрыть всю сферу S,
требуется несколько карт, поэтому для построения полной тео-
теории интегрирования надо использовать разбиение единицы.
18.3.7.2. Другой метод, в сущности эквивалентный предыдущему,
заключается в использовании теории интегрирования дифферен-
дифференциальных форм на ориентированных многообразиях. Канониче-
Каноническую меру на 5, определенную дифференциальной формой о, мы
будем обозначать (не совсем законно) также через а. Тогда ин-
интеграл от функции /, заданной на сфере S, определяется как
интеграл ] /а от дифференциальной формы fa по сфере S
s
(см. [15], с. 205, 234). Географические координаты определены
почти всюду на S, поэтому, согласно 18.3.5 (и [15], с. 209—211),
Иначе говоря, ориентация сферы как границы шара совпадает с ее ориен-
ориентацией, полученной при помощи географических координат. — Прим. ред.
225
имеем
18.3.7.3.
18.3 Сфера как гладкое многообразие
/(cos9cosq), cosSsincp, sin 0)cos0dcpd0.
18.3.7.4. Примечание. Мера а на 5 по самому ее построению
инвариантна относительно группы Is E). С точностью до скаляр-
скалярного множителя это единственная мера на S, инвариантная от-
относительно Is (S). Для доказательства можно воспользоваться
методом, указанным в 2.7.4.4: продолженная мера и здесь не-
непрерывна в х, поскольку в группе Is(S) есть подгруппы, не-
непрерывные в направлениях, порождающих в совокупности каса-
касательное пространство TXS, и это верно для любой точки х ? S.
18.3.8. ОБЪЕМЫ
18.3.8.1. Объемом замкнутого множества DcS на сфере 5 назы-
называется \ %Da, где Хо—характеристическая функция множества D
s
Рис. 18.3.8
226
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
227
18.4 Внутренняя метрика на сфере
(если d = 2, то говорят о площади D). Полный объем a(d+l)
сферы Sd можно найти в 9.12.4.8.
18.3.8.2. Часть сферы, заключенная между двумя большими по-
полуокружностями, пересекающимися под углом а в концах ±/п
одного и того же диаметра (см. 18.1.2.4), называется сферическим
двуугольником. В этом случае
18.3.8.3. пл(О) = 2а.
Рассмотрим на 5 географические координаты, для
которых точки ±т являются южным и северным полюсами.
Согласно 18.3.7.3,
а я/2 a
О -л/2 О
18.3.8.4. Формула Жирара A625 г.). Площадь сферического тре-
треугольника с углами а, р, у равна a + P+Y—я-
Относительно определений, касающихся сферических
треугольников, см. § 18.6. Пусть х, у, г — вершины треугольника,
а а, р, у—соответствующие углы. Пусть, далее, D — полусфера,
содержащая точку х и ограниченная большой окружностью, про-
проходящей через у, z (см. 18.1.2.1). С точностью до множества
меры нуль D является объединением четырех своих подмножеств
Т, А, В, С, гдеГ—рассматриваемый треугольник (см. рис. 18.3.8).
Как видим, T(jB (соответственно ТUС)—сферический двууголь-
двуугольник с углом Р (соответственно с углом у); далее, подмноже-
подмножества ТцА и Ли(—Т) имеют равные площади, но последнее
множество представляет собой сферический двуугольник с углом а.
Следовательно, трижды применяя формулу 18.3.8.3, получаем
2я = пл (D) = пл (Т) + пл (А) + пл {В) + пл (С) =
= пл (Т) + [2а—пл G)] + [2р—пл (Г)] + [2? — пл G1)].
18.3.8.5. Следствие. Площадь выпуклого сферического п-угольника
(см. § 18.7) с углами а,-(г = 1, ..., п) равна
п
пл(Р) = 2 а;—{п—2) п.
Доказательство ничем не отличается от 10.5.2.
18.3.8.6. Примечания. Формула 18.3.8.4 в действительности яв-
является частным случаем общей формулы Гаусса—Бонне, спра-
справедливой для любого двумерного риманова многообразия: пусть
Т—треугольник, стороны которого являются отрезками геодези-
геодезических, и а, Р, у—ег0 углы; тогда а + р + у—я = J Ко, где
т
К — гауссова кривизна многообразия, а а—каноническая мера.
В нашем случае гауссова кривизна единичной сферы S тождест-
тождественно равна 1. В гиперболической геометрии (см. 19.5.4) пло-
площадь треугольника с углами а, р, у равна я—а—р—у в соот-
соответствии с тем, что гауссова кривизна гиперболической плоскости
тождественно равна —1. Для евклидовой плоскости, гауссова кри-
кривизна которой равна нулю, мы снова приходим к 10.2.4. Ссылки см.
в 12.7.5.2. Формула Жирара, в частности, показывает, что если в
треугольнике Г все углы являются рациональными кратными л
(т. е. принадлежат множеству яО), то площадь этого треугольника
также принадлежит яО. Вычисление объема сферического симп-
симплекса в Sd (d ^ 3) по известным его углам (естественное обобщение
углов сферического треугольника) является очень трудной зада-
задачей. Недавно Чигер и Саймоне высказали предположение, что
в размерности d ^ 3 на сфере Sd существует симплекс, для ко-
которого углы принадлежат nQ, а объем не принадлежит яО.
Как мы уже отмечали в 12.11.4.3, можно поставить
задачу распространения на сферу Sd изопериметрического нера-
неравенства вида 12.11.1.
18.4 ВНУТРЕННЯЯ МЕТРИКА НА СФЕРЕ
18.4.1. Здесь мы будем пользоваться обозначениями из §9.9.
В 9.9.4.3 мы уже видели, что расстояние на S, индуцированное
Rd+1, неудобное: оно не является ни превосходным, ни внутрен-
внутренним. Но п. 9.9.8 подсказывает нам выход: если для х, у? S по-
положить ху = arccos[(x\у)], то имеет место следующее утверждение.
18.4.2. ТЕОРЕМА. Отображение —: SxS—>-[0, л] определяет на S
метрику, которая является превосходной и, следовательно, внут-
Рис. 18.4.2
ренней. Эта метрика индуцирует на S ту же самую топологию,
что и Rd+1 с его естественной топологией. Пусть х, y?S. Если
уф — х, то найдется единственный кратчайший путь, соеди-
соединяющий х с у. Это дуга большой окружности, проходящей через
х и у (см. 18.1.2.1 и 8.7.5.4). Если у = — х, то кратчайшие
пути из х в у—это большие полуокружности с концами х, —х.
Метрика — на S называется внутренней. Никаких других мет-
метрик на S мы рассматривать не будем.
228
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
229
18.5 Группа изометрий сферы
Очевидно, что из ху = 0 вытекает равенство х = у и,
кроме того, ху = ух. Неравенство треугольника вытекает из
18.6.10, если х, у, г не лежат в одной плоскости, проходящей че-
через начало координат. В противном случае это неравенство вы-
вытекает из 9.9.8.1. Утверждения, касающиеся кратчайших путей,
и то, что построенная метрика является превосходной, выте-
вытекают из 18.6.10 и 9.9.8.1.
Другое доказательство неравенства треугольника см.
в 18.11.13.
18.4.3. ПРИМЕЧАНИЕ. Внутренняя метрика на 5 совпадает с мет-
метрикой d, полученной из Rd+1, как описано в 9.9.7.1. Доказа-
Доказательство этого утверждения мы предоставляем читателю в ка-
качестве упражнения: см. 18.11.26.
18.4.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (невозможность изометрических карт).
Пусть U — произвольное открытое множество на сфере S. Не
существует изометрического отображения f: U —»- Rrf, т. е. ото-
отображения, удовлетворяющего условию d (/ (х), f (у)) = ху Vx, у ?U.
М'
Рис. 18.4.4
Заметим сначала, что если х, у,
висимы, то множество
линейно неза-
незаявляется большой (d—2)-сферой, которая ортогональна большой
2-сфере NcS, содержащей точки х, у, г. Пусть точка t?Mf\N
лежит на полусфере, определяемой х, у, г. Тогда (см. 18.6.8 и,
например, 18.11.6)
18.4.4.1. Ъ=*\пЦхт:
Пусть теперь U—открытое подмножество в S. Согласно
18.6.10, найдутся такие линейно независимые точки х, у, z?S,
что ху = yz = zx. Основные тригонометрические формулы из 18.6.13
позволяют выразить |3 = xt =yt =zt как функцию отxy=yz=zx=a
и получить, что a<j/|3. Обозначим теперь через х', у', г',
/', т', М' образы х, у, г, t, m, M при отображении f. Если
предположить, что /—изометрия, то \х', у', z'\—равносторон-
z'\—равносторонний треугольник в Rd, сторона которого равна а. Далее,
M' = ^6Rd: d(v, x') = d(v, y') = d(v, z')\.
Так как / — изометрия, то точка V удовлетворяет условию
d(x', t') = 'ml \d(x', v): v?M'\, ибо аналогичному условию удов-
удовлетворяет точка t. Но в случае пространства Rd элементарно
проверяется, что такая точка V—это центр треугольника
\х', у', г'\. Значит, d{x', y') = \/d(x', t')\ но d(x', t')=xt = \J),
откуда a=sl/|3, что противоречит полученному выше строгому
неравенству.
18.4.5. ЗАМЕЧАНИЯ. Предложение 18.4.4 можно было бы вывести
из 18.4.7. С другой стороны, его можно получить, если провести
исследование, подобное тому, которое требуется для решения
упр. 18.11.7. Кроме того, приведенное доказательство основано
на одной задаче минимизации расстояния.
Примеры карт, обладающих различными, но более
слабыми свойствами, чем изометричность, приведены в 18.1.5.
18.4.6. МЕДИАТОРЫ. Согласно 8.3.11 и 9.7.5, для х, у gS с х^=у
множество {z^S; гх=*гу\ является большой (d — 1)-сферой в S.
Для k линейно независимых точек геометрическим местом равно-
равноудаленных от них точек служит большая (d+1—&)-сфера в 5.
18.4.7. ХАРАКТЕРИСТИКА СФЕРЫ ЧЕРЕЗ ЕЕ МЕТРИКУ. Речь идет
о задаче для пространства (Sd, —), аналогичной той, которая
была поставлена в 9.7.4 для евклидова пространства; ответ на
этот вопрос положительный. Подробное изложение можно найти
в работе [24], гл. VII (а также [16].—Ред.). Прямое утвержде-
утверждение приводится в упр. 18.11.14, откуда получается другое до-
доказательство предложения 18.4.4.
18.5 ГРУППА ИЗОМЕТРИЙ СФЕРЫ
18.5.1. После того как на S задана метрика, первейшая задача—
рассмотреть группу изометрий Is (S). Априори нужно изучить
две группы Is(S, —) и Is (S, d), но, согласно 8.3.11, эти две
группы совпадают, поэтому можно писать просто Is E). С дру-
другой стороны, в силу 9.8.2, группа ls(Sd) совпадает с группой
Issd(R"+i) = </els(Rd+1): f(S) = S}.
Наконец, ортогональная группа O(d+1) лежит в Issd(Rrf+1).
В действительности эти группы совпадают. (См. [32*].—Ред.)
18.5.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Операция сужения О (<i -J- 1) на Sd задает
изоморфизм групп ls(Sd) и O(d-f-l).
230
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
Пусть /€ls(Rrf+1); достаточно доказать, что/@) = 0
(см. 9.1.3). Наша идея заключается в том, что равенство d (х, у) = 2,
х, У €.Sd> характеризует диаметрально противоположные точки:
у=* — х. Пусть х ?Sd—произвольная точка, такая что d(f(x),
f(—x)) = d(x, —x) = 2. Тогда f{—x)=—f{x), и так как
/—аффинное отображение (см. 3.5.1), то
f @) = / (х+(— *) \ _ /(*)+/(—*) _ о
18.5.3. ОБОЗНАЧЕНИЕ. Сужение группы 0+(d + l) на сферу S
будем обозначать через Is+ (Sd), а группы О~ (d-t-1)—через
Is" (Sd) (см. 8.2.1).
18.5.4. ЗАМЕЧАНИЕ. Определим на S ориентацию в каком-нибудь
разумном смысле; тогда Is+ (S) — группа изометрий, сохраняющих
эту ориентацию (см. 18.3.4).
Группа Is (S) и даже Is+ (S) достаточно велика в том
смысле, что она является 2-транзитивной группой преобразований.
18.5.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ B-транзитивность). Пусть заданы произ-
произвольные четыре точки х, у, х', у'&S, удовлетворяющие условию
ху = х'у'. Тогда найдется такое отображение /gls(S), что
f(x) = x' и f(y) = y\
По этому поводу см. 9.1.7.
Инфинитезимальным вариантом предложения 18.5.5
является следующее утверждение.
18.5.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть х, х' gS и \ ? TXS, ?' ? TX'S, причем
IIII = 11 I'll- Тогда найдется такое отображение /gls(S), что
f~(x)=x' и /'(!) = ?', г&е f обозначает касательное отображение
(или производную) для f: Rrf+1—>-Rd+1. Другими словами, группа
Is (S) действует транзитивно на единичных касательных векто-
векторах к сфере S.
В случае d = 1 или 2 предложение 18.5.5 можно уточнить.
18.5.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть х, у, х', у'G.S1—произвольные
точки, такие что 0 < ху = х'у' < я; тогда найдется единствен-
единственное отображение f g Is (S1), такое что f (x) = х' и f (у) = у'. Пусть
х, у, х', у' gS2-—произвольные точки, такие что ху = х'у' < я;
тогда найдется единственное отображение f ? Is+ (S2), такое что
f) x' и f(y) = y'.
Наконец, следующий результат утверждает единствен-
единственность метрики на сфере S, инвариантной относительно груп-
группы Is (S).
18.5.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть б — некоторая метрика HaSd, ин-
инвариантная относительно группы Is (Sd) = 0 (d-\-1). Тогда най-
найдется такая инъекция ср: [0, я]—* R, что Ь(х, у)=ц>(ху)Ух,
y?S. Если, более того, б—внутренняя метрика, то найдется
такое &6R+, что б(х, y) — kxy Vx,
231
18.5 Группа изометрий сферы
Утверждения 18.5.5, 18.5.6 и 18.5.7 легко следуют
из 8.1.4 и 8.2.7. Для доказательства первой части 18.5.8 фикси-
фиксируем х g S и выберем для любого г ? [0, п] такую точку у g S,
что ху = г. Положим ф (r) = (i(x, у). Тогда б (и, о) = <р (uv) Vm, v$S-
В самом деле, если uv = r = xy, то найдется такое отображение
/б IsE), что f(x)=*u, f{y) — v (см. 18.5.5), откуда
8 (и, »)=6(/(х), Ш)-6(лс, у)-ф(г)=»ф(йо).
Доказательство второй части 18.5.8—более деликатное
дело. Разобьем его на несколько этапов.
18.5.8.1. Для любых г, s, t?[0, я/2], таких что r + s€[°. и],
г > s и t € [r—s, г -Ь s], имеем ф (t) < ф (г) + ф (s). Действительно,
согласно 18.6.10, найдутся такие х, у, z?S, что ху =¦ г, xz = s
и yz=*t, и, следовательно,
бA/, z)<6(x, у) + Ь(у, z) = q>(
18.5.8.2. Функция ф непрерывна. Соотношение 18.5.8.1 показы-
показывает, что достаточно проверить непрерывность ф в нуле. По-
Рис. 18.5.8.1
Рис. 18.5.8.3
скольку б — внутренняя метрика, по определению long (/) (см. 9.9.1)
существует по крайней мере одна кривая /, спрямляемая в б-
метрике; следовательно, найдутся такие х, у $S, что расстояние
8 (х, у) будет сколь угодно малым, а потому и соответствующие
значения функции ф (t) также будут сколь угодно малыми. Но из
18.5.8.1 следует (если положить r=s), что ф («)^С2ф(/)Уы?[0, 2/];
это и доказывает непрерывность ф в нуле.
18.5.8.3. Утверждается, что для всякогох €[0, я] найдется ^€]0,1],
при котором
Докажем это от противного. Если для всякого п ? N*
найдется такое s?jO, 1/raJ, что ф (sx) < s<p(x), то, применяя
232
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
несколько раз 18.5.8.1, получим, что ф (ksx) <! fescp (х) для всех
не слишком больших fc?N. Но ср непрерывно, a Q всюду плотно
в R, поэтому ф (tx) <1 (ц> (х) для любого / 6 [0, 1]. Пусть теперь
"€]0| х[ и ф (ы) < — ф(х). Из 18.5.8.1 получаем искомое проти-
противоречие:
Ф (х) = ф (и + (х—и)) < ф (ы) + ф (х—и) <
18.5.8.4. Отношение ц>(х)/х имеет конечный предел k при х—>0.
Согласно 18.5.8.3, при х—»-0 либо ц>(х)/х—*k, где fe?R, либо
Ф (х)/х—>¦ оо. Последний случай невозможен. Действительно, пусть
/ — некоторая б-спрямляемая кривая; тогда, согласно 9.9.1, было
бы long6 (/) ^ Л7 long- (f) для всех Л'> 0, что дает противоречие,
поскольку
long,, (/) > 0.
Теперь, используя определение 9.9.4.4 и применяя метод дока-
доказательства 18.4.3, получаем, что кривые, спрямляемые относи-
относительно б, будут спрямляемыми относительно —, и обратно.
Кроме того, longs (/) = &long_(/). Поскольку 6 —внутренняя мет-
метрика, то тем самым доказано, что б (х, y)=kxy Vx,y?S
(см. 9.9.4.4).
18.5.8.5. Замечания. Из 18.5.8 вытекает, что метрика — дейст-
действительно является для S «хорошей» метрикой и остается «хоро-
«хорошей» при умножении на скаляр. Отметим, впрочем, что доказа-
доказательство единственности было бы нетрудным, если бы на сфере S
мы искали только римановы метрики, инвариантные относительно
Is (S), ибо, как показывает 18.5.6, группа O(d+ 1) транзитивно
действует на единичных векторах, касательных к сфере S, и,
следовательно, все эти римановы структуры пропорциональны.
18.5.9. Рассмотрим группу изотропии для Is(S) (см. § 1.5).
Имеем lsx(Sd) = Ox{Rd+1) и, следовательно, IsxE) изоморфна
группе О (d).
18.5.10. Конечные подгруппы групп Is (S1) и Is (S2) перечислены
в 1.8.2. Классификация конечных подгрупп группы Is (Sd)—это
более сложная тема, и читатель должен обратиться к гл. III
книги [243].
18.6 СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
18.6.1. Целью настоящего параграфа является изучение сфери-
сферических треугольников на сфере S2 или, что то же самое, триэд-
триэдров в евклидовом пространстве размерности 3 (под триэдром по-
понимается геометрическая фигура, образованная тремя лучами,
исходящими из одной точки). В частности, сферическая тригоно-
233
18.6 Сферические треугольники
метрия изучает соотношения между шестью величинами: тремя
плоскими углами и тремя двугранными углами триэдра. Такие
соотношения играют фундаментальную роль в астрономии, нави-
навигации (авиационной и морской), механике. Такие приложения мы
будем указывать по ходу изложения. Более общо, можно было
бы изучать геометрический объект из трех точек на сфере Sd (d^3),
но этот вариант легко сводится к предыдущему, если рассмот-
рассмотреть большую 2-сферу, проходящую через три данные точки.
Напротив, фигура, состоящая из d-fl точек на Sd, представляет
важный объект исследования в каждой размерности. При этом
случай d^S оказывается намного труднее, чем d = 2. По этому
поводу мы отсылаем читателя к [66], с. 247; там же можно найти
дальнейшие ссылки. Пример нерешенной проблемы, наглядно
показывающей различие в уровне трудности между случаями
d = 2 и ОЗ, можно найти в 18.3.8.6.
18.6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тройка (х, у, г) линейно независимых точек
на сфере S2 называется треугольником на S = S2 или сфериче-
сферическим треугольником; здесь линейная независимость понимается
Рис. 18.6.2
в смысле соответствующего векторного пространства R3. Сфери-
Сферический треугольник будет обозначаться Ос, у, г>.
18.6.3. Не опасаясь путаницы, сферическим треугольником с вер-
вершинами х, у, г мы будем также называть соответствующую часть
сферы, естественным образом связанную g треугольником <х, у, г>
(см. 18.3.8.4).
18.6.4. На рис. 18.6.2 видно, что двугранные углы триэдра
[Ох, Оу, Ог\ равны углам между соответствующими единичными
векторами, касающимися в вершинах треугольника <х, у, г> дуг
больших окружностей, определяемых точками х, у, г. Это оправ-
оправдывает введение следующих обозначений и понятий. Пусть х,
у—два линейно независимых вектора на S2 (более общо, в про-
234
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
извольном евклидовом пространстве); положим
18.6.5. ху = Ц\Ц, где К = у — {х\у)х.
Таким образом, ху — второй вектор, получающийся применением
ортогонализации по Шмидту (см. 8.1.4) к паре {х, у), если х
считать первым вектором. Кроме того, ху—единичный вектор,
'¦*•„
Рис. 18.6.5
касающийся в точке х корректно определенной дуги большой
окружности с началом в л; и концом в у. Наглядно ху можно
представлять себе как вектор из пространства TXS.
18.6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ. Пусть <х, у, гу—сфериче-
гу—сферический треугольник. Точки х, у, г называются его вершинами.
Сторонами треугольника <х, у, г> мы называем либо корректно
определенные дуги больших окружностей, проходящие через (х, у),
{у, г) и (г, х), либо длины этих дуг, т.е. числа a = yz, b = zx,
с = ху. Углы треугольника <х, у, г>—это неориентированные
углы между векторами:
Р = 6У/* = arccos {(уг | ух)).
следовательно, они принадлежат интервалу ]0, л[.
18.6.7. По аналогии с треугольниками на евклидовой плоскости
можно надеяться, что любые три из шести величин а, Ь, с, а,
Р, у выражаются через остальные. Наводящие соображения, кото-
которые в 18.6.13.10 будут приведены в надлежащую форму, состоят
в том, что если величины а, Ь, с заданы, то у и г определены
235
18.6 Сферические треугольники
однозначно с точностью до изометрии. Точнее, пусть заданы х,
хи==и> хг = и> гДе «I v?TxS и uv = a; тогда_ точки у, z одно-
однозначно определены, если известны длины Ь = хг, с~х~у дуг боль-
больших окружностей с началом в точке х, касающихся векторов и
Ху
и V. Если это же построение выполнить в точке х' при условии,
что и', v' ?TX'S и u'v' = uv — a, то найдется изометрия, перево-
переводящая^ в х' и и, v в и', v', а, ^следовательно, у, г в у', г', от-
откуда уг = у'г'. То, что длину а = уг можно явно выразить в виде
функции от а, Ь, с, будет видно из вычислений, проведенных
при доказательстве 18.6.8. Вся сферическая тригонометрия покоится
только на двух следующих ключевых фактах: формуле 18.6.8 и
понятии двойственности, определяемом полярным соответствием
треугольников (см. 18.6.12).
18.6.8. предложение (основная формула сферической тригоно-
тригонометрии). Для любого сферического треугольника имеет место
Рис. 18.6.8
с оотношение
cos a =a cos b cos с -{• sin b sin с cos a
236
Далее, (
поэтому
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
237
18.6 Сферические треугольники
Положим
хи, v = xz. Тогда
i/ = xcosc + «sinc, z = xcosft-f usinft.
|o) = cosa по определению угла a и (x\u) = (x\v) = l
cos a = (y | z) =* (x cos г -\- и sin с | д; cos b +'» sin ft) =
= cos ft cos с + sin ft sin с cos a.
18.6.9. СЛЕДСТВИЕ. Пусть в сферическом треугольнике стороны Ь,
с фиксированы; тогда третья сторона а как функция угла a
является строго возрастающей.
Отметим, что интервал изменения этой функции не
всегда совпадает с [|ft—с\, Ь + с], поскольку нет никакой при-
причины для того, чтобы ft + c€]0, я[. Например, в случае ft = c>
> л/2 указанный интервал изменения есть ]0, 2я—2Ь[. Следую-
Следующее утверждение дает точную оценку длины третьей стороны
треугольника.
18.6.10. СЛЕДСТВИЕ. Для любого сферического треугольника имеем
\b'—c\<a<b + c, а + Ь + с<2л.
Обратно, если даны такие три числа а, ft, с из ин-
интервала ]0, л[, что \b—c\<a<b + c и а + Ь + с<2л, то най-
найдется сферический треугольник, стороны которого равны а, Ь, с.
х
Рис. 18.6.10
Этот треугольник определен однозначно с точностью до изо-
метрии.
Согласно 18.6.8 и поскольку косинус угла по модулю
меньше 1 (случаи 0 или я исключаются в силу определения 18.6.2),
имеем
cos a — cos b cos с
sin b sin с
что эквивалентно неравенству cos (ft + с) < cos a < cos (ft—с). Для
a, ft, сё]0, я[ отсюда следует, что а<& + с<2я—а. Значит,
a-{.ft-1-е < 2я, и циклическая перестановка дает ft <.c-\-a, c<a+b,
поэтому \Ь—с\<а. Обратно, пусть а, Ь, с удовлетворяют нашим
двум условиям и, следовательно, |(cosa—cos6cosc)/sinbsinc| < 1.
Тогда найдется такое а ё]0,п[, что cos a=cosfecosc+sin ft sin с cos a.
Возьмем произвольную точку х ? S (рис. 18.6.7) и такие и, v ? TXS,
что |м| = ||»||— 1 и uv = a. Выберем у, z как описано в 18.6.7.
Тогда, согласно 18.6.8, ~yz = a. Единственность нашего треуголь-
треугольника вытекает из 18.6.13.10.
18.6.11. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Формула 18.6.8 имеет мно-
многочисленные практические приложения. Большая часть приве-
приведенных ниже формул используется в астрономии (см. [70]). В нави-
навигации используются «высотные линии»; см., например, [5], с. 379—
386. Формула 18.6.8 объясняет поведение на поворотах первых
моделей автомобиля 2CV Citroen; см. 18.11.16. Наконец, в чистой
геометрии сферическая тригонометрия недавно стала применяться
в исследованиях по римановой геометрии (см., например, [117],
§ 6). Следствие 18.6.9 будет существенно использовано при дока-
доказательстве леммы Коши в § 18.7.
18.6.12. ПОЛЯРНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Пусть <х, у, г>—сферический
треугольник; рассмотрим точку х' 6 5, которая является полюсом
для большой окружности, проходящей через вершины у и г, и
находится с той же стороны от нее (т. е. в той же полусфере),
что и вершина х. Другими словами, точку х' ищем из следую-
следующих трех условий:
(x'\y) = (x'\z) = 0 и (х'|«)>°
(случай (х'\х) = 0 исключен в силу определения 18.6.2). Отсюда
получаем следующее утверждение.
18.6.12.1. Предложение и определение. Пусть <х, у, г>—сфери-
г>—сферический треугольник; тогда тройка (х', у', г'), определяемая
условиями
(x'\z) = 0, (x'\x)>0,
POL \(y'\z) = (y'\x)=0, (yr\y)>0,
{ {г>\у) = 0, (г'\г)>0,
является сферическим треугольником <х', у', z'y, который обо-
обозначается символом <х, у, гУ и называется полярным треуголь-
треугольником к <х, у, г>. , ,
Действительно, если предположить, что точки х , у ,
г' линейно зависимы, например г'g Rx' +Rz/', то (z'|z) = 0 и,
значит, одно из исходных условий не выполнено.
18.6.12.2. Предложение. Для всякого сферического треугольника
<х, у, г> имеем <х', у', г'У = <х, у, г>, т. е. полярный треуголь-^
ник к полярному треугольнику для <х, у, г> есть сам исходный
треугольник <х, у, г>. Обозначим шесть элементов треугольника
238 Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
<л:, у, гУ через а', V, с', а', |3', у'. Тогда
Инволютивность операции перехода к полярному тре-
треугольнику вытекает из симметрии аксиом POL. Из шести написан-
Рис. 18.6.12.1
ных выше соотношений три выводятся из остальных трех при
помощи этого свойства инволютивности. Поэтому достаточно,
например, доказать, что а' + а = я. Рассмотрим сечение нашей
сферы плоскостью, проходящей через центр и ортогональной х;
18.6.12.2
в этой плоскости лежат четыре вектора у', г1, х =и, xz = u
(нарисованы также проекции на эту плоскость точек у, г, х,
которые обозначены теми же буквами в кружочках; последняя
проекция совпадает с точкой 0). По условию
<г'|и)-0, (t/'|f) = O, (»|z')>0, (y'\u)>0,
откуда легко вытекает (см., например, 8.7.5.3), что y'z' + uv = n.
18.6.12.3. Следствие^ В любом сферическом треугольнике выпол-
239 18.6 Сферические треугольники
няются соотношения
18.6.12.4. Замечания. Итак, мы видим, что сферическая геомет-
геометрия радикально отличается от евклидовой геометрии на пло-
плоскости, поскольку в последней сумма углов треугольника всегда
равна я. В 18.3.8.4 было показано, что угловой «дефект» а =
=a-fC + Y—я есть не что иное, как площадь треугольника <лг,
у, г>. Относительно геометрии, в которой сумма углов треуголь-
треугольника всегда < л, см. 19.5.4.
18.6.13. формулы сферической тригонометрии, в приведенный
ниже перечень формул те формулы, которые получаются из других
циклической перестановкой (а, Ь, с) и (а, р, у), чаще всего не
входят. Введем следующие обозначения (для сравнения см. § 10.3
и 18.11.9):
18.6.13.1.
Р =
=-l|det(x\ у', г')\, а = а
Тогда для всякого сферического треугольника имеем:
18 6 13 2 I & = Vsmpsm(p—a)s\n(p—b) sin(p—с)
A=|/"sin P sin (P—a) sin (P—P) sin (P—y)
18.6.13.3. tgj =
sin a sin b
— b , p—c
18.6.13.4.
sin с
sin a sin fl sin у
1
18.6.13.5. 6 = -»-sin ft sin с sin a, A = у sin |3 sin у sin a
18.6.13.6.
18.6.13.7.
— у _ , a sin {(b — c)/2]
2 ~ ^ 2 sin [F + c)/2]
t я cos[F-c)/2]
2 ё 2 cos[(b+c)/2]
cosa = -
cos a— cos й cos с
sin й sin с
sin (p~b) sin (p—c)
sin p sin (p—a)
Доказательство. Первая формула в 18.6.13.7 есть не
что иное, как 18.6.8, а вторая получается применением тождеств
1 — cos a
sin2 -|- == ¦
240
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
и приемов классической тригонометрии, используемых при вы-
выводе формул для суммы и разности углов. Чтобы доказать
18.6.13.5 (где вторая формула получается из первой и из 18.6.12.2),
возьмем ортонормированный репер \elt e2, es\ в R3 и положим
ег = х, е2 = х , е3 = е1ле2. Легко вычислить координаты точек х,
у, z относительно этого репера (см. доказательство 18.6.8) и
найти, что
1 cos с cos b
det (х, у, z) = 0 sine cos a sin b
0 0 sinasinb
= sinasinb sine.
Для получения первой формулы 18.6.13.2 используем обычную
хитрость с определителем Грама (см. 8.11.5)
(лс|лс) (х\у) (x\z)
(У\х) (У\У) (У\г)
(z\x) (z\y) (z\z)
1 cos с cos b
cos с 1 cos a
cosb cos a 1
Расписывая этот определитель и применяя формулы для суммы
углов, приходим к первой формуле 18.6.13.2; вторую легко по-
получить переходом к полярному треугольнику (см. 18.6.12.2).
Поскольку 18.6.13.5 уже доказана, формула 18.6.13.4
очевидна. Формулы 18.6.13.6 и 18.6.13.3 выводятся из 18.6.13.7.
Доказательство формулы 18.6.13.3 громоздко, но получается
стандартным применением формул обычной тригонометрии.
18.6.13.8. Примечания. Формулы 18.6.13.2—18.6.13.7 постоянно
используются в астрономии, подробнее об этом см. в [70] или
[5], с. 367 и далее. Следует иметь в виду, что sin a не опреде-
определяет а в противоположность cosa или tg(a/2), cos (a/2), sin (a/2),
так как a g ]0, я[. Это объясняет большой интерес к формулам
для половинного угла (астрономы в таком случае говорят о «вто-
«втором порядке», тогда как в случае аргумента вида а/4, как, на-
например, в 18.6.13.3, они говорят о «третьем порядке»).
Формула 18.6.13.3, как, впрочем, и 18.6.13.2, застав-
заставляет подумать о формуле 10.3.3, выражающей площадь евкли-
евклидова треугольника через его стороны. По этому поводу см. очень
поучительное упр. 18.11.9.
Первая формула 18.6.13.7 принадлежит Гауссу;
18.6.13.6—это так называемые «аналогии Непера». Формула
18.6.13.3 восходит к Симону Люилье.
18.6.13.9. Следстьие. Для того чтобы Ь = с, необходимо и доста-
достаточно, чтобы |3 = v (сравните с 10.2.2).
Для доказательства нужно применить 18.6.13.7 (а не
18.6.13.4). Например, сферический треугольник тогда и только
тогда будет равносторонним (a=»b = c), когда все три его угла
равны (а = р = у). Но в отличие от плоского случая общая вели-
241
18.6 Сферические треугольники
чина этого угла может принимать любые значения из интервала
]я/3, л[; подробности см. в 18.11.11, а приложение—в 18.4.4.
18.6.13.10. Следствие (признаки равенства сферических треуголь-
треугольников). Пусть <х, у, г>, <х, у, г> — два сферических треуголь-
f
Рис, 18.6.13.10
ника с элементами соответственно а, Ь, с, а, C, у и а, Ь, с, а,
Р, у. Тогда следующие пять условий эквивалентны:
(О 3f (Ejs (S) \f (x) =~x, f (y) = y, f (г) = z;
(ii) a = a, b = b, c = c;
(iii) а = а, b = b, c = c;
(iv) a = a, P = P, y = y;
(v) а = а, P = P, Y = y.
Очевидно, что из (i) вытекают остальные четыре усло-
условия. Обращение к полярным треугольникам (см. 18.6.12.1 и
18.6.12.2) доказывает эквивалентность (ii) и (v), а также (iii)
и (iv). Следовательно, осталось только доказать, например, им-
импликацию (iii) ^ (i). Для этого достаточно использовать идею
из 18.6.7: положим
и — хи, v — xz, и — х~, v — x-.
Из 18.6.7 вытекает существование такой изометрии f€IsE), что
/(*) = *, /'(«)=«, f'(v)=v,
поскольку uv = uv в силу условия а = а. Ввиду того что
/gls(S), xy = xy, хг = хг,
получаем, что f(y) = y и /(г)==г.
18.6.13.11. Замечания, (i) Случай (v) равенства сферических
треугольников не имеет аналога в плоской евклидовой геомет-
геометрии, где два треугольника, имеющие равные углы, только
подобны.
242
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
(и) По аналогии с 10.2.6 можно в качестве упражне-
упражнения изучить вопрос о существовании и единственности сфериче-
сферических треугольников с данными (а, Ь, у), или (а, Ь, а), или (а,
P. Y)-
(Hi) О прямоугольных и прямосторонних (т. е. таких,
у которых одна из сторон равна я/2) сферических треугольни-
треугольниках говорится в упр. 18.11.11.
(iv) Обобщение теоремы 10.9.3 о вписанном угле из
плоской евклидовой геометрии на сферический случай можно найти
в упр. 18.11.10.
(v) Изучение сферической тригонометрии с использо-
использованием комплексификации R3 можно найти в [72], с. 203 и далее.
18.6.14. ТЕМЫ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ. Общая идея такова: «взять
любое утверждение из гл. 10 и посмотреть, можно ли в каком-
нибудь разумном смысле поставить аналогичную проблему для
сферы S2; в благоприятном случае попытаться решить ее и срав-
сравнить результаты с соответствующими фактами для плоскости».
Мы уже встречались с подобным стилем вопросов в
18.4.4. Читателю предлагается найти обобщение на случай сферы 52
результатов пп. 10.3.10, 10.4.1, 10.4.3, 10.4.5; см. также упр.
18.11.5.
18.6.15. примечание. Обобщение 18.6.13 на случай гиперболи-
гиперболической геометрии см. в 19.3.4.
18.6.16. ЗАМЕЧАНИЕ. Для сферы S2 можно поставить и совер-
совершенно другие задачи; см., например, [98], гл. VI, или [24], гл.
VIII. (См. также [44*].— Ред.) В самом разгаре исследований
находится проблема наилучшего расположения данного числа
точек на сфере; см., например, [98], с. 171. Кроме того, см. [199].
18.7 ВЫПУКЛЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
ЛЕММА КОШИ
Весь этот параграф построен так, чтобы привести нас к лемме
Коши, которая является одним из двух ключевых моментов
в доказательстве теоремы Коши о неизгибаемости выпуклых
многогранников в R3 (см. 12.8.1). Здесь S по-прежнему обозна-
обозначает сферу S2 с R3. Доказательство леммы Коши основано на
весьма тонких соображениях; оно опирается главным образом
на предложение 18.7.7.
18.7.0. Пересечение сферы S с полупространством, которое огра-
ограничено плоскостью, проходящей через начало координат, назы-
называется полусферой.
18.7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество Р сферы S, являющееся
пересечением конечного числа полусфер, называется выпуклым
сферическим многоугольником (или просто многоугольником) при
дополнительных условиях РФ 0 и Pf\(—Р) = 0 (т.е. Р не
содержит диаметрально противоположных точек).
243
18.7 Выпуклые сферические многоугольники
Например, сферический треугольник удовлетворяет
этому определению (см. 18.6.3). Для того чтобы иметь возмож-
возможность говорить о сторонах и вершинах многоугольника Р, мы
воспользуемся некоторыми результатами о выпуклых полиэдрах.
18.7.2. Пусть Н—произвольная полусфера на S. Обозначим
/ч /ч
через Н такое полупространство в R3, что H = S[)H. Если
/\ /ч /ч
Р= П#/, то положим Р= Л Я,. Ясно, что Р—выпуклый поли-
Рис. 18.7.2
эдр, а точнее выпуклый конус с вершиной в точке О. Поскольку
• /ч
Рф0, а Р = 0, можно применить 12.1.5 и 12.1.8, в силу кото-
/ч
рых корректно определены грани и ребра Р. Так как Р Г) (—Р) = 0,
<<ч
то ребра Р представляют собой лучи с началом в точке 0, а
244
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
грани — некоторые угловые секторы с вершиной в точке О, лежа-
лежащие в плоскостях, проходящих через О.
18.7.3. определения. Вершинами многоугольника Р называются
/\
пересечения сферы S с ребрами полиэдра Р, а сторонами Р —
/\
пересечения S с гранями Р. Если многоугольник имеет три вер-
вершины, то он называется треугольником.
В силу 12.1.12, каждая сторона многоугольника огра-
ограничена в точности двумя вершинами, а каждая вершина принад-
принадлежит точно двум сторонам. Стало быть, вершины многоуголь-
многоугольника Р можно перенумеровать таким образом, чтобы две после-
последовательные вершины всегда лежали на одной и той же стороне.
Рис. 18.7.4
Пусть (x,-)i=i,.... п — именно такая нумерация вершин многоуголь-
многоугольника Р. Далее мы всегда будем иметь в виду именно такую
запись; в этом случае многоугольник Р однозначно определяется
своими вершинами. Число вершин многоугольника равно числу
его сторон. Для многоугольника на сфере S введем углы и сто-
стороны (т. е. длины сторон) так же, как и для сферического тре-
треугольника. Соответствующие обозначения очевидны.
18.7.4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ. Пусть P = {xl)i=1 „ —
выпуклый сферический многоугольник. Его стороны обозначим
через ai = X;Xi+i, i= I п (используем соглашение, что хп+% =
•=хи т. е. ап = хпх1). Углы многоугольника P = (xt)i=1 „ (см.
8.6.3) обозначим через
ai=sXi, ,-А, м-1 (i = 1. •••,«; xH+1=sx1).
245
18.7 Выпуклые сферические многоугольники
18.7.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть х, у—две вершины многоугольника
Р, не принадлежащие одной и той же стороне, а у—меньшая
дуга большой окружности, которая соединяет х с у (согласно
18.7.1, она единственна, поскольку уф—х). Тогда у лежит
внутри Р и Р = Р'[)Р", где Р', Р"—два многоугольника, для
которых у является общей стороной и Р' Г) Р" = У-
Включение усР очевидно, ибо если х, у ?Н для неко-
некоторой полусферы Н, то у лежит в Н, поскольку у Ф—х. Дуга у
х
Рис. 18.7.5
определяет две полусферы Н' и Н", и мы по определению поло-
положим Р'=*Р[)Н', Р' = Р[)Н".
18.7.6. Пусть Р, Р—два многоугольника с вершинами соответ-
соответственно (х,-)г=1 п и (x/)f=i,.... л (отметим, что такая индексация
вершин либо задана с самого начала, либо установлена неко-
некоторой биекцией множества вершин многоугольника Р на множе-
множество вершин многоугольника Р, сохраняющей свойство принад-
принадлежности вершин одной и той же стороне). Соответственные
стороны и углы многоугольников Р и Р обозначим через а,-, а,-
и а,-, at. Лемма Коши 18.7.16 легко вытекает из следующего
утверждения.
18Л-7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть а,==а,-Vi = 1, ..., п— 1 и а,-<
< а,- V/ = 2, ..., п— 1; тогда ап ^ ап. Кроме того, если а,- < а,-
для некоторого г'6{2, ...,п — 1}, то ап<.ап.
18.7.8. Этот результат интуитивно достаточно ясен: если у много-
многоугольника все стороны, кроме одной, имеют фиксированную
длину, то при увеличении углов этого многоугольника длина
последней стороны может только увеличиться. В то же время
даже для четырехугольников на евклидовой плоскости этот ре-
результат не так уж очевиден (читателю предоставляется в этом
убедиться). .
246
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
Л-1
Рис. 18.7.7
18.7.9. лемма. При п = 3 предложение 18.7.7 верно.
Действительно, это есть не что иное, как утверждение
следствия 18.6.9.
Кроме того, в следующем частном случае несложен
индуктивный переход от п— 1 к п.
18.7.10. лемма. Пусть предложение 18.7.7 справедливо для
(п—\)-угольников. Тогда оно справедливо и для всех п-угольников
Р, Р, у которых a, = a(- для некоторого i?{2, ...,п—1}.
Пусть у/, Yi—дуги большой окружности, которые
ограничены соответственно вершинами х^и xi+1 и xt_lt xi+i.
