Текст
Часть
Часть
Часть
1
2
3
Действие групп,
аффинные и проективные
пространства
Евклидовы пространства,
треугольники,
окружности и сферы
Выпуклые тела и полиэдры,
правильные многогран-
многогранники, площади и объемы
М.БЕРЖЕ
ГЕОМЕТРИЯ
ТОМ „
ПЕРВЫЙ
В двух томах
Перевод
с французского
Ю.Н.Сударева,
А.В. Пажитнова,
С.В.Чмутова
Под редакцией
И.Х.Сабитова
Москва «Мир»
1984
ББ К 22.151
Б 52
УДК 513
Б 52
с франц.—М.: Мир, 1984.—
Берже М.
Геометрия: Пер.
Т. 1. —560 с, ил.
Книга известного французского математика охватывает широкий круг
вопросов классической геометрий в современном изложении. В ней удачно
сочетаются общие абстрактные идеи и многочисленные примеры конкретных
приложений. Издание богато иллюстрировано.
В русском переводе книга выходит в двух томах. В первый том вклю-
включены выпуски I—3.
Для математиков различных специальностей, а также для читателей,
интересующихся геометрией и желающих углубиться в изучение предмета.
_ 1702040000—351 ,. o.
Б 041@1)-84 14-84'
ББК 22.151
517
Редакция литературы по математическим наукам
Marcel Berger Geometrie
1) Action de groupes, espaces affines et projectifs
2) Espaces euclidiens, triangles, cercles et spheres
3) Convexes et polytopes, polyedres reguliers, aires et volumes
CEDIC/FERNAND NATHAN
publie avcc le concours du Centre National de la Recherche
Scientifique
© CEDIC, Paris 1977 © Nathan, Paris 1977
© CEDIC, Paris 1978 © Nathan, Paris 1978
© Перевод на русский язык, «Мир», 1984
Посвящается
светлой памяти
профессора Н. Ефимова
К русскому изданию
Учебные книги русских математиков отличаются
высокими качествами и широко известны. Они безупречны
в методологическом отношении, а обилие примеров из самых
разных областей знания, которыми они снабжены, хорошо их
украшает.
Вот почему, представляя на суд русских читателей
свою книгу, я испытываю некоторое волнение и опасения. Тем
не менее я надеюсь, что эта книга что-то даст им—хотя бы
поможет лучше представить, чем отличаются математические
культуры наших стран. А если кому-нибудь понравится та или
иная из представленных в книге точек зрения либо та или
иная теорема, я буду счастлив. Я почувствую, что внес свой
скромный вклад в развитие контактов между нашими народами,
к которому все мы стремимся всей душой.
Пользуясь предоставленной мне благодаря этому из-
изданию возможностью, я хочу почтить память старейшины клана
геометров Николая Ефимова. В мае 1968 г. он был гостем уни-
университета Париж-VII и у всех, кто обсуждал с ним матема-
математические проблемы или просто дружески беседовал, общение с ним
оставило глубокий след. Лично мне запомнилось, что он позна-
познакомил меня тогда с «Пиковой дамой» Чайковского. Мне хоте-
хотелось бы выразить здесь свое глубокое уважение к этому замеча-
замечательному человеку.
Я благодарен моему коллеге и другу И. Сабитову,
переводчикам и издательству «Мир», взявшим на себя нелегкий
труд по переводу и изданию моей «Геометрии».
Марсель Берже
Париж, 3 ноября 1983 г.
Предисловие редактора перевода
Французская математическая литература традиционно
богата капитальными трудами по геометрии, написанными круп-
крупнейшими математиками своего времени,—тут можно вспомнить
многократно переиздававшиеся книги и учебники Монжа,
Лежандра, Дарбу, Адамара. Книги эти в свое время опреде-
определили характер преподавания геометрии в университетах, а как
следствие влияли и на ее преподавание в школах. Предлагаемую
вниманию читателей «Геометрию», написанную активно работа-
работающим французским математиком Марселем Верже, в известной
степени также можно отнести к числу таких книг. Высокого
мнения о ней был выдающийся геометр Николай Владимирович
Ефимов, по инициативе которого осуществлено ее русское из-
издание.
В настоящее время у многих вызывает обоснованное
беспокойство чрезмерная формализация геометрии, отрыв ее
методов, содержания и интерпретации от изначально наглядной
ее сущности. В качестве реакции на такое беспокойство
Берже в своей книге постоянно подчеркивает, что синтетические
и наглядно-содержательные стороны геометрического материала
должны вновь завоевать свои утраченные было позиции. Это
проявляется и в обилии иллюстраций (не только чертежей,
но и фотографий произведений искусства и архитектуры, ри-
рисунков из старинных книг и даже деталей машин), и в выборе
обсуждаемых задач, а иногда и в тексте неявно, но ясно чи-
читается мысль о том, что эстетическая гармония и красота
наглядного изображения теоремы также являются мерилом цен-
ценности рассматриваемого геометрического результата; эта же
идея выражена в прекрасном отрывке из Лебега, приведенном
в начале книги в качестве программного эпиграфа.
Автор задался целью создать учебное пособие по
геометрии, материал которого был бы на стыке элементарной,
аналитической и отчасти алгебраической геометрий, и в котором
дебри алгебраического аппарата не затеняли бы наглядное со-
содержание используемых методов и получаемых результатов—
конечно, насколько это возможно. Кроме того — и это очень
важно! — автор стремится подвести читателя к мысли, что весь
этот материал не является «музейным экспонатом» математики
Предисловие редактора переводе
прошлых веков, а находится в активном развитии—и как
непосредственный объект научных исследований, и как
источник идей для постановок задач в более общих ситуациях.
Нет, по-видимому, никакого смысла пересказывать
здесь содержание книги, для этого лучше просмотреть оглав-
оглавление или прочитать предисловие автора; я предпочту выска-
высказать лишь некоторые общие впечатления. Прежде всего книгу
отличает необычайно богатый выбор материала—с диапазоном
от проективных пространств над произвольным полем до ар-
архитектурных и инженерных объектов — и чрезвычайно компакт-
компактная манера изложения, несущая в себе энергию невидимой,
но явно осязаемой пружины, которая иногда неожиданно рас-
распрямляется или при чтении, или в ходе самостоятельного
восстановления деталей доказательств — все это после некоторой
работы над книгой неизбежно приводит к ощущению, что и
в такой, казалось бы, досконально изученной области, как эле-
элементарная и аналитическая геометрии, есть и глубины и про-
просторы для научной и методической работы. Наверное, это и
есть тот эффект, к которому стремился автор!
Книга содержит много новейших результатов, а также
классических вопросов, которые в учебной литературе до сих
пор не встречались. Материал ряда параграфов, особенно из
четвертой части, по сравнению с ныне действующими програм-
программами может показаться несколько старомодным. Но не состоит
ли искусство педагога-ученого, в частности, и в том, чтобы
осветить уходящие в темноту забвения знания лучами новых
идей и ввести их в новом одеянии в современный ему учебно-
научный мир?
Такая многоплановость книги, несомненно, будет
причиной неоднозначного к ней отношения со стороны читате-
читателей и неодинаковой доступности или, лучше сказать, популяр-
популярности отдельных ее глав. Обращаясь к ней как к учебному
пособию, нужно иметь в виду, что, во-первых, по нашим про-
программам содержание книги ни в коей мере не соответствует
никакому конкретному учебному предмету, а, во-вторых, она
вовсе не предназначена для первоначального ознакомления
с геометрией.
Тем не менее—это нужно подчеркнуть!—многие
места книги, например вся глава 1, большая часть глав 8, 9
и 10, почти вся третья часть, главы 13 и 18—вполне доступны
для первого знакомства с материалом. Хочется надеяться, что
эта часть привлечет внимание учителей и школьников старших
классов, интересующихся математикой. По-видимому, главное
назначение книги — использование ее материала для специ-
специальных и факультативных курсов, семинаров и геометрических
8 Предисловие редактора перевода
кружков самого различного уровня—от университетов и пед-
пединститутов до средних школ.
...Гильберт сравнивал геометрию с прекрасным садом,
в котором каждый может подобрать себе цветок по вкусу.
Ныне сад геометрии разросся настолько, что даже специалистам
стало трудно ориентироваться в его зарослях. Эта книга поможет
составить более ясное представление о том, куда ведут и где
сходятся сегодня многочисленные тропинки, берущие начало у
самого входа в сад— в элементарной и аналитической геомет-
геометрии. Особенно полезной книга будет тем, кто уже занимается
или начал заниматься возделыванием своего участка геомет-
геометрии—они почерпнут из нее целостный взгляд практически на
всю ту классическую геометрию, в которой можно работать
без дифференциального исчисления.
Распределение работы по переводу книги было таким:
части 1 и 4 перевел Ю. Н. Сударев, часть 2—А. В. Пажитнов,
часть 3—С. В. Чмутов, часть 5—В. В. Трофимов. К сожа-
сожалению, осталось ощущение, что, несмотря на все старания, нам
не удалось полностью передать живой и непринужденный язык
оригинала. Как всегда после завершения большой работы, ка-
кажется, что если бы сейчас начать все сначала, то многое нужно
бы сделать по-другому. Но теперь судить о нашей работе предо-
предоставляется читателям—а читателей этой книги, несомненно,
будет немало, и многие из них откроют в ней для себя нечто
новое—или в математическом содержании, или в методических
установках.
И. X. Сабитов
Предисловие
В основу этой книги легли, во-первых, специальный
курс элементарной математики, который читался в университете
Париж-VII в 1972/73 и 1973/74 гг., и, во-вторых, пятнадцати-
пятнадцатилетняя работа по подготовке устного экзамена для соискателей
ученого звания «agrege»x) по разделу «Геометрия».
В книге, а точнее в элементарной геометрии, как мы
ее понимаем, преследуются такие цели:
Прежде всего повышенное внимание уделяется визуаль-
визуальному восприятию, чертежам и вообще «пластическому искусству».
Далее, для каждого* вводимого понятия приводится,,
если это возможно, какая-нибудь тонкая теорема с заниматель-
занимательной и простой формулировкой, но с неочевидным или трудным
док азательством.
Наконец, демонстрируется, что большая часть
рассматриваемой в книге простой математики—не музейный
экспонат, а неотъемлемая часть науки, которая разрабатывается и
применяется в наши дни. Здесь, порой на очень элементарном
уровне, возникают еще нерешенные проблемы.
Несколько слов о характерных чертах книги, опреде-
определяемых этими целями. Начнем с того, что основные определения
мы всюду старались сопроводить нетривиальными и по возможно-
возможности новыми примерами.
Теперь о чертежах. В большинстве случаев, особенно
в начале книги, каждое геометрическое рассуждение сопровож-
сопровождается чертежом. Именно так поступали авторы геометрических
книг, вышедших лет пятьдесят назад. В современных книгах,
увы, чертежей совсем или почти совсем нет. По-видимому,
современные авторы рассчитывают на то, что читатель держит
перед собой лист бумаги и карандаш и сам выполняет чертежи
по мере чтения или по крайней мере держит их в голове.
Однако наш опыт приема университетских экзаменов показывает,
что ни того, ни другого не происходит. Имея это в виду, мы
среди прочего стремились и к тому, чтобы читатели нашей книги,
как в старые времена, систематически пользовались чертежами.
*) Специальное ученое звание для преподавателей (во Франции). — Прим. ред.
to
Предисловие
Еще одна особенность книги состоит в обилии все-
всевозможных примечаний, так сказать, из области «общей куль-
культуры»: исторических ссылок и особенно ссылок на недавние работы,
в которых, иногда на более высоком уровне, используются
встретившиеся здесь математические объекты. Тем самым читателю
дается возможность почувствовать, что элементарная математика
является частью живого древа математики всех прошлых и
будущих времен. Это подкрепляется и серьезной библиографией.
В книге много внутренних ссылок, в том числе на
материал, который излагался на предыдущих страницах: мы
полагаем, что лишь немногие будут читать ее подряд, от корки
до корки, большинство же будет искать в ней тот или иной
результат, изложение той или иной темы. Мы рассчитываем на
то, что читателя, перелистывающего нашу книгу, вдруг захватит
какой-нибудь рисунок, чертеж или теорема, и он захочет
вернуться назад, чтобы глубже ознакомиться с вопросом. При
таком чтении по диагонали ссылки на предыдущий материал
очень полезны. Той же цели служат указатели в конце
книги, причем предметный указатель весьма полон и в нем
указаны все места, где встречается данное понятие, а не только
место, где оно упомянуто впервые.
Содержание книги мы детально анализировать не
будем, упомянем лишь ряд результатов, которые редко встречаются в
современных французских работах (разве что иногда приводятся в
виде упражнений): основная теорема аффинной геометрии; груп-
группы замощений; классификация правильных многогранников в
произвольной размерности; теорема Коши о неизгибаемости
выпуклых многогранников; многоугольный бильярд; теорема
Понселе о многоугольниках, вписанных в коническое сечение;
окружности Вилларсо на торе и паратаксия; параллелизм Клиф-
Клиффорда, изопериметрическое неравенство в произвольной размер-
размерности; теоремы Хелли и Красносельского, простота ортогональ-
ортогональной группы, теоремы Витта и Картана—Дьедонне, полное из-
изложение сферической, эллиптической и гиперболической гео-
геометрий.
Использовать книгу, по нашему мнению, можно раз-
разными способами. Она поможет преподавателям в выборе тем для
заданий учащимся и снабдит их обширной библиографией, а
кроме того, может послужить основой ряда университетских
курсов, например курса евклидовой геометрии первого цикла на
базе гл. 8 и 9 или курса первого цикла по выбору студента на
базе гл. 18 и 19, посвященного изучению сферы и гиперболи-
гиперболической геометрии; для студентов второго цикла, специализи-
специализирующихся по геометрии, можно на основе материала гл. 11 и 12
или его части прочитать курс, посвященный выпуклости, или
курс, посвященный сфере во всех ее аспектах (гл. 18). Наконец,
11 Предисловие
книга будет очень полезной тем преподавателям математики, кто
готовится к экзаменам на соискание ученой степени *).
В целом можно сказать, что книга адресована, среди
прочих читателей, студентам первого и второго цикла универ-
университетов, изучающим какой-нибудь из упомянутых выше разделов
геометрии, а также моим коллегам, преподающим в выпускных
классах лицеев и подготовительных классах в высшую школу.
Укажем, наконец, на одну важную особенность книги:
большая часть упражнений сильно отличается от обычно при-
принятых. Поскольку уже сама книга представляет собой огромное
собрание всевозможных упражнений и приложений, предлагае-
предлагаемые в ней упражнения большей частью трудны или даже очень
трудны. В частности, иногда читателю нужно самому выяснять,
что именно требуется доказать. Он должен проявлять известную
зрелость, идти на риск и развивать оригинальность мышления.
Вне всякого сомнения, этот труд увидел бы свет в
гораздо менее совершенном виде, если бы у меня не было воз-
возможности получать в течение многих лет помощь от всех ма-
математиков, с которыми я общался во время работы,— и от
студентов, и от коллег. В частности, я много почерпнул, слу-
слушая пробные уроки соискателей — эти уроки помогли мне срав-
сравнить различные подходы и выбрать лучшие. Я часто надоедал
коллегам, обращаясь к ним за советом или за точными ссыл-
ссылками. Я получил такую большую помощь и от столь многих
лиц, что не в состоянии привести здесь все имена, боясь кого-
нибудь забыть. Поэтому я обращаюсь к ним всем и прошу
принять мою самую искреннюю благодарность.
Я от всего сердца благодарю издательства «СЕДИК» и
«Фернан Натан» за то, что они с энтузиазмом и в тяжелые
времена решились опубликовать этот мой труд.
М. Берже
Автор и издатели благодарят НЦНИ за финансовую поддержку.
J) В оригинале речь идет о «candidate au CAPES et a l'Agregation de
Mathematiques».— Прим. ред.
Часть
1
Действие групп,
аффинные и проективные
пространства
«Это было в 1897 г., я учился тогда на третьем курсе Нормаль-
Нормальной школы и наш руководитель практикума по начертательной
геометрии Жозеф Карон, имя которого я называю здесь с боль-
большим удовольствием, предложил нам очень трудное задание.
Нужно было построить пересечение двух торов, расположенных
таким образом, что для нахождения точек пересечения при-
приходилось использовать сечения этих торов некоторыми сферами,
касающимися каждого из них.
Жозеф Карон преподавал начертательную геометрию в париж-
парижских лицеях; кроме того, он руководил практикумом по начер-
начертательной геометрии в Сорбонне и в Нормальной школе. Он
написал учебники по различным разделам начертательной гео-
геометрии (в качестве реакции на программы, которые он сурово
осуждал). Он опубликовал в «Бюллетене французского матема-
математического общества» статью, посвященную построению поверх-
поверхности третьего Порядка, содержащей 27 вещественных прямых,
— поверхности, модель которой заняла свое место в геомет-
геометрической коллекции Парижского университета. Особенно он
содействовал пробуждению любви к геометрии у своих много-
многочисленных учеников, и это было в эпоху, когда выдающиеся
ученые, наделенные большими геометрическими талантами, при-
прилагали все усилия к тому, чтобы ни в коем случае не выдать
ясные и простые идеи, которыми они руководствовались, а на-
напротив, стремились представить свои элегантные результаты как
следствие некой общей абстрактной теории, не имевшей зачастую
никаких других приложений, кроме этих частных случаев.
Геометрия превращалась у них в изучение алгебраических и
дифференциальных уравнений; таким образом, она теряла все
свое очарование, присущее ей как тонкому ремеслу и даже,
можно сказать, почти пластическому искусству».
А. Лебег
(цитируется по [154], с. 209—210)
Посвящается
Одили
Глава 0. Общие понятия и обозначе-
обозначения
Глава 1. Группы, действующие на
множестве: терминология,
примеры, приложения
Глава 2. Аффинные пространства
Глава 3. Универсальное пространст-
пространство. Приложения
Глава 4. Проективные пространства
Глава 5. Аффинно-проективные
связи; приложения
Глава 6. Проективные прямые: двой-
двойное отношение, томографии,
* инволюции
Глава 7. Комплексификация
Глава 0 Общие понятия и обозначения
0.1 МНОЖЕСТВА
Если А и В—два подмножества множества Е, то мы пользуемся
обозначением
А\В={х?Е: х?А и
Если /: Е—>F—некоторое отображение и AdE, то
через f\A или f\A обозначается сужение f на А.
Через Ых обозначается тождественное отображение
множества X на себя.
Если {x,-}f=i п—некоторое упорядоченное конечное
множество, то через {хх, ..., х{, ¦¦., хп\ мы обозначаем это же
множество без элемента х{.
Через 4t= X обозначается мощность (кардинальное
число) множества X.
0.2
АЛГЕБРА
Через N обозначается множество неотрицательных целых чисел,
через Z — кольцо целых чисел, через R—поле вещественных
чисел. Через С и Н мы обозначаем соответственно поле ком-
комплексных чисел и тело кватернионов (см. § 8.9). Символом R +
(соответственно R_) обозначается множество неотрицательных
(неположительных) вещественных чисел, а через R*. (соответст-
(соответственно R1) то же множество без нуля. Если К—некоторое поле,
то через К* обозначается это же поле без нуля.
Далее, через Нот(-; •), Isom(-; •) обозначаются со-
соответственно множество гомоморфизмов и изоморфизмов некото-
некоторого множества, наделенного какой-нибудь алгебраической струк-
структурой, в другое множество, наделенное той же структурой. Однако
в случае векторных пространств множество линейных отображе-
отображений из Е в F мы будем обозначать не Hom^; F), a L(E; F).
При этом подразумевается, что, когда мы рассматриваем два
векторных пространства, эти пространства чаще всего построены
над одним и тем же полем *). Линейная группа векторного про-
пространства Е—это Isom^; ?) = GL(?). Если Е—векторное про-
Ц В оригинале речь идет о векторных пространствах над телами, но прак-
практически всюду тела предполагаются коммутативными, т. е. полями. Поэтому
мы предпочли использовать всюду термин «поле», употребляя термин
«тело» лишь в тех случаях, когда нет коммутативности.— Прим. ред.
15
0.3 Метрические пространства
странство, то запись Е — A(jjB означает, что Е является прямой
суммой двух своих векторных подпространств А и В. В случае
векторного пространства Е через Е* обозначается алгебраически
двойственное к нему векторное пространство.
Через / обозначается единичная матрица; транспо-
транспонированную к А матрицу обозначаем М.
Если X—некоторое множество, то через <&х обозна-
обозначается группа (относительно композиции) его перестановок, т. е.
группа биекций X—> X. В случае когда X— [1, 2, . . ., п\, группа
2А-—это так называемая симметрическая группа 2>п, а Лп—ее
подгруппа, образованная четными перестановками {знакоперемен-
{знакопеременная группа). Группа Клейна f^^—это произведение Z2xZ2 группы
из двух элементов на себя. Диэдральная группа 3Jп (где п — про-
произвольное целое число) —это расширение посредством Z2 цикли-
циклической группы Zn с помощью соотношения ab = ba~1> где а (со-
(соответственно Ь)—образующая группы Zn (соответственно Z2).
Через (р) мы обозначаем биномиальный коэффициент
(в других обозначениях С?); см. 1.5.2.
0.3 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В метрическом пространстве X с расстоянием d диаметр под-
подмножества Л с: X определяется соотношением diam(A)=sup{d(x, у):
х, у?А\, причем он может равняться и. оо. Для двух подмно-
подмножеств А, ВаХ расстоянием между А и В называется число
d(A, B) = inf{d(x, у): х?А, у^В);
в частности,
d(x, A)=inf{d(x, у): у ? А)
(не следует путать d(A, В) с б (Л, В), которое будет введено
в §9.11).
Для шаров мы используем обозначения из работы [97]:
U{а, г)={х?Х: d(a, x)<r),
В (a, r) = {x?X: d{a, лг)< г\
и, более общо, полагаем
U(A, r)=\xeX: d(x, A)<r\,
В (A, r)=(x6X: d(x, Л)<г|.
В некоторых случаях, когда желательно указать про-
пространство X, мы будем писать Вх(-, ¦).
Если X и Y—два метрических пространства, то через
Is(X; У") мы обозначаем множество изометрий из X в У, т.е.
множество отображений /: X—> У, удовлетворяющих условию
d(f(x), f(y)) = d(x,y), VX, у еХ.
16
Гл. 0. Общие понятия и обозначения
В частности, мы полагаем Is(X; X) = Is(X).
0.4 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Мы будем многократно опираться на тот факт, что семейство
вложенных компактов имеет непустое пересечение (и напомним
доказательство этого факта в 11.7.3.2).
0.5
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
Гиперболические косинус, синус и тангенс вводятся с помощью
соотношений
2 * 2 ch t
Функция ar ch определяется как
и задает отображение [1, оо[—> R.
0.6 МЕРА ЛЕБЕГА, ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В некоторых разделах мы будем довольно свободно пользоваться
соответствующими понятиями. В частности, мы будем применять
следующие фундаментальные теоремы: теоремы о мажорирован-
мажорированной бходимости и следствия о перестановке предельного пере-
перехода и интегрирования, теорему Фубини, теорему о замене пере-
переменных при С1-отображениях открытых множеств в R". В книге
встречаются также характеристическая функция %к множества К
и понятие перенесенной меры. Относительно всех этих понятий
и фактов см. [22J [или, например, [24*].— Ред.].
Глава 1 Группы, действующие на множестве:
терминология, примеры, приложения
1.1 Определение
1.2 Примеры
1.3 Эффективность
1.4 Транзитивность
1.5 Стабилизаторы; однородные
пространства
1.6 Орбиты, формула числа
классов
1.7 Группы замощеьий
1.8 Замощения сферы S2, пра-
правильные многогранники и
конечные подгруппы груп-
группы 0+ C)
1.9 Упражнения
В этой главе вводятся понятие группы, действующей на некото-
некотором множестве, а также Понятия транзитивности, стабилизатора,
однородного пространства, эффективности. Их определения иллю-
иллюстрированы многими примерами из алгебры и особенно из
геометрии, с которыми читатель встретится позже в различных
главах этой книги.
Два последних параграфа 1.7 н 1.8 посвящены группам замоще-
замощений и конечным подгруппам вращений пространства вокруг
фиксированной точки. Эти два примера выбраны потому, что
в них в полной мере использован введенный ранее язык. Кроме
того, они представляют большой интерес с точки зрения изо-
изобразительных искусств и, несмотря на кажущуюся простоту по-
поставленных вопросов, вызывают определенные трудности. Мате-
Материал § 1.8 тесно связан с теорией правильных многогранни-
многогранников в трехмерном пространстве, о которых пойдет ,речь в § 12.5.
Идея рассматривать геометрию как изучение свойств, инвари-
инвариантных относительно соответствующей группы преобразований,
выдвинута Феликсом Клейном в его знаменитой «Эрланген-
ской программе» (см. [113], с. 253 и др.). [См. также, например,
[19*], гл. V.— Ped.)
1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если X—произвольное множество, то через 2Х обозначается
группа (относительно композиции отображений, обозначаемой
символом о или мультипликативно) всех биекций /: X—*Х.
1.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G— группа, X—некоторое множе-
множество. Действием группы G на множестве X называют гомоморфизм
ф: G —- Sx; говорят также, что G действует в X (посредством <р).
1.1.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ. Мы пишем
= ?(*) Для ? (EG, х?Х и (G, X, <р) или (G, X).
Ф
В частности,
g(x) есть биекция;
Vg, heG
Например, е(х) = х для всякого х и единицы е группы G;
A) (()I
кроме того,
18
Гл. i. Группы, действующие иа множестве
1.2 ПРИМЕРЫ
1.2.1. GcSjr представляет собой подгруппу; это наиболее час-
частый случай. Например, G определяется как подгруппа группы Zx,
удовлетворяющая некоторым условиям.
1.2.2. Положим А= [1, . .., п\, ZA — Zn (симметрическая группа).
Пусть G = Zn. Тогда G действует в Л; но она естественным об-
образом действует также и в X = Sfin<J, — \PaА: %Р = р\, т.е. в
множестве всех р-элементных подмножеств из A (O^Lp^n).
1.2.3. Для заданного g??n положим G = {gk: k?Z}cz2n. Тогда
G действует в А = X.
1.2.4. Если X—векторное пространство, то в нем действует ли-
линейная группа
G = GL(X) = {/: X—>¦ X: f—линейная биекция}.
1.2.5. Пусть Е—евклидово векторное пространство (см. гл. 8) и
О (?)={/€ GL (?): /—изометрия}.
Тогда G = O(E) естественным образом действует в Х = Е. Но,
кроме того, О (Е) индуцирует действия групп в грассманианах
X = GEp = {Vc:E: V—векторное подпространство
из Е размерности р\,
а также в множестве
X— (ортонормированные базисы пространства Е\.
1.2.6. Пусть X — G — группа; тогда G = G действует в себе самой
несколькими способами, причем каждый из них имеет важное
значение:
q>(g)(h) = gh (левые сдвиги);
<p(g)(h) = hg (правые сдвиги);
Ф (§) Ф) — ёпё~г (внутренние автоморфизмы).
1.2.7. Пусть X — аффинная плоскость (см. гл. 2), GA(X) = G—
группа аффинных биекций X (аффинная группа плоскости X) и
Г(Х)— множество конических сечений X, определяемых как некие
подмножества X или с помощью их уравнений (см. § 16.7). Тогда
GA(X) действует в Г(Х).
1.2.8. Пусть X — произвольное метрическое пространство с рас-
расстоянием d. Тогда в нем действует его группа изометрий Is(X) =
/(Х)
: Vx,
: d(f(x),
= d(x, у)).
1.2.9. Пусть G = R, X = S3 = {x6R4: ||at|=1}cR4. Отождествим
R4 с С2 и определим действие (R, S3, ср) соотношением
19
1.4. Транзитивность
Этот пример играет фундаментальную роль в геометрии (см.
4.3.6.2, 18.8.1).
1.2.10. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ. См. 4.5.9, § 8.8, § 9.5, § 18.10.
1.3 ЭФФЕКТИВНОСТЬ
1.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Действие (G, X, П) называется эффектив-
эффективным, если П инъективно (т.е. если один только элемент e?G
приводит к тождественному преобразованию на X).
Это всегда выполнено, если Ga<&x (см. 1.2.1). Если
действие G не эффективно, то с необходимостью действие
(G/Kercp, X, ф) будет эффективным.
В примерах из § 1.2 только 1.2.6 и 1.2.9 не являются
эффективными априори. Что касается примера 1.2.6, то как
левые, так и правые сдвиги эффективны, а внутренние автомор-
автоморфизмы, напротив, эффективны в том и только том случае, если
центр ZQ группы G сводится к {е}. В случае 1.2.9, как мы уви-
увидим далее, K 2Z
1.4 ТРАНЗИТИВНОСТЬ
1.4.1. определение. Действие (G, X, ф) называется транзитив-
транзитивным, если
Vx,
Практически достаточно проверить, что 3a?X|Vx?X:
\Sia) —х- Действительно, если g(a) = x, h(a) = y, то
г){)
у
х
Рис. 1.4.1
1.4.2. примеры. Проверим, транзитивны или нет действия из
примеров § 1.2:
1.2.2 транзитивно;
1.2.3 транзитивно в том и только том случае, если
перестановка g циклическая;
1.2.4 не траизитивно; транзитивно ли оно в Х\0?
1.2.5 не транзитивно в Е (почему?), но транзитивно
во всех G?,p (почему?);
1.2.6 сдвиги транзитивны, а внутренние автоморфизмы
нет (если G коммутативна, то каждая точка ос-
остается неподвижной!);
20
Гл. 1. Группы, действующие на множестве
1.2.7 не транзитивно: парабола — это не эллипс (см.
15.3.3.2);
1.2.9 не транзитивно (см. § 18.8).
1.4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Действие (G, X) называется просто тран-
транзитивным, если для всяких х, у ? X существует единственное
g?G, такое что g(x) = y.
1.4.4. ПРИМЕРЫ
1.4.4.1. Если абелева группа G действует эффективно и транзи-
транзитивно, то она действует просто транзитивно. В самом деле, если
Эх, g, h\g(x) = h(x), то
поскольку
1.4.4.2. Левые сдвиги (см. 1.2.6) просто транзитивны.
1.4.4.3. Действие ортогональной группы О (Е) на GEtf) не яв-
является просто транзитивным при O^p^dimE и, напротив,
является таковым на множестве ортонормированных базисов.
1.4.5. ОБОБЩЕНИЕ. (G, X) называется р-транзитивным (pgN),
если действие G транзитивно на множестве наборов из р раз-
различных точек, принадлежащих X.
Примеры см. в 2.3.3.5, 4.5.10, 4.6.9,6.1.1, 9.1.6,9.1.7,
9.6.2, 9.7.1, 18.5.5, 18.8.4, 18.10.6, 19.4.5.1. Если р = 2, то можно
говорить о транзитивности на парах, и т. д.
1.5
СТАБИЛИЗАТОРЫ; ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Попытаемся теперь изучить случай, когда условие просто тран-
транзитивности нарушено. Заметим, что если y = g(x) = h(x), то
(h->g)(x)=x.
1.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть задано действие (G, X). Стабилиза-
Стабилизатором или группой изотропии элемента х?Х называется под-
подгруппа Gx={g?G: g(x) = x\.
1.5.2. ПРИМЕРЫ. Если в примере 1.2.2 положить Х=А и х=1,
то возникает естественный изоморфизм Gl^!Bn_l. Если Х =
= 9>п,р, то G{, р)е*&рх%п_р.
Эти изоморфизмы позволяют найти число перестано-
перестановок и число сочетаний: # ©„ = «!, # ^п,Р~ (р) = С?, см. 1.5.8.
В примере 1.2.6 для внутренних автоморфизмов имеем
Gg={h?G: hg = gh),
т. е. Gg—это коммутатор элемента g.
В примере 1.2.5 для GE p получается изоморфизм
OO(n—р) (где /z di?) ' O O
21 1.5 Стабилизаторы; однородные пространства
1.5.3. Всегда справедливо соотношение
другими словами, G (х) и Gx—это сопряженные (посредством
внутреннего автоморфизма) подгруппы группы G; в частности,
они всегда изоморфны. Это дает один из способов быстро уста-
установить 1.4.4.1.
1.5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество X называется однородным про-
пространством (относительно действия группы G), если существует
транзитивное действие (G, X, <р).
Пусть X однородно относительно (G, X, <р). Для фи-
фиксированного х?Х определим отображение 8: G—>Х соотноше-
соотношением в (g) = g(x). Поскольку равенство g (x) = h (x) эквивалентно
тому, что h~1g?Gx, это означает, что 0 переносится на фактор
G/Gx группы G, порожденный отношением эквивалентности Э1:
по такой схеме:
(Внимание: G/Gx, вообще говоря, не группа!) По построению
отображение 6: G/Gx—> X биективно. Отсюда мы получаем сле-
следующее теоретико-множественное соотношение:
1.5.5.
X ~ G/Gx
множ
Соотношение 1.5.5 чрезвычайно полезно, поскольку
позволяет свести изучение множества X к алгебраической за-
задаче— исследованию пары (G, Gx) (см., например, [28], [243]).
1.5.6. следствие. Если G конечна, то и X конечно, причем
#X = (#G)/(#GX) (для любого х?Х).
1.5.7. Следует иметь в виду, что если G и X—топологические
пространства, а <р—непрерывное отображение из GxX в X, то
топологическое пространство X, вообще говоря, не гомеоморфно
пространству GlGx, снабженному фактортопологией (см. контр-
контрпример в 1.9.1).
Ь5.8. Из 1.5.2 и 1.5.6 с помощью принципа пастухов (см. [31],
гл. III, § 5, п. 8, с. 213 русского перевода) можно вывести, что
22
Гл. 1. Группы, действующие на множестве
23
1.6 Орбиты, формула числа классов
#
?„)/(# ©,,-i). откуда по индукции 4t= ©„=«!. Далее,
„,,= (# »»)/[(# ®Р) (# @я-^)] = ntfaip)! ¦
1.5.9. Из 1.5.2 и 1.5.5 можно вывести представление грассмани-
анов GEp как однородных пространств: Gnp=O (п)/(О (р) X О (п—р))
(см. приложения этого факта в [140], гл. 18; см. также 14.3.7).
1.6 ОРБИТЫ, ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ
Теперь исследуем случай, когда свойство транзитивности не вы-
выполнено.
1.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть задано (G, X); орбитой О (х) эле-
элемента х?Х называется множество
Вводя на X отношение эквивалентности хМу 43
G\g(x) = у, мы видим, что его классы эквивалентности —
это орбиты и что, следовательно, орбиты определяют разбиение
пространства X и порождают пространство орбит X/G. Из 1.5.5
мы находим, что
1.6.2. Vx?X:
О(х) ~ G/Gx
Далее, из 1.5.6 мы получаем
1.6.3. следствие. Если G конечна, то для любого х конечна и
орбита О (х), причем # О (х) = (# G)/(# Gx).
1.6.4. примеры. В случае 1.2.3 орбиты называются циклами
перестановки g. Исследование циклов позволяет дать полную
классификацию сопряженных элементов в ©„.
В 1.2.5 при Х = Е орбиты представляют собой сферы
с центром в начале координат: S@, г), r?R + .
S{0,r)
Рис. 1.6.4
Удивительную структуру имеет множество орбит в при-
примере 1.2.9. Легко видеть, что орбитами здесь будут все окруж-
окружности (поскольку Sx=R/2nZ, см. конец 1.3.1). Более того, они
попарно сцеплены и, наконец, соответствующее факторпростран-
ство гомеоморфно сфере S2 (см. 4.3.6). Это разбиение S3 на ок-
окружности—знаменитое расслоение Хопфа — представить себе до-
довольно трудно. Что касается различных точек зрения на этот
важный пример, то см. § 18.8 и 18.9.
1.6.5. ПРИМЕЧАНИЕ. Если задано действие (G, X), то нахождение
орбит и параметризацию множества X/G можно часто трактовать
как задачу классификации. В дальнейшем мы убедимся в этом
на многочисленных примерах. По поводу 1.2.6 и 1.4.2 см. 2.7.5.11;
см. также § 8.6 и 8.7 об углах, п. 13.1.4 о классификации квад-
квадратичных форм, § 15.2 о классификации аффинных квадрик,
а также 18.6.13.10.
1.6.6. СЛЕДСТВИЕ (формула числа классов). Пусть X и G конечны
и G действует в X. Если множество АаХ пересекается с каж-
каждой орбитой заданного действия в одной и только одной точке,
то
X =
Gx
Такое множество А называется сечением проекции р: X—>.X/G,
поскольку мы имеем отображение s: X/G—+X со свойством pos=
= ldx/G и A = s(X/G). Можно сказать, что сечение А парамет-
параметризует множество орбит.
от
X/G
в
Рис. 1.6.6
1.6.7. ПРИЛОЖЕНИЕ К р-ГРУППАМ
1.6.7.1. Определение. Группа G называется р-группой, если она
конечна и #G = prn, где р—некоторое простое число, am?N*.
1.6.7.2. Теорема. У всякой р-группы есть нетривиальный центр.
Доказательство. Пусть G действует в G с помощью внутренних
автоморфизмов (см. 1.2.6). Обозначим через Za центр группы G
и рассмотрим действие, индуцированное группой G в X.= G\Za
(см. 1.4.2, 1.2.6).
24
Гл. 1. Группы, действующие на множестве
Параметризуя X/G с помощью некоторого сечения А,
получим (см. 1.6.6)
Л € Л
откуда
х ел
Поскольку кардинальное число ф Gx делит рт, оно совпадает
с некоторой степенью р и # G/# Gx — pm{x\ m(x)~^ 1. Но тогда р
делит # G и # X, а следовательно, и # ZG.
1.6.7.3. Примечания. Доказательство 1.6.7.2 — это один из клю»
чевых моментов при установлении того, что всякое конечное тело
коммутативно (см., например, [4], с. 58 русского перевода).
Сильно улучшив доказательство 1.6.7.2, можно изучить подгруппы
Силова конечной группы порядка pmq, где р, q простые и взаимно
простые (см. [217], с. 147).
1.6.8. В заключение этой главы, посвященной общим вопросам,
остановимся на двух более конкретных сюжетах, один из кото-
которых относится к плоской геометрии, а другой к пространствен-
пространственной. Доказательства будут лишь намечены, поэтому читатель,
который заинтересуется деталями, должен будет либо сам их
еосполнить, либо обратиться к работам, на которые мы сошлемся.
1.7 ГРУППЫ ЗАМОЩЕНИЙ
1.7.1. И турист, попавший во дворец Альгамбра в Гранаде,
и читатель, перелиставший следующие страницы нашей книги,
непременно заинтересуются плоскими фигурами, составленными
из повторяющихся мотивов и покрывающими всю плоскость.
На самом деле мотивы могут меняться до бесконечности, но
существует лишь конечное число способов их повторения; а именно,
ровно 17 способов, ни больше, ни меньше; см. рис. 1.7.4.1 —
1.7.4.5 и 1.7.6.1 —1.7.6.12. Во дворце Альгамбра можно найти
лишь 11 из них. Из шести остальных пять встречаются в орна-
орнаментах у африканской народности бакуба, а последний—в одном
китайском орнаменте. Здесь мы хотим аксиоматизировать эти
«регулярно повторяющиеся мотивы» и показать, что существует
только 17 соответствующих групп. Тот факт, что в Альгамбре
(в отличие от рис. 1.7.4.8 и 1.7.6.13) среди орнаментов не содер-
содержится изображений животных или человека, связан исключи-
исключительно с запретами религиозного характера. Вполне возможно,
что именно эти запреты, мешавшие художникам создавать ори-
оригинальные мотивы, заставили их проявить свою оригинальность
в поисках способов .повторения известных мотивов, позволив им
обнаружить 11 возможных способов—результат, пооазительный
для той эпохи. (См., однако, также 1.7.7.8.)
25
1.7 Группы замощений
1.7.2. Чтобы, помимо всего прочего, оправдать название данного
параграфа, можно начать нашу аксиоматизацию, рассуждая сле-
следующим образом. Допустим, что мастер-паркетчик, создающий
орнамент, заполняет данный участок плоскости стандартными
плитками, которые имеются у него в достаточном количестве.
Ради простоты предположим сначала, что паркетчик размещает
плитки, не переворачивая их, или, по-другому, что узоры на
плитках нанесены лишь с одной стороны (см. ниже 1.7.6).
Пусть Е—евклидова плоскость, а РаЕ—часть этой
плоскости, соответствующая стандартной плитке. Нужно потре-
потребовать, чтобы Р и ее сдвиги заполняли всю плоскость, причем
без наложений; это требование и будет сформулировано ниже
Рис. 1.7.2.1
Из сборника: Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker
Vereinigung, Bd. 46/1937
(Teubner). Arbeit von
H. Voderberg
в виде аксиомы GP2. Но для того, чтобы получать только такие
замощения, как в Альгамбре, одного этого требования недоста-
недостаточно. На самом деле существуют еще и «нерегулярные» замо-
замощения плоскости вроде того, которое представлено на рис. 1.7.2.1.
Оно получено при помощи плитки с 9 сторонами и ее образов
под действием прямых изометрий аффинной плоскости. Это замо-
замощение, построенное Фодербергом (см. [237] и [238]), обладает
26
Гл. 1. Группы, действующие на множестве
27
1.7 Группы замощений
одним примечательным свойством: любой зазор между двумя
плитками можно заполнить такими же плитками. Читатель сам
сможет построить нерегулярное замощение, разбивая случайным
Рис. 1.7.2.2
Две курицы Пенроуза; ими
можно замостить плоскость, но
только непериодическим
образом (см-. 1.9.16)
*
и
1
1
п
-г-**
*т
f
i
образом то вертикальными, то горизонтальными отрезками квад-
квадраты замощения плоскости R2, полученного с помощью узлов
решетки Z2, которая состоит из точек с целочисленными коорди-
координатами (см. рис. 1.7.2.3). Относительно этой занимательной задачи,
связанной с «обязательно непериодическими замощениями», можно
справиться в работах [196], [197] (см. 19.6.12), [199], [103].
(См. также 1.9.16 и рис. 1.7.2.2.) Если же мы хотим заняться
«регулярными» замощениями, то следует ввести некоторую группу
изометрий плоскости Е; в этом смысл приведенной ниже аксио-
аксиомы GP1. Замощениям, изображенным на рис. 1.7.2.1 и 1.7.2.3,
не отвечает никакая группа изометрий.
1.7.3. АКСИОМЫ ГРУПП ЗАМОЩЕНИЙ. Пусть Е—евклидова пло-
плоскость, Р—связный компакт в Е с непустым множеством внут-
внутренних точек и G—подгруппа группы Is +(E) прямых изометрий
(движений) плоскости Е. Мы требуем, чтобы выполнялись сле-
следующие два условия:
GP1 U
GP 2 из giP) Г\1г(Р)Ф0 следует g(P) = h (P).
1.7.4. Мы собираемся показать, что с точностью до сопряжения
в линейной группе плоскости Е существует только пять таких
групп G; это группы, соответствующие пяти приведенным ниже
рисункам, в которых плитки к тому же, как говорят, являются
Рис. 1.7.4,1
Рис. 1.7.4.2
Рис. 1.7.2.3
Рис. 1.7.4.3
Рис. 1.7.4.4
28
Гл. 1. Группы, действующие на множестве
29
1.7 Группы замощений
Рис. 1.7.4.5
Рис. 1.7.4.1—1.7.4.5 и 1.7.6.6— 1-:-У>Щ I
1.7.6.12 взяты из книги: у •"•''''ij L
Y.Bossard, Rosaces, frises et I T
pavages (CEDIC, 1977) J
—+—4-
l
¦4-
l
- + ---T-
Рис. 1.7.4.8
M. К. Эшер. Вечное движонио
1953. Акварель, 305X230 мм.
Escher Foundation — Haags
Gemeentemuseum, Гаага
примитивными, в том смысле, что они удовлетворяют более силь-
сильной аксиоме, чем GP2: из g(P) f] h{P) ф 0 следует g = h.
В то время как число указанных групп с точностью
до сопряжения конечно, сами стандартные плитки можно варьи-
варьировать до бесконечности (см., например, рис. 1.7.4.6 и 1.7.4.7).
1.7.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1.7.5.0. Пусть Е — присоединенное к ? векторное пространство-
рассмотрим отображение
ядро которого Кег(^) = Г(?) представляет собой множество
параллельных переносов плоскости Е (относительно этих поня-
понятии см., если понадобится, 2.3.3.4). Напомним (см. 9 3 4) что
всякое отображение
характеризуется одной неподвижной точкой, называемой его цент-
центром, и углом поворота; такие отображения являются не чем
иным, как вращениями. В дальнейшем мы будем широко пользо-
пользоваться, иногда без ссылок, результатами гл. 9, относящимися
к аффинной геометрии евклидовой плоскости. Первая ключевая
идея доказательства содержится в следующем утверждении
1.7.5.1. Группа G действует в Е дискретно; другими словами
для всех а ? ? орбита G (а) дискретна в Е, т. е. состоит из
изолированных точек: Vb? G (а) Эе > 0 | круг В ф, в) с центром Ъ
и радиусом е ооладает свойством В (Ь, е) Г) G (а) = {Ь\ В частно-
частности, в любом компакте на Е всякая орбита состоит лишь из
конечного множества точек, поскольку дискретное компактное
множество всегда конечно.
Чтобы доказать дискретность действия, заметим сна-
сначала, что всякий компакт в ?, в силу аксиомы GP2, содержит
лишь конечное число различных плиток g(P); доказательство
проводится от противного, причем используется тот факт что
всякая последовательность элементов компакта имеет предельную
точку. Далее заметим, что стабилизатор любой плитки Р' = а(Р)
(те. подгруппа Gp. = {g€G: g(P')=P'\) всегда конечен. В самом
деле, в силу 9.8.6.1, существует такое а'?Е, что
GP' <=Ga. = {g?G: g(a') = a'\.
Выберем плитку Р", для которой соответствующая ей в силу
У.8.6.1 точка а такова, что а"фа'. Поскольку лишь тождест-
поняип/Р6 Pq3? «fИе оставляет неподвижными а' и а" (см., если
понадобится, 9.1 6) кардинальное число подгруппы GP, равно
числу плиток g(P"), geGp.; поскольку эти плитки различны
и содержатся в круге с центром а, их число конечно.
30
Гл. 1. Группы, действующие иа множестве
31
1.7 Группы замощений
Покажем, наконец, что всякая орбита G (а) группы G
представляет собой множество изолированных точек; поскольку
G — группа, достаточно показать, что точка а изолирована в G (а).
Рис. 1.7.5.1
Пусть х\ > 0 произвольно; число плиток, пересекающихся с кру-
кругом В (а, ц), конечно, так как они содержатся в одном и том
же компакте—круге с центром а и радиусом г| + 6, где б—диа-
б—диаметр плитки. Но все элементы из В (а, ц) П G (а) принадлежат
какой-то из плиток, число которых конечно, и каждая из этих
плиток, в силу предыдущего рассуждения, содержит лишь конеч-
конечное число элементов. Следовательно, G (а)[)В(а, т]) конечно и,
значит, а изолирована в G(a).
Второй ключевой момент доказательства состоит в сле-
следующем: вводится подгруппа T = Gf\T(E) группы G, составлен-
составленная из входящих в нее параллельных переносов. Тогда
1.7.5.2. Группа Г представляет собой решетку, т. е. в Е сущест-
вует такой базис [и, v\, что Г совпадает с множеством парал-
параллельных переносов на векторы, пробегающие Zu-\-Zv.
Докажем вначале от противного, что Г содержит по
крайней мере два линейно независимых параллельных переноса.
Предположим, что Г = ЫЯ, т. е. что G содержит лишь вращения.
Если бы два из этих вращений г, s имели разные центры, то их
коммутатор rsr~1s~1 был бы, в силу 1.7.5.0, нетривиальным парал-
параллельным переносом; следовательно, у всех вращений из G один
и тот же центр со и, значит, (J g(P) содержится в некотором
круге с центром со, что противоречит аксиоме GP1.
Предположим теперь, что направления всех параллель-
параллельных переносов из Г одинаковы, и nycTbr^G\r, а??Г — парал-
параллельный перенос на некий вектор \. Изометрия rtr~x представ-
ляет собой параллельный перенос на вектор /¦(?), а, поскольку
г(т)
s(r(m))
Рис. 1.7.5.2.1
2аа'
Рис. 1.7.5.2.2
7/7'
у///.
У///
V//'
Ш
Ч /
'У///
77/
77//
У///
Рис. 1.7.5.2.3
г(?) должен быть параллелен |, это означает, что г—симметрия
относительно некоторой точки. Все вращения из G\F должны
быть в таком случае симметриями относительно некоторых точек;
если г и s имеют центры а, а', то sr—параллельный перенос на
вектор 2аа'. Значит, центры элементов из G\F должны нахо-
находиться на прямой, параллельной направлению рассматриваемого
переноса. Отсюда вытекает, что U g (P) содержится в некоторой
geG
полосе с осью D, а это вновь противоречит аксиоме GP1.
Теперь, когда мы выяснили, что Г содержит по крайней
мере два параллельных переноса на линейно независимые векторы,
остается убедиться в существовании векторов и и v со свойством
-> ->
Г = {параллельные переносы на Z
32
Гл. 1. Группы, действующие иа множестве
33
1.7 Группы замощений
В силу 1.7.5.1, в Г можно найти параллельный пере-
-» -> ->¦ -»
нос на вектор и с наименьшей нормой \\u\\, затем на v ц-Zu
с наименьшей нормой ||у||; такие и и и и будут искомыми век-
векторами. В самом деле, пусть Q—параллелограмм вида
Q = {a+tu+sv: t, s<=[0, 1]}
с произвольной фиксированной вершиной а. Поскольку G—груп-
G—группа, то
Гз{параллельные переносы на Zu-\-Zv\,
и g(Q), &?Г, заполняют всю плоскость Е. Следовательно, всякая
точка орбиты а под действием Г, не принадлежащая a-\-Zu-\-Zv,
с необходимостью привела бы к точке у этой же орбиты, рас-
расположенной внутри Q. Но тогда у оказалась бы удаленной от
одной из вершин Q на расстояние, строго меньшее |ы|| или|и||,
а отсюда следовало бы, что в Геоть параллельный перенос, противо-
-*¦ ->
речащий выбору и и v. Докажем это утверждение. Не ограни-
ограничивая общности, можно считать, что у находится внутри тре-
треугольника
{a, b = a
прямая <а, г/> пересекает сторону <Ь, с> в точке а' и расстояние
d (a, y)<d {а, а'). Но d (a, a') < (d (a, b) +d (а, с))/2, что противо-
речит выбору и и v.
Fmc. 1.7.5.2.4
Решетка
1.7.5.3. Рассмотрим теперь истинные вращения из G, т. е. эле-
элементы из G' = G\r. Если r?G', то, в силу аксиомы GP2, эле-
элемент г обязательно будет конечного порядка. Случай, когда G'
содержит вращения лишь второго порядка, т. е. симметрии отно-
относительно точек из Е, исследуется легко: если G = Г, то это группа,
соответствующая рис. 1.7.4.1; если действительно имеются вра-
вращения второго порядка, то это группа, соответствующая рис. 1.7.4.2.
Предположим теперь, что элемент r?G' имеет порядок а>3и,
кроме того, определяет вращение на угол 2л/а; пусть а—его
Рис. 1.7.5.2.5
центр. Пусть, далее, Ъфа—центр другого вращения из G', бли-
ближайший к а. Пусть, наконец, s—вращение порядка Р^З с цент-
центром Ъ на угол 2я/р. Положим t=-{rs)~1, так что rst = ldE. В силу
9.3.6 центр с вращения t расположен так, что углы треуголь-
треугольника аЬс вдвое меньше углов, соответствующих вращениям г, s, t.
Обозначим порядок t через у и покажем, что в силу выбора Ь
угол, соответствующий t, равен 2л/у. В самом деле, если бы t
было вращением на угол 2лга/у, я>2, то в С нашлось бы вра-
вращение t' с центром с на угол меньший, чем угол t. Отсюда, при-
применяя еще раз упомянутый выше результат 9.3.6, мы получили
бы, что центр а' вращения (rt')~1^.Gf расположен к а ближе,
чем Ь, что противоречит нашему выбору Ь.
а
Рис. 1.7.5.3.1
Поскольку сумма углов в треугольнике равна л, имеем
А так как а, C, y?N и а, C^3, единственными возможными
случаями будут те, которые указаны в следующей таблице:
31
Гл. 1. Группы, действующие на множестве
35
1.7 Группы замощений
1.7.5.4.
случай I
случай II
случай III
I/O
1/3
1/4
1/3
1/Р
1/3
1/4
1/6
1/V
1/3
1/2
1/2
Наше рассуждение легко закончить, показав, что слу-
случаи I, II, III с необходимостью отвечают группам, связанным
соответственно с рис. 1.7.4.3—1.7.4.5.
1.7.6. Если теперь мы захотим изучить ту же задачу не для
Is+(?), а для всей группы Is(?), другими словами, если мы
будем считать, что обе стороны плитки покрыты узорами, то
приведенные выше утверждения 1.7.5.1 и 1.7.5.2 останутся спра-
справедливыми, только поиск G станет несколько сложнее. В резуль-
результате мы найдем еще 12 групп, т. е. всего получится 17 групп.
Эти 12 групп проиллюстрированы на приведенных ниже рисунках.
1.7.7. ПРИМЕЧАНИЯ
1.7.7.1. Первое строгое доказательство того, что групп замоще-
замощений всего 17, принадлежит Федорову A891 г.). Дальнейшие
исторические и физические указания см. в работах [99], с. 38,
[64], с. 86 русского перевода, [138], гл. II.
Мотивы, побудившие Федорова заняться этим вопро-
вопросом, относились к области кристаллографии. Самое свежее и пол-
полное изложение теории плоских и пространственных кристалло-
кристаллографических групп можно найти в [41]. Отметим также, что в [65]
содержатся некоторые очень интересные и очень точные замеча-
замечания исторического характера. Особенно полезна работа [210].
См. также 1.9.14 и [211]. Случай размерности 4 см. в работе [39].
[См. также [18*], ч. I, § 20, и часть «Группы симметрии» в статье
«Группа» в [28*]. —Ред.]
1.7.7.2. Задача замощения возникает и в трехмерном евклидовом
пространстве, а также в других пространствах, например на сфе-
сферах или в гиперболических пространствах. Относительно замо-
замощений сферы 52 см. следующий раздел 1.8.6; относительно гипер-
гиперболических замощений см. 19.6.12.
1.7.7.3. По поводу замощений трехмерного пространства см. [41];
там указано 230 типов замощений. Отсюда видно, насколько
сложной становится задача в случае произвольной размерности.
Так, в четырехмерном пространстве имеется 4783 типа замо-
замощений.
Уже ключевой момент доказательства—утверждение
ф
rh
ф
Hi
г
г
г
г
г
г
m
ф
Рис. 1.7.6.1
Рис. 1.7,6.2
Рис. 1.7.6.3
Рис. 1.7.6.4
1—-
г—.
1—
,—
1—
та
Е
¦*»
Рис. 1.7.6.5
Рис. 1.7.6.6
36
Гп. 1. Группы, действующие на множестве
37
1.7 Группы замощений
Рис. 1.7.6.7
Рис. 1.7.6.8
Рис. 1.7.6.9
Рис. 1.7.6.10
Рис. 1.7.6.13
М. К. Эшер. Этюд
с периодическим заполнением
плоскости всадниками. Тушь
и акварель. Escher Foundation—
Haags Gemeentemuseum, Гаага
Рис. 1.7.6.11
Рис. 1.7.6.12
Рис. 1.7.6.14
Элементарная ячейка Р
38
Гл. 1. Группы, действующие на множестве
1.8 Замощения сферы S2
1.7.5.2—в пространстве произвольной размерности оказывается
нетривиальным; это есть не что иное, как теорема Бибербаха
(см. [243], с. 122 русского перевода).
1.7.7.4. Напротив, классифицировать группы замощений (в случае
произвольной размерности), которые не обладают неподвижной
точкой, т. е. таковы, что Vg?G\e: g(x)=?x для всех х ? Е,
несколько легче. Эти группы интересны потому, что факторпрост-
ранство X/G оказывается гладким, в частности, дифференцируе-
дифференцируемым многообразием.
В двумерном случае только две группы обладают этим
свойством: группа, соответствующая рис. 1.7.4.1, которая в резуль-
результате факторизации приводит к двумерному тору R2/Z2, и группа,
отвечающая рис. 1.7.6.3, которая приводит к знаменитой бутылке
Клейна. Классификацию этих групп в случае произвольной раз-
размерности можно найти в [243], гл. 3. В трехмерном пространстве
их оказывается шесть (см. [243], с. 142 русского перевода).
1.7.7.5. Относительно замощений и близких, весьма интересных
тем см. [98] и [99].
1.7.7.6. Другие орнаменты, подобные рис. 1.7.4.8 и 1.7.6.13, см.
в [99], листы I, II, III, и [95].
1.7.7.7. См. также 1.8.7, 19.4, 1.9.9, 1.9.12.
1.7.7.8. Относительно более тонкой классификации, приводя-
приводящей к 81 типу замощений, см. [118]. Относительно 91 типа
см. [119]. См. также 1.9.13.
1.8 ЗАМОЩЕНИЯ СФЕРЫ S2, ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
И КОНЕЧНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ 0+C)
1.8.1. Мы можем интерпретировать результаты 1.7.5.3, высказав
утверждение, что вращение конечного порядка с центром а при-
приводит к регулярным замощениям окружности с центром а. Иначе
можно сказать, что задача замощения плоскости сводится к изу-
изучению конечных подгрупп группы вращений вокруг неподвижной
точки плоскости, т. е. группы, изоморфной О+ B) (см. § 8.3).
Точно так же исследование замощений трехмерного евклидова
пространства сводится к исследованию конечных подгрупп груп-
группы О+ C), что можно интерпретировать как задачу замощения
сферы S2. В этом параграфе мы займемся только этой последней
задачей; читатель, интересующийся 230 типами пространственных
кристаллографических групп, может обратиться к работе [41].
1.8.2. ТЕОРЕМА. С точностью до сопряжения в О+ C) существует
ровно пять типов конечных подгрупп группы О+ C): три группы,
связанные с правильными многогранниками, и две серии групп,
индекшрованные с помощью целых п~^2.
Сначала мы укажем математический подход к этой
задаче, а уж затем в 1.8.3.4 изобразим наглядно результаты
исследования с помощью правильных многогранников. Относи-
Относительно правильных многогранников см. § 12.5 и 12.6.
Рис. 1.8.1
1.8.3. СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
1.8.3.1. Исходной точкой служит умелое применение формулы
числа классов из 1.6.6. Другой метод, где используются правиль-
правильные многогранники и формула Эйлера, приведен в 12.7.4; в § 12.6
мы классифицируем правильные многогранники в пространстве
произвольной размерности.
Пусть GczO+ C) — рассматриваемая конечная подгруппа,
действие которой мы сужаем на сферу 52. Введем множество
тесно связанное с неподвижными точками группы G на S2, т. е.
(см. 8.4.7.1) с осями вращений из G\e. Мы сейчас вычислим 4? Г
двумя способами: сначала суммируя по g, а потом под:. Положим
Таким образом, X—это множество неподвижных точек нетри-
нетривиальных элементов g.
В силу 8.4.7.1, каждое g?G\e имеет ровно две раз-
различные неподвижные точки. Поэтому 4?r = 2D?G—1). Для того
чтобы вычислить # X, рассмотрим орбиты группы G, действую-
действующей в XaS2, и соответствующую параметризацию с помощью
сечения А, как в 1.6.6. Для х? А мы получим (см. 1.6.2): # О (х) =
= #G/4^GX. Но (см. 1.5.3)^Gy постоянно для всех г/? О (х);
обозначим эту константу через vx. Она представляет собой не что
иное, как порядок вращения, порождающего Gy, причем справед-
справедливо соотношение # \Gy\e) — vx — 1. А поскольку Gy\e =
= {g?G: (g, у) ? Г}, получаем
= ? (vx-1) # О (х) =
x e A
х е А
= У
х € А
Гп. 1. Группы, действующие на множестве
40
откуда
1.8.3.2.
1.8.3.3. Если все vx велики, то каждое слагаемое 1 — (l/vx)
близко к 1. Следовательно, если слагаемых окажется больше
двух, то их сумма превзойдет 2. Уточняя это соображение, легко
обнаружить, что единственными возможными случаями будут те,
которые указаны в следующих таблицах:
41
1.8 Замощения сферы S2
случай
I
п
V2
п
п
2 орбиты
случай
II
случай
III
случай
IV
случай
V
2
2
2
2
^2
2
3
3
3
п
3
4
5
2п
12
24
60
произ-
воль-
вольное
целое
3 орбиты
1.8.3.4. Таким образом, для кардинальных чисел орбит и по-
порядков отвечающих им групп изотропии имеется только 5 воз-
возможностей. Остается показать, что: 1) все эти возможности
действительно реализуются; 2) каждому из этих случаев соответ-
соответствует единственная с точностью до сопряжения в О+ C) группа
G. Пункт 2) проверить нетрудно, однако сошлемся все же на
работу [2].
Что касается пункта 1), то, перебирая последователь-
последовательно все возможные случаи, можно заметить следующее.
Случай I реализуется циклической группой п-го по-
порядка, порожденной вращением п-го порядка в R3; две орбиты —
это две точки S2, расположенные на общей оси этих вращений
(рис. 1.8.3.4).
Случай II—это случай подгруппы из О+ C), перево-
переводящей в себя некоторый правильный /г-угольник с центром в
начале координат,, лежащий в плоскости из R3; при этом G со-
содержит п вращений на угол 2kn/n, ось которых совпадает с
осью данного многоугольника, а также симметрии относительно
п прямых, соединяющих центр многоугольника с его вершинами
и серединами сторон (обратите внимание на небольшое различие
случаев, когда п четно и когда п нечетно). Группа G называется
Рис. 1.8.3.4
диэдральной группой (порядка 2и, см. § 0.2). Две точки S2, рас-
расположенные на оси многоугольника, образуют одну орбиту, а
две другие орбиты образованы соответственно: одна—вершинами
многоугольника (если их отметить на S2), а другая—точками
из S2, полученными при радиальной проекции середин его сто-
сторон (рис. 1.8.3.4).
Случаи III, IV и V реализуются подгруппами из
О+ C), переводящими в себя соответственно правильный тетраэдр,
куб и додекаэдр с центром в начале координат. Существование
правильного тетраэдра и куба—тривиальный факт; не так про-
просто обстоит дело с додекаэдром, относительно которого можно
справиться в 12.5.5.
1.8.4. Упомянем еще (см. 12.5.4 и 12.5.5), что группы куба
и правильного октаэдра совпадают между собой, так же как и
группы правильного додекаэдра и икосаэдра. Тот факт, что
группа G в случае III изоморфна Ах, в случае IV—группе ©4
и в случае V—группе <ЛЪ, объяснен в 12.5.5.6. [По поводу до-
доказанной теоремы см. также [18*], ч. 1, § 20. — Ред.]
1.8.5. Аналогично тому, как замечено в 1.7.6, теперь можно
найхи все конечные группы из 0C); это довольно просто. Слу-
Случаю V будет соответствовать группа порядка 120, которая по-
порождает замощение S2 примитивными плитками, изображенное
на рис. 1.8.5. ^
1.8.6. Заметим, что для замощений S2 (или гиперболической
плоскости, см. § 19.2) остается в силе рассуждение 1.7.5.3
(рис. 1.7.5.3.2): нужно рассмотреть три вращения г, s, t, такие,
что rst—тождественное преобразование.
В трех геометриях: евклидовой, сферической и гипер-
гиперболической— соответствующие углы должны равняться 2л/а,
2л/C, 2л/у, где а, |3, у—целые числа, причем эти углы всегда
должны вдвое превышать углы треугольника, образованного
43
1.8. Замощения сферы S2
Рис. 1.8.4.6
Икосаэдр, нарисованный
Леонардо да Винчи для книги
Луки Пачоли «De Divina
Proportione»
Рис. 1.8.4.5
Рис. 1.8.4.7
Додекаэдр, нарисованный
Леонардо да Винчи для книги
Луки Пачоли «De Divina
Proportione»
44
Гл. 1. Группы, действующие иа множестве
Рис. 1.8.5
Из книги [64]
центрами этих вращений. В евклидовом случае всегда 1/а
+ 1/P-f-1/у= 1, в сферическом случае
1.8.6.1.
в силу 18.3.8.4, а в гиперболическом случае l/a+1/P-f 1/у < 1
в силу 19.5.4. Исходя из этого, можно также провести класси-
классификацию типов конечных подгрупп группы О+ C) (которых,
очевидно, конечное число) по крайней мере по множеству воз-
возможных значений а, C, у. Гиперболический случай разительно
отличается от остальных: кроме нескольких малых значений,
всякая тройка целых чисел (а, р, у) удовлетворяет условию
1/a-f-1/|3 +1/у < 1. В 19.6.2 мы увидим, что каждый такой тип
и в самом деле порождает некоторое замощение гиперболической
плоскости, и, следовательно, число типов замощения бесконечно.
Относительно ссылок и дополнений см. также 19.6.12.
1.8.7. ГРУППЫ С ОБРАЗУЮЩИМИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ СООТНОШЕ-
СООТНОШЕНИЯМИ. Диэдральную группу @>2п (см. §0.2 и 1.8.3.4) можно опреде-
определить с помощью двух образующих г, s, удовлетворяющих только
соотношениям
1.8.7.1. rn = s2 = e, rs = sr~1.
Три подгруппы группы О+ C), отвечающие правильным
многогранникам из 1.8.3.4, также можно определить с помощью
45
1.9 Упражнения
двух образующих г, s, удовлетворяющих соотношениям
' гр = s" = (rsJ = е,
где р, <7={3, 3} в случае правильного тетраэдра, {3, 4} в слу-
случае додекаэдра. Отметим, что существование абстрактной ко-
конечной группы, удовлетворяющей этим соотношениям, не очевидно.
Аналогично можно определить и группы замощений.
Так, группа, соответствующая рис. 1.7.4.1, определяется с по-
помощью двух образующих г, s и соотношения rs = sr. Описать
подобным образом другие группы замощений мы предоставляем
читателю.
Диэдральную группу можно описать иначе, чем это
сделано в 1.8.7.1, с помощью двух образующих г, s, удовлетво-
удовлетворяющих соотношениям
1.8.7.2. г2 = s2 = (rs)" = е.
Подобным же образом удается представить и три
группы, переводящие в себя правильные многогранники (под-
(подгруппы группы 0C) порядка соответственно 24, 28, 120;
см. 12.5.4.1, 12.5.4.2, 12.5.5.6), как группы с тремя образующими
г, s, t и соотношениями
1.8.7.3. г2 = s2 = Р = (rs)P = (st)t = {trf = е,
где р, q всегда те же, что и выше.
Укажем на заметную аналогию между 1.8.7.2 и 1.8.7.3.
В действительности речь идет о частных случаях более общих
групп, определяемых как дискретные подгруппы группы изо-
метрий аффинного евклидова пространства, порожденные сим-
метриями относительно гиперплоскостей. Интерес к этим группам
вызван тем, что они встречаются не только в евклидовой гео-
геометрии. В частности, они играют существенную роль при изу-
изучении полупростых групп Ли. Относительно этой темы, которая
в последнее время получила заметное развитие, а также относи-
относительно уточнений, касающихся приведенных выше примеров,
см: всю работу [63] и с. 38—51 (с. 54—79 русского перевода),
всю работу [35] и исторический очерк в ней на с. 234—240
(с. 286—293 русского перевода).
1.9 УПРАЖНЕНИЯ
1.9.1. Исследуйте орбиты группы G = Z, действующей на окруж-
окружности S1 в пространстве R2, отождествленном с С, по формуле
Ф (n)(z) = eianz, в зависимости от свойств вещественного числа а.
Если а иррационально, то может ли это служить контрпримером,
упомянутым в 1.5.7?
1.9.2. Тот же вопрос в случае, когда G = R, X = S3, где (в
обозначениях 1.2.9) П(/)(г, z') = (eiatz, eiatz'), a?R.
46
Гя. 1. Группы, действующие на множеств*
1.9.3
1.8.3
1.9.4
Проведите полное доказательстве теоремы 1.8.2 по схеме
Для каждой из 5, а затем 17 групп замощений исследуйте:
порядок групп изотропии; структуру группы; природу ее раз-
различных орбит; определение с помощью образующих и соотношений
между ними (см. 1.8.7).
1.9.5. Те же вопросы для конечных подгрупп из 0+ C) (соот-
(соответственно 0C)), действующих на 52.
Рис. 1.9.6
1.9.6. Нарисуйте замощения S2 примитивными плитками, по-
порожденные группами в случаях I, II, III, IV.
1.9.7. Покажите, что в 1.7 Л А в качестве факторпространств
действительно получаются тор и бутылка Клейна.
1.9.8. Покажите, что существует бесконечно много типов замо-
замощений окружности S1, сферы S3 (см., например, 18.8.1) и, более
общо, сфер S2ft+1.
1.9.9. Проделайте критическое сравнительное изучение классифи-
классификации групп замощений в работах [121], с. 72—84; [133],
с. 78—90 русского перевода, и [242], с. 107—137 русского пе-
перевода.
1.9.10. Вычислите # Ge. р (см. 1.2.5), когда Е—векторное про-
пространство конечной размерности п над конечным полем из k
элементов.
1.9.11. Определите все компактные подгруппы группы О+C).
1.9.12. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ. Пусть Gals(E)—некоторая
подгруппа группы изометрий аффинной евклидовой плоскости.
4/
1.9 Упражнения
Предположим, что все орбиты G—дискретные подмножества Е.
Покажите, что для фиксированного а?Е подмножество Р, опре-
определенное условием
Р = {х?Е: d(x, a)^d(x, g(a))
удовлетворяет аксиомам групп замощений.
1.9.13. ВАЛЕНТНОСТИ ЗАМОЩЕНИЯ. Рассмотрим замощение пло-
плоскости выпуклыми плитками, удовлетворяющими 1.7.3. Покажите,
что число точек некоторой плитки Р, принадлежащих по край-
крайней мере трем различным соседним с Р плиткам, конечно, не
меньше 3 и не зависит от Р; обозначим это число через г. Пере-
Перенумеруем эти точки т1 тг, двигаясь вдоль границы Р, и
обозначим через а,- число плиток, содержащих т,-. Покажите,
что последовательность (а,), = 1 г не зависит (с точностью до
обратного порядка и циклической перестановки) от плитки Р.
Эта последовательность называется последовательностью валент-
валентностей замощения. Покажите, что всегда
/-/2-1= Е l/o,.
(это можно будет обдумать в связи с 12.7.2, 12.7.4). Выведите
отсюда, что априори существуют лишь 23 возможные последова-
последовательности валентностей. Нарисуйте замощения, у которых после-
последовательности валентностей имеют вид C, 3, 3, 3, 3, 3), C, 3,
3, 3, 6), C, 3, 3, 4, 4), C, 3, 4, 3, 4), D, 4, 4, 4), C, 6, 3, 6),
C, 4, 6, 4), F, 6, 6), D, 8, 8), C, 12, 12), D, 6, 12). Покажите,
наконец, что другие возможности не реализуются на замощениях.
(См., если понадобится, ссылку в 1.7.7.8 и указанные выше раз-
разделы этой книги.)
1.9.14. Можно ли замостить плоскость произвольным треугольни-
треугольником? Произвольным выпуклым четырехугольником? Произвольным
четырехугольником? (Относительно пятиугольников и многоуголь-
многоугольников с большим числом сторон см. [211].)
1.9.15. Рассмотрим в 23 две транспозиции s: 11—>2 ь-> 1 и
t\ 2i—s>3i—>2. Покажите, что tos имеет порядок 3. Выведите
отсюда, что если ©s действует на некоторой группе G и если
элемент g из G инвариантен относительно s (т. е. s(g) = g) и
антиинвариантен относительно t (т. е. t (g)^g~1), то с необхо-
необходимостью g = g~*- (См. применение этого факта в 9.5.4.9.)
1.9.16. Докажите, что с помощью шести плиток, изображенных
на рис. 1.9.16, можно замостить плоскость. Докажите, что за-
замощение плоскости, выполненное с помощью этих шести плиток,
обязательно непериодично, т. е. группа изометрий плоскости,
переводящая глобально это замощение в себя, не содержит
нетривиальных параллельных переносов. Читатель, которому
48 Гл. 1. Группы, действующие на множестве
трудно провести такое доказательство, может либо обратиться
к работе [196], либо проделать следующее: нарисовать эти 6 пли-
плиток, сделать с них достаточное число фотокопий и, вырезав их,
попробовать построить нужные замощения. (См. также рис. 1.7.2.2.)
Глава 2 Аффинные пространства
Рис. 1.9.16
2.1 Определения
2.2 Примеры. Аффинные реперы
2.3 Морфизмы аффинных про-
пространств
2.4 Аффинные подпространства
2.5 Наконец кое-что из геоме-
геометрии: Фалес, Папп, Дезарг
2.6 Основная теорема аффин-
аффинной геометрии
2.7 Вещественные аффинные
пространства конечной раз-
размерности
2.8 Упражнений
В этой главе вводятся аффинные пространства — геометрические
пространства, чаще других встречающиеся в нашей книге. Аф-
Аффинное пространство—это векторное пространство, в котором мы
забываем о выделенной точке, т. е. о точке 0, добавляя к ли-
линейным преобразованиям параллельные переносы. В результате
элементарные свойства аффинных пространств, их морфизмы,
аффинные подпространства представляют собой более или менее
замаскированные свойства из линейной алгебры. Следовательно,
большая часть доказательств проводится автоматически: чтобы
доказать какой-нибудь результат в аффинном пространстве, нужно
с помощью подходящих параллельных переносов свести его к
векторному случаю, для чего часто требуется «векторизовать»
рассматриваемое пространство в одной из его точек.
По-настоящему геометрия вступает в свои права лишь с § 2.5,
сначала в облике простых теорем Фалеса, Паппа и Дезарга.
Единственный трудный, но обладающий красивой формулировкой
результат—это основная теорема аффинной геометрии (§ 2.6),
которая утверждает, что теоретико-множественное отображение
одного аффинного пространства в другое, переводящее точки од-
одной прямой в точки, тоже лежащие на одной прямой, является
почти что аффинным преобразованием.
Конец данной главы посвящен вещественным пространствам ко-
конечной размерности и результатам, которые окажутся полезными
в дальнейшем. На самом деле эти пространства, так же как и
их аффинная группа GA (•), обладают некоторой канонической
топологией. Они обладают также мерами Лебега, которые все
пропорциональны друг другу. При помощи теории меры мы по-
покажем, что с каждым компактом К из X связана некоторая
точка, его центр, которая неподвижна при любом автоморфизме X,
оставляющем инвариантным К в целом. К тому же кругу идей
относится результат, утверждающий, что подгруппа в GA(X),
состоящая из автоморфизмов, которые оставляют инвариантным в
целом некоторый компакт К с непустым множеством внутренних
точек, компактна; обратно, всякая компактная подгруппа из
GA (X) содержится в стабилизаторе некоторой точки из X.
У читателя, который захочет более подробно ознакомиться с
Гп. 2. Аффинные пространства
доказательствами из § 2.1—2.6, есть идеальная возможность
обратиться к книге [101].
51
2.1 Определения
Все рассматриваемые в этой главе векторные про-
пространства—это векторные пространства над КОММУТАТИВ-
КОММУТАТИВНЫМ телом, т. е. над полем. Если одновременно рассматри-
рассматриваются два векторных или аффинных пространства, то всегда
предполагается, что они построены над одним и тем же полем;
единственным и очевидным исключением служит § 2.6.
Интересная тема для упражнений—тщательно иссле-
исследовать, где именно существенна коммутативность, и при случае
изменить нужным образом приведенные ниже утверждения.
2.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
2.1.1. определение. Аффинное пространство над полем К—это
тройка (X, X, Ф), где X — векторное пространство над /(, дей-
действующее на X как аддитивная группа Эффективно и транзитивно.
2.1.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ. Положим
—>
Ф (§) называются параллельными переносами (или просто перено-
переносами) множества X; точнее, Ф(?)—это параллельный перенос
на вектор |, и мы будем обозначать его через t^-. Чаще всего
.мы будем обозначать аффинное пространство просто через X.
Иногда говорят, что X—это векторное пространство, присоеди-
присоединенное к аффинному пространству Х.~
Рис. 2.1.2
."А 1.3. Согласно 1.4.4.1, аддитивная группа X действует на X
просто транзитивно; следовательно, существует такое отображе-
отображение
в:ХхХ—>Х, обозначаемое также через (х,
что у = Ф(в (х, у)', х) для всех х, г/?Х. Можно сказать, что
ху—свободный вектор, соответствующий закрепленному вектору
(х, ху) или паре точек {х, у). Мы будем также пользоваться
записью
2.1.4. ху = у—х,
что будет обосновано в некотором смысле в 3.1.7. Тот факт, что
X действует в X, выражается с помощью соотношения
поэтому мы будем пользоваться обозначением х-\-%-\-г\.
Отображение в, в частности, обладает следующими
свойствами:
2.1.5.
Улт?Х: 9Х: yt—s-@(x, у)—биекция X—+Х,
V*, у, z?X: @(x, у) + в (у, z) = 9(x, z) (соотноше-
(соотношение Шаля).
Эти два свойства в легко вытекают из того, что
ej1 (if) =¦*+!•
2.1.6. эквивалентное определение. Пусть X—непустое мно-
жество, X—векторное пространство над К и в: ХхХ—*Х та-
таково, что при всех х отображение €)х из 2.1.5 биективно и
в(х, у) + ®(у, г) = в(*, г) для всех х, y,z?X. Тогда Х—аффин-
ног пространство, где действие группы X определяется по фор-
формуле Ф(^)(лг) = в~1A); верно и обратное.
В самом деле, 9 (л;, л:) = 0, в (у, х) = —@(х, у),
Ф(—|)oOA) = IdA. и Ф(тОоф(?) = ф(тН-Г).
2.1.7. определение. Назовем размерностью аффинного про-
пространства X размерность пространства X, так что dim X = dim X.
Если эта размерность равна 0, то X—точка; если она равна 1,
то X называют аффинной прямой, а если размерность равна 2,
то X—аффинная плоскость.
Fkc. 2.1.8
52
Гп. 2. Аффинные пространства
2.2 Примеры. Аффинные реперы
Нижеследующий материал полностью оправдывает
определение 2.1.6. Мы имеем в виду существование биекций
© : X —> X. Они помимо всего прочего удовлетворяют соотношениям
2.1.8.
Vat,
2.1.9. определение. Для а?Х обозначим через Ха векторное
пространство, образованное элементами пространства X и наде-
наделенное такой структурой векторного пространства, что ва: X—¦+
—->¦ X порождает естественный изоморфизм между X и Ха. Го-
Говорят, что Ха—векторизация пространства X в точке а.
2.2
ПРИМЕРЫ. АФФИННЫЕ РЕПЕРЫ
2.2.1. Возьмем Х = Х и положим Ф (|)(т]) =1 + Ц, I, ц?Х. Та-
Таким способом на каждом векторном пространстве можно ввести
естественную аффинную структуру.
2.2.2. Если (X, X, Ф) и (X', X', Ф')—два аффинных^ простран-
пространства, то аффинным пространством будет и (Хх X', Хх X', ФхФ'),
где
(ФхФ')(!, !')(*, х') = (Ф(Щх), Ф'A')(х')).
2.2.3. Пусть Е—векторное пространство, F—его векторное под-
подпространство и X—класс эквивалентности по отношению эквива-
эквивалентности, связанному с F. Тогда (X, F, Ф) — аффинное простран-
пространство, где Ф(/)(х) = х + /, х?Х, f?F. Здесь хорошо видно
>x+f
Рис. 2.2.3
(и в этом одно из преимуществ понятия аффинного пространства),
что в отличие от тривиального примера 2.2.1 множество X не
обладает «выделенной» точкой, каковой в случае Х = Х была
точка 0. Действительно, в случае, когда F—гиперплоскость в X,
задать точку в X—это значит задать некое дополнение к F в Е;
но, вообще говоря, никакого «естественного дополнения» не
существует. Другой пример, проистекающий из данного, но еще
более абстрактный, см. в 2.2.5. Частный случай описанного
выше X представляет собой множество решений системы линей-
линейных уравнений 2]а,;^=Ь,- (t=l, ••-, k), которое на самом деле
можно интерпретировать как прообраз f~1(B) при подходящем
линейном отображении и, следовательно, как класс эквивалент-
эквивалентности, связанный с подпространством /7 = /~1@) (ядром /).
2.2.4. Пусть (X, X, Ф) — аффинное пространство и S с X — век-
векторное подпространство. Это позволяет определить на X отно-
отношение эквивалентности
Я (S): хЭ1х' ФФ ~хх' ? S.
Тогда (Х/51, X/S, Ф) естественным образом превращается в аф-
аффинное пространство, где Ф становится уже отображением фак-
фактормножеств. Каковы классы эквивалентности этого отношения,
мы увидим в 2.4.1.
Х/Л
Т/Т
Рис. 2.2.4
/ Д /
' н
Е/Н
Рис. 2.2.5
2.2.5. Пусть Е—векторное пространство, Н—одна из его гипер-
гиперплоскостей; положим
^ = {117: подпространство в Е, дополнительное к Н\
54
Гл. 2. Аффинные пространства
55
2.3 Морфизмы аффинных пространств
Отметим, что каждое W—это векторная прямая и что, пользуясь
обозначением из 1.2.5, можно написать EH = GEl\GHt t. Тогда
оказывается справедливым следующий результат.'
2.2.6. предложение. На Ен существует естественная струк-
структура аффинного пространства, для которого присоединенным
векторным пространством служит EH = L (E/H; Н) (для двух
векторных пространств через Ь(-; • ) обозначается множество
всех линейных отображений из первого пространства во второе).
Отметим, что dim Е/Н=1, откуда
->
dim Ен = dim Н = dim E— 1.
Для того чтобы определить в: ЕнхЕн—> L(E/H; Н), положим
W, W'?EH, а?Е/Н. Если р: Е—+Е/Н—каноническая проек-
проекция, то р-1(а)—аффинная гиперплоскость в Е (см. 2.2.3).
Известно, что сужение р на произвольное дополнение к Н пред-
представляет собой изоморфизм. Следовательно, можно положить
9(W, Г')(а) = (р|Г')-1(а)-(р|^)-1И€Я.
(На рис. 2.2.5 w' = (p | W')-1{a), w=(p\W)-1(a).) Непосредст-
Непосредственно проверяется, что в удовлетворяет аксиомам 2.1.1 (или 2.1.5).
Пример 2.2.5, 2.2.6 будет играть фундаментальную
роль в § 5.1. Кроме того, естественно установить связь между
2.2.3 и 2.2.6 (рис. 2.2.4 и 2.2.5). Именно это и делается в сле-
следующем предложении, доказательство которого предоставляется
читателю, причем используемое здесь понятие изоморфизма
аффинных пространств определено в § 2.3.
2.2.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Е—векторное пространство, F —
гиперплоскость в нем и X — класс эквивалентности, связанный
с F. Тогда между Ен и X существует естественный изоморфизм
в смысле аффинных пространств, задаваемый отображением
EH^W^W(\X?X.
2.2.8. Для того чтобы можно было производить вычисления
в аффинном пространстве, вводится понятие, обобщающее поня-
понятие базиса векторных пространств. При этом принимается сле-
следующее соглашение:
ОБ АФФИННЫХ РЕПЕРАХ МЫ БУДЕМ ГОВОРИТЬ
ТОЛЬКО В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВ
2.2.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Аффинный репер в аффинном пространстве
X — это набор из d-\-\ его точек {*/}f=0. i, ...,<*. таких что
\xoxi}i-1 d—базис в X (и, следовательно, d = dimX). Коорди-
Координатами точки х ? X в данном репере называются числа {^,-^=i и,
такие что xax = '^iXixoxi; таким образом, они совпадают с коор-
координатами хох в базисе {х„л:;}(=1 а пространства X. Мы можем
писать x = (kl, . .., Xd),
Рис. 2.2.9
2.2.10. ЗАМЕЧАНИЕ. Это равносильно тому, что {*,-}(=i <* —
базис векторизации ХХо (см. 2.1.9), а также тому, что
{х0, хг, ..., хЛ\—симплекс в X (см. 2.4.7).
2.3
МОРФИЗМЫ АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ
-*¦ ->
Пусть (X, X, в), (X' X', 9')—два аффинных пространства (над
одним и тем же полем, см. § 0.2) и /: X—>Х' — некоторое
отображение (априори в смысле теории множеств).
2.3.1. предложение. Для f: X—+X' следующие условия эквива-
эквивалентны:
(i)
<")
(Hi)
(iv)
3a<=
3a e
Va?
X|/
X: j
x\e
X: i
6L(Xfl; Xf№
:€L(xa; x;cc
к ? 4uk — 1 /"
/ ( \ О / О С г1
,);
!L(X; X');
eL(X; X')
Кроме того, О, (a) о / о в зависит только от f; обоз-
-+ ->
начим это отображение через f или L(f). Тогда /ов = во(/х/).
Отображение, удовлетворяющее одному из этих эквива-
эквивалентных условий, называется морфизмом (аффинных пространств),
или аффинным отображением из X в X'. Множество всех таких
отображений мы обозначим Л (X; X'). Говорят, что /—изомор-
/—изоморфизм (аффинных пространств), если /, кроме того, биективно,
и автоморфизм, если / биективно и Х = Х'.
56
Гл. 2. Аффинные пространства
•I Ь 1 I''
Рис. 2.3.1
2.3.2. СХОЛИЯ. Если f—аффинное отображение, то для всех
, f(y)=
Мораль всей этой истории в том, что на эвристическом
уровне / состоит из параллельного переноса и линейного отоб-
отображения.
2.3.3. ПРИМЕРЫ
2.3.3.1. Если X = X' = R, то мы получим хорошо известные
отображения
xt—>ax-\-b, a, b? R.
2.3.3.2. Всякое постоянное отображение / является аффинным,
и в этом случае / = 0. Обратно, если /—аффинное отображение
и / = 0, то / постоянно.
2.3.3.3. Если / = ЫХ, то /=Id-> (и / аффинно!). (Относительно
обратного утверждения см. ниже.)
2.3.3.4. Если /<=Л(Х; X'), g?A(X'; X"), то gof?A(X; X")
—>- -> -*¦
и S°f = S°f- В частности, GA(X) = A(X; Х)П©^ представляет
собой группу относительно композиции, которая называется
аффинной группой пространства X. Кроме того, существует гомо-
гомоморфизм
L: GA (X) € /*+} = L (/) € GL (X)
(где GL(X)=L(X; X) П ®х—линейная группа пространства X).
Ядро L, т. е. L(Id^)> совпадает, естественно, с X, множеством
иараллельных переносов в пространстве X (см. 2.1.2); это мно-
множество мы в дальнейшем часто будем обозначать
это нормальная подгруппа группы GA (X).
2.3.3.5. Аффинная группа на аффинных реперах просто транзи-
57 2.3 Морфизмы аффинных пространств
тивна. Это следует, например, из того, что если {*,};=<> a,
{x'i}i-o,.... d—аффинные реперы в X и X', то существует единст-
единственное f?A(X; X'), такое что
2.3.3.6. Более того, X—это однородное пространство для группы
GA (X) (более обширной, чем группа Х = 7'(Х), которая опреде-
определяла X в 2.1.1). Обозначим через GA0(X) стабилизатор точки
а?Х в GA(X). Тогда (см. 1.5.5)
X^GA(X)/GAfl(X)
(в теоретико-множественном смысле) и сужение L: GAO (X) —>-
—>GL(X) оказывается изоморфизмом групп. Для того чтобы
уточнить, как именно GA (X) получается из Г(Х) и GAa(X), мы
введем следующее определение.
2.3.3.7. Определение. Говорят, что группа G есть полупрямое
произведение своих подгрупп Н и К, если G = H.K = {hk: h^H,
k?K}, Hf)K = {e\ и Н нормальна.
Отсюда следует, что всякое представление элемента
в виде g = hk единственно, что G = K,.H также с единственным
представлением элементов, но при этом если g = hk = k'h, то,
вообще говоря, k=/=k'.
2.3.3.8. Предложение. Для а?Х существует полупрямое произ-
произведение
GA(X) = 7(X)GAfl(X).
Искомое отображение (см. 2.1.2)GA(X) в T(X)xGAa(X)
имеет, разумеется, вид ft—>(t~. ^, t ^ °/V
V На) а На) a J
Рис. 2.3.3.9.1
2.3.3.9. Для agX, к?К* = [(\0 назовем гомотетией с цент-
центром а и коэффициентом % отображение
Это аффинное отображение и На ^ = ^Id^ (используется 2.3.2).
(Примеры таких отображений см. на рис. 2.3.3.9.2.) Здесь су-
58
Гл. 2. Аффинные пространства
2.3. Морфизмы аффинных пространств
щественным образом используется коммутативность К. Обратно,
справедливо следующее утверждение.
А
Рис. 2.3.3.9.2
2.3.3.10. Предложение. Пусть отображение /?GA(X) таково,
что f = X Id^ и
1 х
Тогда существует единственная точка а, такая что f = Яа> я.
Для доказательства 2.3.3.10—так же как и многих
других простых результатов об аффинных пространствах — по-
полезно использовать векторизацию. В данном случае возьме.м
произвольное b?X и произведем вычисления в векторном про-
пространстве Хь. Мы ищем такое а, чтобы f(a)=*a. В силу 2.3.2
это приводит к соотношению а = / F) +Я, (а—ft), откуда находим
единственное решение
2.3.3.11.
Справедлива формула
Напротив, если %=1, то 2.3.3.10 нарушается, но зато
мы знаем (см. 2.3.3.4), что тогда / совпадает с некоторым па-
параллельным переносом. Для того чтобы иметь возможность
одновременно рассматривать все /, такие что / = XIcU, XfK*,
мы введем следующее понятие.
2.3.3.12. Предложение. Определение. Центром группы GL (X) яв-
является К* Id->-. Прообраз L~l (/С* Id^), который мы обозначим
через Dil (X), представляет собой нормальную подгруппу группы
GA (X) и является теоретико-множественным объединением
Т (X) и всех НаХ{а€.Х, %?f(*\l); подгруппа Т (X) нормальна
о Dil (X). Элементы Dil (X) называются дилатациями прост-
пространства X.
Относительно центра GL (X) см. упр. 2.8.4 (если по-
потребуется, возьмите за образец 8.2.16). Дилатации будут истол-
истолкованы на понятном геометрическом языке в 2.5.6.
2.3.4. Какую структуру можно ввести естественным образом на
Л (X; X'), подобно тому как на L(X; X') вводится естественная
структура векторного пространства? Читатель, которого это инте-
интересует, найдет в [101] введение на А (X; X') естественной струк-
структуры аффинного пространства размерности
dim4(X; X') = (dimX-f 1) dimX';
появление этой размерности усматривается из 2.3.9.
2.3.5. Рассмотрим два объекта, таких, как в 2.2.5, т. е. предпо-
предположим, что Е, Е'—два векторных пространства, а Я, Я' — гипер-
гиперплоскости соответственно в Е, Е'. Введем соответствующие
аффинные пространства Х = ?я, Х' — Е'н.\ пусть f?L(E;E').
Можно ли отсюда получить морфизм /: X—»-Х'? Если W—век-
W—векторная прямая в Е, дополнительная к Я, то нужно, чтобы f (W)
\
I
Рис. 2.3.5
тоже имела размерность 1 и была трансверсальна к Я'. Именно
это и гарантируется введением следующего множества:
2.3.6. LHtH,{E; E') = {feL(E; E'): f{H)<=H'_ и _/: ?/Я —
—уЕ'/Н' инъективно},
где^^1(?/Я; Е'/Н') получается из / переходом "к"факторпро-
странствам, что как раз и возможно нотому, что f(H)czH'.
Тогда мы получим, что f (W) ?Е'Н, УЦ7^?Я; введенное так отоб-
отображение обозначим через f :ЕН—+ Е'н,. Непосредственно доказы-
доказывается следующее утверждение.
60
Гп. 2. Аффинные пространства
61
2.4 Аффинные подпространства
EIH
*- Е'/Н'
С 1
Н
№
¦*- Н'
Рис. 2.3.7
2.3.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если f?LHiH,{E; E'), то /~€ Л (X; X');
отображение L{f)=JeL(L(E/H; H); L(E'/H'; H')) совпадает с
Х[ I—>/ о Т) О f~x.
Кроме того, f = g в том и только том случае, если существует
такое k?K*, что g — kf.
(См. в 3.2.1. и 5.1.3 утверждение, обратное к 2.3.7.) Что
касается мотивировки 2.3.7, то она дается в гл. 5.
2.3.8. КООРДИНАТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ МОРФИЗМОВ ПРИ ЗАДАННЫХ
РЕПЕРАХ. Пусть f?A(X; XJ, {x;}i=0,1 „, {*;j/=0, .... „—реперы
в X и X'. Положим е( = хох(, е'! = х'ох) и введем связанную с /
матрицу
M(f)=\ .
\а
В силу 2.3.2,
•pi • • •
/ (х)+f B *>&)>
где х — (ки ..., л„). Запишем разложение x'of {xo) = z^a]e], откуда
Я,у=га,+ 2a/ft^fti если f(x)=^('k'1, ..., К'р). Иначе говоря,
к
/(*)=• (а»+2«Л. ••¦• а,+ 2 «„А,)-
Отметим, что тот же результат получается с помощью умноже-
умножения следующих матриц:
К
2.3.9.
, где М (/):
Это позволяет производить все практические вычисления, напри-
например, находить композицию g о f отображений /?Л(Х; X') и
g?A(X'; X"). Более подробное объяснение будет приведено
в 3.2.5. Наконец, можно заметить, что естественная размерность
А (X; X') совпадает с числом параметров, фигурирующих в М{[),
т.е. равна р + рп =р(п+ l) = dimX' (dimX+ 1) (см. 2.3.4).
2.4 АФФИННЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
Аффинные подпространства—это первые объекты изучения в гео-
геометрии; к ним относятся прямые на плоскости, прямые и пло-
плоскости в пространстве. С математической же точки зрения пред-
предпочтительнее ввести морфизмы раньше подпространств.
2.4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X —аффинное про-
пространство и Y—его непустое подмножество. Тогда следующие
условия эквивалентны:
3aZY\@a(Y)—векторное подпространство в X;
Va ? Y: &a(Y)—векторное подпространство в X;
За ? Y | У—векторное подпространство в Ха;
Va ? Y: У — векторное подпространство в Ха\
За ? X и векторное подпространство V сг X, такие
что Y = a-\-V.
Множество У, удовлетворяющее одному из этих усло-
условий, называется аффинным подпространством (или подпростран-
подпространством) пространства X. Векторное подпространство Q (У хУ) =
— ea(F)=F(Va ? Y) называется направлением Y и обозначается У.
*р V.
Рис. 2.4.1
Помимо всего прочего (Y, Y, 8|УХу)—аффинное пространство;
кроме того, вложение i: Y—*Х принадлежит A(Y; X). Размер-
Размерностью Y называется размерность этого аффинного пространства.
Пятое условие выражает, так сказать, внешнюю идею
аффинных пространств: они суть векторные пространства с точ-
точностью до параллельного переноса (см. 2.3.2).
2.4.2. ПРИМЕРЫ
2.4.2.1. Подпространства пространства X размерности 0—это
его точки. Подпространства размерности 1 (соответственно 2)
называются аффинными прямыми (соответственно аффинными
62
Гл. 2. Аффинные пространства
2.4 Аффинные подпространства
плоскостями) или просто прямыми и плоскостями пространства X.
Подпространства, направления которых совпадают с гиперпло-
скостями в X, называются (аффинными) гиперплоскостями в X.
2.4.2.2. Пусть /?Л(Х; X'), Y—подпространство в X и V—¦
подпространство в X'. Тогда / (Y)— подпространство в X' и
/~1(F') — подпространство в X (если оно не пусто). Кроме того,
/00 = /(К) и гЧп = (/)-*{?').
2.4.2.3. Имеется биективное соответствие между множеством
аффинных подпространств Y в Ен (см. 2.2.5) и множеством век-
/ч /ч
торных подпространств Y в Е, где Y—векторное подпростран-
подпространство в Е, порожденное множеством (J W; отметим, что
W 6 Y
dimF =
:dimF+l
и Y = L(E/H; Yr\B). Аналогично, в примере 2.2.3 существует
/Ч /-\
биекция между подпространствами Y а X и У, где Y— вектор-
ное подпространство в ?, порожденное Y; при этом F = Fn/7.
W
Рис. 2.4.2.3
2.4.2.4. Пусть (F,)j6/—произвольное семейство подпространств
из X. Тогда либо ПК/ = 0, либо fl F-—подпространство и
в этом случае П Yt¦= П Y{. Отсюда классическим образом полу-
i i
чается следующий результат.
2.4.2.5. Предложение. Пусть S а X—произвольное непустое под-
подмножество аффинного пространства X. Тогда существует наи-
наименьшее подпространство, содержащее S. Оно называется под-
подпространством, порожденным S, и обозначается <5>. Оно совпа-
совпадает с пересечением всех подпространств, содержащих S.
2.4.2.6. Таким образом, мы видим, что (если dim X = d < с»)
множество {X{\i=o, ...,d, состоящее из d + 1 точек X, является
аффинным репером в том и только том случае, когда
2.4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Точки {е,}; = о k € X НЭЗЫ-
ваются (аффинно) независимыми, если dim <е0, . .., eky = k. Точки
{e,-\i=o,..., k независимы в том и только том случае, если
е,-^<е0, • • ¦, ?,-_!, ei+1, ..., ek> для всех i = 0, 1, ..., k.
2.4.4. ПРИМ1Р. Две точки х, у независимы в том и только том
случае, если хфу. При этом они определяют единственную
содержащую их прямую <х, у~у. Итак, мы вновь встречаемся со
старой аксиомой Евклида: через две различные точки проходит
одна и только одна прямая.
2.4.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X—аффинное пространство над
полем характеристики Ф 2. Для того чтобы непустое подмно-
подмножество Y с X было подпространством в X, необходимо и доста-
достаточно, чтобы <х, уУ d Y для всех х, y?Y.
х
Гис. 2.4.5
Здесь вновь речь идет о старой аксиоме: плоскость в про-
пространстве—это такое его подмножество, которое содержит каждую
прямую, соединяющую две его произвольные точки. Однако если
характеристика поля равна 2, то 2.4.5 не выполняется. Для
того чтобы доказать 2.4.5, векторизуем X в точке 0^7 и про-
проведем вычисление в Хо. Для всех х, y?Y
2.4.6. ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть а, Ь, с—три коллинеарные точки (т. е.
существует проходящая через них прямая) и а ФЬ. Тогда можно
говорить об отношении ac/ab^K.
2.4.7. СИМПЛЕКСЫ. Симплексом в аффинном пространстве X
конечной размерности d называется множество из d-{-\ незави-
независимых точек X. Если d — 2, то говорят о треугольнике, а если
d = 3, о тетраэдре. В случае треугольника {х, у, г) три прямые
64
Гл. 2. Аффинные пространства
<х, уУ, <У, z>, <x, г> называются его сторонами. В случае
тетраэдра {х, у, z, t) прямые <х, у>, <х, г>, <*, t>, <y, г>, <г/, *>,
<г, О—это его ребра, а плоскости <д;, у, г>, <г/, г, ^>, <г, ?, х>,
</, л;, г/>—грани. Иногда треугольником называют также три
независимые точки в пространстве X произвольной размерности.
Рис. 2.4.7
2.4.8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: УРАВНЕНИЯ ПОДПРОСТРАНСТВ.
Как и в 2.3.8, речь идет о том, чтобы получить в руки инстру-
инструмент, с помощью которого можно было бы вычислять все, что
относится к подпространствам. Напомним, что здесь (см. 2.2.8)
dimX = d< оо.
2.4.8.1. Напоминания из линейной алгебры. Пусть Е—вектор-
Е—векторное пространство размерности d; двойственное к нему прост-
пространство Е* также имеет размерность d. Пусть F—произволь-
F—произвольное подмножество в Е и [F]—порожденное им векторное подпро-
подпространство в Е. Обозначим через
ортогональное дополнение к F в Е*; тогда F-1 — ^]1- и dim[F]-{-
4-dimF1- =d. Если S—подмножество в Е*, то его ортогональ-
ортогональное дополнение в Е мы обозначим также через S-L;
Тогда [S]-L = S-L и dim5-J- + dim [S] = d. Далее, если F и F'—
векторные подпространства в Е, a S—векторное подпростран-
подпространство в Е*, то всегда
6f 2.4 Аффинные подпространства
необходимо и достаточно, чтобы существовали линейно незави-
d-p
самые /i, ..., fd_ ? Е*, такие что F— П /Г*@)-
i = i
Теперь мы можем перейти к аффинному случаю; здесь
следует соблюдать осторожность, в связи с тем что ядро посто-
постоянной ненулевой аффинной формы пусто (не так обстоит дело
с линейными формами, где 0 всегда принадлежит ядру!).
2.4.8.3. Определение. Аффинная форма на аффинном простран-
пространстве X—это /?Л(Х; К), где К само по себе наделено естест-
естественной аффинной структурой (ср. 2.2.1). На А (X; К) вводится
классическая структура векторного пространства.
2.4.8.4. Например, если {лг,}1=о d—репер в X, то всякая аф-
аффинная форма единственным образом записывается в виде
(см. 2.3.8). Константа—частный случай аффинной формы, и если
эта константа не равна 0, то /~1(О) = 0.
2.4.8.5. Предложение. Пусть X—аффинное пространство раз-
размерности d, и пусть V—его непустое подмножество. Тогда V
будет аффинным подпространством X размерности р в том и
только том случае, если существует векторное подпростран-
подпространство V с Л (X; К) размерности d—р, такое что V = V/J- =
= {х?Х: f(x) = O Vf€V'\ и 1(?V (где через 1 мы «противо-
«противозаконно» обозначаем постоянную аффинную форму дл—>1 Удг^Х).
Векторизуем X в точке agV и будем работать в Ха.
Доказательство необходимости тривиально, ибо l(fV', поскольку
1 (.v) = 1 ^= 0 Удг. Доказательство достаточности несколько труд-
труднее: единственное, что нужно доказать,— это соотношение У±Ф0,
поскольку тогда, как и в первом случае, результат не отличается
от 2.4.8.1, где Е = Ха. Проведем индукцию по ? = dimV. Слу-
Случай k = 0 тривиален. Пусть {/х, ...,fk\—базис в V, V[ =Kf1+. . .
... -r^/fe-i- По предположению индукции V1=^V[± Ф 0, и
остается показать, что fk\Vt не совпадает с ненулевой констан-
константой. Предположим противное: fk постоянно на V(. Тогда
> —у >
fk (xo) fk(x) = fk (xox) = O Vx0,
= Kf1+ ... +Kfk-i, откуда
t. Переходя к Vlt имеем Vi =
Читатель, которого заинтересует случай dimX = oo,
может обратиться к работе [36], гл. II, § 2.
2.4.8.2. Следствие. Пусть Н с Е—гиперплоскость; тогда най-
найдется такое f?E*\O, что # = /-1@), и если # = /-l@)=g-l@)
для /, g?E*, то с необходимостью g = kf, \?K*. Для того
чтобы F с Е было векторным подпространством размерности р,
Далее,
i
/»(*) =
66
Гл. 2. Аффинные пространства
67
2.4 Аффинные подпространства
Поскольку ft (хо) = О, мы получаем fk(xo) = O.
2.4.8.6. Примеры. Наиболее важен случай гиперплоскости: если
dim# = p = 1, то 2.4.8.5 означает, что существует аффинная форма
fZA(X;K), для которой Я = /~1@), и обратно, если /—аффин-
/—аффинная форма, не равная константе, то /-1@)—гиперплоскость, и,
наконец, что равенство /~* @) = ^г~1@) эквивалентно соотношению
f=kg, кек*.
С практической точки зрения самыми употребитель-
употребительными оказываются случаи /C=R, d = 2 или 3, соответствующие
нашей повседневной жизни. Например, плоскость Y в X, d = 3,
в произвольном репере запишется в виде
где четыре вещественных числа а, Ь, с, d удовлетворяют единст-
единственному условию: а, Ь, с не обращаются одновременно в нуль.
В том же пространстве- X прямая D запишется в виде
D =*=
У'
где две тройки (а, Ь, с), (а', Ь', с') должны быть ненулевыми и
непропорциональными.
2.4.8.7. Параметрические представления. Зададим подпростран-
подпространство Y размерности k в пространстве X с помощью репера
{*,•}.•=<> к из Y; тогда
( *
¦=ir.j_ 2
%,
R}-
{ 1= 1
Таким образом, прямая в R3 примет вид
{(a + Xb, a' + W, a" + %b"): %?Ь
а плоскость —
{(a + Xb + цс, a'+W + pc't a"
2.4.8.8. При вычислениях, связанных с множеством подпрост-
подпространств (векторных, аффинных, проективных), важным инстру-
инструментом служат грассмановы координаты (см. [136], гл. VII).
2.4.9. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ
2.4.9.1. Определение. Говорят, что два подпространства S, Т
аффинного пространства X
параллельны, если S = T (обозначение: S//T);
слабо параллельны, если S аТ (обозначение: S <1 Т).
Мы видим, что «//»—это отношение эквивалентности,
а «<]»—отношение порядка. Чтобы обнаружить эквивалентность
между этими определениями и соответствующими определени-
определениями Евклида для прямых на плоскости и прямых и плоскостей
в пространстве (т. е. в случае размерности 3), нужно изучить
свойства пересечения подпространств.
Рис. 2.4.9.1
2.4.9.2. Предложение. Если S//T, mo S = T или S(\T = 0.
Если S<\T, то Sf}T = 0 или S с Т. Для того чтобы S<]T,
необходимо и достаточно, чтобы существовало подпространство
S' аТ, для которого S//S'. Пусть х?Х и S—некоторое под-
подпространство; тогда существует единственное подпростран-
подпространство Т, такое что S//T и х?Т. Пусть S, Т—два подпрост-
подпространства в X; тогда:
если Sf\T = 0, то
dimS + dimr<dimX + dim E-f f),
dim <5 U Ту = dim (S + T) + 1 = dim S + dim T + 1 —
— dim (Snf),
если S(]T^= 0, mo
dim <S и Ту = dim S + dim T—dim (S n T).
Рис. 2.4.9.2
68
Гл. 2. Аффинные пространства
69
2.5 Наконец кое-что из геометрии
Утверждение непосредственно следует из соотношения
Грассмана
dimS + dim f = dim (S + f) + dim (S7l f),
справедливого для любой пары векторных подпространств, и из
следующей леммы.
2.4.9.3. Лемма. Пусть a?S, b?T; тогда соотношение Sf)T Ф 0
эквивалентно включению аЬ ? S -f 7\
Эта лемма доказывается переходом к Ха (см. 2.1.9).
Кроме того, мы видим, что <S и T> = S -\- T + K.ab.
2.4.9.4. Следствие. Если S и Т взаимно дополнительны, т. е.
X = S@7\ то S[]T состоит ровно из одной точки. Подпрост-
Подпространства S, Т также называются дополнительными (друг к другу).
2.4.9.5. Примеры. Если X—плоскость, D—одна из прямых на
ней и x^D, то на X существует единственная прямая D', содер-
содержащая х и такая, что Df\D' = 0; это прямая, для которой
D' IID. Мы вновь встречаемся со знаменитым пятым постулатом
Евклида, в котором под параллельностью понимается пустота
пересечения. Если d = 3, то для прямой D и плоскости Р в X
возможны лишь следующие случаи: либо D с Р, либо DftP
состоит из одной точки, либо D П Р = 0 и в этом последнем
случае D <JP.
Рис. 2.4.9.6
2.4.9.6. Проекции и симметрии. Пусть X—аффинное простран-
пространство, S—подпространство и Т—дополнительное подпространство
к 5 в X. Тогда, в силу 2.4.9.2 и 2.4.9.4, для всякого х ? X сущест-
существует единственное подпространство Т (х) с направлением Т и
S Г) Т (х) состоит из единственной точки. Если мы обозначим эту
точку через р(х), то получим отображение р: X^x<—^p(x)^S,
которое называется проекцией X на S параллельно Т. Имеем
р?А(Х; S). Симметрией относительно S параллельно Т назы-
называется отображение s: X—<-Х, которое определяется соотноше-
соотношением хр (х) = p(x)s (x) Vx ? X. Имеем s2 = s о s = Ых и s ? А (X; X).
В терминологии 3.4.2 можно сказать, что s (x) определяется
с помощью соотношения: р(х)—середина \х, s(x)\. Относительно
таких 5?Л(Х;Х), что s2 = ldx, так же как и относительно
р?А(Х; X), для которых р2 = р, см. 2.8.5.
2.4.9.7. О связи между подпространствами и неподвижными
точками эндоморфизмов X, т. е. отображений из А (X; X), см.
[101], с. 68.
2.5 НАКОНЕЦ КОЕ-ЧТО ИЗ ГЕОМЕТРИИ: ФАЛЕС, ПАПП,
ДЕЗАРГ
2.5.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (теорема Фалеса). Пусть Н, #', Н"—три
различные параллельные плоскости в аффинном пространстве X
и (Di)t?i — семейство прямых из X, ни одна из которых не яв-
является слабо параллельной Н. Тогда для точек й( = Н [\Dh d\=
= H'r\Dit d'i = H"V[Di (i?l) (см. 2.4.9.4 и 2.4.6) верно следую-
следующее утверждение: скаляр dj
не зависит от
Р(Ю
он зави-
¦Р(Н")
Х/Т
dJ х \d2
Рис. 2.5.1
сит лишь от Н, Н', Н". Обратно, если для некоторого i выполняется
условие d'c"?<,dh d,'> и если djd'i"ldid'{ равно этому общему зна-
значению скаляра, то d\" = а=Н" ПД-.
Введем факторпространство Х/Н (см. 2.2.4) и канони-
каноническую проекцию р: X—> Х/Н; легко показать, что это морфизм.
70
Гл. 2. Аффинные пространства
71
2.5 Наконец кое-что из геометрии
В частности, в силу 2.3.2, для всех i получим
= p{H)p(H')/p (Н)р(Н7).
Обратное утверждение следует из единственности такой
точки с на прямой <а, by (Ьфа), что ac/ab равно заданному эле-
элементу из К.
Другое доказательство 2.5.1 см. в 6.5.4.
Все, что излагается далее в этом параграфе, вытекает из
следующего элементарного замечания.
2.5.2. ЛЕММА. Пусть a, b?X, афЬ, f—дилатация, не совпа-
совпадающая с Idy, a' — f(a) и D = <a,by—прямая, проходящая через
а и Ь; пусть, наконец, D'—прямая, параллельная D и проходя-
проходящая через а' (см. 2.4.9.2). Тогда равенство b'=f(b) эквивалентно
следующим условиям:
Ь»
если f?T(X), то Ь' совпадает с пересечением D'
с прямой, параллельной <а, а'у и проходящей через Ь;
если f—гомотетия с центром в точке О, то Ь' =
=D'n<0, by.
Случай, когда /—параллельный перенос, сводится
к известному «правилу параллелограмма» (из ab =cd следует
ac = bd), которое вытекает из коммутативности X. В случае когда
/ (? Т (X), нужно рассмотреть плоскость, проходящую через точки
О, а, Ь, и применить теорему Фалеса к трем прямым D, D', D",
где D"—прямая, проходящая через 0 и параллельная D. Эти
прямые представляют собой гиперплоскости Н, Н', Н" из 2.5.1,
которые пересекаются двумя прямыми А=<0, а}, А'=<0, а">.
2.5.3. предложение (теорема Паппа, аффинный случай; см.
также 5.4.2). Пусть X—аффинная плоскость, D и D'—две
несовпадающие прямые на ней, x,y,z$D их', у', z' ? D' — не-
несовпадающие между собой точки, отличные от DflD'. Тогда из
<х, у'УН <х', уу и <у, z'y IKy', zy следует, что <х, z'>//<*\ z>.
Первый случай. Прямая D не параллельна D'; тогда (в силу
2.4.9.5) Dfl^' состоит из одной точки 0. Пусть / (соответст-
(соответственно g)—гомотетия с центром 0, такая что f(x) = y (соответст-
(соответственно g{y) = z). В силу 2.5.2 и наших предположений x'=f(y')
и g{z') — y'. Но go / = / о g (используется 2.3.3.11 и коммута-
коммутативность К\); следовательно, если положить h = gof, то z = h(x)
и х'=h(z'), откуда <лг, г'УЦ(х' zy в силу леммы 2.5.2.
Второй случай. D//D'; тогда мы в наших рассуждениях заме-
заменяем гомотетии параллельными переносами.
Можно сформулировать также теорему, обратную к 2.5.3
(см. 2.8.6).
2'
7\
X'
\
Рис. 2.5.3
2.5.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (теорема Дезарга, аффинный случай; см.
также 5.4.7). Пусть <а, Ь, су, <а', Ь', с'у—два треугольника
в аффинном пространстве (см. 2.4.7), не имеющие общих вер-
вершин, у которых стороны параллельны: <а, 6>//<й', Ь'у,
<Ь, су /I <Jb', с'У, <с, а> // <с', а'у. Тогда три прямые <а, а'у,
<Ь, Ь'У, <с, с'у либо параллельны, либо пересекаются в одной
точке.
а'У.
Рис. 2.5.4
72
Гл. 2. Аффинные пространства
73
2.6 Основная теорема аффинной геометрии
Из того что <а, by // <а',Ь'у, вначале выводим, что
четыре точки a, b, a', b' лежат в одной плоскости. Значит, по
2.4.9.5, либо <а, а'>//<Ь, Ь'у, либо <а, а'> и <Ь, 6'> пересекаются
в некоторой точке 0. Рассмотрим второй случай; пусть /—гомо-
/—гомотетия с центром 0, такая что f(a) — a'. В силу 2.5.2, f(b)=b'.
Применяя еще раз 2.5.2, мы получим, что если f(c) = c", то
<Ь, су Ц <&', с"> и <а, су II <а\ с">,
откуда, в силу 2.4.9.2, с' = с".
2.5.5. ЗАМЕЧАНИЕ. В аксиоматической теории аффинной и проек-
проективной геометрий теоремы Паппа и Дезарга занимают особое по-
положение: иногда их рассматривают в качестве аксиом. В част-
частности, теорема Дезарга связана с ассоциативностью умножения
в основном поле К, а теорема Паппа означает в точности его
коммутативность. Заинтересованный читатель может обратиться,
например, к 2.8.9 или [4], с. 99—105 русского перевода, и [75],
с. 158—160, а также к 2.6.7 и § 4.8.
2.5.6. СЛЕДСТВИЕ (характеристика дилатаций). Пусть f ? ©х —
теоретике-множественная биекция X—>-Х аффинного простран-
пространства X, такая что для любой прямой D в X ее образ f (D) —
прямая в X, параллельная D. Тогда /?Dil(X).
f(a)
f(b)
D f(D)
Рис. 2.5.6
Обратное утверждение тривиально. Данное следствие
немедленно вытекает из доказательства предложения 2.5.4. Дейст-
Действительно, введем дилатацию /', определенную с помощью а, Ь,
f (a), f(b). Из условий следствия вытекает, что f = f.
2.5.7. Относительно практического приложения предыдущих ре-
результатов см. § 5.4 и 5.5.4, 5.5.5.
2.6 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ
Речь идет о единственном тонком результате этой главы, дока-
доказательство которого длинно и неочевидно, несмотря на простоту
формулировки.
2.6.1. ВВЕДЕНИЕ. Мы видели (см. 2.4.2.2), что для /?Л(Х; X')
образ всякой прямой D из X—это прямая (или, ради строгости,
точка) из X'. Обратное неверно. Действительно, рассмотрим
сначала случай dim X = dim X' = 1; здесь данному условию удов-
удовлетворяет любое теоретико-множественное отображение Х-—>Х'.
Далее, положим Х = Х'=С2 и f:(zx, zji-*^, F2) (где черта оз-
означает комплексное сопряжение). Мы видим, что / переводит
каждую прямую из С2 в прямую из С2: если D = x-\-Qz (см.
2.4.8.7), то /(D) = x-f Сг—тоже прямая. Грубо говоря, основная
теорема аффинной геометрии утверждает, что двумя приведен-
приведенными примерами исчерпываются все исключения. Отметим, что
zi—^-z—автоморфизм поля С. Прежде чем формулировать основ-
основную теорему, введем следующее определение.
2.6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть V, V—векторные пространства соот-
соответственно над К, К,'- Отображение /: V—>V называется полу-
полулинейным, если существует такой изоморфизм полей О:/(—> К',
что
/ (кх + цу) = а (к) f (х)+а(ц) f (у)
для всех х, y?V, к, \х,^К- Пусть X, X' — аффинные простран-
пространства над полями К, К'. Отображение /:Х—>-Х' называется по-
полуаффинным, если найдется такая точка а?Х, что /: Ха—>Х'1ш)
полулинейно.
Примером полуаффинного отображения служит уже
встречавшееся нам отображение (zlt г2) i—> (гх, z2).
Читатель может в качестве упражнения распростра-
распространить большую часть результатов § 2.3 на полуаффинный случай
и, разумеется, проверить, что всякое полуаффинное отображение
переводит коллинеарные точки в коллинеарные.
2.6.3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ. Пусть X, X'—
два аффинных пространства одинаковой конечной размерности
d~^2. Пусть f: X—>Х'—такая биекция, что для любых трех кол-
линеарных точек а, Ь, с из X их образы f(a), f{b), f (с) коллине-
арны в X'. Тогда f—-полуаффинное отображение.
Более тонкие результаты можно найти в [101]; см.
также 5.4.8 и 5.4.9. Для того чтобы легче было оценить содер-
содержание этой теоремы, напомним следующий факт.
2.6.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Поле R не допускает автоморфизмов, кроме
IdR; поле С не допускает непрерывных автоморфизмов, кроме Idc
и zt—>z. Существуют и другие автоморфизмы поля С, кроме Idc
и
См., например, [101], с. 88, или 2.8.10, а также [191],
с 48. Относительно автоморфизмов тела кватернионов см. также
2.6.5. СЛЕДСТВИЕ. Пусть X, X'—два вещественных (т. е. над
полем R) аффинных пространства одинаковой конечной размер-
74
Гл. 2. Аффинные пространства
ности ^2 и f:X—>X'—теоретике-множественная биекция, пе-
переводящая три произвольные коллинеарные точки снова в колли-
неарные точки. Тогда /?Л(Х; X').
Доказательство теоремы 2.6.3 довольно длинно. Мы
укажем здесь лишь основные этапы и идеи. Если понадобится,
подробности можно найти в [101], с. 83 и далее.
2.6.6.1. Первый шаг. Если точки {лг,}1=0 k независимы в X, то
\f(x;)\i=o к независимы в X'. Дополним {лгг-}1=0 k до репера
{*,•}»=(> dB X. Предположим противное: {/(*,)Ь=о ь. не явля-
являются независимыми. Тогда {/(лг,)},=0 б. тем более не будут не-
независимыми, и, значит, </(*0), ..., }{ха)уфХ'. Но из самого
доказательства 2.4.5 и условия теоремы следует, что
а это противоречит сюръективности /.
2.6.6.2. Второй шаг. Для любой прямой D в X ее образ f (D) —
тоже прямая в X', и для любых двух параллельных прямых D Ц D'
имеем f(D)//f(D').
Па)
f(b)
Рис. 2.6.6.2.1
f(D')
Рис. 2.6.6.2.2
Отметим на D две такие точки а, Ь, что D = <a, by.
Положим
пусть с' ? D' и х?Х таковы, что /(х) = с' (/ сюръективно!).
Тогда л:?<а, by в силу 2.6.6.1.
Пусть теперь D//D'—две параллельные прямые в X
75
2.6 Основная теорема аффинной геометрии
и Р—порожденная ими плоскость (можно считать, что
в противном случае доказывать нечего). Положим р' = </(Р)>;
тогда f(D), f(D')cf(P)cP'. В силу 2.4.9.5, f(D)//f(D'), когда
/(D) П/(?>') = 0. Но соотношение
противоречило бы инъективности (если y?f(D) П/ф')> т0> в силу
сказанного в начале этого пункта, существуют c?D и c'?D',
для которых /(с) = /(с')=у, но Dfl?>' = 0; см. 2.4.9.5).
2.6.6.3. Третий шаг. Отображение f аддитивно. Мы хотим здесь
убедиться в том, что если 0?Х, то / аддитивно на двух векто-
векторизациях Хо и X;, = Х'1@), т. е. f(x + y) = f(x) + f(y) для всех х,
у?Х0. Но это вытекает из следующего замечания: если х, у?Х0
линейно независимы, то х-\-у геометрически получается при по-
помощи универсального построения с параллельными прямыми (см.
рис. 2.6.6.3). Но в силу 2.6.6.1, / (х) и f (у) тоже линейно неза-
независимы, и тогда, учитывая предположения относительно / и
применяя несколько раз 2.6.6.2, мы получим
f(x)+f(y) = f
(рис. 2.6.6.3). Если у = %х, х?К, то адитивность вытекает из того,
что изложено далее.
Рис. 2.6.6.3
2.6.6.4. Четвертый шаг. Построение изоморфизма о:{(—> К'.
Фиксируем 0 ? X, лг?Х\О, и пусть D = K-x—прямая, порож-
порожденная х. Пусть, кроме того, 0'=/@), D' =f(D) = /('. /(*). Оп-
Определим теоретико-множественным образом а: К—>/(' с помощью
диаграммы 2.6.6.4.2: в силу 2.6.6.2, fD:D—>-D' представляет
собой биекцию, что же касается биекций К—>-А К'—>-D', то
это отображения Xt—^hx и К' !—>¦%'f (x). Остается показать, что
о—гомоморфизм полей. Здесь основное замечание снова состоит
в том, что (Я + (д,)д: и (кц) х можно построить геометрически,
пользуясь универсальным построением, в котором участвуют иа-
раллельные прямые, исходя из "кх и \ах, как это показано на
76
Гл. 2. Аффинные пространства
77
2.7 Вещественные аффинные пространства
рис. 2.6.6.4.1 и 2.6.6.4.3, при условии, что существует точка
y?X\D.
Но существование такой точки очевидно, поскольку dim X — d~^ 2
по предположению. Что касается рисунков 2.6.6.4.1 и 2.6.6.4.3,
то в первом из них использовано правило параллелограмма (до-
(доказательство леммы 2.5.2), а во втором — доказательство предло-
предложения 2.5.3 и 2.З.З.П.