Применяя _к ним предложение 18.7.5, мы_получим два треуголь-
треугольника Р", Р" и два (л—1)-угольника Р', Р'. Согласно 18.6.13.10,
полученные треугольники «равны»; в частности, xt-lxt^ =xi_1xi+i
и равны углы с вершинами соответственно х^, x/+I, xt_u xi+1.
Отсюда для углов a;_!, ai+l, а^_и а,+1 многоугольников Р' и Р'
с вершинами в точках х(_ъ xi+i, xt_b xi+i получаем неравен-
неравенства a'i^i^a'i-i, a|+i^a'(+1. Следовательно, (п—1)-угольники
247
18.7 Выпуклые сферические многоугольники
Р' и Р' удовлетворяют всем условиям предложения 18.7.7, и
лемма доказана.
Теперь предложение 18.7.7 доказывается по индукции,
однако здесь имеется ловушка, и надо быть внимательным,
чтобы в нее не попасть.
18.7.11. Доказательство предложения 18.7.7. Идея доказатель-
доказательства нашего утверждения такова. Рассмотрим в многоугольнике
Р угол а„_! с вершиной в точке xn-i. Будем увеличивать его,
не меняя длин остальных сторон, до тех пор, пока он не станет
равным ап_1. Таким образом мы построим новый многоугольник
Катастрофа!
Рис. 18.7.11
Р' с вершинами хи ..., хп_ь х'п и сторонами ait ..., an_j, a^=*
=x'nXi. Углы с вершинами в точках х2, . .., хп_г, хп_1 равны
соответственно а2 а„_2, an_i- К сожалению, нет никаких
оснований для того, чтобы новый многоугольник Р' был выпук-
выпуклым; возможна конфигурация, изображенная на рис. 18.7.11.
Поэтому мы будем различать два случая.
18.7.12. Первый случай:/*' — выпуклый многоугольник. Благодаря
18.7.5 можно применить лемму 18.7.9 к треугольникам xlt xn_t,
хп и *i> хп-п х'п- Поэтому если an_i<an_lt то ап = х1хп^
^х^, x1xn<CxiXn. Применяя предположение индукции и лемму
18.7.10 к многоугольникам Р' и Р, которые по построению
имеют в вершинах хп_ъ xn_( равные углы, получаем
Х1Хп :
-ХЛХ„
что завершает доказательство первого случая.
18.7.13. Второй случай: Р' не является выпуклым многоуголь-
многоугольником. При вращении дуги большой окружности хп^1хп вокруг
xn_f соответствующий угол возрастает от ая_? до ап-1. Возьмем
первое значение а'п_, этого угла, при котором многоугольник Р'
перестанет быть выпуклым. Ясно, что an-1 < а^ < ап_1.
248
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
х
Хп-
Л'2
Fkc. 18.7.12
Пусть х'п—вершина, отвечающая углуа^_,; по построе-
построению она лежит на большой окружности, проходящей через
точки х2 и xt. Следовательно,
*Л--| J\f ' ^^™ 2/2 "^^™ АТЛ Па
Из 18.6.10 и 18.7.5 находим, что
Из индуктивного предположения и предложения 18.7.5, которые
мы применяем к выпуклым многоугольникам (х2, xs, ..., хп^1, хп)
249
18.7 Выпуклые сферические многоугольники
п-Х
п-г
Рис. 18.7.13
и (х2, ха, ¦¦¦,хп_1, хп), следует неравенство
Хп ¦
Наконец, применяя еще раз предложение 18.7.5 и лемму 18.7.9
к треугольникам (хг, хп, хп-1) и (xlt x'n, хп^1), получаем, что
Х1ХП ^* Х1Хп'
Соберем вместе все доказанные здесь соотношения в виде цепочки
неравенств:
n XtX2 ^ X2Xn XiX2 zz? XiXn ^
18.7.14. Пусть по-прежнему многоугольники Р, Р такие же,
как в 18.7.6, т. е. с одним и тем же числом сторон и с подхо-
подходящей биекцией между множествами вершин; все обозначения
те же, что и в 18.7.6.
18.7.15. ОБОЗНАЧЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для 1 = 1, . . ., П ПОЛОЖИМ
( +, если а,. > а,.,
sign (i) == \ 0, если а,- = а,-,
^ —, если а(. < а,-.
Числом строгих перемен знака для пары {Р, Р) назы-
называется количество таких i ? {1, ...,п\, что sign (i)i sign (i+ 1) = — 1
(при этом используется соглашение, что sign (лг + 1) = sign A)).
18.7.16. ТЕОРЕМА («лемма Коши»). Пусть Р, Р—такие много-
многоугольники, что ai*=a{ для всех 1 = 1, ...,п. Тогда либо а^а.
250
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
для всех i=l, ..., п, либо число строгих перемен знака для пары
(Р, Р) не меньше 4.
Поскольку число строгих перемен знака четно, доста-
достаточно исключить случай, когда оно равно 2. Предположим про-
противное. Тогда по условию найдутся такие i, /€{1. • ••>'*}, не
являющиеся последовательными, что as^aft при k?{i-{-\, ...
X;
Рис. 18.7.16
..., /—1}, причем по крайней мере для одного такого k выпол-
выполняется строгое неравенство ак > ак, и далее ад ^ ад при
й? {/ + 1, .-.,«} L) {1, ••-, i—lj-, причем по крайней мере для
одного такого h выполнено строгое неравенство ад < ад. Пусть
7, Y—Дуги больших окружностей, которые соединяют соответст-
соответственно xt с х{ и X/ с xf. Аналогично 18.7.5 они делят Р и Р
соответственно на два многоугольника Р', Р" и Р', Р". Применяя
теперь предложение 18.7.7, с одной стороны, к паре (Р!, Р'),
а с другой — к (/>", Р"), мы получим два_противоречащих друг
другу неравенства xix/^>xix/ и x(Xj <х(х,-.
СФЕРА S3: СФЕРИЧЕСКИЙ ВАРИАНТ ПАРАЛЛЕЛИЗМА
КЛИФФОРДА
18.8
На протяжении всего этого параграфа предполагается, что
d = 3, т. е. S=*S3.
18.8.1. ВВЕДЕНИЕ. Для описания того явления, которое мы имеем
в виду, отождествим R4 с С2 и напомним, что на S3 действует
группа R; это действие было определено в 1.2.9 формулой ЯЭ^1—»•
•-*{(г, г')у-*{епг, e'V)}6@s» (см. также 4.3.3.2 и 4.3.6.2). Рас-
251
18.8 Сфера
смотрим две орбиты С, С этого действия. Они совпадают с боль-
большими окружностями сферы 53мпотому что (e!tz, eaz') принадлежит
одномерному комплексному векторному подпространству в С2,
порожденному (г, г'), т. е. вещественной плоскости. Но указан-
С ., С
т
Рис. 18.8.1
ное действие группы R является композицией изометрий сферы 5.
Поскольку R транзитивно действует на орбитах по определению,
имеем
18.8.1.1. d(m,C') = d(n, С) Vm,n?C.
Это равенство напоминает соответствующее свойство
параллельных прямых на евклидовой плоскости. Кроме того, из
него вытекает, что это общее значение расстояний совпадает
с d(C,C) и что если т?С, т! ?С" удовлетворяют условию
mm' =d(C, С), то всякая большая окружность, содержащая т
и т', пересекает С и С под прямым углом (см. 18.11.6). Дадим
следующее определение.
18.8.1.2. Определение. Две большие окружности С, С сферы S
называются параллельными в смысле Клиффорда (обозначается
С IIС), если расстояние d(m,C) не зависит от т(ЦС.
Цель этого параграфа — изучение отношения С //С на
множестве больших окружностей сферы S. Мы увидим (см.
18.8.2.5), что параллельность в смысле Клиффорда не является
отношением эквивалентности в отличие от параллельности на
евклидовой плоскости, но тем не менее это отношение распадается
на два отношения эквивалентности, которые называются парал-
параллельностью в первом смысле и параллельностью во втором смысле.
В этом и заключается феномен параллелизма Клиффорда. Дока-
Доказательство этого утверждения будет смесью метрического иссле-
исследования, проведенного в п. 18.8.2, и изучения орбит подходя-
подходящих действий группы R, которые получаются из действия,
рассмотренного во введении, путем перехода к внутренним фор-
формулировкам. См. также 19.1.4.
18.8.2. ОБ ОДНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК
18.8.2.1. Для любой большой окружности С обозначим через С
252
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
плоскость в R4, определенную равенством C = Cf\S, а через С-1—
такую большую окружность, что C± = (C)J-, т. е. CJ- = 5n(C)-L и
R4=C0 (СI. Здесь существенно, что d = 3. Кроме того, для
всякой большой окружности С и любого а?[0, я] положим
18.8.2.2. Ca = \neS: d{n, С)=а|.
Имеем С0 = С, СЛ/2 = С^, Сл_а = Са (поскольку С содержит две
диаметрально противоположные точки) и Сл/2-а=Са. Поэтому
достаточно изучить Са только при а?]0, я/2[. Введем орто-
Рис. 18.8.2
нормированный базис, у которого первые два вектора принад-
принадлежат С, а два остальных C-L. Пусть (х, у, г, t) ? R4; положим
u = x-\-iy, v = z-\-it. Тогда
18.8.2.3. Для т = (х, у, z, t)
d(m, C) = a<&
Действительно, расстояние {и, v) (w, 0) будет минимальным, если
скалярное произведение ((и, v) \ (w, 0)) максимально. Максимум
достигается при w = u/\u\, и в этом случае
((M, v)\(u/\u\, 0)) = |м|2/|м| = |«|.
Поскольку |ы|2 + |с|2=1 (так как (u,v)?S), то \v\2 =
можно обозначить через sin2 a. Воспользуемся следующей леммой.
18.8.2.4. Лемма. Пусть Qa—конус в R4, заданный в определенных
выше координатах уравнением (л:2 + г/2) sin2 а—(г2 + Г) cos2 a = 0;
тогда Ca = Sn Qa.
Включение Са cSflQa очевидно из только что про-
проделанных выкладок. Обратно, если \и |2sin2cc = )u|2cos2a, то,
поскольку |и|2 + |и|2 = 1, имеем |«|2 = cos2a, откуда примене-
применением 18.8.2.3 получим требуемое.
Ключевое замечание теперь состоит в том, что урав-
уравнением нашего конуса служит нейтральная форма (см. 13.1.4.3),
поэтому к ней можно применить 13.7.11 и получить следующее
утверждение.
J8.8.2.5. Предложение. Для любого ag]0, л/2[, всякой большой
окружности С и любой точки т?Са найдутся в точности две
253
18.8 Сфера S <
большие окружности, проходящие через т и параллельные С
в смысле Клиффорда.
Отсюда вытекает, что параллельность в смысле Клиф-
Клиффорда не является отношением эквивалентности, потому что если
С", С"—две большие окружности из предыдущего предложения,
то СIIС и С//С", но С, С" не параллельны в смысле Клиф-
Клиффорда, поскольку d(C',C') = 0 и С'^С".
18.8.3. ДЕЙСТВИЯ ГРУПП, АССОЦИИРОВАННЫЕ С БОЛЬШОЙ ОКРУЖ-
ОКРУЖНОСТЬЮ
18.8.3.1. Для любой большой окружности С мы хотим определить
внутренним образом некоторое действие группы на сфере S3,
обобщающее действие из 18.8.1. Для этого поступим следующим
образом. Фиксируем сначала некоторую ориентацию на С, а за-
затем ориентируем CL таким образом, чтобы ориентация, индуци-
индуцированная на С^С1, совпала с канонической ориентацией прост-
пространства R4. Пусть f ^ Isom+ (С, С1) — изометрия между евклидо-
евклидовыми пространствами С, С1, сохраняющая указанные ориентации.
Отметим, что ур€О+(С) и у/g Isorn+(С, С1) преобразование
/р/ принадлежит О+ (С1-1) и зависит только от р, а не от /,
поскольку группа О+ (С) абелева. Отметим, наконец, что если
заменить ориентацию плоскости С на противоположную, то и
ориентация пространства С1- также заменится на противополож-
противоположную. Все это позволяет нам определить внутренним образом
следующие группы.
18.8.3.2. Определение. Всякой большой окружности С сферы S
сопоставим две подгруппы в Is+(S), полагая
Gc={(P, /p/)€ls+E): p6O+(C),/€Isom-(C, СЩ.
Если С, С—две большие окружности сферы S, го
окружность С называется параллельной в первом смысле (соответ-
+
ственно во втором смысле) окружности С (обозначается Сц С, со-
соответственно С//С), если С является орбитой группы G? (соответ-
(соответственно Gc).
+ -
18.8.4. ТЕОРЕМА, (i) Отношения •//-, •//• являются отношения-
отношениями эквивалентности.
(И) Условие Су/С эквивалентно тому, что либо
СЦС, либо С//С. В частности, через любую точку m$S про-
проходят две большие окружности, параллельные данной окружности
254
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
С в смысле Клиффорда. Одна из них параллельна С в первом
смысле, а другая—во втором (причем С=?С"', если т^С\]С^-).
(iii) Большие окружности С, С", параллельные С
в смысле Клиффорда и проходящие через точку m^,S\(CuC-i-),
характеризуются следующими геометрическими условиями: пусть
mo(tC—такая точка, что d(tnB, m) = d(m, C) = a, P = <m{jCy
есть 2-сфера, содержащая т и С, a D—большая окружность,
проходящая через т и т0. Тогда С и С" ортогональны D и со-
составляют с Р угол, равный а. В частности, угол между С и
С" равен 2а.
(iv) Пусть С, С, С"—такие три большие окружности,
что C'J/C ,C"i/C и d(C, C) = d{C",C). Тогда C'flC"^0.
(v) (Параллелограмм Клиффорда) Пусть С, С—две
большие окружности, такие что СцС',т, п?С, т' gC; пусть
D—большая окружность, содержащая т и т.', a D'—большая
окружность, такая что n?D', D'/fD. Тогда D' (]С = \п'\ и
\т, п, т', п'\ есть параллелограмм Клиффорда в следующем
смысле: тт'=пп', тп=т'п' и все четыре угла в точках т, т',
п, п' равны.
(vi) (Единственность) Пусть четыре большие окруж-
окружности С, С, D, D' таковы, что СцС, D//D' и d(С, C') = d(D, D').
Рис. 18.8.4.1
Тогда найдется изометрия /gls(S), для которой f(C) = D и
+ +
f(C') = D'. Если, кроме того, С//С и D//D', то изометрию f
можно взять из подгруппы Is+ (S).
+
(i) Заметим сначала, что Сц С эквивалентно равенству
Ос =Gc'\ это вытекает, например, из того, что Gc можно запи-
записать в виде, указанном в 18.8.1, в координатах, согласованных
255
18.8 Сфера 58
с С и C-L. Следовательно, •//• является отношением эквивалент-
эквивалентности. Аналогичные рассуждения годятся для •//•.
+ -
(и) Если СIIС или Сц С, то С//С по определению
18.8.1.2, так как в этом случае рассматриваются две орбиты
одной и той же подгруппы группы Is (S). Орбиты подгрупп Gc и
с" \ /о
Рис. 18.8.4.2
Gc, проходящие через точку т ?S\(C[}C1-), параллельны
в смысле Клиффорда окружности С. Поэтому наше утверждение
вытекает из 18.8.2.5.
(iii) Ортогональность к D вытекает из того, что
d(m0, m)=d(C, C') = d(C, С"). Для вывода утверждения об углах
между Р и С', С" вычислим в явном виде касательные векторы
и, v к С, С" в точке т и вектор |, перпендикулярный к D
в точке т и касающийся Р. В подходящих координатах если
т = (г, г'), то С а С"—орбиты точки т относительно действий
соответственно 11—> (епг, eifz') и 11—*• (eitz, e~nz'). Следовательно,
в качестве и и v можно брать производные этих отображений
в 0 по переменной /, т. е. u = (iz, iz'), v = (iz, —iz'). Вектор
? = (и-f d)/2 = A2, 0) касается Р и ортогонален D. Тогда
Поэтому
(см. 18.8.2.3).
II 5II cos a
(iv) Вытекает из 18.8.2.4 и 13.7.11.
(v) Идея доказательства заключается в том, чтобы
найти большую окружность С", для которой все рассматриваемое
множество C\jC'\jD лежало бы в С"а (см. 18.8.2.2) при подхо-
подходящем а. Пункт (iii) подсказывает нам, как это сделать. Пусть
С и D пересекаются в точке т под острым углом Р; положим
a = |J/2 и построим большую окружность V, перпендикулярную
в точке т к 2-сфере Q, порожденной С и D. Отметим на V та-
2J6 Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
кую точку /п., что ^ = а = Р/2, и рассмотрим большую окруж-
окружать С", которая пр'оходит через точку т0 и удовлетворяет
условию СПС (см. («)).По построению .согласно (ш),, A)и (и),
имеем С<=С"а, СсСа и DaC"a. Тогда D сСа и С (]D -{одна
точка п'\ в силу 13.7.11. По определению /7 найдется такой эле-
мент 0GGc- что g(m) = m', откуда g(D) = D g(D) = U и
Т$ = С', поскольку ?(С) также является большой окружностью,
лежащей в С'а и проходящей че_резточку т'. В частности^) ==«_•
Поскольку g€Is(S),Tomft-m'n'.no той же причине mm =nn .
Для того чтобы убедиться в равенстве всех четырех углов, можно
воспользоваться "указанным выше преобразованием g которое
устанавливает равенство углов в вершинах т, т и п, п соот-
соответственно, или можно сослаться на (iii): общее значение этого
угла равно,2*-В ^^ ^^ что C = D Если
C'=D' то достаточно применить 18.8.2.5. В противном случае
из (iii)'вытекает, что симметрия относительно 2-сферы, содержа-
содержащейC = D и проходящей через C'{]D't отображает С в D.
?8.8.Б. ПРИМЕЧАНИЯ. Известно, что ^^P^Y^Z'S-
S = S* относительно действия, описанного в :18.8.1, отождествля
ется с />4C)sS2 (см. на эту тему 18.1.3.6, а также 4.3.6.2).
Часть утверждения (iii) можно представить несколько иначе.
А именно пусть даны две окружности С и С, такие что С//С .
Если теперь варьировать упомянутую в (iii) 2-сферу Р, проходящую
через С то она всегда" будет пересекать С под постоянным
углом (равны*; 2^.Hf ))• аналогичНО извесТному свойству па-
параллелограммов на евклидовой плоскости. Развитие этой анало-
гии можно найти в 18.11.17. -,
S!s.e. ВОЗВРАЩЕНИЕ к Са. Для любых С и а множество С.
инвариантно не только относительно G+c и Gc, но, согласно
18 8 2 2 также и относительно действия группы 0+ (С)хО (С ).
Сказать' что множество Са инвариантно относительно
ОЧОхЫси значит сказать, что Са —поверхность вращения
вокруг оси СК Точно так же Са является поверхностью вра-
вращения вокруг оси С. Таким образом, Са допускает две оси
вращения. г , , _
Итак, топологически множество 6а ?? {("» °) ^^ i, "' ~
= cosa |f| = s.ina| (см. 18.8.2.3) гомеоморфно тору 51х6 .
Орбитами в Са относительно 0+(QxI(fci являются малые ок-
окружности сферы S, которые получаются как пересечения Са с
^сферами, проходящими "через CJ-. Аналогичное утверждение
справедливо для Idcx0+(^). Эти два семейства орбит пересе-
257
18.8 Сфера S ;
каются под прямым углом и дают меридианы и параллели тора С„.
Рассмотрим большие окружности, параллельные в смысле Клиф-
Клиффорда окружности С (или C-L) и принадлежащие Са Они тоже
образуют два семейства кривых, причем, согласно 18.8.4 (ш),
линии предыдущих семейств, т. е. «меридианы-параллели», яв-
являются их биссектрисами и пересекаются с ними под постоянным
Рис. 18.8.6
углом а. Обратите внимание, что две большие окружности в Са,
параллельные в каком-либо одном (первом или втором) смысле,
всегда зацеплены, тогда как для двух меридианов одного семей-
семейства это не так. Кроме того, окружности, параллельные в смысле
Клиффорда, совсем не являются «параллелями» на Са как на
поверхности вращения^ ПОЛожив его равным я/4, и боль-
большую окружность С Тогда сферу S» можно представить виде
объединения двух заполненных торов, склеенных по их общей
границе Ся/4:
" U
С„, S'= U
a аб[я/4. Я/2]
Са.
Это очень полезный, особенно в алгебраической топологии спо-
способ представления сферы S*; с его помощью 7cfy42a57CVManPT"S
знаменитое слоение Риба (см. [203], с. 19, 25). (См. также
1в.8 8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ. ^°тРЪ1\Гп1ГЛаже
теоремы 18.8.4 можно доказать при помощи кватеР"ИОНнОяВппимеТ
получить на этом пути некоторые ее уточнения (см., например,
Г771У с 205-207), но такое доказательство кажется нам менее
инвариантным и более искусственным, чем то, которое изложено
выше.
258 Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
18.9 ПРИЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛИЗМА КЛИФФОРДА
К ТРЕХМЕРНОМУ ЕВКЛИДОВУ ПРОСТРАНСТВУ:
ОКРУЖНОСТИ ВИЛЛАРСО, ПАРАТАКСИЯ
18.9.1. Здесь мы выполним обещание, данное в § 10.12, дока-
доказать геометрически утверждения, высказанные в 10.12.1, 10.12.2,
10.12.3. С этой целью рассмотрим стереографическую проекцию /
сферы S3 на R3 из северного полюса п g S3 (см. 18.1.4.1). Кроме
того, фиксируем некоторую большую окружность С, проходящую
через п. Мы будем существенным образом использовать свойства
инверсии (см. § 10.8 и 18.1.4.3). Пусть (х, у, г)—канонические
координаты в R3. При подходящем выборе С можно считать,
что f (С\п)—ось г, а /(С-1) — окружность единичного радиуса
на плоскости ху.
18.9.2. Выясним, во что переходят Са, а?]0, я/2[, при отобра-
отображении /. Из 18.8.6 вытекает, что / (Са) — поверхность вращения
в обычном смысле, причем ось вращения совпадает с Oz. Поэтому
достаточно знать один меридиан поверхности f(Ca), но он сов-
совпадает с образом некоторого меридиана поверхности Са в смысле
18.8.6. А меридианы для Са, как мы видели,— это малые окруж-
окружности сферы S, и, следовательно (см. 18.1.4.3), меридиан по-
поверхности / (Са)—это обычная окружность в пространстве R3.
Окончательно, / (Са) есть тор (в обычном смысле) в R3, ось
вращения которого совпадает с Oz. Отметим, что при подходя-
подходящем а всякий (круговой) тор вращения в R3 с точностью до
преобразования подобия можно получить как /(Са).
18.9.3. Из 18.8.6 вытекает, что тор в = /(Са) содержит четыре
семейства окружностей: обычные меридианы и параллели (нет
нужды использовать 18.8.6 для того, чтобы доказать, что эти
окружности пересекаются под прямым углом!) и два семейства,
состоящие из образов (при отображении /) лежащих в Са окруж-
окружностей, параллельных С в смысле Клиффорда. Вот эти два
семейства и являются окружностями Вилларсо, упомянутыми
в 10.12.1, а относящиеся к ним свойства пересечения, перечислен-
перечисленные в 10.12.2, вытекают из 18.8.4 (iv). Поскольку инверсия
сохраняет углы, то из 18.8.6 вытекает, что эти окружности
являются винтовыми линиями на торе с углом наклона а. Что
касается свойства паратаксии, упомянутого в конце п. 10.12.3,
то оно получается переносом на тор при помощи отображения
/ аналогичного свойства на сфере, упомянутого в примечании
18.8.5.
18.9.4. ПРИМЕЧАНИЯ
18.9.4.1. Алгебраическое доказательство утверждений настоящего
параграфа будет дано в 20.5.4 и § 20.7; там же мы построим
связную поверхность четвертой степени, аналогичную тору, но
содержащую шесть семейств окружностей.
259
18.9 Приложение параллелизма Клиффорда
18.9.4.2. Изменяя а от 0 доя/2, мы получим, согласно 18.8.7, до-
довольно хорошее наглядное описание сферы S3, которое можно
уточнить следующим образом. Рассмотрим в каждом Са парал-
параллели Клиффорда только в первом смысле. При изменении С от
Рис. 18.9.4.2
Из книги: Fenrose R. The Geo-
Geometry of the Universe. Mathema-
Mathematics today (Springer, 1978).
Рис. 18.9.4.3
260
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
Со до С„/2=С-1- вся сфера S3 заметается окружностями (парал-
(параллелями Клиффорда для С в первом смысле), попарно не имею-
имеющими общих точек. Если предположить, что все это изображено
в пространстве R3, то заполненные торы Н, Е' склеиваются по
их окружностям Вилларсо, а при переходе от S к Н' можно
сказать, что меридианы становятся параллелями (вращения, а
не в смысле Клиффорда). Полученное разбиение S3 на окруж-
окружности есть не что иное, как расслоение Хопфа из 4.3.7.
18.9.4.3. Заметим, что в плоскости, содержащей ось Oz, мери-
меридианы поверхности / (Са) образуют пучок окружностей, предель-
предельные точки которого совпадают с двумя точками пересечения
этой плоскости с /(С1). На рис. 18.9.4.3 изображена линейная
модель, где торы заменены гиперболоидами вращения, а окруж-
окружностям Вилларсо соответствуют прямолинейные образующие
гиперболоидов.
18.9.4.4. Читатель, конечно, догадывается, что должны суще-
существовать обобщения параллелизма Клиффорда. По этому поводу
мы его отсылаем к работе [244].
18.10 ГРУППА КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СФЕРЫ
(ГРУППА МЕБИУСА)
18.10.1. СФЕРА КАК ПРОЕКТИВНАЯ КВАДРИКА. Из 14.3.3 мы знаем,
что образ СA, п) квадрики а из />"(R), задаваемой формой
п
Q = xn+i—X *h является топологическим пространством, гомео-
i — 1
морфным сфере S"'1. Мы воспользуемся здесь этим отождествле-
отождествлением (из доказательства 14.3.3), предварительно слегка его
изменив. Будем теперь считать, что фиксирована некоторая
биекция между сферой Sd и образом проективной квадрики
в Ра+ЧЮ.
18.10.1.1. Обозначения. Пусть q =— 2 ^ + ^+г—квадратичная
форма в Rd+a. Отождествим Rd+2 с Rd+1xR. Пусть |6Rd+2;
тогда l = (z, t), где zg Rd+1, t ? R. В частности, q(l) = — flzf-И2.
Определим, как и надлежит, биекцию образа 2 квадрики im (a)
в Pd+1(R) на сферу S, полагая
18.10.1.2. Б: im(a)-+Sd: Б(р(г, t)) = z/t.
18.10.1.3. Как показывает 18.10.1.4, это отождествление сферы
Sd и образа квадрики а корректно и дает первую геометриче-
геометрическую реализацию группы РО (а) квадратичной формы а (см. § 14.7).
Другие реализации можно найти в гл. 19 и 20. Для того чтобы
геометрически представить отображение Б, удобно отождествить
Sd с единичной сферой, лежащей в гиперплоскости Я =
= {(г, t): t= l}t=Rd+2, при помощи отображения гi—*• (г, 1). Тогда
261 18.10 Группа конформных преобразований сферы
/B, t)
Рис. 18.10.1
значениям 2 соответствуют те точки, в которых прямые из Rd+2,
принадлежащие изотропному конусу квадратичной формы q,
пересекают гиперплоскость Н (мы уже знаем это из § 5.0 и еще
раз обнаружим в § 19.2).
18.10.1.4. Определения. Инверсией сферы Sd называется сужение
на Sd инверсии пространства Rd+1, переводящей Sd в себя, а
также любой симметрии Rd+1 относительно его векторной гипер-
гиперплоскости. Группой Мёбиуса сферы Sd называется подгруппа
группы биекций сферы Sd, порожденная инверсиями Sd. Эта
группа обозначается символом Mob (d).
18.10.1.5. Предложение. Имеет место равенство Mob(d) =
= {Бо(/I im (a))o2-1: /gPO(a)}, т. е. с учетом отображения Б
группа Мёбиуса сферы Sd есть не что иное, как сужение на
irn (a) группы РО (а).
Согласно 13.7.12, достаточно проверить, что если
f € РО (а) является симметрией относительно гиперплоскости,
ассоциированной с q, то Бо(/| im (а))оБ-1 — инверсия сферы Sd.
Но это есть в точности утверждение 14.7.4, поскольку инверсия
g сферы Sd характеризуется тем свойством, что прямая <s,g(s)>
262
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
либо проходит через неподвижную точку в Rd+1, либо парал-
параллельна фиксированному направлению.
18.10.1.6. Примечания. Операция сужения на im (а) определяет
отображение РО(а) —^ Mob (d), которое является изоморфизмом
групп. Действительно, в Rd+2 речь идет о линейных преобразо-
преобразованиях пространства, а конус ^-1@) порождает векторное про-
пространство Rd+2.
Группа Мёбиуса M6b(d), согласно 8.2.12, содержит
подгруппу Is (Sd).
18.10.2. ГРУППА МЁБИУСА И СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
18.10.2.1. Пусть п—северный полюс сферы Sd, g: Sd\n —>- Rrf —
стереографическая проекция, /—некоторая инверсия сферы Sd
d+l
Рис. 18.10.2
и n'=f(n)—образ п при отображении /. Тогда если п' = п, то
отображение gofog*1 (где на самом деле рассматривается суже-
сужение / на Sd\n) есть симметрия Rd относительно гиперплоскости;
если же п' ф п, то отображение go fog'1 (где / сужено на
Sd\\n, п'\) есть инверсия Яа с полюсом g(n'). Доказательство
мы предоставляем читателю; это хороший способ освоиться
с инверсией.
263
18.10 Группа конформных преобразований сферы
18.10.2.2. Выводы. Для любого подобия /г g Sirn (Rd) отображение
f: Sd—*Sd, определенное соотношениями f(n) = n, f = g-1ohog
на Sd\n, принадлежит группе Mob (d). Действительно, приве-
приведенные выше рассуждения показывают, что отображение
g~1ohog, надлежащим образом продолженное на всю сферу Sd,
принадлежит группе МбЬ (d), если h—инверсия или симметрия
относительно гиперплоскости; но такие отображения h порож-
порождают группу Sirn (Rd) — согласно 9.3.3, 9.5.2 и 10.8.1.2. Это рас-
рассуждение предполагает подходящие продолжения всех отображе-
отображений. Проще присоединить к Rd точку в бесконечности и продолжить
g до отображения Sd —>-Rd, положив g(n) = oo, и т. д.; мы
дополнительно вернемся к этому в § 20.6.
18.10.2.3. Пример. Мы находим, в частности, в группе Mob (d)
и отображения Д, = g~loH0,hog, ассоциированные с гомотетиями
пространства Rd. При к > 1 северный полюс является притя-
притягивающим для отображения fx, а южный полюс—отталкивающим,
т. е. итерации fl (n?N) заставляют любую точку из 5d\s
сходиться к /г, и лишь южный полюс остается вне зоны притя-
притяжения северного полюса.
18.10.2.4. Другой пример: случай « = 2. В этом случае группа
Mob B) состоит в точности из тех преобразований, которые при
отождествлении, указанном в 4.3.8 и 18.1.4.5, записываются
в виде
ZI—>
аг + Ь
cz+d
или zi—» °_ (ad—ЬсфО).
cz + d К '
Преобразования второго типа иногда называют антигомогра-
фиями.
18.10.3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. В 9.5.4 мы уже встреча-
встречались с понятием конформного отображения открытых подмно-
подмножеств евклидовых пространств. Для их определения в более
общей ситуации мы будем свободно пользоваться языком диф-
дифференциальной геометрии (см., например, [15], гл. II). (См. также
[18*].—Ред.) В то же время упр. 18.11.22 даст представление
о более элементарном подходе в случае сфер, а только этим
случаем мы фактически и пользуемся.
18.10.3.1. Определение. Пусть Е, F—два евклидовых аффинных
пространства и McE, N<z.F—дифференцируемые подмногообра-
подмногообразия класса С1 одной и той же размерности. Отображение /:
М —>¦ N класса С1 называется конформным, если для каждой
точки х?М отображение f'(x): TxM^Tf(X)N является подобием
касательных пространств ТхМсЕ и TfWNcF относительно евк-
евклидовых структур, индуцированных из Е и F. Множество всех
конформных отображений из М в JV обозначается Conf(M;JV),
а в случае M = N пишут просто Conf(Af). Если, кроме того, М
264
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
и N ориентированные, то Conf+ (М, N) обозначает подмножество
в Cor\i(M, N), образованное теми /, для которых f'(x) сохраняет
ориентации при всех х?М.
18.10.3.2. Примеры. Композиция двух конформных отображений—
снова конформное отображение, в частности Corn" (М), Conf+(M) —
группы относительно композиции.
Проекция Меркатора (см. 18.1.8.2) является конформ-
конформным отображением.
Сужение инверсии, а также композиции двух инвер-
инверсий конформны на любом дифференцируемом подмногообразии.
Например, конформны стереографическая проекция, а также ин-
инверсия сферы (см. 18.10.1.4).
18.10.3.3. Примечания. Вдумчивый читатель сразу поймет, что
понятие конформного отображения /: М —>¦ N можно определить
всякий раз, когда М ц N имеют касательные пространства, снаб-
снабженные евклидовой структурой. Но это как раз и есть в точ-
точности понятие риманова многообразия. По поводу общих теорем
о конформных отображениях римановых многообразий см. 18.10.9.
18.10.4. теорема. Для всех d^ 2 имеет место равенство Mob(d) =
=Conf(Sd). Положим Mob* (d) = Conf± (Sd). Для любой малой
сферы acSd и V/gM6b(c() ее образ f (с) также является малой
сферой в Sd. Обратно, всякая биекция сферы Sd, которая обла-
обладает этим свойством, с необходимостью принадлежит группе
M6b(d). Любое отображение /?M6b(d) является произведением
не более чем d-\-2 инверсий сферы Sd. Группа Mob (d) естествен-
естественным образом изоморфна группе РО (а) квадрики а, определяемой
d+i
формой x2d+2— 2 х\. В частности, Mob (d) является некомпакт-
i= 1
ной группой Ли размерности (d+I) (d + 2)/2. Имеют место изо-
изоморфизмы: M6b(l)^GP(l; R), M6b+B)sGP(l;C). Кроме то-
того, группа М6Ь+B) является также группой автоморфизмов сфе-
сферы Римана.
Согласно 10.8.5.2 и 18.10.3.2, Mob (d)сConf (Sd). Для
доказательства обратного включения можно предположить, что
/ ? Conf (Sd) оставляет неподвижным северный полюс п, поскольку
Mob (d)cz Conf (Sd) и группа Mob (d) транзитивно действует на
сфере Sd. Если f(n) = n, то, используя стереографическую про-
проекцию g из северного полюса п, получим, что
ибо g и /—конформные отображения (см. 18.10.3.2). Согласно
теореме Лиувилля 9.5.4.6, g о f о g*1 ? Sim (Rd) и, следовательно,
/?M6b(d) в силу 18.10.2.2 (отметим, что здесь мы воспользова-
воспользовались следующим тонким результатом: если / — конформное ото-
отображение, то оно с необходимостью принадлежит классу С4; см.
9.5.4.7).
265
18.10 Группа конформных преобразований сферы
То, что /(о) — малая сфера, вытекает из свойств ин-
инверсии (см. 10.8.2). Для доказательства обратного утверждения
можно также предполагать, что f(n) = n. Тогда g о / о g-1 пере-
переводит прямые из Rd в прямые, поскольку прямым из Rd при
отображении g соответствуют малые окружности, содержащие п.
Стало быть, достаточно применить основную теорему аффинной
геометрии 2.6.5 (сравните с 9.5.3.4).
Остальные утверждения теоремы следуют из 18.10.1.5,
13.7.12 и 16.3.9.
18.10.5. ПРИМЕЧАНИЯ. Разность размерностей групп M6b(d) =
= Conf (Sd) и Is (Sd) равна
Можно сказать, что группа Mob (d) порождается подгруппой
Is(Sd) и преобразованиями вида f% из 18.10.2.3, ассоциирован-
ассоциированными со всеми К ? R* и различными точками сферы Sd {d пара-
параметров получаем за счет выбора точки на Sd и один параметр
дает k? R *).
Если d= 1 (соответственно d = 2), то размерность группы
Mob (d) равна 3 (соответственно 6); это согласуется с тем, что
изложено ниже.
18.10.6. предложение. Группа Mob A) (соответственно М6Ь+B))
действует просто транзитивно на тройках различных точек
окружности S1 (соответственно сферы S2). Для всех d~^2 группа
Mob (d) действует транзитивно на тройках различных точек
сферы Sd.
Утверждения, относящиеся к случаям d=l и d=2,
вытекают из 4.5.10 с использованием 16.3.9. Если d ^ 3, то до-
достаточно заметить, что три точки на Sd порождают 2-сферу, а
группа Mob (d) содержит подгруппу Is+ (Sd), которая, согласно
8.2.7, транзитивна на 2-сферах.
18.10.7. ИНВАРИАНТ МЁБИУСА. Сравнивая предыдущие результаты
с утверждениями § 6.1, можно задаться вопросом: нельзя ли
улучшить предложение 18.10.6 для случая четырех точек, напри-
например при d^3, и если нет, то нельзя ли найти инвариант, не-
необходимый, а быть может, и достаточный для того, чтобы разли-
различить расположение четырех точек? Ответ несложен. Для четырех
различных точек а, Ь, с, d сферы Sd положим
18.10.8. »(a,b,c,d) =
где речь идет об евклидовом расстоянии в Rd+1. Тогда \л—ин-
\л—инвариант относительно группы Mob (d), т. е. \i(a, b, с, d)=\i(f(a),
f (b), f (с), f (d)) для любых четырех различных точек а, Ь, с, d? Sd,
/gMb (d). Функция \i называется инвариантом Мёбиуса. Соглас-
266
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
но 18.10.1.5, достаточно проверить инвариантность \i относитель-
относительно произвольной инверсии сферы Sd, поскольку случай симметрии
очевиден. В случае инверсии последнее утверждение проверяется
прямым вычислением с использованием 10.8.1.3.
В противоположность двойному отношению инвариант \i
не является характеристическим, как показывает, например, рис.
18.10.8; см. также 19.6.10.
d'
Рис. 18.10.8
18.10.9. примечания. Группа конформных преобразований сферы
больше, чем группа ее изометрий. Априори это свойство ком-
компактного риманова многообразия выглядит довольно естественным.
Однако, как недавно доказано, среди них только сфера обладает
указанным свойством; см., например, [161] или [180], а также
19.8.6.
Группа Мёбиуса сферы Sd сыграла важную роль во
многих недавних работах; упомянем, например, теорему Мостова
о жесткости некоторых пространств отрицательной кривизны (см.
[176] и [177]), теорему Херша о наименьшем собственном значе-
значении оператора Лапласа на римановой сфере S2 (см. [132]). См.
также [91], с. 130—131.
18.11
УПРАЖНЕНИЯ
18.11.1. Какую роль играет система рычагов в верхней части
сферометра, изображенного внизу на рис. 18.1.1.2?
18.11.2. Докажите, что карта на сфере, одновременно конформ-
конформная и сохраняющая площади, с необходимостью является изо-
метрией.
18.11.3. Докажите, что при стереографической проекции локсо-
локсодромы переходят в логарифмические спирали.
18.11.4. Изучите на сфере S2 следующие задачи: найти и постро-
построить малую окружность, проходящую через три точки; проходя-
проходящую через две точки и касающуюся некоторой данной малой
окружности; проходящую через одну точку и касающуюся двух
267
18.11 Упражнения
данных малых окружностей; касающуюся трех данных малых
окружностей.
18.11.5. Изучите для сферических треугольников на S2 понятие
медиатрис, высот, медиан, биссектрис. Исследуйте вопрос об их
пересечении.
18.11.6. Изучите утверждение 9.2.2 на сфере.
18.11.7. Как изменится утверждение 9.7.6 для семейства точек
(*,-)t = i,..., * на сфере Sd?
18.11.8. Исследуйте «сомнительные» случаи равенства сферичес-
сферических треугольников, например по двум сторонам и углу, но не
между этими сторонами.
18.11.9. Установите формулы из 18.6.13 для сферы произвольного
радиуса R и выясните, что происходит, когда /? становится очень
большим.
18.11.10. ТЕОРЕМА ЛЕКСЕЛЛя. Пусть даны две точки х, y?S2.
Требуется найти геометрическое место таких точек z g S2, что
углы а, р, у треугольника 3~ = (х, у, г> удовлетворяют условию
а + Р—y = const (обобщение на 52 понятия вписанного угла; см.
10.9.4). Далее, найти геометрическое множество таких точек г ? S2,
что треугольник <?Г имеет постоянную площадь. Обобщения см.
в [72], с. 227.
18.11.11. Составьте полный описок формул для прямоугольных,
равнобедренных, равносторонних и прямосторонних (т. е. со сто-
стороной равной я/2) сферических треугольников.
18.11.12. Исследуйте четырехугольники на сфере S2 с тремя пря-
прямыми углами. Найдите величину оставшегося четвертого угла по
двум сторонам, не являющимся сторонами этого угла.
18.11.13. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА НА СФЕРЕ. Докажите это
неравенство, используя определитель Грама для трех точек (см.
8.11.5).
18.11.14. СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ (d+2) ТОЧКАМИ
НА СФЕРЕ Sd. Докажите, что если хи .¦•,xd+<s—любые (d + 2)
точек на Sd, то всегда det (cos (х;Ху)) =0.
18.11.15. СФЕРИЧЕСКИЕ КОНИКИ. Пусть форма ^6Q(R3) невы-
рожденна и C = q~1@)— соответствующий изотропный конус, при-
причем не пустой. Докажите, что существуют либо две плоскости,
либо целое семейство аффинных плоскостей, параллельных между
собой и пересекающих С по окружностям.
Докажите, что найдется невырожденная квадратичная
форма q* ? Q (R3), для которой х1—плоскость, касающаяся С при
любом х?С*\0, где C* = (q*)~1 @). Будем говорить, что С*—по-
С*—полярный конус к С.
Предположим, что С содержит две различные серии се-
сечений, являющихся окружностями (см. 15.7.14). Докажите, что
это же имеет место и для С*. Пусть D, ?>'—две прямые в R3,
268
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
перпендикулярные к сечениям С*, являющимся окружностями.
Для S = S2 положим Dr\S = {f,g\, D r\S' = {/', g'}. Докажите,
что либо
С ГM = {tn^S: mf-\-mf = const},
либо CnS={mgS: m/-+mgr= const}.
Обратно, пусть /, /'—две различные точки на S и
" " R±1_Дoкaжитe, что для подходящего а множество {т С 5:
mf' = a} имеет вид пересечения Cf\S. Пересечение СГMна-
Рис. 18.11.15
зывается сферической коникой, а точки /, /' (так же как и g,
g') —ее фокусами. Другие результаты о сферических кониках
см. в книге [72], с. 230-231.
18.11.16. КАРДАНННЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, «ГОМОКИНЕТИЧЕСКИЕ»
соединения. Исследуйте самое плохое отношение угловых ско>
ль-р-
в
А'
Рис. 18.J 1.16.1
ростей для карданного соединения, у которого угол между осями
равен Э. Для этого рассмотрите на двух больших окружностях
С, D сферы S2, проходящих под углом Э, такие подвижные точ-
269
18.11 Упражнения
ки m(t),n(t), что m(t) n(t) —л/2. Вычислите это самое плохое
отношение для Э = я/3, л/4, я/6. Докажите, что если два вала
А, А' связаны карданными соединениями с промежуточным валом
В таким образом, что А, В, А' лежат в одной плоскости и угол
Рис. 18.11.16.2
между В, А равен углу между В, А' (гомокинетическое соеди-
соединение), то А, А' вращаются с одинаковыми угловыми скоростями.
18.11.17. ПЛОСКИЕ ТОРЫ И ПАРАЛЛЕЛИ КЛИФФОРДА. Пусть Л —
решетка в R2 (см. 9.14.29) и 6A = R2/A—факторгруппа R2 по
подгруппе Л, т. е. по отношению эквивалентности: т. ~ п тогда
и только тогда, когда т. — п?Л. Пусть р: R2—<-вл—каноничес-
R2—<-вл—каноническая проекция. Для и, v ?вл положим
= ml{d{x,y): p{x) = u, p{y) = v}.
Докажите, что d—метрика на вЛ. Топология, индуцированная
этой метрикой, совпадает с фактортопологией, и вл локально
изометрично R2. Изучите кратчайшие пути на вЛ в зависимости
от вида решетки А (см. 9.14.29). Пространство вл называется
плоским тором.
JOINT DEI CARDAN A CROISILLON
• N
«г,
их,оя>9
i j
-V-/
-ALL
" V Ъ
\ 1 /
i
Jo/>)^ demon/e
Vis de
coultaa*r
suf I'arbre rtcepttur
Рис. 18.11.16.3
Карданное соединение с крестовиной
JOINT SPICER- GLAENZER
F- '
wee
fas/'/on a« Cj a/*** bfoouaqz
Cinh'ps de
3rtouthc da
Rondzllt d'arrit -^^>
-tive louv t.
-7" Trcfet cylindncfutt T-
Bilk сои/дия/е sur T'
Рис. 18.11.16.4
Соединение Спицера — Глензера
272
Гл. 18. Внутренняя геометрия сферы
Докажите, что Са из 18.8.6 для а?]0, я/2[, снабжен-
снабженные метрикой, индуцированной из Ss, изометричны плоским торам.
Найдите для данного а в явном виде решетку Л, для которой Са
изометрично вЛ.
18.11.18. Фиксируем большую окружность С на сфере Sa и обо-
обозначим через 2 множество окружностей, параллельных С в пер-
первом смысле; для С, С" g 2 положим
8(C',C") = 2d(C\ С").
Докажите, что б определяет на 2 структуру метрического про-
пространства, изометричного сфере Sa (см. 4.3.6.2).
18.11.19. циклиды ДЮПЕНА. Пусть 2, 2', 2"—три сферы в R3.
Докажите, что при некотором их расположении множество сфер,
касающихся всех трех заданных сфер, имеет огибающую поверх-
поверхность, которая при подходящей инверсии переходит в тор вра-
вращения. Выведите отсюда различные свойства этих поверхностей.
Они называются циклидами Дюпена и встретятся нам в § 20.7.
18.11.20. Докажите, что всякая сфера, касательная к тору в двух
точках, пересекает его по окружностям Вилларсо (имеются две
такие конфигурации).
18.11.21. Группа M6b+(S1) действует на тройках различных точек
окружности S1. Найдите орбиты этого действия.
18.11.22. Пусть S = Sn и /: 5 —> S—отображение класса С1.
Через ф (соответственно \р) обозначим стереографическую проек-
проекцию из северного полюса v (соответственно из южного полюса о)
сферы S на R". Докажите, что / тогда и только тогда конформ-
конформно, когда конформны следующие четыре отображения:
фо/оф, \р о / о ср, фо/огр, гро/огр
(там, где они определены, и в смысле 9.5.4.2).
18.11.23. Исследуйте в случае сферы задачи, обсуждавшиеся в
9.8.1-9.8.5.
18.11.24. Проведите критическое изучение сферометра, изобра-
изображенного на рис. 18.1.1.3.
тг/2
Рис. 18.11.25.1
Рис. 18.11.25.2
273
18.11 Упражнения
18.11.25. Вычислите угол А и сторону b через сторону а для
сферических четырехугольников, изображенных на рис. 18.11.25.1
и 18.11.25.2.
18.11.26. Докажите, что для любой кривой в R"+1, лежащей на
сфере S", длина в смысле евклидовой метрики в R"+1 совпадает
с длиной в смысле внутренней метрики на S".
18.11.27. Докажите, что проекция сферы на описанный около
нее цилиндр, касающийся сферы по экватору, построенная при
Рис. 18.11.27.1
помощи прямых, ортогональных оси север — юг, сохраняет пло-
площади (см. рис. 18.11.27.1 и 18.11.27.2). Эту проекцию иногда
(несправедливо) называют проекцией Ламберта.
\
60'
30'
-30'
-60'
-180'-150" -120" -90° -60° -30° 0° 30° 60' 90° 120° 150° 180°
Рис. 18.11.27.2
18.11.28. Докажите формулы 18.1.8.4.
18.11.29. Вычислите функцию S из 18.1.8.5.
18.11.30. Докажите, что при отображении «расслоение Хопфа» из
4.3.6.3 всякая большая окружность сферы S3 отображается на
окружность (большую или малую) сферы S'\
Глава 19 Эллиптическая и гиперболическая геометрии
19.1 Эллиптическая геомет-
геометрия
19.2 Определение моделей
51 и т
19.3 Основная формула и ее
следствия
19.4 Группа изометрий
19.5 Каноническая мера на ,53
19.6 Конформная модель %
19.7 Заключительные замечания.
Другие модели гиперболи-
гиперболического пространства
19.8 Упражнения
Эллиптическая и гиперболическая геометрии представляют прежде
всего исторический интерес: они служат контрпримерами к пято-
пятому постулату Евклида. Но, кроме того, это геометрии, очень
богатые по своему содержанию и обладающие идеально большими
группами движений; в них есть прекрасные прямые. При этом
в эллиптической геометрии вообще нет параллельных прямых,
тогда как в гиперболической геометрии через данную точку можно
провести бесконечно много прямых, которые не пересекают дан-
данную прямую. В первой геометрии сумма углов треугольника
всегда больше я, а во второй она всегда меньше я.
Тем самым вместе с евклидовой геометрией они образуют систему
трех геометрий, обладающих некоторым единством и имеющих
взаимно дополнительные свойства. А гиперболическая геометрия
интересна также еще тем, что на ней основаны многие важные
математические результаты, включая полученные в самое послед-
последнее время; ссылки можно найти в 19.7.3. Об истории неевкли-
неевклидовой геометрии см. в гл. I книги [66]. (См. также [4*], [15*],
[17*], [19*], [23*] и книгу: Розенфеяьд Б. А. История неевкли-
неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом простран-
пространстве.—М.: Наука, 1976.—Рей.)
В § 19.1 изучается эллиптическая геометрия, легкая для тек, кто
свободно владеет обращением с факторструктурами. Геометрам
XIX столетия этот аппарат был еще незнаком, чем и объясняется
то, что эллиптическая геометрия была открыта на 50 лет позже
гиперболической. В эллиптическом пространстве параллелизм
Клиффорда возникает естественным образом.
Вся остальная часть главы посвящена гиперболической геомет-
геометрии. Эта геометрия представляет определенные трудности даже
в случае плоскости. Элементарное изложение можно дать в
рамках модели Пуанкаре, как указано в § 19.7. Но если рабо-
работать только с этой моделью, то невозможно будет проводить
вычисления, например находить элементы треугольников или
их площади. Кроме того, такое изложение скрывает фундамен-
фундаментальную связь между гиперболической геометрией и группой
конформных преобразований сферы. Поэтому мы выбрали дру-
другое изложение гиперболической геометрии — возможно, громозд-
громоздкое, но, как мы надеемся, достаточно полное. Нам кажется,
275
19.1 Эллиптическая геометрия
что оно позволит читателю ответить на большинство вопросов
гиперболической геометрии и проводить вычисления в ней.
В основе такого изложения лежит ознакомление с тремя глав-
главными моделями: проективной моделью, которая наиболее полно
объясняет гиперболическую геометрию (в трудных случаях
всегда следует возвращаться к этой модели), линейной моделью,®:
и конформной моделью $. Каждая из этих моделей хорошо
приспособлена для решения тех или иных вопросов.
По мере приближения к концу этой книги читателю предостав-
предоставляется все больше и больше возможностей проявить свою мате-
математическую зрелость. Кроме того, мы свободно пользуемся ре-
результатами гл. 13. Однако в рассматриваемом случае многие
из них можно доказать проще, если оставаться только в рам-
рамках гиперболической геометрии.
I. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
19.1
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
На протяжении всего этого параграфа через Е обозначено евк-
евклидово векторное пространство размерности d-\-\. Ассоцииро-
Ассоциированное с ним проективное пространство обозначено Р = Р(Е),
ар: Е\0-^Р—каноническая проекция. Далее, S = S(?) —
единичная сфера пространства Е. Пространство Р отождествля-
отождествляется с множеством GE, i одномерных векторных подпространств
в Е, которое обозначается также S> (E). Угол между прямы-
прямыми D, D'cE обозначается D?>'(g[0, л/2]) (см. 8.6.3). Группа
й []||2 б
проективных преобразований квадрики с уравнением
значается РО (Е) (см. § 14.7).
обо-
обо19.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
19.1.1.1. Предложение. Угол между прямыми определяет в Р
структуру метрического пространства. Снабженное такой мет-
метрикой Р называется эллиптическим пространством, ассоцииро-
ассоциированным с Е. Эта метрика индуцирует в Р топологию, которая
совпадает с топологией из 4.3.1.
Используем 4.3.3.2. Отображение p\s: S^P сюръек-
тивно; сравним расстояние ху, х, y?S (см. § 18.4), с расстоя-
расстоянием р(х) р(у), р(х), р{у)?Р. Если т, п?Р, то для р'^т),
p-1(n)cS имеем
19.1.1.2. mi = d(p-1(m),p-1{n)) = m[{xy, (—x) у} для всех х, у,
таких что р(х) = т, р(у) = п.
276
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
Это утверждение вытекает из 8.6.3, поскольку либо
(x\y)^f0, либо (—х\у)^0. Отсюда выводится предложение.
В самом деле, пусть т, п, s?P—произвольные точки.
Выберем такое х, что р(х) = т. Далее можно найти такие
У^р^) и z^p~1(s), что ху=тп и xz = ms. Согласно 18.4.2,
х
К У
Рис. 19.1.1.2
г/г< yx-\-xz. Тогда
ns = \nl \уг, (—у) z} ^ уг = тп -{-па.
19.1.1.3. Пример. Пусть x?S, tn = p(x),
Bs(x, я/4) = \
Вр(т, л/4)={п
тп
/4}.
Тогда сужение р на Bs (х, я/4) есть изометрия между Bs (x, я/4)
и ВР(т, я/4). Это утверждение неверно для Bs(x, r) при
г > я/4.
19.1.1.3'. Замечания. Все эллиптические пространства одной и
той же размерности изометричны (см. 8.1.6), и общее значение
их диаметра равно я/2.
В 4.3.9.1 уже говорилось о трудностях, связанных с
попыткой нарисовать Р2 (R) в обычном трехмерном пространстве
R3. Чтобы представить себе более наглядно образ Р2 (R), чита-
читатель может обдумать п. 19.1.2.1.
19.1.1.4. Касательные векторы и касательное расслоение. Каса-
Касательным расслоением к проективному пространству Р (обозна-
(обозначается ТР) называется факторпространство в/#1, где в — множе-
множество таких пар (х, у), что x?S и у^х-^-сЕ, а Ж — следующее
отношение эквивалентности:
(х,
:', и') <&х' =
где е =
Касательным пространством к Р в точке т?Р называется
подмножество в в/#1, состоящее из классов эквивалентности
таких пар (х, у), что р(х) = т; для него используется обозначе-
обозначение ТтР. Поскольку —Появляется изометрией, ТтР для любой
277
19.1 Эллиптическая геометрия
точки т?Р имеет естественную структуру евклидова вектор-
векторного пространства. В частности, угол между двумя ненулевыми
векторами из ТтР совпадает с углом, определенным в 8.6.3.
-х
Гис. 19.1.1.4
Касательное пространство ТтР отождествляется с касательным
пространством дифференцируемого многообразия Р (см. 4.2.6).
19.1.1.5. Прямые и полупрямые. Нет необходимости определять
прямые или, более общо, подпространства в эллиптическом про-
Рис. 19.1.1.5
странстве Р, ибо они совпадают с аналогичными объектами в
Р, рассматриваемом лишь как проективное пространство (см.
§ 4.6). Подмножество
278
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
называется полупрямой с началом в точке т?Р с единичным
касательным вектором и?Тт(Р). Концом этой полупрямой слу-
служит точка п = р(и). Обратно, пусть даны две точки т, п?Р.
Тогда если тп < я/2, то существует в точности одна полупря-
полупрямая с началом в точке т, содержащая точку п; если же тп = п/2,
то таких полупрямых ровно две и их касательные векторы имеют
противоположные направления.
19.1.1.6. Примечания. В эллиптическом пространстве через две
различные точки проходит единственная прямая. На эллипти-
эллиптической плоскости (случай d = 2) любые две различные прямые
пересекаются в единственной точке, что неверно в случае
сферы—именно поэтому мы ввели Р как факторпространство
сферы. Итак, в Р нет параллельных прямых в теоретико-мно-
теоретико-множественном смысле (т. е. и без обращения к метрике); см.
2.4.9.5 и 19.3.2. В то же время в эллиптическом пространстве
имеют место все предложения евклидовой геометрии, приведен-
приведенные в «Началах» Евклида, до пятого постулата. В этом заклю-
заключается одна из причин интереса к эллиптической геометрии —
она является контрпримером к известным в истории изысканиям,
относящимся к пятому постулату Евклида (см. 2.6.7). Из
19.1.1.4 видно, что пространство Р естественным образом можно
рассматривать как риманово многообразие. По поводу истории
вопроса см. [ИЗ], с. 367.
19.1.1.7. Каноническая мера. Пусть а—каноническая мера на S
(см. 18.3.7). Определим каноническую меру твР, полагая
что естественно, поскольку # р (т) = 2 для любой точки т?Р.
Например, объем Р равен a(d-f-l)/2, т. е. половине объема
d мерной сферы Sd.
19.1.2. МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
19.1.2.1. Строгое неравенство треугольника, кратчайший путь.
Из доказательства 19.1.1.1 вытекает, что равенство ns = nm-\-ms
имеет место тогда и только тогда, когда т принадлежит полу-
полупрямой с началом в точке п и концом в s (или наоборот); см.
19.1.1.5. Отсюда следует, что если даны две такие точки т, п?Р,
что тп < я/2, то соединяющий их кратчайший путь единствен
и лежит на проходящей через п полупрямой с началом в точке т.
Если же тп = я/2, то имеется два кратчайших пути, соединяю-
соединяющих т и п,—это две полупрямые с началом в точке т и кон-
концом в точке п.
19.1.2.2. Группа изометрий. По определению метрики на Р
группа изометрий Is (Р) содержит подгруппу РО (Е) (см. § 14.7).
279
19.1 Эллиптическая геометрия
Докажите, что на самом деле эти группы совпадают. Пусть
f?ls(P). Поскольку РО (Е)с Is (Р) транзитивно действует на Р,
можно считать, что найдется точка т, в которой f(m) = m.
Фиксируем точку х с р(х) = т. Согласно 19.1.1.3, f(tls(P)
индуцирует изометрию подмножества Bs(x, я/4), которая, со-
согласно 9.8.2, порождается единственной изометрией /gO(?).
Докажем, что / индуцирует / на всем Р, а не только на
ВР(т, я/4). Поскольку PO(?)c=Is (P), можно предположить, что
/=Id?. Тогда мы должны доказать, что если /gIs(/>) является
тождественным отображением на ВР (т, я/4), то в действитель-
действительности / тождественно на всем пространстве Р. Пусть ngP и
D — кратчайший путь, соединяющий теп. Тогда путь f (D),
, п/4)
М
м'пм"
Рис. 19.1.2
соединяющий т с f (n), тоже кратчайший и, следовательно, про-
проходит по некоторой полупрямой. Отсюда вытекает, что f(D)—D,
так как Dr\BP(m, я/4) = / (D)<=B-P (m, к/4).
Из 18.5.5 следует, что группа изометрий 2-транзи-
тивна на Р (см. по этому поводу 9.1.7).
19.1.2.3. Медиаторы. Пусть т, п ? Р, тфп. В противополож-
противоположность евклидову и гиперболическому случаям (см. 9.7.5 и 19.4,2)
медиатор \s?P: ms = ns\ двух точек т, п не является гипер-
гиперплоскостью. Действительно, согласно 19.1.1.2, для любых двух
точек х, у, таких что р(х)~т, р(у)=.п, имеем
М = {s g P: ~ms = ns} = _
: zx = zy или z(—x)=zy\).
280
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
В частности, М является объединением двух ортогональных
гиперплоскостей М', М"сР. Пересечение M'f\M" совпадает с
множеством {s?P: sm = sn = n/2\. Например, в случае d = 2
медиатор состоит из двух прямых, ортогональных друг другу
в точке пересечения.
19.1.2.4. Симметрии. В пространстве Р можно определить сим-
симметрии относительно подпространств, в частности относительно
гиперплоскостей. Вся группа Is (Я) порождается симметриями
относительно гиперплоскостей (см. 8.2.12).
19.1.2.5. Вопросы. Для расстояний между d-\-2 точками эллип-
эллиптического пространства Р можно установить некоторое универ-
универсальное соотношение, аналогичное соотношению в евклидовом
пространстве (см. 9.7.2 и 9.7.4) и на сфере (см. 18.4.7) и вывести
из него чисто метрическую характеризацию эллиптических про-
пространств; см. Г24], гл. IX — XI, а также Г421, с. 117, и
[257].
19.1.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ. ТРЕУГОЛЬНИКИ. При изуче-
изучении треугольников в пространстве Р можно предполагать, что
d = 2, поскольку любые три точки в Р порождают эллиптиче-
эллиптическую плоскость. В этом пункте, начиная с этого места, мы будем
считать, что d — 2.
19.1.3.1. Треугольником <#" = {m, n, q\ на проективной плоско-
плоскости Р будем называть тройку проективно независимых (см. 4.6.6)
точек, удовлетворяющих условиям тп < л/2, щ < я/2, qm <.п/2.
Согласно 19.1.1.5, для такого треугольника можно корректно
определить его стороны, лежащие на полупрямых; обозначим их
через М, N, Q. Углы треугольника \т, п, q\ определим как
углы между единичными векторами с началом в точках т, п, q
вдоль полупрямых, содержащих соответствующие стороны. Через
а, Ь, с обозначим длины сторон a = nq, b = qm, c = mn, а через
а, Р, у— величины углов соответственно в точках т, п, q.
19.1.3.2. Следует иметь в виду, что если задан некоторый тре-
треугольник 3~ на Р, то не всегда существует сферический тре-
треугольник на S, углы и стороны которого равны углам и сторо-
сторонам треугольника Jr. Существует несколько объяснений этого
явления. Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть
8?]я/3, я/2[. Согласно 18.6.10, существуют сферический тре-
треугольник <х, у, г> со сторонами я/3, я/3, Э и сферический
треугольник <х', у', г'у со сторонами я/3, я/3, я—8. Два тре-
треугольника \т = р(х), n = p(y),q = p(z)}u \m' = р(х'), п' = р(у'),
q' =р (г')} на Р имеют равные длины сторон, а именно я/3, я/3, Э.
Пусть (а, р, Р)—углы треугольника <х, у, гу, а (а', Р', ?>') —
углы треугольника <х', у', г'у. Очевидно, что углы треуголь-
треугольника {т, п, д\ равны (а, р, |3), а углы треугольника (m',n',qr)
равны (а', я—Р', я—13'). Заметим, что тем самым второй приз-
281
19.1 Эллиптическая геометрия
нак равенства сферических треугольников (см. 18.6.13.10(ii)) для
эллиптической плоскости Р не имеет места.
19.1.3.3. Попытаемся, наоборот, по данному треугольнику
csT = {/n, n, q\ на Р построить треугольник на S, который бы
проектировался на <?Г. Фиксируем точку x?S с р(х) = т. Су-
Существует единственная дуга Q большой окружности с началом
в точке х, такая что р (Q) = Q. Пусть у—ее конец, а М—такая
м
v
-х
т
N
Ч
п
М
Первый род
Рис. 19.1.3.3
Второй род
дуга большой окружности с началом в точке у, что р(М) = М,
и, наконец, N—такая дуга большой окружности с началом
в точке г, являющейся концом М, что р (N) = N. Конец х'дуги
W обладает тем свойством, что р(х') = т, следовательно,
х' = ±х. Условие х' = х (или х' = — х), как легко видеть, не
зависит от того, с какой из вершин начинать «поднятие» тре-
треугольника. Если х'—х, то говорят, что треугольник <f первого
рода; если же х' = —-х, то <|Г называется треугольником второго
рода. Другими словами, 3~—первого (соответственно второго) ро-
рода, если путь М U /V U Q гомотопен (соответственно не гомотопен)
нулю (см. 4.3.9.3 и 18.2.3). Для того чтобы выяснить, первого
или второго рода треугольник &Г, нужно вычислить величину
cos b cos с -f sin b sin с cos a.
282
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
Если она положительна (соответственно отрицательна), то тре-
треугольник аГ первого (соответственно второго) рода. С топологи-
топологической точки зрения существование треугольников двух родов
объясняется тем, что фундаментальная группа вещественного
проективного пространства (размерности ^ 2) состоит из двух
элементов (см. 4.3.9.3). Треугольник $~ будет первого (соответ-
(соответственно второго) рода, если петля, образованная его сторонами,
представляет нулевой (соответственно ненулевой) элемент фун-
фундаментальной группы проективного пространства Р.
Пусть $~—треугольник первого рода; определим внут-
внутреннюю часть $~ как проекцию внутренней части соответствую-
соответствующего сферического треугольника. Тогда площадь внутренней
части треугольника S~ в смысле 19.1.1.7 равна
пл (сГ) = а + C + 7—я (см. 18.3.8.4).
По поводу других свойств треугольников на Р см. 19.8.4 или
[66], с. 232—237. В частности, на Р существуют треугольники,
у которых соответственные стороны равны, а соответственные
углы различны, и, следовательно, эти треугольники не изо-
метричны.
19.1.4. ПРОЕКТИВНЫЙ ВАРИАНТ ПАРАЛЛЕЛИЗМА КЛИФФОРДА В РАЗ-
РАЗМЕРНОСТИ d=3. В случае d = 3 теорему 18.8.4 можно «опустить»
на P = P(R4) = pE3) и ее проективный вариант формулируется
в более элегантном виде, чем сферический вариант.
Пусть ?Ь = ?Ь{Р) — множество прямых в пространстве
Р. Для D, D'GiS) введем обозначение: D//D', если d(m, D') =
= d(D, D') Vm?D. Отношение •//• не является отношением
эквивалентности на множестве SD, но на ей имеются два отно-
+
шения эквивалентности •//• и •//•, для которых из условия
+ -
D//D' вытекает D//D' или D//D'. Для любой точки т?Р и про-
произвольной прямой D?S> найдутся такие однозначно определен-
+ -
ные прямые D', D", что D' Э т, D" Э т и D'//D, D"//D. Если
d(D, D')=d(D, D") и DUD', D/~/D", то О'п?" = {одна точка}.
Далее, прямые D', D"$m, обладающие тем свойством, что
D'l/D, D"//D, можно охарактеризовать так: пусть mogD, причем
d (т., D) = mum; тогда прямые D', D" ортогональны к прямой
<mQ, m> и образуют угол а = тот с плоскостью <D, m>.
Конечно, имеют место аналоги и утверждений (v), (vi)
теоремы 18.8.4.
19.1.5. примечание. Об аналогичной метрике на комплексных
проективных пространствах см. 19.8.22.
[19.1.6. Интересен вопрос о реализации эллиптической
геометрии в евклидовом пространстве, т. е. вопрос об изомет-
283
19.2 Определение моделей ^ и ,53
рических погружениях или вложениях эллиптических прост-
пространств в виде поверхностей в многомерные евклидовы простран-
пространства. Поэтому поводу см. с. 46—49 в работе: Громов М. Л., Рох-
Рохлин В. А. Вложения и погружения в римановой геометрии.—
УМН A970), т. 25, № 3, с. 3—62.—Ред.]
II. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
19.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ 5* И Si
19.2.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. До конца этой главы фиксируем следую-
следующие обозначения. Пространство R"+1 мы отождествляем с про-
произведением R"xR, а для его элементов используем обозначение
5 = (г, t), г € R", t?R. Через Н обозначается гиперплоскость
п
{(г, t): t = \], а через q—квадратичная форма—2 xj
i= 1
сигнатурой A, и). Далее, Р—полярная форма к q, a Q=
изотропный конус для q. Следовательно,
2n+1
q{z, t) = -\\z
P((z, t), (z', O) = -(z|z') + «'-
Пусть 3B = U @, l)cR" — открытый единичный шар в R". Проек-
Проективная группа РО(а) квадрики а с уравнением q обозначается
G (п). Пространство P"(R) = /> (Rn+1) отождествляется с множе-
множеством Gn+1, j = ® (Rn+1) всех одномерных подпространств в Rn+1.
19.2.2. МЕТРИКА. Действие группы G (п) на 3) (Rn+1) имеет три
орбиты (см. 13.7.1): множество изотропных прямых, множество 51
прямых, на которых форма q положительно определена, и еще
множество всех прямых, на которых q отрицательно определена.
Первый случай реализуется группой Mob (d), изученной в § 18.10,
см. 18.Ю.1.5. Второй случай будет изучен далее. Третий случай
мы рассмотрим в гл. 20.
19.2.3. Итак, через S* мы обозначаем множество всех прямых
Dg®(Rn+1), таких что ^(|)>0 VEgD\0. Из неравенства
q(l = (z, t)) = — ||S|2 + tf2>0 вытекает, что t^=0. В частности,
D=r| пересекает Н в единственной точке (z/t, 1), которая,
сверх того, удовлетворяет условию ||г/^|[<1. Тем самым опре-
определено отображение
19.2.4. Ф:
Ф(р(г, t)) = z/t,
которое биективно. Введем обозначение: Ф~1 = Л.
Для наглядности лучше всего отождествить 5В с мно-
множеством В" = {(г, t)?H: ||z|]<l}cz#, что мы иногда и будем
делать.
284
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
Рис. 19.2.4
19.2.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть D, D' ?9*. Всякая плоскость, про-
проходящая через D и D' (если D^=D', то она определена одно-
однозначно), пересекает Q по двум различным прямым U, U'. Для
любых %?D\0, t'&D'\0 имеем
Последнее выражение обозначим через d(D, D'). Эта функция
задает на 3* структуру метрического пространства. Построен-
Построенное метрическое пространство C>, d) называется гиперболическим
V
S
Рис. 19.2.5
пространством размерности п в модели 3*. Гиперболическим
пространством в модели SB называется множество SB с метрикой
d(z, z') = d (Л (г), Л (г')). Если d=\ (соответственно d = 2),
то говорят о гиперболической прямой (соответственно о гипербо-
гиперболической плоскости).
285
19.2 Определение моделей 3* и SB
Двойное отношение, о котором здесь идет речь, опре-
определено на проективной прямой, порожденной двумерным век-
векторным пространством (плоскостью) Р, натянутым на прямые D
и D' (если они различны). Все характеристические свойства
метрики, кроме неравенства треугольника (которое будет дока-
доказано в 19.3.2), вытекают из 13.8.6 и 13.8.9, если только известно,
что Р—артинова плоскость, а это является следствием 13.4.7,
поскольку сужение q на Р невырожденно и сигнатура не может
равняться ни B, 0), ни @, 2).
19.2.5.1. Примечание. Сравните сказанное выше с 11.9.4.
19.2.6. ПРИМЕР. Пусть z?SB; тогда если положить г = d@, г), то
ar ch
|zfl = thr.
Отсюда следует, что d @, г) стремится к бесконечности, когда
|| г |—>• 1. Читатель может задаться вопросом о полноте гипербо-
гиперболического пространства.
19.2.7. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Повторим 19.1.1.4, заметив
прежде всего, что I1 — гиперплоскость в R"+1 для любого |,
такого что ?(Е)>0 (согласно 2.4.8.2). Касательным расслоением
к 3*, обозначается Т5*, называется факторпространство множе-
множества пар (|, и) с q (?) = 1 и и ? ^х по следующему отношению
эквивалентности: (?, ы)~(|', и'), если S'=e| и и' =еы, где
е = ±1. Касательным пространством к Эъ в точке D, обозна-
обозначается TD!P, называется подмножество в Т55, состоящее из клас-
классов эквивалентности таких пар (|, и), что ^(|j = l и | ? D. Оно
обладает структурой антиевклидова пространства, т. е. снабжено
отрицательно определенной квадратичной формой. Действительно,
при 9©>0 сужение q на |J-, согласно 13.4.7, отрицательно
определено, и поэтому —Id j_ является изометрией пространства
I-1- относительно метрики q\\L. В частности, можно определить
угол между двумя векторами из TD3*. А именно, пусть этим
векторам соответствуют пары (|, и) и (|, а); тогда угола^[0, зх]
между ними определяется формулой
19.2.8. cosa = — P (и, v)/]/'q (и) q (v).
19.2.9. В модели S3 касательное пространство в точке г^ЗВ
определяется как перенесенный отображением Ф образ касатель-
касательного пространства к Л (г); оно отождествляется с R". Заметим,
что углы в TZ3B не совпадают с углами в евклидовом простран-
пространстве R", кроме случая г = 0, в чем читатель может убедиться
самостоятельно. Это одна из причин введения новых моделей
% и Ж, в которых гиперболические углы совпадают с евклидо-
евклидовыми; но зато при переходе к этим моделям теряется важное
свойство моделей 5s и SB, состоящее в том, что пряные в этих
моделях совпадают с обычными прямыми (см. 19.6.2).
286
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
19.2.10. ПРЯМЫЕ И ПОЛУПРЯМЫЕ. ПОДПРОСТРАНСТВА. В модели 3>
прямой называется любое непустое пересечение У с проективной
лрямой из Рп(Щ. Прямые в модели 33 получаются как образы
прямых в модели 3* при отображении Ф. Следовательно, они
являются открытыми интервалами, концы которых—две различ-
различные точки сферы S" — границы 33.
Полупрямой с началом D в .модели 3> называется мно-
множество прямых, порожденных векторами !• ch г + ы sh <, при усло-
Рис. 19.2.10
вии что q{l) = l, q(u) = ~\ и «??¦*-, когда / пробегает R + .
Касательным вектором к этой полупрямой называется класс
эквивалентности пары (|, и).
При помощи отображения Ф перенесем понятие полу-
полупрямой в модель 33. В этой модели полупрямыми будут полу-
полуоткрытые интервалы, один из концов которых, принадлежащих
интервалу, лежит в 33, а другой в S"~l.
Углом между двумя полупрямыми с одним и тем же
началом (как в модели Зъ, так и в 33) называется угол между
их касательными векторами в смысле 19.2.7 (по поводу модели
33 см. 19.2.9).
Через две различные точки в 3* или 93 проходит одна
и только одна прямая. Через них проходит также единственная
полупрямая, если принять одну из данных точек за ее начало.
В модели 33 очевидным образом определяются подпро-
подпространства размерности k; подпространство размерности /г—1
называется гиперплоскостью.
19.2.11. ПРИМЕЧАНИЕ. О вопросах, аналогичных 9.7.4, 18.4.7 и
19.1.2.5, см. 19.8.16 и гл. XII из [24]. (См. также [16]. — Ред.)
19.3 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Пусть даны точки г, г', z" ?33, причем гфг\ z^z". Положим
d(z', г") = а, d{z", г) = Ь, d (г, г') = с, и пусть а —угол в точке
г между полупрямыми с началом в г, проходящими через z' и
287 19.3 Основная формула и ее следствия
г". Тогда
19.3.1.
с—sh b she cos a
Доказательство получается вычислением, аналогичным 18.6.8.
Пусть D = A(z), D'=A(z'), D" = A(z")- Выберем \?D, и, v^l1,
k, h?R+ таким образом, что q(l)=l, q(u) = q(v) =—1 и
Рис. 19.3.1
l'=l + ku?D', l" = Z + hv€D". Согласно 19.2.5, 19.2.8, поскольку
k, /i?R+, получаем последовательность равенств:
п Ср'\ 1 Ь2 п ipi\ 1 иг Ги . '
Ч \Ъ ) — » к , Ч v» / — 1 п ' LI1 ^ — уг ,2 >
k , , 1
shc = -
P(u, v) = — cos a,
, \—kh cos а
cha= -
с—sh&shccosa.
19.3.2. СТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА. Поскольку ^
2з= — 1, то cha ^ch bch c + sh bsh c = ch (b-\-c). Следовательно,
a^b-\-c, так как гиперболический косинус является возраста-
возрастающей функцией. Кроме того, эта функция строго возрастает,
поэтому равенство а = Ь-\-с возможно лишь в том случае, если
cosa= — 1, т. е. а = зх. Другими словами, точка z в 33 лежит
на интервале, соединяющем г' и г".
Отсюда следует, что для двух произвольных точек г,
z'?33 существует единственный кратчайший путь между ними.
Таким путем является отрезок [г, г'], пробегаемый в одном нап-
направлении. Его длина равна d (г, г'). Следовательно, эта метри-
метрика в 33 является превосходной и, значит, внутренней (см. 9.9.4.5).
Таким образом, прямые в гиперболической геометрии, как и
прямые в евклидовых аффинных пространствах, реализуют ми-
минимум расстояний между своими точками. В противоположность
19.1.1.6 в гиперболической геометрии через точку г,не принад-
238
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
лежащую прямой А, проходит бесконечно много прямых, ие пе-
пересекающих А. Они образуют множество прямых, лежащих
между двумя крайними такими прямыми; см. рис. 19.3.2.
ч
Рис. 19.3.2
19.3.3. ПРИМЕРЫ
19.3.3.1. Расстояние до прямой. Положим в формуле 19.3.1 а —
= я/2; тогда
cha = chbchc, откуда а^-Ь,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда г' =
= г. (Вспомнив предостережение, сделанное в 19.2.9, обратим
внимание на то, что условие ортогональности прямых геометри-
Рис. 19.3.3
чески означает для двух прямых с началом в г их сопряжен-
сопряженность относительно окружности S1; при п = 2 сопряженность от-
относительно окружности понимается в смысле 10.7.11.) Итак,
полностью доказано утверждение, аналогичное 9.2.2, поскольку
для данной прямой А и данной точки г", в силу компактности
289
19.4 Группа изометрий
(см. 19.2.6), существует такая точка г^А, что d(z, z") =
= d{z", A).
В противоположность случаю евклидовой плоскости
имеет место следующее свойство расстояний: пусть г?А, г'?Д',
причем d(z, z')=d(A, А'); тогда в точках гиг' углы, обра-
образуемые А и А' с прямой <г, г'>, равны я/2, но d (w, A') >
>d(A, А') при любых w?A\z (см. также 19.8.8 и 19.8.11).
19.3.3.2. Длина кривой. Окружности. Длина кривой легко вы-
вычисляется в полярных координатах; см. 19.8.18. Под окруж-
окружностью на гиперболической плоскости понимается множество
точек {z^33: d(z, za) = r\. Ее длина равна 2nshr. На евклидо-
евклидовой плоскости длина окружности равна 2яг, а на сфере S2 она
равна 2nsinr. В модели 33 окружности изображаются эллипсами
(см. 19.8.12), но в моделях Чо м &€ гиперболическим окруж-
окружностям соответствуют евклидовы окружности (см. 19.6.8.2)
19.3.4. треугольники. Из 19.3.1 непосредственным вычислением
получаем, что для треугольника со сторонами а, Ь, с и углами
а, р, у на гиперболической плоскости имеют место следующие
соотношения:
sin a sin
sin у
sh b sh с
19.3.5. sha
cos a = sin p sin у ch a—cos p cos y.
Читатель может исследовать самостоятельно, какой
вид принимают в ЗЬ все те факты, которые мы узнали раньше
о треугольниках в евклидовой и сферической геометриях: форму-
формулы из § 10.3, 10.13.2, 18.6.13, построение треугольников по
данным элементам, признаки равенства (изометричности) тре-
треугольников, пересечение в одной точке медиан, биссектрис и
высот. В случае биссектрис он может поискать связь между пе-
пересечением биссектрис и теоремой Брианшона (см. 16.2.13, а
также фронтиспис книги [66]). Если в треугольнике заданы три
угла, то 19.3.5 позволяет найти его стороны. Интересная до-
дополнительная формула будет дана в 19.5.4. Можно также обра-
обратиться к аналитическому методу, изложенному в гл. XII книги
[66].
19.4 ГРУППА ИЗОМЕТРИЙ
19.4.1. Группа Is (Si) всех изометрий пространства Si содержит,
конечно, подгруппу, полученную из G (п) при отображении Ф
(см. 19.2.1). Эту подгруппу мы снова несколько незаконно обо-
обозначим G (п): достаточно воспользоваться 19.2.3 и 19.2.5, по-
поскольку метрика на S3 определяется исходя из q, а G (п) сохра-
сохраняет q по определению. После небольшого отклонения в сторону,
полезного для других целей, мы увидим, что в действительности
Is C3) = G(n).
290
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
19.4.2. СИММЕТРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ГИПЕРПЛОСКОСТИ. МЕДИАТОРЫ.
Пусть г\—такой вектор, что g(r|)<0; тогда tj-1—гиперплоскость
в R"+1 и, согласно 13.4.7 и § 19.2, г\^- П 53 — гиперплоскость в
3*. В модели 33 получим гиперплоскость Ф(х\А-Г\Зу). Соответ-
Соответствующая ортогональная симметрия (см. 13.6.6 и 14.7.4) про-
пространства Р" (R) принадлежит группе PO(a) = G(n). Это инво-
лютивная изометрия пространства 5s, множество неподвижных
точек которой совпадает с ц1 Л 5*- В модели S3 (или 5*) такие
изометрии называются симметриями относительно гиперплоскости
W =Ф (г\± Г\ Р) (или rj-L n ^)- В частности, d(a, z) = d(a, f (z))
Va^W, Vz?33. Обратно, для любых а, b?33 ca^b существует
единственная гиперплоскость f cS, такая что симметрия от-
относительно нее переставляет а и Ь. Кроме того, W = {z?S3:
d(a, z)=d(b, z)\. Говорят, что W — медиаторная гиперплоскость
для а и Ь. Чтобы доказать наше утверждение, достаточно взять
такие |?Л(а), |'?Л(&), что q{?,) = q(t') и г| = ? —?'. Согласно
13.4.7, q(|—?') < 0. Значит, симметрия относительно гиперпло-
гиперплоскости W в модели 33, в силу 13.6.6.2, переводит точку а в Ь.
W
В модели 58
В пространстве Рп(Ю
Рис. 19.4.2
Кроме того, равенство d(a, z) = d(b, z), где г = Ф(Я?), согласно
19.2.5, эквивалентно равенству Р (I, ?) = Р (?', ?), откуда
P&-V, 0 = 0, т. е. ?€E-5')х-
Определим в S3 симметрию относительно гиперплоско-
гиперплоскости чисто геометрически. Пусть со — полюс W относительно S"
(см. 10.7.11; если W содержит 0 — центр S3, то со—бесконечно
удаленная точка в направлении №-*-); тогда симметрия / отно-
относительно гиперплоскости W отображает z ? S3 в такую точку
/ (г) прямой <со, г>, что четыре точки со, <со, г> П W, z, f (г) на-
находятся в гармоническом отношении. Действительно, это выте-
вытекает из 14.7.4 и § 15.5.
291
19.4 Группа изометрии
19.4.3. ПРИМЕР: СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА. Из 19.4.2 и 19.3.3.1 вытекает,
что если даны две различные точки a, b?S3, то существует
единственная точка т, такая что d(m, a) = d(m, b) = ~d(a, b).
Это точка пересечения отрезка [a, b] с медиаторной плоскостью
точек а и Ь. Геометрически середину т отрезка [о, Ь] можнэ
Рис. 19.4.3
построить, исходя из инволюции прямой <а, by, которая опре-
определяется двумя парами точек (а, Ь) и (и, о), где и и v—точки
пересечения прямой <a, by со сферой S".
19.4.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть (z,-),-=1,..., п+1 — аффинно независи-
независимые точки в S3. Если d(z, zt) = d\z', zt) Vt = 1 n+l, mo
z = z'. Далее, пусть (г,-),-^,..., k и (z'i)t=i k—такие два набора
точек из 93, что d (zh zj) = d \z\, z)) Vi, / = 1, . . ., k; тогда найдется
такое отображение f?G(n), что /(г,) = г'г Vi=l, ..., k.
Это утверждение доказывается аналогично 9.7.1 (с ис-
использованием предыдущих замечаний о медиаторах).
19.4.5. СЛЕДСТВИЕ. Is(S) = G(n).
19.4.5.1. Примечание. В частности, группа Is (S3) действует 2-
транзитивно (см. 9.1.7).