2.6.6.5. Пятый шаг. /—полуаффинное отображение. На четвер-
четвертом шаге было, по существу, показано, что сужение / на про-
извольную аффинную прямую в X, проходящую через точку О,
представляет собой полуаффинное отображение, но с изоморфизмом
0 : д".—>-/<"', который априори зависит от D. Теперь достаточно
показать, что oD на самом деле не зависит от D. Но именно
это и показано на рис. 2.6.6.5, где D и Dl—две прямые, про-
проходящие через 0.
2.6.7. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ.
В некотором смысле основная теорема аффинной геометрии по-
показывает, что аффинное пространство определено (или почти оп-
определено) своими прямыми и свойствами их пересечения. Это
вселяет в нас надежду воссоздать всю структуру аффинного про-
пространства (X, X, Ф), отправляясь от множества X, прямых на
нем и теоретико-множественных свойств их пересечения. Именно
такая попытка, по существу, и была предпринята Евклидом.
Подобные построения называются аксиоматическими определе-
определениями аффинного пространства. При этом подбирают как можно
более слабые аксиомы, которым подчиняются X и его подпро-
подпространства, позволяющие реконструировать (X, X, Ф). В евкли-
евклидовом случае добавляется еще и структура метрического про-
пространства. Аксиоматическим построениям посвящена огромная
литература, и тем не менее есть еще место для современных
исследований. Аксиоматические теории аффинных пространств
изучают практически одновременно с аксиоматическими теориями
проективных пространств.
Это открытое поле исследований, особенно в двумер-
двумерном случае, поскольку теорема Дезарга не вытекает из аксиом
пересечения подпространств (см. 5.4.4). Грубо говоря, аффинных
или проективных плоскостей в аксиоматическом смысле больше,
чем в смысле 2.1.1 или 4.1.1: например, проективная плоскость
октав Кэли (см. [191], с. 285, 4.8.3 и [17], гл. 3). Вот несколько
ссылок, касающихся этих аксиоматических теорий. Очень ясная
и фундаментальная книга [4], гл. II; очень полная книга [7].
Одна старая работа, которая поможет оценить «современную ма-
математику»,—[236]. Что касается проективных плоскостей, то см.
недавние книги [75] и [138]. Относительно одного простого при-
примера см. [101], с. 319. [См. также [2*], [19*], [21*], [26*], [36*],
[39*].- Ред.]
2.7 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА КОНЕЧНОЙ
РАЗМЕРНОСТИ
Во всем этом параграфе все рассматриваемые векторные или
аффинные пространства считаются вещественными, т. е. пост-
построенными над полем R, и конечной размерности d.
78
Гл. 2. Аффинные пространства
При d = 2 или 3 мы находимся в привычных рамках
(хотя и без метрической структуры) геометрии древних греков:
либо на плоскости, либо в пространстве, где мы живем, При
произвольном d эти аффинные пространства являются главным
объектом изучения в этой части нашей книги; иногда они наде-
наделяются, кроме того, евклидовой структурой.
2.7.1. КАНОНИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ X и GA(*). Напомним, что ве-
вещественное (или комплексное) векторное пространство обладает
канонической топологией (см., например, [50], с. 17 русского
перевода). Следовательно, линейная группа GL (Е) векторного
пространства Е конечной размерности d также обладает канони-
канонической топологией. Группу, наделенную такой топологией, мы
обозначим через L (Е; Е); это векторное пространство размер-
размерности d2.
2.7.1.1. Предложение. Пусть X—аффинное пространство и а ? X.
Тогда топология в X, определяемая с помощью канонической то-
топологии векторизации Ха, зависит только от пространства X
(а не от точки а). Она называется канонической топологией X.
Достаточно заметить, что параллельные переносы ко-
конечномерного векторного пространства являются гомеоморфиз-
гомеоморфизмами, и применить 2.1.8.
2.7.1.2. Например, всякий морфизм f?A(X; X') автоматически
оказывается непрерывным; всякое аффинное подпространство У
замкнуто; кроме того, X\Y всюду плотно в X, если УфХ.
2.7.1.3. Для того чтобы ввести каноническую топологию в GA (X)
в случае, когда мы не располагаем общим результатом 2.3.4,
можно действовать следующим образом, используя 2.3.3.6—2.3.3.8.
Для а ? X запишем GA (X) в виде полупрямого произведения
Т (X).GAa(X). Тогда мы имеем изоморфизмы Т(Х)^Х и
GAa(X) seGL(X), откуда получаем топологии на Т(Х), GAa(X),
затем на r(X).GAa(X), а следовательно, на GA (X),
2.7.1.4. Предложение. Эта топология на GA (X) зависит только
от X. Она называется канонической топологией.
Действительно, если f = sog = s'og', где g?GAa(X),
g' ?GAb(X), то s' — параллельный перенос s' = tj~urf, и g' =
= s'~1of; следовательно, s' и g' непрерывно зависят от пары
(s, g)s*f.
Например, GAa(X) и Т(X) замкнуты в GA(X). Ка-
Каковы компакты в GA(X), мы выясним в 2.7.5.
2.7.2. ориентация аффинных пространств. Напомним вкратце
определение ориентации векторного пространства. Ее можно
ввести двумя эквивалентными способами: либо с помощью опре-
определителей, либо с помощью гомотопии базисов.
2.7.2.1. При первом, алгебраическом, способе мы замечаем, что
79
2.7 Вещественные аффинные пространства
векторное пространство /\dE* полилинейных кососимметричес-
ких форм порядка d над векторным пространством Е размер-
размерности d одномерно: d\m{/\dE*) = \. Следовательно, /\dE*\Q
состоит ровно из двух связных компонент.
2.7.2.2. Определения. Ориентировать Е—это значит выбрать
одну из двух связных компонент 6 множества Ad?*\0- Форма
a?/\dE* называется положительной, если со?б; базис 33 =
— {^i\i=\ d в Е называется прямым (или положительным), если
ю(<?1э ...i"ea)>0 V©€6.
Это последнее определение, разумеется, корректно,
поскольку из со, со' ? 6 вытекает, что существует k ? R+, для ко-
которого со' =k&.
2.7.2.3. Отметим, что если cog б и /?GL(?), то перенесенная
назад форма /*со?б в том и только том случае, если det/>0.
Поэтому удобно ввести (безотносительно к тому, ориентировано
Е или нет) следующие обозначения.
2.7.2.4. Обозначения. Положим GL+(?) = {/?GL (?): det/> 0}
и GL-(?) = {/?GL(?):det/<0}.
2.7.2.5. Таким образом, при произвольной ориентации 6 про-
пространства Е мы получим, что Vco?6 и V/?GL+ (?): /*со?б, и
для всякого прямого базиса 33 в Е базис / (!В) будет прямым
в том и только том случае, если f?GL+(E). Поэтому вне
зависимости от того, ориентировано Е или нет, можно сказать,
что элементы GL+ (Е) сохраняют ориентацию. Если Е, Е'—два
вещественных векторных пространства одинаковой конечной раз-
размерности, то определить Isom+ (?; ?") можно лишь для ориен-
ориентированных Е, Е', например, с помощью соотношения /*со'^6
Vco' ? б' (где б, 6' определяют соответственно ориентации Е, Е').
2.7.2.6. Второй способ определения ориентации носит геометри-
геометрический или, если угодно, механический характер. В двух словах:
базисы принадлежат к одному классу, если их можно продефор-
мировать один в другой.
2.7.2.7. Определения. Два базиса 33, Ж векторного простран-
пространства Е называются гомотопными, если существует непрерывное
отображение F: [0, 1]—*Ed, такое что F(O) = .53, F(l) = -53' и
F(t)—базис при любом t?[0, 1]. Ориентировать Е—это зна-
значит выбрать класс эквивалентности в множестве базисов из Е
по отношению гомотопии.
2.7.2.8. Единственное нетривиальное место этого раздела—дока-
раздела—доказательство эквивалентности определений 2.7.2.2 и 2.7.2.7, а
именно утверждения, что множество базисов разбивается ровно
на два класса эквивалентности и если Е ориентировано в смысле
2.7.2.2, то множество прямых базисов в точности совпадает с од-
одним из этих классов. Заметим сначала, что выбор некоторого
фиксированного базиса 93а в Е определяет отображение <р: GL (E) —>-
—>Ed, ф (/) = /(^0). Его областью значений служит множество
80
Гл. 2. Аффинные пространства
базисов пространства Е. Отображение <р непрерывно и, кроме
того, является гомеоморфизмом на свою область значений. Стало
быть, нужная нам эквивалентность вытекает из следующего пред-
предложения.
2.7.2.9. Предложение. Пространство GL (Е) состоит из двух
связных компонент, а именно GL+ (E) и GL~ (Е), которые, кроме
того, линейно связны.
То, что GL (E) имеет не меньше двух связных компо-
компонент, вытекает из непрерывности и сюръективности det (•) как
функции GL (E)—> R*. То, что компонента GL+ (E) линейно
связна, будет доказано в 8.4.3.
Теперь уже можно заняться ориентацией аффинных
пространств.
2.7.2.10. Определения. Ориентировать аффинное пространство X —
это значит ориентировать присоединенное к нему векторное
пространство X. Назовем прямым (положительным) репером
{*,-}i = o, 1, .... d ориентированного аффинного пространства X такой
аффинный репер, что {xt>xi)i-1 d—положительный базис в X.
Положим, кроме того,
GA+ (X) = {f e GA (X):Je GL+ (X)},
2.7.2.11. Можно определить также Isom+ (X; X') для двух аффин-
аффинных пространств, каждое из которых ориентировано. Кроме
того, можно говорить о гомотопных аффинных реперах (незави-
(независимо от того, ориентировано X или нет). Для того чтобы пока-
показать, что это приведет к тому же понятию ориентации, доста-
достаточно убедиться, что GA+ (X) линейно связно.
Действительно, если а ? X, то GA+ (X) представляет
собой полупрямое произведение 7"(X).GAJ (X) (см. 2.7.1.3), где
7(Х) гомеоморфно пространству X, которое линейно связно, а
GA^ (X) гомеоморфно множеству GL+ (X), которое также ли-
линейно связно в силу 2.7.2.9.
2.7.3. ГИПЕРПЛОСКОСТИ И ПОЛУПРОСТРАНСТВА
2.7.3.1. Пусть Н—гиперплоскость аффинного пространства X.
В силу 2.4.8.6 существует аффинная форма /?Л(Х; R) на X,
такая что # = /~1@). Поэтому естественно рассмотреть два под-
подмножества /~1(R+), /-!(R_) пространства X, а также /^(R*.),
/~1(R1). Первые два множества замкнуты в X, а последние два
открыты, причем их замыкания совпадают соответственно с/-1(R+)
и /-4R-)-
2.7.3.2. Предложение. Пара /~1(R+), f~x(R.) (соответственно
/~1(R1), /^(R!)) зависит лишь от гиперплоскости Н. Множества,
2.7 Вещественные аффинные пространства
составляющие указанную пару, называются замкнутыми (соот-
(соответственно открытыми) полупространствами, порожденными Н.
Всякое полупространство линейно связно. Пространство Х\Н
обладает ровно двумя связными компонентами, а именно откры-
открытыми полупространствами f'x(Rl) и /~4R1), порожденными Н.
Первое утверждение вытекает из того, что говорилось
в начале пункта 2.4.8.6. Второе следует из того, что полупро-
полупространства всегда выпуклы. Наконец, последнее утверждение
справедливо, поскольку Х\Н имеет не меньше двух связных
компонент, ибо аффинная форма непрерывна (см. 2.7.1.2), a R*
обладает двумя связными компонентами.
Полупространства будут играть важную роль в гл. 11
и 12, посвященных выпуклым множествам.
Л\\\'У
Рис. 2.7.3.3
2.7.4. МЕРА ЛЕБЕГА В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2.7.4.1. Мы будем свободно пользоваться классическими сведени-
сведениями из теории интегрирования (см. § 0.6).
2.7.4.2. Пусть Е—векторное пространство и /: Ra—>-Е—изо-
Ra—>-Е—изоморфизм, который получается, например, с помощью выбора
базиса в Е. Пусть ц0—мера Лебега на Rd и f (ц0)—мера, пере-
перенесенная отображением f. Пусть g: Rd—>-E—другой изомор-
изоморфизм; мы хотим сравнить g(ix,0) с f (|j,0). Но по теореме о замене
переменной (см. [122], с. 33 [или [24*]. —Ред.])
где в нашем случае | det (g~1°f) \ — положительное вещественное
число. Отсюда вытекает, что хотя в векторном пространстве и
нет канонической меры, но в нем есть такая мера с точностью
до скалярного множителя; или, по-другому, в векторном про-
пространстве имеется семейство естественных мер, а именно мно-
множество мер /(цв), /? Isom(Rrf; E).
82
Гп. 2. Аффинные пространства
Любую из этих мер мы будем называть мерой Лебега
на Е. Для того чтобы перейти к аффинным пространствам, до-
достаточно заметить, что мера ц на Rd инвариантна относительно
параллельных переносов. Таким образом, мьь приходим к сле-
следующему предложению.
2.7.4.3. Предложение. Назовем мерой Лебега на аффинном про-
пространстве X результат перенесения на X мер Лебега на X при
произвольной биекции в: X—> X, а?Х. Две меры Лебега на X
всегда пропорциональны. Если ц—мера Лебега на X, то мы обо-
обозначим через ц породившую ее меру на X. Для всякой меры Ле-
Лебега ц, на X и всякого f ? GA (X) перенесенная мера f (ц) удовлет-
удовлетворяет соотношению f (ц) = | det / | ц.
В § 9.12 мы увидим, что евклидово аффинное про-
пространство обладает канонической мерой Лебега.
2.7.4.4. Примечания. Единственные меры в аффинном простран-
пространстве, инвариантные относительно всех параллельных переносов,—
это меры Лебега. При доказательстве этого факта основная идея
состоит в том, что нужно регуляризовать (продолжить) рассмат-
рассматриваемую меру. Продолженная мера фудет по-прежнему инва-
инвариантной, но, кроме того, и непрерывной, а значит, пропорцио-
пропорциональной некоторой мере Лебега. Но тогда множитель пропор-
пропорциональности, который должен быть инвариантным относительно
параллельных переносов, с необходимостью окажется константой.
[Изложение автора здесь довольно фрагментарное; подробнее
об этом см. в [8*].— Ред.]
2.7.5. ЦЕНТР КОМПАКТА. КОМПАКТНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ GA(X).
Цель этого раздела состоит в том, чтобы при помощи меры Ле-
Лебега связать со всяким компактом К. в аффинном пространстве X
некую вполне определенную точку, которая остается неподвиж-
неподвижной под действием любого /?GA(X), такого что f(K) = K. Это
свойство будет существенным образом использовано в 2.7.5.10.
2.7.5.1. Фиксируем сначала некоторую меру Лебега (д, на X и
предположим, что множество внутренних точек компакта К не-
непусто: КФ0. Тогда, в частности, будет гарантировано соот-
соотношение
(где %к—характеристическая функция К, см. § 0.6). Напомним,
что для всякой меры (д, можно определить порожденные ею меры
в векторных пространствах Е по следующей формуле:
= ^ ф (f) (д, Уф ? Е*,
х
83
2.7 Вещественные аффинные пространства
или, что то же самое, в произвольной системе координат
\ /n=(S/>' ¦••' lf&)'если f-tf^ ••¦' ^а)-
х \х х /
Для нашего компакта К и произвольной точки
положим
Если b?X—другая точка, то
Отсюда вытекает следующий результат.
2.7.5.2. Предложение. Для любого компакта КаХ, такого что
/С Ф 0, точка
а+ (ц (ЮГ1 Л* (а)
не зависит ни от a ZX, ни от меры Лебега ц на X. Мы будем
обозначать ее через cent' (К) или, если потребуется, через
cent'x(K).
2.7.5.3. Замечание. Если X—евклидово аффинное пространство,
причем d = 2 или 3, и если рассматривать К как однородную
пластину или однородное тело (т. е. считать плотность постоян-
постоянной, равной 1), то cent' (К) — это не что иное, как центр тяжести
К в смысле механики или физики. Подчеркнем, чтоб случае, когда
/С=:0, это не так (см. ниже 2.7.5.5, а также 3.4.2 и 3.7.14).
Рис. 2.7.5.3
2.7.5.4. В случае когда у компакта не окажется внутренних
точек, используем следующий прием, опирающийся на гл. 11.
Пусть К—произвольный компакт в X, € (К) — его выпуклая
оболочка и </С> — аффинное подпространство, порожденное К.
84
Гп. 2. Аффинные пространства
Тогда $ (К) обладает непустым множеством внутренних точек
в </С> в силу 11.2.7. Поэтому мы можем дать следующее опре-
определение.
2.7.5.5. Определение. Если К—компакт в аффинном простран-
пространстве, то назовем его центром точку
cent Ю = cent' (E(K))
Рис. 2.7.5.5
2.7.5.6. Замечание. Вообще говоря (например, в случае, если
К—кривая в евклидовом аффинном пространстве X), этот центр
не совпадает ни с механическим центром тяжести однородной
нити К, ни с другими неподвижными точками, которые мы
выявим в 9.8.6.
2.7.5.7. Предложение. Пусть К—компакт в аффинном прост-
пространстве X. Тогда для всякого /?GA(X), такого что f(K) = K,
выполняется соотношение f (cent (К)) = cent (К). Иначе говоря,
GAA. (X) = {/ € GА (X): / (К) = К} <= GAcent {Ю (X).
Кроме того, если °Кф0, то |det/|=l V/?G\A,(X).
Последнее утверждение следует из того, что говори-
говорилось в конце 2.7.4.3:
Для того чтобы доказать первую часть, можно, в силу
2.7.5.4 и 2.7.5.5, ограничиться случаем Кф0. Тогда
где а?Х произвольно. Используя 2.7.5.1, получаем
хек
85 2.7 Вещественные аффинные пространства
Следовательно,
2.7.5.8. Примечания. Если известно, что X—евклидово аффин-
аффинное пространство, то можно, не прибегая к теории интегриро-
интегрирования, показать, что всякое /?ls(X) (группа изометрий X),
такое что f(K) = K, оставляет неподвижной некоторую точку X,
зависящую только от К (см. 9.8.6). Между прочим, оказывается,
что если задан компакт К, у которого КФ0, то всегда суще-
существует евклидова структура на X, инвариантная относительно
GAA-(X), погтому, в частности, GAAr(X)c:Is(X) для этой струк-
структуры (см. 2.7.5.10 и 8.2.5).
Отметим, наконец, что, вообще говоря,
), как показывает рис. 2.7.5.8.
Рис. 2.7.5.8
2.7.5.9. Предложение. Пусть К—компакт с непустым множе-
множеством внутренних точек в аффинном пространстве X. Тогда
в топологии 2.7.1.3 группы GA (X) ее подгруппа GA^X) ком-
компактна.
Условие К.Ф0, разумеется, необходимо. Действитель-
Действительно, возьмем К={а), а?Х; тогда подгруппа GAa(X) гомеоморфна
группе GL(X), которая не компактна.
Применяя 2.7.ЬЛ, векторизуем X в точке cent (К);
при этом все сведется к случаю, когда X—векторное простран-
пространство. Кроме того, можно предположить, что его начало 0 при-
принадлежит К, поскольку в действительности cent (К) € К (см. 2.8.11).
Однако, чтобы нам не пришлось это доказывать, заметим, что
если f(K.) = K, где /?GL(X), то также
/(—/С) = —/С, где — К = { — х: х?К\,
и что ?(K\J{—К)) содержит 0 как внутреннюю точку. Введем
в X какую-нибудь евклидову структуру, и пусть е > 0 таково,
что В@, е)с:К; пусть, далее, Af = sup{||je||: x?K}- Тогда из
f (К) = К следует, что
86
Гл. 2. Аффинные пространства
другими словами, j]f||<?M в обычной норме на L(X; X).
Таким образом, GL^(X) — замкнутое ограниченное множество
в L (X; X) и, следовательно, компакт.
Обратно, справедливо следующее утверждение.
Рис. 2.7.5.9
2.7.5.10. Предложение. Пусть G—компактная подгруппа груп-
группы GA (X). Тогда существует точка х ? X, такая что GcGAx (X).
Кроме того, на X существует евклидова структура, инвариант-
инвариантная относительно G, т. е. такая, что для нее Gc Is (X).
Действительно, пусть а?Х—-произвольная точка и
G(a) — ee орбита под действием G; это компакт в X, а искомая
точка есть не что иное, как х = cent (G (а)) (см. 2.7.5.7). Часть
«кроме того» будет доказана далее тремя способами (см. 8.2.5
и 9.8.6).
2.7.5.11. Следствие. Максимальные компактные подгруппы груп-
группы GA (X) все сопряжены (в GA (X) относительно внутренних
автоморфизмов).
Поскольку группа Isa (X; q) всех изометрий с непод-
неподвижной точкой а евклидовой структуры на X, определенной
с помощью квадратичной формы q на X, компактна, из 2.7.5.10
вытекает, что всякая максимальная компактная подгруппа в
GA (X) совпадает с некоторой группой Isa (X; г> при подходящих
а и q, и доказываемый результат следует из 8.1.6 и форму-
формулы 1.5.3.
2.7.5.12. Примечания. Мы привели это следствие, так сказать,
для общего развития. На самом деле весьма общий и важный
результат состоит в том, что все максимальные компактные под-
подгруппы произвольной группы Ли сопряжены между собой (см.,
например, [131], с. 244 и замечания на с. 268 русского перевода).
Результат типа 2.7.5.10 в общем случае не верен,
даже для групп изометрий превосходных пространств. Например,
если X—сфера и G = Is(X) — группа всех ее изометрий (см. § 18.5),
то у G нет неподвижных точек. Относительно одного очень
общего результата в этом направлении см. 9.8.6.5.
2.7.6. ЭКВИАФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. В конце 2.7.5.7 мы естествен-
естественным образом встретились с группой
|det/|=l},
87
2.8 Упражнения
которую называют иногда унимодулярной группой пространства X
или специальной аффинной группой и обозначают SA (X). Ее эле-
элементы, таким образом, оставляют инвариантной любую меру
Лебега на X. Но эта группа некомпактна. На самом деле она
гораздо больше группы Isom(X) для евклидовой структуры, за-
заданной на X. Однако существует достаточно богатая и уже до-
довольно разработанная геометрия, основанная на свойствах, инва-
инвариантных относительно SA (X). (Общие работы: [223], с. 1-50
по 1-56, [98], с. 75—92 русского перевода, [21] и [81], упр. 12,
с. 340.) Например, для гладких кривых в X можно определить
понятия аффинной длины и кривизны, инвариантные относительно
SA(X) (см. 2.8.12).
2.7.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В АФФИННЫХ ПРОСТРАН-
ПРОСТРАНСТВАХ. Если X, X' — аффинные пространства, U—открытое мно-
множество в X и /: U —с X', то определение понятия типа «/ диф-
дифференцируемо, класса С и т. д.» не представляет никаких труд-
трудностей. Нужно только позаботиться о том, чтобы производная
/' отображения / принадлежала L(X; X'). Дифференциальное
исчисление можно ввести двумя способами: либо заметив, что
разные векторизации X и X' отличаются только на параллель-
параллельные переносы и что эти параллельные переносы принадлежат
классу С", либо отметив, что определение дифференцируемости
сводится к изучению разности
f(x)-f(a)—g(x—a),
; X'),
которая, конечно, представляет собой некое выражение в X',
поскольку
и f{x)—f(a) =
(Из общих работ на эту тему укажем [50].) [О дифференциальной
геометрии в аффинных пространствах см. книгу [47*].— Ред.]
2.8
УПРАЖНЕНИЯ
2.8.1. ТЕОРЕМА ЧЕВЫ. Пусть {а, Ь, с)—треугольник в аффин-
аффинной плоскости, и пусть три точки а' ? ф, с>, Ь' ? <с, а>, с' ? <а, by
лежат на сторонах этого треугольника. Тогда три прямые <а, а'>,
<Ь, Ь'У, <с, с'у пересекаются в одной точке или параллельны
в том и только том случае, если (см. 2.4.6)
а'Ь Ь'с
- =—1.
?а с'Ь
2.8.2. ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ. При таких же условиях, как и в 2.8.1,
покажите, что три точки а', Ь', с' лежат на одной прямой в том
88
Гл. 2. Аффинные пространства
Рис. 2.8.1
и только том случае, если (см. 2.4.6)
а'Ь Ь'с
с а
а'с Ъ'а с'Ь
2.8.3. Пусть X—аффинное пространство размерности п над ко-
конечным полем из k элементов. Найдите #Х, 4}=GA(X), а также
число подпространств заданной размерности р пространства X.
2.8.4. Покажите, что центр группы GL(X), где X—векторное
пространство, совпадает с К*.ЫХ.
2.8.5. Изучите отображения /gGA(X), где X—аффинное про-
пространство, такие что /2=Idx или f2 — f.
2.8.6. Сформулируйте и докажите утверждения, обратные к теоре-
теоремам Паппа и Дезарга 2.5.3, 2.5.4.
2.8.7. Пусть X—комплексное (т. е. над полем С) аффинное про-
пространство. Покажите, что оно обладает некоторой канонической
топологией. Исследуйте связность Х\Я относительно этой топо-
топологии, где Н—гиперплоскость.
2.8.8. Покажите, что если X — вещественное аффинное простран-
пространство конечной размерности и Y—его подпространство, то X \ Y
89
2.8 Упражнения
связно, когда dim F^ dim X—2. Исследуйте односвязность
X\Y (см. 18.2.2).
2.8.9. ПАПП И КОММУТАТИВНОСТЬ. Покажите, что если аффинная
плоскость X над априори не коммутативным телом удовлетворяет
теореме 2.5.3 для всех шестерок точек из X, то основное тело
коммутативно.
2.8.10. Покажите, что поле R не допускает других автоморфиз-
автоморфизмов, кроме Id R, а поле С—других непрерывных автоморфиз-
автоморфизмов, кроме Idc и
Рис. 2.8.11
2.8.11. Пусть К—компакт в вещественном аффинном простран-
пространстве конечной размерности, причем К^=0. Пусть Н—гипер-
Н—гиперплоскость в X, а X', X"—два порожденных ею замкнутых полу-
полупространства. Введем еще такое условие: Н такова, что если
КпХ'=К' ИКПХ" = /С, то
К'^0 и К'Ф0.
Покажите (см. 2.7.5.2), что cent' (К) совпадает с центром тяже-
тяжести системы из двух точек: точки cent' (К') с массой |л(/(') и
точки cent'(К") с массой |я (/("). Выведите отсюда, что если К,
кроме того, выпукло, то всегда cent (К) € К.
2.8.12. ЭКВИАФФИННЫЕ ДЛИНА И КРИВИЗНА. Пусть X—вещест-
X—вещественная аффинная плоскость. Фиксируем в X некоторый базис.
Тогда можно определить детерминант det(u, v) двух произволь-
произвольных векторов из X относительно этого базиса. Пусть с: [а, Ь] —>-
—^Х — гладкая кривая класса С3 в X. Назовем эквиаффинной
длиной кривой с (в пространстве X с некоторым базисом) веще-
90
Гл. 2. Аффинные пространства
ственное число
S >/"det(c'(O, c"(t))dt.
а
Покажите, что эквиаффинная длина кривой с равна такой же
длине кривой /ос V/?SA(X) (см. 2.7.6). Покажите, что с по-
помощью эквиаффинной длины можно заново параметризовать с,
если с такова, что det(c'{t), c"(t))^O. Эквиаффинная кривизна
кривой с определяется как /C = det(c", с'"), где с параметризо-
параметризована с помощью эквиаффинной длины. Покажите, что эта кри-
кривизна также инвариантна относительно SA (X). Вычислите экви-
аффинную длину и кривизну эллипса, параболы или гиперболы
в X (наделенном некоторым базисом). Известно, что на евкли-
евклидовой плоскости кривая определяется однозначно с точностью
до изометрии заданием кривизны как функции длины дуги (см.,
например, [15], с. 323) [или [38*], с. 137.— Ред.]. Покажите, что
точно так же кривая в X определяется однозначно с точностью
до элемента из SA(X) заданием эквиаффинной кривизны как
функции эквиаффинной длины. Относительно других результа-
результатов, касающихся эквиаффинной геометрии, см. ссылки в 2.7.6.
Глава 3 Универсальное пространство
Приложения
3.1 Универсальное простран-
пространство
3.2 Универсальное простран-
пространство и морфизмы
3.3 Полиномы на аффинном
пространстве
3.4 Барицентры
3.5 Барицентры и морфизмы;
барицентры и аффинные
подпространства
3.6 Барицентрические коор-
координаты
3.7 Упражнения
В этой главе, которая носит довольно технический характер, мы
сопоставляем каждому аффинному пространству X векторное
пространство X, в которое X вкладывается как аффинная ги-
—>-
перплоскость, не содержащая начала координат, и для которого X
также является гиперплоскостью, а именно гиперплоскостью
направлений аффинной гиперплоскости, представляющей X (§ 3.1).
Построение X поначалу может показаться несколько
надуманным, но мы надеемся, что в дальнейшем читатель убедится,
что усилия не пропали даром.
Универсальное пространство используется далее много раз для
тоге, чтобы прояснить природу классических теорий, а именно:
теории барицентров (§ 3.4), барицентрических координат (§ 3.6),
превращения в однородный первоначально необязательно одно-
однородного полинома (§ 3.3), естественного пополнения аффинного
пространства до проективного (гл. 5), изучения квадрик — аф-
аффинных поверхностей второго порядка (гл. 15).
3.1
УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
В аффинном пространстве X нет внутреннего векторного исчис-
исчисления, поскольку в нем нет выделенной точки (см. введение
к гл. 2 и 2.1.9). Однако можно построить внутреннее исчисле-
исчисление на векторных полях на X, поскольку известно, что множе-
множество всех отображений произвольного множества в векторноэ
пространство Е наследует из Е структуру векторного простран-
пространства.
3.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным полем на аффинном простран-
пространстве (X; X) называется отображение /: X—*Х; множество
этих векторных полей мы обозначим через f^(X) и наделим его
канонической структурой векторного пространства.
3.1.2. два ПРИМЕРА. Мы не будем пользоваться никакими «ди-
«дикими» векторными полями; нам потребуются только следующие
два типа таких полей.
—> —>
3.1.2.1. Постоянное поле, связанное с | ? X ; а именно, если
—г
) то это поле определяется соотношением f(x)=l
и обозначается /U. Траектории этого поля совпадают с
92
Гп. 3. Универсальное пространство. Приложения
3.1.1
прямыми, параллельными ?. Геометрически xi—>x+f{x)—
это параллельный перенос t~%. На чертежах для более нагляд-
наглядного изображения f используются пары (х, x + f{x)).
Рис. 3.1.2.1
Рис. 3.1.2.2
3.1.2.2. Центральное поле, связанное с парой (k, a) ? К* хХ, ко-
которое обозначается /(ft,a) и определяется соотношением х\—>kxa
Удг^Х. Это поле отвечает гомотетии На1_к, определяемой со-
соотношением x + f(x) = Hail_k(x) Vx?X. Траекториями служат
прямые, проходящие через точку а (из которых сама точка а
исключена). См. также 3.7.6.
3.1.3. ОБОЗНАЧЕНИЯ- Введем следующие два подмножества мно-
множества "У^ (X):
3.1.4. Отметим теперь, что X Э I >—*•/¦? € & (X)—это линейный
изоморфизм между X и векторным подпространством % (X) про-
93
3.1 Универсальное пространство
странства f^(X), что %' (X) не является векторным подпрост-
подпространством пространства Ф(Х), но K*xX^(k, а) ¦—*-/(ft, а, ? ^' (X)
есть теоретико-множественная биекция и что, кроме того, в "У^(Х)
выполняется соотношение Xf{k a) = f(Xk а) У(й, а)^К*хХ и
V^g/C*; наконец, отметим, что '# (X) П ^?' (Х) = 0.
3.1.5. ТЕОРЕМА (элементарная, но важная). Объединение S) (X) =
= & (X) U &'(X) представляет собой векторное подпространство
пространства f^(X). Отображение ц>: @)(Х)—у К, определенное
соотношениями ф (/(fti a)) — k и ф (/^) = О V | g X, V (^, a)gi(sxX,
есть линейная форма на §Ь(Х). Отображение
задает изоморфизм между аффинным пространством X и аф-
аффинной гиперплоскостью ф~хA) из <3)(Х) (см. пример 2.2.3).
3.1.6. Имеем /а, а)+ /<&', а-у xt—>kxa-\-k'xa'. Если k-\-k' = 0, то
i' =k(xa—xa') = ka'a; значит, /(fci a)-
), то существует такое Ь, что аЬ= . , ,, аа', откуда
Yi"i ТА Г
Л(/) 1 . С / (Ь
(разумеется, это b мы взяли не с потолка; оно находится из ра-
равенства /(fci a)+f(k', a') = /(fc+ft', b), еСЛИ ПОЛОЖИТЬ AT = п И Ь СЧИТЭТЬ
неизвестным). Далее, /(s,a) + /-*- xi—>fcra-f-E =kxa', где а' таково,
что aa'
*?; следовательно,
— f{k, a-)-
Линейность ф вытекает из предыдущих выкладок.
Для того чтобы показать, что 2: ху—э-/(ь х).—морфизм, фикси-
фиксируем некоторое а?Х. Если 2 аффинно, то существует (см. 2.3.1)
• х
cf-41)
• 0
¦з>Ш
Рис. 3.1.6
такое отображение 2: Х-^^(Х), что 2 (а) 2 F) = 2 F)—2 (а)
(в смысле векторного пространства ?D(X)), но по определению
2F)—2 (a): x>->xb—xa = ~ab;
94
Гп. 3. Универсальное пространство. Приложения
следовательно, с необходимостью 2 (Ь)—2(а) = /^ и 2 есть не
что иное, как
Возвращаясь в аффинное пространство, мы и получим, что
2 — морфизм.
Забыв теперь о векторных полях, можно просто при-
привести в готовом виде следующую схолию.
.Д/
7/
Рис. 3.1.7
3.1.7. СХОЛИЯ. Пусть (X; X)—аффинное пространство и X —
дизъюнктная теоретике-множественная сумма X(j(/C*xX), в ко-
которой, кроме того, X отождествлено с 1хХ. Тогда X—век-
X—векторное пространство относительно следующих операций:
X: k(h, x) = (kh, x) = (kh)x, 0 (fee) = 0, в частности
(k, x) = kx;
lecAuk + k' фЪ , то kx+k'x' = (k+k')x", где
, k'
X =Х+-,
\
¦ k'
—: j если k + k' = O, то kx + k'x' = kxix;
вместе с операциями «X» и « + » на ХсХ. В X пространство
X представляет собой гиперплоскость. Если определить
М: X—+ К соотношениями М (kx)—k,M (?) = О vf ? X, то М бу-
будет линейной формой на X и М~1A) = Х^0. Аффинная гипер-
гиперплоскость М~х(\) (как аффинное пространство) изоморфна X.
Кроме того, для всех а ? X пространство X представляет собой
95
3.2 Универсальное пространство и морфизмы
прямую сумму: Х=Хф/Са. EcAuq: Х-^ X—первая проекция, ассо-
ассоциированная с этой прямой суммой, то q \x, с учетом отожде-
отождествления X с lxXcX, есть не что иное, как 9а (см. 2.1.5).
3.1.8. замечания. Сначала заметим, что 3.1.7 теперь уже пол-
полностью узаконивает запись ху = у—х, введенную в 2.1.4. Далее,
следует остерегаться некоторых отождествлений. Общее правило
в подобных ситуациях, когда возможно недоразумение, состоит
Рис. 3.1.8
в том, чтобы различать все объекты с самого начала. Типичен
в этом отношении следующий пример. Возьмем в качестве аф-
финного пространства Х = Х (прлмер 2.2.1). Тогда в X символ
X обозначает как аффинное подпространство Х = Х = М~1A),
так и векторное подпространство (гиперплоскость) X. Поэтому
в данном случае не следует писать Х = Х, а нужно различать
X и X (рис. 3.1.8).
3.1.9. ГИДРА КУСАЕТ СВОЙ СВЕРКАЮЩИЙ ХВОСТ. Отправляясь от
X, мы строим универсальное векторное пространство X, кото-
которое содержит X как гиперплоскость. Тогда, следуя 2.2.5, можно
рассмотреть аффинное пространство Х-+. Из 2.2.7 и 3.1.7 еле-
дует, что X естественным образом изоморфно Х-*, причем нуж-
нужный изоморфизм получается как суперпозиция двух последова-
последовательных изоморфизмов X ^М~г(\) и М-1A)^Х^.
Л
3.2 УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО И МОРФИЗМЫ
Пусть теперь X, X'—два аффинных пространства. Построим
X и X' и найдем соотношения между Л (X; X') и L(X; X').
В случае перехода от L (X; X') к А (X; X') соответствующие
соотношения устанавливаются в 3.1.7 и 2.3.7. При обратном пе-
переходе они устанавливаются с помощью следующего утвержде-
утверждения, допускающего прямое доказательство.
3.2.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X, X'—два аффинных простран-
пространства и f?A(X; X'). Определим отображение f: Х-—*-Х', пола-
полагая f ->=sf, f{kx)=kf (x) (с учетом тождественных вложений ХсХ
96
Гл. 3. Универсальное пространство. Приложения
и Х'аХ'). Тогда f ?L(X; X') и фактически
-+(Х; X').
Кроме того, в смысле 2.3.6 и в силу 3.1.8 мы получаем f —f.
Еслид?А(Х'; X"), где X"—третье аффинное пространство,
то gof =gof.
3.2.2. Это предложение и дает основание для эпитета «универ-
«универсальное» по отношению к X. В некотором смысле (его предстоит
еще уточнить) 3.2.1 означает, что X —* X—«функториальное»
соответствие.
3.2.3. СЛЕДСТВИЕ. Для всякого аффинного пространства X его аф-
аффинная группа GA (X) естественно изоморфна факторгруппе
GL^ (Х)//Г .IcUгруппы GL^ (X) = {/ ? GL (X): / (X) = X} по центру
/C.IcU группы GL(X) (см. 2.3.3.12).
3.2.4. ПРИМЕР. Используя определения из 2.3.3.2, получаем, что
/?Dil(X) в том и только в том случае, если /-> = IcU.
3.2.5. ОБЪЯСНЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ 2.3.8. Сохраним все данные и
обозначения из 2.3.8. С помощью репера \х{}0< , „ из X можно
построить два^базиса в X: первый {хй, х~^хи ..., х^сп}, где
?ХаХ
и второй \х0, хх, . . ., х„\сХсХ (ко
7
Кх'г /
Рис. 3.2.5
второму из них мы еще вернемся в § 3.6). Именно использова-
использование двух реперов первого типа, {х0, х^сг, ..., х^хп\ в X и
{х'о, x'oXi, ,...,х'ох'р\ в X', позволяет объяснить 2.3.8. Матрица,
обозначенная в 2.3.9 через М (/), есть не что иное, как матрица
/ из 3.2.1 относительно двух построенных базисов. В самом
деле, если х — (\, ...Д„) в X, то координаты того же самого
хв X относительно репера {х0, х^си ...,х~^хп\, очевидно, равны
A, kif ..., %п), тогда как ХсХ состоит из тех элементов, у ко-
которых первая координата равна нулю. Отсюда и вытекает 2.3.9.
97 3.3 Полиномы на аффинном пространстве
3.3 ПОЛИНОМЫ НА АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В этом параграфе предполагается, что основное поле имеет
характеристику 0.
Напомним сначала определения и свойства полиномов и поли-
полиномиальных отображений на векторных пространствах (эта тема
хорошо освещена в [50], с. 87 русского перевода).
3.3.1. НАПОМИНАНИЯ. Пусть V, W—два векторных простран-
пространства. Отображение /: V—*- W называется однородным полиноми-
полиномиальным отображением степени k, если существует k-линейное
симметричное отображение <р: Vk—>¦ W, такое что / = <роД, где
А—диагональное отображение A: V^хь->(*, ..., х) ? Vk. Через
¦5** {V\ W) обозначают множество однородных полиномиальных
отображений степени k из V в W. Если W = K, где К—основ-
К—основное поле пространства V, то говорят просто об однородном по-
полиноме степени k и полагают 5*f (V) = 5s* (V; К)- Если/—одно-
Если/—однородный полином, то отображение <р, такое что / = сроД, един-
единственно, т. е. оно полностью определяется отображением /. Ото-
Отображение f: V—>- W называется полиномиальным отображением
степени меньшей или равной k, если существуют /,- ? 53* (V; W)
h
(/ = 0, 1, . ..,&), такие что /= 'S /,- (через 5s»{V; W) принято
i= 0
обозначать множество постоянных отображений из У в W). Если
W — К, то говорят просто о полиноме степени меньшей или рав-
равной k. Если / — полином степени меньшей или равной k, то
представление / = 2/.- единственно, т.е. /,- ? 5\*( V; W) полно-
i
стью определяются отображением /. Множество полиномиальных
отображений степени меньшей или равной k обозначается через
Pk(V; W) и Рк(У) = Рк(У; К).
3.3.2. ЗАМЕЧАНИЯ. Можно написать явные формулы, позволяю-
позволяющие вычислять <р: Vk^W по заданному полиномиальному отоб-
отображению /: V-^W (см. [50], формула F.3.5), с. 94 русского
перевода). При k = 2 мы приходим к хорошо известному объекту:
элементы / ? 5s* (V) называются квадратичными формами, а <р, для
которой / = фоА, называется полярной формой к / и
3.3.2.1. <р(*, y) = -L[f
Именно для того, чтобы <р однозначно определялось по f, мы и
предположили, что основное поле имеет характеристику 0. Однако
в случае квадратичных форм достаточно предположить, что эта
характеристика Ф2 (более общо, достаточно знать, что характе-
характеристика строго меньше степени рассматриваемых полиномов).
4 № 2 765
98
Гп. 3. Универсальное пространство. Приложения
Векторное пространство 3**(V) есть не что иное, как
пространство V*, двойственное к V, т. е. множество всех линей-
линейных форм на V. Более общо, 3>* (V; W) наделено естественной
структурой векторного пространства (отображения со значениями
в векторном пространстве).
Название «однородный степени &» оправдывается тем,
что / (кх) = Щ (х) V/ ? 9"* (V), Vx ? V, однако это условие недоста-
недостаточно для того, чтобы f оказалось полиномом (если только / не
дифференцируемо достаточное число раз, см. 3.7.12). Что ка-
касается слова «полином», то оно найдет свое оправдание в том,
что мы сейчас изучим.
3.3.3. координаты. Пусть V имеет конечную размерность п, и
пусть {ei}i=ii.;., „—базис в У, a x = (klt ..., кп)—координатное
представление х в этом базисе. Тогда для f(x), f^HPfiY; W),
есть два представления и оба они будут нам полезны. Первое
имеет вид
f(\ хп)= 2 о», rf...ft
at+ . .. + an=k
где сумма берется по всем неотрицательным целым числам,
сумма которых равна k, и где aa, а„—некоторые фиксирован-
фиксированные векторы из W (или скаляры, если W — K). Второе представ-
представление имеет вид
klt ...,%„)= 2 <*н ;,Л'.---Ч>>
где a(l ,• фиксированы в W и где сумма берется по всем на-
наборам неубывающих (возможно, повторяющихся) натуральных
чисел ix ik из множества 1, ..., п. В этих двух представ-
представлениях в правой части мы допустили вольность, записывая
скаляр, на который умножается вектор из W, не слева, а справа,
чтобы в случае W = К получить обычную формулу для полинома.
3.3.4. Самый быстрый способ определить полиномы на аффинном
пространстве X дает использование связанного с X универсаль-
универсального пространства X; более элементарное определение указано в
упр. 3.7.П (см. 3.3.14).
3.3.5. определение. Пусть X—аффинное пространство, a W —
векторное пространство. Назовем полиномиальным отображением
степени k на X такое отображение
/: X-+W,
что существует /?,^*(Х), для которого f\x=:f. Множество таких
отображений (с естественной структурой векторного пространства)
обозначим через !Pk (X; W). Если W = K, то говорят о полиноме
степени k. Множество таких полиномов обозначается через
99
33 Полиномы на аффинном пространстве
5*k (X) = 5>fc(X; К). Назовем символом / (обозначение: f) одно-
однородное полиномиальное отображение степени k, такое что
3.3.6. примеры. Элементы пространства ^„(Х; W)—это по-
постоянные отображения, элементы 5*i (X; W) совпадают с эле-
элементами Л (X; W); в частности, ^(Х)—множество аффинных
форм на X (это можно проверить непосредственно или с помощью
3.3.14). Это позволяет (см. 3.3.2) назвать элементы множества
5% (X) аффинными квадратичными формами.
3.3.7. Определение 3.3.5, простое и непосредственное, часто
оказывается бесполезным на практике. Кроме того, было бы не-
неплохо исследовать отображение сужения 5s* (X)—<-5%(Х),
сюръективное по определению. Будет ли оно инъективным? Сле-
Следовало бы также провести явные выкладки в случае конечной
размерности и найти связь с Pk(Xa), где Ха—векторизация X
в точке а. Поэтому фиксируем а ? X и воспользуемся прямой
суммой Х = ХфДа (см. 3.1.6); ради простоты мы будем рабо-
работать в Pk(X). Пусть ср: X*—*-/<" таково, что / = <роД; тогда
3.3.8.
п
r a, ..., a)
(мы воспользовались симметрией ср). Для^=яО, 1, ..-., k по-
положим "*
3.3.9.
a,... ,
Каждое отображение ср,-, очевидно, г-линейно и симметрично.
Следовательно, можно определить /, = ср,. о А: Ха —> К и /,- ? 9*f(Xa)
(i = 0, I, ..., k). Тогда, в силу 3.3.8, мы получим
3.3.10.
i= 0
Таким образом, если /?5\(Х), то / — полином степени меньшей
или равной k на Ха при любом а?Х. Сейчас мы увидим, что
верно и обратное и что формула 3.3.8 позволяет однозначно
восстановить / по f. В самом деле, если а ? X, /,• 6 3"Т (Ха)
k
(' = 0, i k), /= 2;
1= 0
достаточно положить
и если /; =
гдеф,-:
то
4*
100
Гл. 3. Универсальное пространство. Приложения
3.3.11.
( = 0
/,-s
П
Положив f=cpoA, мы получим /1х = /- Можно проверить, что
ср ^-линейно и симметрично. Кроме того, если гФ§, то
3.3.12. f& + ta)= 2 **-''М?+а) = '* 2 //A
i=0
t=0
откуда, отождествляя Ха и X с помощью ва, получаем
3.3.13. f(?f, t) = t*f(t-% ?
Имея в виду 3.3.13, говорят, что «/ получается из /
путем превращения / в однородное отображение с помощью пе-
переменной t» или «путем введения переменной однородности t».
Практические вычисления проводятся по формуле 3.3.12 с по-
помощью /,-. Из сказанного можно вывести следующее утверждение.
3.3.14. предложение. Отображение сужения
биективно; обратное отображение вычисляется по формуле 3.3.13.
Элементы Э*и (X) можно охарактеризовать как такие отображе-
отображения f: X—>-K, что f?5*k{Xa) при любом а?Х, или как такие
отображения, что существует а?Х, для которого f?^k(Xa).
Ввиду @а часть отображения f степени k есть не что иное,
как его символ /.
3.3.15. ПРИМЕРЫ. Пусть X имеет конечную размерность п,
\x,-\i=o, 1 п—репер в X и (^,-)i=i «—соответствующие коор-
координаты. Тогда f ? 9i2 (X) в том и только том случае, если су-
существуют такие a{j, bh c?K (i, / = 1, ••¦, п), что
и в этом случае f равно
». /
101
3.4 Барицентры
3.4 БАРИЦЕНТРЫ
Вложение аффинного пространства X в векторное пространство
X позволяет вычислять линейные комбинации вида 5] ^,*;. где
i
i; g X, h>i?K. Результат таких операций, который априори ле-
лежит в X, на самом деле оказывается в X, если (см. 3.1.6)
М ( 2 М/) = 2 Vй (*,) = 2 h = 1 •
Отсюда мы приходим к следующему определению.
3.4.1. определение. Пусть {#,-};6/—семейство точек аффинного
пространства X и набор {^jg/c/C таков, что Я,,- = 0, за исклю-
исключением конечного числа индексов i, и 2 А,,- = 1. Назовем бари-
центром точек х{, наделенных массами Я,-, точку х= ^ ^ixt B '5^-
i?/
3.4.2. ПРИМЕРЫ Если все >t(- = 0, за исключением ^=1, то
точка х совпадает с х1. Если / = {1, 2} и ^1 = ^2=1/2 (в пред-
предположении, что характеристика поля К отлична от 2), то мы
получим 'точку х = (х1-\-х2}/2, называемую серединой {хи
Более общо, если / = {1,
и п Ф 0 в К, а X,- = l/n Vf, то
х,
Рис. 3.4.2.1
Рис. 3.4.2.2
точка х = (хг-\-. . . -\-хп)/п называется центром тяжести системы
точек х{ или ..ногда эквибарщентром точек х( (г'=1, .-., п).
Стоит обратить внимание на то, что если X—евклидова аффин-
аффинная плоскость, то, хотя (.\:1 + д:2+д:3)/3, центр тяжести треуголь-
треугольника \хг, х2, х3\ (см. 2.4.7), совпадает с центром тяжести одно-
однородной пластины (см. 2.7.5.3), которую ограничивает этот тре-
треугольник, тем не менее (x1-\-x2-\-x3-{-xi)/4 уже не совпадает,
вообще говоря, с центром тяжести однородной пластины, опре-
определенной этими четырьмя точками. Многочисленные примеры
барицентров приведены на рис. 3.4.2.3.
103
3.4 Барицентры
3.4.3. важный пример. Пусть K = R, X—вещественное аффин-
аффинное пространство и х, у—две его точки. Назовем отрезком с
концами х, у подмножество [х, у] из X, задаваемое соотноше-
соотношением [х, </] = {кх-{-A — К) у: ^?[0, 1]}. Именно отсюда берет
начало понятие выпуклости (см. гл. 11 и 12).
3.4.4. Далее, если
то линейная комбинация попадает
в Х\Х. Такие комбинации тоже полезны, особенно если заме-
заметить, что комбинацию 2 'K{xi можно перевести в X, умножая ее
i
на скаляр (^2^Л1> если 2^,-^0.
\ с J i
3.4.5. определение. Назовем материальной точкой из X элемент
из Х = Х[}(К*хХ). Если {(%[, Xi))i-\ „—конечное семейство
материальных точек, то назовем его барицентром материальную
точку B^,-, х\ > где х—это вектор 2^/€Х, если 2 ^, = 0,
и точка 2 ^(^i72 ^/€ X в противном случае.
i i
3.4.6. ЗАМЕЧАНИЯ
3.4.6.1. Заметим, что это понятие в точности совпадает с анало-
аналогичным понятием из механики, когда 2 ^- Ф 0; центром тяжести
трех точек х? массы 1 будет точка (х1-\-х2-{-хя)/3, но в нее сле-
следует поместить массу, равную 3 (сумме масс точек xt).
3.4.6.2. Для двух точек {A, х), (—1, у)} мы вновь приходим к
записи ух = х—у (см. 2.1.4 и 3.1.7).
3.4.6.3. Разумеется, наши определения пересекаются с классиче-
классическими определениями, где участвуют суммы 2^;У*,-> за кото-
которыми скрываются векторные поля. Если х—барицентр мате-
материальных точек {(Я,,., х{)\ ("^^фО), то в силу самого опреде-
104
Гл. 3. Универсальное пространство. Приложения
ления
3.4.6.4. ^\у~Х; =
i
где х определяется из уравнения
3.4.6.5. ^.%1хх/ = 0.
3.4.6.6. Наконец явное выяиеление барицентра х точек {(kh х{)\
C^^i?=^\ проводится с помощью векторизации X в произ-
произвольной точке а ? X:
Если, в частности, размерность X конечна и координаты xt в
заданном аффинном репере равны (хп, ..., xin), то координаты
барицентра материальных точек {(Xh x;)} [H^-^OJ в том же
репере имеют вид
i I I
3.4.7. Тот факт, что сложение в векторном пространстве ассо-
ассоциативно, находит свое выражение в свойствах барицентров,
интуитивно ясных в механической интерпретации и обладающих
красивыми геометрическими приложениями.
3.4.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (ассоциативность барицентров материаль-
материальных точек). Пусть I—конечное множество, I = I1(J . .. (jlp—его
разбиение, {(А,,-, *,-)}»¦ 6/—семейство материальных точек. Тогда
барицентр этого семейства совпадает с материальной точкой —
барицентром семейства {(ц;, ?г)}/=1 р, где при каждом I ма-
материальная точка (|лг, ?г) служит барицентром точек
3.4.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (дистрибутивность барицентров в X). Пусть
I—конечное множество, I = 1г и . . . и 1р—его разбиение, {xt)i€i—
семейство точек из X и {Х.,-}^/—семейства скаляров из К, та-
такие что 2 X-, = l V/=l, ..., р. Пусть аг, ..., а ? К, где
2^ = 1, \t—барицентр точек хh наделенных массами X.,. {i^lt),
и I — барицентр точек ?г (/=1, ..., р), наделенных массами a t.
Тогда | совпадает с барицентром точек х{ (i?l), наделенных
массами al%i (г'?/г).
3.4.10. КЛАССИЧЕСКИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ. Рассмотрим
сначала три точки xlt x2, х3 в X, и пусть
I Л Q О| /11 II J О QI 1 1 1 "* _ 1 ' О
\ •> ¦"» ^ I |*jUi^j Г) 1 » ^" 2 === 3 •' '
a1=l/3, a2 = 2/3
105
3.4 Барицентры
(в предположении, что характеристика К отлична от 2 и 3).
Тогда 11 = х1 и 12 = (х2-\-х3)/2—середина \х2, х3}. Значит, бари-
барицентр х точек хх, х2, х3, наделенных массами {1/3, 1/3, 1/3},
т. е. их центр тяжести, совпадает с барицентром точек хг,
(х2 + л'3)/2, наделенных массами 1, 2. Геометрическим следствием
Рис. 3.4.10.1
Рис. 3.4.10.2
106
Гл. 3. Универсальное пространство. Приложения
этого факта служит то, что три медианы <xv (x2 + xs)/2>, <д:2,
(*3 + *i)/2>> <*з- (Xi + x2)/2> пересекаются в одной точке—центре
тяжести треугольника \хг, х2, х3} и делятся там в отношении
1: 2. Если взять четыре точки, то получится (при характерис-
характеристике К, отличной от 2 и 3) семь прямых, пересекающихся в
одной точке, а именно прямые, соединяющие середины двух пар
противоположных сторон и середины диагоналей, и прямые,
соединяющие каждую из четырех точек с центром тяжести тре-
треугольника, образованного тремя остальными точками.
3.5 БАРИЦЕНТРЫ И МОРФИЗМЫ; БАРИЦЕНТРЫ И АФФИННЫЕ
ПОДПРОСТРАНСТВА
3.5.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X, X'—два аффинных прост-
пространства и /: X—<-Х'—отображение (априори лишь теоретико-
множественное). Для того чтобы f было морфизмом, необходимо
и достаточно, чтобы оно сохраняло барицентры, т. е. чтобы
для всех конечных семейств {лг;}16/с: X, {^,-}fg/<=/<", где 2А,(- = 1,
i
выполнялось соотношение
Необходимость следует из 3.2.1 и 3.4.1. Для доказатель-
доказательства достаточности нужно показать, что /: Ха—*Х'1ш линейно. Но
для этого следует только заметить, что если х, х' ? X и К, ц ? К,
то точка х" = kx-t-цх' в Ха есть не что иное, как барицентр си-
системы точек {а, х, х'}, наделенных массами {1—I—(д,, X, ц\
(и так же обстоит дело в случае f (a), f (x), f(x'))\
Это доказательство приводит нас, кроме того, к сле-
следующему утверждению.
г X'
3.5.2. предложение. Пусть X—аффинное пространство и
SczX—некоторое подмножество. Тогда для того, чтобы S
было подпространством X, необходимо и достаточно, чтобы S
содержало барицентры всех семейств точек из S, т. е. для всех
конечных семейств {X[}ieiC.S, {^i\ce iCiK, где 2^, = 1> должно
i
выполняться
107
3.6 Барицентрические координаты
3.5.3. СЛЕДСТВИЕ. Для всякого подмножества SczX порожденное
им подпространство, а именно <S >, совпадает с множеством
барицентров точек из S (для всех возможных масс).
Таким образом, прямая D = <x, г/>, порожденная двумя
независимыми точками х, у, есть не что иное, как Ь=<д:, г/> =
<х,у>
Рис. 3.5.3
3.5.4. предложение. Пусть X—аффинное пространство над
полем характеристики 0. Тогда, каково бы ни было конечное
подмножество FaX, существует такая точка х?Х, что
GAF(X)c:GAx(X), m. e. f(x) = x для всех /?GA(X), для кото-
которых f(F)=F.
п
Если F = U xh то нужно взять х = (х1-\- .. . -}-хп)/п и
1=1
применить 3.5.1.
Относительно обобщения 3.5.4 на случай компактных
F см. 2.7.5.7 и 9.8.6. Красивое следствие приведено в 3.7.3.
з.б
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
3.6.1. Мы воспользуемся здесь идеей, высказанной в 3.5.2, и
сопоставим аффинному реперу {дг,}(=0, i п аффинного простран-
пространства X конечной размерности п соответствующий базис {x,-}i=u, i, ..., п.
в X. Имеет место следующее утверждение.
3.6.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть {*;}»¦=о, i л — репер в аффин-
аффинном пространстве X. Тогда для произвольного х ? X существуют
такие Х,-(г=О, 1, ..., п) в К, что 2 %( = 1 и х = 2 Ji ,¦*,•; эти
i i
%/ единственны и называются барицентрическими координатами х
в рассматриваемом репере.
В самом деле, х = 5] ^,-*,- в X; но, поскольку х ? Хс:Х,
2А = 1 (см.' 3.4.1).
i
3.6.3. Например, если п = 2, то точки с координатами ^0 = 0
в репере \х0, х1У х2\—это точки, принадлежащие стороне <(xlt x2>
треугольника {х0, хи х2}. Если, кроме того, /<" = R, то точки
с 1,^0 (г = 0, 1, 2) образуют заштрихованную область на
108
Гл. 3. Универсальное пространство. Приложения
Рис. 3.6.2
Рис. 3.6.3
рис. 3.6.3. Это замечание сыграет важную роль при изучении
выпуклости (см. 11.1.8.4).
3.6.4. Барицентрические координаты будут использованы в 10.6.8.
3.6.5. барицентрическое ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ. Важное применение
Рис. 3.6.5.1
Рис. 3.6.5.2
109
3.7 Упражнения
барицентры находят в алгебраической топологии. Относительно
деталей и приложений см., например, [12], с. 63—68 и 60—63,
[135], с 206—209, или [45], с. 82—86. (См. также [41*]. —Ред.)
Барицентрическое подразделение симплекса определяется при
помощи индукции по размерности рассматриваемого веществен-
вещественного аффинного пространства. Если d = 1, то барицентрическое под-
подразделение \х0, Xi\ — это множество двух симплексов {х0, (xo+Xj)/2\,
{(xQ-\-xl)/2, xx\. Если d = 2, то рассмотрим множество из шести
треугольников, у которых одна из вершин совпадает с (хо-\- х^х^/З,
а противолежащая сторона—с одним из элементов барицентри-
барицентрического подразделения трех одномерных симплексов, образован-
образованных тремя сторонами <х0, xt)>, <.xit x2>, <х2, хо>. Эту процедуру
можно продолжить.
На рис. 3.6.5.3 изображено барицентрическое подраз-
подразделение предыдущего барицентрического подразделения симплекса
\х0, хг, х2} на6x6 =36 треугольников. См. также упр. 3.7.8.
3.7
УПРАЖНЕНИЯ
3.7.1. Справедливо ли предложение 3.5.4, если характеристика
основного поля не равна 0?
3.7.2. Обобщите геометрические результаты п. 3.4.10 на системы
из пяти, а затем из шести точек.
3.7.3. Пусть X— аффинное пространство над полем характери-
характеристики 0. Покажите, что у всякой конечной подгруппы группы
GA (X) есть неподвижная точка.
Рис. 3.7.4
3.7.4. Воспользуемся обозначениями из 2.7.5.2. Пусть X—ко-
X—конечномерное вещественное аффинное пространство, К—компакт
п
в X с непустым множеством внутренних точек и К = U К,-,
i — 1
где множество внутренних точек каждого Кг непусто, а все пе-
пересечения Kt П Kj (ьф /) имеют меру нуль. Покажите, что cent' (f()
совпадает с барицентром точек !,-, наделенных массами ц(К,),
где ?,=cent'(/t,).
3.7.5. Пусть X—аффинное пространство. Дайте внутреннее
110
Гл. 3. Универсальное пространство. Приложения
(т. е. не использующее ни векторизацию Ха, ни X) определение
элементам / из Si1(X), затем из 9>i(X). Приведите также фор-
мулу для вычисления символа / элемента /.
3.7.6. Почему в определении 3.1.2.2 мы взяли векторное поле
хн-kxa, а не хн-kax?
3.7.7. Пусть X—аффинное пространство, а, Ь?Х, /^^(Х).
к
Запишем f= X U в Ха, где все /,€5\*(Ха), и аналогично f =
1 = 0
= 2^,- в Хь. Выразите в явном виде gi при k = 1 и 2 как функ-
i
—у
ции /,- и ?=а6. Имеется в виду случай, когда в X выбран
аффинный репер.
3.7.8. Пусть 2—симплекс в аффинном евклидовом пространстве
размерности л; обозначим через d его диаметр (см. § 0.3). По-
Покажите, что диаметр каждого симплекса из барицентрического
подразделения 2 не превосходит nd/(n-\-l). Выведите отсюда,
что, повторяя такой процесс барицентрического подразделения,
мы получим симплексы, диаметры которых стремятся к нулю.
3.7.9. Постройте обобщение формулы 3.3.2.1 на случай k = 3.
3.7.10. Покажите, что если dimE = n, то для любого k
dim 5s? (Е) =
n + k—l
3.7.11. Докажите непосредственно, что если f: X—>W принад-
принадлежит Э>к(Ха; W) при некотором а?Х, то!?Рк(Хъ\ W) Vb?X.
3.7.12. Пусть X — вещественное векторное пространство и
/: X—>R—такая функция класса С1, что / (he) = №f (x) Vx?X,
V^gR. Покажите, что ее производная f удовлетворяет тожде-
тождеству Эйлера: /' (х) (х) = Ц (х) Vx?X. Напишите и докажите
аналогичную формулу для р-й производной функции /, когда /
принадлежит классу О и однородна степени k. Выведите отсюда,
что если / принадлежит классу Ск и однородна степени k, то
3fo обязательно полином.
3.7.13. Найдите центр тяжести механического объекта в виде
Рис. 3.7.13
111
3.7 Упражнения
треугольника, образованного тремя однородными стержнями
одинаковой плотности. Постройте эту точку геометрически.
3.7.14. Постройте геометрически центр тяжести однородной пла-
пластины, соответствующей некоторому четырехугольнику (см.
рис. 3.4.2.2). F У
3.7.15. Докажите, что, в обозначениях из 3.3.1, для всякого
/ € ^Т (V; W) справедливо соотношение
ср
k = \
!<(,<...< i.
t (vtl+...
3.7.16. Пусть в вещественном аффинном пространстве даны р
точек хи1, ..., хир(р~^2). Для г = 1, 2, ..., р обозначим
через x2tl центр тяжести точек (хи/),-Ф1. Определим, далее, по
индукции центр тяжести хк+и , точек (хк1/IФ{ для любого k^z 1.
Докажите, что каждая последовательность (*fei/)ft6N сходится;
обозначим ее предел через т{. Сравните все т; между собой.
Глава 4 Проективные пространства
4.0 Введение
4.1 Определение, примеры
4.2 Описание проективных про-
пространств: карты
4.3 Описание проективных про-
пространств: топология и ал-
алгебраическая топология
4.4 Проективные реперы
4.5 Морфизмы
4.6 Подпространства
4.7 Перспектива; аэрофото-
аэрофотосъемка
4.8 Некоммутативный случай
4.9 Упражнения
4.0
Эта глава, посвященная проективным пространствам, начинается
с введения (§ 4.0), цель которого — пояснить несколько устра-
устрашающее определение из §4.1. Кроме того, в § 4.1 приведены
многочисленные примеры. Далее мы посвящаем два довольно
длинных параграфа 4.2 и 4.3 описанию проективных пространств,
чтобы читатель смог лучше усвоить это понятие и согласился,
что проективные пространства в действительности играют боль-
большую роль, чем та, которая отведена им в рамках элементарной
геометрии, где они возникли. В § 4.2 дается описание естествен-
естественных карт; § 4.3 посвящен конечномерным вещественным или
комплексным проективным пространствам и их топологии. Мы
устанавливаем лишь общие топологические свойства таких про-
пространств, поскольку хотим, чтобы эта книга оставалась доста-
достаточно элементарной; однако мы упоминаем и свойства проектив-
проективных пространств, относящиеся к алгебраической топологии. Мы
надеемся, что с помощью подобных указаний и приведенных
в ряде мест ссылок читатель сможет понять тот интерес, кото-
который вызывают проективные пространства в современной матема-
математике (даже если побудительные мотивы такого интереса несколько
изменились по сравнению с теми временами, когда эти про-
пространства только появились).
В следующих параграфах мы возвращаемся к классическому
изложению и быстро переходим к морфизмам, проективным
подпространствам и их элементарным свойствам. В последнем
параграфе (§ 4.8) даются некоторые наметки относительно не-
некоммутативного случая,
ВВЕДЕНИЕ
Мы приведем сейчас ряд соображений, показывающих разумность
введения проективной геометрии и мотивирующих появление
неожиданного определения 4.1.1.
4.0.1. Аффинная геометрия оказывается в некоторых отношениях
неудовлетворительной. В частности, при пересечении подпро-
подпространств встречаются многочисленные исключения (см. формули-
формулировки 2.4.2.4, 2.4.9.2, 2.4.9.4). Поэтому хотелось бы иметь такую
геометрию, где пересечение двух подпространств было бы всегда
113
4.0 Введение
подпространством и где всегда удовлетворялось бы последнее
соотношение между размерностями из 2.4.9.2.
4.0.2. Исторически первым, кто, опередив свое время примерно
на два века, построил проективное пространство, был Дезарг:
он пополнил вещественную аффинную плоскость бесконечно
удаленными точками, а именно добавил по одной бесконечно
удаленной точке к каждому пучку параллельных прямых, кото-
которые в полученном таким образом проективном пространстве все
проходят через эту точку (рис. 4.0.2). Эту конструкцию мы ис-
исследуем в гл. 5.
X
¦ D
¦D'
X
Рис. 4.0.2
4.0.3. В геометрии естественный интерес представляет множе-
множество прямых, проходящих через заданную точку, или, что то
же самое, множество GEi x одномерных векторных подпространств
заданного векторного пространства Е. Такое множество встре-
встречается, например, при изучении касательной к кривой в неко-
некоторой точке (см. 4.3.4). Определение проективного пространства,
которое мы дадим в 4.1.1, — это и есть определение именно GEtl.
4.0.4. Наше зрительное восприятие окружающего мира вовсе
не плоское, а коническое: вершина конуса совпадает с центром
нашего глаза. Кроме того, необходимо научиться связывать два
изображения, скажем, одной и той же плоскости, полученные
из двух различных центров. Это имеет отношение к понятию
перспективы и связано с аэрофотосъемкой (см. § 4.7).
4.0.5. Помимо того что проективные пространства позволяют
дать красивое и исторически важное истолкование линейной
алгебры, связывая, скажем, квадрику (т. е. кривую или поверх-
поверхность второго порядка) с квадратичной формой (см., например,
§ 14.1), проективные пространства над полем вещественных или
комплексных чисел играют основную роль в дифференциальной
геометрии, алгебраической топологии (понятие кобордизма) и,
разумеется, в алгебраической геометрии. Одна из причин инте-
интереса к таким пространствам состоит в том, что они представляют
собой самые простые после сферы компактные многообразия.
114
Гл. 4. Проективные пространства
Что касается современных работ на перечисленные темы, см.,
например, [112], [140], [28].
4.0.6. Проективные пространства возникают естественным образом
также в квантовой механике (см., например, [57], с. 219).
4.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПРИМЕРЫ
4.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Е—векторное пространство. Назо-
Назовем проективным пространством, порожденным Е или образо-
образованным из Е, и обозначим через Р (Е) фактормножество (Е\0)/Э1,
где отношение эквивалентности Щ определяется следующим обра-
образом: xffly в том и только том случае, если у = Хх, %?К- Проек-
Проективное пространство (кратко) — это некоторое Р(Е). Размерность
Р (Е) равна по определению d\mE—1. Каноническая проекция —
это отображение р: Е\0—>-Р(Е).
4.1.2. ЗАМЕЧАНИЯ. В 4.2.1 и 5.1.3 мы обоснуем это определение
размерности, которое, впрочем, довольно естественно, поскольку
Р (Е) как множество прямых теряет одно измерение.
Определение 4.1.1 может показаться неудобным,
поскольку здесь приходится вместе с проективным пространством
все время рассматривать и векторное пространство, из которого
оно получилось. В [36], приложение III к гл. II, можно найти
определение проективного пространства в более общем слу-
случае; см. также 4.8.3.
Наконец, как и для аффинных пространств, существует
аксиоматическая теория проективных пространств; на эту тему
мы уже дали ряд ссылок в 2.6.7.
4.1.3. ПРИМЕРЫ
4.1.3.1. Для всякого целого п Js 1 положим Р" (К) = Р (Кп+ 1) и
будем говорить о стандартном проективном пространстве раз-
размерности п над полем К.
4.1.3.2. Проективное пространство называется вещественным,
если /<C=R, и комплексным, если К —С
4.1.3.3. Если размерность проективного пространства равна 0,
то говорят о точке; если его размерность равна 1 (соответственно 2),
то говорят, что это проективная прямая (соответственно проек-
проективная плоскость).
4.1.3.4. Существует естественная биекция между проективным
пространством Р (Е) и G?i x (см. 1.2.5). При необходимости мы
будем их отождествлять.
4.1.3.5. В силу 2.4.8.1, 2.4.8.6, имеется биекция между гипер-
гиперплоскостями векторного пространства Е и Р(Е*), где Е* — про-
пространство, двойственное к Е. Обозначив множество гиперплос-
гиперплоскостей из Е через Ж (Е), получаем биекцию (а следовательно,
при необходимости и отождествление)
+ Р(Е*).
115
4.2 Описание проективных пространств: карты
4.1.3.6. Пусть 9ik(X) — векторное пространство полиномов сте-
степени k на аффинном пространстве X (см. 3.3.5) и N — ядерное
отображение
N: .^(Х)—<- подмножества в X,
которое полиному /б^/ДХ^ сопоставляет его ядро f~1@)aX.
Поскольку (Kf)~1(O) = f~1(O) для всех Х^К*, мы получаем фак-
факторизацию
подмножества в
X
Мы увидим, что в некоторых случаях N инъектнвно
(см. 14.1.6). Что касается его образа, то при k — 2 это, по опре-
определению, множество квадрик на X. Если V-—векторное прост-
пространство и если заметить, что (см. 3.3.2) f(kx) = Xhf(x) для /?
(z5*T(V)> то становится ясно, что естественно рассмотреть сле-
следующую диаграмму для ядерного отображения 5s* (V) —>• подмно-
подмножества в V:
$'(V) \ 0 Д-подмножества в V
P(S'h{.V)) ^подмножества в P(V)
поскольку каждое /-1@)—это на самом деле некоторый конус
в V. Мы встретимся с этими диаграммами еще раз в гл. 14 и 15.
4.1.3.7. Пусть /С—конечное поле из й = #/С элементов и Р(Е)
есть n-мерное проективное пространство над К. Тогда 4? ?*(?) —
= (k"+1—l)/(k — 1), поскольку 4? K"+1 = &"+1 и каждая прямая со-
содержит, не считая начала координат, k — 1 элементов. Например,
каждая проективная прямая на Z2 содержит три точки, каждая
плоскость — семь точек (см. 4.6.16).
4.2 ОПИСАНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВ: КАРТЫ
4.2.1. Пусть Р (Е) — проективное пространство. Если НаЕ —
гиперплоскость, то, в соответствии с 2.2.5, Eh = Ge, i\Gh, i =
= Р(Е)\Р(Н) — подмножество в Р (Е) или, скорее, почти все
Р(Е). Но ЕнаР(Е) является аффинным пространством. Другими
словами, пожертвовав лишь точками из Р (Я), мы представили
точки из Р (Е) с помощью точек некоторого аффинного прост-
пространства, а это оказывается очень полезным при проведении
расчетов, выборе реперов и т. д. Биекцию Р (Е)\Р (Я) —* Ен
называют картой пространства Р (Е). Если мы хотим получить
116
Гл. 4. Проективные пространства
все Р(Е), то нужно покрыть его областями определения карт.
Предположим, что размерность Р (Е) равна п ичтоЯ((г = 0, ...
..., п)—семейство я+1 гиперплоскостей из Е, такое что П#,- =
= 0. Тогда ()Ен. = 0 и, следовательно, Р (?)= U (Р (Е)\Р (Я,.))
i ' i
действительно является объединением областей определения карт.
Таким образом, нам удалось покрыть Р (Е) аффинными прост-
пространствами. Можно сказать, что у нас есть атлас пространства
Р(Е).
4.2.2. Но для того, чтобы атлас оказался пригодным, необхо-
необходимо согласовать карты, т. е. найти отображение >, опре-
определенное с помощью диаграммы
Р(Е) \ (Р(Щ и ЯЯ/0
/ \
/
Ен. —
н.
Aф1), где пунктирная стрелка означает, что отображение опре-
определено лишь на части Еи.. Мы проведем это вычисление в 4.2.4.
4.2.3. Другая, более простая, идея относительно того, как сле-
следует проводить вычисления в Р (Е), состоит в том, чтобы в слу-
случае dira? < оо выбрать некоторый базис {e,}1=Oi и ..., „ в Е. Тогда
любой элемент т^Р(Е) примет вид т = р(х) = р(хо_ хп), если
х = (х0, х1у ..., хп) в рассматриваемом базисе. Говорят, что
(х0У хи . .., хп)—система однородных координат точки т (в рас-
рассматриваемом базисе). Слово однородные связано с тем, что
вместе с этой системой координат имеется еще целое семейство
таких систем, в которых та же самая точка х выражается в виде
(Кх0У кх1У ..., Х*п), где % пробегает К*.
4.2.4. Объединим две предыдущие точки зрения, выбрав в Е
базис \ei\i=Oi !,...,„ и задав гиперплоскости Я,- соотношением
Hi = xj1@). Точки из Р(Е)\Р(Н;) — это те точки, для которых
в системах однородных координат (х0, х1У . ¦ ¦, хп) выполняется
условие Х;фО. С другой стороны, в силу 2.2.7, Ен. изоморфно
аффинной гиперплоскости (параллельной Я,-) xj1 A)=Я,-{-е(- в Е.
Наделим, наконец, х^(\) аффинным репером \et) (J {е(-\-е^ф,-.
В итоге мы получим биекцию я,-: Р(Е)\Р(Н()—>К", задаваемую
соотношением
4.2.4.1. я,: P(E)\P(Ht)Sp(x0, х1У ..., хп)^
( -^f — l Xi'4-1 Xr
которое представляет собой явное выражение некоторой карты
пространства Р(Е) со значениями на этот раз в стандартном
векторном пространстве /<"".
117
4.2 Описание проективных пространств: карты
Теперь можно непосредственно вычислить njonj1. Сна-
Сначала находим
P(E)\{P(ffi)UP(Hj))
i
Рис. 4.2.4.1
4.2.4.2. я^1: (vu ..., vn)^p{vly ..., v;_ly 1, vi+1, ..., va).
Далее
1 fi + i
Следовательно,
4.2.4.3. п/onj1: (vu . . ., yji-
'7-2
1.
¦¦¦' vj_^ vj.,' •••' Vj.
где на самом деле я^оя^1 определено лишь на /С"\я(-(Я(Я,)) =
Л()
4.2.5. ПРИМЕР: Е = К2. Это важный случай, поскольку Р (/С2) =
= Рг(К)—самое простое нетривиальное проективное простран-
пространство, а именно стандартная проективная прямая над К. Разу-
Разумеется, в качестве \е0, et\ берется стандартный канонический
базис в К2- Здесь 4.2.4.2 сводится к отображению К* Э у и» 1/w G ^*-
Прежде всего можно сказать, что Р1 (К) получается склейкой
двух экземпляров К с помощью отображения vv^X/v на К*-
Если кое-кто из читателей узнает здесь (в случае, когда К = С)
одно из определений сферы Римана, то пусть он не удивляется —
мы будем возвращаться к этому моменту еще много раз (см.
4.3.6, § 10.8, 16.3.9, § 20.6). Далее, можно сказать, что Рг(К)
представляет собой объединение К, вложенного в РГ{К) с по-
помощью я^1: v\^p(v, 1), и точки рA, 0). В этом смысле РХ{К)
можно рассматривать как пополнение К, бесконечно удаленной
точкой р(\, 0). Подробнее мы остановимся на этом в 5.2.3.
118
Гп. 4. Проективные пространства
4.2.6. ПРИМЕЧАНИЯ. Отображения Ttjonj1: и^Л @) —>-К", не будучи
ни линейными, ни аффинными, все же настолько регулярны,
насколько это возможно—они выражаются рациональными функ-
функциями. Если /C=R или С, то эти функции непрерывны и, более
того, принадлежат классу С°° (что имеет смысл, поскольку vjlr @)—
открытое множество в К"). Если К = С, то эти функции при-
принадлежат классу Сш (т. е. комплексно аналитичны). Таким обра-
образом, мы видим, что на вещественных или комплексных конечно-
конечномерных проективных пространствах можно было бы ввести поня-
понятия из топологии, дифференциальной геометрии или комплекс-
комплексного анализа. На языке многообразий можно было бы сказать,
что эти проективные пространства представляют собой тополо-
топологические многообразия или гладкие многообразия класса С"
или С40. Если /С = С, то комплексные проективные пространства
конечной размерности служат естественными объектами изучения
алгебраической геометрии. Интересные работы на эту тему: [231],
с. 190—191, [83] и [116]. Относительно ориентируемости см.
4.9.4 и [101], с. 228. Относительно топологии см. следующий
§ 4.3.
4.3 ОПИСАНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВ: ТОПОЛОГИЯ
И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ
В этом параграфе речь идет лишь о конечномерных проектив-
проективных пространствах, вещественных или комплексных.
Если Е — конечномерное векторное пространство над R или С,
то у него есть каноническая топология (см. 2.7.1); отсюда мы
приходим к следующему определению.
4.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Каноническая топология на проективном
пространстве Р (Е)—это фактортопология, которая получается
из топологии ?\0 с помощью отношения эквивалентности tA,
участвующего в определении Р(Е). Пространство Р (Е) мы всегда
будем наделять этой топологией.
4.3.2. ЛЕММА. Если Н—гиперплоскость в Е, то биекция (см. 2.2.5)
Ен—>-Р(Е)\Р(Н) представляет собой гомеоморфизм между Ен
(см. 2.7.1.1) и Р(Е)\Р(Н), наделенным индуцированной топо-
топологией.
Если выразить это отображение в координатах, то оно совпа-
совпадает с отображением я~' из 4.2.4.2, которое очевидно, непре-
непрерывно, как и
я„: p(vu ..., vn, 1)н>(»1. •••' »»).
в силу свойств фактортопологии. Отсюда следует, что топология
4.3.1 пространства Р (Е)—это топология многообразия (см. 4.2.6).
119
4.3 Описание проективных пространств
4.3.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пространство Р (Е) отделимо, линейно
связно и компактно.
4.3.3.1. Будем рассуждать геометрически; пусть т, п—две раз-
различные точки в Р (Е); в Е существует такая гиперплоскость Н,
что т, п? Р(Е)\Р (Н). Применяя 4.3.2, остается лишь заметить,
что аффинное пространство отделимо. Алгебраическое доказа-
доказательство можно провести следующим образом. Обозначим через
А2Е векторное пространство 2-векторов, принадлежащих внешней
алгебре /\Е пространства Е, и введем отображение
а: (?\0)х(?\0)Э(*, У)^х л у ? А2 (Е).
Это отображение непрерывно, поскольку оно били-
билинейно, и его ядро а~1@) в точности совпадает с графиком отно-
отношения эквивалентности, определяющего Р (Е). Будучи прообра-
прообразом замкнутого множества при непрерывном отображении, а @)
/ \
Рис. 4.3.3
замкнуто; следовательно, факторпространство Р(Е) — (Е\0)/Ц/1
отделимо. Если читатель не знает, что такое внешняя алгебра,
он может обойтись без нее, выбрав базис в ? и задав отобра-
отображение а в координатной форме:
«((*!. •••> *„), (&. •••- Уп)) =
4.3.3.2. Для того чтобы доказать два последних утверждения
из 4.3.3, рассмотрим Е как векторное пространство над R (пусть
/С= R или С) и наделим Е структурой евклидова векторного
пространства; пусть тогда S \Е\ = \х ? Е: \х\=\)— единичная
сфера в Е. Поскольку р (х) = р (х/\\ х ||) ух?Е\0, мы получим
p(S(E)) = P(E).
Известно, что S (Е) компактна (см. 18.2.1); следовательно, Р (Е)
компактно, поскольку оно отделимо. Сфера S (Е) линейно связна,
если dim Е ^ 2; следовательно, Р (Е) тоже линейно связно, правда
априори за исключением случая dim?=l. Но в этом случае
120
Гл. 4. Проективные пространства
Р (Е) состоит всего из одной точки. (Еще можно было бы дей-
действовать так же, как и при первом доказательстве отделимости.)
4.3.3.3. Замечание. Это доказательство показывает, помимо всего
прочего, что Р (Е) гомеоморфно топологическому факторпрост-
ранству сферы S (Е) по отношению эквивалентности хЭ1у: у = ±х.
S{E)cE \0
/>\ /р
Р(Е)
Рис. 4.3.4
4.3.4. ПРИЛОЖЕНИЕ. Поскольку Р (X) отождествляется с прямы-
прямыми, проходящими через заданную точку а вещественного аффин-
аффинного пространства X, мы видим в силу 4.3.3, что если С —
непрерывная кривая, проходящая через а, то множество прямых
в X, соединяющих а с другими точками С, содержит по крайней
мере один предельный элемент. Это хороший кандидат на роль
касательной к С в точке а.
4.3.5. ПРИМЕЧАНИЕ. Можно определить топологию на проектив-
проективном пространстве Р(Е) и в случаях более общих, чем K=R
или С, например если К — локально компактное поле. В этом
случае 4.3.3 остается в силе.
4.3.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пространство Р1 (R) гомеоморфно сфере S1,
а пространство Я1 (С) гомеоморфно сфере S2.
4.3.6.1. Отождествим R2 с С, и пусть SX = S (R2) = S (С); тогда
P1(R) = p(S1). Построим диаграмму
Рассмотрим отображение с: S13z^z2?S1, которое состоит в том,
что комплексное число z ? S1 возводится в квадрат (при этом
если | z | = 1, то данное значение модуля сохранится и после ото-
отображения с). Поскольку p(—z) = p(z), (— zJ = z2, это означает,
что с переносится на факторпространство и определяет отобра-
отображение с: Р1 (R)—>S1, которое оказывается снова непрерывным.
121
4.3 Описание проективных пространств
Но с биективно, a S1 компактна (см. 4.3.3); следовательно, с—
гомеоморфизм (это известно из общей топологии).
4.3.6.2. Отождествим С2 с R4 и наделим R4 канонической евкли-
евклидовой структурой, т. е. [](г, г')||2 = |г |2 +1 г' |г для (г, г')?С2 =
= R4. Введем сферу S3=S(R4) = S(C2) и сферу S2 = S(R3), где в
данном случае R3 отождествляется с CxR. Как и в 4.3.3.2,
при помощи формулы
Теперь введем отображение FH: S3
4.3.6.3. FH((z, z')) = Bzi', |г|2 —
(нужно лишь проверить, что
|2\2 =
J =
а это гарантировано, если (z, z')?S3). Но для двух точек т,
m'?S3 соотношение р(т) = р(т') будет выполнено в том и
только том случае, если т' = hn, где ^?С; следовательно, |^| =
= 1. Если |М = 1, то FH((Kz, kz')) = FH((z, г')); значит, FH
переносится на факторпространство и определяет отображение
FH: P1 (С)—>S2, очевидно непрерывное, откуда легко вывести,
что оно биективно. Это и есть искомый гомеоморфизм, поскольку
Р1 (С) — компакт.
4.3.7. примечание. Отображение FH: Sa—+S2 играет очень
важную роль в геометрии и носит название расслоение Хопфа.
Прообразы FH'1^) точек s?S2 все гомеоморфны окружности S1;
это следует из 4.3.6.2 и встречалось нам уже в 1.2.9. Эти окруж-
окружности образуют в S3 конфигурацию, имеющую отношение к па-
параллелизму Клиффорда, который мы изучим подробно в § 18.8.
С другой стороны, отображение FH: Ss —> S2 и его обобщения
существенно связаны с алгебраической топологией (см., напри-
например, [112], с. 151, [134], с. 273 русского перевода, [140], гл. 14).
4.3.8. ОБЪЯСНЕНИЕ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 4.3.6.3. ПоЛЬ-
зуясь 4.2.5 и 5.2.3, запишем Р1 (С) = Си оо, где оо—точка
р A, 0), а С—множество точек р(х, 1). Возникает подозрение,
что пространство С U оо = R2 (J оо, полученное компактификацией С
с помощью бесконечно удаленной точки, гомеоморфно S2. Для
явной реализации этого гомеоморфизма используется стерео-
стереографическая проекция (подробности см. в 18.1.4). Если всегда
считать, что S2cR3 = CxR, то соответствующая формула при-
122
Гл. 4. Проективные пространства
мет вид
4.3.8.1.
¦2,
Но в однородных координатах (см. 4.2.3 и 4.2.5) имеем
z = p(u/v, l) = p(u, v),
что побуждает нас положить z = u/v. Если в 4.3.8.1 заменить г
на u/v и учесть, что для (и, v) ? S3 должно выполняться соотно-
соотношение | и |2 +1 v\2 = 1, то мы и получим в точности 4.3.6.3.
Рис. 4.3.8.1
4.3.9. Что представляют собой топологически P"(R) и Рп (С)
при га ^2—это более трудный вопрос, который относится к
области алгебраической топологии. Мы ограничимся лишь тем,
что поговорим о некоторых частных случаях и дадим соответ-
соответствующие ссылки.
4.3.9.1. Рассмотрим прежде всего P2(R)- Поскольку P2(R) не
ориентируемо (см. 4.9.4 и 4.9.5), известно (см. [112], с. 179),
что его нельзя вложить как подмногообразие без особенностей
в R3. Следовательно, безнадежно пытаться «увидеть» P2(R) в R3,
т. е. там, где наше зрение опирается на физические закономер-
закономерности.
Подробности, касающиеся двух погружений с особен-
особенностями пространства Р2 (R) в R3, проиллюстрированных на
рис. 4.3.9.1.1 и 4.3.9.1.2, читатель найдет в книге [133], с. 313—
319 русского перевода. На рис. 4.3.9.1.2 изображена так назы-
называемая поверхность Боя.
Существует очень хорошее вложение без особенностей
P2(R) в R6, которое называется поверхностью Веронезе. Эта
поверхность строится с помощью отображения
R3(x, у, г)И*2, У2, г2, V~2yz, V%zx, V2xy)?R\
сужение которого на S2 принимает значения в аффинной гипер-
123
4.3 Описание проективных пространств
плоскости (размерности 5) 2«, = 1 из R6 и переносится на фак-
торпространство, определяя вложение P2(R)—> R6, которое, сле-
следовательно, гомеоморфно на своем образе.
Рис. 4.3.9.1.1
Рис. 4.3.9.1.2
Из книги [133]
Рис. 4.3.9.1.3
Быть может, кому-нибудь больше понравится рассмат-
рассматривать P2(R) как лист Мёбиуса, у которого гомеоморфная окруж-
окружности граничная кривая Г стянута в точку или, еще лучше,
отождествлена с граничной окружностью Г' некоторого круга
(рис. 4.3.9.1.3).
4.3.9.2. Проективное пространство Р3 (R) гомеоморфно группе
вращений 0+ C) пространства R3 (см. 8.9.3).
4.3.9.3. Пространства Pn(R) никогда не бывают односвязными.
Напротив, их фундаментальная группа изоморфна Z2 yn ^ 2,
поскольку в 4.3.3.3 фактически показано, что р: Sn—<-P"(R)
представляет собой двулистное накрытие, а сфера S" односвязна
(см. 18.2.2). Иногда полезно также рассматривать P"(R) как
факторпространство 5" по антиподальному отображению, т. е.
по сужению на 5" отображения jci-»—х пространства R"+1. Мы
еще вернемся к этому, в частности в § 19.1. Но уже теперь из
всего сказанного ясно, что P"(R) не гомеоморфно Sn ни при
каком п 5^2.
124
Гп. 4. Проективные пространства
4.3.9.4. Все пространства Р" (С) односвязны. Пространство Р" (С)
не гомеоморфно S2n ни при каком п ^ 2. Это вытекает, в част-
частности, из алгебро-топологических свойств пространств Р" (С) и
Pn(R), которые полностью изучены: клеточные разбиения, числа
Бетти, кольцо целочисленных когомологий (см., например,[122],
с. 90, [222], с. 341—342 русского перевода).
Структура кольца когомологий над Z2 для Pn(R) и
над Z для Р" (С) особенно проста—эти когомологий порождены
единственным элементом степени 1 для P"(R) и степени 2 для
Р(С)
4.4 ПРОЕКТИВНЫЕ РЕПЕРЫ
В векторном /г-мерном пространстве репером служит базис из /г
векторов (т. е. из п точек), в аффинном n-мерном пространстве
аффинный репер состоит уже из я+Л точек. Как мы сейчас
увидим, для того чтобы задать репер в проективном n-мерном про-
пространстве, потребуется п + 1 точек. Причина этого в следующем.
Воспользуемся обозначениями из 4.2.3 и заметим, что п+1 точек
mi — p(ei) (i = 0, 1, ..., я) из Р(Е) не определяют однородных
координат, поскольку все Я,,.е,- при любых К; ? К* имеют одну и
ту же проекцию m, = p(?i(er). Поэтому нет никаких оснований
считать все Kt одинаковыми. Добавление (п + 2)-й точки, напро-
напротив, позволяет нам это сделать.
4.4.1. определение. Пусть Р (Е) — проективное n-мерное про-
пространство. Назовем проективным репером (или просто репером,
если невозможно недоразумение) в Р (Е) систему {m,},=0, x п+1
из п + 2 точек Р(Е), таких что в Е существует базис {е,^=1 „+1,
для которого т: = р(е{) Vi = 1, ..., п + 1 и то = р (е1+ . ¦ ¦ +en+i).
Последнее условие означает, что в системе однородных
координат, связанной с рассматриваемым базисом, точка т0
имеет вид A, ..., 1). Важный для дальнейшего, хотя и совсем
простой результат состоит в следующем.
4.4.2. ЛЕММА. Пусть \тг\—проективный репер в Р(Е). Тогда
два базиса {е^, {е\\, удовлетворяющие определению 4.4.1, обяза-
обязательно пропорциональны, т. е. найдется такое ^ ?/<"*, что
е\ = \e-t Vi = 1, . .., п + 1.
Геометрическое доказательство можно провести с по-
помощью рис. 4.4.2 и теоремы Фалеса (см. 2.5.1). Если же пред-
предпочесть аналитическое доказательство, то нужно заметить, что
р(е;) = р(е}) V/=l, ..., я+1. Следовательно, существуют такие
^,€Л\ что
е;- = Я,,.е(. Vi=l,
Нор(е[+...
1) = р{е1 + . . . +еп+1); значит, существует К ? К,
125 4.5 Морфизмы
для которого
Следовательно, Я = Я,. Vi=l, ..., п+1, поскольку \е(\ — базис.
Рис. 4.4.2
4.4.3. Таким образом, задание репера в Р (Е) позволяет связать
с ним систему однородных координат, поскольку выбор подхо-
подходящего базиса зависит лишь от коэффициента гомотетии. Систему
однородных координат (х\, .... хп+1) точки т?Р(Е) мы назовем
Проективными координатами т в заданном репере.
4.5
МОРФИЗМЫ
4.5.1. Пусть Е, Е'—два векторных пространства, и пусть /?
?L(E; Е'); в частности, / (kx) =r Xf (x) Ух?Е и, значит, / совме-
совместимо с двумя отношениями эквивалентности, с помощью кото-
которых определяются Р (Е) и Р(Е'). Есть, однако, один весьма
неприятный момент: вообще говоря, образ f(E\O) не содер-
содержится в ?" \ 0. Поэтому мы можем определить лишь отобра-
отображение Р (Е) \ Р (f-1 @))—>Р(Е'). Тем не менее мы в дальней-
дальнейшем всегда будем противозаконно писать стрелки Р (?)—^Р(Е')
и говорить об отображениях.
4.5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Пусть Р(Е), Р(Е')—два проективных про-
пространства. Отображение g: Р (Е)—> Р' (Е ) называется морфизмом,
если существует такое f?L(E; ?"), что g получается из / пере-
переходом к факторизации: g°p = p°f- Следовательно, g есть не что
иное, как отображение
Множество морфизмов обозначается М(Р(Е); Р(Е')).
Отображение g, порожденное /, обозначается /. Будем говорить,
что g — f—изоморфизм или гомография, если f—изоморфизм
векторных пространств. Томографии представляют собой настоя-
настоящие отображения Р(Е)—>Р{Е); их множество обозначается
126
Гл. 4. Проективные пространства
Isom(P(?); P (?')). Представим рассмотренные отображения
в виде коммутативной диаграммы:
I
Е\ГЦ0)
Р(Е)\Р(ГЦ0))
Е'\0
f
Р(Е')
4.5.3. ВОПРОС. Прежде всего нужно изучить соответствие между
/ и /. Ответ состоит в том, что для /, f ?L(E; E') выполняется
соотношение
4.5.4. l = f' &3ке К*: /' = */•
Отметим сначала, что задание g = f определяет ядро f~1@).
В самом деле, если х, у линейно независимы и не принадлежат
f~l @), то f(x) и / (у) также линейно независимы. Кроме того,
соотношение f (p(x))=f (р (x)) (и аналогично для х-\-у и у) озна-
означает, что существуют скаляры %(х), %(у), %(х + у), для которых
Поскольку f (x) и f(y) произвольны, отсюда следует, что \(х) =
= к(у) = к(х + у). Мало-помалу мы убедимся в существовании
такого к, что р = %f. Свойство 4.5.4 можно выразить с помощью
биекции
4.5.5. М*(Р(Е); Р (?')) = P(L (Е; Е%
где М*(Р{Е)\ Р(Е')) обозначает множество М(Р(Е); Р(Е')),
откуда удален тривиальный морфизм, связанный с нулевым
отображением из Е в ?"—единственным отображением, не опре-
определенным нигде в Р (Е)\
4.5.6. ЗАМЕЧАНИЕ. В 4.5.4 существенным образом используется
коммутативность основного поля (в утверждении <=). В случае
некоммутативного тела отображение Ц для /?L(?; E') не будет,
вообще говоря, линейным.
4.5.7. Учитывая соглашение, вытекающее из 4.5.1, мы получим,
что если f?L{E; E') и f ?L{E'\ E"), то
4.5.8. Всякое n-мерное проективное пространство над К изоморфно
Рп(К)- Этим, а также непрерывностью объясняется, например,
почему в § 4.3 мы говорили исключительно о P"(R) и Р"(С).
Из 4.5.5 и 4.5.7 вытекает следующий результат.
4.5.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Томографии Р (Е) —«- Р (Е) образуют отно-
относительно композиции группу, которая обозначается через GP (Е)
127
4.5 Морфизмы
или PGL (Е) и называется проективной группой пространства Е.
Существует изоморфизм групп GP (?) ^ GL (?)//<"*• Id?.
4.5.10. предложение (первая основная теорема проективной
геометрии). Пусть Р(Е), Р (?") — проективные пространства
одинаковой конечной размерности и {т^, \т'с}—проективные
реперы соответственно в Р (Е) и Р (?'). Тогда существует и
притом единственная гомография g: Р (Е) —+ Р (?"), такая что
m'i = g(mi) Vf.
Пусть {е,}, \е[)—базисы типа 4.4.1, связанные с {т,},
{m't). Определим /? Isora(?;?"), полагая е|-=»/(е,-) V/.'.Тогда f = g и
есть искомая гомография. Если g, g'—две такие томографии, то
гомография g'~1°g: P(E)—>-P(E) оставляет инвариантными все
точки репера {т,} и, следовательно, имеет вид % ЫЕ в силу
леммы 4.4.2.
4.5.10.1. Примечание. В случае некоммутативного основного тела
этот результат неверен (см. 4.9.8).
4.5.11. следствие. Группа GP (Е) действует транзитивно на
Р(Е) и просто транзитивно на реперах из Р(Е).
4.5.12. Название «первая основная теорема проективной геомет-
геометрии», данное простому предложению 4.5.10, объяснится, если
мы попытаемся получить его с помощью довольно длинной де-
дедукции из аксиом проективного пространства (см., например,
[236], т. I, с. 95).
4.5.13. ЯВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОРФИЗМОВ. Пусть {е{\ и \е}\ —
базисы соответственно в Е и Е', f?L(E; E') и М(/) = (а(/) —
матрица / в рассматриваемых базисах. В однородных координа-
координатах в Р (Е) и Р(Е'), отвечающих рассматриваемым базисам
(см. 4.2.3), получаем
/((*!, . ..,*„+1)) = B ai,Jf/, . .., 2ая+1,-*/У
Чтобы исключить неопределенность, связанную с произвольным
выбором скаляра и в левой, и в правой частях равенства, вос-
воспользуемся в Р (Е) и Р(Е') картами, соответствующими выбран-
выбранным базисам. Возьмем, например, карты яп+1, п'т+1 (п = dim P (Е),
т = dim P (?"))• Тогда из 4.2.4.1 и 4.2.4.2 мы получим, что
ят+1°/оЯл11 задается соответствием
(vlt ..., vn)
i, iv_i~
ар + 1, я + 1
128 Гп. 4. Проективные пространства
определенным, разумеется, лишь в случае, когда
4.5.14. частный СЛУЧАЙ я =/и = 1. Разберем • случай, когда
f?GP(/C2), т. е. /?GL(K), используя канонический базис в К2
(см. 4.2.5); пусть
129
4.6 Подпространства
Тогда для Яз
1 мы найдем
(рФ—dlc),
что приводит к отображению на Р1(К): (у, l)t—>((aw+6)/(cw+d), 1),
если vФ—die Проделывая то же самое с другими возможными
комбинациями двух карт ях, я2 пространства Я1 (К), получим
следующую таблицу:
! av
1
если ьф
4-5Л5-
1, 0),
, 1);
-»((aD + 6)/d, 1),
\ A,0) к* A,0).
Заметим, что если K=R или С, то
С-°
A,
(v,
а ,. аи-
— = lim —
lim
av + b
= OO.
Это вполне согласуется с тем, что говорилось в конце п. 4.2.5,
а именно что рA, 0) играет роль оо. Мы вновь уточним этот
момент в 5.2.5.
4.5.16. СТРОЕНИЕ ТОМОГРАФИИ. Предположим снова, что размер-
размерность Р (Е) конечна. Учитывая 4.5.4, мы собираемся теперь изу-
изучить строение /?GL(?) «с точностью до скалярам. Геометриче-
Геометрическая структура элементов GL (Е) просматривается (по крайней
мере в случае, когда К алгебраически замкнуто) из разложения
Жордана. Переход к Р (Е) не представляет трудности. Мы не
будем изучать этот вопрос подробно, отсылая интересующегося
читателя к приложению I в [101], где приведено современное
изложение, которое любопытно сравнить со старым изложением,
не использующим в явном виде линейную алгебру, например
таким, как в [236], т. I.
Мы удовольствуемся тем, что в гл. 6 подробно изучим
случай размерности 1, а здесь сделаем несколько простых за-
замечаний.
4.5.17. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть g = /?GP(?) и т?Р(Е). Тогда т,
будет неподвижной точкой g (т. е. m = g(m)) в том и только
том случае, если р~х{т)—собственная прямая отображения f.
Мораль состоит в том, что если мы хотим изучать
/в Р (?), то прежде всего нужно исследовать собственные подпро-
подпространства отображения / в Е, а не его собственные значения
(которые, однако, не совсем лишены интереса, см. 6.6.3).
4.5.18. СЛЕДСТВИЕ. Если К = С, то всякая гомография обладает
по крайней мере одной неподвижной точкой. Это утверждение
остается справедливым, если /C=R и dim (P(E)) четна.
Например, если у /?GL (E) все собственные значения
различны, то / имеет ровно я-f-l различных неподвижных точек
(п = dim/3 (_?)), которые в старых книгах называются «двойными
точками»; это прямо вытекает из 4.4.2.
4.5.19. ИНВОЛЮЦИИ ИЗ GP(?). Если / ? GL (E) инволютивно,
т. е. /2=/o/=Id?, то / тоже инволютивно. В 6.4.6 для таких
/ мы приведем одно поистине волшебное геометрическое построе-
построение. Однако если g?GP(?) инволютивно, g2=ldPiE), то следует
быть настороже: / не обязательно обладает этим свойством. Напри-
Например, если E = R2, M(f) = ( j oj, то тем не менее /2=Id/>. (R),
поскольку /2=—IdR2. Точнее говоря, если /2=Id/>(?), то с не-
необходимостью /2 = ^Id?, где %?К*. Если К алгебраически замк-
замкнуто, то мы можем написать Я = (д,2, и тогда, разумеется, g =
= / = Г7 и Ог-1/J = Н?.
4.5.20. ТОПОЛОГИЯ GP (Е). Если /C = R или С, а ? конечно-
конечномерно, то проективная группа GP (E) обладает канонической
топологией, а именно фактортопологией GP (?) = GL (E)/K*- Id?
(см. 2.7.1). Связность GP (E) имеет отношение к ориентируемости
Р(Е) (на эту тему см. 4.9.4 и 4.9.5 или [101], с. 228—230).
4.5.21. СВЯЗИ С ДРУГИМИ РАЗДЕЛАМИ. Изоморфизмы Р (Е) —+
—* Р (Е*) приводят к многочисленным геометрическим результа-
результатам; мы с ними встретимся весьма естественным образом в § 14.5
и 14.8.12 (см. также [101], с. 260 и далее).
4.6
ПОДПРОСТРАНСТВА
Отметим, что если FcE — векторное подпространство, РФ{0\,
то F «выдерживает» отношение эквивалентности Э1 из 4.1.1, что
позволяет отождествить P(F) с p(F)aP (E). В частности, вложе-
вложение i: F—+Е приводит к i?M(P(F); P(E)), причем i: P (F) —»
—>- Р (Е)—естественное вложение.
4.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество V проективного простран-
пространства Р (Е) называется проективным подпространством, если
существует такое векторное подпространство F пространства Е,
что р (F) — V. Множество Р (F) = V наделяется естественной струк-
130
Гл. 4. Проективные пространства
турой проективного пространства. В частности, dim F=dim/7—1
называется размерностью подпространства V.
4.6.1.1. Таким образом, существует естественная биекция между
проективными подпространствами из Р (Е) и векторными под-
подпространствами из Е.
4.6.2. Подпространством размерности —1 является пустое мно-
множество. Подпространства размерности 0—это точки Р(Е). Под-
Подпространства размерности 1 (соответственно 2) называются пря-
прямыми (соответственно плоскостями). Проективные подпростран-
подпространства в Р(Е), порожденные гиперплоскостями из Е, назы-
называются гиперплоскостями (проективными) пространства Р(Е); их
множество обозначается через Ш {Р (Е)). Таким образом, суще-
существует естественная теоретико-множественная биекция (см. 4.1.3.5)
4.6.3. Ж(Р(Е))^Ж(Е)^Р(Е*).
4.6.4. Пусть \Vi\iei — произвольное семейство подпространств
некоторого проективного пространства; тогда П V; тоже под-
16/
пространство. Отсюда (как и в 2.4.2.5) мы получаем следующее
утверждение.
4.6.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть S—произвольное подмножество
проективного пространства. Назовем подпространством, порож-
порожденным S, и обозначим через <S> наименьшее подпространство,
содержащее S; оно равно пересечению всех подпространств, со-
содержащих S.
4.6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точки т, (i=l, ..., k + l) проективного
пространства называются независимыми или проективно незави-
независимыми, если
4.6.7. ПРИМЕРЫ. Одна точка всегда независима. Две точки неза-
независимы тогда и только тогда, когда они различны; в этом слу-
случае они однозначно определяют некоторую прямую. Три точки
а, Ь, с независимы, если они различны и ни одна из них не
принадлежит прямой, проходящей через две другие: а (? <6, ?>,
Ь (? <с, а>, с (? <а, 6>; тем самым они определяют единственную
плоскость <а, Ь, су. Мы видим, что и обратно: через две раз-
различные точки проходит одна и только одна прямая, и анало-
аналогично обстоит дело с соответствующим утверждением в случае
трех точек. Это первые аксиомы, которые вводятся при построе-
построении аксиоматической теории проективных пространств. (См.
также [236], т. I, с. 95.)
4.6.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Точки mt (i=l, ..., ?+1) независимы
в том и только том случае, если т^^т^ ..., т{, ..., mk+1>
Vi = 1, ..., k + 1, где элемент с «крышечкой-» опущен. Если про-
пространство п-мерно, то {т;}ЫОг1 „+x будет репером тогда и
131
4.6 Подпространства
только тогда, когда и + 1 точек {т^}1?=1 независимы для всякого
Первое утверждение—это не что иное, как перевод на язык
проективных пространств свойства, хорошо известного в линей-
линейной алгебре. Для того чтобы доказать второе утверждение, вы-
выберем такие е^Е, что р(е,) = т,- (i = 0, 1, ..., и + 1). Поскольку
точки {/пг}(=1 п + 1 независимы, {е/}/=1 и+1 образуют базис
п+1
в Е. Запишем соотношение ео= $]Я-е-. Из независимости
t=i
{trijjj^i (t=l, ..., и+1) следует, что \=И=0 (t = l, •••, и+1);
значит, {^,е,},=1 п+1 снова базис в Е, и этот базис удовлет-
удовлетворяет определению 4.4.1.
4.6.9. следствие. Пусть D, D'—две проективные прямые,
{а, Ь, с\—три различные точки D и {а', Ь', с'\—три различ-
различные точки D'. Тогда существует единственная гомография f:
D—*D', такая что .
= a', f{b) = b', f{c) = c'.
В самом деле, из 4.6.7 и 4.6.8 следует, что {а, Ь, с\ —
проективный репер в D, а {а', Ь', с'\ в D'. Поэтому достаточно
применить 4.5.10.
4.6.10. Аксиоматические теории проективных пространств содер-
содержат аксиомы, касающиеся пересечения подпространств. В дан-
данном случае из 4.6.1.1 и классического соотношения линейной
алгебры
dim (F + G) + dim (F П G) = dim F + dim G
вытекает следующий результат.
4.6.11. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть]/, W—два подпространства одного
и того же проективного пространства; тогда
dim «У U W» + dim (V П W) = dim V + dim W.
4.6.12. СЛЕДСТВИЕ, (i) Если dim V + dim W ^ dim (P (E)), mo
(ii) Если dim (P (E)) = n, то любые п гиперплоскостей
в Р (Е) имеют по крайней мере одну общую точку.
(iii) Пусть дана гиперплоскость Н и точка т&Н;
тогда любая прямая, проходящая через т, пересекает Н в
одной и только в одной точке.
(iv) Две различные прямые проективной плоскости
пересекаются в одной и только одной точке.
4.6.13. Эти следствия показывают «превосходство» проективной
геометрии над геометрией аффинной: у проективных подпрост-
подпространств свойства, касающиеся их пересечений, не имеют исклю-
исключений, так как здесь отсутствуют параллельные подпростран-
подпространства (см. 2.4.9). В гл. 19 мы встретимся с геометрией, в кото-
5*
132
Гп. 4. Проективные пространства
рой, напротив, большое разнообразие параллельных подпрост-
подпространств (см. 19.3.2).
4.6.14. уравнения подпространств. Проблема вычислений, свя-
связанных с подпространствами, решается с помощью 2.4.8.1 и
4.6.1.1.
4.6.15. подпространства и топология. В этом пункте K=R
или С и все рассматриваемые проективные пространства конечно-
конечномерны; мы наделяем их топологией, введенной в 4.3.1. Из того
что дополнение E\F к векторному подпространству F с Е,
F фЕ, всюду плотно в Е, следует, что в Р (Е) дополнение
P(E)\P(F) подпространства Р (F) всюду плотно в Р(Е). Этим,
помимо всего прочего, объясняется 4.5.14. Это свойство анало-
аналогично 2.7.1.2; кроме того, все подпространства замкнуты в Р{Е).
Напротив, 2.7.3.2 более не выполняется: какую бы гиперпло-
гиперплоскость Р (Н) из Р (Е) мы ни взяли, пространство Р (Е)\Р (Н)
окажется линейно связным. Для того чтобы в этом убедиться,
достаточно заметить (см. 4.3.3.2), что Р(Е)\Р(Н) гомеоморфно
аффинному пространству, или непосредственно построить дугу,
соединяющую две точки в Р(Е)\Р(Н) (рис. 4.6.15).
Рис. 4.6.15
Рис. 4.6.16
4.6.16. СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ. Если Р (Е)—конечномерное
проективное пространство над конечным полем из k элементов,
то его точки, прямые и подпространства образуют интересные
геометрические конфигурации. Например, каждая прямая содер-
содержит одинаковое число точек, через каждую точку проходит
одинаковое число прямых. Если & = 2 (/C = Z2), а Р (Е) — пло-
плоскость, то можно изобразить ее так, как показано на рис. 4.6.16.
На ней семь точек; семь ее прямых изображены на рисунке
в виде шести прямых и окружности. Относительно дальнейших
133
4.7 Перспектива; аэрофотосъемка
деталей, касающихся таких проективных конфигураций, см. [133],
с. 102—148 русского перевода, где все изложено наглядно и
элементарно, а также более позднюю работу [75]. См. также
4.9.11.
4.7 ПЕРСПЕКТИВА; АЭРОФОТОСЪЕМКА
4.7.1. Пусть Я, Я'—две гиперплоскости проективного простран-
пространства Р (Е) и т—точка в Р(Е), не принадлежащая ни Я, ни #'.
В силу 4.6.7 и 4.6.12, если х?Н, то существует единственная
прямая <т, х>, которая в свою очередь всегда пересекает Я'
в единственной точке g(x) = H' f)(<.m, х>); отсюда возникает
отображение g: Н—>Н'.
Рис. 4.7.1
4.7.2. предложение. Такое отображение g принадлежит
Isom (Я; Я').
Пусть V, V' — гиперплоскости в Е, такие что Я=р(У),
Я' = р(У); мы ищем f?L(V; V), для которого / = g (см. 4.5.2).
Этому условию удовлетворяет сужение на V линейной проекции
на V параллельно векторной прямой р~1(т) (т.е. соответст-
соответствующей прямой сумме ? = p~1()@V)
131
Гп. 4. Проективные пространства
135
4.8 Некоммутативный случай
4.7.3. Отображение g можно назвать перспективой из Я на Н'
с центром в т. Сужение такого отображения на подмножества
в Я и Н'—это как раз то соответствие, которое устанавливает
между двумя плоскостями наше зрение или фотография плоского
объекта, лежащего в плоскости Н, когда фотопленка находится
Рис. 4.7.3.1
Рис. 4.7.3.2
в плоскости Н'. Если мы захотим сделать атлас заданного участка
земной поверхности с помощью аэрофотосъемки, то нам придется
научиться подгонять одну к другой полученные таким путем
фотографии, ибо каждая из них ввиду ограниченности кадра
изображает лишь часть нужного района. Это осуществляется
в дальнейшем в лаборатории как раз при помощи перспектив.
Нужно добиться полного совмещения тех частей на двух фото-
фотоснимках, которые изображают один и тот же участок Земли;
искомое соответствие (а именно то, которое связывает точки,
изображающие одну и ту же точку на Земле) представляет собой
томографию, поскольку получается композицией двух перспектив,
отвечающих двум данным фотографиям. Предложение 4.5.10
показывает нам, что полное совпадение получится в том слу-
случае, если удастся совместить четыре точки.
4.7.4. В качестве практического упражнения читатель может
попробовать совместить четыре точки на двух фотографиях
4.7.3.3 и 4.7.3.4 и нарисовать на листе бумаги образованные
ими конфигурации, проверив тем самым, что они не получаются
одна из другой с помощью аффинного морфизма.
4.7.5. АЭРОФОТОСЪЕМКА И КАРТОГРАФИЯ. Теперь мы должны пре-
предостеречь читателя: когда составляется карта земной поверх-
поверхности с помощью склейки соответствующих частей снимков,
полученных при аэрофотосъемке, эту склейку нельзя осущест-
осуществить совмещением четырех точек, как это могло бы показаться
на основе 4.7.3 *). Действительно, даже в идеальном случае зем-
земная поверхность представляет собой не плоскость, а сферу или,
точнее, эллипсоид (см. 18.1.5.3). Склейка ныне производится
теоретически совершенным способом, а именно в трехмерном
пространстве. Это делается с помощью весьма дорогих прибо-
приборов— стереокомпараторов (см. [27]). Что же касается картогра-
картографии как таковой, то мы остановимся на этом подробнее
в 18.1.5—18.1.8.
4.7.6. В аффинном пространстве тоже можно ввести понятие
перспективы, однако здесь перспектива из Я на Я' с центром т
определена лишь на подмножествах этих гиперплоскостей. Дей-
Действительно, отображение g: Я—>Н' можно определить лишь на
H\D, где D—пересечение Я с гиперплоскостью, параллельной
Я' и проходящей через точку т. При этом g: H\D—>Н' будет
задавать биекцию между H\D и H'\D', где D'—пересечение
Н' с гиперплоскостью, параллельной Я и проходящей через т.
Эту аффинную перспективу часто используют в качестве введе-
введения в проективную геометрию, в частности когда говорят о по-
пополнении аффинного пространства, что составит предмет следу-
следующей главы. (См. также рисунки в конце этой главы.)
4.8 НЕКОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ
4.8.1. Проективные пространства, их морфизмы и подпростран-
подпространства можно определить и над некоммутативными телами. Мы
уже указывали время от времени D.5.6, 4.5.10), что именно
произойдет, если отказаться от коммутативности. Хорошим уп-
упражнением для читателя было бы найти те места в данной
х) Техника построения карт по аэрофотоснимкам для малых «плоских» участ-
участков Земли описана в книге [255].— Прим. ред.
137
4.9 Упражнения
Рис. 4.7.3.3
Фото IGN
главе, где коммутативность необходима, и привести соответст-
соответствующие контрпримеры.
4.8.2. Например, для тела кватернионов Н (см. § 8.9) можно
определить при всяком целом п стандартное кватернионное проек-
проективное пространство
Рис. 4.7.3.4
Фото IGN
В своей естественной топологии (см. § 4.3) это пространство
отделимо и компактно. Проективная прямая Р1(Н) гомеоморфна
сфере Si (см. 4.9.7). Алгебраическая топология пространства
Рп(Н) также хорошо известна (см., например, [222], с. 342 рус-
русского перевода; интересна также статья [90]).
4.8.3. Проективные пространства можно определить и на струк-
структурах более общих, чем тела. Важный пример такого рода дают
октавы Кэли Са, вещественное векторное 8-мерное пространство,
на котором определено неассоциативное умножение. На прост-
пространстве Са можно определить проективную прямую Рх(Са), кото-
которая гомеоморфна сфере S3, и проективную плоскость Р2(Са) —
проективную плоскость октав Кэли. (Относительно этих построе-
построений и свойств такой проективной плоскости см. [191], гл. XIV,
[30], с. 239 русского перевода, [90], с. 12, и особенно гл. 3
из [17].)
Однако на Са нельзя определить проективные прост-
пространства размерности >3, потому что в таком проективном про-
пространстве (в силу стандартных аксиом, касающихся пересечений
подпространств) автоматически выполняется теорема Дезарга
(см. 5.4.3 и 5.4.5), из которой в свою очередь вытекает ассоциа-
ассоциативность структуры основного тела (см. по этому поводу [188],
гл. 3, или [126], с. 379 русского перевода; весьма интересна
последняя глава этой книги, посвященная проективным пло-
плоскостям).
4.9 УПРАЖНЕНИЯ
4.9.1. Пусть Р(Е)—вещественное или комплексное конечно-
конечномерное проективное пространство. Покажите, что для каждой
гиперплоскости Н биекция Р(Е)\Р(Н)-^ЕИ (см. 4.2.1) пред-
представляет собой гомеоморфизм.
4.9.2. Докажите утверждение, неявно содержащееся в последнем
абзаце п. 4.3.9.1.
4.9.3. Докажите, что Рп (R) гомеоморфно фактормножеству замк-
замкнутого шара Б@, 1) в R" по отношению эквивалентности 54,
определяемому следующим образом: x&iy для хФу в том и
только том случае, если x?S@, l) = S"-1 и у — — х; это фак-
фактормножество считается наделенным естественной фактортопо-
логией. Исследуйте, в частности, случаи п=\ и п = 2 (см 4 36
и 4.3.9.1).
138
Гп. 4. Проективные пространства
4.9.4. В случае вещественного проективного пространства конеч-
конечной размерности п проведите исследование знака якобиана ото-
отображения 4.2.4.3 и выведите из него, что Pn(R) при нечетном п
есть ориентируемое дифференцируемое многообразие, а если п
четно, то Pn(R) неориентируемо.
4.9.5. Исследуйте ориентируемость P"(R) путем изучения связ-
связности проективной группы GP(P"(R)).
4.9.6. Изучите образы и прообразы подпространств под дейст-
действием морфизмов.
4.9.7. Покажите, что Р1^), где Н—тело кватернионов, гомео-
морфно сфере 54.
4.9.8. Проанализируйте, в каком месте используется предполо-
предположение о коммутативности основного поля при доказательстве
4.5.10. Приведите контрпример с некоммутативным телом. Можно
даже попытаться построить в Р"(Н) (см. 4.8.2) бесконечное
множество точек, всякое подмножество которого, состоящее из
п -Ь 1 элементов, свободно, и томографию, отличную от тождест-
тождественной, и оставляющую все эти точки неподвижными.
4.9.9. Начертите в обычном пространстве конфигурацию, обра-
образованную точками, прямыми и плоскостями пространства P3(Z2).
4.9.10. Пусть. {Я,-}— семейство гиперплоскостей проективного
пространства Р{Е) конечной размерности п. Найдите соотноше-
соотношение между dim/ П ЯЛ в Р(Е) и dim П у ЯД\ в />(?*).
Ъ'
Ъ <г-
Рис. 4.9.12
4.9.И. Пусть К—поле из k элементов и Р(Е)—проективное
n-мерное пространство над К- Покажите, что кардинальное число
PERSPECTIVE
SPECVLATIVE
PRATIQVE
OV SONT DEMONSTREZ LES FONDEMENS
dc cei Arr/бс dc lout cc qui en a eft« cnfeigne
jufcjui prcfeM.
ЕоГстЫс la minim vnivctrcllcdelapritiqucr.nonfculemcni
&Л1 Plan Gcometral.ih iuu Ticrt pomu.dcdant
oi dchon Ic champ <)u Tabteau.
Май encoru par 1c moyen dc la Lignc,communcnuiu
appellee Horifontale.
Dl fjnvmicn iujm Situr A L EjtVME, [пптгнг
in ROT.
MISE AV IOVR
Pu EST1ENNE M1GON, FcofclTeufciMarheman<)uc>.
A l> A R1S,
Cka MELCHlOR TAVER N] ER , H»irofnph* , Grncvf.ft.
lH[wiiiiiii i» Roy,pour l<fCanciCcocrapruoda.Bt imnTtilla
ix<4 f«r l< Qji, Чш re.ufc b MtguTciJc, il. Spb.r..
Chca FRANCOIS LANCLO[S,4i< СНА»TIES.•Ilia
aaied Т«Сф|сцт Colownw dlfcrnk^pivckelcLMWAfjcnt.
ЯГбсГхХ! II.
AVEC PRIVILEGE DV R.OY.
ET PRATIQVE.
L.iT..(, ¦>
\ N.
" r
1 Л
к f V s
7
i ..¦ - 6
1 -;f-p
i
\ ¦'' -
""•••N
« --y- •'
i; /| \x a
IIO.
f
8.45 Estienne (Mfgon
и frerje
Cllft
nroeifung,
ton ftetien etMcfni unb
«timirifi iu Mrffttigm,
'¦¦-•;N
8.46 JohaniT' Heinrich Lambert
140
Гл. 4. Проективные пространства
141
4.9 Упражнения
PERSPEC
Se Venil itParur rhez <)еап.Л//л Л Jean de-Beauvais,N? JO
множества р-мерных подпространств из Р (Е) равно
(fen + l—I) (fe" + l — Щ ... {kn + 1 — kp)
Покажите, что порядок проективной группы GP(?) равен
(k"+1— \)(kn+1—k) .. . (kn+1—kn-1)kn.
4.9.12. ТЕ,РЛе/ГРЫ МЁБИУСА. Постройте в проективном трехмер-
трехмерном пространстве два тетраэдра {а, Ь, с, d\, \a', Ь'', с', d'\, такие
что каждая вершина первого тетраэдра лежит на плоскости неко-
некоторой грани второго, и в то же время каждая вершина второго
принадлежит плоскости какой-то грани первого тетраэдра, т. е.
а € <Ь', с', d'y, .. .; а' ? <Ь, с, d>, ... . Относительно объяснения
такого феномена и его обобщения см. 14.5.5 и 14.8.12. Относи-
Относительно исследования тетраэдров Мёбиуса, образованных систе-
системами шарнирно соединенных стержней, точки которых описы-
описывают кривые постоянного кручения, см. [18].
Глава 5 Аффинно-проективные связи; приложения
5.0 Введение 5.4 ]Метод отправки объектов
5.1 Проективное пополнение в бесконечность;
аффинного пространства приложения
5.2 Примеры 5.5 Упражнения
5.3 Связи между аффинными
и проективными
подпространствами;
параллельность
В этой главе строится естественное вложение произвольного
аффинного пространства X в проективное пространство путем
присоединения к X множества Р (X) направлений его прямых.
Обратно, дополнение к гиперплоскости в проективном прост-
пространстве оказывается аффинным пространством. Проективное
пополнение можно осуществить более или менее естественным
образом (§ 5.0). В § 5.3 свойства параллельности в X пере-
переводятся на язык пересечений в пополнении X. Такой перевод
обладает многочисленными приложениями. О некоторых из них
говорится в § 5.4.