19.4.6. ВЫВОДЫ
19.4.6.1. Из доказательства 19.4.4 вытекает, что всякий элемент
группы Is (S3) является произведением не более чем n+l сим-
симметрии относительно гиперплоскостей. Отметим, что 13.7.12 дает
симметрии не обязательно относительно гиперплоскостей: если
гиперплоскость ц± в Rn+1 задана условием <7(г|)>0, то мы по"
лучаем симметрию, относительно некоторой точки из S3, а именно
точки Ф (Rii).
19.4.6.2. Из 13.7.1 вытекает, что для двух fe-мерных подпро-
подпространств в S3 всегда найдется некоторая изометрия f?lsE3),
переводящая их друг в друга. Отсюда помимо прочего следует,
что индуцированная на таком подпространстве метрика d является
метрикой ^-мерного гиперболического пространства (рассмотрите
подпространства, проходящие через начало О ?33).
19.4.6.3. Так же как в 18.5.8, можно доказать, что с точностью
до скалярноге множителя метрика d является единственной
292
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
внутренней метрикой на 33, инвариантной относительно группы
Is E3).
19.4.6.4. Группа Is (93) изоморфна группе Mob (п—1) (см. §18.10),
но она действует на 33 (или на З3, или на 'б и Ж, которые бу-
будут обсуждаться ниже) совсем по-другому, чем на S".
19.4.6.5. Подгруппа изотропии Is0 C3) точки г естественным
образом изоморфна ортогональной группе О (TZ33), действующей
в касательном пространстве (см. 19.2.7). Подгруппа изотропии
точки 0 отождествляется с О(п), поскольку можно взять ? =
= @, 1), а тогда |-L = Rn.
19.4.6.6. Группа Is (S3) сохраняет углы, так как, по определе-
определению, их сохраняет группа G (п) (см. 19.2.7).
19.4.7. КОМПАКТНЫЕ ПОДГРУППЫ В Н(93). Все элементы каждой
из таких подгрупп имеют общую неподвижную точку. Действи-
Действительно, используя 19.3.1, легко проверить, что середина двух
точек (см. 19.4.3) удовлетворяет условию 9.8.6.5.
19.5
КАНОНИЧЕСКАЯ МЕРА НА 93
19.5.1. предложение. Всякая инвариантная относительно \sC3)
мера на 93 имеет вид kfaa, где &(;R+, со—мера Лебега в R",
суженная на 93, а К —функция г>—>A—|zj2)~(d+1>''2. Инвариант-
Инвариантная мера на 93 называется канонической, если k=l, т. е. коэф-
коэффициент пропорциональности между канонической мерой и со в
0 принимает значение 1.
Доказательство того, что всякая мера на 93, инва-
инвариантная относительно ls(93), имеет вид gco, где g: 33—> R*—
непрерывная функция, уже было намечено в 2.7.4.4 и 18.3.7.4;
здесь надо еще использовать то, что группа Is C3) непрерывно
действует в каждой точке из 33 по любому направлению. Эти
же рассуждения доказывают пропорциональность любых двух
инвариантных мер, поскольку группа \s(93) действует транзи-
тивно и, следовательно, коэффициент пропорциональности должен
быть постоянным. Итак, остается лишь проверить инвариантность
Ясо относительно группы lsC3). Эта мера инвариантна относи-
относительно подгруппы изотропии lsQC3) = O(n) (см. 19.4.6.5), по-
поскольку норма [| • ||2 инвариантна относительно группы О (п).
Следовательно, достаточно показать, что для любой точки г ? 33
найдется такая изометрия f? Is (93), что /*(Ясо) = Ясо и /@) = г.
Очевидно, что достаточно ограничиться лишь точками вида
(х, 0, ..., 0). Рассмотрим отображение
х2
x-isht+cht'
t + ch t '' ' '
293
19.5 Каноническая мера на Si
Оно индуцировано на 93 отображением F: R"+1
ным формулой
(хг, .. ., хп, xn+1)i >
R'1+1, задан-
задани оставляющим инвариантной квадрику
п
п "V Г2 _1 Г2
1=1
Вычисляя матрицу Якоби, составленную из частных производных
/ в точке 0 = @, ..., 0), получим, что det /' @) = (ch t)~id+1) и,
следовательно, /*(Хсо) = Ясо, причем это справедливо для всех t.
Поскольку
,..., 0) = (с^, о,..., о),
утверждение справедливо для всех точек (х, 0, .. ., 0)?93.
19.5.2. ПРИМЕР. Пусть аГ—треугольник на гиперболической
плоскости 33, углы которого равны а, р, я/2. Тогда
19.5.3. пл(сГ) = |—а—р.
Поскольку группа Is (93) действует транзитивно, до-
достаточно вычислить площадь треугольника, вершины которого
имеют координаты @,. 0), (и, 0), (и, м/sina). Действительно,
углы в точках 0 и (и, 0) равны а и л/2 соответственно, по-
поскольку углы в точке @, 0) в модели 93 совпадают с евклидо-
евклидовыми углами, а угол в (и, 0) равен я/2 как в 93, так и в R2.
294
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
Согласно 19.2.6, u = thb, где b—сторона, противолежащая углу
Р, и, в силу 19.3.5, ch 6 = cos C/sina. В полярных координатах
(р, Э) каноническая мера имеет вид A—p2)~3//2pdpd0. Поэтому
а и 'ccs 6
u/cos 8
= arcsin (sin a ch b)—а =
= arcsin (cos P)—а = -^—p—a.
19.5.4. СЛЕДСТВИЕ. На гиперболической плоскости площадь тре-
треугольника 3~ с углами а, р, у равна
пл (аГ) = л—а—C—у.
Разрежем данный треугольник на два прямоугольных
треугольника, что можно сделать в силу 19.3.3.1, и к каждому
из полученных треугольников применим формулу 19.5.3.
19.5.5. ПРИМЕЧАНИЕ. В 18.3.8.6 приведена общая формула, для
которой 19.5.4 является только весьма частным случаем. Отме-
Отметим также, что для всякого треугольника 3
R"
19.6 КОНФОРМНАЯ МОДЕЛЬ
19.6.1. Рассмотрим стереографическую проекцию /: S"\v
ич северного полюса v. Обозначим через 2czS" южную полу-
полусферу без экватора:
Пусть л — проекция (г, t)i—>г пространства Rn+1 на R". Сужение
л на 2 биективно; пусть g—обратное к нему отображение.
Положим
93
93, Q^S
Отображения Н, п биективны. Конформной моделью % гипербо-
гиперболического пространства называется множество 93, снабженное
метрикой б, определенной равенством б(х, y) = d(Q(x), Q{y)), где
d—гиперболическое расстояние в модели 93.
295
19.6 Конформная модель
19.6.2. В модели % понятия прямой, полупрямой, касательного
вектора и угла определены перенесением этих понятий посред-
посредством отображений В, Q из модели S3. Отметим, что как мно-
множества модели 93 и 'в совпадают, но в модели % прямые в смысле
гиперболического пространства уже не являются аффинными пря-
прямыми. Действительно, пусть А — прямая в модели 93, лежащая
на аффинной прямой Л, которая пересекает S" в точках и, v;
тогда g(A)—окружность на S", пересекающая S^ в точках и, v
под прямым углом. Следовательно, 3(Д) = /(§(А)) — окружность
Рис. 19.6.2
в R", которая пересекает S"'1 в точках и, v под прямым углом
(см. 18.1.4.3).
Итак, прямыми в модели % служат открытые дуги
окружностей, пересекающие S"~l под прямым углом. Полуоткры-
Полуоткрытые дуги таких окружностей называются полупрямыми.
19.6.о. Докажем, что величины углов в модели % те же самые,
что и в R"; тем самым будет оправдано название «конформная
модель». Для этого потребуется следующее утверждение.
19.6.4. ЛЕММА. Пусть h—симметрия относительно гиперплоско-
гиперплоскости Wxz33; тогда Eo/toQ является сужением на % инверсии про-
пространства R", полюс которой совпадает с полюсом гиперплоско-
гиперплоскости W относительно сферы S"~l, причем S" инвариантна
относительно этой инверсии при условии, что W имеет полюс.
В противном случае, т. е. когда W проходит через центр 0?#,
отображение EohoQ = h есть евклидова симметрия относительно
гиперплоскости W.
Последнее утверждение этой леммы очевидно. Пусть
w—полюс W относительно «S". Через W обозначим гиперпло-
гиперплоскость в R"+1, проходящую через W и ортогональную к R". Она
является полярной к w относительно Sn. Согласно 19.4.2, если
296
Гл. 19, Эллиптическая и гиперболическая геометрии
z €33, Q = <w, zyf\W, то [х, в, z, h(z)] = — \. Следовательно, g(z)
и g(h(z)), согласно 14.5.2.6, лежат на одной прямой с w. Итак,
инверсия k сферы S" с полюсом в точке w (см. 18.10.1.4) пере-
переводит точку g(z) в точку g(h(z)); но fokof-1 — инверсия R" с по-
полюсом в точке w, и S"'1 инвариантна относительно этой инверсии.
h(z) в
W
Hz)
Рис. 19.6.4
19.6.5. ТЕОРЕМА. Группа Is (#) порождается следующими ото-
бражепиями: сужениями на % инверсий пространства R", отно-
относительно которых множество % инвариантно и полюсы которых
не лежат в <ё\ симметриями относительно гиперплоскостей,
проходящих через 0.
Это вытекает из 19.6.4 и 19.4.6.1.
19.6.6. Отметим, что группа Is(#) возникает как продолжение
на множество # (внутреннюю часть сферы S"'1) группы Mob (п— 1),
или, по-другому, Mob (п—1) есть продолжение по непрерывно-
непрерывности на сферу S"—границу % — группы Is (%).
19.6.7. СЛЕДСТВИЕ. Модель % конформна, т. е. евклидовы и гипер-
гиперболические углы в этой модели совпадают.
Действительно, евклидовы и гиперболические утлы
совпадают в точке 0 модели Si, а следовательно, и в точке О
297
19.6 Конформная модель
модели Ч, и теперь наше утверждение следует из того, что (в силу
19.6.5, 8.6.6 и 10.8.5.2) группа Is(#) сохраняет углы.
19.6.8. ПРИМЕРЫ ИЗ ПЛОСКОЙ ГИПЕРБОЛ И ЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Итак,
в модели % углы можно «видеть», поэтому модель # весьма
практична.
19.6.8.1. Например, в модели % площадь треугольника очень
легко вычисляется по формуле 19.5.4. Легко построить три окруж-
Орицикл
Рис. 19.6.8
ности Г, Г', Г", которые ортогональны S1 и попарно касаются
друг друга в точках их пересечения с 51; поэтому на % (или
на ЗВ\) существуют треугольники со сколь угодно малыми углами.
В частности, верхняя грань площадей треугольников на % равна
п, но она никогда не достигается. Рассмотрим заштрихованную
область на рис. 19.6.8. Длины ее сторон бесконечны, однако
площадь конечна и равна я,
19.6.8.2. Окружности. Согласно 19.3.3.1, всякая окружность
с центром в точке а^.'ё (см. 19.3.3.2) перпендикулярна всякой
прямой, проходящей через а. В силу утверждений § 10.10, в ка-
298
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
честве окружностей модели % можно взять окружности из пучка,
содержащего S1, для которого точка а является предельной.
Итак, окружности в модели % совпадают с евклидовыми окруж-
окружностями.
19.6.8.3. Орициклы. В предыдущем пункте получена интерпрета-
интерпретация евклидовых окружностей, лежащих внутри S1. А что пред-
представляют окружности, лежащие внутри S1, но касающиеся S1
в некоторой точке w? Очевидно, что такая окружность Г орто-
ортогональна любой прямой в %, для которой w—бесконечно уда-
удаленная точка. Следовательно, Г—окружность, центр которой
находится в бесконечности; но при этом Г не является прямой
в модели %. Очевидно, что Г можно получить как предел окруж-
окружностей, проходящих через точку а, когда их центры уходят
в бесконечность вдоль прямой <а, о>>. Такие кривые на плоско-
плоскости 'ё называются орициклами. Они играют важную роль в раз-
различных приложениях гиперболической геометрии; см., например,
[3], с. 52 и приложение 20.
В качестве упражнения читателю предлагается дока-
доказать, что орициклы (горе-циклы)х) в модели 93 представляются
эллипсами, соприкасающимися с S1.
19.6.9. формулы. Отображение Q из 19.6.1 задается формулой
При п = 2 после отождествления R2 с С можно надеяться, что
элементы группы Is (#) имеют простые выражения через комп-
комплексную переменную г. И действительно, элементы группы Is+ (#)
являются сужениями на # = {г: | г | < 1} отображений С —* С вида
l+70z
Э вещественно и
1= 1.
(См. [51], с. 192 русского перевода, а также 6.8.16.) (Или см.
[37*]. —Ред.)
19.6.10. МЕТРИКА В МОДЕЛИ #. Возникает естественное желание
иметь возможность вычислять в модели % расстояния между
двумя точками при помощи евклидовой структуры этой модели.
Пусть а, Ь?93, а и, v—точки пересечения прямой <о, by с 5".
Имеем (см. 19.2.5) d(a, b) = у | log ([«, v, a, 6])|. Из определений
отображения g (см. 19.6.1) и двойного отношения (см. 6.2.4), а
также из соотношений (см. рис. 19.6.10)
av \g(a)vj '
bv
/gF)
\g(b)
г) В оригинале: horicycles (horribles cvcles!).— Прим. ред.
299
19.6 Конформная модель 'ё
S'1
Рис. 19.6.10
вытекает, что [и, v, a, b] — [u, v, g(a), g(b)]2,. Из доказательства
18.10.7 получаем искомую формулу для гиперболического рас-
расстояния:
19.6.11. б(х, у).=
log — \у~
xvlyvj
где и, v—точки S"'1, в которых окружность, ортогональная
к S"'1 и проходящая через х, у, пересекает 5". Действительно,
Рис. 19.6.11
согласно 18.10.7, ц(а, Ь, с, й) — инвариант относительно любой
инверсии пространства R'\ в частности относительно стереогра-
стереографической проекции (см. также 16.8.6).
Пример. Формула 19.6.11 позволяет более серьезно, чем в 19.6.8.2,
исследовать структуру окружностей в модели <ё.
19.6.12. ЗАМОЩЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ. Пусть р, q,
г—три целых числа 2^3, такие что —| 1—< 1. Согласно
19.3.4, на гиперболической плоскости в модели % существует
i&r<^fcJL—«^^
Рис. 19.6.12.1
Рис. 19.6.12.2
Из книги [64]
Рис. 19.6.12.3
Рис. 19.6.12.4
М. Эшер. Предельная
окружность. Двуцветная
гравюра на дереве, 1960 г.
Escher Foundation—Haags
Gemeen tenmuseum— Гаага
302
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
303
треугольник <ff~, углы которого равны а = п/р, $ = n/q, y = n/r.
Можно показать, что симметрии относительно сторон треуголь-
треугольника ?Г порождают в группе Is(#) дискретную подгруппу, кото-
которая дает замощение плоскости # (см. [194], а также указанные
там ссылки). Следовательно, рассматриваемая ситуация очень
сильно отличается от случая евклидовой или эллиптической
геометрий (см. 1.8.6, 1.7.4, 1.8.2): в гиперболической геометрии
имеется бесконечно много типов замощений плоскости.
Можно рассматривать замощения плоскости 'б много-
многоугольниками, а не только треугольниками (рис. 19.6.12.2). Эти
замощения интересны не только с эстетической точки зрения;
они имеют также важное значение в анализе (фуксовы группы
Пуанкаре; см., например, [194]) и в дифференциальной геомет-
геометрии, где с их помощью строятся компактные многообразия по-
постоянной отрицательной кривизны (достаточно взять многоуголь-
многоугольник с 4k сторонами, после склейки которого получается тополо-
топологическая сфера с k ручками; см. 12.7.5.4); см., например, [243],
с. 93 русского перевода (или [18*], с. 556—592. — Ред.).
По поводу обязательно непериодических (см. 1.7.2)
замощений гиперболической плоскости мы сошлемся на рабо-
работу [197].
19.7 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ- ДРУГИЕ МОДЕЛИ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
19.7.1. МОДЕЛЬ Ж ИЛИ ПОЛУПРОСТРАНСТВО ПУАНКАРЕ. Эту новую
модель мы построим, исходя из модели #, при помощи инверсии
пространства R" с полюсом на S". Внутренняя часть сферы
5", совпадающая с #, отобразится на открытое полупростран-
полупространство Ж, ограниченное гиперплоскостью Н—образом S" при
рассматриваемой инверсии. Назовем Ж полупространством Пуан-
Пуанкаре (или полуплоскостью, в случае когда п = 2). При этом,
конечно, подразумевается, что на Ж с помощью указанной инвер-
инверсии перенесены из # метрика, понятия углов, прямых и полу-
полупрямых. Построенная модель гиперболического пространства
конформна.
Эта модель чуть менее удобна, чем #, в одном отно-
отношении: чтобы все понятия и результаты имели единообразный
характер,'к Н необходимо добавить бесконечно удаленную точку.
Иначе приходится, например, рассматривать в этой модели пря-
прямые двух сортов: окружности и прямые, ортогональные к Н (мы
снова вернемся к Н [) оо в § 20.1 и 20.6). И даже группа Is (Ж)
продолжается не на Н, а только на Н [) °° (см. 19.6.6).
Напротив, во многих ситуациях вычисления проще
всего проводить в модели Пуанкаре, а не в других моделях.
Случай п = 2 особенно хорош тем, что на основе этой модели
можно построить элементарное изложение гиперболической гео-
19.7 Заключительные замечания
н
п-\
я
Рис. 19.7.1
метрии. Лучше всего положить
Ж=[г?С: Rez>0}.
Тогда элементы группы Ъ(Ж) представляются в виде дробно-
линейных отображений
г1-*тй^. а, Ь, с, d?R, ad—bc>0,
az + b
-
cz + d
a, b, с, d€R, ad—be <0
(из этой записи ясно виден изоморфизм между Is (Ж) и GPA; R);
см. 18.10.4 и 5.2.4). В этой модели инвариантная мера имеет
совсем простой вид: -^-^ .
19.7.2. другие МОДЕЛИ. По аналогии с гл. 18 можно было бы
в качестве модели гиперболической геометрии взять связную ком-
компоненту Е гиперповерхности в R"+1, задаваемой уравнением
q (g) = 1 (см. 15.4.3). В этом случае необходимо снабдить Е не
внутренней метрикой, отвечающей индуцированной метрике из
R"+1 (см. 9.9.7 и 18.4.3), а римановой метрикой, которая полу-
получится, если наделить каждое пространство ТХЕ, х?Е, евклидо-
евклидовой структурой, индуцированной сужением —q на I-1-.
304
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
Рассмотрим для простоты поверхность в R3; если мы
хотим, чтобы ее внутренняя метрика, отвечающая индуцирован-
индуцированной метрике из R3, совпадала с метрикой гиперболической пло-
плоскости, то можно взять поверхности вращения, изображенные на
Рис. 19.7.2
Из книги [145]
рис. 19.7.2. Однако такие модели будут только локальными.
Впрочем, теорема Гильберта утверждает, что 3i в целом нельзя
реализовать ни на какой поверхности в R3; см., например, [148],
с. 476. (См. также [15*], с. 304.— Ред.) Описанные выше модели
принадлежат Бельтрами. Исторически первые модели Лобачев-
Лобачевского и Больяи были аксиоматическими.
19.7.3. ПРИМЕЧАНИЯ. Гиперболическая геометрия применяется
в анализе (см. [251], гл. IV, и [1*]), теории чисел (см. [220]),
в дифференциальной геометрии (см. [117], с. 193 русского пере-
перевода, и [18*]), в эргодической теории (см. [3] и [25*]) и, нако-
наконец, в теории относительности, в которой группа Лоренца есть
не что иное, как группа О (q) при п = 3 (см., например, [39*].—
305
19.8 Упражнения
Ред.). Гиперболическая геометрия занимает прочное место во мно-
многих недавних исследованиях; см., в частности, работы Терстона
о диффеоморфизмах поверхностей (Seminaire d'Orsay 76/77, Aste-
risque 1979).
Укажем теперь источники по самой гиперболической
геометрии: довольно элементарное, но очень удачное с педагоги-
педагогической точки зрения изложение см. в [42]; полный список фор-
формул содержится в [66]; см. также [121] и особенно [113]. (Доба-
(Добавим еще [4*], [15*], [17*]—[19*], [23*].—Ред.)
В 12.11.4.3 мы уже отмечали, что на гиперболическое
пространство можно обобщить изопериметрическое неравенство
12.11.1.
Аксиоматическое изложение гиперболической геометрии
можно найти в гл. VI книги: Borsuk К., Szmielew W., Founda-
Foundations of Geometry.
19.8 УПРАЖНЕНИЯ
19.8.1. Для данных k точек mi в эллиптическом пространстве
исследуйте множество \т: тт1~ . .. =mmk\.
19.8.2. Пусть D, D'—две прямые эллиптического пространства.
Исследуйте множество {т: d(m, D) = d(m, D')}. Отдельно рас-
рассмотрите два случая: d = 2 и d^3.
19.8.3. Изучите на эллиптической плоскости понятие полярных
треугольников.
19.8.4. Найдите признаки равенства треугольников на эллипти-
эллиптической плоскости.
19.8.5. Разрежем эллиптическую плоскость на треугольники.
Пусть а, а, ср—соответственно число вершин, сторон и треуголь-
треугольников. Докажите, что всегда о—1
Рис. 19.8.8
Рис. 1?.8.9
19.8.6. Докажите, что конформные отображения эллиптического
пространства в себя исчерпываются его изометриями.
19.8.7. Вычислите на гиперболической плоскости четвертый угол
четырехугольника, у которого три угла прямые и известны две
стороны а и Ь, прилежащие к этим углам.
306
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геэметрии
19.8.8. Докажите, что на гиперболической плоскости в модели S3
угол а между двумя крайними прямыми, параллельными данной
прямой А (см. 19.3.2) и проходящими через данную точку г,
зависит только от d(z, A) = h. Выразите а как функцию h.
19.8.9. В моделях S3 и % найдите геометрический способ по-
построения общего перпендикуляра в к двум прямым Л, А' на
гиперболической плоскости.
19.8.10. Докажите 19.6.9 и формулы из 19.7.1.
19.8.11. Пусть на гиперболической плоскости S3 задана прямая Л.
Исследуйте множество Ah — \m^S3: d(m, A) = h\ (/i(ER+); пока-
покажите, что оно является объединением кусков коник. Изучите
семейство Ah, когда h пробегает R+ (нарисуйте чертеж). Про-
Проделайте все то же самое на модели #. Сравните полученные
результаты.
Рис. 19.8.11
Рис. 19.8.13
Из книги [145]
19.8.12. Пусть на гиперболической плоскости 9В задана точка т.
Докажите, что множество {г?0В: d(z, m) = r) есть эллипс в R2.
Изучите это семейство эллипсов, когда г пробегает R+ (изобра-
(изобразите чертеж).
19.8.13. Объясните рис. 19.8.13.
19.8.14. Вычислите в явном виде отображение S из 19.6.1.
19.8.15. Докажите, что метрика, индуцированная из % (как под-
подмногообразия) на сфере 2, касающейся внутренним образом Sn~^
(это так называемая орисфера—обобщение орицикла из 19.6.8.3
на случай п;>3), задает на #Г|2 структуру метрического про-
пространства, изометричного R". В частности, если обитатели %
живут только на 2, то они не смогут узнать о том, что про-
пространство гиперболическое. Если же, напротив, имеется возмож-
возможность перемещаться по всему пространству #, то как узнать (и
даже локально), что пространство % неевклидово?
19.8.16. Докажите, что в гиперболическом пространстве размер-
размерности п для любых n-f-2 точек z,- (t = l, ..., /г + 2) выполняется
307
19.8 Упражнения
соотношение
det(ch [d(z,, г,.)]) = 0.
19.8.17. Определим на множестве S3 новую метрику d равенством
d(x, y) = kd(x, у) (k
Докажите, что для кф\ пространство (S3, d) не изометрично
(93, d). Определите углы в (S3, d). Выясните, какие изменения
надо сделать в формулах для вычисления элементов треуголь-
треугольников. Посмотрите, что дают эти формулы при k—>-oo.
19.8.18. Пусть на гиперболической плоскости S3 задана кривая
класса С1 в полярных координатах (p(t), d(t)). Докажите, что
длина ее дуги от t = a до t = b вычисляется по формуле
г >V2+P2(i-p2)e'3
19.8.19. Изучите в эллиптическом пространстве утверждения
9.8.1—9.8.5.
19.8.20. Пусть задано целое число п^З. Исследуйте на гипер-
гиперболической плоскости n-угольники, у которых все стороны равны
между собой, а все углы равны 2я//г. Выясните вопрос о суще-
существовании и единственности таких многоугольников в зависимо-
зависимости от п.
19.8.21. ТЕОРЕМА ПЛОТНОСТИ. Докажите, что в любом множестве
из девяти точек на эллиптической плоскости найдется хотя бы
один треугольник с периметром ^я (см. [24], с. 262).
19.8.22. МЕТРИКА ФУБИНИ —ШТУДИ НА ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАН-
ПРОСТРАНСТВЕ Р"(С). Пространство Рп(С) будем представлять как фактор-
пространство сферы S2n+1cC+1 = R2«+2 по отношению эквива-
эквивалентности, определенному в 4.1.1. Через
я: 52n+l —> Р" (С)
обозначим каноническую проекцию. Для каждой пары точек т,
п б Р" (С) определим вещественное число d(m,n), полагая
d(m, п) = d (л~1 (т), лг1^)), где d—внутренняя метрика сферы
S2"+1. Докажите, что d задает на пространстве Рп (С) структуру
метрического пространства. Исследуйте кратчайшие пути на
Р"(С) и рассмотрите вопрос об их единственности.
Обобщите все это на случай пространства Рп(Н).
19.8.23. Что изображено на рис. 19.6.12.3?
19.8.24. РАВНОСТОРОННИЕ ПОДМНОЖЕСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПРО-
ПРОСТРАНСТВА. Равносторонним подмножеством в метрическом про-
пространстве мы называем такое подмножество {m,J-, = i „, что все
расстояния d(mhmj) (i < /) равны между собой. Докажите, что
308
Гл. 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии
на эллиптической плоскости Р имеются равносторонние подмно-
подмножества из трех точек, попарные расстояния между которыми
могут принимать любое значение от 0 до я/2. Классифицируйте
их относительно действия группы Is(P). Докажите, что Р со-
содержит равносторонние подмножества из четырех точек с по-
попарными расстояниями, равными arccos A/1^3) или arccos(l/|/).
Дайте их классификацию относительно действия группы Is(P).
Покажите, что с точностью до изометрии плоскость Р содержит
только одно равностороннее подмножество из пяти точек и одно
из шести точек, причем попарные расстояния в обоих множест-
множествах равны arccos П/]/) (см. [24], с 211—214).
19.8.25. Докаж! те, что для любого треугольника в гиперболи-
гиперболическом пространства выполняются неравенства
№ + с2—2Ьс cos а < а2 < Ь2 + с2 + 2bc cos (|3 + у).
Выясните этот вопрос для сферических треугольников.
19.8.26. Рассмотрим трехмерное гиперболическое пространство %
и в нем фиксированную точку р. Для всякого правильного мно-
многогранника Р в R3 и любого t > 0 осуществим следующую кон-
конструкцию U(P,t). Пусть а—центр Р, (&,-) — его вершины. По-
Построим сначала на плоскости 'ё проходящие через точку р полу-
полупрямые (D,), углы между которыми попарно равны углам между
полупрямыми аЬ{. Затем на каждой полупрямой Dt выберем точ-
точку qt(t) на расстоянии t от р.
Докажите, что если bt принадлежит одной и той же
грани многогранника Р, то соответствующие qi (t) лежат в одной
и той же корректно определенной плоскости (подпространстве
размерности 2) в %. Назовем эти плоскости гранями tl(P,t).
Докажите, что, когда t стремится к бесконечности,
двугранный угол между двумя смежными гранями П (Р, t) стре-
стремится к некоторому пределу, причем он является рациональ-
рациональным кратным я.
Найдите Put, для которых возможно замощение
пространства # «блоками» П(/>, t).
Глава 20 Пространство сфер
20.1 Пространство обобщенных
сфер
20.2 Фундаментальная квадра-
квадратичная форма
20.3 Ортогональность
20.4 Пересечение сфер и угол
между двумя сферами
20.5 &-сферы и пучки
20.6 Круговая группа Conf (Ё)
20.7 Полисферические коорди-
координаты
20.8 Упражнения
В § 18.10 и 19.2 мы уже встречались с группой G (п) (или
Mob («)), действующей на сфере S" и на открытом единичном
шаре В@, \) = ЗВ в R". В первом случае речь идет о действии
п
на изотропном конусе квадратичной формы </ = — 2 JC!~r~Jcn+ii a
во втором — на прямых, на которых положительно определено
сужение формы q. Что можно сказать о множестве прямых, на
которых сужение формы q отрицательно определено?
Целью настоящей главы является доказательство того факта,
что это множество прямых естественным образом отождествляется
с пространством сфер в некотором евклидовом аффинном про-
пространстве. Проективная техника позволяет построить стройную
теорию Пространства сфер и, в частности, восполнить отсутст-
отсутствие единой теории, которую мы хотели получить уже начиная
с гл. 10. Трудность геометрии сфер объясняется тем, что
множество прямых, где форма q отрицательно определена,
устроено сложнее, чем множество прямых, на которых она по-
положительно определена.
После того как установлены объекты исследования и язык,
все результаты геометрии сфер выводятся из развитой ранее
Проективной геометрии и теории квадратичных форм. Как обычно,
в качестве премии мы получим некоторые другие результаты,
например что циклиды содержат шесть семейств окружностей,
(см. § 20.7).
20.1 ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ СФЕР
20.1.1. Пусть дано евклидово аффинное пространство ?; поста-
поставим задачу изучения множества всех сфер в Е. Идея геометри-
геометрического подхода к этой задаче состоит в использовании стерео-
стереографической проекции /: S—>¦? сферы S (без северного полюса)
на пространство Е. Как видно из рис. 20.1.1, сферам в Е можно
поставить в соответствие точки пространства Ё, в котором осу-
осуществляется рассматриваемая стереографическая проекция. Имен-
Именно, отобразим каждую сферу ас? в вершину w конуса, касаю-
касающегося S по сфере /-1 (а). В принципе всю дальнейшую теорию
можно было бы построить исходя только из этой конструкции.
Однако она имеет два неудобства; во-первых, выбор сферы S и
отображения / не связан канонически с Е и. во-вторых, при-
310
Гл. 20. Пространство сфер
311
20.1 Пространство обобщенных сфер
ходится использовать бесконечно удаленные точки пространства
? и строить обобщения рассматриваемых объектов на этот слу-
случай. Эта ситуация, впрочем, близка к рассмотренной в 18.10.2.
Рис. 20.1.1
20.1.2. Мы избежим всех этих неудобств, если воспользуемся
алгебраическими средствами, хотя бы для того, чтобы хорошо
расположить изучаемые объекты. Идея состоит в том, чтобы
представить сферу как аффинную квадрику и соответственно
рассматривать ее как точку в проективном пространстве всех
аффинных квадратичных форм на ?. Основной полезный факт
состоит в том, что в рассматриваемом пространстве имеется
каноническая квадратичная форма, соответствующая сфере 5 как
образу в конструкции 20.1.1. Эта конструкция сначала может
показаться искусственной, но мы надеемся, что читатель оценит
все эти построения должным образом после того, как будут до-
доказаны окончательные теоремы.
20.1.3. ОБОЗНАЧЕНИЯ. На протяжении всей этой главы ? обозна-
обозначает n-мерное евклидово аффинное пространство, a Q (?)—век-
(?)—векторное пространство аффинных квадратичных форм на Е. Каждой
—> —>-
форме q g Q (?) поставим в соответствие ее символ <7 € Q (E) следую-
следующим образом. Пусть пространство Е векторизовано в некоторой
точке а ? Е; тогда q можно представить как q2 + qt -f q0, где qQ ? R,
q-t^E'a, a q2 отождествляется с q (см. § 3.3). Надо иметь в виду,
что следующие наши построения отличаются от построений гл. 15,
в которой аффинное пространство X пополнялось гиперплос-
гиперплоскостью оох, состоящей из бесконечно удаленных точек; здесь Е
пополняется только одной бесконечно удаленной точкой оо.
Анализируя доказательство, приведенноев 10.7.6, видим,
что в Q (Е) естественно ввести в рассмотрение следующее век-
векторное подпространство:
20.1.4. S(E)={q^Q(E):q =
, k?R\.
Подпространство S (Е) имеет размерность я+ 2. Наш предыду-
предыдущий опыт изучения проективных и аффинных квадрик подска-
подсказывает, что полезно ввести проективное пространство
20.1.5. р: S (Е)\0 — Р (S (?)) = S (?).
Множество S (?) называется пространством обобщенных сфер
из ?; S (?) — вещественное проективное пространство размерности
п-\-\, являющееся проективным подпространством в PQ (?)
(см. § 14.1).
20.1.6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ. Какой геометрический образ
определяет A.?S(?)? Так же как и в 10.7.6, можно написать
()
уравнение для К в пространстве Еа:
20.1.7. q = k\\f+(a\-)+h,
где ag?, /igR. Случай & = 0, а=^0 приводит нас к аффинной
гиперплоскости в ?, если же ? = 0, а= 0, то пф 0, и мы при-
приходим к пустому множеству 0. При &=^0, как мы уже видели
в 10.7.6, получается сфера, точка или пустое множество 0. Из
10.7.6 и предыдущих рассуждений вытекает, в частности, что
если \т(к)ф0, то К корректно определяется своим геометри-
геометрическим образом irn(A,).
Введем обозначения: G — множество аффинных гипер-
гиперплоскостей в пространстве ?, 2— множество сфер положитель-
положительного радиуса в Е. Из предыдущего вытекает, что имеется инъ-
инъекция
20.1.8.
i:
где инъекция на Е получается при рассмотрении каждой точки
из ? как «сферы нулевого радиуса» с центром в этой точке.
Дополнение к i B U E U в) в S (?) состоит из точек двух сортов:
точки, соответствующей уравнению д=1, и множества точек,
соответствующих уравнению q = k\-f-\-(a\-)-\-h, при условии
что |а||2 — Akh < 0 (их можно интерпретировать как «сферы чисто
мнимого радиуса =^=0»). Точку первого типа из дополнения к
i (Б U ? U в) в 5 (?) обозначим оо ? S (?) и назовем бесконечно
удаленной точкой в ?. Очень часто с помощью вложения i мно-
множества 2 и ? отождествляют с соответствующими подмножест-
подмножествами в S(E). Положим
20.1.9. ? = ? U оо cS(?), <5" (?) = 2 и Ё U OczS(E).
312
Гл. 20. Пространство сфер
313
20.3 Ортогональность
В этом месте нужно обратить внимание на то, о чем мы преду-
предупреждали в 20.1.3. Что касается мотивировок, то введение этих
объектов оправдывается многочисленными следствиями, и в част-
частности конструкции из 20.1.1 тоже могут их объяснить.
20.2 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
20.2.1. ЛЕММА. Пусть форма q записана в Еа в виде 20.1.7;
тогда величина
не зависит от а, а зависит только от q?S(E). Она определяет
на S (?) квадратичную форму с сигнатурой (п-\-\, 1), которая
называется фундаментальной квадратичной формой пространст-
пространства S (Е).
Этот результат можно угадать, поскольку из 10.7.6
видно, что р (q) странным образом напоминает квадрат радиуса
сферы q~1@). Это можно проверить (с применением переноса;
см. 2.1.8) прямым вычислением. Построенная форма имеет сиг-
сигнатуру (п+1, 1), поскольку [|а|2 дает п положительных членов,
a 4?fr= (k-\-hJ—(k—hJ—один положительный и один отрица-
отрицательный (см. 13.4.7). Полярную форму, отвечающую квадратич-
квадратичной форме р, обозначим R (¦, •). Имеем
20.2.2. R(klf + (a\ f
Например, если q, q имеют в качестве образов сферы с цент-
центрами в точках а, а' и радиусами г, /¦', то расстояние между их
центрами удовлетворяет соотношению
20.2.3. d*(a, a') = ^ + r"~-^R(q,q').
20.2.4. Фундаментальной квадрикой в S (?) называется квадрика
с уравнением р; иногда, допуская вольность, мы ее также будем
обозначать через р. Это проективная квадрика в S(E). Поляр-
Полярность или двойственность относительно этой квадрики (см. § 14.5)
будем обозначать символом -_L-. Мы уже знаем (см. 14.3.3 или
§ 18.10), что геометрический образ, определяемый р, гомеомор-
фен сфере S". Из предыдущего следует (см. 10.7.6), 4Toim(p)=?.
Это означает, что вложение i: E—>-S(?) является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом на свой образ i (Е) и Е—одноточечная компактификация
по Александрову пространства ? с помощью точки оо. Это вло-
вложение было уже анонсировано в 10.8.4.2; его изучение мы за-
закончим в 20.6.3.
20.2.5. Из 10.7.6 вытекает, что точки пространства S(E), отве-
отвечающие q?S(E), для которых р(^)<0, описывают сферы чисто
мнимого радиуса, а множество точек, для которых р(^)>0,
совпадает с множеством 2 и ©, т. е. они описывают истинные
сферы и гиперплоскости. Замена р и —р приводит к форме с
сигнатурой A, п+1), и из § 19.2 вытекает, что сферы чисто
мнимого радиуса образуют гиперболическое пространство раз-
размерности n-f-1, но это как раз то подмножество в S (?), которое
нас сейчас не интересует. Множество ? имеет геометрию сферы
S" с группой Mob (n) (см. 19.2.2 или § 18.10). Это позволяет
также ввести конформную (или круговую) группу пространства Е,
обозначаемую Conf(?), которая будет подробно изучена в § 20.6.
Наконец, нас интересует в первую очередь геометрия простран-
пространства <У{Е).
20.2.6. Геометрия & (Е) устроена достаточно сложно, как уже
можно было ожидать по 10.8.4.2. Во-первых, топология of (E)
совпадает с топологией вещественного проективного пространст-
пространства с одной выброшенной точкой; оно допускает ретракцию на
вещественное проективное пространство на единицу меньшей раз-
размерности, которое неодносвязно (уже P2(R) с одной выброшен-
выброшенной точкой гомеоморфно листу Мёбиуса; см. 4.3.9.1). Во-вторых,
на of (E) квадратичная форма р всюду положительна, а на пря-
прямых из S(E), соединяющих две точки из S(?), она может
принимать как положительные, так и отрицательные значения
(см. 20.4.2).
оо
Рис. 20.2.7
20.2.7. Из 20.2.2 и 14.5.2.1 вытекает, что в U °° есть в точности
касательная гиперплоскость к ? в точке оо.
20.3 ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
Из 20.2.2, 20.2.3 и 10.7.10.2 прямой проверкой получается сле-
следующее утверждение.
20.3.1. ЛЕММА. Для s, s'?aP(E) условие ортогональности (sj_sr)
относительно фундаментальной квадратичной формы р эквива-
эквивалентно одному из следующих утверждений:
314
Гл. 20. Пространство сфер
если s, s' g 2, mo s, s' ортогональны в смысле 10.7.10.2;
если sg2, s'?9, то s'—диаметральная плоскость
сферы s;
если s, s'?6, то s, s' —две гиперплоскости, ортого-
ортогональные в евклидовом смысле;
если s (; 2 (J в, s' ? E, то s' принадлежит s;
если s ? 2 U в, s' = oo, то s?0.
Итак, мы видим, что ортогональность в смысле S(E),
за небольшими исключениями, выражается через ортогональность
в евклидовом смысле. Чтобы избавиться от исключений, доста-
достаточно определить для s^S(E) ее образ im (s)сЁследующей таб-
таблицей:
im(s) =im(s), если s?2;
20 3 2 I im^ =im(s)Uoo, если sg6;
im (oo) = oo; im (s) = s, если s?E;
irn(s) = 0, если im (s) = 0 и s^=oo.
В этих обозначениях точкам из im (s)c:S(E) можно
дать следующую интерпретацию, проистекающую из 20.3.1.
20.3.3. ЛЕММА. Множество im (s), s^S(E), совпадает с Efts1-,
или, что то же самое, это множество точек касания конуса
с вершиной s, описанного вокруг сферы Ё.
Рис. 20.ТЗ
315
20.4 Пересечение сфер и угол между двумя сферами
20.3.4. ПРИМЕР. Центр сферы s лежит в точке из Ё, отличной
от оо, в которой прямая <s, oo> пересекает Ё.
Действительно, центр ш сферы s характеризуется тем,
что всякая проходящая через него гиперплоскость ортогональна
к s в евклидовом смысле. Следовательно, согласно предыдущему,
множество таких гиперплоскостей совпадает с
co-Lne=co-i-n°o-L = (cooo)± (см. 14.5.2.3);
иными словами, s J_ (оэоо)-1-, а это означает, что sgcooo.
20.3.5. Из предыдущего вытекает, что гиперплоскости в Е явля-
являются сферами с центром в оо. Что касается самой точки оо, то
она является одновременно особой гиперплоскостью (оо?в) и
особой сферой (оо??), радиус которой равен нулю, а за центр
можно принять любую точку (см. [185], мысль № 72, с. 121
русского перевода).
20.4 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕР И УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ СФЕРАМИ
20.4.1. Пусть теперь s, s'€Su©, a q, q' — их уравнения. Что
означает выражение R (q, q')lVp (q) p (?')? В нашем распоряже-
распоряжении нет ни предложения 19.2.5, ни утверждения 8.6.3. Это
выражение на самом деле зависит от проективной прямой ss' =
= <s, s'y, точнее от того, пересекает она Ё или нет. Из клас-
классической теории уравнений второй степени вытекает такое утверж-
утверждение.
20.4.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть s, s' € 2 U в заданы уравнениями
q, q . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
проективная прямая ss' пересекает Ё не более чем
в одной точке;
\R(q, <7')|Ур(<7)Р(<?')<!;
сужение р на прямую ss' неотрицательно;
В этих случаях говорят, что сферы s, s' пересекаются. Вещест-
Вещественное число (которое обозначается [s, s']€[0, л/2] и зависит
только от s, s' и не зависит от q, q'), определенное равенством
[s, s'] = arccos(\R(q, q')\!Vp(q)p(q')),.
называется углом между s, s'.
20.4.3. Оправданием нашей терминологии служит следующее
утверждение: если т g im (s) n im (s'), то угол между касатель-
касательными гиперплоскостями Tms, Tms' (или между самими плоскос-
плоскостями im (s), im(s'), если s, s' — две гиперплоскости из в) равен
316
Гл. 20. Пространство сфер
[s, s']. В случае, когда s, s'gS, это утверждение вытекает из
20.2.3; если же s, s' — гиперплоскости, то оно совсем очевидно.
Пусть [s, s'] = 0; тогда либо s, s' касаются друг друга
в точке mgim(s) n im (s'), либо s, s'—две параллельные гипер-
гиперплоскости, если
im(s)fiim(s') = 0 (т. е. im (s)fl im (s') = oo).
При [s, s']t=n/2 снова приходим к § 20.3.
Угол [s, s']c=]O, я/2[ не обязательно совпадает с углом
из 10.7.7; этот угол нужно «вернуть» в [0, л/2], взяв разность
я—•, когда это необходимо. Это следствие перехода к проек-
проективному пространству S (Е) и желания охватить также гипер-
гиперплоскости.
Но зато для углов [•, -]6[0, я/2] очень просто реша-
решаются многие задачи, которые требовали в элементарной геомет-
геометрии весьма деликатного подхода (см., например, 10.13.20). Мы
проиллюстрируем это одним примером. Геометрическое изучение
теперь сведено к линейной алгебре.
20.4.4. ИЗОГОНАЛЬНЫЕ СФЕРЫ ДЛЯ ДВУХ ДАННЫХ СФЕР. Пусть
s, s'62ll©; тогда множество \t ? 2 и ©: [^, s] = [t, s']\ допускает
разбиение на два подмножества F, F'. А именно, существуют
Рис. 20.4.4
и, u'?S(E), для которых из t?F (соответственно t?F') выте-
вытекает, что t _|_ и (соответственно t _]_ и'). Эти обобщенные сферы
называются биссекторными сферами для s, s'.
Пусть q, q' — такие уравнения для s, s', что р (q) =
= р(<7')=1. Требуется найти сферу t с уравнением q", удовлет-
удовлетворяющим условию p(q") — l. Заметим, что наше условие [t, s] =
= [t, s'] дает \R(q, qT)\±=\R(q', q") |, т. е. либо R (q + q', q")^0,
либо R (q—q , q") = 0; значит, q + q', q—q' — уравнения сфер
и, и'.
Более общим образом в качестве упражнения читателю
предлагается исследовать множество {t: [t, s,.] = a,- Vt=l, ...
..., k\, где а,-^[0, n/2] и s,-€^U®. Рез
с 10.7.8.
езультат следует сравнить
317
20.5 /г-сферы и пучки
20.5 Л-СФЕРЫ И ПУЧКИ
Мы уже встречались в 20.4.1 с проективными прямыми в
про-
пространстве S (?)•—частным случаем пучка проективных квадрик
(см. § 14.2).
Пусть s, s'—две пересекающиеся сферы; тогда их
пересечение в общем случае совпадает с (п—2)-сферой (см. 10.7.5),
которая зависит только от проективной прямой ss'. Это оправ-
оправдывает следующее более общее определение.
20.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проективное подпространство размерности k
в S (Е) называется k-пучком сфер в Е. Обобщенной k-сферой в Е
называется (п — k—1)-пучок сфер в Е.
Таким образом, если /г = 2, ?=1, то получаем пару
точек (или 0); если же /г = 3, k=\, то получаем обычные (или
обобщенные) окружности в обычном трехмерном евклидовом про-
пространстве. Из 20.4.2 вытекает следующее утверждение.
20.5.2. Лемма. Пусть К—пучок сфер (некоторой размерности k).
Тогда Л im(s)^0 e том и только том случае, когда сужение
формы р на К либо положительно, либо равно нулю.
Согласно 20.3.3, n im(s) = E ПК1-, но, в силу 13.4.7,
р не может быть одновременно положительной или нулевой на К
и /C-l.
Рис. 20.5.3
318
Гл. 20. Пространство сфер
20.5.3. определение. Пусть К и К'—некоторые ?-сфера и k'-
сфера; число
[К, К'] = тЦ[и, и']: и?К, и'<tK'\
называется углом между К и К'¦
Этот угол, следовательно, имеет смысл лишь в неко-
некоторых случаях. Для k=\, k'=2 и п = 3 из 8.6.7 и 20.4.3 выте-
вытекает, что речь идет об обычном угле между окружностью и сфе-
сферой в евклидовом пространстве.
20.5.4. ПРИЛОЖЕНИЕ. Из предыдущего можно получить хорошее
объяснение результатов § 18.9. Действительно, пусть фиксиро-
фиксирована сфера s0 чисто мнимого радиуса. Тогда s^—гиперплоскость
в S(E), на которой р положительно определена. Следовательно,
если п = 3, то sjf—эллиптическое пространство, к которому можно
применить 19.1.4 и получить 10.12.3. Кроме того, поскольку
группа РО (р) транзитивно действует на сфере sn чисто мнимого
радиуса (см. 13.7.1), то любая пара окружностей трехмерного
евклидова пространства Е, образующая паратактическое кольцо
с углом а, получается из любой другой такой пары с помощью
некоторого элемента группы Conf (?). В качестве упражнения мы
предоставляем читателю подробно провести перевод на этот язык
всех результатов из 18.8.4.
20.5.5. ЗАЦЕПЛЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ. Пусть снова п = 3; тогда
мы можем дать следующий проективный признак зацепленности
Рис. 20.5.6
319
20.6 Круговая группа Conf (?)
двух окружностей К, К'- они зацеплены тогда и только тогда,
когда порожденная ими проективная гиперплоскость (КиК'У
не пересекает Ё.
20.5.6. КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ. Речь идет о том, чтобы выяс-
выяснить, какие положения может занимать прямая в пространстве
S (Е) по отношению к Е, оо, в, которые и порождают геомет-
геометрию в Ё. Возможны шесть вариантов, которые изображены на
рис. 20.5.6. Они дают следующие пучки сфер:
Тип
I
II
III
IV
V
VI
Расположение К
/сев, к^оо
/Сфв, /СЭоо
к$<х>, кпе =
={две точки}
Кфоо, К[]Е =
={одна точка}
/е^оо, кг\е=0
Пучок сфер
параллельные
гиперплоскости
пересекающиеся
гиперплоскости
концентрические сферы
пучок с предельными
точками
касающиеся сферы
пересекающиеся сферы
(л-2)-сфера в Е
0
проективное
подпространство
размерности (п—2)
0
0
одна точка
(п — 2)-сфера
В случае плоскости наряду с типами IV, V, VI имеются еще
три фигуры, указанные в 10.10.1. Отметим, что, согласно 20.3.1
и § 10.10, пучок окружностей, ортогональных /С, есть не что
иное, как К1. Пусть п = 2; тогда I-t- = I, II-L = III, IV-L=VI,
V-l = V.
20.5.7. ПРИМЕЧАНИЕ. Из 14.3.7 вытекает, что имеется естествен-
естественный (!) изоморфизм между пространством окружностей в трех-
трехмерном евклидовом пространстве и комплексной проективной
квадрикой С D).
320
Гл. 20. Пространство сфер
20.6
КРУГОВАЯ ГРУППА Conf (?)
20.6.1. В 20.2.5 мы уже видели, что введение проективной груп-
группы РО (р) квадратичной формы р является вполне естественным.
Согласно 13.7.1, эта группа транзитивно действует на 2 U в, так
же как и на Ё, где ее действие изоморфно действию группы
МбЬ(п). Действие РО (р) на Ё порождает группу преобразований
Conf(?), которую называют круговой группой пространства Е,
чтобы отличить ее от группы подобий Sim(?'), совпадающей
с Conf (Е) (см. 9.5.4.6). Иначе ее можно было бы назвать кон-
конформной группой пространства Ё (см. 20.6.4).
im (rtr)
fit)
т
im(m)
fit)
t с
f(t)
Рис. 20.6.2
20.6.2. Чтобы узнать, что представляют собой элементы группы
Conf (Ё), мы используем 14.7.4, откуда следует, что Conf (Ё)
порождается преобразованиями такого вида, как показанные
на рис. 14.7.4; здесь m?S (Е)\Ё, а отображение /: ti->f(t)
321
20.7 Полисферические координаты
корректно определено условием, что точки t, f(t), m лежат на
одной прямой. Если t, f(t)?E и im(m)^=0, то предыдущее
означает, что в Е три сферы: im (m) и две сферы-точки порож-
порождают пучок, а следовательно, / (t) является образом t при инвер-
инверсии относительно сферы im (/л) с полюсом в центре с этой сферы.
Продолжение / на Ё, согласно 20.3.4, определяется соотноше-
соотношениями f(c) = oo и /(оо) = с. Если im (m) — гиперплоскость, то
получается симметрия относительно нее, которая продолжается
на Ё условием /(оо) = оо. Наконец, если im(s) = 0, то речь
идет об инверсии, полюс которой совпадает с центром с сферы s,
а степень равна p(q), где <7 = ||-||2-{-(а|-)-)-^ —нормированное
уравнение сферы s. Из 14.7.4 и 13.7.12 вытекает следующее
утверждение.
20.6.3. ТЕОРЕМА. Любой элемент группы Conf (Ё) является про-
произведением не более чем п + 2 преобразований f следующего типа:
f есть либо инверсия пространства Е с полюсом с, которая про-
продолжается на Ё равенствами /(с) = оо, /(оо) = с, либо евклидова
симметрия относительно гиперплоскости, продолженная на Ё
равенством /(оо) = оо.
20.6.4. ПРИМЕЧАНИЯ. Название «круговая группа» объясняется
тем, что элементы группы Conf (Ё) преобразуют сферы в сферы
и, следовательно, окружности в окружности. Это очевидно из
самой конструкции Ё и группы Conf (Ё). Согласно 18.10.4, это
свойство характеризует круговую группу. Теперь мы полностью
доказали «хвосты», оставленные в 10.8.4 и 18.10.2.2.
Для множества ориентированных сфер также сущест-
существует своя геометрия, построенная в основном Лагерром. Идея
состоит в том, чтобы рассматривать в S (Е) полупрямые вместо
прямых, которые привели к геометрии S(E). Мы уже упоминали
об этом в 10.11.6, где читатель найдет соответствующие ссылки.
(См. также [40*].—Pea.)
20.7 ПОЛИСФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
20.7.1. Читателю достаточно бегло просмотреть не слишком
древнюю книгу, например [145], с. 52 и далее русского пере-
перевода, чтобы встретить такие координаты, как «тетрацикличес-
кие» или «пентасферические», которые использовались для изу-
изучения окружностей на плоскости или сфер в трехмерном про-
пространстве. В рамках предыдущих рассмотрений речь идет об
обычных однородных координатах в S(E), порожденных некото-
некоторым базисом в S(E), ортогональным относительно фундамен-
фундаментальной квадратичной формы р. Такие координаты мы будем
называть полисферическими. Они могут служить для изучения
сфер в Е, а также и точек Е, которые можно считать точками
322
Гл. 20. Пространство сфер
ь S(E), удовлетворяющими условию р = 0. Вот одно применение
таких координат.
20.7.2. ЦИКЛИДЫ И СЕМЕЙСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ НА НИХ. В § 10.12
мы уже встречались с довольно простыми поверхностями (чет-
(четвертой степени), связными и имеющими четыре однопараметри-
ческих семейства окружностей (параметры вещественные). При-
Примерами таких поверхностей были (круговые) торы вращения. Они
являются частным случаем более общих поверхностей четвертой
степени, которые могут содержать шесть однопараметрических
семейств окружностей. Пусть Е—трехмерное евклидово прост-
пространство. Циклидой в Е называется поверхность вида ?nim(|x),
где ц — проективная квадрика в проективном пространстве S(E).
Мы не будем заниматься систематическим изучением этих поверх-
поверхностей, а сошлемся на работу [72], с. 405—481. Рассмотрим
только циклиду, для которой |х и р одновременно приводятся
к каноническому виду (см. § 13.5). Можно считать (см. 13.4.2
я 20.2.2), что р и ц имеют вид
5
Искать окружности—это значит пытаться найти проективные
плоскости из S (Е) в пучке квадрик kp-\-h\i из S(E). В этом
пучке имеется ровно пять вырожденных квадрик:
20.7.3.
—ц, а2р —
а4р—
Согласно 14.1.7, это конусы, основаниями которых служат квад-
квадрики, лежащие в некоторой гиперплоскости. Например, квадрика
Рис. 20.7.3.1
Гис. 20.7.3 2
323
20.7 Полусферические координаты
Рис. 20.7.3.3
Рис. 20.7.3.4
а5р +[х, определяемая уравнением X (a^Jrai)z2i, является кону-
сом с вершиной в точке @, 0, 0, 0, 1), а основанием ее служит
4
квадрика 2 (а5+а?)г? в гиперплоскости г. =0. Если квадрика,
лежащая в основании, содержит прямые, то аър + \1 содержит
4
плоскости; но известно, что 2"(a6+a,-)z?=0 содержит два семей-
ства прямых, если среди чисел aB-f а,- два положительных и два
Рис. 20.7.3.5
Из книги [133]
отрицательных (см. § 14.4). Наконец, на циклиде Е Dim (^най-
(^найдем семейство окружностей в количестве, равном удвоенному
числу тех уравнений из списка 20.7.3, в которых встречаются
два плюса и два минуса. Легко видеть, что это число не пре-
превосходит 2x3 = 6, и оно в точности равно 6, например, для
квадрики 2г| + 3г1 —4г| —3zl—г|. Торы составляют часть циклид
324
Гл. 20. Пространство сфер
Дюпена, для которых по крайней мере два коэффициента а{ сов-
совпадают; это приводит, таким образом, к некоторому вырожде-
вырождению, вызывая слияние некоторых семейств.
20.8 УПРАЖНЕНИЯ
20.8.1. Укажите геометрический способ построения касательной
гиперплоскости к im(s) в S(E).
20.8.2. Объясните употребление в 20.4.4 названия «биссектор-
ные сферы».
20.8.3.. Переведите на язык настоящей главы изложенное в ра-
работе [124], с. 176—209 русского перевода.
20.8.4. Проделайте то же самое для [145], с. 40—46 и 104—109
русского перевода.
20.8.5. Проверьте, что тор является циклидой Дюпена.
Рис. 20.8.7
Из книги: Koenigs Gabriel. Lemons
de cinematique (A. Hermann,
1897)
20.8.6. Пусть С, D, С, D' — четыре окружности в Е радиусов
соответственно /% s, r', s'. Обозначим расстояние между цент-
центрами окружностей С, D (соответственно С, D') через d (соот-
325
20.8 Упражнения
ветственно d'). Докажите, что для существования отображения
/6Conf(?), такого что f(C[}D) = C'[}D', необходимо и доста-
достаточно, чтобы
2rs
2т's'
Сравните ваше доказательство с доказательством в работе [73],
с. 222.
20.8.7. (Теорема Дарбу.) Пусть три точки на данной прямой
описывают сферы, центры которых лежат на одной прямой; тогда
любая точка данной прямой описывает сферу с тем же свой-
свойством; в общем случае одна из них описывает плоскость. Най-
Найдите связь между четырьмя точками прямой и четырьмя цент-
центрами сфер, которые они описывают при изменении положения
заданной прямой.
Литература
М. Эшер. Вавилонская башня.
Гравюра на дереве, 1928.
Escher Foundation—Haags
Gemeentemuseum — Гаага
1. ANNEQUIN et BOUTIGNY. Cours de Physique, Optique.— Vuibert.
2. ARNAUDIES J.-M. Les cinq polyedres de R3 et leurs groupes,—
C.D.U.— S.E.D.E.S. Paris.
3. ARNOLD V. I., AVEZ A. Problemes ergodiques de la mecanique
classique.— Gauthier-Villars.
4. ARTIN Emil. Geometric Algebra.—Interscience. [Имеется перевод:
АРТИН Э. Геометрическая алгебра.— М.: Наука, 1969.]
5. Astronomie.— Encyclopedie de la Ple'iade.— Gallimard.
6. ATIYAH M. F., BOTT R., SHAPIRO A. Clifford Modules.—
Topology, 3, 1964—1965, supplement, p. 3—38.
7. BAER R. Linear Algebra and Projective Geometry.— Academic
Press. [Имеется перевод: БЭР Р. Линейная алгебра и проективная
геометрия.— М.: ИЛ, 1955.]
8. BANCHOFF Thomas. Non-rigidity Theorems for Tight Polyhedra.—
Archiv der Mathematik, 21, 1970, p. 416—423.
9. BANCHOFF Thomas, WHITE James. The behavior of the total
twist and self-linking number of a closed space curve under inver-
inversions.— Mathematica Scandinavica, 36, 1975, p. 254—262.
10. BAUDOIN Paul. Les ovales de Descartes et le limacon de Pas-
Pascal.— Vuibert.
11. BECKENBACH Edwin F., BELLMAN Richard. Inequalities.—
Springer. [Имеется перевод: БЕККЕНБАХ Э., БЕЛЛМАН Р.
Неравенства.— М.: Мир, 1965.]
12. BENZ WaHer. Vorlesungen iiber Geometrie der Algebren.— Springer.
13. BERARD BERGERY L., BOURGUIGNON J-P., MAZET E. Va-
Varietes a courbure negative.— Publications Mathematiques de l'Uni-
versite Paris VII, n° 8, 1981.
14. BERGER M. Lectures Notes on Geodesies in Riemannian Geo-
Geometry.— Tata Institute, Bombay.
15. BERGER Marcel, GOSTIAUX Bernard. Geometrie differentielle.—
Armand Colin.
16. BERGER M. Une caracterisation purement metrique des varietes
riemanniennes a courbure constante.— Pages 480—492 de E. B.
Christoffel (ed. P. L. Butzer & F. Feher).— Birkhauser, 1981.
17. BESSE Arthur. Manifolds all of whose geodesies are closed.— Er-
gebnisse der Mathematik, Band 93.— Springer. [Имеется пере-
перевод: БЕССЕ А. Многообразия с замкнутыми геодезическими.—
М.: Мир, 1981.]
328 Литература
18. BIANCHI L. Sulle configurazioni mobili di Mobius nelle transfor-
mazioni asintotiche delle curve el delle superficie.— Rend, del
Circolo Mat. di Palermo, 25, 1908, p. 291—325.
19. BLACK W. L., HOWLAND H. C, HOWLAND B. A Theorem
about Zigzags Between two Circles.— Amer. Math. Monthly, 81,
1974, p. 754—757.
20. BLASCHKE Wilhelm, Kreis und Kugel.— Chelsea. [Имеется пере-
перевод: БЛЯШКЕ В. Круг и шар.—М.: Наука, 1967.]
21. BLASCHKE Wilhelm, Vorlesungen iiber Differential Geometrie. II:
Affine Differential Geometrie.— Springer.
22. BLASCHKE Wilhelm. Vorlesungen iiber Differential Geometrie.
Ill: Differential Geometrie der Kreise und Kugeln.— Springer.
23. BLASCHKE W., BOL G. Geometrie der Gewebe.—Springer, 1938.
24. BLUMENTHAL Leonard M. Theory and Applications of Distance
Geometry.— Chelsea.
25. BLUMENTHAL Leonard M., MENGER Karl. Studies in Geome-
Geometry.—W. H. Freeman.
26. BONNESEN O., FENCHEL W. Theorie der konvexe Korper.—
Chelsea.
27. BONNEVAL H. Photogrammetrie generale D volumes).— Eyrolles.
28. BOREL A., HIRZEBRUCH F. Characteristic Classes and Homoge-
Homogeneous Spaces.—Amer. J. Math., 80, 1958, p. 458—538.
29. BOREL Armand. Sur l'homologie et la cohomologie des groupes de
Lie compacts connexes.—Amer. J. Math., 76, 1954, p. 273—342.
30. BOREL Armand. Sur la cohomologie des espaces fibres principaux
et des espaces homogenes de groupes de Lie compacts.— Ann.
Math., 57, 1953, p. 115—207. [Имеется перевод в сб. Рас-
Расслоенные пространства и их приложения.— М.: ИЛ, 1958, с.
163—246].
31. BOURBAKI Nicolas. Elements de mathematiques. Theorie des
Ensembles.— Hermann, 1970. [Имеется перевод более раннего
издания: БУРБАКИ Н. Теория множеств.— М.: Мир, 1965.]
32. BOURBAKI Nicolas. Elements de mathematiques. Topologie Ge-
Generale. ch. 5 a 10.— Hermann, 1974. [Имеется перевод: БУР-
БАКИ H. Общая топология.—М.: Наука, гл. 3—8, 1969;
гл. 9—10, 1975.]
33. BOURBAKI Nicolas. Elements de mathematiques. Livre II, ch.
9.— Hermann. [Имеется перевод: БУРБАКИ Н. Алгебра, гл. 9.—
М.: Наука, 1966.]
34. BOURBAKI Nicolas. Elements de mathematiques. Livre V, ch. 1,
2, 2e ed.— Hermann. [Имеется перевод: БУРБАКИ Н. Топологи-
Топологические векторные пространства.— М.: ИЛ, 1959.]
35. BOURBAKI Nicolas. Groupes et algebre de Lie. Ch. 4, 5, 6.—
Hermann. [Имеется перевод: БУРБАКИ Н. Группы и алгебры
Ли,—М.: Мир, 1972.]
329 Литература
36. BOURBAKI Nicolas. Elements de mathematiques. Algebre, ch. 1
a 3.—Hermann, 1970. [Имеется перевод: БУРБАКИ Н. Алгебра,
гл. 1—3,—М.: Физматгиз, 1962.]
37. BOURGIN D. G. Modern Algebraic Topology.—Mac Millan.
38. BROUSSE Pierre. Mecanique.—Armand Colin.
39. BROWN H., BULOW R., NEUBUSER J., WONDRATSCHEK H.,
ZASSENHAIJS M. Crystallographic groups of four-dimensional
spaces.
40. BRUHAT F., TITS J. Groupes reductifs sur un corps local. I.
Donnees radicielles valuees.— Public. Math. I. H. E. S., № 4!.
41. BURCKHARDT J. J. Die Bewegungsgruppen der K«ristallograp-
hie.— Birkhauser.
42. BUSEMANN Herbert, KELLY Paul J. Projective Geometry and
Projective Metrics.— Academic Press.
43. BUSEMANN Herbert. Convex Surfaces.— Interscience. [Имеется
перевод: БУЗЕМАН Г. Выпуклые поверхности.— М.: Наука, 1968.]
44. BUSEMANN Herbert. Recent Synthetic Differential Geometry.—
Ergebnisse der Mathematik, Band 54.—Springer.
45. CAIRNS Stewart Scott. Introductory Topology.— Ronald Press.
46. CALLAHAN Francis P. Morley polygons.— Amer. Math. Monthly,
84, 1977, p. 325—337.
47. CARATHEODORY С The most general transformation which trans-
transform circles into circles.— Bull. Amer. Math. Soc, 43, 1937,
p. 573—579.
48. CARTAN Elie. Sur les proprietes topologiques des quadriques com-
complexes. Oeuvres completes, tome I, volume 2, p. 1227—1246.
49. CARTAN Elie. The Theory of Spinors.—Hermann ou The M. I. T.
Press. Cambridge. Mass. [Имеется перевод: КАРТАН Э. Теория
спиноров.—М.: ИЛ. 1947.]
50. CARTAN Henri. Calcul differentiel.— Hermann. [Имеется перевод:
КАРТАН А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы.—М.: Мир, 1971.]
51. CARTAN Henri. Theorie elementaire des fonctions d'une ou plu-
sieurs variables complexes.— Hermann. [Имеется перевод: КАР-
КАРТАН А. Элементарная теория аналитических функций одного и
нескольких комплексных переменных.— М.: ИЛ, 1963.]
52. CASSELS J. W. S. An Introduction to the Geometry of Num-
Numbers.— Springer. [Имеется перевод: КАССЕЛС Дж. Введение в
геометрию чисел.— М.: Мир, 1965.]
53. CHEEGER Jeff, GROMOLL Detlef. On the Structure of Complete
Manifolds of Nonnegative Curvature.—Ann. of Math., 96, 1972,
p. 413—443.
54. CHERN S. S., GRIFFITHS P. Abel's theorem and webs,—Jahres-
bericht d.Deutsche Math.-Verein., 80, 1978, p. 13—110.
55. CHEVALLEY Claude. Theory of Lie Groups.— Princeton Univer-
330
Литература
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
sity Press. [Имеется перевод: ШЕВАЛЛЕ К. Теория групп Ли.—
М.: ИЛ, т. 1, 1948; т. 2, 3, 1958.]
CHOQUET Gustave. Cours d'Analyse, tome II: Topologie.— Masson.
COHEN-TANNOUDJI C, DIU В., LALOE F. Mecanique quan-
tique. Vol. 1.— Hermann.
CONNELLY Robert. A counter example to the rigidity conjec-
conjecture for polyhedra.— Public. Math. I. H. E.S., 47, 1978, p. 333—
338.
CONNELLY Robert. A flexible sphere.—Math. Intelligencer, 1,
1978, p. 130—131.
CONNELLY Robert. An attack on rigidity I, II. Preprints.—
Cornell University. [Имеется перевод в сб.: Исследования по мет-
метрической теории поверхностей.— М.: Мир, 1980, с. 164—209.]
CONZE Jean-Pierre. Le theoreme d'isomorphisme d'Ornstein et la
classification des systemes dynamiques et theorie ergodique.— Se-
minaire Bourbaki, novembre 1972.
COUDERC P., BALLICIONI A. Premier livre du tetraedre.—
Gauthier-Villars.
COXETER H.S. M., MOSER W. O. J. Generators and Relations
for Discrete Groups, 2e ed.— Springer. [Имеется перевод: КОК-
CETEP Г. СМ., МОЗЕР У. О. Дж. Порождающие элементы
и определяющие соотношения дискретных групп.— М.: Наука,
1980.]
COXETER H.S.M. Introduction to Geometry.—John Wiley.
[Имеется перевод: КОКСТЕР Г. С. М. Введение в геометрию.—
М.: Наука, 1966.]
COXETER H.S.M. Regular Polytopes.— Methuen.
COXETER H.S.M. Non-euclidean Geometry.—The University of
Toronto Press.
COXETER. H.S.M. Regular Complex Polytopes.—Cambridge Uni-
University Press.
COXETER H.S.M. The Problem of Apollonius.— Amer. Math.
Monthly, 75, 1968, p. 5—15.
CUENIN R. Cartographie generale B volumes).— Eyrolles.
DANJON Andre. Astronomie generale.—J. et R. Sennac.
DANZER L., GRUNBAUM В., KLEE V. Helly's Theorem and
its Relatives. A. M. S. Symposium on Convexity.— Proc. Syrap.
Pure Math. v. 7, 1963. [Имеется перевод: ДАНЦЕР Л., ГРЮН-
БАУМ Б., КЛИ В. Теорема Хелли.—М.: Мир, 1968.]
DARBOUX Gaston. Principes de Geometrie Analytique.—Gaut-
Analytique.—Gauthier-Villars.
DELTHEIL Robert, CAIRE Daniel. Geometrie.—J. B. Bailliere.
DELTHEIL Robert, CAIRE Daniel. Complements de geometrie.—
J. B. Bailliere.
DEMBOWSKI P. Finite Geometries.—Ergebnisse der Matheniaiik,
Band 44.—Springer.
Elements d'Analyse. Tome III.—Gauthier-
Elements d'Analyse. Tome IV.— Gauthier-
331 Литература
76. DIEUDONNE Jean. La geometrie des groupes classiques, 2e ed.—
Springer. [Имеется перевод: ДЬЕДОННЕ Ж- Геометрия класси-
классических групп.— М.: Мир, 1974.]
77. DIEUDONNE Jean. Algebre lineaire et geometrie elernentaire, 3e
ed.— Hermann. [Имеется перевод: ДЬЕДОННЕ Ж. Линейная
алгебра и элементарная геометрия.— М.: Наука, 1972.]
78. DIEUDONNE Jean. Calcul infinitesimal,—Hermann.
79. DIEUDONNE Jean. Elements d'Analyse. Tome II.—Gauthier-
Villars.
80. DIEUDONNE Jean.
Villars.
81. DIEUDONNE Jean.
Villars.
82. DIEDONNE Jean. Foundations of Modern Analysis.— Academic
Press. [Имеется перевод: ДЬЕДОННЕ Ж- Основы современного
анализа.— М.: Мир, 1964.]
83. DIEUDONNE Jean. Cours de Geometrie Algebrique (tomes 1 et
2).— Presses Universitaires de France.
84. DIEUDONNE Jean, CARRELL James B. Invariant Theory, Old
and New.— Academic Press. [Имеется перевод в книге: ДЬЕДОН-
ДЬЕДОННЕ Ж., КЕРРОЛ ДЖ., МАМФОРД Д. Геометрическая теория
инвариантов.— М.: Мир, 1974, с. 9—124.]
85. DIXMIER Jacques. Cours de mathematiques du premier cycle,
deuxieme annee.— Gauthier-Villars.
86. DORRIE Heinrich. 100 Great Problems of Elementary Mathema-
Mathematics.— Dover.
87. DOUADY Adrien. Le shaddock a six bees,— Bulletin A. P. M. E. P.,
281, 1971, p. 699.
88. DUPORCQ Ernest. Premiers Principes de geometrie moderne, 3e
ed.— Gauthier-Villars.
89. DVORETSKY Aryeh. Seme results on convex bodies and Banach
spaces: p. 123—160 in Proceedings of the International Sympo-
Symposium on Linear Spaces.— Jerusalem, 1961. [Имеется перевод в сб.:
Математика, 8:1, 1964, с. 73—102.]
90. EELLS James, KUIPER Nicolas О. Manifolds which are like Pro-
jective Planes.—Public. Math. I.H.E.S., n° 14, p. 5—46.
91. EELLS J., SAMPSON J. H. Harmonic Mappings of Riemannian
Manifolds.—Amer. J. Math., 86, 1964, p. 109—160.
92. EGGLESTON H. G. Convexity.—Cambridge University Press.
93. ELLISON W. J. Waring's problem.—Amer. Math. Montly, 78,
197!.
94. Encyklopadie der Mathematischen Wissensohafter., Geometrie,
III. 2.1— Teubner.
95. ESCHER M. С L'oeuvre graphique.—Solin, Paris.
96. FALCONER K. J. A characterisation of plane curves of constant
width.—J. London Math Soc, 1С. \9'7, p 536—538.
33? Литература
97. FEDERER Herbert. Geometric Measure Theory.— Springer.
[Готовится русский перевод.]
98. FEJES-TOTH L. Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im
Raum.— Springer. [Имеется перевод: ФЕЙШ ТОТ Л. Расположения
на плоскости, на сфере и в пространстве.— М.: Физматгиз, 1958.]
99. FEJES-TOTH L. Regular Figures.— Pergamon.
100. FILLMORE Jay P. Symmetries of surfaces of constant width.—
J. of Diff. Geometry, 3, 1969, p. 103—110.
101. FRENKEL Jean. Geometrie pour l'eleve-professeur.— Hermann.
102. FULTON William. Algebraic Curves.—Benjamin.
103. GARDNER Martin. Extraordinary nonperiodic tiling that enriches
the theory of tiles.— Scientific American, January 1977.
104. GELBAUM Bernard D., OLMSTED John M. H. Counter-examples
in Analysis.— Holden-Day. [Имеется перевод: ГЕЛБАУМ Б.,
ОЛМСТЕД Дж. Контрпримеры в анализе.— М.: Мир, 1967.]
105. Geometric Inequalities (BOTTEMA et alia).—Wolters-Noordhoof.
106. GERARDIN Paul. Mathematiques Elementaires Approfondies.
Cours polycopie, Universite Paris VII.— U. E. R. de Mathematiques.
107. GIBBONS J. C, WEBB С Circle preserving maps of spheres.
Preprint.— Illinois Institute of Technology, Chicago.
108. GLUCK, Herman. Almost All Simply Connected Closed Surfaces
are Rigid.— University of Pennsylvania. [Имеется перевод в сб.:
Исследования по метрической теории поверхностей.— М.: Мир,
1980, с. 148—163.]
109. GODEAUX Lucien. Les geometries.—Arniand Colin.
110. GONSETH F. Un theoreme relatif a deux ellipsoides confocaux.—
Bull, des Sciences Math., 42, 1918, p. 177—180, 193—194.
111. GRAMAIN Andre. Topologie des surfaces.— Presses Universitaires
de France.
112. GREENBERG Marvin J. Lectures on Algebraic Topology.— Benjamin.
113. GREENBERG Marvin J. Euclidean and Non-Euclidean Geo-
Geometry, Development and History.—-Freeman & Co., 1980.
114. GRIFFITHS Phillip A. Variations on a Theorem of Abel.—
Inventiones Math., 35, 1976, p. 321—390.
115. GRIFFITHS P., HARRIS S. On Cayley's Explicit. Solution to
Poncelet's Porism.—L'Enseignement Math., 24, 1978, p. 31—40.
116. GRIFFITHS P., HARRIS J. Principles of Algebraic Geometry.—
Wiley, 1978. [Имеется перевод: ГРИФФИТС Ф., ХАРРИС ДЖ.
Принципы алгебраической геометрии. Т. 1, 2.— М., Мир 1982.]
117. GROMOLL D., KLINGENBERG W., MEYER W. Riemannsche
Geometrie im Grossen.— Lecture Notes in Mathematics. № 55.—
Springer. [Имеется перевод: ГРОМОЛ Д., КЛИНГЕНБЕРГ В.,
МЕЙЕР В. Риманова геометрия в целом.— М.: Мир, 1971.]
118. GRUNBAUM В., SHEPHARD G. С. The eighty-one types of
isohedral tilings in the plane.— Math. Proc. Cambridge Phil Soc,
82, 1977, p. 117—196.
333 Литература
119. GRUNBAUM В., SHEPHARD G. С The 91 types of isogonal
tiling in the plane.—Trans. A. M. S., 242, 1978, p. 335—354.
120. Grundziige der Mathematik, Band IV: Praktische Methoden und
Anwendungen der Mathematik.— Vandenhoeck and Ruprecht.
121. GUGGENHEIMER Heinrich W. Plane Geometry and its Groups.—
Holden-Day.
122. GUICHARDET A. Calcul integral.— Armand Colin.
123. HADAMARD Jacques. Lecons de geometrie elementaire. Tome 1,
10е ed.— Armand Colin. [Имеется перевод 2-го издания: АДА-
MAP Ж. Элементарная геометрия. Ч. I.— М.: Учпедгиз, 1957.]
124. HADAMARD Jacques. Lecons de geometrie elementaire. Tome II.
7e ed.—Armand Colin. [Имеется перевод: АДАМАР Ж- Элемен-
Элементарная геомгтрия. Ч. II.— М.: Учпедгиз, 1958.]
125. HADWIGER H. Vorlesungen uber Inhalt, Oberflache und Iso-
perimetrie.— Springer. [Имеется перевод: ХАДВИГЕР Г. Лекции об
объеме, площади поверхности и изопериметрии.— М.: Наука, 1966.]
126. HALL M. The Theory of Groups.—Mac Millan. [Имеется перевод:
ХОЛЛ М. Теория трупп,—М.: ИЛ, 1962.]
127. HARDY G. H., WRIGHT E. M. An Introduction to the Theory
of Numbers.— Oxford University Press.
128. HARDY G. H., LITTLEWOOD J. E., POLYA G. Inequalities.—
Cambridge University Press. [Имеется перевод: ХАРДИ Г. Г.,
ЛИТТЛЬВУД ДЖ. Е., ПОЛНА Г. Неравенства,—М.: ИЛ,
1948.]
129. HARTMAN P. On Isometries and Theorem of Liouville,—Math,
Zeitschrift, 69, 1958, p. 202—210.
130. HAUPT O., KUNNETH H. Geometrishe Ordnungen.—Springer.
131. HELGASON Sigurdur. Differential Geometry and Symmetric Spa-
Spaces,—Academic Press. [Имеется перевод: ХЕЛГАСОН С. Диф-
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.— М.:
Мир, 1964.]
132. HERSCH Joseph. Quatre proprietes des membranes spheriques
homogenes,— C.R.A.S., 270, 1970, p. 1714—1716.
133. HILBERT D., COHN-VOSSEN S. Geometry and the Imagi-
Imagination.—Chelsea. [Имеется перевод: ГИЛЬБЕРТ Д., КОН-ФОС-
СЕН С. Наглядная геометрия.— М.: Наука, 1981.]
134. HILTON P. J., WYLIE S. Homology Theory.—Cambridge Uni-
University Press. [Имеется перевод: ХИЛТОН П., УАЙЛИ С. Тео-
Теория гомологии.— М.: Мир, 1956.]
135. HOCKING John G., YOUNG Gail S. Topology.—Addison-Wesley.
136. HODGE W.V.D., PEDOE D. Methods of Algebraic Geometry.—
Cambridge University Press. [Имеется перевод: ХОДЖ В., ПИ-
ДО Д. Методы алгебраической геометрии. Т. 1, 2.— М.: ИЛ,
1954; т. 3, 1955.]
137. D'HOLLANDER Raymond. Topoiogie Generate. Tome I: Gene-
ralites, Mesure des angles et des distances.— Eyrolles.
334
Литература
138. HUGHES Daniel R., PIPER Fred С Projective Planes.—Springer.
139. HURWITZ M. A. Sur quelques applications geometriques des
series de Fourier.—Ann. Ecole Norm., 19, 1902, p. 357—408.
140. HUSEMOLLER Dale. Fibre Bundles.— McGraw Hill. [Имеется
перевод: ХЬЮЗМОЛЛЕР Д. Расслоенные пространства.— М.:
Мир, 1970.]
141. ILLIOVICI G., ROBERT P. Geometrie.— Eyrolles.
142. JOEDICKE Jiirgen. Les structures en voiles et coques.—Vincent,
Freal et Cie.
143. KAZARINOFF Nicholas D. Geometric Inequalities.—Random
House.
144. KLEIN Felix. Lectures on the Icosahedron.— Dover.
145. KLEIN Felix. Vorlesungen iiber hohere Geometrie.— Springer.
[Имеется перевод: КЛЕЙН Ф. Высшая геометрия.— М.— Л.:
ГОНТИ, 1939.]
146. KLINGENBERG Wilhelm. Eine Vorlesung iiber Differential Geo-
Geometrie.— Springer.
147. KLINGENBERG Wilhelm. Paare symmetrischen und alternierenden
Formen zweiten Grades.— Abhand!. Math. Sem. Hamburg, 19,
1955, p. 78—93.
148. KLOTZ-MILNOR Tilla. Efimov's Theorem about Complete Immer-
Immersed Surfaces of Negative Curvature.— Advances in Math., 8, 1972,
p. 474—543.
149. KOBAYASHI Shoshichi, NOMIZU Katsumi. Foundations of Dif-
Differential Geometry. V. I.— Interscience. [Имеется перевод: КО-
БАЯСИ Ш., НОМИДЗУ К. Основы дифференциальной геометрии.
Т. 1.—М.: Наука, 1981.]
150. KOBAYASHI Shoshichi, NOMIZU Katsumi. Foundations of Dif-
Differential Geometry. V. II.— Interscience. [Имеется перевод: КО-
БАЯСИ Ш., НОМИДЗУ К. Основы диффенциальной геометрии.
Т. 2.—М.: Наука, 1981.]
151. KREE P. Introduction aux mathematiques et a leurs applications
fondamentales, M.P. 2.— Dunod.
152. LANG Serge. Elliptic Functions.— Addison-Wesley. [Готовится
русский перевод.]
153. LANG Serge. Analysis II,—Addison-Wesley.
154. LEBESGUE Henri. Lecons sur les constructions geometriques.—
Gauthier-Villars.
155. LEBESGUE Henri. Les coniques,— Gauthier-Villars.
156. LEBESGUE Henri. Octaedres articules de Bricard.— L'Enseigne-
ment math. 13, 1967, p. 175—185.
157. LEHNER Joseph. A Short Course in Automorphic Functions.—
Holt Rinehart and Winston.
158. LEHNER Joseph. Discontinuous Groups and Automorphic Func-
Functions.— Math. Surveys, Number VIII, Amer. Math. Society.
335 Литература
159. LEKKERKERKER G. G. Geometry ot numbers. — Walters-Noord-
hoff.
160. LELONG-FERRAND Jacqueline. Geometrie differentielle.—Mas-
son.
161. LELONG-FERRAND Jacqueline. Transformations conformes et
quasi-conformes des varietes riemanniennes compactes.— Memoires
Acad. Royale Belg., Cl. Sci. Mem. Coll. in-8°, 1971, fascicule 5.
162. LELONG-FERRAND Jacqueline. Invariants conformes globaux sur
les varietes riemanniennes.— J. Diff. Geometry, 8, 1973, p.
487-510.
163. LELONG-FERRAND J., ARNAUDIES J.—M. Cours de mcthe-
matiques. Tome 3.— Dunod.
164. LEMAIRE J. Hypocycloides et Epicycloides.— Vuibert.
165. LEMAIRE J. L'hyperbole equilatere.— Vuibert.
166. LEVALLOIS Jean-Jacques. Geodesie Generale. Tome II: Geodesie
classique bidimensionnelle.— Eyrolles.
167. LEVY Harry. Projective and Related Geometry.—Mac МШап.
168. Le livre du probleme. V. 4: La convexite.—CEDIC.
169. MALLIAVIN Paul. Geometrie differentielle intrinseque.— Hermann
170. MANDELBROT Benoit. Les Objets fractals.—Flammarion.
171. MARCHAUD A. Les surfaces du second ordre en geometrie
finie.—J. Math, pures et appl., 9—15, 1936, p. 293—300.
172. MARTINEAU Andre, TREVES Francois. Elements de la theorie
des espaces vectoriels topologiques et des distributions. Fascicule
I.—C.D.U.
173. MATHER J. The nice dimensions.— Proceedings of Liverpool
Singularities, Symposium I.— Lecture Notes in Mathematics,
№. 192.—Springer.
174. MICHEL Charles. Complements de geometrie moderne,—Vuibert.
175. MILNOR John. A problem in cartography.— Amer. Math. Monthly
76, 1969, p. 1101 — 1102.
176. MOSTOW G. D. Strong Rigidity of Locally Symmetric Spaces.—
Ann. of Math. Studies, № 78.— Princeton University Press.
177. MOSTOW G. D. Discrete Subgroups of Lie Groups.— Advances
in Mathematics, 15, 1Э75, p. 112—113.
178. NEVANUNNA Rolf. On Differentiable Mappings. In: Analytic
Functions, p. 3—9.— Princeton University Press.