5.0 ВВЕДЕНИЕ
5.0.1. Мы уже указывали в § 4.0 на некую недостаточность
аффинной геометрии. Точнее говоря, мы хотим, следуя Дезаргу,
расширить аффинное пространство X до некоторого проектив-
проективного пространства X, которое было бы объединением X и его
бесконечно удаленных точек, т. е. множества оох направлений
(прямых) в X, которое является не чем иным, как Р (X); иначе
говоря, пусть X = X(j oox = X\j P(X). Такое расширение всегда
можно осуществить теоретико-множественным способом, вводя
дизъюнктную сумму Х[}Р{Х). Однако трудность состоит в том,
чтобы сделать X проективным пространством. Первый путь
к этому лежит через аксиоматический подход. Мы не будем
говорить о нем, систематически в данной книге оставляя в сто-
стороне эту точку зрения (см. 4.1.2 и [4], [126], [75], [138], [188]).
[См. также [2*], [19*], [21*], [26*], [35*].— Ред.] А вот три спо-
способа осуществить желаемую конструкцию алгебраическим путем.
5.0.2. Действуя самым грубым образом, предположим, что X
имеет конечную размерность п и {*,-}(=о, j „—аффинный репер
в X. Искомое проективное пространство—это
а вложение X—>-Р"(К) задается формулой (см. 2.2.9 и § 4.2)
5.0.2.1. х =.(%,, ...,Хп)^р(К, ...Д„, 1).
143
5.0 Введение
Мы видим, что дополнение образа X в Рп(К) есть не что
иное, как гиперплоскость Р"-1(К) = Р (Кп = К"Х{0}), которая
отождествляется с Р (X) в силу 5.0.2.1.
РМ)
,\
ixn
ж
\\
Рис. 5.0.3
5.0.3. Менее варварский способ, навеянный п. 5.0.2, состоит
в том, чтобы векторизовать X в точке а?Х и рассмотреть про-
проективное пространство Р(ХахК), где ХахК—прямое произве-
произведение двух векторных пространств Ха и К. Далее мы погру-
погружаем X в Р(ХахК), отождествляя X с Хах{1\ с ХахК и
применяя соответствующую карту (см. § 4.2), т. е.
5.0.3.1. xt->p(x, 1).
Дополнением образа X в Р(ХахК) служит
()
5.0.4. В последнем способе используется универсальное вектор-
векторное пространство X, связанное с X. Мы просто полагаем X =
= Р (X) и вкладываем X в Р (X) с ломощью
/Р(х)
7
Рис. 5.0.4
5.0.4.1. х>-*р{х),
где X (неявно) погружено в X как аффинная плоскость (см. 3.1.6).
5.0.5. Два первых способа неудобны, так как не дают внутрен-
внутреннего определения: если действовать, как в 5.0.2, то мы не будем
144
Гл. 5. Аффинно-проеитивные связи
знать априори, что полученное проективное пространство естест-
естественным образом связано с X (или, короче, «зависит только от X»
в смысле, который предстоит уточнить). Так же обстоит дело
и в 5.0.3, хотя в этом случае мы уже понимаем, что Р (Ха)
всегда совпадает с Р (X), поскольку выбор а связан лишь
с параллельными переносами в X, а эти последние сохраняют
направления (см. 2.3.3.4). В то же время способы 5.0.2 или
5.0.3 (особенно 5.0.2) обладают двумя преимуществами. Первое
состоит в том, что они позволяют проводить выкладки в явном
виде. Второе преимущество заключается в том, что они проще.
В частности, с их помощью легко трактуются вопросы комплек-
сификации, которыми мы займемся в гл. 7.
5.1
ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО
ПРОСТРАНСТВА
5.1.1. Пусть X — аффинное пространство, а X—соответствующее
универсальное пространство (см. § 3.1):
X = XU(K*XX).
Введем проективное пространство Х = Р(Х). Напомним, что вло-
вложение X в X осуществляется с помощью отображения х>—>(х, 1),
и отметим, что сужение на X канонической проекции р: X—>-Х =
= Р(Х) инъективно. Следовательно, X можно снова отождествить
с подмножеством в X. Тогда мы получим разбиение X на два
подмножества: X = X(jP(X). Положим Р (Х) = оох, откуда
X = X(J °°х. Итак, мы вложили аффинное пространство X в про-
проективное пространство А" таким образом, что оно стало допол-
нением к некоторой гиперплоскости (а именно к оох = Р[Х)).
5.1.2. Обратно, мы знаем, что если Р (Е)— проективное прост-
пространство и Р (Н)—какая-то из его гиперплоскостей, то дополне-
дополнение Р (Е)\Р (Н) естественным образом является аффинным про-
пространством, а именно ЕН = Р(Е)\Р(Н) (см. 2.2.6). Из 2.2.7
и ЗЛ.Ь следует, что переход от X к X и переход от Р (Е)\Р (Н)
к Ен—это взаимно обратные преобразования.
Упомянутые результаты из гл. 2 и 3 можно резюми-
резюмировать в виде следующей теоремы.
5.1.3. ТЕОРЕМА, (i) Пусть X—аффинное пространство, Х=Р(Х).
Можно отождествить X посредством отображения ху—*-р(х, 1)
с некоторым подмножеством (оно обозначается также через X)
пространства X; это подмножество совпадает с дополнением
к р(Х) = оох в X. Назовем X проективным пополнением или
145
5.2 Примеры
просто пополнением пространства X, а оох = Р(Х) назовем бес-
бесконечно удаленной гиперплоскостью пространства X. Если X и
X' — два аффинных пространства, X и X'— их пополнения,
/?Л(Х; X') —аффинный морфизм, то существует и притом
единственный проективный морфизм f?M(X; X'), такой что
f\x = f. Кроме того, f(oox)c:oox, и /Ux=? (CM- 2-зл и 4-5-2)-
(п) Пусть (Е, Н)—пара, образованная векторным про-
пространством Е и гиперплоскостью Н из Е. Тогда Ен = Р (Е)\Р(Н)
(см. 4.1.3.4) обладает естественной структурой аффинного
пространства на L(E/H; Н). Пусть (?", Н') —другая такая
пара, и пусть g?M(P(E); P(E')) таково, что область опреде-
определения g содержит Ен (см. § 4.5) и g(EH) а Е'н,. Тогда g\EH(z
(iii) Соответствия X-w*(X, X) и (Е, H
взаимно обратны и функториальны.
Эта теорема следует, в основном, из 2.2.6, 2.3.7, 3.1.6
и § 4.5. В пункте (ii) нужно показать, что g\EH^.A(EH\ E'H,).
Пусть /?L(?; E') таково, что f=-g; нужно показать, что на
самом деле f?LH, н'(Е; Е') (см. 2.3.6).
По предположению, g определено в любом Ен; иначе
говоря (см. 4.5.2), /-!@)сЯ. Из соотношения g(EH)c:E'H,
вытекает, что f(x)^H' Vx?#; отсюда /(#) с: Я' и отображение
f: E/H—+E'/H' инъективно. Функториальность следует из 3.2.1.
Для того чтобы со всей строгостью доказать, что соответствия
из пункта (iii) взаимно обратны, потребовалось бы перейти
на язык категорий. Теорема 5.1.3 выражает тот факт, что
(Е, H)^w~ E/H — это «вполне точный функтор».
Для практических приложений достаточно пунктов (i)
и (ii); пункт (iii) приведен здесь, так сказать, «для души». На
самом деле для приложений достаточно даже только 5.0.2.1
и 4.2.4.1.
5.2 ПРИМЕРЫ
5.2.1. ХАРАКТЕРИСТИКА ДИЛАТАЦИЙ. В силу 2.3.3.12 и 4.5.9,
дилатации в аффинном пространстве можно охарактеризовать
следующим образом:
/?Dil(X) тогда и только тогда, когда /|ссх= IcLA..
Другими словами, дилатации—это те и только те отображения /,
у которых f оставляет неподвижной каждую точку бесконечно
удаленной гиперплоскости.
5.2.2. АФФИННАЯ ГРУППА И ПРОЕКТИВНАЯ ГРУППА. Что касается
тех g?GP(X), которые оставляют гиперплоскость оо^. глобально
146
Гл. 5. Аффинно-проеитивные связи
инвариантной, то это в точности g = f, где / пробегает GA(X).
При желании можно отождествить GA (X) с некоторой подгруп-
подгруппой в GP(X), а именно с GPa>x(X). Кэли обнаружил тот заме-
замечательный факт, что любую классическую геометрическую группу
можно реализовать как подгруппу проективной группы некото-
некоторого подходящего проективного пространства (см., например,
9.5.5.2, 18.10.1.5). V
5.2.3. СЛУЧАЙ Х = К. В этом случае Р (X) = Р (К) — Р" (К) со-
содержит единственную точку оо = оо^—бесконечно удаленную
точку К; следовательно, К = Ки°°. Если K = R, то нужно
позаботиться о том, чтобы не путать R = R и оо с расширенной
числовой прямой, которая рассматривается в анализе: R = R (J
U { — °°} U { + оо}. В рамках проективной геометрии мы не делаем
различия между «стремлением к + о°» и «стремлением к —оо».
Кроме того, возвращаясь к случаю произвольного поля /(, можно
естественным образом отождествить К с К2 и, следовательно, К
с Р1 (К). При этом х?К отождествляется с р(х, 1), а оо с р A, 0).
Пользуясь представлением R = f({joo, мы можем записать таб-
таблицу 4.5.15 в следующем виде, где /—морфизм и M(f) =
5.2.4.
оо.
5.2.5. Если K=R или С и размерность конечна, то, в силу 4.3.2,
вложение X в X представляет собой гомеоморфизм на своем
образе, а в силу 4.6.1, X открыто и всюду плотно в X. Этим,
а также п. 5.2.3 объясняется конец 4.5.14.
Отметим по ходу дела, что в канонических тополо-
топологиях все морфизмы из А(Х; X') или из М(Р(Е); Р(Е')) всегда
оказываются непрерывными и что в любой размерности / всегда
представляет собой продолжение /по непрерывности V/? А(X; X').
Рис. 5.2.6.1
147
5.3 Связи между подпространствами
5.2.6. Для /C = R или С из 4.3.2 и 4.3.3 вытекает, что К есть
не что иное, как компактификация по Александрову поля К.
• 0
Рис. 5.2.6.2
5.3 СВЯЗИ МЕЖДУ АФФИННЫМИ И ПРОЕКТИВНЫМИ
ПОДПРОСТРАНСТВАМИ; ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Сейчас мы увидим, что наша конструкция именно такова, что
две параллельные прямые имеют в пополнении общую беско-
бесконечно удаленную точку.
5.3.1. Пусть S с: X—аффинное подпространство аффинного про-
пространства X; тогда 5 вложено в X: 5 с X. В силу 2.4.2.3, про-
проективное подпространство <5> в X, порожденное подмножест-
подмножеством 5, отождествляется с проективным пополнением S множе-
множества 5. Таким образом, <S> = S=:S и оо5, где oos—подмно-
oos—подмножество X, а именно оо5 = оохл <Sy = oox(~\S. Отметим, что
oos — P(S) с Р (Х) = оох. Пользуясь определениями 2.4.9.1, мы
можем сформулировать следующее утверждение.
Рис. 5.3.2
5.3.2. предложение. Отображение S i—>S представляет собой
биекцию множества аффинных подпространств из X во мно-
множество проективных подпространств из X, не содержащихся
в оох, т. е. S = oos(jS, где oos = ooxf\S. Кроме того, если
148
Гл. 5. Аффинно-проективные связи
S, S'—два аффинных подпространства, то
5.3.3. замечание. Если /C=R или С и размерность конечна,
то, как показывает 5.2J3, S есть не что иное, как топологи-
топологическое замыкание S в X.
5.4 МЕТОД ОТПРАВКИ ОБЪЕКТОВ В БЕСКОНЕЧНОСТЬ;
ПРИЛОЖЕНИЯ
5.4.1. предложение (теорема Паппа, проективный случай).
Пусть Р (Е) — проективная плоскость, D и D'—две различные
проективные прямые в Р (Е). Пусть, далее, а, Ь, с, а , Ь', с' —
шесть различных точек, таких что a, b,c? D\(D n D'), а',Ь',с' ?
€ D'\(D П ?>'). Тогда три точки <а, Ь'у П <а', by, <b, с'у П <Ь', су,
<с, а'>П<с', а> коллинеарны.
Рис. 5.4.1
Заметим сначала, что, в силу 4.6.12, такие три точки
всегда существуют. Положим у = <а, b'yn<a', by, а = <6, с'> Г1
Г\<Ь', су, и пусть У = <а, у> — проективная прямая, проходящая
через эти две точки. Рассмотрим аффинную плоскость X =
= P(E)\V (см. 5.1.3 (ii)) и заметим, что а, Ь, с, а', Ь', с' ? X.
В плоскости X по построению У и в силу 5.3.2 имеем
<а, b'yilia', by и <Ь, с'УЦ<Ь', су. Следовательно, по теореме Паппа
(аффинный случай, 2.5.3)
|3 = <а, с'>П<а',с> €<«,?>•
5.4.2. следствие (теорема Паппа, второй вариант аффинного
случая). Пусть X — аффинная плоскость, D и D'—две различные
прямые в X, а, Ь, с, а', Ь', с'—шесть различных точек, таких
что а, Ь, с ? D\(D П D') и а', Ь', с' ? D'\(Dr\D'). Тогда три точки
<а, Ь'УГ\<а', ЬУ, <Ь, с'у[\<Ь', су, <с, а'>П<с', а> коллинеарны
в следующем смысле: если все три точки существуют, то они
149
5.4 Метод отправки объектов в бесконечность
лежат на одной прямой; если же существуют только две из
них, то соединяющая их прямая и две прямые, определяющие
третью точку, параллельны (если не существует ни одной из
них, то мы находимся в ситуации 2.5.3).
Доказательство следует из теоремы 5.4.1, примененной
к дополнению X плоскости X. На этом примере можно заме-
заметить, насколько в проективной геометрии упрощаются форму-
формулировки теорем, ибо в ней отсутствуют исключения, с которыми
мы постоянно сталкиваемся в аффинной геометрии (см. также
16.8.19).
5.4.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (теорема Дезарга, проективный случай).
Пусть Р (Е) — проективное пространство, s, а, Ь, с, а', Ь', с' —
семь различных точек Р{Е), таких, что s, a, b, с и s,a',b',c'
проективно независимы, а' ? <s, a>, b' ? <s, by, с' ? <s, су. Тогда
три точки <а, by f] <a', b'y, <b,cyf\<b',c'y, <c, а> П <с', а'> кол-
коллинеарны. Другими словами, если прямые, соединяющие соответ-
соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке,
то точки пересечения соответственных сторон этих треуголь-
треугольников лежат на одной прямой.
5.4.4. Доказательства для случаев dim (Р (Е)) ^Зи dim (Р (Е)) = 2
в корне отличаются друг от друга. Если dim(P(?))^3, то мы
пользуемся лишь свойствами пересечений подпространств; по-
поэтому результат окажется справедливым в любой аксиоматической
теории (см. 2.6.7). Если dim (Я (?)) = 2, то нужно применить
теорему 2.5.4, где используется основное поле (фактически, его
ассоциативность, см. 2.5.5, 4.8.3).
5.4.5. Предположим сначала, что проективное подпространство Z,
порожденное нашими семью точками, в точности трехмерно.
Тогда утверждение тривиальным образом следует из 4.6.12,
поскольку три рассматриваемые точки все принадлежат двум
плоскостям, <а, Ь, су и <а', Ь', с'у, пересечение которых пред-
представляет собой прямую (иначе Z оказалось бы двумерным).
Рис. 5.4.5.1
150
Гл. 5. Аффинно-проективные связи
Предположим теперь, что dim (Р (?)) ^ 3, но dimZ = 2.
Выберем произвольную точку m(^Z и затем такие две точки а, а'
на прямых <т, а>, <т, а'>, что s ? <а, а'> и афа, а' Фа' (такие
точки т, а, а' всегда можно найти, поскольку всякая проектив-
проективная прямая содержит по крайней мере три точки, см. 4.1.3.7).
Р(Е)
Рис. 5.4.5.2
Тогда семь точек s, а, а', Ь, Ь', с, с' порождают трех-
трехмерное подпространство по построению и, следовательно, подпа-
подпадают под уже разобранный выше случай теоремы Дезарга. Но
если спроектировать Р(Е)\{т\ из т на Z, то эта проекция
сохранит свойства пересечения и коллинеарности, откуда и вы-
вытекает результат для s, а, а', Ь, Ь', с, с', поскольку а, а' по
построению проектируются в а, а'.
5.4.6. Если длтР (Е) = 2, то мы проводим доказательство анало-
аналогично 5.4.1, отправляя в бесконечность две точки <а, Ь>П<а', Ь'>
и <&, с> п<Ь', с'у. Утверждение вытекает тогда из обратного
к 2.5.4 (см. 2.8.6).
5.4.7. следствие (теорема Дезарга, второй вариант аффинного
случая). Пусть X — аффинное пространство и семь его точек
удовлетворяют предположениям, аналогичным тем, которые были
сделаны в 5.4.3. Тогда три соответствующие точки пересечения
коллинеарны, причем — в случае отсутствия некоторых из этих
точек — в том же смысле, что и в 5.4.2.
5.4.8. теорема (вторая основная теорема проективной геометрии).
Пусть Р (Е), Р (?')—два проективных пространства одной и той
же конечной размерности ^ 2 над полями К, К' соответственно.
Пусть /: Р (Е)—> Р (Е')—теоретико-множественная биекция,
такая что для любых коллинеарных точек а, Ь, с?Р (Е) точки
f (a), f(b), f (с) коллинеарны в Р(Е'). Тогда существует полу-
полулинейное биективное отображение /: Е—>Е', такое что f = f.
Как и при доказательстве 2.6.6, мы убеждаемся в том,
что / биективно отображает гиперплоскость из Р (Е) в гипер-
гиперплоскость из Р (?')•_ Далее, ^фиксируем некоторую гиперплоскость
151
5.5 Упражнения
Р (Н) в Р(Е), и пусть ее образ есть гиперплоскость Р(Н')^
czP(E'). Сужение g = f \р (Е)\р <н>: Ен—>Е'И, представляет собой
отображение аффинного пространства Ен в аффинное простран-
пространство Ей-, удовлетворяющее предположениям 2.6.3. Следовательно,
g полуаффинно. Более того, оно продолжается с помощью про-
простого расширения из 5.1.3 в полуаффинном случае до полумор-
физма g: P(E)—+P(E'), который совпадает с / на Ен по
построению, а на Р (Н) поскольку f\P(H) = g (см. 5.1.3).
5.4.9. Относительно разных уточнений теоремы 5.4.8 см. [101],
с. 83 и далее и с. 267 и далее; см. также [36], упр. 16 и 17
на с. АН. 203 — 204. Относительно одного обобщения этой тео-
теоремы см. [232], с. VIII.
5.4.10. Метод отправки в бесконечность будет широко приме-
применяться и в дальнейшем: см. 5.5.3, 6.4.4, 6.4.8, 6.4.10, а также
большую часть гл. 17.
5.5
УПРАЖНЕНИЯ
5.5.1. Сформулируйте
к 5.4.1, 5.4.3.
и докажите утверждения, обратные
Рис. 5.5.4
Рис. 5.5.5
5.5.2. Сделайте чертежи, иллюстрирующие различные случаи
параллельности из 5.4.2 и 5.4.7.
5.5.3. Докажите существование тетраэдров. Мёбиуса (см. 4.9.12),
отправляя, если потребуется, некоторые, точки в бесконечность.
5.5.4. Постройте с помощью одной только линейки прямую,
соединяющую точку на листе бумаги с точкой пересечения двух
прямых, проведенных на этом же листе, но пересекающихся за
его пределами.
5.5.5. Постройте с помощью одной только и притом слишком
короткой линейки прямую, соединяющую две точки на листе
бумаги.
5.5.6. Проведите критическое исследование доказательства основ-
основной теоремы проективной геометрии, изложенного в [72], с. 28
и далее.
152
Гп. 5. Аффинно-проективные связи
Рис. 5.5.9.1
Рис. 5.5.9.2
153
5.5 Упражнения
5.5.7. Исследуйте, при каком условии в 5.4.1 прямая <а, C, у>
проходит через Dr\D'.
5.5.8. ГЕКСАГОНАЛЬНЫЕ ТКАНИ. Будем говорить, что на вещест-
вещественной аффинной плоскости Р задана ткань, если заданы от-
открытое множество A cz P и для каждой точки а?А три различ-
различные прямые d[ (a) (i = 1, 2, 3) в Р, проходящие через а и зависящие
от а непрерывно. Покажите, что если точка Ь достаточно близка
к а на d1 (а), то найдутся шесть точек (&,-)*=i 6. удовлетво-
удовлетворяющие следующим условиям:
d1(a), bt = dl(b1)C\da(a), bt
Рассматриваемая ткань называется гексагональной, если
Ьв = Ь для всех достаточно близких а и Ь.
Пусть (Pi)i=i,2,3—ТРИ неколлинеарные точки на Р
и Л—дополнение в Р к объединению трех прямых, попарно
соединяющих pt. Определим ткань соотношением dt (a) = <a, p,->
для всех а?А. Покажите, что эта ткань гексагональна.
Дальнейшие подробности относительно тканей можно
найти в [23] и [54] (см. также 5.5.9 и рис. 5.5.9.1, 5.5.9.2).
5.5.9. ЕЩЕ О ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ ТКАНЯХ. Покажите, что ткань
на рис. 5.5.9.2 гексагональна. Более общо, докажите, что ткань,
которая получается исходя из некоторой кривой второго порядка
С и точкой р, не лежащей на этой кривой, путем проведения из
произвольной точки х двух касательных к С и прямой хр,
всегда гексагональна.
Глава 6 Проективные прямые:
двойное отношение, томографии, инволюции
6.1 Определение двойного отно- 6.5 Двойное отношение и двой-
двойственность; приложения
6.6 Томографии проективной
прямой
6.7 Инволюции
6.8 Упражнения
шения
6.2 Вычисление двойного отно-
отношения
6.3 Эффект перестановки
6.4 Гармоническое отношение
В этой главе вводится инвариант (относительно томографии) для
четырех коллинеарных точек в проективном пространстве —
двойное отношение. Этот инвариант, характеризующий колли-
неарные четверки точек, полученных-друг из друга под дей-
действием томографии, играет заметную роль в проективной гео-
геометрии. Важный частный случай двойного отношения — это гар-
гармоническое отношение.
В этой книге мы будем встречаться с двойным отношением до-
довольно часто, причем иногда в неожиданных ситуациях; на-
например: при изучении формулы Лагерра (8.8.7), гиперболиче-
гиперболической геометрии (гл. 19), уравнения Риккати F.8.2) и дифферен-
дифференциальной геометрии F.8.20). Тем самым будут получены мно-
многочисленные иллюстрации к идее Кэли (см. 5.2.2).
6.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ
6.1.1. Следствие 4.6.9 означает, что тройки не совпадающих друг
с другом коллинеарных точек неразличимы с точки зрения про-
проективной группы, или что проективная группа GP (Е) транзи-
тивна на множестве троек различных коллинеарных точек из
Р(Е), т.е. она 3-транзитивна (см. 1.4.5).
Сомнительно, чтобы это же оказалось справедливым
для четырех точек; однако мы сейчас и собираемся выяснить,
как устроены орбиты под действием группы GP(?) четверок
различных коллинеарных точек; для этого мы введем их двойное
отношение—скаляр со значениями в К.
6.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть D — проективная прямая над К, {а, Ь,
с, d\—ее четыре точки, такие что а, Ь, с различны. Назовем
двойным отношением этих четырех точек и обозначим через [а,
Ь, с, d] элемент [а, Ь, с, d~\ = fa<b,c{d) из К = К\}°°, где /в,ь,с —
единственный изоморфизм
такой что /(а) = оо, /(Ь) = 0, /(с) = 1 (см. 4.6.9). Если
{а, Ь, с, ег} = КЬ=1.2,з,4.
то мы будем писать иногда [а„ а2, аа, а4] = [а,-]. Если {а, Ь,
155
6.1 Определение двойного отношения
с, d) — четыре коллинеарные точки проективного пространства,
причем три первые из них различны, то их двойное отношение
по определению равно их двойному отношению на прямой, кото-
которой они принадлежат. Если четыре коллинеарные точки а, Ь,
с, d, три первые из которых различны, принадлежат аффинному
пространству X над К, то их двойное отношение совпадает по
определению с их двойным отношением в проективном попол-
пополнении X пространства X.
fa,b,c
Рис. 6.1.2
Ив 4.6.9 вытекают следующие результаты.
6.1.3. Если [а, Ъ, с, d~\ = oo (соответственно 0, 1), то d = а (соот-
(соответственно d = b, d = c), и обратно. Если [а, Ь, с, d] ? К\{0, 1},
то йфа, Ь, с, и обратно (поскольку К\{0, H^^Xi00» ^> U)-
6.1.4. следствие. Пусть D, D'—две проективные прямые,
причем три первые точки а( и а\ различны. Тогда
3f€lsom(D;D')|/(a,) = a; Vi » [a,] = [a'J.
6.1.5. СЛЕДСТВИЕ. Пусть D—проективная прямая и а, Ь, с —
три различные точки на ней. Тогда для любого k^R существует
единственная точка d?D, такая что [а, Ь, с, d] = k.
6.1.6. предложение. Пусть D = P(E)—проективная прямая, а,
Ь, с — три различные точки на ней и (см. 4.4.1) х, у?Е таковы,
что а = р(х), Ь = р(у), с = р(х + у). Тогда (см. 5.2.3)
d = p(kx + hy)&[a, b, с, d] = p(k, h)?P{K*)~R.
В силу 5.2.3, если {еи е2\ — канонический базис в К2,
то p(ei) = p(l, 0)=оо, р(еа) = р(О, 1) = 0, р(е1 + е,) = рA, 1)=1.
Следовательно, fa,b,c — f, где f?L(E; /С2) определяется соотно-
соотношениями f(x) = e1, f(yf=e2, поскольку f(x + y) = f(e1 + e2). Но
тогда
Hd) = f(p(kx + hy)) = p(f(kx + hy)) = p(k, h).
6.1.7. ПРИМЕЧАНИЯ. Предложение 6.1.6 часто принимают за оп-
156
Гл. 6. Проективные прямые
ределение двойного отношения. Впрочем, в некоммутативном
случае это единственно возможный способ (см. 6.8.13).
Можно было бы также сразу обрушить на читателя
формулу 6.2.3 как определение двойного отношения, а уж затем
проверить, что это выражение инвариантно под действием ли-
линейной группы GLB; /Q, что, впрочем, легко сделать. Но обо-
обоснование такого определения свелось бы к систематическому
поиску «инвариантов» группы GLB; /(). Относительно этой точки
зрения см. [84], с. 40 русского перевода. См. также [212], [213]
и 18.10.7.
6.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ
6-2.1. Задача состоит в том, чтобы вычислить [а,], где а,- заданы
с помощью однородных координат (см. 4.2.3) в произвольном
базисе SB пространства Е (где D=P(E)Y. а,- = р (*,•) = р (%{, ц,;)
(f=l, 2, 3, 4). Имеем
х3 =ах1
следовательно,
= ух у + 8х2;
Поэтому (см. 6.1.6) [а;] = р(у/а, 8/Р). По формуле Крамера для
определителей в базисе 9i имеем
У="
det (x3, x2)
det (х1г х2у
det (xit x2)
!, x3)
det(xux2y
8 =
det(*!, x2)'
det (xx, xt)
det(Xl,x2y
откуда
6.2.2.
м-р i-
И4
A3
Из
ля
A2
Иг
б
' P
Ai
Hi
AT
Ит
A3
Из
Считая, что отношение с нулевым знаменателем совпадает с точ-
точкой оо ? К (в соответствии с 5.2.4), формулу 6.2.2 часто запи-
записывают в виде
6.2.3.
Аз Ai
Из И1
Аз к2
Из Иг
/
/
А4 кг
Р* Hi
Л4 Л-2
И4 Иг
Пусть D—аффинная прямая с четырьмя точками (а,),
три первые из которых различны. Если в произвольной аффин-
аффинной системе координат точки а{ имеют координаты х{ (?=1, 2,
3, 4), то в D справедливы соотношения a, = p(x,-, 1). Следова-
157 6.3 Эффект перестановки
тельно, в силу 6.2.3 (см. 2.4.6),
6.2.4. \а
Л*3 -**2' ^i ^2 х 3
В частности, если а, Ь, с — три точки, лежащие на прямой D
аффинного пространства X, то (см. 5.3.1) в X
6.2.5. [а, Ь, с, ooD] = cacb.
Формула 6.2.4 представляет собой элементарное опре-
определение двойного отношения в рамках аффинной геометрии.
РШ)
р(ас)
*Р(Е)
Рис. 6.2.6
6.2.6. МОРАЛЬ. Формула 6.2..5 позволяет геометрически подтвер-
подтвердить тот факт, что дополнение Р (Е)\Р (Я) = Ен = X гиперпло-
гиперплоскости в проективном пространстве (см. 5.1.3 и 2.2.6) обла-
обладает естественной аффинной структурой. Действительно, если
в нем есть указанная структура, то мы должны уметь геометри-
геометрически определять такие понятия, как сумма b-^с в векториза-
векторизации Ха пространства X и отношение ca/cb для коллинеарных
точек. Формула 6.2.5 дает ответ на второй вопрос, а правило
параллелограмма (см. 2.6.6.3) в Р (Е) — на первый.
6.2.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ. См.
6.5.6, 6.5.10 и (в случае К = С) 9.6.5.
6.3 ЭФФЕКТ ПЕРЕСТАНОВКИ
Пусть (а,) — четыре различные точки проективной прямой D (это
означает, что /C=^=Z2). Их двойное отношение существенно зави-
зависит от порядка этих точек. Точнее говоря, справедливо следую-
следующее утверждение.
6.3.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
[a, b, с, d] = [b, а, с, й]~1 = [а, b, d, с],
[а, Ь, с, d] + [a, с, Ь, rfj=l.
Первые два соотношения легко получаются из 6.2.3.
158
Гл. 6. Проективные прямые
Что касается последнего равенства, то положим а = р(х), Ь = р(у),
с = р(х + у), d = p(kx + y). Тогда [а, Ь, с, d] = k. Заменим базис
{х, у] базисом {— х, х + у]. Получим у = ~х + (х-\-у), kx-\-y =
— (\—k)(—x)-\-{x-\-y). Следовательно, [а, с, b, d] = l—k (см.
6.1.6).
Поскольку три выражения в 6.3.1 соответствуют трем
транспозициям точек {а, Ь, с, d\, порождающим группу всех
перестановок этих точек, эффект произвольной перестановки тем
самым известен. Для того чтобы подробнее разобраться в этом
вопросе, чуть-чуть усложним нашу задачу.
6.3.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть /С* = /С\{0, 1} и ©4—симметри-
©4—симметрическая группа элементов {1, 2, 3, 4}. Пусть, далее, D—проек-
D—проективная прямая, (at) — четыре различные точки на D и k = [at] —
их двойное отношение. Тогда двойное отношение <х(&)=[оаA)]€^е#
зависит только от k и tf?©4 « че зависит от D или а,-. Ото-
Отображение <р: <S4 Э сгi—*- Jfe 1—»- a'1 (k) ? <Вк9 определяет действие груп-
группы @4 в /С*. Оно не является эффективным: ядро Кегф совпа-
совпадает с группой Клейна ^4 (группой прямоугольника, см. § 0.2),
за исключением случая, когда К—поле Ft из четырех элементов;
в этом случае К.егф = </24—знакопеременная группа. Все орбиты
группы ©4 в К* содержат по шесть элементов, за исключением
следующих случаев:
(i) если К имеет характеристику 3, то орбита эле-
элемента k = — \ состоит из одного элемента;
(и) если К имеет характеристику, отличную от 2
и 3, то орбита элемента —1 содержит три элемента {—1, 2,
1/2}, а если К содержит кубические корни /, р из 1, то орбита
элемента —/ содержит два элемента {—/, —р\;
(iii) если /С = /74, то имеется единственная орбита, и
она состоит из двух элементов.
В силу 6.3.1, Кегфп^; найдем теперь орбиту эле-
элемента k. Применяя 6.3.1, мы находим единственно возможные
значения
k I \-k 1-- - -¦
к' k ' ' k' \—k' k—\
Нужно выяснить, будут ли эти шесть выражений различными
элементами /(•. Приравнивая их попарно друг к другу, мы по-
получаем лишь следующие соотношения: k2 —1=0, k2—fe+l = 0.
2k—1=0, k—2 = 0. Утверждение 6.3.2 вытекает теперь из того,
что: корни X2—1=0, отличные от 1, сводятся к —1, корни
X3—1=0, отличные от 1, задаются уравнением Х2 + X +1 =0,
наконец, поле из четырех элементов получается присоединением
к Z2 как раз двух корней уравнения Х2 + Х + 1=0.
6.3.3. ПРИМЕЧАНИЯ. В некоторых книгах двойное отношение
(называемое по-английски cross-ratio) обозначается так: [а, Ь, с,
159
6.4 Гармоническое отношение
d]= c • . Это обозначение обладает тем преимуществом, что
с его помощью легко вспомнить, как именно действует ядро
Кегф = '^/а4, поскольку оно действует как геометрическая группа
прямоугольника, а именно осуществляет симметрии относительно
начала координат и относительно двух осей:
\а ЬЛ \Ь аЛ \с d] \d сЛ
[с d]-*[d с\^[а b\^[b
Относительно некоммутативного случая см. 6.8.13.
1 '
-1 _k_/ 0 \l/2 / \ \_1_ 2
*-l" ft 1-A 1 ' '"
Рис. 6.3.3
В случае K = R мы приводим здесь график алгебраи-
алгебраической функции, естественным образом связанной с двойным
отношением:
л/ Л A AJ
Эта функция принимает одинаковые значения в точках одной и
той же орбиты. Относительно любопытных фактов, касающихся
двойного отношения и этой функции, см. [72], с. 43—51, и 6.8.11.
6.4 ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ
(ПОЛЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ф 2)
В определении двойного отношения две из заданных точек могут
совпадать. Обобщение на случай, где могло бы совпадать боль-
большее число точек, приводит к серьезным трудностям, за исклю-
исключением случая орбиты {—1, 1/2, 2}, который встретился нам
в 6.3.2. Это приводит к следующему определению.
6.4.1. определение. Говорят, что четыре точки проективного
или аффинного пространства находятся в гармоническом отно-
отношении, если выполняется одно из следующих условий: либо три
160
Гп. 6. Проективные прямые
161
6.4 Гармоническое отношение
из них совпадают, а четвертая отлична от остальных, либо они
различны, коллинеарны и [а, Ь, с, d] =—1.
Отметим, что здесь важен порядок точек: если а, Ь,
с, d находятся в гармоническом отношении, то Ь, а, с, d уже не
обладают этим свойством.
6.4.2. Если а, Ь, с лежат на прямой D аффинного пространства,
то из 6.2.5 видно, что а, Ь, с, ooD находятся в гармоническом
отношении тогда и только тогда, когда с—середина {а, Ь\.
6.4.3. В произвольной аффинной системе координат на аффинной
прямой точки с координатами а, Ь, с, d находятся в гармони-
гармоническом отношении тогда и только тогда, когда 2(ab-\-cd) =
= (aJrb)(cJrd) (это следует из 6.2.4). При а = 0 (соответственно
Ь = — а) эта формула приводится к виду 2/b=l/c-\-l/d (соответ-
(соответственно к виду a2 = b2 = cd).
6.4.4. ПОЛНЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. Пусть {а, Ь, с, d) — репер в
проективной плоскости Р. Положим а = <а, by f] <c, d>, P =
<а, d>(\<b, с>, у = <а, с> [\<Ь, d>, б = <а, с> П<а, Р>. Тогда а,
с, у, б находятся в гармоническом отношении.
Рис. 6.4.4
Отправим прямую D=<a, |3> в бесконечность. В но-
новой аффинной плоскости P\D мы получим по построению ab//cd
и ad//be. Следовательно, abed—параллелограмм и (см. рис. 2.4.5)
у теперь совпадает с серединой {а, с}. Поэтому, в силу 6.4.2,
[а, с, у, б = <а, c>J = —1.
6.4.5. Предыдущий результат позволяет геометрически построить
точку п, гармонически сопряженную точке т относительно двух
данных точек a, b (т.е. такую точку п, что [а, Ь, т, п] = — 1).
Для этого мы вкладываем проективную или аффинную прямую
<a, by в плоскость и рисуем чертеж, навеянный 6.4.4.
6.4.6. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МОРФИЗМОВ, ПОЛУЧЕННЫХ
ИЗ СИММЕТРИИ. Пусть Е—векторное пространство и S, Т—два
подпространства, порождающих разложение в прямую сумму
E = S(?)T. Пусть, далее, /—симметрия относительно S парал-
параллельно Т; другими словами, если q: E —> 5 обозначает проекцию,
связанную с прямой суммой E = SQ)T, то / определяется фор-
формулой
Гармоническое отношение позволяет построить морфизм
g=f_€GP(?) следующим образом. Пусть V=p(S), W = p{T) —
проективные подпространства, порожденные 5 и Т, и пусть
т?Р(Е). Существуют единственная проективная прямая D(m),
проходящая через т и пересекающая V и W, и точка g(m)?D(m),
такие что
[m,g(m), D(m)(]V,D(m)nW] = -l.
Действительно, прямая D(m) порождена векторным пространст-
пространством, которое полностью определяется элементами х и q (x) (за
исключением случая, когда x — q(x), но тогда g{m) — m в силу
6.4.1), т. е. плоскостью, содержащей также f{x). Если мы вы-
выберем х и / (х) в качестве базиса в этой плоскости, то
) = pBq(x))=V0D(m),
откуда [m,g(m), Vf\D(m), Wr\D(m)] = —\ в силу 6.1.6.
ух
W
Рис. 6.4.6
6.4.7. ПРИМЕЧАНИЯ. Часто встречается случай, когда S—гипер-
S—гиперплоскость. В этом случае V—точка из Р (Е), и тогда D(m) есть
не что иное, как прямая, проходящая через т и эту точку. На-
Напомним (см. 4.5.19), что если К алгебраически замкнуто, то
всякая инволюция из GP (Е) принадлежит к указанному выше
типу, геометрически весьма простому.
6.4.8. ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ И СТРУКТУРА ТЕЛА. Как определить
на проективной прямой структуру тела? Точнее говоря, если,
например, заданы пять точек а, Ь, с, d, e проективной прямой D,
то где находится шестая точка f (соответственно g), такая что
[а, Ь, с, d] + [a,b, с, е] = [а,Ь, с, f] (соответственно [а, Ь, с, d][a,
b, с, е] = [а, Ь, с, g])? Основная теорема аффинной геометрии
(см. 2.6.3) наводит на мысль, что можно найти / и g единствен-
6 № 2 765
162
Гл. 6. Проективные прямые
163
6.5 Двойное отношение и двойственность
но с помощью построения пересечений разных прямых. И в са-
самом деле, само доказательство 2.6.6.4 дает ответ на наш вопрос.
Достаточно отправить точку а в бесконечность и скопировать
рис. 2.6.6.4.1 и 2.6.6.4.3, возвращаясь, так сказать, к конечным
расстояниям, что приведет к рис. 6.4.8.1 и 6.4.8.2. Разумеется,
для этого придется вложить D в аффинную плоскость, но это
неизбежно, см. 2.6.1.
Рис. 6.4.8.2
6.4.9. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ.
Продолжая размышлять в том же направлении, мы на основе
построений 6.4.5 и 5.4.8 приходим к выводу, что биективное
отображение /: D—>D проективной прямой на себя, сохраняю-
сохраняющее гармоническое отношение четырех произвольных точек, не
может быть совсем произвольным. Похоже, что оно должно быть
полуморфизмом. Так и есть на самом деле.
6.4.10. предложение (фон Штаудт). Пусть D = P{E)—проек-
P{E)—проективная прямая и /: D—>D—биекция. Для того чтобы любые
различные точки а, Ь, с, d из D, для которых [а, Ь, с, d]=s— 1,
удовлетворяли соотношению [[/ (а), f(b), f (с), f (d)] = — 1, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое полулинейное
/к /к
отображение f: E—>-Е, что / = /.
Это условие достаточно. В самом деле, еслисг: К—*К—
произвольный автоморфизм /Си/ полулинейно относительно а,
то для четырех -произвольных точек из D
[f(a),l(b)J(c)J(d)] = a([a, Ь, с, d]).
Но поскольку а — автоморфизм, то <т(—1)== — 1.
Данное условие также и необходимо. Действуя в K=D,
можно составить композицию / с подходящим элементом g из
GP (К), для которого fog оставляет неподвижными точки 0, 1
и оо (см. 4.6.9). Но тогда fog будет сохранять гармоническое
отношение, и мы можем, следовательно, предположить, что /
сохраняет 0, 1, оо. В частности, / оставляет инвариантным
К = К\°о. Изучим /: К^К. В силу 6.4.2,
откуда, полагая г/ = 0, получаем
f(x/2) = f(x)/2 Ух.
Значит, f(x + y) — f(x) + f(y) Ух, у?К. Воспользуемся теперь
6.4.3. Точки {1,х2,х,—х) находятся в гармоническом отноше-
отношении; следовательно, это же справедливо и для {/A) = 1, f{x2),
f(x), /(—х) = — f(x)\. Из соотношения 6.4.3 вытекает тогда, что
f(x2) = (f(x)J. Заменяя здесь х на х-\-у, находим, что f{x,y) =
= f(x) f (у). Таким образом, /: К—>К и в самом деле представ-
представляет собой автоморфизм поля.
6.4.11. СЛЕДСТВИЕ (см. 2.6.4). Биекция вещественной проектив-
проективной прямой, сохраняющая гармоническое отношение, представляет
собой гомографию. Если проективная прямая комплексна, а биек-'
ция непрерывна, то она представляет собой либо гомографию,
либо антигомографию (см. 18.10.2.4).
6.5 ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ; ПРИЛОЖЕНИЯ
Что такое прямая в Р(Е*), т. е. «прямая в множестве гипер-
гиперплоскостей»? На этот вопрос отвечает 2.4.8.1 (вспомните 4.1.3.5).
6.5.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Проективная прямая А в Р (Е*) называется
пучком гиперплоскостей в Р (Е) (связкой прямых, если dimP(?) = 2,
пучком плоскостей, если dim(P (?)) = 3). В Р (Е) существует
подпространство V коразмерности 2, такое что А = \Н ?Ж(Е):
H=)V\, и обратно, для всякого такого V множество {Н?Ж(Е):
б*
164
Гл. 6. Проективные прямые
Я z>V }аР(Е*) представляет собой некоторую прямую. Кроме того,
Vx?P (E)\V существует единственная Я ? А, содержащая х.
Справедлив следующий простой, но имеющий много-
многочисленные приложения результат.
6.5.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть (#,-)i=i, 2, з, 4—четыре гиперплоскос-
гиперплоскости (три первые из которых различны) одного и того же пучка
из Р (Е), связанного с подпространством V коразмерности 2, а
D—прямая из Р (Е), такая что D (]V — 0. Тогда Vi множест-
множество D П Я,- состоит из единственной точки hh а двойные отно-
отношения удовлетворяют равенству [h;] = [Я,], где первое отношение
вычисляется на прямой D, а второе—на прямой из Р(Е*), кото-
которая определяет рассматриваемый пучок.
Рис. 6.5.2
Рис. 6.5.3
Это предложение вытекает, в частности, из приведен-
приведенной ниже леммы, имеющей и другие следствия.
6.5.3. ЛЕММА. Пусть А — пучок гиперплоскостей, V—связанное с
ним подпространство и D—прямая, не пересекающаяся с V.
16S 6.5 Двойное отношение и двойственность
Тогда отображение
принадлежит множеству Isom(A;D).
Пусть Я, /CgA различны, а — ОГ]Н, b = Df\K и <р, -ф ? ?*
таковы, что Я = р (ф @)), К = р ("ф @)). Можно нормировать
Ф и ip таким образом, чтобы для х, у, для которых р(х) = а,
Р(У) = Ь, выполнялось соотношение ф(г/) =— г|)(дг)=1. По по-
построению
(X, [L)eK*\0\,
-1 @)): (I, П) ? К2\0\.
Пересечение элемента из А с D запишется в виде СЕ,ц/-^-х\^)(Кх-}-цу) =
= 0, или 1ц = цК, что в Р(К2) примет вид р (К, \х) = р (?, г\), и
мы получим, таким образом, тождество!
6.5.4. следствие. Двойное отношение четырех точек пересечения
гиперплоскостей Я,- с D не зависит от D.
6.5.5. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА, ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (см. 2.5.1).
Здесь X—аффинное пространство, Я, Я', Я"—три его парал-
параллельные гиперплоскости. В проективном пополнении X прост-
пространства X мы получаем четыре гиперплоскости Я, Я', Я",
образующие пучок. Тогда теорема следует из 6.5.2 и 6.2.5.
ип
Рис. 6.5.6
6.5.6. Действуя в том же духе, можно вычислить двойное от-
отношение четырех коллинеарных точек а, Ь, с, d аффинного про-
пространства. Мы выполняем построения, указанные на чертеже
(нужно рассмотреть плоскость, где все это расположено).
Прямая а', Ь', с' должна быть параллельна прямой
<m, d>; тогда
[а,Ь, с, d] = c'a~'/c7l/.
Это следует из 6.5.4, примененного к двум прямым а, Ь, с, d и
а', Ь', с', и из 6.2.5. С помощью этого результата можно было
166
Гл. 6. Проективные прямые
бы построить элементарную, чисто аффинную и даже метричес-
метрическую теорию двойного отношения.
6.5.7. ПОЛЯРА ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДВУХ ПРЯМЫХ. Пусть в Про-
Проективной плоскости заданы две различные прямые D, D' и точ-
точка x^D[}D'. Произвольная прямая, проходящая через х, пере-
пересекает D и D' в точках от, от'. Точка, гармонически сопряжен-
сопряженная к х относительно от, от', описывает прямую, проходящую
через D f)D', а именно такую прямую F, 4to[D, D', F, <лг, D f|D'>]=
= — 1 в Р(Е*). Эта прямая называется полярой точки х отно-
относительно \D, D'\ (см. возможное объяснение этого термина в
14.5.6). С помощью этого понятия можно получить второе дока-
доказательство 6.4.4, поскольку поляра точки а' относительно {<сс, а>,
<Р, а>} та же, что и относительно {<а, dy, <C, by); следователь-
следовательно, она проходит через а и с (рис. 6.5.7).
а'
Рис. 6.5.7
6.5.8. Так же доказываются следующие два результата, двойст-
двойственные друг другу. Пусть {а, Ь, с, d\ и {а, Ь', с', d'\—две чет-
четверки соответственно различных и коллинеарных точек. Тогда
прямые <Ь, Ь'у, <с, с'>, 0, d'y пересекаются в одной точке в
том и только том случае, если [а, Ь, с, d] = [a, Ь', с', d']. Двой-
Двойственное утверждение: пусть в проективной плоскости две чет-
четверки различных точек принадлежат соответственно пучку
167
6.5 Двойное отношение и двойственность
{D, E, F, G\, {D,E',F',G'\; тогда точки Ef[E', F()F', G П G'
коллинеарны в том и только том случае, если [D, E, F, G1 = |~D, ?",
F',G'].
6.5.9. Результаты 6.5.8 можно представить в другом виде. Сфор-
Сформулируем один из них. Пусть в проективной плоскости заданы
две точки от, т'\ будем считать, что они порождают два пучка
прямых А, А'. Пусть, далее, /: А—>- А'—такая томография,
f ? Isom(A; А'), что
/«от, от'» = <от, т'у.
Тогда множество \Df)f(D): D?A\ состоит из прямой im, т'у и
второй прямой 5. В 16.1.4 мы увидим, что именно представляет
собой множество \Df]f(D): D?A}, когда /«m, т'у) Ф <от, т'у:
это коническое сечение, проходящее через' т и от'.
G'
S
V
Рис. 6.5.9
6.5.10. ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ.
Пусть {m,-}f=o, 1,..., л+1—проективный репер и т—произвольная
точка. В силу 4.4.3, эта точка имеет в данном репере коорди-
координаты (*!, •••,х„ + 1), определенные с точностью до скалярного
множителя. Тогда они определяются своими попарными отноше-
отношениями X{/Xj, геометрический смысл которых ясен из следующего
утверждения.
6.5.11. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть заданы два индекса i, j {1ф]) и
две гиперплоскости Яо и Н
Но = <ти ..., mh ..., mf, ..., mn+i, moy,
mh
тп
1, ту;
тогда
//Х; = [от,-, m.j, <от,-, оту> п Но, <от,-, от;> П Щ.
На прямой <от,-, оту> в базисе {e,j;=i п+\, связанном с нашим
репером (см. 4.4.2), координаты (К, ц) задаются с помощью гомо-
168 Гл. 6. Проективные прямые
графии
Мы имеем
A, 0) н-» р (<?,) = т„ @, 1) и-* /j (ef) = mf,
(xf, xj) i-> р (лг,е,- -f */,) = <m,-, т,-> П Я,
чтв и доказывает 6.5.11 (в силу 6.1.6).
т,
т.
6.6
Рис. 6.5.11
ТОМОГРАФИИ ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ
Изучение группы GP (К) (или GP (D), где D—проективная пря-
прямая, но эти две группы изоморфны), подпространств из GP (К) и
элементов GP (К) продвинулось очень далеко, особенно в слу-
случае К, = R и С. В этом случае речь идет об очень простых груп-
группах, имеющих многочисленные связи с математическим анализом,
теорией чисел и дифференциальной геометрией. Мы приведем
здесь лишь несколько совсем элементарных результатов, обра-
образующих очень неполный перечень. Более подробное исследование
можно найти в [106], гл. IV, а мы взамен приведем многочис-
многочисленные ссылки, в том числе и на недавние работы, где исполь-
используются эти группы.
6.6.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть D—проективная прямая над алгеб-
алгебраически замкнутым полем К, f?GP(D), f=^=ldD. Тогда f обла-
обладает одной или двумя неподвижными точками. Если а, Ь—две
различные неподвижные точки f, то двойное отношение [а, Ь, т,
f (т)] постоянно и принадлежит К\{0, 1\ на D\{a, b\; обрат-
обратно, для всякого k?K\{0, 1} соотношение [a, b, m, f(m)] — k опре-
определяет на D гомографию с двумя различными неподвижными точ-
169
6.6 Томографии проективной прямой
ками а, Ь. Если отображение f обладает единственной неподвижной
точкой а, то оно характеризуется тем, что задает параллель-
параллельный перенос аффинной прямой D\\a\.
6.6.2. В силу 4.5.17, / обладает по меньшей мере одной непод-
неподвижной точкой (в некоторых классических работах ее называют
также двойной точкой), а в силу 4.6.9 не может обладать более
чем двумя такими точками. Отправим двойную точку a?D,
f(a) = a, в бесконечность; при этом / сужается до аффинного
изоморфизма аффинной прямой D\{aj. В случае размерности 1
это обязательно дилатация (см. 2.3.3.12) и, следовательно, гомо-
гомотетия или параллельный перенос. Если это гомотетия с цент-
центром Ь, то bf(m) = kbmVm?D\{a}, откуда наше утверждение сле-
следует в силу 6.2.5. В случае двух различных двойных точек по-
постоянное значение двойного отношения [a, b, m, f (m)] определяется
из следующего утверждения.
6.6.3. ЛЕММА. Пусть D = P(E), и пусть g?GL(E) таково, что
f — g. Если a, b?D—две различные неподвижные точки из D,
то обозначим через К, (д, собственные значения g, соответствую-
соответствующие собственным векторам х, у ? Е, таким что р (х) = а, р (у) = Ь.
Тогда Vm ? D: [а, b, m, f (m)] = К/ц.
Выберем в качестве проективного репера {а, Ь, т], где
a = p(el), b = p(e2), т = р(е1-\-е2). Тогда матрица g обязательно
имеет вид ( g J и мы получаем f (m) = р('Ке1-\-це2). Следователь-
Следовательно, наше утверждение вытекает из 6.1.6.
6.6.3.1. Если основное поле не является алгебраически замкну-
замкнутым, то 6.6.1 будет справедливо, как только известно, что есть
двойная точка. Остается лишь тот случай, когда нет ни одной
/Q J\
двойной точки. Так будет, например, если K=RhM (/) = (, qJ,
что на языке п. 5.2.4 запишется в виде
t 1—9. \jt, OO 1—9.0, 0l—S-OO.
6.6.4. ЗАДНИЙ ФОКУС И ПЕРЕДНИЙ ФОКУС. Если, как это имеет
место в общем случае, у отображения вообще нет неподвижных
точек, то томографии всегда можно представить следующим обра-
образом. Выразим проективную прямую в виде D = X(Joo, где X—•
аффинная прямая (или, что то же самое, выберем на D какую-
нибудь точку, которую объявим оо). Назовем задним фокусом
(соответственно передним фокусом) отображения f ? GP (D) точку
а = /:~1(оо) (соответственно b — f (оо)). Если оо не является двой-
двойной точкой, то a, b?X. В силу 6.1.4, имеем,'
[оо, а, т, п]=*[Ь, оо, f(m), /(«)] Vm, ri?D.
170 Гл. 6. Проективные прямые
Применяя 6.2.5 и 6.3.1, приходим к соотношению
o.D.5. —- = -Л-^, т. е. am-bf (m) = const.
am bf (л)
Эта формула полностью определяет отображение f, если мы
знаем его фокусы и пару (n,f(n)). При этом может оказаться,
что а — Ъ.
F'
Рис. 6.6.5.1
Рис. 6.6.5.2
Из книги: Н. Bouasse, Optique
geometrique elementaire
(Delggrave, P?ris, 1917)
Термин «фокус» заимствован из геометрической опти-
оптики. Томография—это такое отображение, которое для центриро-
центрированной оптической системы, описываемой в гауссовом прибли-
приближении, точке на оси системы ставит в соответствие ее оптичес-
171
6.7 Инволюции
кий образ. Впрочем, для того чтобы показать, что это отображение
представляет собой томографию прямой (оси системы), попол-
пополненной бесконечно удаленной точкой, можно рассуждать сле-
следующим образом. В силу классических формул это отображение
будет томографией в случае плоского или сферического диоптра,
а также плоского или сферического зеркала. Но центрированная
система по определению состоит из конечного числа диоптров
или (и) зеркал, а композиция конечного числа томографии —
это, разумеется, томография (см. 4.5.9). Относительно геометри-
геометрической оптики см., например, [1], гл. 4. [См. также [14*].—Ред.]
6.6.6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ построения. Относительно геометричес-
геометрических построений, касающихся томографии прямой, см. 16.3.10.1.
6.6.7. замечания. Перед тем как изучать в следующем параграфе
инволютивные томографии, приведем некоторые ссылки, касаю-
касающиеся томографии вообще и их использования в разнообразных
областях математики:
[106], гл. IV;
дифференциальные уравнения — см. 6.8.12;
автоморфные функции—см. [220];
гиперболическая геометрия — см. гл. 19;
любопытная смесь разных геометрических приложе-
приложений приведена в [233];
томографии комплексной проективной прямой, реали-
реализованной в виде сферы S2,— см. 18.10.2.2 и [51], с. 183.
6.7 ИНВОЛЮЦИИ
6.7.1. определение. Назовем инволюцией проективной прямой D
такую томографию / этой прямой, которая инволютивна, т. е.
f2 — ldD, но в то же время /=^IdD.
Заметим, что это определение несколько отличается от
обычного определения инволюции, где допускается случай /=Id.
Из § 6.6 вытекает, в частности, следующее утверждение.
6.7.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если инволюция f имеет неподвижную точ-
точку, то она обязательно имеет две такие точки а, Ь, афЬ, и
определяется соотношением [a, b, m, f{m)} = —1 для любого т.
В общем случае в аффинных терминах f выражается в виде
am ¦ af (m) = const,
где а — фокус f (одновременно передний и задний). В частности,
если К алгебраически замкнуто, то для f всегда [a, b, m, f (т)] = — 1.
Если K — R, то либо f обладает неподвижными точками, либо в
подходящем аффинном репере f можно выразить в виде am ¦ af (m) =
Соберем в одной формулировке несколько простых
свойств инволюций.
172
Гл. 6. Проективные прямые
6.7.3. предложение. Всякая гомография есть произведение не
более чем трех инволюций. Гомография / является инволюцией в
том и только том случае, если существует такое т, что f2 (m) = m и
\(т)фт. Гомография с матрицей А = ( Л представляет со-
собой инволюцию в том и только том случае, если ТгЛ = а + с( = 0.
С помощью добавления одной инволюции можно свести
дело к случаю, когда у / есть неподвижная точка, которую мы и
примем заоо. В силу 6.6.2 тогда / представляет собой парал-
параллельный перенос ху->х-\- t или гомотетию хь->Ъс аффинной пря-
прямой. В первом случае мы берем композицию двух инволюций
XI—*-—X И X»—>t — X, ВО ВТОрОМ Xt—Z-h/X И ATI—>1/Х.
Далее, положим т = 0 и f (т) = оо; следовательно,
/(оо) = 0. В силу формул 5.2.4, с необходимостью сфО, d = 0 и
о = 0; следовательно, / имеет вид ti—^bjct, а это, конечно, ин-
инволюция.
Наконец, если
+ bc b(a + d)\
c(a + d) Ьс + d* )
и мы хотим, чтобы выполнялось соотношение /2 = ?Лd, то b {a -f- d) =
= c(a-\-d) = O, откуда a + d = O или b = c = O. Далее, a2=d2, но
случай a = d исключен, поскольку [фЫ.
6.7.4. ПРИМЕЧАНИЯ- Читатель без труда проверит следующие
утверждения. Инволюция определяется двумя парами точек и их
образов (a,f(a)),(b, f(b)) (афЬ). Если К алгебраически замкнуто,
то две различные инволюции обладают одной и только одной
общей парой. Эти утверждения вытекают также из соответст-
соответствующих геометрических построений, которые будут проведены в
16.3.10.1. Инволюции встретятся еще в теореме Дезарга о пучках
кониче'ских сечений в 16.5.4. См., наконец, курс [106], гл. IV,
или, за неимением его, 14.8.16.
6.8 УПРАЖНЕНИЯ
6.8.1. Пусть а, Ь, т, п, /7 —пять различных точек проективной
прямой. Покажите, что [о, Ь, т, п] [а, Ь, n, p] [a, b, p, m]=l.
6.8.2. Докажите теоремы Паппа и Дезарга (см. 5.4.1 и 5.4.3),
используя 6.5.8.
6.8.3. Пусть задана гомография x<-*-(ax + b)/(cx+d) веществен-
вещественной прямой R. Исследуйте, имеется ли связь между существова-
существованием у нее неподвижных точек и возрастанием или убыванием
функции xi—*-(ax-{-b)/(cx + d) (хФ—die).
6.8.4. Возьмите какую-нибудь книгу по геометрической оптике
(например, [1], гл. 4) и исследуйте природу томографии, связан-
173
6.8 Упражнения
ных: с плоским, сферическим выпуклым или вогнутым зеркалом;
с плоским или сферическим диоптром, тонкой или толстой лин-
линзой. Разберите также различные формулы, приведенные в этой
книге.
6.8.5. Для /С = R и С изучите поведение итераций /"(n?Z) не-
некоторой томографии проективной прямой в зависимости от при-
природы /.
6.8.6. В случае К —С всякая ли гомография разлагается в произ-
произведение двух инволюций? А как обстоит дело в случае К" = R?
6.8.7. Пусть / — гомография, обладающая двумя различными
двойными точками а, Ь. Покажите, что пара \k, l/k}, где
k — [a, b, m, f(m)], при любом т зависит только от / и не за-
зависит от выбора порядка а, Ь. Покажите, что если / соответствует
матрица} .), то {k, l/k\ совпадают с корнями уравнения
\с а)
(ad—be) k2 — {a2 + 2bc + d2)k + (ad —be) = 0.
6.8.8. Пусть данные те же, что и в 6.8.7, но, кроме того, К —С
Томографию / называют: эллиптической, если комплексное число
&(или \jk) равно по модулю 1, гиперболической, если k вещест-
вещественное положительное, и локсодромической в остальных случаях.
Покажите, что если М (/) нормировать условием ad—&с== 1, то
эти три случая можно охарактеризовать и с помощью «следа»
Tr f = a-\-d:
/эллиптическая <&a-\-d вещественно и|а + с(|<2;
/гиперболическая &a-}-d вещественно и|а + с(|>2;
/локсодромическая 43 а + d не вещественно.
Изучите, кроме того, природу итераций /" (п ? Z) в этих
трех случаях.
Что касается происхождения слова «локсодромическая»,
то покажите, что итерации /" (г) одной и той же точки z на
сфере Римана С (J оо все принадлежат локсодроме упомянутой
сферы (см. 18.1.8.2 и 18.11.3).
6.8.9. Пусть /—гомография на Си °°- Покажите, что / с матрицей
(а Ь\ » „ ,
I , ) оставляет инвариантной верхнюю полуплоскость # = {z?C:
lm z>0}- тогда и только тогда, когда а, Ь, с, d вещественны и
ad—be > 0. Проведите исследование неподвижных точек и ите-
итераций таких / как частный случай 6.8.8. Покажите, что если / и g
оставляют Н инвариантной и коммутируют, то они обязательно
имеют одни и те же неподвижные точки.
6.8.10. Воспользуемся обозначениями из 6.3.2. Покажите, что
стабилизатор множества {4} изоморфен @3 и действует эффективно,
если КфРЛ.
174
Гп. 6. Проективные прямые
6.8.11. Пусть ал;4 + Ьх3 + ex2 -J- dx + е = 0—уравнение четвертой
степени на С. Найдите условия на а, Ь, с, d, е, при которых
двойное отношение четырех корней этого уравнения принадлежит
множеству {— /, — j2} (см. 6.3.2 (ii)). Тот же вопрос для четырех
корней, находящихся в гармоническом отношении (это довольно
сложно). Наконец (очень сложно), выразите все шесть значений
двойного отношения как функции коэффициентов а, Ь, с, d, е
(см. [72], с. 43-51).
6.8.12. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ. Рассмотрим дифференциальное урав-
уравнение Риккати у' (t) = a(t)y2+b(t)y + c(t), где а, Ь, с—не-
с—непрерывные функции [а, р]—(-R. Покажите, что если г/,(г=1, 2,
3, 4)—четыре решения этого уравнения, то их двойное отношение
[t/i @1 не зависит от t.
6.8.13. Пусть К.—некоммутативное тело, Е—двумерное векторное
пространство над К и а, Ь, с, d — четыре различные точки проектив-
проективной прямой Р(Е). Назовем двойным отношением точек (а, Ь, с, d) и
обозначим через .множество таких элементов ??/(, для ко-
\_с а\
торых существуют такие и, v?E, что а = р (и), b — p{v), c = p(u + v),
d = pfeu-^v). Покажите, что \а , —множество сопряженных эле-
ментов (относительно внутренних автоморфизмов) к некоторому
элементу мультипликативной группы К*- Сформулируйте и до-
докажите обратное утверждение. Исследуйте, во что превратятся
результаты этой главы в применении к введенному двойному от-
отношению.
6.8.14. Пусть К.—выпуклый компакт, принадлежащий конечно-
конечномерному вещественному аффинному пространству, причем мно-
множество К внутренних точек не пусто, а все граничные точки у К.
являются крайними (см. 11.6.4). Определим функцию d:RxK¦—>¦ R,
полагая d(m, m) = 0ym^K, а для т, п?К, тфп, полагая
d(m, я) =-i-1 log ([m, n, a, f>])\,
где а, C—^две точки пересечения прямой <т, /г> с границей ком-
компакта К- Покажите, что d корректно определена и превращает К
в метрическое пространство. Покажите также, что для любых
т, п?К существует единственный кратчайший путь из я в л, а
именно отрезок [т, я] (см. 9.9.5).
6.8.15. Изучите томографии проективной прямой над необяза-
необязательно коммутативным телом.
6.8.16. Покажите, что всякая томография в Си°°, оставляющая
глобально инвариантным единичный круг D={z?C: |z|^l},
имеет вид
175
6.8 Упражнения
где 9 вещественно и |zo| < 1. Покажите, что группа этих гомогра-
фий 2-транзитивна на D (см. 1.4.5) и сохраняет расстояние,
определенное в 6.8.14 на D. Сравните с 19.6.9.
Frit
Рис. 6.8.14
Рис. 6.8.17
6.8.17. Пусть (а,),=1 5 — пять различных точек проективной
плоскости, и первые четыре из них образуют проективный репер.
Обозначим через dtJ прямую <а,-, а;>. Покажите, что всегда
[d12, dl3, du, du][d23, d2l, d2i, d2b][d31, d32, d3i, d35]=l.
Покажите, что тогда и только тогда существует томография,
переводящая (а,-) ,-=1 5 в (а[-)г-=1 5, когда выполняются
два равенства:
[d12, d13, du, dlb\ = [d[2, d[3, d[iy d'lb],
[d23, d2l, d2i, d2b] = [d23, cBi, dii, d2b],
где Зц = <.а\, a'f>. Дайте обобщение на случай произвольного ко-
конечномерного проективного пространства.
6.8.18. Изучите понятие гармонического отношения в некомму-
некоммутативном случае. Во что превратится 6.4.10?
6.8.19. Почему на рис. 6.4.8.1 не указана точка с?
6.8.20. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ. Пусть 5—линейчатая поверх-
поверхность в R3, т. е. объединение \]D{t) семейства прямых -D(t) из
R3, зависящих от параметра t, который пробегает открытый
интервал /czR. Предположим, что в каждой точке m?D(t0)
(t% ? /) поверхность S представляет собой дифференцируемое
подмногообразие в R3, и обозначим через Т (т) его касательную
плоскость в точке т. Покажите, что отображение т*-*-Т (ш) либо
является томографией, либо постоянно. Сравните этот результат с
14.4.4.
6.8.21. Пусть (iT —тетраэдр в трехмерном проективном прост-
пространстве и D—прямая. Покажите, что двойное отношение четырех
точек пересечения D с гранями <0~ равно двойному отношению
четырех плоскостей, проходящих через D и вершины ?Г.
6.8.22. См. упр. 14.8.16.
Глава 7 Комплексификация
7.0 Введение
7.1 Комплексификация веще-
вещественного векторного про-
пространства
7.2 Функториальность опера-
операции *с, или комплексифика-
комплексификация морфиэмов
7.3 Комплексификация поли-
полиномов
7.4 Подпространства и комплек>
сификация
7.5 Комплексификация проек-
проективного пространства
7.6 Комплексификация аффин-
аффинного пространства
7.7 Упражнения
Цель этой главы состоит в том, чтобы определить внутренним
образом комплексификацию вещественного векторного прост-
пространства, вещественного проективного пространства н веществен-
вещественного аффинного пространства. Затем мы собираемся выяснить,
можно ли комплексифицировать также морфизмы и подпрост-
подпространства. Наконец, мы хотим показать (§ 7.6), что пополнение
данного вещественного аффинного пространства до проективного и
комплексификация этого проективного пространства приводит к
тому же результату, что и комплексификация этого аффинного
пространства и пополнение полученного комплексного аффинного
пространства до проективного. Этот результат пригодится нам
для того, чтобы внутренним образом ввести круговые точки
евклидова аффинного пространства (9.5.5). Поскольку соответст-
соответствующие построения довольно длинны, хотя и не слишком сложны,
а нам известно о существовании для X универсального век-
векторного пространства X (гл. 3 и 5), мы во введении укажем
другой, весьма элементарный и быстро приводящий к цели
способ, который, однако, не является внутренним.
7.0 ВВЕДЕНИЕ
7.0.1. Нам потребуется комплексифицировать различные объекты,
например: вещественные векторные пространства и их эндомор-
эндоморфизмы, для того чтобы найти собственные плоскости G.4.3);
евклидовы пространства и определяющую их квадратичную фор-
форму, для того чтобы ввести изотропные элементы и охарактери-
охарактеризовать подобие (8.8.6.4); проективные пространства, для того
чтобы ввести круговые точки (9.5.5). Речь здесь идет об од-
одной операции, играющей фундаментальную роль в математике.
«Часто самый короткий путь между двумя вещественными ре-
результатами проходит через комплексное» —говорил Адамар.
7.0.2. Самый простой способ действий, вполне достаточный для
целей этой книги, состоит в следующем. Чтобы комплексифици-
рбвать векторное пространство конечной размерности п, нужно
выбрать базис в ? и вложить Е в С" с помощью отображения
Е Э *=(*!, ..., *„)>—>(*!, . .. хп) ?С", где*,-—координаты точкихв
рассматриваемом базисе. Так же поступают в случае аффинного
177
7.0 Введение
и-мерного пространства, используя аффинный репер и вводя в
С" естественную аффинную структуру (см. 2.2.1). Если нужно
комплексифицировать евклидово пространство и в то же время опре-
определяющую его квадратичную форму, то следует, как и выше, ввести
базис, рассмотреть вложение ?—>-С" и на С" определить квадратич-
квадратичную форму 2аGг(г/ от (г1> • • • > zn) € С", если исходная квадратичная
форма в выбранном базисе имеет вид
Что касается
комплексификации вещественного проективного пространства, то
здесь комплексное проективное пространство вводится исходя из
векторного пространства, полученного в результате комплекси-
комплексификации векторного пространства, определяющего исходное про-
проективное пространство.
Наконец, самая сложная ситуация, с которой нам
придется столкнуться в дальнейшем, возникает в следующем слу-
случае. Пусть X — вещественное аффинное пространство, X— его
проективное пополнение (см. § 5.1), и мы хотим комплексифи-
комплексифицировать одновременно X и X таким образом, чтобы полученное
комплексное проективное пространство оказалось пополнением
полученного комплексного аффинного пространства. Это легко
сделать с помощью аффинного репера в X. Воспользуемся обоз-
обозначениями из 5.0.2. Введем комплексификацию С" пространства
X и вложение X—.-С", как в 7.0.2. Проективное пополнение X
пространства X отождествляется с P"(R), а вложение X—*-P"(R)
принимает вид (хг, .. ., хп)>—>¦ (xlt . .., хп, 1). Но комплексификация
Р" (R) естественным образом совпадает с Рп (С) в силу очевидного
включения Р" (R)c:Pn(C). В этом случае вложение С" —»- Рп (С)
задается формулой (г1? ..., zn) i—>p (zu . .., zn, 1) и совпадает с
вложением С" в его проективное пополнение (С"-—комплексное
аффинное пространство); отсюда мы получаем следующую ком-
коммутативную диаграмму:
7.0.2.1. { |
С» — р» (С)
где вертикальные стрелки обозначают комплексификацию, а гори-
горизонтальные— проективное пополнение.
7.0.3. Всего сказанного достаточно для целей нашей книги.
Однако конструкции 7.0.2 обладают весьма существенным не-
недостатком: они априори зависят от выбора базиса. Этот недоста-
недостаток—быть может, по причине особой математической пытливости
человеческого ума или в связи с нашим безотчетным стремлением
к законченности и элегантности — порождает сильное желание
ввести нужные понятия внутренним образом. Подобная забота
не нова. Что касается конструкций 7.0.2, то здесь уместно
178
Гп. 7. Комппексификация
вспомнить длительный исторический спор вокруг «принципа не-
непрерывности Понселе». Мы приведем по этому поводу две цитаты.
В первой из них, взятой из [109], с. 72, формулируется сам
принцип: «Представим себе фигуру F, образованную из точек,
прямых и кривых, и предположим, что фигура F перемещается
и деформируется непрерывным образом. Предположим, далее, что
при каком-то положении F' этой фигуры некоторые из ее эле-
элементов становятся мнимыми. Тогда свойство фигуры F, не отно-
относящееся к этим элементам, но которое можно установить с помощью
этих элементов, останется справедливым и для фигуры F'». Этот
принцип вторгается, помимо всего прочего, в алгебраическую
геометрию и выходит за рамки комплексификации. Мы, однако,
процитировали его здесь ради исторического интереса и из-за
того, что он имеет некоторое отношение к 7.0.2. Вторую цитату
мы взяли из [72], с. 15. Она относится к тому промежуточному
периоду, когда комплексные числа уже начали применять в гео-
геометрии, но еще не был найден современный внутренний способ
комплексификации. «Однако прежде, чем продолжать, будет не
лишним ответить на возражение фон Штаудта, адресованное
аналитической теории мнимых объектов, но которое можно было
бы отнести также и к тому, что мы только что изложили. Этот
весьма сведущий геометр утверждал, что мнимые точки, такие,
как мы ввели, существуют в некотором роде лишь постольку,
поскольку выбраны оси координат. Данное возражение можно
было бы адресовать любому исследованию, где используются
такие оси. А для того, чтобы ответить на него, достаточно пока-
показать, что если мнимая точка принадлежит одной или нескольким
поверхностям, то она не перестанет им принадлежать и после
замены координат. Именно это и получится, разумеется, если мы
договоримся применять к мнимым и бесконечно удаленным точкам
формулы перехода к новым координатам, доказанные для вещест-
вещественных точек».
7.0.4. Таким образом, промежуточная точка зрения состоит в том,
чтобы использовать 7.0.2, но при этом проверять всякий раз, как
потребуется, что комплексификация рассматриваемых объектов
зависит лишь от самих этих объектов в исходном пространстве,
а не от выбранного базиса. Например, комплексифицируя евкли-
евклидово векторное пространство одновременно с его квадратичной
формой, можно проверить, что изотропный конус в комплексифи-
цированном пространстве зависит лишь от его евклидовой
структуры.
7.0.5. Все это показывает, что внутренняя формулировка конст-
конструкций 7.0.2 не лишена интереса. Она и составляет предмет
данной главы. Однако эти конструкции оказываются в итоге
довольно-таки дорогостоящими по сравнению с теми преимущест-
преимуществами, которые мы при этом получаем. Вот почему мы, с одной
179
7.1 Комплексификация вещественного пространства
стороны, привели конструкции 7.0.2, хотя и не внутренние, но
зато позволяющие быстро продвинуться вперед, а с другой сто-
стороны, постарались изложить материал этой главы очень экономно.
Во-первых, мы не детализировали простые доказательства и не
приводили подробно все формулировки. Во-вторых, чтобы легче
писалось и думалось, мы определили явные канонические комп-
комплексификации вместо лучшего (но и более трудоемкого) понятия
внутренней комплексификации (для которого нужно доказывать
универсальность и единственность с точностью до подходящего изо-
изоморфизма). Относительно этого «царского пути» см. [101], с. 144—
155.
7.0.6. ПРИМЕЧАНИЕ. Читателю, наверное, хотелось бы знать,
существуют ли обобщения понятия комплексификации. Один при-
пример такого рода можно найти в [106], гл. IV, где речь идет
о квадратичных расширениях (обобщающих расширение Cz>R).
7.1 КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ВЕЩЕСТВЕННОГО ВЕКТОРНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Комплексифицировать вещественное векторное пространство —
это значит вложить его в наименьшее возможное комплексное
векторное пространство, аналогично тому, как мы переходим от
R к С. Сейчас мы приведем в готовом виде естественную комп-
лексификацию пространства Е.
7.1.1. определение. Пусть Е—вещественное векторное простран-
пространство. Назовем комплексификацией Е и обозначим через Ес про-
произведение ЕхЕ, наделенное структурой векторного пространства
над С, где операции определяются соотношениями
(х, у)+(х', у')=*(х + х', у + у'),
{К + щ){х, у) =(\x—ixy, Xy + ixx).
Пространство Е вкладывается в Ес с помощью отображения
х*—>(х, 0). Инволютивное отображение
а: {х, у)*-+(х, —у)
пространства Ес в себя называется сопряжением в Ес. Мы имеем
? = Ker(a—Id?c) = {z ? ?с: a(z) = z\.
7.1.2. ЗАМЕЧАНИЯ _
7.1.2.1. Сопряжение а полулинейно: <r(Xz) = tar(z).
7.1.2.2. Раз 7.1.1 у нас в распоряжении, то заметим, что
i(y7 0) = @, y)^iy; поэтому можно записать (х, y) = x-\-iy
и Ec = E(±)iE (вещественная прямая сумма). Тогда a(x-\-iy) =
— х — iy, что оправдывает термин «сопряжение».
7.1.2.3. Среди прочих готовых определений комплексификации
мы встречаем, например, такое:
?C = LR(C; E) = {f: С-*-?:/ R-линейно}, ?c =
180
Гл. 7. Комппексификация
181
7.4 Подпространства и комплексификация
Относительно универсального определения см. [101], с. 146.
7.1.3. БАЗИСЫ. Пусть {es\s=1 „ — базис в Е. Тогда \es\czEc —
базис в Ес над G (но не над R!). Этим апостериори оправды-
оправдывается конструкция 7.0.2. Обратно, если \e's}s=lt ... , „ — произволь-
произвольный базис в Ес (над С), то важное замечание состоит в том,
что In векторов
принадлежат Е, поскольку они инвариантны относительно а,
и, значит, из этих 2п векторов можно выбрать R-базис в Е.
7.2 ФУНКТОРИАЛЬНОСТЬ ОПЕРАЦИИ *с , ИЛИ
КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ МСРФИЗМОВ
7.2.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Е, Е'—два вещественных векторных
пространства и f?L(E; ?"). Тогда существует единственное
fc?Lc{Ec; E'c), такое что fc\E = f. Кроме того, (ю/с = /соо
для сопряжений о в Е и Е'. Наконец, операция «с функториальна,
т. е. {ЫЕ)С=Ы^, и если f <=?(?; E'), g?L(E''; Е"), то (g о /)с=
= gc
g f
Для того чтобы доказать 7.2.1, достаточно заметить,
что Iе при всех х, у удовлетворяет соотношению
fc{x + iy) = f{x) + if{y) (см. 7.1.2.2).
Ec-Le'c
7.2.2. Пусть M(f)—матрица f в двух базисах в Е, ?"; тогда
М (fc) = M (/), если те же базисы рассматривать как базисы
в Ес, Е'с (см. 7.1.3).
7.3 КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ПОЛИНОМОВ
7.3.1. Пусть <р: Ех . ¦. хЕ—<-R есть k-линейное отображение
над вещественным векторным пространством Е. Тогда сущест-
существует и притом единственное отображение
Фс: Есх ...х?с->С,
k-линейное (над С) и такое, что фс|е* ...х? = Ф- Кроме того,
если ф симметрично, то и ц>с симметрично.
Такое фс с необходимостью должно выражаться в виде
ное число Р и Х? равно xs, если s^P, и ys, если s?P. Можно
проверить, что фс удовлетворяет всем нужным условиям.
7.3.3. ПРИМЕР. Если & = 2, то
= Ф(дг, x') — tp(y, y') + i(<p(x,y') + (p(x\ у)).
7.3.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть f ? Э*и (Е); тогда существует единст-
единственное fc^9ik(Ec), такое что fc\E = f.
В силу 3.3.1 можно считать, что / однородно степени k.
Пусть / = фоД, где <р: Ek—>-R полилинейно и симметрично.
Положим /с = фсоДс, где ц>с—отображение из 7.3.1 и Ас: Ес—>-
—гЕсх...хЕс—диагональное отображение. Тогда /с удовле-
удовлетворяет всем нужным условиям и притом единственно, так как <рс
полностью определено в силу единственности ф в 3.3.1 и единст-
единственности фс в 7.3.1.
7.3.5. Если задан базис в Е, то для того, чтобы выразить /с
с помощью координат, достаточно в два выражения из 3.3.3
вместо вещественных %s подставить комплексные.
7.4 ПОДПРОСТРАНСТВА И КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ
7.4.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Е—вещественное векторное прост-
пространство и F—его векторное подпространство. Тогда векторное
подпространство Fc (над С) в Ес, порожденное подмножеством F
из Ес, имеет вид Fc = F -\- iF = {х + iy: х, у ? F}. Мы назовем его
комплексификацией F (в Ес). Кроме того, выполняется соотно-
соотношение o(Fc) = Fc. Обратно, пусть SczEc—векторное (комплекс-
(комплексное) подпространство в Ес, такое что o(S) = S. Тогда Sf)E —
векторное (вещественное) подпространство в Е и его вгществен-
ная размерность dimR (S П Е) равна комплексной размерности
dimcS подпространства S. Кроме того, S = (Sf\E)c.
В этом предложении единственным не вполне тривиаль-
тривиальным местом является обратное утверждение. Будем действовать
последовательно. S(]E — векторное подпространство из Е,
(Sf)E)cczS. Для того чтобы показать, что из o(S) = S вытекает
(S п Е)с = S, достаточно воспользоваться идеей из 7.1.3: для
всякого х ? S элементы х-^-о(х) и (\/i)(x — о(х)) принадлежат
Sf]E. Но
где Р пробегает 2k подмножеств из {1, .. ., k\, # Р—кардиналь-
Р—кардиналь7.4.2. ПРИМЕЧАНИЯ. Здесь прежде всего возникают трудности
при попытке сделать чертеж, поскольку уже в первом нетри-
нетривиальном случае dimcS=l, dimc? = 2 и, значит, dimR?' = 4.
С другой стороны, если o(S)^S, то 7.4.1 уже не верно. Напри-
Например, если взять ? = R2, ?С = С2 и 5= {(г, iz): z ? С}, то S П R2=0
и, следовательно, (Sn?)c = 0.
182
Гл. 7. Комппексификация
183
7.6 Комппексификация аффинного пространства
Отметим систематическое использование а (см. 7.1.1,
7.2.1, 7.4.1). Мораль состоит в том, что вместе с Ес всегда нужно
рассматривать и сопряжение а. И в самом деле, можно пока-
показать, что задание Ес и а равносильно заданию Е и Ес (см.
[101], с. 146, где это берется за определение комплексификации)
7.5.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для всякого f ? GP (Е)(Е—векторное прост-
пространство) существует единственное }с ? GP (Ес), такое что
/с1 Л
Рис. 7.4.2
7.4.3. СЛЕДСТВИЕ. Пусть f?L(E; E)—эндоморфизм конечномер-
конечномерного вещественного векторного пространства. Тогда у f обяза-
обязательно существует по крайней мере одно собственное векторное
подпространство Р (т. е. такое подпространство, что f(P)czP)
размерности 1 или 2.
Пусть V—собственная прямая эндоморфизма /^прост-
/^пространства Ес, которой соответствует собственное значение К. Тогда
o(V) — собственная прямая, соответствующая % (см. 7.1.2.1). Сле-
Следовательно, комплексное векторное подпространство 5 = V-\-a(V)
инвариантно относительно а (и имеет размерность 1 или 2).
Искомое подпространство в Е есть не что иное, как E()S.
7.4.4. Следствие 7.4.3—вещественный вариант теоремы о сущест-
существовании собственного вектора у комплексного эндоморфизма —
широко используется: см. 8.2.15, § 13.5.
7.5 КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
7.5.1. определение. Пусть 5s = Р (Е) — вещественное проективное
пространство. Назовем комплексификацией 5* и обозначим ч&рез ИРС
комплексное проективное пространство Э*С — Р(ЕС). Отождест-
Отождествим S* с подмножеством 9*c, перейдя к факторизациям во вклю-
включении ?\0—>-Ес\0. Сопряжение в 55С, обозначаемое через а,—
это отображение !РС—>3*с, которое получается из а: Ес\0—>-
—>-Ес\0 с помощью факторизации.
7.5.2. Отметим, что 5* не является проективным подпространст-
подпространством в 55С, так же как Е не является векторным (комплексным)
подпространством в Ес. Заметим также, что а: 5*с—>Э*С сохра-
сохраняет коллинеарность точек. На самом деле а—полуморфизм
(см. 5.4.8). Наконец, Э" (над R) и Э"с (над С) обладают одинако-
одинаковой размерностью, так же как Е и Ес.
7.5.4. предложение. Пусть !Р—вещественное проективное про-
пространство и SdUP1—его проективное подпространство. Тогда
проективное (комплексное) подпространство Sc в 5ЗС, порожден-
порожденное подмножеством S из Э~с, удовлетворяет соотношениям
o(Sc) = Sc, S = Scn^ и называется комплексификацией S (в 55С).
Обратно, пусть Т—комплексное проективное подпространство
в Рс, такое что о(Т) — Т. Тогда Т(K* — проективное (вещест-
(вещественное) подпространство в 5\ размерность которого равна комп-
комплексной размерности Т; кроме того, (Т П55)С = Г.
7.5.5. ЯВНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. Такие вычисления проводятся в одно-
однородных координатах, отвечающих базису Е или проективному
реперу из Р(Е). Но базис Е остается и после комплексификации
базисом в Ес, а проективный репер в Р (Е) остается проектив-
проективным (комплексным) репером в Р(ЕС). Поэтому достаточно заме-
заменить вещественные координаты комплексными (что апостериори
оправдывает 7.0.2).
7.6
КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
7.6.1. Пусть (X, X)—вещественное аффинное пространство. Вло-
Вложим X (см. 3.1.7) в соответствующее универсальное векторное
пространство X и рассмотрим последовательные включения
ХсХс(Х)с, где Xе—комплексификация вещественного вектор-
векторного пространства X. Напомним (см. 3.1.7), что X = М~1A), где
М—линейная форма на X. В силу 7.2.1, существует линейная
форма Xе—*С, являющаяся комплексификацией формы М: X—*- R-,
мы обозначим ее через Мс, поскольку она уже определена
(см. 7.2.1), и положим
Хс = (Мс)-1(\)аХс.
Это Xе представляет собой аффинную (комплексную)
гиперплоскость комплексного аффинного пространства Xе (отно-
(относительно его естественной структуры, см. 2.2.1), и в частности
является комплексным аффинным пространством.
7.6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Комплексификация вещест-
вещественного аффинного пространства X—это, по определению, комп-
комплексное аффинное пространство Xе = (МС)~1 A). Векторным про-
пространством, присоединенным к Xе, является ХС = ХС, и ХаХс
естественным образом. Кроме того, сопряжение а из Xе остав-
оставляет Xе неподвижным: о(Xе) = Xе и X = {z?Xc: o(z) = z\. Суже-
184
Гл. 7. Комплексификация
185
7.7 Упражнения
ние а на Xе мы также обозначим через а и назовем сопряже-
сопряжением в Xе. Для векторизации в произвольной точке а ? X выпол-
выполняется соотношение (Хс)а = (Ха)с. Существует естественный
изоморфизм (Х)с = (ХС).
Векторным пространством, присоединенным к Xе, слу-
служит (М0)^), которое совпадает с Xе, поскольку М~1@)=Х.
Кроме того,
а (Xе) = а((Мс)-1 A)) = (Мс)~1 (а A)) = (Мс)~1 A) = Xе
в силу 7.2.1. Далее, соотношение a(z) = z, z?Xc, эквивалентно
соотношению г ? Xcf\X = X. Равенство (Хс)а = (Ха)с вытекает из
последней части 3.1.7. Что касается изоморфизма (Х)с ^ (Xе), то
см. определение универсального пространства.
7.6.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X, X' — два вещественных прост-
пространства и f?A(X; X')—морфизм. Тогда существует ипритом
единственное отображение fc?Ac(Xc; Х'с), такое что fc\x = f.
Это fc называется комплексификацией морфизма /. Кроме того,
о о fc = fc о а.
Для доказательства нужно воспользоваться 7.2.1 при-
применительно к векторизациям Ха, Х'1ш и концом 7.6.2.
7.6.4. Если X—вещественное аффинное пространство и Xе—его
комплексификация с сопряжением а, то для аффинных подпро-
подпространств 5 из X справедлив результат, аналогичный 7.4.1. Кроме
того, для направлений выполняется соотношение SC = SC.
7.6.5. Точно так же §7.3 обобщается на случай полиномов на X;
для этого достаточно воспользоваться критерием 3.3.14, а также
пунктами 7.6.2 и 7.3.4.
7.6.6. Теперь мы можем взяться одновременно за конструкцию
7.0.2 и за диаграмму 7.0.2.1, что является главной целью этой
главы и будет использовано в 9.5.5 и в гл. 17. Пусть X — вещест-
вещественное аффинное пространство; тогда его проективное пополне-
пополнение (см. гл. 5) имеет вид
X = Р (X) = X U Р (X) = X U оох.
Введем Xе, Xе и, следовательно, проективную комплексифика-
цию (Х)С = Р(ХС) вещественного проективного пространства
Р (X) = X. Наконец, найдем в (Х)с комплексификацию веществен-
вещественного подпространства оох, которую мы обозначим через оо?
(см. 7.5.4). При этом справедливо включение ХсаР (Хс)а(Х)с.
7.6.7. ЛЕММА. Хс = (Х)с\оосх.
В самом деле, оох = Р(Х); значит, оо% = Р ((Х)с), но
(Х?)=(Х)С (см. 7.6.4).
7.6.8.- предложение. Вложение XеczР (Xе) = (Х)с идентично
естественному вложению Xе в его проективное (комплексное) попол-
пополнение. В частности, (Х)С — (ХС).
7.6.9. Если / ? GA (X), то существует единственное /с ? GP^c (X^),
такое что Jc\xc = fc. Воспользуйтесь 5.2.2.
7.6.10. Можно сформулировать соответствующие результаты от-
относительно подпространств.
7.6.11. Предложение 7.6.8 апостериори дает обоснование конст-
конструкции и диаграмме 7.0.2.
7.7 УПРАЖНЕНИЯ
7.7.1. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное к фор-
формуле oofc = fcoa из 7.2.1.
7.7.2. Для отображения f?L(E; ?") исследуйте, существует ли
его расширение /: Ес—>-Е'с, полулинейное относительно авто-
автоморфизма ~ — сопряжения в С (см. 2.6.2).
7.7.3. Изучите обобщение 7.5.3 на случай произвольных мор-
физмов f?M(P(E); P{E')).
1.1 Л. Восполните детали в 7.6.4, 7.6.5, 7.6.10.
7.7.5. Покажите, что тензорное произведение ?(g)RC представ-
представляет собой естественную комплексификацию пространства Е,
точно так же как и HoiriR (С; Е).
Часть
2
Евклидовы пространства,
треугольники,
окружности и сферы
Посвящается
Изабели и Бернару
Глава 8. Евклидовы векторные прост-
пространства: напоминания и
дополнения
Глава 9. Евклидовы аффинные про-
пространства
Глава 10. Треугольники, сферы и
окружности
Глава 8 Евклидовы векторные пространства:
напоминания и дополнения
8.1
Определение и элементар-
элементарные свойства евклидова
пространства
Ортогональная группа:
элементарные свойства и
план изучения
Строение группы О (Е) при
dim? = 2
Канонический вид изомет-
рии. Образующие групп
0(Е) иО + (Е)
8.5 Простота группы О (Е)
Углы между прямыми и
лучами
8.7
8.2
8.3
8.4
8.6
8.8
8.9
Ориентированные углы на
плоскости
Подобия; изотропный ко-
конус и изотропные прямые
Кватернионы. Применение
к группам 0 + C) и 0+D)
8.10 Группы О + (п) и алгебраи-
алгебраическая топология
8.11 Каноническая форма объема
в ориентированном евкли-
евклидовом пространстве. Сме-
Смешанное произведение, век-
векторное произведение
8.12 Упражнения
Наш физический мир довольно хорошо моделируется аффинным
евклидовым пространством, рассматриваемым с точностью до
выбора масштаба, поскольку естественной единицы длины не су-
существует. В рамках теории аффинных евклидовых пространств
развивается основное содержание этой части книги, и в гл. 9
мы начинаем их изучение. Чтобы облегчить задачу, мы рассмат-
рассматриваем сначала присоединенные векторные евклидовы простран-
пространства. Глава 8 будет, следовательно, весьма алгебраической как
по форме, так и по существу. Поскольку объем геометрических
сведений, накопленных со времен древних греков, огромен, нам
пришлось, конечно, сделать определенный выбор материала. Ради
достижения некоторого единства подхода мы сосредоточили изло-
изложение вокруг свойств ортогональной группы О (¦) (план ее изу-
изучения приводится в 8.2.14). После того как будут даны опреде-
определения и доказаны некоторые общие факты (§8.1, 8.2), мы изучим,
с одной стороны, строение каждого отдельного элемента группы
О (Е) (собственные подпространства и пр., см. § 8.4) н, с другой
стороны, структуру группы в целом (§ 8.3, 8.5, 8.9). При этом
в двумерном случае мы существенно используем комплексные
числа (§ 8.3), а в трех- и четырехмерном случаях — кватернионы
(§ 8.9). Материал § 8.10 приведен для общего развития и ради
связи с современной математикой. В § 8.7, имеющем довольно
специальный характер, рассматриваются ориентированные углы
на плоскости. Это весьма тонкоэ понятие (на наш взгляд,
слишком тонкое для изучения в средней школе), позволяющее
получать различные красивые теоремы об окружностях (см., на-
например, 10.9.7). Напротив, понятие неориентированного угла
между прямыми или лучами кажется нам одним из фундамен-
фундаментальных понятий геометрии, и ему посвящен § 8.6. Изучение
подобия в § 8.8 мотивировано (кроме прочего) тем, что в физи-
189
8.1 Определение и элементарные свойства
ческом мире нет выделенной единицы длины, и, следовательно,
в модельном аффинном пространстве скалярное произведение
можно задавать лишь с точностью до множителя. Наконец,
в § 8.11 вводится широко применяемое классическое понятие
векторного произведения, а также строится каноническая форма
объема в евклидовом векторном пространстве (мы используем
эту форму впоследствии, при определении в § 9.12 канонической
меры в аффинном евклидовом пространстве).
Те из читателей, которые имеют вкус к обобщениям (столь ча-
частым в математике), возможно, зададутся вопросом, существуют
ли структуры более общие, чем евклидово векторное простран-
пространство, но сохраняющие некоторые их свойства. По поводу таких
структур (мы коснемся их лишь очень бегло в гл. 13) читателю
рекомендуется обратиться к следующим работам: [76], [191],
[221], [33], [4].
Если явно не оговорено противное, в этой главе Е обо-
обозначает евклидово векторное пространство, а п—его раз-
размерность.
8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
8.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Евклидовым векторным пространством Е
называется конечномерное векторное пространство над R, снаб-
снабженное билинейной симметричной положительно определенной
формой <р: ExE—>R (положительная определенность означает,
что ср (х, х) > 0 при всех хф§). Величина <р (х, у) обозначается
(х | у) и называется скалярным произведением векторов х и у.
Нормой |х| вектора х называется число Уц>(х, x) = V(x\x). Если
(х\у) = §, то говорят, что х и у ортогональны. Множество век-
векторов {?;Ь'=1 /г<=? называется ортогональной системой, если
(et |^.) = 0 для всех i=/=j, и ортонормированной системой, если,
кроме того, ||е; |[=1 для всех г.
8.1.2. ПРИМЕЧАНИЯ
8.1.2.1. В любом векторном подпространстве F евклидова век-
векторного пространства Е естественным образом вводится струк-
структура евклидова векторного пространства: посредством сужения
формы ф на F.
8.1.2.2. Стандартный пример евклидова пространства:
п
Е = R", Ф ((*!, .. ., хп), (ylt ..., уп)) = J] х,у,.
8.1.2.3. Билинейная форма ф определяет квадратичную форму
190
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
(|х||2 на Е и (см. 3.3.2) для всех х, у?Е имеем
\\\x + yf\\\r + (\y) + \\yf, или
8.1.2.5. Ортогональная система, состоящая из нулевых векторов,
всегда линейно независима.
8.1.2.6. Пусть {е,}—ортонормированный базис в Е. Тогда раз-
п
ложение вектора х по базису {е,} дается формулой х== zZxiei =
— ^j(x\ei)ei- Кроме того,
8.1.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для всех х, у?Е имеем \(х\ )К||||[|||
Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы х
и у линейно зависимы. Точнее, равенство
(х\у) = ±\\х\
эквивалентно существованию таких вещественных чисел % и ц, не
равных нулю одновременно, что Кх+W/ = 0. Далее, для всех х, у ?Е
выполнено неравенство ||# + */||^[|я||+||г/||; в частности, если по-
положить d(x, у)=\\х—у\\, то Е превращается в метрическое про-
пространство с канонической топологией (см. 2.7.1).
Рис. 8.1.3
8.1.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (ортонормализация по Шмидту). Пусть
{b;}i=i k—некоторый набор линейно независимых векторов в Е.
Тогда существует о рто нормированная система [ai\i=1 k, обла-
обладающая следующими свойствами: 1) набор \а(} гомотопен набору
{Ь/} (см. 2.7.2.7); 2) V/i=l, . .., k векторное пространство, по-
порожденное векторами {аи . . ., ah\, совпадает с векторным про-
пространством, порожденным векторами {Ь1} ..., bh\. Любую орто-
нормированную систему (в том числе пустую) можно дополнить
до о рто нормированного базиса. Любой базис гомотопен некото-
некоторому ортонормированному базису.
Если х—ненулевой вектор, то мы обозначаем через хп
нормированный вектор х, т. е. х" = \\х[\~1х. Векторы х и х" свя-
связаны очевидной гомотопией х (t) = txn-\-(l— t) x, t?[0, 1], описы-
вающейг отрезок с концами х и х".
191
8.1 Определение и элементарные свойства
В случае & = 1 достаточно положить ах = Ъ\.
Рассуждая по индукции, предположим, что векторы at
при i=l, ..., К—1 построены. Положим тогда
А-1
dh = Zt ifli I bh) a,-, ch = bh dh, ah = c%.
Прямая проверка показывает, что система {a,}i=i ft обладает
нужными свойствами. Например, требуемую гомотопию мы строим,
дополняя (существующую по предположению индукции) гомото-
гомотопию от {a,ji<«<A-i к {bi}1<i<h-i гомотопией от bh к ch: bh(t) =
= tck-\-(\ — t)bh и затем от ch к ah: ch(t) = tah-{-(l — t) ch.
<-3"t
Рис. 8.1.4
8.1.5. предложение. Пусть Е и Е'—евклидовы пространства
одинаковой размерности, /: Е—+Е' — некоторое отображение.
Тогда следующие условия равносильны:
(i) f?L(E, E') и \f{x)\ = \x
(ii) Vx, y?E: (f(x)\f(y)) =
Если эти условия выполнены, то f биективно. Такие отображения
называются изометриями: множество всех изометрий из Е в Е'
обозначается О (Е; ?").
Импликация (i)=>(n) вытекает из линейности / и 8.1.2.4.
Для доказательства обратной импликации выберем в Е (см. 8.1.4)
ортонормированный базис {et\. Из равенства размерностей и
условия (ii) следует, что система {/(?,¦)} образует ортонормиро-
ортонормированный базис в Е'. Теперь из 8.1.2.6 и условия (ii) вытекает,
что / ( 5] xjel = 2 *,-/(?,•), и доказательство линейности / за-
\i=l J i=\
кончено.
192
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
193
8.2 Ортогональная группа
8.1.6. следствие. Все евклидовы векторные пространства данной
размерности п изометричны пространству R" (см. 8.1.2.2).
8.1.7. На основании 8.1.6 можно говорить просто об «евклидо-
«евклидовом /г-мерном пространстве»; это не страшно, если понимать,
что под этим кроется.
8.1.8. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
8.1.8.1. Лемма. Пусть Е—евклидово векторное пространство,
Е* — двойственное к нему как вещественному векторному прост-
пространству. Отображение V. Е~Ъ xt—>xb = {г/i—> (х\ у)} ?Е* является
изоморфизмом векторных пространств. Обратное отображение
обозначается #= j,: E* —»- Е.
Известно, что dim E= dimE* (это можно показать,
например, с помощью двойственного базиса в ?*). Таким образом,
поскольку \, линейно, достаточно убедиться в том, что оно имеет
нулевое ядро. Это очевидно: если (х\у) = 0 для всех у, то (л:| л:) =
= || х ||2 = 0, откуда х = 0.
8.1.8.2. Лемма 8.1.8.1 позволяет ввести в Е* естественную струк-
структуру евклидова пространства. Из 2.4.8.1 и 8.1.8.1 получаем сле-
следующее' утверждение.
8.1.8.3. Определение. Предложение. Пусть А — подмножество в Е.
Через Л-L обозначим множество {х?Е: (х\у) = 0 Уг/?Л}. Мно-
Множество Л-L называется ортогональным дополнением множества А.
Это множество является векторным подпространством
в Е, и если <Л> обозначает векторное подпространство в Е, по-
порожденное множеством А, то <Л>-!- = Л-1-. Для всякого подпро-
подпространства А имеем A Q) A-L=E, dim Л+dim Ai~ = d\mE, (A-L)-L = A.
Если А и В—два подпространства в Е, то (Л + ?)х = А1- П5Х,
(А Г) В)х = Л-L -|- Z3-L. Два подмножества Л и В называются орто-
ортогональными, если АсВ1 или, что равносильно, ВаА1. В этом
случае пишут A J_ В.
8.1.8.4. Обозначения. Если Е представимо в виде прямой суммы
подпространств V и W, причем W = VJ-, то говорят, что Е раз-
разложено в ортогональную прямую сумму подпространств У и W
и пишут E = VQ) W. В случае нескольких подпространств У,- пишут
У^0У 0У
8.1.8.5. В случае dim? = 3 п. 8.1.8.3 возвращает нас к клас-
классическим результатам евклидовой геометрии, получаемым на
основе аксиоматического метода. Например, множество прямых,
проходящих через данную точку и перпендикулярных данной пря-
прямой, есть плоскость, называемая перпендикулярной плоскостью
к данной прямой. Далее, рассмотрим две прямые D и D', про-
проходящие через данную точку и перпендикулярные соответственно
двум данным плоскостям Р и Р'\ тогда плоскость, проходящая
через D и D', есть не что иное, как плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярная к прямой Pf)P'. Читатель, несомненно, заметит, что при-
приведенный результат имеет важнейшее практическое значение:
благодаря ему мы открываем и закрываем двери без теоретиче-
теоретических затруднений. Классическое изложение см. в [124].
'в'
Рис. 8.1.8.5
8
.1.8.6. Пусть /—эндоморфизм евклидова векторного простран-
пространства Е. Определим сопряженный эндоморфизм ff формулой *f =
=#о/*о у. Е-+Е, где f*—дуальный к / эндоморфизм, /*: Е* -> Е*.
Эндоморфизм 7 удовлетворяет соотношению G (х)\у) = {х \ f{y))
E
8.2 ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА: ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
И ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ
8.2.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Обозначим множество 0(Е; Е) через О (Е)
и назовем его ортогональной группой пространства Е. Группа
0(R") обозначается О (я). Эндоморфизм f принадлежит группе
О (Е) тогда и только <тогда, когда в каком-нибудь ортонормиро-
ванном базисе (а следовательно, и в любом ортонормированием
базисе) матрица А этого эндоморфизма удовлетворяет условию
7 № 2 765
194
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
М-Л = / (где t обозначает транспонирование, I—единичную ма-
матрицу). В частности, для f?O(E) выполнено равенство det/ =
= ±1; положим 0+ (?) = {/€0 (Е): det/=l}, 0~ (E) = {f ?0 (Е):
det/ = — 1}. Элементы множества 0+ (Е) называются вращениями.
Имеем: f ?0 (Е) <=>ff-f = ldE (см. 8.1.8.6).
Это предложение вытекает из следующей леммы, кото-
которая в свою очередь выводится из 8.1.2.6 и из определения про-
произведения матриц.
8.2.2. ЛЕММА. Пусть {е,|(=1 „—ортонормированный базис вЕ
и А, В—две квадратные матрицы порядка п (=dim?). Пусть
столбцы матриц А и В образованы из координат векторов хи...
..., хп и соответственно уг, . .., уп. Тогда
8.2.3. ЗАМЕЧАНИЯ
8.2.3.1. Если dim Е=п, то группа О (Е) изоморфна О (и) (см. 8.1.6).
Поэтому при изучении ортогональных групп мы можем ограни-
ограничиться группами 0(п).
8.2.3.2. 0+ (Е) является нормальной подгруппой в 0(Е). Кроме
того, имеют место следующие правила умножения:
О" (Е)-0+ (E)dO- (Е), О- (ЕH- (Е)аО+ (Е).
8.2.3.3. Группа О(Е) компактна в топологии, индуцированной
из GL (Е) (см. 2.7.1). В самом деле, если выбрать в конечно-
конечномерном векторном пространстве Е какой-нибудь базис и обозна-
обозначить через А (f) матрицу эндоморфизма / в этом базисе, то ото-
отображение /н-*-(Тг*Л (/)• А (/)I/2 задает норму в GL (E), порожден-
порожденную соответствующей евклидовой структурой. Если Е—евклидово
пространство и мы выбрали в нем ортонормированный базис, то
все элементы О (Е) будут иметь одну и ту же норму, равную
dim? (см. 8.2.1); стало быть, 0(Е)— ограниченное множество
в GL(?). Легко видеть, что оно замкнуто, так как МЛ=/.
Таким образом, О (Е) компактно.
Ограниченность О (Е) можно усмотреть и другим спосо-
способом. Введем в пространстве GL (Е) (не евклидову!) норму, положив
по определению \f || = sup {||/(х)||: х ? Е и |х(=1}. Тогда все эле-
элементы 0(Е) имеют норму, равную 1, и мы получаем требуемое.
8.2.4. Утверждение о компактности группы О (E)czGL (E) допу-
допускает следующее очень полезное обращение.
8.2.5. ТЕОРЕМА. Пусть G—компактная подгруппа в группе
GL (Е), где Е—некоторое конечномерное вещественное векторное
пространство (априори не являющееся евклидовым). Тогда в Е
существует по крайней мере одна евклидова структура <р, такая
что GaO(E), где О (Е)—ортогональная группа для этой евкли-
евклидовой структуры.
8.2.5.1. Самое короткое доказательство требует зато понятия
195
8.2 Ортогональная группа
меры Хаара на компактной группе (см. по этому поводу, напри-
например, [79], с. 219 и далее). Пусть dg—мера Хаара на G и <р —
какая-нибудь евклидова структура на Е. Для g?G определим
евклидову структуру g*<p на Е, полагая (g*<f>)(x, y) = y(g(x),
g(y)) для всех х, у?Е. Искомая евклидова структура на Е
определяется теперь как усреднение по группе G структур g*<p:
= \ g*(pdg,
т. е. для всех х, у
Ф(*> У)=
4>{g{x), g(y))dg.
geG
Очевидно, что <р—еще одна евклидова структура на Е, причем
инвариантная относительно действия G (т.е. ^*ф = ф для всех
g?G). Это вытекает из определения ф и инвариантности меры dg
относительно сдвигов из G. Но инвариантность ф относительно
действия G эквивалентна включению G cz О (Е) (где 0(Е) — группа
изометрий для евклидовой структуры ф).
8.2.5.2. Во втором доказательстве используется только мера
Лебега в конечномерном вещественном векторном пространстве
(см. 2.7.5.7). Рассмотрим вещественное векторное пространство
.ЖЕ)
Рис. 8.2.5.2
!Pf (E) квадратичных форм на /г-мерном вещественном векторном
пространстве Е (легко видеть, что размерность 5*f (E) равна
м(я+1)/2). Положительно определенные квадратичные формы
образуют в 3*? (Е) открытый выпуклый конус Q (Е), инвариант-
196
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
ный относительно действия G (которое определено, как в 8.2.5.1,
через операцию g*). Выберем в конусе Q(E) какую-нибудь фор-
форму ф. Ее орбита K = {g*<f>: g(zG\ относительно действия G яв-
является компактом в 5*Т (Е), и так как KaQ(E), то cent (К)
принадлежит Q (Е) и является искомой неподвижной точкой
группы G (см. 2.7.5.7).
8.2.5.3. В 11.8.10.8 мы приведем третье, геометрическое доказа-
доказательство теоремы 8.2.5, основанное на свойствах выпуклых мно-
множеств и не использующее теории меры.
8.2.6. замечания. В общем случае неверно, что инвариантная
относительно G евклидова структура единственна: контрпример
доставляет подгруппа G = {Id?}. Существует, однако, приятный
критерий единственности: инвариантная относительно G евкли-
евклидова структура единственна (с точностью до скалярного множи-
множителя) тогда и только тогда, когда группа G неприводима в GL (?),
т. е. когда в Е нет других инвариантных относительно действия G
подпространств, кроме {0} и Е; см. 8.12.1.
Современные приложения теоремы 8.2.5 (помимо 8.12.1)
можно найти, например, в [184] или [216], гл. VIII.
Заметим еще, что если G конечна, G = {g,-: i ? /}, то можно
определить инвариантное скалярное произведение, положив просто
ф = 2 giq-
i
8.2.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. (Предполагается, что dimf^ 2.) Группа
О+ (Е) транзитивно действует на единичной сфере S (Е) =
= {х?Е: ||;е||=1} пространства Е, а также на любом грассма-
ниане GE'p(b^.p^A\mE) (см. 1.2.5). Группа О (Е) действует
просто транзитивно на множестве ортонормированных базисов
пространства Е, а группа О+ (Е) действует просто транзитивно
на множестве гомотопных ортонормированных базисов (си. 2.7.2.7).
8.2.8. Предложение 8.2.7 позволяет представить стандартную
сферу 5" = 5(Rn+1) размерности п как однородное пространство
(см. 1.5.5)
где группа О(п) вложена естественным образом в О(«+1) как
подгруппа всех изометрий, оставляющих на месте вектор
@, 0, ..., l)?Rn+1. Такое же представление имеет место для
грассманианов:
Оп.Р = О(п)/(О(р)хО(п-р)),
гдеО(р) хО (п—р)есть прямое произведение подгруппы О (р)с:О(п),
состоящей из всех элементов f ? О (я), оставляющих неподвиж-
неподвижными п — р векторов (ер+и ..., еп) канонического базиса R",
и аналогичной подгруппы О (п—р) для векторов еи
8.2.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть E = S@T—разложение Е впрямую
ер.
197
8.2 Ортогональная группа
сумму, и пусть а—симметрия относительно подпространства S
параллельно подпространству Т (см. 6.4.6). Тогда а ? О (Е) в том
и только том случае, если E — S<^)T (m. e. T = Si-)\ в этом
случае мы обозначаем отображение а через as и называем его
(ортогональной) симметрией евклидова пространства Е. Если
dimS-L = l, то os называется симметрией относительно гипер-
гиперплоскости S; если dimSJ- = 2, то os называется переворачива-
переворачиванием. Если dimS-L четна, то os лежит в О+ (Е); если dimS1-
нечетна, то os лежит в О~ (Е). Все симметрии инволютивны,
и обратно, если f?O(E) и /2 = Id?, то f—симметрия.
Рис. 8.2.9
Рис. 8.2.11
8.2.10. Полезно знать явную формулу для симметрии он отно-
относительно гиперплоскости Н. Пусть х—ненулевой вектор
в Я-J- (dim#J- = 1); тогда
8.2.11. Если х, у? Е и | *| = |у ||, то существует гиперплоскость Н,
для которой он (х) = у; кроме того, если х Ф у, х Ф 0, то Н единст-
единственна. В самом деле, при х = у в качестве Н годится любая
гиперплоскость, содержащая х, а при х Ф у искомая гиперпло-
гиперплоскость Н должна быть ортогональна х—у, и гиперплоскость
(х—y)-L подходит. Заметим, что Н есть не что иное, как гипер-
гиперплоскость, равноудаленная от х и у, т. е. медиатор точек х, у:
H = {z?E: d(x, z) = d(y, z)\, см. 9.7.5.
8.2.12. ТЕОРЕМА. Любой элемент f группы О (Е) представляется
в виде композиции не более чем n = dimE симметрии относи-
относительно гиперплоскости.
Рассуждаем по индукции. Используя 8.2.11, можно
подобоать симметрию а относительно гиперплоскости так, чтобы
198
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
of(x) = x для некоторого хфЪ. Тогда гиперплоскость {х}1- ин-
инвариантна относительно отображения of и имеет меньшую раз-
размерность. Осталось применить индуктивное предположение.
8.2.13. СЛЕДСТВИЕ. ?слы dim?=1, то О (?) = Id?U(—Id?). Если
dim ? = 2, то любой элемент из 0~ (Е) является симметрией
относительно некоторой прямой, а любой элемент 0+ (?) яв-
является произведением двух симметрии относительно прямых.
Несмотря на простоту доказательства, утверждение
8.2.12 названо нами теоремой, так как оно оказывается чрезвы-
чрезвычайно полезным во многих местах. Если вместо формы, задаю-
задающей евклидову структуру, рассматривать произвольную невы-
невырожденную квадратичную форму на векторном пространстве над
любым полем, то теорема 8.2.12 останется верной, но доказа-
доказательство резко усложнится. Оно будет одной из основных тем
гл. 13.
D'
Рис. 8.2.13
8.2.14. ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ ГРУППЫ О (Е)
Строение данного элемента f группы О (Е). Мы найдем мини-
минимальное число симметрии относительно гиперплоскости (соответ-
(соответственно переворачиваний), требуемых для разложения /?О(?)
(соответственно /?О+(?)) (см. 8.4.5, 8.4.6). Далее мы докажем,
что любое / ? О (?) разлагается в прямое произведение изомет-
рий одно- и двумерных подпространств (см. 8.2.15), что моти-
мотивирует подробное изучение группы О B) (так как одномерный
случай тривиален, см. 8.2.13); при этом существенную роль играет
коммутативность группы О+ B).
Структура группы О (Е) в целом. Мы покажем, что группа 0+ B)
абелева, а также вычислим центры групп 0(Е) и 0+ (Е), а затем
докажем, что группа О+ (п) проста для п = 3 и п ^5 (см. §8.5).
Исключительный случай п = 4 довольно труден; мы изучим его в
8.9.10 с помощью кватернионов. Аппарат кватернионов позволяет
произвести также весьма тонкое исследование групп 0C) и 0D).
199
8.2 Ортогональная группа
Топология группы О (Е). Мы покажем (см. 8.4.3), что 0+ (Е) ли-
линейно связна, и, таким образом, 0+ (Е) и 0~ (Е) суть связные
компоненты О (Е). Затем мы покажем (см. 8.10.3), что фунда-
фундаментальная группа ях(О(/г)) совпадает с Z при п = 2 и с Z2 при
п ^ 3. Эти факты имеют основополагающее значение для мате-
математики. Равенство nx@B)) = Z является краеугольным камнем
теории функций одного комплексного переменного и теории кри-
кривых на плоскости, а равенство n1@(n)) = Z2 (при /г^З) оказы-
оказывается источником весьма неожиданных математических построе-
построений. Обо всем этом см. 8.10.3.
8.2.15. ЛЕММА. Пусть fdO(E). Существует разложение Е
в ортогональную прямую сумму Е = 0 Ph такую что
i
f (Р{) — Pt для всех i и
dim Р( — 1 или 2 при всех i.
Будем вести доказательство по индукции. Согласно 7.4.3,
в Е существует одномерное или двумерное подпространство Plt
инвариантное относительно /. Так как f—изометрия,то / {Pt) =
=Pi, и, поскольку dim Р^ < dim?, к Pt можно применить
предположение индукции.
Доказательства, не использующие комплексификации,
т. е. происходящие, так сказать, целиком в вещественной области,
можно найти в 8.12.2 и 8.12.3.
Лемма 8.2.15 показывает, что для изучения строения
произвольного элемента группы О (Е) достаточно изучить группы
0A) и 0B); группа 0A) рассмотрена в 8.2.13, а группа 0B)
будет рассмотрена в следующем параграфе.
8.2.16. ЦЕНТРЫ групп 0(Е) и 0+(?). Предположим, что dim ?>3
(случай dim ? = 2 будет разобран в § 8.3), и пусть изометрия /
коммутирует со всеми элементами группы 0+(?):
Возьмем, в частности, в качестве g переворачивание av, где
V—подпространство в ? коразмерности 2 (см. 8.2.9). Для всех
x?V имеем g(x) = x, следовательно, f(V) = V. Это верно для
всех V коразмерности 2, поэтому f(D) = D для любой векторной
прямой D, и, значит, /—гомотетия, / = XId?. Поскольку f?O(E),
имеем ^=±1 и/=±Ыя. Рассматривая знак detf, приходим к сле-
следующему утверждению.
8.2.17. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Центром группы О (?) служит ЫЕ{) (— ЫЕ).
Если Е нечетномерно, то центр 0+ (?) состоит из одного эле-
элемента ЫЕ, а если Е четномерно, то из двух элементов Id? и
Id
8.3
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
СТРОЕНИЕ ГРУППЫ О (Е) ПРИ dim E=z 2
Всюду в этом параграфе через Е обозначается двумерное
векторное евклидово пространство (плоскость), которое не
предполагается ориентированным, если не оговорено против-
противное.
8.3.1. ЛЕММА. Пусть f ? GL (E) и M(f)—матрица f в каком-
нибудь ортонормированном базисе. Тогда
Кроме того, для f?O+(E) вещественные числа а и \Ь\ не зави-
зависят от выбранного базиса.
/(бг)
Рис. 8.3.1
Пусть выбранный базис S3 состоит из векторов е1 и
() T- e- f(ei)=(a> b)> f(e2)=(c, d). По предполо-
предположению / (et) e (f К))х, но dim(/(e1)I = l и (—6, а) € (/fo))-1-.
Поэтому f (et) = (— kb, ka), k?R, но ||/ (e2)\\ = \\f (ei)J = 1, следо-
следовательно, а2 + Ь2 = 1 иА = ±1.
Далее, Тг/ = 2а, поэтому а не зависит от выбора
базиса; что касается \Ь\, то Ьг = 1—о2.
8.3.2. ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказательства видно также, что если et
и и—два единичных вектора, то существует и притом единст-
единственная изометрия / € 0± (Е), переводящая е± в и. В самом деле,
две возможности для / (е2) соответствуют как раз положительному
и отрицательному детерминанту f. Эта простая транзитивность
вытекает также из 1.4.4.1.
201
8.3 Строение группы О(Е) при dim ?=2
8.3.3. теорема. Множество О (Е) состоит из симметрии отно-
относительно прямых в Е. Группа О+ (Е) абелева и просто транзи-
тивно действует на единичной окружности S (Е) = {х?Е: ||х |= 1}.
Первое утверждение вытекает из 8.2.13, а простая
транзитивность—из 8.3.2. Коммутативность О+ (Е) проверяется
прямой выкладкой:
8.3.4.
а —Ь
b a
а
Ъ'
¦V
а'
(аа' ¦
\аЬ' ¦
-bb' —(ab' + a'b)
¦a'b aa'—bb'
8.3.5. СЛЕДСТВИЕ. Пусть Е ориентировано; тогда b одинаково
для всех положительных ортонормированных базисов. Если
f?O+(E), geO-(E),mofg^=gf~1. Любой элемент группы 0+ (Е)
есть композиция двух симметрии относительно прямых, причем
первую из них можно выбирать произвольно.
Пусть 93, 9В' — положительные ортонормированные
базисы, / ? О+(Е). Матрицы М^ (/) и М^> (/) подобны: М%> (/)=
(M^(t))~1M^(f) Mcft(t), где изометрия/ определяется соотно-
соотношением Ж = t (S3). Отсюда t ? 0+ (Е) и М^ (/) = Af^ (/), поскольку
0+(?) абелева. Если/?0+(?), ag?O~{E), то fee 0~(?)(см. 8.2.3.2).
Поэтому (см. 8.3.3) fg является симметрией, а следовательно,
инволюцией: (fgJ =ЫЕ; но g?0~ (E) также инволюция. Теперь
искомое представление/ получается в виде f=>(fg)g.
8.3.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Назовем косинусом (обозначение: cos) ото-
отображение О+(?)—>-R, определенное по правилу: /ь»а, где а —
скаляр из 8.3.1. Если плоскость Е ориентирована, мы рассмат-
рассматриваем также отображение синус (обозначение: sin) из О+ (Е)
в R, определенное соответствием f\-*b (см. 8.3.1). Тогда для
ориентированного Е отображение
в: O+(?)9/^cos/-Msin/GC
является изоморфизмом группы 0+ (Е) на группу U комплексных
чисел, равных по модулю 1. Это отображение является гомео-
гомеоморфизмом, если 0+ (Е) рассматривается в топологии, индуциро-
индуцированной из GL (Е), а U—в топологии, индуцированной из С.
То что в—гомоморфизм, следует из 8.3.4, а сюръек-
тивность и инъективность вытекают из 8.3.1. Гомеоморфность в
вытекает из его очевидной непрерывности и компактности 0+ (?).
8.3.7. НАПОМИНАНИЕ. Отображение A: R Э t ь» e'f ? С, где ez опре-
определено посредством ряда ez = ^ z-^, является гомоморфизмом
п
аддитивной группы R на мультипликативную группу U. Ядро
Л A) гомоморфизма Л имеет вид \Ъ, где \ > 0. Число |/2
обозначается через я, так что A-!(l) = 2nZ. Окружность U
гомеоморфна топологической факторгруппе R/2nZ. Определим,
202
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
наконец, функции косинус и синус как отображения R в R сле-
следующим образом: cos i = Re (en), sin / = Im (ea),
R
U
O+ (E) —. L)
4 ; e
8.3.8. Доказательство 8.3.7 см., например, в [101], с. 181 —183,
или [51], с. 38 русского перевода. Из 8.3.7 следует, между
прочим, что множество U, а следовательно, и единичная окруж-
окружность S(E) на любой евклидовой плоскости Е линейно связны,
ибо таково R. См. также 8.12.4.
-2rt 0 2rt 4я 6rt
Н 1 1 1 1—
Рис. 8.3.7
8.3.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть / ? О+ (Е) и Е ориентировано. Мы
называем величиной / любое число 9^Л~1(в(/)) (см. 8.3.6); если
9—одна из величин /, то все величины / имеют вид Q2k
8.3.10. Если 9—величина /, то во всех положительных орто-
, /cos 6 —sin в\
нормированных базисах матрица / выглядит так:(^пд COS9J
(здесь через cos и sin обозначены отображения из R в R).
8.3.11. примечания. Функция cos: R—^ R, суженная на отре-
отрезок [0, я], биективно отображает его на отрезок [—1, ^.Обрат-
^.Обратная функция обозначается arccos. Функция sin: [0, я] —> [0, 1]
не биективна, но ее сужение [0, я/2]—*-[0, 1] биективно; обрат-
ная функция обозначается arcsin.
8.3.12. ВОПРОС И ОТВЕТ. Плоскость R2 часто отождествляют с С;
хотелось бы, однако, отождествить ориентированную евклидову
плоскость ? с С некоторым внутренним образом, не обращаясь
к R2 (аналогично 8.3.6). Это, к сожалению, не удается, однако
можно наделить Е структурой одномерного комплексного вектор-
векторного пространства (комплексной прямой), используя только ев-
евклидову структуру и ориентацию в Е. В самом деле, обозначим
через д?О+(Е) вращение в ? на угол, одна из величин кото-
которого равна я/2, и определим в Е умножение на комплексный
203
8.4 Канонический вид изометрии
Я/2
Рис. 8.3.11
скаляр Х + г"(д, следующим образом:
(к -{- щ) х = кх + |лд (х).
Так как д2 = —ЫЕ и d?GL(?), то очевидно, что тем самым мы
превратим Е в одномерное комплексное векторное пространство.
Можно ввести д и по-другому, не используя понятия величины
(см. 8.7.3.5). Заметим, что элементы группы О+ (Е) отождествля-
отождествляются с линейными отображениями zt—>az, где |а| = 1, а (ве-
(вещественные) гомотетии Е с отображениями zt—>bz, где b?R*.
8.3.13. ПРИМЕЧАНИЯ. Может показаться, что использование
комплексной экспоненты — слишком трудоемкий способ измерения
углов. Однако измерение углов—дело трудное по существу, и
легких способов просто нет; чтобы убедиться в этом, читатель
может обратиться к [101], с. 178—186, [77], с. 240—245 рус-
русского перевода, [32], гл. V, § 2, и гл. VIII, § 2.
Напротив, нетрудно доказать, что все непрерывные
сюръективные гомоморфизмы R —> I) имеют вид tt—>A(kt), k? R*;
см. [101], с. 184.
8.4 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ИЗОМЕТРИИ.
ОБРАЗУЮЩИЕ ГРУПП О (Е) И О+ (Е)
8.4.1. предложение. Пусть f?O(E). Тогда в Е существует
ортонормированный базис, в котором матрица отображения f
имеет вид
204
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
* л
о
о
где I и Iч—единичные матрицы порядка р и q,
V1=1 '¦
8.4.2. Этот результат вытекает из 8.2.15 и 8.3.10. Указанные
в формулировке объекты определяются по отображению / неод-
неоднозначно: во-первых, числа 9,- определены лишь с точностью до
2nZ; во-вторых, даже если фиксировать выбор значения 9,- в А;,
то неоднозначность сохранится за счет неединственности выбора
базиса; пример, иллюстрирующий этот факт, можно найти в § 18.8.
Наоборот, числа р и q, а также подпространства, порожденные
соответствующими базисными векторами, определяются одно-
однозначно; это подпространства Ker(Id?—/) и Ker (ldE + f). В част-
частности, числа р, q, r зависят только от / и не зависят от выбора
базиса.
Рис. 8.4.3
8.4.3. СЛЕДСТВИЕ. Группа О (Е) состоит из двух связных компо-
компонент: О+(Е) и О~ (Е), каждая из которых линейно связна. Для
любого конечномерного вещественного векторного пространства
(без евклидовой структуры) Е группа GL (Е) также имеет две
связные компоненты: GL+ (E) и GL~ (E), каждая из которых
линейно связна.
205
8.4 Канонический вид изометрии
Для доказательства последнего утверждения введем
в Е какую-нибудь евклидову структуру; тогда из 8.1.4 вытекает,
что достаточно доказать линейную связность О+ (Е) (см. 2.7.2.9).
Итак, пусть /gO+(?). Применим к / утверждение 8.4.1. Так как
det/=l, то q четно. Непрерывный путь, соединяющий / с Id?
при изменении / от 0 до 1, можно задать, например, следующей
формулой:
0
в,- @
0
где
Ax(t)
Ar(t)j
cos nt —sin л А
sin nt cosntj
/cos/9, —sin/9,
U*e, cos/9,.
Можно дать другое доказательство линейной связности О+ (Е),
более элементарное в том смысле, что оно не использует ни
измерения углов (связанного с комплексной экспонентой, см.
8.3.7), ни утверждения 8.4.1. Задача сводится к построению
непрерывного пути, соединяющего два произвольных одинаково
ориентированных ортонормированных базиса S, 3d'. Пусть
¦53 = {e,j, 9B' = {e'i); мы будем рассуждать по индукции. Если
е1 = е'1, задача сразу сводится к построению гомотопии базисов
в пространстве е^- меньшей размерности. Если е1фе'1, то рас-
рассмотрим плоскость Р, натянутую на векторы е1 и е[. В этой
плоскости векторы ех и е[ соединяются путем, лежащим на еди-
единичной окружности (см. 8.3.8 и 8.12.4), и этот путь легко
дополнить до гомотопии базиса 33 в базис 53", у которого пер-
первый вектор совпадает с е'г.
8.4.4. Согласно 8.2.12, любой элемент / группы О (Е) может
быть разложен в композицию симметрии относительно гипер-
гиперплоскости. Мы хотим теперь найти минимальное число симметрии,
необходимых для такого представления. После этого мы пока-
покажем, что переворачивания порождают О+ (Е), и изучим мини-
206
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
мальное число переворачиваний, необходимых для представления
данного элемента / группы 0+ (Е).
8.4.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть f?O(E) и
s = dim?—dim(Ker(/— Id?));
тогда f является композицией s симметрии относительно ги-
гиперплоскости и не может быть представлено в виде композиции
меньшего их числа. Если f есть композиция s симметрии отно-
относительно гиперплоскости, то пересечение соответствующих ги-
гиперплоскостей совпадает с Кег(/—ЫЕ).
Рис. 8.4.5
Пусть/=аН1о.. .оСТЯ/г; тогдаН1() ... f)HkczKer{f — ЫЕ);
значит, k^s. Если k = s, то Н1 П ¦•• f)Hs = Ker(/—Id?). Найдем
теперь, используя 8.4.1, s симметрии относительно гиперпло-
гиперплоскости, композиция которых равна /. Первые q из них будут
симметриями относительно гиперплоскостей е±, где е,—базисные
векторы подпространства Ker(/ + Id?). Далее, для любого
1 = 1, ..., г представим матрицу Л,- в виде композиции двух
симметрии относительно прямых в соответствующей плоскости
Р{ (см. 8.2.13). Продолжим эти симметрии на все пространство
Е, считая их тождественными на PJ-; в итоге получим всю иско-
искомую совокупность симметрии относительно гиперплоскости.
8.4.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть /?О+(?), dim?^3 и
s = dim?—dim(Ker(/ — Id?));
тогда f разлагается в произведение s переворачиваний.
Для dim? = 2 соответствующее утверждение неверно:
тогда единственное переворачивание в Е есть —\&Е, которое
никак не порождает О+ (Е). Мы не будем использовать 8.4.6
в дальнейшем (кроме 8.5.3.1) и предоставим доказательство
этого результата читателю в качестве упражнения (см. [101], с. 193),
кроме случая dim? = 3, который получается из 8.4.7.1 и 8.2.13.
207
8.4 Канонический вид изометрии
8.4.7. ПРИМЕРЫ
8.4.7.1. Группа О+ (Е) в размерности 3. Согласно 8.4.1, каждому-
отображению / ? О+ (E)\ldE соответствует однозначно опреде-
определенная прямая D, называемая осью отображения f. Говорят,
что / является вращением вокруг D. В самом деле, f\Di_ € О+ (D1),
a D1—плоскость. Отображению / соответствует некоторый угол
0?[О, я], см. 8.6; если этот угол равен я, то / совпадает с пе-
переворачиванием oD. Для практического вычисления угла 9 до-
достаточно заметить, что, согласно 8.4.1, Tr/=l+2cos9, а, как
известно, Trf не зависит от выбора базиса. Например, матрица
/0 0 1\
( 1 0 0 (в каком-нибудь ортонормированном базисе) представ-
\0 1 0/
ляет вращение на угол 2я/3 вокруг оси, порожденной вектором
A, 1, 1); это вращение, таким образом, имеет порядок 3. Воз-
Возможность однозначного определения оси D по отображению
f?O+(E) уже использовалась нами в 1.8.3.1.
Рис. 8.4.7.2
8.4.7.2. Группа 0~ (Е) в размерности 3. Согласно 8.4.1, всякое
отображение f?O~C) есть композиция симметрии oH(dimH = 2)
и вращения вокруг оси D = #-L.
8.4.7.3. Размерность 4. Здесь мы снова встречаемся с явлением,
имевшим место в случае группы О+B): изометрия может не
иметь собственных векторов. В обозначениях 8.4.1
имеет вид
cos9x —sin91
,..„ | sin9x COS9!
M(/) = l 0 0
0 0
матрица /
о о
о о
cos92 —3in92
sin 92 cos 92
Особый интерес представляют два в каком-то смысле крайних
случая: 1) 91 = 92 и 2) 9X/92^Q. Первый случай уже встречался
нам в 1.2.9 и 4 3 L-.2; ему будет посвящен весь § 18.8.
208
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
Во втором случае 9Х и 92, как говорили древние греки, «не-
«несоизмеримы». В этом случае интересно рассмотреть орбиту эле-
элемента т?Е\0 под действием группы G = {/": n?Z}; замыкание
Рис. 8.4.7.3.1
Рис. 8.4.7.3.2
этой орбиты оказывается дифференцируемым многообразием, го-
меоморфным тору (см. также § 18.9). На рис. 8.4.7.3.2 изобра-
изображена орбита группы вращений, представляемых матрицами вида
)StQx — sin/9x О
sin (вг cos tQ1 0
О 0 cos /92
О 0 sin /92
где t пробегает R, а 9Х, 92 фиксированы и 9х/92^О. Предосте-
Предостережем читателя: на рис. 8.4.7.3.2 изображен лишь топологический
тип орбиты и ее замыкания, но никак не сама эта орбита в че-
четырехмерном пространстве Е (и не без причины!).
8.5 ПРОСТОТА ГРУППЫ О (Е)
Материал этого параграфа относится к «геометрической алгебре»:
чисто алгебраические факты доказываются здесь с помощью
геометрических рассуждений. Мы уже встречались с такими рас-
рассуждениями в 1.6.7.2 и встретимся еще в гл. 13. Таким образом,
здесь мы несколько отступаем от основного принципа нашей
книги, который состоит в том, чтобы использовать алгебраи-
алгебраический аппарат для целей геометрии, которая сама по себе чаще
всего оказывается ближе к пластическим искусствам.
8.5.1. ТЕОРЕМА. Группа О+ C) проста, т. е. не имеет нормаль-
нормальных подгрупп, отличных от единичной подгруппы и всей группы.
Достаточно показать, что всякая нормальная подгруппа
G группы О+ C), не совпадающая с единичной, содержит хотя
бы одно переворачивание. В самом деле, если в G есть перево-
переворачивание g относительно прямой D, то для любого /?О+C) в
209
8.5 Простота группы О (Е)
G есть и переворачивание fgf'1 относительно прямой /(D), атак
как О+ C) транзитивно действует на прямых в R3 (см. 8.2.7), то
G содержит все переворачивания, а поэтому, согласно 8.4.6,
совпадает с О+ C).
Итак, пусть /—произвольный отличный от IdE элемент
группы G; тогда /представляет собой (см. 8.4.7.1) вращение вокруг
некоторой оси Rx(x?R3\0) на угол 9?]0, л[ (если 9 = л, то f
является переворачиванием). Так как /" ? G для любого n?N,
то, подбирая такое п, чтобы /г9?[л/2, л[, мы можем свести за-
задачу к случаю 9 ? [л/2, л[. В этом случае существует прямая D,
ортогональная своему образу f(D). Чтобы убедиться в этом,
возьмем в R3 систему координат \х, у, z\, где Rx—ось /, у —
произвольный вектор, ортогональный х, и z = f(y). Когда пря-
прямая D движется в плоскости Rx+Rt/ от Rr/ к Rx, прямая / (D)
движется в плоскости Rz + Rx от Rz к Rx и угол между D
и / (D) меняется от 9 > л/2 до 0 и, следовательно, принимает
значение л/2. Таким образом, прямая D J_ / (D) существует. Обоз-
Обозначим симметрию oD относительно прямой D через g. Рассмотрим
отображение h — gfg~1f~1^G и выясним, как оно действует на
вектор m?f(D):
f-1 g-1
Таким образом, h\fiD) = —Idf(?>) и h с необходимостью является
переворачиванием (относительно некоторой прямой, ортогональ-
ортогональной f(D); см. 8.4.7.1).
8.5.2. ПРИМЕЧАНИЕ. Вроде бы можно сожалеть, что при дока-
доказательстве этого (чисто алгебраического) результата мы исполь-
использовали такое тонкое свойство вещественных чисел, как аксиома
Архимеда (при подборе такого п, что /г9^л/2). Но на самом
деле использование аксиомы Архимеда здесь по существу; в книге
210
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
[4], с. 240 русского перевода и далее, читатель найдет пример
положительно определенной формы в трехмерном векторном про-
пространстве над некоторым неархимедовым полем, такой что соот-
соответствующая ортогональная группа не проста.
8.5.3. ТЕОРЕМА. Группа О+ (п) при п~^Ь проста по модулю
своего центра (см. 8.2.17).
8.5.3.1. Пусть G—нормальная подгруппа вО+ (п), f ? О+ («)\центр,
f?G. Наша цель — построить с помощью / такой элемент g?G,
±
который имеет вид g'©Idy, где dimF = n—3 (эта запись озна-
означает, что R" разложено в ортогональную прямую сумму УфУ1-,
g' ? О+ (V-1) и g совпадает с Idy на V и с g' на F-L). Если та-
такой элемент построен, то с помощью рассуждений из 8.5.1 мы
получаем переворачивание o^O+(VL), которое, будучи продол-
продолжено на V как тождественное отображение, дает элемент группы
G, являющийся переворачиванием в R", откуда в силу 8.4.6
следует, что G=O+(n).
Рис. 8.5.3.2
8.5.3.2. Существует такая плоскость Р, что 1(Р)фР, ибо в про-
противном случае все прямые в R" инвариантны относительно /,
и тогда / лежит в центре группы О+(Е) (см. 8.2.16). Обозначим
через 5 подпространство, порожденное Р и f(P): S = P-f/(P);
так как п ^ 5, то 5-L ф {0}. Рассмотрим переворачивание h вокруг
Р-Ь h = opi_ и положим k = hfh~1f-1 (таким образом, k = opXof (p'X)
и ^|s-L = Idsj_; k ? G\ueHTp). Фиксируем такие at?S-L\Oh у, что
= к(у)Фу. Для всякого и ? R"\0 обозначим через tu симметрию
тносительно гиперплоо Ь t П l t
относительно гиперплоскости
?О+(п). Имеем
но
g =*
= o
= ktyk-4Jxtv = tk
р u
Положим l = t
y = txtu
211
8.6 Углы между прямыми и пучами
(здесь использовано то, что ktxk 1 = tkix) = tx, т. е. ktx = txk)\
поэтому g имеет требуемый вид: g = g' ©Idy, dimF-J- = 3 (на
самом деле У1 с: 5).
8.5.3.3. Что происходит в случае dim ? = 4? Ответ содержится
в 8.9.10. Основным источником по вопросу о простоте класси-
классических групп является [76]; см. также 13.6.8 и 13.7.14.
8.6
УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ЛУЧАМИ
В этом параграфе dim
В настоящем параграфе речь идет о неориентированных углах
между прямыми (или между лучами) в евклидовом пространстве
произвольной размерности (в частности, на плоскости).
Ориентированные углы на плоскости изучаются в следующем
параграфе. На протяжении всей гл. 8 прямыми мы называем
одномерные векторные подпространства, аффинные прямые рас-
рассматриваются в следующей главе (см. 9.2.1).
8.6.1. ЛУЧИ И ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ПРЯМЫЕ. Пусть Е—прОИЗВОЛЬ-
ное вещественное векторное пространство. Лучом в Е называется
любое подмножество вида R+x, где х?Е\0. Множество всех
лучей в пространстве Е обозначается Й> (Е). Множество всех пря-
прямых в Е (т. е. грассманиан Ge, i) обозначается S> (E). Имеется
отображение р: Ё>(Е) —+!3>(Е), при котором каждый прообраз
состоит из двух элементов. А именно, для любого луча Д?й>(?)
определен противоположно направленный луч (—А), такой что
р(—A) = p(A) = Rx, если дг^А.
Напомним, что <Ю (?) есть не что иное, как проектив-
проективное пространство Р(Е) (см. 4.1.3.4). Что касается &>{Е), то в
случае, когда Е евклидово, &)(Е) отождествляется с единичной
сферой S (Е) посредством отображения *ь»*/||*[|.
Множество &){Е) отождествляется также с множеством
всех ориентированных прямых в Е (см. 2.7.2).
212
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
8.6.2. Введение следующих определений мотивируется, с одной
стороны, теорией измерения углов на плоскости (см. 8.3.7, 8.3.11),
а с другой стороны — предложением 8.6.6.
8.6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Пусть Е —евклидово векторное простран-
пространство; А, А'?Ё)(Е); D, D'?@>(E). Тогда:
I (х I х') I
(i) число v .,. /.,' зависит только вт выбора D и D'
IIх IIIIх L
и не зависит от выборах ? D\0 их' ? D'\0, и его арккосинус (ле-
(лежащий в отрезке[0, я/2], см. 8.3.11) мы называем (неориентирован-
(неориентированным) углом между прямыми D и D' и обозначаем DD' или D, D':
> I *') I
DD' =arccos
(ii) аналогично, число jTjprj
Число
x?D\0, x'?D'\0;
зависит только от А, А',
а не от х^ А\0, х' ?
ДА' =arccos
(X | X')
е[о, л]
¦ И II*'II
называется (неориентированным) углом между лучами А и А'.
8.6.4. Иначе говоря,
cos(DD')
I *') I
cos (ДА') =
(X | X')
1У1 ;}
IIх IIIIх II
Г—1, 1], а это
В силу 8.3.11, достаточно проверить, что 1
IIх
следует из 8.1.3.
8.6.5. ПРИМЕЧАНИЯ. Из 8.1.3 вытекает, что DD'=0 (соответст-
(соответственно АА'=0JОгда и только тогда, когда D=zD' (соответст-
(соответственно А = А'); ДД'=я равносильно условию А'= — А, а ДА'=
= л/2 (соответственно DD'= л/2) эквивалентно ортогональности
А и А' (соответственно D и D').
При переходе к подпространству углы наследуются: если
F—подпространство в Е, содержащее лучи А, А', то угол между
А и А' в F равен углу между А и А' в Е. То же имеет место
и для прямых.
Угол между лучами^ (соответственно прямыми), рас-
рассматриваемый как функция U) (Е) х %Ь (Е) —->- R (соответственно
&>(Е)х@> (Е) —>¦ R), очевидно, удовлетворяет двум из трех аксиом
расстояния. В дальнейшем (в 9.9.8, в гл. 18 и в § 19.1) мы
увидим, что третья аксиома также выполнена и, следовательно,
угол является метрикой на пространстве лучей (соответственно
прямых). Для ёЬ(Е) получится внутренняя метрика на сфере
S(E), а для @)(Е)—метрика эллиптической геометрии на про-
проективном пространстве Р(Е).
213
8.6 Углы между прямыми и пучами
8.6.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Зададим действие группы О (Е) на @>2 (Е) =
= S>(?)X®(?) и ?>2(Е) = @)(Е)Х&>(Е), полагая #(•,•) =
= (?(¦),?(•))• Тогда:
(\) Пары (D, D') и (Dlt D[) в том и только том слу-
случае находятся в одной и той же орбите группы О (Е), когда
D~D~'-=D1D[ (и аналогичное утверждение верно для лучей).
(ii) Если в утверждении (i) заменить группу О (Е) на
0+ (Е), то оно останется верным при dim?;^3; для dim ? = 2
оба утверждения в (i) станут неверны.
Иными словами, орбиты группы О (Е) на Ш) (Е) х &> (Е)
(соответственно SD (Е) X S> (E)) параметризованы числами от-
резка[0, л] (соответственно отрезка [0, я/2]), а орбиты группы
О+(Е) совпадают с орбитами 0(Е) при dimf^S
Рис. 8.6.6
Разберем, например, случай лучей и докажем наличие
изометрии при условии равенства углов; в случае прямых дока-
доказательство аналогично. Используя 8.2.7, можно считать, что А,
А', Д1, AJ лежат в одной плоскости в Е и что Д = ДХ; выберем
такой ортонормированный базис {х, у} в этой плоскости, что
х? A = Aj. Пусть x'gA', х[?А'г, \\х'|| = |х[|] = 1. Так как углы
ДА', АХА^ равны, векторы х', х[ имеют одинаковую дг-коорди-
нату; так как \х' || = ]!^||= 1, то у-координаты имеют одинаковую
абсолютную величину. Если у-координаты векторов хи х[ равны,
то лучи А' и Ai совпадают и доказательство закончено; если они
различаются знаком, то симметрия од переводит А' в А^.
При dim?^3 симметрия ад продолжается до перево-
переворачивания в Е. В случае dim ? = 2 соответствующий контрпри-
контрпример показан на рис. 8.6.6.
8.6.7. ВОПРОС. Орбиты действия группы 0(Е) на парах прямых
параметризуются, таким образом, числами отрезка [0, я/2]: если
у двух пар эти числа одинаковы, то изометрией можно переве-
перевести одну из них в другую. Тот же вопрос можно поставить для
пар подпространств (V, W) заданных размерностей. Для dim E=
= 3 эти пары легко классифицируются с помощью одного число-
214
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
вого инварианта (лежащего на отрезке [0, л/2]):
= dimW = 2, таким параметром является угол между прямыми
V-L, W1-. Если dimV=l, dim IF = 2, таким параметром является
число m\{VD: DaW) (нижняя грань достигается, когда D —
ортогональная проекция V на W).
Рис. 8.6.7
Однако уже в случае dim ? = 4, dim V = dim W = 2
параметризовать орбиты действия группы О (?) одним веществен-
вещественным инвариантом оказывается невозможным. Полное исследова-
исследование вопроса о параметризации орбит 0{Е) в общем случае см.
в [101], с. 310—316.
8.7
ОРИЕНТИРОВАННЫЕ УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ
В этом параграфе dim E = 2.
8.7.1. Результат 8.6.6 (и) показывает, что для классификации
орбит действия О* (Е) на О)(Е)х!Ё>(Е) или на S> (Е)х® (Е) в
случае dim ? = 2 неориентированных углов из [0, я] или из [0, л/2]
недостаточно: нужно ввести более тонкий инвариант. Теория,
излагаемая нами в настоящем параграфе, может показаться черес-
чересчур абстрактной для такого «простого» вопроса, как измерение
углов между прямыми, однако никакой менее громоздкой и более
прозрачной теории не существует (о справедливости этого утвер-
утверждения можно судить по [Ю1], с. 160—186). Чтобы все же оце-
оценить достигнутый нами выигрыш в ясности изложения, читатель
может обратиться к более старым источникам, например [141],
[73], где во всех соотношениях между углами неизменно фигу-
фигурируют «mod&n» или «mod2ibx».
Ориентированные углы—более тонкий, хотя и более
«дорогостоящий» инвариант—позволят нам в дальнейшем полу-
получать многие результаты в краткой
например, § 10.9).
и элегантной форме (см.,
215
8.7 Ориентированные углы на плоскости
8.7.2. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ УГЛЫ МЕЖДУ ОРИЕНТИРОВАННЫМИ
ПРЯМЫМИ
8.7.2.1. Так как действие О+(Е) на JZ> (E) просто транзитивно,
то существует отображение Ф: ?D2(E)—+O+ (E). Это отображение
определяет отношение эквивалентности Ш на Ё>2(Е) (элементы
§Ь2(Е) эквивалентны, если их образы при отображении Ф сов-
совпадают). Действие О+(Е) на <Ь(Е) определяет еще одно отно-
отношение эквивалентности Э1'\ пары лучей эквивалентны, если они
лежат в одной орбите (см. §1.6). Приятно, что верно следующее
утверждение.
8.7.2.2. Лемма. Введенные два отношения эквивалентности сов-
совпадают.
Пары (А, А') и (А1; Д^) эквивалентны в смысле отно-
отношения 51, если существует такое g^O+ (E), что A'=g(A) и
А{ = ^(АХ). Пары (А, А') и (А1; А'г) эквивалентны в смысле отно-
отношения Я, если At = /(A) и Д; = /(Д') для некоторого f?O+(E).
Но эти условия равносильны, поскольку группа О+ (Е) абелева.
Образуем теперь множество классов эквивалентности
(относительно Э1 или М', что безразлично) it (Е) — &>2 (Е)/М.
Имеем каноническую проекцию р: §Ьг(Е)—>St (E) и отображение
Ф: §!(?)—>-О+ (?), полученное из Ф факторизацией. Так как Ф
сюръективно, то Ф биективно по построению:
8.7.2.3. Определение. Множество Щ, (Е) называется множеством
ориентированных углов между ориентированными прямыми на
плоскости. Оно имеет структуру группы, индуцированную из
О+ (Е) отображением Ф (групповая операция обозначается « + »).
Ориентированным углом между лучами А, А'^й)(?) называется
элемент р((А, А')) множества Щ (Е); он обозначается АД' или
аТа'.
Выпишем теперь некоторые полезные свойства ориен-
ориентированных углов; большая часть из них—это не что иное, как
переформулировки сказанного выше или же некоторые триви-
тривиальности.
8.7.2.4. Свойства. Для любых ориентированных прямых имеем:
216 Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
A) Д' = /(Д), /?0+(?)^Ф(А7~Д') = /. в частности
217
8.7 Ориентированные угпы на плоскости
B) AA' = Ag;^3/€O+j?)
C) аа'=а^а^аа; = а;а;;
D) ДА'-f Д'Д" = ДА" (соотношение Шаля), в частности А'А =
E) yf?O+(E) (соответственно 0~ (?)): /(Д)/(Д') = ДА' (соот-
(соответственно — ДА').
Только пятое свойство (случай f?O~(E)) не является
прямым следствием определений из 8.7.2.2. Оно получается
из 8.3.5.
8.7.2.5. Замечания. Итак, для определения ориентированных углов
вовсе необязательно ориентировать Е, но для измерения этих
углов в Е необходимо фиксировать некоторую ориентацию.
Читатель, конечно, заметил, что некоторые из свойств
8.7.2.4 напоминают соответствующие свойства аффинных прост-
пространств: соотношение Шаля, правило параллелограмма (ab = cd&
Oac = bd). Отметим, что эти свойства имеют место всегда, когда
абелева группа просто транзитивно действует на рассматривае-
рассматриваемом пространстве.
8.7.3. ДЕЛЕНИЕ ПОПОЛАМ В Ш. (Е): БИССЕКТРИСЫ. Речь идет о ре-
решении уравнения 2х = а в группе Ш.(Е). Сначала мы разрешим
уравнение 2х = 0, или, что то же самое, /2 = Id? в группе 0+ (Е).
Матрица элемента / группы О+ (Е) выглядит так:
(а —
\Ь
Если /2 = Id?, то а2 = ±1, & = 0, т. е. / = ±Id?. Это можно
показать иначе, используя факты об инволюциях, сообщенные
в 8.2.9. Мы получаем следующее утверждение.
8.7.3.1. Предложение. Уравнение 2л; = 0 имеет ровно два решения:
О и Ф (— ЫБ); угол Ф (— ЫЕ) обозначается S и называется
развернутым углом. Имеем: ДД' = ЗФ»А' = — А, где — Д обо-
обозначает луч, противоположный А по направлению.
Наконец, третье доказательство 8.7.3.1 содержится
в изложенном ниже.
8.7.3.2. Определение. Биссектрисой двух ориентированных пря-
прямых А, А' называется такая ориентированная прямая 2, что
Из 8.7.2.4 D) и E) получаем, что 2 является бис-
биссектрисой ориентированных прямых А и А' тогда и только
тогда, когда as(A) = A', где о%—-симметрия относительно 2
(см. 8.2.9). Из 8.2.11 вытекает, что неориентированная прямая 2,
для которой as(A) = A', единственна. Поскольку неориентиро-
неориентированная прямая допускает ровно две разные ориентации, для
данных прямых А, А' существуют ровно две разные биссектрисы:
2 и — S. Заметим, что А2 = 2А' влечет за собой АА' = 2А2.
Итак, мы получаем следующее утверждение.
Рис. 8.7.3.3
8.7.3.3. Предложение. Любые две ориентированные прямые А, А'
имеют две биссектрисы, расположенные на одной прямой и про-
противоположно ориентированные. Для всех а?Ш (Е) уравнение
2х = а имеет ровно два решения: Ь и b-\-S5. Если ДД' = а, то
каждое решение х уравнения 2х = а задается углом х = Д2 между
одной из биссектрис 2 пары (А, А') и прямой Д.
8.7.3.4. Особый интерес представляет уравнение 2л; = 53. Если
2л- = 3 и ДД'=л-, то прямые, отвечающие Д и А', ортогональны,
и наоборот. Чтобы убедиться в этом, можно использовать мат-
матрицы и формулу 8.3.4; при этом мы получаем следующее условие
на матрицу: а = 0, откуда Ъ=±\. Приведем также геометриче-
геометрическое доказательство: так как симметрия относительно биссект-
биссектрисы 2 лучей А, А' переводит А в А', то в случае Д,Д' = 3
эта симметрия оставляет неподвижной прямую, содержащую А,
и так как А =^2, то 2 ортогональна А.
Решения уравнения 2л; = 3 связаны с ориентацией
плоскости следующим образом.
8.7.3.5. Предложение. Решения уравнения 2х = 3 называются
прямыми углами из %(Е). Выбор одного из них определяет ори-
218
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
ентацию пространства Е следующим образом: пусть д—выбран-
д—выбранный угол; ортонормированный базис {х, у] положителен тогда
и только тогда, когда у = Ф(д) (х).
-Д
Рис. 8,7.3.4
Рис. 8.7.3.5
Заметим, что обозначение д для прямого угла вполне
согласуется с обозначением д для соответствующего вращения
(см. 8.3.12).
8.7.4. СЛУЧАЙ ОРИЕНТИРОВАННОГО Е; ИЗМЕРЕНИЕ ОРИЕНТИРОВАН-
ОРИЕНТИРОВАННЫХ углов. В этом разделе мы предполагаем, что Е ориентиро-
ориентировано. Используя 8.3.6 и 8.3.9, введем следующее определение.
8.7.4.1. Определение. Величиной ориентированного угла а ? 9С (?)
назовем любую величину его образа Ф(а), т. е. любой элемент
множества Л (в (Ф (а))):
~ R
8.7.4.2. Примеры. Величина угла Э есть я, величина д есть я/2.
Если t—величина а, то все другие величины а имеют вид t-\-
2& &Z\0
\
Используя понятие величины угла, можно показать,
что для всех натуральных п ^ 1 уравнение пх = а в §? (Е) имеет
ровно п различных решений: см. 8.12.7.
8.7.5. СВЯЗИ МЕЖДУ АД' и ДА'. В этом разделе предполагается,
что в пространстве Е выбрана некоторая ориентация. Пусть
А, А'—две ориентированные прямые (мы будем их трактовать
здесь как лучи; см. 8.6.1). Тогда угол ДА' всегда имеет вели-
величину, принадлежащую [0, 2я[. С другой стороны, пара (Д, Д')
определяет семейство базисов вида \х, х'\, где х?А, х'?Д'
(случай А' = ±Д считается исключенным). Это семейство со-
состоит из одинаково ориентированных базисов.
219
8.7 Ориентированные углы на плоскости
8.7.5.1. Предложение. Пусть t—величина угла ДА', t?[0, 2я[;
тогда если все базисы, определяемые парой (А, А'), положительны
(соответственно отрицательны), то t ? [0, л[ (соответственно
t ? ]л, 2я[) и ДД' = ^ (соответственно ДД' = 2я—/). В случае
Д = Д' имеем /==0, а в случае Д'== — А имеем t = n.
д'
\
2n-t
I
-+-*¦
2п:
/
Рис. 8.7.5.1
Последние случаи тривиальны, поэтому будем считать,
что А' Ф ± Д. При изменении ориентации Е величина угла ДД'
изменяет знак; следовательно, / переходит в 2я — t. Таким обра-
образом, достаточно доказать 8.7.5.1 в том случае, когда базисы,
определяемые лучами А, А', положительны.
Рис. 8.7.5.2
Пусть теперь х?А, х'?А'—единичные векторы и
\el = x, е2] — ортонормированный положительный базис, первый
вектор которого равен х. Ключевой момент состоит в том, что
в этом базисе вторая координата вектора х' положительна; но
эта координата равна sin^; таким образом (см. 8.3.11), /?[0, я[
и доказательство закончено.
8.7.5.2. Определение. Пусть А, А', А"—три луча на евклидовой
плоскости (не обязательно ориентированной). Говорят, что луч А'
220
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
лежит между А и А", если выполнено одно из следующих усло-
условий: 1) если А = А", то А' = А = А"; 2) если А" = —А, то не
накладывается никаких условий; 3) если А"^= + А, то А' лежит
в пересечении полуплоскости, определяемой А и содержащей А",
с полуплоскостью, определяемой А" и содержащей А.
8.7.5.3. Следствие. Если А' лежит между А и А", то АА' +
+ А7А7' = АА7Г.
Мы дадим доказательство для случая трех попарно
различных лучей А, А', А"; остальные случаи тривиальны. Вы-
Выберем ориентацию в Е так, чтобы базисы, определяемые парой
лучей (А, А'), были положительными. Из определения следует,
что тогда (при А ф— А") базисы, определяемые (А', А") и (А, А"),
также положительны. Пусть s, / — величины углов АА' и Л'Л";
s, t?[0, 2л[. Из 8.7.5.1 вытекает, что s, t? [0, л[ и s = AA',
/ = А'А". Но s-{-t является величиной угла ДА" hs + /?[0, 2я[.
Если А" = — А, то s-\-t = n; если А" Ф—А, то базисы, опреде-
определенные парой (А, А"), являются, как мы видели, положитель-
положительными, стало быть (см. 8.7.5.1), s + / = AA", что и доказывает
следствие.
8.7.5.4. Следствие 8.7.5.3 весьма важно. Если обратиться к на-
наглядным представлениям, то оно получает следующее простое
истолкование. Мы представляем себе величину неори-
неориентированного угла АА' как меру сектора, определяемого лучами
А, Д': в случае А = — А' этот сектор совпадает с одной из соот-
соответствующих полуплоскостей, а в случае Аф—А' этот сектор
совпадает с множеством лучей, лежащих между А и А'. Таким
образом, если А' лежит между А и А", то сектор, определяемый
А и А", является объединением секторов, определяемых А, А'
и А', А".
Можно предложить и другое истолкование следствия
8.7.5.3, сопоставляя сектору между А и А' дугу единичной окруж-
221
8.7 Ориентированные угпы на плоскости
ности, ограниченную лучами А, А'; тогда 8.7.5.3 утверждает, что
если дуга разбита на две другие дуги, то ее длина равна сумме
длин составляющих. Такая трактовка вопроса, намеченная нами
еще в 8.6.5, будет развита впоследствии, см. 9.9.8. По поводу
секторов см. [77], с. 109—112 русского перевода, или [101],
с. 183.
8.7.6. ПРИМЕЧАНИЯ. Изложенное выше иллюстрирует трудности,
возникающие в теории измерения углов: объединение секторов не
всегда является сектором (рис. 8.7.5.4), следовательно, нельзя
определить сложение секторов, без некоторых ограничений; см.
также [101], с. 185—186. Можно предложить интересное построе-
построение, позволяющее ввести упорядочение на 91 (?)\3. Мы отожде-
отождествим известным способом % (Е) с окружностью (см. 8.3.6) и
рассмотрим стереографическую проекцию (см. 18.1.4) окружности
на прямую из точки 3. Эта проекция является биективным ото-
отображением §1 (Е)\& на R, и оно индуцирует, таким образом,
отношение порядка из R на $ (?)\3. Более подробное изложение
см. в [101], с. 176, или в [77], с. 158—159 русского перевода.
Можно также использовать для построения порядка сужение
отображения Л на интервал ]—я, л[.
Рис. 8.7.6
8.7.7. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
8.7.7.1. В этом разделе мы перенесем на случай прямых и ШJ (Е)
все сказанное в предыдущем параграфе о лучах. Здесь не воз-
возникает никаких дополнительных трудностей, поэтому мы изла-
излагаем все результаты сжато и без доказательств. Основную роль
играют два равносильных замечания: 1) каждая прямая опре-
определяет ровно две противоположные ориентированные прямые (но
ни одну из них нельзя выделить ни по каким естественным сообра-
соображениям); 2) хотя группа О+ (Е) уже не действует просто трап-
222 Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
зитивно на @)(Е), факторгруппа
22 3
8.7 Ориентированные углы на плоскости
обладает этим свойством. Обозначение РО+ (Е) читается как
«проективная ортогональная группа», поскольку <Ю (Е) ^ Р(Е).
Мы будем неоднократно возвращаться к этим группам в даль-
дальнейшем (см. 14.7.2 и § 19.1).
8.7.7.2. Группа РО+ (Е) = 0+ (Е)/(ЫЕ, —UP) действует просто
транзитивно на ?D(E). Пусть ? обозначает ассоциированное
отображение !3>2(Е) в РО+ ~(Е). Оно определяет соответствующее
отношение эквивалентности Э1 на S>2 (Е)—по орбитам действия ?
на ?D2 (E); фактормножество по этому отношению эквивалентно-
эквивалентности обозначается 91 (Е) = 3J (ЕIЭ1. Обозначим каноническое ото-
отображение проекции через р: ?J(Е)—> §!(?), а соответствующее
биективное отображение через ?: 91 (?)—>-РО+ (Е). Имеем
3>г(Е)^г
4 J> Р0+(?>
ЩЕ)/*
Юг(Е)
ЩЕ)
¦ РО+(?)
Здесь q: S>(E)—*S> (E) обозначает отображение, сопоставляю-
сопоставляющее каждому лучу его прямую; соответствующее отображение
iD2 (Е) —* @J (Е) мы обозначаем той же буквой.
Множество 91 (Е) наделяется структурой абелевой
группы, перенесенной с РО+ (Е) отображением ?. Множество
91 (Е) называется группой ориентированных углов между прямыми
в Е. Ориентированный угол между прямыми D, D' ? S> (E) опре-
определяется как p((D, D')) ?§!(?) и обозначается 1ю' или D^D'.
8.7.7.3. В очевидных обозначениях имеем
DD' + DT>" = DD";
8.7.7.4. Уравнение 2л; = 0 имеет в 91 (Е) два решения: одно ре-
решение—нулевой угол и другое решение, называемое прямым
углом и обозначаемое через 6. Имеем: DD' = b&D, D' ортого-
ортогональны (в смысле 8.1.8.3); при отображении q: Ё>(Е)^@)(Е)
оба прямых угла из Ш. (Е) переходят в б. Уравнение 2х — а в §1 (Е)
всегда имеет два решения: вида х и лг+б. Если a = DD', то пря-
прямые S, для которых x = DS и 2x=DD', называются биссектри-
биссектрисами D, D' и характеризуются следующими (равносильными)
условиями: DS — SD' или os(D) = D'.
D.
S
Рис. 8.7.7.4
8.7.7.5. Пусть D, D', S, S' — такие прямые, что на проективной
прямой Р (Е*) их двойное отношение [D, D', S, S'] равно —1.
Тогда условие D J_ D' эквивалентно тому, что D и D'—биссек-
D'—биссектрисы для S, S'.
8.7.7.6. Если мы хотим измерять ориентированные углы между
прямыми, то нужно ориентировать Е. Определим отображения
в и Л = роЛ посредством следующей диаграммы (см. 8.3.6,
8У3.7Г8.7.4):
R
ЩЕ)
По определению величина угла a?$i (E) есть любой из элемен-
элементов множества Л (в(?(а))). Все величины данного угла имеют
вид t + nk, k?Z; одна из величин нулевого угла есть 0, одна
из величин прямого угла есть я/2.
Пусть D, D' ?&> (Е), Е ориентировано и D=?D'; тогда
в интервале ]0, я[ лежит ровно одна величина t этого угла и
при этом либо DD' = t, либо DD' = n—t (см. 8.6.6). Если, кроме
того, D и D' не ортогональны, то существует единственная ориен-
ориентация Е, такая что t ? ]0, я/2[. Предостережем читателя: в Ш) (Е)
никакого аналога следствия 8.7.5.3 не существует. Пусть, напри-
мер, D, D', D"—такие прямые, что DD' = D'D" = DD" = я/3
(см. рис. 8.7.7.6). Тогда ни при каком порядке ни одно из соот-
соотношений вида DD' + D'D" = DD" не выполнено!
224
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
225
8.7 Ориентированные углы на плоскости
х
Рис. 8.7.7.6
Рис. 8.7.7.7
8.7.7.7. Доказательства утверждений 4.3.6 и 4.3.6.1 позволяют
предположить, что существует естественная биекция между % (Е)
и §!(?). В самом деле, рассмотрим отображение Ш.(Е) в Ш.(Е),
задаваемое формулой лл—>2лг. Ядро этого отображения есть {0, з[.
Из 8.7.3.3 следует, что это отображение порождает биекцию
Ж (Е)-—>Щ.(Е), входящую в следующую коммутативную диаграмму:
Эга биекция обозначается (не вполне корректно) так: Ш (Е) Э хк->
н-> 2х? 31 (?). Обратное отображение обозначается 1/2: §1 (Е) Э лл—*•
н->-A/2) x?$L (E). Эта биекция показана на рис. 8.7.7.7. В три-
тригонометрии именно это отображение объясняет, почему синус,
косинус и тангенс можно выразить алгебраически через тангенс
половинного угла. Приведем еще одно очень полезное примене-
применение этой биекции.
8.7.7.8. Предложение. Пусть D, D'—две прямые в Е; тогда
т. е. oD'OOd есть вращение на угол 2DD'.
Мы знаем (8.2.3.2), что f = oD,ooD ? О+ (Е); имеем:
f(D) = oD'(D)=*D" и DZ7' = 2DD' (согласно 8.7.7.4); отсюда уже
вытекает наше утверждение, поскольку 0+ (Е) действует на S (Е)
просто транзитивно.
8.7.7.9. В случае ортогональных групп @+ (Е) и Р0+ (?)) соот-
соответствующие отображения обозначаются \/~ и -2.
8.7.8. ТРИГОНОМЕТРИЯ. Так как комплексная экспонента удов-
удовлетворяет соотношению ez+z' =ег-ег\ то имеют место следующие
D
Рис. 8.7.7.8
формулы:
8.7.8.1.
cos (а + 6) = cos a cos Ь—sin а sin b,
sin (а + b) = sin a cos b + sin b cos a
(для всех вещественных а и b).
Из 8.3.6 вытекает, что те же формулы имеют место и
для 0+ (Е) (если Е ориентировано) с той лишь разницей, что
а-\-Ь заменяется на fg, где /, g?O+(E).
8.7.8.2. Из определения групповой структуры в 31 (Е) и §1 (Е)
следует, наконец, что если Е ориентировано и если определить
косинус и синус угла из SI (E) (соответственно из §1 (?)) как ко-
косинус и синус любой величины этого угла, то формулы 8.7.8.1
будут иметь место также и для углов.
8.7.8.3. Из формул 8.7.8.1 алгебраическими манипуляциями
можно получить многочисленные тригонометрические формулы,
полезные и иногда приятные; изрядное количество их приведено
в 8.12.8. Эти формулы будут использованы нами в 10.3.10 и
18.6.13.
8.7.8.4. Как обратный ход, ориентированные углы можно исполь-
использовать для изучения геометрических свойств комплексных чисел.
Рассмотрим С как ориентированную евклидову плоскость, а
именно как R2 с каноническими евклидовой структурой и ориен-
ориентацией. Если z ? С\0, то г можно представить в_ виде | z \ (г/| z |),
z/|2|?U. Ориентированный угол (воФ) (г/| z\) gSt (C=* R2) назы-
называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z;
если z = 0, то arg г можно принять равным любому значению.
Число г?С однозначно определяется своими модулем |г| и аргу-
аргументом arg 2. Пара (|z|, arg г) называется тригонометрической
формой комплексного числа; имеем
8.7.8.5. |z2'| = |z||z'|; arg (zz') = arg z + arg2'.
В вычислениях часто бывает удобнее пользоваться
226
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
227
8.8. Подобия; изотропный конус и изотропные прямые
величинами углов. Если t—величина угла arg(z), то можно на-
написать z — \z\-e(t; это представление также называется тригоно-
тригонометрической формой комплексного числа и иногда записывается
в виде
z — \z | (cos/-Иsin/).
Классические приложения этих формул приводятся в 9.6.5.1; см.
также 12.4.2.
8.8 ПОДОБИЯ; ИЗОТРОПНЫЙ КОНУС И ИЗОТРОПНЫЕ ПРЯМЫЕ
8.8.1. В этом параграфе мы снова рассматриваем евклидовы
пространства произвольной размерности. Мы изучаем подобия не
только из-за приятных приложений этого понятия (которые будут
даны в 9.6.7—9.6.9), но также и потому, что подобия естествен-
естественным образом связаны с физическим миром, в котором нет нату-
натуральной единицы длины, а следовательно, нет и естественной
евклидовой структуры. Подобия—это преобразования, которые
сохраняют отношения длин, но не сами длины.
8.8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Е—евклидово пространство. Подо-
Подобием с коэффициентом растяжения \х, называется любой такой
элемент / группы GL (Е), что ||/(*)|| = ц-||х|| для всех х?Е. Мно-
Множество всех подобий обозначается GO(?). Множество GO(?)fl
П GL+ (E) (соответственно GO (E) П GL~ (?)) называется множеством
прямых (соответственно непрямых) подобий и обозначается GO+ (E)
(соответственно GO" (?)).
8.8.3. Гомотетии k Id? являются подобиями с коэффициентом рас-
растяжения \%\. Если Я,<0, то они являются прямыми подобиями
тогда и только тогда, когда dim? четна. Если /?GO(?), то
(/ (х) I/ (г/)) = (J-2 (х\у) при всех х, у?Е; чтобы убедиться в этом,
достаточно применить 8.1.5 к отображению ц'1}?GL(E).
Вновь используя ту же идею, запишем произвольное
подобие / с коэффициентом растяжения ц в виде / = ((л~1/)о(|^ Id?);
очевидно, что тем самым определен изоморфизм группы GO (E)
на прямое произведение O(?)x(R* Id?); точно так же получаем,
что GO+(?) ^O+(?)X(R; IdE). Если /z=l, то GO(?) = GL(?).
Впоследствии мы практически никогда не будем рассматривать
случай « = 1.
8.8.4. ПОДОБИЯ НА ПЛОСКОСТИ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Пусть
Е—ориентированная евклидова плоскость; согласно 8.3.12, она
отождествляется с комплексной векторной прямой. Элементы ком-
комплексной линейной группы GLC(?) удовлетворяют определению
8.8.2, следовательно, GLc(?)c:GO(?'). На самом деле, как пока-
показывают 8.8.3 и 8.3.12, GO+ (?) = GLC(?). Для нахождения GO" (E)
фиксируем какое-нибудь s?0~ (E). Тогда GO" (?) = s-GO+ (Е).
Поскольку s является симметрией относительно некоторой пря-
прямой D, выберем ненулевой вектор, лежащий на этой прямой.
Он образует базис Е над С (комплексный базис в Е состоит из
одного вектора!), и мы получаем следующее утверждение.
8.8.4.1. Предложение. Для любого базиса Е над С прямые (соот-
(соответственно непрямые) подобия суть отображения z*—>az (соот-
(соответственно zv-^-az) при всевозможных а?С*.
8.8.5. ПОДОБИЯ И УГЛЫ
8.8.5.1. Предложение. Подобия сохраняют углы. Точнее:
(i) Если f—подобие, А, \'?Ё>(Е), D, D'?@>(E), то
= ДА' и f(D)f(D')^DDT.
(и) Если f—подобие, а прямые D и D' ортогональны,
то прямые f (D) и f (D') также ортогональны.
(ш) Если dim ? = 2, то для всех /?GO+(?) (соответ-
(соответственно GO" (?)) и для всех А, А' ? & (Е) и D, D' ? &> (Е) имеем
/(АO(А')=АА'
и —DD').
') = DD' (соотв. — АА'
Обратно, если dim Е~^2 и отображение f ? GL (E) таково, что
для любых двух ортогональных прямых D и D' их образы f (D)
и f(D') ортогональны, то f?GO(E).
Доказательства требует только последняя часть утверждения
(in), так как остальные легко следуют"из 8.6.6, 8.7.2.4, 8.7.7.3.
Итак, пусть /—линейное отображение, сохраняющее ортогональ-
ортогональность векторов. Фиксируем какой-нибудь вектор х?Е\0 и рас-
рассмотрим линейную форму ср на Е, определяемую так: <р (у) =
= (/ (х) \f(y))> по предположению ср равна нулю на гиперплоско-
гиперплоскости х-1, стало быть (см. 2.4.8.6), существует такое &?R*, что
(f(x)\f(y)) = k(x\y) для всех у?Е.
Таким образом, каждому хфО соответствует такое число k(x),
что (/ (х) | / (у)) = k (x) (х | у) для всех у?Е. Пусть х, х'— линейно
независимые векторы; рассмотрим число k(x-\-x'). Имеем (для
всех у ? ?)
(x')\y) = k(x)(x\y) + k(x')(x'\y).
Отсюда вытекает, что [k(x + x') — k(x)]x + [k(x-{-x')—k(x')] x' — 0,
т. е. k(x) = k(x')=k(x + x') (поскольку х и х' линейно незави-
независимы). Поэтому k(x) не зависит от х, и / является подобием.
8.8.6. ПОДОБИЯ И КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ. Пусть Е — евклидово
пространство, N—квадратичная форма |j • ||2: л:«—s-{|л:[J2, /—элемент
группы GL(?). Комплексификации этих объектов обозначаются
соответственно Ес, Nc и /с (fc?GL(Ec)) (см. 7.1.1, 7.2.1, 7.3.4).
22 i
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
8.8.6.1. Определение. При dim?;s?3 подмножество (Л^с)-1@) про-
пространства ?с называется изотропным конусом пространства ?.
Если dim ? = 2, то (Л^с)@) состоит из двух различных прямых
в Ес, называемых изотропными прямыми в ?. Пара этих пря-
прямых будет обозначаться {/, /}. Для сопряжения а: Ес—>ЕС
(см. 7.1.1) имеем ст[(ЛгС)-1@)] = (Л'с)-1@), a в случае dim ? = 2
имеем а (/) = /, а (/) = /.
Название «конус» для (Л^с)-1@) оправдано однород-
однородностью N: NcCkx) = X2Nc (x). Квадратичная форма yv = j|-||2 на ?
невырожденна, поэтому невырожденна и ее комплексификация
Nc (см. 7.3.5, 13.2.1, 13.2.3.1), и, стало быть, в случае dim?=2
множество (Л^с)~х@) состоит из двух различных прямых. Мы
будем пользоваться этим результатом сейчас же, поэтому, чтобы
избежать ссылки на § 13.2, дадим здесь прямое доказательство
того, что (Л^с)-1@) состоит из двух различных прямых (в случае
dim Е = 2). Пусть \еи е2} — некоторый ортонормированный базис
в Е; тогда Nc (zit z2) = Zi-f-z| (см. 7.3.5) и Zi-f-zf = O эквивалентно
г2 = ± izi. Имеем
a UN0)-1 @)) = (Nc)~l (a @)) = (Nc)~l @)
(см. 7.2.1). Если положить, например, / = {(z, —iz)\, J = {(z, iz)},
то очевидно, что а(/) = /, а(/) = /. Выбор одной из этих двух
изотропных прямых нельзя осуществить каноническим образом.
Точнее, имеет место следующее утверждение.
8.8.6.2. Предложение. Выбор одной из двух изотропных прямых
в Ес эквивалентен выбору ориентации плоскости Е; соответст-
соответствие определяется таким образом, что выбранная прямая I имеет
угловой коэффициент (— i) в некотором ортонормированием
базисе в Е, положительном для выбранной ориентации.
Нужно показать, что любой элемент f группы GO+ (E)
оставляет инвариантной прямую / (эвристическое доказательство:
так как GO+ (E) связно, то / не может перескочить в /). Выбе-
Выберем какой-нибудь ортонормированный положительный базис.
Пусть
а —Ь
Тогда (при е = ± 1)
'а —гЬ\(
КЬ &а
а)
1
—t J \b—eta/
—ei
8.8.6.3. Примечание. Это вычисление показывает также, что собст-
собственное значение линейного отображения / ? О+ (Е) на прямой /
(соответственно /) есть а + bi = в (/) (соответственно а—Ы = в (/)),
229
8.8 Подобия; изотропный конус и изотропные прямые
где отображение в определено, как в 8.3.6. Ясно также, что
если ft?O-(E), то fc(I) = J (см. 8.3.1 (п)).
8.8.6.4. Предложение. Пусть /€GL(?). Тогда:
(О f^GO(E)^fc((Ncr1@)) = (Nc)-1@), m. e. f яв-
является подобием тогда и только тогда, когда изотропный конус
в целом инвариантен относительно /с.
(п) При dim ? = 2 имеем
fGO fG
f()f() f()F()
Доказательства импликации => тривиальны. Чтобы
доказать обратную импликацию в (i), заметим, что так как /с
оставляет инвариантным ядро формы Л^с, то ядро формы (/с)* (Nc)
(обратного образа Afc при отображении /с, см. 13.1.3.9) совпадает
с ядром Wc. Тогда из 14.1.6.2 вытекает существование такого
k ? С*, что
сужая форму fc на ?с?с, получаем
{x)f =
для всех
Отсюда следует, что k вещественно и / является подо-
подобием с коэффициентом растяжения Vk. Чтобы доказать обратную
импликацию в (И), заметим прежде всего, что /({/, /}) = {/, /}
в силу 8.8.6.1. Далее можно применить часть <= из (i) и заме-
заметить, что для / С GO+ (?) (соответственно / € GO~ (?)) мы имеем
f(I) = I (соответственно f(f) = J), согласно 8.8.6.2 и 8.8.6.3.
8.8.7. ФОРМУЛА ЛАГЕРРА. Изложенное ниже представляет собой
плоды размышлений Лагерра, когда, посещая подготовительный
класс Политехнической школы, он пытался уяснить себе читав-
читавшийся там курс геометрии, который его не удовлетворял.
8.8.7.1. Предположим сначала, что ?—ориентированная евкли-
евклидова плоскость, /, /—соответствующие изотропные прямые в ?с
(см. 8.8.6.2); пусть D, D'—прямые в ?, a Dc, D'c—их комплекси-
фикации в ?с (см. § 7.4). Тогда можно рассмотреть двойное отно-
отношение четырех точек Dc, D'c, I, J комплексной проективной
прямой Р (?с) ^ SD (Ес). Если /gO+(?) таково, что f{D)=D',
то из 6.6.3 и 8.8.6.3 получаем
, D'c,
но так как 6(/)gU, то в (/) = (в (/))"*. Чтобы найти выражение
[Dc, D'c, I, J] только через ориентированные углы, достаточно
применить 8.7.5.1 и 8.7.7.7 и получить следующий результат.
8.8.7.2. Теорема (формула Лагерра). Имеем
если t—какая-либо величина угла DD', то [Dc,
I = t>*it
230
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
Для очистки совести можно убедиться, что полученная
формула при различных изменениях входящих в нее величин
ведет себя «как ей положено». Если мы изменяем ориентацию
в Е, то прямые /и/ меняются местами (см. 8.8.6.4), угол в (•)
переходит в (в(')) (см. 8.3.6) и, таким образом (см. 6.3.1), обе
части равенства меняются одинаково. Аналогично можно рас-
рассмотреть замену D на D' (применяя 8.7.7.3 и 6.3.1). Приложе-
Приложения этой формулы см. в 17.4.2.2.
-1
Рис. 8.8.7.3
log
-0
Г"\-ТС
8.8.7.3. Рассмотрим теперь неориентированную плоскость Е;
в этом случае корректно определена лишь пара прямых {/, J].
Для любой пары \D, D'\ прямых на плоскости Е двойное отно-
отношение \DC, D'c, I, J] определено с точностью до перехода к обрат-
обратному числу (zi—>z~x). Зададим отображение log: U\{—1}—>¦
—> ]—я, я[ как обратное к отображению Л: ]—я, я[ —<-U\{—1}.
Пусть t—величина угла DD' (по отношению к какой-нибудь
ориентации Е); тогда, согласно 8.7.7.6, DD' равно t или я—t,
и мы получаем следующую формулу:
8.8.7.4.
' =-И log ([Dc, D'c, I, J])\
Поскольку log(e21'(л~^) = — log(e2/'), то правая часть не зависит
от того, какое из значений: я—t или t принимает DD'.
8.8.7.5. Формула 8.8.7.4 принадлежит Кзли и хорошо отражает
его принципы подхода к геометрии (см. 5.2.2). Здесь удалось
свести геометрию углов между прямыми в пространстве Е (или,
что то же самое, метрическую геометрию проективного простран-
пространства Р (Е)) к геометрии некоторого подходящего проективного
пространства (см. § 19.2).
8.9 КВАТЕРНИОНЫ. ПРИМЕНЕНИЕ К ГРУППАМ 0+C) И 0+ D)
В изучении группы 0+ B) существенную роль играли комплекс-
комплексные числа; подобно этому тело кватернионов Н позволит нам
глубже изучить группу 0+ C) и особенно группу 0+ D).
231
8.9 Кватернионы. Применение к группам О+C) и О + D)
8.9.1. НАПОМИНАНИЯ О КВАТЕРНИОНАХ. Речь идет о некоммута-
некоммутативном теле, которое обозначается Н и строится следующим обра-
образом: в R4 берется канонический базис {1, i, /, k\ и задаются
произведения базисных векторов следующим образом:
\и — и для и—1, i, j, k; i2 = ii = j2 = jj = k2 = kk = — 1;
ij = — ji = k, jk~ — kj = i, ki — — ik = j.
Эти формулы однозначно определяют линейное отображение умно-
умножения \х: R4 X R4 —+ R4. Можно проверить, что умножение \х ассо-
ассоциативно и превращает R4 в тело, обозначаемое Н и называемое
телом кватернионов. Подпространство R • 1 с Н мы отождествляем
с R. Пространство R3 вкладывается в Н как подпространство:
и называется пространством чисто мнимых кватернионов. Любой
кватернион q g Н записывается в виде q=9l (ф+З* (q), где Э1 (q) ? R,
а У (q) (E R3- Кватернион q — 3i (q) — P {q) называется сопряжен-
сопряженным кватерниону q. Имеем
-\-r = q + r, qr = r-q (внимание!),
Каноническое скалярное произведение на R4 может быть записано
в виде
= У' qq называется нормой (или
отсюда ясно, что Н
= Я \г
в частности, qq?R+ и число ||<7
модулем) кватерниона q. Имеем
действительно является телом, ибо кватернион, обратный к дан-
данному, задается формулой q~1 — lq\\~2q- Пусть
— единичная сфера в R4 = H. Мы видим, что S3 обладает струк-
структурой мультипликативной группы (так же, как S1 = U = {г: | z |== 1}
обладала структурой группы, но только абелевой!). В связи
с этим можно спросить, обобщаются ли эти утверждения на слу-
случай сфер больших размерностей, т. е. обладают ли сферы других
размерностей хорошими (в некотором точном смысле) групповыми
структурами? С помощью алгебраической топологии можно пока-
показать, что единственные сферы, допускающие хорошие групповые
структуры, —это 51 и S3; см., например, [140], гл. 15, а также
литературу, приведенную в [191], с. 284. На сфере S7 имеется
интересная структура, близкая к групповой. Эта структура опре-
определяется с помощью чисел (октав) Кэли; см. [191], с. 278.
232
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
Что касается сферы 52, то ее можно вложить в прост-
пространство чисто мнимых кватернионов следующим образом: S2 =
= {<7€R3: |<7||=U-
Не следует надеяться на существование разумной струк-
структуры тела в R" при пф2, 4. Такие структуры есть только в R2
и R4, и они изоморфны соответственно С и Н; см. [191], с. 284.
Еще только пространство R8 допускает достаточно хорошую струк-
структуру (так называемая алгебра октав Кэли). По поводу R" см.
также 8.10.3 и указанную там литературу. Заметим еще, что
если q, q'—чисто мнимые кватернионы, то мнимая часть 9*{qq')
их произведения есть не что иное, как векторное произведение
<7Л<7' в R3 (см. 8.11.13).
В противоположность случаю С автоморфизмы тела Н
весьма просты и хорошо известны: см. 8.12.11 и 2.6.4.
8.9.2. ТЕОРЕМА, (i) Пусть s?R3\0; тогда отображение qi—>
I—>—sqs'1 оставляет инвариантным R3, и его сужение на R3
совпадает с симметрией о j_ пространства R3 относительно пло-
плоскости s-L в R3.
(п) Пусть s ? Н*; тогда отображение p's: qi—z-sqs'1
оставляет инвариантным R3, и его сужение ps на R3 принадле-
принадлежит группе О+ C). Кроме того, ps = ps-Ф» 3^€ R*: s' = A,s.
(Hi) Обратно, для любого отображения /?О+C) суще-
существует s ? Н*, для которого / = ps.
Чтобы убедиться, что R3 инвариантно, воспользуемся
тем, что q? R343<72 6 R-- Поэтому если <7(ER3, то (—sqs'1J =
= sq2s~1 ?R_. Отображение ^н-s-—sqs'1 линейно и изометрично:
Наконец, si—>—sss~x = — s, и если ggR3 и (<7|s) = 0, то
0 = (q I s) = ~ (qs +iq) =-i- (- <7S-s<7),
откуда s<7 = — gs и q>-^— sqs^ — ss 1<? = <7.
Чтобы изучить ps и р^, мы сначала доказываем (ана-
(аналогично изложенному выше), что ps(;O C); далее нужно убедиться,
что ps?O+C). Топологическое пространство Н* связно, и отобра-
отображение Н*Э si—>{q*—*¦ sqs'1} ?0 C) непрерывно; стало быть, ps ле-
лежит в той же компоненте связности группы 0C), что и отобра-
отображение IdR3, рассматриваемое как рх. (Можно дать также и чисто
алгебраическое доказательство.) Последнее утверждение п. (и) сле-
следует из того факта, что кватернионы, коммутирующие со всеми
элементами R3, суть вещественные числа.
Пункт (Ш) вытекает из (i) и 8.2.12.
8.9.3. следствие. Отображение р: 535 si-4>-ps?0+ C) является
непрерывным и сюръективным гомоморфизмом групп, ядро кото-
233
8.9 Кватернионы. Применение к группам 0+C) и 0+D)
рого совпадает с {±1}; в частности, группа О+ C) гомеоморфна
P3(R). И
Напомним, что Ss = {q?H: |<7||=1}; из 8.9.2 (и) следует,
что ядро гомоморфизма р состоит из тех s?R, для которых
|| s |=1, т. е. из +1 и —1. Осталось заметить, что множество
смежных классов подгруппы {±1}с53 совпадает с фактормно-
фактормножеством 53 по отношению эквивалентности х ~ ц<?>х = + у, т. е.
с P3(R) (см. 4.3.3.2).
8.9.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть s = a + t, t g
ось вращения ps € О+ C) совпадает с прямой Ht
при афО задается формулой tg (9/2) =|| t\
9 = я и ps есть переворачивание вокруг R/.
R3\0, agR; тогда
, а его угол 9, 9 ? ГО, я],
\/\a\. Если а = 0, то
Рис. 8.9.4
Инвариантность прямой R? очевидна. Вычисление угла
в — несколько более деликатное дело; заметим сначала, что pZSj-i =
= РгРЛРг) и Р« — вращения , на один и тот же угол. Так как
О+ C) транзитивно действует на сфере S2, то существует такое г,
что 2S2~1 = Ci, P^R, и достаточно произвести вычисление для
s = a-f-Pt. Для этого рассмотрим действие ps на плоскости i-LczR3;
нам надо вычислить 6 = /, ps(/). Имеем
Р. (У) = (а + Р0 У (а + РО'^Са' + Р1) (а + РО У («—Р0 =
и, следовательно,
It'll
Если а = 0, то рЛУ) = —У-
8.9.5. Результаты 8.9.3 и 8.9.4 представляют интерес постольку,
поскольку обеспечивают параметрическое представление О+ C) —
группы вращений нашего физического пространства; такие пара-
параметризации очень важны в механике и физике, хотя их трудно
получать и с ними трудно обращаться. Посмотрите, к примеру,
на углы Эйлера ([38], с. 136) и попытайтесь записать компози-
композицию вращений с помощью этих углов! Кватернионы обеспечи-
234
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
вают простой и быстрый способ вычисления композиций. Однако
этот способ имеет неудобство, которое хотелось бы устранить:
каждому вращению отвечают два кватерниона, отличающиеся друг
от друга знаком. Однако, как показывает следующее утвержде-
утверждение, эта неопределенность заложена в природе вещей.
8.9.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для отображения р не существует правого
обратного {т. е. такого отображения f: 0+ C)—>-S3, что ро/ =
= Ido+ о;), которое было бы непрерывным или было бы гомомор-
гомоморфизмом групп:
S3
Г-
и
z у
и
Обозначим через Г множество всех вращений вокруг
оси Ш; это подмножество в 0+ C), гомеоморфное окружности.
Согласно 8.9.4, р~1 (Г) = Г' = 5(R + Rt), т. е. р (Г)—единичная
окружность в плоскости R + RicH. Далее, из доказательства
8.9.4 получаем, что при естественном отождествлении R4-Ri=C
сужение р|г-: Г'—*Т совпадает с возведением в квадрат: zь->z2.
Предположим теперь, что существует гомоморфизм /: 0+ C) —+S3,
удовлетворяющий условию р о / = Ido+o) , и рассмотрим его су-
сужение на Г. Тогда /(Id) = l и /(—Id) = ±t, ибо, согласно пре-
предыдущему, р(/(— Id)) = (f (— Id)J = — Id. Пусть, например,
/= (— Id) — ?. Тогда (/(-Id)J = /((-IdJ)=/(Id) = l=i2 = 1,
и мы пришли к противоречию.
XJ XJ
Рис. 8.9.6.1
Рис. 8.9.6.2
Предположим далее, что существует непрерывное ото-
отображение /: 0+ C) —>¦ S3, удовлетворяющее условию р о f = Ыо+ <3).
Пусть, например, f(Id) = l (случай /(Id) = —1 рассматривается
аналогично). Поскольку р (/ (г)) = г, то легко видеть, что / (г) = У z
(с обычным определением корня) на множестве C\R_, но тогда,
если z приближается к —1 по верхней (нижней) полуплоскости,
f(z) приближается к i (соответственно к —i), стало быть, /раз-
/разрывна, и снова получено противоречие»
235
8.10 Группы О + (п)и алгебраическая топология
8.9.7. Как и в доказательстве 8.9.2, можно видеть, что для всех
s, г?Н* с || s !|] г ||=1 (в частности, при || s| = | г || = 1) отображение
Н Ъ Ц!—> sqr G Н является изометрией Н на себя, т. е. определяет
элемент группы О D). Далее, тем же методом, что и при доказа-
доказательстве 8.9.2 (п), получаем, что отображение qt—>sqr принад-
принадлежит О+ D). Более того, имеет место следующее утверждение.
8.9.8. ТЕОРЕМА. Отображение
т:
(s,
является непрерывным и сюръективным гомоморфизмом групп,
ядро которого состоит из двух элементов: A, 1) и (—1, —1).
8.9.9. Здесь, конечно, подразумевается, что 53xS3 снабжено груп-
групповой структурой прямого произведения. Проверим гомоморфность
т: x(ss', rr')(q) = ss'q7r' = s(s'qr') r==(x (s, r) о x(s', r')) q. Ядро т
состоит из таких пар (s, г), что sqr — q для всех q; отсюда r=s~1
и sqs~1 = q для всех q; значит, sgR и s = ±l. Чтобы доказать
сюръективность, предположим, что / € О+ D) и <70 = f A). Имеем:
т(ЙГ\ 1)€О+D) ит(<7„-\ 1)(<7о) = 1, стало быть, т (q?, l)o/?0+ C).
Но из 8.9.2 (ш) следует, что т(<7о1, l)o/ = Ps Для некоторого
s^ii*, поэтому / = т(<70, 1)°Ps = t(<70s, s).
8.9.10. СЛЕДСТВИЕ. Группа О+ D) допускает нормальные под-
подгруппы, отличные от всей группы и ее центра {± Idi^}, напри-
например тE3х{1}), т({1}х53). В частности, группа О+ D)/{± IdR«}
не является простой.
8.9.11. ЗАМЕЧАНИЕ. Таким образом, исследование простоты групп
О (п), начатое в § 8.5, завершено.
Мы видим, что 0+ D) почти разлагается в прямое произведе-
произведение. Проективная ортогональная группа РО+ D) является уже
настоящим прямым произведением:
8.9.12. РО+ D) = р (т E3 х {1})) X р (т ({1} X S3)).
Эта формула имеет приятные геометрические следствия, см. 18.8.8.
Другие приложения кватернионов к геометрии приводятся в очень
интересной книге [233].
8.9.13. ВОПРОС. Комплексные числа позволяют глубже изучить
группу О+ B), кватернионы — группы О+C) и О+D). В частно-
частности, на этом пути получаются удовлетворительные параметриза-
параметризации этих групп. Как параметризовать группу О+ (и)? Ответ на
этот вопрос доставляют алгебры Клиффорда, см. 8.10.3.
8.10
ГРУППЫ О+(п) И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ
8.10.1. В этом параграфе мы заканчиваем реализацию намечен-
намеченного в 8.2.14 плана. Для того чтобы понять по существу изла-
излагаемое ниже, по-видимому, нужно иметь некоторое представление
об алгебраической топологии. Не вдаваясь в подробности, упо-
236
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
мянем только, что все 0+ (я) суть дифференцируемые многообра-
многообразия класса Гик тому же группы Ли. Кстати говоря, техника
теории групп Ли позволяет, помимо прочего, ответить на вопро-
вопросы, обсуждаемые в 8.10.4.
8.10.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ. Мы видели, что группа О+ B) гомео-
морфна окружности S1, а О+ C)—пространству P3(R). Заметим
также, что 0+ D) можно рассматривать как (S3xS3)/Z2 (см. 8.9.8);
О+ E) имеет отношение к Н2 (см. [191], следствие 13.60), а О+ E) —
к С* (см. [191], предложение 13.61). По этому поводу см. также
[76], гл. II, § 6—12. Наконец, О+ (8) имеет отношение к явле-
явлению «тройственности», поскольку факторгруппа всех автоморфиз-
автоморфизмов Aut (O+(8)) по подгруппе внутренних автоморфизмов Int@+(8))
изоморфна симметрической группе B>3 (см. [49], с. 175—177 рус-
русского перевода).
8.10.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. Поскольку группа О+ B)
гомеоморфна окружности S1, ее фундаментальная группа пх (О+ B))
изоморфна Z. Напротив, при всяком я ^ 3 имеем пх (О+ (n)) = Z2.
Для я = 3 это вытекает из 8.9.3, так как р: S3 —+ О+C) пред-
представляет собой двулистное накрытие и сфера S3 односвязна. При
я > 3 это вытекает из случая я=3 и из точной последователь-
последовательности гомотопических групп, ассоциированной с расслоением
О+ (я+ 1) —+ S", слоем которого является группа О+ (я), а базой
S" = O+(я+1)/0+(я) (см. 1.5.9 или 8.2.8).
Читателя, возможно, заинтересует геометрическое описание
ненулевого элемента (нестягиваемой петли) группы п1 (О+ C)) (и,
следовательно, пг (О+ (я))). Такое описание содержится в 8.9.6, где
доказано, что окружность Г, состоящая из вращений R3 вокруг
некоторой фиксированной оси, является петлей, негомотопной
нулю ввиду односвязности S3. В частности, так как пх (О+ C)) = Z2,
то двукратный обход по Г определяет стягиваемую петлю. Эго
можно продемонстрировать наглядно двумя способами: при по-
помощи бумажной ленты или при помощи трюка с глубокой тарел-
тарелкой. «Держа тарелку горизонтально, исполнитель должен повер-
повернуть ее на угол 2л вокруг оси, проходящей через ее центр. При
этом рука его будет вывернута. Удивительно то, что, если
выполнить еще одно такое же вращение, в том же направлении,
рука исполнителя вернется в прежнее положение (вместо ожи-
ожидаемого двойного выкручивания!)» ([191], с. 2); см. рис. 8.10.3.1
и 8.10.3.2.
Тот факт, что п1 (О+ (я)) = Z2, имеет далеко идущие
последствия. По группе G = O+ (я) можно построить односвязное
топологическое пространство—ее универсальную накрывающую G.
Известно, что структуру группы на G можно поднять до струк-
структуры группы на G: таким образом для каждого я мы получаем
абстрактную группу О+ (я), построенную по геометрической группе
237
8.10 Группы О + (п) и алгебраическая топология
О+ (n)crGL (R"). Возникает вопрос: обладает ли эта группа какой-
нибудь геометрической реализацией? Для я = 3 группа О+ C)
реализуется группой единичных кватернионов по умножению в
Н = R4; что же играет роль кватернионов в размерности я > 3?
Рис. 8.10.3.1
Рис. 8.10.3.2
238
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
239
8.11 Каноническая форма объема
Оказывается, в этой роли выступают при п > 3 алгебры Клиф-
Клиффорда, а соответствующую группу 0+ (п) называют группой спи-
спиноров; по этому поводу см. [191], гл. 13, [33], § 9. Другие источ-
источники указаны в 13.7.14.4.
Любопытно, что исторически спиноры были введены
совсем не так, как изложено выше. Спинорное представление
было открыто Эли Картаном в 1913 г. при классификации линей-
линейных неприводимых примитивных представлений алгебры Ли
ортогональной группы О+ (п). Это представление занимало среди
других представлений особое положение и имело загадочную раз-
размерность 2". С другой стороны, Клиффорд ввел свои алгебры
в 1876 г. именно с целью найти обобщение результатов типа
8.9.2 и 8.9.8 на -высшие размерности.
8.10.4. Что касается других классических алгебро-топологиче-
ских инвариантов группы О+ (п): групп гомологии, кольца кого-
мологий—все они полностью найдены; см. [29], а также [140],
с. 138—142 русского перевода.
8.11 КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ОБЪЕМА
В ОРИЕНТИРОВАННОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Напомним, что если n — dimE, то dim f\"E*=l (см. 2.7.2.1).
8.11.1. ЛЕММА. Если Е—евклидово векторное пространство, то
/\пЕ* обладает канонической евклидовой структурой, в которой
евклидова норма элемента со ? Л "Е* определяется равенством
..., еп)\,
где еи
., еп—любой о р то нормированный базис в Е.
Так как форма (о?Л"?* вполне определена своим
значением на любом из базисов пространства Е, достаточно по-
показать, что \(й{ег, ..., е„)| = |ш(е;, ...,е'п)\ для любых двух
ортонормированных базисов ewe' пространства Е. Для этого
введем отображение / ? GL (Е), определенное условием / {е()=е\ при
ls^is^/г. Тогда «»(ei, ..., е'п) = (det f) (a (elt ...,en), но, соглас-
согласно 8.2.1, det/ = ±l.
8.11.2. примечание. Более общо, внешние алгебры /\рЕ*, /\рЕ,
тензорные алгебры ®рЕ, @рЕ*, симметрические алгебры Q)pE,
QpE* для всех р обладают евклидовыми структурами, получае-
получаемыми естественным образом из евклидовой структуры на Е;
см. [33], с. 347 русского перевода. В этой книге нам понадо-
понадобится то'лько норма на пространстве /\пЕ*.
8.11.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Е—ориентированное евклидово
векторное пространство. Канонической формой объема на Е назы-
называется такой элемент ^^Л°?*. что 1^я1=1 в смысле 8.11.1 и
кь- еогласован с ориентацией пространства Е (см. 2.7.2.2). Если
п=3, эту форму называют также смешанным произведением и
иногда обозначают (•, •, •).
Если Е—евклидово векторное пространство, то канонической
плотностью на Е называется отображение 8Е: Еп —>R+, опре-
определяемое формулой ЪЕ (е1, ..., еп) = | КЕ (ех, . .., еп) |, где ХЕ—ка-
ХЕ—каноническая форма объема на ? в некоторой ориентации.
Иными словами, функции %Е и 8Е определяются следующим
условием:
8.11.4. 8E(ex, . ..,е„) = 1 (соответственно ^(е^ . ..,?„)= 1)
для всех ортонормированных базисов (elt ..., еп) (соответственно
для всех положительных ортонормированных базисов).
Ясно, что плотность 8Е инвариантна относительно
группы О(Е), а форма ХЕ—относительно группы О+ (Е).
8.11.5. Для вычисления 8E(xlt ...,xn) мы введем определители
Грама. Пусть хи ..., хр — векторы в евклидовом простран-
пространстве Е; определителем Грама набора векторов {х{\ (обозначение:
Gram (хг, . . ., хр)) называется определитель
Gram (*i, ..., хр) = det ((*,. | xt)) =
р
{Х2\хр)
,l*i) (xP\xt) ¦¦¦ \\XpT
8.11.6. предложение. Для любого набора п векторов (Xj, ..., хп)
в пространстве Е имеем ЬЕ(хг, ..., хп) = (Gram (xlt ...,xn)I/2.
Пусть (е{) — некоторый ортонормированный базис в Е,
а отображение /?GL(?) определено формулой f(ei) = xi для
всех / = 1, ..., п. Пусть A = M(f)—матрица отображения /
в базисе (е,-). Согласно лемме 8.2.2,
Gram (xit ...,xa) = det (МЛ) = (det ЛJ = (det /J,
откуда
8E(Xl, ...,x,l) = \
еп) = \ det/|.
|
8.11.7. ПРИМЕРЫ. Пусть х, у?Е. Применим 8.11.6 к евклидову
пространству V — Rx + Ry. Имеем bv(x, y) = (Gram(x, y)I/2; отсюда
Gram(x, у) ^0. Таким образом,
* II2 (х\У)
(У\х) \\УТ
тем самым доказано неравенство Шварца (см. 8.1.3). Кроме того>
из 8.6.3 получаем, что 8v(x, y) = s\n(Rx, Ry) ||л; || J г/1| (речь идет
о неориентированном угле между прямыми Rx и Ry).
Gram (x, у) =
= 11*1
-(x\yY;
240
Гл. 8. Евклидовы векторные пространства
Читатель может попытаться доказать положительность
определителя Gram (x, у, г) прямым вычислением.
Остальная часть этого параграфа посвящена вектор-
векторному произведению. Векторное произведение в R3 очень широко
используется практически во всех вопросах физики и механики.
В дальнейшем Е предполагается ориентированным.
8.11.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть пространство Е имеет размер-
размерность п~^3. Пусть заданы п—1 векторов (*,),-=i, ..., n-i nP°~
странства Е. Тогда существует единственный вектор, обозна-
обозначаемый Xi a ... ах„_¦)_, удовлетворяющий следующему условию:
{хг а .. . л хп_х \у) = 'кЕ (*!, . . ., хп_1, у) для всех у?Е.
х,
Рис. 8.11.8
Этот вектор называется векторным произведением век-
торов хг, ..., хп_х. Векторное произведение обладает следую-
следующими свойствами:
(i) отображение Е"'1 Э fo, ¦¦,xn_i)y-*Xi л...лхп_г? Е
полилинейно и кососимметрично;
(ii) xi a ... a Arn_j = O о векторы х{ линейно зависимы;
(ш) *! л .. . л хп_г ? (Ratj + ... + Ъсп_№
(iv) если векторы хг, ..., хп_± линейно независимы,
то векторы хг, ..., хп_1, л^л ... ахп_1 образуют положитель-
положительный базис в пространстве Е;
(v) Цл^л ... AA:n_1|| = (
( ^
(vi) вектор х1а...ахп_1 однозначно определяется
совокупностью свойств (Hi), (iv), (v).
Существование и единственность вектора х± л ... л xn_f
вытекают из 8.1.8.1. Утверждение (i) следует из того, что форма
ХЕ полилинейна и кососимметрична. Импликация Ф= утвержде-
утверждения (ii) тривиальна. Обратная стрелка доказывается так: пусть
хг, ..., хп_г линейно независимы; тогда, взяв вектор хп, допол-
дополняющий набор хх, ..., хп_г до базиса, получим, что (х1а...
. • ¦Ахп_1\хп)='кЕ(х1, .. .,хп_ихп)^0, а это противоречит условию.
241
8.11 Каноническая форма объема
Чтобы доказать (iv), заметим, что
1 /v -l» v л л v ^ II V Л Л V ||2 ">» О
Р V 1» • * * » и — 1 > 1 ••• АЛ^„^ |Л1 ••• ' * Л п _ j || ^-^ ^ t
и применим 2.7.2.2. Чтобы доказать (v), обозначим х1 л . . . лх„_1
через z и заметим, что (z|л:,) = 0Vi= 1, ..., п—1. Поэтому для
определителя Грама получаем
Gram (xlt .... хп_г, z) = Gram (xlt ..., xn_1) \\zf,
откуда
(%в (xlt ..., хп_г, г)J = || z |* = Gram (*lt ..., Jf^.lt г) =
=Gram (x1 xn_Jjzf (см. 8.11.6).
Наконец, чтобы доказать, что векторное произведение однозначно
определяется свойствами (Hi), (iv) и (v), достаточно рассмотреть
случай, когда хг, ..., х„_х линейно независимы (случай линейно
зависимых Х[ тривиален: х1 л .. . л хп_1 — 0). В этом случае
dim (Rxj+ ... +Rxn_1)J-= 1, и тогда свойства (iv) и (v) одно-
однозначно выделяют на этой прямой вектор хх л ... Axn_i.
8.11.9. ЗАМЕЧАНИЯ. При п = 2 аналогом векторного произведения
является отображение ЕЭх*-+д (х) ?Е, т. е. вращение в поло-
положительном направлении на угол я/2 (см. 8.3.12 и 8.7.3.5).
Понятие векторного произведения доставляет удобный
способ дополнять ортонормированную систему векторов {е,{,
i= 1, ..., п—1, до положительного ортонормированного базиса.
Практические вычисления проделаны в 8.11.11, 8.11.12.
8.11.10. ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ. Пусть {е;}—ортонормированный
базис в Е. Рассмотрим матрицу Л = (*,,), г=1, .... п—1,
/=1, ..., п, в которой i-й столбец составлен из координат
вектора xt в базисе {е^. Тогда
8.11.11. г-я координата вектора л^л... лх„_1 равна (— l)"~xdet A[r
где через Л,- обозначена квадратная матрица, полученная
из Л выбрасыванием i-й строки.
Чтобы доказать это, обозначим вектор л^л... Ахп_г
через z = (Zj, ..., гп). Имеем (для любого вектора у)
L1 • • ¦ Хп-И ill
Х\п • ¦ ¦ Хп-\п Уп
Разлагая определитель по последнему столбцу, находим
(г | у) = 2 М)я-'Met Л, = 2 0,z...
Взяв в качестве у вектор et, получаем требуемое. Например,
242
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
при /г = 3 имеем
fa
8.11.12. х = \ b I, y =
fbc'—b'cs
х л У = \ са'—с'а
8.11.13. КВАТЕРНИОНЫ. Векторное произведение в R3 (предпо-
(предполагается, что в R3 выбраны каноническая евклидова структура
и каноническая ориентация) позволяет вычислить произведение
чисто мнимых кватернионов х, i/?R3cH (а стало быть, и про-
произведение любых кватернионов): из 8.9.1 и 8. П. 12 получаем, что
ху = — (х\у)+хлу, где (х]г/)? RcH.
8.12
УПРАЖНЕНИЯ
8.12.1. Пусть Е—вещественное векторное пространство, <р и
¦ф—евклидовы структуры на ? и G—подгруппа группы GL(?).
Покажите, что если G неприводима (см. 8.2.6) и Gc:O(E, ip) n
Г) О (Е, ф) (т. е. все элементы G оставляют фи\|) инвариантными),
то ф и г|) пропорциональны (воспользуйтесь материалом § 13.5).
8.12.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 8.2.15. Чтобы пока-
показать, что любое отображение / ? О (Е) обладает одно- или дву-
двумерным инвариантным подпространством, рассмотрим элемент
x(zS(t), для которого ||/ (х)—х\ минимально. Покажите, что х,
f(x), /2 (х) лежат в одной плоскости (см. 9.3.2; используйте
также § 18.4).
8.12.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 8.2.15. В условиях
8.12.2 покажите, что плоскость, натянутая на векторы х и f(x),
инвариантна относительно / (воспользуйтесь тем, что отображе-
отображение S (Е) Э У|—>||/ (у) — */||€R имеет в точке х нулевую произ-
производную (см. 13.5.7.2)).
8.12.4. Приведите прямое доказательство того, что окружность
линейно связна.
8.12.5. НОРМАЛЬНЫЕ ЭНДОМОРФИЗМЫ. Эндоморфизм / евклидова
пространства Е называется нормальным, если он коммутирует
со своим сопряженным: </°/ = /°*/ (см. 8.1.8.6). Покажите, что
8.2.15 остается в силе для нормальных эндоморфизмов. Поэтому
поводу см. также 13.5.7. Найдите все нормальные эндоморфизмы
плоскости.
8.12.6. Определите все непрерывные гомоморфизмы R—*GO(E)
при dim? = 2; нарисуйте соответствующие орбиты (см. 9.6.9)
(используйте 8.3.13).
8.12.7. Покажите, что для всех n?N* и для всех a?$i(E) урав-
уравнение пх = а имеет в Щ.(Е) ровно п решений. Изобразите эти
решения на окружности для некоторых а и для п = 2, 3, 4, 5.
8.12.8. НЕБОЛЬШОЙ СПРАВОЧНИК ПО ТРИГОНОМЕТРИИ. В приве-
243
8.12 Упражнения
денных ниже формулах п—любое натуральное число, а, р, а,
Ь, с—вещественные числа. Как обычно, tg x определяется как
sin*/ cos x.
trf?,- Cn-tg д-CS-tg»a+ ... + (-!)
, , o a4-b a — b
cos a + cos b = 2 cos —^— cos —^—
cos a—cos b = — 2 sin '¦
. a — b
sin
напишите аналогичные формулы для синусов;
Покажите, что максимум функции a cos / + |3 sin t, t € R, равен
A 2. Покажите, что если a, b, c>0 и a + b-\-c = n, то
sin a 4- sin b 4- sin с = 4 cos -»¦ cos — cos -»-;
2, ? Ji
cos a 4- cos 6 4- cos с = 4 sin -r sin — sin -?-;
tg a + tg 6 4- tg с = tg a • tg b ¦ tg c;
t ^ t c_i_t ct a_i_t at ^ 1 •
о О О О Г & О & О 1 о О о О ~"~ *
? ? ?, ?, ?. ?
cos ?L _ 1
Покажите, что
1 + cos a 4- • • •
sin y
-cos-н-;
sin a 4- • • • 4-sin na =
sin (я + 1)-
cos a + cos 3a + ... + cos B/г— 1) a = у
1 sin
sin a 4-sin 3a 4-... 4-sin Bn— 1) a = ^na
,. a a a sin a
lim cos -?r • cos -r ... cos-?^- = •
gin
na ¦
244
Гп. 8. Евклидовы векторные пространства
8.12.9. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В R3. Докажите формулы
(а, Ь, с—любые векторы в R3)
а л (Ь л с) = (а\с) Ь— (а\Ь) с; (алЬ, алс, b л с) = (а, Ь, сJ;
(а л Ь) л (а л с) = (а, Ь, с) а.
Покажите,что отображение R3 x R3 Э (a, b)t~>алЬ € R3 превращает R3
(вместе со сложением) в неассоциативную алгебру, в которой
имеет место тождество Якоби: а л (Ь л с) -\-Ь л (с л а) -\-с л (а л Ь) = 0;
таким образом, получается алгебра Ли.
Обозначим через р, q, r проекции на координатные плоско-
плоскости. Покажите, что
JaAbj]2 = Gram(p(a), p(b))+Gram(q (a), q (&)) +Gram(r(a), r{b)).
Дайте интерпретацию этого равенства в терминах
площадей параллелограммов (см. рис. 8.12.9). Сформулируйте соот-
соответствующее утверждение для Gram {а1У ..., ар) в п-мерном
евклидовом пространстве.
/г
Рис. 8.12.9
Изучите уравнение х ла = Ь(а, b фиксированы); вы-
выясните, существуют ли решения, и какое множество они обра-
образуют.
8.12.10. Назовем биссектрисой двух лучей А, В в трехмерном
евклидовом пространстве (В^= — А) луч в плоскости, натянутой
на А, В, совпадающий с биссектрисой лучей А, В в этой пло-
плоскости, лежащей между А и В (см. 8.7.5.2 и 8.7.3.3). Пусть
заданы три луча S, T, U. Найдите три таких луча А, В, С,
что S—биссектриса лучей А, В; Т—биссектриса лучей В, С;
U—биссектриса лучей С, А. Исследуйте аналогичную задачу
для произвольного количества лучей.
245
8.12 Упражнения
8.12.11. автоморфизмы ТЕЛА Н. Покажите, что все автомор-
автоморфизмы Н имеют вид ан-^-еЛ (а) + рE" (а)), где р^О+C).
8.12.12. Вычислите явно несколько композиций вращений, напри-
например композицию элементов порядка 3 и 5 в группе икосаэдра
(см. 12.5.5.3), заданного своими координатами.
8.12.13. Покажите, что конечномерные линейные представления
компактной группы полу просты. Соответствующие определения:
пусть G—компактная группа; гомоморфизм /: G—>GL(V) груп-
группы G в линейную группу GL (V) вещественного конечномерного
векторного пространства V называется полупростым, если для
любого векторного подпространства WczV, инвариантного отно-
относительно элементов / (g) g GL (V) при всех g, существует такое
подпространство ZcF, что V = W@Z и
8.12.14. Пусть {e,}i=i п—ортонормированный базис /г-мерного
евклидова пространства. Найдите канонический вид (см. 8.4.1)
элемента f?O(n), определенного формулами f(e;)=ei+i при
/=1, ..., /г —1, f(en)=e1.
Глава 9 Евклидовы аффинные пространства
9.1 Определения. Изометрии.
Перемещения
9.2 Ортогональные подпро-
подпространства; расстояния
9.3 Структура изометрии.
Образующие групп Is (X)
и Is+ (X)
9.4 Структура изометрии пло-
плоскости и многоугольный
бильярд
9.5 Подобия
9.6 Подобия на плоскости
9.7 Расстояния между многими
точками
9.8 Стабилизаторы подмно-
подмножеств
9.9 Длина кривой
9.10 Метрика и дифференциаль-
дифференциальная геометрия: формула
первой вариации
9.11 Расстояние Хаусдорфа
между компактами
9.12 Каноническая мера в ев-
евклидовом аффинном про-
пространстве. Объемы
9.13 Симметризация по Штей-
Штейнеру
9.14 Упражнения
В этой главе мы изучаем евклидовы аффинные пространства.
В случае размерностей 2 и 3 такие пространства являются пред-
предметом классической античной геометрии, а также геометрии нашего
физического мира. Они обладают богатой структурой и изучались
на протяжении тысячелетий, поэтому запас сведений о них очень
велик, и нам пришлось произвести некоторый отбор. Принцип
этого отбора остается неизменным на протяжении всей книги:
мы быстро излагаем основы, затем приводим несколько резуль-
результатов, простых и красивых по форме, но обладающих трудным
доказательством, и, наконец, даем обзор вопросов, примыкающих
к рассмотренным, но более трудных или даже еще не до конца
разработанных.
Первые три параграфа содержат основные определения, а также
формулы для явного вычисления расстояний (§ 9.2). Здесь играет
важную роль определитель Грама; мы встретимся с ним также
в §9.7.
В § 9.4 содержатся приложения результатов § 9.3 к изучению
структуры изометрии плоскости и к задаче о многоугольниках
минимального периметра, вписанных в данный выпуклый много-
многоугольник. Последняя задача оказывается связанной с бильярдными
траекториями, а также с оптическими траекториями; в некотором
смысле она противоположна задаче об эргодичности таких траек-
траекторий.
В § 9.5 изучаются подобия и приводятся их весьма нетривиаль-
нетривиальные характеристические свойства, в частности теорема Лиувилля.
В § 9.6 результаты о подобиях применяются к нескольким кон-
конкретным задачам: о пропорциональном делении, о двойной подэре
двух окружностей, о логарифмических спиралях.
Семь последних параграфов содержат весьма разнообразный ма-
материал, частично нужный для дальнейшего изложения; здесь
вводятся также некоторые фундаментальные понятия. В § 9.7
247 9.1 Определения. Изометрии. Перемещения
изучаются соотношения для расстояний между несколькими точ-
точками. В этом же параграфе мы касаемся проблемы чисто метри-
метрического описания евклидовых аффинных пространств; полезным
средством исследования здесь является определитель Кэли —
Менгера. В § 9.8 изучаются подгруппы групп перемещений, ос-
оставляющие инвариантным данное подмножество; в частности, ис-
исследуется связь между компактностью группы и существованием
общей неподвижной точки для всех элементов этой группы.
В § 9.9 вводится понятие длины кривой и изучается вопрос
о кратчайшем пути между двумя точками. В § 9.10мы с помощью
дифференциального исчисления исследуем свойства расстояния
между двумя точками как функции этих точек (формула первой
вариации) и даем некоторые приложения полученных результатов.
В § 9.11 определяется расстояние между компактными подмноже-
подмножествами данного метрического пространства — метрика Хаусдорфа;
эта метрика понадобится нам в гл. 12. В § 9.12 вводится кано-
каноническая мера на евклидовом аффинном пространстве; она поз-
позволяет вычислять объем компактов—то, чем мы занимаемся
в повседневной практике (к этому вопросу мы еще вернемся
в гл. 12). В § 9.13 вводится симметризация по Штейнеру. Она
сыграла важную историческую роль и еще сейчас применяется
для доказательства изопериметрического неравенства (гл. 12).
Здесь же мы доказываем (используя симметризацию по Штейнеру)
изодиаметрическое неравенство Бибербаха.
Что касается упражнений, то (кроме предложенных здесь) мы
рекомендуем читателю просмотреть еще те, которые в огромном
количестве приведены в следующих книгах: [123], [124], [201],
[202], [141], [73], [101], [187], [64]. Некоторые из них представ-
представляют и неоспоримый эстетический интерес.
Во всей этой главе через X обозначено (если не огово-
оговорено противное) евклидово аффинное пространство, а через п
его размерность: n = dimX.
9.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ИЗОМЕТРИИ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
9.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Евклидовым аффинным пространством на-
зывается аффинное пространство (X, X), в котором X снабжено
евклидовой структурой. Репер {*,-};= 0 « в пространстве X на-
называется ортонормированным, если набор {х0, *,-}*=i, .... п является
ортонормированным базисом в X. Определив расстояние форму-
формулой d(x, у)=ху = \ху\, можно ввести на X структуру метриче-
метрического пространства.
248
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
9.1.1.1. Строгое неравенство треугольника. Равенство xz = xy-\-yz
выполняется тогда и только тогда, когда г ? \х, у], т. е. z лежит
на отрезке с концами х, у (см. 3.4.3). Это вытекает непосред*
ственно из 8.1.3.
9.1.2. ЗАМЕЧАНИЯ. Топология на X, индуцированная метрикой d,
совпадает с его канонической топологией (см. 2.7.1.1). Всякое
аффинное подпространство 5 пространства X наследует из X
естественную структуру евклидова аффинного пространства.
Стандартным евклидовым пространством размерности
п называется пространство Х= R", для которого пространство X
совпадает со стандартным евклидовым векторным пространством
R" (см. 8.1.2.2). Изометрией между двумя евклидовыми аффин-
аффинными пространствами X и Y называется биекция /: X—> Y, со-
сохраняющая метрику (т. е. такая, что d(f(x), f(y)) = d(x, у) для
всех х, г/?Х). Всякое евклидово аффинное пространство размер-
размерности п изометрично стандартному пространству R". Чтобы убе-
убедиться в этом, выберем ортонормированиый репер {*,} в X и за-
зададим отображение /: X—> R" формулой /(го+2 Мл) =
= (К^ ..., кп). Это оправдывает выражение «евклидово га-мерное
пространство», но мы не будем им злоупотреблять. Параллель-
Параллельные переносы Т (X) в X и, более общо, те отображения / (EGA (X),
для которых /^О(Х), являются изометриями X (в самом деле,
согласно 2.3.2 и 8.1.5, имеем d (f (х), / (y)) = \\f (*) ШII = 1? Ш1 =
= \\xy\\ = d(x, у)). Множество всех изометрий пространства X
обозначается Is (X) (см. § 0.3). Оказывается, что множество Is (X)
исчерпывается указанными выше отображениями.
9.1.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Отображение /: X—<-Х тогда и только
тогда является изометрией, когда /gGA(X) и /?О(Х).
Выберем какую-нибудь точку a gX. Пусть t — t __>.обозна-
чает параллельный перенос на вектор / (а) а; тогда g—tof ? Iso (X),
поскольку Т(Х)а Is (X). Достаточно показать, что g€.O(Xa). Вы-
Выполнив вычисления в Ха, мы получим (с использованием 8.1.2.4), что
(g M I g (У))— (Х\У) Для всех х, у^Х, откуда g € О (Ха) согласно
8.1.5.
249
9.1 Определения. Изометрий. Перемещения
9.1.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Положим Is±(X) = {f € Is(X): /gO±(X)}.
Элементы множества Is+ (X) (соответственно Is" (X)) называются
перемещениями (соответственно антиперемещениями). Для всех
а 6 X группа Is (X) есть полупрямое произведение подгрупп
Isfl(X) и Т(Х):
Is(X) = r(X).Isa(X)
(соответственно Is+ (X) = 7"(X).Is+ (X)). Имеет место также
представление Is~ (Х) = Т (X) х Isj (X). Отображение />—> / ин-
—>¦
дуцирует изоморфизм групп Isa (X) —> О (X) (соответственно
ISq (X) —<- О+ (X)). В топологии, индуцированной из пространства
GA (X) (см. 2.7.1.4), пространство Is (X) имеет ровно две связ-
связные компоненты Is+ (X) и Is" (X), каждая из которых линейно
связна.
Название «перемещение» для элемента /g Is+ (X) оправ-
оправдано именно тем, что группа Is + (X) линейно связна, т. е. для лю-
любого элемента / С Is+ (X) существует непрерывное отображение
F: [0, 1]—^ Is+ (X), для которого F@) = ldx, F(l) = /; тем са-
самым F определяет постепенное перемещение точек в X из перво-
первоначального положения в положение после применения /. Эта
терминология становится интуитивно яснее, если рассмотреть,
как перемещается образ при отображении F (t), t ?[0, 1], ка-
какого-нибудь фиксированного подмножества С пространства X
при изменении t; мы обозначаем F (t) С через С (t) (см. рис. 9.1.4).
fic)
Рис. 9.1.4
9.1.5. Пространство X является, таким образом, однородным
пространством: Х = Is (X)/Isa (X) (точка а фиксирована). Это
представление во многих отношениях интереснее, чем два
других: Х = Хаи X = GA (X)/GAa (X); в первом из них группа изо-
изотропии (см. 1.5.1) нулевая, а во втором она слишком велика,
в то время как группа Isa (X) компактна. Группа Is(X), однако,
достаточно велика, в следующем смысле.
250
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
9.1.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Группа Is(X) действует просто транзи-
тивно на множестве ортонормированных реперов в X и 2-тран-
зитивно на X (см. 1.4.5) в том смысле, что для любых четырех
точек а, Ь, а', Ь'€.Х с условием a'b' =ab существует такое
f?ls(X), что f(a) = a', f(b) = b'. Если к тому же dimX = 2,
то такое f единственно (при условии f g Is+ (X)).
Это вытекает из 8.2.7.
9.1.7. ПРИМЕЧАНИЕ. Мы особо выделили свойство 2-транзитивно-
сти по следующей причине: это свойство, на первый взгляд до-
довольно слабое, на самом деле является исключительно сильным.
Все метрические пространства (удовлетворяющие некоторым до-
дополнительным условиям регулярности), на которых группа изо-
метрий действует 2-транзитивно, известны. Кроме аффинных
пространств в настоящей книге нам встретятся три вида таких
пространств: сферы (гл. 18), вещественные проективные прост-
пространства (гл. 19) и гиперболические пространства (гл. 19). Помимо
них указанным свойством обладают также комплексные проек-
проективные пространства, кватернионные проективные пространства,
проективная плоскость Кэли и получающиеся из них некомпакт-
некомпактные пространства. Из недавних работ на эту тему см. [44], с. 95.
См. также [42], с. 117, и [257].
9.2
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА; РАССТОЯНИЯ
9.2.1. ПРИНЦИП ОПРЕДЕЛЕНИЙ. Для аффинных подпространств
пространства X мы определяем понятия ортогональности, углов,
ориентированных углов как соответствующие отношения и вели-
чины для соответствующих направлений в пространстве X. Обо-
Обозначения при этом не изменяются. Например, если D и D' —
прямые в X, то угол между ними (принадлежащий отрезку
[0, я/2]) обозначается DD'=DD'; ортогональность прямых D и
D' записывается так: DJ_D'.
9.2.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть S—подпространство в X и х € X.
Существует и единственно такое подпространство Т, содержа-
—*- -> х ->
щее х, что X = SQ37\ Точка y = Sf]T (см. 2.4.9.4) определяется
из условия xy = d(x, S) = inf {xz: z?S). Указанное число назы-
называется расстоянием от х до S (см. § 0.3). Расстояние xz является
строго возрастающей функцией расстояния yz.
Так как (xy\yz) = 0, то (см. 8.1.2.4) xz2 = xy2 + yz2;
утверждение о строгом возрастании следует теперь из того, что
строго возрастает функция t \—> УI-}-12.
9.2.3. ЗАМЕЧАНИЕ. Между прочим, отсюда видно, что для трех
различных точек х, у, z ? X ортогональность <лг, г/> и <г/, г>
эквивалентна равенству ху2 + yz2 = xz2. Это есть не что иное, как
251
9.2 Ортогональные подпространства; расстояния
«теорема Пифагора»; при аксиоматическом построении геометрии
ее доказательство оказывается порой весьма нетривиальным.
Рис. 9.2.2
9.2.4. ПРОЕКЦИИ И СИММЕТРИИ. Фиксируем подпространство 5
пространства X. Предложение 9.2.2 позволяет построить ото-
отображение ns: X-+S, положив ns(x) = y (см. 9.2.2). Это отобра-
отображение называется ортогональной проекцией X на S. Симметрией
относительно 5 называется отображение <т5: X —>~ X, заданное
формулой
2лгл;5(л;) (другими словами, ns{x) является
\х
Рис. 9.2.4
серединой {х, os(x)\). Отображение os является изометрией,
а| = Id, и обратно, любая инволюция из группы Is(X) является
симметрией tfs относительно некоторого подпространства S. Если
S — гиперплоскость (соответственно dim 5 = dim X—2), то os
называется симметрией относительно гиперплоскости (соответ-
(соответственно переворачиванием).
Всякая инволюция / имеет неподвижную точку, напри-
например точку (х + /(х))/2; поэтому достаточно рассматривать инво-
инволюции в евклидовом векторном пространстве и применять 8.2.9.
9.2.5 РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПОДПРОСТРАНСТВАМИ. Пусть S,
Т—два подпространства в X; положим (см. § 0.3) d(S, T) =
= inf{s^: s?S, t?T\. Число d (S, T) называется расстоянием
252
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
между S и Т. Всегда существуют такие s? Su t ? Т, что d(S, T) — st.
Эти точки характеризуются условием st ? (S)-L П (ГI- (если
S ()Т= 0). Такая пара точек единственна тогда и только тогда,
когда SnT = {0}.
Мы предлагаем читателю самому найти алгебраическое
доказательство существования пары (s, t); оно следует также из
соображений, связанных с компактностью. Условие st € (S)-L П (T)L
необходимо в силу 9.2.2. Обратно, если это условие выполнено,
то рассмотрим произвольные точки х ? S, у?Т и подпростран-
подпространство S', параллельное 5 и проходящее через t (см. 2.4.9.2).
Пусть у' = л3'(х). Имеем (ху' \ у'у) = 0, поэтому ху^ху' = st>
что и требовалось доказать. Критерий единственности пары (х, у)
следует из того, что st ? (SI П (Г)х, так как если st = s't'=d(S, T),
то s^= tP ? S П Т.
9.2.6. ЯВНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. Ниже мы приведем некоторые фор-
формулы, позволяющие выполнять значительную часть обычных вы-
вычислений (в частности, в размерности 3). Мы не приводим здесь
вычислений с ортонормированными базисами и вычислений в ко-
координатах—они могут быть получены непосредственно из ниже-
нижеследующих формул и из 8.1.2.6, 8.11.5, 8.П.П. Чтобы исполь-
использовать все результаты § 8.11, выберем некоторую ориентацию в X.
9.2.6.1. Пусть S—подпространство в X, х?Х и {x,-}i=o, i k —
репер в S (необязательно ортонормированный). Тогда
9.2.6.2. d2(x S)—
Gram
xoxk)
В самом деле, положим г/ = я5(х). Согласно 8.11.6, определитель
Грама не меняется при прибавлении к одной из его строк ли-
линейной комбинации других; в частности,
GTam(xox, х
xoxit ..., xoxk).
253
9.3 Структура изометрий
Последнее выражение равно, однако, [| xi/f-Gram (xoxlt ..., xoxk),
как мы уже отмечали при доказательстве 8.11.8 (v).
Рис. 9.2.6.2
Рис. 9.2.6.5.
9.2.6.3. Пусть H = f~1@) — гиперплоскость в X, где f?A(X; R)
(см. 2.7.3.1); тогда для х?Х имеем
9.2.6.4. d(x, tf) = |/(x)
где II обозначает каноническую норму в (X)* (см. 8.1.8.2).
В самом деле, пусть у — пн{х); имеем f (г/) = 0, поэтому
/ (х)-/ (у)=Пх)Н (Цх). Но || /(ЙН Ф ! Щ = 11/111 УХ II = IЬ1 • ху,
потому что г/х^Я-L. Стало быть, векторы /# и ух из X пропор-
пропорциональны, и остается применить 8.1.8.1, 8.1.8.2, 8.1.3.
9.2.6.5. Если D, D'— две прямые в X и а, b?D, а', b'?D', то
d2(D, D') = Gram (аа', ~ab, a'P)/Gram(ab, a'b').
Это можно доказать аналогично 9.2.6.2, вводя такие точки s?D,
t?D', что st = d{D, D'). Прямая <s, />, в случае общего поло-
положения единственная, называется общим перпендикуляром к D, D'.
9.3 СТРУКТУРА ИЗОМЕТРИЙ. ОБРАЗУЮЩИЕ ГРУПП
Is(X) И Is+ (X)
Пусть /—изометрия, /?ls(X). Многие вопросы, касающиеся
свойств f (например, существование неподвижных точек, инва-
инвариантных подпространств и т. д.), решаются следующей струк-
структурной теоремой.
9.3.1. теорема. Пусть /?ls(X). Существует и притом един-
единственная пара (g, i.*) (где g—изометрия X, t?—параллельный
254
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
Рис. 9.3.1
перенос на вектор \), удовлетворяющая следующим условиям:
множество G неподвижных точек отображения g непусто, | ? G,
f — t?°g- Кроме того,
G=Ker(f— Idj) и Uog = got^.
Заметим сначала, что для всех s?O(X) имеет место
разложение X = Ker (s—Id^)© Im (s— Id^). В самом деле, сумма
размерностей слагаемых равна dim X, поэтому достаточно про-
проверить ортогональность, которая вытекает из определения:
(и | s (v)—v) = (и | s (и)) —(и ]v) = (s (и) | s (v)) — (u | о) = 0.
Теперь ясен отправной пункт доказательства: возьмем какую-ни-
какую-нибудь точку а?Х и разложим вектор af (а), согласно предыду-
предыдущему, на составляющие: af(a) = l + h, где h = f(t) — t, /(f) = f.
Пусть х = а—t; тогда по построению
Стало быть, полагая g=t-g of, получаем g(x) = x. Остальное
тривиально.
Более подробное изложение этого доказательства, а
255
9.3 Структура изометрий
также доказательство следствия 9.3.3 читатель может найти
в книге [101], с. 194—197.
9.3.2. ЗАМЕЧАНИЕ. Прямые в X, параллельные Ker^ — Id-».), в об-
общем случае при действии / переходят друг в друга. Однако
если среди них есть хотя бы одна инвариантная прямая, то этого
уже достаточно для справедливости разложения 9.3.1. А найти
такую прямую можно чисто метрическими и топологическими
рассуждениями: если точка х?Х такова, что xf (x) = inf {yf (у)'-
У^Х), то прямая <дг, f {х)> инвариантна относительно
/. В самом деле, рассмотрим точку у—середину \х, f(x)\.
Поскольку /—изометрия (и даже аффинный морфизм!), f (у)
является серединой {f (x), f2 (x)\ и по предположению
d (у, f (у)) >d(x, f (x)) = d(f (х), Г (х)).
С другой стороны,
d(y,
, f(x))+d(f{x),
Стало быть, оба неравенства на самом деле суть равенства и
(по строгому неравенству треугольника, см. 9.1.1.1) точка f (х)
лежит на <г/, /(*/)>. Поэтому х, f (х) и /2 (х) лежат на одной
прямой.
Разумеется, все точки x?G (в 9.3.1) удовлетворяют
равенству xf (х) — inf {yf (у): у ?Х\; в этом можно убедиться, при-
меняя 9.2.3 к треугольнику {a, a-\-h, f(a)\.
9.3.3. СЛЕДСТВИЕ, (i) Если Ker(/—Id->) = {0}, то f имеет единст-
единственную неподвижную точку (часто называемую центром f).
(ii) Всякая изометрия f является произведением не
более чем (п. —|— 1) симметрией относительно гиперплоскостей.
Минимальное число симметрии, необходимое для представления f,
равно s = dimX—dim(Ker(/—Id^)), если у f есть по крайней
мере одна неподвижная точка, и равно s-f 2, если у f нет не-
неподвижных точек.
(iii) Всякая изометрия f, принадлежащая множеству
Is+ (X)\T (X), является произведением s переворачиваний; любой
параллельный перенос f ?Т (X) является произведением двух пере-
переворачиваний.
Из 9.3.1 можно также получить полный список изо-
изометрий плоскости.
9.3.4. ИЗОМЕТРИЙ ПЛОСКОСТИ: п = 2. Любая изометрия /€ Is + (X)\
\Г (X) имеет единственную неподвижную точку, называемую
центром /; говорят также, что / является вращением с центром
в точке а (таким образом, / однозначно определяется своим цент-
256
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
ром и своим углом, а именно значением Ф~* (/) g|[ (X)). Любое
антиперемещение / € Is" (X) имеет единственную инвариантную
прямую D и единственным образом представляется в виде / =
= t^oaD, где |€D; D называется осью f. [Такие отображения
иногда называют скользящими симметриями; см., например, [36*1,
с. 291.Рд]
X о
Скользящая симметрия
D
f(x)
Рис. 9.3.4
9.3.5. изометрии ПРОСТРАНСТВА: п = 3. Любой элемент /?
€ Is+ (X)\Idx, имеющий неподвижную точку, мы называем вра-
вращением. Согласно 8.4.7.1, такая изометрия допускает единствен-
единственную неподвижную прямую, называемую осью f. Углом вращения /
называется число А/(А) 6 ]0, я], где А—некоторая ориентиро-
ориентированная прямая, ортогональная D. Однако ось и угол не опре-
определяют вращение однозначно, а дают ровно две возможности
(исключая случай А/(Д) = я, когда изометрия / однозначно вос-
восстанавливается по своей оси). Об уточнениях по этому поводу
см. [77], с. 235—238 русского перевода, а также 9.14.5. Пере-
Перемещения, не являющиеся переносами, т.е. / ? Is+ (Х)\Г(Х),
называются винтовыми движениями. Любое винтовое движение /
имеет единственную инвариантную прямую D, называемую его
осью, и разлагается в композицию f=t^og, где g—вращение
с осью D и \?D (такое разложение единственно). Элементы мно-
множества Is~ (X) распадаются на два класса. Первый класс состоит
из антиперемещений, имеющих хотя бы одну неподвижную точку.
Любая такая изометрия / является композицией гоан, где Н —
некоторая гиперплоскость (однозначно определенная по /), а г —
вращение вокруг оси, ортогональной Н (или r= Idx). Второй
класс состоит из антиперемещений, не имеющих неподвижных
точек. Эти антиперемещения единственным образом представля-
представляются в виде f=t^ooH, где Я —некоторая гиперплоскость, одно-
однозначно определенная отображением /, а \?Н.
257
9.3 Структура изометрии
/<*)
f{X)
Рис. 9.3.5
9.3.6. ПРИМЕРЫ В РАЗМЕРНОСТИ 2. Если п = 2, то для любых
точек а, Ъ, а , Ь'?Х, удовлетворяющих условию аЬ = а'Ь', суще-
существует и единственна изометрия /? Is+ (X) (или f? Is~ (X)), пере-
переводящая пару точек а, Ь в пару а , Ь' (см. 9.1.6). Естественно
попытаться найти это отображение / явным геометрическим по-
построением. Это нетрудно. Пусть / ? Is+ (Х)\Т (X) (случай f ?Т (X)
разбирается очевидным образом). Тогда центр со изометрии / (см.
9.3.4) совпадает с пересечением медиатрис отрезков ad и ЬЬ'
(см. 9.7.5). Приведем другое построение, пригодное также и в
случае прямых подобий (см. 9.6.2): со является пересечением
окружностей, проходящих через а, а', <а, Ь>П<а', Ь'у и через
258
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
b, b', <а, Ьу()<а', Ь'у. Если мы ищем /gIs~(X), то достаточно
заметить, что ось / (см. 9.3.4) всегда содержит середину {х, f (x)\,
где х—произвольная точка X.
s(r(x))
Рис. 9.3.6
Полезно также научиться явно строить композиции.
В 1.7.5.3 мы существенным образом использовали следующий
результат: если г, s—вращения вокруг центров а, Ь и если
tsr= Id, то центр с вращения t таков, что ориентированные углы
в Ш (X) вращений t, s, г равны: 2ас, ab для r\ 2ba, be для s;
2cb, ca для t.
В самом деле, применим 8.3.5. Имеем r = a^ooD,
ab
s = tfEocr^, где D, Е — некоторые прямые, a^,D, b?E; тогда
sr = aEooD, и поэтому центр вращения sr (совпадающий с цент-
центром вращения (sr)) есть не что иное, как c?D()E. Таким
образом, c = D[\E, /- = ouoO->, s = cr->ocr_>, и применение 8.7.7.7
аь ас be ab r
завершает доказательство.
9.3.7. примеры в РАЗМЕРНОСТИ 3. В случае и = 3 следствие 9.3.3
(Hi) принимает простую форму (и может быть доказано элемен-
элементарно). Пусть /—винтовое движение вида t^og, где g—враще-
g—вращение вокруг оси D на угол 9 ? ]0, я], и шаг винтового движения
равен р —ЦП- Тогда / представляется в виде произведения двух
259
9.4 Структура изометрий плоскости
переворачиваний сглав, где в качестве А можно взять любую
прямую, ортогональную D и пересекающую ее. Угол АВ должен
быть равен 6/2, а расстояние d(A, B) = p/2. Это разложение
позволяет легко исследовать композиции винтовых движений
и получать различные применения, см. ПОП, с. 338—339, а также
9.14.38-
Рис. 9.3.7
Винтовые движения естественно появляются в механике.
В частности, они нужны для линейного приближения гладких
кривых в Is(X), см. 9.14.7 или[38], с. 120.
9.4 СТРУКТУРА ИЗОМЕТРИЙ ПЛОСКОСТИ
И МНОГОУГОЛЬНЫЙ БИЛЬЯРД
В этом параграфе мы изучим более изысканный пример приме-
применения группы изометрий плоскости. Этот пример относится к двум
связанным между собой задачам: задаче о многоугольном биль-
бильярде и задаче о многоугольнике наименьшего периметра среди
всех вписанных в данный многоугольник. Чтобы облегчить вос-
восприятие материала, мы сначала разбираем случай треугольника,
а потом распространяем результаты на случай многоугольника
с произвольным числом сторон. Любопытно, что решение задачи
коренным образом зависит от четности или нечетности числа
сторон многоугольника. На всем протяжении настоящего пара-
параграфа через X обозначена евклидова аффинная плоскость.
9.4.1. СЛУЧАЙ ТРЕУГОЛЬНИКА- Пусть а, Ь, с—вершины некото-
некоторого треугольника на плоскости X; треугольник, у которого
вершины а, C, у лежат соответственно на сторонах [Ь, с], [с, а],
[а, Ь], называется вписанным в треугольник {а, Ь, с\ (см. 3.4.3).
Периметр треугольника {а, C, у\ есть, по определению, числох)
2) Напомним, что ab обозначает длину отрезка с концами а и ?>, см, 9,1.1.—
Прим. ред.
9*
260
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
Р Рт Т см- § Ю-3 или 12.3.1; {а, f5, у} называется биль-
бильярдной траекторией или оптическим треугольником, если а € ]Ь, с[,
Р ? ]с, а[, у ? ]а, Ь[ и каждая сторона треугольника {а, Ь, с\
является внешней биссектрисой соответствующего угла треуголь-
треугольника {а, Р, у\ в смысле 8.7.3.2 (т. е. be есть биссектриса угла
между уа, °Ф> и т- Д-)- Связь между бильярдом и минимальным
периметром устанавливается следующим утверждением.
Рис. 9.4.1,1
9.4.1.1. Лемма. Пусть на евклидовой плоскости заданы прямая D
и две точки а, Ь, лежащие в одной открытой полуплоскости,
отвечающей D (см. 2.7.3); тогда существует и притом единст-
единственная точка x?D, для которой число ах-\-Ьх принимает мини-
минимальное значение; эта точка выделяется условием: прямая D
содержит биссектрисы прямых ах, xb.
Классический трюк состоит в следующем: рассмотрим
точку a'=aD(a); тогда <a', by пересекает D в (единственной)
точке х и для всех точек у ? D имеем ay -\-by = a'y + Ьу~^ а'Ь-=
=ах-\-Ьх.
9.4.1.2. Примечание. Тот факт, что прямая D является биссект-
биссектрисой для ах, xb, если х—точка минимума, вытекает также из
формулы первой вариации, см. 9.10.5.
9.4.1.3. Предложение. Если все углы треугольника {а, Ь, с) ост-
острые {т. е. принадлежат интервалу ] 0, я/2[), то этот треуголь-
треугольник обладает единственной бильярдной траекторией, которая
одновременно есть единственный вписанный треугольник мини-
минимального периметра. Вершины этого треугольника суть осно-
основания высот треугольника {а, Ь, с). Если в треугольнике {а, Ь, с)
есть прямой или тупой угол (скажем, при вершине а), то в этом
треугольнике нет бильярдных траекторий, но существует един-
единственный вписанный треугольник минимального периметра,
а именно треугольник, вершины Р и у которого совпадают с а,
а вершина а является основанием высоты, опущенной из а.
9.4.1.4. Вписанные многоугольники минимального периметра
существуют всегда, поскольку периметр представляет собой не-
261
9.4 Структура изометрий плоскости
прерывную функцию
[Ь, с]х[с,а]х[а,
, у)
R
на компакте. Предположим, что минимум достигается при
«€]Ь, с[, Р€]с, a[, y?]a,b[. Тогда, согласно 9.4.1.1, тре-
треугольник {а, р, у} есть бильярдная траектория. Обозначим через
Рис. 9.4.1.3
А = <Ь, су, 2? = <с, a>, C = <a, by прямые, на которых лежат соот-
соответствующие стороны {a, b, с}, и введем симметрии оА, ав, ос.
В случае когда {а, р, у]—бильярдная траектория, для отобра-
отображения f = oc°BaA имеем / (<а, у>) = <а, у>. Но /gIs~(X), следо-
следовательно (см. 9.3.4), прямая <а, у> определена однозначно—это
ось изометрий /. Таким образом, единственность бильярдной
траектории доказана. Далее, основания высот, опущенных на
стороны [Ь, с], [а, Ь], лежат на оси изометрий / (это—легкое
упражнение), и эти основания содержатся внутри сторон тре-
треугольника тогда и только тогда, когда все углы треугольника
острые. Осталось усмотреть, что если в исходном треугольнике
есть тупой угол, то минимум достигается на указанном тре-
треугольнике, и что если все углы острые, то треугольник мини-
минимального периметра совпадает с оптическим треугольником.
Рассмотрим случай тупого угла. Пусть вписанный треугольник
{а, р, у} реализует минимум периметра; тогда, как следует из
сказанного, одна из точек а, р, у совпадает с некоторой вер-
вершиной исходного треугольника. Дальнейшее читатель сделает
своими руками.
Итак, осталось доказать, что оптический треугольник
есть вписанный треугольник минимального периметра. Для доказа-
доказательства развернем вписанный треугольник с вершинами а, р, у
в ломаную линию. А именно, рассмотрим следующие три изомет-
изометрий: r = oA, s = oB' о г (где B' = r(B)), / = ac»os (где C" = s(C)).
Имеем GB' = Gr(B)=z<3AaB0Al '=аА°в°д< поэтому s = oAoB. Анало-
Аналогично / = одовас (таким образом, t = f~4). Пусть теперь {a, f5, у} —
произвольный треугольник, вписанный в {а, Ь, с). Положим
262
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
263
9.4 Структура изометрий плоскости
|3' = г(Р), y" = s(y), a'" = t (а); тогда из неравенства треуголь-
треугольника получаем, что a|3-fPY + Ya=!:aP'+PV + Y"a'" "^-at (a).
Применим теперь 9.3.2: функция x*-*xt(x) достигает минимума
на оси D изометрий t (или, что то же самое, оси изометрий /).
Рис. 9.4.1.4.1
С другой стороны, легко видеть, что если а принадлежит пря-
прямой D и стороне [Ь, с], то а, |3', у", а"' также лежат на этой
прямой в указанном порядке, и поэтому достигается равенство
оф' + |3у + у"a'" = at (a).
D
У
Рис. 9.4.1.4.2
9.4.2. МНОГОУГОЛЬНИКИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТОРОН. На
протяжении всего этого пункта мы рассматриваем выпуклый
многоугольник Реп сторонами (см. § 12.1). Его вершины обо-
обозначаются (а,)/=1 л, а прямые <а,-, а,-+1>, содержащие его сто-
стороны [а,-, а, + 1], обозначаются D,. При нумерации вершин мы
примем следующее соглашение: /г+1 = 1. Понятия, введенные
в 9.4.1, естественным образом обобщаются на случай много-
многоугольника с п сторонами. Многоугольник (a,)t=1, ..., п называется
вписанным в многоугольник (a,)i=1 п, если а,- € \а{, о,+1]. Далее,
вписанный многоугольник (а,) называется оптическим много-
многоугольником, если он строго вписан в (а,-), т. е. a(.g]a,-, a, + 1[,
и Ох>г (<а;-, а/_1» = <а,-, а/+1> для всех i=\, ..., п. Периметр
многоугольника (а,-), есть, по определению, число
п
i = 1
9.4.2.1. Теорема. Всегда существуют вписанные многоугольники
минимального периметра; если (а;)—такой многоугольник и
а; g] а,-, а,-+1[, то (а,-) является оптическим многоугольником.