179. NEWSTEAD P. E. Real classification of complex conies.— Mate-
matika 28A981), 36—53.
180. OBATA M. The Conjecture on Conformal Transformations of
Riemannian Manifolds.—J. Diff. Geometry, 6, 1972, p. 247—258.
181. O'MEARA О. Т. Introduction to Quadratic Forms.—Springer.
182. OSSERMAN Robert. Bonnesen-style Isoperimetric Inequalities.—
Amer. Math. Monthly, 86, 1979, p. 1—29.
183. OSSERMAN Robert. The isoperimetric inequality.— Bull. Amer. •
Math. Soc., 84, 1978, p. 1182—1238.
336 Литература
184. PALAIS Richard. The Classification of G-Spaces.— Memoirs of the
A.M.S., № 36.
185. PASCAL Blaise. Pensees.— Ed. Brunschwig. [Имеется перевод:
ПАСКАЛЬ Б. Мысли. БВЛ, Т. 42, с. 111—186.— М.: Художест-
Художественная литература, 1974.]
186. PAYNE L. E. Isoperimetric Inequalities and their Applications.—
SIAM Review, 9, 1967, p. 453—488.
187. PEDOE D. A Course of Geometry.— Cambridge University Press.
188. PICKERT G. Projektive Ebenen,— Springer.
189. POHL William F. A Theorem of Geometrie finie.— J. Diff. Geo-
Geometry, 10, 1975, p. 435—466.
190. POLYA G., SZEGO G. Isoperimetric Inequalities in Mathemati-
Mathematical Physics.— Princeton University Press ou Kraus Reprint Cor-
Corporation. [Имеется перевод: ПОЛИА Г., СЕГЕ Г. Изопери-
метрические неравенства в математической физике.— М.: Физ-
матгиз, 1962.]
191. PORTEOUS I. R. Topological Geometry.—Van Nostrand-Reinhold.
192. PORTER Т. I. A History of the Classical Isoperimetric Problem.
Contributions to the Calcules of Variations.— University of
Chicago Press, 1933.
193. RADEMACHER Hans. Topics in Analytic Number Theory.— Grund-
lehren, Band 169. Springer.
194. DE RHAM Georges. Sur les polygones generateurs des groupes
fuchsiens.— L'Enseignement math. 17, 1971, p. 49—61.
195. ROBERTS A. Wayne, VARBERG Dale E. Convex Functions.—
Academic Press.
196. ROBINSON Raphael M. Undecidability and Nonperiodicity for
Tilings of the Plane.—Inventiones Math., 12, 1971, p. 177—209.
197. ROBINSON Raphael M. Undecidable Tiling Problems in the Hyper-
Hyperbolic Plane.— Unventiones Math., 44, 1978, p. 259—264.
198. ROBINSON Raphael M. Comments on the Penrose Tiles. Prep-
Preprint.— University of California, Berkeley.
199. ROGERS С A. Packing and Covering.—Cambridge University
Press. [Имеется перевод: РОДЖЕРС К. А. Укладки и пок-
покрытия.— М.: Мир, 1968.]
200. ROMANOV V. G. Integral Geometry and Inverse Problems for
Hyperbolic Equations.—Springer.
201. ROUCHE Eugene, de COMBEROUSSE Charles. Traite de Geo-
metrie, lre partie.— Gauthier-Villars.
202. ROUCHE Eugene, de COMBEROUSSE Charles. Traite de Geo-
Geometrie, 2e partie.—Gauthier-Villars.
203. ROUSSARIE Robert. Sur les feuilletages de varietes de dimen-
dimension 3.—Ann. l'lnstitut Fourier, 21C), 1971, p. 13—81.
204. SALLEE G. T. Maximal areas of Reuleaux polygons.—Canadian
Math. Bull., 13, 1970, p. 175—179.
337 Литература
205. SALLEE G. T. Reuleaux polytopes,—Mathematika, 17, 1970, p.
315—323.
206. SALMON G. A treatise of the analytic geometry of three dimen-
dimensions. 7th ed. V. 1.
207. SAMUEL Pierre. Unique Factorization.—Amer. Math. Mothly,
75, 1968, p. 945—952.
208. SANTALO L. A. Introduction to Integral Geometry.— Hermann.
[Имеется перевод: САНТАЛО Л. А. Введение в интегральную
геометрию,— М.: ИЛ, 1956.]
209. SANTALO L. A. Integral Geometry and Geometric Probability.—
Addison-Wesley. 1976. |Имеется перевод: САНТАЛО Л. А. Интег-
Интегральная геометрия и геометрическая вероятность.— М.: Наука,
1983.]
210. SCHATTSCHNEIDER Doris. The plane symmetry groups: their
recognition and notation.—Amer. Math. Monthly, 85, 1978. p.
439—450.
211. SCHATTSCHNEIDER Doris. Tiling the plane with congruent
pentagons.—Math Magazine, 51 A97«), p. 29—44.
212. SCHWERDTFEGER Hans. Invariants of a class of transformation
groups.— Aequationes Math., 14, 1976, p. 105—110.
213. SCHWERDTFEGER Hans. Invariants a cinq points dans le plan
projectif.—C.R.A.S., 285, 1977, p. 127—128.
214. SFIDENBERG A. Lectures in Projective Geometry.—Van Nost-
rand.
215. SE1FERT H., THRELFALL W. Lehrbuch der Topologie.—Chel-
Topologie.—Chelsea. [Имеется перевод: ЗЕЙФЕРТ Г., ТРЕЛЬФАЛЛЬ В. Топо-
Топология — М.— Л.: ГОНТИ, 1938.]
216. Seminar on Transformation Groups, by Armand BOREL.—Annals
of Math. Studies, № 46, Princeton.
217. SERRE Jean-Pierre. Corps locaux.— Hermann.
218. SERRE Jean-Pierre. Cours d'arithmetique.—Presses Universi-
taires de France. [Имеется перевод: СЕРР Ж.-П. Курс арифме-
арифметики.-М.: Мир, 1972.]
219. SERRE Jean-Pierre. Algebres de Lie semi-simples complexes.—
\V. A. Benjamin. [Имеется перевод в кн.: СЕРР Ж.-П. Алгебры
Ли и группы Ли,—М.: Мир, 1969.]
220. SHIMURA G. Introduction to the Arithmetic Theory of Auto-
morphic Functions.— Iwanami Shoten et Princeton University
Press. [Имеется перевод: ШИМУРА Г. Введение в арифметичес-
арифметическую теорию автоморфных функций.— М.: Мир, 1973.]
221. SNAPPER Ernst, TROYER Robert J. Metric Affine Geometry.—
Academic Press.
222. SPANIER E. Algebraic Topology.— McGraw Hill. [Имеется пере-
перевод: СПЕНЬЕР Э. Алгебраическая топология.— М.: Мир, 1971.]
223. SPIVAK Michael. Differential Geometry. Vol. II.—Brandies
Univ., Waltham. Mass., 1970.
338 Литература
224. STAUDE Otto. Fadenconstructionen des Ellipsoides.— Math. Ann.
20, 1882, p. 147—184.
225. STAUDE Otto. Die Fokaleigenschaften der Flachen Zweiter Ordn-
ung.— Leipzig, 1896.
226. STEIN S. K. Tiling Space by Congruent Polyhedra.— Bull, of the
A.M.S., 80, 1974, p. 819—820.
227. STEINITZ E., RADEMACHER H. Vorlesungen uber die Theone
der Polyeder.— Springer.
228. STEFFEN Klaus. A symmetric flexible Connelly sphere with only
nine vertices. Preprint.— I.H.E.S., Bures-sur-Yvette.
229. STERNBERG Shlomo. Lectures on Differential Geometry.—
Prentice-Hall. [Имеется перевод: СТЕРНБЕРГ С. Лекции по
дифференциальной геометрии.—М.: Мир, 1970.]
230. STEWART Ian. Galois Theory.—Chapman and Hall.
231. THOM Rene. Sur la theorie des enveloppes.— J. Math, pures et
appl., 16, 1962, p. 177—192.
232. TITS Jacques. Buildings of spherical type and finite BN-pairs.—
Springer Lecture Notes in Mathematics, № 386.
233. DU VAL Patrick. Homographies, Quaternions and Rotations.—
Oxford University Press.
234. VALENTINE Frederik. A. Convex Sets.— McGraw Hill.
235. VALIRON Georges. Equations fonctionnelles. Applications.—Masson,
236. VEBLEN O., YOUNG J. W. Projective Geometry. Deux volu-
volumes.— Ginn and Co.
237. VODERBERG H. Zur Zerlegung eines ebenen Bereiches in kon-
gruente Bereiche in Form einer Spirale.— Jber. dtsch. Math.
Ver., 46, 1936, p. 229—231.
238. VODERBERG H. Zur Zerlegung eines ebenen Bereiches in kon
gruente Bereiche in Form einer Spirale.—Jber. dtsch. Math
Ver., 46, 1937, p. 159—160.
239. WALKER R. J. Algebraic Curves.—Dover [Имеется перевод:
УОКЕР Р. Алгебраические кривые.— М.: ИЛ, 1952.J
240. WARNER Frank. Foundations of Differentiable Manifolds and
Lie Groups.— Scott-Foresman.
241. WENNINGER Magnus J. Polyhedron Models.—Cambridge Uni-
University Press. [Имеется перевод: ВЕННИНДЖЕР М. Модели
многогранников.— М.: Мир, 1974.]
242. WEYL Hermann. Symmetry.— Princeton University Press.
[Имеется перевод: ВЕЙЛЬ Г. Симметрия.—М.: Наука, 1968.]
243. WOLF Joseph A Spaces of Constant Curvature.—University of
California, Berkley, California, 1972. [Имеется перевод:
ВОЛЬФ Дж. Пространства постоянной кривизны.—М.: Наука,
1982.]
244. WONG Yung-Chow. Isoclinic n-Planes in Euclidean 2n-Space.
Clifford Parallels in Elliptic Bn— 1)-Space and the Hurwitz
Matrix Equations.— Memoirs of the A.M.S., № 41.
339 Литература
245. Z1SMAN Michel. Topologie algebrique elementaire.— Armand
Colin.
246. ZWIKKER С The Advanced Geometry of Plane Curves and
their Applications.—Dover.
Литература на русском языке
247. АЛЕКСАНДРОВ А. Д. Выпуклые многогранники.— М.: Гос-
техиздат, 1950.
248. АЛЕКСАНДРОВ А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверх-
поверхностей.— М.—Л.: Гостехиздат, 1948.
249. АРНОЛЬД В. И. Математические методы классической меха-
механики.—М.: Наука, 1979.
250. БОРЕВИЧ 3. И., ШАФАРЕВИЧ И. Р. Теория чисел.—М.:
Наука, 1972.
251. ГЕЛЬФАНД И. М., ГРАЕВ М. И., ВИЛЕНКИН Н. Я Обоб-
Обобщенные функции. Т. 5. Интегральная геометрия и теория
представлений.— М.: Физматгиз, 1962.
252. КУРОШ А. Г. Лекции по общей алгебре.—М.: Наука,
1973.
253. ЛАЗУТКИН В. Ф. Существование каустик для биллиардной
задачи в выпуклой области.— Изв. АН СССР, сер. матем.,
1973, т. 37, № 1, с. 186—216.
254. ЛЮСТЕРНИК Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники.—М.:
Гостехиздат, 1956.
255. МОДЕНОВ П. С, ПАРХОМЕНКО А. С. Геометрические пре-
преобразования.— М.: Изд-во МГУ, 1961.
256. ПОГОРЕЛОВ А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхно-
поверхностей.—М.: Наука, 1969.
257. ПОГОРЕЛОВ А. В. Полное решение четвертой проблемы Гиль-
Гильберта.—ДАН СССР, 1973, т. 208, № 1, с. 48—51.
258. ЯГЛОМ И. М., БОЛТЯНСКИЙ В. Г. Выпуклые фигуры.—
М.— Л.: Гостехнздат, 1951.
Литература, добавленная при переводе
1*. АДАМАР Ж. Неевклидова геометрия в теории автоморфных
функций: Пер. с франц.—М.— Л.: Гостехиздат, 1951.
2*. АЛЕКСАНДРОВ П. С. Лекции по аналитической геометрии.—
М.: Наука, 1968.
3*. АРНОЛЬД В. И., ВАРЧЕНКО А. Н., ГУСЕЙН-ЗАДЕ С. М.
Особенности дифференцируемых отображений.— М.: Наука,
1982.
4*. БАЛЬДУС Р. Неевклидова геометрия. Гиперболическая гео-
геометрия иа плоскости.— М.—Л.: ГТТИ, 1933.
12*
340 Литература
5*. БЕРНШТЕЙН И. Н., ГЕЛЬФАНД И. М., ПОНОМАРЕВ В. А.
Функторы Кокстера и теорема Габриеля.—УМН, 1973, i. 28,
№ 2, с. 19—33.
6*. БОЛТЯНСКИЙ В. Г. Третья проблема 1 ильСерта.—М.:
Наука, 1977.
7*. БОЛТЯНСКИЙ В. Г., ЕФРЕМОВИЧ В. А. Наглядная тополо-
топология.—М.: Наука, 1982.
8*. БУРБАКИ Н Интегрирование. Векторное интегрирование.
Мера Хаара. Свертки и представления: Пер. с франц.— М.:
Мир, 1970.
9*. БУЗЕМАН Г. Геометрия геодезических: Пер. с нем.— М.:
Физматгиз, 1962.
10*. БУРАГО Ю. Д., ЗАЛГАЛЛЕР В. А. Геометрические неравен-
неравенства.—Л.: Наука, 1980.
11*. БУРАГО Ю. Д., ЗАЛГАЛЛЕР В. А. Достаточные признаки
выпуклости.— Научные записки ЛОМИ, 1974, т. 45, с. 3—53.
12*. ВАН ДЕР ВАРДЕН Б. Л. Алгебра: Пер. с нем.—М.: Наука,
1976.
13*. ВОЛЫ1ЕРТ А. И. Элементарное доказательство теоремы Жор-
дана.— УМН, 1950, т. 5, вып. 5, с. 168—172.
14*. ГЕРЦБЕРГЕР М. Современная геометрическая оптика: Пер.
с нем.—М.: ИЛ, 1962.
15*. ГИЛЬБЕРТ Д. Основания геометрии: Пер. с нем.— М.— Л.:
Гостехиздат, 1948.
16*. ГИНДИКИН С. Г. Рассказы о физиках и математиках.— М.:
Наука, 1961.
17*. ДЕЛОНЕ Ь. Н. Элементарное доказательство непротиворечи-
непротиворечивости планиметрии Лобачевского.— М.: ГИТТЛ, 1956.
18*. ДУБРОВИН Б А., НОВИКОВ С. П., ФОМЕНКО А. Т. Сов-
Современная геометрия.— М.: Наука, 1979.
19* ЕФИМОВ Н. В. Высшая геометрия.— М.: Наука, 1978.
20*. ЕФИМОВ Н. В, Квадратичные формы и матрицы.— М.: Наука,
1975.
21*. ЕФИМОВ Н В., РОЗЕНДОРН Э. Р. Линейная алгебра и
многомерная геометрия.— М.: Наука, 1974.
22*. ЗЕТЕЛЬ С. И Новая геометрия треугольника.— М.: Учпед-
Учпедгиз, 1962.
23*. КАГАН В. Ф. Очерки по геометрии.—М.: Изд-во МГУ,
1963.
24*. КОЛМОГОРОВ А. Н., ФОМИН С. В. Элементы теории функ-
функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1972.
25*. КОРНФЕЛЬД И. П., СИНАЙ Я. Г., ФОМИН С. В. Эргодиче-
екая теория.— М.: Наука, 1980.
26*. КОСТРИКИН А. И., МАНИН Ю И. Линейная алгебра и гео-
геометрия.— M.i Изд-во МГУ, 1980.
341 Литература
27*. КУЗЬМИНЫХ А. В. Об одном характеристическом свойстве
изометрических отображений.—ДАН СССР, 1976, т. 226, № 1,
с. 48—50.
28*. Математическая энциклопедия. Т. 1.— М.: Советская энцикло-
энциклопедия, 1977.
29*. Математическая энциклопедия. Т. 2.— М.: Советская энцикло-
энциклопедия, 1979.
30*. МИЛНОР Дж., УОЛЛЕС А. Дифференциальная топология.
Начальный курс: Пер. с англ.— М.: Мир, 1972.
31*. МИЛЬМАН В. Д. Новое доказательство теоремы Дворецкого
о сечениях выпуклых тел.— Функц. анализ и прилож., 1971,
т. 5, № 4, с. 28—37.
32*. МИЩЕНКО А. С, ФОМЕНКО А. Т. Курс дифференциальной
геометрии и топологии.— М.: Изд-во МГУ, 1980.
33*. ПЕРЕПЕЛКИН Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч. 1.—
М.— Л.: Госгехиздат, 1948.
34*. ПЕРЕПЕЛКИН Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч. 2.—
М.— Л.: Гостехиздат, 1949.
35*. ПОНТРЯГИН Л. С. Основы комбинаторной топологии.—М.:
Наука, 1976.
36*. ПОСТНИКОВ М. М. Анали1ическая геометрия.—М.: Наука,
1979.
37*. ПРИВАЛОВ И. И. Введение в теорию функций комплексного
переменного.—М.: Физматгиз, 1960.
38*. РАШЕВСКИЙ П. К. Курс дифференциальной геометрии.—
М.: ГИТТЛ, 1956.
39*. РАШЕВСКИЙ П. К. Риманова геометрия и тензорный ана-
анализ.— М.: Наука, 1967.
40*. РОЗЕНФЕЛЬД Б. А. Многомерные пространства.— М.: Наука,
1966.
41*. РОХЛИН В. А., ФУКС Д. Б. Начальный курс юпологии.
Геометрические главы.— М.: Наука, 1977.
42*. САЛИЩЕВ К. А. Картография.—М., 1971.
43*. СПРИНГЕР Т. Теория инвариантов: Пер. с англ.—М.: Мир,
1981.
44*. СТЕПАНОВ Н. Н. Сферическая геометрия.—Л.—М.: Гос-
Гостехиздат, 1948.
45*. ТАМУРА И. Топология слоений: Пер. с англ.—М.: Мир,
1979.
46*. ФИЛИППОВ А. Ф. Элементарное доказательство теоремы
Жордана.-УМН, 1950, т. 5, № 5, с. 173—176.
47*. ШИРОКОВ П. А., ШИРОКОВ А. П. Афинная дифференциаль-
дифференциальная геометрия.— М.: Физматгиз, 1959.
48*. ЯГЛОМ И. М. Геометрические преобразования. Ч, 1.— М.:
Гостехиздат, 1955,
342 Литература
49*. ЯГЛОМ И. М. Геометрические преобразования. Ч. 2.— М.:
Гостехиздат, 1956.
50*. ЯГЛОМ И. М. Элементарная геометрия прежде и теперь.— М.:
Знание, 1972.
51*. GRAY A. Comparison theorems for the volumes of tubes as
generalizations of the Weyl tube formula.— Topology, 1982, v. 21,
№ 2, pp. 201-228.
52*. WEYL H. On the volume of tube.—Amer. J. Math., 1939, v. 61,
pp. 461—472.
53*. CONNELLY R.— Advances in Math., 1980, v. 37, № 3,
pp. 272—299.
Указатель обозначений
a, b, с, А, В, С 10.1.2
a, b, c, a, p, v 18.6.6, 19.1.3.1
at 9.4.2
at, at 18.7.4
aclab 2.4.6
A(X; X') 2.3.1
A(<S; k) 15.6.4
arccos, arcsin 8.3.11
arch 0.5
Art,, Art2/, 13.1.4.4
Ж(Е) 8.7.2.3
An 0.2
X, Лл 1.8.4
base (Г) 14.2.7.3
В (а, /-), В (A, r), Bx(-, •
19.2.1
B{A, e) 11.1.3.3
B(F, p) 9.11.1
m 2.7.2.2, 19.2.1, 19.2.5
С гл. 17
С, CJ-, С 18.8.2.1
С (я) 14.3.5
C(r, s) 14.3.2
Са 18.8.2
Cg = B) 0.2, 1.5.2
СD) 20.5.7
CNX 12.3.6.1
O(U\ V) 9.5.4.2
Сое,* 12.1.2.5, 12.5.4.3
Cubd 12.1.2.5, 12.5.4.2
) 0.3,
Conf+, Conf" 9.5.4.2, 18.10.3.1
Conf(lO, Conf(t/; V) 9.5.4.2
Conf(?) 20.6.1
C(x, y) 9.9.1
С QC 16.4.5
С 17.6.6
СЦС, C//C, Cf/C 18.8.1.2
cent (Я), cent' (K) 2.7.5.2
cht 0.5
cos 8.3.7, 8.3.8
С 0.2
Ca 4.8.3
%, tf (X), tf»(X) 12.9.1.2, 12.9.2
4{X\ tf'(X) 3.1.3
g 19.6.1
d 9.9.7
d(*. (/),
9.2.2,
d' (a, H
d
¦) 0.3, 11.9.4
9.2.5
A), d(A, B) 0.3,
(, ) 12.2.4
deg(/) 18.2.5.2
det 2.7.2.9
det84, det S 11.8.9
diam(^) 0.3
д 8.3.12, 8.7.3.5
Dil(X) 2.3.3.12
dimS, dimX 2.1.7, 2.4.1
discr(^), discr(-) 13.1.4.6
D 12.10.11
D(C), d(C) 11.9.12
Dt 9.4,2
DD', •• 8.6.3, 19.1
S) 19.2.4
344
Указатель обозначений
3>(E), 3>(E) 8.6.1, 19.1
3>(X) 3.1.5
д>0„ o.2
GP(E) 4.5.9
GP(/(), GPA; /C) 16.3.2
Gram (*! xn) 8.11.5
ев, еь, ес 10.1.4, 10.3
? 19.1
EH 2.2.5
Ec 7.1.1
? 20.1.8
?* 0.2, 2.4.8.1
Et,(P), EtP 12.5.3
Epigr(-) 11.8.3
Extrem(-) 11.6.8
<§ 12.8.6.2, 12.9.1
S(A) 11.1.8.1
f(a) 15.1.2.2
/(* a)> f-> 3-1-2.2
/, 18.2.5.2
7 8.1.8.6, 13.2.4
f\A, f\A 0.1
/c 7.2.1
f 2.3.5
fc 7.4
Fo 12.4.6
Face.-P 12.1.5
ha, hb, hc 10.1.4, 10.3
H 19.2.1
Я 18.7.2
Ha x 2.3.3.8
Hom(-; ¦) 0.2
Mt{S*) 18.2.5.1
H, H* 0.2, 8.9
Ж 19.7.1
#f(?) 4.1.3.5, 4.6.3
i, ic « Ю.8.1
ia, tb, ie 10.1.4, 10.3
im(a), im(-) 14.1.1, 15.1.1
im(-), im() 20.3.2
ind(-) 13.7.5
/ 0.2
Idv 0.1
/, J 9.5.5.1
Is(X), Is(X; Y) 0.3, 1.2.8,
9.1.2, 9.3
Is+(-) 1.7.3, 18.5.3
IsE3), Is(«), Is(i?) 19.6.5,
19.7.1
Isom(-; •) 0.2
hom+(E; E') 2.7.2.5, 2.7.2.11
JE P(E')) 4.5.2
Gx 1.5.1
G/(fx 1.5.5
G(n) 19.2.1, 19.4.1
(G, X), (G, X, ф) 1.1.1
Gi, Gc 18.8.3.2
GA(X) 1.2.7, 2.3.3.4
GAa(X) 2.3.3.6 long(f) 9.9.1
GD(?),GL+(?),GL-(?) 2.7.2.4 Lp 11.8.11.12
GO(?), GO+ (?), GO-(?) 8.8.2 L(?; F) 0.2
K* 0.2
K» 6.3.2
/С, ^ 5.2.3
), (Э(Г(Х), б) 9.11.1
() ()
GP(O, GP(a) 16.3.1
( )
LH.H-(E;E') 2.3.6
345
Указатель обозначений
?(•) 9.12.4.1
8ДР) 12.3.6, 12.10.6
/"a. mb> mc 10.1.4, 10.3
m-L 14.5.1, 15.5.1
m, m* 16.2.1
M 3.1.7
M(/) 2.3.9, 3.2.5
M*(P(E); P(E')) 4.5.5
M'h . 15.6.7
-A), eJ-(.) 12.10.9.3
n 18.1.2.3
a, n-L 15.5.1
N, (/Vе)-1 @) 8.8.6.1
N 0.2
O(x) 1.6.1
O(?, 9), O(^) 13.6.1
0(?) 1.2.5, 8.2.1, 13.6.1
0(E'; ?') 8.1.5
0+(?), O"(?) 8.2.1, 13.6.3
0(n, /С), О {r, s) 13.6.1
O++(?) 13.8.3
02
P"(R), P»(C) 4.3.9.3, 4.3.9.4
5» 8.9.1, 17.6.6.2, 19.2.3
5*c 7.5.1
^n/) 1.2.2, 1.5.2
9>(X), P»(X) 12.9.2
**0O. ^ft(^; W) 3.3.1
^ 13.1.4.7, 19.2.1
q\E, q\F 14.1.3.3, 20.1.3
g0, qu q2 15.1, 20.1.3
Q 19.2.1
Q* 12.1.2.6
Q(E) 13.1.1, 15.1
QA(X) 15.1.1
Qa 18.8.2.4
г 19.2.6
г', г" 12.6.5
г, /"в, /"ь. ге 10.1.5, 10.3
/-(•) 11.9.12
г(Р) 12.12.10
г (С) 12.11.8.3
0B), O+B), O"B) 8.2.14, 8.3 (r, s) 13.4.6, 13.5.7.2
() (), ()
0C), 0D) 8.2.14, 8.8.2
6 2.7.2.2
, r,(P), ...} 12.6.1
rad(<7) 13.2.1
rang {q) 13.2.1
R 10.1.5, 10.3, 10.6.1, 10.6.5
R, 12.1.5
/?(-, •) 20.2.1
Я(у) П.3.1.1
19.2.1 /?(C) 12.11.8.4
R(P) 12.12.10
R, R+, R_) R+, R_ 0.2
Я 8.9.1
p 10.3, 18.6.13
^((o,)) 9.4.2
{p, q, ..-} 12.6.1
P 13.1.4.7, 18.6.13, 19.1,
P, P* гл. 16
P(?) 4.1.1
PXS 10.7.10
P"(/0 4.1.3.1
PGL(?) 4.5.9
PO(?), PO+(?) 8.7.7.1, 14.7.2, s 18.1.2.3
19.1 sign (г) 18.7.15
P0(a), P0 + (a) 14.7.2 sh^ 0.5
PO(p) 20.6.1 sin 8.3.6, 8.3.7
PPQ(E) 14.6.3.1 stH 9.13.1, 11.1.4.1
Q()
PQ(E) 14.1
4
4.3.6
5 10.1.5, 10.3, 19.1
Sd 8.2.8, гл. 18
12.10 10.1
346
Указатель обозначений
S-L 2.4.8.1, 14.5.1
S(E) 4.3.3.2, 8.6.1, 19.1, 20.1.5
S(E) 20.1.4
<S> 2.4.2.5, 4.6.5
SA(X) 2.7.6, 2.8.12
Sim(X), Sim+(X), Sim" (X)
9.5.1
Sirnpd" 12.1.2.5, 12.5.4.1
SUT, S<7 2.4.9.1
сУ 20.1.9
©Jt ©„ 0.2, 1.1, 1.2, 1.2.2,
1.5.2
»• 0.2, 13.2.4
ft 2.1.2
tgx 8.12.8
thf 0.5
T(X) 2.3.3.4
TXS 10.7.4, 18.1.2.4
TmC 14.3.8
TmP 19.1.1.4
T^ T G& т* (Si in о 7
<Г 10.1, 10.6
(У(а, г), [/(Л, r) 0.3
?/(Л, e) 11.1.3.2
?/(F, p) Q.I 1.1
U 8.3.6
V 10.6.5, 10.6.8.1
У 2.4.1
еуэ 0.2
У»4(Х) 3.1.1
хл 18.6.5
xi/ 2.1.3
л:г/ 9.9.8.1, 10.9.1
<x, (/> 2.4.2.6, 10.9.1
<х, у, г> 18.6.2
<х, у, гУ 18.6.12.1
^л.-.л^ 8.11.8
X 3.1.7
X 5.1.1
Xе 7.6
Ха, X 2.1.9
В7
X 2.1.3
(X, X, Ф) 2.1.1
г 19.2.6
г 8.9.1
Z 0.2
Zn 0.2
Zo 1.3.1
а 12.7.1, 19.2.1
а, С гл. 16
а, а 15.1.3.2
а', а, а, 12.7.1, 12.8.6.4
а 17.4.1
o(d) 9.12.4.8
а* 14.6.1
P(d) 9.12.4.7
Ра 14.6.4
Г 13.7.1
Г(Х) 1.2.7
Г(х,,х( ж») 9.7.3.2
8 8.7.7.4
8(F, G) 9.11.1
6? 8.11.3
б (у) 11.3.1.1
бд(Р) 12.8.5.1
А 3.3.1, 18.6.13
ДА' 8.6.3, 13.8.8
АД' 8.7.3.2, 13.8.5
A(*t, ...,xk) 9.7.3.6
347 Указатель обозначений
кв 8.11.3
Л 8.3.7, 9.9.7.1, 13.8.5
|i 12.10.11, 20.7.2
ц, цх 9.12.1
A, [л0, J 2.7.4.2, 2.7.4.3
л 8.3.7
itf(.) 8.10.3, 18.2
п, 4.2.4.1
S 8.7.3.1
П 13.7.11
р 20.2.1, 20.2.4
р(Р) 12.6.4
а 7.1.1, 7.5.1, 12.7.1, 12.10.11.1,
18.3.4, 18.6.13
а' 12.8.6.4
а, а, 12.7.1
аА 9.4.1.3
ао, о2 8.7.3.2
ан, аъ 8.2.9, 9.2.4
S 12.7.1, 13.7.11, 20.1.7
2, 12.7.1
т 12.5.5.4
Ф 3.1.5, 12.7.1, 13.2.0
Ф, <p/f Ф, Ф, 12.7.1
Ф 19.2.3
Ф, Ф 8.7.2
Y, ^ 8.7.7.2
a 12.7.1
в 8.3.6, 20.1.7
в, 18.11.17
0, @х 2.1.3
X*. Хс °-6
%{V) 12.10.9.2
ю 8.Ц.1
<вя 12.3.6.2
оо 20.1.8
1, II 19.1.3.3
1, II, III 17.5.3
I, II, III, IV, V 20.5.6
I, II, III, IV, V 16.4.7.4,
16.5.1
I*. II*, III*, IV, V 16.5.6.1
1(г, s), U {г, s), III (г, s) 15.3.2
1/2 8.7_.7.7
•2, V- 8.7.7.9
Л"Е\ /\пЕ* 2.7.2.1, 8.11
Ь, # 8.1.8.1
#Х 0.1
•* 0.2, 2.4.8.1, 11.1.5.1, 11.4,8,
12.1.2.6, 14.6.1
•/• 0.1
.1-2.4.8.1,8.1.8.3, 13.3.1, 15.5.1
• _L- 14.5.1, 20.2.4
• 5.1.1, 15.1.3.2
t 2.1.3, 2.4.1, 3.3.5, 15.1.3.2,
15.1.6.3
П 2.1.3
Л 0.1, 3.1.7, 15.1.6.3
с 17.4.1
С: 8.7.3.2, 13.8.5
- 8.6.3, 9.9.8.1, 13.8.9, 19.1
<•> 2.4.2.5, 4.6.5
[•, •] 20.4.2
(•!•) 8.1.1
.//• 2.4.9.1
.//•, •//• 18.8.3.2
• <• 2.4.9.1
¦ D- 16.4.5
||.|| 8.1.1, 8.2.3.3, 8.9.1
•Ф- 0.2
ф, ^ 8.1.8.4, 13.3.1
<-, -,' •>' 18.6.12.1
Именной указатель
Адамар (Hadamard .].) т. 1, с. 6; 7.0.1
Акербас 12.11.6
Александров А. Д. 12.11.4.3
Александров П. С. 5.2.6, 18.1.3.2,, 20.2.4
Аполлоний 9.7.6, 10.11.1, 15.6.4, 17.1.5,
17.1.6, 17.3, 17.5.5.6
Артнн (Artin E.) 13.1.4.4, 13.4.5, 13.7.2
Архимед 8.5.2, 15.7.6
Банах (Banach S.) 11.4.1
Безу (Besout P.) 16.4.9
Бельтрами (Beltrami E.) 19.7.2
Беренд (Behrend F.) 11.8.9, 11.8.10.7
Берже Беиуа (Berger Benolt) т. 1, с. 516
Берже М. (Berger M.) т. 1, с. 6
Бибербах (Bieberbach L.) 1.7.7.3, 9.13.8
Бляшке (Blaschke W.) 9.11.4, 9.136. 12.10.5.
12.12.13, 12.12.14
Бой (Boy) 4.3.9.1
Болтянский В. Г. 12.2.5.2
Больяи (Bolyai J.) 19.7.2
Бойне (Bonnet О.) 12.7.5.2, 18.3.8.6, 19.5.5.
Боннезеи (Bonnesen Т.) 12.11.8.3, 12.11.8.4.
12.12.14, 12.12.15
Борсук (Borsuk К) 18.2.7
Брауэр (Brouwer L. E. J.) 18.2.6
Брнаншои (Brianchon Ch. J.) 16.2.13. 19.3.4
Брунн (Brunn H.) 11.8.8.1, 12.11.3
Брюа (Bruhat F.) 9.8.6.5
Буняковский В. Я. 12.11.4.4
Валентайн (Valentine F. А.) 11.1.2.2
Ван-Кампен (Van Kampen E.R ) 18.2.4.2
Ванкель (Wankel F.) 9.14.34.6, 12.10.5
Вейль (Weyl H.) 12.6.9
Веронезе (Veronese G-) 4.3.9.1
Вивиани (Viviani V.) 12.12.20.6
Внлларсо (ivonne-VIUarceau) т. 1, с. 10;
10.12.1, 10.13.22, 18.9
Витт (Witt E.) т. 1. с. 10; 13.6.8, 13.7.1.
13.7-8
Галуа (Galois E.) 12.6.10.3
Гаусс (Gauss С. F.) 12.4.6, 12.7.5.2, 13.4.8.
18.3.8.6, 18.6.13.8, 19.5.5
Гёльдер (НбЫег О-) 11.8.11.9
Гильберт (Hllbert D.) 11.9.4, 12.2.5.2, 19.7.2-
Грам (Giani J. P.) 8.11.5, 9.7.3.1, 15.6.3,
18.11.13
Грассман (Grassman H.) 2.4.9.2
Грейвз (Graves) 17-6.4
Гульдии (Guldin P.) 12.12.20.9
Даиделен (Dandelin G.) 17.3
Дарбу (Darboux G.) т. 1, с. 6
Даукер (Dowker) 12.12.5
Дворецкий (Dvoretsky A.) 11.7.5
Дезарг (Desargues G.) 2.5.4, 2.5.5, 2.6.7,
4.0.2, 4.8.3, 5.0.1, 5.4.3, 5.4.7, 6.8.2,
14.2.8.3, 16.5.4
Декарт (Descartes R.) 9.14.22, 17.1, 17.1.6
Делярю (de La Rue J.-B.) т 1, с. 554 — 556
Деи (Dehn M.) 12.2.5.2
Дндона 12.11.6
Дннгас (Dinghas A.) 12.11.8.3
Дьедонне (Dieudonne J.) т. 1, с. 10; 13.6.8,
13.7
Дюпен (Dupin Ch.) 9.5.4.21, 18.11 19, 20.7,
20.7.3, 20.8.5
Евклид 2.4.4, 2.4.9.1, 2.4.9.5, 2.6.7, 19.1.1.6
Ефимов Н. В. т. 1. с. 5, 6
Жерарден (Gerardln P.) 1 4.8.16
Жергонн (Gergonne J. D.) 10.11.1
Жирар (Girard A.) 12.7.3, 18.3.8.4
Жордан (Jordan С.) 18.2.6, 18.2,6.3
Иоахимсталь Qoachimsthal F.) 17.9.10
Казаринов (Kazarinoff D. К.) 10.4.6
Какутанн (Kakutani S.) 11.9.19
Каратеодори (Caratheodory C-) 11.1.8.6,
11.7.4.2
Кардано (Cardano G.) 18.11.16
Карон (Саго!) J.) т. 1, с. 12
Картан A. (Cartan H.) 13.6.8, 13.7
Картан Э (Cartan E.) 8.10.3
Кастильон (Castlllon) 10.11.4, 16.3.10,3
Кеплер (Kepler J.) 12.5.5.7
349
Именной указатель
Кегле (Quetelel A.) 17.3
Кирхбергер (Kirchberger) 11.9.10
Клейи (Klein F.) 0.2; т. 1, е. 17; 1.7.7.4,
6.3.2, 6.3.3
Клиффорд (Clifford W. К) т. 1, с. 10; 4.3.7,
8.9.13, 8.10.3. 13.6.8, 13.7.14.4, 18.8,
19.1.4
Коннеллн (Connelly R.) 12.8.2, 12.8.4.2
Коши (Cauchy A. L.) т. 1, с. 10; 12.3.3,
12.7.4, 12.8, 12.10. 12.11.4.4, 12.11.8.6,
18.6.11, 18.7.16
Красносельский М. А. т. 1, с. 10; 11.7.7
Крейн М. Г. 11.1.8.5, 11.6.8
Критнкос (Kritikos) 11.9.25
Кэли (Cayley A.) 2.6.7. 4.8.3, 5.2.2, 8.8.7.5,
8.9.1, 9.1.7, 9.7.3.2, 9.14.23. 16.6.1,
16.6-12.4. 18.1.35
Пажитнов А. В. т. I, с. 8
Папп 2.5.3, 2.8.9. 5.4.1, 5.4.2, 6.8.2, 16.2 12
16.8.19
Паскаль (Pascal В.) 9.6.8, 9.14.17, 9.14 18
9.14.22, 16.2 11, 16.8.3, 16.8.4, 16.8.5 '
Пачоли (Pacioll L.) рис. 1.8.4.6, 1 8.4 7
12.1.1.7
Пенроуз (Penrose R.) 1.7.2
Петерсен (Petersen J.) 9.14.38
Пифагор 9.2.3
Платон 12.5.5.7
Плюккер (Plflcker J.) 16.5.6.3, 17.4
Понселе (Poncelet J. V.) т. 1, с. 10; 7 0.3
10.10.4, 10.13.3, 16.5.5.3, 16.6. 16.6 11
17.6.3.6, 17.6.5
Птолемей 9.7.3.8, 10.9.2
Пуанкаре (Poincare H.) 12.7.5.4, 12.10.9 2
196.12. 19.7.1
Лагерр (Laguerre E.) 8.8.7.2, 10.11.6,
17.4.2.2, 17.4.3, 20.6.4
Лаир (Lahire Ph.) 9.14.34.3, 17.9.14
Ламберт (Lambert J. H.) 18.1.8.5
Лебег (Lebesgue H.) т. 1, с. 6, 12; 0.6, 2.7.4
11.8.8.1, 12 10.5, 19.5.1
Лёвнер (Lowner K-) 11-8.9, 11.8.10.7
Лежандр (Legendre A M.) т. i. с. 6
Лекселль А. И. 18.11.10
Леонардо да Винчи рис. 1.8.4-6. 1.8 4.7,
12.1.1.7
Лефшец (Lefschetz S.) 18.2.5.7
Ли (Lie S.) 1.8.7.3,2.7.5.12, 8.iO.i, 12.6.9,
1 3.7.1 4.3
Лииделёф (Lindelof L.) 12.11.8.2
Липшиц (Lipschitz R.) 12.9.1.1
Лиувилль (Liouville J.) 9.5.4
Лобачевский Н. И. 19.7.2
Лоренц (Lorentz H. А.) 13.6.1, 19.7.3
Люилье (Lhuillier S.) 12.12.16. 18.6.13.8
Люка (Lucas E.) 11.9.21
Люрот (Luroth J.) 16.2.10
Мальфатти (Malfatti G.) iO.11.5
Маршо (Marchaud A.) 15.4.8
Маскерони (Mascheronl L.) 10.11.2
Мёбиус (Moblus A. F.) 4.3.9.1, 4.9.12. 5.5.3,
14.5.5. 14.8.12, 18.10, 18.10.7, 19.4.64,
19.6.10, 20.2.5, 20.2.6
Менгер (Menger K.) 9.7.3.2, 9.14.23, 9.14.31
Менелай 2.8.2
Меркатор (Mercator N.) 18.1.8.2
Мигель (Miguel A.) iO.9.7.2
Мильман Д. П. 11.1.8.5, 11.6.8
Минковский (Minkowskl H.) 11.1.3, 11.8.8.1,
11.8.11.11, 11.9.1, П.9.16, 12.3.4, 12.3.5.
12.10.6, 12.10.9.3, 12.11.3, 12.11.4.2,
15.5.10
Монж (Monge G.) т. 1, с. 6
Mop (Mohr G.) 10.11.2
Морделл (Mordell L. J.) 10.4.6
Морли (Morley F.) 9.14.34.5, 9.14.38, 10.3 10.