Обратно, всякий оптический многоугольник^ является многоуголь-
многоугольником минимального периметра.
Далее, если для (а,) оптический многоугольник сущест-
существует, то при четном п он единствен, а при нечетном п их
бесконечно много. При п=-2р оптический многоугольник сущест-
существует только тогда, когда в множестве Щ. (X) ориентированных
углов на X (см. 8.7.7) выполняется равенство 2 D2i_lD2i — 0
(в частности, при « = 4 это означает, что многоугольник, (а,)
может быть вписан в окружность). При произвольном п для
существования оптического многоугольника достаточно, чтобы
существовала такая прямая D, что f(D) = D и Df\g[ (]ai+l,
а!+2[)Ф 0 для всех г= 1, ..., п (где f и gt определяются ниже).
В доказательстве этих утверждений не содержится
никаких новых идей по сравнению с использованными в 9.4.1.3.
9.4.2.2. Многоугольники минимального периметра всегда сущест-
существуют в силу компактности. Аналогично 9.4.1.1 можно доказать,
что всякий строго вписанный многоугольник минимального пери-
периметра является оптическим многоугольником. Обратное утверж-
утверждение не так просто; оно будет вытекать из последней части
теоремы.
9.4.2.3. Мы обобщим конструкции из 9.4.1.4 следующим образом.
Положим f = oDn° ... о aDi и определим gt по индукции:
9.4.2.4. g1 = oDl, g2 = egl(D,)° g» -.., gi+i = Gg^Di+1)°gi
(i=l, ...,n). Так как всегда ah (С)=Ь ac oh'1, то
9.4.2.5. Vi: gi = oDl о . .. о aD.; в частности, g = ga = oDto...
Для вписанного многоугольника (а,) определим точки |Зг- по
индукции следующим образом:
9.4.2.6. Р1 = а1, Р2 = ^!(а2), ..., $i+1 = gi (a,-+i) (i=l, •••, «)•
Объединение (j [P,-, Pi+1] есть «ломаная линия», представляю-
i — 1
щая собой «развертку» вписанного многоугольника (а,). Эта
ломаная «выпрямляется» тогда и только тогда, когда (а,) — опти-
оптический многоугольник.
п
По построению, р((а,-))= 2 Р,-Р/+Г, применяя строгое
неравенство треугольника, получаем
264
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
9.4.2.7. р ((а,.)) > a.ig (аг), и p({ai)) = a1g(a1) тогда и только
тогда, когда все р,- лежат на одной прямой и расположены
в порядке возрастания номеров.
Р4
Рис. 9.4.2.6
9.4.2.8. Предположим, что (а,) — оптический многоугольник;
Тогда прямая ?> = <а„, агу инвариантна относительно /: f(D)=D.
Если п нечетно, то / ? Is" (X) и D является (однозначно опре-
определенной) осью изометрий / (см. 9.3.4). Поэтому при нечетном п
Рис. 9.4.2.8
оптический многоугольник единствен. При четном п оптиче-
оптических многоугольников всегда бесконечно много; мы увидим это
в конце доказательства. Пусть п = 2р и (а,) — оптический много-
многоугольник. Как и раньше, f(D) = D, но, согласно 9.3.4, это воз-
возможно лишь тогда, когда f?T(X), т. е. Ф(/) = 0 в §1 (X).
265
9.4 Структура изометрий плоскости
Сгруппируем попарно симметрии в разложении /:
/ = (°огр о oDip_1) о ... о (oD2 о aDl).
Применим теперь 8.7.7.9; получим 2 Dr, 1D2.- = 0. В случае л = 4
i=i
это означает, что вершины а,- лежат на одной окружности;
см. 10.9.5.
9.4.2.9. Предположим теперь, что выполнены условия последней
части теоремы.
Из выпуклости (а,) следует, что точки Р,=Df] gt (]ai+l,
а(+2 [) расположены на D в порядке возрастания номеров, стало быть
(см. 9.4.2.7), если положить ai = gj}1{^ii), получится вписанный
многоугольник (а,-) с периметром, равным Pjg" 0х). Рассмотрим
a2=9l(a2>
Рис. 9.4.2.10
теперь произвольный вписанный многоугольник (а-); тогда (опять
согласно 9.4.2.7) его периметр р(«)) равен a[g(a[). Из 9 3.2 и
9.3.4 следует, что р((а|))^р((а,)): если / ? Is" (X) (n нечетно),
то / имеет единственную ось, а если f$T(X) (n четно), то инва-
инвариантными являются все прямые, параллельные направлению
переноса. Следовательно, многоугольник (а,) является много-
многоугольником минимального периметра (а также оптическим много-
266
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
угольником). Отсюда видно также, что любой оптический много-
многоугольник является многоугольником минимального периметра,
ибо в этом случае прямая D = <ax, а„> удовлетворяет требова-
требованиям 9.4.2.1 по самому определению g;.
9.4.2.10. Пусть теперь п четно, (а,-)—оптический многоугольник
и прямая D = <a1, an> пересекается со всеми интервалами вида
?('Ga('+i> а(+г[)- Тогда по соображениям непрерывности все пря-
прямые D', достаточно близкие к D и параллельные D, тоже пере-
пересекаются с этими интервалами, причем /(D') = D', поскольку
f^T(X). Таким образом, в данном случае существует бесконечно
много оптических многоугольников.
9.4.3. ЗАМЕЧАНИЯ. Для многоугольников с га сторонами имеет
место та же неприятность, что и для треугольников: в общем
случае оптических многоугольников не существует (см. 9.14.10).
На практике многоугольники минимального периметра отыскивают
следующим образом. Сначала, построив в явном виде изометрию f
и применив 9.4.2.1, ищут оптические многоугольники. Если таких
многоугольников нет, то одна из вершин а(. совпадает с верши-
вершиной исходного многоугольника. Тогда действуют «кустарно»,
рассматривая отдельно каждый частный случай и постоянно при-
применяя 9.4.1.1.
Для данного выпуклого многоугольника можно также
изучать бильярдные траектории, замыкающиеся лишь после
нескольких оборотов, см. 9.14.9.
Рис. 9.4.3
Кроме того, можно изучать оптические многоугольники
не только в многоугольниках, но и в других выпуклых компак-
компактах на плоскости. Если компакт строго выпуклый (см. 11.6.4),
то дело обстоит благополучно: для всех натуральных га ^2
всегда существуют оптические многоугольники с п вершинами;
доказательство см. в 9.14.33. Очень эффектен случай эллипсов:
в 17.6.6 мы увидим, что здесь существует бесконечно много
оптических n-угольников для каждого данного п; более того,
для любого п каждая точка эллипса может служить вершиной
такого многоугольника.
267
9.4 Структура изометрий плоскости
9.4.4. эргодичность. Задача об эргодичности оптических траек-
траекторий (или, что то же самое, бильярдных траекторий) в много-
многоугольнике или в произвольном выпуклом компакте в настоящее
Рис. 9.4.4
время усиленно изучается и решена еще не полностью. Оптиче-
Оптическая траектория задается своей начальной точкой и направлением.
Дойдя до границы, траектория отражается от нее по закону::
«угол падения равен углу отражения», и т. д. Нас интересует
множество всех траекторий с точностью до подмножества меры 0,
так что мы можем сразу исключить из рассмотрения траектории»
попадающие в вершины, где отражение не определено. Говорят,
что рассматриваемый компакт слабо эргодичен, если почти все
траектории всюду плотны в нем, и сильно эргодичен, если почти
все траектории проходят сколь угодно близко к любой заданной
точке с направлением, сколь угодно близким к любому задан-
заданному. Таким образом, здесь изучается задача, противоположная
задаче нахождения всех замкнутых оптических траекторий, кото-
которой мы занимались в 9.4.2.
268
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
Для некоторых выпуклых компактов ответ получен:
например, круг и эллипс не являются слабо эргодичными (для
круга это очевидно, для эллипса вытекает из 17.6.6). Можно
показать, что некоторые треугольники не являются сильно эрго-
эргодичными, см. 9.14.11. Наоборот, квадрат слабо зргодичен (ибо
любая оптическая траектория с иррациональным углом наклона
всюду плотна в нем), но он, конечно, не является сильно эрго-
дичным, поскольку каждая данная траектория состоит из отрез-
отрезков только двух постоянных направлений. Вопрос об эргодич-
эргодичности даже в случае треугольника все еще остается полностью
открытым, хотя и усиленно изучался. Чтобы понять всю слож-
сложность этой проблемы, достаточно попытаться проследить за опти-
оптической траекторией, сделав несколько отражений: сразу же воз-
возникает ощущение, что ситуация становится неконтролируемой.
Недавние достижения в этой области изложены в [3], [61].
[А также в [25*].— Ред.] Совсем недавно В. Ф. Лазуткин пока-
показал, что строго выпуклые компакты с границей класса С2 не
эргодичны. Это вытекает из того, что в таких компактах сущест-
существуют каустики (в случае эллипса эти каустики суть конфокаль-
конфокальные эллипсы, находящиеся внутри исходного). По этому поводу
см. [253].
9.5 ПОДОБИЯ
Пусть /€GA(X) и f^GO(X) (см. 8.8.2). Если коэффициент рас-
растяжения / равен (д,, то
откуда
*') / (у') = х'у'
i (*) / (У)
(если хфу); другими словами, / сохраняет отношения между рас-
расстояниями. Верно и обратное.
9.5.1. предложение. Пусть f: X —+ Х-^ непостоянное отобра-
f(x')f(u') х'и'
жение, для которого /М/Ч") "*7 (пРи
Тогда f^GA(X) и /?GO(X). Такие отображения называются
подобиями. Если при этом /?GO+(X) (соответственно /€
?GO~ (X)), то f называется прямым (соответственно непрямым)
подобием. Множество подобий (соответственно прямых, непря-
непрямых подобий) обозначается Sim (X) (соответственно Sira+ (X),
Sim" (X)). Коэффициентом растяжения для f?S\m(X) называется
коэффициент растяжения для /.
Поскольку / непостоянно, существует такая пара точек
269
9.5 Подобия
*о. У о), что хйфуй и /(хо)=?/(«/о)- Тогда из предположений
следует, что f биективно и f (x) f (у) = \хху для всех х,у?Х
. Пусть К—гомотетия с коэффициентом рас-
расгде ц =
1
тяжения (дг1; тогда ho f является изометрией, поэтому hо f ?
?GA(X), т.е. h о / ? О(Х); умножая hf на h~x, получаем требуемое.
9.5.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть f € Sim X\Is(X); тогда сущест-
существует и единственна такая точка ю^Х, что /(<»)= со; она назы-
называется центром подобия /. Можно написать
f = hog = goh, где hZH^v (см. 2.3.3.9) и g^K(X).
Это вытекает из 9.3.3. Можно дать другое доказатель-
доказательство, использующее топологию, а именно теорему о неподвижной
точке для сжимающих отображений: если коэффициент растяже-
растяжения (д. подобия / меньше единицы, то f—сжимающее отображе-
отображение; если же (д,>1, то сжимающим является отображение f~*.
9.5.3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОДОБИЙ
9.5.3.1. Пусть /—подобие; из 9.2.1 и 8.8.5.1 вытекает, что /
сохраняет углы между прямыми и углы между лучами. В слу-
случае dimX = 2 прямое подобие сохраняет ориентированные углы,
а непрямое подобие изменяет знак ориентированных углов. Любое
подобие f сохраняет ортогональность прямых:
D±D'=$f(D)±f(D').
С другой стороны, любое подобие переводит сферы в сферы
(с умножением радиуса на коэффициент растяжения ц). Оказы-
Оказывается, что каждое из этих двух свойств является характеристи-
характеристическим для подобий.
9.5.3.2. Теорема. Для биекции f: X —> X (dim X ^ 2) следующие
три свойства равносильны:
(i) / является подобием.
(И) Для любых четырех точек, а, Ь, с, d? X, удовлетво-
удовлетворяющих условиям афЪ, сфй и <а, by J_ <c, d>, имеем <f(a),
f(b)>±<f(c), f(d)>.
(iii) Для любой сферы S с X множество f (S) также
является сферой.
9.5.3.3. Предположим, что выполнено (п). Согласно 2.6.5 и
8.8.5.1, достаточно показать, что / переводит любую тройку кол-
лннеарных точек а, Ь, с в тройку коллинеарных точек f(a), f (b),
f(c). Дополним a, b до ортогонального репера {а, Ь, а2, ..., а„\;
тогда из 8.1.2.5 и из (и) вытекает, что {f (a), f (b), f (a2), ..., / (ап)\
является ортогональным репером. Но </(а), /(с)> JL </(а), /(а,)>
V» = 2, ..., п, поэтому </(а), /(&)> = </(а), f (c)>.
9.5.3.4. Предположим теперь, что выполняется (iii), и покажем,
что / переводит коллинеарные тройки точек в коллинеарные.
270
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
Легко видеть, что верно обратное, т. е. если а', Ь', с' коллине-
арны, то a = f~1(a'), b = f~l{b'), c = f~1(c') коллинеарны. (В самом
деле, если точки а, Ь, с не коллинеарны, то существует содер-
содержащая их сфера S; тогда / (S) содержит три коллинеарные точки
а', Ь', с', что невозможно; см., например, 10.7.2.)
Рис. 9.5.3.3
Пусть теперь а, Ь, с — различные коллинеарные точки
и а' = /(а), b' =f{b), с' =f(c); допустим, что с' ^<а', Ь'у. Согласно
сказанному выше, f'1^', Ь'у) с <а, by. Имеем также /~1(/)' =
= <а', Ь', с'у) с <а, by (в самом деле, возьмем любую точку d'
на прямой <а', с'>; тогда f'1 «с', d'y) с <а, су = <а, by). Пусть
теперь 5—сфера, содержащая а и Ь. Тогда 5fi <a, by = {a, b\.
Далее, f (S)f\P' =С', где С"—некоторая окружность на пло-
плоскости Р', и мы получаем f~x{C') a {a, b), что невозможно, ибо
окружность содержит по меньшей мере три различные точки.
Рис. 9.5.3.4
9.5.3*5. С учетом 2.6.5 осталось показать, что отображение
/gGA(X), переводящее сферы в сферы, является подобием. На
самом деле достаточно уже того, что / какую-нибудь одну сферу
271
9.5 Подобия
переводит в сферу. Взяв композицию / с подходящей дилата-
цией, можно считать без потери общности, что f(S) = S для
некоторой сферы 5. Заметим сначала, что / оставляет на месте
центр оо сферы 5. В самом деле, пусть а и b—диаметрально
противоположные точки сферы S, для чего необходимо и доста-
достаточно, чтобы гиперплоскости На и Нь, касательные к сфере
и точках а и Ь, были параллельны; в свою очередь гиперпло-
гиперплоскость, касательная к сфере, может быть определена как гипер-
гиперплоскость, пересекающая сферу ровно в одной точке. Используя
эти определения, легко показать, что /(#„) и f(Hb)—параллель-
f(Hb)—параллельные гиперплоскости, касающиеся сферы 5 в точках f (а) и f (b),
откуда следует, что точка / (а) диаметрально противоположна
точке f ф). Отсюда получаем, что
= / (оо), ибо / € GA (X).
& \ *. j - • ¦ .
Таким образом, мы приходим к векторному случаю
/r6GL(X<0). Тогда условие f(S) = S означает, что f сохраняет
норму и, стало быть, /€О(Ха) согласно 8.1.5.
Рис. 9.5.3.5
9.5.3.6. Примечание. Если в 9.5.3.2 ослабить предположения
и требовать только, чтобы f было биекцией между двумя под-
подмножествами в X, то из условия (iii) не обязательно будет сле-
следовать, что / является сужением некоторого подобия. Например,
/ может быть инверсией (см. 10.8.2) или композицией инверсий
(см. 18.10.4). Биекции подмножеств аффинных пространств, пере-
переводящие сферы в сферы, изучаются в [47] и [107].
9.5.4. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
9.5.4.1. Далее речь пойдет о дифференциально-геометрическом
описании подобий, что тесно связано также с другими разделами
настоящей книги: см. 10.8.5, § 18.10, § 20.6.
272
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
Пусть /—некоторое подобие; рассмотрим / как отобра-
отображение X —* X класса С°°. Для любого морфизма f ? А (X; X)
производная f: X—>L(X, X) есть постоянное отображение
х>—>/, т. е. f (x)=f для всех х?Х (это вытекает из 2.7.7).
Если /—подобие, то /' (x) = f €GO(X) для всех х?Х; таким
образом, подобие / «инфинитезимально сохраняет углы». Сразу
возникает вопрос, только ли подобия обладают этим свойством.
При п = \ этим свойством обладает любое отображение, у кото-
которого производная не обращается в нуль; поэтому мы будем счи-
считать, что п > 1.
9.5.4.2. Определение. Пусть V, V—открытые множества в аффин-
аффинном евклидовом пространстве X и f^C^U; V) (т. е. отображение
/: U —>-V принадлежит классу С1). Отображение / называется
конформным, если оно биективно и /' (х) € GO (X) для всех х € U.
Если /' (х) gGO~ (X), то отображение / называют антиконформ-
антиконформным. Множества конформных отображений f, для которых
/' ? GO (X), /' € GO+ (X), /' € GO" (X), обозначаются соответст-
соответственно Conf(t/; V), Conf+(t/; V) и Conf- (U; V). Кроме того, мы
полагаем Conf(t/; V) = Conf (U), Conf±(t/; V) = Conf± (U).
Условие инъективности, свойство GO(X) с: Isom(X; X)
и теорема о локальном диффеоморфизме показывают, что отобра-
отображение f(tConl(U; V) всегда является диффеоморфизмом между
U и f(U).
9.5.4.3. Первый пример: голоморфные функции. Пусть/z=dimX=2.
Понятие голоморфного отображения U —*¦ X имеет, смысл согласно
8.3.12 и 9.6.4. Это понятие априори зависит от выбора ориента-
ориентации пространства X, но нужный нам результат в конечном итоге
от нее не зависит. Оказывается, что /?Conf+(?/, f (U)) тогда
и только тогда, когда отображение f: U —> X инъективно, голо-
голоморфно и его производная нигде не равна нулю. Этот классический
результат вытекает из 8.8.4.1 (в случае необходимости см. [51],
с. 85 русского перевода).
Отсюда видно, что существует много инфинитезималь-
ных подобий, не являющихся подобиями в целом, поскольку
существует большое количество инъективных голоморфных отоб-
отображений с ненулевой производной, определенных на некоторой
области U (например, из С). Множество таких отображений не
конечномерно ни в каком разумном смысле.
9.5.4.4. Второй пример: инверсии. В 10.8.5 мы увидим, что ин-
инверсия / любой степени с центром в а принадлежит группе
Conf (X\a). Далее, любая композиция f конечного числа инвер-
инверсий принадлежит Coni(U, f(U)), где U есть дополнение в X
273
9.5 Подобия
к конечному множеству точек. Эти отображения также не яв-
являются настоящими подобиями.
9.5.4.5. Тем не менее множество таких инверсий конечномерно;
в 18.10.4 мы увидим, что его размерность равна (п + 2) (я + 1)/2.
Следующая ниже теорема показывает, что для инфинитезимальных
подобий существует коренное различие между случаями п = 2
и /г^З, а также между «локальным» случаем (когда отображение
определено на некотором открытом подмножестве U простран-
пространства X) и «глобальным» (когда отображение определено всюду
на X). Другие примеры перехода от локального к глобальному
см. в § 12.8, § 16.4, 18.3.8.6.
9.5.4.6. Теорема. Если п = 2, то Conf (X) = Sim (X); если п про-
произвольно, /^Conf(X) и f класса С*, то f g Sim (X). Пусть п^З,
U—открытое подмножество в X, f ? Conf (U, f (?/)) и f класса С1;
тогда f является сужением на 0 некоторой композиции инвер-
инверсий X (и, стало быть, принадлежит классу С").
9.5.4.7. Замечание. Используя весьма тонкие аналитические ме-
методы, можно показать, что Conf (X) = Sim (X) и в классе глад-
гладкости С1 при /г^З (см. [129]). Излагаемый ниже метод доказа-
доказательства теоремы 9.5.4.6 (п ^ 3) принадлежит Неванлинне
[178]; см. 9.5.4.21. См. также [162], упр. 12, с. 59.
9.5.4.8. Случай я = 2. Возьмем векторизацию аффинного прост-
пространства X и отождествим ее с С; рассмотрим любое конформное
отображение /: С —* С класса С1. Поскольку С связно, имеем
/'(z)€GO+(C) VzgC или /'(г) ? GO" (С) Уг^С.
Можно считать, что f (z) ? GO+ (С) (взяв, если потребуется,
композицию / с отображением гь->г). Тогда из 9.5.4.3 следует,
что / инъективно и голоморфно. Но в этом случае, как известно,
/ совпадает с отображением z>—>-az-\-b (с некоторыми а, Ь?С)
и, стало быть, является подобием (см., например, 9.6.4). По поводу
последнего шага этого рассуждения см. [51], с. 181 —182, где
дано весьма приятное доказательство, в котором используются
понятия существенно особой точки и мероморфной функции.
В случае п ^ 3 доказательство опирается на следую-
следующую знаменитую лемму.
9.5.4.9. Лемма о косах. Пусть V, W—векторные пространства
над телом с характеристикой, не равной 2. Пусть k: VxVx
xV—>-W — трилинейное отображение, симметричное по двум
первым аргументам и антисимметричное по двум последним.
Тогда &=0.
В нашем доказательстве теоремы 9.4.5.6, как и в до-
доказательствах многих других теорем дифференциальной геомет-
геометрии, эта лемма играет решающую роль (см., например, [229],
с. 261 русского перевода, [149], с. 193 русского перевода). Своим
названием лемма обязана тому, что ее доказательство напоминает
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
первые шесть шагов при заплетании косы: после шести пересе-
пересечений мы возвращаемся к исходной ситуации. При заплетании
косы имеем три пересечения двух прядей слева, не изменяющие
знака, и три пересечения двух прядей справа, каждое из которых
дает один знак «минус»—отсюда и следует утверждаемый ре-
результат.
к{х, у, z)
к(у, х, г) - к(х, у, z)
к(у, г, х) = - к(х, у, z) ,
k(z,y,x) = -k(x,y,z)
k{z, x, у) = k(x, у, г)
к(х, z, у) = к(х, у, г)
к(х, y,z)= - к(х, y,z) = Q.
Рис. 9.5.4.9
9.5.4.9*. Свойство трилинейности на самом деле не используется
здесь в полном объеме; сущность доказательства см. в 1.9.15.
9.5.4.10. По предположению f (x) gGO(X) Vx?U; обозначим
через ц (х) соответствующий коэффициент растяжения. Тогда
9.5.4.11. (r(x)(u)\f'(x)(v))=^(x)(u\v) V«, v?X.
Фиксируем ортогональные векторы и, v. Тогда (/'(*)(«) \f'(x)(v))=0
Yx(E?/. Дифференцируя, имеем
(/"(*) (и, v) | f'(x) (v)) + (f'(x) (и) | f"(x) (v, w)) = 0 Vo> 6 X.
Лемма о косах и теорема Шварца о симметрии второй производ-
производной показывают, что (/" (х) (и, v) | /' (х) («i))bO, если и, v, w
t f'(x)(w)
Рис. 9.5.4.11
275
9.5 Подобия
9.5.4.12.
попарно ортогональны в X. Так как f'(x)(u), f'(x)(v), f'(x)(iz)
ортогональны, то, применяя предыдущее равенство ко всем w,
порождающим ортогональное дополнение к Ru + Ru, в конечном
счете получаем, что f"(x) (и, v) € R/' {х) (и) -+-R/' (x)(v), а поэтому
существуют две такие функции а, Р: 0 —>¦ R, что
Г (х) (и, v)=a(x)f (х) (и) + р (х) f (х) (v)
для всех х ? U, для всех и ±. v.
Дифференцируя ||/' (д:) («) f = (д,2 (х) |и|2, получаем
(Г (х) (и, v)\f (х) (и)) = р' (х) (V) -11{х)-\\и р,
и, используя 9.5.4.12, находим
п с л 1 о / \ U,' (х) V а / \ U,' (х) U
9.5.4.13. а(х)= г ,;, ; Р (х) = г , , .
Перепишем теперь 9.5.4.12, обозначив ц~1 через р:
9.5.4.14. , г1,
для всех xZU, для всех uj_v.
9.5.4.15. Далее следует запастись терпением и найти третью
производную /, используя 9.5.4.14. Получаем
р"{х) (v, w)-f'{x) (и) + р'(х) (v)-f"(х) (и, w) +
+р" (х) (u,w)f (х) (v) + р' (х) (и) ¦ Г (х) (v, w) +
+р' (х) (w)-f"(x) (и, v)+p (х) Г" (х) (и, v, w) = 0.
Сумма последних пяти членов симметрична по и, w, стало быть,
первый член тоже симметричен по и, w:
р" (х) (v, w) f' (х) (и) = р" (х) (v, w) ¦ f (х) (w)
для всех попарно ортогональных и, v, w, так как р(л-) не зависит
от и, v\ Но векторы f (x)(u), f'(x)(w) линейно независимы, и
поэтому р"(х) (и, v) = 0 для всех uj_v (если, конечно, n = dimX^3).
Аналогично доказательству 8.8.5.1 получаем, что р" (х)
пропорционально евклидову скалярному произведению, т. е. су-
существует такая функция a: U —* R, что
9.5.4.16. p"(x)(u,v) = o(x)-(u\v)
Vu,
На самом деле легко видеть, что а — постоянная функция: диф-
дифференцируя обе части равенства 9.5.4.16 (для этого нужно, чтобы
/ была класса С4), получаем р'"(х)(и, v, w)=o'(x)(w)(u\v).
Отсюда следует (ввиду симметричности р'"(х)), что о (x)(w)(u\v)
симметрично по v, w. Тогда a'(x)(w)v=^or (x) (v)w, откуда
а'(х) = 0, так как v, w линейно независимы.
9.5.4.17. Уравнение р" (х) (и, v)=a(u | v) можно проинтегрировать
276
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
277
9.5 Подобия
и найти, что
9.5.4.18. р(х) = а||д:0л:||2 + Ь, где а, Ъ—константы и хо?Х.
Если а —0, то (д, постоянно и, дифференцируя 9.5.4.11, получаем
f"(x) = O, откуда следует, что /—аффинное отображение, а стало
быть, является сужением на U некоторого подобия. Если же
Ь = 0, то заметим, что xo^U, и, взяв композицию / с инверсией i
относительно полюса х0, получаем инфинитезимальное подобие
f о г. Однако при композиции fog инфинитезимальных подобий
fug коэффициенты растяжения перемножаются, и мы имеем
pfog(x) = pf(g(x))pg(x).
Поэтому (так как р, = | хйх* [|2 = const/jxox f, где х = i {x*),
«м. 10.8.5.1) получаем, что pf., = const; стало быть, foi аффинно
и теорема доказана также и в этом случае. Теперь нам осталось
показать, что а-Ь всегда равно нулю. Заметим, что из этого
сразу следует, что при 0 = Х инфинитезимальное подобие f
является настоящим подобием (если, конечно, / класса С4 и п ^3 ),
ибо р(лг)=^О для всех x^U = X.
9.5.4.19. Рассмотрим диффеоморфизм g: f(U)—+U, обратный
к /: У —+ f(U). Он также является инфинитезимальным подо-
подобием, и, пользуясь формулой 9.5.4.18, получаем jj,go/=l =
= ng {f (x)) \if (x) = 1 для всех x?U. Применяя 9.5.4.18 еще раз,
находим, что существуют такие константы cud, при которых
9.5.4.20.
(xu)f (
Это равенство показывает, что / переводит сферы с центром в х0
(точнее, их пересечения с U) в сферы с центром в f (x0), поэтому
f переводит лучи, исходящие из х0 (точнее, их пересечения с U),
Рис. 9.5.4.20
в лучи, исходящие из f(x0). Фиксируем вектор иЩХ единичной
нормы. Тогда мы получаем числовую функций ф, штргаеленную
равенством
(|| у 1=1; t изменяется на некотором интёрЁале), Из 9.5.4. П сле-
следует, что ф' (t) = (at2 + b)~1 и, кроме того, (at2 + b)(cq>2(t) + d) = I.
Эти два равенства совместны только в случае аЬ = Ь, что и тре-
требовалось доказать1).
9.5.4.21. Примечание. Оригинальное доказательство Лиувилля
кажется несколько неожиданным. В нем использованы понятия
и факты, не имеющие прямого отношения к содержанию теоремы,
а именно: 1) поверхности, входящие в триортогональную систему
поверхностей в R3, пересекают одна другую по линиям кривизны
(теорема Дюпена); 2) поверхности, у которых все точки омбили-
омбилические, суть сферы; сферы могут быть охарактеризованы также
как поверхности, у которых «очень много» линий кривизны по
сравнению с другими поверхностями. Доказательство Лиувилля
заканчивалось применением результата 9.5.3.2 (ш).
9.5.5. ОМБИЛИКА, КРУГОВЫЕ ТОЧКИ И ПОДОБИЯ. Изучим теперь
аффинный вариант теорем из 8.8.6. Мы будем пользоваться
обозначениями и результатами § 7.6: X обозначает аффинное
евклидово пространство, Xе—комплексификацию его проектив-
проективного пополнения X. Имеем Xе = Xе (J °°хс, где оохС = Р (Xс);
пусть р: Xе —*- Р (Xе) обозначает проекцию векторного простран-
пространства на определяемое им проективное пространство. Согласно
8.8.6, квадратичная форма № задает в оохС — Р(Хс) квадрику
(мы пользуемся терминологией и обозначениями гл. 14) с образом
Q = p ((yVc)-1 @)). Заметим, что если п = 2, то Q состоит из двух
точек, а если /г = 3, то Q—коника (см. 14.1.3.7).
9.5.5.1. Определение. Подмножество Q множества оохС называется
омбиликой евклидова аффинного пространства X. Если /г = 3, то
Q—коника; если п = 2, то Q состоит из двух точек, называемых
круговыми точками X и обозначаемых /, /. Выбор ориентации
пространства X при п = 2 эквивалентен выбору одной из двух
круговых точек. По соглашению, принятому в 8.8.6.2, круговая
точка, соответствующая данной ориентации, обозначается /.
Изотропные прямые /, / можно вполне обоснованно
отождествлять с соответствующими круговыми точками, которые
они порождают в проективном пополнении. Объединяя 8.8.6.4
и 5.2.2, получаем следующее утверждение.
9.5.5.2. Предложение. Отображение f^GA(X) тогда и только
тогда является подобием, когда JC(Q) = Q. Если п = 2, то
f ? Sim+ (X) (соответственно f ? Sim" (X)) тогда и только тогда,
когда f оставляет каждую круговую точку неподвижной (соот-
(соответственно переводит одну круговую точку в другую).
л) Доказательство теоремы 9.5.4.6 можно найти также в книге [18*], с. 133.
Прим. ред.
278
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
9.5.5.3. Пример. Условие ортогональности двух прямых D, D' в
X можно переформулировать следующим образом:
поскольку в случае гармонического отношения не возникает не-
неопределенности (см. 8.8.7.4).
9.6
ПОДОБИЯ НА ПЛОСКОСТИ
В этом параграфе через X обозначена ориентированная евкли-
евклидова аффинная плоскость.
Этот параграф состоит в основном из элементарных и на-
наглядных примеров; другие примеры приводятся в упражнениях.
Первые пять пунктов содержат классические свойства подобий
на плоскости и различные формы записи для них. [По этому
материалу см. [48*].— Ред.]
9.6.1. СТРУКТУРА ПОДОБИЙ. Любое подобие /?Sim+(X) либо
является параллельным переносом, либо имеет единствен-
единственную неподвижную точку ш (центр подобия /) и является
композицией некоторой гомотетии с центром со и некото-
некоторого вращения -с центром со (причем это вращение и гомо-
гомотетия, очевидно, коммутируют). Любое подобие / ? Sim" (X) либо
является скользящей симметрией (т. е. лежит в Is" (X)), либо
принадлежит Sim" (X)\Is~ (X) и в этом случае имеет единствен-
единственную неподвижную точку ш и совпадает с композицией некоторой
гомотетии с центром со и симметрии относительно прямой, про-
проходящей через ю (причем гомотетия и симметрия коммутируют).
Эти результаты вытекают из 9.3.4 и 9.5.2.
9.6.2. ПРОСТАЯ ТРАНЗИТИВНОСТЬ ГРУППЫ Sim+(X). Каковы бы
ни были четыре точки a, b, a', Ь'?Х, такие что аФЬ, а'фЬ',
существует единственное подобие /gSim+(X), при котором
f() ' f{b) b'
Рис. 9.6.2
279
9.6 Подобия на плоскости
Применив в случае необходимости гомотетию, можно
считать, что ab — a'b', и затем использовать 9.1.6.
Для данных a, b, a', b' можно геометрически
построить центр со соответствующего единственного подобия. А
именно, нужно взять точку е пересечения прямых <а, by и <а', Ь'у и
описать окружности около треугольников аа'е и bb'e; вторая
точка пересечения этих окружностей (существующая, если они
не касаются в точке ё) и есть со. Доказательство получается при
помощи 9.5.3.1 и 10.9.4. См. также 9.14.14.
9.6.3. углы поворота для прямых подобий. По определению
угол поворота agSl(X) подобия f € Sim+ (X) есть угол вращения,
соответствующего / по разложению в 8.8.3. В частности,
Д/(Д) = а для любой ориентированной прямой А.
9.6.4. ПОДОБИЯ НА ПЛОСКОСТИ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Отправ-
ной точкой здесь послужит нам аффинный вариант 8.3.12 и
8.8.4: если X—ориентированная евклидова аффинная плоскость,
то X обладает естественной структурой комплексной аффинной
прямой. Для этой естественной структуры имеем GA (X) = Sim+ (X).
Выберем в X некоторый комплексный аффинный репер. Тогда
каждое /?Sim+ (X) запишется в виде z*-+az + b, а каждое
/€Sim~(X) в виде zy-*-az + b, где a, b?C. При этом угол по-
поворота подобия /?Sim+(X) (см. 9.6.3) есть не что иное, как
аргумент числа а (см. 8.7.8.4), а модуль / равен модулю |а|
числа а.
Запись вида zv-^-az-\-b позволяет легко производить
вычисления с подобиями, а также легко доказать, что Sim+ (X)
просто транзитивно действует на парах точек пространства X.
9.6.5. двойное отношение четырех точек. Поскольку X можно
трактовать естественным образом как аффинную комплексную
прямую X, существует ее проективное пополнение, т. е. проек-
проективная комплексная прямая X = X(joox (см. 5.1.3}. Не следует
путать X с пространством Xе, введенным в 9.5.5: Xе—это комп-
комплексная проективная плоскость, а X — комплексная проективная
прямая; Xе содержит бесконечно удаленную прямую, а X—лишь
одну бесконечно удаленную точку. По определению двойное
отношение четырех точек в X есть их двойное отношение в
X; двойное отношение лежит, таким образом, в C(J°°, а если
все эти точки различны, то в С. Существует интересная связь
между двойным отношением и евклидовой структурой в X.
9.6.5.1. Предложение. Пусть z = [a, b, с, d], где а, Ь, с,
1 огда модуль z выражается через расстояния: l
ас lad
/
280
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
аргумент г—через ориентированные углы в 31 (X): argz=
= са, cb—da, db.
9.6.5.2. Этот результат имеет различные элементарные следствия,
из которых мы здесь упомянем только два. Первое касается
гармонических четырехугольников, т. е. четверок точек в X, для
которых [а, Ь, с, d] — — 1, см. 9.14.15. Второе следствие таково:
число г = [а, Ь, с, d] вещественно тогда и только тогда, когда
его аргумент равен 0 или а, т. е., в силу 8.7.7, тогда и только
тогда, когда <с,а>, <с, &> = <d, a>, <d,b> в Ж (X). Это, как мы
увидим, есть необходимое и достаточное условие того, чтобы
точки а, Ь, с, d лежали на одной окружности или на одной
прямой. Отсюда вытекает, в частности, что томографии
z I—>аг~^" в X переводят окружности в окружности (или
прямые). Этот факт относится к более общей теории, излагаемой
в гл. 20 (см. 18.10.4 и § 20.6).
D'
Рис. 9.6.6
9.6.6. ОДНО ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ПОСТРОЕНИЕ. Мы будем искать окруж-
окружность, проходящую через данную точку х и касающуюся двух
данных прямых D, D'.
Случай D//D'uhi предоставим читателю. Итак, пусть
a = D f\D', Возьмем тогда произвольную окружность С, касаю-
касающуюся D и D' и расположенную в выпуклом множестве, опреде-
определяемом прямыми D, D' и точкой х. Идея состоит в том, чтобы
найти гомотетии с центром а, которые в результате применения
281
9.6 Подобия на плоскости
Рис. 9.6.7
к С дадут окружности, проходящие через точку х. Эту идею
легко реализовать, как показано на рис. 9.6.6.
9.6.7. ПРИНЦИП ПОДОБИЯ-Этот принцип мы раскроем на примере
решения следующей задачи. Пусть D, D'—две различные прямые
в X и т, т'—точки на D, D', движущиеся по этим прямым с
пропорциональными скоростями. Найти огибающую прямых mm'.
9.6.7.1. Пусть f—такое прямое подобие, что f{m) = m', f(n) = n'y
где т, n?D—некоторые два положения точки, движущейся по
D, а т', п'—соответствующие положения (в те же моменты
времени) точки, движущейся по D' (см. 9.6.2); если
282
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
р' diD' — положения этих точек в произвольный момент времени,
т0 f(p) = p'< ибо условие пропорциональности скоростей эквива-
эквивалентно равенству т'р'/т'п' = тр/тп, которое в свою очередь
эквивалентно условию /?Sim+ (X) (см. 2.4.6). Упомянутый
принцип формулируется так: все точки, связанные подобием с
парой т, т', также описывают прямую. Более точная формули-
формулировка такова.
9.6.7.2. Принцип подобия. Пусть f—прямое подобие в X и
т"—-точка, связанная прямым подобием с парой т, т', где
m' = f(m) {т. е. существует подобие g ?GO+ (X), для которого
mm" = g(tnm') при всех mgX). Тогда отображение т*—*-т"
является прямым подобием. В частности, если точка т дви-
движется по некоторой прямой, окружности и т. д., то т" дви-
движется также по прямой, окружности и т. д.
Мы хотим использовать 9.6.4. Выберем какой-либо комп-
лексный репервХ;тогда/(z) = az + b,g (и) = си, где а, Ь, с ? С.Отсюда
z -f c (az -f b—z) =
виде
т" = т-\-тт" = z + c(f(z)—z)
= (ac—c+l) z + bc;
таким образом, соответствие щу-*-т' записывается в
гь-»-(ас—c-\-\)z-\-bc, т. е. является прямым подобием.
Вернемся теперь к нашей исходной задаче. Обозначим
через а центр подобия т*~*т'. Заметим, что основание h перпенди-
перпендикуляра, опущенного из точки а на прямую <т, т'у, есть точка,
связанная прямым подобием с парой т, т'. Поэтому h движется
по некоторой прямой Е, и, стало быть, огибающей прямых
<т, т'У служит парабола с фокусом а, касающаяся в своей
вершине прямой Е; см. 17.2.2.6.
Другие приложения принципа подобия см. в 10.13.18.
9.6.8. ДВОЙНАЯ ПОДЭРА ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ. Подэрой кривой С
относительно точки а называется множество таких точек m ? X,
через которые проходит прямая, касательная к С и перпендику-
перпендикулярная к <а, ту. Двойная подэра двух кривых С, С"—это мно-
множество таких точек т?Х, что существуют касательные к С и
к С", пересекающиеся в точке т под прямым углом.
Подэры окружности называются улитками Паскаля. Эти
кривые встречаются и в других ситуациях, например как простей-
простейшие кривые четвертой степени (так называемые бикруговые кри-
кривые). На рис. 9.6.8а изображены различные формы улитки
Паскаля. Улитка с точкой возврата служит также примером
кардиоиды. Если она вам понравилась, спешите заглянуть в
9.14.34. См. также 9.14.22. Про улитку Паскаля, касательные
к которой в двойной точке образуют угол 120°, см. [88], упр. 77
на с. 169.
283
9.6 Подобия на плоскости
Что касается двойных подэр, то для двух регулярных
гладких замкнутыхкривыхклассаС1 их двойная подэра естественным
образом распадается на две кривые л, л'. Точки mum' кривых
лил' различаются по ориентациям пересекающихся в них ка-
касательных (ориентация касательной считается индуцированной
ориентацией кривой). Но такое распадение двойной подэры на
две кривые в общем случае не влечет за собой алгебраической
приводимости этой кривой. Мы покажем, что в случае, когда
С, С—окружности, алгебраическое разложение существует, а
именно лил' являются подэрами этих окружностей относитель-
относительно некоторых точек.
Рис. 9.6.8а
Рис. 9.6.8Ь
Рис. 9.6.8с
9.6.8.1. Предположим, что окружности С и С не являются
концентрическими (так как случай концентрических окружностей
тривиален). Заметим сначала, что существует ровно два прямых
подобия /1( /2, для которых f.(C) — C' (i=l, 2) и которые имеют
прямой угол поворота (см. 8.7.3.5 и 9.6.3). В самом деле, пусть
а, а' — центры окружностей С и-С', т^С,т'1, т'2?С, где т[ и
т'2 диаметрально противоположны и am J_ a'ml; тогда обозначим
284
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
через /,- подобия, переводящие а в а' и т в т\, 1 = 1, 2; эти
подобия существуют и однозначно определены в силу 9.6.2.
Имеем fi(C) = C, ибо /,¦ (С)— окружность с центром
f(a)=a' и радиусом, равным радиусу С". Обозначим черезОиО'
касательные ТтС и Тт'С к окружностям С и С в точках гаи т\
соответственно. Обозначим через х пересечение DftD', а через
h—проекцию точки а^ (центра подобия fj на D. Воспользуемся
следующей простой леммой.
"Ь
Рис. 9.6.8.2
9.6.8.2. Лемма. Пусть {а, Ь, с], {а1, Ь', с'}—два прямоугольных
треугольника, т. е. <а, by _]_ <а, с> и <а', &'>_]_ <а', с'>. Для
чтобы существовало прямое подобие f, при котором
285 9.6 Подобия не плоскости
f(a) = a', f(b) = b', f(c)=c', необходимо и достаточно, чтобы в
группе §1 (X) имело место равенство <Ь, а>, <Ь, с> = <&', а'>, <&', с'>.
Яри этом соответствующее отображение f однозначно опреде-
определяется ориентированным углом <Ь,а>, ф,су.
Рис. 9.6.8.3
9.6.8.3. Согласно этой лемме, угол a = <mi,<»1>, <,m[, m> одно-
значно определяется отображением /1( т. е. зависит только от
окружностей С, С и выбора f1. Используя 10.9.5, получаем, что
a = </ni,w1>, <mi, т> = <дг, ту, <лг, о^), ибо четыре точки %, т,
nil, х лежат на одной окружности, поскольку
286
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
«olt ту,
(см. 8.7.7.4 и 10.9.5). Таким образом, <лг, Л>, <лг, ш1> = а; еще
раз обращаясь к лемме, видим, что х получается из h примене-
применением некоторого фиксированного подобия gx. Когда точка Л дви-
движется по подэре я окружности С относительно точки (ах, точка х
движется по кривой gx (я). Теперь легко видеть, что вся двой-
двойная подэра окружностей С и С оказывается составленной из
g1 (я) и аналогичной кривой #2(я').
9.6.9. «EADEM MUTATA RESURGO»1). Речь здесь пойдет об одном
свойстве логарифмических спиралей, которое так пленило Якоба
Бернулли, что он завещал выгравировать эту спираль и цити-
цитированную латинскую фразу на своем надгробии (собор в Базеле;
см. 9.14.32). Упомянутое свойство состоит в следующем: лога-
логарифмическая спираль инвариантна (в целом) относительно дейст-
действия некоторых подходящих подобий. Это легко объясняется тем,
Рис. 9.6.9.1
1) «Измененная, возрождаюсь вновь» (лат.),— Прим. ред.
287
9.7 Расстояния между многими точками
что в группе Sim^ (X) (при фиксированном со(ЕХ) или в группе
—>-
Sim+ (X) содержатся нетривиальные подгруппы.
9.6.9.1. При k ё R+ и (о?Х положим
G = {/ @ = Нш.
(Л (*)): t e R} c=Sim+ (X),
где #ш, ы — гомотетия с центром со и коэффициентом растяжения
kt, a 6-1(A(^))—вращение с центром со на угол A(t). Ясно, что
G является однопараметрической подгруппой в Siroi (X), причем
она топологически изоморфна группе вещественных чисел R по
сложению. При некоторых k, со любая орбита группы G, отлич-
отличная от {со}-, называется логарифмической спиралью с полюсом в со.
Такая спираль по определению инвариантна относительно
действия группы G. Любое подобие переводит логарифмическую
спираль в некоторую другую логарифмическую спираль. Кривая,
состоящая из точек, связанных с точками (х, со) (где х—точка
спирали) прямым подобием (см. 9.6.7.2), также является лога-
логарифмической спиралью. Например, этим свойством обладает под-
подэра логарифмической спирали относительно точки со. Для дока-
доказательства достаточно заметить (см. 9.6.8.2), что если точка т
принадлежит логарифмической спирали С, то касательная ТтС
к С в точке т образует с прямой <т, со> постоянный угол
<т, со>, ТтС ? Ж (X). Это в свою очередь вытекает из следующего
рассуждения: поскольку G по определению транзитйвно дейст-
действует на С, для любых т, п?С существует такое / € G, что
/ (т) = п; в частности,
, co>, TmC=<f(m),
= <n, co>,
По поводу обратного утверждения и других свойств логарифми-
логарифмической спирали см. кроме надгробия Бернулли также 9.14.21.
О других логарифмических спиралях, встречающихся в природе,
см. [242], с. 96—99 русского перевода.
9.7 РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ МНОГИМИ ТОЧКАМИ
9.7.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть {x;}i=0,i п—аффинный репер
в X. Если точки х, у ? X удовлетворяют условию xix = xiy при
всех г = 0, 1, ..., п, то х = у. Если k — некоторое натуральное
число и (лг,-), (у;), 1 = 1, ..., k,—два подмножества X, для ко-
которых xiXj = ylyi при всех i, /, то существует изометрия
/?Is(X), такая что f(xi)=yi Vi.
Рассмотрим векторизацию пространствах в точке х0. То-
Тогда из 8.1.2.4 следует, что для всех i имеет место равенство ска-
скалярных произведений (хг | д:) = (д:/| у). Но линейные формы (х;\-)
238
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространстве
(i=l, ..., п) линейно независимы, поскольку {xt)— аффинный
репер. Поэтому х = у.
Из доказанного следует, что вторую часть предложения
достаточно проверить для аффинно независимых подмножеств {xt),
(у;), i=l, ..., k^n+l, и, более того, для k = n-f-1, поскольку
любая изометрия /gIs(F, У) между двумя подпространствами
Y, У'аХ очевидным образом продолжается до изометрии f всего
X на себя, такой что /|у = /. Воспользуемся индукцией по
n = k — 1. При п=\ результат вытекает из 9.1.6 (случай п = 0
тривиален). Итак, предположим, что наше предложение верно
для п, и рассмотрим пространство X размерности п + 1. Рассмот-
Рассмотрим в нем подпространства
Y = <x0, хг, ..., хпу, Y' = <yQ, уг г/„>;
тогда существует такая изометрия g?ls(X), что g(Y') = Y. При-
Применяя индуктивное предположение к подмножествам (х,-)»=о, i , л,
(g(yi))i=o,i n пространства Y, мы видим, что при доказатель-
доказательстве нашего предложения можно ограничиться случаем х( = у{
(г = 0, 1, ..., /г). Рассмотрим векторизацию X в точке х0. Из
8.1.2.4 следует, что (xi\xn+1) = (xi\ytt+1)Vi=l, ..., п; поэтому
точки хп+1'н уп+1 лежат на одной и той же аффинной прямой DbX,
ортогональной Y. Далее, хохп+1 = хоуп+1, и 9.2.3 показывает, что
d(xn+u Y)=d(yn+1, Y), откуда либо х„+1 = уп+1, либо г/„+1=
Рис. 9.7.1
9.7.2. ЗАМЕЧАНИЕ. Предложение 9.7.1 утверждает единственность
(с точностью до изометрии) подмножества (a:,)i=o, 1 * с данными
расстояниями dif = xix]-. Вопрос о существовании таких подмно-
подмножеств решается в 9.7.3.4.
9.7.3. СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ (л+1) ТОЧКАМИ В
ПРОСТРАНСТВЕ РАЗМЕРНОСТИ (л—1)
9.7.3.1. Естественно ожидать, что расстояния dij = x(Xj между
(п+1) точками (xi)i-o, i п в (я—1)-мерном пространстве X
связаны некоторым универсальным соотношением. Если п = 2, то
289
9.7 Расстояния между многими точками
одна из трех точек х{ лежит между двумя другими и произведение
(^01+^02—^12) №1 + ^12—^02) (db2 + d12—dal)
равно нулю. В случае более высоких размерностей, например при
п = 3, рассуждение, проведенное нами при доказательстве пред-
предложения 9.7.1, показывает, что если заданы х0, хг, х2 и d13, d23,
то х
Рис. 9.7.3.1
можно выбрать лишь двумя способами: соответствующие
точки х3 и х'3 симметричны относительно прямой <х1; х2>. Можно,
таким образом, заподозрить наличие здесь некоторого универсаль-
универсального соотношения. Мы сейчас найдем это соотношение. Идея
состоит в том, чтобы выразить n-мерный объем параллелепипеда,
натянутого на точки (х,),=0 „ в («+ 1)-мерном пространстве,
через расстояния dtj = XiXj. Если точки xt лежат в пространстве
размерности (п—1), то этот объем нулевой, и мы получим иско-
искомое соотношение. Применим 8.11.5 и 8.11.6; для этого мы рас-
рассмотрим векторизацию X в точке х0 и используем 8.1.2.4 в сле-
следующей форме: (хг | х>) — -i- (doi -f-doj—d{j). Искомое соотношение
выглядит так:
din
=о.
i
Чтобы дать строгое доказательство, надо вложить X в некото-
некоторое пространство X' размерности я+1 и применить, например,
8.11.8 (ii) и (v) к пространству X'Xs>.
Соотношением 9.7.3.1 неудобно пользоваться, поскольку
290
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
оно не симметрично по индексам i: индекс 0 выделен. Назовем
определителем Кэли—Менгера точек (х,-),-=0, х k следующий
определитель:
0 1 1 ... 1
9.7.3.2.
!,..., xk)-.
0
lOk
... d\h
... 0
9.7.3.3. Лемма. Имеем (см. 8.11.5)
Gram
!, ..., xoxk) =
2*
Г (*0, xit ..., xk).
Доказательство состоит в уточнении рассуждений из
8.2.2, 8.11.6. Рассмотрим какой-нибудь ортонормированный репер
и обозначим через х{ координаты х{ в этом репере. Тогда, приме-
применяя стандартные преобразования определителей, получаем
Yk 1
q 1
* 1
xi...4 i о
*?...** 1 0
4 • ¦• х% 1 о
0 ... 0 0 1
Возьмем последний определитель D, переставим в нем два послед-
последних столбца и две последние строки, транспонируем и умножим
на D. Получим равенство
(дго|дго) ... (xo\xk)
xoxk) = -
(xk
1
... (Хг\хи) 1
... (xk | xk) 1
... 1 0
Заменяя (лг,-1 лгу) на-f (II*/IP + II*/Г — <*?/) и избавляясь от выра-
выражений || л;,-1|2 путем вычитания последнего столбца и нижней строки,
умноженных на соответствующие числа, получаем, что
291
9.7 Расстояния между многими точками
9.7.3.4. ТЕОРЕМА. Для любого набора точек (х;I=0> 4 п из
(п—\)-мерного пространства X всегда Г (хь, ..., д:п) = 0. Для
того чтобы точки (*,-),-=0, i n-i образовывали симплекс в X,
необходимо и достаточно, чтобы Г (х0, ..., ^„-^^О. Пусть
заданы k(k + 1)/2 вещественных чисел dij(i, / = 0, 1, ..., k). Для
того чтобы существовал симплекс (xl)i_Q^ 1 ft в евклидовом про-
пространстве, такой что di/ = xixJ; необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие условия: для всех h — 2, ..., k и для любого
набора из h элементов множества {0, 1, ..., k) соответствую-
соответствующий определитель Кэли—Менгера не равен нулю и имеет знак
Рис. 9.7.3.4
Первые два утверждения вытекают из 8.11.6, а также
из 9.7.6.6. Последнее утверждение мы докажем индукцией по k.
При k = 1 оно очевидно. По предположению индукции в некото-
некотором пространстве Z размерности k — 2 существует симплекс
(*,¦)/=2, ..., ft. Для которого XiXj=d{/ (i, / = 2, ..., /г). Далее,
в некотором пространстве Y размерности (k—1), содержащем Z,
существуют две точки х'а, хх^ Y\Z, для которых x1xi=du, х'йхх=
= doi Vi = 2 k. Обозначим через h проекцию х'о на Z; вло-
вложим Y как гиперплоскость в некоторое пространство X размер-
размерности k. Пусть W—подпространство в X размерности 2, содер-
292
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
жащее h и ортогональное Z. Пусть точка х движется в плоскости W
по окружности С с центром в h, проходящей через х'о. Окруж-
Окружность С пересекает Y в точке х^\ когда х пробегает окружность С,
число xXi пробегает интервал [xxx'a, хгх"й\
Подставим теперь в формулу 9.7.3.2 вместо dlx произ-
произвольное вещественное число ? (остальные dtj—данные фиксирован-
фиксированные числа). Полученный определитель обозначим Г(?). Ясно, что
Г(?) = — 12-Т(х2, ...,-xk)+ai + fi (a, 0 6R). Функция Г (?) (при
i€R+) есть квадратный трехчлен от ?, а коэффициент при |2 по
предположению индукции имеет знак (—I)*. С другой стороны,
из первой части теоремы вытекает, что Г (?') = Г (?")=0, где
\'=хгх'о, 1" = х1х'о\ поэтому функция Г имеет знак (—I)* в точ-
точности на интервале ]ххх'о, хгх"^. Далее, Г (d01) ф 0 и имеет знак
(—1)*+1 = (—I)* по предположению; стало быть, существует
точка л;о?С\{л;о, x'i,}, для которой xox1 = dol.
9.7.3.5. Читатель, возможно, обратил внимание на следующие
два обстоятельства. Первое: в доказательстве 9.7.3.4 исполь-
используются не все предположения; так, если мы априори знаем, что
искомые X; существуют и образуют симплекс, то и любое под-
подмножество множества (*,-) образует симплекс. Другими словами,
можно думать, что Г обладает какими-то чисто алгебраическими
свойствами, из которых можно вывести, что если Г (х0, .. ., xk) Ф О
и имеет знак (—l)ft+1, то автоматически и определители Г для
любых меньших наборов (х;) тоже не равны 0 и имеют соответст-
соответствующий знак. Это действительно так, см. 9.14.23, и из этого
следует, что для справедливости 9.7.3.4 достаточно требовать,
чтобы единственный детерминант Г, составленный из чисел
d-j. (i, / = 0, ..., k), был бы ненулевым и имел знак (—l)fc+1.
Второе: 9.7.3.4 не содержит полного ответа на вопрос
9.7.2; разбирается только тот случай, когда (xt) образуют симп-
симплекс. В общем случае задача немногим сложнее, но ответ полу-
получается более длинный. Этот ответ приведен в 9.14.23. Другой
подход к проблеме см. в [24], с. 105—106.
Определители Г позволяют изучить также вопрос о том,
когда п + 2 точек /г-мерного пространства X лежат на одной сфере
(см. 9.7.5), и вычислить радиус сферы, описанной вокруг симп-
симплекса. Введем еще один детерминант А:
0 d\2 . .. d\
!, 0 . . . d\
9.7.3.6. A(xlf ..., xk) =
dl
0
9.7.3.7. Предложение. Если (*,-)/=i „ образуют симплекс в про-
пространстве X размерности п—1, то радиус R описанной вокруг
293
9.7 Расстояния между многими точками
этого симплекса сферы удовлетворяет соотношению
П! ' А (*! Хп) ,
« - 2 Г (хь ...,*„)'
в частности, А (хг, ..., хп) Ф 0.
Точки (Xi)i=1 п + 2 из п-мерного пространства X
лежат на одной сфере или в одной гиперплоскости тогда и только
тогда, когда &{хг, ..., лгп+2)=0.
Пусть хй—центр описанной сферы. Приняв doi за
R, легко вычислить определитель Г (х0, х1У ..., хп) =
= — 2#2Г (хг, ..., хп)—А (xit .... хп). Но из 9.7.3.4 следует, что
Г (х0, Ху, . . ., хп) = 0, и мы получаем нужную формулу.
Отсюда также вытекает, что А (хи ..., хп+2) =0, если
xit xi, ..., хп + 2 лежат на одной сфере. Обратное не так очевидно,
и нам придется привести прямое доказательство того, что (д:,)
тогда и только тогда лежат в одной гиперплоскости или на одной
сфере, когда A (xit ..., лгп+2)=0. Выберем произвольный ортонор-
мированный репер, и пусть х[ (/=1, ..., я + 2; /=1 п) —
координаты точек xt по отношению к этому реперу. Если х{ лежат
в одной гиперплоскости или на одной сфере, то существуют такие
вещественные числа а, Ь, с} (/ = 1, ..., п), не все равные нулю,
что
см., например, 10.7.6. Отсюда вытекает, что следующие опреде-
определители обращаются в нуль:
уП
х\
\ Y1
1 ХП+2
уП
—2х\
—2x1
1 lU^JI2 —S
= 0.
Но, как легко видеть, произведение этих определителей равно
Обратно, пусть A (xit ..., xn+i) = 0. Тогда первый из
двух определителей нулевой, и, стало быть, существуют числа
а, Ь, с}, не все равные нулю и удовлетворяющие написанному
выше соотношению. Согласно 10.7.6, это означает, что л;,- лежат
294
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
на одной сфере или в одной гиперплоскости с уравнением
С;-
0.
I I
9.7.3.8. Примеры. Положим a = d-&, b = d23, c = d31; имеем
Т{х1У х-%, x3)= — (a + b + c)(a + b—c)(a—b + c){—a + b + c), что
дает площадь треугольника, выраженную через длины его сторон
(см. 10.3.3). Положим a = d12d3i, fi = disd2i, y — dud2Z\ тогда
A(xlt xv xs, *4) = —(o+p + Y)( (p
это теорема Птолемея, см. 10.9.2.
9.7.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА ТЕОРИИ МЕТРИЧЕСКИХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ. Исключительное положение евклидовых аффинных про-
пространств среди общих метрических пространств естественно при-
приводит к вопросу: нельзя ли охарактеризовать евклидовы аффин-
аффинные пространства в классе всех метрических пространств чисто
метрическими свойствами (не апеллируя к понятию векторного
пространства и т. д.)? Эта фундаментальная проблема была решена
К. Менгером в 1928 г.; полное изложение читатель может найти
в [24], гл. IV. Ключом к решению послужили определители
Кэли—Менгера, и доказательства получились ненамного сложнее,
чем в 9.7.3.4.
Аналогичный вопрос можно поставить и для других
классических метрических пространств, например сфер или гипер-
гиперболических и эллиптических пространств (см. 18.4.7, 19.1.2.5,
19.2.11); полный ответ также содержится в [24]. Отметим, что [24]
является превосходным руководством для систематического изу-
изучения метрических пространств без какой бы то ни было допол-
дополнительной структуры. См. также [16].
9.7.5. МЕДИАТОРЫ
9.7.5.1. Предложение. Пусть х, г/(EX. Множество \z?X: zx—zy)
является гиперплоскостью, называемой медиатором точек х и у
(при га = 2—медиатрисой).
Более общо, пусть (*,•),•_„_ х k—аффинно независи-
независимые точки. Тогда множество
{z ? X: zx0 = zxy = . . . = zxk]
является подпространством размерности /г+1—k; в частности,
если k=n, т. е. (xt) образуют симплекс, то существует единст-
единственная точка, находящаяся на равном расстоянии от вершин
симплекса (*,•); другими словами (см. § 10.7), для любого симплекса
существует единственная описанная около него сфера. ,
Для доказательства мы рассмотрим ХХо и заметим (как
мы уже неоднократно делали раньше), что условие равноудален-
ности превращается в условие на некие скалярные произведения;
далее применяем 2.4.8.
295
9.7 Расстояния между многими точками
9.7.6. ФОРМУЛА АПОЛЛОНИЯ: БАРИЦЕНТРЫ И РАССТОЯНИЯ. Здесь
мы используем обозначения и терминологию из 3.4.5.
9.7.6.1. Формула Аполлония. Пусть {(^,-, д:,)}—конечное семейство
массивных точек в пространстве X и
i> ?*) или> в других
)
обозначениях, @, ?)—их барицентр. Тогда для всех
имеем
или
В самом деле, достаточно написать zx\ = zg2 + gxf -f-
-\-2(zg\gxt), а затем применить 3.4.6.5.
9.7.6.2. Следствие. Пусть k—вещественное число. В условиях
9.7.6.1 положим L = {z?X: J\ %tzxf = k\. Тогда
I ' I
1) если Zi ^i = 0, mo L для всех k является аффинной
гиперплоскостью с направлением ?-L;
2) если 2 ^,- > 0, то при k <
* имеем L = 0, а
при k ^ 2 ^ig*l и-иеел* L =;
Здесь S(x, r) обозначает сферу с центром х и радиу-
радиусом г. Если 2 ^/ < 0, читатель сам легко сформулирует ана-
аналогичный результат.
9.7.6.3. Следствие. Если выполнены условия 9.7.6.1 «, кроме того,
2 X. > 0, то функция z i—> Zj %{zx\ принимает в точке g свое
единственное минимальное значение.
9.7.6.4. Следствие 9.7.6.3 показывает, что центр тяжести конеч-
конечного семейства точек неподвижен относительно изометрий, остав-
оставляющих это множество в целом инвариантным. Однако еще проще
это получается из 3.7.3 и 9.1.3.
9.7.6.5. Следствие 9.7.6.2 лежит в основе впечатляющего коли-
количества результатов о «геометрических местах». Например, 9.7.5.1
получается, если рассмотреть пару {A, х), (—1, у)). Более общо,
рассмотрим геометрическое место точек, у которых отношение
расстояний до двух фиксированных точек х и у постоянно
X
(и равно k): zxjzy = k. Это сфера с центром в точке jz^k—
~\~k(k^=1)- Далее, множество {z6X: zx2 + zy2 = k\ есть сфера,
296
a {2g
мула
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
': zx2—zy* = k\ — гиперплоскость. В первом случае фор-
zx2 + zy2 = 2zg2 + 2gx% = 2zg2 + xy2/2
называется «формулой медианы».
Рис. 9.7.6.5
Наконец, множество {г: zx2—zy* = k) является гипер-
гиперплоскостью, ортогональной ху.
9.7.6.6. Формула 9.7.6.1 позволяет доказать первое утверждение
из 9.7.3.4 и без большой суеты с определителями (см. 9.7.3.3).
Мы действуем следующим образом: согласно § 3.6, одна из точек
является барицентром остальных; пусть, например, эта точка
п-1 га-1
есть хп. Таким образом, хп — 2 ^*,- и 2 4=1- Рассмотрим
i = 0 С = 0
семейство массивных точек {(к0, х0) (^„_lt xn_J, (—1, хп)\.
Барицентром этого семейства является точка @, 0) ( в самом
деле, 2^ = 0, 1= 2 к;Х;—хп = 0 ). Из 9.7.6.1 следует, что
п
функция 2 I^zx2 не зависит от г; пусть ее значение равно k.
Подставляя вместо z точки х0, xt, ..., хп, получим
-Л. n-l~dl = k,
297
9.8 Стабилизаторы подмножеств
+
+ К
+ ¦ • • + K-i
-1 =0;
отсюда Г(*о, ..., хп)=0.
9.8 СТАБИЛИЗАТОРЫ ПОДМНОЖЕСТВ
9.8.1. Для изучения строения какого-либо множества ЛсХ
естественно ввести в рассмотрение стабилизатор, или группу
изотропии lsA (X) этого множества: lsA (X) = {g g Is (X): g(A) = A}c:
cIs(X). Чем больше Is^(X), тем более «симметричным» является
множество А; свойства множества А связаны с группой Is^(X).
Мы уже встречались с этой группой в гл. 1; более основательно
мы изучим ее в § 12.5. Отображение %: A>—>lsA(X) из множе-
множества подмножеств X в множество подгрупп Is (X) будет служить
нам в дальнейшем путеводной нитью.
9.8.2. ЗАМЕЧАНИЯ. Если А компактно и ggls(X), то g{A)czA
влечет за собой g{A) = A, но это становится неверным, если
Рис. 9.8.2
предполагать А только замкнутым или только ограниченным:
см. 9.14.26.
Пусть А—замыкание А; тогда, вообще говоря,
ЪА(X)clsj(X), см. 9.14.27. Если через 1э(Л) обозначить группу
изометрий пространства А с индуцированной из X метрикой, то
определено отображение сужения р: 1эл (X)—^^(Л). Вообще
говоря, р н» инъективно: если, например, A = Y—подпростран-
Y—подпространство в X, не совпадающее с X, то симметрия ау индуцирует на
Л = К тождественное отображение. Отображение р инъективно,
если [Л] = Х. Напротив, сюръективность отображения р имеет
место во всех случаях; это вытекает из 9.7.1.
Что касается отображения %, оно не является ни сюръек-
тивным, ни инъективным. Например,-две фигуры, изображенные на
рис. 9.8.2, имеют одинаковую группу «симметрии». С другой
стороны, если со—произвольная точка X, то группа G = Is^ (X)
не является группой изотропии никакого подмножества ЛсгХ,
ибо любая орбита U группы G есть объединение некоторого
298
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
множества сфер с центром со, и поэтому группа изотропии мно-
множества U содержит группу isa (X). Однако если G—конечная
подгруппа группы Is (X), то существует такое А сХ, что G = Is^ (X);
см. 9.14.36.
9.8.3. ЗАМКНУТОСТЬ СТАБИЛИЗАТОРА. Вообще говоря, группа
Is4 (X) не замкнута в Is (X) (в противоположность группе Isa (X),
а?Х). Возьмем, например, в качестве А орбиту группы G, где
G—подгруппа группы Is(X), порожденная вращением плоскости
на иррациональный угол. Однако если А замкнуто в X, то
Is^ (X) также замкнуто в Is(X).
9.8.4. ОГРАНИЧЕННОСТЬ СТАБИЛИЗАТОРА. Если А ограничено, то
и Is,j (X) ограничено. В самом деле, мы покажем ниже, что
Is^(X) компактно, a lsA (X)czlsj (X) (см. 9.8.2). Но множество
Is,j (X) может быть ограниченным и тогда, когда А таковым не
является: см. 9.14.27.
9.8.5. КОНЕЧНОСТЬ СТАБИЛИЗАТОРА. Множество Ьл (X) может
быть конечным, даже если А таковым не является (см. 9.14.27).
Но, с другой стороны, оно может быть бесконечно и при конеч-
конечном А; например, так обстоит дело, если А содержится в неко-
некотором подпространстве в X коразмерности ^2. Если, напротив,
dim [A] ^ dim X—1, то при конечном А группа Is,, (X) тоже
конечна (в самом деле, если g?lsAX тождественно на А, то g
тождественно и на линейной оболочке [А] множества А). Если
[Л] = Х, то g=Idx, а если [А]—гиперплоскость, то ^=Ы
9.8.6. КОМПАКТНОСТЬ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
9.8.6.1. Предложение. Если АаХ компактно, то существует
х?Х,для которого teA(X)alsx(X). В частности, Is^(X) ком-
компактно в Is(X). Если GcIs(X) компактна, то существует
х?Х, для которого Galsx(X).
Вторая часть следует из первой (в качестве А нужно
рассмотреть произвольную орбиту группы G). Компактность
Is,} (X) следует из 9.8.3 и из первой части предложения с учетом
компактности ЬЛ(Х) (см. 8.2.3.3). Первая часть нашего предло-
предложения может быть доказана по меньшей мере тремя способами.
9.8.6.2. Первое доказательство. Оно является вариантом 2.7.5.9;
здесь условие непустоты внутренности множества А не является
необходимым, ибо группа lsx (X) всегда компактна (в противо-
противоположность группе GAX(X) s^GL (X)).
9.8.6.3. Второе доказательство. Оно получается из 11.5.8. В са-
самом деле, пусть В—шар в X наименьшего радиуса, содержа-
содержащий А; тогда если g(A) = A для некоторого g, то g(B) = B,
поскольку указанное (чисто метрическое) свойство определяет
шар В однозначно. Искомая неподвижная точка х есть центр
шара В.
299
9.8 Стабилизаторы подмножеств
9.8.6.4. Третье доказательство (лемма Брюа—Титса). Речь идет
о результате, утверждающем существование неподвижной точки
для группы изометрий компакта в метрическом пространстве.
Метрическое пространство при этом не обязательно должно быть
евклидовым аффинным пространством X, но должно удовлет-
удовлетворять некоторому условию, выполненному, в частности, для X,
а также для многих других пространств, например для гипер-
гиперболических пространств (см. 19.4.7).
Следует хорошо понимать, что для произвольных метри-
метрических пространств 9.8.6.1 не имеет места. Например, сфера 5 с цен-
центром в точке х обладает группой изометрий Is E), не имею-
имеющей ни одной неподвижной точки (в то же время группа Is E) ^
s^Is^X) компактна, так же как и 5).
Приводимое ниже условие (CN) выполнено в евкли-
евклидовом аффинном пространстве (для х, у(?Х достаточно взять
в качестве т середину \х, у), и неравенство в (CN) обратится
в равенство, что следует из формулы для медианы; см. 9.7.6.5).
Позже мы увидим, что (CN) выполняется также для гиперболиче-
гиперболических пространств, если т—середина {х, у}; см. 19.4.7. Напротив,
для сферы условие (CN) не выполнено.
9.8.6.5. Лемма (Брюа—Тите, [40], с. 63). Пусть X—некоторое
полное метрическое пространство с расстоянием d, в .котором
выполнено следующее условие:
для произвольных точек х, у ? X существует такая
точка т g X, что
(CN)
d2(x, z)+d2(y,
Тогда для всякого ограниченного подмножества А в простран-
пространстве X существует точка х ? X, являющаяся неподвижной для
любой изометрий g: X —* X, оставляющей множество А инвари-
инвариантным.
Рис. 9.8.6.5
300
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
Идея доказательства состоит в следующем. Предполо-
Предположим, что Л компактно; сопоставим множеству А множество ц (Л)
всех точек т., удовлетворяющих (CN) по отношению к точкам
х, у? А, для которых d(x, г/) = diam А. Тогда из (CN) следует,
что diam (ц (Л))-^С^-diam (Л), где к < 1 — некоторая универсальная
константа; мы получаем таким образом убывающую последователь-
последовательность компактов, диаметры которых стремятся к нулю. Их пе-
пересечение и есть искомая неподвижная точка.
Теперь мы приведем подробное доказательство в слу-
случае ограниченного множества А в полном пространстве X. Фикси-
Фиксируем &€]0, 1[ и для любого подмножества FcX обозначим через
ц (F) множество точек т, удовлетворяющих (CN) по отношению
к точкам х, y(tY, для которых d(x, у) ^ k ¦ diam (Y). Из (CN)
получаем
sup{d(x, у): x?Y, у €ц (Y)} <^ diam(F);
diam (ц (Г))
?Y, у
&2-diam(F),
где &j=Kl— &2/4. k2 = l/rl—k2/2. Определим множества ц" (F) по
индукции:
Пусть А ограничено; из предыдущих неравенств получаем
diam (ц« (Л)) < k\ diam (Л) Vn € N*;
таким образом, пересечение множеств ц" (Л) состоит не более
чем из одной точки. Далее, это пересечение не пусто. В самом де-
деле, пусть (хп)п6ц— некоторая последовательность точекхп €}*"(Л),
п ? N. Это последовательность Коши, ибо d {х„, xn+1)^kt ¦ k% ¦ diam(Л)
(согласно предыдущим неравенствам). Поэтому {хп\ сходится к
некоторой точке х?Х, и мы получаем, что П \in(A) = {x\. Мно-
жества цп(А) определены чисто метрическим условием, поэтому
они инвариантны относительно группы 1эд(Х); стало быть, инва-
инвариантна и точка х.
9.8.7. ЗАМЕЧАНИЕ. Как и в 2.7.5.11, можно видеть, что макси-
максимальные компактные подгруппы группы Is (X) сопряжены друг
с другом.
9.8.8. примеры. См. доказательство 1.7.5.1, а также [40], с. 64.
9.9 ДЛИНА КРИВОЙ
В этом параграфе М обозначает некоторое метрическое простран-
пространство с расстоянием d(-, •).
9.9.1. определения. Кривой ([а, Ь], /) в М называется непре-
непрерывное отображение /: [а, Ь]—>-М, где [а, Ь]—отрезок прямой R
и а < Ь; концами кривой ([а, Ь], /) называются точки f (а) и/(Ь);
, f (b)—М
f (а) называется началом,
] f () )
концом. Множество кривых с кон-
301
9.9 Длина кривой
цами в точках х, у обозначается С (х, у). Длиной кривой / на-
называется число long(/)?R+U оо, определяемое так:
<п-\
long (/)= sup 2 d (/(*,), f(ti+l)),
a = to<t1<...<tn_1<tn = b, n<=
Кривая / называется спрямляемой, если long(/)?R+.
9.9.2. ЗАМЕЧАНИЯ. Условие С(х, у)Ф0 Ух, у^М эквивалентно
линейной связности М. Если имеются гомеоморфизм 9: [с, d]—+
—>[<?, b] и кривая /: [а, Ь]-^М, то
long (/o9)= long (/).
Следовательно, длина является функцией на фактормножестве
всех кривых по определенному выше отношению эквивалентности.
Мы приходим таким образом к понятию геометрической дуги,
однако оно нам не понадобится.
Предостережем читателя: рисунки, подобные 9.9.2,
предполагают существование «отрезков», соединяющих / (/,¦)
с /(^i+i); CM- по этому поводу 9.9.4.2.
9.9.3. ПРИМЕРЫ
9.9.3.1. Для любой кривой f?C(x, у) имеем long(f) > d (x, у).
9.9.3.2. Если есть две кривые /: [а, Ь]—*М, g: [Ь, с]—+М
и ёФ) — !Ф)у то кривая f\jg: [а, с] —>- М удовлетворяет условию
long (/ и g) = long (/) + long (g).
9.9.3.3. Даже в хороших пространствах М существуют неспрям-
ляемые кривые. Например, можно построить неспрямляемую
кривую на плоскости R2, продолжая до бесконечности процесс,
начало которого изображено на рис. 9.9.3.3.1. Мы оставляем
читателю доказательство того, что получающиеся кривые сходятся
к некоторой непрерывной кривой /; длина этой кривой >D/3)"
для любого п (Е N*, и, стало быть, / неспрямляема. Заметим, что
для любых t, *'€[0> 1], / < t', длина сужения f\lt,n также
бесконечна.
302
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
Несмотря на свою патологическую наружность, эта
кривая весьма естественна: она напоминает форму скалисто-
скалистого берега. Подробнее эта тема освещается в [170].
Рис. 9.9.3.3.1
Рис. 9.9.3.3.2
9.9.4. ОТРЕЗКИ. ПРОСТРАНСТВА С ВНУТРЕННЕЙ МЕТРИКОЙ И ПРЕВОС-
ПРЕВОСХОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
9.9.4.1. Определение. Кривая f: \а, Ь]—>М называется отрезком,
если d{f(t), f(t')) = t' — t для всех t, V ?[a, b], t<t'. В част-
частности, long(f) = d(f (a), f{b)).
№ №
-* •—
Рис. 9.9.4.2
9.9.4.2. Определение отрезка в аффинном пространстве уже да-
давалось (см. 3.4.3); на самом деле никакой двусмысленности здесь
не возникает, ибо любой отрезок в смысле 3.4.3 для любого
а € R однозначно определяет отрезок /:
[a,
(x,
В общем случае в пространстве М может не быть отрезка с кон-
концами х, у (даже если С(х, у)ф 0); весьма общие условия, гаран-
гарантирующие существование таких отрезков, можно найти в [56],
с. 135, или [24], с. 70.
9.9.4.3. Легко построить соответствующий пример. Возьмем
M = R2\@, 0), и пусть метрика на М индуцирована из R2. Возь-
303
9.9 Длина кривой
мем любую точку х ?М и г/ = — х. В пространстве М не суще-
существует отрезка с концами х и —х, ибо его длина должна быть
равна 2|д:|, а единственная кривая в R2 длины 2|д:||, соединяю-
соединяющая х и —х, проходит через @, 0)(?М. Другой пример: рас-
рассмотрим сферу S"c:R"+1 с метрикой, индуцированной из R"+1.
Рис. 9.9.4.3.2
Тогда любая кривая / на сфере 5" с концами х, у имеет длину
long (/) > d (х, у), поскольку \ong(f)^d(x, f (/)) + d (/ (t), у) для
всех t?]a, b[, a d (x, f (t))+d(f {t), y)>d(x, у) согласно 9.1.1.
Эти контрпримеры подсказывают следующие определения.
9.9.4.4. Определения. Метрическое пространство М называется
пространством с внутренней метрикой, если оно линейно связно
и d (x, t/) = inf {long (/): f?C(x, y)\ Vat, y?M. Метрическое про-
пространство М называется превосходным1), если для всех х, у?М
существует отрезок с концами х, у.
9.9.4.5. Примеры. Превосходное пространство всегда является
пространством с внутренней метрикой, см. 9.9.4.1. Обратное не-
неверно, как показывает первый пример 9.9.4.3.
Согласно 9.4.4.2, евклидово аффинное пространство
является превосходным. Кроме того, из 9.1.1.1 вытекает, что
отрезок с данными концами единствен (с точностью до переноса
области определения).
Впоследствии мы приведем другие примеры превосход-
превосходных пространств: см. 18.4.2, 19.1.2, 19.3.2.
Пример сферы или окружности, разбираемый в 9.9.8,
показывает, что в превосходном пространстве может существо-
существовать много отрезков с данными концами (в противоположность
евклидову аффинному пространству, где такой отрезок единствен).
Второй пример из 9.9.4.3 показывает, что 5" с метри-
метрикой, индуцированной из пространства R"+\ не является про-
В отечественной литературе вместо понятия «превосходного пространства»
используется понятие «выпуклой области» (см. [248], гл. I). — Прим. ред.
304
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
странством с внутренней метрикой; мы исправим этот недостаток
сферы в § 18.4.
9.9.5. САМЫЙ КОРОТКИЙ ПУТЬ. Часто говорят, что в евклидовом
пространстве самый короткий путь между двумя точками—это
отрезок с концами в этих точках. Сформулируем это утверждение
более точно. Если /—кривая с концами (х, у) и \ong(f) = d(x, у),
то для всех t, t' ?]a, b[, t^.t', где [a, b]—область определения
/, имеем
Это вытекает из 9.1.1.1 и следующего элементарного замечания:
если long (f) = d(x, у), то для всех t ?[a, b]
b. n)=d(x, /(/)) и long(f\lt,b])=d(f(t), у).
9.9.6. ЗАМЕЧАНИЯ. Напомним (см. [85], с. 314), что если f—кри-
f—кривая класса С1 в евклидовом аффинном пространстве X, /: [а, Ь] —* X,
то / спрямляема и ее длина равна
ь
Более общо, формулы такого вида имеют место для кривых на
гладком подмногообразии евклидова аффинного пространства
и даже для кривых в абстрактных римановых многообразиях;
если рассматриваемое многообразие полно, то оно является пре-
превосходным метрическим пространством; кроме того, локально
отрезки единственны. Эти рассмотрения подводят нас к фунда-
фундаментальному понятию геодезической; см., например, [146], с. 114,
или [169], с. 271.
9.9.7. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ МЕТРИКИ. Пусть (М, d) —
некоторое метрическое пространство (не обязательно являющееся
пространством с внутренней метрикой). Опишем процедуру, ко-
которая почти всегда приводит к внутренней метрике d на про-
пространстве М.
9.9.7.1. Предложение. Пусть (М, d)—такое метрическое про-
пространство, что для всех точек х, у g М существует кривая
f € С (х, у) конечной длины. Тогда отображение
d:MxM^(x,y)^ d(x, у) = inf {long (/):/€ С (х, у)} ? R+
определяет метрику на М, и эта метрика является внутрен-
внутренней. Кроме того, d = d.
Доказательство мы предоставляем читателю (см. 9.14.30).
Из равенства d = d следует, что эта процедура построения новых
метрик останавливается на первом же шаге.
В случае E", d), где d—метрика, индуцированная из
305
9.9 Длина кривой
R'!+1, внутренняя метрика оказывается не чем иным, как функцией
d (х, у) = arccos ((х \ у)) (см. 8.6.3). Мы докажем это в 9.9.8 для
случая п=1 и в § 18.4 для произвольного п (см. 18.4.3). Если
вычислять d с помощью 9.9.6, параметризуя окружность S1
отображением tv-+(t, ]/— Р), мы возвращаемся к величинам
углов, вычисляемым на этот раз с помощью интеграла
t
I (чуть более элементарная процедура, чем вычисления
о
с комплексной экспонентой Л: см. 8.3.13).
9.9.8. ВНУТРЕННЯЯ МЕТРИКА НА ОКРУЖНОСТИ S1. Речь идет о
единичной окружности С = {х?Х: ||д:[|=1} на евклидовой век-
векторной плоскости X. Окружность С может быть отождествлена
с множеством всех лучей в X (см. 8.6.1).
9.9.8.1. Теорема. Положим хг/ = arccos ((л:| г/)); определив расстоя-
расстояние формулой d(x, y)=xy, мы превращаем пространство С
в метрическое пространство с внутренней метрикой. Равенство
xy-\-yz = xz выполнено тогда и только тогда, когда луч R+г/ ле-
лежит между лучами R+x и R+z (см. 8.7.5.2). Если точки х, у?С
таковы, что уф—х, то существует единственный кратчайший
путь из х в у (см. 9.9.5)—это дуга окружности от х к у
(см. 8.7.5.4); при у = — х существуют ровно два кратчайших
пути из х в у—это две полуокружности с концами в х и у.
Пусть х, у, z 6 С. Исключив из рассмотрения случаи,
когда какие-либо из этих точек совпадают или диаметрально про-
противоположны, мы получим четыре варианта расположения точек
х, у, z на С: I) xy-\-yz — xz; II) ху + yz + xz = 2л; III) xz — yz—ху\
Рис. 9.9.8.1.1.
Рис. 9.9.8.1.2.
306
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
IV) xz = xy—yz (все это вытекает из 8.7.5.3). Учитывая, что
в случае II ху-f-yz > л, легко получаем, что всегда ху -f-yz ^ xz
и равенство имеет место только в случае I. Таким образом,
(С, ~) во всяком случае метрическое пространство. Покажем, что
оно является пространством с внутренней метрикой и даже, более
того, превосходным метрическим пространством. Пусть х, у?С
и xy = t. Ориентируем согласно 8.7.5 плоскость X и рассмотрим
кривую /: [0, /] Э si—s-cos s-e, + sin s-e2 ? С. Для всех s, s' ? [0, t]
с s^s' имеем f (s) f (s') = s' — s и, стало быть, / является от-
отрезком. Что касается кратчайших путей, то их существование
вытекает из рассмотренного в первой части неравенства треу-
треугольника и замечания в конце 9.9.5.
9.9.9. ЗАМЕЧАНИЕ. По поводу результатов о кривых в метриче-
метрических пространствах общего вида, в частности об определении
кривизны и кручения без использования дифференциального
исчисления, см. [24], с. 74, или [25], гл. 10. См. также 9.14.30.
9.10 МЕТРИКА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ:
ФОРМУЛА ПЕРВОЙ ВАРИАЦИИ
Формула, получившая такое громкое название, дает всего лишь
выражение для производной d' функции расстояния d: X X X —»- R
в евклидовом аффинном пространстве. Однако она имеет много-
многочисленные приятные следствия; см. также 9.10.7.
9.10.1. ФОРМУЛА ПЕРВОЙ ВАРИАЦИИ. Пусть х, у?Х, и, v*?X и
хфу. Тогда
d! (х, у) (и, v) = —^г- (ху | у—ы) =
\\*У\\
= || v || cos (v, ху)—1| и || cos (ы, ху).
В последнем выражении имеются в виду углы между ориенти-
ориентированными прямыми (см. 8.6.3). Чтобы доказать 9.10.1, обозна-
обозначим через е квадрат расстояния d:
е(х, y)=d*(x, у) = \\*уТ-
Функция е является билинейной формой, и при помощи обыч-
обычного дифференциального исчисления (см., например, [50], с. 34
v
ху
х
Рис. 9.10.1
307
9.10 Метрика и дифференциальная геометрия
русского перевода) находим, что
е' (х, у) (и, ~v) = 2(xy (v—u).
Отсюда, так как d = V е, получаем требуемое.
\
Рис. 9.10.2
9.10.2. Пусть, например, кривые С, С ортогональны к каждой
прямой из некоторого семейства прямых D(t). Тогда d(Cf]D(t),
C'f\D(t)) не зависит от t, ибо оба угла, входящие в формулу
9.10.1, равны я/2 и их косинусы нулевые. В частности, касатель-
касательная в некоторой точке т к произвольной кривой / на сфере
с центром в х ортогональна прямой <д;, ту (см. 10.7.4).
9.10.3. Пусть точка x(t) описывает регулярную кривую С класса
С1 (т. е. х' У)ф0 у/). Обозначим через Тх^С касательную пря-
прямую к С в точке x(t), и пусть точка y{t)€.Tx(t)C описывает
кривую D, ортогональную к Tx{t)C в y(t). (Например, это вы-
выполнено, если С—огибающая семейства нормалей к D; в этом
случае С называется эволютой кривой D.) При этих предполо-
предположениях для всех s, t имеем
\x(t) y(t)-x(s)у (s)) = long(C\[s, t]).
В самом деле, если подставить в 9.10.1 u = x'{t), v = y'(t), то
ввиду того, что угол между v и ху равен л/2, а угол между
и и ху равен 0, мы получаем
d'(x(t), y(t))(x'(t), y'(t)) = ±U'(t)l
Интегрируя обе части этого равенства, с учетом 9.9.6 получаем
требуемое.
9.10.4. Разберем еще один аналогичный, но немного более слож-
сложный пример: он понадобится нам в 17.6.4. Пусть точки x(t),
у (t) движутся по регулярной кривой С таким образом, что точка
308
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
Рис. 9.10.3
Рис. 9.10.4
Рис. 9.10.5
z (t) = TXtf)Cr\ Туу)С описывает кривую D, касательная к кото-
которой в точке z(t) является внешней биссектрисой ориентирован-
ориентированных прямых г (t) х (t), z (t) у (t). Мы утверждаем, что в этом случае
X (t) Z(t) + y (t) Z (t) — long (С |от x (t) до у (о) = Const.
В самом деле, обозначим рассматриваемую функцию через F (t)
и продифференцируем ее с использованием 9.9.6 и 9.10.1:
\z'(t)\\cos(x(t)z(t), г'(*))-|
+ 1 г' @1 cos {у @ z {t), z' (t))+\\у' (t) |-| у' (t) || +\\х' (t) ||.
Члены, содержащие ||г'@!> взаимно уничтожаются, поскольку
—». >
z' (t) является внешней биссектрисой для z@*@ и z(t)y(t).
9.10.5. Формула 9.10.1 позволила бы угадать 9.4.1.1. В самом
деле, пусть F = ax-\-bx принимает в х свое минимальное значе-
—V- —»-
ние (х лежит на прямой D); тогда если |^D, то
F'(*)(!) = ||!|| [cos (f,
—*- —*-
Поэтому D является внешней биссектрисой для ха, хЬ.
309
9.10 Метрика и дифференциальная геометрия
9.10.6. Формула 9.10.1 позволяет также угадать решение задачи
Ферма: найти на евклидовой плоскости точку х, для которой
сумма расстояний до вершин а, Ь, с фиксированного треуголь-
треугольника в этой плоскости минимальна. Пусть этот минимум дости-
достигается в некоторой точке х, и пусть х не совпадает ни с одной
из точек (а, Ь, с). Тогда для всех u g X должно выполняться
равенство
) + ( и
Ьх
\\Ьх\
сх
= 0:
таким, образом, единичные векторы, направленные вдоль векторов
ах, Ьх, сх, в сумме должны давать нуль. Это эквивалентно тому,
что прямые ах, Ьх, сх образуют между собой углы, равные 2я/3.
Приведенное рассуждение будет для нас отправной точкой при
решении задачи Ферма в 10.4.3.
Рис. 9.10.6
9.10.7. примечание. Название «первая вариация» указывает на
то, что мы вычислили первую производную а" функции d. Вычис-
Вычисление d" не приносит никаких «грандиозных открытий», которые
нельзя было бы получить непосредственно. Напротив, в случае
абстрактных римановых многообразий (или в случае подмногооб-
подмногообразий евклидовых пространств) формула для вычисления d",
называемая «формулой второй вариации», является важнейшим
средством изучения геометрии этих пространств. Именно формула
второй вариации и является основой большей части глобальных
результатов римановой геометрии. Это объясняется тем, что вы-
выражение для второй производной содержит кривизну рассматри-
рассматриваемого многообразия (кривизна евклидова пространства равна
310
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
нулю). Из недавних работ на эту тему см., например, [150], гл. VIII,
а также [117], с. 140 и далее русского перевода.
9.11 ХАУСДОРФОВО РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ КОМПАКТАМИ
Впоследствии (в гл. 12) нам понадобится структура метрического
пространства на множестве всех компактов евклидова аффинного
пространства X. Соответствующая метрика была введена Хаусдор-
фом. Сейчас мы обсудим это понятие в несколько более общей
ситуации.
9.11.1. обозначения. Пусть X—метрическое пространство. Обоз-
Обозначим через Э^ = 9^ (X) множество всех компактных подмножеств X.
Если F—подмножество пространства X, а р>0—вещественное
число, то мы положим (см. § 0.3)
U(F, p) = {x?X: d(x, F)<p},
B(F, p) = {*€*: d(x, F)<p}.
Если F, G — подмножества пространства X, то положим
6(F, G) = inf{p: FaB{G, p) и GaB(F, p)\.
Число б (F, G) называется хаусдорфовым расстоянием между F и G.
Не следует путать 8{F, G) и d{F, G) (см. § 0.3)!
9.11.2. ТЕОРЕМА. Хаусдорфово расстояние превращает ЭС (X)
в метрическое пространство. Если, кроме того, всякое замкну-
замкнутое ограниченное множество в пространстве X компактно, а X
полно, то (^(Х), б) полно. Если X компактно, то (ЭС (X), б)
компактно.
Функция б(-, •), очевидно, симметрична. Если б (F, G) = 0,
то FcB{G, 0) = G = G, и аналогично GczF, откуда F = G. Пусть
F, G, Н—некоторые подмножества в X. Если GaB(H, а), то
B(G, p)aB{H, а + р), откуда FcB(H, cr + p), и мы получаем
GaB{F, p)=$B(G, a)<=B{F, p + a)=r>#c,8(F, p + ff).
Таким образом, если б (F, G) = р и б (G, Н) = а, то б (F, Н) ^ р + о.
В дальнейшем мы будем писать просто Ч№ (X) или ЭС,
подразумевая, что речь идет о метрическом пространстве C^(Х), б)
с метрикой Хаусдорфа б. Пусть (Fn)nSN—последовательность
Коши в ЧК!\ для ragN положим Gn= [} Fn+P, где черта обозна-
P6N
чает замыкание. Последовательность множеств Gn убывает; каждое
из Gn ограничено (в самом деле, (Fn) — последовательность Коши,
поэтому существует такое п0, что 8(Fn, Fno) ^ 1 для ьсех п"^п0,
и, значит, FncB(Fno, 1) для всех п ^ п0). Из наших предположе-
предположений следует, что Gn компактно (ибо оно замкнуто и ограничено).
Применяя теперьклассический результат общей топологии (см. §0.4),
получаем, что пересечение F = Г) Gn непусто. Таким образом,
311 9.11 Хаусдорфово расстояние между компактами
F g Э?. Осталось показать, что F = lim Fn в смысле метрики
Хаусдорфа. Пусть 8 > 0; рассмотрим такое /г0, что б (Fn, F„„) < е
при всех /г^п0; тогда
FaGno<=B(Fno, г).
С другой стороны, существует такое nit что GncB(F, г) для
всех /г ^ «!. Взяв п Z^ max (/г0, /ij), получим б (F, Fn) < 8.
B(G,c)
G=B{F. 2,5мм)
W=
=H\G
Рис. 9.11.2.2
«Питекантроп»
Рис. 9.11.2.3
Чтобы показать, что Э^ (X) компактно при компактном X,
мы воспользуемся доказанной полнотой и следующим критерием:
метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда
312
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
оно полно и вполне ограничено (напомним, что метрическое
пространство X называется вполне ограниченным, если для вся-
всякого е > 0 существует конечное покрытие пространства X мно-
множествами диаметра ^е). Так как X компактно, то существует
его конечное покрытие шарами B(xi, г):
Х= и B(xh г).
Обозначим через ffi0 множество подмножеств набора {х1У ..., хп\.
Тогда Эй'оСЭй'. Достаточно показать, что 9^= U В6(К, е), ибо
^ = 2" < оо. Пусть Ggftf. Положим F = {xt: d{xt, G)<e}-
га
По построению FczB(G, г). Но так как Х= U B(xh е), то для
всех у g G существует такое i, что y(tB(xh e). Отсюда X[?F
и GaB(F, г). Иначе говоря, 8{F, G)^s или GaB6(F, е).
9.11.3. СЛЕДСТВИЕ. Если X компактно, то конечные подмножества.
X всюду плотны в ЭС (X).
9.11.4. следствие. Пусть X—евклидово аффинное пространство.
Тогда пространство Ж (X) полно. Кроме того, для всех а ? X,
г € R+ множество ЭСа> r (X) = {F ? ЭР (X): FcB(a, r)) компактно.
Следствие 9.11.3 вытекает из последней части доказа-
доказательства теоремы 9.11.2. Следствие 9.11.4 часто называют «теоремой
выбора Бляшке», см. [92], с. 64. Из этой теоремы следует, что
любое бесконечное семейство подмножеств в X, являющихся эле-
элементами 3ffai r (X), обладает точкой накопления. Эта теорема утверж-
утверждает существование компактов в X с определенными свойствами.
Мы используем ее в 9.13.8 и 12.11.1.
9.11.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для любого метрического пространства X
отображение diam: Ж (X) —*R (см. § 0.3) удовлетворяет условию
Липшица с константой 2.
Пусть F, G?W n8(F, G) = e. Пусть х, y?F nd(x, у) =
= diam(/7). Тогда существуют точки г, t? G, для которых d (x, z)^e
и d (у, t) ^ е. Отсюда
c((x, y)^d(x, z) + d(z, t) + d(t, г/)<
iam(G).
Заменяя в вышеприведенном рассуждении F иа G, получаем
| diam (F)—diam (G) |< 2e.
9.11.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X—аффинное евклидово простран-
пространство и Н—гиперплоскость в X. Тогда отображение р: Э? (X) Э Л^->
к->р (К) 6 Э1? (Я) (где отображение р: X—^ Н есть ортогональная
проекция X на гиперплоскость Н; см. 9.2.4) удовлетворяет усло-
условию Липшица с константой 1.
313
9.12 Каноническая мера в евклидовом пространстве
Для доказательства достаточно заметить, что при всех
К € ЭС (X) и всех вещественных р
р (Вх (К, р)) = Вн (р (К), р).
9.11.7. Из неравенства треугольника легко получить следующее
соотношение:
8(B(F, p), B(G, a))<8(F, G) + |p—a\
(где р, a<=R + , F, G ?9С (X)).
Рис. 9.11.5
Рис. 9.11.6
9.12
КАНОНИЧЕСКАЯ МЕРА В ЕВКЛИДОВОМ АФФИННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ. ОБЪЕМЫ
9.12.1. Для построения меры в евклидовом аффинном простран-
пространстве X мы используем 2.7.4 и § 8.11. Результаты §8.11 пока-
показывают, что на евклидовом векторном пространстве X существует
каноническая мера Лебега. Она получается, например, при пере-
перенесении меры Лебега в R" посредством произвольной изометрии
R'2 —*- X. Теперь, используя 2.7.4.3, мы получаем каноническую
меру и на евклидовом аффинном пространстве X. Мы будем обо-
обозначать ее \х или \ах. По построению
ifr= .
X R»
где ц0— каноническая мера Лебега в R", а функция f на R" по-
получена из функции / на X посредством изоморфизма X —>- R",
построенного с помощью некоторого ортонормированного репера
в пространстве X. Если X = R", то ^ = ^0- Очевидно, что мера ц
инвариантна относительно группы Is(X), причем свойство инва-
инвариантности характеризует ее однозначно с точностью до умноже-
умножения на скаляр (см. 2.7.4.4).
9.12.2. Для того чтобы установить явную связь введенной меры
с формой объема к-> или с плотностью 8^, нужно использовать
314
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
теорию интегрирования форм и плотностей на гладких многообра-
многообразиях. Рассмотрим X как гладкое многообразие. Касательное про-
пространство к X в любой его точке отождествляется с X. Поэтому
форма Х^ и плотность 6^ непосредственно определяет форму %х
А. Л.
и плотность Ьх на многообразии X, и мы имеем
9.12.3. примеры. Любое аффинное подпространство УфХ про-
пространства X имеет меру 0.
Рис. 9.12.3
Если X, X'—два евклидовых аффинных пространства
одинаковой размерности п и отображение /: X —<- X' является
подобием с коэффициентом растяжения k (см. § 9.5), то перене-
перенесенная мера / {\ах) совпадает с мерой kn[ix-.
Пусть Y, Z—два ортогональных дополнительных аффин-
аффинных подпространства в X. Тогда мера \ах является произведением
мер цу и \х,7, т. е. цх = цу(Я) \az, и поэтому применима теорема
Фубини (см. § 0.6).
9.12.4. ОБЪЕМЫ
9.12.4.1. Определение. Объемом компакта КаХ (обозначается
? (Л)) называется интеграл \%Kix, где %к—характеристическая
х
функция компакта К. (см. § 0.6). При dimX = l (соответственно
dim X = 2) чаще употребляют термин длина (соответственно пло-
площадь).
Обсуждаемые понятия объема и площади уточняют наши
обычные («физические») представления об объеме. Мы вычислим
сейчас только объем параллелепипеда и симплекса. Вычисление
объемов других часто встречающихся «твердых тел», например
шаров, мы отложим до 9.12.4.7, 9.12.4.8, 12.12.20. .
9.12.4.2. Параллелепипедом, построенным наточках {x,-}i=o, i, ...,re,
называется множество
{
, 1], f=l, .... п).
315
9.12 Каноническая мера в евклидовом пространстве
Заполненным симплексом, построенным иа тех же точках
{xi\i=9,i....,n, называется множество
w 2 4=1, h
1=0
., п
Имеем
9.12.4.3.
. • • •, хохп), ? E) =^2 (Р)
В случае когда {x,-} не образуют аффинный репер, пер-
первая формула вытекает из 9.12.3. В противоположном случае \хг\
определяют линейный изоморфизм /: X—->-R" (не являющийся, вооб-
вообще говоря, изометрией), и перенесенная мера / (ц) совпадает с мерой
6->(*о*,, ..., хохп)цо (см. 2.4.7.3 и § 8.11). Но f{P)—единичный
куб в R", и его объем равен 1 (например, по теореме Фубини).
Отсюда вытекает первая из формул 9.12.4.3. Вторую формулу
можно получить по индукции. Будем предполагать, что xt обра-
образуют репер (если нет, то ? E) = 2 (Р) = 0). Обозначим через т] рас-
расстояние d(x07 <*!, ..., хпу) от точки х0 до гиперплоскости* Y =
= <д:1, ..., хпу, а через а—объем заполненного симплекса S',
построенного на точках {xt}i=lr..., п в евклидовом пространстве Y
(заметим, что dimF = n—1). В этих обозначениях имеем
9.12.4.4.
Эта формула при га = 2 утверждает, что площадь тре-
треугольника равна половине произведения длины его основания на
длину высоты. При /г = 3 она утверждает, что объем тетраэдра
равен трети произведения площади его основания на длину высоты.
Докажем эту формулу. Обозначим через D прямую,
перпендикулярную Y и проходящую через хй. Обозначим через t
Рис. 9.12.4.4
316 Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
параметр на D, определяющий изометрию D—>-R (причем t = y\
it (согласно
в точке DftY и t = 0 в точке х0). Тогда ? (S) = j a
о
9.12.3), где сг(/)—вычисленный в евклидовом пространстве
Нхо,цт\(У) объем заполненного симплекса #*„, t/i\(S'), полученного
из 5' гомотетией с центром в х0 и коэффициентом растяжения
t/r\. Но, согласно 9.12.3, a(t) = (t/t])"~1a, откуда
9.12.4.5. Замечания. Использование теории интегрирования для
вычисления объема параллелепипеда или заполненного симплекса
может показаться слишком большой роскошью; по поводу соот-
соответствующей элементарной теории см. 12.2.5.
Возможно, кому-то захочется представить ? (S) как
функцию только длин ребер d,-, = xtXj симплекса S. Это можно
сделать непосредственно при помощи 8.11.6, 9.7.3.2 и 9.12.4.3.
9.12.4.6. Объем шаров. Для всех а?Х и r?R+ имеем (нижний
индекс обозначает размерность X)
?(B2d+1(a, 0) = 1.3.5...^ + 1)Г
В самом деле, согласно 9.12.3, достаточно вычислить объем шара
Вп @, 1) в стандартном пространстве R". Это классическое вычис-
вычисление можно проделать многими способами (см. [15], с. 227—229,
и упр. 6.10.9), и оно дает ответ, совпадающий с выписанными
формулами при г—\. Числа й(В„@, 1)) нам будут часто встре-
встречаться впоследствии, поэтому мы введем для них специальное
обозначение:
9.12.4.7.
1))
9.12.4.8. Здесь естественно привести также формулы для (п—1)-
мерного объема сфер Sn@, 1) (см. 9.12.7, 12.10.8 и [15], с. 226
и далее). Обозначим этот объем через а (я). Имеем
а (и) = nf> (n)
317 9.12 Каноническая мера в евклидовом пространстве
откуда
9.12.4.9. Ортогональная проекция. Пусть Я, Н' — гиперплоскости
в X и a = (H)i-t (Я')-1-^[0, л/2]. Пусть р: Н' -^ Н—сужение на
Н' ортогональной проекции пространства X на Н. Тогда объем
компакта КаН' (по отношению к мере в гиперплоскости Я') и объем
компакта Р(К)аН (по отношению к мере в гиперплоскости Я)
связаны соотношением
2н(р (К)) = cosa-2H. (К).
Чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать в Я' ортонормиро-
ванный репер, первые (я—1) точек которого содержатся вЯГ)Я'.
9.12.5. ОБЪЕМ И МЕТРИКА ХАУСДОРФА. Было бы неверно пола-
полагать—даже ограничиваясь случаем компактов — что отображение
объема ?: ЭС —>R устроено просто. Например, существует компакт
KczR2, у которого граница Fr (К) имеет ненулевую площадь:
й (Fr (К)) ф 0, и, более того, сколь угодно малая окрестность
в Fr (К) любой точки х ? Fr (К) имеет ненулевую площадь, см. [104],
с. 177—178 русского перевода. Функция ?: Э^ —*¦ R не является
непрерывной, поскольку (см. 9.11.3) любой компакт может быть
сколь угодно хорошо аппроксимирован в Э€ конечными множе-
множествами, имеющими нулевой объем. Однако имеет место следую-
следующее утверждение.
9.12.5.1. Предложение. Функция ?: ЧК —»- R полунепрерывна сверху.
Пусть F= \\mFn, где F, Fn?4K!. Тогда limsup %Fn <Xf-
В самом деле, пусть х ? X\F; существует такое п0, что б (F, Fn) ^
^d(, F) при всех п^п0. Поэтому %Fn(x) = 0 для всех п^по.
Рис. 9.12.5.1
318
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
319
9.12 Каноническая мера в евклидовом пространстве
9.12.5.2. Примечание. В 12.9.3.4 мы покажем, что функция объема
й становится непрерывной после сужения на подмножество вы-
выпуклых компактов.
9.12.6. центры ТЯЖЕСТИ. Пусть К—компакт в евклидовом аффин-
аффинном пространстве X и внутренность К непуста: °Кф0. Обозна-
Обозначим его центр тяжести через g = cent'(/C) (см. 2.7.5.2). Тогда фор-
формула 9.7.6.1 в случае, когда все ^,= 1, допускает следующее
обобщение:
9.12.6.1.
Для доказательства достаточно заметить, что
Формулу 9.7.6.1 можно обобщить и в'случае, когда Я.,-^0 произ-
произвольны. Для этого рассмотрим на К некоторую положительную
меру 9. Если полная масса К по отношению к этой мере не равна О,
то можно определить барицентр компакта К, по отношению к G,
полагая
__ " 0
а?К
(х?Х можно выбирать произвольным; ответ не зависит от вы-
выбора точки х). Тогда имеет место формула
9.12.6.2. \ xa2Q = \ g
аек аеК
9.12.6.3. Примечания. Меры 9 встречаются «на практике» в том
случае, например, когда компакт К представляет собой кривую
в R2 или R3 или поверхность в R3. В вычислениях используется
каноническая мера на этих компактах (см. [15], с. 221).
Формулы 9.12.6.1 и 9.12.6.2 показывают, что функция
;ш29 имеет единственную точку минимума, а именно точ-
аеК
ку g. Этот факт можно переформулировать на языке механики
как утверждение о моментах инерции: если мы хотим закрепить
твердое тело в некоторой точке так, чтобы его было легче всего
поворачивать, надо закрепить его в точке g—принцип, имеющий
далеко идущие практические применения!
Существует красивое соотношение между объемом и
центром тяжести, см. 12.12.20.9. Методы вычисления площадей
с применением теоретической механики см. в [120], с. 72 и далее.
9.12.7, ^-МЕРНЫЕ ОБЪЕМЫ. Пусть С—кривая в R3, а S2—еди-
S2—единичная сфера в R3. Их объемы ? (С), ? (S2) равны нулю. Однако
для кривых существует подходящее понятие «величины», а именно
длина, введенная нами в § 9.9 (по крайней мере для кривых,
являющихся гомеоморфным образом своей области определения).
Для S2 соответствующим понятием является площадь (равная 4я);
см., например, 18.3.7. Более общо, хотелось бы определить поня-
понятие ^-мерного подмножества пространства X и для таких подмно-
подмножеств ввести «^-мерный объем» (при k = 1 —длину, при k = 2 — пло-
площадь). Таким образом, мы затрагиваем здесь очень трудную, хотя
и очень естественную проблему: подумайте, например, об опреде-
определении количества краски, необходимого для покрытия данной
поверхности; об использовании этой идеи о покраске поверхно-
поверхности см. 12.10.7.
Если ограничиться гладкими подмногообразиями
(класса С1) пространства X, то построение теории не представит
никаких трудностей. Такое многообразие всегда обладает кано-
канонической мерой, а если оно компактно, то и полным объемом.
Этот объем и называется ^-мерным объемом многообразия (где
k—размерность многообразия). По этому поводу см., например,
[15], с. 221.
Рис. 9.12.7
Если же мы хотим выйти за пределы узкого класса
гладких многообразий (который не содержит, например, конуса),
т. е. если мы будем допускать особенности (в смысле, который
надо уточнить), то оказывается, что единого понятия ^-мерного
объема при2^^<п = dim X не существует. В этом случае имеется
много различных понятий ^-мерного объема. Весьма полное изло-
изложение этих вопросов см. в [97], в частности на с. 171 —174, где
описано семь (!) различных ^-мерных мер. Если & = n = dimX,
то все эти меры совпадают с объемом; если речь идет о гладких
компактных подмногообразиях, то все эти меры совпадают с ме-
мерой, определенной выше.
В дальнейшем мы покажем, что для границ выпуклых
компактов имеется каноническая (п — 1)-мерная мера, называемая
для простоты площадью. (Выпуклые компакты будут основательно
изучены нами впоследствии.) Эта мера определяется сначала для
границ выпуклых многогранников (§ 12.3), а затем мы прибли-
320
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
321
9.13 Симметризация по Штейнеру
жаем произвольный выпуклый компакт выпуклыми многогран-
многогранниками (§ 12.10). Случай сферы рассмотрен в 18.3.7.
l I I
Рис. 9.12.8
Из книги [15]
Чтобы почувствовать характер возникающих здесь труд-
трудностей, небесполезно вспомнить классический пример бумажного
фонарика L (в этом примере k = 2, п = 3). Если пытаться копировать
определение длины кривой, то нужно приближать L вписанными
многогранниками, как на рис. 9.12.8. К сожалению, предел пло-
площадей многогранников зависит от того, как именно стремится
к бесконечности число горизонтальных слоев и число сторон пра-
правильных многоугольников; этот предел может быть равным любому
числу, заключенному между (настоящей!) площадью L и беско-
бесконечностью.
9.13 СИММЕТРИЗАЦИЯ ПО ШТЕЙНЕРУ
Речь идет об операции, преобразующей компакт КаХ в другой
компакт. Это преобразование имеет важное значение для доказа-
доказательства некоторых неравенств, касающихся компактов; см. 9.13.8
и гл. 12. Мы начнем здесь изучение свойств этого преобразова-
преобразования, имея в виду не только его изящество, но также и прило-
приложения в гл. 12.
9.13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X—евклидово аффинное простран-
пространство, Н — гиперплоскость в X. Напомним, что он обозначает сим-
симметрию относительно Н (см. 9.2.4). Пусть К—компакт в X; мы
определим сейчас другой компакт, обозначаемый stH(K) и назы-
называемый симметризацией по Штейнеру компакта К относительно
Н. Компакт K' = stH(K) определяется следующим условием:
9.13.2. Для любой прямой D, ортогональной Н,
1) либо Kf)D = 0 и /С'П?>=0;
2) либо КC\DФ0, и в этом случае К' П D—отрезок
на D, длина которого на D равна длине К П D, а середина нахо-
находится в точке Df]H.
D
Рис. 9.13.2
Рис. 9.13.3
9.13.3. ЗАМЕЧАНИЕ. Предостережем читателя: отображение stH:
Sf —»- ЭС не является непрерывным (в метрике Хаусдорфа), как
показывает рис. 9.13.3. Когда отрезок, вращаясь, приближается
к вертикальному положению, его симметризация становится все
более и более малым отрезком в Я и внезапно превращается
в вертикальный отрезок, когда исходный отрезок занимает вер-
вертикальное положение.
9.13.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для всех Н, К имеем:
(i) oH(stH(K)) = *tH(K);
(ii) ? (stH (/()) = ? (К), т. е. симметризация сохраняет
объем;
(ш) A!ат(81я(/С)Х(Пат(/С), т. е. симметризация не
увеличивает диаметр.
322
Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
323
9.13 Симметризация по Штейнеру
Свойство (i) следует из определения; свойство (п) выте-
вытекает из 9.12.3 и теоремы Фубини. Для доказательства свойства (iii)
рассмотрим такие точки х, y^stH(K), что
xy=diam(stH(K)).
Пусть прямые D и Е ортогональны Н и проходят соответственно
через х и у. По определению преобразования st^(•) крайние точки
х', х" (соответственно у', у") компакта D [\К (соответственно Е П К)
таковы, что х'х" ^ хан (х) (соответственно у'у"^ У°н(У))- Отсюда
ху <: sup (x'x", у'у").
Следующая лемма вытекает из 9.13.2 и из рис. 9.13.5.
xeS\K
DnK
Рис. 9.13.4
Рис. 9.13.5
9.13.5. ЛЕММА. Пусть В— шар, S — его граничная сфера, Н —
гиперплоскость, содержащая центр В, и К — компакт, содержа-
содержащийся в В. Тогда
stH (К) П [(S \ К) U (в„ (S \ К))] = 0 ¦
Следующая теорема будет существенным образом ис-
использована в 9.13.8 и 12.11.2. В ней утверждается, что в семей-
семействе компактов, обладающем определенными свойствами, непре-
непременно содержится некоторый шар.
9.13.6. теорема бляшке о шаре (Kugelungsatz von Blaschke).
Пусть ? — непустое подмножество в Ж = Ж (X), причем
1) W замкнуто относительно метрики Хаусдорфа;
2) W устойчиво относительно симметризации по Штей-
Штейнеру в некоторой точке а 6 X, т. е. для любой гиперплоскости Н,
содержащей точку а, и для любого компакта К € eF имеем
t *?¦
В (а,
Тогда либо {а\ g ?, либо для некоторого г > 0 шар
Заметим, что на основании рис. 9.13.3 нетрудно по-
построить пример такого семейства $, не содержащего одноэлемент-
одноэлементных множеств, что, замыкая его относительно симметризации по
Штейнеру в точке а и ьпереходя потом к замыканию в смысле
метрики Хаусдорфа, мы получаем семейство, содержащее мно-
множество {а}.
Положим г = inf {s: 3Fg<F|B(a, s) => F\; рассмотрим
(см. 9.11.4) семейство W — 5^а, r+i (X) П <F. По условию и согласно
9.11.4, множество ?' компактно, поэтому найдется такое мно-
множество F €.?', что Fa В {а, г). Если г = 0, то F = {a\. Если
г > 0, то оказывается, что F = B(a, r). Мы установим это в двух
следующих пунктах.
9.13.6.1. Первый шаг: Fz>S(a, r) = S. Нужно воспользоваться
определением числа г. Допустим противное, т. е. что существуют
Рис. 9.13.6.1
такая точка b ? S (а, г) и число е > 0, что шар В(Ь, е) не пере-
пересекается с F. Мы построим компакт Fn^?, лежащий в В (а, г),
для которого FnV\S—0, и получим тем самым противоречие
с определением г. Построим такой набор п точек Ь, ? S, что bt = b,
B(bt, e)f\B(bi+1, е)П 5=^=0 и шары В (bh e) покрывают всю
324 Гп. 9. Евклидовы аффинные пространства
сферу S:
Sc U ВF„ 8).
Обозначим через Я,- медиаторную гиперплоскость точек bub/
и определим компакты Ft по индукции: F1 = F, /7/ = stH. (/^-i)
(г = 2, ..., я—1). Как показывает лемма 9.13.5, Fnr\S — 0. Из
построения Fn вытекает, что Fn(t?. Мы получили искомое про-
противоречие.
325
9.14 Упражнения
В(а,г)
B(a,r) I
Рис. 9.13.6.2
9.13.6.2. Второй шаг: F = B(a, r). Будем рассуждать от против-
противного. Пусть х?В(а, г) \F. Рассмотрим произвольную прямую D,
проходящую через х, гиперплоскость Н, ортогональную D и про-
проходящую через точку а. Так как F d В (а, г), то длина D П F
строго меньше длины D[\B(a, r), и, стало быть, stH(F) не содер-
содержит всей сферы 5; получаем противоречие с 9.13.6.1.
9.13.7. примечание. Более старое доказательство, быть может,
было бы более наглядным, но его труднее формализовать. Идея
этого доказательства состоит в следующем. Рассматривают неко-
некоторое конечное число гиперплоскостей Hh проходящих через
точку а и образующих между собой углы, величины которых
иррациональны и линейно независимы над полем рациональных
чисел. Группа изометрий, порожденная симметриями относительно
этих гиперплоскостей, всюду плотна в Isa(X); поэтому ? содер-
содержит шар с центром в а.
9.13.8. СЛЕДСТВИЕ (изодиаметрическое неравенство Бибербаха).
Для всякого компакта К в евклидовом пространстве X размер-
размерности п имеем
?(/С)<2-"|3 (я) (diam (/())« (см. У. 12.4.5).
Если ?(/() = 0, доказывать нечего. Если &(К)фО,
то положим
W = {G 6 X: S (G) > ? (К) и diam (G) < diam (K)\.
Согласно 9.11.5, 9.13.4 и 9.13.6 (примененных к произвольной
точке а?Х), имеем: либо {а}?оГ, либо ? содержит шар В (а, г),
г>0. Первый случай невозможен, ибо ?(К)>0. Во втором
случае S (В (а, г)) = |3 (п) г" > ? (К) и
diam (В (a, r)) = 2r< diam (К),
что и доказывает 9.13.8, так как г > 0.
9.13.9. замечания. Предостережем читателя: в общем случае
компакт К не обязан содержаться в шаре радиуса diam (K)/2,
как показывает пример равностороннего треугольника.
Если К—шар, то неравенство 9.13.8 превращается
в равенство.
Верно также и обратное утверждение, но доказать его
значительно труднее. Доказательство см. в [92], с. 106—107.
Приложения и обобщения понятия симметризации см.
в [190], а также в § 12.11.
9.14 УПРАЖНЕНИЯ
9.14.1. Обобщите 9.2.6.5 на случай двух произвольных подпро-
подпространств.
9.14.2. Рассмотрим в трехмерном пространстве множество U —
= {t: d(t, A) = d(t, B)\, где А и В суть 1) две прямые, 2) пря-
прямая и плоскость, 3) точка и плоскость, 4) две плоскости. Задайте
множество U уравнением f (х, у, z)=0, выбрав подходящий репер.
Опишите тип полученных множеств в терминах § 15.3 и 15.6.
Что изменится, если равенство d(t, A)=d(t, В) в определении ?/
заменить равенством d(t, A) = kd{t, В)?
9.14.3. БИССЕКТРИСЫ. Пусть D, D'—две непараллельные прямые
на плоскости. Покажите, что множество {х?Х: d (x, D) = d{x, D')\
совпадает с объединением внешней и внутренней биссектрис пря-
прямых D, D' (см. 8.7.3.2). Если X не является плоскостью, см.
9.14.2.
9.14.4. Найдите все такие отображения / g GA (X) (где X—евкли-
X—евклидово аффинное пространство), что /2 = / и / не увеличивают рас-
расстояний, т. е. / (х) f (у) ^ ху для всех х, у ? X.
9.14.5. Покажите, что если X — ориентированное евклидово аф-
аффинное пространство размерности 3, то для вращений вокруг
ориентированной оси D можно определить ориентированный угол,
однозначно характеризующий вращение (см. 9.3.5).
9.14.6. Пусть в трехмерном пространстве X заданы две тройки
точек (а,), (а\) (i = l, 2, 3), такие что afLj — a'fl) Vi, / = 1, 2, 3.
Покажите, что если at- аффинно независимы, то существует един-
326
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
ственное отображение f € Ь+ (X) (соответственно f ? ls~ (X)), пере-
переводящее ai в alVi. Укажите геометрический способ определения
характеристик отображения f (см. 9.3.5).
7
Рис. 9.14.7
S.14.7. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ. Бесконечной винтовой
линией в евклидовом аффинном пространстве X называется ото-
отображение /: R—*Is(X), которое для некоторых вещественных
чисел k, h и ортонормированного репера записывается в виде
/ (/): (х, у, z) I—»• (cos kt ¦ х + sin kt ¦ у, —s'm kt ¦ x-\-cos kt ¦ y,
z + ht).
Покажите, что для любого отображения g: R —>• Is (X) класса С1
(чтобы определить понятие производной для отображений R —>¦
—^Is(X), достаточно вложить Is(X) в GA (X)) существует такая
бесконечная винтовая линия /, что (g—/)'@) = 0. Найдите /
в случае, когда отображение g: R —*- Is (X) задано репером Френе
некоторой кривой в X. См. также [38], с. 120.
У.14.8. Покажите, что изометрия /, определенная в 9.4.2.3, никогда
не совпадает с Idv. Проведите в связи с этим критическое иссле-
исследование изложенного в [121], с. 179 и далее.
9.14.9. Изучите бильярдные траектории, которые замыкаются
после k оборотов; обсудите этот вопрос с учетом значения k и числа
сторон многоугольника (см. в [121] на с. 276 красивый рисунок
к этой задаче).
9.14.10. Проведите полное обсуждение вопроса о виде многоуголь-
многоугольников минимального периметра, вписанных в данный четырех-
четырехугольник (вершины которого лежат на одной окружности).
327
9.14 Упражнения
Рис. 9.14.9
9.14.11. Покажите, что бильярды в прямоугольнике никогда не
являются сильно эргодичными, но всегда слабо эргодичны. Пока-
Покажите, что бильярд в равностороннем треугольнике не является
сильно эргодичным.
9.14.12. Изучите структуру подобий в трехмерном пространстве.
9.14.13. Пусть /г = 2 и точки а, а', Ь, Ь' таковы, что а фЪ, а' Ф Ь'.
Покажите, что существует и единственно такое отображение
/6Sim~(X), что f(a) = a', f(b) = b'; постройте его центр и ось.
9.14.14. Предложите отличный от 9.6.2 метод построения отобра-
отображения /gSim+(X) (или / € Sim" (X)), переводящего точку а в а',
точку Ь в Ъ' (используйте 9.7.6.5).
Рис. 9.14.15
9.14.15. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Пусть точки х, у,
z, t на евклидовой плоскости таковы, что [х, у, z, ?] = — 1 (см.
9.6.5.2). Обозначим через а и Ь середины отрезков [х, у] и [z, t].
Покажите, что: точки х, у, z, t лежат на одной окружности; полюс
прямой <дг, уУ принадлежит <г, t>; прямая <дг, у> является бис-
биссектрисой прямых <а, г>, <а, /> и az ¦ at = (axJ = (ayJ. Покажите
также, что xyzt = xz yt + xt-yz и az-\-at = bx + by. Покажите, что
338
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
если и-
-точка пересечения прямых <лг,
их _ /z*\2__ fj±\2 uz ( xz
и <г, ty, то
uz
uy \гу) V ty J ' ut \ xt ) V yt )
Сформулируйте и докажите обратные утверждения. Покажите, что
инверсия (см. § 10.8) переводит гармонические четверки точек
в гармонические.
Рис. 9.14.16
9.14.16. Впишите квадрат в треугольник: рис. 9.14.16.
9.14.17. Выясните, как зависят форма и расположение улиток из
9.6.8.3 от взаимного расположения окружностей.
9.14.18. Выясните, как зависит выпуклость улиток, изображенных
на рис. 9.6.8а, от положения точки а по отношению к рассмат-
рассматриваемой окружности (используйте полярные координаты и фор-
формулу, выражающую выпуклость фигуры относительно полюса).
9.14.19. Пусть С и С"—такие подмножества евклидовой плоскости,
что для любого угла а существует подобие / с углом поворота а,
переводящее С в С". Что можно сказать о С и С"?
9.14.20. Существуют ли гладкие отображения R—>Sim?(X), яв-
являющиеся гомоморфизмами групп и не совпадающие с описанными
в 9.6.9.1?
9.14.21. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ СПИРАЛИ. Найдите все кривые на
плоскости, у которых касательная в произвольной точке х обра-
образует постоянный угол с прямой, соединяющей х с некоторой фик-
фиксированной точкой. Найдите все кривые на плоскости, у которых
радиус кривизны пропорционален длине дуги. Может ли лога-
логарифмическая спираль служить огибающей семейства своих нор-
нормалей?
9.14.22. УЛИТКИ ПАСКАЛЯ, ОВАЛЫ ДЕКАРТА И СТИГМАТИЧЕСКИЕ
ДИОПТРЫ. Пусть и, v—две точки и S—поверхность вращения
с осью <ы, V). Покажите, что для того, чтобы S была идеально
стигматической для двух точек и и v в том смысле, что S как
диоптр удовлетворяет закону Декарта sirH/sinr = const, необходимо,
чтобы все ее точки х удовлетворяли соотношению вида а-хи-\-
+ b ¦ xv = с (а, Ь, с ? R). Овалом Декарта называется плоская кривая
вида \х ? X: a-xu-\-b-xv = c\ (где точки «, и ? X и числа а, Ь, с ? R
329
9.14 Упражнения
фиксированы). Покажите, что улитки Паскаля являются овалами
Декарта. Изучите форму овалов Декарта. Подробности см. в [10].
Рис. 9.14.22
9.14.23. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КЭЛИ — МЕНГЕРА. Покажите, что опреде-
определители Г удовлетворяют следующему соотношению (Mit h обозна-
обозначает алгебраическое дополнение элемента d% определителя Г):
1 (ДГ0, Хг, • • • , Xfi_1) I (Xq, Хг, . . . , Xj, . . . , Xfo) ==
= ^!, ft 4" Г (x0, xlt ..., xh ..., xk_j) T (x0, хг, ...,xk).
Выведите отсюда, что если Г (х0, ..., xk) не равен нулю и имеет
знак (— l)fc+1, то все определители Г (х1г, ..., х(Л (iy < ... < ih,
где h = 2, . . ., k) не равны нулю и имеют знак (— l)ft. Покажите,
что в X тогда и только тогда существуют такие точки (*,-),-=0, х,..., k,
что xixJ = diJ(Vi, / = 0, 1, ..., k), когда для всех hs^lk и для
всех наборов, состоящих из h элементов множества {*,-}, соответ-
соответствующие определители Г равны 0 или имеют знак (— l)ft.
9.14.24. Приведите простой критерий того, что в (предположениях
9.13.6) {a^F.
9.14.25. ТЕОРЕМА СИЛЬВЕСТРА. Пусть (xt)i=i „—точки на вещест-
вещественной аффинной плоскости, не лежащие на одной прямой. По-
Покажите, что существует прямая, содержащая ровно две из этих
точек (можно, например, снабдить эту плоскость евклидовой
структурой и рассмотреть точную нижнюю грань чисел d (xh <xy, xk>)
(i, j, k—\, ..., n различны).
9.14.26. Постройте изометрию / ? Is (X) и ограниченное множество
A cz X, для которых f (A) cz А и f(A)^A. Покажите, что если
А компактно, то / (Л) с А влечет за собой / (А) = А.
9.14.27. Покажите, что lsA (X) cz Isj(X). Приведите пример мно-
множества А, для которого эти две группы различны.
9.14.28. Приведите примеры неограниченных или конечных под-
подмножеств АаХ, для которых группа Is^X) компактна или
конечна.
9.14.29. ПЛОСКИЕ РЕШЕТКИ. Решеткой в R2 называется множество
вида Zx + Zy, где х, у линейно независимы (см. 1.7.5.2); пока-
покажите, что всякая решетка Л в R2 подобна единственной решетке
330
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
вида Zu-f-Zw, где и = A, 0), а в принадлежит области
8) = {(а, Ъ): 0<а<1/2, а2 + Ь2>1, Ь>Щ.
Выясните, как устроено IsA (R2) в зависимости от положения v
в области S). Покажите, что две решетки Л, Л' на плоскости R2
изометричны, если
(этот результат для многомерных решеток неверен; см. [218],
с. 173—174 русского перевода).
9.14.30. ВНУТРЕННИЕ МЕТРИКИ. Докажите 9.9.7.1. Изучите мет-
метрику d в случае, когда (М, d) представляет собой следующее
метрическое пространство: М состоит из конуса с вершиной
в точке О, содержащего кривую из 9.9.3.3, лежащую в плоскости Р,
не проходящей через О (метрика на М индуцирована метрикой
на X). Покажите на эхом примере, что существуют пространства
(М, d), для которых d является метрикой, но топология в (М, d)
не совпадает с топологией в (М, d).
9.14.31. КРИВИЗНА МЕНГЕРА. Пусть/—регулярная кривая класса С2
на евклидовой плоскости; пусть х, у, z—три различные точки
кривой f. Положим (см. 10.3.4)
К (х, у, z) =
_ У{ху + уг+ гх) (ху + уг — гх) (ху— уг + гх) (— ху + уг + гх)
ху-уг-гх
Покажите, что, когда точки у, z стремятся к точке x?f, вели-
величина К, (х, у, z) сходится к кривизне кривой / в точке х (имеется
в виду дифференциально-геометрическое определение кривизны;
см., например, [15], 8.4). Приведите примеры регулярных кривых
класса С1, для которых К (х, у, z) не имеет предела (при у, z—*х)
или этот предел бесконечен.
331
9.14 Упражнения
9.14.32. (Это упражнение является факультативным, поскольку
ни автор, ни издатель не могут взять на себя связанные с ним
расходы.) Посетите собор в Базеле и выясните, действительно ли
спираль, вырезанная на надгробии Бернулли, является логариф-
логарифмической спиралью. v
9.14.33. Пусть на евклидовой плоскости задана замкнутая строго
выпуклая кривая С класса С1; покажите, что для любого п су-
существует по крайней мере один оптический многоугольник
с п сторонами, вписанный в С.
9.14.34. ГИПОЦИКЛОИДЫ И ЭПИЦИКЛОИДЫ (ИЛИ ИГРУШКА «СПИ-
«СПИРОГРАФ»)
Рис. 9.14.34.1
9.14.34.1. Определение. Гипоциклоиды и эпициклоиды получаются
так. Пусть Г и Г'—две окружности, отношение радиусов которых
рационально. При качении (без проскальзывания) окружности Г'
по окружности Г с внутренней стороны произвольная точка ок-
окружности Г' описывает кривую, называемую гипоциклоидой. Если
332
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
Г' катится по внешней стороне Г, то получаем эпициклоиду. Выяс-
Выясните, как форма этих кривых зависит от отношения радиусов
окружностей. Сколько точек возврата имеют эти кривые?
Рис. 9.14.34.2
9.14.34.2. Эквивалентные определения. Обозначим через 2 единич-
единичную окружность в R2 = C. Пусть г—рациональное число, не равное
нулю. Обозначим через D (9) прямую, соединяющую точки ет
Рис. 9.14.34.3В)
Рис. 9.14.34.3С)
и еСг&. Тогда огибающая прямых D (9) (9 пробегает вещественную
прямую R) является гипо- или эпициклоидой. Изучите свойства
этой кривой при разных г. (Является ли она гипоциклоидой или
эпициклоидой? Сколько у нее точек возврата?) Получаются ли
таким образом все гипо- и эпициклоиды?
9.14.34.3. Примеры. А) Какая кривая получается, если радиус Г'
333
9.14 Упражнения
равен половине радиуса Г и Г' катится внутри Г (шестеренка
Л аир а).
В) Покажите, что если радиус Г' равен радиусу Г и Г'
катится по Г снаружи, то получается одна из улиток Паскаля,
а именно кардиоида. Пусть а—точка на плоскости, aD—прямая
на плоскости, причем a^D. Покажите, что если точка т дви-
движется по прямой D, а прямая в (т.) определяется из соотношений
т?в (т) и DQ — 3ma, D, то огибающая семейства в (т.) является
кардиоидой; точка а называется центром этой кардиоиды.
Рис. 9.14.34.3D)
C) Покажите, что каустика плоского кругового зеркала
(т. е. огибающая семейства прямых, являющихся отражениями
лучей, параллельных оси зеркала) представляет собой часть эпи-
эпициклоиды с двумя точками возврата (эта кривая называется не-
фроидой).
D) Покажите, что огибающая семейства всех прямых
Симеона данного треугольника <?Г (см. 10.4.5.5, 10.9.7.1) есть
334
Fn. 9. Евклидовы аффинные пространства
гипоциклоида с тремя точками возврата, касающаяся в трех точ-
точках окружности девяти точек для «Г (см. 10.11.3). Найдите точки
касания.
D
Рис. 9.14.34.3Е)
Рис. 9.14.34.3F)
E) Пусть S—сфера и D—прямая, проходящая через
се центр. Сферической винтовой линией с осью D называется та-
такая кривая, лежащая на сфере S, что ее касательные образуют
с прямой D фиксированный угол а. Покажите, что при подходящем
значении а проекции на горизонтальную плоскость сферических
винтовых линий, имеющих вертикальную ось, являются эпици-
эпициклоидами.
F) Покажите, что огибающая семейства отрезков посто-
постоянной длины, у которых концы лежат на двух перпендикулярных
нрямых, является гипоциклоидой с четырьмя точками возврата
(эта кривая называется астроидой).
9.14.34.4. Свойства. Покажите, что эволюта (т. е. огибающая се-
семейства нормалей) гипо- или эпициклоиды совпадает с кривой,
полученной из исходной гипо- или эпициклоиды применением
некоторого подобия. Покажите, что для гипо- или эпициклоиды
длина дуги s (по отношению к некоторой выбранной начальной
точке кривой) и кривизна К. связаны соотношением
as2-\-bf(~2 = c (a, b, с—константы)
(так называемое натуральное уравнение кривой; см. [15], с. 323).
Опишите все кривые, удовлетворяющие такому уравнению. Вы-
Вычислите полную длину гипо- или эпициклоиды.
9.14.34.5. Кардиоиды и теорема Морли. Пусть «Г—данный тре-
треугольник. Покажите, что центры кардиоид, касающихся трех сто-
сторон треугольника, образуют 27 прямых, параллельных трем
данным направлениям, углы между которыми равны 2я/3 (ис-
(используйте 9.14.34.3 В) и 10.13.18). Покажите, что стороны тре-
треугольника Морли \р, q, r\ для <#* (см. 10.3.10) расположены на
335
9.14 Упражнения
трех из этих прямых. Заметим, что вершины треугольника
Морли—это центры вписанных в &Г кардиоид. (Мы называем
кардиоиду С вписанной в треугольник 3~, если она касается
одной его стороны в двух точках и каждой из двух других сто-
сторон в одной точке.) См. также 10.13.23.
9.14.34.6. Другие сведения о гипо- и эпициклоидах можно найти
в [164]. См. также [246]; это очень хорошая книга о теории
кривых на плоскости и ее связях с механикой, оптикой и тео-
теорией электричества; в частности, в гл. XXI содержатся сведе-
сведения о эпициклоидах и шестеренках. См. также [163], с. 413 —
435 (там содержится аналитическое исследование циклоид) и
особенно с. 433 — 435, где описывается форма картера для дви-
двигателя Ванкеля (см. 12.10.5).
9.14.35. Пусть a, b,c,d—четыре точки на евклидовой плоскости,
причем Ь, с и d лежат на одной прямой. Докажите следующее
соотношение Стюарта:
(имеются в виду алгебраические величины отрезков be, cd, bd no
отношению к некоторому единичному вектору на прямой be).
9.14.36. Пусть X— аффинное евклидово пространство и G—конеч-
G—конечная подгруппа группы Is(X). Покажите, что существует подмно-
подмножество А пространства X, для которого G=Is^(X). Выведите
отсюда, что для любой абстрактно заданной конечной группы G
существуют такое аффинное евклидово пространство X и такое
его подмножество В, что G^IsB(X).
9.14.37. Пусть отображение <р: Е—>¦ Е (где Е—евклидова пло-
плоскость) «сохраняет единичные расстояния», т. е. если d(x, y)=\,
тос((ф(дг), ф(«/)) = 1. Покажите, что <р является изометрией.
(Можно сначала показать, что если d(x, y) = j/3, то d((p(x),
ф(г/)) = |/3, а затем воспользоваться тем, что группа Z-fZ-j/
всюду плотна в R.) [Об аналогичных утверждениях в более об-
общих ситуациях см. [27*]. — Ред.]
9.14.38. Покажите, что три прямые D, E, F в трехмерном ев-
евклидовом пространстве тогда и только тогда обладают общим
перпендикуляром (см. 9.2.6.5), когда композиция oD о аЕо аР пе-
переворачиваний относительно этих прямых снова является пере-
переворачиванием. Выведите отсюда следующую теорему Петерсена—
Морли. Пусть X, Y, Z—три прямые в трехмерном аффинном
евклидовом пространстве Е, и пусть X' (соответственно У", Z')—
общий перпендикуляр к прямым Y и Z (соответственно к Z и X,
X и Y). Пусть X" (соответственно Y", Z") — общий перпендику-
перпендикуляр к X и X' (соответственно к Y и У, Z и Z'). Покажите, что
прямые, X", Y", Z" обладают общим перпендикуляром. Другие
доказательства см. в [163], с. 681, и [1011, с. 339.
336
Гл. 9. Евклидовы аффинные пространства
9.14.39. Пусть в пространстве R3 заданы две тройки точек (о,),
(a;) (t = l, 2, 3) с условием d{ait aj) = d(a'i, aj) Vi, /==1, 2, 3.
Найдите геометрически все изометрии, переводящие а, в
а- A=1, 2, 3).
9.14.40. Пусть в R2 заданы четыре точки: а, Ь, а', V. Постройте
центры подобий, переводящих а в a', b в Ь'.
9.14.41. Пусть в пространстве R3 заданы две тройки точек а,-,
a'i (i = l, 2, 3). При каких условиях существует подобие/, пере-
переводящее а; в а\ (i=l, 2, 3)? Считая эти условия выполненными,
приведите геометрическое построение центра подобия f. Разберите
случай произвольной размерности.
Глава 10 Треугольники, сферы и окружности
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
Треугольники: определе-
определения и обозначения
Классические результаты
Сводка формул
Неравенства и задачи на
минимум
Многоугольники
Тетраэдры
10.7 Сферы
10.8 Инверсия
10.9 Окружности на плоскости
10.10 Пучки окружностей
10.11 Задачи об окружностях
10.12 Паратаксия: прелюдия
к § 18.9, 20.5 и 20.7
10.13 Упражнения
Эта глава посвящена «домашним животным» геометрии: окруж-
окружностям, треугольникам, многоугольникам, тетраэдрам, сферам.
Мы приведем здесь основные результаты, касающиеся этих объек-
объектов, а также более тонкие результаты, но такие, которые имеют
простую формулировку или сопровождаются простыми картин-
картинками. Эту главу нет необходимости представлять читателю: ее
можно пролистать н выбрать то, что понравится, а затем вер-
вернуться к началу за разъяснениями, если это потребуется. Во вся-
всяком случае, мы предполагаем, что читатель уже отчасти знаком
с этой «живностью», и поэтому не стремились приводить здесь
классические доказательства. Эту главу можно рассматривать
как набор иллюстраций, упражнений и задач к гл. 9. А §10.12
представляет собой введение и мотивировку к материалу после-
последующих разделов. [По всему материалу этой главы см. [33*],
[34*], [40*], [48*], [49*], [50*].—Ред.]
Все рассматриваемые пространства являются евклидовыми
аффинными пространствами. В § 10.1 —10.5, 10.9—10.11
речь идет о плоскости; в § 10.12 размерность рассматривае-
рассматриваемого пространства равна 3.
10.1
ТРЕУГОЛЬНИКИ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
10.1.1. Согласно 2.4.7, треугольник, в аффинном пространстве за-
задается тремя аффинно независимыми точками х, у, г. Рассмат-
Рассматривая аффинную плоскость, которую они порождают, можно счи-
считать, что все происходит на некоторой евклидовой плоскости X;
в § 10.1 —10.4 мы придерживаемся этого соглашения.
10.1.2. Для произвольного заданного треугольника ?Г=л{х, у, z\
мы пользуемся следующими обозначениями:
a = yz, b = zx, c=-xy (см. 9.1.1),
zx
A=xy, xz, B =
Точки x, у,
a, b, с называются сторонами треугольника ?Г,
(см. § 8.6).
ваются
yz, C=;
z называются вершинами ?Г. Вещественные числа
и так же назы-
прямые, на которых они лежат (см. 2.4.7), — вполне
338
Гп. 10. Треугольники^сферы и окружности
безобидная двусмысленность. Напомним, что числа А, В и С,
называемые углами треугольника, принадлежат интервалу ]0, я[.
Рис. 10.1.1
10.1.3. Треугольник называется равнобедренным, если две его
стороны равны, равносторонним, если все три его стороны равны,
прямоугольным, если один из его углов равен я/2, остроуголь-
остроугольным, если все его углы принадлежат интервалу ]0, я/2[, тупо-
тупоугольным, если некоторый его угол принадлежит ]л/2, я[.
Рис. 10.1.4
10.1.4. Высотой треугольника 3~ называется прямая, проходя-
проходящая через некоторую его вершину и ортогональная противоле-
противолежащей стороне. Обозначим через ha, hb, hc длины соответствую-
соответствующих отрезков; тогда
ha = d(x, <у, г», hb-=d(y,
hc=d{z,
339
10.1 Треугольники: определения и обозначения
Медиатрисами треугольника &~ называются медиатрисы пар то-
точек {х, у}, {у, z\, {z, x} (см. 9.7.5). Внутренними биссектри-
биссектрисами треугольника ?~ называются прямые (см. 8.7.3.3), на которых
лежат биссектрисы пар лучей \xz, ху\, {ух, yz\, {zx, zy\. Внеш-
Внешними биссектрисами называются прямые, проходящие через вер-
вершины треугольника и ортогональные соответствующим внутрен-
внутренним биссектрисам. Длины отрезков внутренних и внешних бис-
биссектрис обозначаются соответственно ia, ib, ic и еа, еь, ес. Ме-
Медианами треугольника еГ называются прямые <дг, (y-\-z)l2y,
<г/, (г + х)/2>, <z, (х-\-уI2у. Длины соответствующих отрезков
обозначаются та, ть, тс.
Рис. 10.1.5
10.1.5. Согласно 9.7.5, существует единственная окружность,
описанная около треугольника <?Г. Ее радиус обозначается R.
Существуют четыре окружности, каждая из которых касается
340
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
трех сторон треугольника 3~; одна из них лежит внутри треу-
треугольника и называется вписанной в <#"; остальные три называ-
называются вневписанными. Их радиусы обозначаются соответственно
г, г0, гь, гс. Площадь треугольника обозначается S (см. 9.12.4).
10.2 КЛАССИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
10.2.1. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Для существования тре-
треугольников с заданными длинами сторон ху — с, уг = а, xz = b
необходимо и достаточно, чтобы а, Ь, с удовлетворяли следую-
следующим трем неравенствам (строгие неравенства треугольника):
Ь<с + а, с < а + ЬФФ|6—с| < а <Ь
В самом деле, как показывает формула 10.3.1, достаточно найти
^2 I ^2 ^2
такое число А ? ]0, я[, что cos А = „ ; для этого необхо-
?2_1_С2 д2
димо, чтобы —±-— ?]—1; 1[. Отсюда следует сформулиро-
сформулированный результат. Другое доказательство получается из 9.7.3.4
(с учетом 9.7.3.8).
10.2.2. РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Для ТОГО чтобы тре-
угольник ST был равнобедренным, необходимо и достаточно,
чтобы два из его углов были равны. Необходимость этого усло-
условия очевидна; достаточность вытекает, например, из 10.3.1, так
^2 I С2 а2 С2 I а2 ?2
как равенство —-щ = —^ влечет за собой (а—Ь)х
х[(а + 6J—с2] = 0, и, применяя 10.2.1, получаем а = Ь. Треуголь-
Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все
три его угла равны (в этом случае, как показывает 10.2.4 и
10.3.1, все три угла равны я/3).
10.2.3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Для того чтобы угол
треугольника <&~ при вершине х был прямым, необходимо и до-
достаточно, чтобы a2 = b2-j-c2 (см. 9.2.3 или Ю.3.1).
xz-
Рис. 10.2.4
10.2.4. СУММА УГЛОВ. Для любого треугольника $~ сумма его
углов A + B-j-C равна я. Применяем 8.7.5.3: луч xz лежит
341
10.2 Классические результаты
между ху и yz, луч yz лежит между xz и ух, откуда
ху, xz+xz, yz + yz, yx = xy, ух = п.
В этой книге мы встретимся также с геометриями, в которых
сумма углов любого треугольника строго больше я (см. 18.3.8.4)
или, наоборот, меньше я (см. 19.5.4).
Рис. 10.2.5
10.2.5. ЛИНИИ, ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ. Читатель уже,
наверное, заметил (см. рис. 10.1.4), что в треугольниках естественно
появляются тройки прямых, пересекающихся в одной точке: три
медианы, три высоты, три внутренние биссектрисы (а также од-
одна внутренняя и две соответствующие внешние биссектрисы),
три медиатрисы. Для медиан этот результат вытекает из 3.4.10,
для биссектрис — из 9.14.3, для медиатрис — из 9.7.5. Только
случай высот требует некоторых ухищрений: можно, например,
провести через каждую вершину ST прямую, параллельную про-
противолежащей стороне, и получить таким образом треугольник
<?Г', для которого вершины 3~ суть середины сторон; тогда вы-
высоты оГ суть медиатрисы S". См. также 10.13.1 и 17.5.4. Точка
пересечения высот треугольника ST называется его ортоцентром.
10.2.6. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Пусть имеются
два треугольника ST, <§Г'. Элементы треугольника <#"' будут обо-
обозначаться теми же буквами, что и соответственные элементы 3~
(см. § 10.1) с добавлением штриха. Следующие условия равно-
равносильны:
(i) существует такое отображение f?ls(X), что
/()' f ' f '
/() f()
(ii) a —a', b=-b\ c = c'\
(Hi) A —A', b = b', c = c'\
(iv) Л = Л', В = В', с = с'.
Это вытекает из 9.7.1 и из сводки формул, приведенной в § 10.3.
При использовании результатов в § 10.3 нужно, однако, соблю-
соблюдать некоторую осторожность: синус угла (в отличие от коси-
косинуса) не определяет величину угла в [0, я] однозначно.
342
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
Два треугольника, удовлетворяющих одному из усло-
условий (i) — (iv), называются равными.
10.2.7. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. В обозначениях 10.2.6 следую-
следующие условия равносильны:
(i) существует такое отображение / ? Sim (X), что
/(*)=*'. f(y) = y', /(*) = *';
(ii) a'/a = b'fb = c'lc;
(iii) Л = .4\ B = B', С = С.
Используя 9.5.3.1 и упомянутую сводку формул, легко получить
импликации (i)=>(iii)=>(ii). Чтобы доказать импликацию (ii)=>(i),
применим к треугольнику ST любое подобие с коэффициентом
растяжения a'/a = b'/b = c'lc, а затем используем 10.2.6.
10.3 СВОДКА ФОРМУЛ
Мы придерживаемся обозначений, введенных в § 10.1. Добавим
еще одно: через р обозначается полупериметр (а-\-Ь-\-с)/2 треу-
треугольника <W. Имеют место следующие формулы:
10.3.1.
10.3.2.
10.3.3.
10.3.4.
10.3.5.
10.3.6.
cos Л = ¦
26с
sin А = — V р(р—а) (р—Ь) (р—с) ,
be
(р-
(Р-С) .
be
a —.JL — c = 21? •
sin A sin В sin С х'
—a)(p—b) (p—c);
аЬс
R ^
V(a + b + c) (a + b-c) (а-
r = S/p, ra = Sl(p—ay, ¦
с) (-a
c)
C>
(если b > c);
10.3.7. ml = [2(b2 + c2)~ o2]/4.
Первая формула из 10.3.1 есть не что иное, как 8.1.2.4 (с уче-
учетом 8.6.3 и 9.1.1). Вторая формула вытекает из равенства sin A =
= Kl—cos2 Л, а третья —из равенства
sin2 (Л/2) = A—соэЛ)/2.
Чтобы доказать 10.3.2, обозначим через со центр описанной
около 3~ окружности; согласно 10.9.3, угол при вершине со в
треугольнике a>yz равен 2Л, откуда по определению синуса по-
лучаем a = -n-sin^. Читатель, не желающий использовать 10.9.3,
может прибегнуть к 9.7.3.7. Отсюда выводится 10.3.4 и послед-
последнее равенство из 10.3.2.
343
10.3 Сводка формул
Первое равенство из 10.3.3 есть не что иное, как
9.12.4.4, второе следует из того, что hb = c sin Л. Третье полу-
получается из разбиения оГ на три треугольника: <0~ = {х, у, а\ U
(J \у, z, a\ (J {х, z, а), где a—центр окружности, вписанной в
$~. В каждом из этих треугольников длина высоты, опущенной
из вершины со на противолежащую сторону, равна г, а длины
Рис. 10.3.7.1
Рис. 10.3,7.2
этих сторон равны соответственно а, Ь, с. Теперь 10.3.3 вытекает
из формулы для площади треугольника. Равенство 10.3.7 выте-
вытекает из 10.3.1.
Равенство Ю.3.4, как мы видели, можно было бы вы-
вывести из 9.7.3.7; здесь оно просто получается из 10.3.1 и 10.3.2.
Чтобы получить 10.3.5, мы действуем так же, как и
при доказательстве формулы S = pr, но рассматриваем центр а'
вневписанной окружности, касающейся сторон <х, г/> и <лт, г>;
имеем
{у, z, a'}\jST = {x, у, a'}U{*, z, a'},
откуда (пл. означает площадь)
пл. (<Г) = пл. {{х, у, а'}) + пл. ({х, z, а'}) —пл. {{у, z, a'\).
344
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
Все эти треугольники имеют общую вершину а', противолежа-
противолежащие этой вершине стороны имеют длины соответственно а, Ь и с,
а длины высот, опущенных из а' на эту сторону, все равны га.
Отсюда получаем требуемое.
Рис. 10.3.7.3
Формула 10.3.7 есть не что иное, как формула 9.7.6.5.
Нам осталось доказать 10.3.6. Мы докажем только формулу для
ia, предоставляя вывод второй формулы читателю. Обозначим
через s точку пересечения нашей биссектрисы со стороной <г/, г>.
Применяя 10.3.2 и замечая, что углы при вершине s треуголь-
треугольников \s, у, х\ и {s, z, х\ имеют одинаковые синусы, находим
sy sz __ sy + sz _ a
Рис. 10.3.8
345
10.3 Сводка формул
Теперь осталось применить к треугольнику \х, s, z) 10.3.2 и
10.3.1.
10.3.9. ПРИМЕЧАНИЕ. Хорошее упражнение — выяснить, во что
превратятся указанные выше формулы в случае прямоугольного
треугольника, и провести несколько проверок.
10.3.10. ПРИЛОЖЕНИЕ: ТЕОРЕМА МОРЛ И. Результат, о котором идет
речь, формулируется весьма просто, но доказательство его не
очевидно. Геометрические варианты доказательства можно найти
в 10.13.4 и 9.14.33.5. По поводу фигур, образованных трисект-
трисектрисами треугольника, см. также [154], с. 173—194, и 9.14.34.5,
10.13.23. Укажем еще на [46].
Теорема Морли утверждает, что если разделить каж-
каждый из углов треугольника прямыми на три части и обозначить
полученные точки пересечения (см. рис. 10.3.10) р, q, г, то тре-
треугольник pqr равносторонний. Чтобы оценить эту теорему по до-
достоинству, хорошо бы, прежде чем читать дальше, попробовать
самостоятельно получить геометрическое или хотя бы тригоно-
тригонометрическое доказательство. Положим
применяя 10.3.2 к треугольникам [х, у, z) и [х, у, г}, получаем
sin P-sin(
Г Л =
;—
sin(a
(используя при этом 10.2.4). Здесь через R обозначен радиус
окружности, описанной около J7". Тригонометрические вычисле-
вычисления (см. 8.7.8 и 8.12.8), использующие равенство а + |3-(-у =
х
Рис. 10.3.10
346
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
= я/3, приводят к равенству
rx = 8R sin P sin у sin (л/3 + у).
Аналогично получаем
qx = 8R sin C sin у sin (л/3-f-P),
откуда
qx
sin
, ,„ i—; = . , ,„ , „. = 8R sin 6 sin y.
(я/3 + 7) sin (я/3+ Р) • '
Рассмотрим теперь вспомогательный треугольник с углами л/3 +
+ у, я/3 + C, а, одна из сторон которого равна гх. Применяя к
этому треугольнику формулу 10.3.2, получаем, что он равен тре-
треугольнику \х, г, q\. Отсюда следует также, что rq = 8-R -sin a-
•sin P • sin у. То же верно для pq и рг, откуда следует, что тре-
треугольник {р, q, r) равносторонний.
10.3.11. ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА. Существует очень много
различных результатов о треугольниках; по поводу изложенного
далее см. [201], замечание III. [См. также [22*]. — Ред.] Неко-
Некоторые примеры изложены в § 10.11.
10.4 НЕРАВЕНСТВА И ЗАДАЧИ НА МИНИМУМ
10.4.1 изопериметрическое неравенство. Для всех треуголь-
треугольников имеем S ^ р2/3\^3. Равенство достигается в том и только
том случае, если треугольник равносторонний.
Достаточно применить 10.3.3 и 11.8.11.6:
3
равенство достигается тогда и только тогда, когда величины
(р—а), (р—b), (р—с) равны.
10.4.2. ПРИМЕЧАНИЕ. Обобщения результата 10.4.1 встретятся
нам в § 10.5 и 12.11.1. Что касается «изодиаметрического не-
неравенства» для треугольников (см. 9.13.8), то оно сразу выте-
вытекает из 10.3.3, поскольку диаметр 3~ есть в точности max \a, Ь, с\.
10.4.3. ЗАДАЧА ФЕРМА. Из 9.7.6.3 легко выводится, что
Равенство достигается тогда и только тогда, когда t равно g =
= (х-\-у + z)/3 (т. е. t совпадает с центром тяжести треугольника
<?Г). Значение минимума как функцию от а, Ь, с, дающее, сле-
следовательно, некоторое неравенство, можно было бы получить из
10.3.7 и 3.4.10.
Изучение минимума функции t*—>tx-\-ty -\-tz оказыва-
оказывается (несколько неожиданно) гораздо более сложной задачей. (При-
(Причина этого кроется втом, что квадрат длины вектора является били-
билинейной функцией вектора, а длина — нет.) Задача о минимуме
347
10.4 Неравенства и задачи на минимум
функции tt—z-tx + ty + lz называется задачей Ферма. В общих
чертах решение было намечено в 9.10.6: кандидатом на точку
минимума может служить точка t, из которой все стороны тре-
треугольника с»Г видны под равными углами 2л/3. Здесь мы приве-
приведем окончательный ответ: если один из углов треугольника cF,
например угол А, не меньше 2я/3, то точка минимума существует,
единственна и совпадает с вершиной х. Если же все углы тре-
треугольника ?Г меньше 2я/3, то существует единственная точка со,
из которой все стороны треугольника $~ видны под равными
углами, и эта точка есть единственная точка минимума.
х
Рис. 10.4.5
Заметим сначала, что если t является точкой миниму-
минимума, то она лежит внутри или на границе треугольника оГ. В са-
самом деле, если нет, то опустим из точки t перпендикуляр на
348
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
сторону <г/, г> (считая, что х и t лежат по разные стороны от
прямой <г/, г». Обозначив основание этого перпендикуляра через
и, получим tx-{-ty-\-tz~> ux-\-uy-\-uz (применяем 9.2.2).
Теперь ясно (из соображений компактности), что точка
минимума всегда существует. Если Л^2л/3, то любая точка
t ф х, лежащая внутри или на границе <#", образует с у, z угол
> 2л/3 и поэтому не может быть точкой минимума.
Предположим теперь, что все углы треугольника оГ
строго меньше 2я/3. Выберем произвольную ориентацию пло-
плоскости X и обозначим через / вращение на угол я/3 с центром
в у. Положим x' = f(x), t' = f(t), где t — произвольная точка
плоскости X. Получаем
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда точки
х', t', t, z лежат на одной прямой и расположены на ней в
указанном порядке. Положим z" = f~1(z). Поскольку все углы
треугольника ST строго меньше 2я/3, прямые <дг, z"> и <z, х'у
пересекаются в некоторой точке со, причем можно видеть, что
точки х', <»'=/(<»), со, z лежат на одной прямой и расположены
на ней в указанном порядке. Отсюда ясно, что имеет место ра-
равенство юх-\-ыу-}-ш = х'г и со является точкой минимума.
Как премию за доказательство мы получаем еще сле-
следующий факт: прямые <*', z>, <лг, г">, <г/, х"У (см. рис. 10.4.3)
пересекаются в одной точке со внутри треугольника и образуют
в ней углы, равные я/3.
10.4.4. ПРИМЕЧАНИЕ. Треугольники, вписанные в данный тре-
треугольник ST и имеющие минимальный периметр, уже изучались
нами в § 9.4.
10.4.5. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ПОДЭР. Если оГ—треугольник
на плоскости X и t ? X, то мы называем треугольной подэрой
точки t тройку точек р, q, г, являющихся ортогональными
проекциями t на стороны треугольника ST (если р, q, r лежат
на одной прямой, то треугольная подэра не является треуголь-
треугольником). Мы хотим заняться изучением площадей треугольных
подэр и решить, например, такую задачу: где расположена такая
точка t внутри треугольника, что площадь соответствующей по-
подэры максимальна? Для этого нужно сначала ввести понятие
ориентированного треугольника и понятие площади для таких
треугольников.
10.4.5.1. Определения. Ориентированным треугольником на ориен-
ориентированной плоскости X называется упорядоченная тройка точек
(х, у, z) этой плоскости. Площадь ориентированного треугольника
(х, у, г) есть по определению число Л(х, у, z) = %-g(xy, xz)
(см. 8.11.3).
349
10.4 Неравенства и задачи на минимум
Прямая проверка показывает, что площадь Л инвари-
инвариантна относительно циклической перестановки вершин треуголь-
треугольника и что имеет место следующее равенство:
Рис. 10.4.5
10.4.5.2. Л{х, у, z) =
х,
у,
1, г, х).
Если a?ls~(X), то Л(о(х), о (у), а(г)) = —Л (х, у, г).
Рассмотрим на ориентированной плоскости X точку /
и (обычный) треугольник 3~. Обозначим через р, q, r ортогональ-
ортогональные проекции t на стороны <#", а через р', q', r' — точки, сим-
симметричные точке t относительно сторон треугольника <?Г. Тогда
350
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
если ориентация треугольника совпадает с ориентацией плоскости,
то
10.4.5.3. Л(р, q, г)=\Л(х, у, z) — \sm2A-(txf—
— -g- sin 2В ¦ (tyJ—~ sin 2C {tzf.
Идея доказательства состоит в том, чтобы вычислить площадь
шестиугольника \х, г', у, р', г, q'\ (см. рис. 10.4.5), представив
его сначала в виде объединения треугольников {х, у, t\, \х, у, г'),
[У, z, t\, {у, г, р'\, {г, х, t\, {z, x, q'\, а затем в виде объеди-
объединения треугольников \р', q', г'\, \х, г', q'\, {у, р', r'\, {z, q', р'\.
Итак, имеем алгебраические соотношения
2Л(х, у, z) = 2*€(t, х, y)+2A(t, у, z) + 2d(t, z, x) =
= A(t, х, у)—Л (г', х, y)+A(t, у, г) — Л{р', у, z) +
+ A(t, z, x)—A(q', z, x) =
= Л (p', q', r')+A (x, r', q') + A (y, p', r') + A (z, q', p').
Ho A(p', q', r') = 4A(p, q, г), ибо тройка (p', q', г') получается
из тройки (p, q, г) гомотетией с центром t и коэффициентом
растяжения 2. Отсюда (применяя 10.3.3 и 8.7.7.8) получаем
Л(х, г', q') = \sm2Axr' ¦ xq' = ~sm2A-txz,
что влечет за собой 10.4.5.3.
Применяя теперь 9.7.6, получаем, что для решения
нашей задачи достаточно найти барицентр массивных точек
(s\n2A, x), (sin2fi, у), (sin2C, z). Но легко видеть, что этот
барицентр совпадает с центром со описанной около треугольника
с?Г окружности. (В самом деле, достаточно проверить, что
sin2^ou: + sin2Scoy + sin2C сог = 0 (см. 3.4.6.5),
а это вытекает из 10.3.2.)
10.4.5.4. Мы не будем глубоко вдаваться в изучение треуголь-
треугольных подэр и приведем здесь только некоторые следствия из
9.7.6.2. Фиксируем некоторое число k. Геометрическим местом
точек t, для которых соответствующие треугольные подэры имеют
(неориентированную) площадь, равную k, является — в зависи-
зависимости от k — окружность с центром со или объединение двух
окружностей с центрами со. Из этого вытекает несколько не-
неожиданное следствие: геометрическим местом точек t, для ко-
которых точки р, q, г — проекции t на стороны треугольника #" —
лежат на одной прямой, является окружность, описанная вокруг
треугольника &~ (теорема о «прямой Симеона», см. 10.9.7.1).
В самом деле, точки р, q, r лежат на одной прямой тогда и
только тогда, когда площадь Л(р, q, r) = 0. Но точки х, у и z
удовлетворяют этому условию на t, поэтому соответствующее
351
10.5 Многоугольники
геометрическое место точек, которое должно быть окружностью,
проходит через эти точки и, значит, совпадает с окружностью,
описанной около ST. Мы получаем также формулу
45 = Я2 (sin 2А + sin 25 + sin 2C).
10.4.5.5. Отметим, что, когда точка х пробегает описанную
около оГ окружность, соответствующие прямые Симеона идут
по касательным к гипоциклоиде с тремя точками возврата. Таким
образом в произвольном треугольнике обнаруживается некая
симметрия порядка 3; см. 9.14.34.3 D).
10.4.6. ТЕОРЕМА ЭРДЕША—МОРДЕЛЛА. Интересна история этой
теоремы. Высказанная Эрдешем в виде гипотезы в 1935 г., она
была доказана Морделлом в 1937 г. совершенно неэлементарным
методом. Элементарное доказательство этой столь просто формули-
формулируемой теоремы появилось лишь в 1945 г.; оно принадлежит
Д. К. Казаринову. Мы приводим здесь только формулировку
этой теоремы, не желая лишать читателя радости испытать на
ней собственные силы. Весьма полное изложение см. в [143],
с. 78, а также в [98], с. 32 русского перевода.
10.4.7. ТЕОРЕМА. Пусть ST—треугольник. Для всех его внутрен-
внутренних точек t имеем (в обозначениях 10.4.5)
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
треугольник равносторонний.
10.4.8. ПРИМЕЧАНИЯ. Другие неравенства, связанные с треуголь-
треугольниками, см., например, в 10.13.5. Очень большое количество
таких неравенств содержится в [105].
10.5 МНОГОУГОЛЬНИКИ
Мы приведем здесь лишь несколько ссылок, относящихся к этой
теме. Бильярды в выпуклых многоугольниках изучались в § 9.4.
Аналог 10.4.3 см. в 10.13.8.
10.5.1. Имеет место следующее обобщение неравенства 10.4.1:
352
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
если 5s — выпуклый n-угольник, S—его площадь, а Р—его пе-
периметр, те
"""- in tg (я/я)
Равенство достигается тогда и только тогда, когда многоуголь-
многоугольник правильный. Доказательство и различные усовершенствова-
усовершенствования этого результата см. в 12.12.15 или [98], с. 27—31 русского
перевода, а также [121], с. 192.
10.5.2. Если Р—выпуклый /г-угольник, то сумма его углов рав-
равна (П—2)я (см. 12.1.12).
Рис. 10.5.2
Чтобы доказать это, разобьем многоугольник Р на
(п — 2) треугольников, проведя прямые, соединяющие некоторую
вершину со всеми остальными (здесь используется выпуклость
многоугольника Р). Согласно 10.2.4, сумма углов каждого из
треугольников равна я, и, складывая эти величины, получаем
требуемый ответ.
10.6 ТЕТРАЭДРЫ
Мы сообщим здесь о тетраэдрах лишь несколько фактов. Инте-
Интересно отметить, что некоторые результаты о треугольниках не
распространяются на тетраэдры, и, наоборот, возникают новые
явления, не имеющие аналога в случае треугольников. Из этих
новых явлений мы изучаем подробно только одно, а именно воз-
возникновение так называемых «чердачных сфер» в задаче о сферах,
касающихся четырех граней тетраэдра, и дополнительно упоми-
упоминаем еще только две особенности тетраэдра по сравнению с тре-
треугольником. В пп. 10.6.1 — Ю.6.5 мы излагаем различные обобще-
обобщения результатов о треугольниках, а начиная с 10.6.6 обсуждаем
явления, не имеющие двумерного аналога.
353
10.6 Тетраэдры
По поводу геометрии тетраэдра см. [62] и [202], за-
замечание IV. Как явствует из предисловия к [62], уже в 1935 г.
некоторые преподаватели жаловались, что с введением новых
программ падает вычислительное искусство учеников. Читателя,
который найдет египетскую табличку с аналогичными сетованиями,
ожидает премия.
10.6.1. Пусть ?Г = {х, у, z, t\—тетраэдр (см. 2.4.7); во всем
этом параграфе мы предполагаем, что #* расположен в трех-
трехмерном пространстве X. Ребрами ST мы будем называть прямые
<х, г/>, ... и т. д., а также длины ху и т. д. Гранями тетра-
тетраэдра мы будем называть как плоскости <х, у, г> и т. д., так и
треугольники {х, у, z\, ... в плоскостях <х, у, г>, ..., а кроме
того, их площади (см. 10.1.5). Объем тетраэдра оГ обозначается
V (см. 9.12.4). Радиус описанной около ST сферы (см. 9.7.5)
обозначается R.
10.6.2. Согласно 9.7.1, тетраэдр определяется с точностью до
изометрии своими шестью ребрами («признак равенства тетра-
тетраэдров»). Для того чтобы существовал тетраэдр с наперед задан-
заданными шестью ребрами, достаточно, как мы видели в 9.7.3.4,
чтобы эти шесть чисел удовлетворяли четырем строгим нера-
неравенствам треугольника из 10.2.1 и, кроме того, условию
Г(-, •, •, •) > 0. На самом деле (см. 9.14.23) неравенства тре-
треугольника вытекают из Г(-, •, •, «)>0.
10.6.3. МЕДИАНЫ. Из 3.4.10 следует, что четыре медианы тетра-
тетраэдра <#" (т. е. прямые, соединяющие вершину с центром тяжести
противолежащей грани) пересекаются в одной точке. Для вы-
вычисления длин медиан можно использовать 9.7.6.
10.6.4. Дать определение углов тетраэдра при вершине (трехгран-
(трехгранных углов) довольно трудно (нужно использовать материал
гл. 18) и, кроме того, с такими углами трудно обращаться. Не-
Несколько легче ввести углы между гранями тетраэдра (двугран-
(двугранные углы). Мы не будем обсуждать здесь эти вопросы, см. 10.13.10.
10.6.5. Используя 9.7.3.3, 9.7.3.7, 9.12.4.3, можно вычислить
V и R как функции ребер:
= ~T(x, у, z, t),
1 Г (х, у, г, f)
Д (х, у, z, t) •
10.6.6. ВЫСОТЫ. Высотой тетраэдра называется прямая, проходя-
проходящая через некоторую вершину тетраэдра и ортогональная про-
противолежащей грани. Высоты тетраэдра не обязаны пересекаться
в одной точке. См. [62], с. 121, или [202], с. 643.
10.6.7. ТЕТРАЭДРЫ МЁБИУСА. Существуют такие два тетраэдра,
что каждая вершина любого из них лежит на некоторой грани
другого. Это явление очень хорошо вписывается в рамки проек-
проективной геометрии; см. 4.9.12 и 14.8.12.4.
10.6.8. ЧЕРДАЧНЫЕ СФЕРЫ. Рассмотрим тетраэдр J~ = {xlt x2, х3,
354
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
355
10.6 Тетраэдры
х^). Мы будем искать сферы S, касающиеся четырех граней оГ.
Иными словами, мы ищем точки со (центры соответствующих
сфер), которые равноудалены от всех четырех граней тетраэдра
аГ. По аналогии с рис. 10.1.5 можно было бы подумать, что
таких сфер пять: одна внутри тетраэдра и четыре внутри опре-
определяющих его «постаментов» (см. рис. 10.6.8). Однако это неверно.
Рис. 10.6.8
а — внутренность; Ъ — постамент;
с — триэдр; d — два
противоположных чердака
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой
9.2.6.4; обозначим через /,• (г'=1, 2, 3, 4) аффинные формы на
пространстве X, ядра которых совпадают с гранями тетраэдра
с»Г. Можно считать, что ||/г|=1 для всех i. Тогда искомые точки
со должны удовлетворять уравнениям
Эта система 'эквивалентна совокупности восьми систем, каждая
из которых состоит из трех аффинных уравнений. Таким образом,
в общем случае (т. е. если между /,- нет линейных соотношений)
наша задача имеет восемь решений. Найти эти решения непросто.
Введем для этого в пространстве X барицентрические координаты
относительно центра тяжести тетраэдра еГ. Нам потребуется
следующая лемма (в лемме размерность пространства X может
быть произвольной).
10.6.8.1. Лемма. Пусть (*,-)*= i,.... n+i—симплекс в X. Положим
{таким образом, Н( является i-й гранью данного симплекса).
Обозначим через V объем этого симплекса и через а,-—объем
(п—\)-мерного симплекса (Ху)!Ф1 в гиперплоскости #,-. Тогда ба-
барицентрические координаты (kt) относительно данного симплекса
удовлетворяют следующим условиям (здесь х—любая точка про-
пространства X):
|b,|=$-d(*, Я,.);
К^0, если точки х и х{ расположены по одну сто-
сторону от гиперплоскости #,-, и ^0 в противном
случае.
Обозначим через Д- такую аффинную форму, что
||?||=1, Я/ = /г1@) и ft (*,) > 0. Тогда (согласно 9.2.6.4)
d(x, Я,.) = 1
В частности, положив x = xit получаем d(xt, Hl) = f!(xi), что,
согласно 9.12.4.4, дает fi(x!) = nV/ai.
Ради удобства при дальнейшем обсуждении определим
для тетраэдра ST следующие множества. Внутренность тетраэд-
тетраэдра—это множество тех точек х, для которых все К1'^0. Поста-
Постамент тетраэдра состоит из тех точек, для которых фиксирован-
фиксированная координата Я,- неположительна, а три остальные неотрица-
неотрицательны (всего имеется четыре постамента). Триэдр тетраэдра
состоит из тех точек, у которых одна фиксированная координата
%[ неотрицательна, а три остальные неположительны (всего
имеется четыре триэдра). Чердак тетраэдра состоит из тех точек,
у которых две фиксированные координаты Х{, %/ неотрицательны,
а две остальные неположительны (всего имеется шесть чердаков:
три пары противоположных друг другу).
Если г—радиус некоторой сферы, касающейся четы-
четырех граней <#*, а Я,- — барицентрические координаты центра со
этой сферы, то
2 + ^3 + ^=1.
Отсюда видно, что существует ровно одна вписанная сфера (ра-
(радиуса r — 3V/(a1-\-a2 + a3 + ai)), лежащая во внутренности^. Ана-
Аналогично для каждого постамента существует ровно одна вписан-
вписанная сфера, лежащая в данном постаменте; ее радиус в случае пос-
постамента, противолежащего вершине д:4, определяется формулой
r = 3V/(a1 + a2 + a3—а4). (Заметим, что для любого тетраэдра
имеет место неравенство ai < ax + а2 + а3; в самом деле, рассмот-
рассмотрим площади проекций на гиперплоскость Я4 первых трех граней
тетраэдра. Сумма этих площадей не меньше чем а4, а с другой
стороны, она строго меньше чем аг-\-аг-\-а3 (см. 9.12.4.9).) Слу-
356
Гл. 10. Треугопьниии, сферы и окружности
чай чердаков сложнее, ибо мы ничего не знаем о знаке, напри-
например, выражения a1Jra2—а3 — а4. Известно только, что если для
какого-нибудь чердака вписанная сфера существует, то вписать
сферу в противоположный чердак уже нельзя. Чтобы покончить
с этой задачей, предположим, что ах^ a2~^a3~^-aii. Если все
грани имеют одинаковую площадь, то ни в один чердак нельзя
вписать сферу и всего существует пять сфер, вписанных в данный
тетраэдр. Если ах = а2~> a3 = ait то существует ровно шесть впи-
вписанных сфер, причем одна из них вписана в чердак (который
задается неравенствами Хх > О, Х2 > 0, У^ < 0, Xi < 0). Если
ах ^ а2~^а3~> ai и a1-\-ai=ai-\-a3, то всего имеется семь вписан-
вписанных сфер, из которых две чердачные. Во всех прочих случаях
вписанных сфер восемь.
Более подробное изложение см. в [202], с. 653. Заметим еще,
что для правильного тетраэдра a1 = a2 = a3 = ai (см. 12.5.4.1),
однако легко построить неправильные тетраэдры с равными пло-
площадями граней.
10.7 СФЕРЫ
В этом и следующих параграфах мы будем изучать окружности
и сферы как подмножества соответствующего евклидова про-
пространства; мы будем также изучать вопросы, связанные с взаим-
взаимным расположением двух и более сфер. Изучению внутренней
геометрии сферы посвящена гл. 18. Мы будем чаще всего пред-
предполагать неявно, что dimX^2, поскольку в одномерном случае
сфера состоит из двух точек и не представляет никакого инте-
интереса.
10.7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сферой радиуса г с центром в а назы-
называется множество S (а, г) = {i g X: ах = г\. В случае n = dimX = 2
сфера называется окружностью.
10.7.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕРЫ И ПОДПРОСТРАНСТВА. Пусть S =
= S (а, г)аХ, и пусть Y—аффинное подпространство в X; обо-
обозначим через х ортогональную проекцию точки а на Y (см. 9.2.4);
тогда (см. 9.2.3):
если d(a, Y) = ах> г, то Sf]Y= 0;
если d(a, Y) = ax = r, то Sf]Y = {x};
если d (a, Y) = ах < г, то S(]Y=zSY(x, Vr*—az*) =
' -" У7*
zx-.
-ах2}.
10.7.3. ПРИМЕЧАНИЕ. Иногда бывает удобно исключать из рас-
рассмотрения сферы нулевого радиуса; чтобы не перегружать текст,
мы предоставим читателю самому решать, нужно это или нет,
поскольку здесь не содержится никаких существенных трудностей.
10.7.4. КАСАТЕЛЬНАЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ. Подпространство Y на-
называется касательным к сфере S = S(a, r), если d(a, Y) = r.
357
10.7 Сферы
Точнее, Y называется касательным подпространством к S (а, г)
в точке Yf\S. Для любой точки x(tS существует, ровно одна
касательная к сфере -гиперплоскость в точке х; она обозначается
TXS и называется касательной гиперплоскостью к S в точке х.
Рис. 10.7.2
Эта гиперплоскость однозначно определяется тем, что она содер-
содержит точку х и ортогональна вектору ха. Ее также можно опре-
определить как векторное подпространство x-L (см. 18.1.2.4).
Это определение касательной гиперплоскости согласо-
согласовано с определениями, принятыми в других теориях: если, на-
например, сфера рассматривается как невырожденная квадрика, то
ее касательная гиперплоскость в смысле гл. 14 совпадаете гипер-
гиперплоскостью, определенной выше; см. 14.3.8.
Если рассматривать сферу S как гладкое подмногообра-
подмногообразие пространства X, то касательное пространство TXS к S в точ-
точке х в смысле теории гладких многообразий (т. е. множество ка-
касательных векторов в точке х к кривым класса С1, лежащим на
сфере SczX и проходящим через точку х) совпадает с гипер-
гиперплоскостью, определенной выше (см., например, 18.3.3).
10.7.5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ СФЕР. Пусть S = S(a, r) и S' =
S (а', г')—две не концентрические сферы (т. е. афа') в про-
пространстве X. Тогда из 10.2.1 (и последующего) получаем:
358
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
если не выполнено условие \г—г'
3S9
10.7 Сферы
' ^.г-\-г', то
то
если аа' — r + r' или аа' = \г—г'\, {}
где х?Х, причем TXS = TXS'\
если \г—г' | < аа' < г + г', то существует такая гипер-
гиперплоскость Я, ортогональная аа', что Sf\S' = S(]H =
= S'()H и Sf]S' является сферой в гиперплоскости Я
с центром в точке <а, а'>[)Н.
Если аа' = г + г', то говорят, что сферы S и S' касаются внеш-
внешним образом; если аа' = \г—г'\, то говорят, что сферы S и S'
касаются внутренним образом. В случае \г—г' | < аа' <Сг-\-г'
говорят, что сферы S и S' пересекаются.
Рис. 10.7.5
10.7.6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Нетрудно составить уравне-
уравнение для сферы. Рассмотрим векторизацию пространства X. Тогда
сфера S = S(a, г) задается уравнением J*—а|2 = г2, или \\xf—¦
— 2(а|х)-{-а2—г2 = 0. Обратно, рассмотрим уравнение
где k, h—вещественные числа, а а—вектор в X (точнее, в векто-
векторизованном X). Обозначим через С множество точек в X, выде-
выделяемое этим уравнением. Предположим, что k^=0. Тогда:
если ||а|2 — 4kh < 0, то С = 0;
если |af—4й/1=0, то С состоит из одной точки {—a/2fe};
если Ia||»-4*fc>0, то C = s(-^L, /ЕБ1М
ние двух сфер S()S' (см. 10.7.5) содержится в гиперплоскости
\}xj\2 — 2(a\x)—r2 = \\xf—2(a'\x) + r'2, т.е. в гиперплоскости
(а' — а\х)'-\-г2—г'2 = 0 (предполагается, что афа').
Приложения этих формул см. в 9.7.3.7, а также на
всем протяжении гл. 20.
10.7.7. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ СФЕРАМИ. Если S = S(a, r), S'=
= S (а', г') и Sfl S' ?=0у то угол ц> = ха, ха' g[0, я] не зависит
от точки xgSflS'. Он называется углом между сферами S и
S' и определяется из уравнения
cos ф = (г2 + r'2—aa'2)/2rr'.
Если ф = л, то 5 и 5' касаются внешним образом; если ф = 0,
то 5 и 5' касаются внутренним образом. Если ф = я/2, то сферы
5 и S' называются ортогональными и используется обозначение
Из этого результата следует, например, что пересече-
пересечеРис. 10.7.8
10.7.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть в евклидовом п-мерном простран-
пространстве X заданы (п+l) сфер 5,- (г=1, ..., п + \) и (п+1) углов
Ф,- ^ [0, л]. Тогда существует не более двух сфер, образующих
с каждой из сфер 5,- заданный угол ф,-.
Обозначим через xt и rt соответственно центр и радиус сферы
S,., а через х0 и R — центр и радиус искомой сферы 5. Исполь-
360
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
361
10.7 Сферы
зуя обозначения и результаты из 9.7.3, получаем
Г (*„,*!, • .., хи+1) = 0 и d20i = R2 + rl—2Rrrcos<pi.
Подставив значения dui в Г (х0, хх, ..., х„+1) и произведя неко-
некоторые операции над определителем Г (вычитания строк и столб-
столбцов), найдем, что R удовлетворяет некоторому уравнению второй
степени: а/?2 + Р/? + у = 0. Поэтому существует не больше двух
возможных значений радиуса R. Каждому значению R отвечает
ровно одно значение doi, а числа doi определяют точку х0 (если
она вообще существует) однозначно; см. 9.7.1.
10.7.9. примеры. Случай, когда требуется, чтобы сфера S была
ортогональна Sh стоит особняком, поскольку если все <р,- равны
я/2, то квадратное уравнение для радиуса R сферы S прини-
принимает вид а/?2 + 7 = 0. Этот результат мы получим также в 10.7.10.2
более простым способом.
В случае когда требуется построить сферу, касающуюся
(я+1) данных сфер, задача может иметь не более 2"+2 решений
(каждое из <р,- может принимать два значения: 0 и л). Поскольку,
однако, квадратное уравнение aR2Jrf)R —|— -у = 0 для R не меняется
при замене ф,- на л—ф,-, то на самом деле решений не более
чем 2п+1. Действительно, бывают случаи, когда число решений
равно 2n+1, а на плоскости, например, в зависимости от конкрет-
конкретного выбора значений ф, = 0 или л число решений может быть 2
или 0: см. рис. 10.7.9.1 и 10.7.9.2. Тем самым бывает и так,
что решений нет!
10.7.10. СТЕПЕНЬ. Рассмотрим некоторую сферу S = S(a, r) и не-
некоторую точку х в пространстве X. Какова бы ни была пря-
прямая D, проходящая через х и пересекающая 5 в точках t, t'
(может случиться, что t = t'), скалярное произведение (xt\xf)
равно ха2— г2, т. е. не зависит от прямой D. Это число назы-
называется степенью точки х относительно сферы S и обозна-
обозначается PXS.
Абсолютная величина этого числа равна xt-xt', и оно
положительно или отрицательно в зависимости от того, лежит
ли точка х вне сферы или внутри ее.
Для доказательства достаточно рассмотреть середину
h отрезка [t, t'] и записать
(xt | xt') = х/г2—Ыг = ха2—ah2—ht2 = ха2 — г2.
В аналитической геометрии величину PXS вычисляют, подстав-
подставляя точку х в уравнение данной сферы (уравнение должно быть
приведенным, т. е. коэффициент при (|-|2 должен быть равен 1).
10.7.10.1. Пусть заданы две не концентрические сферы S = S(a, r)
и S' = S(a', г'). Множество точек х^Х, для которых PXS=PXS',
является гиперплоскостью (воспользуйтесь 9.7.6.5 или аналити-
Рис. 10.7.9.1
Рис. 10.7.9.2
362
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
ческой геометрией), ортогональной аа'\ она называется радикаль-
радикальной гиперплоскостью сфер S и S' (или радикальной осью при
л = 2). Геометрическое построение радикальных гиперплоскостей
можно провести, следуя рис. 10.7.10.1, где использовано опре-
определение степени.
Рис. 10.7.10
10.7.10.2. Ортогональность сфер S = S(a, r), S'=S(a', r')
(см. 10.7.7) можно выразить многими способами, и потому это
весьма полезное понятие. Именно, ортогональность сфер 5, 5'
Рис. 10.7.10.1
Рис. 10.7.10.2
эквивалентна любому из следующих условий: или аа'г = г2-J-г'2,
или PaS' — r2, или Ра = г'2, или существует прямая D, прохо-
проходящая через а и пересекающая сферу 5 в точках х, х', а сферу
S' — в точках t, V, таких что [х, х', t, t'] = —1 (точки х, х',
t, V находятся в гармоническом отношении), или Т ZS \_T ZS'
для всех z?S()S'. Отсюда можно вывести, что центр сферы, орто-
ортогональной данным сферам, находится на радикальных гиперпло-
гиперплоскостях каждой пары из числа данных сфер. Это позволяет
ввести понятие радикального центра для (п+1) сфер в л-мерном
евклидовом пространстве и получить более простым способом
результат 10.7.9.
363
10.7 Сферы
10.7.10.3. Понятие степени позволяет решить некоторые задачи
на построение, например: построить окружность на плоскости,
проходящую через две данные точки и касающуюся данной
окружности. Построение намечено на рис. 10.7.10.3.1.
Рис. 10.7.10.3.1
Рис. 10.7.10.3.2
Другой пример: теорема о «шестой окружности»
(рис. 10.7.10.3.2). Эту теорему не следует путать с теоремой
Мигеля о шести окружностях (см. 10.9.7.2), доказательство кото-
которой не так очевидно. Из недавних работ на эту тему см. [75],
с. 256.
10.7.11. полярность. Полярность относительно сферы является
частным случаем полярности относительно произвольной невы-
невырожденной квадрики (см. § 14.5) и не представляет никакого
364
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
специального интереса; кроме того, случай аффинного простран-
пространства неудобен из-за исключений, связанных с бесконечно удален-
удаленными точками. Отметим здесь лишь две особенности свойства
полярности относительно сферы. Во-первых, гиперплоскость Я,
полярная к точке х относительно сферы S (а, г), всегда ортого-
ортогональна вектору ах и выделяется условием d(a, H) = r2/ax. Во-
вторых, отношение полярности допускает элементарное опреде-
определение: две точки х, у называются сопряженными относительно
сферы 5, если сфера S', построенная на отрезке [х, у] как на
диаметре, ортогональна S.
Приложение этого понятия см. в 10.13.14.
10.8 ИНВЕРСИЯ
Чтобы избежать рассмотрения различных исключительных слу-
случаев, мы ограничимся здесь лишь элементарной теорией инвер-
инверсии, оставляя общую теорию инверсии, до гл. 20, тем более что
к тому времени у нас появится мощный инструмент в виде тео-
теории квадратичных форм. Содержание этого параграфа представ-
представляет интерес не только элементарностью, но • и тем, что служит
хорошей мотивировкой для материала гл. 20.
Рис. 10.8.1.1
10.8.1. определение. Инверсией с полюсом в точке с и степени
а ? R* называется отображение i = iCi а: Х\с —*- X \ с, опреде-
определенное в векторизованном пространстве Хс соотношением i (x) =
= (a/j* Iя)-*.
10.8.1.1. Для всякой инверсии i2=ldX\c Отображение i имеет
неподвижные точки тогда и только тогда, когда а > 0; в этом
случае неподвижные точки образуют сферу S, называемую сфе-
сферой инверсии: S — S(c, \га) = {х?Х: i(x) = x\. Как вытекает из
10.7.10 и последующего, сферы 5, для которых PcS = a, гло-
глобально инвариантны относительно ic, a. Инвариантно относительно
iCi а также и любое множество вида Y\c, где Y—подпростран-
Y—подпространство пространства X, содержащее полюс с. При этом имеет место
наследственность: сужение данной инверсии на пространство Y
снова представляет собой инверсию той же степени а с тем же
полюсом с.
10.8Л.2. ic, aoic, р = #с, «p-'Uxc.
365 10.8 Инверсия
10.8.1.3. Для всех х, у?Х\с имеем i(x)i(y) = \a\-^—.
казательство получается очевидными вычислениями в Хе.)
(До-
Рис. 10.8.2.1
10.8.2. ОБРАЗЫ СФЕР И ГИПЕРПЛОСКОСТЕЙ. Образом при инвер-
инверсии гс, a любой гиперплоскости Н пространства X, не содержа-
содержащей точку с, является множество S\c, где S—некоторая сфера
в X, проходящая через точку с. Обратно, образом при инверсии
Н
ic, а множества 5\с, где5 — сфера, проходящая через с, является
гиперплоскость, не содержащая точки с. Образом при инверсии
ic, а любой сферы 5, не проходящей через с, также является
сфера, не проходящая через с.
Применяя подходящую гомотетию и формулу 10.8.1.2,
можно считать, что a = ch2, где h—ортогональная проекция
точки с на гиперплоскость Н. Обозначим i(x), где х?Н, через х'.
Простыми вычислениями в Хс получаем, что
но x = \hfx'!\\x'f, поэтому
366
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
Отсюда видно, что точка х' принадлежит сфере, для которой
отрезок [с, h] является диаметром. Если 5—некоторая сфера,
не содержащая с, и PcS = a, то tE) = 5 (см. 10.8.1.1); общий
случай сводится к предыдущему при помощи подходящей гомо-
гомотетии и 10.8.1.2.
10.8.2.1. Примечание. По поводу отображений, «сохраняющих
сферы», см. 9.5.3.2, 9.5.3.6, 18.10.4.
10.8.3. инверсоры. Так называются механические устройства,
реализующие инверсию. В частности, представляет интерес, (см.
10.8.2) превращение кругового движения в прямолинейное, ибо,
Рис. 10.8.3.1
как известно, круговое движение легко реализовать с помощью
механизмов (циркуль, кривошип и т. д.), в то время как прямые
линии в природе не встречаются: даже при изготовлении обыч-
обычной лииейки требуется длительная и тщательная подгоика. Чита-
Читателю предлагается показать, что механизмы, изображенные на
Рис. 10.8.3.2
рис. 10.8.3.1 и 10.8.3.2, являются инверсорами (точка с закреп-
закреплена, остальные подвижны). О других шарнирных механизмах
см. [154], с. 64—88, а также 9.14.34.3 А).
10.8.4. сопряжения. В геометрии сопряжением называется то,
что на языке теории групп называется внутренним автоморфиз-
автоморфизмом. Имеет место следующий результат: пусть g—некоторая
инверсия, а /—либо инверсия со сферой инверсии 5 (см. 10.8.1.1),
либо симметрия as относительно некоторой гиперплоскости S.
367
10.8 Инверсия
Тогда если g (S) — гиперплоскость, то отображение gfg'1 (назы-
(называемое сопряжением / посредством g) является симметрией отно-
относительно гиперплоскости g(S), а если g(S)—сфера, то gfg'1
является инверсией со сферой инверсии g(S).
Рис. 10.8.4
10.8.4.1. Мы воспользуемся следующим критерием: точки х' и х
являются образами одна другой при инверсии с неподвижной
сферой 5 или при симметрии os относительно гиперплоскости S
тогда и только тогда, когда любая сфера, проходящая через эти
точки, ортогональна к S (гиперплоскость Н называется ортого-
ортогональной сфере S, если она содержит центр сферы S). Этот кри-
критерий вытекает из 10.7.10.2.
Наше утверждение получится из этого критерия, как
только мы установим, что ортогональные сферы (или гиперпло-
гиперплоскости) переводятся инверсией также в ортогональные.
10.8.4.2. Примечание. Читатель, наверное, обратил внимание на
следующие два обстоятельства. Во-первых, наши формулировки
тяжеловесны из-за того, что приходится каждый раз различать
сферы и гиперплоскости. Во-вторых, результат 10.8.4 некоррек-
некорректен, поскольку отображение gfg'1 определено лишь на дополне-
дополнении к двум точкам (полюсам инверсий / и g). Таким образом,
ощущается потребность в какой-то структуре, унифицирующей
сферы и гиперплоскости. Кроме того, желательно, чтобы всегда
можно было брать композиции симметрии относительно гипер-
гиперплоскости и инверсии. Эти вопросы обсуждаются в гл. 20.
10.8.5. ИНВЕРСИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ- ПОЛОЖИМ
i — ica (напомним, что мы отождествили X с Хс). Тогда г. Х\с —»-
—* Х\с является диффеоморфизмом класса Сх и его производ-
производная вычисляется по формуле
10.8.5.1. V (х) а/)=
у
Это вытекает из определения отображения i и правил дифферен-
дифференцирования (см. [50]).
10.8.5.2. Следствие (инверсия сохраняет углы). Производная
в любой точке х инверсии ic, a в евклидовом пространстве X раз-
368
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
мерности п является подобием (прямым, если а" < 0, и непря-
непрямым, если а" > 0). В частности, производная инверсии сохраняет
углы между прямыми и углы между лучами. В случае dimX = 2
инверсия меняет знак у ориентированных углов.
Рис. 10.8.5.2
Как показывает 10.8.5.1, V (х) есть композиция сим-
симметрии 8*1 относительно гиперплоскости xL (см. 8.2.10) и гомоте-
гомотетии с коэффициентом растяжения а/||х||2. Остается применить 8.8.5.
10.8.5.3. В частности, инверсия сохраняет углы между гипер-
гиперплоскостями и сферами и, следовательно, переводит ортогональ-
ортогональные гиперплоскости и сферы в ортогональные (это можно доказать
и элементарными методами, без привлечения дифференциального
исчисления).
10.8.5.4. Примечание. В 9.5.4.6 (теорема Лиувилля) мы опреде-
определили все диффеоморфизмы, у которых производная во всех точ-
точках является подобием.
Рис. 10.8.5.5
10.8.5.5. Инверсия и соприкасающаяся окружность. Пусть i — не-
некоторая инверсия с полюсом с, а / — некоторая кривая класса
С2 на плоскости X. Тогда соприкасающаяся окружность С к кри-
кривой / в точке / (/) переходит в соприкасающуюся окружность
369
10.9 Окружности на плоскости
к кривой iof в точке i (f (t)) (по крайней мере если с(^С). В са-
самом деле, инверсия i сохраняет окружности, а соприкасающаяся
окружность к кривой в точке х является пределом окружностей,
описанных около треугольников, вершины которых стремятся
к точке х; поэтому i(C) является соприкасающейся окружностью
к данной кривой в точке х.
Этот результат имеет забавное следствие: кручение
замкнутой простой кривой на сфере S2 обращается в нуль по
меньшей мере в четырех ее точках (см. [15], с. 364). Он позво-
позволяет, кроме того, построить центр кривизны со' для кривой С",
образа кривой С при инверсии i, если известен центр кривизны
со кривой С, а именно: со' = i (со).
10.8.5.6. См. [9].
В § 10.9 и 10.10 действие происходит на плоскости.
10.9 ОКРУЖНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ
Геометрия окружностей на плоскости является следующим по слож-
сложности предметом после геометрии прямых; в некотором смысле она
даже проще, поскольку циркуль — инструмент более естественный,
чем линейка; см. 10.8.3. Результатов здесь, можно сказать, целый
легион, и мы разберем только некоторые из них. Главными тех-
техническими средствами будут: степень точки относительно окруж-
окружности, инверсия и ориентированные углы (см. § 8.7), которые
находят здесь свое главное применение (см., например, 10.9.5).
10.9.1. Обозначение и соглашение. Если х, у—две различные
точки на плоскости, то через ху до конца этой главы мы будем
обозначать прямую <лг, у>. Если х — у и точка х лежит на не-
некоторой известной по контексту окружности С, то хх обозна-
обозначает ТХС—касательную прямую к С в точке х.
Основная тема этого параграфа — четверки точек, лежащие на
одной окружности (такие четверки точек мы будем в дальней-
дальнейшем называть коцикличными). Первый критерий коцикличности
является чисто метрическим.
10.9.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (теорема Птолемея). Для любых четырех
точек х{?Х, ?=1, 2, 3, 4, и их попарных расстояний dif = х{х}
всегда d12d3i^d13di2 + dud2S, причем если имеет место равенство,
то х{ коцикличны или коллинеарны. Для того чтобы точки х,-
были коцикличны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
одно из трех равенств
± d12d3i ± d13di2 ± dud23 = 0.
Мы уже доказали это в 9.7.3.8, однако желательно было бы
иметь более элементарное доказательство. Вот оно. Положим
370
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
xx = x, x2 = y, xs = z, xt = c, и пусть i обозначает инверсию сте-
степени 1 с полюсом в с. Для х' =i(x), у' = i(y), z' =, i{z) получаем
(см. 10.8.3.1)
i , ху , , иг , , гх
у сх-ху' у су-сг' сг-сх'
Отсюда
cz-xy + cx-yz—cyzx = (ex¦ су ¦ cz) (x'y' -j-y'z'—x'z'),
и искомое заключение вытекает из 9.1.1.1, 10.8.2 и того обсто-
обстоятельства, что из трех коллинеарных точек одна всегда лежит
между двумя другими.
Рис. 10.9.2
10.9.2.1. Примечание. Птолемей использовал свое соотношение
для того, чтобы построить «таблицу хорд». Пусть х и z—диа-
z—диаметрально противоположные точки окружности; тогда формула
xz-yt = xy-tz-\-xt-yz в точности совпадает с формулой из три-
тригонометрии: sin (a-fb) = sina-cosb + sinbcosa (см. 8.7.8.1 и
10.3.2). См. также 9.7.3.8.
10.9.2.2. Самое полезное условие коцикличности получается,
однако, на основе ориентированных углов. Мы пользуемся в даль-
дальнейшем обозначениями из § 8.7 (не забывая, разумеется, и 10.9.1).
Приведенные ниже результаты остаются верными и тогда, когда
некоторые из рассматриваемых точек совпадают. Мы приводим
доказательства для случая общего положения, предоставляя
частные случаи читателю (они получаются применением характе-
характеристического свойства касательной прямой к окружности: ее
ортогональности соответствующему радиусу).
10.9.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ (о вписанном угле). Пусть С—окружность
с центром а и а, Ь—две ее точки. Тогда для всех х?С имеем
соа, соЬ = 2ха, хЬ (см. 8.7.7.7).
Обозначим через х' точку, диаметрально противопо-
371 10.9 Окружности на плоскости
ложную х; достаточно показать, что
иа, сих'=2ха, хх'
(см. 8.7.2.4D)). Пусть, далее, D—медиатриса точек {a, x\, a
aD—симметрия относительно D. Согласно 8.7.2.4E),
соа, шг' = соа, ха + ха, ш'=ха, ха-\-ха, х<а = 2ха, ха>.
10.9.4. СЛЕДСТВИЕ. Пусть а, Ь?Х, афЬ, agSl(X)\0. Тогда
множество {х?Х: ха, xb = a\ является окружностью, проходя-
проходящей через а и Ь.
10.9.5. СЛЕДСТВИЕ. Четыре различные точки а, Ь, с, d плоскости
X коцикличны или коллинеарны тогда и только тогда, когда
са,
, db.
Рис. 10.9.5
372 Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
В самом деле, рассмотрим такую точку со, что соа = соЬ
и ела, соЬ = 2а; в качестве со можно взять, например, пересечение
медиатрисы точек а и Ь с прямой, проходящей через а и обра-
образующей с ab угол ab, D, равный б—а (см. 8.7.7.4). Обозначим
через С окружность с центром в со, проходящую через а и Ь.
Тогда ха, xb = a. Обратно, если ха, xb = a, то центр и' окруж-
окружности, проходящей через точки а, Ь, х, образует с точками а, Ь
угол со'а, со'6 = 2а, и, следовательно, со' совпадает с со.
Второе следствие в случае, когда точки а, Ь, с колли-
неарны, очевидно (см., например, 8.7.7.3). В случае когда
са, cb Ф 0, оно вытекает из предшествующего.
10.9.6. ЗАМЕЧАНИЯ. В формулировке 10.9.5 нельзя заменить
ориентированные углы на неориентированные. Если четыре точки
а, Ь, с, d коцикличны, то для неориентированных углов имеет
место соотношение
са, cb = da, db или са, cb + da, db=-n,
однако обратное неверно. Таким образом, использование ориен-
ориентированных углов имеет ощутимое преимущество (для точной
формулировки условия коцикличности с помощью неориентиро-
неориентированных углов пришлось бы разбирать большое количество част-
частных случаев взаимного расположения точек). См. также 10.13.15.
Отметим особо случай а = 6, когда получается окруж-
окружность, построенная на [а, Ь] как на диаметре. ;
Отметим также то, что 10.9.3 и 10.9.5 являются частным
случаем общей теоремы о конических сечениях; см. 17.4.2.
10.9.7. примеры. Следствие 10.9.5 имеет бесчисленное множество
приложений; читатель может обратиться к упражнениям 9.14.3,
10.13.18, а также просмотреть упражнения, содержащиеся
в следующих источниках: [73], [74], [141], [201], [123], [202], [124].
Мы рассмотрим здесь два примера применения этого результата.
Первый пример: прямая Симеона, уже упоминавшаяся в 10.4.5.4
(см. также 9.14.34.3D), 10.4.5.5, 10.9.7, 10.11.3, 10.13.27, 14.4.3.5,
17.8.3.2).
10.9.7.1. Рассмотрим треугольник {а, Ь, с}. Для того чтобы
проекции р, q, r некоторой точки х на стороны этого треуголь-
треугольника были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы точка
х лежала на описанной вокруг треугольника {а, Ь, с} окруж-
окружности.
373
10.9 Окружности на плоскости
Такого рода доказательства обычно проводятся с по-
помощью чертежей, на которых усматривается цепочка равных
углов. В данном случае мы рассматриваем ориентированные углы
и рассуждаем так: поскольку рс, px = & = qc, qx и qa, qx = b —
= га, гх, имеем (применяя 10.9.5 четыре раза) cb, сх = ср, сх =
= qp, qx и, наконец, ab, ax = ar, ax = qr, qx.
Условие «р, q, r коллинеарны» равносильно условию
qr, qx=qp, qx, а потому условию cb, cx = ab, ax, которое рав-
равносильно условию «а, Ь, с, х коцикличны» в силу 10.9.5.
Рис. 10.9.7.1
Эта теорема «о прямой Симеона» долгое время оши-
ошибочно приписывалась Симеону; на самом деле она принадлежит
У. Уоллесу.
10.9.7.2. Теорема Мигеля о шести окружностях. Рассмотрим
такие четыре окружности Сх> С2, С3, Сл, что C1(]Cz = \a, a'\,
'С,()С, = {Ь, Ь'\, CanC4 = |c, c'\, i^ntfiHd, d'Y, точки а, Ь,
с, d коцикличны тогда и только тогда, когда коцикличны а',
Ъ', с', d'.
Используя соотношение Шаля и 10.9.5, получаем
ba, bc = ba, bb'+bb', bc=-a'a, a'b'+c'b', c'c,
da, dc=7a, dcF + dd7, lc='ara, а^сГ + сЧ'', 7с.
Вычитая эти равенства одно из другого и снова используя соот-
374 Гл. Ю. Треугольники, сферы и окружности
ношение Шаля, получаем
Ьа, be—da, dc = a'd', a'b'—c'd', c'b'.
Теперь теорема вытекает из 10.9.5.
10.9.7.3. Примечание. Теорема Мигеля представляет собой начало
«цепочки теорем», см. 10.13.19. О цепочках теорем можно про-
прочитать в [187], 94.7, с. 431, и [64], с. 262 и 258. См. также
10.11.7.
Рис. 10.9.7.2
10.10
ПУЧКИ ОКРУЖНОСТЕЙ
Нижеследующие результаты легко вытекают из свойств степени
(см. 10.7.10).
10.10.1. Пусть С и С—две не концентрические окружности
с центрами 00,00'. Семейство окружностей 3Г = \Т: Г_|_С и Г_1_С"}
обладает тем свойством, что любые две окружности этого семей-
семейства имеют радикальную ось, совпадающую с <со, ©'>. Такое се-
семейство <F называется пучком окружностей. Если Г, F'gf", то
пучок окружностей {С: С±_Т и С±_Т'\ называется ортогональ-
ортогональным к <F пучком и обозначается IF1. Очевидно, что С_[_Г для
всех Cgf-1-, T€<F. Имеем WLX¦ = ?. Если С и С—касающиеся
окружности, то пучок ?, так же как и W¦L, состоит из касаю-
касающихся окружпгстей. Если СПС' = 0, то найдутся две точки
375
10.10 Пучки окружностей
х, у (лежащие на прямой <со, со'», для которых IF1- = [С: х, у (Е С}.
Эти точки х, у называются предельными точками пучка JF. Если
С П С состоит из двух разных точек, то никакие две окружности,
принадлежащие WL, не имеют общих точек.
Рис. 10.10.1.1
Мы еще встретимся со всякого рода пучками в гл. 20.
10.10.2. фигуры, полученные из ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ. Преды-
Предыдущие результаты, а также свойства инверсии позволяют нам
доказать следующий интересный факт: пусть С, С—любые две
окружности на плоскости; существует инверсия, переводящая их
или в две концентрические окружности, или в две прямые.
В самом деле, если С Г) С" Ф 0, достаточно взять любую
инверсию с полюсом в одной из точек Cf)C. Если С(]С = 0,
то в качестве полюса нужно выбрать одну из предельных точек,
скажем х, пучка окружностей, ортогональных С и С. Рассмотрим
образ i (у) при инверсии второй предельной точки этого пучка.
376 Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
377
10.10 Пучки окружностей
Рис. 10.10.1.2
Поскольку инверсии сохраняют ортогональность (см. 10.8.5.3),
все прямые, проходящие через i (у), ортогональны образам наших
окружностей, что возможно лишь в том случае, когда i (у) —
общий центр этих образов.
Рис. 10.10.1.3
Рис. 10.10.2
Этот результат позволяет решить большое количество
задач об окружностях, например исследовать окружности, пере-
пересекающие две данные окружности под равными углами, построить
окружность, пересекающую три заданные окружности под задан-
заданными углами, и т. д.; требуется только, чтобы налагаемое усло-
условие сохранялось при инверсии.
Другая, более глубокая интерпретация указанного
результата, состоит в следующем. Объединение двух концентри-
концентрических окружностей на плоскости имеет довольно большой ста-
стабилизатор G, поскольку он состоит из всех изометрий, оставляю-
оставляющих неподвижным общий центр этих окружностей (аналогично
стабилизатор объединения двух пересекающихся прямых состоит
из всех гомотетий с центром в точке пересечения этих прямых).
После применения инверсии получаем группу G преобразований,
сохраняющих две наперед заданные окружности. Группа G состоит
из преобразований, сохраняющих углы, прямые, окружности. Эти
преобразования не являются преобразованиями самого простран-
пространства Е, но могут рассматриваться как преобразования простран-
пространства Е, которое мы введем в § 20.1 специально для уточнения
этих (и аналогичных) рассуждений.
Теперь приведем одно из приложений результата 10.10.2.
10.10.3. АЛЬТЕРНАТИВА ШТЕЙНЕРА. Пусть С, С—две окружности,
причем С лежит внутри С". Пусть Г! —некоторая окружность,
касающаяся С и С и лежащая снаружи С. Построим цепочку
окружностей Г,(г = 1, 2, ...), определяемых (по индукции) сле-
следующим условием: Г,-+1 касается Г,-, С и С и не совпадает
378
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
с Г;_х. Если Т{фТх для всех t > 1, то тем хуже для нас, если
же Г„ = Г\ для некоторого п, то для любой начальной окружно-
окружности Т[ всегда Г^ = Г^.
Рис. 10.10.3
Доказательство очевидно: посредством инверсии мы
переводим С, С" в концентрические окружности, а эти последние
инвариантны относительно любых вращений вокруг их общего
центра.
Таким образом, имеет место следующая альтернатива:
либо любая цепочка окружностей замыкается, либо любая цепочка
окружностей не замыкается.
Приведем еще один пример альтернативы.
Рис. 10.10.4
379
10.11 Задачи об окружностях
10.10.4. БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ПОНСЕЛЕ ДЛЯ ОКРУЖНОСТЕЙ. Как
и в 10.10.3, рассмотрим две окружности С, С, где С лежит
внутри С. Возьмем произвольную точку хг^С' и образуем
последовательность точек х{ (i^l) следующим образом: прямая
<х/( xi+1> касается окружности С для всех i и <*,-, xi+1>=?
Ф <дг(-, дг,_1>. Тогда либо существует такое п, что хп = xt для всех хг,
либо Х;фх-у при всех хг и при всех i.
Несмотря на простоту формулировки, эта теорема
гораздо труднее, чем теорема Штейнера; см. § 16.6. См. также
10.13.3, 17.6.5 и [19].
10.11
ЗАДАЧИ ОБ ОКРУЖНОСТЯХ
Здесь мы собрали несколько классических задач об окружностях;
читатель может попробовать их решить. Некоторые из них снаб-
снабжены ссылками на литературу.
10.11.1. ЗАДАЧА АПОЛЛОНИЯ. Требуется найти окружность Г,
касающуюся трех данных окружностей С, С, С". Согласно 10.7.9,
эта задача имеет не более восьми решений. Элементарный метод
решения таков: уменьшить радиусы всех окружностей настолько,
чтобы самый малый из них обратился в нуль, и свести задачу
к следующей: построить окружность Г, касающуюся двух данных
окружностей и проходящую через заданную точку. Эту задачу
можно решить при помощи 10.10.2 (в случае необходимости
см. 9.6.6). Более элегантный метод принадлежит Жергонну; он
позволяет определить точки касания окружностей. Этот метод
показан на рис. 10.11.1.2. Точка со изображает радикальный центр
заданных окружностей (см. 10.7.10.2), т. е. точку, степени кото-
которой относительно окружностей С, С, С" совпадают. (Такую точку
легко построить, пользуясь 10.7.10.1.) Рассмотрим теперь шесть
гомотетий, переводящие соответственно С в С, С в С", С в С".
Центры этих шести гомотетий расположены на четырех прямых.
Выберем одну из этих четырех прямых. Обозначим ее через D,
и пусть у, у', у"—точки, полярные к прямой D относительно
окружностей С, С, С" (см. 10.7.11). Тогда точки касания иско-
искомой окружности с окружностями С, С, С" будут точками пере-
пересечения прямых <со, у>, <со, v'>, <co, v"> соответственно с окруж-
, С , С .
Из недавних работ, где можно найти задачу Аполло-
Аполлония, см. [68].
10.11.2. ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА—МАСКЕРОНИ. Требуется построить
центр заданной окружности, пользуясь только'циркулем (см. 10.8.3).
См. по этому поводу [154], с. 25 и далее. На с. 25 внизу имеются
замечания об истории вопроса, а на с. 26 сформулирована тео-
теорема Мора—Маскерони: «все построения, выполнимые при помощи
циркуля и линейки, можно осуществить также при помощи одного
380
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
381
10.11 Задачи об окружностях
Рис. 10.11.1.1
циркуля». Значительная часть книги [154] читается как увлека-
увлекательный роман.
10.11.3. ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК И ТЕОРЕМА ФЕЙЕРБАХА. Обо-
Обозначим через ST треугольник \х, у, г), через р, q, r—основания его
высот, через и, w, v—середины его сторон, через /, tn, n — середины
отрезков {х, h\, \y, h\, \z, h\, где h—точка пересечения высот тре-
треугольника <JT (см. 10.2.5). Пусть, наконец, со—центр окружности,
описанной около <#", a g—центр тяжести треугольника iF. Тогда
точки и, v, w, I, m, n, p, q, r лежат на одной окружности Г,
центр О которой совпадает с серединой отрезка {к, со}; кроме
того, точка g принадлежит прямой ф, со> и gh= — 2^со. Окруж-
Окружность Г касается вписанной и трех вневписанных окружностей
(см. 10.1.5 и рис. 10.1.5).
Для доказательства рассматривают инверсию с полю-
полюсом в точке и и степени upus, где s—основание внутренней бис-
биссектрисы при вершине х.
Рис. 10.11.1.2
Рис. 10.11.3
Отметим также, что окружность Г касается в трех
точках гипоциклоиды с тремя точками возврата—огибающей
семейства прямых Симеона для данного треугольника. См. 10.4.5.5,
10.9.7.1 и 9.14.34.
10.11.4. ЗАДАЧА КАСТИЛЬОНА. Рассмотрим окружность С и точки
(xt)i=i, ... л» не принадлежащие С. Требуется найти «-угольник
с вершинами B()J=ij... „, лежащими на данной окоужности, для
382
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
383
10.11. Задачи об окружностях
которого лг(€<2,-, zi+l> для всех i= 1, ..., п. Один из возможных
методов (довольно сложный) состоит в том, что рассматриваются
инверсии /,• с полюсами в точках xh оставляющие окружность С
Рис. 10.11.4
глобально инвариантной. Оказывается, что (/„ о /п_хо... оД) (г^—zt
и, таким образом, задача сводится к отысканию неподвижных
точек отображения (/„ о /„_! о ... о /х). Лучший метод, пригодный
для любого конического сечения, будет приведен в 16.3.10.3.
См. также [86], с. 144.
Рис. 10.11.5
10.11.5. ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ. Требуется вписать в данный гре-
угольник #" три окружности С, С", С", каждая из которых
касается двух сторон треугольника 3~ и двух других окружное
стей Решение см. в [123], с. 283 русского перевода, или в [201],
с 311—314, или в [86], с. 147.
10.11.6. ЦИКЛЫ ЛАГЕРРА. Речь идет о теории ориентированных
прямых и ориентированных окружностей. См., например, [187],
с 426. Алгебраическая формулировка этой теории содержится
в [12], с 251 и далее. См. также [22], гл. 4. Для того чтобы
Рис. 10.11.6.1
Рис. 10.11.6.2
дать представление об этой теории, мы ограничимся двумя рисун-
рисунками, иллюстрирующими один результат об ориентированных
окружностях и прямых, касающихся друг друга с сохранением
ориентации. Если ориентация не сохраняется, этот результат
становится неверным.
10.11.7. ТЕОРЕМА О СЕМИ ОКРУЖНОСТЯХ. Этот очень красивый
результат можно найти в книге: Evelyn С. J. A.,Money-CouttsG. В.,
Tyrell J. A. Le theoreme des sept cercles.— CEDIC.
384
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
385
10.12 Паратаксия: прилюдия к § 18.9, 20.5 и 20.7
10.12
ПАРАТАКСИЯ х): ПРЕЛЮДИЯ К § 18.9, 20.5 и 20.7
В этом параграфе речь идет о некоторых удивительных явлениях,
связанных с окружностями и сферами в обычном трехмерном
пространстве. Эти явления будут обсуждаться дважды: с геомет-
геометрической точки зрения в § 18.9 и с алгебраической точки зрения
в 20.5.4.
Рис. 10.12.1.1
Рис. 10.12.1.3
10.12.1. Обозначим через Т тор, т. е. поверхность, полученную
вращением окружности S вокруг прямой, лежащей в той же пло-
плоскости, что и 5, и не пересекающейся с S. Этот тор содержит
Использование термина «паратаксия» оправдано тем, что изучаемые в
этом параграфе окружности Вилларсо связаны с так называемыми паратакти-
паратактическими, т. е. равноотстоящими прямыми на трехмерной сфере; об этимоло-
этимологии и истории этого термина см. в [40*], с. 612.— Прим. ред.
Рис. 10.12.1.2
Из книги: Н. Haug, L'Art en
Alsace (Arthaud)
386
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
два семейства окружностей: параллели и меридианы. Первый не-
неожиданный факт: Т содержит еще и другие окружности. Мате-
Математики иногда называют их окружностями Вилларсо (работа
Ивон-Вилларсо появилась в 1848 г.), но на самом деле они были
известны задолго до этого времени. В этом можно убедиться,
посетив в Страсбурге музей «Эвр Нотр-Дам». В этом музее колонна
винтовой лестницы увенчана лепным тором, каркас которого
состоит как раз из таких окружностей. Эти окружности можно
получить, взяв пересечение тора Т с плоскостью, касающейся
его в двух точках (см. рис. 10.12.1.3).
C(t')
Рис. 10.12.2
10.12.2. Эти экзотические окружности естественным образом рас-
распадаются на два семейства {С (t)\ и {Г (9)}. Любая окружность
семейства С пересекается в двух точках с любой окружностью
семейства Г. Две окружности одного семейства не пересекаются
между собой, но зацеплены (по поводу зацеплений см., напри-
например, [15], с. 279), как это видно и на лепном торе в страсбург-
ском музее.
10.12.3. Эти окружности обладают очень сильными угловыми
свойствами. Во-первых, они являются винтовыми линиями тора,
в том смысле, что все меридианы тора пересекают эти линии под
387
10.13 Упражнения
одинаковым углом. Обозначим этот угол через а; он один и тот
же для семейств С и Г. Более того, для любых двух различных t
и /' окружности C(t) и С (f) (а также Г (9), Г (9')) образуют так
называемое паратактическое кольцо с параметром а. Это озна-
означает, что любая сфера S, содержащая окружность С (t), пере-
пересекает окружность С (f) под углом а, а любая сфера 5, содер-
содержащая С (t'), пересекает С (t) под тем же углом а, причем а
совпадает с упомянутым выше углом а. (Угол пересечения кри-
кривой и сферы есть по определению угол между их касательными
прямой и плоскостью в точке пересечения.)
10.13 УПРАЖНЕНИЯ
10.13.1. ТЕОРЕМА О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ВЫСОТ ТРЕУГОЛЬНИКА В ОДНОЙ
ТОЧКЕ
10.13.1.1. Докажите, что для любой четверки точек \х, у, z, t\ на
евклидовой плоскости (ху \ zt) -\- (xz | ty) + (xt | yz) = 0; выведите
отсюда теорему о пересечении высот в одной точке.
10.13.1.2. Выведите эту теорему из 16.5.4, используя понятие
круговых точек.
10.13.1.3. Выведите эту теорему из 2.8.1.
10.13.2. ДОПОЛНЕНИЕ к СВОДКЕ ФОРМУЛ. Докажите следующие
формулы для треугольника (в обозначениях § 10.3):
_L
=
1 1,1,1 ,
г с па nj, пс
2/? =
sin v4-+sin
in С
Рис. 10.13.3
13*
388
Гл. 10. Треугольники, сферы и окружности
10.13.3. БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ПОНСЕЛЕ ДЛЯ ОКРУЖНОСТЕЙ: случаи
п = 3 и и = 4. Покажите, что для любого треугольника ST
радиус R описанной окружности С, радиус г вписанной окруж-
окружности Г и расстояние d между их центрами связаны соотноше-
соотношением R2—2Rr = d2. Покажите, что верно и обратное, а именно:
если центры двух окружностей С, Г радиусов соответственно R
и г удалены друг от друга на расстояние d и d2 = R2—2Rг, то
существует треугольник ST, который вписан в С и описан около Г.
Выведите отсюда большую теорему Понселе для случая треуголь-
треугольника (см. 10.10.4). Проведите аналогичное исследование для слу-
случая четырехугольника, который одновременно вписан в С и опи-
описан около Г.
Рис. 10.13.4
10.13.4. ТЕОРЕМА МОРЛИ. Предполагая сначала, что эта теорема
верна, покажите, что треугольники {и, г, q\, {и, г, р\, \w, p, q\
(см. рис. 10.13.4) равнобедренные. Выразите углы этих треуголь-
треугольников через углы треугольника {х, у, z\. Получите отсюда дока-
доказательство теоремы Морли следующим образом: отправляясь от
некоторого равностороннего треугольника {р, q, г), постройте
точки и, v, w, а затем точки х, у, z таким образом, чтобы соблю-
соблюдались соответствующие условия на углы; заметьте, что полу-
получается треугольник, подобный исходному.
10.13.5. Покажите, что для любого треугольника ?Г = \х, у, z\
на плоскости X и любой точки ? € X имеет место неравенство
tx-\-ty ¦\-tz~^2y V ^^, причем равенство достигается тогда
и только тогда, когда треугольник, равносторонний. Выведите
отсюда, что tx + ty + tz ^ 6г.
10.13.6. Проведите полное обсуждение 10.4.5.4.
10.13.7. Выразите диагонали х, у вписанного в окружность четырех-
четырехугольника через его стороны а, Ь, с, d. Покажите, что его пло-
площадь равна V(p—a) (p—b) (p~c) {p—d), где р = (a + b + c + d)i2.
10.13.8. Изучите аналог 10.4.3 для случая выпуклого четырех-
389
10.13 Упражнения
угольника, а затем для случая шестиугольника, описанного вокруг
эллипса (см. 16.2.13).
10.13.9. Вычислите радиус сферы, описанной около правильного
тетраэдра.
10.13.10. Выразите объем тетраэдра через: (i) площади двух его
граней, длину их общего ребра и двугранный угол между ними;
(и) площадь всех его граней, длины двух противоположных ребер
и величины двугранных углов при этих ребрах; (ш) площадь
одной из граней и величины трех примыкающих к ней двугран-
двугранных углов.
10.13.11. Покажите, что если все грани тетраэдра равновелики,
то они равны.
10.13.12. Рассмотрим некоторый тетраэдр. Обозначим через а,
Р, у расстояния между парами противоположных ребер (см. 9.2.5)
и через h{ (i = l, 2, 3, 4)—расстояния между г-й вершиной и про-
противолежащей гранью. Тогда
— + —-+— = V —•
10.13.13. Для любого тетраэдра произведение синусов противо-
противоположных двугранных углов пропорционально произведению соот-
соответствующих ребер.
10.13.14. ПРИНЦИП САЛЬМОНА. Рассмотрим на евклидовой пло-
плоскости окружность С с центром в точке а, две точки х, у и поляр-
полярные к ним прямые Dx, Dy относительно С. Покажите, что ах/ау=
= d(x, Dy)/d(y, Dx). Покажите, что если Р—вписанный в С
многоугольник с 2п сторонами, то для всех точек z ? С произ-
произведение расстояний точки z до сторон многоугольника Р с чет-
четными номерами равно произведению расстояний точки z до сторон
с нечетными номерами. Покажите, что если Р—описанный около С
многоугольник с четным числом сторон, то произведение рас-
расстояний от вершин с четными номерами до любой касательной
к окружности находится в постоянном (не зависящем от каса-
касательной) отношении к произведению расстояний от вершин с не-
нечетными номерами до той же касательной.
10.13.15. Пусть заданы две разные точки (а, Ь) на евклидовой
плоскости и угол а. Изучите следующие множества:
ot,\
\х: ха, xb
\х: ха, xb = a\,
{х: ха, xb = a\,
{x: ха, xb = a).
10.13.16. ПРЯМАЯ из ОБРАЗОВ. Пусть ST—некоторый треуголь-
треугольник, a D—некоторая прямая. Покажите, что для того, чтобы
прямые, симметричные D относительно сторон треугольника <#",
пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы
390
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
прямая D проходила через ортоцентр треугольника &~. Как ведет
себя точка пересечения, когда прямая D вращается вокруг орто-
ортоцентра (см. также 17.6.2.2)?
10.13.17. Дайте алгебраическое доказательство 10.9.7.2 с исполь-
использованием двойных отношений (см. 9.6.5.2).
Рис. 10.13.18
10.13.18. БОЛТ. Пусть на плоскости задан треугольник {х, у, z].
Покажите, что если точки р, q, г лежат на его сторонах, а я—•
некоторая точка в его плоскости и точки \х, г, я, q}, а также
{у, р, я, г\ коцикличны, то и точки \z, q, л, р\ коцикличны.
Фиксируем теперь л (болт) и будем перемещать точки р, q, r по
сторонам треугольника так, чтобы коцикличность указанных чет-
четверок не нарушалась. Покажите, что треугольники \р, q, r}
и \р', q , г') прямо подобны между собой. Покажите, что все
точки, связанные подобием с точками р, q, r, лежат на некото-
некоторой прямой (например, ортоцентр треугольника {р, q, r\, центры
вписанной и описанной окружностей и т. д.). Покажите, что
семейство всех прямых, связанных подобием с тройкой {р, q, r\,
имеет своей огибающей параболу с фокусом в точке я (см. 9.6.7).
10.13.19. цепочка ТЕОРЕМ. В этом упражнении мы предпола-
предполагаем, что все объекты находятся «в общем положении». Пусть
(Д-)/=1,2, s, 4 — четыре прямые на плоскости и С,—окружность,
описанная около треугольника, образованного тремя прямыми
Dj (j Ф /). Покажите, что четыре окружности С, имеют общую
точку (см. также 17.4.3.5). Сделайте чертеж. Пусть (D/)/=li ..., Б-—
пять прямых на евклидовой плоскости, р1—точка пересечения
окружностей, соответствующих четверке прямых Dj {}ф?) (см.
выше). Покажите, что пять точек р,- лежат на одной окружности.
Сделайте чертеж.
391
10.13 Упражнения
Сформулируйте и докажите цепочку теорем, начинаю-
начинающуюся с двух вышеприведенных утверждений. По поводу таких
цепочек см. [187], с. 431, упр. 94.7, и [64], с. 258.
10.13.20. ИЗОГОНАЛЬНЫЕ ОКРУЖНОСТИ. Окружность Г называется
изогональной двум окружностям С, С, если Г образует с ними
равные углы. Покажите, что окружности, изогональные двум дан-
данным пересекающимся окружностям, ортогональны некоторой фикси-
фиксированной окружности (или прямой). Разберите случай непересекаю-
непересекающихся окружностей. Вариант задачи: окружность Г образует
с окружностями С, С" углы, дающие в сумме я. Изучите окруж-
окружности, изогональные трем, а затем четырем данным окружностям.
Можно ли использовать это для изучения задачи 10.11.1? См.
также в 20.4.4 алгебраический подход к этому вопросу.
10.13.21. В предположениях 10.10.3 обозначим через R, R'
радиусы окружностей С, С", через а, а' — их центры, а через
d—расстояние аа'. Покажите, что если эти окружности допускают
цепочку из п окружностей в соответствии с рис. 10.10.3, то имеет
место равенство
2 (л/п).
10.13.22. Покажите, что плоскость, касающаяся тора в двух точ-
точках (см. рис. 10.12.1.3), действительно пересекает тор по двум
окружностям и что эти окружности суть винтовые линии тора.
10.13.23. Используя технику из 10.3.10, покажите, что точки
пересечения внутренних и внешних трисектрис углов треуголь-
треугольника располагаются на 27 прямых. По этому поводу см. 9.14.34.5
и [154], с. 173—208.
10.13.24. Предположим, что на плоскости задан треугольник 3~.
Найдите окружности С, по отношению к которым ST является
автополярным, т. е. его вершины попарно сопряжены друг другу
относительно окружности С. Тот же вопрос в размерности 3.
10.13.25. Пусть три окружности Си С2, С3 имеют радиусы а, Ь, с
и касаются друг друга. Положим а = а~\ $ = Ь~г, у = с~1. Пока-
Покажите, что радиусы двух окружностей, касающихся С15 С2, С3,
вычисляются по формулам
На что указывает знак выражения а у((у Т )
10.13.26. Пусть а, Ь, с—длины сторон некоторого треугольника^
на евклидовой плоскости, а п—целое число. Рассмотрим точку
X (п), барицентрические координаты которой (по отношению к <?Г)
равны
Kan-\-bn-]-cn ' a"+bn+cn' an+hn-
392
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
Охарактеризуйте геометрически точки Х@), ХA), ХB). Что про-
происходит с точкой Х(п), когда /г—+ + °° (соответственно —с»)?
10.13.27. ЕЩЕ РАЗ ПРЯМАЯ СИМСОНА! Пусть D и D'—две различ-
различные прямые на евклидовой плоскости, a = D (]D' и пусть точка х
не принадлежит D (J D'. Рассмотрим отображение D^ m*>m' ?D'
m'
Рис. 10.13.27
Рис. 10.13.28
где точка т' совпадает с пересечением прямой D' и окружности,
проходящей через точки т, а, х. Покажите, что это отображение
является сужением на D некоторого прямого подобия с центром
393
10.13 Упражнения
в точке х. Какую прямую описывает ортогональная проекция h
точки х на прямую тт."? Выведите из этих результатов тео-
теорему 10.9.7.1 о прямой Симеона.
10.13.28. Пусть на евклидовой плоскости заданы четыре точки
а, Ь, с, d. Постройте такой квадрат ABCD, что а ?АВ, b?BC,
CD dDA
D a
Рис. Ю.13.29.1
t у
Рис. 10.13.29.2
Более общо, пусть заданы два четырехугольника Q, Q'
на евклидовой плоскости. Постройте четырехугольник Q", подоб-
подобный Q и вписанный в Q' (вариант: описанный вокруг Q').
10.13.29. ОКРУЖНОСТИ ФОРДА. Рассмотрим три окружности, каса-
касающиеся друг друга и прямой D, расположенные как показано на
рис. 10.13.29.1. Обозначим через г, s радиусы у, б, через р —
394
Гп. 10. Треугольники, сферы и окружности
радиус маленького круга, а через а, Ь, с—точки касания окруж-
окружностей с прямой D. Выразите р, ас, be через ab, r, s.
Рассмотрим две окружности, заданные в некотором
ортонормированием репере уравнениями х2-\-у2—г/ = 0, хг-\-у*—
— 2дг—у -\-1=0. Построим последовательность окружностей, как
показано на рис. 10.13.29.2. Докажите, что абсциссы точек каса-
касания этих окружностей с осью х—рациональные числа. Получаются
ли таким образом все рациональные числа отрезка [0, 1]?
Окружности Форда имеют одно очень приятное прило-
приложение в арифметике. Это связано с комплексным интегралом по
некоторому контуру, основанному на этих окружностях; см. [193],
с. 267.
Часть
3
Выпуклые тела и полиэдры,
правильные многогран-
многогранники, площади и объемы
Посвящается Анне
Глава 11. Выпуклые множества
Глава 12. Многогранники. Выпуклые
компакты
Глава 11 Выпуклые множества
11.1 Определение. Примеры
11.2 Выпуклость и общая то-
топология. Размерность вы-
выпуклого множества
11.3 Топология выпуклых мно-
множеств
11.4 Выпуклые множества
и гиперплоскости; тео-
теоремы о разделении
11.5 Опорные гиперплоско-
гиперплоскости; применения
11.6 Граница выпуклого мно-
множества, вершины, край-
крайние точки
11.7 Теорема Хелли н ее при-
приложения
11.8 Выпуклые функции
11.9 Упражнения
Появление выпуклых множеств в геометрии естественно, но
вместе с тем они играют важную роль и в анализе, и в диф-
дифференциальной геометрии, и даже в арифметике. Здесь мы огра-
ограничимся только геометрическим аспектом понятия выпуклости,
за исключением некоторых общих сведений о выпуклых функ-
функциях. Кроме того, отметим, что выпуклые множества частного
вида, а именно выпуклые полиэдры будут подробно изучены
в следующей главе.
В § 11.1 приводятся нетривиальные примеры выпуклых множеств
и операций над ними, которые понадобятся в дальнейшем:
сумма Минковского, дуальные (или полярные относительно сферы)
выпуклые множества, симметризация выпуклых множеств по
Щтейнеру.
В § 11.3 дается классификация выпуклых множеств и их гра-
границ с точностью до гомеоморфизма; таким образом, выпуклые
множества легко поддаются изучению с точки зрения алгебраи-
алгебраической топологии. Когда некоторые объекты легко классифи-
классифицировать, конечно же, этой возможностью нужно воспользоваться.
Содержание § 11.4 классическое: он посвящен теоремам отдели-
отделимости, вытекающим из теоремы Хана-—Банаха. Эти результаты
используются, помимо, прочего, для того, чтобы показать, что
полярное преобразование выпуклых множеств обладает свойством
двойственности, а также для изучения точек границы выпук-
выпуклого множества в § 11.6. Двойственность и граничные точки
играют важную роль в гл. 12.
В § 11.7 приведены теорема Хелли и некоторые ее следствия;
это довольно эффективная теорема с очень простой формулиров-
формулировкой. Интересным ее применением является теорема Красносель-
Красносельского. Наконец, в § 11.8 определяются выпуклые функции
и приводятся некоторые их свойства. Два нетривиальных свой-
свойства выпуклых функций будут использованы в дальнейшем:
теорема Брунна — Минковского — в доказательстве изоперимет-
рического неравенства, и теорема Лёвнера — Беренда — для
характернзацни аффинных квадрик.
397
11.1 Определение. Примеры
На протяжении всей этой главы речь пойдет только о веще-
вещественных аффинных пространствах конечной фиксированной
размерности d.
11.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ
11.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество 5 аффинного пространства X
называется выпуклым, если Vat, y^S: [х, y]aS, где (см. 3.4.3)
[х, у] = {Кх+A-Цу: К?[0, Щ.
11.1.2. ПРИМЕРЫ.
11.1.2.1. На приведенных рисунках, за исключением рис. 11.1.1.2,
11.1.1.4 и 11.1.1.7, изображены выпуклые множества. Мы отме-
отметим, что множества на рис. 11.1.1.7 и 11.1.1.8 содержат только
часть границы, выделенную жирной линией. На рис. 11.1.1.1
изображена полоса на плоскости, на рис. 11.1.1.3 — цилиндр
в пространстве, а на рис. 11.1.1.4—6 — области на плоскости,
ограниченные гиперболой, эллипсом и параболой (см. 17.1.4).
11.1.2.2. Выпуклыми множествами являются: все пространство X,
любое аффинное подпространство в X (см. § 2.4), в частности
точки, прямые и гиперплоскости. Пустое множество выпукло,
хотя, как и следовало ожидать, существуют теоремы о выпуклых
множествах, неверные для пустого множества. В таком случае
уместно вспомнить «спасательную аксиому» Валентайна ([234],
с. 198): «Если некоторая теорема не верна, потому что множе-
множество А пусто, то мы неявно предполагаем, что А не пусто. Но
мы от всей души надеемся, что такой «чрезвычайный случай» нам
никогда не встретится.»
11.1.2.3. Выпуклыми множествами в R (т. е. в X при d—l) яв-
являются всевозможные интервалы.
11.1.2.4. Подмножество Е в X называется звездным (относительно
х ? Е), если [х, у] cz E для всех у ? Е. Следовательно, выпуклое
множество—это множество, звездное относительно каждой своей
точки. В 11.7.7 приведена одна очень красивая характеристика
звездных множеств. Любое звездное множество, и в частности
любое ввшуклое множество, связно и линейно связно.
11.1.2.5. В евклидовом аффинном пространстве все открытые или
замкнутые шары, U (а, г), В (а, г), являются выпуклыми. Более
того (см. рис. 11.1.1.8), для любого подмножества А сферы S (а, г)
разность В (а, г)\А также выпуклое множество. Для куба это
уже не верно (см. рис. 11.1.1.7).
11.1.2.6. Пусть X, Y—аффинные пространства, 5с=Х иТ czY —
выпуклые множества и /: Х-—>Y—аффинное отображение. Тогда
/ (S) с: Y и f (T) d X также выпуклые множества (для доказа-
доказательства достаточно применить 3.5.1). В частности, если Н с: X —
гиперплоскость, то каждое из определяемых ею полупространств
398
Гл. 11. Выпуклые множества
Рис. 11.1.1.1
Рис. 11.1.1.2
I
Рис. 11.1.1.3
Рис. 11.1.1.5
Рис. 11.1.1.4
Рис. 11.1.1.6
Рис. 11.1.1.7
Рис. 11.1.1.8
399
11.1 Определение. Примеры
Рис. 11.1.1.9
Рис. 11.1.2.4
(открытое или замкнутое, см. 2.7.3) является выпуклым множест-
множеством. Действительно, если Я = f~x @) для некоторой аффинной
формы / на X, то указанными полупространствами являются
f~* ([0, оо[), /-1(]0, оо[), ..., но [0, оо[, ]0, оо[ — выпуклые мно-
множества в R (см. 11.1.2.3).
11.1.2.7. Пересечение (конечного или бесконечного числа) выпук-
выпуклых множеств выпукло. Следовательно A1.1.2.6), пересечение
полупространств выпукло. В частности, пересечениями конечного
числа полупространств являются выпуклые полиэдры, изучению
которых посвящена гл. 12.
Рис. 11.1.2.7
Объединение возрастающей последовательности вложен-
вложенных друг в друга выпуклых множеств также является выпуклым
множеством.
11.1.2.8. Положительно определенные квадратичные формы на
векторном пространстве Е образуют выпуклое множество в OPf (E).
Этот пример нам еще встретится в 11.8.9.
Теперь рассмотрим три несколько более сложных при-
примера выпуклых множеств, построенных различными способами.
11.1.3. СЛОЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ. Следующая операция
была введена Минковским: пусть S, Т — два выпуклых множества
в векторном пространстве X; тогда множество
11.1.3.1. kS + nT = {ks + iJLt: s?S, t ?T)
является выпуклым для любых вещественных чисел %,
400
Гл. 11. Выпуклые множества
Читатель сможет доказать это «вручную», либо приме-
применяя 11.1.2.6 к /: ХхХ^(х, у) \-^-Хх-\-цу € X.
Если X аффинно, то указанное сложение имеет смысл
только тогда, когда %-\~ix=\ (см. 3.4.1); в противном случае
множество XS+pT определено только с точностью до параллель-
параллельного переноса, но его «форма» все же остается постоянной (см.
2.1.8). Читателю рекомендуется нарисовать несколько множеств
Рис. 11.1.3.1
+ i скажем 5—Т, для множеств S, Т, выбранных по сво-
своему усмотрению. Один частный случай будет существенно исполь-
использоваться при доказательстве изопериметрического неравенства (см.
12.10.10).
11.1.3.2. определение и предложение. Пусть X —евклидово
векторное пространство, А — подмножество в X и е > 0. Поло-
Положим (см. § 0.3)
U (А, €) = {*<ЕХ: d(x, А)<г),
В (А. г)=*{х?Х: d(x, Л)<е};
тогда U (А, е)=.Л + ?/@, е), и если множество А к тому же
компактно, то В (А, г) = А-\-В@, г).
Если d(x, А) < е, то по определению d(x, А) (см. §JX3)
А, что d (х, а) < 8. Следовательно, х = а + ах?
существует такое а
то
— а + ах
@, е). Обратно, если x?A + U@, е),
||а*||<е. Следовательно, d(x, A)s^d(a, х) = г. В случае ком-
компактного А для всякого х? X найдется такое у € А, что d (х, у) =
= d(x, A).
11.1.3.3. Следствие. Если А выпукло, то U (А, е) также выпукло
для всех е > 0. То же верно и для В (А, е), если А компактно.
11.1.4. СИММЕТРИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ ПО ШТЕЙНЕРУ.
Определения и обозначения заимствованы из § 9.13.
11.1.4.1. Предложение. Если S выпукло, то stH (S) также выпукло.
Предположим, что х, x'?stH(S), D и D' — прямые,
перпендикулярные Н и проходящие соответственно через х и х',
и [и, v]=zstH (S)nD, [ur, y'J = stw(S)nD'—отрезки, которым
принадлежат х и х' соответственно. По построению и в силу
выпуклости S прямые D и D' пересекают S по двум отрезкам
[а, Ь] и [а', Ь'], которые порождают отрезки [и, v] и [и', v']
401
11.1 Определение. Примеры
Рис. 11.1.3.2
1
А
4
Ж'
Ж
щ
V
ш
b
iiilii
i
§
b'
и'
1
Ж
Щ
ж
V'
us
I
Щ н
1
Рис. 11.1.4
соответственно; кроме того, существует такое аффинное преобра-
преобразование f плоскости, проходящей через D иО', что а>—>и, b>—>v,
a' i—>u', Ь' t—>v' и / сохраняет длины отрезков, перпендикулярных
к Н. Следовательно, если через Т обозначить трапецию с вер-
402
Гп. 11. Выпуклые множества
403
11.1 Определение. Примеры
шинами а, Ь, а', Ь', то f (T)—трапеция с вершинами и, v, и', v'.
Но Т cz S, так как S выпукло; поэтому / (Г) cz stH (S) и, в част-
частности, [х, х] с sttf(S).
Рис. 11.1.5
11.1.5. ПОЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО К ВЫПУКЛОМУ МНОЖЕСТВУ. ДВОЙ-
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
11.1.5.1. Определение. Пусть А — произвольное подмножество
евклидова векторного пространства X. Подмножеством, полярным
к А, называется
Согласно 11.1.2.7, для любого выпуклого А множество А*
также выпукло. Определение 11.1.5.1 тесно связано с полярным
преобразованием относительно единичной сферы S = S@, 1) в X.
Действительно, гиперплоскостью, полярной к х?Х, является
{у?Х: (х\у) = 1\ (см. 10.7.11 и § 15.5). Читателю рекомендуется
нарисовать несколько множеств А, отличных от приведенных ниже,
и построить соответствующие А*. В 11.4.8 мы покажем, что для
компактных выпуклых множеств, содержащих 0 в качестве внут-
внутренней точки, отображение At—>A* обладает замечательным свой-
свойством двойственности, которое широко используется в гл. 12 при
изучении многогранников.
11.1.6. ПРИМЕЧАНИЕ: ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ. Одним ИЗ ВЯЖНЫХ ПО-
ПОНЯТИЙ^ является понятие выпуклого конуса. Выпуклое множество С
называется выпуклым конусом с вершиной х, если оно инвариантно
при гомотетиях Нхд с центром х и коэффициентом %? R+. У нас
нет возможности для подробного изучения этого понятия, но можно
обратиться, например, к 134], с. 68 русского перевода, или [234].
Рис. 11.1.7
11.1.7. КРИТЕРИЙ ВЫПУКЛОСТИ. Напомним сначала одно простое,
но полезное и приятное свойство выпуклых множеств.
11.1.7.1. Предложение. Пусть S — выпуклое подмножество евкли-
евклидова аффинного пространства X и х?Х. Тогда существует не
более одной точки y(tS, такой что d(x, y)=d(x, S). (Тот факт,
что если 5 замкнуто и непусто, то такое у всегда существует,
тривиален.)
11.1.7.2. Лемма. Пусть S cz X — выпуклое множество и точки
х?Х, y?S таковы, что хфу и d(x, S)=d(x, у). Если через Н
обозначить гиперплоскость, проходящую через у и ортогональную
ху, то S содержится в том из двух замкнутых полупространств,
определяемых гиперплоскостью Н, которое не содержит х. Этот
результат остается верным, если предположить только, что
S звездно относительно у.
Предположим противное: пусть z?S—точка, не при-
надлежащая указанному полупространству; тогда угол ух, yz ост-
острый и, следовательно, на [у, z] существует такая точка t, чего
d(x, t) <d(x, у).
404
Гл. 11. Выпуклые множества
405
11.1 Определение. Примеры
Согласно 9.2.2, предложение 11.1.7.1 немедленно сле-
следует из этой леммы.
Оказывается, свойство 11.1.7.1 полностью характеризует
выпуклые множества; это и утверждается в следующей теореме
Моцкина.
11.1.7.3. Теорема. Пусть S—замкнутее непустое подмножество
евклидова аффинного пространства X, такое что для всех х?Х
существует единственная точка у € S, удовлетворяющая условию
d(x, y)—d(x, S). Тогда S выпукло.
Доказательство приведено в книге [234], с. 94. В той
же книге рассматриваются «самые далекие» от х точки 5, с. 98 и п.
11.1.7.4. Другая характеристика выпуклых множеств будет дана
в 11.5.4 при помощи понятия опорной гиперплоскости.
Кроме того, в книге [234] приводится характеристика
выпуклых множеств при помощи различных условий «локальной
выпуклости», с. 48 и И; таким образом, речь идет о примере пере-
перехода от локального к глобальному. Такого рода рассуждения при-
приведены в 9.5.4.5, § 12.8, § 16.4, 18.3.8.6. [См. также [И*].— Ред.]
Рис. 11.1.8
11.1.8. ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА
11.1.8.1. Из 11.1.2.2 и 11.1.2.7 стандартными рассуждениями
получаем, что для любого подмножества А аффинного простран-
пространства X существует наименьшее выпуклое множество, содержащее А.
Таким множеством служит пересечение всех выпуклых подмно-
подмножеств в X, содержащих А. Оно называется выпуклой оболочкой А
н обозначается ? (А).
11.1.8.2. В 12.1.9 мы покажем (используя 11.6.8), что существует
взаимно однозначное соответствие между выпуклыми оболочками
конечного числа точек в X и выпуклыми компактными полиэд-
полиэдрами в X.
11.1.8.3. Существуют два важных способа описания ? (А). Второй
(основанный на пересечении всех полупространств, содержащих А)
будет изучаться в 11.5.5, а первый способ — описание при помощи
барицентров.
11.1.8.4. Предложение. Для любого подмножества А в X его вы-
выпуклая оболочка ? (А) есть множество барицентров всевозможных
семейств точек А с положительными массами, т. е.
? (А) = { 2 \х(: х( <Е A Vi, %, > 0 V», 2 h = 1
(Х, = 0 для всех i, за исключением
конечного числа), / произвольное .
Доказательство легко получается из определения 11.1.1
при помощи индукции на основе 3.4.9.
П.1.8.5. Естественно попытаться улучшить 11.1.8.4 в двух на-
направлениях, выяснив два вопроса: во-первых, можно ли рассмат-
рассматривать только семейства, состоящие из конечного числа точек,
и если да, то сколько точек должны содержать такие семейства,
и, во-вторых, обязательно ли каждая точка А должна входить
в одно из рассматриваемых семейств, и если нет, то семейства
каких точек нужно рассматривать? Ответ на второй вопрос дает
теорема Крейна—Мильмана, см. 11.6.8; см. также 11.2.9. Вернемся
к первому вопросу; читатель может заметить, что для любых
фигур, изображенных на приведенных выше рисунках, достаточно
рассматривать / с #/^с(+1- На самом деле имеет место следую-
следующая теорема.
11.1.8.6. Теорема (Каратеодори). Для любого подмножества А
в аффинном пространстве X размерности d имеем
? (А) = { 2 V,-: *, € А V/, X, > 0 Vi, 2 К,- = 1}.
I «1 J
{ 2
I «= 1
«= i
}.
Пусть х = 2 Ч*/> где & > с! + 1. Векторизуем X ка-
каким-либо способом (см. 2.1.9). Из линейной алгебры известно,
что если dim X = d и&> d-\-\, то существуют такие а,- (/=1, ...,/?),
не все равные нулю, что 2 а/х,=0, 2 а,=0. Пусть
i=i i = 1
G = {т ? R: та,- + X,-^ 0 Vi = 1, ..., k\.
Это множество замкнуто (так как определяется конечным числом
нестрогих неравенств) в R, не пусто, так как 0^9, и 9=7?=R,
поскольку не все а,- равны нулю. Предположим, что т—точка
на границе 9 и / — соответствующий индекс, такой что та,- + X,• = 0.
Тогда
к / к \ k
v— "V % v _i_tI V гу v 1 — V а
х — ^ л -х,. -{- Т I 2Lt aixi I — Z; \/-i'
i = \ \i=l
= 2
406
Гл. 11. Выпуклые множества
407
11.2 Выпуклость и общая топология
Поскольку 5] (^,- + та,-)=1 по построению, то нам удалось вы-
разить х как барицентр k—1 векторов с положительными мас-
массами.
11.1.8.7. Следствие. Если А компактно, то ? (А) также ком-
компактно.
Действительно, положим
'»", 2>, = iJ;
1 = 1
тогда К—компактное множество в Rd+1 и 11.1.8.6 показывает,
что ? (А) есть образ множества Кх Ad+1czRd+1xXd+1 при не-
непрерывном отображении
d+l
(А1, . . ., A,d+1, Xlt
В 11.9.3 мы несколько улучшим результат 11.1.8.6;
см. также 11.2.2. Одно очень красивое применение 11.1.8.6,
данное Гильбертом, см. в [93], в особенности § 5.
11.1.8.8. Если А ограничено, то diam (? (A)) = diam (А), в част-
частности ? (А) также ограничено.
Это вытекает из 11.8.7.6.
11.2 ВЫПУКЛОСТЬ И ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ. РАЗМЕРНОСТЬ
ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА
Напомним, что наши конечномерные аффинные пространства имеют
каноническую топологию (см. 2.7.1.4).
11.2.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если S выпукло, то его замыкание S также
выпукло.
Рис. 11.2.1
В этом можно убедиться двумя способами. Во-первых,
можно воспользоваться непрерывностью отображения (х, у) н->
н-> Я,х + A—К) у при всех %. Во-вторых, в аффинном пространстве X,
содержащем 5, можно ввести евклидову структуру; тогда 5 =
= П ^E, е), и утверждение следует из 11.1.3.3.
Е > 0
11.2.2. По контрасту с предыдущим: когда А замкнуто, ? (А),
вообще говоря, не замкнуто; на рис. 11.2.2 множество Л состоит
из замыкания внутренней части одной ветви гиперболы и центра
этой гиперболы. Этим, в частности, объясняется введенное инже
понятие. Само предложение 11.2.3 тривиально следует из 11.2.1.