10.13.4
Мостов (Mostow G. D.) 18.10.9
Моцкнн (Motzkln) 11.1.7.3
Радон (Radon J.) li.7.4.1, 11.9.11
Рело (Reuleaux F.) 11.5.9.2, 12.10.5
Риб (Reeb) 18.8.7
Риккатн (Ricatti J.) 6.8.12
Риман (Riemann B.) 4.2.5. 18.1.3.2
Сабитов И. X. т. 1, с. 5, 8
Саймоне (Simons) 18.3.8.6
Сальмон (Salmon G.) 10.13.14
Силов (Sylow L.) 1.6.7.3
Сильвестр (Sylvester J. J.) 9.14.25, 13.4 7
Симсои (Simson R.) 9.14.34.3, 10.4.5 4
10.4.5.5. 10.9.7.1. 10.11.3, 17.4.3-5, 17.8.3.2
Стюарт (Stewart M.) 9.14.35
Сударев Ю. H т 1, с. 8
Терстон (Thurston W. P.) 19.7.3
Тите (Tits J.) 9.8.6.5
Tom (Thorn R.) 12.6.8
Трофимов В. В. 8
Улам (Ulam S.) 18.2.7
Уоллес (Wallace W.) 10 9.7.1
Фалес 2.5.1, 6 5.5
Федоров Е. С. 1.7.7.1
Фейербах (Feuerbach К) 10.11.3
Ферма (Fermat P..) 9.10.6, 10 4.3, 12.4.6
Фодерберг (Voderberg H.) 1-7.2
Форд (Ford) 10-13.29
Фрежье (Fregier) 16.3.6, 16.8.7
Фубини (Fubini G.) 0.6, 19-82.2
Фурье (Fourier J) 12.11.8 4, 12 12.12
Наполеон (Napoleon) 10.11.2
Henep (Neper J.) 18.6.13.8
Xaap (Haar A.) 8.2.5.1
Хадвнгер (Hadwiger H.) 12.11.8.3
Хан (Hahn H.) 11.4.1
Харт (Hart) 16.6.1
Хаусдорф (Hausdorff F.) 9.11, 9.12.5, 12.9.1
350
Именной указатель
Хеллн (Helly E.) т. 1, с. 10; 11.7, 11.7.8,
11.9.11
Херш (Hersch J.) 18.10.9
Хопф (Hopf E.) 1.6.4, 4.3.7, 18.1.3.6, 18.9.4.2
Штейнер (Steiner J.) 9.13, 10.10.3, 11.1.4.
12.3.5, 12.10.6, 12.10.10, 12.11, 16.8.3
Штеффен (Steffen K-) т. 1, с. 516
Штуди (Study E.) 19.8.22
Чева (Ceva G.) 2.8.1
Чигер (Cheeger J.) 18.3.8.6
Чмутов С. В. т. 1, с. 8
Эйлер (Euler L.) 3.7.12, 8.9.5, 11.8.12.5,
12.7.3, 12.7.4, 12.75.4, 12.10.9.2, 12.12.4,
12.12.15, 13.1.2
Эрдеш (Erdos P.) 10.4.6
Эшер (Escher M. С.) рис. 1.7.4.8, 1.7.6.23,
19.6.12.4; т. 2, с. 326
Шаль (Chasles M.) 2.1.5, 8.7.2.4, 16.6.1,
17.6.5, 17.9.11
Шварц (Schwartz H.) 8.1.3, 8.И.7, 12.11.4.4
Шлефли (Schlafll L.) 12.6.1, 12.6.7, 12.6.10.5
Шмидт (Schmidt E.) 8.1.4. 12.11.4.3, 18.65
Штаудт фон (von Staudt Ch.) 6.4.10, 7.0.3
Юнг (Jung H. W. E.) 11.5.8
Якобн (Jacoby С. G. J.) 4.9.4
Предметный указатель1
Автоморфизм 2.3.1
— внутренний 1.2.6, 1.3.1, 1.4.2, 1.5.2
— поля R, поля С 2.6.4, 2.8.10
— тела Н 2.6.4, 8.12.11
Автополярный симплекс 14.5.4-1, 14.8.11,
14.8.14
— треугольник 10.13.24, 16.4.10, 16.5.3.2
Аксиома Архимеда 8.5.2
— Валентайна 11.1.2.2
— Евклида 2.4.4
Аксиоматический подход 2.6.7, 4.1.2, 4.5.12,
4.6.10, 5.0.1, 19.7.2
Аксиомы групп замощений 1.7.3
Алгебры Клиффорда 8.9.13, 13.6.8, 13.7.14.4
Альтернатива 10.10.3, 14.5.4.4, 16.6
Аналитическая геометрия 2.4.8, 10.7.6,
14.1.4, 14.5.3
Аналогии Непера 18.6.13.8
Анизотропная форма 13.2.1, 14.1.3.1
Антигомографии 18.10.2.4
Антиевклидово пространство 19.2.7
Антикоиформное отображение 9.5.4.2
Антиперемещения 9.1.4
Антиподальиое отображение 4.3.9.3
Антиподальиые точки 1Ь 3.8.2
Аппроксимация выпуклых компактов 12.9
Арккосинус, арксинус 8.3.11
Артииова плоскость 13.1.4.4, 13.8, 19.2.5
Асимптотический коиус 15.5.11
Асимптоты 15.5.11, 15.7.11, 17.8.3.2
Ассоциативность барицентров 3.4.8
— основного поля (тела) 4.8-3, 5.4.4
Астроида 9.14.34.3
Атлас 4.2.1, 4.2.2
Аффинная геометрия 2.6, 4.0.1
— гиперплоскость 2.4.2.1, 20.1.7
— группа 1.2.7, 2.3.3.4, 2.3.3.5, 5.2.2
— длина 2.7.6, 2.8.12
— квадрика 15.1.1, 15.3
— коника 16.7
— кривизна 2.7.6, 2.8.12
— прямая, плоскость 1.2.7, 2.4.2.1
— форма 2.4.8.3, 11.8.7.8
Аффинное отображение 2.3.1, 11.9.5
— преобразование 17.7.1
— пространство 2.1.1, гл. 5, гл. 9, 11.1.2.6
Аффинные квадратичные формы 3.3.6, 15.2
— координаты 2.2.9
— подпространства 2.4.1, 2.4.8, 3.5
Аффинный репер 2.2.9, 2.3.8, 2.4.2.6
Аэрофотосъемка 4.0.4, 4.7.5
База пучка 14.2.7.3, 16.5.4, 16.6.3
Базис ортогональный 8.1.1, 13.3.1, 14.5.4.1,
15.6.3
— ортонормированный 8.1.1, 13.3.1, 13.4.1
— прямой (положительный) 2.7.2.2
— унитарный 11.8.9.2
Базисы 7.1.3
— гомотопные 2.7.2.7
Барицентр 3.4, 3.5. 9.7.6, 9.12.6, 11.1.8.4,
11.9.3
Барицентрические координаты 3.6.2, 3.6.4,
10.4.5, 10.6.8.1
Барицентрическое подразделение 3.6.5, 3.7.8
Бельгийское изложение 17.3, 17.9.1
Бесконечно удаленная гиперплоскость 5.1.3
— — коника 15.1.3.2
— Удаленные точки 4.2.5, 5.1, 15.1.3.2,
20Л.8
— удаленный центр 20.3.5
Бильярд круглый 17.9.2
— многоугольный 9.4
— прямоугольный 9.14.11
Бильярдная траектория 9.4.1
Бнссекторные сферы 20.4.4, 20.8.2
Биссектриса 8.7.3.2, 8.7.7.4, 8.12.10, 9.14.3.
10.1.4, 17.6.3.4, 17.6.6.2, 18.8.6, 18.11.5,
19.3.5
Бистохастические матрицы 11.6.6.3, 11.9.7
Бифокальное свойство 17.2.2, 17.4.3.4,
17.6.3.5
Болт 10.13.18
Большая окружность 18.1.2.1, 18.8.1,
18.11.16
— ось 17.2.1.4
— сфера 18.1.2.1
— теорема Поиселе 10.10.4, 16.5.5.3, 16.6
Бутылка Клейна 1.7.7.4
Валентности замощения 1.9.13
Векторизация 2.1.9
Векторное поле 3.1.1, 18.2.5.3
— — постоянное 3.1.2.1
— — центральное 3.1.2.2
— произведение 8.11.8
Величина угла 8.3.9, 8.3.13, 8.7.4.1, 8.7.7.6.
9.9.7.1, 13.8.5
Вершина 11.6.1, 12.1.9, 12.1.14, 12.4.4,
20.3.3
— выпуклого множества 11.6.1
— коники 17.1.3, 17.2.2.6, 17.5.5.4
— многогранника 12.1.9, 12.7.1
— пирамиды 12.2.1
— полиэдра 12.1.9, 12.7.1
— сферического многоугольника 18.7.3
— треугольника 10.1.2
Винтовая линия бесконечная 9.14.7
1 Как правило, определение входящего в указатель понятия следует искать в пункте
с наименьшим номером. Если это правило нарушено, то номер пункта, где находится
определение, выделен курсивом.
352
Предметный указатель
— — сферическая 9.14.34.3, 18.3.3
— — тора 10.12.3, 18.9.3
Винтовое движение 9.3,5, 9.3.7
Вневписаниая окружность 10.1.5
Внешний радиус 12-11-8.4, 12.12.10
Внешняя биссектриса 10.1.4, 1
17.6.6.2
— часть кривой 18.2.6.2
Внутренние автоморфизмы 1.2.6
1.4.2, 1.5.2
Внутренний радиус 11.9.12,
12.12.10
0
17.6-3.4,
1.3.1,
12.11.8.3,
р ру
12.12.10
Внутренность (относительная) выпуклого
множества 11.2.8, 11.8.10.4
Внутренняя биссектриса 10.1.4, 17.6.3.4,
17.6.6.4
— метрика 9.9.4.4, 9.9.8, 9.14.30, 18.4.2,
19.3.2, 19.4.6.3
— часть кривой 18.2.6.2
— — треугольника 19.1.3.3
Вогнутая функция 11.8.6, 11.8.8.1
Вписанная окружность 10.1.5
— гармонически квадрика 14.8.10
Вписанный угол 10.9.3, 16.2.7.4, 17.4.2.2,
18.6.13.11
— четырехугольник 10.13.7
Вполне изотропное подпространство 13.2.2.1
— ограниченное метрическое пространство
9.11.2
подпространство 13.2.1,
огра
9.11.2
сингулярное
13.7.5
1.8.3.1, 8.2.1, 9.3.3,
13.75
Вращение 1.7.5.3,
9.3.4, 9.3.6, 13.6.3
— в R» 1.8.3.1, 8.9.4
— на угол я/2 8.11.9
— ортохронное 13.8.3
Вторая производная 11.8.11
Выпуклая кривая 11.3.10.1
— оболочка 11.1.8
— поверхность 11.3.10.2
— функция 11.8
Выпуклое множество 11.1.1, 11.2.6, 12.10
— — гладкое в точке 11.6.1
— — замкнутое 11.5.2
— — ограниченное 11.3.4
— отображение 11.8.2
Выпуклость 3.4.3, 11.1.7, 11.5.4, 11.8.11
— квадрик 15.4.6
— коник 17.1.4
— локальная 11.1.7.4
Выпуклые множества и геометрия чисел
11.9.16
— — — гиперплоскости 11,4
— — — топология 11.2
— — параллельные 12.11.8.3
Выпуклый компакт 6.8-14, 11.3.4
— конус 1.1.6, 11.3.6.5
Вырожденная двойственность 14.5.6
— квадратичная форма 13.2.1
— квадрика 14.1 1, 14.8.5, 20.7.2
Вырожденный пучок 14.2.7.5
Высота 10.14, 10 6 6, 18.11.5, 19.3.4
Высотные линии 18.6.11
Выступающая точка 11.6.4
Гармонически вписанная квадрика 14.8.10
— описанная квадрика 14.5.4.4, 15.7.13
17.9.5
— сопряженная точка 6.4.5, 6.8.18
Гармонические четырехугольники 9.14.15
Гармоническое отношение 6.4.1, 6.4.9,
14 5.2.5, 19.4.2
Гексагональные ткани 5.5.й, 5.5,9
Гексаграмма мистическая 16.2.12
Географические координаты 18.1.6, 18.3.7.2
Геодезическая 9.9.6
Геоид 18.1.5.3
Геометрическая дуга 9 9i
— оптика 6.6.5
Геометрические построения 3.7.13, 3.7.14,
6.4.6, 6.6.6, 12.4.6
Геометрическое место с четырьмя прямыми
17.1.6
— — центров 17.5.5.2, 17.5.5.6
Геометрия аналитическая 2.4.8. 10.7.6
14.1.4, 14.5.3
— аффинная 2.6
— гильбертова 11.9 4
— гиперболическая 13.8.4, 18.3.8.6, гл. 19
— дифференциальная 2.7.7, 9.9-9, 10.8.5
14,3.8
— евклидова 18.6.13.11
— интегральная 12.11.8.5
— конечная 15.4.8
— Лагерра 10.11.6, 20.6.4
— Минковского 15-5.10
— неевклидова гл 19
— проективная 4.5.10
— треугольника 10.3.11
— чисел 11.9.16
— эквнаффинная 2.7.6, 2.8.12
Гибкая фигура 12.5.5.3, 12.8.2
Гидра 3.1.9
Гипербола 2.8.12, 11.1.2.1, 15.3.3.2, 15.7.11
17.1.2, 17.8
— Аполлония 17.5.5.6
— равнобочная 17.1.3, 17.5.1, 17.5.3
17.5.5.6. 17.8.3
Гиперболическая геометрия 13.8.4, 18.3.8 6
гл. 19
— томография 6.8.8
— плоскость 13.1.4.4, 13.8.4, 19.2.5
Гиперболические функции 0.5
Гиперболический параболоид 14.4.6
Гиперболическое пространство 9.1.7, 19.1; .j
— расстояние 13.8.7
Гиперболоид вращения 18.9.4.3
— двуполостиый, однополостный 15.3.3.1
Гиперплоскости ортогональные 20.3.1
— параллельные 2.4.9.1, 20.4-3, 20.5.6.2
— пересекающиеся 20.5.6
См. также Пучок гиперплоскостей
Гиперплоскость 2.4.2.1, 2.4.8.6, 2.7 3 4 6 2
9.11.6, 11.1.2.6, 12.2.1, 12.10.10.1, 14.2'''
19.2.10, 20.5.6
— бесконечно удаленная 5.1.3
— из PQ (F) 14.5.4.6
— касательная 10.7.4, 14.1.3.5, 18.1.2 4
20.2.7, 20.4.3, 20.8.1
— медиаторная 9.7.5, 19.4.2
— опорная 11.1.7.4, 11.5.1, 11.5.6.1, 12.1 S
— полярная И.1.5.1, 12.1.10, 14.5.1, 15.5 1
— радикальная 10.7.10.1
— разделяющая 11.4.3
Гипоциклоида 9.14-34
— с тремя точками возврата 10.4.55
10.11.3, 17.8.3.2
Голоморфное отображение 9.5.4.3
Томография 4.5.2, 6.6, 6.8.8, 16.3.1, 16 3 3
16.4.13, 16.8.8
Гомотетия 2.3.3.9, 11.7.6, 12.9.2.3
Гомотопные базисы 2.7.2.7
— отображения 18.2.5.2
Грани 2.4.7, 12.1.5, 12.1.8, 12.1.13, 12.7.1
Граница 11.2.9, 11.3.2, 11.3.8, 11.3.10.1
11.3.10.2, 11.6, 12.9.2.3
Грассмаииан 1.2.5, 1.5.9, 4.9.11, 8.6.1
14.3.7
353
Предметный указатель
Грассмаиовы координаты 2.4.8.ь
График 15.4.6
Гребень звездного множества 11.3.6
Группа аффинная 2.3.3.4. 5.2.2
— — специальная 2.7.6, 2.8.12
— Вейля 12.6 9
— действующая на множестве 1.1
— дискретная 1.7.5.1
— диэдральная 0.2, 1.8.3.4, 12.4.5
— замощений 1.7
— знакопеременная 0,2, 6.3.2, 12.5.5.6
— изометрий 1.2.8, 9.16, 18.5, 19.1.2.2, 194
— изотропии 1.5.1, 9.8.1, 18.5.9
— икосаэдра 12.5.5.6, 12.6.10.3
— квадратичной формы 13.6.1
— квадрики 14.7.2, 18 10.4
— кватернионов 18.1.3.3
— классическая 16.3.9
— Клейна 0.2. 6.3.2, 6.3.3
— конечная 9.8.5
— коникн 16 3.1
— конформная 18.1.3.2, 18.10, 20.2.5, 20.6.1
— кристаллографическая 12.5-5.6
— круговая 20.2.5, 20.6
— Ли 1.8.7-3, 2.7.5.12, 8.10.1, 12.6.9,
13.7.14.3
— Лоренца 19.7.3
— Мёбиуса 18.10, 19.2.2, 19.4.6.4, 20.2.5
— неприводимая 8.2.6
— ортогональная 1.2.5, 1.4.4.3, 8.2.1, 8.2.14,
12.11.2, 13.6.1, 18.5.2, 19.4.6.5
— порожденная отражениями 12.6.9
— проективная 4.5.9. 5.2.2, 6.1.1
— — ортогональная 14.7.2, 18.10.1.3,
18.10.4, 20.5.4
— простая 8 5 1
— симметрическая 0.2, 6.3.2
— с образующими и определяющими соот-
соотношениями 1.8.7
— углов 8.7.2.3, 8.7.7.2
— унимодулярная 2.7.6,2.8.12
— фундаментальная 8.10.3, 12.7.5.3, 19.1.3.3
— циклическая 0.2
р-группа 1.6.7
Группы гомологии 18,2.5.1
Двигатель Ванкеля 9.14.34.6, 12.10.5
Движение планет 17.2.1.7
Двойная прямая 14.1.5.3
— точка 4.5.18, 6 6.2, 16.6.4
Двойное отношение 6.1.2, 6.2, 6.4.8, 6.5,
6.6.5, 6.8.13, 8.8.7.2, 9.6.5, 10.13.17,
13.8.6, 14.4.4, 16.2, 16.2.5, 16.2.7.3, 16.8.6,
16.8.9, 17.4.2 2, 17.4.3.2, 18.10.8, 19.2.5
Двойственное пространство 0.2, 2.4.8.1,
13.1.3.3
Двойственность 6.5, 8.1.8, 12.1.2.8, 14.5,
14.6, 16.2.7.2
Двойственный (дуальный) многогранник
12.1.2.6, 12.5.2.4, 12.6.2.4
Двугранный угол 12.1.12, 12.8.5
Действие группы 1.1.1, 18.8.3
— — дискретное 1.7.5.1
— — просто транзитивное 1.4.3
— — транзитивное 1.4 1
— — — на парах B-транзитивное) 1.4.5,
9.1.7, 18.5.5, 19.1.2.2, 19.4.5.1
— — р-транзитнвное 1.4.5
— — эффективное 1.3.1
Дефект 12.11.8.3, 12.11.8.4
— угловой 18.6.12.4
Диаметр 0.3, 9.11.3, 9.13.9, 11.1.8.8, 11.5.8,
1 1 9.12, 19.1.13'
Дилатация 2.3.3.12, 2.5.2, 2.5.6, 5.2.1
Директриса 17 2.1.4, 17.4.2.3, 17-6.2.2
Дискриминан! 11.9.16, 13.1.4.6
Дистрибутивность барицентров 3.4.1)
Дифференциальная геометрия 2.7.7, 9.9.9,
10.8.5, 14,3.8
Дифференцируемая кривая 12.11.4.4
Дифференцируемое многообразие 8.10.1,
18 3
Диэдральная группа 0.2, 1.8.J.4, 12.4.5
Длина кривой 2.7.6, 2.8.12, 9.9.1, 9.12.4.1,
12.11.5-1, 17.7.5, 18.4.3, 19.3.3.2, 19.8.18
Додекаэдр 1.8.3.4, 12.5.5
Долгота 18.1.5.3
Дополнение гиперплоскости 2.2.6, 5.1.3
Дополнительные подпространства 2.4-9.4
Дуга окружности 8.7.5.4, 19.6.2
Евклидова структура 11.8.9.1, 13.1.3.1,
19.1 1 4
Евклидово пространство 8.1.1, 13.5, 19.1
Единственность параллельных 2.4.9.2, 188.4
— треугольника 18.6.10
Естественная структура 19.1.1.4
— топология 18.1.2-5
Задача Аполлония 10.11.1
— Дидоны 12.11.6
— Кастильона 10.11.4, 16.3.10.3
— Мальфатти 10.11,5
— Мннковского 12.3.4
— Наполеона — Маскерони 1011.2
— Ферма 9.10.6, 10.4.3
Задачи на минимум 10.4
— об окружностях 10.11
Закон инерции 13.4.7
Замкнутая выпуклая оболочка 11.2.3
Замкнутое множество 9.8.3, 11.2.2, 11.6.5.3
Замкнутый шар 11.3.4
Замощения 1.7, 1.8, 12.6.10.4, 19.6.12,
19.8 26
— гиперболической плоскости 1.8.6, 19.6.12
Замыкание 11.2.1
Заполненный симплекс 9.12.4.2, 12.1.2.2,
12.1.2.5
Зацепление окружностей 10.12.2, 18.8.6,
20.5.5
Звезда правильного многогранника 12.5.3.2
Звездное множество 11.124, 11.3 6, 11.7.7,
11.9.6
Звездные правильные полиэдры 12.6.10.5.
12 7.5.1, 12.12.8
Знакопеременная группа 0.2, 6.3.2, 12.5 5.6
Изгибаемый полиэдр (флексор) рнс. 12.8.4.2
Изложение бельгийское 17.3
— Плюккера 17.4
— проективное 17.4
Изменение знака 12.8.6.3
Изогональные окружности 10.13.20
— сферы 20.4.4
Изодиаметрическое неравенство 9.13.8,
10.4.2
Изометрическая карта 18.4.4
Изометрия 0.3, 1.2.8, 8.1.5, 9.1.2, 9.3, 9.7 !,
11.9.17, 18.5, 18.8.1, 18.10.1,6, 19.1.2.2,
19.4
Изоморфизм 0.2, 4.5.2
354
Предметный указатель
Изопериметрнческое неравенство 10.4.1,
11.1.3, 12.11, 12.12.15, 18.3.8.6, 19.7.3
Изотропные прямые 8.8.6.1, 13.2.3.1
— — сферы 14.4.7
Изотропный вектор 13.2.1
— конус 7.0.4, 8.8.6.1, 13.2.1
Икосаэдр 1.8.4, 12.5.5
Инвариант Мёбиуса 18.10.7, 19.6.10
Инвариантная евклидова структура 2.7.5.10
Инвариантность области 18.2.6.5
Инварианты ?,•(•) 12.10.6, 12.10.9.1
Инверсия 9.5.4.4, 10.8.1, 10.8.5, 18.1.4.3,
18.9.1, 18.10.3.2, 196.4, 19.6.10, 19 7.1
20.6.2
Инверсор 10.8.3
Инволютивные корреляции 14.5.5, 14.8.12
Инволюция 2.8.5, 4.5.19, 6.4.6, 6.4.7, 6.7,
13.6.6, 14.2.8.1, 16.3.6, 16.5.4, 16.8.7,
17.6.1, 17.6.3.4, 19.4.3
Интегральная геометрия 12.11.8.5
Интервал 11.1.2.3
Интерпретация порядка 16.4.7
Инфинитезимальное подобие 9.5.4.1
Калибровка 11.8.12.2
Каноническая мера 8.11.3, 9.12, 18.3.7,
19.1.1.7, 19.5
— плотность 8.11.3
— проекция 4.1.1
— топология 2.7.1, 4.3.1
— форма объема 8.11, 18.3.4
Карданное соединение 18.11.16
Кардинальное число (мощность) 0.1
Кардиоида 9.6.8, 9.14.34.3
Карта 4.2 1, 4.7.5, 18.1.5, 18.1.8.1
— изометрическая 18.1.7 1. 18.4.4
— Меркатора 18.1.8.1
— равновеликая (эквивалентная) 18.1.7.3
— равноугольная (конформная) 18.1.7.2,
18.1.7.3, 18 11.1
Картография 4.7.5, 18.1.5
Касательная гиперплоскость 10.7.4. 14.1.3.5,
18.1.2.4, 20.2.7, 204.3, 20.8.1
— квадрика 14.6.2
— к конике 16.1.2, 17 1.4, 17.2.2.4, 17.6.3.4
— — — в вершине 17.2.2.6
— — окружности 10 9.2.2
— коиика 16.4.5
— плоскость 14.4.2
Касательное подпространство 14.1.3.5
— пространство 19 1 1.4, 19.2.7
— расслоение 19.1 1.4. 19.2.7
Касательный вектор 18.1.2.4. 18.5.6,
19.1.1.4, 19.2.7
— пучок 14.6.2, 17.6.2.2, 17.6.3.1
Касающиеся сферы 10.7.5, 20.4.3
Квадратичная форма 3.3.2> 11.9.16, 13.1.1
— — аффинная 3.3.6
— — фундаментальная 20.2.1
См. также Классификация квадратичных
форм
Квадратичное преобразование 16.5.3.2,
16.8.24
Квадратичные расширения 7.0.6
Кяадрика 4.1.3.6, 9.5.5, 14.1.1, 15.4, 15.6
— аффинная 15.1.1, 15.3
— бесконечно удаленная 15.1.3.2
— вырожденная 14.8.5. 20.7.2
— касательная 14.6.2
— проективная 14.1.1, 18.10
— — комплексная 20.5.7
— собственная 14.1 1, 14.5
'— фундаментальная 20.2.4
Квадрики индекс 14.1.1
— образ 14.1 1
— — при изоморфизме 14.1.3.8
¦— ранг 14.1.1
— уравнение 14.1.1, 15.1.1
См. также Классификация квадрик
Кватернионы 4.8.2, 8.9.1. 12.6.10.2, 18.1.3.3,
18.1.3.4, 18.8.8
Классификация 1.6.5, 11.3.7
— групп замощений 1.7
— квадратичных форм 13.1.4.2. 13.4.6
— квадрик 14.1.5
— — аффинных 15.3.1
— правильных многогранников 12.6
— пучков 16.5.1, 16.8.15, 20.5.6
— — коник 16.5.1, 16.8.15
Когомологии 4.3.9.4
Кокуб 12.1.2.5, 12.5.4.3
Коммутативность 2.3.3.9, 2.8.9, 4-5.6,
4.5.10.1, 4.8, 4.9.8, 6.8.13. 6 8.15
Коммутатор 1.5.2
Компакт 11.8.10.7
Компактификация по Александрову 5.2.6,
18.1.3.2, 20.2.4
Компактность и неподвижные точки 9.8.6
— квадрики 14.3.1
— сферы 18.2.1
Компактные многообразия 4.0.5
— подгруппы 2.7.5.11, 9.8.7, 19.4.7
— — максимальные 2.7.5 11, 9.8.7
Комплексификация аффинного пространст-
пространства 7.6.2
— векторного пространства 7.1.1
— квадратичной формы 7.3.3
— и подобия 8.8.6
— морфизма 7.2.1
— подпространства 7.4.1, 7.5.3, 7.6.10
— полниома 7.3
— проективного пространства 7.5.1
— пучка 16.5.2, 17.Б
Комплексные числа 8.8.4, 9.6.4, 18.1.3.1
Композиция винтовых движений 9.3.7
— вращений 8.9.5, 9.3.С
Конечная геометрия 15-4.8
— группа 9.8 5
Конечные подгруппы 1.8, 9.8.5, 18.5.10
Коника (коническое сечение) 1.2.7, 9.5.5
14.1.1. 19.8.11
— аффинная 16.7
— бесконечно удаленная 15.1.3.2
— девяти точек 16.7.5
— касательная 14.6.2, 17.4.2.3
— одиннадцати точек 16.5.5.1
— проективная 14.1.1, гл. 16
— проходящая через 5 точек 16.7.3
Коники касающиеся 16.4.5, 16.4.10
— сверхсоприкасающнеся 16.4.5. 16.4.10,
16 4 13, 19.6.8.3
— соприкасающиеся 16.4.5, 16.4.10.
16.4 12
— софокусные 16.6.12.1, 17.6.3
Коноид 14.1.7.1
Конус 14.1.7.2, 20.7.3
— асимптотический 15.5.11
— вращения 17.3
— выпуклый 11.1.6, 11.3.6.5, 1.3.8
— изотропный 8.8.6.1, 13.2.1
— нормальный 11.6.2, 12.3.6.1
— полярный 18.11.15
— усеченный 12.12.20.7
Конформная группа 18.1.3.2, 18.10, 2U.2.5,
20.6.1
— (равноугольная) карта 18.1.7.2, 18 1.7.3.
18.11.1
355
Предметный указатель
— модель 19.b
Конформное отображение 9.5.4.2, 18-10.3,
18.11.22
Концентрические сферы 20.5.6
Концы кривой 9.9.1
— отрезка 3.4.3
— полупрямой 19.1.1.5
Координаты 2.2.9, 3.3.3, 3.4.6.6
— барицентрические 3.6.2, 10.4.5, 10.6.8.1
— географические 18.1.6. 18.3.7.2
— ррассмаиовы 2.4.8-8
•— однородные 4.2.3, 14.1.4.1
— пентасферические 20.7.1
— полисферические 20.7.1
— проективные 4.4.3, 6-5.10
— тетрациклические 20.7.1
Корни полинома 11.9.21, 16.4.1
Корреляции 14-5.5, 14.8.12
Косинус 8-3.6, 8.3.7, рис 18.1.3
Косы 9.5.4.9
Коцикличность четырех точек 10.9.2, 10.9.5,
17.8.3.3
Коэффициент гомотетии 2.3.3-9
— искажения 18.1.7.3, 18.1.8.3
— растяжения подобия 8.8.2
Крайняя точка 11.6.4, 11.6.5.5, 11.6.8,
11.8.10.9, 11.8.10.10, 11.9-8, 12.1.9
Кратность 16.4.9
Кратчайший путь 9.9.5, 18.4.2, 19.1.2.1,
19.3.5
Кривая 9.9.1
— выпуклая 11.3.10.1
— дифференцируемая 12.11.4.4
— постоянной ширины 12.10.5
— простая замкнутая 11.3.4, 12.11.5.1,
18 2.6.3
— спрямляемая 9.9.1, 12.11.5.1
См также Длина кривой
Кривизна 9.9.9, 16.4.10, 16.4.12.1, 18.3.8.6
— аффинная 2.7.6, 2.8.12
— Менгера 9.14.31
— полная средняя 12.10.9,1
См. также Центр кривизны
Кристаллографические группы 1.7.7.1, 1.8.1
Критерий выпуклости 11.1.7, 11-5.4, 11.8.11
Круглый бильярд 17.9.2
Круговая группа 20.2.5, 20.6
Круговые сечения 15.7.14, 18.11.15
— точки 9.5.5.1, 17-4.1 — 17.4.3
Кручение 9.9.9
Куб 1.8.3.4, 11.1.2.5, 12.1.2.5, 12.1.11.2,
12.5.4.2
Левые сдвит 1.2.6, 1.4.2, 1.4.4.2
Лемма Брюа — Титса 9.8-6.5
— Какутани 11.9.19
— Коши 12.8.6.1, 18.6.11, 18.7.16
— о косах 9.5.4.9
Леммы об аппроксимации 12.9.2
Линейно связные компоненты, пространства
2.7 2.9, 2.7.3.2, 4.3.3, 8.4.3, 9.1.4, 18.2.1
Линейчатая поверхность 6.8.20, 12.12.9.7
Линия перемены даты 18.1.5.3
Лист Мёбиуса 4.3.9.1, 20.2.6
Логарифм 8.8.7.2, 11.9.4
ЛО1 арнфмическая спираль 9.6.9.1, 9.14.21,
17.9.16, 18.11.3
Локальная выпуклость 11.1.7.4
Локсодрома 6.8.8, 18.1.8.2, 18.3.3, 18.11.3
Локсодромическая томография 6.8.8
Луч 8.6.1
Максимальная компактная подгруппа
2.7.5.11, 9.8.7
— ширина 11.9.12
Максимум непрерывной функции 11.8.10.9
Малая окружность 18.11.4
— сфера 18.1.2.2, 18.10.4
теорема Понселе 17.2,1.6, 17.6.3.6
Масса 2.8.11, 3.4.1
Материальная точка 3.4.5
Матрица бистохастическая 11.6.6.3, 11.9.7
— квадратичной формы 11.8.9.2, 13.1.3.6
— перестановок 11.9-7
Маятник 175.5.5
Медиана 10.1.4, 10.6.3, 19.3.4
Медиатор 9.7.5, 18.4.6, 19.1.2.3, 19.4.2
Медиатриса 10.1.4. 18.11.5
Мера 11.6.6.2
— каноническая 8.11.3, 9.12, 9.12.6, 9.12.7,
18.3.7, 19.1.1.7, 19.5
— Лебега 0.6, 2.7.4, 11.8.8.1, 19.5.1
— нуль 9.12.3, 12.9.2.4
— со значениями в векторном пространстве
2.7.5.1
— Хаара 8.2.5.1
Меридиан 18.1.6.2, 18.8.6
Метод Faycca 13.4.8
— отправки в бесконечность 5.4, 6.4.4,
6.4.8, 16.4.13
Метрика 9.9, 9.10
— внутренняя 9.9.4.4, 9.9.8, 9.14.30, 18.4.2,
19.3.2, 19.4.6.3
— гиперболического пространства 19.2.5,
19.6.10
,— евклидова пространства 8.1.3
— превосходная 9.9.4 4, 9.9.4.5, 19.3.2
— риманова 18.5.8.5
— Фубини — Штуди 19.8.22
Метрические свойства 17.2 —17.4, 19.1.2
Метрическое пространство 0.3, 9.7.4
— вполне ограниченное 9.11.2
Минимальная запись 12.1.5
— ширина 11.9.12
Минимум выпуклой функции 11.8.10.6
Мистическая гексаграмма 16.2.12
Многогранник 12.1.1, 12.2, 12.3.5, 12.5.2.1
— двойственный (дуальный) 12.1.2.6,
12.6.2.4
— правильный 12.5
Многообразие дифференцируемое 8.10.1,
18.3
— постоянной отрицательной кривизны
19.6.12
— риманово 18.3.8.6, 18.10.3.3, 18.10.9,
19.1.1.6
— Якоби (якобиан) 4.9.4
Многоугольник 10.5, 12.1.1, 12.4, 12.12.11
— вписанный 9.4.2
— выпуклый 10.5.1, 17.6.6
— минимального периметра 9.4.2, 9.14.10,
17.6.6
— описанный 17.9.7, 17.9.8
— оптический 9.4.2, 9.14.33
— Понселе 16.6.11
— правильный 10.4.1
— сферический 12.7.3.1, 18.3.8.5
— — выпуклый 18.7.1
Многоугольный бильярд S.4
Модель Бельтрами 19.7.2
— Больяи 19.7-2
— гиперболического пространства 19,7.1,
19.7.2
— конформная 19.6
— Лобачевского 19,7,2
356
Предметный указатель
- Пуанкаре 19-7.1
- 53 19.2.5
- Ж 19.7.1
Модуль кватерниона 8.9.1
Монофокальиое свойство 17.2.1
Морфизм 2.3.1, 3.5, 4.5.2, 6.4.6
Мощность (кардинальное число) 0.1
Надграфик 11.8.7.5
Направление подпространства 2.4.1
Наследственность 8.6.5, 10.8.1.1, 14.1.3.3
14.5.2.4
Натуральное уравнение кривой 9.14.34.4
Начало кривой 9.9.1
— полупрямой 19.1.1.5, 19.2.10
Невырожденная форма 13.2.1
Неевклидова геометрия гл 19
Независимые точки 2.4.3. 4 6.6
Неизгибаемость выпуклого mhoioi ранника
12.8.2
Нейтральная форма 13.1.4.3. 14.4, 15.3.3.3,
18.8.2.4
Неовершины, неоребра, неограни 12.8.6.4
Неподвижные точки 4.5.17, 6.6.1, 6-7.2,
6.8.3, 9.8.6, 18.2.5.6
Непрерывность 2.7.1.2, 11.8.7.1. 11.8.10.4,
12.9.3.4
Неприводимая группа 8.2.6
Непрямые подобия 8.8.2
Неравенства 12.11.8
— в треугольнике 10.4.8
— выпуклости 11.8.11.12
Неравенство Бониезена 12.11.8.4, 12.12,15
— Гёльдера 11.8.11.9
— нзодиаметрическое 9.13.8. 10.4.2
— изопериметрическое 10.4.1, 11.1.3, 12.11,
12.12.15, 18.3.8.6, 19.7.3
— Копти — Буняковского (Кошн — Швар-
Шварца) 12.11.4.4, 12.12.16
— Люнлье 12.12.16
— Минковского 11.8.11.11
— среднего геометрического 11.8.11.6
— строгое треугольника 91.11, 18.4,
18.6.10, 18.11.13, 19.1.2.1, 19.3.2
— Шварца 8:1.3, 8.11.7
Несингулярное пополнение 13.3.4
Нефронда 9.14.34.3
Нормаль к квадрике 15.7.15
— — конике 17.1.4, 17.5.5.6, 17-9.9,
17.9.12.2
Нормальный конус 11.6.2, 12.3.6.1
— эндоморфизм 8.12.5
Норма 8.1.1, 8.9.1
Нормированные векторы 8.1.4
Образ квадрики 14.1.1, 14.6.4. 15.1.1
— — при изоморфизме 14.1.3.8, 15.1.2.2
Образующие и соотношения 1.8.7
— квадрики 14.4.1, 18.9.4.3
— прямолинейные 14.4, 18.9.4.3
Образы сфер н гиперплоскостей при нивер-
сии 10.8.2
Обратный образ 13.1.3.9
Общий перпендикуляр 9.2.6-5, 9.14.38,
19.8.9
Объем 9.12.4, 12.3.5, 18.3.8
— выпуклого компакта 12.9.3
— заполненного симплекса 9.12.4.3
— многогранника 12.2
— параллелепипеда 9-12.4.2
— сферы 9.12.4.8
— тетраэдра 10.13.10
— шара 9.12.4.6
— элементарный 9.12.4.5, 12.2.5
— ^-мерный 9.12.7
Овал Декарта 9.14.22
Огибающая 11.8.12.5
Ограниченная функция 11.8.10.1
Ограниченное множество 11.18.8
— — выпуклое 11.3.4
Одновременная ортогонализацня 13.5
Однозначно определенная фигура 12.5.5.2
Однородное полиномиальное отображение
3.3.1
— пространство 1.5.4, 2.3.3.6, 9.1.5
Однородные координаты 4.2.3, 14.1.4.1
Односвязность 4.3.9.3, 4.3.9.4, 12.1.3.1,
12.7.5.13, 18.2.2
Окно Вивнани 32.12.20-6
Окружность 10.7.1, 10.9, 17.5.5.5
— большая 18.1.2.1, 18.8.1, 18.11.16
— в гиперболическом пространстве 19.6.8.2,
19.6.10
— Вилларсо 10.12.1, 10.13.22, 18.9
— виевписанная 10.1.5
— вписанная 10-1.5
— главная 17.2.2.6
— девяти точек 10.11.3, 16.7.5, 17.5.4
— изогональная 10.13.20
— как коническое сечение 17.4.2
— касательная 17.9.1
— малая 18.11.4
— описанная 10.1.5
— — гармонически 17.9.5
— ортооптическая 16.2.7.1, 17.4.2.3, 17.6.1
— соприкасающаяся 10.8.55, 16.4.10,
17.5.5.4
— фокальная 17.9.1
— Форда 10.13.29
— Шаля 17.9.11
— экзотическая 10.12.2
См. также Связка окружностей, Зацеп-
Зацепление окружностей
Октавы Кэли 2.6.7, 4.8.3, 8.9.1, 18.1.3.5
Октаэдр 1.8.4, 12.5.5.3
Омбилнка 9.5.5.1.
Омбилический образ 14.1.3.7
Описанная окружность 10.1.5
— сфера 9.7.5.1, 10.6.1, 11.5.9.1, 12.5.2.1,
12.6.4
Описанный конус 14-5.3., 20.3.3
— многоугольник 17.9.7, 17.9.8
— прямоугольник 17.9.6
Опорная гиперплоскость 11.1.7.4, 11.5-1,
11.5.6.1, 12.1.9
— прямая 17.1.4
— функция 11.5.6.4, 11.8.12.3, 11.9.14
Определение осей эллипса 16.3 10.2, 17.9.22
Определитель 11.8-9.2
— Грама 8.11.5, 9.7.3.1, 15.6.3, 18.11.13
— Кэли — Менгера 9.7.3.2, 9.14.23
Орбита 1.6.1, 9.6.9, 13.4.6, 13.4.7, 13.7.1,
13.7.9, 18.8.1.2, 18.11.21, 19.2.2
Ориентация 2.7.2, 8.8.6.2, 18.3.4
Ориентированный треугольник 10.4.5.1
— угол 8.7
Ориентируемость 4.2.6, 4.9.4, 4.9.5, 14.8.3
Орисфера 19.8.15
Орицикл 19.6.8.3
Ортогональная группа 1.2.5, 1.4.4-3, 8.2.1,
12.11.2, 13.6.1, 18.5.2, 19.4.6.5
— — проективная 14.7.2, 20.5.4
— прямая сумма 8.1.8,4, 13.3.1
— симметрия 8.2.9, 13.6.6.1
— система 8.1.1
357
Предметный указатель
18.6.5
9.1.1,
.2.7.1,
2.6.3
5.4.8
Ортогональное дополнение 2.4.8.1, 8.1.8-3,
13.3.1
Ортогональные векторы 8.1.1
— гиперплоскости 20.3.1
— подпространства 8.1.8.3
— прямые 19.3.2
— сферы 10.7.7, 10.7.10.2, 20.3.1
Ортогональный базис 8.1.1, 13.3.1, 14.5.4.1,
15.6.3
— пучок 10.10.1
Ортонормализация по Шмидту 8.1.4,
Ортоиормированный базис 8.1.1,
13.3.1, 13.4.1,
— репер 9.1.1
Ортооптическая окружность 16.
17.4.2.3? 17.6.1
— сфера 15.7.13
Ортохрониые вращения 13.8.3
Ортоцентр 10.2.5, 16.7.5, 17.5.4
Основная теорема аффинной геометрии
— — проективной геометрии 4.5.10,
— формула 18.6.8, 19.3
Особая точка 14.1.7
Остроугольный треугольник 10.1.3
Ось 9.3.4, 9.3.5
— большая 17.2.1.4
— томографии 16.3.3, 16.3.10
— квадрики 15.6.8
— коники 17.4.3.2, 17.5.3
— малая 17.2.1.4
— параболы 16.7.4
— радикальная 10.7.10.1
— фокальная 17.2.1.4
— элацин 16.4.13
— эллипса 16.3.10.2, 17.9.322
Относительная внутренность 11
11.8.10.4
Отображение антиподальное 4.3.9.3
— аффинное 2.3.1, 11.9.5
— голоморфное 9.5.4.3
— конформное 9.5.4.2, 18.10.3. 18.11.