Рис. 11.2.2
11.2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Замкнутой выпуклой обо-
оболочкой подмножества А мы называем пересечение всех замкнутых
выпуклых множеств, содержащих А. Замкнутая выпуклая оболочка
множества А есть не что иное, как ? (А).
11.2.4. ЛЕММА. Пусть S выпукло, х?§ (внутренность S) uy?S.
Тогда ]х, у[а§ (где ]х, у[ обозначает открытый интервал).
Действительно, если z?]x, y[ и V—некоторая откры-
открытая окрестность точки х в S, то искомая окрестность точки z
гомотетична U под действием гомотетии, определенной на S
с центром в у и переводящей х в г.
11.2.5. следствие. Если S выпукло, то S также выпукло и 5 = S.
Если, кроме того, §Ф0, то S = §.
Читатель хорошо знает, что для некоторых подмножеств
S^=S и S^S (см., например, 11.1.2.4). С другой стороны, 5=^ S
даже для выпуклых множеств, например если S—гиперплоскость
в X. Для того чтобы узнать, имеет ли выпуклое множество
непустую внутренность, существует простой и интересный крите-
критерий, основанный на следующем определении.
11.2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размерностью dim 5 непустого выпуклого
множества 5 мы называем размерность аффинного подпрострсн-
408
Гл. 11. Выпуклые множества
409
11.3 Топология выпуклых множеств
ства <5>, порожденного множеством 5 (см. 2.4.2.5): dim S = dim <S>.
11.2.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для непустого выпуклого множества S
условие dim 5 = dim X эквивалентно условию S^=0.
Если S^0, то, согласно 3.5.2, dim S = dim X. Обратно,
пусть (*,•)»•=] d+i — семейство аффинно независимых точек в S.
Тогда (*!+... +xd+1)/(d+ I) gS.
11.2.8. Мы можем, следовательно, говорить об относительной
внутренности выпуклого множества. Это внутренность S в поро-
порожденном им аффинном подпространстве.
D
S
Рис. 11.2.9
11.2.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если S—компактное выпуклое множество,
то S = ?(Fr(S)), где Fr (S) —граница S.
Пусть xgSn D — некоторая прямая, проходящая через точку х;
тогда DflS есть отрезок [и, v], содержащий х (согласно 11.1.2.3).
Так как и, v?FrS, то х?? (Fr (S)).
11.3 ТОПОЛОГИЯ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
В этом параграфе рассматривается классификация выпуклых
множеств с точностью до гомеоморфизмов; кроме того, нам удастся
классифицировать также их границы. Смысл предыдущего выска-
высказывания будет уточнен в формулировках соответствующих пред-
предложений.
11.3.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X—аффинное пространство раз-
размерности d и А—выпуклое подмножество в X размерности
d: dim A = dimX — d. Тогда А гомеоморфно Rd. В частности,
всякое непустое открытое выпуклое подмножество в простран-
пространстве размерности d гомеоморфно Rd.
11.3.1.1. Для доказательства снабдим X структурой евклидова
векторного пространства с началом в точке О ? А; такая точка
существует согласно 11.2.7. Пусть 5—сфера единичного радиуса
в А. Для г/gS через R (у) обозначим луч с началом в точке О,
проходящий через у. Согласно 11.1.2.3 и 11.1.2.7, R (у) П А яв-
является интервалом (содержащим О, и даже интервал [О, еу[
с е>0). Пусть f (у) обозначает отличный от О конец этого ин-
интервала, т. е. единственную точку R (у) П Fr (А). Положим б (у) =
= ||/(«/)(|. Если случится, что R(y)a А, то мы полагаем б (у) = оо
и / (у) не определяем.
Пу)
Рис. 11.3.1.1
Рис. 11.3.1.2
11.3.1.2. Докажем, что функция б: 5—>¦ ]0, оо] непрерывна.
Предположим противное и рассмотрим сначала случай 8(г/)<оо.
Пусть (уп) — последовательность точек S, такая что limytl = y
Рис. 11.3.1.3 Рис. 11.3.1.4
и Ига &(у„)ф8{у). Это означает, что существует такая подпо-
/2-> со
следовательность, обозначим ее также (уп), что либо б (уп) ^
<8(#)—г|, либо б (г/„)>б(г/)+т], где ц > 0. Так как О^А, то
существует открытый шар 0 @, а) (а > 0), принадлежащий А;
следовательно, А содержит заштрихованную на рис. 11.3.1.2
область, откуда получается противоречие в случае б (уп) ^ б (у) — т].
В случае б (уп) ^ б (у) + т] мы также получаем противоречие,
поскольку из выпуклости вытекает, что заштрихованная на
рис. 11.3.1.3 область не пересекается с Л. В случае б (у) = с» мы
используем область, изображенную на рис. 11.3.1.4.
410
Гл. 11. Выпуклые множества
11.3.1.3. Для окончания доказательства достаточно заметить,
что интервалы [0, а[@<а<оо) в R и [0, оо[ гомеоморфны и
этот гомеоморфизм может быть выбран непрерывно зависящим от а.
Мы определим наш гомеоморфизм между X и Л в явном виде:
(х*—*-х, если д:==0 или если хфО, но б (д-/[лг|) = оо;
Мт • -у-»- в других случаях.
11.3.2. ПРИМЕЧАНИЕ. Из предыдущих рассуждений следует, что
граница выпуклого множества имеет меру нуль (см. 2.7.4.3).
Действительно, для каждого R (у) множество R (у) П Fr (Л) состоит
из одной точки и, следовательно, имеет меру нуль. Теперь
остается воспользоваться теоремой Фубини и 11.3.1.2. Другое
доказательство этого факта приведено в 12.9.2.4.
11.3.3. Теперь заметим, что, как видно из примера 11.1.2.5,
тщетно пытаться классифицировать произвольные выпуклые мно-
множества; этим объясняются ограничения, встречающиеся в приве-
приведенных ниже формулировках. Из доказательства предложения
11.3.1 вытекает такое утверждение.
11.3.4. СЛЕДСТВИЕ. Если А—ограниченное выпуклое множество,
такое что dim Л = dimX=d, то его граница Fr (Л) гомеоморфна
сфере S*. Если А к тому же компактно, то оно гомеоморфно
замкнутому шару размерности d. В частности, если d — 2, то
Fr Л—простая замкнутая кривая.
Искомый гомеоморфизм на сферу S** задается отображением,
обратным к y*->f{y), так как в данном случае б (у) < оо VygS,
а 5 гомеоморфна S**.
11.3.5. Если выпуклое множество Л имеет произвольную раз-
размерность, не обязательно совпадающую с размерностью всего
пространства X, то мы применим 11.3.1 или 11.3.4 к аффинному
подпространству, порожденному Л. Следовательно, мы получили
полную классификацию открытых выпуклых множеств и ком-
компактных выпуклых множеств; точнее, если d'—размерность вы-
выпуклого множества какого-нибудь из этих классов, то оно гоме-
гомеоморфно Rd' или шару единичного радиуса в Rd' соответственно.
11.3.6. ЗАМЕЧАНИЯ О ЗВЕЗДНЫХ МНОЖЕСТВАХ. Естественно, воз-
возникает соблазн попытаться приспособить доказательство 11.3.1
к звездным (см. 11.1.2.4) подмножествам в X. Предположим, что
ЕаХ звездно относительно некоторой точки х?Е. Мы всегда
можем ввести евклидову структуру на X, рассмотреть сферу S
единичного радиуса с центром в л: и лучи R (у) для y?S. Однако
теперь конец интервала R(y)f]E, обозначенный через f(y), не
всегда является единственной точкой R (у) П Fr (E); пример — усы
у кота на рис. 11.1.2.4.
Назовем гребнем звездного множества Е множество
411
11.3 Топология выпуклых множеств
{tin)'- У €5, 8(г/)<оо}; гребень для невыпуклых звездных мно-
множеств, вообще говоря, не совпадает с Fr?. Кроме того, легко
видеть (см. рис. 11.1.2.4 и 11.3.6.1), что б не обязательно не-
непрерывно, даже если гребень компактен (на рис. 11.3.6.31) гре-
гребень состоит из двух точек). Тем не менее все нарисованные
Рис. 11.3.6.1
Рис. 11.3.6.2
Рис. 11.3.6.4
Рис, 11.3.6.5
На этом рисунке изображена плоскость без двух лучей.—Прим. перев.
413
412
Гп. 11. Выпуклые множества
11.3 Топология выпуклых множеств
здесь звездные области кажутся гомеоморфными R<*, и это дей-
действительно так.
11.3.6.1. Теорема. Любое открытое звездное подмножество в X
гомеоморфно X.
Рассмотрим векторизацию X в точке О, относительно
которой звездно множество А. Если X = А, то доказывать нечего.
В противном случае FrA^0, и, следовательно, мы можем
определить функцию
Известно (и легко видеть), что <р непрерывна. Определим ото-
отображение F: А —> X, полагая
11.3.6.2. F@) = 0; если хфО, то F (х) =
Отображение F и является искомым гомеоморфизмом. Как из-
известно, достаточно доказать, что F непрерывно, биективно и соб-
собственно (последнее означает, что прообраз любого компактного
множества компактен).
Сначала докажем, что F непрерывно. В точке хфО это вы-
вытекает из 11.3.6.2 и непрерывности <р. Непрерывность в О сле-
следует из открытости А. Действительно, тогда существуют такие
е > 0 и k > 0, что ф (х) ^ k для всех х € О (О, е). Дальнейшие
рассуждения основаны на следующем утверждении:
6 (У)
11.3.6.3. Vj/gS: Г _^_=+оо,
у J ф(ед ^
о
где все обозначения такие же, как и в доказательстве 11.3.1.
Мы различаем два случая. Пусть сначала б(г/) = +оо, и пусть
а — произвольная точка Fr А. Тогда
= d(ty, Fr (A)) ^d(tу, а)<* + ||аЦ,
откуда
dt
о о
Пусть теперь б (у) = &< -|- оо. В этом случае ф (ty)
y) = k—t и
к к
dt
Далее докажем, что F—собственное отображение.
Заметим, что, поскольку F непрерывно и мы рассматриваем ко-
конечномерные векторные пространства, достаточно доказать, что
прообраз любого ограниченного множества в X является огра-
ограниченным множеством. Это легко следует из приведенных выше
оценок: в случае 8(г/) = +°° потому, что полученная оценка
сверху равномерна по у, а в случае б (у) < -f- оо из ограниченности
dt
вытекает, что
11.3.6.4. Замечание. На самом деле А даже диффеоморфно X,
См. также упр. 11.9.6.
11.3.6.5. Следствие. Пусть X—евклидово аффинное пространство
размерности d, S—сфера единичного радиуса с центром в О и С —
замкнутый выпуклый конус с вершиной О (см. 11.1.6). Предполо-
Предположим, кроме того, что существует такая точка у б S П С, что
— yfSnC Тогда S\(S П С) гомеоморфно R"'1.
Положим M = Sp[C и у'= — у. Для произвольной
большой полуокружности у на S с концами у, у' имеем: у ? у Г) М,
у'^упМ и уГ\М связно, потому что С—выпуклый конус с вер-
вершиной в О. Следовательно, у П (S\M) является полуоткрытой
дугой [у', •[ на у. В частности, если через а обозначить стерео-
стереографическую проекцию (см. 18.1.4.3) из полюса у на гиперпло-
гиперплоскость Н, касающуюся S в точке у', то, как показывает преды-
предыдущее рассуждение, a (S\M) — подмножество в Н, звездное от-
относительно у' и открытое, поскольку С замкнуто. Следовательно,
11.3.6.5 вытекает из 11.3.6.1 согласно 18.1.5.
Рис. 11.3.6.6
414
Гл. 11. Выпуклые множества
415
П.3.7. В 11.3.5 мы классифицировали открытые выпуклые мно-
множества и выпуклые компакты. Теперь остается изучить неогра-
неограниченные выпуклые множества. Границы множеств, изображенных
на рис. 11.1.1.1, 11.1.1.3, 11.1.1.6 и 11.1.1.5, гомеоморфны со-
соответственно Rx{—1, +1}, RxS\ R, S1. Это явление оказы-
оказывается общим.
11.3 Топология выпуклых множеств
Рис. 11.3.8.1
11.3.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть А—выпуклое множество в X, та-
такое что dim Л = dim X = d и Fr А Ф 0. Тогда Fr А гомеоморфно
либо R<*-\ либо Srf-'-1xR''(O<r<d—1).
11.3.8.1. Мы используем обозначения из 11.3.1.1. Если А огра-
ограничено, то доказываемое утверждение содержится в 11.3.4. В про-
противном случае положим M = \y?S: 8(у) = оо\.
Из выпуклости А следует, что множество С = U R (у)
уем
является замкнутым выпуклым конусом.
Первый случай: Mf\(—М) = 0, т. е. М не содержит
никакой пары антиподальных точек, или, что равносильно, Л не
содержит целиком ни одной прямой, проходящей через О. Это
в точности условия следствия 11.3.6.5, и, значит, FrЛ гомео-
морфна S\M, а потому Rrf-1.
11.3.8.2. Второй случай: существует такое у?М, что —у ? М,
т. е. A^>D, где D—аффинная прямая, проходящая через О иг/.
Пусть V—аффинное пространство максимальной размерности г,
содержащееся в Л. Очевидно, что rs^d— 1, так как в^противном
случае РгЛ = 0, поскольку А = Х. Пусть W—ортогональное
дополнение к V. Тогда W является аффинным подпространством
Рис. 11.3.8.2
размерности d—rw W П Л = В—выпуклое множество в W. Пусть
х?В; возьмем некоторую точку y?V и рассмотрим ее стремле-
стремление к сю на V всеми возможными способами. Так как [х, у] с Л и
V с Л, то предельный переход показывает, что А содержит аф-
аффинное подпространство Vx, параллельное V и проходящее через х.
Отсюда A=)VxB, итакоеже рассуждение показывает, что AcVxB.
Следовательно, так как FrV = 0,
Fr Л = Fr Л = Fr (V X В) = V X FrB = V х FrB.
Предложение вытекает теперь из 11.3.4 или 11.3.8.1, поскольку
из максимальности V следует, что для В выполнен первый слу-
случай.
11.3.9. ПРИМЕЧАНИЕ. Техника доказательства 11.3.8.2 является
достаточно общей; совсем недавно она была применена на не-
некоторых римановых многообразиях: [53]. См. также [209].
11.3.10. ПРИМЕЧАНИЯ.
11.3.10.1. По определению, выпуклая кривая на евклидовой плос-
416
Гл. 11. Выпуклые множества
417
11.4 Выпуклые множества и гиперплоскости
кости X — это граница выпуклого множества в X размерности 2.
Предложение 11.3.8 показывает, что связная выпуклая кривая
гомеоморфна либо окружности S1, либо прямой R1; сравните это с
классификацией одномерных связных дифференцируемых много-
многообразий (см., например, [15], с. 127). Читатель может разобрать с
этой точки зрения доказательство теоремы 9.6.2 из [15]; см. ниже
11.5.4.
11.3.10.2. Выпуклая поверхность в трехмерном евклидовом прост-
пространстве есть, по определению, связная компонента границы трех-
трехмерного выпуклого множества в этом пространстве. Такая по-
поверхность, следовательно, всегда гомеоморфна A1.3.8) либо R2,
либо S1 х R (цилиндр), либо S2. Выпуклым поверхностям по-
посвящены весьма тонкие работы: см., например, [256] или [43],
[248]. Относительно дифференцируемого случая см. [81], с. 344,
упр. 3.
11.3.10.3. Наконец, из 11.3.8 легко получить топологическую
классификацию замкнутых выпуклых множеств.
11.4 ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ГИПЕРПЛОСКОСТИ;
ТЕОРЕМЫ О РАЗДЕЛЕНИИ
Весь этот параграф основан на следующей теореме.
11.4.1. ТЕОРЕМА ХАНА—БАНАХА. Пусть X—аффинное прост-
пространство, А—непустое открытое выпуклое подмножество в X и L—
аффинное подпространство в X, такое что Af\L = 0. Тогда в X
существует гиперплоскость, которая содержит L и не пере-
пересекается с А.
Условие «Л открыто» отменить нельзя: рассмотрим в
качестве А открытую полуплоскость, к которой добавлен отрезок
ее границы, а в качестве L возьмем точку на этой границе.
Другой пример приведен в упр. 11.9.9.
X
Заметим, что теорема не тривиальна, так как, например,
для открытого шара U (а, г) и L = {x], где x?S(a, г), указанная
гиперплоскость единственна: это гиперплоскость, касающаяся
S(a, r) в точке х(см. 10.7.4).
Рис. 11.4.1
-х
Рис. 11.4.1.1
11.4.1.1. Первый шаг доказательства состоит в сведении к слу-
случаю плоскости. Пусть M^L—подпространство максимальной
размерности, такое что М(]А = 0; нужно показать, что М — ги-
гиперплоскость. Будем рассуждать от противного. Векторизуем X в
Ogl и обозначим через р: X —>¦ Х/М каноническую проекцию на
факторпространство. Тогда р(А) снова выпукло A1.1.2.6), от-
открыто и О^р(А). Пусть ZaX/M-—двумерное векторное под-
подпространство, пересекающее р(А); следовательно, множество
B = p(A)()Z выпукло, открыто и непусто; такое Z существует,
поскольку dim (Х/М) ^2 по предположению.
11.4.1.2. Теперь остается показать абсурдность утверждения, что
любая прямая в Z, проходящая через О, пересекает В (В выпук-
выпукло, открыто в Z и О| В), Эвристически можно рассуждать сле-
следующим образом. Введем на Z евклидову структуру; лучи, вы-
418
Гл. 11. Выпуклые множества
419
11.4 Выпуклые множества и гиперплоскости
ходящие из О и пересекающие В, вырезают на единичной
окружности S1 в Z дугу, не содержащую никакой пары анти-
антипода льных точек (в противном случае отрезок, соединяющий эти
антиподы, содержит О и лежит в В). Кроме того, так как В
выпукло, наша дуга связна. Отсюда вытекает, что она имеет
длину < я, и, значит, существует прямая, не пересекающая В,
т. е. получается искомое противоречие. Остается теперь строго
провести эти рассуждения.
Рис. 11.4,1.2
Рис. 11.4.1.3
Введем конус С= (J кВ; он является открытым выпук-
Я>0
лым множеством (легкое доказательство предоставляется читате-
читателю) и О(?С(в случае, изображенном на рис. 11.4.1.1, где В —
открытый круг, граница которого содержит О, С есть полуплос-
полуплоскость!). Существует по крайней мере одна точка х границы С,
лежащая в Z\O (в противном случае С будет одной из компо-
компонент связности множества Z\0; именно так получается для
R\O, но у нас dim Z = 2, и поэтому Z\O связно, см. 8.3.8).
Следовательно, хФС, так как С открыто, но также и ¦—х&С,
г- о г-
поскольку в противном случае — х? С, их?С, а потому (см. 11.2.4)
0?С. Но тогда прямая D, проходящая через х и О, не пересе-
пересекает С, а значит, и В, что дает искомое противоречие.
11.4.2. Теорема Хана — Бэнаха имеет фундаментальные при-
приложения в функциональном анализе; при этом ключевым момен-
моментом является соответствие между гиперплоскостями и линейными
формами: см., например, [153], с. 186, [172], с. 23, [34], с. 93
русского перевода. [См. также [24*], с. 130.— Ред.]
Нас интересуют только «геометрические» применения
теоремы Хана—Банаха.
11.4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X — аффинное пространство, А и В —
два подмножества в X и Н — гиперплоскость. Будем говорить,
что Н разделяет (соответственно строго разделяет) А и В, если А
лежит в одном, а В—в другом полупространстве (соответствен-
(соответственно открытом полупространстве), порожденном Н.
11.4.4. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что в аффинном пространст-
пространстве X имеются два непустых выпуклых множества А и В, при-
причем А открыто и АГ\В = 0. Тогда существует гиперплоскость,
разделяющая А и В.
Векторизуем X и применим 11.1.3.1 к С = А — В;
мы получим выпуклое открытое (как объединение открытых)
множество, и 0(?С, так как АГ\В= 0. Применим 11.4.1 к Си
аффинному подпространству {0}.
Так как гиперплоскость Н является границей полу-
полупространств, которые она определяет, то имеет место следующее
утверждение.
Рис. 11.4.5
11.4.5. СЛЕДСТВИЕ. Пусть в аффинном пространстве имеются
два непустых открытых выпуклых непересекающихся множества.
Тогда существует гиперплоскость, которая их строго разделяет.
Как показывает рис. 11.4.5, для двух замкнутых мно-
множеств это уже неверно. Напротив, если одно из двух замкнутых
множеств компактно, то имеет место аналогичный результат.
11.4.6. СЛЕДСТВИЕ. Если А, В — два выпуклых множества, при-
причем А замкнуто и непусто, а В компактно и Af\B=0, то
существует гиперплоскость, которая их строго разделяет.
В самом деле, с помощью общей топологии можно
показать, что существует открытый шар U (а, е) с е > 0, такой
что (A-\-U(a, e))[)(B4-U(a, е)) = 0, а для этих двух подмно-
подмножеств выполнены условия 11.4.5.
В общем случае произвольных замкнутых выпуклых
множеств имеет место только такое утверждение:
11.4.7. СЛЕДСТВИЕ. Если А, С—два непустых замкнутых выпук-
выпуклых непересекающихся множества, то существует гиперплоскость,
которая их разделяет.
Для доказательства введем в наше аффинное прост-
420
Гл. 11. Выпуклые множества
421
11.5 Опорные гиперплоскости; применения
ранство евклидову структуру. Пусть а?А; рассмотрим замкну-
замкнутые шары В (а, п), n?N. По предположению два выпуклых
множества А[\В(а, п) и С удовлетворяют условиям 11.4.6 для
всех п; пусть На-—гиперплоскость, разделяющая эти множества.
Достаточно показать, что из последовательности И п можно вы-
выбрать подпоследовательность, сходящуюся к гиперплоскости. По-
Поскольку проективное пространство прямых, проходящих через
точку а, компактно (см. 4.3.3), то сначала мы можем найти в
Рис. 11.4.7
Нп подпоследовательность со сходящимися ортогональными на-
направлениями. Далее достаточно найти сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность точек, каждая из которых лежит на соответствую-
соответствующей гиперплоскости. Но если с?С — произвольная точка, то из
последовательности точек Нп П [а, с] можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность, поскольку [а, с] компактно.
Теперь мы в состоянии изучить операцию *, введен-
введенную в 11.1.5.
11.4.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X—евклидово векторное прост-
пространство с началом в 0; тогда:
(i) если А ограничено, то 0 ? (А*H;
если 0?Л, то А* ограничено;
(и) если А — замкнутое выпуклое множество, содержа-
содержащее 0, то А** = А.
В самом деле, если Ас:В@, г) для некоторого г > 0,
то Л*гз(В@, г))* = В@, г). Аналогично, если существует та-
такое г>0, что В@, г)аА, то Л*с(8@, г))* = В@, г'1).
Пусть теперь А—замкнутое выпуклое множество, со-
деожащее 0; прежде всего по определению 11.1.5.1 АаА**. Пусть
й|Л; согласно 11.4.6, существует гиперплоскость И, строго
разделяющая Л и а, в частности 0(?#. Пусть К—полюс Я (см
10.7.11), т. е. H = {z?X: (z|ft)= 1}. Тогда (а|А) > 1 и (*1А)< 1
А. Значит, а^А**, т. е. А**аА.
11.5 ОПОРНЫЕ ГИПЕРПЛОСКОСТИ; ПРИМЕНЕНИЯ
Важным случаем разделения является случай, когда А выпукло,
а В = {х\, х?А. Этот случай приводит нас к следующему опре-
определению.
Рис. 11.5.1
11.5.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Л—подмножество некоторого аффин-
аффинного пространства X; опорной гиперплоскостью к А в точке х^ А
назовем гиперплоскость Н, содержащую точку х и разделяющую
\х\ и Л.
Согласно замечанию, предшествующему 11.4.5, если
И—опорная гиперплоскость к выпуклому множеству Л, то
Н [\ А = 0; с другой стороны, если Н—гиперплоскость, опорная в
точке х, то х обязательно принадлежит FrA.
422
Гл. 11. Выпуклые множества
423
11.5 Опорные гиперплоскости; применения
Приведенные выше рисунки показывают, что опорная
гиперплоскость существует не во всякой точке х, может ока-
оказаться не единственной в точке х и, наконец, может быть опор-
опорной гиперплоскостью более чем в одной точке. Мы уточним это
в § 11.6.
11.5.2. предложение. Пусть А—замкнутое выпуклое множест-
множество; тогда для любой точки его границы существует гиперплос-
гиперплоскость, опорная к А в этой точке.
В самом деле, если x?FrA, то {х}[\А = 0. Применим
теорему 11.4.1 к А и L={x\.
Можно показать, что между точками FrA и опорными
гиперплоскостями существует двойственность, определяемая при
помощи полярного преобразования, введенного в 11.1.5.1.
Рис. 11.5.3
11.5.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть X—евклидово векторное простран-
пространство с началом в О, А—замкнутое выпуклое множество, такое
что 0?А. Тогда множество гиперплоскостей, полярных точкам
FrA, совпадает с множеством опорных гиперплоскостей к А*.
Кроме того, если x?FrA и Н—соответствующая х полярная
гиперплоскость, то множество точек. FrA*, в которых Н являет-
является опорной к А*, совпадает с множеством полюсов всех гипер-
гиперплоскостей, опорных к А в точке х.
Пусть x?FrA; согласно 11.1.5.1, Л* содержится в
полупространстве, определяемом гиперплоскостью Я, полярной
точке х (см. 10.7.11). Аналогично, если Т — гиперплоскость,
опорная к Л в точке х, и р—ее полюс, то р ? Н (см. 10.7.11) и
р ? А *, поскольку А содержится в том же полупространстве
относительно Т, что н О. Следовательно, Н является гиперпло-
гиперплоскостью, опорной к Л* в точке р, и любая гиперплоскость,
опорная к Л*, может быть получена таким образом, поскольку
А** = А (см. 11.4.8).
Теперь мы можем привести обещанную в П. 1.7.4 ха-
характеристику выпуклых множеств.
Рис. 11.5.4
11.5.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть А—замкнутое множество с не-
непустой внутренностью. Если в каждой точке его границы сущест-
существует опорная гиперплоскость, то А выпукло.
От противного: пусть х € А, у, г ? Л и t ?[y, г] тако-
таково, что t^A. Поскольку х?А и t^A, отрезок [х, t] пересекает
FrA по крайней мере в одной точке и?]х, t[. Пусть Н—гипер-
Н—гиперплоскость, опорная к Л в точке и. Через три точки х, у, z
проведем аффинную плоскость; тогда Н пересекает эту плоскость
по прямой, проходящей через и. Но любая прямая, проходящая
через внутреннюю точку и треугольника {х, у, z\, строго разде-
разделяет либо х и у, либо х и г.
Условие «непустой внутренности» существенно: без него
предложение неверно; контрпример см. на рис. 11.5.5.
Рис. 11.5.5
Полезно сравнить это доказательство с непосредствен-
непосредственным доказательством, приведенным в [15], с. 358. Теперь мы
дадим упомянутое в 11.1.8.3 описание выпуклой оболочки.
424
Гл. 11. Выпуклые множества
425
11.5 Опорные гиперплоскости; применения
11.5.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть А—замкнутое выпуклое множество;
тогда А совпадает с пересечением всех содержащих его замкну-
замкнутых полупространств.
Пусть <§' (А)—указанное пересечение; это есть замк-
замкнутое и выпуклое (см. 11.1.2.7) содержащее А множество. Пред-
Предположим, что существует точка х?<§' (А)\А; тогда, применяя
11.4.6 к Л и В = \х), получим противоречие.
11.5.6. замечания. Существование опорной гиперплоскости к
множеству А (возможно, невыпуклому) можно установить и бо-
более элементарным путем, чем использование теоремы Хана — Ба-
Банаха.
11.5.6.1. Пусть А — компакт в X, V—некоторое направление
гиперплоскости в X B.4.1). Тогда существует по крайней мере
одна гиперплоскость, опорная к Л и параллельная V.
11.5.6.3. Если X, кроме того, евклидово, то X/V имеет естест-
естественную евклидову структуру и длина (т. е. диаметр) компакта
р(А) называется шириной А в направлении прямой %-=V- и
обозначается largg/4. Выпуклые множества постоянной ширины
являются предметом многочисленных работ, но в этой области
все еще существует много открытых проблем, и даже в размер-
размерности d = 2. В 12 10.5 мы вычислим длину одной кривой по-
постоянной ширины; там же приведены рисунки и ссылки на ли-
литературу.
11.5.6.4. С понятием опорной гиперплоскости тесно связано понятие
опорной функции: см. 11.8.12.3.
11.5.7. В евклидовом пространстве понятие выпуклости позво-
позволяет точно определить «наименьший шар, содержащий данный
компакт».
X/V
Рис. 1
Рис. 11.5.6.2
Действительно, пусть р: X—>-X/V — проекция X на
факторпространство (см. 2.2.4), тогда р (А) — компактное мно-
множество на аффинной прямой X/V. Если а и [3—две точки его
границы (возможно, совпадающие), то р-1(а) и р-1(Р)— гипер-
гиперплоскости, параллельные V и опорные во всех точках р~1(а)[}А
или р-!(Р)ПЛ.
11.5.6.2. Это доказательство показывает, кроме того, что если
А Ф0, то существуют по крайней мере две такие гиперплоскос-
гиперплоскости. Напротив, если А замкнуто, но не компактно, то такой
гиперплоскости может не быть: см. рис. 11.5.6.2.
Рис. 11.5.8.1
11.5.8. ТЕОРЕМА (Юнг). Пусть А—компакт в аффинном евкли-
евклидовом пространстве X размерности d. Тогда А содержится в
единственном шаре минимального радиуса. Кроме того, если
х—центр и г—радиус этого шара, то
0)
/
-diam(A), и это неравенство неулуч-
шаемо;
(h)x€&(A()S(x, r)).
Для любого t ^ 0 положим У, = \у € X: В (у, t)
А).
426
Гл. 11. Выпуклые множества
Так как А ограничено, то T = \t?R: УгФ0)Ф0.
Заметим также, что из t ^ /' следует, что Yt cz Yt> и что каждое
Yt является компактом. Так как убывающая последовательность
компактов имеет непустое пересечение (см. § 0.4), то Yr = П Yt Ф
t>r
Ф 0, гДе г = inf Т.
Если х, y?Yr и хфу, то (см. рис. 11.5.8.2)
2 Щ_ ^ г и 1/ гг BL- дТ
т.е. мы получили противоречие; следовательно, Yr = -
Рис. 11.5.8.2
Рис. 11.5.8.3
-и
Рис. 11.5.8.4
427
11.5 Опорные гиперплоскости; применения
Остается доказать (i) и (И). Для этого векторизуем X
в точке х. Пусть u?S(x, 1) и е>0 произвольны; по определе-
определению х и г имеем
3a?A\d(x, a)^r<d(a, ей).
Так как А—компакт, то для каждой точки u?S(x, 1), переходя
к пределу при е—+0, мы найдем такое а?А, что (aju)=sCO и
d (х, а) = г. Отсюда вытекает (ii), поскольку, если х ^ ? (А П S (х, г)),
существует гиперплоскость Н, строго разделяющая х и А П S (х, г)
(чтобы это доказать, достаточно применить 11.4.6); но это проти-
противоречит предыдущему результату, примененному одновременно
к двум векторам и и — «:
{u\U{-u\=S(x, l)(]HK
Для доказательства (i) применим теорему Каратеодори 11.1.8.6:
* = 2 М/. bi>°, 2 h= I, (a,)i=i J+1c5 (x, г) П А.
i i
В частности, d (a,-, ay) ^ б = diam (А) для всех 1Ф\. Фиксируем
сначала некоторое i: 1— X A,,-= ?i7.1 Следовательно,
1Ф1
«- а,) =
*
поскольку d(a,-, a,-) = 0! Но
-2(а,|а/.)>2г2-2(а,-|ау.),
откуда
A-уб^B^/Jг2-2('а,.|2^
(поскольку д: = 0 как начало координат векторизованного про-
пространства X). Суммируя по i от 1 до d-\-\, получим
l)r2,
т. е. (i). При этом равенство может достигаться только при
d(at, п]) = Ь для всех 1Ф\, а это выполнено, во всяком случае,
для правильного симплекса
(см. 12.1.2.5), рассматриваемого в гиперплоскости размерности
d: 2^ = 1 в Rd+l.
П.5.9. ПРИМЕЧАНИЯ
11,5.9.1. В качестве «бесплатного прилозхенияу теоремы 11.5.8
428
Гл. 11. Выпуклые множества
получаем вычисление радиуса сферы, описанной около правиль-
правильного симплекса Sd (см. 9.7.3.7). См. также 11.9.18.
11.5.9.2. Равенство в (i) может быть достигнуто и для областей Л,
отличных от правильного симплекса, например для треугольника
Рело: рис. 12.10.5.1.
Рис. 11.5.9
11.5.9.3. Предостережение читателю: канонически связанная с Л
точка х, вообще говоря, не совпадает с центром тяжести А
(см. 2.7.5.6).
11.5.9.4. Нужно также иметь в виду, что возможен случай
(см. рис. 11.5.9), когда # (S (х, г) П А) < d + 1 (т. е. некоторые из
точек ah упоминаемых в доказательстве теоремы, могут совпадать).
11.5.9.5. Мы можем изучить также шары наибольшего радиуса,
содержащиеся в данном компакте А: на этот раз мы найдем мак-
максимальный радиус, но такой шар уже не единствен. Существует
также оценка для максимального радиуса с помощью наименьшей
ширины А: см. 11.9.12 или [92], с. 112. [См. также [10*], с. 91
и далее.— Ред.]
11.6 ГРАНИЦА ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА, ВЕРШИНЫ,
КРАЙНИЕ ТОЧКИ
Теперь мы изучим различные типы граничных точек выпуклого
множества.
11.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А — замкнутое выпуклое множество
в пространстве X размерности d и x?FrA. Говорят, что х есть
точка порядка а, если пересечение всех гиперплоскостей, опорных
к Л в точке х, имеет размерность а. Точка х называется верши-
вершиной Л, если ее порядок а = 0; напротив, еслиа = с(—1 (т. е. если
опорная гиперплоскость в х единственна), то говорят, что множе-
множество Л является гладким в точке х.
На рис. 11.6.1.1 изображен круг; он не имеет вершин,
и все точки его границы являются гладкими. Симплекс, изобра-
изображенный на рис. 11.6.1.2, имеет граничные точки всех возможных
порядков 0, 1, 2; более общо: симплекс размерности d имеет
граничные точки порядков 0, 1, .... d—1; то же верно и для
произвольных многогранников, см. 12.1.9. На рис. 11.6.1.3 изоб-
изображена выпуклая фигура, имеющая бесконечное множество вер-
429
11.6 Граница выпуклого множества, вершины
шин. Однако выпуклое множество не может иметь слишком много
вершин.
11.6.2. предложение. Выпуклое множество имеет не более чем
счетное число вершин.
Рис. 11.6.1.1
Рис. 11.6.1.2
Рис. 11.6.1.3
Введем в X евклидову структуру; для х ? Fr Л пусть
CWV—нормальный конус в х к Л, определяемый следующим обра-
образом: CNX есть объединение лучей с вершиной х, которые ортого-
ортогональны опорным гиперплоскостям к Л в х и расположены по ту
сторону от гиперплоскости, где не содержится Л. Иначе говоря,
Если Л гладко в точке х, то конус CN x сводится к единствен-
единственному лучу; с другой стороны, утверждение, что х является вер-
вершиной, эквивалентно тому, что CNхф 0. Фиксируем а?Х. Пусть
х пробегает множество вершин Л. Каждый конус CNX парал-
параллельно перенесем в конус CNX с вершиной в а. В силу выпукло-
выпуклости Л имеем CN'X П C°N'y= 0 для Чхфу. Действительно, в про-
противном случае найдется такая точка z ? X, что треугольник хуг
430
Гл. 11. Выпуклые множества
имеет острые углы в вершинах хну. Следовательно, (xy\xz) > 0
и (ух | yz) > 0, что противоречит определению нормальных конусов.
Хорошо известно, что- множество таких CN'X счетно
(поскольку в X можно выбрать счетное всюду плотное множество
точек).
Рис. 11.6.2
11.6.3. Одна более тонкая теорема о вершинах приведена в книге
[234], с. 136.
11.6.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А выпукло, x?FrA. Точка х назы-
называется выступающей, если существует опорная гиперплоскость Н
в х, такая что Н [\А = {х). Точка х называется крайней, если из
{ + z)l2, где у, z?A, вытекает, что у = г. Выпуклое множе-
431
11.6 Граница выпуклого множества, вершины
ство называется строго выпуклым, если все точки его границы
выступающие1).
11.6.5. ПРИМЕЧАНИЯ
Рис. 11.6.5.1
Рис. 11.6.5.2
Рис. 11.6.5.3
11.6.5.1. Вершина всегда является крайней точкой, но обратное
неверно (см. рис. 11.6.5.2). Однако в 12.1.9 мы покажем, что для
полиэдров обратное утверждение все же имеет место.
11.6.5.2. Выступающая точка всегда является крайней, но обрат-
обратное тоже неверно (см. рис. 11.6.5.2).
11.6.5.3. Множество крайних точек компакта необязательно
замкнуто: рис. 11.6.5.3. Однако оно замкнуто, если d = 2; см.
упр. 11.9.8.
11.6.5.4. Пустьх ? Fr А. Утверждение, что х—-крайняя точка, экви-
эквивалентно утверждению, что множество А\х все еще выпукло:
см. рис. 11.1.1.7 и 11.1.1.8.
Здесь при переводе использована терминология статьи «Выпуклое мно-
множество» из [28*].— Прим. ред.
432
Гл. 11. Выпуклые множества
11.6.5.5. Одно интересное свойство крайних точек приведено
в 11.8.10.9.
11.6.6. ПРИМЕРЫ
11.6.6.1. Крайние точки отрезка — это его концы.
11.6.6.2. Крайние точки играют важную роль в теории меры
(где, правда, рассматриваются бесконечномерные пространства);
см. [79], с. 147, задача 8.
11.6.6.3. С крайними точками постоянно приходится встречаться
в прикладной математике; например, бистохастические матрицы
образуют выпуклое множество, крайние точки которого состоят
из матриц перестановок: см. 11.9.7 и [151], гл. 21, или [195],
гл. V.
11.6.7. Теперь мы можем ответить на вопрос, заданный еще
в 11.1.8.5.
11.6.8. ТЕСРЕМА (Крейн и Мильман). Компактное выпуклое мно-
множество совпадает с выпуклой оболочкой своих крайних точек.
Рис. 11.6.8
Через Extrem (•) обозначим совокупность крайних точек
выпуклого множества. Из определения 11.6.4 легко следует, что
Extrem (Л n #)'= (Extrem (Л)) П Н
для любой гиперплоскости Н, опорной к А. Теорему 11.6.8 дока-
докажем индукцией по размерности d пространства X. Прис(=1 тео-
теорема следует из 11.6.6.1; перейдем теперь от d—1 к d. Согласно
11.2.9, утверждение A = g (Extrem (Л)) следует из доказываемого
ниже включения Fr Л а? (Extrem (Л)). Пусть х ? Fr Л и Н—гипер-
Н—гиперплоскость, опорная к Л в х (см. 11.5.2); тогда А[)Н выпукло
в Я, следовательно, по предположению индукции
х ? Н П Л = ? (Extrem (Л П #)) = ? (Extrem (Л) П Щ =
= ? (Extrem (Л)) n Hag (Extrem (Л)).
11.6.9. Другие результаты о граничных точках приведены в [234],
с. 138—139.
11.7 ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Приведённая ниже теорема, очень геометрическая по форме и по
содержанию, имеет несколько довольно красивых приложений.
433
11.7 Теорема Хелли и ее приложения
Интересно отметить, что теорема Хелли была получена сравни-
сравнительно недавно: в 1921 г., а ее следствие—теорема Красносель-
Красносельского—еще позднее: в 1946 г.
11.7.1. ТЕОРЕМА (Хелли). Пусть X—аффинное пространство
размерности d и JF-—семейство выпуклых множеств в X, причем
мощность JF>d+l. Предположим, что ? удовлетворяет сле-
следующим двум условиям:
(i) любые d -+-1 элементов JF имеют непустое пересе-
пересечение;
(и) либо все элементы ? компактны, либо ? конечно.
Тогда пересечение всех множеств семейства ? непусто.
Рис. 11.7.2.1
Рис. 11.7.2.2
c3
Рис. 11.7.2.3
Е—Б-
Рис. 11.7.2.4
Рис. 11.7.3.1
434
Гп. 11. Выпуклые множества
11.7.2. ЗАМЕЧАНИЯ. Условие выпуклости элементов ? является
необходимым (рис. 11.7.2.1). В условии (i) число d+1 является
минимально возможным (см. рис. 11.7.2.2 и 11.7.2.3).
Условие (ii) также является необходимым; действи-
действительно, достаточно рассмотреть, например, <F = {[«, oo[: n?N\.
Наконец, заметим, что 11.7.1—конструктивная теорема.
11.7.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ХЕЛЛИ
11.7.3.1. Первый случай: семейство ? конечно и все его элементы
компактны. Элементарное теоретико-множественное рассуждение
позволяет свести доказательство к случаю 4jz<F = d + 2. В этом
случае мы проведем индукцию по d = dimX; при d = 0 теорема
тривиальна. Пусть ? = {Си ..., Cd+2\; предположим противное:
d + 2
П С 1 = 0. Тогда при соответствующей нумерации имеем
Пусть Н—гиперплоскость, строго разделяющая А и Cd+2 (см.
11.4.6); рассмотрим d+1 подмножеств #nC\, • •., Н(\Cd+1 в Н\
они удовлетворяют условию (i) для d—1, поскольку произволь-
произвольные d подмножеств из Сг, ..., Cd+1 имеют непустое пересечение
с Cd+2 (согласно (i) для ?) и с А, а в силу выпуклости и с Я.
Согласно предположению индукции, Н П Сг Г) ... П Са+1Ф 0, что
противоречит выбору Н.
11.7.3.2. Второй случай: ? необязательно конечно, но все его эле-
элементы компактны. Согласно 11.7.3.1, любое конечное подсемей-
подсемейство ? имеет непустое пересечение; из общей топологии известно,
что тогда и ? также имеет непустое пересечение. Напомним
это доказательство. Пусть пересечение пусто. Предположим, что
Ух€*Ч Э/\, ? Г | х ?/v, тогда 3Ux?0x(X) | UxnFx = 0. Из ком-
компактности заключаем, что F1 можно покрыть конечным числом
таких окрестностей U х , . .., VXn, а это противоречит утвержде-
утверждению FjfiFx.n... f)FXn'^0.
11.7.3.3. Третий случай: элементы ? необязательно компактны,
но семейство ? конечно.
Так же, как в начале 11.7.3.1, доказательство можно
свести к случаю # <F = d + 2; следовательно, пусть ? = \Clt ...
.... Са+2\—такое семейство, что пересечение произвольных d-\-1
из этих множеств непусто. Мы построим такие компакты/С, с:С,-,
что пересечение произвольных d-\-1 из них непусто; тогда теорема
будет следовать из 11.7.3.1. Компакт Кх строим следующим обра-
образом: по предположению существует р,? П С (i = 2, . ..,d + 2);
i Ф1
положим К.г = ?(р2 Pd+2)- Тогда К1аС1 и семейство \КХ,
С2, ..., Cd+2\ также удовлетворяет условию (i), поскольку Кг П
435 11.7 Теорема Хелли и ее приложения
П П Cj Э Pi для любого i = 2, ..., d + 2. Аналогично построим К2
и т. д.
11.7.4. ЗАМЕЧАНИЯ
11.7.4.1. Существует доказательство третьего случая, предложен-
предложенное Радоном и основанное на методах линейной алгебры: см.
11.9.11.
11.7.4.2. Между теоремами Хелли и Каратеодори (см. 11.1.8.6)
существуют тесные связи: см. [92], с. 39. Третье доказательство
теоремы Хелли приведено в [234], с. 72—73.
Рис. 11.7.5
11.7.5. СЛЕДСТВИЕ. Пусть на аффинной плоскости X расположено
конечное семейство ? параллельных отрезков, каждые три из
которых допускают общую секущую. Тогда и все семейство ?
допускает общую секущую.
В случае, когда два отрезка лежат на одной прямой, все отрезки
из ? лежат на этой же прямой, и следствие доказано. Теперь
предположим, что никакие два отрезка не лежат на одной прямой.
Выберем на X такую систему координат, что ось Оу параллельна
нашим отрезкам; для отрезка S ? JF положим S' = {(a, |3)?R2:
прямая г/ = ад: + р пересекает 5}. Легко проверить, что S' выпукло
в R2. По предположению любые три такие множества S' имеют
непустое пересечение, следовательно, и все они имеют общую
точку (a, |3NR2; но тогда прямая г/ = са + |3 пересекает все
отрезки S из ?.
Приведенное ниже следствие выражает тот факт, что компакт-
компактное выпуклое множество в аффинном пространстве размерности d
имеет «дефект симметрии», не превосходящий d. Прис(=1 любой
отрезок симметричен относительно своего центра. Другие резуль-
результаты такого рода можно найти, например, в упр. 12.12.21 или
предложении 12.5 на с. 190 книги [234]. Особенно интересен
необычный результат Дворецкого [89], который утверждает, что
для подходящих размерностей выпуклое множество всегда допускает
436
Гл. 11. Выпуклые мнежества
437
11.7 Теорема Хелли и ее приложения
«почти сферические» сечения. [См. также [31*].— Ред.]
11.7.6. СЛЕДСТВИЕ. Для любого выпуклого компакта А в аффинном'
пространстве X размерности d существует по крайней мере
одна такая точка z?A, что любая хорда [и, v] множества А,
проходящая через г, удовлетворяет условию (см. 11.2.9 и 2.4.6)
d
г//////'/ л f/f/fffX
Рис. 11.7.6.1
Сначала заметим, что, как показывает пример произ-
произвольного симплекса, число d—минимально возможное. Читатель
проверит, что в этом примере такая точка z единственна и сов-
совпадает с центром тяжести этого симплекса.
Для доказательства следствия рассмотрим для каждой
точки х?А множество (см. 11.1.3)
*~d+~I ' d+1 '
которое есть не что иное, как образ множества А под действием
р
гомотетии Нх
р
(см. 2.3.3.8). Семейство Ах, где х? А, удов-
удовХ
летворяет условиям теоремм Хелли с компактными множествами
Ах. Действительно, пусть {x,jt=i d+\aA; обозначим через у
центр тяжести этих точек:
1 V-I
У =
d+l
Тогда для каждого i =
d +1 имеем
»~d + i~i ' d+l
поскольку А выпукло (см. 11.1.8.4).
Пусть теперь z? П Ах и [и, v] — хорда, проходящая
X ? А
через г. Из условия z ? Аи вытекает, _что_г? #„, d/(d+i) ([«, v]),
следовательно, uz/uv^d/(d+l), откуда zu/vz^d. Меняя в этом
рассуждении местами и и v, получим требуемое неравенство.
Следующее утверждение, например, в случае плоскости
показывает, что если посетитель художественного музея сумеет
для любых трех картин найти место, откуда видны все три, то
найдется и такое место, откуда можно увидеть вообще все кар-
Рис. 11.7.6.2
тины музея (быть может, для этого ему понадобится подзорная
труба или телеобъектив, но зато он сможет рассматривать кар-
картины сидя). Разумеется, это следствие есть критерий звездности
множества.
Рис. 11.7.7.1
11.7.7. следствие (Красносельский). Пусть А—компакт в евк-
евклидовом аффинном пространстве размерности d; предположим,
438
Гл. 11. Выпуклые множества
что для любого набора точек {х,-},-=1 d+1czA существует (свое)
у?Х, такое что [х;, у]с:А для всех i=l, ..., d-\-\. Тогда А
звездно.
Основная идея заключается в том, чтобы для каждой
точки х?Х рассмотреть наибольшее звездное относительно х
множество VxaA, т. е.
Vx = {y?A: [x, у]аА\.
Множества Vх компактны, а потому компактны также
их выпуклые оболочки ?(VX) (см. 11.1.8.7). По условию произ-
произвольные d-\-\ множеств вида V х, и тем более множеств <&(VX),
имеют непустое пересечение. Следовательно (см. 11.7.1), сущест-
существует г/6 П &(VX). Мы покажем, что А звездно относительно у.
хйА
Трудность заключается, конечно, в том, что априори мы не знаем,
будет ли точка у принадлежать П Vx (и еще в том, что мы не
можем применить теорему Хелли к множествам Vx, поскольку
они, вообще говоря, невыпуклы).
Рис. 11.7.7.2
Доказательство проводится от противного: пусть х ? А—
такая точка, что [х, у] ф А. Введем на X структуру евклидова
пространства. Пусть х' —самая далекая от х точка отрезка
[х, у], такая что [х, х']сЛ, и пусть « — произвольная точка из
[х, у]\А. По непрерывности Существует такая точка wZ]x', и],
что d (w, x')<_d(u, А). Пусть теперь s?[u, w] и t?A таковы,
что d(s, t) = d([u, w], А). По построению $Фи. Применим два
раза 11.1.7.2: сначала к s и А, а затем к t и [и, до]; в резуль-
результате получим, что (st | sy) ^ 0 и что Vt (а следовательно, и
&(Vt)) целиком лежит в не содержащем s полупространстве,
определяемом гиперплоскостью Н, проходящей через t и ортого-
ортогональной st. Но тогда из этих двух условий вытекает, что
i
yis(vt).
11.7.8. Другие применения теоремы Хелли приведены в [234J,
ч. 6, [92], гл. 2, и [71].
439
11.8 Выпуклые функции
11.8 ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
11.8.1. Напомним, что функция /: /—+R (где / — интервал в R)
называется выпуклой, если V?v?[0, I], Vx, г/?/ выполнено не-
неравенство
-k)f (у).
Дадим более общее определение.
11.8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A czX—выпуклое множество в аффин-
аффинном пространстве X; отображение /: А —>- R называется выпуклым,
если VX?[0, I], Vx, г/? Л выполнено неравенство
Это условие действительно имеет смысл только для
выпуклых А. Можно дать эквивалентное определение без формул.
График /
Рис. 11.8.3
11.8.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть /: Л-^R, где множество А вы-
выпукло. Тогда выпуклость f эквивалентна выпуклости в X х R
надграфика /, где надграфик / определяется как множество
Epigr(/) = {(*> t)€XxR: x?A и t^f(x)\.
Простая индукция показывает, что если / выпукла, то
11.8.4. При всех %h таких что l;>OVf и 2^,- = 1, имеет место
i
неравенство
где А выпукло, на-
на1[, Vx, у ? А: хфу
R,
11.8.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f: Л
зывается строго выпуклой, если V^
выполнено неравенство
f(Kx+(l — %) у) < Xf (x) + ( )
11.8.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция /: Л—>-R называется вогнутой,
если функция (—/) выпукла, т. е. если / (Хх + A — I) и) > If (x) +
+ ОЬ)Ш Для всех к?[0, 1], х, у?А.
440
Гл. 11. Выпуклые множества
11.8.7. ПРИМЕРЫ
11.8.7.1. Как показывает рис. 11.8.3, выпуклая функция необя-
необязательно непрерывна. Более общо, выпуклая функция на ком-
компакте не обязана быть даже ограниченной. Для примера рас-
рассмотрим А = В@, l)cR2, /|^=0 и / = произвольная положитель-
положительная функция на S @, 1) = Л\/1. Однако во внутренних точках
выпуклая функция непрерывна: см. 11.8.10.4.
11.8.7.2. Аффинная форма (см. 2.4.8.3) /: X—>R выпукла, но
не строго выпукла, поскольку, согласно 3.5.1, в соотношении
11.8.4 всегда имеет место равенство.
11.8.7.3. Функция л-^х!, определенная на всем R, строго вы-
выпукла.
11.8.7.4.
0, то
Если f,-: А—> R выпуклы при всех i и все с,-
функция ^с,/,- также выпукла.
i
11.8.7.5. Если /,-: А —* R выпуклы при всех i, то функция
f (х) = sup (/,• (х)) также выпукла, поскольку надграфиком верхней
i
грани является пересечение надграфиков ft.
Рис. 11.8.7
11.8.7.6. Если х, у, z, t—четыре точки в евклидовом аффинном
пространстве, то функция
[0, l]5\^dChc + (\—X)y, Xz + (l
является выпуклой. Действительно,
и искомое неравенство вытекает из доказательства 9.2.2.
Теперь рассмотрим два менее тривиальных примера
выпуклых функций, играющих фундаментальную роль в после-
последующем изложении (см. 12.11.3 и 15.5.9).
11.8.8. ТЕОРЕМА БРУННА-МИНКОВСКОГО
11.8.8.1. Теорема (Брунн—Минковский). Пусть А и В—два ком-
компакта в аффинном пространстве размерности d и ?—мера Ле-
441
11.8 Выпуклые функции
бега на X. Тогда функция
[0, 1]эХ^?(Ы + A
вогнута (определение суммы ХА^A — ЩВ приведено в 11.3.1).
Рассмотрим в пространстве X такую евклидову струк-
структуру, для которой й является мерой Лебега, и рассмотрим орто-
нормированный репер в X. Через W обозначим семейство
открытых параллелепипедов, ребра которых параллельны векторам
этого репера.
А+В
'ПИШИ
1
Я
ш
Ш1Я
к
в
Рис. 11.8.8
11.8.8.2. Первый случай: А и В входят в семейство f. Обозна-
Обозначим через ah bt{i=\, ..., d) ребра А и В; тогда ХА + цВ^^,
и эго множество имеет ребра Ал,-+ цб,- (VX, (л> 0). Следовательно,
? (А) = Ц а,-, ? (В) = П Ь„ S (kA + ixB) = JJ (Ч- + ^/) •
i I i
Положим ui — ail{\ai-\-\x,bi), vi = bij(Xai-\-\ibi); тогда kut + |.ш,- = 1.
Согласно 11.8,11.6, имеем
,:d
</<*.
11.8.8.3. Второй случай. Предположим, что А = и А,-, В =
= U Bj, где A;,
/ = i
Vi,
/ i
\Ф}'. В этом случае доказательство проводится индукцией во
т-\-п. Предположим, например, что т>1; тогда существует
гиперплоскость Н, параллельная какой-нибудь координатной
гиперплоскости и строго разделяющая по крайней мере два мно-
множества из набора {А,-}; это позволяет представить множество А
в виде А = А+\}А~, где А+ и А" — множества такого же вида,
442
Гл. 11. Выпуклые множества
что и А, лежащие по разные стороны от гиперплоскости Я, а
соответствующие числа т+ и т~ удовлетворяют неравенствам
т+ <т и т~ < т. По непрерывности существует гиперплоскость
К, параллельная Н и делящая В на две части В+ и В~, такие
что ?(Л+)/?(Л-) = й(В+)/2(В-). Тогда
и, кроме того, В+ и В~ имеют тот же вид, что и В, с п+ ^ п,
п~^п. Следовательно, можно применить предположение индук-
индукции к ХА+ + \хВ+ и Ы В
11.8.8.4. Третий случай. Пусть Л и В—произвольные компакты.
Из теории меры Лебега хорошо известно, что множества Л и В
можно приблизить множествами Ап, Вп рассмотренного в 11.8.8.3
вида. Тогда
|2(Л)-2(Л„)|<е, |?(В)-2(В„I<е,
откуда вытекает требуемое неравенство.
11.8.8.5. Следствие. Для любых компактов А, В
11.8.8.6. Замечания. Можно показать, что рассмотренная выше
функция строго вогнута тогда и только тогда, когда Л и В не
получаются одно из другого дилатацией, но это труднее; см. [92],
с. 97, или [125], с. 258 русского перевода.
11.8.9. ФУНКЦИЯ ЛЕВНЕРА—БЕРЕНДА
11.8.9.1. В этом параграфе используются обозначения из 8.2.5.2.
Пусть Q (Е)—множество евклидовых структур на вещественном
векторном пространстве Е размерности d. Это открытое выпуклое
множество в векторном пространстве $*% (?); фиксируем на Е
некоторую меру Лебега S. Каждой форме q ? Q (Е) отвечает эл-
эллипсоид (см. 15.3.3.3) q~1(l), выпуклая оболочка которого явля-
является полным эллипсоидом ? (q) = q~1([O, 1]); мы хотим вычислить
его объем 2(<? (q)) (см. 9.12.4).
11.8.9.2. Пусть Л (соответственно А')—матрица формы q в не-
некотором базисе 53 (соответственно 53') пространства Е (см. 13.1.3.6);
тогда Л' = *5Л5, где S — матрица в базисе 53 изоморфизма /?
?lsom(?), при котором /E3) =53'. В частности, если 53 и 53'
унитарны относительно 2 в Е (унитарный базис в Е определя-
определяется как образ канонического базиса в Ra при изоморфизме
Ra—>Е, порождающем, согласно 2.7.4.2, меру 2 на Е), то
det S = 1 и det Л = det Л'. Следовательно, для 2 можно опреде-
определить детерминант формы q?Q(E):
443
11.8 Выпуклые функции
Рис. 11.8.9
11.8.9.3. dets <7 = det Л,
где Л — матрица q в произвольном унитарном базисе. Исходя из
этого, получаем
11.8.9.4.
\-1/2
где р (d) определено в 9.12.4.7.
В самом деле, рассмотрим на Е вспомогательную евк-
евклидову структуру с канонической мерой 2 (см. § 9.12), и пусть
/6 Isom (?) таков, что f (В @, 1)) = <? {q). Это означает (см. 13.1.3.9),
что /*<7 = |-|]2, где норма |)-|| порождена вспомогательной евклидо-
евклидовой структурой. В частности (см. 13.1.3.10), поскольку матрицей
| (р является единичная матрица /, то для Л выполнено равен-
равенство I = 4JAU, где U — матрица / в произвольном ортонормиро-
ортонормированием базисе. Поэтому det Л (det /J= 1. Согласно 2.7.4.3,
Теорема Лёвнера—Беренда будет доказана в 11.8.10.7
при помощи следующего предложения.
11.8.9.5. Предложение. Функция Q (Е) Э q>—>-$;(<9 (q))? R строго
выпукла.
Пусть q, q'?Q(E); согласно 13.5.5, существует базис,
в котором обе формы имеют диагональный вид, причем этот
базис можно считать 2-унитарным:
Тогда детерминанты форм q, q' в этом базисе равны соответствен-
соответственно det<7=na,-, det g' = П а;-. Пусть X, V > 0 и Х + Х' = 1; имеем
' i
444 Гл. 11. Выпуклые множества
Применяя несколько раз 11.8.11.4, получаем
' (det
При этом равенство возможно только тогда, когда а; — а'( V/,
т. е. только при q = q''¦
11.8.10. СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. В 11.8.7.1 мы видели, что
даже на компакте выпуклая функция необязательно непрерывна
или ограничена. Однако вскоре мы увидим, что, как и позволяет
предположить 11.8.7.1, такая «неприятность» может происходить
только на границе.
11.8.10.1. Предложение. Пусть f: A—*R — выпуклая функция.
Тогда f ограничена сверху на любом компакте, лежащем в отно-
относительной внутренности А (см. 11.2.8), и ограничена снизу на
любом ограниченном подмножестве в А.
Как обычно, достаточно рассмотреть случай А Ф0.
Пусть х ? А — некоторая точка и Н-—опорная гиперплоскость к
Epigr (/") в точке (х, fix)) (см. 11.8.3 и 11.5.2). Далее, пусть
g: X—^R—такая аффинная форма, что H = g~1@). По построе-
построению / ^ g, а всякая аффинная форма ограничена на ограничен-
ограниченном множестве.
Пусть теперь К с: А — компакт; для произвольной точки
х ? К существует симплекс Sx, содержащийся в Л и такой, что
х € ($ ($х))°- Ввиду компактности К можно покрыть конечным
числом таких симплексов; согласно 11.8.4, значение / в произ-
произвольной точке х?К мажорируется максимумом из значений f
в вершинах конечного числа этих симплексов.
11.8.10.2. Лемма. Пусть f: \а, b]—*R—выпуклая функция, и
пусть с?]а, Ь[; тогдг
445
11.8 Выпуклые функции
(i) функция [а, Ь]\с Э t ь-»- (/ (t) — f (c))i(t—с) является
возрастающей;
(П) в точке с функция f имеет правую и левую произ-
производные /+(с), f'_(c) и f_(c)</+(c); в частности, f непрерывна
в точке с;
Рис. 11.8.10.2
(Hi) если f дифференцируема на ]а, Ь[, то ее произ-
производная является возрастающей функцией; если существует }" (с),
то /"(с)>0.
Возрастание непосредственно вытекает из определений
(см. рис. 11.8.10.2). При/>с функция t ^->(f (t)—f (c))/(t—с)
возрастает и ограничена снизу константой (/ (a) — f (с))/(а—с);
следовательно, существует предел
аналогично, существует /1 (с) и /1 (с)
f, то она возрастает, поскольку
f(d)-f(c)
d—c
\f'+ (с). Если существует
Г (с) ¦¦
f'(d) Vc, de]a,
последнее утверждение хорошо известно.
11.8.10.3. Примечания. Легко показать, что множество \с?]а, Ь[:
f'_ (с) Ф f'+(с)\ не более чем счетно. Более тонкие свойства вы-
выпуклых функций, а также случай бесконечной размерности рас-
рассмотрены в книге [195], гл. IV.
Из леммы вытекает, что если f: А —> R и АаХ, то незави-
независимо от размерности X функция / имеет в каждой точке а ? А
производную по любому лучу; этим фактом мы сейчас и восполь-
воспользуемся.
11.8.10.4. Предложение. Пусть функция f: Л—>-R выпукла;
тогда она непрерывна в любой точке относительной внутрен-
внутренности А.
446
Гл. 11. Выпуклые множества
Как всегда, достаточно рассмотреть случай Аф0\
пусть а^А и е>0 таковы, что В (a, s)cA (речь идет о шарах
относительно некоторой произвольным образом выбранной евк-
евклидовой структуры). Пусть, в соответствии с 11.8.10.1,
M = sup \f(x): x?B(a, г)}.
Для произвольной точки х?В(а, г), такой что х=/=а, через и и
v обозначим точки пересечения прямой <а, х> со сферой 5 (а, е).
Применим 11.8.10.2 к сужению / на аффинную прямую <и, ы>;
f(x)-f(a) f(u)-f(a) M-f(a)
I х-a I
f(x)-f(a)
M-f(a)
Следовательно, \ f (х) — f (a)
M-f(a)
e
11.8.10.5. Теорема. Пусть f: A —+- R, где А открыто и выпукло.
Тогда если f выпукла, то она дифференцируема почти всюду и,
кроме того, ее производная непрерывна в своей области опреде-
определения.
Рис. 11.8/0.4
У нас здесь нет возможности привести доказательство
этой естественной и важной теоремы; см. [195], с. 116—117, или
11.9.14. В той же книге [195], с. 120, отмечено, что вопрос
о производных второго порядка и выше для выпуклых функций
почти не исследован. Теорема 11.8.10.5 будет играть существен-
существенную роль в 12.10.11.1.
Теперь рассмотрим свойства экстремумов выпуклых
функций.
11.8.10.6. Предложение. Строго выпуклая функция f: A —>¦ R не
может достигать своего минимума более чем в одной точке.
Действительно, если m = \n\Af и / (a) = m — f (b), то
447
11.8 Выпуклые функции
f((a + b)/2) < (f (a) + f F))/2 = т. Следовательно, согласно
11.8.5, а = Ь.
Это элементарное предложение мы применим теперь
к вопросу, изучение которого было начато в 11.8.9.
Рис. 11.Р.10.7
11.8.10.7. Теорема (Лёвнер — Беренд). Пусть Е~вещественное
векторное пространство конечной размерности, снабженное неко-
некоторой мерой Лебега. Если К — компакт с непустой внутрен-
внутренностью в Е, то существует единственный заполненный эллипсоид
наименьшего объема, содержащий К-
Ввиду 11.8.10.6, 11.8.9.5 и непрерывности функции
<71—*- S (<§ (q)) достаточно показать, что можно найти минумум на
некотором подходящем компактном и выпуклом множестве в Q (Е).
Поскольку К ограничено, существует по крайней мере один за-
заполненный эллипсоид^ (q0), содержащий К', рассмотрим множество
и dete<
Достаточно показать, что А — компактное выпуклое множество
в Q(E). Докажем, что А выпукло. Действительно, согласно
11.8.9.5, условие detnq ^ dets<70 определяет выпуклое множество.
Условие <? (q) гз К также определяет выпуклое множество, по-
поскольку если даны два заполненных эллипсоида
и если q(x), q'(x)^.l Vxg/C, то отсюда следует, что
{Kq + (\-k)q') (х) =kq(x) + (l-K)q'(x)^\.
Докажем, что А замкнуто в 9**{Е). Действительно, множество А
задается нестрогими неравенствами для непрерывных функций;
но здесь нужно соблюдать осторожность, поскольку Q (Е) открыто
в 3*f (Е). Границу Q (Е) составляют вырожденные квадратичные
формы, определяемые уравнением deto.=0; но это множество не
пересекается с Л, и потому А замкнуто в S** (Е). Покажем,
наконец, что А ограничено; сначала заметим, что условие <§(q)zjK
448
Гл. 11. Выпуклые множества
449
11.8 Выпуклые функции
влечет за собой выполнение условия <§ {q)^<§ (К U (—К)), где
{—К) симметрично К относительно начала координат; кроме того,
множество S(K{](—К)) имеет непустую внутренность, посколь-
поскольку Кф 0. Снабдим Е евклидовой структурой; пусть е > 0 таково,
что В @, E)a?(KU(—К)); собственные числа Х;- квадратичной
формы q ? Q (Е) относительно рассматриваемой структуры удовлет-
удовлетворяют неравенствам X,- ^ 1/е2 V/, поскольку <g(q)ZDB@, г). А это
в точности означает, что А ограничено.
Теорему 11.8.10.7 мы применим в 15.5.9, но заметим
уже сейчас, что она дает обещанное в 8.2.5.3 третье доказатель-
доказательство утверждения 8.2.5 (не использующее интегрального исчис-
исчисления, поскольку объем эллипсоида есть не что иное, как обыч-
обычный детерминант!).
П.8.10.8. Следствие. Пусть G—компактная подгруппа в GL(E);
тогда существует форма q ? Q (Е), инвариантная относительно G.
Действительно, пусть Н—произвольный компакт с не-
непустой внутренностью в ? и K = G(H)—орбита Н под действием
группы G; пусть ? (q) — заполненный эллипсоид минимального
объема, содержащий К. Тогда $ (q) инвариантен относительно G.
В самом деле, g(K)=K для любого g?G по построению, сле-
следовательно, g(?(q))=>K- Наконец, S (g(S (q))) = 2 (S (q)), по-
поскольку det g= ±lVg (в противном случае det (gn) = (det g)n, что
противоречит компактности G). Так как эллипсоид с минималь-
минимальным объемом единствен, то g($(q))=$ (<?)• Следовательно, форма q
удовлетворяет условию g*q = q Vg?G.
Вернемся к экстремумам выпуклых функций.
11.8.10.9. Предложение. Пусть f: A —> R — выпуклая и непрерыв-
непрерывная функция на компактном множестве А; тогда f достигает
своего максимума хотя бы в одной крайней точке А, т. е. supA f =
= SUpExtrem^)MCM- 1 1.6.8).
Согласно 11.1.8.6 и 11.6.8, любая точка а?А является
центром тяжести конечного числа крайних точек; следовательно,
если M = supExtrem (Л)/, то f(a)^MVa?A в силу 11.8.4.
11.8.10.10. Примечание. Предложение 11.8.10.9 является основой
практического нахождения максимума, например, в теории игр
и стратегий, в линейном программировании; см. [151], с. 86 и
далее. Если функция, у которой ищется максимум, выпукла, то
достаточно знать ее значения в Extrera(i4). Например, если А —
многогранник, то таких точек конечное число (см. 12.1.9). Под-
Подробнее с этой темой, а также с примерами можно познакомиться,
например, по книгам [151] и [195], гл. V.
11.8.11. КРИТЕРИИ ВЫПУКЛОСТИ, ПРИМЕРЫ
11.8.11.1. Предложение. Пусть /cR—интервал, f: I —> R —
дважды дифференцируемая функция. Тогда для выпуклости f не-
необходимо и достаточно, чтобы /" (х) ^ 0 V.r?/; для строгой
выпуклости достаточно, чтобы /" (х) > 0 Yr?/.
Для а, Ь ? / положим
g^f (x)-f (a)-[f (b)~
i x — a
Нужно показать, что g<0 на [a, b]. Но g" = f" и, следовательно,
g' возрастает. Так как g(a) = g(b) = 0, то на отрезке [а, Ь] най-
найдется точка а, в которой ?'(а) = 0. Тогда g' отрицательна или
равна нулю слева от этой точки а и положительна или равна
нулю справа. Следовательно, g убывает, начиная с g{a) = 0, a
затем возрастает до значения g(b) = O, и поэтому ^O
X
9
9'
9"
a
0
a
4 S
b
0
Рис. 11.8.11
11.8.11.2. Следствие. Пусть /: А -^ R принадлежит классу С2
и А открыто в X. Тогда для выпуклости f необходимо и до-
—>- —>-
статочно, чтобы ее вторая производная /"(х)'. ХхХ—»- R была
положительно определенной квадратичной формой для каждого х,
т. е. f" (х) (у, у) > 0 для всех у € X; если /" (х) (у, у)>0 Vx ? A
и Vj/ ? Х\0, то f строго выпукла.
Достаточно применить 11.8.11.1 к функции t>—*-f(a-\-
+ tab) для произвольных a, b g А. Вторая производная этой функ-
функции равна f" (a-\-tab)(ab, ab).
11.8.11.3. Пример. Функция — log* является строго выпуклой
на R*. В самом деле, (—logx)"= 1/х2. Следовательно,
— log (%а + У а') < — X log a—X' log a'
(X, Х'^0, Х + Х' = 1).
Так как log—возрастающая функция, то отсюда получаем
11.8.11.4. Ка + К'а'^а^а'^ V X, Х'>0,
и, более общо,
11.8.11.5.
аЯ' VX,.>0 и
В частности, отсюда получается так называемое неравенство
«среднего геометрического»:
11.8.11.6. а1...а„
450
Гл. 11. Выпуклые множества
при этом равенство возможно только тогда, когда все а,- равны
между собой, поскольку — logx строго выпукла. Для п = 2 это есть
элементарное неравенство a-\-b~^2\rab.
11.8.11.7. Пример. Для произвольного вещественного р> 1 функ-
функция R+ Э ху—*хр € R строго выпукла, поскольку/" (х)=р(р—\)хр~2.
Следовательно,
11.8.11.8.
Отсюда выводим неравенство Гёльдера:
11.8.11.9. 2*#i^
.. , 1
При р = 2 снова получаем 8.1.3, но 11.8.11.9 гораздо труднее.
Чтобы получить это неравенство из 11.8.11.8, необходимо найти
kh a,-, k, которые удовлетворяли бы уравнениям
\ fit = xty,, к;а? *=kxf, 2 h = 1 •
Эти уравнения имеют решение:
Теперь 11.8.11.9 вытекает из неравенства 11.8.11.8, примененного
к этим числам.
11.8.11.10. Наконец, из 11.8.11.9 получаем, что отображение
2 K-l
для всех р > 1 является нормой в Rd. Нужно доказать, что
11.8.11.11.
(неравенство Минковского); это вытекает из следующих вычис-
вычислений, в которых два раза используется 11.8.11.9:
i (P-D/P
I Z-i лч -f- ч; V
11.8.11.12. Примечания. Неравенства 11.8.11.9 и 11.8.11.11 играют
451
11.8 Выпуклые функции
фундаментальную роль в современном анализе: они позволяют
определить «пространства Lp».
Сведения о других неравенствах, называемых «неравен-
«неравенствами выпуклости», можно найти, например, в книге [78], с. 46
и далее; см. также [195], гл. VI, и цитированную там литературу,
в том числе классическую книгу [128] и более недавнюю [11].
11.8.12. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫ-
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ. В 11.8.3 мы уже встречались с одним
примером такой взаимосвязи. Ниже кратко описаны два более
общих примера; подробности можно найти в [92], с. 54.
11.8.12.1. В этом пункте через X обозначается евклидово вектор-
векторное пространство. Выпуклая функция f на X называется поло-
положительно-однородной1), если
= kf(x) Ух, VA,.>0.
Например, норма в X—положительно-однородная выпуклая
функция.
11.8.12.2. Если /—положительно-однородная выпуклая функция,
то С (f) = \х ? X: f (х) ^ 1} — выпуклое подмножество в X. Обратно,
если С—выпуклый компакт и OgC, то fc (х) = inf {%: % > 0,
xgXC} — положительно-однородная выпуклая функция, причем
fc(x) является нормой только тогда, когда С= — С, т. е. С сим-
симметрично. Границей С служит /с1 A). Функцию /с называют функ-
функцией расстояния до множества С2).
11.8.12.3. Если С—ограниченное подмножество в X, то hc (x) =
= sup {(у | х): у € С\ является положительно-однородной выпуклой
функцией и называется опорной функцией С.
11.8.12.4. Из 11.1.5 и 11.4.8 получается следующее соотношение
между функциями hc и /с: если С—компактное выпуклое мно-
множество и 0 ? б, то
fc*~hc, hc* = fc.
11.8.12.5. Положительно-однородную выпуклую функцию можно
считать известной, как только известны ее значения на единич-
единичной сфере 5 = 5@, 1). По заданной функции h (на S) найти
в явном виде такое множество С, для которого h = hc, вообще
говоря, невозможно. Если h дифференцируема, то можно сказать,
что граница С является огибающей семейства гиперплоскостей
Ht={x?X: (x\t)=h(t)\, когда параметр t пробегает S, или,
по-другому, граница С есть образ поверхности /г-1A) при обрат-
обратном полярном преобразовании относительно сферы S. В случае
!) В оригинале: jauge.— Прим. перев.
2) Функцию fc называют также функционалом Минковского множества С,
или калибровкой.— Прим. перев.
4S2
Гл. 11. Выпуклые множества
плоскости если задана функция h, то говорят, что задано урав-
уравнение Эйлера кривой Fr(C).
Рис. 11.8.12
11.8.12.6. Опорные функции являются мощным инструментом для
изучения геометрии выпуклых множеств; см., например, [95], с. 54
и всю гл. V, [43], § 6 гл. II, а также 11.9.14.
11.9 УПРАЖНЕНИЯ
11.9.1. Покажите, что сумма Минковского удовлетворяет соотно-
соотношениям
[(В+С),
Кроме того, для гомотетий: #а, Я(Л + В) = #а, x(A) + HOi x {В),
На, я (А)-{-На. ц (Л)з>#а, я+ц(Л); когда имеет место равенство?
11.9.2. Всегда ли diam 0 (А)) = diam (А) для ограниченных мно-
множеств?
Рис. 11.9.4
11.9.3. Пусть X—аффинное пространство размерности d и А —
подмножество в X, имеющее не более d связных компонент;
тогда любая точка ? (А) является барицентром d точек из А.
11.9.4. ГИЛЬБЕРТОВА ГЕОМЕТРИЯ. Пусть Л—компактное выпуклое
453
11.9 Упражнения
подмножество в X с непустой внутренностью; для двух различ-
различных точек х, у ? А положим d(x, y) = |log[x, у, и, v]\, где и, v—
две точки, в которых прямая -sx, y> пересекает границу А. В сов-
совпадающих точках доопределим d равенством d(x, д:) = 0 Vr? Д.
Покажите, что так определенная функция d: ЛхЛ°—*-R является
метрикой на А. Покажите, что это превосходная метрика (9.9.4.4).
Изучите связь между строгим неравенством треугольника и при-
природой граничных точек А. С понятием площади в этой геометрии
можно ознакомиться по книге [42]. См. также 6.8.14.
11.9.5. Пусть X—аффинное пространство размерности rf>l,
/: Х^Х—биекция; покажите, что если образ f (А) произволь-
произвольного выпуклого множества А является выпуклым, то /—аффин-
/—аффинное преобразование.
11.9.6. Обозначим через В подмножество в R2: В={(х, у): г/ = 0,
х ^ 1 или х^—1}, и пусть Л = Я2\В; тогда Л звездно отно-
относительно точки @, 0) (рис. 11.3.6.3). Пусть F: Л—> R2—гомео-
R2—гомеоморфизм, построенный в доказательстве 11.3.6.1; нарисуйте про-
прообразы окружностей из R2 относительно F.
11.9.7. Пусть Е—векторное пространство квадратных матриц
порядка п с вещественными элементами и К—подмножество в Е,
состоящее из бистохастических матриц, т. е. таких матриц (а,,), что
i i
Покажите, что К—компактный полиэдр в ? и что его вершины
суть в точности матрицы перестановок, т. е. такие матрицы, что
в каждом столбце и в каждой строке единственный ненулевой
элемент равен 1.
11.9.8. Покажите, что для замкнутого выпуклого множества
в двумерном пространстве множество его крайних точек замкнуто.
11.9.9. Рассмотрим в R3 замкнутый выпуклый конус С, опреде-
определенный неравенствами х^О, г/^0, г^О, z2^xy. Покажите,
что прямая D, заданная уравнениями л; = 0, 2=1, не пересекает
С, но плоскости, содержащей D и не пересекающей С, не суще-
существует.
11.9.10. ТЕОРЕМА КИРХБЕРГЕРА. Пусть Л и В—два конечных мно-
множества точек в пространстве X размерности d. Если для произ-
произвольного подмножества Y, состоящего из d-f-2 точек, найдется
гиперплоскость, строго разделяющая Л П Y и В П Y, то сущест-
существует гиперплоскость, строго разделяющая Л и В.
11.9.11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ХЕЛЛИ ПО РАДОНУ. Пусть Л,
(i=l, .... г) — выпуклые множества в Rrf, r > d-f- 1 и произволь-
произвольные г—1 множеств из них имеют непустое пересечение. Пока-
Покажите, что и все множества Л,- имеют непустое пересечение. Вос-
Воспользуйтесь следующим рассуждением. Пусть xt ? Г) Л- (i=l,...
454
Гл. 11. Выпуклые множества
., г);тогда существуют такие Xt, не все равные нулю,
.,. = 0
и 2^Л- = 0. Разбивая множество {^,} на два подмножества
Я,- ^ 0 и к( < 0, закончите доказательство.
11.9.12. МАКСИМАЛЬНАЯ И МИНИМАЛЬНАЯ ШИРИНА- Пусть С —
компактное выпуклое множество; максимальной (соответственно
минимальной) шириной С называется верхняя (соответственно
нижняя) грань ширины С по всевозможным направлениям | (см.
11.5.6.3); она обозначается D (С) (соответственно d(C)). Пока-
Покажите, что D (C) = diam (С).
Внутренним радиусом г (С) множества С назовем верх-
верхнюю грань радиусов сфер, содержащихся в С. Пусть п обозна-
обозначает размерность объемлющего аффинного пространства. Дока-
Докажите, что всегда имеют место неравенства
d(C)
-L , если п нечетно,
2/' п
еСЛИ
четно-
В случае необходимости можно посмотреть [92], с. 112—114.
Можно ли улучшить эти неравенства?
11.9.13. Пусть А выпукло и открыто и /: А—> R; докажите, что
если функция / удовлетворяет неравенству
то она выпуклая. В случае необходимости см. [234], с. 130.
11.9.14. опорные функции. Вычислите в явном виде опорные
функции точки, шара В (а, г), куба с центром в начале коорди-
координат. Покажите, что если / (соответственно g)—опорная функция
к А (соответственно к В), то опорной функцией к сумме Мин-
ковского %А-{-\х,В будет kf + ng.
11.9.15. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Пусть А
открыто и выпукло и /: Л—>R—выпуклая функция. Покажите,
что если для некоторого репера {е,} в объемлющем пространстве
существуют частные производные дЦдх1 в точке а?А, то / диф-
дифференцируема в а. С помощью 11.8.10.3 докажите, что / диффе-
дифференцируема почти всюду (воспользуйтесь теоремой Фубини).
11.9.16. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ. Пусть Л—
целочисленная решетка в R2, т. е. А = \(х, у): x,y?Z}; пусть
С—выпуклое компактное и симметричное (т. е. —С = С) множе-
множество в R2. Покажите, что если площадь С (см. § 9.12 или 12.2)
удовлетворяет неравенству Й(С)^4, то С П (А\@, 0)) ф 0, т. е.
С содержит точки с целочисленными координатами, отличными
455
11.9 Упражнения
от нуля (теорема Минковского). Обобщите эту теорему на про-
произвольную размерность d. Выведите из теоремы Минковского сле-
следующее утверждение: если / (х, у) = ах2 + 2Ьху + суг—положитель-
суг—положительно определенная квадратичная форма с дискриминантом D=ac—Ь2,
то найдутся такие целые числа х, у, не равные оба нулю, что
/ (х, у) ^ D/я) V^D. Дальнейшее развитие этого результата, наи-
наиболее простого из геометрии чисел, можно найти в прекрасной
книге [52]; см. также [78], с. 230—231, и [159].
11.9.17. Покажите, что для произвольного компактного выпук-
выпуклого множества А в аффинном пространстве X имеет место ра-
равенство ЪА (X) = ISExtrem(A) (*)¦
11.9.18. Существует ли связь между теоремами Юнга 11.5.8 и
Хелли 11.7.1?
11.9.19. ЛЕММА КАКУТАНИ. Пусть С\, С2—два непересекающихся
выпуклых множества и х^С1[}С2. Через Г,, обозначим выпуклую
оболочку множества {х}иС; (г=1, 2). Покажите, что по крайней
мере одно из двух множеств 1\ п С2 или Г2 П Ct пусто.
11.9.20. ЯДРО. Ядром подмножества А аффинного пространства
X называется множество Af (А) таких точек х?Х, что А звездно
относительно х (см. 11.1.2.4). Покажите, что N (А) всегда вы-
выпукло. Нарисуйте N (А) для некоторых подмножеств А.
11.9.21. ТЕОРЕМА ЛЮКА. Пусть Р—полином с комплексными коэф-
коэффициентами и Р' — его производная. Покажите, что в простран-
пространстве Х = С все корни Р' принадлежат выпуклой оболочке мно-
множества корней Р.
Пусть многочлен Р имеет степень 3 и попарно раз-
различные корни а, Ь, с. Обозначим через р и (/ корни Р'. Пока-
Покажите, что существует эллипс с фокусами р и q, касающийся трех
сторон треугольника {а, Ь, с) (если понадобится, воспользуйтесь
17.6.3.6).
11.9.22. Найдите все разбиения плоскости на два выпуклых
множества.
11.9.23. ТЕОРЕМА КРИТИКОСА. Пусть С^-граница выпуклого ком-
компакта К, с непустой внутренностью в евклидовом пространстве Е.
Для каждой точки т ? К обозначим через R (т) радиус наимень-
наименьшей сферы с центром в т, содержащей К, а через г (т) радиус
наибольшей сферы с центром в т, содержащейся в К.
Покажите, что существует и притом единственная точка
т б К, для которой разность R (т)—г (т) минимальна. Покажите,
что для этой точки рассматриваемые внешняя и внутренняя сферы
имеют каждая по крайней мере две общие точки с С.
Выведите отсюда, что для всякой компактной выпук-
выпуклой дифференцируемой гиперповерхности С в Е всегда существует
по крайней мере одна точка, из которой можно провести не менее
четырех нормалей к С.
456
Гл. 11. Выпуклые множества
Г .as».-*, - !
Ч.Г.-Ч ' ¦• : '-• I
* ?ti*fa * ' "
Глава 12 Многогранники, выпуклые компакты
12.1
12.2
12.3
12.4
Определения, примеры,
иллюстрации
Объем многогранников
Площадь поверхности
многогранника
Правильные многоуголь-
12.7
12.8
12.9
НИКИ
12.5 Правильные многогранни-
многогранники: определение, примеры
12.6 Правильные многогран-
многогранники: классификация
Формула Эйлера
Теорема Коши
Аппроксимация выпуклых
компактов многогранни-
многогранниками
12.10 Площадь поверхности вы-
выпуклых компактов
12.11 Изопериметрическое нера-
неравенство
12.12 Упражнения
В этой важной главе, благодаря накопленному ранее материалу,
мы сможем доказать много трудных результатов. Многогранни-
Многогранники—это компактные полиэдры с непустой внутренностью; они
служат обобщением выпуклых многоугольников на плоскости и
обычных выпуклых многогранников в пространстве трех измерений.
В трех первых параграфах определены основные понятия, свя-
связанные с многогранниками: грани, объем, площадь поверхности
двойственность, стандартные примеры.
Следующие три параграфа посвящены правильным многогран-
многогранникам: обобщению правильных многоугольников на плоскости
и правильных многогранников в трехмерном пространстве, кото-
которые нам уже встречались в гл. 1. Несмотря на их кажущую-
кажущуюся простоту, при корректном определении правильных много-
многогранников необходимо соблюдать некоторые предосторожности;
поэтому § 12.4 специально посвящен правильным многоуголь-'
никам для того, чтобы подготовить читателя к общему определе-
определению. Существенная часть § 12.5 посвящена примерам правильных
многогранников; некоторые из них простые-это обобщения на
произвольную размерность трехмерных правильных тетраэдров,
кубов и октаэдров. Труднее доказать существование трехмерных
додекаэдра и икосаэдра, как уже говорилось в гл. 1. Наконец,
в этом же параграфе описаны три четырехмерных многогранника,
два из которых довольно сложные.
В § 12.6 дана классификация правильных многогранников,
которая приводит к весьма неожиданному результату: мало
того, что случай размерности 2 (где бесконечно много правиль-
правильных многоугольников) стоит особняком; оказывается, что при
размерностях dSs5 ситуация упрощается: существуют только
три правильных многогранника: куб, кокуб и правильный "
симплекс. Таким образом, размерности 3 и 4, в которых суще-
существуют еще додекаэдр и икосаэдр и упомянутые выше три четы-
четырехмерных правильных многогранника, исключительные. Одно
эвристическое примечание по этому поводу приведено в 12.6.8.
458
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
В § 12.7 доказывается формула Эйлера: для всякого трехмерного
многогранника число вершин минус число ребер и плюс число
граней равно 2. Эта формула была колыбелью алгебраической
топологии.
В § 12.8 приведена теорема Коши, которая утверждает, что,
в отличие от случая плоских многоугольников, в трехмерном
пространстве выпуклый полиэдр неизгнбаем вокруг своих ребер.
Здесь речь идет о теореме с простой формулировкой, но сложным
доказател ьством.
Заключительные три параграфа посвящены доказательству изо-
периметрического неравенства: среди выпуклых компактов с
заданной площадью поверхности шар имеет максимальный
объем. Для того чтобы получить такой результат, сначала нужно
определить площадь поверхности выпуклого компакта; о том, что
для произвольного компакта это нелегко, мы уже знаем из
9.12.7. Здесь выручает тот факт, что выпуклые компакты хорошо
аппроксимируются многогранниками, поэтому площадь поверх-
поверхности многогранников можно продолжить по непрерывности на
выпуклые компакты. Мы даем два классических доказательства
изопериметрического неравенства, так как каждое из них по-
своему элегантно. Доказательство того, что шар является един-
единственным выпуклым компактом максимального объема, труднее.
Ссылки исторического характера приводятся на протяжении
всей главы. Что касается трехмерных многогранников, то инте-
интересное и приятное, на наш взгляд, занятие—это собственноруч-
собственноручное их изготовление из бумаги (или из картона) при помощи
циркуля, ножниц и клея; основным руководством, если по-
понадобится, может служить книга [241]. Можно также посмот-
посмотреть [168].
Все рассматриваемые пространства X являются вещественными
аффинными пространствами конечной фиксированной размер-
размерности d. Кроме того, всюду, за исключением § 12.1 и 12.7,
эти пространства снабжены евклидовой структурой. В § 12.4
размерность равна 2, а в § 12.7 и 12.8 она равна 3.
12.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, ИЛЛЮСТРАЦИИ
12.1.1. определение. Выпуклым полиэдром в X называется пе-
пересечение конечного числа замкнутых полупространств (см. 2.7.3);
многогранником называется компактный выпуклый полиэдр с
непустой внутренностью (см. 11.2.7). Когда dimX = 2, вместо
многогранника говорят многоугольник*
12.1.2. ПРИМЕРЫ
12.1.2.1. Параллелепипед. Если {xt)i=u, j,..., d независимы, то па-
459
12.1 Определения, примеры, иллюстрации
\
Рис. 12.1.1.1
Рис. 12.1.1.2
Рис. 12.1.1.3
раллелепипед
2
1=0
является многогранником (см. 9.12.4.2).
12.1.2.2. Заполненный симплекс. При тех же условиях множество
\;=о ' '"" i
также является многогранником.
12.1.2.3. Замкнутый шар является выпуклым компактом, но не
является многогранником ни при каком d ^2.
12.1.2.4. Пересечение конечного числа выпуклых полиэдров сно-
снова является выпуклым полиэдром. Его пересечение с аффинным
подпространством также является выпуклым полиэдром к этом
подпространстве; это остается верным и для многогранника, если
подпространство пересекается с его внутренностью.
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
Рис. 12.1.1.6
Из книги [67]
Рис. 12.1.1.5
Из книги: A. Holden., Formes.
espace et symetries (CEDIC)
Рис. 12.1.1.7
Рисунок Леонардо да Винчи
для книги Луки Пачоли
«De Divina Proportione»
462
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.1.2.5. Хорошо известны три стандартных многогранника:
стандартный куб Cubd= {(xlt ..., xd): |х;|< 1 Vi= I, ...,d\;
стандартный коку б Cocrf = s (xiy ..., xd): 2j I xt I ^* f >
стандартный заполненный симплекс
Simprf=^(
=^(x1,
Куб и кокуб являются многогранниками в Rd, тогда
как Simprf является многогранником в гиперплоскости #=
Рис. 12.1.2.5
463
12.1 Определения, примеры, иллюстрации
Кубом (кокубом, правильным симплексом) называется
многогранник в евклидовом пространстве, подобный (см. 9.12.3)
соответствующему стандартному многограннику. Заметим, что в
размерности 2 кубы и кокубы совпадают, но при d^3 это раз-
разные многогранники; см., например, 12.1.11.2 и 12.1.11.3.
12.1.2.6. Двойственность. Пусть X—евклидово векторное про-
пространство; предположим, что (a,),=i,.... „—конечное число точек
в X и Q — S{ax, ...,an) — их выпуклая оболочка. Тогда выпук-
выпуклое множество Q*, полярное к Q (см. \ 1.1.5), является выпук-
выпуклым полиэдром; если, кроме того, O^Q, то Q*—многогранник;
этот многогранник называется дуальным к Q. Действительно, по
определениям,
и, следовательно, Q*=n{xgX: (лг|а,)<1} является выпуклым
i
полиэдром. Для доказательства компактности достаточно приме-
применить 11.4.8.
12.1.2.7. Пример. Дуальными к Cubd и Cocd являются соответ-
соответственно Cocrf и Cubd.
Скоро мы увидим, что многогранники можно еще опре-
определить как выпуклые оболочки конечного числа точек, имеющие
непустую внутренность (см. 12.1.15). Поэтому можно считать
доказанным следующее предложение.
Рис. 12.1.2.8
12.1.2.8. Предложение. Пусть X—евклидово векторное прост-
пространство; тогда для каждого многогранника Q, внутренность ко-
которого содержит О, Q* также является многогранником, внут-^
ренность которого содержит 0, и Q** = Q. Говорят, что Q*
является дуальным, или двойственным, к Q.
464
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.1.3. ПРИМЕЧАНИЯ
12.1.3.1. Что же называется полиэдром (необязательно выпуклым)?
Одним из определений является следующее: полиэдр—это объ-
объединение конечного числа компактных выпуклых полиэдров. От-
Отметим, что полиэдры необязательно выпуклы и даже не обяза-
обязательно односвязны. Приведенное выше определение приспособ-
приспособлено к некоторой геометрии; см., например, [125]; с другой точ-
точкой зрения и другими определениями можно познакомиться, на-
например, в [247], [227], [245], с. 229.
ч
>
\
/
---¦
/¦
\
У
\
Рис. 12.1.3.1
12.1.3.2. Очень большое число разнообразных полиэдров и руко-
руководство по их изготовлению из картона приведены в книге [241];
заметим, однако, что изготовление полиэдра, изображенного на
рис. 12.1.3.2.2 (взятом из этой книги), потребует более сотни
часов работы.
12-1.3.3. Существует несколько способов изображения на плос-
плоскости полиэдров размерности 3, 4 и более; см., например, рис.
12.1.1.7, 12.1.3.3, 12.5.6.1 — 12.5.6.5. Пояснения к этим рисун-
рисункам и другие способы изображения можно найти в [133], с. 148—
161 русского перевода, [65], гл. XIII, а в конце книги [99] в
специальном вкладыше имеются даже особые очки для разгля-
разглядывания стереоизображений.
12.1.4. ЗАМЕЧАНИЕ. Чтобы оценить следующую теорему, важно
понимать, что в определении выпуклого полиэдра могут участ-
участвовать и ненужные полупространства (рис. 12.1.1.3) и что полиэдр
определяется не обязательно минимальным числом полупространств
(рис. 12.1.1.2).
12.1.5. ТЕОРЕМА (структура полиэдров). Пусть Р—некоторый
выпуклый полиэдр с непустой внутренностью; предположим, что
п
Р= f] R; (где R;—замкнутые полупространства) — минималь-
пая запись, т. е. Р не может быть представлен в виде пересе-
Рис. 12.1.3.2.1
Из книги [241]
Рис. 12.1.3.2.2
Из книги [2417
466
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
Рис. 12.1.3.3
чения конечного строго меньшего п числа замкнутых полупрост-
полупространств. Тогда:
(i) Я; определены однозначно с точностью до порядка;
(И) если Н{ обозначает гиперплоскость ?vRh опреде-
определяющую полупространство Rt, то H{f]P есть выпуклый полиэдр
с непустой внутренностью в Н;, называемый гранью (стороной
при d = 2) полиэдра Р (она обозначается Face,P);
(iii) FrP = U Face,. P.
12.1.6.
Соглашение: здесь и всюду в дальнейшем, когда выпуклый
полиэдр с непустой внутренностью представлен в виде Р — П R;,
i
всегда подразумевается минимальная запись.
Пусть i фиксировано, Р'— П R,-; поскольку запись
/ Ф i
минимальна, существует x(tP'\R;. Пусть а ? Р; согласно 11.2.4,
У = ] а, х[ [\Н:- g Р', следовательно, у принадлежит внутренности
Я(- п Р' в Я,-. Так как Rl = Rf\Hi и Р = C\R;, то
i
Fr P = (J ["Fr R; Г) ( П /?/")] = U (Я,- П Р) = П Face,P.
Наконец, так как все Ht различны, формула (iii) показывает,
что грани как подмножества X, а тем более множества Rt
однозначно определены полиэдром Р.
12.1.7. ПРИМЕРЫ. Если Р—многогранник, то его грани также
являются многогранниками. Если Я—гиперплоскость в X,
467
12.1 Определения, примеры, иллюстрации
НГ\Ф0 и Р—многогранник, то Н П Р—многогранник в Н,
гранями которого являются Н П Face,- P.
Рис. 12.1.6
Далее можно рассматривать грани граней Р и т. д.
Введем поэтому следующее определение.
12.1.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Р—выпуклый полиэдр с непустой
внутренностью. Его k-гранью называется грань его (& + 1)-гРани>
где k = 0, 1, ..., d—1, a (d—1)-гранями Р являются грани Р;
1-грани называются ребрами (сторонами, если d = 2). Две &-грани
называются смежными, если их пересечением является
(k—1)-грань.
Покажем теперь, что 0-грани являются вершинами
в смысле 11.6.1.
12.1.9. Предложение. Пусть Р—выпуклый полиэдр с непустой
внутренностью; тогда:
(i) для всякой точки х € Fr P пересечение гиперплоско-
гиперплоскостей всех содержащих ее граней совпадает с пересечением всех
гиперплоскостей, опорных к Р в точке х. В частности, точки
порядка а на Р—это внутренние точки а-граней Р, а вершины Р
совпадают с 0-гранями;
(И) вершины Р совпадают с крайними точками Р.
Если Н—опорная гиперплоскость к Р, то обозначим
через R то из полупространств, определяемых Я, для которого
P = PqR. Тогда, как показывает 12.1.5, если Н не совпадает
ни с одной Н\, то ее не обязательно учитывать; отсюда следует (i).
Если х(Ц?тР не есть крайняя точка, то существует такой от-
отрезок [(/, г] с Fr P, что х?]у, г[, следовательно, х имеет по-
порядок > 0.
12.1.10. следствие. Пусть X—евклидово векторное простран-
пространство, Q — некоторый многогранник и OgQ- Тогда существует
взаимно однозначное соответствие между k-гранями Q и
(d—k—\)-гранями дуального многогранника Q*. Это соответст-
соответствие устанавливается следующим образом (при помощи полярного
преобразования относительно единичной сферы, см. 10.7.11)-. если
Y—подпространство размерности k, определяющее рассмат-
468
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
469
12.1 Определения, примеры, иллюстрации
риваемую грань, то подпространство Y*, определяющее соответ-
соответствующую грань Q*, является пересечением гиперплоскостей, по-
полярных точкам Y.
Это следствие вытекает из 12.1.9 и 11.5.3.
12.1.11. СТАНДАРТНЫЕ ПРИМЕРЫ
12.1.11.1. Стандартный симплекс. Его вершинами служат концы
d+1 векторов (е,), = 1 d+1 канонического базиса в Rrf+1, по-
поскольку симплекс является их выпуклой оболочкой; так как
d-\-l—минимальное число точек, выпуклая оболочка которых
дает симплекс размерности d, то все концы указанных векторов
являются вершинами, т. е. число вершин симплекса в точности
равно d+1. По тем же причинам выпуклая оболочка любого
подмножества из ? + 1 элементов базиса (e,)y = i a+i является
г-гранью, и не существует i-граней другого вида. Следовательно,
число г-граней симплекса равно С'/+\, и все эти грани являются
правильными симплексами.
12.1.11.2. Стандартный куб. Все грани этого куба лежат на Id
гиперплоскостях х,- = ±1 (? = 1, ..., d), поскольку ни одна такая
гиперплоскость не является излишней (см. 12.1.5). Но пересече-
пересечение куба с такой гиперплоскостью является кубом размерности
d—1, поэтому все грани Cubrf являются кубами. Любая fe-грань
может быть записана в явном виде: достаточно выбрать значе-
значения + 1 для d—k координат х, а остальные координаты должны
удовлетворять неравенству | • | ^ 1. Следовательно, куб имеет
2d~kC\ граней размерности k. В частности, он имеет 2<* вершин
и Id граней; его вершинами являются точки с координатами
(±1, .... ±1).
12.1.11.3. Стандартный кокуб. Применяя 12.1.2.7, 12.1.11.2 и
12.1.10, получим, что все грани Cocrf являются правильными
симплексами и что число ^-граней равно 2k+1C%+1; в частности,
кокуб имеет Id вершин, которые являются концами векторов ±е(
канонического базиса, и 2а граней.
12.1.12. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ МНОГОГРАННИКА. Заметим, что вся-
всякая (d—2)-грань А полиэдра размерности d является пересече-
пересечением ровно двух граней F, F'. Действительно, по двойственности
(см. 12.1.10) граням соответствуют вершины некоторого ребра,
которое, будучи отрезком, содержит ровно две вершины.
Гиперплоскости F, F' определяют два вектора единич-
единичной длины | и \' из X, полностью описываемых условием: век-
векторы | и |' ортогональны F и F' соответственно, и | (%') лежит
по ту же сторону от F(F'), что и F'(F). По определению двугранный
угол, или_просто угол при d = 2, полиэдра Р в (d—2)-грани А —
это угол !?'€]0, я[; если d = 2, то Л —вершина Р.
12.1.13. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Две произвольные грани многогранника
всегда можно соединить цепочкой, состоящей из смежных граней.
Пусть х, у?Р—произвольные точки, Y—двумерная
плоскость в X общего положения, содержащая хну; тогда
Y[\P—многоугольник, сторонами которого служат пересечения
Рис. 12.1.12
граней Р с Y. Следовательно, доказательство предложения сво-
сводится к случаю, когда Р—многоугольник; но тогда если F—одна
из его сторон и F—некоторое множество сторон, содержащее F
и такое, что вместе с каждой стороной оно содержит и все
смежные с ней стороны, то F открыто и замкнуто в Fr P, a Fr P
связно.
12.1.14. ПРИМЕЧАНИЕ. Предположим, что Р задан явными урав-
уравнениями определяющих его полупространств, причем число этих
полупространств необязательно минимальное. Отыскание вершин
такого полиэдра Р является важной задачей прикладной мате-
математики (см. 11.8.10.10). Алгоритм для отыскания вершин можно
найти в [151], с. 86, или [195], гл. V.
12.1.15. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Многогранник Р имеет конечное число
вершин и является их выпуклой оболочкой. Обратно, выпуклая
оболочка конечного числа точек является компактным выпуклым
полиэдром.
Более общо, всех й-граней (& = 0, 1, ..., d—1) конеч-
конечное число; это нетрудно доказать по индукции, начиная с отрезка,
который имеет два конца. Для доказательства обратного утверж-
утверждения можно предположить, что выпуклая оболочка Q имеет
непустую внутренность, поскольку Q можно рассматривать как
множество в порожденном им подпространстве (см. 11.2.7). Век-
Векторизуем X в некоторой внутренней точке, затем введем в X
евклидову структуру и рассмотрим многогранник Q* (см. 12.1.2.6);
4f9
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
471
согласно первой части предложения, Q* является выпуклой
оболочкой конечного числа точек; применяя 12.1.2.8, получим,
что Q = Q** является многогранником.
12.1.16. СЛЕДСТВИЕ. Если Р — многогранник в X и f^A(X; Y),
то f (P) — многогранник в Y.
12.1.17. СЛЕДСТВИЕ. Пусть Р, Q—два многогранника; тогда их
сумма Минковского %Р + A — k) Q (см. 11.1.3) при всех к также
является многогранником.
Пусть P=tf((a,)), Q=?((bf))\ тогда
поскольку множество А,Р
так как если р = 2 ^,а,-, <7 =
i !
J
К) Q выпукло. Но также и
О — Ц bj)),
, где
2^=1, 2(*/
i i
TO
В § 12.2—12.6 X обозначает евклидово аффинное пространство.
12.2 ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВ
Теперь, когда X—евклидово пространство, мы можем использо-
использовать определения и обозначения из § 9.12, касающиеся объемов
тел. В частности, все многогранники имеют некоторый объем.
12.2.1. Пусть Н—гиперплоскость, х(^Н, К—компакт в Н
и С=^((д;}иЮ-<шиРамиДа с вершиной х и основанием К».
Тогда
12.2.2.
= ld(*, НJн(К).
В самом деле, доказательство 9.12.4.4 проходит без
изменений и в этом случае.
12.2.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Р= П #,• — многогранник (см. 12.1.6)
i
и а?Р; тогда
Действительно, Р = U <§ {{a) U Face,- P) согласно 12.1.5
i
(iii). Далее,
Й («? ({a} U Face,- P)()? ({a} U Face/ P)) =
== ? (?({a\ U (Face,- P П Face^- P))) = 0,
12.2 Объем многогранников
поскольку Face,-P П Facey-P содержится в подпространстве раз-
размерности d—2. Следовательно, 12.2.3 получается из 12.2.2 сло-
сложением по всем I.
Рис. 12.2.2
12.2.4. примечание. В качестве упражнения можно показать,
что 12..2.3 остается справедливым для всех точек а?Х, если
«геометрическое» расстояние d(a, ¦) заменить алгебраическим рас-
расстоянием а" (а, ¦), которое определяется формулой
А
а
12.2.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВ. Читатель с пол-
полным основанием может счесть слишком расточительным примене-
применение меры Лебега для определения объема таких достаточно
простых объектов, как многогранники, а тем более для опреде-
определения площади плоских многоугольников и даже треугольников.
И действительно, совсем элементарным способом можно доказать
следующее утверждение. »
12.2.5.1. Теорема. Предположим, что заданы евклидово прост-
пространство X и куб С в X со стороной длины 1. Существует и
притом единственное отображение Ф множества многогранников
Р а X в R+, удовлетворяющее трем аксиомам:
472
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
473
12.3 Ппощадь поверхности многогранника
(I) для произвольного параллельного переноса t прост-
пространства X и для произвольного многогранника Р имеем
Ф(/(Р))=Ф(Р);
(II) для двух произвольных многогранников Р, Q, для
которых P[\Q = 0 и P(jQ—многогранник, имеем O(PuQ) =
()
(III) Ф(С)=1.
Доказательство элементарное, но длинное; оно хорошо
изложено, например, в [125], гл. 2. Необходимо все-таки сделать
несколько замечаний к этому доказательству; во-первых, оно
должно показывать, что Ф обязательно задается формулой 12.2.3
с учетом 12.2.4 при произвольном выборе точки а; во-вторых,
надо проверить, что эта формула действительно определяет ото-
отображение Ф, удовлетворяющее трем аксиомам. Отсюда вытекает,
что Ф(/(Р)) = Ф(Р) для всех f^ls(X), и, следовательно, Ф на
самом деле не зависит от выбора куба С (что нас успокаивает).
Такое отображение Ф называется элементарным объемом много-
многогранников.
Рис. 12.2.5
12.2.5.2. В книге [125] можно найти много интересного об эле-
элементарном объеме, а также о (d—1)-мерных мерах (см. 9.12.7).
Несмотря на кажущуюся простоту, по поводу элементарного
объема возникает много серьезных проблем; одна из них—это
знаменитая проблема Гильберта—Дена, которая заключается
в следующем. Когда читатель будет изучать доказательство тео-
теоремы 12.2.5.1, он увидит, что в нем для вывода формулы «объем
симплекса 5 равен (l/d) X (высота) х (объем основания)» исполь-
используются такие понятия анализа, как непрерывность (функции Ф)
и переход к пределу (при аппроксимации 5 вписанными приз-
призмами, см. рис. 12.2.5). В случае ds2 так поступать не обяза-
обязательно, поскольку параллелограмм является объединением двух
изометричных треугольников, и, следовательно, требуя выпол-
выполнения аксиомы (I) для всех /?ls(X), а не для одних только
переносов, можно построить Ф еще более простым способом
(см., например, [123], с. 278 русского перевода). Вопрос, постав-
поставленный Гильбертом, звучит так: пусть даны два многогранника
равного объема в пространстве X размерности ^3; всегда ли
можно их разбить на меньшие многогранники, изометричные
друг другу? Ден первым построил многогранники в R3, для
которых такое разбиение невозможно; более того, Ден распола-
располагал явными критериями возможности такого разбиения. Самый
простой контрпример дают единичный куб и правильный симп-
симплекс (см. 12.1.2.5) с объемом 1; см. [125], с. 83—84 русского
перевода. Прекрасное изложение этого вопроса можно найти
в книге В. Г. Болтянского (см. [6*].— Ред.).
12.3 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА
Пусть P=f\Ri — многогранник в евклидовом пространстве X;
с
его грани Face,- P являются многогранниками в евклидовых
пространствах Я,- с X и, следовательно, имеют объем SH.(Face,P).
Согласно 12.1.5 (Hi), граница многогранника Р представляется
в виде Fr P= (J Face,- P. Следовательно, она имеет естественный
(d— 1)-мерный объем (см. 9.12.7), равный 2&н(. (Face,-P); мы
i
называем этот объем площадью поверхности Р (по терминологии
обычного случая d = 3), для того чтобы не повторять все время
слова «(d—1)-мерный». Такова мотивировка следующего опре-
определения.
12.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Площадью поверхности многогранника
Р=П/?,- (периметром, если d = 2) называется положительное
i
ЧИСЛО
12.3.2. ПРИМЕР. Если /—преобразование подобия в X с коэффи-
коэффициентом растяжения (л, то для всякого многогранника Р
Это вытекает из определения и 9.12.3.
Приведенная ниже формула выражает тот факт, что
площадь поверхности многогранника является (в надлежащем
смысле) средней величиной по всем направлениям гиперплоско-
гиперплоскостей в пространстве, точнее по объемам проекций на упомянутые
гиперплоскости. Для точной формулировки заметим, что если
К — компакт в X, Н—гиперплоскость и р: X —¦> Н — ортогональ-
474
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
475
12.3 Площадь поверхности многогранника
ная проекция на Я, то ?я (р (К)) зависит только от Н и не за-
зависит от конкретного Я. Если ?—вектор в X единичной длины,
т. е. | принадлежит единичной сфере S = S @, 1) в X, то обоз-
обозначим через ?(pg(K")) объем в Я проекции р(К) множества К
Рис. 12.3.2
на произвольную гиперплоскость Я, такую что ^(Я)-1-. Теперь
в обозначениях 9.12.4.5 можно сформулировать следующую
теорему.
12.3.3. теорема (формула Коши). Если а—каноническая мера
на S (см. 18.3.7), то для произвольного а"^2 и для произволь-
произвольного многогранника Р
Its
12.3.3.1. Первый шаг. Фиксируем некоторый вектор ?€-$, под-
подчиненный единственному условию: ?(?#,. Vi, где Н(—гиперпло-
Н(—гиперплоскости граней Р= П /?,-. Сначала заметим, что множество таких
i
| на S имеет дополнение меры 0. Покажем, что для такого I
имеет место равенство 2 S(/)|(Face(-P)) = 22 (р| (Я)); из рисунка
i
видно, что нам нужно доказать следующее: всякая точка мно-
—у
жества р(Р), где р: X —* Я и ^(ЯI-, за исключением некото-
некоторого множества меры нуль, является образом относительно р
в точности двух точек границы Fr P.
Итак, мы имеем .2 (р (Я)) = 2- (р(Р))- Пусть г/g P (Я);
нужно показать, что р (у) [\Рф0, поскольку тогда р~1(у) f)P —
интервал, не вырождающийся в точку, и поэтому его граница
состоит в точности из двух точек. Выберем произвольно z ? Я; если
p(z)=y, то доказательство закончено; в противном случае най-
найдется такая точка х?р{Р), что y?[p(z), x[n для произвольной
точки u^p~1(x)f]P будем иметь t = p~1(y) П [г, и] ? Я согласно
11.2.4.
р(Р) У х
12.3.3.2. Второй шаг. Для каждой гиперплоскости Я,- фиксируем
такую точку u{^S, что вектор «,¦?(//,)-!-. Согласно 9.12.4,
2 (Р| (Face, Я)) = | (I | и,) 1S«, (Face,. Я).
Следовательно, в силу 12.3.1
Г ' Г
iis
iis
Но для любого вектора и единичной длины \ | (I | ы) |cr=2p (d—1);
это классическая формула, которая доказывается непосредствен-
непосредственными вычислениями (см. 12.12.19), но может?ыть получена также
и без вычислений следующим образом. Этот интеграл равен
числу k(d), не зависящему от | в силу инвариантности относи-
относительно изометрии. Мы найдем его, применяя 12.10.4.1.
Формула 12.3.3, полезная и сама по себе, будет, кроме
того, применена нами в § 12.10 для определения площади поверх-
поверхности произвольного выпуклого компакта.
12.3.4. ПРИМЕЧАНИЕ. Интересная задача, решение которой было
дано Минковским, состоит в нахождении многогранника, если
известны площади и направления его граней; см. по этому поводу
прекрасные книги [254], [247] и [256].
476
Гп. 12. Многогранники, выпуклые компакты
477
12.3 Площадь поверхности многогранника
12.3.5. ФОРМУЛА ШТЕЙНЕРА —МИНКОВСКОГО ДЛЯ МНОГОГРАН-
МНОГОГРАННИКОВ. Пусть Р— некоторый многогранник; напомним, что
В(Р, Ц = {х?Х: d(x, Р)<Ц (*€R+).
Мы хотим изучить объем й (В (Р, Ц) и его зависимость от %.
Приведенный рисунок показывает, что при d = 2 множество
Рис. 12.3.5
В(Р, К) состоит из трех частей: самого Р, прямоугольных обла-
областей высоты К, построенных на ребрах Р, и, наконец, круговых
секторов радиуса К. Вторая часть имеет площадь
5Ч?н, (Face,-Р) = Щ(Р)
i
по определению 21 (Р); для того чтобы оценить площадь третьей
части, мы параллельно перенесем все секторы так, чтобы их
вершины попали в одну точку, и убедимся, что получится целый
круг, поэтому площадь третьей части равна л№ (см. 9.12.4.4).
Следовательно, с точностью до множеств меры нуль
? (В (Р, к)) = ? (Р) + Щ (Р) X + яХ2.
При d = 3 имеются четыре естественные части, составляющие все
В(Р,Х): сам многогранник Р, прямоугольные параллелепипеды
высоты %, построенные на его гранях, ортогональное произве-
произведение круговых секторов на ребра и, наконец, части шара,
объединение которых составляет весь шар. Объем четвертой части
дает член порядка ^3. Приведенное ниже предложение и его
доказательство являются точным описанием предшествующих
эвристических соображений.
Рис. 12.3.6
12.3.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. С каждым многогранником Р размерности
d связан набор чисел ?,-(P)€R+ (i = 0, I, ...,d), таких что
d
YkeRl:%(B (P, К)) = 2 Й, (Р) М.
» = о
Кроме того, для любого Р
ЙО(Р)=2(Р), 2АР) = ^(Р), ?Л^) = Р(<9-
12.3.6.1. Пусть у ? X и х?Р—единственная точка, такая что
d(x,y) = d(y, P) (см. 11.1.7.1). Из 9.2.2 и доказательства 11.6.2
вытекает, что при любом
имеем d(x + kxy, P) = kd(x, у).
478
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
Если CN'X—нормальный конус в x?FrP, параллельно перене-
перенесенный в начало координат, то обозначим через Sx высекаемое
этим конусом подмножество единичной сферы в X: Sx = CN'xf\
П S @, 1) (см. 11.6.2). Предыдущее рассуждение показывает, что
В(Р,К)\Р= U U [х,х
xeFrP is
12.3.6.2. Обозначим через сох порядок точки х € Fr P и положим
т. е. ?2,- есть объединение относительных внутренностей г-гра-
ней Р (см. 12.1.9). Для i = 0, 1, . .., d—1 положим
= U U
откуда
В(Р,
Таким образом, мы получили дизъюнктное разбиение множества
В (Р, к)\Р, и, следовательно,
? (В (Р, Я)) = ? (Я) + 2 & (В; (Ц)-
1=0
12.3.6.3. Теперь сделаем следующее важное замечание: когда х
пробегает относительную внутренность F* некоторой данной
грани F, остается фиксированным конус CN'X, а значит, и под-
подмножество Sx; поэтому мы можем обозначить это подмножество
через SF и положить Dp= (J [0, |]. Это замечание вытекает из
того, что конус CNX определяется гиперплоскостями граней,
содержащих х, а эти грани не меняются, когда х пробегает F*.
Если F—данная i-грань, то
U U \х,
где подразумевается изометрия с ортогональным прямым произ-
произведением в правой части. Пользуясь двумя примерами из 9.12.3,
получаем
=Й (F) ? (DF) К"-',
где объемы &(F), Q(DF) рассматриваются соответственно в про-
пространствах размерности i и d—i.
12.3.6.4. Обозначим множество /-граней Р через Ф,-; предыдущие
479 12.4 Правильные многоугольники
рассуждения показывают, что
где Й*_,
= 2
В частности, для i = d—1
° (Р) У ?
поскольку Df=[0, 1];
предшествующие рассуждения и
X = S; отсюда (J DP=B(O, 1)
Ф
11.6.2 показывают,
и, следовательно,
для i =
что U
хеФ, 0
«rf(P) = S(B@, l)) = p(d), так как F—точка и %(F) = \.
В 12.10.6 нам понадобится следующее утверждение.
12.3.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если заданы а?Х и г > 0, то все функ-
функции ?,•(•) ограничены на множестве многогранников, содержа-
содержащихся в В (а, г).
Фиксируем некоторое % > 0; тогда В (Р, К) с В (а, Я + г)
и 2 (В (Р, X))sS^$ (d) (r-\-l)d. Поскольку все члены в сумме
S (В (Р, X)) = 2 ?, (/>) X' < р (d)
i
положительны, то й,-
138
C (d) (
, )
12.3.8. ЗАМЕЧАНИЕ. Теперь мы можем обосновать идею «покраски»,
о которой говорилось в 9.12.7. Для покраски полиэдра Р нужно
наложить на его поверхность равномерный слой краски очень
маленькой толщины %, следовательно, можно отбросить члены,
содержащие Х2,%3,.... Тогда объем S (?(/>, Я)) —?(/>) =
=91 (Р) Я; следовательно, 'необходимое количество краски будет
пропорционально площади §1 (Р). Мы продолжим эту тему
в 12.10.7.
12.4
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
В этом и двух следующих параграфах через X обозначается
евклидово аффинное пространство размерности d. В этом
параграфе d= 2.
Этот простой параграф нужен для подготовки к определению
правильных многогранников произвольной размерности.
12.4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многоугольник называется правильным,
если все его стороны имеют одинаковую длину и все его углы
равны между собой.
Оба эти условия необходимы. Согласно 10.5.2, если п —
число сторон, то все углы равны -— я.
12.4.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для всякого целого числа
сущест-
480
Гп. 12. Многогранники, выпуклые компакты
вует правильный многоугольник с п сторонами; два правильных
многоугольника с одним и тем же числом сторон подобны.
Р р'
Рис. 12.4.1
Для доказательства существования достаточно взять
в качестве вершин точки [e2iknln: k = 0, 1, ..., п—1 }¦ с: С = R2.
Докажем единственность с точностью до подобия. Согласно 9.6.2,
можно считать, что многоугольники P = ?(al), P'=<g(a'i) имеют
одну общую сторону: а1 = а[, а2 = а2 и, кроме того, лежат в одном
и том же полупространстве по отношению к <аи а2>. Тогда из
равенства углов и сторон следует, что а3 = а'3, и по индукции
Р = Р'.
12.4.3. ФОРМУЛА. Согласно 12.4.2, всякий правильный много-
многоугольник может быть вписан в окружность, центр которой назы-
называется центром многоугольника; если г—ее радиус, то длина
стороны правильного «-угольника равна
= 2rsin-
п
Для обобщения понятия правильного многоугольника
на произвольную размерность рассмотрим стабилизатор, или
группу изотропии, G(P) = lsp(X) многоугольника Р (см. 9.8.1).
Имеет место следующее предложение.
12.4.4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Многоугольник Р правильный тогда и
только тогда, когда группа G (Р) действует транзитивно на
множестве пар (х, F), где х—вершина Р, a F—его сторона,
содержащая х.
Для доказательства необходимости рассмотрим много-
481
12.4 Правильные многоугольники
угольник с вершинами в точках ^е2Шл/п}. Сначала заметим, что иа
его вершинах транзитивно действует группа Zn. Следовательно,
достаточно рассмотреть случай (х, F), (x, F'); но тогда либо
F — F', и доказывать нечего, либо F^F', и в этом случае сим-
симметрия относительно прямой <0, х> переводит F в F', оставляя х
на месте. Для доказательства достаточности заметим, что углы
равны, поскольку группа G (Р) действует транзитивно на вер-
вершинах, а длины сторон равны, так как G (Р) транзитивна на
сторонах.
Рис. 12.4.6.1
Рис. 12.4.6.2
число пар (х, F) с х € F равно 2/г,
#G (Р) = 2п. Структура такой группы
полупрямое произведение ZnxZ2 или
02
12.4.5. Согласно 12.1.12,
поэтому, в силу 9.6.2,
изучалась в 1.8.3.4—это ур
диэдральная группа SJn; см. § 0.2.
12.4.6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ. На рис. 12.4.6.1 и 12.4.6.2
показано, как построить правильные n-угольники для /г = 6 и
я = 10; из них очевидным образом получаются правильные много-
многоугольники с п = 3 и я = 5. Последний случай особенно нужен
для того, чтобы уметь рисовать или строить из бумаги додекаэдры
(см. 12.5.5) или футбольные мячи (рис. 12.1.1.4).
Если можно построить правильный n-угольник, то
можно построить и правильный 2/г-угольник, поскольку с по-
помощью циркуля и линейки можно построить биссектрису. Постро-
Построения правильных /г-угольников с помощью циркуля и линейки при-
приводят к интересной алгебраической проблеме, решенной Гауссом:
оказывается, единственными целыми числами п, для которых воз-
возможно эффективное построение, являются числа вида п —
= 2knl . . . nh, где ni—различные простые числа вида /г, = 22 * —|— 1 _
Вопрос о простоте чисел вида /7а = 22°'+1 — это задача теории
чисел, не решенная и по сей день. Известно, что числа F(l = 3,
Fx = 5, F2=17, /\, = 257, F4 = 65 537 являются простыми, и это
482
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
483
12.5 Правильные многогранники: определение
единственные известные простые числа Fa. Известно также, что
для многих а числа Fa не являются простыми. Гипотеза состоит
в том, что среди чисел вида Fa простых только конечное число.
О числах Fa, называемых «числами Ферма», см. [127], с. 14—15.
[См. также [16*].— Перев.]
Многоугольники с числом сторон Fx и Fo могут быть по-
построены исходя из рис. 12.4.6,1 и 12.4.6.2. О построении правиль-
правильных многоугольников с 17 сторонами и более, а также о доказа-
доказательстве упомянутого результата Гаусса можно прочитать в [154],
с. ПО—153, или в более новой книге [230], гл. 17. [См. также
[16*].—Ред.]
12.5 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ,
ПРИМЕРЫ
Несмотря на простой внешний вид трехмерных правильных много-
многогранников, определить правильные многогранники (называемые
иногда правильными полиэдрами) вовсе не просто; для этого
нужны довольно сильные условия. Читатель сам почувствует
это, если попробует дагь собственное определение правильного
многогранника или посмотрит 12.12.7 (можно также обратиться
к таким старым книгам, как [99], [65], [124], и подвергнуть их
критическому изучению). Хорошее определение подсказывается
предложением 12.4.4.
Рис. 12.5.1
12.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Р—заданный многогранник раз-
размерности d; флагом многогранника Р назовем набор (Fo, Fx, ...
• •-,Fd_1), состоящий из его i-граней Fh таких что Ft a Fi+i
V/ = 0, I, ...,d—2. Многогранник Р называется правильным,
если его группа изотропии G (P) = Isp(X) действует транзитивно
на множестве флагов Р.
Более геометрическое определение приведено в 12.12.7.
12.5.2. СЛЕДСТВИЯ- Здесь мы предполагаем, что Р—правильный
многогранник.