— полиномиальное 3.3.1, 3.3.5
— полулинейное 2.6.2, 6.4.9, 7.1.2.1
Отрезок 3.4.3, 9.9.2, 9.9.4, П.1.1, 11
19.3.2, 19.4.3
Отыскание вершин полиэдра 12.1.14
1.2.8,
.22
1.2.4,
Парабола 2.8.12, 9.6.7, 10.13.18, 11.1.2.1,
15.3.3.2, 15.7.6, 17.1.2. 17.4.3.5, 17.6.2.2,
17.9.17, 17.9.18
— касающаяся четырех прямых 16.7.4
— соприкасающаяся 17.5-5.5
Параболоид 15.5.3
— гиперболический 14.4.6, 15.3.3.3
— эллиптический 15.3.3.3
Параллелепипед 9.12.4.2, 12.1.2.1
— прямоугольный 12.3.5
Параллелизм Клиффорда 4.3.7, 18.8, 18.11.17
Параллелограмм 2.4.5, 6.4.4, 15.7.7, 15 7.12
— Клиффорда 18.8.4, 19.1.4
Параллель 18.1.6.2
Параллельные в смысле Клиффорда 4.3.7.
18.8, 18.11.17
— — — — в первом н во втором смысле
18.8.3.2 - ---
— выпуклые множества 12.11.8.3
— гиперплоскости 2.4.9.1, 20.4.3, 20.5 6.2
— меридианы 18.8.6
— подпространства 2.4.9.1, 5.3.2
— прямые 18.8.1
Параллельный перенос 1.2.6, 1.3.1, 1 4 2,
1.4.4.2, 2.1.2, '9.1,2'
Параметризация гиперболы 17/8.2 ' -
— хорошая 16.2.9, 16.7.2
— эллипса 17.7.2
Параметрические представления 2.4.8.7
16.2.9, 17.7.2, 17.8.2
Паратаксия 10.12, 18.9, 20.5.4
Паратактическое кольцо 10.12.3, 20.5.4
Пентасферические координаты 20.7.1
Переворачивание 8.2.9, 9.2.4, 9.3.3, 13.6.6.1
Перемещение 9.1.4
Пересечение 2.4.2.4, 4.6.4, 11.1.2.7, 12.1.2.4
— двух конйк 16.4
сфер 10.7.5
— с подпространством 10.7.2, 14.1.3.3
Перестановки 0.2, 1.4.2, 6.3
Периметр 9.4.1, 9.4.2, 10.1.4, 10.3, 12.3.1
Перспектива 4.0.4, 4.7.3, 4.7 6
Петля 18.2.3
Пирамида 12.2.1
Питекантроп рис. 9.11.2.2
Плоский тор 18.11.17
Плоскость Артииа 13.1.4.4, 13.8, 19.2.5
— аффинная 1.2.7, 2.4.2.1
— гиперболическая 13.1.4-4, 19.2.5
— диаметральная 20.3.1
— касательная 14 4.7
— октав Кэли 9.1.7, 18.1.3.5
— проективная 2.6.7, 4.1.3.3
— проективного пространства 4.6.2
— эллиптическая 19.1.3
Плотность каноническая 8.11.3
Площади Мииковского 12.10.9.3, 12.11.4.2
Площадь 9.12.4.1. 9.12.7. 11.9.16
— поверхности выпуклых компактов 12.10.2
— — многогранника 12.3
сферы 12.10.4.1
— сферического двуугольника 18.3.8.3
— — многоугольника 18.3.8.5
— треугольника 9.12.4, 10.1.5, 10 3.3,
18-3.8.6, 19.5.4
— — ориеитироваииого 10.4.5.1
— — сферического 18.3.8.4
— треугольной подэры 10-4.5
— эллипса 17.7.5
Поверхность Боя 4.3.9-1
— Веронезе 4.3.9.1
— вращения 19.7.2
— — с двумя осями вращения 18.8.6
— выпуклая П.3.10.2
— линейчатая 6.8.20, 12.12.19.7
Подгруппа группы GA(X) 2.7.5
— — GL (Е) 11.8.10.8
— компактная 19.4.7
— — максимальная 2.7.5 11, 9.8.7
— конечная 1.8, 18.5.10
— Снлова 1.6.7.3 . ,
— сопряженная 1.5.3
Подобие 8.8.2, 8.8.6, 9.5, 10.2.7, 12.3.2.
18.10.2.1
— в трехмерном пространстве 9.14.12
— иифиннтезимальное 9.5.4
— на плоскости 9.6.1, 9.6.4
— непрямое 8.8.2, 9.5.1
— прямое 8.8.2, 9.5.1
Подпространство 2.4.1, 4.6, 19.2.10, 19.4.6.2
— аффинное 2.4-1, 2-4.8, 3 5
— в PQ(E) 14.2
— вполне сингулярное 13.2.1
— — — максимальное 13.7.5
— евклидово 8.12 1 '
— касательное 14.1.3.5
— несингулярное 13.2.1
— ортогональное 8.1.8.3, 9.2, 13.3.1
— параллельное 2.4 91
— полярное 15.5.1
— порожденное подмножеством 2.4.2.5,
3 5.3, 4.6.5
358
Предметный указатель
— проективное 4.6, 4.6.14, 4.6.15, 4.9.6.
4.9.11
— сингулярное 13.2.1
•— слабо параллельное 2.4.9.1
— собственное 7.4.3
— сопряженное 14.5.1
Подерг 9.6.8, 9.6.9.1, 17.2.2.6
— треугольная 10.4.5
Покраска поверхности 9.12.7
Полином 3.3.1, 3.3.5
— однородный 3.3.1
Полиномиальное отображение 3.3.!( 3.3.5
Полисферические координаты 20.7.1
Полиэдр il.6.5.1, 121.1, 12.1.3.1, 12.2
— выпуклый 11.1.2.7, П.8.10.10
— звездный 12.6.10.5, 12.7.5.1, 12.12.8
— правильный 1.8, 12.5, 12.6.10.5, 12.12.7
Полная средняя кривизна 12.10.9.1
Полный пучок 16.5.1, 16.5.6.1
— четырехугольник 6.4.4, 17.6.2.1
Положительная форма 2-7.2.2
Положительно-однородная функция
11.8.12.1
Полулинейное отображение 2.6.2, 6.4.9,
7.1.2.1
Полуморфизм 5.4.8, 6.4.9
Полупериметр 10.3
Полупростое представление 8.12.13
Полупространство 2.7.3.2, 11.1.2.6
— Пуанкаре 19.7.1
Полупрямая 19.1.1.5, 19.6.2
Полупрямое произведение 2.3.3.7, 2.7.1.3,
2.7.2.11
Полусфера 18.7.0
Полюс гиперплоскости 14.5.1, 15.5.2
— инверсии 10.8.1
— северный 18.1.2.3, 18.10.2.1
— южиый 18.1.2.3
Поляра 6.5.7, 14.5.1, 14.6.4, 15.5.1, 17.9.16
Полярная гиперплоскость 11.1.5.1, 12.1.Ю,
14.5.1, 15.5.1
-- форма 3.3.2, 13.1.1, 20.2.2
Полярное множество 11.1.5.1, 11.4.8, П.5.3,
12.12.2
Полярность 10.7.11, 12.1.10, 12.5.2.4,
12.12.2, 14.5, 15.5, 17.2.1.6
Полярный конус 18.11.5
Пополнение несингулярное 13.3.4.1
— проективное 5.1, 5.1.3
Порядок вращения 1.7.5.3, 1.8.3.1
— точки 11.6.1, 16.4.5
— формулы 11.6.1, 16.4.5
Постоянное поле 3-1.2.1
Построение 4.9.12, 5.5.4, 5.5.5, 9.14.14,
9.14.16, 10.13.26, 16.8-11, 16.8-22, 20.8.1
— композиции двух вращений 9.3.6
— коники, проходящей через 5 данных точек
16.7.3
— центра вращения 9.3.6
См. также Геометрические построения
Правильный многогранник 12.5, 12.6.10.5,
12.12.7
— многоугольник 12.4.1
— полиэдр 1.8, 12.5, 12.6.10.5, 12.12.7
Правые сдвиги 1.2.6, 1.4.2
Превосходная метрика 9.9.4.4, 18.4.2, 19.3.2
Превосходное пространство 2.7.5.12, 9.9.4.4,
18.4.2, 19.3.2
Предельные точки пучка 10.10.1, 20.5.6
Представление параметрическое 2.4.8-7,
16.2.9, 17.7.2, 17.8.2
— полупростое 8.12.13
— опинорноа 8.10.3
Преобразование квадратичнве 16.5.3.2,
16.8.24
— полярное 11.1.5, 14.6.3.2
Приведение квадратичных форм 13.4.8,
13.9.4, 13.9.6, 13.9.8, 13.9.10, 15.2
— квадрики 15.7.10
Приведенная форма 10.10.2
Приведенное уравнение 15.6.1
Признаки подобия треугольников 10.2.7
— равенства треугольников 10.2.6,
18.6.13.10, 18.11.8, 19.1.3.3, 19.3.4, 19.8.4
— — — «сомнительные» 18.11.8
Призрачное ребро 12.8.6.4
Примеры легкие 12.5.4
— стандартные 12.1.11
— трудные 12.5.5, 12.5.6
Примитивные плитки 1.7.4
Принцип Декарта 17.1
— непрерывности Понселе 7.0.3
— пастухов 1.5.8
— подобия 9.6.7
— Сальмона 10.13.14
Присоединенное векторное пространство
2.1.2
Проблема Гильберта — Дена 12.2.5.2
Проективная группа 4-5.9, 5.2.2, 6.1.1
— — ортогональная 14.7.2, 18.10.1.3,
18.10.4, 20.5.4
— прямая 4.1.3.3, 4.3.6, 4.9.7, гл. 6, 6.5.1,
14.2.8.1, 18.1.3.2, 18.1.3.4
— плоскость 2.6.7, 4.1.3.3
Проективное пополнение 5.1.3
— пространство 4-1, 17.4
Проективно независимые точки 4.6.6, 4.6.7
Проективные координаты 4.4.3, 6.5.10
— подпространства 4.6.1
Проективный репер 4.4.1
Проекция аффинного пространства 2.4.9.6
—г картографическая 18.1.8.1, 18.1.8.7
— — Гаусса 18.1.8.3
— — коническая 18.1.8.5
— — косая 18.1.8.5
— — Ламберта 18.1.8.5
— — Меркатора 18.1.8, 18.10.3.2
MTU 18.1.8.3
— — нормальная рис 18.1.8.5.1
— — поперечная рис 18.1-8.5.1
— ортогональная 9.2.4, 9.11.6, 9.12.4.9
— стереографическая ем. Стереографиче-
Стереографическая проекция
Произведение векторное 8.11.8, 8.12.9
— полупрямое 2.3.3.7. 2.7.1.3, 2.7.2.11
— скалярное 8.1.1
Простая группа 8.5.1
— замкнутая кривая 11.3.4, 12.11.5.1,
18.2.6.3
Простота группы 0(Я) 8.5
О(л) 8.5.1
0C) 8.5.1
Просто транзитивное действие 1.4.3, 2.1.3,
2.3.3.5, 8.3.3, 9.1.6, 9.6.2, 12.5.2.5, 18.5.7,
18.10.6
Пространство Артина 13.1.4.4
— аффинное 2.1.1, гл. 5, гл. 9, П.1.2.6
— — евклидово 9.1.1
— — — стандартное 9.1.2
-• — ориентированное 2.7
-« векторное присоединенное 2.1.2
— гиперболическое 19.2.5
— евклидово 8.1.1, 13.5, 19.1
— касательное 14.1.3.5, 14.3.8, 18.1.2.4,.
19.1.1.4, 19.2.7
—• метрическое 9.7.4, 9.9
— однородное 1.5.4, 2.1.1, 2.3.3.6, 9.1.5
— превосходное 9.9.4.4
—* проективное 4.1.1
— — вещественное 4.1.3.2, 9.1,7
359
Предметный указатель
— — кватериионное 9.1.7
— — комплексное 4.1.3.2, 9.1.7
— — порожденное векторным пространст-
пространством 4.1.1
— — стандартное 4.1.3.2
— с внутренней метрикой 9.9.4.4
— сфер 20.1.5
— универсальное 3.1
— эллиптическое 19.1.1.1, 20.5.4
— Lp 11.8.11.12
Прямая 2.4.2.1, 3.5.3, 4.6.2, 19.1.1.5, 19.2.10,
19.3.2, 19.6.2
— двойная 14.1.5.3
— из образов 10.13.16, 17.62.2
— опорная 17.1.4
— Паскаля 16.8.3
— проективная 4.1.3.3, гл. 6, 6.5.1, 14.2.8.1
— — вещественная 4.3.6
— — кватериионная 4.9-7, 18.1.3.4
— — комплексная 4.3.6, 18.1.3.2
— Симеона 9.14-34.3, 10.4.5.4, 10.9.7-1,
10.11.3, 10.13.27, 17.4.3.5, 17 8.3.2
— Уоллеса 10.9.7.1
— хорошая относительно пучка 16.5.4,
17.5.2
Прямая сумма 0.2
— — ортогональная 8.1.8.4, 13.3.1
Прямой (положительный) базнс 2.7.2.2
— (—) репер 2.7.2.10
Прямолинейные образующие 14-4, 18.9.4-3
Прямосторонний сферический треугольник
18.6.13.11, 18.11.11
Прямоугольник 12.3.5
— описанный 17.9.6
Прямоугольный бильярд 9.14.11
— треугольник 10.1.3, 10.2.3, 10.3.9
сферический 18.6.13.11, 18 11.11
Прямые изотропные 8.8.6.1, 13.2.3.1, 14.4.7
— ортогональные 19.3.3
— параллельные 2.4.9, 18.8.1
Пучок гиперплоскостей 6.5.1
— касательный 14.6.2, 17.6.2.2, 17.6.3.1
— квадрик 14.2, 14.8.6
— — вырожденный 14.2.7.5
— коник 16.5, 17-5
— окружностей 10.10, 17.6.1, 189.4.3
— ортогональный 10.10.1, 20.5-6
— плоскостей 14.4.5
— полный 16.5.1, 16.5.6.1
— с предельными точками 10.10.1, 20-5.6
— сфер 20.5.1
См. также База пучка, Классификация
пучков. Комплексификация пучка, Тип
пучка
Пятый постулат Евклида 2.4.9.4, 19.1.16
Равнобедренный треугольник 10.1.3,
17.8.3.3, 18-6.13.9, 18.11.11
Равнобочная гипербола (РГ) 17.1.3, 17.5.1,
17 5.3, 17.5.5 6, 17.8.3
Равновеликая (эквивалентная) карта 18.1.7.3
Равностороннее подмножество 19.8.2.4
Равносторонний треугольник 10.1.3, 10.2.2.
18.6.13.9
Равноугольная карта см. Конформная картз
Радикал 13.2.1, 14.1.7
Радикальная гиперплоскость 10.7.10.1
— ось 10.7.10.1
Радикальный центр 10-7.10.2, 10.11.1
Радиус внешний 12.11.8.4, 12.12.10
— внутренний 11.9.12, 12.11.8.3, 12.12.10
— сферы 10.7.1
— — нулевой 20.1.8
— — чисто мнимый 20.1.8, 20-2.5
Разбиения пространства на правильные
многогранники 12.6.10.4
Размерность 2.1.7, 4.1.1, 11.2.6
— бесконечная 11.8.10.3
Ранг 13.2Л, 14.1.1
Расслоение касательное 19.1.1.4, 19.2.7
— Хопфа 1.6.4. 4.3.7, 18.1.3.6, 18.9.4.2,
18.11.30
Расстояние 0.3
— алгебраическое 12.2.4
— в евклидовом пространстве 8.1.3
— геометрическое 12.2.4
— гиперболическое 13.8.7, 19.2.5
— до гиперплоскости 9.2.6.3
— — подпространства 9.2.2
— — прямой 19.3.3.1
— между двумя подпространствами 9.2-5
— — — Прямыми 9.2.6.5
— Хаусдорфа 9.11, 9.12.5, 9.13.3, 12.9.1
См. также Функция расстояния
Ребра 2.4.7, 12.1.8. 12.7.1, 12.8.64
— призрачные 12.8.6.4
— смежные 12.8.6.2
Репер аффинный 2.2.9, 2.3.8, 2.4.2.6. 3.6.2
— ортонормированиый 9.1.1
— проективный 4.4.1
— прямой (положительный) 2.7.2.10
Решетка 1.7.5.1- 1.7.5.2, 9.14.29, 11.9.16,
18.11.17
Риманова метрика 18.5.8.5
Римаиово многообразие 18.3.8.6, 18-10.3.3,
19.1.1.6
Садовник 17.6.4
Сверхсоприкасающаяся коиика 16-4.5,
16.4.13, 19.6.8.3
Связка прямых 6.5.1
Связная компонента 2.7.3.2, 8.4.3, 9.1.4,
11.9.3, 18-2.6.1
Сектор 8.7.5.4
Середина 3.4.2, 19.4.3
Сечение 1.6.6
— круговое 15.7.14, 18.11.15
Сигнатура формы 13.4.7
Символ аффинного полинома 3.3.5
— правильного многогранника 12.6.1
Символы Шлефли 12.6.1, 12.6.10.5
Симметризация по Штейиеру 9.13, 11.1.4,
12.10.10, 12.12.1
Симметрическая группа 0.2, 6.3.2
Симметрия 2.4.9.6, 6.4.6, 9.2.4, 9.8.1, 13.6.6.1
— в эллиптическом пространстве 19.1.2.4
— относительно гиперплоскости 8-2.9,
8.2.12,9.2.4,9.3.3, 13.6.6.1, 13.7.12, 14.7.4,
18.10.1.4, 19.4.2, 19.4.6.1, 19.6.4, 20.6.2
«• — подпространства параллельно его ор-
ортогональному дополнению 2.4.9.6
— ортогональная 8.2.9, 13.6.6.1
Симплекс 2.2.10, 2.4.7, 9.7.3.4
— автополярный 14.5.4.1, 14.8.14
— заполненный 9-12.4.2, 12.1.2.2, 12.1.2.5
— правильный 11.5.8, 12.1.2.5, 12.5.4.1
— стандартный 12.1.2.5
Сингулярное подпространство 13.2.1, 13.7.5
Сииус 8-3.6, 8.6 7
Система образующих квадрики 144.1
Скалярное произведение 8.1.1
Слабо параллельные подпространства
2.4.9.1, 5.3 2
— эргодический компакт 9.4.4
Слоение Риба 18.8.7
360
Предметный указатель
Сложение выпуклых множеств 11.1.3, 11.9.1,
И.9.14, 12.11.3
Смежные ребра, грани 12.1.8, 12.1.13,
12.8.6.2
Собственная квадрика 14.1.1
Собственное значение 6.6.3
— подпространство 7.4.3
Соотношение Грассмана 2.4.9.2
— для расстояний между d + 2 точками
9.7.3, 18.11.14, 19.1.2.5, 19.8.16
— Птолемея 9.7.3.8, 10.9.9
— Стюарта 9.14.3.5
— Шаля 2.1.5, 8.7.2.4
Соприкасающаяся коиика 16.4.5, 16.14.13,
17.5.5
— окружность 10.8.5.5, 16.4.10, 17.5.5.4
Сопряжение 7.1.1, 7.4.2, 7.5.1
Сопряжеииое множество 15.6.3
Сопряженные подгруппы 1.5.3
— подпространства 14.5.1
— точки 14.5.1
Сопряженный кватернион 8.9.1
— эндоморфизм 8.1.8.6, 13.2.4
Софокусные квадрики 15.7.14
— коники 16.6.12.1, 17.6.3
Сохранение ориентации 2.7.2.5
— углов 9.5.3.1, 10.8.5.2, 19.5.6.6
Спинориое представление 8.10.3
Спираль логарифмическая д.6.9.1, 914.21,
17.9.16, 18.11.3
Спирограф 9.14.34
Спрямляемая кривая 9.9.1, 12.11.5.1
Среднее геометрическое 11.8.11-6
Стабилизатор (группа изотропии) 1.5.1,
9.8.1, 18.5.9, 19.46 5
Стандартное пространство 4.1.3.1, 8.1.2.2,
9.1.2
Стандартные правильные многогранники в
R* 12.5.6
Стандартный кокуб 12.1.2.5, 12.1.11.3
— куб 12.1.2.5, 12.1.11.2
— пример 12.1.11
— симплекс 12.1.2.5
Степень 3.3.1, 18.2.5
— инверсии 10.8.1
— относительно сферы 10.7.10
Стереографическая проекция 4.3.8, 11.3.6.5,
16.2.6, 18.1.4, 18.1.8.6, 18.9.1, 18.10.2,
18.10.3.2, 18.11/3, 18.11.22, 19.6.10, 20.1.1
Стереокомпаратор 4.7.5
Стороны сферического многоугольника
18.7.4
— треугольника 2.4.7, 10.1.2, 19.1.3.1
Строго выпуклое множество 11.6.4
Строгое неравенство треугольника 9.1.1.1,
18.4, 18.6.10, 18.11.13, 19.1.2.1, 19.3.2
Структура аффинная 6.2.6
— группы иа сфере 8.9.1
Is(X) 9.3.1
О(Е) 8.2.14, 8.4
О + B) 8.3
— — О~B) 8.3.3
О + C) 8.4.7.1
О-C) 8.4.7.2
0D) 8.9
— — О(п) 8.5.3
— евклидова 11.8.9.1, 13.1.3.1, 19.1.1.4
— изометрий плоскости 9.3.4
— — пространства 9.3.5
— подобий 9.6.1
— полиэдров 12.1.5
— тела 6.4.8
Сумма векторная 6.2.6
— Мииковского 11.9.14, 12.1.17
— ортогональная прямая 8.1.8.4, 13.3.1
— углов 10.2.4, 10.Б.2, 18.3.8.4, 19.5.4
Существование треугольника 10.2.1, 18.6.10
Сфера 4.3.3.2, 9.5.3.2, 10.7.1, 11.1.2.5,
11.3.4, 15.1.2.1, гл. 18, 18.3, 18.10, гл. 20
— биссекторная 20.4.4, 20.8.2
— большая 18.1.2.2
— изогональная 20.4-4
1— инверсии 10.8.1.1
— малая 18.1.2.2, 18.10.4
— материальная 18.1.1
— обобщенная 20.1.5
— описанная 9.7.5.1, 11.5.9.1, 12.6.4
— ортооптическая 15-7.13
— радиуса нуль 20.1.8
— — чисто мнимого 20.1.8, 20.2.5
— Римана 4.2.5, 18.1.3.2 ,
— чердачная 10.6.8
— S> 8.9.1, 18.1.3.1
— S2 8.9.4, 18.1.3.2
— S3 8.9.1, 8.9.3, 8.9.8, 8.10.3, 18.1.3.3
— S* 4.9.7, 18.1.3.4
— S« 18.1.3.5
— S' 8.9.1, 18.1.3.5
— S«5 18.1.3.5
См. также Объем сферы, Площадь поверх-
поверхности сферы, Пучок сфер, Радиус сферы
Сферическаи винтовая линия 9-14.34.3,
18.3.3
— коника 18.11.5
— тригонометрия 18.6.8, 18.6.13
Сферический многоугольник 18.3.8.5
— пояс 12.12.20.2
— треугольник 12.5.5,2, 18.3.8.4, 18.6
Сферометр 18 1.1
Сферы касающиеся 10.7.5, 20.4.3, 20.5.6
— ортогональные 10.7.7, 10.7.10.2, 20.3.1
— пересекающиеся 10.7.5, 20.4.2, 20.5.6
См. также Пучок сфер
Тангенциальное уравнение 14.6.1
Тело кватернионов 8.9.1
Теорема Аполлония 15.6.4
— Безу 16.4.8
— Бибербаха 1.7.7.3
— Бляшке 9.11.4
— — о качении 12.12.14
— шаре 9.13.6, 12,11.2
— Бониезеиа 12.11.8.4, 12.12.14
— Борсука — Улама 18.2.7
— Брнаишона 16.2.13, 19.3.4
— Брунна — Минковского 11.8.8.1, 12.11.3
— Витта 13.6.8, 13.7.1, 13.7.8
— Гильберта 19.7.3
— Гульдина 12.12.20.9
— Даукера 12.12.5
— Дезарга 2.5.4, 2.5.5, 2.6.7, 4.8.3, 5.4.3,
5.4.7, 6.8.2, 14.2.8.3, 16.5.4
— Диигаса — Хадвнгера — Боннезена
12.11.8.3
— Дюпена 9.5.4.21
— Жордана 18.2.6 3
— — Брауэра 18.2.6
— Иоахимсталя 17.9.10
— Каратеодори 11.1.8.6, 11.7.4.2
— Картана — Дьедонне 13.6.8. 13.7 12
— Кирхбергера 11.9.10
— Коши 12.8.1, 12.8.4
— Красносельского 11.7.7
— Крейна — Мильмаиа 11.1.8.5, 11.6.8
— Критикоса 11.9.23
— Ланра 17.9.14
— Лёвнера — Береида 11.8.9, 11.8.10.7
— Лекселля 18.11.10
361
Предметный указатель
— Лефшеца 18.2.5.7
— Линделёфа 12.11.8.2
— Лиувилля 9.5.4.6
— Люка 11.9.21
— Люррта 16.2.10
— Маршо 15.4.8
— Меиелая 2.8.2
— Мигеля о шести окружностях 10.9.7.2
— Минковского 11.9.6
— Мора — Маскероии 10.11.2
— Морли 9.14.34.5, 10.3.10, 10.13.4
— Мостова 18.10.9
— Моцкииа 11.1.7-3
— о нулях 14.1-6, 15.7.1
прямой Симеона 10.9.7.1
— — разделении 11.4, 18.2.6
— — семи окружностях 10.11.7
— — шестой окружности 10.7.10.3
— основная аффнниой геометрии 2.6
— — проективной геометрии 4.5.10, 5.4.8
— Паппа 2.5.3, 2.8.9, 5.4.1, 5.4.2, 6.8.2,
16.2.12, 16.8.19
— Паскаля 16.2.11, 16.8.4, 16.8.5
— Петерсеиа — Морли 9.14.38
— Пифагора 9.2.3
— плотности 19.8.21
— Плюккера 16.5.6.3
— Понселе 10.10.4, 10.13.3, 16.5.5.3, 16.6,
1 7-6.3.6
— Птолемея 9.7.3.8, 10.9.2
— Сильвестра 9.14.25
— Фалеса 2.5.1, 6.5.5
— Фейербаха 10.11.3
— фон Штаудта 6.4.10
— Хана — Банаха 11.4.1
— Хелли 11.7, 11.7.4.2, П.7.8, 11.9.11
— Чевы 2.8.1
— Штейнера — Минковского 12.10.6
— Эрдеша — Морделла 10.4.6
— Юнга И 5.8
Теория аксиоматическая 4.1.2, 4-6.10
— Галуа 12.6.10.3
¦— касания 164.11.3
— меры 11.6.6.2
Тетрациклические координаты 20.7.1
Тетраэдр 2.4.7, 6.8.21, 10 6
— правильный 1.8-3.4
Тетраэдры Мёбиуса 4.9.12, 5.5.3, 10.6.7,
14.8.12
Тип пересечения 16.4-7.4
¦— пучка коник 16.5.1
— — окружностей 10.10.1, 16-5.1, 20.5.6
— — сфер 20.5.6
Ткань 5.5-8, 5.5.9
Тождественное отображение 0.1
Тождество Эйлера 3.7.12. 13.1.1
Топология алгебраическая 8.2.14, 8.10, 18.2
— — квадрик 14.3
— выпуклых множеств 11.3
— евклидова пространства 8.1.3, 9.1.2 .
— естественная 18.1.2-5, 18.2
— каноническая 2-7.1, 4.3.1, 18.1.2.5
— ортогональной группы 8.2.14
— проективного пространства 4-3.1
Тор 1.7.7.4, 10.12.1, 18.9.2
— вращения 20.7.2, 20.8.5
— плоский 18.11.17
Торсор 14.8.12.5
Точка аффинного пространства 2.4.2.1
— базы пучка 16.5.4
— бесконечно удаленная 4.2.5, 5.1, 15.1.3.2,
20.1.8
— выступающая 11.6.4
— граничная 11.6, 1-1.6.9
— двойная 4.5.18, 6.2.2
— касания 20.3.3
— крайняя 11.6.4, 11.6.8, 11.8.10.10, 11.9.8,
12.1.9
— материальная 3.4.5
— неподвижная 4.5.17, 9.8.6, 18.2.5.6
— особая 14.1.7
— порядка а 11.6.1
— предельная 10.10.1, 20.5.6
— проективная 4-1.3.3
— проективного пространства 4.1.1, 4.6.2
— Фрежье 16.3.6, 16.8.7
Точки коцикличные 10.9.2, 10.9.5, 17.8.3.3
— круговые 9.5.5.1, 10.13.1,14.1.3.7,17.4.1,
17.4-3
— на сфере S<* 18.11.14
— независимые 2.4.3, 4.6.6
— сопряженные 14.5.1
— 2-транзитивиые 1.4.5, 9.1.7, 18.5.5,
19.12.2, 19.4.5.1
Траектория 9.4, 9.4.1, 9.14.9
Транзитивное действие 1.4, 1.4.4.1, 1.4.5
6.1, 9.1.7, 18.5.5, 18.10-6, 19.1 2.2, 19 4 5 1,
19.4.6
См. также Просто транзитивное действие
Требования к картам 18.1.7
Треугольник 2.4.7, 10.1, 18.6, 19.3.4, 19.6.12
— автополяриый 10.13.24, 16.4.10, 16.5.3.2
— вписанный наименьшего периметра 9.4
— на эллиптической плоскости 19.3.1
— оптический 9.4, 9.4.1
— ориентированный 10.4.5.1
— остроугольный 10.1.3
— полярный 18.6.12, 19.8.3
— прямосторонний 18.6.13.11, 18.11.11
— прямоугольный 10-1.3, 10.2.3, 10.3.9,
18.6.13.11
— равнобедренный 9.14.11, 10.1.3, 18.11.11
— равносторонний 10.1.3, 18.6.19, 18 11 11
— Рело 11.5.9.2, 12.10.5
— сферический 12.5.5.2, 18.3.8.4, 18.6
Тригонометрия (сводка формул) 8.12.8,
18.6.13, 19.7.3
— гиперболическая 19.7.3
— сферическая 18.6.13
Трудные примеры 12.5.5, 12.5.6
Тупоугольный треугольник 10.1.3
Угловой дефект 18.6.12.4
— коэффициент прямой 16.7.2
Угол 8.8.5, 13.8.5
— вписанный 10.9.3, 16.2.7,4, 17 4 2.2
18.6.13.11 ' '
— гиперболический 13.8.5, 19.2.9, 19.6.7
— двугранный 12.1.12, 12.8.5
— евклидов 19.6.7
— между двумя векторами 18.1.2.4, 19.1.1.4,
19.2.7, 19.6.2
— — — сферами 10.7.7, 20.4.2, 20.5.3
_ _ лучами 8.6.3, 8.7.2.3
— — прямой и плоскостью 8.6.7
— — прямыми 8.6.3, 8.7.7.2, 8.8.7.4
— — — ориентированными 8.6.3, 8.7.2.3
— ориентированный 8.7
— поворота 1.7.5.0, 9.3.4, 9.3.5, 9.14.5
— — для подобий 9.6.3
— прямой 8.7.3.5, 8.7.7.4
— сферического многоугольника 18.7,4
— треугольника 10.1.2. 18.3.8.4, 18.6.6.
19 1.3.1
— Эйлера 8.9.5
См. также Величина угла, Сумма углов
362
Предметный указатель
Улитка Паскали 9.6.Ь- 9.14.17, 9.14.18,
9.14.22
Универсальное пространство 3.1, 3.2.2
Уиимодулярная группа 2.7.6
Унитарный базис 11.8.9.2
Уравнение квадрики 14.1.1, 15.1.1
— коники 16.7.1
— натуральное 9.14.34.4
— подпространства 2.4.8, 4.6.14
— приведенное 15.6.1
— Риккати 68.12
— сферы 10.7.6
— тангенциальное 14.6.1
— центра 15.5.5.2
— Эйлера 11.8.12.5, 12.12.15
Фигуры, полученные из двух окружностей
10.10.2
— постоянной ширины 11.5.6.3, 12.10.5
Флаг многогранника 12.5.1
Флексор рис. 12.8.4.2
Фокальная окружность 17.19.1
— ось 17.2.1.4, 17.9.1
Фокус 6.6.4, 6.6.5, 17.2.1.4, 17.2.2.6, 17.4.3,
18.11.15
Фонарик бумажный 9.12.7
Форма анизотропная 13.2.1, 14.1.3.1
— аффинная 2.5.8.3, 11.8.7.2
— вырожденная 13.2.1
— каноническая объема 8.11.3, 18.3.4
— квадратичная 3.3.2, 11.9.16, 13.1.1
— — аффинная 3.3.6, 15.2
— — фундаментальная 20.2.1
— невырожденная 13.2.1
— нейтральная 13.1.4.3, 14.4, 18.8.2.4
— положительная 2.7.2.2
— положительно определенная 11.1.2.8,
11.9.16
— полярная 3.3.2, 13.1.1, 20.2.2
Формула Аполлония 9.7.6
— Гаусса 18.6.13.8
Бонне 12.7.5.2, 18.3.8.6, 19.5.5
— Жирара 12.7.3, 18.3.8.4
— Коши 12.3.3, 12.10.2
— Лагерра 8.8.7.2, 17.4.2.2, 17.4.3.1
— Люилье 18.6.13.8
— основная 18.6.8, 19.3
— первой вариации 9.10.1, 9.10.7
— трех уровней 12.12.20.9
— числа классов 1.6.6, 1.8.3.1
— Штейиера — Минковского 12.3.5, 12.10.6
— Эйлера 12.7
Формулы для треугольника 10.3, 10.13.2
— объема 12.12.20
— площади 12.12.20
— тригонометрии 8.12.8
— — гиперболической 19.7.3
— — сферической 18.6.13
Фундаментальная группа 8.10.3, 12.7.5.3,
19.1.3.3
— квадратичная форма 20.2.1
— квадрика 20.2.4
— область 1.9.12
Фундаментальное соотношение 12.6.6
Функционал Мииковского 11.8.12.2
Функция вогнутая 11.8.6
— выпуклая 11.8
— гиперболическая 0.5
— голоморфная 9.5.4.3
•— ограниченная сверху 11.8.10.1
— опорная 11.5.6.4, 11.8.12.3, 11.9.14
•» положительно-однородная 18.8.12.1
— расстояния 11.8.12.2
— строго выпуклая 11.8.5
•— эллиптическая 16.6.1, 17.7.5
Характеристика дилатаций 2.5.6, 5.2.1
•— Метрическая евклидова пространства
97 4
— — сферы через ее метрику 18.4.7
— — эллиптических пространств 19.1.2.5
— основного поля 2.4.5. 3.3.2, 3.4.10, 6.3
— Эйлера — Пуанкаре 12.7.5.4, 12.10.9.2.
19.2.11
Характеристическая функция 0.6
Хорошая параметризация 16.2.9, 16.7.2
— прямая 16-5-4, 17.5.2
Центр 13.9.13, 17.5.5.2
— бесконечно удаленный 20.3.5
— вращения 1.7.5.0, 9 3.4
— гомотетии 2.3.3.9
— групп О(Я), О-(Е) 8.2.16
— изометрии 9.3.3
— кардиоиды 9.14.34.3
— квадрики 15.5.2, 15.5.5.2
— компакта 2.7.5, 12.12.20.9
— кривизны 17.7.4
— многогранника 12.5.2.1
— подобия 9.5.2
— правильного многоугольника 12.4.3
— радикальный 10.7.10.2, 10-11.1
— сферы 10.7.1
— тяжести 2.7.5-6, 3.4.2, 3.7.13, 9.7.6.4,
9.12.6, 12.12.20.9, 17.5.5.3
— элации 16.4.13
Центральное поле 3.1.2.2
Цепочка окружностей 10.10.3
— теорем 10.9.7.3, 10.13.19
Циклиды 20.7.2
— Дюпена 18.11.19, 20.7.3, 20.8.5
Циклическая группа 0.2
— перестановка 1.6.4
Цилиндрический зубец 12.12.20.5
Четырехугольник, вписанный в окружность
10.13.7
— вырожденный 18.7.3
— гармонический 9.14.15
— полный 6.4.4, 17.6.2.1
— сферический выпуклый 18.7.3, 18.7.11
Числа Ферма 12.4.6
Число кардинальное 0.1
— классов 1.6.6, 1.8.3.1
— строгих перемен знака 18.7.5
Шар 0.3, 11.1.2.5
— замкнутый 11.3.4
См. также Объем шара
Шеддок с шестью клювами 12.7.5.1
Ширина 11.5.6.3, 11.9.12, 12.12.21
— максимальная, минимальная 11.9.12
— постоянная 11.5.6.3, 1210.5
Широта 18.1.6.1
363
Предметный указатель
Эволюта 9.10.3, 9.14.34.4, 12.10.5, 17.7.4
Экватор 18.1.2.3
Эквиаффинная геометрия 2.7.6, 2.8.12
Эквибарицентр 3.4.2
Эквивалентные квадратичные формы 13.1.4.1
Экзотическая окружцость 10.12.2
Эксцентриситет 17.2.1.4
Элация 16.4.13
Элементарный объем 9.12.4.5, 12.2.5
Эллипс 2.8.12, 9.4.3, 11.1.2.1, 15.3.3.2,
16.3.10.2, 17.1.2, 17.6.5, 17.7
См. также Площадь эллипса
Эллипсы соприкасающиеся 19.6.8.3
— софокусные 17.6.6
Эллипсоид 11.8.9.1, 11.8.10.7, 12.12.2,
15.3.3.3, 15.6.3
— заполненный 11.8-9.1, 12.12.20.8
Эллиптическая томография 6.8.8
— плоскость 19.1.3
— Функция 16.6.1, 17.7.5
Эллиптическое пространство 19.1.1.1, 20.5.4
Эндоморфизм дуальный 8.1.8.6
— нормальный 8.12.5
— сопряженный 8.1.8.6, 13.2.4
Эпициклоида 9.14.34
Эргодичность 9.4.4, 9.14.11
Эрлангенская программа т. 1, с. 17
Эффективное действие 1.3.1
Ядро подмножества 11.9.20
Якобиан см. Многообразие Якоби
Оглавление
ЧАСТЬ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ, КВАДРИКИ
И КОНИКИ 5
Глава 13. Квадратичные формы 6
13.1 Определения. Примеры 7
13.2 Сингулярные и изотропные элементы, радикал, вы-
вырожденность и сингулярность 11
13.3 Ортогональность, несингулярное пополнение подпрост-
подпространства 15
13.4 Ортогональные базисы. Классификация для С и R 18
13.5 Одновременная ортогонализация двух квадратичных
форм 21
13.6 Группа квадратичной формы. Общие сведения 23
13.7 Теоремы Витта и Картана — Дьедонне 28
13.8 Двумерный случай: плоскости Аргина, группа 0A, 1) 34
13.9 Упражнения 39
Глава 14. Проективные квадрики 40
14.1 Определения, примеры 41
14.2 Подпространства в PQ(?); пучки квадрик 47
14.3 Топологические и дифференциальные свойства квад-
квадрик при К= R или С 51
14.4 Квадрики в размерности п = 4 с нейтральной формой ц 55
14.5 Двойственность относительно собственной квадрики:
полярность 59
14.6 Двойственность: касательные квадрики, тангенциальное
уравнение 66
14.7 Группа собственной квадрики 69
14.8 Упражнения 70
Глава 15. Аффинные квадрики
15.1 Определения. Выражения в координатах 73
15.2 Приведение аффинных квадратичных форм 74
15.3 Классификация аффинных квадрик при K = R и С 76
15.4 Топологические и дифференциальные свойства веще-
вещественных и комплексных аффинных квадрик 77
15.5 Полярность относительно собственной аффинной квад-
квадрики 79
15.6 Евклидовы аффинные кьадрики 90
15.7 Упражнения 95
365
Оглавление
Глава 16. Проективные коники ЮЗ
16.1 Напоминания, выражения в координатах, дополнения 103
16.2 Хорошие параметризации, двойное отношение четырех
точек, теорема Паскаля 106
16.3 Томографии и группа данной коники. Приложения 111
16.4 Пересечение двух коник. Теорема Безу 116
16.5 Пучки коник 127
16.6 Большая теорема Понселе 140
16.7 Аффинные коники 148
16.8 Упражнения 152
Глава 17. Евклидовы коники 157
17.1 Принцип Декарта 158
17.2 Метрические свойства: элементарное изложение 159
17.3 Метрические свойства: бельгийское изложение 166
17.4 Метрические свойства: проективное изложение Плюк-
кера 167
17.5 Пучки евклидовых коник и круговые точки 173
17.6 Касательные пучки коник, софокусные коники 181
17.7 Особые свойства эллипса 188
17.8 Особые свойства гипербол 191
17.9 Упражнения 193
ЧАСТЬ 5. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ СФЕРЫ,
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,
ПРОСТРАНСТВО СФЕР 199
Глава 18. Внутренняя геометрия сферы 200
18.1 Определения, некоторые специальные раямерности,
карты и проекции 201
18.2 Общая и алгебраическая топология сферы 218
18.3 Сфера как гладкое многообразие. Каноническая мера 223
18.4 Внутренняя метрика на сфере 227
18.5 Группа изометрий сферы 229
18.6 Сферические треугольники 232
18.7 Выпуклые сферические многоугольники. Лемма Коши 242
18.8 Сфера S3: сферический вариант параллелизма Клиф-
Клиффорда 250
18.9 Приложение параллелизма Клиффорда к трехмерному
евклидову пространству: окружности Вилларсо, паратаксия 258
18.10 Группа конформных преобразований сферы (группа
Мёбиуса) 260
18.11 Упражнения 266
Глава 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии 274
19.1 Эллиптическая геометрия 275
19.2 Определение моделей $> и S 283
19.3 Основная формула и ее следствия 286
19.4 Группа изометрий 289
19.5 Каноническая мера на 3i 292
19.6 Конформная модель % 294
366 Оглавление
19.7 Заключительные замечания. Другие модели гипербо-
гиперболического пространства 302
19.8 Упражнения 305
Глава 20. Пространство сфер 309
20.1 Пространство обобщенных сфер 309
20.2 Фундаментальная квадратичная форма 312
20.3 Ортогональность 313
20.4 Пересечение сфер и угол между двумя сферами 315
20.5 й-сферы и пучки 317
20.6 Круговая группа Conf (?) 319
2 0.7 Полисферические координаты 321
20.8 Упражнения 324
Литература 327
Литература на русском языке 339
Литература, добавленная при переводе 339
Указатель обозначений 343
Именной указатель 348
Предметный указатель 351