12.5.2.1. Центр тяжести О множества вершин Р называется цент-
центром Р; это неподвижная точка при действии группы G (Р); по-
поскольку G (Р) действует транзитивно на вершинах, все вершины
лежат на сфере с центром в точке О, про которую говорят, что
она описана вокруг многогранника Р.
12.5.2.2. Каждая г-грань P(i = 2, ...,d—1) является правиль-
правильным многогранником размерности i.
12.5.2.3. Пусть F, F'—две смежные грани Р (см. 12.1.12) и
Н—гиперплоскость, порожденная Ff}F' и центром О многогран-
многогранника Р: Н = <О, F f\F'>; тогда симметрия он переводит F в F':
aH(F) = F'.
12.5.2.4. Если X векторизовано в центре О многогранника Р,
то дуальное множество Р* (см. 12.1.2.6) также является правиль-
правильным многогранником. Их группы изотропии совпадают: G (Р*) =
=G (Р). В самом деле, действие группы G (Р), оставляющее на
месте точку О, перестановочно с полярным преобразованием,
следовательно, наше утверждение вытекает из 12.5.1 и 12.1.10.
Рис. 12.5.2.5
12.5.2.5. Группа G (Р) действует на флагах Р просто транзи-
транзитивно. В самом деле, по Р и по каждому его флагу можно
единственным образом построить ортонормированный репер.
В частности, 4? G (Р) равно числу флагов Р.
Рис. 12.5.3
12.5.3. ЗВЕЗДА ПРАВИЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА
12.5.3.1. Пусть Р—правильный многогранник с центром О и х—
его вершина. Если А — ребро (см. 12.1.8), содержащее х, то
обозначим другую вершину этого ребра через у. Поскольку группа
G (Р), в частности, транзитивна на парах (х, А), где А 5 х, то
484
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
вторые вершины у всех таких ребер А лежат в одной и той же
гиперплоскости Н, ортогональной хО. Пересечение Р (] Н является
многогранником, вершины которого—это точки у и, кроме того,
(i—1)-грани этого многогранника—это пересечения г-граней Р,
содержащих х, с гиперплоскостью Н. Поскольку G (Р) транзи-
тивна на всех флагах Р, то тем более эта группа транзитивна
на флагах, начинающихся с точки х, а значит, группа G (Р)
транзитивна на флагах Р[\Н.
12.5.3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Построенный таким образом правильный
многогранник называется звездой Р в вершине х и обозначается
ШХР, или короче EtP (поскольку все звезды изометричны).
12.5.3.3. Предыдущее рассуждение и 1.5.5 показывают, что
# G (Р) = # G (Et Р)х (число вершин Р).
12.5.4. ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ
12.5.4.1. Правильный симплекс. Флаги Simprf находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии с наборами (eit, . . ., e!d) векторов
базиса (e,)i=1 а+1. Но всегда существует отображение / € О (d-f 1),
переводящее (еи, ..., eid) в (<?А, ..., е,- ) (см. 8.2.7), а оставшийся
элемент е,- в оставшийся элемент eJd+1. Следовательно, /6
€G(Simpd), и это показывает, что G (Simpd) совпадает с 2d + 1,
Simp
Рис. 12.5.4.1
Вершины Etv обозначены
симметрической группой перестановок множества {1, ...,й-\-Ц.
Кроме того, Et (Simpd) является правильным симплексом:
Et (Simprf)=Simpd_1.
12.5.4.2. Куб. При помощи симметрии относительно координат-
координатных гиперплоскостей можно найти изометрии куба Cubrf, тран-
транзитивные на вершинах (±1,..-,±1) (см. 12.1.11.2). Следова-
485
12.5 Правильные многогранники: определение
тельно, остается показать, что G (Cubrf) транзитивна на флагах,
содержащих заданную вершину; для этого рассмотрим стандартный
куб С = [0, 1]ас:Ка, который подобен Cubrf. Пусть х = @,. . .,0)—
нулевая вершина С; ребрами, содержащими х, являются отрезки
[0, е,-](?=1, ...,d), где (e,-)i = i d —канонический базис Rd.
Таким образом, флаги, содержащие х, находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с флагами Simp^!, а так как G (Simp^.^c:
c:G (С), то мы показали, что Cubd является правильным. Кроме
того, Et (Cubrf) = Simprf_1.
Сое,
Cub3
Рис. 12.5.4.2
Вершины Etx обозначены
t S
Рис. 12.5.4.3
Вершины EtA. обозначены
Е t^ = Сос3
Чтобы описать группу G (Cubd), заметим сначала, что из
12.5.3.3 и 12.5.4.1 вытекает равенство # G (Cubrf) = 2<* • сИ. Номы
знаем одну подгруппу из 2ddl элементов в G (Cubd)—это компо-
композиция d\ перестановок координат и 2а изменений знака коорди-
координат; следовательно, она и есть вся искомая группа, которая к
тому же является полупрямым произведением указанных групп.
12.5.4.3. Кокуб. Пользуясь двойственностью, получаем из
12.1.2.7, 12.1.10 и 12.5.2.4, что Cocrf является правильным много-
многогранником, а его группа совпадает с группой куба Cubrf. Звезду
Et(Cocrf) можно тоже описать при помощи двойственности, а
можно и непосредственно: пусть ех—вершина Cocrf; содержащие
ее ребра—это отрезки [еи ±е,] (i = 2, .. .,d), откуда следует,
что Et (Cocrf)=Coc(,_1.
12.5.5. СЛОЖНЫЕ ПРИМЕРЫ В РАЗМЕРНОСТИ 3. Как мы уже от-
отмечали в 1.8.3.4, существование правильных додекаэдра и ико-
икосаэдра не очевидно; здесь мы приведем два доказательства их
486
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
487
12.5 Правильные многогранники: определение
существования. Сначала заметим, что правильные додекаэдр и
икосаэдр двойственны друг другу, и поэтому существование од-
одного из них влечет за собой существование другого.
12.5.5.1. Геометрический метод. Идея этого метода заключается
в следующем. Предположим, что правильный додекаэдр сущест-
существует; тогда в него можно вписать куб. Мы собираемся действо-
действовать в обратном направлении и показать, что к кубу можно при-
пристроить правильные пятиугольники, образующие додекаэдр:
рис. 12.5.5.1.
Рис. 12.5.5.1
У
Рис. 12.5.5.2
12.5.5.2. Лемма. Пусть F, F', F"—три равных правильных
пятиугольника; тогда их можно соединить по общим ребрам
А, А', А", исходящим из общей вершины х. Полученная таким
образом фигура будет однозначно определенной, т. е. единствен-
единственной с точностью до изометрии. Прямые <дг, уу, <дг, у'у, <дг, у"у
на рис. 12.5.5.2 попарно ортогональны.
Проще всего воспользоваться сферической тригономет-
тригонометрией; возможность такого соединения пятиугольников эквива-
эквивалентна существованию сферического треугольника, все стороны
которого равны углу правильного пятиугольника, т. е. равны
Зя/5 (см. § 12.4). Поскольку ЗхЗя/5<2я, то наш сферический
треугольник существует согласно 18.6.10. Единственность с точ-
точностью до изометрии вытекает из 18.6.13.10.
Для того чтобы доказать ортогональность <дг, у У и
<х, у'У, можно поступить следующим образом. Заметим, что для
точек у, z, t на рисунке <у, zy _L. <z, ty, поскольку <г/, г> парал-
параллельна ребру А', а <г, ty ему перпендикулярна (например, потому,
что xz = xt и x'z = x t). Но симметрия <Тн относительно плоскости,
перпендикулярной ребру А" и делящей его пополам, переводит
тройку (у, z, t) в {у, х, у'). Это и доказывает лемму.
Здесь нужно заметить, что первое утверждение 12.5.5.2
и симметрия Он не дают полного решения вопроса существова-
существования, так как они обеспечивают только возможность последова-
последовательного приклеивания F' к F, F" к F и F', затем F'" = oH(F")
к F и F' и т. д. Этот метод и применяется при построении мо-
моделей из бумаги, но теоретически остается еще показать, что
полученная фигура полностью «закроется», а это совсем не очевидно.
Для доказательства этого достаточно заметить, что на
трех ребрах А, А', А" куба С, выходящих из вершины х, можно
расположить три правильных пятиугольника F, F', F", как на
рис. 12.5.5.1, поскольку 12.5.5.2 утверждает, что <лг, уУ,<х,у'У,
<х, у"У ортогональны и имеют одинаковую длину. Теперь, при-
применяя симметрию куба С относительно гиперплоскостей его гра-
граней, построим додекаэдр, гранями которого являются двенадцать
правильных пятиугольников. Для того чтобы убедиться, что этот
многогранник правильный, достаточно применить утверждение
об однозначной определенности из 12.5.5.2. Из этого утвержде-
утверждения вытекает, что построенный додекаэдр однозначно определен,
как только известны одна его грань и определенное этой гранью
полупространство, в котором находится наш додекаэдр.
12.5.5.3. Алгебраический метод. Здесь мы в явном виде построим
икосаэдр; идея заключается в том, чтобы на ребрах октаэдра
(общепринятое название кокуба размерности 3) расположить две-
двенадцать вершин таким образом, чтобы получились правильные
треугольники; это, очевидно, возможно по соображениям непре-
непрерывной зависимости длин сторон треугольника от положения
точек на ребрах октаэдра. Полученный многогранник будет обра-
образован двадцатью равными правильными треугольниками, сходя-
сходящимися по пять в каждой вершине. К сожалению, вовсе не
очевидно, что этот многогранник правильный, так как, соединяя
пять правильных треугольников в их общей вершине х, мы не
получим фигуры, единственной с точностью до изометрии, как в
488
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
489
12.5 Правильные многогранники: определение
12.5.5.2, а получим в высшей степени гибкую фигуру, которая
допускает деформации подобно плоскому равностороннему /г-уголь-
нику при п > 3. Мы вернемся еще к этому вопросу в 12.8.6.
@,т,-0
Рис. 12.5.5.3
Рис. 12.5.5.4
Итак, нужно показать, что наш икосаэдр правильный.
Согласно сказанному, найдем двенадцать вершин вида @, ±т, ±1),
(±1, О, ± т), (±т, ±1, 0), где т—искомая величина. Расстоя-
Расстояние от вершины (т, 1,0) до пяти других вершин (т, —1, 0),
@, т, ±1), A, 0, +т) принимает два значения: 2 и ^2т2—2т + 2,
и, следовательно, условие на т принимает вид
12.5.5.4.
т > 0, т. е. т = -
5+1
При выполнении этого условия точка (т, 1, 0) равно-
равноудалена от указанных пяти точек; это верно и для всех осталь-
остальных вершин (хотя бы потому, что наше множество из двенад-
двенадцати вершин допускает группу изометрий, транзитивную на этих
вершинах: она порождена циклическими перестановками осей и
симметриями относительно координатных гиперплоскостей).
Теперь заметим, что пять точек (т, —1, 0), @, т, ±1)>
A, 0, + т) лежат на плоскости, заданной уравнением хх-\-у—т=0;
отсюда следует однозначная определенность фигуры, составлен-
составленной из пяти правильных треугольников (рис. 12.5.5.4). Следова-
Следовательно, вращения порядка 5 вокруг оси, проходящей через вер-
вершину, будут сохранять наш икосаэдр и вместе с предыдущей
группой будут порождать группу, транзитивную на флагах
икосаэдра.
12.5.5.5. Вершинами додекаэдра, построенного в 12.5.5.1 на кубе
(± 1, ±1, ±1), являются точки @, ±т~\ ±т), (±т, 0, 1)
(±т~\ ±т, 0), где т—число из 12.5.5.4. Читатель легко это
проверит, пользуясь двойственностью или 12.5.5.1.
12.5.5.6, Группа икосаэдра. Согласно 12.5.3.3 и 12.4.5, эта группа
содержит 12x10 = 120 элементов, однако она не изоморфна сим-
симметрической группе ?5. Чтобы в этом убедиться, заметим, что
Рис. 12.5.5.6
тридцать ребер правильного додекаэдра определяют пятнадцать
прямых, которые соединяют середины ребер с центром додекаэдра.
При помощи рассуждения, аналогичного 12.5.5.1, можно пока-
показать, что эти прямые образуют пять троек попарно ортогональ-
ортогональных прямых. Группа G+ движений додекаэдра действует на
множестве этих пяти троек эффективно; так как она состоит из
60 элементов, то G+ *±ЛЪ. Напротив, G действует неэффективно
из-за симметрии с центром в начале координат; следовательно,
G неизоморфна @6, однако она изоморфна прямому произведе-
произведению Лъ XZ2.
12.5.5.7. Примечания. Правильные додекаэдр и икосаэдр^ или
вообще любые объекты, обладающие их группой симметрии, до-
довольно необычны. Прежде всего нужно заметить, что в природе
практически не встречаются кристаллы, допускающие группу
икосаэдра1). Однако имеется много живых существ с этой
группой; см. рис. 12.5.5.7 и [242], с. 101 русского перевода.
Среди предмете», сделанных руками человека, отметим
додекаэдр из стеатита, изготовленный во времена этрусской ци-
цивилизации по крайней мере за 500 лет до н. э. Найдена также
То есть группа икосаэдра не является кристаллографической. Среди
групп симметрии правильных многогранников некристаллографическими
группами являются еще группы правильных л-угольников при п > 6 и
п=5 и группа симметрии четырехмерного многогранника {3, 3, 5), описан-
описанного в 12.5.6.2 (см. [35], [63]). — Прим. перев.
490
Гл. 12. Мнегогранники, выпуклые компакты
пара игральных костей в форме икосаэдров времен династии
Птолемеев, экспонируемая в Британском музее в Лондоне. Пять
правильных многогранников играли важную роль в греческой
натурфилософии; см. «Тимей» Платона и точные ссылки в [65],
с. 13, и [99], с. 120 — 121. См. также рис. 12.5.5.8.
Рис. 12.5.5.7
Из книги [242]
Кроме того, Кеплер считал, что он нашел связь
между пятью правильными многогранниками и орбитами планет
Солнечной системы: рис. 12.5.5.9.
12.5.6. СЛОЖНЫЕ ПРИМЕРЫ В РАЗМЕРНОСТИ 4. К ЭТИМ примерам
приводит построение таблицы всех возможных правильных мно-
многогранников: см. 12.6.7.3. Здесь эти многогранники вводятся в
готовом виде, но исторически они были открыты более геомет-
геометрическим и крайне трудоемким способом; см. [65], с. 13 и 141.
Что касается их названий, то они будут объяснены в 12.6.1.
12.5.6.1. Стандартный {3, 4, 3}. Речь идет о многограннике Р
в R4, имеющем 24 вершины: (±2, 0, 0, 0), @, ±2, 0, 0),
@, 0, ±2, 0), @, 0, 0, ±2), (±1, ±1, ±1, ±1), получен-
491
12.5 Правильные многогранники: определение
ные объединением вершин Cub4 и вершин многогранника, полу-
полученного из Сос4 гомотетией с коэффициентом 2. Покажем, что
эти вершины определяют правильный многогранник.
Октаэдр
Воздух
Куб
Земля
Тетраэдр
ОГОНЬ
Додекаэдр
Вселенная
с 12.5.5.8
Икосаэдр
Вода
Расстояние от вершины х = B, 0, 0, 0) до любой из
восьми вершин A, ±1, ±1, ±1) равно 2, следовательно, грани
Р, содержащие х, находятся в биективном соответствии с гра-
гранями куба, определенного этими восемью вершинами. В част-
частности, группа G (Р) транзитивно действует на флагах, содержа-
содержащих вершину х, и потому осталось только показать, что эта
группа транзитивно действует на вершинах. Поскольку группа
куба Cub4 транзитивно действует на вершинах Cub4 и на верши-
492
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
нах 2 Сос4, то достаточно найти изометрию Р, меняющую местами
точки B, 0, 0, 0) и A, —1, —1, —1). Хорошим кандидатом на
такую изометрию является симметрия относительно медиаторной
тлвдхлш.
ouivm funetakvm umbmonbs. вт ютлкпл5 рея qvinqve recvbuua corpora сеометшсл exh1bens
UVSllUH». 1МЮП.ЛС DRXEnonUDSUOADVaWnTBMBeaClCO.ETTtCCX).OOIini MONTIS M1AARVM, ETC
Рис. 12.5.5.9
гиперплоскости этих точек (см. 9.7.5). Согласно 8.2.10, эта сим-
симметрия имеет вид
(х, у, z, /)>->
'x — y—z—t —x~\-y—z—t —x—y-{-z — t —х—у — г+t'
2
2
2
2
493
12.5 Правильные многогранники: определение
Легко видеть, что эта симметрия действительно сохраняет 24
вершины Р.
Предыдущие рассуждения показывают, что EtP = Cub3.
Рис. 12.5.6.1
Из книги [65]
{3,4,3}
{3,3,5}
Рис. 12.5.6.2
Из книги [65]
494
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
Следовательно, согласно 12.5.4.2 и 12.5.3.3, группа G (Р) имеет
порядок 48x24=1152.
12.5.6.2. Стандартный {3, 3, 5}. Этот многогранник и двойст-
двойственный к нему {5, 3, 3}—самые сложные из всех правильных
многогранников. С учетом значения т из 12.5.5.4 вершины этого
многогранника (их 120) определяются так:
24 вершины стандартного {3, 4, 3} и все точки, по-
полученные из 8 точек (± т, ±1, ± т, 0} четными
перестановками координат.
о
о
Рис. 12.5.6.3
Из книги [65]
Тем же методом, что и в 12.5.6.1, покажем, что этот многогран-
многогранник Q правильный. Ребрами, выходящими из д: = B, 0, 0, 0),
служат отрезки, соединяющие х с 12 точками (т, ± 1, ±т~"\ 0),
(т, 0, ±1, +Т), (т, ±т~\ 0, ±1)- Эти точки являются вер-
вершинами правильного икосаэдра (см. 12.5.5.3). Группу этого ико-
икосаэдра можно рассматривать как группу движений четырехмерно-
четырехмерного пространства, оставляющих неподвижными точки оси A, 0, 0, 0);
она транзитивна на флагах Q, содержащих х; кроме того, эта
группа сохраняет многогранник Q. Теперь нужно доказать, что
эта группа транзитивно действует на множестве вершин Q с фик-
фиксированной первой координатой; для вершин с первой коорди-
координатой т или —т это уже сделано. Для + 1 находим вершишы
A, ±1, ±1, ±1) и A, ±т, 0, ±1-*), A, О, ±т-\ ±т),
A, ±т~1, ± т, 0). Они являются вершинами додекаэдра
(см. 12.5.5.5), и потому это множество вершин допускает группу
изометрий икосаэдра. Наконец, для первой координаты, равной
49S
12.5 Правильные многогранники: определение
Рис. 12.5.6.4
Из книги [65]
{5,3,3}
Рис. 12.5.6.5
Из книги [65]
496
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
нулю, находим точки
(О, ±2, 0, 0), @, 0, ±2, 0), @, 0, 0, ±2),
(О, ±т, ±1, ±т'1), @, ±1, ±т-\ ±т), @, ±т-\±т, ±1).
Эти точки являются серединами ребер икосаэдра, полученного
гомотетией с коэффициентом 2т из икосаэдра, построенного в
12.5.5.3. Следовательно, это множество точек инвариантно при
действии группы икосаэдра.
Остается доказать, что группа G (Q) транзитивно дей-
действует на множестве всех вершин; это делается так же, как в
12.5.6.1. Согласно 12.5.5.6, группа G (Q) имеет порядок
120x120= 14 400.
12.6 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ: КЛАССИФИКАЦИЯ
Сейчас мы покажем, что не существует других правильных мно-
многогранников, кроме тех, с которыми мы уже встречались; этот
результат был получен Шлефли приблизительно в 1850 г. Дока-
Доказательство основано на двух идеях: первая—это введение сим-
символа правильного многогранника, а вторая — формула 12.6.5,
которая позволяет провести классификацию по индукции.
12.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Символом \r1{P), r2(P),..., rd_1(P)} пра-
правильного многогранника Р размерности d называется последова-
последовательность d—1 целых чисел, определяемых индуктивно по d
следующим образом: г1(Р)—это число сторон (см. 12.5.2.2 и
12.4.2) 2-грани Р, a \r2(P) rd_l(P)\ —это символ EtP
(см. 12.5.3.2).
12.6.2. ПРИМЕРЫ
12.6.2.1. Заметим, что все
12.6.2.2. Символом г
вытекает из 12.5.3.1.
12.6.2.3. Символом Simpd является {3, ...,3}, символ Cubd —
это {4, 3, ..., 3}, символ Cocrf имеет вид {3, ..., 3, 4}, икосаэдра—
{3, 5[, додекаэдра — {5, 3}; символами многогранников из приме-
примеров 12.5.6.1 и 12.5.6.2 являются {3, 4, 3} и {3, 3, 5}.
Достаточно проверить, что все rt вычислены правильно
(это нетрудно), поскольку звезды всех этих многогранников уже
описаны в 12.5.4.1, 12.5.4.2, 12.5.4.3, 12.5.6.1, 12.5.6.2; по ин-
индукции находим все указанные символы.
12.6.2.4. Символом двойственного к Р многогранника Р* (см.
12.5.2.4) является {rd_1(P), ...,r1(P)}. Это вытекает из опреде-
определения символа, 12.1.10 и 12.6.2.2. Например, двойственным
многогранником к стандартному {3, 3, 5[ является правильный
многогранник с символом {5, 3, 3\.
12.6.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ
12.6.4. ОБОЗНАЧЕНИЯ. Пусть Р—правильный многогранник; обоз-
12.6.2.2. Символом грани Р является {rl(P), . . .,га_2(Р)\; это
12531
497
12.6 Правильные многогранники: классификация
начим длину его ребра через /, радиус описанной сферы через
г (см. 12.5.2.1) и положим р(Р) = /2/4г2.
Тогда если Р имеет символ {гг, ¦¦¦,rd_1\, то между
р(Р) и p(EtP) имеет место соотношение
Для доказательства этой формулы рассмотрим некото-
некоторую вершину х?Р. Пусть О и О', г и г' —центры и радиусы
сфер, описанных около Р и EtxP соответственно. Кроме того,
пусть у, у' — вершины некоторого ребра EtxP и Г = уг/' —общая
длина ребер EtxP. Тогда три точки у, х, у' суть три последо-
последовательные вершины (согласно 12.5.3.1) некоторой 2-грани Р, т. е.
правильного многоугольника с гх сторонами. Если через О и /¦
обозначить центр и радиус окружности, описанной около этой
2-грани, то, согласно 12.4.3,
откуда V = 21 cos (я/гх). Далее,
= p(EtxP)=-V
¦ ¦ ¦ ч i - 4т
Если через 2ф обозначить угол при вершине О в треугольнике
{у, О, х\, то получим r' = /cos<p, l = 2rsmq>. Следовательно,
О ccs2(n/^i)
cos2
откуда и вытекает формула 12.6.5.
12.6.6. следствие. Число р(Р) зависит только от набора
498
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
\r\, ..¦,rd_1}. Обозначим это число через p(rit ¦¦¦,rd_1); тогда
для любого правильного многогранника с символом \гг rd_1}
выполнено соотношение
' (Г2, ..., frf-l
Это доказывается последовательным применением 12.6.5
к EtP, Et(EtP)H т.д.
12.6.7. ТЕОРЕМА (Шлефли, 1850). Все возможные символы пра-
правильных многогранников исчерпываются следующим списком:
d = 2: {п\, где п—произвольное целое число ^ 3;
d = 3: j3, 3}, {3, 4}, {4, 3}, {3, 5}, {5, 3};
d = 4: 3, 3, 3}, {3, 3, 4}, {4, 3, 3}, {3, 4, 3}, {3, 3, 5}, {5, 3, 3};
d^5: {3 3}, {3, ...,3, 4}; {4, 3 3}.
Кроме того, для каждого символа из этого списка су-
существует правильный многогранник с таким символом, а два
правильных многогранника с одним и тем же символом подобны.
12.6.7.1. Существование вытекает из 12.4.2, 12.6.2.3 и 12.6.2.4.
12.6.7.2. Единственность (с точностью до подобия) доказывается
Рис. 12.6.7.2
по индукции. Пусть Р, Р'—два правильных многогранника с
одним и тем же символом; согласно предположению индукции и
12.6.2.2, их грани подобны. После надлежащего преобразования
подобия можно считать, что грани Р и Р' изометричны, а затем
совместить одну грань Р с соответствующей гранью Р' так, чтобы
Р и Р' лежали в одном и том же полупространстве относительно
гиперплоскости этой общей грани F.
Но тогда Р и Р' имеют общий центр О, поскольку
центр обязательно лежит на перпендикуляре к грани F, прохо-
дятем терез центр О' этой грани, причем расстояние г от О до
произвольной вершины F одно и то же для Р и Р' и опреде-
определяется по формуле
499
12.6 Правильные многогранники: классификация
(см. 12.6.4 и 12.6.6), где /—длина ребра F. Предположим те-
теперь, что А—некоторая (d—2)-грань F и G, G' — грани Р и Р',
смежные с F по (d—2)-грани А (см. 12.1.12). Если # = <О, Л>—
гиперплоскость, проходящая через О и Л, то из 12.5.2.3 вы-
вытекает, что aH(F) = G и oH(F) = G', следовательно, G = G'. По
индукции из 12.1.13 заключаем, что Р = Р'.
12.6.7.3. Список всех возможных символов составляется по индук-
индукции путем рассмотрения всех символов, удовлетворяющих фун-
фундаментальному соотношению 12.6.6. Ключевое замечание состоит
в том, что так как гх^3 (см. 12.6.2.1), то в пространстве раз-
размерности d~^3 не существует правильного многогранника, для
которого
l
поскольку cos2(n/rx)^ 1/4, а р(гь .. ., га_^ > 0. Следовательно,
на каждом шаге для проверки остается лишь конечное число
возможностей.
Все эти возможности приведены в таблице 12.6.7.4.
Единственное, что здесь нужно проверить,—значения (d-\-\);2d
и l/d в последней колонке, но это можно сделать по индукции.
12.6.8. ОДНО ОБЩЕЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Итак, МЫ КОН-
статируем, что правильные многогранники более многочисленны
в маленьких размерностях, чем в больших. Существуют только
три общие серии многогранников, еще есть исключительные
многогранники в размерностях 3 и 4 и бесконечное число пра-
правильных многогранников в размерности 2. Этот результат хо-
хорошо иллюстрирует одну из «створок» следующего эвристического
«диптиха» (принадлежащего Р. Тому): «богатые структуры боле.е
многочисленны в малых' размерностях, а бедные структуры более
многочисленны в больших размерностях». Вот другие иллюстра-
иллюстрации этого принципа (некоторые из них, быть может, знакомы
читателю):
богатые структуры:
простые группы Ли (см. всю книгу [219]);
алгебры с делением ([252], с. 270);
квадратичные поля ([207] и [250], с. 151);
непростота ортогональной группы (см. 8.9.10);
деформируемость компактных структур постоянной
отрицательной кривизны только в размерности 2 ([176]
[177])
[]);
разрешимость симметрической группы <2>„ для п ^ 4
([230], гл. 13). [См. также [12*].— Перев.]
бедные структуры:
топологические векторные пространства (в конечной
фиксированной размерности они все гомеоморфны);
500
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.6.7.4
Таблица
Л
II
со
II
сч
II
а.
Символ
а.
ч
S
•g
S
и
а
Символ
Q.
4ВОЛ
S
и
+
-с
со Г
со"
со" те"
СО
со
СО
со
со
ft
с\> |со
со
со
-к
V
со
1
СО
со
ю"
ч.^
ft
со I*
со
со
со
ft -к
-«о X
со
со со
1
г
со"
со
т
т?
со
со
ft
со
ft
-к
V
1
со.
со
со*
ft
1
ю
-Is
со
ft
1
ю
г?
V/
с
"от
л\
501 12.6 Правильные многогранники: классификация
все конечные поля коммутативны и хорошо известны
([218], гл. 1);
особенности общего положения дифференцируемых
отображений усложняются с увеличением размерности
([173]). [См. также [3*].— Перев.]
12.6.9. ОДНО ПРИМЕЧАНИЕ (для повышения общей культуры).
Несмотря на специальный и чисто геометрический характер
своего происхождения, правильные многогранники—через их
группы симметрии—встречаются во многих важных областях
математики; эти группы являются группами, «порожденными
отражениями» (симметриями относительно гиперплоскостей). Все
конечные группы такого типа классифицированы. Они играют
фундаментальную роль в изучении групп Ли (группы Вейля) и
алгебраических групп1). Общая теория таких групп изложена в
[35]. См. также [65], гл. 11. Из этой общей теории можно по-
получить и классификацию правильных многогранников. См. еще
1.8.7.
12.6.10. ПРИМЕЧАНИЯ
12.6.10.1. Больше всего интересных фактов о правильных много-
многогранниках можно найти в книге [65], где, кроме того, имеются
очень подробные исторические комментарии.
12.6.10.2. Для изучения многогранников {3, 4, 3} и {3, 3, 5} и
их групп обычно прибегают к помощи кватернионов (в размер-
размерностях 3 и 4 это и неудивительно, см. § 8.9). Эта точка зрения
очень хорошо изложена в [233].
12.6.10.3. Тот факт, что группа икосаэдра изоморфна Ль
(см. 12.5.5.6), показывает—через теорию Галуа—что между ико-
икосаэдром и общим уравнением пятой степени существуют инте-
интересные связи. Изложение этого вопроса можно найти в знаме-
знаменитой классической книге [144]. Один из современных источни-
ков—[230], с. 148—149.
12.6.10.4. Формула 12.6.6 позволяет также классифицировать
регулярные разбиения евклидова пространства на правильные
многогранники. Хорошо известны замощения плоскости равно-
равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шести-
шестиугольниками, в размерности 3 (или больше) известны разбиения
на кубы. Существуют ли другие разбиения? Ответ на этот вопрос
таков: . разбиение пространства размерности d на правильные
многогранники с символом \rlt ..., rd_1\ существует тогда и
только тогда, когда существует правильный многогранник с сим-
Группы, порожденные отражениями, неожиданным образом появляются
в самых различных областях математики; например, в теории представ-
представлений графов (см. [5*]), в теории критических точек функций (см. [3*],
[43*]).—Прим. перев.
502
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
503
12.6 Правильные многогранники: классификация
волом {г2, ..., rd\, такой что
р(г1( г2, .... rd_x, rd) = 0;
в этом случае многогранник с символом {г.2, . .., rd\ соответст-
соответствует «звезде» регулярного разбиения. Из табл. 12.6.7.4 легко
видеть что кроме уже названных разбиений, которые соответст-
соответствуют символам {3, 6}, {4, 4}, {6, 3}, {4, 3, ..., 3, 4}, сущест-
существуют еще только два регулярных разбиения с символами
{3, 4, 3, 3}, {3, 3, 4, 3}. Оба эти разбиения относятся к четы-
четырехмерному пространству; одно из них —это разбиение на Сое4,
а другое—на {3, 4, 3} (можно заметить, что эти два разбиения
двойственны друг другу, подобно замощениям {3, 6} и {6, 3}:
вершинами двойственного разбиения являются центры ячеек
исходного разбиения).
Рис. 12.6.10.4
12.6.10.5. Существуют невыпуклые правильные полиэдры, назы-
называемые звездными: все они известны (см. [65], гл. 14 *); четыре
{1.3}
{5.!}
Рис. 12.6.10.5
Из книги [202]
Все такие трехмерные полиэдры перечислены в [241].— Прим. ред.
таких трехмерных полиэдра приведены на рис. 12.6.10.5. Эти
четыре полиэдра имеют одну и ту же группу изометрий, совпа-
совпадающую с группой додекаэдра. В размерности 4 существует де-
десять правильных звездных полиэдров; два из них приведены на
рис. 12.6.10.6 и 12.6.10.7. Эти десять звездных полиэдров имеют
одну и ту же группу изометрий, совпадающую с группой пра-
504
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
505
12.7 Формула Эйлера
{1,3,3}
Рис. 12.6.10.6
Из книги [67]
вильного многогранника {3, 3, 5}, содержащей 14 400 элементов.
На упомянутых рисунках приведены также символы Шлефли,
приписываемые каждому правильному звездному полиэдру;
заметим, что в этом случае в символе могут быть и дробные
числа. Классификацию правильных звездных многоугольников,
имеющих фиксированное число вершин, мы предоставляем чита-
читателю. Наконец, начиная с размерности 5 правильных звездных
полиэдров уже не существует.
Рис. 12.6.10.7
Из книги [67]
12.7 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
В этом параграфе X обозначает аффинное пространство размер-
размерности 3 (за исключением конца параграфа); оно будет снабжено
евклидовой структурой с единственной целью доказать 12.7.3.
12.7.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. Для данного многогранника Р введем
следующие обозначения:
В =множество ребер Р, а = #3;
2,. = множество вершин Р, принадлежащих одновре-
одновременно i граням, а(=4^2.-;
506
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
Е = множество всех вершин Р.-а— #2;
Ф,- = множество граней Р, имеющих i сторон, ф,- = #Ф,-;
Ф = множество всех граней Р, ср==4?Ф-
Из 12.1.12 следует, в частности, что i^3 и
12.7.2.
= 2«
ф = 2 ф,-,
2а =
Если читатель найдет числа а, а, ф для многогранников, изоб-
изображенных на рис. 1.8.4.2—1.8.4.6, 12.1.1.4, 12.1.1.5, то он за-
заметит, что во всех этих примерах а—а-(-ф = 2. И действительно,
справедлива следующая теорема.
12.7.3. теорема (формула Эйлера). Для произвольного многогран-
многогранника в трехмерном аффинном пространстве выполнено равен-
равенство о—а + ф = 2.
Мы дадим два доказательства этой формулы; первое более
«округлое» и приятное, но его недостаток в том, что исполь-
используется формула Жирара площади сферического треугольника.
Второе доказательство повторяет первое, но в нем используется
только тот факт, что сумма углов треугольника равна л. См.
также 12.7.5.3.
12.7.3.1. Первое доказательство. Выберем произвольную точку
О?Р, и пусть S = S@, 1)—сфера единичного радиуса в Хо;
спроектируем из О границу Р на S, т. е. рассмотрим отображе-
'¦S. При этом вершины Р перейдут в
ние р:
11*1!
точки на S, ребра — в дуги больших кругов, грани—в сфериче-
сферические многоугольники (определение всех этих понятий можно
найти в гл. 18). Так как многогранник Р выпуклый и О € Р, то
отсюда следует, что гиперплоскости, проходящие через О и одно
из ребер, разбивают Р на две части (см. 12.1.5). Поэтому полу-
полученные сферические многоугольники выпуклые, число сфериче-
сферических многоугольников с i сторонами равно ф,-, каждое ребро
является общим для двух различных граней и число ребер
равно а, число вершин, принадлежащих одновременно i граням,
равно О; и каждое ребро соединяет две вершины (см. 12.1.12).
Идея дальнейшего рассуждения состоит в том, чтобы
сосчитать сумму углов полученных многоугольников двумя спо-
способами. Первый раз мы сначала будем складывать углы при
одной и той же вершине, а второй раз мы сначала будем склады-
складывать углы одного и того же многоугольника. Так как р (Fr P) = S
и наши выпуклые многоугольники не перекрываются, то сумма
всех углов при одной и той же вершине всегда равна 2л и,
507
12.7 Формула Эйпера
следовательно,
сумма углов— 2 2л = 2яа.
J S6S
Теперь, применяя 18.3.8.5, получаем
сумма углов = 2 (сумма углов F) =
= JS [площадь F + (i-2)n] =
i РбФ;
=» J\ площадь F + Y(i—2) ЛФ; =
i
= 4л + nf? ifp Л — 2л 2 ф,- = 4л + 2ал—2лф.
Здесь мы воспользовались 12.7.2 и соотношением p(FrP)=S.
Сравнивая две суммы, получаем требуемую формулу а—а + ф 2
Рис. 12.7.3.1
508
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.7.3.2. Второе доказательство. Теперь мы хотим работать на
плоскости; идея этого доказательства формулы Эйлера заклю-
заключается в том, чтобы выбросить из Р одну грань и рассмотреть
стереографическую проекцию из точки, близкой к этой грани;
затем на плоскости производится подсчет, аналогичный преды-
предыдущему, но при этом придется различать внутренние вершины и
вершины, лежащие на границе.
а
Рис. 12.7.3.2
п
Предположим, что Р= П R, (см. 12.1.6), F = F1,
й^ П Ri\P> Y—плоскость, параллельная F и такая, что Y и а
находятся в разных полупространствах относительно гиперплос-
гиперплоскости грани F. Тогда проекция на Y с центром а, определенная
формулой р: лл—><а, х> П Y,
509
12.7 Формула Эйпера
задает биективное соответствие между вершинами, ребрами, гра-
гранями Р, отличными от F, и некоторым множеством точек, отрез-
отрезков и выпуклых многоугольников в Y со следующим свойством:
эти многоугольники могут пересекаться только по сторонам или
вершинам и объединение этих многоугольников является боль-
большим выпуклым многоугольником (а именно p(Ft)). Обозначим
через о' число вершин; среди этих вершин есть внутренние вер-
вершины и вершины, лежащие на границе, число k которых равно
числу сторон p(Fj). Следовательно, суммируя все углы рассмат-
рассматриваемых многоугольников, получим, согласно 10.5.2,
сумма углов = 2л (а'—k)-\-(k—2)я =
= яBст' —k~ 2),
поскольку сумма углов при внутренней вершине равна 2л, а
сумма углов при граничной вершине равна соответствующему
углу многоугольника piFJ.
Далее, обозначим через <pj число рассматриваемых
многоугольников с i сторонами, а через ф'—общее число много-
многоугольников. Согласно 10.5.2,
сумма углов = 2 (г'—2) яф^ = я Г2 щ\—2<р'1.
В этом случае сумма 2 ир,- равна не числу сторон а', а 2а'—k
i
(ввиду наличия границы). Отсюда 2а'—k—2 = 2а' — k — 2ср',
т. е. а'—а' + ф' = 1. Но о = а', а = а', ф = ф' + 1.
12.7.4. ОДНО ПРИМЕНЕНИЕ. Формула Эйлера будет использована
нами главным образом для доказательства теоремы Коши в 12.8.6.
Но сейчас мы покажем, что эта формула дает также другой
способ перечисления всех трехмерных правильных многогран-
многогранников.
12.7.4.1. Предложение. Пусть Р—многогранник в трехмерном
аффинном пространстве, такой что каждая его вершина при-
принадлежит некоторому постоянному (не зависящему от вершины)
числу г граней, а каждая грань имеет постоянное (не завися-
зависящее от грани) число s вершин. Тогда пара {г, s) может при-
принимать только пять значений: {3, 2>\, {3, 4}, {3, 5}, {4, 3},
{5. 3}.
Действительно, из 12.7.2 вытекает, что 2а = гф = so.
Воспользовавшись 12.7.3, получаем следующее равенство для
целых г, s ^ 3:
Отсюда и находим все пять возможных значений пары [г, s\,
510
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
поскольку из неравенства а > 0 вытекает, что уже одновремен-
одновременное выполнение двух неравенств г ^ 4 и s ^ 4 невозможно.
12.7.4.2. Примечание. Приведенное выше рассуждение позволяет,
кроме того, вычислить в каждом случае конкретные значения а,
а, ф. Стоит заметить, что существование многогранников с такими
числами тривиально: оно вытекает прямо из рисунка, и совсем
необязательно применять 12.5.5.
Подводя итог, заключаем, что в каждом из следующих
пяти случаев правильный многогранник существует и единствен:
{r,s}
а
а
Ф
{3,3}
4
6
4
{3,4}
8
12
6
{4,3}
6
12
8
{3,5}
20
30
12
{5,3}
12
30
20
12.7.5. ПРИМЕЧАНИЯ
12.7.5.1. Шеддок с шестью клювами. Из доказательства 12.7.3.1
видно, что формула Эйлера остается верной и для компактных
полиэдров, необязательно выпуклых, но звездных (в смысле
11.1.2.4). Пользуясь случаем, мы хотим предостеречь читателя
от заблуждения, будто бы всякий невыпуклый, но звездный отно-
относительно О ?Р многогранник может быть сделан выпуклым после
подходящих перемещений каждой вершины по лучу, соединяю-
соединяющему эту вершину с точкой О. В [87] читатель найдет соответ-
соответствующий контрпример и применение этого факта в алгебраичес-
алгебраической геометрии. Этим контпримером служит «шеддок с шестью
клювами»1), изображенный на рис. 12.7.5.1. См. также [168],
с. 35.
12.7.5.2. Доказательство 12.7.3.1 и даже 12.7.3.2—это не что
иное, как частный случай доказательства формулы Гаусса —
Бонне для компактных двумерных римановых многообразий.
В случае 12.7.3.1 этим многообразием является сфера постоянной
кривизны 1, а в случае 12.7.3.2—часть плоскости с краем, по-
поэтому кривизна здесь равна 0. Такое обобщенное толкование см.,
например, в [146], с. 112, или [229], с. 311 русского перевода.
См. также 18.3.8.6 и 19.5.4.
Шеддок, или помпельмус,— плод тропического
грейпфрут [см. книгу «Плоды Земли» (Пер. с
с. 170].— Прим. ред.
дерева, напоминающий
нем. М.: Мир, 1979),
511
12.7 Формула Эйлера
12.7.5.3. Доказательства 12.7.3.1 и 12.7.3.2 могут показаться
читателю не вполне удовлетворительными, поскольку результат
является аффинным и введение евклидовой структуры выглядит
Рис. 12.7.5.1
Из работы [87]
неестественным. На самом деле этот результат даже более об-
общий, чем аффинный: он «симплициален», поскольку в формули-
формулировке участвуют только вершины, ребра, грани и отношения ин-
инцидентности между ними. Такой результат действительно имеет
место; при этом условие выпуклости заменяется условием одно-
односвязности. В неодносвязном случае этот результат, вообще гово-
говоря, не верен; контрпример см. ниже. Под односвязностью теперь
чаще всего понимают тривиальность фундаментальной группы,
т. е. стягиваемость в точку любого замкнутого пути; раньше в
случае двумерных полиэдров односвязность означала, что любой
простой замкнутый путь разбивает полиэдр на две различные
компоненты связности. На с. 19—23 книги [235] можно найти
доказательство формулы а—а + ф = 2 с помощью этого определе-
512
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
ния односвязности. Конечно, читатель должен понимать, что эти
два определения односвязности эквивалентны. Упомянутые здесь
доказательства относятся к алгебраической топологии, изучение
которой выходит за рамки этой книги.
12.7.5.4. Для произвольного полиэдра в смысле 12.1.3 формула
Эйлера, вообще говоря, не верна. В приведенной ниже таблице
содержатся числа а, а, ф и о—а + ф для полиэдра, изображен-
изображенного на рис. 12.7.5.4, который получается склеиванием у поли-
полиэдров, изображенных на рис. 12.1.3.1.
Y
1
2
Y
a
12
20
127 — 4G —
0
a
24
44
247-4G-
1)
Ф
12
22
127-2 h
-1)
G — О. -рф
0
-2
2A—у)
s
ч
/
ч
/
\
\
/
\
/
ч
> <
4 /
/ 4
Рис. 12.7.5.4
Следовательно, добавляя выпуклый случай, мы получаем значе-
значения 2A—у), где у = 0> 1. 2, . . . . Можно доказать, что для
всякого полиэдра Р в нашем смысле, или, что сводится к тому
же, для всякой поверхности, вложенной в R3, число о—a-f-ф
всегда равно 2A—у). Число у инвариантно при деформациях Р.
Можно показать, что всякий полиэдр гомеоморфен полиэдру,
изображенному на рис. 12.7.5.4, для подходящего числа у, кото-
которое можно назвать числом дыр полиэдра Р. Число а—a-f-<p
называется характеристикой Эйлера—Пуанкаре полиэдра Р.
Изложение этих вопросов см. в [Ш], гл. 5, или в [215], гл. 6.
[См. также [35*].— Перев.]
12.7.5.5. Читатель может спросить, что бывает в случае выпук-
выпуклых полиэдров произвольной размерности d. Ответ на этот воп-
вопрос следующий: обозначим через <р,- число /-граней Р (/ = 0, 1,. . .
..., d—1); всегда имеет место равенство
: (—1)'ф/=
513
12.8 Теорема Коши
Читатель может проверить это равенство для правильных мно-
многогранников в размерностях d = 2 и d = 4. Доказательство в общем
случае приведено в [112], с. 102—103; см. также [65], гл. IX.
Здесь через X обозначается трехмерное евклидово аффинное
пространство.
12.8
ТЕОРЕМА КОШИ
Это прекрасный пример теоремы с очень простой формулировкой,
но с очень трудным доказательством. Если читатель будет склеи-
склеивать из бумаги выпуклый многогранник, то он заметит следую-
следующий факт: в начале работы фигура, полученная соединением в
одной вершине более трех граней, может оказаться гибкой (до-
(допускающей вращения граней вокруг своих ребер), но в закон-
законченном виде фигура уже не будет гибкой: если нажать на нее
очень сильно, то либо грани деформируются, либо склеенный
полиэдр порвется. На самом деле имеет место следующий более
сильный результат.
12.8.1. ТЕОРЕМА (Коши). Пусть Р,Р'—два выпуклых многогран-
многогранника в X, f: FtP—> FrP'—биекция, переводящая вершины веер-
шины, ребра в ребра и грани в грани. Предположим, что для
каждой грани F многогранника Р сужение f\F: F—>-f(F) является
изометрией. Тогда существует такая изометрия f простран-
пространства X, что f(P) = P' и /|Fr/> = /; в частности, многогранники
Р и Р' изометричны.
12.8.2. СЛЕДСТВИЕ. Выпуклый многогранник, неизгибаем. Точнее,
предположим, что Р (t)—некоторое семейство полиэдров (необя-
(необязательно выпуклых), te [0, 1], Р @) = Я и /у. Fr (Р @)) —> Fr (P (*))—
семейство биекций, такое что для каждой грани F многогран-
многогранника Р @) сужение ft\F является изометрией между F и ft{F)-.
Кроме того, предположим, что /0=Id/> и отображение
f: FrPx[0, l]5(x,t)i-*ft(x)?X
непрерывно. Тогда существует такое семейство изометрий
/j?lsom(X), /?[0, 1], что ft\Fr{PW) = ft для всех t ? [0, 1] и
()
Множество тех t ? [0, 1], для которых существует изо-
изометрия ft, продолжающая ft и такая, что ft(P @)) =Р (t), явля-
является одновременно открытым и замкнутым подмножеством отрезка
[0, 1]: замкнутым по предположению о непрерывности и откры-
открытым, поскольку Р (f) остается многогранником для V, близких
514
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
515
12.8 Теорема Коши
многогранником, и, следовательно, можно
тогда Р
к t, если Р (t) был
применить 12.8.11).
12.8.3. следствие. Пусть Р—такой многогранник, что:
(i) все его грани являются правильными многоугольни-
многоугольниками с одним и тем же числом сторон;
(и) каждая его вершина принадлежит одному и тому
же числу граней;
является правильным.
Согласно 12.7.4 и 12.6.7, существует правильный
многогранник Р', удовлетворяющий тем же условиям, что и Р.
Следовательно, можно построить биекцию /: Fr P—>FrP', кото-
которая удовлетворяет условиям 12.8.1. Поэтому многогранник Р,
изометричный некоторому правильному многограннику, и сам
является правильным.
12.8.4. ПРИМЕЧАНИЯ
12.8.4.1. Если Р—некоторый многогранник, а Р' — не обязатель-
обязательно выпуклый полиэдр, то теорема 12.8.1 не верна. Контрпример
Рис. 12.8.4.1
приведен на рис. 12.8.4.1, где Р' получается из Р заменой четы-
четырех граней с правой стороны на симметричные.
Однако нужно заметить, что Р тем не менее не яв-
является изгибаемым: невозможно перевести Р в Р' при помощи
непрерывного семейства изометрий.
12.8.4.2. После опубликования мемуара Коши в 1813 г. и до са-
самого последнего времени оставался открытым вопрос о сущест-
существовании изгибаемых полиэдров (конечно, невыпуклых). Совсем
недавно, после 164 лет сомнений, этот вопрос был решен: Роберт
Коннелли построил пример изгибаемого полиэдра (причем одно-
связного). См. [58]. Этому результату предшествовали работы
[108] и [60]. О практическом изготовлении такого полиэдра см.
[59] и [228], а также рис. 12.8.4.2.
*) Здесь речь идет о строго выпуклых многогранниках; неизгибаемость вы-
выпуклых многогранников без требования строгой выпуклости доказана
недавно Р. Коннелли [53*].— Прим. ред.
12.8.4.3. В размерности 2 теорема 12.8.1 не верна: многоуголь-
многоугольник с более чем тремя сторонами легко продеформировать так,
что длины его сторон при этом не изменятся (см. также 10.8.3!).
Напротив, 12.8.1 влечет за собой справедливость такой же тео-
теоремы в произвольной размерности а"^3. Это доказывается по
индукции; здесь мы опишем только идею доказательства. Теорема
Коши остается справедливой, если вместо многогранников в евк-
евклидовом аффинном пространстве размерности 3 рассматривать
выпуклые сферические полиэдры на трехмерной сфере S3 (при-
(приведенное ниже доказательство проходит без изменений и в этом
случае). Пусть Р, Р'—многогранники в пространстве размернос-
размерности с! = 4, такие же, как в 12.8.1; для каждой точки х?Р по-
построим ее звезду EtxP, которая является пересечением много-
многогранника Р и сферы достаточно малого радиуса с центром в х.
Звезды EtxP и Etf{x)P' являются (после соответствующей норми-
нормировки) сферическими полиэдрами в53, удовлетворяющими условиям
12.8.1, следовательно, они изометричны. Возвращаясь теперь к
многогранникам Р и Р', заметим, что / сохраняет двугранные
углы Р и Р'. Отсюда, согласно приведенной ниже лемме, и сле-
следует изометричность Р и Р'. Для d = 3 этот метод, конечно, не
проходит, поскольку многогранник в S2, содержащий более трех
сторон, со всей очевидностью допускает изометрические деформа-
деформации. В этом-то и состоит вся трудность теоремы Коши.
12.8.5. ОДНА ПРОСТАЯ ЛЕММА. Мы воспользуемся понятием дву-
двугранного угла многогранника, введенным в 12.1.12. Обозначим
через 8А (Р) двугранный угол при ребре А многогранника Р.
12.8.5.1. Лемма. Если биещия f из 12.8.1 сохраняет двугранные
углы, т. е. если 8ца) (^>') = ^л(^>) &ля произвольного ребра А мно-
многогранника Р, то она продолжается до изометрий f всего про-
пространства, такой что f(P)=P'.
Доказательство копирует доказательство 12.4.2. Пусть F —
некоторая выбранная грань Р. По условию, можно считать, что
f (F) = F и, кроме того, что Р и Р' лежат в одном и том же
полупространстве относительно гиперплоскости грани F. Пусть А—
ребро Р, a G, С — грани Р и Р', смежные с F по ребру А; так
как 8А (Р) = бл (/>'), a G, G' изометричны и имеют общую сто-
Рис. 12.8.5
17*
546
Гл. 12. Многогранники, выпуклые иемпанты
Я 7
12.8 Теорема Коши
Основание флексора
Вырежьте одну крышку и два основания
флексора, как показано на рисунках;
в качестве значений параметров а, Ь, с,
d, e хорошо подходят а=\2, 6=10,
с = 5, d—\\, e=17. Сделайте первое
основание, склеивая две пары ребер с
так, чтобы одна пара ребер была на-
направлена вверх, а другая вниз, т. е.
чтобы полученная фигура не была вы-
выпуклой. Точно так же сделайте второе
основание; при этом нужно сладить, что-
чтобы второе основание совмещалось с пер-
первым при помощи перемещения, а не ан-
антиперемещения. Затем склейте эти два
основания по свободным ребрам Ь. На-
Наконец, приклейте крышку к полученной
фигуре по ребрам а.
Практически при а =12 см можно поль-
пользоваться достаточно плотной бумагой для
рисования; прежде чем сгибать основания
по ребрам a, b, d и крышку по ребру е,
нужно достаточно сильно разметить сги-
сгибы ножом для разрезания бумаги или
тупой стороной обычного ножа. Соеди-
Соединять ребра нужно путем приклеивания
полоски обыкновенной бумаги, причем
обязательно по всей длине ребра. Все
склейки можно аккуратно делать изнут-
изнутри, поскольку вплоть до последнего
приклеивания найдутся грани, лежащие
одна почти напротив другой.
Рис. 12.8.4.2
По Клаусу Штеффену (см.
[228]). Рисунок Бенуа Берже
Крышка
Собранный флексор
Сборка
Вид сверху на флексор
со снятой крышкой
518
Гп. 12. Многогранники, выпуклые компакты
519
12.8 Теорема Коши
рону, то G — G'. Далее продвигаемся мало-помалу вперед благо-
благодаря 12.1.13.
12.8.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КОШИ
12.8.6.1. Согласно 12.8.5.1, нужно лишь показать, что / сохра-
сохраняет двугранные углы. Заметим, что если каждая вершина Р
принадлежит только трем граням, то сохранение двугранных углов
следует из равенства сферических треугольников (см. 18.6.13.10);
но как только число граней, встречающихся в одной вершине,
оказывается ^ 4, у нас получается сферический многоугольник,
который может быть свободно продеформирован без изменения
длин сторон.
Ключом к доказательству служит лемма, придуманная
Коши специально для своей теоремы, которая утверждает, что
при деформации сферического многоугольника без изменения
длин его сторон углы, которые увеличиваются, и углы, которые
уменьшаются, расположены с достаточно частым чередованием:
см. 18.7.16. Теперь идея доказательства заключается в том, чтобы
подсчитать число таких чередований сначала по граням, а потом
по вершинам, сравнить эти две суммы и получить противоречие
с формулой Эйлера. В случае когда 8;{а) (Р') ф 64(P) для всех
ребер А многогранника Р, доказательство теоремы Коши намно-
намного проще.
12.8.6.2. Для Р, Р', /, удовлетворяющих условию теоремы 12.8.1,
введем следующие обозначения: S—множество ребер Р, а е:
{—1,0,1}—функция, определенная равенством г(А) = 1
0 1) б (Р) 8 (Р1) (
{}ф
(соответственно 0,
ЬА (Р) = б/(Л) (/>'). в
рд р
1), если бл (Р) < 81(А) (Р1) (соответственно
(Р) > Sf(А) (Р')). Два ребра {А, В} многогран-
многогранй й
) )) р { }
ника Р назовем смежными, если они принадлежат одной и той
. же грани и Af\B является вершиной Р.
12.8.6.3. Первый случай: е (А) Ф 0 УЛ?Н. Будем говорить, что
в паре {А, В} смежных ребер имеет место изменение знака, если
е(А)г(В)=—1. Пусть v—общее число пар с изменением знака.
Пусть х—вершина Р, п—выпуклый сферический мно-
многоугольник, являющийся пересечением с Р достаточно малой
сферы с центром в х, и пусть л' — аналогичный многоугольник
для x'=f(x); эти многоугольники размещены на сфере 52. По
условию, существует биекция л—>-л', сохраняющая длины сторон.
Лемма Коши (см. 18.7.16) утверждает, что среди всех
ребер, пересекающихся в вершине х, число пар смежных ребер
с изменением знака не меньше 4. Следовательно, так как всего
вершин а (обозначения из § 12.7), то всего таких пар будет
v ^ 4а.
Сосчитаем теперь число пар с изменением знака на одной грани
с i вершинами: оно не больше 2 для i = 3, не больше 4 для
i = 4 и 5, не больше 6 для i = 6 и 7 и т. д. Следовательно,
Применяя 12.7.2, получаем
4а—4ф = 6фз + 8ср4-|- Юф6-|- 12ф6-{- 14ф7
Рис 12.8.6.3
откуда а—а + ф^О, что противоречит 12.7.3.
12.8.6.4. Второй случай: значения е (Л) произвольны. Ребро
А ? S многогранника Р назовем призрачным ребром, если е (А) = 0,
и неоребром, если е (А) Ф 0. Обозначим через 3' множество нео-
неоребер; пусть а' = # S'. Из границы Fr P выбросим призрачные
ребра и полученное таким образом топологическое пространство
обозначим через U; замыкание компоненты связности U назовем
неогранью. Пусть Ф' —множество всех, неограней и ф' = #Ф'.
Наконец, неовершинами будем называть те вершины Р, которые
принадлежат по крайней мере одному неоребру. Пусть 2'—мно-
2'—множество неовершин и <т' = :)ф2'. Заметим, что из леммы Коши, в
частности, вытекает, что любая неовершина принадлежит по
крайней мере двум неоребрам, т. е. не существует неоребер со
свободным концом!
12.8.6.5. Справедливо неравенство: а'—а'-(-ф'^2. На каждом
шаге t=\, ..., (а—а') будем восстанавливать по одному при-
призрачному ребру; каждое из чисел соответствующей этому шагу
тройки at, at, <pt лежит между числами троек а, а, <р и а', а',
ф'. Кроме того, восстанавливая призрачные ребра, будем соблю-
соблюдать следующую предосторожность: на каждом шаге новое при-
призрачное ребро должно содержать либо неовершину, либо уже
520
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
521
12.9. Аппроксимация выпуклых компактов
I /
Рис, 12.8.6.4
Пунктиром обозначены
восстановленные ребра
восстановленную вершину (заметим, что на некотором шаге в
процессе восстановления у нас могут появиться ребра с времен-
временно свободным концом). На каждом шаге t имеем a(+1==af+l,
и если ot+1 = ot, то либо <pt+1 = cp,, либо <pt+1 = <pf-f 1, а если
af+i = at+l. то <f>t+1 = <pt. Следовательно, функция at—at + q>t
во всех случаях не возрастает, а так как, согласно 12.7.3, для
^=а—а' она равна 2, то это и доказывает неравенство 12.8.6.5.
О подобной формуле см. гл. 13 книги [2541, S 33 из [2271 и
формулу C) на с. 87 в [247].
12.8.6.6. Теперь мы можем действовать, как и в первом случае,
используя для смежных неоребер те же понятия изменения знака
и общего числа пар с изменением знака, которое по-прежнему
обозначается через v. Нужно только обратить внимание на то,
что неоребро больше не обязано принадлежать двум граням;
теперь оно принадлежит либо одной, либо двум неограням; мы
избавимся от этой неприятности, дважды включая в число сто-
сторон неограни те неоребра, которые дважды входят в границу
указанной грани (см. рис. 12.8.6.4). Учитывая это соглашение,
обозначим через Ф'{ множество неограней с i сторонами и поло-
положим ф; = 4?Ф;-. Тогда по лемме Коши, примененной к а' неовер-
неовершинам, получим
Подсчитав число перемен знака для каждой неограни, найдем,
что
v < 2Ф;+4Ф;+4ф,+6Ф;+еФ; +...,
откуда, так же как и в 12.8.6.3, выведем неравенства 4а' — 4<р' ^
^jv^4ff', противоречащие 12.8.6.5. Следовательно, наша
«неоконструкция» невозможна, т. е. все ребра являются при-
призрачными, е(Л)=0, 8A(P) = 8ftA) (Pr) УЛ ? S, и теорема Коши
вытекает из 12.8.5.1.
До конца этой главы через X обозначается евклидово аффин-
аффинное пространство.
12.9 АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТОВ
МНОГОГРАННИКАМИ
Мы собираемся аппроксимировать выпуклые компакты многогран-
многогранниками в смысле хаусдорфова расстояния (см. § 9.11); это по-
послужит нам фундаментом для дальнейшего, когда мы захотим
дать элементарное определение объема выпуклого множества
A2.9.3.2), доказать непрерывность объема как функции на вы-
выпуклых множествах, показать, что граница выпуклого множества
имеет меру нуль A2.9.2.4 и 12.9.3.4), дать определение площа-
площади поверхности выпуклого множества A2.10.2).
12.9.1. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ХАУСДОРФОВО РАССТОЯНИЕ.
Здесь мы используем обозначения из §9.11. Выпуклая оболочка
<? определяет отображение ?: Э^-—^ffi; см. 11.1.8.7.
12.9.1.1. Предложение. Отображение ?: Э^—>-9^ удовлетворяет
условию Липшица с константой 1.
Достаточно показать (см. определение 9.11.1), что если
F, G ?Ч№ удовлетворяют условию FaB(G, p) (р^О), то ?(F)a
c:B(?(G), p), а это вытекает из 11.8.7.6.
12.9.1.2. Следствие. Введем множество # = {.F € Э^: F выпукло};
тогда % замкнуто в ЧК!. В частности, % полно и для а (Е X,
г ^ 0 множество %a,r = 5Ca, r П % компактно.
Следующая лемма геометрически наглядно иллюстри-
иллюстрирует для выпуклых множеств понятие стремления к пределу.
S22
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.9.1.3. Лемма. Пусть А, С, D—три выпуклых компакта, та-
такие что Сф0, DczCczA и FrA(]C = 0, FrCf\D = 0. Тогда
существует такое ц>0, что для всякого выпуклого множества
S с б (С, S)^r| справедливо включение Dc:Sc:A.
Рис. 12.9.1
Легко доказать, что Scz А. Для этого достаточно взять
r\ = d(FrA, С). Для доказательства S=>D возьмем г\ =
= d (Fr С, D) и предположим, что 5 удовлетворяет условию
6 (S, С) <: г|. Далее доказательство проводится от противного.
Пусть x?D\S и у—такая точка, что d(x, y) = d{x, S). Извест-
Известно (см. 11.1.7.2), что SczH, где Н — полупространство, опреде-
определяемое гиперплоскостью, ортогональной <лг, г/> и проходящей
через у. Так как х?С, то прямая <% г/> пересекает FrC в двух
точках; обозначим через z ту из них, которая не лежит в Н.
Тогда
d(z, S)=d(z, y)>d(z, х)^ц
по определению ту, но, поскольку z g С, это противоречит вклю-
включению С с: В (S, г|).
12.9.2. ЛЕММЫ ОБ АППРОКСИМАЦИИ. Обозначим через 9* множе-
множество всех компактных выпуклых полиэдров, через 5s*—множе-
5s*—множество всех многогранников (в смысле определения 12.1.1) и по-
положим %• = {€?%: dimC = dimX} (или Сф0, см. 11.2.7).
Если мы хотим подчеркнуть зависимость от X, то пишем 3* (X),
У (X), % (X), %• (X).
12.9.2.1. Лемма. Для всякого е>0 и С?#• существует такой
Р?Рт, что Рс=СаВ(Р, г) (в частности, б (Р, С)<е).
523
12.9 Аппроксимация выпуклых компактов
Так как С компактно, его можно покрыть п шарами
л
В (а,-, е), at?C: С с (J В (а,-, е). Тогда выпуклая оболочка
Р = (?'(а1, ..., ап) удовлетворяет всем необходимым требованиям;
см. 12.1.15.
12.9.2.2. Следствие. 5* плотно в 'ё.
Рис, 12.9.2.2
Только что мы видели, что 5s* плотно в #•. Если
С ? #\#*, то обозначим через Y подпространство, порожденное
С: F = <C>. Так как в Y множество С имеет непустую внутрен-
внутренность (см. 11.2.7), то С можно аппроксимировать полиэдрал и
Р?.3*(У). Тогда Рх/8 аппроксимирует С, где /е—шар радиуса
е в подпространстве У-1-, ортогональном Y.
В дальнейшем будет полезно ограничить множество
С ? 'б многогранниками с двух сторон, а не только изнутри, как
это делается в предыдущей лемме, где ограничивающее его сна-
снаружи множество В (Р, г) для нас неудобно, так как не является
многогранником.
12.9.2.3. Лемма. Для произвольных С?#*, а?С и г\ > 1 сущест-
существует такой Р6 54*, что РсСсНа „ (Р), Fr(C)nP = 0,
(Я 0
Фиксируем сначала такое г>0, что В (а, г)сС,
а затем такое е, что 0<8<г(т)—1). Тогда, согласно 12.9.2.1,
существует такой многогранник Pg5*#, что РаСаВ(Р, г).
В силу 12.9.1.3, Р^В(а, г) при достаточно малом 8. По построе-
построению, расстояние между гранью F многогранника Р и #Si л (F)
будет не меньше (tj — 1) г > е, откуда
На>п(Р)^В(Р, 8)=) С.
Что касается условий разделения границ, то они достигаются
преобразованием Р при помощи гомотетии с коэффициентом < 1,
но достаточно близким к 1.
12.9.2.4. Следствие. Граница произвольного выпуклого множества
имеет меру 0 (см. 9.12.5).
Если С=0, то CcF для некоторого подпространства
К, отличного от X, и, следовательно, само С имеет меру 0.
524 Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
И,
На.АР)
Рис. 12.9.2.3
то применим 12.9.2.3; граница С содержится в
= На^(Р). Поскольку (см. 9.12.3)
Если Сф0,
Р'\Р, где Р'
то это число стремится к 0, когда т] стремится к 1.
12.9.3. ОБЪЕМ ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТОВ. Здесь мы используем
обозначения из §9.12.
12.9.3.1. Предложение. Для С
имеет место равенство
(С) = sup {?(/>):
= inf{2(P):
и РаС}
и Р=>С].
Случай С = 0, так же как и в доказательстве 12.9.2.2,
сводится к случаю С Ф 0. А в этом последнем случае мы приме-
применяем 12.9.2.3.
12.9.3.2. Лемма 12.9.2.3 позволяет рассматривать 12.9.3.1 в
качестве определения ?(¦) на выпуклых множествах, исходя из
элементарного объема 12.2.5. Таким образом, мы можем изба-
избавиться, если только пожелаем, от необходимости использовать
теорию интегрирования.
12.9.3.3. Предложение. Объем ?: %*—>¦ R является строго воз-
возрастающей функцией, т. е. если D, С^'ё* и DaC, ОфС, то
й (D) < 2 (С).
В самом деле, если Cz^D, СфО, то, по лемме 11.2.4,
С\Оф0. Пусть е>0 и x?C\D таковы, что В (х, г)сС\О;
525 12.10 Площадь поверхности выпуклых компактов
тогда
Для множеств из ffC этот результат с очевидностью не
верен. Напомним (см. 9.12.5), что объем не является на Ж не-
непрерывной функцией, но на % имеет место следующее утвержде-
утверждение.
D
Рис. 12.9.3
12.9.3.4. Предложение. Объем й: ?—>-R является непрерывной
функцией.
Поступим так же, как и в 9.12.6. Известно, что на
X\FrC, если ИтСп = С, то lim%cn~Xc- Но здееь FrC имеет
га-* со га-* со
меру 0, следовательно,
Можно привести и элементарное доказательство. Так
же как и в доказательстве 12.9.2.2, достаточно рассмотреть слу-
случай, когда С= lim С„ имеет непустую внутренность. Пусть Сф 0;
П-> со
тогда с помощью 12.9.2.3 построим два многогранника Р, Р',
такие что РсСсР', ?(Р')—Й(Я)<е и Fr(C)nf = 0, Fr(P')n
[)С=0. Применяя 12.9.1.3, получим, что для достаточно малых
т) из б (С, D)^T) вытекает PczDczP' и, следовательно,
| S (D) —? (С) |< g (P')-S (P)<e.
12.10 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТОВ
В 9.12.7 мы видели, что понятие ^-мерного объема является
весьма деликатным. Естественно ожидать, что для выпуклых
526
Гп. 12. Многогранники, выпуклые компакты
множеств удастся найти (d—1)-мерный объем их границы, кото-
который мы называем площадью поверхности. Поскольку для мно-
многогранников имеется достаточно хорошее определение площади
поверхности (см. § 12.3), то аппроксимируем наше выпуклое мно-
множество многогранниками, а затем перейдем к пределу по площа-
площадям поверхности аппроксимирующих многогранников. Это один
из возможных путей, но мы лучше возьмем за определение пло-
площади поверхности формулу Коши 12.3.3. Сначала нужно установить
следующую лемму.
Рис. 12.10.1
12.10.1. ЛЕММА. В обозначениях § 12.3 функция
непрерывна.
Фиксируем l?S, Cgi?*, а?С, е>0. Для всех ц > 1
существует (см. 12.9.2.3) такой многогранник Р?!Рт, что
Поскольку
, () ()
Ft(P')(]C = 0.
pvoHa^ для всех
, то
Далее, так как существует такое г, что В (а, г)=>С, то
(см. 9.12.4.5)
I» (Pr CP'))-S (РГ (Р)) | < (Л"-1) г*-* р (d- 1)
для всех I'gS. Следовательно, при некотором фиксированном!)
527
12.10 Площадь поверхности выпуклых компактов
Но формула 12.3.3.2 показывает, что 5^ V ь->? (р%> (Р)) € R —
непрерывная функция от ?', следовательно, существует такое ?,
что при II'— IKS
Согласно 12.9.1.3, можно выбрать 9 настолько малым, чтобы
из неравенства б (D, С) < 6 следовало PczDczP'; тогда
-S (Рб(Q) |
сущест-
сущестон называется площадью поверхности С (длиной, если d = 2).
Для многогранников эта площадь поверхности совпадает с вве-
введенной ранее. Площадь поверхности 31: %т—> R—непрерывная
строго возрастающая функция. Она инвариантна относительно
группы Is(X).
12.10.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для любого С
вует интеграл
Рис. 12.10.2
Существование и непрерывность следуют из 12.10.1 и
стандартных теорем интегрального исчисления. Согласно 12.3.3,
эта площадь совпадает с площадью поверхности многогранников.
Предположим теперь, что DaC, D ФС, и так же, как в 12.9.3.3,
пусть для некоторого е>0 шар В(а, e)czC\D. Согласно 11.4.1,
существует прямая в, содержащая а и не пересекающая D;
пусть вектор ? = 9nS. По непрерывности, прямые, проходящие
528
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
через а и параллельные векторам г\, достаточно близким к |,
тоже не пересекаются с D. Следовательно, из 12.9.3.3 вытекает,
что ? (pn (D)) < ? (рл (С)) для таких ц, и потому 3! (D)< 21 (С).
12.10.3. следствие. Для всякого С € #•
Sl(C)=sup{Sl(P): P€
if{9I(P) Р?9>»
всех
12.10.4. ЗАМЕЧАНИЯ.
12.10.4.1. Проверим, что если С = В{а, г), то §1 (С) = г*
Действительно, pj (В (а, г)) является шаром радиуса г для
?, следовательно,
1),
откуда
Я E (а, г))
12.10.4.2. Естественно было бы сравнить нашу длину границы
для выпуклого множества С на плоскости с длиной кривой Fr С.
fit i-
Рис. 12.10.4
Правда, FrC непосредственно не задана в виде кривой, но 11.3.4
обеспечивает ее параметрическое представление с непрерывным
параметром. Тогда в Fr С можно вписать многоугольник, пери-
периметр которого равен сумме, входящей в определение 9.9.1,
откуда следует, что два определения длины совпадают: см. 12.11.5.
12.10.5. ПРИМЕНЕНИЕ: КРИВЫЕ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ. Кривой
или выпуклым множеством постоянной ширины мы называем
выпуклое множество С на евклидовой плоскости, такое что
529
12.10 Ппощадь поверхности выпуклых компактов
VH ? S отрезок Р|(С) имеет постоянную длину; это эквивалентно
условию, что две опорные к С прямые в направлении | (см. 11.5.6)
расположены на постоянном, не зависящем от ? расстоянии одна
от другой. Кроме окружности такой кривой является, например,
треугольник Рело (рис. 12.10.5.1) или, более общо, некоторая
траектория, ортогональная касательным к некоторой подходящей
кривой с нечетным числом точек возврата (таких кривых много).
Из 12.10.2 и 12.10.4 видно, что если /—эта постоян-
постоянная ширина, то длина границы соответствующего выпуклого мно-
множества равна я/. Несмотря на то что «тела» постоянной ширины
Рис. 12.10.5.1
были объектом многочисленных исследований, здесь все еще
имеется много открытых проблем. Например, один результат
Бляшке—Лебега утверждает, что среди выпуклых множеств
постоянной ширины на плоскости имеется только одно-единст-
одно-единственное с минимальной площадью—треугольник Рело, но до сего
времени аналог этого результата в размерностях > 3 не известен.
О телах постоянной ширины см. [92], гл. 7, [234], с. 156, [20],
с. 180 русского перевода, [26], § 15, а также восхитительную
работу [258], гл. 7.
Треугольник Рело встречается во многих механизмах,
например в кинопроекторе, см. [258], с. 93, а также в недавно
изобретенном роторном двигателе Ванкеля. На эту тему
см. 9.14.34.6 и [163],. с. 433—435. Кроме того, см. [96], [100],
[204], [205]. V • L J. L J.
Теперь мы распространим на произвольные выпуклые
множества формулу 12.3.6, аппроксимируя их многогранниками.
530
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.10.6. ТЕОРЕМА (Штейнер, Минковский). Для каждого выпуклого
множества С??* размерности d существуют такие числа й- (С)
(г = 0, 1, ..., d), что '
d
1=0 '
Функции й,-: #• —>- R непрерывны; кроме того, для всех С
)
Пусть С= lirn^P,,, Pn6^*Vn; поскольку многогран-
многогранники Р„ ограниченные, 12.3.7 показывает, что значения Й-(Р )
ограничены сверху; выбирая подходящую подпоследовательность
нз (Рп), можно считать, что существуют ki= lim Й,- (Р„) (г = 0,
Рис. 12.10.5.2
Из книги [120]
531
12.10 Площадь поверхности выпуклых компактов
Грейферный кулачковый механизм
с рычагами, образующими двойной
параллелограмм, для кинокамеры
Грейферный механизм с двумя
кулачками и шестернями
для кинокамеры
Кулачок / вращается вокруг некото-
некоторой фиксированной оси А. Профиль
а кулачка расположен в рамке 2
с зубом Ь. Рамка 2 соединена шар-
шарнирами В и Е с элементами 3 и 4,
которые в свою очередь соединены
шарнирами С и F с элементами 5 и
6, вращающимися относительно
фиксированных осей D и Н. Разме-
Размеры элементов механизма удовлетво-
удовлетворяют условиям: BC = EF, DC — HF
и BE — CF = DH, так что фигура
BEFHDCB представляет собой двой-
двойной параллелограмм. Когда кула-
кулачок / вращается, рамка 2 совершает
сложное перемещение, зуб рамкн 2
входит в перфорацию кинопленки,
протаскивает ее, а затем выходит
обратно.
Кулачок /, соединенный с шестерен-
шестеренкой 3, вращается вокруг фиксиро-
фиксированной оси А. Кулачок / находится
в рамке Ь элемента 2, снабженного
зубом а. Эксцентрик 4, вращающийся
вокруг фиксированной оси В, соеди-
соединен с шестеренкой 5, которая сцеп-
сцеплена с шестеренкой 3. Эксцентрик 4
находится в рамке с элемента 2,
имеющего паз d, который скользит
по фиксированному пальцу С. Когда
кулачок ) вращается, зуб а входит
в перфорацию кинопленки, протаски-
протаскивает ее, а затем выходит обратно.
Рис.12.10.5.3
1, ..., d), и, следовательно,
d
lim ЙE(Р„, Х))= 2 ЛД'.
га -> оо i=0
Но, согласно 12.9.3.4,
lim
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
B(lim Рп, Х)=В(С, X),
Далее (см. 9.11.7),
lim B(Pn,
п -> со
откуда
? (В (С, Ь))= 2 *Л'.
1=0
Теперь мы знаем, что Й(В(С, X)) есть полином по X; поскольку
функция ? (В (С, X)) зависит только от С и X (и не зависит от
последовательности Рп, такой что lim Pn = C), то k( зависит
п —> оо
только от С (полиномиальная функция однозначно определяет
свои коэффициенты). Более того, зависимость коэффициентов от
значений полинома непрерывна (см., например, формулу «после-
«последовательных разностей» в [50], 6.3.6), и так как отображение
тоже непрерывно, то мы видим, что ?,- непрерывны (см. 11.1.3.3
и 12.9.3.4). Наконец, значения ?0, й1 и ?rf получаются из 12.3.6
и непрерывности этих функций.
Теперь мы можем убедиться (см. 12.3.8), что покраска
выпуклого множества действительно является одним из способов
измерения его площади.
12.10.7. следствие. Для любого выпуклого множества С ? ?•
12.10.8. ПРИМЕР. Возьмем С = В@, 1) с Rd; тогда
В (С, Я) = В(О, к+1), ?(В(С, },))
t
Поскольку St(C) = a(d) (см. 12.10.4), мы получаем соотношение
(d) dP(d)
12.10.9. ПРИМЕЧАНИЯ
12.10.9.1. Величины ?,(¦) являются инвариантами относительно
представляющих большой интерес изометрий, связанных с рас-
рассматриваемым выпуклым компактом. Для d = 3 нам не известна
только ?2(Q; естественно называть это число полной средней кри-
кривизной С, поскольку можно показать, что если FrC является
подмногообразием класса С2 в X, то
8,(9 =
FrC
где а—каноническая мера на FrC, а ц: FrC—>-R— средняя кри-
кривизна. По этому вопросу см., например, [26], с. 63, формула A2).
533
1-2.10 Площадь поверхности выпуклых компактов
12.10.9.2. С другой стороны, если VaX — подмногообразие класса
С2, то всегда можно определить В (V, X); в [15], с. 253, показано,
что ? (В (V, X)) есть многочлен по X, но только для достаточно
Рис. 12.1Q.9.1
Из книги [15]
Рис. 12.10.9.2
малых X. В самом деле, для окружности S = S@, 1) с R2 имеем
?(B(S, Х)) = 4пХ для Я,б[О, 1] и я(Я+1J для X^l. Между
прочим, степени X в многочлене ? (В (V, X)) при малых X «пры-
«прыгают» через раз, поскольку есть взаимное уничтожение подобных.
Интересны значения коэффициента при Xd в многочлене ? (В (V, X))
{X достаточно мало): для выпуклых множеств он равен f5 (d) Xd, а
534
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
для подмногообразий четной размерности он равен %(V) f5 (d) %d, где
%(V) — характеристика Эйлера—Пуанкаре подмногообразия V.
В самом деле, для «кренделя» с у дырками (рис. 12.10.9.2) имеем
(см. [15], с. 288, и 12.7.5.4)
2(B(V, X)) = 2[площадь (У)] 8A)
stH(A)
Д
Рис. 12.10.10.1
[Аналогичную формулу для поверхностей произвольной кораз-
коразмерности в R" см. в [52*]. Обобщение на поверхности в произ-
произвольных римановых многообразиях "см., например, в [51*].—Ред.]
12.10.9.3. Напротив, если на компакт К не накладывать никаких
условий гладкости, то функция %(В(К, К)) может оказаться
совершенно дикой даже для малых %; в частности, предел
l'm Ч- — , вообще говоря, не существует (см. 12.12.9).
535 12.10 Площадь поверхности выпуклых компактов
Однако для любого компакта К всегда можно положить
зти числа называются площадями Минковского (внешней и внут-
внутренней); по поводу их свойств см. 12.11.4.2, [97], с. 273, [125],
с. 248 русского перевода.
12.10.10. ПЛОЩАДИ И СИММЕТРИЗАЦИЯ ПО ШТЕЙНЕРУ. Мы ПОЛЬ-
зуемся обозначениями §9.13 и 11.1.3 и хотим показать, что сим-
симметризация по Штейнеру не увеличивает площади поверхности
выпуклого множества (см. 11.1.4).
12.10.10.1. Лемма. Пусть А, В^'ё и Н—некоторая гиперплос-
гиперплоскость; тогда для всякого Х?[0, 1]
stw (КА + A — Ц В) з %sttf (А) + A—X) stw (В).
Если, кроме того, X—векторное пространство, то для всех %, (л^0
st* (К A + \iB)^k stH (A)+ ii stH (В).
Рис. 12.10.10.1 показывает, что, вообще говоря, ука-
указанные множества не совпадают. Пусть х==Ху-{-A — К) z, где
y?stH(A), z?stH(B) и Dx, Dy, Dz — прямые, ортогональные Я и
проходящие через х, у, г. Введем обозначения 7"^ = st^. (Л) uDy,
Tz = siH(B) П Dz. Кроме того, пусть Т'у и Т'г обозначают отрезки
Dv п А и Dz П В. Следовательно,
ХА + A — X) В => %Т'У + A —%) Т'г
и, согласно 9.13.1,
Случай, когда X—векторное пространство, сводится к предыду-
предыдущему при помощи гомотетии с коэффициентом (X-j-fi).
12.10.10.2. Предложение. Для произвольного многогранника С ??•
и произвольной гиперплоскости Н
Векторизуем X в некоторой точке 0?#, и пусть
S = ?@, 1)—единичный шар в Хо; согласно 11.1.3.2, 12.10.7,
12.10.10.1 и 9.13.4, имеем
tff (C)) l + oD =
g (stff (С) + * stw (S)) = ? (stH
S (B (stfl (С), Ц) = ?(stw(C))
536
Гп. 12. Многогранники, выпуклые компакты
, отсюда следует, что §{ (С) >§I (st/, (С)).
Так к-ак Ц~^
Естественно спросить, когда в 12.10.10.2 достигается
равенство; это происходит, конечно, для любого такого С, что
stH(C) = C, а также для всех С, полученных из этого парал-
параллельным переносом. Оказывается, имеет место и обратное утверж-
утверждение.
Н
Рис. 12.10.10.2
12.10.10.3. Теорема. Если С? ?• и Я—такая гиперплоскость, что
то существует гиперплоскость Н', параллельная Я и такая, что
stH-(C) = C.
Здесь нельзя воспользоваться предыдущим доказатель-
доказательством, так как оно включает в себя предельный переход. Мы
собираемся использовать явное выражение 12.10.11.1 для 31 (С);
обозначения взяты из 12.10.11 для данных Я и С По определе-
определению stH(-), если С определяется парой {/, g\, то stH(C) опре-
определяется парой ¦< ~? , g~ > . Тогда имеем
Fr?>
FrD D
Но из 8.1.2.4 и 8.1.3 следует, что для любой пары {?, ц\ век-
векторов евклидова пространства
/1+Ц I
причем равенство имеет место только прип=^—?, Применяя это
537
12.10 Площадь поверхности выпуклых компактов
неравенство в нашем случае, получим, что почти всюду /'= — g',
следовательно, / + g = const, поскольку f-\-g непрерывна; это и
доказывает теорему.
12.10.11. ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ. Пусть
С?"ёт и Н — гиперплоскость в X; отождествим (при помощи
некоторого изоморфизма) пространство X с произведением X =
= #xR. Пусть р: X —+- Н—естественная проекция на Н и D =
= р(С). Через (д, обозначим меру Лебега на Н. Тогда имеет место
следующая теорема.
FrD
Рис. 12.10.11.1
12.10.11.1. Теорема. Существует мера о на FrD и две функции
f, g: D—>R, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) /, g дифференцируемы на D почти всюду и У 1 +|| /' f,
J^l+l^'ll2 интегрируемы по \х, {где под нормой подразумевается
введенная в 8.1.8.2 норма на пространстве (Я)*);
(и) С = {х, ^tfxR: xeD, f(x)^t^g(x)\;
(iii)St(C)= S if-gH
FrD
Доказательство имеет технический характер, и мы
538
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
отметим только ключевые места. На D функции /, g определяются
так, как показано на рис. 12.3.3 или 12.10.11.1 и уточнено
в доказательстве 12.3.3.1; выпуклость и компактность С позво-
позволяют единственным образом продолжить эти функции на все D.
Дифференцируемость почти всюду вытекает из 11.8.10.5 и 11.8.3.
/
\
/
9
ч
/
ч
-
If'
-
Рис. 12.10.11.2
Теперь заметим, что из 9.12.4.9 следует справедливость
этой теоремы для многогранников, если в качестве меры а на
FrD взять объединение мер Лебега, индуцированных на гранях D.
Далее воспользуемся 12.9.2.3 и теоремами о сходимости из ин-
интегрального исчисления.
12.10.11.2. Следствие. Пусть С ? #»(Х), и предположим, что FrC
допускает разбиение на конечное число дифференцируемых под-
подмногообразий в X размерностей 0, 1, ..., d—1 (где d — dimX).
Тогда каждое подмногообразие размерности d—1 в этом разбие-
разбиении имеет конечный объем (в смысле [15], с. 225) и Ж (С) равна
сумме объемов этих многообразий размерности d—'1.
Это непосредственное следствие теоремы 12.10.11.1 и
формулы, обобщающей на случай произвольной размерности фор-
формулу 6.4.2.3 из [15]. Действительно, воспользуемся графиком
( f()
g: (xlt
[
хп) к-» (хг,
хп, f(xt
xn)); получим
Но, как показывает 8.11.11, в координатном представлении вектор
dg/dx1 a ... л dg/dxn имеет вид
(-df/dxlt ..., -df/dxn, 1).
Это следствие позволяет вычислять (используя, напри-
например, 6.6.2 из [15]) площади поверхности выпуклых компактов,
часто встречающихся на практике; некоторые примеры приведены
в 12.12.20.
539
12.11 Изопериметрическое неравенство
12.11 ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
Приведенная ниже теорема проста и фундаментальна; ее содер-
содержание составляет так называемое изопериметрическое неравен-
неравенство. Эта теорема имеет длинную и интересную историю, полное
изложение которой читатель найдет в [192]. Можно также обра-
обратиться к [20], с. 51—56 русского перевода. Главное же в этой
истории заключается в том, что понадобилось немало последова-
последовательных попыток, чтобы, начиная с основополагающей идеи Штей-
нера, прийти к полному и строгому доказательству.
12.11.1. ТЕОРЕМА. Для произвольного выпуклого множества С с не-
непустой внутренностью в пространстве X размерности d спра-
справедливо неравенство
(Q
или
a(d)
PW)
причем равенство достигается только в том случае, когдаС—шар.
Другими словами: «среди выпуклых компактов (с не-
непустой внутренностью) заданного объема шары имеют наимень-
наименьшую площадь поверхности», или: «среди выпуклых компактов
с заданной площадью поверхности шары имеют наибольший объем».
При этом других таких компактов, кроме шаров, нет. Эквива-
Эквивалентность двух приведенных выше неравенств вытекает из 9.12.4.8
или 12.10.8. Мы дадим два доказательства изопериметрического
неравенства; первое из них позволяет также показать, что равен-
равенство имеет место только для шара.
12.11.2. ПЕРВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно основано на применении
симметризации по Штейнеру и теоремы Бляшке о шаре. Для
данного выпуклого компакта С € #• рассмотрим множество
Оно замкнуто в %, так как если А = lim Ап, где А ? % и Ап ?
то S (Ап) =й (С) Ф 0 и, следовательно, Ап^'6т. Далее, согласно
12.9.3.4, 2(А) = 2{С)ф0, и потому А ? #•. Но тогда, в силу
12.10.2, 21 (Л) = lim 21(Л„)<31(С) и, значит, Л^Г. С другой
п -*- со
стороны, из 9.13.4 и 12.10.10.2 вытекает, что W инвариантно
относительно симметризации по Штейнеру. Следовательно, можно
применить 9.13.6 и убедиться, что существует некоторый шар
В (а, г)??, где а?Х и г>0. Отсюда
B(a, r))=a{d)rd-\
Если достигается равенство, то, согласно 12.10.10.3, для всякого
направления ? гиперплоскостей найдется такая гиперплоскость Н
этого направления, что stH (C) = C. По определению st^ (С) отсюда
540
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
вытекает, что он(С) = С; но тогда все эти гиперплоскости про-
проходят через одну фиксированную точку а в X (см. 9.8.6). Поэтому
С инвариантно относительно ортогональной группы О (Ха) и,
следовательно, является шаром.
If
Н
Рис. 12.11.2
Рис. 12.11.4
12.11.3. ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно основано на теореме Брун-
на —Минковского и на том факте, что площадь поверхности
определяется производной функции ?(В(С, X)) (Штейнер—Мин-
ковский). Пусть С?#*; векторизуем X в произвольной точке 0
и положим S = fi@, 1); тогда В (С, \) = С + XS (см. 11.1.3.2).По
формуле бинома и 11.8.8.5 получаем
= &(С
<? (С) <*-''/" (р (d))' /*%,
откуда, согласно 12.10.7, вытекает требуемое неравенство.
12.11.4. ПРИМЕЧАНИЯ.
12.11.4.1. Даже если мы поверим в справедливость 11.8.8.6 без
доказательства, то, пользуясь техникой 12.11.3, мы все равно
не сможем показать, что равенство достигается только для ша-
шаров, поскольку в нашем доказательстве использован предельный
переход.
12.11.4.2. Сохраняется ли изопериметрическое неравенство для ком-
компактов более общего вида, чем выпуклые? Второе доказательство
показывает, что ответ утвердителен: если в качестве площади поверх-
поверхности брать Ш'(-) из 12.10.9.3, то для произвольного компакта К
имеет место неравенство
ЯЛ- (К) >d($ (d))l'd& (К)<rf-l)'d.
Однако без условия выпуклости или регулярности границы ра-
равенство может достигаться не только для шара: достаточно взять
шар размерности ^ 3 и «вырастить» на нем «шевелюру» или
«траву»,-т. е. добавить некоторые кривые; легко видеть, что тог-
541
12.11 Изопериметрическое неравенство
да ни объем, ни площадь поверхности не изменяется. В случае
d = 2 ситуация меняется: здесь «волосы» или «трава» имеют дли-
длину! См. 12.11.6.
12.11.4.3. Существуют неравенства, обобщающие 12.11.1 на прост-
пространства, отличные от евклидовых аффинных пространств, а имен-
именно на сферы и гиперболические пространства, с которыми мы
еще встретимся в гл. 18 и 19. Тот факт, что 12.11.1 остается
справедливым для этих пространств, объясняется тем, что они
допускают столько же гиперплоскостей и симметрии относитель-
относительно этих гиперплоскостей, как и евклидовы пространства, и,
следовательно, для них справедлива теорема Бляшке о шаре. О до-
доказательстве этих обобщений, см. ссылки на работы Э. Шмидта
и А. Д. Александрова в [125], с. 392 русского перевода.
12.11.4.4. В случае d = 2 доказательство 12.11.1 для выпуклых
множеств, граница которых является дифференцируемой кривой,
может быть получено совсем элементарным способом; см., напри-
например, [15], с. 345. Случай произвольных выпуклых множеств раз-
размерности 2 разобран ниже. В размерностях d~^3 ситуация
усложняется по нескольким причинам: во-первых, понятие площа-
площади поверхности более деликатное, чем понятие длины кривой
(см. 9.12.7); во-вторых, в этом случае само неравенство не является
больше квадратичным, как в случае с! = 2, а хорошо известно,
что такие неравенства всегда проще в квадратичном случае —ср.,
например, неравенство Коши —Шварца *) и неравенство Гёльдера
(см. 11.8.11.9).
12.11.5. СЛУЧАЙ РАЗМЕРНОСТИ 2. В этом случае выпуклость боль-
больше необязательна (см. 12.11.4.2), и мы получим более общую
теорему.
12.11.5.1. Определения. Простой замкнутой кривой в топологи-
топологическом пространстве X называется такое подмножество Тс:Х,
что существует отображение /: S1—>-X, которое является гомео-
гомеоморфизмом окружности S1 на ее образ f(S1) = T. Предположим,
кроме того, что X — метрическое пространство; рассмотрим на S1
такие точки (/,•),-=0, г „, что to=tn и tt лежит между tJ_l и
ti+1 Vi (см. 9.9.8);' тогда для отображения /: S1 —>- X можно
л-1
составить сумму Sd (/(/,-), /(^/+i))- По тем же причинам, что и в
9.9.2, верхняя грань таких сумм зависит только от простой замкну-
замкнутой кривой Г, при условии что гомеоморфизм окружности S1 сохра-
сохраняет отношение «находиться между...». А это в свою очередь сле-
следует из того, что непрерывная взаимно однозначная числовая
функция строго монотонна. Кривую Г называют спрямляемой,
г) По-другому это неравгнство называется неравенством Коши — Буня-
ковского.— Прим. ред.
542
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
если верхняя грань таких сумм конечна, и тогда эта верхняя
грань называется длиной Г и обозначается long (Г).
12.11.5.2. Предположим теперь, что X—евклидова плоскость.
Тогда если С^'ё*, то граница F = FrC является простой зам-
л-1
Рис. 12.11.5
кнутой кривой и long (Г) = 21 (С); см. 12.10.4.2. Если Г —прос-
—простая замкнутая кривая, то ее выпуклая оболочка ^(Г)^ё1* и,
кроме того, из рисунка видно, что long Г ^Ш (? (Г)).
12.11.6. ТЕОРЕМА. Для произвольной простой замкнутой кривой Г
на евклидовой плоскости имеет место неравенство
причем равенство имеет место только в том случае, когда Г
окружность.
Согласно 12.11.1 и 12.11.5.2,
long (Г) > §1 (<§ (Г)) > 2 |/я (й (<? (Г))I/2;
остается доказать, что равенство имеет место только для ок-
окружности. Пусть С = ?(Г) — выпуклая оболочка кривой, для ко-
543
12.11 Изопериметрическое неравенство
торой достигается равенство; тогда, согласно 12.11.5.2, F = Fr С.
Фиксируем х?Т; по непрерывности, существует такая точка у ? Г,
что для двух кривых F1 = FrC1 и F2=FrC2 имеем long(F1) =
= long(r2), где С\ и С2 — пересечения С с полуплоскостями,
определяемыми прямой <х, г/>.
Рис. 12.11.6
Сначала покажем, что S(C!) = S(C2); в противном слу-
случае, если 2 (С\) > ? (С2), при помощи симметрии относительно
<дт, г/> построим такое множество С2', что
? (?¦ (С, П СО) > Й (С, U Q = S (С,) + fi (Ci) > fi (С),
t и Q) < % (со+ас (cs)=sc (С),
но это противоречит первому утверждению теоремы.
Далее покажем, что, например, С1 является полукру-
полукругом с диаметром {х, у), т. е. что <р, х> _]_ <р, У>У^Р€Т1. Пред-
Предположим противное; пусть р ? 1\ и <р, д:> не ортогональна <р, г/>.
Тогда нужно вращать часть Си заключенную между дугой кри-
кривой Fj и отрезком [р, х] (см. рис. 12.11.6) вокруг точки р до тех
пор, пока прямая <р, х^ не станет ортогональной <р, у>. Соглас-
Согласно формуле 10.3.3, площадь треугольника {р, xlt у} строго боль-
больше площади треугольника \р, х, у}. При помощи симметрии
относительно прямой <,xlt г/> построим такой компакт С[ и С'г,
что й (Ci U С^) > S (С) и long(Fr(C;uQ) = long(FrC). Но этой
есть искомое противоречие.
544
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
545
12.11 Изопериметрическое неравенство
Этим рассуждением доказывается и приведенное ниже
следствие, являющееся решением так называемой «задачи Ди-
доны». Дидона—дочь царя Тира, вдова Акербаса, убитого бра-
братом Дидоны с целью захватить его богатство. Дидона бежала на
Кипр вместе с сокровищами Акербаса, оттуда она направилась
в Африку и причалила невдалеке от Сицилии. Она разъяснила
местному царю, что хочет купить участок земли на берегу моря
размером не более того, что может покрыть бычья шкура. Царь
согласился удовлетворить ее просьбу и дал ей большую шкуру
быка. Дидона разрезала шкуру на узкие полоски и связала их в
один длинный ремень; после этого перед ней возникла задача,
решение которой и содержится в приведенном ниже следствии.
12.11.7. СЛЕДСТВИЕ. Пусть R—полуплоскость евклидовой плоскос-
плоскости и Ф—нить заданной длины; если расположить Ф на R так,
чтобы ее концы х, у принадлежали Fr R, то часть плоскости,
ограниченная Ф, будет максимальной, когда Ф—полуокружность с
диаметром {х, у}.
Так был основан Карфаген!
R
12.11.8. ДРУГИЕ НЕРАВЕНСТВА
12.11.8.1. В 9.13.8 мы уже встречали неравенство, отличное от
12.11.1. Читатель, конечно, догадывается, что математики, дви-
движимые зачастую физическими гипотезами, доказали много не-
неравенств такого типа. Прекрасным источником здесь является
книга [190]; другие ссылки: [186], [125], 120], [26], [132], [105].
См., наконец, Kohler-Jobin.—Comptes Rendus Acad. Sci. Paris,
281A976), 119, и 284A977), 917. [См. также [10*].—Ред.]
Приведем несколько примеров.
12.11.8.2. Так же как и в 12.10.5, сначала мы можем изучить
изопериметрические теоремы для выпуклых множеств некоторого
специального вида. Первый случай—это многоугольники с п сто-
сторонами, где п фиксировано. В этом случае среди всех много-
многоугольников заданного периметра максимальную площадь имеет
правильный многоугольник, и это единственный многоугольник с
максимальной площадью. См. 12.12.6 или [121], с. 191, [98], с.
28 русского перевода.
Для многогранников этот вопрос уже не является столь
легким; существует теорема Линделёфа, которая утверждает, что
среди трехмерных многогранников заданного объема, грани ко-
которых имеют заданные направления, многогранники с мини-
минимальной площадью поверхности являются описанными вокруг
шара. См. [247], с. 330, или [125], с. 370 русского перевода.
12.11.8.3. Другим.направлением исследований является изучение
дефекта
Изучение разности между левой и правой частями какого-либо
неравенства является для математиков уже неким общим прави-
правилом. Для изопериметрических неравенств в случае произвольной
размерности мы располагаем немногими результатами; если обоз-
обозначить через г (С) наибольший из радиусов вписанных в С сфер
(см. 11.9.12), т. е. внутренний радиус С, то (теорема Дингаса — Хад-
вигера — Боннезена)
(8t {C))d-dd$ (d) ? (С)"-1 >
(См. [125], с. 361 русского перевода.) Интересна техника дока-
доказательства; она заключается в том, что рассматривают семейство
внутренних выпуклых множеств C(t), «параллельных С» и ле-
лежащих от С на расстоянии t. Помимо прочего используется еще
следствие 12.10.7, которое показывает, что ? (С (t)) дифференци-
дифференцируема и что d(& (C(t)))/dt=> — 91 (С (^)). Один частный случай
встретится нам в 12.12.16. Понятие параллельных внутренних
выпуклых множеств существенным образом использовано недавно
в работе [53].
12.11.8.4. Напротив, в случае плоскости для дефекта имеется
много интерпретаций. Самая приятная из них—это теорема Бон-
Боннезена: если R (С)—внешний радиус С (т. е. нижняя грань ра-
радиусов кругов, содержащих С, см. 11.5.8), то
(§1 (С)J—4я2 (С) > л2 (R (С) —г (С)J
(где г (С) — внутренний радиус С). По этому вопросу см. 12.12.15
или [92], с. 108, [81], с. 327—328. Заметим, что из этого не-
неравенства вытекает неравенство 12.11.8.3. См. также [182], [183]
(и [10*].—Ре5.).
Если говорить о точности оценок, то в упр. 6 на с. 327
книги [81] дефект представлен в явном виде как некоторый ряд,
члены которого имеют геометрическую интерпретацию; неравенство
Боннезена получается отбрасыванием далеких членов этого ряда.
Другая оценка дефекта основана на рядах Фурье, которые естес-
естественно возникают при изучении простых замкнутых кривых на
плоскости, так как координаты их точек являются периодическими
функциями (см. 12.12.12 или [139]). В настоящее время простое
доказательство изопериметрического неравенства 12.11.1 в раз-
546
Гп. 12. Многогранники, выпуклые компакты
Рис. 12.1.8
мерностях d^3 с использованием сферических гармоник, за-
заменяющих ряды Фурье для плоскости при d — 2, не кажется воз-
возможным.
12.11.8.5. Доказательство в книге [811, с. 327—328, основано
на интегральной геометрии; об этой интересной дисциплине см.
кроме [81], с. 327—328, еще [125], гл. 6, [208], [97], с. 173.
См. также важную книгу [251] и совсем недавние [200] и [209].
12.11.8.6. Формулы для выпуклых компактов, обобщающие фор-
формулы Коши и Штейнера—Минковского, см. в книге [80], с.
175—176, или [125], [26], [20].
12.12 УПРАЖНЕНИЯ
12.12.1. Покажите, что симметризованный по Штейнеру много-
многогранник также является многогранником.
12.12.2. Покажите, что если .?—эллипсоид в евклидовом вектор-
векторном пространстве X, такой что О ?Е, то полярное к нему мно-
множество Е* является эллипсоидом с О € (Е*)° и их объемы удо-
удовлетворяют неравенству й (Е) й (?*) ^ ф (d)J, причем равенство
достигается тогда и только тогда, когда О является центром Е.
12.12.3. Докажите 12.2.4.
12.12.4. Дайте обоснования построению пятиугольника из 12.4.6.
12.12.5. ТЕОРЕМА даукера. Пусть на плоскости задано компакт-
компактное выпуклое множество С с непустой внутренностью. Для каж-
каждого целого я^З обозначим через Тп (соответственно Ua) мак-
максимум (соответственно минимум) площадей га-угольников, вписан-
вписанных в (соответственно описанных около) С. Покажите, что
последовательность Тп вогнутая, а последовательность Uп выпук-
выпукV Т Т^2Т U U2U
п у
лая, т. е. Vra: Тп + Тп+2^2Тп
2126 Д
n + Un+2^2Un+i.
п2
12.12.6. Для всех правильных многогранников найдите (если
нужно, считайте известным радиус R описанной сферы):
547
12.12 Упражнения
число ^-граней (k — 0, \,...,d—1);
объем fe-грани {k = 0, I, .. .,d);
двугранный угол между двумя смежными гранями.
12.12.7. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ. По-
Покажите, что каждое из двух приведенных ниже рекуррентных
определений эквивалентно определению правильных многогран-
многогранников.
(i) Многогранник Р размерности d называется правиль-
правильным, если все его грани являются изометричными правильными
многогранниками размерности d—1, а все его двугранные углы
равны между собой.
(и) Многогранник Р размерности d называется правиль-
правильным, если все его грани являются правильными многогранника-
многогранниками размерности d—1, а для каждой его вершины х концы всех
ребер Р, выходящих из х, лежат в одной гиперплоскости и
образуют д этой гиперплоскости правильный многогранник раз-
размерности d— 1.
12.12.8. Дайте определение звездных правильных полиэдров и
классифицируйте их (см. 12.6.10.5).
12.12.9. Приведите примеры компактов К, для которых
(й (В(К, Щ—Й(К))Д не имеет предела при % —>- 0. Как ведет себя
это частное при % —<- 0, если К.—неспрямляемая кривая из 9.9.3.3?
12.12.10. Покажите, что для правильного многогранника в трех-
трехмерном пространстве порядок его группы равен учетверенному
числу его ребер.
12.12.11. Пусть п—заданное целое число ^3 и Р—выпуклый
/г-угольник; пусть г(Р) и R (Р) — внутренний и внешний радиусы
(см. 12.11.8). Докажите, что
2ratg?r (P) <2t(P)<2rasin-J#(P),
причем равенство достигается только в том случае, когда много-
многоугольник Р правильный (см. [98], с. 25 русского перевода).
12.12.12. Пусть С—выпуклый компакт на плоскости; если Р —
выпуклый га-угольник, вписанный в С и имеющий максимальную
площадь среди всех вписанных в С /г-угольников, то
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда FrC —
эллипс (представьте границу С в параметрическом виде t *—*¦
i—».(cos?, e(/)sin/), где е—периодическая функция с периодом
2л (в случае равенства воспользуйтесь рядами Фурье); см. [98],
с. 69 русского перевода.
S48
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.12.13. Пусть на окружности заданы п точек (а,) /=, „;
покажите, что величина 2 {^lafli) минимальна тогда и
: 1 < i < I < п
только тогда, когда эти точки являются вершинами правиль-
правильного многоугольника.
Рис. 12.12.14
12.12.14. ТЕОРЕМЫ БЛЯШКЕ О КАЧЕНИИ. Пусть С—выпуклый
компакт на плоскости, граница которого является бирегулярной
кривой класса С2 (см. [15], с. 309); пусть А (соответственно а) —
точка на^ FrC с минимальной (соответственно максимальной)
кривизной. Покажите, что соприкасающаяся окружность у к
FrC в точке а может катиться по FrC, оставаясь все время
внутри FrC, и что FrC может катиться по соприкасающейся
окружности Г к FrC в точке А, оставаясь все время внутри Г.
Остается ли справедливым этот результат в том случае, если
у и Г заменены окружностями максимального (соответственно ми-
минимального) радиуса, содержащимися в (соответственно содержа-
содержащими) С? (Если понадобится, см. [20], с. 140 русского перевода.)
Рис. 12.12.15
12.12.15« ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА. ТЕОРЕМА БОННЕЗЕНА.
Пусть С—выпуклый койпакт на плоскости, граница Г которого
549
12.11 Изопериметрическое неравенство
принадлежит классу С2; в некоторой точке О?С фиксируем орто-
нормированный репер; пусть h (t) — расстояние от О до той ка-
касательной к Г, которая перпендикулярна вектору (cos^, sin^)
(^€R), причем точка (cost, sin/) лежит в той же полуплоскос-
полуплоскости относительно этой касательной, что и С (см. определение
опорной функции 11.8.12.3). Покажите, что h принадлежит клас-
классу С2. С помощью 2л-периодической функции h: R —*- R вычис-
вычислите длину Г, ее кривизну и площадь С.
Пусть С — второе выпуклое множество такого же типа,
что и С; предположим, что V/я g Г и т' € Г' существует некоторое
перемещение /, такое что f(m) = m', f (касательная к Г в т) =
= касательная к Г' в т', f{C)aC. Покажите, что
§1 (С) §1 (С) < 2л (й (С) + S (С)).
Выведите отсюда неравенство Боннезена: если г (С) и R{C) —
внутренний и внешний радиусы С, то (см. 12.11.8.4)
(§1 (С)J—4дй (С) > л2 (R (С)~г (С)J.
12.12.16. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МНОГОУГОЛЬ-
МНОГОУГОЛЬНИКОВ. Пусть Р— некоторый выпуклый многоугольник; обоз-
обозначим через Р' выпуклый многоугольник, описанный около
окружности радиуса 1, стороны которого параллельны сторонам Р.
Докажите неравенство Люилье:
C1 (Р)J>4?(РJ (/>*).
Рис. 12.12.16
550
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
Для этого, как показано на рис. 12.12.16, рассматривают семей-
семейство многоугольников P(t), расположенных внутри Р, стороны
которых параллельны сторонам Р и лежат от них на расстоя-
расстоянии t. Тогда для всех подходящих t получаем
? (Р) = й (Р @) + ш (Р @) +
21 (Р) = 91 (Р(/))+ 2/2 (/>*).
(р*)>
Отсюда выводим, что ? (Р (*)) = — *2% (Р*) —Ш (Р) + ? (Я). По-
Покажите, что
(Я (Р)J — 4Й (Р) ? (Р*) > C1 (Р) — 2Й (Р*) г (Р)J,
где г (Я) — внутренний радиус Р; ср. с 12.11.8.4.
Докажите, что среди n-угольников заданного пери-
периметра правильные многоугольники, и только они, имеют наи-
наибольшую площадь (сначала сведите доказательство к случаю
многоугольников, описанных около окружности).
12.12.17. Проведите критическое изучение работы [202], с. 234—
236.
12.12.18. Пусть С?^* и r(C), R (С)—внутренний и внешний ра-
радиусы С. Покажите, что
В каких случаях имеет место равенство?
12.12.19. Докажите, что
|(||«)|o = 2P(d—1) (см. 12.3.3.2).
12.12.20. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ НЕКОТОРЫХ МНОЖЕСТВ
12.12.20.1. Вычислите длины и площади для гипо-и эпициклоид
9.14.34.
12.12.20.2. Вычислите объем и площадь поверхности сферического
пояса, т. е. части шара в R3, заключенной между двумя парал-
параллельными плоскостями. В частности, покажите, что площадь бо-
боковой поверхности сферического пояса зависит только от рас-
расстояния между плоскостями.
12.12.20.3. Вычислите объем пересечения двух цилиндров вра-
вращения одного и того же радиуса г, оси которых пересекаются
под углом а.
12.12.20.4. Вычислите объем компакта, ограниченного парабо-
параболоидом вращения и некоторой плоскостью, непараллельной его
оси.
12.12.20.5. Вычислите объем и площадь боковой поверхности
цилиндрического зубца, изображенного на рис. 12.12.20.5.
551
12.12 Упражнения
Рис. 12.12.20.5
12.12.20.6. Вычислите объем окна Вивиани, т. е. множества то-
точек в R3, заданного формулой
{(х, у, г): х2 + */2 + г2<1 и *2 + г/2<4-
12.12.20.7. Формула трех уровней. В трехмерном евклидовом
пространстве рассмотрим компакт К, ограниченный боковой по-
поверхностью и двумя параллельными плоскостями Н (а) и Н (Ь),
заданными уравнениями z = a и z=-b соответственно. Обозначим
через 5 (г) площадь сечения К С\Н (г) компакта К плоскостью
Н (г), аппликата всех точек которой равна г. Предположим, что
S (г) есть многочлен по z степени не выше третьей; покажите,
что объем К задается формулой (называемой формулой трех
уровней) Ь-а
Найдите таким способом объем сферического пояса 12.12.20.2.
Примените эту формулу к усеченным конусам. Покажите, что
формула применима в том случае, когда боковая поверхность К
является линейчатой.
12.12.20.8. Вычислите площадь поверхности эллипсоида враще-
х2 иг z2
ния, заданного уравнением—-Ь^-(--?= 1.
Рис. 12.12.20.7
552
Гл. 12. Многогранники, выпуклые компакты
12.12.20.9. Теоремы Гульдина. В том случае, когда С невыпукло,
площадь поверхности следует понимать как площадь дифферен-
дифференцируемого подмногообразия. Пусть на плоскости Р в трехмерном
евклидовом пространстве Е задан некоторый компакт К. Пока-
Покажите, что объем компакта С в пространстве Е, образованного
вращением К вокруг некоторой прямой D, лежащей в Р и не
пересекающей К,, задается формулой
fi?(C) = 2irdte, D)-2P(K),
где g = cent' (К) обозначает центр К (см. 2.7.5.2).
Будем рассматривать границу К как однородную нить
и обозначим через h центр тяжести этой нити в обычном смысле.
Покажите, что площадь поверхности С задается формулой
Найдите применения этой формулы, а также проверьте с ее по-
помощью, правильно ли были вычислены уже известные объемы
или площади.
12.12.21. Пусть Л—компактное выпуклое множество с непустой
внутренностью в n-мерном евклидовом пространстве Е и х— его
центр (см. 2.7.5.5). Для любого вектора единичной длины е из
Е обозначим через б (%) расстояние от х до гиперплоскости,
опорной к А, перпендикулярной | и такой, что (ху ||) > 0 для
FrW
Рис. 12.12.20.9
всех у из этой гиперплоскости (см. 11.8.12.3). Обозначим, далее,
через ВЦ) ширину largg-Л в направлении | (см. 11.5.6.3). До-
Докажите, что для всех Ъ, имеет место неравенство
(см. [234], предложение 12.5 на с. 190).
CHAPITRE PREMIER.
Lax'isSaint-GHUs, rondc. Planche LXI.
JL a vis Saint-Gillcs, ror.de, amft appellee a caufi tU ftjcelitr a vis dttprieuri
dt Saint-Giltes en Lar.gueJoc, eA un berceau tournant & rampant, dont le
plan eft ГетЫаЫеа celui de la voute fur ie noyaudont nous avons parlc ci-
devant аи ckapiire УII de la ftconde partie: la rampe qui caufe toute leur
difference, fait faire ici aux voufloirs un efFet dffez fingulier, & rend ce trait
un dcsdiiliolcs qu'it \ ait parmi les vofi'cs.
A fot 1" noyau de la vis, & ABCD le quarr da plan de cettc vh: or. divifera
1'intervalle В E en deux egalcment au point V, duquel, comme centre, on
decriral'arc 13 G E, berceau de la vis, lequel Ara divife en cinq parties dgales:
par les points de cecte division on tir^ra les coupes du centre F : on abaiflera
auili ies a-piutnbi 168M, гбуК, &i;, par 1c bas defqutls on de'erira d\> point
A comme centre, ies crcs concentriques III, itL, MN, &c; <St su iieu <ia
manjuer l'extradus de cet;e voute pzr un гтге arc concentritjue a BGE, on
ineneia j \olontc i jiton ПраЩ/пг ja'on 'Jcttdri danner лих "Jonjjoirs, k-s
hgnes de ni\'eju i-j , 4-;, & on tirera les i-plombs б-j , 4-3 , Л Е 1: on
obff rve'-i que ce dernier E 2 doit s'elever du point E, parce qu*il rsprefentc
le nud du noyau.
Par !e bas des a-plombs qui proviennent des points de fextrado< 5-41.
&c , on decrira du centre A les arcs ponduct & concentriqucs, 4<5-<fj , 64-
<5 5 , &c, & ay ant «Jivife 1'intervaUe BD enftx parries ega!esB7, 7<.", С %,
uc, 011 da/иаагв^с , or. menrra du centre A, a la ctrcoiitVrcnce BCD . Its
iignes A7, AC, AS, Лс, <)uirepre'i'enter.t les giror.i des marches. Prefer1 ¦
teniem il s'agit d'enli-igner la manieie de trouver Ies chcrchcs rale п^Сс;, А
les panneaux ete rampe ni'ceflTaires pour tracer Ies voufioirs de cette vis; ce
<jue noui ailon? fairi; le plus claircment qu'il nous (era pofliblc.
itic dcirouvir let chcrchrs ralongies, iT Itspanneatix Ac r,imjn.
On tirera d'abord dans i'tlpacc de deux marches , les cordes ВС, НО,
KP, MQ, &c; enfuite on meneraa part la li^fnc ponclut'e RS, far Ucjael!.?
on fera feparcinem les operations convt-nables aux vouJToirs de c'laqu* a.'Pfe
Or, fi Ton vei't comatncT par ceux dc la premiere alfife du cote Ja mur,
nnmeneu i viikmte, comme m la fig. 1 ,!a ligneji-ioperpendieubirciK^;
&ayant fakk-s difUnces 16-14 <i I<5"' J «chacunc egale a n Н,тотё:!с
lacordeHO, 16ТЛ iS Vchacunecgaiea 1 :B, 1C1-9& i6-iochacuneega!e
a 13-6, en eleven par les points 9-14-j j-V-io, lestigncs <?-«?. i+-ii >
1 j-a i»V 19, & lo-ao.perpendiculaires a y-10 : onfixera de plus la hiuteu.
des marches, & on en meitra deux hauteurs de 1 j en a s: on menera par le
point, a» jufqu'a la ligne 10-10, la ligne ij-jj parajlelea -16-10: paries
points 14 & ii, on menera ix rampe 14-22: par les.points9 Л fj ,on me-
menera la ропйчёер-г} : par les points T& i^.on menera fa rampants T 19;
& par le point 14 qui Jivilb cette li^ne en deux egafemenr, on elevera far
icdle la petite perpendiculaire 14-15, furlaquclleayaiit port^ l'intervaHe
11-7 dei4 en 25, on ferapafler par I'opiration Jts trots points ptrdus, i'arc
T 15-19 par les points T 25-19.Cela feit, on tranfportera la hauteur 6-f
fur 14-18 <Sfc fur ii-ai: par le point 18, on menera jufqu"ilaponchjee 9-17.
Ja ligne 1 S-ij parailele a 16-9 : on menera femblablement par le point 11
Рис. Д.1
Из книги: Jean-Baptiste de
La Rue, Traite de la coupe des
pierres, ou methode facile et
abregee pour se perfectionner
dans cette science (Paris, 1764).
(Жан-Батист Делярю. Трактат
об обработке камня, или
простой и короткий метод
достичь совершенства в этой
науке)
555
Рис. Д.2
Работа архитектора Жана-
Батиста Делярю. Рассмотрено
и одобрено Королевской
академией архитектуры.
Посвящено королю
Рис. Д.З.
Из трактата Ж.-Б. /Зелярю
Оглавление
К русскому изданию 5
Предисловие редактора перевода 6
Предисловие 9
ЧАСТЬ 1. ДЕЙСТВИЕ ГРУПП, АФФИННЫЕ И 13
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Глава 0. Общие понятия и обозначения 14
0.1 Множества 14
0.2 Алгебра 14
0.3 Метрические пространства 15
0.4 Общая топология 16
0.5 Гиперболическая тригонометрия 16
0.6 Мера Лебега, теория интегрирования 16
Глава 1. Группы, действующие на множестве: 17
терминология, примеры, приложения
1.1 Определение 17
1.2 Примеры 18
1.3 Эффективность 19
1.4 Транзитивность 19
1.5 Стабилизаторы; однородные пространства 20
1.6 Орбиты, формула числа классов 22
1.7 Группы замощений 24
1.8 Замощения сферы S2, правильные многогранники и ко-
конечные подгруппы группы О+ C) 38
1.9 Упражнения 45
Глава 2. Аффинные пространства 49
2.1 Определения 50
2.2 Примеры. Аффинные реперы 52
2.3 Морфизмы аффинных пространств 55
2.4 Аффинные подпространства 61
2.5 Наконец кое-что из геометрии: Фалес, Папп, Дезарг 69
2.6 Основная теорема аффинной геометрии 72
2.7 Вещественные аффинные пространства конечной
размерности 77
2.8 Упражнения 87
557 Оглавление
Глава 3. Универсальное пространство. Приложения
3.1 Универсальное пространство
3.2 Универсальное пространство и морфизмы
3.3 Полиномы на аффинном пространстве
3.4 Барицентры
3.5 Барицентры и морфизмы, барицентры и аффинные под-
подпространства
3.6 Барицентрические координаты
3.7 Упражнения
Глава 4. Проективные пространства
4.0 Введение
4.1 Определение, примеры
4.2 Описание проективных пространств: карты
4.3 Описание проективных пространств: топология и алгеб-
алгебраическая топология
4.4 Проективные реперы
4.5 Морфизмы
4.6 Подпространства
4.7 Перспектива; аэрофотосъемка
4.8 Некоммутативный случай
4.9 Упражнения
Глава 5. Аффинно-проективные связи; приложения
5.0 Введение
5.1 Проективное пополнение аффинного пространства
5.2 Примеры
5.3 Связи между аффинными и проективными подпростран-
подпространствами; параллельность
5.4 Метод отправки объектов в бесконечность; приложения
5.5 Упражнения
Глава 6. Проективные прямые: двойное отношение, томо-
томографии, инволюции
6.1 Определение двойного отношения
6.2 Вычисление двойного отношения
6.3 Эффект перестановки
6.4 Гармоническое отношение
6.5 Двойное отношение н двойственность; приложения
6.6 Томографии проективной прямой
6.7 Инволюции
6.8 Упражнения
Глава 7. Комплексификация
7.0 Введение
7.1 Комплексифнкация вещественного векторного простран-
пространства
7.2 Функториальность операции
ция морфизмов
»с, или комплексифика-
91
91
95
97
101
106
107
109
112
112
117
115
118
124
125
129
133
135
137
142
142
144
145
147
148
151
154
154
156
157
154
163
168
171
172
176
176
179
180
558
Оглавление
7.3 Комплексификация полиномов
7.4 Подпространства и комплексификация
7.5 Комплексификация проективного пространства
7.6 Комплексификация аффинного пространства
7.7 Упражнения
180
181
182
183
185
ЧАСТЬ 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА, ТРЕУГОЛЬНИ-
ТРЕУГОЛЬНИКИ, ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ 187
Глава 8. Евклидовы векторные пространства: напоминания и
дополнения 188
8.1 Определение и элементарные свойства евклидова про-
пространства 189
8.2 Ортогональная группа; элементарные свойства и план
изучения 193
8.3 Строение группы О (?) при dim? = 2 200
8.4 Канонический вид изометрии. Образующие групп О (Е)
и 0+ (Е) 203
8.5 Простота группы О (Е) 308
8.6 Углы между прямыми и лучами 211
8.7 Ориентированные углы на плоскости 214
8.8 Подобия; изотропный конус и изотропные прямые 226
8.9 Кватернионы. Применение к группам 0+ C) и 0+ D) 230
8.10 Группы 0+ (л) и алгебраическая топология 235
8.11 Каноническая форма объема в ориентированном евкли-
евклидовом пространстве. Смешанное произведение, векторное
произведение 238
8.12 Упражнения 242
Глава 9. Евклидовы аффинные пространства 246
9.1 Определения. Изометрии. Перемещения 247
9.2 Ортогональные подпространства; расстояния 250
9.3 Структура изометрнй. Образующие групп Is (X) и
Ь+ (X) 253
9.4 Структура изометрии плоскости и многоугольный
бильярд 259
9.5 Подобия 268
9.6 Подобия на плоскости 278
9.7 Расстояния между многими точками 286
9.8 Стабилизаторы подмножеств 297
9.9 Длина кривой 300
9.10 Метрика и дифференциальная геометрия: формула пер-
первой вариации 306
9.11 Хаусдорфово расстояние между компактами 310
9.12 Каноническая мера в евклидовом аффинном простран-
пространстве. Объемы 313
9.13 Симметризация по Штейнеру 320
9.14 Упражнения 325
559
Оглавление
Глава 10. Треугольники, сферы и окружности 337
10.1 Треугольники: определения и обозначения 337
10.2 Классические результаты 440
10.3 Сводка формул 342
10.4 Неравенства и задачи на минимум 346
10.5 Многоугольники 351
10.6 Тетраэдры 352
10.7 Сферы 356
10.8 Инверсия 364
10.9 Окружности на плоскости 369
10.10 Пучки окружностей 374
10.11 Задачи об окружностях 379
10.12 Паратаксия: прелюдия к § 18.9, 20.5 и 20.7 384
10.13 Упражнения 387
ЧАСТЬ 3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА И ПОЛИЭДРЫ,
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ,
ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 395
Глава 11. Выпуклые множества 396
11.1 Определение. Примеры 397
11.2 Выпуклость и общая топология. Размерность выпуклого
множества 406
11.3 Топология выпуклых множеств 408
11.4 Выпуклые множества и гиперплоскости; теоремы о раз-
разделении 416
11.5 Опорные гиперплоскости; применения 421
11.6 Граница выпуклого множества, вершины, крайние
точки 428
11.7 Теорема Хелли и ее приложения 432
11.8 Выпуклые функции 439
11.9 Упражнения 452
Глава 12. Многогранники, выпуклые компакты 457
12.1 Определения, примеры, иллюстрации 458
12.2 Объем многогранников 470
12.3 Площадь поверхности многогранника 473
12.4 Правильные многоугольники 479
12.5 Правильные многогранники: определение, примеры 482
12.6 Правильные многогранники: классификация 496
12.7 Формула Эйлера 505
12.8 Теорема Коши 513
12.9 Аппроксимация выпуклых компактов многогранниками 521
12.10 Площадь поверхности выпуклых компактов 525
12.11 Изопернметрическое неравенство 539
12.12 Упражнения 546